UNIVERSIDAD NACIONAL“SANTIAGO ANTUNEZ DE

MAYOLO”

CURSO: FISICA I

TEMA: FUERZAS - ESTATICA

Profesor: Mag. Optaciano Vásquez García

HUARAZ 2010

I. FUERZA• En física, la fuerza es todo agente capaz de modificar la

cantidad de movimiento o la forma de los cuerpos. Es decir, la fuerza expresa la acción mecánica de un cuerpo sobre otro.

• Siendo la fuerza una cantidad vectorial su especificación completa requiere de: (a) una intensidad, (b) una dirección y sentido, y (c) un punto de aplicación.

ELEMENTOS DE LA FUERZA

I. FUERZA_1La fuerza produce dos efectos:A. Exteriores: En la estructura el efecto exterior de la fuerza F =

500 N, es las reacciones que aparecen sobre las varillas y sobre el perno.

B. Interiores: El efecto interior de la fuerza F es las deformaciones y esfuerzos resultantes distribuidos en el seno del material

I. FUERZA_2Al estudiar la mecánica de los cuerpos rígidos donde se tiene en cuenta el efector exterior podemos considerar a la fuerza como un vector deslizante es decir, goza del principio de transmisibilidad, esto es, la fuerza puede considerarse la fuerza puede considerarse aplicada en cualquier punto de su línea de acción sin que aplicada en cualquier punto de su línea de acción sin que altere su efecto exterior sobre el cuerpoaltere su efecto exterior sobre el cuerpo

II. CLASES DE FUERZAS1. FUERZAS DE CONTACTO.

Se generan mediante el contacto físico directo entre dos cuerpos

2. FUERZAS MASICAS se crean por acción a distancia. Ejm. la fuerza gravitacional, eléctrica y magnética.

II. CLASES DE FUERZAS_21. FUERZAS CONCENTRADAS .

Aquellas que se consideran aplicada en un punto

2. FUERZAS DISTRIBUIDAS

Aquellas que se consideran aplicadas en una línea, un área o un volumen

III. UNIDADES DE FUERZA• Una fuerza puede medirse comparándola con otras fuerzas

conocidas, recurriendo al equilibrio mecánico, o por deformación calibrada de un resorte.

• La unidad patrón de la fuerza en el SI de unidades es el Newton (1 N)

III. FUERZA RESULTANTE• Consideremos dos fuerzas actuando sobre un cuerpo como

se ve en la figura .

• Geométricamente se determina mediante la ley del paralelogramo o triángulo. Su modulo y dirección son

2 2 2 21 2 1 2

1 2

2 cos

( )

R

R

F F F F FF F F

sen sen sen

EJEMPLO O1

Determine el ángulo θ para conectar el elemento a la placa tal que la resultante de las fuerzas FA y FB esté dirigida horizontalmente a la derecha. Determine además la magnitud de la fuerza resultante

EJEMPLO O2La resultante FFRR de las dos fuerzas que actúan sobre el tronco de madera está dirigido a lo largo del eje x positivo y tiene una magnitud de 10 kN. Determine el ángulo θ que forma el cable unido a B tal que la magnitud de la fuerza FFBB en este cable sea un mínimo. ¿Cuál sería la magnitud de la fuerza en cada cable para esta situación?

IV. DESCOMPOSICIÓN DE UNA FUERZA1. EN DOS DIRECCIONES PERPENDICULARES EN EL PLANO

2 21 2

ˆ ˆ

ˆ ˆcosˆ ˆ(cos )

ˆ ˆ ˆ(cos )

R x y

R x y

R

R

R

y

x

F F F

F F i F j

F F i Fsen j

F F i sen j

i sen j

F F FF

tgF

EjemploCalcule las componentes horizontal y vertical de las fuerzas mostradas en la figura

IV. DESCOMPOSICIÓN DE UNA FUERZA2. EN DOS DIRECCIONES NO PERPENDICULARES EN EL PLANO

R A A B BF F F

Ejemplo

Calcule las componentes de la fuerza de 260 N representada en la figura, una de ellas actúa en la dirección de AB mientras que la línea de acción de la otra componente pasa por C

Ejemplo

Calcule las componentes de la fuerza de 100 N representada en la figura , una de ellas actúa en la dirección de AB y la otra paralela a BC.

