fundamental concepts - memphis€¦ · k ˇ ˇl 7 ˇ ˇl kp qˆp ql 7 p qˆ p q ˜˜˜mn k pq∆ ˆ...

36
1 Fundamental Concepts 1.1 INTRODUCTION Among the various numerical methods available, finite element method (FEM) is at present very widely used in every engineering analysis. Several engineering problems will be defined in terms of governing equations written in one, two and three dimensions. Usually these problems are expressed in the form of ordinary or partial differential equations. The problems of structural machanics such as deformation, trusses, stress analysis of automotive aircraft, building and bridge structures, magnetic flux, seepage etc. have been reduced to a system of linear simultaneous equations. Solution of these equations gives us the approximate behaviour of the continuum. These facts suggest that we need to keep pace with the developments by understanding the basic theory, modeling techniques, and computational aspects of the finite element method. Applications range from problems relating to heat transfer, fluid flow, lubrication, soil machanics, electric and magnetic fields, structural engineering and discussions related to structural analysis problems. 1.2 A BRIEF HISTORY OF FEM Although the name finite element is of recent origin, the basic concept has been used for centuries. The basic concept of finite elements originates from advances in aircraft structural analysis. One of the earlier problems dealt with this concept was by ancient mathematicians. In 1941, Hrenikoff found a solution of elasticity problems using the framework method. Courant introduced piecewise polynomial interpolation (or continuous trial functions) over triangular subregions to model tortion problems appeared in 1943. In 1956, Turner et al. derived stiffness matrices for truss, beam, and other elements and presented their new findings. Clough first introduced the term finite element, appeared in 1960. The two landmark papers to which the origin of the FEM is generally traced are those due to Turner, Clough, Martin and Topp and Argyris and Kelsey. The first book on finite elements by O.C. Zienkiewicz and Cheng was

Upload: others

Post on 30-Sep-2020

5 views

Category:

Documents


0 download

TRANSCRIPT

Page 1: Fundamental Concepts - Memphis€¦ · k ˇ ˇl 7 ˇ ˇl kp qˆp ql 7 p qˆ p q ˜˜˜mn k pq∆ ˆ z ˙ p q ˙l 7 pq∆ ˆ z ˙ p q ˙ ˜˜˜m7n ˛o ˚ p q p q ˚ ˚ ! ˛ p qk0 ˜˜˜m,n

Fundamental Concepts

��� ����������

���������� �������� �������������������������������������������������� ����� ��������������� ������ �������������� � ������� ����� ����������������������� �������� ����� !��������� ����� ��� ���� ���� ���� � � ����������� "������� ��� � ������ � #� ����������� ������ ���� ��� ��� ��������� ������!���������$�� ����������� ���� ��������������������� ��������� �������� ��������������������������� � ������������������� ����� ���� ����������� ���#�� ��������������� ����� �������������� ���� ������������!��������

��������������!��������������������� �#����������� �����������������$��������������������������%���������������������������� ������������������� ��������������!���������������������������������������������������������������� ���� ��� � ������ ������� ��� ��� � ���� �� ������ ������ ��� ��������� ����� ���������� ��� ��� �������������������� ���� ������� �������������������� ���������� ���� ������������� ������

��� � ����� ������� �� ���

������� �� ���� &������ ����'� ��� ��� ���� � ������ �� ������ ������� ��� ��� ���� �� ���� ����$����������������� ������������� �������� � ����������� ����� � ���� �� ���� ������������(�������� �� �� �������������������������������������������������������)��*+������������������������������������������� ��������������&� ���� %�����'�

����� ���� ��������������������������� ����������� ������������� ����������������� � ������� ���� ���������������� ������ ���������� ������*+,�

)�� �*-.�� $� � � �� ���� � ���� ������������ ���� �� � � ����� ����� ������ � ������ ���� ������� �������������

/������� ������ ��������� ������������������ ������*.0��$����������� %���� ����������� ������������������� ������ ����� �����������$� � ��/�������� ��������$�������� �� �������1�����$��� ������%�������������������(�/��2��%����3�����/������

Page 2: Fundamental Concepts - Memphis€¦ · k ˇ ˇl 7 ˇ ˇl kp qˆp ql 7 p qˆ p q ˜˜˜mn k pq∆ ˆ z ˙ p q ˙l 7 pq∆ ˆ z ˙ p q ˙ ˜˜˜m7n ˛o ˚ p q p q ˚ ˚ ! ˛ p qk0 ˜˜˜m,n

� ������������������ ������������������ �

������������*.4��$���������������������������������� ����������� ����5���� ������ ����� ��������������� ������ ������������*.06������� ����*406��������%����������� ������������� ������*47��)������� �������������������������������������������������������������������������� ������� ������ ��������� ��������������������� �����#������������� ������ ������������ �����)���*-*��8 ��������74*������������������!�������� ���� �����9� ������ �� ��%������ � ���� �� � ��� ��� ���������� �� � ��� ����� � �� �� ���������� ��������� ���������������������������� !�� ��������������� �����������������������������������������������!���$ ��� �����*.0���/���������������������������� ������ �� � � ��� ���������� $������ ��� ��� ������� ���� ������� ��� �*.,�� ������ �������� ��� :������� ���� ����� ��4+�� ��� �� �� �� ��� ;��36�� ����� ��� ��� �#���������2��%����3�����/����7<0�������*.-����������������� ������������ ������������������������������������� ����������������#� ��������� ����������� ������� ������������!����� ���������������������������� �������

�������������������������������������������������������������������������� ������������� ������������� ���������������������������������������������� ������������������������� ����������� ���� ����� ���������� ���� ����� �� ���� ��� ���� ���� ����� ���� ��� ���������� ���� ������������� ������ ������������� ����� � ����������� ���������� ����������� ����������������������� ���� ���� ������������ ����������������#�������� ��������������������=�� ���������� ����%������������������������������������������� ������ � �>���= ? ���@)=��� $��@�� $;"@A�

�>������= ? �� ������������������ ��� �>��������������������������������� �@������������������������������= ? ������%���������������������������������%�����)������������������������������������������������������� ������������������������

$����� ��������������������������������������!���������������� ���:������;��36������������� ��������� ���� �#��������������������������������� ��� ��%��������������������������������������������������� �#���������9��� �������� ������������� ������ ���

��� /����� ������������������ ��������������������� ���� �����

���� /������������������ �#������������������

����� /������������������ ��������� ����������

������������� ���� ���� �� ��� �������������� ��� ��������� �� ��� �#�����������!�������������������� �� � �������������������� �����������B

���������� ����

�� ;����� �<40

7� ;��3 �*0*

,� ;��� ���� �*�0

+� 8�� %�� �*�-

-� A����� �*�<

.� :�3��%�� �*7,

4� ������ �*+0

<� 9 ��%��� �*+�

���������� ����

*� ��� � �*+,

�0� /�� ��� �*+,

��� > �� ����� ��� �*+4

�7� =��� % �*+*

�,� �� �����������% �*-,

�+� ����� �*-,

�-� � �� �� �*--

�.� $� � ��������� ��� �*-.

Page 3: Fundamental Concepts - Memphis€¦ · k ˇ ˇl 7 ˇ ˇl kp qˆp ql 7 p qˆ p q ˜˜˜mn k pq∆ ˆ z ˙ p q ˙l 7 pq∆ ˆ z ˙ p q ˙ ˜˜˜m7n ˛o ˚ p q p q ˚ ˚ ! ˛ p qk0 ˜˜˜m,n

��� ��������������� �

��������������� �����������������

�� )������������������� ������!������������ �������� ��������������� ������!������������ ��������������������� ��������

7� $���� �#���������������������������������� ������� �������������������������� ����������������������$�������� ��������������������������#����� �������������� �������!������������#���� � ���������������������������� ����������� ������!��������������������������������������������������������������� �#������

,� �@�������� � ����� �������������������� �������������������� ������

+� �@����������������������������������#�������������������)�������������������� �#����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������9��� ������������������������������ ����������� ��������������������� ����������� �����

-� �@����%������ ������������� ������������ �����!������������������ ����������������������������������/��������������������������� ��������� �������� ���������%����������� �#������������������ �������������������������������������������������������������

.� ������� ��� ���� ����� ��� ����@����%������ �������� �#������������������������ ��������� ���

���� ������� �� ���������������� ����

�� )����������������������� �#����������������� ���#����!���������� ����� ���������������������#����!��������� ��� �������#��������������� ���������

7� $������ �������������������� ������ ������� ����������������������������������� ������������ �������

,� )���� ���� ��������������� ����������� ������������������������������������������������������������������������������������������

+� C����� ����� �� �������������� ������������������ ���� ������������ ������������������������������(������������������������� ������������������ �� � ����������������� ���� ������������ ������ �� �������������������������������

-� ���������� �� �������������������������������������� ���������������������%�������������������������������%����� ������������������

��� ���� ��� ������� ���

(��������%���!������B�&C���������������������������������������� ���������� ��� �� �5� ������ ���%���� ��������� ��� �� �� %�D'� $��� � ������ ��� ���� ������� $

���������� ����

�4� /�������� ��������$��� �*-.

