funzioni di trasferimento elettrotecnica ii funzioni di...
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1
2
Funzioni di trasferimento
2
3
Introduzione
4
Cosa c’è nell’Unità 4
In questa sezione si affronteranno:introduzioneuso dei decibel e delle scale logaritmichediagrammi di Bode
3
5
Funzione di trasferimento
Si consideri una rete con ingresso s(t) ed un uscita y(t)
Si lavori nel dominio delle frequenze
Si definisce funzione di trasferimento il rapporto tra la trasformata di Fourier dell'uscita e quella dell'ingresso:
( )( )
( )Y
H jS
ωω
ω=
6
Esempio
Si consideri la rete nel dominio di Fourier
ingresso: e(t)
uscita: v(t)funzione di trasferimento
( ) 1( )
( ) 1V
H jE j RC
ωω
ω ω= =
+
4
7
Introduzione
8
Filtro passa basso 1/3
Importanza funzioni trasferimento
È molto difficile prevedere nel tempo quale potrebbe essere l'andamento dell'uscita v(t) facendo variare l'ingresso e(t)
Lavorando però nel dominio delle frequenze si hanno relazioni algebriche e tutto diventa semplice
5
9
Filtro passa basso 2/3
Per elevati valori della frequenza la funzione di trasferimento tende ad annullarsi.
La rete filtra, cioè lascia passare solo le frequenze più basse contenute nel segnale e(t)
La banda del segnale di uscita si riduce rispetto a quella dell'ingresso nel senso che sono praticamente eliminate tutte le frequenze superiori ad un certo valore
10
Filtro passa basso 3/3
Il circuito si comporta quindi come un filtro passa basso
1( )
1H j
j RCω
ω=
+
6
11
Filtri passa alto e passa banda 1/2
Tutte le reti dinamiche hanno proprietà filtranti
Il circuito indicato a sinistra rappresenta un filtro passa alto; il circuito a destra un filtro passa banda
12
Filtro passa alto e passa banda 2/2
Il comportamento di un filtro dipende da come si comporta al variare della frequenza il modulo della funzione di trasferimento; ossia dalla sua banda
La banda della funzione di trasferimento è costituita dagli intervalli di frequenza dove il suo modulo è convenzionalmente significativo
7
13
Introduzione
14
Significato 1/2
La funzione di trasferimento rappresenta l’uscita della rete quando l’ingresso è il segnale impulsivo:
la funzione di trasferimento è una trasformata di Fourier
nel dominio del tempo la funzione di trasferimento è un segnale
conseguenza:
*( ) ( )H j H jω ω− =
8
15
Significato 2/2
il modulo della funzione di trasferimento è funzione pari della frequenza
la fase della funzione di trasferimento è funzione dispari della frequenza
16
Notazione più semplice
Per rendere più evidenti le proprietà delle funzioni di trasferimento conviene introdurre la pulsazione complessa
La funzione di trasferimento viene quindi scritta:
Esempio per il filtro passa basso:
s jω=
( ) ( )H j H sω =
1( )1
H ssRC
=+
9
17
Dominio dei fasori 1/2
Per le reti in regime sinusoidale con pulsazione , indicando con Y il fasore associato all’uscita e con S il fasoreall’ingresso vale la seguente proprieta:
oω
( )o
YH j
Sω=
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Dominio dei fasori 2/2
Se l’ingresso è somma di due o più sinusoidi non isofrequenziali:
A regime l’uscita vale:
1 1 1 2 2 2( ) cos( ) cos( ) ...m ms t S t S tω ϕ ω ϕ= + + + +
1 1 2 21 1 2 2( ) Re[ ( ) ] Re[ ( ) ] ...j j t j j t
m my t H j S e e H j S e eϕ ω ϕ ωω ω= + +
10
19
Esempio 1 1/3
Nel filtro passa basso con R= 1 k ohm, C=1 nF, l’ingressovale:
determinare l’uscita v(t) a regime
6( ) 0.5 0.5cos(1000 ) 10cos(10 )e t t t= + +
20
Esempio 1 2/3
Risulta: RC=10-6
1 1 1
1 6
2 2 2
2 6
0, 0.5, 0,
1( ) (0) 11 10 0
1000, 0.5, 0,
1 1000000 1000( ) ( 1000)1 10 1000 1000001 1000001
m
m
S
H j Hj
S
H j H j jj
ω ϕ
ω
ω ϕ
ω
−
−
= = =
= = =+ ×
= = =
= = = −+ ×
11
21
Esempio 1 3/3
6( ) 0.5 0.5cos(1000 ) 10cos(10 )e t t t= + +
1 1 2 21 1 2 2
6 6
( ) Re[ ( ) ] Re[ ( ) ] ...