EJEMPLO O2La fuerza de 500 N que actúa sobre la armadura ha de ser resuelta en dos componentes actuando a lo largo de los ejes AB y AC de la estructura. Si la componente de la fuerza a lo largo de AC es de 300 N dirigida de A C, determine la magnitud de la fuerza actuante a l largo de AB y el ángulo θ de la fuerza de 500 N

EJEMPLO O2La fuerza F de 500 N está aplicada al poste vertical tal como se indica . (a) Escribir F en función de los vectores unitarios i y j e identificar sus componentes vectoriales y escalares; (b) hallar las componentes escalares de F en los ejes x’ e y’; © hallar las componentes escalares de F en los ejes x e y’.

IV. DESCOMPOSICIÓN DE UNA FUERZA3. EN TRES DIRECCIONES PERPENDICULARES EN EL ESPACIO

2 2 2

ˆˆ ˆ( )ˆˆ ˆcos cos cos

ˆˆ ˆ(cos cos cos )ˆˆ ˆ ˆ(cos cos cos )

R H z

R x y z

R

R

R x y z

F F F

F F i F j F k

F F i F j F k

F F i j k

i j kModulo

F F F F

IV. DESCOMPOSICIÓN DE UNA FUERZA

3. DIRECCIONES DE LA FUERZA EN EL ESPACIO

cos xFF

cos yF

F

cos zFF

V. FUERZA DEFINIDA POR SU MODULO Y DOS PUNTOS DE SU LINEA DE ACCIÓN

En algunos caso la fuerza está definida por su modulo y dos puntos de su línea de acción. En este caso

2 1 2 1 2 1

2 2 22 1 2 1 2 1

2 2 2

ˆ

ˆˆ ˆ

ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆx y z x y z

x y z

MNF F FMN

x x i y y j z z kF F

x x y y z z

d i d j d k d i d j d kF F F

dd d d

EJEMPLO O2Combinar las dos fuerza P y T, que actúan sobre el punto B de la estructura fija, para obtener una única fuerza R.

EJEMPLO O2En el sistema de fuerzas mostrado en la figura determine la magnitud y la dirección de la fuerza resultante.

EJEMPLO O2Expresar la fuerza FF de 36 kN en función de los vectores unitarios i, j y k. Hallar la proyección sobre el eje x

EJEMPLO O2Expresar la fuerza FF de 400 N en función de los vectores unitarios i, j y k. Hallar la proyección sobre la recta OA.

EJEMPLO O2Calcular las componentes rectangulares de la fuerza de 110 N, representada en la figura, una es paralela a AB y la otra es perpendicular a esta línea.

MOMENTO DE UNA FUERZA• En mecánica newtoniana, se denomina momento de una

fuerza (respecto a un punto dado) a una magnitud vectorial, obtenida como producto vectorial del vector de posición del punto de aplicación de la fuerza con respecto al punto al cual se toma el momento por la fuerza, en ese orden. También se le denomina momento dinámico o sencillamente momento.

MOMENTO DE UNA FUERZA El momento de una fuerza aplicada en un punto P con

respecto de un punto O viene dado por el producto vectorial del vector de posición OP OP por el vector fuerza F; esto es

El momento es un vector perpendicular al plano de r y F. La magnitud del momento esta dado por

El sentido del momento se determina mediante la regla de la mano derecha.

Dado que las fuerzas tienen carácter de vectores deslizantes, el momento de una fuerza es independiente de su punto de aplicación sobre su recta de acción o directriz.

INTERPRETACIÓN DEL MOMENTO DE UNA FUERZA

El momento de una fuerza con respecto a un eje da a conocer en qué medida existe capacidad en una fuerza o sistema de fuerzas para causar la rotación del cuerpo alrededor de un eje que pase por dicho punto.

El momento tiende a provocar un giro en el cuerpo sobre el cual se aplica y es una magnitud característica en elementos que trabajan sometidos a torsión (como los ejes de maquinaria) o a flexión (como las vigas

COMPONETES RECTANGULARES DEL MOMENTO

El momento de la fuerza respecto a O es

COMPONETES RECTANGULARES DEL MOMENTO RESPECTO A UN PUNTO

CUALQUIERA

COMPONETES RECTANGULARES DEL MOMENTO EN EL PLANO

Ejemplo• Determine el momento ejercido por el peso de 30 lbf con

respecto a los puntos (a) E y (b) S

Ejemplo Se aplica una fuerza vertical de 100 lb al extremo de una palanca que está unida a un eje en O. Determine: (a) el momento de la fuerza de 100 lb con respecto al punto O, (b) el módulo de la fuerza horizontal que aplicada en A produce el mismo momento produce el mismo momento respecto a O,(c) la menor fuerza que aplicada en A produce el mismo momento respecto a O, (d) a que distancia del eje debe aplicarse una fuerza vertical de 750 N para que produzca el mismo momento respecto a O