�<� 8 ������ �*-*

�*� E� �� �*.7

���������� ����

70� :������ �*.,

7�� ���� �*.,

77� 2��%����3 �*.-

Page 4: Fundamental Concepts - Memphis€¦ · k ˇ ˇl 7 ˇ ˇl kp qˆp ql 7 p qˆ p q ˜˜˜mn k pq∆ ˆ z ˙ p q ˙l 7 pq∆ ˆ z ˙ p q ˙ ˜˜˜m7n ˛o ˚ p q p q ˚ ˚ ! ˛ p qk0 ˜˜˜m,n

� ������������������ ������������������ �

��������������������������������������������������������� ������� ������ �������� ��������������������� ������#������������� ������ ������������ �����9��������%���������%������������� ���� �����F������ ����������%������������������ ������ ����� ���� �������)��� � ��������������%����� �� �������� ������%������������������������� ��B

�� 9���������� ������������������������ �����D

7� )������������������ ������

,� C���������� ������������ ������������ ������������D

+� )��� �� ��������������� �������������

-� �����������������������!��������

.� /���������� �#������������������

4� )������������������ ������

<� 9����������� �� ����� ����������������� ��� ������������D

$����������� ����������������� ������������������������������������������ �������� ������ !�� ����� ��� ������ �� �� ���� �� � ����������=����������� ����� �� ���� � ����������� �� ��� ������� �������������������%���������������������������� �������� ������� ������������%����� ��= ? ���A8(;��=) ����:�G" ��=� $;�=����������� 5���������� ����� ����������� ������������ ��������� ���� ���� �������� ���������

> 5� ����� ������������ ������������������������������ �� ����������� ��� �������������������������$������������������������� ���� ���� ���������������������������� ������������ ��������������������� ������� ������������������ ��3����������������� ������ ������������������ ������� ��������� ���������

������������%������������ ���!����������%��&������������������������������� ��� ����D'��&������������������������ ��������������D'��&��������������������� ���������������D66�����$�� � ����� �� ���������������������� ���� �����������3���)������� ����������������� ��������������������������� �������������: ���������� 5� �������������������������������������� �H�������������������H������������ ����� �� ���H� ��������������������������� ����

$�����5� ����� ������������� �� �������� ������� ��������������������������������������� ������������������� �� ����� � �������������������� ��������� ������ �������$�������� ����� ���������� ���������� ��������%����

�������� )������������������#��� ������ �����,�����������������,� ��������������-00����������������������������������,000������������������� �����������,000��������������$����������������������������������������������� ����������%��(������ ��������� ����������� ����� �� ������������������������������ ���� ��������������������������������������������� ���������� �������: �������������� ����������#� ���� ��������������������������� �������H����I���� �� �������� � ����������H������ ������� � �������������� ������

$����� ��������%����= ? �������������������������#������������ ��9�������������� ���������� ������������%������������������%��������������

Page 5: Fundamental Concepts - Memphis€¦ · k ˇ ˇl 7 ˇ ˇl kp qˆp ql 7 p qˆ p q ˜˜˜mn k pq∆ ˆ z ˙ p q ˙l 7 pq∆ ˆ z ˙ p q ˙ ˜˜˜m7n ˛o ˚ p q p q ˚ ˚ ! ˛ p qk0 ˜˜˜m,n

��� ��������������� �

��� ���� ������ �� ���������

$���������������������� ���������� ����������������������� ������������������ ��������� �������� �����)����������� ���������������������������������� ������ ����� ���� ���������� ����$�������������������������� ������������������������������C��������������� ��������������������� ��������������������������������� ��� ������ �����������)�� ������ ���� �������������������� ��� ���������������� �����������

:������������������������ ������������ ������� ���� ��������������������������������!��������� ����������H��������� �������������������� ������� ������������������ ����������������������� ������ ������ �� ������������������ �������� ������� ����� ����$�������������������������������������������� ��������� ��������������������� ������� ����� ����������������� ����� ���������� ���

$�� �� �������� ���������������� ����������������������� ������� �������������������������� � �������� ������������������������� ��� ��

����������� ��� �� �������������$������������ �� ����������������������� ����� ��

�������� �� �!"#$#%�#"&

)�������������������������������������������� ���� ������� �B�������� ��������� ������ ����� �������� ����� �������� �������������������� �������������� ����$�������������� ��� ��� ��������������� ��������������� ������������������� ��������������� ����$���� ���� �#� �������J�� ��� ��������������������6�� ��������������� ���� ���� ����� ������������� ��� �#�������������������� ���

�� ������� �������� ����� ��������������� ��������� ������ ����$��������� ������ ������������� ������������ �����$����� ������������ ����� ��� ������������������ ��� ��������������������� ����� ����������� ���� �����������3���������� �� ��������� �����)��� ��� ������ ������ ���� �#� ������ ���������������������� ���� ������������ ����$��� ���������#� �������J�� ��� �������� ����� �����������6��9�� ��������� ��� �� ����������� ���������� ���������� ���# ����������!������������������ ���������� �#�������������� ������ ����� �������� ������6����� ����������� �������������������� ������������������������������� ��������� ������� ���������� ������������������������������ ������������ ����������� ������������������������������)������� ������������ �� ������������������������������ �������

���$#&#���' ��(#�#�#)�� �� ���"$�� #� �$���#*#�'

������ ��� !" � ����"� $���������������� ���������� �������� �������������� ������������������������������������������ ���

� �������K�A���

/ ���5�������� � ��K�

� �

��� �

=7

������ ��� #" $����� ������������� �������������� ����"� /������������� ����������������� ������������������������������������ ��� ����

� �������� ����K�/��� �� ����

( ������ �����K�

� � ����

� � ����

Page 6: Fundamental Concepts - Memphis€¦ · k ˇ ˇl 7 ˇ ˇl kp qˆp ql 7 p qˆ p q ˜˜˜mn k pq∆ ˆ z ˙ p q ˙l 7 pq∆ ˆ z ˙ p q ˙ ˜˜˜m7n ˛o ˚ p q p q ˚ ˚ ! ˛ p qk0 ˜˜˜m,n

� ������������������ ������������������ �

������ ��� %" &� ����� ���������������� ����"� )���������������� ������������������� ��������������� ����������������

A�� ����� ����K�/��� �� �����

( ������ ����� �K�

��

������ ��� '" ������ ���� ����"� )���������������� �������������������������� ������������

E����� ����� ����K�/��� �� �����

( ������ ������K�

���

������ ��� (" )������*��� ��"� )������� ����������� ����� ����������� ��� ����

>������6�� �����K�A�� �� �� ���

A��� �� ���

������ ��� +" ,���"� �������������� ������������ ��������������������� �������������������������������

������ ��� -" ����./�����.����� �"� ����������!��������������� ������������$����������������������������������������������������������� ������������������������������������������

������ ��� 0" )�� ����"� �������������������������������������������� ������( ������ ������� �� ������������������������������������������

������E ������������������������������ ����������� ���������� ������������������������������������� ����������������������� ��� ��� ���������������������� ������������� �����

������ ��� 1" ����������� "� $� ����������� ��� ��������� �� ����� ��� �� ����� ��� �������������)������������������������ ������

������ ��� !2" � ��������3�"� C������� ����� �������������������������������������������� ����(�� ������������������� ����������� ������������@� ������� �������������� ����� ���������������%���� ������� ���������������$�� ������ �����������&�� ���� ��'�

������ ��� !!" 4���"� �� �� �� ������� ��� �� �� ����� ��� ����� ��� ����� %���� �� ������ ��������������������� �������������� �������������������������������� ��

������ ��� !#" 4�������"B C�� ����� ���������� ������������������������������� %�����������������

C� %���� K��� ����@�����������

K����

��� )������������ ������������ ���������������� %����������������������

���� )������������ �������������� ���������������� ����������� ����������� %��������������������

Page 7: Fundamental Concepts - Memphis€¦ · k ˇ ˇl 7 ˇ ˇl kp qˆp ql 7 p qˆ p q ˜˜˜mn k pq∆ ˆ z ˙ p q ˙l 7 pq∆ ˆ z ˙ p q ˙ ˜˜˜m7n ˛o ˚ p q p q ˚ ˚ ! ˛ p qk0 ˜˜˜m,n

