Fuerza puntual

A. Duran *y H. D. Larraguvel **

Departamento de Fsica de la Universidad de Guadalajara,44430, Guadalajara Jalisco, Mexico

16 de abril del 2015

1. Introduccion

En esta practica estudiaremos la flexion de una viga bajo la accion de una fuerza puntual F . Sedeterminara la flecha de la viga, generada por la fuerza F . La flecha es la distancia mas grande dela cual se desplaza la viga respecto a su posicion de equilibrio. La flecha de la viga en x = L/2 es:

|| = FL3

48EI(1.1)

donde F es la fuerza aplicacada, L es la distancia entre los puntos que sujeta la viga, E es elmodulo de Young, I es es segundo momento de inercia, que por la geometra de la viga utilizada en elexperimento se puede calcular como:

I =He3

12(1.2)

donde e es el grosor y H es la anchura.

2. Objetivos

Aplicar la teora de la elasticidad a vigas bajo flexion.

Determinal el modulo de Young a partir de la flecha de vigas bajo flexion.

3. Protocolo

3.1. Material

Muestra de metal a flexionar

Tres soportes universales

Un medidor de pequenos desplazamientos

*gely.duran@gmail.com**helarra@gmail.com

1

Pinza para sujetar el medidor de pequenos desplazamientos

Diferentes masas

Cinta metrica

Vernier

3.2. Montaje y Realizacion

Comenzamos colocando la viga de metal (aluminio) sobre dos soportes universales, haciendo quela viga quede de forma horizontal. Se fija el medidor de pequenos desplazamientos en la parte mediade la viga. Enseguida se ponen varias masas de diferentes tamanos en la parte media de la viga, elmedidor de pequenos desplazamientos registrara la deformacion de la viga. El arreglo experimental semuestra en la Fig. 1.

Figura 1: Arreglo experimental: Viga sujetada por los dos soportes universales y el medidor de pequenosdesplazamientos colocado en medio de la viga.

4. Mediciones

Las mediciones que presentamos aqu son las dimensiones y peso de la viga, junto con la distanciaentre los puntos que la sostenan en tabla 1. Por otro lado, las lecturas del medidor de pequenosdesplazamientos en funcion de la masa en la tabla 2, todas con su debido margen de error[1]:

2

Masa (g) Largo (cm) Ancho (cm) Alto (cm) Dis. entre puntos (cm)51.70.5 49.90.05 1.290.05 0.310.05 40.290.05

Cuadro 1: Mediciones de la masa y dimensiones de la viga, a la par de la distancia entre puntos fijosque sujetan la viga.

Masa (kg) Flecha dedesplazamiento (mm)

0.40,05 0.520,050.50,05 0.710,050.70,05 1.10,0510,05 1.720,05

1.20,05 2.130,051.40,05 2.510,051.50,05 2.740,051.70,05 3.140,0520,05 3.770,05

2.20,05 4.160,05

Cuadro 2: Tabla de datos de la flexion en funcion de la fuerza (masa) aplicada sobre la viga.

5. Analisis

Ya con nuestras mediciones podremos comenzar a realizar calculos, usando las formulas y expresio-nes que las relacionen[2]. Todo con el fin de obtener el modulo de Young para esta viga en particular.

Primero, teniendo la masa y las dimensiones de la vara, podemos obtener su densidad () asumiendoque esta es uniforme o que es una densidad promedio.

=m

v=

5,17 103kg20,0 106m3 (2,59 0,54) 10

3kg/m3.

Tambien hacemos uso de las dimensiones de la viga para calcular su segundo momento de inercia (I).

I =He3

12=

(1,29 102m)(3,1 103m)312

(3,20 0,02) 1011m.

Despues realizamos la grafica y el ajuste lineal de la flexion en funcion de la masa, como se muestraen la figura 2.

Gracias al ajuste lineal, encontramos la pendiente de la recta, lo que nos permite encontrar la flechade desplazamiento ||. Ya con este resultado podemos hacer uso de la ec. 1.1 para calcular el modulode Young de nuestra muestra:

d||dm

=gL3

48IE 2,03 103m/kg.

despejando para E y sustituyendo los valores numericos, obtenemos:

E =(9,8m/s2)(40,29 102m)3

48(2,03 103m/kg)(3,20 1011m4) 18,1 109Pa.

