fundamentos de geometría y geometría...

J.C. Torres 1

F. Geometría y Geometría Computacional

Fundamentos de Geometría y Geometría Computacional

J.C. Torres 2


Geometría

1. Elementos geométricos en 2D. Rectas. Triángulos. Polígonos. Curvas.

2. Problemas geométricos 2D. Distancia. Intersección.

3. Elementos geométricos 3D. Rectas. Planos. Superficies. Poliedros.

4. Problemas geométricos 3D. Distancia. Inclusión. Intersección.

5. Geometría diferencial. Campos escalares y vectoriales. Gradiente. Isosuperficies.

J.C. Torres 3


Geometría

Bibliografía

P.J. Shneider; D.H. Eberly: Geometric Tools for Computer Graphics. Morgan Kaufmann. 2003.

J. Vince: Essential mathematics for computer graphics fast. Springer 2006.

A. Paoluzzi. Geometric programming for Computer-Aided Design. Wiley 2003.

J.C. Torres 4


3. Elementos geométricos en 3D. Rectas. (Shneider chap. 9, 325, Vince 170)

d

P

Qlado + lado -

d=d x ,d y ,d z

Recta que pasa por el punto P

P t =Pt · d

recta : t∈[−∞ ,∞]rayo :t ∈[0 ,∞]línea : t∈[t 0 , t 1]

n0 ·Q−P =0

n1 ·Q−P =0

Par

amét

ricas

Impl

ícita

s

n0

n1

Línea : d=P1−P0

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3. Elementos geométricos en 3D. Planos (Shneider 326, Vince 173)

n

P

Q

n · Q−P =0

n · Q−n · P=0

n · Qd=0d=−n · P

semiespacio +

semiespacio -

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3. Elementos geométricos en 2D. Planos. (Shneider 328, Vince 176)

P t , s=Pt · us ·vP t , s=P0t · P1−P 0s · P 2−P 0

n=u×v

a · xb · yc · zd=0

n=[a ,b ,c ]

Paramétricas

Impl

ícita

s

{P , d 0,d 1}

{P0, P1, P 2}{n ,d }

n

P

Q

semiespacio +

semiespacio -

v

u

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3. Elementos geométricos en 3D. Triángulos. (Shneider 331, Vince 179)

{P0, P1, P 2}

P t0, t1, t 2=t 0P 0t1P1t 2P2

t 0t 1t 2=1 0≤t i≤1

P u , v =u1−v P 01−uv P11−u1−v P 2

u , v∈[0,1]

P0P1

P2

(1,0,0) (0,1,0)

(0,0,1)

n

n=P 2−P0×P1−P 0n×P2d =0

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3. Elementos geométricos en 2D. Tetraedros

P t0, t 1, t 2, t 3=t 0P 0t1P1t 2P2t 3 P 3

t0t 1t 2t 3=10≤t i≤1

Baricéntricas

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3. Elementos geométricos en 2D. Poliedros

Sólido= ∩ caras semiespacios

Convexos

{caras ,aristas , vértices}

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Geometría





5. Geometría diferencial. Campos escalares y vectoriales. Gradiente. Isosuperficies.

J.C. Torres 11


4. Problemas geométricos en 3D. Inclusión

Punto – Plano

n ·Qd=0n · Q−P =0

: n ·Pd =0

n

P

Q

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4. Problemas geométricos en 3D. Inclusión Punto – Línea

d

P0

QP1

n0 · Q−P0=0n1 · Q−P 0=0Q∈[P0, P1]

n0

n1

n0 ·Qd 0=0n1 ·Qd1=0

n0 ·Q−P =0n1· Q−P =0

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4. Problemas geométricos en 3D. Inclusión Punto – Triángulo

1. siQ noesta enel plano⇒ noestá enel triángulo2. proyectar sobre plano2D

resolver en 2D

n

Q

P1

P2

P0

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4. Problemas geométricos en 3D. Distancia (Shneider chap.10, 365) Punto – línea (segmento)

d

P0

Q

Q'(t)