��� ��������������� �

�������� �� ������� ���������� �������������������������� ���� ������� ���� ���������������������������� ����� ����������

������� %���� K��L����L���

�#+� ���

�#+� ��� ������������� �����

C�%��� � K��

∆�

������������� ������������� ������� ���� ������� ���������� ������

C� %���� K� ����

�z �K�����

� �

�zK��

7��� ���M�N

K���� ����� �����������������

�!������ � �����#� ������ %

� �#� ������ % K�L�

7���

������ ��� !%" 5� ���������"� �)�������� ����������� �������������������7������� ������� ��� ��������!���������#� ������ �������� �����������������������������#� ������ ���:�������������������$��� ����������� ����������������������������������� ����$��������������������� ������������������� ���������������������9������ %�����������

dXX

O

S = xP

P

Page 8: Fundamental Concepts - Memphis€¦ · k ˇ ˇl 7 ˇ ˇl kp qˆp ql 7 p qˆ p q ˜˜˜mn k pq∆ ˆ z ˙ p q ˙l 7 pq∆ ˆ z ˙ p q ˙ ˜˜˜m7n ˛o ˚ p q p q ˚ ˚ ! ˛ p qk0 ˜˜˜m,n

� ������������������ ������������������ �

� �)�� ������ %�K�I��

7��� ���M7N

������ ��� !'" � ��������3���� ������� ����"� � ����� ���������� %���������� ��� ��)��������������� ������

� K��

��

7

7�

FHG

IKJ

� � K��� ��� ��

� K������������ �������

� K�������������������� ���

������ ��� !(" �����.� �� "� ������� ����F����������� ������� �������������� ���� � ��������� �������� �3�������� ����������$�� �������� ����������������������

������ ��� !+" 5�� ������� �����"� ��� ������������������ �� ������������� �������

������ ��� !-" $���� ����� �� �����"� ������ �������� ����� ������� ���� ������������� �� ����������� ����� ����������� � �������� �� �������� �����������

������ ��� !0" 6� �� �����"� )������� �������� �� ���������������������� ������������������ ��� �����

������ ��� !1" � ��� ���"� � ���� � ��� ������ ��� ��� ��������� ��� ������ ��������� ��������������������� ����F�����������������������������������,�

$���� ������������ �������� ���� ����������������� �������������������������� ���� �������������������,�������������������������� �F������� �%��������� ���������������� ����������������!������ �����

�#+� ��� �� ��

������ ��� #2" ��3���� �� ������� 78�������9�� �������� ��:"� $�� � � �� ���� � �������������� ��������������������������������!���������������������������

�� ���� �������������������,����� ����� �������-��$�����������������%���������� ������� ��������$��� ���� ���������������������#������ ��������������������������������� �������� $� ��� ������� �������� ������������� ��������� ���O� � �� ������ $�� � �����������%��������=������� ������ ����

Page 9: Fundamental Concepts - Memphis€¦ · k ˇ ˇl 7 ˇ ˇl kp qˆp ql 7 p qˆ p q ˜˜˜mn k pq∆ ˆ z ˙ p q ˙l 7 pq∆ ˆ z ˙ p q ˙ ˜˜˜m7n ˛o ˚ p q p q ˚ ˚ ! ˛ p qk0 ˜˜˜m,n

��� ��������������� �

����������������

$�� ���� �������� ���������#� ���������� ���������������������� �� ������� �������������:������������ ��� ��� ������ ��� �� ���� ������������ ����� ����������� �������� ���������������

�����������

/����� ����� ���� ����!����� ������� ��������������� ���P�Q���������� ���������� ����� � ���������� ���3���������������� �������P�Q��/����� ������� ������������������������ ��������� ���������)�������������� %������������ ���P�Q���������������P�Q������#� ������ %������������ ���P�Q����������������P�Q���������+�����!����������� ����� ������� ��������� ���� ��� ���������� ����

�#+� ��� ��� � ������� ������ �� ��������������������������������

�#+� ��, ����������������������� ���������������� � ���

$��� ���� ����������������-������������������������������� �������P�Q�� ������ ������ �������� ����!����� ����������#� ����������P�Q��������� �����P�Q�� ���������������������������P�Q�

=������������������� ������������� ���� ��� ��������� ����������������������P��Q������ ���P��Q�� ��������������������

@�� ��� ������ �� ������� ��� ������������ ���� �� ��� � � ����� �� ������ ��� �� %���������� ���� %���� ����� ���������������� ��� ���

$��������� ���������������������������%������ ���� �� ���!����� ���������������������$���� ����������������� %���������� ����� ������� ���������� �������� ������������ ��������������������.��������������������������������������.�������������������������������.���������������

Q1

q1

q2

{0}

{ }E�

Q2

Incremental Position B

Q1 + �Q1

q1

�q1

Q2 2+ �Q

q2

�q2

Initial Position A

Page 10: Fundamental Concepts - Memphis€¦ · k ˇ ˇl 7 ˇ ˇl kp qˆp ql 7 p qˆ p q ˜˜˜mn k pq∆ ˆ z ˙ p q ˙l 7 pq∆ ˆ z ˙ p q ˙ ˜˜˜m7n ˛o ˚ p q p q ˚ ˚ ! ˛ p qk0 ˜˜˜m,n

������������������ ������������������ �

�#+� ��-.%/

�� K���������L��

7�����������L��� �� � �� ��

)����� �#��� �

�� K�P��Q��P�Q�L��

7�P��Q��P��Q ���M�N

����� �������������� �������

�� K� P Q∆ � �

�z �P�Q����L��

7� P Q∆ � �

�z �P��Q��� ���M7N

;��������������� ����������� ��������� ���� � ������ ��O��������������������������P�Q�����P�Q� ����������������������� �������� �������������������������!����������������

P��Q K�0 ���M,N

P��Q K�0 ���M+N

)��������������������������������� ����� ������������� ���������� ���� � ���������� �������������)����������������������������� 5����������������������������� ���� ���������������������������� � ������������������� �������

$��#� ������������������������������������������ �������� �������� ��� ������� ���������������� ��������"�� ������������������� ����$���� ���������������������K�M���N���������������� �������������������������������

��K�M�������N� ���M�N

�#+� ��-.�/ �������������

�W

B

�W*

Q

W*

W

W- workW*-complementary work

�Q

A

q

U- strain energyU*-complementary

energy

�U*

U*

U

�U

��

��

(i) (ii)

�q

�Q

�W

�q

A

B

Q

��

�U

A

B

��

(i) Incremental work (ii) Incremental strain energy

Page 11: Fundamental Concepts - Memphis€¦ · k ˇ ˇl 7 ˇ ˇl kp qˆp ql 7 p qˆ p q ˜˜˜mn k pq∆ ˆ z ˙ p q ˙l 7 pq∆ ˆ z ˙ p q ˙ ˜˜˜m7n ˛o ˚ p q p q ˚ ˚ ! ˛ p qk0 ˜˜˜m,n

��� ���������������

$�#� ������������ ������ �� �������������������������� ������������������������������� �����������F������������� ��������� ������ ��!����������

!�K�

!

!

!

L

NMMM

O

QPPP�K�M !��!��!�N

� ���M7N

� �!���!���!��� ���������������������������� �������� ����������$��� %������������� ���������#� ������

C� %�����K� � ! ���

z ���M,N

$��� ����� ���������������#� ������

��K�

L

NMMM

O

QPPP�K�M��������N

� ���M+N

� ���"���"����� ���� �������������������������������� ������� ����������$��� %����������� ���������

C� %�����K� � � ���

z ���M-N

���#� ��������������������������������� � ������������� �������������������4��

��K�M����������N� ���M.N

�#+� ��0.�/

{ }P

{ }P 1

bz

by

bx

w

u

i

i

u = 0

Su

yo

z

x

y �z

�zx

�x

�y

�xy

�yz

y

y

y

b = f dV

b =

=

x x

y y

z z

f dV

b f dV{ }

Page 12: Fundamental Concepts - Memphis€¦ · k ˇ ˇl 7 ˇ ˇl kp qˆp ql 7 p qˆ p q ˜˜˜mn k pq∆ ˆ z ˙ p q ˙l 7 pq∆ ˆ z ˙ p q ˙ ˜˜˜m7n ˛o ˚ p q p q ˚ ˚ ! ˛ p qk0 ˜˜˜m,n

� ������������������ ������������������ �

$� ����� ��� �� ��� ��� ��� ������� ������ ��� �� ������ ����� ��� ������ ��� � ��� ��� ��#��������������� ����#� ������������� ��� ����B

��K�P�Q�K�M�����������������N ���M4N

� ���"���"���"�� ��� ������ ����������"���"����� ��� ��� �����$��� ������������������!����� ������������������������� ���������������������������� ������!����� ��������������������B����K�������������������4���

C �����B�� ��K�0H�� ��K�0H�� ��K�0���������!����� ����!�������

��

��

����

���

���

��

��

��

����

R

S

|||

T

|||

U

V

|||

W

|||

� �� ���

�� � ���

�� �� ��

� � �!

