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  • Física 2 para a Escola Politécnica (4323102) P2 - (11/10/2019)

    Tabela 1: Respostas das alternativas corretas das questões Q1-Q4 para as diferentes provas.

    Prova Q1 Q2 Q3 Q4A - 1235421698123 d e b dB - 1234412698123 b d a bC - 1234583698123 a c c eD - 1236514698123 c a e a

    Critério Correção Dissertativas

    Q5

    • 1,5 ponto - a expressão correta com todos os valores numéricos corretos.

    • 1,5-1,0 ponto - a expressão correta mas com algum erro (numérico, sinal, ....).

    • 0,5 ponto - a expressão correta mas esqueceu de considerar a força peso.

    Q6

    • 1,5 ponto - a resposta correta (mostrando o desenvolvimento realizado), com a definiçãocorreta dos das grandezas.

    • 1,0 ponto - usar a expressão para o movimento amortecido forçado, sem especificar queΩ.

    • 0,5 ponto - usar a expressão para o movimento amortecido forçado mas especificar Ωerrado (por exemplo, Ω =

    √ω20 −

    γ2

    4).

    Q7

    • 0,5 ponto - a resposta correta, fazendo a comparação entre os valores de γ/2 e ω0.

    Q8

    • 2,5 ponto - Fazer todo o desenvolvimento corretamente, mesmo utilizando respostas er-radas anteriores (de Q6 ou Q7), mas utilizando as condições iniciais para a solução geral.

    • 2,0 até 0,5 - Fazer o desenvolvimento parcial, mesmo utilizando respostas erradas dositens anteriores, utilizando as condições iniciais para a solução geral. Erros relevantes: a)Subtrai-se 0,5 ponto da nota se não for explicitada a definição de ω da solução homogênea;b) Subtrai-se 0,5 ponto da nota se foi esquecido o fator e−γ/2t na solução homogêna. Ovalor da nota dependerá do desenvolvimento apresentado, e quais etapas foram realizadas.

    • 0 - Escrever a expressão geral, e não aplicar as condições iniciais.

    • 0 - Aplicar as condições iniciais para a solução particular ou solução homogêna, e nãopara a solução geral que é a soma das duas soluções.

    1

  • Física 2 para a Escola Politécnica (4323102) P2 - (11/10/2019)

    Utilize, para todas as questões, onde se fizer necessário:

    • A aceleração da gravidade na superfície da Terra é representada por g.Quando necessário, adote para g o valor de 10 m/s2.

    • A força viscosa é da forma ~fvisc = −b~v onde b é uma constante positiva e ~v o vetorvelocidade do corpo.

    • x(t) = Ae− γ2 tcos (ωt+ φ) onde ω =√ω20 −

    γ2

    4e γ = b

    m.

    • x(t) = (A+Bt)e− γ2 t.

    • x(t) = e− γ2 t[a1e

    βt + a2e−βt] onde β = √γ2

    4− ω20.

    • x(t) = A(Ω) cos [Ωt+ φ(Ω)]

    • A(Ω) = F0/m[(ω20−Ω2)

    2+γ2Ω2

    ]1/2 ; tanφ(Ω) = − γΩω20−Ω2 .• Potência média: P = mγẋ2

    • sin2(ωt+ φ) = cos2(ωt+ φ) = 1/2

    • Despreze a massa da mola.

    • Despreze o atrito com o ar.

    Identidades trigonométricas

    sin(a+ b) = sin a cos b+ cos a sin b cos(a+ b) = cos a cos b− sin a sin b

    sin a+ sin b = 2 sin

    (a+ b

    2

    )cos

    (a− b

    2

    )sin a− sin b = 2 cos

    (a+ b

    2

    )sin

    (a− b

    2

    )

    cos a+cos b = 2 cos

    (a+ b

    2

    )cos

    (a− b

    2

    )cos a−cos b = −2 sin

    (a+ b

    2

    )sin

    (a− b

    2

    )

    Exponenciais complexas

    eıθ = cos θ + ı sin θ sin θ =eıθ − e−ıθ

    2ıcos θ =

    eıθ + e−ıθ

    2

    2

  • Física 2 para a Escola Politécnica (4323102) P2 - (11/10/2019)