0.5 0.5cos(1000 ) 0.0005sin(1000 )
5cos(10 ) 5sin(10 )
j j t j j tm my t H j S e e H j S e e
t t
t t
ϕ ω ϕ ωω ω= + + =
= + + +
+ +
63 3 3
63 6 6
10 , 10, 0,
1 1 1( ) ( 10 )
1 10 10 2 2
mS
H j H j jj
ω ϕ
ω −
= = =
= = = −+ ×
22
Esempio 2 1/2
In una rete si abbia la seguente funzione di trasferimento:
2
3 2
3 1( )
6 11 6s s
H ss s s
+ +=
+ + +
12
23
Esempio 2 2/2
L’ingresso della rete sia dato da:
determinare l’uscita y(t) a regime: regime sinusoidale con
il fasore associato all’ingresso è:
il fasore associato all’uscita risulta:
uscita:
( ) 3sin(4 )s t t=
4oω =
3S j= −
2
3 24
3 1( ) ( 4)( 3) ( 3) 0.487 0.392
6 11 6o
s j
s sY H j S H j j j j
s s sω
=
+ += = − = − = − −
+ + +
( ) 0.487cos(4 ) 0.392sin(4 )y t t t= − +
24
L’ingresso della rete sia dato da:
Determinare l’uscita y(t) a regime utilizzando la formula generale
Esempio 3
In una rete si abbia la seguente funzione di trasferimento:
2
3 2
3 1( )
6 11 6s s
H ss s s
+ +=
+ + +
( ) 30 10cos(2 )s t t= +
2 69 33( ) 30 (0) Re[ ( 2)10 ] 5 cos(2 ) sin(2 )
26 26j ty t H H j e t t= + = + +
13
25
Dominio di Laplace 1/2
Per le reti inizialmente scariche, indicando con Y(s) la trasformata di Laplace dell’ingresso e con S(s) la trasformatadi Laplace dell’uscita, vale la seguente proprietà:
Poiché la funzione di trasferimento rimane sempre la stessa nel dominio dei fasori, nel dominio di Fourier e nel dominio di Laplace; si parla di H(s) definita nel dominio delle frequenze senza ulteriori specificazioni
( )( )
( )Y s
H sS s
=
26
La funzione di trasferimento rappresenta l’uscita della rete quando l’ingresso è il segnale impulsivo:
la funzione di trasferimento H(s) è una trasformata di Laplace
H(s) è una funzione analitica che possiede un semipiano destro di regolarità dove essa ha crescita lenta
per reti stabili l’ascissa che definisce il semipiano di regolarità non può essere negativa
in generale i poli di H(s) coincidono con i poli della rete
Dominio di Laplace 2/2
14
27
Proprietà 1/2
Nelle reti a parametri concentrati:
la funzione di trasferimento H(s) è una funzione razionale fratta in s
i coefficienti dei polinomi che definiscono il numeratore ed il denominatore di H(s) sono reali
se esiste uno zero (polo)di H(s) complesso, esiste anche lo zero(il polo) complesso coniugato
gli zeri del denominatore costituiscono i poli della funzione di trasferimento
28
gli zeri del numeratore costituiscono gli zeri della funzione ditrasferimento
per reti stabili l’ascissa che definisce il semipiano di regolarità non può essere negativa
in una rete stabile, i poli della funzione di trasferimento hanno parte reale non positiva gli zeri di una funzione di trasferimento possono avere parti reali positive (reti a fase non minima)in generale i poli della funzione di trasferimento non dipendono né dall’ingresso, né dall’uscita considerate
Proprietà 2/2
15
29
La funzione:
non è una funzione di trasferimento
Infatti posto
si ha:
Pur essendo razionale fratta, i coefficienti non sono reali
Esempio
3 3
2 2
1 3 1 3( 9) ( 9)
j sj s s
ωω ω
− −= −
− +
s j j sω ω= ⇒ =
3
2
1 3( 9)j
ωω ω
−−
30
Introduzione
16
31
Esempio 1 1/4
Nel circuito in figuraa) calcolare la funzione di trasferimento H(s)=I/Eb) posto L=0.1 H, C=2F, R=1 ohm, alfa=6, calcolare i poli e
gli zeri di H(s)
32
Esempio 1 2/4
Rete nel dominio delle frequenze
Sovrapposizione degli effetti
21
( 1)1 1 1
xx x
sL sC E s LC IE sCI IR sL R sL R sL
sC sC sC
αα+ + += + =
+ + + + + +
17
33
Esempio 1 3/4
Risolvendo rispetto a Ix:
ne consegue:
risposta a:
2(1 ) 1xsC
I Es LC sRCα α
=− + + −
2
(1 )(1 )
(1 ) 1xsC
I I Es LC sRC
ααα α
−= − =− + + −
2
(1 )( )
(1 ) 1I sC
H sE s LC sRC
αα α
−= =
− + + −
34
Esempio 1 4/4
Con i dati indicati
risposta b:zero in zo =0poli in p1,2=
Rete instabile
2
10( )
2 5s
H ss s
=− +
1 2j±
18
35
Esempio 2 1/3
Il circuito in figura è nel dominio delle frequenzecalcolare la funzione di trasferimento H(s)=V/E
36
Esempio 2 2/3
Circuito equivalente
1 2
(1 ) (1 2 )1 1||(1 1/ )1 1 4 21 1||(1 1/ )
E Vs E s VsVs ss
s
++ + ++= =
+ ++ ++
1
12
1 1/ 01 1 11 1/
V VV sVsV V V
ss
− +
+ += = = = =
++
• applicando Millman:
19
37
Esempio 2 3/3
L’equazione
Porge
Sostituendo in
si ottiene:
Funzione di trasferimento:
1 2
(1 ) (1 2 )4 2
s E s VV
s s+ + +
=+ +
12 0
1V sV
Vs+
= =+
1V sV= −
3 2 2
1 14 4 1 3 1
sV E E
s s s s s+
= − = −+ + + + +
2
1( )3 1
H ss s
= −+ +
38
Esempio 3 1/3
Il circuito in figura è nel dominio delle frequenzecalcolare la funzione di trasferimento H(s)=V/E
20
39
Esempio 3 2/3
Circuito equivalente
Applicando Millman:
11 (1/ )||(1 1/ )
1 1 11 1 (1/ )||(1 1/ )
E Vs s
V
s s
++
=+ +
+
1
12
1 1/ 01 1 11 1/
V VV sVsV V V
ss
− +
+ += = = = =
++
40
Esempio 3 3/3
L’equazione
porge
Sostituendo in
si ottiene
Funzione di trasferimento
12 0
1V sV
Vs+
= =+
1
1V V
s= −
11 (1/ )||(1 1/ )
1 1 11 1 (1/ )||(1 1/ )
E Vs sV
s s
++=
+ ++
2 2 2s
V Es s
= −+ +
2( )2 2s
H ss s
= −+ +
21
41
Introduzione
42
Risuonatori