� � �!

� � �!

0

0

0

���M<N

�#+� ��0.%/ �� ������ ����������������� �������� �����

� �x xx

xdx� � �

��

� �zx zxzx

zdz� �

��

� � �z zz

zdz� � �

��

��x

� �yz yz

yz

ydy� � �

��

� �y

y

yy

dy���

�� �

� �xy

xy

xyx

dx���

�� �

� �yx

yx

yzy

dy���

�� �

�z

z

y

x

A�ydz

A

dy

� �xz xzxz

xdx� � �

��

dx

� ���

��zy

zy

zdz�zy

Page 13: Fundamental Concepts - Memphis€¦ · k ˇ ˇl 7 ˇ ˇl kp qˆp ql 7 p qˆ p q ˜˜˜mn k pq∆ ˆ z ˙ p q ˙l 7 pq∆ ˆ z ˙ p q ˙ ˜˜˜m7n ˛o ˚ p q p q ˚ ˚ ! ˛ p qk0 ˜˜˜m,n

��� ��������������� �

��3����/�� �����C����������������������������������������� �� ����

���� ������ ��������������������� ������������H�� �� ��������� ���������� ������������������� � ��� �������������������<������������������������������� ���������� ���������������������������������� ���������������������������������������� �������������������������� ����$��#����������� � ������������� ��������� ������ ������������������������������������� �������� �����5�#�������������������������������� ����������5�#��������������������������5�� �����������������$����������� ��������������������������� ������ ������������������������ ���%����������������� ��������������� �������#��������������� �������������������������������� ������������� ����������#����$��������������������������� ����������������������������� ����������� � ����#���������������� ������������� ������ ����������������������� � ������������ ����������������������������<����� ���������������������������������� ��������������������������������������������������� ������� �������������������������� ������M��������<�����������N��� ������������<������������� ������ � �� ���������������� ������ ��R��������������������#���������������� ��� ��B��� ����������������������� ��� � �������%����������� �K��� ����K�����������K�����$ �� �������� ������ ��������������������� ������������#�!������������ ������������������������ ����������������,����������� ����� $ �� � ���� �������������� ��������������������� ���� ������������������ ���� ����������� ������ �� ������������ ��� ��������� ��� !�������� ��� !����� ������������������������������������������� ������������������������������������ ����������������������)�������������������� ������������� ��������������

����� � K�0������� ���M�N

�#+� ��1.�/ ���������������

�xy

y

dx C

Ax

z

B

�xz

�y

�yx

�yz

�z

�zx

�zy

�xz

dy

�xy

�x

Odz

�xy

Page 14: Fundamental Concepts - Memphis€¦ · k ˇ ˇl 7 ˇ ˇl kp qˆp ql 7 p qˆ p q ˜˜˜mn k pq∆ ˆ z ˙ p q ˙l 7 pq∆ ˆ z ˙ p q ˙ ˜˜˜m7n ˛o ˚ p q p q ˚ ˚ ! ˛ p qk0 ˜˜˜m,n

� ������������������ ������������������ �

��%$� ���

���� ������� ������� ��������������� �����

� �� ��+ ������!�

∂∂��

���

�� ��+ ������!�

��

���

�� ��+ ������!�

∂∂��

���

� �� ��+ ������!�

��

���

�� ��+ �����!�

��

���

�� ��+ ������!�

��

���

� �� ��+ ������!�

∂∂��

���

�� ��+ ������!�

∂∂��

���

�� ��+ ������!�

��

���

������� �� "�������� ���

����� ������������������

�������� ���� "� �� ����

����������� �����������

� ���"����� ��� ���

������� ���#��� ���

����$�%����&��$�'$()

�#+� ��1.%/ �#+� ��1.*/

z

�yx

�xz

�xy

�yz

y�y

�z

�x

x

�zx

�zy

x

�xz

��

xz

��

x

��

y

��

xy

��

zx

��

yz��

zx

��

zy

��

z

z

y

Page 15: Fundamental Concepts - Memphis€¦ · k ˇ ˇl 7 ˇ ˇl kp qˆp ql 7 p qˆ p q ˜˜˜mn k pq∆ ˆ z ˙ p q ˙l 7 pq∆ ˆ z ˙ p q ˙ ˜˜˜m7n ˛o ˚ p q p q ˚ ˚ ! ˛ p qk0 ˜˜˜m,n

��� ��������������� �

A����������� ���!����� ����������� ���������� �� ���������:/@�����������������0� �#���#������#$�� ��� ������������������������ �������#��� ����������������K�� ������$������������� ����

)��%�K�M%���%���%�N������������ ��� ������ �������� ����������

�#+� ��2

z

y

x

dz

dx

dy

Z

Y

X

�#+� ���3 *������������� ������� ����

z

dA

C

�x

n = [ , , ]n Tx n ny z

n dAxTy

Tz

n dAy

A

x

Tx �xz

�xy

D

n dAz

yB

Page 16: Fundamental Concepts - Memphis€¦ · k ˇ ˇl 7 ˇ ˇl kp qˆp ql 7 p qˆ p q ˜˜˜mn k pq∆ ˆ z ˙ p q ˙l 7 pq∆ ˆ z ˙ p q ˙ ˜˜˜m7n ˛o ˚ p q p q ˚ ˚ ! ˛ p qk0 ˜˜˜m,n

� ������������������ ������������������ �

� �

� �

��� � �

�#$ % ��

�#$ % ��

�#� % ��

===

RS|

T|

UV|

W|���M7N

)��!����� �������������� ��#���� �����������

� � �� � �� � �

�� � � � �� � �

�� � �� � � � �

% % % �

% % % �

% % % �

+ + =+ + =+ + =

RS|

T|

UV|

W|���M,N

$������������M�N��M7N�����M,N���������������������������� ��� $��� ���� ��������� �������

����#�4�#�5$�*�&��� ��$��#)��

$� ������������������������������ �����������������������������������������������������

��K�M�������������������������N� ���M�N

� ����������������� ��� ������ �������������������������� ������� ������ ��� ��������� ����������������� ���������������I���������� ���������� ���������������������

����������������� �������� �����������

� K�∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

+∂∂

∂∂

+∂∂

∂∂

+∂∂

LNM

OQP

� � � � � ���M7N

� ����� ������������������������������ ��������B

�� K�∂∂�

��L�

7�

∂∂

FHG

IKJ +

∂∂

FHG

IKJ +

∂∂

FHG

IKJ

L

NMM

O

QPP

7 7 7

�� K�∂∂�

��L�

7�

∂∂

FHG

IKJ +

∂∂

FHG

IKJ +

∂∂

FHG

IKJ

L

NMM

O

QPP

7 7 7

�� K�∂∂�

��L�

7�

��

FHG

IKJ �

��

FHG

IKJ �

��

FHG

IKJ

L

NMM

O

QPP

� � �

���M,N

��� K�∂∂�

��L�

∂∂�

��L�

∂∂

∂∂

��L�

∂∂

∂∂

��L�

∂∂

∂∂

��� K�∂∂�

��L�

∂∂�

��L�

∂∂

∂∂

��L�

∂∂

∂∂

��L�

∂∂

∂∂

Page 17: Fundamental Concepts - Memphis€¦ · k ˇ ˇl 7 ˇ ˇl kp qˆp ql 7 p qˆ p q ˜˜˜mn k pq∆ ˆ z ˙ p q ˙l 7 pq∆ ˆ z ˙ p q ˙ ˜˜˜m7n ˛o ˚ p q p q ˚ ˚ ! ˛ p qk0 ˜˜˜m,n

��� ��������������� �

��� K�∂∂�

��L�

∂∂�

��L�

∂∂

∂∂

��L�

∂∂

∂∂

��L�

∂∂

∂∂

�� K�∂∂�

�H�����K�

∂∂�

��L�

∂∂�

�� K�∂∂�

�H�����K�

∂∂�

��L�

∂∂�

����M+N

�� K�∂∂�

�H�����K�

∂∂�

��L�

∂∂�

������4����#� ��$��#)��

$��������������� ��� ��������������� ��������� ���������������;�� ��9��%�����.4<�#� ���������� ���������%�������������*�&�����������������JJ�������������������������� ����������������� ������������������� ������ ��� �������������������� �'�

)������������������������������������������ ��������������K�&���� �&���������������������������� �� ������������ �����$����������&�������������������������������� ?����6�����������

U

V

||||

W

||||

�#+� ���� ������������������������

����������������� ���

$�������������!���������� ������� ������������������� ������������� ��������������� ����������������� ���3��9��%6�������)��������� �

� ��K�$�'(��'( ���M�N

� �$�'(�� ���� ��)���%�)�%)���������!��M�N������<���������������������$�'(���������� ������ �� ��%��$������!����������������� ���������� �������� ��������������� !�� ��������������� �������������� ���������������������������9��� ������������� ���������� ��������� �������� �� �� ��������,.��������������������������������������9��%6������������ �������

dy

u

v

dxO

B

A

yB

O A

C

v + dx�y

x�

u + dy�

u

y

x

Page 18: Fundamental Concepts - Memphis€¦ · k ˇ ˇl 7 ˇ ˇl kp qˆp ql 7 p qˆ p q ˜˜˜mn k pq∆ ˆ z ˙ p q ˙l 7 pq∆ ˆ z ˙ p q ˙ ˜˜˜m7n ˛o ˚ p q p q ˚ ˚ ! ˛ p qk0 ˜˜˜m,n

� ������������������ ������������������ �

��� K�/������L�/�7�77�L�/�,�,,�L�/�+�7,�L�/�-�,��L�/�.��7

�77 K�/7�����L�/77�77�L�/7,�,,�L�/7+�7,�L�/7-�,��L�/7.��7

�,, K�/,�����L�/,7�77�L�/,,�,,�L�/,+�7,�L�/,-�,��L�/,.��7 ���M7N

�7, K�/+�����L�/+7�77�L�/+,�,,�L�/++�7,�L�/+-�,��L�/+.��7

�,� K�/-�����L�/-7�77�L�/-,�,,�L�/-+�7,�L�/--�,��L�/-.��7

�7� K�/.�����L�/.7�77�L�/.,�,,�L�/.+�7,�L�/.-�,��L�/..��7

����������� �������

� K�$���� �����K����7��,��+��-��.� ���M,N

$���������������� ���������

��� K���H��77�K��7H��,,�K��,H����K��� ��+H��,��K����,�K��-H���7�K��7��K���. ���M+N

���

��� K���H��77�K��7H��,,�K��,H�7�7,��K�7�,7� �+H�7�,��K�7��,�K��-H�7��7�K�7�7��K��. ���M-N

��� � � �/��� ���� $����������!��������M7N�������� ����������� �#��� ����� ������� �������������� ��������������������� ����

� �

� �

��

R

S

||||

T

||||

U

V

||||

W

||||

K�

� � �

� � �

� � �

�� �7 �.

7� 77 7.

.� .7 ..

���

���

��� ��� ���

��� ��� ���

��� ��� ���

���

L

N

MMMMMMMM

O

Q

PPPPPPPP

��

��

��

R

S

||||

T

||||

U

V

||||

W

||||

� P�Q K�M$N�P�Q ���M�N

� �M$N��������������������������� �#������������ �� ��������� ��� ��������������

��

��

��

R

S

||||

T

||||

U

V

||||

W

||||

K�

� � �

� � �

� � �

�� �7 �.

7� 77 7.

.� .7 ..

���

���

��� ��� ���

��� ��� ���

��� ��� ���

���

L

N

MMMMMMMM

O

Q

PPPPPPPP

� �

� �

��

R

S

||||

T

||||

U

V

||||

W

||||

$����� ���9��%6��������� ����� ����������� ��������������� ��I�� ���� �������������� ������������������ �������� �������������������������

U

V

||||

W

||||

U

V

||||

W

||||

Page 19: Fundamental Concepts - Memphis€¦ · k ˇ ˇl 7 ˇ ˇl kp qˆp ql 7 p qˆ p q ˜˜˜mn k pq∆ ˆ z ˙ p q ˙l 7 pq∆ ˆ z ˙ p q ˙ ˜˜˜m7n ˛o ˚ p q p q ˚ ˚ ! ˛ p qk0 ˜˜˜m,n

��� ��������������� �

�� K���

&�I�

� ��

&�I�

� � �

&

�� K���

&�

� ��

&�I�

� � �

&���M�N

�� K�� �

&�I�

� ��

&�I�

� � �

&

� ���������������� ����� ��� ������=�������� ������ ������ B

��� K� ��*

��� K���*

��� K���*

=��� * K�&

7 �� �+ ����M7N

� �������>������6�� ������������� ���

&������?����6����������������������

*�������� ���������������������

� ���M�N������

���L����L����K�� �� �� �

������L����L����� �� ���9��%6������ ���M,N

�������������� �����L��������������������!�������M�N������

� K�#�� ���M+N

� � K�

� �

R

S||

T||

U

V||

W||� M�����������N

��� # K��

� � � �� � �� �� ��

� � � �

� � � �

� � � �

� � � �� � �

� � � � �� �

� � � � � ��

L

N

MMMMMMMM

O

Q

PPPPPPPP

� � �

� � �

� � �

���M-N

U

V

||||

W

||||

Page 20: Fundamental Concepts - Memphis€¦ · k ˇ ˇl 7 ˇ ˇl kp qˆp ql 7 p qˆ p q ˜˜˜mn k pq∆ ˆ z ˙ p q ˙l 7 pq∆ ˆ z ˙ p q ˙ ˜˜˜m7n ˛o ˚ p q p q ˚ ˚ ! ˛ p qk0 ˜˜˜m,n

� ������������������ ������������������ �

>� ������ �������������� ������������������� ���������%����������5�����������������$�� ������ ������������� ����������� ������ ������� � ����������K�&�������������� ��5�� ���� �����������������������9��%6�������

)����������������������������� ��� ������������������K�∂∂�

�������������������� ���I

����������� ��������$��� �������������

���K�&��H ���K�#��

� �#�+�&���?����6�����������

��, ��������� ������ ��� �6�������

$��� ���������� �� ���������� ����� ��� ������ �������������������������������)������������������������ ������� ���������� �����������������������������������������������7���������������!����� ����!��������M<N��)��������������������� ����� � ��������� ���������� ��� �� ���� � ����� ������������������� �#���������������������� ������������� ���������� �� ����������$�� ����������������������� ���������������������%������������������ ���

)6;�<;5$&�<�=8>���������� ������������������� ����������������� �������� �

$����������� ��������������� ����������������������B

��� @�����������������#� ���������

���� @�������� �������������� ���� �������� ������ ������������������������������� �������%���������� ����� ����$��������������������� ���������������������#������������ ��������������������� ���� ��������������������$���������������� �����������������8 %���� ������������������������������������

������ ������>��������� �������������������������������� %����������������������� ����� ������������� �������������������� ��������������������������������� ���������������������������������������������������� ����� ��������������� %������������,��

$����������� ��������#� �������������

�, K��A������@����������� ���3 �����������������

K�I��� ���M�N

� ���3 ������������������ ������������K�0��9��������������������� �������

��K���L��� ���M7N

� ���������� ����� �����,����������������������������������� ��� %������������$��� ���� ������������� ����� ���� ������������������������� ������� ������������������������

���K��

7��$�� � ������� ���K���K�

7� ��

���z

����������������������������������� ��� %�������������������������,��

Page 21: Fundamental Concepts - Memphis€¦ · k ˇ ˇl 7 ˇ ˇl kp qˆp ql 7 p qˆ p q ˜˜˜mn k pq∆ ˆ z ˙ p q ˙l 7 pq∆ ˆ z ˙ p q ˙ ˜˜˜m7n ˛o ˚ p q p q ˚ ˚ ! ˛ p qk0 ˜˜˜m,n

��� ��������������� �

�,�K�I � ! ���

�z �I� � � ���

��z �I� � �

∑ ���M,N

9�������������������������

��K��

7� � ���

��z �I� � ! ���

�z �I� � � ���

�z �I� � ��

∑ ���M+N

)����������/�� �������� ����� ������������������������!�������� %���������������������� %������������������������������

$������������������ �������������� �������������������������� ���������$���� ����� ������������ ��������� ������ ������������ ��� %�

� ��������3�� ������ ������������ ��������3�$��� ������������������������������ ����������������������������'��������� ������� �

� ������������������9 ���� ������������������ ��� ���� ���

)��#����������������������� ��������� ������ ��������� ������

��K��

7

FHG

IKJ%�@

7

)�����������#� ��������������� ����� ������#� ���������������B

��K��

7z ��7���

& -

��� �������� ��K�&-

7�

� �

��

7

7

7LNMM

OQPPz ��

)� �� ���������� �� ���������������� ��������� �������������������� �� ���� %���� #������������������ �������� �����������7������ ���������������������������������� � ��������

A�������������� ����������� ���������� ���������������3 ���C������ ��������� ��������������#������������������������������������������������������������������������ %�=��������������������� ������������������

>���������� � K�0�I��L�����L�#�

K�I��#

�#+� ���� +�����������������

P

A

BD

Page 22: Fundamental Concepts - Memphis€¦ · k ˇ ˇl 7 ˇ ˇl kp qˆp ql 7 p qˆ p q ˜˜˜mn k pq∆ ˆ z ˙ p q ˙l 7 pq∆ ˆ z ˙ p q ˙ ˜˜˜m7n ˛o ˚ p q p q ˚ ˚ ! ˛ p qk0 ˜˜˜m,n

�� ������������������ ������������������ �

C�������������������B

��� :����� ������������������ ������������ �������9����L�����������������������������

���� C�� �� �� �������� ��� ����� ������� ��� ����9��� �I�� ����� ��� ������� ��� ����������

�)����#�$ ����+' �"�*�#)�

$����������� �������������������������!������

��K���L��� ���M�N

� ���������� ����� ����������� ���������,�������� %����������

$����� ������������ �����������������,�

�#+� ����

� K��

7 7'#

�, K�I��#

� K��

7 7'#�I�

7�#���M7N

$�>��������������� ��� ��������������������������,������

� K��

7

7�7

77' # ' #

+ ��;@ ���M,N

�!��������M�N�����M7N�� ������������������������������������#�

9�������� ����������������� ������������

D

R

RD

k2

k1

(a) Single spring (b) Springs in parallel with same displacement

Page 23: Fundamental Concepts - Memphis€¦ · k ˇ ˇl 7 ˇ ˇl kp qˆp ql 7 p qˆ p q ˜˜˜mn k pq∆ ˆ z ˙ p q ˙l 7 pq∆ ˆ z ˙ p q ˙ ˜˜˜m7n ˛o ˚ p q p q ˚ ˚ ! ˛ p qk0 ˜˜˜m,n

��� ��������������� ��

)� �� �������3����� �����

A����������� ������������� ����� �����������������������+�����B

��K���L��,

�#+� ����

� K�&- � �

��

7

7

7

7

0

LNMM

OQPPz ��

�, K�

0

z �����

� � K�&- � �

����

7

7

7

7

0

FHG

IKJ

−L

NMM

O

QPPz ��� ���M�N

�����K���L��,�

M�N����%���������������������

����� ������������������������������� ������������������������������ ����� ����������� �� ����������� ��������������������������������������������������� ������ ����� ����

����/� �����)����������� � ������)� �� �������3�)�����%������������ ������������ ������� %����������������������������������!��������B

��� �!����� ���������B

����� �����,

��� ������ ���M�N

���� ������������� ������������������������������K�0

�#+� ���, ��������������������

O

Q

PPPP

UVW

y

x

q kN/m

U0 �

��=U0

Page 24: Fundamental Concepts - Memphis€¦ · k ˇ ˇl 7 ˇ ˇl kp qˆp ql 7 p qˆ p q ˜˜˜mn k pq∆ ˆ z ˙ p q ˙l 7 pq∆ ˆ z ˙ p q ˙ ˜˜˜m7n ˛o ˚ p q p q ˚ ˚ ! ˛ p qk0 ˜˜˜m,n

�� ������������������ ������������������ �

���� �������������������������������K� � �������������� ������������ ����������������� ������������ ������������������ ������������� ������� ��������������������������� �������

)�������!���� ����� �����������&�0����'������������������� ���������� ������������ �������������������������� �������� ���

��K� � � ��

0

z ���M7N

� ���������������������������� ������� ��� ��������

∂∂�

��K�� ���M,N

=��������������� �����������������������"������ ��������������� �������� ����������������� ������������������������� ��������������������� ��������� �������������� ������� ������������������������������� ������� %�!������

����� ��� ��

z �K�∂∂z �

��

��

� � �K� � ��

�zK�� � ��0z

$ �� ����� ������������ ������� %������

����K� �� � ��

z �L�

� ���� ���M+N

�������������!����� ���������������� ��� ������� ������� ������������������������ ���F���������� ������������������������������ ���������

�!��M+N������������ �����������������������5���� ������#� ������ ����:����������� ��������������� �������������� �������� ����� ��������������������������������������

$����������������� ��������#� ������ ������������ �������

�, K�I� � �� � � ��� �

��

+FHGG

IKJJzz ���M-N

�������� ���������������������

EquilibriumReal

CompatibleVirtual

� �� qT

Tds � �� q FT

dv�T

�� � dvv

Page 25: Fundamental Concepts - Memphis€¦ · k ˇ ˇl 7 ˇ ˇl kp qˆp ql 7 p qˆ p q ˜˜˜mn k pq∆ ˆ z ˙ p q ˙l 7 pq∆ ˆ z ˙ p q ˙ ˜˜˜m7n ˛o ˚ p q p q ˚ ˚ ! ˛ p qk0 ˜˜˜m,n

��� ��������������� ��

���, K�I� � �� �� � � ��� �

��

+FHGG

IKJJzz ���M.N

9����!��.��4�������� �������

��� K�I���, � � ����.��,��K�0� ���M4N

@�������������������������������L��,

$����!����� �������K�0��� �> ���������� ������� ��>��������� ��

�� K�∂∂

=∑ �

%

�����K�0 ���M<N

&(�������������������������� �������������� ����������������������������������������� �����������������������������������������!����� ������%�������������������� ���������� ��'�$������

∂∂�

��K�0���������������������!����� ����

)�����������������)� �� �������3�� )����������������������������������������������������� �� ��������� ���������������������� ���� ��������������������!����� ���������������%������������������� �������������

)����������� ����������� ���� ����������.��������F����������� ���3���� �������������������������������������������L�������������������L����� � ����������������������������������� �� ���������� ������ ��� ��� �� ��������� ��� ������� ���� ��� �������� ��� ��������� �� ������������������� �� ������ �����������������$������� �������������������� ������������� ���������������������� �������

�� K������L�����I�� ���

K�∂∂

∂∑ �

��

�L�

7�

∂∂ ∂

⋅∑∑7�

� �� �

� � �

� ���� ���M�N

�� K����L��

7��7���L������

�� �!����� �������K�0��)�������������������������� ��� ��I�� ���� �������������!��� ��������� ,������������� �� � �� ���� �3 �

�#+� ���- ����������������������� ������������� � ��

Q1 + �Q1

q1

�q1

Q2 2+ �Q

q2

�q2

Initial Position A

Incremental Position B

Page 26: Fundamental Concepts - Memphis€¦ · k ˇ ˇl 7 ˇ ˇl kp qˆp ql 7 p qˆ p q ˜˜˜mn k pq∆ ˆ z ˙ p q ˙l 7 pq∆ ˆ z ˙ p q ˙ ˜˜˜m7n ˛o ˚ p q p q ˚ ˚ ! ˛ p qk0 ˜˜˜m,n

�� ������������������ ������������������ �

���K��

7�

∂∂ ∂∑∑

7�� �

� �� �

� � ���M7N

�� �� ���7����������������������������������������������#� ������ �������� ���� � ������������� ������������������

���+��

7��7���K�

7��7��, M,N

�!�������M,N���������� ����������� � !�� �������������������������������3 ������������� ��������� ������� ���������������

����� ���������������������������������������������������������������� ����������� �����#��������������� ���� �����������)��� � ���������������������������� ���� ������������� ��

�#+� ���0 ������������ ������ �������#��������������������������

q

q

q

(a) Stableequilibrium

(b) Unstableequilibrium

(c) Incipientstability

2

= 0�

2

< 0�

2

> 0�

�#+� ���1

q2

q2

q1

q1

2> 0

Stable

2

< 0�

q2

q1

2

= 0

Neutral

Page 27: Fundamental Concepts - Memphis€¦ · k ˇ ˇl 7 ˇ ˇl kp qˆp ql 7 p qˆ p q ˜˜˜mn k pq∆ ˆ z ˙ p q ˙l 7 pq∆ ˆ z ˙ p q ˙ ˜˜˜m7n ˛o ˚ p q p q ˚ ˚ ! ˛ p qk0 ˜˜˜m,n