    ENUNCIADO DAS QUESTÕES DE MÚLTIPLA ESCOLHA Q1 até Q4

    Enunciado da questão Q1.[1,0 ponto] Osciladores harmônicos amortecidos costumam ser modelados pela equação dife-rencial

    d2x

    dt2+ γ

    dx

    dt+ ω20x = 0. (1)

    Uma maneira de encontrar as soluções desta equação diferencial é assumir a função tentativax(t) = ert como solução e encontrar quais os valores de r que realmente a tornam solução daequação diferencial (1). Fazendo a substituição de x(t) = ert em (1), vemos que os valores der que tornam a função tentativa solução de (1) são:

    r1 = −γ

    2−√(γ

    2

    )2− ω20 e r2 = −

    γ

    2+

    √(γ2

    )2− ω20 (2)

    Os valores de r levam a três soluções distintas, as quais são classificadas conforme o radicandopresente em r1 e r2 seja maior, igual ou menor que zero. Com base nestas informações, escolhaa alternativa correta:

    (a) Todas as três soluções da equação diferencial (1) referentes aos radicandos maior, menor ouigual a zero modelam oscilações, porque toda exponencial de um número real pode ser expressaem termos de funções periódicas, como senos e cossenos.

    (b) Na situação onde r assume valores complexos, só a parte real de r tem significado físico.

    (c) O caso onde ω0 > γ/2 corresponde ao único caso onde ocorrem oscilações porque podemosexpressar x(t) como uma função periódica.

    (d) Se a frequência natural ω0 do sistema for muito maior que o fator dissipativo γ/2, a am-plitude de oscilação vai aumentando conforme o tempo passa.

    (e) Quando γ/2 > ω0, o oscilador retorna muito mais rapidamente para a posição de equilíbriodo que quando γ

    2= ω0.

    Resolução da questão Q1.

    (a) Errada - Apenas a solução com radicando menor que zero (γ2< ω0) terá comportamento

    oscilatório.

    (b) Errada - Tanto a parte real como a complexa têm significado físico. A parte real estárelacionada com a constante de decaimento da amplitude e a parte complexa com a frequência(ou período) de oscilação.

    (c) Certa - Para o radicando menor que zero (γ2< ω0) o oscilador apresenta amortecimento

    subcrítico, descrito por funções periódicas.

    (d) Errada - Nenhuma das três soluções apresenta este tipo de comportamento em função dotempo. Em todos os casos, a amplitude decai com o tempo.

    (e) Errada - O sistema volta mais rapidamente para a posição de equilíbrio quando γ2

    = ω0.

    3

  • Física 2 para a Escola Politécnica (4323102) P2 - (11/10/2019)

    Enunciado da questão Q2.[0,5 ponto] O gráfico abaixo representa a posição de uma partícula x(t) em função do tempo t,para um oscilador harmônico amortecido. A amplitude inicial A, em cm, e a frequência angularω, em rad/s, desse oscilador são, respectivamente, dadas por:

    (a) 2 e π/5

    (b) 2 e 0,1

    (c) 20 e π/5

    (d) 200 e 0,1

    (e) 200 e π/5

    0

    1

    2

    -1

    -2x

    (m)

    t (s)0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

    Resolução da questão Q2.

    A frequência do movimento pode ser calculada conhecendo-se o período do movimento e usandoa relaçao ωT = 2π. Do gráfico tiramos que T = 10 s, logo

    ω =2π

    T=

    10⇒ T = π

    5s

    Pelo gráfico também tiramos que a amplitude inicial é 2 m ou 200 cm.

    4

  • Física 2 para a Escola Politécnica (4323102) P2 - (11/10/2019)

    Enunciado da questão Q3.[1,0 ponto] A amplitude de um oscilador harmônico com amortecimento subcrítico diminui1/e de seu valor inicial, em 10 s. O valor do tempo característico de decaimento deste oscilador é:

    (a) 5 s

    (b) 10 s

    (c) 15 s

    (d) 20 s

    (e) 25 s

    Resolução da questão Q3.

    Para o oscilador harmônico com amortecimento subcrítico a amplitude A(t) no instante t édada por

    A(t) = A0e− γ

    2t = A0e

    − tτ

    sendo A0 a amplitude em t = 0 e τ do tempo característico de decaimento. Como a amplitudecai 1/e de seu valor inicial em 10 s podemos escrever:

    A(t = 10 s)

    A0=

    1

    e

    ouA0e

    − 10τ

    A0=

    1

    e⇒ e−

    10τ = e−1 ⇒ τ = 10 s

    Tabela 2: Respostas do exercício para as diferentes provas.

    Prova Decaimento (%) tempo (s) τ (s)A (1/e) 10 10B 50% 14 20C 25% 21 15D 25% 7 5

    5

  • Física 2 para a Escola Politécnica (4323102) P2 - (11/10/2019)

    Enunciado da questão Q4.[1,5 ponto] Um sistema de suspensão mecânicaideal de massa m e constante elástica k oscila semamortecimento, sujeito à força externa da formaF (t) = 42 cos(ωt) (N). Um estudo demonstra que,quando o sistema atinge o regime estacionário, aamplitude de oscilação do sistema em função dafrequência angular da força externa se comportacomo na figura ao lado. O valor da constante elásticak do sistema de suspensão é:

    w (rad/s)1 2 3 4 5 6 70

    1

    2

    3

    4

    5

    6

    7

    8

    A (

    m)

    w (rad/s)1 2 3 4 5 6 70

    A (

    m)

    1

    2

    3

    4

    5

    6

    7

    8

    (a) 8 N/m

    (b) 16 N/m

    (c) 18 N/m

    (d) 24 N/m

    (e) 27 N/m

    Resolução da questão Q4.

    A amplitude de uma oscilação forçada, no regime estacionário, é descrita pela expressão

    A(ω) =F0

    m|ω20 − ω2|(3)

    onde ω0 =√k/m.

    O gráfico mostra que a frequência natural de oscilação do sistema é ω0 = 3 rad/s. Além destainformação, podemos utilizar qualquer outro ponto do gráfico para determinar a amplitudepara uma dada frequência ω. Escolhemos, por conveniência, a frequência ω = 4 rad/s, quecorresponde à amplitude de oscilação A = 2 m. Substituindo na expressão (3) temos:

    m =F0

    A|ω20 − ω2|=

    42

    2|9− 16|= 3 kg. (4)

    onde utilizamos F0 = 42 N, como indicado no texto do problema. Com isso o valor da constanteelástica vale:

    k = m · ω20 = 3 · 32 = 27 N/m. (5)

    6

  • Física 2 para a Escola Politécnica (4323102) P2 - (11/10/2019)

    Tabela 3: Respostas do exercício para as diferentes provas.

    Prova ω0 (rad/s) A(ω) m F0 (N) k (N/m)A 4 A(5) = 2 27 24B 4 A(5) = 2 18 16C 3 A(4) = 2 28 18D 3 A(4) = 2 42 27

    ENUNCIADO DAS QUESTÕES DISCURSIVAS Q5 até Q8

    Uma mola de massa desprezível, comprimento L0 econstante k = 1, 125 × 104 N/m se encontra presaao teto. Na sua extremidade livre é pendurado umbloco de massa m = 50 kg. O sistema é abandonadoem um meio viscoso cujo coeficiente de atrito viscosoé ρ = 100 N.s/m, sob a ação da força peso (~Fp =+mg ̂), da força da mola (~Fm = −ky ̂) e da forçaviscosa (~Fv = −ρdydt ̂). A função que descreve aposição do bloco no tempo, y(t), deste sistema seráescrita como:

    y(t) = yp(t) + yh(t)

    onde yp(t) é a solução particular (ou estacionária)da equação não-homogênea e yh(t) é a solução daequação diferencial homogênea. Adotando o eixo ycomo está indicado na figura, resolva as questõesQ5, Q6, Q7 e Q8.

    0

    ym

    L0

    Considere o bloco como partícula.Despreze a força de empuxo sobre obloco.

    (Q5) [1,5 ponto] Escreva a equação diferencial que descreve o movimento deste oscilador,explicitando os valores numéricos dos coeficientes no sistema MKS.

    Resolução da questão Q5.

