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Física 2 para a Escola Politécnica (4323102) P2 - (11/10/2019)

Tabela 1: Respostas das alternativas corretas das questões Q1-Q4 para as diferentes provas.

Prova Q1 Q2 Q3 Q4A - 1235421698123 d e b dB - 1234412698123 b d a bC - 1234583698123 a c c eD - 1236514698123 c a e a

Critério Correção Dissertativas

Q5

• 1,5 ponto - a expressão correta com todos os valores numéricos corretos.

• 1,5-1,0 ponto - a expressão correta mas com algum erro (numérico, sinal, ....).

• 0,5 ponto - a expressão correta mas esqueceu de considerar a força peso.

Q6

• 1,5 ponto - a resposta correta (mostrando o desenvolvimento realizado), com a definiçãocorreta dos das grandezas.

• 1,0 ponto - usar a expressão para o movimento amortecido forçado, sem especificar queΩ.

• 0,5 ponto - usar a expressão para o movimento amortecido forçado mas especificar Ω

errado (por exemplo, Ω =√ω2

0 −γ2

4).

Q7

• 0,5 ponto - a resposta correta, fazendo a comparação entre os valores de γ/2 e ω0.

Q8

• 2,5 ponto - Fazer todo o desenvolvimento corretamente, mesmo utilizando respostas er-radas anteriores (de Q6 ou Q7), mas utilizando as condições iniciais para a solução geral.

• 2,0 até 0,5 - Fazer o desenvolvimento parcial, mesmo utilizando respostas erradas dositens anteriores, utilizando as condições iniciais para a solução geral. Erros relevantes: a)Subtrai-se 0,5 ponto da nota se não for explicitada a definição de ω da solução homogênea;b) Subtrai-se 0,5 ponto da nota se foi esquecido o fator e−γ/2t na solução homogêna. Ovalor da nota dependerá do desenvolvimento apresentado, e quais etapas foram realizadas.

• 0 - Escrever a expressão geral, e não aplicar as condições iniciais.

• 0 - Aplicar as condições iniciais para a solução particular ou solução homogêna, e nãopara a solução geral que é a soma das duas soluções.

1


Utilize, para todas as questões, onde se fizer necessário:

• A aceleração da gravidade na superfície da Terra é representada por g.Quando necessário, adote para g o valor de 10 m/s2.

• A força viscosa é da forma ~fvisc = −b~v onde b é uma constante positiva e ~v o vetorvelocidade do corpo.

• x(t) = Ae−γ2tcos (ωt+ φ) onde ω =

√ω2

0 −γ2

4e γ = b

m.

• x(t) = (A+Bt)e−γ2t.

• x(t) = e−γ2t[a1e

βt + a2e−βt] onde β =

√γ2

4− ω2

0.

• x(t) = A(Ω) cos [Ωt+ φ(Ω)]

• A(Ω) = F0/m[(ω2

0−Ω2)2+γ2Ω2

]1/2 ; tanφ(Ω) = − γΩω20−Ω2 .

• Potência média: P = mγx2

• sin2(ωt+ φ) = cos2(ωt+ φ) = 1/2

• Despreze a massa da mola.

• Despreze o atrito com o ar.

Identidades trigonométricas

sin(a+ b) = sin a cos b+ cos a sin b cos(a+ b) = cos a cos b− sin a sin b

sin a+ sin b = 2 sin

(a+ b

2

)cos

(a− b

2

)sin a− sin b = 2 cos

(a+ b

2

)sin

(a− b

2

)

cos a+cos b = 2 cos

(a+ b

2

)cos

(a− b

2

)cos a−cos b = −2 sin

(a+ b

2

)sin

(a− b

2

)

Exponenciais complexas

eıθ = cos θ + ı sin θ sin θ =eıθ − e−ıθ

2ıcos θ =

eıθ + e−ıθ

2

2


ENUNCIADO DAS QUESTÕES DE MÚLTIPLA ESCOLHA Q1 até Q4

Enunciado da questão Q1.[1,0 ponto] Osciladores harmônicos amortecidos costumam ser modelados pela equação dife-rencial

d2x

dt2+ γ

dx

dt+ ω2

0x = 0. (1)

Uma maneira de encontrar as soluções desta equação diferencial é assumir a função tentativax(t) = ert como solução e encontrar quais os valores de r que realmente a tornam solução daequação diferencial (1). Fazendo a substituição de x(t) = ert em (1), vemos que os valores der que tornam a função tentativa solução de (1) são:

r1 = −γ2−√(γ

2

)2

− ω20 e r2 = −γ

2+

√(γ2

)2

− ω20 (2)

Os valores de r levam a três soluções distintas, as quais são classificadas conforme o radicandopresente em r1 e r2 seja maior, igual ou menor que zero. Com base nestas informações, escolhaa alternativa correta:

(a) Todas as três soluções da equação diferencial (1) referentes aos radicandos maior, menor ouigual a zero modelam oscilações, porque toda exponencial de um número real pode ser expressaem termos de funções periódicas, como senos e cossenos.

