fre p. course in general relativity (free version, lecture notes, web draft, 2003)(141s)_pgr
TRANSCRIPT
7/29/2019 Fre P. Course in General Relativity (Free Version, Lecture Notes, Web Draft, 2003)(141s)_PGr
http://slidepdf.com/reader/full/fre-p-course-in-general-relativity-free-version-lecture-notes-web-draft 1/141
Ç Í Ê Ë Ò Æ Ê Ä Ê Ä Ì Á Î Á Ì
È Ö Ó º È Á Ì Ê Ç Ê ³
Í Ò Ú Ö × Ø Ý Ó Ì Ó Ö Ò Ó
Æ Ó Ú Ñ Ö ½ ¸ ¾ ¼ ¼ ¿
7/29/2019 Fre P. Course in General Relativity (Free Version, Lecture Notes, Web Draft, 2003)(141s)_PGr
http://slidepdf.com/reader/full/fre-p-course-in-general-relativity-free-version-lecture-notes-web-draft 2/141
Ó Ò Ø Ò Ø ×
Ó Ò Ø Ò Ø × ½
½ Ë Á Ç È Ì Ë Ç Í Ì Å Á Ç Ä Ë Á Ê Í Ä Ë ¿
½ º ½ Á Ò Ø Ö Ó Ù Ø Ó Ò ¿
½ º ¾ « Ö Ò Ø Ð Å Ò Ó Ð ×
½ º ¾ º ½ À Ó Ñ Ó Ñ Ó Ö Ô × Ñ × Ò Ø ¬ Ò Ø Ó Ò Ó Ñ Ò Ó Ð ×
½ º ¾ º ¾ Ù Ò Ø Ó Ò × Ó Ò Ñ Ò Ó Ð ×
½ º ¾ º ¿ Ö Ñ × Ó × Ñ Ó Ó Ø Ù Ò Ø Ó Ò × ½ ¾
½ º ¿ Ì Ò Ò Ø Ò Ó Ø Ò Ò Ø Ë Ô × ½ ¿
½ º ¿ º ½ Ì Ò Ò Ø Ú Ø Ó Ö × Ò Ô Ó Ò Ø Ô ¾ Å ½
½ º ¿ º ¾ « Ö Ò Ø Ð Ó Ö Ñ × Ò Ô Ó Ò Ø Ô ¾ Å ½
½ º Ö Ù Ò Ð × ¾ ¼
½ º Ì Ò Ò Ø Ò Ó Ø Ò Ò Ø Ù Ò Ð × ¾
½ º º ½ Ë Ø Ó Ò × Ó Ù Ò Ð ¾
½ º º ¾ Ì Ä Ð Ö Ó Ú Ø Ó Ö ¬ Ð × ¿ ¾
½ º º ¿ Ì Ó Ø Ò Ò Ø Ù Ò Ð Ò « Ö Ò Ø Ð Ó Ö Ñ × ¿ ¿
½ º º « Ö Ò Ø Ð ß Ó Ö Ñ × ¿
½ º À Ó Ñ Ó Ø Ó Ô Ý ¸ À Ó Ñ Ó Ð Ó Ý Ò Ó Ó Ñ Ó Ð Ó Ý ¿
½ º º ½ À Ó Ñ Ó Ø Ó Ô Ý ¿
½ º º ¾ À Ó Ñ Ó Ð Ó Ý ¾
½ º º ¿ À Ó Ñ Ó Ð Ó Ý Ò Ó Ó Ñ Ó Ð Ó Ý Ö Ó Ù Ô × Ò Ö Ð Ó Ò × Ø Ö Ù Ø Ó Ò
½ º º Ê Ð Ø Ó Ò Ø Û Ò À Ó Ñ Ó Ø Ó Ô Ý Ò À Ó Ñ Ó Ð Ó Ý ¼
½ º Ë Ú × ¸ Ó Ó Ñ Ó Ð Ó Ý Ò Ø Ð × × ¬ Ø Ó Ò Ó Ù Ò Ð × ½
½ º º ½ Ù Ò Ð Ñ Ô × ¿
½ º º ¾ Õ Ù Ú Ð Ò Ø Ù Ò Ð × ¿
½ º º ¿ È Ù Ð Ð ¹ Ù Ò Ð × ¿
¾ Ç Ì Á Ç Ë ¸ Å Ì Ê Á Ë Î Á Ä Á
¾ º ½ Á Ò Ø Ö Ó Ù Ø Ó Ò
¾ º ¾ Õ Ù Ø Ó Ò Ó Ø Ó × ×
¾ º ¾ º ½ Ì Ó Ò Ò Ø Ó Ò
¾ º ¾ º ¾ Ì Ü Ñ Ô Ð Ó Ø Ý Ô Ö Ó Ð Ó
¿ Å Ç Ì Á Ç Ç Ì Ë Ì È Ê Ì Á Ä Á Ì À Ë À Ï Ê Ë À Á Ä Å Ì Ê Á
¿ º ½ Á Ò Ø Ö Ó Ù Ø Ó Ò
¿ º ¾ Ã Ô Ð Ö Ò Å Ó Ø Ó Ò × Ò Û Ø Ó Ò Ò Å Ò × ¼
¿ º ¿ Ì Ó Ö Ø Õ Ù Ø Ó Ò × Ó Ñ × × Ú Ô Ö Ø Ð ¾
¿ º ¿ º ½ Ü Ø Ö Ñ Ó Ø « Ø Ú Ô Ó Ø Ò Ø Ð Ò Ö Ù Ð Ö Ó Ö Ø ×
7/29/2019 Fre P. Course in General Relativity (Free Version, Lecture Notes, Web Draft, 2003)(141s)_PGr
http://slidepdf.com/reader/full/fre-p-course-in-general-relativity-free-version-lecture-notes-web-draft 3/141
Ó Ò Ø Ò Ø × ¾
¿ º Ì Ô Ö × Ø Ö Ó Ò Ú Ò ¼
¿ º º ½ È Ö Ø Ù Ö Ø Ú Ø Ö Ø Ñ Ò Ø Ó Ø Ô Ö × Ø Ö Ó Ò Ú Ò ¾
¿ º º ¾ À Ó Û Ø Ó Ñ Ô Ð Ñ Ò Ø Ø Ô Ö × Ø Ö Ó Ò Ô Ö Ó Ð Ñ Ó Ò Ó Ñ Ô Ù Ø Ö Ò Ü Ñ Ô Ð
¿ º Ä Ø ß Ð Ó × × Ò Ø - Ø Ó Ò Ð Ø ß Ö Ý × ¼
Á Ë Ì Á É Í Ì Á Ç Ë Ì À Î Á Ä Á Ç Ê Å Ä Á Ë Å
º ½ Á Ò Ø Ö Ó Ù Ø Ó Ò
º ¾ Ê Ø Ö Ú Ò Ø Ë Û Ö Þ × Ð Ñ Ø Ö Ö Ó Ñ Ò × Ø Ò Õ Ù Ø Ó Ò ×
Á Ì Ê Á Ç Ê Ë Ç Ä Í Ì Á Ç Ë Ë Ì Ä Ä Ê É Í Á Ä Á Ê Á Í Å ¼
º ½ Á Ò Ø Ö Ó Ù Ø Ó Ò ¼
º ¾ Ì × Ø Ö × × Ò Ö Ý Ø Ò × Ó Ö Ó Ô Ö Ø - Ù ¼
º ¿ Á Ò Ø Ö Ó Ö × Ó Ð Ù Ø Ó Ò × Ò Ø × Ø Ð Ð Ö Õ Ù Ð Ö Ù Ñ Õ Ù Ø Ó Ò ¿
º ¿ º ½ Á Ò Ø Ö Ø Ó Ò Ó Ø Ô Ö × × Ù Ö Õ Ù Ø Ó Ò Ò Ø × Ó Ù Ò Ó Ö Ñ Ò × Ø Ý
Å Á Ë Ë Á Ç Ç Ê Î Á Ì Ì Á Ç Ä Ï Î Ë Ë Ä Ç Ï Á Ç Ï Ç
Ì À Á Ê È Í Ä Ë Ê Ë Ë Ì Å ½ ¼ ½
º ½ Ñ × × Ó Ò Ó Ö Ú Ø Ø Ó Ò Ð Û Ú × ½ ¼ ½
º ½ º ½ Ë Ø Ö × × Ò Ö Ý ¿ ß Ó Ö Ñ Ó Ø Ö Ú Ø Ø Ó Ò Ð ¬ Ð ½ ¼ ½
Ì Ë È ¹ Ì Á Å Ë ¸ Í Ë Ä Ë Ì Ê Í Ì Í Ê È Ê Ç Ë Á ¹
Ê Å Ë ½ ½ ¾
º ½ Á Ò Ø Ö Ó Ù Ø Ó Ò ½ ½ ¾
º ¾ Ì Ã Ö Ù × Ð Ü Ø Ò × Ó Ò Ó Ë Û Ö Þ × Ð × Ô ß Ø Ñ ½ ½ ¾
º ¾ º ½ Ò Ð Ý × × Ó Ø Ê Ò Ð Ö × Ô ß Ø Ñ ½ ½ ¾
º ¾ º ¾ Ô Ô Ð Ý Ò Ø × Ñ Ô Ö Ó Ù Ö Ø Ó Ø Ë Û Ö Þ × Ð Ñ Ø Ö ½ ½
º ¾ º ¿ Ò Ð Ý × × Ó Ø Ã Ö Ù × Ð Ü Ø Ò × Ó Ò Ó Ë Û Ö Þ × Ð × Ô ß Ø Ñ ½ ¾ ¼
º ¾ º Å Ì À Å Ì Á È Ö Ó Ö Ñ Ñ Ò Ó Ö Ë Û Ö Þ × Ð Ö Ð Ø È Ø Ù Ö × ½ ¾ ½
Á Ì Ê Ç Í Ì Á Ç Ì Ç Ê Ä Ì Á Î Á Ë Ì Á Ç Ë Å Ç Ä Ç ½ ¾ ¾
º ½ Á Ò Ø Ö Ó Ù Ø Ó Ò Ø Ó Ó × Ñ Ó Ð Ó Ý ½ ¾ ¾
º ¾ Ë Ø Ù Ý Ó Ô Ö Ø Ù Ð Ö Ê Ð Ø Ó × Ñ Ñ Ø Ö ½ ¾ ¾
º ¾ º ½ Ò × Ø Ò Õ Ù Ø Ó Ò Ò Ñ Ø Ø Ö ½ ¾
º ¾ º ¾ Ì × Ñ Ò × Ó Ø Ö Ó Ô Í Ò Ú Ö × Û Ø × Ó Ñ Ñ Ø Ø Ö Ó Ò Ø Ò Ø ½ ¾
º ¿ Ì Ó × × Ò Ø Ô Ö Ø Ð Ó Ö Þ Ó Ò × ½ ¿ ½
º Á × Ó Ø Ö Ó Ô Ò Ó Ñ Ó Ò Ó Ù × Ñ Ø Ö × ½ ¿ ½
º Ö Ñ Ò Õ Ù Ø Ó Ò Ó Ö Ø × Ð Ø Ó Ö Ò Ø Õ Ù Ø Ó Ò Ó × Ø Ø ½ ¿ ¿
º º ½ Ë Ó Ð Ù Ø Ó Ò Ó Ø Ó × Ñ Ó Ð Ó Ð « Ö Ò Ø Ð Õ Ù Ø Ó Ò × Ó Ö Ù × Ø Ò Ö Ø Ó Ò
Û Ø Ó Ù Ø Ó × Ñ Ó Ð Ó Ð Ó Ò × Ø Ò Ø Ê Ó Ö Ø × Ó Ò Ï Ð Ö Í Ò Ú Ö × × ½ ¿
º Ñ Ò Ó × Ñ Ó Ð Ó × Ò Ø Ó Ë Ø Ø Ö × Ô ½ ¿
7/29/2019 Fre P. Course in General Relativity (Free Version, Lecture Notes, Web Draft, 2003)(141s)_PGr
http://slidepdf.com/reader/full/fre-p-course-in-general-relativity-free-version-lecture-notes-web-draft 4/141
Ô Ø Ö ½
Ë Á Ç Æ È Ì Ë Ç Í Ì Å Æ Á Ç Ä Ë
Æ Á Ê Í Æ Ä Ë
½ º ½ Á Ò Ø Ö Ó Ù Ø Ó Ò
Á Ò Ø Ô Ø Ö Û Ó Ù × Ó Ò Ð Ö × Ø Ö Ù Ø Ù Ö × Ò Û Ö Ú Û Ø × Ð Ö Ó Ò Ô Ø ×
Ø Ø Ô Ô Ð Ý Ó Ø Ø Ó × Ö Ø Ò Ø Ó Ó Ò Ø Ò Ù Ó Ù × Ö Ó Ù Ô × º Á Ò Ø Ô Ö × Ò Ø Ô Ø Ö Û Ø Ù Ö Ò Ø Ó ×
Ó Ò Ô Ø × Ó « Ö Ò Ø Ð Ó Ñ Ø Ö Ý Ô Ö Ô Ö Ò Ø × Ø Ó Ö Ø × Ø Ù Ý Ó Ä Ö Ó Ù Ô × º Ì × Ð Ø Ø Ö ¸
Û Ó Ò × Ø Ø Ù Ø Ø Ñ Ò Ó Ð Ó Ø × Ó Ù Ö × ¸ Ö × Ö Ó Ñ Ø Ó Ò × × Ø Ò Ø Ñ Ö Ò Ó Ø Û Ó × Ø Ö Ù Ø Ù Ö ×
´ µ Ò Ð Ö × Ø Ö Ù Ø Ù Ö ¸ × Ò Ø Ð Ñ Ò Ø × Ó Ä Ö Ó Ù Ô Ò Ó Ñ Ô Ó × Ú Ò Ò Ø Ö Ò Ð
Ò Ö Ý Ó Ô Ö Ø Ó Ò ¸ Ò Ö Ð Ð Ý Ð Ð Ô Ö Ó Ù Ø ¸ Ø Ø Ó Ý × Ø Ü Ó Ñ × Ó Ö Ó Ù Ô ¸
´ µ « Ö Ò Ø Ð Ó Ñ Ø Ö × Ø Ö Ù Ø Ù Ö × Ò × Ò Ò Ð Ý Ø « Ö Ò Ø Ð Ñ Ò Ó Ð Ò Ø Ö Ó Ù Ô
Ó Ô Ö Ø Ó Ò Ö Ò ¬ Ò Ø Ð Ý « Ö Ò Ø Ð Ò × Ù Ø Ó Ô Ó Ð Ó Ý º
Ò Ö Ð Ê Ð Ø Ú Ø Ý × Ó Ù Ò Ó Ò Ø Ó Ò Ô Ø Ó « Ö Ò Ø Ð Ñ Ò Ó Ð × º Ì Ñ Ø Ñ Ø Ð Ñ Ó Ð
Ó × Ô ß Ø Ñ Ø Ø Û Ó Ô Ø × Ú Ò Ý Ô Ö ´
Å µ Û Ö
Å × « Ö Ò Ø Ð Ñ Ò Ó Ð Ó
Ñ Ò × Ó Ò Ò × Ñ Ø Ö ̧ Ø Ø × Ö Ù Ð Ø Ó Ð Ù Ð Ø Ø Ð Ò Ø Ó Ù Ö Ú × Ó Ò Ò Ø Ò
Ô Ó Ò Ø × Ó Å º Á Ò Ô Ý × Ð Ø Ö Ñ × Ø Ô Ó Ò Ø × Ó Å Ø Ø Ò Ñ Ó Ú Ò Ø × Û Ð Ú Ö Ý Ô Ý × Ð
Ô Ö Ó × × × Ó Ò Ø Ò Ù Ó Ù × × Ù × × Ó Ò Ó Ú Ò Ø × º Á Ò Ô Ö Ø Ù Ð Ö Ø Ñ Ó Ø Ó Ò Ó Ô Ó Ò Ø ß Ð Ô Ö Ø Ð
× Ö Ô Ö × Ò Ø Ý Û Ó Ö Ð ß Ð Ò ¸ Ò Ñ Ð Ý Ù Ö Ú Ò Å Û Ð Ø Ñ Ó Ø Ó Ò Ó Ò Ü Ø Ò Ó Ø Ó
Ñ Ò × Ó Ò Ô × Ú Ò Ý Ô · ½ Ñ Ò × Ó Ò Ð Û Ó Ö Ð ß Ú Ó Ð Ù Ñ Ó Ø Ò × Ó Ò Ø Ò Ù Ó Ù × × Ù × × Ó Ò
Ó Ô ß Ñ Ò × Ó Ò Ð Ý Ô Ö × Ù Ö × ¦
Ô
Å º
Ì Ö Ó Ö ¸ Ø × Ù × × Ó Ò Ó × Ù Ô Ý × Ð Ó Ò Ô Ø × × Ò × × Ö Ð Ý × Ó Ò Ó Ð Ð Ø Ó Ò Ó
Ó Ñ Ø Ö Ð Ó Ò Ô Ø × Ø Ø Ó Ò × Ø Ø Ù Ø Ø Ó Ò Ó « Ö Ò Ø Ð Ó Ñ Ø Ö Ý º Ç Ò Ø Ó Ø Ö Ò
« Ö Ò Ø Ð Ó Ñ Ø Ö Ý Ò Ä Ö Ó Ù Ô Ø Ó Ö Ý
̄ Ö Ò Ø Ñ Ø Ð Ý Ò Ò Ü Ø Ö Ð Ý Ö Ð Ø Ò
̄ Ú Ñ Ù Û Ö Ö Ò Ó Ô Ô Ð Ø Ó Ò × Ò Ð Ð Ö Ò × Ó Ô Ý × × Ò Ó Ó Ø Ö × Ò × º
× Ò Ø Ø Ó Ñ Ò Ó Ð × Ø Ô Ô Ö Ó Ô Ö Ø Ñ Ø Ñ Ø Ð Ó Ò Ô Ø Ó Ó Ò Ø Ò Ù Ó Ù × × Ô Û Ó ×
Ô Ó Ò Ø × Ò Ú Ø Ñ Ó × Ø × Ô Ö Ø Ò Ø Ö Ô Ö Ø Ø Ó Ò × Ò Ø Ø Ó Ö Ó Ù Ô × Ø Ô Ô Ö Ó Ô Ö Ø Ñ Ø ¹
Ñ Ø Ð Ö Ñ Û Ó Ö Ø Ó Ð Û Ø × Ý Ñ Ñ Ø Ö Ý Ó Ô Ö Ø Ó Ò × Ø Ò Ó Ò Ø Ø × Ô º
Ó Ö Ø × Ö × Ó Ò Û Ú Ð Ó Ô Ä Ö Ó Ù Ô Ø Ó Ö Ý Ò « Ö Ò Ø Ð Ó Ñ Ø Ö Ý Ò Ò Ó Ö Ò Ò
Ô Ö Ð Ð Ð Û Ý Ú Ò Ò Ñ Ò Ó Ø Ø Ô Ö × Ô Ø Ú Ó Ò Ö Ð Ê Ð Ø Ú Ø Ý Ò Ù Ì Ó Ö × Ó Ö
Û Ø Ô Ö × Ò Ø Ó Ù Ö × Ó Ò × Ø Ø Ù Ø × Ò × × Ò Ø Ð × × ¸ Ù Ø Ð × Ó Ñ Ù Ñ Ó Ö Ò Ö Ð Ô Ö × Ô Ø Ú º
¿
7/29/2019 Fre P. Course in General Relativity (Free Version, Lecture Notes, Web Draft, 2003)(141s)_PGr
http://slidepdf.com/reader/full/fre-p-course-in-general-relativity-free-version-lecture-notes-web-draft 5/141
« Ö Ò Ø Ð Å Ò Ó Ð ×
½ º ¾ « Ö Ò Ø Ð Å Ò Ó Ð ×
Ö × Ø Ò Ñ Ó × Ø Ù Ò Ñ Ò Ø Ð Ò Ø Ð × Ø Ó Ó Ñ Ø Ö Ð Ó Ò Ô Ø × Û Ò Ø Ó Ò Ø Ö Ó Ù × Ø Ø Ó
Ñ Ò Ó Ð Û Ó Ö Ö × Ô Ó Ò × ¸ × Û Ð Ö Ý Ü Ô Ð Ò ¸ Ø Ó Ó Ù Ö Ò Ø Ù Ø Ú Ó Ó Ò Ø Ò Ù Ó Ù × × Ô º
Á Ò Ñ Ø Ñ Ø Ð Ø Ö Ñ × Ø × × ¸ Ø Ó Ò Û Ø ¸ Ø Ó Ô Ó Ð Ó Ð × Ô ¸ Ò Ñ Ð Ý × Ø Ó Ð Ñ Ò Ø × Û Ö
Ó Ò Ò ¬ Ò Ø Ò Ó Ø Ó Ò Ó Ò Ó Ö Ó Ó Ò Ð Ñ Ø º Ì × × Ø Ó Ö Ö Ø Ñ Ø Ñ Ø Ð × Ö Ô Ø Ó Ò
Ó Ó Ù Ö Ò Ø Ù Ø Ú × Ó Ú Ò Ø Ý Ò Ð Ó × Ý Ô Ó Ò Ø × º Ë Ó Ò Ð Ý Ø Ö Ø Ö Þ Ò Ø Ù Ö Ø Ø
× Ø Ò Ù × × Ñ Ò Ó Ð Ö Ó Ñ × Ñ Ô Ð Ø Ó Ô Ó Ð Ó Ð × Ô × Ø Ô Ó × × Ð Ø Ý Ó Ð Ð Ò Ø × Ô Ó Ò Ø ×
Û Ø × Ø Ó Ó Ó Ö Ò Ø × º Ó Ó Ö Ò Ø × Ö × Ø Ó Ö Ð Ò Ù Ñ Ö × Ü
½
´ Ô µ Ü
´ Ô µ ¾ Ê × × Ó Ø
Û Ø Ô Ó Ò Ø Ô ¾ Å Ø Ø Ø Ð Ð Ù × Û Ö Û Ö º Ø Ù Ð Ð Ý Ò Ò Ö Ð Ê Ð Ø Ú Ø Ý Ô Ó Ò Ø × Ò
Ú Ò Ø × Ó Ø Ø Ó Ó Ö Ò Ø × × Ô Ý Ò Ó Ø Ó Ò Ð Ý Ø × Û Ö Ù Ø Ð × Ó Ø × Û Ò º Á Ò Ó Ø Ö Ô Ô Ð Ø Ó Ò × Ø
Ó Ó Ö Ò Ø × Ó Ô Ó Ò Ø Ò Ø Ñ Ó × Ø × Ô Ö Ø Ô Ö Ñ Ø Ö × × Ô Ý Ò Ø × Ø Ø Ó × Ó Ñ Ó Ñ Ô Ð Ü
× Ý × Ø Ñ Ó Ø Ñ Ó × Ø Ò Ö Ð Ò ´ Ý Ò Ñ Ð ¸ Ó Ð Ó Ð ¸ Ó Ò Ó Ñ Ð Ó Ö Û Ø Ú Ö µ
Á Ò Ð × × Ð Ô Ý × × Ø Ð Û × Ó Ñ Ó Ø Ó Ò Ö Ó Ö Ñ Ù Ð Ø × × Ø Ó « Ö Ò Ø Ð Õ Ù Ø Ó Ò × Ó
Ø × Ó Ò Ó Ö Ö Û Ö Ø Ù Ò Ò Ó Û Ò Ù Ò Ø Ó Ò × Ö Ø Ø Ö Ö Ø × Ò Ó Ó Ö Ò Ø × Ü Ý Þ Ó
Ô Ö Ø Ð Ò Ø Ú Ö Ð × Ø Ø Ñ Ø º Ë Ó Ð Ú Ò Ø Ý Ò Ñ Ð Ô Ö Ó Ð Ñ Ñ Ó Ù Ò Ø × Ø Ó Ø Ö Ñ Ò
Ø Ó Ò Ø Ò Ù Ó Ù × Ù Ò Ø Ó Ò × Ü ´ Ø µ Ý ´ Ø µ Þ ´ Ø µ ¸ Ø Ø Ý Ð Ô Ö Ñ Ø Ö × Ö Ô Ø Ó Ò Ó Ù Ö Ú Ò Ê
¿
Ó Ö
Ø Ø Ö ¬ Ò Ù Ö Ú Ò Ê
¸ Ú Ò Ò Ð Ù Ø Ø Ñ Ø Ò Ø Ð × Ø Ó Ó Ó Ö Ò Ø × Ó Ú Ò Ø º
Ó Ó Ö Ò Ø × ¸ Ó Û Ú Ö ¸ Ö Ò Ó Ø Ù Ò Õ Ù Ð Ý ¬ Ò º Ó × Ö Ú Ö × Ø × Ó Û Ò Û Ý Ó Ð Ð Ò
× Ô Ô Ó Ò Ø × Ò Ø Ð Û × Ó Ñ Ó Ø Ó Ò Ø « Ö Ò Ø Ó Ö Ñ Ü Ô Ö × × Ò Ø Ó Ó Ö Ò Ø Ö Ñ
Ó « Ö Ò Ø Ó × Ö Ú Ö × º Ì Ö × Ó Û Ú Ö Ô Ö Ú Ð Ð × × Ó Ó × Ö Ú Ö × Ò Û Ó × Ö Ñ × Ø
Ð Û × Ó Ñ Ó Ø Ó Ò Ú Ð Û Ý × Ø × Ñ Ó Ö Ñ Ø × Ö Ø Ò Ö Ø Ð Ö Ñ × ¸ Ø Ø Ö Ò Ö Ø Ð Ò Ö
Ö Ð Ø Ú Ñ Ó Ø Ó Ò Û Ø Ó Ò × Ø Ò Ø Ú Ð Ó Ø Ý º Ì Ü × Ø Ò Ó Ô Ö Ú Ð Ð × × Ó Ò Ö Ø Ð Ö Ñ × ×
Ó Ñ Ñ Ó Ò Ø Ó Ð × × Ð Ò Û Ø Ó Ò Ò Ô Ý × × Ò Ø Ó × Ô Ð Ö Ð Ø Ú Ø Ý Ø Ó Ò Ð Ý « Ö Ò × Ø Ó Ö Ñ Ó
Ó Ó Ö Ò Ø Ø Ö Ò × Ó Ö Ñ Ø Ó Ò × Ó Ò Ò Ø Ò Ø Ñ ¸ Ð Ð Ó Ø Ö Ò × Ó Ö Ñ Ø Ó Ò × Ò Ø ¬ Ö × Ø × Ò Ä Ó Ö Ò Ø Þ
Ø Ö Ò × Ó Ö Ñ Ø Ó Ò × Ò Ø × Ó Ò º Ì × Ó × Ò Ò Ò Û Ø Ø Ø Ø Ø Ø × Ô ß Ø Ñ Ñ Ò Ó Ð
× Ø - Ø Æ Ò Ñ Ò Ó Ð Ê
Ò Ó Ø × × º Ý ¬ Ò Ø Ó Ò Ð Ð Ô Ó Ò Ø × Ó Ê
Ò Ó Ú Ö Ý Ó Ò
Ó Ó Ö Ò Ø Ö Ñ Ü
Ò Ð Ð Ö Ñ × Û Ø × Ù Ô Ö Ó Ô Ö Ø Ý Ö Ö Ð Ø Ø Ó Ó Ø Ö Ý Ò Ö Ð
Ð Ò Ö Ø Ö Ò × Ó Ö Ñ Ø Ó Ò × ¸ Ø Ø × Ý Ø Ð Ñ Ò Ø × Ó Ø Ò Ö Ð Ð Ò Ö Ö Ó Ù Ô Ä ´ Ê µ
Ü
¼
Ü
¾ Ä ´ Ê µ ´ ½ º ¾ º ½ µ
Ì Ö × Ø Ö Ø Ó Ò Ø Ó Ø Ð Ð Ó Ö Ä Ó Ö Ò Ø Þ × Ù Ö Ó Ù Ô × Ó Ä ´ Ê µ × Ó Ò × Õ Ù Ò Ó Ø « Ö Ò Ø
× Ð Ö Ô Ö Ó Ù Ø Ó Ò Ê
Ú Ø Ó Ö × Ó Ò Û Ò Ø × Ø Ó Ô Ö × Ö Ú Ò Ø Ø Û Ó × × ¸ Ù Ø Ø Ö Ð Ú Ò Ø Ó Ñ Ñ Ó Ò
Ø Ù Ö × Ø Ø Ø Ø Ø × Ô ß Ø Ñ Ñ Ò Ó Ð × Ú Ø Ó Ö ß × Ô × Ø Ö Ù Ø Ù Ö º Ì Ô Ö Ú Ð
Ó Ó Ö Ò Ø Ö Ñ × Ö Ø Ó × Ø Ø Ù × Ø Ó Ö Ö × Ô Ó Ò Ò Ú Ø Ó Ö × × Ð Ð × Ó Ô Ó Ò Ø º
« Ö Ò Ø × Ø Ù Ø Ó Ò Ö × × Û Ò Ø × Ô ß Ø Ñ Ñ Ò Ó Ð × Ò Ó Ø - Ø ¸ Ð ¸ Ó Ö Ò × Ø Ò ¸ Ø
× Ù Ö Ó Ý Ô Ö × Ô Ö Ë
º × Ö Ø Ó Ö Ô Ö × Ò Ó Û Ú Ö Ý Û Ð Ð Ø Ö × Ò Ó Û Ý Ó Ö Ô Ö × Ò Ø Ò
Ð Ð Ô Ó Ò Ø × Ó Ù Ö Ú × Ù Ö Ò × Ò Ð Ó Ó Ö Ò Ø Ö Ñ ¸ Ò Ñ Ð Ý Ò × Ò Ð Ö Ø º À Ó Û Ú Ö
Û Ò × Ù Ò Ö Ô Ö × Ò Ø Ò Ð Ð Ô Ó Ò Ø × Ó Ù Ö Ú × Ù Ö Ý Ñ Ò × Ó Ò Ø Ð × ¸ Ò Ñ Ð Ý Ý
Ó Ð Ð Ø Ó Ò Ó Ö Ø × Ó Û Ñ Ô × Ó Ò Ó Ô Ò Ö Ó Ò Ó Ø × Ù Ö Ò × Ù Ø Ø Ø Ù Ò Ó Ò
Ó Ð Ð Ø × Ö Ó Ò × Ó Ú Ö × Ø Ò Ø Ö × Ù Ö º Ã Ò Ó Û Ò Ø Ø Ö Ò × Ø Ó Ò Ö Ù Ð ¸ Ò Ø Ö Ó Ò × Û Ö
Ø Ý Ó Ú Ö Ð Ô ¸ Ö Ó Ñ Ó Ò Ö Ø Ø Ó Ø Ò Ü Ø Ó Ò ¸ Û Ó Ø Ò Ó Ñ Ô Ð Ø Ó Ó Ö Ò Ø × Ö Ô Ø Ó Ò Ó Ø
Ù Ö Ú × Ù Ö Ý Ñ Ò × Ó Ó Ù Ö Ø Ð × º
Ì Ò Ø Ù Ø Ú Ó Ò Ø Ð × Ó Ó Ô Ò Ö Ø × ¸ × Ù Ø Ð Ý Ö Ó Ö Ñ Ù Ð Ø Ò Ñ Ø Ñ Ø Ð Ø Ö Ñ × ¸
Ô Ö Ó Ú × Ø Ú Ö Ý ¬ Ò Ø Ó Ò Ó « Ö Ò Ø Ð Ñ Ò Ó Ð ¸ Ø Ó Ñ Ø Ö Ð Ó Ò Ô Ø Ø Ø Ò Ö Ð Þ ×
Ó Ù Ö Ò Ó Ø Ó Ò Ó × Ô ß Ø Ñ Ö Ó Ñ Ê
Ø Ó Ñ Ó Ö Ó Ñ Ô Ð Ø Ò Ó Ò - Ø × Ø Ù Ø Ó Ò × º
Ì Ö Ö Ñ Ò Ý Ô Ó × × Ð Ø Ð × × Ø Ø × Ö Ø × Ñ Ñ Ò Ó Ð
Å ¸ Ö Ð Ø Ø Ó Ó Ø Ö
Ý Ñ Ó Ö Ó Ö Ð × × Ó Ñ Ô Ð Ø Ø Ö Ò × Ó Ö Ñ Ø Ó Ò × º Ó Ö Ò Ö Å Ò Ó Ô Ö Ú Ð Ó Ó Ø Ø Ð × ×
7/29/2019 Fre P. Course in General Relativity (Free Version, Lecture Notes, Web Draft, 2003)(141s)_PGr
http://slidepdf.com/reader/full/fre-p-course-in-general-relativity-free-version-lecture-notes-web-draft 6/141
« Ö Ò Ø Ð Å Ò Ó Ð ×
Ú Ð Ð « Ö Ò Ø Ð Ý Ö Ó Ñ Ø × Ó Ê
Ö Ø Ò Ö Ø Ð Ö Ñ × Ö × Ò Ð Ó Ù Ø Ý Ø Ø Ó Ò Ð
Ú Ø Ó Ö × Ô × Ø Ö Ù Ø Ù Ö Ó Ø Ñ Ò Ó Ð ¸ Û Ð Ð Ó Û × Ø Ó Ð Ð Ô Ó Ò Ø Û Ø Ø Ó Ö Ö × Ô Ó Ò Ò
Ú Ø Ó Ö º Ì Ö Ó Ö Ø Ð Û × Ó Ô Ý × × Ú Ø Ó Ù Ò Ú Ö × Ð Ò Ú Ø Ó Ó Ñ Ñ Ó Ø Ò Ó Ò ß
- Ø × Ô ß Ø Ñ × Ø Ò Ø Ý Ñ Ù × Ø Ó Ö Ñ Ù Ð Ø Ò × Ù Û Ý Ø Ø Ø Ý Ú Ø × Ñ Ó Ö Ñ Ò
Û Ø × Ó Ú Ö Ø Ð × º Ì × × Ø Ô Ö Ò Ô Ð Ó Ò Ö Ð Ó Ú Ö Ò Ø Ø × × Ó Ò Ö Ð Ê Ð Ø Ú Ø Ý
Ð Ð Ó × Ö Ú Ö × × Ø × Ñ Ð Û × Ó Ô Ý × × º
Ë Ñ Ð Ö Ð Ý Ò Û Ö Ô Ö × Ô Ø Ú Ø Ó Ó Ô Ö Ø Ù Ð Ö × Ø Ó Ô Ö Ñ Ø Ö × Ø Ó × Ö Ø
× Ø Ø Ó Ó Ñ Ô Ð Ü × Ý × Ø Ñ × Ó Ù Ð Ò Ó Ø Ô Ö Ú Ð Û Ø Ö × Ô Ø Ø Ó Ò Ý Ó Ø Ö Ó º Ì Ð Û ×
Ø Ø Ó Ú Ö Ò Ø Ý Ò Ñ × Ó × Ý × Ø Ñ × Ó Ù Ð Ò Ø Ö Ò × Ò × Ó Ù Ð Ò Ó Ø Ô Ò Ó Ò Ø × Ø Ó
Ú Ö Ð × Ó × Ò Ø Ó × Ö Ø º
½ º ¾ º ½ À Ó Ñ Ó Ñ Ó Ö Ô × Ñ × Ò Ø ¬ Ò Ø Ó Ò Ó Ñ Ò Ó Ð ×
Ù Ò Ñ Ò Ø Ð Ò Ö Ò Ø Ò Ó Ö Ñ Ù Ð Ø Ò Ø Ò Ó Ø Ó Ò Ó « Ö Ò Ø Ð Ñ Ò Ó Ð × × Ø Ø Ó Ó Ñ Ó ¹
Ñ Ó Ö Ô × Ñ º
¬ Ò Ø Ó Ò ½ º ¾ º ½ º Ä Ø Ò Ø Û Ó Ø Ó Ô Ó Ð Ó Ð × Ô × Ò Ð Ø Ñ Ô
´ ½ º ¾ º ¾ µ
Á × Ó Ò ß Ø Ó ß Ó Ò Ò Ó Ø Ò Ø × Ò Ú Ö ×
½
Ö Ó Ò Ø Ò Ù Ó Ù × ¸ Ø Ò Û × Ý Ø Ø ×
Ó Ñ Ó Ñ Ó Ö Ô × Ñ
× Ó Ò × Õ Ù Ò Ó Ø Ø Ó Ö Ñ × Û Ô Ö Ó Ú Ò Ô Ø Ö Ð Ð Ø Ó Ô Ó Ð Ó Ð Ô Ö Ó Ô Ö Ø × Ö Ò Ú Ö Ò Ø
Û Ø Ö × Ô Ø Ø Ó Ó Ñ Ó Ñ Ó Ö Ô × Ñ × º Á Ò Ð Ø Ó Ñ Ó Ñ Ó Ö Ô × Ñ Ñ Ô Ô Ò Ó Ò Ø Ó Ò
Ð Ø Ò Ó Ô Ò × Ù × Ø º Á Ø × Ñ Ø Ö Ó Ù ¸ Ò Ñ Ð Ý ´ µ × Ð × Ó Ò Ó Ô Ò × Ù × Ø Ò
Ø Ø Ó Ô Ó Ð Ó Ý Ó º Ë Ñ Ð Ö Ð Ý Ø Ñ ´ µ Ó Ð Ó × × Ù × Ø × Ð Ó × × Ù × Ø º
Ù Ö Ø Ö Ñ Ó Ö Ó Ö Ð Ð Û Ú
´ µ ´ µ ´ ½ º ¾ º ¿ µ
Ò Ñ Ð Ý Ø Ð Ó × Ù Ö Ó Ø Ñ Ó × Ø Ó Ò × Û Ø Ø Ñ Ó Ø Ð Ó × Ù Ö º
¬ Ò Ø Ó Ò ½ º ¾ º ¾ º Ä Ø Ò Ø Û Ó Ø Ó Ô Ó Ð Ó Ð × Ô × º Á Ø Ö Ü × Ø × Ó Ñ Ó Ñ Ó Ö Ô × Ñ
Ø Ò Û × Ý Ø Ø Ò Ö Ó Ñ Ó Ñ Ó Ö Ô º
Á Ø × × Ý Ø Ó × Ø Ø Ú Ò Ø Ó Ô Ó Ð Ó Ð × Ô ¸ Ø × Ø Ó Ð Ð Ó Ñ Ó Ñ Ó Ö Ô × Ñ ×
Ó Ò × Ø Ø Ù Ø × Ö Ó Ù Ô ¸ Ù × Ù Ð Ð Ý Ò Ó Ø À Ó Ñ ´ µ º Á Ò
¾ À Ó Ñ ´ µ × Ó Ñ Ó Ñ Ó Ö Ô × Ñ ¸ Ø Ò
Ð × Ó
½
¾ À Ó Ñ ´ µ × Ó Ñ Ó Ñ Ó Ö Ô × Ñ º Ù Ö Ø Ö Ñ Ó Ö ¾ À Ó Ñ ´ µ Ò
¼
¾ À Ó Ñ ´ µ Ø Ò
Ð × Ó
Æ
¼
¾ À Ó Ñ ´ µ º Ò Ð Ð Ý Ø Ò Ø Ø Ý Ñ Ô
½ ´ ½ º ¾ º µ
× Ö Ø Ò Ð Ý Ó Ò ß Ø Ó ß Ó Ò Ò Ó Ò Ø Ò Ù Ó Ù × Ò Ø Ó Ò × Û Ø Ø × Ó Û Ò Ò Ú Ö × º À Ò ½ ¾ À Ó Ñ ´ µ º
× Û × Ù × × Ð Ø Ö Ó Ò Ó Ö Ò Ý Ñ Ò Ó Ð Ø Ö Ó Ù Ô À Ó Ñ ´ µ × Ò Ü Ñ Ô Ð Ó Ò Ò ¬ Ò Ø Ò
Ó Ò Ø Ò Ù Ó Ù × Ö Ó Ù Ô º
Ä Ø Ò Ó Û Å Ø Ó Ô Ó Ð Ó Ð À Ù × Ó Ö × Ô º Ò Ó Ô Ò Ö Ø Ó Å × Ô Ö ´ Í ³ µ Û Ö
Í Å × Ò Ó Ô Ò × Ù × Ø Ó Å Ò ³ × Ó Ñ Ó Ñ Ó Ö Ô × Ñ Ó Í Ó Ò Ò Ó Ô Ò × Ù × Ø Ê
Ñ
´ Ñ Ò
Ô Ó × Ø Ú Ò Ø Ö µ º Ì Ó Ò Ô Ø Ó Ó Ó Ô Ò Ö Ø Ð Ð Ó Û × Ø Ó Ò Ø Ö Ó Ù Ø Ò Ó Ø Ó Ò Ó Ó Ó Ö Ò Ø ×
Ó Ö Ð Ð Ô Ó Ò Ø × Ô ¾ Í º Á Ò Ø Ó Ó Ö Ò Ø × Ó Ô Ö Ø Ñ Ö Ð Ò Ù Ñ Ö × Ø Ø Ò Ø Ý Ø Ô Ó Ò Ø
³ ´ Ô µ
¾ ³ ´ Í µ
Ê
Ñ
º
Í × Ò Ø Ò Ó Ø Ó Ò Ó Ó Ô Ò Ö Ø Û Ò ¬ Ò Ð Ð Ý Ò Ø Ö Ó Ù Ø Ò Ó Ø Ó Ò Ó « Ö Ò Ø Ð × Ø Ö Ù Ø Ù Ö º
7/29/2019 Fre P. Course in General Relativity (Free Version, Lecture Notes, Web Draft, 2003)(141s)_PGr
http://slidepdf.com/reader/full/fre-p-course-in-general-relativity-free-version-lecture-notes-web-draft 7/141
« Ö Ò Ø Ð Å Ò Ó Ð ×
¬ Ò Ø Ó Ò ½ º ¾ º ¿ º Ä Ø Å Ø Ó Ô Ó Ð Ó Ð À Ù × Ó Ö × Ô º « Ö Ò Ø Ð × Ø Ö Ù Ø Ù Ö Ó ¹
Ñ Ò × Ó Ò Ñ Ó Ò Å × Ò Ø Ð ×
Ë
¾
´ Í
³
µ Ó Ó Ô Ò Ö Ø × ´ Í
³
µ Û Ö ¾ ¸ Í
Å ×
Ò Ó Ô Ò × Ù × Ø Ò
³
Í
³
´ Í
µ Ê
Ñ
´ ½ º ¾ º µ
× Ó Ñ Ó Ñ Ó Ö Ô × Ñ Ó Í
Ò Ê
Ñ
Ò Ñ Ð Ý Ó Ò Ø Ò Ù Ó Ù × ¸ Ò Ú Ö Ø Ð Ñ Ô Ó Ò Ø Ó Ò Ó Ô Ò × Ù × Ø Ó
Ê
Ñ
× Ù Ø Ø Ø Ò Ú Ö × Ñ Ô
³
½
³
´ Í
µ Í
Å ´ ½ º ¾ º µ
× Ð × Ó Ó Ò Ø Ò Ù Ó Ù × ´ × ¬ º ½ º ½ µ º Ì Ø Ð × Ñ Ù × Ø Ù Ð ¬ Ð Ð Ø Ó Ð Ð Ó Û Ò Ü Ó Ñ ×
Å
½
Á Ø Ó Ú Ö × Å ¸ Ò Ñ Ð Ý
Í
Å ´ ½ º ¾ º µ
× Ó Ø Ø Ô Ó Ò Ø Ó
Å × Ó Ò Ø Ò Ø Ð × Ø Ò Ó Ò Ö Ø Ò Ò Ö Ð Ð Ý Ò Ñ Ó Ö Ø Ò Ó Ò
Ô
¾ Å ´ Í
³
µ Ô
¾ Í
º
Å
¾
Ó × Ò Ò Ý Ø Û Ó Ö Ø × ´ Í
³
µ ¸ ´ Í
³
µ × Ù Ø Ø Í
Ì
Í
Ó Ò Ø Ò Ø Ö × Ø Ó Ò
Í
Í
Í
´ ½ º ¾ º µ
Ø Ö Ü × Ø Ø Û Ó Ó Ñ Ó Ñ Ó Ö Ô × Ñ ×
³
Í
Í
³
´ Í
µ Ê
Ñ
³
Í
Í
³
´ Í
µ Ê
Ñ
´ ½ º ¾ º µ
Ò Ø Ó Ñ Ô Ó × Ø Ñ Ô
³
Æ ³
½
³
´ Í
µ Ê
Ñ
³
´ Í
µ Ê
Ñ
´ ½ º ¾ º ½ ¼ µ
Ò Ñ Ø Ø Ö Ò × Ø Ó Ò Ù Ò Ø Ó Ò Û × Ø Ù Ð Ð Ý Ò Ñ ß Ø Ù Ô Ð Ø Ó Ñ Ö Ð Ù Ò Ø Ó Ò × Ó Ñ Ö Ð
Ú Ö Ð × × Ö Õ Ù × Ø Ø Ó « Ö Ò Ø Ð ´ × ¬ º ½ º ¾ µ
Å
¿
Ì Ó Ð Ð Ø Ó Ò ´ Í
³
µ
¾
× Ø Ñ Ü Ñ Ð Ñ Ð Ý Ó Ó Ô Ò Ö Ø × Ó Ö Û Ó Ø Å
½
Ò Å
¾
Ó Ð Ø Ö Ù º
Ü Ø Û Ò ¬ Ò Ð Ð Ý Ò Ø Ö Ó Ù Ø ¬ Ò Ø Ó Ò Ó « Ö Ò Ø Ð Ñ Ò Ó Ð º
¬ Ò Ø Ó Ò ½ º ¾ º º « Ö Ò Ø Ð Ñ Ò Ó Ð Ó Ñ Ò × Ó Ò Ñ × Ø Ó Ô Ó Ð Ó Ð × Ô Å Ø Ø
Ñ Ø × Ø Ð × Ø Ó Ò « Ö Ò Ø Ð × Ø Ö Ù Ø Ù Ö ´ Í
³
µ
¾
Ó Ñ Ò × Ó Ò Ñ º
Ì ¬ Ò Ø Ó Ò Ó « Ö Ò Ø Ð Ñ Ò Ó Ð × Ó Ò × Ø Ö Ù Ø Ú Ò Ø × Ò × Ø Ø Ø Ô Ö Ó Ú × Û Ý Ø Ó
Ó Ò × Ø Ö Ù Ø Ø Ü Ô Ð Ø Ð Ý º Ï Ø Ó Ò × Ø Ó Ó × Ø Ó Ú Ò Ø Ð × Ó Ó Ô Ò Ö Ø × ´ Í
³
µ Ò Ø
Ó Ö Ö × Ô Ó Ò Ò Ø Ö Ò × Ø Ó Ò Ù Ò Ø Ó Ò ×
Û × Ó Ù Ð × Ø × Ý Ø Ò × × Ö Ý Ó Ò × × Ø Ò Ý Ó Ò Ø Ó Ò ×
½
´ ½ º ¾ º ½ ½ µ
Æ
Æ
½ ½ ´ ½ º ¾ º ½ ¾ µ
7/29/2019 Fre P. Course in General Relativity (Free Version, Lecture Notes, Web Draft, 2003)(141s)_PGr
http://slidepdf.com/reader/full/fre-p-course-in-general-relativity-free-version-lecture-notes-web-draft 8/141
« Ö Ò Ø Ð Å Ò Ó Ð ×
Ù Ö ½ º ½ º Ò Ó Ô Ò Ö Ø × Ó Ñ Ó Ñ Ó Ö Ô × Ñ Ó Ò Ó Ô Ò × Ù × Ø Í
Ó Ø Ñ Ò Ó Ð Å Ó Ò Ø Ó Ò Ó Ô Ò
× Ù × Ø Ó Ê
Ñ
Á Ò Ó Ø Ö Û Ó Ö × Ò Ö Ð Ö Ô Ø Ó Ó Ò × Ø Ö Ù Ø Ñ Ò Ó Ð × Ø Ó × Ô Ý Ø Ó Ô Ò Ö Ø × Ò Ó Û
Ø Ý Ö Ð Ù Ø Ó Ø Ö º Ì Ô Ö Ó Ô Ö Ø × × × Ò Ø Ó Ñ Ò Ó Ð Ö Ø Ô Ö Ó Ô Ö Ø × Ù Ð ¬ Ð Ð Ý Ø ×
Ø Ö Ò × Ø Ó Ò Ù Ò Ø Ó Ò × º Á Ò Ô Ö Ø Ù Ð Ö Û Ú
¬ Ò Ø Ó Ò ½ º ¾ º º « Ö Ò Ø Ð Ñ Ò Ó Ð
Å × × Ø Ó × Ñ Ó Ó Ø Ø Ø Ö Ò × Ø Ó Ò Ù Ò Ø Ó Ò ×
´ ½ º ¾ º ½ ¼ µ Ö Ò ¬ Ò Ø Ð Ý « Ö Ò Ø Ð
Å × × Ñ Ó Ó Ø ̧
¾
½
´ Ê
Ñ
µ ´ ½ º ¾ º ½ ¿ µ
Ë Ñ Ð Ö Ð Ý Ó Ò × Ø ¬ Ò Ø Ó Ò Ó Ó Ñ Ô Ð Ü Ñ Ò Ó Ð º
¬ Ò Ø Ó Ò ½ º ¾ º º Ö Ð Ñ Ò Ó Ð Ó Ú Ò Ñ Ò × Ó Ò Ñ ¾ × Ó Ñ Ô Ð Ü Ó Ñ Ò × Ó Ò
Ø ¾ Ö Ð Ó Ó Ö Ò Ø × Ò Ó Ô Ò Ö Ø Í
Ò Ö Ö Ò Ò Ø Ó Ó Ñ Ô Ð Ü Ò Ù Ñ Ö × × Ó Ø Ø
Õ º ´ ½ º ¾ º µ Ò Ö Ô Ð Ý
³
Í
³
´ Í
µ
´ ½ º ¾ º ½ µ
Ò Ø Ø Ö Ò × Ø Ó Ò Ù Ò Ø Ó Ò ×
Ö Ó Ð Ó Ñ Ó Ö Ô Ñ Ô ×
³
´ Í
µ
³
´ Í
µ
´ ½ º ¾ º ½ µ
Ð Ø Ó Ù Ø Ó Ò × Ø Ö Ù Ø Ú ¬ Ò Ø Ó Ò Ó « Ö Ò Ø Ð Ñ Ò Ó Ð × Ð Û Ý × Ò Ø Ö Ñ × Ó Ò Ø Ð × ¸ Ò
Ñ Ò Ý Ó Ù Ö Ö Ò × Û Ò Ú Ó Ø Ö Ò Ø Ö Ò × Ð Ó Ð ¬ Ò Ø Ó Ò × Ó Û Ø Å × Ò Ø Ó Ò × Ø Ö Ù Ø Ó Ò
7/29/2019 Fre P. Course in General Relativity (Free Version, Lecture Notes, Web Draft, 2003)(141s)_PGr
http://slidepdf.com/reader/full/fre-p-course-in-general-relativity-free-version-lecture-notes-web-draft 9/141
« Ö Ò Ø Ð Å Ò Ó Ð ×
Ù Ö ½ º ¾ º Ø Ö Ò × Ø Ó Ò Ù Ò Ø Ó Ò Ø Û Ò Ø Û Ó Ó Ô Ò Ö Ø × × « Ö Ò Ø Ð Ñ Ô Ö Ó Ñ Ò Ó Ô Ò × Ù × Ø
Ó Ê
Ñ
Ø Ó Ò Ó Ø Ö Ó Ô Ò × Ù × Ø Ó Ø × Ñ º
Ó Ò Ø Ð × Ó Ó Ó Ö Ò Ø Ô Ø × × Ò Ô Ó × Ø Ö Ó Ö Ó Ô Ö Ø Ó Ò º Ì Ý Ô Ð Ð Ý Ø × Ô Ô Ò × Û Ò Ø
Ñ Ò Ó Ð Ñ Ø × × Ö Ô Ø Ó Ò × Ò Ð Ö Ð Ó Ù × º Ì Ô Ö Ó Ø Ó Ø Ý Ô Ü Ñ Ô Ð × Ô Ö Ó Ú Ý Ø
Ë
× Ô Ö Û Ò ¬ Ò × Ø Ð Ó Ù × Ò Ê
· ½
Ó Ô Ó Ò Ø × Û Ø × Ø Ò Ö Ö Ó Ñ Ø Ó Ö Ò
¾ Ë
̧
· ½
½
¾
Ö
¾
´ ½ º ¾ º ½ µ
Á Ò Ô Ö Ø Ù Ð Ö Ó Ö ¾ Û Ú Ø Ñ Ð Ö Ë
¾
Û × « Ó Ñ Ó Ö Ô Ø Ó Ø Ó Ñ Ô Ø ¬ Ó Ñ Ô Ð Ü
Ô Ð Ò
Ë
½ º Á Ò Û Ò × Ð Ý Ú Ö Ý Ø Ø Ë
¾
× Ó Ò ß Ñ Ò × Ó Ò Ð Ó Ñ Ô Ð Ü Ñ Ò Ó Ð
Ó Ò × Ö Ò Ø Ø Ð × Ó Ó Ð Ó Ñ Ó Ö Ô Ó Ô Ò Ö Ø × × Ù × Ø Ý Ø Ó Ñ Ø Ö Ð Ó Ò × Ø Ö Ù Ø Ó Ò Ò Ñ
Ø × Ø Ö Ó Ö Ô Ô Ö Ó Ø Ó Ò º Ì Ó Ø × « Ø Ó Ò × Ö Ø Ô Ø Ù Ö Ò ¬ º ½ º ¿ Û Ö Û Ú Ö Û Ò
Ø Ø Û Ó ß × Ô Ö Ë
¾
Ó Ö Ù × Ö ½ Ò Ø Ö Ò Ø Ó Ö Ò Ó Ê
¿
º Ú Ò Ò Ö Ô Ó Ò Ø È ¾ Ë
¾
Û
Ò Ó Ò × Ø Ö Ù Ø Ø × Ñ Ó Ò Ø Õ Ù Ø Ó Ö Ð Ô Ð Ò Ê
¾
Ö Û Ò Ø × Ø Ö Ø Ð Ò Ò Ê
¿
Ø Ø Ó ×
Ø Ö Ó Ù È Ò Ø Ö Ó Ù Ø Ó Ö Ø È Ó Ð Ó Ø × Ô Ö º Ë Ù Ð Ò Û Ð Ð Ò Ø Ö × Ø Ø Õ Ù Ø Ó Ö Ð
Ô Ð Ò Ò Ø Ô Ó Ò Ø È
Û Ó × Ú Ð Ù Þ
× Ó Ñ Ô Ð Ü Ò Ù Ñ Ö Û Ò Ò Ø Ý Û Ø Ø Ó Ñ Ô Ð Ü
Ó Ó Ö Ò Ø Ó È Ò Ø Ó Ô Ò Ö Ø Ù Ò Ö Ó Ò × Ö Ø Ó Ò
³
´ È µ Þ
¾ ´ ½ º ¾ º ½ µ
Ð Ø Ö Ò Ø Ú Ð Ý Û Ò Ö Û Ø × Ø Ö Ø Ð Ò Ø Ö Ó Ù È Ò Ø Ë Ó Ù Ø È Ó Ð Ë º Ì × Ò Ø Ö × Ø × Ø
Õ Ù Ø Ó Ö Ð Ô Ð Ò Ò Ò Ó Ø Ö Ô Ó Ò Ø È
Ë
Û Ó × Ú Ð Ù × Ó Ñ Ô Ð Ü Ò Ù Ñ Ö Þ
Ë
× Ù × Ø Ø Ö Ô Ö Ó Ð
Ó Ø Ó Ñ Ô Ð Ü Ó Ò Ù Ø Ó Þ
Þ
Ë
½ Þ
º Ï Ò Ø Þ
Ë
× Ø Ó Ñ Ô Ð Ü Ó Ó Ö Ò Ø Ó Ø
× Ñ Ô Ó Ò Ø È º Á Ò Ó Ø Ö Û Ó Ö × Û Ú Ò Ó Ø Ö Ó Ô Ò Ö Ø
³
Ë
´ È µ Þ
Ë
¾ ´ ½ º ¾ º ½ µ
Ï Ø × Ø Ó Ñ Ò Ó Ø × Ø Û Ó Ö Ø × ¸ Ò Ñ Ð Ý Û Ø Ö Ø Ó Ô Ò × Ù × Ø × Í
Ò Í
Ë
Ì × ×
Ö Ø Ö × Ð Ý × Ø Ð × Ó Ò × Ö Ò Ø Ø Ø Ó Ö Ø È Ó Ð Ô Ö Ó Ø Ó Ò Ý Ð × ¬ Ò Ø Ö × Ù Ð Ø Þ
½
7/29/2019 Fre P. Course in General Relativity (Free Version, Lecture Notes, Web Draft, 2003)(141s)_PGr
http://slidepdf.com/reader/full/fre-p-course-in-general-relativity-free-version-lecture-notes-web-draft 10/141
« Ö Ò Ø Ð Å Ò Ó Ð ×
Ù Ö ½ º ¿ º Ë Ø Ö Ó Ö Ô Ô Ö Ó Ø Ó Ò Ó Ø Ø Û Ó × Ô Ö
Ó Ö Ð Ð Ô Ó Ò Ø × È Ü Ô Ø Ø Ó Ö Ø È Ó Ð Ø × Ð º À Ò Í
Ë
¾
× Ø Ó Ô Ò × Ø Ó Ø Ò Ý
× Ù Ø Ö Ø Ò Ó Ò Ô Ó Ò Ø ´ Ø Ó Ö Ø È Ó Ð µ Ø Ó Ø × Ô Ö º Ë Ñ Ð Ö Ð Ý Ø Ë Ó Ù Ø È Ó Ð Ô Ö Ó Ø Ó Ò Ý Ð ×
¬ Ò Ø Ö × Ù Ð Ø Ó Ö Ð Ð Ô Ó Ò Ø × È Ü Ô Ø Ø Ë Ó Ù Ø È Ó Ð Ø × Ð Ò Í
Ë
× Ë
¾
Ñ Ò Ù × Ø × Ó Ù Ø Ô Ó Ð º
Å Ó Ö ¬ Ò Ø Ð Ý Û Ò Ó Ó × Ó Ö Í
Ò Í
Ë
Ò Ý Ø Û Ó Ó Ô Ò Ò Ó Ö Ó Ó × Ó Ø Ë Ó Ù Ø Ò
Ó Ö Ø È Ó Ð Ö × Ô Ø Ú Ð Ý Û Ø Ò Ó Ò Ú Ò × Ò Ò Ø Ö × Ø Ó Ò ´ × ¬ º ½ º µ º Á Ò Ø × × Ø Ò Ø Ö × Ø Ó Ò
Í
Ì
Í
Ë
× Ò Û Ö Ô Ô Ö Ó Ù Ò Ø Õ Ù Ø Ó Ö Ó Ø × Ô Ö Ò Ø × Ñ Ò Ø Ó Ñ Ô Ð Ü
Õ Ù Ø Ó Ö Ð Ô Ð Ò × Ö Ù Ð Ö Ó Ö Ó Ò Ø Ø Ü Ð Ù × Ó Ø Ö Ù Ð Ö Ò Ó Ö Ó Ó Ó Ø Ó Ö Ò Ò
Ö Ù Ð Ö Ò Ó Ö Ó Ó Ó Ò ¬ Ò Ø Ý º Ç Ò × Ù Ò Ò Ø Ö × Ø Ó Ò Û Ú Ø Ø Ö Ò × Ø Ó Ò Ù Ò Ø Ó Ò
Ë
Þ
½
Þ
Ë
´ ½ º ¾ º ½ µ
Û × Ð Ö Ð Ý Ó Ð Ó Ñ Ó Ö Ô Ò × Ø × ¬ × Ø Ó Ò × × Ø Ò Ý Ó Ò Ø Ó Ò × Ò Õ º × ´ ½ º ¾ º ½ ½ ¸ ½ º ¾ º ½ ¾ µ º Ë Ó
Û × Ø Ø Ø Ë
¾
× Ó Ñ Ô Ð Ü ½ ß Ñ Ò Ó Ð Ø Ø Ò Ó Ò × Ø Ö Ù Ø Û Ø Ò Ø Ð × Ó Ñ Ô Ó × Ó
Ø Û Ó Ó Ô Ò Ö Ø × Ö Ð Ø Ý Ø Ø Ö Ò × Ø Ó Ò Ù Ò Ø Ó Ò ´ ½ º ¾ º ½ µ º Ç Ú Ó Ù × Ð Ý Ó Ñ Ô Ð Ü ½ ß Ñ Ò Ó Ð
× Ó Ö Ø Ó Ö × Ñ Ó Ó Ø Ö Ð ¾ ß Ñ Ò Ó Ð º Ì Ö × Ó Ò Û Ý Ñ Ò Ó Ð × Û Ø Ò ¬ Ò Ø Ð Ý « Ö Ò Ø Ð
Ø Ö Ò × Ø Ó Ò Ù Ò Ø Ó Ò × Ö Ò Ñ × Ñ Ó Ó Ø × Ò Ó Ø Û Ø Ó Ù Ø Ö × Ó Ò º Á Ò Ø Ý Ó Ö Ö × Ô Ó Ò Ø Ó Ó Ù Ö
Ò Ø Ù Ø Ú Ò Ó Ø Ó Ò Ó × Ñ Ó Ó Ø Ý Ô Ö × Ù Ö × Û Ø Ó Ù Ø Ó Ò Ð Ô Ó Ò Ø × Ó Ö × º Á Ò Ø Ô Ö × Ò Ó
× Ù Ø × Ñ Ò × Ø × Ø × Ð Ø Ö Ó Ù Ø Ð Ó « Ö Ò Ø Ð Ø Ý Ò × Ó Ñ Ö Ó Ò × º
½ º ¾ º ¾ Ù Ò Ø Ó Ò × Ó Ò Ñ Ò Ó Ð ×
Å Ò Ó Ð × Ò Ø Ñ Ø Ñ Ø Ð Ñ Ó Ð Ó Ô Ó × × Ð × Ô ß Ø Ñ × Ö Ø Ó Ñ Ø Ö Ð × Ù Ô Ô Ó Ö Ø Ó
Ô Ý × × º Ì Ý Ö Ø Ö Ò × Û Ö Ô Ý × Ð Ô Ö Ó × × × Ø Ô Ð Ò Û Ö Ô Ý × Ð Õ Ù Ò Ø Ø ×
Ø Ú Ð Ù × º Å Ø Ñ Ø Ð Ð Ý Ø × Ñ Ô Ð × Ø Ø Ð Ù Ð Ù × ¸ Ó Ö Ò Ð Ð Ý Ò Ø Ö Ó Ù Ó Ò Ê
Ñ Ù × Ø
Ü Ø Ò Ø Ó Ñ Ò Ó Ð × º Ì Ô Ý × Ð Ò Ø Ø × ¬ Ò Ó Ò Ñ Ò Ó Ð × Û × Ð Ð Ð Û Ø Ö Ñ Ø ¹
Ñ Ø Ð Ð Ý Ö Ø Ö Þ × × Ð Ö Ù Ò Ø Ó Ò × ¸ Ú Ø Ó Ö ¬ Ð × ¸ Ø Ò × Ó Ö ¬ Ð × ¸ « Ö Ò Ø Ð Ó Ö Ñ × ¸ × Ø Ó Ò ×
Ó Ñ Ó Ö Ò Ö Ð ¬ Ö ß Ù Ò Ð × º Ï Ò Ø Ö Ó Ù Ø × × Ó Ñ Ø Ö Ð Ò Ó Ø Ó Ò × × Ð Ó Û Ð Ý Ò Ò Ò
Û Ø Ø × Ñ Ô Ð × Ø Ó Ò Ô Ø Ó × Ð Ö Ù Ò Ø Ó Ò º
7/29/2019 Fre P. Course in General Relativity (Free Version, Lecture Notes, Web Draft, 2003)(141s)_PGr
http://slidepdf.com/reader/full/fre-p-course-in-general-relativity-free-version-lecture-notes-web-draft 11/141
« Ö Ò Ø Ð Å Ò Ó Ð × ½ ¼
Ù Ö ½ º º Ì Ó Ô Ò Ö Ø × Ó Ø Æ Ó Ö Ø Ò Ë Ó Ù Ø È Ó Ð
7/29/2019 Fre P. Course in General Relativity (Free Version, Lecture Notes, Web Draft, 2003)(141s)_PGr
http://slidepdf.com/reader/full/fre-p-course-in-general-relativity-free-version-lecture-notes-web-draft 12/141
7/29/2019 Fre P. Course in General Relativity (Free Version, Lecture Notes, Web Draft, 2003)(141s)_PGr
http://slidepdf.com/reader/full/fre-p-course-in-general-relativity-free-version-lecture-notes-web-draft 13/141
« Ö Ò Ø Ð Å Ò Ó Ð × ½ ¾
Ø × Ð Ö Ù Ò Ø Ó Ò º Ì Ù Ò Ø Ó Ò × × Ø Ó Ó Ò Ø Ò Ù Ó Ù × ¸ « Ö Ò Ø Ð ¸ Ò ¬ Ò Ø Ð Ý « Ö Ò Ø Ð
Ø Ö Ð Ù Ò Ø Ó Ò ×
Ú × Ù Ô Ö Ó Ô Ö Ø × º Ö Ó Ñ Ø ¬ Ò Ø Ó Ò ´ ½ º ¾ º ¾ ½ µ Ó Ø Ð Ó Ð × Ö Ô Ø Ó Ò
Ò Ö Ó Ñ Ø ¬ Ò Ø Ó Ò ´ ½ º ¾ º ½ ¼ µ Ó Ø Ø Ö Ò × Ø Ó Ò Ù Ò Ø Ó Ò × Ø Ó Ð Ð Ó Û × Ø Ø Û Ñ Ù × Ø Ú
Í
Í
Æ
´ ½ º ¾ º ¾ ¿ µ
Ä Ø Ü
´ µ
Ø Ó Ó Ö Ò Ø × Ò Ø Ô Ø Í
Ò Ü
´ µ
Ø Ó Ó Ö Ò Ø × Ò Ø Ô Ø Í
º Ó Ö
Ô Ó Ò Ø × Ô Ø Ø Ð Ó Ò Ø Ó Ø Ò Ø Ö × Ø Ó Ò Í
Ì
Í
Û Ú
Ü
´ µ
´ Ô µ
´ µ
Ü
´ µ
½
´ Ô µ Ü
´ µ
Ñ
´ Ô µ
´ ½ º ¾ º ¾ µ
Ò Ø Ð Ù Ò Ö Ù Ð ´ ½ º ¾ º ¾ ¿ µ Ø × Ø Ó Ö Ñ
´ Ô µ
Ü
´ µ
´ Ü
´ µ
µ
Ü
´ µ
´ ½ º ¾ º ¾ µ
Ì Ô Ö Ø Ð Û Ý Ó × × Ò Ò Ù Ò Ø Ó Ò Ó Ò Ñ Ò Ó Ð × Ø Ö Ó Ö Ø Ø Ó Û Ö Ø Ò Ø × Ð Ó Ð
× Ö Ô Ø Ó Ò Ò Ø Ó Ô Ò Ö Ø × Ó Ò Ø Ð × Ø Ò Ö Ø Ø Ø Ú Ö Ó Ù ×
Ð Ù Ø Ó Ø Ö Ó Ö Ö Ø Ð Ý ¸
Ò Ñ Ð Ý Ø Ö Ó Ù Õ Ù Ø Ó Ò ´ ½ º ¾ º ¾ ¿ µ º Ð Ø Ó Ù Ø Ò Ù Ñ Ö Ó Ó Ò Ø Ò Ù Ó Ù × Ò « Ö Ò Ø Ð Ù Ò ¹
Ø Ó Ò × Ó Ò Ò Û Ö Ø Ó Ò Ò Ý Ó Ô Ò Ö Ó Ò Ó Ê
Ñ
× Ò ¬ Ò Ø ¸ Ø × Ñ Ó Ó Ø Ù Ò Ø Ó Ò × Ð Ó Ð Ð Ý ¬ Ò
Ó Ò Ò Ó Ò Ø Ö Ú Ð Ñ Ò Ó Ð Ò Ú Ö Ý Û º Á Ò Ø × Ó Ò Ð Ý Ó × Ó Ò Ð Ð Ý Ø Ø Û Ò Ó Ò × × Ø Ò Ø Ð Ý
Ð Ù Ø Ó Ø Ö Ú Ö Ó Ù × Ð Ó Ð Ù Ò Ø Ó Ò ×
¾
½
´ Í
µ Ò Ø Ó Ð Ó Ð º Ï Ò Ø × Ô Ô Ò × Û × Ý
Ø Ø ¾
½
´ Å µ º
Ð Ð Û Ø Û × Ó Ù Ø Ö Ð Ù Ò Ø Ó Ò × Ò Ø Ö Ú Ð Ð Ý Ö Ô Ø Ó Ö Ó Ñ Ô Ð Ü Ù Ò Ø Ó Ò × º Á Ø
× Ù Æ × Ø Ó Ö Ô Ð Ê Ý Ò Õ º ´ ½ º ¾ º ¾ ¼ µ º
½ º ¾ º ¿ Ö Ñ × Ó × Ñ Ó Ó Ø Ù Ò Ø Ó Ò ×
Ì Ð Ó Ð Ó Ñ Ø Ö Ý Ó Ñ Ò Ó Ð × × Ø Ù Ý Ó Ò × Ö Ò Ó Ô Ö Ø Ó Ò × Ò Ó Ø Ó Ò Ø × Ô Ó × Ñ Ó Ó Ø
Ù Ò Ø Ó Ò ×
½
´ Å µ Û ¸ × Ù × Ø Ü Ô Ð Ò ¸ Ò Ú Ö Ý × Ñ Ð Ð ¸ Ù Ø Ó Ò Ø × Ô Ó Ö Ñ × Ó
Ù Ò Ø Ó Ò × ¬ Ò Ø Ô Ó Ò Ø Ô
¾ Å Ø Ø × Ð Û Ý × Ò Ò ¬ Ò Ø Ñ Ò × Ó Ò Ð × Ô º
¬ Ò Ø Ó Ò ½ º ¾ º º Ú Ò Ô Ó Ò Ø Ô
¾ Å Ø × Ô Ó Ö Ñ × Ó × Ñ Ó Ó Ø Ù Ò Ø Ó Ò × Ø Ô ¸ Ò Ó Ø
½
Ô
× ¬ Ò × Ó Ð Ð Ó Û × º Ó Ò × Ö Ð Ð Ø Ó Ô Ò Ò Ó Ö Ó Ó × Ó Ô ¸ Ò Ñ Ð Ý Ð Ð Ø Ó Ô Ò × Ù × Ø ×
Í
Ô
Å × Ù Ø Ø Ô ¾ Í
Ô
º Ó Ò × Ö Ø × Ô Ó × Ñ Ó Ó Ø Ù Ò Ø Ó Ò ×
½
´ Í
Ô
µ Ó Ò Í
Ô
º Ì Û Ó
Ù Ò Ø Ó Ò × ¾
½
´ Í
Ô
µ Ò ¾
½
´ Í
¼
Ô
¡
Ö × Ø Ó Õ Ù Ú Ð Ò Ø Ø Ý Ó Ò Ó Ò Ø
Ò Ø Ö × Ø Ó Ò Í
Ô
Ë
Í
¼
Ô
´ × ¬ º ½ º µ
̧
Í
Ô
Ì
Í
¼
Ô
Í
Ô
Ì
Í
¼
Ô
´ ½ º ¾ º ¾ µ
Ì Ù Ò Ó Ò Ó Ð Ð Ø × Ô ×
½
´ Í
Ô
µ Ñ Ó Ý Ø Õ Ù Ú Ð Ò Ö Ð Ø Ó Ò ´ ½ º ¾ º ¾ µ × Ø × Ô Ó
Ö Ñ × Ó × Ñ Ó Ó Ø Ù Ò Ø Ó Ò × Ø Ô
½
Ô
Ë
Í
Ô
½
´ Í
Ô
µ
´ ½ º ¾ º ¾ µ
Ï Ø Ù Ò Ö Ð × Ø Ó Ú ¬ Ò Ø Ó Ò Ó Ö Ñ × × Ø Ñ Ð Ö Ô Ö Ò Ô Ð Ó Ò Ð Ý Ø Ó Ò Ø Ò ¹
Ù Ø Ó Ò º Ç Ø × Ñ Ù Ò Ø Ó Ò Û Ò Ú « Ö Ò Ø ¬ Ò Ø Ó Ò × Ø Ø Ú « Ö Ò Ø Ó Ñ Ò × Ó
Ú Ð Ø Ý Ô Ô Ö Ò Ø Ð Ý Û Ú « Ö Ò Ø Ù Ò Ø Ó Ò × Ù Ø Ø Ý Ó Ò Ó Ò × Ó Ñ Ó Ô Ò Ö Ó Ò Ø Ò Û
Ó Ò × Ö Ø Ñ Ù × Ø × « Ö Ò Ø Ö Ô Ö × Ò Ø Ø Ó Ò × Ó × Ò Ð Ù Ò Ø Ó Ò º Ú Ò Ò Ý Ö Ñ Ò × Ó Ñ Ó Ô Ò
7/29/2019 Fre P. Course in General Relativity (Free Version, Lecture Notes, Web Draft, 2003)(141s)_PGr
http://slidepdf.com/reader/full/fre-p-course-in-general-relativity-free-version-lecture-notes-web-draft 14/141
Ì Ò Ò Ø Ò Ó Ø Ò Ò Ø Ë Ô × ½ ¿
Ù Ö ½ º º Ö Ñ Ó × Ñ Ó Ó Ø Ù Ò Ø Ó Ò × Ø Õ Ù Ú Ð Ò Ð × × Ó Ð Ð Ð Ó Ð Ð Ý ¬ Ò Ù Ò Ø Ó Ò Ø Ø
Ó Ò Ò × Ó Ñ Ò Ó Ö Ó Ó Ó Ô Ó Ò Ø Ô
Ò Ó Ö Ó Ó Í
Ô
Û Ø Ö Ý Ø Ó Ü Ø Ò Ø Ø Ó Ð Ö Ö Ó Ñ Ò Ý × Ù Ø Ð Ý Ò Ò Ø × Ö Ô Ö × Ò Ø Ø Ó Ò º
Á Ò Ò Ö Ð Ø Ö × Ð Ñ Ø Ø Ó × Ù Ü Ø Ò × Ó Ò Ò Ó Ò Ð Ý Ú Ö Ý × Ô Ð Ö Ñ × Ü Ø Ò Ø Ó Ð Ó Ð Ð Ý ¬ Ò
Ù Ò Ø Ó Ò × Ó Ò Ø Û Ó Ð Ñ Ò Ó Ð Å º Ó Ö Ò × Ø Ò Ø Ô Ó Û Ö × Ö ×
È
¾ Æ
Þ
¬ Ò × Ó Ð Ó Ñ Ó Ö Ô
Ù Ò Ø Ó Ò Û Ø Ò Ø × Ö Ù × Ó Ó Ò Ú Ö Ò Þ ½ º × Ú Ö Ý Ó Ý Ò Ó Û × Û Ø Ò Ø Ó Ò Ú Ö Ò
Ö Ù × Ø × Ù Ñ Ó Ø × × Ö × Ó Ò × Û Ø ½ ´ ½ Þ µ Û × Ó Ð Ó Ñ Ó Ö Ô Ù Ò Ø Ó Ò ¬ Ò Ó Ò
Ñ Ù Ð Ö Ö Ò Ó Ö Ó Ó Ó Þ ¼ º Ó Ö Ò Ø Ó Ó Ù Ö ¬ Ò Ø Ó Ò Ø Ø Û Ó Ù Ò Ø Ó Ò × Ö Õ Ù Ú Ð Ò Ø
Ò Ó Ö Ö × Ô Ó Ò Ø Ó Ø Û Ó « Ö Ò Ø Ö Ô Ö × Ò Ø Ø Ú × Ó Ø × Ñ Ö Ñ º Ì Ö Ñ ¸ Ó Û Ú Ö ¸ Ó × Ò Ó Ø
Ü Ø Ò Ø Ó Ó Ð Ó Ñ Ó Ö Ô Ù Ò Ø Ó Ò Ó Ò Ø Û Ó Ð Ê Ñ Ò Ò × Ô Ö
Ë
½ × Ò Ø × × Ò Ù Ð Ö Ø Ý
Ò Þ ½ º Á Ò ¸ × × Ø Ø Ý Ä Ó Ù Ú Ð Ð Ø Ó Ö Ñ ¸ Ø × Ô Ó Ð Ó Ð Ó Ð Ó Ñ Ó Ö Ô Ù Ò Ø Ó Ò × Ó Ò
Ø Ê Ñ Ò Ò × Ô Ö Ó Ò Ø Ò × Ó Ò Ð Ý Ø Ó Ò × Ø Ò Ø Ù Ò Ø Ó Ò º
½ º ¿ Ì Ò Ò Ø Ò Ó Ø Ò Ò Ø Ë Ô ×
Á Ò Ð Ñ Ò Ø Ö Ý Ó Ñ Ø Ö Ý Ø Ò Ó Ø Ó Ò Ó Ø Ò Ò Ø Ð Ò × × × Ó Ø Û Ø Ø Ò Ó Ø Ó Ò Ó Ù Ö Ú º
À Ò Ø Ó Ò Ø Ö Ó Ù Ø Ò Ò Ø Ú Ø Ó Ö × Û Ú Ø Ó Ò Û Ø Ø Ò Ó Ø Ó Ò Ó Ù Ö Ú × Ò Ñ Ò Ó Ð º
¬ Ò Ø Ó Ò ½ º ¿ º ½ º Ù Ö Ú Ò Ñ Ò Ó Ð Å × Ó Ò Ø Ò Ù Ó Ù × Ò « Ö Ò Ø Ð Ñ Ô Ó Ò
Ò Ø Ö Ú Ð Ó Ø Ö Ð Ð Ò ´ × Ý ¼ ½ ℄ Ê µ Ò Ø Ó Å
¼ ½ ℄ Å ´ ½ º ¿ º ¾ µ
Á Ò Ó Ø Ö Û Ó Ö × Ù Ö Ú × Ó Ò ß Ñ Ò × Ó Ò Ð × Ù Ñ Ò Ó Ð Å ´ × ¬ º ½ º µ º
Ì Ö Ö Ù Ö Ú × Û Ø Ó Ù Ò Ö Ý ¸ Ò Ñ Ð Ý ´ ¼ µ
Ë
´ ½ µ Ò Ó Ô Ò Ù Ö Ú × Ø Ø Ó Ò Ó Ø Ó Ò Ø Ò
Ø Ö Ó Ù Ò Ö Ý º Ì × Ô Ô Ò × Ò Õ Ù Ø Ó Ò ´ ½ º ¿ º ¾ µ Û Ö Ô Ð Ø Ð Ó × Ò Ø Ö Ú Ð ¼ ½ ℄ Û Ø Ø
Ó Ô Ò Ò Ø Ö Ú Ð ℄ ¼ ½ º Ð Ó × Ù Ö Ú × Ó Ö Ð Ó Ó Ô × Ó Ö Ö × Ô Ó Ò Ø Ó Ø × Û Ö Ø Ò Ø Ð Ò ¬ Ò Ð Ô Ó Ò Ø
Ó Ò ¸ Ø Ø × Û Ò Ô
´ ¼ µ ´ ½ µ Ô
º « Ö Ò Ø Ð Ý ×
7/29/2019 Fre P. Course in General Relativity (Free Version, Lecture Notes, Web Draft, 2003)(141s)_PGr
http://slidepdf.com/reader/full/fre-p-course-in-general-relativity-free-version-lecture-notes-web-draft 15/141
Ì Ò Ò Ø Ò Ó Ø Ò Ò Ø Ë Ô × ½
Ù Ö ½ º º Ù Ö Ú Ò Ñ Ò Ó Ð × Ó Ò Ø Ò Ù Ó Ù × Ñ Ô Ó Ò Ò Ø Ö Ú Ð Ó Ø Ö Ð Ð Ò Ò Ø Ó Ø Ñ Ò Ó Ð
Ø × Ð
¬ Ò Ø Ó Ò ½ º ¿ º ¾ º Ð Ó × Ù Ö Ú × Ó Ò Ø Ò Ù Ó Ù × « Ö Ò Ø Ð Ñ Ô Ó Ö Ð Ò Ø Ó Ø Ñ Ò ¹
Ó Ð
Ë
½
Å ´ ½ º ¿ º ¾ µ
Á Ò ¸ Ò Ø Ý Ò Ø Ò Ø Ð Ò ¬ Ò Ð Ô Ó Ò Ø Ñ Ò × Ø Ó Ó Ò × Ö Ø Ô Ó Ò Ø × Ó Ø Ù Ö Ú × Ò
Ò Ó Ò ß Ø Ó ß Ó Ò Ó Ö Ö × Ô Ó Ò Ò Û Ø Ø Õ Ù Ú Ð Ò Ð × × ×
Ê Ë
½
´ ½ º ¿ º ¿ ¼ µ
Û Ó Ò × Ø Ø Ù Ø Ø Ñ Ø Ñ Ø Ð ¬ Ò Ø Ó Ò Ó Ø Ö Ð º Ü Ô Ð Ø Ð Ý Õ º ´ ½ º ¿ º ¿ ¼ µ Ñ Ò × Ø Ø Ø Û Ó
Ö Ð Ò Ù Ñ Ö × Ö Ò Ö
¼
Ö Ð Ö Ø Ó Õ Ù Ú Ð Ò Ø Ø Ö « Ö Ò Ö
¼
Ö Ò × Ò Ò Ø Ö
Ò Ù Ñ Ö Ò ¾ º × Ö Ô Ö × Ò Ø Ø Ú × Ó Ø × Õ Ù Ú Ð Ò Ð × × × Û Ú Ø Ö Ð Ò Ù Ñ Ö × Ó Ò Ø Ò
Ò Ø Ò Ø Ö Ú Ð ¼ ½ ℄ Û Ø Ø Ô Ö Ó Ú × Ó Ø Ø ¼ ½ º
Ï Ò Ð × Ó Ó Ò × Ö × Ñ Ó Ô Ò Ù Ö Ú × Ó Ö Ö × Ô Ó Ò Ò Ø Ó Ñ Ô × Ó Ø × Ñ Ó Ô Ò Ò Ø Ö Ú Ð ¼ ½
Ò Ø Ó Å º Á Ò Ô Ö Ø Ù Ð Ö ¸ Ò Ó Ö Ö Ø Ó ¬ Ò Ø Ò Ò Ø Ú Ø Ó Ö × Û Ö Ò Ø Ö × Ø Ò Ó Ô Ò Ö Ò × Ó
Ù Ö Ú × ¬ Ò Ò Ø Ò Ó Ö Ó Ó Ó Ô Ó Ò Ø º
½ º ¿ º ½ Ì Ò Ò Ø Ú Ø Ó Ö × Ò Ô Ó Ò Ø Ô ¾ Å
Ó Ö Ô Ó Ò Ø Ô ¾ Å Ð Ø Ù × ¬ Ü Ò Ó Ô Ò Ò Ó Ö Ó Ó Í
Ô
Å Ò Ð Ø Ù × Ó Ò × Ö Ø × Ñ Ó Ô Ò
Ù Ö Ú × Ó Ø Ó Ð Ð Ó Û Ò Ø Ý Ô
Ô
¼ ½ Í
Ô
Ô
´ ¼ µ Ô
´ ½ º ¿ º ¿ ½ µ
Á Ò Ó Ø Ö Û Ó Ö × Ó Ö Ô Ó Ò Ø Ô Ð Ø Ù × Ó Ò × Ö Ð Ð Ô Ó × × Ð Ù Ö Ú ×
Ô
´ Ø µ Ø Ø Ó Ø Ö Ó Ù Ô ´ ×
¬ º ½ º µ º
7/29/2019 Fre P. Course in General Relativity (Free Version, Lecture Notes, Web Draft, 2003)(141s)_PGr
http://slidepdf.com/reader/full/fre-p-course-in-general-relativity-free-version-lecture-notes-web-draft 16/141
Ì Ò Ò Ø Ò Ó Ø Ò Ò Ø Ë Ô × ½
Ù Ö ½ º º Á Ò Ò Ó Ö Ó Ó Í
Ô
Ó Ô Ó Ò Ø Ô ¾ Å Û Ó Ò × Ö Ø Ù Ö Ú × Ø Ø Ó Ø Ö Ó Ù Ô
Á Ò Ø Ù Ø Ú Ð Ý Ø Ø Ò Ò Ø Ò Ô Ø Ó Ù Ö Ú Ø Ø × Ø Ö Ø × Ö Ó Ñ Ô × Ø Ú Ø Ó Ö Ø Ø × Ô ¬ × Ø
Ù Ö Ú ³ × Ò Ø Ð Ö Ø Ó Ò º Ì × × Ø Ø Ò Ò Ñ ß Ñ Ò × Ó Ò Ð Ñ Ò Ó Ð Ø Ö Ö × Ñ Ò Ý
Ö Ø Ó Ò × Ò Û Ø Ù Ö Ú Ò Ô Ö Ø × Ø Ö Ö Ú Ø Ó Ö × Ò Ê
Ñ
Ù Ö Ø Ö Ñ Ó Ö Ó Ö × Ù Æ Ò Ø Ð Ý
× Ñ Ð Ð Ò Ó Ö Ó Ó × Ó Ô Û Ò Ò Ó Ø Ø Ð Ð Ø « Ö Ò Ø Û Ò Ø Ñ Ò Ó Ð Å Ò Ø - Ø
Ú Ø Ó Ö × Ô Ê
Ñ
º À Ò Ø Ó Ô Ó Ò Ø Ô ¾ Å Ó Ñ Ò Ó Ð Û Ò Ø Ø Ò Ñ ß Ñ Ò × Ó Ò Ð Ö Ð
Ú Ø Ó Ö × Ô
Ô ¾ Å Ô Ì
Ô
Å Ñ Ì
Ô
Å Ñ ´ ½ º ¿ º ¿ ¾ µ
Û Ô Ö Ñ Ø Ö Þ × Ø Ô Ó × × Ð Ö Ø Ó Ò × Ò Û Ù Ö Ú × Ø Ö Ø Ò Ø Ô Ò Ô Ö Ø º Ì × Ú Ø Ó Ö
× Ô × Ò Ñ Ø Ø Ò Ò Ø × Ô Ø Ó Å Ø Ø Ô Ó Ò Ø Ô Ò × ¸ Ý ¬ Ò Ø Ó Ò ¸ × Ó Ñ Ó Ö Ô Ø Ó Ê
Ñ
¸
Ò Ñ Ð Ý Ì
Ô
Å Ê
Ñ
º Ó Ö Ò × Ø Ò Ø Ó Ô Ó Ò Ø Ó Ò Ë
¾
× Ô Ö Û Ø Ø Ø Ò Ò Ø Ô Ð Ò Ê
¾
´ × ¬ º ½ º µ
Ù Ö ½ º º Ì Ø Ò Ò Ø × Ô Ò Ò Ö Ô Ó Ò Ø Ó Ò Ë
¾
× Ô Ö
Ä Ø Ù × Ò Ó Û Ñ Ø × Ò Ø Ù Ø Ú Ò Ó Ø Ó Ò Ñ Ø Ñ Ø Ð Ð Ý Ô Ö × º Ó Ò × Ö Ô Ó Ò Ø Ô
¾ Å Ò
Ö Ñ Ó × Ñ Ó Ó Ø Ù Ò Ø Ó Ò
Ô
¾
½
Ô
´ Å µ º Á Ò Ò Ý Ó Ô Ò Ö Ø ´ Í
«
³
«
µ Ø Ø Ó Ò Ø Ò × Ø Ô Ó Ò Ø Ô ¸
7/29/2019 Fre P. Course in General Relativity (Free Version, Lecture Notes, Web Draft, 2003)(141s)_PGr
http://slidepdf.com/reader/full/fre-p-course-in-general-relativity-free-version-lecture-notes-web-draft 17/141
Ì Ò Ò Ø Ò Ó Ø Ò Ò Ø Ë Ô × ½
Ø Ö Ñ
Ô
× Ö Ô Ö × Ò Ø Ý Ò Ò ¬ Ò Ø Ð Ý « Ö Ò Ø Ð Ù Ò Ø Ó Ò Ó Ñ ß Ú Ö Ð ×
Ô
Ü
´ « µ
½
Ü
´ « µ
Ñ
´ ½ º ¿ º ¿ ¿ µ
Ä Ø Ù × Ò Ó Û Ó Ó × Ò Ó Ô Ò Ù Ö Ú
Ô
´ Ø µ Ø Ø Ð × Ò Í
«
Ò × Ø Ö Ø × Ø Ô
Ô
´ Ø µ
Ô
¼ ½ Í
«
Ô
´ ¼ µ Ô
´ ½ º ¿ º ¿ µ
Ò Ó Ò × Ö Ø Ó Ñ Ô Ó × Ñ Ô
Ô
Æ
Ô
¼ ½ Ê Ê ´ ½ º ¿ º ¿ µ
Û × Ö Ð Ù Ò Ø Ó Ò
Ô
´
Ô
´ Ø µ µ
Ô
´ Ø µ ´ ½ º ¿ º ¿ µ
Ó Ó Ò Ö Ð Ú Ö Ð ´ × ¬ º ½ º ½ ¼ µ
Ù Ö ½ º ½ ¼ º Ì Ó Ñ Ô Ó × Ñ Ô
Ô
Æ
Ô
Û Ö
Ô
× Ö Ñ Ó × Ñ Ó Ó Ø Ù Ò Ø Ó Ò Ò Ô Ò
Ô
× Ù Ö Ú
Ô Ö Ø Ò Ö Ó Ñ Ô ¾ Å
Ï Ò Ð Ù Ð Ø Ø × Ö Ú Ø Ú Û Ø Ö × Ô Ø Ø Ó Ø Ò Ø ¼ Û Ò Ø Ó Ô Ò Ö Ø ´ Í
«
³
«
µ
Ö × × Ó Ð Ð Ó Û ×
Ø
Ô
´ Ø µ
Ø ¼
Ô
Ü
¡
Ü
Ø
Ø ¼
´ ½ º ¿ º ¿ µ
Ï × Ö Ó Ñ Ø Ó Ú Ó Ö Ñ Ù Ð Ø Ø Ø Ò Ö Ñ Ò Ø Ó Ò Ý Ö Ñ
Ô
¾
½
Ô
´ Å µ Ð Ó Ò Ù Ö Ú
Ô
´ Ø µ
× ¬ Ò Ø Ö Ó Ù Ø Ñ Ö Ð Ó Æ Ò Ø ×
Ü
Ø
Ø ¼
¾ Ê ´ ½ º ¿ º ¿ µ
Û Ò Ð Ù Ð Ø Û Ò Ú Ö Ø Ô Ö Ñ Ø Ö Ó Ö Ñ Ó Ø Ù Ö Ú × Ú Ò Ü
Ü
´ Ø µ º Ü Ô Ð ¹
Ø Ð Ý Û Ú
Ô
Ø
Ô
Ü
´ ½ º ¿ º ¿ µ
Õ º ´ ½ º ¿ º ¿ µ Ò Ò Ø Ö Ô Ö Ø × Ø Ø Ó Ò Ó « Ö Ò Ø Ð Ó Ô Ö Ø Ó Ö Ó Ò Ø × Ô Ó Ö Ñ × Ó
× Ñ Ó Ó Ø Ù Ò Ø Ó Ò × ¸ Ò Ñ Ð Ý
Ø
Ô
Ü
µ
Ø
Ô
½
Ô
´ Å µ
½
Ô
´ Å µ ´ ½ º ¿ º ¼ µ
Á Ò Ó Ö Ò Ý Ö Ñ Ò Ó Ö Ò Ý Ù Ö Ú
Ø
Ô
Ü
Ø
Ø ¼
Ü
¾
½
Ô
´ Å µ ´ ½ º ¿ º ½ µ
7/29/2019 Fre P. Course in General Relativity (Free Version, Lecture Notes, Web Draft, 2003)(141s)_PGr
http://slidepdf.com/reader/full/fre-p-course-in-general-relativity-free-version-lecture-notes-web-draft 18/141
Ì Ò Ò Ø Ò Ó Ø Ò Ò Ø Ë Ô × ½
× Ò Û Ö Ñ Ó × Ñ Ó Ó Ø Ù Ò Ø Ó Ò Ò Ø Ô Ó Ò Ø Ô º Ì × × Ù × × Ó Ò Ù × Ø ¬ × Ø Ñ Ø Ñ Ø Ð
¬ Ò Ø Ó Ò Ó Ø Ò Ò Ø × Ô
¬ Ò Ø Ó Ò ½ º ¿ º ¿ º Ì Ø Ò Ò Ø × Ô Ì
Ô
Å Ø Ó Ø Ñ Ò Ó Ð Å Ò Ø Ô Ó Ò Ø Ô × Ø Ú Ø Ó Ö
× Ô Ó ¬ Ö × Ø Ó Ö Ö « Ö Ò Ø Ð Ó Ô Ö Ø Ó Ö × Ó Ò Ø Ö Ñ × Ó × Ñ Ó Ó Ø Ù Ò Ø Ó Ò ×
½
Ô
´ Å µ
Ü Ø Ð Ø Ù × Ó × Ö Ú Ø Ø Ø × Ô Ó Ö Ñ ×
½
Ô
´ Å µ × Ò Ð Ö Û Ø Ö × Ô Ø Ø Ó Ð Ò Ö Ó Ñ ¹
Ò Ø Ó Ò × Û Ø Ö Ð Ó Æ Ò Ø × ´ « · ¬ µ ´ Ô µ « ´ Ô µ · ¬ ´ Ô µ Ò Ô Ó Ò Ø Û × Ñ Ù Ð Ø Ô Ð Ø Ó Ò
¡ ´ Ô µ ´ Ô µ ´ Ô µ
« ¬ ¾ Ê ¾
½
Ô
´ Å µ « · ¬ ¾
½
Ô
´ Å µ
¾
½
Ô
´ Å µ ¡ ¾
½
Ô
´ Å µ
´ « · ¬ µ
¡ «
¡ · ¬
¡
´ ½ º ¿ º ¾ µ
Ò Ø Ò Ò Ø Ú Ø Ó Ö
Ø
Ô
× Ö Ú Ø Ó Ò Ó Ø × Ð Ö º
¬ Ò Ø Ó Ò ½ º ¿ º º Ö Ú Ø Ó Ò Ó Ò Ð Ö × Ñ Ô
´ ½ º ¿ º ¿ µ
Ø Ø
´ µ × Ð Ò Ö
« ¬ ¾ Ê ¾ ´ « · ¬ µ « · ¬ ´ ½ º ¿ º µ
´ µ Ó Ý × Ä Ò Ø Þ Ö Ù Ð
¾ ¡ ¡ · ¡ ´ ½ º ¿ º µ
Ì Ø Ø Ò Ò Ø Ú Ø Ó Ö × ¬ Ø Ò Ø Ó Ø ¬ Ò Ø Ó Ò ½ º ¿ º × Ð Ö Ö Ó Ñ Ø Ö Ü Ô Ð Ø Ö Ð Þ Ø Ó Ò × « Ö ¹
Ò Ø Ð Ó Ô Ö Ø Ó Ö × Õ º × ´ ½ º ¿ º ¼ ¸ ½ º ¿ º ½ µ º Á Ø × Ð × Ó Ð Ö Ø Ø Ø × Ø Ó Ö Ú Ø Ó Ò ×
℄ Ó Ò Ð Ö
Ó Ò × Ø Ø Ù Ø × Ö Ð Ú Ø Ó Ö × Ô º Á Ò Ð Ò Ö Ó Ñ Ò Ø Ó Ò Ó Ö Ú Ø Ó Ò × × × Ø Ð Ð Ö Ú Ø Ó Ò ¸
Ú Ò × Ø
« ¬ ¾ Ê
½
¾
¾ ℄ ¾ ´ «
½
· ¬
¾
µ «
½
· ¬
¾
´ ½ º ¿ º µ
À Ò Ò Õ Ù Ú Ð Ò Ø Ò Ñ Ó Ö × Ø Ö Ø ¬ Ò Ø Ó Ò Ó Ø Ò Ò Ø × Ô × Ø Ó Ð Ð Ó Û Ò
¬ Ò Ø Ó Ò ½ º ¿ º º Ì Ø Ò Ò Ø × Ô Ø Ó Ñ Ò Ó Ð
Å Ø Ø Ô Ó Ò Ø Ô × Ø Ú Ø Ó Ö × Ô Ó
Ö Ú Ø Ó Ò × Ó Ø Ð Ö Ó Ö Ñ × Ó × Ñ Ó Ó Ø Ù Ò Ø Ó Ò × Ò Ô
Ì
Ô
Å
¢
½
Ô
´ Å µ
£
´ ½ º ¿ º µ
Á Ò Ó Ö Ò Ý Ø Ò Ò Ø Ú Ø Ó Ö ´ ½ º ¿ º ¼ µ Ò Ó Ö Ò Ý Ô Ö Ó Ö Ñ × ¾
½
Ô
´ Å µ Û Ú
Ø
Ô
´ « · ¬ µ «
Ø
Ô
´ µ · ¬
Ø
Ô
´ µ
Ø
Ô
´ ¡ µ
Ø
Ô
´ µ ¡ · ¡
Ø
Ô
´ µ ´ ½ º ¿ º µ
Á Ò Ó Ó Ö Ò Ø Ô Ø Ø Ò Ò Ø Ú Ø Ó Ö × ¸ × Û Ú × Ò ¸ ¬ Ö × Ø Ó Ö Ö « Ö Ò Ø Ð Ó Ô Ö Ø Ó Ö
× Ò Ð Ó Ù Ø Ý Ø × Ó Ñ Ô Ó Ò Ò Ø × ¸ Ò Ñ Ð Ý Ý Ø Ó Æ Ò Ø ×
º Á Ò Ø Ð Ò Ù Ó Ø Ò × Ó Ö Ð Ù Ð Ù × Ø
7/29/2019 Fre P. Course in General Relativity (Free Version, Lecture Notes, Web Draft, 2003)(141s)_PGr
http://slidepdf.com/reader/full/fre-p-course-in-general-relativity-free-version-lecture-notes-web-draft 19/141
Ì Ò Ò Ø Ò Ó Ø Ò Ò Ø Ë Ô × ½
Ø Ò Ò Ø Ú Ø Ó Ö × Ò Ø ¬ Û Ø Ø Ñ ß Ø Ù Ô Ð Ø Ó Ö Ð Ò Ù Ñ Ö ×
º Ì Ö Ð Ú Ò Ø Ô Ó Ò Ø ¸ Ó Û Ú Ö ¸
× Ø Ø × Ù Ñ ß Ø Ù Ô Ð Ø Ö Ô Ö × Ò Ø Ò Ø × Ñ Ø Ò Ò Ø Ú Ø Ó Ö × « Ö Ò Ø Ò « Ö Ò Ø Ó Ó Ö Ò Ø
Ô Ø × º Ó Ò × Ö Ø Û Ó Ó Ó Ö Ò Ø Ô Ø × ´ Í ³ µ Ò ´ Î µ Û Ø Ò Ó Ò Ú Ò × Ò Ò Ø Ö × Ø Ó Ò º
Ñ Ü
Ø Ó Ó Ö Ò Ø Ó Ô Ó Ò Ø Ô ¾ Í
Ì
Î Ò Ø Ô Ø ´ Í ³ µ Ò Ý
«
Ø Ó Ó Ö Ò Ø Ó Ø
× Ñ Ô Ó Ò Ø Ò Ø Ô Ø ´ Î µ º Ì Ø Ö Ò × Ø Ó Ò Ù Ò Ø Ó Ò Ò Ø × Ò Ú Ö × Ö Ü Ô Ö × × Ý × Ø Ø Ò
Ü
Ü
´ Ý µ Ý
«
Ý
«
´ Ü µ ´ ½ º ¿ º µ
Ì Ò Ø × Ñ ¬ Ö × Ø Ó Ö Ö « Ö Ò Ø Ð Ó Ô Ö Ø Ó Ö Ò Ð Ø Ö Ò Ø Ú Ð Ý Û Ö Ø Ø Ò ×
Ø
Ô
Ü
Ó Ö
Ø
Ô
Ý
«
Ü
Ý
«
«
Ý
«
´ ½ º ¿ º ¼ µ
Ú Ò ¬ Ò
«
Ý
«
Ü
´ ½ º ¿ º ½ µ
Õ º ´ ½ º ¿ º ½ µ Ü Ô Ö × × × Ø Ø Ö Ò × Ó Ö Ñ Ø Ó Ò Ö Ù Ð Ó Ö Ø Ó Ñ Ô Ó Ò Ò Ø × Ó Ø Ò Ò Ø Ú Ø Ó Ö Ö Ó Ñ Ó Ò
Ó Ó Ö Ò Ø Ô Ø Ø Ó Ò Ó Ø Ö Ó Ò ´ × ¬ º ½ º ½ ½ µ º
Ù Ö ½ º ½ ½ º Ì Û Ó Ó Ó Ö Ò Ø Ô Ø ×
Ë Ù Ø Ö Ò × Ó Ö Ñ Ø Ó Ò × Ð Ò Ö Ò Ø Ñ Ø Ö Ü Ø Ø Ö Ð Þ × Ø × Ø Ò Ú Ö × Ó Ø Â Ó Ò
Ñ Ø Ö Ü ´ Ý Ü µ ´ Ü Ý µ
½
º Ó Ö Ø × Ö × Ó Ò Û × Ý Ø Ø Ø Ó Ñ Ô Ó Ò Ò Ø × Ó Ø Ò Ò Ø Ú Ø Ó Ö
Ó Ò × Ø Ø Ù Ø Ó Ò Ø Ö Ó Ú Ö Ò Ø Û Ó Ö Ð Ú Ø Ó Ö º Ý ¬ Ò Ø Ó Ò Ó Ú Ö Ò Ø Û Ó Ö Ð Ú Ø Ó Ö Ø Ö Ò × Ó Ö Ñ × Ò × Ø
Û Ø Ø Â Ó Ò Ñ Ø Ö Ü º Ï Û Ð Ð × Ø Ø Ó Ú Ö Ò Ø Û Ó Ö Ð Ú Ø Ó Ö × Ö Ø Ó Ñ Ô Ó Ò Ò Ø × Ó
« Ö Ò Ø Ð Ó Ö Ñ º
½ º ¿ º ¾ « Ö Ò Ø Ð Ó Ö Ñ × Ò Ô Ó Ò Ø Ô ¾ Å
Ä Ø Ù × Ò Ó Û Ó Ò × Ö Ø Ø Ó Ø Ð « Ö Ò Ø Ð Ó Ù Ò Ø Ó Ò ´ Ø Ø Ö Ó Ö Ñ Ó × Ñ Ó Ó Ø Ù Ò Ø Ó Ò µ
Û Ò Û Ú Ð Ù Ø Ø Ð Ó Ò Ù Ö Ú º ¾
½
Ô
´ Å µ Ò Ó Ö Ù Ö Ú ´ Ø µ × Ø Ö Ø Ò Ø Ô Û Ú
Ø
´ ´ Ø µ µ
Ø ¼
Ü
Ø
Ô
´ ½ º ¿ º ¾ µ
7/29/2019 Fre P. Course in General Relativity (Free Version, Lecture Notes, Web Draft, 2003)(141s)_PGr
http://slidepdf.com/reader/full/fre-p-course-in-general-relativity-free-version-lecture-notes-web-draft 20/141
Ì Ò Ò Ø Ò Ó Ø Ò Ò Ø Ë Ô × ½
Û Ö Û Ú Ò Ñ
Ø
Ô
Ø
Ø ¼
Ü
Ø Ø Ò Ò Ø Ú Ø Ó Ö Ø Ó Ø Ù Ö Ú Ò Ø × Ò Ø Ð Ô Ó Ò Ø Ô º
Ë Ó ¸ ¬ Ü Ò Ø Ò Ò Ø Ú Ø Ó Ö Ñ Ò × Ø Ø Ó Ö Ò Ý Ö Ñ Û Ò Ó Û Ø × Ø Ó Ø Ð « Ö Ò Ø Ð Ð Ó Ò Ø
Ù Ö Ú Ø Ø Ñ Ø × × Ù Ú Ø Ó Ö × Ø Ò Ò Ø Ò Ô º Ä Ø Ù × Ò Ó Û Ö Ú Ö × Ó Ù Ö Ú Û Ô Ó Ò Ø º Ê Ø Ö Ø Ò
Ô Ò Ø Ø Ò Ò Ø Ú Ø Ó Ö ¬ Ü Ò Ð Ø Ø Ò Ø Ö Ñ Ú Ö Ý Ð Ø Ù × Ô Ø Ö Ñ ¬ Ü Ò Ð Ø
Ù × Ó Ò × Ö Ð Ð Ô Ó × × Ð Ù Ö Ú × Ø Ø Ô Ö Ø Ö Ó Ñ Ø Ô Ó Ò Ø Ô º Ï Û Ó Ù Ð Ð Ø Ó Ú Ð Ù Ø Ø Ø Ó Ø Ð
Ö Ú Ø Ú Ó Ø Ö Ñ
Ø
Ð Ó Ò Ù Ö Ú º Ì × Ó Ð Ù Ø Ó Ò Ó × Ù Ô Ö Ó Ð Ñ × × Ð Ý Ó Ø Ò
Ú Ò Ø Ø Ò Ò Ø Ú Ø Ó Ö
Ø
Ô
Ø Ó Ø Ù Ö Ú Ò Ô Û Ú Ø
Ø
Ô
º Ì Ñ Ó Ö Ð Ó Ø × Ø Ð ×
Ø Ó Ð Ð Ó Û Ò Ø Ó Ò Ô Ø Ó Ø Ó Ø Ð « Ö Ò Ø Ð Ó Ö Ñ × Ø Ù Ð Ó Ø Ó Ò Ô Ø Ó Ø Ò Ò Ø
Ú Ø Ó Ö º Á Ò Û Ö Ð Ð Ö Ó Ñ Ð Ò Ö Ð Ö Ø Ø Ø Ù Ð Ó Ú Ø Ó Ö × Ô × Ø × Ô Ó Ð Ò Ö
Ù Ò Ø Ó Ò Ð × Ó Ò Ø Ú Ø Ó Ö × Ô Ò Ó Ù Ö × Ù × × Ó Ò × Ó Û × Ø Ø Ø Ø Ó Ø Ð « Ö Ò Ø Ð Ó Ö Ñ ×
Ô Ö × Ð Ý Ð Ò Ö Ù Ò Ø Ó Ò Ð Ó Ò Ø Ø Ò Ò Ø × Ô Ì
Ô
Å º
¬ Ò Ø Ó Ò ½ º ¿ º º Ì Ø Ó Ø Ð « Ö Ò Ø Ð
Ô
Ó × Ñ Ó Ó Ø Ö Ñ ¾
½
Ô
´ Å µ × Ð Ò Ö Ù Ò Ø Ó Ò Ð
Ó Ò Ì
Ô
Å × Ù Ø Ø
Ø
Ô
¾ Ì
Ô
Å
Ô
Ø
Ô
¡
Ø
Ô
Ø
Ô
Ô
¾ Ì
Ô
Å
« ¬
¾ Ê
Ô
«
Ø
Ô
· ¬
Ô
«
Ô
Ø
Ô
¡
· ¬
Ô
Ô
´ ½ º ¿ º ¿ µ
Ì Ð Ò Ö Ù Ò Ø Ó Ò Ð × Ó Ò ¬ Ò Ø Ñ Ò × Ó Ò Ð Ú Ø Ó Ö × Ô Î Ó Ò × Ø Ø Ù Ø Ú Ø Ó Ö × Ô Î
´ Ø
Ù Ð µ Û Ø Ø × Ñ Ñ Ò × Ó Ò º Ì × Ù × Ø ¬ × Ø Ó Ð Ð Ó Û Ò
¬ Ò Ø Ó Ò ½ º ¿ º º Ï Ò Ñ Ó Ø Ò Ò Ø × Ô Ø Ó Ø Ñ Ò Ó Ð
Å Ò Ø Ô Ó Ò Ø Ô Ø Ú Ø Ó Ö × Ô
Ì
Ô
Å Ó Ð Ò Ö Ù Ò Ø Ó Ò Ð × ´ Ó Ö ½ ß Ó Ö Ñ × Ò Ô µ Ó Ò Ø Ø Ò Ò Ø × Ô Ì
Ô
Å
Ì
Ô
Å À Ó Ñ ´ Ì
Ô
Å Ê µ ´ Ì
Ô
Å µ
´ ½ º ¿ º µ
Ë Ó Û Ò Ñ « Ö Ò Ø Ð ½ ß Ó Ö Ñ × Ò Ô Ø Ð Ñ Ò Ø × Ó Ø Ó Ø Ò Ò Ø × Ô Ò
Ô
¾ Ì
Ô
Å Û
Ú
½ µ
Ø
Ô
¾ Ì
Ô
Å
Ô
Ø
Ô
¡
¾ Ê
¾ µ « ¬ ¾ Ê
Ø
Ô
Ô
¾ Ì
Ô
Å
Ô
«
Ø
Ô
· ¬
Ô
«
Ô
Ø
Ô
¡
· ¬
Ô
Ô
´ ½ º ¿ º µ
Ì Ö × Ó Ò Û Ý Ø Ó Ú Ð Ò Ö Ù Ò Ø Ó Ò Ð × Ö Ò Ñ « Ö Ò Ø Ð ½ ß Ó Ö Ñ × × Ø Ø Ò Ú Ö Ý
Ó Ó Ö Ò Ø Ô Ø Ü
Ø Ý Ò Ü Ô Ö × × × Ð Ò Ö Ó Ñ Ò Ø Ó Ò × Ó Ø Ó Ó Ö Ò Ø « Ö Ò Ø Ð ×
Ô
Ü
´ ½ º ¿ º µ
Ò Ø Ö Ø Ó Ò Ó Ò Ø Ø Ø Ò Ò Ø Ú Ø Ó Ö × × Ü Ô Ö × × × Ó Ð Ð Ó Û ×
Ø
Ô
Ü
µ
Ô
Ø
Ô
¡
¾ Ê ´ ½ º ¿ º µ
Á Ò Ò Ø Ô Ö Ø Ù Ð Ö × Û Ö Ø ½ ß Ó Ö Ñ × Ü Ø ´ Ò Ñ Ð Ý Ø × Ø « Ö Ò Ø Ð Ó Ö Ñ µ
Ô
Ô
Û Ò Û Ö Ø
Ô
Ü
Ü
Ò Û Ú
Ô
Ø
Ô
¡
Ø
Ô
Ü
º À Ò Û Ò
Û Ü Ø Ò Ó Ù Ö ¬ Ò Ø Ó Ò Ø Ó « Ö Ò Ø Ð Ó Ö Ñ × Ø Ø Ö Ò Ó Ø Ü Ø Û Ó Ò Ø Ò Ù Ø Ó × Ø Ø Ø × Ñ
× Ø Ø Ñ Ò Ø ¸ Ò Ñ Ð Ý Ø Ø Ø Ú Ð Ù Ó Ø ½ ß Ó Ö Ñ Ó Ò Ø Ò Ò Ø Ú Ø Ó Ö × Ú Ò Ý Õ º ´ ½ º ¿ º µ º
7/29/2019 Fre P. Course in General Relativity (Free Version, Lecture Notes, Web Draft, 2003)(141s)_PGr
http://slidepdf.com/reader/full/fre-p-course-in-general-relativity-free-version-lecture-notes-web-draft 21/141
Ö Ù Ò Ð × ¾ ¼
Ë Ù Ñ Ñ Ö Þ Ò ¸ Ò Ó Ó Ö Ò Ø Ô Ø ¸ « Ö Ò Ø Ð ½ ß Ó Ö Ñ Ò Ô Ó Ò Ø Ô
¾ Å × Ø Ö Ô ¹
Ö × Ò Ø Ø Ó Ò ´ ½ º ¿ º µ Ò Ø × Ó Æ Ò Ø ×
Ó Ò × Ø Ø Ù Ø Ó Ò Ø Ö Ó Ú Ö Ò Ø Ú Ø Ó Ö º Á Ò ¸ Ò Ó Ñ Ô Ð Ø
Ò Ð Ó Ý Ø Ó Õ º ´ ½ º ¿ º ¼ µ ¸ Û Ú
Ô
Ü
Ó Ö
Ô
Ü
Ý
«
Ý
«
«
Ý
«
´ ½ º ¿ º µ
Ú Ò ¬ Ò
«
Ü
Ý
«
´ ½ º ¿ º µ
Ò Ð Ð Ý Ø Ù Ð Ø Ý Ö Ð Ø Ó Ò Ø Û Ò ½ ß Ó Ö Ñ × Ò Ø Ò Ò Ø Ú Ø Ó Ö × Ò × Ù Ñ Ñ Ö Þ Û Ö Ø Ò Ø
Ö Ù Ð
Ü
Ü
Æ
´ ½ º ¿ º ¼ µ
½ º Ö Ù Ò Ð ×
Ì Ò Ü Ø × Ø Ô Û Ú Ø Ó Ø × Ð Ù Ò Ø Ó Ø Ö Ð Ð Ø Ø Ò Ò Ø Ì
Ô
Å Ò Ó Ø Ò Ò Ø × Ô × Ì
Ô
Å
Û Ú × Ù × × Ò Ø Ô Ö Ú Ó Ù × × Ø Ó Ò × º Ì Ö × Ù Ð Ø Ó × Ù Ð Ù Ò Ô Ö Ó Ù Ö × Ò Ó Ø Ú Ø Ó Ö
× Ô ¸ Ö Ø Ö Ø × Ú Ø Ó Ö Ù Ò Ð º Î Ø Ó Ö Ù Ò Ð × Ö × Ô ¬ Ò × Ø Ò × Ó Ø Ñ Ó Ö Ò Ö Ð
Ò Ó Ø Ó Ò Ó ¬ Ö Ù Ò Ð × º
Ì Ó Ò Ô Ø Ó ¬ Ö Ù Ò Ð × × Ó Ð Ù Ø Ð Ý Ò Ø Ö Ð Ò Ó Ò Ø Ñ Ô Ó Ö Ö Ý Ô Ý × × Ò Ô Ö Ó Ú × Ø
Ô Ô Ö Ó Ô Ö Ø Ñ Ø Ñ Ø Ð Ö Ñ Û Ó Ö Ø Ó Ó Ö Ñ Ù Ð Ø Ñ Ó Ö Ò ¬ Ð Ø Ó Ö Ý × Ò Ð Ð Ø ¬ Ð × Ó Ò Ò
Ó Ò × Ö Ö Ø Ö × Ø Ó Ò × Ó × × Ó Ø Ù Ò Ð × Ó Ö Ó Ò Ò Ø Ó Ò × Ó Ò Ô Ö Ò Ô Ð Ù Ò Ð × º Ì Ö Ö
Ø Û Ó Ò × Ó ¬ Ö ß Ù Ò Ð ×
´ µ Ô Ö Ò Ô Ð Ù Ò Ð ×
´ µ × × Ó Ø Ù Ò Ð ×
Ì Ò Ó Ø Ó Ò Ó Ô Ö Ò Ô Ð ¬ Ö ß Ù Ò Ð × Ø Ô Ô Ö Ó Ô Ö Ø Ñ Ø Ñ Ø Ð Ó Ò Ô Ø Ù Ò Ö Ð Ý Ò Ø
Ó Ö Ñ Ù Ð Ø Ó Ò Ó Ù Ø Ó Ö × Ø Ø Ô Ö Ó Ú Ø Ò Ö Ð Ö Ñ Û Ó Ö Ø Ó × Ö Ø Ý Ò Ñ × Ó Ð Ð
Ò Ó Ò ß Ö Ú Ø Ø Ó Ò Ð Ò Ø Ö Ø Ó Ò × º Ì Ó Ò Ô Ø Ó Ó Ò Ò Ø Ó Ò Ó Ò × Ù Ô Ö Ò Ô Ð Ù Ò Ð × Ó ¬ ×
Ø Ô Ý × Ð Ò Ó Ø Ó Ò Ó Ø Ó × Ó Ò Ô Ö Ø Ð × Ñ Ø Ò Ø Ò Ø Ö Ø Ó Ò ¸ Ò Ñ Ð Ý Ø Ù Ó × Ó Ò × ¸
Ð Ø Ô Ó Ø Ó Ò ¸ Ø Ð Ù Ó Ò Ó Ö Ø Ö Ú Ø Ó Ò º Á Ò ¸ Ö Ú Ø Ý Ø × Ð × Ù Ø Ó Ö Ý Ð Ø Ó Ù Ó
Ú Ö Ý × Ô Ð Ø Ý Ô º Ç Ò Ø Ó Ø Ö Ò Ø Ò Ó Ø Ó Ò Ó × × Ó Ø ¬ Ö ß Ù Ò Ð × × Ø Ô Ô Ö Ó Ô Ö Ø
Ñ Ø Ñ Ø Ð Ö Ñ Û Ó Ö Ø Ó × Ö Ñ Ø Ø Ö ¬ Ð × Ø Ø Ò Ø Ö Ø Ø Ö Ó Ù Ø Ü Ò Ó Ø Ù
Ó × Ó Ò × º
Ð × Ó Ö Ó Ñ Ñ Ó Ö Ò Ö Ð Ú Û Ô Ó Ò Ø Ò Ò Ö Ð Ø Ó Ò Û Ø Ð Ð × Ó Ö Ø Ó Ô Ô Ð Ø Ó Ò × Ø Ò Ó Ø Ó Ò Ó
¬ Ö ß Ù Ò Ð × × × Ó Ð Ù Ø Ð Ý Ù Ò Ñ Ò Ø Ð º × Û Ð Ö Ý Ñ Ô × Þ ¸ Ø Ô Ó Ò Ø × Ó Ñ Ò Ó Ð Ò
Ò Ø ¬ Û Ø Ø Ô Ó × × Ð × Ø Ø × Ó Ó Ñ Ô Ð Ü × Ý × Ø Ñ × Ô ¬ Ý Ò Ñ ß Ø Ù Ô Ð Ø Ó Ô Ö Ñ Ø Ö ×
Ü
½
Ü
Ñ
º Ê Ð Ó Ö Ó Ñ Ô Ð Ü Ù Ò Ø Ó Ò × Ó × Ù Ô Ö Ñ Ø Ö × Ö Ø Ò Ø Ù Ö Ð Ó Ø × Ó Ò Ü Ô Ø ×
Ø Ó Ð Û Ø Ò Ò Ý × Ò Ø ¬ Ø Ó Ö Ý Ø Ø Ü Ô Ð Ò × Ø Ô Ò Ó Ñ Ò Ó × Ö Ú Ò × Ù × Ý × Ø Ñ º
Ø ¸ × Û Ð Ö Ý Ò Ø Ô Ø ¸ Ð Ù Ð Ù × Ó Ò Ñ Ò Ó Ð × Ø Ø Ö Ò Ó Ø Ø Ö Ú Ð × Ø - Ø Ê
Ñ
Ò Ò Ó Ø
Ó Ò ¬ Ò Ø Ó Ù Ò Ø Ó Ò × ¸ Û × Ø Ó Ó Ö × Ø Ö Ø Ú Ò Ó Ø Ó Ò º Ì Ô Ô Ö Ó Ô Ö Ø Ò Ö Ð Þ Ø Ó Ò Ó
Ù Ò Ø Ó Ò × × Ô Ö Ó Ú Ý Ø × Ø Ó Ò × Ó ¬ Ö ß Ù Ò Ð × º Ä Ó Ð Ð Ý ¸ Ò Ñ Ð Ý Ò Ó Ó Ö Ò Ø Ô Ø ¸
Ù Ò Ø Ó Ò × Ò × Ø Ó Ò × Ö Ù × Ø Ø × Ñ Ø Ò º Ð Ó Ð Ð Ý ¸ Ó Û Ú Ö ¸ Ø Ö Ö × × Ò Ø Ð « Ö Ò × º
× Ø Ó Ò × Ó Ø Ò Ý Ð Ù Ò Ø Ó Ø Ö Ñ Ò Ý Ð Ó Ð Ù Ò Ø Ó Ò × Ý Ñ Ò × Ó Ò Ó Ò Ø Ö Ú Ð Ø Ö Ò × Ø Ó Ò
Ù Ò Ø Ó Ò × Ø Ø Ö - Ø Ø Ó Ñ Ø Ö × Ø Ö Ù Ø Ù Ö Ó Ø ¬ Ö ß Ù Ò Ð º
7/29/2019 Fre P. Course in General Relativity (Free Version, Lecture Notes, Web Draft, 2003)(141s)_PGr
http://slidepdf.com/reader/full/fre-p-course-in-general-relativity-free-version-lecture-notes-web-draft 22/141
Ö Ù Ò Ð × ¾ ½
Ì Ó Ò Ø Ö Ó Ù Ø Ñ Ø Ñ Ø Ð ¬ Ò Ø Ó Ò Ó ¬ Ö ß Ù Ò Ð Û Ò Ø Ó Ò Ø Ô Ø Ø ¬ Ò ¹
Ø Ó Ò Ó Ä Ö Ó Ù Ô Û Û Ð Ð Ø Ø Ó Ô Ó × Ú Ö Ð Ð Ø Ö × Ø Ó Ò ×
¬ Ò Ø Ó Ò ½ º º ½ º Ä Ö Ó Ù Ô ×
̄ Ö Ó Ù Ô Ö Ó Ñ Ø Ð Ö Ô Ó Ò Ø Ó Ú Û ¸ Ò Ñ Ð Ý × Ø Û Ø Ò Ò Ø Ö Ò Ð Ó Ñ Ô Ó × Ø Ó Ò Ð Û ¸
Ø Ô Ö Ó Ù Ø
½
¾
¾
½
¡
¾
¾ ´ ½ º º ½ µ
̄ × Ñ Ó Ó Ø Ñ Ò Ó Ð Ó ¬ Ò Ø Ñ Ò × Ó Ò Ñ Ò ½ Û Ó × Ø Ö Ò × Ø Ó Ò Ù Ò Ø Ó Ò Ö Ò Ó Ø
Ó Ò Ð Ý Ò ¬ Ò Ø Ð Ý « Ö Ò Ø Ð Ù Ø Ð × Ó Ö Ð Ò Ð Ý Ø ¸ Ò Ñ Ð Ý Ø Ý Ñ Ø Ò Ü Ô Ò × Ó Ò Ò Ô Ó Û Ö
× Ö × º
̄ Á Ò Ø Ø Ó Ô Ó Ð Ó Ý ¬ Ò Ý Ø Ñ Ò Ó Ð × Ø Ö Ù Ø Ù Ö Ø Ø Û Ó Ð Ö Ó Ô Ö Ø Ó Ò × Ó Ø Ò Ø
Ò Ú Ö × Ó Ò Ð Ñ Ò Ø Ò Ô Ö Ó Ö Ñ Ò Ø Ô Ö Ó Ù Ø Ó Ø Û Ó Ð Ñ Ò Ø × Ö Ö Ð Ò Ð Ý Ø ´ Ñ Ø
Ô Ó Û Ö × Ö × Ü Ô Ò × Ó Ò µ º
Ì Ð × Ø Ô Ó Ò Ø Ò Ø ¬ Ò Ø Ó Ò ´ ½ º º ½ µ × Ö Ú × Ñ Ó Ö Ü Ø Ò Ü Ô Ð Ò Ø Ó Ò º Ì Ó Ö Ó Ù Ô
Ð Ñ Ò Ø Ø Ô Ö Ó Ù Ø Ó Ô Ö Ø Ó Ò × × Ó Ø × Ø Û Ó Ñ Ô × Ó Ø Ö Ó Ù Ô Ò Ø Ó Ø × Ð
¾ Ä
¼
Ä
´
¼
µ
¼
¡
¾ Ê
¼
Ê
´
¼
µ ¡
¼
´ ½ º º ¾ µ
Ö × Ô Ø Ú Ð Ý Ò Ñ Ø Ð Ø Ø Ö Ò × Ð Ø Ó Ò Ò Ø Ö Ø Ø Ö Ò × Ð Ø Ó Ò º Ó Ø Ñ Ô × Ö Ö Õ Ù Ö Ø Ó
Ö Ð Ò Ð Ý Ø Ó Ö Ó Ó ¾ º Ë Ñ Ð Ö Ð Ý Ø Ö Ó Ù Ô × Ø Ö Ù Ø Ù Ö Ò Ù × Ñ Ô
´ ¡ µ
½
½
´ ½ º º ¿ µ
Û × Ð × Ó Ö Õ Ù Ö Ø Ó Ö Ð Ò Ð Ý Ø º
Ó Ñ Ò Ò Ó Û Ø Ó ¬ Ö ß Ù Ò Ð × Ð Ø Ù × Ò Ý Ö Ð Ð Ò Ø Ø Ô Ó Ð Ò Ô Ø Ó Ö Ð
Ü Ñ Ô Ð Ó × Ù × Ô × × Ô Ö Ó Ú Ý Ø Ð Ö Ø Ô Ø Ù Ö Ý × Ö Ó Ò Ò Ø Ö Û Ð Ò Ó Ò
Å Ó Ù × × Ø Ö Ô ´ × ¬ º ½ º ½ ¾ µ
Ì × × Ø Ø Û Ó Ò × Ö Ô Ó Ø Ù Ò Ð Ø × Ò Ò Ó Ø × Ø Ò Ù × Ö Ó Ñ
Ø Ö Ú Ð Ö Ø Ô Ö Ó Ù Ø Ó Ø Û Ó × Ô × ¸ Ò Ó Ô Ò × Ù × Ø Ó Ø × Ñ Ò Ó Ð Ò Ø ¬ Ö º Á Ò ¬ º ½ º ½ ¾
Ø × Ñ Ò Ó Ð × Ø × Ø Ö Ô Ò Ø ¬ Ö × Ø Ø × Ô Ó Ò Ø Ò Ò Ð Ð Ô Ó × × Ð Ô Ó × Ø Ó Ò × Ó Ø
Ò Ø º À Ó Û Ú Ö ¸ Ø Ö Ð Ú Ò Ø Ô Ó Ò Ø × Ø Ø ¸ Ð Ó Ð Ð Ý ¸ Ø Ù Ò Ð × Ò Ó Ø Ö Ø Ô Ö Ó Ù Ø Ó × Ô × º Á
Ø Ò Ø × Ô Ð Ò × Ó Ñ Ó Ö Ò Ø Ø Ó Ò Ø Ö Ø Ò Ô Ó Ò Ø Ó Ò Ø × Ø Ö Ô ¸ Ø Ò Ö Ö Ó Ù Ò Ø × Ø Ö Ô
× Û Ð Ð Ò × × Ö Ð Ý Ö Ú Ö × Ø Ø Ò Ó Ö Ø Ö Ô º
À Ò Ø Ò Ó Ø Ó Ò Ó ¬ Ö ß Ù Ò Ð Ó Ö Ö × Ô Ó Ò × Ø Ó Ø Ø Ó « Ö Ò Ø Ð Ñ Ò Ó Ð È Û Ø
Ñ Ò × Ó Ò Ñ È Ñ · Ò Ø Ø Ð Ó Ð Ð Ý Ð Ó Ó × Ð Ø Ö Ø Ô Ö Ó Ù Ø Í ¢ Ó Ò Ó Ô Ò Ñ Ò Ó Ð Í
Ó Ñ Ò × Ó Ò Ñ Í Ñ Û Ø Ò Ó Ø Ö Ñ Ò Ó Ð ´ Ø × Ø Ò Ö ¬ Ö µ Ó Ñ Ò × Ó Ò Ñ Ò º
× × Ò Ø Ð Ò Ø ¬ Ò Ø Ó Ò × Ø Ü × Ø Ò Ó Ñ Ô
È Å ´ ½ º º µ
Ò Ñ Ø Ô Ö Ó Ø Ó Ò Ö Ó Ñ Ø Ø Ó Ø Ð Ñ Ò Ó Ð È Ó Ñ Ò × Ó Ò Ñ · Ò Ø Ó Ñ Ò Ó Ð Å Ó Ñ Ò × Ó Ò
Ñ ¸ Ò Ñ Ø × Ñ Ò Ó Ð º Ë Ù Ñ Ô × Ö Õ Ù Ö Ø Ó Ó Ò Ø Ò Ù Ó Ù × º Ù Ø Ó Ø « Ö Ò
Ò Ñ Ò × Ó Ò × Ø Ô Ö Ó Ø Ó Ò Ò Ò Ó Ø Ò Ú Ö Ø Ð º Á Ò Ø Ó Ú Ö Ý Ô Ó Ò Ø Ô ¾ Å Ó Ø ×
Ñ Ò Ó Ð Ø Ô Ö Ó Ø Ó Ò × × Ó Ø × × Ù Ñ Ò Ó Ð
½
´ Ô µ
È Ó Ñ Ò × Ó Ò Ñ
½
´ Ô µ Ò
Ó Ñ Ô Ó × Ý Ø Ó × Ô Ó Ò Ø × Ó Ü ¾ È Û Ó × Ô Ö Ó Ø Ó Ò Ó Ò Å × Ø Ó × Ò Ô Ó Ò Ø Ô ´ Ü µ Ô º Ì
7/29/2019 Fre P. Course in General Relativity (Free Version, Lecture Notes, Web Draft, 2003)(141s)_PGr
http://slidepdf.com/reader/full/fre-p-course-in-general-relativity-free-version-lecture-notes-web-draft 23/141
Ö Ù Ò Ð × ¾ ¾
Ù Ö ½ º ½ ¾ º × Ö ³ × Ò Ø Ö Û Ð Ò Ó Ò Å Ó Ù × × Ø Ö Ô × Ô Ó Ð Ü Ñ Ô Ð Ó ¬ Ö ß Ù Ò Ð
× Ù Ñ Ò Ó Ð
½
´ Ô µ × Ò Ñ Ø ¬ Ö Ó Ú Ö Ô Ò Ø × × Ø Ø ¬ Ö × Ó Ñ Ó Ñ Ó Ö Ô
Ø Ó Ø × Ø Ò Ö ¬ Ö º Å Ó Ö Ô Ö × Ð Ý Ó Ö Ó Ô Ò × Ù × Ø Í
«
Å Ó Ø × Ñ Ò Ó Ð Û
Ñ Ù × Ø Ú Ø Ø Ø × Ù Ñ Ò Ó Ð
½
´ Í
«
µ
× Ó Ñ Ó Ñ Ó Ö Ô Ø Ó Ø Ö Ø Ô Ö Ó Ù Ø
Í
«
¢
Ì × × Ô Ö × Ñ Ò Ò Ó Ø × Ø Ø Ñ Ò Ø Ø Ø ¸ Ð Ó Ð Ð Ý ¸ Ø Ù Ò Ð Ð Ó Ó × Ð Ö Ø Ô Ö Ó Ù Ø ´ ×
¬ º ½ º ½ ¿ µ º Ü Ô Ð Ø Ð Ý Û Ø Û Ö Õ Ù Ö × Ø Ó Ð Ð Ó Û Ò Ø Ö × Ó Ù Ð Ñ Ð Ý Ó Ô Ö × ´ Í
«
«
µ
Û Ö Í
«
Ö Ó Ô Ò Ö Ø × Ó Ú Ö Ò Ø × Ñ Ò Ó Ð
Ë
«
Í
«
Å Ò
«
Ö Ñ Ô ×
«
½
´ Í
«
µ È Í
«
ª ´ ½ º º µ
Ø Ø Ö Ö Õ Ù Ö Ø Ó Ó Ò ß Ø Ó ß Ó Ò ¸ Ó Ò Ø Ò Ù Ó Ù × ´ Ó Ò Ø Ò Ù Ó Ù × ¸ Ø Ó Ø Ö Û Ø Ø × Ò Ú Ö × µ Ò Ø Ó
× Ø × Ý Ø Ô Ö Ó Ô Ö Ø Ý Ø Ø
Æ
½
«
´ Ô µ Ô ´ ½ º º µ
7/29/2019 Fre P. Course in General Relativity (Free Version, Lecture Notes, Web Draft, 2003)(141s)_PGr
http://slidepdf.com/reader/full/fre-p-course-in-general-relativity-free-version-lecture-notes-web-draft 24/141
Ö Ù Ò Ð × ¾ ¿
Ñ Ð Ý Ø Ô Ö Ó Ø Ó Ò Ó Ø Ñ Ò È Ó × Ñ Ò Ó Ð Ô Ó Ò Ø Ô Ø Ñ × × Ó Ñ ¬ Ö Ô Ó Ò Ø ×
Ô Ø × Ð º
Ù Ö ½ º ½ ¿ º ¬ Ö ß Ù Ò Ð × Ð Ó Ð Ð Ý Ø Ö Ú Ð
Ô Ö ´ Í
«
«
µ × Ò Ñ Ð Ó Ð Ø Ö Ú Ð Þ Ø Ó Ò º × Ó Ö Ø × Ó Ñ Ò Ó Ð × ¸ Ø Ò ¹
Ø Ö × Ø Ò Õ Ù × Ø Ó Ò × Û Ø Ô Ô Ò × Ò Ø Ò Ø Ö × Ø Ó Ò Ó Ø Û Ó « Ö Ò Ø Ð Ó Ð Ø Ö Ú Ð Þ Ø Ó Ò × º Á Ò ¹
Í
«
Ì
Í
¬
¸ Ø Ò Û Ð × Ó Ú
½
´ Í
«
µ
Ì
½
´ Í
¬
µ º À Ò Ô Ó Ò Ø Ü ¾
½
´ Í
«
Ì
Í
¬
µ × Ñ Ô Ô Ý
«
Ò
¬
Ò Ø Û Ó « Ö Ò Ø Ô Ö × ´ Ô
«
µ ¾ Í
«
ª Ò ´ Ô
¬
µ ¾
Í
«
ª Û Ø Ø Ô Ö Ó Ô Ö Ø Ý ¸ Ó Û Ú Ö ¸ Ø Ø Ø ¬ Ö × Ø Ò Ø Ö Ý Ô × Ø × Ñ Ò Ó Ø Ô Ö × º Ì × Ó Ð Ð Ó Û ×
Ö Ó Ñ Ô Ö Ó Ô Ö Ø Ý ´ ½ º º µ º Á Ø Ó Ð Ð Ó Û × Ø Ø Ø Ö Ñ Ù × Ø Ü × Ø Ñ Ô
Ø
« ¬
½
¬
Æ
«
Í
«
Í
¬
ª
Í
«
Í
¬
ª ´ ½ º º µ
Ò Ñ Ø Ö Ò × Ø Ó Ò Ù Ò Ø Ó Ò Û Ø × Ü Ð Ù × Ú Ð Ý Ó Ò Ø ¬ Ö Ô Ó Ò Ø × Ò Ø × Ò × Ø Ø
Ô ¾ Í
«
Í
¬
¾ Ø
« ¬
´ Ô µ ´ Ô Ø
« ¬
´ Ô µ µ µ ´ ½ º º µ
Û Ö Ó Ö Ó Ó Ø Ô Ó Ò Ø Ô
¾ Í
«
Ì
Í
¬
¸
Ø
« ¬
´ Ô µ
´ ½ º º µ
× Ó Ò Ø Ò Ù Ó Ù × Ò Ò Ú Ö Ø Ð Ñ Ô Ó Ø × Ø Ò Ö ¬ Ö Ò Ø Ó Ø × Ð ´ × ¬ º º ½ µ
Ì Ð × Ø Ø Ó Ò Ó Ö Ñ Ø Ó Ò Ó Ò Ø Ò Ò Ø Ò Ó Ø Ó Ò Ó ¬ Ö ß Ù Ò Ð × Ö Ð Ø Û Ø Ø × Ø Ö Ù ¹
Ø Ù Ö Ð Ö Ó Ù Ô º Ì × × Ø Ó Ó Û Ø Ò × Û Ö Ò Ø Ó Ð Ð Ó Û Ò Õ Ù × Ø Ó Ò Û Ö Ö Ø Ø Ö Ò × Ø Ó Ò
7/29/2019 Fre P. Course in General Relativity (Free Version, Lecture Notes, Web Draft, 2003)(141s)_PGr
http://slidepdf.com/reader/full/fre-p-course-in-general-relativity-free-version-lecture-notes-web-draft 25/141
Ö Ù Ò Ð × ¾
Ù Ö ½ º ½ º Ì Ö Ò × Ø Ó Ò Ù Ò Ø Ó Ò Ø Û Ò Ø Û Ó Ð Ó Ð Ø Ö Ú Ð Þ Ø Ó Ò × Ó ¬ Ö ß Ù Ò Ð
Ù Ò Ø Ó Ò × Ó × Ò Ö Ó Ñ Á Ò Ø × Ø Ó Ð Ð Ô Ó × × Ð Ó Ò Ø Ò Ù Ó Ù × Ò Ú Ö Ø Ð Ñ Ô × Ó Ø × Ø Ò ¹
Ö ¬ Ö Ò Ø Ó Ø × Ð Ó Ò × Ø Ø Ù Ø Ö Ó Ù Ô ¸ × Ó Ø Ø Ø × Ò Ó Ö × Ø Ö Ø Ó Ò Ø Ó × Ý Ø Ø Ø Ø Ö Ò × Ø Ó Ò
Ù Ò Ø Ó Ò × Ø
« ¬
´ Ô µ Ö Ö Ó Ù Ô Ð Ñ Ò Ø × º Ø Ø Ö Ó Ù Ô Ó Ð Ð Ó Ñ Ó Ñ Ó Ö Ô × Ñ × À Ó Ñ ´ µ × Ú Ö Ý
Ú Ö Ý Ð Ö Ò Ø Ñ × × Ò × Ø Ó Ò Ð Ù Ò Ø Ó Ø ¬ Ò Ø Ó Ò Ó ¬ Ö Ù Ò Ð Ø Ö Õ Ù × Ø Ø Ø Ø
Ø Ö Ò × Ø Ó Ò Ù Ò Ø Ó Ò × × Ó Ù Ð Ó × Ò Û Ø Ò × Ñ Ð Ð Ö Ù Ò Ø Ò Ö Ó Ù Ò ¸ Ò Ñ Ð Ý Ò × × Ó Ñ ¬ Ò Ø
Ñ Ò × Ó Ò Ð Ä Ö Ó Ù Ô Ø Ø × Û Ð Ð ¬ Ò Ø Ó Ò Ó Ò Ø × Ø Ò Ö ¬ Ö º
Ì Ó Ú × Ù × × Ó Ò Ò × Ù Ñ Ñ Ö Þ Ò Ø Ó Ø Ó Ð Ð Ó Û Ò Ø Ò Ð ¬ Ò Ø Ó Ò Ó ¬ Ö
Ù Ò Ð × º
¬ Ò Ø Ó Ò ½ º º ¾ º ¬ Ö Ù Ò Ð ´ È Å µ × Ó Ñ Ø Ö Ð × Ø Ö Ù Ø Ù Ö Ø Ø Ó Ò × × Ø × Ó Ø
Ó Ð Ð Ó Û Ò Ð × Ø Ó Ð Ñ Ò Ø ×
´ µ « Ö Ò Ø Ð Ñ Ò Ó Ð È Ò Ñ Ø Ø Ó Ø Ð × Ô º
´ µ « Ö Ò Ø Ð Ñ Ò Ó Ð Å Ò Ñ Ø × × Ô º
´ µ « Ö Ò Ø Ð Ñ Ò Ó Ð Ò Ñ Ø × Ø Ò Ö ¬ Ö º
´ Ú µ Ä Ö Ó Ù Ô ¸ Ò Ñ Ø × Ø Ö Ù Ø Ù Ö Ö Ó Ù Ô ¸ Û Ø × × Ø Ö Ò × Ó Ö Ñ Ø Ó Ò Ö Ó Ù Ô Ó Ò
Ø × Ø Ò Ö ¬ Ö
¾ ¾ ¾ ´ ½ º º ¼ µ
´ Ú µ × Ù Ö Ø Ó Ò Ñ Ô È Å ¸ Ò Ñ Ø Ô Ö Ó Ø Ó Ò º Á Ò Ñ Å ¸ Ñ Ñ ¸
Ø Ò Û Ú Ñ È Ò · Ñ Ò Ô ¾ Å ¸
Ô
½
´ Ô µ × Ò Ñ ¹ Ñ Ò × Ó Ò Ð Ñ Ò Ó Ð
« Ó Ñ Ó Ö Ô Ø Ó Ø × Ø Ò Ö ¬ Ö º Ì Ñ Ò Ó Ð
Ô
× Ò Ñ Ø ¬ Ö Ø Ø Ô Ó Ò Ø Ô º
´ Ú µ Ó Ú Ö Ò Ó Ø × × Ô
´ « ¾ µ
Í
«
Å ¸ Ö Ð Þ Ý Ó Ð Ð Ø Ó Ò Í
«
Ó Ó Ô Ò
× Ù × Ø × ´ « ¾ Í
«
Å µ ¸ Õ Ù Ô Ô Û Ø Ó Ñ Ó Ñ Ó Ö Ô × Ñ
½
«
Í
«
¢
½
´ Í
«
µ ´ ½ º º ½ µ
7/29/2019 Fre P. Course in General Relativity (Free Version, Lecture Notes, Web Draft, 2003)(141s)_PGr
http://slidepdf.com/reader/full/fre-p-course-in-general-relativity-free-version-lecture-notes-web-draft 26/141
Ö Ù Ò Ð × ¾
× Ù Ø Ø
Ô ¾ Í
«
¾ ¡
½
«
´ Ô µ Ô ´ ½ º º ¾ µ
Ì Ñ Ô
½
«
× Ò Ñ Ð Ó Ð Ø Ö Ú Ð Þ Ø Ó Ò Ó Ø Ù Ò Ð ¸ × Ò Ø × Ò Ú Ö ×
«
Ñ Ô × Ø
Ó Ô Ò × Ù × Ø
½
´ Í
«
µ È Ó Ø Ø Ó Ø Ð × Ô Ò Ø Ó Ø Ö Ø Ô Ö Ó Ù Ø Í
«
¢ º
´ Ú µ Á Û Û Ö Ø
½
«
´ Ô µ
½
« Ô
´ µ ¸ Ø Ñ Ô
½
« Ô
Ô
× Ø Ó Ñ Ó Ñ Ó Ö Ô × Ñ
Ö Õ Ù Ö Ý Ô Ó Ò Ø Ú µ Ó Ø Ô Ö × Ò Ø ¬ Ò Ø Ó Ò º Ó Ö Ð Ð Ô Ó Ò Ø × Ô ¾ Í
«
Í
¬
Ò Ø Ò Ø Ö × Ø Ó Ò Ó
Ø Û Ó « Ö Ò Ø Ð Ó Ð Ø Ö Ú Ð Þ Ø Ó Ò Ó Ñ Ò × ¸ Ø Ó Ñ Ô Ó × Ø Ñ Ô Ø
« ¬
´ Ô µ
« Ô
¡
½
¬ Ô
× Ò Ð Ñ Ò Ø Ó Ø × Ø Ö Ù Ø Ù Ö Ö Ó Ù Ô Ø
« ¬
¾ ¸ Ò Ñ Ø Ø Ö Ò × Ø Ó Ò Ù Ò Ø Ó Ò º Ù Ö Ø Ö Ñ Ó Ö
Ø Ø Ö Ò × Ø Ó Ò Ù Ò Ø Ó Ò Ö Ð Þ × × Ñ Ó Ó Ø Ñ Ô Ø
« ¬
Í
«
Í
¬
º Ï Ú
½
¬
´ Ô µ
½
«
´ Ô Ø
« ¬
´ Ô µ µ ´ ½ º º ¿ µ
Â Ù × Ø × Ñ Ò Ó Ð × Ò Ó Ò × Ø Ö Ù Ø Ý Ð Ù Ò Ø Ó Ø Ö Ó Ô Ò Ö Ø × ¸ ¬ Ö ß Ù Ò Ð × Ò Ó ¹
Ø Ò Ý Ð Ù Ò Ø Ó Ø Ö Ð Ó Ð Ø Ö Ú Ð Þ Ø Ó Ò × º Ü Ô Ð Ø Ð Ý Ó Ò Ô Ö Ó × × Ó Ð Ð Ó Û × º
´ µ Ö × Ø Ó Ó × × Ñ Ò Ó Ð Å ¸ Ø Ý Ô Ð ¬ Ö Ò × Ø Ö Ù Ø Ù Ö Ð Ä Ö Ó Ù Ô Û Ó × Ø Ó Ò
Ó Ò Ñ Ù × Ø Û Ð Ð ß ¬ Ò º
´ µ Ì Ò Ó Ó × Ò Ø Ð × Ó Ó Ô Ò Ò Ó Ö Ó Ó × Í
«
Å Ó Ú Ö Ò Ø × Ñ Ò Ó Ð Å
´ µ Ü Ø Ø Ó Ò Ó Ò ß Ú Ò × Ò Ò Ø Ö × Ø Ó Ò Í
«
Ì
Í
¬
× × Ò Ø Ö Ò × Ø Ó Ò Ù Ò Ø Ó Ò ¸ Ò Ñ Ð Ý
× Ñ Ó Ó Ø Ñ Ô
« ¬
Í
«
Í
¬
´ ½ º º µ
Ö Ó Ñ Ø Ó Ô Ò × Ù × Ø Í
«
Ì
Í
¬
Å Ó Ø × Ñ Ò Ó Ð Ø Ó Ø × Ø Ö Ù Ø Ù Ö Ð Ä Ö Ó Ù Ô º Ó Ö
Ó Ò × × Ø Ò Ý Ø Ø Ö Ò × Ø Ó Ò Ù Ò Ø Ó Ò × Ñ Ù × Ø × Ø × Ý Ø Ø Û Ó Ó Ò Ø Ó Ò ×
Í
«
Ì
Í
¬
¬ «
½
« ¬
Í
«
Ì
Í
¬
Ì
Í
-
« ¬
¡
¬ -
¡
- «
½
´ ½ º º µ
Ï Ò Ú Ö × Ø Ó Ð Ó Ð Ø Ö Ú Ð Þ Ø Ó Ò × Û Ø Ó Ò × × Ø Ò Ø Ø Ö Ò × Ø Ó Ò Ù Ò Ø Ó Ò × × Ø × Ý Ò Õ º ´ ½ º º µ
× Ò Ú Ò ¬ Ö ß Ù Ò Ð × ¬ Ò º « Ö Ò Ø Ò Ñ Ù Ñ Ó Ö Æ Ù Ð Ø Õ Ù × Ø Ó Ò Ø Ó Ò × Û Ö
× Ø Ó Û Ø Ö Ø Û Ó × Ø × Ó Ð Ó Ð Ø Ö Ú Ð Þ Ø Ó Ò × ¬ Ò Ø × Ñ ¬ Ö ß Ù Ò Ð Ó Ö Ò Ó Ø º Ï
Ó Ò Ó Ø Ö × × × Ù Ô Ö Ó Ð Ñ Û Ó × Ô Ö Ó Ô Ö Ø Ö Ø Ñ Ò Ø × Ý Ó Ò Ø × Ó Ô Ó Ø × Ó Ù Ö × º Ï
Ù × Ø Ô Ó Ò Ø Ó Ù Ø Ø Ø Ø Ð × × ¬ Ø Ó Ò Ó Ò Õ Ù Ú Ð Ò Ø ¬ Ö ß Ù Ò Ð × Ó Ò Ò Ó Ò × Ø Ö Ù Ø Ó Ò Ú Ò
× Ñ Ò Ó Ð Å × Ô Ö Ó Ð Ñ Ó Ð Ó Ð Ó Ñ Ø Ö Ý Û Ò Ö × × Û Ø Ø Ø Ò Õ Ù × Ó
Ð Ö Ø Ó Ô Ó Ð Ó Ý Ò Ð Ö Ó Ñ Ø Ö Ý º
Ì Ý Ô Ð Ð Ý Ò Õ Ù Ú Ð Ò Ø Ù Ò Ð × Ö Ö Ø Ö Þ Ý Ø Ó Ô Ó Ð Ó Ð Ò Ú Ö Ò Ø × Ø Ø Ö Ú Ø
Ò Ñ Ó Ö Ø Ö × Ø Ð × × × º
Á Ò Ô Ý × Ð Ð Ò Ù Ø Ø Ö Ò × Ø Ó Ò Ù Ò Ø Ó Ò × ´ ½ º º µ Ö Ó Ñ Ó Ò Ð Ó Ð Ø Ö Ú Ð Þ Ø Ó Ò Ø Ó Ò Ó Ø Ö
Ó Ò Ö Ø Ù Ø Ö Ò × Ó Ö Ñ Ø Ó Ò × ¸ Ò Ñ Ð Ý Ö Ó Ù Ô Ø Ö Ò × Ó Ö Ñ Ø Ó Ò × Ô Ò Ò Ó Ò Ø Ô Ó × Ø Ó Ò Ò
× Ô ß Ø Ñ ´ º º Ø Ô Ó Ò Ø Ó Ò Ø × Ñ Ò Ó Ð µ º
¬ Ò Ø Ó Ò ½ º º ¿ º Ô Ö Ò Ô Ð Ù Ò Ð È ´ Å µ × ¬ Ö ß Ù Ò Ð Û Ö Ø × Ø Ò Ö ¬ Ö
Ó Ò × Û Ø Ø × Ø Ö Ù Ø Ù Ö Ð Ä Ö Ó Ù Ô Ò Ø Ø Ó Ò Ó Ó Ò Ø ¬ Ö × Ø Ð Ø ´ Ó Ö
Ö Ø µ Ñ Ù Ð Ø Ô Ð Ø Ó Ò ´ × Õ º ´ ½ º º ¾ µ µ
¾ µ Ä
´ ½ º º µ
7/29/2019 Fre P. Course in General Relativity (Free Version, Lecture Notes, Web Draft, 2003)(141s)_PGr
http://slidepdf.com/reader/full/fre-p-course-in-general-relativity-free-version-lecture-notes-web-draft 27/141
Ö Ù Ò Ð × ¾
Ì Ò Ñ Ô Ö Ò Ô Ð × Ú Ò Ø Ó Ø ¬ Ö ß Ù Ò Ð Ò ¬ Ò Ø Ó Ò ½ º º ¿ × Ò Ø × Ø Ö Ù Ò Ð
Û ¸ Ó Ò Ú Ò ¸ Ò Ö Ø × Ò Ò ¬ Ò Ø Ý Ó × × Ó Ø Ú Ø Ó Ö Ù Ò Ð × ¸ Ó Ò Ó Ö Ð Ò Ö Ö Ô Ö × Ò ¹
Ø Ø Ó Ò Ó Ø Ä Ö Ó Ù Ô º
Ä Ø Ù × Ö Ð Ð Ø Ò Ó Ø Ó Ò Ó Ð Ò Ö Ö Ô Ö × Ò Ø Ø Ó Ò × Ó Ä Ö Ó Ù Ô º
¬ Ò Ø Ó Ò ½ º º º Ä Ø Î Ú Ø Ó Ö × Ô Ó ¬ Ò Ø Ñ Ò × Ó Ò Ñ Î Ñ Ò Ð Ø À Ó Ñ ´ Î Î µ
Ø Ö Ó Ù Ô Ó Ð Ð Ð Ò Ö Ó Ñ Ó Ñ Ó Ö Ô × Ñ × Ó Ø Ú Ø Ó Ö × Ô Ò Ø Ó Ø × Ð
¾ À Ó Ñ ´ Î Î µ Î Î
« ¬ ¾ Ê Ú
½
Ú
¾
¾ Î ´ « Ú
½
· ¬ Ú
¾
µ « ´ Ú
½
µ · ¬ ´ Ú
¾
µ
´ ½ º º µ
Ð Ò Ö Ö Ô Ö × Ò Ø Ø Ó Ò Ó Ø Ä Ö Ó Ù Ô Ó Ñ Ò × Ó Ò Ò × Ö Ó Ù Ô Ó Ñ Ó Ñ Ó Ö Ô × Ñ
¾ ´ µ ¾ À Ó Ñ ´ Î µ
½
¾
¾ ´
½
¡
¾
µ ´
½
µ ¡ ´
¾
µ
´ µ ½
¾ ´
½
µ ´ µ ℄
½
´ ½ º º µ
Ï Ò Ú Ö Û Ó Ó × × ×
½
¾
Ò
Ó Ø Ú Ø Ó Ö × Ô Î Ú Ö Ý Ð Ñ Ò Ø ¾ À Ó Ñ ´ Î Î µ
× Ö Ô Ö × Ò Ø Ý Ñ Ø Ö Ü
¬ Ò Ý
´
µ
´ ½ º º µ
Ì Ö Ó Ö Ð Ò Ö Ö Ô Ö × Ò Ø Ø Ó Ò Ó Ä Ö Ó Ù Ô × × Ó Ø × Ø Ó × Ø Ö Ø Ö Ó Ù Ô Ð Ñ Ò Ø Ò
Ò ¢ Ò Ñ Ø Ö Ü ´ µ
º × Ø × Ó Ù Ð Ò Ó Û Ò Ø Ó Ø × Ø Ù Ò Ø ¸ Ð Ò Ö Ö Ô Ö × Ò Ø Ø Ó Ò × Ö × Ø Ó
Ö Ö Ù Ð Ø Ú Ø Ó Ö × Ô Î Ñ Ø × Ò Ó Ò Ó Ò ß Ø Ö Ú Ð Ú Ø Ó Ö × Ù × Ô Ï Î Ø Ø × Ò Ú Ö Ò Ø
Û Ø Ö × Ô Ø Ø Ó Ø Ø Ó Ò Ó Ø Ö Ó Ù Ô ¾ ´ µ Ï Ï º Ó Ö × Ñ Ô Ð Ä Ö Ó Ù Ô × Ö Ù Ð
Ö Ô Ö × Ò Ø Ø Ó Ò × Ò Ð Û Ý × Ó Ñ Ô Ó × Ò Ø Ó Ö Ø × Ù Ñ Ó Ö Ö Ù Ð Ö Ô Ö × Ò Ø Ø Ó Ò × ¸ Ò Ñ Ð Ý
Î Î
½
̈ Î
¾
̈ ̈ Î
Ö
´ Û Ø Î
Ö Ö Ù Ð µ Ò Ö Ö Ù Ð Ö Ô Ö × Ò Ø Ø Ó Ò × Ö Ó Ñ Ô Ð Ø Ð Ý ¬ Ò
Ý Ø × Ø Ö Ù Ø Ù Ö Ó Ø Ö Ó Ù Ô º Ì × Ò Ó Ø Ó Ò × Ø Ø Û Ú Ö Ð Ð Ö Ó Ñ Ö Ó Ù Ô Ø Ó Ö Ý Ñ Ó Ø Ú Ø
Ø ¬ Ò Ø Ó Ò
¬ Ò Ø Ó Ò ½ º º º Ò × × Ó Ø Ú Ø Ó Ö Ù Ò Ð × ¬ Ö ß Ù Ò Ð Û Ö Ø × Ø Ò Ö ¬ Ö
Î × Ú Ø Ó Ö × Ô Ò Ø Ø Ó Ò Ó Ø × Ø Ö Ù Ø Ù Ö Ð Ö Ó Ù Ô Ó Ò Ø × Ø Ò Ö ¬ Ö × Ð Ò Ö
Ö Ô Ö × Ò Ø Ø Ó Ò Ó Ó Ò Î º
Ì Ö × Ó Ò Û Ý Ø Ù Ò Ð × Ò ¬ Ò Ø Ó Ò ½ º º Ö Ò Ñ × × Ó Ø × Ð Ñ Ó × Ø Ó Ú Ó Ù × º Ú Ò
Ô Ö Ò Ô Ð Ù Ò Ð Ò Ð Ò Ö Ö Ô Ö × Ò Ø Ø Ó Ò Ó Û Ò Ñ Ñ Ø Ð Ý Ó Ò × Ø Ö Ù Ø Ó Ö Ö × Ô Ó Ò Ò
Ú Ø Ó Ö Ù Ò Ð º Á Ø × Ù Æ × Ø Ó Ù × × Ø Ö Ò × Ø Ó Ò Ù Ò Ø Ó Ò × Ø Ð Ò Ö Ö Ô Ö × Ò Ø Ø Ó Ò Ó Ø Ø Ö Ò × Ø Ó Ò
Ù Ò Ø Ó Ò × Ó Ø Ô Ö Ò Ô Ð Ù Ò Ð
´ Î µ
« ¬
´ µ
« ¬
¾ À Ó Ñ ´ Î Î µ ´ ½ º º ¼ µ
Ó Ö Ò Ý Ú Ø Ó Ö Ù Ò Ð Ø Ñ Ò × Ó Ò Ó Ø × Ø Ò Ö ¬ Ö × Ò Ñ Ø Ö Ò Ó Ø Ù Ò Ð º
Ï Ò Ø × ß Ñ Ò Ó Ð Ó ¬ Ö ß Ù Ò Ð × Ó Ñ Ô Ð Ü Ò Ø Ø Ö Ò × Ø Ó Ò Ù Ò Ø Ó Ò × Ö Ó Ð Ó ¹
Ñ Ó Ö Ô Ñ Ô × Û × Ý Ø Ø Ø Ù Ò Ð × Ó Ð Ó Ñ Ó Ö Ô º
Ú Ö Ý Ñ Ô Ó Ö Ø Ò Ø Ò × Ñ Ô Ð Ð × × Ó Ó Ð Ó Ñ Ó Ö Ô Ù Ò Ð × Ö Ø Ð Ò Ù Ò Ð × º Ý ¬ Ò Ø Ó Ò
Ø × Ö Ô Ö Ò Ô Ð Ù Ò Ð × Ó Ò Ó Ñ Ô Ð Ü × Ñ Ò Ó Ð
Å Û Ø × Ø Ö Ù Ø Ù Ö Ð Ö Ó Ù Ô
Ò ¼ ¸
Ò Ñ Ð Ý Ø Ñ Ù Ð Ø Ô Ð Ø Ú Ö Ó Ù Ô Ó Ò Ó Ò ß Þ Ö Ó Ó Ñ Ô Ð Ü Ò Ù Ñ Ö × º
7/29/2019 Fre P. Course in General Relativity (Free Version, Lecture Notes, Web Draft, 2003)(141s)_PGr
http://slidepdf.com/reader/full/fre-p-course-in-general-relativity-free-version-lecture-notes-web-draft 28/141
Ì Ò Ò Ø Ò Ó Ø Ò Ò Ø Ù Ò Ð × ¾
Ù Ö ½ º ½ º Ì Ò Ø Ö × Ø Ó Ò Ó Ø Û Ó Ð Ó Ð Ø Ö Ú Ð Þ Ø Ó Ò × Ó Ð Ò Ù Ò Ð
Ä Ø Þ
«
´ Ô µ ¾
Ò Ð Ñ Ò Ø Ó Ø × Ø Ò Ö ¬ Ö Ó Ú Ø Ô Ó Ò Ø Ô ¾ Í
«
Ì
Í
¬
Å Ò Ø Ð Ó Ð Ø Ö Ú Ð Þ Ø Ó Ò « Ò Ð Ø Þ
¬
´ Ô µ ¾
Ø Ó Ö Ö × Ô Ó Ò Ò ¬ Ö Ô Ó Ò Ø Ò Ø Ð Ó Ð
Ø Ö Ú Ð Þ Ø Ó Ò ¬ º Ì Ø Ö Ò × Ø Ó Ò Ù Ò Ø Ó Ò Ø Û Ò Ø Ø Û Ó Ø Ö Ú Ð Þ Ø Ó Ò × Ü Ô Ö × × Ý
Þ
«
´ Ô µ
« ¬
´ Ô µ
ß Þ
¿ ¹
¡ Þ
¬
´ Ô µ
µ
« ¬
´ Ô µ
Þ
«
´ Ô µ
Þ
¬
´ Ô µ
¼ ´ ½ º º ½ µ
½ º Ì Ò Ò Ø Ò Ó Ø Ò Ò Ø Ù Ò Ð ×
Ä Ø Å « Ö Ò Ø Ð Ñ Ò Ó Ð Ó Ñ Ò × Ó Ò Ñ Å Ñ Ò × Ø Ó Ò ½ º ¿ Û Ú × Ò Ó Û
Ø Ó Ó Ò × Ø Ö Ù Ø Ø Ø Ò Ò Ø × Ô × Ì
Ô
Å × × Ó Ø Û Ø Ô Ó Ò Ø Ô ¾ Å Ó Ø Ñ Ò Ó Ð º Ï
Ú Ð × Ó × Ò Ø Ø Ì
Ô
Å × Ö Ð Ú Ø Ó Ö × Ô × Ó Ñ Ó Ö Ô Ø Ó Ê
Ñ
º Ó Ò × Ö Ò Ø ¬ Ò Ø Ó Ò
Ó ¬ Ö ß Ù Ò Ð × × Ù × × Ò Ø Ô Ö Ú Ó Ù × × Ø Ó Ò Û Ò Ó Û Ö Ð Þ Ø Ø Û Ø Û Ø Ù Ð Ð Ý Ò
× Ø Ó Ò ½ º ¿ Û × Ø Ó Ó Ò × Ø Ö Ù Ø Ú Ø Ó Ö ß Ù Ò Ð ¸ Ø Ø Ò Ò Ø Ù Ò Ð Ì Å ´ × ¬ º ½ º ½ µ º
Á Ò Ø Ø Ò Ò Ø Ù Ò Ð Ì
Å Ø × Ñ Ò Ó Ð × Ø « Ö Ò Ø Ð Ñ Ò Ó Ð
Å ¸ Ø × Ø Ò Ö
¬ Ö × Ê
Ñ
Ò Ø × Ø Ö Ù Ø Ù Ö Ð Ö Ó Ù Ô × Ä ´ Ñ Ê µ Ò Ñ Ð Ý Ø Ö Ó Ù Ô Ó Ö Ð Ñ ¢ Ñ Ñ Ø Ö × º
Ì Ñ Ò Ô Ó Ò Ø × Ø Ø Ø Ø Ö Ò × Ø Ó Ò Ù Ò Ø Ó Ò × Ö Ò Ó Ø Ò Û Ð Ý Ò Ø Ö Ó Ù Ø Ó Ó Ò × Ø Ö Ù Ø Ø Ù Ò Ð
Ö Ø Ö Ø Ý Ö Ó Ñ Ô Ð Ø Ð Ý Ø Ö Ñ Ò Ö Ó Ñ Ø Ø Ö Ò × Ø Ó Ò Ù Ò Ø Ó Ò × Ö Ð Ø Ò Ó Ô Ò Ö Ø × Ó Ø
× Ñ Ò Ó Ð º Á Ò Ó Ø Ö Û Ó Ö × ¸ Û Ò Ú Ö Û ¬ Ò Ñ Ò Ó Ð Å ¸ × × Ó Ø Û Ø Ø Ø Ö ×
Ù Ò Õ Ù Ú Ø Ó Ö Ù Ò Ð Ì
Å Å Û Ò Ó × Ñ Ò Ý Ò Ø Ö Ò × Ô Ö Ó Ô Ö Ø × Ó
Å º Ä Ø Ù × × Ó Û º
Ó Ò × Ö Ø Û Ó Ò Ø Ö × Ø Ò Ð Ó Ð Ö Ø × ´ Í
«
«
µ Ò ´ Í
¬
¬
µ Ó Ó Ù Ö Ñ Ò Ó Ð º Ø Ò Ò Ø
Ú Ø Ó Ö ¸ Ò Ô Ó Ò Ø Ô ¾ Å Û × Û Ö Ø Ø Ò ×
Ø
Ô
´ Ô µ
Ü
Ô
´ ½ º º ¾ µ
7/29/2019 Fre P. Course in General Relativity (Free Version, Lecture Notes, Web Draft, 2003)(141s)_PGr
http://slidepdf.com/reader/full/fre-p-course-in-general-relativity-free-version-lecture-notes-web-draft 29/141
Ì Ò Ò Ø Ò Ó Ø Ò Ò Ø Ù Ò Ð × ¾
Ù Ö ½ º ½ º Ì Ø Ò Ò Ø Ù Ò Ð × Ó Ø Ò Ý Ð Ù Ò Ø Ó Ø Ö Ð Ð Ø Ø Ò Ò Ø × Ô ×
Ó Û Û Ò Ó Ò × Ö Ó Ó × Ò × Ñ Ó Ó Ø Ð Ý Ø Ò Ò Ø Ú Ø Ó Ö Ó Ö Ô Ó Ò Ø Ô ¾ Å ¸ Ò Ñ Ð Ý Ò Ø Ö Ó ¹
Ù Ò Ñ Ô
Ô ¾ Å
Ø
Ô
¾ Ì
Ô
Å ´ ½ º º ¿ µ
Ù Ö ½ º ½ º Ì Û Ó Ð Ó Ð Ö Ø × Ó Ø × Ñ Ò Ó Ð Å Ý Ð Ø Û Ó Ð Ó Ð Ø Ö Ú Ð Þ Ø Ó Ò × Ó Ø Ø Ò Ò Ø
Ù Ò Ð Ì Å
Å Ø Ñ Ø Ð Ð Ý Û Ø Û Ú Ó Ø Ò × × Ø Ó Ò Ó Ø Ø Ò Ò Ø Ù Ò Ð ¸ Ò Ñ Ð Ý × Ñ Ó Ó Ø
Ó Ó Ô Ó Ò Ø Ò Ø ¬ Ö Ó Ö Ô Ó Ò Ø Ó Ø × º Ü Ô Ð Ø Ð Ý Ø × Ù × Ø Ñ Ò × Ø Ø Ø Ó Ñ ¹
Ô Ó Ò Ò Ø ×
´ Ô µ Ó Ø Ø Ò Ò Ø Ú Ø Ó Ö Ö × Ñ Ó Ó Ø Ù Ò Ø Ó Ò × Ó Ø × Ô Ó Ò Ø Ó Ó Ö Ò Ø × Ü
º Ë Ò
Û Ù × Ó Ó Ö Ò Ø × ¸ Û Ò Ò Ü Ø Ö Ð Ð Ò Ó Ø Ò Ò Û Ð Ó Ð Ô Ø Ø Ú Ø Ó Ö Ó Ñ Ô Ó Ò Ò Ø ×
Ö Ú Ò
́
Ø
´ « µ
´ Ü µ
Ü
Ô
µ Ò Ö Ø «
Ø
´ ¬ µ
´ Ý µ
Ý
Ô
µ Ò Ö Ø ¬
´ ½ º º µ
Ú Ò Ò Ó Ø Ü
Ò Ý
Ø Ð Ó Ð Ó Ó Ö Ò Ø × Ò Ô Ø × « Ò ¬ ¸ Ö × Ô Ø Ú Ð Ý º Ë Ò Ø
Ø Ò Ò Ø Ú Ø Ó Ö × Ø × Ñ ¸ Ö Ö × Ô Ø Ú Ð Ý Ó Ø Ó Ó Ö Ò Ø × Ù × Ø Ó × Ö Ø ¸ Û Ú
´ ¬ µ
´ Ý µ
Ý
´ « µ
´ Ü µ
Ý
Ü
Ý
´ ½ º º µ
7/29/2019 Fre P. Course in General Relativity (Free Version, Lecture Notes, Web Draft, 2003)(141s)_PGr
http://slidepdf.com/reader/full/fre-p-course-in-general-relativity-free-version-lecture-notes-web-draft 30/141
Ì Ò Ò Ø Ò Ó Ø Ò Ò Ø Ù Ò Ð × ¾
Ò Ñ Ð Ý
´ ¬ µ
´ Ô µ
´ « µ
´ Ô µ
Ý
Ü
´ Ô µ ´ ½ º º µ
Á Ò Ó Ö Ñ Ù Ð ´ ½ º º µ Û × Ø Ü Ô Ð Ø Ó Ö Ñ Ó Ø Ø Ö Ò × Ø Ó Ò Ù Ò Ø Ó Ò Ø Û Ò Ø Û Ó Ð Ó Ð Ø Ö Ú Ð Þ ¹
Ø Ó Ò × Ó Ø Ø Ò Ò Ø Ù Ò Ð ¸ Ø × × Ñ Ô Ð Ý Ø Ò Ú Ö × Ó Ò Ñ Ø Ö Ü × × Ó Ø Û Ø Ø Ø Ö Ò × Ø Ó Ò
Ù Ò Ø Ó Ò × Ø Û Ò Ø Û Ó Ð Ó Ð Ö Ø × Ó Ø × Ñ Ò Ó Ð Å º Ç Ò Ø Ò Ø Ö × Ø Ó Ò Í
«
Ì
Í
¬
Û Ú
Ô ¾ Í
«
Í
¬
Ô
¬ «
´ Ô µ
Ý
Ü
´ Ô µ ¾ Ä ´ Ñ Ê µ ´ ½ º º µ
× Ø × Ô Ø Ó Ö Ð Ð Ý × Ö Ò ¬ º ½ º ½ º
½ º º ½ Ë Ø Ó Ò × Ó Ù Ò Ð
Á Ø × Ò Ó Û Ø Ô Ô Ö Ó Ô Ö Ø Ø Ñ Ø Ó × × Ó Ø Ô Ö × ¬ Ò Ø Ó Ò Ø Ó Ø Ò Ó Ø Ó Ò Ó Ù Ò Ð × Ø Ó Ò
Ø Ø Û Ú Ñ Ô Ð Ø Ð Ý Ú Ó Ø Ò Õ º ´ ½ º º ¿ µ
¬ Ò Ø Ó Ò ½ º º ½ º Ó Ò × Ö Ò Ö ¬ Ö ß Ù Ò Ð
Å Û Ø Ò Ö ¬ Ö º Ï Ò Ñ
× Ø Ó Ò Ó Ø Ù Ò Ð Ö Ù Ð × Ø Ø Ø Ó Ô Ó Ò Ø Ô ¾ Å Ó Ø × Ñ Ò Ó Ð × × Ó Ø ×
Ô Ó Ò Ø × ´ Ô µ ¾
Ô
Ò Ø ¬ Ö Ó Ú Ô ¸ Ò Ñ Ð Ý Ñ Ô
× Å ´ ½ º º µ
× Ù Ø Ø
Ô ¾ Å × ´ Ô µ ¾
½
´ Ô µ ´ ½ º º µ
Ì Ó Ú ¬ Ò Ø Ó Ò × Ð Ð Ù × Ø Ö Ø Ò ¬ º ½ º ½ Û Ð × Ó Ð Ö ¬ × Ø Ò Ø Ù Ø Ú × Ø Ò Ò Ò
Ø Ó × Ò Ò Ñ Ó Ö × Ù Ó Ò Ô Ø º
Á Ø × Ð Ö Ø Ø × Ø Ó Ò × Ó Ø Ù Ò Ð Ò Ó × Ò Ø Ó Ó Ò Ø Ò Ù Ó Ù × ¸ « Ö Ò Ø Ð ¸ × Ñ Ó Ó Ø
Ó Ö ¸ Ò Ø × Ó Ó Ñ Ô Ð Ü Ñ Ò Ó Ð × ¸ Ú Ò Ó Ð Ó Ñ Ó Ö Ô ¸ Ô Ò Ò Ó Ò Ø Ô Ö Ó Ô Ö Ø × Ó Ø Ñ Ô ×
Ò Ð Ó Ð Ø Ö Ú Ð Þ Ø Ó Ò Ó Ø Ù Ò Ð º Á Ò Ú Ò Ð Ó Ð Ø Ö Ú Ð Þ Ø Ó Ò Ò Ú Ò Ó Ô Ò Ö Ø ×
Ó Ö Ó Ø Ø × Ñ Ò Ó Ð Å Ò Ó Ö Ø ¬ Ö Ø Ð Ó Ð × Ö Ô Ø Ó Ò Ó Ø × Ø Ó Ò Ö Ù × Ø Ó
Ñ Ô
Ê
Ñ
Í
Í
Ê
Ò
´ ½ º º ¼ µ
Û Ö Ñ Ò Ò Ö Ø Ñ Ò × Ó Ò × Ó Ø × Ñ Ò Ó Ð Ò Ó Ø ¬ Ö Ö × Ô Ø Ú Ð Ý º
Ï Ö × Ô ¬ Ð Ð Ý Ò Ø Ö × Ø Ò × Ñ Ó Ó Ø × Ø Ó Ò × ¸ Ò Ñ Ð Ý Ò × Ø Ó Ò Ø Ø Ö Ò ¬ Ò Ø Ð Ý « Ö ¹
Ò Ø Ð º Ú Ò Ù Ò Ð
Å ¸ Ø × Ø Ó Ð Ð × Ù × Ø Ó Ò × × Ò Ó Ø Ý
´ Å µ ´ ½ º º ½ µ
Ç Ô Ö Ø Ù Ð Ö Ö Ð Ú Ò Ö Ø × Ñ Ó Ó Ø × Ø Ó Ò × Ó Ú Ø Ó Ö Ù Ò Ð × º Á Ò Ø × × Ø Ó Ô Ó Ò Ø Ó
Ø × Ñ Ò Ó Ð Ô Û × × Ó Ø Ú Ø Ó Ö Ú ´ Ô µ Ò Ø Ú Ø Ó Ö × Ô Ó Ú Ø Ô Ó Ò Ø Ô º Á Ò Ô Ö Ø Ù Ð Ö
Û Ò Ó Ò × Ö × Ø Ó Ò × Ó Ø Ø Ò Ò Ø Ù Ò Ð Ì Å × × Ó Ø Û Ø × Ñ Ó Ó Ø Ñ Ò Ó Ð Å º Ë Ù
× Ø Ó Ò × Ó Ö Ö × Ô Ó Ò Ø Ó Ø Ò Ó Ø Ó Ò Ó Ú Ø Ó Ö ¬ Ð × º
¬ Ò Ø Ó Ò ½ º º ¾ º Ú Ò × Ñ Ó Ó Ø Ñ Ò Ó Ð Å ¸ Û Ò Ñ Ú Ø Ó Ö ¬ Ð Ó Ò Å × Ñ Ó Ó Ø × Ø Ó Ò
Ø
¾ ´ Ì Å Å µ Ó Ø Ø Ò Ò Ø Ù Ò Ð º Ì Ð Ó Ð Ü Ô Ö × × Ó Ò Ó × Ù Ú Ø Ó Ö ¬ Ð Ò Ò Ý Ó Ô Ò Ö Ø
´ Í µ ×
7/29/2019 Fre P. Course in General Relativity (Free Version, Lecture Notes, Web Draft, 2003)(141s)_PGr
http://slidepdf.com/reader/full/fre-p-course-in-general-relativity-free-version-lecture-notes-web-draft 31/141
Ì Ò Ò Ø Ò Ó Ø Ò Ò Ø Ù Ò Ð × ¿ ¼
Ù Ö ½ º ½ º × Ø Ó Ò Ó ¬ Ö Ù Ò Ð
Ø Ø
´ Ü µ
Ü
Ü ¾ Í Å ´ ½ º º ¾ µ
½ º º ½ º ½ Ü Ñ Ô Ð Ó Ð Ó Ñ Ó Ö Ô Ú Ø Ó Ö ¬ Ð × Ó Ò Ë
¾
× Û Ú × Ò Ó Ú Ø ¾ ß × Ô Ö Ë
¾
× Ó Ñ Ô Ð Ü Ñ Ò Ó Ð Ó Ó Ñ Ô Ð Ü Ñ Ò × Ó Ò Ó Ò Ó Ú Ö
Ý Ò Ø Ð × Ó Ñ Ô Ó × Ý Ø Û Ó Ö Ø × ¸ Ø Ø Ó Ø Æ Ó Ö Ø È Ó Ð Ò Ø Ø Ó Ø Ë Ó Ù Ø È Ó Ð ´ ×
¬ º ½ º ½ µ
Ù Ö ½ º ½ º × Ø Ó Ò Ó ¬ Ö Ù Ò Ð
7/29/2019 Fre P. Course in General Relativity (Free Version, Lecture Notes, Web Draft, 2003)(141s)_PGr
http://slidepdf.com/reader/full/fre-p-course-in-general-relativity-free-version-lecture-notes-web-draft 32/141
Ì Ò Ò Ø Ò Ó Ø Ò Ò Ø Ù Ò Ð × ¿ ½
Ò Ø Ø Ö Ò × Ø Ó Ò Ù Ò Ø Ó Ò Ø Û Ò Ø Ð Ó Ð Ó Ñ Ô Ð Ü Ó Ó Ö Ò Ø Ò Ø Ø Û Ó Ô Ø × × Ø
Ó Ð Ð Ó Û Ò Ó Ò
Þ
½
Þ
Ë
´ ½ º º ¿ µ
Ó Ö Ö × Ô Ó Ò Ò Ð Ý ¸ Ò Ø Ø Û Ó Ô Ø × ¸ Ø Ð Ó Ð × Ö Ô Ø Ó Ò Ó Ó Ð Ó Ñ Ó Ö Ô Ú Ø Ó Ö ¬ Ð
Ø × Ú Ò
Ý
Ø Ú
´ Þ
µ
Þ
Ø Ú
Ë
´ Þ
Ë
µ
Þ
Ë
´ ½ º º µ
Û Ö Ø Ø Û Ó Ù Ò Ø Ó Ò × Ú
´ Þ
µ Ò Ú
Ë
´ Þ
Ë
µ Ö × Ù Ô Ô Ó × Ø Ó Ó Ð Ó Ñ Ó Ö Ô Ù Ò Ø Ó Ò × Ó Ø Ö
Ö Ù Ñ Ò Ø ¸ Ò Ñ Ð Ý Ø Ó Ñ Ø Ì Ý Ð Ó Ö Ô Ó Û Ö × Ö × Ü Ô Ò × Ó Ò
Ú
´ Þ
µ
½
¼
Þ
Ú
Ë
´ Þ
Ë
µ Ú
Ë
´ Þ
Ë
µ
½
¼
Þ
Ë
´ ½ º º µ
À Ó Û Ú Ö ¸ Ö Ó Ñ Ø Ø Ö Ò × Ø Ó Ò Ù Ò Ø Ó Ò ´ ½ º º ¿ µ Û Ó Ø Ò Ø Ö Ð Ø Ó Ò ×
Þ
Þ
¾
Ë
Þ
Ë
Þ
Ë
Þ
¾
Þ
´ ½ º º µ
Ò Ò
Ø
½
¼
Þ
¾
Ë
Þ
Ë
½
¼
Þ
Ë
Þ
Ë
½
¼
Þ
¾
Þ
½
¼
Þ
Þ
´ ½ º º µ
Ì Ó Ò Ð Ý Û Ý Ó Ö Õ º ´ ½ º º µ Ø Ó × Ð Ó Ò × × Ø Ò Ø × Ø Ó Ú
¾
¼
¼
¾
½
½
¾
¼
´ ½ º º µ
Ì × × Ó Û × Ø Ø Ø × Ô Ó Ó Ð Ó Ñ Ó Ö Ô × Ø Ó Ò × Ó Ø Ø Ò Ò Ø Ù Ò Ð Ì Ë
¾
× ¬ Ò Ø Ñ Ò ¹
× Ó Ò Ð Ú Ø Ó Ö × Ô Ó Ñ Ò × Ó Ò Ø Ö × Ô Ò Ò Ò Ö Ø Ý Ø Ø Ö « Ö Ò Ø Ð Ó Ô Ö Ø Ó Ö ×
Ä
¼
Þ
Þ
Ä
½
Þ
Ä
½
Þ
¾
Þ
´ ½ º º µ
Ï Û Ð Ð Ú Ñ Ó Ö Ø Ó × Ý Ó Ù Ø Ø × Ó Ô Ö Ø Ó Ö × Ò Ø × Õ Ù Ð º
7/29/2019 Fre P. Course in General Relativity (Free Version, Lecture Notes, Web Draft, 2003)(141s)_PGr
http://slidepdf.com/reader/full/fre-p-course-in-general-relativity-free-version-lecture-notes-web-draft 33/141
Ì Ò Ò Ø Ò Ó Ø Ò Ò Ø Ù Ò Ð × ¿ ¾
Ï Ø Û Ú × Ó Ö × Ù × × Ò × Ù Ñ Ñ Ö Þ Ý × Ø Ø Ò Ø Ø Ö Ò × Ó Ö Ñ Ø Ó Ò Ö Ù Ð Ó Ú Ø Ó Ö
¬ Ð Ó Ñ Ô Ó Ò Ò Ø × Û Ò Û Ò Ó Ó Ö Ò Ø Ô Ø Ó Ö Ñ Ü
Ø Ó Ü
¼
Ø
¼
´ Ü
¼
µ Ø
´ Ü µ
Ü
¼
Ü
´ ½ º º ½ ¼ ¼ µ
Á Ò Ó Ò Ú Ò Ò Ø Û Ý Ó ¬ Ò Ò ¬ Ö ¹ Ù Ò Ð × Ô Ö Ó Ú Ý × Ô Ý Ò Ø Û Ý Ø × × Ø Ó Ò ×
Ø Ö Ò × Ó Ö Ñ Ö Ó Ñ Ó Ò Ð Ó Ð Ø Ö Ú Ð Þ Ø Ó Ò Ø Ó Ò Ó Ø Ö Ó Ò Û Ñ Ó Ù Ò Ø × Ø Ó Ú Ò Ð Ð Ø Ø Ö Ò × Ø Ó Ò
Ù Ò Ø Ó Ò × º Ì × Ñ Ø Ó Ò Ù × Ø Ó × Ù × × Ø Ó Ò × Ø Ö Ù Ø Ó Ò Ó Ø Ó Ø Ò Ò Ø Ù Ò Ð º
½ º º ¾ Ì Ä Ð Ö Ó Ú Ø Ó Ö ¬ Ð ×
Á Ò × Ø Ó Ò ½ º ¿ Û × Û Ø Ø Ø Ø Ò Ò Ø × Ô Ì
Ô
Å Ø Ô Ó Ò Ø Ô ¾ Å Ó Ñ Ò Ó Ð Ò Ò Ø ¬
Û Ø Ø Ú Ø Ó Ö × Ô Ó Ö Ú Ø Ó Ò × Ó Ø Ð Ö Ó Ö Ñ × ´ × ¬ Ò Ø Ó Ò ½ º ¿ º µ º Ø Ö Ð Ù Ò
Ø Ó Ø Ö Ð Ð Ø Ò Ò Ø × Ô × Ò Ø Ó Ø Ø Ò Ò Ø Ù Ò Ð Ì Å × Ù Ò Ò Ø ¬ Ø Ó Ò Ó Ø Ò Ò Ø Ú Ø Ó Ö ×
Û Ø Ø Ö Ú Ø Ó Ò × Ó Ò Ð Ö Ò Ü Ø Ò Ö Ó Ñ Ø Ð Ó Ð Ø Ó Ø Ð Ó Ð Ð Ú Ð º Ì Ö Ù Ð
Ó × Ö Ú Ø Ó Ò × Ø Ø Ø × Ø Ó × Ñ Ó Ó Ø Ù Ò Ø Ó Ò × Ó Ò Ñ Ò Ó Ð
½
´ Å µ Ó Ò × Ø Ø Ù Ø × Ò Ð Ö
Û Ø Ö × Ô Ø Ø Ó Ô Ó Ò Ø ß Û × Ñ Ù Ð Ø Ô Ð Ø Ó Ò Ù × Ø × Ø × Ø Ó Ö Ñ × Ø Ô Ó Ò Ø Ô º Ì Ú Ø Ó Ö ¬ Ð × ¸
Ò Ñ Ð Ý Ø × Ø Ó Ò × Ó Ø Ø Ò Ò Ø Ù Ò Ð ¸ Ö Ö Ú Ø Ó Ò × Ó Ø × Ð Ö º Á Ò Ú Ø Ó Ö
¬ Ð
¾ ´ Ì Å Å µ × Ð Ò Ö Ñ Ô Ó Ø Ð Ö
