Fundación Educacional Musical de La Serena

Escuela Experimental de Música “Jorge Peña Hen”

Guía N°2 Conceptual y ejemplo de Función Inversa NM4

Instrucciones: lee el documento, luego analiza el procedimiento de cada ejercicio y trata de

replicar cada ejercicio en tu cuaderno.

¿Qué es la función inversa?

La función inversa de una función, representada por f -1, es aquella que cumple la siguiente

condición:

Es decir, que si en una función, para x=a, el valor de la función es «b», entonces en la función

inversa, para x=b, el valor de la función inversa es «a».

Por ejemplo, tenemos la siguiente función:

Si calculamos el valor de la función cuando x=1 nos da:

Por definición, entonces el valor de la función inversa cuando x=3 será de 1:

Vamos a comprobarlo.

La función inversa de las funciones anteriores (más abajo te enseño cómo calcular la

función inversa no te preocupes):

Nombre del estudiante: Curso: 4° medio A-B

Nombre del docente: Jacqueline covarrubias Farias.

Curso 4° medio A-B

Diferenciado de

matemáticas

Fecha: Lunes 11/5- miércoles 13/5

Objetivo(s): Reconocer las características de una función para que exista su inversa.

Analizar los pasos a seguir para encontrar la inversa de una función

Calculamos el valor de la función inversa cuando x=3:

Que es igual a 1, luego la condición se cumple

¿Todas las funciones tienen función inversa?

Sólo las funciones inyectivas tienen función inversa.

¿Y qué es una función inyectiva (que no te asuste el nombre)?

Pues son las funciones que a cada valor de «y», le corresponde un único valor de «x», como

por ejemplo éstas:

“Sabemos que una función es inyectiva cuando al trazar una línea horizontal en cualquier

parte de la gráfica, la línea solamente corta una vez con la función.”

Las funciones que no son inyectivas, para un valor de «y» le corresponde más de un valor de

«x», es decir, que al trazar una línea horizontal, la línea corta más de una vez a la función,

como por ejemplo:

¿Cómo podemos saber si una función es inyectiva sin ver su gráfica?

Generalmente, sabemos que una función es inyectiva, cuando el grado de la incógnita es:

1. En estos casos, la funciones serán inyectivas y por tanto tendrán funciones inversas, ya

sean funciones polinómicas, funciones racionales, irracionales exponenciales o logarítmicas.

Ninguna función periódica son funciones inyectivas, como son las funciones

trigonométricas.

Por otro lado, por ejemplo las funciones cuadráticas, aunque no sean inyectivas en todo su

dominio, si son inyectivas en parte del dominio y por tanto se puede obtener la función

inversa para esa parte del dominio. Veremos cómo hacerlo más abajo.

¿Como calcular la función inversa?

Vamos a ver ahora cómo calcular la función inversa paso a paso. Todas las funciones a las

que calcularemos su función inversa, ya que como verás el grado de la incógnita es 1.

Pasos para calcular la función inversa

Los pasos para calcular la función inversa son los siguientes:

1. A f(x) le llamamos «y»

2. Despejamos x

3. Intercambiamos la x por la «y»

4. A «y» le llamamos f -1(x)

Ejemplo 1: tenemos la siguiente función

Primero a f(x) le llamamos «y»:

Despejamos x. Para ello primero pasamos el 1 restando al miembro contrario:

Y después pasamos el 2 dividiendo:

Intercambiamos la x por la «y»:

Y finalmente a «y» le llamamos f -1(x):

La dificultad de obtener la función inversa está en la forma de despejar la x. Dependiendo

del tipo de función, la “x” se despeja con un procedimiento diferente.

Vamos a ver las más importantes.

Función inversa de una función racional

Ejemplo 2: Vamos a ver ahora cómo calcular la inversa de una función racional:

En primer lugar cambiamos f(x) por «y»:

Ahora despejamos x. En primer lugar pasamos 1+x multiplicando al primer

miembro y la «y» dividiendo al segundo miembro:

Ahora pasamos el 1 restando al segundo miembro:

Intercambiamos la x por la «y»:

Y finalmente a «y» le llamamos f -1(x):

Ejemplo 3: Vamos a ver otro ejemplo algo más complejo:

Encontrar la inversa de la siguiente funcion

A f(x) le llamamos «y»:

Para despejar la x, en primer lugar pasamos el denominador multiplicando al primer

miembro:

Multiplicamos para eliminar el paréntesis:

Pasamos los términos con x al primer miembro y el resto de términos al segundo

miembro:

Ahora, en el primer miembro, sacamos factor común a la x:

Y por último, pasamos el paréntesis dividiendo al segundo miembro:

Una vez despejada la x, intercambiamos la x por la «y»:

Y a «y» le llamamos f -1(x):

Función inversa de una función irracional

Ahora te voy a explicar cómo calcular la función inversa de una función irracional,

Ejemplo 4: Encontrar la inversa de la siguiente función

Le llamamos «y» a f(x):

Pasamos la raíz como cuadrado al miembro contrario:

Y finalmente despejamos la x:

Intercambiamos la x y la «y»:

Y llamamos f -1(x) a la «y»:

Función inversa de una función exponencial

Seguimos con el cálculo de la función inversa de una función exponencial.

