f_sica aplicada _ engenharia civil

8/6/2019 F_sica Aplicada _ Engenharia Civil

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ESC

TEXTO D

FSICA A

Rui Lana, Eq. Professor

NIVERSIDADE DO ALGARVELA SUPERIOR DE TECNOLOGIA

APOIO S AULAS TERICAS DE

LICADA ENGENHARIA CIVIL

djunto

SETEMBRO DE 2008


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i

ndice de matrias

1 Introduo ........................................................................................................................................ 1

1.1 Sistema de unidades ................................................................................................................. 3

1.2 Semelhana ............................................................................................................................... 4

1.3 Clculo vectorial....................................................................................................................... 6

1.4 Clculo de determinantes ....................................................................................................... 11

1.5 Questes tericas .................................................................................................................... 12

2 Cinemtica ..................................................................................................................................... 13

2.1 Introduo ............................................................................................................................... 13

2.2 Movimento de uma partcula material .................................................................................... 13

2.3 Vector deslocamento .............................................................................................................. 14 2.4 Espao Percorrido................................................................................................................... 14

2.5 Equao da trajectria ............................................................................................................ 14

2.6 Vector velocidade mdia e vector velocidade instantnea ..................................................... 15

2.7 Vector acelerao mdia e vector acelerao instantnea ...................................................... 16

2.8 Componente normal e tangencial do vector acelerao ......................................................... 16

2.9 Questes tericas .................................................................................................................... 23

3 Cinemtica movimentos ............................................................................................................. 24

3.1 Movimento rectilneo ............................................................................................................. 24 3.2 Movimento circular ................................................................................................................ 28

3.3 Projecteis ................................................................................................................................ 33

3.4 Questes tericas .................................................................................................................... 33

4 Esttica das partculas no plano ..................................................................................................... 35

4.1 Foras actuantes numa partcula ............................................................................................. 35

4.2 Resultante de sistemas de foras concorrentes ....................................................................... 35

4.3 Resultante de vrias foras ..................................................................................................... 36

4.4 Decomposio de uma fora em componentes ...................................................................... 37 4.5 Equilbrio de uma partcula .................................................................................................... 38

4.6 Diagrama de corpo livre ......................................................................................................... 39

4.7 Questes tericas .................................................................................................................... 42

5 Dinmica de uma partcula ............................................................................................................ 44

5.1 As trs leis do movimento de Newton .................................................................................... 44

5.2 Relao entrerF e

ra e sua aplicao aos vrios tipos de movimento ................................... 46

5.3 Foras de ligao .................................................................................................................... 47

5.4 Movimento harmnico simples .............................................................................................. 53


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ii

6 Quantidade de movimento de um sistema de partculas................................................................ 55

6.1 Impulso de uma fora ............................................................................................................. 55

6.2 Momento linear de uma partcula e de um sistema discreto de partculas ............................. 56

6.3 Centro de massa de um sistema discreto de partculas ........................................................... 56

6.4 Momento linear do centro de massa ....................................................................................... 57 6.5 Lei do movimento do centro de massa ................................................................................... 58

6.6 Conservao do momento linear ............................................................................................ 59

6.7 Colises perfeitamente elsticas ............................................................................................. 59

6.8 Colises perfeitamente inelsticas .......................................................................................... 60

7 Trabalho e energia ......................................................................................................................... 61

7.1 Noo de trabalho ................................................................................................................... 61

7.2 Trabalho de uma fora constante ............................................................................................ 61

7.3 Trabalho realizado por uma fora varivel ............................................................................. 61

7.4 Foras que no realizam trabalho ........................................................................................... 64

7.5 Trabalho de um sistema de foras .......................................................................................... 64

7.6 Energia cintica ...................................................................................................................... 64

7.7 Energia potencial .................................................................................................................... 65

7.8 Conservao da energia mecnica .......................................................................................... 66

7.9 Lei da conservao da energia ................................................................................................ 67

8 Mecnica dos fluidos ..................................................................................................................... 68

8.1 Propriedades dos fluidos ........................................................................................................ 68

8.2 Presso .................................................................................................................................... 68

8.3 Distribuio hidrosttica de presses ..................................................................................... 69

8.4 Vasos comunicantes ............................................................................................................... 71

8.5 Prensa hidrulica .................................................................................................................... 72

8.6 Presso atmosfrica ................................................................................................................ 72

8.7 Lei de Arquimedes ................................................................................................................. 74

9 Centros de gravidade, momentos estticos e estudo de foras distribudas .................................. 75

9.1 Momento de uma fora em relao a um ponto ..................................................................... 75

9.2 Centro de gravidade de um corpo bidimensional ................................................................... 76

9.3 Centro de massa de uma placa homognea ............................................................................ 77

9.4 Momentos de primeira ordem ou momento esttico .............................................................. 77

9.5 Baricentro de uma placa composta ......................................................................................... 79

9.6 Teorema de Pappus-Guldin .................................................................................................... 81

9.7 Cargas distribudas sobre vigas .............................................................................................. 81

10 Eixos principais de inrcia, inrcias mximas e mnimas ........................................................... 84 10.1 Exemplos de aplicao ......................................................................................................... 84


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iii

10.2 Momentos de inrcia ............................................................................................................ 86

10.3 Momento polar de inrcia ..................................................................................................... 88

10.4 Raio de girao de uma superfcie........................................................................................ 89

10.5 Teorema dos eixos paralelos ................................................................................................ 90

10.6 Momento de inrcia de superfcies planas compostas .......................................................... 91 10.7 Momentos de inrcia de figuras geomtricas comuns .......................................................... 94

11 Produto de inrcia e crculo de Mohr .......................................................................................... 97

11.1 Produto de inrcia ................................................................................................................. 97

11.2 Extenso do teorema dos eixos paralelos ............................................................................. 97

11.3 Eixos e momentos principais de inrcia ............................................................................... 98

11.4 Crculo de Mohr para momentos e produtos de inrcia...................................................... 101

Referencias Bibliogrficas ............................................................................................................. 107


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UNIVERSIDADE DO ALGARVE LICENCIATURA EM ENGENHARIA CIVIL FSICA APLICADA ENGENHARIA CIVIL 2008/20091

1 IntroduoA fsica a mais bsica das cincias, aborta o comportamento e estrutura da matria. Esta rea toabrangente divide-se em reas do conhecimento que estudam o movimento, os slidos, os fluidos,os gases, o calor, o som, a luz, a electricidade, o magnetismo, a relatividade, a estrutura atmica, aradioactividade, a fsica de partculas e a astrofsica entre outros.Na aplicao engenharia civil abordamos apenas alguns tpicos relacionados com o movimento,slidos e fluidos, dos quais se destacam:- Grandeza fsica e sistemas de unidades. Estas noes so fundamentais para quantificar asvariveis envolvidas nos diversos problemas e resolver. Para o Engenheiro Civil fundamental teruma noo das grandezas com que lida, saber o que significam e o que valem as unidade utilizadaspara as quantificar e com a experincia adquirir sensibilidade para os valores das unidade e associaresses valores com a sua materializao na realidade.- Cinemtica. Neste captulo aborta-se o estudo do movimento em 1D e 2D, esta anlise permiteestabelecer clculos sobre trajectrias, velocidade, tempos de viagem, tempos de queda de umcorpo em queda livre.- Estticas das partculas no plano. A esttica um caso particular do movimento (dinmica),situao em que as foras aplicadas se equilibram. Neste captulo utiliza-se o clculo vectorial parao clculo de situaes de equilbrio aplicado a casos reais com que o engenheiro civil se pode

debater.- Centros de gravidade. O clculo do centro de gravidade de uma superfcie ou de um corpo muito utilizado na Engenharia Civil, basta pensar que se for necessrio segurar um corpo por umnico ponto, esse ponto ser o centro de gravidade.- Conceito de momento. O momento de uma fora em relao a um ponto traduz o efeito derotao que essa fora causa num corpo que possa girar em torno do ponto. Em situaes estticaso conceito de momento tambm importante pois permite determinar as condies de equilbrio rotao.

- Momentos estticos de uma superfcie.O momento esttico ou o momento de primeira ordemde uma superfcie em relao a um eixo traduz o produto da rea pela distncia ao eixoconsiderado. uma propriedade geomtrica que influencia a forma como os esforos internos sedistribuem numa seco de um elemento estrutural.- Estudo de foras distribudas. Na natureza todas as foras so distribudas, mas na concepode um problema se a fora actua numa rea muito reduzida pode ser considerada como uma foraconcentrada. Existem outras situaes em que para efeito da resoluo de um problema podemosrepresentar uma fora distribuda como uma fora concentrada desde esta abstraco no altere os

resultados obtidos na resoluo do problema.