Parte (a) La magnitud del momento de la fuerza de 100 lb se obtiene multiplicando la fuerza por el brazo de palanca esto es

La dirección de Mo es perpendicular al plano que contiene F y d y su sentido se determina mediante la regla derecha

in. 12lb 100

in. 1260cosin.24

O

O

Md

FdM

in lb 1200 OM

SOLUCIÓN

Parte (b) La fuerza que aplcada en A produce el mismo momento se determina en la forma siguiente

SOLUCIÓN

in. 8.20in. lb 1200

in. 8.20in. lb 1200

in. 8.2060sinin. 24

F

FFdM

d

O

lb 7.57F

Parte (b) Debido a que M = F d. el mínimo valor de F corresponde al máximo valor de d. Eligiendo la fuerza perpendicular a OA se encuentra que d = 24 in; entonces

SOLUCIÓN

in. 42in. lb 1200

in. 42in. lb 1200

F

FFdMO

lb 50F

Parte (b). En este caso Mo = Fd obteniendo

SOLUCIÓN

in. 5cos60

in. 5lb 402

in. lb 1200lb 240in. lb 1200

OB

d

dFdMO

in. 10OB

Ejemplo • La placa rectangular es soportada por dos pernos en A y B y

por un alambre CD. Conociendo que la tensión e el alambre es 200 N. Determine el momento con respecto al punto A de la fuerza ejercida por el alambre en C

El momento MA de la fuerza F ejercida por el alambre es obtenido evaluando el producto vectorial

SOLUCIÓN

SOLUCIÓNFrM ACA

jirrr ACAC

m 08.0m 3.0

kji

kji

rr

FFDC

DC

N 128N 69N 120m 5.0

m 32.0m 0.24m 3.0N 200

N 200

1289612008.003.0

kjiM A

EjemploLa tensión en el cable AB es 150 N. Determine la tensión en AC y CD tal que la suma de los momentos alrededor del origen debido a la fuerza ejercida por los cables en el punto A es cero.

Ejemplos

MOMENTO DE UNA FUERZA CON RESPECTO A UN EJE QUE PASA POR EL ORIGEN

• Sabemos que el momento de la fuerza F respecto al punto O.

• El momento de la fuerza F con respecto al eje OL es la proyección ortogonal de Mo sobre el eje OL.

• El momento MOL de F alrededor del eje OL mide la tendencia de la fuerza F a impartir al cuerpo rígido rotación alrededor del eje OL

0ˆ ˆ ˆ ˆ. . .OLM M r F

MOMENTO DE UNA FUERZA CON RESPECTO A UN EJE QUE PASA POR

UN PUNTO CUALQUIERA• El momento de una fuerza

alrededor de un eje cualquiera es

• El resultado es independiente del punto B

/

/

ˆ ˆ ˆ ˆ. . .OL B A B

A B A B

M M r F

r r r

Ejemplo • Sobre un cubo de arista a

actúa una fuerza P, como se muestra en la figura. Determine el momento de P:(a) con respecto a A,(b) con respecto a la arista AB.(c) Con respecto a la diagonal AG

SOLUCIÓN

• Moment of P about A,

jiPjiaM

jiPjiPP

jiajaiar

PrM

A

AF

AFA

2

222

kjiaPM A

2

• Moment of P about AB,

kjiaPi

MiM AAB

2

2aPM AB

La magnitud del momento respecto a AB es

SOLUCIÓN

(c) La magnitud del momento respecto a AG es

1116

2312

31

3

aP

kjiaPkjiM

kjiaPM

kjia

kajaiarrMM

AG

A

GA

GA

AAG

6aPM AG

Ejemplo• Se aplica una tensión T de

intensidad 10 kN al cable amarrado al extremo superior A del mástil rígido y se fija en tierra en B. Hallar e momento Mz de T respecto del eje Z que pasa por la base O del mástil.

Ejemplo• La fuerza F tiene una

intensidad de 2 kN y está dirigida de A hacia B. Determine : (a) La proyección FCD de La fuerza F sobre la recta CD (b) el ángulo que θ que forma la fuerza F y la recta CD y (c) si el modulo del momento F respecto a la recta CD es de 50 N. m, halle el módulo de la fuerza

Ejemplo• La tensión el cable es 143,4 N. Determine el momento

alrededor del eje x de esta fuerza de tensión actuando en A. Compare su resultado con el momento del peso de 15 kgf de la placa uniforme alrededor del eje x. ¿Cuál es el momento de fuerza de tensión actuando en A alrededor de la línea OB

Ejemplo• Una barra doblada está rígidamente fijada a una pared en el

punto (0,0,0). Una fuerza de magnitud F = 7 lb actúa en su extremo libre con una línea de acción que pasa por el origen, como se muestra en la figura: Halle : (a) el momento de la fuerza respecto al punto P, (b) el momento respecto a la línea l que pasa por P con una pendiente 5/12 en el plano yz.