Por ejemplo:

A f(x) le llamamos «y»:

Para despejar la x, tomamos logaritmos en ambos miembros. La base de estos logaritmos

debe ser la misma que la base de la función exponencial. En este caso, los logaritmos

son de base 2:

Según las propiedades de los logaritmos, el logaritmo del segundo miembro es igual

a x:

Una vez despejada la x, intercambiamos la x por la «y»:

Y llamamos f -1(x) a la «y»:

Función inversa de una función logarítmica

Vamos a ver ahora cómo calcular la función inversa de una función logarítmica.

Por ejemplo:

En primer lugar llamamos f(x) a «y»:

En este caso, para despejar la x, tenemos que aplicar de la definición de logaritmo: la base

del logaritmo pasa al miembro contrario como base de una función exponencial, con la «y»

como exponente. En el otro miembro se queda el contenido del logaritmo:

Ahora ya podemos despejar la x:

Intercambiamos la x por la «y»:

Y por último, a la «y» la llamamos f -1(x):

Calculo de la función inversa en funciones cuadráticas

Al principio de la lección dijimos que para una función tenga función inversa, la función

debe ser inyectiva. Una función cuadrática no es inyectiva, porque para un mismo valor de

«y» tenemos dos valore de x (menos en el vértice):

Por lo tanto, una función cuadrática no tiene función inversa, si consideramos todo su

dominio. Sin embargo, si sólo tomamos la mitad de la función a partir del vértice, en esa

parte del dominio, sí es inyectiva y por tanto sí tiene función inversa.

Por tanto, podemos calcular la función inversa de una función cuadrática en la parte del

dominio donde la función es inyectiva. Así que, siempre hay que indicar para qué parte del

dominio se calcula esa función inversa ( la función cuadrática tiene inversa siempre y cuando

se restrinja el dominio)

Vamos a ver cómo.

Por ejemplo:

Cambiamos f(x) por «y»:

Ahora empezamos a despejar la x. Para ello, dejamos sólo el término con x²:

Y después pasamos el cuadrado al término contrario como raíz:

Intercambiamos la x por la «y»:

Y por último, a la «y» la llamamos f -1(x):

Esta es la función inversa de la función cuadrática anterior, pero sólo para la parte que se

queda a la derecha del vértice.

El vértice de una función cuadrática es:

Que en este caso sería:

Por lo que esta función inversa es válida para los valores de x mayores o iguales que 0.

Para valores menores que 0, no se cumple la condición:

Ya que quedaría una raíz negativa.

En este caso, la función inversa existe para valores mayores o iguales a 3, ya que f(0)=3.

Para obtener la otra parte de la función, la que queda a la izquierda del vértice, la función

inversa sería la correspondiente a la parte negativa de la raíz cuadrada:

Vamos a ver ahora cómo calcular al función inversa de una función cuadrática completa:

Empezamos cambiando f(x) por «y»:

Ahora tenemos que obtener un producto notable con los dos primeros términos de

la función cuadrática.

El primer término corresponde al cuadrado del primero, donde sabemos que el

primero es x.

El segundo término debe ser el resultado de multiplicar el doble del primero por el

segundo. Para ello, dividimos el número entre 2 (en este caso 6/2=3) y el resultado lo

dejamos multiplicado por 2 para no variar el resultado:

Es decir, seguimos teniendo 6x, pero expresado como el doble del primero por el

segundo, de donde deducimos que el segundo es 3, ya que ya sabíamos que el primero

es x.

Por tanto, le añadimos el cuadrado del segundo y como se lo añadimos nosotros,

también se lo restamos, para no variar la función. Nos queda:

Ahora, los 3 primeros términos corresponden a un producto notable, en este caso

concretamente, al cuadrado de una resta, luego lo expresamos así y operamos los

dos términos restantes:

Hemos hecho todo esto para que nos quede sólo una x que podremos despejar con

facilidad. Empezamos dejando sólo el paréntesis:

Pasamos el cuadrado al miembro contrario como raíz:

Y finalmente despejamos la x pasando el 3 sumando al otro miembro:

Intercambiamos la x por al «y»:

Y a la «y» la llamamos f -1(x):

Igual que en el ejemplo anterior, esta función inversa es válida para la parte de la

función que queda a la derecha del vértice.

En este caso el vértice es:

Por lo que la función inversa es válida para los valores de x mayores o iguales que 3.

Para valores menores que 3 no existe la función inversa.

Para obtener la otra parte de la función, la que queda a la izquierda del vértice, la

función inversa sería la correspondiente a la parte negativa de la raíz cuadrada:

Propiedades de la función inversa

Ahora que ya sabes cómo calcular la función inversa de una función, vamos a ver qué

propiedades tiene.

El dominio de la función inversa es igual a la imagen de la función original:

Esta propiedad nos sirve para calcular la imagen de una función.

De igual forma, el dominio de la función original, será igual a la imagen de la función

inversa:

La función compuesta por su función original es igual a x:

Vamos a ver un ejemplo. Tenemos la siguiente función:

Cuya función inversa es:

La función compuesta de ambas funciones es:

Que operando nos da x como resultado:

La última propiedad es que las gráficas de una función y su inversa son simétricas con

respecto a la bisectriz de los cuadrantes primero y tercero.

Por ejemplo, vamos a representar en azul la función:

Y en rojo su función inversa:

Nos queda: