frm phg value at risk estimation backtesting
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HEC-ULG LIEGE
VALUE AT RISK
Méthodes d’Evaluation et de Backtesting
Année académique 2013 – 2014
Master en Gestion des Risques, Option Finance
Sous la direction du professeur T Lopez
Pierre-Henri Golard
2
Contenu A. Principes généraux : notion de risque financier et Value at Risk ......................................................... 4
Introduction ........................................................................................................................................................... 4 I.
Incertitude, Risque et Institutions Financières ....................................................................................... 4 II.
1. Risque et Incertitude ..................................................................................................................................... 4
2. Classification des diverses catégories du risque financier ............................................................ 4
Evolutions des réglementations .................................................................................................................... 6 III.
1. Capital Réglementaire – exigence de fonds propres ........................................................................ 6
2. Evolution des accords de Bale ................................................................................................................... 6
Définition Générale de la Value at Risk ...................................................................................................... 8 IV.
1. Mesure ex-ante du risque de marché ..................................................................................................... 8
2. Les éléments clés constitutifs de la VaR ................................................................................................ 9
Passage en revue des principaux modèles de valorisation et d’évolution des instruments V.
financiers ....................................................................................................................................................................... 10
............................................................................................................ 10 1. Principes de calcul stochastique
................................................ 14 2. Application aux différentes catégories instruments financiers
............................................................................................. 18 3. Analyse de sensibilité du prix des actifs
B. Méthodes d’estimations de la Value at risk .................................................................................. 22
Schéma Général des principales méthodologies ...................................................................... 22 I.
Méthode Variance-Covariance Paramétrique........................................................................... 23 II.
1. Schéma de la méthode Delta Normale ................................................................................. 23
2. Estimation de la volatilité et des corrélations ....................................................................... 24
3. Forces et Faiblesses ............................................................................................................... 25
Méthode Simulation (Monte Carlo) .......................................................................................... 26 III.
1. Schéma .................................................................................................................................. 26
2. Forces et Faiblesses ............................................................................................................... 26
Méthode de Simulation Historique ........................................................................................... 27 IV.
1. Description et Schéma........................................................................................................... 27
2. Forces et Faiblesses ............................................................................................................... 27
C. Principes du Backtesting pour mesurer les performances des estimations de var ...................... 29
Vocation commune à tout modèle de VaR ............................................................................... 29 I.
1. Rendements ex-post VS VaR ex-ante .................................................................................... 29
2. Caractéristique commune aux procédures « classiques » de Backtesting : le recours aux
variables binaires ........................................................................................................................... 29
Clean VS Dirty Backtesting ........................................................................................................ 30 II.
3
Test de Kupiec (1995) : Couverture Non conditionnelle ........................................................... 31 III.
1. Likelihood Ratio de Kupiec (LR unconditionnal) .................................................................... 31
2. Test d’hypothèse ................................................................................................................... 31
3. Commentaires ....................................................................................................................... 31
Test de Christoffersen (1998) : Couverture Conditionnelle ...................................................... 32 IV.
1. LR independence : Violation i.i.d. (clusters de violation) ...................................................... 32
2. LR Conditional Coverage : test joint ...................................................................................... 32
3. Commentaires ....................................................................................................................... 32
Test d’Engle et Manganelli (2004) : Quantiles Dynamiques ..................................................... 33 V.
1. Hits ......................................................................................................................................... 33
2. Régression linéaire de la variable Indicatrice (Hit) sur un ensemble d’instrument .............. 33
3. Statistique de Test Dynamic Quantiles (Lagrange Multiplier) ............................................... 33
D. Conclusion ..................................................................................................................................... 34
Bibliographie ......................................................................................................................................... 35
4
A. PRINCIPES GÉNÉRAUX : NOTION DE RISQUE FINANCIER
ET VALUE AT RISK
Introduction I.
Dans le cadre du travail de Gestion des Risques Financiers, nous avons choisi d’illustrer un indice très
populaire de mesure de l’exposition au risque de marché, la Value at Risk.
Nous allons procéder en trois étapes :
- Dans un premier temps, spécifier les différents types de risques financiers et définir la Value
at Risk dans cette perspective. Nous allons également dans cette première section
développer quelques-uns des principaux modèles d’évaluation et d’évolution des
instruments financiers, qui jouent un rôle déterminant dans le calcul des prévisions de VaR
- Nous développerons ensuite les grandes catégories de méthodes d’estimation de la VaR
- Pour finir nous décrirons trois grandes approches de Backtesting
Incertitude, Risque et Institutions Financières II.
1. Risque et Incertitude
Une définition générale du risque exprimé donnée par Engle et Manganelli, dans un Working Paper
de la BCE (Août 2001) sur l’analyse de diverses méthodes d’estimation de la Value At Risk, définit le
risque comme le degré d’incertitude lié aux rendements (nets) futurs générés par un actif.
2. Classification des diverses catégories du risque financier
2.1. Risque de Crédit
Risques pouvant résulter de l’incapacité des contreparties débitrices à respecter leurs engagements.
On peut également décomposer ce risque en 3 composantes1 :
- Credit Exposure : le montant total qu’un créancier (prêteur) a engagé comme un prêt,
« créance » vers une contrepartie (débiteur/ emprunteur) : si une banque a accordé des
prêts pour $100 million à une société A, son « Credit Exposure » envers A est de $100 million
- Probabilité de défaut : probabilité que le(s) débiteur(s) comme la société A ne soient pas
capable(s) d’honorer leurs engagements
- Perte en cas de défaut
2.2. Risque Opérationnel
Il s’agit, selon le comité de Bâle, du risque de pertes, pour les institutions financières, « provenant de
processus internes inadéquats ou défaillants (analyse ou contrôle absent ou incomplet…), du
personnel (erreur, fraude…), de systèmes internes (pannes de l’informatique) ou d'événements
externes (catastrophes naturelles…) ».
2.3. Risque de liquidités
Il existe deux types de risques de liquidités 2:
1 http://riskencyclopedia.com/articles/credit_risk/
5
- Asset Liquidity Risk : l’impossibilité de vendre un actif à sa valeur pouvant se traduire par
l’incapacité stricte de trouver des acheteurs ou par une décote (prix < valeur « réelle »)
- Cash-Flow Risk : difficultés de trésorerie liées à des décalages d’encours de créances et de
dettes
2 http://www.investopedia.com/articles/trading/11/understanding-liquidity-risk.asp
6
2.4. Risque de Marché
Il s’agit du risque, selon Engle, qui « reflète la perte économique potentielle, en termes de valeur de
marché, d’un actif (ou portefeuille d’actifs) ». Il parle également de « l’incertitude des gains futurs
liée aux fluctuations dans les conditions du marché ». Il résulte des variations, en niveau ou en
termes de volatilité, des prix du marché. Les facteurs de risques principaux liés aux marchés sont les :
- taux d’intérêt
- cours de change des devises
- cours des actions
- cours des obligations
- cours des commodités
Evolutions des réglementations III.
L’évolution contemporaine des marchés financiers a entraîné la montée en puissance de cadres de
réglementations (les accords de Bale) imposant, par étape, une série de contraintes aux institutions
financières afin
- d’obtenir plus de transparence quant à leurs expositions aux différents risques financiers
- de mettre en place des mesures préventives
1. Capital Réglementaire – exigence de fonds propres
Afin de pousser les banques et sociétés d’assurances à mieux gérer le risque, les accords de Bale ont
imposé la constitution de réserves en fonction de leur exposition au(x) risque(s). Les institutions
financières cherchant à faire du profit, la mise en réserve de fonds qui ne pourront être prêtés ni
versés en dividendes est néfaste à leur rentabilité. Ces réserves ont pour objectif de servir de
« buffer » (airbag) en cas de pertes inattendues.
On parle souvent de la notion d’adéquation entre ce capital réglementaire et le « capital
économique » : l’institution doit détenir suffisamment de fonds que pour faire face à des pertes
« inattendues » sur une période tout en ne menaçant pas la viabilité de l’institution. Plus la banque
sera exposée au risque, plus elle devra consentir à immobiliser des fonds « improductifs »… et
inversement.
2. Evolution des accords de Bale
Progressivement, les accords de Bale vont s’attabler à imposer des exigences de fonds propres de
plus en plus strictes, afin de couvrir les différents risques auxquels l’institution va faire face en
adéquation avec
- la composition de son portefeuille bancaire (Banking Book) : engagements (actifs – passifs)
relatifs au « core » business d’une banque (activité de prêts « lending », Retail…)
o valorisation en valeur « comptable »
o Risque de crédit (incorporé dès Bale I en 1996, mais mieux défini avec Bale II en
2004)
o Risque de contrepartie et liquidité (Bâle III)
7
- la composition de son trading book : portefeuille de positions sur des titres cotés et
échangeables sur une période courte (trading period)
o valorisation en valeur de marché
o risque de marché (Bale II) : risque de perte de valeur (prix/cotation) d’un titre (ou
d’un portefeuille de titre) suite à une variation des conditions générales de marché
Value at Risk !
- Risque opérationnel (Bale II)
- Risque de Liquidité (Bale III)
3
En juillet 2009, le Comité de Bâle (Basel Committee for Banking Supervision) a modifié le « Market
Risk Framework » des accords de Bâle II, et a spécifié que « Les facteurs considérés pertinents dans le
pricing (des titres financiers) devraient être intégrés dans les modèles de Value at Risk ».
3 International Convergence of Capital Measurement and Capital Standards, Basel Committee, BIS, 2004
8
Définition Générale de la Value at Risk IV.
Selon Engle & Manganelli (2001), la Value at Risk représente la perte maximale potentielle associée à
un actif (ou un portefeuille d’actifs) qui ne devrait être atteinte
- qu’avec une probabilité (taux de couverture) de %
- sur un horizon temporel donné4
De façon équivalente, on peut considérer que la VaR d’un actif est la pire perte attendue, sur un
horizon temporel donné, pour un niveau de confiance donné de 1- %.5
« Je peux garantir avec un degré de certitude de (1- %) que la perte ne dépassera pas plus de « xx »
pourcent (ou euros) au cours du (des« n ») prochain(s) jour(s) ».
.
Perte MAXIMALE dans 95% des cas
( ) ( ) = ( )
La Value at Risk représente une mesure synthétique de l’exposition au risque de marché, d’un
portefeuille d’instruments financiers par un nombre unique, mesure du risque global qui agrège
toute l’information pertinente qui peut impacter la valeur monétaire ou relative d’un actif.
Elle représente un fractile de la distribution des pertes et profits associés à la détention de l’actif sur
une période donnée.
Avec un degré de certitude de 1- , on peut affirmer que le rendement de l’actif sera supérieur ou
égal à la Value at Risk. Cela revient à dire qu’il existe de chance (« risque ») d’observer une
perte supérieure à la VaR endéans l’horizon temporel spécifié, i.e. dans des cas, la perte sera
supérieure à la Value at Risk. Dans ce cas le fractile de la distribution des Pertes (et Profits) du
Portefeuille, associé à la VaR, représente alors le niveau minimal de perte, qui se produit le
pourcentage de cas les plus défavorables.
1. Mesure ex-ante du risque de marché
Il est possible de formuler des prévisions de VaR « ex-ante » : en l’occurrence une VaR à 1 pas est
une prévision à 1 jour d’intervalle de l’exposition au risque de marché, i.e. que la perte associée au
portefeuille en question (et qui ne sera observée que le jour suivant soit « ex-post ») soit inférieure
ou égale à la prévision ex-ante de la VaR6, avec une probabilité de 1- %.
4 MANGANELLI, S., & ENGLE, R. (2001). VaR Models in Finance (W.P. 75). Frankfurt: European Central Bank
(Working Papers'). 5 HURLIN, C. (2006-2007). Fiches sur la VaR: Prévisions et Tests de Validation- Université d'Orléans
6 HURLIN, C. (2006-2007). Fiches sur la VaR: Prévisions et Tests de Validation. Université d'Orléans
9
Pour un horizon de détention supérieur à 1, il faut inclure
( ) ( ) √
Plus longtemps le titre sera détenu dans les comptes et plus important sera le risque de perte associé
à cet actif pour un taux de couverture équivalent.
2. Les éléments clés constitutifs de la VaR
2.1. Le risque ( ) ou seuil de confiance ( ) : aversion au risque
Prise en compte de l’aversion au risque de l’institution financière :
- Plus elle sera averse au risque, plus elle exige un niveau de confiance important et donc une
faible valeur de
- A l’inverse, une valeur importante coïncide avec une aversion au risque plus faible
La valeur de détermine le fractile de la distribution des Rendements de l’actif et donc la VaR.
Schématiquement, il représente une probabilité.
2.2. La période de détention de l’actif
Ce paramètre peut influencer la VaR car l’exposition au risque augmente en fonction de la durée de
détention. Elle varie selon le contexte :
- une banque d’affaires va chercher à mesurer la VaR chaque jour de son activité de trading
- le régulateur, comme dans le cadre des accords de Bâle, va exiger la prise en compte d’une
période de 10 jours (et seuil de 99%) de détention dans le calcul du niveau minimal de fonds
propres imposé aux institutions comme mesure préventive contre le risque
2.3. La distribution des Rendements (Profits et Pertes) de l’actif
L’analyse de la distribution des rendements de l’actif et le choix d’une loi théorique pour la modéliser
sont les principales difficultés posées par la Value at Risk.
C’est là que les hypothèses potentiellement les plus restrictives sont formulées, sur la forme de la
distribution des rendements, ce qui va fortement influencer la qualité de la VaR et sa capacité à
quantifier le risque de marché de façon performante :
- Surestimer l’exposition au risque peut impacter négativement la profitabilité en immobilisant
des capitaux de manière excessive
- Sous-estimer fragilise la stabilité de l’institution financière en dégradant sa solvabilité
En effet la VaR est le fractile d’ordre α de la distribution des Rendements de l’actif. Et donc la Value
at Risk est liée à la forme de la distribution des rendements. C’est également là que l’impact des
variations de conditions du marché va être pris en compte (ou non) par la VaR.
Le challenge est de prendre en compte correctement la sensibilité de l’instrument financier aux
divers facteurs de risque qui sont susceptibles de modifier sa valeur.