½
´ Å µ Ò Ø Ó Ø × Ð
½
´ Å µ
½
´ Å µ ´ ½ º º ½ ¼ ½ µ
Ø Ø × Ø × ¬ × Ø Ò Ð Ó Ù Ô Ö Ó Ô Ö Ø × Ó Ø Ó × Ñ Ò Ø Ó Ò Ò Õ º × ´ ½ º ¿ º µ Ó Ö Ø Ò Ò Ø Ú Ø Ó Ö × ¸
Ò Ñ Ð Ý
´ « · ¬ µ «
´ µ · ¬
´ µ
´ ¡ µ
´ µ ¡ · ¡
´ µ
« ¬ ¾ Ê ´ Ó Ö µ ¾
½
´ Å µ ℄ ´ ½ º º ½ ¼ ¾ µ
Ç Ò Ø Ó Ø Ö Ò Ø × Ø Ó Ú Ø Ó Ö ¬ Ð × ¸ Ö Ò Ñ Ó Ö Ø × Ö × Ó Ò
« ´ Å µ ´ Ì Å Å µ ´ ½ º º ½ ¼ ¿ µ
Ó Ö Ñ × Ä Ð Ö Û Ø Ö × Ô Ø Ø Ó Ø Ó Ð Ð Ó Û Ò Ä Ö Ø Ó Ô Ö Ø Ó Ò
´ µ
´ µ
´ ½ º º ½ ¼ µ
Á Ò Ø × Ø Ó Ú Ø Ó Ö ¬ Ð × × Ú Ø Ó Ö × Ô Û Ø Ö × Ô Ø Ø × Ð Ö Ò Ù Ñ Ö × ´ Ê Ó Ö ¸ Ô Ò Ò
Ó Ò Ø Ø Ý Ô Ó Ñ Ò Ó Ð ¸ Ö Ð Ó Ö Ó Ñ Ô Ð Ü µ ¸ Ò Ñ Ð Ý Û Ò Ø Ð Ò Ö Ó Ñ Ò Ø Ó Ò × Ó Ø Ó Ð Ð Ó Û Ò
Ó Ö Ñ
¾ Ê Ó Ö
¾ « ´ Å µ
·
¾ « ´ Å µ ´ ½ º º ½ ¼ µ
Ú Ò ¬ Ò
·
´ µ
´ µ
·
´ µ
¾
½
´ Å µ ´ ½ º º ½ ¼ µ
Ù Ö Ø Ö Ñ Ó Ö Ø Ó Ô Ö Ø Ó Ò ´ ½ º º ½ ¼ µ × Ø Ó Ñ Ñ Ù Ø Ø Ó Ö Ó Ø Û Ó Ñ Ô × Ò × × Ù Ø × Ò Ø × Ý Ñ ¹
Ñ Ø Ö Ò × Ø × ¬ × Ø Â Ó Ò Ø Ø Ý º
7/29/2019 Fre P. Course in General Relativity (Free Version, Lecture Notes, Web Draft, 2003)(141s)_PGr
http://slidepdf.com/reader/full/fre-p-course-in-general-relativity-free-version-lecture-notes-web-draft 34/141
Ì Ò Ò Ø Ò Ó Ø Ò Ò Ø Ù Ò Ð × ¿ ¿
Ì Ä Ð Ö Ó Ú Ø Ó Ö ¬ Ð × × Ò Ñ « ´
Å µ × Ò Ó Ø × Ð Ñ Ò Ø × Ò Ò Ø Ö Ô Ö Ø
× Ø Ò Ö Ø Ó Ö Ó Ò Ò ¬ Ò Ø × Ñ Ð « Ó Ñ Ó Ö Ô × Ñ ´ Ó Ö Ø Ó Ò Ô Ø Ó Ò Ö Ø Ó Ö × × Ô Ø Ö µ
Ó Ø Ñ Ò Ó Ð Ó Ò Ø Ó Ø × Ð º × Û Ö Ó Ò Ø Ó × « ´ Å µ × Ä Ð Ö Ó Ò ¬ Ò Ø Ñ Ò × Ó Ò ¸
Ù Ø Ø Ò Ó Ò Ø Ò ¬ Ò Ø Ñ Ò × Ó Ò Ð × Ù Ð Ö × Ò Ö Ø Ý Ô Ö Ø Ù Ð Ö Ú Ø Ó Ö ¬ Ð × º Ì
Ø Ý Ô Ð Ü Ñ Ô Ð Û Ð Ð Ø × Ó Ø Ä Ð Ö Ó Ä Ö Ó Ù Ô Ø × × Ø ¬ Ò Ø Ñ Ò × Ó Ò Ð
× Ù Ð Ö « ´ µ × Ô Ò Ò Ý Ø Ó × Ú Ø Ó Ö ¬ Ð × ¬ Ò Ó Ò Ø Ä Ö Ó Ù Ô Ñ Ò Ó Ð Ø Ø
Ú Ò Ø Ó Ò Ð Ô Ö Ó Ô Ö Ø Ý Ó Ò Ú Ö Ò Û Ø Ö × Ô Ø Ø Ó Ø Ö Ð Ø Ó Ö Ö Ø Ø Ö Ò × Ð Ø Ó Ò × ´ ×
Ô Ø Ö µ
½ º º ¿ Ì Ó Ø Ò Ò Ø Ù Ò Ð Ò « Ö Ò Ø Ð Ó Ö Ñ ×
Ä Ø Ù × Ö Ð Ð Ø Ø « Ö Ò Ø Ð ½ ¹ Ó Ö Ñ Ò Ø Ô Ó Ò Ø Ô ¾ Å Ó Ñ Ò Ó Ð Å ¸ Ò Ñ Ð Ý Ò Ð Ñ Ò Ø
Ô
¾ Ì
Ô
Å Ó Ø Ó Ø Ò Ò Ø × Ô Ó Ú Ö × Ù Ô Ó Ò Ø Û × ¬ Ò × Ö Ð Ú Ð Ù Ð Ò Ö Ù Ò Ø Ó Ò Ð
Ó Ú Ö Ø Ø Ò Ò Ø × Ô Ø Ô ¸ Ò Ñ Ð Ý
Ô
¾ À Ó Ñ ´ Ì
Ô
Å Ê µ ´ ½ º º ½ ¼ µ
Û Ñ Ô Ð ×
Ø
Ô
¾ Ì
Ô
Å
Ô
Ø
Ô
Ô
´
Ø
Ô
µ ¾ Ê ´ ½ º º ½ ¼ µ
Ì Ü Ô Ö × × Ó Ò Ó
Ô
Ò Ó Ó Ö Ò Ø Ô Ø Ö Ó Ù Ò Ô ×
Ô
´ Ô µ Ü
´ ½ º º ½ ¼ µ
Û Ö Ü
´ Ô µ Ö Ø « Ö Ò Ø Ð × Ó Ø Ó Ó Ö Ò Ø × Ò
´ Ô µ Ö Ö Ð Ò Ù Ñ Ö × º Ï Ò Ð Ù
Ø Ó Ø Ö Ð Ð Ø Ó Ø Ò Ò Ø × Ô × Ò Ó Ò × Ø Ö Ù Ø Ø Ó Ø Ò Ò Ø Ù Ò Ð × Ý × Ø Ø Ò Ø Ø Ò Ö
× Ñ Ó Ó Ø × Ø Ó Ò Ó × Ù Ù Ò Ð × Ó Ø Ó Ö Ñ ´ ½ º º ½ ¼ µ Û Ö
´ Ô µ Ö Ò Ó Û × Ñ Ó Ó Ø Ù Ò Ø Ó Ò ×
Ó Ø × Ñ Ò Ó Ð Ô Ó Ò Ø Ô º Ð Ö Ð Ý Û Ò Ó Ó Ö Ò Ø × Ý × Ø Ñ ¸ Ò Ö Ù Ñ Ò Ø Ó Ñ Ô Ð Ø Ð Ý
× Ñ Ð Ö Ø Ó Ø Ø Ñ Ô Ð Ó Ý Ò Ø × Ó Ø Ø Ò Ò Ø Ù Ò Ð Ø Ð Ð × Ù × Ø Ø Ø Ó Æ Ò Ø ×
´ Ü µ
Ø Ö Ò × Ó Ö Ñ × Ó Ð Ð Ó Û ×
´ Ü
¼
µ
¼
´ Ü µ
Ü
Ü
¼
´ ½ º º ½ ½ ¼ µ
Ò Õ Ù Ø Ó Ò ´ ½ º º ½ ½ ¼ µ Ò Ø Ò × ¬ Ò Ø Ó Ò Ó Ø Ó Ø Ò Ò Ø Ù Ò Ð Ì Å ¸ Û Ó ×
× Ø Ó Ò × Ø Ö Ò × Ó Ö Ñ Û Ø Ø Ó Ò Ñ Ø Ö Ü Ö Ø Ö Ø Ò Û Ø Ø Ò Ú Ö × Ó Ò Ñ Ø Ö Ü × Ø
× Ø Ó Ò × Ó Ø Ø Ò Ò Ø Ù Ò Ð Ó ´ × Õ º ´ ½ º º ½ ¼ ¼ µ µ º Ë Ó Û Ò Û Ö Ø Ø
¬ Ò Ø Ó Ò ½ º º ¿ º « Ö Ò Ø Ð ½ ß Ó Ö Ñ Ó Ò Ñ Ò Ó Ð Å × × Ø Ó Ò Ó Ø Ó Ø Ò Ò Ø
Ù Ò Ð ¸ Ò Ñ Ð Ý ¾ ´ Ì Å Å µ º
Ì × Ñ Ò × Ø Ø « Ö Ò Ø Ð ½ ß Ó Ö Ñ × Ñ Ô
´ Ì Å Å µ
½
´ Å µ ´ ½ º º ½ ½ ½ µ
Ö Ó Ñ Ø × Ô Ó Ú Ø Ó Ö ¬ Ð × ´ º º Ø × Ø Ó Ò × Ó Ø Ø Ò Ò Ø Ù Ò Ð µ Ø Ó × Ñ Ó Ó Ø Ù Ò Ø Ó Ò × º
Ä Ó Ð Ð Ý Û Ò Û Ö Ø
´ Ì Å Å µ ¿
´ Ü µ Ü
´ Ì Å Å µ ¿
Ø Ø
´ Ü µ
Ü
´ ½ º º ½ ½ ¾ µ
Ò Û Ó Ø Ò
´
Ø µ
´ Ü µ Ø
´ Ü µ Ü
Ü
´ Ü µ Ø
´ Ü µ ´ ½ º º ½ ½ ¿ µ
7/29/2019 Fre P. Course in General Relativity (Free Version, Lecture Notes, Web Draft, 2003)(141s)_PGr
http://slidepdf.com/reader/full/fre-p-course-in-general-relativity-free-version-lecture-notes-web-draft 35/141
Ì Ò Ò Ø Ò Ó Ø Ò Ò Ø Ù Ò Ð × ¿
Ù × Ò
Ü
Ü
Æ
´ ½ º º ½ ½ µ
Û × Ø × Ø Ø Ñ Ò Ø Ø Ø Ó Ó Ö Ò Ø « Ö Ò Ø Ð × Ò Ô Ö Ø Ð Ö Ú Ø Ú × Ö Ù Ð × × Ó Ö
½ ¹ Ó Ö Ñ × Ò Ø Ò Ò Ø Ú Ø Ó Ö × Ö × Ô Ø Ú Ð Ý º
Ë Ò Ì Å × Ú Ø Ó Ö Ù Ò Ð Ø × Ñ Ò Ò Ù Ð Ø Ó Ó Ò × Ö Ø Ø Ó Ò Ó Ø × × Ø Ó Ò × ¸ Ò Ñ Ð Ý
Ø Ø Ó Ò Ó Ú Ø Ó Ö ¬ Ð × Ò Ð × Ó Ø Ö Ô Ó Ò Ø Û × Ñ Ù Ð Ø Ô Ð Ø Ó Ò Ý × Ñ Ó Ó Ø Ù Ò Ø Ó Ò × º Ì Ò
Ø × Ò Ø Ó Ó Ù Ò Ø Û × Ø Ø Ø Ñ Ô ´ ½ º º ½ ½ ½ µ Ù × Ø Ó ¬ Ò × Ø Ó Ò × Ó Ø Ó Ø Ò Ò Ø Ù Ò Ð ¸
Ò Ñ Ð Ý ½ ß Ó Ö Ñ × × Ø Ù Ð Ð Ý Ò ß Ð Ò Ö Ñ Ô º Ì × Ñ Ò × Ø Ó Ð Ð Ó Û Ò º Ó Ò × Ö Ò Ò Ý ß Ð Ò Ö
Ó Ñ Ò Ø Ó Ò Ó Ø Û Ó Ú Ø Ó Ö ¬ Ð × ¸ Ò Ñ Ð Ý
½
Ø
½
·
¾
Ø
¾
½
¾
¾
½
´ Å µ Ø
½
Ø
¾
¾ ´ Ì Å Å µ ´ ½ º º ½ ½ µ
Ó Ö Ò Ý ½ ß Ó Ö Ñ ¾ ´ Ì Å Å µ Û Ú
½
Ø
½
·
¾
Ø
¾
¡
½
´ Ô µ
Ø
½
¡
´ Ô µ ·
¾
´ Ô µ
Ø
¾
¡
´ Ô µ ´ ½ º º ½ ½ µ
Û Ö Ô ¾ Å × Ò Ý Ô Ó Ò Ø Ó Ø Ñ Ò Ó Ð Å º
Á Ø × Ò Ó Û Ð Ö Ø Ø Ø ¬ Ò Ø Ó Ò Ó « Ö Ò Ø Ð ½ ¹ Ó Ö Ñ Ò Ö Ð Þ × Ø Ó Ò Ô Ø Ó Ø Ó Ø Ð
« Ö Ò Ø Ð Ó Ø Ö Ñ Ó × Ñ Ó Ó Ø Ù Ò Ø Ó Ò º Á Ò Ò Ò Ó Ô Ò Ò Ó Ö Ó Ó Í Å Ó Ô Ó Ò Ø
Ô Û Ú
¾
½
Ô
´ Å µ
Ü
´ ½ º º ½ ½ µ
Ò Ø Ú Ð Ù Ó Ø Ô Ó Ò Ò Ý Ø Ò Ò Ø Ú Ø Ó Ö
Ø
Ô
¾ Ì
Ô
Å × ¬ Ò Ø Ó
Ô
´
Ø
Ô
µ
Ø
Ô
´ µ Ø
´ ½ º º ½ ½ µ
Û × Ø Ö Ø Ó Ò Ð Ö Ú Ø Ú Ó Ø Ð Ó Ð Ù Ò Ø Ó Ò Ð Ó Ò
Ø
Ô
Ò Ø Ô Ó Ò Ø Ô º Á Ö Ø Ö Ø Ò
Ø Ö Ñ Ó Ù Ò Ø Ó Ò Û Ø Ð Ó Ð Ù Ò Ø Ó Ò ¾
½
´ Å µ Û Ö Ð Þ Ø Ø Ø Ó Ò Ô Ø Ó ½ ¹ Ó Ö Ñ
Ò Ö Ð Þ × Ø Ó Ò Ô Ø Ó Ø Ó Ø Ð « Ö Ò Ø Ð Ó × Ù Ù Ò Ø Ó Ò º Á Ò Ø Ø Ó Ø Ð « Ö Ò Ø Ð ¬ Ø ×
Ò Ø Ó Ø ¬ Ò Ø Ó Ò Ó ½ ¹ Ó Ö Ñ ¸ × Ò Ó Ö Ò Ý Ú Ø Ó Ö ¬ Ð
Ø ¾ ´ Ì Å Å µ Û Ú
Ø
¡
Ø
´ Ü µ
´ Ü µ
Ø ¾
½
´ Å µ ´ ½ º º ½ ½ µ
¬ Ö × Ø Ó Ú Ó Ù × Õ Ù × Ø Ó Ò × Ø Ó Ð Ð Ó Û Ò º Á × Ò Ý ½ ¹ Ó Ö Ñ
´ Ü µ Ü
Ø « Ö Ò Ø Ð Ó × Ó Ñ
Ù Ò Ø Ó Ò Ì Ò × Û Ö × Ð Ö Ð Ý Ò Ó Ò Ò Ò Ý Ó Ó Ö Ò Ø Ô Ø Ø Ö × × Ñ Ô Ð Ø × Ø Ø Ó ×
Û Ø Ö Ø × × Ø × Ó Ö Ò Ó Ø º Á Ò ¸
´ ½ µ
Ó Ö × Ó Ñ Ö Ñ ¾
½
Ô
´ Å µ Ø Ò Û Ñ Ù × Ø
Ú
½
¾
´ ½ µ
´ ½ µ
½
¾
´
µ ¼ ´ ½ º º ½ ¾ ¼ µ
Ì Ð Ø Ò × Ó Õ º ´ ½ º º ½ ¾ ¼ Ö Ø Ó Ñ Ô Ó Ò Ò Ø × Ó Û Ø Û Û Ð Ð Ò Ñ « Ö Ò Ø Ð ¾ ß Ó Ö Ñ
´ ¾ µ
´ ¾ µ
Ü
Ü
´ ½ º º ½ ¾ ½ µ
Ò Ò Ô Ö Ø Ù Ð Ö Ø ¾ ß Ó Ö Ñ Ó Õ º ´ ½ º º ½ ¾ ¼ µ Û Ð Ð Ò Ø ¬ Û Ø Ø Ü Ø Ö Ó Ö « Ö Ò Ø Ð Ó
Ø ½ ß Ó Ö Ñ
´ ½ µ
¸ Ò Ñ Ð Ý
¾ µ
´ ½ µ
º Á Ò × Ñ Ô Ð Û Ó Ö × Ø Ü Ø Ö Ó Ö « Ö Ò Ø Ð Ó Ô Ö Ø Ó Ö × Ø
Ò Ö Ð Þ Ø Ó Ò Ó Ò Ò Ý Ñ Ò Ó Ð Ò Ø Ó « Ö Ò Ø Ð Ó Ö Ñ × Ó Ò Ý Ö Ó Ø Ó Ò Ô Ø Ó Ù Ö Ð ¸
Ñ Ð Ö Ö Ó Ñ Ó Ö Ò Ö Ý Ø Ò × Ó Ö Ð Ù Ð Ù × Ò Ê
¿
º Ó Ö Ñ × Û Ó × Ü Ø Ö Ó Ö « Ö Ò Ø Ð Ú Ò × × Û Ð Ð
Ò Ñ Ð Ó × Ó Ö Ñ × º Ð Ð Ø × Ó Ò Ô Ø × Ò Ô Ô Ö Ó Ô Ö Ø Ü Ô Ð Ò Ø Ó Ò × Ø Ø Û Ð Ð Ô Ö Ó Ú
× Ó Ö Ø Ð Ý Ö Ó Ñ Ò Ó Û º Ø ¸ Ð Ö Ý Ø Ø × Ò Ø Ù Ø Ú Ð Ú Ð ¸ Û Ò Ó Ö Ñ Ù Ð Ø Ø Ò Ü Ø × Õ Ù × Ø Ó Ò º
7/29/2019 Fre P. Course in General Relativity (Free Version, Lecture Notes, Web Draft, 2003)(141s)_PGr
http://slidepdf.com/reader/full/fre-p-course-in-general-relativity-free-version-lecture-notes-web-draft 36/141
Ì Ò Ò Ø Ò Ó Ø Ò Ò Ø Ù Ò Ð × ¿
Ï × Û Ø Ø ¸ Ò Ó Ö Ö Ø Ó Ø Ø Ó Ø Ð « Ö Ò Ø Ð Ó Ù Ò Ø Ó Ò ¸ ½ ß Ó Ö Ñ Ñ Ù × Ø Ò × × Ö Ð Ý
Ð Ó × º Á × × Ù Ó Ò Ø Ó Ò Ð × Ó × Ù Æ Ò Ø Á Ò Ó Ø Ö Û Ó Ö × Ö Ð Ð Ð Ó × Ó Ö Ñ × Ø « Ö Ò Ø Ð Ó
× Ó Ñ Ø Ò Ä Ó Ð Ð Ý Ø Ó Ö Ö Ø Ò × Û Ö × Ý × ¸ Ù Ø Ð Ó Ð Ð Ý Ø Ñ Ý Ò Ó º Á Ò Ò Ò Ý Ó Ô Ò
Ò Ó Ö Ó Ó Ð Ó × Ó Ö Ñ Ò Ö Ô Ö × Ò Ø × Ø « Ö Ò Ø Ð Ó Ò Ó Ø Ö « Ö Ò Ø Ð Ó Ö Ñ ¸
Ù Ø Ø Ó Ö Ñ × Ø Ø Ó Ø Ó Ò Ø Ú Ö Ó Ù × Ó Ô Ò Ô Ø × Ñ Ý Ò Ó Ø Ð Ù Ø Ó Ø Ö Ò Ð Ý Ò Ø Ó
Ð Ó Ð Ð Ý ¬ Ò Ó Ò º Ì × Ô Ö Ó Ð Ñ Ò Ø × × Ó Ð Ù Ø Ó Ò Ó Ò × Ø Ø Ù Ø Ò Ñ Ô Ó Ö Ø Ò Ø Ô Ø Ö Ó Ó Ñ Ø Ö Ý ¸
Ò Ñ Ó Ó Ñ Ó Ð Ó Ý º Ø Ù Ð Ð Ý Ó Ó Ñ Ó Ð Ó Ý × Ò Ø Ö Ð × × Ù Ò Ð Ö Ø Ó Ô Ó Ð Ó Ý ¸ Ø Ö Ø Ó
Ö Ø Ö Þ Ò Ø Ø Ó Ô Ó Ð Ó Ð Ô Ö Ó Ô Ö Ø × Ó Ñ Ò Ó Ð × Ø Ö Ó Ù Ô Ô Ö Ó Ô Ö Ø Ð Ö × Ø Ö Ù Ø Ù Ö × º
½ º º « Ö Ò Ø Ð ß Ó Ö Ñ ×
Ü Ø Û Ò Ø Ö Ó Ù « Ö Ò Ø Ð Ó Ö Ñ × Ó Ö Ò Ø Ü Ø Ö Ó Ö « Ö Ò Ø Ð º Á Ò Ð Ø Ö × Ø Ó Ò ¸
Ø Ö Ø × Ù × × Ó Ò Ó Ó Ñ Ó Ð Ó Ý Û × Ó Û Ó Û Ø × Ö Ð Ø × Ø Ó Ø Ñ Ô Ó Ö Ø Ò Ø Ó Ò × Ø Ö Ù Ø Ó Ò Ó
Ó Ó Ñ Ó Ð Ó Ý º Ó Ö Ø Ø Ñ Ò Ó Ù Ö Ô Ô Ö Ó × × Ñ Ô Ð Ö Ò Ó Û Ò Ø Ó Ö Ø º
Ï Ú × Ò Ø Ø Ø ½ ß Ó Ö Ñ × Ø Ô Ó Ò Ø Ô ¾ Å Ó Ñ Ò Ó Ð Ö Ð Ò Ö Ù Ò Ø Ó Ò Ð × Ó Ò
Ø Ø Ò Ò Ø × Ô Ì
Ô
Å º Á Ò × Ø Ó Ò Û × Ù × × Ø Ó Ò × Ø Ö Ù Ø Ó Ò Ó Ü Ø Ö Ó Ö ß Ó Ö Ñ × Ó Ò Ò Ý
Ú Ø Ó Ö × Ô Ï ¬ Ò Ø Ó Ø ß Ø Ð Ò Ö Ò Ø × Ý Ñ Ñ Ø Ö Ù Ò Ø Ó Ò Ð × Ó Ò × Ù × Ô º Á Ø Ó Ð Ð Ó Û ×
Ø Ø Ó Ò Ì
Ô
Å Û Ò Ó Ò × Ø Ö Ù Ø Ò Ó Ø Ó Ò Ð Ý Ø ½ ß Ó Ö Ñ × Ù Ø Ð × Ó Ð Ð Ø Ö Ö ß Ó Ö Ñ × º Ì Ý
× Ô Ò Ø Ú Ø Ó Ö × Ô £
´ Ì
Ô
Å µ º Ý Ð Ù Ò Ø Ó Ø Ö Ð Ð × Ù Ú Ø Ó Ö × Ô × ¸ × Û Ò Ø ×
Ó ½ ß Ó Ö Ñ × ¸ Û Ó Ø Ò Ø Ú Ø Ó Ö ß Ù Ò Ð × Ó ß Ó Ö Ñ × º Å Ó Ö Ü Ô Ð Ø Ð Ý Û Ò × Ø
¬ Ò Ø Ó Ò ½ º º º « Ö Ò Ø Ð ß Ó Ö Ñ
´ µ
× × Ñ Ó Ó Ø × × Ò Ñ Ò Ø
´ µ
Ô
´ µ
Ô
¾ £
´ Ì
Ô
Å µ ´ ½ º º ½ ¾ ¾ µ
Ó Ò Ü Ø Ö Ó Ö ß Ó Ö Ñ Ó Ò Ø Ø Ò Ò Ø × Ô Ø Ô Ó Ö Ô Ó Ò Ø Ô ¾ Å Ó Ñ Ò Ó Ð º
Ä Ø Ò Ó Û ´ Í ³ µ Ð Ó Ð Ö Ø Ò Ð Ø
̈
Ü
½
Ô
Ü
Ñ
Ô
©
Ø Ù × Ù Ð Ò Ø Ù Ö Ð × × Ó Ø Ó Ø Ò Ò Ø
× Ô Ì
Ô
Å º Ì Ò Ò Ø × Ñ Ð Ó Ð Ö Ø Ø « Ö Ò Ø Ð Ó Ö Ñ
´ µ
× Û Ö Ø Ø Ò ×
´ µ
½
´ Ü
½
Ü
Ñ
µ Ü
½
Ü
´ ½ º º ½ ¾ ¿ µ
Û Ö
½
´ Ü
½
Ü
Ñ
µ ¾
½
´ Í µ Ö × Ñ Ó Ó Ø Ù Ò Ø Ó Ò × Ó Ò Ø Ó Ô Ò Ò Ó Ö Ó Ó Í ¸ Ó Ñ ¹
Ô Ð Ø Ð Ý Ò Ø × Ý Ñ Ñ Ø Ö Ò Ø Ò ×
½
º
Ø Ø × Ô Ó Ò Ø Ø × Ó Ú Ó Ù × Ø Ø Ø Ó Ô Ö Ø Ó Ò Ó Ü Ø Ö Ó Ö Ô Ö Ó Ù Ø ¸ ¬ Ò Ó Ò Ü Ø Ö Ó Ö Ó Ö Ñ × ¸
Ò Ü Ø Ò Ø Ó Ü Ø Ö Ó Ö « Ö Ò Ø Ð Ó Ö Ñ × º Á Ò Ô Ö Ø Ù Ð Ö ¸
´ µ
Ò
´
¼
µ
Ö ß Ó Ö Ñ Ò
¼
ß Ó Ö Ñ ¸ Ö × Ô Ø Ú Ð Ý ¸ Ø Ò
´ µ
´
¼
µ
× ´ ·
¼
µ ß Ó Ö Ñ º × Ó Ò × Õ Ù Ò Ó Õ º ´ µ Û Ú
´ µ
´
¼
µ
´ µ
¼
´
¼
µ
´ µ
´ ½ º º ½ ¾ µ
Ò Ò Ð Ó Ð Ó Ó Ö Ò Ø × Û ¬ Ò
´ µ
´
¼
µ
´ µ
½
´ Ü
½
Ü
Ñ
µ
´ µ
· ½
·
¼
℄
Ü
½
Ü
·
¼
´ ½ º º ½ ¾ µ
Û Ö ℄ Ò Ó Ø × Ø Ó Ñ Ô Ð Ø Ò Ø × Ý Ñ Ñ Ø Ö Þ Ø Ó Ò Ó Ò Ø Ò × º
Ä Ø
¼
´ Å µ
½
´ Å µ Ò Ð Ø
´ Å µ
½
´ Å µ Ø
½
´ Å µ ß Ñ Ó Ù Ð Ó « Ö Ò Ø Ð
ß Ó Ö Ñ × º Ì Ó Ù × Ø Ý Ø Ò Ñ Ò Ñ Ó Ù Ð ¸ Ó × Ö Ú Ø Ø Û Ò Ó Ò × Ø Ö Ù Ø Ø Ô Ö Ó Ù Ø Ó × Ñ Ó Ó Ø
Ù Ò Ø Ó Ò ¾
½
´ Å µ Û Ø « Ö Ò Ø Ð Ó Ö Ñ
´ µ
× Ø Ø Ò
´ µ
½
¡
´ µ
½
´ ½ º º ½ ¾ µ
7/29/2019 Fre P. Course in General Relativity (Free Version, Lecture Notes, Web Draft, 2003)(141s)_PGr
http://slidepdf.com/reader/full/fre-p-course-in-general-relativity-free-version-lecture-notes-web-draft 37/141
À Ó Ñ Ó Ø Ó Ô Ý ¸ À Ó Ñ Ó Ð Ó Ý Ò Ó Ó Ñ Ó Ð Ó Ý ¿
Ó Ö ¹ Ø Ù Ô Ð Ø Ó Ú Ø Ó Ö ¬ Ð ×
½
¾ ´ Ì
Å
Å µ
Ù Ö Ø Ö Ñ Ó Ö Ð Ø
´ Å µ
Ñ
Å
¼
´ Å µ Û Ö Ñ Ñ Å ´ ½ º º ½ ¾ µ
Ì Ò × Ò Ð Ö Ó Ú Ö
½
´ Å µ Û Ø Ö × Ô Ø Ø Ó Ø Ü Ø Ö Ó Ö Û Ô Ö Ó Ù Ø
Î
º
Ì Ó Ò Ø Ö Ó Ù Ø Ü Ø Ö Ó Ö « Ö Ò Ø Ð Û Ô Ö Ó × Ó Ð Ð Ó Û × º Ä Ø ¾
½
´ Å µ × Ñ Ó Ó Ø
Ù Ò Ø Ó Ò Ó Ö Ú Ø Ó Ö ¬ Ð
¾ « ´ Å µ ¸ Û Ú
´ µ ¾
½
´ Å µ Ò Ø Ö Ó Ö Ø Ö ×
Ù Ò Õ Ù « Ö Ò Ø Ð ½ ß Ó Ö Ñ ¸ Ò Ó Ø × Ù Ø Ø ´
µ
´ µ º Ì × « Ö Ò Ø Ð Ó Ö Ñ × Ò Ñ
Ø Ø Ó Ø Ð « Ö Ò Ø Ð Ó Ø Ù Ò Ø Ó Ò º Á Ò Ð Ó Ð Ö Ø Í Û Ø Ð Ó Ð Ó Ó Ö Ò Ø × Ü
½
Ü
Ñ
Û
Ú
Ü
Ü
´ ½ º º ½ ¾ µ
Å Ó Ö Ò Ö Ð Ð Ý Û Ò × Ø Ø Ø Ö Ü × Ø × Ò Ò Ó Ñ Ó Ö Ô × Ñ ¸ ´ µ Ó ´ Å µ Ó Ò Ø Ó Ø × Ð
Û Ø Ø Ó Ð Ð Ó Û Ò Ô Ö Ó Ô Ö Ø ×
µ ¾
´ Å µ ¾
· ½
´ Å µ
µ ¾ ´ Å µ ¼
µ
¾
´ Å µ
¼
¾
¼
´ Å µ
´ µ
´
¼
µ
´ µ
´
¼
µ
· ´ ½ µ
´ µ
´
¼
µ
Ú µ ¾
¼
´ Å µ Ø Ó Ø Ð « Ö Ò Ø Ð
´ ½ º º ½ ¾ µ
Á Ò Ð Ó Ð Ó Ó Ö Ò Ø Ô Ø Ø Ó Ú Ò Ø Ö Ò × ¬ Ò Ø Ó Ò Ó Ø Ü Ø Ö Ó Ö « Ö Ò Ø Ð Ð × Ø Ó
Ø Ó Ð Ð Ó Û Ò Ü Ô Ð Ø Ö Ô Ö × Ò Ø Ø Ó Ò
´ µ
½
¾
· ½
℄
Ü
½
Ü
· ½
´ ½ º º ½ ¿ ¼ µ
× Ð Ö Ý × Ø Ö × × Ø Ü Ø Ö Ó Ö « Ö Ò Ø Ð × Ø Ò Ö Ð Þ Ø Ó Ò Ó Ø Ó Ò Ô Ø Ó Ù Ö Ð ¸ Û Ð Ð Ò Ó Û Ò
Ò Ð Ñ Ò Ø Ö Ý Ú Ø Ó Ö Ð Ù Ð Ù × º
Á Ò Ø Ò Ü Ø × Ø Ó Ò Û Ò Ø Ö Ó Ù Ø Ò Ó Ø Ó Ò × Ó Ó Ñ Ó Ø Ó Ô Ý ¸ Ó Ñ Ó Ð Ó Ý Ò Ó Ó Ñ Ó Ð Ó Ý Ø Ø
Ö Ö Ù Ð Ø Ó Ù Ò Ö × Ø Ò Ø Ð Ó Ð Ô Ö Ó Ô Ö Ø × Ó Ñ Ò Ó Ð × Ò Ä Ö Ó Ù Ô × º
½ º À Ó Ñ Ó Ø Ó Ô Ý ¸ À Ó Ñ Ó Ð Ó Ý Ò Ó Ó Ñ Ó Ð Ó Ý
« Ö Ò Ø Ð ½ ß Ó Ö Ñ × Ò Ò Ø Ö Ø Ð Ó Ò « Ö Ò Ø Ð Ô Ø × Ó Ò Ñ Ò Ó Ð × º Ì Ö « Ö ¹
Ò Ø Ð Ô ß Ó Ö Ñ × ¸ Ø Ó Ò Ø Ö Ó Ù × Ó Ö Ø Ð Ý Ö Ó Ñ Ò Ó Û ¸ Ò Ò Ø Ö Ø Ó Ò Ô ß Ñ Ò × Ó Ò Ð × Ù Ñ Ò ¹
Ó Ð × º Ò Ô Ô Ö Ó Ô Ö Ø × Ù × × Ó Ò Ó × Ù Ò Ø Ö Ð × Ò Ó Ø Ö Ô Ö Ó Ô Ö Ø × Ö Õ Ù Ö × Ø Ù Ò Ñ Ò Ø Ð
Ó Ò Ô Ø × Ó Ð Ö Ø Ó Ô Ó Ð Ó Ý ¸ Ò Ñ Ð Ý Ó Ñ Ó Ø Ó Ô Ý Ò Ó Ñ Ó Ð Ó Ý º Ð × Ó Ø Ð Ó Ð Ô Ö Ó Ô Ö Ø × Ó
Ä Ö Ó Ù Ô × Ò Ø Ö Ñ Ò Ý ß Ø Ó ß Ó Ò Ö Ð Ø Ó Ò Û Ø Ä Ð Ö × Ò Ù Ò Ö × Ø Ó Ó Ó Ò Ð Ý Ò Ø Ö Ñ ×
Ó Ó Ñ Ó Ø Ó Ô Ý º Ó Ö Ø × Ö × Ó Ò Û Ú Ó Ø Ø Ô Ö × Ò Ø × Ø Ó Ò Ø Ó Ò Ò Ø Ö Ó Ù Ø Ó Ö Ý × Ù × × Ó Ò Ó
Ó Ñ Ó Ø Ó Ô Ý ¸ Ó Ñ Ó Ð Ó Ý Ò Ó Ø × Ù Ð ¸ Ó Ó Ñ Ó Ð Ó Ý º
Ì Ò Ó Ô Ö Ó Ð Ñ × Û Ö Ó Ò Ø Ó Ó Ò × Ö Ò Ò Ø Ù Ø Ú Ð Ý Ö × Ô Û Ó Ò × Ö ¬ º
½ º ¾ ¼ ¸ × Ô Ð Ý Ò Ð Ó × Ø Û Ó ß Ñ Ò × Ó Ò Ð × Ù Ö Û Ø Ø Û Ó Ò Ð × ´ Ø Ù Ð Ð Ý Ò Ó Ö Ò Ø ¸ Ð Ó ×
Ê Ñ Ò Ò × Ù Ö Ó Ò Ù × ¾ µ Ó Ò Û Û Ú Ö Û Ò × Ú Ö Ð « Ö Ò Ø Ð Ó × ½ ß Ñ Ò × Ó Ò Ð
Ô Ø × -
½
-
º
Ó Ò × Ö ¬ Ö × Ø Ø Ô Ø -
º Á Ø × Ò Ò Ø Ù Ø Ú Ø Ø Ø -
Ò Ó Ò Ø Ò Ù Ó Ù × Ð Ý Ó Ö Ñ Ø Ó Ù × Ø
Ô Ó Ò Ø Ó Ò Ø × Ù Ö º È Ø × Û Ø × Ù Ô Ö Ó Ô Ö Ø Ý Ö Ò Ñ Ó Ñ Ó Ø Ó Ô Ð Ð Ý Ø Ö Ú Ð Ó Ö Ó Ñ Ó Ø Ó Ô
Ø Ó Þ Ö Ó º Á Ø × Ð × Ó Ò Ò Ø Ù Ø Ú Ø Ø Ø Ò Ø Ö -
¾
¸ Ò Ó Ö -
¿
¸ Ò Ó Ö -
½
¸ Ò Ó Ö -
Ö Ó Ñ Ó Ø Ó Ô Ð Ð Ý
7/29/2019 Fre P. Course in General Relativity (Free Version, Lecture Notes, Web Draft, 2003)(141s)_PGr
http://slidepdf.com/reader/full/fre-p-course-in-general-relativity-free-version-lecture-notes-web-draft 38/141
À Ó Ñ Ó Ø Ó Ô Ý ¸ À Ó Ñ Ó Ð Ó Ý Ò Ó Ó Ñ Ó Ð Ó Ý ¿
Ù Ö ½ º ¾ ¼ º Ð Ó × × Ù Ö Û Ø Ø Û Ó Ò Ð × Ñ Ö Ý × Ú Ö Ð « Ö Ò Ø Ð Ó × ½ ß Ñ Ò × Ó Ò Ð Ô Ø ×
Ø Ö Ú Ð º È Ø × Ó × Ù Ø Ý Ô Ö Ó Ñ Ó Ø Ó Ô Ð Ð Ý Ò Ó Ò Ø Ö Ú Ð º Ù Ö Ø Ö Ñ Ó Ö Û × Ý Ø Ø Ø Û Ó Ô Ø ×
Ö Ó Ñ Ó Ø Ó Ô Ó Ò Ò Ó Ò Ø Ò Ù Ó Ù × Ð Ý Ó Ö Ñ Ò Ø Ó Ø Ó Ø Ö º Ì × × Ó Ö Ò × Ø Ò Ø ×
Ó -
Û × Ð Ö Ð Ý Ó Ñ Ó Ø Ó Ô Ø Ó -
¿
º
Ä Ø Ù × Ò Ó Û Ó Ò × Ö Ø « Ö Ò Ø Û Ò Ô Ø -
Ò Ô Ø -
½
Ö Ó Ñ Ò Ó Ø Ö Ú Û Ô Ó Ò Ø º
Á Ñ Ò Ø Ö × Ù Ð Ø Ó Ù Ø Ø Ò Ø × Ù Ö Ð Ó Ò Ø Ô Ø -
º Ø Ö Ø Ù Ø Ø × Ù Ö × Ô Ð Ø × Ò Ø Ó
Ø Û Ó × Ô Ö Ø Ô Ö Ø × ¸ Ê
½
Ò Ê
¾
× × Ó Û Ò Ò ¬ º ½ º ¾ ½ º Ë Ù × Ô Ð Ø Ø Ò Ó × Ò Ó Ø Ó Ù Ö Û Ù Ø Ø
Ù Ö ½ º ¾ ½ º Ï Ò Û Ù Ø × Ù Ö Ð Ó Ò Ô Ø Ø Ø × Ó Ù Ò Ö Ý ¸ Ò Ñ Ð Ý Ø × Ó Ñ Ó Ð Ó Ð Ð Ý Ø Ö Ú Ð ¸
Ø × Ù Ö × Ô Ð Ø × Ò Ø Ó Ø Û Ó × Ô Ö Ø Ô Ö Ø ×
Ó Ö Ò Ð × Ù Ö Ð Ó Ò Ø Ô Ø -
½
º Ì Ö × Ó Ò Ó Ö Ø × « Ö Ò Ø Ú Ó Ù Ö Ö × × Ò Ø × º Ì
Ô Ø -
× Ø Ó Ù Ò Ö Ý Ó Ö Ó Ò Ó Ò Ø × Ù Ö ´ Ø Ö Ó Ò Ê
½
Ó Ö ¸ Õ Ù Ú Ð Ò Ø Ð Ý Ø × Ó Ñ Ô Ð Ñ Ò Ø
Ê
¾
µ Û Ð -
½
× Ò Ó Ø Ø Ó Ù Ò Ö Ý Ó Ò Ý Ö Ó Ò º × Ñ Ð Ö × Ø Ø Ñ Ò Ø × Ø Ö Ù Ó Ö Ø Ô Ø × -
¾
Ó Ö
-
¿
º Ï × Ý Ø Ø -
× Ó Ñ Ó Ð Ó Ð Ð Ý Ø Ö Ú Ð Û Ð -
½
-
¾
-
¿
Ö Ó Ñ Ó Ð Ó Ð Ð Ý Ò Ó Ò Ø Ö Ú Ð º
Ü Ø Ð Ø Ù × Ó × Ö Ú Ø Ø Û × Ñ Ù Ð Ø Ò Ó Ù × Ð Ý Ù Ø Ø Ó Ö Ò Ð × Ù Ö Ð Ó Ò -
½
-
¾
-
¿
Ø
× Ù Ö × Ô Ð Ø × Ó Ò Ò Ò Ø Ó Ø Û Ó × Ô Ö Ø Ô Ö Ø × × × Ó Û Ò Ò ¬ º ½ º ¾ ¾
Ì × × Ù Ø Ó Ø Ø Ø Ø Ø × Ù Ñ Ó Ø Ø Ö Ô Ø × × Ø Ó Ù Ò Ö Ý Ó Ö Ó Ò Ø Ö
Ê
½
Ó Ö Ê
¾
Ó ¬ º ½ º ¾ ¾ º Á Ò Ø × × Û × Ý Ø Ø -
¾
· -
¿
× Ó Ñ Ó Ð Ó Ó Ù × Ø Ó -
½
¸ × Ò Ø « Ö Ò
-
¾
· -
¿
´
-
¿
µ × Ó Ù Ò Ö Ý º
Á Ò Ó Ö Ö Ø Ó Ú Ö Ó Ö Ó Ù × Ó Ö Ñ Ù Ð Ø Ó Ò Ø Ó Ø × Ò Ø Ù Ø Ú Ó Ò Ô Ø × ¸ Û Ò Ü Ø Ò
7/29/2019 Fre P. Course in General Relativity (Free Version, Lecture Notes, Web Draft, 2003)(141s)_PGr
http://slidepdf.com/reader/full/fre-p-course-in-general-relativity-free-version-lecture-notes-web-draft 39/141
À Ó Ñ Ó Ø Ó Ô Ý ¸ À Ó Ñ Ó Ð Ó Ý Ò Ó Ó Ñ Ó Ð Ó Ý ¿
Ù Ö ½ º ¾ ¾ º Ì × Ù Ñ Ó Ø Ø Ö Ô Ø × -
½
-
¾
-
¿
× Ó Ñ Ó Ð Ó Ð Ð Ý Ø Ö Ú Ð ¸ Ò Ñ Ð Ý -
¾
· -
¿
× Ó Ñ Ó Ð Ó Ó Ù ×
Ø Ó -
½
Ð × Ó Ø Ó Ö Ñ Ò × Ó Ò Ð × Ù Ñ Ò Ó Ð × Ó Ò Ý Ñ Ò Ó Ð Û Ô Ö Ó × Ó Ð Ð Ó Û × º
½ º º ½ À Ó Ñ Ó Ø Ó Ô Ý
Ä Ø Ù × Ó Ñ Ø Ó Ø ¬ Ò Ø Ó Ò ½ º ¿ º ½ Ó Ù Ö Ú ´ Ó Ö Ô Ø µ Ò Ñ Ò Ó Ð Ò × Ð Ø Ð Ý Ò Ö Ð Þ
Ø º
¬ Ò Ø Ó Ò ½ º º ½ º Ä Ø ℄ Ð Ó × Ò Ø Ö Ú Ð Ó Ø Ö Ð Ð Ò Ê Ô Ö Ñ Ø Ö Þ Ý Ø Ô Ö Ñ ¹
Ø Ö Ø Ò × Ù Ú Ø Ò Ø Ó ¬ Ò Ø Ò Ù Ñ Ö Ó Ð Ó × ¸ Ô Ö Ø Ð Ò Ø Ö Ú Ð ×
Ø
½
℄ Ø
½
Ø
¾
℄ Ø
Ò ½
Ø
Ò
℄ Ø
Ò
℄ ´ ½ º º ½ ¿ ½ µ
Ï Ò Ñ Ô ß Û × « Ö Ò Ø Ð Ô Ø Ó Ò Ø Ò Ù Ó Ù × Ñ Ô
- ℄
Å ´ ½ º º ½ ¿ ¾ µ
Ó Ø Ò Ø Ö Ú Ð ℄ Ò Ø Ó « Ö Ò Ø Ð Ñ Ò Ó Ð Å × Ù Ø Ø Ø Ö Ü × Ø × × Ô Ð Ø Ø Ò Ó ℄
Ò Ø Ó ¬ Ò Ø × Ø Ó Ð Ó × × Ù Ò Ø Ö Ú Ð × × Ò Õ º ´ ½ º º ½ ¿ ½ µ Û Ø Ø Ô Ö Ó Ô Ö Ø Ý Ø Ø Ó Ò Ó Ø ×
Ò Ø Ö Ú Ð × Ø Ñ Ô - × Ò Ó Ø Ó Ò Ð Ý Ó Ò Ø Ò Ù Ó Ù × Ù Ø Ð × Ó Ò ¬ Ò Ø Ð Ý « Ö Ò Ø Ð º
Ë Ò Û Ú Ô Ö Ñ Ø Ö Ò Ú Ö Ò Û Ò Ð Û Ý × Ö × Ð Ø Ò Ø Ö Ú Ð ℄ Ò Ö Ù Ø Ø Ó
¼ ½ ℄ Á ´ ½ º º ½ ¿ ¿ µ
Ä Ø
Á Å
Á Å ´ ½ º º ½ ¿ µ
7/29/2019 Fre P. Course in General Relativity (Free Version, Lecture Notes, Web Draft, 2003)(141s)_PGr
http://slidepdf.com/reader/full/fre-p-course-in-general-relativity-free-version-lecture-notes-web-draft 40/141
À Ó Ñ Ó Ø Ó Ô Ý ¸ À Ó Ñ Ó Ð Ó Ý Ò Ó Ó Ñ Ó Ð Ó Ý ¿
Ø Û Ó Ô ß Û × « Ö Ò Ø Ð Ô Ø × Û Ø Ó Ò Ò Ü Ø Ö Ñ ¸ Ò Ñ Ð Ý × Ù Ø Ø ´ × ¬ º ½ º ¾ ¿ µ
´ ¼ µ ´ ¼ µ Ü
¼
¾ Å
´ ½ µ ´ ½ µ Ü
½
¾ Å ´ ½ º º ½ ¿ µ
Ù Ö ½ º ¾ ¿ º Ì Û Ó Ô Ø × Û Ø Ó Ò Ò Ü Ø Ö Ñ
¬ Ò Ø Ó Ò ½ º º ¾ º Ï × Ý Ø Ø × Ó Ñ Ó Ø Ó Ô Ø Ó Ò Û Û Ö Ø
³ Ø Ö Ü × Ø ×
Ó Ò Ø Ò Ù Ó Ù × Ñ Ô
Á ¢ Á Å ´ ½ º º ½ ¿ µ
× Ù Ø Ø
´ × ¼ µ ´ × µ × ¾ Á
´ × ½ µ ´ × µ × ¾ Á
´ ¼ Ø µ Ü
¼
Ø ¾ Á
´ ½ Ø µ Ü
½
Ø ¾ Á
´ ½ º º ½ ¿ µ
Á Ò Ô Ö Ø Ù Ð Ö × Ð Ó × Ô Ø ¸ Ò Ñ Ð Ý Ð Ó Ó Ô Ø Ü
¼
¸ Ò Ñ Ð Ý Ü
¼
Ü
½
Ò Ó Ñ Ó Ø Ó Ô Ø Ó
× Ø Ó Ò × Ø Ò Ø Ð Ó Ó Ô Ø Ø ×
× ¾ Á ´ × µ Ü
¼
´ ½ º º ½ ¿ µ
Ø Ò Û × Ý Ø Ø × Ó Ñ Ó Ø Ó Ô Ð Ð Ý Ø Ö Ú Ð Ò Ø Ø Ø Ò Ó Ò Ø Ö Ø Ø Ó Ô Ó Ò Ø º
Á Ø × Õ Ù Ø Ó Ú Ó Ù × Ø Ø Ø Ó Ñ Ó Ø Ó Ô Ý Ö Ð Ø Ó Ò
³ × Ò Õ Ù Ú Ð Ò Ö Ð Ø Ó Ò º À Ò Û
× Ð Ð Ó Ò × Ö Ø Ó Ñ Ó Ø Ó Ô Ý Ð × × × ℄ Ó Ô Ø × Ö Ó Ñ Ü
¼
Ø Ó Ü
½
7/29/2019 Fre P. Course in General Relativity (Free Version, Lecture Notes, Web Draft, 2003)(141s)_PGr
http://slidepdf.com/reader/full/fre-p-course-in-general-relativity-free-version-lecture-notes-web-draft 41/141
À Ó Ñ Ó Ø Ó Ô Ý ¸ À Ó Ñ Ó Ð Ó Ý Ò Ó Ó Ñ Ó Ð Ó Ý ¼
Ü Ø Û Ò ¬ Ò Ò Ö Ý Ô Ö Ó Ù Ø Ó Ô Ö Ø Ó Ò Ó Ò Ø × Ô Ó Ô Ø × Ò Ø Ó Ð Ð Ó Û Ò Û Ý º
Á × Ô Ø Ö Ó Ñ Ü
¼
Ø Ó Ü
½
Ò × × Ô Ø Ö Ó Ñ Ü
½
Ø Ó Ü
¾
Û Ò ¬ Ò Ô Ø Ö Ó Ñ Ü
¼
Ø Ó Ü
¾
Ø Ö Ú Ð Ò ¬ Ö × Ø Ð Ó Ò Ò Ø Ò Ð Ó Ò º Å Ó Ö Ô Ö × Ð Ý Û × Ø
´ Ø µ
´ ¾ Ø µ ¼ Ø
½
¾
´ ¾ Ø ½ µ
½
¾
Ø ½
´ ½ º º ½ ¿ µ
Ï Ø Û Ò Ñ Ñ Ø Ð Ý Ú Ö Ý Ö Ó Ñ Ø × ¬ Ò Ø Ó Ò × Ø Ø ³
¼
Ò ³
¼
Ø Ò ³
¼
¼
º
Ì Ô Ö Ó Ó × Ñ Ñ Ø Ò Ø × Ð Ø Ø Ó Ø Ö Ö º À Ò Û Ø Ó Ù Ø Ò Ý Ñ Ù Ø Ý Û Ò Ñ Ù Ð Ø Ô Ð Ý
Ø Õ Ù Ú Ð Ò Ð × × Ó Û Ø Ø Õ Ù Ú Ð Ò Ð × × Ó Ð Û Ý × × × Ù Ñ Ò Ø Ø Ø ¬ Ò Ð Ô Ó Ò Ø Ó
Ó Ò × Û Ø Ø Ò Ø Ð Ô Ó Ò Ø Ó º Ê Ð Ý Ò Ó Ò Ø × ¬ Ò Ø Ó Ò × Û Ú Ø Ó Ö Ñ Û ×
Ú Ö Ý × Ý Ø Ó Ô Ö Ó Ú Ù Ø × Ò Ó Ù Ø × Ø Ò Ò Ö Ð Ú Ò
Ì Ó Ö Ñ ½ º º ½ º Ä Ø
½
´ Å Ü
¼
µ Ø × Ø Ó Ó Ñ Ó Ø Ó Ô Ý Ð × × × Ó Ð Ó Ó Ô × Ò Ø Ñ Ò Ó Ð Å
Û Ø × Ò Ø Ô Ó Ò Ø Ü
¼
¾ Å º Á Ø Ô Ö Ó Ù Ø Ð Û Ó Ô Ø × × ¬ Ò × Û Ù × Ø Ü Ô Ð Ò Ó Ú ¸
Ø Ò Û Ø Ö × Ô Ø Ø Ó Ø × Ó Ô Ö Ø Ó Ò
½
´ Å Ü
¼
µ × Ö Ó Ù Ô Û Ó × Ò Ø Ø Ý Ð Ñ Ò Ø × Ô Ö Ó Ú Ý
Ø Ó Ñ Ó Ø Ó Ô Ý Ð × × Ó Ø Ó Ò × Ø Ò Ø Ð Ó Ó Ô Ø Ü
¼
Ò Ø Ò Ú Ö × Ó Ø Ó Ñ Ó Ø Ó Ô Ý Ð × × ℄ × Ø
Ó Ñ Ó Ø Ó Ô Ý Ð × × Ó Ø Ð Ó Ó Ô
½
¬ Ò Ý
½
´ Ø µ ´ ½ Ø µ ¼ Ø ½ ´ ½ º º ½ ¼ µ
´ Á Ò Ó Ø Ö Û Ó Ö ×
½
× Ø × Ñ Ô Ø Ó Ð Ð Ó Û Û Ö µ
È Ö Ó Ó ½ º º ½ º ½ º Ð Ö Ð Ý Ø Ó Ñ Ô Ó × Ø Ó Ò Ó Ð Ó Ó Ô Û Ø Ø Ó Ò × Ø Ò Ø Ð Ó Ó Ô ´ Ö Ó Ñ Ò Ó Û Ó Ò Ò Ó Ø
× Ü
¼
µ Ý Ð × º À Ò Ü
¼
× « Ø Ú Ð Ý Ø Ò Ø Ø Ý Ð Ñ Ò Ø Ó Ø Ö Ó Ù Ô º Ï × Ø Ð Ð Ú Ø Ó × Ó Û
Ø Ø
½
³ Ü
¼
º Ì Ü Ô Ð Ø Ö Ð Þ Ø Ó Ò Ó Ø Ö Õ Ù Ö Ó Ñ Ó Ø Ó Ô Ý × Ô Ö Ó Ú Ý Ø Ó Ð Ð Ó Û Ò
Ù Ò Ø Ó Ò
´ × Ø µ
´ ¾ × µ ¼ ¾ × Ø
´ Ø µ Ø ¾ × ¾ Ø
½
´ ¾ × ½ µ ¾ Ø ¾ × ¾
´ ½ º º ½ ½ µ
Ä Ø Ù × Ó × Ö Ú Ø Ø Ú Ò ¬ Ò × Ó Ú Û Ú
´ × ¼ µ ´ ¼ µ Ü
¼
× ¾ Á
´ × ½ µ
´ ¾ × µ ¼ ×
½
¾
½
´ ¾ ×
½ µ
½
¾
×
½
´ ½ º º ½ ¾ µ
Ò Ù Ö Ø Ö Ñ Ó Ö
´ ¼ Ø µ ´ ¼ µ Ü
¼
Ø ¾ Á
´ ½ Ø µ
̈
½
´ ½ µ Ü
¼
Ø ¾ Á ´ ½ º º ½ ¿ µ
Ì Ö Ó Ö Ø × × Ù Æ Ò Ø Ø Ó Ø Ø ´ × Ø µ × Ó Ò Ø Ò Ù Ó Ù × º Ú Ò Ø × Õ Ù Ö ¼ ½ ℄ ¢ ¼ ½ ℄ Ò Ø Ó
Ø Ö Ø Ö Ò Ð × × Ò ¬ º ½ º ¾ Û × Ø Ø ´ × Ø µ × Ó Ò Ø Ò Ù Ó Ù × Ò Ó Ø Ø Ö Ò Ð × Ò Ø Ø ×
Ó Ò × × Ø Ò Ø Ð Ý Ð Ù Ó Ò Ø × × Ó Ø Ø Ö Ò Ð × º À Ò × ¬ Ò Ò Õ º ´ ½ º º ½ ½ µ × Ó Ò Ø Ò Ù Ó Ù × º
Ì × Ó Ò Ð Ù × Ø Ô Ö Ó Ó Ó Ø Ø Ó Ö Ñ ¤
Ì Ó Ö Ñ ½ º º ¾ º Ä Ø « Ô Ø Ö Ó Ñ Ü
¼
Ø Ó Ü
½
º Ì Ò
℄
«
¢
«
½
«
£
´ ½ º º ½ µ
7/29/2019 Fre P. Course in General Relativity (Free Version, Lecture Notes, Web Draft, 2003)(141s)_PGr
http://slidepdf.com/reader/full/fre-p-course-in-general-relativity-free-version-lecture-notes-web-draft 42/141
À Ó Ñ Ó Ø Ó Ô Ý ¸ À Ó Ñ Ó Ð Ó Ý Ò Ó Ó Ñ Ó Ð Ó Ý ½
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¼
½
½
¾ × Ø ¾ Ø ¾ × ¾
Ø ¾ × ¾ Ø
Ø
×
Ù Ö ½ º ¾ º
× Ò × Ó Ñ Ó Ö Ô × Ñ Ó
½
´ Å Ü
¼
µ Ò Ø Ó
½
´ Å Ü
½
µ
È Ö Ó Ó ½ º º ¾ º ½ º Á Ò ¸ × Ò
℄
¢
«
½
«
£ ¢
«
½
«
£
¢
«
½
«
£
´ ½ º º ½ µ
Û × Ø Ø
«
× Ó Ñ Ó Ñ Ó Ö Ô × Ñ º Ë Ò Ð × Ó Ø Ò Ú Ö ×
«
½
Ó × Ü × Ø ¸ Ø Ò Ø Ó Ñ Ó Ñ Ó Ö ¹
Ô × Ñ × Ø Ù Ð Ð Ý Ò × Ó Ñ Ó Ö Ô × Ñ º ¤
Ö Ó Ñ Ø × Ø Ó Ö Ñ Ø Ó Ð Ð Ó Û × Ø Ø Ò Ö ß Û × Ó Ò Ò Ø Ñ Ò Ó Ð ¸ Ò Ñ Ð Ý Ò Ñ Ò Ó Ð Û Ö
Ú Ö Ý Ô Ó Ò Ø × Ó Ò Ò Ø Ø Ó Ò Ý Ó Ø Ö Ý Ø Ð × Ø Ó Ò Ô ß Û × « Ö Ò Ø Ð Ô Ø ¸ Ø Ö Ó Ù Ô
½
´ Å Ü
¼
µ × Ò Ô Ò Ò Ø Ö Ó Ñ Ø Ó Ó Ø × Ô Ó Ò Ø Ü
¼
Ò Û Ò Ð Ð Ø × Ñ Ô Ð Ý
½
´ Å µ º
Ì Ö Ó Ù Ô
½
´ Å µ × Ò Ñ Ø ¬ Ö × Ø Ó Ñ Ó Ø Ó Ô Ý Ö Ó Ù Ô Ó Ø Ñ Ò Ó Ð Ó Ö × Ñ Ô Ð Ý Ø Ù Ò Ñ Ò Ø Ð
Ö Ó Ù Ô Ó Å º
¬ Ò Ø Ó Ò ½ º º ¿ º « Ö Ò Ø Ð Ñ Ò Ó Ð Å Û × Ö ß Û × Ó Ò Ò Ø × Ò Ñ × Ñ Ô Ð Ý
Ó Ò Ò Ø Ø × Ù Ò Ñ Ò Ø Ð Ö Ó Ù Ô
½
´ Å µ × Ø Ø Ö Ú Ð Ö Ó Ù Ô Ó Ñ Ô Ó × Ó Ò Ð Ý Ý Ø Ò Ø Ø Ý
Ð Ñ Ò Ø º
½
´ Å µ ¸ Å × Ñ Ô Ð Ý Ó Ò Ò Ø ´ ½ º º ½ µ
7/29/2019 Fre P. Course in General Relativity (Free Version, Lecture Notes, Web Draft, 2003)(141s)_PGr
http://slidepdf.com/reader/full/fre-p-course-in-general-relativity-free-version-lecture-notes-web-draft 43/141
À Ó Ñ Ó Ø Ó Ô Ý ¸ À Ó Ñ Ó Ð Ó Ý Ò Ó Ó Ñ Ó Ð Ó Ý ¾
½ º º ¾ À Ó Ñ Ó Ð Ó Ý
Ì Ò Ó Ø Ó Ò Ó Ó Ñ Ó Ø Ó Ô Ý Ð Ù × Ø Ó Ò Ø Ö Ó Ù Ò Ò Ø Ö Ò Ð Ó Ñ Ô Ó × Ø Ó Ò Ö Ó Ù Ô Ó Ö Ô Ø × ¸ Ø Ù Ò ¹
Ñ Ò Ø Ð Ö Ó Ù Ô
½
´ Å µ ¸ Û Ó × × Ø Ö Ù Ø Ù Ö × Ø Ó Ô Ó Ð Ó Ð Ò Ú Ö Ò Ø Ó Ø Ñ Ò Ó Ð Å ¸ × Ò
Ø Ó × Ò Ó Ø Ò Ù Ò Ö Ó Ò Ø Ò Ù Ó Ù × Ó Ö Ñ Ø Ó Ò × Ó Ø Ð Ø Ø Ö º Ó Ö Ø × Ö Ó Ù Ô Û Ú Ù ×
Ñ Ù Ð Ø Ô Ð Ø Ú Ò Ó Ø Ø Ó Ò × × Ò Ò Ó Ø Ò Ù Ö Ò Ø × Ô Ö Ó Ö Ø Ø Ø × Ó Ù Ð Ð Ò º Ò Ö Ð Ð Ý
Ø Ù Ò Ñ Ò Ø Ð Ó Ñ Ó Ø Ó Ô Ý Ö Ó Ù Ô Ó Ñ Ò Ó Ð × Ò Ó Ò Ð Ò º × Ñ Ò Ø Ó Ò Ó Ú Ø Ö Ö
Ö Ó Ñ Ó Ø Ó Ô Ý Ö Ó Ù Ô ×
Ò
´
Å µ Û Ó × Ð Ñ Ò Ø × Ö Ø Ó Ñ Ó Ø Ó Ô Ý Ð × × × Ó Ë
Ò
× Ô Ö × Ö Û Ò
Ó Ò Ø Ñ Ò Ó Ð º
Á Ò Ø × × Ø Ó Ò Û Ø Ù Ö Ò Ó Ù Ö Ø Ø Ò Ø Ó Ò Ø Ó Ò Ó Ø Ö × Ö × Ó Ö Ó Ù Ô × Ø Ø Ð × Ó Ó Ý Ø Ó Ô Ó Ð Ó Ð
Ô Ö Ó Ô Ö Ø × Ó Ø Ñ Ò Ó Ð Ò Ö Ó Ò Ø Ó Ò Ø Ö Ö Ý Ð Ð Ð Ò º Ì × Ö Ø Ó Ñ Ó Ð Ó Ý Ö Ó Ù Ô ×
À
´ Å µ ¼ ½ ¾ Ñ ´ Å µ ´ ½ º º ½ µ
Ï Ò Ö × Ô Ø Ò Ó Ø Ó Ò Ó Ó Ñ Ó Ð Ó Ý Û Ô Ö × Ù Ó Ù Ö × Ð Ú × Ø Ø Ø Ñ × × Ò × Ø Ó Ó Ò × Ö
Ð Ò Ö Ó Ñ Ò Ø Ó Ò × Ó × Ù Ñ Ò Ó Ð × Ó Ö Ö Ó Ò × Ó Ñ Ò × Ó Ò Ô Ó Ñ Ò Ó Ð Å ¸ Û Ø Ó Æ Ò Ø ×
Ò Ö Ò Ê Ø Ø Ò Ø Ö ¸ Ó Ö Ê Ó Ö ¸ × Ó Ñ Ø Ñ ×
Ò
º Ì Ö × Ó Ò × Ø Ø Ø × Ù Ñ Ò Ó Ð ×
Ó Ñ Ò × Ó Ò Ô Ö Ù × Ø ¬ Ø Ø Ó Ò Ø Ö Ø Ô ß « Ö Ò Ø Ð Ó Ö Ñ × Ó Ú Ö Ø Ñ º Ì × Ø Ð Ð Ó Û × Ø Ó Ú
Ñ Ò Ò Ø Ó Ò Ü Ô Ö × × Ó Ò Ó Ø Ó Ð Ð Ó Û Ò Ó Ö Ñ
´ Ô µ
Ñ
½
Ë
´ Ô µ
½
· Ñ
¾
Ë
´ Ô µ
¾
· · Ñ
Ë
´ Ô µ
´ ½ º º ½ µ
Û Ö Ë
´ Ô µ
Å Ö × Ù Ø Ð Ô ß Ñ Ò × Ó Ò Ð × Ù Ñ Ò Ó Ð × Ó Ø Ñ Ò Ó Ð Å ¸ Ð Ø Ö Ó Ò Ð Ð
× Ñ Ô Ð Ü × ¸ Ò Ñ
¾ Ê Ö Ð Ñ Ò Ø × Ó Ø Ó × Ò Ö Ò Ó Ó Æ Ò Ø × º Ï Ø Û × Ý × Ø Ñ Ø Ð Ð Ý
Ó × Ø Ó Ð Ð Ó Û Ò º Ó Ö « Ö Ò Ø Ð Ô ß Ó Ö Ñ
´ Ô µ
¾ £
Ô
´ Å µ Û × Ø
´ Ô µ
´ Ô µ
Ñ
½
Ë
´ Ô µ
½
· Ñ
¾
Ë
´ Ô µ
¾
· · Ñ
Ë
´ Ô µ
´ Ô µ
´ Ô µ
½
Ñ
Ë
´ Ô µ
´ Ô µ
´ ½ º º ½ µ
Ò Ò Ø × Û ¬ Ò Ø Ò Ø Ö Ð Ó
´ Ô µ
Ó Ò Ø Ö Ó Ò
´ Ô µ
º Ü Ø Ð Ø Ù × Ú Ø Ô Ö × ¬ Ò Ø Ó Ò
Ó Ø Ô ß × Ñ Ô Ð Ü × Ó Û Û Û Ò Ø Ø Ó Ø Ð Ò Ö Ó Ñ Ò Ø Ó Ò × º
¬ Ò Ø Ó Ò ½ º º º Ä Ø Ù × Ó Ò × Ö Ø Ù Ð Ò × Ô Ê
Ô · ½
º Ì × Ø Ò Ö Ô ¹ × Ñ Ô Ð Ü ¡
Ô
×
Ø × Ø Ó Ð Ð Ô Ó Ò Ø × Ø
¼
Ø
½
Ø
Ô
¾ Ê
Ô · ½
× Ù Ø Ø Ø Ó Ð Ð Ó Û Ò Ó Ò Ø Ó Ò × Ö × Ø × ¬
Ø
¼ Ø
¼
· Ø
½
· · Ø
Ô
½ ´ ½ º º ½ ¼ µ
Á Ø × Ù × Ø × Ý Ø Ó × Ø Ø Ø × Ø Ò Ö ¼ ¹ × Ñ Ô Ð Ü × Ô Ó Ò Ø ¸ × Ñ Ô Ð Ü Ù × Ò Ñ Ð Ý Ø
¼
½ ¸ Ø × Ø Ò Ö
½ ¹ × Ñ Ô Ð Ü × × Ñ Ò Ø Ó Ð Ò ¸ Ø × Ø Ò Ö ¾ ¹ × Ñ Ô Ð Ü × Ø Ö Ò Ð ¸ Ø × Ø Ò Ö ¿ ß × Ñ Ô Ð Ü ×
Ø Ø Ö Ö Ó Ò Ò × Ó Ó Ò ´ × ¬ º ½ º ¾ µ º
Ä Ø Ù × Ò Ó Û Ó Ò × Ö Ø × Ø Ò Ö ´ Ô ½ µ ¹ × Ñ Ô Ð Ü ¡
´ Ô ½ µ
Ò Ð Ø Ù × Ó × Ö Ú Ø Ø Ø Ö Ö
´ Ô · ½ µ Ò Ó Ò Ð Ñ Ô ×
Ø Ø Ñ Ô ¡
´ Ô ½ µ
Ò Ø Ó ¡
Ô
¡
´ Ô ½ µ
¡
Ô
´ ½ º º ½ ½ µ
Ì × Ñ Ô × Ö ¬ Ò × Ó Ð Ð Ó Û ×
´ Ô µ
´ Ø
¼
Ø
½
Ø
· ½
Ø
Ô
µ ´ Ø
¼
Ø
½
¼ Ø
· ½
Ø
Ô
µ ´ ½ º º ½ ¾ µ
7/29/2019 Fre P. Course in General Relativity (Free Version, Lecture Notes, Web Draft, 2003)(141s)_PGr
http://slidepdf.com/reader/full/fre-p-course-in-general-relativity-free-version-lecture-notes-web-draft 44/141
À Ó Ñ Ó Ø Ó Ô Ý ¸ À Ó Ñ Ó Ð Ó Ý Ò Ó Ó Ñ Ó Ð Ó Ý ¿
Ù Ö ½ º ¾ º Ì × Ø Ò Ö Ô ¹ × Ñ Ô Ð Ü × Ó Ö Ô ¼ ½ ¾
¬ Ò Ø Ó Ò ½ º º º Ì Ô · ½ × Ø Ò Ö × Ñ Ô Ð Ü × ¡
Ô ½
Ñ Ñ Ö × Ò Ø × Ø Ò Ö Ô ¹ × Ñ Ô Ð Ü ¡
Ô
Ý Ñ Ò × Ó Ø Ô · ½ Ñ Ô × Ó Õ º ´ ½ º º ½ ¾ µ Ö Ò Ñ Ø × Ó ¡
Ô
Ò Ø Ò Ü Ò Ù Ñ Ö Ø ×
Ø Ñ º À Ò Ø Ñ Ô
´ Ô µ
Ý Ð × ¸ × Ö × Ù Ð Ø ¸ Ø ¹ Ø Ó Ø × Ø Ò Ö Ô ¹ × Ñ Ô Ð Ü
Ó Ö Ò × Ø Ò Ø Ø Û Ó × Ó Ø × Ø Ò Ö ½ ¹ × Ñ Ô Ð Ü Ö Ø Ø Û Ó Ô Ó Ò Ø × ´ Ø
¼
¼ Ø
½
½ µ Ò
´ Ø
¼
½ Ø
½
¼ µ × × Ó Û Ò × Ò ¬ º ½ º ¾ º
Ë Ñ Ð Ö Ð Ý Ø Ø Ö × Ñ Ò Ø × ´ Ø
¼
¼ Ø
½
Ø Ø
¾
½ Ø µ ¸ ´ Ø
¼
Ø Ø
½
¼ Ø
¾
½ Ø µ Ò
´ Ø
¼
Ø Ø
½
½ Ø Ø
¾
¼ µ Ö Ø Ø Ö × Ó Ø × Ø Ò Ö ¾ ¹ × Ñ Ô Ð Ü ´ × ¬ º ½ º ¾ µ º
¬ Ò Ø Ó Ò ½ º º º Ä Ø Å « Ö Ò Ø Ð Ñ Ò Ó Ð Ó Ñ Ò × Ó Ò Ñ º Ó Ò Ø Ò Ù Ó Ù × Ñ Ô
´ Ô µ
¡
´ Ô µ
Å ´ ½ º º ½ ¿ µ
Ó Ø × Ø Ò Ö Ô ¹ × Ñ Ô Ð Ü Ò Ø Ó Ø Ñ Ò Ó Ð × Ò Ñ × Ò Ù Ð Ö Ô ¹ × Ñ Ô Ð Ü Ó Ö × Ñ Ô Ð Ý × Ñ Ô Ð Ü
Ó Å
7/29/2019 Fre P. Course in General Relativity (Free Version, Lecture Notes, Web Draft, 2003)(141s)_PGr
http://slidepdf.com/reader/full/fre-p-course-in-general-relativity-free-version-lecture-notes-web-draft 45/141
À Ó Ñ Ó Ø Ó Ô Ý ¸ À Ó Ñ Ó Ð Ó Ý Ò Ó Ó Ñ Ó Ð Ó Ý
Ù Ö ½ º ¾ º Ì × Ó Ø × Ø Ò Ö ½ ¹ × Ñ Ô Ð Ü
Ù Ö ½ º ¾ º Ì × Ó Ø × Ø Ò Ö ¾ ¹ × Ñ Ô Ð Ü
Ð Ö Ð Ý ½ ß × Ñ Ô Ð Ü × Ó Ò Ø Ò Ù Ó Ù × Ô Ø Ò Å ¸ ¾ ß × Ñ Ô Ð Ü × Ô Ó Ö Ø Ó Ò Ó × Ù Ö Ñ Ñ Ö ×
Å Ò × Ó Ó Ò º Ì ß Ø Ó Ø × Ñ Ô Ð Ü
´ Ô µ
× Ú Ò Ý Ø ´ Ô ½ µ ¹ × Ñ Ô Ð Ü Ó Ø Ò Ý
Ó Ñ Ô Ó × Ò
´ Ô µ
Û Ø
´ Ô µ
Æ
¡
´ Ô ½ µ
Å ´ ½ º º ½ µ
Ä Ø Ê Ó Ñ Ñ Ù Ø Ø Ú Ö Ò º
¬ Ò Ø Ó Ò ½ º º º Ä Ø
Å Ñ Ò Ó Ð Ó Ñ Ò × Ó Ò Ñ º Ó Ö ¼
Ò
Ñ Ø Ö Ó Ù Ô
Ó Ò ¹ Ò × Û Ø Ó Æ Ò Ø × Ò Ê ¸ Ò Ñ ´ Å Ê µ ¸ × ¬ Ò × Ø Ö Ê ¹ Ñ Ó Ù Ð Ú Ò
7/29/2019 Fre P. Course in General Relativity (Free Version, Lecture Notes, Web Draft, 2003)(141s)_PGr
http://slidepdf.com/reader/full/fre-p-course-in-general-relativity-free-version-lecture-notes-web-draft 46/141
À Ó Ñ Ó Ø Ó Ô Ý ¸ À Ó Ñ Ó Ð Ó Ý Ò Ó Ó Ñ Ó Ð Ó Ý
Ò Ö Ø Ó Ö Ó Ö Ò ß × Ñ Ô Ð Ü Ò
Å
Á Ò × Ñ Ô Ð Û Ó Ö × Ø ¬ Ò Ø Ó Ò ½ º º × Ø Ø × Ø Ø
Ô
´ Å Ê µ × Ø × Ø Ó Ð Ð Ô Ó × × Ð Ð Ò Ö Ó Ñ ¹
Ò Ø Ó Ò Ó Ô ¹ × Ñ Ô Ð Ü × Û Ø Ó Æ Ò Ø × Ò Ê
´ Ô µ
Ñ
½
Ë
´ Ô µ
½
· Ñ
¾
Ë
´ Ô µ
¾
· Ñ
Ë
´ Ô µ
´ ½ º º ½ µ
Û Ö Ñ
¾ Ê º Ì Ð Ñ Ò Ø × Ó
Ô
´ Å Ê µ Ö Ò Ñ Ô ¹ Ò × º
Ì Ó Ò Ô Ø Ó Ô ß Ò × Ú × Ö Ó Ö Ó Ù × Ñ Ò Ò Ø Ó Ø Ò Ø Ù Ø Ú Ø Ø Ò Ý Ô ß Ñ Ò × Ó Ò Ð
Ö Ó Ò Ó Ñ Ò Ó Ð Ò Ó Ò × Ø Ö Ù Ø Ý Ð Ù Ò Ø Ó Ø Ö Ö Ø Ò Ò Ù Ñ Ö Ó × Ñ Ô Ð Ü × º Ó Ö
Ò × Ø Ò Ô Ø - Ò Ó Ò × Ø Ö Ù Ø Ð Ù Ò Ø Ó Ø Ö ¬ Ò Ø Ò Ù Ñ Ö Ó × Ñ Ò Ø × ´ Ø Ø Ö Ø Ö
Ó Ñ Ó Ñ Ó Ö Ô Ñ × µ º Á Ò Ø × Ô ¾ ¸ Ø Ó Ò × Ø Ö Ù Ø Ó Ò Ó Ø Û Ó ß Ñ Ò × Ó Ò Ð Ö Ó Ò Ý Ñ Ò ×
Ó ¾ ß × Ñ Ô Ð Ü × Ó Ö Ö × Ô Ó Ò × Ø Ó Ø Ö Ò Ù Ð Ø Ó Ò Ó × Ù Ö º
× Ò Ü Ñ Ô Ð Ó Ò × Ö Ø × Û Ö Ø Ñ Ò Ó Ð Û Ð Û Ø × Ù × Ø Ø Ó Ñ Ô Ð Ü Ô Ð Ò
Å Ò Ð Ø Ù × Ó Ù × Ó Ò Ø ¾ ß × Ñ Ô Ð Ü × Ö Û Ò Ò ¬ º ½ º ¾ º
Ù Ö ½ º ¾ º Ë
´ ¾ µ
½
Ò Ë
´ ¾ µ
¾
Ö Ø Û Ó × Ø Ò Ø ¾ ß × Ñ Ô Ð Ü × ¸ Ò Ñ Ð Ý Ø Û Ó Ø Ö Ò Ð × Û Ø Ú Ö Ø × Ö × Ô Ø Ú Ð Ý
Ú Ò Ý ´
¼
½
¾
µ Ò
¼
½
¾
º Ì ¾ ¹ × Ñ Ô Ð Ü Ë
´ ¾ µ
¿
Û Ø Ú Ö Ø ×
¼
½
¾
× Ø Ò Ø Ö × Ø Ó Ò Ó
Ø Ó Ø Ö Ø Û Ó Ë
´ ¾ µ
¿
Ë
´ ¾ µ
½
Ì
Ë
´ ¾ µ
¾
Ì Ò
´ ¾ µ
Ë
´ ¾ µ
½
· Ë
´ ¾ µ
¾
´ ½ º º ½ µ
Ò Ó Ø × Ø Ö Ó Ò Ó Ø Ó Ñ Ô Ð Ü Ô Ð Ò Ô Ø Ò ¬ º ½ º ¾ ¸ Û Ø Ø Ô Ö Ó Ú × Ó Ø Ø Û Ò Û
Ó Ñ Ô Ù Ø Ø Ò Ø Ö Ð Ó Ò Ý ¾ ß Ó Ö Ñ Ó Ò
´ ¾ µ
Ø Ó Ò Ø Ö Ù Ø Ó Ò Ö Ó Ñ Ø × Ñ Ô Ð Ü Ë
´ ¾ µ
¿
Ë
´ ¾ µ
½
Ì
Ë
´ ¾ µ
¾
´ Ø × Ó Û Ö Ò ¬ º ½ º ¾ µ × Ø Ó Ó Ù Ò Ø Ø Û × Ò Ø Ð Ó Ò × Ó Ø Ø Ó Ë
´ ¾ µ
½
Ò Ø Ó Ë
´ ¾ µ
¾
º
Ê Ð Ý Ò Ó Ò Ø × Ò Ó Ø Ó Ò × Û Ò Ò Ø Ö Ó Ù Ø Ó Ù Ò Ö Ý Ó Ô Ö Ø Ó Ö º
7/29/2019 Fre P. Course in General Relativity (Free Version, Lecture Notes, Web Draft, 2003)(141s)_PGr
http://slidepdf.com/reader/full/fre-p-course-in-general-relativity-free-version-lecture-notes-web-draft 47/141
À Ó Ñ Ó Ø Ó Ô Ý ¸ À Ó Ñ Ó Ð Ó Ý Ò Ó Ó Ñ Ó Ð Ó Ý
Ù Ö ½ º ¾ º Ó Ñ Ø Ö Ð Ð Ý Ø Ò Ë
´ ¾ µ
½
· Ë
´ ¾ µ
¾
× Ø Ù Ò Ó Ò Ó Ø Ø Û Ó × Ñ Ô Ð Ü × Ë
´ ¾ µ
½
Ë
Ë
´ ¾ µ
¾
¬ Ò Ø Ó Ò ½ º º º Ì Ó Ù Ò Ö Ý Ó Ô Ö Ø Ó Ö × Ø Ñ Ô
Ò
´ Å Ê µ
Ò ½
´ Å Ê µ ´ ½ º º ½ µ
¬ Ò Ý Ø Ó Ð Ð Ó Û Ò Ô Ö Ó Ô Ö Ø ×
´ µ Ê ¹ Ð Ò Ö Ø Ý
´ Ô µ
½
´ Ô µ
¾
¾
Ô
´ Å Ê µ Ñ
½
Ñ
¾
¾ Ê
Ñ
½
´ Ô µ
½
· Ñ
¾
´ Ô µ
¾
Ñ
½
´ Ô µ
½
· Ñ
¾
´ Ô µ
¾
´ ½ º º ½ µ
´ µ Ø Ó Ò Ó Ò Ø × Ñ Ô Ð Ü ×
Æ
¼
Æ
½
· Æ
½
Ô
½
´ µ
Æ
´ ½ º º ½ µ
Ì Ñ Ó Ò Ø Ö Ó Ù ¸ Ò Ñ Ð Ý ¸ × Ð Ð Ø Ó Ù Ò Ö Ý Ó Ø Ò º
× Ò Ü Ö × Û Ò Ó Ñ Ô Ù Ø Ø Ó Ù Ò Ö Ý Ó Ø ¾ ß Ò
´ ¾ µ
Ë
´ ¾ µ
½
· Ë
´ ¾ µ
¾
Ó ¬ º ½ º ¾ ¸
Û Ø Ø Ù Ò Ö × Ø Ò Ò Ø Ø Ø Ö Ð Ú Ò Ø Ö Ò × ¸ Ò Ø × × º Ï Ú
´ ¾ µ
Ë
´ ¾ µ
½
· Ë
´ ¾ µ
¾
½
¾
¼
¾
·
¼
½
·
½
¾
¼
¾
·
½
¾
´ ½ º º ½ ¼ µ
Û Ö
½
¾
Ò Ó Ø Ø Ó Ö Ò Ø × Ñ Ò Ø × Ö Ó Ñ
½
Ø Ó
¾
Ò × Ó Ó Ò º × Ó Ò × × Ø Ò
Ò × Ò × Ò Ø Ö Ô Ö Ø × Ø Ò Ó Ó Ö Ò Ø Ø Ó Ò ´ Û × Ø Ó Ö Ö Ø Ò Ø Ö Ô Ö Ø Ø Ó Ò Ó Ò Ø Ò ×
7/29/2019 Fre P. Course in General Relativity (Free Version, Lecture Notes, Web Draft, 2003)(141s)_PGr
http://slidepdf.com/reader/full/fre-p-course-in-general-relativity-free-version-lecture-notes-web-draft 48/141
À Ó Ñ Ó Ø Ó Ô Ý ¸ À Ó Ñ Ó Ð Ó Ý Ò Ó Ó Ñ Ó Ð Ó Ý
Ó Ø Ò Ò Ó Ø × Ó Ù Ò Ö Ý × Ø × Ù Ô Ô Ó Ö Ø Ó Ò Ò Ø Ö Ð µ º Ï Ø Ø × Ó Ò Ú Ò Ø Ó Ò Ø ½ ß Ò
½
¾
¼
¾
·
¼
½
½
¾
·
¾
¼
·
¼
½
´ ½ º º ½ ½ µ
× Ù × Ø Ø Ó Ö Ò Ø Ó Ù Ò Ö Ý Ó Ø Ë
´ ¾ µ
½
¹ × Ñ Ô Ð Ü × × Ó Û Ò Ò ¬ º ½ º ¿ ¼ º
Ù Ö ½ º ¿ ¼ º Ì Ó Ö Ò Ø Ó Ù Ò Ö Ý Ó Ø Ë
´ ¾ µ
× Ý Ñ Ô Ð Ü º
Ì Ó Ö Ñ ½ º º ¿ º Ì Ó Ù Ò Ö Ý Ó Ô Ö Ø Ó Ö × Ò Ð Ô Ó Ø Ò Ø ¸ Ò Ñ Ð Ý Ø × Ø Ö Ù Ø Ø
¾
Æ ¼ ´ ½ º º ½ ¾ µ
È Ö Ó Ó ½ º º ¿ º ½ º Á Ø × × Ù Æ Ò Ø Ø Ó Ó × Ö Ú Ø Ø ¸ × Ó Ò × Õ Ù Ò Ó Ø Ö Ó Û Ò ¬ Ò Ø Ó Ò ¸ Ø Ñ Ô ×
¬ Ò Ò Õ º ´ ½ º º ½ ¾ µ Ú Ø Ó Ð Ð Ó Û Ò Ô Ö Ó Ô Ö Ø Ý
´ Ô µ
Æ
´ Ô ½ µ
´ Ô µ
Æ
´ Ô ½ µ
½
´ ½ º º ½ ¿ µ
Ì Ò ¸ Ó Ö Ø Ô ß × Ñ Ô Ð Ü Û Ú
Ô
¼
´
µ
Æ
Æ
℄
Ô
¼
Ô ½
¼
´ µ
´ µ
Æ
´ Ô µ
Æ
´ Ô ½ µ
Ô
½
´
µ
·
Æ
´ Ô µ
Æ
´ Ô ½ µ
½
·
Ô ½
¼
´ Ô µ
Æ
´ Ô ½ µ
´ ½ º º ½ µ
7/29/2019 Fre P. Course in General Relativity (Free Version, Lecture Notes, Web Draft, 2003)(141s)_PGr
http://slidepdf.com/reader/full/fre-p-course-in-general-relativity-free-version-lecture-notes-web-draft 49/141
À Ó Ñ Ó Ø Ó Ô Ý ¸ À Ó Ñ Ó Ð Ó Ý Ò Ó Ó Ñ Ó Ð Ó Ý
Ï Ò Ú Ö Ý Ø Ø Ú Ö Ý Ø Ò Ò Ø Ð × Ø Ð Ò Ó Õ º ´ ½ º º ½ µ Ò Ð × Ò Ø Ð Ð Ý Ò Ø × Ô Ö Ó Ú ×
Ø Ø Ó Ö Ñ º ¤
× Ò Ð Ð Ù × Ø Ö Ø Ó Ò Û Ò Ð Ù Ð Ø Ë
´ ¾ µ
½
Ó Ö Ø ¾ ß × Ñ Ô Ð Ü Ë
´ ¾ µ
½
× Ö Ò ¬ º ½ º ¾ º Ï Ó Ø Ò
Ë
´ ¾ µ
½
¾
½
¾
·
¼
·
½
¼
¼ ´ ½ º º ½ µ
Ì Ò Ð Ô Ó Ø Ò Ý Ó Ø Ó Ù Ò Ö Ý Ó Ô Ö Ø Ó Ö Ø Ø Ø × Ó Ò Ø Ò × × Ø Ó Ù Ò Ø Ö Ô Ö Ø Ó Ø
Ò Ð Ô Ó Ø Ò Ý Ó Ø Ü Ø Ö Ó Ö Ö Ú Ø Ú Ø Ø Ø × Ó Ò « Ö Ò Ø Ð Ó Ö Ñ × × Ü Ô Ð Ò Ò × Ø Ó Ò ½ º º º
Ó Ò × Ö ¬ º ½ º ¿ ½ º × Ó Ò × × Ø × Õ Ù Ò Ó Ø Ú Ø Ó Ö × Ô ×
Ñ
Ó Ñ ß Ò × Ò Ô Ù Ø Ò Ø Ó
Ó Ö Ö × Ô Ó Ò Ò Û Ø Ø × Õ Ù Ò Ó Ú Ø Ó Ö × Ô × £
Ñ
Ó « Ö Ò Ø Ð Ñ ß Ó Ö Ñ × º
Ù Ö ½ º ¿ ½ º À Ó Ñ Ó Ð Ó Ý Ú Ö × Ù × Ó Ó Ñ Ó Ð Ó Ý Ö Ó Ù Ô × º
Ì Ó Ô Ö Ø Ó Ö
½
´ ½ º º ½ µ
Ñ × Ý Ó Ù Ø Ó Ø Ö Ú Ð Ó Ò Ø × Õ Ù Ò Ö Ó Ñ Ð Ø Ø Ó Ö Ø ¸ Û Ð Ø Ü Ø Ö Ó Ö Ö Ú Ø Ú Ó Ô Ö Ø Ó Ö
£
£
½
´ ½ º º ½ µ
Ù × × Ý Ó Ù Ø Ó Ø Ö Ú Ð Ð Ó Ò Ø × Ñ × Õ Ù Ò Ò Ø Ó Ô Ô Ó × Ø Ö Ø Ó Ò Ö Ó Ñ Ö Ø Ø Ó Ð Ø º Ó Ø
Ò Ö Ò Ð Ô Ó Ø Ò Ø Ñ Ô × º
½ º º ¿ À Ó Ñ Ó Ð Ó Ý Ò Ó Ó Ñ Ó Ð Ó Ý Ö Ó Ù Ô × Ò Ö Ð Ó Ò × Ø Ö Ù Ø Ó Ò
Ä Ø Ð Ò Ö Ñ Ô Ø Û Ò Ú Ø Ó Ö × Ô × º Ï ¬ Ò Ö Ò Ð Ó Ò Û Ò Ó Ø
Ö Ø × Ù × Ô Ó Û Ó × Ð Ñ Ò Ø × Ú Ø Ô Ö Ó Ô Ö Ø Ý Ó Ò Ñ Ô Ô Ò Ø Ó ¼ ¾ Ý
Ö Ü ¾ ´ Ü µ ¼ ¾ ´ ½ º º ½ µ
7/29/2019 Fre P. Course in General Relativity (Free Version, Lecture Notes, Web Draft, 2003)(141s)_PGr
http://slidepdf.com/reader/full/fre-p-course-in-general-relativity-free-version-lecture-notes-web-draft 50/141
À Ó Ñ Ó Ø Ó Ô Ý ¸ À Ó Ñ Ó Ð Ó Ý Ò Ó Ó Ñ Ó Ð Ó Ý
Ï Ð Ð Ñ Ó Ò Û Ò Ó Ø Á Ñ Ø × Ù × Ô Ó Û Ó × Ð Ñ Ò Ø × Ú Ø Ô Ö Ó Ô Ö Ø Ý Ø Ø
Ø Ý Ö Ø Ñ Ø Ö Ó Ù Ó × Ó Ñ Ð Ñ Ò Ø Ó
Á Ñ Ý ¾ Ü ¾ ´ Ü µ Ý ´ ½ º º ½ µ
Ò Ð Ô Ó Ø Ò Ø Ó Ô Ö Ø Ó Ö Ø Ø Ø × Ó Ò × Õ Ù Ò Ó Ú Ø Ó Ö × Ô ×
¬ Ò × × Õ Ù Ò Ó Ð Ò Ö
Ñ Ô ×
½
½
¾
¾
¿
· ½
´ ½ º º ½ ¼ µ
Ø Ø Ú Ø Ó Ð Ð Ó Û Ò Ô Ö Ó Ô Ö Ø Ý
Á Ñ
Ö
· ½
