Plan de Continuidad Pedagógica.

Matemática / 5° año A/B / 9na. Parte/ Paes-Galinelli

Funciones Logarítmicas

Se define función logarítmica de base “a” a la función inversa de la función

exponencial de base “a”. Es decir:

F(x)= Y =logₐ b aᵞ = b con b >0; a> 0 y a≠1

Para tener en cuenta algunas observaciones….

El logaritmo de los números negativos no existe.

El logaritmo de 0 tampoco existe.

El logaritmo de un número que este entre cero y uno es negativo.

El logaritmo de 1 es cero.

El logaritmo de un número mayor a 1 es positivo.

Para graficar funciones de la forma: F(x)= log ₐ b vamos a hallar la

ordenada, la raíz y la asíntota…. Esta última la vamos a conocer ahora….

¿Qué es una asíntota?????

El concepto se utiliza en el ámbito de la geometría para nombrar a

una recta que, a medida que se prolonga de manera indefinida, tiende a

acercarse a una cierta función, aunque sin alcanzar a hallarla. Es posible

determinar cuál es la posición relativa que ocupa la función respecto a la

recta asíntota si se calculan los puntos de corte de los ejes.

Vamos a ver algunos ejemplos….

☻Ejemplo: Log ₂ (x+2)

▲Asintota ( el argumento es mayor a cero)

X+2 >0

X>-2

▲Raiz( la función se iguala a cero)

0= log ₂ (x+2) (se aplica la definición de logaritmo)

2⁰= x+2

1=x+2

1-2=x

-1=x

▲ Ordenada (la variable x toma valor cero)

Y= log₂ (0+2) (se aplica la definición)

2ᵞ = 2

Y=1

Veamos su grafica!!!!

☻Ejemplo Y= log (x+2) -5

▲ Asíntota ( el argumento es mayor a cero)

X+2>0

x>-2

▲Raiz( la función se iguala a cero)

0= log (x+2) -5 ( el -5 forma parte del resultado y hay que

pasarlo)

5= log (x+2) ( se aplica la definición)

10⁵= x+2

100000= x+2

99998=x

▲ Ordenada (la variable x toma valor cero)

Y= log (0+2) -5 (como el -5 forma parte del resultado hay que pasarlo)

Y+5= log (2) ( se aplica la definición)

10ᵞᶧ⁵= 2 ( se aplica logaritmos a ambos lados, para usar sus propiedades)

Log 10ᵞᶧ⁵= log 2

(Y+5). Log 10= log 2 ( se despeja la variable Y)

Y+5=

Y=

-5

Y= 0,301 -5

Y= -4,698

Veamos su grafica…..

☻Ejemplo Y= log (x-5)

▲ Asíntota ( el argumento es mayor a cero)

x-5>0

x>5

▲Raiz( la función se iguala a cero)

0=log (x-5)

10⁰= x-5

1= x-5

1+5=x

6=x

▲ Ordenada (la variable x toma valor cero)

Y= log (0-5)

Y= log(-5) El logaritmo de los números negativos no existe.

NO EXISTE!!!!!!!

Ahora veamos la grafica….

Repasando algunos conceptos!!!!!!

El Dominio de una función es el recorrido de dicha función respecto del eje

“x”. Se simboliza como

La Imagen de una función es el recorrido de dicha función respecto del eje

Y. Se simboliza como

El conjunto de positividad de una función es el conjunto de valores del

dominio cuyas imágenes son positivas. Se simboliza como

El conjunto de negatividad de una función es el conjunto de valores del

dominio cuyas imágenes son negativas. Se simboliza como

Manos a la obra!!!!!

ACTIVIDAD 01

Para cada u n a de las siguientes funciones logarítmicas….

a) 2( ) log 4 3h x x b) 3( ) log 1 2g x x c) 2( ) 4.log 2 6 8f x x

d) 2( ) 4.log 4F x x e) 1

2

( ) log 8 4G x x f) 2( ) 2.log 1 6H x x

…se pide:

a) Calcular el dominio de la función. Defina la ecuación de la

asíntota.

b) Hallar la raíz y la ordenada al origen. Graficar la función.

c) A partir del gráf ico, definir C y C . Indicar los intervalos de

crecimiento y de decrecimiento.

d) Definir el conjunto imagen.

ACTIVIDAD 02

En el gráf ico aparece representada la función 5

3.log 3 2 3

2g x x ; A

partir del mismo se pide:

( a ) Calcule el dominio de la

función. Indique la ecuación de la

asíntota; y márquela en el gráfico.

y g x

x

( b ) Calcule la ordenada y la raíz, y márquelas también en el dibujo.