P1

distancia Q ,={ ∥P0−Q∥ si tQ≤0

∥t · dP0−Q∥ si tQ≥1∥P1−Q∥ si tQ≥1 }

d · Q−Q ' t =0d · Q−P 0−tQ

d =0d · Q−P0−tQ ·∥d∥2=0

tQ=d ·Q−P 0

∥d∥2

d=P1−P0

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4. Problemas geométricos en 3D. Distancia (Shneider 374)

Punto – Plano

r=∥Q−Q '∥=∥Q−P∥cos =

=∥Q−P∥ n · Q−P ∥Q−P∥·∥n∥

=

=n · Q−P ∥n∥

r= n ·Qd∥n∥

n

P

Q rQ'α

P ·nd=0 ∧ ∥n∥=1r ·n=Q−Q '

r ·n ·n=n ·Q−n ·Q 'r=Q ·nd

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Punto – Triángulo

Q '=Q−r ·nQ '=Q−n Q−P ·n

Q '=u 1−vP 01−uv P11−u1−v P2

si u , v∈[0,1]⇒distancia=rsi no⇒ distancia²=r²distancia Q' ,arista más próxima ²

n

Q rQ'

P1

P2

P0

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Q '=Q−r ·nQ '=Q−n Q−P ·n

Q '=u 1−vP 01−uv P11−u1−v P2

si u , v∈[0,1]⇒distancia=rsi no⇒ distancia²=r²distancia Q' ,arista más próxima ²

n

Qr Q'

P1

P2

P0

Punto – Triángulo

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4. Problemas geométricos en 3D. Intersección (Shneider 483)

Recta – Plano

n ·Qd=0Q=P 0t P 1−P 0

n ·P 0t P 1−P 0d=0

t=−d−n · P 0

n ·P 1−P 0

nPd

P0

n0

n1Q

P1

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Plano – Planod= n0× n1=0

n0 ·Qd 0=0n1 ·Qd 1=0

Q=a · n0b · n1

a=d 1 · n0 · n1−d 0

n0 · n1−1

b=d 0 · n0 · n1−d 1

n0 · n1−1con∥n0∥=∥n1∥=1

n0

P0

d

n1

P1

Q

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nP1

P2

P0


Triángulo – línea

d

Q0

Q

Q1

signo n ·Q0d ≠signo n ·Q1d

ó

1. Los vértices del segmento están a distintos lados del plano. Hay intersección con el plano.

signo volumen [P0, P1, P2,Q1]≠signo volumen [P0, P1, P2,Q2]

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nP1

P2

P0

4. Problemas geométricos en 3D. Intersección Triángulo – línea

d

Q0

Q

Q1

signo volumen [ P0, P1, Q1,Q2]=signo volumen [ P1, P2,Q1,Q2]=signo volumen [ P2, P0,Q1,Q2]

2. y, Q es interior al triángulo. Las aristas de este están al mismo lado de la línea.

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Geometría





5. Geometría diferencial. Curvas. Superficies. Campos escalares y vectoriales. Gradiente. Isosuperficies.

J.C. Torres 23


Bibliografía

T. M. Apostol: Calculus Reverté , 1992

A. Paoluzzi. Geometric programming for Computer-Aided Design. Wiley 2003.

Boehm, W. and Prautzsch, H. 1994 Geometric Concepts for Geometric Design. A. K. Peters, Ltd.

M. Desbrun, P.. Schröder: Discrete Differential Geometry: An Applied Introduction. SigGraph. Full-Day tutorial, 31 July 2005.http://ddg.cs.columbia.edu/SIGGRAPH05/NOTES-small.pdf

J.C. Torres 24


5. Geometría diferencial [Boehm 351]

Utiliza el cálculo diferencial e integral para resolver problemas geométricos.

Se desarrollo para estudiar propiedades de curvas y superficies.

Una herramienta esencial en geometría diferencial es el uso de sistemas de coordenadas locales, que cambia de forma continua e infinitesimal a lo largo del elemento geométrico.