I circuiti risuonatori sono particolari circuiti che hanno una funzione di trasferimento che presenta una banda molto stretta nell'intorno di una pulsazione che prende il nome di pulsazione di risonanza
Risuonatori serie Risuonatori parallelo
22
43
Risuonatore parallelo 1/4
Funzione di trasferimento
( ) 1 1( ) | | ( ) | |
1 1( )V s
H s R sLA s sC sC
sL R
= = = + +
1( )
1 1H j
j Cj L R
ωω
ω
=+ +
44
Risuonatore parallelo 2/4
Funzione di trasferimento:
Parametri del risuonatore parallelo:
pulsazione di risonanza:
fattore di qualità:
1o LC
ω =
1( )
1 11 o
o
RH j
j C j Qj L R
ωωωω
ω ω ω
= = + + + −
oQ RCω=
23
45
Risuonatore parallelo 3/4
Spettro di ampiezza della funzione di trasferimentola banda è centrata nella pulsazione di risonanzaal crescere di Q diminuisce la banda
46
Risuonatore parallelo 4/4
Larghezza di banda (a 3 dB) della funzione di trasferimentola banda viene definita dall’intervallo di pulsazione, dove lo spettro risulta nel margine di 3 dB dal valore massimo
oBQω
≈
per valori elevati di Q risulta:
24
47
Espressione generale di Q
In un risuonatore arbitrario che funziona in regime sinusoidale allapulsazione di risonanza:
la somma W della energia sul condensatore e dell’energiasull’induttore, non varia nel tempo
in un periodo viene dissipata un’energia che è pari alla potenzaattiva moltiplicata per il periodo
il fattore di qualità Q è espresso anche dalla formula:
2energia dissipata in un periodo
WQ π=
48
Esempio
Valutare il fattore di qualità di un risuonatore chelavorando alla frequenza di fo= 1 MHz abbia una banda di Bf= 1 kHz
risulta:
6
3
101000
10o o
f
fQ
B Bω
= = = =
25
49
Filtri attivi
Per realizzare filtri si può evitare l’utilizzazione di induttori con schemi circuitali utilizzanti amplificatori operazionali (filtri attivi)
50
Realizzazione di un risuonatore 1/2
Un risuonatore o più in generale un filtro passa banda, puòrealizzarsi con lo schema in figura
26
51
Realizzazione di un risuonatore 2/2
Funzione di trasferimento:
Pulsazione di risonanza:
Fattore di qualità:
( )(1 )(1 )
fu e e
i e e e f f
RV s R CH s
V R s R C sR C= = −
+ +
1o
e e f fR C R Cω =
e e f f
e e f f
R C R CQ
R C R C=
+
52
Introduzione
27
53
Rappresentazione grafica di H(s)
È molto importante tracciare i diagrammi che riportano gli spettri di ampiezza (in dB) e di fase delle funzioni di trasferimento
Tali diagrammi si chiamano diagrammi di Bode
54
Scala logaritmica delle pulsazioni 1/3
Il campo di variabilità delle pulsazioni, può essere molto ampio
Anziché riportare le pulsazioni, sull’ascissa si riporta un segmento proporzionale a
riportare u anziché omega semplificherà notevolmente il disegno dei diagrammi di Bode
con la scala logaritmica non è possibile rappresentare la pulsazione nulla
10log ( )u ω=
28
55
Scala logaritmica delle pulsazioni 2/3
sulla scala logaritmica si riportano segmenti proporzionali a
i numeri sulle tacche sono relative alla pulsazione e non ad u
10log ( )u ω=
ottava decade
ω
( u = log ω )
56
Scala logaritmica delle pulsazioni 3/3
La decade è l’intervallo costante tra una pulsazione e la pulsazione che risulta 10 volte più grande
L’ottava è l’intervallo costante tra una pulsazione e la pulsazione doppia
Risulta: 1 ottava = 0.3 decadi1 decade = 3.3 ottave
ottava decade
( u = log ω )
29
57
Scala logaritmica delle ordinate
Nei diagrammi di Bode lo spettro di ampiezza viene riportato in unità logaritmiche (dB)
riportare i dB anziché le unità lineari semplificherà notevolmente il disegno dei diagrammi di Bode
molte parti degli spettri di ampiezza sono approssimabili con porzioni di rette con pendenze multiple di 20 dB/decade±
58
Retta con pendenza di 20 dB/decade
10 10
1 10 10
(log 16 log 10) 20 / 4
(log 5 log 10) 20 / 6
dB decade dB
dB decade dB
∆ = − × ≈
∆ = − × ≈ −
16 5eω ω= =Calcolare l’ordinata in
30
59
Funzioni di trasferimento
60
Diagrammi di Bode
31
61
Generalità 1/4
Nelle reti a parametri concentrate, le funzioni di trasferimento sono funzioni razionali fratte
la fattorizzazione dei polinomi numeratore e denominatore porta a:
K non dipende dalla pulsazione
z1, z2,…., zm sono gli zeri di H(s)p1, p2,…., pn sono i poli di H(s)
1 2
1 2
( )( )..( )( )
( )( )..( )m
n
s z s z s zH s K
s p s p s p− − −
=− − −
62
Generalità 2/4
Lo spettro di ampiezza è definito da:
10( ) 20log ( ) , 0dB
H j H jω ω ω= ≤ < ∞
gli zeri e i poli possono essere reali o complessi (in coppie coniugate)
gli zeri e i poli possono essere semplici o multiplinelle reti stabili i poli hanno parti reali non positive
32
63
Generalità 3/4
Proprietà importante dei logaritmi:
decibel relativi allo zero zi
decibel relativi allo zero p i
1 2
1 2
( ) ...
...dB mdB dB dB dB
ndB dB dB
H j K j z j z j z
j p j p j p
ω ω ω ω
ω ω ω
= + − + − + + − +
− − − − − − −
i dBj zω −
i dBj pω −
64
Generalità 4/4
A meno della costante KdB, lo spettro di ampiezza di una funzione di trasferimento è dato dalla somma dei decibel degli zeri diminuiti della somma dei decibel dei poli
1 2
1 2
( ) ...