´ ½ º º ½ ½ µ
Ì Ò Ð Ù × Ó Ò Ó Á Ñ
Ò Ö
· ½
× Û Ø × Ò Ô Ø Ó Ö Ð Ð Ý × Ö Ò ¬ º ½ º ¿ ½ Ò Ô ¹
Ô Ð × Ó Ø Ø Ó Ù Ò Ö Ý Ò Ü Ø Ö Ó Ö Ö Ú Ø Ú Ó Ô Ö Ø Ó Ö º Ì × × Ø Ù Ø Ó Ò × Ù × Ø × Ø Ó Ð Ð Ó Û Ò
Ø Ö Ñ Ò Ó Ð Ó Ý
¬ Ò Ø Ó Ò ½ º º º Á Ò Ú Ö Ý × Ô
´ Å Ê µ Û Ò Ñ Ý Ð × Ø Ð Ñ Ò Ø × Ó Ö ¸ Ò Ñ Ð Ý
Ø Ò × ¸ Û Ó × Ó Ù Ò Ö Ý Ú Ò × × ¼ º Ë Ñ Ð Ö Ð Ý Ò Ú Ö Ý × Ô £
´ Å µ Û Ò Ñ Ð Ó ×
Ó Ö Ñ × Ó Ö Ó Ý Ð × Ø Ð Ñ Ò Ø × Ó Ö ¸ Ò Ñ Ð Ý Ø « Ö Ò Ø Ð Ó Ö Ñ × × Ù Ø Ø ¼ º
Ø Ø × Ñ Ø Ñ
¬ Ò Ø Ó Ò ½ º º ½ ¼ º Á Ò Ú Ö Ý × Ô
´
Å Ê µ Û Ò Ñ Ó Ù Ò Ö × Ð Ð ß Ò × Ø Ø Ö Ø
Ó Ù Ò Ö Ý Ó · ½ ß Ò
´ µ
Ó Ù Ò Ö Ý ¸
´ µ
´ · ½ µ
´ ½ º º ½ ¾ µ
Ë Ñ Ð Ö Ð Ý Ò Ú Ö Ý × Ô £
´ Å µ Û Ò Ñ Ü Ø Ó Ö Ñ × Ó Ö Ó Ó Ù Ò Ö × Ð Ð « Ö Ò Ø Ð Ó Ö Ñ ×
´ µ
× Ù Ø Ø Ø Ý Ò Û Ö Ø Ø Ò × Ø Ü Ø Ö Ó Ö Ö Ú Ø Ú Ó ´ ½ µ ß Ó Ö Ñ
´ µ
´ ½ µ
Ð Ö Ð Ý Õ º ´ ½ º º ½ ½ µ Ò Ø Ö Ò × Ð Ø Ý × Ý Ò Ø Ø Ú Ö Ý Ó Ù Ò Ö Ý × Ý Ð Ò Ú Ö Ý Ó Ó Ù Ò ¹
Ö Ý × Ó Ý Ð º Ì Ö Ú Ö × × Ø Ø Ñ Ò Ø ¸ Ó Û Ú Ö ¸ × Ò Ó Ø Ø Ö Ù Ò Ò Ö Ð º Ì Ö Ö Ý Ð × Ø Ø
Ö Ò Ó Ø Ó Ù Ò Ö × Ò Ø Ö Ö Ó Ý Ð × Ø Ø Ö Ò Ó Ø Ó Ó Ù Ò Ö × º
Ì Ó Ò Ô Ø Ó Ó Ñ Ó Ð Ó Ý ´ Ó Ö Ó Ó Ñ Ó Ð Ó Ý µ Ô Ö Ú Ó Ù × Ð Ý × Ù × × Ò Ò Ò Ø Ù Ø Ú Û Ý Ò
Ó Ö Ñ Ð Þ Ò Ø Ó Ð Ð Ó Û Ò Û Ý º
¬ Ò Ø Ó Ò ½ º º ½ ½ º Ó Ò × Ö Ø ß Ý Ð × º Ï × Ý Ø Ø Ø Û Ó Ý Ð ×
´ µ
½
Ò
´ µ
¾
Ö Ó Ñ Ó Ð ¹
Ó Ó Ù × Ò Û Û Ö Ø
´ µ
½
´ µ
¾
Ø Ö « Ö Ò × Ó Ù Ò Ö Ý
´ µ
½
´ µ
¾
µ
´ · ½ µ
¿
´ µ
½
´ µ
¾
´ · ½ µ
¿
´ ½ º º ½ ¿ µ
Ð Ö Ð Ý Ó Ñ Ó Ð Ó Ý × Ò Õ Ù Ú Ð Ò Ö Ð Ø Ó Ò × Ò
´ µ
½
´ µ
¾
´ · ½ µ
´ µ
¾
´ µ
¿
´ · ½ µ
µ
µ
´ µ
½
´ µ
¿
´ · ½ µ
·
´ · ½ µ
´ ½ º º ½ µ
¬ Ò Ø Ó Ò ½ º º ½ ¾ º Ï Ò Ñ ¹ Ø Ó Ñ Ó Ð Ó Ý Ö Ó Ù Ô Ò Û Ò Ó Ø À
´
Å Ê µ Ø Ö Ó Ù Ô
Ó Õ Ù Ú Ð Ò Ð × × × Ó Ø ß Ø Ý Ð × Û Ø Ö × Ô Ø Ø Ó Ø ß Ó Ù Ò Ö × º
7/29/2019 Fre P. Course in General Relativity (Free Version, Lecture Notes, Web Draft, 2003)(141s)_PGr
http://slidepdf.com/reader/full/fre-p-course-in-general-relativity-free-version-lecture-notes-web-draft 51/141
À Ó Ñ Ó Ø Ó Ô Ý ¸ À Ó Ñ Ó Ð Ó Ý Ò Ó Ó Ñ Ó Ð Ó Ý ¼
Ë Ñ Ð Ö Ð Ý Û ¬ Ò ß Ø Ó Ó Ñ Ó Ð Ó Ý Ö Ó Ù Ô Ò Û Ò Ó Ø À
´
Å Ê µ Ø Ö Ó Ù Ô Ó
Õ Ù Ú Ð Ò Ð × × × Ó Ø ß Ó Ý Ð × Û Ø Ö × Ô Ø Ø Ó Ø ß Ø Ó Ó Ù Ò Ö × º Á Ò Û × Ý Ø Ø
Ø Û Ó Ð Ó × Ó Ö Ñ × Ò
¼
Ö Ó Ó Ñ Ó Ð Ó Ó Ù × Ø Ö « Ö Ò × Ò Ü Ø Ó Ö Ñ
¼
µ
¼
Å Ó Ö Ò Ö Ð Ð Ý Û Ò Û Ú × Õ Ù Ò Ó Ú Ø Ó Ö × Ô ×
× Ò Õ º ´ ½ º º ½ ¼ µ Ò × Õ Ù Ò Ó
Ð Ò Ö Ñ Ô ×
× Ø × Ý Ò Õ º ´ ½ º º ½ ½ µ Û ¬ Ò Ø Ó Ó Ñ Ó Ð Ó Ý Ö Ó Ù Ô × Ö Ð Ø Ú Ø Ó Ø Ó Ô Ö Ø Ó Ö
×
À
´ µ
Ö
Á Ñ
½
´ ½ º º ½ µ
Ì Ö Ð Ø Ó Ò Ü × Ø Ò Ø Û Ò Ó Ñ Ó Ð Ó Ý Ò Ó Ó Ñ Ó Ð Ó Ý × Ù Ð Ð Ý Ó Ò Ø Ò Ò Ø Ó Ð Ð Ó Û Ò
Ó Ö Ñ Ù Ð Û Ò Ö Ð Þ × Ø Ó Ò Ö Ø Ö Ö Ý × Ñ Ó Ó Ø Ñ Ò Ó Ð Ò Ø Ó « Ö Ò Ø Ð Ó Ö Ñ × Ó Ò Ý Ö
Ø Ñ Ð Ö Ù × × Ð Ñ Ñ Ó Ö Ë Ø Ó × Ð Ñ Ñ
´ · ½ µ
´ µ
´ · ½ µ
´ µ
´ ½ º º ½ µ
Õ Ù Ø Ó Ò ´ ½ º º ½ µ ¸ Û Ó × Ò Ö Ð Ô Ö Ó Ó Û Ó Ñ Ø ¸ Ñ Ô Ð × Ø Ø Ò Ø ×
´ µ
× Ý Ð Û Ú
´ µ
´ µ
·
´ ½ µ
´ µ
´ µ
´ ½ º º ½ µ
Ò Ñ Ð Ý Ø Ò Ø Ö Ð Ó Ð Ó × « Ö Ò Ø Ð Ó Ö Ñ Ð Ó Ò Ý Ð Ô Ò × Ó Ò Ð Ý Ó Ò Ø Ó Ó Ñ Ó Ð Ó Ý
Ð × × Ò Ò Ó Ø Ó Ò Ø Ó Ó Ø Ö Ô Ö × Ò Ø Ø Ú º Ë Ñ Ð Ö Ð Ý
´ µ
× Ð Ó × Ó Ö Ñ
´ µ
·
´ · ½ µ
´ µ
´ µ
´ µ
´ ½ º º ½ µ
Ò Ñ Ð Ý Ø Ò Ø Ö Ð Ó Ó Ý Ð Ð Ó Ò Ó Ý Ð Ô Ò × Ó Ò Ø Ó Ñ Ó Ð Ó Ý Ð × × Ó Ø Ð × × Ò
Ò Ó Ø Ó Ò Ø Ó Ó Ö Ô Ö × Ò Ø Ø Ú Ò × Ø Ð × × º
½ º º Ê Ð Ø Ó Ò Ø Û Ò À Ó Ñ Ó Ø Ó Ô Ý Ò À Ó Ñ Ó Ð Ó Ý
Ì Ö Ð Ø Ó Ò Ø Û Ò Ó Ñ Ó Ø Ó Ô Ý Ò Ó Ñ Ó Ð Ó Ý Ö Ó Ù Ô × Ó Ñ Ò Ó Ð × Ô Ö Ó Ú Ý Ù Ò Ñ Ò Ø Ð
Ø Ó Ö Ñ Ó Ð Ö Ó Ñ Ø Ö Ý Ø Ø Û × Ø Ø Û Ø Ó Ù Ø Ô Ö Ó Ó
Ì Ó Ö Ñ ½ º º º Ä Ø Å × Ñ Ó Ó Ø Ñ Ò Ó Ð º Ì Ò Ø Ö Ü × Ø × Ó Ñ Ó Ñ Ó Ö Ô × Ñ
½
´ Å µ À
½
´ Å µ ´ ½ º º ½ µ
Ø Ø × Ò × Ø Ó Ñ Ó Ø Ó Ô Ý Ð × × Ó Ð Ó Ó Ô - Ò Ø Ó Ø ½ ß × Ñ Ô Ð Ü - º Á Å × Ö ß Û × Ó Ò Ò Ø ¸
Ø Ò Ø Ñ Ô × × Ù Ö Ø Ú Ò Ø Ö Ò Ð Ó × Ø × Ù Ö Ó Ù Ô Ó Ó Ñ Ñ Ù Ø Ø Ó Ö × Ò
½
´ Å µ º
Ï Ö Ð Ð Ø Ø Ø × Ù Ö Ó Ù Ô Ó Ó Ñ Ñ Ù Ø Ø Ó Ö × Ó × Ö Ø Ö Ó Ù Ô × Ø Ö Ó Ù Ô
¼
Ò Ö Ø Ý
Ð Ð Ð Ñ Ò Ø × Ó Ø Ó Ö Ñ Ü
½
Ý
½
Ü Ý Ó Ö × Ó Ñ Ü Ý ¾ º
Ö Ó Ñ Ø × Ø Ó Ö Ñ Û Ú Ø Û Ó Ó Ò × Õ Ù Ò ×
Ó Ö Ó Ð Ð Ö Ý ½ º º ½ º Á
½
´ Å µ × Ð Ò ¸ Ø Ò À
½
´ Å µ ³
½
´ Å µ ¸ Ò Ñ Ð Ý Ø Ó Ñ Ó Ø Ó Ô Ý Ò
Ó Ó Ñ Ó Ð Ó Ý Ö Ó Ù Ô × Ó Ò º
Ó Ö Ó Ð Ð Ö Ý ½ º º ¾ º Á Ñ Ò Ó Ð Å × × Ñ Ô Ð Ý Ó Ò Ò Ø ´
½
´ Å µ ½ µ Ø Ò Ð × Ó Ø ¬ Ö × Ø Ó Ñ Ó Ð ¹
Ó Ý Ö Ó Ù Ô × Ø Ö Ú Ð À
½
´ Å µ ¼
Ì × Ó Ò Ó Ø Ó Ú Ó Ö Ó Ð Ð Ö × Ñ Ô Ð × Ø Ø Ò × Ñ Ô Ð Ý Ó Ò Ò Ø Ñ Ò Ó Ð Ú Ö Ý Ð Ó × Ð Ó Ó Ô
× Ó Ñ Ó Ð Ó Ó Ù × Ø Ó Þ Ö Ó ¸ Ò Ñ Ð Ý × Ø Ó Ù Ò Ö Ý Ó × Ó Ñ Ö Ó Ò º
7/29/2019 Fre P. Course in General Relativity (Free Version, Lecture Notes, Web Draft, 2003)(141s)_PGr
http://slidepdf.com/reader/full/fre-p-course-in-general-relativity-free-version-lecture-notes-web-draft 52/141
Ë Ú × ¸ Ó Ó Ñ Ó Ð Ó Ý Ò Ø Ð × × ¬ Ø Ó Ò Ó Ù Ò Ð × ½
½ º Ë Ú × ¸ Ó Ó Ñ Ó Ð Ó Ý Ò Ø Ð × × ¬ Ø Ó Ò Ó Ù Ò Ð ×
À Ú Ò × Ö Ø Ò Ö Ð × Ø Ö Ù Ø Ù Ö Ó Ó Ó Ñ Ó Ð Ó Ý Ö Ñ Û Ó Ö × Û Ò Ö Ó Ò × Ö Ø Ó Ò ¹
× Ø Ö Ù Ø Ó Ò Ó ¬ Ö Ù Ò Ð × Ò Ø Ö Ñ × Ó Ø Ö Ò × Ø Ó Ò Ù Ò Ø Ó Ò × Ð Ó Ó Ò Ñ Ó Ö Ð Ó × Ð Ý Ø Ø Ñ Ò Ò
Ó Õ × º ´ ½ º ¾ º ½ ¾ µ º Ë Ó Ó Ò Û Ö Ð Þ Ø Ø Ø Ð × × ¬ Ø Ó Ò Ó Õ Ù Ú Ð Ò Ð × × × Ó Õ Ù Ú Ð Ò Ø
Ù Ò Ð ×
Å ¸ Ó Ò Ú Ò Ñ Ò Ó Ð Å Ò Û Ø Ú Ò × Ø Ö Ù Ø Ù Ö Ð Ö Ó Ù Ô Ò Ö × Ø
Ò Ñ Ó Ö × Ø Ö Ø × Ø Ù Ô Ø Ø Ù Ø Ð Þ × Ø Ð Ò Ù Ó Ó Ó Ñ Ó Ð Ó Ý Ò Ô Ø Ù Ö × Ø Ô Ö Ó Ó Ù Ò
× × Ò Ó Ø Ù Ò Ð ¸ Ò Ñ Ð Ý Ø × Ø Û × Ø Ò Ó Ö Ú Ø Ó Ò Ö Ó Ñ Ð Ó Ð Ø Ö Ú Ð Ø Ý º Ì × × Ø Ð Ò Ù
Ó × Ú × Ò Ó × Ó Ó Ñ Ó Ð Ó Ý º
Ï Ò Ø Ö Ó Ù
¬ Ò Ø Ó Ò ½ º º ½ º × Ó Ú Ö Ñ Ò Ó Ð Å × Ñ Ð Ý Ó Ö Ó Ù Ô × ´ Í µ × × Ó Ø Ø Ó Ó Ô Ò
× Ù × Ø Í Å º Ì Ð Ñ Ò Ø × ¾ ´ Í µ Ó Ø Ö Ó Ù Ô ´ Í µ Ö Ð Ð Ø × Ø Ó Ò × Ó Ø ×
Ó Ú Ö Ø Ó Ô Ò Ö Ø Í º Ú Ò × Ù × Ô Í Î Å Ó × Ù × Ô Î Å Ø Ö × Ñ Ô
Ö
Î Í
´ Î µ ´ Í µ ´ ½ º º ½ ¼ µ
Ø Û Ò Ø Ø Û Ó × × Ó Ø Ö Ó Ù Ô × º Ì Ñ Ô Ö
Î Í
× Ð Ð Ø Ö × Ø Ö Ø Ó Ò Ñ Ô º Á Ø Ñ Ù × Ø × Ø × Ý
Ø Ó Ð Ð Ó Û Ò Ü Ó Ñ ×
µ Ú Ò Ø Ö Ò × Ø Ö Ø × Í Î Ï Û Ñ Ù × Ø Ú
Ö
Ï Í
Ö
Î Í
Æ Ö
Ï Î
´ ½ º º ½ ½ µ
Ï Ò Ó Ø Ý
Í
Ø Ö × Ø Ö Ø Ó Ò Ø Ó Í Ó Ó Ù Ö Ð Ñ Ò Ø
¾ ´ Î µ º
µ Ú Ò Ò Ý Ø Û Ó × Ù Ñ Ò Ó Ð × Í Ò Î Ò Ò Ý Ú Ò Ø Û Ó × Ø Ó Ò ×
¾ ´ Í µ Ò
¾ ´ Î µ
× Ù Ø Ø
Í Î
Í Î
´ ½ º º ½ ¾ µ
Ø Ö Ü × Ø × × Ø Ó Ò ¾ ´ Í Î µ × Ù Ø Ø
Í
Î
´ ½ º º ½ ¿ µ
µ Á ¾ ´ Í Î µ Ò
Í
Î
¼ Ø Ò ¼ º
Ì Ô Ö Ó Ø Ó Ø Ý Ô Ó × × Ø × Ó
½
¹ Ù Ò Ø Ó Ò × º Á Ò
½
´ Í µ × Ð Ö Ð Ý Ò Ð Ò Ö Ó Ù Ô
Ù Ò Ö Ø Ó Ò º
´ Ü µ · ´ Ü µ ´ Ü µ ´ ½ º º ½ µ
Ò Ø Ö × Ø Ö Ø Ó Ò Ó Ù Ò Ø Ó Ò Ø Ó × Ù Ó Ñ Ò Ó Ú Ó Ù × Ð Ý × Ø × ¬ × Ø Ü Ó Ñ µ º Ü Ó Ñ µ × Ø
Ô Ö Ò Ô Ð Ó Ò Ð Ý Ø Ó Ò Ø Ò Ù Ø Ó Ò Ø Ø × Ø Ø × Ø Ø Ø Û Ó Ù Ò Ø Ó Ò × Ó Ò Ó Ò Ó Ô Ò Ò Ø Ö × Ø Ó Ò
Ó Ø Ö Ó Ñ Ò × Ø Ò Ø Ý Ö Ø × Ñ Ù Ò Ø Ó Ò º Ü Ó Ñ µ × Ð × Ó Ó Ú Ó Ù × Ò Ø × × º
Ç Ø Ö Ñ Ô Ó Ö Ø Ò Ø Ü Ñ Ô Ð × Ó × Ú × Ö ¸ Ó Ö Ò × Ø Ò
Ç ´ Å µ Ø × Ó Ó Ð Ó Ñ Ó Ö Ô Ù Ò Ø Ó Ò × Ó Ò Ó Ñ Ô Ð Ü Ñ Ò Ó Ð Å
Ç
´ Å µ Ø × Ó Ò Ú Ö Ú Ò × Ò Ó Ð Ó Ñ Ó Ö Ô Ù Ò Ø Ó Ò × Ó Ò Å
ª
´ Ô µ
´
Å µ Ø × Ó Ó Ð Ó Ñ Ó Ö Ô Ô ¹ Ó Ö Ñ × Ó Ò
Å
Á Ò Ð Ð Ø × × × ¸ Ó Ö Í Å Ø Ö Ó Ù Ô ´ Í µ × Ó Ò Ø Ò Ù Ó Ù × Ò ¬ Ò Ø ¹ Ñ Ò × Ó Ò Ð Ö Ó Ù Ô
´ Ø Ö Ó Ù Ô Ó Ð Ð
½
¹ Ù Ò Ø Ó Ò × Ó Ò Ø Ó Ô Ò × Ø Í ¸ Ó Ö Ò × Ø Ò µ ¸ Ù Ø Û Ò Ð × Ó Ó Ò × Ö × Ú ×
Û Ö Ø ´ Í µ Ö × Ö Ø Ö Ó Ù Ô × Ð
Ò
º
Á Ò Ø Ô Ô Ð Ø Ó Ò Ó × Ø Ó Ö Ý Ø Ó Ø Ð × × ¬ Ø Ó Ò Ó ¬ Ö Ù Ò Ð × ¸ Ø Ö Ó Ù Ô ´ Í µ ×
Ñ Ý Ð Ð Ó Ò Ø Ò Ù Ó Ù × Ñ Ô × Í
Ö Ó Ñ Ø Ó Ô Ò × Ø Í Ø Ó Ø × Ø Ö Ù Ø Ù Ö Ð Ö Ó Ù Ô
´ Û × ¬ Ò Ø ¹ Ñ Ò × Ó Ò Ð Ä Ö Ó Ù Ô µ Ò Ó Ø Ö Û Ó Ö × Ý Ð Ð ¹ Ú Ð Ù
½
Ù Ò Ø Ó Ò × Ó Ò Í º
7/29/2019 Fre P. Course in General Relativity (Free Version, Lecture Notes, Web Draft, 2003)(141s)_PGr
http://slidepdf.com/reader/full/fre-p-course-in-general-relativity-free-version-lecture-notes-web-draft 53/141
Ë Ú × ¸ Ó Ó Ñ Ó Ð Ó Ý Ò Ø Ð × × ¬ Ø Ó Ò Ó Ù Ò Ð × ¾
Ì Ù Ò Ø Ó Ò ×
Ô
¾ Í ´ Ô µ
¾ Ö Û Ø Ô Ý × × Ø × Ð Ð Ð Ó Ð Ù Ø Ö Ò × Ó Ö Ñ Ø Ó Ò × º À Ò
Ø Ö Ð Ú Ò Ø × Ó Ö Ø Ð × × ¬ Ø Ó Ò Ó ¬ Ö Ù Ò Ð ×
Å Û Ø × Ñ Ò Ó Ð Å Ò
× Ø Ö Ù Ø Ù Ö Ð Ö Ó Ù Ô × Ø × Ó Ú Ö Å Ó ¹ Ù Ø Ö Ò × Ó Ö Ñ Ø Ó Ò × º
Ü Ø Û × Ù × × Ø Ò Ó Ø Ó Ò Ó × Ó Ó Ñ Ó Ð Ó Ý ´ Ó Ó Ñ Ó Ð Ó Ý µ º Ì Ñ Ó × Ø Ñ Ð Ö
Ò Ñ Ó × Ø Ù × Ó Ó Ñ Ó Ð Ó Ý Ó Ò × Ø Ö Ù Ø Ó Ò Ö Ð Ø × Ø Ó « Ö Ò Ø Ð Ó Ö Ñ × Ò × Ò Ñ Ê Ñ
Ó Ó Ñ Ó Ð Ó Ý º Ø Ó Ó Ñ Ó Ð Ó Ý Ó Ñ Ô Ð Ü × Ú Ò Ö Ð Ð Ö × Ø Ö Ù Ø Ù Ö Ø Ø Û × Ø Ö Ø Ý
Ð Ð Ù × Ø Ö Ø Ò Ò Ø Ô Ö × Ò Ø × Ó × Ú × º Ï ¬ Ò × Õ Ù Ò Ó Ú Ø Ó Ö × Ô ×
Ô
Ó Ô ¹ Ó Ò ×
´ Ô ¼ ½ ¾ µ Ò Ò Ð Ô Ó Ø Ò Ø Ó Ó Ù Ò Ö Ý Ó Ô Ö Ø Ó Ö Æ
¾
¼ Ø Ø ¬ Ò × × Õ Ù Ò Ó Ð Ò Ö
Ñ Ô ×
Æ
Ô
Ô · ½
´ ½ º º ½ µ
Ä Ø ´ Ñ µ × Ó Ö Ó Ù Ô × Ó Ú Ö Ø Ñ Ò Ó Ð Å º Ä Ø
« ¾
Í
«
Å ¬ Ò Ø Ø Ð × Ó Ú Ö Ò
Å º Ì Ò Û Ú Ø Ö Ó Ù Ô × ´ Í
½
µ ´ Í
¾
µ ´ Í
Ò
µ º Ì × Ô Ó ¼ ¹ Ó Ò ×
¼
´ Í µ ×
¬ Ò Ý
¼
´ Í µ ª
« ¾
´ Í
«
µ ´ ½ º º ½ µ
Á Ò Ó Ø Ö Û Ó Ö × ¼ ¹ Ó Ò × Ó Ð Ð Ø Ó Ò Ó Ò × Ø Ó Ò ×
«
¾ ´ Í
«
µ Ó Ø × Ó Ú Ö Ø Ó Ô Ò
Ö Ø × Í
«
¼
´
½
¾
Ò
µ ´ ½ º º ½ µ
Ç Ò Ø Ó Ø Ö Ò ½ ¹ Ó Ò
½
× Ó Ð Ð Ø Ó Ò Ó
½
¾
Ò ´ Ò ½ µ × Ø Ó Ò × Ó Ø ×
« ¬
½
¬ «
½
½ ¾
½ ¿
´ Ò ½ µ Ò
¡
´ ½ º º ½ µ
¬ Ò Ó Ò Ð Ð Ô Ó × × Ð Ò Ø Ö × Ø Ó Ò × Í
«
Í
¬
º ¿ ¹ Ó Ò × Ó Ð Ð Ø Ó Ò Ó
½
Ò ´ Ò ½ µ ´ Ò ¾ µ
× Ø Ó Ò ×
« ¬ -
Ó Ø ×
¾
½ ¾ ¿
½ ¾
´ Ò ¾ µ ´ Ò ½ µ Ò
¡
´ ½ º º ½ µ
¬ Ò Ó Ú Ö Ð Ð Ô Ó × × Ð Ò Ø Ö × Ø Ó Ò × Í
«
Í
¬
Í
-
Ò × Ó Ó Ò º Ì ¬ Ò Ø Ó Ò Ó Ø Ó Ó Ù Ò Ö Ý
Ó Ô Ö Ø Ó Ö × × Ó Ð Ð Ó Û × º Ä Ø
´ Ô ½ µ
«
½
«
¾
«
Ò
´ Ô ½ µ ¹ Ó Ò º Ì Ó Ö Ö × Ô Ó Ò Ò
´ Ô µ ¹ Ó Ò Æ
´ Ô µ
Ø Ø × Ò Ø Ñ Ó Æ
´ Ô ½ µ
× Ú Ò Ý Ø Ó Ð Ð Ó Û Ò Ð Ø Ö Ò Ø Ò Ô Ö Ó Ù Ø Ó
× Ø Ó Ò × Ò Ò Ú Ö × × Ø Ó Ò ×
´ Æ µ
«
½
«
¾
«
Ò
«
Ò · ½
«
¾
«
¿
«
Ò · ½
Í
«
½
«
Ò · ½
Æ
½
«
½
«
¿
«
Ò · ½
Í
«
½
«
Ò · ½
Æ
«
½
«
¾
«
«
Ò · ½
Í
«
½
«
Ò · ½
Æ Æ
«
½
«
¾
«
Ò
Í
«
½
«
Ò · ½
´ ½ º º ½ ¼ µ
Û Ö Í
«
½
«
Ò · ½
Í
«
½
Í
«
¾
Í
«
Ò · ½
º Ì Ò Ð Ô Ó Ø Ò Ý Ó Ø Ó Ô Ö Ø Ó Ö Æ × × Ð Ý Ú Ö ¬ º
Ì Ò Û ¬ Ò Ø Ô ¹ Ø Ó Ó Ñ Ó Ð Ó Ý Ö Ó Ù Ô À
Ô
´ Å µ Ó Ø × ´ Å µ ×
À
Ô
´ Å µ Ö Æ
Ô
Ñ Æ
Ô ½
´ ½ º º ½ ½ µ
Ò Ñ Ð Ý × Ø × Ô Ó Ô ¹ Ó Ý Ð × Æ
´ Ô µ
¼ Ñ Ó Ù Ð Ó Ø Ô ¹ Ó Ó Ù Ò Ö × Æ
´ Ô ½ µ
º Ø Ø × Ô Ó Ò Ø ¸
Û Ö Ó Ò × Ö Õ × º ´ ½ º ¾ º ½ ¾ µ Û Ò Ô Ô Ö Ø Ø × ¹ Ø Ó Ö Ø Ò Ø Ö Ô Ö Ø Ø Ó Ò Ó Ø Ø Ö Ò × Ø Ó Ò
Ù Ò Ø Ó Ò × Ó ¬ Ö Ù Ò Ð º Ì × Ø Ì Ø
« ¬
¬ Ò × ½ ¹ Ó Ý Ð Ó Ø × ´ Å µ Ó Ð Ó Ð
¹ Ù Ø Ö Ò × Ó Ö Ñ Ø Ó Ò × Ó Ú Ö Ø × Ñ Ò Ó Ð Å º Ì Ð × Ø Ó Õ × º ´ ½ º ¾ º ½ ¾ µ × Ô Ö × Ð Ý Ø
× Ø Ø Ñ Ò Ø Ø Ø Æ Ì ¼ º Ç Ò Ø Ó Ø Ö Ò Ò Ø Ö Ú Ð ¬ Ö Ù Ò Ð Ø Ø Ö Ò × Ø Ó Ò Ù Ò Ø Ó Ò × Ö
Ó Ø Ó Ö Ñ
Ø
« ¬
´ Ô µ
½
«
´ Ô µ
¬
´ Ô µ ´ ½ º º ½ ¾ µ
7/29/2019 Fre P. Course in General Relativity (Free Version, Lecture Notes, Web Draft, 2003)(141s)_PGr
http://slidepdf.com/reader/full/fre-p-course-in-general-relativity-free-version-lecture-notes-web-draft 54/141
Ë Ú × ¸ Ó Ó Ñ Ó Ð Ó Ý Ò Ø Ð × × ¬ Ø Ó Ò Ó Ù Ò Ð × ¿
Á Ò Ó Ø Ö Û Ó Ö × Õ º ´ ½ º º ½ ¾ µ × Ø Ø × Ø Ø ¬ Ö Ù Ò Ð × Ø Ö Ú Ð
Ì Æ ´
× Ó Ñ Ø Ò µ ×
Ó Ó Ù Ò Ö Ý º À Ò Ø × Ô Ó Ò Ó Ò ¹ Ø Ö Ú Ð ¹ Ù Ò Ð × Ó Ú Ö Ú Ò Ñ Ò Ó Ð × × Ó Ñ Ó Ö Ô Ø Ó Ø
¬ Ö × Ø Ó Ó Ñ Ó Ð Ó Ý Ö Ó Ù Ô Ó Ø × ´ Å µ
× Ø Ó ¹ Ù Ò Ð × Ó Ò Å À
½
´ Å µ ´ ½ º º ½ ¿ µ
Á Ò Ø × Ò Ø ¬ Ø Ó Ò Û Ú Ø Ø Ð Ý × × Ù Ñ Ø Ø ¬ Ö Ù Ò Ð × Ó Ö Ñ Ö Ó Ù Ô º Ì × × Õ Ù Ø
Ó Ú Ó Ù × × Ø Ö Ò × Ø Ó Ò Ù Ò Ø Ó Ò × Ó Ø Ô Ö Ó Ù Ø Û Ø Ø Ô Ó Ò Ø ¹ Û × Ô Ö Ó Ù Ø Ó Ø Ø Ö Ò × Ø Ó Ò
Ù Ò Ø Ó Ò × º × Ò Ü Ñ Ô Ð Ð Ø Ù × Ó Ò × Ö Ó Ñ Ô Ð Ü Ñ Ò Ó Ð Å Ò Ø Ó Ñ Ô Ð Ü Ð Ò Ù Ò Ð ×
Ä
Å Ó Ò × Ø Ö Ù Ø Ó Ú Ö Ø º Ó Ñ Ô Ð Ü Ð Ò Ù Ò Ð × ¬ Ö Ù Ò Ð Û Ö Ø × Ø Ö Ù Ø Ù Ö Ð Ö Ó Ù Ô
× Ù × Ø ¸ Ò Ñ Ð Ý Ø × Ø Ó Ó Ñ Ô Ð Ü Ò Ù Ñ Ö × º Ó Ö Ò Ø Ó Ó Ù Ö Ô Ö Ú Ó Ù × × Ù × × Ó Ò Û Ú
Ö Ó Ù Ô Ó Ð Ò Ù Ò Ð × Ó Ò Å À
½
´ Ç
Å µ ´ ½ º º ½ µ
Û Ö Ç
Ò Ó Ø × Ø × Ó Ò Ó Ò ¹ Ú Ò × Ò Ó Ð Ó Ñ Ó Ö Ô Ù Ò Ø Ó Ò × º Á Å ¦
× Ê Ñ Ò Ò
× Ù Ö Ó Ò Ù × ¸ Ø Ò Ø Ö Ó Ù Ô Ó Ð Ò Ù Ò Ð × À
½
´ Ç
¦
µ È ´ ¦
µ × Ò Ñ Ø È Ö
Ö Ó Ù Ô Ó Ø × Ù Ö º
½ º º ½ Ù Ò Ð Ñ Ô ×
Ä Ø
Å Ò
¼
¼
Å
¼
Ø Û Ó ¬ Ö Ù Ò Ð × º × Ñ Ó Ó Ø Ñ Ô
¼
´ ½ º º ½ µ
× Ò Ñ Ù Ò Ð Ñ Ô Ø Ô Ö × Ö Ú × Ø ¬ Ö × º Ì × Ñ Ò × Ø Ø ´ Ü µ ´ Ý µ Ø Ò
¼
´ Ü µ
¼
´ Ý µ º Ù Ò Ð Ñ Ô Ò Ù × × Ñ Ó Ó Ø Ñ Ô Ó Ø × Ñ Ò Ó Ð ×
´ Ô µ Ô
¼
¾ Å
¼
´ ½ º º ½ µ
½ º º ¾ Õ Ù Ú Ð Ò Ø Ù Ò Ð ×
Ì Û Ó Ù Ò Ð ×
Å Ò
¼
¼
Å Ó Ò × Ø Ö Ù Ø Ó Ú Ö Ø × Ñ × × Ô Å Ö Õ Ù Ú Ð Ò Ø
Ø Ö Ü × Ø × Ù Ò Ð Ñ Ô
¼
× Ù Ø Ø Ø Ò Ù Ñ Ô Å Å × Ø
Ò Ø Ø Ý ¸ Û Ð × « Ó Ñ Ó Ö Ô × Ñ
¼
¼
Å
Å
Å
´ ½ º º ½ µ
½ º º ¿ È Ù Ð Ð ¹ Ù Ò Ð ×
Ä Ø
Å ¬ Ö Ù Ò Ð Ò × Ó Ñ Ó Ø Ö × Ñ Ó Ó Ø Ñ Ò Ó Ð º Ä Ø
Å ´ ½ º º ½ µ
× Ñ Ó Ó Ø Ñ Ô Ö Ó Ñ Ø Ñ Ò Ó Ð Ø Ó Ø × × Ô Ó Ø ¬ Ö Ù Ò Ð º Ì Ò Û Ò ¬ Ò
Ò Û ¬ Ö Ù Ò Ð
Ø Ø Ñ Ø × × × × Ô Ø Ö Ó Ù Ø Ó Ð Ð Ó Û Ò Ó Ò × Ø Ö Ù Ø Ó Ò º
Ó Ò × Ö Ø × Ô
Ë ª ´ ½ º º ½ µ
7/29/2019 Fre P. Course in General Relativity (Free Version, Lecture Notes, Web Draft, 2003)(141s)_PGr
http://slidepdf.com/reader/full/fre-p-course-in-general-relativity-free-version-lecture-notes-web-draft 55/141
Ë Ú × ¸ Ó Ó Ñ Ó Ð Ó Ý Ò Ø Ð × × ¬ Ø Ó Ò Ó Ù Ò Ð ×
Ì Ô Ó Ò Ø × Ò Ë Ö Ø Ô Ö ×
Ô Ù ¸ Û Ö Ô ¾ × Ô Ó Ò Ø Ò Ø × × Ô Ó Ø Ò Û Ù Ò Ð
Ø Ó Ó Ò × Ø Ö Ù Ø Ò Ù ¾ × Ô Ó Ò Ø Ò Ø Ø Ó Ø Ð × Ô Ó Ø Ó Ð Ù Ò Ð º Ó Ò × Ö Ò Ó Û Ø
× Ù × Ô
ª
´ Ô Ù µ ¾ Ë ´ Ô µ ´ Ù µ ´ ½ º º ¾ ¼ ¼ µ
Ó Ø Ó × Ô Ö × Û Ö Ø Ñ Ó Ô ¾ Ø Ö Ó Ù Ø Ñ Ô Ó Ò × Û Ø Ø Ñ Ó Ù ¾
Ø Ö Ó Ù Ø Ô Ö Ó Ø Ó Ò Ó Ø Ó Ð Ù Ò Ð º Ì × Ô
× Ø Ø Ó Ø Ð × Ô Ó Ø Ò Û Ù Ò Ð º
Ì Ô Ö Ó Ø Ó Ò
´ ½ º º ¾ ¼ ½ µ
× ¬ Ò Ý
´ Ô Ù µ Ô ´ ½ º º ¾ ¼ ¾ µ
Ì Ò Û Ù Ò Ð
× Ò Ñ Ø Ô Ù Ð Ð ¹ Ó
Å Ø Ö Ó Ù º Á Ò Ø × Û Ý Û
Ú Ù Ò Ð Ñ Ô
¾
Å
´ ½ º º ¾ ¼ ¿ µ
Û Ö
¾
× ¬ Ò Ý
¾
´ Ô Ù µ Ù º ´ Ê Ñ Ñ Ö Ø Ø Ø Ô Ö ´ Ô Ù µ ¾
× Ø × ¬ × ¸ Ý ¬ Ò Ø Ó Ò ¸ ´ Ô µ ´ Ù µ º µ Á Ò Ø Ö Ñ × Ó Ø Ö Ò × Ø Ó Ò Ù Ò Ø Ó Ò × Ø Ô Ù Ð Ð ¹ Ù Ò Ð ×
× Ö × Ó Ð Ð Ó Û × º Ì × Ø Ò Ö ¬ Ö Ó Ö
Å Ò
Ö Ø × Ñ
Ø Ø Ö Ò × Ø Ó Ò Ù Ò Ø Ó Ò × Ó Ø Ó Ö Ñ Ö Ö Ø Ô Ù Ð Ð ¹ Ó Ø Ø Ö Ò × Ø Ó Ò Ù Ò Ø Ó Ò × Ó Ø Ð Ø Ø Ö º
Á Ò Ð Ø Í
«
Ó Ú Ö Ò Ó Å Ò
«
Ó Ö Ö × Ô Ó Ò Ò Ð Ó Ð Ø Ö Ú Ð Þ Ø Ó Ò Ó Ø Ó Ö Ò Ð
Ù Ò Ð
«
Í
«
ª
½
´ Í
«
µ ´ ½ º º ¾ ¼ µ
Ì Ò Ú Ö × Ñ ×
½
´ Í
«
µ Ô Ö Ó Ú Ó Ú Ö Ò Ó Ø Ò Û × Ñ Ò Ó Ð º Ï Ú Ò
× × Ó Ø Ð Ó Ð Ø Ö Ú Ð Þ Ø Ó Ò Ó Ø Ô Ù Ð Ð ¹ Ù Ò Ð
«
½
´ Í
«
µ ª
½
½
´ Í
«
µ
¡
´ ½ º º ¾ ¼ µ
¬ Ò × Ó Ð Ð Ó Û × º Ì Ô ¾
½
´ Í
«
µ Ò Ó Ò × Ö Ò Ý Ô Ó Ò Ø Ù ¾ × Ù Ø Ø ´ Ù µ ´ Ô µ º Á Ò
Ø × × Ø Ô Ö ´ Ô Ù µ ¾
× Ò Ð Ñ Ò Ø Ó Ø Ø Ó Ø Ð × Ô Ó Ø Ò Û Ù Ò Ð º Ä Ø
½
´ Ù µ
´ ´ Ô µ
«
µ ¸ Û Ö
«
¾ × Ô Ó Ò Ø Ò Ø × Ø Ò Ö ¬ Ö º Ï × Ø
½
«
´ Ô Ù µ ´ Ô
«
µ Ò Ø ×
¬ Ò ×
«
º Ì Ø Ö Ò × Ø Ó Ò Ù Ò Ø Ó Ò Ø
« ¬
´ ´ Ô µ µ Ø Ô Ó Ò Ø ´ Ô µ ¾ Í
«
Í
¬
Ò Ø Ò Ø Ö × Ø Ó Ò Ó Ø Û Ó
Ö Ø × Ó Å Ñ Ô × Ô Ó Ò Ø
«
¾ Ó Ø × Ø Ò Ö ¬ Ö Ø Ó Ò Û Ô Ó Ò Ø
¬
Ø
« ¬
´ ´ Ô µ µ
¬
º Ý
¬ Ò Ø Ó Ò Ø Ø Ö Ò × Ø Ó Ò Ù Ò Ø Ó Ò Ø
« ¬
´ Ô µ Ø Ô Ó Ò Ø Ô ¾
½
´ Í
«
µ
½
´ Í
«
µ Ò Ø Ò Ø Ö × Ø Ó Ò
Ó Ø Û Ó Ö Ø × Ó ¸ Ó × Ø × Ñ ¸ Ò Ñ Ð Ý Û Ú
Ø
« ¬
´ Ô µ Ø
« ¬
´ ´ Ô µ µ ´ ½ º º ¾ ¼ µ
Ë Ù Ñ Ñ Ö Þ Ò ¸ Ø Ø Ö Ò × Ø Ó Ò Ù Ò Ø Ó Ò × Ó Ø Ô Ù Ð Ð ¹ Ù Ò Ð Ö Ø Ô Ù Ð Ð ¹ Ó Ø Ø Ö Ò × Ø Ó Ò
Ù Ò Ø Ó Ò × Ò Ø Ó Ö Ò Ð Ù Ò Ð ¸ × Ð Ö Ý × Ø Ø º Ì × × Ô Ö Ø Ù Ð Ö Ð Ý × Ò ¬ Ò Ø Ö Ó Ñ Ø Ô Ó Ò Ø
Ó Ú Û Ó × Ó Ó Ñ Ó Ð Ó Ý Ò Ø Ö Ó Ù Ó Ú º
Ò Ñ Ô Ó Ö Ø Ò Ø Ö × Ù Ð Ø Ó Ö Ø Ð × × ¬ Ø Ó Ò Ó ¬ Ö Ù Ò Ð × × Ó Ò Ø Ò Ò Ø Ó Ð Ð Ó Û Ò Ø Ó Ö Ñ
Ù Ø Ó Ë Ø Ò Ö Ó ´ ½ ½ µ ¸ Û Ó × Ô Ö Ó Ó Û Ó Ñ Ø ℄
Ì Ó Ö Ñ ½ º º ½ º Ä Ø
Å ¬ Ö Ù Ò Ð Ò × Ó Ñ Ó Ø Ö Ñ Ò Ó Ð º Ä Ø
Å
Å ´ ½ º º ¾ ¼ µ
7/29/2019 Fre P. Course in General Relativity (Free Version, Lecture Notes, Web Draft, 2003)(141s)_PGr
http://slidepdf.com/reader/full/fre-p-course-in-general-relativity-free-version-lecture-notes-web-draft 56/141
Ë Ú × ¸ Ó Ó Ñ Ó Ð Ó Ý Ò Ø Ð × × ¬ Ø Ó Ò Ó Ù Ò Ð ×
Ø Û Ó Ó Ñ Ó Ø Ó Ô Ñ Ô × Ö Ó Ñ Å Ø Ó º Ì
Ò
Ö Õ Ù Ú Ð Ò Ø Ù Ò Ð × º
Ì × Ø Ó Ö Ñ × × Ð Ø Ó Ò Ø Ø Ø Ø Ø Ò Ó Ò Ø Ö Ú Ð Ø Ý Ó ¬ Ö Ù Ò Ð × Ô Ó × × Ð Ó Ò Ð Ý
Ø × × Ô × Ò Ó Ò ¹ Ø Ö Ú Ð Ø Ó Ô Ó Ð Ó Ý ¸ Ò Ñ Ð Ý Ò Ó Ò Ø Ö Ú Ð Ó Ñ Ó Ø Ó Ô Ý º Ç Ò Ð Ý Ò Ø × × Ò
Ø ¬ Ö × Ð Ò Ò × Ù Û Ý × Ø Ó Û Ò Ð Ó Ò Ò Ó Ò ¹ Ø Ö Ú Ð Ó Ñ Ó Ø Ó Ô Ý Ý Ð × º Á Ò Ô Ö Ø Ù Ð Ö
Û Ú
Ó Ö Ó Ð Ð Ö Ý ½ º º ½ º Ð Ð Ù Ò Ð × Ó Ò × Ø Ö Ù Ø Ó Ú Ö × Ñ Ò Ó Ð Ø Ø × Ó Ò Ø Ö Ø Ð Ø Ó Ô Ó Ò Ø Ö
Ø Ö Ú Ð Ù Ò Ð × º
Á Ò Ð Ø
Å ¬ Ö Ù Ò Ð Ò Ð Ø Å Ó Ò Ø Ö Ø Ð º Ì × Ñ Ò × Ø Ø Ø Ö ×
Ó Ñ Ó Ø Ó Ô Ý
Å ª ¼ ½ ℄ Å ´ ½ º º ¾ ¼ µ
× Ù Ø Ø
Ô ¼ ℄ Ô Ô ¾ Å
Ô ¼ ℄ Ô
¼
Ô ¾ Å ´ ½ º º ¾ ¼ µ
Û Ö Ô
¼
¾ Å × × Ó Ñ ¬ Ü Ô Ó Ò Ø º Ó Ò × Ö Ø Ó Ò Ø Ò Ù Ó Ù × Ñ Ð Ý Ó Ù Ò Ð ×
Ø
Û Ö
Ø
´ Ô µ ´ Ô Ø µ º Ù Ø Ó Ë Ø Ò Ö Ó ³ × Ø Ó Ö Ñ ¸ Ð Ð Ø × Ù Ò Ð × Ö Õ Ù Ú Ð Ò Ø º Ç Ò Ø Ó Ø Ö Ò ¸
× Ò
¼
¸
¼
¸ Û Ð
½
× Ø Ö Ú Ð Ù Ò Ð Ó Ò × Ø Ö Ù Ø Ó Ú Ö × Ñ Ò Ó Ð Ø Ø ×
Ù × Ø Ø × Ò Ð Ô Ó Ò Ø Ô
¼
º À Ò
Å × Ð × Ó Ø Ö Ú Ð º
7/29/2019 Fre P. Course in General Relativity (Free Version, Lecture Notes, Web Draft, 2003)(141s)_PGr
http://slidepdf.com/reader/full/fre-p-course-in-general-relativity-free-version-lecture-notes-web-draft 57/141
Ô Ø Ö ¾
Ç Æ Æ Ì Á Ç Æ Ë ¸ Å Ì Ê Á Ë Æ Î Á Ä Á Æ
¾ º ½ Á Ò Ø Ö Ó Ù Ø Ó Ò
Ð Ð
¾ º ¾ Õ Ù Ø Ó Ò Ó Ø Ó × ×
Ì Ò Ö Ð Ó Ö Ñ Ó Ø Ó × × Õ Ù Ø Ó Ò × Ó Ø Ò Ö Ó Ñ Ø Ú Ö Ø Ó Ò Ð Ô Ö Ò Ô Ð
Æ Ä ¼ Û Ö Ä
´ Ü µ Ü
Ü
´ ¾ º ¾ º ½ µ
Ú Ò × Ø Ø Ô Ö Ó Ô Ö Ø Ñ ´ Ó Ö × Ø Ò µ
Ö
´ Ü µ
Ü
Ü
´ ¾ º ¾ º ¾ µ
Ò Û Ó Ø Ò
¼
¾
Ü
¾
·
Ü
Ü
´ ¾ º ¾ º ¿ µ
¾ º ¾ º ½ Ì Ó Ò Ò Ø Ó Ò
Ì Ä Ú Ú Ø Ó Ò Ò Ø Ó Ò ×
½
¾
·
´ ¾ º ¾ º µ
Á Ó Ò × × × Ó Ø Ò Ò Ø Ú Ø Ó Ö ¬ Ð ×
× Ù Ø Ø Ò Ý Ú Ø Ó Ö ¬ Ð × Û Ö Ø Ø Ò ×
´ Ü µ
´ ¾ º ¾ º µ
Ø Ò Ø Ó Ò Ò Ø Ó Ò × ¬ Ò Ý Ú Ò Ø × Ó Æ Ò Ø ×
Ö
´ ¾ º ¾ º µ
Á Ò Ø × × × Û Ó Ø Ò
Ì
Ê
Æ
Æ
·
Æ
Æ
´ ¾ º ¾ º µ
7/29/2019 Fre P. Course in General Relativity (Free Version, Lecture Notes, Web Draft, 2003)(141s)_PGr
http://slidepdf.com/reader/full/fre-p-course-in-general-relativity-free-version-lecture-notes-web-draft 58/141
Õ Ù Ø Ó Ò Ó Ø Ó × ×
Á Ø × Ø Ö Ñ Ò Ý Ø Ö Õ Ù Ö Ñ Ò Ø Ø Ø
¼ Ö
¼ Ì
´ ¾ º ¾ º µ
Ì Ó Ú Ö Ò Ø Ö Ú Ø Ú
¾ º ¾ º ¾ Ì Ü Ñ Ô Ð Ó Ø Ý Ô Ö Ó Ð Ó
À Ö Ø Ñ Ø Ö ×
×
¾
¾
· Ó ×
¾
¾
´ ¾ º ¾ º µ
Ò Ø Ð Ò Ø Ó Ù Ö Ú × Ø Ö Ó Ö Ð Ù Ð Ø Ø Ö Ó Ù Ø Ó Ð Ð Ó Û Ò Ò Ø Ö Ð
×
Ø
¾
· Ó ×
¾
Ø
¾
Ø
Ô
Ä Ø ´ ¾ º ¾ º ½ ¼ µ
È Ö Ó Ö Ñ Ò Ú Ö Ø Ó Ò Ð Ð Ù Ð Ø Ó Ò Û Ø Ø Ø Ø Ð Ò Ø × Ü Ø Ö Ñ Ð
Æ
½
Ô
Ä
Æ
Ä Ø ¼
µ Æ
Ä ¼ ´ ¾ º ¾ º ½ ½ µ
À Ò Û Ò Ù × Ø Ø Ö Ø
Ä
¾
· Ó ×
¾
¾
´ ¾ º ¾ º ½ ¾ µ
× Ø Ð Ö Ò Ò Ó Ò Ó Ö Ò Ö Ý Ñ Ò Ð Ô Ö Ó Ð Ñ Ò Ø Ù Ð Ö Ä Ö Ò Õ Ù Ø Ó Ò × Ó Ñ Ó Ø Ó Ò
Ö
¼
Ø
Ä
Ä
Ø
¾ Ó ×
¾
¼
Ø
Ä
Ä
¾
Ø
Ó × × Ò
¾
´ ¾ º ¾ º ½ ¿ µ
Ì ¬ Ö × Ø Ó Ø Ó Ú Õ Ù Ø Ó Ò × × Ó Û × Ø Ø × Ý Ð Ú Ö Ð Ò Ò Û Ú ¬ Ö × Ø Ò Ø Ö Ð
Ó Ø Ñ Ó Ø Ó Ò
Ó Ò × Ø Ô Ó ×
¾
´ ¾ º ¾ º ½ µ
Ï Ò × Ù × Ø Ø Ù Ø Ø × Ò Ó Ö Ñ Ø Ó Ò Ò Ø Ó Ø Õ Ù Ø Ó Ò × × Ø Ø Ò Ø Ø Ø Ò Ó Ö Ñ Ó Ø Ø Ò Ò Ø Ú Ø Ó Ö ×
Ø Ó Ø Ó × × Ö Ø Ñ ¹ Ð ¸ × Ô ß Ð Ò Ò Ù Ð Ð ¹ Ð Ö × Ô Ø Ú Ð Ý
Ü
×
Ü
×
¾
· Ó ×
¾
¾
½ × Ô ß Ð
¼ Ò Ù Ð Ð ß Ð
½ Ø Ñ ß Ð
´ ¾ º ¾ º ½ µ
Ö Ó Ñ Ø × × Ù × Ø Ø Ù Ø Ó Ò Û Ö Ø Ð Ý Ó Ø Ò Ø Õ Ù Ø Ó Ò Ó Ö Ø Ó Ö Ø ×
Õ
Ô
¾
Ó ×
¾
Ó ×
´ ¾ º ¾ º ½ µ
Û Ù Ô Ó Ò Ö Ø Ò Ø Ö Ø Ó Ò Ý Ð × Ø Ø Ö Ñ Ð × Ó Ó × ×
Ø Ò
¾
Ô
¾
× Ò
¾
Ô
¾
· Ó ×
¾
× Ô ß Ð
Ó ×
¾
¾
½ · Ø Ò
¾
¾
· Ø Ò
¾
Ø Ñ ¹ Ð
Ø Ò
¾
Ø Ò
¾
· « Ò Ù Ð Ð ¹ Ð
´ ¾ º ¾ º ½ µ
7/29/2019 Fre P. Course in General Relativity (Free Version, Lecture Notes, Web Draft, 2003)(141s)_PGr
http://slidepdf.com/reader/full/fre-p-course-in-general-relativity-free-version-lecture-notes-web-draft 59/141
Ô Ø Ö ¿
Å Ç Ì Á Ç Æ Ç Ì Ë Ì È Ê Ì Á Ä Á Æ Ì À
Ë À Ï Ê Ë À Á Ä Å Ì Ê Á
¿ º ½ Á Ò Ø Ö Ó Ù Ø Ó Ò
Á Ø × Ö Ø Ó × Ý Ø Ø Ñ Ó Ö Ò Ô Ý × × × Ø Ö Ø Û Ø Ø Ó Ô Ö Ò Ò Ê Ú Ó Ð Ù Ø Ó Ò Ò Û Ø Ø Ö Ñ Ö ¹
Ð Ó Ò Ô Ø Ù Ð × Ý Ò Ø × × Ó Â Ó Ò Ò × Ã Ô Ð Ö ´ × Ô Ó Ö Ø Ö Ø × Ú Ò Ò ¬ º ¿ º ½ µ Û Ó × Ù Ñ Ñ Ö Þ Ø Û Ó
Ñ Ð Ð Ò Ò Ó × Ø Ö Ó Ò Ó Ñ Ð Ó × Ö Ú Ø Ó Ò × Ó Ø × Ó Ð Ö × Ý × Ø Ñ Ò Ø Ó Ø Ö × Ñ Ô Ð Ð Û × Ø Ø × Ö
Ø Ó Ö Ø × Ó Ô Ð Ò Ø × Ò Ø Ö Ô Ö Ó × Ó Ö Ú Ó Ð Ù Ø Ó Ò º Á Ò Û Ø Ó Ò ³ × Ø Ó Ö Ý Ó Ö Ú Ø Ø Ó Ò Ð Ò ¹
Ø Ö Ø Ó Ò × Ò Û Ø Ó Ò Ò Ñ Ò × Û Ö Ù × Ø Ò Ú Ò Ø Ø Ó Ü Ô Ð Ò Ã Ô Ð Ö ³ × Ð Û × Û Ø Ò Ù Ò ¬
Ø Ó Ö Ý Ó Ð Ð Ô Ó × × Ð Ñ Ó Ø Ó Ò × º
Á Ø × Õ Ù Ø Ó Ú Ó Ù × Ø Ø Ò Ö Ð Ê Ð Ø Ú Ø Ý Û Ñ × Ø Ö Ô Ð Ò Û Ø Ó Ò ³ × Û Ø Ñ Ó Ö
Ô Ö Ó Ó Ù Ò Ò Ó Ò × × Ø Ò Ø Ø Ó Ö Ý Ó Ö Ú Ø Ý × Ó Ù Ð Ö Ô Ö Ó Ù Ã Ô Ð Ö ³ × Ð Û × ¸ Ø Ð × Ø Ò ¬ Ö × Ø Ô Ô Ö Ó Ü ¹
Ñ Ø Ó Ò º Ð Ö Ð Ý Û Ü Ô Ø × Ó Ñ Ñ Ó ¬ Ø Ó Ò × Ò × Ó Ñ Ò Û « Ø × Ù Ø ¸ Ò Ó Ö Ö Ø Ó Ñ Ø
Ò Û Ø Ó Ö Ý × Ù × × Ù Ð ¸ Ø Ý Ú Ø Ó Ü Ø Ö Ñ Ð Ý Ø Ò Ý Ò Ô Ý × Ð × Ý × Ø Ñ × Ó Ø × Þ Ó Ø × Ó Ð Ö
× Ý × Ø Ñ º Ç Ò Ø Ó Ò Ø Ö Ö Ý Ø × Ñ « Ø × Ö Ð Ð Ó Û Ø Ó Ó Ñ Ú Ö Ý Ð Ö Ò Ú Ò Ó Ñ Ò Ò Ø
Ò Ü Ø Ö Ñ Ð Ý Ò Ö Ö Ó Û × Ø Ö Ó Ô Ý × Ð × Ý × Ø Ñ × Ð Ø Ó × Ô Ö Ó Ú Ý Ò Ö × Ó Ó Ñ Ô Ø × Ø Ö × Ø Ø
Ö Ô Ö × Ò Ø Ð Ý × × Ð Ø Ó Ø × Ø Ö Ó Ò Ó Ñ Ð Ó × Ö Ú Ø Ó Ò Ò Ó Ù Ð Ò Ó Ø Ú Ò × Ù × Ô Ø Ø Ø
Ø Ñ Ó Ã Ô Ð Ö Ó Ö Û Ø Ó Ò º
Á Ò Ø × Ô Ø Ö Û × Ó Û Ø Ø Ø × Ñ Ó × Ø Ð Ý × Ö Ð Ø Ù Ö × Ö Ø Ö Þ Ø Ø Ñ ¹ Ð Ò
× Ô ¹ Ð Ó × × Ó Ô Ö Ø Ù Ð Ö Ó Ò ¹ Ô Ö Ñ Ø Ö × Ô ¹ Ø Ñ Ñ Ø Ö Û Ø Å Ò Ó Û × Ò × Ò Ø Ù Ö
Ø Ø × Ò Ñ Ø Ë Û Ö Þ × Ð Ñ Ø Ö Ø Ö × × Ó Ú Ö Ö º
Ì × Ò ¬ Ò Ó Ø × Ö × Ù Ð Ø × Ô Ô Ö Ø Ø Ö Ó Ù Ø Ó Ð Ð Ó Û Ò Ö × Ó Ò Ò º Ç Ò Û Ô Ø
Ø Ó Ñ Ø Ö Ð Ñ Ó Ð Ó × Ô ß Ø Ñ × Ø Ô Ö ´ Å µ Û Ö Å × « Ö Ò Ø Ð Ñ Ò Ó Ð Ò
× Ô × Ù Ó ß Ê Ñ Ò Ò Ò Ñ Ø Ö ¸ Ø Ù Ò Ñ Ò Ø Ð Ô Ö Ó Ð Ñ Ó Ñ Ò × ¸ Ò Ñ Ð Ý Ø Ø Ö Ñ ¹
Ò Ø Ó Ò Ó Ô Ý × Ð Ø Ö Ø Ó Ö × Ó Ô Ó Ò Ø ß Ô Ö Ø Ð × Ú Ò Ø Ó Ö × Ø Ø Ø Ó Ò Ø Ñ ¸ × Ö Ô Ð Ý
Ø Ó Ñ Ø Ö Ð Ô Ö Ó Ð Ñ Ó Ð Ù Ð Ø Ò Ø Ó × × Ó Ö Ø Ñ Ø Ö º Ì Ö Ö Ø Ö Ò × Ó
Ø × Ð Ø Ø Ö
´ µ Ø Ø Ñ ¹ Ð Ó × × Ö Ø Ô Ó × × Ð Û Ó Ö Ð ß Ð Ò × Ó Ð Ð Ó Û Ý Ñ × × Ú Ô Ö Ø Ð × ¸
´ µ Ø Ð Ø ¹ Ð Ó × × Ö Ø Ô Ó × × Ð Û Ó Ö Ð ß Ð Ò × Ó Ð Ð Ó Û Ý Ñ × × Ð × × Ô Ö Ø Ð × × Ù × Ø
Ô Ó Ø Ó Ò × ¸
´ µ Ø × Ô ¹ Ð Ó × × Ò Ò Ó Ø Û Ó Ö Ð ß Ð Ò × Ó Ö Ò Ý Ô Ý × Ð Ô Ö Ø Ð × Ò Ý Ó Ù Ò Ø Ö Ú Ð
Ð Ó Ò Ø Ñ Ó Ò Ð Ý Ø × Ô Ð Ö Ö Ø Ò Ø × Ô Ó Ð Ø º
À Ò Ø Ñ Ø Ö × × Ù × Ø Ø Ù Ø Ó Ö Ø Ó Ò Ô Ø Ó Ó Ö ¬ Ð Ò Ø Ð Ù Ð Ø Ó Ò Ó Ø Ñ ß
Ð Ó × × × × Ù × Ø Ø Ù Ø Ó Ö Ø × Ó Ð Ù Ø Ó Ò Ó Ø Ù Ò Ñ Ò Ø Ð Ô Ö Ó Ð Ñ Ó Ñ Ò × Ò Ø ×
7/29/2019 Fre P. Course in General Relativity (Free Version, Lecture Notes, Web Draft, 2003)(141s)_PGr
http://slidepdf.com/reader/full/fre-p-course-in-general-relativity-free-version-lecture-notes-web-draft 60/141
Á Ò Ø Ö Ó Ù Ø Ó Ò
Ù Ö ¿ º ½ º Â Ó Ò Ò × Ã Ô Ð Ö ½ ½ ¹ ½ ¿ ¼
Ó Ö ¬ Ð º Ê Ø Ö Ú Ò Ð Ñ Ó × Ø Ã Ô Ð Ö Ò Ó Ö Ø × Ö Ó Ñ Ø Ø Ñ ¹ Ð Ó × × Ó Ø Ë Û Ö Þ × Ð
Ñ Ø Ö × Ó Û × Ø Ø Ø × Ð Ø Ø Ö × Ó Ö Ö Ø Ö Ô Ð Ñ Ò Ø Ó Ö Û Ø Ó Ò ³ × Ð Û Ó Ö Ú Ø Ø Ó Ò º Á Ò Ø
Ó Ò Ô Ö Ñ Ø Ö Ó Ù Ö Ö Ò Ò Ø Ë Û Ö Þ × Ð Ñ Ø Ö Ò Ò Ø ¬ Û Ø Ø Ñ × × Å Ó Ø
Û Ø Ó Ò Ò × Ó Ù Ö º
Ò Ö Ð Ê Ð Ø Ú Ø Ý × ¬ Ð Ø Ó Ö Ý Ó Ö Ø × Ô ß Ø Ñ Ñ Ø Ö
´ Ü µ Ò Ø Û Ð Ð Ó Ö Ö Ø
Ø Ó Ö Ý Ó Ö Ú Ø Ý Ø Ë Û Ö Þ × Ð Ñ Ø Ö × × Ó Ð Ù Ø Ó Ò Ó Ø × ¬ Ð Õ Ù Ø Ó Ò × ¸ Ø Ù Ð Ð Ý Ø Ù Ò Õ Ù
× Ó Ð Ù Ø Ó Ò Û Ø Ø × Ý Ñ Ñ Ø Ö Ý Ó Ö Ö × Ô Ó Ò Ò Ø Ó Ã Ô Ð Ö ³ × Ô Ö Ó Ð Ñ ¸ Ò Ñ Ð Ý × Ô Ö Ð × Ý Ñ Ñ Ø Ö Ý º Ì ×
× Û Ø Û × Ó Û Ò Ð Ø Ö Ô Ø Ö × Ó Ò Ò × Ø Ò ³ × ¬ Ð Õ Ù Ø Ó Ò × Ú Ò Ò Ø Ö Ó Ù º
Á Ò Ø Ô Ö × Ò Ø Ô Ø Ö Û × Ñ Ô Ð Ý × × Ù Ñ Ø Ë Û Ö Þ × Ð Ñ Ø Ö Ò Û Û Ó Ö Ó Ù Ø Ð Ð Ó
Ø × Ó Ò × Õ Ù Ò × º Ø Ö Ö Ú Û ´ × × Ø º ¿ º ¾ µ Ó Ã Ô Ð Ö ³ × Ô Ö Ó Ð Ñ Ò Ø Ó Ò Ø Ü Ø Ó Û Ø Ó Ò Ò
Ñ Ò × ¸ Ò × Ø º ¿ º ¿ Û × Ø Ù Ý Ø Õ Ù Ø Ó Ò × Ó Ö Ø Ñ ß Ð Ó × × Ò Ë Û Ö Þ × Ð Ó Ñ Ø Ö Ý
7/29/2019 Fre P. Course in General Relativity (Free Version, Lecture Notes, Web Draft, 2003)(141s)_PGr
http://slidepdf.com/reader/full/fre-p-course-in-general-relativity-free-version-lecture-notes-web-draft 61/141
Ã Ô Ð Ö Ò Å Ó Ø Ó Ò × Ò Æ Û Ø Ó Ò Ò Å Ò × ¼
Ò Û × Ó Û Ó Û × Ù Ó Ñ Ø Ö Ð Ô Ö Ó Ð Ñ Ñ Ø × Ó Ò ß Ø Ó ß Ó Ò Ñ Ô Ò Ø Ó Ø Ô Ö Ú Ó Ù × Ó Ò º Á Ò
Ô Ö Ø Ù Ð Ö Ø ¬ Ö × Ø Ò Ø Ö Ð × Ó Ø Û Ø Ó Ò Ò Ñ Ó Ø Ó Ò ¸ Ø Ò Ö Ý Ò Ø Ò Ù Ð Ö Ñ Ó Ñ Ò Ø Ù Ñ
Ö Ñ Ô Ô Ò Ø Ó Ø Ö Ö Ð Ø Ú × Ø Ò Ð Ó Ù × Ò Ä Û Ö Ó Ò × Ø Ò Ø Ð Ó Ò Ø Ó × ×
Ò Ö × × Ó Ø Û Ø Ø × Ñ × Ý Ñ Ñ Ø Ö × Ò Ó Ø × × Ø Ñ ß Ò Ô Ò Ò Ò × Ô Ö Ð
× Ý Ñ Ñ Ø Ö Ý Ó Ø Ö Ú Ø Ø Ó Ò Ð ¬ Ð ¸ Ö × Ô Ø Ú Ð Ý º Ï Ö Ø Ò Ø « Ö Ò Ø Ð Õ Ù Ø Ó Ò Ó Ø Ó Ö Ø Û
¬ Ò Ø Ø Ø × Ó Ö Ñ Ð Ð Ý Ò Ø Ð Ø Ó Ø Ø Ó Û Ø Ó Ò ³ × Ø Ó Ö Ý Ù Ø Û Ø Ñ Ó ¬ Ò Ø Ö Ð Ô Ó Ø Ò Ø Ð
Î
´ Ö µ º Á Ò Ø Ó Ò Ø Ó Ò Ø Ø Ø Ö Ø Ú Ø Ö Ñ ½ Ö Ò Ø Ó Ø Ò Ø Ö Ù Ð Ö Ö Ö ½ Ö
¾
Ø Ö × Ø Ö Ø Ø Ö Ø Ú Ø Ö Ñ ½ Ö
¿
Ø Ø × Ö × Ô Ó Ò × Ð Ó Ö Ð Ð Ø Ú Ø Ó Ò × Ö Ó Ñ Ô Ù Ö Ð Ý
Ã Ô Ð Ö Ò Ñ Ó Ø Ó Ò º Ø Ð Ö × Ø Ò × Ø × Ò Û Ø Ö Ñ × Ó Ñ Ô Ð Ø Ð Ý Ò Ð Ð Ò Ø × Ü Ô Ð Ò × Û Ý
Û Ø Ó Ò ³ × Ø Ó Ö Ý Û Ó Ö × × Ó Û Ð Ð ¸ Ý Ø Ø × Ñ Ð Ð × Ø Ò × Ø Ó Ñ Ò Ø × Ò Ñ × Ö Ñ Ø Ò ×
Ò Ó Ù Ö Ô Ö Ø Ó Ò × º Á Ø × Ö × Ô Ó Ò × Ð Ó Ö Õ Ù Ð Ø Ø Ú Ð Ý Ò Û « Ø × ¸ Ò Ô Ö Ø Ù Ð Ö Ø Ô Ò Ó Ñ Ò Ó Ò Ó
Ô Ö × Ø Ö Ó Ò Ú Ò Ò Ô Ð Ò Ø Ö Ý Ó Ö Ø × º Ì × × Ø Ò Ý Ù Ø Ñ × Ù Ö Ð « Ø Ò Ø × Ó Ð Ö × Ý × Ø Ñ
Ø Ø Ò Ó Ñ Ñ Ô Ö × × Ú Ð Ý Ð Ö Ò Ò Ö Ö Ó Û Ò Ö Ý × Ý × Ø Ñ × º À × Ø Ó Ö Ð Ð Ý Ø Ô Ö Ó Ú Ó Ò Ó Ø
Ø Ö Ø × Ø × Ó Ò Ö Ð Ê Ð Ø Ú Ø Ý Ô Ö Ó Ô Ó × Ý Ò × Ø Ò Ñ × Ð Ø Ð Ù Ð Ø Ó Ò Ó Ø Ñ × Ù Ö
Ò Ù Ò Ü Ô Ð Ò Ô Ö Ð Ó Ò Ú Ò Ò Ø Ó Ö Ø Ó Å Ö Ù Ö Ý º Ò Ó Ø Ö Ø × Ø Ô Ö Ó Ô Ó × Ý Ò × Ø Ò
Û × Ø - Ø Ó Ò Ó Ð Ø ß Ö Ý × Ý Ö Ú Ø Ø Ó Ò Ð ¬ Ð º Ì × × Ø Ó Ó Û Ø Ø Ð Ø ß Ð Ó × ×
Û Ó × Ð Ù Ð Ø Ó Ò Û Ö × × Ò × Ø Ó Ò ¿ º º
Á Ò Ø Û Ø Ó Ò Ò × Ø Ò Ö Ð Ò Ø Ö Ð Ó Ø Ó Ö Ø Õ Ù Ø Ó Ò Ò Ú Ò Ò Ð Ó ×
Ò Ð Ý Ø Ð Ó Ö Ñ º Ó Ö Ø × Ó Ë Û Ö Þ × Ð Ó Ñ Ø Ö Ý Ø × × Ò Ó Ø Ô Ó × × Ð Ò Û Ú Ø Ó
Ö × Ó Ö Ø Ø Ó Ò Ù Ñ Ö Ð × Ó Ð Ù Ø Ó Ò × º Ó Ö Ô Ó Ð Ô Ù Ö Ô Ó × × Á Ô Ö × Ò Ø × Ó Ö Ø Ó Ñ Ô Ù Ø Ö Ô Ò
Å Ì À Å Ì Á Ø Ø Ò Ù × Ø Ó Ô Ö Ó Ù Ò Ù Ñ Ö Ð × Ó Ð Ù Ø Ó Ò × Ó Ø Ó Ö Ø Õ Ù Ø Ó Ò Ò Ô Ð Ó Ø
Ø Ñ Ö Ô Ð Ð Ý ´ × × Ø º ¿ º º ¾ µ º Ð Ø Ö Ò Ø Ú Ð Ý Û Ò Ù × Ô Ö Ø Ù Ö Ø Ó Ò Ø Ó Ö Ý Ò Ð Ù Ð Ø Ø
¬ Ö × Ø Ó Ö Ö Ó Ö Ö Ø Ó Ò × Ø Ó Ã Ô Ð Ö Ò Ó Ö Ø × º Ì × × Ø ¬ Ö × Ø Ü Ñ Ô Ð Ó Ô Ó × Ø Ò Û Ø Ó Ò Ò Ü Ô Ò × Ó Ò
Ò Ô Ö Ó Ù × Ø Ð Ö Ø Ó Ö Ñ Ù Ð Ó Ö Ø Ô Ö × Ø Ö Ó Ò Ú Ò Ò Ó Ö Ø Ð Ø ß Ö Ý - Ø Ó Ò
Ò Ð º
¿ º ¾ Ã Ô Ð Ö Ò Å Ó Ø Ó Ò × Ò Æ Û Ø Ó Ò Ò Å Ò ×
× Ò Ø Ô Ø Ò Ø Ò Ø Ö Ó Ù Ø Ó Ö Ý × Ø Ó Ò Ø × Ó Ò Ú Ò Ò Ø Ø Ó × Ø Ö Ø Û Ø Ö Ú Û Ó Ã Ô Ð Ö ³ ×
Ô Ö Ó Ð Ñ Ò Ð × × Ð Û Ø Ó Ò Ò Ñ Ò × º Ì ¬ Ö × Ø Ø Ò Ø Ó Ó × Ø Ó ¬ Ü Ó Ù Ö Ó Ò Ú Ò Ø Ó Ò × Ó Ö
Ò Ñ Ø × º Ï Ù × Ô Ó Ð Ö Ó Ó Ö Ò Ø × Ò Ø Û Ý Û Ð Ð Ø Ô Ó Ò Ø × Ó ¾ ß × Ô Ö Ý Ñ Ò × Ó
Ø Û Ó Ò Ù Ð Ö Ó Ó Ö Ò Ø × × × Ö Ò ¬ º ¿ º ¾
Á Ò Û Ø Ó Ò ³ × Ø Ó Ö Ý Ø Ó Ö Ø Õ Ù Ø Ó Ò × Ö Ù Ö Ó Ñ Ø Õ Ù Ø Ó Ò × Ó Ò Ö Ý Ò Ò Ù Ð Ö
Ñ Ó Ñ Ò Ø Ù Ñ Ó Ò × Ö Ú Ø Ó Ò Ø Ø ¸ Ò Ø Ô Ó Ð Ö Ó Ó Ö Ò Ø × Û Ú Ó Ô Ø ¸ Ø Ø Ó Ð Ð Ó Û Ò Ó Ö Ñ
½
¾
Ö
Ø
¾
·
½
¾
¾
Ö
¾
ß Þ
Ò Ø Ö Ù Ð
Ö Ö Ö
Å
Ö
ß Þ
Û Ø Ó Ò Ò
Ô Ó Ø Ò Ø Ð
´ ¿ º ¾ º ½ µ
Ö
¾
Ø
ß Þ
Ò Ù Ð Ö
Ñ Ó Ñ Ò Ø Ù Ñ
´ ¿ º ¾ º ¾ µ
Ó Ð Ð Ó Û Ò Õ Ù Ø × Ø Ò Ö Ó Ò Ú Ò Ø Ó Ò × Ó Ò × Ø ×
Ö
Ö
Ø
Ö
¼
Ö
µ Ö Ö
¼
Ö
¾
´ ¿ º ¾ º ¿ µ
7/29/2019 Fre P. Course in General Relativity (Free Version, Lecture Notes, Web Draft, 2003)(141s)_PGr
http://slidepdf.com/reader/full/fre-p-course-in-general-relativity-free-version-lecture-notes-web-draft 62/141
Ã Ô Ð Ö Ò Å Ó Ø Ó Ò × Ò Æ Û Ø Ó Ò Ò Å Ò × ½
Ù Ö ¿ º ¾ º Ç Ù Ö Ó Ò Ú Ò Ø Ó Ò × Ó Ö Ø Ò Ù Ð Ö Ó Ó Ö Ò Ø × Ó Ò Ø Ë
¾
× Ô Ö Ö × Ó Ð Ð Ó Û × Ø Þ Ñ Ù Ø Ð
Ò Ð Ø × Ø Ú Ð Ù × Ò Ø Ö Ò ¼ ¾ ℄ ¸ Û Ð Ø × Ò × Ó Ò Ò Ð Ö Ù Ò × Ö Ó Ñ ¼ ´ Ø Æ Ó Ö Ø È Ó Ð µ
Ø Ó ´ Ø Ë Ó Ù Ø È Ó Ð µ º Ì Ñ Ø Ö ×
¾
¾
· × Ò
¾
¾
× × Ò Ù Ð Ö Ø ¼ Ò º Ì × Ö
Ó Ó Ö Ò Ø × Ò Ù Ð Ö Ø × Ø Ø Ò Ö Ñ Ó Ú Ý Ö ¬ Ò Ò
× Ó Ø Ø Õ º ´ ¿ º ¾ º ½ µ Ó Ñ ×
½
¾
´ Ö
¼
µ
¾
¾
Ö
·
½
¾
¾
Ö
¾
Å
Ö
´ ¿ º ¾ º µ
Á Ò Ø Ö Ó Ù Ò Ò Û Ú Ö Ð
Ù
½
Ö
´ ¿ º ¾ º µ
Õ º ´ ¿ º ¾ º µ Ó Ñ ×
´ Ù
¼
µ
¾
· Ù
¾
¼
· ¾ Ù ´ ¿ º ¾ º µ
Û Ö Û Ú × Ø
¼
¾
¾
½
Å
¾
¾
´ ¿ º ¾ º µ
Ì Ò Ù Ö Ø Ö
Ö Ú Ø Ú Ó Õ º ´ ¿ º ¾ º µ Ó Ò Ó Ø Ò ×
¾ Ù
¼
´ Ù
¼ ¼
· Ù
½
µ ¼ ´ ¿ º ¾ º µ
Ì Ö Ö Ø Û Ó Ò × Ó × Ó Ð Ù Ø Ó Ò × Ó Õ º ´ ¿ º ¾ º µ ¸ Ø Ó × Û Ö Ù
¼
¼ Ò Ø Ó × Û Ö
Ù
¼ ¼
· Ù
½
¼ ´ ¿ º ¾ º µ
Ì ¬ Ö × Ø Ò Ó × Ó Ð Ù Ø Ó Ò × Ó Ö Ö × Ô Ó Ò Ø Ó Ø Ö Ù Ð Ö Ó Ö Ø × Ó Ö Û Ö Ó Ò × Ø ¸ Û Ð Ø × Ó Ò
Ö Ø Ò Ó Ò Ö Ù Ð Ö Ó Ò × º Õ º ´ ¿ º ¾ º µ × Ñ Ñ Ø Ð Ý × Ó Ð Ú Ý Ò Ó Ú Ö Ð Ù Ý ·
½
Û Ö Ù × Ø Ø Ó Ø Ñ Ð Ö Õ Ù Ø Ó Ò
¾
Ý
¾
· Ý ¼ ´ ¿ º ¾ º ½ ¼ µ
7/29/2019 Fre P. Course in General Relativity (Free Version, Lecture Notes, Web Draft, 2003)(141s)_PGr
http://slidepdf.com/reader/full/fre-p-course-in-general-relativity-free-version-lecture-notes-web-draft 63/141
Ì Ó Ö Ø Õ Ù Ø Ó Ò × Ó Ñ × × Ú Ô Ö Ø Ð ¾
Ó Ö Ñ Ó Ò Ñ Ó Ø Ó Ò Û Ó × Ò Ö Ð × Ó Ð Ù Ø Ó Ò × Ý Ó × ´
¼
µ Ò Ó Ò Ø Ò × Ø Û Ó Ò Ø Ö Ø Ó Ò
Ó Ò × Ø Ò Ø × Ò
¼
º Ì Ö Ó Ö Ø Ò Ö Ð × Ó Ð Ù Ø Ó Ò Ó Õ º ´ ¿ º ¾ º µ Ò Û Ö Ø Ø Ò × Ó Ð Ð Ó Û ×
½
Ù
Ö
½
¾
¡
½
½ · Ó ×
´ ¿ º ¾ º ½ ½ µ
Û Ö Û Ò Ñ
½
½
¾
× Ñ Ð Ø Ù × Ö Ø Ù Ñ
½
Ò Ø Ö Ø Ý
´ ¿ º ¾ º ½ ¾ µ
Á Ò Ø × Û Ý Ø Ô Ö Ñ Ø Ö ¸ Û Ó × Ö Ò × ¼ ½ ¸ Ö Ô Ð × Ø Ò Ø Ö Ø Ó Ò Ó Ò × Ø Ò Ø Û Ð
Ø × Ó Ò Ò Ø Ö Ø Ó Ò Ó Ò × Ø Ò Ø
¼
× Ö × Ó Ö Ò Ø Ó Ø ¬ Ò Ø Ó Ò Ó Ø Þ Ñ Ù Ø Ð Ò Ð º Ì
Ò Ñ × Ú Ò Ø Ó Ø Ô Ö Ñ Ø Ö × ´ ¿ º ¾ º ½ ¾ µ Ö Ø Ö Ø Ó Ò Ð Ò × Ø Ö Ó Ò Ó Ñ Ý × Ò Ø Ø Ñ Ó Ã Ô Ð Ö Ò
Ö Ö Ø Ó Ø Ó Ñ Ø Ö Ð Ò Ø Ö Ô Ö Ø Ø Ó Ò Ó Ø × Ó Ð Ù Ø Ó Ò ´ ¿ º ¾ º ½ ½ µ × Ø Õ Ù Ø Ó Ò Ó Ò Ð Ð Ô × × ´ ×
¬ º ¿ º ¿ µ
Ù Ö ¿ º ¿ º Ì Ã Ô Ð Ö Ò Ó Ö Ø Ó Ø × Ø Ô Ö Ø Ð Ó Ñ × × Ö Ó Ù Ò Ò Ø Ö Ó Ñ × × Å × Ò Ð Ð Ô × ×
Ô Ö Ñ Ø Ö Þ Ý Ø × Ñ Ð Ø Ù × Ö Ø Ù Ñ
Ö
·
· Ö
¾
Ò Ø Ò Ø Ö Ø Ý
Ö
·
Ö
Ö
·
· Ö
¸ Ö
¦
Ò Ø Ñ Ü Ñ Ð
Ò Ñ Ò Ñ Ð × Ø Ò × Ö Ó Ñ Ø Ò Ø Ö Ó Ñ × × Ö Ý Ø Ø × Ø Ô Ö Ø Ð Û Ð Ó Ò Ö Ó Ù Ò Ø × Ó Ö Ø º
Á Ò Ø × Ó Ø Ë Ó Ð Ö × Ý × Ø Ñ Ø × Ô Ó Ò Ø × Ö Ö × Ô Ø Ú Ð Ý Ò Ñ Ø Ô Ð Ó Ò Ò Ø Ô Ö Ð Ó Ò
Ì Ó Ñ Ø Ö Ð Ô Ö Ñ Ø Ö × Ò Ö Ö Ð Ø Ø Ó Ø Ô Ý × Ð Ó Ò × Ø Ò Ø × Ó Ñ Ó Ø Ó Ò ¸ Ò Ñ Ð Ý
Ø Ó Ø Ò Ö Ý Ò Ø Ò Ù Ð Ö Ñ Ó Ñ Ò Ø Ù Ñ º
¿ º ¿ Ì Ó Ö Ø Õ Ù Ø Ó Ò × Ó Ñ × × Ú Ô Ö Ø Ð Ò Ë Û Ö Þ × Ð Ó Ñ Ø Ö Ý
Ä Ø Ù × Ò Ó Û Ø Ù Ö Ò Ø Ó Ø × Ö Ô Ø Ó Ò Ó × Ô ß Ø Ñ × « Ö Ò Ø Ð Ñ Ò Ó Ð Ò Ó Û Û Ø
Ô × Ù Ó ß Ê Ñ Ò Ò Ò × Ø Ö Ù Ø Ù Ö Ò Ò Ø Ö Ó Ù Ø Ë Û Ö Þ × Ð Ñ Ø Ö
×
¾
½ ¾
Ñ
Ö
Ø
¾
·
½ ¾
Ñ
Ö
½
Ö
¾
· Ö
¾
¾
· × Ò
¾
¾
¡
´ ¿ º ¿ º ½ ¿ µ
7/29/2019 Fre P. Course in General Relativity (Free Version, Lecture Notes, Web Draft, 2003)(141s)_PGr
http://slidepdf.com/reader/full/fre-p-course-in-general-relativity-free-version-lecture-notes-web-draft 64/141
Ì Ó Ö Ø Õ Ù Ø Ó Ò × Ó Ñ × × Ú Ô Ö Ø Ð ¿
Û Ö Ø Ò Ó Ø × Ø Ø Ñ Ó Ó Ö Ò Ø × ¸ Û Ð Ö Ö Ô Ó Ð Ö Ó Ó Ö Ò Ø × Ò Ø × Ñ Ò Ó Ø Ø Ó Ò × ×
Ó Ö º
Ì Ó Ó Ø Ò Ø Ó × Õ Ù Ø Ó Ò Ó Ö Ø Ñ Ó Ø Ó Ò Ó Ñ × × Ú Ø × Ø Ô Ö Ø Ð Ò Ø Ñ Ø Ö ´ ¿ º ¿ º ½ ¿ µ
Û Ù × Ø Ú Ö Ø Ó Ò Ð Ô Ö Ò Ô Ð º × Û Ü Ô Ð Ò Ò × Ø Ó Ò ¸ Ú Ò Ò Ü Ô Ð Ø Ñ Ø Ö
´ Ü µ
Û Ú Ø Ô Ö Ó Ô Ö Ø Ñ
Ö
Ü
Ü
´ ¿ º ¿ º ½ µ
Û × Ü Ø Ö Ñ Ð Ó Ò Ó × º Á Û Ù × × Æ Ò Ô Ö Ñ Ø Ö Ø Ô Ö Ó Ô Ö Ø Ñ Ø × Ð ¸ Ø Ò
Û Ò Ù × Ø Ö Ú Ø Ó × Õ Ù Ø Ó Ò × Ö Ó Ñ Ø « Ø Ú Ð Ö Ò Ò
Ä
½
¾
´ Ü µ
Ü
Ü
´ ¿ º ¿ º ½ µ
Ô Ð Ù × Ø Ó Ò × Ø Ö Ò Ø Ø Ø
½ µ Ä ½ ¾ ´ ¿ º ¿ º ½ µ
Ñ Ù × Ø Ó Ð Ø Ö Ù Ó Ò Ð Ð × Ó Ð Ù Ø Ó Ò × º
Ó Ð Ð Ó Û Ò Ø × Ö × Ó Ò Ò ¸ Ö Ó Ñ Ø Ë Û Ö Þ × Ð Ñ Ø Ö ´ ¿ º ¿ º ½ ¿ µ Û Ö Ú Ø « Ø Ú Ð ¹
Ö Ò Ò
Ä
½ ¾
Ñ
Ö
Ø
¾
·
½ ¾
Ñ
Ö
½
Ö
¾
· Ö
¾
¾
· × Ò
¾
¾
´ ¿ º ¿ º ½ µ
Û Ö Ø Ó Ø Ò Ó Ø × Ø Ö Ú Ø Ú Û Ø Ö × Ô Ø Ø Ó Ô Ö Ó Ô Ö Ø Ñ º
Ì Ù Ð Ö ß Ä Ö Ò Õ Ù Ø Ó Ò Ó Ø ¬ Ð ´ µ Ý Ð ×
Ä
Ä
¼ µ
¾ Ö
¾
· ¾ × Ò Ó ×
¾
¼ ´ ¿ º ¿ º ½ µ
Ö Ó Ñ Õ º ¿ º ¿ º ½ Û Ó Ò Ð Ù Ø Ø Ø × Ó Ò × × Ø Ò Ø Ø Ó × Ø
Ó Ò × Ø
¾
´ ¿ º ¿ º ½ µ
Ø Ö Ó Ù Ó Ù Ø Ø Ñ Ó Ø Ó Ò º Á Ò Ó Ø Ö Û Ó Ö × Ø Ë Û Ö Þ × Ð Ñ Ó Ø Ó Ò × Ô Ð Ò Ö × Ø Û Ø Ó Ò Ò Ñ Ó ¹
Ø Ó Ò Ø Ø × Ô Ð Ò Ø Õ Ù Ø Ó Ö Ð Ô Ð Ò Û Ø Ö × Ô Ø Ø Ó Ø Ó Ó Ö Ò Ø Ö Ñ Û Ú Ó Ô Ø
´ × ¬ º ¿ º ¾ µ º Ì Ò Ø × Ò Ø Ó Ó Ù Ò Ø Û Ñ Ñ Ø Ð Ý Ø Ø Ó Ð Ð Ó Û Ò Ö Ù Ð Ö Ò Ò
Ä
Ö Ù
½
¾
½ ¾
Ñ
Ö
Ø
¾
·
½ ¾
Ñ
Ö
½
Ö
¾
· Ö
¾
¾
´ ¿ º ¿ º ¾ ¼ µ
Á Ø × Ô Ô Ö Ò Ø Ö Ó Ñ Õ º ´ ¿ º ¿ º ¾ ¼ µ Ø Ø Ó Ø Ø Ø Ñ Ø Ò Ø Þ Ñ Ù Ø Ð Ò Ð Ö Ý Ð Ò Ó Ò Ð
Ú Ö Ð × ¸ Ò Ñ Ð Ý Ø Ý Ô Ô Ö Ò Ø Ð Ö Ò Ò Ó Ò Ð Ý Ø Ö Ó Ù Ø Ö Ö Ú Ø Ú × Û Ø Ö × Ô Ø Ø Ó
Ø Ð Ö Ò Ò Ø Ñ º Ì × Ñ Ô Ð × Ø Ü × Ø Ò Ó Ø Û Ó ¬ Ö × Ø Ò Ø Ö Ð × Ó Ø Ñ Ó Ø Ó Ò ¸ Ò Ñ Ð Ý
Ø ¹ Ú Ö Ø Ó Ò
µ
Ø
½
¾
Ñ
Ö
¡
Ó Ò × Ø
¹ Ú Ö Ø Ó Ò µ Ö
¾
Ä Ó Ò × Ø
´ ¿ º ¿ º ¾ ½ µ
Á Ø × Ø Ñ Ô Ø Ò Ø Ó Ò Ø Ö Ô Ö Ø
Ò Ä × Ø Ò Ö Ý Ò Ø Ò Ù Ð Ö Ñ Ó Ñ Ò Ø Ù Ñ ¸ Ö × Ô Ø Ú Ð Ý º
Ó Ñ Ô Ö × Ó Ò Û Ø Ø Û Ø Ó Ò Ò Ø Ó Ö Ý Û Ð Ð Ó Ò ¬ Ö Ñ × Ù Ò Ò Ø Ö Ô Ö Ø Ø Ó Ò º
7/29/2019 Fre P. Course in General Relativity (Free Version, Lecture Notes, Web Draft, 2003)(141s)_PGr
http://slidepdf.com/reader/full/fre-p-course-in-general-relativity-free-version-lecture-notes-web-draft 65/141
Ì Ó Ö Ø Õ Ù Ø Ó Ò × Ó Ñ × × Ú Ô Ö Ø Ð
Ë Ò
¾
Ä ½ Ð Ó Ò Ø Ó × × ¸ Ö Ø Ö Ø Ò Û Ó Ö Ò Ó Ù Ø Ø Ø Ó Ò Ð Ù Ð Ö Ä Ö Ò
Õ Ù Ø Ó Ò ´ Ó Ö Ø Ö ß Ú Ö Ø Ó Ò µ Û Ù × Ø Ò × Ö Ø Õ º × ´ ¿ º ¿ º ¾ ½ µ Ò Ø Ó Õ º ´ ¿ º ¿ º ¾ ¼ µ Ò Û Ø
½
¾
½ ¾
Ñ
Ö
Ö
¾
½ ¾
Ñ
Ö
Ö
¾
Ä
¾
Ö
´ ¿ º ¿ º ¾ ¾ µ
× Ó Ø Ø Û Ó Ø Ò