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- Momento de inrcia de superfcies. O inrcia ou o momento de segunda ordem de umasuperfcie em relao a um eixo traduz o produto da rea pelo quadrado distncia ao eixoconsiderado. uma propriedade geomtrica que influencia a forma como os esforos internos sedistribuem numa seco de um elemento estrutural. No confundir momento de inrcia de uma

superfcie com inrcia (propriedade de um corpo tem para oferecer resistncia a alteraes develocidade).- Dinmica de uma partcula. Neste captulo introduzem-se as leis fundamentais da dinmicaclssica, ou seja, as trs leis de Newton. Estas leis so aplicadas em situaes prticas do dia a diacom nfase para casos da engenharia civil. Tambm se aborda o movimento harmnico e a suautilizao na analise dinmica de estruturas.- Trabalho e energia. O conceito de trabalho e energia permite resolver alguns problemas dacinemtica e da dinmica de uma forma muito mais simples.- Mecnica dos fluidos. Neste captulo faz-se uma ligeira abordagem aos estados da matria, spropriedades dos fluidos e a alguns casos em que a aco hidrosttica dos fluidos condiciona oresultado de uma observao, como a fora exercida por um fluido nas paredes do recipiente que ocontem, o funcionamento do barmetro de mercrio, a prensa hidrulica e a aplicao do teoremade Arquimedes a corpos totalmente ou parcialmente imersos.

A Fsica Aplicada Engenharia Civil no deve ser vista como uma disciplina estanque, mas simcomo uma disciplina cujos conhecimentos so aprofundados e aplicados em outras disciplinas daengenharia civil como esttica, estruturas, beto, hidrulica e solos.

Este manual da disciplina de Fsica Aplicada Engenharia Civil no pretende ser o nicoelemento de consulta para apoio s aulas tericas. Pretende ser uma referncia para oprimeiro contacto do aluno com as matrias leccionadas, as quais sero alvo estudo maisdetalhado nas referncias bibliogrficas indicadas.

recomendado que o estudante leve estes apontamentos para as aulas tericas parano ser forado a passar toda a informao do quadro e desta forma poder seguir aaula com tempo para raciocinar sobre os temas discutidos.


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1.1 Sistema de unidades

Uma medio de uma grandeza fsica exprimida com base num valor padro dessa grandeza. Aesse valor padro chama-se a unidade de medida da grandeza.Um sistema de unidades um conjunto coerente de unidades, umas fixadas arbitrariamente porcomparao com valores padro (unidades fundamentais) e outras obtidas com base nas primeiraspor meio de equaes de definio (unidades derivadas).Na fsica mecnica as grandezas fsicas fundamentais so trs:

M massaL comprimentoT tempo

Formando o sistema MLT, o qual a base do sistema internacional (SI).As unidades de medida das grandezas fsicas fundamentais no sistema internacional de pesos emedidas (S.I.) so

Quilograma (kg) massaMetro (m) comprimentoSegundo (s) tempo

Unidades padro

A unidade padro para a massa o (kg). O (kg) padro um cilindro de platina guardado noInternational Bureau of Weights and Measures prximo de Paris.A unidade padro para o tempo o (s) e definido como 9 192 631 770 perodos da radiao detomos de celcium.A unidade padro para o comprimento o (m). O metro padro o comprimento percorrido pelaluz no vacum durante um intervalo de tempo de 1/299 792 458 (s).Todas as unidades utilizadas para quantificar as grandezas fsicas fundamentais foram definidas porconveno e as medies so feitas por comparao do tamanho da grandeza fsica com a unidade

padro dessa mesma grandeza fsica.

Grandeza fsica derivada

Uma grandeza fsica derivada exprimida por uma equao de definio. Como exemplo deequao de definio, pode-se considerar a equao da variao da posio num movimentorectilneo uniforme.

dt vr d =rr

dt

r d v

rr

=


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Para determinar as grandezas fsicas fundamentais envolvidas na grandeza fsica derivadavelocidade, substitui-se na equao os smbolos das grandezas fsicas fundamentais, obtendo-se.

[ ]rv L T = 1

Para a acelerao, que se define como a variao da velocidade em ordem ao tempo, obtm-se.

dt vd

arr

=

Substituindo na equao os smbolos das unidades fundamentais, vem.

[ ] [ ]r

r

avT

L T = = 2

A fora definida pela segunda lei de Newton.r rF m a=

E as respectivas grandezas fsicas fundamentais so.[ ]

rF M L T = 2

De um modo geral as grandezas fsicas fundamentais de uma grandeza derivada X so.

[ ] X M L T =

Em que , e so as dimenses da grandeza. Quando = = = 0 a grandeza diz-seadimensional, como por exemplo a densidade relativa e um ngulo.O quadro seguinte apresenta as dimenses das grandezas mais correntes da Fsica Mecnica, no

sistema MLT.

Grandeza fsica [X] Dimenses Sistema SI

Comprimento 0 1 0 (m)rea 0 2 0 (m2)Volume 0 3 0 (m3)Tempo 0 0 1 (s)Velocidade 0 1 -1 (m/s)Acelerao 0 1 -2 (m/s2)

Massa 1 0 0 (kg)Fora 1 1 -2 (N) (kg.m/s2)Presso 1 -1 -2 (Pa) (N/m2)Peso volmico 1 -2 -2 (N/m3)Massa volmica 1 -3 0 (kg/m3)Quantidade de movimento 1 1 -1 (kg.m/s)Trabalho 1 2 -2 (J) (kg.m2 /s2)Potncia 1 2 -3 (W) (kg.m2 /s3)

1.2 Semelhana

Na fsica e na engenharia civil utiliza-se modelos matemticos que se baseiam em frmulas eprocessos matemticos para obter os resultados. Algumas vezes lida-se com problemas cuja


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caracterizao atravs de modelos matemticos pode ser difcil pelo que se torna rentvel utilizarmodelos fsicos.Os modelos fsicos assentam na construo de uma maquete escala com comportamentosemelhante realidade. No modelo so colocados instrumentos que permitem obter leituras sobre

velocidades, posies, foras, deformaes, etc.A correlao entre as leituras obtidas no modelo e a realidade muitas vezes no so lineares.Quando se constri um modelo podem-se ter escalas diferentes para as grandezas fsicascomprimentos [L] segundo x, y e z (Lx), [Ly] e [Lz], para a massa [M] e para o tempo [T]. Ora veja-se o seguinte exemplo:Exemplo 1:Num modelo fsico escala [L] = 1/10, [T] = 1/1 e [M] = 1/20 desloca-se uma partcula com massa

m Modelo velocidade Modelovr

.

Questo:Qual ser a velocidade real?Resposta:A grandeza fsica derivada velocidade define-se como:

dt r d

vr

r=

As grandezas fsicas fundamentais envolvidas na grandeza fsica derivada velocidade so:

[ ] 1= T Lvr

( ) ( )1Re 110

= Modelo Modeloal t r vrr

Ou seja

Modeloal vvrr= 10Re

A velocidade ser 10 vezes superior na realidade do que no modelo.Nem sempre a relao de proporcionalidade linear como se pode constatar neste exemplo para avelocidade.Questo:Qual ser a energia cintica real?Resposta:A equao de definio da energia cintica dada por:

2

21 vm E C r=

Logo

( ) ( )2Re 102021

Modelo Modeloal vm E r=

( ) 22Re 211020 Modelo Modeloal vm E

r=

Modeloal C C E E = 1000

Re


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Exemplo 2:Para testar o comportamento de um reservatrio, desenvolveu-se um modelo fsico escala [L] =1/20; [T] = 1/1; [M] = 1/1.7. Sabendo que a aco da gua sobre uma parede vertical plana com

dimenses (H. L) de ModeloF r

, qual a fora que actua sobre a parede na realidade.alF Rer

. A

equao de definio :

L H gF = 221 rr

Sendo: massa volmica da gua (kg/m3)

gr

acelerao da gravidade (m/s2)

H altura da parede (m)

L extenso da parede em planta (m)

( ) ( ) ( ) Modelo Modelo Modeloal L H gF = 20207.121 2

Rerr

L H gF Modeloal =22

Re 20207.121 rr

Modelo Modelo Modeloal L H gF =2

Re 6800rr

Nos exemplos anteriores mostrou-se como a partir de dados medidos em modelos reduzidos depodem obter os valores reais. Nestes exemplos utilizaram-se casos em que por equaesmatemticas fcil obter os resultados para a realidade pelo que no faz sentido construir modelosfsicos, nestes casos utilizam-se modelos matemticos. Contudo existem situaes, que saem forado programa desta cadeira, em que no existem modelos matemticos correctos como por exemplo:clculo de foras aerodinmicas exercidas pelo vento numa estrutura no convencional; calcular asalteraes no transporte de sedimentos que provocam a alterao da configurao do fundo de umesturio devido ampliao dos molhes de proteco de um porto; na construo de um novoempreendimento turstico numa zona ventosa determinar as zonas abrigadas para colocar

esplanadas; etc.