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1. Curvas [Boehm 353]

x=x t =[ x t y t z t ] , t ∈[a ,b ]⊂ℝ

x t =[ x t y t z t ]≠0

donde x(t), y(t), z(t) son diferenciables. Consideramos solo parametrizaciones regulares.

x(t)

x'(t)

x'(t) es la pendiente a la curva |x'(t)| dt diferencial de arco

s=s t0=∫a

t0∣x t ∣d t

x '= d xd s

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Marcos de Frenet [Boehm 354]

Podemos definir un sistema de coordenadas local en cada punto x de la curva, a partir de las tres primeras derivadas, siempre que sean linealmente independientes

F= (t , m , b , x)

con

t

t

m

b

x

t= x∣x∣

b= x× x∣x× x∣

m=b×t

t: vector tangentem: vector normal principalb: vector binormal

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Curvatura y torsión [Boehm 356]

Curvatura

k=∣x ' '∣=∣d² xd s²

∣=∣x× x∣∣x∣3

Torsión

= 1k²

det [ x ' x ' ' x ' ' ' ]= det [ x x x ]∣x× x∣2

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Interpretación geométrica [Desbrun]

Curvatura. k es la inversa del radio de la circunferencia tangente a la curva

1k

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Representación de Gaus: El vector normal se puede representar sobre un circulo (o una esfera)

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Número de giros, (índice de rotación) (K).+/- 1: curva simple

J.C. Torres 31



Teorema del número de giros. La integral de la curvatura (con signo) de cualquier curva cerrada depende solo del número de giros.

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Podemos aplicar los mismos conceptos a elementos discretizados.

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vv

u u

2. Superficies

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Superficies

Vectores tangentes en superficies paramétricas

∂ S∂u

S u , v

∂ S∂ v

P

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Superficies

Vector normal en superficies paramétricas

n=

∂ S∂ v

× ∂ S∂ v

∣∂ S∂ v

× ∂ S∂ v

∣

∂ S∂u

S u , v

∂ S∂ v

P n

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div =∇ · =∂ x

∂ x

∂ y

∂ y

∂ z

∂ z

K =∇ ·n

Superficies

Curvatura

∂ S∂u

S u , v

∂ S∂ v

P n

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3. Campo escalar. (Apostol)

: Eℝ

J.C. Torres 38


Campo escalar: Isosuperficies y líneas de flujo

P =x² y²−1

s=k≡x² y²−1k =0

s=k

: Eℝ

J.C. Torres 39


Campo escalar: gradiente

∇ =∂∂ x

,∂∂ y

,∂∂ z

∇ n=∇

∣∇ ∣

P =x² y²−1

∇ = x2 ,2 y

n= x , y x² y²

J.C. Torres 40


Campo escalar: curvatura

div =∇ · =∂ x

∂ x

∂ y

∂ y

∂ z

∂ z

K =∇ ·n=∇ ·∇

∣∇ ∣

P =x² y²−1

= 1

x² y²

∇ · ∇ =∇ ²= ∂ ²∂ X²

∂ ²∂ y²

∂ ²∂ z²

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Campo vectorialF :Eℝ3

J.C. Torres 42


Campo vectorial

El gradiente de un campo escalar es un campo vectorial

∇ =∂∂ x

,∂∂ y

,∂∂ z

P =x² y²−1

∇ =2x.2y

J.C. Torres 43


Campo vectorial

x =∫a

xF ds

∇ =∂∂ x

,∂∂ y

,∂∂ z

=F x ,F y ,F z

Si F es un campo vectorial continuo en un espacio conexo, S, y su integral de línea es independiente del camino, podemos definir un campo escalar a partir de cualquier punto fijo de S..

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Campo vectorial

Si F es un campo vectorial continuo en un espacio conexo, S, y su integral de línea es independiente del camino, podemos definir un campo escalar a partir de cualquier punto fijo de S..

rotacional F=∇×F=0 x =∫a

xF ds

∇ =∂∂ x

,∂∂ y

,∂∂ z

=F x ,F y ,F z

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Cálculo en sistemas discretos

∂∂ x

≈i1−i−1

2 x

∂ ²∂ x²

≈i1−2ii−1

x²

i i+1i -1i -2

j -1

j

j +1

j +2

fundamentos de geometría y geometría...

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