Ö
¾
· Î
´ Ö µ
¾
Ä
Ö
¾
´ ¿ º ¿ º ¾ ¿ µ
Û Ö Û Ú Ò Ø Ö Ó Ù Ø Ó Ð Ð Ó Û Ò « Ø Ú Ò Ø Ö Ð Ô Ó Ø Ò Ø Ð
Î
½ ¾
Ñ
Ö
½ ·
Ä
¾
Ö
¾
½ ¾
Ñ
Ö
·
Ä
¾
Ö
¾
¾
Ä
¾
Ñ
Ö
¿
´ ¿ º ¿ º ¾ µ
À Ò Ø ¬ Ö × Ø Ó Õ º × ´ ¿ º ¿ º ¾ ¿ µ Ò Ð × Ó Ö Û Ö Ø Ø Ò × Ó Ð Ð Ó Û ×
½
¾
Ö
¾
·
Ä
¾
¾ Ö
¾
Ñ
Ö
Ä
¾
Ñ
Ö
¿
¾
½
¾
´ ¿ º ¿ º ¾ µ
Õ º ´ ¿ º ¿ º ¾ µ Ò Ó Ñ Ô Ö Û Ø Ø Õ Ù Ø Ó Ò Ó Ö Ò Ö Ý Ó Ò × Ö Ú Ø Ó Ò Ò Ø Ñ Ó Ø Ó Ò Ó Ø × Ø
Ô Ö Ø Ð Ó Ñ × × Ò Ø Û Ø Ó Ò Ò ¬ Ð Ò Ö Ø Ý Ð Ö Ñ × × Å ´ × Õ º ´ ¿ º ¾ º ½ µ µ º Ó Ö
Ñ Ó Ø Ó Ò × Ø Ø Ö × Ù Æ Ò Ø Ð Ý × Ð Ó Û ¸ Û Ò Ò Ø Ý
³
ß Þ
× Ô
Ó Ð Ø
Ø ´ ¿ º ¿ º ¾ µ
× Ó Ø Ø ¸ Ñ Ù Ð Ø Ô Ð Ý Ò Õ º ´ ¿ º ¿ º ¾ µ Ý ¸ Û Ò Ö Û Ö Ø Ø Ò Ø Ó Ð Ð Ó Û Ò Û Ý
Ñ
¾
Ö
·
½
¾
Ö
Ø
¾
·
½
¾
Ä
¾
¾
Ö
¾
¾
Ä
¾
Ñ
Ö
¿
¾
½
¡
¾
¾
´ ¿ º ¿ º ¾ µ
Ù Ö Ø Ö Ñ Ó Ö ¸ Ø Ø Ö Ñ
¾
Ä
¾
Ñ
Ö
¿
× Ñ Ù × Ñ Ð Ð Ö Ø Ò Ø Ó Ø Ö Ø Ö Ñ ×
¾
Ä
¾
Ñ
Ö
¿
½
¾
Ä
¾
¾
Ö
¾
´ ¿ º ¿ º ¾ µ
Ø Ò Û Ò Ñ Ø Ò Ø ¬ Ø Ó Ò ×
Ä
¾
¾
³
¾
µ Ä ³
¾
Ñ Å µ Ñ
Å
¾
¾
½
¾
¾
³ µ
¾
³
¾ ·
¾
¾
´ ¿ º ¿ º ¾ µ
7/29/2019 Fre P. Course in General Relativity (Free Version, Lecture Notes, Web Draft, 2003)(141s)_PGr
http://slidepdf.com/reader/full/fre-p-course-in-general-relativity-free-version-lecture-notes-web-draft 66/141
Ì Ó Ö Ø Õ Ù Ø Ó Ò × Ó Ñ × × Ú Ô Ö Ø Ð
Ó Ö
Ñ
Å
¾
Ë Û Ö Þ × Ð Ñ Ö Ù ×
Ä
Ò Ù Ð Ö Ñ Ó Ñ Ò Ø Ù Ñ Ô Ö Ù Ò Ø Ñ × × Ô Ö × Ô Ó Ð Ø
Õ
½ · ¾
¾
Ø Ó Ø Ð Ò Ö Ý Ò Ö × Ø Ñ × × Ù Ò Ø ×
´ ¿ º ¿ º ¿ ¼ µ
Ì × Ó Ñ Ô Ö × Ó Ò Û Ø Ø Û Ø Ó Ò Ò Ø Ó Ö Ý × Ù × Ø × Ø Ó Ð Ð Ó Û Ò Ù Ö Ø Ó Ò
½ Ó Ù Ò × Ø Ø µ Ð Ó × Ó Ö Ø
½ Ù Ò Ó Ù Ò × Ø Ø µ Ó Ô Ò Ó Ö Ø
´ ¿ º ¿ º ¿ ½ µ
¿ º ¿ º ½ Ü Ø Ö Ñ Ó Ø « Ø Ú Ô Ó Ø Ò Ø Ð Ò Ö Ù Ð Ö Ó Ö Ø ×
Ý Ñ Ò × Ó Õ º × ´ ¿ º ¿ º ¾ ¿ µ Ø Ô Ö Ó Ð Ñ Ó Ñ × × Ú Ô Ö Ø Ð Ó Ö Ø × Ò Ø Ë Û Ö Þ × Ð Ó Ñ Ø Ö Ý
× Ò Ó Ö Ñ Ð Ð Ý Ö Ù Ø Ó Ø Ô Ö Ó Ð Ñ Ó Ð × × Ð Ñ Ó Ø Ó Ò × Ò Ò Ø Ö Ð Ô Ó Ø Ò Ø Ð º À Ò ¸
Ù × Ø × Ò Ð × × Ð Û Ø Ó Ò Ò Ñ Ò × Û Ú Ø Ó × Ø Ù Ý Ø Ü Ø Ö Ñ Ó Ø « Ø Ú Ô Ó Ø Ò Ø Ð
´ ¿ º ¿ º ¾ µ Ò Ó Ö Ö Ø Ó × Ø Ð × Ø Ó Ò Ø Ó Ò × Ó Ö × Ø Ð Ò Ù Ò × Ø Ð Ö Ù Ð Ö Ó Ö Ø × º Á Ò Ò
Ó Ö Ø × Ö Ù Ð Ö Û Ú
Ö
¼ Ò Ø Ö Ù × Ö Ö
¼
Ñ Ù × Ø Ö Ó Ó Ø Ó Ø Õ Ù Ø Ó Ò Î
´ Ö µ º
Ì Ó Ö Ø Û Ð Ð × Ø Ð Ö
¼
× Ñ Ò Ñ Ù Ñ Ó Ø « Ø Ú Ô Ó Ø Ò Ø Ð Î
¸ Û Ð Ø Û Ð Ð Ù Ò × Ø Ð
Ø × Ñ Ü Ñ Ù Ñ º Õ Ù Ø Ò Ø Ó Þ Ö Ó Ø ¬ Ö × Ø Ö Ú Ø Ú Ó Î
Û Ó Ø Ò
¼
Î
Ö
Ñ
Ö
¾
¾
Ä
¾
¾ Ö
¿
· ¿
Ñ Ä
¾
Ö
´ ¿ º ¿ º ¿ ¾ µ
Û Ø × Ó Ð Ù Ø Ó Ò ×
Ö
¦
Ä
¾
¦
Ô
Ä
¾
´ Ä
¾
½ ¾ Ñ µ
¾ Ñ
´ ¿ º ¿ º ¿ ¿ µ
Ò Ó Ò × Ö Ò Ø × Ö Ñ Ò Ò Ø ¡ Ä
¾
´ Ä
¾
½ ¾ Ñ µ Û Ó Ò Ð Ù Ø Ø Ó Ö
Ä
¾
½ ¾ Ñ
¾
´ ¿ º ¿ º ¿ µ
Ø Ö Ö Ò Ó Ü Ø Ö Ñ Ò Ó Ò × Õ Ù Ò Ø Ð Ý Ò Ó × Ø Ð Ó Ö Ø × º Ê Ò × Ø Ð Ð Ò Ô Ý × Ð Ù Ò Ø × Ø × Ø Ð Ø Ý
Ó Ù Ò ´ ¿ º ¿ º ¿ µ Ø Ö Ò × Ð Ø × Ò Ø Ó
Ö
¾
³
Ø
Ô
½ ¾
Å
´ ¿ º ¿ º ¿ µ
Á Ò Ø × Ó Ø × Ø Ô Ö Ø Ð × Ó Ö Ø Ò Ö Ó Ù Ò Ø × Ù Ò Ø × Ñ Ò ×
Ê
¾
Ì
Ô
½ ¾
¾
Å
Â
´ ¿ º ¿ º ¿ µ
Û Ö Ì Ò Ê Ö Ø Ô Ö Ó Ò Ö Ù × Ó Ø Ó Ö Ø ¸ Ö × Ô Ø Ú Ð Ý ¸ Ò Å
Â
Ò Ó Ø × Ø Ñ × × Ó
Ø × Ù Ò º Á Ò × Ö Ø Ò Ø Ò Ù Ñ Ö Ð Ú Ð Ù × Ó Ø × Ô Ý × Ð Ó Ò × Ø Ò Ø × Û ¬ Ò
Å
Â
´
¼ ¡ Ñ
¿
¡ ×
¾
¡ Ñ
½
µ
¾ ¡ ½ ¼
½ ¼
¡ Ñ ¡ ×
½
¿ ¡ ½ ¼
½
¡
Ñ
¾
×
½ ×
½ Ý Ö
¿ ½ ¿ ¼ ¼ ¼
¿ ½ ¿ ¡ ½ ¼
½ Ñ
¾
½ Ñ
½ ¼
½ ¼
½ ¼
½ ¼
Ñ
¾
½
Ñ
¾
×
½
¿ ½ ¿
¡ ½ ¼
¿
¡
Ñ
¾
Ý Ö
¼ ¿ ½ ¡ ½ ¼
¿
Ñ
¾
Ý Ö
´ ¿ º ¿ º ¿ µ
7/29/2019 Fre P. Course in General Relativity (Free Version, Lecture Notes, Web Draft, 2003)(141s)_PGr
http://slidepdf.com/reader/full/fre-p-course-in-general-relativity-free-version-lecture-notes-web-draft 67/141
Ì Ó Ö Ø Õ Ù Ø Ó Ò × Ó Ñ × × Ú Ô Ö Ø Ð
Ì Ö Ó Ö Ø Ö Ø Ð Ð Ñ Ø Ò Ø × Ó Ð Ö × Ý × Ø Ñ × Ú Ò Ý
Ê
¾
Ì
½ ¡ ½ ¼
Ñ
¾
Ý Ö
´ ¿ º ¿ º ¿ µ
Á Ø × Ò × Ø Ö Ù Ø Ú Ø Ó Ó Ñ Ô Ö Ó Ò Ø Ó Ò ´ ¿ º ¿ º ¿ µ Û Ø Ø Ø Ù Ð Ú Ð Ù × Ó Ô Ð Ò Ø Ö Ý Ö Ó Ö Ô Ö Ó × º
Ì Ô Ö Ó Ó Ô Ð Ò Ø × Ó Ø Ó Ö Ö Ó Ø Ý Ö º À Ò Ø Ó Ö Ø Ð Ø Ö Ù × Ó Ø Ó Ö Ø
× Ó Ù Ð Ó Ø Ó Ö Ö Ó ½ ¼
¾
Ñ Û Ð ¸ × Û Ò Ó Û ¸ Ø Ø Ý Ô Ð × Ø Ò Ó Ô Ð Ò Ø Ö Ó Ñ Ø
× Ù Ò × Ó Ø Ó Ö Ö Ó ½ ¼
Ñ º Ð Ø Ö Ò Ø Ú Ð Ý Ô Ò Ø × Ø Ò ¬ Ü ¸ Ó Ö Ò × Ø Ò Ò × Ö Ø Ò Ø
Ú Ö Ö Ù × Ó Ø Ö Ø Ó Ö Ø Ö Ó Ù Ò Ø Ë Ù Ò
Ö
Ä
½ ¢ ½ ¼
Ñ ´ ¿ º ¿ º ¿ µ
Û Ó Ø Ò Ø Ø Ö Ø Ð Ô Ö Ó Ó Ö × Ù Ó Ö Ø Û Ó Ù Ð Ì
Ö Ø
½ ¼
¾ ¼
Ý Ö × º Á Ò Ó Ø Ö Û Ó Ö × ¸ Ò
Ó Ö Ö Ø Ó Ö Ø Ð ¸ Ø Ö Ø × Ó Ù Ð × Ó × Ð Ó Û × Ø Ó Ñ Ù Ð Ð Ö Ú Ó Ð Ù Ø Ó Ò Ò Ø Ñ Ø Ò Ó Ö Ö ×
Ó Ñ Ò Ø Ù Ð Ó Ò Ö Ø Ò Ø Ó Ø Í Ò Ú Ö × Ì
Í Ò Ú Ö ×
½ ¼
½ ¼
Ý Ö × º
Ì × Ò Ù Ñ Ö Ð Ó Ò × Ö Ø Ó Ò × Ú × Ó Ñ Ô Ô Ö Ø Ó Ò Ó Ó Û Ö Ø × Ó Ð Ö × Ý × Ø Ñ × Ö Ó Ñ
Ø Ö Ø Ð Ô Ò Ó Ñ Ò Ñ Ô Ð Ý Ò Ö Ð Ö Ð Ø Ú Ø Ý Ò Ü Ô Ð Ò Û Ý Û Ø Ó Ò Ò Ñ Ò × Û Ó Ö ×
× Ó Û Ð Ð Ó Ö Ø Ô Ý × Ð × Ý × Ø Ñ Ø Û × Ò Ú Ò Ø Ø Ó Ü Ô Ð Ò º Ó Ø Û Ø × Ø Ò Ò Ø × × Ñ Ð Ð Ò × × Ø
Ö Ø Ð Ö Ó Ò × Ý Ò Ó Ñ Ò × Ö Ö Ð Ú Ò Ø Ò × Ø Ö Ó Ô Ý × Ð × Ý × Ø Ñ × º Á Ò ¸ × Û Ö Ó Ò Ø Ó × ¸
Ø Ó Ñ × Õ Ù Ø Ñ Ô Ó Ö Ø Ò Ø Ò Ö Ó Ñ Ô Ø × Ø Ö × Û Ó × Ñ × × × Ó Ø Ó Ö Ö Ó × Ø Ð Ð Ö Ñ × × Å
Â
Ù Ø Û Ó × Ö Ù × × Ó Ø Ó Ö Ö Ó Ø Ð Ó Ñ Ø Ö º
Å Ò Ñ Ù Ñ Ò Å Ü Ñ Ù Ñ Ì × Ó Ò Ö Ú Ø Ú Ó Ø Ô Ó Ø Ò Ø Ð Ý Ð ×
Ö
¾
Î
Ö
¾
¿ Ä
¾
Ö ½ ¾ Ñ Ä
¾
¾ Ñ Ö
¾
´ ¿ º ¿ º ¼ µ
Á Ò × Ö Ø Ò Ø Ú Ð Ù × Ö
¦
Ú Ò Ò Õ º ´ ¿ º ¿ º ¿ ¿ µ Û ¬ Ò
 ´ Ö
·
µ ¼ µ Ö
·
× Ñ Ü Ñ Ù Ñ
 ´ Ö
µ ¼ µ Ö
× Ñ Ò Ñ Ù Ñ
´ ¿ º ¿ º ½ µ
Ü Ô Ð Ø Ð Ý Û Ú
Ö
·
Ä
¾
·
Ô
Ä
¾
´ Ä
¾
½ ¾ Ñ
¾
µ
¾ Ñ
Ñ ´ ¿ º ¿ º ¾ µ
Ì Ñ Ô Ó Ö Ø Ò Ø Ó Ò Ð Ù × Ó Ò Ø Ø Û Ö Ö Ó Ñ Õ º ´ ¿ º ¿ º ¾ µ Ü × Ø Ó Ò Ð Ý Ó Ö Ö Ö Ñ º Á Ò Ø ×
Ó Ø Ë Ù Ò Ø Ò Ù Ñ Ö Ð Ú Ð Ù Ó Ø Ë Û Ö Þ × Ð Ñ Ö Ù × Ö ×
Ñ
Â
Å
Â
¾
³ ½ Ñ ´ ¿ º ¿ º ¿ µ
Ó Ö Ä
¾
½ ¾ Ñ
¾
Û Ú Ö
Ñ Û Ð Ø Ð Ñ Ø Ó Ö
Ó Ö Ä
¾
½ ×
Ð Ñ
Ä
¾
½
Ö
Ð Ñ
Ä
¾
½
Ä
¾
Ô
Ä
¾
´ Ä
¾
½ ¾ Ñ
¾
µ
¾ Ñ
¿ Ñ ´ ¿ º ¿ º µ
Á Ø Ó Ð Ð Ó Û × Ø Ø Ø Ö Ò Ó Ø Ö Ó Ó Ø Ö
×
¿ Ñ Ö
Ñ ´ ¿ º ¿ º µ
7/29/2019 Fre P. Course in General Relativity (Free Version, Lecture Notes, Web Draft, 2003)(141s)_PGr
http://slidepdf.com/reader/full/fre-p-course-in-general-relativity-free-version-lecture-notes-web-draft 68/141
Ì Ó Ö Ø Õ Ù Ø Ó Ò × Ó Ñ × × Ú Ô Ö Ø Ð
Ò Ø Ø × Ø Ö Ò Û Ö Ù Ò × Ø Ð Ö Ù Ð Ö Ó Ö Ø × Ö Ô Ö × Ò Ø º
Á Ò Ú Û Ó Ø × Ò Ð Ý × × Ø × Ó Ò Ú Ò Ò Ø Ø Ó ¬ Ò Ø Ó Ð Ð Ó Û Ò Ñ Ò × Ó Ò Ð × × Ú Ö Ð ×
Ö
Ñ
Ä
Ô
½ ¾ Ñ
´ ¿ º ¿ º µ
Ò Ö Û Ö Ø Ø « Ø Ú Ô Ó Ø Ò Ø Ð ´ ¿ º ¿ º ¾ µ Ò Ø Ö Ñ × Ó Ø ×
Î
½
¾
½
·
¾
¾
½ ¾
¾
¿
´ ¿ º ¿ º µ
Ì × Ø Ö Ù Ø Ù Ö Ó Ø « Ø Ú Ô Ó Ø Ò Ø Ð Ò Ú × Ù Ð Þ Ý Ñ Ò × Ó × Ó Ñ Ô Ð Ó Ø × º Á Ò ¬ º ¿ º Û
Ù Ö ¿ º º Ë Û Ö Þ × Ð Ó Ñ Ø Ö Ý Ô Ð Ó Ø Ó Ø « Ø Ú Ö Ð Ô Ó Ø Ò Ø Ð Ó Ö ½ µ Ä
¾
½ ¾ Ñ
¾
Ì × × Ø Ð Ñ Ø Ò × Û Ö Ò Ó Ö Ù Ð Ö Ó Ö Ø × Ö Ú Ð Ð º Á Ò Ø Ô Ó Ø Ò Ø Ð × Ò Ó Ü Ø Ö Ñ º
× Ô Ð Ý Ø Ð Ñ Ø Ò × Ä
¾
½ ¾ Ñ
¾
Û Ñ Ø × Ò Ó Ö Ù Ð Ö Ó Ö Ø × º Ì Ö × Ó Ò × Ú Ò Ø Ö Ó Ñ
Ø × Ô º Á Ò Ø × × Ø Ô Ó Ø Ò Ø Ð × Ò Ø Ö Ñ Ò Ñ Ò Ó Ö Ñ Ü Ñ º Á Ø Ù × Ø Ö × × Ö Ó Ñ
Ò ¬ Ò Ø Ý Ø Ó Û Ö × Ò ¬ Ò Ø Ð Ý Ð Ö Ò Ø Ú Ú Ð Ù × × Ö ¼ º Á Ò ¬ º × ¿ º Ò ¿ º Û Ú Ô Ð Ó Ø Ø
Ø « Ø Ú Ô Ó Ø Ò Ø Ð Ó Ö Ä
¾
¾ Ñ
¾
¸ Ò Ñ Ð Ý Ó Ö Ú Ð Ù Ó Ø Ò Ù Ð Ö Ñ Ó Ñ Ò Ø Ù Ñ Ø Ø × Ù × Ø
Ó Ú Ø × Ø Ð Ø Ý Ó Ù Ò º Ó Ö Ø × Ú Ð Ù Ó Ø Ô Ö Ñ Ø Ö × Ø Ô Ó Ø Ò Ø Ð × Ø Ö Ø × Ú Ð Ó Ô Ò Ó Ø
Ñ Ò Ñ Ù Ñ Ö
·
¾ ·
Ô
¾
¡
Ñ ¾ ¼ ¿ Ñ Ò Ñ Ü Ñ Ù Ñ Ö
¾
Ô
¾
¡
Ñ ¿ ½ ¾ Ñ º
× Ô Ö Ø Ö Ó Ñ Ó Ù Ö Ò Ö Ð × Ù × × Ó Ò ¸ Ø Ñ Ü Ñ Ù Ñ Ö
·
Ó Ö Ö × Ô Ó Ò Ò Ø Ó Ø Ù Ò × Ø Ð Ö Ù Ð Ö
Ó Ö Ø Ð Ð × Ò Ø Ò Ø Ö Ú Ð ℄ ¿ Ñ Ñ ¸ Û Ð Ø Ñ Ü Ñ Ù Ñ Ö
Ó Ö Ö × Ô Ó Ò Ò Ø Ó Ø × Ø Ð Ó Ö Ø ×
Ð Ö Ö Ø Ò Ñ º Ï Ø × Ô Ý × Ð Ð Ý Ñ Ô Ó Ö Ø Ò Ø Ø Ó Ò Ó Ø × Ø Ø Ö
Ö Ó Û × Ö Ô Ð Ý Û Ø Ò Ù Ð Ö
Ñ Ó Ñ Ò Ø Ù Ñ Ò Ø × Ð Ö Ý Ö Û Ý Ö Ó Ñ Ø Ë Û Ö Þ × Ð Ñ Ö Ù × Ø Ø × × Ñ Ð Ð Ú Ð Ù × Ó
Ä
¾
º
Ò Ö Ý Ó Ô Ö Ø Ð Ò Ö Ù Ð Ö Ó Ö Ø Ä Ø Ù × Ò Ó Û Ð Ù Ð Ø Ø Ò Ö Ý Ó Ø × Ø Ô Ö Ø Ð Ò
Ñ Ó Ø Ó Ò Ó Ò Ö Ù Ð Ö Ó Ö Ø Ò Ó Ñ Ô Ö Ó Ù Ö Ö × Ù Ð Ø Û Ø Ø Û Ø Ó Ò Ò Ø Ó Ö Ý º Ï × Ø Ö Ø Ö Ó Ñ
7/29/2019 Fre P. Course in General Relativity (Free Version, Lecture Notes, Web Draft, 2003)(141s)_PGr
http://slidepdf.com/reader/full/fre-p-course-in-general-relativity-free-version-lecture-notes-web-draft 69/141
Ì Ó Ö Ø Õ Ù Ø Ó Ò × Ó Ñ × × Ú Ô Ö Ø Ð
Ù Ö ¿ º º Ë Û Ö Þ × Ð Ó Ñ Ø Ö Ý Ô Ð Ó Ø Ó Ø « Ø Ú Ô Ó Ø Ò Ø Ð Ó Ö
Ô
¾ µ Ä
¾
¾ Ñ
¾
Á Ò
Ø × × Ø × Ø Ð Ñ Ò Ñ Ù Ñ Ó Ø Ô Ó Ø Ò Ø Ð × Ø Ö
·
¾ ·
Ô
¾
¡
Ñ ¾ ¼ ¿ Ñ ¸ Û Ð Ø Ù Ò × Ø Ð
Ñ Ü Ñ Ù Ñ × Ø Ö
¾
Ô
¾
¡
Ñ ¿ ½ ¾ Ñ
Ù Ö ¿ º º Ë Û Ö Þ × Ð Ó Ñ Ø Ö Ý Ò Ð Ö Ñ Ò Ø Ò Ø Ö Ó Ò Ö Ó Ù Ò Ø × Ø Ð Ñ Ò Ñ Ù Ñ Ó Ø
« Ø Ú Ô Ó Ø Ò Ø Ð Ó Ö
Ô
¾ µ Ä
¾
¾ Ñ
¾
7/29/2019 Fre P. Course in General Relativity (Free Version, Lecture Notes, Web Draft, 2003)(141s)_PGr
http://slidepdf.com/reader/full/fre-p-course-in-general-relativity-free-version-lecture-notes-web-draft 70/141
Ì Ó Ö Ø Õ Ù Ø Ó Ò × Ó Ñ × × Ú Ô Ö Ø Ð
Õ º ´ ¿ º ¿ º ¾ µ Ø Ø Ó Ò Ö Ù Ð Ö Ó Ö Ø ´ Ö ¼ µ Ö Ù × Ø Ó
½
¾
¾
½
¾
Ñ
Ö
·
Ä
¾
¾ Ö
¾
Ñ Ä
¾
Ö
¿
´ ¿ º ¿ º µ
Á Ø Ó Ö Ø × Ü Ø Ö Ñ Ð ¸ Ò Ñ Ð Ý Ö Ö
¦
Û Ú Ø Ö Ð Ø Ó Ò ´ ¿ º ¿ º ¿ ¾ µ Ø Û Ò Ø Ö Ù × Ò
Ø Ò Ù Ð Ö Ñ Ó Ñ Ò Ø Ù Ñ Ø Ø Ò × Ó Ð Ú Ý
Ä
¾
Ñ Ö
¾
Ö ¿ Ñ
´ ¿ º ¿ º µ
Á Ò × Ö Ø Ò Õ º ´ ¿ º ¿ º µ Ò Ø Ó ´ ¿ º ¿ º µ Û Ó Ø Ò
´ Ö µ
Ö ¾ Ñ
Ô
Ö ´ Ö ¿ Ñ µ
´ ¿ º ¿ º ¼ µ
Û Ý Ð × Ø Ò Ö Ð Ö Ð Ø Ú × Ø Ó Ö Ñ Ù Ð Ó Ö Ø Ò Ö Ý Ó Ø × Ø Ô Ö Ø Ð Ò Ö Ù Ð Ö Ñ Ó Ø Ó Ò
Ö Ó Ù Ò × Ô Ö Ð Ð Ý × Ý Ñ Ñ Ø Ö Ñ × × Ú Ó Ý Ð Ø Ë Ù Ò Ó Ö Ø Ö Ø º Á Ø × Ú Ö Ý Ò × Ø Ö Ù Ø Ú Ø Ó
Ñ Ô Ó × Ø ß Ò Û Ø Ó Ò Ò Ú Ð Ó Ô Ñ Ò Ø Ó Ø × Ó Ö Ñ Ù Ð Ò Ó Ñ Ô Ö Ø Û Ø Ø Ô Ù Ö Ð Ý Û Ø Ó Ò Ò
Ö × Ù Ð Ø º Ï Ø × Ø × Ñ Ð Ð Ü Ô Ò × Ó Ò Ô Ö Ñ Ø Ö Ó Ö Ø Ô Ó × Ø ß Ò Û Ø Ó Ò Ò Ô Ô Ö Ó Ü Ñ Ø Ó Ò Ì × ×
Ø Ó × Ø Ð × Ò Ø Ò Ø Ù Ö Ð Ù Ò Ø × Û Ú Ó Ô Ø º Ø ½ Ó Ø Ö Ò Ø Ë Û Ö Þ × Ð
Ñ Ö Ù × Ñ Ö Ñ × Ù Ö Ó Ð Ò Ø × Ò Ø Ò Ó Ò ß Ö Ð Ø Ú × Ø Ö Ñ × Ô Ô Ö Ó Û Ò Ø Ø Ù Ð
Ó Ö Ø Ö Ù × Ö × Û Ø Ö × Ô Ø Ø Ó Ñ º À Ò Ø Ô Ó × Ø ß Ò Û Ø Ó Ò Ò Ú Ð Ó Ô Ñ Ò Ø Ó Ö Ö × Ô Ó Ò × Ø Ó
× Ö × Ü Ô Ò × Ó Ò Ò Ø Ñ Ò × Ó Ò Ð × × Ô Ö Ñ Ø Ö
Ñ
Ö
½ ´ ¿ º ¿ º ½ µ
À Ò Û Ò Û Ö Ø
´ Ö µ
½ ¾
Ñ
Ö
Ô
½ ¿
Ñ
Ö
³
½ ¾
Ñ
Ö
¡
½ ·
¿
¾
Ñ
Ö
·
¡
´ ¿ º ¿ º ¾ µ
³ ½
½
¾
Ñ
Ö
· Ç
Ñ
¾
Ö
¾
´ ¿ º ¿ º ¿ µ
Ò Ó Ñ Ô Ö Ò Õ º ´ ¿ º ¿ º ¿ µ Û Ø Õ º ´ ¿ º ¿ º ¿ ¼ µ Û Ó Ø Ò
×
½ · ¾
¾
³ ½ ·
¾
·
³ ½
½
¾
Ñ
Ö
·
µ
½
¾
Å
Ö
´ ¿ º ¿ º µ
Ì Ð × Ø Ð Ò Ò Õ º ´ ¿ º ¿ º µ Ó Ö Ö Ø Ð Ý Ö Ô Ö Ó Ù × Ø Û Ø Ó Ò Ò Ö × Ù Ð Ø Ó Ö Ø Ò Ö Ý Ó Ô Ö Ø Ð
Ó Ñ × × Ó Ù Ò Ó Ò Ö Ù Ð Ö Ó Ö Ø Ö Ó Ù Ò Ò Ø Ö Ó Ñ × × Å º Á Ò Û Ó Ò × Ö Ø
« Ø Ú Û Ø Ó Ò Ò Ô Ó Ø Ò Ø Ð
Î
´ Û Ø Ó Ò µ
½
¾
¾
Ö
¾
Å
Ö
´ ¿ º ¿ º µ
Ò Û Ð Ù Ð Ø Ø × Ñ Ò Ñ Ù Ñ
Î
´ Û Ø Ó Ò µ
Ö
¼ ´ ¿ º ¿ º µ
7/29/2019 Fre P. Course in General Relativity (Free Version, Lecture Notes, Web Draft, 2003)(141s)_PGr
http://slidepdf.com/reader/full/fre-p-course-in-general-relativity-free-version-lecture-notes-web-draft 71/141
Ì Ô Ö × Ø Ö Ó Ò Ú Ò ¼
Û Ó Ø Ò Ø Ó Ò Ø Ó Ò Ó Ð Ò Ø Û Ò Ø Ò Ø Ö Ù Ð Ò Ö Ý Ò Ø Ô Ó Ø Ò Ø Ð Ò Ö Ý
¾
Ö
¾
Å
Ö
´ ¿ º ¿ º µ
Û Ò × Ö Ø Ò Ø Û Ø Ó Ò Ò Ó Ö Ñ Ù Ð ´ ¿ º ¾ º ½ µ Ó Ö Ø Ô Ö Ø Ð Ò Ö Ý ¸ Ø Ó Ø Ö Û Ø Ø Ö Ù Ð Ö
Ó Ö Ø Ó Ò Ø Ó Ò ´ Ö µ Ú × Õ º ´ ¿ º ¿ º µ º
¿ º Ì Ô Ö × Ø Ö Ó Ò Ú Ò Ó Ô Ð Ò Ø × Ó Ö × Ø Ö ×
Ä Ø Ù × Ò Ó Û Ó Ø Ó Õ º ´ ¿ º ¿ º ¾ µ Ò Ø Ó Ø × Ó Ò Ó Õ º × ´ ¿ º ¿ º ¾ ½ µ Ø Ø Ö Ø Ü Ø Ö Ð Ø Ú × Ø
¬ Ò Ø Ó Ò × Ó Ò Ö Ý Ò Ò Ù Ð Ö Ñ Ó Ñ Ò Ø Ù Ñ Ò Ë Û Ö Þ × Ð Ó Ñ Ø Ö Ý º Å Ò × Ù × Ø Ø Ù Ø Ó Ò
× Ñ Ð Ö Ø Ó Ø × Ù × Ø Ø Ù Ø Ó Ò ´ ¿ º ¾ º ¿ µ Ù × Ò Ø Û Ø Ó Ò Ò × ¸ Ò Ñ Ð Ý
Ö
Ö
Ö
¼
Ö
µ Ö Ö
¼
Ä
Ö
¾
´ ¿ º º µ
Õ º ´ ¿ º ¿ º ¾ µ Ó Ñ ×
´ Ù
¼
µ
¾
· Ù
¾
¼
· ¾
½
Ù ·
¾
¿
¾
Ù
¿
´ ¿ º º µ
Û Ö
¼
¾
½
Ä
¾
¾
¾
´ ¿ º º ¼ µ
½
Ñ
Ä
¾
Å
¾
¾
´ ¿ º º ½ µ
¾
¿ Ñ ´ ¿ º º ¾ µ
Ì ¬ Ò Ø Ó Ò ´ ¿ º º ¼ ¸ ¿ º º ½ µ Ó Ø Ô Ö Ñ Ø Ö ×
¼ ½
× Ó Ò × × Ø Ò Ø Û Ø Ø Ö Ô Ö Ú Ó Ù × Û Ø Ó Ò Ò
¬ Ò Ø Ó Ò ´ ¿ º ¾ º µ Ø Ò × Ø Ó Ø Ö Ð Ø Ó Ò ´ ¿ º ¿ º ¿ ¼ µ Ø Û Ò Ø Ö Ð Ø Ú × Ø ¬ Ö × Ø Ò Ø Ö Ð × ¸ Ä Ò
Ø Ö Û Ø Ó Ò Ò Ò Ð Ó Ù × ¸ º Õ º ´ ¿ º º µ × Ø « Ö Ò Ø Ð Ó Ö Ø Õ Ù Ø Ó Ò Ò Ë Û Ö Þ × Ð
Ó Ñ Ø Ö Ý Ò Ö Ô Ð × Ø Û Ø Ó Ò Ò Õ Ù Ø Ó Ò ´ ¿ º ¾ º µ Ø « Ö Ò Ö × × Ò Ø Ø Ö Ñ Ù Ò
Ù Û Ø Ó Æ Ò Ø
¾
¾ Ñ º Á Ò Ù Ð Ð Ò Ð Ó Ý Û Ø Ø Ô Ö Ó Ù Ö Ó Ð Ð Ó Û Ò Ø Û Ø Ó Ò Ò ×
Û Ø Ù Ö Ø Ö Ö Ú Ø Ú Ó Õ º ´ ¿ º º µ Ò Û Ó Ø Ò
¾ Ù
¼
Ù
¼ ¼
· Ù
½
¾
Ù
¾
¡
¼ ´ ¿ º º ¿ µ
Û Ñ Ø × Ø Û Ó Ò × Ó × Ó Ð Ù Ø Ó Ò × ¸ Ø Ð Ö Ý × Ù × × Ö Ù Ð Ö Ó Ö Ø × ´ Ù
¼
¼ µ Ò Ø
Ò Ó Ò ß Ö Ù Ð Ö Ó Ò × Ø Ø × Ø × Ý Ø « Ö Ò Ø Ð Õ Ù Ø Ó Ò
Ù
¼ ¼
· Ù
½
¾
Ù
¾
´ ¿ º º µ
Ö Ô Ð Ò Ø Ã Ô Ð Ö Ò Õ Ù Ø Ó Ò ´ ¿ º ¾ º µ º
Á Ò Ø Ð Ñ Ø Û Ö
¾
Ù
¾
× Ò Ð Ð Û Ø Ö × Ô Ø Ø Ó Ø Ó Ø Ö Ø Ö Ñ × Ø Ò Ö Ð × Ó Ð Ù Ø Ó Ò Ó
Õ º ´ ¿ º º µ Ó Ñ × ´ ¿ º ¾ º ½ ½ µ Û ¸ × Û Ò Ó Û ¸ × Ö × Ò Ð Ð Ô Ø Ó Ö Ø Ó × Ñ Ð Ø Ù × Ö Ø Ù Ñ
Ò Ò Ø Ö Ø Ý ¸ Ø Ó Ò × Ø Ò Ø
½
Ò
½
½
´ ½
¾
µ
´ ¿ º º µ
Ï Ò Ô Ô Ö Ø Ø « Ö Ò Ø Û Ò Ò Ö Ð Ê Ð Ø Ú Ø Ý Ò Û Ø Ó Ò Ò Ô Ý × × Û × Ø Ù Ý
Ò Ù Ñ Ö Ð × Ó Ð Ù Ø Ó Ò × Ó Õ º ´ ¿ º º µ Û Ø Ø Ð Ô Ó Ó Ñ Ô Ù Ø Ö Ô Ö Ó Ö Ñ Ñ º Ì Ó Ø × « Ø Ø
7/29/2019 Fre P. Course in General Relativity (Free Version, Lecture Notes, Web Draft, 2003)(141s)_PGr
http://slidepdf.com/reader/full/fre-p-course-in-general-relativity-free-version-lecture-notes-web-draft 72/141
Ì Ô Ö × Ø Ö Ó Ò Ú Ò ½
Ù Ö ¿ º º Ë Û Ö Þ × Ð Ó Ñ Ø Ö Ý Ó Ö Ø Ó Ñ × × Ú Ø × Ø Ô Ö Ø Ð Û Ø Ã Ô Ð Ö Ò Ô Ö Ñ Ø Ö × ¼ Ñ
Ò ¼ Ø Ö ½ Ö Ú Ó Ð Ù Ø Ó Ò
× Ó Ò Ú Ò Ò Ø Ø Ó Ñ × Ù Ö Ø Ö Ù × Ö Ò Ø × Ñ Ð Ø Ù × Ö Ø Ù Ñ Ò Ù Ò Ø × Ó Ø Ë Û Ö Þ × Ð
Ñ Ö Ù × Ñ Ý × Ø Ø Ò
Ù
Ù
Ñ
Ñ ´ ¿ º º µ
Û ¸ Ó Ñ Ò Û Ø Õ º × ´ ¿ º º µ ¸ ´ ¿ º º ¾ µ Ö Ù × Õ º ´ ¿ º º µ Ø Ó Ø Ó Ö Ñ
Ù
¼ ¼
· Ù
½
´ ½
¾
µ
¿ Ù
¾
´ ¿ º º µ
Õ º ´ ¿ º º µ × Ó Ø × Ó Ò Ó Ö Ö Ò Ò Ù Ñ Ö Ð × Ó Ð Ù Ø Ó Ò × Ò Ó Ø Ò Û Ø Ó Ñ Ô Ù Ø Ö
Ô Ö Ó Ö Ñ Ñ Û Ø Ø Û Ó Ò Ø Ð Ó Ò Ø Ó Ò × º Ì Ò Ø Ð Ó Ò Ø Ó Ò × Ô Ô Ö Ó Ô Ö Ø Ø Ó × Ö Ø Ô Ý × Ð
Ô Ö Ó Ð Ñ Û Ò Ú × Ø Ø Ö Ø Ó Ð Ð Ó Û Ò Ó Ò ×
Ù ´ ¼ µ
½
´ ½ µ
´ ¿ º º µ
Ù
¼
´ ¼ µ ¼ ´ ¿ º º µ
Õ º ´ ¿ º º µ ¬ Ü × Ø Ó Ö Ò Ó Ø Ò Ð Ø Ø Ô Ö × Ø Ö Ó Ò Ò Ñ Ð Ý Ø Ø Ô Ó Ò Ø Ò Ø Ó Ö Ø Û Ö
Ø Ö Ú Ø Ú Ó Ø Ö Ù × Ó × Ø Ó Þ Ö Ó º Õ º ´ ¿ º º µ × Ø Ø × Ø Ø × Ø Ò Ó Ø Ø × Ø Ô Ö Ø Ð
Ö Ó Ñ Ø × Ø Ö Ø Ø ¬ Ö × Ø Ô Ö × Ø Ö Ó Ò × Ø × Ñ × Ø Û Ó Ù Ð Ò Ã Ô Ð Ö Ò Ó Ö Ø ¸ Ò Ñ Ð Ý
Ö
´ ½ µ ´ Ó Ñ Ô Ö Û Ø ¬ º ¿ º ¿ µ º Ú Ò Ø Ò Ø Ð Ó Ò Ø Ó Ò × Ø × Ù × Õ Ù Ò Ø Ò Ö Ú Ó Ð Ù Ø Ó Ò ×
Ó Ø Ø × Ø Ô Ö Ø Ð Ö Ò Ù Ñ Ö Ð Ð Ý Ø Ö Ñ Ò Ý Ø « Ö Ò Ø Ð Õ Ù Ø Ó Ò º Á Ø × Ð Ö Ö Ó Ñ Ó Ù Ö
Ô Ö Ú Ó Ù × × Ù × × Ó Ò × Ø Ø Ø Ö Ð Ø Ú × Ø « Ø × Û Ð Ð Ú Ò Ø Ó Ò Ð Ý Ò Ò Ö Ö Ó Û × Ý × Ø Ñ × Û Ö
7/29/2019 Fre P. Course in General Relativity (Free Version, Lecture Notes, Web Draft, 2003)(141s)_PGr
http://slidepdf.com/reader/full/fre-p-course-in-general-relativity-free-version-lecture-notes-web-draft 73/141
Ì Ô Ö × Ø Ö Ó Ò Ú Ò ¾
× × Ñ Ð Ð Ò Ò Ò Ø Ö Ó Ö Ø ×
½ º Ë Ó Ò Ó Ö Ö Ø Ó Ñ Ô × Þ Ø × Þ Ó Ø × « Ø × Û Ú
Ó × Ò Ò Ü Ñ Ô Ð Û Ø Ø Ó Ð Ð Ó Û Ò Ô Ö Ñ Ø Ö ×
¼ ¼ ´ ¿ º º ¼ µ
Á Ò ¬ º ¿ º Û × Ô Ð Ý Ø × Ô Ó Ø Ó Ö Ø Ó Ö Ø × × Ý × Ø Ñ Ø Ö Ó Ò Ö Ú Ó Ð Ù Ø Ó Ò º × Ø Ò
Ú × Ù Ð Ð Ý Ô Ô Ö Ø Ø Ó Ö Ø × Ò Ö Ð Ý Ò Ð Ð Ô × × Ù Ø Ò Ó Ø Õ Ù Ø º Ø ¾ Ø Ø × Ø Ô Ö Ø Ð ×
Ø × Ø Ò Ö ´ ¾ µ Ð Ó × Ø Ó Ø Ò Ø Ð Ú Ð Ù Ö ´ ¼ µ Ù Ø × Ð Ø Ð Ý Ö º Ù Ö Ø Ö Ñ Ó Ö Ø × Ó Ò
Ô Ö × Ø Ö Ó Ò ¸ Ò Ñ Ð Ý Ø Ò Ð
½
Ó Ö Ö × Ô Ó Ò Ò Ø Ó Ø × Ó Ò Þ Ö Ó Ó Ø Ö Ú Ø Ú Ö
¼
× Ò Ó Ø
Ü Ø Ð Ý Ø
½
¾ Ù Ø Ø × Ð Ø Ð Ý Ö Ð Ö Ò Ð
½
¾ ¡ º Ì Ô Ò Ó Ñ Ò Ó Ò × Ñ Ó Ö Ð Ö Ð Ý
Ù Ö ¿ º º Ë Û Ö Þ × Ð Ó Ñ Ø Ö Ý Ó Ö Ø Ó Ñ × × Ú Ø × Ø Ô Ö Ø Ð Û Ø Ã Ô Ð Ö Ò Ô Ö Ñ Ø Ö × ¼ Ñ
Ò ¼ Ø Ö ¿ Ö Ú Ó Ð Ù Ø Ó Ò
Ù Ò Ö × Ø Ó Ó Û Ð Ð Ó Û Ø Ó Ñ Ô Ù Ø Ö Ô Ö Ó Ö Ñ Ñ Ø Ó Ö Ù Ò Ó Ö Ñ Ó Ö Ö Ú Ó Ð Ù Ø Ó Ò × º º ¿ º × Ô Ð Ý ×
Ø Ö Ö Ú Ó Ð Ù Ø Ó Ò × Ó Ø × Ñ Ô Ý × Ð × Ý × Ø Ñ º Ø Ö Ú Ó Ð Ù Ø Ó Ò Ø Ô Ö × Ø Ö Ó Ò × Ò Ø Ô Ø Ó
× Ó Ñ Ò Ð ¡ Û Ø Ö × Ô Ø Ø Ó ¾ º Ì × × Ù Ö Ø Ö × Ø Ö × × Ý ¬ º ¿ º Ø Ø × Ó Û × Ø Ó Ö Ø Ø Ö
Ö Ú Ó Ð Ù Ø Ó Ò × º
Á Ø × Ò Ø Ö × Ø Ò Ø Ó Ù Ò Ö × Ø Ò Û Ò Ó Ô Ø Ø Ö Ò Ñ Ö × Ø × Ý Ñ Ô Ø Ó Ø Ð Ð Ý Ð Ø Ø Ñ ×
Ø Ö Ñ Ò Ý Ö Ú Ó Ð Ù Ø Ó Ò × º Ì × × Ö Ú Ð Ý Ð Ó Ó Ò Ø ¬ º ¿ º ½ ¼ Û × Ó Û × Ø Ó Ö Ø Ø Ö ¾ ¼
Ö Ú Ó Ð Ù Ø Ó Ò × º Ï Ø Û Û Ø Ò × × × × Ó Ö Ø Ó × Ý Ñ Ñ Ø Ö Ý Ö × Ø Ó Ö Ø Ó Ò Ñ Ò × Ñ º Á Ò Ò Û Ø Ó Ò Ò Ô Ý × ×
Ø Ò Ø Ö Ó Ö Ø × Ö Ø × Ô Ö Ð × Ý Ñ Ñ Ø Ö Ý Ó Ø Ñ Ð Ø Ó Ò Ò º Á Ò Ò Ö Ð Ö Ð Ø Ú Ø Ý ¸ Ù Ø Ó
Ø Ô Ö × Ø Ö Ó Ò Ú Ò Ø × Ô Ó Ø Ó Ö Ø Ø Ò × Ø Ó Ö × Ø Ó Ö Ô Ö Ø Ó Ø Ö Ó Ò × Ý Ñ Ñ Ø Ö Ý × Ò
Ø Ô Ó × Ø Ó Ò × Ó Ø Ô Ö × Ø Ö Ó Ò Ò Ô × Ø Ö Ó Ò Ö × Ý Ñ Ñ Ø Ö Ð Ð Ý × Ø Ö Ù Ø Ó Ò Ø Ù Ò Ø Ö Ð º
¿ º º ½ È Ö Ø Ù Ö Ø Ú Ø Ö Ø Ñ Ò Ø Ó Ø Ô Ö × Ø Ö Ó Ò Ú Ò
Ì Ó Ö Ø × Ø Ø Û Ú Ó Ø Ò Ý Ò Ù Ñ Ö Ð Ú Ð Ù Ø Ó Ò Ò Ø Ô Ö Ú Ó Ù × × Ø Ó Ò Ö Ü Ø Ö Ñ Ð Ý Ö
Ö Ó Ñ Ø Ô Ð Ò Ø Ö Ý Ó Ö Ø × Ó Ø × Ó Ð Ö × Ý × Ø Ñ º Á Ò ¸ Ò Ó Ö Ö Ø Ó Ñ Ô × Þ Ø Ô Ò Ó Ñ Ò Ó Ò Ó
7/29/2019 Fre P. Course in General Relativity (Free Version, Lecture Notes, Web Draft, 2003)(141s)_PGr
http://slidepdf.com/reader/full/fre-p-course-in-general-relativity-free-version-lecture-notes-web-draft 74/141
Ì Ô Ö × Ø Ö Ó Ò Ú Ò ¿
Ù Ö ¿ º º Ë Û Ö Þ × Ð Ó Ñ Ø Ö Ý Ó Ö Ø Ó Ñ × × Ú Ø × Ø Ô Ö Ø Ð Û Ø Ã Ô Ð Ö Ò Ô Ö Ñ Ø Ö × ¼ Ñ
Ò ¼ Ø Ö Ö Ú Ó Ð Ù Ø Ó Ò
Ù Ö ¿ º ½ ¼ º Ë Û Ö Þ × Ð Ó Ñ Ø Ö Ý Ó Ö Ø Ó Ñ × × Ú Ø × Ø Ô Ö Ø Ð Û Ø Ã Ô Ð Ö Ò Ô Ö Ñ Ø Ö ×
¼ Ñ Ò ¼ Ø Ö ¾ ¼ Ö Ú Ó Ð Ù Ø Ó Ò
7/29/2019 Fre P. Course in General Relativity (Free Version, Lecture Notes, Web Draft, 2003)(141s)_PGr
http://slidepdf.com/reader/full/fre-p-course-in-general-relativity-free-version-lecture-notes-web-draft 75/141
Ì Ô Ö × Ø Ö Ó Ò Ú Ò
Ø Ô Ö × Ø Ö Ó Ò Ú Ò Û Ú Ó × Ò Ò Ó Ö Ø × Þ Ó Ø Ó Ö Ö Ó Ø Ò × Ó Ë Û Ö Þ × Ð Ñ Ö
Û Ð Ø Ø Ù Ð Ó Ö Ö Ó Ñ Ò Ø Ù Ó Ô Ð Ò Ø Ö Ý Ó Ö Ø × Ó Ö Ö × Ô Ó Ò × Ø Ó Ù Ò Ö Ó Ñ Ð Ð Ó Ò × Ó
Ë Û Ö Þ × Ð Ñ Ö º Ó Ö Å Ö Ù Ö Ý ¸ Ó Ö Ò × Ø Ò ¸ Û × Ø Ò Ò Ö Ñ Ó × Ø Ô Ð Ò Ø Ó Ø × Ó Ð Ö
× Ý × Ø Ñ ¸ Ø Ã Ô Ð Ö Ò Ô Ö Ñ Ø Ö × Ú Ø Ó Ð Ð Ó Û Ò Ú Ð Ù ×
Å Ö Ù Ö Ý
¢ ½ ¼
Ñ
¼ ¾
Ñ
Â
½ Ñ ´ Ë Û Ö Þ × Ð Ñ Ö Ù × Ó Ø Ë Ù Ò µ ´ ¿ º º ½ µ
Ä Ö Ú Ö Ö Ñ Ò × Ø Ø Ù × × Ñ Ð Ð Ò Ø Ù
¾
Ø Ö Ñ Ò Õ º ´ ¿ º º µ Ò Ø Ö Ø ×
Ô Ö Ø Ù Ö Ø Ó Ò Ó Ø Û Ø Ó Ò Ò « Ö Ò Ø Ð Õ º ´ ¿ º ¾ º µ º Ä Ø Ù × Ø Ö Ó Ö × Ø
Ù ´ µ Ù
¼
´ µ · ¡ Ù ´ µ ´ ¿ º º ¾ µ
Û Ö
Ù
¼
´ µ
½
´ ½
¾
µ
´ ½ · Ó × µ ´ ¿ º º ¿ µ
× Ø Ù Ò Ô Ö Ø Ù Ö Û Ø Ó Ò Ò × Ó Ð Ù Ø Ó Ò Ó Õ º ´ ¿ º ¾ º µ Ò ¡ Ù ´ µ Ù
¼
´ µ × × Ñ Ð Ð Ô Ö Ø Ù Ö Ø Ó Ò º
× Ö Ö Ò Ø Ö Ñ × Ó Ó Ö Ö ´ ¡ Ù ´ µ µ
¾
¸ Õ º ´ ¿ º º µ Ó Ñ ×
¡ Ù
¼ ¼
· ¡ Ù
½
´ ½
¾
µ
· ¿ Ñ ´ Ù
¼
µ
¾
¾
Ò ¼
À
Ò
Ó ×
Ò
´ ¿ º º µ
Û Ö Û Ú Ò Ø Ö Ó Ù Ø Ó Ð Ð Ó Û Ò Ó Ò × Ø Ò Ø ×
À
¼
¿ Ñ
¾
´ ½
¾
µ
¾
À
½
Ñ
¾
´ ½
¾
µ
¾
À
¾
¿
¾
Ñ
¾
´ ½
¾
µ
¾
´ ¿ º º µ
Ë Ò Õ º ´ ¿ º º µ × Ð Ò Ö Ò Ø Ù Ò Ò Ó Û Ò Ù Ò Ø Ó Ò ¡ Ù Ø × × Ó Ð Ù Ø Ó Ò × Ø Ð Ò Ö Ó Ñ Ò Ø Ó Ò
¡ Ù
¾
Ò ¼
¡ Ù
Ò
´ µ ´ ¿ º º µ
Û Ö Ø Ö Ñ × Ø × Ó Ð Ù Ø Ó Ò Ó Ò Ò Ô Ò Ò Ø « Ö Ò Ø Ð Õ Ù Ø Ó Ò
¡ Ù
¼ ¼
Ò
· ¡ Ù
Ò
À
Ò
Ó ×
Ò
´ ¿ º º µ
Ä Ø Ù × × Ø Ù Ý Ø Ó Ö Ñ Ó ¡ Ù
Ò
º Ì ¬ Ö × Ø Ó Ò Ø Ö Ù Ø Ó Ò ¡ Ù
¼
× Ù Ò Ò Ø Ö × Ø Ò Ò Ö Ö Ð Ú Ò Ø
× Ò ¸ Ó Ö Ò Ö Ø Ö Ö Ý Ó Ò × Ø Ò Ø ¸ Û Ú
¡ Ù
¼
À
¼
· Ó × ´ ¿ º º µ
7/29/2019 Fre P. Course in General Relativity (Free Version, Lecture Notes, Web Draft, 2003)(141s)_PGr
http://slidepdf.com/reader/full/fre-p-course-in-general-relativity-free-version-lecture-notes-web-draft 76/141
Ì Ô Ö × Ø Ö Ó Ò Ú Ò
× Ó Ø Ø Ö Ô Ð Ò Ù
¼
Ù
¼
· ¡ Ù
¼
Ñ Ó Ù Ò Ø × Ø Ó Ò Ù Ò Ó × Ö Ú Ð Ö Ò Ó Ö Ñ Ð Þ Ø Ó Ò Ó Ø Ã Ô Ð Ö Ò
Ô Ö Ñ Ø Ö × Ò º Ü Ø Û Ó Ò × Ö ¡ Ù
¾
º À Ö × Ó Ð Ù Ø Ó Ò Ó Ø Ò Ó Ñ Ó Ò Ó Ù × Õ Ù Ø Ó Ò ×
¡ Ù
¾
À
¾
¾
À
¾
Ó × ¾ ´ ¿ º º µ
Ð × Ó Ø Ô Ö Ø Ù Ö Ø Ó Ò Ù
¼
Ù
¼
· ¡ Ù
¾
× × × Ò Ø Ð Ð Ý Ù Ò Ó × Ö Ú Ð ¸ × Ò ¡ Ù
¾
´ µ × Ô Ö Ó Ó Ô Ö Ó
¾ º Á Ò Ý Ö Ô Ð Ò Ù
¼
Ù
¼
· ¡ Ù
¾
Û Ó Ø Ò Ò Û Ó Ö Ø Û × × Ð Ø Ð Ý Ó Ö Ñ Ð Ð Ô × ×
Ù Ö ¿ º ½ ½ º Ó Ñ Ô Ö × Ó Ò Ó Ø Ù Ò Ô Ö Ø Ù Ö × Ó Ð Ù Ø Ó Ò Ù
¼
´ µ ´ Ø Ò Ð Ò µ Ò Ó Ø Ô Ö Ø Ù Ö Ó Ò
Ù
¼
´ µ · ¡ Ù
¾
´ µ ´ Ø Ð Ò µ Ò Ø × Ó Ã Ô Ð Ö Ò Ô Ö Ñ Ø Ö × Ñ ¸ ¼ º × Ó Ò × × ¸ Ú Ò Ò
Ø × Ü Ø Ö Ñ × Ó Ò Ù Ð Ø Ö ß Ò Ö Ö Ó Û Ò Ù Ð Ø Ö ß Ö Ð Ø Ú × Ø Ó Ö Ø Ø Ô Ö Ø Ù Ö Ø Ó Ò Ñ Ó ¬ × Ú Ö Ý × Ð Ø Ð Ý
Ø × Ô Ó Ø Ù Ò Ø Ó Ò Û Ø Ó Ù Ø Ò Ò Ø × Ú Ó Ù Ö Ò Ø × Ô Ö Ó Ø Ý º
Û Ö Ø Ô × Ø Ö Ó Ò Ô Ö × Ø Ö Ó Ó Ò Ø Ò Ù Ø Ó Ó Ù Ö Ø ¼ Ò × Ò Ø Ã Ô Ð Ö Ò × º
Ì × Ò Ô Ô Ö Ø Ý Ð Ó Ó Ò Ø ¬ º × ¿ º ½ ½ ¸ ¿ º ½ ¾ ¸ ¿ º ½ ¿ º Á Ò Ó Ö Ö Ø Ó Ñ Ô × Þ Ø Ü Ø Ö Ñ Ð Ý
× Ñ Ð Ð « Ø Ó Ø Ô Ö Ø Ù Ö Ø Ó Ò Û Ú Ó × Ò Ò Ù Ð Ø Ö Ò Ö Ö Ó Û Ò Ò Ø Ö Ã Ô Ð Ö Ò Ó Ö Ø
Û Ø Ô Ö Ñ Ø Ö ×
× Ñ Ð Ø Ù × Ö Ø Ù Ñ Ë Û Ö × Ð Ñ Ö
Ò Ø Ö Ø Ý ¼
´ ¿ º º ¼ µ
Ò Ò ¬ º ¿ º ½ ½ Û Ú Ó Ñ Ô Ö Ø Ô Ð Ó Ø Ó Ø Ù Ò Ô Ö Ø Ù Ö Ù Ò Ø Ó Ò Ù
¼
´ µ Û Ø Ø Ô Ö Ø Ù Ö
Ó Ò Ù
¼
´ µ · ¡ Ù
¾
´ µ º Ì Ö × Ù Ð Ø Ò Ò Û Ó Ö Ø × Ô Ð Ó Ø Ø Ò ¬ º ¿ º ½ ¾ Ò Ó Ñ Ô Ö Û Ø Ø
Ù Ò Ô Ö Ø Ù Ö Ó Ò º Ì Ô Ö Ó Ö Ø Ö Ó Ø Ô Ö Ø Ù Ö Ø Ó Ò Ñ Ô Ð × Ø Ø Ø Ò Û Ó Ö Ø Ð Ó Ó ×
Ð Ó Ö Ñ Ð Ð Ô × × Ó × Ð Ø Ð Ý Ò × Ô Ò × Þ º Ï Ò Ó Ñ Ô Ö Ø Ø Ù Ð × Ô Ó
Ø Ô Ö Ø Ù Ö Ó Ö Ø Û Ø Ô Ù Ö Ð Ý Ã Ô Ð Ö Ò Ð Ð Ô × × Ý ¬ Ò Ò Ö Ò Ó Ö Ñ Ð Þ × Ñ Ð Ø Ù × Ö Ø Ù Ñ
Ò Ò Ø Ö Ø Ý Ú Ø Ó Ö Ñ Ù Ð
Ê
Ö ´ µ · Ö ´ ¼ µ
¾
Ê
Ö ´ µ Ö ´ ¼ µ
Ö ´ µ · Ö ´ ¼ µ
´ ¿ º º ½ µ
7/29/2019 Fre P. Course in General Relativity (Free Version, Lecture Notes, Web Draft, 2003)(141s)_PGr
http://slidepdf.com/reader/full/fre-p-course-in-general-relativity-free-version-lecture-notes-web-draft 77/141
7/29/2019 Fre P. Course in General Relativity (Free Version, Lecture Notes, Web Draft, 2003)(141s)_PGr
http://slidepdf.com/reader/full/fre-p-course-in-general-relativity-free-version-lecture-notes-web-draft 78/141
Ì Ô Ö × Ø Ö Ó Ò Ú Ò
Ù Ö ¿ º ½ ¿ º Ó Ñ Ô Ö × Ó Ò Ø Û Ò Ã Ô Ð Ö Ò Ó Ö Ø Ó Ô Ö Ñ Ø Ö × Ñ ¸ ¼ Ô Ö Ø Ù Ö Ý Ø Ô ¹
Ö Ó Ô Ö Ø Ù Ö Ø Ó Ò ¡ Ù
¾
´ Ø Ð Ò µ Ò Ã Ô Ð Ö Ò Ó Ö Ø Ó Ô Ö Ñ Ø Ö ×
Ê
¿ Ñ ¸
Ê
¼ ¾
´ Ø Ò Ð Ò µ Ø Ø ¸ Ý ¬ Ò Ø Ó Ò ¸ × Ø Ô Ö × Ø Ö Ó Ò Ò Ô × Ø Ö Ó Ò Ð Ó Ø Ø Ø × Ñ × Ø Ò × Ö Ó Ñ Ø
Ò Ø Ö Ó Ö Ú Ø Ý × Ø Ô Ö Ø Ù Ö Ó Ö Ø º Ì × Ó Ñ Ô Ö × Ó Ò × Ó Û × Ø Ú Ø Ó Ò Ö Ó Ñ Ô Ù Ö Ð Ý Ð Ð Ô Ø
× Ô º
Û × Ô Ö Ó Ù Ò Ø Ó Ò Ó Ô Ö Ó
Ì
¾
½ ¬
¾ ´ ¿ º º µ
Ì × Ñ Ò × Ø Ø Ø Ö Ú Ó Ð Ù Ø Ó Ò Ø Ô Ö × Ø Ö Ó Ò ´ Ò × Ó Ò × Õ Ù Ò Ø Ô × Ø Ö Ó Ò µ Ó Ù Ö ×
Ò Ó Ø Ø Ò Ò Ð ¾ Ø Ö Ø Ô Ö Ú Ó Ù × Ô Ö × Ø Ö Ó Ò Ö Ø Ö Ø Ö Ò Ò Ð Ì º Ó Ö × Ó Ñ Ó Ò Û Ó Ð Ó Ó ×
Ø Ø × Ý Ø × « Ø Ñ Ò × Ø Ø Ø Ò Ù Ð Ö Ô Ó × Ø Ó Ò Ó Ø Ô Ö × Ø Ö Ó Ò Ú Ò × Ó Ò Ò Ð
¡ Ì ¾ ¾
½
½ ¬
½
³ ¾ ¬
Ñ
´ ½
¾
µ
´ ¿ º º µ
Ø Ö Ú Ó Ð Ù Ø Ó Ò º
Ï Ò Ô Ô Ö Ø Ø × Ô Ò Ó Ñ Ò Ó Ò Ý Ñ Ò × Ó Ò Ù Ñ Ö Ð Ô Ð Ó Ø × º × Ù × Ù Ð ¸ Ò Ó Ö Ö Ø Ó
Ñ Ò Ý Ø « Ø Û Ó Ó × Ò Ö Ö Ó Û Ö Ð Ø Ú × Ø Ó Ö Ø Ø ¼ Ñ Û Ø Ò Ø Ö Ø Ý ¼ º Á Ò
¬ º ¿ º ½ Û Ó Ñ Ô Ö Ø Ô Ð Ó Ø Ó Ø Ù Ò Ô Ö Ø Ù Ö Ã Ô Ð Ö Ò × Ó Ð Ù Ø Ó Ò Ù
¼
´ µ Û Ø Ø Ô Ö Ø Ù Ö
× Ó Ð Ù Ø Ó Ò Ù
¼
´ µ · ¡ Ù
½
´ µ × Ò Ø Ö Ô Ö Ø Ò Õ º ´ ¿ º º µ º Ì Ò Ó Ò Ò Ø Ö Ò Ò Ô Ö Ó ×
Ð Ö Ð Ý × Ò Ò Ø × Ô Ð Ó Ø º Á Ò ¬ º ¿ º ½ Ø Ð × × Ð Ã Ô Ð Ö Ò Ó Ö Ø Ù
¼
´ µ Ò Ø Ô Ö Ø Ù Ö Ó Ò
Ù
¼
´ µ · ¡ Ù
½
´ µ Ö Ó Ñ Ô Ö Ó Ò × Ú Ö Ð Ö Ú Ó Ð Ù Ø Ó Ò × º Ê Ð Ð Ò ¬ º × ¿ º ¸ ¿ º ¸ ¿ º ½ ¼ Û Ö Û Ú
Ô Ð Ó Ø Ø Ø Ò Ù Ñ Ö Ð × Ó Ð Ù Ø Ó Ò Ó Ø Ü Ø Ó Ö Ø « Ö Ò Ø Ð Õ Ù Ø Ó Ò Ø Ô Ö Ñ Ø Ö × ¼ Ñ ¸
¼ Û Ø ¬ º ¿ º ½ Û × Ø Ø Ø Ô Ò Ó Ñ Ò Ó Ò Ó Ô Ö × Ø Ö Ó Ò Ú Ò Ø Ù Ö Ý Ø Ü Ø
× Ó Ð Ù Ø Ó Ò × × × × Ò Ø Ð Ð Ý Ù Ø Ó Ø Ò Ó Ò ß Ô Ö Ó Ô Ö Ø Ù Ö Ø Ó Ò ¡ Ù
½
Ó Õ º ´ ¿ º º ¿ µ × Û Ú Ð Ñ º
Õ º ´ ¿ º º µ × Ø ¬ Ò Ð Ô Ö Ø Ù Ö Ø Ú Ó Ö Ñ Ù Ð Ô Ö Ø Ý Ò Ö Ð Ê Ð Ø Ú Ø Ý Ó Ö Ø Ô ¹
Ö × Ø Ö Ó Ò Ò Ó Ñ Ð Ý Ò Ó Ò × Ø Ø Ù Ø × Ó Ò Ó Ø Ð × × Ð Ø × Ø × Ó Ø Ø Ó Ö Ý Ô Ö Ó Ô Ó × Ý Ò × Ø Ò
Ñ × Ð º
7/29/2019 Fre P. Course in General Relativity (Free Version, Lecture Notes, Web Draft, 2003)(141s)_PGr
http://slidepdf.com/reader/full/fre-p-course-in-general-relativity-free-version-lecture-notes-web-draft 79/141
Ì Ô Ö × Ø Ö Ó Ò Ú Ò
Ù Ö ¿ º ½ º Ó Ñ Ô Ö × Ó Ò Ó Ø Ù Ò Ô Ö Ø Ù Ö × Ó Ð Ù Ø Ó Ò Ù
¼
´ µ ´ Ø Ò Ð Ò µ Ò Ó Ø Ô Ö Ø Ù Ö Ó Ò
Ù
¼
´ µ · ¡ Ù
½
´ µ ´ Ø Ð Ò µ Ò Ø × Ó Ã Ô Ð Ö Ò Ô Ö Ñ Ø Ö × ¼ Ñ ¸ ¼ º Ì × Ø Ò Ô Ö Ó
Ó Ø Ô Ö Ø Ù Ö × Ó Ð Ù Ø Ó Ò × Ú Ò Ø Ö Ó Ñ Ø Ô Ð Ó Ø º
Ù Ö ¿ º ½ º Ó Ñ Ô Ö × Ó Ò Ó Ø Ù Ò Ô Ö Ø Ù Ö Ã Ô Ð Ö Ò Ó Ö Ø Ó Ô Ö Ñ Ø Ö × ¼ Ñ ¸ ¼ ´ Ø Ò
Ð Ò µ Û Ø Ø Ó Ö Ø Ô Ö Ø Ù Ö Ý Ù
¼
´ µ · ¡ Ù
½
´ µ ´ Ø Ð Ò µ º Ì Ô Ò Ó Ñ Ò Ó Ò Ó Ø Ô Ö × Ø Ö Ó Ò Ú Ò
× Ú Ò Ø º
7/29/2019 Fre P. Course in General Relativity (Free Version, Lecture Notes, Web Draft, 2003)(141s)_PGr
http://slidepdf.com/reader/full/fre-p-course-in-general-relativity-free-version-lecture-notes-web-draft 80/141
Ì Ô Ö × Ø Ö Ó Ò Ú Ò
Á Ò Ø × Ó Ø × Ó Ð Ö × Ý × Ø Ñ Û Ú Ñ Ñ
Â
Å
Â
¾
Û Ö Å
Â
× Ø × Ó Ð Ö Ñ × × º
Ì × Ñ Ó Ö Ñ Ù Ð Ò Ð × Ó Ô Ô Ð Ø Ó Ò Ö Ý × Ø Ð Ð Ö × Ý × Ø Ñ × º Á Ò Ø × × Û Ú
Ñ
Ò Ö Ý
¾
´ Ñ
½
· Ñ
¾
µ ´ ¿ º º µ
Û Ö Ñ
½ ¾
Ò Ó Ø Ø Ñ × × × Ó Ø Ø Û Ó Ó Ñ Ô Ò Ó Ò × Ø Ö × º
Á Ø × Ò Ø Ö × Ø Ò Ø Ó Ò × Ö Ø Ø Ò Ù Ñ Ö Ð Ú Ð Ù × Ó Ø Ã Ô Ð Ö Ò Ô Ö Ñ Ø Ö × Ò Ø × Ó Ø
Ô Ð Ò Ø Å Ö Ù Ö Ý ´ × Õ º ´ ¿ º º ½ µ µ º Ï Ó Ø Ò
¡
Å Ö Ù Ö Ý
½
¼ ¢
½ ¼
³ ¢ ¾ ¢ ½ ¼
´ ¿ º º ¼ µ
Ë Ò Ø Ô Ö Ó Ó Å Ö Ù Ö Ý × Ì
Å Ö Ù Ö Ý
¼ ¾ Ý Ö × Ø Ó Ð Ð Ó Û × Ø Ø Ò Ó Ò Ø Ö Ö × Ø Ö Ð Ò Ø Ù Ö Ý Û
Ú ½ ¼ ¼ ¼ ¾ ½ Ó Ö Ø × Ó Å Ö Ù Ö Ý º Ç Ò Ø Ó Ø Ö Ò ¸ Û Ú Ð Ù Ø Ò Ö × Ó Ò × Û
Ú
¿
¢ ¼
¢ ¼
¢ ¿ ¼ Ö × ¿ ¼ ¼ ¼ Ö × ´ ¿ º º ½ µ
× Ó Ø Ø Û Ò Û Ö Ø
¡
Å Ö Ù Ö Ý
Ò Ø Ù Ö Ý ¿ ¼ ¼ ¼ ¢ ½ ¢ ¾ ¢ ½ ¼
¢ Ö × Ò Ø Ù Ö Ý
³ ¾
¼ ¼
Ò Ø Ù Ö Ý ´ ¿ º º ¾ µ
Ì Ú Ð Ù ´ ¿ º º ¾ µ × Ò Ô Ö Ø Ö Ñ Ò Ø Û Ø Ø × Ø Ó Ö Ð Ö Ó Ö × Ó × Ø Ö Ó Ò Ó Ñ Ð Ó × Ö Ú Ø Ó Ò ×
Ø Ö × Ù Ø Ö Ø Ó Ò Ó Ð Ð Ø Ò Û Ø Ó Ò Ò « Ø × Ù Ø Ó Ø Ô Ö Ø Ù Ö Ø Ó Ò Ó Ò Å Ö Ù Ö Ý Ó Ö Ø Ý Ø
Ñ Ó Ø Ó Ò Ó Ø Ó Ø Ö Ô Ð Ò Ø × Ò Ø × Ó Ð Ö × Ý × Ø Ñ º
¿ º º ¾ À Ó Û Ø Ó Ñ Ô Ð Ñ Ò Ø Ø Ô Ö × Ø Ö Ó Ò Ô Ö Ó Ð Ñ Ó Ò Ó Ñ Ô Ù Ø Ö Ò Ü Ñ Ô Ð
Á Ò Ø Ô Ö Ú Ó Ù × Ô × Û Ú × Ù × × Ø Ô Ö × Ø Ö Ó Ò Ú Ò Ô Ö Ø Ý Ò Ö Ð Ê Ð Ø Ú Ø Ý
Ù × Ò Ô Ö Ø Ù Ö Ø Ú Ø Ö Ø Ñ Ò Ø º Ï Ú Ð × Ó × Ó Û Ò Ø Ó Ö Ñ Ó Ø Ü Ø Ó Ö Ø × Ø Ø Ö × Ö Ó Ñ
Ò Ù Ñ Ö Ð × Ó Ð Ù Ø Ó Ò × Ó Ø Ó Ö Ø « Ö Ò Ø Ð Õ Ù Ø Ó Ò × º Ó Ö Ô Ó Ð Ô Ù Ö Ô Ó × × Û Ô Ö × Ò Ø Ö
Ð Ø Ø Ð Å Ì À Å Ì Á Ô Ø Ø × Ó Ð Ú × Ø Ò Ù Ñ Ö Ð « Ö Ò Ø Ð Õ Ù Ø Ó Ò Ò Ô Ð Ó Ø ×
Ø Ó Ö Ø Ù Ö Ú Ò Ø Ü Ý ß Ô Ð Ò ¸ Ó Ñ Ô Ö Ò Ø Û Ø Ø Ã Ô Ð Ö Ò Ð Ð Ô × × º Á Ø × Ò Ò Ø Ö Ø Ú
Ô Ö Ó Ö Ñ Ñ Ø Ø × × Ø Ù × Ö Ø Ó × Ù Ô Ô Ð Ý Ø × Ñ Ð Ø Ù × Ö Ø Ù Ñ Ó Ø Ó Ö Ø Ü Ô Ö × × Ò Ù Ò Ø × Ó
Ø Ë Û Ö Þ × Ð Ñ Ö Ù × Ò Ø Ò Ø Ö Ø Ý º Æ Ü Ø Ø Ö × Ó Û Ò Ø Ã Ô Ð Ö Ò Ó Ö Ø Ò
Ø Ò Ö Ð Ê Ð Ø Ú Ø Ý Ó Ö Ø Ø Ö Ó Ò Ö Ú Ó Ð Ù Ø Ó Ò Ø Ô Ö Ó Ö Ñ Ñ × Ø Ó Ô × Ò × Û Ø Ö Ø Ù × Ö
Û Ò Ø Ø Ó × Ô Ð Ý Ø Ó Ö Ø Ó Ö Ñ Ó Ö Ö Ú Ó Ð Ù Ø Ó Ò × Ò Ó Ö Ó Û Ñ Ò Ý º Á Ø Ó × Ø Ó × Ù Õ Ù × Ø Ó Ò
Ù Ò Ø Ð Ø Ù × Ö × × Ø × ¬ Ò × Ø Ó × Ø Ó Ô º
Ì Ô Ö Ó Ö Ñ Ñ × Ø Ó Ð Ð Ó Û Ò Ó Ò
Ô Ö × Ø Ö Ó
ß È Ö Ò Ø ℄
È Ö Ò Ø Ï Ñ Ó Ñ Ô Ö × Ó Ò
Ø Û Ò ℄
È Ö Ò Ø Ó Ö Ø × Ò Ë Û Ö × Ð Ó Ñ Ø Ö Ý ℄
È Ö Ò Ø Ò Ò Æ Û Ø Ó Ò ³ × Ì Ó Ö Ý ℄
È Ö Ò Ø ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ℄
È Ö Ò Ø Á Ò Ô Ù Ø Ó Ó Ñ Ø Ö Ð Ô Ö Ñ Ø Ö × ℄
Ð Ô Á Ò Ô Ù Ø Ë Ñ Ð Ø Ù × Ö Ø Ù Ñ Ò Ë Û Ö Þ × Ð Ñ Ö Ù × Ù Ò Ø × ℄
Á Ò Ô Ù Ø Ò Ø Ö Ø Ý ℄
7/29/2019 Fre P. Course in General Relativity (Free Version, Lecture Notes, Web Draft, 2003)(141s)_PGr
http://slidepdf.com/reader/full/fre-p-course-in-general-relativity-free-version-lecture-notes-web-draft 81/141
Ä Ø ß Ð Ó × × Ò Ø - Ø Ó Ò Ð Ø ß Ö Ý × ¼
Ð Õ Ð Ô ¶ ´ ½ ¹ ¾ µ
È Ö Ò Ø ℄
È Ö Ò Ø È Ä Ç Ì Ó Ø Ç Ê Á Ì Û Ø Ø
Ó Ð Ð Ó Û Ò Ô Ö Ñ Ø Ö × ℄
È Ö Ò Ø Ë Ñ Ð Ø Ù × Ö Ø Ù Ñ ¸ Ð Ô ¸ Ñ ℄
È Ö Ò Ø Ò Ø Ö Ø Ý ¸ ℄
È Ö Ò Ø ℄
È Ö Ò Ø Ã Ô Ð Ö Ò Ó Ö Ø Û Ø Ø × Ô Ö Ñ Ø Ö × ℄
Ô Ö Ð Ô
È Ö Ò Ø ℄
È Ö Ò Ø Ì Ë Û Ö × Ð Ó Ö Ø Û Ø Ø × Ñ Ô Ö Ñ Ø Ö × ℄
Ò Ò ½
Ô Ö Ð Ö
Ä Ð Ö Ô Ø Ó ℄
È Ö Ò Ø Ø Ö Ñ Ó Ö Ö Ú Ó Ð Ù Ø Ó Ò × ¸ × Ó Ö Æ Ó ℄
Ð Á Ò Ô Ù Ø × Ó Ö Æ Ó ℄
Á Ð × ¸ Ó Ø Ó Ô Ð Ó Ø Ø Ó ℄ ¸ Ó Ø Ó × Ø Ó Ô Ô Ó ℄ ℄
Á Ð Æ Ó ¸ Ó Ø Ó × Ø Ó Ô Ô Ó ℄ ¸ ß Ô Ô Ô Ó ¼ ℄
Ä Ð Ô Ð Ó Ø Ø Ó ℄
Ò Ò Á Ò Ô Ù Ø Ò Ù Ñ Ö Ó Ö Ú Ó Ð Ù Ø Ó Ò × ℄
Ô Ö Ð Ö
Ó Ø Ó Ö Ô Ø Ó ℄
Ä Ð × Ø Ó Ô Ô Ó ℄
È Ö Ò Ø Ò × ℄
È Ö Ò Ø ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ℄
Ô Ö Ð Ô
ß È Ö Ñ Ø Ö È Ð Ó Ø ß Ð Ô ¶ ´ ½ ¹ ¾ µ ¶ Ó × Ô ℄ » ´ ½ · ¶ Ó × Ô ℄ µ ¸
Ð Ô ¶ ´ ½ ¹ ¾ µ ¶ Ë Ò Ô ℄ » ´ ½ · ¶ Ó × Ô ℄ µ ¸ ß Ô ¸ ¼ ¸ ¾ ¶ È ¸ Ü × Ä Ð ¹ ß Ü ¸ Ý ¸
Ì × ¹ Æ Ó Ò ¸ È Ð Ó Ø Ë Ø Ý Ð ¹ ß ß Ì Ò × × ¼ º ¼ ¼ ℄ ℄
Ô Ö Ð Ö
ß È Ö Ò Ø Ø Ö ¸ Ò Ò ¸ Ö Ú Ó Ð Ù Ø Ó Ò × ℄
É É Æ Ë Ó Ð Ú ß Ö Ú Ø Ú ¾ ℄ Ù Ù ℄ Ô ℄ · Ù Ù Ô ℄ ¹ ¿ ¶ Ù Ù Ô ℄ ¾ ½ » Ð Õ ¸
Ù Ù ¼ ℄ ´ ½ · µ » Ð Õ ¸
Ö Ú Ø Ú ½ ℄ Ù Ù ℄ ¼ ℄ ¼ ¸ ß Ù Ù Ô ℄ ¸ ß Ô ¸ ¼ ¸ ¾ ¶ Ò Ò ¶ È ¸ Å Ü Ë Ø Ô × ¹ ¼ ¼ ℄
È Ö Ñ Ø Ö È Ð Ó Ø Ú Ð Ù Ø ß Ó × Ô ℄ » Ù Ù Ô ℄ ¸ Ë Ò Ô ℄ » Ù Ù Ô ℄ » º É É ℄ ¸ ß Ô ¸ ¼ ¸ ¾ ¶ Ò Ò ¶ È ¸
Ü × Ä Ð ¹ ß Ü ¸ Ý ¸ Ì × ¹ Æ Ó Ò ¸ È Ð Ó Ø Ë Ø Ý Ð ¹ ß ß Ì Ò × × ¼ º ¼ ¼ ℄ ℄
È Ö Ò Ø ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ℄
Á Ý Ó Ù Ö Ù Ò Ø × × Ò Ò Ð Ô ¼ Ñ Ò ¼ ¸ Ø Ó Ù Ø Ô Ù Ø × Û Ø × × Ó Û Ò Ò ¬ º ¿ º
´ × × Ò Ò Ò Ò ¿ µ ¸ ¬ º ¿ º ´ × × Ò Ò Ò Ò µ ¸ ¬ º ¿ º ½ ¼ ´ × × Ò Ò Ò Ò ¾ ¼ µ º
¿ º Ä Ø ß Ð Ó × × Ò Ø Ë Û Ö Þ × Ð Ñ Ø Ö Ò Ø - Ø Ó Ò
Ó Ð Ø Ö Ý ×
Ä Ø Ù × Ò Ó Û Ó Ø Ó Ø Ð Ö Ò Ò ´ ¿ º ¿ º ½ µ Ó Ö Ø Ñ ß Ð Ó × × Ò Ö Ô Ð Ø Û Ø Ø ×
Ò Ð Ó Ù Ó Ö Ð Ø ß Ð Ó × × º Á Ò Ø × × Û Û Ö Ø
Ä
½ ¾
Ñ
Ö
Ø
¾
·
½ ¾
Ñ
Ö
½
Ö
¾
· Ö
¾
¾
· × Ò
¾
¾
´ ¿ º º ¿ µ
7/29/2019 Fre P. Course in General Relativity (Free Version, Lecture Notes, Web Draft, 2003)(141s)_PGr
http://slidepdf.com/reader/full/fre-p-course-in-general-relativity-free-version-lecture-notes-web-draft 82/141
Ä Ø ß Ð Ó × × Ò Ø - Ø Ó Ò Ð Ø ß Ö Ý × ½
Û Ö × × Ó Ñ Æ Ò Ô Ö Ñ Ø Ö Ò Û Ö Ô Ð Ø Ó Ò × Ø Ö Ò Ø ´ ¿ º ¿ º ½ µ Û Ø Ø Ò Û Ó Ò
¼
Ü
Ü
´ Ü µ ´ ¿ º º µ
Â Ù × Ø × Ò Ø × Ó Ø Ñ ß Ð Ó × × Û Ò Ò Ø Ö Ø Ø Õ Ù Ø Ó Ò Ó Ö Ø Ò Ó Ò Ð Ú Ö Ð
Ý × Ø Ø Ò
¾
Ó Ò × Ø Ò Ø ´ ¿ º º µ
Á Ò Ó Ø Ö Û Ó Ö × Ø Ø Ö Ø Ó Ö × Ó Ô Ó Ø Ó Ò × Ò Ñ × × Ð × × Ô Ö Ø Ð × Ö Ô Ð Ò Ö Ù × Ø × Ø Ó × Ó
Ñ × × Ú Ô Ö Ø Ð × º Ð × Ó Ò Ù Ð Ð Ò Ð Ó Ý Û Ø Ø Ñ × × Ú × Û Ú Ø Ø Ø Ò Ó Ò Ð Ú Ö Ð ×
Ø Ò Ö Ý Ð Ò Ö Ö × Ô Ø Ú Ð Ý × × Ó Ø Û Ø Ø Û Ó ¬ Ö × Ø Ò Ø Ö Ð × Ó Ø Ñ Ó Ø Ó Ò ¸ Ø Ò Ö Ý
Ò Ø Ò Ù Ð Ö Ñ Ó Ñ Ò Ø Ù Ñ Ä º Ü Ô Ð Ø Ð Ý Û ¬ Ò
Ø
½
¾ Ñ
Ö
Ó Ò × Ø
Ö
¾
Ä Ó Ò × Ø ´ ¿ º º µ
Ì « Ö Ò Û Ø Ø Ñ × × Ú × Ñ Ö × Û Ò Û Ò Ó Ö Ø Ò Û Ó Ò × Ø Ö Ò Ø ´ ¿ º º µ Û
Ý Ð × Ø Ö Ð Ø Ó Ò
¼
¾
½
¾ Ñ
Ö
Ö
¾
½
¾ Ñ
Ö
Ö
¾
Ä
¾
Ö
´ ¿ º º µ
Ö Ô Ð Ò Õ º ´ ¿ º ¿ º ¾ ¾ µ º Ö Ó Ñ Õ º ´ ¿ º º µ Û Ó Ø Ò
Ö
¾
¾
Î
Ô Ó Ø Ó Ò
´ Ö µ
Ä
Ö
¾
´ ¿ º º µ
Û Ö Ø « Ø Ú Ô Ó Ø Ò Ø Ð
Î
Ô Ó Ø Ó Ò
´ Ö µ
Ä
¾
Ö
¾
¾ Ñ Ä
¾
Ö
¿
´ ¿ º º µ
× Ø Ð Ø ß Ð Ó Ù Ò Ø Ö Ô Ö Ø Ó Ø Ñ × × Ú « Ø Ú Ô Ó Ø Ò Ø Ð ´ ¿ º ¿ º ¾ µ º Ï Ò Ñ Ñ Ø Ð Ý Ò Ó Ø
Ø « Ö Ò × º Ï Ð Ø Ò Ø Ö Ù Ð Ö Ö Ö
½
Ö
¾
× Ó Ñ Ñ Ó Ò Ø Ó Ó Ø × × ¸ Ø Ò Û Ø Ó Ò Ò
Ø Ø Ö Ø Ó Ò
½
Ö
× × Ò Ø Ò Ø Ð Ø ß Ð × º Ì × Ó Ö Ö × Ô Ó Ò × Ø Ó Ø Ó Ú Ó Ù × Ø Ø Ø Ò
Û Ø Ó Ò ³ × Ø Ó Ö Ý Ô Ó Ø Ó Ò × Ó Ò Ó Ø Ð Ö Ú Ø Ý × Ò Ø Ý Ö Ñ × × Ð × × º Ø Ø × Ó Ö Ø Ö Ò Ø Ø Ö Ø Ú
Ó Ö Ö Ø Ó Ò Ù Ø Ó Ò Ö Ð Ê Ð Ø Ú Ø Ý
½
Ö
¿
Ô Ô Ð × Ó Ø Ø Ó Ô Ó Ø Ó Ò × Ò Ñ × × Ú Ô Ö Ø Ð × º Á Ø
× Ø × Ó Ö Ö Ø Ó Ò Û × Ö × Ô Ó Ò × Ð Ó Ö Ø Ò Ò Ó Ð Ø ß Ö Ý × Ò × Ø Ö Ó Ò Ö Ú Ø Ø Ó Ò Ð ¬ Ð ×
Ð Ø Ø Ò Ö Ø Ý Ø × Ù Ò º Ì × Ô Ò Ó Ñ Ò Ó Ò × Ø Ð Ø ß Ð Ó Ù Ò Ø Ö Ô Ö Ø Ó Ø Ô Ö × Ø Ö Ó Ò
Ú Ò Ò Ó Ò × Ø Ø Ù Ø × Ò Ó Ø Ö Ð × × Ð Ø × Ø Ó Ò Ö Ð Ê Ð Ø Ú Ø Ý º Ì Ô Ð Ó Ø Ó Ø Ô Ó Ø Ò Ø Ð
Î
Ô Ó Ø Ó Ò
´ Ö µ × × Ô Ð Ý Ò ¬ º ¿ º ½ º × Ø × Ú Ò Ø Ö Ó Ñ Ø × × Ô Ø Ö × Ñ Ü Ñ Ù Ñ Ø Ö ¿ Ñ
Ù Ø Ò Ó Ñ Ò Ñ º À Ò ¸ Ò Ø × Ó Ô Ó Ø Ó Ò × Ø Ö Ö Ò Ó × Ø Ð Ö Ù Ð Ö Ó Ö Ø × Ó Ò Ð Ý Ó Ô Ò
Ó Ö Ø × Ö Ú Ð Ð Ø Ø Ó Ö Ö × Ô Ó Ò Ø Ó Ø Ó Ö Ñ Ò Ø Ó Ò Ò Ò Ó Ð Ø ß Ö Ý × º Ï × Ø Ù Ý × Ù
Ô Ò Ó Ñ Ò Ó Ò Ý Û Ö Ø Ò Ø Ü Ø « Ö Ò Ø Ð Õ Ù Ø Ó Ò Ó Ø Ó Ö Ø º È Ö Ó Ò Ò Ù Ð Ð Ò Ð Ó Ý
Û Ø Ó Ù Ö Ô Ö Ú Ó Ù × Ø Ö Ø Ñ Ò Ø Ó Ø Ø Ñ ß Ð Ó × × Û Ø Ö Ø Ö Ú Ø Ú × Û Ø Ö × Ô Ø Ø Ó
Ø Æ Ò Ô Ö Ñ Ø Ö Ó Ö Ø Ö Ú Ø Ú × Û Ø Ö × Ô Ø Ø Ó Ø Þ Ñ Ù Ø Ð Ò Ð
Ö
Ö
Ö
Ä
¾
Ö
¾
´ ¿ º º ½ ¼ ¼ µ
7/29/2019 Fre P. Course in General Relativity (Free Version, Lecture Notes, Web Draft, 2003)(141s)_PGr
http://slidepdf.com/reader/full/fre-p-course-in-general-relativity-free-version-lecture-notes-web-draft 83/141
Ä Ø ß Ð Ó × × Ò Ø - Ø Ó Ò Ð Ø ß Ö Ý × ¾
Ù Ö ¿ º ½ º Ì « Ø Ú Ö Ð Ô Ó Ø Ò Ø Ð Ó Ö Ø Ñ Ó Ø Ó Ò Ó Ñ × × Ð × × Ô Ö Ø Ð × Ò Ë Û Ö Þ × Ð Ó Ñ ¹
Ø Ö Ý º Á Ø × Ô Ð Ý × Ñ Ü Ñ Ù Ñ Ø Ö ¿ Ñ Ù Ø Ò Ó Ñ Ò Ñ º Á Ò Ø × ¬ Ù Ö Ø Ô Ð Ó Ø × Ú Ò Ó Ö Ä
Á Ò × Ö Ø Ò Õ º ´ ¿ º º ½ ¼ ¼ µ Ò Ø Ó Õ º ´ ¿ º º µ Ò Ò Ø Ö Ó Ù Ò Ø Ñ Ô Ø Ô Ö Ñ Ø Ö
Ä
´ ¿ º º ½ ¼ ½ µ
Û Ó Ø Ò
Ö
¦ Ö
¾
½
¾
½
Ö
¾
½
¾ Ñ
Ö
½ ¾
´ ¿ º º ½ ¼ ¾ µ
Û Ò Ù Ö Ø Ö Ó Ò Ú Ö Ø Ò Ø Ó Ø Ü Ø Ó Ö Ø Õ Ù Ø Ó Ò
Ù
¦
½
¾
Ù
¾
· ¾ Ñ Ù
¿
½ ¾
´ ¿ º º ½ ¼ ¿ µ
Ì Ò Ñ Ú Ò Ø Ó Ø Ñ Ô Ø Ô Ö Ñ Ø Ö ´ ¿ º º ½ ¼ ½ µ × × Ð Ý Ù × Ø ¬ Û Ò Ø Ö Ø Õ º ´ ¿ º º ½ ¼ ¿ µ
Ò Ø Û Ø Ó Ò Ò Ô Ô Ö Ó Ü Ñ Ø Ó Ò
¾ Ñ Ù
¿
Ù
¾
´ ¿ º º ½ ¼ µ
Á Ò Û × Ö Ö Ø Ø Ö Ñ ¾ Ñ Ù
¿
Û Ó Ø Ò
¦
Ù
Õ
½
¾
Ù
¾
´ ¿ º º ½ ¼ µ