Por ultimo, comparamos este resultado con el ya establecido en la literatura (70GPa) para encontrarel error porcentual de nuestro experimento[1]:

error =|valor exp valor real| 100

|valor real| =|18,1GPa 70GPa| 100

|70GPa| = 74 %.

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Figura 2: Grafica de comparacion entre resultados experimentales y teoricos.

6. Discusiones

A partir de los resultados obtenidos en la seccion de analisis podemos hacer una tabla para observarlas diferencias que encontramos entre nuestros resultados y aquellos que ya estan establecidos. A partir

Aluminio Densidad (kg/m3) Modulo de Young (GPa)Esperado 2700 70Obtenido 2590 18.1

Cuadro 3: Estos son los resultados que obtuvimos de modulo de Young y densidad para la barra dealuminio.

de esta comparacion de valores podemos darnos cuenta que nuestros resultados son similares, estandentro de los mismos ordenes de magnitud, aunque si difieren razonablemente.

Esto puede deberse tanto a que las condiciones de laboratorio, altura sobre el nivel del mar, tem-peratura, humedad y otros factores pueden provocar que la viga se dilate. A su vez, las impurezas y eldesgaste de la muestra con el tiempo podra afectar la densidad.

Otra justificacion puede ser que nuestro equipo no sea tan preciso, lo que provoque un gran margende error en las mediciones, llevando a que se desvien de los valores esperados. Esto aunado a los posibleserrores de calibracion o paralaje producidos por los usuarios del equipo, aumentan el margen de error.

Una forma de poder minimizar la discrepancia entre los resultados, a pesar de los factores ya men-cionados, sera buscar repoducir el experimento con vigas de distintos materiales, para las cuestionesdel desgaste e impurezas. Cambiar de equipos o recalibrar los mismos, con el fin de obtener resultadosmas coherentes con equipos mas precisos o en mejores condiciones, esto para minimizar los errores delos instrumentos. Tomar mas mediciones para realizar una estadstica mas extensa y reducir los erroresde paralaje producidos por falta de experiencia de los usuarios.

Uno esperara que con todas estas medidas pudiese tener resultados mas similares a aquellos obte-nidos por los laboratorios internacionales vanguardistas que los han medido. Sin embargo, no se esperaque sean exactamente los mismos.

En otra instancia, este tipo de experimentos muestra que este metodo para medir el modulo deYoung no es complicado de realizar y podra facilitar la obtencion del mismo a la hora de usarse en

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la industria de construccion, pues ah son mucho mas notorios y relevantes los efectos de la flexion deuna viga, en el caso de techos, paredes, pisos, puentes, etc.

Inclusive podra usarse para aproximar la flexion de una cuerda cuando esta se somente a tensionen un punto, como es el caso de un equilibrista, quien permanece la mayor parte de su tiempo a lamitad de esta. Esto se vuelve relevante al elegir un material, un largo y ancho de esta, en funcion delpeso del equilibrista para evitar que esta se rompa.

7. Conclusiones

Partiendo de medir las dimensiones de una viga, su masa y cuanto se flexionaba esta cuando sesujeta de los extremos y se le aplica una fuerza puntual en su centro, se puede obtener el modulo deYoung de la viga. Esto a partir de ecuaciones sencillas y con un margen de error aceptable para larapidez con la que se puede efectuar el experiemtno.

As que esta constituye una alternativa viable de medir o corroborar la elasticidad de un material,de manera rapida, economica y coherente.

Referencias

[1] Gutierrez Aranzeta, C. (2007) Introduccion a la metodologa experimental. Limusa.

[2] R. Resnik & D. Halladay & K. Krane, (2000) Fsica Vol. 1. CECSA.

[3] http://astro.iam.udg.mx/anne/MediosContinuos.pdf

[4] Velasco Rosa, (2005) Introduccion a la Hidrodinamica Clasica. FCE.

[5] http://es.wikipedia.org/wiki/Aluminio

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