1.3 Clculo vectorial

Na fsica trabalha-se com grandezas escalares e grandezas vectoriais. Uma grandeza escalar definida por um nmero. Por exemplo a massa de um corpo de x (kg). Significa que a massa destecorpo de x vezes a unidade padro. Desta forma est definida qual a massa do corpo. Contudoao dizer que a velocidade de um corpo de y (m/s), esta grandeza no est definida. Sabe-se que ocorpo se desloca a y (m/s) mas em que direco? E em que sentido? Para no deixar estas perguntas

em aberto, a velocidade define-se como uma grandeza vectorial. Ao escrever que a velocidade do


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corpo der

y (m/s), est definido tambm a direco e sentido da grandeza para alm da sua

intensidade.Um vector um segmento de recta orientado. As componentes escalares de um vector so dadaspelas diferenas entre as coordenadas do ponto apontado pelo vector (B) e o ponto onde o vector aplicado (A).

) ) z z y y x x z y x A B A B A Buuuu == ,,,,r

Vectores equivalentes tm o mesmo mdulo, direco e sentido. Porm podem ser aplicados empontos distintos.

1.3.1 Soma de vectores r r ra u v= +

z z y y x x vuvuvua +++= ,,r

1.3.2 Diferena de vectores

( )r r ra u v= +

( )ra u v u v u v x x y y z z= , ,

1.3.3 Mdulo de um vector

O mdulo de um vector uma grandeza escalar e significa o comprimento do vector, ou seja a

distncia em linha recta entre os pontos situados nas extremidades desse vector.

222 z y x aaaa ++=

r

B

ur

ra

ru

rv

ra r

u

rv

rv

ra

ra


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k jir 323 ++=r

A notao recorrendo a versores mais correcta do ponto de vista matemtico e facilita os clculos

que envolvam grandezas vectoriais.O vector

( )rr r r r x y z= , ,Passa a ser escrito na forma

rr r i r j r k x y z= + + $ $

$

Na realidade, um vector definido como a soma dos produtos de escalares por versores queindicam a direco e sentido de cada um dos eixos.

1.3.7 Produto interno de 2 vectores

O produto interno de 2 vectores uma grandeza escalar e definido como o produto dos mdulosde dois vectores projectados sobre a direco de um deles. O produto interno comutativo.

( )[ ]rr r r

a b a b = cos

( )[ ]rr r r

a b a b = cos

O produto interno de dois vectores pode ser calculado recorrendo s s componentes escalares. Porvezes til calcular o produto interno desta forma pois no se sabe qual o ngulo formado entreos dois vectores. Esta questo mais pertinente se o problema for tridimensional.

Se estivermos num referencial ortonormado vlido afirmar.

i

j

k

y

x

z

rr

ra rb


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( ) ( ) ( ) 10cos11 ==== k k j jii

( ) ( ) ( ) 090cos11 ==== jk k i ji

Pelo que.k b jbibk a jaiaba z y x z y x ++++=

rr

+++= k bia jbiaibiaba z x y x x x rr

++++ k b ja jb jaib ja z y y y x y

k bk a jbk aibk a z z y z x z +++

Simplificando, vem.r ra b a b a b a b x x y y z z = + +

Conjugando as duas equaes para o clculo do produto interno resulta.

( )r r r ra b a b a b a b a b x x y y z z = + + = cos

Explicitando o termo desconhecido ( )cos , obtm-se.

( )cos = + +

a b a b a b

a b

x x y y z zr r

1.3.8 Produto externo de 2 vectores: O produto externo de dois vectores um vector que tem uma direco perpendicular ao plano quecontm os dois vectores e cujo sentido definido pela regra da mo direita ou do saca-rolhas. Omdulo dado pelo produto do mdulo do primeiro vector pelo segundo projectado numa direconormal direco do primeiro. Este conceito importante para o clculo do momento de uma foraem relao a um ponto por exemplo.O produto externo no comutativo.

( ) ( )rr

r F r i r j r k F i F j F k x y z x y z = + + + + $ $$ $ $ $ A

equao anterior traduz-se pela resoluo do seguintedeterminante

r rr F

i j k

r r r

F F F

x y z

x y z

=

$ $ $

ra

rb

( )rb sin


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2 Cinemtica

2.1 Introduo

A cinemtica o captulo da fsica que estuda o movimento.O repouso e o movimento so conceitos relativos pois dependem do referencial utilizado paradescrever o movimento. Por exemplo, uma rvore est em repouso em relao terra mas emmovimento em relao ao Sol.Assim para descrever o movimento, o observador deve definir o referencial que utiliza.

2.2 Movimento de uma partcula material

A posio de uma partcula pode ser definida relativamente a um referencial atravs de um vectorde posiorr .

Sejarr 1 o vector de posio da partcula no instantet 1 e

rr 2 o vector de posio da partcula no

instantet 2.

rr r i r j r k x y z1 1 1 1= + + $ $

$

rr r i r j r k x y z2 2 2 2= + + $ $

$

Como a posio da partcula altera-se com o tempo, o vectorrr funo det .

rr r i r j r k x y z= + + $ $

$

Sendo.

( )r f t x x=

( )r f t y y=

( )r f t z z=

As equaes ( )t r x , ( )t r y e ( )t r z so as equaes paramtricas do movimento. Neste caso conclui-

se que o vector posio ser uma funo det .

( )rr f t =

y

z

x

rr 2

rr 1

$i

$ j

$k


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Em funo do tempo, um ponto material, definido apenas pelas suas coordenadas, em movimentovai ocupando sucessivas posies num determinado referencial, formando uma linha que sedesigna trajectria.

2.3 Vector deslocamento

Considere-se uma partcula que descreve uma trajectria tal que a sua posio no instantet 1 rr 1 e

no instante t2 rr 2 .

A diferena entre as posies final e inicial indica a mudana de posio do ponto material, chama-se deslocamento e designa-se por

rr .

r r rr r r = 2 1

2.4 Espao Percorrido

O espao corresponde distncia total percorrida e igual soma dos mdulos dos vriosdeslocamentos elementares. O espao sempre um valor positivo.

s r r r n= + + + r r r1 2 ...

A um deslocamento nulo pode no corresponder um espao nulo e a um mesmo deslocamentopodem corresponder espaos diferentes. O espao percorrido s idntico ao mdulo do vectordeslocamento se a trajectria for rectilnea e se no ocorrerem inverses de sentido.

2.5 Equao da trajectria

Considere-se um referencial tridimensional ortonormado xyz e vector posiorr dado por.

rr r i r j r k x y z= + + $ $

$

Se a partcula estiver em movimento,r x, r y e r z so funes det .

y

z

x

rr 2

rr 1

$i

$ j

$k

rr


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As equaes que traduzem a variao das coordenadas de posio com o tempo designam-se porequaes paramtricas do movimento.

( ) x f t x= ; ( ) y f t y= ; ( ) z f t z=

Eliminando a varivelt neste sistema obtm-se a equao da trajectria.

EXEMPLO:Sendo o vector posio de uma partcula dado.

rr t i t j= + 2 3 2$ $

As equaes paramtricas do movimento so.

=

=23

2t r

t r

y

x

A equao da trajectria ser.

=2 xr t

=

2

43

xr y

2.6 Vector velocidade mdia e vector velocidade instantnea

O vector velocidade mdia a razo entre o vector deslocamento e o intervalo de tempo em que

esse deslocamento ocorre, ou seja:r

r

vr t m

=

O vector velocidade instantnea dado pelo vectorrr sobre o intervalot quando este tende para

zero.

rr

vr t t

=

lim

0

dt

r d

v

vr

= A direco de

rv tangente trajectria no ponto onde se encontra a partcula no instante

considerado.

y

x

rv


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2.7 Vector acelerao mdia e vector acelerao instantnea

O vector acelerao mdia dado por:

rr

avt m

=

A acelerao mdia tem a direco e o sentido do vectorrv .

O vector acelerao instantnea o limite para que tende o vector acelerao mdia quando ointervalo de tempo tende para zero.

r rr

a avt t m t

= =

lim lim

0 0

22

dt r d

dt vd a

rrr ==

2.8 Componente normal e tangencial do vector acelerao

Se a trajectria for curvilnea, o vector acelerao est sempre dirigido para a concavidade datrajectria.

2.8.1 Movimento acelerado

Num certo intervalo de tempo o movimento acelerado se o mdulo da velocidade aumentar.

y

x

rvi

rv f

rv f

rv

A

B

y

x

rvi

rv f

rv f

rv

A

B


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2.8.2 Movimento retardado

Num certo intervalo de tempo o movimento retardado se o mdulo da velocidade diminuir.

r r ra a an t = +

y

x

v

a t ra

rv

A

B

va n

y

x

va t

ra

rv

A

B

va n

y

x

rvi

rv f

rv f

rv A

B


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2.8.3 Movimento uniforme

Se num certo intervalo de tempo o mdulo da velocidade for constante, o movimento diz-seuniforme.

2.8.4 Componente normal e tangencial do vector acelerao

Considere-se uma partcula a descrever uma trajectria curvilnea no plano xy.

y

x

v ra ot

rv

A

B

v ra an

y

x

rvi

rv f

rv f

rv

A

B

P ra t ra n

ra

rv

$i

$ j

x

y


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No instantet a partcula encontra-se no pontoP com velocidade com velocidaderv e acelerao

ra

.Pode-se exprimir

ra em funo de duas componentes:

- uma segundo a direco tangente trajectria, acelerao tangencialra t ;

- uma segundo a direco normal trajectria, acelerao normalra n .r r ra a an t = +

Considerando um versor tangente trajectria$u t e outro normal trajectria$un . O vector

acelerao pode escrever-se da seguinte forma.ra a u a un n t t = + $ $

Em que as variveis tm o seguinte significado:ra n est relacionado com a variao da direco de

rv ;

ra t est relacionado com a variao do modulo de

rv .

Comorv tangente trajectria, pode-se escrever que:

rv v ut = $

Sabendo que:

dt vd

ar

r=

Pode-se escrever:

( )dt ud vu

dt dv

dt uvd a t t

t +==r

Numa trajectria curvilnea, a direco do versor$u t varia e assim

$ut t 0 . Considerando a

seguinte figura.

P

d

$i

$ j x

y

R

P'

$ut

$un


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Em que um ngulo que a tangente curva faz no ponto P com o eixo dos xx.

Pode-se decompor$u t e $un segundo as direces dos eixos x e y.

( ) ( )$ cos $ sin $u i jt = +

jiu n 2sin2cos

++

+=

( ) ( ) jiu n cossin +=

A derivada de$u t em ordem ao tempo dada pela seguinte equao.

( ) ( ) jdt d

idt d

dt ud t cossin +=

Colocandodt d em evidncia obtm-se.

( ) ( )[ ]dt d

jidt ud t += cossin

O que igual a.

dt d

udt ud

nt

=

Com d em radianos pode-se escrever:

Rd dS =

O que pode ser escrito como.

RdSd 1=

Ou.

t Sd

Sd d

dt d

=

Rv

v Rdt

d ==1

Ou seja.

nt u

Rv

dt ud =

Substituindodt ud t na expresso de

ra ,

( )dt ud

vudt dv

dt uvd

a t t t +==

r

Vem.

R

R

d

dS


25/111


nt u Rv

vudt dv

a +=r

nt u Rv

udt dv

a 2

+=r

em que.r r ra a at n= +

ra

vt

ut t =

$

ra

v R

un n= 2

$

Serv = constante

r ra t = 0

Se a trajectria for rectilnea ( R = ) r ra n = 0

Se o ngulo formado entre os vectoresrv e

ra for:

< 90 ra t e

rv tm o mesmo sentido movimento acelerado;

> 90 ra t e

rv tm o sentido contrrio movimento retardado;

= 90 r ra t = 0 , o movimento uniforme.

EXEMPLOConsidere um canal rectangular, no qual o escoamento segue com velocidadev. Sabendo que ocanal descreve uma curva horizontal com raio R. Qual ser a inclinao da superfcie livre doescoamento quando representada numa seco transversal do mesmo?


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27/111


2.9 Questes tericas

Q1)Refira a definio e a expresso que permite determinar as seguintes grandezas fsicas:acelerao normal, acelerao tangencial, velocidade mdia, velocidade instantnea,acelerao angular, perodo, frequncia.

Q2) Estabelea a equao da posio angular para um movimento circular uniforme.


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3 Cinemtica movimentosNa aula anterior foram analisadas as relaes entre as variveis cinemticas (posio, velocidade eacelerao) na situao mais geral. Agora vo ser analisados casos particulares para movimentos

rectilneos uniformes, movimentos rectilneos uniformemente acelerados, movimentos circularesuniformes, movimentos circulares uniformemente acelerados, movimentos harmnicos simples emovimento de projcteis sem considerar os efeitos da resistncia aerodinmica.

3.1 Movimento rectilneo

Movimentos rectilneos so todos os movimentos cuja trajectria rectilnea.

Considere-se uma partcula a mover-se numa direco associada de um versor$i . Como o vector tangente trajectria.

rv v i= $

Logo a acelerao ser dada por.

rr

avt

vt

i vit

= = +

$$

em quei = Constante

O termo

0 r

=dt

id v

Logo podemos escrever.

idt dv

a =

Como foi visto.

t adt dv =

Logo.ra a it = $

Ou seja.r ra a t =

$i

rv

x


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Isto quer dizer que nos movimentos rectilneos s existe acelerao tangencial. Por isso de umaforma geral fala-se simplesmente em acelerao sendo a acelerao e acelerao tangencial amesma coisa.Quando se descreve uma varivel vectorial num sistema com um nico eixo, esta pode ser escrita

como uma varivel escalar sem perda de informao. Se o vector estiver dirigido no mesmo sentidodo eixo a varivel positiva, caso contrrio negativa. O mdulo do vector dado pelo valor davarivel e a direco a nica possvel, a do eixo utilizado.

3.1.1 Movimento rectilneo uniforme

Os movimentos rectilneos uniformes (m.r.u.) so movimentos em que o mdulo do vectorvelocidade permanece constante.

rv = Constante

Como nos movimentos rectilneos a direco do vectorrv constante.rv = Constante

Foi visto que.

dt vd

ar

r= e

rv = constante

Logo.r ra = 0

O vector velocidade instantnea constante, pelo que coincide com o vector velocidade mdia.r rv vm=

rv r r

vr t

r r

t m f i= =

Neste tipo de movimento.r rv vm=

Pelo que se pode escrever.

rr r

vr r

t f i

=

r r rr r v t f i= +

Como o movimento rectilneo, possvel escrever a equao do seguinte modo.

r i r i v i t f i = + $ $ $

Dividindo a equao pelo versor, obtm-se a equao do movimento rectilneo uniforme na formaescalar.

r r v t f i= +


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Nos movimentos rectilneos que so descritos com base num nico eixo as variveis vectoriaisposio, velocidade e acelerao so completamente definidas por um escalar uma vez que estinerente equao que tm a direco do nico eixo definido no problema e o sentido ser dadopelo respectivo sinal.

possvel chegar ao mesmo resultado com base no clculo infinitesimal. Neste exemplo utilizamosas equaes na forma escalar, com conhecimento de que a posio, velocidade e acelerao sedesenvolvem segundo um nico eixo.

dt dr

v =

dt vdr =

= dt vr

Comov constante resulta

t vr r i +=

Se derivarmosv em ordem ao tempo, obtemosr . Se integrarmosr em ordem ao tempo obtemosv.Podemos ver o significado destas operaes em termos grficos.

Neste grfico foi considerado quet i=0 e r i=0 para a visualizao ser mais fcil. Nesta situao aposior no instantet i dada porv.t que representa a rea sob a linha das velocidades at aoinstantet f .O declive da linha que define a posior igual ao valor da velocidadev.

r

v

a

t

v

t f t

i

r


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3.1.2 Movimento rectilneo uniformemente variado

Os movimentos rectilneos uniformemente variados so movimentos em que o escalar da

acelerao tangencial permanece constantera t , que se pode escrever de uma forma simplificada e

sem perda de rigor comoa t .a t = Constante

Como se trata de um movimento rectilneo.

a n = 0 Como a acelerao constante o seu valor mdio igual ao valor instantneo.

r ra a m=

rr r

av v

t m

f i=

Pode escrever-se.

rr r

av v

t f i

=

Ou seja.r r rv v a t f i= +

t iaiviv i f +=

Dividindo pori resulta.v v a t f i= +

Pela definio de velocidade.

dt r d

vr

r=

Pode-se estabelecer a seguinte equao diferencial ordinria de 1 ordem.

dt vr d =rr

( )dt t avr d

i+=

rrr

Integrando a equao interior.

( ) dt t avr i += rrr Da sua resoluo resulta.

r r r rr r v t a t f i i= + +

12

2

Representao tpica do comportamento da posio, velocidade e acelerao em funo do temponum movimento rectilneo uniformemente variado m.r.u.v.


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Para qualquer m.r.u. temos sempre a acelerao definida por uma recta horizontal a velocidadedefinida por uma recta qualquer e a posio definida por uma parbola.

dt dr

v =

dt dv

a = = constante

3.2 Movimento circular

Designam-se por movimentos circulares aqueles em que a trajectria circular ou seja o raio R constante.Considerando uma partcula a descrever uma trajectria circular no plano xy em que R o raio datrajectria.

r, v, a

t

a

v

r


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Em que as variveis representadas na figura anterior assumem os seguintes significados:

S comprimento do arco descrito pela partcula;

dt intervalo de tempo;

ngulo ao centro;

r Rr

= raio da trajectria.

Nestes movimentos podemos utilizar coordenadas polares para definir a posio. Como o raio

constante, a posio fica definida pelo ngulo ao centro. Quando a partcula descreve um ngulo aocentro a distnciaS percorrida pela partcula dada por.

RS =

3.2.1 Velocidade angular

Como a posio definida pela posio angular podemos definir a velocidade angular com ongulo ao centro varrido por unidade de tempo.

t medio

= r

No limite quando 0t temos:

t ot =

limr

dt d =

r

A velocidade angular uma grandeza vectorial com direco normal ao plano do movimento esentido dado pela regra da mo direita.

Podemos ento escrever:

x

y

z

rv

rr

r

S


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r r = $k

Em que $k o versor que define a direco e sentido do eixo z.Como o espao percorrido definido por.

RS = Derivando em ordem ao tempo obtm-se a relao entre velocidade ou velocidade linear evelocidade angular.

dt dR

Rdt d

dt dS

+=

Como o raio R constante, resulta.

Rk uv t =

3.2.2 Acelerao angular Derivando o vector velocidade angular em ordem ao tempo, obtm-se a acelerao angular:

rv

=t

3.2.3 Movimento circular uniforme

Neste tipo de movimentos o mdulo do vector velocidade constante, mas a sua direco altera-seconstantemente.

v = Constanterv Constante

Assim temos as seguintes relaes.

00 == t adt dv

00rr

r

adt vd

O que nos leva a concluir que s existe acelerao normal trajectria:r ra a n=

Como.v = Constante

v vm=

vSt

=

O espaoS dado pela seguinte expresso:

t vS = t vSS = 12


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t vSS += 12

Neste movimentov e R so constantes.v R=

=v

R e = constante

A acelerao angular:

0==dt d

Como = constante, a partcula descreve ngulos ao centro iguais em iguais intervalos de tempo.

t medio

==

=

0t

= + 0 t

No movimento circular uniforme, o vector acelerao radial, centrpeto, portanto normal aovector velocidade em cada ponto e de mdulo constante.

r r ra a a A B C = = r r rv v v A B C = =

3.2.3.1 Perodo

O perodo (T) o intervalo de tempo ao fim do qual as caractersticas posio, vector velocidade evector acelerao se repetem.

ra A

ra B

ra C

A

B

C

rv A

rv B

rvC


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3.2.3.2 Frequncia

A frequncia de um movimento circular uniforme (m.c.u) o nmero de voltas por unidade detempo que a partcula descreve.Sendo R o raio da trajectria eT o perodo do movimento, vem.

v R

T = 2

Como.v R=

=v

R

Podemos escrever que.

=

= 2 2 RT R f

3.2.4 Movimento circular uniformemente variado

Neste tipo de movimento, a acelerao angular constante. =constante

Como.

dt d =

dt d =

= t = + 0 t

E porque.

dt d =

dt d = Substituindo.

( ) dt t d += 0 Integrando.

( ) dt t += 0 Obtm-se.

= + + 0 021

2t t


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3.3 Projecteis

O movimento efectuado por um projctil descreve uma trajectria plana em forma de parbola.Trata-se da soma de dois movimentos, um segundo a horizontal e outro segundo a vertical.Um projctil, se desprezarmos a resistncia do ar, aps ter sido lanado s est sujeito aco da

gravidaderg . Este vector tem a direco vertical e dirigido de cima para baixo.

A componente horizontal do movimento um movimento rectilneo uniforme. A componentevertical um movimento rectilneo uniformemente variado.

( )rr r v t i r v t g t j x x y y= + + + 0 0 0 0

212

$ $

( )rv v i v g t j x oy= + 0 $ $

jga =r

3.4 Questes tericas

Q1) Prove que a trajectria de um projctil parablica.

Q2) Indique o conceito de perodo e de frequncia

rv y0

rv x0

rv0

rr 0

$i

$ j

x

y

rr x0

rr y0


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Q3) Explique porque razo dois objectos em queda livre no vcuo, com massas e volumesdiferentes, partindo do repouso, percorrem a mesma distncia no mesmo intervalo de tempo?Apresente a equao que traduz o fenmeno.

Q4) Estabelea a partir da equao da acelerao normal e acelerao tangencial a relao entre otempo e o ngulo formado entre o vector velocidade e o vector acelerao num movimento circularuniformemente acelerado. Assuma que a partcula partiu do repouso.

Q5) Represente os grficos posio/tempo, velocidade/tempo e acelerao/tempo para omovimento rectilneo uniformemente variado, nas variantes de ser acelerado e de ser acelerado.


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4 Esttica das partculas no planoEste captulo estuda o efeito das foras que actuam em partculas.Por partcula entende-se um corpo com dimenses desprezveis, pelo que a sua forma e dimenso

no alteram significativamente os resultados do problema.

4.1 Foras actuantes numa partcula

Uma fora representa a aco de um corpo sobre outro e representada pela sua intensidade, pontode aplicao, direco e sentido.Foras actuantes numa partcula tm o mesmo ponto de aplicao.Uma fora representa-se por um segmento de recta orientado, o que se pode denominar por vector.O mdulo do vector representa a intensidade da fora. No sistema internacional a unidade de fora o Newton (N). Na engenharia civil comum utilizar o quilo newton (kN), pois lida-se com forasgrandes e com a utilizao de um mltiplo, evita o uso de nmeros com muitos dgitos nosclculos.

4.2 Resultante de sistemas de foras concorrentes

Se actuam numa partcula vrias foras, estas podem ser substitudas por uma nica fora chamadaresultante, a qual produz o mesmo efeito sobre a partcula. A resultante calculada pela soma dasforas que actuam sobre a partcula.

21 F F Rrrr

+=


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Regra do paralelogramo

4.3 Resultante de vrias foras

Se uma partcula actuada por vrias foras, a resultante dada pela sua soma vectorial

321 F F F Rrrrr

++=

O que graficamente corresponde a.

Regra do polgono, a qual corresponde repetio da regra do paralelogramo

1F r

1F r

2F

r

2F r

3F

r

3F r

Rr

Rr

1F r

2F r

R

r


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4.4 Decomposio de uma fora em componentes

Tal como um conjunto de foras concorrentes, pode ser substitudo por uma fora resultante. Logoesta resultante pode ser por vrias foras concorrentes. O nmero de combinaes de forasconcorrentes infinito.Por razes prticas frequente decompor uma fora nas suas componentes.

y x F F F rrr

+=

jF iF F y x +=r

Em que as componentes escalaresF x e F y so dadas por:

( ) cos= F F x

( ) sin= F F y

Porem o problema pode colocar-se de outra forma. conhecida a fora Rr

e uma das componentes.

21 F F Rrrr

+=

12 F RF rrr =

F r

yF

r

xF r


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Neste caso, com base na regra do paralelogramo, constri-se o seguinte esquema:

Regra do paralelogramo

Pela regra do polgono

)( 12 F RF rrr

+=

Regra do polgono

4.5 Equilbrio de uma partcula Uma partcula diz-se em equilbrio quando a resultante de todas as foras que lhe so aplicadas nula.Uma partcula sujeita aco de duas foras, est em equilbrio se essas foras tiverem a mesmalinha de aco, a mesma intensidade e sentidos opostos.

( ) 011rrr

=+ F F

Rr

1F r

Rr

1F r

2F r

1F r

- 1F r

Rr

2F r

1F r

1F r


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0321rrrr

=++ F F F

Quando o conjunto de foras que actuam numa partcula forma um polgono fechado, essa partculaencontra-se em equilbrio. Nesta situao podemos escrever.

01

rrr == =

n

iiF R

No final do sculo VXII, Sir Isaac Newton, formulou trs leis fundamentais nas quais se baseia afsica mecnica tambm designada por fsica clssica ou fsica Newtoriana. A primeira dessas leis enunciada como:

1 Lei de NewtonSe a fora resultante actuando sobre uma partcula nula, a partcula permanecer em repouso (se inicialmente estiver em repouso) ou mover-se- com velocidade

constante e em linha recta (se estiver inicialmente em movimento) Os princpios da esttica de um ponto material assentam nesta lei e na definio de equilbrio deuma partcula.

