Franklina M. B. Toledo / Alysson M. Costa - ICMC/USP

Programação inteira

Decomposição de Benders

FMBT/ AMC

Decomposição de BendersBenders, J. F.Partitioning Procedures for Solving Mixed Variables Programming ProblemsNumerische Mathematik, 1962, 4, 238-252

FMBT/ AMC

Parágrafo 1 - Problema

FMBT/ AMC

Parágrafo 2 - Contexto

FMBT/ AMC

Parágrafo 3 - Aplicação

FMBT/ AMC

Restrições de acoplamento

Decomposição de Benders (estrutura em blocos)

FMBT/ AMC

Nas palavras de Geoffrion

volta

FMBT/ AMC

Decomposição de Benders

com

plica

ting

varia

ble

s

FMBT/ AMC

Benders decomposition - aplicação imediata

• x - variáveis reais• y - variáveis inteiras

FMBT/ AMC

Benders decomposition - desenvolvimento

=

FMBT/ AMC

dual

Benders decomposition - desenvolvimento

Interessante: o espaço factível do problema dual independede y!

FMBT/ AMC

Espaço factível do dual

F

FMBT/ AMC

Espaço factível do dual + função objetivo

F dual ilimitado

FMBT/ AMC

dual

Dual ilimitado ? O que significa isso ?

Primal infactível!

Problema original infactível!

FMBT/ AMC

Queremos que o dual seja limitado

FMBT/ AMC

A solução é um dos pontos extremos. Qual ? Aquele que dá o maior valor!

FMBT/ AMC

Reformulação de Benders!

Problema reescrito unicamente em função das variáveis y e de uma variável real, z.

definição do Geoffrion

FMBT/ AMC

Reformulação de Benders!

• Problema ?

Número muito grande de restrições, uma vez que o número de pontos e raios extremos é geralmente muito grande!

FMBT/ AMC

• O que nos dá uma relaxação ? (em um problema de minimização)

– Limitante inferior– Além disso: uma solução "tentativa" y.

estratégia de resolução

FMBT/ AMC

Benders - Visão geral

y

FMBT/ AMC

Benders - Término!

yLP

UB

LP

UB

Master Problem Subproblem

Por que ?

FMBT/ AMC

Algoritmo

1. Resolva o problema MASTER(Atualize LP - Pare se UB-LB · )

2. Use a solução tentativa y no SUBPROBLEMA3. Se a solução do SUBPROBLEMA é infactível:

Gere um corte de infactibilidade e volte para 1.Se a solução do SUBPROBLEMA é factível:

(Atualize UB - Pare se UB-LB · )Gere um corte de optimalidade e volte

para 1.

FMBT/ AMC

Benders. Exemplo

Master

subproblem

FMBT/ AMC Retirado de: http://lyle.smu.edu/emis/8371/f07/conversion.pdf

FMBT/ AMC

Benders. Exemplosubproblem

dual subproblem

FMBT/ AMC

subproblema dual

Master

subproblema primal

FMBT/ AMC

Exemplo: solução

Sol: y = (0 3 1) x = (0 0 0)

y1 y2 y3 b1 b2 u1 u2 fact

LP UB

5 0 5 -62 -30

FMBT/ AMC

Exemplo: solução

Sol: y = (0 3 1) x = (0 0 0)

y1 y2 y3 b1 b2 u1 u2 fact

LP UB

5 0 5 -62 -30 1 1 n 7 -inf

FMBT/ AMC

Exemplo: solução

Sol: y = (0 3 1) x = (0 0 0)

y1 y2 y3 b1 b2 u1 u2 fact

LP UB

5 0 5 -62 -30 1 1 n 7 -inf

1 1 0 -4 4

FMBT/ AMC

Exemplo: solução

Sol: y = (0 3 1) x = (0 0 0)

y1 y2 y3 b1 b2 u1 u2 fact

LP UB

5 0 5 -62 -30 1 1 n 7 -inf

1 1 0 -4 4 1 0 n 3 -inf

FMBT/ AMC

Exemplo: solução

Sol: y = (0 3 1) x = (0 0 0)

y1 y2 y3 b1 b2 u1 u2 fact

LP UB

5 0 5 -62 -30 1 1 n 7 -inf

1 1 0 -4 4 1 0 n 3 -inf

0 3 1 0 0

FMBT/ AMC

Exemplo: solução

Sol: y = (0 3 1) x = (0 0 0)

y1 y2 y3 b1 b2 u1 u2 fact

LP UB

5 0 5 -62 -30 1 1 n 7 -inf

1 1 0 -4 4 1 0 n 3 -inf

0 3 1 0 0 0.5 1/3 s 3 3

FMBT/ AMC

Benders. Exemplo

1 2

1

2

3

u1

u2

y1 y2 y3 b1 b2 u1 u2 fact

LP UB

5 0 5 -62 -30 1 1 n 7 -inf

1 1 0 -4 4 1 0 n 3 -inf

0 3 1 0 0 0.5 1/3 s 3 3

FMBT/ AMC

Observações

Há maneiras de fazer com que o cplex nos forneça um raio quando a solução do dual é infactível.