(b) Na situação onde r assume valores complexos, só a parte real de r tem significado físico.

(c) O caso onde ω0 > γ/2 corresponde ao único caso onde ocorrem oscilações porque podemosexpressar x(t) como uma função periódica.

(d) Se a frequência natural ω0 do sistema for muito maior que o fator dissipativo γ/2, a am-plitude de oscilação vai aumentando conforme o tempo passa.

(e) Quando γ/2 > ω0, o oscilador retorna muito mais rapidamente para a posição de equilíbriodo que quando γ

2= ω0.

Resolução da questão Q1.

(a) Errada - Apenas a solução com radicando menor que zero (γ2< ω0) terá comportamento

oscilatório.

(b) Errada - Tanto a parte real como a complexa têm significado físico. A parte real estárelacionada com a constante de decaimento da amplitude e a parte complexa com a frequência(ou período) de oscilação.

(c) Certa - Para o radicando menor que zero (γ2< ω0) o oscilador apresenta amortecimento

subcrítico, descrito por funções periódicas.

(d) Errada - Nenhuma das três soluções apresenta este tipo de comportamento em função dotempo. Em todos os casos, a amplitude decai com o tempo.

(e) Errada - O sistema volta mais rapidamente para a posição de equilíbrio quando γ2

= ω0.

3


Enunciado da questão Q2.[0,5 ponto] O gráfico abaixo representa a posição de uma partícula x(t) em função do tempo t,para um oscilador harmônico amortecido. A amplitude inicial A, em cm, e a frequência angularω, em rad/s, desse oscilador são, respectivamente, dadas por:

(a) 2 e π/5

(b) 2 e 0,1

(c) 20 e π/5

(d) 200 e 0,1

(e) 200 e π/5

0

1

2

-1

-2x

(m)

t (s)0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100


A frequência do movimento pode ser calculada conhecendo-se o período do movimento e usandoa relaçao ωT = 2π. Do gráfico tiramos que T = 10 s, logo

ω =2π

T=

2π

10⇒ T = π

5s

Pelo gráfico também tiramos que a amplitude inicial é 2 m ou 200 cm.

4


Enunciado da questão Q3.[1,0 ponto] A amplitude de um oscilador harmônico com amortecimento subcrítico diminui1/e de seu valor inicial, em 10 s. O valor do tempo característico de decaimento deste oscilador é:

(a) 5 s

(b) 10 s

(c) 15 s

(d) 20 s

(e) 25 s


Para o oscilador harmônico com amortecimento subcrítico a amplitude A(t) no instante t édada por

A(t) = A0e− γ

2t = A0e

− tτ

sendo A0 a amplitude em t = 0 e τ do tempo característico de decaimento. Como a amplitudecai 1/e de seu valor inicial em 10 s podemos escrever:

A(t = 10 s)

A0

=1

e

ouA0e

− 10τ

A0

=1

e⇒ e−

10τ = e−1 ⇒ τ = 10 s

Tabela 2: Respostas do exercício para as diferentes provas.

Prova Decaimento (%) tempo (s) τ (s)

A (1/e) 10 10B 50% 14 20C 25% 21 15D 25% 7 5

5


Enunciado da questão Q4.[1,5 ponto] Um sistema de suspensão mecânicaideal de massa m e constante elástica k oscila semamortecimento, sujeito à força externa da formaF (t) = 42 cos(ωt) (N). Um estudo demonstra que,quando o sistema atinge o regime estacionário, aamplitude de oscilação do sistema em função dafrequência angular da força externa se comportacomo na figura ao lado. O valor da constante elásticak do sistema de suspensão é:

w (rad/s)1 2 3 4 5 6 70

1

2

3

4

5

6

7

8

A (

m)

w (rad/s)1 2 3 4 5 6 70

A (

m)

1

2

3

4

5

6

7

8

(a) 8 N/m

(b) 16 N/m

(c) 18 N/m

(d) 24 N/m

(e) 27 N/m


A amplitude de uma oscilação forçada, no regime estacionário, é descrita pela expressão

A(ω) =F0

m|ω20 − ω2|

(3)

onde ω0 =√k/m.

O gráfico mostra que a frequência natural de oscilação do sistema é ω0 = 3 rad/s. Além destainformação, podemos utilizar qualquer outro ponto do gráfico para determinar a amplitudepara uma dada frequência ω. Escolhemos, por conveniência, a frequência ω = 4 rad/s, quecorresponde à amplitude de oscilação A = 2 m. Substituindo na expressão (3) temos:

m =F0

A|ω20 − ω2|

=42

2|9− 16|= 3 kg. (4)

onde utilizamos F0 = 42 N, como indicado no texto do problema. Com isso o valor da constanteelástica vale:

k = m · ω20 = 3 · 32 = 27 N/m. (5)

6


Tabela 3: Respostas do exercício para as diferentes provas.