4.6 Diagrama de corpo livre

Na prtica, os problemas em Engenharia Civil derivam de situaes fsicas reais. Um esquema querepresente as condies fsicas do problema chama-se diagrama espacial.

Existem muitos problemas reais que podem ser reduzidos a problemas referentes ao equilbrio deuma partcula.

1F r

2F r

3F r

4F r

1F

r

2F r

3F r

4F r


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45/111


0= xF 0= yF

0= xF ( ) ( ) 0coscos 21 = F F 0= yF ( ) ( ) 0sinsin 21 =+ gF F F

Estas equaes so resolvidas simultaneamente para as incgnitas1F e 2F .

Exemplo 02 Clculo da fora aplicada por um cabo a segurar um bloco assente num planoinclinado sem atrito.

gF r

n Rr

T r

x

y

2F r

1F r

gF r


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gF r

peso do bloco

n Rr

reaco normal do plano sobre o bloco

T r

fora exercida pelo cabo no bloco

Aplicando as equaes de equilbrio.

0= xF 0= yF

Resulta.

0= yF

0)cos()sin( =+ gn F T R Nesta equao temos duas variveis cujo valor desconhecido, logo no possvel calcular o valorde T .Analisando o equilbrio de foras segundo x :

0= xF ( ) ( ) 0cossin = T F g

( )

( )

cos

sin= g

F T

Este exemplo demonstra a necessidade de saber visualizar no diagrama de corpo livre qual ou quaisso as direces mais convenientes para aplicar as condies de equilbrio.

4.7 Questes tericas

Q1) Estabelea o diagrama de corpo livre para a seguinte situao. Represente as foras actuantesno cabo e na barra.


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A figura representa uma barra inclinada com pesoF g segura por um cabo de massa desprezvel.

Q2) Considerando a mesma situao, estabelea a equao para o clculo da fora de traco a queo cabo AC est sujeito.

A

BC


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2) Aplicando a um corpo com velocidaderv0 uma fora

rF constante na mesma direco mas

sentido contrrio do derv0 , o corpo ter movimento rectilneo uniformemente retardado (a

velocidade e a acelerao tm sentidos contrrios).

3) SerF tiver direco diferente da de

rv , o corpo passa a ter uma trajectria curva, pelo que se

altera a direco derv .

Em todas as situaesrF e ra tm a mesma direco e sentido.3 Lei de Newton" A qualquer aco ope-se sempre uma reaco igual, ou seja, as aces mutuas de dois corposum sobre o outro so sempre iguais e de sentidos opostos. "Esta lei exprime uma propriedade importante das foras: as foras nunca aparecem isoladas, massempre aos pares como resultado da interaco entre dois corpos.O par aco reaco tem as seguintes caractersticas:

- a mesma linha de aco;- sentidos opostos;- mesma intensidade,- esto aplicados em corpos diferentes.

rF

rv0

rv1

rv2

rF

rF

ra

rF

ra rv


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Em que:rF A B, Fora aplicada no corpo A pelo corpo BrF B A, Fora aplicada no corpo B pelo corpo A

Estes dois vectores so simtricos:r rF F A B B A, ,=

totalmente errado somar estes dois vectores e dizer que o resultado nulo pois estas foras soaplicadas em corpos diferentes.

5.2 Relao entre rF e

ra e sua aplicao aos vrios tipos de movimento

Como foi visto, a 2 lei de Newton ou lei fundamental da dinmica :r rF m a=

Como:r r ra a an t = +

( )r r rF m a an t = + r r rF m a m an t = +

Logo:r r rF F F n t = +

Em que:rF m

v R

un n= 2

$

rF m

vt

ut t =

$

A componente da fora normal trajectriarF t responsvel pela variao da direco da

velocidade e a componente tangente trajectria causa a alterao do mdulo da velocidade.

rF A B,

A B rF B A,


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Na esfera actua a fora gravticarF g e a fora de traco aplicada pelo cabo

rF E C , . No cabo actua o

peso da esfera que tracciona o cabo e na outra extremidade actua a fora aplicada pelo apoio no

cabo. No apoio actua a fora aplicada pelo caborF A C , e um conjunto de foras no representadas

exercidas pela estrutura que suporta o apoio.

Como todos os elementos esto em equilbrio esttico, a resultante das foras aplicadas em cada um

destes elementos nular rF i = 0 .

No esquema acima existem dois pares aco reaco, um na ligao entre a esfera e o cabo e outrona ligao entre o cabo e o apoio.

5.3.1.Pendulos

Um pndulo gravtico simples um sistema constitudo por um corpo, normalmente uma esfera,

com uma massam e um fio inextensvel e de massa desprezvel.A trajectria circular com raio igual ao comprimento do fiol e centro no ponto de suspensoO.

rF E C ,

E

C

A

rF C E ,

rF C A,

rF A C ,

rF g


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A figura acima representada o diagrama de corpo livre da massa. Nela esto representadas todasas foras aplicadas na esfera.Consideram-se um sistema de eixostn em que o eixot tangente e o eixon normal trajectria.Uma vez que o referencial ortonormado, possvel fazer o somatrio das foras segundo cada umdos eixos de forma independente.Uma vez que o sistema de eixos acompanha o movimento da massa do pndulo, segundon no hvariao da posio, a distancia origem constante, a velocidade nula e a acelerao nula econsequentemente a resultante das foras que actuam segundo esta direco tambm nula.

F n = 0 ( ) ng amF T = cos

( )T m g mvl

= + cos2

O somatrio das foras segundo a tangente trajectria diferente de zero. Segundo esta direcoexiste variao da velocidade e acelerao no constante.

F n 0 ( )F F t g= sin

( )F m gt = sin Como:

F m a= Conclui-se que:

A

B

O

C

vF g

vT

vF gn

vF gt

n

t

vF c


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( )a gt = sin A acelerao a que a massa est sujeita no pndulo gravtico no constante, mas sim uma funosinusoidal do ngulo que o cabo faz com a vertical.Desta expresso e das relaes estudadas na cinemtica pode-se concluir que a acelerao sempretangente trajectria, dirigida na direco do ponto mais baixo. mxima nas posies extremas enula quando o pndulo passa pela vertical.A velocidade nula nas extremidades e mxima quando o pndulo passa pela vertical.

5.3.2 Reaco de superfcies

Sempre que um corpo est apoiado numa superfcie, exerce sobre ela uma fora compressora qual

se ope uma reaco que a superfcie aplica no corpo. Esta forar

R subdivide-se em duas

componentes, uma normal superfcie

r

Rn e outra tangencial superfcie

r

Rt . Esta ltima costumadesignar-se por fora de atrito.

r r r R R Rn t = +

A fora exercida pelo corpo na superfcie A

r

e a reaco normal da superfcie

r

Rn formam um paraco reaco.

r r N Rn=

Como o corpo est imvel, o somatrio das foras que lhe so aplicadas nula, tal que:r r rF Rg n+ = 0

Se a um corpo em repouso assente sobre uma superfcie horizontal aplicarmos uma forarF , a

superfcie apresenta uma resistncia ao movimento que se traduz por uma fora tangente

superfcie com sentido contrrio ao movimento. Essa fora designa-se por fora de atrito.

Ar

r Rn

rF g

CM


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Existem foras de atrito esttico e foras de atrito cintico. Se no existe movimento relativo entreas duas superfcies o atrito esttico, se existe movimento relativo entre as duas superfcies, oatrito cintico.A experincia demonstra que as foras de atrito estticas so superiores s foras de atrito

dinmicas para a maioria dos materiais.

Na situao acima referida podem acontecer duas situaes:

1) a forarF superior fora de atrito esttico

rF ae , o corpo entra em movimento e o atrito passa

a ser cinticorF ak ;

2) a forarF inferior fora de atrito esttico

rF ae e o corpo permanece em repouso.

A fora de atrito calculada por:r rF Ra n=

Para o clculo do atrito esttico, emprega-se o coeficiente de atrito esttico e e para o clculo do

atrito cintico utiliza-se o coeficiente de atrito cintico k .