Este raio não necessariamente é extremo!

(Isso pode ser uma boa coisa!)

FMBT/ AMC

Um clássico: Geoffrion and Graves, 1974

Geoffrion, A. M. & Graves, G. W.Multicommodity Distribution System Design By Benders DecompositionManagement Science, 1974, 20, 822-844

FMBT/ AMC

O problemaCap. 110

Fixed: $ 100Unitary: $2

Cap. 350Fixed: $ 500Unitary: $1

Cap. 60 $4Cap. 50 $3

Cap. 200 $4Cap. 110 $2

Demand: 50Demand: 20

Demand: 100Demand: 30

Demand: 50Demand: 60

$0

$5

$4

$2

$4 $3

$3 $2

$5 $3

$2 $3

$1 $2

$2 $3

FMBT/ AMC

Formulação

FMBT/ AMC

Formulação

decomposição

FMBT/ AMC

Decomposição

Master problem

formulação original

Subproblem

FMBT/ AMC

Re-otimização

Solução ótima do exemplo:

Cap. 200 $4Cap. 110 $2

Demand: 50Demand: 20

Demand: 100Demand: 30

Demand: 50Demand: 60

50 20

100 30

50 60

200 110

$3050

-e se o custo unitário do primeiro depósito baixasse de uma unidade ?- e se os custos de transporte aumentassem ?- e se...

FMBT/ AMC

Re-otimização

um aumento em c mantém e factíveis. Os cortes continuam válidos e a re-otimização pode ter um "hot start".

FMBT/ AMC

Seminal...

• Geoffrion e Graves previram diversas dificuldades da decomposição de Benders:

Grande número de iterações necessárias!

FMBT/ AMC

Duas extensões clássicas

• McDaniel e Devine• Magnanti e Wong

FMBT/ AMC

McDaniel e Devine

• McDaniel, D. & Devine, M.A modified Benders' partitioning algorithm for mixed integer programmingManagement Science, 1977, 24, 312-319

Master problem

Subproblem

FMBT/ AMC

McDaniel e Devine

• Qual a etapa mais demorada ?

Master problem

Subproblem

FMBT/ AMC

McDaniel e Devine

• Cortes gerados para o problema linear também são válidos para o problema inteiro!

FMBT/ AMC

McDaniel e Devine

•

Tradicional McDaniels e Devine

FMBT/ AMC

Mais extensões!

• Cortes de Pareto

Magnanti, T. L. & Wong, R. T.Accelerating Benders Decomposition: Algorithmic Enhacement and Model Selection CriteriaOperations Research, 1981, 23, 464-484

FMBT/ AMC

Pareto-Optimal Cuts

"Melhor corte" a cada iteração!

Dual

0 1

FMBT/ AMC

Pareto-Optimal Cuts

Dual

Dual

Keep the maximum cut for the current y

FMBT/ AMC

Outras extensões

• Muitas especializações podem ser feitas segundo o problema.

FMBT/ AMC

Especialização para projeto de redes

Costa, A. M.; Cordeau, J. & Gendron, B.Benders, metric and cutset inequalities for multicommodity capacitated network designComputational Optimization and Applications, 2008 (previsto)

FMBT/ AMC

Especialização para projeto de redes

• Multicommodity network flow

FMBT/ AMC

• Multicommodity network flow

Especialização para projeto de redes

FMBT/ AMC

Especialização para projeto de redes

• Multicommodity network flow subproblem

• dual

FMBT/ AMC

• Quando o problema Z(w) é limitado ?

Shortest path problem

FMBT/ AMC

Desigualdades validas

FMBT/ AMC

Shortest path problem

1 2 3

3

1 1

dual

FMBT/ AMC

Metric inequalities

Franklina M. B. Toledo / Alysson M. Costa - ICMC/USP

y46

y47

y58

u46 y46 + u47 y47 + u58 y58 ¸ d1 + d2

d2

d1

Cutset inequalities

FMBT/ AMC

Cutset inequalities

FMBT/ AMC

Resumo

FMBT/ AMC

ResultadosCosta, A. M.; Cordeau, J. & Gendron, B.Benders, metric and cutset inequalities for multicommodity capacitated network designComputational Optimization and Applications (forthcoming), 2008

FMBT/ AMC

Resumo

FMBT/ AMC

Aproveitando a fase linear

Costa, A. M.Models and algorithms for two network design problemsHEC - Université de Montréal, 2006

FMBT/ AMC

Aproveitando a fase linear

FMBT/ AMC

Aproveitando a fase linear

...

...

FMBT/ AMC

Resultados

InstanceN/A/K

Number of IP IterationsWithout Extra cuts With Extra

Cuts

10/35/10 19 8

10/35/25 7 6

10/35/50 3 3

10/60/10 10 5

10/60/25 341 11

10/82/10 101 13

10/83/25 98 5

FMBT/ AMC

Resultados

Extra Cuts – (N=10/A=83/K=25)

0

20

40

60

80

100

120

Incubent Ex. Fea. Ex. Inf. Mult. Aux

Nu

mb

er

of

IP It

era

tio

ns

Without

With

FMBT/ AMC

Resultados

• Generalizável!