PRINCIPIO DE MOMENTOS: Teorema de VarignonSi un sistema de fuerzas concurrentes esta actuando sobre un cuerpo como se muestra en la figura, el momento de la fuerza resultante alrededor del punto puede ser determinado mediante la suma de cada uno de los momentos de las fueras individuales respecto al mismo punto. Es decir:

CUPLA O PAR DE FUERZASLa cupla o par de fuerzas es un sistema formado por dos fuerzas F y –F que tiene la misma magnitud, líneas de acción paralelas pero de sentidos opuestos.• El momento de la cupla es,

El vector momento de la cupla es un vector independiente del origen o es decir es un vector libre perpendicular al plano que contiene la fuerzas

DIRECCIÓN Y SENTIDO DEL PAR

• La cupla es un vector libre perpendicular al plano de la cupla y su sentido se determina mediante la regla de la mano derecha

CUPLA O PAR DE FUERZAS• Dos cuplas tendrán igual momento si:

a)

b) Las dos cuplas se encuentran ubicadas en planos paralelos

c) La dos cuplas tienen el mismo sentido o la misma tendencia a causar rotación y la misma dirección

Ejemplo de cupla• Determine el momento de la cupla mostrada en la

figura y la distancia perpendicular entre las dos fuerzas

Ejemplo de cuplaDos fuerzas paralelas de sentidos opuestos son F1 = (-70i - 120j - 80k)lbf y F2 = (70i +120j + 80k)lbf y actúan en los puntos A y B del cuerpo mostrado en la figura. Determine el momento de la cupla y la distancia perpendicular entre las dos fuerzas

EQUIVALENCIA ENTRE LOS PARESDos sistemas de fuerzas son equivalentes (es decir producen el mismo efecto sobre un sólido) si pueden transformarse el uno en el otro mediante una o varias de las operaciones siguientes:

a) Sustituyendo dos fuerzas que actúan sobre la misma partícula por su resultante;

b) Descomponiendo una fuerza en dos componentes yc) Anulando fuerzas iguales y opuestas que actúan sobre la misma

partícula d) Aplicando a una partícula dos fuerzas iguales y opuestase) Moviendo una fuerza a lo largo de su recta soporte

SISTEMAS FUERZA CUPLACualquier fuerza F aplicada a un sólido rígido puede ser trasladada a un punto arbitrario B, sin más que añadir una cupla cuyo momento sea igual al momento de F respecto de B

No hay cambio en el efecto externo

Cupla

EjemploRemplace la fuerza de 350 N por una fuera y una cupla en el punto B- Exprese su respuesta en coordenadas cartesianas

soluciónSe trazan dos fuerzas en B como se ve en la figura . La expresión vectorial de F es

El momento C será

EjemploRemplace la fuerza de 600 N mostrada en la figura por una fuera y una par en el punto A. Exprese su respuesta en coordenadas cartesianas

Ejemplo La tensión en el cable sujeto al extremo C del botalón ajustable ABC es de 1000 N. Sustituir la fuerza que el cable ejerce en C por un sistema fuerza-par equivalente : (a) en A , (b) en B

Ejemplo• Una fuerza de 700 N es aplicada en el punto A de un

miembro estructural. Sustituirla por: (a) un sistema fuerza –par equivalente en C, (b) un sistema equivalente compuesto por una fuerza vertical en B y una segunda fuerza en D

Ejemplo La fuerza horizontal P actúa como se muestra sobre la palanca acodada. (a) sustituir P por un sistema fuerza-par equivalente en B. Determinar las dos fuerzas verticales en C y D equivalentes al par hallado en la parte (a)

SISTEMAS FUERZA CUPLA

Paso 1 Paso 2 Paso 3

Seleccionar un punto para encontrar el momento

Remplazar las fuerzas por una

fuerza y un par en el punto O

Sumar las fuerza y cuplas

vectorialmente para encontrar la

resultarte y el momento resultante

EjemploReducir el sistema de fuerzas y momentos a una fuerza un par actuando en A