fre p. course in general relativity (free version, lecture notes, web draft, 2003)(141s)_pgr

141
7/29/2019 Fre P. Course in General Relativity (Free Version, Lecture Notes, Web Draft, 2003)(141s)_PGr http://slidepdf.com/reader/full/fre-p-course-in-general-relativity-free-version-lecture-notes-web-draft 1/141

Upload: nhelldx

Post on 03-Apr-2018

215 views

Category:

Documents


0 download

TRANSCRIPT

Page 1: Fre P. Course in General Relativity (Free Version, Lecture Notes, Web Draft, 2003)(141s)_PGr

7/29/2019 Fre P. Course in General Relativity (Free Version, Lecture Notes, Web Draft, 2003)(141s)_PGr

http://slidepdf.com/reader/full/fre-p-course-in-general-relativity-free-version-lecture-notes-web-draft 1/141

Ç Í Ê Ë Ò Æ Ê Ä Ê Ä Ì Á Î Á Ì          

È Ö Ó º È Á Ì Ê Ç Ê ³  

Í Ò Ú Ö × Ø Ý Ó Ì Ó Ö Ò Ó  

Æ Ó Ú Ñ Ö ½ ¸ ¾ ¼ ¼ ¿  

Page 2: Fre P. Course in General Relativity (Free Version, Lecture Notes, Web Draft, 2003)(141s)_PGr

7/29/2019 Fre P. Course in General Relativity (Free Version, Lecture Notes, Web Draft, 2003)(141s)_PGr

http://slidepdf.com/reader/full/fre-p-course-in-general-relativity-free-version-lecture-notes-web-draft 2/141

Ó Ò Ø Ò Ø ×      

Ó Ò Ø Ò Ø × ½  

½ Ë Á Ç È Ì Ë Ç Í Ì Å Á Ç Ä Ë Á Ê Í Ä Ë ¿  

½ º ½ Á Ò Ø Ö Ó Ù Ø Ó Ò ¿  

½ º ¾ « Ö Ò Ø Ð Å Ò Ó Ð ×  

½ º ¾ º ½ À Ó Ñ Ó Ñ Ó Ö Ô × Ñ × Ò Ø ¬ Ò Ø Ó Ò Ó Ñ Ò Ó Ð ×  

½ º ¾ º ¾ Ù Ò Ø Ó Ò × Ó Ò Ñ Ò Ó Ð ×  

½ º ¾ º ¿ Ö Ñ × Ó × Ñ Ó Ó Ø Ù Ò Ø Ó Ò × ½ ¾  

½ º ¿ Ì Ò Ò Ø Ò Ó Ø Ò Ò Ø Ë Ô × ½ ¿  

½ º ¿ º ½ Ì Ò Ò Ø Ú Ø Ó Ö × Ò Ô Ó Ò Ø    Ô  ¾ Å     ½  

½ º ¿ º ¾ « Ö Ò Ø Ð Ó Ö Ñ × Ò Ô Ó Ò Ø    Ô  ¾ Å     ½  

½ º Ö Ù Ò Ð × ¾ ¼  

½ º Ì Ò Ò Ø Ò Ó Ø Ò Ò Ø Ù Ò Ð × ¾  

½ º º ½ Ë Ø Ó Ò × Ó Ù Ò Ð ¾  

½ º º ¾ Ì Ä Ð Ö Ó Ú Ø Ó Ö ¬ Ð × ¿ ¾  

½ º º ¿ Ì Ó Ø Ò Ò Ø Ù Ò Ð Ò « Ö Ò Ø Ð Ó Ö Ñ × ¿ ¿  

½ º º « Ö Ò Ø Ð     ß Ó Ö Ñ × ¿  

½ º À Ó Ñ Ó Ø Ó Ô Ý ¸ À Ó Ñ Ó Ð Ó Ý Ò Ó Ó Ñ Ó Ð Ó Ý ¿  

½ º º ½ À Ó Ñ Ó Ø Ó Ô Ý ¿  

½ º º ¾ À Ó Ñ Ó Ð Ó Ý ¾  

½ º º ¿ À Ó Ñ Ó Ð Ó Ý Ò Ó Ó Ñ Ó Ð Ó Ý Ö Ó Ù Ô × Ò Ö Ð Ó Ò × Ø Ö Ù Ø Ó Ò  

½ º º Ê Ð Ø Ó Ò Ø Û Ò À Ó Ñ Ó Ø Ó Ô Ý Ò À Ó Ñ Ó Ð Ó Ý ¼  

½ º Ë Ú × ¸ Ó Ó Ñ Ó Ð Ó Ý Ò Ø Ð × × ¬ Ø Ó Ò Ó Ù Ò Ð × ½  

½ º º ½ Ù Ò Ð Ñ Ô × ¿  

½ º º ¾ Õ Ù Ú Ð Ò Ø Ù Ò Ð × ¿  

½ º º ¿ È Ù Ð Ð ¹ Ù Ò Ð × ¿  

¾ Ç Ì Á Ç Ë ¸ Å Ì Ê Á Ë Î Á Ä Á  

¾ º ½ Á Ò Ø Ö Ó Ù Ø Ó Ò  

¾ º ¾ Õ Ù Ø Ó Ò Ó Ø Ó × ×  

¾ º ¾ º ½ Ì Ó Ò Ò Ø Ó Ò  

¾ º ¾ º ¾ Ì Ü Ñ Ô Ð Ó Ø Ý Ô Ö Ó Ð Ó  

¿ Å Ç Ì Á Ç Ç Ì Ë Ì È Ê Ì Á Ä Á Ì À Ë À Ï Ê Ë À Á Ä Å Ì Ê Á  

¿ º ½ Á Ò Ø Ö Ó Ù Ø Ó Ò  

¿ º ¾ Ã Ô Ð Ö Ò Å Ó Ø Ó Ò × Ò Û Ø Ó Ò Ò Å Ò × ¼  

¿ º ¿ Ì Ó Ö Ø Õ Ù Ø Ó Ò × Ó Ñ × × Ú Ô Ö Ø Ð ¾  

¿ º ¿ º ½ Ü Ø Ö Ñ Ó Ø « Ø Ú Ô Ó Ø Ò Ø Ð Ò Ö Ù Ð Ö Ó Ö Ø ×  

Page 3: Fre P. Course in General Relativity (Free Version, Lecture Notes, Web Draft, 2003)(141s)_PGr

7/29/2019 Fre P. Course in General Relativity (Free Version, Lecture Notes, Web Draft, 2003)(141s)_PGr

http://slidepdf.com/reader/full/fre-p-course-in-general-relativity-free-version-lecture-notes-web-draft 3/141

Ó Ò Ø Ò Ø ×   ¾ 

¿ º Ì Ô Ö × Ø Ö Ó Ò Ú Ò ¼  

¿ º º ½ È Ö Ø Ù Ö Ø Ú Ø Ö Ø Ñ Ò Ø Ó Ø Ô Ö × Ø Ö Ó Ò Ú Ò ¾  

¿ º º ¾ À Ó Û Ø Ó Ñ Ô Ð Ñ Ò Ø Ø Ô Ö × Ø Ö Ó Ò Ô Ö Ó Ð Ñ Ó Ò Ó Ñ Ô Ù Ø Ö Ò Ü Ñ Ô Ð  

¿ º Ä Ø ß Ð Ó × × Ò Ø - Ø Ó Ò Ð Ø ß Ö Ý × ¼  

Á Ë Ì Á É Í Ì Á Ç Ë Ì À Î Á Ä Á Ç Ê Å Ä Á Ë Å  

º ½ Á Ò Ø Ö Ó Ù Ø Ó Ò  

º ¾ Ê Ø Ö Ú Ò Ø Ë Û Ö Þ × Ð Ñ Ø Ö Ö Ó Ñ Ò × Ø Ò Õ Ù Ø Ó Ò ×  

Á Ì Ê Á Ç Ê Ë Ç Ä Í Ì Á Ç Ë Ë Ì Ä Ä Ê É Í Á Ä Á Ê Á Í Å ¼  

º ½ Á Ò Ø Ö Ó Ù Ø Ó Ò ¼  

º ¾ Ì × Ø Ö × × Ò Ö Ý Ø Ò × Ó Ö Ó Ô Ö Ø - Ù ¼  

º ¿ Á Ò Ø Ö Ó Ö × Ó Ð Ù Ø Ó Ò × Ò Ø × Ø Ð Ð Ö Õ Ù Ð Ö Ù Ñ Õ Ù Ø Ó Ò ¿  

º ¿ º ½ Á Ò Ø Ö Ø Ó Ò Ó Ø Ô Ö × × Ù Ö Õ Ù Ø Ó Ò Ò Ø × Ó Ù Ò Ó Ö Ñ Ò × Ø Ý  

Å Á Ë Ë Á Ç Ç Ê Î Á Ì Ì Á Ç Ä Ï Î Ë Ë Ä Ç Ï Á Ç Ï Ç  

Ì À Á Ê È Í Ä Ë Ê Ë Ë Ì Å ½ ¼ ½  

º ½ Ñ × × Ó Ò Ó Ö Ú Ø Ø Ó Ò Ð Û Ú × ½ ¼ ½  

º ½ º ½ Ë Ø Ö × × Ò Ö Ý ¿ ß Ó Ö Ñ Ó Ø Ö Ú Ø Ø Ó Ò Ð ¬ Ð ½ ¼ ½  

Ì Ë È ¹ Ì Á Å Ë ¸ Í Ë Ä Ë Ì Ê Í Ì Í Ê È Ê Ç Ë Á ¹  

Ê Å Ë ½ ½ ¾  

º ½ Á Ò Ø Ö Ó Ù Ø Ó Ò ½ ½ ¾  

º ¾ Ì Ã Ö Ù × Ð Ü Ø Ò × Ó Ò Ó Ë Û Ö Þ × Ð × Ô ß Ø Ñ ½ ½ ¾  

º ¾ º ½ Ò Ð Ý × × Ó Ø Ê Ò Ð Ö × Ô ß Ø Ñ ½ ½ ¾  

º ¾ º ¾ Ô Ô Ð Ý Ò Ø × Ñ Ô Ö Ó Ù Ö Ø Ó Ø Ë Û Ö Þ × Ð Ñ Ø Ö ½ ½  

º ¾ º ¿ Ò Ð Ý × × Ó Ø Ã Ö Ù × Ð Ü Ø Ò × Ó Ò Ó Ë Û Ö Þ × Ð × Ô ß Ø Ñ ½ ¾ ¼  

º ¾ º Å Ì À Å Ì Á È Ö Ó Ö Ñ Ñ Ò Ó Ö Ë Û Ö Þ × Ð Ö Ð Ø È Ø Ù Ö × ½ ¾ ½  

Á Ì Ê Ç Í Ì Á Ç Ì Ç Ê Ä Ì Á Î Á Ë Ì Á Ç Ë Å Ç Ä Ç ½ ¾ ¾  

º ½ Á Ò Ø Ö Ó Ù Ø Ó Ò Ø Ó Ó × Ñ Ó Ð Ó Ý ½ ¾ ¾  

º ¾ Ë Ø Ù Ý Ó Ô Ö Ø Ù Ð Ö Ê Ð Ø Ó × Ñ Ñ Ø Ö ½ ¾ ¾  

º ¾ º ½ Ò × Ø Ò Õ Ù Ø Ó Ò Ò Ñ Ø Ø Ö ½ ¾  

º ¾ º ¾ Ì × Ñ Ò × Ó Ø Ö Ó Ô Í Ò Ú Ö × Û Ø × Ó Ñ Ñ Ø Ø Ö Ó Ò Ø Ò Ø ½ ¾  

º ¿ Ì Ó × × Ò Ø Ô Ö Ø Ð Ó Ö Þ Ó Ò × ½ ¿ ½  

º Á × Ó Ø Ö Ó Ô Ò Ó Ñ Ó Ò Ó Ù × Ñ Ø Ö × ½ ¿ ½  

º Ö Ñ Ò Õ Ù Ø Ó Ò Ó Ö Ø × Ð Ø Ó Ö Ò Ø Õ Ù Ø Ó Ò Ó × Ø Ø ½ ¿ ¿  

º º ½ Ë Ó Ð Ù Ø Ó Ò Ó Ø Ó × Ñ Ó Ð Ó Ð « Ö Ò Ø Ð Õ Ù Ø Ó Ò × Ó Ö Ù × Ø Ò Ö Ø Ó Ò  

Û Ø Ó Ù Ø Ó × Ñ Ó Ð Ó Ð Ó Ò × Ø Ò Ø Ê Ó Ö Ø × Ó Ò Ï Ð Ö Í Ò Ú Ö × × ½ ¿  

º Ñ Ò Ó × Ñ Ó Ð Ó × Ò Ø Ó Ë Ø Ø Ö × Ô ½ ¿  

Page 4: Fre P. Course in General Relativity (Free Version, Lecture Notes, Web Draft, 2003)(141s)_PGr

7/29/2019 Fre P. Course in General Relativity (Free Version, Lecture Notes, Web Draft, 2003)(141s)_PGr

http://slidepdf.com/reader/full/fre-p-course-in-general-relativity-free-version-lecture-notes-web-draft 4/141

Ô Ø Ö ½      

Ë Á Ç Æ È Ì Ë Ç Í Ì Å Æ Á Ç Ä Ë        

Æ Á Ê Í Æ Ä Ë        

½ º ½ Á Ò Ø Ö Ó Ù Ø Ó Ò  

Á Ò Ø Ô Ø Ö     Û Ó Ù × Ó Ò Ð Ö × Ø Ö Ù Ø Ù Ö × Ò Û Ö Ú Û Ø × Ð Ö Ó Ò Ô Ø ×  

Ø Ø Ô Ô Ð Ý Ó Ø Ø Ó × Ö Ø Ò Ø Ó Ó Ò Ø Ò Ù Ó Ù × Ö Ó Ù Ô × º Á Ò Ø Ô Ö × Ò Ø Ô Ø Ö Û Ø Ù Ö Ò Ø Ó ×  

Ó Ò Ô Ø × Ó « Ö Ò Ø Ð Ó Ñ Ø Ö Ý Ô Ö Ô Ö Ò Ø × Ø Ó Ö Ø × Ø Ù Ý Ó Ä Ö Ó Ù Ô × º Ì × Ð Ø Ø Ö ¸  

Û Ó Ò × Ø Ø Ù Ø Ø Ñ Ò Ó Ð Ó Ø × Ó Ù Ö × ¸ Ö × Ö Ó Ñ Ø Ó Ò × × Ø Ò Ø Ñ Ö Ò Ó Ø Û Ó × Ø Ö Ù Ø Ù Ö ×  

´ µ Ò Ð Ö × Ø Ö Ù Ø Ù Ö ¸ × Ò Ø Ð Ñ Ò Ø × Ó Ä Ö Ó Ù Ô     Ò Ó Ñ Ô Ó × Ú Ò Ò Ø Ö Ò Ð  

Ò Ö Ý Ó Ô Ö Ø Ó Ò ¸ Ò Ö Ð Ð Ý Ð Ð Ô Ö Ó Ù Ø ¸ Ø Ø Ó Ý × Ø Ü Ó Ñ × Ó Ö Ó Ù Ô ¸  

´ µ « Ö Ò Ø Ð Ó Ñ Ø Ö × Ø Ö Ù Ø Ù Ö × Ò     × Ò Ò Ð Ý Ø « Ö Ò Ø Ð Ñ Ò Ó Ð Ò Ø Ö Ó Ù Ô  

Ó Ô Ö Ø Ó Ò Ö Ò ¬ Ò Ø Ð Ý « Ö Ò Ø Ð Ò × Ù Ø Ó Ô Ó Ð Ó Ý º  

Ò Ö Ð Ê Ð Ø Ú Ø Ý × Ó Ù Ò Ó Ò Ø Ó Ò Ô Ø Ó   « Ö Ò Ø Ð Ñ Ò Ó Ð ×  º Ì Ñ Ø Ñ Ø Ð Ñ Ó Ð  

Ó   × Ô ß Ø Ñ   Ø Ø Û Ó Ô Ø × Ú Ò Ý Ô Ö ´  

Å       µ Û Ö  

Å     × « Ö Ò Ø Ð Ñ Ò Ó Ð Ó  

Ñ Ò × Ó Ò     Ò     ×   Ñ Ø Ö  ̧ Ø Ø × Ö Ù Ð Ø Ó Ð Ù Ð Ø Ø Ð Ò Ø Ó Ù Ö Ú × Ó Ò Ò Ø Ò  

Ô Ó Ò Ø × Ó   Å     º Á Ò Ô Ý × Ð Ø Ö Ñ × Ø Ô Ó Ò Ø × Ó   Å     Ø Ø Ò Ñ Ó   Ú Ò Ø ×   Û Ð Ú Ö Ý Ô Ý × Ð  

Ô Ö Ó × × × Ó Ò Ø Ò Ù Ó Ù × × Ù × × Ó Ò Ó Ú Ò Ø × º Á Ò Ô Ö Ø Ù Ð Ö Ø Ñ Ó Ø Ó Ò Ó   Ô Ó Ò Ø ß Ð Ô Ö Ø Ð  

× Ö Ô Ö × Ò Ø Ý   Û Ó Ö Ð ß Ð Ò   ¸ Ò Ñ Ð Ý Ù Ö Ú Ò   Å     Û Ð Ø Ñ Ó Ø Ó Ò Ó Ò   Ü Ø Ò Ó Ø   Ó  

Ñ Ò × Ó Ò    Ô  × Ú Ò Ý        Ô  · ½ Ñ Ò × Ó Ò Ð  Û Ó Ö Ð ß Ú Ó Ð Ù Ñ   Ó Ø Ò × Ó Ò Ø Ò Ù Ó Ù × × Ù × × Ó Ò  

Ó    Ô  ß Ñ Ò × Ó Ò Ð Ý Ô Ö × Ù Ö × ¦  

Ô 

Å     º 

Ì Ö Ó Ö ¸ Ø × Ù × × Ó Ò Ó × Ù   Ô Ý × Ð Ó Ò Ô Ø ×   × Ò × × Ö Ð Ý × Ó Ò Ó Ð Ð Ø Ó Ò Ó  

Ó Ñ Ø Ö Ð Ó Ò Ô Ø ×   Ø Ø Ó Ò × Ø Ø Ù Ø Ø Ó Ò Ó « Ö Ò Ø Ð Ó Ñ Ø Ö Ý º Ç Ò Ø Ó Ø Ö Ò  

« Ö Ò Ø Ð Ó Ñ Ø Ö Ý   Ò   Ä Ö Ó Ù Ô Ø Ó Ö Ý  

 ̄  Ö   Ò Ø Ñ Ø Ð Ý Ò Ò Ü Ø Ö Ð Ý Ö Ð Ø   Ò  

 ̄  Ú   Ñ Ù Û Ö Ö Ò Ó Ô Ô Ð Ø Ó Ò ×   Ò Ð Ð Ö Ò × Ó Ô Ý × × Ò Ó Ó Ø Ö × Ò × º  

× Ò Ø Ø Ó Ñ Ò Ó Ð × Ø Ô Ô Ö Ó Ô Ö Ø Ñ Ø Ñ Ø Ð Ó Ò Ô Ø Ó Ó Ò Ø Ò Ù Ó Ù × × Ô Û Ó ×  

Ô Ó Ò Ø × Ò Ú Ø Ñ Ó × Ø × Ô Ö Ø Ò Ø Ö Ô Ö Ø Ø Ó Ò × Ò Ø Ø Ó Ö Ó Ù Ô × Ø Ô Ô Ö Ó Ô Ö Ø Ñ Ø ¹  

Ñ Ø Ð Ö Ñ Û Ó Ö Ø Ó Ð Û Ø × Ý Ñ Ñ Ø Ö Ý Ó Ô Ö Ø Ó Ò × Ø Ò Ó Ò Ø Ø × Ô º  

Ó Ö Ø × Ö × Ó Ò Û Ú Ð Ó Ô Ä Ö Ó Ù Ô Ø Ó Ö Ý Ò « Ö Ò Ø Ð Ó Ñ Ø Ö Ý Ò Ò Ó Ö Ò Ò  

Ô Ö Ð Ð Ð Û Ý Ú Ò Ò Ñ Ò Ó Ø Ø Ô Ö × Ô Ø Ú Ó Ò Ö Ð Ê Ð Ø Ú Ø Ý Ò Ù Ì Ó Ö × Ó Ö  

Û Ø Ô Ö × Ò Ø Ó Ù Ö × Ó Ò × Ø Ø Ù Ø × Ò × × Ò Ø Ð × × ¸ Ù Ø Ð × Ó Ñ Ù Ñ Ó Ö Ò Ö Ð Ô Ö × Ô Ø Ú º  

¿ 

Page 5: Fre P. Course in General Relativity (Free Version, Lecture Notes, Web Draft, 2003)(141s)_PGr

7/29/2019 Fre P. Course in General Relativity (Free Version, Lecture Notes, Web Draft, 2003)(141s)_PGr

http://slidepdf.com/reader/full/fre-p-course-in-general-relativity-free-version-lecture-notes-web-draft 5/141

« Ö Ò Ø Ð Å Ò Ó Ð ×    

½ º ¾ « Ö Ò Ø Ð Å Ò Ó Ð ×  

Ö × Ø Ò Ñ Ó × Ø Ù Ò Ñ Ò Ø Ð Ò Ø Ð × Ø Ó Ó Ñ Ø Ö Ð Ó Ò Ô Ø × Û Ò Ø Ó Ò Ø Ö Ó Ù × Ø Ø Ó  

Ñ Ò Ó Ð   Û Ó Ö Ö × Ô Ó Ò × ¸ × Û Ð Ö Ý Ü Ô Ð Ò ¸ Ø Ó Ó Ù Ö Ò Ø Ù Ø Ú Ó   Ó Ò Ø Ò Ù Ó Ù × × Ô  º 

Á Ò Ñ Ø Ñ Ø Ð Ø Ö Ñ × Ø × × ¸ Ø Ó Ò Û Ø ¸   Ø Ó Ô Ó Ð Ó Ð × Ô   ¸ Ò Ñ Ð Ý × Ø Ó Ð Ñ Ò Ø × Û Ö  

Ó Ò Ò ¬ Ò Ø Ò Ó Ø Ó Ò Ó  Ò Ó Ö Ó Ó   Ò   Ð Ñ Ø  º Ì × × Ø Ó Ö Ö Ø Ñ Ø Ñ Ø Ð × Ö Ô Ø Ó Ò  

Ó Ó Ù Ö Ò Ø Ù Ø Ú × Ó Ú Ò Ø Ý Ò Ð Ó × Ý Ô Ó Ò Ø × º Ë Ó Ò Ð Ý Ø Ö Ø Ö Þ Ò Ø Ù Ö Ø Ø  

× Ø Ò Ù × × Ñ Ò Ó Ð Ö Ó Ñ × Ñ Ô Ð Ø Ó Ô Ó Ð Ó Ð × Ô × Ø Ô Ó × × Ð Ø Ý Ó Ð Ð Ò Ø × Ô Ó Ò Ø ×  

Û Ø × Ø Ó Ó Ó Ö Ò Ø × º Ó Ó Ö Ò Ø × Ö × Ø Ó Ö Ð Ò Ù Ñ Ö ×   Ü 

½ 

´   Ô  µ  Ü  

 

´   Ô  µ  ¾   Ê  × × Ó Ø  

Û Ø Ô Ó Ò Ø    Ô  ¾ Å     Ø Ø Ø Ð Ð Ù ×   Û Ö   Û Ö º Ø Ù Ð Ð Ý Ò Ò Ö Ð Ê Ð Ø Ú Ø Ý Ô Ó Ò Ø × Ò  

Ú Ò Ø × Ó Ø Ø Ó Ó Ö Ò Ø × × Ô Ý Ò Ó Ø Ó Ò Ð Ý Ø ×   Û Ö   Ù Ø Ð × Ó Ø ×   Û Ò   º Á Ò Ó Ø Ö Ô Ô Ð Ø Ó Ò × Ø  

Ó Ó Ö Ò Ø × Ó Ô Ó Ò Ø Ò Ø Ñ Ó × Ø × Ô Ö Ø Ô Ö Ñ Ø Ö × × Ô Ý Ò Ø × Ø Ø Ó × Ó Ñ Ó Ñ Ô Ð Ü  

× Ý × Ø Ñ Ó Ø Ñ Ó × Ø Ò Ö Ð Ò ´ Ý Ò Ñ Ð ¸ Ó Ð Ó Ð ¸ Ó Ò Ó Ñ Ð Ó Ö Û Ø Ú Ö µ  

Á Ò Ð × × Ð Ô Ý × × Ø Ð Û × Ó Ñ Ó Ø Ó Ò Ö Ó Ö Ñ Ù Ð Ø × × Ø Ó « Ö Ò Ø Ð Õ Ù Ø Ó Ò × Ó  

Ø × Ó Ò Ó Ö Ö Û Ö Ø Ù Ò Ò Ó Û Ò Ù Ò Ø Ó Ò × Ö Ø Ø Ö Ö Ø × Ò Ó Ó Ö Ò Ø ×   Ü Ý Þ   Ó  

Ô Ö Ø Ð Ò Ø Ú Ö Ð × Ø Ø Ñ   Ø  º Ë Ó Ð Ú Ò Ø Ý Ò Ñ Ð Ô Ö Ó Ð Ñ Ñ Ó Ù Ò Ø × Ø Ó Ø Ö Ñ Ò  

Ø Ó Ò Ø Ò Ù Ó Ù × Ù Ò Ø Ó Ò ×   Ü  ´  Ø  µ  Ý  ´  Ø  µ  Þ  ´  Ø  µ ¸ Ø Ø Ý Ð Ô Ö Ñ Ø Ö × Ö Ô Ø Ó Ò Ó Ù Ö Ú Ò   Ê 

¿ 

Ó Ö 

Ø Ø Ö ¬ Ò Ù Ö Ú Ò   Ê 

 

¸ Ú Ò Ò Ð Ù Ø Ø Ñ   Ø  Ò Ø Ð × Ø Ó Ó Ó Ö Ò Ø × Ó Ú Ò Ø º  

Ó Ó Ö Ò Ø × ¸ Ó Û Ú Ö ¸ Ö Ò Ó Ø Ù Ò Õ Ù Ð Ý ¬ Ò º Ó × Ö Ú Ö × Ø × Ó Û Ò Û Ý Ó Ð Ð Ò  

× Ô Ô Ó Ò Ø × Ò Ø Ð Û × Ó Ñ Ó Ø Ó Ò Ø « Ö Ò Ø Ó Ö Ñ Ü Ô Ö × × Ò Ø Ó Ó Ö Ò Ø Ö Ñ  

Ó « Ö Ò Ø Ó × Ö Ú Ö × º Ì Ö × Ó Û Ú Ö Ô Ö Ú Ð Ð × × Ó Ó × Ö Ú Ö × Ò Û Ó × Ö Ñ × Ø  

Ð Û × Ó Ñ Ó Ø Ó Ò Ú Ð Û Ý × Ø × Ñ Ó Ö Ñ Ø × Ö Ø Ò Ö Ø Ð Ö Ñ × ¸ Ø Ø Ö Ò Ö Ø Ð Ò Ö  

Ö Ð Ø Ú Ñ Ó Ø Ó Ò Û Ø Ó Ò × Ø Ò Ø Ú Ð Ó Ø Ý º Ì Ü × Ø Ò Ó Ô Ö Ú Ð Ð × × Ó Ò Ö Ø Ð Ö Ñ × ×  

Ó Ñ Ñ Ó Ò Ø Ó Ð × × Ð Ò Û Ø Ó Ò Ò Ô Ý × × Ò Ø Ó × Ô Ð Ö Ð Ø Ú Ø Ý Ø Ó Ò Ð Ý « Ö Ò × Ø Ó Ö Ñ Ó  

Ó Ó Ö Ò Ø Ø Ö Ò × Ó Ö Ñ Ø Ó Ò × Ó Ò Ò Ø Ò Ø Ñ ¸ Ð Ð Ó Ø Ö Ò × Ó Ö Ñ Ø Ó Ò × Ò Ø ¬ Ö × Ø × Ò Ä Ó Ö Ò Ø Þ  

Ø Ö Ò × Ó Ö Ñ Ø Ó Ò × Ò Ø × Ó Ò º Ì × Ó × Ò Ò Ò Û Ø Ø Ø Ø Ø Ø × Ô ß Ø Ñ Ñ Ò Ó Ð  

× Ø    - Ø Æ Ò Ñ Ò Ó Ð   Ê 

 

Ò Ó Ø × × º Ý ¬ Ò Ø Ó Ò Ð Ð Ô Ó Ò Ø × Ó   Ê 

 

Ò Ó Ú Ö Ý Ó Ò  

Ó Ó Ö Ò Ø Ö Ñ      Ü 

 

   Ò Ð Ð Ö Ñ × Û Ø × Ù Ô Ö Ó Ô Ö Ø Ý Ö Ö Ð Ø Ø Ó Ó Ø Ö Ý Ò Ö Ð  

Ð Ò Ö Ø Ö Ò × Ó Ö Ñ Ø Ó Ò × ¸ Ø Ø × Ý Ø Ð Ñ Ò Ø × Ó Ø Ò Ö Ð Ð Ò Ö Ö Ó Ù Ô   Ä  ´    Ê  µ  

Ü 

 

¼ 

   

 

 

Ü 

 

   

 

 

¾   Ä  ´    Ê  µ ´ ½ º ¾ º ½ µ  

Ì Ö × Ø Ö Ø Ó Ò Ø Ó Ø Ð Ð Ó Ö Ä Ó Ö Ò Ø Þ × Ù Ö Ó Ù Ô × Ó   Ä  ´     Ê  µ × Ó Ò × Õ Ù Ò Ó Ø « Ö Ò Ø  

× Ð Ö Ô Ö Ó Ù Ø   Ó Ò  Ê 

 

Ú Ø Ó Ö × Ó Ò Û Ò Ø × Ø Ó Ô Ö × Ö Ú Ò Ø Ø Û Ó × × ¸ Ù Ø Ø Ö Ð Ú Ò Ø Ó Ñ Ñ Ó Ò  

Ø Ù Ö × Ø Ø Ø Ø Ø × Ô ß Ø Ñ Ñ Ò Ó Ð × Ú Ø Ó Ö ß × Ô × Ø Ö Ù Ø Ù Ö º Ì Ô Ö Ú Ð  

Ó Ó Ö Ò Ø Ö Ñ × Ö Ø Ó × Ø Ø Ù × Ø Ó Ö Ö × Ô Ó Ò Ò Ú Ø Ó Ö × × Ð Ð × Ó Ô Ó Ò Ø º  

« Ö Ò Ø × Ø Ù Ø Ó Ò Ö × × Û Ò Ø × Ô ß Ø Ñ Ñ Ò Ó Ð × Ò Ó Ø - Ø ¸ Ð ¸ Ó Ö Ò × Ø Ò ¸ Ø  

× Ù Ö Ó Ý Ô Ö × Ô Ö   Ë 

 

º × Ö Ø Ó Ö Ô Ö × Ò Ó Û Ú Ö Ý Û Ð Ð Ø Ö × Ò Ó Û Ý Ó Ö Ô Ö × Ò Ø Ò  

Ð Ð Ô Ó Ò Ø × Ó Ù Ö Ú × Ù Ö Ò × Ò Ð Ó Ó Ö Ò Ø Ö Ñ ¸ Ò Ñ Ð Ý Ò × Ò Ð   Ö Ø  º À Ó Û Ú Ö  

Û Ò × Ù Ò Ö Ô Ö × Ò Ø Ò Ð Ð Ô Ó Ò Ø × Ó Ù Ö Ú × Ù Ö Ý Ñ Ò × Ó Ò   Ø Ð ×   ¸ Ò Ñ Ð Ý Ý  

Ó Ð Ð Ø Ó Ò Ó Ö Ø × Ó Û Ñ Ô × Ó Ò Ó Ô Ò Ö Ó Ò Ó Ø × Ù Ö Ò × Ù Ø Ø Ø Ù Ò Ó Ò  

Ó Ð Ð Ø × Ö Ó Ò × Ó Ú Ö × Ø Ò Ø Ö × Ù Ö º Ã Ò Ó Û Ò Ø Ø Ö Ò × Ø Ó Ò Ö Ù Ð ¸ Ò Ø Ö Ó Ò × Û Ö  

Ø Ý Ó Ú Ö Ð Ô ¸ Ö Ó Ñ Ó Ò Ö Ø Ø Ó Ø Ò Ü Ø Ó Ò ¸ Û Ó Ø Ò Ó Ñ Ô Ð Ø Ó Ó Ö Ò Ø × Ö Ô Ø Ó Ò Ó Ø  

Ù Ö Ú × Ù Ö Ý Ñ Ò × Ó Ó Ù Ö Ø Ð × º  

Ì Ò Ø Ù Ø Ú Ó Ò   Ø Ð ×   Ó   Ó Ô Ò Ö Ø ×  ¸ × Ù Ø Ð Ý Ö Ó Ö Ñ Ù Ð Ø Ò Ñ Ø Ñ Ø Ð Ø Ö Ñ × ¸  

Ô Ö Ó Ú × Ø Ú Ö Ý ¬ Ò Ø Ó Ò Ó « Ö Ò Ø Ð Ñ Ò Ó Ð ¸ Ø Ó Ñ Ø Ö Ð Ó Ò Ô Ø Ø Ø Ò Ö Ð Þ ×  

Ó Ù Ö Ò Ó Ø Ó Ò Ó × Ô ß Ø Ñ Ö Ó Ñ   Ê 

 

Ø Ó Ñ Ó Ö Ó Ñ Ô Ð Ø Ò Ó Ò - Ø × Ø Ù Ø Ó Ò × º  

Ì Ö Ö Ñ Ò Ý Ô Ó × × Ð   Ø Ð × ×   Ø Ø × Ö Ø × Ñ Ñ Ò Ó Ð  

Å    ¸ Ö Ð Ø Ø Ó Ó Ø Ö  

Ý Ñ Ó Ö Ó Ö Ð × × Ó Ñ Ô Ð Ø Ø Ö Ò × Ó Ö Ñ Ø Ó Ò × º Ó Ö Ò Ö   Å     Ò Ó Ô Ö Ú Ð Ó Ó Ø Ø Ð × ×  

Page 6: Fre P. Course in General Relativity (Free Version, Lecture Notes, Web Draft, 2003)(141s)_PGr

7/29/2019 Fre P. Course in General Relativity (Free Version, Lecture Notes, Web Draft, 2003)(141s)_PGr

http://slidepdf.com/reader/full/fre-p-course-in-general-relativity-free-version-lecture-notes-web-draft 6/141

« Ö Ò Ø Ð Å Ò Ó Ð ×    

Ú Ð Ð « Ö Ò Ø Ð Ý Ö Ó Ñ Ø × Ó   Ê 

 

Ö Ø Ò Ö Ø Ð Ö Ñ × Ö × Ò Ð Ó Ù Ø Ý Ø Ø Ó Ò Ð  

Ú Ø Ó Ö × Ô   × Ø Ö Ù Ø Ù Ö Ó Ø Ñ Ò Ó Ð ¸ Û Ð Ð Ó Û × Ø Ó Ð Ð Ô Ó Ò Ø Û Ø Ø Ó Ö Ö × Ô Ó Ò Ò  

Ú Ø Ó Ö º Ì Ö Ó Ö Ø Ð Û × Ó Ô Ý × × Ú Ø Ó Ù Ò Ú Ö × Ð Ò Ú Ø Ó Ó Ñ Ñ Ó Ø Ò Ó Ò ß  

- Ø × Ô ß Ø Ñ × Ø Ò Ø Ý Ñ Ù × Ø Ó Ö Ñ Ù Ð Ø Ò × Ù Û Ý Ø Ø Ø Ý Ú Ø × Ñ Ó Ö Ñ Ò  

Û Ø × Ó Ú Ö Ø Ð × º Ì × × Ø Ô Ö Ò Ô Ð Ó   Ò Ö Ð Ó Ú Ö Ò   Ø Ø × × Ó Ò Ö Ð Ê Ð Ø Ú Ø Ý  

Ð Ð Ó × Ö Ú Ö × × Ø × Ñ Ð Û × Ó Ô Ý × × º  

Ë Ñ Ð Ö Ð Ý Ò Û Ö Ô Ö × Ô Ø Ú Ø Ó Ó Ô Ö Ø Ù Ð Ö × Ø Ó Ô Ö Ñ Ø Ö × Ø Ó × Ö Ø  

× Ø Ø Ó Ó Ñ Ô Ð Ü × Ý × Ø Ñ × Ó Ù Ð Ò Ó Ø Ô Ö Ú Ð Û Ø Ö × Ô Ø Ø Ó Ò Ý Ó Ø Ö Ó º Ì Ð Û ×  

Ø Ø Ó Ú Ö Ò Ø Ý Ò Ñ × Ó × Ý × Ø Ñ × Ó Ù Ð Ò Ø Ö Ò × Ò × Ó Ù Ð Ò Ó Ø Ô Ò Ó Ò Ø × Ø Ó  

Ú Ö Ð × Ó × Ò Ø Ó × Ö Ø º  

½ º ¾ º ½ À Ó Ñ Ó Ñ Ó Ö Ô × Ñ × Ò Ø ¬ Ò Ø Ó Ò Ó Ñ Ò Ó Ð ×  

Ù Ò Ñ Ò Ø Ð Ò Ö Ò Ø Ò Ó Ö Ñ Ù Ð Ø Ò Ø Ò Ó Ø Ó Ò Ó « Ö Ò Ø Ð Ñ Ò Ó Ð × × Ø Ø Ó Ó Ñ Ó ¹  

Ñ Ó Ö Ô × Ñ º  

¬ Ò Ø Ó Ò ½ º ¾ º ½ º     Ä Ø    Ò     Ø Û Ó Ø Ó Ô Ó Ð Ó Ð × Ô × Ò Ð Ø     Ñ Ô  

            ´ ½ º ¾ º ¾ µ  

Á     × Ó Ò ß Ø Ó ß Ó Ò Ò Ó Ø     Ò Ø × Ò Ú Ö ×    

  ½ 

Ö Ó Ò Ø Ò Ù Ó Ù × ¸ Ø Ò Û × Ý Ø Ø     ×  

Ó Ñ Ó Ñ Ó Ö Ô × Ñ    

× Ó Ò × Õ Ù Ò Ó Ø Ø Ó Ö Ñ × Û Ô Ö Ó Ú Ò Ô Ø Ö     Ð Ð Ø Ó Ô Ó Ð Ó Ð Ô Ö Ó Ô Ö Ø × Ö Ò Ú Ö Ò Ø  

Û Ø Ö × Ô Ø Ø Ó Ó Ñ Ó Ñ Ó Ö Ô × Ñ × º Á Ò Ð Ø     Ó Ñ Ó Ñ Ó Ö Ô × Ñ Ñ Ô Ô Ò     Ó Ò Ø Ó     Ò  

Ð Ø         Ò Ó Ô Ò × Ù × Ø º Á Ø × Ñ Ø Ö Ó Ù     ¸ Ò Ñ Ð Ý     ´    µ       × Ð × Ó Ò Ó Ô Ò × Ù × Ø Ò  

Ø Ø Ó Ô Ó Ð Ó Ý Ó     º Ë Ñ Ð Ö Ð Ý Ø Ñ     ´    µ       Ó Ð Ó × × Ù × Ø          × Ð Ó × × Ù × Ø º  

Ù Ö Ø Ö Ñ Ó Ö Ó Ö Ð Ð          Û Ú  

  ´    µ     ´    µ ´ ½ º ¾ º ¿ µ  

Ò Ñ Ð Ý Ø Ð Ó × Ù Ö Ó Ø Ñ Ó × Ø     Ó Ò × Û Ø Ø Ñ Ó Ø Ð Ó × Ù Ö º  

¬ Ò Ø Ó Ò ½ º ¾ º ¾ º     Ä Ø    Ò     Ø Û Ó Ø Ó Ô Ó Ð Ó Ð × Ô × º Á Ø Ö Ü × Ø × Ó Ñ Ó Ñ Ó Ö Ô × Ñ  

            Ø Ò Û × Ý Ø Ø     Ò     Ö Ó Ñ Ó Ñ Ó Ö Ô º    

Á Ø × × Ý Ø Ó × Ø Ø Ú Ò Ø Ó Ô Ó Ð Ó Ð × Ô     ¸ Ø × Ø Ó Ð Ð Ó Ñ Ó Ñ Ó Ö Ô × Ñ ×              

Ó Ò × Ø Ø Ù Ø × Ö Ó Ù Ô ¸ Ù × Ù Ð Ð Ý Ò Ó Ø À Ó Ñ ´    µ º Á Ò    

¾  À Ó Ñ ´    µ × Ó Ñ Ó Ñ Ó Ö Ô × Ñ ¸ Ø Ò  

Ð × Ó    

  ½ 

¾   À Ó Ñ ´    µ × Ó Ñ Ó Ñ Ó Ö Ô × Ñ º Ù Ö Ø Ö Ñ Ó Ö     ¾   À Ó Ñ ´    µ Ò    

¼ 

¾   À Ó Ñ ´    µ Ø Ò  

Ð × Ó    

Æ   

¼ 

¾  À Ó Ñ ´    µ º Ò Ð Ð Ý Ø Ò Ø Ø Ý Ñ Ô  

½            ´ ½ º ¾ º µ  

× Ö Ø Ò Ð Ý Ó Ò ß Ø Ó ß Ó Ò Ò Ó Ò Ø Ò Ù Ó Ù × Ò Ø Ó Ò × Û Ø Ø × Ó Û Ò Ò Ú Ö × º À Ò   ½  ¾   À Ó Ñ ´    µ º 

× Û × Ù × × Ð Ø Ö Ó Ò Ó Ö Ò Ý Ñ Ò Ó Ð     Ø Ö Ó Ù Ô À Ó Ñ ´    µ × Ò Ü Ñ Ô Ð Ó Ò Ò ¬ Ò Ø Ò  

Ó Ò Ø Ò Ù Ó Ù × Ö Ó Ù Ô º  

Ä Ø Ò Ó Û   Å     Ø Ó Ô Ó Ð Ó Ð À Ù × Ó Ö × Ô º Ò   Ó Ô Ò Ö Ø   Ó   Å     × Ô Ö ´  Í ³  µ Û Ö  

Í  Å     × Ò Ó Ô Ò × Ù × Ø Ó  Å     Ò   ³  × Ó Ñ Ó Ñ Ó Ö Ô × Ñ Ó  Í  Ó Ò Ò Ó Ô Ò × Ù × Ø   Ê 

Ñ 

´  Ñ  Ò  

Ô Ó × Ø Ú Ò Ø Ö µ º Ì Ó Ò Ô Ø Ó Ó Ó Ô Ò Ö Ø Ð Ð Ó Û × Ø Ó Ò Ø Ö Ó Ù Ø Ò Ó Ø Ó Ò Ó Ó Ó Ö Ò Ø ×  

Ó Ö Ð Ð Ô Ó Ò Ø ×    Ô  ¾   Í  º Á Ò Ø Ó Ó Ö Ò Ø × Ó    Ô  Ö Ø   Ñ  Ö Ð Ò Ù Ñ Ö × Ø Ø Ò Ø Ý Ø Ô Ó Ò Ø  

³  ´   Ô  µ 

¾  ³  ´  Í  µ 

  Ê 

Ñ 

º 

Í × Ò Ø Ò Ó Ø Ó Ò Ó Ó Ô Ò Ö Ø Û Ò ¬ Ò Ð Ð Ý Ò Ø Ö Ó Ù Ø Ò Ó Ø Ó Ò Ó « Ö Ò Ø Ð × Ø Ö Ù Ø Ù Ö º  

Page 7: Fre P. Course in General Relativity (Free Version, Lecture Notes, Web Draft, 2003)(141s)_PGr

7/29/2019 Fre P. Course in General Relativity (Free Version, Lecture Notes, Web Draft, 2003)(141s)_PGr

http://slidepdf.com/reader/full/fre-p-course-in-general-relativity-free-version-lecture-notes-web-draft 7/141

« Ö Ò Ø Ð Å Ò Ó Ð ×    

¬ Ò Ø Ó Ò ½ º ¾ º ¿ º     Ä Ø  Å  Ø Ó Ô Ó Ð Ó Ð À Ù × Ó Ö × Ô º « Ö Ò Ø Ð × Ø Ö Ù Ø Ù Ö Ó ¹  

Ñ Ò × Ó Ò   Ñ  Ó Ò  Å  × Ò   Ø Ð ×        

Ë  

  ¾   

´  Í 

 

³ 

 

µ Ó Ó Ô Ò Ö Ø × ´  Í 

 

³ 

 

µ Û Ö        ¾     ¸  Í 

 

Å     × 

Ò Ó Ô Ò × Ù × Ø Ò  

³ 

 

  Í 

 

    ³ 

 

´  Í 

 

µ     Ê 

Ñ 

´ ½ º ¾ º µ  

× Ó Ñ Ó Ñ Ó Ö Ô × Ñ Ó   Í 

 

Ò  Ê 

Ñ 

Ò Ñ Ð Ý Ó Ò Ø Ò Ù Ó Ù × ¸ Ò Ú Ö Ø Ð Ñ Ô Ó Ò Ø Ó Ò Ó Ô Ò × Ù × Ø Ó  

Ê 

Ñ 

× Ù Ø Ø Ø Ò Ú Ö × Ñ Ô  

³ 

  ½ 

 

  ³ 

 

´  Í 

 

µ      Í 

 

Å     ´ ½ º ¾ º µ  

× Ð × Ó Ó Ò Ø Ò Ù Ó Ù × ´ × ¬ º ½ º ½ µ º Ì Ø Ð × Ñ Ù × Ø Ù Ð ¬ Ð Ð Ø Ó Ð Ð Ó Û Ò Ü Ó Ñ ×  

Å 

½ 

Á Ø Ó Ú Ö ×   Å     ¸ Ò Ñ Ð Ý  

  

 

Í 

 

 

Å    ´ ½ º ¾ º µ  

× Ó Ø Ø Ô Ó Ò Ø Ó  

Å     × Ó Ò Ø Ò Ø Ð × Ø Ò Ó Ò Ö Ø Ò Ò Ö Ð Ð Ý Ò Ñ Ó Ö Ø Ò Ó Ò  

   Ô 

¾ Å   ´  Í 

 

³ 

 

µ  Ô 

¾  Í 

 

º 

Å 

¾ 

Ó × Ò Ò Ý Ø Û Ó Ö Ø × ´  Í 

 

³ 

 

µ ¸ ´  Í 

 

³ 

 

µ × Ù Ø Ø   Í 

 

Ì  

Í 

 

     Ó Ò Ø Ò Ø Ö × Ø Ó Ò  

Í 

 

 

  Í 

 

  

Í 

 

´ ½ º ¾ º µ  

Ø Ö Ü × Ø Ø Û Ó Ó Ñ Ó Ñ Ó Ö Ô × Ñ ×  

³ 

 

  Í 

 

  

Í 

 

    ³ 

 

´  Í 

 

µ     Ê 

Ñ 

³ 

 

  Í 

 

  

Í 

 

    ³ 

 

´  Í 

 

µ     Ê 

Ñ 

´ ½ º ¾ º µ  

Ò Ø Ó Ñ Ô Ó × Ø Ñ Ô  

 

 

 

  ³ 

 

Æ   ³ 

  ½ 

 

 

 

  ³ 

 

´  Í 

 

µ     Ê 

Ñ 

    ³ 

 

´  Í 

 

µ     Ê 

Ñ 

´ ½ º ¾ º ½ ¼ µ  

Ò Ñ Ø   Ø Ö Ò × Ø Ó Ò Ù Ò Ø Ó Ò   Û × Ø Ù Ð Ð Ý Ò   Ñ  ß Ø Ù Ô Ð Ø Ó   Ñ  Ö Ð Ù Ò Ø Ó Ò × Ó   Ñ  Ö Ð  

Ú Ö Ð × × Ö Õ Ù × Ø Ø Ó   « Ö Ò Ø Ð   ´ × ¬ º ½ º ¾ µ  

Å 

¿ 

Ì Ó Ð Ð Ø Ó Ò ´  Í 

 

³ 

 

µ 

  ¾   

× Ø Ñ Ü Ñ Ð Ñ Ð Ý Ó Ó Ô Ò Ö Ø × Ó Ö Û Ó Ø   Å 

½ 

Ò   Å 

¾ 

Ó Ð Ø Ö Ù º  

 

Ü Ø Û Ò ¬ Ò Ð Ð Ý Ò Ø Ö Ó Ù Ø ¬ Ò Ø Ó Ò Ó « Ö Ò Ø Ð Ñ Ò Ó Ð º  

¬ Ò Ø Ó Ò ½ º ¾ º º     « Ö Ò Ø Ð Ñ Ò Ó Ð Ó Ñ Ò × Ó Ò   Ñ  × Ø Ó Ô Ó Ð Ó Ð × Ô   Å  Ø Ø  

Ñ Ø × Ø Ð × Ø Ó Ò « Ö Ò Ø Ð × Ø Ö Ù Ø Ù Ö ´  Í 

 

³ 

 

µ 

  ¾   

Ó Ñ Ò × Ó Ò   Ñ  º   

Ì ¬ Ò Ø Ó Ò Ó « Ö Ò Ø Ð Ñ Ò Ó Ð × Ó Ò × Ø Ö Ù Ø Ú Ò Ø × Ò × Ø Ø Ø Ô Ö Ó Ú × Û Ý Ø Ó  

Ó Ò × Ø Ö Ù Ø Ø Ü Ô Ð Ø Ð Ý º Ï Ø Ó Ò × Ø Ó Ó × Ø Ó Ú Ò Ø Ð × Ó Ó Ô Ò Ö Ø × ´  Í 

 

³ 

 

µ Ò Ø  

Ó Ö Ö × Ô Ó Ò Ò Ø Ö Ò × Ø Ó Ò Ù Ò Ø Ó Ò ×    

 

Û × Ó Ù Ð × Ø × Ý Ø Ò × × Ö Ý Ó Ò × × Ø Ò Ý Ó Ò Ø Ó Ò ×  

    

 

   

  ½ 

 

´ ½ º ¾ º ½ ½ µ  

    

 

Æ    

 

Æ    

 

½ ½ ´ ½ º ¾ º ½ ¾ µ  

Page 8: Fre P. Course in General Relativity (Free Version, Lecture Notes, Web Draft, 2003)(141s)_PGr

7/29/2019 Fre P. Course in General Relativity (Free Version, Lecture Notes, Web Draft, 2003)(141s)_PGr

http://slidepdf.com/reader/full/fre-p-course-in-general-relativity-free-version-lecture-notes-web-draft 8/141

« Ö Ò Ø Ð Å Ò Ó Ð ×    

Ù Ö ½ º ½ º   Ò Ó Ô Ò Ö Ø × Ó Ñ Ó Ñ Ó Ö Ô × Ñ Ó Ò Ó Ô Ò × Ù × Ø   Í 

 

Ó Ø Ñ Ò Ó Ð   Å  Ó Ò Ø Ó Ò Ó Ô Ò  

× Ù × Ø Ó   Ê 

Ñ 

Á Ò Ó Ø Ö Û Ó Ö × Ò Ö Ð Ö Ô Ø Ó Ó Ò × Ø Ö Ù Ø Ñ Ò Ó Ð × Ø Ó × Ô Ý Ø Ó Ô Ò Ö Ø × Ò Ó Û  

Ø Ý Ö   Ð Ù   Ø Ó Ø Ö º Ì Ô Ö Ó Ô Ö Ø × × × Ò Ø Ó Ñ Ò Ó Ð Ö Ø Ô Ö Ó Ô Ö Ø × Ù Ð ¬ Ð Ð Ý Ø ×  

Ø Ö Ò × Ø Ó Ò Ù Ò Ø Ó Ò × º Á Ò Ô Ö Ø Ù Ð Ö Û Ú  

¬ Ò Ø Ó Ò ½ º ¾ º º     « Ö Ò Ø Ð Ñ Ò Ó Ð  

Å     × × Ø Ó   × Ñ Ó Ó Ø   Ø Ø Ö Ò × Ø Ó Ò Ù Ò Ø Ó Ò ×  

´ ½ º ¾ º ½ ¼ µ Ö   Ò ¬ Ò Ø Ð Ý « Ö Ò Ø Ð  

Å     × × Ñ Ó Ó Ø    ̧    

 

¾    

½ 

´  Ê 

Ñ 

µ ´ ½ º ¾ º ½ ¿ µ  

 

Ë Ñ Ð Ö Ð Ý Ó Ò × Ø ¬ Ò Ø Ó Ò Ó Ó Ñ Ô Ð Ü Ñ Ò Ó Ð º  

¬ Ò Ø Ó Ò ½ º ¾ º º     Ö Ð Ñ Ò Ó Ð Ó Ú Ò Ñ Ò × Ó Ò   Ñ  ¾    ×  Ó Ñ Ô Ð Ü   Ó Ñ Ò × Ó Ò      

Ø ¾    Ö Ð Ó Ó Ö Ò Ø × Ò Ó Ô Ò Ö Ø   Í 

 

Ò Ö Ö Ò Ò Ø Ó     Ó Ñ Ô Ð Ü Ò Ù Ñ Ö × × Ó Ø Ø  

Õ º ´ ½ º ¾ º µ Ò Ö Ô Ð Ý  

³ 

 

  Í 

 

    ³ 

 

´  Í 

 

µ      

 

´ ½ º ¾ º ½ µ  

Ò Ø Ø Ö Ò × Ø Ó Ò Ù Ò Ø Ó Ò ×    

 

Ö   Ó Ð Ó Ñ Ó Ö Ô Ñ Ô ×   

 

 

  ³ 

 

´  Í 

 

µ      

 

    ³ 

 

´  Í 

 

µ      

 

´ ½ º ¾ º ½ µ  

 

Ð Ø Ó Ù Ø Ó Ò × Ø Ö Ù Ø Ú ¬ Ò Ø Ó Ò Ó « Ö Ò Ø Ð Ñ Ò Ó Ð × Ð Û Ý × Ò Ø Ö Ñ × Ó Ò Ø Ð × ¸ Ò  

Ñ Ò Ý Ó Ù Ö Ö Ò × Û Ò Ú Ó Ø Ö Ò Ø Ö Ò × Ð Ó Ð ¬ Ò Ø Ó Ò × Ó Û Ø   Å     × Ò Ø Ó Ò × Ø Ö Ù Ø Ó Ò  

Page 9: Fre P. Course in General Relativity (Free Version, Lecture Notes, Web Draft, 2003)(141s)_PGr

7/29/2019 Fre P. Course in General Relativity (Free Version, Lecture Notes, Web Draft, 2003)(141s)_PGr

http://slidepdf.com/reader/full/fre-p-course-in-general-relativity-free-version-lecture-notes-web-draft 9/141

« Ö Ò Ø Ð Å Ò Ó Ð ×    

Ù Ö ½ º ¾ º   Ø Ö Ò × Ø Ó Ò Ù Ò Ø Ó Ò Ø Û Ò Ø Û Ó Ó Ô Ò Ö Ø × × « Ö Ò Ø Ð Ñ Ô Ö Ó Ñ Ò Ó Ô Ò × Ù × Ø  

Ó   Ê 

Ñ 

Ø Ó Ò Ó Ø Ö Ó Ô Ò × Ù × Ø Ó Ø × Ñ º  

Ó Ò Ø Ð × Ó Ó Ó Ö Ò Ø Ô Ø × × Ò Ô Ó × Ø Ö Ó Ö Ó Ô Ö Ø Ó Ò º Ì Ý Ô Ð Ð Ý Ø × Ô Ô Ò × Û Ò Ø  

Ñ Ò Ó Ð Ñ Ø × × Ö Ô Ø Ó Ò × Ò Ð Ö Ð Ó Ù × º Ì Ô Ö Ó Ø Ó Ø Ý Ô Ü Ñ Ô Ð × Ô Ö Ó Ú Ý Ø  

Ë 

 

× Ô Ö Û Ò ¬ Ò × Ø Ð Ó Ù × Ò   Ê 

  · ½ 

Ó Ô Ó Ò Ø × Û Ø × Ø Ò   Ö  Ö Ó Ñ Ø Ó Ö Ò  

   

 

¾  Ë 

 

 ̧  

  · ½ 

  

  ½ 

 

¾ 

 

  Ö 

¾ 

´ ½ º ¾ º ½ µ  

Á Ò Ô Ö Ø Ù Ð Ö Ó Ö     ¾ Û Ú Ø Ñ Ð Ö   Ë 

¾ 

Û × « Ó Ñ Ó Ö Ô Ø Ó Ø Ó Ñ Ô Ø ¬ Ó Ñ Ô Ð Ü  

Ô Ð Ò    

Ë  

½    º Á Ò Û Ò × Ð Ý Ú Ö Ý Ø Ø   Ë 

¾ 

× Ó Ò ß Ñ Ò × Ó Ò Ð Ó Ñ Ô Ð Ü Ñ Ò Ó Ð  

Ó Ò × Ö Ò Ø Ø Ð × Ó Ó Ð Ó Ñ Ó Ö Ô Ó Ô Ò Ö Ø × × Ù × Ø Ý Ø Ó Ñ Ø Ö Ð Ó Ò × Ø Ö Ù Ø Ó Ò Ò Ñ  

Ø × Ø Ö Ó Ö Ô Ô Ö Ó Ø Ó Ò   º Ì Ó Ø × « Ø Ó Ò × Ö Ø Ô Ø Ù Ö Ò ¬ º ½ º ¿ Û Ö Û Ú Ö Û Ò  

Ø Ø Û Ó ß × Ô Ö   Ë 

¾ 

Ó Ö Ù ×   Ö  ½ Ò Ø Ö Ò Ø Ó Ö Ò Ó   Ê 

¿ 

º Ú Ò Ò Ö Ô Ó Ò Ø   È  ¾   Ë 

¾ 

Û  

Ò Ó Ò × Ø Ö Ù Ø Ø × Ñ Ó Ò Ø Õ Ù Ø Ó Ö Ð Ô Ð Ò   Ê 

¾ 

      Ö Û Ò Ø × Ø Ö Ø Ð Ò Ò   Ê 

¿ 

Ø Ø Ó ×  

Ø Ö Ó Ù   È  Ò Ø Ö Ó Ù Ø   Ó Ö Ø È Ó Ð   Ó Ø × Ô Ö     º Ë Ù Ð Ò Û Ð Ð Ò Ø Ö × Ø Ø Õ Ù Ø Ó Ö Ð  

Ô Ð Ò Ò Ø Ô Ó Ò Ø   È 

 

Û Ó × Ú Ð Ù   Þ 

 

× Ó Ñ Ô Ð Ü Ò Ù Ñ Ö Û Ò Ò Ø Ý Û Ø Ø Ó Ñ Ô Ð Ü  

Ó Ó Ö Ò Ø Ó   È  Ò Ø Ó Ô Ò Ö Ø Ù Ò Ö Ó Ò × Ö Ø Ó Ò  

³ 

 

´  È  µ   Þ 

 

¾     ´ ½ º ¾ º ½ µ  

Ð Ø Ö Ò Ø Ú Ð Ý Û Ò Ö Û Ø × Ø Ö Ø Ð Ò Ø Ö Ó Ù   È  Ò Ø   Ë Ó Ù Ø È Ó Ð   Ë  º Ì × Ò Ø Ö × Ø × Ø  

Õ Ù Ø Ó Ö Ð Ô Ð Ò Ò Ò Ó Ø Ö Ô Ó Ò Ø   È 

Ë 

Û Ó × Ú Ð Ù × Ó Ñ Ô Ð Ü Ò Ù Ñ Ö   Þ 

 

Ë 

× Ù × Ø Ø Ö Ô Ö Ó Ð  

Ó Ø Ó Ñ Ô Ð Ü Ó Ò Ù Ø Ó   Þ 

 

  Þ 

 

Ë 

½  Þ 

 

 

º Ï Ò Ø   Þ 

Ë 

× Ø Ó Ñ Ô Ð Ü Ó Ó Ö Ò Ø Ó Ø  

× Ñ Ô Ó Ò Ø   È  º Á Ò Ó Ø Ö Û Ó Ö × Û Ú Ò Ó Ø Ö Ó Ô Ò Ö Ø  

³ 

Ë 

´  È  µ   Þ 

Ë 

¾     ´ ½ º ¾ º ½ µ  

Ï Ø × Ø Ó Ñ Ò Ó Ø × Ø Û Ó Ö Ø × ¸ Ò Ñ Ð Ý Û Ø Ö Ø Ó Ô Ò × Ù × Ø ×   Í 

 

Ò   Í 

Ë 

Ì × ×  

Ö Ø Ö × Ð Ý × Ø Ð × Ó Ò × Ö Ò Ø Ø Ø Ó Ö Ø È Ó Ð Ô Ö Ó Ø Ó Ò Ý Ð × ¬ Ò Ø Ö × Ù Ð Ø   Þ 

 

  ½   

Page 10: Fre P. Course in General Relativity (Free Version, Lecture Notes, Web Draft, 2003)(141s)_PGr

7/29/2019 Fre P. Course in General Relativity (Free Version, Lecture Notes, Web Draft, 2003)(141s)_PGr

http://slidepdf.com/reader/full/fre-p-course-in-general-relativity-free-version-lecture-notes-web-draft 10/141

« Ö Ò Ø Ð Å Ò Ó Ð ×    

Ù Ö ½ º ¿ º   Ë Ø Ö Ó Ö Ô Ô Ö Ó Ø Ó Ò Ó Ø Ø Û Ó × Ô Ö  

Ó Ö Ð Ð Ô Ó Ò Ø ×   È  Ü Ô Ø Ø Ó Ö Ø È Ó Ð Ø × Ð º À Ò   Í 

 

   Ë 

¾ 

× Ø Ó Ô Ò × Ø Ó Ø Ò Ý  

× Ù Ø Ö Ø Ò Ó Ò Ô Ó Ò Ø ´ Ø Ó Ö Ø È Ó Ð µ Ø Ó Ø × Ô Ö º Ë Ñ Ð Ö Ð Ý Ø Ë Ó Ù Ø È Ó Ð Ô Ö Ó Ø Ó Ò Ý Ð ×  

¬ Ò Ø Ö × Ù Ð Ø Ó Ö Ð Ð Ô Ó Ò Ø ×   È  Ü Ô Ø Ø Ë Ó Ù Ø È Ó Ð Ø × Ð Ò   Í 

Ë 

×  Ë 

¾ 

Ñ Ò Ù × Ø × Ó Ù Ø Ô Ó Ð º  

Å Ó Ö ¬ Ò Ø Ð Ý Û Ò Ó Ó × Ó Ö   Í 

 

Ò   Í 

Ë 

Ò Ý Ø Û Ó Ó Ô Ò Ò Ó Ö Ó Ó × Ó Ø Ë Ó Ù Ø Ò  

Ó Ö Ø È Ó Ð Ö × Ô Ø Ú Ð Ý Û Ø Ò Ó Ò Ú Ò × Ò Ò Ø Ö × Ø Ó Ò ´ × ¬ º ½ º µ º Á Ò Ø × × Ø Ò Ø Ö × Ø Ó Ò  

Í 

 

Ì  

Í 

Ë 

× Ò Û Ö Ô Ô Ö Ó Ù Ò Ø Õ Ù Ø Ó Ö Ó Ø × Ô Ö Ò Ø × Ñ Ò Ø Ó Ñ Ô Ð Ü  

Õ Ù Ø Ó Ö Ð Ô Ð Ò × Ö Ù Ð Ö Ó Ö Ó Ò Ø Ø Ü Ð Ù × Ó Ø Ö Ù Ð Ö Ò Ó Ö Ó Ó Ó Ø Ó Ö Ò Ò  

Ö Ù Ð Ö Ò Ó Ö Ó Ó Ó Ò ¬ Ò Ø Ý º Ç Ò × Ù Ò Ò Ø Ö × Ø Ó Ò Û Ú Ø Ø Ö Ò × Ø Ó Ò Ù Ò Ø Ó Ò  

 

Ë 

  Þ 

 

 

½ 

Þ 

Ë 

´ ½ º ¾ º ½ µ  

Û × Ð Ö Ð Ý Ó Ð Ó Ñ Ó Ö Ô Ò × Ø × ¬ × Ø Ó Ò × × Ø Ò Ý Ó Ò Ø Ó Ò × Ò Õ º × ´ ½ º ¾ º ½ ½ ¸ ½ º ¾ º ½ ¾ µ º Ë Ó  

Û × Ø Ø Ø   Ë 

¾ 

× Ó Ñ Ô Ð Ü ½ ß Ñ Ò Ó Ð Ø Ø Ò Ó Ò × Ø Ö Ù Ø Û Ø Ò Ø Ð × Ó Ñ Ô Ó × Ó  

Ø Û Ó Ó Ô Ò Ö Ø × Ö Ð Ø Ý Ø Ø Ö Ò × Ø Ó Ò Ù Ò Ø Ó Ò ´ ½ º ¾ º ½ µ º Ç Ú Ó Ù × Ð Ý Ó Ñ Ô Ð Ü ½ ß Ñ Ò Ó Ð  

×  Ó Ö Ø Ó Ö     × Ñ Ó Ó Ø Ö Ð   ¾  ß Ñ Ò Ó Ð   º Ì Ö × Ó Ò Û Ý Ñ Ò Ó Ð × Û Ø Ò ¬ Ò Ø Ð Ý « Ö Ò Ø Ð  

Ø Ö Ò × Ø Ó Ò Ù Ò Ø Ó Ò × Ö Ò Ñ × Ñ Ó Ó Ø × Ò Ó Ø Û Ø Ó Ù Ø Ö × Ó Ò º Á Ò Ø Ý Ó Ö Ö × Ô Ó Ò Ø Ó Ó Ù Ö  

Ò Ø Ù Ø Ú Ò Ó Ø Ó Ò Ó × Ñ Ó Ó Ø Ý Ô Ö × Ù Ö × Û Ø Ó Ù Ø Ó Ò Ð Ô Ó Ò Ø × Ó Ö × º Á Ò Ø Ô Ö × Ò Ó  

× Ù Ø × Ñ Ò × Ø × Ø × Ð Ø Ö Ó Ù Ø Ð Ó « Ö Ò Ø Ð Ø Ý Ò × Ó Ñ Ö Ó Ò × º  

½ º ¾ º ¾ Ù Ò Ø Ó Ò × Ó Ò Ñ Ò Ó Ð ×  

Å Ò Ó Ð × Ò Ø Ñ Ø Ñ Ø Ð Ñ Ó Ð Ó Ô Ó × × Ð × Ô ß Ø Ñ × Ö Ø Ó Ñ Ø Ö Ð × Ù Ô Ô Ó Ö Ø Ó  

Ô Ý × × º Ì Ý Ö Ø Ö Ò × Û Ö Ô Ý × Ð Ô Ö Ó × × × Ø Ô Ð Ò Û Ö Ô Ý × Ð Õ Ù Ò Ø Ø ×  

Ø Ú Ð Ù × º Å Ø Ñ Ø Ð Ð Ý Ø × Ñ Ô Ð × Ø Ø Ð Ù Ð Ù × ¸ Ó Ö Ò Ð Ð Ý Ò Ø Ö Ó Ù Ó Ò   Ê 

 

Ñ Ù × Ø  

Ü Ø Ò Ø Ó Ñ Ò Ó Ð × º Ì Ô Ý × Ð Ò Ø Ø × ¬ Ò Ó Ò Ñ Ò Ó Ð × Û × Ð Ð Ð Û Ø Ö Ñ Ø ¹  

Ñ Ø Ð Ð Ý Ö Ø Ö Þ ×   × Ð Ö Ù Ò Ø Ó Ò × ¸ Ú Ø Ó Ö ¬ Ð × ¸ Ø Ò × Ó Ö ¬ Ð × ¸ « Ö Ò Ø Ð Ó Ö Ñ × ¸ × Ø Ó Ò ×  

Ó Ñ Ó Ö Ò Ö Ð ¬ Ö ß Ù Ò Ð ×  º Ï Ò Ø Ö Ó Ù Ø × × Ó Ñ Ø Ö Ð Ò Ó Ø Ó Ò × × Ð Ó Û Ð Ý Ò Ò Ò  

Û Ø Ø × Ñ Ô Ð × Ø Ó Ò Ô Ø Ó   × Ð Ö Ù Ò Ø Ó Ò   º 

Page 11: Fre P. Course in General Relativity (Free Version, Lecture Notes, Web Draft, 2003)(141s)_PGr

7/29/2019 Fre P. Course in General Relativity (Free Version, Lecture Notes, Web Draft, 2003)(141s)_PGr

http://slidepdf.com/reader/full/fre-p-course-in-general-relativity-free-version-lecture-notes-web-draft 11/141

« Ö Ò Ø Ð Å Ò Ó Ð ×   ½ ¼ 

Ù Ö ½ º º   Ì Ó Ô Ò Ö Ø × Ó Ø Æ Ó Ö Ø Ò Ë Ó Ù Ø È Ó Ð  

Page 12: Fre P. Course in General Relativity (Free Version, Lecture Notes, Web Draft, 2003)(141s)_PGr

7/29/2019 Fre P. Course in General Relativity (Free Version, Lecture Notes, Web Draft, 2003)(141s)_PGr

http://slidepdf.com/reader/full/fre-p-course-in-general-relativity-free-version-lecture-notes-web-draft 12/141

Page 13: Fre P. Course in General Relativity (Free Version, Lecture Notes, Web Draft, 2003)(141s)_PGr

7/29/2019 Fre P. Course in General Relativity (Free Version, Lecture Notes, Web Draft, 2003)(141s)_PGr

http://slidepdf.com/reader/full/fre-p-course-in-general-relativity-free-version-lecture-notes-web-draft 13/141

« Ö Ò Ø Ð Å Ò Ó Ð ×   ½ ¾ 

Ø × Ð Ö Ù Ò Ø Ó Ò     º Ì Ù Ò Ø Ó Ò × × Ø Ó   Ó Ò Ø Ò Ù Ó Ù × ¸ « Ö Ò Ø Ð ¸ Ò ¬ Ò Ø Ð Ý « Ö Ò Ø Ð  

Ø Ö Ð Ù Ò Ø Ó Ò ×    

 

Ú × Ù Ô Ö Ó Ô Ö Ø × º Ö Ó Ñ Ø ¬ Ò Ø Ó Ò ´ ½ º ¾ º ¾ ½ µ Ó Ø Ð Ó Ð × Ö Ô Ø Ó Ò  

Ò Ö Ó Ñ Ø ¬ Ò Ø Ó Ò ´ ½ º ¾ º ½ ¼ µ Ó Ø Ø Ö Ò × Ø Ó Ò Ù Ò Ø Ó Ò × Ø Ó Ð Ð Ó Û × Ø Ø Û Ñ Ù × Ø Ú  

   Í 

 

Í 

 

   

 

   

 

Æ    

 

´ ½ º ¾ º ¾ ¿ µ  

Ä Ø  Ü 

´    µ 

 

Ø Ó Ó Ö Ò Ø × Ò Ø Ô Ø   Í 

 

Ò   Ü 

´    µ 

 

Ø Ó Ó Ö Ò Ø × Ò Ø Ô Ø   Í 

 

º Ó Ö  

Ô Ó Ò Ø ×    Ô  Ø Ø Ð Ó Ò Ø Ó Ø Ò Ø Ö × Ø Ó Ò   Í 

 

Ì  

Í 

 

Û Ú  

Ü 

´    µ 

 

´   Ô  µ    

´    µ 

 

 

Ü 

´    µ 

½ 

´   Ô  µ  Ü  

´    µ 

Ñ 

´   Ô  µ 

 

´ ½ º ¾ º ¾ µ  

Ò Ø Ð Ù Ò Ö Ù Ð ´ ½ º ¾ º ¾ ¿ µ Ø × Ø Ó Ö Ñ  

  ´   Ô  µ    

 

 

Ü 

´    µ 

 

   

 

 

 

 

´  Ü 

´    µ 

µ 

 

   

 

 

Ü 

´    µ 

 

´ ½ º ¾ º ¾ µ  

Ì Ô Ö Ø Ð Û Ý Ó × × Ò Ò Ù Ò Ø Ó Ò Ó Ò Ñ Ò Ó Ð × Ø Ö Ó Ö Ø Ø Ó Û Ö Ø Ò Ø × Ð Ó Ð  

× Ö Ô Ø Ó Ò Ò Ø Ó Ô Ò Ö Ø × Ó Ò Ø Ð × Ø Ò Ö Ø Ø Ø Ú Ö Ó Ù ×    

 

Ð Ù Ø Ó Ø Ö Ó Ö Ö Ø Ð Ý ¸  

Ò Ñ Ð Ý Ø Ö Ó Ù Õ Ù Ø Ó Ò ´ ½ º ¾ º ¾ ¿ µ º Ð Ø Ó Ù Ø Ò Ù Ñ Ö Ó Ó Ò Ø Ò Ù Ó Ù × Ò « Ö Ò Ø Ð Ù Ò ¹  

Ø Ó Ò × Ó Ò Ò Û Ö Ø Ó Ò Ò Ý Ó Ô Ò Ö Ó Ò Ó   Ê 

Ñ 

× Ò ¬ Ò Ø ¸ Ø × Ñ Ó Ó Ø Ù Ò Ø Ó Ò × Ð Ó Ð Ð Ý ¬ Ò  

Ó Ò Ò Ó Ò Ø Ö Ú Ð Ñ Ò Ó Ð Ò Ú Ö Ý Û º Á Ò Ø × Ó Ò Ð Ý Ó × Ó Ò Ð Ð Ý Ø Ø Û Ò Ó Ò × × Ø Ò Ø Ð Ý  

Ð Ù Ø Ó Ø Ö Ú Ö Ó Ù × Ð Ó Ð Ù Ò Ø Ó Ò ×    

 

¾    

½ 

´  Í 

 

µ Ò Ø Ó Ð Ó Ð     º Ï Ò Ø × Ô Ô Ò × Û × Ý  

Ø Ø     ¾    

½ 

´  Å     µ º 

Ð Ð Û Ø Û × Ó Ù Ø Ö Ð Ù Ò Ø Ó Ò × Ò Ø Ö Ú Ð Ð Ý Ö Ô Ø Ó Ö Ó Ñ Ô Ð Ü Ù Ò Ø Ó Ò × º Á Ø  

× Ù Æ × Ø Ó Ö Ô Ð   Ê  Ý    Ò Õ º ´ ½ º ¾ º ¾ ¼ µ º  

½ º ¾ º ¿ Ö Ñ × Ó × Ñ Ó Ó Ø Ù Ò Ø Ó Ò ×  

Ì Ð Ó Ð Ó Ñ Ø Ö Ý Ó Ñ Ò Ó Ð × × Ø Ù Ý Ó Ò × Ö Ò Ó Ô Ö Ø Ó Ò × Ò Ó Ø Ó Ò Ø × Ô Ó × Ñ Ó Ó Ø  

Ù Ò Ø Ó Ò ×    

½ 

´  Å     µ Û ¸ × Ù × Ø Ü Ô Ð Ò ¸ Ò Ú Ö Ý × Ñ Ð Ð ¸ Ù Ø Ó Ò Ø × Ô Ó Ö Ñ × Ó  

Ù Ò Ø Ó Ò × ¬ Ò Ø Ô Ó Ò Ø    Ô 

¾ Å    Ø Ø × Ð Û Ý × Ò Ò ¬ Ò Ø Ñ Ò × Ó Ò Ð × Ô º  

¬ Ò Ø Ó Ò ½ º ¾ º º     Ú Ò Ô Ó Ò Ø    Ô 

¾ Å    Ø × Ô Ó Ö Ñ × Ó × Ñ Ó Ó Ø Ù Ò Ø Ó Ò × Ø    Ô  ¸ Ò Ó Ø  

 

½ 

Ô 

× ¬ Ò × Ó Ð Ð Ó Û × º Ó Ò × Ö Ð Ð Ø Ó Ô Ò Ò Ó Ö Ó Ó × Ó    Ô  ¸ Ò Ñ Ð Ý Ð Ð Ø Ó Ô Ò × Ù × Ø ×  

Í 

Ô 

Å     × Ù Ø Ø    Ô  ¾   Í 

Ô 

º Ó Ò × Ö Ø × Ô Ó × Ñ Ó Ó Ø Ù Ò Ø Ó Ò ×    

½ 

´  Í 

Ô 

µ Ó Ò   Í 

Ô 

º Ì Û Ó  

Ù Ò Ø Ó Ò ×     ¾    

½ 

´  Í 

Ô 

µ Ò     ¾    

½ 

 

´  Í 

¼ 

Ô 

¡ 

Ö × Ø Ó Õ Ù Ú Ð Ò Ø Ø Ý Ó Ò Ó Ò Ø  

Ò Ø Ö × Ø Ó Ò   Í 

Ô 

Ë  

Í 

¼ 

Ô 

´ × ¬ º ½ º µ  

         ̧      

Í 

Ô 

Ì 

Í 

¼ 

Ô 

     

Í 

Ô 

Ì 

Í 

¼ 

Ô 

´ ½ º ¾ º ¾ µ  

Ì Ù Ò Ó Ò Ó Ð Ð Ø × Ô ×    

½ 

´  Í 

Ô 

µ Ñ Ó Ý Ø Õ Ù Ú Ð Ò Ö Ð Ø Ó Ò ´ ½ º ¾ º ¾ µ × Ø × Ô Ó  

Ö Ñ × Ó × Ñ Ó Ó Ø Ù Ò Ø Ó Ò × Ø    Ô   

 

½ 

Ô 

   

Ë  

Í 

Ô 

 

½ 

´  Í 

Ô 

µ 

   

´ ½ º ¾ º ¾ µ  

 

Ï Ø Ù Ò Ö Ð × Ø Ó Ú ¬ Ò Ø Ó Ò Ó Ö Ñ × × Ø Ñ Ð Ö Ô Ö Ò Ô Ð Ó Ò Ð Ý Ø Ó Ò Ø Ò ¹  

Ù Ø Ó Ò º Ç Ø × Ñ Ù Ò Ø Ó Ò Û Ò Ú « Ö Ò Ø ¬ Ò Ø Ó Ò × Ø Ø Ú « Ö Ò Ø Ó Ñ Ò × Ó  

Ú Ð Ø Ý Ô Ô Ö Ò Ø Ð Ý Û Ú « Ö Ò Ø Ù Ò Ø Ó Ò × Ù Ø Ø Ý Ó Ò Ó Ò × Ó Ñ Ó Ô Ò Ö Ó Ò Ø Ò Û  

Ó Ò × Ö Ø Ñ Ù × Ø × « Ö Ò Ø Ö Ô Ö × Ò Ø Ø Ó Ò × Ó × Ò Ð Ù Ò Ø Ó Ò º Ú Ò Ò Ý Ö Ñ Ò × Ó Ñ Ó Ô Ò  

Page 14: Fre P. Course in General Relativity (Free Version, Lecture Notes, Web Draft, 2003)(141s)_PGr

7/29/2019 Fre P. Course in General Relativity (Free Version, Lecture Notes, Web Draft, 2003)(141s)_PGr

http://slidepdf.com/reader/full/fre-p-course-in-general-relativity-free-version-lecture-notes-web-draft 14/141

Ì Ò Ò Ø Ò Ó Ø Ò Ò Ø Ë Ô ×   ½ ¿ 

Ù Ö ½ º º   Ö Ñ Ó × Ñ Ó Ó Ø Ù Ò Ø Ó Ò × Ø Õ Ù Ú Ð Ò Ð × × Ó Ð Ð Ð Ó Ð Ð Ý ¬ Ò Ù Ò Ø Ó Ò Ø Ø  

Ó Ò Ò × Ó Ñ Ò Ó Ö Ó Ó Ó Ô Ó Ò Ø    Ô 

Ò Ó Ö Ó Ó   Í 

Ô 

Û Ø Ö Ý Ø Ó Ü Ø Ò Ø Ø Ó Ð Ö Ö Ó Ñ Ò Ý × Ù Ø Ð Ý Ò Ò Ø × Ö Ô Ö × Ò Ø Ø Ó Ò º  

Á Ò Ò Ö Ð Ø Ö × Ð Ñ Ø Ø Ó × Ù Ü Ø Ò × Ó Ò Ò Ó Ò Ð Ý Ú Ö Ý × Ô Ð Ö Ñ × Ü Ø Ò Ø Ó Ð Ó Ð Ð Ý ¬ Ò  

Ù Ò Ø Ó Ò × Ó Ò Ø Û Ó Ð Ñ Ò Ó Ð   Å     º Ó Ö Ò × Ø Ò Ø Ô Ó Û Ö × Ö ×  

È  

  ¾  Æ 

Þ 

 

¬ Ò × Ó Ð Ó Ñ Ó Ö Ô  

Ù Ò Ø Ó Ò Û Ø Ò Ø × Ö Ù × Ó Ó Ò Ú Ö Ò     Þ      ½ º × Ú Ö Ý Ó Ý Ò Ó Û × Û Ø Ò Ø Ó Ò Ú Ö Ò  

Ö Ù × Ø × Ù Ñ Ó Ø × × Ö × Ó Ò × Û Ø ½    ´ ½     Þ  µ Û × Ó Ð Ó Ñ Ó Ö Ô Ù Ò Ø Ó Ò ¬ Ò Ó Ò  

Ñ Ù Ð Ö Ö Ò Ó Ö Ó Ó Ó   Þ  ¼ º Ó Ö Ò Ø Ó Ó Ù Ö ¬ Ò Ø Ó Ò Ø Ø Û Ó Ù Ò Ø Ó Ò × Ö Õ Ù Ú Ð Ò Ø  

Ò Ó Ö Ö × Ô Ó Ò Ø Ó Ø Û Ó « Ö Ò Ø Ö Ô Ö × Ò Ø Ø Ú × Ó Ø × Ñ   Ö Ñ   º Ì Ö Ñ ¸ Ó Û Ú Ö ¸ Ó × Ò Ó Ø  

Ü Ø Ò Ø Ó Ó Ð Ó Ñ Ó Ö Ô Ù Ò Ø Ó Ò Ó Ò Ø Û Ó Ð Ê Ñ Ò Ò × Ô Ö    

Ë  

½    × Ò Ø × × Ò Ù Ð Ö Ø Ý  

Ò  Þ  ½ º Á Ò ¸ × × Ø Ø Ý Ä Ó Ù Ú Ð Ð Ø Ó Ö Ñ ¸ Ø × Ô Ó Ð Ó Ð Ó Ð Ó Ñ Ó Ö Ô Ù Ò Ø Ó Ò × Ó Ò  

Ø Ê Ñ Ò Ò × Ô Ö Ó Ò Ø Ò × Ó Ò Ð Ý Ø Ó Ò × Ø Ò Ø Ù Ò Ø Ó Ò º  

½ º ¿ Ì Ò Ò Ø Ò Ó Ø Ò Ò Ø Ë Ô ×  

Á Ò Ð Ñ Ò Ø Ö Ý Ó Ñ Ø Ö Ý Ø Ò Ó Ø Ó Ò Ó   Ø Ò Ò Ø Ð Ò   × × × Ó Ø Û Ø Ø Ò Ó Ø Ó Ò Ó Ù Ö Ú º  

À Ò Ø Ó Ò Ø Ö Ó Ù Ø Ò Ò Ø Ú Ø Ó Ö × Û Ú Ø Ó Ò Û Ø Ø Ò Ó Ø Ó Ò Ó   Ù Ö Ú × Ò Ñ Ò Ó Ð  º 

¬ Ò Ø Ó Ò ½ º ¿ º ½ º     Ù Ö Ú      Ò Ñ Ò Ó Ð   Å     × Ó Ò Ø Ò Ù Ó Ù × Ò « Ö Ò Ø Ð Ñ Ô Ó Ò  

Ò Ø Ö Ú Ð Ó Ø Ö Ð Ð Ò ´ × Ý ¼     ½ ℄     Ê  µ Ò Ø Ó   Å      

   ¼    ½ ℄  Å     ´ ½ º ¿ º ¾ µ  

Á Ò Ó Ø Ö Û Ó Ö × Ù Ö Ú × Ó Ò ß Ñ Ò × Ó Ò Ð × Ù Ñ Ò Ó Ð   Å     ´ × ¬ º ½ º µ º    

Ì Ö Ö Ù Ö Ú × Û Ø   Ó Ù Ò Ö Ý  ¸ Ò Ñ Ð Ý      ´ ¼ µ 

Ë  

   ´ ½ µ Ò Ó Ô Ò Ù Ö Ú × Ø Ø Ó Ò Ó Ø Ó Ò Ø Ò  

Ø Ö Ó Ù Ò Ö Ý º Ì × Ô Ô Ò × Ò Õ Ù Ø Ó Ò ´ ½ º ¿ º ¾ µ Û Ö Ô Ð Ø Ð Ó × Ò Ø Ö Ú Ð ¼    ½ ℄ Û Ø Ø  

Ó Ô Ò Ò Ø Ö Ú Ð ℄ ¼     ½ º  Ð Ó × Ù Ö Ú ×   Ó Ö  Ð Ó Ó Ô ×   Ó Ö Ö × Ô Ó Ò Ø Ó Ø × Û Ö Ø Ò Ø Ð Ò ¬ Ò Ð Ô Ó Ò Ø  

Ó Ò ¸ Ø Ø × Û Ò    Ô 

 

   ´ ¼ µ      ´ ½ µ       Ô 

 

º « Ö Ò Ø Ð Ý ×  

Page 15: Fre P. Course in General Relativity (Free Version, Lecture Notes, Web Draft, 2003)(141s)_PGr

7/29/2019 Fre P. Course in General Relativity (Free Version, Lecture Notes, Web Draft, 2003)(141s)_PGr

http://slidepdf.com/reader/full/fre-p-course-in-general-relativity-free-version-lecture-notes-web-draft 15/141

Ì Ò Ò Ø Ò Ó Ø Ò Ò Ø Ë Ô ×   ½  

Ù Ö ½ º º   Ù Ö Ú Ò Ñ Ò Ó Ð × Ó Ò Ø Ò Ù Ó Ù × Ñ Ô Ó Ò Ò Ø Ö Ú Ð Ó Ø Ö Ð Ð Ò Ò Ø Ó Ø Ñ Ò Ó Ð  

Ø × Ð  

¬ Ò Ø Ó Ò ½ º ¿ º ¾ º     Ð Ó × Ù Ö Ú × Ó Ò Ø Ò Ù Ó Ù × « Ö Ò Ø Ð Ñ Ô Ó Ö Ð Ò Ø Ó Ø Ñ Ò ¹  

Ó Ð  

     Ë 

½ 

Å     ´ ½ º ¿ º ¾ µ  

 

Á Ò ¸ Ò Ø Ý Ò Ø Ò Ø Ð Ò ¬ Ò Ð Ô Ó Ò Ø Ñ Ò × Ø Ó Ó Ò × Ö Ø Ô Ó Ò Ø × Ó Ø Ù Ö Ú × Ò  

Ò Ó Ò ß Ø Ó ß Ó Ò Ó Ö Ö × Ô Ó Ò Ò Û Ø Ø Õ Ù Ú Ð Ò Ð × × ×  

Ê          Ë 

½ 

´ ½ º ¿ º ¿ ¼ µ  

Û Ó Ò × Ø Ø Ù Ø Ø Ñ Ø Ñ Ø Ð ¬ Ò Ø Ó Ò Ó Ø Ö Ð º Ü Ô Ð Ø Ð Ý Õ º ´ ½ º ¿ º ¿ ¼ µ Ñ Ò × Ø Ø Ø Û Ó  

Ö Ð Ò Ù Ñ Ö ×   Ö  Ò   Ö 

¼ 

Ö Ð Ö Ø Ó Õ Ù Ú Ð Ò Ø Ø Ö « Ö Ò   Ö 

¼ 

   Ö    Ò  × Ò Ò Ø Ö  

Ò Ù Ñ Ö   Ò  ¾     º × Ö Ô Ö × Ò Ø Ø Ú × Ó Ø × Õ Ù Ú Ð Ò Ð × × × Û Ú Ø Ö Ð Ò Ù Ñ Ö × Ó Ò Ø Ò  

Ò Ø Ò Ø Ö Ú Ð ¼     ½ ℄ Û Ø Ø Ô Ö Ó Ú × Ó Ø Ø ¼       ½ º 

Ï Ò Ð × Ó Ó Ò × Ö   × Ñ Ó Ô Ò Ù Ö Ú ×   Ó Ö Ö × Ô Ó Ò Ò Ø Ó Ñ Ô × Ó Ø × Ñ Ó Ô Ò Ò Ø Ö Ú Ð ¼    ½  

Ò Ø Ó   Å     º Á Ò Ô Ö Ø Ù Ð Ö ¸ Ò Ó Ö Ö Ø Ó ¬ Ò Ø Ò Ò Ø Ú Ø Ó Ö × Û Ö Ò Ø Ö × Ø Ò Ó Ô Ò Ö Ò × Ó  

Ù Ö Ú × ¬ Ò Ò Ø Ò Ó Ö Ó Ó Ó Ô Ó Ò Ø º  

½ º ¿ º ½ Ì Ò Ò Ø Ú Ø Ó Ö × Ò Ô Ó Ò Ø    Ô  ¾ Å    

Ó Ö Ô Ó Ò Ø    Ô  ¾ Å     Ð Ø Ù × ¬ Ü Ò Ó Ô Ò Ò Ó Ö Ó Ó   Í 

Ô 

Å     Ò Ð Ø Ù × Ó Ò × Ö Ø × Ñ Ó Ô Ò  

Ù Ö Ú × Ó Ø Ó Ð Ð Ó Û Ò Ø Ý Ô  

 

  

Ô 

¼    ½       Í 

Ô 

  

Ô 

´ ¼ µ    Ô 

´ ½ º ¿ º ¿ ½ µ  

Á Ò Ó Ø Ö Û Ó Ö × Ó Ö Ô Ó Ò Ø    Ô  Ð Ø Ù × Ó Ò × Ö Ð Ð Ô Ó × × Ð Ù Ö Ú ×  

  

Ô 

´  Ø  µ Ø Ø Ó Ø Ö Ó Ù    Ô  ´ ×  

¬ º ½ º µ º  

Page 16: Fre P. Course in General Relativity (Free Version, Lecture Notes, Web Draft, 2003)(141s)_PGr

7/29/2019 Fre P. Course in General Relativity (Free Version, Lecture Notes, Web Draft, 2003)(141s)_PGr

http://slidepdf.com/reader/full/fre-p-course-in-general-relativity-free-version-lecture-notes-web-draft 16/141

Ì Ò Ò Ø Ò Ó Ø Ò Ò Ø Ë Ô ×   ½  

Ù Ö ½ º º   Á Ò Ò Ó Ö Ó Ó   Í 

Ô 

Ó Ô Ó Ò Ø    Ô  ¾ Å  Û Ó Ò × Ö Ø Ù Ö Ú × Ø Ø Ó Ø Ö Ó Ù    Ô 

Á Ò Ø Ù Ø Ú Ð Ý Ø Ø Ò Ò Ø Ò    Ô  Ø Ó Ù Ö Ú Ø Ø × Ø Ö Ø × Ö Ó Ñ    Ô  × Ø Ú Ø Ó Ö Ø Ø × Ô ¬ × Ø  

Ù Ö Ú ³ ×   Ò Ø Ð   Ö Ø Ó Ò º Ì × × Ø Ø Ò Ò   Ñ  ß Ñ Ò × Ó Ò Ð Ñ Ò Ó Ð Ø Ö Ö × Ñ Ò Ý  

Ö Ø Ó Ò × Ò Û Ø Ù Ö Ú Ò Ô Ö Ø × Ø Ö Ö Ú Ø Ó Ö × Ò   Ê 

Ñ 

Ù Ö Ø Ö Ñ Ó Ö Ó Ö × Ù Æ Ò Ø Ð Ý  

× Ñ Ð Ð Ò Ó Ö Ó Ó × Ó    Ô  Û Ò Ò Ó Ø Ø Ð Ð Ø « Ö Ò Ø Û Ò Ø Ñ Ò Ó Ð   Å     Ò Ø - Ø  

Ú Ø Ó Ö × Ô   Ê 

Ñ 

º À Ò Ø Ó Ô Ó Ò Ø    Ô  ¾ Å     Ó Ñ Ò Ó Ð Û Ò Ø Ø Ò   Ñ  ß Ñ Ò × Ó Ò Ð Ö Ð  

Ú Ø Ó Ö × Ô  

    Ô  ¾ Å        Ô      Ì 

Ô 

Å     Ñ  Ì 

Ô 

Å       Ñ  ´ ½ º ¿ º ¿ ¾ µ  

Û Ô Ö Ñ Ø Ö Þ × Ø Ô Ó × × Ð Ö Ø Ó Ò × Ò Û Ù Ö Ú × Ø Ö Ø Ò Ø    Ô  Ò Ô Ö Ø º Ì × Ú Ø Ó Ö  

× Ô × Ò Ñ Ø Ø Ò Ò Ø × Ô Ø Ó   Å     Ø Ø Ô Ó Ò Ø    Ô  Ò × ¸ Ý ¬ Ò Ø Ó Ò ¸ × Ó Ñ Ó Ö Ô Ø Ó   Ê 

Ñ 

¸ 

Ò Ñ Ð Ý   Ì 

Ô 

Å     Ê 

Ñ 

º Ó Ö Ò × Ø Ò Ø Ó Ô Ó Ò Ø Ó Ò   Ë 

¾ 

× Ô Ö Û Ø Ø Ø Ò Ò Ø Ô Ð Ò   Ê 

¾ 

´ × ¬ º ½ º µ  

Ù Ö ½ º º   Ì Ø Ò Ò Ø × Ô Ò Ò Ö Ô Ó Ò Ø Ó Ò   Ë 

¾ 

× Ô Ö  

Ä Ø Ù × Ò Ó Û Ñ Ø × Ò Ø Ù Ø Ú Ò Ó Ø Ó Ò Ñ Ø Ñ Ø Ð Ð Ý Ô Ö × º Ó Ò × Ö Ô Ó Ò Ø    Ô 

¾ Å     Ò  

Ö Ñ Ó × Ñ Ó Ó Ø Ù Ò Ø Ó Ò    

Ô 

¾    

½ 

Ô 

´  Å     µ º Á Ò Ò Ý Ó Ô Ò Ö Ø ´  Í 

« 

³ 

« 

µ Ø Ø Ó Ò Ø Ò × Ø Ô Ó Ò Ø    Ô  ¸ 

Page 17: Fre P. Course in General Relativity (Free Version, Lecture Notes, Web Draft, 2003)(141s)_PGr

7/29/2019 Fre P. Course in General Relativity (Free Version, Lecture Notes, Web Draft, 2003)(141s)_PGr

http://slidepdf.com/reader/full/fre-p-course-in-general-relativity-free-version-lecture-notes-web-draft 17/141

Ì Ò Ò Ø Ò Ó Ø Ò Ò Ø Ë Ô ×   ½  

Ø Ö Ñ    

Ô 

× Ö Ô Ö × Ò Ø Ý Ò Ò ¬ Ò Ø Ð Ý « Ö Ò Ø Ð Ù Ò Ø Ó Ò Ó   Ñ  ß Ú Ö Ð ×  

 

Ô 

 

Ü 

´  «  µ 

½ 

Ü  

´  «  µ 

Ñ 

 

´ ½ º ¿ º ¿ ¿ µ  

Ä Ø Ù × Ò Ó Û Ó Ó × Ò Ó Ô Ò Ù Ö Ú     

Ô 

´  Ø  µ Ø Ø Ð × Ò   Í 

« 

Ò × Ø Ö Ø × Ø    Ô   

  

Ô 

´  Ø  µ  

 

  

Ô 

¼    ½       Í 

« 

  

Ô 

´ ¼ µ    Ô 

´ ½ º ¿ º ¿ µ  

Ò Ó Ò × Ö Ø Ó Ñ Ô Ó × Ñ Ô  

 

Ô 

Æ   

Ô 

¼    ½      Ê      Ê  ´ ½ º ¿ º ¿ µ  

Û × Ö Ð Ù Ò Ø Ó Ò  

 

Ô 

´    

Ô 

´  Ø  µ µ       

Ô 

´  Ø  µ ´ ½ º ¿ º ¿ µ  

Ó Ó Ò Ö Ð Ú Ö Ð ´ × ¬ º ½ º ½ ¼ µ  

Ù Ö ½ º ½ ¼ º   Ì Ó Ñ Ô Ó × Ñ Ô    

Ô 

Æ  

Ô 

Û Ö    

Ô 

× Ö Ñ Ó × Ñ Ó Ó Ø Ù Ò Ø Ó Ò Ò    Ô  Ò    

Ô 

× Ù Ö Ú  

Ô Ö Ø Ò Ö Ó Ñ    Ô  ¾ Å 

Ï Ò Ð Ù Ð Ø Ø × Ö Ú Ø Ú Û Ø Ö × Ô Ø Ø Ó   Ø  Ò  Ø  ¼ Û Ò Ø Ó Ô Ò Ö Ø ´  Í 

« 

³ 

« 

µ 

Ö × × Ó Ð Ð Ó Û ×  

 

Ø 

 

Ô 

´  Ø  µ 

 

Ø  ¼ 

 

 

Ô 

Ü 

 

¡ 

Ü 

 

Ø 

 

Ø  ¼ 

´ ½ º ¿ º ¿ µ  

Ï × Ö Ó Ñ Ø Ó Ú Ó Ö Ñ Ù Ð Ø Ø Ø Ò Ö Ñ Ò Ø Ó Ò Ý Ö Ñ    

Ô 

¾    

½ 

Ô 

´  Å     µ Ð Ó Ò Ù Ö Ú     

Ô 

´  Ø  µ 

× ¬ Ò Ø Ö Ó Ù Ø   Ñ  Ö Ð Ó Æ Ò Ø ×  

 

 

   

Ü 

 

Ø 

 

Ø  ¼ 

¾   Ê  ´ ½ º ¿ º ¿ µ  

Û Ò Ð Ù Ð Ø Û Ò Ú Ö Ø Ô Ö Ñ Ø Ö Ó Ö Ñ Ó Ø Ù Ö Ú × Ú Ò   Ü 

 

  Ü 

 

´  Ø  µ º Ü Ô Ð ¹  

Ø Ð Ý Û Ú  

 

Ô 

Ø 

   

 

 

Ô 

Ü 

 

´ ½ º ¿ º ¿ µ  

Õ º ´ ½ º ¿ º ¿ µ Ò Ò Ø Ö Ô Ö Ø × Ø Ø Ó Ò Ó « Ö Ò Ø Ð Ó Ô Ö Ø Ó Ö Ó Ò Ø × Ô Ó Ö Ñ × Ó  

× Ñ Ó Ó Ø Ù Ò Ø Ó Ò × ¸ Ò Ñ Ð Ý  

 

Ø 

Ô 

     

 

 

Ü 

 

µ   

 

Ø 

Ô 

   

½ 

Ô 

´  Å     µ       

½ 

Ô 

´  Å     µ ´ ½ º ¿ º ¼ µ  

Á Ò Ó Ö Ò Ý Ö Ñ     Ò Ó Ö Ò Ý Ù Ö Ú  

 

Ø 

Ô 

   

Ü 

 

Ø 

 

Ø  ¼ 

 

Ü 

 

¾    

½ 

Ô 

´  Å     µ ´ ½ º ¿ º ½ µ  

Page 18: Fre P. Course in General Relativity (Free Version, Lecture Notes, Web Draft, 2003)(141s)_PGr

7/29/2019 Fre P. Course in General Relativity (Free Version, Lecture Notes, Web Draft, 2003)(141s)_PGr

http://slidepdf.com/reader/full/fre-p-course-in-general-relativity-free-version-lecture-notes-web-draft 18/141

Ì Ò Ò Ø Ò Ó Ø Ò Ò Ø Ë Ô ×   ½  

× Ò Û Ö Ñ Ó × Ñ Ó Ó Ø Ù Ò Ø Ó Ò Ò Ø Ô Ó Ò Ø    Ô  º Ì × × Ù × × Ó Ò Ù × Ø ¬ × Ø Ñ Ø Ñ Ø Ð  

¬ Ò Ø Ó Ò Ó Ø Ò Ò Ø × Ô  

¬ Ò Ø Ó Ò ½ º ¿ º ¿ º     Ì Ø Ò Ò Ø × Ô   Ì 

Ô 

Å     Ø Ó Ø Ñ Ò Ó Ð   Å     Ò Ø Ô Ó Ò Ø    Ô  × Ø Ú Ø Ó Ö  

× Ô Ó    ¬ Ö × Ø Ó Ö Ö « Ö Ò Ø Ð Ó Ô Ö Ø Ó Ö ×  Ó Ò Ø Ö Ñ × Ó × Ñ Ó Ó Ø Ù Ò Ø Ó Ò ×    

½ 

Ô 

´  Å     µ   

Ü Ø Ð Ø Ù × Ó × Ö Ú Ø Ø Ø × Ô Ó Ö Ñ ×    

½ 

Ô 

´  Å     µ × Ò   Ð Ö   Û Ø Ö × Ô Ø Ø Ó Ð Ò Ö Ó Ñ ¹  

Ò Ø Ó Ò × Û Ø Ö Ð Ó Æ Ò Ø × ´  «   ·  ¬   µ ´   Ô  µ   «   ´   Ô  µ ·  ¬   ´   Ô  µ Ò Ô Ó Ò Ø Û × Ñ Ù Ð Ø Ô Ð Ø Ó Ò  

  ¡    ´   Ô  µ        ´   Ô  µ    ´   Ô  µ  

   « ¬  ¾   Ê       ¾    

½ 

Ô 

´  Å     µ  «   ·  ¬   ¾    

½ 

Ô 

´  Å     µ 

     ¾    

½ 

Ô 

´  Å     µ    ¡    ¾    

½ 

Ô 

´  Å     µ 

´  «   ·  ¬   µ 

¡     «  

¡   ·  ¬  

¡  

´ ½ º ¿ º ¾ µ  

Ò Ø Ò Ò Ø Ú Ø Ó Ö  

 

Ø 

Ô 

×   Ö Ú Ø Ó Ò   Ó Ø × Ð Ö º  

¬ Ò Ø Ó Ò ½ º ¿ º º       Ö Ú Ø Ó Ò       Ó Ò Ð Ö       × Ñ Ô  

    

   ´ ½ º ¿ º ¿ µ  

Ø Ø  

´ µ × Ð Ò Ö  

   « ¬  ¾   Ê       ¾           ´  «   ·  ¬   µ   «        ·  ¬        ´ ½ º ¿ º µ  

´ µ Ó Ý × Ä Ò Ø Þ Ö Ù Ð  

     ¾             ¡            ¡    ·    ¡       ´ ½ º ¿ º µ  

 

Ì Ø Ø Ò Ò Ø Ú Ø Ó Ö × ¬ Ø Ò Ø Ó Ø ¬ Ò Ø Ó Ò ½ º ¿ º × Ð Ö Ö Ó Ñ Ø Ö Ü Ô Ð Ø Ö Ð Þ Ø Ó Ò × « Ö ¹  

Ò Ø Ð Ó Ô Ö Ø Ó Ö × Õ º × ´ ½ º ¿ º ¼ ¸ ½ º ¿ º ½ µ º Á Ø × Ð × Ó Ð Ö Ø Ø Ø × Ø Ó   Ö Ú Ø Ó Ò ×      

   ℄ Ó Ò Ð Ö  

Ó Ò × Ø Ø Ù Ø × Ö Ð Ú Ø Ó Ö × Ô º Á Ò Ð Ò Ö Ó Ñ Ò Ø Ó Ò Ó Ö Ú Ø Ó Ò × × × Ø Ð Ð Ö Ú Ø Ó Ò ¸  

Ú Ò × Ø  

   « ¬  ¾   Ê       

½ 

     

¾ 

¾           ℄         ¾     ´  «     

½ 

·  ¬     

¾ 

µ      «     

½ 

  ·  ¬     

¾ 

  ´ ½ º ¿ º µ  

À Ò Ò Õ Ù Ú Ð Ò Ø Ò Ñ Ó Ö × Ø Ö Ø ¬ Ò Ø Ó Ò Ó Ø Ò Ò Ø × Ô × Ø Ó Ð Ð Ó Û Ò  

¬ Ò Ø Ó Ò ½ º ¿ º º     Ì Ø Ò Ò Ø × Ô Ø Ó Ñ Ò Ó Ð  

Å     Ø Ø Ô Ó Ò Ø    Ô  × Ø Ú Ø Ó Ö × Ô Ó  

Ö Ú Ø Ó Ò × Ó Ø Ð Ö Ó Ö Ñ × Ó × Ñ Ó Ó Ø Ù Ò Ø Ó Ò × Ò    Ô   

Ì 

Ô 

Å      

¢ 

 

½ 

Ô 

´  Å     µ 

£ 

´ ½ º ¿ º µ  

 

Á Ò Ó Ö Ò Ý Ø Ò Ò Ø Ú Ø Ó Ö ´ ½ º ¿ º ¼ µ Ò Ó Ö Ò Ý Ô Ö Ó Ö Ñ ×     ¾    

½ 

Ô 

´  Å     µ Û Ú  

 

Ø 

Ô 

´  «   ·  ¬   µ   « 

 

Ø 

Ô 

´    µ ·  ¬ 

 

Ø 

Ô 

´    µ 

 

Ø 

Ô 

´    ¡    µ  

 

Ø 

Ô 

´    µ  ¡    ·    ¡ 

 

Ø 

Ô 

´    µ ´ ½ º ¿ º µ  

Á Ò Ó Ó Ö Ò Ø Ô Ø Ø Ò Ò Ø Ú Ø Ó Ö × ¸ × Û Ú × Ò ¸ ¬ Ö × Ø Ó Ö Ö « Ö Ò Ø Ð Ó Ô Ö Ø Ó Ö  

× Ò Ð Ó Ù Ø Ý Ø ×   Ó Ñ Ô Ó Ò Ò Ø ×  ¸ Ò Ñ Ð Ý Ý Ø Ó Æ Ò Ø ×    

 

º Á Ò Ø Ð Ò Ù Ó Ø Ò × Ó Ö Ð Ù Ð Ù × Ø  

Page 19: Fre P. Course in General Relativity (Free Version, Lecture Notes, Web Draft, 2003)(141s)_PGr

7/29/2019 Fre P. Course in General Relativity (Free Version, Lecture Notes, Web Draft, 2003)(141s)_PGr

http://slidepdf.com/reader/full/fre-p-course-in-general-relativity-free-version-lecture-notes-web-draft 19/141

Ì Ò Ò Ø Ò Ó Ø Ò Ò Ø Ë Ô ×   ½  

Ø Ò Ò Ø Ú Ø Ó Ö   × Ò Ø ¬   Û Ø Ø   Ñ  ß Ø Ù Ô Ð Ø Ó Ö Ð Ò Ù Ñ Ö ×    

 

º Ì Ö Ð Ú Ò Ø Ô Ó Ò Ø ¸ Ó Û Ú Ö ¸  

× Ø Ø × Ù   Ñ  ß Ø Ù Ô Ð Ø Ö Ô Ö × Ò Ø Ò Ø   × Ñ Ø Ò Ò Ø Ú Ø Ó Ö   × « Ö Ò Ø Ò « Ö Ò Ø Ó Ó Ö Ò Ø  

Ô Ø × º Ó Ò × Ö Ø Û Ó Ó Ó Ö Ò Ø Ô Ø × ´  Í ³  µ Ò ´  Î   µ Û Ø Ò Ó Ò Ú Ò × Ò Ò Ø Ö × Ø Ó Ò º  

Ñ   Ü 

 

Ø Ó Ó Ö Ò Ø Ó Ô Ó Ò Ø    Ô  ¾   Í 

Ì  

Π Ò Ø Ô Ø ´  Í ³  µ Ò   Ý 

« 

Ø Ó Ó Ö Ò Ø Ó Ø  

× Ñ Ô Ó Ò Ø Ò Ø Ô Ø ´  Î   µ º Ì Ø Ö Ò × Ø Ó Ò Ù Ò Ø Ó Ò Ò Ø × Ò Ú Ö × Ö Ü Ô Ö × × Ý × Ø Ø Ò  

Ü 

 

  Ü 

 

´  Ý  µ   Ý 

« 

  Ý 

« 

´  Ü  µ ´ ½ º ¿ º µ  

Ì Ò Ø × Ñ ¬ Ö × Ø Ó Ö Ö « Ö Ò Ø Ð Ó Ô Ö Ø Ó Ö Ò Ð Ø Ö Ò Ø Ú Ð Ý Û Ö Ø Ø Ò ×  

 

Ø 

Ô 

   

 

 

 

Ü 

 

Ó Ö 

 

Ø 

Ô 

   

 

 

Ý 

« 

Ü 

 

 

 

 

Ý 

« 

   

« 

 

 

Ý 

« 

´ ½ º ¿ º ¼ µ  

Ú Ò ¬ Ò  

 

« 

     

 

 

Ý 

« 

Ü 

 

 

´ ½ º ¿ º ½ µ  

Õ º ´ ½ º ¿ º ½ µ Ü Ô Ö × × × Ø Ø Ö Ò × Ó Ö Ñ Ø Ó Ò Ö Ù Ð Ó Ö Ø Ó Ñ Ô Ó Ò Ò Ø × Ó Ø Ò Ò Ø Ú Ø Ó Ö Ö Ó Ñ Ó Ò  

Ó Ó Ö Ò Ø Ô Ø Ø Ó Ò Ó Ø Ö Ó Ò ´ × ¬ º ½ º ½ ½ µ º  

Ù Ö ½ º ½ ½ º   Ì Û Ó Ó Ó Ö Ò Ø Ô Ø ×  

Ë Ù Ø Ö Ò × Ó Ö Ñ Ø Ó Ò ×   Ð Ò Ö   Ò Ø Ñ Ø Ö Ü Ø Ø Ö Ð Þ × Ø × Ø   Ò Ú Ö × Ó Ø Â Ó Ò  

Ñ Ø Ö Ü   ´  Ý Ü  µ ´  Ü Ý  µ 

  ½ 

º Ó Ö Ø × Ö × Ó Ò Û × Ý Ø Ø Ø Ó Ñ Ô Ó Ò Ò Ø × Ó Ø Ò Ò Ø Ú Ø Ó Ö  

Ó Ò × Ø Ø Ù Ø   Ó Ò Ø Ö Ó Ú Ö Ò Ø Û Ó Ö Ð Ú Ø Ó Ö  º Ý ¬ Ò Ø Ó Ò   Ó Ú Ö Ò Ø Û Ó Ö Ð Ú Ø Ó Ö   Ø Ö Ò × Ó Ö Ñ × Ò × Ø  

Û Ø Ø   Â Ó Ò Ñ Ø Ö Ü  º Ï Û Ð Ð × Ø Ø Ó Ú Ö Ò Ø Û Ó Ö Ð Ú Ø Ó Ö × Ö Ø Ó Ñ Ô Ó Ò Ò Ø × Ó  

« Ö Ò Ø Ð Ó Ö Ñ º  

½ º ¿ º ¾ « Ö Ò Ø Ð Ó Ö Ñ × Ò Ô Ó Ò Ø    Ô  ¾ Å    

Ä Ø Ù × Ò Ó Û Ó Ò × Ö Ø Ø Ó Ø Ð « Ö Ò Ø Ð Ó Ù Ò Ø Ó Ò ´ Ø Ø Ö Ó Ö Ñ Ó × Ñ Ó Ó Ø Ù Ò Ø Ó Ò µ  

Û Ò Û Ú Ð Ù Ø Ø Ð Ó Ò Ù Ö Ú º        ¾    

½ 

Ô 

´  Å     µ Ò Ó Ö Ù Ö Ú     ´  Ø  µ × Ø Ö Ø Ò Ø    Ô  Û Ú  

 

Ø 

  ´    ´  Ø  µ µ   

Ø  ¼ 

   

 

 

 

Ü 

 

     

 

Ø 

Ô 

  ´ ½ º ¿ º ¾ µ  

Page 20: Fre P. Course in General Relativity (Free Version, Lecture Notes, Web Draft, 2003)(141s)_PGr

7/29/2019 Fre P. Course in General Relativity (Free Version, Lecture Notes, Web Draft, 2003)(141s)_PGr

http://slidepdf.com/reader/full/fre-p-course-in-general-relativity-free-version-lecture-notes-web-draft 20/141

Ì Ò Ò Ø Ò Ó Ø Ò Ò Ø Ë Ô ×   ½  

Û Ö Û Ú Ò Ñ  

 

Ø 

Ô 

 

 

 

Ø 

 

Ø  ¼ 

 

 

Ü 

 

Ø Ø Ò Ò Ø Ú Ø Ó Ö Ø Ó Ø Ù Ö Ú Ò Ø × Ò Ø Ð Ô Ó Ò Ø    Ô  º 

Ë Ó ¸ ¬ Ü Ò Ø Ò Ò Ø Ú Ø Ó Ö Ñ Ò × Ø Ø Ó Ö Ò Ý Ö Ñ     Û Ò Ó Û Ø × Ø Ó Ø Ð « Ö Ò Ø Ð Ð Ó Ò Ø  

Ù Ö Ú Ø Ø Ñ Ø × × Ù Ú Ø Ó Ö × Ø Ò Ò Ø Ò    Ô  º Ä Ø Ù × Ò Ó Û Ö Ú Ö × Ó Ù Ö Ú Û Ô Ó Ò Ø º Ê Ø Ö Ø Ò  

Ô Ò Ø Ø Ò Ò Ø Ú Ø Ó Ö ¬ Ü Ò Ð Ø Ø Ò Ø Ö Ñ     Ú Ö Ý Ð Ø Ù × Ô Ø Ö Ñ     ¬ Ü Ò Ð Ø  

Ù × Ó Ò × Ö Ð Ð Ô Ó × × Ð Ù Ö Ú × Ø Ø Ô Ö Ø Ö Ó Ñ Ø Ô Ó Ò Ø    Ô  º Ï Û Ó Ù Ð Ð Ø Ó Ú Ð Ù Ø Ø Ø Ó Ø Ð  

Ö Ú Ø Ú Ó Ø Ö Ñ  

 

Ø 

Ð Ó Ò Ù Ö Ú º Ì × Ó Ð Ù Ø Ó Ò Ó × Ù Ô Ö Ó Ð Ñ × × Ð Ý Ó Ø Ò  

Ú Ò Ø Ø Ò Ò Ø Ú Ø Ó Ö  

 

Ø 

Ô 

Ø Ó Ø Ù Ö Ú Ò    Ô  Û Ú   Ø    

 

Ø 

Ô 

  º Ì Ñ Ó Ö Ð Ó Ø × Ø Ð ×  

Ø Ó Ð Ð Ó Û Ò Ø Ó Ò Ô Ø Ó   Ø Ó Ø Ð « Ö Ò Ø Ð Ó Ö Ñ   × Ø   Ù Ð   Ó Ø Ó Ò Ô Ø Ó   Ø Ò Ò Ø  

Ú Ø Ó Ö   º Á Ò Û Ö Ð Ð Ö Ó Ñ Ð Ò Ö Ð Ö Ø Ø Ø Ù Ð Ó Ú Ø Ó Ö × Ô × Ø × Ô Ó Ð Ò Ö  

Ù Ò Ø Ó Ò Ð × Ó Ò Ø Ú Ø Ó Ö × Ô Ò Ó Ù Ö × Ù × × Ó Ò × Ó Û × Ø Ø Ø Ø Ó Ø Ð « Ö Ò Ø Ð Ó Ö Ñ ×  

Ô Ö × Ð Ý Ð Ò Ö Ù Ò Ø Ó Ò Ð Ó Ò Ø Ø Ò Ò Ø × Ô   Ì 

Ô 

Å     º 

¬ Ò Ø Ó Ò ½ º ¿ º º     Ì Ø Ó Ø Ð « Ö Ò Ø Ð    

Ô 

Ó × Ñ Ó Ó Ø Ö Ñ     ¾    

½ 

Ô 

´  Å     µ ×   Ð Ò Ö Ù Ò Ø Ó Ò Ð  

Ó Ò  Ì 

Ô 

Å     × Ù Ø Ø  

  

 

Ø 

Ô 

¾   Ì 

Ô 

Å      

Ô 

 

 

Ø 

Ô 

¡ 

 

 

Ø 

Ô 

 

  

 

Ø 

Ô 

 

 

 

Ô 

¾  Ì 

Ô 

Å     

  « ¬ 

¾  Ê   

Ô 

 

« 

 

Ø 

Ô 

·  ¬ 

 

 

Ô 

 

  «  

Ô 

 

 

Ø 

Ô 

¡ 

·  ¬  

Ô 

 

 

 

Ô 

 

´ ½ º ¿ º ¿ µ  

 

Ì Ð Ò Ö Ù Ò Ø Ó Ò Ð × Ó Ò ¬ Ò Ø Ñ Ò × Ó Ò Ð Ú Ø Ó Ö × Ô   Π  Ó Ò × Ø Ø Ù Ø Ú Ø Ó Ö × Ô   Π 

 

´ Ø  

Ù Ð µ Û Ø Ø × Ñ Ñ Ò × Ó Ò º Ì × Ù × Ø ¬ × Ø Ó Ð Ð Ó Û Ò  

¬ Ò Ø Ó Ò ½ º ¿ º º     Ï Ò Ñ   Ó Ø Ò Ò Ø × Ô   Ø Ó Ø Ñ Ò Ó Ð  

Å     Ò Ø Ô Ó Ò Ø    Ô  Ø Ú Ø Ó Ö × Ô  

Ì 

Ô 

Å     Ó Ð Ò Ö Ù Ò Ø Ó Ò Ð × ´ Ó Ö ½ ß Ó Ö Ñ × Ò    Ô  µ Ó Ò Ø Ø Ò Ò Ø × Ô   Ì 

Ô 

Å      

Ì 

Ô 

Å     À Ó Ñ ´  Ì 

Ô 

Å       Ê  µ ´  Ì 

Ô 

Å     µ 

 

´ ½ º ¿ º µ  

 

Ë Ó Û Ò Ñ « Ö Ò Ø Ð ½ ß Ó Ö Ñ × Ò    Ô  Ø Ð Ñ Ò Ø × Ó Ø Ó Ø Ò Ò Ø × Ô Ò       

Ô 

¾   Ì 

Ô 

Å     Û  

Ú  

½ µ    

 

Ø 

Ô 

¾   Ì 

Ô 

Å      

Ô 

 

 

Ø 

Ô 

¡ 

¾   Ê 

¾ µ     « ¬  ¾   Ê      

 

Ø 

Ô 

 

 

 

Ô 

¾   Ì 

Ô 

Å      

Ô 

 

« 

 

Ø 

Ô 

·  ¬ 

 

 

Ô 

 

  «  

Ô 

 

 

Ø 

Ô 

¡ 

·  ¬  

Ô 

 

 

 

Ô 

 

´ ½ º ¿ º µ  

Ì Ö × Ó Ò Û Ý Ø Ó Ú Ð Ò Ö Ù Ò Ø Ó Ò Ð × Ö Ò Ñ « Ö Ò Ø Ð ½ ß Ó Ö Ñ × × Ø Ø Ò Ú Ö Ý  

Ó Ó Ö Ò Ø Ô Ø      Ü 

 

   Ø Ý Ò Ü Ô Ö × × × Ð Ò Ö Ó Ñ Ò Ø Ó Ò × Ó Ø Ó Ó Ö Ò Ø « Ö Ò Ø Ð ×  

 

Ô 

   

 

Ü 

 

´ ½ º ¿ º µ  

Ò Ø Ö Ø Ó Ò Ó Ò Ø Ø Ø Ò Ò Ø Ú Ø Ó Ö × × Ü Ô Ö × × × Ó Ð Ð Ó Û ×  

 

Ø 

Ô 

   

 

 

 

Ü 

 

µ     

Ô 

 

 

Ø 

Ô 

¡ 

   

 

 

 

¾   Ê  ´ ½ º ¿ º µ  

Á Ò Ò Ø Ô Ö Ø Ù Ð Ö × Û Ö Ø ½ ß Ó Ö Ñ × Ü Ø ´ Ò Ñ Ð Ý Ø × Ø « Ö Ò Ø Ð Ó Ö Ñ µ  

 

Ô 

   

Ô 

Û Ò Û Ö Ø    

Ô 

  Ü  

 

Ü 

 

Ò Û Ú    

Ô 

 

 

Ø 

Ô 

¡ 

   

 

Ø 

Ô 

     

 

Ü  

 

º À Ò Û Ò  

Û Ü Ø Ò Ó Ù Ö ¬ Ò Ø Ó Ò Ø Ó « Ö Ò Ø Ð Ó Ö Ñ × Ø Ø Ö Ò Ó Ø Ü Ø Û Ó Ò Ø Ò Ù Ø Ó × Ø Ø Ø × Ñ  

× Ø Ø Ñ Ò Ø ¸ Ò Ñ Ð Ý Ø Ø Ø Ú Ð Ù Ó Ø ½ ß Ó Ö Ñ Ó Ò Ø Ò Ò Ø Ú Ø Ó Ö × Ú Ò Ý Õ º ´ ½ º ¿ º µ º  

Page 21: Fre P. Course in General Relativity (Free Version, Lecture Notes, Web Draft, 2003)(141s)_PGr

7/29/2019 Fre P. Course in General Relativity (Free Version, Lecture Notes, Web Draft, 2003)(141s)_PGr

http://slidepdf.com/reader/full/fre-p-course-in-general-relativity-free-version-lecture-notes-web-draft 21/141

Ö Ù Ò Ð ×   ¾ ¼ 

Ë Ù Ñ Ñ Ö Þ Ò ¸ Ò Ó Ó Ö Ò Ø Ô Ø ¸ « Ö Ò Ø Ð ½ ß Ó Ö Ñ Ò Ô Ó Ò Ø    Ô 

¾ Å     × Ø Ö Ô ¹  

Ö × Ò Ø Ø Ó Ò ´ ½ º ¿ º µ Ò Ø × Ó Æ Ò Ø ×    

 

Ó Ò × Ø Ø Ù Ø   Ó Ò Ø Ö Ó Ú Ö Ò Ø Ú Ø Ó Ö  º Á Ò ¸ Ò Ó Ñ Ô Ð Ø  

Ò Ð Ó Ý Ø Ó Õ º ´ ½ º ¿ º ¼ µ ¸ Û Ú  

 

Ô 

   

 

Ü 

 

Ó Ö   

Ô 

   

 

 

Ü 

 

Ý 

« 

 

Ý 

« 

   

« 

Ý 

« 

´ ½ º ¿ º µ  

Ú Ò ¬ Ò  

 

« 

     

 

 

Ü 

 

Ý 

« 

 

´ ½ º ¿ º µ  

Ò Ð Ð Ý Ø Ù Ð Ø Ý Ö Ð Ø Ó Ò Ø Û Ò ½ ß Ó Ö Ñ × Ò Ø Ò Ò Ø Ú Ø Ó Ö × Ò × Ù Ñ Ñ Ö Þ Û Ö Ø Ò Ø  

Ö Ù Ð  

Ü 

 

  

 

 

Ü 

 

 

  Æ 

 

 

´ ½ º ¿ º ¼ µ  

½ º Ö Ù Ò Ð ×  

Ì Ò Ü Ø × Ø Ô Û Ú Ø Ó Ø ×   Ð Ù Ò Ø Ó Ø Ö   Ð Ð Ø Ø Ò Ò Ø   Ì 

Ô 

Å     Ò Ó Ø Ò Ò Ø × Ô ×   Ì 

Ô 

Å    

Û Ú × Ù × × Ò Ø Ô Ö Ú Ó Ù × × Ø Ó Ò × º Ì Ö × Ù Ð Ø Ó × Ù Ð Ù Ò Ô Ö Ó Ù Ö × Ò Ó Ø Ú Ø Ó Ö  

× Ô ¸ Ö Ø Ö Ø × Ú Ø Ó Ö Ù Ò Ð º Î Ø Ó Ö Ù Ò Ð × Ö × Ô ¬ Ò × Ø Ò × Ó Ø Ñ Ó Ö Ò Ö Ð  

Ò Ó Ø Ó Ò Ó    ¬ Ö Ù Ò Ð ×  º 

Ì Ó Ò Ô Ø Ó    ¬ Ö Ù Ò Ð   × × Ó Ð Ù Ø Ð Ý Ò Ø Ö Ð Ò Ó Ò Ø Ñ Ô Ó Ö Ö Ý Ô Ý × × Ò Ô Ö Ó Ú × Ø  

Ô Ô Ö Ó Ô Ö Ø Ñ Ø Ñ Ø Ð Ö Ñ Û Ó Ö Ø Ó Ó Ö Ñ Ù Ð Ø Ñ Ó Ö Ò ¬ Ð Ø Ó Ö Ý × Ò Ð Ð Ø ¬ Ð × Ó Ò Ò  

Ó Ò × Ö Ö Ø Ö   × Ø Ó Ò ×   Ó   × × Ó Ø Ù Ò Ð ×   Ó Ö  Ó Ò Ò Ø Ó Ò ×   Ó Ò  Ô Ö Ò Ô Ð Ù Ò Ð ×  º Ì Ö Ö  

Ø Û Ó Ò × Ó ¬ Ö ß Ù Ò Ð ×  

´ µ Ô Ö Ò Ô Ð Ù Ò Ð ×  

´ µ × × Ó Ø Ù Ò Ð ×  

Ì Ò Ó Ø Ó Ò Ó Ô Ö Ò Ô Ð ¬ Ö ß Ù Ò Ð × Ø Ô Ô Ö Ó Ô Ö Ø Ñ Ø Ñ Ø Ð Ó Ò Ô Ø Ù Ò Ö Ð Ý Ò Ø  

Ó Ö Ñ Ù Ð Ø Ó Ò Ó   Ù Ø Ó Ö ×   Ø Ø Ô Ö Ó Ú Ø Ò Ö Ð Ö Ñ Û Ó Ö Ø Ó × Ö Ø Ý Ò Ñ × Ó Ð Ð  

Ò Ó Ò ß Ö Ú Ø Ø Ó Ò Ð Ò Ø Ö Ø Ó Ò × º Ì Ó Ò Ô Ø Ó Ó Ò Ò Ø Ó Ò Ó Ò × Ù Ô Ö Ò Ô Ð Ù Ò Ð × Ó ¬ ×  

Ø Ô Ý × Ð Ò Ó Ø Ó Ò Ó Ø Ó × Ó Ò Ô Ö Ø Ð × Ñ Ø Ò Ø Ò Ø Ö Ø Ó Ò ¸ Ò Ñ Ð Ý Ø Ù Ó × Ó Ò × ¸  

Ð Ø Ô Ó Ø Ó Ò ¸ Ø Ð Ù Ó Ò Ó Ö Ø Ö Ú Ø Ó Ò º Á Ò ¸ Ö Ú Ø Ý Ø × Ð × Ù Ø Ó Ö Ý Ð Ø Ó Ù Ó  

Ú Ö Ý × Ô Ð Ø Ý Ô º Ç Ò Ø Ó Ø Ö Ò Ø Ò Ó Ø Ó Ò Ó × × Ó Ø ¬ Ö ß Ù Ò Ð × × Ø Ô Ô Ö Ó Ô Ö Ø  

Ñ Ø Ñ Ø Ð Ö Ñ Û Ó Ö Ø Ó × Ö   Ñ Ø Ø Ö ¬ Ð ×   Ø Ø Ò Ø Ö Ø Ø Ö Ó Ù Ø Ü Ò Ó Ø   Ù  

Ó × Ó Ò ×  º 

Ð × Ó Ö Ó Ñ Ñ Ó Ö Ò Ö Ð Ú Û Ô Ó Ò Ø Ò Ò Ö Ð Ø Ó Ò Û Ø Ð Ð × Ó Ö Ø Ó Ô Ô Ð Ø Ó Ò × Ø Ò Ó Ø Ó Ò Ó  

¬ Ö ß Ù Ò Ð × × × Ó Ð Ù Ø Ð Ý Ù Ò Ñ Ò Ø Ð º × Û Ð Ö Ý Ñ Ô × Þ ¸ Ø Ô Ó Ò Ø × Ó Ñ Ò Ó Ð Ò  

Ò Ø ¬ Û Ø Ø Ô Ó × × Ð × Ø Ø × Ó Ó Ñ Ô Ð Ü × Ý × Ø Ñ × Ô ¬ Ý Ò   Ñ  ß Ø Ù Ô Ð Ø Ó Ô Ö Ñ Ø Ö ×  

Ü 

½ 

Ü  

Ñ 

º Ê Ð Ó Ö Ó Ñ Ô Ð Ü Ù Ò Ø Ó Ò × Ó × Ù Ô Ö Ñ Ø Ö × Ö Ø Ò Ø Ù Ö Ð Ó Ø × Ó Ò Ü Ô Ø ×  

Ø Ó Ð Û Ø Ò Ò Ý × Ò Ø ¬ Ø Ó Ö Ý Ø Ø Ü Ô Ð Ò × Ø Ô Ò Ó Ñ Ò Ó × Ö Ú Ò × Ù × Ý × Ø Ñ º  

Ø ¸ × Û Ð Ö Ý Ò Ø Ô Ø ¸ Ð Ù Ð Ù × Ó Ò Ñ Ò Ó Ð × Ø Ø Ö Ò Ó Ø Ø Ö Ú Ð × Ø - Ø   Ê 

Ñ 

Ò Ò Ó Ø  

Ó Ò ¬ Ò Ø Ó Ù Ò Ø Ó Ò × ¸ Û × Ø Ó Ó Ö × Ø Ö Ø Ú Ò Ó Ø Ó Ò º Ì Ô Ô Ö Ó Ô Ö Ø Ò Ö Ð Þ Ø Ó Ò Ó  

Ù Ò Ø Ó Ò × × Ô Ö Ó Ú Ý Ø   × Ø Ó Ò ×   Ó ¬ Ö ß Ù Ò Ð × º Ä Ó Ð Ð Ý ¸ Ò Ñ Ð Ý Ò Ó Ó Ö Ò Ø Ô Ø ¸  

Ù Ò Ø Ó Ò × Ò × Ø Ó Ò × Ö Ù × Ø Ø × Ñ Ø Ò º Ð Ó Ð Ð Ý ¸ Ó Û Ú Ö ¸ Ø Ö Ö × × Ò Ø Ð « Ö Ò × º  

× Ø Ó Ò × Ó Ø Ò Ý Ð Ù Ò Ø Ó Ø Ö Ñ Ò Ý Ð Ó Ð Ù Ò Ø Ó Ò × Ý Ñ Ò × Ó Ò Ó Ò Ø Ö Ú Ð Ø Ö Ò × Ø Ó Ò  

Ù Ò Ø Ó Ò × Ø Ø Ö - Ø Ø Ó Ñ Ø Ö × Ø Ö Ù Ø Ù Ö Ó Ø ¬ Ö ß Ù Ò Ð º  

Page 22: Fre P. Course in General Relativity (Free Version, Lecture Notes, Web Draft, 2003)(141s)_PGr

7/29/2019 Fre P. Course in General Relativity (Free Version, Lecture Notes, Web Draft, 2003)(141s)_PGr

http://slidepdf.com/reader/full/fre-p-course-in-general-relativity-free-version-lecture-notes-web-draft 22/141

Ö Ù Ò Ð ×   ¾ ½ 

Ì Ó Ò Ø Ö Ó Ù Ø Ñ Ø Ñ Ø Ð ¬ Ò Ø Ó Ò Ó ¬ Ö ß Ù Ò Ð Û Ò Ø Ó Ò Ø Ô Ø Ø ¬ Ò ¹  

Ø Ó Ò Ó Ä Ö Ó Ù Ô Û Û Ð Ð Ø Ø Ó Ô Ó × Ú Ö Ð Ð Ø Ö × Ø Ó Ò ×  

¬ Ò Ø Ó Ò ½ º º ½ º     Ä Ö Ó Ù Ô     ×  

 ̄  Ö Ó Ù Ô Ö Ó Ñ Ø Ð Ö Ô Ó Ò Ø Ó Ú Û ¸ Ò Ñ Ð Ý × Ø Û Ø Ò Ò Ø Ö Ò Ð Ó Ñ Ô Ó × Ø Ó Ò Ð Û ¸  

Ø Ô Ö Ó Ù Ø  

    

½ 

 

¾ 

¾    

½ 

¡   

¾ 

¾     ´ ½ º º ½ µ  

 ̄  × Ñ Ó Ó Ø Ñ Ò Ó Ð Ó ¬ Ò Ø Ñ Ò × Ó Ò Ñ       Ò   ½    Û Ó × Ø Ö Ò × Ø Ó Ò Ù Ò Ø Ó Ò Ö Ò Ó Ø  

Ó Ò Ð Ý Ò ¬ Ò Ø Ð Ý « Ö Ò Ø Ð Ù Ø Ð × Ó Ö Ð Ò Ð Ý Ø ¸ Ò Ñ Ð Ý Ø Ý Ñ Ø Ò Ü Ô Ò × Ó Ò Ò Ô Ó Û Ö  

× Ö × º  

 ̄ Á Ò Ø Ø Ó Ô Ó Ð Ó Ý ¬ Ò Ý Ø Ñ Ò Ó Ð × Ø Ö Ù Ø Ù Ö Ø Ø Û Ó Ð Ö Ó Ô Ö Ø Ó Ò × Ó Ø Ò Ø  

Ò Ú Ö × Ó Ò Ð Ñ Ò Ø Ò Ô Ö Ó Ö Ñ Ò Ø Ô Ö Ó Ù Ø Ó Ø Û Ó Ð Ñ Ò Ø × Ö Ö Ð Ò Ð Ý Ø ´ Ñ Ø  

Ô Ó Û Ö × Ö × Ü Ô Ò × Ó Ò µ º  

 

Ì Ð × Ø Ô Ó Ò Ø Ò Ø ¬ Ò Ø Ó Ò ´ ½ º º ½ µ × Ö Ú × Ñ Ó Ö Ü Ø Ò Ü Ô Ð Ò Ø Ó Ò º Ì Ó Ö Ó Ù Ô  

Ð Ñ Ò Ø Ø Ô Ö Ó Ù Ø Ó Ô Ö Ø Ó Ò × × Ó Ø × Ø Û Ó Ñ Ô × Ó Ø Ö Ó Ù Ô Ò Ø Ó Ø × Ð  

     ¾       Ä 

 

             

¼ 

    Ä 

 

´   

¼ 

µ       

¼ 

¡   

     ¾       Ê 

 

             

¼ 

    Ê 

 

´   

¼ 

µ        ¡   

¼ 

´ ½ º º ¾ µ  

Ö × Ô Ø Ú Ð Ý Ò Ñ Ø   Ð Ø Ø Ö Ò × Ð Ø Ó Ò   Ò Ø   Ö Ø Ø Ö Ò × Ð Ø Ó Ò   º Ó Ø Ñ Ô × Ö Ö Õ Ù Ö Ø Ó  

Ö Ð Ò Ð Ý Ø Ó Ö Ó Ó     ¾     º Ë Ñ Ð Ö Ð Ý Ø Ö Ó Ù Ô × Ø Ö Ù Ø Ù Ö Ò Ù × Ñ Ô  

´  ¡  µ 

  ½ 

                   

  ½ 

´ ½ º º ¿ µ  

Û × Ð × Ó Ö Õ Ù Ö Ø Ó Ö Ð Ò Ð Ý Ø º  

Ó Ñ Ò Ò Ó Û Ø Ó ¬ Ö ß Ù Ò Ð × Ð Ø Ù × Ò Ý Ö Ð Ð Ò Ø Ø Ô Ó Ð Ò Ô Ø Ó Ö Ð  

Ü Ñ Ô Ð Ó × Ù × Ô × × Ô Ö Ó Ú Ý Ø Ð Ö Ø Ô Ø Ù Ö Ý × Ö Ó Ò Ò Ø Ö Û Ð Ò Ó Ò  

Å Ó Ù × × Ø Ö Ô ´ × ¬ º ½ º ½ ¾ µ  

Ì × × Ø Ø Û Ó Ò × Ö Ô Ó Ø Ù Ò Ð Ø × Ò Ò Ó Ø × Ø Ò Ù × Ö Ó Ñ  

Ø Ö Ú Ð Ö Ø Ô Ö Ó Ù Ø Ó Ø Û Ó × Ô × ¸ Ò Ó Ô Ò × Ù × Ø Ó Ø × Ñ Ò Ó Ð Ò Ø ¬ Ö º Á Ò ¬ º ½ º ½ ¾  

Ø × Ñ Ò Ó Ð × Ø × Ø Ö Ô Ò Ø ¬ Ö × Ø Ø × Ô Ó Ò Ø Ò Ò Ð Ð Ô Ó × × Ð Ô Ó × Ø Ó Ò × Ó Ø  

Ò Ø º À Ó Û Ú Ö ¸ Ø Ö Ð Ú Ò Ø Ô Ó Ò Ø × Ø Ø ¸   Ð Ó Ð Ð Ý   ¸ Ø Ù Ò Ð   × Ò Ó Ø Ö Ø Ô Ö Ó Ù Ø Ó × Ô ×  º Á  

Ø Ò Ø × Ô Ð Ò × Ó Ñ Ó Ö Ò Ø Ø Ó Ò Ø Ö Ø Ò Ô Ó Ò Ø Ó Ò Ø × Ø Ö Ô ¸ Ø Ò Ö Ö Ó Ù Ò Ø × Ø Ö Ô  

× Û Ð Ð Ò × × Ö Ð Ý Ö Ú Ö × Ø Ø Ò Ó Ö Ø Ö Ô º  

À Ò Ø Ò Ó Ø Ó Ò Ó ¬ Ö ß Ù Ò Ð Ó Ö Ö × Ô Ó Ò × Ø Ó Ø Ø Ó « Ö Ò Ø Ð Ñ Ò Ó Ð   È  Û Ø  

Ñ Ò × Ó Ò Ñ   È    Ñ  ·  Ò  Ø Ø Ð Ó Ð Ð Ý   Ð Ó Ó × Ð   Ø Ö Ø Ô Ö Ó Ù Ø   Í  ¢     Ó Ò Ó Ô Ò Ñ Ò Ó Ð   Í 

Ó Ñ Ò × Ó Ò Ñ   Í    Ñ  Û Ø Ò Ó Ø Ö Ñ Ò Ó Ð     ´ Ø × Ø Ò Ö ¬ Ö µ Ó Ñ Ò × Ó Ò Ñ       Ò  º 

× × Ò Ø Ð Ò Ø ¬ Ò Ø Ó Ò × Ø Ü × Ø Ò Ó Ñ Ô  

    È      Å  ´ ½ º º µ  

Ò Ñ   Ø Ô Ö Ó Ø Ó Ò   Ö Ó Ñ Ø   Ø Ó Ø Ð Ñ Ò Ó Ð   È  Ó Ñ Ò × Ó Ò   Ñ  ·  Ò  Ø Ó Ñ Ò Ó Ð   Å  Ó Ñ Ò × Ó Ò  

Ñ  ¸ Ò Ñ Ø   × Ñ Ò Ó Ð  º Ë Ù Ñ Ô × Ö Õ Ù Ö Ø Ó Ó Ò Ø Ò Ù Ó Ù × º Ù Ø Ó Ø « Ö Ò  

Ò Ñ Ò × Ó Ò × Ø Ô Ö Ó Ø Ó Ò Ò Ò Ó Ø Ò Ú Ö Ø Ð º Á Ò Ø Ó Ú Ö Ý Ô Ó Ò Ø       Ô  ¾   Å  Ó Ø ×  

Ñ Ò Ó Ð Ø Ô Ö Ó Ø Ó Ò × × Ó Ø × × Ù Ñ Ò Ó Ð    

  ½ 

´   Ô  µ 

  È  Ó Ñ Ò × Ó Ò Ñ    

  ½ 

´   Ô  µ   Ò 

Ó Ñ Ô Ó × Ý Ø Ó × Ô Ó Ò Ø × Ó  Ü  ¾   È  Û Ó × Ô Ö Ó Ø Ó Ò Ó Ò   Å  × Ø Ó × Ò Ô Ó Ò Ø    Ô      ´  Ü  µ    Ô  º Ì  

Page 23: Fre P. Course in General Relativity (Free Version, Lecture Notes, Web Draft, 2003)(141s)_PGr

7/29/2019 Fre P. Course in General Relativity (Free Version, Lecture Notes, Web Draft, 2003)(141s)_PGr

http://slidepdf.com/reader/full/fre-p-course-in-general-relativity-free-version-lecture-notes-web-draft 23/141

Ö Ù Ò Ð ×   ¾ ¾ 

Ù Ö ½ º ½ ¾ º   × Ö ³ × Ò Ø Ö Û Ð Ò Ó Ò Å Ó Ù × × Ø Ö Ô × Ô Ó Ð Ü Ñ Ô Ð Ó ¬ Ö ß Ù Ò Ð  

× Ù Ñ Ò Ó Ð    

  ½ 

´   Ô  µ × Ò Ñ Ø    ¬ Ö Ó Ú Ö   Ô  Ò Ø × × Ø Ø ¬ Ö × Ó Ñ Ó Ñ Ó Ö Ô  

Ø Ó Ø   × Ø Ò Ö ¬ Ö     º Å Ó Ö Ô Ö × Ð Ý Ó Ö Ó Ô Ò × Ù × Ø   Í 

« 

  Å  Ó Ø × Ñ Ò Ó Ð Û  

Ñ Ù × Ø Ú Ø Ø Ø × Ù Ñ Ò Ó Ð  

 

  ½ 

´  Í 

« 

µ 

× Ó Ñ Ó Ñ Ó Ö Ô Ø Ó Ø Ö Ø Ô Ö Ó Ù Ø  

Í 

« 

¢    

Ì × × Ô Ö × Ñ Ò Ò Ó Ø × Ø Ø Ñ Ò Ø Ø Ø ¸ Ð Ó Ð Ð Ý ¸ Ø Ù Ò Ð Ð Ó Ó × Ð Ö Ø Ô Ö Ó Ù Ø ´ ×  

¬ º ½ º ½ ¿ µ º Ü Ô Ð Ø Ð Ý Û Ø Û Ö Õ Ù Ö × Ø Ó Ð Ð Ó Û Ò Ø Ö × Ó Ù Ð Ñ Ð Ý Ó Ô Ö × ´  Í 

« 

 

« 

µ 

Û Ö   Í 

« 

Ö Ó Ô Ò Ö Ø × Ó Ú Ö Ò Ø × Ñ Ò Ó Ð  

Ë  

« 

Í 

« 

  Å  Ò    

« 

Ö Ñ Ô ×  

 

« 

   

  ½ 

´  Í 

« 

µ     È      Í 

« 

ª      ´ ½ º º µ  

Ø Ø Ö Ö Õ Ù Ö Ø Ó Ó Ò ß Ø Ó ß Ó Ò ¸ Ó Ò Ø Ò Ù Ó Ù × ´ Ó Ò Ø Ò Ù Ó Ù × ¸ Ø Ó Ø Ö Û Ø Ø × Ò Ú Ö × µ Ò Ø Ó  

× Ø × Ý Ø Ô Ö Ó Ô Ö Ø Ý Ø Ø  

  Æ    

  ½ 

« 

´   Ô   µ    Ô  ´ ½ º º µ  

Page 24: Fre P. Course in General Relativity (Free Version, Lecture Notes, Web Draft, 2003)(141s)_PGr

7/29/2019 Fre P. Course in General Relativity (Free Version, Lecture Notes, Web Draft, 2003)(141s)_PGr

http://slidepdf.com/reader/full/fre-p-course-in-general-relativity-free-version-lecture-notes-web-draft 24/141

Ö Ù Ò Ð ×   ¾ ¿ 

Ñ Ð Ý Ø Ô Ö Ó Ø Ó Ò Ó Ø Ñ Ò   È  Ó × Ñ Ò Ó Ð Ô Ó Ò Ø    Ô  Ø Ñ ×   × Ó Ñ ¬ Ö Ô Ó Ò Ø     × 

 Ô  Ø × Ð º  

Ù Ö ½ º ½ ¿ º   ¬ Ö ß Ù Ò Ð × Ð Ó Ð Ð Ý Ø Ö Ú Ð  

Ô Ö ´  Í 

« 

 

« 

µ × Ò Ñ   Ð Ó Ð Ø Ö Ú Ð Þ Ø Ó Ò   º × Ó Ö Ø × Ó Ñ Ò Ó Ð × ¸ Ø Ò ¹  

Ø Ö × Ø Ò Õ Ù × Ø Ó Ò × Û Ø Ô Ô Ò × Ò Ø Ò Ø Ö × Ø Ó Ò Ó Ø Û Ó « Ö Ò Ø Ð Ó Ð Ø Ö Ú Ð Þ Ø Ó Ò × º Á Ò ¹  

  Í 

« 

Ì  

Í 

¬ 

     ¸ Ø Ò Û Ð × Ó Ú    

  ½ 

´  Í 

« 

µ 

Ì  

 

  ½ 

´  Í 

¬ 

µ       º À Ò Ô Ó Ò Ø   Ü  ¾  

 

  ½ 

´  Í 

« 

Ì  

Í 

¬ 

µ × Ñ Ô Ô Ý    

« 

Ò    

¬ 

Ò Ø Û Ó « Ö Ò Ø Ô Ö × ´   Ô  

« 

µ  ¾   Í 

« 

ª      Ò ´   Ô  

¬ 

µ  ¾  

Í 

« 

ª      Û Ø Ø Ô Ö Ó Ô Ö Ø Ý ¸ Ó Û Ú Ö ¸ Ø Ø Ø ¬ Ö × Ø Ò Ø Ö Ý    Ô  × Ø × Ñ Ò Ó Ø Ô Ö × º Ì × Ó Ð Ð Ó Û ×  

Ö Ó Ñ Ô Ö Ó Ô Ö Ø Ý ´ ½ º º µ º Á Ø Ó Ð Ð Ó Û × Ø Ø Ø Ö Ñ Ù × Ø Ü × Ø Ñ Ô  

Ø 

« ¬ 

     

  ½ 

¬ 

Æ    

« 

 

 

Í 

« 

  

Í 

¬ 

 

ª         

 

Í 

« 

  

Í 

¬ 

 

ª      ´ ½ º º µ  

Ò Ñ   Ø Ö Ò × Ø Ó Ò Ù Ò Ø Ó Ò   Û Ø × Ü Ð Ù × Ú Ð Ý Ó Ò Ø ¬ Ö Ô Ó Ò Ø × Ò Ø × Ò × Ø Ø  

    Ô  ¾   Í 

« 

  

Í 

¬ 

       ¾   Ø 

« ¬ 

´   Ô   µ ´   Ô Ø 

« ¬ 

´   Ô  µ    µ µ ´ ½ º º µ  

Û Ö Ó Ö Ó Ó Ø Ô Ó Ò Ø    Ô 

¾  Í 

« 

Ì  

Í 

¬ 

¸ 

Ø 

« ¬ 

´   Ô  µ    

     ´ ½ º º µ  

× Ó Ò Ø Ò Ù Ó Ù × Ò Ò Ú Ö Ø Ð Ñ Ô Ó Ø × Ø Ò Ö ¬ Ö     Ò Ø Ó Ø × Ð ´ × ¬ º º ½ µ  

Ì Ð × Ø Ø Ó Ò Ó Ö Ñ Ø Ó Ò Ó Ò Ø Ò Ò Ø Ò Ó Ø Ó Ò Ó ¬ Ö ß Ù Ò Ð × Ö Ð Ø Û Ø Ø   × Ø Ö Ù ¹  

Ø Ù Ö Ð Ö Ó Ù Ô   º Ì × × Ø Ó Ó Û Ø Ò × Û Ö Ò Ø Ó Ð Ð Ó Û Ò Õ Ù × Ø Ó Ò Û Ö Ö Ø Ø Ö Ò × Ø Ó Ò  

Page 25: Fre P. Course in General Relativity (Free Version, Lecture Notes, Web Draft, 2003)(141s)_PGr

7/29/2019 Fre P. Course in General Relativity (Free Version, Lecture Notes, Web Draft, 2003)(141s)_PGr

http://slidepdf.com/reader/full/fre-p-course-in-general-relativity-free-version-lecture-notes-web-draft 25/141

Ö Ù Ò Ð ×   ¾  

Ù Ö ½ º ½ º   Ì Ö Ò × Ø Ó Ò Ù Ò Ø Ó Ò Ø Û Ò Ø Û Ó Ð Ó Ð Ø Ö Ú Ð Þ Ø Ó Ò × Ó ¬ Ö ß Ù Ò Ð  

Ù Ò Ø Ó Ò × Ó × Ò Ö Ó Ñ Á Ò Ø × Ø Ó Ð Ð Ô Ó × × Ð Ó Ò Ø Ò Ù Ó Ù × Ò Ú Ö Ø Ð Ñ Ô × Ó Ø × Ø Ò ¹  

Ö ¬ Ö     Ò Ø Ó Ø × Ð Ó Ò × Ø Ø Ù Ø Ö Ó Ù Ô ¸ × Ó Ø Ø Ø × Ò Ó Ö × Ø Ö Ø Ó Ò Ø Ó × Ý Ø Ø Ø Ø Ö Ò × Ø Ó Ò  

Ù Ò Ø Ó Ò ×   Ø 

« ¬ 

´   Ô  µ Ö Ö Ó Ù Ô Ð Ñ Ò Ø × º Ø Ø Ö Ó Ù Ô Ó Ð Ð Ó Ñ Ó Ñ Ó Ö Ô × Ñ ×   À Ó Ñ  ´    µ × Ú Ö Ý  

Ú Ö Ý Ð Ö Ò Ø Ñ × × Ò × Ø Ó Ò Ð Ù Ò Ø Ó Ø ¬ Ò Ø Ó Ò Ó ¬ Ö Ù Ò Ð Ø Ö Õ Ù × Ø Ø Ø Ø  

Ø Ö Ò × Ø Ó Ò Ù Ò Ø Ó Ò × × Ó Ù Ð Ó × Ò Û Ø Ò × Ñ Ð Ð Ö Ù Ò Ø Ò Ö Ó Ù Ò ¸ Ò Ñ Ð Ý Ò × × Ó Ñ ¬ Ò Ø  

Ñ Ò × Ó Ò Ð Ä Ö Ó Ù Ô     Ø Ø × Û Ð Ð ¬ Ò Ø Ó Ò Ó Ò Ø × Ø Ò Ö ¬ Ö     º 

Ì Ó Ú × Ù × × Ó Ò Ò × Ù Ñ Ñ Ö Þ Ò Ø Ó Ø Ó Ð Ð Ó Û Ò Ø Ò Ð ¬ Ò Ø Ó Ò Ó ¬ Ö  

Ù Ò Ð × º  

¬ Ò Ø Ó Ò ½ º º ¾ º     ¬ Ö Ù Ò Ð ´  È Å   µ × Ó Ñ Ø Ö Ð × Ø Ö Ù Ø Ù Ö Ø Ø Ó Ò × × Ø × Ó Ø  

Ó Ð Ð Ó Û Ò Ð × Ø Ó Ð Ñ Ò Ø ×  

´ µ « Ö Ò Ø Ð Ñ Ò Ó Ð   È  Ò Ñ Ø   Ø Ó Ø Ð × Ô  º 

´ µ « Ö Ò Ø Ð Ñ Ò Ó Ð   Å  Ò Ñ Ø   × × Ô  º 

´ µ « Ö Ò Ø Ð Ñ Ò Ó Ð     Ò Ñ Ø   × Ø Ò Ö ¬ Ö  º 

´ Ú µ Ä Ö Ó Ù Ô     ¸ Ò Ñ Ø   × Ø Ö Ù Ø Ù Ö Ö Ó Ù Ô   ¸ Û Ø × × Ø Ö Ò × Ó Ö Ñ Ø Ó Ò Ö Ó Ù Ô Ó Ò  

Ø × Ø Ò Ö ¬ Ö  

     ¾                                   ¾     ¾        ´ ½ º º ¼ µ  

´ Ú µ × Ù Ö Ø Ó Ò Ñ Ô       È      Å  ¸ Ò Ñ Ø   Ô Ö Ó Ø Ó Ò   º Á   Ò  Ñ   Å  ¸  Ñ  Ñ     ¸ 

Ø Ò Û Ú Ñ   È    Ò  ·  Ñ  Ò       Ô  ¾   Å  ¸   

Ô 

   

  ½ 

´   Ô  µ × Ò   Ñ  ¹ Ñ Ò × Ó Ò Ð Ñ Ò Ó Ð  

« Ó Ñ Ó Ö Ô Ø Ó Ø × Ø Ò Ö ¬ Ö     º Ì Ñ Ò Ó Ð    

Ô 

× Ò Ñ Ø   ¬ Ö Ø Ø Ô Ó Ò Ø    Ô  º 

´ Ú µ Ó Ú Ö Ò Ó Ø × × Ô     

´  «  ¾    µ 

Í 

« 

  Å  ¸ Ö Ð Þ Ý Ó Ð Ð Ø Ó Ò      Í 

« 

   Ó Ó Ô Ò  

× Ù × Ø × ´     «  ¾   Í 

« 

   Å  µ ¸ Õ Ù Ô Ô Û Ø Ó Ñ Ó Ñ Ó Ö Ô × Ñ  

 

  ½ 

« 

  Í 

« 

¢          

  ½ 

´  Í 

« 

µ ´ ½ º º ½ µ  

Page 26: Fre P. Course in General Relativity (Free Version, Lecture Notes, Web Draft, 2003)(141s)_PGr

7/29/2019 Fre P. Course in General Relativity (Free Version, Lecture Notes, Web Draft, 2003)(141s)_PGr

http://slidepdf.com/reader/full/fre-p-course-in-general-relativity-free-version-lecture-notes-web-draft 26/141

Ö Ù Ò Ð ×   ¾  

× Ù Ø Ø  

    Ô  ¾   Í 

« 

       ¾         ¡   

  ½ 

« 

´   Ô   µ    Ô  ´ ½ º º ¾ µ  

Ì Ñ Ô    

  ½ 

« 

× Ò Ñ   Ð Ó Ð Ø Ö Ú Ð Þ Ø Ó Ò   Ó Ø Ù Ò Ð ¸ × Ò Ø × Ò Ú Ö ×    

« 

Ñ Ô × Ø  

Ó Ô Ò × Ù × Ø    

  ½ 

´  Í 

« 

µ     È  Ó Ø Ø Ó Ø Ð × Ô Ò Ø Ó Ø Ö Ø Ô Ö Ó Ù Ø   Í 

« 

¢     º 

´ Ú µ Á Û Û Ö Ø    

  ½ 

« 

´   Ô   µ    

  ½ 

« Ô 

´    µ ¸ Ø Ñ Ô    

  ½ 

« Ô 

         

Ô 

× Ø Ó Ñ Ó Ñ Ó Ö Ô × Ñ  

Ö Õ Ù Ö Ý Ô Ó Ò Ø Ú µ Ó Ø Ô Ö × Ò Ø ¬ Ò Ø Ó Ò º Ó Ö Ð Ð Ô Ó Ò Ø ×    Ô  ¾   Í 

« 

   Í 

¬ 

Ò Ø Ò Ø Ö × Ø Ó Ò Ó  

Ø Û Ó « Ö Ò Ø Ð Ó Ð Ø Ö Ú Ð Þ Ø Ó Ò Ó Ñ Ò × ¸ Ø Ó Ñ Ô Ó × Ø Ñ Ô   Ø 

« ¬ 

´   Ô  µ    

« Ô 

¡   

  ½ 

¬ Ô 

       

× Ò Ð Ñ Ò Ø Ó Ø × Ø Ö Ù Ø Ù Ö Ö Ó Ù Ô   Ø 

« ¬ 

¾     ¸ Ò Ñ Ø   Ø Ö Ò × Ø Ó Ò Ù Ò Ø Ó Ò   º Ù Ö Ø Ö Ñ Ó Ö  

Ø Ø Ö Ò × Ø Ó Ò Ù Ò Ø Ó Ò Ö Ð Þ × × Ñ Ó Ó Ø Ñ Ô   Ø 

« ¬ 

  Í 

« 

   Í 

¬ 

      º Ï Ú  

 

  ½ 

¬ 

´   Ô   µ    

  ½ 

« 

´   Ô Ø 

« ¬ 

´   Ô  µ    µ ´ ½ º º ¿ µ  

 

Â Ù × Ø × Ñ Ò Ó Ð × Ò Ó Ò × Ø Ö Ù Ø Ý Ð Ù Ò Ø Ó Ø Ö Ó Ô Ò Ö Ø × ¸ ¬ Ö ß Ù Ò Ð × Ò Ó ¹  

Ø Ò Ý Ð Ù Ò Ø Ó Ø Ö Ð Ó Ð Ø Ö Ú Ð Þ Ø Ó Ò × º Ü Ô Ð Ø Ð Ý Ó Ò Ô Ö Ó × × Ó Ð Ð Ó Û × º  

´ µ Ö × Ø Ó Ó × × Ñ Ò Ó Ð   Å  ¸ Ø Ý Ô Ð ¬ Ö     Ò × Ø Ö Ù Ø Ù Ö Ð Ä Ö Ó Ù Ô     Û Ó × Ø Ó Ò  

Ó Ò    Ñ Ù × Ø Û Ð Ð ß ¬ Ò º  

´ µ Ì Ò Ó Ó × Ò Ø Ð × Ó Ó Ô Ò Ò Ó Ö Ó Ó ×   Í 

« 

   Å  Ó Ú Ö Ò Ø × Ñ Ò Ó Ð   Å 

´ µ Ü Ø Ø Ó Ò Ó Ò ß Ú Ò × Ò Ò Ø Ö × Ø Ó Ò   Í 

« 

Ì  

Í 

¬ 

     × × Ò Ø Ö Ò × Ø Ó Ò Ù Ò Ø Ó Ò ¸ Ò Ñ Ð Ý  

× Ñ Ó Ó Ø Ñ Ô  

 

« ¬ 

  Í 

« 

  

Í 

¬ 

      ´ ½ º º µ  

Ö Ó Ñ Ø Ó Ô Ò × Ù × Ø   Í 

« 

Ì  

Í 

¬ 

   Å  Ó Ø × Ñ Ò Ó Ð Ø Ó Ø × Ø Ö Ù Ø Ù Ö Ð Ä Ö Ó Ù Ô º Ó Ö  

Ó Ò × × Ø Ò Ý Ø Ø Ö Ò × Ø Ó Ò Ù Ò Ø Ó Ò × Ñ Ù × Ø × Ø × Ý Ø Ø Û Ó Ó Ò Ø Ó Ò ×  

   Í 

« 

Ì  

Í 

¬ 

        

¬ « 

   

  ½ 

« ¬ 

   Í 

« 

Ì  

Í 

¬ 

Ì  

Í 

        

« ¬ 

¡   

¬ - 

¡   

- « 

  ½ 

 

´ ½ º º µ  

Ï Ò Ú Ö × Ø Ó Ð Ó Ð Ø Ö Ú Ð Þ Ø Ó Ò × Û Ø Ó Ò × × Ø Ò Ø Ø Ö Ò × Ø Ó Ò Ù Ò Ø Ó Ò × × Ø × Ý Ò Õ º ´ ½ º º µ  

× Ò Ú Ò ¬ Ö ß Ù Ò Ð × ¬ Ò º « Ö Ò Ø Ò Ñ Ù Ñ Ó Ö Æ Ù Ð Ø Õ Ù × Ø Ó Ò Ø Ó Ò × Û Ö  

× Ø Ó Û Ø Ö Ø Û Ó × Ø × Ó Ð Ó Ð Ø Ö Ú Ð Þ Ø Ó Ò × ¬ Ò Ø × Ñ ¬ Ö ß Ù Ò Ð Ó Ö Ò Ó Ø º Ï  

Ó Ò Ó Ø Ö × × × Ù Ô Ö Ó Ð Ñ Û Ó × Ô Ö Ó Ô Ö Ø Ö Ø Ñ Ò Ø × Ý Ó Ò Ø × Ó Ô Ó Ø × Ó Ù Ö × º Ï  

  Ù × Ø Ô Ó Ò Ø Ó Ù Ø Ø Ø Ø Ð × × ¬ Ø Ó Ò Ó Ò Õ Ù Ú Ð Ò Ø ¬ Ö ß Ù Ò Ð × Ó Ò Ò Ó Ò × Ø Ö Ù Ø Ó Ò Ú Ò 

× Ñ Ò Ó Ð   Å  × Ô Ö Ó Ð Ñ Ó Ð Ó Ð Ó Ñ Ø Ö Ý Û Ò Ö × × Û Ø Ø Ø Ò Õ Ù × Ó  

Ð Ö Ø Ó Ô Ó Ð Ó Ý Ò Ð Ö Ó Ñ Ø Ö Ý º  

Ì Ý Ô Ð Ð Ý Ò Õ Ù Ú Ð Ò Ø Ù Ò Ð × Ö Ö Ø Ö Þ Ý Ø Ó Ô Ó Ð Ó Ð Ò Ú Ö Ò Ø × Ø Ø Ö Ú Ø  

Ò Ñ Ó   Ö Ø Ö × Ø Ð × × ×   º 

Á Ò Ô Ý × Ð Ð Ò Ù Ø Ø Ö Ò × Ø Ó Ò Ù Ò Ø Ó Ò × ´ ½ º º µ Ö Ó Ñ Ó Ò Ð Ó Ð Ø Ö Ú Ð Þ Ø Ó Ò Ø Ó Ò Ó Ø Ö  

Ó Ò Ö Ø   Ù Ø Ö Ò × Ó Ö Ñ Ø Ó Ò ×  ¸ Ò Ñ Ð Ý Ö Ó Ù Ô Ø Ö Ò × Ó Ö Ñ Ø Ó Ò × Ô Ò Ò Ó Ò Ø Ô Ó × Ø Ó Ò Ò  

× Ô ß Ø Ñ ´   º º   Ø Ô Ó Ò Ø Ó Ò Ø × Ñ Ò Ó Ð µ º  

¬ Ò Ø Ó Ò ½ º º ¿ º     Ô Ö Ò Ô Ð Ù Ò Ð   È  ´  Å   µ × ¬ Ö ß Ù Ò Ð Û Ö Ø × Ø Ò Ö ¬ Ö  

Ó Ò × Û Ø Ø × Ø Ö Ù Ø Ù Ö Ð Ä Ö Ó Ù Ô         Ò Ø Ø Ó Ò Ó     Ó Ò Ø ¬ Ö × Ø Ð Ø ´ Ó Ö  

Ö Ø µ Ñ Ù Ð Ø Ô Ð Ø Ó Ò ´ × Õ º ´ ½ º º ¾ µ µ  

     ¾     µ    Ä 

 

          ´ ½ º º µ  

 

Page 27: Fre P. Course in General Relativity (Free Version, Lecture Notes, Web Draft, 2003)(141s)_PGr

7/29/2019 Fre P. Course in General Relativity (Free Version, Lecture Notes, Web Draft, 2003)(141s)_PGr

http://slidepdf.com/reader/full/fre-p-course-in-general-relativity-free-version-lecture-notes-web-draft 27/141

Ö Ù Ò Ð ×   ¾  

Ì Ò Ñ Ô Ö Ò Ô Ð × Ú Ò Ø Ó Ø ¬ Ö ß Ù Ò Ð Ò ¬ Ò Ø Ó Ò ½ º º ¿ × Ò Ø ×    Ø Ö  Ù Ò Ð  

Û ¸ Ó Ò Ú Ò ¸ Ò Ö Ø × Ò Ò ¬ Ò Ø Ý Ó   × × Ó Ø Ú Ø Ó Ö Ù Ò Ð ×  ¸ Ó Ò Ó Ö Ð Ò Ö Ö Ô Ö × Ò ¹  

Ø Ø Ó Ò Ó Ø Ä Ö Ó Ù Ô     º 

Ä Ø Ù × Ö Ð Ð Ø Ò Ó Ø Ó Ò Ó Ð Ò Ö Ö Ô Ö × Ò Ø Ø Ó Ò × Ó Ä Ö Ó Ù Ô º  

¬ Ò Ø Ó Ò ½ º º º     Ä Ø  Π Ú Ø Ó Ö × Ô Ó ¬ Ò Ø Ñ Ò × Ó Ò Ñ   Π   Ñ  Ò Ð Ø À Ó Ñ ´  Î Π µ 

Ø Ö Ó Ù Ô Ó Ð Ð Ð Ò Ö Ó Ñ Ó Ñ Ó Ö Ô × Ñ × Ó Ø Ú Ø Ó Ö × Ô Ò Ø Ó Ø × Ð  

  ¾   À Ó Ñ ´  Î Π µ      Π     Π

   « ¬  ¾   Ê     Ú 

½ 

Ú 

¾ 

¾   Π     ´  « Ú 

½ 

·  ¬ Ú 

¾ 

µ   «   ´  Ú 

½ 

µ ·  ¬   ´  Ú 

¾ 

µ 

´ ½ º º µ  

Ð Ò Ö Ö Ô Ö × Ò Ø Ø Ó Ò Ó Ø Ä Ö Ó Ù Ô     Ó Ñ Ò × Ó Ò   Ò  ×   Ö Ó Ù Ô Ó Ñ Ó Ñ Ó Ö Ô × Ñ    

 

 

 

 

 

 

 

     ¾           ´    µ  ¾   À Ó Ñ ´  Î  µ 

    

½ 

 

¾ 

¾     ´   

½ 

¡   

¾ 

µ     ´   

½ 

µ  ¡    ´   

¾ 

µ 

  ´    µ   ½ 

     ¾     ´   

  ½ 

µ     ´    µ ℄ 

  ½ 

´ ½ º º µ  

 

Ï Ò Ú Ö Û Ó Ó × × ×    

½ 

   

¾ 

  

Ò 

Ó Ø Ú Ø Ó Ö × Ô   Π Ú Ö Ý Ð Ñ Ò Ø     ¾   À Ó Ñ ´  Î Π µ 

× Ö Ô Ö × Ò Ø Ý Ñ Ø Ö Ü    

 

 

¬ Ò Ý  

  ´   

 

µ    

 

 

 

 

´ ½ º º µ  

Ì Ö Ó Ö Ð Ò Ö Ö Ô Ö × Ò Ø Ø Ó Ò Ó Ä Ö Ó Ù Ô × × Ó Ø × Ø Ó × Ø Ö Ø Ö Ó Ù Ô Ð Ñ Ò Ø     Ò 

Ò  ¢   Ò  Ñ Ø Ö Ü     ´    µ 

 

 

º × Ø × Ó Ù Ð Ò Ó Û Ò Ø Ó Ø × Ø Ù Ò Ø ¸ Ð Ò Ö Ö Ô Ö × Ò Ø Ø Ó Ò × Ö × Ø Ó  

Ö Ö Ù Ð   Ø Ú Ø Ó Ö × Ô   Π Ñ Ø ×   Ò Ó  Ò Ó Ò ß Ø Ö Ú Ð Ú Ø Ó Ö × Ù × Ô   Ï     Π Ø Ø ×   Ò Ú Ö Ò Ø  

Û Ø Ö × Ô Ø Ø Ó Ø Ø Ó Ò Ó Ø Ö Ó Ù Ô        ¾     ´    µ  Ï     Ï  º Ó Ö × Ñ Ô Ð Ä Ö Ó Ù Ô × Ö Ù Ð  

Ö Ô Ö × Ò Ø Ø Ó Ò × Ò Ð Û Ý × Ó Ñ Ô Ó × Ò Ø Ó Ö Ø × Ù Ñ Ó Ö Ö Ù Ð Ö Ô Ö × Ò Ø Ø Ó Ò × ¸ Ò Ñ Ð Ý  

Π   Π

½ 

 ̈   Π

¾ 

 ̈      ̈   Π

Ö 

´ Û Ø   Π

 

Ö Ö Ù Ð µ Ò Ö Ö Ù Ð Ö Ô Ö × Ò Ø Ø Ó Ò × Ö Ó Ñ Ô Ð Ø Ð Ý ¬ Ò  

Ý Ø × Ø Ö Ù Ø Ù Ö Ó Ø Ö Ó Ù Ô º Ì × Ò Ó Ø Ó Ò × Ø Ø Û Ú Ö Ð Ð Ö Ó Ñ Ö Ó Ù Ô Ø Ó Ö Ý Ñ Ó Ø Ú Ø  

Ø ¬ Ò Ø Ó Ò  

¬ Ò Ø Ó Ò ½ º º º     Ò  × × Ó Ø Ú Ø Ó Ö Ù Ò Ð   × ¬ Ö ß Ù Ò Ð Û Ö Ø × Ø Ò Ö ¬ Ö  

    Π × Ú Ø Ó Ö × Ô Ò Ø Ø Ó Ò Ó Ø × Ø Ö Ù Ø Ù Ö Ð Ö Ó Ù Ô Ó Ò Ø × Ø Ò Ö ¬ Ö × Ð Ò Ö  

Ö Ô Ö × Ò Ø Ø Ó Ò Ó     Ó Ò  Π º   

Ì Ö × Ó Ò Û Ý Ø Ù Ò Ð × Ò ¬ Ò Ø Ó Ò ½ º º Ö Ò Ñ × × Ó Ø × Ð Ñ Ó × Ø Ó Ú Ó Ù × º Ú Ò  

Ô Ö Ò Ô Ð Ù Ò Ð Ò Ð Ò Ö Ö Ô Ö × Ò Ø Ø Ó Ò Ó     Û Ò Ñ Ñ Ø Ð Ý Ó Ò × Ø Ö Ù Ø Ó Ö Ö × Ô Ó Ò Ò  

Ú Ø Ó Ö Ù Ò Ð º Á Ø × Ù Æ × Ø Ó Ù × × Ø Ö Ò × Ø Ó Ò Ù Ò Ø Ó Ò × Ø Ð Ò Ö Ö Ô Ö × Ò Ø Ø Ó Ò Ó Ø Ø Ö Ò × Ø Ó Ò  

Ù Ò Ø Ó Ò × Ó Ø Ô Ö Ò Ô Ð Ù Ò Ð  

 

´  Π µ 

« ¬ 

     

 

 

´    µ 

« ¬ 

 

¾   À Ó Ñ ´  Î Π µ ´ ½ º º ¼ µ  

Ó Ö Ò Ý Ú Ø Ó Ö Ù Ò Ð Ø Ñ Ò × Ó Ò Ó Ø × Ø Ò Ö ¬ Ö × Ò Ñ Ø   Ö Ò   Ó Ø Ù Ò Ð º  

Ï Ò Ø × ß Ñ Ò Ó Ð Ó ¬ Ö ß Ù Ò Ð × Ó Ñ Ô Ð Ü Ò Ø Ø Ö Ò × Ø Ó Ò Ù Ò Ø Ó Ò × Ö Ó Ð Ó ¹  

Ñ Ó Ö Ô Ñ Ô × Û × Ý Ø Ø Ø Ù Ò Ð ×   Ó Ð Ó Ñ Ó Ö Ô  º 

Ú Ö Ý Ñ Ô Ó Ö Ø Ò Ø Ò × Ñ Ô Ð Ð × × Ó Ó Ð Ó Ñ Ó Ö Ô Ù Ò Ð × Ö Ø   Ð Ò Ù Ò Ð ×  º Ý ¬ Ò Ø Ó Ò  

Ø × Ö Ô Ö Ò Ô Ð Ù Ò Ð × Ó Ò Ó Ñ Ô Ð Ü × Ñ Ò Ó Ð  

Å    Û Ø × Ø Ö Ù Ø Ù Ö Ð Ö Ó Ù Ô    

 

    

Ò  ¼ ¸ 

Ò Ñ Ð Ý Ø Ñ Ù Ð Ø Ô Ð Ø Ú Ö Ó Ù Ô Ó Ò Ó Ò ß Þ Ö Ó Ó Ñ Ô Ð Ü Ò Ù Ñ Ö × º  

Page 28: Fre P. Course in General Relativity (Free Version, Lecture Notes, Web Draft, 2003)(141s)_PGr

7/29/2019 Fre P. Course in General Relativity (Free Version, Lecture Notes, Web Draft, 2003)(141s)_PGr

http://slidepdf.com/reader/full/fre-p-course-in-general-relativity-free-version-lecture-notes-web-draft 28/141

Ì Ò Ò Ø Ò Ó Ø Ò Ò Ø Ù Ò Ð ×   ¾  

Ù Ö ½ º ½ º   Ì Ò Ø Ö × Ø Ó Ò Ó Ø Û Ó Ð Ó Ð Ø Ö Ú Ð Þ Ø Ó Ò × Ó Ð Ò Ù Ò Ð  

Ä Ø  Þ 

« 

´   Ô  µ  ¾    

 

Ò Ð Ñ Ò Ø Ó Ø × Ø Ò Ö ¬ Ö Ó Ú Ø Ô Ó Ò Ø    Ô  ¾   Í 

« 

Ì  

Í 

¬ 

  

Å     Ò Ø Ð Ó Ð Ø Ö Ú Ð Þ Ø Ó Ò   «  Ò Ð Ø   Þ 

¬ 

´   Ô  µ  ¾    

 

Ø Ó Ö Ö × Ô Ó Ò Ò ¬ Ö Ô Ó Ò Ø Ò Ø Ð Ó Ð  

Ø Ö Ú Ð Þ Ø Ó Ò   ¬  º Ì Ø Ö Ò × Ø Ó Ò Ù Ò Ø Ó Ò Ø Û Ò Ø Ø Û Ó Ø Ö Ú Ð Þ Ø Ó Ò × Ü Ô Ö × × Ý  

Þ 

« 

´   Ô  µ    

« ¬ 

´   Ô  µ 

  ß Þ  

 

 

¿   ¹ 

¡  Þ 

¬ 

´   Ô  µ 

µ     

« ¬ 

´   Ô  µ  

Þ 

« 

´   Ô  µ 

Þ 

¬ 

´   Ô  µ 

  ¼ ´ ½ º º ½ µ  

½ º Ì Ò Ò Ø Ò Ó Ø Ò Ò Ø Ù Ò Ð ×  

Ä Ø  Å     « Ö Ò Ø Ð Ñ Ò Ó Ð Ó Ñ Ò × Ó Ò Ñ   Å       Ñ  Ò × Ø Ó Ò ½ º ¿ Û Ú × Ò Ó Û  

Ø Ó Ó Ò × Ø Ö Ù Ø Ø Ø Ò Ò Ø × Ô ×   Ì 

Ô 

Å     × × Ó Ø Û Ø Ô Ó Ò Ø    Ô  ¾ Å     Ó Ø Ñ Ò Ó Ð º Ï  

Ú Ð × Ó × Ò Ø Ø   Ì 

Ô 

Å     × Ö Ð Ú Ø Ó Ö × Ô × Ó Ñ Ó Ö Ô Ø Ó   Ê 

Ñ 

º Ó Ò × Ö Ò Ø ¬ Ò Ø Ó Ò  

Ó ¬ Ö ß Ù Ò Ð × × Ù × × Ò Ø Ô Ö Ú Ó Ù × × Ø Ó Ò Û Ò Ó Û Ö Ð Þ Ø Ø Û Ø Û Ø Ù Ð Ð Ý Ò  

× Ø Ó Ò ½ º ¿ Û × Ø Ó Ó Ò × Ø Ö Ù Ø Ú Ø Ó Ö ß Ù Ò Ð ¸ Ø   Ø Ò Ò Ø Ù Ò Ð   Ì  Å     ´ × ¬ º ½ º ½ µ º  

Á Ò Ø Ø Ò Ò Ø Ù Ò Ð   Ì 

Å    Ø   × Ñ Ò Ó Ð   × Ø « Ö Ò Ø Ð Ñ Ò Ó Ð  

Å    ¸ Ø   × Ø Ò Ö  

 ¬ Ö   ×      Ê 

Ñ 

Ò Ø × Ø Ö Ù Ø Ù Ö Ð Ö Ó Ù Ô ×   Ä  ´  Ñ   Ê  µ Ò Ñ Ð Ý Ø Ö Ó Ù Ô Ó Ö Ð  Ñ  ¢   Ñ  Ñ Ø Ö × º  

Ì Ñ Ò Ô Ó Ò Ø × Ø Ø Ø Ø Ö Ò × Ø Ó Ò Ù Ò Ø Ó Ò × Ö Ò Ó Ø Ò Û Ð Ý Ò Ø Ö Ó Ù Ø Ó Ó Ò × Ø Ö Ù Ø Ø Ù Ò Ð  

Ö Ø Ö Ø Ý Ö Ó Ñ Ô Ð Ø Ð Ý Ø Ö Ñ Ò Ö Ó Ñ Ø Ø Ö Ò × Ø Ó Ò Ù Ò Ø Ó Ò × Ö Ð Ø Ò Ó Ô Ò Ö Ø × Ó Ø  

× Ñ Ò Ó Ð º Á Ò Ó Ø Ö Û Ó Ö × ¸ Û Ò Ú Ö Û ¬ Ò Ñ Ò Ó Ð   Å     ¸ × × Ó Ø Û Ø Ø Ø Ö ×  

Ù Ò Õ Ù Ú Ø Ó Ö Ù Ò Ð   Ì 

Å Å    Û Ò Ó × Ñ Ò Ý Ò Ø Ö Ò × Ô Ö Ó Ô Ö Ø × Ó  

Å    º Ä Ø Ù × × Ó Û º  

Ó Ò × Ö Ø Û Ó Ò Ø Ö × Ø Ò Ð Ó Ð Ö Ø × ´  Í 

« 

 

« 

µ Ò ´  Í 

¬ 

 

¬ 

µ Ó Ó Ù Ö Ñ Ò Ó Ð º Ø Ò Ò Ø  

Ú Ø Ó Ö ¸ Ò Ô Ó Ò Ø    Ô  ¾ Å     Û × Û Ö Ø Ø Ò ×  

 

Ø 

Ô 

   

 

´   Ô  µ 

 

 

Ü 

 

 

Ô 

´ ½ º º ¾ µ  

Page 29: Fre P. Course in General Relativity (Free Version, Lecture Notes, Web Draft, 2003)(141s)_PGr

7/29/2019 Fre P. Course in General Relativity (Free Version, Lecture Notes, Web Draft, 2003)(141s)_PGr

http://slidepdf.com/reader/full/fre-p-course-in-general-relativity-free-version-lecture-notes-web-draft 29/141

Ì Ò Ò Ø Ò Ó Ø Ò Ò Ø Ù Ò Ð ×   ¾  

Ù Ö ½ º ½ º   Ì Ø Ò Ò Ø Ù Ò Ð × Ó Ø Ò Ý Ð Ù Ò Ø Ó Ø Ö Ð Ð Ø Ø Ò Ò Ø × Ô ×  

Ó Û Û Ò Ó Ò × Ö Ó Ó × Ò × Ñ Ó Ó Ø Ð Ý Ø Ò Ò Ø Ú Ø Ó Ö Ó Ö Ô Ó Ò Ø    Ô  ¾ Å     ¸ Ò Ñ Ð Ý Ò Ø Ö Ó ¹  

Ù Ò Ñ Ô  

 Ô  ¾ Å    

 

Ø 

Ô 

¾   Ì 

Ô 

Å     ´ ½ º º ¿ µ  

Ù Ö ½ º ½ º   Ì Û Ó Ð Ó Ð Ö Ø × Ó Ø × Ñ Ò Ó Ð   Å  Ý Ð Ø Û Ó Ð Ó Ð Ø Ö Ú Ð Þ Ø Ó Ò × Ó Ø Ø Ò Ò Ø  

Ù Ò Ð   Ì  Å 

Å Ø Ñ Ø Ð Ð Ý Û Ø Û Ú Ó Ø Ò ×   × Ø Ó Ò Ó Ø Ø Ò Ò Ø Ù Ò Ð  ¸ Ò Ñ Ð Ý × Ñ Ó Ó Ø  

Ó Ó Ô Ó Ò Ø Ò Ø ¬ Ö Ó Ö Ô Ó Ò Ø Ó Ø × º Ü Ô Ð Ø Ð Ý Ø × Ù × Ø Ñ Ò × Ø Ø Ø Ó Ñ ¹  

Ô Ó Ò Ò Ø ×    

 

´   Ô  µ Ó Ø Ø Ò Ò Ø Ú Ø Ó Ö Ö × Ñ Ó Ó Ø Ù Ò Ø Ó Ò × Ó Ø × Ô Ó Ò Ø Ó Ó Ö Ò Ø ×   Ü 

 

º Ë Ò  

Û Ù × Ó Ó Ö Ò Ø × ¸ Û Ò Ò Ü Ø Ö Ð Ð Ò Ó Ø Ò Ò Û Ð Ó Ð Ô Ø Ø Ú Ø Ó Ö Ó Ñ Ô Ó Ò Ò Ø ×  

Ö Ú Ò  

 ́

 

Ø     

 

´  «  µ 

´  Ü  µ 

 

 

Ü 

 

 

Ô 

µ    Ò Ö Ø   « 

 

Ø     

 

´  ¬  µ 

´  Ý  µ 

 

 

Ý 

 

 

Ô 

µ    Ò Ö Ø   ¬ 

´ ½ º º µ  

Ú Ò Ò Ó Ø   Ü 

 

Ò   Ý 

 

Ø Ð Ó Ð Ó Ó Ö Ò Ø × Ò Ô Ø ×   «  Ò   ¬  ¸ Ö × Ô Ø Ú Ð Ý º Ë Ò Ø  

Ø Ò Ò Ø Ú Ø Ó Ö × Ø × Ñ ¸ Ö Ö × Ô Ø Ú Ð Ý Ó Ø Ó Ó Ö Ò Ø × Ù × Ø Ó × Ö Ø ¸ Û Ú  

 

 

´  ¬  µ 

´  Ý  µ 

 

 

Ý 

 

   

 

´  «  µ 

´  Ü  µ 

Ý 

 

Ü 

 

 

 

Ý 

 

´ ½ º º µ  

Page 30: Fre P. Course in General Relativity (Free Version, Lecture Notes, Web Draft, 2003)(141s)_PGr

7/29/2019 Fre P. Course in General Relativity (Free Version, Lecture Notes, Web Draft, 2003)(141s)_PGr

http://slidepdf.com/reader/full/fre-p-course-in-general-relativity-free-version-lecture-notes-web-draft 30/141

Ì Ò Ò Ø Ò Ó Ø Ò Ò Ø Ù Ò Ð ×   ¾  

Ò Ñ Ð Ý  

 

 

´  ¬  µ 

´   Ô  µ    

 

´  «  µ 

´   Ô  µ 

 

Ý 

 

Ü 

 

 

´   Ô  µ ´ ½ º º µ  

Á Ò Ó Ö Ñ Ù Ð ´ ½ º º µ Û × Ø Ü Ô Ð Ø Ó Ö Ñ Ó Ø Ø Ö Ò × Ø Ó Ò Ù Ò Ø Ó Ò Ø Û Ò Ø Û Ó Ð Ó Ð Ø Ö Ú Ð Þ ¹  

Ø Ó Ò × Ó Ø Ø Ò Ò Ø Ù Ò Ð ¸ Ø × × Ñ Ô Ð Ý Ø   Ò Ú Ö × Ó Ò Ñ Ø Ö Ü   × × Ó Ø Û Ø Ø Ø Ö Ò × Ø Ó Ò  

Ù Ò Ø Ó Ò × Ø Û Ò Ø Û Ó Ð Ó Ð Ö Ø × Ó Ø × Ñ Ò Ó Ð   Å     º Ç Ò Ø Ò Ø Ö × Ø Ó Ò   Í 

« 

Ì  

Í 

¬ 

Û Ú  

    Ô  ¾   Í 

« 

  

Í 

¬ 

   Ô       

¬ « 

´   Ô  µ  

 

Ý 

Ü 

 

´   Ô  µ  ¾   Ä  ´  Ñ   Ê  µ ´ ½ º º µ  

× Ø × Ô Ø Ó Ö Ð Ð Ý × Ö Ò ¬ º ½ º ½ º  

½ º º ½ Ë Ø Ó Ò × Ó Ù Ò Ð  

Á Ø × Ò Ó Û Ø Ô Ô Ö Ó Ô Ö Ø Ø Ñ Ø Ó × × Ó Ø Ô Ö × ¬ Ò Ø Ó Ò Ø Ó Ø Ò Ó Ø Ó Ò Ó Ù Ò Ð × Ø Ó Ò  

Ø Ø Û Ú Ñ Ô Ð Ø Ð Ý Ú Ó Ø Ò Õ º ´ ½ º º ¿ µ  

¬ Ò Ø Ó Ò ½ º º ½ º     Ó Ò × Ö Ò Ö ¬ Ö ß Ù Ò Ð    

 

    Å  Û Ø Ò Ö ¬ Ö     º Ï Ò Ñ  

× Ø Ó Ò Ó Ø Ù Ò Ð   Ö Ù Ð   ×  Ø Ø Ø Ó Ô Ó Ò Ø    Ô  ¾   Å  Ó Ø × Ñ Ò Ó Ð × × Ó Ø ×  

Ô Ó Ò Ø   ×  ´   Ô  µ  ¾    

Ô 

Ò Ø ¬ Ö Ó Ú    Ô  ¸ Ò Ñ Ð Ý Ñ Ô  

×    Å        ´ ½ º º µ  

× Ù Ø Ø  

    Ô  ¾   Å    ×  ´   Ô  µ  ¾    

  ½ 

´   Ô  µ ´ ½ º º µ  

 

Ì Ó Ú ¬ Ò Ø Ó Ò × Ð Ð Ù × Ø Ö Ø Ò ¬ º ½ º ½ Û Ð × Ó Ð Ö ¬ × Ø Ò Ø Ù Ø Ú × Ø Ò Ò Ò  

Ø Ó × Ò Ò Ñ Ó Ö × Ù Ó Ò Ô Ø º  

Á Ø × Ð Ö Ø Ø × Ø Ó Ò × Ó Ø Ù Ò Ð Ò Ó × Ò Ø Ó   Ó Ò Ø Ò Ù Ó Ù × ¸ « Ö Ò Ø Ð ¸ × Ñ Ó Ó Ø  

Ó Ö ¸ Ò Ø × Ó Ó Ñ Ô Ð Ü Ñ Ò Ó Ð × ¸ Ú Ò   Ó Ð Ó Ñ Ó Ö Ô  ¸ Ô Ò Ò Ó Ò Ø Ô Ö Ó Ô Ö Ø × Ó Ø Ñ Ô   × 

Ò Ð Ó Ð Ø Ö Ú Ð Þ Ø Ó Ò Ó Ø Ù Ò Ð º Á Ò Ú Ò Ð Ó Ð Ø Ö Ú Ð Þ Ø Ó Ò Ò Ú Ò Ó Ô Ò Ö Ø ×  

Ó Ö Ó Ø Ø × Ñ Ò Ó Ð   Å  Ò Ó Ö Ø ¬ Ö     Ø Ð Ó Ð × Ö Ô Ø Ó Ò Ó Ø × Ø Ó Ò Ö Ù × Ø Ó  

Ñ Ô  

Ê 

Ñ 

   Í       

Í 

   Ê 

Ò 

´ ½ º º ¼ µ  

Û Ö   Ñ  Ò   Ò  Ö Ø Ñ Ò × Ó Ò × Ó Ø × Ñ Ò Ó Ð Ò Ó Ø ¬ Ö Ö × Ô Ø Ú Ð Ý º  

Ï Ö × Ô ¬ Ð Ð Ý Ò Ø Ö × Ø Ò × Ñ Ó Ó Ø × Ø Ó Ò × ¸ Ò Ñ Ð Ý Ò × Ø Ó Ò Ø Ø Ö Ò ¬ Ò Ø Ð Ý « Ö ¹  

Ò Ø Ð º Ú Ò Ù Ò Ð    

 

    Å  ¸ Ø × Ø Ó Ð Ð × Ù × Ø Ó Ò × × Ò Ó Ø Ý  

´  Å  µ ´ ½ º º ½ µ  

Ç Ô Ö Ø Ù Ð Ö Ö Ð Ú Ò Ö Ø × Ñ Ó Ó Ø × Ø Ó Ò × Ó Ú Ø Ó Ö Ù Ò Ð × º Á Ò Ø × × Ø Ó Ô Ó Ò Ø Ó  

Ø × Ñ Ò Ó Ð    Ô  Û × × Ó Ø Ú Ø Ó Ö   Ú  ´   Ô  µ Ò Ø Ú Ø Ó Ö × Ô Ó Ú Ø Ô Ó Ò Ø    Ô  º Á Ò Ô Ö Ø Ù Ð Ö  

Û Ò Ó Ò × Ö × Ø Ó Ò × Ó Ø Ø Ò Ò Ø Ù Ò Ð   Ì Å  × × Ó Ø Û Ø × Ñ Ó Ó Ø Ñ Ò Ó Ð   Å  º Ë Ù  

× Ø Ó Ò × Ó Ö Ö × Ô Ó Ò Ø Ó Ø Ò Ó Ø Ó Ò Ó   Ú Ø Ó Ö ¬ Ð ×  º 

¬ Ò Ø Ó Ò ½ º º ¾ º     Ú Ò × Ñ Ó Ó Ø Ñ Ò Ó Ð   Å  ¸ Û Ò Ñ   Ú Ø Ó Ö ¬ Ð   Ó Ò  Å  × Ñ Ó Ó Ø × Ø Ó Ò  

 

Ø 

¾   ´  Ì Å Å   µ Ó Ø Ø Ò Ò Ø Ù Ò Ð º Ì Ð Ó Ð Ü Ô Ö × × Ó Ò Ó × Ù Ú Ø Ó Ö ¬ Ð Ò Ò Ý Ó Ô Ò Ö Ø  

´  Í   µ × 

Page 31: Fre P. Course in General Relativity (Free Version, Lecture Notes, Web Draft, 2003)(141s)_PGr

7/29/2019 Fre P. Course in General Relativity (Free Version, Lecture Notes, Web Draft, 2003)(141s)_PGr

http://slidepdf.com/reader/full/fre-p-course-in-general-relativity-free-version-lecture-notes-web-draft 31/141

Ì Ò Ò Ø Ò Ó Ø Ò Ò Ø Ù Ò Ð ×   ¿ ¼ 

Ù Ö ½ º ½ º   × Ø Ó Ò Ó ¬ Ö Ù Ò Ð  

 

Ø    Ø 

 

´  Ü  µ 

 

 

Ü 

 

   Ü  ¾   Í     Å  ´ ½ º º ¾ µ  

 

   

½ º º ½ º ½ Ü Ñ Ô Ð Ó Ð Ó Ñ Ó Ö Ô Ú Ø Ó Ö ¬ Ð × Ó Ò   Ë 

¾ 

× Û Ú × Ò Ó Ú Ø   ¾  ß × Ô Ö   Ë 

¾ 

× Ó Ñ Ô Ð Ü Ñ Ò Ó Ð Ó Ó Ñ Ô Ð Ü Ñ Ò × Ó Ò Ó Ò Ó Ú Ö  

Ý Ò Ø Ð × Ó Ñ Ô Ó × Ý Ø Û Ó Ö Ø × ¸ Ø Ø Ó Ø Æ Ó Ö Ø È Ó Ð Ò Ø Ø Ó Ø Ë Ó Ù Ø È Ó Ð ´ ×  

¬ º ½ º ½ µ  

Ù Ö ½ º ½ º   × Ø Ó Ò Ó ¬ Ö Ù Ò Ð  

Page 32: Fre P. Course in General Relativity (Free Version, Lecture Notes, Web Draft, 2003)(141s)_PGr

7/29/2019 Fre P. Course in General Relativity (Free Version, Lecture Notes, Web Draft, 2003)(141s)_PGr

http://slidepdf.com/reader/full/fre-p-course-in-general-relativity-free-version-lecture-notes-web-draft 32/141

Ì Ò Ò Ø Ò Ó Ø Ò Ò Ø Ù Ò Ð ×   ¿ ½ 

Ò Ø Ø Ö Ò × Ø Ó Ò Ù Ò Ø Ó Ò Ø Û Ò Ø Ð Ó Ð Ó Ñ Ô Ð Ü Ó Ó Ö Ò Ø Ò Ø Ø Û Ó Ô Ø × × Ø  

Ó Ð Ð Ó Û Ò Ó Ò  

Þ 

 

 

½ 

Þ 

Ë 

´ ½ º º ¿ µ  

Ó Ö Ö × Ô Ó Ò Ò Ð Ý ¸ Ò Ø Ø Û Ó Ô Ø × ¸ Ø Ð Ó Ð × Ö Ô Ø Ó Ò Ó Ó Ð Ó Ñ Ó Ö Ô Ú Ø Ó Ö ¬ Ð  

 

Ø  × Ú Ò  

Ý  

 

Ø    Ú 

 

´  Þ 

 

µ 

 

Þ 

 

 

Ø    Ú 

Ë 

´  Þ 

Ë 

µ 

 

Þ 

Ë 

´ ½ º º µ  

Û Ö Ø Ø Û Ó Ù Ò Ø Ó Ò ×   Ú 

 

´  Þ 

 

µ  Ò   Ú 

Ë 

´  Þ 

Ë 

µ  Ö × Ù Ô Ô Ó × Ø Ó Ó Ð Ó Ñ Ó Ö Ô Ù Ò Ø Ó Ò × Ó Ø Ö  

Ö Ù Ñ Ò Ø ¸ Ò Ñ Ð Ý Ø Ó Ñ Ø Ì Ý Ð Ó Ö Ô Ó Û Ö × Ö × Ü Ô Ò × Ó Ò  

Ú 

 

´  Þ 

 

µ  

½ 

  

  ¼ 

 

 

Þ 

 

 

Ú 

Ë 

´  Þ 

Ë 

µ   Ú 

Ë 

´  Þ 

Ë 

µ 

½ 

  

  ¼ 

 

 

Þ 

 

Ë 

´ ½ º º µ  

À Ó Û Ú Ö ¸ Ö Ó Ñ Ø Ø Ö Ò × Ø Ó Ò Ù Ò Ø Ó Ò ´ ½ º º ¿ µ Û Ó Ø Ò Ø Ö Ð Ø Ó Ò ×  

 

Þ 

 

     Þ 

¾ 

Ë 

 

Þ 

Ë 

 

 

Þ 

Ë 

     Þ 

¾ 

 

 

Þ 

 

´ ½ º º µ  

Ò Ò  

 

Ø      

½ 

  

  ¼ 

 

 

Þ 

¾     

Ë 

 

Þ 

Ë 

 

½ 

  

  ¼ 

 

 

Þ 

 

Ë 

 

Þ 

Ë 

    

½ 

  

  ¼ 

 

 

Þ 

¾     

 

 

Þ 

 

 

½ 

  

  ¼ 

 

 

Þ 

 

 

 

Þ 

 

´ ½ º º µ  

Ì Ó Ò Ð Ý Û Ý Ó Ö Õ º ´ ½ º º µ Ø Ó × Ð Ó Ò × × Ø Ò Ø × Ø Ó Ú  

     ¾   

 

   

 

¼       

¼ 

      

¾ 

 

½ 

      

½ 

 

¾ 

      

¼ 

´ ½ º º µ  

Ì × × Ó Û × Ø Ø Ø × Ô Ó Ó Ð Ó Ñ Ó Ö Ô × Ø Ó Ò × Ó Ø Ø Ò Ò Ø Ù Ò Ð   Ì Ë 

¾ 

×   ¬ Ò Ø Ñ Ò ¹  

× Ó Ò Ð   Ú Ø Ó Ö × Ô Ó Ñ Ò × Ó Ò   Ø Ö   × Ô Ò Ò Ò Ö Ø Ý Ø Ø Ö « Ö Ò Ø Ð Ó Ô Ö Ø Ó Ö ×  

 

Ä 

¼ 

     Þ 

 

Þ 

 

Ä 

½ 

    

 

Þ 

 

Ä 

  ½ 

     Þ 

¾ 

 

Þ 

´ ½ º º µ  

Ï Û Ð Ð Ú Ñ Ó Ö Ø Ó × Ý Ó Ù Ø Ø × Ó Ô Ö Ø Ó Ö × Ò Ø × Õ Ù Ð º  

Page 33: Fre P. Course in General Relativity (Free Version, Lecture Notes, Web Draft, 2003)(141s)_PGr

7/29/2019 Fre P. Course in General Relativity (Free Version, Lecture Notes, Web Draft, 2003)(141s)_PGr

http://slidepdf.com/reader/full/fre-p-course-in-general-relativity-free-version-lecture-notes-web-draft 33/141

Ì Ò Ò Ø Ò Ó Ø Ò Ò Ø Ù Ò Ð ×   ¿ ¾ 

   

Ï Ø Û Ú × Ó Ö × Ù × × Ò × Ù Ñ Ñ Ö Þ Ý × Ø Ø Ò Ø Ø Ö Ò × Ó Ö Ñ Ø Ó Ò Ö Ù Ð Ó Ú Ø Ó Ö  

¬ Ð Ó Ñ Ô Ó Ò Ò Ø × Û Ò Û Ò Ó Ó Ö Ò Ø Ô Ø Ó Ö Ñ   Ü 

 

Ø Ó  Ü 

  ¼ 

 

Ø 

  ¼ 

´  Ü 

¼ 

µ   Ø 

 

´  Ü  µ 

Ü 

  ¼ 

Ü 

 

´ ½ º º ½ ¼ ¼ µ  

Á Ò Ó Ò Ú Ò Ò Ø Û Ý Ó ¬ Ò Ò ¬ Ö ¹ Ù Ò Ð × Ô Ö Ó Ú Ý × Ô Ý Ò Ø Û Ý Ø × × Ø Ó Ò ×  

Ø Ö Ò × Ó Ö Ñ Ö Ó Ñ Ó Ò Ð Ó Ð Ø Ö Ú Ð Þ Ø Ó Ò Ø Ó Ò Ó Ø Ö Ó Ò Û Ñ Ó Ù Ò Ø × Ø Ó Ú Ò Ð Ð Ø Ø Ö Ò × Ø Ó Ò  

Ù Ò Ø Ó Ò × º Ì × Ñ Ø Ó Ò Ù × Ø Ó × Ù × × Ø Ó Ò × Ø Ö Ù Ø Ó Ò Ó Ø Ó Ø Ò Ò Ø Ù Ò Ð º  

½ º º ¾ Ì Ä Ð Ö Ó Ú Ø Ó Ö ¬ Ð ×  

Á Ò × Ø Ó Ò ½ º ¿ Û × Û Ø Ø Ø Ø Ò Ò Ø × Ô   Ì 

Ô 

Å     Ø Ô Ó Ò Ø    Ô  ¾ Å     Ó Ñ Ò Ó Ð Ò Ò Ø ¬  

Û Ø Ø Ú Ø Ó Ö × Ô Ó Ö Ú Ø Ó Ò × Ó Ø Ð Ö Ó Ö Ñ × ´ × ¬ Ò Ø Ó Ò ½ º ¿ º µ º Ø Ö Ð Ù Ò  

Ø Ó Ø Ö Ð Ð Ø Ò Ò Ø × Ô × Ò Ø Ó Ø Ø Ò Ò Ø Ù Ò Ð   Ì  Å     × Ù Ò Ò Ø ¬ Ø Ó Ò Ó Ø Ò Ò Ø Ú Ø Ó Ö ×  

Û Ø Ø Ö Ú Ø Ó Ò × Ó Ò Ð Ö Ò Ü Ø Ò Ö Ó Ñ Ø Ð Ó Ð Ø Ó Ø Ð Ó Ð Ð Ú Ð º Ì Ö Ù Ð  

Ó × Ö Ú Ø Ó Ò × Ø Ø Ø × Ø Ó × Ñ Ó Ó Ø Ù Ò Ø Ó Ò × Ó Ò Ñ Ò Ó Ð    

½ 

´  Å     µ Ó Ò × Ø Ø Ù Ø × Ò Ð Ö  

Û Ø Ö × Ô Ø Ø Ó Ô Ó Ò Ø ß Û × Ñ Ù Ð Ø Ô Ð Ø Ó Ò Ù × Ø × Ø × Ø Ó Ö Ñ × Ø Ô Ó Ò Ø    Ô  º Ì Ú Ø Ó Ö ¬ Ð × ¸  

Ò Ñ Ð Ý Ø × Ø Ó Ò × Ó Ø Ø Ò Ò Ø Ù Ò Ð ¸ Ö Ö Ú Ø Ó Ò × Ó Ø × Ð Ö º Á Ò Ú Ø Ó Ö  

¬ Ð  

 

  ¾   ´  Ì  Å       Å     µ × Ð Ò Ö Ñ Ô Ó Ø Ð Ö    

½ 

´  Å     µ Ò Ø Ó Ø × Ð  

     

     

½ 

´  Å     µ       

½ 

´  Å     µ ´ ½ º º ½ ¼ ½ µ  

Ø Ø × Ø × ¬ × Ø Ò Ð Ó Ù Ô Ö Ó Ô Ö Ø × Ó Ø Ó × Ñ Ò Ø Ó Ò Ò Õ º × ´ ½ º ¿ º µ Ó Ö Ø Ò Ò Ø Ú Ø Ó Ö × ¸  

Ò Ñ Ð Ý  

 

  ´  «   ·  ¬   µ   « 

 

  ´    µ ·  ¬ 

 

  ´    µ 

 

  ´    ¡    µ  

 

  ´    µ  ¡    ·    ¡ 

 

  ´    µ 

     « ¬  ¾   Ê  ´ Ó Ö    µ        ¾    

½ 

´  Å     µ ℄ ´ ½ º º ½ ¼ ¾ µ  

Ç Ò Ø Ó Ø Ö Ò Ø × Ø Ó Ú Ø Ó Ö ¬ Ð × ¸ Ö Ò Ñ Ó Ö Ø × Ö × Ó Ò  

  « ´  Å     µ      ´  Ì  Å       Å     µ ´ ½ º º ½ ¼ ¿ µ  

Ó Ö Ñ × Ä Ð Ö Û Ø Ö × Ô Ø Ø Ó Ø Ó Ð Ð Ó Û Ò Ä Ö Ø Ó Ô Ö Ø Ó Ò  

 

 

 

 

 

 

   

 

 

 

 

  ´    µ 

 

  

 

 

 

 

  ´    µ 

 

´ ½ º º ½ ¼ µ  

Á Ò Ø × Ø Ó Ú Ø Ó Ö ¬ Ð × × Ú Ø Ó Ö × Ô Û Ø Ö × Ô Ø Ø × Ð Ö Ò Ù Ñ Ö × ´  Ê  Ó Ö    ¸ Ô Ò Ò  

Ó Ò Ø Ø Ý Ô Ó Ñ Ò Ó Ð ¸ Ö Ð Ó Ö Ó Ñ Ô Ð Ü µ ¸ Ò Ñ Ð Ý Û Ò Ø Ð Ò Ö Ó Ñ Ò Ø Ó Ò × Ó Ø Ó Ð Ð Ó Û Ò  

Ó Ö Ñ  

     ¾   Ê  Ó Ö      

 

 

 

  ¾     « ´  Å     µ    

 

  ·   

 

  ¾     « ´  Å     µ ´ ½ º º ½ ¼ µ  

Ú Ò ¬ Ò  

 

 

 

  ·   

 

 

 

´    µ    

 

 

  ´    µ 

 

·   

 

 

  ´    µ 

 

     ¾    

½ 

´  Å     µ ´ ½ º º ½ ¼ µ  

Ù Ö Ø Ö Ñ Ó Ö Ø Ó Ô Ö Ø Ó Ò ´ ½ º º ½ ¼ µ × Ø Ó Ñ Ñ Ù Ø Ø Ó Ö Ó Ø Û Ó Ñ Ô × Ò × × Ù Ø × Ò Ø × Ý Ñ ¹  

Ñ Ø Ö Ò × Ø × ¬ × Ø Â Ó Ò Ø Ø Ý º  

Page 34: Fre P. Course in General Relativity (Free Version, Lecture Notes, Web Draft, 2003)(141s)_PGr

7/29/2019 Fre P. Course in General Relativity (Free Version, Lecture Notes, Web Draft, 2003)(141s)_PGr

http://slidepdf.com/reader/full/fre-p-course-in-general-relativity-free-version-lecture-notes-web-draft 34/141

Ì Ò Ò Ø Ò Ó Ø Ò Ò Ø Ù Ò Ð ×   ¿ ¿ 

Ì Ä Ð Ö Ó Ú Ø Ó Ö ¬ Ð × × Ò Ñ     « ´ 

Å    µ × Ò Ó Ø × Ð Ñ Ò Ø × Ò Ò Ø Ö Ô Ö Ø  

× Ø Ò Ö Ø Ó Ö Ó Ò Ò ¬ Ò Ø × Ñ Ð « Ó Ñ Ó Ö Ô × Ñ ´ Ó Ö Ø Ó Ò Ô Ø Ó Ò Ö Ø Ó Ö × × Ô Ø Ö     µ 

Ó Ø Ñ Ò Ó Ð Ó Ò Ø Ó Ø × Ð º × Û Ö Ó Ò Ø Ó ×     « ´  Å     µ × Ä Ð Ö Ó   Ò ¬ Ò Ø Ñ Ò × Ó Ò   ¸ 

Ù Ø Ø Ò Ó Ò Ø Ò ¬ Ò Ø Ñ Ò × Ó Ò Ð × Ù Ð Ö × Ò Ö Ø Ý Ô Ö Ø Ù Ð Ö Ú Ø Ó Ö ¬ Ð × º Ì  

Ø Ý Ô Ð Ü Ñ Ô Ð Û Ð Ð Ø × Ó Ø Ä Ð Ö Ó Ä Ö Ó Ù Ô Ø × × Ø ¬ Ò Ø Ñ Ò × Ó Ò Ð  

× Ù Ð Ö          « ´    µ × Ô Ò Ò Ý Ø Ó × Ú Ø Ó Ö ¬ Ð × ¬ Ò Ó Ò Ø Ä Ö Ó Ù Ô Ñ Ò Ó Ð Ø Ø  

Ú Ò Ø Ó Ò Ð Ô Ö Ó Ô Ö Ø Ý Ó Ò Ú Ö Ò Û Ø Ö × Ô Ø Ø Ó Ø Ö Ð Ø Ó Ö Ö Ø Ø Ö Ò × Ð Ø Ó Ò × ´ ×  

Ô Ø Ö     µ 

½ º º ¿ Ì Ó Ø Ò Ò Ø Ù Ò Ð Ò « Ö Ò Ø Ð Ó Ö Ñ ×  

Ä Ø Ù × Ö Ð Ð Ø Ø « Ö Ò Ø Ð ½ ¹ Ó Ö Ñ Ò Ø Ô Ó Ò Ø    Ô  ¾   Å  Ó Ñ Ò Ó Ð   Å  ¸ Ò Ñ Ð Ý Ò Ð Ñ Ò Ø  

 

Ô 

¾   Ì 

Ô 

Å  Ó Ø Ó Ø Ò Ò Ø × Ô Ó Ú Ö × Ù Ô Ó Ò Ø Û × ¬ Ò × Ö Ð Ú Ð Ù Ð Ò Ö Ù Ò Ø Ó Ò Ð  

Ó Ú Ö Ø Ø Ò Ò Ø × Ô Ø    Ô  ¸ Ò Ñ Ð Ý  

 

Ô 

¾   À Ó Ñ  ´  Ì 

Ô 

Å   Ê  µ ´ ½ º º ½ ¼ µ  

Û Ñ Ô Ð ×  

  

 

Ø 

Ô 

¾   Ì 

Ô 

Å  

Ô 

 

 

Ø 

Ô 

     

Ô 

´ 

 

Ø 

Ô 

µ  ¾   Ê  ´ ½ º º ½ ¼ µ  

Ì Ü Ô Ö × × Ó Ò Ó    

Ô 

Ò Ó Ó Ö Ò Ø Ô Ø Ö Ó Ù Ò    Ô  ×  

 

Ô 

   

 

´   Ô  µ  Ü 

 

´ ½ º º ½ ¼ µ  

Û Ö   Ü 

 

´   Ô  µ Ö Ø « Ö Ò Ø Ð × Ó Ø Ó Ó Ö Ò Ø × Ò    

 

´   Ô  µ Ö Ö Ð Ò Ù Ñ Ö × º Ï Ò Ð Ù  

Ø Ó Ø Ö Ð Ð Ø Ó Ø Ò Ò Ø × Ô × Ò Ó Ò × Ø Ö Ù Ø Ø Ó Ø Ò Ò Ø Ù Ò Ð × Ý × Ø Ø Ò Ø Ø   Ò Ö  

× Ñ Ó Ó Ø × Ø Ó Ò   Ó × Ù Ù Ò Ð × Ó Ø Ó Ö Ñ ´ ½ º º ½ ¼ µ Û Ö    

 

´   Ô  µ Ö Ò Ó Û × Ñ Ó Ó Ø Ù Ò Ø Ó Ò ×  

Ó Ø × Ñ Ò Ó Ð Ô Ó Ò Ø    Ô  º Ð Ö Ð Ý Û Ò Ó Ó Ö Ò Ø × Ý × Ø Ñ ¸ Ò Ö Ù Ñ Ò Ø Ó Ñ Ô Ð Ø Ð Ý  

× Ñ Ð Ö Ø Ó Ø Ø Ñ Ô Ð Ó Ý Ò Ø × Ó Ø Ø Ò Ò Ø Ù Ò Ð Ø Ð Ð × Ù × Ø Ø Ø Ó Æ Ò Ø ×    

 

´  Ü  µ 

Ø Ö Ò × Ó Ö Ñ × Ó Ð Ð Ó Û ×  

 

 

´  Ü 

¼ 

µ 

¼ 

   

 

´  Ü  µ 

Ü 

 

Ü 

 

¼ 

´ ½ º º ½ ½ ¼ µ  

Ò Õ Ù Ø Ó Ò ´ ½ º º ½ ½ ¼ µ Ò Ø Ò × ¬ Ò Ø Ó Ò Ó Ø   Ó Ø Ò Ò Ø Ù Ò Ð   Ì Å  ¸ Û Ó ×  

× Ø Ó Ò × Ø Ö Ò × Ó Ö Ñ Û Ø Ø Ó Ò Ñ Ø Ö Ü Ö Ø Ö Ø Ò Û Ø Ø Ò Ú Ö × Ó Ò Ñ Ø Ö Ü × Ø  

× Ø Ó Ò × Ó Ø Ø Ò Ò Ø Ù Ò Ð Ó ´ × Õ º ´ ½ º º ½ ¼ ¼ µ µ º Ë Ó Û Ò Û Ö Ø Ø  

¬ Ò Ø Ó Ò ½ º º ¿ º     « Ö Ò Ø Ð ½ ß Ó Ö Ñ     Ó Ò Ñ Ò Ó Ð   Å  × × Ø Ó Ò Ó Ø Ó Ø Ò Ò Ø  

Ù Ò Ð ¸ Ò Ñ Ð Ý     ¾   ´  Ì Å Å   µ º   

Ì × Ñ Ò × Ø Ø « Ö Ò Ø Ð ½ ß Ó Ö Ñ × Ñ Ô  

  ´  Ì Å Å   µ 

    

½ 

´  Å  µ ´ ½ º º ½ ½ ½ µ  

Ö Ó Ñ Ø × Ô Ó Ú Ø Ó Ö ¬ Ð × ´   º º   Ø × Ø Ó Ò × Ó Ø Ø Ò Ò Ø Ù Ò Ð µ Ø Ó × Ñ Ó Ó Ø Ù Ò Ø Ó Ò × º  

Ä Ó Ð Ð Ý Û Ò Û Ö Ø  

´  Ì Å Å   µ  ¿        

 

´  Ü  µ  Ü 

 

´  Ì Å Å   µ  ¿  

 

Ø    Ø 

 

´  Ü  µ 

 

Ü 

 

´ ½ º º ½ ½ ¾ µ  

Ò Û Ó Ø Ò  

  ´ 

 

Ø  µ    

 

´  Ü  µ  Ø 

 

´  Ü  µ  Ü 

 

 

 

Ü 

 

 

   

 

´  Ü  µ  Ø 

 

´  Ü  µ ´ ½ º º ½ ½ ¿ µ  

Page 35: Fre P. Course in General Relativity (Free Version, Lecture Notes, Web Draft, 2003)(141s)_PGr

7/29/2019 Fre P. Course in General Relativity (Free Version, Lecture Notes, Web Draft, 2003)(141s)_PGr

http://slidepdf.com/reader/full/fre-p-course-in-general-relativity-free-version-lecture-notes-web-draft 35/141

Ì Ò Ò Ø Ò Ó Ø Ò Ò Ø Ù Ò Ð ×   ¿  

Ù × Ò  

Ü 

 

 

 

Ü 

 

 

  Æ 

 

 

´ ½ º º ½ ½ µ  

Û × Ø × Ø Ø Ñ Ò Ø Ø Ø Ó Ó Ö Ò Ø « Ö Ò Ø Ð × Ò Ô Ö Ø Ð Ö Ú Ø Ú × Ö Ù Ð × × Ó Ö  

½ ¹ Ó Ö Ñ × Ò Ø Ò Ò Ø Ú Ø Ó Ö × Ö × Ô Ø Ú Ð Ý º  

Ë Ò   Ì Å  × Ú Ø Ó Ö Ù Ò Ð Ø × Ñ Ò Ò Ù Ð Ø Ó Ó Ò × Ö Ø Ø Ó Ò Ó Ø × × Ø Ó Ò × ¸ Ò Ñ Ð Ý  

Ø Ø Ó Ò Ó Ú Ø Ó Ö ¬ Ð × Ò Ð × Ó Ø Ö Ô Ó Ò Ø Û × Ñ Ù Ð Ø Ô Ð Ø Ó Ò Ý × Ñ Ó Ó Ø Ù Ò Ø Ó Ò × º Ì Ò  

Ø × Ò Ø Ó Ó Ù Ò Ø Û × Ø Ø Ø Ñ Ô ´ ½ º º ½ ½ ½ µ Ù × Ø Ó ¬ Ò × Ø Ó Ò × Ó Ø Ó Ø Ò Ò Ø Ù Ò Ð ¸  

Ò Ñ Ð Ý ½ ß Ó Ö Ñ × × Ø Ù Ð Ð Ý Ò ß Ð Ò Ö Ñ Ô º Ì × Ñ Ò × Ø Ó Ð Ð Ó Û Ò º Ó Ò × Ö Ò Ò Ý ß Ð Ò Ö  

Ó Ñ Ò Ø Ó Ò Ó Ø Û Ó Ú Ø Ó Ö ¬ Ð × ¸ Ò Ñ Ð Ý  

 

½ 

 

Ø 

½ 

·   

¾ 

 

Ø 

¾ 

 

½ 

 

¾ 

¾   

½ 

´  Å  µ  Ø 

½ 

Ø 

¾ 

¾   ´  Ì Å Å   µ ´ ½ º º ½ ½ µ  

Ó Ö Ò Ý ½ ß Ó Ö Ñ     ¾   ´  Ì Å Å   µ Û Ú  

 

 

 

½ 

 

Ø 

½ 

·   

¾ 

 

Ø 

¾ 

¡ 

   

½ 

´   Ô  µ   

 

 

Ø 

½ 

¡ 

´   Ô  µ ·   

¾ 

´   Ô  µ   

 

 

Ø 

¾ 

¡ 

´   Ô  µ ´ ½ º º ½ ½ µ  

Û Ö    Ô  ¾   Å  × Ò Ý Ô Ó Ò Ø Ó Ø Ñ Ò Ó Ð   Å  º 

Á Ø × Ò Ó Û Ð Ö Ø Ø Ø ¬ Ò Ø Ó Ò Ó « Ö Ò Ø Ð ½ ¹ Ó Ö Ñ Ò Ö Ð Þ × Ø Ó Ò Ô Ø Ó   Ø Ó Ø Ð  

« Ö Ò Ø Ð   Ó Ø Ö Ñ Ó × Ñ Ó Ó Ø Ù Ò Ø Ó Ò º Á Ò Ò Ò Ó Ô Ò Ò Ó Ö Ó Ó   Í     Å  Ó Ô Ó Ò Ø  

 Ô  Û Ú  

     ¾    

½ 

Ô 

´  Å  µ       

 

Ü 

 

´ ½ º º ½ ½ µ  

Ò Ø Ú Ð Ù Ó     Ø   Ô  Ó Ò Ò Ý Ø Ò Ò Ø Ú Ø Ó Ö  

 

Ø 

Ô 

¾   Ì 

Ô 

Å  × ¬ Ò Ø Ó  

 

Ô 

´ 

 

Ø 

Ô 

µ     

 

Ø 

Ô 

´    µ   Ø 

 

 

 

  ´ ½ º º ½ ½ µ  

Û × Ø Ö Ø Ó Ò Ð Ö Ú Ø Ú Ó Ø Ð Ó Ð Ù Ò Ø Ó Ò     Ð Ó Ò  

 

Ø 

Ô 

Ò Ø Ô Ó Ò Ø    Ô  º Á Ö Ø Ö Ø Ò  

Ø Ö Ñ Ó Ù Ò Ø Ó Ò Û Ø Ð Ó Ð Ù Ò Ø Ó Ò     ¾    

½ 

´  Å  µ Û Ö Ð Þ Ø Ø Ø Ó Ò Ô Ø Ó ½ ¹ Ó Ö Ñ  

Ò Ö Ð Þ × Ø Ó Ò Ô Ø Ó Ø Ó Ø Ð « Ö Ò Ø Ð Ó × Ù Ù Ò Ø Ó Ò º Á Ò Ø Ø Ó Ø Ð « Ö Ò Ø Ð     ¬ Ø × 

Ò Ø Ó Ø ¬ Ò Ø Ó Ò Ó ½ ¹ Ó Ö Ñ ¸ × Ò Ó Ö Ò Ý Ú Ø Ó Ö ¬ Ð  

 

Ø  ¾   ´  Ì Å Å   µ Û Ú  

 

 

 

Ø 

¡ 

  Ø 

 

´  Ü  µ   

 

  ´  Ü  µ     

 

Ø   ¾    

½ 

´  Å  µ ´ ½ º º ½ ½ µ  

¬ Ö × Ø Ó Ú Ó Ù × Õ Ù × Ø Ó Ò × Ø Ó Ð Ð Ó Û Ò º Á × Ò Ý ½ ¹ Ó Ö Ñ        

 

´  Ü  µ  Ü 

 

Ø « Ö Ò Ø Ð Ó × Ó Ñ  

Ù Ò Ø Ó Ò Ì Ò × Û Ö × Ð Ö Ð Ý Ò Ó Ò Ò Ò Ý Ó Ó Ö Ò Ø Ô Ø Ø Ö × × Ñ Ô Ð Ø × Ø Ø Ó ×  

Û Ø Ö Ø × × Ø × Ó Ö Ò Ó Ø º Á Ò ¸    

´ ½ µ 

 

   

 

  Ó Ö × Ó Ñ Ö Ñ     ¾    

½ 

Ô 

´  Å  µ Ø Ò Û Ñ Ù × Ø  

Ú  

½ 

¾ 

 

 

 

 

´ ½ µ 

 

    

 

 

´ ½ µ 

 

 

 

½ 

¾ 

´   

 

 

 

µ    ¼ ´ ½ º º ½ ¾ ¼ µ  

Ì Ð Ø Ò × Ó Õ º ´ ½ º º ½ ¾ ¼ Ö Ø Ó Ñ Ô Ó Ò Ò Ø × Ó Û Ø Û Û Ð Ð Ò Ñ « Ö Ò Ø Ð ¾ ß Ó Ö Ñ  

 

´ ¾ µ 

   

´ ¾ µ 

 

Ü 

 

   Ü 

 

´ ½ º º ½ ¾ ½ µ  

Ò Ò Ô Ö Ø Ù Ð Ö Ø ¾ ß Ó Ö Ñ Ó Õ º ´ ½ º º ½ ¾ ¼ µ Û Ð Ð Ò Ø ¬ Û Ø Ø Ü Ø Ö Ó Ö « Ö Ò Ø Ð Ó  

Ø ½ ß Ó Ö Ñ    

´ ½ µ 

¸ Ò Ñ Ð Ý    

¾ µ 

   

´ ½ µ 

º Á Ò × Ñ Ô Ð Û Ó Ö × Ø Ü Ø Ö Ó Ö « Ö Ò Ø Ð Ó Ô Ö Ø Ó Ö     × Ø  

Ò Ö Ð Þ Ø Ó Ò Ó Ò Ò Ý Ñ Ò Ó Ð Ò Ø Ó « Ö Ò Ø Ð Ó Ö Ñ × Ó Ò Ý Ö Ó Ø Ó Ò Ô Ø Ó   Ù Ö Ð  ¸ 

Ñ Ð Ö Ö Ó Ñ Ó Ö Ò Ö Ý Ø Ò × Ó Ö Ð Ù Ð Ù × Ò   Ê 

¿ 

º Ó Ö Ñ × Û Ó × Ü Ø Ö Ó Ö « Ö Ò Ø Ð Ú Ò × × Û Ð Ð  

Ò Ñ   Ð Ó × Ó Ö Ñ ×  º Ð Ð Ø × Ó Ò Ô Ø × Ò Ô Ô Ö Ó Ô Ö Ø Ü Ô Ð Ò Ø Ó Ò × Ø Ø Û Ð Ð Ô Ö Ó Ú  

× Ó Ö Ø Ð Ý Ö Ó Ñ Ò Ó Û º Ø ¸ Ð Ö Ý Ø Ø × Ò Ø Ù Ø Ú Ð Ú Ð ¸ Û Ò Ó Ö Ñ Ù Ð Ø Ø Ò Ü Ø × Õ Ù × Ø Ó Ò º  

Page 36: Fre P. Course in General Relativity (Free Version, Lecture Notes, Web Draft, 2003)(141s)_PGr

7/29/2019 Fre P. Course in General Relativity (Free Version, Lecture Notes, Web Draft, 2003)(141s)_PGr

http://slidepdf.com/reader/full/fre-p-course-in-general-relativity-free-version-lecture-notes-web-draft 36/141

Ì Ò Ò Ø Ò Ó Ø Ò Ò Ø Ù Ò Ð ×   ¿  

Ï × Û Ø Ø ¸ Ò Ó Ö Ö Ø Ó Ø Ø Ó Ø Ð « Ö Ò Ø Ð Ó Ù Ò Ø Ó Ò ¸ ½ ß Ó Ö Ñ Ñ Ù × Ø Ò × × Ö Ð Ý  

Ð Ó × º Á × × Ù Ó Ò Ø Ó Ò Ð × Ó × Ù Æ Ò Ø Á Ò Ó Ø Ö Û Ó Ö × Ö Ð Ð Ð Ó × Ó Ö Ñ × Ø « Ö Ò Ø Ð Ó  

× Ó Ñ Ø Ò Ä Ó Ð Ð Ý Ø Ó Ö Ö Ø Ò × Û Ö × Ý × ¸ Ù Ø Ð Ó Ð Ð Ý Ø Ñ Ý Ò Ó º Á Ò Ò Ò Ý Ó Ô Ò  

Ò Ó Ö Ó Ó Ð Ó × Ó Ö Ñ Ò Ö Ô Ö × Ò Ø × Ø « Ö Ò Ø Ð Ó Ò Ó Ø Ö « Ö Ò Ø Ð Ó Ö Ñ ¸  

Ù Ø Ø Ó Ö Ñ × Ø Ø Ó Ø Ó Ò Ø Ú Ö Ó Ù × Ó Ô Ò Ô Ø × Ñ Ý Ò Ó Ø Ð Ù Ø Ó Ø Ö Ò Ð Ý Ò Ø Ó  

Ð Ó Ð Ð Ý ¬ Ò Ó Ò º Ì × Ô Ö Ó Ð Ñ Ò Ø × × Ó Ð Ù Ø Ó Ò Ó Ò × Ø Ø Ù Ø Ò Ñ Ô Ó Ö Ø Ò Ø Ô Ø Ö Ó Ó Ñ Ø Ö Ý ¸  

Ò Ñ Ó Ó Ñ Ó Ð Ó Ý º Ø Ù Ð Ð Ý Ó Ó Ñ Ó Ð Ó Ý × Ò Ø Ö Ð × × Ù Ò Ð Ö Ø Ó Ô Ó Ð Ó Ý ¸ Ø Ö Ø Ó  

Ö Ø Ö Þ Ò Ø Ø Ó Ô Ó Ð Ó Ð Ô Ö Ó Ô Ö Ø × Ó Ñ Ò Ó Ð × Ø Ö Ó Ù Ô Ô Ö Ó Ô Ö Ø Ð Ö × Ø Ö Ù Ø Ù Ö × º  

½ º º « Ö Ò Ø Ð     ß Ó Ö Ñ ×  

Ü Ø Û Ò Ø Ö Ó Ù « Ö Ò Ø Ð Ó Ö Ñ × Ó Ö     Ò Ø Ü Ø Ö Ó Ö « Ö Ò Ø Ð     º Á Ò Ð Ø Ö × Ø Ó Ò ¸  

Ø Ö Ø × Ù × × Ó Ò Ó Ó Ñ Ó Ð Ó Ý Û × Ó Û Ó Û Ø × Ö Ð Ø × Ø Ó Ø Ñ Ô Ó Ö Ø Ò Ø Ó Ò × Ø Ö Ù Ø Ó Ò Ó  

Ó Ó Ñ Ó Ð Ó Ý º Ó Ö Ø Ø Ñ Ò Ó Ù Ö Ô Ô Ö Ó × × Ñ Ô Ð Ö Ò Ó Û Ò Ø Ó Ö Ø º  

Ï Ú × Ò Ø Ø Ø ½ ß Ó Ö Ñ × Ø Ô Ó Ò Ø    Ô  ¾ Å     Ó Ñ Ò Ó Ð Ö Ð Ò Ö Ù Ò Ø Ó Ò Ð × Ó Ò  

Ø Ø Ò Ò Ø × Ô   Ì 

Ô 

Å     º Á Ò × Ø Ó Ò     Û × Ù × × Ø Ó Ò × Ø Ö Ù Ø Ó Ò Ó Ü Ø Ö Ó Ö     ß Ó Ö Ñ × Ó Ò Ò Ý  

Ú Ø Ó Ö × Ô   Ï  ¬ Ò Ø Ó Ø     ß Ø Ð Ò Ö Ò Ø × Ý Ñ Ñ Ø Ö Ù Ò Ø Ó Ò Ð × Ó Ò × Ù × Ô º Á Ø Ó Ð Ð Ó Û ×  

Ø Ø Ó Ò   Ì 

Ô 

Å     Û Ò Ó Ò × Ø Ö Ù Ø Ò Ó Ø Ó Ò Ð Ý Ø ½ ß Ó Ö Ñ × Ù Ø Ð × Ó Ð Ð Ø Ö Ö     ß Ó Ö Ñ × º Ì Ý  

× Ô Ò Ø Ú Ø Ó Ö × Ô £  

 

´  Ì 

Ô 

Å     µ º Ý Ð Ù Ò Ø Ó Ø Ö Ð Ð × Ù Ú Ø Ó Ö × Ô × ¸ × Û Ò Ø ×  

Ó ½ ß Ó Ö Ñ × ¸ Û Ó Ø Ò Ø Ú Ø Ó Ö ß Ù Ò Ð × Ó     ß Ó Ö Ñ × º Å Ó Ö Ü Ô Ð Ø Ð Ý Û Ò × Ø  

¬ Ò Ø Ó Ò ½ º º º     « Ö Ò Ø Ð     ß Ó Ö Ñ    

´    µ 

× × Ñ Ó Ó Ø × × Ò Ñ Ò Ø  

 

´    µ 

   Ô       

´    µ 

Ô 

¾   £ 

 

´  Ì 

Ô 

Å     µ ´ ½ º º ½ ¾ ¾ µ  

Ó Ò Ü Ø Ö Ó Ö     ß Ó Ö Ñ Ó Ò Ø Ø Ò Ò Ø × Ô Ø    Ô  Ó Ö Ô Ó Ò Ø    Ô  ¾   Å  Ó Ñ Ò Ó Ð º    

Ä Ø Ò Ó Û ´  Í ³  µ Ð Ó Ð Ö Ø Ò Ð Ø  

 ̈

Ü 

½ 

Ô 

Ü  

Ñ 

Ô 

© 

Ø Ù × Ù Ð Ò Ø Ù Ö Ð × × Ó Ø Ó Ø Ò Ò Ø  

× Ô   Ì 

Ô 

Å     º Ì Ò Ò Ø × Ñ Ð Ó Ð Ö Ø Ø « Ö Ò Ø Ð Ó Ö Ñ    

´    µ 

× Û Ö Ø Ø Ò ×  

 

´    µ 

   

 

½ 

 

 

´  Ü 

½ 

Ü  

Ñ 

µ  Ü 

 

½ 

        Ü 

 

 

´ ½ º º ½ ¾ ¿ µ  

Û Ö    

 

½ 

 

 

´  Ü 

½ 

Ü  

Ñ 

µ  ¾    

½ 

´  Í  µ Ö × Ñ Ó Ó Ø Ù Ò Ø Ó Ò × Ó Ò Ø Ó Ô Ò Ò Ó Ö Ó Ó   Í  ¸ Ó Ñ ¹  

Ô Ð Ø Ð Ý Ò Ø × Ý Ñ Ñ Ø Ö Ò Ø Ò ×    

½ 

 

 

º 

Ø Ø × Ô Ó Ò Ø Ø × Ó Ú Ó Ù × Ø Ø Ø Ó Ô Ö Ø Ó Ò Ó Ü Ø Ö Ó Ö Ô Ö Ó Ù Ø ¸ ¬ Ò Ó Ò Ü Ø Ö Ó Ö Ó Ö Ñ × ¸  

Ò Ü Ø Ò Ø Ó   Ü Ø Ö Ó Ö « Ö Ò Ø Ð Ó Ö Ñ ×  º Á Ò Ô Ö Ø Ù Ð Ö ¸    

´    µ 

Ò    

´   

¼ 

µ 

Ö     ß Ó Ö Ñ Ò  

 

¼ 

ß Ó Ö Ñ ¸ Ö × Ô Ø Ú Ð Ý ¸ Ø Ò    

´    µ 

    

´   

¼ 

µ 

× ´    ·   

¼ 

µ ß Ó Ö Ñ º × Ó Ò × Õ Ù Ò Ó Õ º ´     µ Û Ú  

 

´    µ 

    

´   

¼ 

µ 

´     µ 

 

¼ 

 

´   

¼ 

µ 

    

´    µ 

´ ½ º º ½ ¾ µ  

Ò Ò Ð Ó Ð Ó Ó Ö Ò Ø × Û ¬ Ò  

 

´    µ 

    

´   

¼ 

µ 

   

´    µ 

   

½ 

 

 

´  Ü 

½ 

Ü  

Ñ 

µ   

´    µ 

 

  · ½ 

 

  ·   

¼ 

℄ 

Ü 

½ 

   Ü  

  ·   

¼ 

´ ½ º º ½ ¾ µ  

Û Ö     ℄ Ò Ó Ø × Ø Ó Ñ Ô Ð Ø Ò Ø × Ý Ñ Ñ Ø Ö Þ Ø Ó Ò Ó Ò Ø Ò × º  

Ä Ø     

¼ 

´  Å     µ    

½ 

´  Å     µ Ò Ð Ø      

 

´  Å     µ    

½ 

´  Å     µ Ø    

½ 

´  Å     µ ß Ñ Ó Ù Ð Ó « Ö Ò Ø Ð  

  ß Ó Ö Ñ × º Ì Ó Ù × Ø Ý Ø Ò Ñ Ò Ñ Ó Ù Ð ¸ Ó × Ö Ú Ø Ø Û Ò Ó Ò × Ø Ö Ù Ø Ø Ô Ö Ó Ù Ø Ó × Ñ Ó Ó Ø  

Ù Ò Ø Ó Ò     ¾    

½ 

´  Å  µ Û Ø « Ö Ò Ø Ð Ó Ö Ñ    

´    µ 

× Ø Ø Ò  

 

 

´    µ 

 

     

 

½ 

 

     

 

 

 

    ¡   

´    µ 

 

     

 

½ 

 

     

 

 

 

´ ½ º º ½ ¾ µ  

Page 37: Fre P. Course in General Relativity (Free Version, Lecture Notes, Web Draft, 2003)(141s)_PGr

7/29/2019 Fre P. Course in General Relativity (Free Version, Lecture Notes, Web Draft, 2003)(141s)_PGr

http://slidepdf.com/reader/full/fre-p-course-in-general-relativity-free-version-lecture-notes-web-draft 37/141

À Ó Ñ Ó Ø Ó Ô Ý ¸ À Ó Ñ Ó Ð Ó Ý Ò Ó Ó Ñ Ó Ð Ó Ý   ¿  

Ó Ö     ¹ Ø Ù Ô Ð Ø Ó Ú Ø Ó Ö ¬ Ð ×  

     

 

½ 

 

     

 

 

¾   ´  Ì 

Å     

Å    µ 

Ù Ö Ø Ö Ñ Ó Ö Ð Ø  

    ´  Å     µ  

Ñ 

Å  

  ¼ 

   

 

´  Å     µ Û Ö  Ñ  Ñ   Å     ´ ½ º º ½ ¾ µ  

Ì Ò       × Ò Ð Ö Ó Ú Ö    

½ 

´  Å     µ Û Ø Ö × Ô Ø Ø Ó Ø Ü Ø Ö Ó Ö Û Ô Ö Ó Ù Ø  

Π 

º 

Ì Ó Ò Ø Ö Ó Ù Ø Ü Ø Ö Ó Ö « Ö Ò Ø Ð     Û Ô Ö Ó × Ó Ð Ð Ó Û × º Ä Ø     ¾    

½ 

´  Å     µ × Ñ Ó Ó Ø  

Ù Ò Ø Ó Ò Ó Ö Ú Ø Ó Ö ¬ Ð  

     

  ¾     « ´  Å     µ ¸ Û Ú  

     

  ´    µ  ¾    

½ 

´  Å     µ Ò Ø Ö Ó Ö Ø Ö ×  

Ù Ò Õ Ù « Ö Ò Ø Ð ½ ß Ó Ö Ñ ¸ Ò Ó Ø     × Ù Ø Ø     ´ 

     

  µ  

     

  ´    µ º Ì × « Ö Ò Ø Ð Ó Ö Ñ × Ò Ñ  

Ø Ø Ó Ø Ð « Ö Ò Ø Ð Ó Ø Ù Ò Ø Ó Ò     º Á Ò Ð Ó Ð Ö Ø   Í  Û Ø Ð Ó Ð Ó Ó Ö Ò Ø ×   Ü 

½ 

Ü  

Ñ 

Û  

Ú  

   

 

Ü 

 

Ü 

 

´ ½ º º ½ ¾ µ  

Å Ó Ö Ò Ö Ð Ð Ý Û Ò × Ø Ø Ø Ö Ü × Ø × Ò Ò Ó Ñ Ó Ö Ô × Ñ     ¸ ´          µ Ó       ´  Å     µ Ó Ò Ø Ó Ø × Ð  

Û Ø Ø Ó Ð Ð Ó Û Ò Ô Ö Ó Ô Ö Ø ×  

  µ       ¾    

 

´  Å     µ    ¾    

  · ½ 

´  Å     µ 

  µ       ¾     ´  Å     µ    ¼ 

  µ      

 

¾    

 

´  Å     µ      

 

¼ 

¾    

 

¼ 

´  Å     µ 

 

 

 

´    µ 

    

´   

¼ 

µ 

 

   

´    µ 

    

´   

¼ 

µ 

· ´     ½ µ 

 

 

´    µ 

    

´   

¼ 

µ 

Ú  µ     ¾    

¼ 

´  Å     µ    Ø Ó Ø Ð « Ö Ò Ø Ð  

´ ½ º º ½ ¾ µ  

Á Ò Ð Ó Ð Ó Ó Ö Ò Ø Ô Ø Ø Ó Ú Ò Ø Ö Ò × ¬ Ò Ø Ó Ò Ó Ø Ü Ø Ö Ó Ö « Ö Ò Ø Ð Ð × Ø Ó  

Ø Ó Ð Ð Ó Û Ò Ü Ô Ð Ø Ö Ô Ö × Ò Ø Ø Ó Ò  

 

´    µ 

   

   

½ 

 

 

¾ 

 

  · ½ 

℄ 

Ü 

 

½ 

        Ü 

 

  · ½ 

´ ½ º º ½ ¿ ¼ µ  

× Ð Ö Ý × Ø Ö × × Ø Ü Ø Ö Ó Ö « Ö Ò Ø Ð × Ø Ò Ö Ð Þ Ø Ó Ò Ó Ø Ó Ò Ô Ø Ó Ù Ö Ð ¸ Û Ð Ð Ò Ó Û Ò  

Ò Ð Ñ Ò Ø Ö Ý Ú Ø Ó Ö Ð Ù Ð Ù × º  

Á Ò Ø Ò Ü Ø × Ø Ó Ò Û Ò Ø Ö Ó Ù Ø Ò Ó Ø Ó Ò × Ó Ó Ñ Ó Ø Ó Ô Ý ¸ Ó Ñ Ó Ð Ó Ý Ò Ó Ó Ñ Ó Ð Ó Ý Ø Ø  

Ö Ö Ù Ð Ø Ó Ù Ò Ö × Ø Ò Ø Ð Ó Ð Ô Ö Ó Ô Ö Ø × Ó Ñ Ò Ó Ð × Ò Ä Ö Ó Ù Ô × º  

½ º À Ó Ñ Ó Ø Ó Ô Ý ¸ À Ó Ñ Ó Ð Ó Ý Ò Ó Ó Ñ Ó Ð Ó Ý  

« Ö Ò Ø Ð ½ ß Ó Ö Ñ × Ò Ò Ø Ö Ø Ð Ó Ò « Ö Ò Ø Ð Ô Ø × Ó Ò Ñ Ò Ó Ð × º Ì Ö « Ö ¹  

Ò Ø Ð    Ô  ß Ó Ö Ñ × ¸ Ø Ó Ò Ø Ö Ó Ù × Ó Ö Ø Ð Ý Ö Ó Ñ Ò Ó Û ¸ Ò Ò Ø Ö Ø Ó Ò    Ô  ß Ñ Ò × Ó Ò Ð × Ù Ñ Ò ¹  

Ó Ð × º Ò Ô Ô Ö Ó Ô Ö Ø × Ù × × Ó Ò Ó × Ù Ò Ø Ö Ð × Ò Ó Ø Ö Ô Ö Ó Ô Ö Ø × Ö Õ Ù Ö × Ø Ù Ò Ñ Ò Ø Ð  

Ó Ò Ô Ø × Ó Ð Ö Ø Ó Ô Ó Ð Ó Ý ¸ Ò Ñ Ð Ý   Ó Ñ Ó Ø Ó Ô Ý   Ò   Ó Ñ Ó Ð Ó Ý  º Ð × Ó Ø Ð Ó Ð Ô Ö Ó Ô Ö Ø × Ó  

Ä Ö Ó Ù Ô × Ò Ø Ö Ñ Ò Ý ß Ø Ó ß Ó Ò Ö Ð Ø Ó Ò Û Ø Ä Ð Ö × Ò Ù Ò Ö × Ø Ó Ó Ó Ò Ð Ý Ò Ø Ö Ñ ×  

Ó Ó Ñ Ó Ø Ó Ô Ý º Ó Ö Ø × Ö × Ó Ò Û Ú Ó Ø Ø Ô Ö × Ò Ø × Ø Ó Ò Ø Ó Ò Ò Ø Ö Ó Ù Ø Ó Ö Ý × Ù × × Ó Ò Ó  

Ó Ñ Ó Ø Ó Ô Ý ¸ Ó Ñ Ó Ð Ó Ý Ò Ó Ø × Ù Ð ¸ Ó Ó Ñ Ó Ð Ó Ý º  

Ì Ò Ó Ô Ö Ó Ð Ñ × Û Ö Ó Ò Ø Ó Ó Ò × Ö Ò Ò Ø Ù Ø Ú Ð Ý Ö × Ô Û Ó Ò × Ö ¬ º  

½ º ¾ ¼ ¸ × Ô Ð Ý Ò Ð Ó × Ø Û Ó ß Ñ Ò × Ó Ò Ð × Ù Ö Û Ø Ø Û Ó Ò Ð × ´ Ø Ù Ð Ð Ý Ò Ó Ö Ò Ø ¸ Ð Ó ×  

Ê Ñ Ò Ò × Ù Ö Ó Ò Ù ×     ¾ µ Ó Ò Û Û Ú Ö Û Ò × Ú Ö Ð « Ö Ò Ø Ð Ó × ½ ß Ñ Ò × Ó Ò Ð  

Ô Ø ×   - 

½ 

-  

 

º 

Ó Ò × Ö ¬ Ö × Ø Ø Ô Ø   - 

 

º Á Ø × Ò Ò Ø Ù Ø Ú Ø Ø Ø   - 

 

Ò Ó Ò Ø Ò Ù Ó Ù × Ð Ý Ó Ö Ñ Ø Ó Ù × Ø  

Ô Ó Ò Ø Ó Ò Ø × Ù Ö º È Ø × Û Ø × Ù Ô Ö Ó Ô Ö Ø Ý Ö Ò Ñ   Ó Ñ Ó Ø Ó Ô Ð Ð Ý Ø Ö Ú Ð   Ó Ö  Ó Ñ Ó Ø Ó Ô  

Ø Ó Þ Ö Ó  º Á Ø × Ð × Ó Ò Ò Ø Ù Ø Ú Ø Ø Ø Ò Ø Ö   - 

¾ 

¸ Ò Ó Ö   - 

¿ 

¸ Ò Ó Ö   - 

½ 

¸ Ò Ó Ö   - 

 

Ö Ó Ñ Ó Ø Ó Ô Ð Ð Ý  

Page 38: Fre P. Course in General Relativity (Free Version, Lecture Notes, Web Draft, 2003)(141s)_PGr

7/29/2019 Fre P. Course in General Relativity (Free Version, Lecture Notes, Web Draft, 2003)(141s)_PGr

http://slidepdf.com/reader/full/fre-p-course-in-general-relativity-free-version-lecture-notes-web-draft 38/141

À Ó Ñ Ó Ø Ó Ô Ý ¸ À Ó Ñ Ó Ð Ó Ý Ò Ó Ó Ñ Ó Ð Ó Ý   ¿  

Ù Ö ½ º ¾ ¼ º   Ð Ó × × Ù Ö Û Ø Ø Û Ó Ò Ð × Ñ Ö Ý × Ú Ö Ð « Ö Ò Ø Ð Ó × ½ ß Ñ Ò × Ó Ò Ð Ô Ø ×  

Ø Ö Ú Ð º È Ø × Ó × Ù Ø Ý Ô Ö   Ó Ñ Ó Ø Ó Ô Ð Ð Ý Ò Ó Ò Ø Ö Ú Ð  º Ù Ö Ø Ö Ñ Ó Ö Û × Ý Ø Ø Ø Û Ó Ô Ø ×  

Ö Ó Ñ Ó Ø Ó Ô Ó Ò Ò Ó Ò Ø Ò Ù Ó Ù × Ð Ý Ó Ö Ñ Ò Ø Ó Ø Ó Ø Ö º Ì × × Ó Ö Ò × Ø Ò Ø ×  

Ó   - 

 

Û × Ð Ö Ð Ý Ó Ñ Ó Ø Ó Ô Ø Ó   - 

¿ 

º 

Ä Ø Ù × Ò Ó Û Ó Ò × Ö Ø « Ö Ò Ø Û Ò Ô Ø   - 

 

Ò Ô Ø   - 

½ 

Ö Ó Ñ Ò Ó Ø Ö Ú Û Ô Ó Ò Ø º  

Á Ñ Ò Ø Ö × Ù Ð Ø Ó Ù Ø Ø Ò Ø × Ù Ö Ð Ó Ò Ø Ô Ø   - 

 

º Ø Ö Ø Ù Ø Ø × Ù Ö × Ô Ð Ø × Ò Ø Ó  

Ø Û Ó × Ô Ö Ø Ô Ö Ø × ¸   Ê 

½ 

Ò   Ê 

¾ 

× × Ó Û Ò Ò ¬ º ½ º ¾ ½ º Ë Ù × Ô Ð Ø Ø Ò Ó × Ò Ó Ø Ó Ù Ö Û Ù Ø Ø  

Ù Ö ½ º ¾ ½ º   Ï Ò Û Ù Ø × Ù Ö Ð Ó Ò Ô Ø Ø Ø × Ó Ù Ò Ö Ý ¸ Ò Ñ Ð Ý Ø × Ó Ñ Ó Ð Ó Ð Ð Ý Ø Ö Ú Ð ¸  

Ø × Ù Ö × Ô Ð Ø × Ò Ø Ó Ø Û Ó × Ô Ö Ø Ô Ö Ø ×  

Ó Ö Ò Ð × Ù Ö Ð Ó Ò Ø Ô Ø   - 

½ 

º Ì Ö × Ó Ò Ó Ö Ø × « Ö Ò Ø Ú Ó Ù Ö Ö × × Ò Ø × º Ì  

Ô Ø   - 

 

× Ø Ó Ù Ò Ö Ý Ó Ö Ó Ò Ó Ò Ø × Ù Ö ´ Ø Ö Ó Ò   Ê 

½ 

Ó Ö ¸ Õ Ù Ú Ð Ò Ø Ð Ý Ø × Ó Ñ Ô Ð Ñ Ò Ø  

Ê 

¾ 

µ Û Ð   - 

½ 

× Ò Ó Ø Ø Ó Ù Ò Ö Ý Ó Ò Ý Ö Ó Ò º × Ñ Ð Ö × Ø Ø Ñ Ò Ø × Ø Ö Ù Ó Ö Ø Ô Ø ×   - 

¾ 

Ó Ö 

¿ 

º Ï × Ý Ø Ø   - 

 

×  Ó Ñ Ó Ð Ó Ð Ð Ý Ø Ö Ú Ð   Û Ð   - 

½ 

¾ 

¿ 

Ö   Ó Ñ Ó Ð Ó Ð Ð Ý Ò Ó Ò Ø Ö Ú Ð  º 

Ü Ø Ð Ø Ù × Ó × Ö Ú Ø Ø Û × Ñ Ù Ð Ø Ò Ó Ù × Ð Ý Ù Ø Ø Ó Ö Ò Ð × Ù Ö Ð Ó Ò   - 

½ 

¾ 

¿ 

Ø  

× Ù Ö × Ô Ð Ø × Ó Ò Ò Ò Ø Ó Ø Û Ó × Ô Ö Ø Ô Ö Ø × × × Ó Û Ò Ò ¬ º ½ º ¾ ¾  

Ì × × Ù Ø Ó Ø Ø Ø Ø Ø × Ù Ñ Ó Ø Ø Ö Ô Ø × × Ø Ó Ù Ò Ö Ý Ó Ö Ó Ò Ø Ö  

Ê 

½ 

Ó Ö  Ê 

¾ 

Ó ¬ º ½ º ¾ ¾ º Á Ò Ø × × Û × Ý Ø Ø   - 

¾ 

·  - 

¿ 

×  Ó Ñ Ó Ð Ó Ó Ù ×   Ø Ó     - 

½ 

¸ × Ò Ø « Ö Ò  

¾ 

·  - 

¿ 

  ´ 

  - 

¿ 

µ × Ó Ù Ò Ö Ý º  

Á Ò Ó Ö Ö Ø Ó Ú Ö Ó Ö Ó Ù × Ó Ö Ñ Ù Ð Ø Ó Ò Ø Ó Ø × Ò Ø Ù Ø Ú Ó Ò Ô Ø × ¸ Û Ò Ü Ø Ò  

Page 39: Fre P. Course in General Relativity (Free Version, Lecture Notes, Web Draft, 2003)(141s)_PGr

7/29/2019 Fre P. Course in General Relativity (Free Version, Lecture Notes, Web Draft, 2003)(141s)_PGr

http://slidepdf.com/reader/full/fre-p-course-in-general-relativity-free-version-lecture-notes-web-draft 39/141

À Ó Ñ Ó Ø Ó Ô Ý ¸ À Ó Ñ Ó Ð Ó Ý Ò Ó Ó Ñ Ó Ð Ó Ý   ¿  

Ù Ö ½ º ¾ ¾ º   Ì × Ù Ñ Ó Ø Ø Ö Ô Ø ×   - 

½ 

¾ 

¿ 

× Ó Ñ Ó Ð Ó Ð Ð Ý Ø Ö Ú Ð ¸ Ò Ñ Ð Ý   - 

¾ 

·  - 

¿ 

× Ó Ñ Ó Ð Ó Ó Ù ×  

Ø Ó    - 

½ 

Ð × Ó Ø Ó Ö Ñ Ò × Ó Ò Ð × Ù Ñ Ò Ó Ð × Ó Ò Ý Ñ Ò Ó Ð Û Ô Ö Ó × Ó Ð Ð Ó Û × º  

½ º º ½ À Ó Ñ Ó Ø Ó Ô Ý  

Ä Ø Ù × Ó Ñ Ø Ó Ø ¬ Ò Ø Ó Ò ½ º ¿ º ½ Ó Ù Ö Ú ´ Ó Ö Ô Ø µ Ò Ñ Ò Ó Ð Ò × Ð Ø Ð Ý Ò Ö Ð Þ  

Ø º 

¬ Ò Ø Ó Ò ½ º º ½ º     Ä Ø     ℄ Ð Ó × Ò Ø Ö Ú Ð Ó Ø Ö Ð Ð Ò   Ê  Ô Ö Ñ Ø Ö Þ Ý Ø Ô Ö Ñ ¹  

Ø Ö   Ø  Ò × Ù Ú Ø Ò Ø Ó ¬ Ò Ø Ò Ù Ñ Ö Ó Ð Ó × ¸ Ô Ö Ø Ð Ò Ø Ö Ú Ð ×  

  Ø 

½ 

℄      Ø 

½ 

Ø 

¾ 

℄      Ø 

Ò    ½ 

Ø 

Ò 

℄      Ø 

Ò 

  ℄ ´ ½ º º ½ ¿ ½ µ  

Ï Ò Ñ   Ô ß Û × « Ö Ò Ø Ð Ô Ø   Ó Ò Ø Ò Ù Ó Ù × Ñ Ô  

-      ℄ 

Å    ´ ½ º º ½ ¿ ¾ µ  

Ó Ø Ò Ø Ö Ú Ð     ℄ Ò Ø Ó « Ö Ò Ø Ð Ñ Ò Ó Ð   Å     × Ù Ø Ø Ø Ö Ü × Ø × × Ô Ð Ø Ø Ò Ó     ℄ 

Ò Ø Ó ¬ Ò Ø × Ø Ó Ð Ó × × Ù Ò Ø Ö Ú Ð × × Ò Õ º ´ ½ º º ½ ¿ ½ µ Û Ø Ø Ô Ö Ó Ô Ö Ø Ý Ø Ø Ó Ò Ó Ø ×  

Ò Ø Ö Ú Ð × Ø Ñ Ô   -  × Ò Ó Ø Ó Ò Ð Ý Ó Ò Ø Ò Ù Ó Ù × Ù Ø Ð × Ó Ò ¬ Ò Ø Ð Ý « Ö Ò Ø Ð º    

Ë Ò Û Ú Ô Ö Ñ Ø Ö Ò Ú Ö Ò Û Ò Ð Û Ý × Ö × Ð Ø Ò Ø Ö Ú Ð     ℄ Ò Ö Ù Ø Ø Ó  

¼    ½ ℄      Á  ´ ½ º º ½ ¿ ¿ µ  

Ä Ø 

    Á  Å    

    Á  Å     ´ ½ º º ½ ¿ µ  

Page 40: Fre P. Course in General Relativity (Free Version, Lecture Notes, Web Draft, 2003)(141s)_PGr

7/29/2019 Fre P. Course in General Relativity (Free Version, Lecture Notes, Web Draft, 2003)(141s)_PGr

http://slidepdf.com/reader/full/fre-p-course-in-general-relativity-free-version-lecture-notes-web-draft 40/141

À Ó Ñ Ó Ø Ó Ô Ý ¸ À Ó Ñ Ó Ð Ó Ý Ò Ó Ó Ñ Ó Ð Ó Ý   ¿  

Ø Û Ó Ô ß Û × « Ö Ò Ø Ð Ô Ø × Û Ø Ó Ò Ò Ü Ø Ö Ñ ¸ Ò Ñ Ð Ý × Ù Ø Ø ´ × ¬ º ½ º ¾ ¿ µ  

  ´ ¼ µ     ´ ¼ µ   Ü 

¼ 

¾ Å    

  ´ ½ µ     ´ ½ µ   Ü 

½ 

¾ Å    ´ ½ º º ½ ¿ µ  

Ù Ö ½ º ¾ ¿ º   Ì Û Ó Ô Ø × Û Ø Ó Ò Ò Ü Ø Ö Ñ  

¬ Ò Ø Ó Ò ½ º º ¾ º     Ï × Ý Ø Ø     × Ó Ñ Ó Ø Ó Ô Ø Ó     Ò Û Û Ö Ø    

³     Ø Ö Ü × Ø ×  

Ó Ò Ø Ò Ù Ó Ù × Ñ Ô  

    Á  ¢   Á  Å     ´ ½ º º ½ ¿ µ  

× Ù Ø Ø  

  ´  ×   ¼ µ     ´  ×  µ     ×  ¾   Á 

  ´  ×   ½ µ     ´  ×  µ     ×  ¾   Á 

  ´ ¼  Ø  µ   Ü 

¼ 

   Ø  ¾   Á 

  ´ ½  Ø  µ   Ü 

½ 

   Ø  ¾   Á 

´ ½ º º ½ ¿ µ  

 

Á Ò Ô Ö Ø Ù Ð Ö     × Ð Ó × Ô Ø ¸ Ò Ñ Ð Ý Ð Ó Ó Ô Ø   Ü 

¼ 

¸ Ò Ñ Ð Ý   Ü 

¼ 

  Ü 

½ 

Ò     Ó Ñ Ó Ø Ó Ô Ø Ó  

  × Ø   Ó Ò × Ø Ò Ø Ð Ó Ó Ô   Ø Ø ×  

   ×  ¾   Á      ´  ×  µ   Ü 

¼ 

´ ½ º º ½ ¿ µ  

Ø Ò Û × Ý Ø Ø     ×  Ó Ñ Ó Ø Ó Ô Ð Ð Ý Ø Ö Ú Ð   Ò Ø Ø Ø Ò Ó Ò Ø Ö Ø Ø Ó Ô Ó Ò Ø º  

Á Ø × Õ Ù Ø Ó Ú Ó Ù × Ø Ø Ø Ó Ñ Ó Ø Ó Ô Ý Ö Ð Ø Ó Ò    

³     × Ò Õ Ù Ú Ð Ò Ö Ð Ø Ó Ò º À Ò Û  

× Ð Ð Ó Ò × Ö Ø Ó Ñ Ó Ø Ó Ô Ý Ð × × ×    ℄ Ó Ô Ø × Ö Ó Ñ   Ü 

¼ 

Ø Ó  Ü 

½ 

Page 41: Fre P. Course in General Relativity (Free Version, Lecture Notes, Web Draft, 2003)(141s)_PGr

7/29/2019 Fre P. Course in General Relativity (Free Version, Lecture Notes, Web Draft, 2003)(141s)_PGr

http://slidepdf.com/reader/full/fre-p-course-in-general-relativity-free-version-lecture-notes-web-draft 41/141

À Ó Ñ Ó Ø Ó Ô Ý ¸ À Ó Ñ Ó Ð Ó Ý Ò Ó Ó Ñ Ó Ð Ó Ý   ¼ 

Ü Ø Û Ò ¬ Ò Ò Ö Ý Ô Ö Ó Ù Ø Ó Ô Ö Ø Ó Ò Ó Ò Ø × Ô Ó Ô Ø × Ò Ø Ó Ð Ð Ó Û Ò Û Ý º  

Á     × Ô Ø Ö Ó Ñ   Ü 

¼ 

Ø Ó  Ü 

½ 

Ò     × × Ô Ø Ö Ó Ñ   Ü 

½ 

Ø Ó  Ü 

¾ 

Û Ò ¬ Ò Ô Ø Ö Ó Ñ   Ü 

¼ 

Ø Ó  Ü 

¾ 

Ø Ö Ú Ð Ò ¬ Ö × Ø Ð Ó Ò     Ò Ø Ò Ð Ó Ò     º Å Ó Ö Ô Ö × Ð Ý Û × Ø  

  ´  Ø  µ  

 

  ´ ¾  Ø  µ ¼     Ø    

½ 

¾ 

  ´ ¾  Ø     ½ µ 

½ 

¾ 

   Ø     ½ 

´ ½ º º ½ ¿ µ  

Ï Ø Û Ò Ñ Ñ Ø Ð Ý Ú Ö Ý Ö Ó Ñ Ø × ¬ Ò Ø Ó Ò × Ø Ø     ³     

¼ 

Ò     ³     

¼ 

Ø Ò     ³     

¼ 

 

¼ 

º 

Ì Ô Ö Ó Ó × Ñ Ñ Ø Ò Ø × Ð Ø Ø Ó Ø Ö Ö º À Ò Û Ø Ó Ù Ø Ò Ý Ñ Ù Ø Ý Û Ò Ñ Ù Ð Ø Ô Ð Ý  

Ø Õ Ù Ú Ð Ò Ð × × Ó     Û Ø Ø Õ Ù Ú Ð Ò Ð × × Ó     Ð Û Ý × × × Ù Ñ Ò Ø Ø Ø ¬ Ò Ð Ô Ó Ò Ø Ó  

  Ó Ò × Û Ø Ø Ò Ø Ð Ô Ó Ò Ø Ó     º Ê Ð Ý Ò Ó Ò Ø × ¬ Ò Ø Ó Ò × Û Ú Ø Ó Ö Ñ Û ×  

Ú Ö Ý × Ý Ø Ó Ô Ö Ó Ú Ù Ø × Ò Ó Ù Ø × Ø Ò Ò Ö Ð Ú Ò  

Ì Ó Ö Ñ ½ º º ½ º     Ä Ø   

½ 

´  Å     Ü 

¼ 

µ Ø × Ø Ó Ó Ñ Ó Ø Ó Ô Ý Ð × × × Ó Ð Ó Ó Ô × Ò Ø Ñ Ò Ó Ð   Å    

Û Ø × Ò Ø Ô Ó Ò Ø   Ü 

¼ 

¾ Å     º Á Ø Ô Ö Ó Ù Ø Ð Û Ó Ô Ø × × ¬ Ò × Û Ù × Ø Ü Ô Ð Ò Ó Ú ¸  

Ø Ò Û Ø Ö × Ô Ø Ø Ó Ø × Ó Ô Ö Ø Ó Ò    

½ 

´  Å     Ü 

¼ 

µ × Ö Ó Ù Ô Û Ó × Ò Ø Ø Ý Ð Ñ Ò Ø × Ô Ö Ó Ú Ý  

Ø Ó Ñ Ó Ø Ó Ô Ý Ð × × Ó Ø Ó Ò × Ø Ò Ø Ð Ó Ó Ô Ø   Ü 

¼ 

Ò Ø Ò Ú Ö × Ó Ø Ó Ñ Ó Ø Ó Ô Ý Ð × ×    ℄ × Ø  

Ó Ñ Ó Ø Ó Ô Ý Ð × × Ó Ø Ð Ó Ó Ô    

  ½ 

¬ Ò Ý  

 

  ½ 

´  Ø  µ     ´ ½     Ø  µ ¼     Ø     ½ ´ ½ º º ½ ¼ µ  

´ Á Ò Ó Ø Ö Û Ó Ö ×    

  ½ 

× Ø × Ñ Ô Ø Ó Ð Ð Ó Û Û Ö µ    

È Ö Ó Ó ½ º º ½ º ½ º   Ð Ö Ð Ý Ø Ó Ñ Ô Ó × Ø Ó Ò Ó Ð Ó Ó Ô     Û Ø Ø Ó Ò × Ø Ò Ø Ð Ó Ó Ô ´ Ö Ó Ñ Ò Ó Û Ó Ò Ò Ó Ø  

×  Ü 

¼ 

µ Ý Ð ×     º À Ò   Ü 

¼ 

× « Ø Ú Ð Ý Ø Ò Ø Ø Ý Ð Ñ Ò Ø Ó Ø Ö Ó Ù Ô º Ï × Ø Ð Ð Ú Ø Ó × Ó Û  

Ø Ø    

  ½ 

³   Ü 

¼ 

º Ì Ü Ô Ð Ø Ö Ð Þ Ø Ó Ò Ó Ø Ö Õ Ù Ö Ó Ñ Ó Ø Ó Ô Ý × Ô Ö Ó Ú Ý Ø Ó Ð Ð Ó Û Ò  

Ù Ò Ø Ó Ò  

  ´  × Ø  µ  

 

 

 

  ´ ¾  ×  µ ¼     ¾  ×     Ø 

  ´  Ø  µ  Ø     ¾  ×     ¾     Ø 

 

  ½ 

´ ¾  ×     ½ µ ¾     Ø     ¾  ×     ¾ 

´ ½ º º ½ ½ µ  

Ä Ø Ù × Ó × Ö Ú Ø Ø Ú Ò ¬ Ò     × Ó Ú Û Ú  

  ´  ×   ¼ µ        ´ ¼ µ   Ü 

¼ 

   ×  ¾   Á 

  ´  ×   ½ µ  

 

  ´ ¾  ×  µ ¼     × 

½ 

¾ 

 

  ½ 

´ ¾  × 

  ½ µ 

½ 

¾ 

  × 

  ½ 

´ ½ º º ½ ¾ µ  

Ò Ù Ö Ø Ö Ñ Ó Ö  

  ´ ¼  Ø  µ        ´ ¼ µ   Ü 

¼ 

   Ø  ¾   Á 

  ´ ½  Ø  µ  

 ̈

 

  ½ 

´ ½ µ   Ü 

¼ 

   Ø  ¾   Á  ´ ½ º º ½ ¿ µ  

Ì Ö Ó Ö Ø × × Ù Æ Ò Ø Ø Ó Ø Ø     ´  × Ø  µ × Ó Ò Ø Ò Ù Ó Ù × º Ú Ò Ø × Õ Ù Ö ¼     ½ ℄  ¢   ¼    ½ ℄ Ò Ø Ó  

Ø Ö Ø Ö Ò Ð × × Ò ¬ º ½ º ¾ Û × Ø Ø     ´  × Ø  µ × Ó Ò Ø Ò Ù Ó Ù × Ò Ó Ø Ø Ö Ò Ð × Ò Ø Ø ×  

Ó Ò × × Ø Ò Ø Ð Ý Ð Ù Ó Ò Ø × × Ó Ø Ø Ö Ò Ð × º À Ò     × ¬ Ò Ò Õ º ´ ½ º º ½ ½ µ × Ó Ò Ø Ò Ù Ó Ù × º  

Ì × Ó Ò Ð Ù × Ø Ô Ö Ó Ó Ó Ø Ø Ó Ö Ñ   ¤ 

Ì Ó Ö Ñ ½ º º ¾ º     Ä Ø  «  Ô Ø Ö Ó Ñ   Ü 

¼ 

Ø Ó  Ü 

½ 

º Ì Ò  

    ℄ 

« 

   

¢ 

« 

  ½ 

« 

£ 

´ ½ º º ½ µ  

Page 42: Fre P. Course in General Relativity (Free Version, Lecture Notes, Web Draft, 2003)(141s)_PGr

7/29/2019 Fre P. Course in General Relativity (Free Version, Lecture Notes, Web Draft, 2003)(141s)_PGr

http://slidepdf.com/reader/full/fre-p-course-in-general-relativity-free-version-lecture-notes-web-draft 42/141

À Ó Ñ Ó Ø Ó Ô Ý ¸ À Ó Ñ Ó Ð Ó Ý Ò Ó Ó Ñ Ó Ð Ó Ý   ½ 

 ¡ 

 ¡ 

 ¡ 

 ¡ 

 ¡ 

 ¡ 

 ¡ 

 ¡ 

 ¡ 

 ¡ 

 ¡ 

 ¡ 

 ¡ 

 ¡ 

 ¡ 

 ¡ 

 ¡ 

 ¡ 

 ¡ 

 ¡  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

¼ 

½ 

½ 

¾  × Ø  ¾     Ø     ¾  ×     ¾ 

Ø     ¾  ×     ¾     Ø 

Ø 

× 

Ù Ö ½ º ¾ º  

× Ò × Ó Ñ Ó Ö Ô × Ñ Ó    

½ 

´  Å     Ü 

¼ 

µ Ò Ø Ó    

½ 

´  Å     Ü 

½ 

µ   

È Ö Ó Ó ½ º º ¾ º ½ º   Á Ò ¸ × Ò  

    ℄     

¢ 

« 

  ½ 

« 

£ ¢ 

« 

  ½ 

« 

£ 

 

¢ 

« 

  ½ 

« 

£ 

´ ½ º º ½ µ  

Û × Ø Ø  

« 

    × Ó Ñ Ó Ñ Ó Ö Ô × Ñ º Ë Ò Ð × Ó Ø Ò Ú Ö ×  

« 

  ½ 

    Ó × Ü × Ø ¸ Ø Ò Ø Ó Ñ Ó Ñ Ó Ö ¹  

Ô × Ñ × Ø Ù Ð Ð Ý Ò × Ó Ñ Ó Ö Ô × Ñ º   ¤ 

Ö Ó Ñ Ø × Ø Ó Ö Ñ Ø Ó Ð Ð Ó Û × Ø Ø Ò Ö ß Û × Ó Ò Ò Ø Ñ Ò Ó Ð ¸ Ò Ñ Ð Ý Ò Ñ Ò Ó Ð Û Ö  

Ú Ö Ý Ô Ó Ò Ø × Ó Ò Ò Ø Ø Ó Ò Ý Ó Ø Ö Ý Ø Ð × Ø Ó Ò Ô ß Û × « Ö Ò Ø Ð Ô Ø ¸ Ø Ö Ó Ù Ô  

 

½ 

´  Å     Ü 

¼ 

µ × Ò Ô Ò Ò Ø Ö Ó Ñ Ø Ó Ó Ø × Ô Ó Ò Ø   Ü 

¼ 

Ò Û Ò Ð Ð Ø × Ñ Ô Ð Ý    

½ 

´  Å     µ º 

Ì Ö Ó Ù Ô    

½ 

´  Å     µ × Ò Ñ Ø ¬ Ö × Ø Ó Ñ Ó Ø Ó Ô Ý Ö Ó Ù Ô Ó Ø Ñ Ò Ó Ð Ó Ö × Ñ Ô Ð Ý Ø   Ù Ò Ñ Ò Ø Ð  

Ö Ó Ù Ô   Ó   Å     º 

¬ Ò Ø Ó Ò ½ º º ¿ º     « Ö Ò Ø Ð Ñ Ò Ó Ð   Å     Û × Ö ß Û × Ó Ò Ò Ø × Ò Ñ   × Ñ Ô Ð Ý  

Ó Ò Ò Ø   Ø × Ù Ò Ñ Ò Ø Ð Ö Ó Ù Ô    

½ 

´  Å     µ × Ø Ø Ö Ú Ð Ö Ó Ù Ô Ó Ñ Ô Ó × Ó Ò Ð Ý Ý Ø Ò Ø Ø Ý  

Ð Ñ Ò Ø º  

 

½ 

´  Å     µ   ¸ Å     × Ñ Ô Ð Ý Ó Ò Ò Ø ´ ½ º º ½ µ  

 

Page 43: Fre P. Course in General Relativity (Free Version, Lecture Notes, Web Draft, 2003)(141s)_PGr

7/29/2019 Fre P. Course in General Relativity (Free Version, Lecture Notes, Web Draft, 2003)(141s)_PGr

http://slidepdf.com/reader/full/fre-p-course-in-general-relativity-free-version-lecture-notes-web-draft 43/141

À Ó Ñ Ó Ø Ó Ô Ý ¸ À Ó Ñ Ó Ð Ó Ý Ò Ó Ó Ñ Ó Ð Ó Ý   ¾ 

½ º º ¾ À Ó Ñ Ó Ð Ó Ý  

Ì Ò Ó Ø Ó Ò Ó Ó Ñ Ó Ø Ó Ô Ý Ð Ù × Ø Ó Ò Ø Ö Ó Ù Ò Ò Ø Ö Ò Ð Ó Ñ Ô Ó × Ø Ó Ò Ö Ó Ù Ô Ó Ö Ô Ø × ¸ Ø Ù Ò ¹  

Ñ Ò Ø Ð Ö Ó Ù Ô    

½ 

´  Å     µ ¸ Û Ó × × Ø Ö Ù Ø Ù Ö × Ø Ó Ô Ó Ð Ó Ð Ò Ú Ö Ò Ø Ó Ø Ñ Ò Ó Ð   Å     ¸ × Ò  

Ø Ó × Ò Ó Ø Ò Ù Ò Ö Ó Ò Ø Ò Ù Ó Ù × Ó Ö Ñ Ø Ó Ò × Ó Ø Ð Ø Ø Ö º Ó Ö Ø × Ö Ó Ù Ô Û Ú Ù ×  

Ñ Ù Ð Ø Ô Ð Ø Ú Ò Ó Ø Ø Ó Ò × × Ò Ò Ó Ø Ò Ù Ö Ò Ø × Ô Ö Ó Ö Ø Ø Ø × Ó Ù Ð Ð Ò º Ò Ö Ð Ð Ý  

Ø Ù Ò Ñ Ò Ø Ð Ó Ñ Ó Ø Ó Ô Ý Ö Ó Ù Ô Ó Ñ Ò Ó Ð × Ò Ó Ò Ð Ò º × Ñ Ò Ø Ó Ò Ó Ú Ø Ö Ö  

Ö Ó Ñ Ó Ø Ó Ô Ý Ö Ó Ù Ô ×    

Ò 

´ 

Å    µ Û Ó × Ð Ñ Ò Ø × Ö Ø Ó Ñ Ó Ø Ó Ô Ý Ð × × × Ó   Ë 

Ò 

× Ô Ö × Ö Û Ò  

Ó Ò Ø Ñ Ò Ó Ð º  

Á Ò Ø × × Ø Ó Ò Û Ø Ù Ö Ò Ó Ù Ö Ø Ø Ò Ø Ó Ò Ø Ó Ò Ó Ø Ö × Ö × Ó Ö Ó Ù Ô × Ø Ø Ð × Ó Ó Ý Ø Ó Ô Ó Ð Ó Ð  

Ô Ö Ó Ô Ö Ø × Ó Ø Ñ Ò Ó Ð Ò Ö Ó Ò Ø Ó Ò Ø Ö Ö Ý Ð Ð Ð Ò º Ì × Ö Ø Ó Ñ Ó Ð Ó Ý Ö Ó Ù Ô ×  

À 

 

´  Å     µ     ¼    ½    ¾    Ñ ´  Å     µ ´ ½ º º ½ µ  

Ï Ò Ö × Ô Ø Ò Ó Ø Ó Ò Ó   Ó Ñ Ó Ð Ó Ý   Û Ô Ö × Ù Ó Ù Ö × Ð Ú × Ø Ø Ø Ñ × × Ò × Ø Ó Ó Ò × Ö  

Ð Ò Ö Ó Ñ Ò Ø Ó Ò × Ó × Ù Ñ Ò Ó Ð × Ó Ö Ö Ó Ò × Ó Ñ Ò × Ó Ò    Ô  Ó Ñ Ò Ó Ð   Å     ¸ Û Ø Ó Æ Ò Ø ×  

Ò Ö Ò   Ê    Ø Ø Ò Ø Ö     ¸ Ó Ö  Ê  Ó Ö ¸ × Ó Ñ Ø Ñ ×    

Ò 

º Ì Ö × Ó Ò × Ø Ø Ø × Ù Ñ Ò Ó Ð ×  

Ó Ñ Ò × Ó Ò    Ô  Ö Ù × Ø ¬ Ø Ø Ó Ò Ø Ö Ø    Ô  ß « Ö Ò Ø Ð Ó Ö Ñ × Ó Ú Ö Ø Ñ º Ì × Ø Ð Ð Ó Û × Ø Ó Ú  

Ñ Ò Ò Ø Ó Ò Ü Ô Ö × × Ó Ò Ó Ø Ó Ð Ð Ó Û Ò Ó Ö Ñ  

  

´  Ô  µ 

  Ñ 

½ 

Ë 

´  Ô  µ 

½ 

·  Ñ 

¾ 

Ë 

´  Ô  µ 

¾ 

·    ·  Ñ 

 

Ë 

´  Ô  µ 

 

´ ½ º º ½ µ  

Û Ö   Ë 

´  Ô  µ 

 

Å     Ö × Ù Ø Ð    Ô  ß Ñ Ò × Ó Ò Ð × Ù Ñ Ò Ó Ð × Ó Ø Ñ Ò Ó Ð   Å     ¸ Ð Ø Ö Ó Ò Ð Ð  

× Ñ Ô Ð Ü ×  ¸ Ò   Ñ 

 

¾ Ê    Ö Ð Ñ Ò Ø × Ó Ø Ó × Ò Ö Ò Ó Ó Æ Ò Ø × º Ï Ø Û × Ý × Ø Ñ Ø Ð Ð Ý  

Ó × Ø Ó Ð Ð Ó Û Ò º Ó Ö « Ö Ò Ø Ð    Ô  ß Ó Ö Ñ    

´  Ô  µ 

¾   £ 

Ô 

´  Å     µ Û × Ø  

  

 

´  Ô  µ 

 

´  Ô  µ 

 

  

Ñ 

½ 

Ë 

´  Ô  µ 

½ 

·  Ñ 

¾ 

Ë 

´  Ô  µ 

¾ 

·  ·  Ñ 

 

Ë 

´  Ô  µ 

 

 

´  Ô  µ 

 

´  Ô  µ 

 

 

  

  ½ 

Ñ 

 

  

Ë 

´  Ô  µ 

 

 

´  Ô  µ 

´ ½ º º ½ µ  

Ò Ò Ø × Û ¬ Ò Ø Ò Ø Ö Ð Ó    

´  Ô  µ 

Ó Ò Ø Ö Ó Ò     

´  Ô  µ 

º Ü Ø Ð Ø Ù × Ú Ø Ô Ö × ¬ Ò Ø Ó Ò  

Ó Ø    Ô  ß × Ñ Ô Ð Ü × Ó Û Û Û Ò Ø Ø Ó Ø Ð Ò Ö Ó Ñ Ò Ø Ó Ò × º  

¬ Ò Ø Ó Ò ½ º º º     Ä Ø Ù × Ó Ò × Ö Ø Ù Ð Ò × Ô   Ê 

Ô  · ½ 

º Ì × Ø Ò Ö    Ô  ¹ × Ñ Ô Ð Ü ¡  

Ô 

× 

Ø × Ø Ó Ð Ð Ô Ó Ò Ø ×      Ø 

¼ 

Ø 

½ 

Ø  

Ô 

¾   Ê 

Ô  · ½ 

× Ù Ø Ø Ø Ó Ð Ð Ó Û Ò Ó Ò Ø Ó Ò × Ö × Ø × ¬  

Ø 

 

   ¼   Ø 

¼ 

·  Ø 

½ 

·    ·  Ø 

Ô 

½ ´ ½ º º ½ ¼ µ  

 

Á Ø × Ù × Ø × Ý Ø Ó × Ø Ø Ø × Ø Ò Ö ¼ ¹ × Ñ Ô Ð Ü × Ô Ó Ò Ø ¸ × Ñ Ô Ð Ü Ù × Ò Ñ Ð Ý   Ø 

¼ 

½ ¸ Ø × Ø Ò Ö  

½ ¹ × Ñ Ô Ð Ü × × Ñ Ò Ø Ó Ð Ò ¸ Ø × Ø Ò Ö ¾ ¹ × Ñ Ô Ð Ü × Ø Ö Ò Ð ¸ Ø × Ø Ò Ö ¿ ß × Ñ Ô Ð Ü ×  

Ø Ø Ö Ö Ó Ò Ò × Ó Ó Ò ´ × ¬ º ½ º ¾ µ º  

Ä Ø Ù × Ò Ó Û Ó Ò × Ö Ø × Ø Ò Ö ´   Ô     ½ µ ¹ × Ñ Ô Ð Ü ¡  

´  Ô    ½ µ 

Ò Ð Ø Ù × Ó × Ö Ú Ø Ø Ø Ö Ö  

´   Ô  · ½ µ Ò Ó Ò Ð Ñ Ô ×    

 

Ø Ø Ñ Ô ¡  

´  Ô    ½ µ 

Ò Ø Ó ¡  

Ô 

 

 

 

¡ 

´  Ô    ½ µ 

    ¡ 

Ô 

´ ½ º º ½ ½ µ  

Ì × Ñ Ô × Ö ¬ Ò × Ó Ð Ð Ó Û ×  

 

´  Ô  µ 

 

´  Ø 

¼ 

Ø  

    ½ 

Ø 

  · ½ 

Ø  

Ô 

µ ´  Ø 

¼ 

Ø  

    ½ 

  ¼  Ø 

  · ½ 

Ø  

Ô 

µ ´ ½ º º ½ ¾ µ  

Page 44: Fre P. Course in General Relativity (Free Version, Lecture Notes, Web Draft, 2003)(141s)_PGr

7/29/2019 Fre P. Course in General Relativity (Free Version, Lecture Notes, Web Draft, 2003)(141s)_PGr

http://slidepdf.com/reader/full/fre-p-course-in-general-relativity-free-version-lecture-notes-web-draft 44/141

À Ó Ñ Ó Ø Ó Ô Ý ¸ À Ó Ñ Ó Ð Ó Ý Ò Ó Ó Ñ Ó Ð Ó Ý   ¿ 

Ù Ö ½ º ¾ º   Ì × Ø Ò Ö    Ô  ¹ × Ñ Ô Ð Ü × Ó Ö    Ô  ¼    ½    ¾ 

¬ Ò Ø Ó Ò ½ º º º     Ì    Ô  · ½ × Ø Ò Ö × Ñ Ô Ð Ü × ¡  

Ô    ½ 

Ñ Ñ Ö × Ò Ø × Ø Ò Ö    Ô  ¹ × Ñ Ô Ð Ü ¡  

Ô 

Ý Ñ Ò × Ó Ø    Ô  · ½ Ñ Ô × Ó Õ º ´ ½ º º ½ ¾ µ Ö Ò Ñ Ø   ×   Ó ¡ 

Ô 

Ò Ø Ò Ü     Ò Ù Ñ Ö Ø ×  

Ø Ñ º À Ò Ø Ñ Ô    

´  Ô  µ 

 

Ý Ð × ¸ × Ö × Ù Ð Ø ¸ Ø     ¹ Ø   Ó Ø × Ø Ò Ö    Ô  ¹ × Ñ Ô Ð Ü    

Ó Ö Ò × Ø Ò Ø Ø Û Ó × Ó Ø × Ø Ò Ö ½ ¹ × Ñ Ô Ð Ü Ö Ø Ø Û Ó Ô Ó Ò Ø × ´  Ø 

¼ 

¼  Ø 

½ 

½ µ Ò  

´  Ø 

¼ 

½  Ø 

½ 

¼ µ × × Ó Û Ò × Ò ¬ º ½ º ¾ º  

Ë Ñ Ð Ö Ð Ý Ø Ø Ö × Ñ Ò Ø × ´  Ø 

¼ 

¼  Ø 

½ 

  Ø Ø 

¾ 

½     Ø  µ ¸ ´  Ø 

¼ 

  Ø Ø 

½ 

¼  Ø 

¾ 

½     Ø  µ Ò  

´  Ø 

¼ 

  Ø Ø 

½ 

½     Ø Ø 

¾ 

¼ µ Ö Ø Ø Ö × Ó Ø × Ø Ò Ö ¾ ¹ × Ñ Ô Ð Ü ´ × ¬ º ½ º ¾ µ º  

¬ Ò Ø Ó Ò ½ º º º     Ä Ø  Å     « Ö Ò Ø Ð Ñ Ò Ó Ð Ó Ñ Ò × Ó Ò   Ñ  º Ó Ò Ø Ò Ù Ó Ù × Ñ Ô  

 

´  Ô  µ 

¡ 

´  Ô  µ 

Å     ´ ½ º º ½ ¿ µ  

Ó Ø × Ø Ò Ö    Ô  ¹ × Ñ Ô Ð Ü Ò Ø Ó Ø Ñ Ò Ó Ð × Ò Ñ   × Ò Ù Ð Ö    Ô  ¹ × Ñ Ô Ð Ü   Ó Ö × Ñ Ô Ð Ý   × Ñ Ô Ð Ü  

Ó   Å      

Page 45: Fre P. Course in General Relativity (Free Version, Lecture Notes, Web Draft, 2003)(141s)_PGr

7/29/2019 Fre P. Course in General Relativity (Free Version, Lecture Notes, Web Draft, 2003)(141s)_PGr

http://slidepdf.com/reader/full/fre-p-course-in-general-relativity-free-version-lecture-notes-web-draft 45/141

À Ó Ñ Ó Ø Ó Ô Ý ¸ À Ó Ñ Ó Ð Ó Ý Ò Ó Ó Ñ Ó Ð Ó Ý    

Ù Ö ½ º ¾ º   Ì × Ó Ø × Ø Ò Ö ½ ¹ × Ñ Ô Ð Ü  

Ù Ö ½ º ¾ º   Ì × Ó Ø × Ø Ò Ö ¾ ¹ × Ñ Ô Ð Ü  

Ð Ö Ð Ý ½ ß × Ñ Ô Ð Ü × Ó Ò Ø Ò Ù Ó Ù × Ô Ø Ò   Å     ¸ ¾ ß × Ñ Ô Ð Ü × Ô Ó Ö Ø Ó Ò Ó × Ù Ö Ñ Ñ Ö ×  

Å  Ò × Ó Ó Ò º Ì     ß Ø Ó Ø × Ñ Ô Ð Ü    

´  Ô  µ 

× Ú Ò Ý Ø ´   Ô     ½ µ ¹ × Ñ Ô Ð Ü Ó Ø Ò Ý  

Ó Ñ Ô Ó × Ò    

´  Ô  µ 

Û Ø    

 

 

 

´  Ô  µ 

Æ    

 

¡ 

´  Ô    ½ µ 

Å     ´ ½ º º ½ µ  

Ä Ø  Ê    Ó Ñ Ñ Ù Ø Ø Ú Ö Ò º  

¬ Ò Ø Ó Ò ½ º º º     Ä Ø 

Å     Ñ Ò Ó Ð Ó Ñ Ò × Ó Ò   Ñ  º Ó Ö ¼  

  Ò 

  Ñ  Ø Ö Ó Ù Ô  

Ó   Ò  ¹ Ò × Û Ø Ó Æ Ò Ø × Ò   Ê    ¸ Ò Ñ     ´  Å       Ê    µ ¸ × ¬ Ò × Ø     Ö   Ê  ¹ Ñ Ó Ù Ð   Ú Ò  

Page 46: Fre P. Course in General Relativity (Free Version, Lecture Notes, Web Draft, 2003)(141s)_PGr

7/29/2019 Fre P. Course in General Relativity (Free Version, Lecture Notes, Web Draft, 2003)(141s)_PGr

http://slidepdf.com/reader/full/fre-p-course-in-general-relativity-free-version-lecture-notes-web-draft 46/141

À Ó Ñ Ó Ø Ó Ô Ý ¸ À Ó Ñ Ó Ð Ó Ý Ò Ó Ó Ñ Ó Ð Ó Ý    

Ò Ö Ø Ó Ö Ó Ö   Ò  ß × Ñ Ô Ð Ü Ò  

Å      

Á Ò × Ñ Ô Ð Û Ó Ö × Ø ¬ Ò Ø Ó Ò ½ º º × Ø Ø × Ø Ø    

Ô 

´  Å       Ê    µ × Ø × Ø Ó Ð Ð Ô Ó × × Ð Ð Ò Ö Ó Ñ ¹  

Ò Ø Ó Ò Ó    Ô  ¹ × Ñ Ô Ð Ü × Û Ø Ó Æ Ò Ø × Ò   Ê     

  

´  Ô  µ 

  Ñ 

½ 

Ë 

´  Ô  µ 

½ 

·  Ñ 

¾ 

Ë 

´  Ô  µ 

¾ 

·  Ñ  

 

Ë 

´  Ô  µ 

 

´ ½ º º ½ µ  

Û Ö   Ñ 

 

¾ Ê    º Ì Ð Ñ Ò Ø × Ó   

Ô 

´  Å       Ê    µ Ö Ò Ñ    Ô  ¹ Ò ×  º 

Ì Ó Ò Ô Ø Ó   Ô  ß Ò × Ú × Ö Ó Ö Ó Ù × Ñ Ò Ò Ø Ó Ø Ò Ø Ù Ø Ú Ø Ø Ò Ý    Ô  ß Ñ Ò × Ó Ò Ð  

Ö Ó Ò Ó Ñ Ò Ó Ð Ò Ó Ò × Ø Ö Ù Ø Ý Ð Ù Ò Ø Ó Ø Ö Ö Ø Ò Ò Ù Ñ Ö Ó × Ñ Ô Ð Ü × º Ó Ö  

Ò × Ø Ò Ô Ø   -  Ò Ó Ò × Ø Ö Ù Ø Ð Ù Ò Ø Ó Ø Ö ¬ Ò Ø Ò Ù Ñ Ö Ó × Ñ Ò Ø × ´ Ø Ø Ö Ø Ö  

Ó Ñ Ó Ñ Ó Ö Ô Ñ × µ º Á Ò Ø ×    Ô  ¾ ¸ Ø Ó Ò × Ø Ö Ù Ø Ó Ò Ó Ø Û Ó ß Ñ Ò × Ó Ò Ð Ö Ó Ò Ý Ñ Ò ×  

Ó ¾ ß × Ñ Ô Ð Ü × Ó Ö Ö × Ô Ó Ò × Ø Ó Ø Ö Ò Ù Ð Ø Ó Ò Ó × Ù Ö º  

× Ò Ü Ñ Ô Ð Ó Ò × Ö Ø × Û Ö Ø Ñ Ò Ó Ð Û Ð Û Ø × Ù × Ø Ø Ó Ñ Ô Ð Ü Ô Ð Ò  

Å         Ò Ð Ø Ù × Ó Ù × Ó Ò Ø ¾ ß × Ñ Ô Ð Ü × Ö Û Ò Ò ¬ º ½ º ¾ º  

Ù Ö ½ º ¾ º   Ë 

´ ¾ µ 

½ 

Ò   Ë 

´ ¾ µ 

¾ 

Ö Ø Û Ó × Ø Ò Ø ¾ ß × Ñ Ô Ð Ü × ¸ Ò Ñ Ð Ý Ø Û Ó Ø Ö Ò Ð × Û Ø Ú Ö Ø × Ö × Ô Ø Ú Ð Ý  

Ú Ò Ý ´   

¼ 

 

½ 

 

¾ 

µ Ò    

¼ 

 

½ 

 

¾ 

º Ì ¾ ¹ × Ñ Ô Ð Ü   Ë 

´ ¾ µ 

¿ 

Û Ø Ú Ö Ø ×    

¼ 

 

½ 

 

¾ 

× Ø Ò Ø Ö × Ø Ó Ò Ó  

Ø Ó Ø Ö Ø Û Ó   Ë 

´ ¾ µ 

¿ 

  Ë 

´ ¾ µ 

½ 

Ì 

Ë 

´ ¾ µ 

¾ 

Ì Ò  

  

´ ¾ µ 

  Ë 

´ ¾ µ 

½ 

·  Ë 

´ ¾ µ 

¾ 

´ ½ º º ½ µ  

Ò Ó Ø × Ø Ö Ó Ò Ó Ø Ó Ñ Ô Ð Ü Ô Ð Ò Ô Ø Ò ¬ º ½ º ¾ ¸ Û Ø Ø Ô Ö Ó Ú × Ó Ø Ø Û Ò Û  

Ó Ñ Ô Ù Ø Ø Ò Ø Ö Ð Ó Ò Ý ¾ ß Ó Ö Ñ Ó Ò     

´ ¾ µ 

Ø Ó Ò Ø Ö Ù Ø Ó Ò Ö Ó Ñ Ø × Ñ Ô Ð Ü   Ë 

´ ¾ µ 

¿ 

  Ë 

´ ¾ µ 

½ 

Ì  

Ë 

´ ¾ µ 

¾ 

´ Ø × Ó Û Ö Ò ¬ º ½ º ¾ µ × Ø Ó Ó Ù Ò Ø Ø Û × Ò Ø Ð Ó Ò × Ó Ø Ø Ó   Ë 

´ ¾ µ 

½ 

Ò Ø Ó   Ë 

´ ¾ µ 

¾ 

º 

Ê Ð Ý Ò Ó Ò Ø × Ò Ó Ø Ó Ò × Û Ò Ò Ø Ö Ó Ù Ø Ó Ù Ò Ö Ý Ó Ô Ö Ø Ó Ö º  

Page 47: Fre P. Course in General Relativity (Free Version, Lecture Notes, Web Draft, 2003)(141s)_PGr

7/29/2019 Fre P. Course in General Relativity (Free Version, Lecture Notes, Web Draft, 2003)(141s)_PGr

http://slidepdf.com/reader/full/fre-p-course-in-general-relativity-free-version-lecture-notes-web-draft 47/141

À Ó Ñ Ó Ø Ó Ô Ý ¸ À Ó Ñ Ó Ð Ó Ý Ò Ó Ó Ñ Ó Ð Ó Ý    

Ù Ö ½ º ¾ º   Ó Ñ Ø Ö Ð Ð Ý Ø Ò   Ë 

´ ¾ µ 

½ 

·  Ë 

´ ¾ µ 

¾ 

× Ø Ù Ò Ó Ò Ó Ø Ø Û Ó × Ñ Ô Ð Ü ×   Ë 

´ ¾ µ 

½ 

Ë 

Ë 

´ ¾ µ 

¾ 

¬ Ò Ø Ó Ò ½ º º º     Ì Ó Ù Ò Ö Ý Ó Ô Ö Ø Ó Ö     × Ø Ñ Ô  

     

Ò 

´  Å       Ê    µ       

Ò    ½ 

´  Å       Ê    µ ´ ½ º º ½ µ  

¬ Ò Ý Ø Ó Ð Ð Ó Û Ò Ô Ö Ó Ô Ö Ø ×  

´ µ  Ê    ¹ Ð Ò Ö Ø Ý  

  

´  Ô  µ 

½ 

    

´  Ô  µ 

¾ 

¾    

Ô 

´  Å       Ê    µ       Ñ 

½ 

Ñ 

¾ 

¾ Ê   

 

 

Ñ 

½ 

  

´  Ô  µ 

½ 

·  Ñ 

¾ 

  

´  Ô  µ 

¾ 

 

  Ñ 

½ 

    

´  Ô  µ 

½ 

·  Ñ 

¾ 

    

´  Ô  µ 

¾ 

´ ½ º º ½ µ  

´ µ   Ø Ó Ò Ó Ò Ø × Ñ Ô Ð Ü ×  

        Æ    

¼ 

     Æ    

½ 

·    Æ    

½ 

    

 

Ô 

  

  ½ 

´     µ 

 

  Æ    

 

´ ½ º º ½ µ  

 

Ì Ñ Ó Ò      Ø Ö Ó Ù     ¸ Ò Ñ Ð Ý        ¸ × Ð Ð Ø   Ó Ù Ò Ö Ý   Ó Ø Ò º  

× Ò Ü Ö × Û Ò Ó Ñ Ô Ù Ø Ø Ó Ù Ò Ö Ý Ó Ø ¾ ß Ò     

´ ¾ µ 

  Ë  

´ ¾ µ 

½ 

·  Ë  

´ ¾ µ 

¾ 

Ó ¬ º ½ º ¾ ¸  

Û Ø Ø Ù Ò Ö × Ø Ò Ò Ø Ø Ø Ö Ð Ú Ò Ø Ö Ò × ¸ Ò Ø × ×     º Ï Ú  

 

´ ¾ µ 

  Ë 

´ ¾ µ 

½ 

·  Ë 

´ ¾ µ 

¾ 

 

     

 

½ 

 

¾ 

  

     

 

¼ 

 

¾ 

· 

     

 

¼ 

 

½ 

· 

     

 

½ 

 

¾ 

  

     

 

¼ 

 

¾ 

· 

     

 

½ 

 

¾ 

´ ½ º º ½ ¼ µ  

Û Ö  

     

 

½ 

 

¾ 

  Ò Ó Ø Ø Ó Ö Ò Ø × Ñ Ò Ø × Ö Ó Ñ    

½ 

Ø Ó   

¾ 

Ò × Ó Ó Ò º × Ó Ò × × Ø Ò  

Ò × Ò × Ò Ø Ö Ô Ö Ø × Ø Ò Ó Ó Ö Ò Ø Ø Ó Ò ´ Û × Ø Ó Ö Ö Ø Ò Ø Ö Ô Ö Ø Ø Ó Ò Ó Ò Ø Ò ×  

Page 48: Fre P. Course in General Relativity (Free Version, Lecture Notes, Web Draft, 2003)(141s)_PGr

7/29/2019 Fre P. Course in General Relativity (Free Version, Lecture Notes, Web Draft, 2003)(141s)_PGr

http://slidepdf.com/reader/full/fre-p-course-in-general-relativity-free-version-lecture-notes-web-draft 48/141

À Ó Ñ Ó Ø Ó Ô Ý ¸ À Ó Ñ Ó Ð Ó Ý Ò Ó Ó Ñ Ó Ð Ó Ý    

Ó Ø Ò Ò Ó Ø × Ó Ù Ò Ö Ý × Ø × Ù Ô Ô Ó Ö Ø Ó Ò Ò Ø Ö Ð µ º Ï Ø Ø × Ó Ò Ú Ò Ø Ó Ò Ø ½ ß Ò  

     

 

½ 

 

¾ 

  

     

 

¼ 

 

¾ 

· 

     

 

¼ 

 

½ 

 

     

 

½ 

 

¾ 

· 

     

 

¾ 

 

¼ 

· 

     

 

¼ 

 

½ 

´ ½ º º ½ ½ µ  

× Ù × Ø Ø Ó Ö Ò Ø Ó Ù Ò Ö Ý Ó Ø   Ë 

´ ¾ µ 

½ 

¹ × Ñ Ô Ð Ü × × Ó Û Ò Ò ¬ º ½ º ¿ ¼ º  

Ù Ö ½ º ¿ ¼ º   Ì Ó Ö Ò Ø Ó Ù Ò Ö Ý Ó Ø   Ë 

´ ¾ µ 

× Ý Ñ Ô Ð Ü º  

Ì Ó Ö Ñ ½ º º ¿ º     Ì Ó Ù Ò Ö Ý Ó Ô Ö Ø Ó Ö     × Ò Ð Ô Ó Ø Ò Ø ¸ Ò Ñ Ð Ý Ø × Ø Ö Ù Ø Ø  

 

¾ 

      Æ     ¼ ´ ½ º º ½ ¾ µ  

 

È Ö Ó Ó ½ º º ¿ º ½ º   Á Ø × × Ù Æ Ò Ø Ø Ó Ó × Ö Ú Ø Ø ¸ × Ó Ò × Õ Ù Ò Ó Ø Ö Ó Û Ò ¬ Ò Ø Ó Ò ¸ Ø Ñ Ô ×  

 

 

¬ Ò Ò Õ º ´ ½ º º ½ ¾ µ Ú Ø Ó Ð Ð Ó Û Ò Ô Ö Ó Ô Ö Ø Ý  

 

´  Ô  µ 

 

Æ    

´  Ô    ½ µ 

 

   

´  Ô  µ 

 

Æ    

´  Ô    ½ µ 

    ½ 

´ ½ º º ½ ¿ µ  

Ì Ò ¸ Ó Ö Ø    Ô  ß × Ñ Ô Ð Ü     Û Ú  

   

Ô 

  

  ¼ 

´ 

  µ 

 

Æ     

Æ   

 

℄ 

 

Ô 

  

  ¼ 

Ô    ½ 

  

  ¼ 

´     µ 

 

´     µ 

 

  Æ  

 

 

´  Ô  µ 

 

Æ    

´  Ô    ½ µ 

 

 

 

Ô 

  

  ½ 

´ 

  µ 

  ·   

 

Æ  

 

 

´  Ô  µ 

 

Æ   

´  Ô    ½ µ 

    ½ 

 

· 

Ô    ½ 

  

¼        

 

 

 

´  Ô  µ 

 

Æ   

´  Ô    ½ µ 

 

 

´ ½ º º ½ µ  

Page 49: Fre P. Course in General Relativity (Free Version, Lecture Notes, Web Draft, 2003)(141s)_PGr

7/29/2019 Fre P. Course in General Relativity (Free Version, Lecture Notes, Web Draft, 2003)(141s)_PGr

http://slidepdf.com/reader/full/fre-p-course-in-general-relativity-free-version-lecture-notes-web-draft 49/141

À Ó Ñ Ó Ø Ó Ô Ý ¸ À Ó Ñ Ó Ð Ó Ý Ò Ó Ó Ñ Ó Ð Ó Ý    

Ï Ò Ú Ö Ý Ø Ø Ú Ö Ý Ø Ò Ò Ø Ð × Ø Ð Ò Ó Õ º ´ ½ º º ½ µ Ò Ð × Ò Ø Ð Ð Ý Ò Ø × Ô Ö Ó Ú ×  

Ø Ø Ó Ö Ñ º   ¤ 

× Ò Ð Ð Ù × Ø Ö Ø Ó Ò Û Ò Ð Ù Ð Ø   Ë 

´ ¾ µ 

½ 

Ó Ö Ø ¾ ß × Ñ Ô Ð Ü   Ë 

´ ¾ µ 

½ 

× Ö Ò ¬ º ½ º ¾ º Ï Ó Ø Ò  

Ë 

´ ¾ µ 

½ 

   

¾ 

    

½ 

    

¾ 

·   

¼ 

·   

½ 

    

¼ 

¼ ´ ½ º º ½ µ  

Ì Ò Ð Ô Ó Ø Ò Ý Ó Ø Ó Ù Ò Ö Ý Ó Ô Ö Ø Ó Ö     Ø Ø Ø × Ó Ò Ø   Ò ×   × Ø Ó Ù Ò Ø Ö Ô Ö Ø Ó Ø  

Ò Ð Ô Ó Ø Ò Ý Ó Ø Ü Ø Ö Ó Ö Ö Ú Ø Ú     Ø Ø Ø × Ó Ò « Ö Ò Ø Ð Ó Ö Ñ × × Ü Ô Ð Ò Ò × Ø Ó Ò ½ º º º  

Ó Ò × Ö ¬ º ½ º ¿ ½ º × Ó Ò × × Ø × Õ Ù Ò Ó Ø Ú Ø Ó Ö × Ô ×    

Ñ 

Ó   Ñ  ß Ò × Ò Ô Ù Ø Ò Ø Ó  

Ó Ö Ö × Ô Ó Ò Ò Û Ø Ø × Õ Ù Ò Ó Ú Ø Ó Ö × Ô × £  

Ñ 

Ó « Ö Ò Ø Ð   Ñ  ß Ó Ö Ñ × º  

Ù Ö ½ º ¿ ½ º   À Ó Ñ Ó Ð Ó Ý Ú Ö × Ù × Ó Ó Ñ Ó Ð Ó Ý Ö Ó Ù Ô × º  

Ì Ó Ô Ö Ø Ó Ö  

     

 

     

    ½ 

´ ½ º º ½ µ  

Ñ × Ý Ó Ù Ø Ó Ø Ö Ú Ð Ó Ò Ø × Õ Ù Ò Ö Ó Ñ Ð Ø Ø Ó Ö Ø ¸ Û Ð Ø Ü Ø Ö Ó Ö Ö Ú Ø Ú Ó Ô Ö Ø Ó Ö  

  £ 

 

    £ 

    ½ 

´ ½ º º ½ µ  

Ù × × Ý Ó Ù Ø Ó Ø Ö Ú Ð Ð Ó Ò Ø × Ñ × Õ Ù Ò Ò Ø Ó Ô Ô Ó × Ø Ö Ø Ó Ò Ö Ó Ñ Ö Ø Ø Ó Ð Ø º Ó Ø    

Ò     Ö Ò Ð Ô Ó Ø Ò Ø Ñ Ô × º  

½ º º ¿ À Ó Ñ Ó Ð Ó Ý Ò Ó Ó Ñ Ó Ð Ó Ý Ö Ó Ù Ô × Ò Ö Ð Ó Ò × Ø Ö Ù Ø Ó Ò  

Ä Ø              Ð Ò Ö Ñ Ô Ø Û Ò Ú Ø Ó Ö × Ô × º Ï ¬ Ò   Ö Ò Ð   Ó     Ò Û Ò Ó Ø  

Ö    Ø × Ù × Ô Ó     Û Ó × Ð Ñ Ò Ø × Ú Ø Ô Ö Ó Ô Ö Ø Ý Ó Ò Ñ Ô Ô Ò Ø Ó ¼   ¾     Ý     

Ö         Ü  ¾     ´  Ü  µ ¼  ¾        ´ ½ º º ½ µ  

Page 50: Fre P. Course in General Relativity (Free Version, Lecture Notes, Web Draft, 2003)(141s)_PGr

7/29/2019 Fre P. Course in General Relativity (Free Version, Lecture Notes, Web Draft, 2003)(141s)_PGr

http://slidepdf.com/reader/full/fre-p-course-in-general-relativity-free-version-lecture-notes-web-draft 50/141

À Ó Ñ Ó Ø Ó Ô Ý ¸ À Ó Ñ Ó Ð Ó Ý Ò Ó Ó Ñ Ó Ð Ó Ý    

Ï Ð Ð Ñ Ó    Ò Û Ò Ó Ø Á Ñ     Ø × Ù × Ô Ó     Û Ó × Ð Ñ Ò Ø × Ú Ø Ô Ö Ó Ô Ö Ø Ý Ø Ø  

Ø Ý Ö Ø Ñ Ø Ö Ó Ù     Ó × Ó Ñ Ð Ñ Ò Ø Ó      

Á Ñ         Ý  ¾        Ü  ¾     ´  Ü  µ   Ý     ´ ½ º º ½ µ  

Ò Ð Ô Ó Ø Ò Ø Ó Ô Ö Ø Ó Ö Ø Ø Ø × Ó Ò × Õ Ù Ò Ó Ú Ø Ó Ö × Ô ×    

 

¬ Ò × × Õ Ù Ò Ó Ð Ò Ö  

Ñ Ô ×    

 

 

 

½ 

 

½ 

     

¾ 

 

¾ 

     

¿ 

     

 

 

 

     

  · ½ 

´ ½ º º ½ ¼ µ  

Ø Ø Ú Ø Ó Ð Ð Ó Û Ò Ô Ö Ó Ô Ö Ø Ý  

Á Ñ   

 

   Ö   

  · ½ 

´ ½ º º ½ ½ µ  

Ì Ò Ð Ù × Ó Ò Ó Á Ñ    

 

Ò Ö   

  · ½ 

× Û Ø × Ò Ô Ø Ó Ö Ð Ð Ý × Ö Ò ¬ º ½ º ¿ ½ Ò Ô ¹  

Ô Ð × Ó Ø Ø Ó Ù Ò Ö Ý Ò Ü Ø Ö Ó Ö Ö Ú Ø Ú Ó Ô Ö Ø Ó Ö º Ì × × Ø Ù Ø Ó Ò × Ù × Ø × Ø Ó Ð Ð Ó Û Ò  

Ø Ö Ñ Ò Ó Ð Ó Ý  

¬ Ò Ø Ó Ò ½ º º º     Á Ò Ú Ö Ý × Ô    

 

´  Å       Ê  µ Û Ò Ñ   Ý Ð ×   Ø Ð Ñ Ò Ø × Ó Ö     ¸ Ò Ñ Ð Ý  

Ø Ò ×      ¸ Û Ó × Ó Ù Ò Ö Ý Ú Ò × ×        ¼ º Ë Ñ Ð Ö Ð Ý Ò Ú Ö Ý × Ô £  

 

´  Å     µ Û Ò Ñ Ð Ó ×  

Ó Ö Ñ × Ó Ö   Ó Ý Ð ×   Ø Ð Ñ Ò Ø × Ó Ö     ¸ Ò Ñ Ð Ý Ø « Ö Ò Ø Ð Ó Ö Ñ ×     × Ù Ø Ø     ¼ º   

Ø Ø × Ñ Ø Ñ  

¬ Ò Ø Ó Ò ½ º º ½ ¼ º     Á Ò Ú Ö Ý × Ô    

 

´ 

Å     Ê  µ Û Ò Ñ   Ó Ù Ò Ö ×   РР   ß Ò × Ø Ø Ö Ø  

Ó Ù Ò Ö Ý Ó     · ½ ß Ò  

  

´    µ 

Ó Ù Ò Ö Ý   ¸   

´    µ 

      

´    · ½ µ 

´ ½ º º ½ ¾ µ  

Ë Ñ Ð Ö Ð Ý Ò Ú Ö Ý × Ô £  

 

´  Å     µ Û Ò Ñ Ü Ø Ó Ö Ñ × Ó Ö   Ó Ó Ù Ò Ö ×   Ð Ð « Ö Ò Ø Ð Ó Ö Ñ ×  

 

´    µ 

× Ù Ø Ø Ø Ý Ò Û Ö Ø Ø Ò × Ø Ü Ø Ö Ó Ö Ö Ú Ø Ú Ó ´       ½ µ ß Ó Ö Ñ    

´    µ 

   

´      ½ µ 

 

Ð Ö Ð Ý Õ º ´ ½ º º ½ ½ µ Ò Ø Ö Ò × Ð Ø Ý × Ý Ò Ø Ø Ú Ö Ý Ó Ù Ò Ö Ý × Ý Ð Ò Ú Ö Ý Ó Ó Ù Ò ¹  

Ö Ý × Ó Ý Ð º Ì Ö Ú Ö × × Ø Ø Ñ Ò Ø ¸ Ó Û Ú Ö ¸ × Ò Ó Ø Ø Ö Ù Ò Ò Ö Ð º Ì Ö Ö Ý Ð × Ø Ø  

Ö Ò Ó Ø Ó Ù Ò Ö × Ò Ø Ö Ö Ó Ý Ð × Ø Ø Ö Ò Ó Ø Ó Ó Ù Ò Ö × º  

Ì Ó Ò Ô Ø Ó Ó Ñ Ó Ð Ó Ý ´ Ó Ö Ó Ó Ñ Ó Ð Ó Ý µ Ô Ö Ú Ó Ù × Ð Ý × Ù × × Ò Ò Ò Ø Ù Ø Ú Û Ý Ò  

Ó Ö Ñ Ð Þ Ò Ø Ó Ð Ð Ó Û Ò Û Ý º  

¬ Ò Ø Ó Ò ½ º º ½ ½ º     Ó Ò × Ö Ø     ß Ý Ð × º Ï × Ý Ø Ø Ø Û Ó Ý Ð ×    

´    µ 

½ 

Ò    

´    µ 

¾ 

Ö   Ó Ñ Ó Ð ¹  

Ó Ó Ù ×   Ò Û Û Ö Ø    

´    µ 

½ 

    

´    µ 

¾ 

Ø Ö « Ö Ò × Ó Ù Ò Ö Ý  

 

´    µ 

½ 

     

´    µ 

¾ 

µ     

´    · ½ µ 

¿ 

 

´    µ 

½ 

    

´    µ 

¾ 

   

´    · ½ µ 

¿ 

´ ½ º º ½ ¿ µ  

 

Ð Ö Ð Ý Ó Ñ Ó Ð Ó Ý × Ò Õ Ù Ú Ð Ò Ö Ð Ø Ó Ò × Ò  

 

´    µ 

½ 

    

´    µ 

¾ 

   

´    · ½ µ 

 

 

´    µ 

¾ 

    

´    µ 

¿ 

   

´    · ½ µ 

 

µ 

µ     

´    µ 

½ 

    

´    µ 

¿ 

   

 

 

´    · ½ µ 

 

·   

´    · ½ µ 

 

 

´ ½ º º ½ µ  

¬ Ò Ø Ó Ò ½ º º ½ ¾ º     Ï Ò Ñ     ¹ Ø Ó Ñ Ó Ð Ó Ý Ö Ó Ù Ô   Ò Û Ò Ó Ø   À 

 

´ 

Å      Ê  µ Ø Ö Ó Ù Ô  

Ó Õ Ù Ú Ð Ò Ð × × × Ó Ø     ß Ø Ý Ð × Û Ø Ö × Ô Ø Ø Ó Ø     ß Ó Ù Ò Ö × º  

Page 51: Fre P. Course in General Relativity (Free Version, Lecture Notes, Web Draft, 2003)(141s)_PGr

7/29/2019 Fre P. Course in General Relativity (Free Version, Lecture Notes, Web Draft, 2003)(141s)_PGr

http://slidepdf.com/reader/full/fre-p-course-in-general-relativity-free-version-lecture-notes-web-draft 51/141

À Ó Ñ Ó Ø Ó Ô Ý ¸ À Ó Ñ Ó Ð Ó Ý Ò Ó Ó Ñ Ó Ð Ó Ý   ¼ 

Ë Ñ Ð Ö Ð Ý Û ¬ Ò     ß Ø Ó Ó Ñ Ó Ð Ó Ý Ö Ó Ù Ô   Ò Û Ò Ó Ø   À 

 

´ 

Å      Ê  µ Ø Ö Ó Ù Ô Ó  

Õ Ù Ú Ð Ò Ð × × × Ó Ø     ß Ó Ý Ð × Û Ø Ö × Ô Ø Ø Ó Ø     ß Ø Ó Ó Ù Ò Ö × º Á Ò Û × Ý Ø Ø  

Ø Û Ó Ð Ó × Ó Ö Ñ ×     Ò    

¼ 

Ö Ó Ó Ñ Ó Ð Ó Ó Ù × Ø Ö « Ö Ò × Ò Ü Ø Ó Ö Ñ          

¼ 

µ   

         

¼ 

   

Å Ó Ö Ò Ö Ð Ð Ý Û Ò Û Ú × Õ Ù Ò Ó Ú Ø Ó Ö × Ô ×    

 

× Ò Õ º ´ ½ º º ½ ¼ µ Ò × Õ Ù Ò Ó  

Ð Ò Ö Ñ Ô ×    

 

× Ø × Ý Ò Õ º ´ ½ º º ½ ½ µ Û ¬ Ò Ø   Ó Ó Ñ Ó Ð Ó Ý Ö Ó Ù Ô ×   Ö Ð Ø Ú Ø Ó Ø Ó Ô Ö Ø Ó Ö  

  ×  

À 

 

´    µ 

   

Ö   

 

Á Ñ   

    ½ 

´ ½ º º ½ µ  

Ì Ö Ð Ø Ó Ò Ü × Ø Ò Ø Û Ò Ó Ñ Ó Ð Ó Ý Ò Ó Ó Ñ Ó Ð Ó Ý × Ù Ð Ð Ý Ó Ò Ø Ò Ò Ø Ó Ð Ð Ó Û Ò  

Ó Ö Ñ Ù Ð Û Ò Ö Ð Þ × Ø Ó Ò Ö Ø Ö Ö Ý × Ñ Ó Ó Ø Ñ Ò Ó Ð Ò Ø Ó « Ö Ò Ø Ð Ó Ö Ñ × Ó Ò Ý Ö  

Ø Ñ Ð Ö Ù × × Ð Ñ Ñ Ó Ö Ë Ø Ó × Ð Ñ Ñ  

  

   

´    · ½ µ 

 

´    µ 

 

  

 

´    · ½ µ 

 

´    µ 

´ ½ º º ½ µ  

Õ Ù Ø Ó Ò ´ ½ º º ½ µ ¸ Û Ó × Ò Ö Ð Ô Ö Ó Ó Û Ó Ñ Ø ¸ Ñ Ô Ð × Ø Ø Ò Ø ×     

´    µ 

× Ý Ð Û Ú  

  

 

´    µ 

 

 

´    µ 

·   

´      ½ µ 

 

 

  

 

´    µ 

 

´    µ 

´ ½ º º ½ µ  

Ò Ñ Ð Ý Ø Ò Ø Ö Ð Ó Ð Ó × « Ö Ò Ø Ð Ó Ö Ñ Ð Ó Ò Ý Ð Ô Ò × Ó Ò Ð Ý Ó Ò Ø Ó Ó Ñ Ó Ð Ó Ý  

Ð × × Ò Ò Ó Ø Ó Ò Ø Ó Ó Ø Ö Ô Ö × Ò Ø Ø Ú º Ë Ñ Ð Ö Ð Ý    

´    µ 

× Ð Ó × Ó Ö Ñ  

  

 

´    µ 

·     

´    · ½ µ 

 

´    µ 

 

  

 

´    µ 

 

´    µ 

´ ½ º º ½ µ  

Ò Ñ Ð Ý Ø Ò Ø Ö Ð Ó Ó Ý Ð Ð Ó Ò Ó Ý Ð Ô Ò × Ó Ò Ø Ó Ñ Ó Ð Ó Ý Ð × × Ó Ø Ð × × Ò  

Ò Ó Ø Ó Ò Ø Ó Ó Ö Ô Ö × Ò Ø Ø Ú Ò × Ø Ð × × º  

½ º º Ê Ð Ø Ó Ò Ø Û Ò À Ó Ñ Ó Ø Ó Ô Ý Ò À Ó Ñ Ó Ð Ó Ý  

Ì Ö Ð Ø Ó Ò Ø Û Ò Ó Ñ Ó Ø Ó Ô Ý Ò Ó Ñ Ó Ð Ó Ý Ö Ó Ù Ô × Ó Ñ Ò Ó Ð × Ô Ö Ó Ú Ý Ù Ò Ñ Ò Ø Ð  

Ø Ó Ö Ñ Ó Ð Ö Ó Ñ Ø Ö Ý Ø Ø Û × Ø Ø Û Ø Ó Ù Ø Ô Ö Ó Ó  

Ì Ó Ö Ñ ½ º º º     Ä Ø  Å     × Ñ Ó Ó Ø Ñ Ò Ó Ð º Ì Ò Ø Ö Ü × Ø × Ó Ñ Ó Ñ Ó Ö Ô × Ñ  

     

½ 

´  Å     µ      À 

½ 

´  Å         µ ´ ½ º º ½ µ  

Ø Ø × Ò × Ø Ó Ñ Ó Ø Ó Ô Ý Ð × × Ó Ð Ó Ó Ô   -  Ò Ø Ó Ø ½ ß × Ñ Ô Ð Ü   -  º Á   Å     × Ö ß Û × Ó Ò Ò Ø ¸  

Ø Ò Ø Ñ Ô     × × Ù Ö Ø Ú Ò Ø Ö Ò Ð Ó     × Ø × Ù Ö Ó Ù Ô Ó Ó Ñ Ñ Ù Ø Ø Ó Ö × Ò    

½ 

´  Å     µ º   

Ï Ö Ð Ð Ø Ø Ø × Ù Ö Ó Ù Ô Ó Ó Ñ Ñ Ù Ø Ø Ó Ö × Ó × Ö Ø Ö Ó Ù Ô     × Ø Ö Ó Ù Ô    

¼ 

Ò Ö Ø Ý  

Ð Ð Ð Ñ Ò Ø × Ó Ø Ó Ö Ñ   Ü 

  ½ 

Ý 

  ½ 

Ü Ý  Ó Ö × Ó Ñ   Ü Ý  ¾     º 

Ö Ó Ñ Ø × Ø Ó Ö Ñ Û Ú Ø Û Ó Ó Ò × Õ Ù Ò ×  

Ó Ö Ó Ð Ð Ö Ý ½ º º ½ º     Á    

½ 

´  Å     µ × Ð Ò ¸ Ø Ò   À 

½ 

´  Å     µ  ³     

½ 

´  Å     µ ¸ Ò Ñ Ð Ý Ø Ó Ñ Ó Ø Ó Ô Ý Ò  

Ó Ó Ñ Ó Ð Ó Ý Ö Ó Ù Ô × Ó Ò º    

Ó Ö Ó Ð Ð Ö Ý ½ º º ¾ º     Á Ñ Ò Ó Ð   Å  × × Ñ Ô Ð Ý Ó Ò Ò Ø ´   

½ 

´  Å     µ ½ µ Ø Ò Ð × Ó Ø ¬ Ö × Ø Ó Ñ Ó Ð ¹  

Ó Ý Ö Ó Ù Ô × Ø Ö Ú Ð   À 

½ 

´  Å     µ ¼   

Ì × Ó Ò Ó Ø Ó Ú Ó Ö Ó Ð Ð Ö × Ñ Ô Ð × Ø Ø Ò × Ñ Ô Ð Ý Ó Ò Ò Ø Ñ Ò Ó Ð Ú Ö Ý Ð Ó × Ð Ó Ó Ô  

× Ó Ñ Ó Ð Ó Ó Ù × Ø Ó Þ Ö Ó ¸ Ò Ñ Ð Ý × Ø Ó Ù Ò Ö Ý Ó × Ó Ñ Ö Ó Ò º  

Page 52: Fre P. Course in General Relativity (Free Version, Lecture Notes, Web Draft, 2003)(141s)_PGr

7/29/2019 Fre P. Course in General Relativity (Free Version, Lecture Notes, Web Draft, 2003)(141s)_PGr

http://slidepdf.com/reader/full/fre-p-course-in-general-relativity-free-version-lecture-notes-web-draft 52/141

Ë Ú × ¸ Ó Ó Ñ Ó Ð Ó Ý Ò Ø Ð × × ¬ Ø Ó Ò Ó Ù Ò Ð ×   ½ 

½ º Ë Ú × ¸ Ó Ó Ñ Ó Ð Ó Ý Ò Ø Ð × × ¬ Ø Ó Ò Ó Ù Ò Ð ×  

À Ú Ò × Ö Ø Ò Ö Ð × Ø Ö Ù Ø Ù Ö Ó Ó Ó Ñ Ó Ð Ó Ý Ö Ñ Û Ó Ö × Û Ò Ö Ó Ò × Ö Ø Ó Ò ¹  

× Ø Ö Ù Ø Ó Ò Ó ¬ Ö Ù Ò Ð × Ò Ø Ö Ñ × Ó Ø Ö Ò × Ø Ó Ò Ù Ò Ø Ó Ò × Ð Ó Ó Ò Ñ Ó Ö Ð Ó × Ð Ý Ø Ø Ñ Ò Ò  

Ó Õ × º ´ ½ º ¾ º ½ ¾ µ º Ë Ó Ó Ò Û Ö Ð Þ Ø Ø Ø Ð × × ¬ Ø Ó Ò Ó Õ Ù Ú Ð Ò Ð × × × Ó Õ Ù Ú Ð Ò Ø  

Ù Ò Ð ×    

 

    Å  ¸ Ó Ò Ú Ò Ñ Ò Ó Ð   Å  Ò Û Ø Ú Ò × Ø Ö Ù Ø Ù Ö Ð Ö Ó Ù Ô     Ò Ö × Ø  

Ò Ñ Ó Ö × Ø Ö Ø × Ø Ù Ô Ø Ø Ù Ø Ð Þ × Ø Ð Ò Ù Ó Ó Ó Ñ Ó Ð Ó Ý Ò Ô Ø Ù Ö × Ø Ô Ö Ó Ó Ù Ò  

× × Ò Ó Ø Ù Ò Ð ¸ Ò Ñ Ð Ý Ø ×   Ø Û × Ø Ò   Ó Ö Ú Ø Ó Ò Ö Ó Ñ Ð Ó Ð Ø Ö Ú Ð Ø Ý º Ì × × Ø Ð Ò Ù  

Ó   × Ú ×   Ò Ó   ×   Ó Ó Ñ Ó Ð Ó Ý º  

Ï Ò Ø Ö Ó Ù  

¬ Ò Ø Ó Ò ½ º º ½ º   × Ó Ú Ö Ñ Ò Ó Ð   Å  × Ñ Ð Ý Ó Ö Ó Ù Ô ×     ´  Í  µ × × Ó Ø Ø Ó Ó Ô Ò  

× Ù × Ø   Í     Å  º Ì Ð Ñ Ò Ø ×     ¾     ´  Í  µ Ó Ø Ö Ó Ù Ô     ´  Í  µ Ö Ð Ð Ø × Ø Ó Ò × Ó Ø ×  

Ó Ú Ö Ø Ó Ô Ò Ö Ø   Í  º Ú Ò × Ù × Ô   Í     Π    Å  Ó × Ù × Ô   Π    Å  Ø Ö × Ñ Ô  

Ö 

Î Í 

    ´  Π µ        ´  Í  µ ´ ½ º º ½ ¼ µ  

Ø Û Ò Ø Ø Û Ó × × Ó Ø Ö Ó Ù Ô × º Ì Ñ Ô   Ö 

Î Í 

× Ð Ð Ø Ö × Ø Ö Ø Ó Ò Ñ Ô º Á Ø Ñ Ù × Ø × Ø × Ý  

Ø Ó Ð Ð Ó Û Ò Ü Ó Ñ ×  

µ Ú Ò Ø Ö Ò × Ø Ö Ø ×   Í     Π    Ï  Û Ñ Ù × Ø Ú  

Ö 

Ï Í 

  Ö 

Î Í 

Æ   Ö 

Ï Î 

´ ½ º º ½ ½ µ  

Ï Ò Ó Ø Ý    

 

Í 

Ø Ö × Ø Ö Ø Ó Ò Ø Ó   Í  Ó Ó Ù Ö Ð Ñ Ò Ø    

¾    ´  Π µ º 

µ Ú Ò Ò Ý Ø Û Ó × Ù Ñ Ò Ó Ð ×   Í  Ò   Π Ò Ò Ý Ú Ò Ø Û Ó × Ø Ó Ò ×    

¾    ´  Í  µ Ò    

¾    ´  Π µ 

× Ù Ø Ø  

 

 

Í    Π

   

 

Í    Π

´ ½ º º ½ ¾ µ  

Ø Ö Ü × Ø × × Ø Ó Ò     ¾     ´  Í     Π µ × Ù Ø Ø  

   

Í 

         

Π

    ´ ½ º º ½ ¿ µ  

µ Á     ¾     ´  Í     Π µ Ò      

Í 

     

Π

¼ Ø Ò     ¼ º 

Ì Ô Ö Ó Ø Ó Ø Ý Ô Ó × × Ø × Ó  

½ 

¹ Ù Ò Ø Ó Ò × º Á Ò  

½ 

´  Í  µ × Ð Ö Ð Ý Ò Ð Ò Ö Ó Ù Ô  

Ù Ò Ö Ø Ó Ò º  

  ´  Ü  µ ·    ´  Ü  µ     ´  Ü  µ ´ ½ º º ½ µ  

Ò Ø Ö × Ø Ö Ø Ó Ò Ó Ù Ò Ø Ó Ò Ø Ó × Ù Ó Ñ Ò Ó Ú Ó Ù × Ð Ý × Ø × ¬ × Ø Ü Ó Ñ µ º Ü Ó Ñ µ × Ø  

Ô Ö Ò Ô Ð Ó Ò Ð Ý Ø Ó Ò Ø Ò Ù Ø Ó Ò Ø Ø × Ø Ø × Ø Ø Ø Û Ó Ù Ò Ø Ó Ò × Ó Ò Ó Ò Ó Ô Ò Ò Ø Ö × Ø Ó Ò  

Ó Ø Ö Ó Ñ Ò × Ø Ò Ø Ý Ö Ø × Ñ Ù Ò Ø Ó Ò º Ü Ó Ñ µ × Ð × Ó Ó Ú Ó Ù × Ò Ø × × º  

Ç Ø Ö Ñ Ô Ó Ö Ø Ò Ø Ü Ñ Ô Ð × Ó × Ú × Ö ¸ Ó Ö Ò × Ø Ò  

Ç    ´  Å     µ Ø × Ó Ó Ð Ó Ñ Ó Ö Ô Ù Ò Ø Ó Ò × Ó Ò Ó Ñ Ô Ð Ü Ñ Ò Ó Ð   Å    

Ç   

 

´  Å     µ Ø × Ó Ò Ú Ö Ú Ò × Ò Ó Ð Ó Ñ Ó Ö Ô Ù Ò Ø Ó Ò × Ó Ò   Å    

ª 

´  Ô  µ 

´ 

Å    µ Ø × Ó Ó Ð Ó Ñ Ó Ö Ô Ô ¹ Ó Ö Ñ × Ó Ò  

Å    

Á Ò Ð Ð Ø × × × ¸ Ó Ö   Í     Å  Ø Ö Ó Ù Ô     ´  Í  µ × Ó Ò Ø Ò Ù Ó Ù × Ò ¬ Ò Ø ¹ Ñ Ò × Ó Ò Ð Ö Ó Ù Ô  

´ Ø Ö Ó Ù Ô Ó Ð Ð  

½ 

¹ Ù Ò Ø Ó Ò × Ó Ò Ø Ó Ô Ò × Ø   Í  ¸ Ó Ö Ò × Ø Ò µ ¸ Ù Ø Û Ò Ð × Ó Ó Ò × Ö × Ú ×  

Û Ö Ø     ´  Í  µ Ö × Ö Ø Ö Ó Ù Ô × Ð    

Ò 

º 

Á Ò Ø Ô Ô Ð Ø Ó Ò Ó × Ø Ó Ö Ý Ø Ó Ø Ð × × ¬ Ø Ó Ò Ó ¬ Ö Ù Ò Ð × ¸ Ø Ö Ó Ù Ô     ´  Í  µ × 

Ñ Ý Ð Ð Ó Ò Ø Ò Ù Ó Ù × Ñ Ô ×       Í 

     Ö Ó Ñ Ø Ó Ô Ò × Ø   Í  Ø Ó Ø × Ø Ö Ù Ø Ù Ö Ð Ö Ó Ù Ô    

´ Û × ¬ Ò Ø ¹ Ñ Ò × Ó Ò Ð Ä Ö Ó Ù Ô µ Ò Ó Ø Ö Û Ó Ö × Ý Ð Ð     ¹ Ú Ð Ù  

½ 

Ù Ò Ø Ó Ò × Ó Ò   Í  º 

Page 53: Fre P. Course in General Relativity (Free Version, Lecture Notes, Web Draft, 2003)(141s)_PGr

7/29/2019 Fre P. Course in General Relativity (Free Version, Lecture Notes, Web Draft, 2003)(141s)_PGr

http://slidepdf.com/reader/full/fre-p-course-in-general-relativity-free-version-lecture-notes-web-draft 53/141

Ë Ú × ¸ Ó Ó Ñ Ó Ð Ó Ý Ò Ø Ð × × ¬ Ø Ó Ò Ó Ù Ò Ð ×   ¾ 

Ì Ù Ò Ø Ó Ò ×  

   Ô 

¾  Í      ´   Ô  µ 

¾    Ö Û Ø Ô Ý × × Ø × Ð Ð   Ð Ó Ð Ù Ø Ö Ò × Ó Ö Ñ Ø Ó Ò ×  º À Ò  

Ø Ö Ð Ú Ò Ø × Ó Ö Ø Ð × × ¬ Ø Ó Ò Ó ¬ Ö Ù Ò Ð ×    

 

   Å  Û Ø × Ñ Ò Ó Ð   Å  Ò  

× Ø Ö Ù Ø Ù Ö Ð Ö Ó Ù Ô     × Ø   × Ó Ú Ö   Å  Ó     ¹ Ù Ø Ö Ò × Ó Ö Ñ Ø Ó Ò × º  

Ü Ø Û × Ù × × Ø Ò Ó Ø Ó Ò Ó   × Ó Ó Ñ Ó Ð Ó Ý   ´ Ó Ó Ñ Ó Ð Ó Ý µ º Ì Ñ Ó × Ø Ñ Ð Ö  

Ò Ñ Ó × Ø Ù × Ó Ó Ñ Ó Ð Ó Ý Ó Ò × Ø Ö Ù Ø Ó Ò Ö Ð Ø × Ø Ó « Ö Ò Ø Ð Ó Ö Ñ × Ò × Ò Ñ   Ê Ñ  

Ó Ó Ñ Ó Ð Ó Ý  º Ø Ó Ó Ñ Ó Ð Ó Ý Ó Ñ Ô Ð Ü × Ú Ò Ö Ð Ð Ö × Ø Ö Ù Ø Ù Ö Ø Ø Û × Ø Ö Ø Ý  

Ð Ð Ù × Ø Ö Ø Ò Ò Ø Ô Ö × Ò Ø × Ó × Ú × º Ï ¬ Ò × Õ Ù Ò Ó Ú Ø Ó Ö × Ô ×    

Ô 

Ó    Ô  ¹ Ó Ò ×  

´   Ô  ¼    ½    ¾    µ Ò Ò Ð Ô Ó Ø Ò Ø Ó Ó Ù Ò Ö Ý Ó Ô Ö Ø Ó Ö   Æ 

¾ 

¼ Ø Ø ¬ Ò × × Õ Ù Ò Ó Ð Ò Ö  

Ñ Ô ×  

Æ     

Ô 

     

Ô  · ½ 

´ ½ º º ½ µ  

Ä Ø ´   Ñ  µ × Ó Ö Ó Ù Ô × Ó Ú Ö Ø Ñ Ò Ó Ð   Å  º Ä Ø  

  

«  ¾   

Í 

« 

  Å  ¬ Ò Ø Ø Ð × Ó Ú Ö Ò  

Å  º Ì Ò Û Ú Ø Ö Ó Ù Ô ×     ´  Í 

½ 

µ    ´  Í 

¾ 

µ    ´  Í 

Ò 

µ º Ì × Ô Ó ¼ ¹ Ó Ò ×    

¼ 

´  Í   µ × 

¬ Ò Ý  

 

¼ 

´  Í   µ   ª   

«  ¾   

  ´  Í 

« 

µ ´ ½ º º ½ µ  

Á Ò Ó Ø Ö Û Ó Ö × ¼ ¹ Ó Ò × Ó Ð Ð Ø Ó Ò Ó   Ò  × Ø Ó Ò ×    

« 

¾     ´  Í 

« 

µ Ó Ø × Ó Ú Ö Ø Ó Ô Ò  

Ö Ø ×   Í 

« 

 

 

¼ 

´   

½ 

 

¾ 

 

Ò 

µ ´ ½ º º ½ µ  

Ç Ò Ø Ó Ø Ö Ò ½ ¹ Ó Ò    

½ 

× Ó Ð Ð Ø Ó Ò Ó  

½ 

¾ 

Ò  ´  Ò     ½ µ × Ø Ó Ò × Ó Ø ×    

« ¬ 

   

  ½ 

¬ « 

 

½ 

 

 

 

½ ¾ 

 

½ ¿ 

 

´  Ò    ½ µ  Ò 

¡ 

´ ½ º º ½ µ  

¬ Ò Ó Ò Ð Ð Ô Ó × × Ð Ò Ø Ö × Ø Ó Ò ×   Í 

« 

   Í 

¬ 

º ¿ ¹ Ó Ò × Ó Ð Ð Ø Ó Ò Ó  

½ 

 

Ò  ´  Ò     ½ µ ´  Ò     ¾ µ 

× Ø Ó Ò ×    

« ¬ - 

Ó Ø ×  

 

¾ 

 

 

 

½ ¾ ¿ 

 

½ ¾  

 

´  Ò    ¾ µ ´  Ò    ½ µ  Ò 

¡ 

´ ½ º º ½ µ  

¬ Ò Ó Ú Ö Ð Ð Ô Ó × × Ð Ò Ø Ö × Ø Ó Ò ×   Í 

« 

   Í 

¬ 

   Í 

Ò × Ó Ó Ò º Ì ¬ Ò Ø Ó Ò Ó Ø   Ó Ó Ù Ò Ö Ý  

Ó Ô Ö Ø Ó Ö   × × Ó Ð Ð Ó Û × º Ä Ø    

´  Ô    ½ µ 

      

« 

½ 

« 

¾ 

«  

Ò 

   ´   Ô     ½ µ ¹ Ó Ò º Ì Ó Ö Ö × Ô Ó Ò Ò  

´   Ô  µ ¹ Ó Ò   Æ  

´  Ô  µ 

Ø Ø × Ò Ø Ñ Ó   Æ 

´  Ô    ½ µ 

× Ú Ò Ý Ø Ó Ð Ð Ó Û Ò Ð Ø Ö Ò Ø Ò Ô Ö Ó Ù Ø Ó  

× Ø Ó Ò × Ò Ò Ú Ö × × Ø Ó Ò ×  

´  Æ   µ 

« 

½ 

« 

¾ 

«  

Ò 

« 

Ò  · ½ 

 

 

« 

¾ 

« 

¿ 

«  

Ò  · ½ 

 

Í 

« 

½ 

«  

Ò  · ½ 

Æ   

  ½ 

« 

½ 

« 

¿ 

«  

Ò  · ½ 

 

Í 

« 

½ 

«  

Ò  · ½ 

Æ  

 

« 

½ 

« 

¾ 

« 

 

«  

Ò  · ½ 

 

Í 

« 

½ 

«  

Ò  · ½ 

Æ     Æ    

« 

½ 

« 

¾ 

«  

Ò 

 

Í 

« 

½ 

«  

Ò  · ½ 

´ ½ º º ½ ¼ µ  

Û Ö   Í 

« 

½ 

«  

Ò  · ½ 

  Í 

« 

½ 

   Í 

« 

¾ 

        Í 

« 

Ò  · ½ 

º Ì Ò Ð Ô Ó Ø Ò Ý Ó Ø Ó Ô Ö Ø Ó Ö   Æ  × × Ð Ý Ú Ö ¬ º  

Ì Ò Û ¬ Ò Ø    Ô  ¹ Ø Ó Ó Ñ Ó Ð Ó Ý Ö Ó Ù Ô   À 

Ô 

   ´  Å  µ Ó Ø × ´   Å  µ × 

À 

Ô 

´  Å  µ Ö  Æ 

Ô 

Ñ  Æ 

Ô    ½ 

´ ½ º º ½ ½ µ  

Ò Ñ Ð Ý × Ø × Ô Ó   Ô  ¹ Ó Ý Ð ×   Æ  

´  Ô  µ 

¼ Ñ Ó Ù Ð Ó Ø    Ô  ¹ Ó Ó Ù Ò Ö ×   Æ  

´  Ô    ½ µ 

º Ø Ø × Ô Ó Ò Ø ¸  

Û Ö Ó Ò × Ö Õ × º ´ ½ º ¾ º ½ ¾ µ Û Ò Ô Ô Ö Ø Ø × ¹ Ø Ó Ö Ø Ò Ø Ö Ô Ö Ø Ø Ó Ò Ó Ø Ø Ö Ò × Ø Ó Ò  

Ù Ò Ø Ó Ò × Ó ¬ Ö Ù Ò Ð º Ì × Ø   Ì         Ø 

« ¬ 

   ¬ Ò × ½ ¹ Ó Ý Ð Ó Ø × ´     Å  µ Ó Ð Ó Ð  

¹ Ù Ø Ö Ò × Ó Ö Ñ Ø Ó Ò × Ó Ú Ö Ø × Ñ Ò Ó Ð   Å  º Ì Ð × Ø Ó Õ × º ´ ½ º ¾ º ½ ¾ µ × Ô Ö × Ð Ý Ø  

× Ø Ø Ñ Ò Ø Ø Ø   Æ  Ì    ¼ º Ç Ò Ø Ó Ø Ö Ò Ò Ø Ö Ú Ð ¬ Ö Ù Ò Ð Ø Ø Ö Ò × Ø Ó Ò Ù Ò Ø Ó Ò × Ö  

Ó Ø Ó Ö Ñ  

Ø 

« ¬ 

´   Ô  µ    

  ½ 

« 

´   Ô  µ   

¬ 

´   Ô  µ ´ ½ º º ½ ¾ µ  

Page 54: Fre P. Course in General Relativity (Free Version, Lecture Notes, Web Draft, 2003)(141s)_PGr

7/29/2019 Fre P. Course in General Relativity (Free Version, Lecture Notes, Web Draft, 2003)(141s)_PGr

http://slidepdf.com/reader/full/fre-p-course-in-general-relativity-free-version-lecture-notes-web-draft 54/141

Ë Ú × ¸ Ó Ó Ñ Ó Ð Ó Ý Ò Ø Ð × × ¬ Ø Ó Ò Ó Ù Ò Ð ×   ¿ 

Á Ò Ó Ø Ö Û Ó Ö × Õ º ´ ½ º º ½ ¾ µ × Ø Ø × Ø Ø ¬ Ö Ù Ò Ð × Ø Ö Ú Ð  

Ì     Æ  ´ 

×  Ó Ñ Ø Ò    µ ×  

Ó Ó Ù Ò Ö Ý º À Ò Ø × Ô Ó Ò Ó Ò ¹ Ø Ö Ú Ð     ¹ Ù Ò Ð × Ó Ú Ö Ú Ò Ñ Ò Ó Ð × × Ó Ñ Ó Ö Ô Ø Ó Ø  

¬ Ö × Ø Ó Ó Ñ Ó Ð Ó Ý Ö Ó Ù Ô Ó Ø × ´     Å  µ  

× Ø Ó     ¹ Ù Ò Ð × Ó Ò   Å     À 

½ 

´     Å  µ ´ ½ º º ½ ¿ µ  

Á Ò Ø × Ò Ø ¬ Ø Ó Ò Û Ú Ø Ø Ð Ý × × Ù Ñ Ø Ø ¬ Ö Ù Ò Ð × Ó Ö Ñ Ö Ó Ù Ô º Ì × × Õ Ù Ø  

Ó Ú Ó Ù × × Ø Ö Ò × Ø Ó Ò Ù Ò Ø Ó Ò × Ó Ø Ô Ö Ó Ù Ø Û Ø Ø Ô Ó Ò Ø ¹ Û × Ô Ö Ó Ù Ø Ó Ø Ø Ö Ò × Ø Ó Ò  

Ù Ò Ø Ó Ò × º × Ò Ü Ñ Ô Ð Ð Ø Ù × Ó Ò × Ö Ó Ñ Ô Ð Ü Ñ Ò Ó Ð   Å     Ò Ø Ó Ñ Ô Ð Ü Ð Ò Ù Ò Ð ×  

Ä 

 

Å     Ó Ò × Ø Ö Ù Ø Ó Ú Ö Ø º Ó Ñ Ô Ð Ü Ð Ò Ù Ò Ð × ¬ Ö Ù Ò Ð Û Ö Ø × Ø Ö Ù Ø Ù Ö Ð Ö Ó Ù Ô  

× Ù × Ø ¸ Ò Ñ Ð Ý Ø × Ø Ó Ó Ñ Ô Ð Ü Ò Ù Ñ Ö × º Ó Ö Ò Ø Ó Ó Ù Ö Ô Ö Ú Ó Ù × × Ù × × Ó Ò Û Ú  

Ö Ó Ù Ô Ó Ð Ò Ù Ò Ð × Ó Ò   Å       À 

½ 

´  Ç   

 

  Å     µ ´ ½ º º ½ µ  

Û Ö   Ç   

 

Ò Ó Ø × Ø × Ó Ò Ó Ò ¹ Ú Ò × Ò Ó Ð Ó Ñ Ó Ö Ô Ù Ò Ø Ó Ò × º Á   Å     ¦ 

 

× Ê Ñ Ò Ò  

× Ù Ö Ó Ò Ù ×     ¸ Ø Ò Ø Ö Ó Ù Ô Ó Ð Ò Ù Ò Ð ×   À 

½ 

´  Ç   

 

  ¦ 

 

µ È ´ ¦  

 

µ × Ò Ñ Ø È Ö  

Ö Ó Ù Ô Ó Ø × Ù Ö º  

½ º º ½ Ù Ò Ð Ñ Ô ×  

Ä Ø   

 

    Å  Ò    

¼ 

 

¼ 

    Å 

¼ 

Ø Û Ó ¬ Ö Ù Ò Ð × º × Ñ Ó Ó Ø Ñ Ô  

           

¼ 

´ ½ º º ½ µ  

× Ò Ñ   Ù Ò Ð Ñ Ô   Ø Ô Ö × Ö Ú × Ø ¬ Ö × º Ì × Ñ Ò × Ø Ø     ´  Ü  µ     ´  Ý  µ Ø Ò    

¼ 

´  Ü  µ  

 

¼ 

´  Ý  µ º Ù Ò Ð Ñ Ô Ò Ù × × Ñ Ó Ó Ø Ñ Ô Ó Ø × Ñ Ò Ó Ð ×  

  ´   Ô  µ    Ô 

¼ 

¾   Å 

¼ 

´ ½ º º ½ µ  

½ º º ¾ Õ Ù Ú Ð Ò Ø Ù Ò Ð ×  

Ì Û Ó Ù Ò Ð ×    

 

    Å  Ò    

¼ 

 

¼ 

    Å  Ó Ò × Ø Ö Ù Ø Ó Ú Ö Ø × Ñ × × Ô   Å  Ö Õ Ù Ú Ð Ò Ø  

Ø Ö Ü × Ø × Ù Ò Ð Ñ Ô              

¼ 

× Ù Ø Ø Ø Ò Ù Ñ Ô       Å      Å  × Ø  

Ò Ø Ø Ý ¸ Û Ð     × « Ó Ñ Ó Ö Ô × Ñ  

 

¼ 

 

     

 

¼ 

    

Å 

 

Å 

    Å 

´ ½ º º ½ µ  

½ º º ¿ È Ù Ð Ð ¹ Ù Ò Ð ×  

Ä Ø   

 

    Å  ¬ Ö Ù Ò Ð Ò     × Ó Ñ Ó Ø Ö × Ñ Ó Ó Ø Ñ Ò Ó Ð     º Ä Ø  

          Å  ´ ½ º º ½ µ  

× Ñ Ó Ó Ø Ñ Ô Ö Ó Ñ Ø Ñ Ò Ó Ð     Ø Ó Ø × × Ô Ó Ø ¬ Ö Ù Ò Ð     º Ì Ò Û Ò ¬ Ò  

Ò Û ¬ Ö Ù Ò Ð    

 

 

 

 

 

      Ø Ø Ñ Ø ×     × × × Ô Ø Ö Ó Ù Ø Ó Ð Ð Ó Û Ò Ó Ò × Ø Ö Ù Ø Ó Ò º  

Ó Ò × Ö Ø × Ô  

Ë      ª      ´ ½ º º ½ µ  

Page 55: Fre P. Course in General Relativity (Free Version, Lecture Notes, Web Draft, 2003)(141s)_PGr

7/29/2019 Fre P. Course in General Relativity (Free Version, Lecture Notes, Web Draft, 2003)(141s)_PGr

http://slidepdf.com/reader/full/fre-p-course-in-general-relativity-free-version-lecture-notes-web-draft 55/141

Ë Ú × ¸ Ó Ó Ñ Ó Ð Ó Ý Ò Ø Ð × × ¬ Ø Ó Ò Ó Ù Ò Ð ×    

Ì Ô Ó Ò Ø × Ò   Ë  Ö Ø Ô Ö ×  

   Ô Ù     ¸ Û Ö    Ô  ¾     × Ô Ó Ò Ø Ò Ø × × Ô Ó Ø Ò Û Ù Ò Ð  

Ø Ó Ó Ò × Ø Ö Ù Ø Ò   Ù  ¾     × Ô Ó Ò Ø Ò Ø Ø Ó Ø Ð × Ô Ó Ø Ó Ð Ù Ò Ð º Ó Ò × Ö Ò Ó Û Ø  

× Ù × Ô    

 

       ª       

 

 

       ´   Ô Ù  µ  ¾   Ë      ´   Ô  µ     ´  Ù  µ     ´ ½ º º ¾ ¼ ¼ µ  

Ó Ø Ó × Ô Ö × Û Ö Ø Ñ Ó    Ô  ¾     Ø Ö Ó Ù Ø Ñ Ô     Ó Ò × Û Ø Ø Ñ Ó   Ù  ¾    

Ø Ö Ó Ù Ø Ô Ö Ó Ø Ó Ò     Ó Ø Ó Ð Ù Ò Ð º Ì × Ô    

 

  × Ø Ø Ó Ø Ð × Ô Ó Ø Ò Û Ù Ò Ð º  

Ì Ô Ö Ó Ø Ó Ò  

 

 

     

 

        ´ ½ º º ¾ ¼ ½ µ  

× ¬ Ò Ý  

 

 

  ´   Ô Ù  µ    Ô  ´ ½ º º ¾ ¼ ¾ µ  

Ì Ò Û Ù Ò Ð    

 

 

 

 

 

      × Ò Ñ Ø Ô Ù Ð Ð ¹ Ó    

 

    Å  Ø Ö Ó Ù     º Á Ò Ø × Û Ý Û  

Ú Ù Ò Ð Ñ Ô  

 

 

 

 

¾ 

    

 

 

      

 

 

    Å 

´ ½ º º ¾ ¼ ¿ µ  

Û Ö    

¾ 

   

 

        × ¬ Ò Ý    

¾ 

´   Ô Ù  µ   Ù  º ´ Ê Ñ Ñ Ö Ø Ø Ø Ô Ö ´   Ô Ù  µ  ¾    

 

 

× Ø × ¬ × ¸ Ý ¬ Ò Ø Ó Ò ¸     ´   Ô  µ     ´  Ù  µ º µ Á Ò Ø Ö Ñ × Ó Ø Ö Ò × Ø Ó Ò Ù Ò Ø Ó Ò × Ø Ô Ù Ð Ð ¹ Ù Ò Ð ×  

× Ö × Ó Ð Ð Ó Û × º Ì × Ø Ò Ö ¬ Ö     Ó Ö   

 

    Å  Ò    

 

 

 

 

 

      Ö Ø × Ñ  

Ø Ø Ö Ò × Ø Ó Ò Ù Ò Ø Ó Ò × Ó Ø Ó Ö Ñ Ö Ö Ø Ô Ù Ð Ð ¹ Ó Ø Ø Ö Ò × Ø Ó Ò Ù Ò Ø Ó Ò × Ó Ø Ð Ø Ø Ö º  

Á Ò Ð Ø      Í 

« 

   Ó Ú Ö Ò Ó  Å  Ò       

« 

   Ó Ö Ö × Ô Ó Ò Ò Ð Ó Ð Ø Ö Ú Ð Þ Ø Ó Ò Ó Ø Ó Ö Ò Ð  

Ù Ò Ð  

 

« 

  Í 

« 

ª           

  ½ 

´  Í 

« 

µ ´ ½ º º ¾ ¼ µ  

Ì Ò Ú Ö × Ñ ×    

  ½ 

´  Í 

« 

µ Ô Ö Ó Ú Ó Ú Ö Ò Ó Ø Ò Û × Ñ Ò Ó Ð     º Ï Ú Ò  

× × Ó Ø Ð Ó Ð Ø Ö Ú Ð Þ Ø Ó Ò Ó Ø Ô Ù Ð Ð ¹ Ù Ò Ð  

 

« 

   

  ½ 

´  Í 

« 

µ  ª           

 

 

  ½ 

 

 

  ½ 

´  Í 

« 

µ 

¡ 

´ ½ º º ¾ ¼ µ  

¬ Ò × Ó Ð Ð Ó Û × º Ì    Ô  ¾    

  ½ 

´  Í 

« 

µ Ò Ó Ò × Ö Ò Ý Ô Ó Ò Ø   Ù  ¾     × Ù Ø Ø     ´  Ù  µ     ´   Ô  µ º Á Ò  

Ø × × Ø Ô Ö ´   Ô Ù  µ  ¾    

 

  × Ò Ð Ñ Ò Ø Ó Ø Ø Ó Ø Ð × Ô Ó Ø Ò Û Ù Ò Ð º Ä Ø    

  ½ 

´  Ù  µ  

´    ´   Ô  µ   

« 

µ ¸ Û Ö    

« 

¾     × Ô Ó Ò Ø Ò Ø × Ø Ò Ö ¬ Ö º Ï × Ø    

  ½ 

« 

´   Ô Ù  µ ´   Ô  

« 

µ Ò Ø ×  

¬ Ò ×    

« 

º Ì Ø Ö Ò × Ø Ó Ò Ù Ò Ø Ó Ò   Ø 

« ¬ 

´    ´   Ô  µ µ Ø Ô Ó Ò Ø     ´   Ô  µ  ¾   Í 

« 

   Í 

¬ 

Ò Ø Ò Ø Ö × Ø Ó Ò Ó Ø Û Ó  

Ö Ø × Ó   Å  Ñ Ô × Ô Ó Ò Ø    

« 

¾     Ó Ø × Ø Ò Ö ¬ Ö Ø Ó Ò Û Ô Ó Ò Ø    

¬ 

  Ø 

« ¬ 

´    ´   Ô  µ µ   

¬ 

º Ý 

¬ Ò Ø Ó Ò Ø Ø Ö Ò × Ø Ó Ò Ù Ò Ø Ó Ò   Ø 

 

« ¬ 

´   Ô  µ Ø Ô Ó Ò Ø    Ô  ¾    

  ½ 

´  Í 

« 

µ      

  ½ 

´  Í 

« 

µ Ò Ø Ò Ø Ö × Ø Ó Ò  

Ó Ø Û Ó Ö Ø × Ó     ¸ Ó × Ø × Ñ ¸ Ò Ñ Ð Ý Û Ú  

Ø 

 

« ¬ 

´   Ô  µ   Ø 

« ¬ 

´    ´   Ô  µ µ ´ ½ º º ¾ ¼ µ  

Ë Ù Ñ Ñ Ö Þ Ò ¸ Ø Ø Ö Ò × Ø Ó Ò Ù Ò Ø Ó Ò × Ó Ø Ô Ù Ð Ð ¹ Ù Ò Ð Ö Ø Ô Ù Ð Ð ¹ Ó Ø Ø Ö Ò × Ø Ó Ò  

Ù Ò Ø Ó Ò × Ò Ø Ó Ö Ò Ð Ù Ò Ð ¸ × Ð Ö Ý × Ø Ø º Ì × × Ô Ö Ø Ù Ð Ö Ð Ý × Ò ¬ Ò Ø Ö Ó Ñ Ø Ô Ó Ò Ø  

Ó Ú Û Ó × Ó Ó Ñ Ó Ð Ó Ý Ò Ø Ö Ó Ù Ó Ú º  

Ò Ñ Ô Ó Ö Ø Ò Ø Ö × Ù Ð Ø Ó Ö Ø Ð × × ¬ Ø Ó Ò Ó ¬ Ö Ù Ò Ð × × Ó Ò Ø Ò Ò Ø Ó Ð Ð Ó Û Ò Ø Ó Ö Ñ  

Ù Ø Ó Ë Ø Ò Ö Ó ´ ½ ½ µ ¸ Û Ó × Ô Ö Ó Ó Û Ó Ñ Ø    ℄  

Ì Ó Ö Ñ ½ º º ½ º   Ä Ø   

 

    Å  ¬ Ö Ù Ò Ð Ò     × Ó Ñ Ó Ø Ö Ñ Ò Ó Ð º Ä Ø  

    Å       

    Å        ´ ½ º º ¾ ¼ µ  

Page 56: Fre P. Course in General Relativity (Free Version, Lecture Notes, Web Draft, 2003)(141s)_PGr

7/29/2019 Fre P. Course in General Relativity (Free Version, Lecture Notes, Web Draft, 2003)(141s)_PGr

http://slidepdf.com/reader/full/fre-p-course-in-general-relativity-free-version-lecture-notes-web-draft 56/141

Ë Ú × ¸ Ó Ó Ñ Ó Ð Ó Ý Ò Ø Ð × × ¬ Ø Ó Ò Ó Ù Ò Ð ×    

Ø Û Ó Ó Ñ Ó Ø Ó Ô Ñ Ô × Ö Ó Ñ   Å  Ø Ó    º Ì    

 

  Ò    

 

  Ö Õ Ù Ú Ð Ò Ø Ù Ò Ð × º  

Ì × Ø Ó Ö Ñ × × Ð Ø Ó Ò Ø Ø Ø Ø Ø Ò Ó Ò Ø Ö Ú Ð Ø Ý Ó ¬ Ö Ù Ò Ð × Ô Ó × × Ð Ó Ò Ð Ý  

Ø × × Ô × Ò Ó Ò ¹ Ø Ö Ú Ð Ø Ó Ô Ó Ð Ó Ý ¸ Ò Ñ Ð Ý Ò Ó Ò Ø Ö Ú Ð Ó Ñ Ó Ø Ó Ô Ý º Ç Ò Ð Ý Ò Ø × × Ò  

Ø ¬ Ö × Ð Ò Ò × Ù Û Ý × Ø Ó Û Ò Ð Ó Ò Ò Ó Ò ¹ Ø Ö Ú Ð Ó Ñ Ó Ø Ó Ô Ý Ý Ð × º Á Ò Ô Ö Ø Ù Ð Ö  

Û Ú  

Ó Ö Ó Ð Ð Ö Ý ½ º º ½ º   Ð Ð Ù Ò Ð × Ó Ò × Ø Ö Ù Ø Ó Ú Ö × Ñ Ò Ó Ð Ø Ø × Ó Ò Ø Ö Ø Ð Ø Ó Ô Ó Ò Ø Ö  

Ø Ö Ú Ð Ù Ò Ð × º  

Á Ò Ð Ø    

 

    Å  ¬ Ö Ù Ò Ð Ò Ð Ø   Å  Ó Ò Ø Ö Ø Ð º Ì × Ñ Ò × Ø Ø Ø Ö ×  

Ó Ñ Ó Ø Ó Ô Ý  

    Å  ª    ¼    ½ ℄      Å  ´ ½ º º ¾ ¼ µ  

× Ù Ø Ø  

     Ô   ¼ ℄    Ô        Ô  ¾   Å 

     Ô   ¼ ℄    Ô 

¼ 

      Ô  ¾   Å  ´ ½ º º ¾ ¼ µ  

Û Ö    Ô 

¼ 

¾   Å  × × Ó Ñ ¬ Ü Ô Ó Ò Ø º Ó Ò × Ö Ø Ó Ò Ø Ò Ù Ó Ù × Ñ Ð Ý Ó Ù Ò Ð ×    

 

Ø 

  Û Ö  

 

Ø 

´   Ô  µ     ´   Ô Ø  µ º Ù Ø Ó Ë Ø Ò Ö Ó ³ × Ø Ó Ö Ñ ¸ Ð Ð Ø × Ù Ò Ð × Ö Õ Ù Ú Ð Ò Ø º Ç Ò Ø Ó Ø Ö Ò ¸  

× Ò    

¼ 

¸   

 

¼ 

      ¸ Û Ð    

 

½ 

  × Ø Ö Ú Ð Ù Ò Ð Ó Ò × Ø Ö Ù Ø Ó Ú Ö × Ñ Ò Ó Ð Ø Ø ×  

  Ù × Ø Ø × Ò Ð Ô Ó Ò Ø   Ô 

¼ 

º À Ò    

 

    Å  × Ð × Ó Ø Ö Ú Ð º  

Page 57: Fre P. Course in General Relativity (Free Version, Lecture Notes, Web Draft, 2003)(141s)_PGr

7/29/2019 Fre P. Course in General Relativity (Free Version, Lecture Notes, Web Draft, 2003)(141s)_PGr

http://slidepdf.com/reader/full/fre-p-course-in-general-relativity-free-version-lecture-notes-web-draft 57/141

Ô Ø Ö ¾      

Ç Æ Æ Ì Á Ç Æ Ë ¸ Å Ì Ê Á Ë Æ Î Á Ä Á Æ          

¾ º ½ Á Ò Ø Ö Ó Ù Ø Ó Ò  

Ð Ð  

¾ º ¾ Õ Ù Ø Ó Ò Ó Ø Ó × ×  

Ì Ò Ö Ð Ó Ö Ñ Ó Ø Ó × × Õ Ù Ø Ó Ò × Ó Ø Ò Ö Ó Ñ Ø Ú Ö Ø Ó Ò Ð Ô Ö Ò Ô Ð  

Æ  Ä   ¼ Û Ö   Ä         

 

´  Ü  µ  Ü 

 

 Ü 

 

´ ¾ º ¾ º ½ µ  

Ú Ò × Ø Ø Ô Ö Ó Ô Ö Ø Ñ ´ Ó Ö × Ø Ò µ  

  

   

  

Ö  

    

 

´  Ü  µ 

Ü 

 

 

Ü 

 

 

  ´ ¾ º ¾ º ¾ µ  

Ò Û Ó Ø Ò  

¼  

 

¾ 

Ü 

 

 

¾ 

·  

 

 

Ü 

 

 

Ü 

 

 

´ ¾ º ¾ º ¿ µ  

¾ º ¾ º ½ Ì Ó Ò Ò Ø Ó Ò  

Ì Ä Ú Ú Ø Ó Ò Ò Ø Ó Ò ×  

 

 

 

 

½ 

¾ 

 

 

    

 

 

 

·   

 

 

 

    

 

 

 

   ´ ¾ º ¾ º µ  

Á Ó Ò × × × Ó Ø Ò Ò Ø Ú Ø Ó Ö ¬ Ð ×  

  

     

 

 

  × Ù Ø Ø Ò Ý Ú Ø Ó Ö ¬ Ð × Û Ö Ø Ø Ò ×  

     

     

 

´  Ü  µ 

     

 

 

´ ¾ º ¾ º µ  

Ø Ò Ø Ó Ò Ò Ø Ó Ò × ¬ Ò Ý Ú Ò   Ø × Ó Æ Ò Ø ×   

Ö   

     

 

 

     

 

 

 

 

 

     

 

 

´ ¾ º ¾ º µ  

Á Ò Ø × × × Û Ó Ø Ò  

Ì 

 

 

 

 

 

    

 

 

Ê 

 

 

   

 

 

 

 

    

 

 

 

 

    

 

Æ 

 

Æ 

 

·  

 

Æ 

 

Æ 

 

´ ¾ º ¾ º µ  

 

Page 58: Fre P. Course in General Relativity (Free Version, Lecture Notes, Web Draft, 2003)(141s)_PGr

7/29/2019 Fre P. Course in General Relativity (Free Version, Lecture Notes, Web Draft, 2003)(141s)_PGr

http://slidepdf.com/reader/full/fre-p-course-in-general-relativity-free-version-lecture-notes-web-draft 58/141

Õ Ù Ø Ó Ò Ó Ø Ó × ×    

Á Ø × Ø Ö Ñ Ò Ý Ø Ö Õ Ù Ö Ñ Ò Ø Ø Ø  

¼   Ö   

 

 

 

¼   Ì 

 

 

 

 

 

    

 

 

´ ¾ º ¾ º µ  

Ì Ó Ú Ö Ò Ø Ö Ú Ø Ú  

¾ º ¾ º ¾ Ì Ü Ñ Ô Ð Ó Ø Ý Ô Ö Ó Ð Ó  

À Ö Ø Ñ Ø Ö ×  

× 

¾ 

 

    

¾ 

· Ó ×  

¾ 

 

¾ 

´ ¾ º ¾ º µ  

Ò Ø Ð Ò Ø Ó Ù Ö Ú × Ø Ö Ó Ö Ð Ù Ð Ø Ø Ö Ó Ù Ø Ó Ð Ð Ó Û Ò Ò Ø Ö Ð  

   

  

×  

  

 

 

Ø 

 

¾ 

· Ó ×  

¾ 

 

 

 

Ø 

 

¾ 

Ø     

  

Ô   

Ä   Ø  ´ ¾ º ¾ º ½ ¼ µ  

È Ö Ó Ö Ñ Ò Ú Ö Ø Ó Ò Ð Ð Ù Ð Ø Ó Ò Û Ø Ø Ø Ø Ð Ò Ø × Ü Ø Ö Ñ Ð  

Æ    

  

½ 

Ô   

Ä  

Æ 

Ä   Ø  ¼ 

µ   Æ 

Ä   ¼ ´ ¾ º ¾ º ½ ½ µ  

À Ò Û Ò Ù × Ø Ø Ö Ø  

Ä          

¾ 

· Ó ×  

¾ 

 

 

 

¾ 

´ ¾ º ¾ º ½ ¾ µ  

× Ø Ð Ö Ò Ò Ó Ò Ó Ö Ò Ö Ý Ñ Ò Ð Ô Ö Ó Ð Ñ Ò Ø Ù Ð Ö Ä Ö Ò Õ Ù Ø Ó Ò × Ó Ñ Ó Ø Ó Ò  

Ö  

¼    

Ø 

  Ä  

 

 

 

  

  Ä  

 

   

Ø 

 

¾ Ó ×  

¾ 

 

 

 

 

¼    

Ø 

  Ä  

    

  

  Ä  

 

¾ 

 

 

Ø 

      Ó ×     × Ò    

 

 

¾ 

 

´ ¾ º ¾ º ½ ¿ µ  

Ì ¬ Ö × Ø Ó Ø Ó Ú Õ Ù Ø Ó Ò × × Ó Û × Ø Ø     × Ý Ð Ú Ö Ð Ò Ò Û Ú ¬ Ö × Ø Ò Ø Ö Ð  

Ó Ø Ñ Ó Ø Ó Ò  

Ó Ò × Ø    Ô  Ó ×  

¾ 

 

 

  ´ ¾ º ¾ º ½ µ  

Ï Ò × Ù × Ø Ø Ù Ø Ø × Ò Ó Ö Ñ Ø Ó Ò Ò Ø Ó Ø Õ Ù Ø Ó Ò × × Ø Ø Ò Ø Ø Ø Ò Ó Ö Ñ Ó Ø Ø Ò Ò Ø Ú Ø Ó Ö ×  

Ø Ó Ø Ó × × Ö Ø Ñ ¹ Ð ¸ × Ô ß Ð Ò Ò Ù Ð Ð ¹ Ð Ö × Ô Ø Ú Ð Ý  

 

 

Ü 

 

× 

Ü 

 

× 

 

    

¾ 

· Ó ×  

¾ 

 

 

 

¾ 

     

 

 

 

  ½ × Ô ß Ð  

¼ Ò Ù Ð Ð ß Ð  

½ Ø Ñ ß Ð  

´ ¾ º ¾ º ½ µ  

Ö Ó Ñ Ø × × Ù × Ø Ø Ù Ø Ó Ò Û Ö Ø Ð Ý Ó Ø Ò Ø Õ Ù Ø Ó Ò Ó Ö Ø Ó Ö Ø ×  

 

 

 

Õ  

 Ô 

¾ 

Ó ×  

¾ 

       Ó ×  

 

  ´ ¾ º ¾ º ½ µ  

Û Ù Ô Ó Ò Ö Ø Ò Ø Ö Ø Ó Ò Ý Ð × Ø Ø Ö Ñ Ð × Ó Ó × ×  

Ø Ò 

¾ 

     Ô 

¾ 

× Ò  

¾ 

 

Ô 

¾ 

· Ó ×  

¾ 

 

× Ô ß Ð  

Ó ×  

¾ 

     

¾ 

½ · Ø Ò  

¾ 

 

 

¾ 

· Ø Ò  

¾ 

 

Ø Ñ ¹ Ð  

Ø Ò  

 

¾ 

Ø Ò  

 

¾ 

·  «  Ò Ù Ð Ð ¹ Ð  

´ ¾ º ¾ º ½ µ  

Page 59: Fre P. Course in General Relativity (Free Version, Lecture Notes, Web Draft, 2003)(141s)_PGr

7/29/2019 Fre P. Course in General Relativity (Free Version, Lecture Notes, Web Draft, 2003)(141s)_PGr

http://slidepdf.com/reader/full/fre-p-course-in-general-relativity-free-version-lecture-notes-web-draft 59/141

Ô Ø Ö ¿      

Å Ç Ì Á Ç Æ Ç Ì Ë Ì È Ê Ì Á Ä Á Æ Ì À        

Ë À Ï Ê Ë À Á Ä Å Ì Ê Á          

¿ º ½ Á Ò Ø Ö Ó Ù Ø Ó Ò  

Á Ø × Ö Ø Ó × Ý Ø Ø Ñ Ó Ö Ò Ô Ý × × × Ø Ö Ø Û Ø Ø Ó Ô Ö Ò Ò Ê Ú Ó Ð Ù Ø Ó Ò Ò Û Ø Ø Ö Ñ Ö ¹  

Ð Ó Ò Ô Ø Ù Ð × Ý Ò Ø × × Ó Â Ó Ò Ò × Ã Ô Ð Ö ´ × Ô Ó Ö Ø Ö Ø × Ú Ò Ò ¬ º ¿ º ½ µ Û Ó × Ù Ñ Ñ Ö Þ Ø Û Ó  

Ñ Ð Ð Ò Ò Ó × Ø Ö Ó Ò Ó Ñ Ð Ó × Ö Ú Ø Ó Ò × Ó Ø × Ó Ð Ö × Ý × Ø Ñ Ò Ø Ó Ø Ö × Ñ Ô Ð Ð Û × Ø Ø × Ö  

Ø Ó Ö Ø × Ó Ô Ð Ò Ø × Ò Ø Ö Ô Ö Ó × Ó Ö Ú Ó Ð Ù Ø Ó Ò º Á Ò Û Ø Ó Ò ³ × Ø Ó Ö Ý Ó Ö Ú Ø Ø Ó Ò Ð Ò ¹  

Ø Ö Ø Ó Ò × Ò Û Ø Ó Ò Ò Ñ Ò × Û Ö Ù × Ø Ò Ú Ò Ø Ø Ó Ü Ô Ð Ò Ã Ô Ð Ö ³ × Ð Û × Û Ø Ò Ù Ò ¬  

Ø Ó Ö Ý Ó Ð Ð Ô Ó × × Ð Ñ Ó Ø Ó Ò × º  

Á Ø × Õ Ù Ø Ó Ú Ó Ù × Ø Ø Ò Ö Ð Ê Ð Ø Ú Ø Ý Û Ñ × Ø Ö Ô Ð Ò Û Ø Ó Ò ³ × Û Ø Ñ Ó Ö  

Ô Ö Ó Ó Ù Ò Ò Ó Ò × × Ø Ò Ø Ø Ó Ö Ý Ó Ö Ú Ø Ý × Ó Ù Ð Ö Ô Ö Ó Ù Ã Ô Ð Ö ³ × Ð Û × ¸ Ø Ð × Ø Ò ¬ Ö × Ø Ô Ô Ö Ó Ü ¹  

Ñ Ø Ó Ò º Ð Ö Ð Ý Û Ü Ô Ø × Ó Ñ Ñ Ó ¬ Ø Ó Ò × Ò × Ó Ñ Ò Û « Ø × Ù Ø ¸ Ò Ó Ö Ö Ø Ó Ñ Ø  

Ò Û Ø Ó Ö Ý × Ù × × Ù Ð ¸ Ø Ý Ú Ø Ó Ü Ø Ö Ñ Ð Ý Ø Ò Ý Ò Ô Ý × Ð × Ý × Ø Ñ × Ó Ø × Þ Ó Ø × Ó Ð Ö  

× Ý × Ø Ñ º Ç Ò Ø Ó Ò Ø Ö Ö Ý Ø × Ñ « Ø × Ö Ð Ð Ó Û Ø Ó Ó Ñ Ú Ö Ý Ð Ö Ò Ú Ò Ó Ñ Ò Ò Ø  

Ò Ü Ø Ö Ñ Ð Ý Ò Ö Ö Ó Û × Ø Ö Ó Ô Ý × Ð × Ý × Ø Ñ × Ð Ø Ó × Ô Ö Ó Ú Ý Ò Ö × Ó Ó Ñ Ô Ø × Ø Ö × Ø Ø  

Ö Ô Ö × Ò Ø Ð Ý × × Ð Ø Ó Ø × Ø Ö Ó Ò Ó Ñ Ð Ó × Ö Ú Ø Ó Ò Ò Ó Ù Ð Ò Ó Ø Ú Ò × Ù × Ô Ø Ø Ø  

Ø Ñ Ó Ã Ô Ð Ö Ó Ö Û Ø Ó Ò º  

Á Ò Ø × Ô Ø Ö Û × Ó Û Ø Ø Ø × Ñ Ó × Ø Ð Ý × Ö Ð Ø Ù Ö × Ö Ø Ö Þ Ø   Ø Ñ ¹ Ð   Ò  

× Ô ¹ Ð Ó × ×   Ó Ô Ö Ø Ù Ð Ö Ó Ò ¹ Ô Ö Ñ Ø Ö × Ô ¹ Ø Ñ Ñ Ø Ö Û Ø Å Ò Ó Û × Ò × Ò Ø Ù Ö  

Ø Ø × Ò Ñ Ø   Ë Û Ö Þ × Ð Ñ Ø Ö   Ø Ö × × Ó Ú Ö Ö º  

Ì × Ò ¬ Ò Ó Ø × Ö × Ù Ð Ø × Ô Ô Ö Ø Ø Ö Ó Ù Ø Ó Ð Ð Ó Û Ò Ö × Ó Ò Ò º Ç Ò Û Ô Ø  

Ø Ó Ñ Ø Ö Ð Ñ Ó Ð Ó × Ô ß Ø Ñ × Ø Ô Ö ´  Å       µ Û Ö   Å     × « Ö Ò Ø Ð Ñ Ò Ó Ð Ò  

  × Ô × Ù Ó ß Ê Ñ Ò Ò Ò Ñ Ø Ö ¸ Ø Ù Ò Ñ Ò Ø Ð Ô Ö Ó Ð Ñ Ó Ñ Ò × ¸ Ò Ñ Ð Ý Ø Ø Ö Ñ ¹  

Ò Ø Ó Ò Ó Ô Ý × Ð Ø Ö Ø Ó Ö × Ó Ô Ó Ò Ø ß Ô Ö Ø Ð × Ú Ò Ø Ó Ö × Ø Ø Ø Ó Ò Ø Ñ ¸ × Ö Ô Ð Ý  

Ø Ó Ñ Ø Ö Ð Ô Ö Ó Ð Ñ Ó Ð Ù Ð Ø Ò Ø Ó × × Ó Ö Ø Ñ Ø Ö     º Ì Ö Ö Ø Ö Ò × Ó  

Ø × Ð Ø Ø Ö  

´ µ Ø   Ø Ñ ¹ Ð Ó × ×   Ö Ø Ô Ó × × Ð Û Ó Ö Ð ß Ð Ò × Ó Ð Ð Ó Û Ý Ñ × × Ú Ô Ö Ø Ð × ¸  

´ µ Ø   Ð Ø ¹ Ð Ó × ×   Ö Ø Ô Ó × × Ð Û Ó Ö Ð ß Ð Ò × Ó Ð Ð Ó Û Ý Ñ × × Ð × × Ô Ö Ø Ð × × Ù × Ø  

Ô Ó Ø Ó Ò × ¸  

´ µ Ø   × Ô ¹ Ð Ó × ×   Ò Ò Ó Ø Û Ó Ö Ð ß Ð Ò × Ó Ö Ò Ý Ô Ý × Ð Ô Ö Ø Ð × Ò Ý Ó Ù Ò Ø Ö Ú Ð  

Ð Ó Ò Ø Ñ Ó Ò Ð Ý Ø × Ô Ð Ö Ö Ø Ò Ø × Ô Ó Ð Ø º  

À Ò Ø Ñ Ø Ö     × × Ù × Ø Ø Ù Ø Ó Ö Ø Ó Ò Ô Ø Ó     Ó Ö ¬ Ð   Ò Ø Ð Ù Ð Ø Ó Ò Ó Ø Ñ ß  

Ð Ó × × × × Ù × Ø Ø Ù Ø Ó Ö Ø × Ó Ð Ù Ø Ó Ò Ó Ø Ù Ò Ñ Ò Ø Ð Ô Ö Ó Ð Ñ Ó Ñ Ò × Ò Ø ×  

 

Page 60: Fre P. Course in General Relativity (Free Version, Lecture Notes, Web Draft, 2003)(141s)_PGr

7/29/2019 Fre P. Course in General Relativity (Free Version, Lecture Notes, Web Draft, 2003)(141s)_PGr

http://slidepdf.com/reader/full/fre-p-course-in-general-relativity-free-version-lecture-notes-web-draft 60/141

Á Ò Ø Ö Ó Ù Ø Ó Ò    

Ù Ö ¿ º ½ º   Â Ó Ò Ò × Ã Ô Ð Ö ½ ½ ¹ ½ ¿ ¼  

Ó Ö ¬ Ð º Ê Ø Ö Ú Ò Ð Ñ Ó × Ø Ã Ô Ð Ö Ò Ó Ö Ø × Ö Ó Ñ Ø Ø Ñ ¹ Ð Ó × × Ó Ø   Ë Û Ö Þ × Ð  

Ñ Ø Ö   × Ó Û × Ø Ø Ø × Ð Ø Ø Ö × Ó Ö Ö Ø Ö Ô Ð Ñ Ò Ø Ó Ö Û Ø Ó Ò ³ × Ð Û Ó Ö Ú Ø Ø Ó Ò º Á Ò Ø  

Ó Ò Ô Ö Ñ Ø Ö Ó Ù Ö Ö Ò Ò Ø Ë Û Ö Þ × Ð Ñ Ø Ö Ò Ò Ø ¬ Û Ø Ø Ñ × ×   Å  Ó Ø  

Û Ø Ó Ò Ò × Ó Ù Ö º  

Ò Ö Ð Ê Ð Ø Ú Ø Ý ×    ¬ Ð Ø Ó Ö Ý  Ó Ö Ø × Ô ß Ø Ñ Ñ Ø Ö    

 

´  Ü  µ Ò Ø Û Ð Ð Ó Ö Ö Ø  

Ø Ó Ö Ý Ó Ö Ú Ø Ý Ø Ë Û Ö Þ × Ð Ñ Ø Ö × × Ó Ð Ù Ø Ó Ò Ó Ø × ¬ Ð Õ Ù Ø Ó Ò × ¸ Ø Ù Ð Ð Ý Ø Ù Ò Õ Ù  

× Ó Ð Ù Ø Ó Ò Û Ø Ø × Ý Ñ Ñ Ø Ö Ý Ó Ö Ö × Ô Ó Ò Ò Ø Ó Ã Ô Ð Ö ³ × Ô Ö Ó Ð Ñ ¸ Ò Ñ Ð Ý × Ô Ö Ð × Ý Ñ Ñ Ø Ö Ý º Ì ×  

× Û Ø Û × Ó Û Ò Ð Ø Ö Ô Ø Ö × Ó Ò Ò × Ø Ò ³ × ¬ Ð Õ Ù Ø Ó Ò × Ú Ò Ò Ø Ö Ó Ù º  

Á Ò Ø Ô Ö × Ò Ø Ô Ø Ö Û × Ñ Ô Ð Ý × × Ù Ñ Ø Ë Û Ö Þ × Ð Ñ Ø Ö Ò Û Û Ó Ö Ó Ù Ø Ð Ð Ó  

Ø × Ó Ò × Õ Ù Ò × º Ø Ö Ö Ú Û ´ × × Ø º ¿ º ¾ µ Ó Ã Ô Ð Ö ³ × Ô Ö Ó Ð Ñ Ò Ø Ó Ò Ø Ü Ø Ó Û Ø Ó Ò Ò  

Ñ Ò × ¸ Ò × Ø º ¿ º ¿ Û × Ø Ù Ý Ø Õ Ù Ø Ó Ò × Ó Ö Ø Ñ ß Ð Ó × × Ò Ë Û Ö Þ × Ð Ó Ñ Ø Ö Ý  

Page 61: Fre P. Course in General Relativity (Free Version, Lecture Notes, Web Draft, 2003)(141s)_PGr

7/29/2019 Fre P. Course in General Relativity (Free Version, Lecture Notes, Web Draft, 2003)(141s)_PGr

http://slidepdf.com/reader/full/fre-p-course-in-general-relativity-free-version-lecture-notes-web-draft 61/141

Ã Ô Ð Ö Ò Å Ó Ø Ó Ò × Ò Æ Û Ø Ó Ò Ò Å Ò ×   ¼ 

Ò Û × Ó Û Ó Û × Ù Ó Ñ Ø Ö Ð Ô Ö Ó Ð Ñ Ñ Ø × Ó Ò ß Ø Ó ß Ó Ò Ñ Ô Ò Ø Ó Ø Ô Ö Ú Ó Ù × Ó Ò º Á Ò  

Ô Ö Ø Ù Ð Ö Ø ¬ Ö × Ø Ò Ø Ö Ð × Ó Ø Û Ø Ó Ò Ò Ñ Ó Ø Ó Ò ¸ Ø Ò Ö Ý     Ò Ø Ò Ù Ð Ö Ñ Ó Ñ Ò Ø Ù Ñ  

  Ö Ñ Ô Ô Ò Ø Ó Ø Ö Ö Ð Ø Ú × Ø Ò Ð Ó Ù ×      Ò   Ä  Û Ö Ó Ò × Ø Ò Ø Ð Ó Ò Ø Ó × ×  

Ò Ö × × Ó Ø Û Ø Ø × Ñ × Ý Ñ Ñ Ø Ö × Ò Ó Ø × × Ø Ñ ß Ò Ô Ò Ò Ò × Ô Ö Ð  

× Ý Ñ Ñ Ø Ö Ý Ó Ø Ö Ú Ø Ø Ó Ò Ð ¬ Ð ¸ Ö × Ô Ø Ú Ð Ý º Ï Ö Ø Ò Ø « Ö Ò Ø Ð Õ Ù Ø Ó Ò Ó Ø Ó Ö Ø Û  

¬ Ò Ø Ø Ø × Ó Ö Ñ Ð Ð Ý Ò Ø Ð Ø Ó Ø Ø Ó Û Ø Ó Ò ³ × Ø Ó Ö Ý Ù Ø Û Ø Ñ Ó ¬ Ò Ø Ö Ð Ô Ó Ø Ò Ø Ð  

Π

 

´  Ö  µ º Á Ò Ø Ó Ò Ø Ó Ò Ø Ø Ø Ö Ø Ú Ø Ö Ñ      ½  Ö  Ò Ø Ó Ø Ò Ø Ö Ù Ð Ö Ö Ö       ½  Ö 

¾ 

Ø Ö × Ø Ö Ø Ø Ö Ø Ú Ø Ö Ñ      ½  Ö 

¿ 

Ø Ø × Ö × Ô Ó Ò × Ð Ó Ö Ð Ð Ø Ú Ø Ó Ò × Ö Ó Ñ Ô Ù Ö Ð Ý  

Ã Ô Ð Ö Ò Ñ Ó Ø Ó Ò º Ø Ð Ö × Ø Ò × Ø × Ò Û Ø Ö Ñ × Ó Ñ Ô Ð Ø Ð Ý Ò Ð Ð Ò Ø × Ü Ô Ð Ò × Û Ý  

Û Ø Ó Ò ³ × Ø Ó Ö Ý Û Ó Ö × × Ó Û Ð Ð ¸ Ý Ø Ø × Ñ Ð Ð × Ø Ò × Ø Ó Ñ Ò Ø × Ò Ñ × Ö Ñ Ø Ò ×  

Ò Ó Ù Ö Ô Ö Ø Ó Ò × º Á Ø × Ö × Ô Ó Ò × Ð Ó Ö Õ Ù Ð Ø Ø Ú Ð Ý Ò Û « Ø × ¸ Ò Ô Ö Ø Ù Ð Ö Ø Ô Ò Ó Ñ Ò Ó Ò Ó  

Ô Ö × Ø Ö Ó Ò Ú Ò Ò Ô Ð Ò Ø Ö Ý Ó Ö Ø × º Ì × × Ø Ò Ý Ù Ø Ñ × Ù Ö Ð « Ø Ò Ø × Ó Ð Ö × Ý × Ø Ñ  

Ø Ø Ò Ó Ñ Ñ Ô Ö × × Ú Ð Ý Ð Ö Ò Ò Ö Ö Ó Û Ò Ö Ý × Ý × Ø Ñ × º À × Ø Ó Ö Ð Ð Ý Ø Ô Ö Ó Ú Ó Ò Ó Ø  

Ø Ö Ø × Ø × Ó Ò Ö Ð Ê Ð Ø Ú Ø Ý Ô Ö Ó Ô Ó × Ý Ò × Ø Ò Ñ × Ð Ø Ð Ù Ð Ø Ó Ò Ó Ø Ñ × Ù Ö  

Ò Ù Ò Ü Ô Ð Ò Ô Ö Ð Ó Ò Ú Ò Ò Ø Ó Ö Ø Ó Å Ö Ù Ö Ý º Ò Ó Ø Ö Ø × Ø Ô Ö Ó Ô Ó × Ý Ò × Ø Ò  

Û × Ø - Ø Ó Ò Ó Ð Ø ß Ö Ý × Ý Ö Ú Ø Ø Ó Ò Ð ¬ Ð º Ì × × Ø Ó Ó Û Ø Ø   Ð Ø ß Ð Ó × ×  

Û Ó × Ð Ù Ð Ø Ó Ò Û Ö × × Ò × Ø Ó Ò ¿ º º  

Á Ò Ø Û Ø Ó Ò Ò × Ø Ò Ö Ð Ò Ø Ö Ð Ó Ø Ó Ö Ø Õ Ù Ø Ó Ò Ò Ú Ò Ò Ð Ó ×  

Ò Ð Ý Ø Ð Ó Ö Ñ º Ó Ö Ø × Ó Ë Û Ö Þ × Ð Ó Ñ Ø Ö Ý Ø × × Ò Ó Ø Ô Ó × × Ð Ò Û Ú Ø Ó  

Ö × Ó Ö Ø Ø Ó Ò Ù Ñ Ö Ð × Ó Ð Ù Ø Ó Ò × º Ó Ö Ô Ó Ð Ô Ù Ö Ô Ó × × Á Ô Ö × Ò Ø × Ó Ö Ø Ó Ñ Ô Ù Ø Ö Ô Ò  

Å Ì À Å Ì Á Ø Ø Ò Ù × Ø Ó Ô Ö Ó Ù Ò Ù Ñ Ö Ð × Ó Ð Ù Ø Ó Ò × Ó Ø Ó Ö Ø Õ Ù Ø Ó Ò Ò Ô Ð Ó Ø  

Ø Ñ Ö Ô Ð Ð Ý ´ × × Ø º ¿ º º ¾ µ º Ð Ø Ö Ò Ø Ú Ð Ý Û Ò Ù × Ô Ö Ø Ù Ö Ø Ó Ò Ø Ó Ö Ý Ò Ð Ù Ð Ø Ø  

¬ Ö × Ø Ó Ö Ö Ó Ö Ö Ø Ó Ò × Ø Ó Ã Ô Ð Ö Ò Ó Ö Ø × º Ì × × Ø ¬ Ö × Ø Ü Ñ Ô Ð Ó Ô Ó × Ø Ò Û Ø Ó Ò Ò Ü Ô Ò × Ó Ò  

Ò Ô Ö Ó Ù × Ø Ð Ö Ø Ó Ö Ñ Ù Ð Ó Ö Ø Ô Ö × Ø Ö Ó Ò Ú Ò Ò Ó Ö Ø Ð Ø ß Ö Ý - Ø Ó Ò  

Ò Ð º  

¿ º ¾ Ã Ô Ð Ö Ò Å Ó Ø Ó Ò × Ò Æ Û Ø Ó Ò Ò Å Ò ×  

× Ò Ø Ô Ø Ò Ø Ò Ø Ö Ó Ù Ø Ó Ö Ý × Ø Ó Ò Ø × Ó Ò Ú Ò Ò Ø Ø Ó × Ø Ö Ø Û Ø Ö Ú Û Ó Ã Ô Ð Ö ³ ×  

Ô Ö Ó Ð Ñ Ò Ð × × Ð Û Ø Ó Ò Ò Ñ Ò × º Ì ¬ Ö × Ø Ø Ò Ø Ó Ó × Ø Ó ¬ Ü Ó Ù Ö Ó Ò Ú Ò Ø Ó Ò × Ó Ö  

Ò Ñ Ø × º Ï Ù × Ô Ó Ð Ö Ó Ó Ö Ò Ø × Ò Ø Û Ý Û Ð Ð Ø Ô Ó Ò Ø × Ó ¾ ß × Ô Ö Ý Ñ Ò × Ó  

Ø Û Ó Ò Ù Ð Ö Ó Ó Ö Ò Ø × × × Ö Ò ¬ º ¿ º ¾  

Á Ò Û Ø Ó Ò ³ × Ø Ó Ö Ý Ø Ó Ö Ø Õ Ù Ø Ó Ò × Ö Ù Ö Ó Ñ Ø Õ Ù Ø Ó Ò × Ó Ò Ö Ý Ò Ò Ù Ð Ö  

Ñ Ó Ñ Ò Ø Ù Ñ Ó Ò × Ö Ú Ø Ó Ò Ø Ø ¸ Ò Ø Ô Ó Ð Ö Ó Ó Ö Ò Ø × Û Ú Ó Ô Ø ¸ Ø Ø Ó Ð Ð Ó Û Ò Ó Ö Ñ  

   

½ 

¾ 

 

Ö 

Ø 

 

¾ 

  · 

½ 

¾ 

 

¾ 

Ö 

¾ 

  ß Þ  

Ò Ø Ö Ù Ð  

Ö Ö Ö  

  

Å  

Ö 

  ß Þ  

Û Ø Ó Ò Ò  

Ô Ó Ø Ò Ø Ð  

´ ¿ º ¾ º ½ µ  

    Ö 

¾ 

 

Ø 

  ß Þ  

Ò Ù Ð Ö  

Ñ Ó Ñ Ò Ø Ù Ñ  

´ ¿ º ¾ º ¾ µ  

Ó Ð Ð Ó Û Ò Õ Ù Ø × Ø Ò Ö Ó Ò Ú Ò Ø Ó Ò × Ó Ò × Ø ×  

 Ö     

Ö 

Ø 

  Ö 

¼ 

   

Ö 

 

  µ     Ö    Ö 

¼ 

 

Ö 

¾ 

´ ¿ º ¾ º ¿ µ  

Page 62: Fre P. Course in General Relativity (Free Version, Lecture Notes, Web Draft, 2003)(141s)_PGr

7/29/2019 Fre P. Course in General Relativity (Free Version, Lecture Notes, Web Draft, 2003)(141s)_PGr

http://slidepdf.com/reader/full/fre-p-course-in-general-relativity-free-version-lecture-notes-web-draft 62/141

Ã Ô Ð Ö Ò Å Ó Ø Ó Ò × Ò Æ Û Ø Ó Ò Ò Å Ò ×   ½ 

Ù Ö ¿ º ¾ º   Ç Ù Ö Ó Ò Ú Ò Ø Ó Ò × Ó Ö Ø Ò Ù Ð Ö Ó Ó Ö Ò Ø × Ó Ò Ø   Ë 

¾ 

× Ô Ö Ö × Ó Ð Ð Ó Û × Ø Þ Ñ Ù Ø Ð  

Ò Ð     Ø × Ø Ú Ð Ù × Ò Ø Ö Ò ¼    ¾    ℄ ¸ Û Ð Ø × Ò × Ó Ò Ò Ð     Ö Ù Ò × Ö Ó Ñ ¼ ´ Ø Æ Ó Ö Ø È Ó Ð µ  

Ø Ó    ´ Ø Ë Ó Ù Ø È Ó Ð µ º Ì Ñ Ø Ö   × 

¾ 

   

¾ 

· × Ò  

¾ 

 

¾ 

× × Ò Ù Ð Ö Ø     ¼ Ò         º Ì × Ö  

Ó Ó Ö Ò Ø × Ò Ù Ð Ö Ø × Ø Ø Ò Ö Ñ Ó Ú Ý Ö ¬ Ò Ò    

× Ó Ø Ø Õ º ´ ¿ º ¾ º ½ µ Ó Ñ ×  

½ 

¾ 

´  Ö 

¼ 

µ 

¾ 

 

¾ 

Ö 

 

· 

½ 

¾ 

 

¾ 

Ö 

¾ 

  

Å  

Ö 

    ´ ¿ º ¾ º µ  

Á Ò Ø Ö Ó Ù Ò Ò Û Ú Ö Ð  

Ù     

½ 

Ö 

´ ¿ º ¾ º µ  

Õ º ´ ¿ º ¾ º µ Ó Ñ ×  

´  Ù 

¼ 

µ 

¾ 

·  Ù 

¾ 

   

¼ 

· ¾  Ù  ´ ¿ º ¾ º µ  

Û Ö Û Ú × Ø  

 

¼ 

   

¾   

 

¾ 

   

½ 

   

Å  

¾ 

 

¾ 

´ ¿ º ¾ º µ  

Ì Ò Ù Ö Ø Ö  

 

 

Ö Ú Ø Ú Ó Õ º ´ ¿ º ¾ º µ Ó Ò Ó Ø Ò ×  

¾  Ù 

¼ 

´  Ù 

¼ ¼ 

·  Ù      

½ 

µ ¼ ´ ¿ º ¾ º µ  

Ì Ö Ö Ø Û Ó Ò × Ó × Ó Ð Ù Ø Ó Ò × Ó Õ º ´ ¿ º ¾ º µ ¸ Ø Ó × Û Ö   Ù 

¼ 

¼ Ò Ø Ó × Û Ö  

Ù 

¼ ¼ 

·  Ù      

½ 

¼ ´ ¿ º ¾ º µ  

Ì ¬ Ö × Ø Ò Ó × Ó Ð Ù Ø Ó Ò × Ó Ö Ö × Ô Ó Ò Ø Ó Ø Ö Ù Ð Ö Ó Ö Ø × Ó Ö Û   Ö    Ó Ò × Ø  ¸ Û Ð Ø × Ó Ò  

Ö Ø Ò Ó Ò Ö Ù Ð Ö Ó Ò × º Õ º ´ ¿ º ¾ º µ × Ñ Ñ Ø Ð Ý × Ó Ð Ú Ý Ò Ó Ú Ö Ð   Ù    Ý  ·   

½ 

Û Ö Ù × Ø Ø Ó Ø Ñ Ð Ö Õ Ù Ø Ó Ò  

 

¾ 

Ý 

 

¾ 

·  Ý  ¼ ´ ¿ º ¾ º ½ ¼ µ  

Page 63: Fre P. Course in General Relativity (Free Version, Lecture Notes, Web Draft, 2003)(141s)_PGr

7/29/2019 Fre P. Course in General Relativity (Free Version, Lecture Notes, Web Draft, 2003)(141s)_PGr

http://slidepdf.com/reader/full/fre-p-course-in-general-relativity-free-version-lecture-notes-web-draft 63/141

Ì Ó Ö Ø Õ Ù Ø Ó Ò × Ó Ñ × × Ú Ô Ö Ø Ð   ¾ 

Ó Ö Ñ Ó Ò Ñ Ó Ø Ó Ò Û Ó × Ò Ö Ð × Ó Ð Ù Ø Ó Ò ×   Ý    Ó ×   ´   

   

¼ 

µ Ò Ó Ò Ø Ò × Ø Û Ó Ò Ø Ö Ø Ó Ò  

Ó Ò × Ø Ò Ø ×     Ò    

¼ 

º Ì Ö Ó Ö Ø Ò Ö Ð × Ó Ð Ù Ø Ó Ò Ó Õ º ´ ¿ º ¾ º µ Ò Û Ö Ø Ø Ò × Ó Ð Ð Ó Û ×  

½ 

Ù 

  Ö     

 

½      

¾ 

¡ 

½ 

½ ·  Ó ×  

´ ¿ º ¾ º ½ ½ µ  

Û Ö Û Ò Ñ  

 

½ 

½     

¾ 

      × Ñ Ð Ø Ù × Ö Ø Ù Ñ  

 

 

½ 

      Ò Ø Ö Ø Ý  

´ ¿ º ¾ º ½ ¾ µ  

Á Ò Ø × Û Ý Ø Ô Ö Ñ Ø Ö     ¸ Û Ó × Ö Ò × ¼           ½ ¸ Ö Ô Ð × Ø Ò Ø Ö Ø Ó Ò Ó Ò × Ø Ò Ø     Û Ð  

Ø × Ó Ò Ò Ø Ö Ø Ó Ò Ó Ò × Ø Ò Ø    

¼ 

× Ö × Ó Ö Ò Ø Ó Ø ¬ Ò Ø Ó Ò Ó Ø Þ Ñ Ù Ø Ð Ò Ð     º Ì  

Ò Ñ × Ú Ò Ø Ó Ø Ô Ö Ñ Ø Ö × ´ ¿ º ¾ º ½ ¾ µ Ö Ø Ö Ø Ó Ò Ð Ò × Ø Ö Ó Ò Ó Ñ Ý × Ò Ø Ø Ñ Ó Ã Ô Ð Ö Ò  

Ö Ö Ø Ó Ø Ó Ñ Ø Ö Ð Ò Ø Ö Ô Ö Ø Ø Ó Ò Ó Ø × Ó Ð Ù Ø Ó Ò ´ ¿ º ¾ º ½ ½ µ × Ø Õ Ù Ø Ó Ò Ó Ò Ð Ð Ô × × ´ ×  

¬ º ¿ º ¿ µ  

Ù Ö ¿ º ¿ º   Ì Ã Ô Ð Ö Ò Ó Ö Ø Ó Ø × Ø Ô Ö Ø Ð Ó Ñ × ×     Ö Ó Ù Ò Ò Ø Ö Ó Ñ × ×   Å  × Ò Ð Ð Ô × ×  

Ô Ö Ñ Ø Ö Þ Ý Ø × Ñ Ð Ø Ù × Ö Ø Ù Ñ      

Ö 

· 

·  Ö 

 

¾ 

Ò Ø Ò Ø Ö Ø Ý      

Ö 

· 

  Ö 

 

Ö 

· 

·  Ö 

 

¸  Ö 

¦ 

Ò Ø Ñ Ü Ñ Ð  

Ò Ñ Ò Ñ Ð × Ø Ò × Ö Ó Ñ Ø Ò Ø Ö Ó Ñ × × Ö Ý Ø Ø × Ø Ô Ö Ø Ð Û Ð Ó Ò Ö Ó Ù Ò Ø × Ó Ö Ø º  

Á Ò Ø × Ó Ø Ë Ó Ð Ö × Ý × Ø Ñ Ø × Ô Ó Ò Ø × Ö Ö × Ô Ø Ú Ð Ý Ò Ñ Ø   Ô Ð Ó Ò   Ò Ø    Ô Ö Ð Ó Ò 

Ì Ó Ñ Ø Ö Ð Ô Ö Ñ Ø Ö ×     Ò     Ö Ö Ð Ø Ø Ó Ø Ô Ý × Ð Ó Ò × Ø Ò Ø × Ó Ñ Ó Ø Ó Ò ¸ Ò Ñ Ð Ý  

Ø Ó Ø Ò Ö Ý     Ò Ø Ò Ù Ð Ö Ñ Ó Ñ Ò Ø Ù Ñ     º 

¿ º ¿ Ì Ó Ö Ø Õ Ù Ø Ó Ò × Ó Ñ × × Ú Ô Ö Ø Ð Ò Ë Û Ö Þ × Ð Ó Ñ Ø Ö Ý  

Ä Ø Ù × Ò Ó Û Ø Ù Ö Ò Ø Ó Ø × Ö Ô Ø Ó Ò Ó × Ô ß Ø Ñ × « Ö Ò Ø Ð Ñ Ò Ó Ð Ò Ó Û Û Ø  

Ô × Ù Ó ß Ê Ñ Ò Ò Ò × Ø Ö Ù Ø Ù Ö Ò Ò Ø Ö Ó Ù Ø Ë Û Ö Þ × Ð Ñ Ø Ö  

× 

¾ 

    

 

½     ¾ 

Ñ 

Ö 

 

Ø 

¾ 

· 

 

½     ¾ 

Ñ 

Ö 

 

  ½ 

Ö 

¾ 

·  Ö 

¾ 

 

 

¾ 

· × Ò  

¾ 

 

¾ 

¡ 

´ ¿ º ¿ º ½ ¿ µ  

Page 64: Fre P. Course in General Relativity (Free Version, Lecture Notes, Web Draft, 2003)(141s)_PGr

7/29/2019 Fre P. Course in General Relativity (Free Version, Lecture Notes, Web Draft, 2003)(141s)_PGr

http://slidepdf.com/reader/full/fre-p-course-in-general-relativity-free-version-lecture-notes-web-draft 64/141

Ì Ó Ö Ø Õ Ù Ø Ó Ò × Ó Ñ × × Ú Ô Ö Ø Ð   ¿ 

Û Ö   Ø  Ò Ó Ø × Ø Ø Ñ Ó Ó Ö Ò Ø × ¸ Û Ð   Ö   Ö Ô Ó Ð Ö Ó Ó Ö Ò Ø × Ò Ø × Ñ Ò Ó Ø Ø Ó Ò × ×  

Ó Ö º  

Ì Ó Ó Ø Ò Ø Ó × Õ Ù Ø Ó Ò Ó Ö Ø Ñ Ó Ø Ó Ò Ó Ñ × × Ú Ø × Ø Ô Ö Ø Ð Ò Ø Ñ Ø Ö ´ ¿ º ¿ º ½ ¿ µ  

Û Ù × Ø Ú Ö Ø Ó Ò Ð Ô Ö Ò Ô Ð º × Û Ü Ô Ð Ò Ò × Ø Ó Ò     ¸ Ú Ò Ò Ü Ô Ð Ø Ñ Ø Ö    

 

´  Ü  µ 

Û Ú Ø Ô Ö Ó Ô Ö Ø Ñ  

   

  

Ö  

   

 

Ü 

 

 

Ü 

 

 

  ´ ¿ º ¿ º ½ µ  

Û × Ü Ø Ö Ñ Ð Ó Ò Ó × º Á Û Ù × × Æ Ò Ô Ö Ñ Ø Ö Ø Ô Ö Ó Ô Ö Ø Ñ Ø × Ð         ¸ Ø Ò  

Û Ò Ù × Ø Ö Ú Ø Ó × Õ Ù Ø Ó Ò × Ö Ó Ñ Ø « Ø Ú Ð Ö Ò Ò  

Ä       

½ 

¾ 

 

 

´  Ü  µ 

Ü 

 

 

Ü 

 

 

´ ¿ º ¿ º ½ µ  

Ô Ð Ù × Ø Ó Ò × Ø Ö Ò Ø Ø Ø  

 

 

½  µ Ä   ½    ¾ ´ ¿ º ¿ º ½ µ  

Ñ Ù × Ø Ó Ð Ø Ö Ù Ó Ò Ð Ð × Ó Ð Ù Ø Ó Ò × º  

Ó Ð Ð Ó Û Ò Ø × Ö × Ó Ò Ò ¸ Ö Ó Ñ Ø Ë Û Ö Þ × Ð Ñ Ø Ö ´ ¿ º ¿ º ½ ¿ µ Û Ö Ú Ø « Ø Ú Ð ¹  

Ö Ò Ò  

Ä       

 

½     ¾ 

Ñ 

Ö 

 

 

Ø 

¾ 

· 

 

½     ¾ 

Ñ 

Ö 

 

  ½ 

 Ö 

¾ 

·  Ö 

¾ 

 

 

 

¾ 

· × Ò  

¾ 

 

 

 

¾ 

 

´ ¿ º ¿ º ½ µ  

Û Ö Ø   Ó Ø  Ò Ó Ø × Ø Ö Ú Ø Ú     Û Ø Ö × Ô Ø Ø Ó Ô Ö Ó Ô Ö Ø Ñ º  

Ì Ù Ð Ö ß Ä Ö Ò Õ Ù Ø Ó Ò Ó Ø ¬ Ð     ´    µ Ý Ð ×  

 

 

  Ä  

 

 

 

  

  Ä  

 

¼  µ   

 

 

 

   ¾  Ö 

¾ 

 

 

 

· ¾ × Ò     Ó ×   

 

 

¾ 

¼ ´ ¿ º ¿ º ½ µ  

Ö Ó Ñ Õ º ¿ º ¿ º ½ Û Ó Ò Ð Ù Ø Ø Ø × Ó Ò × × Ø Ò Ø Ø Ó × Ø  

  Ó Ò × Ø  

 

¾ 

´ ¿ º ¿ º ½ µ  

Ø Ö Ó Ù Ó Ù Ø Ø Ñ Ó Ø Ó Ò º Á Ò Ó Ø Ö Û Ó Ö × Ø Ë Û Ö Þ × Ð Ñ Ó Ø Ó Ò ×   Ô Ð Ò Ö   × Ø Û Ø Ó Ò Ò Ñ Ó ¹  

Ø Ó Ò Ø Ø × Ô Ð Ò Ø Õ Ù Ø Ó Ö Ð Ô Ð Ò Û Ø Ö × Ô Ø Ø Ó Ø Ó Ó Ö Ò Ø Ö Ñ Û Ú Ó Ô Ø  

´ × ¬ º ¿ º ¾ µ º Ì Ò Ø × Ò Ø Ó Ó Ù Ò Ø Û Ñ Ñ Ø Ð Ý Ø Ø Ó Ð Ð Ó Û Ò Ö Ù Ð Ö Ò Ò  

Ä  

Ö Ù  

 

½ 

¾ 

 

  

 

½     ¾ 

Ñ 

Ö 

 

 

Ø 

¾ 

· 

 

½     ¾ 

Ñ 

Ö 

 

  ½ 

 Ö 

¾ 

·  Ö 

¾ 

 

 

¾ 

 

´ ¿ º ¿ º ¾ ¼ µ  

Á Ø × Ô Ô Ö Ò Ø Ö Ó Ñ Õ º ´ ¿ º ¿ º ¾ ¼ µ Ø Ø Ó Ø Ø   Ø Ñ   Ø  Ò Ø   Þ Ñ Ù Ø Ð Ò Ð     Ö Ý Ð Ò Ó Ò Ð  

Ú Ö Ð × ¸ Ò Ñ Ð Ý Ø Ý Ô Ô Ö Ò Ø Ð Ö Ò Ò Ó Ò Ð Ý Ø Ö Ó Ù Ø Ö Ö Ú Ø Ú × Û Ø Ö × Ô Ø Ø Ó  

Ø Ð Ö Ò Ò Ø Ñ     º Ì × Ñ Ô Ð × Ø Ü × Ø Ò Ó Ø Û Ó    ¬ Ö × Ø Ò Ø Ö Ð ×  Ó Ø Ñ Ó Ø Ó Ò ¸ Ò Ñ Ð Ý  

Ø  ¹ Ú Ö Ø Ó Ò  

µ   

Ø 

 

 

½ 

  ¾ 

Ñ 

Ö 

¡ 

 

   Ó Ò × Ø  

  ¹ Ú Ö Ø Ó Ò   µ    Ö 

¾ 

 

 

  Ä  Ó Ò × Ø  

´ ¿ º ¿ º ¾ ½ µ  

Á Ø × Ø Ñ Ô Ø Ò Ø Ó Ò Ø Ö Ô Ö Ø  

   Ò   Ä  × Ø Ò Ö Ý Ò Ø Ò Ù Ð Ö Ñ Ó Ñ Ò Ø Ù Ñ ¸ Ö × Ô Ø Ú Ð Ý º  

Ó Ñ Ô Ö × Ó Ò Û Ø Ø Û Ø Ó Ò Ò Ø Ó Ö Ý Û Ð Ð Ó Ò ¬ Ö Ñ × Ù Ò Ò Ø Ö Ô Ö Ø Ø Ó Ò º  

Page 65: Fre P. Course in General Relativity (Free Version, Lecture Notes, Web Draft, 2003)(141s)_PGr

7/29/2019 Fre P. Course in General Relativity (Free Version, Lecture Notes, Web Draft, 2003)(141s)_PGr

http://slidepdf.com/reader/full/fre-p-course-in-general-relativity-free-version-lecture-notes-web-draft 65/141

Ì Ó Ö Ø Õ Ù Ø Ó Ò × Ó Ñ × × Ú Ô Ö Ø Ð    

Ë Ò  

  ¾ 

Ä   ½ Ð Ó Ò Ø Ó × × ¸ Ö Ø Ö Ø Ò Û Ó Ö Ò Ó Ù Ø Ø Ø Ó Ò Ð Ù Ð Ö Ä Ö Ò  

Õ Ù Ø Ó Ò ´ Ó Ö Ø   Ö  ß Ú Ö Ø Ó Ò µ Û Ù × Ø Ò × Ö Ø Õ º × ´ ¿ º ¿ º ¾ ½ µ Ò Ø Ó Õ º ´ ¿ º ¿ º ¾ ¼ µ Ò Û Ø  

½  

  

¾ 

½     ¾ 

Ñ 

Ö 

  

 Ö 

¾ 

½     ¾ 

Ñ 

Ö 

   Ö 

¾ 

Ä 

¾ 

Ö 

 

´ ¿ º ¿ º ¾ ¾ µ  

× Ó Ø Ø Û Ó Ø Ò  

 

Ö 

 

 

¾ 

·  Π

 

´  Ö  µ     

¾ 

 

 

 

Ä 

Ö 

¾ 

´ ¿ º ¿ º ¾ ¿ µ  

Û Ö Û Ú Ò Ø Ö Ó Ù Ø Ó Ð Ð Ó Û Ò   « Ø Ú Ò Ø Ö Ð Ô Ó Ø Ò Ø Ð   

Π

 

   

 

½     ¾ 

Ñ 

Ö 

 

 

½ · 

Ä 

¾ 

Ö 

¾ 

 

½     ¾ 

Ñ 

Ö 

· 

Ä 

¾ 

Ö 

¾ 

   ¾ 

Ä 

¾ 

Ñ 

Ö 

¿ 

´ ¿ º ¿ º ¾ µ  

À Ò Ø ¬ Ö × Ø Ó Õ º × ´ ¿ º ¿ º ¾ ¿ µ Ò Ð × Ó Ö Û Ö Ø Ø Ò × Ó Ð Ð Ó Û ×  

½ 

¾ 

 

Ö 

 

 

¾ 

· 

Ä 

¾ 

¾  Ö 

¾ 

  

Ñ 

Ö 

  

Ä 

¾ 

Ñ 

Ö 

¿ 

 

  

¾ 

   ½ 

¾ 

´ ¿ º ¿ º ¾ µ  

Õ º ´ ¿ º ¿ º ¾ µ Ò Ó Ñ Ô Ö Û Ø Ø Õ Ù Ø Ó Ò Ó Ö Ò Ö Ý Ó Ò × Ö Ú Ø Ó Ò Ò Ø Ñ Ó Ø Ó Ò Ó Ø × Ø  

Ô Ö Ø Ð Ó Ñ × ×     Ò Ø Û Ø Ó Ò Ò ¬ Ð Ò Ö Ø Ý Ð Ö Ñ × × Å ´ × Õ º ´ ¿ º ¾ º ½ µ µ º Ó Ö  

Ñ Ó Ø Ó Ò × Ø Ø Ö × Ù Æ Ò Ø Ð Ý × Ð Ó Û ¸ Û Ò Ò Ø Ý  

  ³     

  ß Þ  

× Ô  

Ó Ð Ø  

Ø  ´ ¿ º ¿ º ¾ µ  

× Ó Ø Ø ¸ Ñ Ù Ð Ø Ô Ð Ý Ò Õ º ´ ¿ º ¿ º ¾ µ Ý     ¸ Û Ò Ö Û Ö Ø Ø Ò Ø Ó Ð Ð Ó Û Ò Û Ý  

  

Ñ  

¾ 

Ö 

· 

½ 

¾ 

 

 

Ö 

Ø 

 

¾ 

· 

½ 

¾ 

Ä 

¾ 

 

¾ 

 

Ö 

¾ 

  

 

¾ 

Ä 

¾ 

Ñ  

Ö 

¿ 

   

 

 

  

¾ 

   ½ 

¡ 

 

¾ 

 

¾ 

´ ¿ º ¿ º ¾ µ  

Ù Ö Ø Ö Ñ Ó Ö ¸ Ø Ø Ö Ñ  

 

¾ 

Ä 

¾ 

Ñ  

Ö 

¿ 

× Ñ Ù × Ñ Ð Ð Ö Ø Ò Ø Ó Ø Ö Ø Ö Ñ ×  

 

¾ 

Ä 

¾ 

Ñ  

Ö 

¿ 

   

½ 

¾ 

Ä 

¾ 

 

¾ 

 

Ö 

¾ 

´ ¿ º ¿ º ¾ µ  

Ø Ò Û Ò Ñ Ø Ò Ø ¬ Ø Ó Ò ×  

Ä 

¾ 

 

¾ 

  ³   

 

¾ 

 

µ    Ä  ³   

 

 

 

¾ 

Ñ     Å   µ    Ñ   

Å 

 

¾ 

 

¾ 

  ½ 

¾ 

 

¾ 

  ³      µ   

¾ 

³   

¾    ·   

¾ 

 

¾ 

´ ¿ º ¿ º ¾ µ  

Page 66: Fre P. Course in General Relativity (Free Version, Lecture Notes, Web Draft, 2003)(141s)_PGr

7/29/2019 Fre P. Course in General Relativity (Free Version, Lecture Notes, Web Draft, 2003)(141s)_PGr

http://slidepdf.com/reader/full/fre-p-course-in-general-relativity-free-version-lecture-notes-web-draft 66/141

Ì Ó Ö Ø Õ Ù Ø Ó Ò × Ó Ñ × × Ú Ô Ö Ø Ð    

Ó Ö 

 

 

 

 

 

Ñ   

Å 

 

¾ 

Ë Û Ö Þ × Ð Ñ Ö Ù ×  

Ä   

 

 

Ò Ù Ð Ö Ñ Ó Ñ Ò Ø Ù Ñ Ô Ö Ù Ò Ø Ñ × × Ô Ö × Ô Ó Ð Ø  

    

Õ  

½ · ¾ 

 

 

¾ 

Ø Ó Ø Ð Ò Ö Ý Ò Ö × Ø Ñ × × Ù Ò Ø ×  

´ ¿ º ¿ º ¿ ¼ µ  

Ì × Ó Ñ Ô Ö × Ó Ò Û Ø Ø Û Ø Ó Ò Ò Ø Ó Ö Ý × Ù × Ø × Ø Ó Ð Ð Ó Û Ò Ù Ö Ø Ó Ò  

     ½ Ó Ù Ò × Ø Ø   µ    Ð Ó × Ó Ö Ø  

     ½ Ù Ò Ó Ù Ò × Ø Ø   µ    Ó Ô Ò Ó Ö Ø  

´ ¿ º ¿ º ¿ ½ µ  

¿ º ¿ º ½ Ü Ø Ö Ñ Ó Ø « Ø Ú Ô Ó Ø Ò Ø Ð Ò Ö Ù Ð Ö Ó Ö Ø ×  

Ý Ñ Ò × Ó Õ º × ´ ¿ º ¿ º ¾ ¿ µ Ø Ô Ö Ó Ð Ñ Ó Ñ × × Ú Ô Ö Ø Ð Ó Ö Ø × Ò Ø Ë Û Ö Þ × Ð Ó Ñ Ø Ö Ý  

× Ò Ó Ö Ñ Ð Ð Ý Ö Ù Ø Ó Ø Ô Ö Ó Ð Ñ Ó Ð × × Ð Ñ Ó Ø Ó Ò × Ò Ò Ø Ö Ð Ô Ó Ø Ò Ø Ð º À Ò ¸  

  Ù × Ø × Ò Ð × × Ð Û Ø Ó Ò Ò Ñ Ò × Û Ú Ø Ó × Ø Ù Ý Ø Ü Ø Ö Ñ Ó Ø « Ø Ú Ô Ó Ø Ò Ø Ð 

´ ¿ º ¿ º ¾ µ Ò Ó Ö Ö Ø Ó × Ø Ð × Ø Ó Ò Ø Ó Ò × Ó Ö × Ø Ð Ò Ù Ò × Ø Ð Ö Ù Ð Ö Ó Ö Ø × º Á Ò Ò  

Ó Ö Ø × Ö Ù Ð Ö Û Ú  

Ö 

 

¼ Ò Ø Ö Ù ×   Ö    Ö 

¼ 

Ñ Ù × Ø Ö Ó Ó Ø Ó Ø Õ Ù Ø Ó Ò   Π

 

´  Ö  µ      º 

Ì Ó Ö Ø Û Ð Ð × Ø Ð   Ö 

¼ 

× Ñ Ò Ñ Ù Ñ Ó Ø « Ø Ú Ô Ó Ø Ò Ø Ð  Î 

 

¸ Û Ð Ø Û Ð Ð Ù Ò × Ø Ð  

Ø × Ñ Ü Ñ Ù Ñ º Õ Ù Ø Ò Ø Ó Þ Ö Ó Ø ¬ Ö × Ø Ö Ú Ø Ú Ó   Π

 

Û Ó Ø Ò  

¼  

Π

 

Ö 

 

Ñ 

Ö 

¾ 

   ¾ 

Ä 

¾ 

¾  Ö 

¿ 

· ¿ 

Ñ Ä 

¾ 

Ö 

 

´ ¿ º ¿ º ¿ ¾ µ  

Û Ø × Ó Ð Ù Ø Ó Ò ×  

Ö 

¦ 

 

Ä 

¾ 

¦   

Ô  

Ä 

¾ 

´  Ä 

¾ 

   ½ ¾  Ñ  µ 

¾  Ñ 

´ ¿ º ¿ º ¿ ¿ µ  

Ò Ó Ò × Ö Ò Ø × Ö Ñ Ò Ò Ø ¡   Ä 

¾ 

´  Ä 

¾ 

   ½ ¾  Ñ  µ Û Ó Ò Ð Ù Ø Ø Ó Ö  

Ä 

¾ 

  ½ ¾  Ñ 

¾ 

´ ¿ º ¿ º ¿ µ  

Ø Ö Ö Ò Ó Ü Ø Ö Ñ Ò Ó Ò × Õ Ù Ò Ø Ð Ý   Ò Ó × Ø Ð Ó Ö Ø ×  º Ê Ò × Ø Ð Ð Ò Ô Ý × Ð Ù Ò Ø × Ø × Ø Ð Ø Ý  

Ó Ù Ò ´ ¿ º ¿ º ¿ µ Ø Ö Ò × Ð Ø × Ò Ø Ó  

Ö 

¾ 

³ 

Ø 

 

Ô   

½ ¾ 

Å 

 

´ ¿ º ¿ º ¿ µ  

Á Ò Ø × Ó Ø × Ø Ô Ö Ø Ð × Ó Ö Ø Ò Ö Ó Ù Ò Ø × Ù Ò Ø × Ñ Ò ×  

Ê 

¾ 

Ì 

 

Ô   

½ ¾ 

¾   

Å 

 

 

´ ¿ º ¿ º ¿ µ  

Û Ö   Ì  Ò   Ê  Ö Ø Ô Ö Ó Ò Ö Ù × Ó Ø Ó Ö Ø ¸ Ö × Ô Ø Ú Ð Ý ¸ Ò   Å 

 

Ò Ó Ø × Ø Ñ × × Ó  

Ø × Ù Ò º Á Ò × Ö Ø Ò Ø Ò Ù Ñ Ö Ð Ú Ð Ù × Ó Ø × Ô Ý × Ð Ó Ò × Ø Ò Ø × Û ¬ Ò  

Å 

 

 

 

´ 

  ¼  ¡  Ñ 

¿ 

¡  ×  

  ¾ 

¡  Ñ 

  ½ 

µ 

¾    ¡  ½ ¼ 

½ ¼ 

¡  Ñ  ¡  ×  

  ½ 

   

 

    ¿  ¡  ½ ¼ 

½  

¡ 

Ñ 

¾ 

×  

½  ×    

½  Ý Ö  

¿ ½    ¿     ¼ ¼ ¼ 

¿    ½ ¿   ¡  ½ ¼ 

 

½  Ñ 

¾ 

 

½  Ñ 

½ ¼ 

½ ¼ 

½ ¼ 

  ½ ¼ 

Ñ 

¾ 

½ 

Ñ 

¾ 

×  

 

½ 

¿  ½ ¿  

¡  ½ ¼ 

  ¿ 

¡ 

Ñ 

¾ 

Ý Ö  

   

 

¼    ¿ ½   ¡  ½ ¼ 

  ¿ 

Ñ 

¾ 

Ý Ö  

´ ¿ º ¿ º ¿ µ  

Page 67: Fre P. Course in General Relativity (Free Version, Lecture Notes, Web Draft, 2003)(141s)_PGr

7/29/2019 Fre P. Course in General Relativity (Free Version, Lecture Notes, Web Draft, 2003)(141s)_PGr

http://slidepdf.com/reader/full/fre-p-course-in-general-relativity-free-version-lecture-notes-web-draft 67/141

Ì Ó Ö Ø Õ Ù Ø Ó Ò × Ó Ñ × × Ú Ô Ö Ø Ð    

Ì Ö Ó Ö Ø Ö Ø Ð Ð Ñ Ø Ò Ø × Ó Ð Ö × Ý × Ø Ñ × Ú Ò Ý  

Ê 

¾ 

Ì 

   ½      ¡  ½ ¼ 

   

Ñ 

¾ 

Ý Ö  

´ ¿ º ¿ º ¿ µ  

Á Ø × Ò × Ø Ö Ù Ø Ú Ø Ó Ó Ñ Ô Ö Ó Ò Ø Ó Ò ´ ¿ º ¿ º ¿ µ Û Ø Ø Ø Ù Ð Ú Ð Ù × Ó Ô Ð Ò Ø Ö Ý Ö Ó Ö Ô Ö Ó × º  

Ì Ô Ö Ó Ó Ô Ð Ò Ø × Ó Ø Ó Ö Ö Ó Ø Ý Ö º À Ò Ø Ó Ö Ø Ð Ø Ö Ù × Ó Ø Ó Ö Ø  

× Ó Ù Ð Ó Ø Ó Ö Ö Ó ½ ¼  

  ¾ 

Ñ  Û Ð ¸ × Û Ò Ó Û ¸ Ø Ø Ý Ô Ð × Ø Ò Ó Ô Ð Ò Ø Ö Ó Ñ Ø  

× Ù Ò × Ó Ø Ó Ö Ö Ó ½ ¼  

 

Ñ  º Ð Ø Ö Ò Ø Ú Ð Ý Ô Ò Ø × Ø Ò ¬ Ü ¸ Ó Ö Ò × Ø Ò Ò × Ö Ø Ò Ø  

Ú Ö Ö Ù × Ó Ø Ö Ø Ó Ö Ø Ö Ó Ù Ò Ø Ë Ù Ò  

Ö 

Ä 

½      ¢   ½ ¼ 

 

Ñ  ´ ¿ º ¿ º ¿ µ  

Û Ó Ø Ò Ø Ø Ö Ø Ð Ô Ö Ó Ó Ö × Ù Ó Ö Ø Û Ó Ù Ð   Ì 

Ö Ø  

½ ¼ 

¾ ¼ 

Ý Ö ×  º Á Ò Ó Ø Ö Û Ó Ö × ¸ Ò  

Ó Ö Ö Ø Ó Ö Ø Ð ¸ Ø Ö Ø × Ó Ù Ð × Ó × Ð Ó Û × Ø Ó Ñ Ù Ð Ð Ö Ú Ó Ð Ù Ø Ó Ò Ò Ø Ñ Ø Ò Ó Ö Ö ×  

Ó Ñ Ò Ø Ù Ð Ó Ò Ö Ø Ò Ø Ó Ø Í Ò Ú Ö ×   Ì 

Í Ò Ú Ö ×  

   ½ ¼ 

½ ¼ 

Ý Ö ×  º 

Ì × Ò Ù Ñ Ö Ð Ó Ò × Ö Ø Ó Ò × Ú × Ó Ñ Ô Ô Ö Ø Ó Ò Ó Ó Û Ö Ø × Ó Ð Ö × Ý × Ø Ñ × Ö Ó Ñ  

Ø Ö Ø Ð Ô Ò Ó Ñ Ò Ñ Ô Ð Ý Ò Ö Ð Ö Ð Ø Ú Ø Ý Ò Ü Ô Ð Ò Û Ý Û Ø Ó Ò Ò Ñ Ò × Û Ó Ö ×  

× Ó Û Ð Ð Ó Ö Ø Ô Ý × Ð × Ý × Ø Ñ Ø Û × Ò Ú Ò Ø Ø Ó Ü Ô Ð Ò º Ó Ø Û Ø × Ø Ò Ò Ø × × Ñ Ð Ð Ò × × Ø  

Ö Ø Ð Ö Ó Ò × Ý Ò Ó Ñ Ò × Ö Ö Ð Ú Ò Ø Ò × Ø Ö Ó Ô Ý × Ð × Ý × Ø Ñ × º Á Ò ¸ × Û Ö Ó Ò Ø Ó × ¸  

Ø Ó Ñ × Õ Ù Ø Ñ Ô Ó Ö Ø Ò Ø Ò Ö Ó Ñ Ô Ø × Ø Ö × Û Ó × Ñ × × × Ó Ø Ó Ö Ö Ó × Ø Ð Ð Ö Ñ × ×   Å 

 

Ù Ø Û Ó × Ö Ù × × Ó Ø Ó Ö Ö Ó Ø Ð Ó Ñ Ø Ö º  

Å Ò Ñ Ù Ñ Ò Å Ü Ñ Ù Ñ   Ì × Ó Ò Ö Ú Ø Ú Ó Ø Ô Ó Ø Ò Ø Ð Ý Ð ×  

Ö 

 

 

¾ 

Π

 

Ö 

¾ 

    ¿  Ä 

¾ 

Ö     ½ ¾  Ñ Ä 

¾ 

   ¾  Ñ Ö 

¾ 

´ ¿ º ¿ º ¼ µ  

Á Ò × Ö Ø Ò Ø Ú Ð Ù ×   Ö 

¦ 

Ú Ò Ò Õ º ´ ¿ º ¿ º ¿ ¿ µ Û ¬ Ò  

  ´  Ö 

· 

µ    ¼  µ    Ö 

· 

× Ñ Ü Ñ Ù Ñ  

  ´  Ö 

 

µ    ¼  µ    Ö 

 

× Ñ Ò Ñ Ù Ñ  

´ ¿ º ¿ º ½ µ  

Ü Ô Ð Ø Ð Ý Û Ú  

Ö 

· 

 

Ä 

¾ 

· 

Ô  

Ä 

¾ 

´  Ä 

¾ 

   ½ ¾  Ñ 

¾ 

µ 

¾  Ñ 

    Ñ  ´ ¿ º ¿ º ¾ µ  

Ì Ñ Ô Ó Ö Ø Ò Ø Ó Ò Ð Ù × Ó Ò Ø Ø Û Ö Ö Ó Ñ Õ º ´ ¿ º ¿ º ¾ µ Ü × Ø Ó Ò Ð Ý Ó Ö Ö   Ö     Ñ  º Á Ò Ø ×  

Ó Ø Ë Ù Ò Ø Ò Ù Ñ Ö Ð Ú Ð Ù Ó Ø Ë Û Ö Þ × Ð Ñ Ö Ù × Ö ×  

Ñ 

 

 

Å 

 

 

¾ 

³    ½      Ñ  ´ ¿ º ¿ º ¿ µ  

Ó Ö  Ä 

¾ 

½ ¾  Ñ 

¾ 

Û Ú   Ö 

 

  Ñ  Û Ð Ø Ð Ñ Ø Ó   Ö 

 

Ó Ö  Ä 

¾ 

½    ×  

Ð Ñ 

Ä 

¾ 

½ 

Ö 

 

Ð Ñ  

Ä 

¾ 

½ 

Ä 

¾ 

  

Ô  

Ä 

¾ 

´  Ä 

¾ 

   ½ ¾  Ñ 

¾ 

µ 

¾  Ñ 

¿  Ñ  ´ ¿ º ¿ º µ  

Á Ø Ó Ð Ð Ó Û × Ø Ø Ø Ö Ò Ó Ø Ö Ó Ó Ø   Ö 

 

×  

¿  Ñ Ö 

 

    Ñ  ´ ¿ º ¿ º µ  

Page 68: Fre P. Course in General Relativity (Free Version, Lecture Notes, Web Draft, 2003)(141s)_PGr

7/29/2019 Fre P. Course in General Relativity (Free Version, Lecture Notes, Web Draft, 2003)(141s)_PGr

http://slidepdf.com/reader/full/fre-p-course-in-general-relativity-free-version-lecture-notes-web-draft 68/141

Ì Ó Ö Ø Õ Ù Ø Ó Ò × Ó Ñ × × Ú Ô Ö Ø Ð    

Ò Ø Ø × Ø Ö Ò Û Ö   Ù Ò × Ø Ð Ö Ù Ð Ö Ó Ö Ø ×   Ö Ô Ö × Ò Ø º  

Á Ò Ú Û Ó Ø × Ò Ð Ý × × Ø × Ó Ò Ú Ò Ò Ø Ø Ó ¬ Ò Ø Ó Ð Ð Ó Û Ò Ñ Ò × Ó Ò Ð × × Ú Ö Ð ×  

   

Ö 

Ñ 

   

Ä 

Ô   

½ ¾  Ñ 

´ ¿ º ¿ º µ  

Ò Ö Û Ö Ø Ø « Ø Ú Ô Ó Ø Ò Ø Ð ´ ¿ º ¿ º ¾ µ Ò Ø Ö Ñ × Ó Ø ×  

Π

 

 

½ 

¾ 

  

½ 

 

· 

   

¾ 

 

¾ 

  

½ ¾   

¾ 

 

¿ 

´ ¿ º ¿ º µ  

Ì × Ø Ö Ù Ø Ù Ö Ó Ø « Ø Ú Ô Ó Ø Ò Ø Ð Ò Ú × Ù Ð Þ Ý Ñ Ò × Ó × Ó Ñ Ô Ð Ó Ø × º Á Ò ¬ º ¿ º Û  

Ù Ö ¿ º º   Ë Û Ö Þ × Ð Ó Ñ Ø Ö Ý Ô Ð Ó Ø Ó Ø « Ø Ú Ö Ð Ô Ó Ø Ò Ø Ð Ó Ö     ½  µ  Ä 

¾ 

½ ¾  Ñ 

¾ 

Ì × × Ø Ð Ñ Ø Ò × Û Ö Ò Ó Ö Ù Ð Ö Ó Ö Ø × Ö Ú Ð Ð º Á Ò Ø Ô Ó Ø Ò Ø Ð × Ò Ó Ü Ø Ö Ñ º  

× Ô Ð Ý Ø Ð Ñ Ø Ò ×   Ä 

¾ 

½ ¾  Ñ 

¾ 

Û Ñ Ø × Ò Ó Ö Ù Ð Ö Ó Ö Ø × º Ì Ö × Ó Ò × Ú Ò Ø Ö Ó Ñ  

Ø × Ô º Á Ò Ø × × Ø Ô Ó Ø Ò Ø Ð × Ò Ø Ö Ñ Ò Ñ Ò Ó Ö Ñ Ü Ñ º Á Ø Ù × Ø Ö × × Ö Ó Ñ  

Ò ¬ Ò Ø Ý Ø Ó Û Ö × Ò ¬ Ò Ø Ð Ý Ð Ö Ò Ø Ú Ú Ð Ù × ×   Ö      ¼ º Á Ò ¬ º × ¿ º Ò ¿ º Û Ú Ô Ð Ó Ø Ø  

Ø « Ø Ú Ô Ó Ø Ò Ø Ð Ó Ö   Ä 

¾ 

¾   Ñ 

¾ 

¸ Ò Ñ Ð Ý Ó Ö Ú Ð Ù Ó Ø Ò Ù Ð Ö Ñ Ó Ñ Ò Ø Ù Ñ Ø Ø × Ù × Ø  

Ó Ú Ø × Ø Ð Ø Ý Ó Ù Ò º Ó Ö Ø × Ú Ð Ù Ó Ø Ô Ö Ñ Ø Ö × Ø Ô Ó Ø Ò Ø Ð × Ø Ö Ø × Ú Ð Ó Ô Ò Ó Ø  

Ñ Ò Ñ Ù Ñ   Ö 

· 

 

 

¾ · 

Ô   

¾ 

¡ 

Ñ  ¾ ¼    ¿   Ñ  Ò Ñ Ü Ñ Ù Ñ   Ö 

 

 

 

¾    

Ô   

¾ 

¡ 

Ñ  ¿    ½ ¾   Ñ  º 

× Ô Ö Ø Ö Ó Ñ Ó Ù Ö Ò Ö Ð × Ù × × Ó Ò ¸ Ø Ñ Ü Ñ Ù Ñ   Ö 

· 

Ó Ö Ö × Ô Ó Ò Ò Ø Ó Ø Ù Ò × Ø Ð Ö Ù Ð Ö  

Ó Ö Ø Ð Ð × Ò Ø Ò Ø Ö Ú Ð ℄ ¿   Ñ     Ñ  ¸ Û Ð Ø Ñ Ü Ñ Ù Ñ   Ö 

 

Ó Ö Ö × Ô Ó Ò Ò Ø Ó Ø × Ø Ð Ó Ö Ø ×  

Ð Ö Ö Ø Ò  Ñ  º Ï Ø × Ô Ý × Ð Ð Ý Ñ Ô Ó Ö Ø Ò Ø Ø Ó Ò Ó Ø × Ø Ø   Ö 

 

Ö Ó Û × Ö Ô Ð Ý Û Ø Ò Ù Ð Ö  

Ñ Ó Ñ Ò Ø Ù Ñ Ò Ø × Ð Ö Ý Ö Û Ý Ö Ó Ñ Ø Ë Û Ö Þ × Ð Ñ Ö Ù × Ø Ø × × Ñ Ð Ð Ú Ð Ù × Ó  

Ä 

¾ 

º 

Ò Ö Ý Ó Ô Ö Ø Ð Ò Ö Ù Ð Ö Ó Ö Ø   Ä Ø Ù × Ò Ó Û Ð Ù Ð Ø Ø Ò Ö Ý Ó Ø × Ø Ô Ö Ø Ð Ò  

Ñ Ó Ø Ó Ò Ó Ò Ö Ù Ð Ö Ó Ö Ø Ò Ó Ñ Ô Ö Ó Ù Ö Ö × Ù Ð Ø Û Ø Ø Û Ø Ó Ò Ò Ø Ó Ö Ý º Ï × Ø Ö Ø Ö Ó Ñ  

Page 69: Fre P. Course in General Relativity (Free Version, Lecture Notes, Web Draft, 2003)(141s)_PGr

7/29/2019 Fre P. Course in General Relativity (Free Version, Lecture Notes, Web Draft, 2003)(141s)_PGr

http://slidepdf.com/reader/full/fre-p-course-in-general-relativity-free-version-lecture-notes-web-draft 69/141

Ì Ó Ö Ø Õ Ù Ø Ó Ò × Ó Ñ × × Ú Ô Ö Ø Ð    

Ù Ö ¿ º º   Ë Û Ö Þ × Ð Ó Ñ Ø Ö Ý Ô Ð Ó Ø Ó Ø « Ø Ú Ô Ó Ø Ò Ø Ð Ó Ö      

Ô 

¾  µ  Ä 

¾ 

¾   Ñ 

¾ 

Á Ò 

Ø × × Ø × Ø Ð Ñ Ò Ñ Ù Ñ Ó Ø Ô Ó Ø Ò Ø Ð × Ø   Ö 

· 

 

 

¾ · 

Ô 

¾ 

¡ 

Ñ  ¾ ¼  ¿   Ñ  ¸ Û Ð Ø Ù Ò × Ø Ð  

Ñ Ü Ñ Ù Ñ × Ø   Ö 

 

 

 

¾   

Ô 

¾ 

¡ 

Ñ  ¿  ½ ¾   Ñ 

Ù Ö ¿ º º   Ë Û Ö Þ × Ð Ó Ñ Ø Ö Ý Ò Ð Ö Ñ Ò Ø Ò Ø Ö Ó Ò Ö Ó Ù Ò Ø × Ø Ð Ñ Ò Ñ Ù Ñ Ó Ø  

« Ø Ú Ô Ó Ø Ò Ø Ð Ó Ö      

Ô 

¾  µ  Ä 

¾ 

¾   Ñ 

¾ 

Page 70: Fre P. Course in General Relativity (Free Version, Lecture Notes, Web Draft, 2003)(141s)_PGr

7/29/2019 Fre P. Course in General Relativity (Free Version, Lecture Notes, Web Draft, 2003)(141s)_PGr

http://slidepdf.com/reader/full/fre-p-course-in-general-relativity-free-version-lecture-notes-web-draft 70/141

Ì Ó Ö Ø Õ Ù Ø Ó Ò × Ó Ñ × × Ú Ô Ö Ø Ð    

Õ º ´ ¿ º ¿ º ¾ µ Ø Ø Ó Ò Ö Ù Ð Ö Ó Ö Ø ´  Ö  ¼ µ Ö Ù × Ø Ó  

½ 

¾ 

  

¾ 

 

½ 

¾ 

  

Ñ 

Ö 

· 

Ä 

¾ 

¾  Ö 

¾ 

  

Ñ Ä 

¾ 

Ö 

¿ 

´ ¿ º ¿ º µ  

Á Ø Ó Ö Ø × Ü Ø Ö Ñ Ð ¸ Ò Ñ Ð Ý   Ö    Ö 

¦ 

Û Ú Ø Ö Ð Ø Ó Ò ´ ¿ º ¿ º ¿ ¾ µ Ø Û Ò Ø Ö Ù × Ò  

Ø Ò Ù Ð Ö Ñ Ó Ñ Ò Ø Ù Ñ Ø Ø Ò × Ó Ð Ú Ý  

Ä 

¾ 

 

Ñ Ö 

¾ 

Ö     ¿  Ñ 

´ ¿ º ¿ º µ  

Á Ò × Ö Ø Ò Õ º ´ ¿ º ¿ º µ Ò Ø Ó ´ ¿ º ¿ º µ Û Ó Ø Ò  

   ´  Ö  µ  

Ö     ¾  Ñ 

Ô  

Ö  ´  Ö     ¿  Ñ  µ 

´ ¿ º ¿ º ¼ µ  

Û Ý Ð × Ø Ò Ö Ð Ö Ð Ø Ú × Ø Ó Ö Ñ Ù Ð Ó Ö Ø Ò Ö Ý Ó Ø × Ø Ô Ö Ø Ð Ò Ö Ù Ð Ö Ñ Ó Ø Ó Ò  

Ö Ó Ù Ò × Ô Ö Ð Ð Ý × Ý Ñ Ñ Ø Ö Ñ × × Ú Ó Ý Ð Ø Ë Ù Ò Ó Ö Ø Ö Ø º Á Ø × Ú Ö Ý Ò × Ø Ö Ù Ø Ú Ø Ó  

Ñ   Ô Ó × Ø ß Ò Û Ø Ó Ò Ò   Ú Ð Ó Ô Ñ Ò Ø Ó Ø × Ó Ö Ñ Ù Ð Ò Ó Ñ Ô Ö Ø Û Ø Ø Ô Ù Ö Ð Ý Û Ø Ó Ò Ò  

Ö × Ù Ð Ø º Ï Ø × Ø × Ñ Ð Ð Ü Ô Ò × Ó Ò Ô Ö Ñ Ø Ö Ó Ö Ø Ô Ó × Ø ß Ò Û Ø Ó Ò Ò Ô Ô Ö Ó Ü Ñ Ø Ó Ò Ì × ×  

Ø Ó × Ø Ð × Ò Ø Ò Ø Ù Ö Ð Ù Ò Ø × Û Ú Ó Ô Ø º Ø         ½ Ó Ø   Ö  Ò Ø Ë Û Ö Þ × Ð  

Ñ Ö Ù ×   Ñ  Ö Ñ × Ù Ö Ó Ð Ò Ø × Ò Ø Ò Ó Ò ß Ö Ð Ø Ú × Ø Ö Ñ × Ô Ô Ö Ó Û Ò Ø Ø Ù Ð  

Ó Ö Ø Ö Ù ×   Ö  × Û Ø Ö × Ô Ø Ø Ó   Ñ  º À Ò Ø Ô Ó × Ø ß Ò Û Ø Ó Ò Ò Ú Ð Ó Ô Ñ Ò Ø Ó Ö Ö × Ô Ó Ò × Ø Ó  

× Ö × Ü Ô Ò × Ó Ò Ò Ø Ñ Ò × Ó Ò Ð × × Ô Ö Ñ Ø Ö  

Ñ 

Ö 

  ½ ´ ¿ º ¿ º ½ µ  

À Ò Û Ò Û Ö Ø  

   ´  Ö  µ  

½     ¾ 

Ñ 

Ö 

Ô  

½     ¿ 

Ñ 

Ö 

³   

 

½     ¾ 

Ñ 

Ö 

¡  

½ · 

¿ 

¾ 

Ñ 

Ö 

·   

¡ 

´ ¿ º ¿ º ¾ µ  

³    ½    

½ 

¾ 

Ñ 

Ö 

·  Ç   

 

Ñ 

¾ 

Ö 

¾ 

 

´ ¿ º ¿ º ¿ µ  

Ò Ó Ñ Ô Ö Ò Õ º ´ ¿ º ¿ º ¿ µ Û Ø Õ º ´ ¿ º ¿ º ¿ ¼ µ Û Ó Ø Ò  

    

×  

½ · ¾ 

 

 

¾ 

³    ½ · 

 

 

¾ 

·   

³   ½ 

  

½ 

¾ 

Ñ 

Ö 

·   

µ          

½ 

¾ 

Å  

Ö 

´ ¿ º ¿ º µ  

Ì Ð × Ø Ð Ò Ò Õ º ´ ¿ º ¿ º µ Ó Ö Ö Ø Ð Ý Ö Ô Ö Ó Ù × Ø Û Ø Ó Ò Ò Ö × Ù Ð Ø Ó Ö Ø Ò Ö Ý Ó Ô Ö Ø Ð  

Ó Ñ × ×     Ó Ù Ò Ó Ò Ö Ù Ð Ö Ó Ö Ø Ö Ó Ù Ò Ò Ø Ö Ó Ñ × ×   Å  º Á Ò Û Ó Ò × Ö Ø  

« Ø Ú Û Ø Ó Ò Ò Ô Ó Ø Ò Ø Ð  

Π

´  Û Ø Ó Ò   µ 

 

 

½ 

¾ 

 

¾ 

Ö 

¾ 

  

Å  

Ö 

´ ¿ º ¿ º µ  

Ò Û Ð Ù Ð Ø Ø × Ñ Ò Ñ Ù Ñ  

Π

´  Û Ø Ó Ò   µ 

 

Ö 

¼ ´ ¿ º ¿ º µ  

Page 71: Fre P. Course in General Relativity (Free Version, Lecture Notes, Web Draft, 2003)(141s)_PGr

7/29/2019 Fre P. Course in General Relativity (Free Version, Lecture Notes, Web Draft, 2003)(141s)_PGr

http://slidepdf.com/reader/full/fre-p-course-in-general-relativity-free-version-lecture-notes-web-draft 71/141

Ì Ô Ö × Ø Ö Ó Ò Ú Ò   ¼ 

Û Ó Ø Ò Ø Ó Ò Ø Ó Ò Ó Ð Ò Ø Û Ò Ø Ò Ø Ö Ù Ð Ò Ö Ý Ò Ø Ô Ó Ø Ò Ø Ð Ò Ö Ý  

 

¾ 

Ö 

¾ 

 

Å  

Ö 

´ ¿ º ¿ º µ  

Û Ò × Ö Ø Ò Ø Û Ø Ó Ò Ò Ó Ö Ñ Ù Ð ´ ¿ º ¾ º ½ µ Ó Ö Ø Ô Ö Ø Ð Ò Ö Ý ¸ Ø Ó Ø Ö Û Ø Ø Ö Ù Ð Ö  

Ó Ö Ø Ó Ò Ø Ó Ò ´  Ö  µ Ú × Õ º ´ ¿ º ¿ º µ º  

¿ º Ì Ô Ö × Ø Ö Ó Ò Ú Ò Ó Ô Ð Ò Ø × Ó Ö × Ø Ö ×  

Ä Ø Ù × Ò Ó Û Ó Ø Ó Õ º ´ ¿ º ¿ º ¾ µ Ò Ø Ó Ø × Ó Ò Ó Õ º × ´ ¿ º ¿ º ¾ ½ µ Ø Ø Ö Ø Ü Ø Ö Ð Ø Ú × Ø  

¬ Ò Ø Ó Ò × Ó Ò Ö Ý Ò Ò Ù Ð Ö Ñ Ó Ñ Ò Ø Ù Ñ Ò Ë Û Ö Þ × Ð Ó Ñ Ø Ö Ý º Å Ò × Ù × Ø Ø Ù Ø Ó Ò  

× Ñ Ð Ö Ø Ó Ø × Ù × Ø Ø Ù Ø Ó Ò ´ ¿ º ¾ º ¿ µ Ù × Ò Ø Û Ø Ó Ò Ò × ¸ Ò Ñ Ð Ý  

 Ö     

Ö 

 

  Ö 

¼ 

   

Ö 

 

  µ     Ö    Ö 

¼ 

Ä 

Ö 

¾ 

´ ¿ º º µ  

Õ º ´ ¿ º ¿ º ¾ µ Ó Ñ ×  

´  Ù 

¼ 

µ 

¾ 

·  Ù 

¾ 

   

¼ 

· ¾   

½ 

Ù  · 

¾ 

¿ 

 

¾ 

Ù 

¿ 

´ ¿ º º µ  

Û Ö  

 

¼ 

 

  

¾ 

   ½ 

Ä 

¾ 

 

¾   

 

¾ 

´ ¿ º º ¼ µ  

 

½ 

 

Ñ 

Ä 

¾ 

 

Å  

¾ 

 

¾ 

´ ¿ º º ½ µ  

 

¾ 

¿  Ñ  ´ ¿ º º ¾ µ  

Ì ¬ Ò Ø Ó Ò ´ ¿ º º ¼ ¸ ¿ º º ½ µ Ó Ø Ô Ö Ñ Ø Ö ×    

¼    ½ 

× Ó Ò × × Ø Ò Ø Û Ø Ø Ö Ô Ö Ú Ó Ù × Û Ø Ó Ò Ò  

¬ Ò Ø Ó Ò ´ ¿ º ¾ º µ Ø Ò × Ø Ó Ø Ö Ð Ø Ó Ò ´ ¿ º ¿ º ¿ ¼ µ Ø Û Ò Ø Ö Ð Ø Ú × Ø ¬ Ö × Ø Ò Ø Ö Ð ×      ¸  Ä  Ò  

Ø Ö Û Ø Ó Ò Ò Ò Ð Ó Ù ×     ¸    º Õ º ´ ¿ º º µ × Ø « Ö Ò Ø Ð Ó Ö Ø Õ Ù Ø Ó Ò Ò Ë Û Ö Þ × Ð  

Ó Ñ Ø Ö Ý Ò Ö Ô Ð × Ø Û Ø Ó Ò Ò Õ Ù Ø Ó Ò ´ ¿ º ¾ º µ Ø « Ö Ò Ö × × Ò Ø Ø Ö Ñ Ù Ò  

Ù  Û Ø Ó Æ Ò Ø    

¾ 

¾  Ñ  º Á Ò Ù Ð Ð Ò Ð Ó Ý Û Ø Ø Ô Ö Ó Ù Ö Ó Ð Ð Ó Û Ò Ø Û Ø Ó Ò Ò ×  

Û Ø Ù Ö Ø Ö Ö Ú Ø Ú Ó Õ º ´ ¿ º º µ Ò Û Ó Ø Ò  

¾  Ù 

¼ 

 

Ù 

¼ ¼ 

·  Ù      

½ 

    

¾ 

Ù 

¾ 

¡ 

¼ ´ ¿ º º ¿ µ  

Û Ñ Ø × Ø Û Ó Ò × Ó × Ó Ð Ù Ø Ó Ò × ¸ Ø Ð Ö Ý × Ù × × Ö Ù Ð Ö Ó Ö Ø × ´  Ù 

¼ 

¼ µ Ò Ø  

Ò Ó Ò ß Ö Ù Ð Ö Ó Ò × Ø Ø × Ø × Ý Ø « Ö Ò Ø Ð Õ Ù Ø Ó Ò  

Ù 

¼ ¼ 

·  Ù      

½ 

   

¾ 

Ù 

¾ 

´ ¿ º º µ  

Ö Ô Ð Ò Ø Ã Ô Ð Ö Ò Õ Ù Ø Ó Ò ´ ¿ º ¾ º µ º  

Á Ò Ø Ð Ñ Ø Û Ö    

¾ 

Ù 

¾ 

× Ò Ð Ð Û Ø Ö × Ô Ø Ø Ó Ø Ó Ø Ö Ø Ö Ñ × Ø Ò Ö Ð × Ó Ð Ù Ø Ó Ò Ó  

Õ º ´ ¿ º º µ Ó Ñ × ´ ¿ º ¾ º ½ ½ µ Û ¸ × Û Ò Ó Û ¸ × Ö × Ò Ð Ð Ô Ø Ó Ö Ø Ó × Ñ Ð Ø Ù × Ö Ø Ù Ñ    

Ò Ò Ø Ö Ø Ý     ¸ Ø Ó Ò × Ø Ò Ø    

½ 

Ò  

 

½ 

 

½ 

  ´ ½      

¾ 

µ 

´ ¿ º º µ  

Ï Ò Ô Ô Ö Ø Ø « Ö Ò Ø Û Ò Ò Ö Ð Ê Ð Ø Ú Ø Ý Ò Û Ø Ó Ò Ò Ô Ý × × Û × Ø Ù Ý  

Ò Ù Ñ Ö Ð × Ó Ð Ù Ø Ó Ò × Ó Õ º ´ ¿ º º µ Û Ø Ø Ð Ô Ó Ó Ñ Ô Ù Ø Ö Ô Ö Ó Ö Ñ Ñ º Ì Ó Ø × « Ø Ø  

Page 72: Fre P. Course in General Relativity (Free Version, Lecture Notes, Web Draft, 2003)(141s)_PGr

7/29/2019 Fre P. Course in General Relativity (Free Version, Lecture Notes, Web Draft, 2003)(141s)_PGr

http://slidepdf.com/reader/full/fre-p-course-in-general-relativity-free-version-lecture-notes-web-draft 72/141

Ì Ô Ö × Ø Ö Ó Ò Ú Ò   ½ 

Ù Ö ¿ º º   Ë Û Ö Þ × Ð Ó Ñ Ø Ö Ý Ó Ö Ø Ó Ñ × × Ú Ø × Ø Ô Ö Ø Ð Û Ø Ã Ô Ð Ö Ò Ô Ö Ñ Ø Ö ×     ¼  Ñ 

Ò     ¼  Ø Ö ½ Ö Ú Ó Ð Ù Ø Ó Ò  

× Ó Ò Ú Ò Ò Ø Ø Ó Ñ × Ù Ö Ø Ö Ù ×   Ö  Ò Ø × Ñ Ð Ø Ù × Ö Ø Ù Ñ     Ò Ù Ò Ø × Ó Ø Ë Û Ö Þ × Ð  

Ñ Ö Ù ×   Ñ  Ý × Ø Ø Ò  

Ù   

Ù 

Ñ 

      Ñ  ´ ¿ º º µ  

Û ¸ Ó Ñ Ò Û Ø Õ º × ´ ¿ º º µ ¸ ´ ¿ º º ¾ µ Ö Ù × Õ º ´ ¿ º º µ Ø Ó Ø Ó Ö Ñ  

Ù 

¼ ¼ 

·  Ù    

½ 

  ´ ½      

¾ 

µ 

¿  Ù 

¾ 

´ ¿ º º µ  

Õ º ´ ¿ º º µ × Ó Ø × Ó Ò Ó Ö Ö Ò Ò Ù Ñ Ö Ð × Ó Ð Ù Ø Ó Ò × Ò Ó Ø Ò Û Ø Ó Ñ Ô Ù Ø Ö  

Ô Ö Ó Ö Ñ Ñ Û Ø Ø Û Ó Ò Ø Ð Ó Ò Ø Ó Ò × º Ì Ò Ø Ð Ó Ò Ø Ó Ò × Ô Ô Ö Ó Ô Ö Ø Ø Ó × Ö Ø Ô Ý × Ð  

Ô Ö Ó Ð Ñ Û Ò Ú × Ø Ø Ö Ø Ó Ð Ð Ó Û Ò Ó Ò ×  

Ù  ´ ¼ µ  

½ 

  ´ ½       µ 

´ ¿ º º µ  

Ù 

¼ 

´ ¼ µ ¼ ´ ¿ º º µ  

Õ º ´ ¿ º º µ ¬ Ü × Ø Ó Ö Ò Ó Ø     Ò Ð Ø Ø   Ô Ö × Ø Ö Ó Ò   Ò Ñ Ð Ý Ø Ø Ô Ó Ò Ø Ò Ø Ó Ö Ø Û Ö  

Ø Ö Ú Ø Ú Ó Ø Ö Ù × Ó × Ø Ó Þ Ö Ó º Õ º ´ ¿ º º µ × Ø Ø × Ø Ø × Ø Ò Ó Ø Ø × Ø Ô Ö Ø Ð  

Ö Ó Ñ Ø × Ø Ö Ø Ø ¬ Ö × Ø Ô Ö × Ø Ö Ó Ò × Ø × Ñ × Ø Û Ó Ù Ð Ò Ã Ô Ð Ö Ò Ó Ö Ø ¸ Ò Ñ Ð Ý  

Ö 

 

    ´ ½       µ ´ Ó Ñ Ô Ö Û Ø ¬ º ¿ º ¿ µ º Ú Ò Ø Ò Ø Ð Ó Ò Ø Ó Ò × Ø × Ù × Õ Ù Ò Ø   Ò  Ö Ú Ó Ð Ù Ø Ó Ò ×  

Ó Ø Ø × Ø Ô Ö Ø Ð Ö Ò Ù Ñ Ö Ð Ð Ý Ø Ö Ñ Ò Ý Ø « Ö Ò Ø Ð Õ Ù Ø Ó Ò º Á Ø × Ð Ö Ö Ó Ñ Ó Ù Ö  

Ô Ö Ú Ó Ù × × Ù × × Ó Ò × Ø Ø Ø Ö Ð Ø Ú × Ø « Ø × Û Ð Ð Ú Ò Ø Ó Ò Ð Ý Ò Ò Ö Ö Ó Û × Ý × Ø Ñ × Û Ö    

Page 73: Fre P. Course in General Relativity (Free Version, Lecture Notes, Web Draft, 2003)(141s)_PGr

7/29/2019 Fre P. Course in General Relativity (Free Version, Lecture Notes, Web Draft, 2003)(141s)_PGr

http://slidepdf.com/reader/full/fre-p-course-in-general-relativity-free-version-lecture-notes-web-draft 73/141

Ì Ô Ö × Ø Ö Ó Ò Ú Ò   ¾ 

× × Ñ Ð Ð Ò Ò Ò Ø Ö Ó Ö Ø ×    

   ½ º Ë Ó Ò Ó Ö Ö Ø Ó Ñ Ô × Þ Ø × Þ Ó Ø × « Ø × Û Ú  

Ó × Ò Ò Ü Ñ Ô Ð Û Ø Ø Ó Ð Ð Ó Û Ò Ô Ö Ñ Ø Ö ×  

  ¼     ¼    ´ ¿ º º ¼ µ  

Á Ò ¬ º ¿ º Û × Ô Ð Ý Ø × Ô Ó Ø Ó Ö Ø Ó Ö Ø × × Ý × Ø Ñ Ø Ö Ó Ò Ö Ú Ó Ð Ù Ø Ó Ò º × Ø Ò  

Ú × Ù Ð Ð Ý Ô Ô Ö Ø Ø Ó Ö Ø × Ò Ö Ð Ý Ò Ð Ð Ô × × Ù Ø Ò Ó Ø Õ Ù Ø º Ø     ¾    Ø Ø × Ø Ô Ö Ø Ð ×  

Ø × Ø Ò   Ö  ´ ¾    µ Ð Ó × Ø Ó Ø Ò Ø Ð Ú Ð Ù   Ö  ´ ¼ µ Ù Ø × Ð Ø Ð Ý Ö º Ù Ö Ø Ö Ñ Ó Ö Ø × Ó Ò  

Ô Ö × Ø Ö Ó Ò ¸ Ò Ñ Ð Ý Ø Ò Ð    

½ 

Ó Ö Ö × Ô Ó Ò Ò Ø Ó Ø × Ó Ò Þ Ö Ó Ó Ø Ö Ú Ø Ú   Ö 

¼ 

× Ò Ó Ø  

Ü Ø Ð Ý Ø    

½ 

¾    Ù Ø Ø × Ð Ø Ð Ý Ö Ð Ö Ò Ð    

½ 

¾       ¡    º Ì Ô Ò Ó Ñ Ò Ó Ò × Ñ Ó Ö Ð Ö Ð Ý  

Ù Ö ¿ º º   Ë Û Ö Þ × Ð Ó Ñ Ø Ö Ý Ó Ö Ø Ó Ñ × × Ú Ø × Ø Ô Ö Ø Ð Û Ø Ã Ô Ð Ö Ò Ô Ö Ñ Ø Ö ×     ¼  Ñ 

Ò     ¼  Ø Ö ¿ Ö Ú Ó Ð Ù Ø Ó Ò  

Ù Ò Ö × Ø Ó Ó Û Ð Ð Ó Û Ø Ó Ñ Ô Ù Ø Ö Ô Ö Ó Ö Ñ Ñ Ø Ó Ö Ù Ò Ó Ö Ñ Ó Ö Ö Ú Ó Ð Ù Ø Ó Ò × º º ¿ º × Ô Ð Ý ×  

Ø Ö Ö Ú Ó Ð Ù Ø Ó Ò × Ó Ø × Ñ Ô Ý × Ð × Ý × Ø Ñ º Ø Ö Ú Ó Ð Ù Ø Ó Ò Ø Ô Ö × Ø Ö Ó Ò × Ò Ø Ô Ø Ó  

× Ó Ñ Ò Ð ¡     Û Ø Ö × Ô Ø Ø Ó ¾    º Ì × × Ù Ö Ø Ö × Ø Ö × × Ý ¬ º ¿ º Ø Ø × Ó Û × Ø Ó Ö Ø Ø Ö  

Ö Ú Ó Ð Ù Ø Ó Ò × º  

Á Ø × Ò Ø Ö × Ø Ò Ø Ó Ù Ò Ö × Ø Ò Û Ò Ó Ô Ø Ø Ö Ò Ñ Ö × Ø × Ý Ñ Ô Ø Ó Ø Ð Ð Ý Ð Ø Ø Ñ ×  

Ø Ö Ñ Ò Ý Ö Ú Ó Ð Ù Ø Ó Ò × º Ì × × Ö Ú Ð Ý Ð Ó Ó Ò Ø ¬ º ¿ º ½ ¼ Û × Ó Û × Ø Ó Ö Ø Ø Ö ¾ ¼  

Ö Ú Ó Ð Ù Ø Ó Ò × º Ï Ø Û Û Ø Ò × × × × Ó Ö Ø Ó × Ý Ñ Ñ Ø Ö Ý Ö × Ø Ó Ö Ø Ó Ò Ñ Ò × Ñ º Á Ò Ò Û Ø Ó Ò Ò Ô Ý × ×  

Ø Ò Ø Ö Ó Ö Ø × Ö Ø × Ô Ö Ð × Ý Ñ Ñ Ø Ö Ý Ó Ø Ñ Ð Ø Ó Ò Ò º Á Ò Ò Ö Ð Ö Ð Ø Ú Ø Ý ¸ Ù Ø Ó  

Ø Ô Ö × Ø Ö Ó Ò Ú Ò Ø × Ô Ó Ø Ó Ö Ø Ø Ò × Ø Ó Ö × Ø Ó Ö Ô Ö Ø Ó Ø Ö Ó Ò × Ý Ñ Ñ Ø Ö Ý × Ò  

Ø Ô Ó × Ø Ó Ò × Ó Ø Ô Ö × Ø Ö Ó Ò Ò Ô × Ø Ö Ó Ò Ö × Ý Ñ Ñ Ø Ö Ð Ð Ý × Ø Ö Ù Ø Ó Ò Ø Ù Ò Ø Ö Ð º  

¿ º º ½ È Ö Ø Ù Ö Ø Ú Ø Ö Ø Ñ Ò Ø Ó Ø Ô Ö × Ø Ö Ó Ò Ú Ò  

Ì Ó Ö Ø × Ø Ø Û Ú Ó Ø Ò Ý Ò Ù Ñ Ö Ð Ú Ð Ù Ø Ó Ò Ò Ø Ô Ö Ú Ó Ù × × Ø Ó Ò Ö Ü Ø Ö Ñ Ð Ý Ö  

Ö Ó Ñ Ø Ô Ð Ò Ø Ö Ý Ó Ö Ø × Ó Ø × Ó Ð Ö × Ý × Ø Ñ º Á Ò ¸ Ò Ó Ö Ö Ø Ó Ñ Ô × Þ Ø Ô Ò Ó Ñ Ò Ó Ò Ó  

Page 74: Fre P. Course in General Relativity (Free Version, Lecture Notes, Web Draft, 2003)(141s)_PGr

7/29/2019 Fre P. Course in General Relativity (Free Version, Lecture Notes, Web Draft, 2003)(141s)_PGr

http://slidepdf.com/reader/full/fre-p-course-in-general-relativity-free-version-lecture-notes-web-draft 74/141

Ì Ô Ö × Ø Ö Ó Ò Ú Ò   ¿ 

Ù Ö ¿ º º   Ë Û Ö Þ × Ð Ó Ñ Ø Ö Ý Ó Ö Ø Ó Ñ × × Ú Ø × Ø Ô Ö Ø Ð Û Ø Ã Ô Ð Ö Ò Ô Ö Ñ Ø Ö ×     ¼  Ñ 

Ò     ¼  Ø Ö Ö Ú Ó Ð Ù Ø Ó Ò  

Ù Ö ¿ º ½ ¼ º   Ë Û Ö Þ × Ð Ó Ñ Ø Ö Ý Ó Ö Ø Ó Ñ × × Ú Ø × Ø Ô Ö Ø Ð Û Ø Ã Ô Ð Ö Ò Ô Ö Ñ Ø Ö ×  

  ¼  Ñ  Ò     ¼  Ø Ö ¾ ¼ Ö Ú Ó Ð Ù Ø Ó Ò  

Page 75: Fre P. Course in General Relativity (Free Version, Lecture Notes, Web Draft, 2003)(141s)_PGr

7/29/2019 Fre P. Course in General Relativity (Free Version, Lecture Notes, Web Draft, 2003)(141s)_PGr

http://slidepdf.com/reader/full/fre-p-course-in-general-relativity-free-version-lecture-notes-web-draft 75/141

Ì Ô Ö × Ø Ö Ó Ò Ú Ò    

Ø Ô Ö × Ø Ö Ó Ò Ú Ò Û Ú Ó × Ò Ò Ó Ö Ø × Þ Ó Ø Ó Ö Ö Ó Ø Ò × Ó Ë Û Ö Þ × Ð Ñ Ö  

Û Ð Ø Ø Ù Ð Ó Ö Ö Ó Ñ Ò Ø Ù Ó Ô Ð Ò Ø Ö Ý Ó Ö Ø × Ó Ö Ö × Ô Ó Ò × Ø Ó Ù Ò Ö Ó Ñ Ð Ð Ó Ò × Ó  

Ë Û Ö Þ × Ð Ñ Ö º Ó Ö Å Ö Ù Ö Ý ¸ Ó Ö Ò × Ø Ò ¸ Û × Ø Ò Ò Ö Ñ Ó × Ø Ô Ð Ò Ø Ó Ø × Ó Ð Ö  

× Ý × Ø Ñ ¸ Ø Ã Ô Ð Ö Ò Ô Ö Ñ Ø Ö × Ú Ø Ó Ð Ð Ó Û Ò Ú Ð Ù ×  

 

Å Ö Ù Ö Ý  

      ¢   ½ ¼ 

 

Ñ 

  ¼    ¾ 

Ñ 

 

½      Ñ  ´ Ë Û Ö Þ × Ð Ñ Ö Ù × Ó Ø Ë Ù Ò µ ´ ¿ º º ½ µ  

Ä Ö Ú Ö Ö Ñ Ò × Ø Ø   Ù  × × Ñ Ð Ð Ò Ø   Ù 

¾ 

Ø Ö Ñ Ò Õ º ´ ¿ º º µ Ò Ø Ö Ø ×  

Ô Ö Ø Ù Ö Ø Ó Ò Ó Ø Û Ø Ó Ò Ò « Ö Ò Ø Ð Õ º ´ ¿ º ¾ º µ º Ä Ø Ù × Ø Ö Ó Ö × Ø  

Ù  ´    µ   Ù 

¼ 

´    µ · ¡  Ù  ´    µ ´ ¿ º º ¾ µ  

Û Ö  

Ù 

¼ 

´    µ     

½ 

  ´ ½      

¾ 

µ 

´ ½ ·    Ó ×    µ ´ ¿ º º ¿ µ  

× Ø Ù Ò Ô Ö Ø Ù Ö Û Ø Ó Ò Ò × Ó Ð Ù Ø Ó Ò Ó Õ º ´ ¿ º ¾ º µ Ò ¡   Ù  ´    µ  Ù 

¼ 

´    µ × × Ñ Ð Ð Ô Ö Ø Ù Ö Ø Ó Ò º  

× Ö Ö Ò Ø Ö Ñ × Ó Ó Ö Ö ´ ¡   Ù  ´    µ µ 

¾ 

¸ Õ º ´ ¿ º º µ Ó Ñ ×  

¡  Ù 

¼ ¼ 

· ¡  Ù   

½ 

  ´ ½      

¾ 

µ 

· ¿  Ñ  ´  Ù 

¼ 

µ 

¾ 

 

¾ 

  

Ò  ¼ 

À 

Ò 

Ó × 

Ò 

  ´ ¿ º º µ  

Û Ö Û Ú Ò Ø Ö Ó Ù Ø Ó Ð Ð Ó Û Ò Ó Ò × Ø Ò Ø ×  

À 

¼ 

 

¿  Ñ 

 

¾ 

´ ½      

¾ 

µ 

¾ 

À 

½ 

 

  Ñ 

 

¾ 

´ ½      

¾ 

µ 

¾ 

À 

¾ 

 

¿   

¾ 

Ñ 

 

¾ 

´ ½      

¾ 

µ 

¾ 

´ ¿ º º µ  

Ë Ò Õ º ´ ¿ º º µ × Ð Ò Ö Ò Ø Ù Ò Ò Ó Û Ò Ù Ò Ø Ó Ò ¡   Ù  Ø × × Ó Ð Ù Ø Ó Ò × Ø Ð Ò Ö Ó Ñ Ò Ø Ó Ò  

¡  Ù   

¾ 

  

Ò  ¼ 

¡  Ù 

Ò 

´    µ ´ ¿ º º µ  

Û Ö Ø Ö Ñ × Ø × Ó Ð Ù Ø Ó Ò Ó Ò Ò Ô Ò Ò Ø « Ö Ò Ø Ð Õ Ù Ø Ó Ò  

¡  Ù 

¼ ¼ 

Ò 

· ¡  Ù 

Ò 

  À 

Ò 

Ó × 

Ò 

  ´ ¿ º º µ  

Ä Ø Ù × × Ø Ù Ý Ø Ó Ö Ñ Ó ¡   Ù 

Ò 

º Ì ¬ Ö × Ø Ó Ò Ø Ö Ù Ø Ó Ò ¡   Ù 

¼ 

× Ù Ò Ò Ø Ö × Ø Ò Ò Ö Ö Ð Ú Ò Ø  

× Ò ¸ Ó Ö Ò Ö Ø Ö Ö Ý Ó Ò × Ø Ò Ø     ¸ Û Ú  

¡  Ù 

¼ 

  À 

¼ 

·    Ó ×    ´ ¿ º º µ  

Page 76: Fre P. Course in General Relativity (Free Version, Lecture Notes, Web Draft, 2003)(141s)_PGr

7/29/2019 Fre P. Course in General Relativity (Free Version, Lecture Notes, Web Draft, 2003)(141s)_PGr

http://slidepdf.com/reader/full/fre-p-course-in-general-relativity-free-version-lecture-notes-web-draft 76/141

Ì Ô Ö × Ø Ö Ó Ò Ú Ò    

× Ó Ø Ø Ö Ô Ð Ò   Ù 

¼ 

   Ù 

¼ 

· ¡  Ù 

¼ 

Ñ Ó Ù Ò Ø × Ø Ó Ò   Ù Ò Ó × Ö Ú Ð Ö Ò Ó Ö Ñ Ð Þ Ø Ó Ò   Ó Ø Ã Ô Ð Ö Ò  

Ô Ö Ñ Ø Ö ×     Ò     º Ü Ø Û Ó Ò × Ö ¡   Ù 

¾ 

º À Ö × Ó Ð Ù Ø Ó Ò Ó Ø Ò Ó Ñ Ó Ò Ó Ù × Õ Ù Ø Ó Ò ×  

¡  Ù 

¾ 

 

À 

¾ 

¾ 

  

À 

¾ 

 

Ó × ¾    ´ ¿ º º µ  

Ð × Ó Ø Ô Ö Ø Ù Ö Ø Ó Ò   Ù 

¼ 

    Ù 

¼ 

· ¡  Ù 

¾ 

× × × Ò Ø Ð Ð Ý Ù Ò Ó × Ö Ú Ð ¸ × Ò ¡   Ù 

¾ 

´    µ × Ô Ö Ó Ó Ô Ö Ó  

¾    º Á Ò Ý Ö Ô Ð Ò   Ù 

¼ 

    Ù 

¼ 

· ¡  Ù 

¾ 

Û Ó Ø Ò Ò Û Ó Ö Ø Û × × Ð Ø Ð Ý Ó Ö Ñ Ð Ð Ô × ×  

Ù Ö ¿ º ½ ½ º   Ó Ñ Ô Ö × Ó Ò Ó Ø Ù Ò Ô Ö Ø Ù Ö × Ó Ð Ù Ø Ó Ò   Ù 

¼ 

´    µ ´ Ø Ò Ð Ò µ Ò Ó Ø Ô Ö Ø Ù Ö Ó Ò  

Ù 

¼ 

´    µ · ¡  Ù 

¾ 

´    µ ´ Ø Ð Ò µ Ò Ø × Ó Ã Ô Ð Ö Ò Ô Ö Ñ Ø Ö ×       Ñ  ¸    ¼  º × Ó Ò × × ¸ Ú Ò Ò  

Ø × Ü Ø Ö Ñ × Ó Ò Ù Ð Ø Ö ß Ò Ö Ö Ó Û Ò Ù Ð Ø Ö ß Ö Ð Ø Ú × Ø Ó Ö Ø Ø Ô Ö Ø Ù Ö Ø Ó Ò Ñ Ó ¬ × Ú Ö Ý × Ð Ø Ð Ý  

Ø × Ô Ó Ø Ù Ò Ø Ó Ò Û Ø Ó Ù Ø Ò Ò Ø × Ú Ó Ù Ö Ò Ø × Ô Ö Ó Ø Ý º  

Û Ö Ø Ô × Ø Ö Ó Ò Ô Ö × Ø Ö Ó Ó Ò Ø Ò Ù Ø Ó Ó Ù Ö Ø     ¼ Ò         × Ò Ø Ã Ô Ð Ö Ò × º  

Ì × Ò Ô Ô Ö Ø Ý Ð Ó Ó Ò Ø ¬ º × ¿ º ½ ½ ¸ ¿ º ½ ¾ ¸ ¿ º ½ ¿ º Á Ò Ó Ö Ö Ø Ó Ñ Ô × Þ Ø Ü Ø Ö Ñ Ð Ý  

× Ñ Ð Ð « Ø Ó Ø Ô Ö Ø Ù Ö Ø Ó Ò Û Ú Ó × Ò Ò Ù Ð Ø Ö Ò Ö Ö Ó Û Ò Ò Ø Ö Ã Ô Ð Ö Ò Ó Ö Ø  

Û Ø Ô Ö Ñ Ø Ö ×  

× Ñ Ð Ø Ù × Ö Ø Ù Ñ Ë Û Ö × Ð Ñ Ö  

Ò Ø Ö Ø Ý ¼     

´ ¿ º º ¼ µ  

Ò Ò ¬ º ¿ º ½ ½ Û Ú Ó Ñ Ô Ö Ø Ô Ð Ó Ø Ó Ø Ù Ò Ô Ö Ø Ù Ö Ù Ò Ø Ó Ò   Ù 

¼ 

´    µ Û Ø Ø Ô Ö Ø Ù Ö  

Ó Ò   Ù 

¼ 

´    µ · ¡  Ù 

¾ 

´    µ º Ì Ö × Ù Ð Ø Ò Ò Û Ó Ö Ø × Ô Ð Ó Ø Ø Ò ¬ º ¿ º ½ ¾ Ò Ó Ñ Ô Ö Û Ø Ø  

Ù Ò Ô Ö Ø Ù Ö Ó Ò º Ì Ô Ö Ó Ö Ø Ö Ó Ø Ô Ö Ø Ù Ö Ø Ó Ò Ñ Ô Ð × Ø Ø Ø Ò Û Ó Ö Ø Ð Ó Ó ×  

Ð Ó Ö Ñ Ð Ð Ô × × Ó × Ð Ø Ð Ý Ò × Ô Ò × Þ º Ï Ò Ó Ñ Ô Ö Ø Ø Ù Ð × Ô Ó  

Ø Ô Ö Ø Ù Ö Ó Ö Ø Û Ø Ô Ù Ö Ð Ý Ã Ô Ð Ö Ò Ð Ð Ô × × Ý ¬ Ò Ò Ö Ò Ó Ö Ñ Ð Þ × Ñ Ð Ø Ù × Ö Ø Ù Ñ  

Ò Ò Ø Ö Ø Ý Ú Ø Ó Ö Ñ Ù Ð  

 

Ê 

 

Ö  ´    µ ·  Ö  ´ ¼ µ 

¾ 

 

Ê 

 

Ö  ´    µ     Ö  ´ ¼ µ 

Ö  ´    µ ·  Ö  ´ ¼ µ 

´ ¿ º º ½ µ  

Page 77: Fre P. Course in General Relativity (Free Version, Lecture Notes, Web Draft, 2003)(141s)_PGr

7/29/2019 Fre P. Course in General Relativity (Free Version, Lecture Notes, Web Draft, 2003)(141s)_PGr

http://slidepdf.com/reader/full/fre-p-course-in-general-relativity-free-version-lecture-notes-web-draft 77/141

Page 78: Fre P. Course in General Relativity (Free Version, Lecture Notes, Web Draft, 2003)(141s)_PGr

7/29/2019 Fre P. Course in General Relativity (Free Version, Lecture Notes, Web Draft, 2003)(141s)_PGr

http://slidepdf.com/reader/full/fre-p-course-in-general-relativity-free-version-lecture-notes-web-draft 78/141

Ì Ô Ö × Ø Ö Ó Ò Ú Ò    

Ù Ö ¿ º ½ ¿ º   Ó Ñ Ô Ö × Ó Ò Ø Û Ò Ã Ô Ð Ö Ò Ó Ö Ø Ó Ô Ö Ñ Ø Ö ×       Ñ  ¸    ¼  Ô Ö Ø Ù Ö Ý Ø Ô ¹  

Ö Ó Ô Ö Ø Ù Ö Ø Ó Ò ¡   Ù 

¾ 

´ Ø Ð Ò µ Ò Ã Ô Ð Ö Ò Ó Ö Ø Ó Ô Ö Ñ Ø Ö ×    

Ê 

  ¿   Ñ  ¸   

Ê 

¼  ¾  

´ Ø Ò Ð Ò µ Ø Ø ¸ Ý ¬ Ò Ø Ó Ò ¸ × Ø Ô Ö × Ø Ö Ó Ò Ò Ô × Ø Ö Ó Ò Ð Ó Ø Ø Ø × Ñ × Ø Ò × Ö Ó Ñ Ø  

Ò Ø Ö Ó Ö Ú Ø Ý × Ø Ô Ö Ø Ù Ö Ó Ö Ø º Ì × Ó Ñ Ô Ö × Ó Ò × Ó Û × Ø Ú Ø Ó Ò Ö Ó Ñ Ô Ù Ö Ð Ý Ð Ð Ô Ø  

× Ô º  

Û × Ô Ö Ó Ù Ò Ø Ó Ò Ó Ô Ö Ó  

Ì   

¾   

½     ¬ 

  ¾    ´ ¿ º º µ  

Ì × Ñ Ò × Ø Ø Ø Ö Ú Ó Ð Ù Ø Ó Ò Ø Ô Ö × Ø Ö Ó Ò ´ Ò × Ó Ò × Õ Ù Ò Ø Ô × Ø Ö Ó Ò µ Ó Ù Ö ×  

Ò Ó Ø Ø Ò Ò Ð ¾    Ø Ö Ø Ô Ö Ú Ó Ù × Ô Ö × Ø Ö Ó Ò Ö Ø Ö Ø Ö Ò Ò Ð   Ì  º Ó Ö × Ó Ñ Ó Ò Û Ó Ð Ó Ó ×  

Ø Ø × Ý Ø × « Ø Ñ Ò × Ø Ø Ø Ò Ù Ð Ö Ô Ó × Ø Ó Ò Ó Ø Ô Ö × Ø Ö Ó Ò   Ú Ò ×   Ó Ò Ò Ð  

¡      Ì     ¾    ¾   

 

½ 

½     ¬ 

   ½ 

 

³    ¾  ¬   

  Ñ 

  ´ ½      

¾ 

µ 

´ ¿ º º µ  

Ø Ö Ú Ó Ð Ù Ø Ó Ò º  

Ï Ò Ô Ô Ö Ø Ø × Ô Ò Ó Ñ Ò Ó Ò Ý Ñ Ò × Ó Ò Ù Ñ Ö Ð Ô Ð Ó Ø × º × Ù × Ù Ð ¸ Ò Ó Ö Ö Ø Ó  

Ñ Ò Ý Ø « Ø Û Ó Ó × Ò Ö Ö Ó Û Ö Ð Ø Ú × Ø Ó Ö Ø Ø     ¼  Ñ  Û Ø Ò Ø Ö Ø Ý     ¼    º Á Ò  

¬ º ¿ º ½ Û Ó Ñ Ô Ö Ø Ô Ð Ó Ø Ó Ø Ù Ò Ô Ö Ø Ù Ö Ã Ô Ð Ö Ò × Ó Ð Ù Ø Ó Ò   Ù 

¼ 

´    µ Û Ø Ø Ô Ö Ø Ù Ö  

× Ó Ð Ù Ø Ó Ò   Ù 

¼ 

´    µ · ¡  Ù 

½ 

´    µ × Ò Ø Ö Ô Ö Ø Ò Õ º ´ ¿ º º µ º Ì Ò Ó Ò Ò Ø Ö Ò Ò Ô Ö Ó ×  

Ð Ö Ð Ý × Ò Ò Ø × Ô Ð Ó Ø º Á Ò ¬ º ¿ º ½ Ø Ð × × Ð Ã Ô Ð Ö Ò Ó Ö Ø   Ù 

¼ 

´    µ Ò Ø Ô Ö Ø Ù Ö Ó Ò  

Ù 

¼ 

´    µ · ¡  Ù 

½ 

´    µ Ö Ó Ñ Ô Ö Ó Ò × Ú Ö Ð Ö Ú Ó Ð Ù Ø Ó Ò × º Ê Ð Ð Ò ¬ º × ¿ º ¸ ¿ º ¸ ¿ º ½ ¼ Û Ö Û Ú  

Ô Ð Ó Ø Ø Ø Ò Ù Ñ Ö Ð × Ó Ð Ù Ø Ó Ò Ó Ø Ü Ø Ó Ö Ø « Ö Ò Ø Ð Õ Ù Ø Ó Ò Ø Ô Ö Ñ Ø Ö ×     ¼  Ñ  ¸ 

  ¼    Û Ø ¬ º ¿ º ½ Û × Ø Ø Ø Ô Ò Ó Ñ Ò Ó Ò Ó Ô Ö × Ø Ö Ó Ò Ú Ò Ø Ù Ö Ý Ø Ü Ø  

× Ó Ð Ù Ø Ó Ò × × × × Ò Ø Ð Ð Ý Ù Ø Ó Ø Ò Ó Ò ß Ô Ö Ó Ô Ö Ø Ù Ö Ø Ó Ò ¡   Ù 

½ 

Ó Õ º ´ ¿ º º ¿ µ × Û Ú Ð Ñ º  

Õ º ´ ¿ º º µ × Ø ¬ Ò Ð Ô Ö Ø Ù Ö Ø Ú Ó Ö Ñ Ù Ð Ô Ö Ø Ý Ò Ö Ð Ê Ð Ø Ú Ø Ý Ó Ö Ø Ô ¹  

Ö × Ø Ö Ó Ò Ò Ó Ñ Ð Ý Ò Ó Ò × Ø Ø Ù Ø × Ó Ò Ó Ø Ð × × Ð Ø × Ø × Ó Ø Ø Ó Ö Ý Ô Ö Ó Ô Ó × Ý Ò × Ø Ò  

Ñ × Ð º  

Page 79: Fre P. Course in General Relativity (Free Version, Lecture Notes, Web Draft, 2003)(141s)_PGr

7/29/2019 Fre P. Course in General Relativity (Free Version, Lecture Notes, Web Draft, 2003)(141s)_PGr

http://slidepdf.com/reader/full/fre-p-course-in-general-relativity-free-version-lecture-notes-web-draft 79/141

Ì Ô Ö × Ø Ö Ó Ò Ú Ò    

Ù Ö ¿ º ½ º   Ó Ñ Ô Ö × Ó Ò Ó Ø Ù Ò Ô Ö Ø Ù Ö × Ó Ð Ù Ø Ó Ò   Ù 

¼ 

´    µ ´ Ø Ò Ð Ò µ Ò Ó Ø Ô Ö Ø Ù Ö Ó Ò  

Ù 

¼ 

´    µ · ¡  Ù 

½ 

´    µ ´ Ø Ð Ò µ Ò Ø × Ó Ã Ô Ð Ö Ò Ô Ö Ñ Ø Ö ×     ¼  Ñ  ¸    ¼  º Ì × Ø Ò Ô Ö Ó  

Ó Ø Ô Ö Ø Ù Ö × Ó Ð Ù Ø Ó Ò × Ú Ò Ø Ö Ó Ñ Ø Ô Ð Ó Ø º  

Ù Ö ¿ º ½ º   Ó Ñ Ô Ö × Ó Ò Ó Ø Ù Ò Ô Ö Ø Ù Ö Ã Ô Ð Ö Ò Ó Ö Ø Ó Ô Ö Ñ Ø Ö ×     ¼  Ñ  ¸    ¼  ´ Ø Ò  

Ð Ò µ Û Ø Ø Ó Ö Ø Ô Ö Ø Ù Ö Ý   Ù 

¼ 

´    µ · ¡  Ù 

½ 

´    µ ´ Ø Ð Ò µ º Ì Ô Ò Ó Ñ Ò Ó Ò Ó Ø Ô Ö × Ø Ö Ó Ò Ú Ò  

× Ú Ò Ø º  

Page 80: Fre P. Course in General Relativity (Free Version, Lecture Notes, Web Draft, 2003)(141s)_PGr

7/29/2019 Fre P. Course in General Relativity (Free Version, Lecture Notes, Web Draft, 2003)(141s)_PGr

http://slidepdf.com/reader/full/fre-p-course-in-general-relativity-free-version-lecture-notes-web-draft 80/141

Ì Ô Ö × Ø Ö Ó Ò Ú Ò    

Á Ò Ø × Ó Ø × Ó Ð Ö × Ý × Ø Ñ Û Ú   Ñ    Ñ 

 

  Å 

 

 

¾ 

Û Ö   Å 

 

× Ø × Ó Ð Ö Ñ × × º  

Ì × Ñ Ó Ö Ñ Ù Ð Ò Ð × Ó Ô Ô Ð Ø Ó Ò Ö Ý × Ø Ð Ð Ö × Ý × Ø Ñ × º Á Ò Ø × × Û Ú  

Ñ 

Ò Ö Ý  

   

 

 

¾ 

´  Ñ 

½ 

·  Ñ 

¾ 

µ ´ ¿ º º µ  

Û Ö   Ñ 

½    ¾ 

Ò Ó Ø Ø Ñ × × × Ó Ø Ø Û Ó Ó Ñ Ô Ò Ó Ò × Ø Ö × º  

Á Ø × Ò Ø Ö × Ø Ò Ø Ó Ò × Ö Ø Ø Ò Ù Ñ Ö Ð Ú Ð Ù × Ó Ø Ã Ô Ð Ö Ò Ô Ö Ñ Ø Ö × Ò Ø × Ó Ø  

Ô Ð Ò Ø Å Ö Ù Ö Ý ´ × Õ º ´ ¿ º º ½ µ µ º Ï Ó Ø Ò  

¡   

Å Ö Ù Ö Ý  

   

½     

¼      ¢        

½ ¼ 

   

³        ¢   ¾      ¢   ½ ¼ 

   

´ ¿ º º ¼ µ  

Ë Ò Ø Ô Ö Ó Ó Å Ö Ù Ö Ý ×   Ì 

Å Ö Ù Ö Ý  

¼    ¾   Ý Ö ×   Ø Ó Ð Ð Ó Û × Ø Ø Ò Ó Ò Ø Ö Ö × Ø Ö Ð Ò Ø Ù Ö Ý Û  

Ú ½ ¼ ¼    ¼    ¾ ½    Ó Ö Ø × Ó Å Ö Ù Ö Ý º Ç Ò Ø Ó Ø Ö Ò ¸ Û Ú Ð Ù Ø    Ò  Ö × Ó Ò ×   Û  

Ú  

    ¿ 

¢   ¼ 

¢   ¼ 

¢  ¿ ¼  Ö ×   ¿        ¼ ¼ ¼  Ö ×   ´ ¿ º º ½ µ  

× Ó Ø Ø Û Ò Û Ö Ø  

¡   

Å Ö Ù Ö Ý  

Ò Ø Ù Ö Ý   ¿        ¼ ¼ ¼  ¢   ½       ¢   ¾      ¢   ½ ¼ 

   

¢   Ö × Ò Ø Ù Ö Ý  

³    ¾ 

¼ ¼ 

Ò Ø Ù Ö Ý   ´ ¿ º º ¾ µ  

Ì Ú Ð Ù ´ ¿ º º ¾ µ × Ò Ô Ö Ø Ö Ñ Ò Ø Û Ø Ø × Ø Ó Ö Ð Ö Ó Ö × Ó × Ø Ö Ó Ò Ó Ñ Ð Ó × Ö Ú Ø Ó Ò ×  

Ø Ö × Ù Ø Ö Ø Ó Ò Ó Ð Ð Ø Ò Û Ø Ó Ò Ò « Ø × Ù Ø Ó Ø Ô Ö Ø Ù Ö Ø Ó Ò Ó Ò Å Ö Ù Ö Ý Ó Ö Ø Ý Ø  

Ñ Ó Ø Ó Ò Ó Ø Ó Ø Ö Ô Ð Ò Ø × Ò Ø × Ó Ð Ö × Ý × Ø Ñ º  

¿ º º ¾ À Ó Û Ø Ó Ñ Ô Ð Ñ Ò Ø Ø Ô Ö × Ø Ö Ó Ò Ô Ö Ó Ð Ñ Ó Ò Ó Ñ Ô Ù Ø Ö Ò Ü Ñ Ô Ð  

Á Ò Ø Ô Ö Ú Ó Ù × Ô × Û Ú × Ù × × Ø Ô Ö × Ø Ö Ó Ò Ú Ò Ô Ö Ø Ý Ò Ö Ð Ê Ð Ø Ú Ø Ý  

Ù × Ò Ô Ö Ø Ù Ö Ø Ú Ø Ö Ø Ñ Ò Ø º Ï Ú Ð × Ó × Ó Û Ò Ø Ó Ö Ñ Ó Ø Ü Ø Ó Ö Ø × Ø Ø Ö × Ö Ó Ñ  

Ò Ù Ñ Ö Ð × Ó Ð Ù Ø Ó Ò × Ó Ø Ó Ö Ø « Ö Ò Ø Ð Õ Ù Ø Ó Ò × º Ó Ö Ô Ó Ð Ô Ù Ö Ô Ó × × Û Ô Ö × Ò Ø Ö  

Ð Ø Ø Ð   Å Ì À Å Ì Á   Ô Ø Ø × Ó Ð Ú × Ø Ò Ù Ñ Ö Ð « Ö Ò Ø Ð Õ Ù Ø Ó Ò Ò Ô Ð Ó Ø ×  

Ø Ó Ö Ø Ù Ö Ú Ò Ø   Ü Ý  ß Ô Ð Ò ¸ Ó Ñ Ô Ö Ò Ø Û Ø Ø Ã Ô Ð Ö Ò Ð Ð Ô × × º Á Ø × Ò Ò Ø Ö Ø Ú  

Ô Ö Ó Ö Ñ Ñ Ø Ø × × Ø Ù × Ö Ø Ó × Ù Ô Ô Ð Ý Ø × Ñ Ð Ø Ù × Ö Ø Ù Ñ Ó Ø Ó Ö Ø Ü Ô Ö × × Ò Ù Ò Ø × Ó  

Ø Ë Û Ö Þ × Ð Ñ Ö Ù × Ò Ø Ò Ø Ö Ø Ý º Æ Ü Ø Ø Ö × Ó Û Ò Ø Ã Ô Ð Ö Ò Ó Ö Ø Ò  

Ø Ò Ö Ð Ê Ð Ø Ú Ø Ý Ó Ö Ø Ø Ö Ó Ò Ö Ú Ó Ð Ù Ø Ó Ò Ø Ô Ö Ó Ö Ñ Ñ × Ø Ó Ô × Ò × Û Ø Ö Ø Ù × Ö  

Û Ò Ø Ø Ó × Ô Ð Ý Ø Ó Ö Ø Ó Ö Ñ Ó Ö Ö Ú Ó Ð Ù Ø Ó Ò × Ò Ó Ö Ó Û Ñ Ò Ý º Á Ø Ó × Ø Ó × Ù Õ Ù × Ø Ó Ò  

Ù Ò Ø Ð Ø Ù × Ö × × Ø × ¬ Ò × Ø Ó × Ø Ó Ô º  

Ì Ô Ö Ó Ö Ñ Ñ × Ø Ó Ð Ð Ó Û Ò Ó Ò  

Ô Ö × Ø Ö Ó  

ß È Ö Ò Ø ℄  

È Ö Ò Ø Ï Ñ Ó Ñ Ô Ö × Ó Ò  

Ø Û Ò ℄  

È Ö Ò Ø Ó Ö Ø × Ò Ë Û Ö × Ð Ó Ñ Ø Ö Ý ℄  

È Ö Ò Ø Ò Ò Æ Û Ø Ó Ò ³ × Ì Ó Ö Ý ℄  

È Ö Ò Ø ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ℄  

È Ö Ò Ø Á Ò Ô Ù Ø Ó Ó Ñ Ø Ö Ð Ô Ö Ñ Ø Ö × ℄  

Ð Ô Á Ò Ô Ù Ø Ë Ñ Ð Ø Ù × Ö Ø Ù Ñ Ò Ë Û Ö Þ × Ð Ñ Ö Ù × Ù Ò Ø × ℄  

Á Ò Ô Ù Ø Ò Ø Ö Ø Ý ℄  

Page 81: Fre P. Course in General Relativity (Free Version, Lecture Notes, Web Draft, 2003)(141s)_PGr

7/29/2019 Fre P. Course in General Relativity (Free Version, Lecture Notes, Web Draft, 2003)(141s)_PGr

http://slidepdf.com/reader/full/fre-p-course-in-general-relativity-free-version-lecture-notes-web-draft 81/141

Ä Ø ß Ð Ó × × Ò Ø - Ø Ó Ò Ð Ø ß Ö Ý ×   ¼ 

Ð Õ Ð Ô ¶ ´ ½ ¹ ¾ µ  

È Ö Ò Ø ℄  

È Ö Ò Ø È Ä Ç Ì Ó Ø Ç Ê Á Ì Û Ø Ø  

Ó Ð Ð Ó Û Ò Ô Ö Ñ Ø Ö × ℄  

È Ö Ò Ø Ë Ñ Ð Ø Ù × Ö Ø Ù Ñ ¸ Ð Ô ¸ Ñ ℄  

È Ö Ò Ø Ò Ø Ö Ø Ý ¸ ℄  

È Ö Ò Ø ℄  

È Ö Ò Ø Ã Ô Ð Ö Ò Ó Ö Ø Û Ø Ø × Ô Ö Ñ Ø Ö × ℄  

Ô Ö Ð Ô  

È Ö Ò Ø ℄  

È Ö Ò Ø Ì Ë Û Ö × Ð Ó Ö Ø Û Ø Ø × Ñ Ô Ö Ñ Ø Ö × ℄  

Ò Ò ½  

Ô Ö Ð Ö  

Ä Ð Ö Ô Ø Ó ℄  

È Ö Ò Ø Ø Ö Ñ Ó Ö Ö Ú Ó Ð Ù Ø Ó Ò × ¸ × Ó Ö Æ Ó ℄  

Ð Á Ò Ô Ù Ø × Ó Ö Æ Ó ℄  

Á Ð × ¸ Ó Ø Ó Ô Ð Ó Ø Ø Ó ℄ ¸ Ó Ø Ó × Ø Ó Ô Ô Ó ℄ ℄  

Á Ð Æ Ó ¸ Ó Ø Ó × Ø Ó Ô Ô Ó ℄ ¸ ß Ô Ô Ô Ó ¼ ℄  

Ä Ð Ô Ð Ó Ø Ø Ó ℄  

Ò Ò Á Ò Ô Ù Ø Ò Ù Ñ Ö Ó Ö Ú Ó Ð Ù Ø Ó Ò × ℄  

Ô Ö Ð Ö  

Ó Ø Ó Ö Ô Ø Ó ℄  

Ä Ð × Ø Ó Ô Ô Ó ℄  

È Ö Ò Ø Ò × ℄  

È Ö Ò Ø ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ℄  

Ô Ö Ð Ô  

ß È Ö Ñ Ø Ö È Ð Ó Ø ß Ð Ô ¶ ´ ½ ¹ ¾ µ ¶ Ó × Ô ℄ » ´ ½ · ¶ Ó × Ô ℄ µ ¸  

Ð Ô ¶ ´ ½ ¹ ¾ µ ¶ Ë Ò Ô ℄ » ´ ½ · ¶ Ó × Ô ℄ µ ¸ ß Ô ¸ ¼ ¸ ¾ ¶ È ¸ Ü × Ä Ð ¹ ß Ü ¸ Ý ¸  

Ì × ¹ Æ Ó Ò ¸ È Ð Ó Ø Ë Ø Ý Ð ¹ ß ß Ì Ò × × ¼ º ¼ ¼ ℄ ℄  

Ô Ö Ð Ö  

ß È Ö Ò Ø Ø Ö ¸ Ò Ò ¸ Ö Ú Ó Ð Ù Ø Ó Ò × ℄  

É É Æ Ë Ó Ð Ú ß Ö Ú Ø Ú ¾ ℄ Ù Ù ℄ Ô ℄ · Ù Ù Ô ℄ ¹ ¿ ¶ Ù Ù Ô ℄ ¾ ½ » Ð Õ ¸  

Ù Ù ¼ ℄ ´ ½ · µ » Ð Õ ¸  

Ö Ú Ø Ú ½ ℄ Ù Ù ℄ ¼ ℄ ¼ ¸ ß Ù Ù Ô ℄ ¸ ß Ô ¸ ¼ ¸ ¾ ¶ Ò Ò ¶ È ¸ Å Ü Ë Ø Ô × ¹ ¼ ¼ ℄  

È Ö Ñ Ø Ö È Ð Ó Ø Ú Ð Ù Ø ß Ó × Ô ℄ » Ù Ù Ô ℄ ¸ Ë Ò Ô ℄ » Ù Ù Ô ℄ » º É É ℄ ¸ ß Ô ¸ ¼ ¸ ¾ ¶ Ò Ò ¶ È ¸  

Ü × Ä Ð ¹ ß Ü ¸ Ý ¸ Ì × ¹ Æ Ó Ò ¸ È Ð Ó Ø Ë Ø Ý Ð ¹ ß ß Ì Ò × × ¼ º ¼ ¼ ℄ ℄  

È Ö Ò Ø ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ℄  

Á Ý Ó Ù Ö Ù Ò Ø × × Ò Ò   Ð Ô   ¼  Ñ  Ò     ¼      ¸ Ø Ó Ù Ø Ô Ù Ø × Û Ø × × Ó Û Ò Ò ¬ º ¿ º  

´ × × Ò Ò   Ò Ò  ¿  µ ¸ ¬ º ¿ º ´ × × Ò Ò   Ò Ò    µ ¸ ¬ º ¿ º ½ ¼ ´ × × Ò Ò   Ò Ò  ¾ ¼  µ º 

¿ º Ä Ø ß Ð Ó × × Ò Ø Ë Û Ö Þ × Ð Ñ Ø Ö Ò Ø - Ø Ó Ò  

Ó Ð Ø Ö Ý ×  

Ä Ø Ù × Ò Ó Û Ó Ø Ó Ø Ð Ö Ò Ò ´ ¿ º ¿ º ½ µ Ó Ö Ø Ñ ß Ð Ó × × Ò Ö Ô Ð Ø Û Ø Ø ×  

Ò Ð Ó Ù Ó Ö Ð Ø ß Ð Ó × × º Á Ò Ø × × Û Û Ö Ø  

Ä       

 

½     ¾ 

Ñ 

Ö 

 

 

Ø 

 

 

¾ 

· 

 

½     ¾ 

Ñ 

Ö 

 

  ½ 

 

Ö 

 

 

¾ 

·  Ö 

¾ 

 

 

 

 

 

¾ 

· × Ò  

¾ 

 

 

 

 

 

¾ 

 

´ ¿ º º ¿ µ  

Page 82: Fre P. Course in General Relativity (Free Version, Lecture Notes, Web Draft, 2003)(141s)_PGr

7/29/2019 Fre P. Course in General Relativity (Free Version, Lecture Notes, Web Draft, 2003)(141s)_PGr

http://slidepdf.com/reader/full/fre-p-course-in-general-relativity-free-version-lecture-notes-web-draft 82/141

Ä Ø ß Ð Ó × × Ò Ø - Ø Ó Ò Ð Ø ß Ö Ý ×   ½ 

Û Ö     × × Ó Ñ Æ Ò Ô Ö Ñ Ø Ö Ò Û Ö Ô Ð Ø Ó Ò × Ø Ö Ò Ø ´ ¿ º ¿ º ½ µ Û Ø Ø Ò Û Ó Ò  

¼  

Ü 

 

 

Ü 

 

 

 

 

´  Ü  µ ´ ¿ º º µ  

Â Ù × Ø × Ò Ø × Ó Ø Ñ ß Ð Ó × × Û Ò Ò Ø Ö Ø Ø Õ Ù Ø Ó Ò Ó Ö Ø Ò Ó Ò Ð Ú Ö Ð  

  Ý × Ø Ø Ò  

   

 

¾ 

Ó Ò × Ø Ò Ø ´ ¿ º º µ  

Á Ò Ó Ø Ö Û Ó Ö × Ø Ø Ö Ø Ó Ö × Ó Ô Ó Ø Ó Ò × Ò Ñ × × Ð × × Ô Ö Ø Ð × Ö Ô Ð Ò Ö Ù × Ø × Ø Ó × Ó  

Ñ × × Ú Ô Ö Ø Ð × º Ð × Ó Ò Ù Ð Ð Ò Ð Ó Ý Û Ø Ø Ñ × × Ú × Û Ú Ø Ø Ø Ò Ó Ò Ð Ú Ö Ð ×  

Ø  Ò     Ö Ý Ð Ò Ö Ö × Ô Ø Ú Ð Ý × × Ó Ø Û Ø Ø Û Ó   ¬ Ö × Ø Ò Ø Ö Ð ×   Ó Ø Ñ Ó Ø Ó Ò ¸ Ø   Ò Ö Ý  

   Ò Ø Ò Ù Ð Ö Ñ Ó Ñ Ò Ø Ù Ñ   Ä  º Ü Ô Ð Ø Ð Ý Û ¬ Ò  

Ø 

 

 

½ 

  

¾  Ñ 

Ö 

 

 

   Ó Ò × Ø  

Ö 

¾ 

 

 

  Ä  Ó Ò × Ø ´ ¿ º º µ  

Ì « Ö Ò Û Ø Ø Ñ × × Ú × Ñ Ö × Û Ò Û Ò Ó Ö Ø Ò Û Ó Ò × Ø Ö Ò Ø ´ ¿ º º µ Û  

Ý Ð × Ø Ö Ð Ø Ó Ò  

¼  

  

¾ 

½    

¾  Ñ 

Ö 

  

 Ö 

¾ 

½    

¾  Ñ 

Ö 

   Ö 

¾ 

Ä 

¾ 

Ö 

 

´ ¿ º º µ  

Ö Ô Ð Ò Õ º ´ ¿ º ¿ º ¾ ¾ µ º Ö Ó Ñ Õ º ´ ¿ º º µ Û Ó Ø Ò  

 

Ö 

 

 

¾ 

    

¾ 

   Π

Ô Ó Ø Ó Ò  

 

´  Ö  µ 

 

 

 

Ä 

Ö 

¾ 

´ ¿ º º µ  

Û Ö Ø « Ø Ú Ô Ó Ø Ò Ø Ð  

Π

Ô Ó Ø Ó Ò  

 

´  Ö  µ  

Ä 

¾ 

Ö 

¾ 

  

¾  Ñ Ä 

¾ 

Ö 

¿ 

´ ¿ º º µ  

× Ø Ð Ø ß Ð Ó Ù Ò Ø Ö Ô Ö Ø Ó Ø Ñ × × Ú « Ø Ú Ô Ó Ø Ò Ø Ð ´ ¿ º ¿ º ¾ µ º Ï Ò Ñ Ñ Ø Ð Ý Ò Ó Ø  

Ø « Ö Ò × º Ï Ð Ø Ò Ø Ö Ù Ð Ö Ö Ö      

½ 

Ö 

¾ 

× Ó Ñ Ñ Ó Ò Ø Ó Ó Ø × × ¸ Ø Ò Û Ø Ó Ò Ò  

Ø Ø Ö Ø Ó Ò     

½ 

Ö 

× × Ò Ø Ò Ø Ð Ø ß Ð × º Ì × Ó Ö Ö × Ô Ó Ò × Ø Ó Ø Ó Ú Ó Ù × Ø Ø Ø Ò  

Û Ø Ó Ò ³ × Ø Ó Ö Ý Ô Ó Ø Ó Ò × Ó Ò Ó Ø Ð Ö Ú Ø Ý × Ò Ø Ý Ö Ñ × × Ð × × º Ø Ø × Ó Ö Ø Ö Ò Ø Ø Ö Ø Ú  

Ó Ö Ö Ø Ó Ò Ù Ø Ó Ò Ö Ð Ê Ð Ø Ú Ø Ý     

½ 

Ö 

¿ 

Ô Ô Ð × Ó Ø Ø Ó Ô Ó Ø Ó Ò × Ò Ñ × × Ú Ô Ö Ø Ð × º Á Ø  

× Ø × Ó Ö Ö Ø Ó Ò Û × Ö × Ô Ó Ò × Ð Ó Ö Ø Ò Ò Ó Ð Ø ß Ö Ý × Ò × Ø Ö Ó Ò Ö Ú Ø Ø Ó Ò Ð ¬ Ð ×  

Ð Ø Ø Ò Ö Ø Ý Ø × Ù Ò º Ì × Ô Ò Ó Ñ Ò Ó Ò × Ø Ð Ø ß Ð Ó Ù Ò Ø Ö Ô Ö Ø Ó Ø Ô Ö × Ø Ö Ó Ò  

Ú Ò Ò Ó Ò × Ø Ø Ù Ø × Ò Ó Ø Ö Ð × × Ð Ø × Ø Ó Ò Ö Ð Ê Ð Ø Ú Ø Ý º Ì Ô Ð Ó Ø Ó Ø Ô Ó Ø Ò Ø Ð  

Π

Ô Ó Ø Ó Ò  

 

´  Ö  µ × × Ô Ð Ý Ò ¬ º ¿ º ½ º × Ø × Ú Ò Ø Ö Ó Ñ Ø × × Ô Ø Ö × Ñ Ü Ñ Ù Ñ Ø   Ö  ¿  Ñ 

Ù Ø Ò Ó Ñ Ò Ñ º À Ò ¸ Ò Ø × Ó Ô Ó Ø Ó Ò × Ø Ö Ö Ò Ó × Ø Ð Ö Ù Ð Ö Ó Ö Ø × Ó Ò Ð Ý Ó Ô Ò  

Ó Ö Ø × Ö Ú Ð Ð Ø Ø Ó Ö Ö × Ô Ó Ò Ø Ó Ø Ó Ö Ñ Ò Ø Ó Ò Ò Ò Ó Ð Ø ß Ö Ý × º Ï × Ø Ù Ý × Ù  

Ô Ò Ó Ñ Ò Ó Ò Ý Û Ö Ø Ò Ø Ü Ø « Ö Ò Ø Ð Õ Ù Ø Ó Ò Ó Ø Ó Ö Ø º È Ö Ó Ò Ò Ù Ð Ð Ò Ð Ó Ý  

Û Ø Ó Ù Ö Ô Ö Ú Ó Ù × Ø Ö Ø Ñ Ò Ø Ó Ø Ø Ñ ß Ð Ó × × Û Ø Ö Ø Ö Ú Ø Ú × Û Ø Ö × Ô Ø Ø Ó  

Ø Æ Ò Ô Ö Ñ Ø Ö Ó Ö Ø Ö Ú Ø Ú × Û Ø Ö × Ô Ø Ø Ó Ø Þ Ñ Ù Ø Ð Ò Ð  

Ö 

 

 

Ö 

 

 

 

 

Ö 

 

Ä 

¾ 

Ö 

¾ 

´ ¿ º º ½ ¼ ¼ µ  

Page 83: Fre P. Course in General Relativity (Free Version, Lecture Notes, Web Draft, 2003)(141s)_PGr

7/29/2019 Fre P. Course in General Relativity (Free Version, Lecture Notes, Web Draft, 2003)(141s)_PGr

http://slidepdf.com/reader/full/fre-p-course-in-general-relativity-free-version-lecture-notes-web-draft 83/141

Ä Ø ß Ð Ó × × Ò Ø - Ø Ó Ò Ð Ø ß Ö Ý ×   ¾ 

Ù Ö ¿ º ½ º   Ì « Ø Ú Ö Ð Ô Ó Ø Ò Ø Ð Ó Ö Ø Ñ Ó Ø Ó Ò Ó Ñ × × Ð × × Ô Ö Ø Ð × Ò Ë Û Ö Þ × Ð Ó Ñ ¹  

Ø Ö Ý º Á Ø × Ô Ð Ý × Ñ Ü Ñ Ù Ñ Ø   Ö  ¿  Ñ  Ù Ø Ò Ó Ñ Ò Ñ º Á Ò Ø × ¬ Ù Ö Ø Ô Ð Ó Ø × Ú Ò Ó Ö   Ä   

Á Ò × Ö Ø Ò Õ º ´ ¿ º º ½ ¼ ¼ µ Ò Ø Ó Õ º ´ ¿ º º µ Ò Ò Ø Ö Ó Ù Ò Ø   Ñ Ô Ø Ô Ö Ñ Ø Ö   

     

Ä 

  

´ ¿ º º ½ ¼ ½ µ  

Û Ó Ø Ò  

Ö 

 

  ¦    Ö 

¾ 

 

½ 

 

¾ 

  

½ 

Ö 

¾ 

 

½    

¾  Ñ 

Ö 

 

½    ¾ 

´ ¿ º º ½ ¼ ¾ µ  

Û Ò Ù Ö Ø Ö Ó Ò Ú Ö Ø Ò Ø Ó Ø Ü Ø Ó Ö Ø Õ Ù Ø Ó Ò  

 

Ù 

  ¦   

 

½ 

 

¾ 

   Ù 

¾ 

· ¾  Ñ Ù 

¿ 

 

  ½    ¾ 

´ ¿ º º ½ ¼ ¿ µ  

Ì Ò Ñ Ú Ò Ø Ó Ø Ñ Ô Ø Ô Ö Ñ Ø Ö ´ ¿ º º ½ ¼ ½ µ × × Ð Ý Ù × Ø ¬ Û Ò Ø Ö Ø Õ º ´ ¿ º º ½ ¼ ¿ µ  

Ò Ø Û Ø Ó Ò Ò Ô Ô Ö Ó Ü Ñ Ø Ó Ò  

¾  Ñ Ù 

¿ 

Ù 

¾ 

´ ¿ º º ½ ¼ µ  

Á Ò Û × Ö Ö Ø Ø Ö Ñ ¾   Ñ Ù 

¿ 

Û Ó Ø Ò  

  

    ¦   

  

Ù 

Õ  

½ 

 

¾ 

   Ù 

¾ 

´ ¿ º º ½ ¼ µ  

Û Ñ Ñ Ø Ð Ý Ý Ð ×  

  ·   

¼ 

Ö × Ò   Ù  ℄ ´ ¿ º º ½ ¼ µ  

Ð Ò Ø Ó Ø Õ Ù Ø Ó Ò Ó Ø Û Ø Ó Ò Ò Ó Ö Ø Ó Ô Ó Ø Ó Ò  

Ö   

 

× Ò    ·   

¼ 

℄ 

´ ¿ º º ½ ¼ µ  

Page 84: Fre P. Course in General Relativity (Free Version, Lecture Notes, Web Draft, 2003)(141s)_PGr

7/29/2019 Fre P. Course in General Relativity (Free Version, Lecture Notes, Web Draft, 2003)(141s)_PGr

http://slidepdf.com/reader/full/fre-p-course-in-general-relativity-free-version-lecture-notes-web-draft 84/141

Ä Ø ß Ð Ó × × Ò Ø - Ø Ó Ò Ð Ø ß Ö Ý ×   ¿ 

Õ º ´ ¿ º º ½ ¼ µ × Ö × × Ø Ö Ø Ð Ò Ò Ø      

 

¾ 

Ô Ð Ò × Ø × × Ó Û Ò Ò ¬ º ¿ º ½ º Ì  

Ù Ö ¿ º ½ º   Ì Æ Û Ø Ó Ò Ò Ø Ö Ø Ó Ö Ý Ó Ô Ó Ø Ó Ò × × Ø Ö Ø Ð Ò Ò Ø Ñ Ô Ø Ô Ö Ñ Ø Ö × Ø  

Ñ Ò Ñ Ð × Ø Ò Ö Ó Ñ Ø Ò Ø Ö Ó Ñ × × Ö Ð Ó Ò × Ù Ø Ö Ø Ó Ö Ý  

Ñ Ô Ø Ô Ö Ñ Ø Ö     × Ó Ñ Ø Ö Ð Ð Ý Ò Ø Ö Ô Ö Ø × Ø Ñ Ò Ñ Ð × Ø Ò Ö Ó Ñ Ø Ò Ø Ö Ó Ñ × ×  

Ö Ý Ø Ñ × × Ð × × Ô Ö Ø Ð Û Ð Ø Ö Ú Ð Ò Ð Ó Ò Ø × Ø Ö Ø Ó Ö Ý º Â Ù × Ø × Ò Ø Ñ × × Ú × ¸  

Ø Ö Ð Ø Ú × Ø Ô Ö Ø Ù Ö Ø Ó Ò ¾   Ñ Ù 

¿ 

Ò × Ø × Ó Ò Ð Ù × Ó Ò º Ë Õ Ù Ö Ò Ó Ø × × Ó Õ Ù Ø Ó Ò  

´ ¿ º º ½ ¼ ¿ µ Û Ó Ø Ò  

 

Ù 

 

 

¾ 

  

½ 

 

¾ 

   Ù 

¾ 

· ¾  Ñ Ù 

¿ 

¼ ´ ¿ º º ½ ¼ µ  

Ò Ø Ò Ù Ö Ø Ö  

 

 

Ö Ú Ø Ú Ó Õ º ´ ¿ º º ½ ¼ µ Û ¬ Ò  

¾  Ù 

¼ 

 

Ù 

¼ ¼ 

·  Ù     ¿  Ñ Ù 

¾ 

¡ 

¼ ´ ¿ º º ½ ¼ µ  

Û × × Ó Ð Ú Ø Ö Ý   Ù 

¼ 

¼ Ó Ö Ý  

Ù 

¼ ¼ 

·  Ù  ¿  Ñ Ù 

¾ 

´ ¿ º º ½ ½ ¼ µ  

Ì ¬ Ö × Ø Ô Ó × × Ð Ø Ý Ó Ö Ö × Ô Ó Ò Ò Ø Ó Ö Ù Ð Ö Ó Ö Ø × × Ü Ð Ù × Ò ¸ × Û Ú Ð Ö Ý Ó × Ö Ú ¸  

Ø « Ø Ú Ô Ó Ø Ò Ø Ð × Ò Ó Ñ Ò Ñ º À Ò Û Ö Ð Ø Û Ø Õ º ´ ¿ º º ½ ½ ¼ µ Û × Ø Ð Ø ß Ð  

Ó Ù Ò Ø Ö Ô Ö Ø Ó Õ º ´ ¿ º º µ º Â Ù × Ø × Ò Ø Ñ × × Ú × Ø « Ö Ò Ø Ð Õ Ù Ø Ó Ò ´ ¿ º º ½ ½ ¼ µ Ò Ò Ó Ø  

× Ó Ð Ú Ò Ð Ý Ø Ð Ð Ý Ù Ø Ò Ø Ö Ø Ö Ø Ò Ù Ñ Ö Ð Ð Ý Ó Ö Ô Ö Ø Ù Ö Ø Ú Ð Ý Û Ò Ø Ò Û Ø Ó Ò Ò  

Ô Ô Ö Ó Ü Ñ Ø Ó Ò ´ ¿ º º ½ ¼ µ Ô Ô Ð × º Á Ò Ó Ö Ö Ø Ó Ñ Ô × Þ Ø Ò Û Ö Ð Ø Ú × Ø Ô Ò Ó Ñ Ò Ó Ò Ñ Ô Ð  

Ý Ë Û Ö Þ × Ð Ó Ñ Ø Ö Ý ¸ Ò Ñ Ð Ý Ø   Ö Ú Ø Ø Ó Ò Ð Ò Ò   Ó Ð Ø Ö Ý × ¸ Û Ú Ó Ò × Ö  

Ø Ü Ø Ö Ñ × Ø Ù Ø Ó Ò Ô Ö Ó Ú Ý Ô Ó Ø Ó Ò Ñ Ô Ò Ò Ó Ò Ò Ø Ö Ó Ñ × × Û Ø Ø Ò Ý Ñ Ô Ø  

Ô Ö Ñ Ø Ö ¸ Ò Ñ Ð Ý  

      Ë Û Ö Þ × Ð Ñ Ö ´ ¿ º º ½ ½ ½ µ  

Page 85: Fre P. Course in General Relativity (Free Version, Lecture Notes, Web Draft, 2003)(141s)_PGr

7/29/2019 Fre P. Course in General Relativity (Free Version, Lecture Notes, Web Draft, 2003)(141s)_PGr

http://slidepdf.com/reader/full/fre-p-course-in-general-relativity-free-version-lecture-notes-web-draft 85/141

Ä Ø ß Ð Ó × × Ò Ø - Ø Ó Ò Ð Ø ß Ö Ý ×    

Ò Ó Ó × Ò × Ó Ñ Ò Ó Ò Ú Ò × Ò Ò Ò Ò Ð ´   

¼ 

    Ò Ó Ù Ö Ü Ñ Ô Ð µ Û Ú Ò Ù Ñ Ö Ð Ð Ý  

× Ó Ð Ú Õ º ´ ¿ º º ½ ½ ¼ µ Û Ø Ò Ø Ð Ó Ò Ø Ó Ò ×  

Ù 

¼ 

´ ¼ µ  

× Ò   

¼ 

 

  Ù  ´ ¼ µ  

Ó ×   

¼ 

 

´ ¿ º º ½ ½ ¾ µ  

Ì Ö × Ù Ð Ø Ò Ô Ó Ø Ó Ò Ø Ö Ø Ó Ö Ý × × Ô Ð Ý Ò ¬ º ¿ º ½ º × Ó Ò × × ¸ Ö Ø Ö Ø Ò Ô Ö Ó Ò  

Ù Ö ¿ º ½ º   Ì Ø Ö Ø Ó Ö Ý Ó Ô Ó Ø Ó Ò Ò Ë Û Ö Þ × Ð Ó Ñ Ø Ö Ý Û Ø Ñ Ô Ø Ô Ö Ñ Ø Ö         Ñ 

Ò Ò Ò Ò Ð    

¼ 

 

 

 

Ù Ò × Ø Ù Ö Ó Ò × Ø Ö Ø Ð Ò Ø Ô Ó Ø Ó Ò Ñ × Ø Ù Ö Ò Ö Ó Ù Ò Ø Ò Ø Ö Ó Ñ × × Ò Ñ Ö ×  

Ø Ò Ò Ð « Ö Ò Ø Ö Ó Ñ Ø Ó Ò Ó Ò Ò º Ì Ü Ø Ö Ð Ø Ú × Ø Ó Ö Ø × Ó Ñ Ô Ö Û Ø Ø  

Ó Ö Ö × Ô Ó Ò Ò Û Ø Ó Ò Ò Ó Ò Ò ¬ º ¿ º ½ º  

Ì Ô Ö Ø Ù Ö Ø Ú Ø Ö Ø Ñ Ò Ø Ó Õ º ´ ¿ º º ½ ½ ¼ µ Ó Ð Ð Ó Û × Ø × Ñ Ð Ò × × Ø Ô Ö Ø Ù Ö Ø Ú Ø Ö Ø ¹  

Ñ Ò Ø Ó Ó Ö Ø Õ Ù Ø Ó Ò Ó Ö Ø Ñ × × Ú Ô Ö Ø Ð ´ ¿ º º µ º Ï × Ø  

Ù  ´    µ   Ù 

¼ 

´    µ · ¡  Ù  ´    µ ´ ¿ º º ½ ½ ¿ µ  

Û Ö ¸ Ó Ö Ò Ø Ó Õ º ´ ¿ º º ½ ¼ µ ¸ Ø Ù Ò Ô Ö Ø Ù Ö × Ó Ð Ù Ø Ó Ò ×  

Ù 

¼ 

´    µ  

½ 

 

× Ò    ·   

¼ 

℄ ´ ¿ º º ½ ½ µ  

Á Ò Ø Ô Ó × Ø ¹ Ò Û Ø Ó Ò Ò Ô Ô Ö Ó Ü Ñ Ø Ó Ò ´ ¿ º º ½ ¼ µ Û Ó Ø Ò Ø Ó Ð Ð Ó Û Ò « Ö Ò Ø Ð Õ Ù Ø Ó Ò Ó Ö  

Ø Ô Ö Ø Ù Ö Ø Ó Ò  

¡  Ù 

¼ ¼ 

· ¡  Ù  ¿  Ñ Ù 

¾ 

¼ 

 

¿  Ñ 

 

¾ 

 

½     Ó × 

¾ 

    ·   

¼ 

℄ 

¡ 

´ ¿ º º ½ ½ µ  

Page 86: Fre P. Course in General Relativity (Free Version, Lecture Notes, Web Draft, 2003)(141s)_PGr

7/29/2019 Fre P. Course in General Relativity (Free Version, Lecture Notes, Web Draft, 2003)(141s)_PGr

http://slidepdf.com/reader/full/fre-p-course-in-general-relativity-free-version-lecture-notes-web-draft 86/141

Ä Ø ß Ð Ó × × Ò Ø - Ø Ó Ò Ð Ø ß Ö Ý ×    

Ù Ö ¿ º ½ º   Ó Ñ Ô Ö × Ó Ò Ø Û Ò Ø Æ Û Ø Ó Ò Ò Ø Ö Ø Ó Ö Ý ´ Ø Ð Ò µ Ò Ø Ü Ø Ö Ð Ø Ú × Ø  

Ø Ö Ø Ó Ö Ý ´ Ø Ò Ð Ò µ Ó Ô Ó Ø Ó Ò Ø Ø Ñ Ô Ò × Ò Ø Ö Ó Ñ × × Û Ø Ñ Ô Ø Ô Ö Ñ Ø Ö         Ñ  Ò  

Ò Ò Ò Ð    

¼ 

 

 

 

Û Ñ Ø × Ø Ó Ð Ð Ó Û Ò Ô Ö Ø Ù Ð Ö × Ó Ð Ù Ø Ó Ò  

¡  Ù  ´    µ  

¿  Ñ 

¾   

¾ 

 

½ · 

½ 

¿ 

Ó × ¾ ´    ·   

¼ 

µ ℄ 

¡ 

´ ¿ º º ½ ½ µ  

À Ò ¸ Ó Ó × Ò Ó Ù Ö Ö Ö Ò Ö Ñ Ó Ö Ò Ø Ø Ó Ò Ò × Ù Û Ý Ø Ø    

¼ 

¼ ¸ Û Ò Û Ö Ø Ø  

Ô Ö Ø Ù Ö × Ó Ð Ù Ø Ó Ò  

Ù 

Ô Ö Ø  

´    µ  

½ 

 

 

× Ò    ℄ · 

¿  Ñ 

 

 

½ · 

½ 

¿ 

Ó × ¾     ℄ 

¡ 

 

´ ¿ º º ½ ½ µ  

Ì Ó Ö Ö × Ô Ó Ò Ò Ø Ö Ø Ó Ö Ý × Ô Ð Ó Ø Ø Ò ¬ º ¿ º ¾ ¼ Ó Ö Ò Ñ Ô Ø Ô Ö Ñ Ø Ö     ¿ ¼  Ñ  º Á Ò Ø  

× Ñ ¬ Ù Ö Û Ú Ð × Ó Ô Ð Ó Ø Ø Ø Ó Ö Ö × Ô Ó Ò Ò Ò Û Ø Ó Ò Ò Ø Ö Ø Ó Ö Ý ¸ Ò Ñ Ð Ý × Ø Ö Ø ß Ð Ò  

Û Ø Ø × Ñ Ñ Ò Ñ Ð × Ø Ò Ö Ó Ñ Ø Ò Ø Ö Ó Ñ × × º Ì Ò Ð   Æ  × Ó Û Ò Ò ¬ º ¿ º ¾ ¼ × Ó Ò  

Ð Ó Ø Ø Ó Ø Ð   - Ø Ó Ò Ò Ð   Ó Ð Ø Ö Ý × Ô Ö Ø Ý Ò Ö Ð Ê Ð Ø Ú Ø Ý  

¡   

Ð Ø  

¾    Æ    ´ ¿ º º ½ ½ µ  

Ì Ò Ð   Æ  Ò Ú Ð Ù Ø Ö Ó Ñ Ø Ô Ó × Ø Ò Û Ø Ó Ò Ò Ô Ö Ø Ù Ö × Ó Ð Ù Ø Ó Ò ´ ¿ º º ½ ½ µ Û Ø Ø  

Ó Ð Ð Ó Û Ò Ö × Ó Ò Ò º Ì   Ò Ó Ñ Ò   Ò   Ó Ù Ø Ó Ò   Ô Ó Ø Ó Ò × Ö Ø Ò ¬ Ò Ø × Ø Ò Ö Ó Ñ Ø Ò Ø Ö  

Ó Ñ × × ¸ Ò Ñ Ð Ý Ø   Ö    ½  ̧   Ù  ¼ º Á Û ¬ Ü    

¼ 

¼ ¸ Ø Þ Ö Ó × Ó Ø Ù Ò Ô Ö Ø Ù Ö Ù Ò Ø Ó Ò  

Ù 

¼ 

´    µ ´ × Õ º ´ ¿ º º ½ ½ µ ¸ Ö Ø  

Ö    ½  ̧   Ù 

¼ 

¼  µ     

´ ¼ µ 

½ 

 

 

¼ Ò Ó Ñ Ò Ô Ó Ø Ó Ò  

  Ó Ù Ø Ó Ò Ô Ó Ø Ó Ò  

´ ¿ º º ½ ½ µ  

Page 87: Fre P. Course in General Relativity (Free Version, Lecture Notes, Web Draft, 2003)(141s)_PGr

7/29/2019 Fre P. Course in General Relativity (Free Version, Lecture Notes, Web Draft, 2003)(141s)_PGr

http://slidepdf.com/reader/full/fre-p-course-in-general-relativity-free-version-lecture-notes-web-draft 87/141

Ä Ø ß Ð Ó × × Ò Ø - Ø Ó Ò Ð Ø ß Ö Ý ×    

Ù Ö ¿ º ¾ ¼ º   Ó Ñ Ô Ö × Ó Ò Ø Û Ò Ø Ò Û Ø Ó Ò Ò Ò Ô Ó × Ø Ò Û Ø Ó Ò Ò Ô Ö Ø Ù Ö Ø Ö Ø Ó Ö Ý Ó Ô Ó Ø Ó Ò  

Ñ Ô Ò Ò Ó Ò Ò Ø Ö Ó Ñ × × Û Ø Ñ Ô Ø Ô Ö Ñ Ø Ö     ¿ ¼  Ñ  Ò Ò Ò Ò Ð    

¼ 

¼ 

Ì Þ Ö Ó × Ó Ø Ô Ö Ø Ù Ö Ù Ò Ø Ó Ò Û Ð Ð Ò × Ø Ó Ù Ö Ø  

Ö    ½  ̧   Ù 

Ô Ö Ø  

¼  µ     

´  Ô Ö Ø  µ 

½ 

 

 

¼     Æ  Ò Ó Ñ Ò Ô Ó Ø Ó Ò  

  ·  Æ  Ó Ù Ø Ó Ò Ô Ó Ø Ó Ò  

´ ¿ º º ½ ¾ ¼ µ  

Û Ö   Æ   ½ × × Ñ Ð Ð º À Ò Û Ò Ù × Ø Ô Ó Û Ö × Ö × Ü Ô Ò × Ó Ò Ó Ø Ö Ó Ò Ó Ñ Ø Ö Ù Ò Ø Ó Ò ×  

Ò Û Ö Ø  

× Ò   

½ 

     

½ 

  Æ  Ó × ¾   

½ 

    ½ ´ ¿ º º ½ ¾ ½ µ  

Ò Û Ö Ø  

¼     

Æ 

 

· 

¿  Ñ 

¾   

¾ 

 

½ · 

½ 

¿ 

¡ 

µ   

Æ  ¾ 

Ñ 

 

´ ¿ º º ½ ¾ ¾ µ  

Á Ò × Ö Ø Ò Õ º ´ ¿ º º ½ ¾ ¾ µ Ò Ø Ó Õ º ´ ¿ º º ½ ½ µ Û Ó Ò Ð Ù Ø Ø Ò Ö Ð Ê Ð Ø Ú Ø Ý Ô Ö Ø × Ø Ó Ð ¹  

Ð Ó Û Ò Ø Ó Ø Ð - Ø Ó Ò Ò Ð  

¡   

Ð Ø  

 

Å  

 

¾ 

½ 

 

´ ¿ º º ½ ¾ ¿ µ  

Ó Ö Ð Ø ß Ö Ý × Ñ Ô Ò Ò Ó Ò Ò Ø Ö Ó Ñ × ×   Å  Û Ø Ñ Ô Ø Ô Ö Ñ Ø Ö     º 

Á Ø × Ò Ø Ö × Ø Ò Ø Ó Ú Ò Ù Ñ Ö Ð Ú Ð Ù Ø Ó Ò Ó Ø × « Ø Ò Ø × Ó Ð Ø Ö Ý × ´ Ø Ù Ð Ð Ý  

Ò Ý Ð Ø Ö Ó Ñ Ò Ø Û Ú × Ò Ð µ Ô × × Ò Ð Ó × Ø Ó Ø × Ù Ò º Á Ò Ø × × Ø Ñ Ü Ñ Ð Ô Ó × × Ð  

« Ø Ó Ù Ö × Û Ò Ø Ñ Ô Ø Ô Ö Ñ Ø Ö × Ø Ñ Ò Ñ Ð Ó Ò Ú Ð Ó Ò ¸ Ò Ñ Ð Ý Û Ò       Ê 

 

Õ Ù Ð × Ø Ö Ù × Ó Ó Ù Ö × Ø Ö º Ì × Ø Ö Ó Ò Ó Ñ Ð Ø Ö  

Ê 

 

      ¢   ½ ¼ 

 

Ñ    Ñ 

 

½      Ñ  ´ ¿ º º ½ ¾ µ  

Page 88: Fre P. Course in General Relativity (Free Version, Lecture Notes, Web Draft, 2003)(141s)_PGr

7/29/2019 Fre P. Course in General Relativity (Free Version, Lecture Notes, Web Draft, 2003)(141s)_PGr

http://slidepdf.com/reader/full/fre-p-course-in-general-relativity-free-version-lecture-notes-web-draft 88/141

Ä Ø ß Ð Ó × × Ò Ø - Ø Ó Ò Ð Ø ß Ö Ý ×    

Ò Ñ Ô Ð Ý Ñ Ü Ñ Ð - Ø Ó Ò Ò Ð Ó  

Ñ Ü    ¡   

Ë Ù Ò 

Ð Ø  

    ¢  

½     

     

¢   ½ ¼ 

   

      ¢   ½ ¼ 

   

Ö   ½      Ö × Ó Ò ×   ´ ¿ º º ½ ¾ µ  

Ð Ø Ó Ù Ø Ò Ý Ø × « Ø × Ó × Ö Ú Ð Ò Ü Ô Ö Ñ Ò Ø × Ö Ò Ù Ð Ð Ö Ñ Ò Ø Û Ø Ø Ø Ó Ö Ý º  

Ì ¬ Ö × Ø Ñ × Ù Ö Û × Ô Ö Ó Ö Ñ Ù Ö Ò × Ó Ð Ö Ð Ô × Ò ½ ½ º Á Ò Ø × Ú Ò Ø × Ø Û × Ó Ò ¬ Ö Ñ  

Û Ø Ñ Ù Ö Ô Ö × Ó Ò Ý Ñ Ò × Ó Ö Ö × Ò Ð × Ö - Ø Ö Ó Ñ × Ø Ð Ð Ø Ó Ö Ø Ò Ò Ö Ø  

Ë Ù Ò º  

Page 89: Fre P. Course in General Relativity (Free Version, Lecture Notes, Web Draft, 2003)(141s)_PGr

7/29/2019 Fre P. Course in General Relativity (Free Version, Lecture Notes, Web Draft, 2003)(141s)_PGr

http://slidepdf.com/reader/full/fre-p-course-in-general-relativity-free-version-lecture-notes-web-draft 89/141

Ô Ø Ö      

Á Æ Ë Ì Á Æ É Í Ì Á Ç Æ Ë Æ Ì À Î Á Ä Á Æ          

Ç Ê Å Ä Á Ë Å            

º ½ Á Ò Ø Ö Ó Ù Ø Ó Ò  

º ¾ Ê Ø Ö Ú Ò Ø Ë Û Ö Þ × Ð Ñ Ø Ö Ö Ó Ñ Ò × Ø Ò Õ Ù Ø Ó Ò ×  

× 

¾ 

     Ü Ô ¾     ´  Ö  µ ℄  Ø 

¾ 

· Ü Ô ¾     ´  Ö  µ ℄  Ö 

¾ 

·  Ö 

¾ 

 

 

¾ 

· × Ò  

¾ 

 

¾ 

¡ 

´ º ¾ º ½ µ  

Ð Ð º  

Ð Ù Ð Ø Ò Ø Ü Ø Ö Ó Ö « Ö Ò Ø Ð Ó Ø Ú Ð Ò ´     µ Û Ó Ø Ò  

 

¼ 

   

¼ 

 

   

 

½ 

    

¼ 

 

½ 

¼ 

 

¾ 

 

 

   

Ö 

 

½ 

    

¾ 

 

¿ 

 

 

   

Ö 

 

½ 

    

¿ 

· 

Ó ×   

× Ò   

½ 

Ö 

 

¾ 

    

¿ 

´ º ¾ º ¾ µ  

Ç Ò Ø Ó Ø Ö Ò Ø Ú Ò × Ò Ø Ó Ö × Ó Ò Õ Ù Ø Ó Ò Ø × Ø Ó Ð Ð Ó Û Ò Ü Ô Ð Ø Ó Ö Ñ  

 

¼ 

    

¼ ½ 

    

½ 

    

¼ ¾ 

    

¾ 

    

¼ ¿ 

    

¿ 

¼ 

 

½ 

    

¼ ½ 

    

¼ 

    

½ ¾ 

    

¾ 

    

½ ¿ 

    

¿ 

¼ 

 

¾ 

    

¼ ¾ 

    

¼ 

·   

½ ¾ 

    

½ 

    

¾ ¿ 

    

¿ 

¼ 

 

¿ 

    

¼ ¿ 

    

¿ 

·   

½ ¿ 

    

½ 

·   

¾ ¿ 

    

¾ 

¼ ´ º ¾ º ¿ µ  

× Ó Ø Ø ¸ Ó Ñ Ò Ò Õ º × ´ º ¾ º ¿ µ Û Ø Õ º × ´ º ¾ º ¾ µ Û Ø Ö Ñ Ò Ø Ó Ð Ð Ó Û Ò Ù Ò Õ Ù × Ó Ð Ù Ø Ó Ò Ó Ö  

Ø   Ä Ú ß Ú Ø   × Ô Ò Ó Ò Ò Ø Ó Ò    

 

 

 

¼ ½ 

      

¼ 

 

   

 

¼ 

   

¼ ¾ 

   

¼ ¿ 

¼ 

 

½ ¾ 

 

 

   

Ö 

 

¾ 

   

½ ¿ 

 

 

   

Ö 

 

¿ 

 

¾ ¿ 

 

Ó ×   

× Ò   

½ 

Ö 

 

¿ 

 

´ º ¾ º µ  

Ð Ð º  

 

Page 90: Fre P. Course in General Relativity (Free Version, Lecture Notes, Web Draft, 2003)(141s)_PGr

7/29/2019 Fre P. Course in General Relativity (Free Version, Lecture Notes, Web Draft, 2003)(141s)_PGr

http://slidepdf.com/reader/full/fre-p-course-in-general-relativity-free-version-lecture-notes-web-draft 90/141

Ê Ø Ö Ú Ò Ø Ë Û Ö Þ × Ð Ñ Ø Ö Ö Ó Ñ Ò × Ø Ò Õ Ù Ø Ó Ò ×    

Ë Ó ¬ Ò Ð Ð Ý Û Ò Û Ö Ø Ò Ø Ö Ò × Ó Ñ Ô Ó Ò Ò Ø × Ó Ø Ò × Ø Ò Ø Ò × Ó Ö Ó Ö Ø × Ô Ö Ð × Ý Ñ Ñ Ø Ö  

Ñ Ø Ö ´ º ¾ º ½ µ  

 

¼ 

¼ 

 

½ 

Ö 

¾ 

    

  ¾   

 

½ 

Ö 

¾ 

   ¾ 

 

¼ 

Ö 

 

 

½ 

½ 

 

½ 

Ö 

¾ 

    

  ¾   

 

½ 

Ö 

¾ 

· ¾ 

 

¼ 

Ö 

 

 

¾ 

¾ 

   

¿ 

¿ 

      

  ¾   

 

 

¼ 

    

¼ 

Ö 

·   

¼ ¼ 

· ´   

¼ 

µ 

¾ 

    

¼ 

 

¼ 

 

 

 

 

¼ Ó Ø Ö Û × ´ º ¾ º µ  

Page 91: Fre P. Course in General Relativity (Free Version, Lecture Notes, Web Draft, 2003)(141s)_PGr

7/29/2019 Fre P. Course in General Relativity (Free Version, Lecture Notes, Web Draft, 2003)(141s)_PGr

http://slidepdf.com/reader/full/fre-p-course-in-general-relativity-free-version-lecture-notes-web-draft 91/141

Ô Ø Ö      

Á Æ Ì Ê Á Ç Ê Ë Ç Ä Í Ì Á Ç Æ Ë Æ Ë Ì Ä Ä Ê          

É Í Á Ä Á Ê Á Í Å            

º ½ Á Ò Ø Ö Ó Ù Ø Ó Ò  

º ¾ Ì × Ø Ö × × Ò Ö Ý Ø Ò × Ó Ö Ó Ô Ö Ø - Ù  

Á Ò Ó Ù Ö Ø Ö Ø Ñ Ò Ø Ó Ø Ó × Ø Ö × Ò Ó Ó × Ñ Ó Ð Ó Ý Û Ø Ò Ø Ö Ñ Û Ó Ö Ó Ò Ö Ð Ê Ð Ø Ú Ø Ý Û  

Ð Û Ý × Ø Ö × Ø Ð Ð Ý × Ñ Ô Ð ¬ × Ö Ô Ø Ó Ò Ó Ñ Ø Ø Ö Ý Ó Ò × Ö Ò Ø Ø Ó Ô Ö Ø - Ù  

Ø Ø × Ò Ó Ú × Ó × Ø Ý Ò × Ó Ñ Ô Ð Ø Ð Ý × Ö Ò Ø Ö Ñ × Ó Ø Ö Ð Ó Ð ¬ Ð ×  

 ̄  Ø Ò Ö Ý Ò × Ø Ý × Ð Ö ¬ Ð   ¯ 

Ü 

     

¾ 

  ´  Ü  µ Ø Ø Ü Ô Ö × × × Ø Ñ Ó Ù Ò Ø Ó   Ø Ó Ø Ð Ò Ö Ý  

½ 

× Ø Ó Ö  

Ò Ó Ò Ò ¬ Ò Ø × Ñ Ð Ð Ý × Ñ Ð Ð Ø Ö ß Ú Ó Ð Ù Ñ Ö Ó Ù Ò Ø × Ô ß Ø Ñ Ô Ó Ò Ø   Ü 

 ̄  Ø Ô Ö × × Ù Ö × Ð Ö ¬ Ð    Ô  ´  Ü  µ Ø Ø Ú × Ø Ô Ö × × Ù Ö Ó Ø - Ù Ø Ø × Ñ × Ô ß Ø Ñ Ô Ó Ò Ø  

Ü 

 ̄  Ø Ø Ø Ö ß Ú Ð Ó Ø Ý Ú Ø Ó Ö ¬ Ð   Ù 

 

´  Ü  µ Ø Ø Ü Ô Ö × × × Ø Ó Ù Ö ß Ú Ð Ó Ø Ý Ó Ò Ò ¬ Ò Ø × Ñ Ð Ð Ý  

× Ñ Ð Ð Ð Ñ Ò Ø Ó Ø - Ù Ð Ó Ø Ò   Ü    Ü 

 

Ø Ø Ñ   Ø    Ü 

¼ 

À Ò Ò Ó Ö Ö Ø Ó Û Ö Ø Ó Û Ò Ò × Ó Ð Ú Ø Ö Ð Ú Ò Ø Ò × Ø Ò ¬ Ð Õ Ù Ø Ó Ò × Ò × × Ò Ø Ð Ò Ö Ò Ø  

× Ô Ö Ó Ú Ý Ø Ò Ö Ð Ó Ö Ñ Ó Ø × Ø Ö × × ß Ò Ö Ý Ø Ò × Ó Ö   Ì 

 

Ó Ö Ô Ö Ø - Ù º Ì × × Û Ø  

Û Ö Ú Ò Ø Ô Ö × Ò Ø × Ø Ó Ò º Ì Ó Ø × « Ø Û Ñ × Ø Ô Ò Û Ó Ò × Ö Ø × Ñ  

Ô Ö Ó Ð Ñ Ò Ø Ó Ò Ø Ü Ø Ó × Ô Ð Ö Ð Ø Ú Ø Ý º × Û × Ð Ð × Ø ¬ Ò Ð Ö × Ù Ð Ø Ò Ñ Ñ Ø Ð Ý  

Ô Ö Ó Ñ Ó Ø Ø Ó Ò Ö Ð Ö Ð Ø Ú Ø Ý Ý Ò Ú Ó Ò Ò Ö Ð Ó Ú Ö Ò º  

Ô Ö Ø - Ù Ò Ð Þ × × Ý × Ø Ñ Ó     ½    Ò Ø Ð ¸ Ò Ó Ò Ò Ø Ö Ø Ò Ô Ó Ò Ø  

Ô Ö Ø Ð × Ó Ñ × ×   Ñ  º Ø Ø Ñ   Ø  Ø   Ò  Ø Ô Ö Ø Ð × Ö Ø Ö Þ Ý Ø × Ò Ö Ý Ò Ø Ö ß Ñ Ó Ñ Ò Ø Ù Ñ  

È 

¼ 

´  Ò  µ 

´  Ø  µ    

´  Ò  µ 

  È 

 

´  Ò  µ 

  Ñ -  ´  Ú 

´  Ò  µ 

µ  Ú 

 

´  Ò  µ 

´    ½    ¾    ¿ µ ´ º ¾ º ½ µ  

Ò Ð × Ó Ý Ø × Ô Ó × Ø Ó Ò   Ü 

´  Ò  µ 

´  Ø  µ º Á Ò Õ º ´ º ¾ º ½ µ Ø × Ý Ñ Ó Ð   -  Ò Ó Ø × Ø Ä Ó Ö Ò Ø Þ Ø Ó Ö  

-  ´  Ú  µ     

½ 

Õ  

½    

Ú 

¾ 

 

¾ 

´ º ¾ º ¾ µ  

½ 

Ý Ø Ó Ø Ð Ò Ö Ý Û Ñ Ò Ð Ð Ò × Ó Ò Ö Ý ¸ Ø Ö Ñ Ð ¸ Ñ Ð ¸ Ö Ø Ú Ò × Ó Ó Ò ¸ Ò Ð Ù Ò Ð × Ó Ø Ö × Ø ß Ñ × ×  

Ò Ö Ý  

¼ 

Page 92: Fre P. Course in General Relativity (Free Version, Lecture Notes, Web Draft, 2003)(141s)_PGr

7/29/2019 Fre P. Course in General Relativity (Free Version, Lecture Notes, Web Draft, 2003)(141s)_PGr

http://slidepdf.com/reader/full/fre-p-course-in-general-relativity-free-version-lecture-notes-web-draft 92/141

Ì × Ø Ö × × Ò Ö Ý Ø Ò × Ó Ö Ó Ô Ö Ø - Ù   ½ 

Ì × Ø Ö × × ß Ò Ö Ý Ø Ò × Ó Ö Ó Ø   Ò  Ø Ô Ö Ø Ð × Ú Ò Ý  

¾ 

 

Ì 

  ¼ 

´  Ò  µ 

  È 

 

´  Ò  µ 

´  Ø  µ 

Ì 

 

´  Ò  µ 

  È 

 

´  Ò  µ 

´  Ø  µ 

½ 

 

Ü 

 

´  Ò  µ 

Ø 

´ º ¾ º ¿ µ  

Ý × Ù Ñ Ñ Ò Ó Ò Ð Ð Ø Ô Ö Ø Ð × Ó Ò Ø Ò Ò Ø × Ý × Ø Ñ Û Ó Ø Ò Ø × × Ø Ö × × ß Ò Ö Ý Ø Ò × Ó Ö  

Ì 

  ¼ 

´  Ü  µ  

  

Ò 

È 

 

´  Ò  µ 

´  Ø  µ  Æ 

´ ¿ µ 

´  Ü     Ü 

Ò 

´  Ø  µ µ 

Ì 

 

 

  

Ò 

È 

 

´  Ò  µ 

´  Ø  µ  Æ 

´ ¿ µ 

´  Ü     Ü 

Ò 

´  Ø  µ µ 

½ 

 

Ü 

 

´  Ò  µ 

Ø 

´ º ¾ º µ  

Ü Ø Ù × Ò Ø Ö Ð Ø Ó Ò   È 

 

 

 

 

Ü 

 

Ø 

Û Ò Ö Û Ö Ø Õ º × ´ º ¾ º µ × Ó Ð Ð Ó Û ×  

Ì 

 

 

  

Ò 

È 

 

´  Ò  µ 

È 

 

´  Ò  µ 

 

´  Ò  µ 

Æ 

´ ¿ µ 

´  Ü     Ü 

Ò 

´  Ø  µ µ ´ º ¾ º µ  

Á Ò Ö Ö Ò Ö Ñ Û Ö Ø Ô Ö Ø - Ù × Ø Ö × Ø Ø Ñ Ù × Ø Ó Ñ Ó Ò Ó Ù × Ò × Ó Ø Ö Ó Ô º Ì ×  

Ó Ö Ö × Ô Ó Ò × Ø Ó Ñ Ô Ó × Ò Ø Ó Ð Ð Ó Û Ò Ó Ò Ø Ó Ò × Ó Ò Ø × Ô Ø Ð Ô Ö Ø Ó Ø × Ø Ö × × ß Ò Ö Ý Ø Ò × Ó Ö  

Ì 

 

   Ô Æ 

 

´ º ¾ º µ  

Û Ö    Ô     Ô  ´  Ü  µ × × Ð Ö Ù Ò Ø Ó Ò º Á Ò Ø Ó Ò Ð Ý × Ý Ñ Ñ Ø Ö ¾ ß Ø Ò × Ó Ö Ø Ø × Ò Ú Ö Ò Ø Û Ø  

Ö × Ô Ø Ø Ó Ø   Ë Ç  ´ ¿ µ Ö Ó Ø Ø Ó Ò Ö Ó Ù Ô × Ø Ã Ö Ó Ò Ö Ð Ø º Ä Ó Ó Ò Ø Õ Ù Ø Ó Ò ´ º ¾ º µ Û × Ð Ý  

Ð Ù Ð Ø Ø Ô Ý × Ð Ñ Ò × Ó Ò × Ó Ø × Ø Ö × × ß Ò Ö Ý Ø Ò × Ó Ö   Ì 

 

º Ï Ú  

 

È 

 

´  Ò  µ 

È 

 

´  Ò  µ 

 

  Ñ 

¾ 

 

¾ 

Ø 

  ¾ 

¢ 

 

´  Ò  µ 

£ 

  Ñ  

¾ 

Ø 

  ¾ 

¢ 

 

¾ 

£ 

   

¾ 

Ø 

  ¾ 

¢ 

Æ 

¿ 

´  Ü 

Ò  µ 

   Ü  ´  Ø  µ µ 

£ 

 

½ 

Î Ó Ð Ù Ñ  

   

  ¿ 

´ º ¾ º µ  

× Ó Ø Ø  

¢ 

Ì 

 

£ 

  Ñ  

  ½ 

Ø 

  ¾ 

 

Ó Ö  

Ö  

Ô Ö × × Ù Ö ´ º ¾ º µ  

À Ò Ý Ñ Ò × Ó Ò Ð Ò Ð Ý × × Û Ó Ò Ð Ù Ø Ø Ø × Ð Ö Ù Ò Ø Ó Ò    Ô  ´  Ü  µ Ô Ô Ö Ò Ò Õ º ´ º ¾ º µ  

× Ø Ó Ò Ø Ö Ô Ö Ø × Ø Ô Ö × × Ù Ö Ó Ø - Ù Ò Ø × Ö × Ø Ö Ñ º Ð × Ó Ý Ó Ñ Ô Ö × Ó Ò Ó ´ º ¾ º µ  

Û Ø ´ º ¾ º µ Û Ó Ø Ò  

 Ô   

½ 

¿ 

  

Ò 

È 

¾ 

Ò 

 

´  Ò  µ 

½  Æ 

¿ 

´  Ü 

Ò  µ 

   Ü  ´  Ø  µ µ ´ º ¾ º µ  

¾ 

Ä Ø Ù × Ö Ð Ð Ø Ø Ø Ú Ö Ó Ù × Ó Ñ Ô Ó Ò Ò Ø × Ó Ø × Ø Ö × × ß Ò Ö Ý Ø Ò × Ó Ö Ú Ø Ó Ð Ð Ó Û Ò Ô Ý × Ð Ñ Ò Ò  

Ì 

¼ ¼ 

× Ø Ò Ö Ý Ò × Ø Ý  

Ì 

  ¼ 

× Ø - Ù Ü Ó Ò Ö Ý Ò Ø     ¹ Ø Ö Ø Ó Ò  

Ì 

¼   

× Ø Ò × Ø Ý Ó     Ø Ó Ñ Ô Ó Ò Ò Ø Ó Ø Ö ß Ñ Ó Ñ Ò Ø Ù Ñ  

Ì 

 

× Ø - Ù Ü Ó    Ø Ñ Ó Ñ Ò Ø Ù Ñ Ó Ñ Ô Ó Ò Ò Ø Ò Ø Ö Ø Ó Ò    

Page 93: Fre P. Course in General Relativity (Free Version, Lecture Notes, Web Draft, 2003)(141s)_PGr

7/29/2019 Fre P. Course in General Relativity (Free Version, Lecture Notes, Web Draft, 2003)(141s)_PGr

http://slidepdf.com/reader/full/fre-p-course-in-general-relativity-free-version-lecture-notes-web-draft 93/141

Ì × Ø Ö × × Ò Ö Ý Ø Ò × Ó Ö Ó Ô Ö Ø - Ù   ¾ 

Ø Ø × Ø Ó Ð Ð Ó Û Ò Ó Ú Ó Ù × Ô Ý × Ð Ò Ø Ö Ô Ö Ø Ø Ó Ò º Ë Ò Ø Ø Ó Ø Ð Ò Ö Ý Ó Ø   Ò  Ø Ô Ö Ø Ð  

× Ú Ò Ý    

´  Ò  µ 

 

Ô  

Ñ 

¾ 

 

 

·  È 

¾ 

Ò 

Ø Ô Ö × × Ù Ö × Ù Ø Ó Ø Ö Ø Ó Ò Ó Ø Ø Ó Ø Ð Ò Ö Ý Ò Ó Ø Ù  

Ø Ó Ö × Ø Ñ × × × ¸ Ò Ñ Ð Ý Ø Ò Ø Ò Ö Ý º  

Á Ò Ø Ö × Ø Ö Ñ Ø Ø Û Ú Ó × Ò Ø Ö Ò Ó Ò Ö Ý Ó Ö Ñ Ó Ñ Ò Ø Ù Ñ - Ù Ü × × Ó Ø Ø   Ì 

¼   

 

Ì 

  ¼ 

¼ º Ç Ò Ø Ó Ø Ö Ø   Ì 

¼ ¼ 

Ó Ñ Ô Ó Ò Ò Ø × Ú Ò Ý  

Ì 

¼ ¼ 

 

  

Ò 

 

È 

¼ 

´  Ò  µ 

´  Ø  µ 

 

¾ 

 

´  Ò  µ 

Æ 

¿ 

´  Ü 

Ò  µ 

   Ü  ´  Ø  µ µ 

 

  

Ò 

 

´  Ò  µ 

Æ 

¿ 

´  Ü 

Ò  µ 

   Ü  ´  Ø  µ µ 

  ¯ 

Ø Ó Ø 

´  Ü  µ       

¾ 

  ´  Ü  µ ´ º ¾ º ½ ¼ µ  

Á Ò Ø Ò Ö Ý Ò × Ø Ý Ò Ø × Ô ß Ø Ñ Ô Ó Ò Ø   Ü  ´  Ü 

¼ 

  Ü  µ × Ø × Ù Ñ Ó Ø Ò Ö × Ó Ð Ð  

Ø Ô Ö Ø Ð × Ø Ø Ô Ô Ò Ø Ó Ò   Ü  Ø Ø Ñ   Ü 

¼ 

º Ë Ù Ñ Ñ Ö Þ Ò ¸ Ò Ø Ö × Ø Ö Ñ Ó Ø - Ù Ø  

× Ø Ö × × ß Ò Ö Ý Ø Ò × Ó Ö Ø × Ø Ó Ð Ð Ó Û Ò Ó Ö Ñ  

Ì 

 

 

¼  

 

 

  

 

¾ 

  ¼ ¼ ¼ 

¼   Ô  ¼ ¼ 

¼ ¼   Ô  ¼ 

¼ ¼ ¼   Ô 

½ 

 

 

 

´ º ¾ º ½ ½ µ  

Ì Ó Ó Ø Ó Ò Ö Ö Ñ Û Ö Ø - Ù × Ø Ö ¹ Ú Ð Ó Ø Ý   Ú  Ø × Ù Æ × Ø Ó Ñ × Ô Ð  

Ä Ó Ö Ò Ø Þ Ø Ö Ò × Ó Ö Ñ Ø Ó Ò Û Ø Ú Ð Ó Ø Ý   Ú  ¸ Ò Ñ Ð Ý  

Ì 

¼   

£ 

 

 

£ 

 

 

Ì 

 

´ º ¾ º ½ ¾ µ  

Û Ö  

£ 

¼ 

¼ 

  -  ´  Ú  µ 

£ 

¼ 

 

£ 

 

¼ 

  -  ´  Ú  µ 

Ú 

 

 

£ 

 

 

  Æ 

 

 

· 

Ú 

 

Ú 

 

Ú 

¾ 

  -  ´  Ú  µ     ½ ℄ ´ º ¾ º ½ ¿ µ  

Ü Ô Ð Ø Ð Ý Ô Ö Ó Ö Ñ Ò Ø Ø Ö Ò × Ó Ö Ñ Ø Ó Ò ´ º ¾ º ½ ¾ µ Ò Ö Ð Ð Ò Ø Ø Ò Ø × Ô Ð Ö Ð Ø Ú Ø Ý Ø  

Ø Ø Ö ß Ú Ð Ó Ø Ý × Ú Ò Ý  

Ù 

 

 

 

-  ´  Ú  µ  -  ´  Ú  µ 

Ú 

 

 

 

´ º ¾ º ½ µ  

Û Ó Ò Ð Ù Ø Ø Ò Ø Ò Û Ò Ö Ö Ñ Ø × Ø Ö × × ß Ò Ö Ý Ø Ò × Ó Ö Ó Ô Ö Ø - Ù × Ú Ò Ý  

Ø Ó Ð Ð Ó Û Ò × Ñ Ô Ð Ó Ö Ñ Ù Ð  

Ì 

 

   

¾ 

Ù 

 

Ù 

 

·   Ô  ´  Ù 

 

Ù 

 

    

 

µ ´ º ¾ º ½ µ  

Û Ö    

 

´ ·                  µ × Ø × Ø Ò Ö Å Ò Ó Û × Ñ Ø Ö Ò Ø Ñ Ó × Ø Ð Ý Ñ Ò Ù × Ó Ò Ú Ò Ø Ó Ò º  

Õ º ´ º ¾ º ½ µ Ú × Ø × Ø Ö × × ß Ò Ö Ý Ø Ò × Ó Ö Ó Ô Ö Ø - Ù Ò × Ô Ð Ö Ð Ø Ú Ø Ý º Á Ø × Ò Ð Ó Ù  

Ò Ò Ö Ð Ö Ð Ø Ú Ø Ý × × Ð Ý Ó Ø Ò Ø Ù × Ø × Ù Æ × Ø Ó Ö Ô Ð Ø - Ø Ñ Ø Ö    

 

Û Ø Ò Ö  

Ó Ò    

 

´  Ü  µ Ó Ø Ò Ò  

Ì 

 

´  Ü  µ    

¾ 

Ù 

 

Ù 

 

·   Ô  ´  Ù 

 

Ù 

 

    

 

µ ´ º ¾ º ½ µ  

Û × Ø × Ø Ö Ø Ò Ô Ó Ò Ø Ó Ö Ð Ð × Ù × × Ó Ò × Ó Ò Ö Ð Ê Ð Ø Ú Ø Ý Ò Ô Ö × Ò Ó Ñ Ø Ø Ö º  

Page 94: Fre P. Course in General Relativity (Free Version, Lecture Notes, Web Draft, 2003)(141s)_PGr

7/29/2019 Fre P. Course in General Relativity (Free Version, Lecture Notes, Web Draft, 2003)(141s)_PGr

http://slidepdf.com/reader/full/fre-p-course-in-general-relativity-free-version-lecture-notes-web-draft 94/141

Á Ò Ø Ö Ó Ö × Ó Ð Ù Ø Ó Ò × Ò Ø × Ø Ð Ð Ö Õ Ù Ð Ö Ù Ñ Õ Ù Ø Ó Ò   ¿ 

º ¿ Á Ò Ø Ö Ó Ö × Ó Ð Ù Ø Ó Ò × Ò Ø × Ø Ð Ð Ö Õ Ù Ð Ö Ù Ñ Õ Ù Ø Ó Ò  

Ä Ø Ù × Ò Ó Û Ó Ó × × Ø Ø ¸ × Ô Ö Ð Ð Ý × Ý Ñ Ñ Ø Ö Ñ Ø Ö º × Û Ö Ù Ò Ô Ö Ú Ó Ù × Ô Ø Ö × Ø ×  

Ñ Ó × Ø Ò Ö Ð Ó Ö Ñ × Ú Ò Ý Õ º ´ º ¾ º ½ µ Ø Ø Û Ö Ô Ø Ö Ó Ö Ó Ò Ú Ò Ò  

× 

¾ 

     Ü Ô ¾     ´  Ö  µ ℄  Ø 

¾ 

· Ü Ô ¾     ´  Ö  µ ℄  Ö 

¾ 

·  Ö 

¾ 

 

 

¾ 

· × Ò  

¾ 

 

¾ 

¡ 

´ º ¿ º ½ µ  

Ý    ´  Ö  µ Ò     ´  Ö  µ Û Ú Ò Ó Ø Ø Û Ó Ö Ø Ö Ö Ý Ù Ò Ø Ó Ò × Ó Ø Ö Ð Ó Ó Ö Ò Ø   Ö  ¸ Û Ð    

Ö Ø Ù × Ù Ð Ò Ù Ð Ö Ú Ö Ð × × ¬ Ò Ò ¬ º ¿ º ¾ º Ì Ó Ñ Ø Ö Ý × Ö Ý ´ º ¿ º ½ µ ¸ Ò  

Ø Ó Ò Ø Ó   Ë Ç  ´ ¿ µ Ö Ó Ø Ø Ó Ò × Ñ Ø × Ð × Ó Ø Ñ Ø Ö Ò × Ð Ø Ó Ò ×  

Ø      Ø  · ¡ ¡ Ó Ò × Ø ´ º ¿ º ½ µ  

× × Ý Ñ Ñ Ø Ö Ý Ò Ø × × Ø Ö × Ó Ò Û Ý Û Ð Ð Ø × Ø Ø º Ì × Ñ Ô Ð × Ø Ø  

     

 

    

 

 

Ü 

 

 

 

Ø 

´ º ¿ º ½ µ  

× Ã Ð Ð Ò Ú Ø Ó Ö ¬ Ð º Ë Ù × Ø Ø × Ô Ö Ð × Ý Ñ Ñ Ø Ö Ó Ñ Ø Ö Ý × Ù × Ø Ø Ô Ô Ö Ó Ô Ö Ø  

× Ö Ô Ø Ó Ò Ó Ó Ø Ø × Ô ß Ø Ñ Ö Ó Ò   × Ù Ö Ö Ó Ù Ò Ò   Ò Ó Ø × Ô ß Ø Ñ Ö Ó Ò   Ó Ò Ø Ò Ò  

  × Ô Ö Ð × Ý Ñ Ñ Ø Ö × Ø Ö   Ø Ø × Ò × Ø Ø Ó Õ Ù Ð Ö Ù Ñ º Ö × Ó Ò Ð Ñ Ó Ð Ó × Ù × Ø Ö × ×  

Ó Ø Ò Ý Ö Ö Ò Ø Ñ Ø Ø Ö Ó Ù Ø Ó Û Ø Ý Ö Ó Ñ Ô Ó × ×   Ô Ö Ø - Ù   ¸ Û Ó × × Ø Ö × ×  

Ò Ö Ý Ø Ò × Ó Ö Û Û Ö Ø × Ò Õ º ´ º ¾ º ½ µ  

Ì 

 

´  Ü  µ   Ù 

 

Ù 

 

·   Ô  ´  Ù 

 

Ù 

 

    

 

µ ´ º ¿ º ¾ ¼ µ  

Ú Ò Ó × Ò Ò Ø Ù Ö Ð Ù Ò Ø × ´    ½ µ º  

Á Ò Ó Ö Ö Ø Ó Ó Ñ Ô Ø Ð Û Ø Ø × Ø Ø × Ó Ø Ö Ó Ô Ò Ø Ù Ö Ó Ø Ñ Ø Ö ´ º ¿ º ½ µ Ø - Ù  

Ñ Ù × Ø   Ø Ö × Ø   Ó Ò Ø × Ù Ö ×   Ø  Ó Ò × Ø ¸ Ò Ñ Ð Ý Ó Ò Ø × Ù Ö × Ó Ö Ø Ó Ó Ò Ð Ø Ó Ø Û Ó Ö Ð ß Ð Ò ×  

Ò Ö Ø Ý Ø Ø Ñ ß Ð Ã Ð Ð Ò Ú Ø Ó Ö ¬ Ð ´ º ¿ º ½ µ × × Ó Û Ò Ò ¬ º º ½ º Ì × Ñ Ò × Ø Ø Ø  

- Ù Ó Ù Ö ß Ú Ð Ó Ø Ý   Í 

 

Ñ Ù × Ø Ô Ö Ó Ô Ó Ö Ø Ó Ò Ð Ø Ó Ø Ã Ð Ð Ò Ú Ø Ó Ö ¬ Ð  

Í 

 

   

 

    × Ó Ñ Ó Ò × Ø Ò Ø ´ º ¿ º ¾ ½ µ  

Ë Ò Ø Ó Ù Ö ß Ú Ð Ó Ø Ý × Ò Ó Ö Ñ Ð Þ Ø Ó Ù Ò Ø Ý Û Ú  

 

 

Í 

 

Í 

 

½  µ   

 

Í 

¼ 

¡ 

¾ 

 

¼ ¼ 

½  µ    Í 

¼ 

´   

¼ ¼ 

µ 

  ½    ¾ 

´ º ¿ º ¾ ¾ µ  

Û Ü Ô Ö × × × Ø Ù Ò Õ Ù Ò Ó Ò Ú Ò × Ò Ó Ñ Ô Ó Ò Ò Ø Ó Ø Ú Ð Ó Ø Ý ¬ Ð   Í 

 

Ò Ø Ö Ñ × Ó Ø  

Ñ Ø Ö Ø × Ð º Á Û Ó Ó Ú Ö Ø Ó - Ø Ò Ø Ö Ò × Ó Ñ Ô Ó Ò Ò Ø × ¸ Ñ Ù Ð Ø Ô Ð Ý Ò Ý Ø Ú Ð Ò   Π

 

 

´  Ü  µ Û  

Ó Ø Ò Ò Ú Ò × Ñ Ô Ð Ö Ö × Ù Ð Ø  

 

Í 

¼ 

 

 

Í 

¼ 

  Π

 

¼ 

Í 

 

½  

 

Í 

 

¼ ´ º ¿ º ¾ ¿ µ  

Ó Ö Ö × Ô Ó Ò Ò Ð Ý Ø - Ø Ò Ø Ö Ò × Ó Ñ Ô Ó Ò Ò Ø ×   Ì 

 

    Π

 

 

Π

 

 

Ì 

 

Ó Ø × Ø Ö × × ß Ò Ö Ý Ø Ò × Ó Ö Ö  

× Ñ Ô Ð Ý Ú Ò Ý  

Ì 

 

 

 

¼ 

 

 

¼ 

Ì 

 

¼ 

 

¼ 

 

 ́

Ì 

¼ ¼ 

   

Ì 

½ ½ 

  Ì 

¾ ¾ 

  Ì 

¿ ¿ 

   Ô 

Ì 

 

¼ Ó Ø Ö Û ×  

´ º ¿ º ¾ µ  

Ì Ò Ø Ö Ò × Ó Ñ Ô Ó Ò Ò Ø × Ó Ø Ò × Ø Ò Ø Ò × Ó Ö Ó Ö Ø × Ô Ö Ð × Ý Ñ Ñ Ø Ö × Ø Ø Ñ Ø Ö ´ º ¿ º ½ µ  

Ú Ð Ö Ý Ò Ð Ù Ð Ø Ò Õ º × ´ º ¾ º µ º Á Ò Ø Ö Ó Ù Ò Ø Ó Ò Ú Ò Ò Ø ¬ Ò Ø Ó Ò ×  

  ´  Ö  µ Ü Ô ¾     ´  Ö  µ ℄     ´  Ö  µ Ü Ô ¾    ´  Ö  µ ℄ ´ º ¿ º ¾ µ  

Page 95: Fre P. Course in General Relativity (Free Version, Lecture Notes, Web Draft, 2003)(141s)_PGr

7/29/2019 Fre P. Course in General Relativity (Free Version, Lecture Notes, Web Draft, 2003)(141s)_PGr

http://slidepdf.com/reader/full/fre-p-course-in-general-relativity-free-version-lecture-notes-web-draft 95/141

Á Ò Ø Ö Ó Ö × Ó Ð Ù Ø Ó Ò × Ò Ø × Ø Ð Ð Ö Õ Ù Ð Ö Ù Ñ Õ Ù Ø Ó Ò    

Ù Ö º ½ º   Ì - Ù Ó Ñ Ô Ó × Ò Ø × Ø Ø × Ø Ö Ñ Ù × Ø Ø Ö × Ø Ó Ò Ø × Ô ß Ð × Ù Ö ×   Ø  Ó Ò × Ø º  

À Ò Ø Û Ó Ö Ð ß Ð Ò × Ó Ø - Ù Ð Ñ Ò Ø × Ñ Ù × Ø Ñ Ø Ø Ã Ð Ð Ò Ú Ø Ó Ö ¬ Ð  

 

   

 

Ø 

× Ø Ò Ò Ø Ú Ø Ó Ö  

Õ º × ´ º ¾ º µ Ò Ö Û Ö Ø Ø Ò × Ó Ð Ð Ó Û ×  

 

¼ ¼ 

   

 

¼ 

 

½ 

Ö 

¾ 

 

½    

½ 

 

 

· 

 

¼ 

Ö  

¾ 

 

½ ½ 

      

½ 

½ 

    

½ 

Ö 

¾ 

 

½    

½ 

 

 

· 

 

¼ 

Ö  

 

¾ ¾ 

   

¿ ¿ 

      

¾ 

¾ 

 

½ 

¾ 

´  Ö   µ 

  ½ 

 

¼ 

  

½ 

¾ 

 

Ö  

¾ 

¡ 

  ½ 

 

¼ 

· 

½ 

¾ 

´    µ 

  ½    ¾ 

 

Ö 

 

´    µ 

  ½    ¾ 

 

¼ 

 

 

 

¼ Ó Ø Ö Û × ´ º ¿ º ¾ µ  

Ó Ñ Ò Ò Õ º × ´ º ¿ º ¾ µ Û Ø Õ º × ´ º ¿ º ¾ µ Û × Ø Ø Ò × Ø Ò Õ Ù Ø Ó Ò × Ö Ù ¸ Ò Ø × × ¸  

Ø Ó × Ý × Ø Ñ Ó Ø Ö Ó Ö Ò Ö Ý « Ö Ò Ø Ð Õ Ù Ø Ó Ò × Ó Ö Ø Ó Ù Ö Ù Ò Ø Ó Ò ×     ´  Ö  µ    ´  Ö  µ  Ô  ´  Ö  µ    ´  Ö  µ º 

Ì × × Ù Ò Ø Ö Ñ Ò Û Ó Ò Ó Ø × Ô Ý Ø Ò Ø Ù Ö Ó Ø - Ù Û Ö Ó Ò × Ö Ò Ý Û Ö Ø Ò  

Ò Õ Ù Ø Ó Ò Ó × Ø Ø ¸ Ò Ñ Ð Ý Ö Ð Ø Ó Ò Ø Û Ò Ø Ô Ö × × Ù Ö Ò Ø Ò Ö Ý Ò × Ø Ý  

 Ô      ´    µ ´ º ¿ º ¾ µ  

Ì Ù Ò Ø Ó Ò     Ô Ô Ö Ò Ò Õ º ´ º ¿ º ¾ µ Ò Ó × Ð Ð Ø Ø Ö Ñ Ó Ý Ò Ñ Ð Ô Ö Ó Ô Ö Ø × Ó Ø - Ù º  

Page 96: Fre P. Course in General Relativity (Free Version, Lecture Notes, Web Draft, 2003)(141s)_PGr

7/29/2019 Fre P. Course in General Relativity (Free Version, Lecture Notes, Web Draft, 2003)(141s)_PGr

http://slidepdf.com/reader/full/fre-p-course-in-general-relativity-free-version-lecture-notes-web-draft 96/141

Á Ò Ø Ö Ó Ö × Ó Ð Ù Ø Ó Ò × Ò Ø × Ø Ð Ð Ö Õ Ù Ð Ö Ù Ñ Õ Ù Ø Ó Ò    

Ó Ò × Ö Ø Õ Ù Ø Ó Ò  

 

¼ ¼ 

´  Ö  µ     ´  Ö  µ  

½ 

Ö 

¾ 

 

Ö 

 

Ö 

 

½ 

  

½ 

 

 

´ º ¿ º ¾ µ  

Ý × Ø Ö Ø Ó Ö Û Ö Ò Ø Ö Ø Ó Ò Û Ó Ø Ò  

Ê 

¢ 

½      

  ½ 

´  Ê  µ 

£ 

   

  

Ê 

¼ 

Ö Ö 

¾ 

  ´  Ö  µ · Ó Ò × Ø ´ º ¿ º ¾ µ  

Á Û Ú × Ô Ö Ð × Ø Ö Ù Ø Ó Ò Ó Ñ × × ß Ò Ö Ý Ø Ò Ø Ö Ð  

Å  ´  Ê  µ    

  

Ê 

¼ 

Ö Ö 

¾ 

  ´  Ö  µ  

  

Ë 

Ê 

 

¿ 

Ü   ´  Ü  µ ´ º ¿ º ¿ ¼ µ  

× Ñ Ñ Ø Ð Ý Ò Ø Ö Ô Ö Ø × Ø   Ø Ó Ø Ð Ñ × × ß Ò Ö Ý   Ó Ò Ø Ò Ò × Ô Ö Ó Ö Ù ×   Ê  º À Ò  

× Ó Ð Ú Ò Õ º ´ º ¿ º ¾ µ Û Ø Ö × Ô Ø Ø Ó Ø Ù Ò Ø Ó Ò     ´  Ê  µ Û Ó Ø Ò  

   

 

½     ¾ 

Å  ´  Ê  µ 

Ê 

  

 

Ê 

 

  ½ 

´ º ¿ º ¿ ½ µ  

Û × Ø Ð Ð Ó Ò Ø Ò × Ø Ù Ò Ø Ö Ñ Ò Ò Ø Ö Ø Ó Ò Ó Ò × Ø Ò Ø Ò Ø Ö Ó Ù Ò Õ º ´ º ¿ º ¾ µ º Ì × Ð Ø Ø Ö ×  

¬ Ü Ñ Ô Ó × Ò Ø Ó Ù Ò Ö Ý Ó Ò Ø Ó Ò     ´ ¼ µ ½ Ø Ø Ó Ö Ö × Ô Ó Ò × Ø Ó Ø   Ö Ù Ð Ö Ø Ý   Ó × Ô ß Ø Ñ  

Ò Ø Ó Ö Ò º Á Ò Ø × Û Ý Û Ó Ò Ð Ù Ø Ø  

  ´  Ê  µ  

 

½     ¾ 

Å  ´  Ê  µ 

Ê 

 

  ½ 

´ º ¿ º ¿ ¾ µ  

Õ º ´ º ¿ º ¿ ¾ µ × Ó Û × Ø Ø Ø   Ö Ð ¹ Ö Ð   Ó Ñ Ô Ó Ò Ò Ø Ó Ø Ñ Ø Ö × ¸ Ò Ô Ö × Ò Ó × Ô Ö Ð Ð Ý  

× Ø Ö Ù Ø Ñ Ø Ø Ö ¸ Ø × Ñ Ó Ö Ñ × Ò Ø × Ó Ø Ë Û Ö Þ × Ð Ú Ù Ù Ñ Ñ Ø Ö º Ì Ó Ò Ð Ý  

« Ö Ò Ö × × Ò Ø Ø Ø Ó Ò × Ø Ò Ø Ô Ö Ñ Ø Ö   Ñ  Ó Ø Ë Û Ö Þ × Ð Ñ Ø Ö ´ ¿ º ¿ º ½ ¿ µ × Ö Ô Ð  

Ý Ø Ù Ò Ø Ó Ò   Å  ´  Ê  µ Ò Ø Ö Ó Ù Ò Õ º ´ º ¿ º ¿ ¼ µ Ò Ö Ô Ö × Ò Ø Ò Ø Ø Ó Ø Ð Ñ × × Ó Ò Ø Ò Ò  

× Ô Ö Ó Ö Ù ×   Ê  º Ø Ø × Ô Ó Ò Ø × Ù Ø Ð Ö Ñ Ö Ó Ò   Å  ´  Ê  µ × Ó Ò Ó Ö Ö º Á Ø × Ü Ô Ð Ø Ó Ö Ñ ×  

Ñ Ö Ö Ó Ñ Ø Ò Ø Ö Ø Ó Ò Ó Ó Ò Ó Ø Ò × Ø Ò Õ Ù Ø Ó Ò × Ò Û Ò Ø Ö Ô Ö Ø Ø × Ø Ø Ó Ø Ð  

Ñ × × Ó Ò Ø Ò Ò × Ô Ö Ó Ö Ù ×   Ê  º Ì Ó Ú Ö Ý Ô Ö × × Ù Ò Ò Ø Ö Ô Ö Ø Ø Ó Ò × Ð Ð Ð × Ò  

Ø Ù × × Ø Ò Ø Ö Ø Ó Ò Ñ × Ù Ö Ó - Ø × Ô Ö Ø Ö Ø Ò Ø Ò Ø Ö Ø Ó Ò Ñ × Ù Ö Ø Ö Ñ Ò Ý  

Ø Ø Ö Ù × Ô ß Ø Ñ Ñ Ø Ö º Ú Ò Ø Ñ × × Ò Ø Ø Ý     ´  Ü  µ Ø Ô Ö Ó Ô Ö Ñ × × Ó Ò Ø Ò Ò × Ô Ö  

Ó Ö Ù ×   Ê  × Ø Ù Ð Ð Ý ¬ Ò Ý Ø Ò Ø Ö Ð  

Å 

Ô 

´  Ê  µ  

  

Ê 

¼ 

  Ö 

¾ 

  ´  Ö  µ 

Ô  

Ø   

¿ 

´  Ö  µ  Ö  ´ º ¿ º ¿ ¿ µ  

Û Ö    

¿ 

× Ø Ñ Ø Ö Ó ¿ ß Ñ Ò × Ó Ò Ð × Ø Ó Ò Ó × Ô ß Ø Ñ Ø Ó Ò × Ø Ò Ø Ø Ñ º À Ú Ò Ó Ù Ò  

Ø × Ó Ð Ù Ø Ó Ò ´ º ¿ º ¿ ¾ µ Û Ø Ù Ð Ð Ý Ú  

Å 

Ô 

´  Ê  µ  

  

Ê 

¼ 

  Ö 

¾ 

  ´  Ö  µ 

 

½     ¾ 

Å  ´  Ö  µ 

Ö 

 

  ½    ¾ 

Ö Å   ´  Ê  µ     

  

Ê 

¼ 

  Ö 

¾ 

  ´  Ö  µ  Ö  ´ º ¿ º ¿ µ  

Á Ò Ó Ø Ö Û Ó Ö × Ø   Ô Ö Ó Ô Ö Ñ × ×   Ó Ò Ø Ò Ò × Ô Ö Ó Ö Ù ×   Ê  × × Ø Ö Ø Ð Ý Ð Ö Ö Ø Ò Ø   « Ø Ú  

Ñ × ×   Ó Ò Ø Ò Ò Ø × Ñ × Ô Ö Ò Ø Ö Ñ Ò Ò Ø Ñ Ø Ö Ø Ö Ó Ù Ò × Ø Ò Õ Ù Ø Ó Ò º Ì ×  

× Ò Ó Ø × Ö Ô Ò Ý Ö Ø Ö Ø Ò Ó × Ô Ö Ó Ó Ù Ò Ô Ý × Ð Ø º Á Ò Ø « Ö Ò  

Å 

Ô 

´  Ê  µ     Å  ´  Ê  µ 

Page 97: Fre P. Course in General Relativity (Free Version, Lecture Notes, Web Draft, 2003)(141s)_PGr

7/29/2019 Fre P. Course in General Relativity (Free Version, Lecture Notes, Web Draft, 2003)(141s)_PGr

http://slidepdf.com/reader/full/fre-p-course-in-general-relativity-free-version-lecture-notes-web-draft 97/141

Á Ò Ø Ö Ó Ö × Ó Ð Ù Ø Ó Ò × Ò Ø × Ø Ð Ð Ö Õ Ù Ð Ö Ù Ñ Õ Ù Ø Ó Ò    

× Ð Ö Ù Ø Ñ Ò Ò ¸ Ø × Ø   Ö Ú Ø Ø Ó Ò Ð Ò Ò Ò Ö Ý  º Â Ù × Ø × Ø Ñ × × Ó À Ð Ù Ñ  

Ò Ù Ð Ù × × × Ñ Ð Ð Ö Ø Ò Ø × Ù Ñ Ó Ø Ñ × × × Ó Ø Û Ó Ô Ö Ó Ø Ó Ò × Ò Ø Û Ó Ò Ù Ø Ö Ó Ò × Ò Ø × Ñ Û Ý  

Ø Ñ × × Ó × Ø Ö × × Ñ Ð Ð Ö Ø Ò Ø × Ù Ñ Ó Ø Ñ × × × Ó Ð Ð Ø × Ó Ñ Ô Ó Ò Ò Ø × º  

À Ú Ò Ð Ö Ø Ñ Ò Ò Ó   Å  ´  Ê  µ Û Ó Ñ Ø Ó Ø Ò × Ø Ò Õ Ù Ø Ó Ò × Ó Ð Ð Ó Û Ò Ö Ó Ñ  

Ø Ü Ô Ð Ø Ó Ö Ñ Ó Ø Ò × Ø Ò Ø Ò × Ó Ö ´ º ¿ º ¾ µ º Ë Ó Ö Û Ú × Ó Ð Ú Ó Ò Ð Ý Ó Ò Ó Ø Ñ ¸ Ò Ñ Ð Ý  

Õ º ´ º ¿ º ¾ µ Û × Ø Ö Ñ Ò Ø Ó Ö Ñ Ó Ø   Ö Ð ß Ö Ð   Ó Ñ Ô Ó Ò Ò Ø Ó Ø Ñ Ø Ö     ´  Ö  µ º 

Ü Ø Õ Ù Ø Ó Ò Ø Ó Ó Ò × Ö ×  

 

½ ½ 

´  Ö  µ   Ô  ´  Ö  µ ´ º ¿ º ¿ µ  

Û Ð Ð Ó Û × Ó Ö Ø Ø Ö Ñ Ò Ø Ó Ò Ó Ø   Ø Ñ ß Ø Ñ   Ó Ñ Ô Ó Ò Ò Ø     ´  Ö  µ Ü Ô ¾    ´  Ö  µ ℄ º Ö Ó Ñ  

Õ º ´ º ¿ º ¿ µ Û Ó Ø Ò  

  

½ 

Ö 

¾ 

· 

 

½     ¾ 

Å  ´  Ö  µ 

Ö 

 

½ 

Ö 

¾ 

· ¾ 

 

¼ 

Ö 

 

  Ô  ´  Ö  µ ´ º ¿ º ¿ µ  

·  

 

¼ 

´  Ö  µ  

Å  ´  Ö  µ ·   Ô  ´  Ö  µ  Ö 

¿ 

Ö  ´  Ö     ¾  Å  ´  Ö  µ µ 

´ º ¿ º ¿ µ  

Õ º ´ º ¿ º ¿ µ Ø Ö Ñ Ò ×     ´  Ö  µ Ò Ò     ´  Ö  µ Ý Ñ Ò × Ó × Ñ Ô Ð Ò Ø Ö Ø Ó Ò Ò   Ö   

  ´  Ö  µ Ü Ô  

 

¾ 

  

Ö 

¼ 

 

Å  ´    µ ·   Ô  ´    µ   

¿ 

  ´       ¾  Å  ´    µ µ 

 

´ º ¿ º ¿ µ  

Á Ø × Ò Ø Ö × Ø Ò Ø Ó Ô Ô Ö Ø Ø Ô Ý × Ð Ñ Ò Ò Ó Õ º ´ º ¿ º ¿ µ Ý Ó Ò × Ö Ò Ø × Ò Ó Ò ß Ö Ð Ø Ú × Ø  

Ô Ô Ö Ó Ü Ñ Ø Ó Ò º Ç Ò Ó Ò × Û Ö Ð Ð Ø Ø  

  ´  Ö  µ       

¼ ¼ 

³    ½    

½ 

 

¾ 

Π ´  Ö  µ  ³    ½ · ¾    ´  Ö  µ ´ º ¿ º ¿ µ  

Û Ö   Π ´  Ö  µ × Ø Ö Ú Ø Ø Ó Ò Ð Ô Ó Ø Ò Ø Ð º Ç Ò Ø Ó Ø Ö Ò Ø Ò Ó Ò Ö Ð Ø Ú × Ø Ô Ô Ö Ó Ü Ñ Ø Ó Ò  

Ó Ö Ö × Ô Ó Ò × Ø Ó Ø Ö Ñ Û Ö Û Ú  

Ö 

¿ 

 Ô  ´  Ö  µ      Å  ´  Ö  µ   Å  ´  Ö  µ      Ö  ´ º ¿ º ¼ µ  

Ì × Ó Ò Ø Ó Ò × ´ º ¿ º ¼ µ Ö × Ð Ý Ü Ô Ð Ò × Ó Ð Ð Ó Û × º Ö × Ø Ó Ð Ð Ð Ø Ù × Ö Ð Ð Ø Ø Ò Ó Ò  

Ö Ð Ø Ú × Ø Ö Ñ × Ó Ø Ò Û Ò  

Ò Ø Ò Ö Ý       Ö × Ø Ò Ö Ý ´ º ¿ º ½ µ  

× Ó Ò Ð Ý Ó Ò × Ö Ø Ø  

Ö 

¿ 

 Ô  ´  Ö  µ 

   Ô Ö × × Ó Ò  

¢  Î Ó Ð Ù Ñ  

³    Ò Ø Ò Ö Ý ´ º ¿ º ¾ µ  

Û × × Ð Ý × Ò Ø Ó Ø Ö Ù Ó Ò Ö Ð Ð × Ø Õ Ù Ø Ó Ò Ó × Ø Ø Ó Ð × ×    Ô Π   Ò Ê Ì  Ò  

Ø Ø Ø Ñ Ô Ö Ø Ù Ö Ñ × Ù Ö × Ø Ú Ö Ò Ø Ò Ö Ý Ô Ö Ö Ó Ö Ó Ñ º Ç Ò Ø Ó Ø Ö Ò  

Å  ´  Ö  µ   

¾ 

× Ø Ö × Ø Ò Ö Ý Ó Ò Ø Ò Ò × Ô Ö Ó Ö Ù ×   Ö  º Ì Ö Ó Ö Ò Ò Ø Ù Ö Ð Ù Ò Ø × Û Ö  

      ½ Ø ¬ Ö × Ø Ó Õ Ù Ø Ó Ò × ´ º ¿ º ¼ µ × Ù × Ø Ø × Ø Ø Ñ Ò Ø ´ º ¿ º ½ µ º Ì × Ó Ò Ó Ò Ø Ó Ò  

´ º ¿ º ¼ µ × Ò × Ø Ø × Ø Ø Ñ Ò Ø Ø Ø Ø Ë Û Ö Þ × Ð Ö Ù × Ó Ø Ø Ó Ø Ð Ñ × × Ó Ò Ø Ò Ò  

× Ô Ö Ó Ö Ù ×   Ö  × Ñ Ù × Ñ Ð Ð Ö Ø Ò Ø Ö Ù ×   Ö  Ø × Ð º Á Ò × Ù Ë Û Ö Þ × Ð Ö Ù × ×  

Ö 

Ë 

´  Ö  µ ¾ 

 

 

¾ 

Å  ´  Ö  µ Ò ¸ Ò Ò Ø Ù Ö Ð Ù Ò Ø × ¸ Ø × Ó Ò Ó Ó Ò Ø Ó Ò × ´ º ¿ º ¼ µ × Ø Ø × Ø Ø   Ö 

Ë 

´  Ö  µ      Ö  º 

Á Ò × Ö Ø Ò Ø Ò Ó Ò Ö Ð Ø Ú × Ø Ô Ô Ö Ó Ü Ñ Ø Ó Ò × ´ º ¿ º ¿ µ Ò ´ º ¿ º ¼ µ Ò Ø Ó ´ º ¿ º ¿ µ Û ¬ Ò  

 

Ö 

Π ´  Ö  µ  ³   

Å  ´  Ö  µ 

Ö 

¾ 

´ º ¿ º ¿ µ  

Page 98: Fre P. Course in General Relativity (Free Version, Lecture Notes, Web Draft, 2003)(141s)_PGr

7/29/2019 Fre P. Course in General Relativity (Free Version, Lecture Notes, Web Draft, 2003)(141s)_PGr

http://slidepdf.com/reader/full/fre-p-course-in-general-relativity-free-version-lecture-notes-web-draft 98/141

Á Ò Ø Ö Ó Ö × Ó Ð Ù Ø Ó Ò × Ò Ø × Ø Ð Ð Ö Õ Ù Ð Ö Ù Ñ Õ Ù Ø Ó Ò    

Û × Ø Ó Ö Ö Ø « Ö Ò Ø Ð Õ Ù Ø Ó Ò Ó Ö Ø Û Ø Ó Ò Ò Ô Ó Ø Ò Ø Ð Ò Ö Ø Ý × Ô Ö Ð  

Ñ × × × Ø Ö Ù Ø Ó Ò  

À Ú Ò Ð Ø Û Ø Ø Õ Ù Ø Ó Ò × × × Ó Ø Û Ø Ø ¬ Ö × Ø Ò × Ó Ò Ò Ô Ò Ò Ø Ó Ñ Ô Ó Ò Ò Ø ×  

Ó Ø Ò × Ø Ò Ø Ò × Ó Ö ´ × Õ º × ´ º ¿ º ¾ µ µ Û Ú Ø Ö Ñ Ò Ø Ø Û Ó Ù Ò Ò Ó Û Ò Ó Æ Ò Ø × Ó Ø  

Ñ Ø Ö Ò Ø Ö Ñ × Ó Ø Ö Ð Ñ × × ß × Ø Ö Ù Ø Ó Ò     ´  Ö  µ º Ï × Ø Ð Ð Ú Ø Ó Ø Ö Ñ Ò Ø Ö Ð  

Ú Ó Ù Ö Ó Ø Ô Ö × × Ù Ö    Ô  ´  Ö  µ Ö Ð Ø Ø Ó Ø Ö Ð Ñ × × ¹ × Ø Ö Ù Ø Ó Ò     ´  Ö  µ Ý Ø Õ Ù Ø Ó Ò Ó  

× Ø Ø ´ º ¿ º ¾ µ º Ì × Ò Ó Ö Ñ Ø Ó Ò × Ò Ó Ò Ø Ø Ö Ò Ô Ò Ò Ø Ò × Ø Ò Õ Ù Ø Ó Ò  

 

¾ ¾ 

   

¿ ¿ 

  Ô  ´ º ¿ º µ  

Ë Ò Ò × Ø Ò Õ Ù Ø Ó Ò × Ö Ò Ó Ø Ò Ô Ò Ò Ø Ò Ö Ð Ø Ý Ø Ò Ò Ø Ø Ý Ø Ø Ñ Ô Ð × Ø  

Ó Ú Ö Ò Ø Ó Ò × Ö Ú Ø Ó Ò Ó Ø × Ø Ö × × ß Ò Ö Ý Ø Ò × Ó Ö ¸ Ò Ð Ø Ö Ò Ø Ú Ò × Ñ Ô Ð Ö Û Ý Ó Ø Ö Ñ Ò Ò  

Ø Ö Ð Ú Ó Ù Ö Ó Ø Ô Ö × × Ù Ö × Ô Ö Ó Ú Ý Û Ö Ø Ò Ø × Ù Ó Ò × Ö Ú Ø Ó Ò Ð Û º Á Ò - Ø  

Ò Ó Ð Ó Ò Ó Ñ Ò × Û Ú  

Ö   

 

Ì 

 

 

 

¼ 

·  

 

 

Ì 

 

 

 

·   

     

Ì 

 

 

 

 

 

·   

     

Ì 

 

 

 

 

 

¼ ´ º ¿ º µ  

Í × Ò Ø Ô Ö Ø Ù Ð Ö × Ø Ö Ù Ø Ù Ö Ó   Ì 

 

Ò Ó Ó × Ò Ó Ö Ò × Ø Ò     ½ Û Ø  

    

½ 

Ì 

½ ½ 

    

      ½ 

Ì 

½ ½ 

 

 

·   

    ½   

Ì 

 

 

 

 

 

¼ 

·  

    

½ 

Ì 

½ ½ 

  

 

 

¼    ¼ ½ 

    

¾    ¾ ½ 

    

¿    ¿ ½ 

¡ 

Ì 

½ ½ 

¼ ´ º ¿ º µ  

Á Ò × Ö Ø Ò Ø Ü Ô Ð Ø Ó Ö Ñ ´ º ¾ º µ Ó Ø × Ô Ò Ó Ò Ò Ø Ó Ò Ó Ö × Ô Ö Ð Ð Ý × Ý Ñ Ñ Ø Ö × Ø Ø Ñ Ø Ö ¸  

Ø Ò Ó Ò Ú Ò × Ò Ó Ñ Ô Ó Ò Ò Ø × Û Ø Ò Ò Ü ½ Ö  

 

¼    ¼ ½ 

      

¼ 

 

   

 

¾    ¾ ½ 

    

 

   

Ö 

 

¿    ¿ ½ 

    

 

   

Ö 

´ º ¿ º µ  

Û Ð Ø Ò Ø Ö Ò × Ö Ú Ø Ú    

½ 

× ¬ Ò Ý  

 

½ 

     

   

½ 

Ö 

´ º ¿ º µ  

Á Ò × Ö Ø Ò Õ º × ´ º ¿ º µ Ò ´ º ¿ º µ Ò Ø Ó Õ º º ¿ º µ Û ¬ Ò  

  

 

Ö 

 Ô  ´  Ö  µ      

¼ 

´   Ô  ·    µ ¼ ´ º ¿ º µ  

Û Ó Ñ Ò Û Ø Õ º ´ º ¿ º ¿ µ Ý Ð × Ø   Ç Ô Ô Ò Ñ Ö ß Î Ó Ð Ó «   Ö Ð Ø Ú × Ø Õ Ù Ø Ó Ò Ó   × Ø Ð Ð Ö  

Õ Ù Ð Ö Ù Ñ    

 

Ö 

 Ô  ´  Ö  µ  

  ´   Ô  ·    µ 

Å  ´  Ö  µ ·   Ö 

¿ 

 Ô  ´  Ö  µ 

Ö    Ö     ¾  Å  ´  Ö  µ ℄ 

´ º ¿ º ¼ µ  

Page 99: Fre P. Course in General Relativity (Free Version, Lecture Notes, Web Draft, 2003)(141s)_PGr

7/29/2019 Fre P. Course in General Relativity (Free Version, Lecture Notes, Web Draft, 2003)(141s)_PGr

http://slidepdf.com/reader/full/fre-p-course-in-general-relativity-free-version-lecture-notes-web-draft 99/141

Á Ò Ø Ö Ó Ö × Ó Ð Ù Ø Ó Ò × Ò Ø × Ø Ð Ð Ö Õ Ù Ð Ö Ù Ñ Õ Ù Ø Ó Ò    

º ¿ º ½ Á Ò Ø Ö Ø Ó Ò Ó Ø Ô Ö × × Ù Ö Õ Ù Ø Ó Ò Ò Ø × Ó Ù Ò Ó Ö Ñ Ò × Ø Ý  

Ú Ö Ý × Ñ Ô Ð Ò Ð Þ Ñ Ó Ð Ó × Ø Ö Ó Ö Ö × Ô Ó Ò × Ø Ó Ó Ó × Ò Ù Ò Ó Ö Ñ Ò × Ø Ý  

  ´  Ö  µ    

¼ 

Ó Ò × Ø ´ º ¿ º ½ µ  

Á Ò Ø × × Ø Ù Ò Ø Ó Ò   Å  ´  Ö  µ × Ñ Ñ Ø Ð Ý Ø Ö Ñ Ò Ò Û Ó Ø Ò  

Å  ´  Ö  µ  

 

¿ 

 

¼ 

Ö 

¿ 

´ º ¿ º ¾ µ  

º ¿ º ½ º ½ Ë Ó Ð Ù Ø Ó Ò Ò Ø Û Ø Ó Ò Ò ×  

Á Û Ó Ò × Ö Ø × Ø Ð Ð Ö Õ Ù Ð Ö Ù Ñ Ô Ö Ó Ð Ñ Ò Ø Ó Ò Ø × Ø Ó Û Ø Ó Ò Ò Ô Ý × × Û Ø Û Ú  

Ø Ó Û Ö Ø × × Ñ Ô Ð Ý Ø Ó Ð Ð Ó Û Ò Õ Ù Ø Ó Ò  

Ô 

Ö 

      

¼ 

Å  ´  Ö  µ 

Ö 

¾ 

    

 

¿ 

 

¼ 

Ö  ´ º ¿ º ¿ µ  

Û Ü Ô Ö × × × Ø Ð Ò Ò Ó Ø Ô Ö × × Ù Ö Ö Ô Ù Ð × Ú Ó Ö Û Ø Ø Ö Ú Ø Ø Ó Ò Ð Ø Ø Ö Ø Ú  

Ó Ö ´ × ¬ º º ¾ µ º Õ º ´ º ¿ º ¿ µ × Ñ Ñ Ø Ð Ý Ò Ø Ö Ø Ø Ó Ú  

Ù Ö º ¾ º   Ì Ø Ó Ø Ð Ó Ö Ü Ö Ø Ý Ô Ö × × Ù Ö Ó Ò Ø × Ô Ö Ð × Ø Ö Ø Ù Ñ Ó Ñ Ø Ø Ö Ó Ò Ø Ò Ø Û Ò Ø  

× Ô Ö Ð × Ù Ö Ó Ö Ù ×   Ö  Ò Ø × Ô Ö Ð × Ù Ö Ó Ö Ù ×   Ö  ·  Ö  × Ú Ò Ý   Ô  ´  Ö  ·  Ö  µ     Ô  ´  Ö  µ ℄  ¢    Ö 

¾ 

Ç Ò Ø Ó Ø Ö Ò Ø Ö Ú Ø Ø Ó Ò Ð Ó Ö Ü Ö Ø Ó Ò Ø × Ñ × Ø Ö Ø Ù Ñ Ó Ñ Ø Ø Ö Ý Ø Ñ Ø Ø Ö Ó Ò Ø Ò  

Ò Ø × Ô Ö Ó Ö Ù ×   Ö  × ¸ Ý Æ Û Ø Ó Ò ³ × Ð Û ¸      

¼ 

¢     

¼ 

Ö 

¾ 

¢ 

Å  ´  Ö  µ 

Ö 

º À Ò Ø Õ Ù Ð Ö Ù Ñ Õ Ù Ø Ó Ò ×  

Ó Ø Ò Ý Ð Ò Ò Ø × Ø Û Ó Ó Ö × º  

 Ô  ´  Ö  µ     

¾ 

¿ 

 

¾ 

¼ 

Ö 

¾ 

· Ó Ò × Ø º ´ º ¿ º µ  

Ì Ò Ø Ö Ø Ó Ò Ó Ò × Ø Ò Ø × ¬ Ü Ý Ñ Ô Ó × Ò Ø Ó Ú Ó Ù × Ó Ù Ò Ö Ý Ó Ò Ø Ó Ò Ø Ø Ø Ô Ö × × Ù Ö  

× Ó Ù Ð Ú Ò × Û Ö Ø × Ø Ö Ò × ¸ Ò Ñ Ð Ý    Ô  ´  Ê  µ ¼  Ê  × Ø Ö Ù × Ó Ø × Ô Ö Ð × Ø Ö º Ì  

× Ó Ð Ù Ø Ó Ò Ó Ø « Ö Ò Ø Ð Õ Ù Ø Ó Ò Û Ø Ø × Ó Ù Ò Ö Ý Ó Ò Ø Ó Ò Ó Ñ ×  

 Ô  ´  Ö  µ  

¾ 

¿ 

 

¾ 

¼ 

 

Ê 

¾ 

   Ö 

¾ 

¡ 

´ º ¿ º µ  

Á Û Ò Ó Ø Ø Ø Ó Ø Ð Ñ × × Ó Ø × Ø Ö Ý  

Å     

 

¿ 

 

¼ 

Ê 

¿ 

´ º ¿ º µ  

Page 100: Fre P. Course in General Relativity (Free Version, Lecture Notes, Web Draft, 2003)(141s)_PGr

7/29/2019 Fre P. Course in General Relativity (Free Version, Lecture Notes, Web Draft, 2003)(141s)_PGr

http://slidepdf.com/reader/full/fre-p-course-in-general-relativity-free-version-lecture-notes-web-draft 100/141

Á Ò Ø Ö Ó Ö × Ó Ð Ù Ø Ó Ò × Ò Ø × Ø Ð Ð Ö Õ Ù Ð Ö Ù Ñ Õ Ù Ø Ó Ò    

Ø Ò Ø Ò Û Ø Ó Ò Ò × Ó Ð Ù Ø Ó Ò ´ º ¿ º µ Ò Ö Û Ö Ø Ø Ò × Ó Ð Ð Ó Û ×  

 Ô  ´  Ö  µ  

¿ 

   

Å 

¾ 

Ê 

 

 

½    

 

Ö 

Ê 

 

´ º ¿ º µ  

Õ º ´ º ¿ º µ × Û Ö Ø Ø Ò Ò Ò Ø Ù Ö Ð Ù Ò Ø ×         ½ º Á Ø × Û Ó Ö Ø Ø Ó Ö Ò × Ø Ð Ð Ø Ô Ý × Ð Ù Ò Ø × Ò  

Ó Ö Ö × Ô Ó Ò Ò Ð Ý Ø Ù Ò Ñ Ò Ø Ð Ô Ý × Ð Ó Ò × Ø Ò Ø × º Ñ Ò × Ó Ò Û × Û Ú  

    ℄  

¢ 

 

¿ 

Ø 

  ¾ 

Ñ 

  ½ 

£ 

    ℄  

¢ 

Ø 

  ½ 

£ 

´ º ¿ º µ  

Á Ò Ò Ø Ù Ö Ð Ù Ò Ø × Û Ú  

  Å  ´  Ö  µ ℄    ℄  

¢ 

Ö 

¿ 

 Ô 

£ 

    ℄ ´ º ¿ º µ  

× Ó Ø Ø   Ô  ´  Ö  µ ℄  

¢ 

 

  ¾ 

£ 

º Ì Ñ Ò × Ó Ò Ó Ø Ô Ý × Ð Ô Ö × × Ù Ö ×  

È  ´  Ö  µ  

Ó Ö  

Ö  

 

¢ 

Ñ  

  ½ 

Ø 

  ¾ 

£ 

´ º ¿ º ¼ µ  

À Ò Û Ó Ò Ð Ù Ø Ø  

 Ô    È 

 

 

 

´ º ¿ º ½ µ  

Û Ð Û Ð Ö Ý Ò Ó Û Ø Ø  

Å   

Å  

 

¾ 

´ º ¿ º ¾ µ  

Û Ö   Å  Ò Ó Ø × Ø Ñ × × Ó Ø × Ø Ö Ò Ô Ý × Ð Ù Ò Ø × º À Ò Õ º ´ º ¿ º µ Ø Ö Ò × Ð Ø × Ò Ø Ó  

È  ´  Ö  µ  

¿ 

   

Å 

¾ 

Ê 

 

 

½    

 

Ö 

Ê 

 

´ º ¿ º ¿ µ  

Á Ò Ô Ö Ø Ù Ð Ö Ö Ó Ñ Õ º ´ º ¿ º ¿ µ Û × Ø Ñ Ø Ø Ò Ø Ö Ð Ô Ö × × Ù Ö Ó × Ø Ö Ó Ñ × ×   Å  Ò Ö Ù ×   Ê   

È 

 

  È  ´ ¼ µ  

¿ 

   

Å 

¾ 

Ê 

 

´ º ¿ º µ  

Ä Ø Ù × Ò Ø Ó Õ º ´ º ¿ º µ Ø Ö Ð Ú Ò Ø Ô Ö Ñ Ø Ö × Ó Ö Ø   Ë Ù Ò   

Ê 

¬ 

     

¢  ½ ¼ 

½ ¼ 

Ñ 

Å 

¬ 

½      ¢   ½ ¼ 

¿ ¿ 

Ñ 

      ¼  ¢   ½ ¼ 

   

Ý Ò  ¢   Ñ 

¾ 

¢   Ñ 

  ¾ 

´ º ¿ º µ  

Ï Ø Ø Ó Ð Ð Ó Û Ò Ú Ð Ù Ó Ö Ø Ò Ø Ö Ð Ô Ö × × Ù Ö  

È 

Ë Ù Ò 

 

½    ¿ ¿  ¢   ½ ¼ 

½  

Ý Ò 

Ñ 

¾ 

´ º ¿ º µ  

Ä Ø Ù × Ó Ñ Ô Ö Ø × Ô Ö × × Ù Ö Û Ø Ø Ô Ö × × Ù Ö Ó Û Ø Ô Ó × Ø Ó Ò Ó Ò Ø × Ù Ö Ó Ø Ö Ø º  

Ì Ó Ö Ü Ô Ö Ò Ý × Ó Ñ Ó Ý Ó Ð Ò Ã Ð Ó Ö Ñ ×      ¢   ½ ¼ 

 

Ý Ò  ³    ½  Ó 

 

Ý Ò  º À Ò Ø  

Ò Ø Ö Ð Ô Ö × × Ù Ö Ò Ù Ò Ó Ö Ñ Ò × Ø Ý × Ø Ö Û Ø   × Ø Ð Ð Ö Ñ × ×   Ò × Þ Ó Ø Ó Ö Ö Ó Ø × Ù Ò  

× Þ × Ó Ø Ó Ö Ö Ó ½ ¼  

 

Ã Ð Ó Ö Ñ × Ô Ö × Õ Ù Ö Ò Ø Ñ Ø Ö º Á Ø × Ú Ö Ý Ð Ö Ù Ø Ô Ö Ø Ð Ý ¬ Ò Ø  

Ô Ö × × Ù Ö º Á Ò Ø Ò Ü Ø × Ø Ó Ò Û Û Ð Ð × Ø Õ Ù Ð Ø Ø Ú « Ö Ò Ô Ö Ó Ú Ý Ø Ò Ø Ö Ø Ó Ò Ó  

Ø Ö Ð Ø Ú × Ø Ô Ö × × Ù Ö Õ Ù Ø Ó Ò º Á Ò Ò Ö Ð Ê Ð Ø Ú Ø Ý Ø Ò Ø Ö Ð Ô Ö × × Ù Ö Ò Ó Ñ Ò ¬ Ò Ø  

Page 101: Fre P. Course in General Relativity (Free Version, Lecture Notes, Web Draft, 2003)(141s)_PGr

7/29/2019 Fre P. Course in General Relativity (Free Version, Lecture Notes, Web Draft, 2003)(141s)_PGr

http://slidepdf.com/reader/full/fre-p-course-in-general-relativity-free-version-lecture-notes-web-draft 101/141

Á Ò Ø Ö Ó Ö × Ó Ð Ù Ø Ó Ò × Ò Ø × Ø Ð Ð Ö Õ Ù Ð Ö Ù Ñ Õ Ù Ø Ó Ò   ½ ¼ ¼ 

Ø Ö Ø Ñ × × × Ø Ó Ó Ð Ö Ó Ö Ø × Ø Ö Ö Ù × × Ø Ó Ó × Ñ Ð Ð º Á Ò Ó Ø Ö Û Ó Ö × Ò Ö Ð Ê Ð Ø Ú Ø Ý  

Ñ Ô Ð × Ø Ø Ø Ø Ø Ö Ö Ö Ø Ð Ò × Ø × Ý Ó Ò Û Ö Ú Ø Ø Ó Ò Ð Ø Ø Ø Ó Ò × × Ó × Ø Ö Ó Ò  

Ø Ø Ò Ò Ó Ø Ð Ò Ý Ô Ö × × Ù Ö º Ó Ö Ø × Ù Ò Ø Ú Ö Ò × Ø Ý ×  

 

¬ 

 

¿ 

   

½     

´     µ 

¾ 

½ ¼ 

¿ ¿ 

½ ¼ 

  ¿ ¼ 

Ñ Ñ  

  ¿ 

½    ½ 

Ñ 

Ñ 

¿ 

´ º ¿ º µ  

Ò Û Û Ð Ð × × Ñ Ù Ð Ó Û Ø Ö Ø Ð Ò × Ø Ý º  

º ¿ º ½ º ¾ Á Ò Ø Ö Ø Ó Ò Ó Ø Ö Ð Ø Ú × Ø Ô Ö × × Ù Ö Õ Ù Ø Ó Ò  

Ï Ó Ò × Ö Õ º ´ º ¿ º ¼ µ Ò Û × Ù × Ø Ø Ù Ø   Å  ´  Ö  µ  

 

¿ 

 

¼ 

Ö 

¿ 

º Ì Ò Ù × Ò Ø ¬ Ò Ø Ó Ò ´ º ¿ º µ Ó  

Ø Ø Ó Ø Ð Ñ × × Ò Ò Ø Ù Ö Ð Ù Ò Ø × Û Ó Ø Ò  

Ô 

Ö 

     ´   Ô  ·   

¼ 

µ 

Å 

 

Ö 

Ê 

¡ 

¿ 

·    

 

Ö 

¿ 

Ê 

¿ 

 

Ê 

¿ 

 Ô 

Ö 

 

Ö     ¾  Å 

 

Ö 

Ê 

¡ 

¿ 

 

´ º ¿ º µ  

Û Û Ò Ö Û Ö Ø × Ó Ð Ð Ó Û ×  

Ô 

Ö 

     ´   Ô  ·   

¼ 

µ 

Å 

Ê 

Å 

 

Ö 

Ê 

¡ 

¿ 

 

½ · 

¿  Ô 

 

¼ 

 

Ö 

Ê 

 

Ö 

  ¾  Å 

 

Ö 

Ê 

¡ 

¿ 

 

´ º ¿ º µ  

Page 102: Fre P. Course in General Relativity (Free Version, Lecture Notes, Web Draft, 2003)(141s)_PGr

7/29/2019 Fre P. Course in General Relativity (Free Version, Lecture Notes, Web Draft, 2003)(141s)_PGr

http://slidepdf.com/reader/full/fre-p-course-in-general-relativity-free-version-lecture-notes-web-draft 102/141

Ô Ø Ö      

Å Á Ë Ë Á Ç Æ Ç Ê Î Á Ì Ì Á Ç Æ Ä Ï Î Ë        

Æ Ë Ä Ç Ï Á Æ Ç Ï Æ Ç Ì À Á Æ Ê          

È Í Ä Ë Ê Ë Ë Ì Å            

º ½ Ñ × × Ó Ò Ó Ö Ú Ø Ø Ó Ò Ð Û Ú ×  

Ï × Ø Ö Ø Ö Ó Ñ Ø Ð Ò Ö Þ Õ Ù Ø Ó Ò ×  

 

     ½   Ì 

 

´ º ½ º ½ µ  

 

 

 

¼ ´ º ½ º ¾ µ  

Ò Û × Ó Ð Ú Ø Ñ Ò Ø Ö Ñ × Ó Ø   Ö Ø Ö Ö Ò Ù Ò Ø Ó Ò    

 

Ê 

´  Ü     Ü 

¼ 

µ  

½ 

      Ü     Ü 

¼ 

 

Æ 

 

Ü 

¼ 

   Ü 

¼  ¼ 

  Ü     Ü 

¼ 

 

¡ 

¢   ´ º ½ º ¿ µ  

¢    

 

Ü 

¼ 

   Ü 

¼  ¼ 

¡ 

´ º ½ º µ  

Ó Ø Ò Ò  

 

´  Ü  µ         

  

 

¿ 

Ü 

¼ 

Ì 

 

 

Ü 

¼ 

  Ü     Ü 

¼ 

   Ü 

¼ 

¡ 

  Ü     Ü 

¼ 

 

´ º ½ º µ  

Ì Ó × Ý Ø Ò Û Ó Ö × Ø Ò Ø Ö Ð × Ü Ø Ò Ø Ó   Ô × Ø Ð Ø ß Ó Ò   Ó Ø Ô Ó Ò Ø   Ü 

 

Ì Ó Ú × Ó Ð Ù Ø Ó Ò Ö Ô Ö × Ò Ø × Ø × Ø Ù Ö Ò Ò Ø Ö Ú Ø Ø Ó Ò Ð ¬ Ð Ô Ö Ó Ù Ø Ô Ó Ò Ø   Ü 

 

Ý Ø Ô Ö × Ò Ò Ñ Ó Ø Ó Ò Ó × Ó Ñ Ñ Ø Ø Ö Ò Ò Ó Ø Ö × Ø Ò Ø Ö Ó Ò Ó × Ô ß Ø Ñ º Ç Ú Ó Ù × Ð Ý  

Ø × Ø Ù Ö Ò × Ð Ø Ó Ò Ð Ý Ø Ö Ø Ø Ñ Ò Ó Ö Ø × Ò Ð Ø Ó Ø Ö Ú Ð ´ Ø Ø × Ô Ó Ð Ø µ  

Ø × Ø Ò × Ô Ö Ø Ò   Ü 

 

Ö Ó Ñ Ø Ö Ó Ò Û Ö   Ì 

 

× Ô Ö × Ò Ø º  

º ½ º ½ Ë Ø Ö × × Ò Ö Ý   ¿  ß Ó Ö Ñ Ó Ø Ö Ú Ø Ø Ó Ò Ð ¬ Ð  

Ï Û Ö Ø Ø ¬ Ð Õ Ù Ø Ó Ò × Ò « Ö Ò Ø Ð Ó Ö Ñ Ð Ò Ù ×  

Ê 

 

    

 

¯ 

 

   

£ 

Ì 

 

´ º ½ º µ  

Û Ö     ½     ¿ º Ï Ò × Ö Ø Ø ¬ Ò Ø Ó Ò Ó Ø Ù Ö Ú Ø Ù Ö  

Ê 

 

   

 

·   

 

    

 

´ º ½ º µ  

½ ¼ ½ 

Page 103: Fre P. Course in General Relativity (Free Version, Lecture Notes, Web Draft, 2003)(141s)_PGr

7/29/2019 Fre P. Course in General Relativity (Free Version, Lecture Notes, Web Draft, 2003)(141s)_PGr

http://slidepdf.com/reader/full/fre-p-course-in-general-relativity-free-version-lecture-notes-web-draft 103/141

Ñ × × Ó Ò Ó Ö Ú Ø Ø Ó Ò Ð Û Ú ×   ½ ¼ ¾ 

Ò Û Ö Û Ö Ø Ø ¬ Ö × Ø Ø Ö Ñ × Ó Ð Ð Ó Û ×  

 

 

    

 

¯ 

 

   

 

 

 

    

 

¯ 

 

¡ 

·   

 

    

 

¯ 

 

´ º ½ º µ  

Ì Ò Ù × Ò Ø Ø Ó Ö × Ó Ò Õ Ù Ø Ó Ò Û Ô Ù Ø  

 

 

      

 

    

 

´ º ½ º µ  

Ò Û Ó Ø Ò  

 

 

   

 

¯ 

 

   

 

 

 

   

 

¯ 

 

¡ 

´ º ½ º ½ ¼ µ  

    

 

    

 

    

 

¯ 

 

´ º ½ º ½ ½ µ  

À Ò Ò × Ø Ò Õ Ù Ø Ó Ò Ò Ö Û Ö Ø Ø Ò ×  

 

 

 

 

    

 

¯ 

 

¡ 

    ´ 

£ 

Ì 

 

  

£ 

Ø 

 

µ ´ º ½ º ½ ¾ µ  

Û Ö  

£ 

Ø 

 

 

½ 

 

 

 

 

    

 

    

 

    

 

    

 

    

 

¡ 

¯ 

 

´ º ½ º ½ ¿ µ  

× Ø × Ø Ö × × ß Ò Ö Ý ¿ ß Ó Ö Ñ Ó Ø Ö Ú Ø Ø Ó Ò Ð ¬ Ð Ò Ø ¿ ß Ó Ö Ñ  

£ 

Ì 

´  Ø Ó Ø Ð  µ 

 

   

£ 

Ì 

 

  

£ 

Ø 

 

´ º ½ º ½ µ  

×  Ó Ò × Ö Ú   Ò Ø Ó Ö Ò Ö Ý × Ò ×  

 

£ 

Ì 

´  Ø Ó Ø Ð  µ 

 

¼ ´ º ½ º ½ µ  

Ó Ø Ø Ø Ø × ¬ Ò Ø Ó Ò × Ò Ó Ø Ò Ú Ö Ò Ø Û Ø Ö × Ô Ø Ø Ó Ð Ó Ð Ä Ó Ö Ò Ø Þ Ø Ö Ò × Ó Ö Ñ Ø Ó Ò × × Ò  

Ø Ô Ò × Ó Ò Ø   Ö   ¬ Ð    

 

º À Ó Û Ú Ö Ø × ¬ Ò Ø Ó Ò × Ò Ú Ö Ò Ø Ò × Ø Ð Ó Ð Ä Ó Ö Ò Ø Þ  

Ø Ö Ò × Ó Ö Ñ Ø Ó Ò × Ò Ø Ö Ó Ö Ø Ò Ù × Ò Ø × Ý Ñ Ô Ø Ó Ø Ö Ó Ò Ó × Ô ß Ø Ñ Û ×  

Ò Ö Ð Ý - Ø º  

º ½ º ½ º ½ Ò Ö Ý Ò Ñ Ó Ñ Ò Ø Ù Ñ Ó Ô Ð Ò Ö Ú Ø Ø Ó Ò Ð Û Ú  

Ï Ó Ò × Ö Ø Ô Ö Ø Ù Ö Ñ Ø Ö  

 

 

´  Ü  µ    

 

·   

 

´ º ½ º ½ µ  

Ò Û Ò Ø Ö Ó Ù Ò Ù Ð Ð Ó Ó Ö Ò Ø × Ý × Ø Ñ Ò Å Ò Ó Û × × Ô  

Ü 

 

  Ù    Ü 

¼ 

   Ü 

½ 

  Ü 

 

 

 

Ü 

¾ 

Ü 

¿ 

¡ 

´ º ½ º ½ µ  

Ü 

· 

  Ú    Ü 

¼ 

·  Ü 

½ 

´ º ½ º ½ µ  

Ó Ö Ö × Ô Ó Ò Ò Ð Ý Ø Å Ò Ó Û × Ò Ñ Ø Ö Ø × Ø Ó Ö Ñ  

× 

¾ 

¾  Ü 

· 

ª    Ü 

 

   Ü 

 

ª    Ü 

 

   

 

Ü 

 

ª    Ü 

 

´ º ½ º ½ µ  

´ º ½ º ¾ ¼ µ  

 

 

 

¼  

 

  

¼ ½ ¼ ¼  

½ ¼ ¼ ¼  

¼ ¼     ½ ¼ 

¼ ¼ ¼     ½ 

½ 

 

 

´ º ½ º ¾ ½ µ  

Page 104: Fre P. Course in General Relativity (Free Version, Lecture Notes, Web Draft, 2003)(141s)_PGr

7/29/2019 Fre P. Course in General Relativity (Free Version, Lecture Notes, Web Draft, 2003)(141s)_PGr

http://slidepdf.com/reader/full/fre-p-course-in-general-relativity-free-version-lecture-notes-web-draft 104/141

Ñ × × Ó Ò Ó Ö Ú Ø Ø Ó Ò Ð Û Ú ×   ½ ¼ ¿ 

Ì Ô Ð Ò Û Ú Ó Ö Ö × Ô Ó Ò × Ø Ó Ó  

 

 

´  Ü  µ    

 

´  Ù  µ ´ º ½ º ¾ ¾ µ  

Ê Ð Ý Ò Ó Ò Ø Ö Ð Ø Ó Ò ×  

 

· 

 

 

Ú 

   

 

 

 

Ù 

 

· 

   

·   

 

Ü 

 

   

 

   

 

   

  · 

 

Ü 

· 

   

· 

 

 

   

 

 

Ü 

 

      

 

´ º ½ º ¾ ¿ µ  

Ö Ó Ñ Ø À Ð Ö Ø Ù Ó Ò Ø Ó Ò  

 

 

 

¼ ´ º ½ º ¾ µ  

Ù × Ò   - 

 

  - 

 

´  Ù  µ Û Ó Ø Ò  

·   

Ó Ò × Ø ¼ ´ º ½ º ¾ µ  

× Ò Û Ö Ò Ó Ø Ò Ø Ö × Ø Ò Ó Ò × Ø Ò Ø Ô Ö Ø × º  

Ì Ò Ù × Ò Ð Ð Ø Ù Ø Ö Ò × Ó Ö Ñ Ø Ó Ò × ¸   × Ð Ö Ý × Ó Û Ò Ó Ö  ¸ Û Ò Ö Ù Ø × Ý Ñ ¹  

Ñ Ø Ö Ø Ò × Ó Ö   - 

 

Ø Ó Ø Ó Ö Ñ  

 

´  Ù  µ  

¼  

 

  

¼ ¼ ¼ ¼  

¼ ¼ ¼ ¼  

¼ ¼    ´  Ù  µ    ´  Ù  µ 

¼ ¼    ´  Ù  µ       ´  Ù  µ 

½ 

 

 

´ º ½ º ¾ µ  

Û Ö Ø Ø Û Ó Ù Ò Ø Ó Ò ×     ´  Ù  µ Ò     ´  Ù  µ Ö Ö Ø Ö Ö Ý º  

º ½ º ½ º ¾ Ð Ù Ð Ø Ó Ò Ó Ø Î Ð Ò Ò × Ô Ò Ó Ò Ò Ø Ó Ò  

Ï Ò Ö Ó Ñ  

 

 

  Ü 

 

· 

½ 

¾ 

 

 

Ü 

 

 

 

´ º ½ º ¾ µ  

Ò Û Ð Ù Ð Ø  

 

 

 

½ 

¾ 

 

 

 

 

Ü 

 

   Ü 

 

 

 

´ º ½ º ¾ µ  

Ì Ò Ö Ó Ñ  

¼    

 

·   

 

    

 

 

 

´ º ½ º ¾ µ  

Û Ø  

 

 

 

 

Ñ 

    

 

Ñ 

 

Р

    

½ 

¾ 

 

 

Р

 

 

 

Ñ 

    

Ñ 

 

 

 

Р

¡ 

´ º ½ º ¿ ¼ µ  

Ò Û × Ó Ð Ú Ø Ý × Ø Ø Ò  

 

 

    

½ 

¾ 

 

 

 

 

´   

 

 

Р

    

 

 

Р

µ  Ü 

Р

´ º ½ º ¿ ½ µ  

Page 105: Fre P. Course in General Relativity (Free Version, Lecture Notes, Web Draft, 2003)(141s)_PGr

7/29/2019 Fre P. Course in General Relativity (Free Version, Lecture Notes, Web Draft, 2003)(141s)_PGr

http://slidepdf.com/reader/full/fre-p-course-in-general-relativity-free-version-lecture-notes-web-draft 105/141

Ñ × × Ó Ò Ó Ö Ú Ø Ø Ó Ò Ð Û Ú ×   ½ ¼  

Ì × Ö × Ù Ð Ø Ò Ñ Ü Ô Ð Ø Ò Ø Ð Ø ¹ Ó Ò × × ×  

 

·   

    

½ 

¾ 

´   

 

 

·  Р

    

· 

 

  Р

µ  Ü 

Р

´ º ½ º ¿ ¾ µ  

 

·   

    

½ 

¾ 

´   

 

 

·  Р

    

 

 

  Р

µ  Ü 

Р

´ º ½ º ¿ ¿ µ  

 

   

    

½ 

¾ 

´   

· 

 

Р

    

 

 

·  Р

µ  Ü 

Р

´ º ½ º ¿ µ  

 

 

    

½ 

¾ 

´   

 

 

Р

    

 

 

Р

µ  Ü 

Р

´ º ½ º ¿ µ  

Á Ò Ø Ô Ð Ò Û Ú × Ò Ó Ø Ò Ø Ö Ú Ø Ú   Ù   Ý   Ó Ø  Û Ú  

 

·   

   

   

   

 

¼ ´ º ½ º ¿ µ  

 

·   

 

  

½ 

¾ 

 

 

 

Ü 

 

´ º ½ º ¿ µ  

Ó Ö Ñ Ó Ö Ü Ô Ð Ø Ð Ý  

 

· ¾ 

    

½ 

¾ 

 

  Ü 

¾ 

· 

 

Ü 

¿ 

 

 

· ¿ 

    

½ 

¾ 

 

 

Ü 

¾ 

     Ü 

¿ 

 

´ º ½ º ¿ µ  

Ä Ø Ù × Ò Ó Û Ó Ò × Ö Ø   × Ø Ö × × ß Ò Ö Ý Ø Ò × Ó Ö   ¿ ß Ó Ö Ñ  

£ 

Ø 

 

 

½ 

 

 

 

 

    

 

    

 

    

 

    

 

    

 

¡ 

¯ 

 

´ º ½ º ¿ µ  

Ó Ø Ø Ø × Ò Ø Ó Ò Ð Ý Ò Ó Ò Ú Ò × Ò Ó Ñ Ô Ó Ò Ò Ø ×    

·   

Ø × Ó Ò Ò    

 

    

 

    

 

¯ 

 

Ú Ò × × Ò Ø Ð Ð Ý º À Ò  

£ 

Ø 

 

 

½ 

 

 

 

   

 

   

 

¯ 

 

´ º ½ º ¼ µ  

Ó Û ´     µ Ñ Ù × Ø Ò × × Ö Ð Ý ´ ·     µ º À Ò     Ñ Ù × Ø Ò × × Ö Ð Ý ¾ Ó Ö ¿ × Ó Ø Ø     · Ð × Ó  

Ò × × Ö Ð Ý º Ì Ö Ó Ö     Ò Ò Ó Ø Ò Ý Ø Ò Ð × Ù Ø      º À Ò Ó Ò Ð Ý  

£ 

Ø 

 

× Ò Ó Ò Ú Ò × Ò º  

Ì ¬ Ò Ð Ö × Ù Ð Ø ×  

£ 

Ø 

 

    

¾ 

 

 

· ¾ 

    

· ¿ 

    

 

 

¾ 

 

 

´    µ 

¾ 

· ´ 

 

  µ 

¾ 

 

Ü 

¾ 

   Ü 

¿ 

   Ù 

´ º ½ º ½ µ  

Ó Û Ö Ð Ð Ø Ö Ð Ø Ó Ò Ø Û Ò Ø × Ø Ö × × ¹ Ò Ö Ý ¿ ß Ó Ö Ñ Ò Ø × Ø Ö × × Ò Ö Ý Ø Ò × Ó Ö  

£ 

Ø 

 

  Ì 

Ô 

 

Ô Õ 

¯ 

Õ Ö × Ù  

 

Ö 

   

× 

   

Ù 

´ º ½ º ¾ µ  

Ø Ó Ð Ð Ó Û × Ø Ø Û Ú  

£ 

Ø 

 

¾  ¡  ¿  Ø 

 

 

  · 

¯ 

· ¾ ¿   

 

¾ 

    

¿ 

    

 

´ º ½ º ¿ µ  

  Ø 

 

Ü 

¾ 

   Ü 

¿ 

   Ù  ´ º ½ º µ  

À Ò Ý Ó Ñ Ô Ö × Ó Ò Û Ó Ò Ð Ù  

Ø 

 

     Ø 

¼ ½ 

 

½ 

¿   

 

´    µ 

¾ 

· ´ 

 

  µ 

¾ 

 

´ º ½ º µ  

Û Ö  

   

½    

¿ 

´ º ½ º µ  

Page 106: Fre P. Course in General Relativity (Free Version, Lecture Notes, Web Draft, 2003)(141s)_PGr

7/29/2019 Fre P. Course in General Relativity (Free Version, Lecture Notes, Web Draft, 2003)(141s)_PGr

http://slidepdf.com/reader/full/fre-p-course-in-general-relativity-free-version-lecture-notes-web-draft 106/141

Ñ × × Ó Ò Ó Ö Ú Ø Ø Ó Ò Ð Û Ú ×   ½ ¼  

º ½ º ½ º ¿ Ë Ó Ð Ù Ø Ó Ò Ó Ö Ø Ô Ö Ø Ù Ö Ø Ó Ò Ù Ò Ö Ø Ó × Ò Ó Ò Ø Ó Ò ×  

Ï Ò Û Ø Ó Ù Ö Ö Ü Ô Ò × Ó Ò Ò Ø Ø Ñ Ó Ó Ö Ò Ø  

 

´  Ü   µ  

½ 

Ô   

¾  

  

·  ½ 

½ 

Ø  

  Ø 

 

´  Ø Ü   µ ´ º ½ º µ  

Í × Ò Ø Ò Ö Ð Ó Ö Ñ Ù Ð Ü Ô Ö × × Ò Ø Ô Ö Ø Ù Ö Ø Ó Ò Ú Ø Ö Ø Ö Ö Ò Ù Ò Ø Ó Ò Û Ø  

 

´  Ü   µ         

  

 

¿ 

Ö 

¼ 

 

      Ö    Ö 

¼ 

 

Ì 

 

´  Ö  

¼ 

µ 

  Ö     Ö 

¼ 

 

´ º ½ º µ  

Ì À Ð Ö Ø Ù Ó Ò Ø Ó Ò Ñ Ô Ð ×  

 

¼ 

¼   

  - 

¼   

   

 

 

´ º ½ º µ  

Ò × Ò   - 

 

× × Ý Ñ Ñ Ø Ö Û Ò Ó Ò Ð Ù  

¼   

 

 

 

 

 

 

´ º ½ º ¼ µ  

¼ ¼ 

 

 

 

 

 

  ¼ 

    

½ 

 

¾ 

 

 

 

 

  ¼ 

´ º ½ º ½ µ  

À Ò Ø × Ù Æ × Ø Ó Ø Ö Ñ Ò Ø × Ô Ø Ð Ó Ñ Ô Ó Ò Ò Ø ×   - 

 

º 

º ½ º ½ º Å Ù Ð Ø Ô Ó Ð Ö Ü Ô Ò × Ó Ò  

Ó Ò × Ö Ø × Ô Ø Ð Ö Ò Ù Ò Ø Ó Ò  

  ´  Ü      Ü 

¼ 

µ     

½ 

  Ü     Ü 

¼ 

 

´ º ½ º ¾ µ  

Ò Ö Û Ö Ø Ø × Ó Ð Ð Ó Û ×  

  ´  Ü     Ü 

¼ 

µ  

½ 

´  Ü  ¡  Ü  ·  Ü 

¼ 

¡  Ü 

¼ 

   ¾  Ü  ¡   Ü 

¼ 

µ 

½    ¾ 

´ º ½ º ¿ µ  

¬ Ò Ò  

Ê     

Ô   

Ü  ¡  Ü  ´ º ½ º µ  

Û Ó Ø Ò  

  ´  Ü     Ü 

¼ 

µ  

½ 

Ê 

 

½ · 

Ü 

¼ 

¡ Ü 

¼ 

  ¾  Ü 

¡ Ü 

¼ 

Ê 

¾ 

 

  ½    ¾ 

´ º ½ º µ  

Ø Ø Û Ò Ú Ð Ó Ô Ò Ø Ó Ô Ó Û Ö × Ö × Ó   ½  Ê   

  ´  Ü     Ü 

¼ 

µ  

½ 

Ê 

  

½ 

¾ 

½ 

Ê 

¿ 

´  Ü 

¼ 

¡   Ü 

¼ 

   ¾  Ü  ¡  Ü 

¼ 

µ ´ º ½ º µ  

· 

¿ 

 

½ 

Ê 

 

´  Ü 

¼ 

¡  Ü 

¼ 

   ¾  Ü  ¡  Ü 

¼ 

µ 

¾ 

·    ´ º ½ º µ  

Ì Ò Ü Ø × Ø Ô × Ø Ó Ö Ó Ö Ò Þ Ø Ø Ö Ñ × Ó Ó Ö Ö   Ê 

  ¿ 

Ò Ó Ó Ö Ö   Ê 

   

º Á Ò Ø × Û Ý Û Ó Ø Ò  

Page 107: Fre P. Course in General Relativity (Free Version, Lecture Notes, Web Draft, 2003)(141s)_PGr

7/29/2019 Fre P. Course in General Relativity (Free Version, Lecture Notes, Web Draft, 2003)(141s)_PGr

http://slidepdf.com/reader/full/fre-p-course-in-general-relativity-free-version-lecture-notes-web-draft 107/141

Ñ × × Ó Ò Ó Ö Ú Ø Ø Ó Ò Ð Û Ú ×   ½ ¼  

Ë Ì Ë Ä Á º º º º  

  ´  Ü     Ü 

¼ 

µ  

½ 

Ê 

· 

Ü  ¡  Ü 

¼ 

Ê 

¿ 

´ º ½ º µ  

· 

¿ 

¾ 

´  Ü 

¼ 

¡  Ü 

¼ 

µ ´  Ü  ¡  Ü  µ 

Ê 

 

  

½ 

¾ 

Ü 

¼ 

¡  Ü 

¼ 

Ê 

¿ 

´ º ½ º µ  

· 

¿ 

 

´  Ü 

¼ 

¡  Ü 

¼ 

µ 

¾ 

Ê 

 

  

¿ 

¾ 

´  Ü 

¼ 

¡  Ü 

¼ 

µ ´  Ü  ¡  Ü 

¼ 

µ 

Ê 

 

·    ´ º ½ º ¼ µ  

´ º ½ º ½ µ  

Ë Ó Ø Ø  

  ´  Ü     Ü 

¼ 

µ  

½ 

Ê 

´ º ½ º ¾ µ  

· 

  

 

Ü 

 

Ü 

  ¼ 

Ê 

¿ 

´ º ½ º ¿ µ  

· 

½ 

¾ 

  

 

 

¿  Ü 

  ¼ 

Ü 

  ¼ 

  Ü 

¼ 

 

¾ 

Æ 

 

¡ 

Ü 

 

Ü 

 

Ê 

 

´ º ½ º µ  

·    ´ º ½ º µ  

Ì ¬ Ö × Ø Ø Ö Ð Ò × Ò Ø Ó Ú Õ Ù Ø Ó Ò ¬ Ò ¸ Ö × Ô Ø Ú Ð Ý  

´ µ  Ø Ñ Ó Ò Ó Ô Ó Ð Ñ Ó Ñ Ò Ø  

´ µ   Ø Ô Ó Ð Ñ Ó Ñ Ò Ø  

´ µ   Ø Õ Ù Ö Ù Ô Ó Ð Ñ Ó Ñ Ò Ø  

Ì Ó × Ø × Ó Ò × Ö Ø Ô Ó Ø Ò Ø Ð Ô Ö Ó Ð Ñ Ò Û Ø Ó Ò Ò Ø Ó Ö Ý  

¡ ¨ ´  Ü  µ     ´  Ü  µ ´ º ½ º µ  

Û Ö     ´  Ü  µ  × Ø Ñ × × Ò × Ø Ý º Ì × Ó Ð Ù Ø Ó Ò Ò Û Ö Ø Ø Ò Ò Ø Ö Ñ × Ó Ø × Ô Ø Ð Ö Ò Ù Ò Ø Ó Ò Ó  

Ø Ð Ô Ð Ò   ¡  × Ó Ð Ð Ó Û ×  

¨ ´  Ü  µ     

  

  ´  Ü 

¼ 

µ 

  Ü     Ü 

¼ 

 

 

¿ 

Ü 

¼ 

´ º ½ º µ  

Í × Ò Ø Ñ Ù Ð Ø Ô Ó Ð Ö Ü Ô Ò × Ó Ò Ó Ø Ö Ò Ù Ò Ø Ó Ò Û Ø  

¨ ´  Ü  µ     

Å 

Ê 

  

 

Ê 

¿ 

  

 

Ü 

 

 

 

´ º ½ º µ  

  

 

¾  Ê 

 

  

 

Ü 

 

Ü 

 

É 

 

·    ´ º ½ º µ  

Û Ö  

Å   

Ê 

 

¿ 

Ü 

¼ 

  ´  Ü 

¼ 

µ Ñ × ×  

 

 

 

Ê 

 

¿ 

Ü 

¼ 

Ü 

  ¼ 

  ´  Ü 

¼ 

µ Ô Ó Ð  

É 

 

 

Ê 

 

¿ 

Ü 

¼ 

 

¿  Ü 

  ¼ 

Ü 

  ¼ 

  Ü 

¼ 

 

¾ 

Æ 

 

¡ 

  ´  Ü 

¼ 

µ Õ Ù Ö Ù Ô Ó Ð  

´ º ½ º ¼ µ  

Ì Ò Ó Ø Ó Ø × Ó Ø Ö Ð Ø Ú × Ø Û Ú º º   Ï Ü Ô Ò Ø Ô × Ø Ó Ö Ó Ö Ò  

Ø Ó  

Ü Ô       Ü     Ü 

¼ 

  ℄ Ü Ô  

 

  Ê        

Ü 

¼ 

¡  Ü 

Ê 

¾ 

·  Ç   

 

½ 

Ê 

¾ 

 

´ º ½ º ½ µ  

Page 108: Fre P. Course in General Relativity (Free Version, Lecture Notes, Web Draft, 2003)(141s)_PGr

7/29/2019 Fre P. Course in General Relativity (Free Version, Lecture Notes, Web Draft, 2003)(141s)_PGr

http://slidepdf.com/reader/full/fre-p-course-in-general-relativity-free-version-lecture-notes-web-draft 108/141

Ñ × × Ó Ò Ó Ö Ú Ø Ø Ó Ò Ð Û Ú ×   ½ ¼  

Ò Û Ö Ð Ð Ø Ø Ò Ø Ö Ø Ó Ò Þ Ó Ò Û Ú  

Ê   ½       Ü 

¼ 

    ½ ´ º ½ º ¾ µ  

Ò Ñ Ð Ý Ø  

 

× Ø Ò × Ú Ö Ý   Ð Ö   Ó Ñ Ô Ö Ø Ó Ø   Û Ú ß Ð Ò Ø   Ò Ø   Ü Ø Ò × Ó Ò Ó Ø  

× Ó Ù Ö   ×  × Ñ Ð Ð   Ó Ñ Ô Ö Ø Ó Ø Û Ú ß Ð Ò Ø º Ì Ò Û Ò Û Ö Ø  

 

´  Ü   µ         

Ü Ô 

  Ê 

Ê 

  

 

¿ 

Ü 

¼ 

Ì 

 

´  Ü  

¼ 

µ ´ º ½ º ¿ µ  

Í × Ò Ø Ó Ò × Ö Ú Ø Ó Ò Ó Ø × Ø Ö × × Ò Ö Ý Ø Ò × Ó Ö    

 

Ì 

 

¼ Û Ö Û Ö Ø  

  

 

¿ 

Ü 

¼ 

Ì 

 

´  Ü  

¼ 

µ  

  

 ̈

 

 

´  Ì 

 

Ü 

 

µ    

 

 

 

Ì 

 

¡ 

Ü 

 

© 

´ º ½ º µ  

        

  

 

¿ 

Ü 

¼ 

Ì 

¼   

Ü 

 

´ º ½ º µ  

 

   

 

¾ 

  

 

¿ 

Ü 

¼ 

´  Ì 

¼   

Ü 

 

·  Ì 

¼   

Ü 

 

µ ´ º ½ º µ  

Ì ¬ Ö × Ø Ø Ö Ñ Ò Ø × Ó Ò Ð Ò × Ö Ó Ô Ô Ù × Ø × Ø Ó Ø Ð Ö Ú Ø Ú ¸ Ø Ø Ö Ð Ò Ó Ö ¹  

Ö × Ô Ó Ò × Ø Ó Ø Ü Ô Ð Ø × Ý Ñ Ñ Ø Ö Þ Ø Ó Ò Ó Ø Ö × Ù Ð Ø Ù Ø Ó Ø × Ý Ñ Ñ Ø Ö Ý Ó   - 

 

º Ô Ô Ð Ý Ò Ø  

Ô Ö Ú Ó Ù × Ô Ö Ó Ù Ö × Ó Ò Ø Ñ Û Ó Ø Ò  

  

 

¿ 

 Ü 

¼ 

Ì 

 

´  Ü  

¼ 

µ     

 

¾ 

¾ 

  

 

¿ 

Ü 

¼ 

Ì 

¼ ¼ 

Ü 

¼ 

 

Ü 

¼ 

 

´ º ½ º µ  

Á Ò Ø Ó Ò Û Ñ Ô Ó × Ø Ø Ø Ô Ö Ø Ù Ö Ø Ó Ò   - 

 

× Ó Ù Ð Ø Ö Ð × × Ò Ø ¿ ß Ñ Ò × Ó Ò Ð × Ò ×  

Û Ø Ø × Ñ ¬ Ò Ð Ó Ö Ñ Ù Ð  

 

´  Ü   µ     

¾ 

¿ 

 

¾ 

 

  Ê 

Ê 

É 

 

´    µ ´ º ½ º µ  

É 

 

´    µ  

  

 

¿ 

Ü 

¼ 

Ì 

¼ ¼ 

´  Ü  

¼ 

µ 

 

¿  Ü 

¼ 

 

Ü 

¼ 

 

  Ü 

¼ 

 

¾ 

Æ 

 

¡ 

´ º ½ º µ  

Í Ò Ó Ò Ø Ø Ñ Ó Ù Ö Ö Ø Ö Ò × Ó Ö Ñ Û Ò Ð × Ó Û Ö Ø  

 

´  Ø Ü   µ  

¾ 

¿ 

 

½ 

Ê 

 

¾ 

Ø 

¾ 

É 

 

´  Ø  µ ´ º ½ º ¼ µ  

Û Ö  

É 

 

´  Ø  µ Ø Ñ Ô Ò Ò Ø Õ Ù Ö Ù Ô Ó Ð Ñ Ó Ñ Ò Ø ´ º ½ º ½ µ  

Ü Ø Û Ð Ó Ö Ø Ø Ó Ö Ñ Ù Ð Ó Ö Ø × Ø Ö × × ß Ò Ö Ý Ø Ò × Ó Ö Ó Ø Ô Ð Ò Û Ú  

Ò Ö Ý Ð Ó × × Ý Õ Ù Ö Ù Ô Ó Ð Ö Ø Ó Ò  

Ï Ò Û Ð Ù Ð Ø Ø × Ø Ö × × ß Ò Ö Ý Ø Ò × Ó Ö Ó Ø Ô Ð Ò Û Ú Û Ü Ô Ö × × Ø Ò Ø Ö Ñ × Ó Ø  

Ó Ð Ð Ó Û Ò Õ Ù Ö Ø Ó Ö Ñ  

´    µ 

¾ 

· 

 

 

 

 

¾ 

    ´  - 

¾ ¿ 

µ 

¾ 

· 

½ 

 

´  - 

¾ ¾ 

    - 

¿ ¿ 

µ 

¾ 

´ º ½ º ¾ µ  

Page 109: Fre P. Course in General Relativity (Free Version, Lecture Notes, Web Draft, 2003)(141s)_PGr

7/29/2019 Fre P. Course in General Relativity (Free Version, Lecture Notes, Web Draft, 2003)(141s)_PGr

http://slidepdf.com/reader/full/fre-p-course-in-general-relativity-free-version-lecture-notes-web-draft 109/141

Ñ × × Ó Ò Ó Ö Ú Ø Ø Ó Ò Ð Û Ú ×   ½ ¼  

Ï Ó Ù × Ó Ò Ø × Ø Ö Ù Ø Ù Ö Ó × Ù Ò Ü Ô Ö × × Ó Ò º Ú Ò × Ý Ñ Ñ Ø Ö Ø Ö Ð × × Ø Ò × Ó Ö Ò Ø Ö  

Ñ Ò × Ó Ò ×  

à

 

  à

 

  à

 

¼     ½    ¾    ¿ ´ º ½ º ¿ µ  

Û Ð Ó Ó Ó Ö Ò   Ë Ç  ´ ¿ µ Ò Ú Ö Ò Ø Û Ý Ó Û Ö Ø Ò  

Í      ´  à

¾ ¿ 

µ 

¾ 

· 

½ 

 

´  à

¾ ¾ 

   à

¿ ¿ 

µ 

¾ 

´ º ½ º µ  

Ò Ø Ö Ñ × Ó Ù Ò Ø Ú Ø Ó Ö  

Ò 

 

´ ½    ¼    ¼ µ ´ º ½ º µ  

Û Ó × Ô Ý × Ð Ñ Ò Ò × Ø Ø Ó Ô Ö Ó Ô Ø Ó Ò Ü × Ó Ø Ô Ð Ò Ö Ú Ø Ø Ó Ò Ð Û Ú º  

Ï Ò Û Ø × Ó Ñ Ò Ø Ø ×  

½ 

¾ 

à

 

à

 

 

½ 

¾ 

 

à

¾ 

½ ½ 

·  à

¾ 

¾ ¾ 

·  à

¾ 

¾ ¿ 

´ º ½ º µ  

· ¾  à

¾ 

½ ¾ 

· ¾  à

¾ 

½ ¿ 

· ¾  à

¾ 

¾ ¿ 

 

´ º ½ º µ  

   à

 

Ò 

 

à

 

Ò 

 

    

 

à

¾ 

½ ½ 

·  à

¾ 

½ ¾ 

·  à

¾ 

½ ¿ 

¡ 

´ º ½ º µ  

½ 

 

 

à

 

Ò 

 

Ò 

 

¡ 

¾ 

 

½ 

 

à

¾ 

½ ½ 

´ º ½ º µ  

À Û Ó Ò Ð Ù Ø Ø  

Í   

½ 

¾ 

à

 

à

 

  

½ 

¾ 

à

 

à

 

Ò 

 

Ò 

 

· 

½ 

 

 

à

 

Ò 

 

Ò 

 

¡ 

¾ 

´ º ½ º ¼ µ  

Í × Ò Ø × Ö × Ù Ð Ø Ò Ó Ù Ö Ü Ô Ö × × Ó Ò Ó Ö Ø × Ø Ö × × ¹ Ò Ö Ý Ø Ò × Ó Ö Ó Ô Ð Ò Û Ú Ø Ö Ú Ð Ð Ò Ò Ø   Ò 

Ö Ø Ó Ò Û Ö Ò Ô Ó × Ø Ó Ò Ø Ó Û Ö Ø Ó Û Ò Ø   Ò Ö Ý   Ö Ø Û Ý   Ô Ö Ù Ò Ø Ø Ñ   Ò   Ô Ö 

Ù Ò Ø × Ó Ð Ò Ð   Ý Ö Ú Ø Ø Ó Ò Ð Ñ × × Ó Ò º Á Ò Ò × Ó Ð Ò Ð Ù Ò Ø     ª Ö Ó Ù Ò Ø Ö Ø Ó Ò  

Ò  Û Ú  

 

Ø   ª 

   

 

½ 

¾ 

à

 

à

 

  

½ 

¾ 

à

 

à

 

Ò 

 

Ò 

 

´ º ½ º ½ µ  

· 

½ 

 

 

à

 

Ò 

 

Ò 

 

¡ 

¾ 

 

´ º ½ º ¾ µ  

Û Ö     × Ñ Ù Ð Ø Ô Ð Ø Ú Ó Ò × Ø Ò Ø Ø Ø Û ¬ Ü Ð Ø Ö Ý Ó Ñ Ô Ö × Ó Ò Û Ø Ó Ù Ö Ô Ö Ú Ó Ù × Ö × Ù Ð Ø ×  

Á Ò Ø Ö Ø Ó Ò Ó Ò × Ó Ð Ò Ð ×  

Ï Ö Ð Ý Ó Ò Ø Ó Ö Ø Ó Ó Ò Ð Ø Ý Ó × Ô Ö Ð Ö Ñ Ó Ò ×  

½ 

   

  

  ª  Ò 

 

Ò 

 

 

½ 

   

  

Ë Ò Ò  

 

Ò 

 

´ º ½ º ¿ µ  

 

½ 

¿ 

Æ 

 

´ º ½ º µ  

Page 110: Fre P. Course in General Relativity (Free Version, Lecture Notes, Web Draft, 2003)(141s)_PGr

7/29/2019 Fre P. Course in General Relativity (Free Version, Lecture Notes, Web Draft, 2003)(141s)_PGr

http://slidepdf.com/reader/full/fre-p-course-in-general-relativity-free-version-lecture-notes-web-draft 110/141

Ñ × × Ó Ò Ó Ö Ú Ø Ø Ó Ò Ð Û Ú ×   ½ ¼  

Û Ñ Ñ Ø Ð Ý Ó Ð Ð Ó Û × Ö Ó Ñ  

Ò 

½ 

  Ó ×   ´ º ½ º µ  

Ò 

¾ 

  Ë Ò Ó ×   ´ º ½ º µ  

Ò 

¿ 

  Ë Ò Ë Ò   ´ º ½ º µ  

Ë Ñ Ð Ö Ð Ý Û Ú  

½ 

   

  

  ª  Ò 

 

Ò 

 

Ò 

Ñ 

Ò 

Ö 

Ó Ò × Ø  

 

Æ 

 

Æ 

Ñ Ö 

·  Æ 

Ñ 

Æ 

Ö 

´ º ½ º µ  

·  Æ 

Ö 

Æ 

Ñ 

 

´ º ½ º µ  

Ì Ó Ò × Ø Ò Ø Ò Ñ Ñ Ø Ð Ý ¬ Ü Ý Ø Ò Ø Ø Ö         Ò Ó Ñ Ô Ö Ò Û Ø Ø Ô Ö Ú Ó Ù ×  

Ö × Ù Ð Ø  

½ 

   

  

  ª  Ò 

Ñ 

Ò 

Ö 

Ó Ò × Ø  Æ 

Ñ Ö 

    Ó Ò × Ø  

½ 

½  

´ º ½ º ½ ¼ ¼ µ  

À Ò Ò Ø Ö Ø Ò Ó Ò Ø × Ó Ð Ò Ð Û Ø  

 

Ø 

   

  

  ª 

 

Ø   ª 

´ º ½ º ½ ¼ ½ µ  

   

 

½ 

¾ 

  

½ 

¿ 

· 

¾ 

½   ¡   

 

à

 

à

 

´ º ½ º ½ ¼ ¾ µ  

 

   

 

à

 

à

 

´ º ½ º ½ ¼ ¿ µ  

Ê Ð Ð Ò Ø Ò Ó Ö Ñ Ð Þ Ø Ó Ò Ó Ø Ò Ö Ý Ò × Ø Ý Ò Ø   Ò  ß Ø Ö Ø Ó Ò  

Ø 

¼   

Ò 

 

    

½ 

½    

 

  

¾ 

· 

 

 

¾ 

 

´ º ½ º ½ ¼ µ  

Ò Ø Ò Ó Ö Ñ Ð Þ Ø Ó Ò Ó Ø × Ó Ð Ù Ø Ó Ò Ó Ö Ø Ñ Ø Ö Ô Ö Ø Ù Ö Ø Ó Ò  

 

 

½ 

Ê 

¾ 

¿ 

 

 

¾ 

É 

 

Ø 

¾ 

´ º ½ º ½ ¼ µ  

Û Ó Ø Ò  

  ª 

 

Ø   ª 

 

½ 

½    

½ 

Ê 

¾ 

 

 

 

¾ 

 

½ 

¾ 

 

 

¿ 

É 

 

Ø 

¿ 

 

¾ 

´ º ½ º ½ ¼ µ  

·   

 

Ê 

¾ 

  ª ´ º ½ º ½ ¼ µ  

× Ó Ø Ø Û Ó Ò Ð Ù Û Ø Ø Ò Ø ¬ Ø Ó Ò ×  

   

 

¿    

  à

 

 

 

¿ 

É 

 

Ø 

¿ 

´ º ½ º ½ ¼ µ  

Page 111: Fre P. Course in General Relativity (Free Version, Lecture Notes, Web Draft, 2003)(141s)_PGr

7/29/2019 Fre P. Course in General Relativity (Free Version, Lecture Notes, Web Draft, 2003)(141s)_PGr

http://slidepdf.com/reader/full/fre-p-course-in-general-relativity-free-version-lecture-notes-web-draft 111/141

Ñ × × Ó Ò Ó Ö Ú Ø Ø Ó Ò Ð Û Ú ×   ½ ½ ¼ 

Ò Û Ø Ø Ð Ö Ø   Ò × Ø Ò Ó Ö Ñ Ù Ð   

 

Ø 

 

 

 

 

 

¿ 

É 

 

Ø 

¿ 

 

¾ 

´ º ½ º ½ ¼ µ  

Ü Ô Ö × × Ò Ø Ò Ö Ý Ö Ø Ô Ö Ù Ò Ø Ø Ñ Ò Ø Ö Ñ × Ó Ø × Õ Ù Ö Ó Ø Ø Ö Ö Ú Ø Ú Ó Ø  

Õ Ù Ö Ù Ô Ó Ð Ñ Ó Ñ Ò Ø º  

Ã Ô Ð Ö Ò Ô Ö Ñ Ø Ö × Ó Ò Ö Ý × Ø Ö × Ý × Ø Ñ  

Ö Ó Ñ Ø Ú Û Ô Ó Ò Ø Ó Ò Û Ø Ó Ò Ò Ñ Ò ×   Ø Û Ó ß Ó Ý × Ý × Ø Ñ   Ò Ö Ù Ø Ó   Ó Ò ß Ó Ý  

Ô Ö Ó Ð Ñ   Ò Ø × Ó Ò Ø Ö Ð Ó Ö × º Ó Ö Ô Ó Ø Ò Ø Ð  

Π ´  Ö 

½ ¾ 

µ     

 

Ö 

½ ¾ 

´ º ½ º ½ ½ ¼ µ  

Ò Ò Ø Ö Ó Ù Ò Ø Ö Ù Ñ × ×  

   

 

½ 

 

¾ 

 

½ 

·   

¾ 

´ º ½ º ½ ½ ½ µ  

Ò Ñ Ò   Ö    Ö 

½ ¾ 

¸  Ø × Ó Ð Ù Ø Ó Ò Ó Ø Ý Ò Ñ Ð Ô Ö Ó Ð Ñ Ó Ö Ø Ó Ö Ø × × Ú Ò Ý Ø Ð Ð Ô Ø Ó Ö Ø ×  

Ö   

 

´ 

½     

¾ 

µ 

½ ·  Ó ×  

´ º ½ º ½ ½ ¾ µ  

Û Ö Ø Ó Ñ Ø Ö Ð Ô Ö Ñ Ø Ö × Ö Ö Ð Ø Ø Ó Ò Ö Ý Ò Ò Ù Ð Ö Ñ Ó Ñ Ò Ø Ù Ñ Ý  

      

 

¾   

   

¾ 

½ · 

¾  Р

¾ 

 

¾ 

´ º ½ º ½ ½ ¿ µ  

Á Ò Ø × Ó Ø Æ Û Ø Ó Ò Ò Ô Ó Ø Ò Ø Ð  

     

½ 

 

¾ 

´ º ½ º ½ ½ µ  

Ò Ø Ö Ó Ö Ë Ì Ë Ä Á º º º  

      

 

½ 

 

¾ 

 

¾   

   

¾ 

½ · 

¾  Р

¾ 

´   

½ 

·   

¾ 

µ 

 

¿ 

½ 

 

¿ 

¾ 

 

¾ 

´ º ½ º ½ ½ µ  

À Û Ù Ø Ó Ñ Ø Ö Ð Ô Ö Ñ Ø Ö × Ó Ò Ö Ý × Ø Ö × Ý × Ø Ñ Ó Ö Ø ¸ Û Ò Ð Ù Ð Ø  

Ø Ô Ý × Ð Ô Ö Ñ Ø Ö × ´ Ñ × × × Ò Ò Ù Ð Ö Ñ Ó Ñ Ò Ø Ù Ñ º   À Ó Û Ó Û Ù Ø Ó Ñ Ø Ö Ð  

Ô Ö Ñ Ø Ö ×   À Ð Ô Ó Ñ × Ö Ó Ñ Ø  

È Ê Á Ë Ì Ê Ç Î  

Á Ò Ò Ö Ð Ö Ð Ø Ú Ø Ý Û Ú Ø Ó Ö Ñ Ù Ð Ó Ö Ø Ô Ö × Ø Ö Ó Ò Ú Ò  

¡  ³     

Ñ 

  ´ ½      

¾ 

µ 

  Ñ   

Å 

 

¾ 

´ º ½ º ½ ½ µ  

Ò  

Ã È Ä Ê Ì À Á Ê Ä Ï  

Ì Ô Ö Ó × Ú Ò Ý  

Ì  ¾   

¿    ¾ 

Ö  

 

 

´ º ½ º ½ ½ µ  

Page 112: Fre P. Course in General Relativity (Free Version, Lecture Notes, Web Draft, 2003)(141s)_PGr

7/29/2019 Fre P. Course in General Relativity (Free Version, Lecture Notes, Web Draft, 2003)(141s)_PGr

http://slidepdf.com/reader/full/fre-p-course-in-general-relativity-free-version-lecture-notes-web-draft 112/141

Ñ × × Ó Ò Ó Ö Ú Ø Ø Ó Ò Ð Û Ú ×   ½ ½ ½ 

Ã Ô Ð Ö Ø Ö Ð Û Ó Ð Ð Ó Û × Ö Ó Ñ Ò Ø Ö Ø Ó Ò Ó Ø Ö Ö Ú Ø Ú  

 

Ø 

 

½ 

¾ 

Ö 

¾ 

 

   

 

¾   

       

Ì 

¾   

    ´ º ½ º ½ ½ µ  

À Ò Ó Ö Ò Ö Ý × Ø Ö × Ý × Ø Ñ Û Ò Û Ö Ø Ø Ø Û Ó Õ Ù Ø Ó Ò ×  

Ì  ¾   

¿    ¾ 

×  

½ 

  ´   

½ 

·   

¾ 

µ 

´ º ½ º ½ ½ µ  

¡  ³     

  ´   

½ 

·   

¾ 

µ 

 

¾ 

½ 

  ´ ½      

¾ 

µ 

´ º ½ º ½ ¾ ¼ µ  

Ò Û Ð Ù Ð Ø Ø Ò Ð Ò Ö × Ô Ö Ù Ò Ø Ø Ñ Ý Ú Ò Ø Ö Ó Ù Ø Ô Ö Ó  

 

¡  ³ 

Ì 

 

Ë 

¿ 

    ´   

½ 

·   

¾ 

µ ℄ 

¿    ¾ 

 

¾ 

½ 

 

    ¾ 

Ë 

´ ½      

¾ 

Ë 

µ 

´ º ½ º ½ ¾ ½ µ  

Á Ì À Ì Ë Ä Á Ï Å Ã Í Å Ê Á Ä Ç Å È Ê Á Ë Ç Ø Û Ò Ø Ò Ö Ý × Ý × Ø Ñ  

× Ò Ø Ô Ö Ð Ó Ò Ú Ò Ó Å Ê Í Ê Û Ö  

 

¡  ³ 

Ì 

 

Å Ö  

¿ 

  Å 

Ë 

℄ 

¿    ¾ 

 

¾ 

½ 

 

    ¾ 

Å 

´ ½      

¾ 

Å 

µ 

´ º ½ º ½ ¾ ¾ µ  

Å 

Ë 

Ò Ø × Ó Ð Ö Ñ × × Ò    

Å 

 

Å 

Ø Ó Ñ Ø Ö Ð Ô Ö Ñ Ø Ö × Ó Å Ö Ù Ö Ý Ó Ö Ø ¸ Û Ð    

Ë 

 

Ë 

Ö Ø Ó × Ó Ø Ò Ö Ý × Ø Ö × Ý × Ø Ñ º ¬ Ò Ø Ñ Ò × Ó Ò Ð × × Ø Ó Ö ×  

Ü   

´   

½ 

·   

¾ 

µ 

Å 

Ë 

´ º ½ º ½ ¾ ¿ µ  

Ý   

 

Å 

 

Ë 

´ º ½ º ½ ¾ µ  

Þ   

 

½      

¾ 

Å 

½      

¾ 

Ë 

 

´ º ½ º ½ ¾ µ  

Ï Ó Ø Ò Ø Ö Ð Ø Ó Ò  

 

¡  ³ 

Ì 

 

Ë 

  Ý 

    ¾ 

Ü 

¿    ¾ 

Þ 

 

¡  ³ 

Ì 

 

Å Ö  

´ º ½ º ½ ¾ µ  

Ù Ñ Ö Ð Ð Ý Û ¬ Ò  

Þ  ½      Ý  ¾       Ü  ¾    ¾  

´ º ½ º ½ ¾ µ  

Ò Ò Ø Ø Ó Ö  

    Ý 

    ¾ 

Ü 

¿    ¾ 

Þ      ¿ ½ ¾ ´ º ½ º ½ ¾ µ  

Ï Ð Ó Ö Ñ Ö Ù Ö Ý Ø Ò Ù Ð Ö Ú Ò ×  

¾ 

¼ ¼ 

  Ò Ø Ù Ö Ý ´ º ½ º ½ ¾ µ  

Ó Ö Ø Ô Ù Ð × Ö Ò Ö Ý × Ý × Ø Ñ Û Ø  

¡  ³      ¿       Ý Ö ´ º ½ º ½ ¿ ¼ µ  

× Û × Ø Ó Ú Ö Û Ð Ñ Ò Ó Ò Ø Ö Ù Ø Ó Ò Ø Ó Ø × Ò Ò Ñ Ò Ø × Ù Ø Ó Ø   Ò Ö Ö Ó Û Ò × × Ó Ø  

× Ý × Ø Ñ   ¸ Ò Ñ Ð Ý Ø Ö Ø Ó Ø Û Ò Ø   × Ñ Ð Ø Ö Ø  

Page 113: Fre P. Course in General Relativity (Free Version, Lecture Notes, Web Draft, 2003)(141s)_PGr

7/29/2019 Fre P. Course in General Relativity (Free Version, Lecture Notes, Web Draft, 2003)(141s)_PGr

http://slidepdf.com/reader/full/fre-p-course-in-general-relativity-free-version-lecture-notes-web-draft 113/141

Ô Ø Ö      

Ì Æ Ë È ¹ Ì Á Å Ë ¸ Í Ë Ä        

Ë Ì Ê Í Ì Í Ê Æ È Æ Ê Ç Ë Á Ê Å Ë        

º ½ Á Ò Ø Ö Ó Ù Ø Ó Ò  

º ¾ Ì Ã Ö Ù × Ð Ü Ø Ò × Ó Ò Ó Ë Û Ö Þ × Ð × Ô ß Ø Ñ  

Á Ò Ø × × Ø Ó Ò Û Ó Ñ Ø Ó Ø Ë Û Ö Þ × Ð Ñ Ø Ö ´ º ¾ º ½ µ Ø Ø Û Ö Û Ö Ø Ö Ó Ö Ó Ò Ú ¹  

Ò Ò  

× 

¾ 

    

 

½     ¾ 

Ñ 

Ö 

 

Ø 

¾ 

· 

 

½     ¾ 

Ñ 

Ö 

 

  ½ 

Ö 

¾ 

·  Ö 

¾ 

 

 

¾ 

· × Ò  

¾ 

 

¾ 

¡ 

´ º ¾ º ½ µ  

Ò Û × Ø Ù Ý Ø × Ù × Ð Ô Ö Ó Ô Ö Ø × º Á Ò Ô Ö Ø Ù Ð Ö Û Ò Ú × Ø Ø Ø Ò Ø Ù Ö Ò Ø × Ò ¬ Ò  

Ó Ø Ó Ó Ö Ò Ø × Ò Ù Ð Ö Ø Ý Ø  

Ö    Ö 

Ë 

    ¾  Ñ  ´ º ¾ º ¾ µ  

Û × Ð Ð Ø Ë Û Ö Þ × Ð Ö Ù × Ò Ø Ù Ö Ò × Ó Ù Ø Ø Ó Ó Ö Ö × Ô Ó Ò Ø Ó Ò   Ú Ò Ø Ó Ö Þ Ó Ò   º Ì ×  

Ü Ô Ð Ò × Ø Ò Ó Ñ Ò Ð Ø Ù Ö   Ë Û Ö Þ × Ð Ñ Ö Ù ×   Ø Ø Ò Ô Ø Ö ¿ Û Ù × Ó Ö Ø × Ù Ö  

Ö    Ñ  º 

º ¾ º ½ Ò Ð Ý × × Ó Ø Ê Ò Ð Ö × Ô ß Ø Ñ  

Ó Ö Ò Ð Ý Þ Ò Ø Ã Ö Ù × Ð Ü Ø Ò × Ó Ò Ó Ø Ë Û Ö Þ × Ð × Ô ß Ø Ñ ¸ × Ô Ö Ô Ö Ø Ó Ö Ý Ü Ö ×  

Û Ò Ý Ó Ò × Ö Ò Ø Ô Ö Ó Ô Ö Ø × Ó Ø Û Ó ß Ñ Ò × Ó Ò Ð Ø Ó Ý ß Ñ Ó Ð ¸ Ø × Ó Ð Ð Ê Ò Ð Ö  

× Ô ß Ø Ñ º Ì × ×   Ê 

¾ 

Õ Ù Ô Ô Û Ø Ó Ð Ð Ó Û Ò Å Ò Ó Û × Ò Ñ Ø Ö  

× 

¾ 

Ê Ò Ð Ö  

     Ü 

¾ 

Ø 

¾ 

·  Ü 

¾ 

´ º ¾ º ¿ µ  

Û ¸ Ô Ô Ö Ò Ø Ð Ý ¸ × × Ò Ù Ð Ö Ø Ý Ó Ò Ø Ð Ò   À 

  Ê 

¾ 

× Ò Ð Ó Ù Ø Ý Ø Õ Ù Ø Ó Ò   Ü  ¼ º  

Ö Ù Ð Ò Ð Ý × × Ö Ú Ð × Ø Ø × Ù × Ò Ù Ð Ö Ø Ý × Ù × Ø Ó Ó Ö Ò Ø Ö Ø Ø × Ò Ø Ñ Ø Ö ´ º ¾ º ¿ µ  

× Ø Ù Ð Ð Ý - Ø Ò Ò Ö Ó Ù Ø Ø Ó Ø × Ø Ò Ö Ó Ö Ñ Ó Ø Å Ò Ó Û × Ñ Ø Ö Ú × Ù Ø Ð  

Ó Ó Ö Ò Ø Ø Ö Ò × Ó Ö Ñ Ø Ó Ò  

    Ê 

¾ 

    Ê 

¾ 

´ º ¾ º µ  

Ì Ö Ð Ú Ò Ø Ô Ó Ò Ø × Ø Ø Ø « Ó Ñ Ó Ö Ô × Ñ     × Ò Ó Ø × Ù Ö Ø Ú × Ò Ø Ñ Ô × Ø Û Ó Ð Ó Ê Ò Ð Ö  

× Ô ß Ø Ñ ¸ Ò Ñ Ð Ý Ø Ò Ø Ö   Ê 

¾ 

Ñ Ò Ó Ð Ò Ø Ó Ò Ó Ô Ò × Ù × Ø   Á     

 

Ê 

¾ 

¡ 

   Ê 

¾ 

Å Ò  

¾ 

Ó  

Å Ò Ó Û × × Ô º Ì × Ñ Ò × Ø Ø Ê Ò Ð Ö × Ô ß Ø Ñ × Ò Ó Ñ Ô Ð Ø Ò Ò Ü Ø Ò Ø Ó Ø  

Ò Ø Ö ¾ ß Ñ Ò × Ó Ò Ð Å Ò Ó Û × × Ô Å Ò  

¾ 

º Ì Ó Ø Ö Ý Ô Ó Ò Ø × Ø Ø Ø Ñ     ´  À  µ    

½ ½ ¾ 

Page 114: Fre P. Course in General Relativity (Free Version, Lecture Notes, Web Draft, 2003)(141s)_PGr

7/29/2019 Fre P. Course in General Relativity (Free Version, Lecture Notes, Web Draft, 2003)(141s)_PGr

http://slidepdf.com/reader/full/fre-p-course-in-general-relativity-free-version-lecture-notes-web-draft 114/141

Ì Ã Ö Ù × Ð Ü Ø Ò × Ó Ò Ó Ë Û Ö Þ × Ð × Ô ß Ø Ñ   ½ ½ ¿ 

Å Ò  

¾ 

Ó Ø × Ò Ù Ð Ö Ø Ý Ò Ø Ü Ø Ò × Ô ß Ø Ñ × Ô Ö Ø Ð Ý Ö Ù Ð Ö Ò Ù Ð Ð ¹ Ð Ý Ô Ö × Ù Ö º  

Ì × Ø Ù Ö × Ö Ó Ñ Ô Ð Ø Ð Ý Ò Ð Ó Ó Ù × Ø Ó Ó Ö Ö × Ô Ó Ò Ò Ø Ù Ö × Ó Ø Ã Ö Ù × Ð Ü Ø Ò × Ó Ò Ó  

Ë Û Ö Þ × Ð × Ô ß Ø Ñ º Ð × Ó Ø Ö Û Ò ¬ Ò × Ù Ø Ð Ó Ó Ö Ò Ø Ø Ö Ò × Ó Ö Ñ Ø Ó Ò    

à

  Ê 

 

   

Ê 

 

Û Ö Ñ Ó Ú × Ø × Ò Ù Ð Ö Ø Ý × Ô Ð Ý Ý Ø Ë Û Ö Þ × Ð Ñ Ø Ö Ø Ø Ë Û Ö Þ × Ð  

Ö Ù ×   Ö    Ñ  Ò × Ù Ñ Ô × Ò Ó Ø × Ù Ö Ø Ú ¸ Ö Ø Ö Ø Ñ Ô × Ø Ò Ø Ö Ë Û Ö Þ × Ð × Ô ß Ø Ñ  

Ò Ø Ó Ò Ó Ô Ò × Ù Ñ Ò Ó Ð    

à

´ Ë Û Ö Þ × Ð µ      Ã Ö Ù × Ó Ð Ö Ö Ñ Ò Ó Ð Ò Ñ Ø Ã Ö Ù × Ð  

× Ô ß Ø Ñ º Ð × Ó Ò Ù Ð Ð Ò Ð Ó Ý Û Ø Ø × Ó Ø Ê Ò Ð Ö Ø Ó Ý ß Ñ Ó Ð Ø Ñ    

à

´  À  µ Ó Ø  

Ó Ó Ö Ò Ø × Ò Ù Ð Ö Ø Ý   À  ¬ Ò Ý Ø Õ Ù Ø Ó Ò   Ö    Ñ  × Ö Ù Ð Ö Ò Ù Ð Ð ß Ð Ý Ô Ö × Ù Ö Ó  

Ã Ö Ù × Ð × Ô ß Ø Ñ º Á Ò Ø × × Ø × Ø Ò Ø Ö Ô Ö Ø Ø Ó Ò Ó Ú Ò Ø ß Ó Ö Þ Ó Ò Ð Ñ Ø Ò Ð ß Ó Ð  

Ö Ó Ò º  

Ì × Õ Ù × Ø Ó Ò Ø Ö Ó Ö × Ó Û Ó Û ¬ Ò Ø Ô Ô Ö Ó Ô Ö Ø « Ó Ñ Ó Ö Ô × Ñ     Ó Ö   

à

 

Ì Ò × Û Ö × Ô Ö Ó Ú Ý × Ý × Ø Ñ Ø Ð Ó Ö Ø Ñ Û Ó Ò × × Ø × Ó Ø Ó Ð Ð Ó Û Ò × Ø Ô ×  

´ µ Ö Ú Ø Ó Ò Ó Ø Õ Ù Ø Ó Ò × Ó Ö Ó × × ¸  

´ µ Ó Ò × Ø Ö Ù Ø Ó Ò Ó Ó Ñ Ô Ð Ø × Ý × Ø Ñ Ó Ò Ó Ñ Ò Ò Ó Ù Ø Ó Ò Ò Ù Ð Ð Ó × × ¸  

´ µ Ø Ö Ò × Ø Ó Ò Ø Ó Ó Ó Ö Ò Ø × Ý × Ø Ñ Û Ö Ø Ò Û Ó Ó Ö Ò Ø × Ö Ø Æ Ò Ô Ö Ñ Ø Ö × Ð Ó Ò  

Ø Ò Ó Ñ Ò Ò Ó Ù Ø Ó Ò Ò Ù Ð Ð Ó × × ¸  

´ Ú µ Ò Ð Ý Ø Ó Ò Ø Ò Ù Ø Ó Ò Ó Ø Ò Û Ó Ó Ö Ò Ø Ô Ø Ý Ó Ò Ø × Ó Ö Ò Ð Ó Ñ Ò Ó ¬ Ò Ø Ó Ò º  

Ï Ò Ý × Ó Û Ò Ó Û Ø × Ô Ö Ó Ù Ö Û Ó Ö × Ò Ø × Ó Ø Ñ Ø Ö ´ º ¾ º ¿ µ Ò Ð Ø Ö Û  

Ô Ô Ð Ý Ø Ø Ó Ø Ô Ý × Ð Ð Ý × Ò ¬ Ò Ø × Ó Ø Ë Û Ö Þ × Ð Ñ Ø Ö º  

Ì Ñ Ø Ö ´ º ¾ º ¿ µ × Ó Ó Ö Ò Ø × Ò Ù Ð Ö Ø Ý Ø   Ü  ¼ Û Ö Ø Ø Ö Ñ Ò Ò Ø Ø   

 

     Ü 

¾ 

× Þ Ö Ó º Á Ò Ó Ö Ö Ø Ó Ù Ò Ö × Ø Ò Ø Ö Ð Ñ Ò Ò Ó × Ù × Ò Ù Ð Ö Ø Ý Û Ó Ð Ð Ó Û Ø Ô Ö Ó Ö Ñ Ñ  

Ó Ù Ø Ð Ò Ó Ú Ò Û Û Ö Ø Ø Õ Ù Ø Ó Ò Ó Ö Ò Ù Ð Ð Ó × ×  

 

 

´  Ü  µ 

Ü 

 

 

Ü 

 

 

¼      Ü 

¾ 

 

 

Ø 

¾ 

¡ 

¾ 

· 

 

 Ü 

¾ 

¡ 

¾ 

¼ ´ º ¾ º µ  

Ö Ó Ñ Û Û Ñ Ñ Ø Ð Ý Ó Ø Ò  

 

Ü 

Ø 

 

¾ 

 

½ 

Ü 

¾ 

µ   

Ø    ¦   

  

Ü 

Ü 

µ   

Ø    ¦    Ð Ò  Ü  · Ó Ò × Ø ´ º ¾ º µ  

À Ò Û Ò Ò Ø Ö Ó Ù Ø Ò Ù Ð Ð Ó Ó Ö Ò Ø × Ý Û Ö Ø Ò  

Ø  · Ð Ò  Ü    Ú    Ú  Ó Ò × Ø    ̧   ´ Ò Ó Ñ Ò Ò Ù Ð Ð Ó × × µ  

Ø     Ð Ò  Ü    Ù    Ù  Ó Ò × Ø    ̧   ´ Ó Ù Ø Ó Ò Ò Ù Ð Ð Ó × × µ  

´ º ¾ º µ  

Ì × Ô Ó Ø Ó Ö Ö × Ô Ó Ò Ò Ò Ù Ð Ð Ó × × × × Ô Ð Ý Ò ¬ º º ½ º Ì ¬ Ö × Ø Ò Ó Ó Ó Ö ¹  

Ò Ø × × Ô Ö Ó Ö Ñ Ý Ö Ô Ð Ò   Ü Ø  Ý  Ù Ú  º Í × Ò  

Ü 

¾ 

Ü Ô  Ú     Ù  ℄ 

Ü 

Ü 

 

Ú     Ù 

¾ 

Ø   

Ú  ·  Ù 

¾ 

´ º ¾ º µ  

Ø Ñ Ø Ö ´ º ¾ º ¿ µ Ó Ñ ×  

× 

¾ 

Ê Ò Ð Ö  

     Ü Ô  Ú     Ù  ℄  Ù Ú   ´ º ¾ º µ  

Page 115: Fre P. Course in General Relativity (Free Version, Lecture Notes, Web Draft, 2003)(141s)_PGr

7/29/2019 Fre P. Course in General Relativity (Free Version, Lecture Notes, Web Draft, 2003)(141s)_PGr

http://slidepdf.com/reader/full/fre-p-course-in-general-relativity-free-version-lecture-notes-web-draft 115/141

Ì Ã Ö Ù × Ð Ü Ø Ò × Ó Ò Ó Ë Û Ö Þ × Ð × Ô ß Ø Ñ   ½ ½  

Ù Ö º ½ º   Æ Ù Ð Ð Ó × × Ó Ø Ê Ò Ð Ö Ñ Ø Ö º Ì Ø Ò Ù Ö Ú × Ö Ò Ó Ñ Ò ´  Ú  Ó Ò × Ø µ ¸ Û Ð Ø  

Ø Ó Ò × Ö Ó Ù Ø Ó Ò ´  Ù  Ó Ò × Ø µ  

Ü Ø × Ø Ô × Ø Ð Ù Ð Ø Ó Ò Ó Ø Æ Ò Ô Ö Ñ Ø Ö Ð Ó Ò Ø Ò Ù Ð Ð Ó × × º À Ö Û Ù × Ò Ö Ð  

Ô Ö Ó Ô Ö Ø Ý Ò Ó Ò Ø Ó Ð Ð Ó Û Ò Ð Ñ Ñ  

Ä Ñ Ñ º ¾ º ½ º   Ä Ø 

 

  Ã Ð Ð Ò Ú Ø Ó Ö Ó Ö Ú Ò Ñ Ø Ö    

 

´  Ü  µ Ò Ð Ø  

 

Ø   

Ü 

 

 

Ø Ø Ò Ò Ø  

Ú Ø Ó Ö Ø Ó Ó × º Ì Ò Ø × Ð Ö Ô Ö Ó Ù Ø  

    

 

 

Ø  

 

 

 

      

 

Ü 

 

 

 

 

´ º ¾ º ½ ¼ µ  

× Ó Ò × Ø Ò Ø Ð Ó Ò Ø Ó × º  

È Ö Ó Ó º ¾ º ½ º   Ì Ô Ö Ó Ó × Ñ Ñ Ø Ý Ö Ø Ð Ù Ð Ø Ó Ò º Á Û Ø Ø     Ö Ú Ø Ú Ó    

Û Ø  

 

 

  Ö   

 

 

 

Ü 

 

 

Ü 

 

 

  ß Þ  

¼ × Ò Ñ Ø Ö  

× Ó Ú º Ó Ò × Ø º  

Page 116: Fre P. Course in General Relativity (Free Version, Lecture Notes, Web Draft, 2003)(141s)_PGr

7/29/2019 Fre P. Course in General Relativity (Free Version, Lecture Notes, Web Draft, 2003)(141s)_PGr

http://slidepdf.com/reader/full/fre-p-course-in-general-relativity-free-version-lecture-notes-web-draft 116/141

Ì Ã Ö Ù × Ð Ü Ø Ò × Ó Ò Ó Ë Û Ö Þ × Ð × Ô ß Ø Ñ   ½ ½  

    

 

 

Ö   

 

Ü 

 

 

 

Ü 

 

 

 

 

  ß Þ  

¼ Ó Ö Ø Ó × Õ º  

    

 

Ö   

 

 

 

Ü 

 

 

Ü 

 

 

  ß Þ  

¼ Ó Ö Ø  

Ã Ð Ð Ò Ú º Õ º  

¼ ´ º ¾ º ½ ½ µ  

Û Ó Ø Ò Ø × Ù Ñ Ó Ø Ö Ø Ö Ñ × Ø Ø Ö × Ô Ö Ø Ð Ý Þ Ö Ó Ó Ö Ø Ö « Ö Ò Ø Ö × Ó Ò × º  

Ê Ð Ý Ò Ó Ò Ä Ñ Ñ º ¾ º ½ Ò Ê Ò Ð Ö × Ô Ø Ñ Û Ò Ó Ò Ð Ù Ø Ø  

    Ü 

¾ 

Ø 

 

´ º ¾ º ½ ¾ µ  

× Ó Ò × Ø Ò Ø Ð Ó Ò Ó × × º Á Ò Ø Ú Ø Ó Ö ¬ Ð  

 

     

 

Ø 

× Ñ Ñ Ø Ð Ý × Ò Ø Ó Ã Ð Ð Ò  

Ú Ø Ó Ö Ó Ö Ø Ñ Ø Ö ´ º ¾ º ¿ µ º Ì Ò Ý Ñ Ò × Ó × Ø Ö Ø Ó Ö Û Ö Ñ Ò Ô Ù Ð Ø Ó Ò × Û Ó Ø Ò  

   

½ 

 

Ü Ô  Ú     Ù  ℄ 

Ù  ·  Ú 

¾ 

µ   

   

 ́

Ü Ô    Ù  ℄ 

¾   

Ü Ô  Ú  ℄ Ó Ò  Ù    Ó Ò × Ø   Ó Ù Ø Ó Ò Ò Ù Ð Ð Ó × ×  

  

Ü Ô  Ú  ℄ 

¾   

Ü Ô     Ù  ℄ Ó Ò  Ú    Ó Ò × Ø   Ò Ó Ñ Ò Ò Ù Ð Ð Ó × ×  

´ º ¾ º ½ ¿ µ  

Ì Ø Ö × Ø Ô Ò Ø Ð Ó Ö Ø Ñ Ø Ø Ð × Ø Ó Ø Ü Ø Ò × Ó Ò Ñ Ô Ó Ö Ö × Ô Ó Ò × Ø Ó Ó Ó Ö Ò Ø  

Ø Ö Ò × Ó Ö Ñ Ø Ó Ò Û Ö Ø Ò Û Ó Ó Ö Ò Ø × Ö Ô Ö Ó Ô Ó Ö Ø Ó Ò Ð Ø Ó Ø Æ Ò Ô Ö Ñ Ø Ö × Ð Ó Ò Ò ¹  

Ó Ñ Ò Ò Ó Ù Ø Ó Ò Ò Ù Ð Ð Ó × × º À Ò Ò Ú Û Ó Õ º ´ º ¾ º ½ ¿ µ Û Ò Ø Ö Ó Ù Ø Ó Ó Ö Ò Ø  

Ò  

Í        

  Ù 

µ    Í     

  Ù 

Ù 

Π    

  Ú 

µ    Π    

Ú 

Ú 

´ º ¾ º ½ µ  

Ý Ñ Ò × Ó Û Ø Ê Ò Ð Ö Ñ Ø Ö ´ º ¾ º µ Ó Ñ ×  

× 

¾ 

Ê Ò Ð Ö  

     Í  ª    Π ´ º ¾ º ½ µ  

Ò Ð Ð Ý ¸ Û Ø Ù Ö Ø Ö Ó Ú Ó Ù × Ø Ö Ò × Ó Ö Ñ Ø Ó Ò  

Ì   

Π ·  Í 

¾ 

   

Π    Í 

¾ 

´ º ¾ º ½ µ  

Ø Ê Ò Ð Ö Ñ Ø Ö ´ º ¾ º ½ µ × Ö Ù Ø Ó Ø × Ø Ò Ö Ø Û Ó ß Ñ Ò × Ó Ò Ð Å Ò Ó Û × Ñ Ø Ö Ò Ø  

Ô Ð Ò   Ì   

× 

¾ 

Ê Ò Ð Ö  

     Ì 

¾ 

·   

¾ 

´ º ¾ º ½ µ  

Page 117: Fre P. Course in General Relativity (Free Version, Lecture Notes, Web Draft, 2003)(141s)_PGr

7/29/2019 Fre P. Course in General Relativity (Free Version, Lecture Notes, Web Draft, 2003)(141s)_PGr

http://slidepdf.com/reader/full/fre-p-course-in-general-relativity-free-version-lecture-notes-web-draft 117/141

Ì Ã Ö Ù × Ð Ü Ø Ò × Ó Ò Ó Ë Û Ö Þ × Ð × Ô ß Ø Ñ   ½ ½  

È Ù Ø Ø Ò Ø Ó Ø Ö Ð Ð Ø × Ø Ô × Ø Ó Ó Ö Ò Ø Ø Ö Ò × Ó Ö Ñ Ø Ó Ò Ø Ø Ö Ù × Ø Ê Ò Ð Ö Ñ Ø Ö Ø Ó  

Ø × Ø Ò Ö Ó Ö Ñ ´ º ¾ º ½ µ × Ø Ó Ð Ð Ó Û Ò  

Ü   

Ô  

 

¾ 

  Ì 

¾ 

Ø  Ö Ø Ò  

¢ 

Ì 

 

£ 

´ º ¾ º ½ µ  

Á Ò Ø × Û Ý Û Ú × Ù Ò Ð Ñ Ò Ø Ò Ø Ô Ô Ö Ò Ø × Ò Ù Ð Ö Ø Ý   Ü  ¼ × Ò Ø Ñ Ø Ö  

´ º ¾ º ½ µ × Ô Ö Ø Ð Ý Ö Ù Ð Ö Ò Ø Û Ó Ð   Ì  Ô Ð Ò º Ì × Ù Ø Ð Ô Ó Ò Ø Ó Ð Ð Ø × Ô Ö Ó Ù Ö ×  

Ø Ø Ý Ñ Ò × Ó Ø Ø Ö Ò × Ó Ö Ñ Ø Ó Ò ´ º ¾ º ½ µ Û Ú Ò Ó Ø Ó Ò Ð Ý Ð Ñ Ò Ø Ø × Ò Ù Ð Ö Ø Ý ¸ Ù Ø  

Ð × Ó   Ü Ø Ò   Ø × Ô ß Ø Ñ º Á Ò Ø ¬ Ò Ø Ó Ò ´ º ¾ º ½ µ Ó Ø   Í  Ò   Π Ó Ó Ö Ò Ø × × × Ù  

Ø Ø   Π × Ð Û Ý × Ô Ó × Ø Ú Ò   Í  Ð Û Ý × Ò Ø Ú º Ì × Ñ Ò × Ø Ø Ò Ø   Í Î  Ô Ð Ò Ø Ñ  

Ó Ê Ò Ð Ö × Ô ß Ø Ñ × Ø Õ Ù Ö Ò Ø   Í   ¼   Î   ¼ º Á Ò Ø Ö Ñ × Ó Ø ¬ Ò Ð     ¸  Ì  Ú Ö Ð × Ø  

Ñ Ó Ø Ó Ö Ò Ð Ê Ò Ð Ö × Ô Ø Ñ × Ø Ò Ù Ð Ö × Ø Ó Ö   Á  Ô Ø Ò ¬ º º ¾ Ó Ò × Ö Ò  

Ù Ö º ¾ º   Ì Ñ Ó Ê Ò Ð Ö × Ô ß Ø Ñ Ò Ø Û Ó ß Ñ Ò × Ó Ò Ð Å Ò Ó Û × × Ô ß Ø Ñ × Ø ×  

Ö Ó Ò   Á  Ó Ù Ò Ý Ø Ø Û Ó Ò Ù Ð Ð × Ù Ö ×       Ì  ´    ¼ µ Ò         Ì  ´    ¼ µ º Ì × Ð Ø Ø Ö Ö Ø  

Ñ Ó Ø Ó Ó Ö Ò Ø × Ò Ù Ð Ö Ø Ý   Ü  ¼ Ó Ø Ó Ö Ò Ð Ñ Ø Ö  

Ø Ó Ó Ö Ò Ø Ø Ö Ò × Ó Ö Ñ Ø Ó Ò ´ º ¾ º ½ µ Û × Ø Ø Ø Ñ Ò Ø Ü Ø Ò × Ô ß Ø Ñ Ó Ø  

Ô Ô Ö Ò Ø × Ò Ù Ð Ö Ø Ý   Ü  ¼ × Ø Ð Ó Ù ×    

¾ 

  Ì 

¾ 

Û × Ô Ö Ø Ð Ý Ö Ù Ð Ö Ù Ø × Ø × Ø Ò Ø Ú  

Ø Ù Ö Ó Ò   Ò Ù Ð Ð ¹ Ð × Ù Ö  º Ì × × Ù Ö × Ð × Ó Ø Ó Ù Ò Ö Ý Ó Ø Ñ   Á  Ó Ê Ò Ð Ö  

× Ô ß Ø Ñ Ò Ø × Ñ Ü Ñ Ð Ü Ø Ò × Ó Ò º Ù Ö Ø Ö Ñ Ó Ö × Ø Ø Ò      

¦   Ì  Û Ó Ø Ò   Ø   

¦ ½   º Ì ×  

Ñ Ò × Ø Ø Ò Ø Ó Ö Ò Ð Ê Ò Ð Ö × Ô Ò Ý Ø × Ø Ô Ö Ø Ð Ø × Ò Ò ¬ Ò Ø Ñ Ó Ù Ò Ø Ó   Ó Ó Ö Ò Ø  

Ø Ñ   Ø Ó Ö Ø Ó Ù Ò Ö Ý Ð Ó Ù ×   Ü  ¼ Ø × × Ð × Ó Ú Ò Ø Ö Ó Ñ Ø Ô Ð Ó Ø Ó Ò Ù Ð Ð Ó × × Ò  

¬ º º ½ º Ç Ò Ø Ó Ø Ö Ò Ø   Ô Ö Ó Ô Ö Ø Ñ   Ø Ò Ý Ø × Ø Ô Ö Ø Ð Ø Ó Ö × Ù Ð Ó Ù × Ö Ó Ñ  

Ò Ý Ó Ø Ö Ô Ó Ò Ø × Ù × Ø ¬ Ò Ø º  

Ð Ð Ø × Ø Ù Ö × Ó Ó Ù Ö Ø Ó Ý Ñ Ó Ð Ô Ô Ð Ý Ð × Ó Ø Ó Ø × Ó Ë Û Ö Þ × Ð × Ô ß Ø Ñ Ó Ò  

Ø × Ü Ø Ò Û Ø Ø × Ñ Ô Ö Ó Ù Ö º Ì Ñ Ó Ø Ó Ó Ö Ò Ø × Ò Ù Ð Ö Ø Ý   Ö    Ñ  Û Ð Ð  

Page 118: Fre P. Course in General Relativity (Free Version, Lecture Notes, Web Draft, 2003)(141s)_PGr

7/29/2019 Fre P. Course in General Relativity (Free Version, Lecture Notes, Web Draft, 2003)(141s)_PGr

http://slidepdf.com/reader/full/fre-p-course-in-general-relativity-free-version-lecture-notes-web-draft 118/141

Ì Ã Ö Ù × Ð Ü Ø Ò × Ó Ò Ó Ë Û Ö Þ × Ð × Ô ß Ø Ñ   ½ ½  

Ò Ù Ð Ð ¹ Ð × Ù Ö ¸ Ò Ø Ö Ô Ö Ø ×   Ú Ò Ø Ó Ö Þ Ó Ò   ¸ Û Ò Ö Ò    ¬ Ò Ø Ô Ö Ó Ô Ö ß Ø Ñ  

Ù Ø Ó Ò Ð Ý Ø Ö Ò   Ò ¬ Ò Ø Ò Ø Ö Ú Ð Ó Ó Ó Ö Ò Ø Ø Ñ  º Ï Ø Û Ð Ð Ò Û Ò Ó Ù Ø Ñ Ó × Ø Ô Ý × Ð  

Ò Ø Ö × Ø × Ô Ö × Ð Ý Ø Ò Ø Ö Ô Ö Ø Ø Ó Ò Ó Ø Ð Ó Ù ×   Ö  ¾  Ñ  × Ò   Ú Ò Ø Ó Ö Þ Ó Ò   À  Û Ð × Ø Ó  

Ø Ó Ò Ô Ø Ó Ð ß À Ó Ð º Ø Ø × Ò Ø Ö Ô Ö Ø Ø Ó Ò Ò × Ó Ú Ö Ó Ò Ð Ý Ø Ö Ó Ù Ø Ã Ö Ù × Ð  

Ü Ø Ò × Ó Ò Ó Ë Û Ö Þ × Ð × Ô ß Ø Ñ Ò Ø × Ð Ø Ø Ö Ò × Ý × Ø Ñ Ø Ð Ð Ý Ö Ú Ú Ø × Ñ  

Ð Ó Ö Ø Ñ Û Ú Ô Ô Ð Ø Ó Ø Ê Ò Ð Ö Ø Ó Ý Ñ Ó Ð º  

º ¾ º ¾ Ô Ô Ð Ý Ò Ø × Ñ Ô Ö Ó Ù Ö Ø Ó Ø Ë Û Ö Þ × Ð Ñ Ø Ö  

Ï Ö Ò Ó Û Ö Ý Ø Ó Ò Ð Ý Þ Ø Ë Û Ö Þ × Ð Ñ Ø Ö ´ º ¾ º ½ µ Ý Ñ Ò × Ó Ø Ø Ó Ò × Ð Ð Ù × Ø Ö Ø  

Ó Ú º Ì ¬ Ö × Ø × Ø Ô Ó Ò × × Ø × Ó Ö Ù Ò Ø Ø Ó Ø Û Ó ß Ñ Ò × Ó Ò × Ý ¬ Ü Ò Ø Ò Ù Ð Ö Ó Ó Ö Ò Ø ×  

Ø Ó Ó Ò × Ø Ò Ø Ú Ð Ù ×        

¼ 

¸       

¼ 

º Á Ò Ø × Û Ý Ø Ñ Ø Ö ´ º ¾ º ½ µ Ö Ù × Ø Ó  

× 

¾ 

Ë Û Ö Þ  

    

 

½    

¾  Ñ 

Ö 

 

Ø 

¾ 

· 

 

½    

¾  Ñ 

Ö 

 

  ½ 

Ö 

¾ 

´ º ¾ º ½ µ  

Ü Ø ¸ Ò Ø Ö Ù × Ô × Ô Ò Ò Ý Ø Ó Ó Ö Ò Ø ×   Ö  Ò   Ø  Û Ð Ó Ó Ó Ö Ø Ò Ù Ð Ð ß Ó × × º  

Ö Ó Ñ Ø Õ Ù Ø Ó Ò  

  

 

½    

¾  Ñ 

Ö 

 

 

Ø 

¾ 

· 

 

½    

¾  Ñ 

Ö 

 

  ½ 

 Ö 

¾ 

¼ ´ º ¾ º ¾ ¼ µ  

Û Ó Ø Ò  

Ø 

Ö 

  ¦   

Ö 

Ö     ¾  Ñ 

µ   

Ø    ¦    Ö 

£ 

´  Ö  µ ´ º ¾ º ¾ ½ µ  

Û Ö Û Ú Ò Ø Ö Ó Ù Ø × Ó Ð Ð Ê ß Ï Ð Ö   Ø Ó Ö Ø Ó × Ó Ó Ö Ò Ø   ¬ Ò Ý Ø Ó Ð Ð Ó Û Ò  

Ò ¬ Ò Ø Ò Ø Ö Ð  

Ö 

£ 

´  Ö  µ     

  

Ö 

Ö     ¾  Ñ 

Ö    Ö  · ¾  Ñ  Ð Ó  

 

Ö 

¾  Ñ 

   ½ 

 

´ º ¾ º ¾ ¾ µ  

À Ò ¸ Ò Ù Ð Ð Ò Ð Ó Ý Û Ø Õ º ´ º ¾ º µ ¸ Û Ò Ò Ø Ö Ó Ù Ø Ò Ù Ð Ð Ó Ó Ö Ò Ø ×  

Ø  ·  Ö 

£ 

´  Ö  µ   Ú    Ú  Ó Ò × Ø    ̧   ´ Ò Ó Ñ Ò Ò Ù Ð Ð Ó × × µ  

Ø     Ö 

£ 

´  Ö  µ   Ù    Ù  Ó Ò × Ø    ̧   ´ Ó Ù Ø Ó Ò Ò Ù Ð Ð Ó × × µ  

´ º ¾ º ¾ ¿ µ  

Ò Ø Ò Ð Ó Ù Ó ¬ º º ½ × Ò Ó Û Ú Ò Ý ¬ º     Á Ò × Ô Ø Ó Ò Ó Ø × Ô Ø Ù Ö Ö Ú Ð × Ø × Ñ  

Ô Ö Ó Ô Ö Ø × Û Ð Ö Ý Ó × Ö Ú Ò Ø × Ó Ø Ê Ò Ð Ö Ø Ó Ý Ñ Ó Ð º Ï Ø × Ñ Ô Ó Ö Ø Ò Ø  

Ø Ó × Ø Ö × × Ò Ø Ô Ö × Ò Ø Ñ Ó Ð × Ø Ø Ô Ó Ò Ø Ó Ø Ö Ñ Ø Ù Ð Ð Ý Ö Ô Ö × Ò Ø × ¾ ß × Ô Ö  

Ô Ö Ñ Ø Ö Þ Ý Ø Ø Û Ó Ò Ð ×     Ò     Ø Ø Û Ú Ö Þ Ø Ø Ó Ò × Ø Ò Ø Ú Ð Ù ×    

¼ 

Ò    

¼ 

º 

Ë Ò Û Ò Ò Ó Ø Ñ Ó Ù Ö ß Ñ Ò × Ó Ò Ð Ö Û Ò × × Ó Ñ Ô Ø Ó Ö Ð Ó Û Ø × Ó Ò Ó Ò Ò  

Ó Ø Ò Ý Ö Ô Ð Ò Ø ¾ ¹ × Ô Ö Û Ø Ö Ð   Ë 

½ 

Ô Ö Ñ Ø Ö Þ Ý Ø Þ Ñ Ù Ø Ð Ò Ð     º 

Á Ò Ø × Û Ý Û Ó Ø Ò Ø Ö ¹ Ñ Ò × Ó Ò Ð × Ô ß Ø Ñ × Ô Ò Ò Ý Ó Ó Ö Ò Ø ×   Ø  ¸  Ü    Ö  Ó ×    ¸ 

Ý    Ö  × Ò    º Á Ò Ø × × Ô Ø Ò Ù Ð Ð ß Ó × × Ó ¬ º º ¿ Ó Ñ Ø Û Ó ß Ñ Ò × Ó Ò Ð × Ù Ö × º Á Ò  

Ø × Ò Ù Ð Ð ß × Ù Ö × Ö Ò Ó Ø Ò Ð × Ù Ø Ø Ô Ö Ó Ø Ó Ò ×        

¼ 

    ¾ Ó Ø Ø Ö Ù Ò Ù Ð Ð × Ù Ö × Ó  

Ø Ë Û Ö Þ × Ð Ñ Ø Ö º Á Ò ¬ º º Û Ô Ö × Ò Ø Ø Û Ó Ü Ñ Ô Ð × Ó × Ù Ô Ö Ó Ø Ò Ù Ð Ð × Ù Ö × ¸ Ó Ò  

Ò Ó Ñ Ò Ò Ó Ò Ó Ù Ø Ó Ò º À Ú Ò Ó Ù Ò Ø × Ý × Ø Ñ Ó Ò Ó Ñ Ò Ò Ó Ù Ø Ó Ò Ò Ù Ð Ð ß Ó × ×  

Û Ó Ó Ú Ö Ø Ó Ô Ó Ò Ø ´ µ Ó Ó Ù Ö Ô Ö Ó Ö Ñ Ñ Ò Û Ñ Ó Ó Ö Ò Ø Ò Ö Ó Ñ   Ø Ö  Ø Ó  Ù Ú  º 

Page 119: Fre P. Course in General Relativity (Free Version, Lecture Notes, Web Draft, 2003)(141s)_PGr

7/29/2019 Fre P. Course in General Relativity (Free Version, Lecture Notes, Web Draft, 2003)(141s)_PGr

http://slidepdf.com/reader/full/fre-p-course-in-general-relativity-free-version-lecture-notes-web-draft 119/141

Ì Ã Ö Ù × Ð Ü Ø Ò × Ó Ò Ó Ë Û Ö Þ × Ð × Ô ß Ø Ñ   ½ ½  

Ù Ö º ¿ º   Æ Ù Ð Ð Ó × × Ó Ø Ë Û Ö Þ × Ð Ñ Ø Ö Ò Ø   Ö Ø  Ô Ð Ò º Ì Ø Ò Ù Ö Ú × Ö Ò Ó Ñ Ò  

´  Ú  Ó Ò × Ø µ ¸ Û Ð Ø Ø Ó Ò × Ö Ó Ù Ø Ó Ò ´  Ù  Ó Ò × Ø µ º Ô Ó Ò Ø Ò Ø × Ô Ø Ù Ö Ö Ô Ö × Ò Ø ×  

¾ ß × Ô Ö ¸ Ô Ö Ñ Ø Ö Þ Ý Ø Ò Ð ×    

¼ 

Ò    

¼ 

º Ì Ø Ú Ö Ø Ð Ð Ò × Ø × Ù Ö   Ö    Ö 

Ë 

¾  Ñ 

Ó Ö Ö × Ô Ó Ò Ò Ø Ó Ø Ó Ó Ö Ò Ø × Ò Ù Ð Ö Ø Ý º × Ò Ø × Ó Ø Ê Ò Ð Ö Ø Ó Ý Ñ Ó Ð Ø Ò Ù Ð Ð ¹ Ó × ×  

Ò Ó Ñ Ò Ö Ó Ñ Ò ¬ Ò Ø Ý Ö Ø Ó Ó Ö Ò Ø × Ò Ù Ð Ö Ø Ý Ó Ò Ð Ý Ø × Ý Ñ Ô Ø Ó Ø Ð Ð Ý Ð Ø Ø Ñ ×   Ø      ·  ½ 

Ë Ñ Ð Ö Ð Ý Ó Ù Ø Ó Ò Ò Ù Ð Ð ¹ Ó × × Û Ö Ó Ò Ø × × Ù Ö Ó Ò Ð Ý Ø × Ý Ñ Ô Ø Ó Ø Ð Ð Ý Ö Ð Ý Ø Ñ ×   Ø  ½ 

Ý × Ø Ö Ø Ó Ö Û Ö « Ö Ò Ø Ø Ó Ò Ó Õ º × ´ º ¾ º ¾ ¾ µ ¸ ´ º ¾ º ¾ ¿ µ Û Ó Ø Ò  

Ö      

 

½    

Ö 

Ë 

Ö 

 

Ù     Ú 

¾ 

Ø   

Ù  ·  Ú 

¾ 

´ º ¾ º ¾ µ  

× Ó Ø Ø Ø Ö Ù Ë Û Ö Þ × Ð Ñ Ø Ö ´ º ¾ º ½ µ Ó Ñ ×  

× 

¾ 

Ë Û Ö Þ  

    

 

½    

Ö 

Ë 

Ö 

 

Ù  ª    Ú  ´ º ¾ º ¾ µ  

Í × Ò Ø ¬ Ò Ø Ó Ò ´ º ¾ º ¾ ¾ µ Ó Ø Ø Ó Ö Ø Ó × Ó Ó Ö Ò Ø Û Ò Ð × Ó Û Ö Ø  

 

½    

Ö 

Ë 

Ö 

 

     Ü Ô 

 

Ú     Ù 

¾  Ö 

Ë 

 

Ü Ô 

 

  

Ö 

Ö 

Ë 

 

´ º ¾ º ¾ µ  

Û Ó Ñ Ò Û Ø ´ º ¾ º ¾ µ Ý Ð ×  

× 

¾ 

Ë Û Ö Þ  

Ü Ô  

 

  

Ö 

Ö 

Ë 

 

Ü Ô 

 

Ú     Ù 

¾  Ö 

Ë 

 

Ö 

Ë 

Ö 

Ù  ª    Ú  ´ º ¾ º ¾ µ  

Page 120: Fre P. Course in General Relativity (Free Version, Lecture Notes, Web Draft, 2003)(141s)_PGr

7/29/2019 Fre P. Course in General Relativity (Free Version, Lecture Notes, Web Draft, 2003)(141s)_PGr

http://slidepdf.com/reader/full/fre-p-course-in-general-relativity-free-version-lecture-notes-web-draft 120/141

Ì Ã Ö Ù × Ð Ü Ø Ò × Ó Ò Ó Ë Û Ö Þ × Ð × Ô ß Ø Ñ   ½ ½  

Ù Ö º º   Ò Ü Ñ Ô Ð Ó Ø Û Ó Ò Ù Ð Ð × Ù Ö × Ò Ö Ø Ý Ò Ù Ð Ð Ó × × Ó Ø Ë Û Ö Þ × Ð Ñ Ø Ö Ò  

Ø   Ö Ø  Ô Ð Ò º Ì Ø Ò Ù Ö Ú × Ö Ò Ó Ñ Ò ´  Ú  Ó Ò × Ø µ ¸ Û Ð Ø Ø Ó Ò × Ö Ó Ù Ø Ó Ò ´  Ù  Ó Ò × Ø µ º  

Ô Ó Ò Ø Ò Ø × Ô Ø Ù Ö Ö Ô Ö × Ò Ø × ¾ ß × Ô Ö ¸ Ô Ö Ñ Ø Ö Þ Ý Ø Ò Ð ×    

¼ 

Ò    

¼ 

º Ì Ø  

Ú Ö Ø Ð Ð Ò × Ø × Ù Ö   Ö    Ö 

Ë 

¾  Ñ  Ó Ö Ö × Ô Ó Ò Ò Ø Ó Ø Ó Ó Ö Ò Ø × Ò Ù Ð Ö Ø Ý º × Ò Ø ×  

Ó Ø Ê Ò Ð Ö Ø Ó Ý Ñ Ó Ð Ø Ò Ù Ð Ð ¹ Ó × × Ò Ó Ñ Ò Ö Ó Ñ Ò ¬ Ò Ø Ý Ö Ø Ó Ó Ö Ò Ø × Ò Ù Ð Ö Ø Ý Ó Ò Ð Ý  

Ø × Ý Ñ Ô Ø Ó Ø Ð Ð Ý Ð Ø Ø Ñ ×   Ø      ·  ½  º Ë Ñ Ð Ö Ð Ý Ó Ù Ø Ó Ò Ò Ù Ð Ð ¹ Ó × × Û Ö Ó Ò Ø × × Ù Ö Ó Ò Ð Ý Ø  

× Ý Ñ Ô Ø Ó Ø Ð Ð Ý Ö Ð Ý Ø Ñ ×   Ø  ½ 

Á Ò Ó Ñ Ô Ð Ø Ò Ð Ó Ý Û Ø Õ º ´ º ¾ º ½ µ Û Ò Ò Ó Û Ò Ø Ö Ó Ù Ø Ò Û Ó Ó Ö Ò Ø ×  

Í       Ü Ô 

 

  

Ù 

¾  Ö 

Ë 

 

Π Ü Ô  

 

  

Ù 

¾  Ö 

Ë 

 

´ º ¾ º ¾ µ  

Ø Ø Ô Ð Ý Ø Ö Ó Ð Ó Æ Ò Ô Ö Ñ Ø Ö × Ð Ó Ò Ø Ò Ó Ñ Ò Ò Ó Ù Ø Ó Ò Ò Ù Ð Ð Ó × × º Ì Ò Ý  

× Ø Ö Ø Ó Ö Û Ö « Ö Ò Ø Ø Ó Ò Ó ´ º ¾ º ¾ µ Ø Ö Ù Ë Û Ö Þ × Ð Ñ Ø Ö ´ º ¾ º ¾ µ Ó Ñ ×  

× 

¾ 

Ë Û Ö Þ  

      

Ö 

¿ 

Ë 

Ö 

Ü Ô 

 

  

Ö 

Ö 

Ë 

 

Í  ª    Π ´ º ¾ º ¾ µ  

Û Ö Ø Ú Ö Ð   Ö    Ö  ´  Í Î  µ × Ø Ù Ò Ø Ó Ò Ó Ø Ò Ô Ò Ò Ø Ó Ó Ö Ò Ø ×   Í Î  Ñ Ô Ð Ø Ð Ý  

Ø Ö Ñ Ò Ý Ø Ø Ö Ò × Ò Ò Ø Ð Õ Ù Ø Ó Ò  

Ö  ·  Ö 

Ë 

Ð Ó  

 

Ö 

Ö 

Ë 

   ½ 

 

  Ö 

Ë 

Ð Ó ´     Í Î  µ ´ º ¾ º ¿ ¼ µ  

Page 121: Fre P. Course in General Relativity (Free Version, Lecture Notes, Web Draft, 2003)(141s)_PGr

7/29/2019 Fre P. Course in General Relativity (Free Version, Lecture Notes, Web Draft, 2003)(141s)_PGr

http://slidepdf.com/reader/full/fre-p-course-in-general-relativity-free-version-lecture-notes-web-draft 121/141

Ì Ã Ö Ù × Ð Ü Ø Ò × Ó Ò Ó Ë Û Ö Þ × Ð × Ô ß Ø Ñ   ½ ¾ ¼ 

Á Ò Ò Ð Ó Ý Û Ø Ó Ù Ö Ø Ö Ø Ñ Ò Ø Ó Ø Ê Ò Ð Ö Ø Ó Ý Ñ Ó Ð Û Ò Ñ ¬ Ò Ð Ó Ó Ö Ò Ø Ò Ø Ó  

Ò Û Ú Ö Ð ×   Ì  Ö Ð Ø Ø Ó   Í Î  × Ò Õ º ´ º ¾ º ½ µ º Ì × ¸ Ø Ó Ø Ö Û Ø Ø Ò Ù Ð Ö Ú Ö Ð ×  

  Ñ Ù Ô Ø Ã Ö Ù × Ð Ó Ó Ö Ò Ø Ô Ø Û ¸ Ô Ù Ø Ø Ò Ø Ó Ø Ö Ð Ð Ø Ò Ø Ö Ñ Ø × Ø Ô × ¸ ×  

Ö Ð Ø Ø Ó Ø Ó Ö Ò Ð Ó Ó Ö Ò Ø Ô Ø   Ø Ö   Ý Ø Ó Ð Ð Ó Û Ò Ø Ö Ò × Ø Ó Ò Ù Ò Ø Ó Ò  

Ô Ó Ð Ö  

Ú Ö × Ù ×  

Ã Ù × Ð  

Ó Ó Ö º  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

     

     

 

Ö 

Ö 

Ë 

   ½ 

 

Ü Ô 

 

Ö 

Ö 

Ë 

 

   

¾ 

   Ì 

¾ 

Ø 

Ö 

Ë 

Ð Ó  

 

Ì  ·   

Ì     

 

    ¾ Ö Ø Ò  

 

Ì 

´ º ¾ º ¿ ½ µ  

Á Ò Ã Ö Ù × Ð Ó Ó Ö Ò Ø × Ø Ë Û Ö Þ × Ð Ñ Ø Ö ´ º ¾ º ½ µ Ø × Ø ¬ Ò Ð Ó Ö Ñ  

× 

¾ 

Ã Ö Ù ×  

 

Ö 

¿ 

Ë 

Ö 

Ü Ô 

 

Ö 

Ö 

Ë 

 

 

   Ì 

¾ 

·   

¾ 

¡ 

·  Ö 

¾ 

 

 

¾ 

· × Ò  

¾ 

 

¾ 

¡ 

´ º ¾ º ¿ ¾ µ  

Û Ö Ø   Ö    Ö  ´  Ì  µ × Ñ Ô Ð Ø Ð Ý Ø Ö Ñ Ò Ò Ø Ö Ñ × Ó   Ì  Ý Ø Ø Ö Ò × Ò Ò Ø Ð Õ Ù Ø Ó Ò ×  

´ º ¾ º ¿ ½ µ º  

º ¾ º ¿ Ò Ð Ý × × Ó Ø Ã Ö Ù × Ð Ü Ø Ò × Ó Ò Ó Ë Û Ö Þ × Ð × Ô ß Ø Ñ  

Ä Ø Ù × Ó Ò × Ö ¬ º º  

Ù Ö º º   Ø Û Ó ß Ñ Ò × Ó Ò Ð Ö Ñ Ó Ã Ö Ù × Ð × Ô ß Ø Ñ  

Page 122: Fre P. Course in General Relativity (Free Version, Lecture Notes, Web Draft, 2003)(141s)_PGr

7/29/2019 Fre P. Course in General Relativity (Free Version, Lecture Notes, Web Draft, 2003)(141s)_PGr

http://slidepdf.com/reader/full/fre-p-course-in-general-relativity-free-version-lecture-notes-web-draft 122/141

Ì Ã Ö Ù × Ð Ü Ø Ò × Ó Ò Ó Ë Û Ö Þ × Ð × Ô ß Ø Ñ   ½ ¾ ½ 

º ¾ º Å Ì À Å Ì Á È Ö Ó Ö Ñ Ñ Ò Ó Ö Ë Û Ö Þ × Ð Ö Ð Ø È Ø Ù Ö ×  

Ð Ð  

Ø Ó Ö Ø Ó × ß  

Ð ½  

Ö × Ø Ö ℄ Ö · Ä Ó Ö ¹ ½ ℄  

É É Ì Ð ß Ö × Ø Ð · ¼ º ¼ ¿ ¶ Ü ℄ ¸ Ð · ¼ º ¿ ¶ Ü ¸ ß Ü ¸ ½ ¸ ½ ¼ ¼ ¼ ℄  

Ò Ú Á Ò Ø Ö Ô Ó Ð Ø Ó Ò É É ℄  

Ì Ò Ð Ð  

Ò Ù Ð Ð Ó ß Ê Ë Ú ¸ Ù ℄ ´ Ú ¹ Ù µ » ¾ Ì Ì Ú ¸ Ù ℄ ´ Ú · Ù µ » ¾ Ú ½ ¼ º  

Ú ¾ ½ Ú ¿ ½ º Ú ¹ ¼ º Ú ¹ ½ Ú ¹ ½ º Ù ¼ º Ù ½  

Ù ½ º Ù ¹ ¼ º Ù ¹ ½ Ù ¹ ½ º  

È Ö Ñ Ø Ö È Ð Ó Ø ß ß Ò Ú Ê Ë Ú ½ ¸ Þ ℄ ℄ ¸ Ì Ì Ú ½ ¸ Þ ℄ ¸  

ß Ò Ú Ê Ë Ú ¾ ¸ Þ ℄ ℄ ¸ Ì Ì Ú ¾ ¸ Þ ℄ ¸ ß Ò Ú Ê Ë Ú ¿ ¸ Þ ℄ ℄ ¸ Ì Ì Ú ¿ ¸ Þ ℄ ¸  

ß Ò Ú Ê Ë Ú ¸ Þ ℄ ℄ ¸ Ì Ì Ú ¸ Þ ℄ ¸ ß Ò Ú Ê Ë Ú ¸ Þ ℄ ℄ ¸ Ì Ì Ú ¸ Þ ℄ ¸  

ß Ò Ú Ê Ë Ú ¸ Þ ℄ ℄ ¸ Ì Ì Ú ¸ Þ ℄ ¸ ß Ò Ú Ê Ë Þ ¸ Ú ½ ℄ ℄ ¸ Ì Ì Þ ¸ Ú ½ ℄ ¸  

ß Ò Ú Ê Ë Þ ¸ Ú ¾ ℄ ℄ ¸ Ì Ì Þ ¸ Ú ¾ ℄ ¸ ß Ò Ú Ê Ë Þ ¸ Ú ¿ ℄ ℄ ¸ Ì Ì Þ ¸ Ú ¿ ℄ ¸  

ß Ò Ú Ê Ë Þ ¸ Ú ℄ ℄ ¸ Ì Ì Þ ¸ Ú ℄ ¸ ß Ò Ú Ê Ë Þ ¸ Ú ℄ ℄ ¸ Ì Ì Þ ¸ Ú ℄ ¸  

ß Ò Ú Ê Ë Þ ¸ Ú ℄ ℄ ¸ Ì Ì Þ ¸ Ú ℄ ¸ ß ½ ¸ Þ ¸  

ß Þ ¸ ¹ ¿ º ¸ ¿ º ¸ Ì × ¹ Æ Ó Ò ¸  

Ü × Ä Ð ¹ ß Ö ¸ Ø ¸ Ì × ¹ Æ Ó Ò ¸ × Ô Ø Ê Ø Ó ¹ ½ ¸  

È Ð Ó Ø Ë Ø Ý Ð ¹  

ß ß Ì Ò × × ¼ º ¼ ¼ ½ ℄ ¸ ß Ì Ò × × ¼ º ¼ ¼ ½ ℄ ¸ ß Ì Ò × × ¼ º ¼ ¼ ½ ℄ ¸  

ß Ì Ò × × ¼ º ¼ ¼ ½ ℄ ¸ ß Ì Ò × × ¼ º ¼ ¼ ½ ℄ ¸ ß Ì Ò × × ¼ º ¼ ¼ ½ ℄ ¸  

ß Ì Ò × × ¼ º ¼ ½ ℄ ¸ ß Ì Ò × × ¼ º ¼ ½ ℄ ¸ ß Ì Ò × × ¼ º ¼ ½ ℄ ¸  

ß Ì Ò × × ¼ º ¼ ½ ℄ ¸ ß Ì Ò × × ¼ º ¼ ½ ℄ ¸ ß Ì Ò × × ¼ º ¼ ½ ℄ ¸  

ß Ì Ò × × ¼ º ¼ ½ ℄ ℄  

Page 123: Fre P. Course in General Relativity (Free Version, Lecture Notes, Web Draft, 2003)(141s)_PGr

7/29/2019 Fre P. Course in General Relativity (Free Version, Lecture Notes, Web Draft, 2003)(141s)_PGr

http://slidepdf.com/reader/full/fre-p-course-in-general-relativity-free-version-lecture-notes-web-draft 123/141

Ô Ø Ö      

Á Æ Ì Ê Ç Í Ì Á Ç Æ Ì Ç Ê Ä Ì Á Î Á Ë Ì Á          

Ç Ë Å Ç Ä Ç          

º ½ Á Ò Ø Ö Ó Ù Ø Ó Ò Ø Ó Ó × Ñ Ó Ð Ó Ý  

º ¾ Ë Ø Ù Ý Ó Ô Ö Ø Ù Ð Ö Ê Ð Ø Ó × Ñ Ñ Ø Ö  

Á Ò Ø × × Ø Ó Ò Û × Ø Ù Ý Ô Ö Ø Ù Ð Ö Ó × Ñ Ó Ð Ó Ð Ñ Ø Ö Û × Ê - Ø Ò Ø Ö Ó Ö Ó Ö Ö ¹  

× Ô Ó Ò × Ø Ó Ò Ñ Ô Ø Ý Í Ò Ú Ö × ¸ Û Ó Û Ú Ö Ü Ô Ò × º Ì Ñ Ø Ö × Ó Ø Ó Ð Ð Ó Û Ò Ó Ö Ñ  

× 

¾ 

´    µ 

       ´  Ø  µ  Ø 

¾ 

· £ ´  Ø  µ 

 

ª 

¾ 

¾ 

· ª 

¾ 

¿ 

¡ 

· ¡ ´  Ø  µ ª 

¾ 

½ 

´ º ¾ º ½ µ  

Û Ö Ø Ø Ö ½ ß Ó Ö Ñ × ª  

 

Ö Ú Ò Ý  

ª 

½ 

     Þ  · 

Ö 

¾ 

 

 

ª 

¾ 

  Ö  Ó ×    · × Ò   Ö 

ª 

¿ 

     Ó ×  Ö  ·  Ö  × Ò    ´ º ¾ º ¾ µ  

Ì Ó Ú ½ ß Ó Ö Ñ × × Ø × Ý Ø Ó Ð Ð Ó Û Ò Ö Ø Ò Å Ù Ö Ö Õ Ù Ø Ó Ò ×  

  ª 

½ 

 

 

¾ 

ª 

¾ 

   ª 

¿ 

  ª 

¾ 

¼ ´ º ¾ º ¿ µ  

  ª 

¿ 

¼ ´ º ¾ º µ  

Ì × Ñ Ò × Ø Ø Ø Ó Ò × Ø Ò Ø Ø Ñ × Ø Ó Ò × Ó Ø × Ô ß Ø Ñ ´ º ¾ º ½ µ Ö ¿ ß Ñ Ò × Ó Ò Ð Ó Ñ Ó ¹  

Ò Ó Ù × × Ô × ¸ Ò Ñ Ð Ý Ó Ô × Ó Ø Ö Ñ Ò × Ó Ò Ð Ö Ó Ù Ô Ñ Ò Ó Ð     

 

Û Ó × Ó Ö Ö × Ô Ó Ò Ò Ä  

Ð Ö × Ø Ó Ð Ð Ó Û Ò   Ò Ó Ò × Ñ × Ñ Ô Ð Ó Ò  

  Ì 

 

Ì 

 

℄   Ø 

 

 

Ì 

 

Ø 

½ 

¾ ¿ 

 

 

 

Ð Ð Ó Ø Ö Ó Ñ Ô Ó Ò Ò Ø × Ó   Ø 

 

 

Ú Ò × ´ º ¾ º µ  

× Ó Ò Ò Ý Ö Ó Ù Ô Ñ Ò Ó Ð ¸ Ø Ö Ü × Ø Ó Ò     

 

Ø Û Ó Ñ Ù Ø Ù Ð Ð Ý Ó Ñ Ñ Ù Ø Ò × Ø × Ó Ú Ø Ó Ö ¬ Ð × Ø Ø  

× Ô Ö Ø Ð Ý × Ø × Ý Ø Ä Ð Ö Ó Ø Ö Ó Ù Ô ¸ Ø Ò Ö Ø Ó Ö × Ó Ø Ð Ø Ø Ö Ò × Ð Ø Ó Ò × Ò Ø  

Ò Ö Ø Ó Ö × Ó Ø Ö Ø Ø Ö Ò × Ð Ø Ó Ò × º Ä Ø Ù × Ö Ø Ø Ø ½ ß Ó Ö Ñ × ´ º ¾ º ¾ µ Ö Ð Ø Ò Ú Ö Ò Ø º Ì Ò  

½ ¾ ¾ 

Page 124: Fre P. Course in General Relativity (Free Version, Lecture Notes, Web Draft, 2003)(141s)_PGr

7/29/2019 Fre P. Course in General Relativity (Free Version, Lecture Notes, Web Draft, 2003)(141s)_PGr

http://slidepdf.com/reader/full/fre-p-course-in-general-relativity-free-version-lecture-notes-web-draft 124/141

Ë Ø Ù Ý Ó Ô Ö Ø Ù Ð Ö Ê Ð Ø Ó × Ñ Ñ Ø Ö   ½ ¾ ¿ 

Ù Ö º ½ º   È Ó Ö Ø Ö Ø Ó Ë Ö Ï Ð Ð Ñ À Ö × Ð ´ ½ ¿ ¹ ½ ¾ ¾ µ Ê Ó Ý Ð × Ø Ö Ó Ò Ó Ñ Ð Ë Ó Ø Ý º È Ö Ó Ð Ý Ø  

Ñ Ó × Ø Ñ Ó Ù × × Ø Ö Ó Ò Ó Ñ Ö Ó Ø ½ Ø Ò Ø Ù Ö Ý ¸ Ë Ö Ï Ð Ð Ñ À Ö × Ð × Ó Ú Ö ¸ Ò Ø Ó Ò Ø Ó Ø Ô Ð Ò Ø  

Í Ö Ò Ù × ¸ Ñ Ò Ý Ò Û Ò Ù Ð ¸ Ð Ù × Ø Ö × Ó × Ø Ö × Ò Ò Ö Ý × Ø Ö × º À Û × Ø ¬ Ö × Ø Ô Ö × Ó Ò Ø Ó Ó Ö Ö Ø Ð Ý  

× Ö Ø Ó Ö Ñ Ó Ó Ù Ö Ð Ü Ý ¸ Ì Å Ð Ý Ï Ý º  

Ø Ø Ö Ô Ð Ø Ó Ú Ø Ó Ö ¬ Ð × Ø Ø Ò Ö Ø Ð Ø Ø Ö Ò × Ð Ø Ó Ò ×  

     

 

 

Û Ð Ð × Ù Ø Ø Ø Ý × Ø × Ý Ø Ä  

Ð Ö ´ º ¾ º µ Ò Ø Ä Ö Ú Ø Ú Ó Ø ª  

 

Ð Ó Ò Ø Ñ Ú Ò × × º  

 

     

 

 

 

     

 

 

 

  Ø 

 

 

     

 

 

´ º ¾ º µ  

 

     

 

 

ª 

 

¼ ´ º ¾ º µ  

Ì Ü Ô Ð Ø Ó Ö Ñ Ó × Ù Ú Ø Ó Ö ¬ Ð × × Ø Ó Ð Ð Ó Û Ò Ó Ò  

     

 

½ 

 

 

Þ 

     

 

½ 

 

¾ 

Ô   

 

× Ò   

 

Ö 

· 

¾ 

Ô   

Ö 

Ó ×   

 

 

· 

Ô   

 

¾ 

Ö  Ó ×   

 

Þ 

     

 

¾ 

    

¾ 

Ô   

 

Ó ×   

 

Ö 

· 

¾ 

Ô   

Ö 

× Ò   

 

 

· 

Ô   

 

¾ 

Ö  × Ò   

 

Þ 

´ º ¾ º µ  

Page 125: Fre P. Course in General Relativity (Free Version, Lecture Notes, Web Draft, 2003)(141s)_PGr

7/29/2019 Fre P. Course in General Relativity (Free Version, Lecture Notes, Web Draft, 2003)(141s)_PGr

http://slidepdf.com/reader/full/fre-p-course-in-general-relativity-free-version-lecture-notes-web-draft 125/141

Ë Ø Ù Ý Ó Ô Ö Ø Ù Ð Ö Ê Ð Ø Ó × Ñ Ñ Ø Ö   ½ ¾  

Ù Ö º ¾ º   Ì × Ñ Û × Ó Ø Ò Ö Ó Ñ Ø Ì ´ Ò Ð Ó Ù × Ø Ö Ð Ò Ç × Ö Ú Ø Ó Ö Ý µ Ò × Ó Û × Ø  

Ò Ø Ö Ð Ö Ó Ò Ó Ó Ù Ö Å Ð Ý Ï Ý Ð Ü Ý ¸ × Ø Ù Ø Ò Ó Ò × Ø Ð Ð Ø Ó Ò Ë Ø Ø Ö Ù × ¸ Ù Ø Ò Ö Ø Ø Ö Ò Ð Û Ø  

Ë Ó Ö Ô Ù × Ò Ç Ô Ù Ù × º  

Ò Ù × Ó Õ Ù Ø Ó Ò ´ º ¾ º µ Ø Ý Ö Ã Ð Ð Ò Ú Ø Ó Ö × Ó Ø ß Ñ Ò × Ó Ò Ð Ñ Ø Ö ´ º ¾ º ½ µ º Ì ×  

Ø Ö Ö Ò Ó Ø Ø Ó Ò Ð Ý Ã Ð Ð Ò Ú Ø Ó Ö × º Ì Ö × Ó Ù Ö Ø Ó Ò Ò Ö Ø Ò Ç ´ ¾ µ Ö Ó Ø Ø Ó Ò × ¸ Ò Ñ Ð Ý  

     

 

Ç 

 

 

 

´ º ¾ º µ  

Ì Ä Ö Ú Ø Ú × Ó Ø ½ ß Ó Ö Ñ × ª  

 

Ö Ò Ó Ø Ð Ð Þ Ö Ó Ð Ó Ò  

     

 

Ç 

¸ × Ò Û Ú  

 

     

 

Ç 

ª 

½ 

¼    

     

 

Ç 

ª 

¾ 

     ª 

¿ 

   

     

 

Ç 

ª 

¿ 

     ª 

¾ 

´ º ¾ º ½ ¼ µ  

Û Ñ Ò × Ø Ø Ù Ò Ö Ç ´ ¾ µ Ø Ø Ö ª  

 

Ö Ö Ò Ò Ø Ó × Ò Ð Ø Ò Ò Ø Ó Ó Ù Ð Ø º Ø  

     

 

Ç 

× 

Ã Ð Ð Ò Ú Ø Ó Ö Ó Ö ´ º ¾ º ½ µ ¸ × Ò Ø × Ñ Ø Ö × Û Ö Ø Ø Ò Ò Ø Ö Ñ × Ó Ç ´ ¾ µ Ò Ú Ö Ò Ø × º  

Ò Ð Ø Ö Ò Ø Ú Û Ý Ó Û Ö Ø Ò Ø Ñ Ø Ö ´ º ¾ º ½ µ Ù × × Ö Ø × Ò Ó Ó Ö Ò Ø × ¸ Ø Ö Ó Ù Ø  

× Ø Ò Ö Ò Ó Ú Ö Ð ×  

Ü    Ö  Ó ×      Ý    Ö  × Ò    ´ º ¾ º ½ ½ µ  

Á Ò Ø × Ó Ó Ö Ò Ø × ´ º ¾ º ½ µ Ö ×  

× 

¾ 

´    µ 

       ´  Ø  µ  Ø 

¾ 

· £ ´  Ø  µ 

 

Ü 

¾ 

·  Ý 

¾ 

¡ 

· ¡ ´  Ø  µ 

 

Þ  · 

 

 

´  Ü Ý     Ý Ü  µ 

 

¾ 

´ º ¾ º ½ ¾ µ  

Ò Ø Ó Ù Ö Ð Ð Ò Ú Ø Ó Ö × Ø Ø Ú Ö Ý × Ñ Ô Ð Ó Ö Ñ  

     

 

½ 

 

 

Þ 

     

 

½ 

 

 

Ü 

  

 

 

Ý 

 

Þ 

Page 126: Fre P. Course in General Relativity (Free Version, Lecture Notes, Web Draft, 2003)(141s)_PGr

7/29/2019 Fre P. Course in General Relativity (Free Version, Lecture Notes, Web Draft, 2003)(141s)_PGr

http://slidepdf.com/reader/full/fre-p-course-in-general-relativity-free-version-lecture-notes-web-draft 126/141

Ë Ø Ù Ý Ó Ô Ö Ø Ù Ð Ö Ê Ð Ø Ó × Ñ Ñ Ø Ö   ½ ¾  

     

 

¾ 

 

 

Ý 

· 

 

 

Ü 

 

Þ 

     

 

Ç 

     Ü 

 

Ý 

·  Ý 

 

Ü 

´ º ¾ º ½ ¿ µ  

Û Û Ð Ð Ú Ö Ý Ù × Ù Ð Ò Ó Ù Ö × Ù × Õ Ù Ò Ø × Ù × × Ó Ò Ó Ó × × º  

º ¾ º ½ Ò × Ø Ò Õ Ù Ø Ó Ò Ò Ñ Ø Ø Ö  

Ï × Ø Ù Ý Ù Ò Ö Û Ó Ò Ø Ó Ò × Ø Ñ Ø Ö ´ º ¾ º ½ × × Ó Ð Ù Ø Ó Ò Ó Ò × Ø Ò ¬ Ð Õ Ù Ø Ó Ò × º Ì Ó  

Ø × « Ø Û Ù × Ø Ú Ð Ò Ó Ö Ñ Ð × Ñ Ò Û Û Ö Ø Ø Ú Ö Ò × Ó Ð Ð Ó Û ×  

 

¼ 

 

Ô  

  ´  Ø  µ  Ø     

½ 

 

Ô  

¡ ´  Ø  µ ª 

½ 

   

¾    ¿ 

 

Ô  

£ ´  Ø  µ ª 

¾    ¿ 

´ º ¾ º ½ µ  

Ï Ò Ñ Ñ Ø Ð Ý Ð Ù Ð Ø Ø × Ô Ò Ó Ò Ò Ø Ó Ò Ö Ó Ñ Ø Ú Ò × Ò Ø Ó Ö × Ó Ò Õ Ù Ø Ó Ò  

 

 

·   

 

    

 

 

 

¼ ´ º ¾ º ½ µ  

Û Ö Ó Ö Ø - Ø Ñ Ø Ö Û Ú Ù × Ø Ñ Ó × Ø Ð Ý Ô Ð Ù × Ó Ò Ú Ò Ø Ó Ò  

 

 

       ·    ·    ·     ´ º ¾ º ½ µ  

Ï Ó Ø Ò Ø Ó Ð Ð Ó Û Ò Ö × Ù Ð Ø Ó Ö Ø × Ô Ò Ó Ò Ò Ø Ó Ò  

 

¼ ½ 

 

 

¡ 

¾ 

Ô 

  ¡ 

 

½ 

   

¼ ¾ 

 

 

£ 

¾ 

Ô 

  £ 

 

¾ 

 

¼ ¿ 

 

 

£ 

¾ 

Ô 

  £ 

 

¿ 

   

½ ¾ 

      

 

¡ 

£ 

 

¿ 

 

½ ¿ 

   

 

¡ 

£ 

 

¾ 

   

¾ ¿ 

   

 

¡ 

£ 

 

½ 

´ º ¾ º ½ µ  

Û Ò Ù × Ø Ó Ð Ù Ð Ø Ø Ù Ö Ú Ø Ù Ö ¾ ß Ó Ö Ñ Ò Ø Ê Ø Ò × Ó Ö Ö Ó Ñ Ø × Ø Ò Ö  

Ó Ö Ñ Ù Ð  

Ê 

 

     

 

·   

 

   

 

 

 

  Ê 

 

 

 

 

   

 

Ê  

 

   

 

Ê 

 

 

´ º ¾ º ½ µ  

Ì Ê Ø Ò × Ó Ö Ø Ù Ö Ò × Ó Ù Ø Ø Ó Ó Ò Ð Ò × Ø Ó Ð Ð Ó Û Ò Ò Ú Ð Ù ×  

Ê  

¼ ¼ 

 

 

¼ 

´  Ø  µ ¡ 

¼ 

´  Ø  µ 

    ´  Ø  µ 

¾ 

¡ ´  Ø  µ 

· 

¡ 

¼ 

´  Ø  µ 

¾ 

    ´  Ø  µ ¡ ´  Ø  µ 

¾ 

· 

 

¼ 

´  Ø  µ £ 

¼ 

´  Ø  µ 

    ´  Ø  µ 

¾ 

£ ´  Ø  µ 

· 

£ 

¼ 

´  Ø  µ 

¾ 

    ´  Ø  µ £ ´  Ø  µ 

¾ 

  

¡ 

¼ ¼ 

´  Ø  µ 

    ´  Ø  µ ¡ ´  Ø  µ 

  

£ 

¼ ¼ 

´  Ø  µ 

¾    ´  Ø  µ £ ´  Ø  µ 

Ê  

½ ½ 

 

 

¾ 

¡ ´  Ø  µ 

½ £ ´  Ø  µ 

¾ 

  

 

¼ 

´  Ø  µ ¡ 

¼ 

´  Ø  µ 

    ´  Ø  µ 

¾ 

¡ ´  Ø  µ 

  

¡ 

¼ 

´  Ø  µ 

¾ 

    ´  Ø  µ ¡ ´  Ø  µ 

¾ 

· 

¡ 

¼ 

´  Ø  µ £ 

¼ 

´  Ø  µ 

    ´  Ø  µ ¡ ´  Ø  µ £ ´  Ø  µ 

· 

¡ 

¼ ¼ 

´  Ø  µ 

    ´  Ø  µ ¡ ´  Ø  µ 

Ê  

¾ ¾ 

  Ê  

¿ ¿ 

Ê  

¿ ¿ 

 

  

 

 

¾ 

¡ ´  Ø  µ 

¡ 

½ £ ´  Ø  µ 

¾ 

  

 

¼ 

´  Ø  µ £ 

¼ 

´  Ø  µ 

    ´  Ø  µ 

¾ 

£ ´  Ø  µ 

· 

¡ 

¼ 

´  Ø  µ £ 

¼ 

´  Ø  µ 

    ´  Ø  µ ¡ ´  Ø  µ £ ´  Ø  µ 

· 

£ 

¼ ¼ 

´  Ø  µ 

    ´  Ø  µ £ ´  Ø  µ 

´ º ¾ º ½ µ  

Ï Ø Ð Ø Ø Ð Ñ Ó Ö « Ó Ö Ø Û Ò Ð Ù Ð Ø Ø Ò × Ø Ò Ø Ò × Ó Ö ¬ Ò Ý  

 

 

  Ê  

 

  

½ 

¾ 

 

 

Ê 

Ê     

 

Ê  

 

´ º ¾ º ¾ ¼ µ  

Page 127: Fre P. Course in General Relativity (Free Version, Lecture Notes, Web Draft, 2003)(141s)_PGr

7/29/2019 Fre P. Course in General Relativity (Free Version, Lecture Notes, Web Draft, 2003)(141s)_PGr

http://slidepdf.com/reader/full/fre-p-course-in-general-relativity-free-version-lecture-notes-web-draft 127/141

Ë Ø Ù Ý Ó Ô Ö Ø Ù Ð Ö Ê Ð Ø Ó × Ñ Ñ Ø Ö   ½ ¾  

Ò Û Ó Ø Ò Ó Ò Ð Ø Ò × Ó Ö Û Ø Ø Ó Ð Ð Ó Û Ò Ò Ú Ð Ù ×  

 

¼ ¼ 

 

  

 

 

¾ 

¡ ´  Ø  µ 

¡ 

¿ ¾ £ ´  Ø  µ 

¾ 

· 

¡ 

¼ 

´  Ø  µ £ 

¼ 

´  Ø  µ 

    ´  Ø  µ ¡ ´  Ø  µ £ ´  Ø  µ 

· 

£ 

¼ 

´  Ø  µ 

¾ 

    ´  Ø  µ £ ´  Ø  µ 

¾ 

 

½ ½ 

 

¿   

¾ 

¡ ´  Ø  µ 

¿ ¾ £ ´  Ø  µ 

¾ 

· 

 

¼ 

´  Ø  µ £ 

¼ 

´  Ø  µ 

    ´  Ø  µ 

¾ 

£ ´  Ø  µ 

· 

£ 

¼ 

´  Ø  µ 

¾ 

    ´  Ø  µ £ ´  Ø  µ 

¾ 

  

£ 

¼ ¼ 

´  Ø  µ 

¾    ´  Ø  µ £ ´  Ø  µ 

 

¾ ¾ 

   

¿ ¿ 

 

¿ ¿ 

 

  

 

 

¾ 

¡ ´  Ø  µ 

¡ 

¿ ¾ £ ´  Ø  µ 

¾ 

· 

 

¼ 

´  Ø  µ ¡ 

¼ 

´  Ø  µ 

    ´  Ø  µ 

¾ 

¡ ´  Ø  µ 

· 

¡ 

¼ 

´  Ø  µ 

¾ 

    ´  Ø  µ ¡ ´  Ø  µ 

¾ 

· 

 

¼ 

´  Ø  µ £ 

¼ 

´  Ø  µ 

    ´  Ø  µ 

¾ 

£ ´  Ø  µ 

  

¡ 

¼ 

´  Ø  µ £ 

¼ 

´  Ø  µ 

    ´  Ø  µ ¡ ´  Ø  µ £ ´  Ø  µ 

· 

£ 

¼ 

´  Ø  µ 

¾ 

    ´  Ø  µ £ ´  Ø  µ 

¾ 

  

¡ 

¼ ¼ 

´  Ø  µ 

    ´  Ø  µ ¡ ´  Ø  µ 

  

£ 

¼ ¼ 

´  Ø  µ 

    ´  Ø  µ £ ´  Ø  µ 

´ º ¾ º ¾ ½ µ  

Á Ø × Ö Ñ Ö Ð Ø Ø Ø Û Ò Ó Ø Ò Ò Ü Ø × Ó Ð Ù Ø Ó Ò Ó Ø Ú Ó Ð Ù Ø Ó Ò Õ Ù Ø Ó Ò × Ò Ø  

× Ò Ó Ò Ý Ñ Ø Ø Ö Ó Ò Ø Ò Ø º Ï Ø Û Ø × Ò Ñ Ô Ø Ý Ê - Ø Í Ò Ú Ö × Û Ø Ö Ø Ö Ô Ù Ð Ö  

Ô Ö Ó Ô Ö Ø × º Á Ñ Ô Ó × Ò Ø Ø Ø Ê Ø Ò × Ó Ö ´ º ¾ º ½ µ Ú Ò × × ´ Ò Ò Ð × Ó Ø Ò × Ø Ò Ø Ò × Ó Ö  

´ º ¾ º ¾ ½ µ Û Ø « Ö Ò Ø Ð Õ Ù Ø Ó Ò × Ó Ö £ ´  Ø  µ ¸ ¡ ´  Ø  µ Ò     ´  Ø  µ Ø Ø Ö Ü Ø Ð Ý × Ó Ð Ú Ý Ø  

Ó Ð Ð Ó Û Ò Ó Ó Ø Ö Ò × Ò Ò Ø Ð Ù Ò Ø Ó Ò ×  

  ´  Ø  µ Ü Ô  Ø   ℄ Ó ×  

 

Ø  

¾ 

 

£ ´  Ø  µ Ü Ô  

Ø  

¾ 

℄ Ó ×  

 

Ø  

¾ 

 

¡ ´  Ø  µ  

½ 

Ó ×  

¢ 

Ø  

¾ 

£ 

´ º ¾ º ¾ ¾ µ  

Á Ò Ó Ö Ö Ø Ó Û Ö Ø Ø Ñ Ø Ö Ò × Ø Ò Ö Ó × Ñ Ó Ð Ó Ð Ó Ö Ñ Û Ò Ø Ó Ö ¬ Ò Ø Ø Ñ Ú Ö Ð  

Ý × Ø Ø Ò  

   

Ô  

  ´  Ø  µ  Ø  ´ º ¾ º ¾ ¿ µ  

× Ó Ø Ø Ò Ø Ò Û Ó × Ñ Ø Ñ Ú Ö Ð Õ º ´ º ¾ º ½ µ Ó Ñ ×  

× 

¾ 

´    µ 

   

¾ 

· £ ´    µ 

 

ª 

¾ 

¾ 

· ª 

¾ 

¿ 

¡ 

· ¡ ´    µ ª 

¾ 

½ 

´ º ¾ º ¾ µ  

Õ Ù Ø Ó Ò ´ º ¾ º ¾ ¿ µ Ò Ü Ø Ð Ý Ò Ø Ö Ø Ò Ø Ö Ñ × Ó Ý Ô Ö Ó Ñ Ø Ö Ù Ò Ø Ó Ò × º Ï Ó Ø Ò  

  ´  Ø  µ  

¾ 

Ô   

¾ 

¿   

Ü Ô 

 

Ø  

 

 

 

Ô  

½ · Ü Ô     ℄ · ¾ 

¾ 

 

½ 

¢ 

½ 

 

 

½ 

¾ 

 

 

 

     Ü Ô  Ø   ℄ 

£ 

 

´ º ¾ º ¾ µ  

Ð Ø Ó Ù Ò Ú Ö Ø Ò Õ º ´ º ¾ º ¾ µ × Ò Ó Ø Ò Ð Ý Ø Ð Ð Ý Ô Ó × × Ð ¸ Ý Ø Ø × Ù Æ × Ø Ó Ô Ð Ó Ø Ø Ú Ó Ù Ö  

Ó Ø × Ð Ø Ó Ö × £ Ò   Ð Ø   × Ù Ò Ø Ó Ò × Ó Ø Ó × Ñ Ø Ñ     º Ì × Ú Ó Ù Ö × × Ó Û Ò Ò  

× Ú Ö Ð Ö Ô × º Á Ò ¬ Ù Ö º ¿ Û × Ø Ú Ó Ù Ö Ó Ø × Ð Ø Ó Ö × Ó Ö Ú Ö Ý Ö Ð Ý Ø Ñ × º  

Ì Ö Ð Ý ¬ Ò Ø Ú Ó Ù Ö Ó Ø × Ð Ø Ó Ö × × Ú Ö Ý Ñ Ô Ó Ö Ø Ò Ø Ó Ò × Õ Ù Ò º Ì × × Ô ¹  

Ø Ñ × Ò Ó Ò Ø Ð × Ò Ù Ð Ö Ø Ý º Á Ò Ó Ö         ¼ Ø Ù Ö Ú Ø Ù Ö ¾ ß Ó Ö Ñ × Ô Ö Ø Ð Ý Û Ð Ð Ú  

Ò Ø Ò × Ø Ó Ø Ó Ð Ð Ó Û Ò ¬ Ò Ø Ð Ñ Ø  

Ê 

¼ ½ 

 

  

½ 

¾ 

 

¾ 

   

¿ 

  Ê 

¼ ¾ 

 

  

½ 

 

 

½ 

   

¿ 

  Ê 

¼ ¿ 

 

½ 

 

 

½ 

   

¾ 

Ê 

½ ¾ 

¼   Ê 

½ ¿ 

¼   Ê 

¾ ¿ 

 

½ 

¾ 

 

¼ 

   

½ 

´ º ¾ º ¾ µ  

Page 128: Fre P. Course in General Relativity (Free Version, Lecture Notes, Web Draft, 2003)(141s)_PGr

7/29/2019 Fre P. Course in General Relativity (Free Version, Lecture Notes, Web Draft, 2003)(141s)_PGr

http://slidepdf.com/reader/full/fre-p-course-in-general-relativity-free-version-lecture-notes-web-draft 128/141

Ë Ø Ù Ý Ó Ô Ö Ø Ù Ð Ö Ê Ð Ø Ó × Ñ Ñ Ø Ö   ½ ¾  

1 2 3 4 5 6 7time

0.25

0.5

0.75

1

1.25

1.5

1.75

scale_factor

Ù Ö º ¿ º   Ú Ó Ð Ù Ø Ó Ò Ó Ø Ó × Ñ Ó Ð Ó Ð × Ð Ø Ó Ö × £ ´  Ø  µ ´ Ø Ð Ò µ Ò ¡ ´  Ø  µ ´ Ø Ò Ð Ò µ Ó Ö Ú Ö Ý  

Ö Ð Ý Ø Ñ × ¸ Û Ò Ø Í Ò Ú Ö × × Ú Ö Ý Ý Ó Ù Ò º £ × Ø Ö Ø × Ø ¬ Ò Ø Ú Ð Ù ¼   Ò Ð Û Ý × Ö Ó Û × ¸ Û Ð ¡  

× Ø Ö Ø × Ø Þ Ö Ó ¸ Ö Ó Û × Ó Ö × Ó Ñ Ø Ñ Ù Ô Ø Ó Ø Ñ Ü Ñ Ù Ñ Ú Ð Ù ½ Ò Ø Ò × Ø Ö Ø × Ö × Ò  

Á Ò ¬ º º Û × Ø Ú Ó Ð Ù Ø Ó Ò Ó Ø ¡ × Ð Ø Ó Ö Ó Ö Ð Ø Ø Ñ × Ù × Ø Ø Ö Ö Ò Ø × Ñ Ü Ñ Ù Ñ º  

× Û × Ø Ö Ô Ð Ý Ò Ü Ô Ó Ò Ò Ø Ð Ð Ý Ø Ò × Ø Ó Þ Ö Ó º  

Á Ò ¬ º ´ º µ Û × Ò × Ø Ø Ú Ö Ý Ð Ø Ø Ñ Ú Ó Ù Ö Ó Ø × Ð Ø Ó Ö £ º Ø × Ý Ñ Ô Ø Ó Ø Ð Ð Ý  

Ð Ø Ø Ñ × Ø × × Ð Ø Ó Ö Ö Ó Û × × Ô Ó Û Ö Ó Ø Ñ Û × × Ð Ø Ð Ý × Ñ Ð Ð Ö Ø Ò Ó Ò º  

Ï Ò × Ù Ñ Ñ Ö Þ Ý × Ý Ò Ø Ø Ø × Ù Ò Ò Ý Ó Ñ Ó Ò Ó Ù × Ù Ø Ò Ó Ø × Ó Ø Ö Ó Ô Í Ò Ú Ö × ¸ Û  

× Ñ Ô Ø Ý Ó Ñ Ø Ø Ö ¸ × Ù Ö Ó Ù × × Ø Ó Ö Ý º Á Ø × Ò Ó Ò Ø Ð × Ò Ù Ð Ö Ø Ý Ù Ø Ø × Ó Ö Ò ¬ Ò Ø ¸ × Ñ Ð Ð  

Ò × × Ò Ø Ð Ð Ý Ø Û Ó ß Ñ Ò × Ó Ò Ð º Á Ø Ò × Ø Ó Ü Ô Ò Ò Ø Ø Ö Ñ Ò × Ó Ò × Ø Ö Ø × Ø Ó Ú Ð Ó Ô º  

Á Ø Ö × × Ø Ø Û Ò Ø × « Ø Ú Ð Ý Ø Ö ß Ñ Ò × Ó Ò Ð ¸ Ð Ø Ó Ù × Ø Ð Ð Ú Ö Ý × Ñ Ð Ð ¸ Ø Ø Û Ó × Ð  

Ø Ó Ö × Ò Ó Õ Ù Ð × Þ º Ì Ò Ø Ø Ö Ñ Ò × Ó Ò Ö Ô Ð Ý × Õ Ù Þ × Ò Ø Í Ò Ú Ö × Ó Ñ ×  

Ò « Ø Ú Ð Ý Ø Û Ó Ñ Ò × Ó Ò Ð Ö Ó Û Ò Ñ Ó Ò Ó Ø Ó Ò Ó Ù × Ð Ý Ð Ö Ò Ø Ø Û Ó Ñ Ò × Ó Ò × Ò Û Ø  

Û × Ó Ö Ò º  

Page 129: Fre P. Course in General Relativity (Free Version, Lecture Notes, Web Draft, 2003)(141s)_PGr

7/29/2019 Fre P. Course in General Relativity (Free Version, Lecture Notes, Web Draft, 2003)(141s)_PGr

http://slidepdf.com/reader/full/fre-p-course-in-general-relativity-free-version-lecture-notes-web-draft 129/141

Ë Ø Ù Ý Ó Ô Ö Ø Ù Ð Ö Ê Ð Ø Ó × Ñ Ñ Ø Ö   ½ ¾  

100 200time

Delta

Ù Ö º º   Ú Ó Ð Ù Ø Ó Ò Ó Ø Ó × Ñ Ó Ð Ó Ð × Ð Ø Ó Ö ¡ ´  Ø  µ Ó Ö Ð Ø Ø Ñ × ¸ Û Ò Ø Í Ò Ú Ö × Ö Ó Û × Ó Ð º  

¡ Ø Ò × Ü Ô Ó Ò Ò Ø Ð Ð Ý Ø Ó Þ Ö Ó  

º ¾ º ¾ Ì × Ñ Ò × Ó Ø Ö Ó Ô Í Ò Ú Ö × Û Ø × Ó Ñ Ñ Ø Ø Ö Û Ø × Ó Ñ Ñ Ø Ø Ö Ó Ò Ø Ò Ø  

Ï Ò ¬ Ò Ò Ü Ø × Ó Ð Ù Ø Ó Ò Ó Ø Ò × Ø Ò Õ Ù Ø Ó Ò × Ó Ö Ø Ó Ú Ó Ñ Ó Ò Ó Ù × Ù Ø Ò × Ó Ø Ö Ó Ô  

Í Ò Ú Ö × Û × Ó Ñ Ñ Ø Ø Ö Ó Ò Ø Ò Ø º Á Ò Ó Ö Ö Ø Ó Û Ö Ø Ø Ò × Ø Ò « Ö Ò Ø Ð Õ Ù Ø Ó Ò × Ò  

Ø × × ¸ Û × Ø Ð Ð Ò Ø Ó Ó Ò × Ö Ø × Ø Ö Ù Ø Ù Ö Ó Ø × Ø Ö × × Ò Ö Ý Ø Ò × Ó Ö º × Ù × Ù Ð ¸ Ò Ù Ö Ú  

Ò × Ø × × Ú Ò Ý  

½ 

 

Ì 

 

  Í 

 

Í 

 

·   Ô  ´  Í 

 

Í 

 

·   

 

µ ´ º ¾ º ¾ µ  

Û Ö     × Ø Ò Ö Ý Ò × Ø Ý ¸    Ô  Ø Ô Ö × × Ù Ö Ò   Í 

 

Ø Ó Ù Ö ¹ Ú Ð Ó Ø Ý ¬ Ð Ó Ø - Ù Ó Ù Ø Ó  

Û Û × × Ù Ñ Ø Í Ò Ú Ö × Ø Ó Ñ Ó º Á Ò Ò × Ó Ø Ö Ó Ô Ò Ó Ñ Ó Ò Ó Ù × Í Ò Ú Ö × Ø × - Ù  

× × × Ù Ñ Ø Ó Ó Ñ Ó Ú Ò º Ñ Ð Ý ¸ Ù × Ø × Û Ò Ø × Ó × Ø Ð Ð Ö Õ Ù Ð Ö Ù Ñ Û × × Ù Ñ  

½ 

Á Ò Ø Ñ Ó × Ø Ð Ý Ñ Ò Ù × Ó Ò Ú Ò Ø Ó Ò × Û Ú   × 

¾ 

   

 

Ü 

 

ª  Ü 

 

Ò    

 

Í 

 

Í 

 

    ½ 

Page 130: Fre P. Course in General Relativity (Free Version, Lecture Notes, Web Draft, 2003)(141s)_PGr

7/29/2019 Fre P. Course in General Relativity (Free Version, Lecture Notes, Web Draft, 2003)(141s)_PGr

http://slidepdf.com/reader/full/fre-p-course-in-general-relativity-free-version-lecture-notes-web-draft 130/141

Ë Ø Ù Ý Ó Ô Ö Ø Ù Ð Ö Ê Ð Ø Ó × Ñ Ñ Ø Ö   ½ ¾  

-1 1 2 3 4Log of time

1

2

3

Log of Lambda

Ù Ö º º   Ú Ó Ð Ù Ø Ó Ò Ó Ø Ó × Ñ Ó Ð Ó Ð × Ð Ø Ó Ö £ ´  Ø  µ Ó Ö Ú Ö Ý Ð Ø Ø Ñ × º Ý Ò Ó Û ¡ × × × Ò Ø Ð Ð Ý  

Þ Ö Ó Ù Ø £ Ó Ò Ø Ò Ù × Ø Ó Ö Ó Û Ò Ò ¬ Ò Ø Ð Ý Ò Ø Ñ Û Ø Ô Ó Û Ö Ð Û º Ì Ö Ô Ô Ð Ó Ø × Ø Ð Ó Ö Ø Ñ  

Ó × Ð Ø Ó Ö Ò × Ø Ø Ð Ó Ö Ø Ñ Ó Ø Ñ Ò Û × Ò Ð Ñ Ó × Ø Ô Ö Ø × Ø Ö Ø Ð Ò  

Ø Ø Ø Ú Ð Ó Ø Ý ¬ Ð × Ó Ö Ø Ó Ó Ò Ð Ø Ó Ø   Ó Ò × Ø Ò Ø Ø Ñ × Ð × Ó × Ô ß Ø Ñ   Ó Ö Õ Ù Ú Ð Ò Ø Ð Ý Ø Ø  

Ø × Ú Ò × Ò × Ð Ö Ô Ö Ó Ù Ø Û Ø Ð Ð Ø × Ü × Ô ß Ð Ã Ð Ð Ò Ú Ø Ó Ö ×  

 

     

Í  

     

 

 

¼ ´ º ¾ º ¾ µ  

Á Ò Ó Ù Ö Ó × Ò Ó Ó Ö Ò Ø × Ý × Ø Ñ Ø × Ñ Ò ×   Í  ´ ½    ¼    ¼    ¼ µ º Å Ó Ö Ò Ø Ö Ò × Ð Ð Ý Û Ò Ù × Ø × Ø Ø  

Ø Ø Ò - Ø Ó Ó Ö Ò Ø × Ø × Ø Ö × × Ò Ö Ý Ø Ò × Ó Ö × Ø Ó Ð Ð Ó Û Ò Ó Ò Ð Ó Ö Ñ  

Ì 

 

 

¼  

 

 

  

  ´  Ø  µ ¼ ¼ ¼  

¼   Ô  ´  Ø  µ ¼ ¼ 

¼ ¼   Ô  ´  Ø  µ ¼ 

¼ ¼ ¼   Ô  ´  Ø  µ 

½ 

 

 

 

´ º ¾ º ¾ µ  

Page 131: Fre P. Course in General Relativity (Free Version, Lecture Notes, Web Draft, 2003)(141s)_PGr

7/29/2019 Fre P. Course in General Relativity (Free Version, Lecture Notes, Web Draft, 2003)(141s)_PGr

http://slidepdf.com/reader/full/fre-p-course-in-general-relativity-free-version-lecture-notes-web-draft 131/141

Ë Ø Ù Ý Ó Ô Ö Ø Ù Ð Ö Ê Ð Ø Ó × Ñ Ñ Ø Ö   ½ ¿ ¼ 

Á Ø × Ú Ö Ý Ò × Ø Ö Ù Ø Ú Ò Ó Ø Ó Ù Ø Ñ Ó × Ø Ö Ð Ú Ò Ø Ó Ð Ù Ð Ø Ø Ü Ø Ö Ó Ö Ó Ú Ö Ò Ø Ö Ú Ø Ú  

Ó Ø Ó Ú Ø Ò × Ó Ö Ù × Ò Ø × Ô Ò Ó Ò Ò Ø Ó Ò × Ø Ö Ñ Ò Ò Õ º ´ º ¾ º ½ µ º Ï Ø  

Ö    Ì 

 

  Ì 

 

·   

 

Ì 

 

 

 

·   

 

Ì 

 

 

 

 

¼  

 

 

 

 

 

 

 

  

 

½ 

 

¼ 

´  Ø  µ 

 

¾ 

´  Ô  ´  Ø  µ ·    ´  Ø  µ µ ¡ 

¼ 

´    µ 

¾ 

Ô   

  ´    µ ¡ ´    µ 

 

¿ 

´  Ô  ´  Ø  µ ·    ´  Ø  µ µ £ 

¼ 

´    µ 

¾ 

Ô   

  ´    µ £ ´    µ 

 

 

´  Ô  ´  Ø  µ ·    ´  Ø  µ µ £ 

¼ 

´    µ 

¾ 

Ô   

  ´    µ £ ´    µ 

 

¾ 

´  Ô  ´  Ø  µ ·    ´  Ø  µ µ ¡ 

¼ 

´    µ 

¾ 

Ô   

  ´    µ ¡ ´    µ 

 

½ 

 Ô 

¼ 

´  Ø  µ ¼ ¼ 

 

¿ 

´  Ô  ´  Ø  µ ·    ´  Ø  µ µ £ 

¼ 

´    µ 

¾ 

Ô   

  ´    µ £ ´    µ 

¼   

½ 

 Ô 

¼ 

´  Ø  µ ¼ 

 

 

´  Ô  ´  Ø  µ ·    ´  Ø  µ µ £ 

¼ 

´    µ 

¾ 

Ô   

  ´    µ £ ´    µ 

¼ ¼   

½ 

 Ô 

¼ 

´  Ø  µ 

½ 

 

 

 

 

 

 

 

 

´ º ¾ º ¿ ¼ µ  

Ì Ò Û Ò × Ð Ý Ð Ù Ð Ø Ø Ú Ö Ò Ó Ø × Ø Ö × × ß Ò Ö Ý Ø Ò × Ó Ö ¸ Ó Ø Ò Ò  

 

 

Ì 

  ¼ 

 

´   Ô  ´  Ø  µ ·    ´  Ø  µ µ ´ £ ´    µ ¡ 

¼ 

´    µ · ¾ ¡ ´    µ £ 

¼ 

´    µ µ 

¾ 

Ô  

  ´    µ ¡ ´    µ £ ´    µ 

·   

¼ 

´  Ø  µ ¼ ´ º ¾ º ¿ ½ µ  

 

 

Ì 

 

¼ ´    ½   ¿ µ ´ º ¾ º ¿ ¾ µ  

Õ º ´ º ¾ º ¿ ½ µ × Ó Ò × Ö Ú Ø Ó Ò Õ Ù Ø Ó Ò Ø Ø Ò × Ð Ý Ò Ø Ö Ø Ó Ò Ó Ò Ò Ó Û × Ø Õ Ù Ø Ó Ò  

Ó × Ø Ø ¸ Ò Ñ Ð Ý Ø Ö Ð Ø Ó Ò Ø Û Ò Ô Ö × × Ù Ö Ò Ò Ö Ý Ò × Ø Ý  

 Ô      ´  ±  µ ´ º ¾ º ¿ ¿ µ  

Ì Õ Ù Ø Ó Ò Ó × Ø Ø Ö Ø Ö Þ × Ø Ø Ý Ô Ó - Ù Û × ¬ Ð Ð Ò Ù Ô Ø Ù Ò Ú Ö × º Á Ò Ø  

Ô Ö × Ò Ø Ò × Ó Ø Ö Ó Ô × Û Ö Ð Ø Ó ¬ Ò Ò Ü Ø × Ó Ð Ù Ø Ó Ò Ó Ò × Ø Ò ¬ Ð Õ Ù Ø Ó Ò × Ý Ù × Ò  

Ø Õ Ù Ø Ó Ò Ó × Ø Ø Ó Ö × Ð Ö ¬ Ð º Ì × × Ø × Ñ Ô Ð Ö Ð Ø Ó Ò  

 Ô      ´ º ¾ º ¿ µ  

Ì Ó × Ø Ø Ø × Ø Õ Ù Ø Ó Ò Ó × Ø Ø Ó Ö × Ð Ö ¬ Ð ¸ Ø × Ù Æ × Ø Ó Ð Ù Ð Ø Ø × Ø Ö × × Ò Ö Ý  

Ø Ò × Ó Ö Ó × Ù ¬ Ð ¸ × × Ù Ñ Ò Ø Ø Ø Ô Ò × Ó Ò Ð Ý Ó Ò Ø Ñ º Ö Ó Ñ Ø Ò Ö Ð Ó Ö Ñ Ù Ð  

Ì 

´  × Ð  µ 

 

   

 

 

 

    

½ 

¾ 

 

 

 

 

 

 

 

 

´ º ¾ º ¿ µ  

Û Ø Ó × Ñ Ó Ð Ó Ð Ñ Ø Ö Ó Ø Ý Ô   × 

¾ 

   

¼ ¼ 

Ø 

¾ 

·   

 

Ü 

 

Ü 

 

¸ Û Ø  

Ì 

¼ ¼ 

 

½ 

¾ 

 

 

¾ 

  Ì 

 

    

½ 

¾ 

 

 

 

¼ ¼ 

 

 

¾ 

´ º ¾ º ¿ µ  

Ò Ó Ñ Ô Ö Ò Û Ø Õ Ù Ø Ó Ò ´ º º µ Û Ò Ø Ý  

      

½ 

¾ 

 

 

¾ 

 

¼ ¼ 

   Ô      

½ 

¾ 

 

 

¾ 

 

¼ ¼ 

´ º ¾ º ¿ µ  

Û Ñ Ô Ð × Ø Õ Ù Ø Ó Ò Ó × Ø Ø ´ º ¾ º ¿ µ º Ë Ù × Ø Ø Ù Ø Ò × Ù Ö Ð Ø Ó Ò Ò Ø Ó Ø Ó Ò × Ö Ú Ø Ó Ò  

Õ Ù Ø Ó Ò ´ º ¾ º ¿ ½ µ Û Ó Ø Ò Ø Ó Ð Ð Ó Û Ò « Ö Ò Ø Ð Ö Ð Ø Ó Ò  

  ´  Ø  µ ¡ 

¼ 

´    µ 

Ô  

  ´    µ ¡ ´    µ 

· 

¾    ´  Ø  µ £ 

¼ 

´    µ 

Ô  

  ´    µ £ ´    µ 

·   

¼ 

´  Ø  µ ¼ ´ º ¾ º ¿ µ  

Û × Ñ Ñ Ø Ð Ý Ò Ø Ö Ø Ø Ó  

  ´  Ø  µ  

Ó × Ø  

£ ´  Ø  µ 

¾ 

¡ ´  Ø  µ 

´ º ¾ º ¿ µ  

Page 132: Fre P. Course in General Relativity (Free Version, Lecture Notes, Web Draft, 2003)(141s)_PGr

7/29/2019 Fre P. Course in General Relativity (Free Version, Lecture Notes, Web Draft, 2003)(141s)_PGr

http://slidepdf.com/reader/full/fre-p-course-in-general-relativity-free-version-lecture-notes-web-draft 132/141

Ì Ó × × Ò Ø Ô Ö Ø Ð Ó Ö Þ Ó Ò ×   ½ ¿ ½ 

º ¿ Ì Ó × × Ò Ø Ô Ö Ø Ð Ó Ö Þ Ó Ò ×  

º Á × Ó Ø Ö Ó Ô Ò Ó Ñ Ó Ò Ó Ù × Ñ Ø Ö ×  

Ä Ø Ù × Ò Ó Û Ó Ò × Ö Ø × Û Ö Ø Ó × Ñ Ó Ð Ó Ð Ò Ø Ñ Ø Ö × Ò Ó Ø Ó Ò Ð Ý Ó Ñ Ó Ò Ó Ù ×  

Ù Ø Ð × Ó × Ó Ø Ö Ó Ô ¸ Ò Ñ Ð Ý Ø Ñ Ø × ß Ô Ö Ñ Ø Ö Ö Ó Ù Ô Ó × Ó Ñ Ø Ö × Ò Ö Ø Ý × Ô Ð  

Ã Ð Ð Ò Ú Ø Ó Ö × º Ì Ð × × ¬ Ø Ó Ò Ó Ø Ö ß Ñ Ò × Ó Ò Ð Ó Ñ Ó Ò Ó Ù × × Ô × Û Ø     

 

Ö Ó Ù Ô Ó  

× Ó Ñ Ø Ö × Ö Ù × Ø Ó Ø Ð × × ¬ Ø Ó Ò Ó Ø Ö ß Ñ Ò × Ó Ò Ð Ù Ð Ò Ó × Ø Ñ Ò Ó Ð × Ò Û  

  Ù × Ø Ú Ø Ö Ô Ó × × Ð Ø ×  

Å    

¿ 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ë Ç ´ µ  

Ë Ç ´ ¿ µ  

³    Ë 

¿ 

³    Ë Ç ´ ¿ µ ´    ½ µ 

Ë Ç ´ ½    ¿ µ 

Ë Ç ´ ¿ µ  

³    Ë Ó Ð Ú   ´ 

Ë Ç ´ ½    ¿ µ 

Ë Ç ´ ¿ µ  

µ ´         ½ µ 

Á Ë Ç ´ ¿ µ  

Ë Ç ´ ¿ µ  

³    Ê 

¿ 

´    ¼ µ 

´ º º ¼ µ  

Ï Ò × Ö Ø Ó Ñ Ø Ö × Ó Ø × Ø Ö × Ô × × Ñ Ù Ð Ø Ò Ó Ù × Ð Ý Û Ø × Ò Ð Ó Ö Ñ Ù Ð Ý  

Û Ö Ø Ò Ø Ó Ð Ð Ó Û Ò ¿     ß Ñ Ø Ö  

× 

¾ 

¿   

 

Ö 

¾ 

½     Ö 

¾ 

·  Ö 

¾ 

 

 

¾ 

· × Ò  

¾ 

 

¾ 

¡ 

´ º º ½ µ  

Ï × Ó Û Ð Ó Û Ø Ø Û Ò     Ø × Ø Ø Û Ó Ú Ð Ù ×   ¦    ½ Ø Ñ Ø Ö ´ º º ½ µ Ò Ò Ø ¬ Û Ø Ø  

Ô Ù Ð Ð ¹ Ó Ø - Ø   Ê 

 

Ñ Ø Ö Ó Ò Ø Ö Ø ¿ ß × Ô Ö Ó Ö Ø Ø Ö ß Ñ Ò × Ó Ò Ð Ý Ô Ö Ó Ð Ó Ò  

Ò Ù × Ø × Ö × Ø Ë Ç ´ µ Ó Ö Ë Ç ´ ½    ¿ µ Ò Ú Ö Ò Ø Ñ Ø Ö × Ó Ò × Ù Ó × Ø Ñ Ò Ó Ð × ¸ Ö × Ô Ø Ú Ð Ý º  

Á Ò Ø ¬ Ö × Ø × Ø Ú Ö Ð   Ö  × Ø Ù Ð Ð Ý Ó Ñ Ô Ø Ò Ø × Ú Ð Ù × Ò Ø Ö Ò ¼     ¾    ℄ º Á Ò Ø  

× Ó Ò × Ø × Ò Ó Ò Ó Ñ Ô Ø Ò Ø × Ú Ð Ù × Ò Ø Ò ¬ Ò Ø Ò Ø Ö Ú Ð   ½      ·  ½    ℄ º Á Ò Ø ×  

  ¼ ¸ Ø Ñ Ø Ö ´ º º ½ µ × Ñ Ò × Ø Ð Ý Ò Ø Ð Û Ø Ø - Ø Ù Ð Ò Ñ Ø Ö Ò Ø Ö Ñ Ò × Ó Ò ¸  

Û Ö Ø Ø Ò Ò Ô Ó Ð Ö Ó Ó Ö Ò Ø × Ò Ø Ú Ö Ð   Ö  Ø × Ú Ð Ù × Ò Ø × Ñ Ò ¬ Ò Ø Ò Ø Ö Ú Ð ¼     ·  ½    ℄ º 

× × Ù Ø Ñ Ø × Ø Ù Ð Ò Ö Ó Ù Ô Ó × Ó Ñ Ø Ö × Á Ë Ç ´ ¿ µ º  

Ð Ð  

Ì Ó Ò Ð Ý Ô Ö Ñ Ø Ö Ò ´ º º ½ µ Û × Ò Ó Ø ¬ Ü Ý × Ó Ñ Ø Ö × × Ø Ð Ó Ð × Ð Ó Ø  

Ø Ö ß Ñ Ò × Ó Ò Ð × Ô Ò Ø × Û Ò Ø Ø Ó Ø Ñ Ô Ò Ò Ø     ´  Ø  µ º À Ò Û Ò Û Ö Ø  

Ø Ó Ð Ð Ó Û Ò Ò × Ø Þ Ó Ö Ø × Ó Ø Ö Ó Ô Ò Ó Ñ Ó Ò Ó Ù × Ó × Ñ Ó Ð Ó Ð Ñ Ø Ö  

× 

¾ 

     Ø 

¾ 

·    ´  Ø  µ 

¾ 

 

Ö 

¾ 

½ 

   Ö 

¾ 

·  Ö 

¾ 

 

 

¾ 

· × Ò    

¾ 

 

¾ 

¡ 

 

´ º º ¾ µ  

Ò Ó Ö Ö × Ô Ó Ò Ò Ð Ý Û Ò Ø Ö Ó Ù Ø Ó Ð Ð Ó Û Ò Ú Ö Ò  

 

¼ 

  Ø     

½ 

    ´  Ø  µ 

Ö 

Ô 

½    Ö 

¾ 

 

¾ 

    ´  Ø  µ  Ö      

¿ 

    ´  Ø  µ  Ö  × Ò   

´ º º ¿ µ  

Ì Ð Ù Ð Ø Ó Ò Ó Ø × Ô Ò Ó Ò Ò Ø Ó Ò × Ñ Ñ Ø Ò Û Ó Ø Ò  

 

¼ ½ 

 

   ´  Ø  µ 

  ´  Ø  µ 

 

½ 

   

¼ ¾ 

 

   ´  Ø  µ 

  ´  Ø  µ 

 

¾ 

 

¼ ¿ 

 

   ´  Ø  µ 

  ´  Ø  µ 

 

¿ 

   

½ ¾ 

    

Ô   

½     

¾ 

  ´  Ø  µ 

 

¾ 

 

½ ¿ 

    

Ô   

½     

¾ 

  ´  Ø  µ 

 

¿ 

   

¾ ¿ 

    

Ó Ø ´    µ 

  ´  Ø  µ 

 

¿ 

´ º º µ  

Page 133: Fre P. Course in General Relativity (Free Version, Lecture Notes, Web Draft, 2003)(141s)_PGr

7/29/2019 Fre P. Course in General Relativity (Free Version, Lecture Notes, Web Draft, 2003)(141s)_PGr

http://slidepdf.com/reader/full/fre-p-course-in-general-relativity-free-version-lecture-notes-web-draft 133/141

Á × Ó Ø Ö Ó Ô Ò Ó Ñ Ó Ò Ó Ù × Ñ Ø Ö ×   ½ ¿ ¾ 

Ü Ø Û Ú Ð Ù Ø Ø Ù Ö Ú Ø Ù Ö ¾ ß Ó Ö Ñ  

Ê 

¼ ½ 

 

   ´  Ø  µ 

  ´  Ø  µ 

 

¼ 

    

½ 

  Ê 

¼ ¾ 

 

   ´  Ø  µ 

  ´  Ø  µ 

 

¼ 

    

¾ 

  Ê 

¼ ¿ 

 

   ´  Ø  µ 

  ´  Ø  µ 

 

¼ 

    

¿ 

Ê 

½ ¾ 

 

  ·    ´  Ø  µ 

¾ 

  ´  Ø  µ 

¾ 

 

½ 

   

¾ 

  Ê 

½ ¿ 

 

  ·    ´  Ø  µ 

¾ 

  ´  Ø  µ 

¾ 

 

½ 

   

¿ 

  Ê 

¾ ¿ 

 

  ·    ´  Ø  µ 

¾ 

  ´  Ø  µ 

¾ 

 

¾ 

   

¿ 

´ º º µ  

Û Ø Ù Ö Ò × Ó Ù Ø Ø Ó Ó Ò Ð ¸ Ò Ø × Ò × Ø Ø   Ê 

 

»     

 

    

 

Ù Ø Û Ø « Ö Ò Ø Ø Ñ ß  

Ô Ò Ò Ø Ò Ú Ð Ù × º  

Ú Ò Ø × Ö × Ù Ð Ø × Û Ò Ú Ð Ù Ø Ø Ê Ø Ò × Ó Ö Ò Ø Ò × Ø Ò Ø Ò × Ó Ö Û Ø - Ø Ò ×  

¬ Ò Ý Õ Ù Ø Ó Ò × ´ º ¾ º ½ µ ¸ ´ º ¾ º ¾ ¼ µ º Ï Ø  

 

¼ ¼ 

 

¿ 

¾ 

 

 

   ´  Ø  µ 

  ´  Ø  µ 

 

¾ 

· 

 

  ´  Ø  µ 

¾ 

 

 

½ ½ 

   

¾ ¾ 

   

¿ ¿ 

    

 

   ´  Ø  µ 

  ´  Ø  µ 

· 

½ 

¾ 

 

   ´  Ø  µ 

  ´  Ø  µ 

 

¾ 

· 

½ 

¾ 

 

  ´  Ø  µ 

¾ 

 

´ º º µ  

Á Ò Ó Ö Ö Ø Ó Û Ö Ø Ø Ò × Ø Ò « Ö Ò Ø Ð Õ Ù Ø Ó Ò × ¸ Û × Ø Ð Ð Ò Ø Ó Ó Ò × Ö Ø × Ø Ö Ù Ø Ù Ö Ó Ø  

× Ø Ö × × Ò Ö Ý Ø Ò × Ó Ö º × Ù × Ù Ð ¸ Ò Ù Ö Ú Ò × Ø × × Ú Ò Ý  

¾ 

 

Ì 

 

  Í 

 

Í 

 

·   Ô  ´  Í 

 

Í 

 

·   

 

µ ´ º º µ  

Û Ö     × Ø Ò Ö Ý Ò × Ø Ý ¸    Ô  Ø Ô Ö × × Ù Ö Ò   Í 

 

Ø Ó Ù Ö ¹ Ú Ð Ó Ø Ý ¬ Ð Ó Ø - Ù Ó Ù Ø Ó  

Û Û × × Ù Ñ Ø Í Ò Ú Ö × Ø Ó Ñ Ó º Á Ò Ò × Ó Ø Ö Ó Ô Ò Ó Ñ Ó Ò Ó Ù × Í Ò Ú Ö × Ø × - Ù  

× × × Ù Ñ Ø Ó Ó Ñ Ó Ú Ò º Ñ Ð Ý ¸ Ù × Ø × Û Ò Ø × Ó × Ø Ð Ð Ö Õ Ù Ð Ö Ù Ñ Û × × Ù Ñ  

Ø Ø Ø Ú Ð Ó Ø Ý ¬ Ð × Ó Ö Ø Ó Ó Ò Ð Ø Ó Ø   Ó Ò × Ø Ò Ø Ø Ñ × Ð × Ó × Ô ß Ø Ñ   Ó Ö Õ Ù Ú Ð Ò Ø Ð Ý Ø Ø  

Ø × Ú Ò × Ò × Ð Ö Ô Ö Ó Ù Ø Û Ø Ð Ð Ø × Ü × Ô ß Ð Ã Ð Ð Ò Ú Ø Ó Ö ×  

 

     

Í  

     

 

 

¼ ´ º º µ  

Á Ò Ó Ù Ö Ó × Ò Ó Ó Ö Ò Ø × Ý × Ø Ñ Ø × Ñ Ò ×   Í  ´ ½    ¼    ¼    ¼ µ º Å Ó Ö Ò Ø Ö Ò × Ð Ð Ý Û Ò Ù × Ø × Ø Ø  

Ø Ø Ò - Ø Ó Ó Ö Ò Ø × Ø × Ø Ö × × Ò Ö Ý Ø Ò × Ó Ö × Ø Ó Ð Ð Ó Û Ò Ó Ò Ð Ó Ö Ñ  

Ì 

 

 

¼  

 

 

  

  ´  Ø  µ ¼ ¼ ¼  

¼   Ô  ´  Ø  µ ¼ ¼ 

¼ ¼   Ô  ´  Ø  µ ¼ 

¼ ¼ ¼   Ô  ´  Ø  µ 

½ 

 

 

 

´ º º µ  

Á Ø × Ú Ö Ý Ò × Ø Ö Ù Ø Ú Ò Ó Ø Ó Ù Ø Ñ Ó × Ø Ö Ð Ú Ò Ø Ó Ð Ù Ð Ø Ø Ü Ø Ö Ó Ö Ó Ú Ö Ò Ø Ö Ú Ø Ú  

Ó Ø Ó Ú Ø Ò × Ó Ö º Ï Ø  

Ö    Ì 

 

  Ì 

 

·   

 

Ì 

 

 

 

·   

 

Ì 

 

 

 

 

¼  

 

 

 

 

  

 

¼ 

 

¼ 

´  Ø  µ 

´  Ô  ´  Ø  µ ·    ´  Ø  µ µ    ´  Ø  µ 

  ´  Ø  µ 

 

½ 

´  Ô  ´  Ø  µ ·    ´  Ø  µ µ    ´  Ø  µ 

  ´  Ø  µ 

 

¾ 

´  Ô  ´  Ø  µ ·    ´  Ø  µ µ    ´  Ø  µ 

  ´  Ø  µ 

 

¿ 

´  Ô  ´  Ø  µ ·    ´  Ø  µ µ    ´  Ø  µ 

  ´  Ø  µ 

 

½ 

 

¼ 

  Ô  ´  Ø  µ ¼ ¼ 

´  Ô  ´  Ø  µ ·    ´  Ø  µ µ    ´  Ø  µ 

  ´  Ø  µ 

 

¾ 

¼   

¼ 

  Ô  ´  Ø  µ ¼ 

´  Ô  ´  Ø  µ ·    ´  Ø  µ µ    ´  Ø  µ 

  ´  Ø  µ 

 

¿ 

¼ ¼   

¼ 

  Ô  ´  Ø  µ 

½ 

 

 

 

 

 

´ º º ¼ µ  

¾ 

Á Ò Ø Ñ Ó × Ø Ð Ý Ñ Ò Ù × Ó Ò Ú Ò Ø Ó Ò × Û Ú   × 

¾ 

   

 

Ü 

 

ª  Ü 

 

Ò    

 

Í 

 

Í 

 

    ½ 

Page 134: Fre P. Course in General Relativity (Free Version, Lecture Notes, Web Draft, 2003)(141s)_PGr

7/29/2019 Fre P. Course in General Relativity (Free Version, Lecture Notes, Web Draft, 2003)(141s)_PGr

http://slidepdf.com/reader/full/fre-p-course-in-general-relativity-free-version-lecture-notes-web-draft 134/141

Ö Ñ Ò Õ Ù Ø Ó Ò Ó Ö Ø × Ð Ø Ó Ö Ò Ø Õ Ù Ø Ó Ò Ó × Ø Ø   ½ ¿ ¿ 

Ö Ó Ñ Û Û × Ð Ý Ð Ù Ð Ø Ø Ú Ö Ò Û × Ø Ó Ú Ò × Ò Ø Ö Ó Ö Ô Ö Ó Ú ×  

« Ö Ò Ø Ð Õ Ù Ø Ó Ò Ó Ö Ø Ò Ö Ý Ò × Ø Ý  

Ö   

 

Ì 

 

 

 

   ´  Ø  µ · ¿ 

   ´  Ø  µ 

  ´  Ø  µ 

´    ´  Ø  µ ·   Ô  ´  Ø  µ µ    ¼    ¼    ¼ 

 

¼ ´ º º ½ µ  

À Ú Ò Ó Ñ Ô Ù Ø Ð Ð Ø Ò Ö Ò Ø × Û Ò ¬ Ò Ð Ð Ý Ò Ð Ý Þ Ø Ò × Ø Ò Õ Ù Ø Ó Ò × ¸ Ø Ø Ø Ø  

Ó Ð Ð Ó Û Ò Ó Ö Ñ  

 

 

  Ì 

 

· 

½ 

¾ 

 

 

£ ´ º º ¾ µ  

Û Ö £ × Ò Û Ó Ò × Ø Ò Ø Ó Ö Ò Ð Ð Ý Ò Ø Ö Ó Ù Ý Ò × Ø Ò Ò Ò Ñ Ý Ñ Ø   Ó × Ñ Ó Ð Ó Ð  

Ó Ò × Ø Ò Ø  º Á Ø Ó Ö Ö × Ô Ó Ò × Ø Ó Ø Ô Ö × Ò Ò Ø Ö Ú Ø Ø Ó Ò Ð Ø Ó Ò Ó Ò Ø Ó Ò Ð Ø Ö Ñ Ó Ø  

Ó Ö Ñ  

Ê 

£ 

Ô   

   Ø   

 

Ü  Û × Ð Ð Ó Û Ý Ø Ô Ö Ò Ô Ð Ó Ò Ö Ð Ó Ú Ö Ò º  

Á Ò × Ö Ø Ò Ø Ö × Ù Ð Ø × ´ º º µ Ò ´ º º µ Ò Ø Ó ´ º º ¾ µ Û ¬ Ò Ð Ð Ý Ó Ø Ò Ø Ø Û Ó Õ Ù Ø Ó Ò ×  

¿ 

 

  

 

 

¾ 

       ¿ 

 

 

¾ 

· £ 

¿ 

  

¡ ¡ 

 

 

 

         ´    · ¿   Ô  µ ´ º º ¿ µ  

Ç Ú Ó Ù × Ð Ý Ø × Õ Ù Ø Ó Ò × Ú Ø Ó × Ù Ô Ô Ð Ñ Ò Ø Û Ø Õ Ù Ø Ó Ò ´ º º ½ µ Û Ü Ô Ö × × × Ø  

Ó Ò × Ö Ú Ø Ó Ò Ó Ø × Ø Ö × × Ò Ö Ý Ø Ò × Ó Ö º Á Ø Ø Ù Ö Ò × Ó Ù Ø Ø Ø Ø × Ø Ö Õ Ù Ø Ó Ò × Ö Ò Ó Ø Ò Ô Ò ¹  

Ò Ø × Ø × Ó Ù Ð ¸ × Ò Ø Ò × Ø Ò Ø Ò × Ó Ö × Ó Ò × Ö Ú × Ó Ò × Õ Ù Ò Ó Ò Ò Ø Ø × º  

Á Ò Ñ Ù Ð Ø Ô Ð Ý Ò Ø ¬ Ö × Ø Ó Õ º × ´ º º ¿ µ Ý    

¾ 

¸ Ø Ò Ù Ö Ø Ö Ö Ú Ø Ú Ò Ó Ñ Ò Ò Ø  

Û Ø Ø × Ó Ò Û Ó Ø Ò Ø Ó Ð Ð Ó Û Ò Ö × Ù Ð Ø  

 ±  · ¿ ´  ±  ·   Ô  µ 

  

 

¼ ´ º º µ  

Û × Ò Ó Ø Ò Ð × Ù Ø Ø Ð Ö Ý Ó Ø Ò Ó Ò × Ö Ú Ø Ó Ò Õ Ù Ø Ó Ò ´ º º ½ µ º Ë Ó Û Ò Ù × Ø  

Ó Ù × Ó Ò Ø × Ð Ø Ø Ö Õ Ù Ø Ó Ò Ò Ó Ò Ø ¬ Ö × Ø Ó Õ º × ´ º º ¿ µ Û Ø × Ø Ò Ñ Ó   Ö Ñ Ò  

Õ Ù Ø Ó Ò  

º Ö Ñ Ò Õ Ù Ø Ó Ò × Ó Ö Ø × Ð Ø Ó Ö Ò Ø Õ Ù Ø Ó Ò Ó × Ø Ø  

Á Ò Ó Ö Ö Ø Ó × Ø Ù Ý Ø Ú Ó Ð Ù Ø Ó Ò Ó Ø Ó × Ñ × Ð Ø Ó Ö Û Ò Ø Ó × Ù Ô Ô Ð Ñ Ò Ø Ø Ó Ò × Ö Ú Ø Ó Ò  

Õ Ù Ø Ó Ò ´ º º µ Û Ø Ò Õ Ù Ø Ó Ò Ó × Ø Ø Ó Ö Ø - Ù ¬ Ð Ð Ò Ù Ô Ø Ù Ò Ú Ö ×  

 Ô      ´  ±  µ ´ º º ½ µ  

Á Ò ¸ Ù Ô Ó Ò Ù × Ó ´ º º ½ µ Õ º ´ º º µ Ö Ù × Ø Ó ¬ Ö × Ø Ó Ö Ö « Ö Ò Ø Ð Õ Ù Ø Ó Ò Ó Ö Ø Ò Ö Ý  

Ò × Ø Ý Ò Ø Ö Ñ × Ó Ø × Ð Ø Ó Ö º Ï × Ð Ð Ó Ò × Ö Ø Û Ó Ü Ø Ö Ñ × × Ó Õ Ù Ø Ó Ò × Ó × Ø Ø  

 Ô   

 

¼ Ù × Ø Ù Ò Ú Ö ×  

½ 

¿ 

±  Ö Ø Ó Ò Ù Ò Ú Ö ×  

´ º º ¾ µ  

Ó Ñ Ò Ò ´ º º ¾ µ Û Ø ´ º º µ Û Ñ Ñ Ø Ð Ý ¬ Ò  

 

±  

¿ 

 

 

 

 

  Ó Ò × Ø   Ù × Ø Ù Ò Ú Ö ×  

±  

 

 

 

 

Ö 

  Ó Ò × Ø   Ö Ø Ó Ò Ù Ò Ú Ö ×  

´ º º ¿ µ  

Page 135: Fre P. Course in General Relativity (Free Version, Lecture Notes, Web Draft, 2003)(141s)_PGr

7/29/2019 Fre P. Course in General Relativity (Free Version, Lecture Notes, Web Draft, 2003)(141s)_PGr

http://slidepdf.com/reader/full/fre-p-course-in-general-relativity-free-version-lecture-notes-web-draft 135/141

Ö Ñ Ò Õ Ù Ø Ó Ò Ó Ö Ø × Ð Ø Ó Ö Ò Ø Õ Ù Ø Ó Ò Ó × Ø Ø   ½ ¿  

Õ º × ´ º º ¿ µ Ö Ó Ò × Ö Ú Ø Ó Ò Ð Û × Ò Ø Ö Ô Ý × Ð Ò Ø Ö Ô Ö Ø Ø Ó Ò Û Ð Ð Ó Ñ Ð Ö Ø Ö Ó Ù Ó Ù Ö  

× Ù × × Ó Ò º Ó Ö Ø Ù × Ø × ¸ Ø × Ñ Ò Ò × Ó Ù Ð Ô Ô Ö Ò Ø Ð Ö Ý Ø Ø × × Ø º Á Ò Ù Ò Ú Ö ×  

Ù Ò Õ Ù Ð Ý ¬ Ð Ð Û Ø Ñ Ø Ø Ö ¸ Ø Ò Ö Ý Ò × Ø Ý × ¸ Ý ¬ Ò Ø Ó Ò  

± 

Ñ Ø Ø Ö  

 

Ì Ó Ø Ð Ñ × × Ó Ø Í Ò Ú Ö ×  

Î Ó Ð Ù Ñ Ó Ø Í Ò Ú Ö ×  

´ º º µ  

Û Ð ¸ Ø Ú Ó Ð Ù Ñ Ó Í Ò Ú Ö × Ø Ó × Ñ Ó Ð Ó Ð Ø Ñ   Ø  Ò Ò Ø ¬ Û Ø  

Î Ó Ð Ù Ñ     ´  Ø  µ 

¿ 

´ º º µ  

× Ó Ø Ø Õ Ù Ø Ó Ò ´ º º ¿ µ × Ø Ø × Ø Ø Ø Ø Ó Ø Ð Ñ × × Ó Ø Ù Ò Ú Ö × × Ó Ò × Ø Ò Ø Ò Ø Ñ º  

Ç Ò Ø Ó Ø Ö Ò Ó Ö Ù Ò Ú Ö × ¬ Ð Ð Û Ø Ö Ø Ó Ò ¸ Ø Ò × Ö Ñ Ó Ö × Ù Ø Ð º Ì Ò Ö Ý  

Ó Ô Ó Ø Ó Ò ×  

 

Ô Ó Ø Ó Ò  

      ´ º º µ  

Û Ö     Ò Ó Ø × Ø × Ö Õ Ù Ò Ý º Ó Û × × Ù Ñ Ø Ø Ø Ö Õ Ù Ò Ý Ó Ô Ó Ø Ó Ò ×   Ö × Ø   Ý Ø  

Ü Ô Ò × Ó Ò Ó Ö Ò Ø Ó Ø Ð Û  

 

Ñ × × Ó Ò  

 

× Ó Ö Ô Ø Ó Ò  

 

  ´  Ø 

× Ó Ö Ô Ø Ó Ò  

µ 

  ´  Ø 

Ñ × × Ó Ò  

µ 

´ º º µ  

Ø Ó Ð Ð Ó Û × Ø Ø Ø Ò Ö Ý Ò × Ø Ý Ó Ö Ø Ó Ò Ø Ò Ý Ó × Ñ Ó Ð Ó Ð Ø Ñ ×  

± 

Ö Ø Ó Ò  

´  Ø  µ  

Ù Ñ Ö Ó Ô Ó Ø Ó Ò ×  

Î Ó Ð Ù Ñ Ó Ø Í Ò Ú Ö ×  

¢      

Ñ × × Ó Ò  

¢  

½ 

  ´  Ø  µ 

´ º º µ  

Ò Ø × Ó Ò Ó Õ º × ´ º º ¿ µ × Ø × Ø Ø Ñ Ò Ø Ø Ø Ø Ø Ó Ø Ð Ò Ù Ñ Ö Ó Ô Ó Ø Ó Ò × Ò Ø Ù Ò Ú Ö ×  

× Ô Ô Ö Ó Ü Ñ Ø Ð Ý Ó Ò × Ö Ú º × Û Ö Ó Ò Ø Ó × ¸ Ø Ö × Ø Ð Û ´ º º µ × Ò Ø Ö Ù Ò  

Ù Ò Ñ Ò Ø Ð Ó Ò × Õ Ù Ò Ó Ò Ö Ð Ö Ð Ø Ú Ø Ý º  

Ö Ð × Ø Ù Ò Ú Ö × × Ò Ø Ö Ô Ù Ö Ù × Ø Ò Ó Ö Ô Ù Ö Ö Ø Ó Ò Ø Ó Ò Ø Ò × Ó Ø Ó Ñ Ô Ó Ò Ò Ø ×  

× Ò Ø Ö × Ó Ø Ö Ò Ù Ð Ö Ñ Ø Ø Ö Ò Ø Ó Ö Ñ Ó Ð Ü × Ò Ö Ø Ó Ò Ò Ø Ó Ö Ñ Ó Ô Ó Ø Ó Ò ×  

Ó Ö Ó Ø Ö Ù Ð Ø Ö Ö Ð Ø Ú × Ø Ô Ö Ø Ð × º Ì Ö Ö Ð Ø Ú Ó Ò Ø Ö Ù Ø Ó Ò Ø Ó Ò × Ø Ò Õ Ù Ø Ó Ò × ¸ Ó Û Ú Ö ¸ ×  

« Ö Ò Ø Ø « Ö Ò Ø Ó × Ñ Ó Ð Ó Ð Ø Ñ × × Ò Ò Ò Ü Ô Ò Ò Ó Ö Ó Ò Ø Ö Ø Ò Ù Ò Ú Ö × Ø Ö Ø Ó  

Ó Ø Ò Ö Ý Ò × Ø × ×  

± 

Ö Ø Ó Ò  

´  Ø  µ 

± 

Ñ Ø Ø Ö  

Ó Ò × Ø   ¢  

½ 

  ´  Ø  µ 

´ º º µ  

Ó Ò × Õ Ù Ò Ø Ð Ý Ø Ñ × × Ò × Ø Ó Ò Ð Ý Þ Ø × Ó Ð Ù Ø Ó Ò Ó Ø Ò × Ø Ò Õ Ù Ø Ó Ò × Ò Ø Ø Û Ó Ð Þ  

× × Û Ö Ø Ö Ø Ö Ø Ó Ò Ó Ö Ø Ù × Ø × Ô Ö × Ò Ø º Ì × Ó Ò × Ó Ð Ù Ø Ó Ò Ô Ô Ð × Ø Ó Ø  

Ô Ö × Ò Ø Ó × Ñ Ó Ð Ó Ð Ø Ñ Û Ò Ø Í Ò Ú Ö × × Ð Ö Ý Ü Ô Ò × Ó Ñ Ù Ø Ø Ø Ö Ø Ó Ò  

Ó Ò Ø Ö Ù Ø Ó Ò × Ó Ñ Ö Ö Ð Ú Ò Ø ¸ Û Ð Ø ¬ Ö × Ø × Ó Ð Ù Ø Ó Ò Ô Ô Ð × Ø Ó Ö Ð Ý Ø Ñ × Û Ò Ö Ø Ó Ò  

Û × ¸ Ù × Ó Õ º ´ º º µ ¸ Ó Ñ Ò Ø Ò º Á Ò × Û Ö Ô Ö × Ò Ø Ð Ý Ó Ò Ø Ó × Ö Ó Ñ Ó Ù Ö Õ Ù Ø Ó Ò ×  

Ò Ó Ø × × Ø Ú Ó Ù Ö Ó Ø × Ð Ø Ó Ö     ´  Ø  µ × Ø Ø Ó Ò Ò Ö × Ò Ù Ò Ø Ó Ò Ó Ø Ñ ¸ Ø  

Ð × Ø Ò Ö Ø Ò Ò Ø Ð Ò Ø Ö Ú Ð º Ä Ø Ö ¸ Ô Ò Ò Ó Ò Ø Ú Ð Ù Ó Ø Ù Ö Ú Ø Ù Ö     ¸ Ø Ù Ò Ú Ö ×  

Ò Ð × Ó Ó Ò Ø Ö Ø º  

º º ½ Ë Ó Ð Ù Ø Ó Ò Ó Ø Ó × Ñ Ó Ð Ó Ð « Ö Ò Ø Ð Õ Ù Ø Ó Ò × Ó Ö Ù × Ø Ò Ö Ø Ó Ò Û Ø ¹  

Ó Ù Ø Ó × Ñ Ó Ð Ó Ð Ó Ò × Ø Ò Ø Ê Ó Ö Ø × Ó Ò Ï Ð Ö Í Ò Ú Ö × ×  

Á Û × Ù × Ø Ø Ù Ø Ø ¬ Ö × Ø Ò Ø Ö Ð Ú Ò Ý Ø Ó Ò × Ö Ú Ø Ó Ò Ð Û ´ º º ¿ µ Ò Ø Ó Ø ¬ Ö × Ø Ó Ø  

« Ö Ò Ø Ð Õ Ù Ø Ó Ò × ´ º º ¿ µ Û Ø  

 ́

¿ 

 

  

 

¡ 

¾ 

 

 

 

 

¿ 

   ¿ 

 

 

¾ 

Ù × Ø  

¿ 

 

  

 

¡ 

¾ 

 

 

Ö 

 

 

   ¿ 

 

 

¾ 

Ö Ø Ó Ò  

´ º º ½ ¼ µ  

Page 136: Fre P. Course in General Relativity (Free Version, Lecture Notes, Web Draft, 2003)(141s)_PGr

7/29/2019 Fre P. Course in General Relativity (Free Version, Lecture Notes, Web Draft, 2003)(141s)_PGr

http://slidepdf.com/reader/full/fre-p-course-in-general-relativity-free-version-lecture-notes-web-draft 136/141

Ö Ñ Ò Õ Ù Ø Ó Ò Ó Ö Ø × Ð Ø Ó Ö Ò Ø Õ Ù Ø Ó Ò Ó × Ø Ø   ½ ¿  

Û Ö Û Ú ¬ Ò  

 

 

Ö 

 

   

¿ 

 

 

 

Ö 

´ º º ½ ½ µ  

Õ º × ´ º º ½ ¼ µ Ö × Ð Ý Ö Ù Ø Ó Ø Õ Ù Ö Ø Ù Ö × Ó Ø Ò Ò  

 

 

 

 

Ø 

 

Õ  

 

 

 

     Ù × Ø  

 

Ø 

 

Õ  

 

Ö 

 

¾ 

     Ö Ø Ó Ò  

´ º º ½ ¾ µ  

º º ½ º ½ È Ö Ñ Ø Ö × Ó Ð Ù Ø Ó Ò Ò Ø Ù × Ø × Ó Ô Ó × Ø Ú Ð Ý Ù Ö Ú Ù Ò Ú Ö ×     ½ 

Ï Ò Ø Ö Ó Ù Ò Û Ú Ö Ð     Ò Û × Ø  

   

½ 

¾ 

 

 

´ ½     Ó ×    µ ´ º º ½ ¿ µ  

Ì Ò Û Ñ Ñ Ø Ð Ý Ø  

Ø   

 

Õ  

 

 

 

   ½ 

 

½ 

¾ 

 

 

´ ½     Ó ×    µ    ´ º º ½ µ  

Ò Ò Ý × Ø Ö Ø Ó Ö Û Ö Ò Ø Ö Ø Ó Ò Û ¬ Ò Ø Ô Ö Ñ Ø Ö × Ó Ð Ù Ø Ó Ò Ó Ö Ø Ù Ö Ú × Ö Ò  

Ø Ú Ó Ð Ù Ø Ó Ò Ó Ø × Ð Ø Ó Ö Ò Ø Ô Ð Ò   Ø    

  ´    µ  

½ 

¾ 

 

 

´ ½     Ó ×    µ 

Ø  ´    µ  

½ 

¾ 

 

 

´       × Ò    µ ´ º º ½ µ  

Á Ò ¬ º º Û × Ó Û Ø Û Ó Ò × Ø Ò × Ó Ø × Ú Ó Ð Ù Ø Ó Ò × º × Ó Ò × × Ò Ô Ó × Ø Ú Ð Ý Ù Ö Ú Ù Ò Ú Ö × ¸  

Ò Ò Ø Ð Ü Ô Ò × Ó Ò × Ð Û Ý × Ó Ð Ð Ó Û Ý Ó Ò Ø Ö Ø Ó Ò Ô × º Ì Ñ Ô Ð Ø Ù Ó Ø Ü Ô Ò × Ó Ò  

Ó Ö Ø Ó Ò Ø Ö Ø Ó Ò Ô Ò × Ó Ò Ø Ø Ó Ø Ð Ñ Ø Ø Ö Ó Ò Ø Ò Ø Ó Ø Ù Ò Ú Ö × º  

º º ½ º ¾ È Ö Ñ Ø Ö × Ó Ð Ù Ø Ó Ò Ò Ø Ù × Ø × Ó Ò Ø Ú Ð Ý Ù Ö Ú Ù Ò Ú Ö ×          ½ 

Á Ò Ø × × ¸ Ö Ø Ö Ø Ò Õ º ´ º º ½ ¿ µ Û × Ø  

      

½ 

¾ 

 

 

´ ½     Ó ×     µ ´ º º ½ µ  

Ò Ò Ó Ñ Ô Ð Ø Ð Ý Ò Ð Ó Ó Ù × Û Ý Û Ó Ø Ò  

   

½ 

¾ 

 

 

× Ò    

  

Ø   

½ 

¾ 

 

 

´ × Ò          µ ´ º º ½ µ  

× Ó Ø Ø Ø Ô Ö Ñ Ø Ö × Ö Ô Ø Ó Ò Ó Ø × Ð Ø Ó Ö Ú Ó Ð Ù Ø Ó Ò × Ø Ó Ð Ð Ó Û Ò Ó Ò  

  ´    µ  

½ 

¾ 

 

 

´ Ó ×        ½ µ 

Ø  ´    µ  

½ 

¾ 

 

 

´ × Ò          µ ´ º º ½ µ  

Á Ò Ø × × Ø Ù Ò Ú Ö × Ü Ô Ò × Ò ¬ Ò Ø Ð Ý Ò Ø Ö × Ò Ó Ó Ò Ø Ö Ø Ó Ò Ô × º Ð × Ó Ö ¸ Ø  

Ö Ø Ó Ø Ü Ô Ò × Ó Ò Ô Ò × Ó Ò Ø Ø Ó Ø Ð Ñ Ø Ø Ö Ó Ò Ø Ò Ø Ó Ø Ù Ò Ú Ö × Ø Ö Ø × Ø  

× Ø Ö Ø Ù Ò Ú Ö × Ü Ô Ò × º Ü Ñ Ô Ð × Ó Ø × Ú Ó Ð Ù Ø Ó Ò Ö × Ó Û Ò Ò ¬ º º  

Page 137: Fre P. Course in General Relativity (Free Version, Lecture Notes, Web Draft, 2003)(141s)_PGr

7/29/2019 Fre P. Course in General Relativity (Free Version, Lecture Notes, Web Draft, 2003)(141s)_PGr

http://slidepdf.com/reader/full/fre-p-course-in-general-relativity-free-version-lecture-notes-web-draft 137/141

Ö Ñ Ò Õ Ù Ø Ó Ò Ó Ö Ø × Ð Ø Ó Ö Ò Ø Õ Ù Ø Ó Ò Ó × Ø Ø   ½ ¿  

t

a

Ù Ö º º   Ú Ó Ð Ù Ø Ó Ò Ó Ø Ó × Ñ Ó Ð Ó Ð × Ð Ø Ó Ö     ´  Ø  µ Ò Ø × Ó Ð Ó × ´    ½ µ Ù × Ø Ù Ò Ú Ö × º  

Ì Ñ Ô Ð Ø Ù Ó Ø Ü Ô Ò × Ó Ò Ó Ö Ø Ó Ò Ø Ö Ø Ó Ò × Ø × Ó Ò Ô Ò × Ó Ò Ø Ø Ó Ø Ð Ñ Ø Ø Ö Ó Ò Ø Ò Ø Ó  

Ø Ù Ò Ú Ö × Ó ¬ Ý Ø Ó Ò × Ø Ò Ø    

 

º Á Ò Ø ¬ Ù Ö Û × Ó Û Ø Û Ó × ×    

 

½ Ò    

 

¼   

t

a

Ù Ö º º   Ú Ó Ð Ù Ø Ó Ò Ó Ø Ó × Ñ Ó Ð Ó Ð × Ð Ø Ó Ö     ´  Ø  µ Ò Ø × Ó Ò Ó Ô Ò ´        ½ µ Ù × Ø Ù Ò Ú Ö × º  

Ð × Ó Ö Ø Ñ Ô Ð Ø Ù Ó Ø Ü Ô Ò × Ó Ò Ô Ò × Ó Ò Ø Ø Ó Ø Ð Ñ Ø Ø Ö Ó Ò Ø Ò Ø Ó Ø Ù Ò Ú Ö × Ó ¬  

Ý Ø Ó Ò × Ø Ò Ø    

 

º Ì Ø Ö Ð Ò Ó Ö Ö × Ô Ó Ò × Ø Ó Ø ×    

 

½ Û Ð Ø Ø Ò Ò Ö Ð Ò Ó Ö Ö × Ô Ó Ò ×  

Ø Ó Ø ×    

 

¼  ¾ 

Page 138: Fre P. Course in General Relativity (Free Version, Lecture Notes, Web Draft, 2003)(141s)_PGr

7/29/2019 Fre P. Course in General Relativity (Free Version, Lecture Notes, Web Draft, 2003)(141s)_PGr

http://slidepdf.com/reader/full/fre-p-course-in-general-relativity-free-version-lecture-notes-web-draft 138/141

Ñ Ò Ó × Ñ Ó Ð Ó × Ò Ø Ó Ë Ø Ø Ö × Ô   ½ ¿  

º º ½ º ¿ È Ö Ñ Ø Ö × Ó Ð Ù Ø Ó Ò Ò Ø Ù × Ø × Ó Ò Ø Ú Ð Ý Ù Ö Ú Ù Ò Ú Ö ×      

  ½ 

Á Ò Ø × Ó Þ Ö Ó × Ô Ø Ð Ù Ö Ú Ø Ù Ö ¸ Õ º × ´ º º ½ ¾ µ Ö Ù ¸ Ó Ö Ù × Ø Ù Ò Ú Ö × Ø Ó  

  

Ø   

½ 

Ô   

 

 

  

Ô   

  ´ º º ½ µ  

Ò Ò Û ¬ Ò  

   

 

   

 

 

 

¾    ¿ 

Ø 

¾    ¿ 

´ º º ¾ ¼ µ  

Ï Ó Ò Ð Ù Ø Ø Ð × Ó Ø - Ø Ù × Ø ¬ Ð Ð Ù Ò Ú Ö × Ü Ô Ò × Ò ¬ Ò Ø Ð Ý Ù Ø Ø × Ð Ø Ó Ö Ö × ×  

Ð × × Ø Ò Ð Ò Ö Ð Ý ´ × ¬ º º µ º  

t

a

Ù Ö º º   Ú Ó Ð Ù Ø Ó Ò Ó Ø Ó × Ñ Ó Ð Ó Ð × Ð Ø Ó Ö     ´  Ø  µ Ò Ø × Ó - Ø ´    ¼ µ Ù × Ø Ù Ò Ú Ö × º  

Ð × Ó Ö Ø Ñ Ô Ð Ø Ù Ó Ø Ü Ô Ò × Ó Ò Ô Ò × Ó Ò Ø Ø Ó Ø Ð Ñ Ø Ø Ö Ó Ò Ø Ò Ø Ó Ø Ù Ò Ú Ö × Ó ¬  

Ý Ø Ó Ò × Ø Ò Ø    

 

º Ì Ø Ö Ð Ò Ó Ö Ö × Ô Ó Ò × Ø Ó Ø ×    

 

½ Û Ð Ø Ø Ò Ò Ö Ð Ò Ó Ö Ö × Ô Ó Ò ×  

Ø Ó Ø ×    

 

¼   

Á Ò ¬ º º Û Ú Ó Ñ Ô Ö Ø Ø Ö Ò × Ó Ú Ó Ù Ö Ó Ø Ó × Ñ Ó Ð Ó Ð × Ð Ø Ó Ö  

Ó Ö Ø Ô Ó × Ø Ú Ð Ý ¸ Ò Ø Ú Ð Ý Ù Ö Ú Ò - Ø Ù Ò Ú Ö × º  

º Ñ Ò Ó × Ñ Ó Ð Ó × Ò Ø Ó Ë Ø Ø Ö × Ô  

Ì Ä Ó Ö Ò Ø Þ Ò Ñ Ò Ó Ð   Ë  ¸ Ò Ñ Ð Ý Ë Ø Ø Ö × Ô × Ò Ø ¬ × Ø Ó × Ø Ñ Ò Ó Ð  

Ë  

Ë Ç ´ ½    µ 

Ë Ç ´ ½    ¿ µ 

´ º º ¾ ½ µ  

Ò Ø Ö Ó Ö Ñ Ø × Ø ½ ¼ ß Ô Ö Ñ Ø Ö Ö Ó Ù Ô Ó × Ó Ñ Ø Ö ×  

Ë Ç ´ ½    µ ´ º º ¾ ¾ µ  

Page 139: Fre P. Course in General Relativity (Free Version, Lecture Notes, Web Draft, 2003)(141s)_PGr

7/29/2019 Fre P. Course in General Relativity (Free Version, Lecture Notes, Web Draft, 2003)(141s)_PGr

http://slidepdf.com/reader/full/fre-p-course-in-general-relativity-free-version-lecture-notes-web-draft 139/141

Ñ Ò Ó × Ñ Ó Ð Ó × Ò Ø Ó Ë Ø Ø Ö × Ô   ½ ¿  

t

a

Ù Ö º º   Ó Ñ Ô Ö × Ó Ò Ø Û Ò Ø Ø Ö Ø Ý Ô × Ó Ù × Ø ¬ Ð Ð Ù Ò Ú Ö × × º Ï Ø Ø × Ñ Ø Ó Ø Ð Ñ Ø Ø Ö  

Ó Ò Ø Ò Ø    

 

½ Û Ú Ô Ð Ó Ø Ø Ø Ú Ó Ù Ö Ó Ø × Ð Ø Ó Ö Ò Ø Ø Ö × × Ó Ð Ó × ¸ Ó Ô Ò  

Ò - Ø Ù Ò Ú Ö × º Ì Ð Ò Ø Ø Ó × Ø Ó     ¼ × Ø Ð Ó × Ù Ò Ú Ö ×     ½ º Ç Ø Ø Û Ó Ò ¬ Ò Ø Ð Ý  

Ö Ó Û Ò Ð Ò × Ø Ø Ò Ò Ö × Ø Ó Ô Ò Ù Ò Ú Ö ×         ½ ¸ Ø Ø Ö × Ø - Ø Ù Ò Ú Ö ×     ¼ º Ì - Ø  

Ù Ò Ú Ö × ¸ Ò Ø Ð Ð Ý Ü Ô Ò × × Ø Ö Ø Ò Ø Ó Ô Ò Ó Ò ¸ Ù Ø Ø Ð Ø Ö Ø Ñ × Ø × Ó Ú Ö Ó Ñ Ý Ø Ó Ô Ò Ù Ò Ú Ö ×  

Û Ó × × Ð Ø Ó Ö Ö Ó Û × × Ø Ö Ø Ò   Ø 

¾    ¿ 

Ó Ö  Ø  ½ 

Ì Ò Ø Ö Ó × Ø Ñ Ò Ó Ð Ò Ò Ø ¬ × Ò Ð Ö Ð Ó Ù × Ò   Ê 

 

¸ Ò Ñ Ð Ý × Ø × Ø Ó Ô Ó Ò Ø ×  

× Ø × Ý Ò Ø Ó Ð Ð Ó Û Ò Ø Û Ó Õ Ù Ö Ø Õ Ù Ø Ó Ò ×  

 

¾ 

¼ 

  

 

  

  ½ 

 

¾ 

 

     ½ ´ º º ¾ ¿ µ  

Ç Ò Ô Ö Ñ Ø Ö × Ó Ð Ù Ø Ó Ò Ó Ø Ó Ú Ð Ö Õ Ù Ø Ó Ò × × Ó Ð Ð Ó Û ×  

 

¼ 

× Ò   Ø 

 

½ 

Ó ×   Ø  Ó ×  Ê 

Page 140: Fre P. Course in General Relativity (Free Version, Lecture Notes, Web Draft, 2003)(141s)_PGr

7/29/2019 Fre P. Course in General Relativity (Free Version, Lecture Notes, Web Draft, 2003)(141s)_PGr

http://slidepdf.com/reader/full/fre-p-course-in-general-relativity-free-version-lecture-notes-web-draft 140/141

Ñ Ò Ó × Ñ Ó Ð Ó × Ò Ø Ó Ë Ø Ø Ö × Ô   ½ ¿  

 

¾ 

Ó ×   Ø  × Ò  Ê  Ó ×   

 

¿ 

Ó ×   Ø  × Ò  Ê  × Ò    Ó ×   

 

 

Ó ×   Ø  × Ò  Ê  × Ò    × Ò    ´ º º ¾ µ  

Ò Ø Ô Ù Ð Ð ¹ Ó Ø Ä Ó Ö Ò Ø Þ Ò Ñ Ø Ö Ò   Ê 

 

 

× 

¾ 

 

   

¾ 

¼ 

  

 

  

  ½ 

 

¾ 

 

´ º º ¾ µ  

Ó Ò Ø Ð Ó Ù × ´ º º ¾ ¿ µ Ý Ñ Ò × Ó Ø Ô Ö Ñ Ø Ö Þ Ø Ó Ò ´ º º ¾ µ Ð × Ø Ó Ø Ó Ð Ð Ó Û Ò Ñ Ø Ö  

× 

¾ 

Ë 

· 

     Ø 

¾ 

· Ó ×  

¾ 

Ø 

¢ 

Ê 

¾ 

· × Ò  

¾ 

Ê 

 

 

¾ 

· × Ò  

¾ 

 

¾ 

¡ £ 

     Ø 

¾ 

· Ó ×  

¾ 

Ø 

 

Ö 

¾ 

½     Ö 

¾ 

·  Ö 

¾ 

 

 

¾ 

· × Ò  

¾ 

 

¾ 

¡ 

 

´ º º ¾ µ  

Û Ö Ò Ø Ð × Ø × Ø Ô Û Ú Ù Ö Ø Ö Ô Ó ×  

× Ò  Ê    Ö  ´ º º ¾ µ  

Á Ò Ø × Û Ý Û Ú × Ó Û Ò Ø Ø ¹ Ë Ø Ø Ö × Ô Ò Ò Ø ¬ Û Ø Ó × Ñ Ó Ð Ó Ð Ñ Ó Ð  

Ö Ø Ö Þ Ý  

  ½     ´  Ø  µ Ó × ´  Ø  µ ´ º º ¾ µ  

Ò Ð Ø Ö Ò Ø Ú Ð Ý Õ Ù Ð Ð Ý Ó Ó Ô Ö Ñ Ø Ö × Ó Ð Ù Ø Ó Ò Ó Ø Õ Ù Ö ´ º º ¾ ¿ µ × Ú Ò Ý  

 

¼ 

× Ò   Ø  Ó ×   Ê 

 

½ 

× Ò   Ø  × Ò   Ê  Ó ×   

 

¾ 

× Ò   Ø  × Ò   Ê  × Ò    Ó ×   

 

¿ 

× Ò   Ø  × Ò   Ê  × Ò    × Ò   

 

 

Ó ×   Ø  ´ º º ¾ µ  

Ì Ô Ù Ð Ð Ó Ø - Ø Ñ Ø Ö ´ º º ¾ µ Ó Ò Ø Ð Ó Ù × ´ º º ¾ ¿ µ Ý Ñ Ò × Ó Ø × × Ó Ò Ô Ö Ñ Ø Ö Þ ¹  

Ø Ó Ò ´ º º ¾ µ ×  

× 

¾ 

Ë 

 

     Ø 

¾ 

· × Ò  

¾ 

Ø 

¢ 

Ê 

¾ 

· × Ò  

¾ 

Ê 

 

 

¾ 

· × Ò  

¾ 

 

¾ 

¡ £ 

     Ø 

¾ 

· × Ò  

¾ 

Ø 

 

Ö 

¾ 

½ ·  Ö 

¾ 

·  Ö 

¾ 

 

 

¾ 

· × Ò  

¾ 

 

¾ 

¡ 

 

´ º º ¿ ¼ µ  

Û Ö Ò Ø Ð × Ø × Ø Ô Û Ú Ù Ö Ø Ö Ô Ó ×  

× Ò   Ê    Ö  ´ º º ¿ ½ µ  

Á Ò Ø × Û Ý Û Ú × Ó Û Ò Ø Ø ¹ Ë Ø Ø Ö × Ô Ò Ð × Ó Ò Ø ¬ Û Ø Ó × Ñ Ó Ð Ó Ð Ñ Ó Ð  

Ö Ø Ö Þ Ý  

       ½     ´  Ø  µ × Ò ´  Ø  µ ´ º º ¿ ¾ µ  

Ø Ö Ô Ó × × Ð Ø Ý Ø Ó Ó Ø Ò Ô Ö Ñ Ø Ö × Ó Ð Ù Ø Ó Ò Ó Ø Õ Ù Ö ´ º º ¾ ¿ µ × Ø Ó Ð Ð Ó Û Ò Ó Ò º  

Ö × Ø Ö ¬ Ò  

Í     

¼ 

    

 

  Π    

¼ 

·   

 

´ º º ¿ ¿ µ  

Page 141: Fre P. Course in General Relativity (Free Version, Lecture Notes, Web Draft, 2003)(141s)_PGr

7/29/2019 Fre P. Course in General Relativity (Free Version, Lecture Notes, Web Draft, 2003)(141s)_PGr

http://slidepdf.com/reader/full/fre-p-course-in-general-relativity-free-version-lecture-notes-web-draft 141/141

Ñ Ò Ó × Ñ Ó Ð Ó × Ò Ø Ó Ë Ø Ø Ö × Ô   ½ ¼ 

Ò Ö Û Ö Ø Ø Õ Ù Ö Ò Ø × × Ó Ø Ð Ó Ö Ò Ø Þ Ò Ñ Ø Ö Ñ Ø Ö × Ó Ð Ð Ó Û ×  

Í Î    

¿ 

  

  ½ 

 

¾ 

 

     ½ ´ º º ¿ µ  

× 

¾ 

´ µ 

     Í Î   · 

¿ 

  

  ½ 

 

¾ 

 

´ º º ¿ µ  

Ì Ò × Ó Ð Ú Ô Ö Ñ Ø Ö Ð Ð Ý Õ Ù Ø Ó Ò ´ º º ¿ µ × × Ó Û Ò Ð Ó Û  

Í     

 

 

  Ü 

 

Π  

 

  

½ 

 

·   

     

Ü 

¾ 

 

´ º º ¿ µ  

Ý Ñ Ò × Ó Ø × Ô Ö Ñ Ø Ö Þ Ø Ó Ò Ø Ô Ù Ð Ð ¹ Ó Ø Ä Ó Ö Ò Ø Þ Ñ Ø Ö ´ º º ¿ µ Ó Ò Ø Ð Ó Ù × ´ º º ¿ µ  

Ó Ñ ×  

× 

¾ 

Ë 

¼ 

    

 

¾ 

 

¾ 

·   

¾ 

 

     

Ü 

¾ 

     Ø 

¾ 

· Ü Ô ¾  Ø 

¢ 

Ö 

¾ 

·  Ö 

¾ 

 

 

¾ 

· × Ò  

¾ 

 

¾ 

¡ £ 

´ º º ¿ µ  

Û Ö Ò Ø Ð × Ø × Ø Ô Û Ú × Ø  

  Ü Ô   Ø 

Ü 

½ 

  Ö  Ó ×   

Ü 

½ 

  Ö  × Ò    Ó ×   

Ü 

½ 

  Ö  × Ò    × Ò    ´ º º ¿ µ  

Á Ò Ø × Û Ý Û Ú × Ó Û Ò Ø Ø Ë Ø Ø Ö × Ô Ò Ð × Ó × Ò × Ó × Ñ Ó Ð Ó Ð Ñ Ø Ö Ö ¹  

Ø Ö Þ Ý