Prova ω0 (rad/s) A(ω) m F0 (N) k (N/m)

A 4 A(5) = 2 27 24B 4 A(5) = 2 18 16C 3 A(4) = 2 28 18D 3 A(4) = 2 42 27

ENUNCIADO DAS QUESTÕES DISCURSIVAS Q5 até Q8

Uma mola de massa desprezível, comprimento L0 econstante k = 1, 125 × 104 N/m se encontra presaao teto. Na sua extremidade livre é pendurado umbloco de massa m = 50 kg. O sistema é abandonadoem um meio viscoso cujo coeficiente de atrito viscosoé ρ = 100 N.s/m, sob a ação da força peso (~Fp =

+mg ), da força da mola (~Fm = −ky ) e da forçaviscosa (~Fv = −ρdy

dt). A função que descreve a

posição do bloco no tempo, y(t), deste sistema seráescrita como:

y(t) = yp(t) + yh(t)

onde yp(t) é a solução particular (ou estacionária)da equação não-homogênea e yh(t) é a solução daequação diferencial homogênea. Adotando o eixo ycomo está indicado na figura, resolva as questõesQ5, Q6, Q7 e Q8.

0

ym

L0

Considere o bloco como partícula.Despreze a força de empuxo sobre obloco.

(Q5) [1,5 ponto] Escreva a equação diferencial que descreve o movimento deste oscilador,explicitando os valores numéricos dos coeficientes no sistema MKS.


A força resultante Fr no bloco é dada por:

~Fr = −ky − ρdydt

+mg

A expressão acima pode ser reescrita como:

md2y

dt2+ ky + ρ

dy

dt= +mg

Dividindo por m teremos:

d2y

dt2+ γ

dy

dt+ ω2

0y = g

7


onde definimos ω20 = k/m e γ = ρ/m. Substituindo os valores numéricos obtemos ω0 =√

k/m =√

(1, 125× 104)/50 =√

225 = 15 rad/s e γ = ρ/m = 100/50 = 2 s−1 e a equaçãodiferencial que descreve o movimento deste oscilador será escrita como:

d2ydt2

+ 2dydt

+ 225y = +10

8


(Q6) [1,5 ponto] Determine a solução particular yp(t) da equação diferencial não-homogênea.


A equação diferencial não homogênea descreve um oscilador amortecido forçado, que tem comosolução a função

yp(t) = A(Ω) cos(Ωt+ φ)

ondeA(Ω) =

F0/m[(ω2

0 − Ω2)2

+ γ2Ω2]1/2

etanφ(Ω) = − γΩ

ω20 − Ω2

expressões dadas na página 2 desta prova. Neste problema Ω = 0, logo

A(Ω = 0) =(F0/m)[

(ω20 − Ω2)

2+ γ2Ω2

]1/2=

g

ω20

⇒ A = mgk

etanφ(Ω) = − γΩ

ω20 − Ω2

= 0⇒ φ = 0

Logo, a solução particular é dada por:

yp(t) = mgk

9


(Q7) [0,5 ponto] O movimento do oscilador descrito pela equação homogênea é crítico, sub-crítico ou supercrítico? Justifique sua resposta numericamente.


A equação homogênea descreve um oscilador harmônico amortecido que tem como possíveissoluções um movimento supercrítico (γ

2> ω0), crítico (γ

2= ω0) ou subcrítico (γ

2< ω0), de-

pendendo da comparação entre os valores de ω0 e γ/2. Neste problema, ω0 = 15 rad/s eγ/2 = 1 s−1. Logo

γ2< ω0 ⇒ movimento subcrítico

10


(Q8) [2,5 pontos] Uma vez que no instante t = 0 a posição do bloco é y(t = 0) = 0 e a suavelocidade v(t = 0) = 0, determine a solução geral y(t). Resolva de forma literal, sem fazersubstituições numéricas.


A equação homogênea descreve um movimento subcrítico que tem como solução a função

yh(t) = Ae−γ2t cos(ωt+ ϕ)

onde

ω =

√ω2

0 −γ2

4=√

225− 1 =√

224 s−1

Assim, a solução geral fica:

y(t) = yp(t) + yh(t) = mgk

+ Ae−γ2t cos(ωt+ ϕ).

Impondo as condições que em t = 0, y(t) = 0 e v(t) = 0 obtemos as equações:

t = 0, y = 0⇒ A cosϕ+mg

k= 0⇒ A cosϕ = −mg

k(6)

t = 0, v = 0⇒ A(−γ2

) cosϕ− Aω sinϕ = 0 (7)

Substituindo (6) em (7) obtemos:

−γ2

(−mg

k

)− Aω sinϕ = 0

⇒ A sinϕ = mgγ2ωk

(8)

Elevando ao quadrado as expressões (6) e (8) e somando-as obtemos:

A =mg

k

√1 +

( γ2ω

)2

(9)

Substituindo 9 em 6 obtemos

ϕ = − cos−1

(1√

1 + (γ/2ω)2

). (10)

Assim, tendo-se determinado A e ϕ, a solução geral fica determinada.

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