��� ��������������� ��

�7�� S��� ���������������

�7� K�0 ����������� ���7� ?0 ����������#����

$������� ����� �� ������������4��������<�

����� �� ������� ���������� ���� ������

��K����L��,� ������

� ��������������������������,�������������������������������������*�

�#+� ���2 +�����������������#�������"�������

�����!��� ������� ��������K�0����������������������������������������������"�� � ��� ������������ ������� ��� �������� ����������� � ��������� ��� ������� ��

������������������ ���

)�����������

��� ������������������ ���� �������������������������������������������� ������� ���

��� �7��� ����������� �� ����� ������������������R�� �� ������������� ������������ ������������ ����������������������� ���

)������������� ���������� $�� ������������ ������� ���������� �������

R

S||

T||

R

S||

T||

qeq � = 0; > 0 �2

q

� = +U V

U

2U > 0

�, U, V

V

CompatibleReal

Virtual Equilibrium

�T

�� � dv � �� FT

q dv � �� qT

dsTv

������� ������������������ ����������� �������������������������

��T�K�0��� ������������������

��� T�L��T��K�0 ���M7N

Page 28: Fundamental Concepts - Memphis€¦ · k ˇ ˇl 7 ˇ ˇl kp qˆp ql 7 p qˆ p q ˜˜˜mn k pq∆ ˆ z ˙ p q ˙l 7 pq∆ ˆ z ˙ p q ˙ ˜˜˜m7n ˛o ˚ p q p q ˚ ˚ ! ˛ p qk0 ˜˜˜m,n

�� ������������������ ������������������ �

����/� ������� �� �������3� �"��� ��@������������3�!�#2�

�$���������������������� ������ ������ �����

�#+� ���3 ,����#����������������

�#+� ���� �� ����������#���� ������������

��� � K���L��,

� K�&- � �

��

7

7

7

7

0

FHG

IKJz ��

�, K�I���

� � K�&- � �

���� �

7

7

7

7

0

FHG

IKJ �z �

����/� ������� �� �������3����� ����� �"���� ���������� ��@A�� �� �������� ��� ��������������3�!�#!�

����������������������������� ������ ��������#� ������ ����������������������

���� ���B

� K���L��, ���M�N

� K��

7z �P�Q��P�Q��� ���M7N

C�%��� � K�&�

�� K�����

�)�%)� �&%��/�

� � K��&

��

70

7z � ���M,N

u1 u2

l, A, E

q

y

P

x

Page 29: Fundamental Concepts - Memphis€¦ · k ˇ ˇl 7 ˇ ˇl kp qˆp ql 7 p qˆ p q ˜˜˜mn k pq∆ ˆ z ˙ p q ˙l 7 pq∆ ˆ z ˙ p q ˙ ˜˜˜m7n ˛o ˚ p q p q ˚ ˚ ! ˛ p qk0 ˜˜˜m,n

��� ��������������� ��

:�� � K���

��

� � K��& ��

��

7

7

0

FHG

IKJz �� ���M+N

�, K�I� � �� �� �

0z

�, K�I� �� ��

0

z ���M-N

�������������!����+�������-������!�����������

� K��& ��

����

7

7

0

FHG

IKJ −

LNMM

OQPPz ���

�������� �����������>����������������� �����������������F�������������� ��������������������%=O�� �������������������77�

�)��������� ������ ���������>����#� ������ �����������������������

�#+� ���� *�,����-�� �

y

PxP

q kN/m

���� ���� ��� � K���L��� ���M�N

� K�&- � �

��

7

7

7

7

0

FHG

IKJz �� ���M7N

�, K�I�����I��� ���M,N

� K��

��

��

� FHG

IKJz ��

�������������!����7�������,������!�����������

� K�

0

� 7

7

7

7 7z FHG

IKJ − F

HGIKJ −

LNMM

OQPP

&- � �

��

� ��

���� ���

Page 30: Fundamental Concepts - Memphis€¦ · k ˇ ˇl 7 ˇ ˇl kp qˆp ql 7 p qˆ p q ˜˜˜mn k pq∆ ˆ z ˙ p q ˙l 7 pq∆ ˆ z ˙ p q ˙ ˜˜˜m7n ˛o ˚ p q p q ˚ ˚ ! ˛ p qk0 ˜˜˜m,n

� ������������������ ������������������ �

���� � ������� � ����������7,����� ����������� ������������������ �������@� �������� �������������������� ������������������7,����

�#+� ���� %�)��#���� ������ �����"��

%�)�.������������������������������ ������

� � � K����I���

K� �� ��7 7+ �I���

K���� �7 � 7

+ FHG

IKJ

LNMM

OQPP

��

��

O

�I���

�� ������������������

������%���

7 � 7

+ FHG

IKJ

LNMM

OQPP

��

��

O

K���L��

7

7��

��

FHG

IKJ

�� K���� ��

7

7

+ FHG

IKJ

LNMM

OQPP

��

���I���

� � K��

7

7��

��

FHG

IKJ �� ���M�N

$ �� ���� ������ ���������!������������� �����������������$�

dy

dx

d�

ds

ds

P x

P

y

P

l

P

(a) (b)

Page 31: Fundamental Concepts - Memphis€¦ · k ˇ ˇl 7 ˇ ˇl kp qˆp ql 7 p qˆ p q ˜˜˜mn k pq∆ ˆ z ˙ p q ˙l 7 pq∆ ˆ z ˙ p q ˙ ˜˜˜m7n ˛o ˚ p q p q ˚ ˚ ! ˛ p qk0 ˜˜˜m,n

��� ��������������� �

��K��

7

7

0

��

��

FHG

IKJz ��

�������� ���� ���7+������������������� �������������!�����������!����� ��������� ����� �����> �������������3������������������� �������������������� �����

�#+� ����

k 1 1 k 2 2 k 2 2 k 3 3 k 331 2 3

F2

F3

F1

�#+� ���,

� �

7 7 �

, , 7

== −= −

RS|

T|

UV|

W|

� �

� �

H

H

H

���M�N

$�!����� ����!��������� B

− + + =− + + =

− + =

RS|

T|

UV|

W|

' '

' '

'

� � 7 7 �

7 7 , , 7

, , ,

0

0

0

� �

� �

���M7N

� ����� �������������!�����������!��M7N������

− + − + =− − + − + =

− − + =

RS|

T|

UV|

W|

' � ' � �

' � � ' � �

' � �

� � 7 7 � �

7 7 � , , 7 7

, , 7 ,

0

0

0

� �

� � � �

� �

���M,N

� �

� �

' ' � ' �

' � ' ' � ' �

' � ' �

� 7 � 7 7 �

7 � 7 , 7 , , 7

, 7 , , ,

+ − =− + + − =

− + =

RS|

T|

UV|

W|���M+N

k1 k2 k32 31

q3q2q1

F2 F3F1

���� ���� �������������� ��A��������� 1 �� 2 ����� 3 ���������������������7-�

)�������7���,�������������������������������#������������� ��������7�����,�� B

Page 32: Fundamental Concepts - Memphis€¦ · k ˇ ˇl 7 ˇ ˇl kp qˆp ql 7 p qˆ p q ˜˜˜mn k pq∆ ˆ z ˙ p q ˙l 7 pq∆ ˆ z ˙ p q ˙ ˜˜˜m7n ˛o ˚ p q p q ˚ ˚ ! ˛ p qk0 ˜˜˜m,n

�� ������������������ ������������������ �

��� �#��� �����������M+N���

� �' ' '

' ' ' '

' '

� 7 7

7 7 , ,

, ,

7

,

0

0

+ −− + −

L

N

MMM

O

Q

PPP

RS|

T|

UV|

W|�K�

7

,

RS|

T|

UV|

W|���M-N

#" ��������������������� �

��K�

7�'���

7 �L��

7�'7�7

7 �L��

7�',�,

7 �I� ����I� 7�7�I� ,�,

K�

7�'���

7 �L��

7�'7��7�I����

7�L��

7�',��,�I��7�

7�I� ����I� 7�7�I� ,�,

�∂∂�

���K�0��

' � ' � �

' � ' � �

' ' � ' �

� � 7 7 � �

� � 7 7 � �

� 7 � 7 7 �

� 0

0

+ − − − =− − − =

+ − =

RS|

T|

UV|

W|

� � � �

� �

� �

���M.N

∂∂�

�7�K�0�� '7��7�I�����L�',��,�I��7���I���K� 7

I'7���L��'7�L�',��7�I�',�,�K� 7 ���M4N

���∂∂�

�,�K�0�� ',��,�I��7��I� ,�K�0

I',�7�L�',�,�K� ,��� �#��� ������������

� �' ' '