...dB mdB dB dB dB
ndB dB dB
H j K j z j z j z
j p j p j p
ω ω ω ω
ω ω ω
= + − + − + + − +
− − − − − − −
33
65
Punti critici 1/2
Zeri e/o poli reali
Per ogni zero o polo reale a, sull’ascissa delle pulsazioni viene introdotto un punto critico definito da
Determinare i punti critici della funzione di trasferimento
I punti critici sono:
| |aω =
2
3 3( )
3 2 ( 1)( 2)s s
H ss s s s
− −= =
+ + + +
1 2
3
punti critici di polo
punto crit
1, 2,
3 ico i zero, d
ω ωω
= ==
66
Zeri o poli complessi
Gli zeri o i poli complessi coniugati semplici, implicano la presenza nella funzione di trasferimento del trinomio:
dove il fattore di smorzamento è:
Il punto critico per la coppia di zeri o poli complessi è dato dalla pulsazione
Punti critici 2/2
ξ
| | 1ξ <
1,2
21
o
o
s jσ ω
σ ξ ω
ω ξ ω
= − ±
=
= −
⇒
oω
2 202 os sξ ω ω+ +
34
67
Assunzioni
Anche se è possibile tracciare i diagrammi di Bode per zeri o poli con parti reali positive, per semplicità saranno considerate solo reti strettamente stabili a fase non minima
zeri e poli hanno parti reali negative
68
Maschera degli spettri di ampiezza
Usare i dB per le ordinate e la scala logaritmica per le ascisse, consentirà di approssimare gli spettri di ampiezza con delle spezzate
La maschera di un diagramma di Bode è costitituita dalla spezzata che l’approssima
La maschera si traccia molto velocemente e si possono stimare i valori massimi degli errori che si commettono nell’approssimazione
In pratica la maschera fornisce tutte le informazioni che bisogna conoscere su una funzione di trasferimento
35
69
Decibel di uno zero reale semplice 1/5
Maschera di
Punto critico a=-zi
Caso a=0. Zero nell’origine.Risulta:
La maschera coincide con il diagramma esatto ed è costituita da una retta con pendenza 20 dB/decade
i idB dBs z j zω− = −
1020log 20dB
j uω ω= =
70
Decibel di uno zero reale semplice 2/5
| | 20log( ) 20dBj a uω ω+ = =
Maschera di
Punto critico a=-zi
Caso a non nullo. Risulta:
Per valori della pulsazione piccoli
Per valori della pulsazione grandi
i idB dBs z j zω− = −
2 2| | 20 log| | 10log( )dBj a j a aω ω ω+ = + = +
| | 20 log( )dB dBj a a aω + = =
36
71
Decibel di uno zero reale semplice 3/5
Maschera di
Punto critico a=-zi
i idB dBs z j zω− = −
72
Decibel di uno zero reale semplice 4/5
Diagramma esatto di
Punto critico a=-zi
i idB dBs z j zω− = −
37
73
Decibel di uno zero reale semplice 5/5
Maschera e diagramma esatto di
Punto critico a=-zi
Errore massimo nel punto critico
i idB dBs z j zω− = −
10 1020log 10log 2 3dB dBdBj a a ja a a dBω + − = + − = =
aω =
74
Decibel di un polo reale semplice 1/5
Maschera di
Punto critico a=-pi
Caso a=0. Polo nell’origine.Risulta:
La maschera coincide con il diagramma esatto ed è costituita da una retta con pendenza -20 dB/decade
1/( ) 1/( )i idB dBs p j pω− = −
101/ 20log 20dB
j uω ω= − = −
38
75
Decibel di un polo reale semplice 2/5
|1/( ) | 20log( ) 20dBj a uω ω+ = − = −
Maschera di
Punto critico a=-pi
Caso a non nullo. Risulta:
Per valori della pulsazione piccoli
Per valori della pulsazione grandi
1/( ) 1/( )i idB dBs p j pω− = −
2 2|1/( ) | 20 log| | 10log( )dBj a j a aω ω ω+ = − + = − +
|1/( ) | 20log( )dB dBj a a aω + = − = −
76
Decibel di un polo reale semplice 3/5
Maschera di
Punto critico a=-pi
1/( ) 1/( )i idB dBs p j pω− = −
39
77
Decibel di un polo reale semplice 4/5
Diagramma esatto di
Punto critico a=-pi
1/( ) 1/( )i idB dBs p j pω− = −
78
Decibel di un polo reale semplice 5/5
Maschera e diagramma esatto di
Punto critico a=-pi
Errore massimo nel punto critico:
1/( ) 1/( )i idB dBs p j pω− = −
10/( ) 10log 2 3dB
a j a dBω + = − = −
aω =
40
79
Diagrammi di Bode
80
Funzione di trasferimento da considerare
Tracciare il diagramma di Bode (solo spettro di ampiezza) della funzione di trasferimento:
Punti critici:
2 2( ) 27 27
9 9s j
H ss j
ωω
+ += =+ +
1
2
punto critico di zeropunto critico di polo
29
ωω
==
41
81
Punti critici:
Punti critici 1/2
2 2( ) 27 27
9 9s j
H ss j
ωω
+ += =+ +
1
2
punto critico di zeropunto critico di polo
29
ωω
==
82
La maschera si ottiene combinando la maschera relativa al punto critico 2 (punto critico di zero) e quella relativa al punto critico 9 (punto critico di polo)
Per costruire la maschera totale si parte dalla maschera relativa al primo punto critico 2 e si aggiungono le maschere relative agli altri punti critici man mano che essi si presentano al crescere della pulsazione
Punti critici 2/2
42
83
Maschera a sinistra del secondo punto critico
Risulta:
84
Maschera a destra del secondo punto critico
A sinistra del secondo punto critico 9 la pendenza della maschera è +20dB/dec
a destra di 9, per la presenza di un punto critico di polo, la pendenza della maschera deve diminuire di 20 dB/ dec e pertanto è orizzontalerisulta:
43
85
Quotatura della maschera 1/4
Per quotare la maschera si considera il valore che si ha su di essa per valori di pulsazione omega molto piccoli
0
2( ) 27 6 3 2 16
valor
9
( 15.56dB)e esatto
ms
sH s dB
s ≈
+= = ⇒ × ≈
+
86
Quotatura della maschera 2/4
Questo valore quota la retta orizzontale per omega minore di 2. Per quotare la retta orizzontale per omega maggiore di 9, bisogna calcolare la quantità ∆
44
87
Quotatura della maschera 3/4
Tenendo conto che la retta tra il punto critico 2 e il punto critico 9 ha pendenza di + 20 dB per decade si ha:
9 2 10 1020( ) 20(log 9 log 2) 9 2
3 3 2 10 10 6 14dB dB
dB dB dB
u u
dB
∆ = − = − = − == + − = + − =
88
Quotatura della maschera 4/4
La retta orizzontale per valori di omega maggiori del secondo punto critico 9, ha la quota di +16+14=+30 dB
45
89
Spettro di ampiezza
L’andamento esatto dello spettro di ampiezza è indicato con tratto in nero
90
Stima errore massimo maschera 1/2
Il punto critico 2 è relativo ad uno zero. L’errore si stima in 3dB:
( 2) ( 2) 3 16 3 19
(valore esat 18.364 t do B)
mH j H j dB dB≈ + = + =
46
91
Stima errore massimo maschera 2/2
Il punto critico 9 è relativo ad uno polo. L’errore si stima in -3dB:
( 9) ( 9) 3 30 3 2 val7 ( 25.826 dBore t ) esatomH j H j dB dB≈ − = − =
92
Diagrammi di Bode
47
93
Funzione di trasferimento da considerare
Tracciare il diagramma di Bode (solo spettro di ampiezza) della funzione di trasferimento:
Punti critici:
4
1 2 3
punti critici di zero:punti critici di polo:
0, 5001, 100, 200
ωω ω ω
== = =
( 500)( )
( 1)( 100)( 200)s s
H ss s s
+=+ + +
94
Punti critici:
Per costruire la maschera totale si parte dalla maschera relativa al punto critico 0 e si aggiungono le maschere relative agli altri punti critici man mano che essi si presentano al crescere della pulsazione
Punti critici
( 500)( )
( 1)( 100)( 200)s s
H ss s s
+=+ + +
4
1 2 3
punti critici di zero:punti critici di polo:
0, 5001, 100, 200
ωω ω ω
== = =
48
95
Maschera a sinistra del punto critico 1
La maschera a sinistra del primo punto critico non nullo (punto 1), si ottiene approssimando la funzione di trasferimento per valori di s tendenti a zero
00
( 500) (500)( ) ( )
( 1)( 100)( 200) (1)(100)(200) 40 ass
s s s sH s H s
s s s≈≈
+= = = =
+ + +
96
Maschera a destra del punto critico 1
A sinistra del primo punto critico non nullo 1 la pendenza della maschera è +20dB/dec
a destra di 1, per la presenza di un punto critico di polo, la pendenza della maschera deve diminuire di 20 dB/ dec e pertanto essa è nullarisulta:
49
97
Maschera a destra del punto critico 100
A sinistra del secondo punto critico non nullo 100 la pendenza della maschera è 0 dB/dec
a destra di 100, per la presenza di un punto critico di polo, lapendenza della maschera deve diminuire di 20 dB/ dec e pertanto risulta – 20 dB/dec
98
Maschera a destra del punto critico 200
A sinistra del terzo punto critico 200 la pendenza della maschera è -20 dB/dec
a destra di 200, per la presenza di un punto critico di polo, lapendenza della maschera deve diminuire di 20 dB/ dec e pertanto risulta – 40 dB/dec
50
99
Maschera a destra del punto critico 500
A sinistra del punto critico 500 la pendenza della maschera è -40 dB/dec
a destra di 500, per la presenza di un punto critico di zero, lapendenza della maschera deve aumentare di 20 dB/dec e pertanto risulta – 20 dB/dec
100
Quotatura della maschera 1/5
Per pulsazioni a sinistra del primo punto critico 1 la maschera è espressa matematicamente dalla funzione di trasferimento approssimata per valori di s piccoli
0( ) ( )
40m s
sH s H s
≈= =
51
101
Quotatura della maschera 2/5
Nel punto critico 1 il valore in dB sulla maschera vale:
1( 1) (1/40) 6 6 20 32
40m dB
jH j dB= ⇒ = − − − = −
102
Quotatura sulla maschera 3/5
Dal punto critico 1 al punto critico 100 la maschera ha la quota di -32 DB
52
103
Quotatura sulla maschera 4/5
Nel punto critico 200 tenendo conto della pendenza di -20 dB/dec si ha una diminuzione di:
1 200 100 10 10
1
20( ) 20(log 200 log 100) 6| ( 200)| 32 38m
u u dBH j dB
∆ = − − = − − = −= − + ∆ = −
104
Quotatura sulla maschera 5/5
Nel punto critico 500 tenendo conto della pendenza di -40 dB/dec si ha ulteriore diminuzione di:
2 10
2
50040log 2( 14 6) 16200
| ( 500)| 38 54m
dB
H j dB
∆ = − = − + = −
= − + ∆ = −
53
105
Spettro di ampiezza
Il diagramma di Bode esatto dello spettro di ampiezza della funzione di trasferimento, è riportato in nero nella figura
106
Stima errore massimo maschera 1/4
Il punto critico 1 è relativo ad un polo. L’errore si stima in -3dB
( ) ( ) 3 32 3 35
( -35.valore 08 dB) esatto
mH j H j dB dB≈ − = − − = −
54
107
Stima errore massimo maschera 2/4
( 100) ( 100) 3 32 3 3 valore 5 ( -35.85 esatto dB)mH j H j dB dB≈ − = − − = −
Il punto critico 100 è relativo ad un polo. L’errore si stima in -3dB
108
Stima errore massimo maschera 3/4
Il punto critico 200 è relativo ad un polo. L’errore si stima in -3dB
( 200) ( 200) 3 38 3 4
valore
1
( -41.40 esatto dB)
mH j H j dB dB≈ − = − − = −
55
109
Stima errore massimo maschera 4/4
( 500) ( 500) 3 54 3 5 valore 1 ( -51.79 esatto dB)mH j H j dB dB≈ + = − + = −
Il punto critico 500 è relativo ad uno zero. L’errore si stima in +3dB
110
Diagrammi di Bode
56
111
Decibel di zeri o poli reali multipli
Le maschere in corrispondenza di punti critici relativi a zeri o poli reali multipli di ordine m, si ottengono da quelle relative a zeri o poli reali semplici previa moltiplicazione per m
L’errore massimo si ha nei punti critici e vale + 3 m dB o – 3 m dB a seconda se si tratta di zero o polo
112
Punti critici
Tracciare il diagramma di Bode (solo spettro di ampiezza) della funzione di trasferimento:
Punti critici:
Per costruire la maschera totale si parte dalla maschera relativa al punto critico 0 e si aggiungono le maschere relative agli altri punti critici man mano che essi si presentano al crescere della pulsazione
4 101 2
punti critici di zero:
punti critici di pol
0 ( )
10 , 2 10o:
doppio
ω ω= = ×
2
4 10( ) 20( 10 )( 2 10 )
sH s
s s= −
+ + ×
57
113
Maschera a sinistra del punto critico 104
La maschera a sinistra del primo punto critico non nullo (punto 104), si ottiene approssimando la funzione di trasferimento per valori di s tendenti a zero
2 2 2
4 10 4 10 1300
( ) ( ) 20 20( 10 )( 2 10 ) 10 2 10 10a s
s
s s sH s H ss s x x x≈
≈
= = − = − = −+ +
114
Maschera a destra del punto critico 104
A sinistra del primo punto critico non nullo 104 la pendenza della maschera è +40dB/dec
a destra di 104, per la presenza di un punto critico di polo, la pendenza della maschera deve diminuire di 20 dB/ dec e pertanto è +20 dB/dec
58
115
Maschera a destra del punto critico 2x1010
A sinistra del secondo punto critico 2x1010 la pendenza della maschera è 20 dB/dec
a destra di 2x1010, per la presenza di un punto critico di polo, la pendenza della maschera deve diminuire di 20 dB/ dec e pertanto risulta orizzontale
116
Quotatura della maschera 1/3
Per pulsazioni a sinistra del primo punto critico 104 la maschera è espressa matematicamente dalla funzione di trasferimento approssimata per valori di s piccoli
2
130( ) ( )10m s
sH s H s ≈= = −
59
117
Quotatura della maschera 2/3
Nel punto critico 104 il valore in dB sulla maschera vale:
4 24 5
13
( 10 )( 10 ) 10 100
10mj
H j dB−= − = ⇒ −
118
Quotatura della maschera 3/3
Dal punto critico 104 al punto critico 2x1010 la maschera è una retta con pendenza di 20dB/dec
Nel punto critico 2x1010 tenendo conto della pendenza di 20 dB/dec si ha:
10 4
10
10 42 10 10
2 1020( ) 20log 6 120 126
10x
xu u dB∆ = − = = + =
60
119