Considere-se um corpo colocado sobre um plano inclinado que faz um determinado ngulo coma horizontal.

r N

r Rn

rF g

CM rF

rF a


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Nesta situao, segundo o eixon no se h movimento, este apenas ocorre segundo a tangente superfcie definida pelo eixot . Desta forma pode-se escrever que:

F n = 0 ( ) R F n g =cos 0

( ) R F n g= cos

Quanto resultante segundo o eixot :

( )F F F t g a= sin ( )F m g Rt n= sin ( ) ( )F m g m gt = sin cos ( ) ( )( )F m gt = sin cos

Os valores dos coeficientes de atrito dependem dos materiais das duas superfcies que tendem adeslizar entre si. So referidos no quadro seguinte, a ttulo de exemplo, os valores dos coeficientesde atrito para alguns materiais.

rF g

t

n

( )r rF F gn g= cos

( )r rF F gt g= sin

r rF Ra n=


57/111


MATERIAIS e k

cobre / ferro 1.1 0.3ao / ao 0.7 0.5

ao / madeira 0.4 0.2ao / teflon 0.04 0.04

5.4 Movimento harmnico simples

Quando a fora aplicada num corpo proporcional ao afastamento do ponto de equilbrio e nosentido desse mesmo ponto, o movimento que se desenvolve harmnico simples.

A fora F ser dada por:

F k x= F m a= = k x m a

logo, explicitando a acelerao:

rF

r

F

0rr

=F

x


58/111


ak m

x=

como a acelerao a segunda derivada do deslocamento:

d xdt

k m x

2

2 = se substituir:

k m

= 2

d xdt

x2

22=

a soluo da equao diferencial acima, :

( ) x A t = +sin isto pode ser provado da seguinte forma:a primeira derivada de x em ordem ao tempo :

( )dxdt

Ad dt

t = +sin

( )dxdt

A t = + cos

a segunda derivada ser:

( )d xdt

A d dt

t 2

2 = + cos

( )d xdt

A t 2

22= + sin

logo prova-se que:

( )d xdt

x t 2

22=

O movimento harmnico simples aplica-se a todos os corpos que oscilam em torno de uma posiode equilbrio (PE) e que esto sujeitos a uma fora directamente proporcional ao afastamento da(PE) dirigida no sentido da (PE). Aplica-se a pndulos gravticos com pequena amplitude demovimentos e a osciladores de um ou mais graus de liberdade. Os osciladores tm aplicao naEngenharia Civil por serem utilizados como modelos simplificados do comportamento dinmico deestruturas de edifcios.


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6 Quantidade de movimento de um sistema de partculas

6.1 Impulso de uma fora

Foras diferentes podero originar acrscimos iguais de velocidade na mesma partcula, desde queactuem de modo a ser constante o produto da fora pelo seu tempo de actuao.

r r J F t =

r r J F t

n ii

n

= =

lim 1

r r J F t

t

t

= 1

2

1t 2t

mF

J

t 1 t 2 t(s)

F(N)


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Na primeira figura a foraF r

constante, na segunda varivel, contudo os impulsos so idnticosse as reas sob as curvas forem idnticas.

6.2 Momento linear de uma partcula e de um sistema discreto de partculas

A grandeza vectorial que se obtm multiplicando a velocidaderv pela sua massam chama-se

momento linear ou quantidade de movimento da partcula.r r

p m v=

Para um sistema constitudo porn partculasr r r r

p p p p n= + + +1 2 ...

r r p m vi i

i

n

= =

1

A forma geral da 2 lei de Newton dada por:

( )rr r

rr

F pt

m vt

mt

v mvt

= =

= +

Na situao de m = constante, vem a equao na sua forma particular:r rF m a=

t amt F =rr

vmt F rr

=

( )12 vvm J rrr =

12 p p J rrr

=

p J rr

=

Se a forarF for constante no intervalo de tempo entre t1 e t2, pode-se escrever.

r r r r r r r

p J F t p p m v m v= = = = 2 1 2 1

Logo o impulso de uma fora aplicada numa partcula igual variao da quantidade de

movimento dessa partcula.

6.3 Centro de massa de um sistema discreto de partculas

Por definio o centro de massa de um sistema discreto de partculas, com base na dinmica, oponto que se desloca como se deslocaria uma partcula com a massa do corpo ou do sistema se naqual se aplicassem as foras exteriores a que est submetido o corpo ou o sistema.As coordenadas do centro de massa de um sistema constitudo por n partculas so:


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xm x m x m x

m m m

m x

mCM

n n

n

i ii

n

ii

n= + + +

+ +=

=

=

1 1 2 2

1 2

1

1

......

ym y m y m y

m m m

m y

mCM

n n

n

i ii

n

ii

n= + + +

+ +=

=

=

1 1 2 2

1 2

1

1

......

zm z m z m z

m m m

m z

mCM

n n

n

i ii

n

ii

n= + + +

+ +=

=

=

1 1 2 2

1 2

1

1

......

O vector posio do centro de massa dado por:

r

r

r m r

mCM

i ii

n

ii

n=

=

=

1

1

6.4 Momento linear do centro de massa

Como foi visto, o vector posio do centro de massa dado por:

r

r

r m r

mCM

i ii

n

ii

n=

=

=

1

1

esta equao pode ser escrita na seguinte forma:

( ) ( )m r m r i CM i

n

i ii

n

= = = r r

1 1

derivando em ordem ao tempo e assumindo que a massa sempre constante, vem:

( )m r t

mr t i

CM

i

n

ii

i

n

=

= =

r r

1 1

( ) ( )m v m vi CM i

n

i ii

n

= = = r r

1 1

( ) ( )m v pi CM i

n

ii

n

== = r r

1 1

Assim fica demonstrado que a quantidade de movimento ou momento linear de um sistema departculas dado por:


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( )P m v pi CM i

n

ii

n

= == = r r

1 1

6.5 Lei do movimento do centro de massa

( )r rP m vi

i

n

CM = =

1

( )

r rPt

mv

t iCM

i

n

= =

1

( )

rrP

t m ai CM

i

n

= =

1

r r rF F m a

ext CM + =

int

As foras exteriores so aplicadas devido interaco de um ou mais corpos pertencentes aosistema com um corpo que no pertence ao sistema. As foras internas, ocorrem devido interaco entre dois ou mais corpos pertencentes ao sistema. Segundo a 3 lei de Newton (paraco reaco), se somarmos todas as foras internas do sistema, o resultado um vector nulo.

r rF int = 0 r rF m aext CM =

Esta ltima equao traduz a 2 lei de Newton, na forma particularm = constante , aplicada aossistemas de partculas.Para exemplificar tomemos o exemplo de um projctil que lanado e percorre uma determinadatrajectria. Em determinado instante, sem a aplicao de nenhuma fora exterior ao projctil, esteexplode e separa-se em dois fragmentos. Nesta situao o centro de gravidade do sistema segue amesma trajectria como se nada se tivesse passado.

CM

y

x


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6.6 Conservao do momento linear

( )r

rF m aext ii

n

CM = = 1

( )

rrP

t m ai

i

n

CM = =

1

rrP

t F ext =

Quando a resultante das foras exteriores que actuam num sistema nula, o momento linear dosistema mantm-se constante, pelo que a sua derivada nula.

rP =constante, logo

r rPt

= 0

6.7 Colises perfeitamente elsticas

Neste tipo de colises existe conservao da quantidade de movimento e da energia cintica dosistema.

rrP

t = 0 , logo rP = constante

Isto quer dizer que antes e aps a coliso a quantidade de movimento do sistema a mesma, logo.r rP P1 2=

Na situao de dois corpos A e B colidirem, pode-se escrever a seguinte equao.

m v m v m v m v A A B B A A B B + = + r r r r

1 1 2 2


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6.8 Colises perfeitamente inelsticas

Neste tipo de colises existe conservao da quantidade de movimento, mas ocorrem perdas deenergia cintica. Esta situao verifica-se quando aps a coliso os corpos permanecem juntosseguindo uma trajectria comum.

r rP P1 2=

( )m v m v m m v A A B B A B + = + r r r

1 1 2

Antes

Depois

B B A vvvrrr

== 22

1 Avr

01rr

= Bv


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7 Trabalho e energia

7.1 Noo de trabalho

7.2 Trabalho de uma fora constante

7.2.1 Trabalho realizado por uma fora constante ao longo de uma trajectria rectilnea

O trabalho de uma fora constante ao longo de uma trajectria rectilnea, define-se como o produtointerno do vector fora pelo vector deslocamento:

W F r = r r

Esta equao tambm pode ser escrita como:( )W F r =

r cos

em que o ngulo formado entre os dois vectores.O trabalho de uma fora pode ser motor ou potente, resistente ou nulo. O trabalho motor quando afora contribui para o deslocamento, resistente quando a fora se ope ao deslocamento.

7.3 Trabalho realizado por uma fora varivel

7.3.1 Trabalho realizado por uma fora de valor varivel ao longo de uma trajectria rectilnea

O trabalho de uma fora varivel ao longo de uma trajectria rectilnea dado pela integrao dafora em ordem distncia percorrida.

