Titolo: Funzioni e modelli matematici

Autore: Prof. Salvatore Menniti

Supponiamo che il Presidente di un'importante azienda abbia il brevetto per la realizzazione di un nuovo prodotto, di notevole utilità per la collettività.

Per evitare spionaggio, nasconde il brevetto in cassaforte ma ha bisogno di permettere ad alcune persone che dovranno occuparsi della realizzazione

del prodotto di potervi accedere.Per la sicurezza, il Presidente decide saggiamente di dividere l'informazionein n segmenti d'informazione, distribuendoli tra n persone, in modo chesia necessaria la presenza di almeno k persone (con k minore o uguale di n)per

ricostruire il segreto.

Si potrà utilizzare per risolvere tale problema l'interpolazione di Lagrange.

Interpolazione di Lagrange ed applicazioni

Il Presidente sa che per realizzare il nuovo prodotto attraverso il brevettoè necessaria la presenza di almeno quattro collaboratori e sceglie k=4.

Decide di nascondere la chiave segreta -1 fra i coefficienti di un polinomiodi grado k-1=3 ad esempio: p(x)=x3-x2+1.

Attraverso l'interpolazione di Lagrange è possibile quindi, avendo punti P idi R2,determinare il polinomio interpolatore passante per tali punti.

.Vediamo ora un esempio concreto dalla fonte ISTAT, ovvero: www.istat.it/it/ambiente-ed-energia

Dai dati dal 2009 al 2012 nella tabella seguente:

si può notare una crescita del consumo di energia da fonti rinnovabili con linea di tendenza polinomiale.

Possiamo costruire un modello matematico abbastanza approssimato con una curva esponenziale.

Tuttavia si è interessati principalmente alla determinazione del polinomio interpolatore di Lagrange, passante per i valori reali riportati in tabella, piuttosto che della linea di tendenza del polinomio di ordine 3 e potremo stimarne il valore per l'anno 2015.

Si fornisce un'approssimazione piuttosto grossolana con curva esponenziale e con foglio elettronico EXCEL si determina facilmente la linea di tendenza/regressione esponenziale come indicato sopra e come si evince anche dal grafico.

Per la determinazione del polinomio interpolatore di Lagrange eseguiamo quanto di seguito riportato:

Vediamo ora il problema della raccolta differenziata, da fonte ISTAT, dal sito: www.istat.it/it/ambiente-ed-energia

E' stato possibile determinare la retta di regressione ed è possibile eseguire una previsione per gli anni 2015, 2016, 2017, come di seguito riportato:

Precisamente, ricordiamo che la retta di regressione y istim=a+bxisi ottiene attraverso le formule:

dove per le coppie di osservazioni (xi;yi) abbiamo precisamente l'analisi lineare seguente:

dove:

Bibliografia

1) Piacentini Cattaneo Giulia Maria – Matematica discreta ed applicazioni – Ed. Zanichelli, 2008.

2) Hardy, G.H., Wright,E.M. – An introduction to the theory of numbers. Fifth edition. The Clarendon Press Oxford University Press, New)York, 1979.

3) www.istat.it/it/ambiente-ed-energia.

4) Brandi Primo, Salvadori Anna - Modelli matematici elementari – Matematica e dintorni – Ed. Mondadori, 2004.

5) Denis Antoni - Statistics for Health , Life and Social Sciences, Bookboon.com.