Spettro d’ampiezza
Il diagramma di Bode esatto dello spettro d’ampiezza della funzione di trasferimento è riportato in nero nella figura
120
Stima errore massimo maschera 1/2
Il punto critico 104 è relativo ad un polo. L’errore si stima in -3dB
4 4( 10 ) ( 10 ) 3 100 3 10
valore e
3
( -103.01 dB)satto
mH j H j dB dB≈ − = − − = −
61
121
Stima errore massimo maschera 2/2
Il punto critico 2x1010 è relativo ad un polo. L’errore si stima in -3dB
10 10( 2 10 ) ( 2 10 ) 3 26 3 valor23 ( 23.01 e esa dB)ttomH j H j dB dB× ≈ × − = − =
dB100−≈
dB26≈
122
Diagrammi di Bode
62
123
Decibel di coppia di zeri complessi coniugati
Una coppia di zeri complessi coniugati, implica la presenza al numeratore della funzione di trasferimento del trinomio
2 22
0 1o o
o
smorzamentopulsazi
s
one
s ξ ω ω
ξ ξω
+ +
< ≤
Una coppia di zeri complessi couniugati, introduce un punto critico definito dalla pulsazione oω
124
Maschera coppia zeri complessi coniugati
dBoo
ss12
2
++
ω
ξω
2 2
2 1o o o
s s sξ
ω ω ω
+ + ≈
Per valori di s piccoli:
Per valori di s grandi:
2
2 1 1o o
s sξω ω
+ + ≈
63
125
Spettro ampiezza coppia zeri complessi coniugati
Lo spettro d’ampiezza dipende dallo smorzamento ξ
126
Errore massimo
L’errore massimo si ha nel punto critico e vale:oω 12
dBξ
−
64
127
Esempio
Per smorzamenti piccoli, l’errore massimo rispetto alla mascherapuò assumere valori elevati
se lo smorzamento vale 0.1 si ha:
1 1| 5 | 14
2 2 0.1 dBdBdB
dBξ
− = − = − ≈ −×
128
Decibel di coppia di poli complessi coniugati
Una coppia di poli complessi coniugati implica la presenza al denominatore della funzione di trasferimento del trinomio:
2 22
0 1o o
o
smorzamentopulsazi
s
one
s ξ ω ω
ξ ξω
+ +
< ≤
Una coppia di poli complessi couniugati introduce un punto critico definito dalla pulsazione oω
65
129
Maschera coppia poli complessi coniugati2
2 1 1o o
s sξω ω
+ + ≈
2 2
2 1o o o
s s sξ
ω ω ω
+ + ≈
Per valori di s piccoli:
Per valori di s grandi:
dBoo
ss12
2
++
−
ωξ
ω
130
Spettro ampiezza coppia poli complessi coniugati
Lo spettro di ampiezza dipende dallo smorzamento ξ
66
131
Errore massimo
L’errore massimo si ha nel punto critico e vale:oω 12
dBξ
132
Esempio
Per smorzamenti piccoli, l’errore massimo rispetto la maschera può assumere valori elevati
se lo smorzamento vale 0.1 si ha:1 1
| 5 | 142 2 0.1 dB
dBdB
dBξ
= = ≈×
67
133
Decibel di zeri o poli c.c multipli
Le maschere in corrispondenza di punti critici relativi a zeri o poli complessi coniugati multipli di ordine m, si ottengono da quelle relative a zeri o poli semplici previa moltiplicazione per m
L’errore massimo si ha nei punti critici ed a seconda se si tratta di zero o polo vale:
12 dB
mξ
∓
134
Diagrammi di Bode
68
135
Spettro di ampiezza di risuonatore parallelo 1/2
Si voglia tracciare lo spettro di ampiezza del risuonatore parallelo C,L,R con funzione di trasferimento:
2 22
1( ) 1 1 1 1 ( 2 )( ) o o
s sH s
C s ssC C s ssL R RC LC
ξω ω= = =
+ ++ + + +
1 12 2o RC Q
ξω
= =1o
LCω =dove:
136
Spettro di ampiezza di risuonatore parallelo 2/2
Per semplicità sarà tracciata la funzione di trasferimento normalizzata definita da:
2
( / )( )( )
2 ( / ) 2 ( / ) 1o
o o
sH sh s
R s sω
ξ ω ξ ω= =
+ +
69
137
Punti critici
Punti critici:
punto critico di zero:punto critico di poli c.c.:
0 ( )( )o
semplicesempliceω
2
( / )( )
( / ) 2 ( / ) 1o
o o
sh s
s sω
ω ξ ω=
+ +
Per costruire la maschera totale, si parte dalla maschera relat iva al punto critico 0 e si aggiungono le maschere relative agli altri punti critici man mano che essi si presentano al crescere dellapulsazione
138
Maschera a sinistra del punto critico
La maschera a sinistra del punto critico si ottiene approssimando la funzione di trasferimento per valori di s tendenti a zero
oω
2
0
( / )( ) ( ) /
( / ) 2 ( / ) 1o
a oo o s
sh s h s s
s sω
ωω ξ ω
≈
= = =+ +
70
139
Maschera a destra del punto critico
A sinistra del punto critico la pendenza della maschera è +20dB/dec
a destra di , per la presenza di un punto critico di coppia di poli complessi coniugati, la pendenza della maschera deve diminuire di 40 dB/dec e pertanto diventa di -20 dB/dec
oω
oω
140
Quotatura della maschera 1/2
( ) ( ) /m a oh s h s s ω= =
Per pulsazioni a sinistra del punto critico la maschera è espressa matematicamente dalla funzione di trasferimento approssimata per valori di s piccoli
71
141
Quotatura della maschera 2/2
Nel punto critico, il valore in dB sulla maschera vale 0 dB
( ) 1 0om o
o
jh j dB
ωω
ω= = ⇒
142
Spettro di ampiezza
Il diagramma di Bode esatto, dello spettro di ampiezza della funzione di trasferimento, è riportato in nero (per diversi valori dello smorzamento)
72
143
Il punto critico è relativo ad una coppia di poli complessi coniugati (semplici). L’errore si stima in
Stima errore massimo maschera
12 dB
dB
Qξ
=
se lo smorzamento vale 0.1 si ha:
valore esatt5 14
(o ) 13.98o
Q dBh j dBω
= ≈=
oω
144
Diagrammi di Bode
73
145
Punti critici
Tracciare il diagramma di Bode (solo spettro di ampiezza) della funzione di trasferimento:
1
2
6
punti critici di zero:
punti critici di poli reali:
punto critico e smorzamento di poli complessi coniugati:
0, 1 ( )
10 ( )
200 10 1000, 0.1
2oo
semplici
semplice
ω
ω
ω ξω
=
=
= = = =
2
2 6( )( 10)( 200 10 )
s sH s
s s s+=
+ + +
Punti critici:
146
Maschera a sinistra del punto critico 1
La maschera a sinistra del primo punto critico non nullo (punto 1) si ottiene approssimando la funzione di trasferimentoper valori di s tendenti a zero
0 2 6 6 70
( 1) 1( ) ( )
( 10)( 200 10 ) 10 10 10a ss
s s sx sH s H s
s s s x≈≈
+= = = =
+ + +
74
147
Maschera a destra del punto critico 1
A sinistra del primo punto critico non nullo 1 la pendenza della maschera è +20dB/dec
a destra di 1, per la presenza di un punto critico di zero, la pendenza della maschera deve aumentare di 20 dB/dec e pertanto diventa di 40 dB/decrisulta:
148
Maschera a destra del punto critico 10
A sinistra del secondo punto critico non nullo 10 la pendenza della maschera è 40 dB/dec
a destra di 10, per la presenza di un punto critico di polo, la pendenza della maschera deve diminuire di 20 dB/ dec e pertanto risulta 20 dB/dec
75
149
Maschera a destra del punto critico dei poli c.c.