' ' ' '

' '

� 7 7

7 7 , ,

, ,

7

,

7

,

0

0

+ −− + −

L

N

MMM

O

Q

PPP

RS|

T|

UV|

W|=RS|

T|

UV|

W|���M<N

�!��������M-N�����M<N�� ������$�������������� ����

�������� $����������� ����� ������� �������� �������������� �����������

� K��

7� &�

��

��

0 FHG

IKJz0 ����I�7��

� �� K�� ����

/���������� ���������� �

���� ���� C���������!��� ������ ������������

� K�$��L�$7��L�$,�7 ���M�N

=���������K�0��� �0��K�0�������$��K�0����������K�7����7��K�0������

0 K�$��L�7$7�L�+$,

U

V

||||

W

||||

Page 33: Fundamental Concepts - Memphis€¦ · k ˇ ˇl 7 ˇ ˇl kp qˆp ql 7 p qˆ p q ˜˜˜mn k pq∆ ˆ z ˙ p q ˙l 7 pq∆ ˆ z ˙ p q ˙ ˜˜˜m7n ˛o ˚ p q p q ˚ ˚ ! ˛ p qk0 ˜˜˜m,n

��� ��������������� ��

��$7 K�I7�$,

��M�N������ � K�$,��I7��L��7�

���� K�I$, �������K���

���

��K�7$,��I��L����������K�

7+

0

7

,7z $ �I��L���7����I�7 �I$,�

K�7$,7 �

0

7z ���I�1��L��7�����L�7$,

K�7$,7 �

7

,

FHG

IKJ �L�7$,

�∂

∂�

$,

K�+$,�

7

,

FHG

IKJ �L�7�K�0�

��$, K�I�0�4-H

�� K�I$,�K�0�4-

9�������� ���������� �����������

� K�&���

��

K�7�I0�4-���I��L���

� � K���-���I���

��- ��������4���78� ������

$�;�����I;��3����������� ��������������������A� ��;��������<+7I�*�*������C��� ;��3���<4<I�*0*���� �������������&������������������������� ������������%�������������������

������ � ������������������!�������� �

��

7

7�K�I�

2�������� �#������������������������������ ��

���� ������ !������������� ��;�����I;��3������� ��� ��� ��� �#�������� ��������� ���������������������� �������������������$���� �#�������������������������������������� �������������� ���� �����������������

$�;�����I;��3������������;��3������� ���� ������� ����$���������������������;��3������������� � ������������ ������������� ����� ���������� �����;�����I;��3�������%���������� ������������ ����

5���� �� ����

A� - K��

3z ������� �� ��y���� ��������������� ���M�N

Page 34: Fundamental Concepts - Memphis€¦ · k ˇ ˇl 7 ˇ ˇl kp qˆp ql 7 p qˆ p q ˜˜˜mn k pq∆ ˆ z ˙ p q ˙l 7 pq∆ ˆ z ˙ p q ˙ ˜˜˜m7n ˛o ˚ p q p q ˚ ˚ ! ˛ p qk0 ˜˜˜m,n

�� ������������������ ������������������ �

/������ K� ������� �� ��4��K�I��

7

7��

��

FHG

IKJ �L��000��7� ���M7N

��!�������M�N������

- K� �000�

7

77

0

� ���

��− F

HGIKJ

FHG

IKJz �� ���M,N

M,N���#���3��� �������3��-�

)��;�����I;��3�������� �����������������������������������������B

- K��

3z ������� �� ���� ���M+N

�#�*�#5�#)� )( �9� ���9)

;�����I;��3������������������ ��� ���������� �#�����������������������������!�������� ������#��������� ������������������������������!��������

)��������������������������� �#�������������������� ����� ��������������� �������� ������ ���� ��������������������������� �#��������������������������������� #� ������������������������ ��B

� � �

� �� � � � �� �� �� �� � � � � !� �� �� � � � �� �� �" #

$

$

$

0

0

0

� � � � � � � �

� � � � � � � �

� � � � � � � �

%

(

% � �

%

% ' '

' (% (

� � � � � � � �

� � � � 3 � � �

� � � � � � � �

���M�N

� ����3�������'�� �,%����� �������������� ��� ���������������� ��������� �������)��� � ������ ������������������,%�!�������O������������ ������B�����������'�� �������������������%�������������� �������������

���������������!�����������������������#����������;��36���������������������������������)��� ������ � ��������������������������������������� ��� ��������������������������)�������� �����%��������;����������������� �������;��3��$��������������%�������;�����I;��3������

�� ��������������!����� ����������������������� ������������3��

C������ ��������������!��������M�N���

Page 35: Fundamental Concepts - Memphis€¦ · k ˇ ˇl 7 ˇ ˇl kp qˆp ql 7 p qˆ p q ˜˜˜mn k pq∆ ˆ z ˙ p q ˙l 7 pq∆ ˆ z ˙ p q ˙ ˜˜˜m7n ˛o ˚ p q p q ˚ ˚ ! ˛ p qk0 ˜˜˜m,n

��� ��������������� ��

� �

� 3

� �

%

% � �

% ' '

=

=

=

RS||

T||

UV||

W||

∑∑∑

H

H

H

���M7N

� � �

� � �

� � �

� �

� 3

� �

%

% � �

% ' '

=

=

=

RS||

T||

UV||

W||

∑∑∑

� H

���M,N

$�������� ���������#� ��������� ��������������3�������'�������� ������������ ���

� ���K�∂∂

+∂∂

+∂∂

FHG

IKJ∑ �

��

33

��

��

''� � �� � � �K�0 ���M+N

$��������,%�!����������B

∂∂�

��K�0�K�

∂∂�

3��K�

∂∂�

�'���M-N

���3�������'�������������� ������!������������� ���7.������������������ �#��������

����������B

�#+� ���- /���0��*""��1������

u2

u3

u1

u x y( , , )z

X

Z

Y

u( , , ) is the actual function, , etc. are the approximated ones depending upon definition3

x y zu u u1 2

Page 36: Fundamental Concepts - Memphis€¦ · k ˇ ˇl 7 ˇ ˇl kp qˆp ql 7 p qˆ p q ˜˜˜mn k pq∆ ˆ z ˙ p q ˙l 7 pq∆ ˆ z ˙ p q ˙ ˜˜˜m7n ˛o ˚ p q p q ˚ ˚ ! ˛ p qk0 ˜˜˜m,n

�� ������������������ ������������������ �

5���� �� ����

C�%�������

∂∂

7

7

��L�

∂∂

7

7

��L�! �������K�0 ���M�N

�����>������6��!��������)��������������������� �#������������� �B

��������K��5������� ���M7N

� ���� ����� ��� ������������������������������������K����7��,������%���5�� �����������������������O������������������������������������� ������������� ���������� �����

$���� ����������������������#� ������

���� K��

77

7 7∂∂

FHG

IKJ +

∂∂

FHG

IKJ −

L

NMM

O

QPPzz �

�! � � �� � � ����� ���M,N

)��� � �����6���������������

∂∂6

��K�0

$ �� �∂∂6

��K�

��

��

��

FHG

IKJ �

��

��

��

FHG

IKJ �

��

LNMM

OQPPzz �

� �

�! � �

� � � � � � ������K�0 ���M+N

$�!�������M+N�������%�!���������� �����%���������������� �#������������������ ���������� %�����������5�K�7

(;�∂

∂∂

∂∂∂

LNM

OQP

FHG

IKJ

LNMM

OQPPzz �

7 ��

7

��

M N � � � P Q �L�∂

∂∂

∂∂∂

LNM

OQP

FHG

IKJ�

7 ��

7

��

M N � � � P Q

I� ! � ��

7 �

� � � � M N P Q∂

∂LNM

OQP��������K�0 ���M-N

(;�∂∂

LNM

OQP

∂∂

+∂∂

LNM

OQP

FHG

IKJ

∂∂

−IKJzz z7

��

7

7

��

7

�� � 7

P Q � � � � � � � � ��������K�0 ���M.N

(;�∂∂

LNM

OQP

∂∂

+∂∂

LNM

OQP

∂∂

FHG

IKJzz 7

7

7

7

� � �������������P�Q�L zz I �!���������7�����������K�0 ���M4N

(;� M2N�P�Q�I�P Q�K�P0Q ���M<N

� M2N�K�∂∂

LNM

OQP

∂∂

+∂∂

LNM

OQP

∂∂

FHG

IKJzz 7

7

7

7

� � � ����������

P Q�K� zz ! ���������7����������