    A força resultante Fr no bloco é dada por:

    ~Fr = −ky ̂− ρdy

    dt̂ +mĝ

    A expressão acima pode ser reescrita como:

    md2y

    dt2+ ky + ρ

    dy

    dt= +mg

    Dividindo por m teremos:

    d2y

    dt2+ γ

    dy

    dt+ ω20y = g

    7

  • Física 2 para a Escola Politécnica (4323102) P2 - (11/10/2019)

    onde definimos ω20 = k/m e γ = ρ/m. Substituindo os valores numéricos obtemos ω0 =√k/m =

    √(1, 125× 104)/50 =

    √225 = 15 rad/s e γ = ρ/m = 100/50 = 2 s−1 e a equação

    diferencial que descreve o movimento deste oscilador será escrita como:

    d2ydt2

    + 2dydt

    + 225y = +10

    8

  • Física 2 para a Escola Politécnica (4323102) P2 - (11/10/2019)

    (Q6) [1,5 ponto] Determine a solução particular yp(t) da equação diferencial não-homogênea.

    Resolução da questão Q6.

    A equação diferencial não homogênea descreve um oscilador amortecido forçado, que tem comosolução a função

    yp(t) = A(Ω) cos(Ωt+ φ)

    ondeA(Ω) =

    F0/m[(ω20 − Ω2)

    2+ γ2Ω2

    ]1/2e

    tanφ(Ω) = − γΩω20 − Ω2

    expressões dadas na página 2 desta prova. Neste problema Ω = 0, logo

    A(Ω = 0) =(F0/m)[

    (ω20 − Ω2)2

    + γ2Ω2]1/2 = gω20 ⇒ A = mgk

    etanφ(Ω) = − γΩ

    ω20 − Ω2= 0⇒ φ = 0

    Logo, a solução particular é dada por:

    yp(t) =mgk

    9

  • Física 2 para a Escola Politécnica (4323102) P2 - (11/10/2019)

    (Q7) [0,5 ponto] O movimento do oscilador descrito pela equação homogênea é crítico, sub-crítico ou supercrítico? Justifique sua resposta numericamente.

    Resolução da questão Q7.

    A equação homogênea descreve um oscilador harmônico amortecido que tem como possíveissoluções um movimento supercrítico (γ

    2> ω0), crítico (γ2 = ω0) ou subcrítico (

    γ2< ω0), de-

    pendendo da comparação entre os valores de ω0 e γ/2. Neste problema, ω0 = 15 rad/s eγ/2 = 1 s−1. Logo

    γ2< ω0 ⇒ movimento subcrítico

    10

  • Física 2 para a Escola Politécnica (4323102) P2 - (11/10/2019)

    (Q8) [2,5 pontos] Uma vez que no instante t = 0 a posição do bloco é y(t = 0) = 0 e a suavelocidade v(t = 0) = 0, determine a solução geral y(t). Resolva de forma literal, sem fazersubstituições numéricas.

    Resolução da questão Q8.

    A equação homogênea descreve um movimento subcrítico que tem como solução a função

    yh(t) = Ae− γ

    2t cos(ωt+ ϕ)

    onde

    ω =

    √ω20 −

    γ2

    4=√

    225− 1 =√

    224 s−1

    Assim, a solução geral fica:

    y(t) = yp(t) + yh(t) =mgk

    + Ae−γ2t cos(ωt+ ϕ).

    Impondo as condições que em t = 0, y(t) = 0 e v(t) = 0 obtemos as equações:

    t = 0, y = 0⇒ A cosϕ+ mgk

    = 0⇒ A cosϕ = −mgk

    (6)

    t = 0, v = 0⇒ A(−γ2

    ) cosϕ− Aω sinϕ = 0 (7)

    Substituindo (6) em (7) obtemos:

    −γ2

    (−mg

    k

    )− Aω sinϕ = 0

    ⇒ A sinϕ = mgγ2ωk

    (8)

    Elevando ao quadrado as expressões (6) e (8) e somando-as obtemos:

    A =mg

    k

    √1 +

    ( γ2ω

    )2(9)

    Substituindo 9 em 6 obtemos

    ϕ = − cos−1(

    1√1 + (γ/2ω)2

    ). (10)

    Assim, tendo-se determinado A e ϕ, a solução geral fica determinada.

    11