A sinistra del terzo punto critico 1000 la pendenza della maschera è +20 dB/dec
a destra di 200, per la presenza di un punto critico dovuto ad una coppia di poli complessi coniugati, la pendenza della maschera deve diminuire di 40 dB/dec e pertanto risulta – 20 dB/dec
150
Quotatura della maschera 1/3
Per pulsazioni a sinistra del primo punto critico 1 la maschera è espressa matematicamente dalla funzione di trasferimento approssimata per valori di s piccoli
Nel punto critico 1 il valore in dB sulla maschera vale:
70( ) ( )
10m s
sH s H s
≈= =
10 7
120log [ ] 14010m
dB
H j dB= = −
76
151
Quotatura della maschera 2/3Dal punto critico 1 al punto critico 10 la maschera ha un incremento di:
Dal punto critico 10 al punto critico 1000 tenendo conto della pendenza di 20 dB/dec un incremento di:
110
40log 401
dB∆ = =
21000
20log 4010
dB∆ = =
152
Quotatura della maschera 3/3
Nei punti critici 1, 10 e 1000 la maschera ha rispettivamente la quota di -140 dB, -100 dB, -60 dB
77
153
Spettro di ampiezza
Il diagramma di Bode esatto, dello spettro di ampiezza della funzione di trasferimento, è riportato in nero nella figura
154
Stima errore massimo maschera 1/3
( 10) ( 10) 3 100 3 103
valore esa( -102.966 dtto B)mH j H j dB dB≈ − = − − = −
Il punto critico 1 è relativo ad uno zero. L’errore si stima in +3dB:
( ) ( ) 3 140 3 137(val -137.033 ore esatt dBo )
mH j H j dB dB≈ + = − + = −
Il punto critico 10 è relativo ad un polo. L’errore si stima in -3dB:
78
155
Stima errore massimo maschera 2/3
Il punto critico 1000 è relativo ad una coppia di poli complessi coniugati. L’errore si stima in:
1 15 14
2 2 0.1 dBdBdB
dBξ
= = =×
156
Stima errore massimo maschera 3/3
( 1000) ( 1000) 14 60 14 46
( -46.021 dB)valore esattomH j H j dB dB≈ + = − + = −
Ne consegue:
79
157
Diagrammi di Bode
158
Procedimento
La maschera di uno spettro di ampiezza può essere alcune volte determinata attraverso misure
Con questo dato è possibile risalire alla funzione di trasferimento
80
159
Esempio 1/4
Determinare la funzione di trasferimento di un circuito sapendo che lo spettro di ampiezza ha la maschera indicata
160
Esempio 2/4
I punti critici al finito sono 3 e 15
Poiché a destra di 3 e 15 si ha diminuzione di pendenza, detti punti critici sono relativi a poli
Poichè la discontinuità di pendenza non assume mai il valore di40dB/dec, i punti critici 3 e 15 sono relativi a poli reali
81
161
Esempio 3/4
Poiché al sinistra del primo punto critico finito 3 la pendenza è di 40dB/dec, la funzione di trasferimento presenta s2 al numeratore:
Forma della funzione di trasferimento:
2
( )( 3)( 15)
sH s K
s s=
+ +
162
Esempio 4/4
Per valori elevati di s si ha: 2
lim[ ( )] lim[ ] 19.1( 3)( 15)
sH s K K dB
s s
s s
= = ⇒+ +
→ ∞ → ∞
9K =
2
( ) 9( 3)( 15)
sH s
s s=
+ +
Ne consegue:
82
163
Diagrammi di Bode
164
Espressione della fase 1/3
Nel seguito discuteremo solo la presenza di zeri o poli semplici in quanto la presenza di zeri o poli multipli significasemplicemente (come avviene per lo spettro di ampiezza) la moltiplicazione per l’ordine di molteplicità
83
165
Espressione della fase 2/3
Dalla funzione di trasferimento:
1 2
1 2
( )( )..( )( )
( )( )..( )m
n
s z s z s zH s K
s p s p s p− − −
=− − −
Risulta:
1
1
( ) ( ) ..... ( )
( ) .... ( )m
n
H s K s z s z
s p s p
< =< + < − + + < − +− < − − − < −
166
Espressione della fase 3/3
La fase della funzione di trasferimento è, a meno di un valore costante, la somma delle fasi degli zeri meno la somma delle fasi dei poli
84
167
Punti critici
Anche per gli spettri di fase è importante determinare i punti critici
Essi rimangono gli stessi di quelli considerati nel caso di spettri di ampiezza
168
Assunzioni
Anche se è possibile tracciare i diagrammi di fase per zeri o poli con parti reali positive, per semplicità saranno considerati so lo reti strettamente stabili a fase non minima
zeri e poli hanno parti reali negative
85
169
Maschera degli spettri di fase 1/2
La scala logaritmica per le ascisse consentirà di approssimare anche gli spettri di fase con delle spezzate
La maschera di uno spettro di fase è costituita dalla spezzata che l’approssima
Si definiscono due tipi di maschere: una più accurata e l’altra più grossolana
170
Maschera degli spettri di fase 2/2
La maschera grossolana si traccia molto velocemente
Anche se non si possono stimare gli errori la maschera consentedi tracciare in modo accurato l’andamento esatto dello spettro di fase
In pratica la maschera fornisce tutte le informazioni sullo spettro di fase
86
171
Spettro di fase di uno zero reale semplice
Maschera di
punto critico a=-zi
( )is z⟨ −
( ) 90ojω⟨ =