( c ) Indique: C , 0C y C . Conjunto imagen e Intervalos de

decrecimiento y de crecimiento.

ACTIVIDAD 03

El siguiente grafico muestra a la

curva que representa a la función

h(x); se pide:

( a ) Hallar el valor de m.

( b ) Encuentre la raíz y la ordenada

al origen; y márquelas en el gráfico.

( c ) Defina la ecuación de la

asíntota.

( d ) Defina 0, C C y C

.

Ahora vamos a conocer un logaritmo muy particular….

El logaritmo natural, ln(x), es el inverso de la función exponencial e definido en x sólo para números reales positivos. De forma intuitiva, lo que pretende resolver el logaritmo natural es la siguiente ecuación:

ey=x

Donde ‘y’ sería el resultado que estamos buscando. Es decir, si x es 20, cuánto ha de valer ‘y’ al elevarlo a ‘e’ para que la ecuación se cumpla. Por ejemplo, el resultado de ln(20).

ey=20 ⇒ y = 3

Teniendo en cuenta que el número ‘e’ vale 2,7182818 … podemos comprobar que si lo elevamos a 3, efectivamente, el resultado es 20,07. Esto es así, porque en realidad el logaritmo natural de 20 es 2,99. Pero en este ejemplo, he utilizado el 3 para que sea más sencillo.

x

y

3( ) log 2 9 1h x x

1m

2

Para ponernos en ritmo vamos a ver como resolver

logaritmos naturales….

☻Ejemplo:

Ln (4x+1)= 2 (al igual que con los logaritmos

se aplica la definición)

7,38= 4x +1

7,38-1=4x

6,38/4= x

1,59=x

Manos a la obra!!!!

ACTIVIDAD 04

Resolver las siguientes ecuaciones. ( recorda usar las

propiedades de los logaritmos)

( a ) ln 2 3 0x ( b ) ln 5 1 2x

( c ) ln 1

1 12

x

( d ) ln 3 1 ln 2 1x ( e ) ln 10 ln 5 1x ( f ) ln 11 0x

¿Cuál será el dominio del logaritmo natural entonces?

Matemáticamente el dominio del logaritmo natural es:

{x ∈ ℜ: x > 0}

Es decir, x debe ser un número real mayor que cero. En caso contrario, la función no existe. La manera de comprobarlo es sumamente sencilla. Solo hemos de comprobarlo con un número que sea cero o menor. Por ejemplo:

ey=0 ⇒ y = No existe resultado

No existe ningún número ‘y’ que al elevarlo a ‘e’ de como resultado cero. Podemos acercarnos mucho a cero, pero el resultado nunca será cero.

La representación gráfica de esta función es:

Vamos a ver algunos ejemplos de cómo graficar estos logaritmos….

☻Ejemplo: F(x)= Ln (x-2)

▲ Asíntota ( el argumento es mayor a cero)

x-2>0

x>2

▲Raiz( la función se iguala a cero)

0= ln (x-2) ( se aplica la definición)

= x-2

1= x-2

1+2=x

3=x

▲ Ordenada (la variable x toma valor cero)

Y= ln (0-2) (se aplica la definición)

= -2 No existe!!!!!

☻Ejemplo: F(x)= ln(x) -4

▲ Asíntota ( el argumento es mayor a cero)

x>o

▲Raiz( la función se iguala a cero)

0= ln (x) -4 (el -4 forma parte del resultado)

0+4= ln(x) ( se aplica la definición)

= x

54,59= x

▲ Ordenada (la variable x toma valor cero)

Y= ln (0) -4 (el -4 forma parte del resultado)

Y+4= ln (0) ( se aplica la definición)

= 0 no existe!!!!!

Su grafica seria…..

Manos a la obra!!!!!!

ACTIVIDAD 05

Graficar las siguientes funciones.

( a ) lnf x x ( b )

ln 3g x x

( c )

ln 3p x x

( d )

2.lnq x x ( e ) ln 2h x x ( f ) 3 ln 1r x x

Fecha de entrega: 1ª entrega 17 de septiembre

2ª entrega 30 de septiembre

Email de los docentes: Paes josue14_paes@hotmail.com

Galinelli silvina.galinelli@live.com

Enlaces de referencia:

https://www.youtube.com/watch?v=C0BIfEB0eJM

https://www.youtube.com/watch?v=KfEP4XnZ5mQ

https://www.youtube.com/watch?v=C8YuAAwjspY&t=6s

https://www.youtube.com/watch?v=30AgsLQLSUY