Û Ñ Ñ Ø Ð Ý Ý Ð ×
·
¼
Ö × Ò Ù ℄ ´ ¿ º º ½ ¼ µ
Ð Ò Ø Ó Ø Õ Ù Ø Ó Ò Ó Ø Û Ø Ó Ò Ò Ó Ö Ø Ó Ô Ó Ø Ó Ò
Ö
× Ò ·
¼
℄
´ ¿ º º ½ ¼ µ
7/29/2019 Fre P. Course in General Relativity (Free Version, Lecture Notes, Web Draft, 2003)(141s)_PGr
http://slidepdf.com/reader/full/fre-p-course-in-general-relativity-free-version-lecture-notes-web-draft 84/141
Ä Ø ß Ð Ó × × Ò Ø - Ø Ó Ò Ð Ø ß Ö Ý × ¿
Õ º ´ ¿ º º ½ ¼ µ × Ö × × Ø Ö Ø Ð Ò Ò Ø
¾
Ô Ð Ò × Ø × × Ó Û Ò Ò ¬ º ¿ º ½ º Ì
Ù Ö ¿ º ½ º Ì Æ Û Ø Ó Ò Ò Ø Ö Ø Ó Ö Ý Ó Ô Ó Ø Ó Ò × × Ø Ö Ø Ð Ò Ò Ø Ñ Ô Ø Ô Ö Ñ Ø Ö × Ø
Ñ Ò Ñ Ð × Ø Ò Ö Ó Ñ Ø Ò Ø Ö Ó Ñ × × Ö Ð Ó Ò × Ù Ø Ö Ø Ó Ö Ý
Ñ Ô Ø Ô Ö Ñ Ø Ö × Ó Ñ Ø Ö Ð Ð Ý Ò Ø Ö Ô Ö Ø × Ø Ñ Ò Ñ Ð × Ø Ò Ö Ó Ñ Ø Ò Ø Ö Ó Ñ × ×
Ö Ý Ø Ñ × × Ð × × Ô Ö Ø Ð Û Ð Ø Ö Ú Ð Ò Ð Ó Ò Ø × Ø Ö Ø Ó Ö Ý º Â Ù × Ø × Ò Ø Ñ × × Ú × ¸
Ø Ö Ð Ø Ú × Ø Ô Ö Ø Ù Ö Ø Ó Ò ¾ Ñ Ù
¿
Ò × Ø × Ó Ò Ð Ù × Ó Ò º Ë Õ Ù Ö Ò Ó Ø × × Ó Õ Ù Ø Ó Ò
´ ¿ º º ½ ¼ ¿ µ Û Ó Ø Ò
Ù
¾
½
¾
Ù
¾
· ¾ Ñ Ù
¿
¼ ´ ¿ º º ½ ¼ µ
Ò Ø Ò Ù Ö Ø Ö
Ö Ú Ø Ú Ó Õ º ´ ¿ º º ½ ¼ µ Û ¬ Ò
¾ Ù
¼
Ù
¼ ¼
· Ù ¿ Ñ Ù
¾
¡
¼ ´ ¿ º º ½ ¼ µ
Û × × Ó Ð Ú Ø Ö Ý Ù
¼
¼ Ó Ö Ý
Ù
¼ ¼
· Ù ¿ Ñ Ù
¾
´ ¿ º º ½ ½ ¼ µ
Ì ¬ Ö × Ø Ô Ó × × Ð Ø Ý Ó Ö Ö × Ô Ó Ò Ò Ø Ó Ö Ù Ð Ö Ó Ö Ø × × Ü Ð Ù × Ò ¸ × Û Ú Ð Ö Ý Ó × Ö Ú ¸
Ø « Ø Ú Ô Ó Ø Ò Ø Ð × Ò Ó Ñ Ò Ñ º À Ò Û Ö Ð Ø Û Ø Õ º ´ ¿ º º ½ ½ ¼ µ Û × Ø Ð Ø ß Ð
Ó Ù Ò Ø Ö Ô Ö Ø Ó Õ º ´ ¿ º º µ º Â Ù × Ø × Ò Ø Ñ × × Ú × Ø « Ö Ò Ø Ð Õ Ù Ø Ó Ò ´ ¿ º º ½ ½ ¼ µ Ò Ò Ó Ø
× Ó Ð Ú Ò Ð Ý Ø Ð Ð Ý Ù Ø Ò Ø Ö Ø Ö Ø Ò Ù Ñ Ö Ð Ð Ý Ó Ö Ô Ö Ø Ù Ö Ø Ú Ð Ý Û Ò Ø Ò Û Ø Ó Ò Ò
Ô Ô Ö Ó Ü Ñ Ø Ó Ò ´ ¿ º º ½ ¼ µ Ô Ô Ð × º Á Ò Ó Ö Ö Ø Ó Ñ Ô × Þ Ø Ò Û Ö Ð Ø Ú × Ø Ô Ò Ó Ñ Ò Ó Ò Ñ Ô Ð
Ý Ë Û Ö Þ × Ð Ó Ñ Ø Ö Ý ¸ Ò Ñ Ð Ý Ø Ö Ú Ø Ø Ó Ò Ð Ò Ò Ó Ð Ø Ö Ý × ¸ Û Ú Ó Ò × Ö
Ø Ü Ø Ö Ñ × Ø Ù Ø Ó Ò Ô Ö Ó Ú Ý Ô Ó Ø Ó Ò Ñ Ô Ò Ò Ó Ò Ò Ø Ö Ó Ñ × × Û Ø Ø Ò Ý Ñ Ô Ø
Ô Ö Ñ Ø Ö ¸ Ò Ñ Ð Ý
Ë Û Ö Þ × Ð Ñ Ö ´ ¿ º º ½ ½ ½ µ
7/29/2019 Fre P. Course in General Relativity (Free Version, Lecture Notes, Web Draft, 2003)(141s)_PGr
http://slidepdf.com/reader/full/fre-p-course-in-general-relativity-free-version-lecture-notes-web-draft 85/141
Ä Ø ß Ð Ó × × Ò Ø - Ø Ó Ò Ð Ø ß Ö Ý ×
Ò Ó Ó × Ò × Ó Ñ Ò Ó Ò Ú Ò × Ò Ò Ò Ò Ð ´
¼
Ò Ó Ù Ö Ü Ñ Ô Ð µ Û Ú Ò Ù Ñ Ö Ð Ð Ý
× Ó Ð Ú Õ º ´ ¿ º º ½ ½ ¼ µ Û Ø Ò Ø Ð Ó Ò Ø Ó Ò ×
Ù
¼
´ ¼ µ
× Ò
¼
Ù ´ ¼ µ
Ó ×
¼
´ ¿ º º ½ ½ ¾ µ
Ì Ö × Ù Ð Ø Ò Ô Ó Ø Ó Ò Ø Ö Ø Ó Ö Ý × × Ô Ð Ý Ò ¬ º ¿ º ½ º × Ó Ò × × ¸ Ö Ø Ö Ø Ò Ô Ö Ó Ò
Ù Ö ¿ º ½ º Ì Ø Ö Ø Ó Ö Ý Ó Ô Ó Ø Ó Ò Ò Ë Û Ö Þ × Ð Ó Ñ Ø Ö Ý Û Ø Ñ Ô Ø Ô Ö Ñ Ø Ö Ñ
Ò Ò Ò Ò Ð
¼
Ù Ò × Ø Ù Ö Ó Ò × Ø Ö Ø Ð Ò Ø Ô Ó Ø Ó Ò Ñ × Ø Ù Ö Ò Ö Ó Ù Ò Ø Ò Ø Ö Ó Ñ × × Ò Ñ Ö ×
Ø Ò Ò Ð « Ö Ò Ø Ö Ó Ñ Ø Ó Ò Ó Ò Ò º Ì Ü Ø Ö Ð Ø Ú × Ø Ó Ö Ø × Ó Ñ Ô Ö Û Ø Ø
Ó Ö Ö × Ô Ó Ò Ò Û Ø Ó Ò Ò Ó Ò Ò ¬ º ¿ º ½ º
Ì Ô Ö Ø Ù Ö Ø Ú Ø Ö Ø Ñ Ò Ø Ó Õ º ´ ¿ º º ½ ½ ¼ µ Ó Ð Ð Ó Û × Ø × Ñ Ð Ò × × Ø Ô Ö Ø Ù Ö Ø Ú Ø Ö Ø ¹
Ñ Ò Ø Ó Ó Ö Ø Õ Ù Ø Ó Ò Ó Ö Ø Ñ × × Ú Ô Ö Ø Ð ´ ¿ º º µ º Ï × Ø
Ù ´ µ Ù
¼
´ µ · ¡ Ù ´ µ ´ ¿ º º ½ ½ ¿ µ
Û Ö ¸ Ó Ö Ò Ø Ó Õ º ´ ¿ º º ½ ¼ µ ¸ Ø Ù Ò Ô Ö Ø Ù Ö × Ó Ð Ù Ø Ó Ò ×
Ù
¼
´ µ
½
× Ò ·
¼
℄ ´ ¿ º º ½ ½ µ
Á Ò Ø Ô Ó × Ø ¹ Ò Û Ø Ó Ò Ò Ô Ô Ö Ó Ü Ñ Ø Ó Ò ´ ¿ º º ½ ¼ µ Û Ó Ø Ò Ø Ó Ð Ð Ó Û Ò « Ö Ò Ø Ð Õ Ù Ø Ó Ò Ó Ö
Ø Ô Ö Ø Ù Ö Ø Ó Ò
¡ Ù
¼ ¼
· ¡ Ù ¿ Ñ Ù
¾
¼
¿ Ñ
¾
½ Ó ×
¾
·
¼
℄
¡
´ ¿ º º ½ ½ µ
7/29/2019 Fre P. Course in General Relativity (Free Version, Lecture Notes, Web Draft, 2003)(141s)_PGr
http://slidepdf.com/reader/full/fre-p-course-in-general-relativity-free-version-lecture-notes-web-draft 86/141
Ä Ø ß Ð Ó × × Ò Ø - Ø Ó Ò Ð Ø ß Ö Ý ×
Ù Ö ¿ º ½ º Ó Ñ Ô Ö × Ó Ò Ø Û Ò Ø Æ Û Ø Ó Ò Ò Ø Ö Ø Ó Ö Ý ´ Ø Ð Ò µ Ò Ø Ü Ø Ö Ð Ø Ú × Ø
Ø Ö Ø Ó Ö Ý ´ Ø Ò Ð Ò µ Ó Ô Ó Ø Ó Ò Ø Ø Ñ Ô Ò × Ò Ø Ö Ó Ñ × × Û Ø Ñ Ô Ø Ô Ö Ñ Ø Ö Ñ Ò
Ò Ò Ò Ð
¼
Û Ñ Ø × Ø Ó Ð Ð Ó Û Ò Ô Ö Ø Ù Ð Ö × Ó Ð Ù Ø Ó Ò
¡ Ù ´ µ
¿ Ñ
¾
¾
½ ·
½
¿
Ó × ¾ ´ ·
¼
µ ℄
¡
´ ¿ º º ½ ½ µ
À Ò ¸ Ó Ó × Ò Ó Ù Ö Ö Ö Ò Ö Ñ Ó Ö Ò Ø Ø Ó Ò Ò × Ù Û Ý Ø Ø
¼
¼ ¸ Û Ò Û Ö Ø Ø
Ô Ö Ø Ù Ö × Ó Ð Ù Ø Ó Ò
Ù
Ô Ö Ø
´ µ
½
× Ò ℄ ·
¿ Ñ
½ ·
½
¿
Ó × ¾ ℄
¡
´ ¿ º º ½ ½ µ
Ì Ó Ö Ö × Ô Ó Ò Ò Ø Ö Ø Ó Ö Ý × Ô Ð Ó Ø Ø Ò ¬ º ¿ º ¾ ¼ Ó Ö Ò Ñ Ô Ø Ô Ö Ñ Ø Ö ¿ ¼ Ñ º Á Ò Ø
× Ñ ¬ Ù Ö Û Ú Ð × Ó Ô Ð Ó Ø Ø Ø Ó Ö Ö × Ô Ó Ò Ò Ò Û Ø Ó Ò Ò Ø Ö Ø Ó Ö Ý ¸ Ò Ñ Ð Ý × Ø Ö Ø ß Ð Ò
Û Ø Ø × Ñ Ñ Ò Ñ Ð × Ø Ò Ö Ó Ñ Ø Ò Ø Ö Ó Ñ × × º Ì Ò Ð Æ × Ó Û Ò Ò ¬ º ¿ º ¾ ¼ × Ó Ò
Ð Ó Ø Ø Ó Ø Ð - Ø Ó Ò Ò Ð Ó Ð Ø Ö Ý × Ô Ö Ø Ý Ò Ö Ð Ê Ð Ø Ú Ø Ý
¡
Ð Ø
¾ Æ ´ ¿ º º ½ ½ µ
Ì Ò Ð Æ Ò Ú Ð Ù Ø Ö Ó Ñ Ø Ô Ó × Ø Ò Û Ø Ó Ò Ò Ô Ö Ø Ù Ö × Ó Ð Ù Ø Ó Ò ´ ¿ º º ½ ½ µ Û Ø Ø
Ó Ð Ð Ó Û Ò Ö × Ó Ò Ò º Ì Ò Ó Ñ Ò Ò Ó Ù Ø Ó Ò Ô Ó Ø Ó Ò × Ö Ø Ò ¬ Ò Ø × Ø Ò Ö Ó Ñ Ø Ò Ø Ö
Ó Ñ × × ¸ Ò Ñ Ð Ý Ø Ö ½ ̧ Ù ¼ º Á Û ¬ Ü
¼
¼ ¸ Ø Þ Ö Ó × Ó Ø Ù Ò Ô Ö Ø Ù Ö Ù Ò Ø Ó Ò
Ù
¼
´ µ ´ × Õ º ´ ¿ º º ½ ½ µ ¸ Ö Ø
Ö ½ ̧ Ù
¼
¼ µ
´ ¼ µ
½
¼ Ò Ó Ñ Ò Ô Ó Ø Ó Ò
Ó Ù Ø Ó Ò Ô Ó Ø Ó Ò
´ ¿ º º ½ ½ µ
7/29/2019 Fre P. Course in General Relativity (Free Version, Lecture Notes, Web Draft, 2003)(141s)_PGr
http://slidepdf.com/reader/full/fre-p-course-in-general-relativity-free-version-lecture-notes-web-draft 87/141
Ä Ø ß Ð Ó × × Ò Ø - Ø Ó Ò Ð Ø ß Ö Ý ×
Ù Ö ¿ º ¾ ¼ º Ó Ñ Ô Ö × Ó Ò Ø Û Ò Ø Ò Û Ø Ó Ò Ò Ò Ô Ó × Ø Ò Û Ø Ó Ò Ò Ô Ö Ø Ù Ö Ø Ö Ø Ó Ö Ý Ó Ô Ó Ø Ó Ò
Ñ Ô Ò Ò Ó Ò Ò Ø Ö Ó Ñ × × Û Ø Ñ Ô Ø Ô Ö Ñ Ø Ö ¿ ¼ Ñ Ò Ò Ò Ò Ð
¼
¼
Ì Þ Ö Ó × Ó Ø Ô Ö Ø Ù Ö Ù Ò Ø Ó Ò Û Ð Ð Ò × Ø Ó Ù Ö Ø
Ö ½ ̧ Ù
Ô Ö Ø
¼ µ
´ Ô Ö Ø µ
½
¼ Æ Ò Ó Ñ Ò Ô Ó Ø Ó Ò
· Æ Ó Ù Ø Ó Ò Ô Ó Ø Ó Ò
´ ¿ º º ½ ¾ ¼ µ
Û Ö Æ ½ × × Ñ Ð Ð º À Ò Û Ò Ù × Ø Ô Ó Û Ö × Ö × Ü Ô Ò × Ó Ò Ó Ø Ö Ó Ò Ó Ñ Ø Ö Ù Ò Ø Ó Ò ×
Ò Û Ö Ø
× Ò
½
½
Æ Ó × ¾
½
½ ´ ¿ º º ½ ¾ ½ µ
Ò Û Ö Ø
¼
Æ
·
¿ Ñ
¾
¾
½ ·
½
¿
¡
µ
Æ ¾
Ñ
´ ¿ º º ½ ¾ ¾ µ
Á Ò × Ö Ø Ò Õ º ´ ¿ º º ½ ¾ ¾ µ Ò Ø Ó Õ º ´ ¿ º º ½ ½ µ Û Ó Ò Ð Ù Ø Ø Ò Ö Ð Ê Ð Ø Ú Ø Ý Ô Ö Ø × Ø Ó Ð ¹
Ð Ó Û Ò Ø Ó Ø Ð - Ø Ó Ò Ò Ð
¡
Ð Ø
Å
¾
½
´ ¿ º º ½ ¾ ¿ µ
Ó Ö Ð Ø ß Ö Ý × Ñ Ô Ò Ò Ó Ò Ò Ø Ö Ó Ñ × × Å Û Ø Ñ Ô Ø Ô Ö Ñ Ø Ö º
Á Ø × Ò Ø Ö × Ø Ò Ø Ó Ú Ò Ù Ñ Ö Ð Ú Ð Ù Ø Ó Ò Ó Ø × « Ø Ò Ø × Ó Ð Ø Ö Ý × ´ Ø Ù Ð Ð Ý
Ò Ý Ð Ø Ö Ó Ñ Ò Ø Û Ú × Ò Ð µ Ô × × Ò Ð Ó × Ø Ó Ø × Ù Ò º Á Ò Ø × × Ø Ñ Ü Ñ Ð Ô Ó × × Ð
« Ø Ó Ù Ö × Û Ò Ø Ñ Ô Ø Ô Ö Ñ Ø Ö × Ø Ñ Ò Ñ Ð Ó Ò Ú Ð Ó Ò ¸ Ò Ñ Ð Ý Û Ò Ê
Â
Õ Ù Ð × Ø Ö Ù × Ó Ó Ù Ö × Ø Ö º Ì × Ø Ö Ó Ò Ó Ñ Ð Ø Ö
Ê
Â
¢ ½ ¼
Ñ Ñ
Â
½ Ñ ´ ¿ º º ½ ¾ µ
7/29/2019 Fre P. Course in General Relativity (Free Version, Lecture Notes, Web Draft, 2003)(141s)_PGr
http://slidepdf.com/reader/full/fre-p-course-in-general-relativity-free-version-lecture-notes-web-draft 88/141
Ä Ø ß Ð Ó × × Ò Ø - Ø Ó Ò Ð Ø ß Ö Ý ×
Ò Ñ Ô Ð Ý Ñ Ü Ñ Ð - Ø Ó Ò Ò Ð Ó
Ñ Ü ¡
Ë Ù Ò
Ð Ø
¢
½
¢ ½ ¼
¢ ½ ¼
Ö ½ Ö × Ó Ò × ´ ¿ º º ½ ¾ µ
Ð Ø Ó Ù Ø Ò Ý Ø × « Ø × Ó × Ö Ú Ð Ò Ü Ô Ö Ñ Ò Ø × Ö Ò Ù Ð Ð Ö Ñ Ò Ø Û Ø Ø Ø Ó Ö Ý º
Ì ¬ Ö × Ø Ñ × Ù Ö Û × Ô Ö Ó Ö Ñ Ù Ö Ò × Ó Ð Ö Ð Ô × Ò ½ ½ º Á Ò Ø × Ú Ò Ø × Ø Û × Ó Ò ¬ Ö Ñ
Û Ø Ñ Ù Ö Ô Ö × Ó Ò Ý Ñ Ò × Ó Ö Ö × Ò Ð × Ö - Ø Ö Ó Ñ × Ø Ð Ð Ø Ó Ö Ø Ò Ò Ö Ø
Ë Ù Ò º
7/29/2019 Fre P. Course in General Relativity (Free Version, Lecture Notes, Web Draft, 2003)(141s)_PGr
http://slidepdf.com/reader/full/fre-p-course-in-general-relativity-free-version-lecture-notes-web-draft 89/141
Ô Ø Ö
Á Æ Ë Ì Á Æ É Í Ì Á Ç Æ Ë Æ Ì À Î Á Ä Á Æ
Ç Ê Å Ä Á Ë Å
º ½ Á Ò Ø Ö Ó Ù Ø Ó Ò
º ¾ Ê Ø Ö Ú Ò Ø Ë Û Ö Þ × Ð Ñ Ø Ö Ö Ó Ñ Ò × Ø Ò Õ Ù Ø Ó Ò ×
×
¾
Ü Ô ¾ ´ Ö µ ℄ Ø
¾
· Ü Ô ¾ ´ Ö µ ℄ Ö
¾
· Ö
¾
¾
· × Ò
¾
¾
¡
´ º ¾ º ½ µ
Ð Ð º
Ð Ù Ð Ø Ò Ø Ü Ø Ö Ó Ö « Ö Ò Ø Ð Ó Ø Ú Ð Ò ´ µ Û Ó Ø Ò
¼
¼
½
¼
½
¼
¾
Ö
½
¾
¿
Ö
½
¿
·
Ó ×
× Ò
½
Ö
¾
¿
´ º ¾ º ¾ µ
Ç Ò Ø Ó Ø Ö Ò Ø Ú Ò × Ò Ø Ó Ö × Ó Ò Õ Ù Ø Ó Ò Ø × Ø Ó Ð Ð Ó Û Ò Ü Ô Ð Ø Ó Ö Ñ
¼
¼ ½
½
¼ ¾
¾
¼ ¿
¿
¼
½
¼ ½
¼
½ ¾
¾
½ ¿
¿
¼
¾
¼ ¾
¼
·
½ ¾
½
¾ ¿
¿
¼
¿
¼ ¿
¿
·
½ ¿
½
·
¾ ¿
¾
¼ ´ º ¾ º ¿ µ
× Ó Ø Ø ¸ Ó Ñ Ò Ò Õ º × ´ º ¾ º ¿ µ Û Ø Õ º × ´ º ¾ º ¾ µ Û Ø Ö Ñ Ò Ø Ó Ð Ð Ó Û Ò Ù Ò Õ Ù × Ó Ð Ù Ø Ó Ò Ó Ö
Ø Ä Ú ß Ú Ø × Ô Ò Ó Ò Ò Ø Ó Ò
¼ ½
¼
¼
¼ ¾
¼ ¿
¼
½ ¾
Ö
¾
½ ¿
Ö
¿
¾ ¿
Ó ×
× Ò
½
Ö
¿
´ º ¾ º µ
Ð Ð º
7/29/2019 Fre P. Course in General Relativity (Free Version, Lecture Notes, Web Draft, 2003)(141s)_PGr
http://slidepdf.com/reader/full/fre-p-course-in-general-relativity-free-version-lecture-notes-web-draft 90/141
Ê Ø Ö Ú Ò Ø Ë Û Ö Þ × Ð Ñ Ø Ö Ö Ó Ñ Ò × Ø Ò Õ Ù Ø Ó Ò ×
Ë Ó ¬ Ò Ð Ð Ý Û Ò Û Ö Ø Ò Ø Ö Ò × Ó Ñ Ô Ó Ò Ò Ø × Ó Ø Ò × Ø Ò Ø Ò × Ó Ö Ó Ö Ø × Ô Ö Ð × Ý Ñ Ñ Ø Ö
Ñ Ø Ö ´ º ¾ º ½ µ
¼
¼
½
Ö
¾
¾
½
Ö
¾
¾
¼
Ö
½
½
½
Ö
¾
¾
½
Ö
¾
· ¾
¼
Ö
¾
¾
¿
¿
¾
¼
¼
Ö
·
¼ ¼
· ´
¼
µ
¾
¼
¼
¼ Ó Ø Ö Û × ´ º ¾ º µ
7/29/2019 Fre P. Course in General Relativity (Free Version, Lecture Notes, Web Draft, 2003)(141s)_PGr
http://slidepdf.com/reader/full/fre-p-course-in-general-relativity-free-version-lecture-notes-web-draft 91/141
Ô Ø Ö
Á Æ Ì Ê Á Ç Ê Ë Ç Ä Í Ì Á Ç Æ Ë Æ Ë Ì Ä Ä Ê
É Í Á Ä Á Ê Á Í Å
º ½ Á Ò Ø Ö Ó Ù Ø Ó Ò
º ¾ Ì × Ø Ö × × Ò Ö Ý Ø Ò × Ó Ö Ó Ô Ö Ø - Ù
Á Ò Ó Ù Ö Ø Ö Ø Ñ Ò Ø Ó Ø Ó × Ø Ö × Ò Ó Ó × Ñ Ó Ð Ó Ý Û Ø Ò Ø Ö Ñ Û Ó Ö Ó Ò Ö Ð Ê Ð Ø Ú Ø Ý Û
Ð Û Ý × Ø Ö × Ø Ð Ð Ý × Ñ Ô Ð ¬ × Ö Ô Ø Ó Ò Ó Ñ Ø Ø Ö Ý Ó Ò × Ö Ò Ø Ø Ó Ô Ö Ø - Ù
Ø Ø × Ò Ó Ú × Ó × Ø Ý Ò × Ó Ñ Ô Ð Ø Ð Ý × Ö Ò Ø Ö Ñ × Ó Ø Ö Ð Ó Ð ¬ Ð ×
̄ Ø Ò Ö Ý Ò × Ø Ý × Ð Ö ¬ Ð ¯
Ü
¾
´ Ü µ Ø Ø Ü Ô Ö × × × Ø Ñ Ó Ù Ò Ø Ó Ø Ó Ø Ð Ò Ö Ý
½
× Ø Ó Ö
Ò Ó Ò Ò ¬ Ò Ø × Ñ Ð Ð Ý × Ñ Ð Ð Ø Ö ß Ú Ó Ð Ù Ñ Ö Ó Ù Ò Ø × Ô ß Ø Ñ Ô Ó Ò Ø Ü
̄ Ø Ô Ö × × Ù Ö × Ð Ö ¬ Ð Ô ´ Ü µ Ø Ø Ú × Ø Ô Ö × × Ù Ö Ó Ø - Ù Ø Ø × Ñ × Ô ß Ø Ñ Ô Ó Ò Ø
Ü
̄ Ø Ø Ø Ö ß Ú Ð Ó Ø Ý Ú Ø Ó Ö ¬ Ð Ù
´ Ü µ Ø Ø Ü Ô Ö × × × Ø Ó Ù Ö ß Ú Ð Ó Ø Ý Ó Ò Ò ¬ Ò Ø × Ñ Ð Ð Ý
× Ñ Ð Ð Ð Ñ Ò Ø Ó Ø - Ù Ð Ó Ø Ò Ü Ü
Ø Ø Ñ Ø Ü
¼
À Ò Ò Ó Ö Ö Ø Ó Û Ö Ø Ó Û Ò Ò × Ó Ð Ú Ø Ö Ð Ú Ò Ø Ò × Ø Ò ¬ Ð Õ Ù Ø Ó Ò × Ò × × Ò Ø Ð Ò Ö Ò Ø
× Ô Ö Ó Ú Ý Ø Ò Ö Ð Ó Ö Ñ Ó Ø × Ø Ö × × ß Ò Ö Ý Ø Ò × Ó Ö Ì
Ó Ö Ô Ö Ø - Ù º Ì × × Û Ø
Û Ö Ú Ò Ø Ô Ö × Ò Ø × Ø Ó Ò º Ì Ó Ø × « Ø Û Ñ × Ø Ô Ò Û Ó Ò × Ö Ø × Ñ
Ô Ö Ó Ð Ñ Ò Ø Ó Ò Ø Ü Ø Ó × Ô Ð Ö Ð Ø Ú Ø Ý º × Û × Ð Ð × Ø ¬ Ò Ð Ö × Ù Ð Ø Ò Ñ Ñ Ø Ð Ý
Ô Ö Ó Ñ Ó Ø Ø Ó Ò Ö Ð Ö Ð Ø Ú Ø Ý Ý Ò Ú Ó Ò Ò Ö Ð Ó Ú Ö Ò º
Ô Ö Ø - Ù Ò Ð Þ × × Ý × Ø Ñ Ó ½ Ò Ø Ð ¸ Ò Ó Ò Ò Ø Ö Ø Ò Ô Ó Ò Ø
Ô Ö Ø Ð × Ó Ñ × × Ñ º Ø Ø Ñ Ø Ø Ò Ø Ô Ö Ø Ð × Ö Ø Ö Þ Ý Ø × Ò Ö Ý Ò Ø Ö ß Ñ Ó Ñ Ò Ø Ù Ñ
È
¼
´ Ò µ
´ Ø µ
´ Ò µ
È
´ Ò µ
Ñ - ´ Ú
´ Ò µ
µ Ú
´ Ò µ
´ ½ ¾ ¿ µ ´ º ¾ º ½ µ
Ò Ð × Ó Ý Ø × Ô Ó × Ø Ó Ò Ü
´ Ò µ
´ Ø µ º Á Ò Õ º ´ º ¾ º ½ µ Ø × Ý Ñ Ó Ð - Ò Ó Ø × Ø Ä Ó Ö Ò Ø Þ Ø Ó Ö
- ´ Ú µ
½
Õ
½
Ú
¾
¾
´ º ¾ º ¾ µ
½
Ý Ø Ó Ø Ð Ò Ö Ý Û Ñ Ò Ð Ð Ò × Ó Ò Ö Ý ¸ Ø Ö Ñ Ð ¸ Ñ Ð ¸ Ö Ø Ú Ò × Ó Ó Ò ¸ Ò Ð Ù Ò Ð × Ó Ø Ö × Ø ß Ñ × ×
Ò Ö Ý
¼
7/29/2019 Fre P. Course in General Relativity (Free Version, Lecture Notes, Web Draft, 2003)(141s)_PGr
http://slidepdf.com/reader/full/fre-p-course-in-general-relativity-free-version-lecture-notes-web-draft 92/141
Ì × Ø Ö × × Ò Ö Ý Ø Ò × Ó Ö Ó Ô Ö Ø - Ù ½
Ì × Ø Ö × × ß Ò Ö Ý Ø Ò × Ó Ö Ó Ø Ò Ø Ô Ö Ø Ð × Ú Ò Ý
¾
Ì
¼
´ Ò µ
È
´ Ò µ
´ Ø µ
Ì
´ Ò µ
È
´ Ò µ
´ Ø µ
½
Ü
´ Ò µ
Ø
´ º ¾ º ¿ µ
Ý × Ù Ñ Ñ Ò Ó Ò Ð Ð Ø Ô Ö Ø Ð × Ó Ò Ø Ò Ò Ø × Ý × Ø Ñ Û Ó Ø Ò Ø × × Ø Ö × × ß Ò Ö Ý Ø Ò × Ó Ö
Ì
¼
´ Ü µ
Ò
È
´ Ò µ
´ Ø µ Æ
´ ¿ µ
´ Ü Ü
Ò
´ Ø µ µ
Ì
Ò
È
´ Ò µ
´ Ø µ Æ
´ ¿ µ
´ Ü Ü
Ò
´ Ø µ µ
½
Ü
´ Ò µ
Ø
´ º ¾ º µ
Ü Ø Ù × Ò Ø Ö Ð Ø Ó Ò È
Ü
Ø
Û Ò Ö Û Ö Ø Õ º × ´ º ¾ º µ × Ó Ð Ð Ó Û ×
Ì
Ò
È
´ Ò µ
È
´ Ò µ
´ Ò µ
Æ
´ ¿ µ
´ Ü Ü
Ò
´ Ø µ µ ´ º ¾ º µ
Á Ò Ö Ö Ò Ö Ñ Û Ö Ø Ô Ö Ø - Ù × Ø Ö × Ø Ø Ñ Ù × Ø Ó Ñ Ó Ò Ó Ù × Ò × Ó Ø Ö Ó Ô º Ì ×
Ó Ö Ö × Ô Ó Ò × Ø Ó Ñ Ô Ó × Ò Ø Ó Ð Ð Ó Û Ò Ó Ò Ø Ó Ò × Ó Ò Ø × Ô Ø Ð Ô Ö Ø Ó Ø × Ø Ö × × ß Ò Ö Ý Ø Ò × Ó Ö
Ì
Ô Æ
´ º ¾ º µ
Û Ö Ô Ô ´ Ü µ × × Ð Ö Ù Ò Ø Ó Ò º Á Ò Ø Ó Ò Ð Ý × Ý Ñ Ñ Ø Ö ¾ ß Ø Ò × Ó Ö Ø Ø × Ò Ú Ö Ò Ø Û Ø
Ö × Ô Ø Ø Ó Ø Ë Ç ´ ¿ µ Ö Ó Ø Ø Ó Ò Ö Ó Ù Ô × Ø Ã Ö Ó Ò Ö Ð Ø º Ä Ó Ó Ò Ø Õ Ù Ø Ó Ò ´ º ¾ º µ Û × Ð Ý
Ð Ù Ð Ø Ø Ô Ý × Ð Ñ Ò × Ó Ò × Ó Ø × Ø Ö × × ß Ò Ö Ý Ø Ò × Ó Ö Ì
º Ï Ú
È
´ Ò µ
È
´ Ò µ
Ñ
¾
¾
Ø
¾
¢
´ Ò µ
£
Ñ
¾
Ø
¾
¢
¾
£
¾
Ø
¾
¢
Æ
¿
´ Ü
Ò µ
Ü ´ Ø µ µ
£
½
Î Ó Ð Ù Ñ
¿
´ º ¾ º µ
× Ó Ø Ø
¢
Ì
£
Ñ
½
Ø
¾
Ó Ö
Ö
Ô Ö × × Ù Ö ´ º ¾ º µ
À Ò Ý Ñ Ò × Ó Ò Ð Ò Ð Ý × × Û Ó Ò Ð Ù Ø Ø Ø × Ð Ö Ù Ò Ø Ó Ò Ô ´ Ü µ Ô Ô Ö Ò Ò Õ º ´ º ¾ º µ
× Ø Ó Ò Ø Ö Ô Ö Ø × Ø Ô Ö × × Ù Ö Ó Ø - Ù Ò Ø × Ö × Ø Ö Ñ º Ð × Ó Ý Ó Ñ Ô Ö × Ó Ò Ó ´ º ¾ º µ
Û Ø ´ º ¾ º µ Û Ó Ø Ò
Ô
½
¿
Ò
È
¾
Ò
´ Ò µ
½ Æ
¿
´ Ü
Ò µ
Ü ´ Ø µ µ ´ º ¾ º µ
¾
Ä Ø Ù × Ö Ð Ð Ø Ø Ø Ú Ö Ó Ù × Ó Ñ Ô Ó Ò Ò Ø × Ó Ø × Ø Ö × × ß Ò Ö Ý Ø Ò × Ó Ö Ú Ø Ó Ð Ð Ó Û Ò Ô Ý × Ð Ñ Ò Ò
Ì
¼ ¼
× Ø Ò Ö Ý Ò × Ø Ý
Ì
¼
× Ø - Ù Ü Ó Ò Ö Ý Ò Ø ¹ Ø Ö Ø Ó Ò
Ì
¼
× Ø Ò × Ø Ý Ó Ø Ó Ñ Ô Ó Ò Ò Ø Ó Ø Ö ß Ñ Ó Ñ Ò Ø Ù Ñ
Ì
× Ø - Ù Ü Ó Ø Ñ Ó Ñ Ò Ø Ù Ñ Ó Ñ Ô Ó Ò Ò Ø Ò Ø Ö Ø Ó Ò
7/29/2019 Fre P. Course in General Relativity (Free Version, Lecture Notes, Web Draft, 2003)(141s)_PGr
http://slidepdf.com/reader/full/fre-p-course-in-general-relativity-free-version-lecture-notes-web-draft 93/141
Ì × Ø Ö × × Ò Ö Ý Ø Ò × Ó Ö Ó Ô Ö Ø - Ù ¾
Ø Ø × Ø Ó Ð Ð Ó Û Ò Ó Ú Ó Ù × Ô Ý × Ð Ò Ø Ö Ô Ö Ø Ø Ó Ò º Ë Ò Ø Ø Ó Ø Ð Ò Ö Ý Ó Ø Ò Ø Ô Ö Ø Ð
× Ú Ò Ý
´ Ò µ
Ô
Ñ
¾
· È
¾
Ò
Ø Ô Ö × × Ù Ö × Ù Ø Ó Ø Ö Ø Ó Ò Ó Ø Ø Ó Ø Ð Ò Ö Ý Ò Ó Ø Ù
Ø Ó Ö × Ø Ñ × × × ¸ Ò Ñ Ð Ý Ø Ò Ø Ò Ö Ý º
Á Ò Ø Ö × Ø Ö Ñ Ø Ø Û Ú Ó × Ò Ø Ö Ò Ó Ò Ö Ý Ó Ö Ñ Ó Ñ Ò Ø Ù Ñ - Ù Ü × × Ó Ø Ø Ì
¼
Ì
¼
¼ º Ç Ò Ø Ó Ø Ö Ø Ì
¼ ¼
Ó Ñ Ô Ó Ò Ò Ø × Ú Ò Ý
Ì
¼ ¼
Ò
È
¼
´ Ò µ
´ Ø µ
¾
´ Ò µ
Æ
¿
´ Ü
Ò µ
Ü ´ Ø µ µ
Ò
´ Ò µ
Æ
¿
´ Ü
Ò µ
Ü ´ Ø µ µ
¯
Ø Ó Ø
´ Ü µ
¾
´ Ü µ ´ º ¾ º ½ ¼ µ
Á Ò Ø Ò Ö Ý Ò × Ø Ý Ò Ø × Ô ß Ø Ñ Ô Ó Ò Ø Ü ´ Ü
¼
Ü µ × Ø × Ù Ñ Ó Ø Ò Ö × Ó Ð Ð
Ø Ô Ö Ø Ð × Ø Ø Ô Ô Ò Ø Ó Ò Ü Ø Ø Ñ Ü
¼
º Ë Ù Ñ Ñ Ö Þ Ò ¸ Ò Ø Ö × Ø Ö Ñ Ó Ø - Ù Ø
× Ø Ö × × ß Ò Ö Ý Ø Ò × Ó Ö Ø × Ø Ó Ð Ð Ó Û Ò Ó Ö Ñ
Ì
¼
¾
¼ ¼ ¼
¼ Ô ¼ ¼
¼ ¼ Ô ¼
¼ ¼ ¼ Ô
½
´ º ¾ º ½ ½ µ
Ì Ó Ó Ø Ó Ò Ö Ö Ñ Û Ö Ø - Ù × Ø Ö ¹ Ú Ð Ó Ø Ý Ú Ø × Ù Æ × Ø Ó Ñ × Ô Ð
Ä Ó Ö Ò Ø Þ Ø Ö Ò × Ó Ö Ñ Ø Ó Ò Û Ø Ú Ð Ó Ø Ý Ú ¸ Ò Ñ Ð Ý
Ì
¼
£
£
Ì
´ º ¾ º ½ ¾ µ
Û Ö
£
¼
¼
- ´ Ú µ
£
¼
£
¼
- ´ Ú µ
Ú
£
Æ
·
Ú
Ú
Ú
¾
- ´ Ú µ ½ ℄ ´ º ¾ º ½ ¿ µ
Ü Ô Ð Ø Ð Ý Ô Ö Ó Ö Ñ Ò Ø Ø Ö Ò × Ó Ö Ñ Ø Ó Ò ´ º ¾ º ½ ¾ µ Ò Ö Ð Ð Ò Ø Ø Ò Ø × Ô Ð Ö Ð Ø Ú Ø Ý Ø
Ø Ø Ö ß Ú Ð Ó Ø Ý × Ú Ò Ý
Ù
- ´ Ú µ - ´ Ú µ
Ú
´ º ¾ º ½ µ
Û Ó Ò Ð Ù Ø Ø Ò Ø Ò Û Ò Ö Ö Ñ Ø × Ø Ö × × ß Ò Ö Ý Ø Ò × Ó Ö Ó Ô Ö Ø - Ù × Ú Ò Ý
Ø Ó Ð Ð Ó Û Ò × Ñ Ô Ð Ó Ö Ñ Ù Ð
Ì
¾
Ù
Ù
· Ô ´ Ù
Ù
µ ´ º ¾ º ½ µ
Û Ö
´ · µ × Ø × Ø Ò Ö Å Ò Ó Û × Ñ Ø Ö Ò Ø Ñ Ó × Ø Ð Ý Ñ Ò Ù × Ó Ò Ú Ò Ø Ó Ò º
Õ º ´ º ¾ º ½ µ Ú × Ø × Ø Ö × × ß Ò Ö Ý Ø Ò × Ó Ö Ó Ô Ö Ø - Ù Ò × Ô Ð Ö Ð Ø Ú Ø Ý º Á Ø × Ò Ð Ó Ù
Ò Ò Ö Ð Ö Ð Ø Ú Ø Ý × × Ð Ý Ó Ø Ò Ø Ù × Ø × Ù Æ × Ø Ó Ö Ô Ð Ø - Ø Ñ Ø Ö
Û Ø Ò Ö
Ó Ò
´ Ü µ Ó Ø Ò Ò
Ì
´ Ü µ
¾
Ù
Ù
· Ô ´ Ù
Ù
µ ´ º ¾ º ½ µ
Û × Ø × Ø Ö Ø Ò Ô Ó Ò Ø Ó Ö Ð Ð × Ù × × Ó Ò × Ó Ò Ö Ð Ê Ð Ø Ú Ø Ý Ò Ô Ö × Ò Ó Ñ Ø Ø Ö º
7/29/2019 Fre P. Course in General Relativity (Free Version, Lecture Notes, Web Draft, 2003)(141s)_PGr
http://slidepdf.com/reader/full/fre-p-course-in-general-relativity-free-version-lecture-notes-web-draft 94/141
Á Ò Ø Ö Ó Ö × Ó Ð Ù Ø Ó Ò × Ò Ø × Ø Ð Ð Ö Õ Ù Ð Ö Ù Ñ Õ Ù Ø Ó Ò ¿
º ¿ Á Ò Ø Ö Ó Ö × Ó Ð Ù Ø Ó Ò × Ò Ø × Ø Ð Ð Ö Õ Ù Ð Ö Ù Ñ Õ Ù Ø Ó Ò
Ä Ø Ù × Ò Ó Û Ó Ó × × Ø Ø ¸ × Ô Ö Ð Ð Ý × Ý Ñ Ñ Ø Ö Ñ Ø Ö º × Û Ö Ù Ò Ô Ö Ú Ó Ù × Ô Ø Ö × Ø ×
Ñ Ó × Ø Ò Ö Ð Ó Ö Ñ × Ú Ò Ý Õ º ´ º ¾ º ½ µ Ø Ø Û Ö Ô Ø Ö Ó Ö Ó Ò Ú Ò Ò
×
¾
Ü Ô ¾ ´ Ö µ ℄ Ø
¾
· Ü Ô ¾ ´ Ö µ ℄ Ö
¾
· Ö
¾
¾
· × Ò
¾
¾
¡
´ º ¿ º ½ µ
Ý ´ Ö µ Ò ´ Ö µ Û Ú Ò Ó Ø Ø Û Ó Ö Ø Ö Ö Ý Ù Ò Ø Ó Ò × Ó Ø Ö Ð Ó Ó Ö Ò Ø Ö ¸ Û Ð
Ö Ø Ù × Ù Ð Ò Ù Ð Ö Ú Ö Ð × × ¬ Ò Ò ¬ º ¿ º ¾ º Ì Ó Ñ Ø Ö Ý × Ö Ý ´ º ¿ º ½ µ ¸ Ò
Ø Ó Ò Ø Ó Ë Ç ´ ¿ µ Ö Ó Ø Ø Ó Ò × Ñ Ø × Ð × Ó Ø Ñ Ø Ö Ò × Ð Ø Ó Ò ×
Ø Ø · ¡ ¡ Ó Ò × Ø ´ º ¿ º ½ µ
× × Ý Ñ Ñ Ø Ö Ý Ò Ø × × Ø Ö × Ó Ò Û Ý Û Ð Ð Ø × Ø Ø º Ì × Ñ Ô Ð × Ø Ø
Ü
Ø
´ º ¿ º ½ µ
× Ã Ð Ð Ò Ú Ø Ó Ö ¬ Ð º Ë Ù × Ø Ø × Ô Ö Ð × Ý Ñ Ñ Ø Ö Ó Ñ Ø Ö Ý × Ù × Ø Ø Ô Ô Ö Ó Ô Ö Ø
× Ö Ô Ø Ó Ò Ó Ó Ø Ø × Ô ß Ø Ñ Ö Ó Ò × Ù Ö Ö Ó Ù Ò Ò Ò Ó Ø × Ô ß Ø Ñ Ö Ó Ò Ó Ò Ø Ò Ò
× Ô Ö Ð × Ý Ñ Ñ Ø Ö × Ø Ö Ø Ø × Ò × Ø Ø Ó Õ Ù Ð Ö Ù Ñ º Ö × Ó Ò Ð Ñ Ó Ð Ó × Ù × Ø Ö × ×
Ó Ø Ò Ý Ö Ö Ò Ø Ñ Ø Ø Ö Ó Ù Ø Ó Û Ø Ý Ö Ó Ñ Ô Ó × × Ô Ö Ø - Ù ¸ Û Ó × × Ø Ö × ×
Ò Ö Ý Ø Ò × Ó Ö Û Û Ö Ø × Ò Õ º ´ º ¾ º ½ µ
Ì
´ Ü µ Ù
Ù
· Ô ´ Ù
Ù
µ ´ º ¿ º ¾ ¼ µ
Ú Ò Ó × Ò Ò Ø Ù Ö Ð Ù Ò Ø × ´ ½ µ º
Á Ò Ó Ö Ö Ø Ó Ó Ñ Ô Ø Ð Û Ø Ø × Ø Ø × Ó Ø Ö Ó Ô Ò Ø Ù Ö Ó Ø Ñ Ø Ö ´ º ¿ º ½ µ Ø - Ù
Ñ Ù × Ø Ø Ö × Ø Ó Ò Ø × Ù Ö × Ø Ó Ò × Ø ¸ Ò Ñ Ð Ý Ó Ò Ø × Ù Ö × Ó Ö Ø Ó Ó Ò Ð Ø Ó Ø Û Ó Ö Ð ß Ð Ò ×
Ò Ö Ø Ý Ø Ø Ñ ß Ð Ã Ð Ð Ò Ú Ø Ó Ö ¬ Ð ´ º ¿ º ½ µ × × Ó Û Ò Ò ¬ º º ½ º Ì × Ñ Ò × Ø Ø Ø
- Ù Ó Ù Ö ß Ú Ð Ó Ø Ý Í
Ñ Ù × Ø Ô Ö Ó Ô Ó Ö Ø Ó Ò Ð Ø Ó Ø Ã Ð Ð Ò Ú Ø Ó Ö ¬ Ð
Í
× Ó Ñ Ó Ò × Ø Ò Ø ´ º ¿ º ¾ ½ µ
Ë Ò Ø Ó Ù Ö ß Ú Ð Ó Ø Ý × Ò Ó Ö Ñ Ð Þ Ø Ó Ù Ò Ø Ý Û Ú
Í
Í
½ µ
Í
¼
¡
¾
¼ ¼
½ µ Í
¼
´
¼ ¼
µ
½ ¾
´ º ¿ º ¾ ¾ µ
Û Ü Ô Ö × × × Ø Ù Ò Õ Ù Ò Ó Ò Ú Ò × Ò Ó Ñ Ô Ó Ò Ò Ø Ó Ø Ú Ð Ó Ø Ý ¬ Ð Í
Ò Ø Ö Ñ × Ó Ø
Ñ Ø Ö Ø × Ð º Á Û Ó Ó Ú Ö Ø Ó - Ø Ò Ø Ö Ò × Ó Ñ Ô Ó Ò Ò Ø × ¸ Ñ Ù Ð Ø Ô Ð Ý Ò Ý Ø Ú Ð Ò Î
´ Ü µ Û
Ó Ø Ò Ò Ú Ò × Ñ Ô Ð Ö Ö × Ù Ð Ø
Í
¼
Í
¼
Î
¼
Í
½
Í
¼ ´ º ¿ º ¾ ¿ µ
Ó Ö Ö × Ô Ó Ò Ò Ð Ý Ø - Ø Ò Ø Ö Ò × Ó Ñ Ô Ó Ò Ò Ø × Ì
Î
Î
Ì
Ó Ø × Ø Ö × × ß Ò Ö Ý Ø Ò × Ó Ö Ö
× Ñ Ô Ð Ý Ú Ò Ý
Ì
¼
¼
Ì
¼
¼
́
Ì
¼ ¼
Ì
½ ½
Ì
¾ ¾
Ì
¿ ¿
Ô
Ì
¼ Ó Ø Ö Û ×
´ º ¿ º ¾ µ
Ì Ò Ø Ö Ò × Ó Ñ Ô Ó Ò Ò Ø × Ó Ø Ò × Ø Ò Ø Ò × Ó Ö Ó Ö Ø × Ô Ö Ð × Ý Ñ Ñ Ø Ö × Ø Ø Ñ Ø Ö ´ º ¿ º ½ µ
Ú Ð Ö Ý Ò Ð Ù Ð Ø Ò Õ º × ´ º ¾ º µ º Á Ò Ø Ö Ó Ù Ò Ø Ó Ò Ú Ò Ò Ø ¬ Ò Ø Ó Ò ×
´ Ö µ Ü Ô ¾ ´ Ö µ ℄ ´ Ö µ Ü Ô ¾ ´ Ö µ ℄ ´ º ¿ º ¾ µ
7/29/2019 Fre P. Course in General Relativity (Free Version, Lecture Notes, Web Draft, 2003)(141s)_PGr
http://slidepdf.com/reader/full/fre-p-course-in-general-relativity-free-version-lecture-notes-web-draft 95/141
Á Ò Ø Ö Ó Ö × Ó Ð Ù Ø Ó Ò × Ò Ø × Ø Ð Ð Ö Õ Ù Ð Ö Ù Ñ Õ Ù Ø Ó Ò
Ù Ö º ½ º Ì - Ù Ó Ñ Ô Ó × Ò Ø × Ø Ø × Ø Ö Ñ Ù × Ø Ø Ö × Ø Ó Ò Ø × Ô ß Ð × Ù Ö × Ø Ó Ò × Ø º
À Ò Ø Û Ó Ö Ð ß Ð Ò × Ó Ø - Ù Ð Ñ Ò Ø × Ñ Ù × Ø Ñ Ø Ø Ã Ð Ð Ò Ú Ø Ó Ö ¬ Ð
Ø
× Ø Ò Ò Ø Ú Ø Ó Ö
Õ º × ´ º ¾ º µ Ò Ö Û Ö Ø Ø Ò × Ó Ð Ð Ó Û ×
¼ ¼
¼
½
Ö
¾
½
½
·
¼
Ö
¾
½ ½
½
½
½
Ö
¾
½
½
·
¼
Ö
¾ ¾
¿ ¿
¾
¾
½
¾
´ Ö µ
½
¼
½
¾
Ö
¾
¡
½
¼
·
½
¾
´ µ
½ ¾
Ö
´ µ
½ ¾
¼
¼ Ó Ø Ö Û × ´ º ¿ º ¾ µ
Ó Ñ Ò Ò Õ º × ´ º ¿ º ¾ µ Û Ø Õ º × ´ º ¿ º ¾ µ Û × Ø Ø Ò × Ø Ò Õ Ù Ø Ó Ò × Ö Ù ¸ Ò Ø × × ¸
Ø Ó × Ý × Ø Ñ Ó Ø Ö Ó Ö Ò Ö Ý « Ö Ò Ø Ð Õ Ù Ø Ó Ò × Ó Ö Ø Ó Ù Ö Ù Ò Ø Ó Ò × ´ Ö µ ´ Ö µ Ô ´ Ö µ ´ Ö µ º
Ì × × Ù Ò Ø Ö Ñ Ò Û Ó Ò Ó Ø × Ô Ý Ø Ò Ø Ù Ö Ó Ø - Ù Û Ö Ó Ò × Ö Ò Ý Û Ö Ø Ò
Ò Õ Ù Ø Ó Ò Ó × Ø Ø ¸ Ò Ñ Ð Ý Ö Ð Ø Ó Ò Ø Û Ò Ø Ô Ö × × Ù Ö Ò Ø Ò Ö Ý Ò × Ø Ý
Ô ´ µ ´ º ¿ º ¾ µ
Ì Ù Ò Ø Ó Ò Ô Ô Ö Ò Ò Õ º ´ º ¿ º ¾ µ Ò Ó × Ð Ð Ø Ø Ö Ñ Ó Ý Ò Ñ Ð Ô Ö Ó Ô Ö Ø × Ó Ø - Ù º
7/29/2019 Fre P. Course in General Relativity (Free Version, Lecture Notes, Web Draft, 2003)(141s)_PGr
http://slidepdf.com/reader/full/fre-p-course-in-general-relativity-free-version-lecture-notes-web-draft 96/141
Á Ò Ø Ö Ó Ö × Ó Ð Ù Ø Ó Ò × Ò Ø × Ø Ð Ð Ö Õ Ù Ð Ö Ù Ñ Õ Ù Ø Ó Ò
Ó Ò × Ö Ø Õ Ù Ø Ó Ò
¼ ¼
´ Ö µ ´ Ö µ
½
Ö
¾
Ö
Ö
½
½
´ º ¿ º ¾ µ
Ý × Ø Ö Ø Ó Ö Û Ö Ò Ø Ö Ø Ó Ò Û Ó Ø Ò
Ê
¢
½
½
´ Ê µ
£
Ê
¼
Ö Ö
¾
´ Ö µ · Ó Ò × Ø ´ º ¿ º ¾ µ
Á Û Ú × Ô Ö Ð × Ø Ö Ù Ø Ó Ò Ó Ñ × × ß Ò Ö Ý Ø Ò Ø Ö Ð
Å ´ Ê µ
Ê
¼
Ö Ö
¾
´ Ö µ
Ë
Ê
¿
Ü ´ Ü µ ´ º ¿ º ¿ ¼ µ
× Ñ Ñ Ø Ð Ý Ò Ø Ö Ô Ö Ø × Ø Ø Ó Ø Ð Ñ × × ß Ò Ö Ý Ó Ò Ø Ò Ò × Ô Ö Ó Ö Ù × Ê º À Ò
× Ó Ð Ú Ò Õ º ´ º ¿ º ¾ µ Û Ø Ö × Ô Ø Ø Ó Ø Ù Ò Ø Ó Ò ´ Ê µ Û Ó Ø Ò
½ ¾
Å ´ Ê µ
Ê
Ê
½
´ º ¿ º ¿ ½ µ
Û × Ø Ð Ð Ó Ò Ø Ò × Ø Ù Ò Ø Ö Ñ Ò Ò Ø Ö Ø Ó Ò Ó Ò × Ø Ò Ø Ò Ø Ö Ó Ù Ò Õ º ´ º ¿ º ¾ µ º Ì × Ð Ø Ø Ö ×
¬ Ü Ñ Ô Ó × Ò Ø Ó Ù Ò Ö Ý Ó Ò Ø Ó Ò ´ ¼ µ ½ Ø Ø Ó Ö Ö × Ô Ó Ò × Ø Ó Ø Ö Ù Ð Ö Ø Ý Ó × Ô ß Ø Ñ
Ò Ø Ó Ö Ò º Á Ò Ø × Û Ý Û Ó Ò Ð Ù Ø Ø
´ Ê µ
½ ¾
Å ´ Ê µ
Ê
½
´ º ¿ º ¿ ¾ µ
Õ º ´ º ¿ º ¿ ¾ µ × Ó Û × Ø Ø Ø Ö Ð ¹ Ö Ð Ó Ñ Ô Ó Ò Ò Ø Ó Ø Ñ Ø Ö × ¸ Ò Ô Ö × Ò Ó × Ô Ö Ð Ð Ý
× Ø Ö Ù Ø Ñ Ø Ø Ö ¸ Ø × Ñ Ó Ö Ñ × Ò Ø × Ó Ø Ë Û Ö Þ × Ð Ú Ù Ù Ñ Ñ Ø Ö º Ì Ó Ò Ð Ý
« Ö Ò Ö × × Ò Ø Ø Ø Ó Ò × Ø Ò Ø Ô Ö Ñ Ø Ö Ñ Ó Ø Ë Û Ö Þ × Ð Ñ Ø Ö ´ ¿ º ¿ º ½ ¿ µ × Ö Ô Ð
Ý Ø Ù Ò Ø Ó Ò Å ´ Ê µ Ò Ø Ö Ó Ù Ò Õ º ´ º ¿ º ¿ ¼ µ Ò Ö Ô Ö × Ò Ø Ò Ø Ø Ó Ø Ð Ñ × × Ó Ò Ø Ò Ò
× Ô Ö Ó Ö Ù × Ê º Ø Ø × Ô Ó Ò Ø × Ù Ø Ð Ö Ñ Ö Ó Ò Å ´ Ê µ × Ó Ò Ó Ö Ö º Á Ø × Ü Ô Ð Ø Ó Ö Ñ ×
Ñ Ö Ö Ó Ñ Ø Ò Ø Ö Ø Ó Ò Ó Ó Ò Ó Ø Ò × Ø Ò Õ Ù Ø Ó Ò × Ò Û Ò Ø Ö Ô Ö Ø Ø × Ø Ø Ó Ø Ð
Ñ × × Ó Ò Ø Ò Ò × Ô Ö Ó Ö Ù × Ê º Ì Ó Ú Ö Ý Ô Ö × × Ù Ò Ò Ø Ö Ô Ö Ø Ø Ó Ò × Ð Ð Ð × Ò
Ø Ù × × Ø Ò Ø Ö Ø Ó Ò Ñ × Ù Ö Ó - Ø × Ô Ö Ø Ö Ø Ò Ø Ò Ø Ö Ø Ó Ò Ñ × Ù Ö Ø Ö Ñ Ò Ý
Ø Ø Ö Ù × Ô ß Ø Ñ Ñ Ø Ö º Ú Ò Ø Ñ × × Ò Ø Ø Ý ´ Ü µ Ø Ô Ö Ó Ô Ö Ñ × × Ó Ò Ø Ò Ò × Ô Ö
Ó Ö Ù × Ê × Ø Ù Ð Ð Ý ¬ Ò Ý Ø Ò Ø Ö Ð
Å
Ô
´ Ê µ
Ê
¼
Ö
¾
´ Ö µ
Ô
Ø
¿
´ Ö µ Ö ´ º ¿ º ¿ ¿ µ
Û Ö
¿
× Ø Ñ Ø Ö Ó ¿ ß Ñ Ò × Ó Ò Ð × Ø Ó Ò Ó × Ô ß Ø Ñ Ø Ó Ò × Ø Ò Ø Ø Ñ º À Ú Ò Ó Ù Ò
Ø × Ó Ð Ù Ø Ó Ò ´ º ¿ º ¿ ¾ µ Û Ø Ù Ð Ð Ý Ú
Å
Ô
´ Ê µ
Ê
¼
Ö
¾
´ Ö µ
½ ¾
Å ´ Ö µ
Ö
½ ¾
Ö Å ´ Ê µ
Ê
¼
Ö
¾
´ Ö µ Ö ´ º ¿ º ¿ µ
Á Ò Ó Ø Ö Û Ó Ö × Ø Ô Ö Ó Ô Ö Ñ × × Ó Ò Ø Ò Ò × Ô Ö Ó Ö Ù × Ê × × Ø Ö Ø Ð Ý Ð Ö Ö Ø Ò Ø « Ø Ú
Ñ × × Ó Ò Ø Ò Ò Ø × Ñ × Ô Ö Ò Ø Ö Ñ Ò Ò Ø Ñ Ø Ö Ø Ö Ó Ù Ò × Ø Ò Õ Ù Ø Ó Ò º Ì ×
× Ò Ó Ø × Ö Ô Ò Ý Ö Ø Ö Ø Ò Ó × Ô Ö Ó Ó Ù Ò Ô Ý × Ð Ø º Á Ò Ø « Ö Ò
Å
Ô
´ Ê µ Å ´ Ê µ
7/29/2019 Fre P. Course in General Relativity (Free Version, Lecture Notes, Web Draft, 2003)(141s)_PGr
http://slidepdf.com/reader/full/fre-p-course-in-general-relativity-free-version-lecture-notes-web-draft 97/141
Á Ò Ø Ö Ó Ö × Ó Ð Ù Ø Ó Ò × Ò Ø × Ø Ð Ð Ö Õ Ù Ð Ö Ù Ñ Õ Ù Ø Ó Ò
× Ð Ö Ù Ø Ñ Ò Ò ¸ Ø × Ø Ö Ú Ø Ø Ó Ò Ð Ò Ò Ò Ö Ý º Â Ù × Ø × Ø Ñ × × Ó À Ð Ù Ñ
Ò Ù Ð Ù × × × Ñ Ð Ð Ö Ø Ò Ø × Ù Ñ Ó Ø Ñ × × × Ó Ø Û Ó Ô Ö Ó Ø Ó Ò × Ò Ø Û Ó Ò Ù Ø Ö Ó Ò × Ò Ø × Ñ Û Ý
Ø Ñ × × Ó × Ø Ö × × Ñ Ð Ð Ö Ø Ò Ø × Ù Ñ Ó Ø Ñ × × × Ó Ð Ð Ø × Ó Ñ Ô Ó Ò Ò Ø × º
À Ú Ò Ð Ö Ø Ñ Ò Ò Ó Å ´ Ê µ Û Ó Ñ Ø Ó Ø Ò × Ø Ò Õ Ù Ø Ó Ò × Ó Ð Ð Ó Û Ò Ö Ó Ñ
Ø Ü Ô Ð Ø Ó Ö Ñ Ó Ø Ò × Ø Ò Ø Ò × Ó Ö ´ º ¿ º ¾ µ º Ë Ó Ö Û Ú × Ó Ð Ú Ó Ò Ð Ý Ó Ò Ó Ø Ñ ¸ Ò Ñ Ð Ý
Õ º ´ º ¿ º ¾ µ Û × Ø Ö Ñ Ò Ø Ó Ö Ñ Ó Ø Ö Ð ß Ö Ð Ó Ñ Ô Ó Ò Ò Ø Ó Ø Ñ Ø Ö ´ Ö µ º
Ü Ø Õ Ù Ø Ó Ò Ø Ó Ó Ò × Ö ×
½ ½
´ Ö µ Ô ´ Ö µ ´ º ¿ º ¿ µ
Û Ð Ð Ó Û × Ó Ö Ø Ø Ö Ñ Ò Ø Ó Ò Ó Ø Ø Ñ ß Ø Ñ Ó Ñ Ô Ó Ò Ò Ø ´ Ö µ Ü Ô ¾ ´ Ö µ ℄ º Ö Ó Ñ
Õ º ´ º ¿ º ¿ µ Û Ó Ø Ò
½
Ö
¾
·
½ ¾
Å ´ Ö µ
Ö
½
Ö
¾
· ¾
¼
Ö
Ô ´ Ö µ ´ º ¿ º ¿ µ
·
¼
´ Ö µ
Å ´ Ö µ · Ô ´ Ö µ Ö
¿
Ö ´ Ö ¾ Å ´ Ö µ µ
´ º ¿ º ¿ µ
Õ º ´ º ¿ º ¿ µ Ø Ö Ñ Ò × ´ Ö µ Ò Ò ´ Ö µ Ý Ñ Ò × Ó × Ñ Ô Ð Ò Ø Ö Ø Ó Ò Ò Ö
´ Ö µ Ü Ô
¾
Ö
¼
Å ´ µ · Ô ´ µ
¿
´ ¾ Å ´ µ µ
´ º ¿ º ¿ µ
Á Ø × Ò Ø Ö × Ø Ò Ø Ó Ô Ô Ö Ø Ø Ô Ý × Ð Ñ Ò Ò Ó Õ º ´ º ¿ º ¿ µ Ý Ó Ò × Ö Ò Ø × Ò Ó Ò ß Ö Ð Ø Ú × Ø
Ô Ô Ö Ó Ü Ñ Ø Ó Ò º Ç Ò Ó Ò × Û Ö Ð Ð Ø Ø
´ Ö µ
¼ ¼
³ ½
½
¾
Î ´ Ö µ ³ ½ · ¾ ´ Ö µ ´ º ¿ º ¿ µ
Û Ö Î ´ Ö µ × Ø Ö Ú Ø Ø Ó Ò Ð Ô Ó Ø Ò Ø Ð º Ç Ò Ø Ó Ø Ö Ò Ø Ò Ó Ò Ö Ð Ø Ú × Ø Ô Ô Ö Ó Ü Ñ Ø Ó Ò
Ó Ö Ö × Ô Ó Ò × Ø Ó Ø Ö Ñ Û Ö Û Ú
Ö
¿
Ô ´ Ö µ Å ´ Ö µ Å ´ Ö µ Ö ´ º ¿ º ¼ µ
Ì × Ó Ò Ø Ó Ò × ´ º ¿ º ¼ µ Ö × Ð Ý Ü Ô Ð Ò × Ó Ð Ð Ó Û × º Ö × Ø Ó Ð Ð Ð Ø Ù × Ö Ð Ð Ø Ø Ò Ó Ò
Ö Ð Ø Ú × Ø Ö Ñ × Ó Ø Ò Û Ò
Ò Ø Ò Ö Ý Ö × Ø Ò Ö Ý ´ º ¿ º ½ µ
× Ó Ò Ð Ý Ó Ò × Ö Ø Ø
Ö
¿
Ô ´ Ö µ
Ô Ö × × Ó Ò
¢ Î Ó Ð Ù Ñ
³ Ò Ø Ò Ö Ý ´ º ¿ º ¾ µ
Û × × Ð Ý × Ò Ø Ó Ø Ö Ù Ó Ò Ö Ð Ð × Ø Õ Ù Ø Ó Ò Ó × Ø Ø Ó Ð × × Ô Î Ò Ê Ì Ò
Ø Ø Ø Ñ Ô Ö Ø Ù Ö Ñ × Ù Ö × Ø Ú Ö Ò Ø Ò Ö Ý Ô Ö Ö Ó Ö Ó Ñ º Ç Ò Ø Ó Ø Ö Ò
Å ´ Ö µ
¾
× Ø Ö × Ø Ò Ö Ý Ó Ò Ø Ò Ò × Ô Ö Ó Ö Ù × Ö º Ì Ö Ó Ö Ò Ò Ø Ù Ö Ð Ù Ò Ø × Û Ö
½ Ø ¬ Ö × Ø Ó Õ Ù Ø Ó Ò × ´ º ¿ º ¼ µ × Ù × Ø Ø × Ø Ø Ñ Ò Ø ´ º ¿ º ½ µ º Ì × Ó Ò Ó Ò Ø Ó Ò
´ º ¿ º ¼ µ × Ò × Ø Ø × Ø Ø Ñ Ò Ø Ø Ø Ø Ë Û Ö Þ × Ð Ö Ù × Ó Ø Ø Ó Ø Ð Ñ × × Ó Ò Ø Ò Ò
× Ô Ö Ó Ö Ù × Ö × Ñ Ù × Ñ Ð Ð Ö Ø Ò Ø Ö Ù × Ö Ø × Ð º Á Ò × Ù Ë Û Ö Þ × Ð Ö Ù × ×
Ö
Ë
´ Ö µ ¾
¾
Å ´ Ö µ Ò ¸ Ò Ò Ø Ù Ö Ð Ù Ò Ø × ¸ Ø × Ó Ò Ó Ó Ò Ø Ó Ò × ´ º ¿ º ¼ µ × Ø Ø × Ø Ø Ö
Ë
´ Ö µ Ö º
Á Ò × Ö Ø Ò Ø Ò Ó Ò Ö Ð Ø Ú × Ø Ô Ô Ö Ó Ü Ñ Ø Ó Ò × ´ º ¿ º ¿ µ Ò ´ º ¿ º ¼ µ Ò Ø Ó ´ º ¿ º ¿ µ Û ¬ Ò
Ö
Î ´ Ö µ ³
Å ´ Ö µ
Ö
¾
´ º ¿ º ¿ µ
7/29/2019 Fre P. Course in General Relativity (Free Version, Lecture Notes, Web Draft, 2003)(141s)_PGr
http://slidepdf.com/reader/full/fre-p-course-in-general-relativity-free-version-lecture-notes-web-draft 98/141
Á Ò Ø Ö Ó Ö × Ó Ð Ù Ø Ó Ò × Ò Ø × Ø Ð Ð Ö Õ Ù Ð Ö Ù Ñ Õ Ù Ø Ó Ò
Û × Ø Ó Ö Ö Ø « Ö Ò Ø Ð Õ Ù Ø Ó Ò Ó Ö Ø Û Ø Ó Ò Ò Ô Ó Ø Ò Ø Ð Ò Ö Ø Ý × Ô Ö Ð
Ñ × × × Ø Ö Ù Ø Ó Ò
À Ú Ò Ð Ø Û Ø Ø Õ Ù Ø Ó Ò × × × Ó Ø Û Ø Ø ¬ Ö × Ø Ò × Ó Ò Ò Ô Ò Ò Ø Ó Ñ Ô Ó Ò Ò Ø ×
Ó Ø Ò × Ø Ò Ø Ò × Ó Ö ´ × Õ º × ´ º ¿ º ¾ µ µ Û Ú Ø Ö Ñ Ò Ø Ø Û Ó Ù Ò Ò Ó Û Ò Ó Æ Ò Ø × Ó Ø
Ñ Ø Ö Ò Ø Ö Ñ × Ó Ø Ö Ð Ñ × × ß × Ø Ö Ù Ø Ó Ò ´ Ö µ º Ï × Ø Ð Ð Ú Ø Ó Ø Ö Ñ Ò Ø Ö Ð
Ú Ó Ù Ö Ó Ø Ô Ö × × Ù Ö Ô ´ Ö µ Ö Ð Ø Ø Ó Ø Ö Ð Ñ × × ¹ × Ø Ö Ù Ø Ó Ò ´ Ö µ Ý Ø Õ Ù Ø Ó Ò Ó
× Ø Ø ´ º ¿ º ¾ µ º Ì × Ò Ó Ö Ñ Ø Ó Ò × Ò Ó Ò Ø Ø Ö Ò Ô Ò Ò Ø Ò × Ø Ò Õ Ù Ø Ó Ò
¾ ¾
¿ ¿
Ô ´ º ¿ º µ
Ë Ò Ò × Ø Ò Õ Ù Ø Ó Ò × Ö Ò Ó Ø Ò Ô Ò Ò Ø Ò Ö Ð Ø Ý Ø Ò Ò Ø Ø Ý Ø Ø Ñ Ô Ð × Ø
Ó Ú Ö Ò Ø Ó Ò × Ö Ú Ø Ó Ò Ó Ø × Ø Ö × × ß Ò Ö Ý Ø Ò × Ó Ö ¸ Ò Ð Ø Ö Ò Ø Ú Ò × Ñ Ô Ð Ö Û Ý Ó Ø Ö Ñ Ò Ò
Ø Ö Ð Ú Ó Ù Ö Ó Ø Ô Ö × × Ù Ö × Ô Ö Ó Ú Ý Û Ö Ø Ò Ø × Ù Ó Ò × Ö Ú Ø Ó Ò Ð Û º Á Ò - Ø
Ò Ó Ð Ó Ò Ó Ñ Ò × Û Ú
Ö
Ì
¼
·
Ì
·
Ì
·
Ì
¼ ´ º ¿ º µ
Í × Ò Ø Ô Ö Ø Ù Ð Ö × Ø Ö Ù Ø Ù Ö Ó Ì
Ò Ó Ó × Ò Ó Ö Ò × Ø Ò ½ Û Ø
½
Ì
½ ½
½
Ì
½ ½
·
½
Ì
¼
·
½
Ì
½ ½
¼ ¼ ½
¾ ¾ ½
¿ ¿ ½
¡
Ì
½ ½
¼ ´ º ¿ º µ
Á Ò × Ö Ø Ò Ø Ü Ô Ð Ø Ó Ö Ñ ´ º ¾ º µ Ó Ø × Ô Ò Ó Ò Ò Ø Ó Ò Ó Ö × Ô Ö Ð Ð Ý × Ý Ñ Ñ Ø Ö × Ø Ø Ñ Ø Ö ¸
Ø Ò Ó Ò Ú Ò × Ò Ó Ñ Ô Ó Ò Ò Ø × Û Ø Ò Ò Ü ½ Ö
¼ ¼ ½
¼
¾ ¾ ½
Ö
¿ ¿ ½
Ö
´ º ¿ º µ
Û Ð Ø Ò Ø Ö Ò × Ö Ú Ø Ú
½
× ¬ Ò Ý
½
½
Ö
´ º ¿ º µ
Á Ò × Ö Ø Ò Õ º × ´ º ¿ º µ Ò ´ º ¿ º µ Ò Ø Ó Õ º º ¿ º µ Û ¬ Ò
Ö
Ô ´ Ö µ
¼
´ Ô · µ ¼ ´ º ¿ º µ
Û Ó Ñ Ò Û Ø Õ º ´ º ¿ º ¿ µ Ý Ð × Ø Ç Ô Ô Ò Ñ Ö ß Î Ó Ð Ó « Ö Ð Ø Ú × Ø Õ Ù Ø Ó Ò Ó × Ø Ð Ð Ö
Õ Ù Ð Ö Ù Ñ
Ö
Ô ´ Ö µ
´ Ô · µ
Å ´ Ö µ · Ö
¿
Ô ´ Ö µ
Ö Ö ¾ Å ´ Ö µ ℄
´ º ¿ º ¼ µ
7/29/2019 Fre P. Course in General Relativity (Free Version, Lecture Notes, Web Draft, 2003)(141s)_PGr
http://slidepdf.com/reader/full/fre-p-course-in-general-relativity-free-version-lecture-notes-web-draft 99/141
Á Ò Ø Ö Ó Ö × Ó Ð Ù Ø Ó Ò × Ò Ø × Ø Ð Ð Ö Õ Ù Ð Ö Ù Ñ Õ Ù Ø Ó Ò
º ¿ º ½ Á Ò Ø Ö Ø Ó Ò Ó Ø Ô Ö × × Ù Ö Õ Ù Ø Ó Ò Ò Ø × Ó Ù Ò Ó Ö Ñ Ò × Ø Ý
Ú Ö Ý × Ñ Ô Ð Ò Ð Þ Ñ Ó Ð Ó × Ø Ö Ó Ö Ö × Ô Ó Ò × Ø Ó Ó Ó × Ò Ù Ò Ó Ö Ñ Ò × Ø Ý
´ Ö µ
¼
Ó Ò × Ø ´ º ¿ º ½ µ
Á Ò Ø × × Ø Ù Ò Ø Ó Ò Å ´ Ö µ × Ñ Ñ Ø Ð Ý Ø Ö Ñ Ò Ò Û Ó Ø Ò
Å ´ Ö µ
¿
¼
Ö
¿
´ º ¿ º ¾ µ
º ¿ º ½ º ½ Ë Ó Ð Ù Ø Ó Ò Ò Ø Û Ø Ó Ò Ò ×
Á Û Ó Ò × Ö Ø × Ø Ð Ð Ö Õ Ù Ð Ö Ù Ñ Ô Ö Ó Ð Ñ Ò Ø Ó Ò Ø × Ø Ó Û Ø Ó Ò Ò Ô Ý × × Û Ø Û Ú
Ø Ó Û Ö Ø × × Ñ Ô Ð Ý Ø Ó Ð Ð Ó Û Ò Õ Ù Ø Ó Ò
Ô
Ö
¼
Å ´ Ö µ
Ö
¾
¿
¼
Ö ´ º ¿ º ¿ µ
Û Ü Ô Ö × × × Ø Ð Ò Ò Ó Ø Ô Ö × × Ù Ö Ö Ô Ù Ð × Ú Ó Ö Û Ø Ø Ö Ú Ø Ø Ó Ò Ð Ø Ø Ö Ø Ú
Ó Ö ´ × ¬ º º ¾ µ º Õ º ´ º ¿ º ¿ µ × Ñ Ñ Ø Ð Ý Ò Ø Ö Ø Ø Ó Ú
Ù Ö º ¾ º Ì Ø Ó Ø Ð Ó Ö Ü Ö Ø Ý Ô Ö × × Ù Ö Ó Ò Ø × Ô Ö Ð × Ø Ö Ø Ù Ñ Ó Ñ Ø Ø Ö Ó Ò Ø Ò Ø Û Ò Ø
× Ô Ö Ð × Ù Ö Ó Ö Ù × Ö Ò Ø × Ô Ö Ð × Ù Ö Ó Ö Ù × Ö · Ö × Ú Ò Ý Ô ´ Ö · Ö µ Ô ´ Ö µ ℄ ¢ Ö
¾
Ç Ò Ø Ó Ø Ö Ò Ø Ö Ú Ø Ø Ó Ò Ð Ó Ö Ü Ö Ø Ó Ò Ø × Ñ × Ø Ö Ø Ù Ñ Ó Ñ Ø Ø Ö Ý Ø Ñ Ø Ø Ö Ó Ò Ø Ò
Ò Ø × Ô Ö Ó Ö Ù × Ö × ¸ Ý Æ Û Ø Ó Ò ³ × Ð Û ¸
¼
¢
¼
Ö
¾
¢
Å ´ Ö µ
Ö
º À Ò Ø Õ Ù Ð Ö Ù Ñ Õ Ù Ø Ó Ò ×
Ó Ø Ò Ý Ð Ò Ò Ø × Ø Û Ó Ó Ö × º
Ô ´ Ö µ
¾
¿
¾
¼
Ö
¾
· Ó Ò × Ø º ´ º ¿ º µ
Ì Ò Ø Ö Ø Ó Ò Ó Ò × Ø Ò Ø × ¬ Ü Ý Ñ Ô Ó × Ò Ø Ó Ú Ó Ù × Ó Ù Ò Ö Ý Ó Ò Ø Ó Ò Ø Ø Ø Ô Ö × × Ù Ö
× Ó Ù Ð Ú Ò × Û Ö Ø × Ø Ö Ò × ¸ Ò Ñ Ð Ý Ô ´ Ê µ ¼ Ê × Ø Ö Ù × Ó Ø × Ô Ö Ð × Ø Ö º Ì
× Ó Ð Ù Ø Ó Ò Ó Ø « Ö Ò Ø Ð Õ Ù Ø Ó Ò Û Ø Ø × Ó Ù Ò Ö Ý Ó Ò Ø Ó Ò Ó Ñ ×
Ô ´ Ö µ
¾
¿
¾
¼
Ê
¾
Ö
¾
¡
´ º ¿ º µ
Á Û Ò Ó Ø Ø Ø Ó Ø Ð Ñ × × Ó Ø × Ø Ö Ý
Å
¿
¼
Ê
¿
´ º ¿ º µ
7/29/2019 Fre P. Course in General Relativity (Free Version, Lecture Notes, Web Draft, 2003)(141s)_PGr
http://slidepdf.com/reader/full/fre-p-course-in-general-relativity-free-version-lecture-notes-web-draft 100/141
Á Ò Ø Ö Ó Ö × Ó Ð Ù Ø Ó Ò × Ò Ø × Ø Ð Ð Ö Õ Ù Ð Ö Ù Ñ Õ Ù Ø Ó Ò
Ø Ò Ø Ò Û Ø Ó Ò Ò × Ó Ð Ù Ø Ó Ò ´ º ¿ º µ Ò Ö Û Ö Ø Ø Ò × Ó Ð Ð Ó Û ×
Ô ´ Ö µ
¿
Å
¾
Ê
½
Ö
Ê
´ º ¿ º µ
Õ º ´ º ¿ º µ × Û Ö Ø Ø Ò Ò Ò Ø Ù Ö Ð Ù Ò Ø × ½ º Á Ø × Û Ó Ö Ø Ø Ó Ö Ò × Ø Ð Ð Ø Ô Ý × Ð Ù Ò Ø × Ò
Ó Ö Ö × Ô Ó Ò Ò Ð Ý Ø Ù Ò Ñ Ò Ø Ð Ô Ý × Ð Ó Ò × Ø Ò Ø × º Ñ Ò × Ó Ò Û × Û Ú
℄
¢
¿
Ø
¾
Ñ
½
£
℄
¢
Ø
½
£
´ º ¿ º µ
Á Ò Ò Ø Ù Ö Ð Ù Ò Ø × Û Ú
Å ´ Ö µ ℄ ℄
¢
Ö
¿
Ô
£
℄ ´ º ¿ º µ
× Ó Ø Ø Ô ´ Ö µ ℄
¢
¾
£
º Ì Ñ Ò × Ó Ò Ó Ø Ô Ý × Ð Ô Ö × × Ù Ö ×
È ´ Ö µ
Ó Ö
Ö
¢
Ñ
½
Ø
¾
£
´ º ¿ º ¼ µ
À Ò Û Ó Ò Ð Ù Ø Ø
Ô È
´ º ¿ º ½ µ
Û Ð Û Ð Ö Ý Ò Ó Û Ø Ø
Å
Å
¾
´ º ¿ º ¾ µ
Û Ö Å Ò Ó Ø × Ø Ñ × × Ó Ø × Ø Ö Ò Ô Ý × Ð Ù Ò Ø × º À Ò Õ º ´ º ¿ º µ Ø Ö Ò × Ð Ø × Ò Ø Ó
È ´ Ö µ
¿
Å
¾
Ê
½
Ö
Ê
´ º ¿ º ¿ µ
Á Ò Ô Ö Ø Ù Ð Ö Ö Ó Ñ Õ º ´ º ¿ º ¿ µ Û × Ø Ñ Ø Ø Ò Ø Ö Ð Ô Ö × × Ù Ö Ó × Ø Ö Ó Ñ × × Å Ò Ö Ù × Ê
È
È ´ ¼ µ
¿
Å
¾
Ê
´ º ¿ º µ
Ä Ø Ù × Ò Ø Ó Õ º ´ º ¿ º µ Ø Ö Ð Ú Ò Ø Ô Ö Ñ Ø Ö × Ó Ö Ø Ë Ù Ò
Ê
¬
¢ ½ ¼
½ ¼
Ñ
Å
¬
½ ¢ ½ ¼
¿ ¿
Ñ
¼ ¢ ½ ¼
Ý Ò ¢ Ñ
¾
¢ Ñ
¾
´ º ¿ º µ
Ï Ø Ø Ó Ð Ð Ó Û Ò Ú Ð Ù Ó Ö Ø Ò Ø Ö Ð Ô Ö × × Ù Ö
È
Ë Ù Ò
½ ¿ ¿ ¢ ½ ¼
½
Ý Ò
Ñ
¾
´ º ¿ º µ
Ä Ø Ù × Ó Ñ Ô Ö Ø × Ô Ö × × Ù Ö Û Ø Ø Ô Ö × × Ù Ö Ó Û Ø Ô Ó × Ø Ó Ò Ó Ò Ø × Ù Ö Ó Ø Ö Ø º
Ì Ó Ö Ü Ô Ö Ò Ý × Ó Ñ Ó Ý Ó Ð Ò Ã Ð Ó Ö Ñ × ¢ ½ ¼
Ý Ò ³ ½ Ó
Ý Ò º À Ò Ø
Ò Ø Ö Ð Ô Ö × × Ù Ö Ò Ù Ò Ó Ö Ñ Ò × Ø Ý × Ø Ö Û Ø × Ø Ð Ð Ö Ñ × × Ò × Þ Ó Ø Ó Ö Ö Ó Ø × Ù Ò
× Þ × Ó Ø Ó Ö Ö Ó ½ ¼
Ã Ð Ó Ö Ñ × Ô Ö × Õ Ù Ö Ò Ø Ñ Ø Ö º Á Ø × Ú Ö Ý Ð Ö Ù Ø Ô Ö Ø Ð Ý ¬ Ò Ø
Ô Ö × × Ù Ö º Á Ò Ø Ò Ü Ø × Ø Ó Ò Û Û Ð Ð × Ø Õ Ù Ð Ø Ø Ú « Ö Ò Ô Ö Ó Ú Ý Ø Ò Ø Ö Ø Ó Ò Ó
Ø Ö Ð Ø Ú × Ø Ô Ö × × Ù Ö Õ Ù Ø Ó Ò º Á Ò Ò Ö Ð Ê Ð Ø Ú Ø Ý Ø Ò Ø Ö Ð Ô Ö × × Ù Ö Ò Ó Ñ Ò ¬ Ò Ø
7/29/2019 Fre P. Course in General Relativity (Free Version, Lecture Notes, Web Draft, 2003)(141s)_PGr
http://slidepdf.com/reader/full/fre-p-course-in-general-relativity-free-version-lecture-notes-web-draft 101/141
Á Ò Ø Ö Ó Ö × Ó Ð Ù Ø Ó Ò × Ò Ø × Ø Ð Ð Ö Õ Ù Ð Ö Ù Ñ Õ Ù Ø Ó Ò ½ ¼ ¼
Ø Ö Ø Ñ × × × Ø Ó Ó Ð Ö Ó Ö Ø × Ø Ö Ö Ù × × Ø Ó Ó × Ñ Ð Ð º Á Ò Ó Ø Ö Û Ó Ö × Ò Ö Ð Ê Ð Ø Ú Ø Ý
Ñ Ô Ð × Ø Ø Ø Ø Ø Ö Ö Ö Ø Ð Ò × Ø × Ý Ó Ò Û Ö Ú Ø Ø Ó Ò Ð Ø Ø Ø Ó Ò × × Ó × Ø Ö Ó Ò
Ø Ø Ò Ò Ó Ø Ð Ò Ý Ô Ö × × Ù Ö º Ó Ö Ø × Ù Ò Ø Ú Ö Ò × Ø Ý ×
¬
¿
½
´ µ
¾
½ ¼
¿ ¿
½ ¼
¿ ¼
Ñ Ñ
¿
½ ½
Ñ
Ñ
¿
´ º ¿ º µ
Ò Û Û Ð Ð × × Ñ Ù Ð Ó Û Ø Ö Ø Ð Ò × Ø Ý º
º ¿ º ½ º ¾ Á Ò Ø Ö Ø Ó Ò Ó Ø Ö Ð Ø Ú × Ø Ô Ö × × Ù Ö Õ Ù Ø Ó Ò
Ï Ó Ò × Ö Õ º ´ º ¿ º ¼ µ Ò Û × Ù × Ø Ø Ù Ø Å ´ Ö µ
¿
¼
Ö
¿
º Ì Ò Ù × Ò Ø ¬ Ò Ø Ó Ò ´ º ¿ º µ Ó
Ø Ø Ó Ø Ð Ñ × × Ò Ò Ø Ù Ö Ð Ù Ò Ø × Û Ó Ø Ò
Ô
Ö
´ Ô ·
¼
µ
Å
Ö
Ê
¡
¿
·
Ö
¿
Ê
¿
Ê
¿
Ô
Ö
Ö ¾ Å
Ö
Ê
¡
¿
´ º ¿ º µ
Û Û Ò Ö Û Ö Ø × Ó Ð Ð Ó Û ×
Ô
Ö
´ Ô ·
¼
µ
Å
Ê
Å
Ö
Ê
¡
¿
½ ·
¿ Ô
¼
Ö
Ê
Ö
¾ Å
Ö
Ê
¡
¿
´ º ¿ º µ
7/29/2019 Fre P. Course in General Relativity (Free Version, Lecture Notes, Web Draft, 2003)(141s)_PGr
http://slidepdf.com/reader/full/fre-p-course-in-general-relativity-free-version-lecture-notes-web-draft 102/141
Ô Ø Ö
Å Á Ë Ë Á Ç Æ Ç Ê Î Á Ì Ì Á Ç Æ Ä Ï Î Ë
Æ Ë Ä Ç Ï Á Æ Ç Ï Æ Ç Ì À Á Æ Ê
È Í Ä Ë Ê Ë Ë Ì Å
º ½ Ñ × × Ó Ò Ó Ö Ú Ø Ø Ó Ò Ð Û Ú ×
Ï × Ø Ö Ø Ö Ó Ñ Ø Ð Ò Ö Þ Õ Ù Ø Ó Ò ×
-
½ Ì
´ º ½ º ½ µ
-
¼ ´ º ½ º ¾ µ
Ò Û × Ó Ð Ú Ø Ñ Ò Ø Ö Ñ × Ó Ø Ö Ø Ö Ö Ò Ù Ò Ø Ó Ò
Ê
´ Ü Ü
¼
µ
½
Ü Ü
¼
Æ
Ü
¼
Ü
¼ ¼
Ü Ü
¼
¡
¢ ´ º ½ º ¿ µ
¢
Ü
¼
Ü
¼ ¼
¡
´ º ½ º µ
Ó Ø Ò Ò
-
´ Ü µ
¿
Ü
¼
Ì
Ü
¼
Ü Ü
¼
Ü
¼
¡
Ü Ü
¼
´ º ½ º µ
Ì Ó × Ý Ø Ò Û Ó Ö × Ø Ò Ø Ö Ð × Ü Ø Ò Ø Ó Ô × Ø Ð Ø ß Ó Ò Ó Ø Ô Ó Ò Ø Ü
Ì Ó Ú × Ó Ð Ù Ø Ó Ò Ö Ô Ö × Ò Ø × Ø × Ø Ù Ö Ò Ò Ø Ö Ú Ø Ø Ó Ò Ð ¬ Ð Ô Ö Ó Ù Ø Ô Ó Ò Ø Ü
Ý Ø Ô Ö × Ò Ò Ñ Ó Ø Ó Ò Ó × Ó Ñ Ñ Ø Ø Ö Ò Ò Ó Ø Ö × Ø Ò Ø Ö Ó Ò Ó × Ô ß Ø Ñ º Ç Ú Ó Ù × Ð Ý
Ø × Ø Ù Ö Ò × Ð Ø Ó Ò Ð Ý Ø Ö Ø Ø Ñ Ò Ó Ö Ø × Ò Ð Ø Ó Ø Ö Ú Ð ´ Ø Ø × Ô Ó Ð Ø µ
Ø × Ø Ò × Ô Ö Ø Ò Ü
Ö Ó Ñ Ø Ö Ó Ò Û Ö Ì
× Ô Ö × Ò Ø º
º ½ º ½ Ë Ø Ö × × Ò Ö Ý ¿ ß Ó Ö Ñ Ó Ø Ö Ú Ø Ø Ó Ò Ð ¬ Ð
Ï Û Ö Ø Ø ¬ Ð Õ Ù Ø Ó Ò × Ò « Ö Ò Ø Ð Ó Ö Ñ Ð Ò Ù ×
Ê
¯
£
Ì