Caso a=0. Zero nell’origine.Risulta:
La maschera coincide con il diagramma esatto ed è costituita dauna retta orizzontale con il valore dell’ordinata di 90°
172
Maschera grossolana di uno zero reale semplice
Maschera di ( )is z⟨ −punto critico a=-zi
Per valori piccoli di s la fase è nulla
Per valori grandi di s la fase vale 90°
87
173
Maschera accurata di uno zero reale semplice
La maschera è costituita da una spezzata che è:nulla per pulsazioni più piccole di 0.1 a (una decade sotto)
90° per pulsazioni più grandi di 10 a (una decade sopra)il segmento che unisce il punto (0.1 a, 0) con il punto (10 a, 90°) per pulsazioni comprese tra 0.1 e 10 a
174
Confronto tra valore esatto e maschera
Maschera di ( )is z⟨ −
88
175
Spettro di fase di coppia di zeri complessi coniugati
Una coppia di zeri complessi coniugati implica la presenza al numeratore della funzione di trasferimento del trinomio:
2 22
0 1o o
o
smorzamentopulsazi
s
one
s ξ ω ω
ξ ξω
+ +
< ≤
Una coppia di zeri complessi coniugati introduce un punto critico definito dalla pulsazione
oω
176
Maschera grossolana di una coppia di zeri c.c
2 2( 2 )o os sξ ω ω⟨ + +Maschera di
)2( 22oo ss ωωξ ++⟨Per valori piccoli di s la
fase è nulla
Per valori grandi di s la fase vale 180°
89
177
Spettro di fase di una coppia di zeri c.c
2 2( 2 )o os sξ ω ω⟨ + +Il valore esatto dipende dallo smorzamento
)2( 22ooss ωωξ ++⟨
178
Spettri di fase relativi a poli
Gli spettri di fase relativi ai poli si ottengono con un semplice cambiamento di segno rispetto a quelli relativi agli zeri
90
179
Diagrammi di Bode
180
Funzione di trasferimento che si considera
3 214 44 40 0s s s+ + + =
Tracciare il diagramma di Bode (spettro di ampiezza e di fase) della funzione di trasferimento:
2
3 2( ) 20014 44 40
sH s
s s s= −
+ + +
La determinazione dei poli richiede la soluzione dell’equazione:
91
181
Poli
3 214 44 40 0s s s+ + + =
2
3 2( ) 20014 44 40
sH s
s s s= −
+ + +
Soluzione di:
3 2214 44 40
12 20 2, 102
s s ss s s s
s+ + +
= + + ⇒ = − = −+
Per ispezione una soluzione è s=-2
Le altre soluzioni si hanno da:
182
Punti critici
1 2
punti critici di zero:punti critici di pol
0 ( )2 ( , 1o: ) 0doppio
doppioω ω= =
Punti critici:
92
183
Maschera ampiezza a sinistra del punto critico 2
La maschera a sinistra del primo punto critico non nullo (punto 2) si ottiene approssimando la funzione di trasferimento per valori di s tendenti a zero
22
0 20
( ) ( ) 200 5( 2) ( 10)a s
s
sH s H s s
s s≈≈
= = − = −+ +
184
Maschera ampiezza a sinistra del punto critico 10
A sinistra del primo punto critico non nullo 2 la pendenza della maschera è +40dB/dec
a destra di 2, per la presenza di un punto critico di polo doppio, la pendenza della maschera deve diminuire di 40 dB/ dec e pertanto è 0 dB/dec
93
185
Maschera di ampiezza
A sinistra del secondo punto critico 10 la pendenza della maschera è nulla
a destra di 10, per la presenza di un punto critico di polo, la pendenza della maschera deve diminuire di 20 dB/ dec e pertanto risulta -20dB/dec
186
Quote sulla maschera di ampiezza 1/2
Per pulsazioni a sinistra del primo punto critico 2 la maschera è espressa matematicamente dalla funzione di trasferimento approssimata per valori di s piccoli
20
( ) ( ) 5m sH s H s s
≈= = −
94
187
Quote sulla maschera di ampiezza 2/2
Nel punto critico 2 il valore in dB sulla maschera vale:
2( 2) 5( 2) 20 26mH j j dB= − = ⇒
188
Maschera di ampiezza definitiva
95
189
Spettro di ampiezza
Lo spettro di ampiezza della funzione di trasferimento è riportato in nero nella figura
190
Stima errore ampiezza 1/2
Il punto critico 2 è relativo ad un polo doppio. L’errore si stima in - 6 dB:
( 2) ( 2) 6 26 6 2
va
0
( 19.83 dBlore esatto )
mH j H j dB dB≈ − = − =
96
191
Stima errore ampiezza 2/2
( 10) ( 10) 3 26 3 23 (val 22.67 dore esatto B)mH j H j dB dB≈ − = − =
Il punto critico 10 è relativo ad un polo. L’errore si stima in - 3 dB:
192
Maschera fase a sinistra del punto critico 2
La maschera a sinistra del primo punto critico non nullo (punto 2) si ottiene approssimando la funzione di trasferimentoper valori di s tendenti a zero
22
0 20
2 2
( ) ( ) 200 5( 2) ( 10)
( 5 ) (5 ) 0
a s
s
sH s H s s
s s
s ω
≈
≈
= = − = −+ +
⟨ − = ⟨ =
97
193
Maschera fase a sinistra del punto critico 10
A sinistra del punto critico 2 la fase è zeroa destra di 2, per la presenza di un punto critico di polo doppio, la fase deve diminuire di 180o e pertanto vale -180o
194
Maschera di fase
A sinistra del secondo punto critico 10 la fase vale -180o.
a destra di 10, per la presenza di un punto critico di polo, la fase deve diminuire di 90o e pertanto risulta – 270o
98
195
Spettro di fase