Para entender melhor esta definio, considere o seguinte caso:

rr

rF

rr

rF

rr

rF

Trabalho resistente Trabalho nulo Trabalho motor ou potente


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A fora F actua sobre uma partcula que se desloca segundo uma trajectria rectilnea, desde aposio x1, at posio xn Durante este deslocamento, a intensidade da fora F possui, diferentesvalores, como mostra o grfico. Assim, o trabalho realizado pela forca, pode ser calculado por:

W F xi i x

xn

= 1

Quando a fora varia continuamente, as distancias xi em que a fora se pode considerar constante,tende para zero e o nmero de intervalos n, tende para infinito. Logo, a equao para o clculo dotrabalho ser:

W F dx x

xn

= 1

7.3.2 Trabalho de uma fora varivel ao longo de uma trajectria plana qualquer

O clculo do trabalho realizado por uma fora varivel ao longo de uma trajectria plana qualquer,assenta nos mesmos princpios apresentados acima.

x1 xn

F

x x2

rF 1

rF n

x

y

1

n

rr 1

rr n r

F 2


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possvel aproximar a trajectria rectilnea por pequenos deslocamentos, desta forma, o trabalho calculado por:

W F r i ii

n

= = r r

1

Quando o nmero de deslocamentos utilizados para aproximar a trajectria curvilnea tende parainfinito, o trabalho calculado por:

W F r n i ii

n

= =

lim r r1

W F dr = r r

Logo:

dW F dr = r r

( )dW F dr = r r cos

em que o ngulo formado entre os dois vectores.Como:

dr v dt r r

= e dsr d =r

vlido afirmar que:

( )dW F ds= r

cos

Como:( )

r rF F t =cos

dw F dst = r

Ou seja:

W F dr = r r

Ou:

W F dst =

Logo ao calcular o trabalho realizado por uma fora varivel ao longo de uma trajectria curvilnea,a abordagem semelhante situao de uma fora varivel ao longo de uma trajectria rectilnea,

rF n

F t r

F


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s que em vez de considerar a fora, considera-se a componente tangencial da fora, e em vez deconsiderar o deslocamento, considera-se o espao percorrido.

7.4 Foras que no realizam trabalho

7.4.1 Trabalho realizado ao longo de uma trajectria fechada

( )W F r F dr n i ii

n

A

B

= = =

limr r r r

1

W F dr = r r

caso a fora seja constante

W F dr = r r

W = 0

7.5 Trabalho de um sistema de foras

Quando um sistema de foras actua numa partcula, o trabalho realizado por esse sistema de foras, igual ao trabalho realizado pela fora resultante do sistema.

W F r F r F r = + + r r r r r r1 2 3

( )W F F F r = + + r r r r1 2 3

W F r r = r r

7.6 Energia cintica

W F r = r r

( )W F x x= r

0

como:r rF m a=

( )W m a x x= r 0

x x v t a t = + 0 021

2

como:

v v a t = + 0

A B


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70/111


7.7.2 Energia potencial elstica

A energia potencial elstica armazenada na mola igual ao simtrico do trabalho realizado pelafora elstica no movimento de deformao da mola.

Epe Epe W B A Fe =

Epe A = 0

Epe K x dx B A

B

=

Epe K x B = 12

2

7.8 Conservao da energia mecnica

Se considerar um sistema isolado, em que as foras interiores so conservativas, pode-se escreverque:

W E C p=

e

W E C C =

portanto:

c p E E =

E E c p+ = 0

vF e

x A B

x

rF e


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E E E m c p= + = constante

7.9 Lei da conservao da energia

Se algumas foras interiores forem no conservativas (fora de atrito por exemplo), o trabalhorealizado por estas foras transformado em outras formas de energia como calor e rudo devido frico por exemplo.

FncW Ep Ec Em ++=

Como o termo.

E E c p+ = 0

Logo.

Em W Fa

= r

Em U + = 0

Em que U representa a energia foi dissipada no sistema.

NOTA:O exemplo do pndulo gravtico apresentado no captulo da dinmica pode agora ser resolvido de

uma forma mais simples.


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8 Mecnica dos fluidosFluidos so substncias que podem fluir, escoar-se com maior ou menor facilidade porque as suasmolculas: movem-se umas em redor das outras com pequeno atrito, como nos lquidos e esto

muito afastadas como nos gases.Os lquidos no tm forma prpria, mas tm volume definido e so quase incompressveis.Os gases no tm forma prpria nem volume definido e so altamente compressveis.

8.1 Propriedades dos fluidos

8.1.1 Massa volmica

A massa volmica define a massa por unidade de volume, praticamente constante nos lquidos e

varivel com a presso e temperatura nos gases.

=mV

(kg/m3)

agua = 1000kg/m3 a 4C

ar = 1,293 kg/m3

8.1.2 Densidade relativa

d p

=

(adimensional)

Em que p uma massa volmica padro, salvo indicao em contrrio, utiliza-se a massa

volmica da gua para os lquidos. Para os gases, utiliza-se a massa volmica do ar, nas mesmascondies de temperatura e presso em que se encontra o gs.

8.1.3 Peso volmico

O peso volmico pode ser apresentado como o produto da passa volmica pela acelerao da

gravidade.grr= (N/m3)

8.2 Presso

A presso uma fora por unidade de rea. A presso mdia numa dada superfcie, definida por:

rr

pF Am

= (N/m2) = (Pa)

Numa superfcie infinitsima:r r p p

A m=

lim

0


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rr

pF A

=

Desde que o fluido esteja em equilbrio hidrosttico, as foras de presso so sempre normais ssuperfcies do recipiente que contem o fluido.

8.3 Distribuio hidrosttica de presses

Considere o seguinte volume de controlo. Por volume de controlo, entende-se uma poro defluido, delimitado por uma fronteira imaginria, na qual se analisam as foras aplicadas.

Como o fluido est em repouso e permanece neste estado, o somatrio das foras aplicadas nulo,logo:

Somatrio das foras horizontais igual a zero.r rF = 0

F x = 0 F F 3 4=

Somatrio das foras verticais igual a zero.

F y = 0 F F F g2 1 =

p A p A F g2 1 = =mV

p A p A m g2 1 = m V =

h1 rF 1

rF 4

rF 3

rF

2

h2 rF g


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( ) p p A g h A2 1 = ( )m A h= p g h= m h A=

Como em cima da superfcie do liquido contido no recipiente existe a presso atmosfrica, para ter

o valor da presso absoluta necessrio somar o valor da presso atmosfrica0 p . p p g h= + 0

8.3.1 Distribuio de presses na parede vertical de um reservatrio

No esquema acima representam-se em simultneo os diagramas de presses relativas e o diagramade presses absolutas. Para o clculo da fora exercida na parede vertical utiliza-se o diagrama depresses relativas pois o acrscimo de presso devido a aco da atmosfrica tambm se faz sentirno exterior da parede.O valor da fora resultante por metro de extenso horizontal da parede ser dado pela rea dodiagrama de presses relativas (com forma triangular).

2

21

H gF =

O ponto de aplicao desta fora resultante passa pelo centro de gravidade, ou seja a um tero daaltura H a contar da base.

H

r

p0

p p g H = + r v

0


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8.4 Vasos comunicantes

O clculo do problema de vasos comunicantes aplica directamente o principio da distribuiohidrosttica de presses. Para a mesma altura de referenciah o valor da presso ter que ser omesmo nas duas coluna de liquido ligadas entre si..

p p1 2=

1 1 2 2 = g H g H

1

2

2

1=

H H

H 1

H 2

2 1

1

2

h


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8.7 Lei de Arquimedes

A diminuio de peso de um corpo mergulhado num lquido igual ao peso de liquido de volumeigual ao volume da parte imersa do corpo. Essa diminuio na realidade uma fora dirigida de

baixo para cima que o fluido aplica no corpo e chama-se impulso I r

.

I F F = 2 1

I p A p A= 2 1 2 2

( ) I p p A= 2 1

I p A= p g A= I g h A=

I g V =

Sendo: massa volmica do fluido

g acelerao da gravidadeV volume da parte imersa do corpo

rF 1

rF 4

rF 3

rF 2

h2 rF g


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9 Centros de gravidade, momentos estticos e estudo deforas distribudas

9.1 Momento de uma fora em relao a um ponto

Considere uma foraF r

aplicada num ponto (uma fora representada por um vector que define asua intensidade, direco e sentido). Contudo, o efeito da fora depende tambm do seu ponto deaplicao.

A posio do ponto de aplicao definida pelo vector posior v

, com origem no ponto fixo dereferncia O.

O momento

f_sica aplicada _ engenharia civil

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