´ º ½ º µ
Û Ö ½ ¿ º Ï Ò × Ö Ø Ø ¬ Ò Ø Ó Ò Ó Ø Ù Ö Ú Ø Ù Ö
Ê
·
´ º ½ º µ
½ ¼ ½
7/29/2019 Fre P. Course in General Relativity (Free Version, Lecture Notes, Web Draft, 2003)(141s)_PGr
http://slidepdf.com/reader/full/fre-p-course-in-general-relativity-free-version-lecture-notes-web-draft 103/141
Ñ × × Ó Ò Ó Ö Ú Ø Ø Ó Ò Ð Û Ú × ½ ¼ ¾
Ò Û Ö Û Ö Ø Ø ¬ Ö × Ø Ø Ö Ñ × Ó Ð Ð Ó Û ×
¯
¯
¡
·
¯
´ º ½ º µ
Ì Ò Ù × Ò Ø Ø Ó Ö × Ó Ò Õ Ù Ø Ó Ò Û Ô Ù Ø
´ º ½ º µ
Ò Û Ó Ø Ò
¯
¯
¡
´ º ½ º ½ ¼ µ
¯
´ º ½ º ½ ½ µ
À Ò Ò × Ø Ò Õ Ù Ø Ó Ò Ò Ö Û Ö Ø Ø Ò ×
¯
¡
´
£
Ì
£
Ø
µ ´ º ½ º ½ ¾ µ
Û Ö
£
Ø
½
¡
¯
´ º ½ º ½ ¿ µ
× Ø × Ø Ö × × ß Ò Ö Ý ¿ ß Ó Ö Ñ Ó Ø Ö Ú Ø Ø Ó Ò Ð ¬ Ð Ò Ø ¿ ß Ó Ö Ñ
£
Ì
´ Ø Ó Ø Ð µ
£
Ì
£
Ø
´ º ½ º ½ µ
× Ó Ò × Ö Ú Ò Ø Ó Ö Ò Ö Ý × Ò ×
£
Ì
´ Ø Ó Ø Ð µ
¼ ´ º ½ º ½ µ
Ó Ø Ø Ø Ø × ¬ Ò Ø Ó Ò × Ò Ó Ø Ò Ú Ö Ò Ø Û Ø Ö × Ô Ø Ø Ó Ð Ó Ð Ä Ó Ö Ò Ø Þ Ø Ö Ò × Ó Ö Ñ Ø Ó Ò × × Ò
Ø Ô Ò × Ó Ò Ø Ö ¬ Ð
º À Ó Û Ú Ö Ø × ¬ Ò Ø Ó Ò × Ò Ú Ö Ò Ø Ò × Ø Ð Ó Ð Ä Ó Ö Ò Ø Þ
Ø Ö Ò × Ó Ö Ñ Ø Ó Ò × Ò Ø Ö Ó Ö Ø Ò Ù × Ò Ø × Ý Ñ Ô Ø Ó Ø Ö Ó Ò Ó × Ô ß Ø Ñ Û ×
Ò Ö Ð Ý - Ø º
º ½ º ½ º ½ Ò Ö Ý Ò Ñ Ó Ñ Ò Ø Ù Ñ Ó Ô Ð Ò Ö Ú Ø Ø Ó Ò Ð Û Ú
Ï Ó Ò × Ö Ø Ô Ö Ø Ù Ö Ñ Ø Ö
´ Ü µ
·
´ º ½ º ½ µ
Ò Û Ò Ø Ö Ó Ù Ò Ù Ð Ð Ó Ó Ö Ò Ø × Ý × Ø Ñ Ò Å Ò Ó Û × × Ô
Ü
Ù Ü
¼
Ü
½
Ü
Ü
¾
Ü
¿
¡
´ º ½ º ½ µ
Ü
·
Ú Ü
¼
· Ü
½
´ º ½ º ½ µ
Ó Ö Ö × Ô Ó Ò Ò Ð Ý Ø Å Ò Ó Û × Ò Ñ Ø Ö Ø × Ø Ó Ö Ñ
×
¾
¾ Ü
·
ª Ü
Ü
ª Ü
Ü
ª Ü
´ º ½ º ½ µ
´ º ½ º ¾ ¼ µ
¼
¼ ½ ¼ ¼
½ ¼ ¼ ¼
¼ ¼ ½ ¼
¼ ¼ ¼ ½
½
´ º ½ º ¾ ½ µ
7/29/2019 Fre P. Course in General Relativity (Free Version, Lecture Notes, Web Draft, 2003)(141s)_PGr
http://slidepdf.com/reader/full/fre-p-course-in-general-relativity-free-version-lecture-notes-web-draft 104/141
Ñ × × Ó Ò Ó Ö Ú Ø Ø Ó Ò Ð Û Ú × ½ ¼ ¿
Ì Ô Ð Ò Û Ú Ó Ö Ö × Ô Ó Ò × Ø Ó Ó
´ Ü µ
´ Ù µ ´ º ½ º ¾ ¾ µ
Ê Ð Ý Ò Ó Ò Ø Ö Ð Ø Ó Ò ×
·
Ú
Ù
·
·
Ü
·
Ü
·
·
Ü
´ º ½ º ¾ ¿ µ
Ö Ó Ñ Ø À Ð Ö Ø Ù Ó Ò Ø Ó Ò
-
¼ ´ º ½ º ¾ µ
Ù × Ò -
-
´ Ù µ Û Ó Ø Ò
-
·
Ó Ò × Ø ¼ ´ º ½ º ¾ µ
× Ò Û Ö Ò Ó Ø Ò Ø Ö × Ø Ò Ó Ò × Ø Ò Ø Ô Ö Ø × º
Ì Ò Ù × Ò Ð Ð Ø Ù Ø Ö Ò × Ó Ö Ñ Ø Ó Ò × ¸ × Ð Ö Ý × Ó Û Ò Ó Ö ¸ Û Ò Ö Ù Ø × Ý Ñ ¹
Ñ Ø Ö Ø Ò × Ó Ö -
Ø Ó Ø Ó Ö Ñ
-
´ Ù µ
¼
¼ ¼ ¼ ¼
¼ ¼ ¼ ¼
¼ ¼ ´ Ù µ ´ Ù µ
¼ ¼ ´ Ù µ ´ Ù µ
½
´ º ½ º ¾ µ
Û Ö Ø Ø Û Ó Ù Ò Ø Ó Ò × ´ Ù µ Ò ´ Ù µ Ö Ö Ø Ö Ö Ý º
º ½ º ½ º ¾ Ð Ù Ð Ø Ó Ò Ó Ø Î Ð Ò Ò × Ô Ò Ó Ò Ò Ø Ó Ò
Ï Ò Ö Ó Ñ
Ü
·
½
¾
Ü
´ º ½ º ¾ µ
Ò Û Ð Ù Ð Ø
½
¾
Ü
Ü
´ º ½ º ¾ µ
Ì Ò Ö Ó Ñ
¼
·
´ º ½ º ¾ µ
Û Ø
Ñ
Ñ
Ð
½
¾
Ð
Ñ
Ñ
Ð
¡
´ º ½ º ¿ ¼ µ
Ò Û × Ó Ð Ú Ø Ý × Ø Ø Ò
½
¾
´
Ð
Ð
µ Ü
Ð
´ º ½ º ¿ ½ µ
7/29/2019 Fre P. Course in General Relativity (Free Version, Lecture Notes, Web Draft, 2003)(141s)_PGr
http://slidepdf.com/reader/full/fre-p-course-in-general-relativity-free-version-lecture-notes-web-draft 105/141
Ñ × × Ó Ò Ó Ö Ú Ø Ø Ó Ò Ð Û Ú × ½ ¼
Ì × Ö × Ù Ð Ø Ò Ñ Ü Ô Ð Ø Ò Ø Ð Ø ¹ Ó Ò × × ×
·
½
¾
´
· Ð
·
Ð
µ Ü
Ð
´ º ½ º ¿ ¾ µ
·
½
¾
´
· Ð
Ð
µ Ü
Ð
´ º ½ º ¿ ¿ µ
½
¾
´
·
Ð
· Ð
µ Ü
Ð
´ º ½ º ¿ µ
½
¾
´
Ð
Ð
µ Ü
Ð
´ º ½ º ¿ µ
Á Ò Ø Ô Ð Ò Û Ú × Ò Ó Ø Ò Ø Ö Ú Ø Ú Ù Ý Ó Ø Û Ú
·
¼ ´ º ½ º ¿ µ
·
½
¾
Ü
´ º ½ º ¿ µ
Ó Ö Ñ Ó Ö Ü Ô Ð Ø Ð Ý
· ¾
½
¾
Ü
¾
·
Ü
¿
· ¿
½
¾
Ü
¾
Ü
¿
´ º ½ º ¿ µ
Ä Ø Ù × Ò Ó Û Ó Ò × Ö Ø × Ø Ö × × ß Ò Ö Ý Ø Ò × Ó Ö ¿ ß Ó Ö Ñ
£
Ø
½
¡
¯
´ º ½ º ¿ µ
Ó Ø Ø Ø × Ò Ø Ó Ò Ð Ý Ò Ó Ò Ú Ò × Ò Ó Ñ Ô Ó Ò Ò Ø ×
·
Ø × Ó Ò Ò
¯
Ú Ò × × Ò Ø Ð Ð Ý º À Ò
£
Ø
½
¯
´ º ½ º ¼ µ
Ó Û ´ µ Ñ Ù × Ø Ò × × Ö Ð Ý ´ · µ º À Ò Ñ Ù × Ø Ò × × Ö Ð Ý ¾ Ó Ö ¿ × Ó Ø Ø · Ð × Ó
Ò × × Ö Ð Ý º Ì Ö Ó Ö Ò Ò Ó Ø Ò Ý Ø Ò Ð × Ù Ø º À Ò Ó Ò Ð Ý
£
Ø
× Ò Ó Ò Ú Ò × Ò º
Ì ¬ Ò Ð Ö × Ù Ð Ø ×
£
Ø
¾
· ¾
· ¿
¾
´ µ
¾
· ´
µ
¾
Ü
¾
Ü
¿
Ù
´ º ½ º ½ µ
Ó Û Ö Ð Ð Ø Ö Ð Ø Ó Ò Ø Û Ò Ø × Ø Ö × × ¹ Ò Ö Ý ¿ ß Ó Ö Ñ Ò Ø × Ø Ö × × Ò Ö Ý Ø Ò × Ó Ö
£
Ø
Ì
Ô
Ô Õ
¯
Õ Ö × Ù
Ö
×
Ù
´ º ½ º ¾ µ
Ø Ó Ð Ð Ó Û × Ø Ø Û Ú
£
Ø
¾ ¡ ¿ Ø
·
¯
· ¾ ¿
¾
¿
´ º ½ º ¿ µ
Ø
Ü
¾
Ü
¿
Ù ´ º ½ º µ
À Ò Ý Ó Ñ Ô Ö × Ó Ò Û Ó Ò Ð Ù
Ø
Ø
¼ ½
½
¿
´ µ
¾
· ´
µ
¾
´ º ½ º µ
Û Ö
½
¿
´ º ½ º µ
7/29/2019 Fre P. Course in General Relativity (Free Version, Lecture Notes, Web Draft, 2003)(141s)_PGr
http://slidepdf.com/reader/full/fre-p-course-in-general-relativity-free-version-lecture-notes-web-draft 106/141
Ñ × × Ó Ò Ó Ö Ú Ø Ø Ó Ò Ð Û Ú × ½ ¼
º ½ º ½ º ¿ Ë Ó Ð Ù Ø Ó Ò Ó Ö Ø Ô Ö Ø Ù Ö Ø Ó Ò Ù Ò Ö Ø Ó × Ò Ó Ò Ø Ó Ò ×
Ï Ò Û Ø Ó Ù Ö Ö Ü Ô Ò × Ó Ò Ò Ø Ø Ñ Ó Ó Ö Ò Ø
-
´ Ü µ
½
Ô
¾
· ½
½
Ø
Ø
-
´ Ø Ü µ ´ º ½ º µ
Í × Ò Ø Ò Ö Ð Ó Ö Ñ Ù Ð Ü Ô Ö × × Ò Ø Ô Ö Ø Ù Ö Ø Ó Ò Ú Ø Ö Ø Ö Ö Ò Ù Ò Ø Ó Ò Û Ø
-
´ Ü µ
¿
Ö
¼
Ö Ö
¼
Ì
´ Ö
¼
µ
Ö Ö
¼
´ º ½ º µ
Ì À Ð Ö Ø Ù Ó Ò Ø Ó Ò Ñ Ô Ð ×
¼
-
¼
-
¼
-
´ º ½ º µ
Ò × Ò -
× × Ý Ñ Ñ Ø Ö Û Ò Ó Ò Ð Ù
-
¼
-
´ º ½ º ¼ µ
-
¼ ¼
-
¼
½
¾
-
¼
´ º ½ º ½ µ
À Ò Ø × Ù Æ × Ø Ó Ø Ö Ñ Ò Ø × Ô Ø Ð Ó Ñ Ô Ó Ò Ò Ø × -
º
º ½ º ½ º Å Ù Ð Ø Ô Ó Ð Ö Ü Ô Ò × Ó Ò
Ó Ò × Ö Ø × Ô Ø Ð Ö Ò Ù Ò Ø Ó Ò
´ Ü Ü
¼
µ
½
Ü Ü
¼
´ º ½ º ¾ µ
Ò Ö Û Ö Ø Ø × Ó Ð Ð Ó Û ×
´ Ü Ü
¼
µ
½
´ Ü ¡ Ü · Ü
¼
¡ Ü
¼
¾ Ü ¡ Ü
¼
µ
½ ¾
´ º ½ º ¿ µ
¬ Ò Ò
Ê
Ô
Ü ¡ Ü ´ º ½ º µ
Û Ó Ø Ò
´ Ü Ü
¼
µ
½
Ê
½ ·
Ü
¼
¡ Ü
¼
¾ Ü
¡ Ü
¼
Ê
¾
½ ¾
´ º ½ º µ
Ø Ø Û Ò Ú Ð Ó Ô Ò Ø Ó Ô Ó Û Ö × Ö × Ó ½ Ê
´ Ü Ü
¼
µ
½
Ê
½
¾
½
Ê
¿
´ Ü
¼
¡ Ü
¼
¾ Ü ¡ Ü
¼
µ ´ º ½ º µ
·
¿
½
Ê
´ Ü
¼
¡ Ü
¼
¾ Ü ¡ Ü
¼
µ
¾
· ´ º ½ º µ
Ì Ò Ü Ø × Ø Ô × Ø Ó Ö Ó Ö Ò Þ Ø Ø Ö Ñ × Ó Ó Ö Ö Ê
¿
Ò Ó Ó Ö Ö Ê
º Á Ò Ø × Û Ý Û Ó Ø Ò
7/29/2019 Fre P. Course in General Relativity (Free Version, Lecture Notes, Web Draft, 2003)(141s)_PGr
http://slidepdf.com/reader/full/fre-p-course-in-general-relativity-free-version-lecture-notes-web-draft 107/141
Ñ × × Ó Ò Ó Ö Ú Ø Ø Ó Ò Ð Û Ú × ½ ¼
Ë Ì Ë Ä Á º º º º
´ Ü Ü
¼
µ
½
Ê
·
Ü ¡ Ü
¼
Ê
¿
´ º ½ º µ
·
¿
¾
´ Ü
¼
¡ Ü
¼
µ ´ Ü ¡ Ü µ
Ê
½
¾
Ü
¼
¡ Ü
¼
Ê
¿
´ º ½ º µ
·
¿
´ Ü
¼
¡ Ü
¼
µ
¾
Ê
¿
¾
´ Ü
¼
¡ Ü
¼
µ ´ Ü ¡ Ü
¼
µ
Ê
· ´ º ½ º ¼ µ
´ º ½ º ½ µ
Ë Ó Ø Ø
´ Ü Ü
¼
µ
½
Ê
´ º ½ º ¾ µ
·
Ü
Ü
¼
Ê
¿
´ º ½ º ¿ µ
·
½
¾
¿ Ü
¼
Ü
¼
Ü
¼
¾
Æ
¡
Ü
Ü
Ê
´ º ½ º µ
· ´ º ½ º µ
Ì ¬ Ö × Ø Ø Ö Ð Ò × Ò Ø Ó Ú Õ Ù Ø Ó Ò ¬ Ò ¸ Ö × Ô Ø Ú Ð Ý
´ µ Ø Ñ Ó Ò Ó Ô Ó Ð Ñ Ó Ñ Ò Ø
´ µ Ø Ô Ó Ð Ñ Ó Ñ Ò Ø
´ µ Ø Õ Ù Ö Ù Ô Ó Ð Ñ Ó Ñ Ò Ø
Ì Ó × Ø × Ó Ò × Ö Ø Ô Ó Ø Ò Ø Ð Ô Ö Ó Ð Ñ Ò Û Ø Ó Ò Ò Ø Ó Ö Ý
¡ ¨ ´ Ü µ ´ Ü µ ´ º ½ º µ
Û Ö ´ Ü µ × Ø Ñ × × Ò × Ø Ý º Ì × Ó Ð Ù Ø Ó Ò Ò Û Ö Ø Ø Ò Ò Ø Ö Ñ × Ó Ø × Ô Ø Ð Ö Ò Ù Ò Ø Ó Ò Ó
Ø Ð Ô Ð Ò ¡ × Ó Ð Ð Ó Û ×
¨ ´ Ü µ
´ Ü
¼
µ
Ü Ü
¼
¿
Ü
¼
´ º ½ º µ
Í × Ò Ø Ñ Ù Ð Ø Ô Ó Ð Ö Ü Ô Ò × Ó Ò Ó Ø Ö Ò Ù Ò Ø Ó Ò Û Ø
¨ ´ Ü µ
Å
Ê
Ê
¿
Ü
´ º ½ º µ
¾ Ê
Ü
Ü
É
· ´ º ½ º µ
Û Ö
Å
Ê
¿
Ü
¼
´ Ü
¼
µ Ñ × ×
Ê
¿
Ü
¼
Ü
¼
´ Ü
¼
µ Ô Ó Ð
É
Ê
¿
Ü
¼
¿ Ü
¼
Ü
¼
Ü
¼
¾
Æ
¡
´ Ü
¼
µ Õ Ù Ö Ù Ô Ó Ð
´ º ½ º ¼ µ
Ì Ò Ó Ø Ó Ø × Ó Ø Ö Ð Ø Ú × Ø Û Ú º º Ï Ü Ô Ò Ø Ô × Ø Ó Ö Ó Ö Ò
Ø Ó
Ü Ô Ü Ü
¼
℄ Ü Ô
Ê
Ü
¼
¡ Ü
Ê
¾
· Ç
½
Ê
¾
´ º ½ º ½ µ
7/29/2019 Fre P. Course in General Relativity (Free Version, Lecture Notes, Web Draft, 2003)(141s)_PGr
http://slidepdf.com/reader/full/fre-p-course-in-general-relativity-free-version-lecture-notes-web-draft 108/141
Ñ × × Ó Ò Ó Ö Ú Ø Ø Ó Ò Ð Û Ú × ½ ¼
Ò Û Ö Ð Ð Ø Ø Ò Ø Ö Ø Ó Ò Þ Ó Ò Û Ú
Ê ½ Ü
¼
½ ´ º ½ º ¾ µ
Ò Ñ Ð Ý Ø
× Ø Ò × Ú Ö Ý Ð Ö Ó Ñ Ô Ö Ø Ó Ø Û Ú ß Ð Ò Ø Ò Ø Ü Ø Ò × Ó Ò Ó Ø
× Ó Ù Ö × × Ñ Ð Ð Ó Ñ Ô Ö Ø Ó Ø Û Ú ß Ð Ò Ø º Ì Ò Û Ò Û Ö Ø
-
´ Ü µ
Ü Ô
Ê
Ê
¿
Ü
¼
Ì
´ Ü
¼
µ ´ º ½ º ¿ µ
Í × Ò Ø Ó Ò × Ö Ú Ø Ó Ò Ó Ø × Ø Ö × × Ò Ö Ý Ø Ò × Ó Ö
Ì
¼ Û Ö Û Ö Ø
¿
Ü
¼
Ì
´ Ü
¼
µ
̈
´ Ì
Ü
µ
Ì
¡
Ü
©
´ º ½ º µ
¿
Ü
¼
Ì
¼
Ü
´ º ½ º µ
¾
¿
Ü
¼
´ Ì
¼
Ü
· Ì
¼
Ü
µ ´ º ½ º µ
Ì ¬ Ö × Ø Ø Ö Ñ Ò Ø × Ó Ò Ð Ò × Ö Ó Ô Ô Ù × Ø × Ø Ó Ø Ð Ö Ú Ø Ú ¸ Ø Ø Ö Ð Ò Ó Ö ¹
Ö × Ô Ó Ò × Ø Ó Ø Ü Ô Ð Ø × Ý Ñ Ñ Ø Ö Þ Ø Ó Ò Ó Ø Ö × Ù Ð Ø Ù Ø Ó Ø × Ý Ñ Ñ Ø Ö Ý Ó -
º Ô Ô Ð Ý Ò Ø
Ô Ö Ú Ó Ù × Ô Ö Ó Ù Ö × Ó Ò Ø Ñ Û Ó Ø Ò
¿
Ü
¼
Ì
´ Ü
¼
µ
¾
¾
¿
Ü
¼
Ì
¼ ¼
Ü
¼
Ü
¼
´ º ½ º µ
Á Ò Ø Ó Ò Û Ñ Ô Ó × Ø Ø Ø Ô Ö Ø Ù Ö Ø Ó Ò -
× Ó Ù Ð Ø Ö Ð × × Ò Ø ¿ ß Ñ Ò × Ó Ò Ð × Ò ×
Û Ø Ø × Ñ ¬ Ò Ð Ó Ö Ñ Ù Ð
-
´ Ü µ
¾
¿
¾
Ê
Ê
É
´ µ ´ º ½ º µ
É
´ µ
¿
Ü
¼
Ì
¼ ¼
´ Ü
¼
µ
¿ Ü
¼
Ü
¼
Ü
¼
¾
Æ
¡
´ º ½ º µ
Í Ò Ó Ò Ø Ø Ñ Ó Ù Ö Ö Ø Ö Ò × Ó Ö Ñ Û Ò Ð × Ó Û Ö Ø
-
´ Ø Ü µ
¾
¿
½
Ê
¾
Ø
¾
É
´ Ø µ ´ º ½ º ¼ µ
Û Ö
É
´ Ø µ Ø Ñ Ô Ò Ò Ø Õ Ù Ö Ù Ô Ó Ð Ñ Ó Ñ Ò Ø ´ º ½ º ½ µ
Ü Ø Û Ð Ó Ö Ø Ø Ó Ö Ñ Ù Ð Ó Ö Ø × Ø Ö × × ß Ò Ö Ý Ø Ò × Ó Ö Ó Ø Ô Ð Ò Û Ú
Ò Ö Ý Ð Ó × × Ý Õ Ù Ö Ù Ô Ó Ð Ö Ø Ó Ò
Ï Ò Û Ð Ù Ð Ø Ø × Ø Ö × × ß Ò Ö Ý Ø Ò × Ó Ö Ó Ø Ô Ð Ò Û Ú Û Ü Ô Ö × × Ø Ò Ø Ö Ñ × Ó Ø
Ó Ð Ð Ó Û Ò Õ Ù Ö Ø Ó Ö Ñ
´ µ
¾
·
¾
´ -
¾ ¿
µ
¾
·
½
´ -
¾ ¾
-
¿ ¿
µ
¾
´ º ½ º ¾ µ
7/29/2019 Fre P. Course in General Relativity (Free Version, Lecture Notes, Web Draft, 2003)(141s)_PGr
http://slidepdf.com/reader/full/fre-p-course-in-general-relativity-free-version-lecture-notes-web-draft 109/141
Ñ × × Ó Ò Ó Ö Ú Ø Ø Ó Ò Ð Û Ú × ½ ¼
Ï Ó Ù × Ó Ò Ø × Ø Ö Ù Ø Ù Ö Ó × Ù Ò Ü Ô Ö × × Ó Ò º Ú Ò × Ý Ñ Ñ Ø Ö Ø Ö Ð × × Ø Ò × Ó Ö Ò Ø Ö
Ñ Ò × Ó Ò ×
Ã
Ã
Ã
¼ ½ ¾ ¿ ´ º ½ º ¿ µ
Û Ð Ó Ó Ó Ö Ò Ë Ç ´ ¿ µ Ò Ú Ö Ò Ø Û Ý Ó Û Ö Ø Ò
Í ´ Ã
¾ ¿
µ
¾
·
½
´ Ã
¾ ¾
Ã
¿ ¿
µ
¾
´ º ½ º µ
Ò Ø Ö Ñ × Ó Ù Ò Ø Ú Ø Ó Ö
Ò
´ ½ ¼ ¼ µ ´ º ½ º µ
Û Ó × Ô Ý × Ð Ñ Ò Ò × Ø Ø Ó Ô Ö Ó Ô Ø Ó Ò Ü × Ó Ø Ô Ð Ò Ö Ú Ø Ø Ó Ò Ð Û Ú º
Ï Ò Û Ø × Ó Ñ Ò Ø Ø ×
½
¾
Ã
Ã
½
¾
Ã
¾
½ ½
· Ã
¾
¾ ¾
· Ã
¾
¾ ¿
´ º ½ º µ
· ¾ Ã
¾
½ ¾
· ¾ Ã
¾
½ ¿
· ¾ Ã
¾
¾ ¿
´ º ½ º µ
Ã
Ò
Ã
Ò
Ã
¾
½ ½
· Ã
¾
½ ¾
· Ã
¾
½ ¿
¡
´ º ½ º µ
½
Ã
Ò
Ò
¡
¾
½
Ã
¾
½ ½
´ º ½ º µ
À Û Ó Ò Ð Ù Ø Ø
Í
½
¾
Ã
Ã
½
¾
Ã
Ã
Ò
Ò
·
½
Ã
Ò
Ò
¡
¾
´ º ½ º ¼ µ
Í × Ò Ø × Ö × Ù Ð Ø Ò Ó Ù Ö Ü Ô Ö × × Ó Ò Ó Ö Ø × Ø Ö × × ¹ Ò Ö Ý Ø Ò × Ó Ö Ó Ô Ð Ò Û Ú Ø Ö Ú Ð Ð Ò Ò Ø Ò
Ö Ø Ó Ò Û Ö Ò Ô Ó × Ø Ó Ò Ø Ó Û Ö Ø Ó Û Ò Ø Ò Ö Ý Ö Ø Û Ý Ô Ö Ù Ò Ø Ø Ñ Ò Ô Ö
Ù Ò Ø × Ó Ð Ò Ð Ý Ö Ú Ø Ø Ó Ò Ð Ñ × × Ó Ò º Á Ò Ò × Ó Ð Ò Ð Ù Ò Ø ª Ö Ó Ù Ò Ø Ö Ø Ó Ò
Ò Û Ú
Ø ª
½
¾
Ã
Ã
½
¾
Ã
Ã
Ò
Ò
´ º ½ º ½ µ
·
½
Ã
Ò
Ò
¡
¾
´ º ½ º ¾ µ
Û Ö × Ñ Ù Ð Ø Ô Ð Ø Ú Ó Ò × Ø Ò Ø Ø Ø Û ¬ Ü Ð Ø Ö Ý Ó Ñ Ô Ö × Ó Ò Û Ø Ó Ù Ö Ô Ö Ú Ó Ù × Ö × Ù Ð Ø ×
Á Ò Ø Ö Ø Ó Ò Ó Ò × Ó Ð Ò Ð ×
Ï Ö Ð Ý Ó Ò Ø Ó Ö Ø Ó Ó Ò Ð Ø Ý Ó × Ô Ö Ð Ö Ñ Ó Ò ×
½
ª Ò
Ò
½
Ë Ò Ò
Ò
´ º ½ º ¿ µ
½
¿
Æ
´ º ½ º µ
7/29/2019 Fre P. Course in General Relativity (Free Version, Lecture Notes, Web Draft, 2003)(141s)_PGr
http://slidepdf.com/reader/full/fre-p-course-in-general-relativity-free-version-lecture-notes-web-draft 110/141
Ñ × × Ó Ò Ó Ö Ú Ø Ø Ó Ò Ð Û Ú × ½ ¼
Û Ñ Ñ Ø Ð Ý Ó Ð Ð Ó Û × Ö Ó Ñ
Ò
½
Ó × ´ º ½ º µ
Ò
¾
Ë Ò Ó × ´ º ½ º µ
Ò
¿
Ë Ò Ë Ò ´ º ½ º µ
Ë Ñ Ð Ö Ð Ý Û Ú
½
ª Ò
Ò
Ò
Ñ
Ò
Ö
Ó Ò × Ø
Æ
Æ
Ñ Ö
· Æ
Ñ
Æ
Ö
´ º ½ º µ
· Æ
Ö
Æ
Ñ
´ º ½ º µ
Ì Ó Ò × Ø Ò Ø Ò Ñ Ñ Ø Ð Ý ¬ Ü Ý Ø Ò Ø Ø Ö Ò Ó Ñ Ô Ö Ò Û Ø Ø Ô Ö Ú Ó Ù ×
Ö × Ù Ð Ø
½
ª Ò
Ñ
Ò
Ö
Ó Ò × Ø Æ
Ñ Ö
Ó Ò × Ø
½
½
´ º ½ º ½ ¼ ¼ µ
À Ò Ò Ø Ö Ø Ò Ó Ò Ø × Ó Ð Ò Ð Û Ø
Ø
ª
Ø ª
´ º ½ º ½ ¼ ½ µ
½
¾
½
¿
·
¾
½ ¡
Ã
Ã
´ º ½ º ½ ¼ ¾ µ
Ã
Ã
´ º ½ º ½ ¼ ¿ µ
Ê Ð Ð Ò Ø Ò Ó Ö Ñ Ð Þ Ø Ó Ò Ó Ø Ò Ö Ý Ò × Ø Ý Ò Ø Ò ß Ø Ö Ø Ó Ò
Ø
¼
Ò
½
½
¾
·
¾
´ º ½ º ½ ¼ µ
Ò Ø Ò Ó Ö Ñ Ð Þ Ø Ó Ò Ó Ø × Ó Ð Ù Ø Ó Ò Ó Ö Ø Ñ Ø Ö Ô Ö Ø Ù Ö Ø Ó Ò
-
½
Ê
¾
¿
¾
É
Ø
¾
´ º ½ º ½ ¼ µ
Û Ó Ø Ò
ª
Ø ª
½
½
½
Ê
¾
¾
½
¾
¿
É
Ø
¿
¾
´ º ½ º ½ ¼ µ
·
Ê
¾
ª ´ º ½ º ½ ¼ µ
× Ó Ø Ø Û Ó Ò Ð Ù Û Ø Ø Ò Ø ¬ Ø Ó Ò ×
¿
Ã
¿
É
Ø
¿
´ º ½ º ½ ¼ µ
7/29/2019 Fre P. Course in General Relativity (Free Version, Lecture Notes, Web Draft, 2003)(141s)_PGr
http://slidepdf.com/reader/full/fre-p-course-in-general-relativity-free-version-lecture-notes-web-draft 111/141
Ñ × × Ó Ò Ó Ö Ú Ø Ø Ó Ò Ð Û Ú × ½ ½ ¼
Ò Û Ø Ø Ð Ö Ø Ò × Ø Ò Ó Ö Ñ Ù Ð
Ø
¿
É
Ø
¿
¾
´ º ½ º ½ ¼ µ
Ü Ô Ö × × Ò Ø Ò Ö Ý Ö Ø Ô Ö Ù Ò Ø Ø Ñ Ò Ø Ö Ñ × Ó Ø × Õ Ù Ö Ó Ø Ø Ö Ö Ú Ø Ú Ó Ø
Õ Ù Ö Ù Ô Ó Ð Ñ Ó Ñ Ò Ø º
Ã Ô Ð Ö Ò Ô Ö Ñ Ø Ö × Ó Ò Ö Ý × Ø Ö × Ý × Ø Ñ
Ö Ó Ñ Ø Ú Û Ô Ó Ò Ø Ó Ò Û Ø Ó Ò Ò Ñ Ò × Ø Û Ó ß Ó Ý × Ý × Ø Ñ Ò Ö Ù Ø Ó Ó Ò ß Ó Ý
Ô Ö Ó Ð Ñ Ò Ø × Ó Ò Ø Ö Ð Ó Ö × º Ó Ö Ô Ó Ø Ò Ø Ð
Î ´ Ö
½ ¾
µ
Ö
½ ¾
´ º ½ º ½ ½ ¼ µ
Ò Ò Ø Ö Ó Ù Ò Ø Ö Ù Ñ × ×
½
¾
½
·
¾
´ º ½ º ½ ½ ½ µ
Ò Ñ Ò Ö Ö
½ ¾
¸ Ø × Ó Ð Ù Ø Ó Ò Ó Ø Ý Ò Ñ Ð Ô Ö Ó Ð Ñ Ó Ö Ø Ó Ö Ø × × Ú Ò Ý Ø Ð Ð Ô Ø Ó Ö Ø ×
Ö
´
½
¾
µ
½ · Ó ×
´ º ½ º ½ ½ ¾ µ
Û Ö Ø Ó Ñ Ø Ö Ð Ô Ö Ñ Ø Ö × Ö Ö Ð Ø Ø Ó Ò Ö Ý Ò Ò Ù Ð Ö Ñ Ó Ñ Ò Ø Ù Ñ Ý
¾
¾
½ ·
¾ Ð
¾
¾
´ º ½ º ½ ½ ¿ µ
Á Ò Ø × Ó Ø Æ Û Ø Ó Ò Ò Ô Ó Ø Ò Ø Ð
½
¾
´ º ½ º ½ ½ µ
Ò Ø Ö Ó Ö Ë Ì Ë Ä Á º º º
½
¾
¾
¾
½ ·
¾ Ð
¾
´
½
·
¾
µ
¿
½
¿
¾
¾
´ º ½ º ½ ½ µ
À Û Ù Ø Ó Ñ Ø Ö Ð Ô Ö Ñ Ø Ö × Ó Ò Ö Ý × Ø Ö × Ý × Ø Ñ Ó Ö Ø ¸ Û Ò Ð Ù Ð Ø
Ø Ô Ý × Ð Ô Ö Ñ Ø Ö × ´ Ñ × × × Ò Ò Ù Ð Ö Ñ Ó Ñ Ò Ø Ù Ñ º À Ó Û Ó Û Ù Ø Ó Ñ Ø Ö Ð
Ô Ö Ñ Ø Ö × À Ð Ô Ó Ñ × Ö Ó Ñ Ø
È Ê Á Ë Ì Ê Ç Î
Á Ò Ò Ö Ð Ö Ð Ø Ú Ø Ý Û Ú Ø Ó Ö Ñ Ù Ð Ó Ö Ø Ô Ö × Ø Ö Ó Ò Ú Ò
¡ ³
Ñ
´ ½
¾
µ
Ñ
Å
¾
´ º ½ º ½ ½ µ
Ò
Ã È Ä Ê Ì À Á Ê Ä Ï
Ì Ô Ö Ó × Ú Ò Ý
Ì ¾
¿ ¾
Ö
´ º ½ º ½ ½ µ
7/29/2019 Fre P. Course in General Relativity (Free Version, Lecture Notes, Web Draft, 2003)(141s)_PGr
http://slidepdf.com/reader/full/fre-p-course-in-general-relativity-free-version-lecture-notes-web-draft 112/141
Ñ × × Ó Ò Ó Ö Ú Ø Ø Ó Ò Ð Û Ú × ½ ½ ½
Ã Ô Ð Ö Ø Ö Ð Û Ó Ð Ð Ó Û × Ö Ó Ñ Ò Ø Ö Ø Ó Ò Ó Ø Ö Ö Ú Ø Ú
Ø
½
¾
Ö
¾
¾
Ì
¾
´ º ½ º ½ ½ µ
À Ò Ó Ö Ò Ö Ý × Ø Ö × Ý × Ø Ñ Û Ò Û Ö Ø Ø Ø Û Ó Õ Ù Ø Ó Ò ×
Ì ¾
¿ ¾
×
½
´
½
·
¾
µ
´ º ½ º ½ ½ µ
¡ ³
´
½
·
¾
µ
¾
½
´ ½
¾
µ
´ º ½ º ½ ¾ ¼ µ
Ò Û Ð Ù Ð Ø Ø Ò Ð Ò Ö × Ô Ö Ù Ò Ø Ø Ñ Ý Ú Ò Ø Ö Ó Ù Ø Ô Ö Ó
¡ ³
Ì
Ë
¿
´
½
·
¾
µ ℄
¿ ¾
¾
½
¾
Ë
´ ½
¾
Ë
µ
´ º ½ º ½ ¾ ½ µ
Á Ì À Ì Ë Ä Á Ï Å Ã Í Å Ê Á Ä Ç Å È Ê Á Ë Ç Ø Û Ò Ø Ò Ö Ý × Ý × Ø Ñ
× Ò Ø Ô Ö Ð Ó Ò Ú Ò Ó Å Ê Í Ê Û Ö
¡ ³
Ì
Å Ö
¿
Å
Ë
℄
¿ ¾
¾
½
¾
Å
´ ½
¾
Å
µ
´ º ½ º ½ ¾ ¾ µ
Å
Ë
Ò Ø × Ó Ð Ö Ñ × × Ò
Å
Å
Ø Ó Ñ Ø Ö Ð Ô Ö Ñ Ø Ö × Ó Å Ö Ù Ö Ý Ó Ö Ø ¸ Û Ð
Ë
Ë
Ö Ø Ó × Ó Ø Ò Ö Ý × Ø Ö × Ý × Ø Ñ º ¬ Ò Ø Ñ Ò × Ó Ò Ð × × Ø Ó Ö ×
Ü
´
½
·
¾
µ
Å
Ë
´ º ½ º ½ ¾ ¿ µ
Ý
Å
Ë
´ º ½ º ½ ¾ µ
Þ
½
¾
Å
½
¾
Ë
´ º ½ º ½ ¾ µ
Ï Ó Ø Ò Ø Ö Ð Ø Ó Ò
¡ ³
Ì
Ë
Ý
¾
Ü
¿ ¾
Þ
¡ ³
Ì
Å Ö
´ º ½ º ½ ¾ µ
Ù Ñ Ö Ð Ð Ý Û ¬ Ò
Þ ½ Ý ¾ Ü ¾ ¾
´ º ½ º ½ ¾ µ
Ò Ò Ø Ø Ó Ö
Ý
¾
Ü
¿ ¾
Þ ¿ ½ ¾ ´ º ½ º ½ ¾ µ
Ï Ð Ó Ö Ñ Ö Ù Ö Ý Ø Ò Ù Ð Ö Ú Ò ×
¾
¼ ¼
Ò Ø Ù Ö Ý ´ º ½ º ½ ¾ µ
Ó Ö Ø Ô Ù Ð × Ö Ò Ö Ý × Ý × Ø Ñ Û Ø
¡ ³ ¿ Ý Ö ´ º ½ º ½ ¿ ¼ µ
× Û × Ø Ó Ú Ö Û Ð Ñ Ò Ó Ò Ø Ö Ù Ø Ó Ò Ø Ó Ø × Ò Ò Ñ Ò Ø × Ù Ø Ó Ø Ò Ö Ö Ó Û Ò × × Ó Ø
× Ý × Ø Ñ ¸ Ò Ñ Ð Ý Ø Ö Ø Ó Ø Û Ò Ø × Ñ Ð Ø Ö Ø
7/29/2019 Fre P. Course in General Relativity (Free Version, Lecture Notes, Web Draft, 2003)(141s)_PGr
http://slidepdf.com/reader/full/fre-p-course-in-general-relativity-free-version-lecture-notes-web-draft 113/141
Ô Ø Ö
Ì Æ Ë È ¹ Ì Á Å Ë ¸ Í Ë Ä
Ë Ì Ê Í Ì Í Ê Æ È Æ Ê Ç Ë Á Ê Å Ë
º ½ Á Ò Ø Ö Ó Ù Ø Ó Ò
º ¾ Ì Ã Ö Ù × Ð Ü Ø Ò × Ó Ò Ó Ë Û Ö Þ × Ð × Ô ß Ø Ñ
Á Ò Ø × × Ø Ó Ò Û Ó Ñ Ø Ó Ø Ë Û Ö Þ × Ð Ñ Ø Ö ´ º ¾ º ½ µ Ø Ø Û Ö Û Ö Ø Ö Ó Ö Ó Ò Ú ¹
Ò Ò
×
¾
½ ¾
Ñ
Ö
Ø
¾
·
½ ¾
Ñ
Ö
½
Ö
¾
· Ö
¾
¾
· × Ò
¾
¾
¡
´ º ¾ º ½ µ
Ò Û × Ø Ù Ý Ø × Ù × Ð Ô Ö Ó Ô Ö Ø × º Á Ò Ô Ö Ø Ù Ð Ö Û Ò Ú × Ø Ø Ø Ò Ø Ù Ö Ò Ø × Ò ¬ Ò
Ó Ø Ó Ó Ö Ò Ø × Ò Ù Ð Ö Ø Ý Ø
Ö Ö
Ë
¾ Ñ ´ º ¾ º ¾ µ
Û × Ð Ð Ø Ë Û Ö Þ × Ð Ö Ù × Ò Ø Ù Ö Ò × Ó Ù Ø Ø Ó Ó Ö Ö × Ô Ó Ò Ø Ó Ò Ú Ò Ø Ó Ö Þ Ó Ò º Ì ×
Ü Ô Ð Ò × Ø Ò Ó Ñ Ò Ð Ø Ù Ö Ë Û Ö Þ × Ð Ñ Ö Ù × Ø Ø Ò Ô Ø Ö ¿ Û Ù × Ó Ö Ø × Ù Ö
Ö Ñ º
º ¾ º ½ Ò Ð Ý × × Ó Ø Ê Ò Ð Ö × Ô ß Ø Ñ
Ó Ö Ò Ð Ý Þ Ò Ø Ã Ö Ù × Ð Ü Ø Ò × Ó Ò Ó Ø Ë Û Ö Þ × Ð × Ô ß Ø Ñ ¸ × Ô Ö Ô Ö Ø Ó Ö Ý Ü Ö ×
Û Ò Ý Ó Ò × Ö Ò Ø Ô Ö Ó Ô Ö Ø × Ó Ø Û Ó ß Ñ Ò × Ó Ò Ð Ø Ó Ý ß Ñ Ó Ð ¸ Ø × Ó Ð Ð Ê Ò Ð Ö
× Ô ß Ø Ñ º Ì × × Ê
¾
Õ Ù Ô Ô Û Ø Ó Ð Ð Ó Û Ò Å Ò Ó Û × Ò Ñ Ø Ö
×
¾
Ê Ò Ð Ö
Ü
¾
Ø
¾
· Ü
¾
´ º ¾ º ¿ µ
Û ¸ Ô Ô Ö Ò Ø Ð Ý ¸ × × Ò Ù Ð Ö Ø Ý Ó Ò Ø Ð Ò À
Ê
¾
× Ò Ð Ó Ù Ø Ý Ø Õ Ù Ø Ó Ò Ü ¼ º
Ö Ù Ð Ò Ð Ý × × Ö Ú Ð × Ø Ø × Ù × Ò Ù Ð Ö Ø Ý × Ù × Ø Ó Ó Ö Ò Ø Ö Ø Ø × Ò Ø Ñ Ø Ö ´ º ¾ º ¿ µ
× Ø Ù Ð Ð Ý - Ø Ò Ò Ö Ó Ù Ø Ø Ó Ø × Ø Ò Ö Ó Ö Ñ Ó Ø Å Ò Ó Û × Ñ Ø Ö Ú × Ù Ø Ð
Ó Ó Ö Ò Ø Ø Ö Ò × Ó Ö Ñ Ø Ó Ò
Ê
¾
Ê
¾
´ º ¾ º µ
Ì Ö Ð Ú Ò Ø Ô Ó Ò Ø × Ø Ø Ø « Ó Ñ Ó Ö Ô × Ñ × Ò Ó Ø × Ù Ö Ø Ú × Ò Ø Ñ Ô × Ø Û Ó Ð Ó Ê Ò Ð Ö
× Ô ß Ø Ñ ¸ Ò Ñ Ð Ý Ø Ò Ø Ö Ê
¾
Ñ Ò Ó Ð Ò Ø Ó Ò Ó Ô Ò × Ù × Ø Á
Ê
¾
¡
Ê
¾
Å Ò
¾
Ó
Å Ò Ó Û × × Ô º Ì × Ñ Ò × Ø Ø Ê Ò Ð Ö × Ô ß Ø Ñ × Ò Ó Ñ Ô Ð Ø Ò Ò Ü Ø Ò Ø Ó Ø
Ò Ø Ö ¾ ß Ñ Ò × Ó Ò Ð Å Ò Ó Û × × Ô Å Ò
¾
º Ì Ó Ø Ö Ý Ô Ó Ò Ø × Ø Ø Ø Ñ ´ À µ
½ ½ ¾
7/29/2019 Fre P. Course in General Relativity (Free Version, Lecture Notes, Web Draft, 2003)(141s)_PGr
http://slidepdf.com/reader/full/fre-p-course-in-general-relativity-free-version-lecture-notes-web-draft 114/141
Ì Ã Ö Ù × Ð Ü Ø Ò × Ó Ò Ó Ë Û Ö Þ × Ð × Ô ß Ø Ñ ½ ½ ¿
Å Ò
¾
Ó Ø × Ò Ù Ð Ö Ø Ý Ò Ø Ü Ø Ò × Ô ß Ø Ñ × Ô Ö Ø Ð Ý Ö Ù Ð Ö Ò Ù Ð Ð ¹ Ð Ý Ô Ö × Ù Ö º
Ì × Ø Ù Ö × Ö Ó Ñ Ô Ð Ø Ð Ý Ò Ð Ó Ó Ù × Ø Ó Ó Ö Ö × Ô Ó Ò Ò Ø Ù Ö × Ó Ø Ã Ö Ù × Ð Ü Ø Ò × Ó Ò Ó
Ë Û Ö Þ × Ð × Ô ß Ø Ñ º Ð × Ó Ø Ö Û Ò ¬ Ò × Ù Ø Ð Ó Ó Ö Ò Ø Ø Ö Ò × Ó Ö Ñ Ø Ó Ò
Ã
Ê
Ê
Û Ö Ñ Ó Ú × Ø × Ò Ù Ð Ö Ø Ý × Ô Ð Ý Ý Ø Ë Û Ö Þ × Ð Ñ Ø Ö Ø Ø Ë Û Ö Þ × Ð
Ö Ù × Ö Ñ Ò × Ù Ñ Ô × Ò Ó Ø × Ù Ö Ø Ú ¸ Ö Ø Ö Ø Ñ Ô × Ø Ò Ø Ö Ë Û Ö Þ × Ð × Ô ß Ø Ñ
Ò Ø Ó Ò Ó Ô Ò × Ù Ñ Ò Ó Ð
Ã
´ Ë Û Ö Þ × Ð µ Ã Ö Ù × Ó Ð Ö Ö Ñ Ò Ó Ð Ò Ñ Ø Ã Ö Ù × Ð
× Ô ß Ø Ñ º Ð × Ó Ò Ù Ð Ð Ò Ð Ó Ý Û Ø Ø × Ó Ø Ê Ò Ð Ö Ø Ó Ý ß Ñ Ó Ð Ø Ñ
Ã
´ À µ Ó Ø
Ó Ó Ö Ò Ø × Ò Ù Ð Ö Ø Ý À ¬ Ò Ý Ø Õ Ù Ø Ó Ò Ö Ñ × Ö Ù Ð Ö Ò Ù Ð Ð ß Ð Ý Ô Ö × Ù Ö Ó
Ã Ö Ù × Ð × Ô ß Ø Ñ º Á Ò Ø × × Ø × Ø Ò Ø Ö Ô Ö Ø Ø Ó Ò Ó Ú Ò Ø ß Ó Ö Þ Ó Ò Ð Ñ Ø Ò Ð ß Ó Ð
Ö Ó Ò º
Ì × Õ Ù × Ø Ó Ò Ø Ö Ó Ö × Ó Û Ó Û ¬ Ò Ø Ô Ô Ö Ó Ô Ö Ø « Ó Ñ Ó Ö Ô × Ñ Ó Ö
Ã
Ì Ò × Û Ö × Ô Ö Ó Ú Ý × Ý × Ø Ñ Ø Ð Ó Ö Ø Ñ Û Ó Ò × × Ø × Ó Ø Ó Ð Ð Ó Û Ò × Ø Ô ×
´ µ Ö Ú Ø Ó Ò Ó Ø Õ Ù Ø Ó Ò × Ó Ö Ó × × ¸
´ µ Ó Ò × Ø Ö Ù Ø Ó Ò Ó Ó Ñ Ô Ð Ø × Ý × Ø Ñ Ó Ò Ó Ñ Ò Ò Ó Ù Ø Ó Ò Ò Ù Ð Ð Ó × × ¸
´ µ Ø Ö Ò × Ø Ó Ò Ø Ó Ó Ó Ö Ò Ø × Ý × Ø Ñ Û Ö Ø Ò Û Ó Ó Ö Ò Ø × Ö Ø Æ Ò Ô Ö Ñ Ø Ö × Ð Ó Ò
Ø Ò Ó Ñ Ò Ò Ó Ù Ø Ó Ò Ò Ù Ð Ð Ó × × ¸
´ Ú µ Ò Ð Ý Ø Ó Ò Ø Ò Ù Ø Ó Ò Ó Ø Ò Û Ó Ó Ö Ò Ø Ô Ø Ý Ó Ò Ø × Ó Ö Ò Ð Ó Ñ Ò Ó ¬ Ò Ø Ó Ò º
Ï Ò Ý × Ó Û Ò Ó Û Ø × Ô Ö Ó Ù Ö Û Ó Ö × Ò Ø × Ó Ø Ñ Ø Ö ´ º ¾ º ¿ µ Ò Ð Ø Ö Û
Ô Ô Ð Ý Ø Ø Ó Ø Ô Ý × Ð Ð Ý × Ò ¬ Ò Ø × Ó Ø Ë Û Ö Þ × Ð Ñ Ø Ö º
Ì Ñ Ø Ö ´ º ¾ º ¿ µ × Ó Ó Ö Ò Ø × Ò Ù Ð Ö Ø Ý Ø Ü ¼ Û Ö Ø Ø Ö Ñ Ò Ò Ø Ø
Ü
¾
× Þ Ö Ó º Á Ò Ó Ö Ö Ø Ó Ù Ò Ö × Ø Ò Ø Ö Ð Ñ Ò Ò Ó × Ù × Ò Ù Ð Ö Ø Ý Û Ó Ð Ð Ó Û Ø Ô Ö Ó Ö Ñ Ñ
Ó Ù Ø Ð Ò Ó Ú Ò Û Û Ö Ø Ø Õ Ù Ø Ó Ò Ó Ö Ò Ù Ð Ð Ó × ×
´ Ü µ
Ü
Ü
¼ Ü
¾
Ø
¾
¡
¾
·
Ü
¾
¡
¾
¼ ´ º ¾ º µ
Ö Ó Ñ Û Û Ñ Ñ Ø Ð Ý Ó Ø Ò
Ü
Ø
¾
½
Ü
¾
µ
Ø ¦
Ü
Ü
µ
Ø ¦ Ð Ò Ü · Ó Ò × Ø ´ º ¾ º µ
À Ò Û Ò Ò Ø Ö Ó Ù Ø Ò Ù Ð Ð Ó Ó Ö Ò Ø × Ý Û Ö Ø Ò
Ø · Ð Ò Ü Ú Ú Ó Ò × Ø ̧ ´ Ò Ó Ñ Ò Ò Ù Ð Ð Ó × × µ
Ø Ð Ò Ü Ù Ù Ó Ò × Ø ̧ ´ Ó Ù Ø Ó Ò Ò Ù Ð Ð Ó × × µ
´ º ¾ º µ
Ì × Ô Ó Ø Ó Ö Ö × Ô Ó Ò Ò Ò Ù Ð Ð Ó × × × × Ô Ð Ý Ò ¬ º º ½ º Ì ¬ Ö × Ø Ò Ó Ó Ó Ö ¹
Ò Ø × × Ô Ö Ó Ö Ñ Ý Ö Ô Ð Ò Ü Ø Ý Ù Ú º Í × Ò
Ü
¾
Ü Ô Ú Ù ℄
Ü
Ü
Ú Ù
¾
Ø
Ú · Ù
¾
´ º ¾ º µ
Ø Ñ Ø Ö ´ º ¾ º ¿ µ Ó Ñ ×
×
¾
Ê Ò Ð Ö
Ü Ô Ú Ù ℄ Ù Ú ´ º ¾ º µ
7/29/2019 Fre P. Course in General Relativity (Free Version, Lecture Notes, Web Draft, 2003)(141s)_PGr
http://slidepdf.com/reader/full/fre-p-course-in-general-relativity-free-version-lecture-notes-web-draft 115/141
Ì Ã Ö Ù × Ð Ü Ø Ò × Ó Ò Ó Ë Û Ö Þ × Ð × Ô ß Ø Ñ ½ ½
Ù Ö º ½ º Æ Ù Ð Ð Ó × × Ó Ø Ê Ò Ð Ö Ñ Ø Ö º Ì Ø Ò Ù Ö Ú × Ö Ò Ó Ñ Ò ´ Ú Ó Ò × Ø µ ¸ Û Ð Ø
Ø Ó Ò × Ö Ó Ù Ø Ó Ò ´ Ù Ó Ò × Ø µ
Ü Ø × Ø Ô × Ø Ð Ù Ð Ø Ó Ò Ó Ø Æ Ò Ô Ö Ñ Ø Ö Ð Ó Ò Ø Ò Ù Ð Ð Ó × × º À Ö Û Ù × Ò Ö Ð
Ô Ö Ó Ô Ö Ø Ý Ò Ó Ò Ø Ó Ð Ð Ó Û Ò Ð Ñ Ñ
Ä Ñ Ñ º ¾ º ½ º Ä Ø
Ã Ð Ð Ò Ú Ø Ó Ö Ó Ö Ú Ò Ñ Ø Ö
´ Ü µ Ò Ð Ø
Ø
Ü
Ø Ø Ò Ò Ø
Ú Ø Ó Ö Ø Ó Ó × º Ì Ò Ø × Ð Ö Ô Ö Ó Ù Ø
Ø
Ü
´ º ¾ º ½ ¼ µ
× Ó Ò × Ø Ò Ø Ð Ó Ò Ø Ó × º
È Ö Ó Ó º ¾ º ½ º Ì Ô Ö Ó Ó × Ñ Ñ Ø Ý Ö Ø Ð Ù Ð Ø Ó Ò º Á Û Ø Ø Ö Ú Ø Ú Ó
Û Ø
Ö
Ü
Ü
ß Þ
¼ × Ò Ñ Ø Ö
× Ó Ú º Ó Ò × Ø º
7/29/2019 Fre P. Course in General Relativity (Free Version, Lecture Notes, Web Draft, 2003)(141s)_PGr
http://slidepdf.com/reader/full/fre-p-course-in-general-relativity-free-version-lecture-notes-web-draft 116/141
Ì Ã Ö Ù × Ð Ü Ø Ò × Ó Ò Ó Ë Û Ö Þ × Ð × Ô ß Ø Ñ ½ ½
Ö
Ü
Ü
ß Þ
¼ Ó Ö Ø Ó × Õ º
Ö
Ü
Ü
ß Þ
¼ Ó Ö Ø
Ã Ð Ð Ò Ú º Õ º
¼ ´ º ¾ º ½ ½ µ
Û Ó Ø Ò Ø × Ù Ñ Ó Ø Ö Ø Ö Ñ × Ø Ø Ö × Ô Ö Ø Ð Ý Þ Ö Ó Ó Ö Ø Ö « Ö Ò Ø Ö × Ó Ò × º
Ê Ð Ý Ò Ó Ò Ä Ñ Ñ º ¾ º ½ Ò Ê Ò Ð Ö × Ô Ø Ñ Û Ò Ó Ò Ð Ù Ø Ø
Ü
¾
Ø
´ º ¾ º ½ ¾ µ
× Ó Ò × Ø Ò Ø Ð Ó Ò Ó × × º Á Ò Ø Ú Ø Ó Ö ¬ Ð
Ø
× Ñ Ñ Ø Ð Ý × Ò Ø Ó Ã Ð Ð Ò
Ú Ø Ó Ö Ó Ö Ø Ñ Ø Ö ´ º ¾ º ¿ µ º Ì Ò Ý Ñ Ò × Ó × Ø Ö Ø Ó Ö Û Ö Ñ Ò Ô Ù Ð Ø Ó Ò × Û Ó Ø Ò
½
Ü Ô Ú Ù ℄
Ù · Ú
¾
µ
́
Ü Ô Ù ℄
¾
Ü Ô Ú ℄ Ó Ò Ù Ó Ò × Ø Ó Ù Ø Ó Ò Ò Ù Ð Ð Ó × ×
Ü Ô Ú ℄
¾
Ü Ô Ù ℄ Ó Ò Ú Ó Ò × Ø Ò Ó Ñ Ò Ò Ù Ð Ð Ó × ×
´ º ¾ º ½ ¿ µ
Ì Ø Ö × Ø Ô Ò Ø Ð Ó Ö Ø Ñ Ø Ø Ð × Ø Ó Ø Ü Ø Ò × Ó Ò Ñ Ô Ó Ö Ö × Ô Ó Ò × Ø Ó Ó Ó Ö Ò Ø
Ø Ö Ò × Ó Ö Ñ Ø Ó Ò Û Ö Ø Ò Û Ó Ó Ö Ò Ø × Ö Ô Ö Ó Ô Ó Ö Ø Ó Ò Ð Ø Ó Ø Æ Ò Ô Ö Ñ Ø Ö × Ð Ó Ò Ò ¹
Ó Ñ Ò Ò Ó Ù Ø Ó Ò Ò Ù Ð Ð Ó × × º À Ò Ò Ú Û Ó Õ º ´ º ¾ º ½ ¿ µ Û Ò Ø Ö Ó Ù Ø Ó Ó Ö Ò Ø
Ò
Í
Ù
µ Í
Ù
Ù
Î
Ú
µ Î
Ú
Ú
´ º ¾ º ½ µ
Ý Ñ Ò × Ó Û Ø Ê Ò Ð Ö Ñ Ø Ö ´ º ¾ º µ Ó Ñ ×
×
¾
Ê Ò Ð Ö
Í ª Î ´ º ¾ º ½ µ
Ò Ð Ð Ý ¸ Û Ø Ù Ö Ø Ö Ó Ú Ó Ù × Ø Ö Ò × Ó Ö Ñ Ø Ó Ò
Ì
Î · Í
¾
Î Í
¾
´ º ¾ º ½ µ
Ø Ê Ò Ð Ö Ñ Ø Ö ´ º ¾ º ½ µ × Ö Ù Ø Ó Ø × Ø Ò Ö Ø Û Ó ß Ñ Ò × Ó Ò Ð Å Ò Ó Û × Ñ Ø Ö Ò Ø
Ô Ð Ò Ì
×
¾
Ê Ò Ð Ö
Ì
¾
·
¾
´ º ¾ º ½ µ
7/29/2019 Fre P. Course in General Relativity (Free Version, Lecture Notes, Web Draft, 2003)(141s)_PGr
http://slidepdf.com/reader/full/fre-p-course-in-general-relativity-free-version-lecture-notes-web-draft 117/141
Ì Ã Ö Ù × Ð Ü Ø Ò × Ó Ò Ó Ë Û Ö Þ × Ð × Ô ß Ø Ñ ½ ½
È Ù Ø Ø Ò Ø Ó Ø Ö Ð Ð Ø × Ø Ô × Ø Ó Ó Ö Ò Ø Ø Ö Ò × Ó Ö Ñ Ø Ó Ò Ø Ø Ö Ù × Ø Ê Ò Ð Ö Ñ Ø Ö Ø Ó
Ø × Ø Ò Ö Ó Ö Ñ ´ º ¾ º ½ µ × Ø Ó Ð Ð Ó Û Ò
Ü
Ô
¾
Ì
¾
Ø Ö Ø Ò
¢
Ì
£
´ º ¾ º ½ µ
Á Ò Ø × Û Ý Û Ú × Ù Ò Ð Ñ Ò Ø Ò Ø Ô Ô Ö Ò Ø × Ò Ù Ð Ö Ø Ý Ü ¼ × Ò Ø Ñ Ø Ö
´ º ¾ º ½ µ × Ô Ö Ø Ð Ý Ö Ù Ð Ö Ò Ø Û Ó Ð Ì Ô Ð Ò º Ì × Ù Ø Ð Ô Ó Ò Ø Ó Ð Ð Ø × Ô Ö Ó Ù Ö ×
Ø Ø Ý Ñ Ò × Ó Ø Ø Ö Ò × Ó Ö Ñ Ø Ó Ò ´ º ¾ º ½ µ Û Ú Ò Ó Ø Ó Ò Ð Ý Ð Ñ Ò Ø Ø × Ò Ù Ð Ö Ø Ý ¸ Ù Ø
Ð × Ó Ü Ø Ò Ø × Ô ß Ø Ñ º Á Ò Ø ¬ Ò Ø Ó Ò ´ º ¾ º ½ µ Ó Ø Í Ò Î Ó Ó Ö Ò Ø × × × Ù
Ø Ø Î × Ð Û Ý × Ô Ó × Ø Ú Ò Í Ð Û Ý × Ò Ø Ú º Ì × Ñ Ò × Ø Ø Ò Ø Í Î Ô Ð Ò Ø Ñ
Ó Ê Ò Ð Ö × Ô ß Ø Ñ × Ø Õ Ù Ö Ò Ø Í ¼ Î ¼ º Á Ò Ø Ö Ñ × Ó Ø ¬ Ò Ð ¸ Ì Ú Ö Ð × Ø
Ñ Ó Ø Ó Ö Ò Ð Ê Ò Ð Ö × Ô Ø Ñ × Ø Ò Ù Ð Ö × Ø Ó Ö Á Ô Ø Ò ¬ º º ¾ Ó Ò × Ö Ò
Ù Ö º ¾ º Ì Ñ Ó Ê Ò Ð Ö × Ô ß Ø Ñ Ò Ø Û Ó ß Ñ Ò × Ó Ò Ð Å Ò Ó Û × × Ô ß Ø Ñ × Ø ×
Ö Ó Ò Á Ó Ù Ò Ý Ø Ø Û Ó Ò Ù Ð Ð × Ù Ö × Ì ´ ¼ µ Ò Ì ´ ¼ µ º Ì × Ð Ø Ø Ö Ö Ø
Ñ Ó Ø Ó Ó Ö Ò Ø × Ò Ù Ð Ö Ø Ý Ü ¼ Ó Ø Ó Ö Ò Ð Ñ Ø Ö
Ø Ó Ó Ö Ò Ø Ø Ö Ò × Ó Ö Ñ Ø Ó Ò ´ º ¾ º ½ µ Û × Ø Ø Ø Ñ Ò Ø Ü Ø Ò × Ô ß Ø Ñ Ó Ø
Ô Ô Ö Ò Ø × Ò Ù Ð Ö Ø Ý Ü ¼ × Ø Ð Ó Ù ×
¾
Ì
¾
Û × Ô Ö Ø Ð Ý Ö Ù Ð Ö Ù Ø × Ø × Ø Ò Ø Ú
Ø Ù Ö Ó Ò Ò Ù Ð Ð ¹ Ð × Ù Ö º Ì × × Ù Ö × Ð × Ó Ø Ó Ù Ò Ö Ý Ó Ø Ñ Á Ó Ê Ò Ð Ö
× Ô ß Ø Ñ Ò Ø × Ñ Ü Ñ Ð Ü Ø Ò × Ó Ò º Ù Ö Ø Ö Ñ Ó Ö × Ø Ø Ò
¦ Ì Û Ó Ø Ò Ø
¦ ½ º Ì ×
Ñ Ò × Ø Ø Ò Ø Ó Ö Ò Ð Ê Ò Ð Ö × Ô Ò Ý Ø × Ø Ô Ö Ø Ð Ø × Ò Ò ¬ Ò Ø Ñ Ó Ù Ò Ø Ó Ó Ó Ö Ò Ø
Ø Ñ Ø Ó Ö Ø Ó Ù Ò Ö Ý Ð Ó Ù × Ü ¼ Ø × × Ð × Ó Ú Ò Ø Ö Ó Ñ Ø Ô Ð Ó Ø Ó Ò Ù Ð Ð Ó × × Ò
¬ º º ½ º Ç Ò Ø Ó Ø Ö Ò Ø Ô Ö Ó Ô Ö Ø Ñ Ø Ò Ý Ø × Ø Ô Ö Ø Ð Ø Ó Ö × Ù Ð Ó Ù × Ö Ó Ñ
Ò Ý Ó Ø Ö Ô Ó Ò Ø × Ù × Ø ¬ Ò Ø º
Ð Ð Ø × Ø Ù Ö × Ó Ó Ù Ö Ø Ó Ý Ñ Ó Ð Ô Ô Ð Ý Ð × Ó Ø Ó Ø × Ó Ë Û Ö Þ × Ð × Ô ß Ø Ñ Ó Ò
Ø × Ü Ø Ò Û Ø Ø × Ñ Ô Ö Ó Ù Ö º Ì Ñ Ó Ø Ó Ó Ö Ò Ø × Ò Ù Ð Ö Ø Ý Ö Ñ Û Ð Ð
7/29/2019 Fre P. Course in General Relativity (Free Version, Lecture Notes, Web Draft, 2003)(141s)_PGr
http://slidepdf.com/reader/full/fre-p-course-in-general-relativity-free-version-lecture-notes-web-draft 118/141
Ì Ã Ö Ù × Ð Ü Ø Ò × Ó Ò Ó Ë Û Ö Þ × Ð × Ô ß Ø Ñ ½ ½
Ò Ù Ð Ð ¹ Ð × Ù Ö ¸ Ò Ø Ö Ô Ö Ø × Ú Ò Ø Ó Ö Þ Ó Ò ¸ Û Ò Ö Ò ¬ Ò Ø Ô Ö Ó Ô Ö ß Ø Ñ
Ù Ø Ó Ò Ð Ý Ø Ö Ò Ò ¬ Ò Ø Ò Ø Ö Ú Ð Ó Ó Ó Ö Ò Ø Ø Ñ º Ï Ø Û Ð Ð Ò Û Ò Ó Ù Ø Ñ Ó × Ø Ô Ý × Ð
Ò Ø Ö × Ø × Ô Ö × Ð Ý Ø Ò Ø Ö Ô Ö Ø Ø Ó Ò Ó Ø Ð Ó Ù × Ö ¾ Ñ × Ò Ú Ò Ø Ó Ö Þ Ó Ò À Û Ð × Ø Ó
Ø Ó Ò Ô Ø Ó Ð ß À Ó Ð º Ø Ø × Ò Ø Ö Ô Ö Ø Ø Ó Ò Ò × Ó Ú Ö Ó Ò Ð Ý Ø Ö Ó Ù Ø Ã Ö Ù × Ð
Ü Ø Ò × Ó Ò Ó Ë Û Ö Þ × Ð × Ô ß Ø Ñ Ò Ø × Ð Ø Ø Ö Ò × Ý × Ø Ñ Ø Ð Ð Ý Ö Ú Ú Ø × Ñ
Ð Ó Ö Ø Ñ Û Ú Ô Ô Ð Ø Ó Ø Ê Ò Ð Ö Ø Ó Ý Ñ Ó Ð º
º ¾ º ¾ Ô Ô Ð Ý Ò Ø × Ñ Ô Ö Ó Ù Ö Ø Ó Ø Ë Û Ö Þ × Ð Ñ Ø Ö
Ï Ö Ò Ó Û Ö Ý Ø Ó Ò Ð Ý Þ Ø Ë Û Ö Þ × Ð Ñ Ø Ö ´ º ¾ º ½ µ Ý Ñ Ò × Ó Ø Ø Ó Ò × Ð Ð Ù × Ø Ö Ø
Ó Ú º Ì ¬ Ö × Ø × Ø Ô Ó Ò × × Ø × Ó Ö Ù Ò Ø Ø Ó Ø Û Ó ß Ñ Ò × Ó Ò × Ý ¬ Ü Ò Ø Ò Ù Ð Ö Ó Ó Ö Ò Ø ×
Ø Ó Ó Ò × Ø Ò Ø Ú Ð Ù ×
¼
¸
¼
º Á Ò Ø × Û Ý Ø Ñ Ø Ö ´ º ¾ º ½ µ Ö Ù × Ø Ó
×
¾
Ë Û Ö Þ
½
¾ Ñ
Ö
Ø
¾
·
½
¾ Ñ
Ö
½
Ö
¾
´ º ¾ º ½ µ
Ü Ø ¸ Ò Ø Ö Ù × Ô × Ô Ò Ò Ý Ø Ó Ó Ö Ò Ø × Ö Ò Ø Û Ð Ó Ó Ó Ö Ø Ò Ù Ð Ð ß Ó × × º
Ö Ó Ñ Ø Õ Ù Ø Ó Ò
½
¾ Ñ
Ö
Ø
¾
·
½
¾ Ñ
Ö
½
Ö
¾
¼ ´ º ¾ º ¾ ¼ µ
Û Ó Ø Ò
Ø
Ö
¦
Ö
Ö ¾ Ñ
µ
Ø ¦ Ö
£
´ Ö µ ´ º ¾ º ¾ ½ µ
Û Ö Û Ú Ò Ø Ö Ó Ù Ø × Ó Ð Ð Ê ß Ï Ð Ö Ø Ó Ö Ø Ó × Ó Ó Ö Ò Ø ¬ Ò Ý Ø Ó Ð Ð Ó Û Ò
Ò ¬ Ò Ø Ò Ø Ö Ð
Ö
£
´ Ö µ
Ö
Ö ¾ Ñ
Ö Ö · ¾ Ñ Ð Ó
Ö
¾ Ñ
½
´ º ¾ º ¾ ¾ µ
À Ò ¸ Ò Ù Ð Ð Ò Ð Ó Ý Û Ø Õ º ´ º ¾ º µ ¸ Û Ò Ò Ø Ö Ó Ù Ø Ò Ù Ð Ð Ó Ó Ö Ò Ø ×
Ø · Ö
£
´ Ö µ Ú Ú Ó Ò × Ø ̧ ´ Ò Ó Ñ Ò Ò Ù Ð Ð Ó × × µ
Ø Ö
£
´ Ö µ Ù Ù Ó Ò × Ø ̧ ´ Ó Ù Ø Ó Ò Ò Ù Ð Ð Ó × × µ
´ º ¾ º ¾ ¿ µ
Ò Ø Ò Ð Ó Ù Ó ¬ º º ½ × Ò Ó Û Ú Ò Ý ¬ º Á Ò × Ô Ø Ó Ò Ó Ø × Ô Ø Ù Ö Ö Ú Ð × Ø × Ñ
Ô Ö Ó Ô Ö Ø × Û Ð Ö Ý Ó × Ö Ú Ò Ø × Ó Ø Ê Ò Ð Ö Ø Ó Ý Ñ Ó Ð º Ï Ø × Ñ Ô Ó Ö Ø Ò Ø
Ø Ó × Ø Ö × × Ò Ø Ô Ö × Ò Ø Ñ Ó Ð × Ø Ø Ô Ó Ò Ø Ó Ø Ö Ñ Ø Ù Ð Ð Ý Ö Ô Ö × Ò Ø × ¾ ß × Ô Ö
Ô Ö Ñ Ø Ö Þ Ý Ø Ø Û Ó Ò Ð × Ò Ø Ø Û Ú Ö Þ Ø Ø Ó Ò × Ø Ò Ø Ú Ð Ù ×
¼
Ò
¼
º
Ë Ò Û Ò Ò Ó Ø Ñ Ó Ù Ö ß Ñ Ò × Ó Ò Ð Ö Û Ò × × Ó Ñ Ô Ø Ó Ö Ð Ó Û Ø × Ó Ò Ó Ò Ò
Ó Ø Ò Ý Ö Ô Ð Ò Ø ¾ ¹ × Ô Ö Û Ø Ö Ð Ë
½
Ô Ö Ñ Ø Ö Þ Ý Ø Þ Ñ Ù Ø Ð Ò Ð º
Á Ò Ø × Û Ý Û Ó Ø Ò Ø Ö ¹ Ñ Ò × Ó Ò Ð × Ô ß Ø Ñ × Ô Ò Ò Ý Ó Ó Ö Ò Ø × Ø ¸ Ü Ö Ó × ¸
Ý Ö × Ò º Á Ò Ø × × Ô Ø Ò Ù Ð Ð ß Ó × × Ó ¬ º º ¿ Ó Ñ Ø Û Ó ß Ñ Ò × Ó Ò Ð × Ù Ö × º Á Ò
Ø × Ò Ù Ð Ð ß × Ù Ö × Ö Ò Ó Ø Ò Ð × Ù Ø Ø Ô Ö Ó Ø Ó Ò ×
¼
¾ Ó Ø Ø Ö Ù Ò Ù Ð Ð × Ù Ö × Ó
Ø Ë Û Ö Þ × Ð Ñ Ø Ö º Á Ò ¬ º º Û Ô Ö × Ò Ø Ø Û Ó Ü Ñ Ô Ð × Ó × Ù Ô Ö Ó Ø Ò Ù Ð Ð × Ù Ö × ¸ Ó Ò
Ò Ó Ñ Ò Ò Ó Ò Ó Ù Ø Ó Ò º À Ú Ò Ó Ù Ò Ø × Ý × Ø Ñ Ó Ò Ó Ñ Ò Ò Ó Ù Ø Ó Ò Ò Ù Ð Ð ß Ó × ×
Û Ó Ó Ú Ö Ø Ó Ô Ó Ò Ø ´ µ Ó Ó Ù Ö Ô Ö Ó Ö Ñ Ñ Ò Û Ñ Ó Ó Ö Ò Ø Ò Ö Ó Ñ Ø Ö Ø Ó Ù Ú º
7/29/2019 Fre P. Course in General Relativity (Free Version, Lecture Notes, Web Draft, 2003)(141s)_PGr
http://slidepdf.com/reader/full/fre-p-course-in-general-relativity-free-version-lecture-notes-web-draft 119/141
Ì Ã Ö Ù × Ð Ü Ø Ò × Ó Ò Ó Ë Û Ö Þ × Ð × Ô ß Ø Ñ ½ ½
Ù Ö º ¿ º Æ Ù Ð Ð Ó × × Ó Ø Ë Û Ö Þ × Ð Ñ Ø Ö Ò Ø Ö Ø Ô Ð Ò º Ì Ø Ò Ù Ö Ú × Ö Ò Ó Ñ Ò
´ Ú Ó Ò × Ø µ ¸ Û Ð Ø Ø Ó Ò × Ö Ó Ù Ø Ó Ò ´ Ù Ó Ò × Ø µ º Ô Ó Ò Ø Ò Ø × Ô Ø Ù Ö Ö Ô Ö × Ò Ø ×
¾ ß × Ô Ö ¸ Ô Ö Ñ Ø Ö Þ Ý Ø Ò Ð ×
¼
Ò
¼
º Ì Ø Ú Ö Ø Ð Ð Ò × Ø × Ù Ö Ö Ö
Ë
¾ Ñ
Ó Ö Ö × Ô Ó Ò Ò Ø Ó Ø Ó Ó Ö Ò Ø × Ò Ù Ð Ö Ø Ý º × Ò Ø × Ó Ø Ê Ò Ð Ö Ø Ó Ý Ñ Ó Ð Ø Ò Ù Ð Ð ¹ Ó × ×
Ò Ó Ñ Ò Ö Ó Ñ Ò ¬ Ò Ø Ý Ö Ø Ó Ó Ö Ò Ø × Ò Ù Ð Ö Ø Ý Ó Ò Ð Ý Ø × Ý Ñ Ô Ø Ó Ø Ð Ð Ý Ð Ø Ø Ñ × Ø · ½
Ë Ñ Ð Ö Ð Ý Ó Ù Ø Ó Ò Ò Ù Ð Ð ¹ Ó × × Û Ö Ó Ò Ø × × Ù Ö Ó Ò Ð Ý Ø × Ý Ñ Ô Ø Ó Ø Ð Ð Ý Ö Ð Ý Ø Ñ × Ø ½
Ý × Ø Ö Ø Ó Ö Û Ö « Ö Ò Ø Ø Ó Ò Ó Õ º × ´ º ¾ º ¾ ¾ µ ¸ ´ º ¾ º ¾ ¿ µ Û Ó Ø Ò
Ö
½
Ö
Ë
Ö
Ù Ú
¾
Ø
Ù · Ú
¾
´ º ¾ º ¾ µ
× Ó Ø Ø Ø Ö Ù Ë Û Ö Þ × Ð Ñ Ø Ö ´ º ¾ º ½ µ Ó Ñ ×
×
¾
Ë Û Ö Þ
½
Ö
Ë
Ö
Ù ª Ú ´ º ¾ º ¾ µ
Í × Ò Ø ¬ Ò Ø Ó Ò ´ º ¾ º ¾ ¾ µ Ó Ø Ø Ó Ö Ø Ó × Ó Ó Ö Ò Ø Û Ò Ð × Ó Û Ö Ø
½
Ö
Ë
Ö
Ü Ô
Ú Ù
¾ Ö
Ë
Ü Ô
Ö
Ö
Ë
´ º ¾ º ¾ µ
Û Ó Ñ Ò Û Ø ´ º ¾ º ¾ µ Ý Ð ×
×
¾
Ë Û Ö Þ
Ü Ô
Ö
Ö
Ë
Ü Ô
Ú Ù
¾ Ö
Ë
Ö
Ë
Ö
Ù ª Ú ´ º ¾ º ¾ µ
7/29/2019 Fre P. Course in General Relativity (Free Version, Lecture Notes, Web Draft, 2003)(141s)_PGr
http://slidepdf.com/reader/full/fre-p-course-in-general-relativity-free-version-lecture-notes-web-draft 120/141
Ì Ã Ö Ù × Ð Ü Ø Ò × Ó Ò Ó Ë Û Ö Þ × Ð × Ô ß Ø Ñ ½ ½
Ù Ö º º Ò Ü Ñ Ô Ð Ó Ø Û Ó Ò Ù Ð Ð × Ù Ö × Ò Ö Ø Ý Ò Ù Ð Ð Ó × × Ó Ø Ë Û Ö Þ × Ð Ñ Ø Ö Ò
Ø Ö Ø Ô Ð Ò º Ì Ø Ò Ù Ö Ú × Ö Ò Ó Ñ Ò ´ Ú Ó Ò × Ø µ ¸ Û Ð Ø Ø Ó Ò × Ö Ó Ù Ø Ó Ò ´ Ù Ó Ò × Ø µ º
Ô Ó Ò Ø Ò Ø × Ô Ø Ù Ö Ö Ô Ö × Ò Ø × ¾ ß × Ô Ö ¸ Ô Ö Ñ Ø Ö Þ Ý Ø Ò Ð ×
¼
Ò
¼
º Ì Ø
Ú Ö Ø Ð Ð Ò × Ø × Ù Ö Ö Ö
Ë
¾ Ñ Ó Ö Ö × Ô Ó Ò Ò Ø Ó Ø Ó Ó Ö Ò Ø × Ò Ù Ð Ö Ø Ý º × Ò Ø ×
Ó Ø Ê Ò Ð Ö Ø Ó Ý Ñ Ó Ð Ø Ò Ù Ð Ð ¹ Ó × × Ò Ó Ñ Ò Ö Ó Ñ Ò ¬ Ò Ø Ý Ö Ø Ó Ó Ö Ò Ø × Ò Ù Ð Ö Ø Ý Ó Ò Ð Ý
Ø × Ý Ñ Ô Ø Ó Ø Ð Ð Ý Ð Ø Ø Ñ × Ø · ½ º Ë Ñ Ð Ö Ð Ý Ó Ù Ø Ó Ò Ò Ù Ð Ð ¹ Ó × × Û Ö Ó Ò Ø × × Ù Ö Ó Ò Ð Ý Ø
× Ý Ñ Ô Ø Ó Ø Ð Ð Ý Ö Ð Ý Ø Ñ × Ø ½
Á Ò Ó Ñ Ô Ð Ø Ò Ð Ó Ý Û Ø Õ º ´ º ¾ º ½ µ Û Ò Ò Ó Û Ò Ø Ö Ó Ù Ø Ò Û Ó Ó Ö Ò Ø ×
Í Ü Ô
Ù
¾ Ö
Ë
Î Ü Ô
Ù
¾ Ö
Ë
´ º ¾ º ¾ µ
Ø Ø Ô Ð Ý Ø Ö Ó Ð Ó Æ Ò Ô Ö Ñ Ø Ö × Ð Ó Ò Ø Ò Ó Ñ Ò Ò Ó Ù Ø Ó Ò Ò Ù Ð Ð Ó × × º Ì Ò Ý
× Ø Ö Ø Ó Ö Û Ö « Ö Ò Ø Ø Ó Ò Ó ´ º ¾ º ¾ µ Ø Ö Ù Ë Û Ö Þ × Ð Ñ Ø Ö ´ º ¾ º ¾ µ Ó Ñ ×
×
¾
Ë Û Ö Þ
Ö
¿
Ë
Ö
Ü Ô
Ö
Ö
Ë
Í ª Î ´ º ¾ º ¾ µ
Û Ö Ø Ú Ö Ð Ö Ö ´ Í Î µ × Ø Ù Ò Ø Ó Ò Ó Ø Ò Ô Ò Ò Ø Ó Ó Ö Ò Ø × Í Î Ñ Ô Ð Ø Ð Ý
Ø Ö Ñ Ò Ý Ø Ø Ö Ò × Ò Ò Ø Ð Õ Ù Ø Ó Ò
Ö · Ö
Ë
Ð Ó
Ö
Ö
Ë
½
Ö
Ë
Ð Ó ´ Í Î µ ´ º ¾ º ¿ ¼ µ
7/29/2019 Fre P. Course in General Relativity (Free Version, Lecture Notes, Web Draft, 2003)(141s)_PGr
http://slidepdf.com/reader/full/fre-p-course-in-general-relativity-free-version-lecture-notes-web-draft 121/141
Ì Ã Ö Ù × Ð Ü Ø Ò × Ó Ò Ó Ë Û Ö Þ × Ð × Ô ß Ø Ñ ½ ¾ ¼
Á Ò Ò Ð Ó Ý Û Ø Ó Ù Ö Ø Ö Ø Ñ Ò Ø Ó Ø Ê Ò Ð Ö Ø Ó Ý Ñ Ó Ð Û Ò Ñ ¬ Ò Ð Ó Ó Ö Ò Ø Ò Ø Ó
Ò Û Ú Ö Ð × Ì Ö Ð Ø Ø Ó Í Î × Ò Õ º ´ º ¾ º ½ µ º Ì × ¸ Ø Ó Ø Ö Û Ø Ø Ò Ù Ð Ö Ú Ö Ð ×
Ñ Ù Ô Ø Ã Ö Ù × Ð Ó Ó Ö Ò Ø Ô Ø Û ¸ Ô Ù Ø Ø Ò Ø Ó Ø Ö Ð Ð Ø Ò Ø Ö Ñ Ø × Ø Ô × ¸ ×
Ö Ð Ø Ø Ó Ø Ó Ö Ò Ð Ó Ó Ö Ò Ø Ô Ø Ø Ö Ý Ø Ó Ð Ð Ó Û Ò Ø Ö Ò × Ø Ó Ò Ù Ò Ø Ó Ò
Ô Ó Ð Ö
Ú Ö × Ù ×
Ã Ù × Ð
Ó Ó Ö º
Ö
Ö
Ë
½
Ü Ô
Ö
Ö
Ë
¾
Ì
¾
Ø
Ö
Ë
Ð Ó
Ì ·
Ì
¾ Ö Ø Ò
Ì
´ º ¾ º ¿ ½ µ
Á Ò Ã Ö Ù × Ð Ó Ó Ö Ò Ø × Ø Ë Û Ö Þ × Ð Ñ Ø Ö ´ º ¾ º ½ µ Ø × Ø ¬ Ò Ð Ó Ö Ñ
×
¾
Ã Ö Ù ×
Ö
¿
Ë
Ö
Ü Ô
Ö
Ö
Ë
Ì
¾
·
¾
¡
· Ö
¾
¾
· × Ò
¾
¾
¡
´ º ¾ º ¿ ¾ µ
Û Ö Ø Ö Ö ´ Ì µ × Ñ Ô Ð Ø Ð Ý Ø Ö Ñ Ò Ò Ø Ö Ñ × Ó Ì Ý Ø Ø Ö Ò × Ò Ò Ø Ð Õ Ù Ø Ó Ò ×
´ º ¾ º ¿ ½ µ º
º ¾ º ¿ Ò Ð Ý × × Ó Ø Ã Ö Ù × Ð Ü Ø Ò × Ó Ò Ó Ë Û Ö Þ × Ð × Ô ß Ø Ñ
Ä Ø Ù × Ó Ò × Ö ¬ º º
Ù Ö º º Ø Û Ó ß Ñ Ò × Ó Ò Ð Ö Ñ Ó Ã Ö Ù × Ð × Ô ß Ø Ñ
7/29/2019 Fre P. Course in General Relativity (Free Version, Lecture Notes, Web Draft, 2003)(141s)_PGr
http://slidepdf.com/reader/full/fre-p-course-in-general-relativity-free-version-lecture-notes-web-draft 122/141
Ì Ã Ö Ù × Ð Ü Ø Ò × Ó Ò Ó Ë Û Ö Þ × Ð × Ô ß Ø Ñ ½ ¾ ½
º ¾ º Å Ì À Å Ì Á È Ö Ó Ö Ñ Ñ Ò Ó Ö Ë Û Ö Þ × Ð Ö Ð Ø È Ø Ù Ö ×
Ð Ð
Ø Ó Ö Ø Ó × ß
Ð ½
Ö × Ø Ö ℄ Ö · Ä Ó Ö ¹ ½ ℄
É É Ì Ð ß Ö × Ø Ð · ¼ º ¼ ¿ ¶ Ü ℄ ¸ Ð · ¼ º ¿ ¶ Ü ¸ ß Ü ¸ ½ ¸ ½ ¼ ¼ ¼ ℄
Ò Ú Á Ò Ø Ö Ô Ó Ð Ø Ó Ò É É ℄
Ì Ò Ð Ð
Ò Ù Ð Ð Ó ß Ê Ë Ú ¸ Ù ℄ ´ Ú ¹ Ù µ » ¾ Ì Ì Ú ¸ Ù ℄ ´ Ú · Ù µ » ¾ Ú ½ ¼ º
Ú ¾ ½ Ú ¿ ½ º Ú ¹ ¼ º Ú ¹ ½ Ú ¹ ½ º Ù ¼ º Ù ½
Ù ½ º Ù ¹ ¼ º Ù ¹ ½ Ù ¹ ½ º
È Ö Ñ Ø Ö È Ð Ó Ø ß ß Ò Ú Ê Ë Ú ½ ¸ Þ ℄ ℄ ¸ Ì Ì Ú ½ ¸ Þ ℄ ¸
ß Ò Ú Ê Ë Ú ¾ ¸ Þ ℄ ℄ ¸ Ì Ì Ú ¾ ¸ Þ ℄ ¸ ß Ò Ú Ê Ë Ú ¿ ¸ Þ ℄ ℄ ¸ Ì Ì Ú ¿ ¸ Þ ℄ ¸
ß Ò Ú Ê Ë Ú ¸ Þ ℄ ℄ ¸ Ì Ì Ú ¸ Þ ℄ ¸ ß Ò Ú Ê Ë Ú ¸ Þ ℄ ℄ ¸ Ì Ì Ú ¸ Þ ℄ ¸
ß Ò Ú Ê Ë Ú ¸ Þ ℄ ℄ ¸ Ì Ì Ú ¸ Þ ℄ ¸ ß Ò Ú Ê Ë Þ ¸ Ú ½ ℄ ℄ ¸ Ì Ì Þ ¸ Ú ½ ℄ ¸
ß Ò Ú Ê Ë Þ ¸ Ú ¾ ℄ ℄ ¸ Ì Ì Þ ¸ Ú ¾ ℄ ¸ ß Ò Ú Ê Ë Þ ¸ Ú ¿ ℄ ℄ ¸ Ì Ì Þ ¸ Ú ¿ ℄ ¸
ß Ò Ú Ê Ë Þ ¸ Ú ℄ ℄ ¸ Ì Ì Þ ¸ Ú ℄ ¸ ß Ò Ú Ê Ë Þ ¸ Ú ℄ ℄ ¸ Ì Ì Þ ¸ Ú ℄ ¸
ß Ò Ú Ê Ë Þ ¸ Ú ℄ ℄ ¸ Ì Ì Þ ¸ Ú ℄ ¸ ß ½ ¸ Þ ¸
ß Þ ¸ ¹ ¿ º ¸ ¿ º ¸ Ì × ¹ Æ Ó Ò ¸
Ü × Ä Ð ¹ ß Ö ¸ Ø ¸ Ì × ¹ Æ Ó Ò ¸ × Ô Ø Ê Ø Ó ¹ ½ ¸
È Ð Ó Ø Ë Ø Ý Ð ¹
ß ß Ì Ò × × ¼ º ¼ ¼ ½ ℄ ¸ ß Ì Ò × × ¼ º ¼ ¼ ½ ℄ ¸ ß Ì Ò × × ¼ º ¼ ¼ ½ ℄ ¸
ß Ì Ò × × ¼ º ¼ ¼ ½ ℄ ¸ ß Ì Ò × × ¼ º ¼ ¼ ½ ℄ ¸ ß Ì Ò × × ¼ º ¼ ¼ ½ ℄ ¸
ß Ì Ò × × ¼ º ¼ ½ ℄ ¸ ß Ì Ò × × ¼ º ¼ ½ ℄ ¸ ß Ì Ò × × ¼ º ¼ ½ ℄ ¸
ß Ì Ò × × ¼ º ¼ ½ ℄ ¸ ß Ì Ò × × ¼ º ¼ ½ ℄ ¸ ß Ì Ò × × ¼ º ¼ ½ ℄ ¸
ß Ì Ò × × ¼ º ¼ ½ ℄ ℄
7/29/2019 Fre P. Course in General Relativity (Free Version, Lecture Notes, Web Draft, 2003)(141s)_PGr
http://slidepdf.com/reader/full/fre-p-course-in-general-relativity-free-version-lecture-notes-web-draft 123/141
Ô Ø Ö
Á Æ Ì Ê Ç Í Ì Á Ç Æ Ì Ç Ê Ä Ì Á Î Á Ë Ì Á
Ç Ë Å Ç Ä Ç
º ½ Á Ò Ø Ö Ó Ù Ø Ó Ò Ø Ó Ó × Ñ Ó Ð Ó Ý
º ¾ Ë Ø Ù Ý Ó Ô Ö Ø Ù Ð Ö Ê Ð Ø Ó × Ñ Ñ Ø Ö
Á Ò Ø × × Ø Ó Ò Û × Ø Ù Ý Ô Ö Ø Ù Ð Ö Ó × Ñ Ó Ð Ó Ð Ñ Ø Ö Û × Ê - Ø Ò Ø Ö Ó Ö Ó Ö Ö ¹
× Ô Ó Ò × Ø Ó Ò Ñ Ô Ø Ý Í Ò Ú Ö × ¸ Û Ó Û Ú Ö Ü Ô Ò × º Ì Ñ Ø Ö × Ó Ø Ó Ð Ð Ó Û Ò Ó Ö Ñ
×
¾
´ µ
´ Ø µ Ø
¾
· £ ´ Ø µ
ª
¾
¾
· ª
¾
¿
¡
· ¡ ´ Ø µ ª
¾
½
´ º ¾ º ½ µ
Û Ö Ø Ø Ö ½ ß Ó Ö Ñ × ª
Ö Ú Ò Ý
ª
½
Þ ·
Ö
¾
ª
¾
Ö Ó × · × Ò Ö
ª
¿
Ó × Ö · Ö × Ò ´ º ¾ º ¾ µ
Ì Ó Ú ½ ß Ó Ö Ñ × × Ø × Ý Ø Ó Ð Ð Ó Û Ò Ö Ø Ò Å Ù Ö Ö Õ Ù Ø Ó Ò ×
ª
½
¾
ª
¾
ª
¿
ª
¾
¼ ´ º ¾ º ¿ µ
ª
¿
¼ ´ º ¾ º µ
Ì × Ñ Ò × Ø Ø Ø Ó Ò × Ø Ò Ø Ø Ñ × Ø Ó Ò × Ó Ø × Ô ß Ø Ñ ´ º ¾ º ½ µ Ö ¿ ß Ñ Ò × Ó Ò Ð Ó Ñ Ó ¹
Ò Ó Ù × × Ô × ¸ Ò Ñ Ð Ý Ó Ô × Ó Ø Ö Ñ Ò × Ó Ò Ð Ö Ó Ù Ô Ñ Ò Ó Ð
Û Ó × Ó Ö Ö × Ô Ó Ò Ò Ä
Ð Ö × Ø Ó Ð Ð Ó Û Ò Ò Ó Ò × Ñ × Ñ Ô Ð Ó Ò
Ì
Ì
℄ Ø
Ì
Ø
½
¾ ¿
Ð Ð Ó Ø Ö Ó Ñ Ô Ó Ò Ò Ø × Ó Ø
Ú Ò × ´ º ¾ º µ
× Ó Ò Ò Ý Ö Ó Ù Ô Ñ Ò Ó Ð ¸ Ø Ö Ü × Ø Ó Ò
Ø Û Ó Ñ Ù Ø Ù Ð Ð Ý Ó Ñ Ñ Ù Ø Ò × Ø × Ó Ú Ø Ó Ö ¬ Ð × Ø Ø
× Ô Ö Ø Ð Ý × Ø × Ý Ø Ä Ð Ö Ó Ø Ö Ó Ù Ô ¸ Ø Ò Ö Ø Ó Ö × Ó Ø Ð Ø Ø Ö Ò × Ð Ø Ó Ò × Ò Ø
Ò Ö Ø Ó Ö × Ó Ø Ö Ø Ø Ö Ò × Ð Ø Ó Ò × º Ä Ø Ù × Ö Ø Ø Ø ½ ß Ó Ö Ñ × ´ º ¾ º ¾ µ Ö Ð Ø Ò Ú Ö Ò Ø º Ì Ò
½ ¾ ¾
7/29/2019 Fre P. Course in General Relativity (Free Version, Lecture Notes, Web Draft, 2003)(141s)_PGr
http://slidepdf.com/reader/full/fre-p-course-in-general-relativity-free-version-lecture-notes-web-draft 124/141
Ë Ø Ù Ý Ó Ô Ö Ø Ù Ð Ö Ê Ð Ø Ó × Ñ Ñ Ø Ö ½ ¾ ¿
Ù Ö º ½ º È Ó Ö Ø Ö Ø Ó Ë Ö Ï Ð Ð Ñ À Ö × Ð ´ ½ ¿ ¹ ½ ¾ ¾ µ Ê Ó Ý Ð × Ø Ö Ó Ò Ó Ñ Ð Ë Ó Ø Ý º È Ö Ó Ð Ý Ø
Ñ Ó × Ø Ñ Ó Ù × × Ø Ö Ó Ò Ó Ñ Ö Ó Ø ½ Ø Ò Ø Ù Ö Ý ¸ Ë Ö Ï Ð Ð Ñ À Ö × Ð × Ó Ú Ö ¸ Ò Ø Ó Ò Ø Ó Ø Ô Ð Ò Ø
Í Ö Ò Ù × ¸ Ñ Ò Ý Ò Û Ò Ù Ð ¸ Ð Ù × Ø Ö × Ó × Ø Ö × Ò Ò Ö Ý × Ø Ö × º À Û × Ø ¬ Ö × Ø Ô Ö × Ó Ò Ø Ó Ó Ö Ö Ø Ð Ý
× Ö Ø Ó Ö Ñ Ó Ó Ù Ö Ð Ü Ý ¸ Ì Å Ð Ý Ï Ý º
Ø Ø Ö Ô Ð Ø Ó Ú Ø Ó Ö ¬ Ð × Ø Ø Ò Ö Ø Ð Ø Ø Ö Ò × Ð Ø Ó Ò ×
Û Ð Ð × Ù Ø Ø Ø Ý × Ø × Ý Ø Ä
Ð Ö ´ º ¾ º µ Ò Ø Ä Ö Ú Ø Ú Ó Ø ª
Ð Ó Ò Ø Ñ Ú Ò × × º
Ø
´ º ¾ º µ
ª
¼ ´ º ¾ º µ
Ì Ü Ô Ð Ø Ó Ö Ñ Ó × Ù Ú Ø Ó Ö ¬ Ð × × Ø Ó Ð Ð Ó Û Ò Ó Ò
½
Þ
½
¾
Ô
× Ò
Ö
·
¾
Ô
Ö
Ó ×
·
Ô
¾
Ö Ó ×
Þ
¾
¾
Ô
Ó ×
Ö
·
¾
Ô
Ö
× Ò
·
Ô
¾
Ö × Ò
Þ
´ º ¾ º µ
7/29/2019 Fre P. Course in General Relativity (Free Version, Lecture Notes, Web Draft, 2003)(141s)_PGr
http://slidepdf.com/reader/full/fre-p-course-in-general-relativity-free-version-lecture-notes-web-draft 125/141
Ë Ø Ù Ý Ó Ô Ö Ø Ù Ð Ö Ê Ð Ø Ó × Ñ Ñ Ø Ö ½ ¾
Ù Ö º ¾ º Ì × Ñ Û × Ó Ø Ò Ö Ó Ñ Ø Ì ´ Ò Ð Ó Ù × Ø Ö Ð Ò Ç × Ö Ú Ø Ó Ö Ý µ Ò × Ó Û × Ø
Ò Ø Ö Ð Ö Ó Ò Ó Ó Ù Ö Å Ð Ý Ï Ý Ð Ü Ý ¸ × Ø Ù Ø Ò Ó Ò × Ø Ð Ð Ø Ó Ò Ë Ø Ø Ö Ù × ¸ Ù Ø Ò Ö Ø Ø Ö Ò Ð Û Ø
Ë Ó Ö Ô Ù × Ò Ç Ô Ù Ù × º
Ò Ù × Ó Õ Ù Ø Ó Ò ´ º ¾ º µ Ø Ý Ö Ã Ð Ð Ò Ú Ø Ó Ö × Ó Ø ß Ñ Ò × Ó Ò Ð Ñ Ø Ö ´ º ¾ º ½ µ º Ì ×
Ø Ö Ö Ò Ó Ø Ø Ó Ò Ð Ý Ã Ð Ð Ò Ú Ø Ó Ö × º Ì Ö × Ó Ù Ö Ø Ó Ò Ò Ö Ø Ò Ç ´ ¾ µ Ö Ó Ø Ø Ó Ò × ¸ Ò Ñ Ð Ý
Ç
´ º ¾ º µ
Ì Ä Ö Ú Ø Ú × Ó Ø ½ ß Ó Ö Ñ × ª
Ö Ò Ó Ø Ð Ð Þ Ö Ó Ð Ó Ò
Ç
¸ × Ò Û Ú
Ç
ª
½
¼
Ç
ª
¾
ª
¿
Ç
ª
¿
ª
¾
´ º ¾ º ½ ¼ µ
Û Ñ Ò × Ø Ø Ù Ò Ö Ç ´ ¾ µ Ø Ø Ö ª
Ö Ö Ò Ò Ø Ó × Ò Ð Ø Ò Ò Ø Ó Ó Ù Ð Ø º Ø
Ç
×
Ã Ð Ð Ò Ú Ø Ó Ö Ó Ö ´ º ¾ º ½ µ ¸ × Ò Ø × Ñ Ø Ö × Û Ö Ø Ø Ò Ò Ø Ö Ñ × Ó Ç ´ ¾ µ Ò Ú Ö Ò Ø × º
Ò Ð Ø Ö Ò Ø Ú Û Ý Ó Û Ö Ø Ò Ø Ñ Ø Ö ´ º ¾ º ½ µ Ù × × Ö Ø × Ò Ó Ó Ö Ò Ø × ¸ Ø Ö Ó Ù Ø
× Ø Ò Ö Ò Ó Ú Ö Ð ×
Ü Ö Ó × Ý Ö × Ò ´ º ¾ º ½ ½ µ
Á Ò Ø × Ó Ó Ö Ò Ø × ´ º ¾ º ½ µ Ö ×
×
¾
´ µ
´ Ø µ Ø
¾
· £ ´ Ø µ
Ü
¾
· Ý
¾
¡
· ¡ ´ Ø µ
Þ ·
´ Ü Ý Ý Ü µ
¾
´ º ¾ º ½ ¾ µ
Ò Ø Ó Ù Ö Ð Ð Ò Ú Ø Ó Ö × Ø Ø Ú Ö Ý × Ñ Ô Ð Ó Ö Ñ
½
Þ
½
Ü
Ý
Þ
7/29/2019 Fre P. Course in General Relativity (Free Version, Lecture Notes, Web Draft, 2003)(141s)_PGr
http://slidepdf.com/reader/full/fre-p-course-in-general-relativity-free-version-lecture-notes-web-draft 126/141
Ë Ø Ù Ý Ó Ô Ö Ø Ù Ð Ö Ê Ð Ø Ó × Ñ Ñ Ø Ö ½ ¾
¾
Ý
·
Ü
Þ
Ç
Ü
Ý
· Ý
Ü
´ º ¾ º ½ ¿ µ
Û Û Ð Ð Ú Ö Ý Ù × Ù Ð Ò Ó Ù Ö × Ù × Õ Ù Ò Ø × Ù × × Ó Ò Ó Ó × × º
º ¾ º ½ Ò × Ø Ò Õ Ù Ø Ó Ò Ò Ñ Ø Ø Ö
Ï × Ø Ù Ý Ù Ò Ö Û Ó Ò Ø Ó Ò × Ø Ñ Ø Ö ´ º ¾ º ½ × × Ó Ð Ù Ø Ó Ò Ó Ò × Ø Ò ¬ Ð Õ Ù Ø Ó Ò × º Ì Ó
Ø × « Ø Û Ù × Ø Ú Ð Ò Ó Ö Ñ Ð × Ñ Ò Û Û Ö Ø Ø Ú Ö Ò × Ó Ð Ð Ó Û ×
¼
Ô
´ Ø µ Ø
½
Ô
¡ ´ Ø µ ª
½
¾ ¿
Ô
£ ´ Ø µ ª
¾ ¿
´ º ¾ º ½ µ
Ï Ò Ñ Ñ Ø Ð Ý Ð Ù Ð Ø Ø × Ô Ò Ó Ò Ò Ø Ó Ò Ö Ó Ñ Ø Ú Ò × Ò Ø Ó Ö × Ó Ò Õ Ù Ø Ó Ò
·
¼ ´ º ¾ º ½ µ
Û Ö Ó Ö Ø - Ø Ñ Ø Ö Û Ú Ù × Ø Ñ Ó × Ø Ð Ý Ô Ð Ù × Ó Ò Ú Ò Ø Ó Ò
· · · ´ º ¾ º ½ µ
Ï Ó Ø Ò Ø Ó Ð Ð Ó Û Ò Ö × Ù Ð Ø Ó Ö Ø × Ô Ò Ó Ò Ò Ø Ó Ò
¼ ½
¡
¾
Ô
¡
½
¼ ¾
£
¾
Ô
£
¾
¼ ¿
£
¾
Ô
£
¿
½ ¾
¡
£
¿
½ ¿
¡
£
¾
¾ ¿
¡
£
½
´ º ¾ º ½ µ
Û Ò Ù × Ø Ó Ð Ù Ð Ø Ø Ù Ö Ú Ø Ù Ö ¾ ß Ó Ö Ñ Ò Ø Ê Ø Ò × Ó Ö Ö Ó Ñ Ø × Ø Ò Ö
Ó Ö Ñ Ù Ð
Ê
·
Ê
Ê
Ê
´ º ¾ º ½ µ
Ì Ê Ø Ò × Ó Ö Ø Ù Ö Ò × Ó Ù Ø Ø Ó Ó Ò Ð Ò × Ø Ó Ð Ð Ó Û Ò Ò Ú Ð Ù ×
Ê
¼ ¼
¼
´ Ø µ ¡
¼
´ Ø µ
´ Ø µ
¾
¡ ´ Ø µ
·
¡
¼
´ Ø µ
¾
´ Ø µ ¡ ´ Ø µ
¾
·
¼
´ Ø µ £
¼
´ Ø µ
´ Ø µ
¾
£ ´ Ø µ
·
£
¼
´ Ø µ
¾
´ Ø µ £ ´ Ø µ
¾
¡
¼ ¼
´ Ø µ
´ Ø µ ¡ ´ Ø µ
£
¼ ¼
´ Ø µ
¾ ´ Ø µ £ ´ Ø µ
Ê
½ ½
¾
¡ ´ Ø µ
½ £ ´ Ø µ
¾
¼
´ Ø µ ¡
¼
´ Ø µ
´ Ø µ
¾
¡ ´ Ø µ
¡
¼
´ Ø µ
¾
´ Ø µ ¡ ´ Ø µ
¾
·
¡
¼
´ Ø µ £
¼
´ Ø µ
´ Ø µ ¡ ´ Ø µ £ ´ Ø µ
·
¡
¼ ¼
´ Ø µ
´ Ø µ ¡ ´ Ø µ
Ê
¾ ¾
Ê
¿ ¿
Ê
¿ ¿
¾
¡ ´ Ø µ
¡
½ £ ´ Ø µ
¾
¼
´ Ø µ £
¼
´ Ø µ
´ Ø µ
¾
£ ´ Ø µ
·
¡
¼
´ Ø µ £
¼
´ Ø µ
´ Ø µ ¡ ´ Ø µ £ ´ Ø µ
·
£
¼ ¼
´ Ø µ
´ Ø µ £ ´ Ø µ
´ º ¾ º ½ µ
Ï Ø Ð Ø Ø Ð Ñ Ó Ö « Ó Ö Ø Û Ò Ð Ù Ð Ø Ø Ò × Ø Ò Ø Ò × Ó Ö ¬ Ò Ý
Ê
½
¾
Ê
Ê
Ê
´ º ¾ º ¾ ¼ µ
7/29/2019 Fre P. Course in General Relativity (Free Version, Lecture Notes, Web Draft, 2003)(141s)_PGr
http://slidepdf.com/reader/full/fre-p-course-in-general-relativity-free-version-lecture-notes-web-draft 127/141
Ë Ø Ù Ý Ó Ô Ö Ø Ù Ð Ö Ê Ð Ø Ó × Ñ Ñ Ø Ö ½ ¾
Ò Û Ó Ø Ò Ó Ò Ð Ø Ò × Ó Ö Û Ø Ø Ó Ð Ð Ó Û Ò Ò Ú Ð Ù ×
¼ ¼
¾
¡ ´ Ø µ
¡
¿ ¾ £ ´ Ø µ
¾
·
¡
¼
´ Ø µ £
¼
´ Ø µ
´ Ø µ ¡ ´ Ø µ £ ´ Ø µ
·
£
¼
´ Ø µ
¾
´ Ø µ £ ´ Ø µ
¾
½ ½
¿
¾
¡ ´ Ø µ
¿ ¾ £ ´ Ø µ
¾
·
¼
´ Ø µ £
¼
´ Ø µ
´ Ø µ
¾
£ ´ Ø µ
·
£
¼
´ Ø µ
¾
´ Ø µ £ ´ Ø µ
¾
£
¼ ¼
´ Ø µ
¾ ´ Ø µ £ ´ Ø µ
¾ ¾
¿ ¿
¿ ¿
¾
¡ ´ Ø µ
¡
¿ ¾ £ ´ Ø µ
¾
·
¼
´ Ø µ ¡
¼
´ Ø µ
´ Ø µ
¾
¡ ´ Ø µ
·
¡
¼
´ Ø µ
¾
´ Ø µ ¡ ´ Ø µ
¾
·
¼
´ Ø µ £
¼
´ Ø µ
´ Ø µ
¾
£ ´ Ø µ
¡
¼
´ Ø µ £
¼
´ Ø µ
´ Ø µ ¡ ´ Ø µ £ ´ Ø µ
·
£
¼
´ Ø µ
¾
´ Ø µ £ ´ Ø µ
¾
¡
¼ ¼
´ Ø µ
´ Ø µ ¡ ´ Ø µ
£
¼ ¼
´ Ø µ
´ Ø µ £ ´ Ø µ
´ º ¾ º ¾ ½ µ
Á Ø × Ö Ñ Ö Ð Ø Ø Ø Û Ò Ó Ø Ò Ò Ü Ø × Ó Ð Ù Ø Ó Ò Ó Ø Ú Ó Ð Ù Ø Ó Ò Õ Ù Ø Ó Ò × Ò Ø
× Ò Ó Ò Ý Ñ Ø Ø Ö Ó Ò Ø Ò Ø º Ï Ø Û Ø × Ò Ñ Ô Ø Ý Ê - Ø Í Ò Ú Ö × Û Ø Ö Ø Ö Ô Ù Ð Ö
Ô Ö Ó Ô Ö Ø × º Á Ñ Ô Ó × Ò Ø Ø Ø Ê Ø Ò × Ó Ö ´ º ¾ º ½ µ Ú Ò × × ´ Ò Ò Ð × Ó Ø Ò × Ø Ò Ø Ò × Ó Ö
´ º ¾ º ¾ ½ µ Û Ø « Ö Ò Ø Ð Õ Ù Ø Ó Ò × Ó Ö £ ´ Ø µ ¸ ¡ ´ Ø µ Ò ´ Ø µ Ø Ø Ö Ü Ø Ð Ý × Ó Ð Ú Ý Ø
Ó Ð Ð Ó Û Ò Ó Ó Ø Ö Ò × Ò Ò Ø Ð Ù Ò Ø Ó Ò ×
´ Ø µ Ü Ô Ø ℄ Ó ×
Ø
¾
£ ´ Ø µ Ü Ô
Ø
¾
℄ Ó ×
Ø
¾
¡ ´ Ø µ
½
Ó ×
¢
Ø
¾
£
´ º ¾ º ¾ ¾ µ
Á Ò Ó Ö Ö Ø Ó Û Ö Ø Ø Ñ Ø Ö Ò × Ø Ò Ö Ó × Ñ Ó Ð Ó Ð Ó Ö Ñ Û Ò Ø Ó Ö ¬ Ò Ø Ø Ñ Ú Ö Ð
Ý × Ø Ø Ò
Ô
´ Ø µ Ø ´ º ¾ º ¾ ¿ µ
× Ó Ø Ø Ò Ø Ò Û Ó × Ñ Ø Ñ Ú Ö Ð Õ º ´ º ¾ º ½ µ Ó Ñ ×
×
¾
´ µ
¾
· £ ´ µ
ª
¾
¾
· ª
¾
¿
¡
· ¡ ´ µ ª
¾
½
´ º ¾ º ¾ µ
Õ Ù Ø Ó Ò ´ º ¾ º ¾ ¿ µ Ò Ü Ø Ð Ý Ò Ø Ö Ø Ò Ø Ö Ñ × Ó Ý Ô Ö Ó Ñ Ø Ö Ù Ò Ø Ó Ò × º Ï Ó Ø Ò
´ Ø µ
¾
Ô
¾
¿
Ü Ô
Ø
Ô
½ · Ü Ô ℄ · ¾
¾
½
¢
½
½
¾
Ü Ô Ø ℄
£
´ º ¾ º ¾ µ
Ð Ø Ó Ù Ò Ú Ö Ø Ò Õ º ´ º ¾ º ¾ µ × Ò Ó Ø Ò Ð Ý Ø Ð Ð Ý Ô Ó × × Ð ¸ Ý Ø Ø × Ù Æ × Ø Ó Ô Ð Ó Ø Ø Ú Ó Ù Ö
Ó Ø × Ð Ø Ó Ö × £ Ò Ð Ø × Ù Ò Ø Ó Ò × Ó Ø Ó × Ñ Ø Ñ º Ì × Ú Ó Ù Ö × × Ó Û Ò Ò
× Ú Ö Ð Ö Ô × º Á Ò ¬ Ù Ö º ¿ Û × Ø Ú Ó Ù Ö Ó Ø × Ð Ø Ó Ö × Ó Ö Ú Ö Ý Ö Ð Ý Ø Ñ × º
Ì Ö Ð Ý ¬ Ò Ø Ú Ó Ù Ö Ó Ø × Ð Ø Ó Ö × × Ú Ö Ý Ñ Ô Ó Ö Ø Ò Ø Ó Ò × Õ Ù Ò º Ì × × Ô ¹
Ø Ñ × Ò Ó Ò Ø Ð × Ò Ù Ð Ö Ø Ý º Á Ò Ó Ö ¼ Ø Ù Ö Ú Ø Ù Ö ¾ ß Ó Ö Ñ × Ô Ö Ø Ð Ý Û Ð Ð Ú
Ò Ø Ò × Ø Ó Ø Ó Ð Ð Ó Û Ò ¬ Ò Ø Ð Ñ Ø
Ê
¼ ½
½
¾
¾
¿
Ê
¼ ¾
½
½
¿
Ê
¼ ¿
½
½
¾
Ê
½ ¾
¼ Ê
½ ¿
¼ Ê
¾ ¿
½
¾
¼
½
´ º ¾ º ¾ µ
7/29/2019 Fre P. Course in General Relativity (Free Version, Lecture Notes, Web Draft, 2003)(141s)_PGr
http://slidepdf.com/reader/full/fre-p-course-in-general-relativity-free-version-lecture-notes-web-draft 128/141
Ë Ø Ù Ý Ó Ô Ö Ø Ù Ð Ö Ê Ð Ø Ó × Ñ Ñ Ø Ö ½ ¾
1 2 3 4 5 6 7time
0.25
0.5
0.75
1
1.25
1.5
1.75
scale_factor
Ù Ö º ¿ º Ú Ó Ð Ù Ø Ó Ò Ó Ø Ó × Ñ Ó Ð Ó Ð × Ð Ø Ó Ö × £ ´ Ø µ ´ Ø Ð Ò µ Ò ¡ ´ Ø µ ´ Ø Ò Ð Ò µ Ó Ö Ú Ö Ý
Ö Ð Ý Ø Ñ × ¸ Û Ò Ø Í Ò Ú Ö × × Ú Ö Ý Ý Ó Ù Ò º £ × Ø Ö Ø × Ø ¬ Ò Ø Ú Ð Ù ¼ Ò Ð Û Ý × Ö Ó Û × ¸ Û Ð ¡
× Ø Ö Ø × Ø Þ Ö Ó ¸ Ö Ó Û × Ó Ö × Ó Ñ Ø Ñ Ù Ô Ø Ó Ø Ñ Ü Ñ Ù Ñ Ú Ð Ù ½ Ò Ø Ò × Ø Ö Ø × Ö × Ò
Á Ò ¬ º º Û × Ø Ú Ó Ð Ù Ø Ó Ò Ó Ø ¡ × Ð Ø Ó Ö Ó Ö Ð Ø Ø Ñ × Ù × Ø Ø Ö Ö Ò Ø × Ñ Ü Ñ Ù Ñ º
× Û × Ø Ö Ô Ð Ý Ò Ü Ô Ó Ò Ò Ø Ð Ð Ý Ø Ò × Ø Ó Þ Ö Ó º
Á Ò ¬ º ´ º µ Û × Ò × Ø Ø Ú Ö Ý Ð Ø Ø Ñ Ú Ó Ù Ö Ó Ø × Ð Ø Ó Ö £ º Ø × Ý Ñ Ô Ø Ó Ø Ð Ð Ý
Ð Ø Ø Ñ × Ø × × Ð Ø Ó Ö Ö Ó Û × × Ô Ó Û Ö Ó Ø Ñ Û × × Ð Ø Ð Ý × Ñ Ð Ð Ö Ø Ò Ó Ò º
Ï Ò × Ù Ñ Ñ Ö Þ Ý × Ý Ò Ø Ø Ø × Ù Ò Ò Ý Ó Ñ Ó Ò Ó Ù × Ù Ø Ò Ó Ø × Ó Ø Ö Ó Ô Í Ò Ú Ö × ¸ Û
× Ñ Ô Ø Ý Ó Ñ Ø Ø Ö ¸ × Ù Ö Ó Ù × × Ø Ó Ö Ý º Á Ø × Ò Ó Ò Ø Ð × Ò Ù Ð Ö Ø Ý Ù Ø Ø × Ó Ö Ò ¬ Ò Ø ¸ × Ñ Ð Ð
Ò × × Ò Ø Ð Ð Ý Ø Û Ó ß Ñ Ò × Ó Ò Ð º Á Ø Ò × Ø Ó Ü Ô Ò Ò Ø Ø Ö Ñ Ò × Ó Ò × Ø Ö Ø × Ø Ó Ú Ð Ó Ô º
Á Ø Ö × × Ø Ø Û Ò Ø × « Ø Ú Ð Ý Ø Ö ß Ñ Ò × Ó Ò Ð ¸ Ð Ø Ó Ù × Ø Ð Ð Ú Ö Ý × Ñ Ð Ð ¸ Ø Ø Û Ó × Ð
Ø Ó Ö × Ò Ó Õ Ù Ð × Þ º Ì Ò Ø Ø Ö Ñ Ò × Ó Ò Ö Ô Ð Ý × Õ Ù Þ × Ò Ø Í Ò Ú Ö × Ó Ñ ×
Ò « Ø Ú Ð Ý Ø Û Ó Ñ Ò × Ó Ò Ð Ö Ó Û Ò Ñ Ó Ò Ó Ø Ó Ò Ó Ù × Ð Ý Ð Ö Ò Ø Ø Û Ó Ñ Ò × Ó Ò × Ò Û Ø
Û × Ó Ö Ò º
7/29/2019 Fre P. Course in General Relativity (Free Version, Lecture Notes, Web Draft, 2003)(141s)_PGr
http://slidepdf.com/reader/full/fre-p-course-in-general-relativity-free-version-lecture-notes-web-draft 129/141
Ë Ø Ù Ý Ó Ô Ö Ø Ù Ð Ö Ê Ð Ø Ó × Ñ Ñ Ø Ö ½ ¾
100 200time
Delta
Ù Ö º º Ú Ó Ð Ù Ø Ó Ò Ó Ø Ó × Ñ Ó Ð Ó Ð × Ð Ø Ó Ö ¡ ´ Ø µ Ó Ö Ð Ø Ø Ñ × ¸ Û Ò Ø Í Ò Ú Ö × Ö Ó Û × Ó Ð º
¡ Ø Ò × Ü Ô Ó Ò Ò Ø Ð Ð Ý Ø Ó Þ Ö Ó
º ¾ º ¾ Ì × Ñ Ò × Ó Ø Ö Ó Ô Í Ò Ú Ö × Û Ø × Ó Ñ Ñ Ø Ø Ö Û Ø × Ó Ñ Ñ Ø Ø Ö Ó Ò Ø Ò Ø
Ï Ò ¬ Ò Ò Ü Ø × Ó Ð Ù Ø Ó Ò Ó Ø Ò × Ø Ò Õ Ù Ø Ó Ò × Ó Ö Ø Ó Ú Ó Ñ Ó Ò Ó Ù × Ù Ø Ò × Ó Ø Ö Ó Ô
Í Ò Ú Ö × Û × Ó Ñ Ñ Ø Ø Ö Ó Ò Ø Ò Ø º Á Ò Ó Ö Ö Ø Ó Û Ö Ø Ø Ò × Ø Ò « Ö Ò Ø Ð Õ Ù Ø Ó Ò × Ò
Ø × × ¸ Û × Ø Ð Ð Ò Ø Ó Ó Ò × Ö Ø × Ø Ö Ù Ø Ù Ö Ó Ø × Ø Ö × × Ò Ö Ý Ø Ò × Ó Ö º × Ù × Ù Ð ¸ Ò Ù Ö Ú
Ò × Ø × × Ú Ò Ý
½
Ì
Í
Í
· Ô ´ Í
Í
·
µ ´ º ¾ º ¾ µ
Û Ö × Ø Ò Ö Ý Ò × Ø Ý ¸ Ô Ø Ô Ö × × Ù Ö Ò Í
Ø Ó Ù Ö ¹ Ú Ð Ó Ø Ý ¬ Ð Ó Ø - Ù Ó Ù Ø Ó
Û Û × × Ù Ñ Ø Í Ò Ú Ö × Ø Ó Ñ Ó º Á Ò Ò × Ó Ø Ö Ó Ô Ò Ó Ñ Ó Ò Ó Ù × Í Ò Ú Ö × Ø × - Ù
× × × Ù Ñ Ø Ó Ó Ñ Ó Ú Ò º Ñ Ð Ý ¸ Ù × Ø × Û Ò Ø × Ó × Ø Ð Ð Ö Õ Ù Ð Ö Ù Ñ Û × × Ù Ñ
½
Á Ò Ø Ñ Ó × Ø Ð Ý Ñ Ò Ù × Ó Ò Ú Ò Ø Ó Ò × Û Ú ×
¾
Ü
ª Ü
Ò
Í
Í
½
7/29/2019 Fre P. Course in General Relativity (Free Version, Lecture Notes, Web Draft, 2003)(141s)_PGr
http://slidepdf.com/reader/full/fre-p-course-in-general-relativity-free-version-lecture-notes-web-draft 130/141
Ë Ø Ù Ý Ó Ô Ö Ø Ù Ð Ö Ê Ð Ø Ó × Ñ Ñ Ø Ö ½ ¾
-1 1 2 3 4Log of time
1
2
3
Log of Lambda
Ù Ö º º Ú Ó Ð Ù Ø Ó Ò Ó Ø Ó × Ñ Ó Ð Ó Ð × Ð Ø Ó Ö £ ´ Ø µ Ó Ö Ú Ö Ý Ð Ø Ø Ñ × º Ý Ò Ó Û ¡ × × × Ò Ø Ð Ð Ý
Þ Ö Ó Ù Ø £ Ó Ò Ø Ò Ù × Ø Ó Ö Ó Û Ò Ò ¬ Ò Ø Ð Ý Ò Ø Ñ Û Ø Ô Ó Û Ö Ð Û º Ì Ö Ô Ô Ð Ó Ø × Ø Ð Ó Ö Ø Ñ
Ó × Ð Ø Ó Ö Ò × Ø Ø Ð Ó Ö Ø Ñ Ó Ø Ñ Ò Û × Ò Ð Ñ Ó × Ø Ô Ö Ø × Ø Ö Ø Ð Ò
Ø Ø Ø Ú Ð Ó Ø Ý ¬ Ð × Ó Ö Ø Ó Ó Ò Ð Ø Ó Ø Ó Ò × Ø Ò Ø Ø Ñ × Ð × Ó × Ô ß Ø Ñ Ó Ö Õ Ù Ú Ð Ò Ø Ð Ý Ø Ø
Ø × Ú Ò × Ò × Ð Ö Ô Ö Ó Ù Ø Û Ø Ð Ð Ø × Ü × Ô ß Ð Ã Ð Ð Ò Ú Ø Ó Ö ×
Í
¼ ´ º ¾ º ¾ µ
Á Ò Ó Ù Ö Ó × Ò Ó Ó Ö Ò Ø × Ý × Ø Ñ Ø × Ñ Ò × Í ´ ½ ¼ ¼ ¼ µ º Å Ó Ö Ò Ø Ö Ò × Ð Ð Ý Û Ò Ù × Ø × Ø Ø
Ø Ø Ò - Ø Ó Ó Ö Ò Ø × Ø × Ø Ö × × Ò Ö Ý Ø Ò × Ó Ö × Ø Ó Ð Ð Ó Û Ò Ó Ò Ð Ó Ö Ñ
Ì
¼
´ Ø µ ¼ ¼ ¼
¼ Ô ´ Ø µ ¼ ¼
¼ ¼ Ô ´ Ø µ ¼
¼ ¼ ¼ Ô ´ Ø µ
½
´ º ¾ º ¾ µ
7/29/2019 Fre P. Course in General Relativity (Free Version, Lecture Notes, Web Draft, 2003)(141s)_PGr
http://slidepdf.com/reader/full/fre-p-course-in-general-relativity-free-version-lecture-notes-web-draft 131/141
Ë Ø Ù Ý Ó Ô Ö Ø Ù Ð Ö Ê Ð Ø Ó × Ñ Ñ Ø Ö ½ ¿ ¼
Á Ø × Ú Ö Ý Ò × Ø Ö Ù Ø Ú Ò Ó Ø Ó Ù Ø Ñ Ó × Ø Ö Ð Ú Ò Ø Ó Ð Ù Ð Ø Ø Ü Ø Ö Ó Ö Ó Ú Ö Ò Ø Ö Ú Ø Ú
Ó Ø Ó Ú Ø Ò × Ó Ö Ù × Ò Ø × Ô Ò Ó Ò Ò Ø Ó Ò × Ø Ö Ñ Ò Ò Õ º ´ º ¾ º ½ µ º Ï Ø
Ö Ì
Ì
·
Ì
·
Ì
¼
½
¼
´ Ø µ
¾
´ Ô ´ Ø µ · ´ Ø µ µ ¡
¼
´ µ
¾
Ô
´ µ ¡ ´ µ
¿
´ Ô ´ Ø µ · ´ Ø µ µ £
¼
´ µ
¾
Ô
´ µ £ ´ µ
´ Ô ´ Ø µ · ´ Ø µ µ £
¼
´ µ
¾
Ô
´ µ £ ´ µ
¾
´ Ô ´ Ø µ · ´ Ø µ µ ¡
¼
´ µ
¾
Ô
´ µ ¡ ´ µ
½
Ô
¼
´ Ø µ ¼ ¼
¿
´ Ô ´ Ø µ · ´ Ø µ µ £
¼
´ µ
¾
Ô
´ µ £ ´ µ
¼
½
Ô
¼
´ Ø µ ¼
´ Ô ´ Ø µ · ´ Ø µ µ £
¼
´ µ
¾
Ô
´ µ £ ´ µ
¼ ¼
½
Ô
¼
´ Ø µ
½
´ º ¾ º ¿ ¼ µ
Ì Ò Û Ò × Ð Ý Ð Ù Ð Ø Ø Ú Ö Ò Ó Ø × Ø Ö × × ß Ò Ö Ý Ø Ò × Ó Ö ¸ Ó Ø Ò Ò
Ì
¼
´ Ô ´ Ø µ · ´ Ø µ µ ´ £ ´ µ ¡
¼
´ µ · ¾ ¡ ´ µ £
¼
´ µ µ
¾
Ô
´ µ ¡ ´ µ £ ´ µ
·
¼
´ Ø µ ¼ ´ º ¾ º ¿ ½ µ
Ì
¼ ´ ½ ¿ µ ´ º ¾ º ¿ ¾ µ
Õ º ´ º ¾ º ¿ ½ µ × Ó Ò × Ö Ú Ø Ó Ò Õ Ù Ø Ó Ò Ø Ø Ò × Ð Ý Ò Ø Ö Ø Ó Ò Ó Ò Ò Ó Û × Ø Õ Ù Ø Ó Ò
Ó × Ø Ø ¸ Ò Ñ Ð Ý Ø Ö Ð Ø Ó Ò Ø Û Ò Ô Ö × × Ù Ö Ò Ò Ö Ý Ò × Ø Ý
Ô ´ ± µ ´ º ¾ º ¿ ¿ µ
Ì Õ Ù Ø Ó Ò Ó × Ø Ø Ö Ø Ö Þ × Ø Ø Ý Ô Ó - Ù Û × ¬ Ð Ð Ò Ù Ô Ø Ù Ò Ú Ö × º Á Ò Ø
Ô Ö × Ò Ø Ò × Ó Ø Ö Ó Ô × Û Ö Ð Ø Ó ¬ Ò Ò Ü Ø × Ó Ð Ù Ø Ó Ò Ó Ò × Ø Ò ¬ Ð Õ Ù Ø Ó Ò × Ý Ù × Ò
Ø Õ Ù Ø Ó Ò Ó × Ø Ø Ó Ö × Ð Ö ¬ Ð º Ì × × Ø × Ñ Ô Ð Ö Ð Ø Ó Ò
Ô ´ º ¾ º ¿ µ
Ì Ó × Ø Ø Ø × Ø Õ Ù Ø Ó Ò Ó × Ø Ø Ó Ö × Ð Ö ¬ Ð ¸ Ø × Ù Æ × Ø Ó Ð Ù Ð Ø Ø × Ø Ö × × Ò Ö Ý
Ø Ò × Ó Ö Ó × Ù ¬ Ð ¸ × × Ù Ñ Ò Ø Ø Ø Ô Ò × Ó Ò Ð Ý Ó Ò Ø Ñ º Ö Ó Ñ Ø Ò Ö Ð Ó Ö Ñ Ù Ð
Ì
´ × Ð µ
½
¾
´ º ¾ º ¿ µ
Û Ø Ó × Ñ Ó Ð Ó Ð Ñ Ø Ö Ó Ø Ý Ô ×
¾
¼ ¼
Ø
¾
·
Ü
Ü
¸ Û Ø
Ì
¼ ¼
½
¾
¾
Ì
½
¾
¼ ¼
¾
´ º ¾ º ¿ µ
Ò Ó Ñ Ô Ö Ò Û Ø Õ Ù Ø Ó Ò ´ º º µ Û Ò Ø Ý
½
¾
¾
¼ ¼
Ô
½
¾
¾
¼ ¼
´ º ¾ º ¿ µ
Û Ñ Ô Ð × Ø Õ Ù Ø Ó Ò Ó × Ø Ø ´ º ¾ º ¿ µ º Ë Ù × Ø Ø Ù Ø Ò × Ù Ö Ð Ø Ó Ò Ò Ø Ó Ø Ó Ò × Ö Ú Ø Ó Ò
Õ Ù Ø Ó Ò ´ º ¾ º ¿ ½ µ Û Ó Ø Ò Ø Ó Ð Ð Ó Û Ò « Ö Ò Ø Ð Ö Ð Ø Ó Ò
´ Ø µ ¡
¼
´ µ
Ô
´ µ ¡ ´ µ
·
¾ ´ Ø µ £
¼
´ µ
Ô
´ µ £ ´ µ
·
¼
´ Ø µ ¼ ´ º ¾ º ¿ µ
Û × Ñ Ñ Ø Ð Ý Ò Ø Ö Ø Ø Ó
´ Ø µ
Ó × Ø
£ ´ Ø µ
¾
¡ ´ Ø µ
´ º ¾ º ¿ µ
7/29/2019 Fre P. Course in General Relativity (Free Version, Lecture Notes, Web Draft, 2003)(141s)_PGr
http://slidepdf.com/reader/full/fre-p-course-in-general-relativity-free-version-lecture-notes-web-draft 132/141
Ì Ó × × Ò Ø Ô Ö Ø Ð Ó Ö Þ Ó Ò × ½ ¿ ½
º ¿ Ì Ó × × Ò Ø Ô Ö Ø Ð Ó Ö Þ Ó Ò ×
º Á × Ó Ø Ö Ó Ô Ò Ó Ñ Ó Ò Ó Ù × Ñ Ø Ö ×
Ä Ø Ù × Ò Ó Û Ó Ò × Ö Ø × Û Ö Ø Ó × Ñ Ó Ð Ó Ð Ò Ø Ñ Ø Ö × Ò Ó Ø Ó Ò Ð Ý Ó Ñ Ó Ò Ó Ù ×
Ù Ø Ð × Ó × Ó Ø Ö Ó Ô ¸ Ò Ñ Ð Ý Ø Ñ Ø × ß Ô Ö Ñ Ø Ö Ö Ó Ù Ô Ó × Ó Ñ Ø Ö × Ò Ö Ø Ý × Ô Ð
Ã Ð Ð Ò Ú Ø Ó Ö × º Ì Ð × × ¬ Ø Ó Ò Ó Ø Ö ß Ñ Ò × Ó Ò Ð Ó Ñ Ó Ò Ó Ù × × Ô × Û Ø
Ö Ó Ù Ô Ó
× Ó Ñ Ø Ö × Ö Ù × Ø Ó Ø Ð × × ¬ Ø Ó Ò Ó Ø Ö ß Ñ Ò × Ó Ò Ð Ù Ð Ò Ó × Ø Ñ Ò Ó Ð × Ò Û
Ù × Ø Ú Ø Ö Ô Ó × × Ð Ø ×
Å
¿
Ë Ç ´ µ
Ë Ç ´ ¿ µ
³ Ë
¿
³ Ë Ç ´ ¿ µ ´ ½ µ
Ë Ç ´ ½ ¿ µ
Ë Ç ´ ¿ µ
³ Ë Ó Ð Ú ´
Ë Ç ´ ½ ¿ µ
Ë Ç ´ ¿ µ
µ ´ ½ µ
Á Ë Ç ´ ¿ µ
Ë Ç ´ ¿ µ
³ Ê
¿
´ ¼ µ
´ º º ¼ µ
Ï Ò × Ö Ø Ó Ñ Ø Ö × Ó Ø × Ø Ö × Ô × × Ñ Ù Ð Ø Ò Ó Ù × Ð Ý Û Ø × Ò Ð Ó Ö Ñ Ù Ð Ý
Û Ö Ø Ò Ø Ó Ð Ð Ó Û Ò ¿ ß Ñ Ø Ö
×
¾
¿
Ö
¾
½ Ö
¾
· Ö
¾
¾
· × Ò
¾
¾
¡
´ º º ½ µ
Ï × Ó Û Ð Ó Û Ø Ø Û Ò Ø × Ø Ø Û Ó Ú Ð Ù × ¦ ½ Ø Ñ Ø Ö ´ º º ½ µ Ò Ò Ø ¬ Û Ø Ø
Ô Ù Ð Ð ¹ Ó Ø - Ø Ê
Ñ Ø Ö Ó Ò Ø Ö Ø ¿ ß × Ô Ö Ó Ö Ø Ø Ö ß Ñ Ò × Ó Ò Ð Ý Ô Ö Ó Ð Ó Ò
Ò Ù × Ø × Ö × Ø Ë Ç ´ µ Ó Ö Ë Ç ´ ½ ¿ µ Ò Ú Ö Ò Ø Ñ Ø Ö × Ó Ò × Ù Ó × Ø Ñ Ò Ó Ð × ¸ Ö × Ô Ø Ú Ð Ý º
Á Ò Ø ¬ Ö × Ø × Ø Ú Ö Ð Ö × Ø Ù Ð Ð Ý Ó Ñ Ô Ø Ò Ø × Ú Ð Ù × Ò Ø Ö Ò ¼ ¾ ℄ º Á Ò Ø
× Ó Ò × Ø × Ò Ó Ò Ó Ñ Ô Ø Ò Ø × Ú Ð Ù × Ò Ø Ò ¬ Ò Ø Ò Ø Ö Ú Ð ½ · ½ ℄ º Á Ò Ø ×
¼ ¸ Ø Ñ Ø Ö ´ º º ½ µ × Ñ Ò × Ø Ð Ý Ò Ø Ð Û Ø Ø - Ø Ù Ð Ò Ñ Ø Ö Ò Ø Ö Ñ Ò × Ó Ò ¸
Û Ö Ø Ø Ò Ò Ô Ó Ð Ö Ó Ó Ö Ò Ø × Ò Ø Ú Ö Ð Ö Ø × Ú Ð Ù × Ò Ø × Ñ Ò ¬ Ò Ø Ò Ø Ö Ú Ð ¼ · ½ ℄ º
× × Ù Ø Ñ Ø × Ø Ù Ð Ò Ö Ó Ù Ô Ó × Ó Ñ Ø Ö × Á Ë Ç ´ ¿ µ º
Ð Ð
Ì Ó Ò Ð Ý Ô Ö Ñ Ø Ö Ò ´ º º ½ µ Û × Ò Ó Ø ¬ Ü Ý × Ó Ñ Ø Ö × × Ø Ð Ó Ð × Ð Ó Ø
Ø Ö ß Ñ Ò × Ó Ò Ð × Ô Ò Ø × Û Ò Ø Ø Ó Ø Ñ Ô Ò Ò Ø ´ Ø µ º À Ò Û Ò Û Ö Ø
Ø Ó Ð Ð Ó Û Ò Ò × Ø Þ Ó Ö Ø × Ó Ø Ö Ó Ô Ò Ó Ñ Ó Ò Ó Ù × Ó × Ñ Ó Ð Ó Ð Ñ Ø Ö
×
¾
Ø
¾
· ´ Ø µ
¾
Ö
¾
½
Ö
¾
· Ö
¾
¾
· × Ò
¾
¾
¡
´ º º ¾ µ
Ò Ó Ö Ö × Ô Ó Ò Ò Ð Ý Û Ò Ø Ö Ó Ù Ø Ó Ð Ð Ó Û Ò Ú Ö Ò
¼
Ø
½
´ Ø µ
Ö
Ô
½ Ö
¾
¾
´ Ø µ Ö
¿
´ Ø µ Ö × Ò
´ º º ¿ µ
Ì Ð Ù Ð Ø Ó Ò Ó Ø × Ô Ò Ó Ò Ò Ø Ó Ò × Ñ Ñ Ø Ò Û Ó Ø Ò
¼ ½
´ Ø µ
´ Ø µ
½
¼ ¾
´ Ø µ
´ Ø µ
¾
¼ ¿
´ Ø µ
´ Ø µ
¿
½ ¾
Ô
½
¾
´ Ø µ
¾
½ ¿
Ô
½
¾
´ Ø µ
¿
¾ ¿
Ó Ø ´ µ
´ Ø µ
¿
´ º º µ
7/29/2019 Fre P. Course in General Relativity (Free Version, Lecture Notes, Web Draft, 2003)(141s)_PGr
http://slidepdf.com/reader/full/fre-p-course-in-general-relativity-free-version-lecture-notes-web-draft 133/141
Á × Ó Ø Ö Ó Ô Ò Ó Ñ Ó Ò Ó Ù × Ñ Ø Ö × ½ ¿ ¾
Ü Ø Û Ú Ð Ù Ø Ø Ù Ö Ú Ø Ù Ö ¾ ß Ó Ö Ñ
Ê
¼ ½
´ Ø µ
´ Ø µ
¼
½
Ê
¼ ¾
´ Ø µ
´ Ø µ
¼
¾
Ê
¼ ¿
´ Ø µ
´ Ø µ
¼
¿
Ê
½ ¾
· ´ Ø µ
¾
´ Ø µ
¾
½
¾
Ê
½ ¿
· ´ Ø µ
¾
´ Ø µ
¾
½
¿
Ê
¾ ¿
· ´ Ø µ
¾
´ Ø µ
¾
¾
¿
´ º º µ
Û Ø Ù Ö Ò × Ó Ù Ø Ø Ó Ó Ò Ð ¸ Ò Ø × Ò × Ø Ø Ê
»
Ù Ø Û Ø « Ö Ò Ø Ø Ñ ß
Ô Ò Ò Ø Ò Ú Ð Ù × º
Ú Ò Ø × Ö × Ù Ð Ø × Û Ò Ú Ð Ù Ø Ø Ê Ø Ò × Ó Ö Ò Ø Ò × Ø Ò Ø Ò × Ó Ö Û Ø - Ø Ò ×
¬ Ò Ý Õ Ù Ø Ó Ò × ´ º ¾ º ½ µ ¸ ´ º ¾ º ¾ ¼ µ º Ï Ø
¼ ¼
¿
¾
´ Ø µ
´ Ø µ
¾
·
´ Ø µ
¾
½ ½
¾ ¾
¿ ¿
´ Ø µ
´ Ø µ
·
½
¾
´ Ø µ
´ Ø µ
¾
·
½
¾
´ Ø µ
¾
´ º º µ
Á Ò Ó Ö Ö Ø Ó Û Ö Ø Ø Ò × Ø Ò « Ö Ò Ø Ð Õ Ù Ø Ó Ò × ¸ Û × Ø Ð Ð Ò Ø Ó Ó Ò × Ö Ø × Ø Ö Ù Ø Ù Ö Ó Ø
× Ø Ö × × Ò Ö Ý Ø Ò × Ó Ö º × Ù × Ù Ð ¸ Ò Ù Ö Ú Ò × Ø × × Ú Ò Ý
¾
Ì
Í
Í
· Ô ´ Í
Í
·
µ ´ º º µ
Û Ö × Ø Ò Ö Ý Ò × Ø Ý ¸ Ô Ø Ô Ö × × Ù Ö Ò Í
Ø Ó Ù Ö ¹ Ú Ð Ó Ø Ý ¬ Ð Ó Ø - Ù Ó Ù Ø Ó
Û Û × × Ù Ñ Ø Í Ò Ú Ö × Ø Ó Ñ Ó º Á Ò Ò × Ó Ø Ö Ó Ô Ò Ó Ñ Ó Ò Ó Ù × Í Ò Ú Ö × Ø × - Ù
× × × Ù Ñ Ø Ó Ó Ñ Ó Ú Ò º Ñ Ð Ý ¸ Ù × Ø × Û Ò Ø × Ó × Ø Ð Ð Ö Õ Ù Ð Ö Ù Ñ Û × × Ù Ñ
Ø Ø Ø Ú Ð Ó Ø Ý ¬ Ð × Ó Ö Ø Ó Ó Ò Ð Ø Ó Ø Ó Ò × Ø Ò Ø Ø Ñ × Ð × Ó × Ô ß Ø Ñ Ó Ö Õ Ù Ú Ð Ò Ø Ð Ý Ø Ø
Ø × Ú Ò × Ò × Ð Ö Ô Ö Ó Ù Ø Û Ø Ð Ð Ø × Ü × Ô ß Ð Ã Ð Ð Ò Ú Ø Ó Ö ×
Í
¼ ´ º º µ
Á Ò Ó Ù Ö Ó × Ò Ó Ó Ö Ò Ø × Ý × Ø Ñ Ø × Ñ Ò × Í ´ ½ ¼ ¼ ¼ µ º Å Ó Ö Ò Ø Ö Ò × Ð Ð Ý Û Ò Ù × Ø × Ø Ø
Ø Ø Ò - Ø Ó Ó Ö Ò Ø × Ø × Ø Ö × × Ò Ö Ý Ø Ò × Ó Ö × Ø Ó Ð Ð Ó Û Ò Ó Ò Ð Ó Ö Ñ
Ì
¼
´ Ø µ ¼ ¼ ¼
¼ Ô ´ Ø µ ¼ ¼
¼ ¼ Ô ´ Ø µ ¼
¼ ¼ ¼ Ô ´ Ø µ
½
´ º º µ
Á Ø × Ú Ö Ý Ò × Ø Ö Ù Ø Ú Ò Ó Ø Ó Ù Ø Ñ Ó × Ø Ö Ð Ú Ò Ø Ó Ð Ù Ð Ø Ø Ü Ø Ö Ó Ö Ó Ú Ö Ò Ø Ö Ú Ø Ú
Ó Ø Ó Ú Ø Ò × Ó Ö º Ï Ø
Ö Ì
Ì
·
Ì
·
Ì
¼
¼
¼
´ Ø µ
´ Ô ´ Ø µ · ´ Ø µ µ ´ Ø µ
´ Ø µ
½
´ Ô ´ Ø µ · ´ Ø µ µ ´ Ø µ
´ Ø µ
¾
´ Ô ´ Ø µ · ´ Ø µ µ ´ Ø µ
´ Ø µ
¿
´ Ô ´ Ø µ · ´ Ø µ µ ´ Ø µ
´ Ø µ
½
¼
Ô ´ Ø µ ¼ ¼
´ Ô ´ Ø µ · ´ Ø µ µ ´ Ø µ
´ Ø µ
¾
¼
¼
Ô ´ Ø µ ¼
´ Ô ´ Ø µ · ´ Ø µ µ ´ Ø µ
´ Ø µ
¿
¼ ¼
¼
Ô ´ Ø µ
½
´ º º ¼ µ
¾
Á Ò Ø Ñ Ó × Ø Ð Ý Ñ Ò Ù × Ó Ò Ú Ò Ø Ó Ò × Û Ú ×
¾
Ü
ª Ü
Ò
Í
Í
½
7/29/2019 Fre P. Course in General Relativity (Free Version, Lecture Notes, Web Draft, 2003)(141s)_PGr
http://slidepdf.com/reader/full/fre-p-course-in-general-relativity-free-version-lecture-notes-web-draft 134/141
Ö Ñ Ò Õ Ù Ø Ó Ò Ó Ö Ø × Ð Ø Ó Ö Ò Ø Õ Ù Ø Ó Ò Ó × Ø Ø ½ ¿ ¿
Ö Ó Ñ Û Û × Ð Ý Ð Ù Ð Ø Ø Ú Ö Ò Û × Ø Ó Ú Ò × Ò Ø Ö Ó Ö Ô Ö Ó Ú ×
« Ö Ò Ø Ð Õ Ù Ø Ó Ò Ó Ö Ø Ò Ö Ý Ò × Ø Ý
Ö
Ì
´ Ø µ · ¿
´ Ø µ
´ Ø µ
´ ´ Ø µ · Ô ´ Ø µ µ ¼ ¼ ¼
¼ ´ º º ½ µ
À Ú Ò Ó Ñ Ô Ù Ø Ð Ð Ø Ò Ö Ò Ø × Û Ò ¬ Ò Ð Ð Ý Ò Ð Ý Þ Ø Ò × Ø Ò Õ Ù Ø Ó Ò × ¸ Ø Ø Ø Ø
Ó Ð Ð Ó Û Ò Ó Ö Ñ
Ì
·
½
¾
£ ´ º º ¾ µ
Û Ö £ × Ò Û Ó Ò × Ø Ò Ø Ó Ö Ò Ð Ð Ý Ò Ø Ö Ó Ù Ý Ò × Ø Ò Ò Ò Ñ Ý Ñ Ø Ó × Ñ Ó Ð Ó Ð
Ó Ò × Ø Ò Ø º Á Ø Ó Ö Ö × Ô Ó Ò × Ø Ó Ø Ô Ö × Ò Ò Ø Ö Ú Ø Ø Ó Ò Ð Ø Ó Ò Ó Ò Ø Ó Ò Ð Ø Ö Ñ Ó Ø
Ó Ö Ñ
Ê
£
Ô
Ø
Ü Û × Ð Ð Ó Û Ý Ø Ô Ö Ò Ô Ð Ó Ò Ö Ð Ó Ú Ö Ò º
Á Ò × Ö Ø Ò Ø Ö × Ù Ð Ø × ´ º º µ Ò ´ º º µ Ò Ø Ó ´ º º ¾ µ Û ¬ Ò Ð Ð Ý Ó Ø Ò Ø Ø Û Ó Õ Ù Ø Ó Ò ×
¿
¾
¿
¾
· £
¿
¡ ¡
´ · ¿ Ô µ ´ º º ¿ µ
Ç Ú Ó Ù × Ð Ý Ø × Õ Ù Ø Ó Ò × Ú Ø Ó × Ù Ô Ô Ð Ñ Ò Ø Û Ø Õ Ù Ø Ó Ò ´ º º ½ µ Û Ü Ô Ö × × × Ø
Ó Ò × Ö Ú Ø Ó Ò Ó Ø × Ø Ö × × Ò Ö Ý Ø Ò × Ó Ö º Á Ø Ø Ù Ö Ò × Ó Ù Ø Ø Ø Ø × Ø Ö Õ Ù Ø Ó Ò × Ö Ò Ó Ø Ò Ô Ò ¹
Ò Ø × Ø × Ó Ù Ð ¸ × Ò Ø Ò × Ø Ò Ø Ò × Ó Ö × Ó Ò × Ö Ú × Ó Ò × Õ Ù Ò Ó Ò Ò Ø Ø × º
Á Ò Ñ Ù Ð Ø Ô Ð Ý Ò Ø ¬ Ö × Ø Ó Õ º × ´ º º ¿ µ Ý
¾
¸ Ø Ò Ù Ö Ø Ö Ö Ú Ø Ú Ò Ó Ñ Ò Ò Ø
Û Ø Ø × Ó Ò Û Ó Ø Ò Ø Ó Ð Ð Ó Û Ò Ö × Ù Ð Ø
± · ¿ ´ ± · Ô µ
¼ ´ º º µ
Û × Ò Ó Ø Ò Ð × Ù Ø Ø Ð Ö Ý Ó Ø Ò Ó Ò × Ö Ú Ø Ó Ò Õ Ù Ø Ó Ò ´ º º ½ µ º Ë Ó Û Ò Ù × Ø
Ó Ù × Ó Ò Ø × Ð Ø Ø Ö Õ Ù Ø Ó Ò Ò Ó Ò Ø ¬ Ö × Ø Ó Õ º × ´ º º ¿ µ Û Ø × Ø Ò Ñ Ó Ö Ñ Ò
Õ Ù Ø Ó Ò
º Ö Ñ Ò Õ Ù Ø Ó Ò × Ó Ö Ø × Ð Ø Ó Ö Ò Ø Õ Ù Ø Ó Ò Ó × Ø Ø
Á Ò Ó Ö Ö Ø Ó × Ø Ù Ý Ø Ú Ó Ð Ù Ø Ó Ò Ó Ø Ó × Ñ × Ð Ø Ó Ö Û Ò Ø Ó × Ù Ô Ô Ð Ñ Ò Ø Ø Ó Ò × Ö Ú Ø Ó Ò
Õ Ù Ø Ó Ò ´ º º µ Û Ø Ò Õ Ù Ø Ó Ò Ó × Ø Ø Ó Ö Ø - Ù ¬ Ð Ð Ò Ù Ô Ø Ù Ò Ú Ö ×
Ô ´ ± µ ´ º º ½ µ
Á Ò ¸ Ù Ô Ó Ò Ù × Ó ´ º º ½ µ Õ º ´ º º µ Ö Ù × Ø Ó ¬ Ö × Ø Ó Ö Ö « Ö Ò Ø Ð Õ Ù Ø Ó Ò Ó Ö Ø Ò Ö Ý
Ò × Ø Ý Ò Ø Ö Ñ × Ó Ø × Ð Ø Ó Ö º Ï × Ð Ð Ó Ò × Ö Ø Û Ó Ü Ø Ö Ñ × × Ó Õ Ù Ø Ó Ò × Ó × Ø Ø
Ô
¼ Ù × Ø Ù Ò Ú Ö ×
½
¿
± Ö Ø Ó Ò Ù Ò Ú Ö ×
´ º º ¾ µ
Ó Ñ Ò Ò ´ º º ¾ µ Û Ø ´ º º µ Û Ñ Ñ Ø Ð Ý ¬ Ò
±
¿
Ó Ò × Ø Ù × Ø Ù Ò Ú Ö ×
±
Ö
Ó Ò × Ø Ö Ø Ó Ò Ù Ò Ú Ö ×
´ º º ¿ µ
7/29/2019 Fre P. Course in General Relativity (Free Version, Lecture Notes, Web Draft, 2003)(141s)_PGr
http://slidepdf.com/reader/full/fre-p-course-in-general-relativity-free-version-lecture-notes-web-draft 135/141
Ö Ñ Ò Õ Ù Ø Ó Ò Ó Ö Ø × Ð Ø Ó Ö Ò Ø Õ Ù Ø Ó Ò Ó × Ø Ø ½ ¿
Õ º × ´ º º ¿ µ Ö Ó Ò × Ö Ú Ø Ó Ò Ð Û × Ò Ø Ö Ô Ý × Ð Ò Ø Ö Ô Ö Ø Ø Ó Ò Û Ð Ð Ó Ñ Ð Ö Ø Ö Ó Ù Ó Ù Ö
× Ù × × Ó Ò º Ó Ö Ø Ù × Ø × ¸ Ø × Ñ Ò Ò × Ó Ù Ð Ô Ô Ö Ò Ø Ð Ö Ý Ø Ø × × Ø º Á Ò Ù Ò Ú Ö ×
Ù Ò Õ Ù Ð Ý ¬ Ð Ð Û Ø Ñ Ø Ø Ö ¸ Ø Ò Ö Ý Ò × Ø Ý × ¸ Ý ¬ Ò Ø Ó Ò
±
Ñ Ø Ø Ö
Ì Ó Ø Ð Ñ × × Ó Ø Í Ò Ú Ö ×
Î Ó Ð Ù Ñ Ó Ø Í Ò Ú Ö ×
´ º º µ
Û Ð ¸ Ø Ú Ó Ð Ù Ñ Ó Í Ò Ú Ö × Ø Ó × Ñ Ó Ð Ó Ð Ø Ñ Ø Ò Ò Ø ¬ Û Ø
Î Ó Ð Ù Ñ ´ Ø µ
¿
´ º º µ
× Ó Ø Ø Õ Ù Ø Ó Ò ´ º º ¿ µ × Ø Ø × Ø Ø Ø Ø Ó Ø Ð Ñ × × Ó Ø Ù Ò Ú Ö × × Ó Ò × Ø Ò Ø Ò Ø Ñ º
Ç Ò Ø Ó Ø Ö Ò Ó Ö Ù Ò Ú Ö × ¬ Ð Ð Û Ø Ö Ø Ó Ò ¸ Ø Ò × Ö Ñ Ó Ö × Ù Ø Ð º Ì Ò Ö Ý
Ó Ô Ó Ø Ó Ò ×
Ô Ó Ø Ó Ò
´ º º µ
Û Ö Ò Ó Ø × Ø × Ö Õ Ù Ò Ý º Ó Û × × Ù Ñ Ø Ø Ø Ö Õ Ù Ò Ý Ó Ô Ó Ø Ó Ò × Ö × Ø Ý Ø
Ü Ô Ò × Ó Ò Ó Ö Ò Ø Ó Ø Ð Û
Ñ × × Ó Ò
× Ó Ö Ô Ø Ó Ò
´ Ø
× Ó Ö Ô Ø Ó Ò
µ
´ Ø
Ñ × × Ó Ò
µ
´ º º µ
Ø Ó Ð Ð Ó Û × Ø Ø Ø Ò Ö Ý Ò × Ø Ý Ó Ö Ø Ó Ò Ø Ò Ý Ó × Ñ Ó Ð Ó Ð Ø Ñ ×
±
Ö Ø Ó Ò
´ Ø µ
Ù Ñ Ö Ó Ô Ó Ø Ó Ò ×
Î Ó Ð Ù Ñ Ó Ø Í Ò Ú Ö ×
¢
Ñ × × Ó Ò
¢
½
´ Ø µ
´ º º µ
Ò Ø × Ó Ò Ó Õ º × ´ º º ¿ µ × Ø × Ø Ø Ñ Ò Ø Ø Ø Ø Ø Ó Ø Ð Ò Ù Ñ Ö Ó Ô Ó Ø Ó Ò × Ò Ø Ù Ò Ú Ö ×
× Ô Ô Ö Ó Ü Ñ Ø Ð Ý Ó Ò × Ö Ú º × Û Ö Ó Ò Ø Ó × ¸ Ø Ö × Ø Ð Û ´ º º µ × Ò Ø Ö Ù Ò
Ù Ò Ñ Ò Ø Ð Ó Ò × Õ Ù Ò Ó Ò Ö Ð Ö Ð Ø Ú Ø Ý º
Ö Ð × Ø Ù Ò Ú Ö × × Ò Ø Ö Ô Ù Ö Ù × Ø Ò Ó Ö Ô Ù Ö Ö Ø Ó Ò Ø Ó Ò Ø Ò × Ó Ø Ó Ñ Ô Ó Ò Ò Ø ×
× Ò Ø Ö × Ó Ø Ö Ò Ù Ð Ö Ñ Ø Ø Ö Ò Ø Ó Ö Ñ Ó Ð Ü × Ò Ö Ø Ó Ò Ò Ø Ó Ö Ñ Ó Ô Ó Ø Ó Ò ×
Ó Ö Ó Ø Ö Ù Ð Ø Ö Ö Ð Ø Ú × Ø Ô Ö Ø Ð × º Ì Ö Ö Ð Ø Ú Ó Ò Ø Ö Ù Ø Ó Ò Ø Ó Ò × Ø Ò Õ Ù Ø Ó Ò × ¸ Ó Û Ú Ö ¸ ×
« Ö Ò Ø Ø « Ö Ò Ø Ó × Ñ Ó Ð Ó Ð Ø Ñ × × Ò Ò Ò Ü Ô Ò Ò Ó Ö Ó Ò Ø Ö Ø Ò Ù Ò Ú Ö × Ø Ö Ø Ó
Ó Ø Ò Ö Ý Ò × Ø × ×
±
Ö Ø Ó Ò
´ Ø µ
±
Ñ Ø Ø Ö
Ó Ò × Ø ¢
½
´ Ø µ
´ º º µ
Ó Ò × Õ Ù Ò Ø Ð Ý Ø Ñ × × Ò × Ø Ó Ò Ð Ý Þ Ø × Ó Ð Ù Ø Ó Ò Ó Ø Ò × Ø Ò Õ Ù Ø Ó Ò × Ò Ø Ø Û Ó Ð Þ
× × Û Ö Ø Ö Ø Ö Ø Ó Ò Ó Ö Ø Ù × Ø × Ô Ö × Ò Ø º Ì × Ó Ò × Ó Ð Ù Ø Ó Ò Ô Ô Ð × Ø Ó Ø
Ô Ö × Ò Ø Ó × Ñ Ó Ð Ó Ð Ø Ñ Û Ò Ø Í Ò Ú Ö × × Ð Ö Ý Ü Ô Ò × Ó Ñ Ù Ø Ø Ø Ö Ø Ó Ò
Ó Ò Ø Ö Ù Ø Ó Ò × Ó Ñ Ö Ö Ð Ú Ò Ø ¸ Û Ð Ø ¬ Ö × Ø × Ó Ð Ù Ø Ó Ò Ô Ô Ð × Ø Ó Ö Ð Ý Ø Ñ × Û Ò Ö Ø Ó Ò
Û × ¸ Ù × Ó Õ º ´ º º µ ¸ Ó Ñ Ò Ø Ò º Á Ò × Û Ö Ô Ö × Ò Ø Ð Ý Ó Ò Ø Ó × Ö Ó Ñ Ó Ù Ö Õ Ù Ø Ó Ò ×
Ò Ó Ø × × Ø Ú Ó Ù Ö Ó Ø × Ð Ø Ó Ö ´ Ø µ × Ø Ø Ó Ò Ò Ö × Ò Ù Ò Ø Ó Ò Ó Ø Ñ ¸ Ø
Ð × Ø Ò Ö Ø Ò Ò Ø Ð Ò Ø Ö Ú Ð º Ä Ø Ö ¸ Ô Ò Ò Ó Ò Ø Ú Ð Ù Ó Ø Ù Ö Ú Ø Ù Ö ¸ Ø Ù Ò Ú Ö ×
Ò Ð × Ó Ó Ò Ø Ö Ø º
º º ½ Ë Ó Ð Ù Ø Ó Ò Ó Ø Ó × Ñ Ó Ð Ó Ð « Ö Ò Ø Ð Õ Ù Ø Ó Ò × Ó Ö Ù × Ø Ò Ö Ø Ó Ò Û Ø ¹
Ó Ù Ø Ó × Ñ Ó Ð Ó Ð Ó Ò × Ø Ò Ø Ê Ó Ö Ø × Ó Ò Ï Ð Ö Í Ò Ú Ö × ×
Á Û × Ù × Ø Ø Ù Ø Ø ¬ Ö × Ø Ò Ø Ö Ð Ú Ò Ý Ø Ó Ò × Ö Ú Ø Ó Ò Ð Û ´ º º ¿ µ Ò Ø Ó Ø ¬ Ö × Ø Ó Ø
« Ö Ò Ø Ð Õ Ù Ø Ó Ò × ´ º º ¿ µ Û Ø
́
¿
¡
¾
¿
¿
¾
Ù × Ø
¿
¡
¾
Ö
¿
¾
Ö Ø Ó Ò
´ º º ½ ¼ µ
7/29/2019 Fre P. Course in General Relativity (Free Version, Lecture Notes, Web Draft, 2003)(141s)_PGr
http://slidepdf.com/reader/full/fre-p-course-in-general-relativity-free-version-lecture-notes-web-draft 136/141
Ö Ñ Ò Õ Ù Ø Ó Ò Ó Ö Ø × Ð Ø Ó Ö Ò Ø Õ Ù Ø Ó Ò Ó × Ø Ø ½ ¿
Û Ö Û Ú ¬ Ò
Ö
¿
Ö
´ º º ½ ½ µ
Õ º × ´ º º ½ ¼ µ Ö × Ð Ý Ö Ù Ø Ó Ø Õ Ù Ö Ø Ù Ö × Ó Ø Ò Ò
Ø
Õ
Ù × Ø
Ø
Õ
Ö
¾
Ö Ø Ó Ò
´ º º ½ ¾ µ
º º ½ º ½ È Ö Ñ Ø Ö × Ó Ð Ù Ø Ó Ò Ò Ø Ù × Ø × Ó Ô Ó × Ø Ú Ð Ý Ù Ö Ú Ù Ò Ú Ö × ½
Ï Ò Ø Ö Ó Ù Ò Û Ú Ö Ð Ò Û × Ø
½
¾
´ ½ Ó × µ ´ º º ½ ¿ µ
Ì Ò Û Ñ Ñ Ø Ð Ý Ø
Ø
Õ
½
½
¾
´ ½ Ó × µ ´ º º ½ µ
Ò Ò Ý × Ø Ö Ø Ó Ö Û Ö Ò Ø Ö Ø Ó Ò Û ¬ Ò Ø Ô Ö Ñ Ø Ö × Ó Ð Ù Ø Ó Ò Ó Ö Ø Ù Ö Ú × Ö Ò
Ø Ú Ó Ð Ù Ø Ó Ò Ó Ø × Ð Ø Ó Ö Ò Ø Ô Ð Ò Ø
´ µ
½
¾
´ ½ Ó × µ
Ø ´ µ
½
¾
´ × Ò µ ´ º º ½ µ
Á Ò ¬ º º Û × Ó Û Ø Û Ó Ò × Ø Ò × Ó Ø × Ú Ó Ð Ù Ø Ó Ò × º × Ó Ò × × Ò Ô Ó × Ø Ú Ð Ý Ù Ö Ú Ù Ò Ú Ö × ¸
Ò Ò Ø Ð Ü Ô Ò × Ó Ò × Ð Û Ý × Ó Ð Ð Ó Û Ý Ó Ò Ø Ö Ø Ó Ò Ô × º Ì Ñ Ô Ð Ø Ù Ó Ø Ü Ô Ò × Ó Ò
Ó Ö Ø Ó Ò Ø Ö Ø Ó Ò Ô Ò × Ó Ò Ø Ø Ó Ø Ð Ñ Ø Ø Ö Ó Ò Ø Ò Ø Ó Ø Ù Ò Ú Ö × º
º º ½ º ¾ È Ö Ñ Ø Ö × Ó Ð Ù Ø Ó Ò Ò Ø Ù × Ø × Ó Ò Ø Ú Ð Ý Ù Ö Ú Ù Ò Ú Ö × ½
Á Ò Ø × × ¸ Ö Ø Ö Ø Ò Õ º ´ º º ½ ¿ µ Û × Ø
½
¾
´ ½ Ó × µ ´ º º ½ µ
Ò Ò Ó Ñ Ô Ð Ø Ð Ý Ò Ð Ó Ó Ù × Û Ý Û Ó Ø Ò
½
¾
× Ò
Ø
½
¾
´ × Ò µ ´ º º ½ µ
× Ó Ø Ø Ø Ô Ö Ñ Ø Ö × Ö Ô Ø Ó Ò Ó Ø × Ð Ø Ó Ö Ú Ó Ð Ù Ø Ó Ò × Ø Ó Ð Ð Ó Û Ò Ó Ò
´ µ
½
¾
´ Ó × ½ µ
Ø ´ µ
½
¾
´ × Ò µ ´ º º ½ µ
Á Ò Ø × × Ø Ù Ò Ú Ö × Ü Ô Ò × Ò ¬ Ò Ø Ð Ý Ò Ø Ö × Ò Ó Ó Ò Ø Ö Ø Ó Ò Ô × º Ð × Ó Ö ¸ Ø
Ö Ø Ó Ø Ü Ô Ò × Ó Ò Ô Ò × Ó Ò Ø Ø Ó Ø Ð Ñ Ø Ø Ö Ó Ò Ø Ò Ø Ó Ø Ù Ò Ú Ö × Ø Ö Ø × Ø
× Ø Ö Ø Ù Ò Ú Ö × Ü Ô Ò × º Ü Ñ Ô Ð × Ó Ø × Ú Ó Ð Ù Ø Ó Ò Ö × Ó Û Ò Ò ¬ º º
7/29/2019 Fre P. Course in General Relativity (Free Version, Lecture Notes, Web Draft, 2003)(141s)_PGr
http://slidepdf.com/reader/full/fre-p-course-in-general-relativity-free-version-lecture-notes-web-draft 137/141
Ö Ñ Ò Õ Ù Ø Ó Ò Ó Ö Ø × Ð Ø Ó Ö Ò Ø Õ Ù Ø Ó Ò Ó × Ø Ø ½ ¿
t
a
Ù Ö º º Ú Ó Ð Ù Ø Ó Ò Ó Ø Ó × Ñ Ó Ð Ó Ð × Ð Ø Ó Ö ´ Ø µ Ò Ø × Ó Ð Ó × ´ ½ µ Ù × Ø Ù Ò Ú Ö × º
Ì Ñ Ô Ð Ø Ù Ó Ø Ü Ô Ò × Ó Ò Ó Ö Ø Ó Ò Ø Ö Ø Ó Ò × Ø × Ó Ò Ô Ò × Ó Ò Ø Ø Ó Ø Ð Ñ Ø Ø Ö Ó Ò Ø Ò Ø Ó
Ø Ù Ò Ú Ö × Ó ¬ Ý Ø Ó Ò × Ø Ò Ø
º Á Ò Ø ¬ Ù Ö Û × Ó Û Ø Û Ó × ×
½ Ò
¼
t
a
Ù Ö º º Ú Ó Ð Ù Ø Ó Ò Ó Ø Ó × Ñ Ó Ð Ó Ð × Ð Ø Ó Ö ´ Ø µ Ò Ø × Ó Ò Ó Ô Ò ´ ½ µ Ù × Ø Ù Ò Ú Ö × º
Ð × Ó Ö Ø Ñ Ô Ð Ø Ù Ó Ø Ü Ô Ò × Ó Ò Ô Ò × Ó Ò Ø Ø Ó Ø Ð Ñ Ø Ø Ö Ó Ò Ø Ò Ø Ó Ø Ù Ò Ú Ö × Ó ¬
Ý Ø Ó Ò × Ø Ò Ø
º Ì Ø Ö Ð Ò Ó Ö Ö × Ô Ó Ò × Ø Ó Ø ×
½ Û Ð Ø Ø Ò Ò Ö Ð Ò Ó Ö Ö × Ô Ó Ò ×
Ø Ó Ø ×
¼ ¾
7/29/2019 Fre P. Course in General Relativity (Free Version, Lecture Notes, Web Draft, 2003)(141s)_PGr
http://slidepdf.com/reader/full/fre-p-course-in-general-relativity-free-version-lecture-notes-web-draft 138/141
Ñ Ò Ó × Ñ Ó Ð Ó × Ò Ø Ó Ë Ø Ø Ö × Ô ½ ¿
º º ½ º ¿ È Ö Ñ Ø Ö × Ó Ð Ù Ø Ó Ò Ò Ø Ù × Ø × Ó Ò Ø Ú Ð Ý Ù Ö Ú Ù Ò Ú Ö ×
½
Á Ò Ø × Ó Þ Ö Ó × Ô Ø Ð Ù Ö Ú Ø Ù Ö ¸ Õ º × ´ º º ½ ¾ µ Ö Ù ¸ Ó Ö Ù × Ø Ù Ò Ú Ö × Ø Ó
Ø
½
Ô
Ô
´ º º ½ µ
Ò Ò Û ¬ Ò
¾ ¿
Ø
¾ ¿
´ º º ¾ ¼ µ
Ï Ó Ò Ð Ù Ø Ø Ð × Ó Ø - Ø Ù × Ø ¬ Ð Ð Ù Ò Ú Ö × Ü Ô Ò × Ò ¬ Ò Ø Ð Ý Ù Ø Ø × Ð Ø Ó Ö Ö × ×
Ð × × Ø Ò Ð Ò Ö Ð Ý ´ × ¬ º º µ º
t
a
Ù Ö º º Ú Ó Ð Ù Ø Ó Ò Ó Ø Ó × Ñ Ó Ð Ó Ð × Ð Ø Ó Ö ´ Ø µ Ò Ø × Ó - Ø ´ ¼ µ Ù × Ø Ù Ò Ú Ö × º
Ð × Ó Ö Ø Ñ Ô Ð Ø Ù Ó Ø Ü Ô Ò × Ó Ò Ô Ò × Ó Ò Ø Ø Ó Ø Ð Ñ Ø Ø Ö Ó Ò Ø Ò Ø Ó Ø Ù Ò Ú Ö × Ó ¬
Ý Ø Ó Ò × Ø Ò Ø
º Ì Ø Ö Ð Ò Ó Ö Ö × Ô Ó Ò × Ø Ó Ø ×
½ Û Ð Ø Ø Ò Ò Ö Ð Ò Ó Ö Ö × Ô Ó Ò ×
Ø Ó Ø ×
¼
Á Ò ¬ º º Û Ú Ó Ñ Ô Ö Ø Ø Ö Ò × Ó Ú Ó Ù Ö Ó Ø Ó × Ñ Ó Ð Ó Ð × Ð Ø Ó Ö
Ó Ö Ø Ô Ó × Ø Ú Ð Ý ¸ Ò Ø Ú Ð Ý Ù Ö Ú Ò - Ø Ù Ò Ú Ö × º
º Ñ Ò Ó × Ñ Ó Ð Ó × Ò Ø Ó Ë Ø Ø Ö × Ô
Ì Ä Ó Ö Ò Ø Þ Ò Ñ Ò Ó Ð Ë ¸ Ò Ñ Ð Ý Ë Ø Ø Ö × Ô × Ò Ø ¬ × Ø Ó × Ø Ñ Ò Ó Ð
Ë
Ë Ç ´ ½ µ
Ë Ç ´ ½ ¿ µ
´ º º ¾ ½ µ
Ò Ø Ö Ó Ö Ñ Ø × Ø ½ ¼ ß Ô Ö Ñ Ø Ö Ö Ó Ù Ô Ó × Ó Ñ Ø Ö ×
Ë Ç ´ ½ µ ´ º º ¾ ¾ µ
7/29/2019 Fre P. Course in General Relativity (Free Version, Lecture Notes, Web Draft, 2003)(141s)_PGr
http://slidepdf.com/reader/full/fre-p-course-in-general-relativity-free-version-lecture-notes-web-draft 139/141
Ñ Ò Ó × Ñ Ó Ð Ó × Ò Ø Ó Ë Ø Ø Ö × Ô ½ ¿
t
a
Ù Ö º º Ó Ñ Ô Ö × Ó Ò Ø Û Ò Ø Ø Ö Ø Ý Ô × Ó Ù × Ø ¬ Ð Ð Ù Ò Ú Ö × × º Ï Ø Ø × Ñ Ø Ó Ø Ð Ñ Ø Ø Ö
Ó Ò Ø Ò Ø
½ Û Ú Ô Ð Ó Ø Ø Ø Ú Ó Ù Ö Ó Ø × Ð Ø Ó Ö Ò Ø Ø Ö × × Ó Ð Ó × ¸ Ó Ô Ò
Ò - Ø Ù Ò Ú Ö × º Ì Ð Ò Ø Ø Ó × Ø Ó ¼ × Ø Ð Ó × Ù Ò Ú Ö × ½ º Ç Ø Ø Û Ó Ò ¬ Ò Ø Ð Ý
Ö Ó Û Ò Ð Ò × Ø Ø Ò Ò Ö × Ø Ó Ô Ò Ù Ò Ú Ö × ½ ¸ Ø Ø Ö × Ø - Ø Ù Ò Ú Ö × ¼ º Ì - Ø
Ù Ò Ú Ö × ¸ Ò Ø Ð Ð Ý Ü Ô Ò × × Ø Ö Ø Ò Ø Ó Ô Ò Ó Ò ¸ Ù Ø Ø Ð Ø Ö Ø Ñ × Ø × Ó Ú Ö Ó Ñ Ý Ø Ó Ô Ò Ù Ò Ú Ö ×
Û Ó × × Ð Ø Ó Ö Ö Ó Û × × Ø Ö Ø Ò Ø
¾ ¿
Ó Ö Ø ½
Ì Ò Ø Ö Ó × Ø Ñ Ò Ó Ð Ò Ò Ø ¬ × Ò Ð Ö Ð Ó Ù × Ò Ê
¸ Ò Ñ Ð Ý × Ø × Ø Ó Ô Ó Ò Ø ×
× Ø × Ý Ò Ø Ó Ð Ð Ó Û Ò Ø Û Ó Õ Ù Ö Ø Õ Ù Ø Ó Ò ×
¾
¼
½
¾
½ ´ º º ¾ ¿ µ
Ç Ò Ô Ö Ñ Ø Ö × Ó Ð Ù Ø Ó Ò Ó Ø Ó Ú Ð Ö Õ Ù Ø Ó Ò × × Ó Ð Ð Ó Û ×
¼
× Ò Ø
½
Ó × Ø Ó × Ê
7/29/2019 Fre P. Course in General Relativity (Free Version, Lecture Notes, Web Draft, 2003)(141s)_PGr
http://slidepdf.com/reader/full/fre-p-course-in-general-relativity-free-version-lecture-notes-web-draft 140/141
Ñ Ò Ó × Ñ Ó Ð Ó × Ò Ø Ó Ë Ø Ø Ö × Ô ½ ¿
¾
Ó × Ø × Ò Ê Ó ×
¿
Ó × Ø × Ò Ê × Ò Ó ×
Ó × Ø × Ò Ê × Ò × Ò ´ º º ¾ µ
Ò Ø Ô Ù Ð Ð ¹ Ó Ø Ä Ó Ö Ò Ø Þ Ò Ñ Ø Ö Ò Ê
×
¾
¾
¼
½
¾
´ º º ¾ µ
Ó Ò Ø Ð Ó Ù × ´ º º ¾ ¿ µ Ý Ñ Ò × Ó Ø Ô Ö Ñ Ø Ö Þ Ø Ó Ò ´ º º ¾ µ Ð × Ø Ó Ø Ó Ð Ð Ó Û Ò Ñ Ø Ö
×
¾
Ë
·
Ø
¾
· Ó ×
¾
Ø
¢
Ê
¾
· × Ò
¾
Ê
¾
· × Ò
¾
¾
¡ £
Ø
¾
· Ó ×
¾
Ø
Ö
¾
½ Ö
¾
· Ö
¾
¾
· × Ò
¾
¾
¡
´ º º ¾ µ
Û Ö Ò Ø Ð × Ø × Ø Ô Û Ú Ù Ö Ø Ö Ô Ó ×
× Ò Ê Ö ´ º º ¾ µ
Á Ò Ø × Û Ý Û Ú × Ó Û Ò Ø Ø ¹ Ë Ø Ø Ö × Ô Ò Ò Ø ¬ Û Ø Ó × Ñ Ó Ð Ó Ð Ñ Ó Ð
Ö Ø Ö Þ Ý
½ ´ Ø µ Ó × ´ Ø µ ´ º º ¾ µ
Ò Ð Ø Ö Ò Ø Ú Ð Ý Õ Ù Ð Ð Ý Ó Ó Ô Ö Ñ Ø Ö × Ó Ð Ù Ø Ó Ò Ó Ø Õ Ù Ö ´ º º ¾ ¿ µ × Ú Ò Ý
¼
× Ò Ø Ó × Ê
½
× Ò Ø × Ò Ê Ó ×
¾
× Ò Ø × Ò Ê × Ò Ó ×
¿
× Ò Ø × Ò Ê × Ò × Ò
Ó × Ø ´ º º ¾ µ
Ì Ô Ù Ð Ð Ó Ø - Ø Ñ Ø Ö ´ º º ¾ µ Ó Ò Ø Ð Ó Ù × ´ º º ¾ ¿ µ Ý Ñ Ò × Ó Ø × × Ó Ò Ô Ö Ñ Ø Ö Þ ¹
Ø Ó Ò ´ º º ¾ µ ×
×
¾
Ë
Ø
¾
· × Ò
¾
Ø
¢
Ê
¾
· × Ò
¾
Ê
¾
· × Ò
¾
¾
¡ £
Ø
¾
· × Ò
¾
Ø
Ö
¾
½ · Ö
¾
· Ö
¾
¾
· × Ò
¾
¾
¡
´ º º ¿ ¼ µ
Û Ö Ò Ø Ð × Ø × Ø Ô Û Ú Ù Ö Ø Ö Ô Ó ×
× Ò Ê Ö ´ º º ¿ ½ µ
Á Ò Ø × Û Ý Û Ú × Ó Û Ò Ø Ø ¹ Ë Ø Ø Ö × Ô Ò Ð × Ó Ò Ø ¬ Û Ø Ó × Ñ Ó Ð Ó Ð Ñ Ó Ð
Ö Ø Ö Þ Ý
½ ´ Ø µ × Ò ´ Ø µ ´ º º ¿ ¾ µ
Ø Ö Ô Ó × × Ð Ø Ý Ø Ó Ó Ø Ò Ô Ö Ñ Ø Ö × Ó Ð Ù Ø Ó Ò Ó Ø Õ Ù Ö ´ º º ¾ ¿ µ × Ø Ó Ð Ð Ó Û Ò Ó Ò º
Ö × Ø Ö ¬ Ò
Í
¼
Î
¼
·
´ º º ¿ ¿ µ
7/29/2019 Fre P. Course in General Relativity (Free Version, Lecture Notes, Web Draft, 2003)(141s)_PGr
http://slidepdf.com/reader/full/fre-p-course-in-general-relativity-free-version-lecture-notes-web-draft 141/141
Ñ Ò Ó × Ñ Ó Ð Ó × Ò Ø Ó Ë Ø Ø Ö × Ô ½ ¼
Ò Ö Û Ö Ø Ø Õ Ù Ö Ò Ø × × Ó Ø Ð Ó Ö Ò Ø Þ Ò Ñ Ø Ö Ñ Ø Ö × Ó Ð Ð Ó Û ×
Í Î
¿
½
¾
½ ´ º º ¿ µ
×
¾
´ µ
Í Î ·
¿
½
¾
´ º º ¿ µ
Ì Ò × Ó Ð Ú Ô Ö Ñ Ø Ö Ð Ð Ý Õ Ù Ø Ó Ò ´ º º ¿ µ × × Ó Û Ò Ð Ó Û
Í
Ü
Î
½
·
Ü
¾
´ º º ¿ µ
Ý Ñ Ò × Ó Ø × Ô Ö Ñ Ø Ö Þ Ø Ó Ò Ø Ô Ù Ð Ð ¹ Ó Ø Ä Ó Ö Ò Ø Þ Ñ Ø Ö ´ º º ¿ µ Ó Ò Ø Ð Ó Ù × ´ º º ¿ µ
Ó Ñ ×
×
¾
Ë
¼
¾
¾
·
¾
Ü
¾
Ø
¾
· Ü Ô ¾ Ø
¢
Ö
¾
· Ö
¾
¾
· × Ò
¾
¾
¡ £
´ º º ¿ µ
Û Ö Ò Ø Ð × Ø × Ø Ô Û Ú × Ø
Ü Ô Ø
Ü
½
Ö Ó ×
Ü
½
Ö × Ò Ó ×
Ü
½
Ö × Ò × Ò ´ º º ¿ µ
Á Ò Ø × Û Ý Û Ú × Ó Û Ò Ø Ø Ë Ø Ø Ö × Ô Ò Ð × Ó × Ò × Ó × Ñ Ó Ð Ó Ð Ñ Ø Ö Ö ¹
Ø Ö Þ Ý