Les Pertes et Profits (Profits and Losses) du portefeuille d’instruments financiers sont déterminés par
l’évolution (les variations) des facteurs de marché, ce qui implique forcément que le calcul de Value
at Risk soit indissociable
- des modèles d’évaluation de ces instruments
- de la prise en compte des liens (covariance, corrélations) entre les positions qui constituent
le portefeuille
10
Passage en revue des principaux modèles de valorisation et V.
d’évolution des instruments financiers
Dans le contexte financier, vouloir quantifier l’exposition au risque d’une position nécessite de
connaître
- Le modèle d’évaluation du prix de l’actif financier sur lequel cette position a été prise
- La sensibilité des actifs à certains facteurs (variables de marchés) qui influencent leur prix et
donc le rendement de la position
- La dynamique d’évolution de ces facteurs
C’est l’une des principales clés dans la perspective du calcul de la Value at Risk et particulièrement
dans l’estimation de la distribution des pertes et profits du portefeuille.
Dans le cadre de ce travail, nous nous contenterons d’un passage en revue des modèles principaux
de trois grandes classes d’instruments financiers que les actions, les obligations et les produits
dérivés (options). Nous ne rentrerons pas dans une analyse critique approfondie des modèles mais il
nous apparaissait tout de même crucial de revenir sur quelques-unes des principales méthodologies
d’évaluation d’instruments financiers, étant donné l’importance de cette problématique dans le
calcul de Value at Risk.
1. Principes de calcul stochastique
1.1. Processus Stochastique Continu
Un processus stochastique continu sur l'intervalle est une collection { } de variables
aléatoires indexées par « t » (appartenant à I).
1.2. Principes généraux du Mouvement Brownien
Soit un processus stochastique « mouvement brownien » Wt de volatilité σ, si :
- W0 = 0
- Wt Suit une loi Normale de moyenne nulle et de variance « σ²t », tel que ( √ )
Wt Est un processus à accroissement stationnaire et indépendant, càd que Wt – Ws, où s<t, ne
dépend que de t-s 7:
( √ )
Il se peut qu’il y ait un autre élément, appelé DERIVE (ou DRIFT) : une tendance « µ » (TREND)
déterministe qui va influencer la trajectoire de long terme la série stochastique.
Dès lors que µ est différent de zéro, l’accroissement (la DIFFERENCE) entre mouvements browniens
devient :
( ( ) √ )
On peut également l’exprimer sous forme différentielle :
√
7 BOURLES, R. (2009). Mathématiques pour la Finance. Marseille: Ecole Centrale de Marseille
11
Où
( )
( ) ( )
1.3. Mouvement Brownien Arithmétique
√
Soit S le prix d’un actif :
Le mouvement brownien arithmétique n’est pas satisfaisant lorsqu’il
s’agit de modéliser l’Equation Différentielle Stochastique du Prix d’un
Actif Financier (comme une action), car :
- La variation « espérée » (µ(t-s)) dans le prix de l’actif entre
deux intervalles de temps ne dépendrait pas du niveau de prix
initial (potentielle contradiction avec les faits stylisés des
séries financières dont les changements de prix sont
généralement limités, surtout si l’intervalle est court)
- Le taux de rendement total de l’actif (dS/S), selon l’EDS, aurait
tendance à décroître au cours du temps (peu cohérent avec
les faits stylisés)8
1.4. Mouvement Brownien Géométrique
S le prix SPOT (=au comptant)
√
Exprimé en taux de rendement :
( )
Solution apportée par le mouvement brownien
géométrique :
- Multiplier le TREND et l’écart type par la
valeur initiale du prix de l’actif (lorsque
l’on se focalise sur la variation du prix de
l’actif)
- Exprimer le taux de rendement total de
l’actif (dS/S) sur un intervalle de temps :
similaire à un mouvement arithmétique
1.5. Processus et Lemme d’Itô
Soit le processus stochastique général d’Itô,
dx= a(X, t) dt + b (X, t) dz
Supposons a=a(X, t) = .µX et b= b(X, t) = X
Dès lors : dx = µX .dt + X.dz.
Le mouvement brownien géométrique qui
permet de définir l’évolution du rendement d’un
stock est « un cas particulier de processus
d’Itô »9:
8 F. E. RACICOT, R. T. (2006). Finance computationnelle et gestion des risques. Montréal: Presse de l'Université
du Québec. 9 BOURLES, R. (2009). Mathématiques pour la Finance. Marseille: Ecole Centrale de Marseille
12
1.6. Lemme d’Itô
Le lemme d’Itô est établi à partir
de la formule de Taylor à 2
variables X et t. Le lemme d’Itô
ne retient que les termes ∆t et
∆x du premier degré..
( √ )
( ) ( ) ( ) ( )
En recourant au principe de
troncature.
Et en utilisant les propriétés de
cette variable aléatoire
distribuée selon une loi N(0, 1)
( )
(
)
En raisonnant sur des intervalles
de temps ∆t -> 0 (équivalent à
un processus continu), le lemme
d’Itô conduit à une application
particulière de l’expansion de
Taylor.
( ) ( )
Si la fonction « F(X) » est celle
du logarithme népérien, les
dérivées partielles ordinaires
sont telles.
( ( )) (
(
) )
( ) (
)
(
)
Les conséquences du Lemme sur
le mouvement brownien
géométrique avec les
spécifications faites
précédemment10.
Cette expression du processus d’évolution du cours d’un titre financier (comme les actions) est
cohérente avec la forme faible de l’efficience des marchés (la propriété de Markov) car on peut
interpréter que seule la valeur spot de cet actif est pertinente pour tenter de prédire la valeur à ∆t
intervalle de temps futur (S(0) agrège toute l’information pertinente pour estimer le rendement futur
de l’actif financier)11.
10
BOURLES, R. (2009). Mathématiques pour la Finance. Marseille: Ecole Centrale de Marseille. 11
HULL, J. (2012). Options, Futures and Other Derivatives. Toronto: Prentice Hall
13
1.7. Equation Différentielle Stochastique du prix d’un stock
( ) ( )
( )
( ( )
( )) ( ( )) ( ( ))
Si les rendements sont
exprimés en rendements
géométriques :
( ( )
( ))
Selon Hull, une variable
suit un processus log-
normal si son logarithme
népérien suit une
distribution normale. « Ce
modèle d’évolution du
cours d’un stock à la date
T est conditionné par sa
valeur actuelle (en t=0), et
suit une distribution log-
normale »12.
Alors G= ln S et dG = ln S
(
)
Si t=0 et t+∆t = T, => ( ) ( ) (
) √
( ) ( ) ((
) √ )
Ln S(T) suit une loi Normale de paramètres :
( ) ( ( ) (
) √ )
Si on intègre et applique une fonction exponentielle :
( ) ( ) ((
) √ )
( )
12
HULL, J. (2012). Options, Futures and Other Derivatives. Toronto: Prentice Hall
14
2. Application aux différentes catégories instruments financiers
2.1. Généralisation à partir du modèle de Black & Scholes
En 1973, F. Black et M. Scholes, dans le prolongement des travaux de L. Bachelier (1900) et de R.
Merton (1973), développent un modèle de « pricing » des options de style « Européen » (Call pour
option d’achat et Put pour option de vente, qui ne peuvent être exercées qu’à l’échéance du
contrat). Les options constituent des instruments financiers non linéaires qui sont fonction
- S : du prix d’un actif sous-jacent (le prix au comptant « SPOT ») et de son évolution au cours
du temps (prix SPOT à terme)
- T : la maturité (échéance de l’option)
- K : STRIKE, ou prix d’exercice
- r : taux d’intérêt sans risque (composé en continu)
- σ : la volatilité de l’actif sous-jacent (supposée constante)
L’équation différentielle stochastique partielle du modèle de Black & Scholes, où V(S, t) est la valeur
de l’option en fonction du prix du sous-jacent et du temps, peut s’écrire13 :
Initialement prévu pour valoriser les options sur actions, le modèle de Black & Scholes a pu être
étendu à la plupart des options (sur taux de change, sur futures et même sur obligations), bien qu’ils
comportent des hypothèses simplificatrices (volatilité constante ou incapacité à refléter le caractère
asymétrique des cours de certains actifs). En se basant sur un mouvement brownien (processus de
Wiener généralisé), leurs modèles de valorisation d’options peuvent être utilisés pour représenter
l’évolution du cours des actifs sous-jacents concernés.
14 L’ensemble des paramètres du modèle de Black & Scholes est facile à obtenir : ils sont tous
observables, hormis la volatilité, qui est estimée :
- Volatilité historique du sous-jacent
- Volatilité implicite : on peut la déduire du modèle de Black & Scholes. Elle représente une
projection des investisseurs sur le niveau courant/futur de volatilité du sous-jacent15
13
http://riskencyclopedia.com/articles/black_1976/ 14
DELFOSSE, V. (2013). Syllabus d'Instruments Financiers Dérivés. Liège: HEC-ULG. 15
HULL, J. (2012). Options, Futures and Other Derivatives. Toronto: Prentice Hall.
15
De plus, ils sont supposés constants. Ce qui peut s’avérer être une hypothèse très réductrice,
concernant aussi bien les niveaux de volatilités que les taux d’intérêts.
2.2. Equity
Evolution du cours du titre : (
) (
) 2.2.1.
( ) ( ) ((
) √ )
( )
Le terme de tendance devient: (
) (
) où µ correspond à l’espérance de
rendement du titre en univers risqué (incluant une prime de risque), et r correspond au taux de
rendement instantané d’un actif sans risque16. Le modèle repose sur la notion d’univers risqué (d’où
la présence de volatilité des cours et rendements), avec des investisseurs neutres au risque (ne
requièrent pas de prime de risque). In fine, cela sous-tend que le terme de tendance α, dans le cas où
« la volatilité nulle (évolution purement déterministe), et en l’absence de possibilité d’arbitrage, le
rendement de l’action doit être égal au taux d’intérêt sans risque 17».
European Equity Options 2.2.2.
Call (Option d’achats)
Put (Option de Vente)
Valeur du CALL à l’échéance :
( ) ( ( ) )
Valeur du PUT à l’échéance :
( ) ( ( ) )
Valeur actuelle du Call :
( ) ( ( ) )
( ( ) )
Valeur actuelle du Call :
( ) ( ( ) )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ( )
) ((
) )
√
( ( )
) ((
) )
√ √
Remarques : N(.) correspond à la fonction de reparution de la loi normale centrée réduite et ( )
représente à tout moment entre T=0 et T (maturité), pour un call, la probabilité que l’option soit
exercée (IN THE MONEY), c’est-à-dire que le prix du sous-jacent (S(T)) soit supérieur à celui du
STRIKE (K).
N(d1) vaudra, à l’échéance, 1 si l’option CALL peut être exercée par son détenteur et 0 sinon.
Le pay-off de l’option CALL correspondra à l’écart entre le prix SPOT à échéance S(T) et le Strike, si
celui s’avère positif, 0 sinon.
16
DELFOSSE, V. (2013). Syllabus d'Instruments Financiers Dérivés. Liège: HEC-ULG 17
DELFOSSE, V. (2013). Syllabus d'Instruments Financiers Dérivés. Liège: HEC-ULG
16
Cas spécifiques : Dividendes connus 2.2.3.
( ) ( ( ) ) ((
) √ )
( )
Où la valeur actuelle du Dividende versé en t1 (et t1 : t0 < t1 <T)18 :
Cas spécifique : Montant et Dates des Dividendes inconnus (Dividend Yield) 2.2.4.
Evolution du sous-jacent :
( ) ( ) ((
) √ )
( )
Où « q » correspond à un taux de rendement en dividende versé en continu19.
Impacts sur la valorisation d’options européennes selon le modèle de Black & Scholes :
On représente dans le modèle de Black & Scholes :
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
Et le Put : ( ) ( ) ( ) ( )
2.3. Forex
Evolution du taux de Change (FX) : (
) 2.3.1.
( ) ( ) ((
) √ )
( )
Où représente le taux d’intérêt en devise domestique et le taux d’intérêt en devise
« étrangère ». La modélisation des taux de change est correctement approchée au travers d’un
processus de Wiener20.
Option sur taux de change 2.3.2.
On peut exprimer que le taux de change SPOT S(T) à l’échéance, dans un univers sans risque
(volatilité nulle), sera égale au taux de change à terme
( ) ( ) ( )
Ce qui donnera :
( ) ( )
( ) ( ) ( )
Et :
(
) (
)
√
(
) (
)
√ √
18
DELFOSSE, V. (2013). Syllabus d'Instruments Financiers Dérivés. Liège: HEC-ULG 19
DELFOSSE, V. (2013). Syllabus d'Instruments Financiers Dérivés. Liège: HEC-ULG 20
DELFOSSE, V. (2013). Syllabus d'Instruments Financiers Dérivés. Liège: HEC-ULG
17
2.4. Commodities, Forwards & Futures et Obligations (Black 1976)
Le modèle de Fisher Black (1976) est une extension du modèle de Black & Scholes qui permet
d’étendre celui-ci à la valorisation d’options sur contrats futures, sur commodités ainsi que sur les
obligations et actifs dérivés (caps, floors, FRA’s…) de taux d’intérêts.
Le comportement du prix SPOT de commodités (ou de produits de taux d’intérêts) est plus complexe
à modéliser que celui des actions. Typiquement, l’évolution de cette catégorie d’actifs financiers est
modélisée selon des méthodes découlant de processus de type « Ornstein-Uhlenbeck » où l’on fait
appel à la notion de « Mean-Reverting Process » ou processus de retour vers la moyenne du prix
comptant (SPOT). La notion de « Jump » (littéralement des « Sauts ») est un autre élément clé qui
n’est pas pris en compte par le modèle de Black & Scholes fondé sur le mouvement brownien
géométrique21.
En effet, le prix au comptant de certaines commodités va connaître des pics en fonction du temps
(les prix du gaz ou de l’électricité vont connaître de brusques montées en hiver, et souvent l’inverse
en été. Le prix du blé au comptant va connaître de relativement fortes appréciations juste avant une
récolte, et une baisse juste après). Et la structure par terme des taux d’intérêts intègre aussi des
notions comme la théorie de la préférence pour la liquidité ou celle des anticipations des taux futurs.
Ces éléments ont tendance à « biaiser » l’aspect aléatoire du comportement des prix au comptant de
ces différents actifs, si l’on utilise des modèles comme celui du mouvement brownien géométrique
utilisé dans le modèle de Black & Scholes de 197322.
Fisher Black, en 1976, va résoudre ce problème en considérant comme sous-jacent le prix à terme
(« Forward »). Concrètement, il va raisonner comme pour la modélisation du taux de change à
terme :
( ) ( ( ) ) ( )
Où « H » représente le « Cost of Holding » de l’actif/ commodité (comme un coût de stockage), « q »
représentant un équivalent du Dividend Yield (appelé parfois « Convenient Yield » dans le cadre des
commodités, i. e. le rendement que l’on peut retirer du fait de disposer l’actif pendant la durée du
contrat à terme).
Dans le cas d’obligations à taux fixe, « F » représente alors
( )
Où
- : valeur actuelle de l’obligation en T=0 (attention on fait référence au « Dirty Price »)
- I : correspond à la valeur actuelle des coupons encourus pendant la durée de vie l’option
- ( ) : est un facteur d’actualisation correspondant au prix P(0, T) d’une obligation Zéro
Coupon de valeur égale à 1 € payée à l’échéance « T » (et prenant en compte le taux
d’intérêt SPOT de maturité « T »)
Donc F(0) est égal à la valeur à terme espérée (« à terme » ou à l’échéance de l’option) de
l’obligation : calculée en t=0.23
21
Mitra, D. S. (2012, Mars). Pricing of Index Options Using Black’s Model. Global Journal of Management and Business Research. 22
DELFOSSE, V. (2013). Syllabus d'Instruments Financiers Dérivés. Liège: HEC-ULG 23
DELFOSSE, V. (2013). Syllabus d'Instruments Financiers Dérivés. Liège: HEC-ULG
18
L’hypothèse du modèle de Black (1976) est que le prix à terme suit un processus log-normal, comme
celui du prix SPOT d’une action.
3. Analyse de sensibilité du prix des actifs
3.1. Théorie du Portefeuille (Markowitz Risk-Return Framework)
La théorie du portefeuille de Markowitz (1954) met en évidence la possibilité de minimiser le risque
(mesuré par la volatilité, à savoir l’écart type des rendements d’un titre, soit la racine carrée de la
variance, elle-même égale au carré des écarts à la moyenne) grâce au principe de diversification : la
corrélation linéaire d’actifs peut, lorsqu’elle est inférieure à l’unité, permettre de réduire la volatilité
totale du portefeuille.
Soit ( ) le prix « Spot » du titre i (facteur de risque) en « t » et P(t) la valeur du portefeuille en
« t ».
( ) ∑ ( )
Où le poids du titre « 1 » est représenté par :
La variance du portefeuille en % La variance du portefeuille en unité monétaire et
en t:
∑
∑
( ) ∑
Où x correspond à la valeur monétaire des
actifs (« exposures ») en t.
Pour 2 titres, la matrice de variance covariance est telle que :
[
] [
]
Le coefficient de corrélation linéaire de ¨Pearson
est égale à
L’écart type du portefeuille est donc
√
Le rendement du portefeuille à l’instant « t » est mesuré comme la somme des rendements des
différents titres constitutifs, pondérés par leur poids :
( ) [
]
19
3.2. Equity (Beta)
Le modèle CAPM développé par Sharpe (1964) postule que l’on peut décomposé le risque associé à
la détention d’une action en deux composantes : une partie spécifique (idiosyncrasique) et une partie
systémique (risque de marché) non diversifiable. Dans la perspective d’investissement « marginal »,
la partie spécifique peut être annihilée via la diversification optimale du portefeuille ; seule subsiste
le risque de marché et il détermine l’espérance de rendement (ou rendement exigé) par les
investisseurs pour consentir à assumer le risque lié à la détention de cet actif.
( ) ( )24
Où ( ) désigne la prime de risque entre le rendement d’un portefeuille de marché diversifié
(en pratique on se réfère souvent à un indice) et l’actif sans risque, et représente la sensibilité du
l’actif au marché. Ce coefficient est une mesure de la volatilité d’un actif par rapport au marché.
Concrètement, il peut s’obtenir par régression linéaire du rendement de l’action « i » sur le
rendement du « marché » (indice boursier) :
Où le résidu représente la partie spécifique diversifiable du risque associé au titre « i ».
Le Beta est égal à ( )
( )
3.3. Fixed Income (Bond)
La sensibilité du prix d’une obligation peut se mesurer en terme de duration modifié et de convexité.
Il est utile de rappeler qu’une obligation payant un coupon revient à un portefeuille d’obligation zéro
coupons ( ( )) correspondant aux diverses échéances de paiement des coupons et de
remboursement du principal ( ).
( )
( ( ))
∑
Le prix d’une obligation, sur le marché secondaire, « résulte de l’équilibre entre l’offre et la demande
et reflète les anticipations des investisseurs sur l’évolution des taux d’intérêts25 ». Sans entrer dans
les détails de Clean et Dirty Price (en sachant tout de même que les obligations sont cotées en Clean
Price), et en postulant que l’émetteur remplisse ses engagements, le prix d’une obligation en t=0
représente la somme des valeurs actualisées (par les taux d’intérêts SPOTS) des flux (coupons et
remboursement du principal) aux différentes échéances. Le taux de rendement à l’échéance (YTM :
Yield To Maturity ; ici noté Y) reflète le niveau et la forme de la courbe des taux d’intérêts SPOTS et
correspond à la moyenne pondérée des différents taux comptants (Taux SPOTS) qui égalise la valeur
nominale des Cash Flows à percevoir et le prix de l’obligation26 :
( ) ∑
( )
24
JORION, P. (2007). Financial Risk Manager Handbook. New Jersey: John Wiley & Sons 25 BODSON, L. (2013). Syllabus de Titres à Revenus Fixes. Liège: HEC-ULG.
26BODSON, L. (2013). Syllabus de Titres à Revenus Fixes. Liège: HEC-ULG
20
Un titre à revenu fixe comme une obligation est soumis à deux types de risque de marché, tous deux
liés au risque de taux : le risque de réinvestissement (si les taux baissent, l’investisseur va perdre du
rendement sur les flux intermédiaires perçus au long de la durée de vie de l’obligation) et le risque de
réalisation (si les taux d’intérêts baissent, le prix de l’obligation va remonter).
La Duration de Macaulay (1938) est une mesure de la durée de vie moyenne d’une obligation, qui
permet de déterminer l’horizon temporel de détention de l’obligation auquel les risques de
réalisation et de réinvestissement s’annulent.
∑
( )
En terme de sensibilité du prix de l’obligation aux variations du taux de rendement actuariel, on peut
calculer la duration modifiée, qui s’apparente à la dérivée première de l’obligation par rapport à son
taux de rendement actuariel :
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( )
Où Dm représente la duration modifiée, qui est exprimée en pourcentage et indique de combien
devrait se déprécier la valeur de l’obligation suite à une augmentation de 1% du taux de rendement
actuariel.
Il est important de noter que la Duration modifiée est un indice de mesure de la sensibilité du prix de
l’obligation suite à un déplacement parallèle de la courbe des taux27 (la Duration Macaulay étant à
l’origine mesurée par rapport au taux de rendement actuariel. La Duration de Fischer et Weill qui
prend en compte les différents taux spots correspond à chacun des flux de l’obligation permettent
d’apprécier la sensibilité à des variations d’un terme spécifique de la courbe).
Et il faut aussi noter que la duration modifiée n’est obtenue que grâce à une approximation de
Taylor, et ne donnera pas d’indication précise de la sensibilité du prix de l’obligation à d’importantes
variations du taux de rendement actuariel (i. e. d’importants déplacement parallèles). Pour ce faire, il
faut prendre en compte la Convexité.
3.4. Options (Greeks)
Pour connaître la sensibilité d’options aux variations de leurs facteurs de risques (variables de
marchés), on fait appel aux Greeks, qui résultent d’un développement de Taylor. Les deux premières
lettres de ce développement sont delta et gamma.
Delta 3.4.1.
Soit V la valeur de l’option et S celle du cours au comptant du sous-jacent :
( ) ( )
27 BODSON, L. (2013). Syllabus de Titres à Revenus Fixes. Liège: HEC-ULG.
21
Delta est mesuré en pourcentage et représente la dérivée première de la valeur de l’option par
rapport au prix de l’actif sous-jacent. Elle indique de combien varie la Valeur de l’option suite à une
variation donnée du sous-jacent28.
Gamma 3.4.2.
( )
√ ( )
√
Gamma correspond à la dérivée seconde de la valeur de l’option par rapport au cours du sous-jacent,
et prend en compte la convexité de la courbe de la Valeur de l’option29.
On mesure l’impact de gamma sur la valeur de l’option de la façon suivante :
( )
28
DELFOSSE, V. (2013). Syllabus d'Instruments Financiers Dérivés. Liège: HEC-ULG 29
DELFOSSE, V. (2013). Syllabus d'Instruments Financiers Dérivés. Liège: HEC-ULG
22
B. MÉTHODES D’ESTIMATIONS DE LA VALUE AT RISK
Schéma Général des principales méthodologies I.
30
Comme cela a déjà été indiqué dans ce travail, estimer la Value at Risk d’un portefeuille de titres financiers implique de pouvoir modéliser/déterminer la distribution, en termes probabilistes, des variations de valeur du portefeuille en question sur l’horizon temporel, correspond à la détention du dit portefeuille. La valeur de ce portefeuille à l’instant « t » est fonction des instruments qui le composent, et de leur sensibilité à certains facteurs de risque, qui sont des variables de marché (le prix des stocks, les taux de change, d’intérêt…). Par conséquent l’estimation de la distribution de ces facteurs de risque, ainsi qu’une application adéquate des modèles d’évaluation des différents actifs, vont influencer le calcul de VaR.
31
Dans le cadre de ce travail, une brève analyse des différentes méthodologies de calcul de Value at Risk va être abordée dans les sections suivantes, en passant en revue les principes fondamentaux de ces méthodes, leurs avantages et inconvénients, mais aussi en précisant les types d’actifs auxquels elles sont le mieux adapté. Cela impliquera d’établir certains liens avec les modèles principaux d’évaluation de ces instruments.
30
James, T. (2003). Energy Price Risk: Trading and Price Risk Management. Gordonsvile, VA, USA: Palgrave. 31
JORION, P. (2007). Financial Risk Manager Handbook. New Jersey: John Wiley & Sons
23
Méthode Variance-Covariance Paramétrique II.
1. Schéma de la méthode Delta Normale
32
Il s’agit d’une méthode populaire (notamment grâce à la diffusion gratuite sur internet de RiskMetrics par JP Morgan en 1996) que l’on nomme également dans la littérature « méthode analytique » et qui est relativement simple à mettre en place. Elle repose sur l’hypothèse que les rendements géométriques des variables de marché des différents instruments financiers suivent conjointement une distribution normale (ou distribution Normale Multivariée).
Elle consiste à décomposer les différents instruments financiers en fonction des facteurs de risques
(variables de marché) auxquels ils sont exposés, soit M.F. (Market Factors) :
- Pour un portefeuille d’obligations : décomposer et agréger les séries de Cash Flows en
fonction de leur maturité et des taux d’intérêts
- Portefeuille d’options : identifier les sous-jacents (par ex. des actions auxquelles des calls ou
des puts sont rattachés)
- Portefeuille d’actions : les actions proprement dites
Il faut ensuite prendre en compte leur sensibilité par rapport à ces facteurs (impact des variations
des facteurs de risque sur la valeur de ces instruments), soit F.S. (Factor Sensitivity) :
- Options : leur delta
- Portefeuille d’actions : le Beta
- Obligations : la Duration Modifiée
Reste à calculer leur volatilité afin d’obtenir la Matrice de Variance-Covariance ( ∑ ) .
Les derniers composants sont la durée de détention du portefeuille (« k jours »), et un paramètre
correspondant à l’inverse de la fonction de répartition d’une distribution statistique particulière
(typiquement le fractile de la loi Normale Centrée réduite d’ordre ( ) ) .
Soit un portefeuille composé d’options sur actions. La Value at Risk du portefeuille P correspondant à
1 horizon de détention de 10 jours et un taux de couverture de 1% :
( ) ( ) √∑∑
( )
( ) ( ) √
32
JORION, P. (2007). Financial Risk Manager Handbook. New Jersey: John Wiley & Sons
24
2. Estimation de la volatilité et des corrélations
33
Cette approche constitue une méthode dite de « Local Valuation » car elle ne nécessite pas de connaître ou simuler l’ensemble de la distribution des Pertes et Profits du Portefeuille pour en extraire le fractile recherché, mais seulement de reconstituer la matrice de Variance Covariance. C’est à ce niveau qu’il existe d’ailleurs différentes méthode d’estimation de cette matrice.
Premièrement, on peut déterminer la volatilité à partir de :
- Volatilité implicite : elle représente une vision anticipative de la volatilité telle que perçue par
les investisseurs, et l’on peut la déterminer notamment via la formule de Black & Scholes, à
partir des options cotées sur les marchés
- Volatilité historique : elle consiste à évaluer, à partir d’un échantillon de données « passées »
concernant les facteurs de risques (variable de marché) les volatilités et corrélations
Pour estimer les volatilités à partir des données historiques, on peut également procéder selon
différentes approches, qui consistent principalement à pondérer de façon spécifique les données
historiques, en accordant plus de poids aux valeurs récentes, et forcément moins aux données plus
éloignées dans le temps.
La méthodologie Generalized Autoregressive Conditional Heteroscedasticity GARCH (p, q) (inventée
en 1986 par Bollerslev). Soit les actifs i et j, où les rendements sont
Par régression (basée sur l’estimateur du maximum de vraisemblance « M.L.E. ») on estime la
variance conditionnelle de chacun des actifs
33 Bohdalová, M. (2007). A comparison of Value–at–Risk methods for measurement. Bratislava
(Sloavakia): Comenius University (Faculty of Management).
25
Avant de passer ensuite à l’estimation de la covariance conditionnelle :
Ce processus étant respecté à chaque « pas » (chaque ré-estimation ; ce qui offre une valeur
prédictive à ces mesures de volatilité et de covariance pourtant estimées sur base de données
historiques).
La modélisation GARCH(1,1) permet de capturer dans la variance conditionnelle la sensibilité aux
« chocs » (« innovations ») grâce aux coefficients
- symbolisant l’effet ARCH => plus significatif sera ce coefficient et plus rapide sera le
modèle à réagir à une « perturbation » en la répercutant sur la volatilité conditionnelle du
rendement du titre (effet court terme)
- : reflète la « mémoire », l’effet persistant des chocs cumulés (inclus dans la valeur
retardée de la variance conditionnelle)
Pour autant que les conditions soient respectées ( ), une modélisation du type
paramétrique comme GARCH(1,1) est conditionnellement Hétéroscédastique (consistant avec les
faits stylisés) mais vérifie la condition d’existence d’une variance non conditionnelle (Variance
/Covariance dite de Long Terme). Le Processus est donc potentiellement stationnaire au sens faible
et faiblement dépendant (Inférence statistique)34.
3. Forces et Faiblesses
3.1. Points Forts
- Relativement facile à mettre en place (Local Valuation)
- Bien adaptée à des instruments financiers linéaires (approximative concernant les options ou
certains titres à revenus fixes)
- Permet de rendre compte des effets de diversification
3.2. Points Faibles
- Nombreuses hypothèses simplificatrices (paramètres + distribution normale des
rendements)
- Loi Gaussienne peine à refléter les valeurs extrêmes qui peuvent survenir lors de périodes de
crises35
34
Gnabo, J.-Y. (2012). Syllabus d'Econométrie. Namur: University Of Namur (FUNDP). 35
Bohdalová, M. (2007). A comparison of Value–at–Risk methods for measurement. Bratislava (Slovakia): Comenius University (Faculty of Management).
26
Méthode Simulation (Monte Carlo) III.
1. Schéma
36
Selon C. Hurlin (Université d’Orléans) la méthode de Monte Carlo consiste à « simuler un grand
nombre de fois les comportements futurs possibles des facteurs de risque selon un certain nombre
d’hypothèses, et d’en déduire une distribution des pertes et profits à partir de laquelle on estime un
fractile ». Il s’agit d’une approche dite de « Full Valuation » de la distribution des rendements des
variables de marché (Facteurs de Risque) sur l’horizon de détention du portefeuille.
Elle consiste à :
- Calculer la valeur initiale du portefeuille
- Générer un échantillon à partir du modèle stochastique (vu dans le chapitre précédent) des
différents instruments composant le portefeuille
- Veiller à modéliser la structure de corrélation des variables simulées (comme une
distribution Normale Multivariée)
- Simuler un très important (plusieurs milliers généralement) nombre de valeurs
hypothétiques du portefeuille
- Sélectionner le fractile correspondant au taux de couverture voulu
2. Forces et Faiblesses
2.1. Points Forts
- Considérée comme la méthode la plus efficace
- Peut convenir à tous les types d’instruments (linéaires, non-linéaires…)
- Nécessite très peu de données
36 Bohdalová, M. (2007). A comparison of Value–at–Risk methods for measurement. Bratislava
(Sloavakia): Comenius University (Faculty of Management).
27
2.2. Points Faibles
- La méthode la plus complexe à modéliser (on parle alors de risque de modèle indiquant les
dangers liés à mésestimer la distribution des Pertes et Profits)
- La plus gourmande en ressources de calcul pour les serveurs
Méthode de Simulation Historique IV.
1. Description et Schéma
37
Il s’agit d’une méthode légitimée par les praticiens, grâce à sa simplicité (elle n’exige pas de recourir
à la formulation d’hypothèse sur la distribution des rendements de l’actif). La seule « décision »
concerne la Taille de la fenêtre d’estimation (« Te »), c’est-à-dire l’échantillon constitué d’une série
(« historique ») de rendements du portefeuille. A l’intérieur de cette fenêtre, ceux-ci vont être
réordonnés par ordre croissant (de la plus importante perte au plus grand profit). La prévision de VaR
est égale au fractile empirique d’ordre (supérieur à % des rendements historiques).
( ) ( { } )
2. Forces et Faiblesses
2.1. Points Forts
- La méthode la plus simple
- Ne nécessite pas de faire d’hypothèses sur la distribution des rendements (s’intéresse
seulement au fractile empirique)
37 Bohdalová, M. (2007). A comparison of Value–at–Risk methods for measurement. Bratislava
(Sloavakia): Comenius University (Faculty of Management).
28
2.2. Points Faibles
- En ne tenant pas compte de l’ordonnancement temporel au sein de la fenêtre (échantillon),
on considère les rendements i.i.d. implicitement, ne parvenant pas à rendre compte des
phénomènes de cluster de volatilité38
- Méthode qui nécessite le plus de données disponibles
38
Robert ENGLE, S. M. (2001). VaR Models in Finance (W.P. 75). Frankfurt: European Central Bank (Working Papers').
29
C. PRINCIPES DU BACKTESTING POUR MESURER LES
PERFORMANCES DES ESTIMATIONS DE VAR
Vocation commune à tout modèle de VaR I.
1. Rendements ex-post VS VaR ex-ante
Le principe de Backtesting est de confronter des prévisions de Value at Risk (mesure de l’exposition
au risque de marché, au seuil de risque( )) à « k pas » aux rendements observés « ex-post »39.
H0 : ( ) ( )
Un modèle de Value at Risk est correctement spécifié / est performant si il fournit des prévisions de
, au taux de couverture( ), constituant une approximation correcte du Quantile
(Conditionnel) d’ordre( ) de la distribution des rendements de l’actif (ou du portefeuille)
financier.
L’ensemble des procédures de Backtesting évoquées ici évaluent l’hypothèse nulle (modèle
correctement spécifié) au travers de statistiques disposant de propriétés équivalentes en situation de
large échantillon (chaque test fournit une statistique qui suit une loi du Khi Carré en cas de non rejet
de H0).
2. Caractéristique commune aux procédures « classiques » de Backtesting :
le recours aux variables binaires
La notion de Hit
Lorsque la perte observée dépasse la Value at Risk au seuil de couverture prévu, on parle de
Violation. Soit N le nombre total de prévisions de VaR (sur l’ensemble de l’intervalle de prévision):
( ) { ( )
( )
( )
La séquence de Hit
{ ( )} { }
(∑ )
∑ ( )
39
W. GAGLIANONE, L. R. (2011). Evaluating Value-at-Risk Models via Regression Quantile. Journal of Business Economics and Statistics, pp. 150-160.
30
Clean VS Dirty Backtesting II.
On peut procéder de deux grandes façons lorsqu’on procède à la comparaison des rendements
« observés » ex-post par rapport aux « prévisions ex-ante » de Value at Risk d’un portefeuille40 :
- Dirty Backtesting : on compare la valeur du portefeuille au terme de l’horizon de détention
de la VaR avec la valeur du portefeuille telle quelle, sans prêter attention au fait que la
composition de ce portefeuille a potentiellement changé
o Avantages : facilité
o Inconvénients : Ne donne pas à proprement parler d’idée précise sur la qualité du
modèle d’estimation de Value at Risk
- Clean Backtesting : on veille à maintenir inchangé la composition du portefeuille pendant
l’horizon de détention, en comparant alors les pertes ex-post de ce portefeuille hypothétique
avec les prévisions de VaR ex-ante
o Avantage : Plus cohérent et à même de tester la validité du modèle de VaR
o Inconvénients : si entre-temps des instruments financiers devaient avoir échu, on
pourrait éprouver des difficultés à obtenir des cotations
40
Hübner, G. (2013). Syllabus de Financial Risk Management. Liège: HEC-ULG.
31
Test de Kupiec (1995) : Couverture Non conditionnelle III.
1. Likelihood Ratio de Kupiec (LR unconditionnal)
( ) ( ) [ (
)
(
)
]
( ) 41
2. Test d’hypothèse
H0 : ( )
H1 :
H0 accepté : Rejet H0 : surestimation du risque Rejet H0 : sous-estimation risque
< ( ) >
( ) > ( )
Si ( )
:
∆-- 0 ∆+ (p-value ) > %
Si ( )
Failure Rate (
) < cover rate ( )
VaR « conservatrice »
Si ( )
Failure Rate (
) > cover rate ( )
VaR ne couvre pas assez le risque
3. Commentaires
Comme les autres méthodes classiques de Backtesting fondées sur des variables binaires, le test peut
manquer de puissance en échantillons réduits du fait de la quantité limitée d’information présente
dans ces variables indicatrices, qui plus est destinées à modéliser des évènements « théoriquement »
peu fréquents.
Evaluer des modèles de prévisions de VaR en utilisant uniquement cette procédure est assez
« périlleux » : aucune information sur l’ordre des occurrences de violations.
A titre informatif, voici le graphique des prévisions de VaR au niveau de confiance de 95% (méthode
de simulation historique) du titre Dexia (données Yahoo Finance) pour l’année de trading 2006.
Bien que statistiquement, selon la procédure de Backtesting de Kupiec, sur l’ensemble des 250
prévisions, les prévisions de Value at Risk faites par le modèle de simulation historique sont
considérées comme performantes car le taux de violations observé (6.5%) ne diverge pas
statistiquement du taux théorique (5%). Or, dans le cercle orange, on se rend compte que la
séquence de violations n’est pas répartie de façon homogène sur l’ensemble des prévisions. Cela
traduit très probablement une incapacité du modèle à réagir rapidement à un changement de
conditions dans le marché (en l’occurrence un cluster/grappe de volatilité dans la distribution des
rendements de l’action Dexia au sein du cercle).
41
HURLIN, C. (2006-2007). Fiches sur la VaR: Prévisions et Tests de Validation. Université d'Orléans
32
Test de Christoffersen (1998) : Couverture Conditionnelle IV.
1. LR independence : Violation i.i.d. (clusters de violation)
Nombre de Jours où la situation j (0,1) a fait suite à une situation i(0,1) =
∏
∏
N
∏
Soit ∏ La probabilité d’occurrence d’une Violation le lendemain, sachant la condition i la veille.
42
H0 : < ( )
Violations i.i.d.
H1 = H0 rejeté si
> ( )
Cluster de Violations
2. LR Conditional Coverage : test joint
< ( ) => H0 accepté : Modèle de VaR performant en terme de
couverture conditionnelle du risque.
3. Commentaires
Modèle d’évaluation plus complet et incorporant plus d’informations que le simple test de
couverture non conditionnelle proposé par Kupiec.
La prise en compte du phénomène de cluster de violation permet de mieux appréhender les
performances d’un tel modèle en échantillon « réduit » en étant attentif aux phénomènes de
corrélation sérielle entre les séquences de Hits.
Mais cette méthode de Backtesting ne renseigne pas sur la réelle qualité des prévisions de VaR à
approximer le quantile conditionnelle d’ordre de la distribution des Rendements de l’actif. Le
recours aux seules variables binaires ne permet pas de vision plus nuancée des capacités du modèle
de VaR à refléter le Processus Générateur de Données .
42
W. GAGLIANONE, L. R. (2011). Evaluating Value-at-Risk Models via Regression Quantile. Journal of Business Economics and Statistics, pp. 150-160.
33
Test d’Engle et Manganelli (2004) : Quantiles Dynamiques V.
1. Hits
Il s’agit du dernier modèle de Backtesting abordé ici. Engle et Manganelli (2004) envisagent
d’assigner les valeurs suivantes aux variables indicatrices :
( ) ( ) { ( )
( )
2. Régression linéaire de la variable Indicatrice (Hit) sur un ensemble
d’instrument
Ce test est celui qui offre les meilleures performances en échantillons réduits car il permet d’intégrer
une quantité plus importante d’information dans sa procédure d’évaluation et de calcul de sa
statistique de test. L’objectif est toujours de tester les performances de modèle de VaR en termes de
couverture conditionnelle, en laissant la possibilité d’intégrer un nombre important de valeurs
« laggées » ( ), mais aussi des variables explicatives « non binaires » comme des valeurs
retardées des estimations de VaR
La régression linéaire (OLS) est typiquement constituée comme suit :
( ) ∑ ( )
∑ ( )
Où Xt désigne un ensemble d’instruments et les résidus :
{ ( )
( )
Couverture Conditionnelle du risque sous
H0 :
La nullité de la constante permet de vérifier la Couverture Non Conditionnelle ; celle des autres
coefficients valide l’absence de corrélation sérielle entre les violations présentes et passées
(indépendance).
3. Statistique de Test Dynamic Quantiles (Lagrange Multiplier)
Soit la statistique DQ, sous la forme d’un Multiplicateur de Lagrange pouvant tester l’hypothèse nulle
de couverture conditionnelle pour autant que
DQ < ( )
Sachant que q = rang de la matrice Xt.
43
43 W. GAGLIANONE, L. R. (2011). Evaluating Value-at-Risk Models via Regression Quantile. Journal of
Business Economics and Statistics, pp. 150-160.
34
D. CONCLUSION
L’évolution récente des marchés financiers (un niveau général accru de volatilité ainsi que les
multiples krachs) a placé la gestion des risques au centre des préoccupations des institutions
financières et des régulateurs.
Dans ce contexte, on observe une exposition croissante des banques au risque de marché, qui
s’explique notamment par la part prépondérante que les portefeuilles de trading (« trading book »)
ont pris dans leurs comptes (au détriment, relatif, de leurs activités de base classiques comme le
« Lending » ou le « Retail »).
Cet élément a fortement favorisé la percée de la Value at Risk car il s’agit d’un indice de mesure de
l’exposition au risque de marché, simple, compréhensible de tous et exprimant le niveau de perte
maximale subi par un titre endéans un horizon temporel donné, pour un niveau de confiance
spécifié.
Cet indice est utilisé tant par le régulateur que par les institutions elles-mêmes.
Néanmoins, il existe une très grande diversité de modèles d’estimation de la VaR, disposant tous de
forces comme de faiblesses, mais produisant des écarts importants les uns par rapport aux autres,
Or les conséquences relatives à des mésestimations de l’exposition au risque de marché peuvent être
dévastatrices.
Elles peuvent principalement être de deux types :
- Les prévisions de Value at Risk sont inférieures aux pertes réellement observées
(supérieures aux rendements observés ex-post). Dans ce cas le risque a été sous-estimé, et
selon le contexte d’utilisation de ces prévisions (par exemple le calcul des fonds propres ou
des limites de trading), cette sous-estimation peut fragiliser l’institution (ou le département)
- Les mesures sont trop « conservatrices » (surestimation du risque et donc immobilisation
inutile de capitaux), ce qui peut impacter négativement la rentabilité des institutions
financières
Pour circonscrire à ces faiblesses de la VaR, il existe diverses pistes. Notamment la Théorie des
Valeurs Extrêmes, incluant l’Expected Shortfall (proposé en 2009 par l’International Bank of
Settlement comme complément à la VaR) qui mesure le niveau de perte moyen lorsque l’on se
trouve au-delà du seuil de confiance (au-delà du fractile représenté par la VaR).
Mais surtout, il est capital de mettre en place des méthodes de test : Stress-Testing (analyse par
scénario), ainsi que du Backtesting rigoureux afin de tester les performances des modèles
d’estimation de Value at Risk.
Dans le cadre de ce travail, nous avons exploré trois méthodologies : Kupiec, Christoffersen et Engle
et Manganelli.
La méthode proposée par Engle et Manganelli (2004) dite de « Dynamic Quantile » est celle qui
semble la plus efficace et rigoureuse car elle permet d’analyser différents critères de qualité
simultanément, en ne se cantonnant pas aux seules variables binaires représentant les « violations »
des prévisions de VaR.
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ANNEXE N° 1 : FORWARD ON FOREX (RISK FACTORS &
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