fourier transforms; concepts and its applications using matlab

تبديلات فوريه، مفاهيم و كاربردهاي آن

MATLABبا استفاده از

عاطفه حبيب پورمقدم -دكتر حميدرضا مشايخي

MATLABن با استفاده از تبديلات فوريه، مفاهيم و كاربردهاي آ 2

-1344مشايخي، حميدرضا، : سرشناسهحميدرضا )/ MATLABاستفاده از مفاهيم و كاربردهاي آن با (تبديلات فوريه : عنوان و نام پديدآور

.پور مقدم ب، عاطفه حبيمشايخي .1392نگار، دانش: تهران : مشخصات نشر

.جدول، نمودار.: ص192 : مشخصات ظاهري 978-600-308-059-1 : شابك

فيپا : وضعيت فهرستنويسي

كتاب حاضر مبحثي تحليلي است بر نظريات فيزيك دكتر فوريه كه توسط مؤلفان : يادداشت .تأليف شده است

)كامپيوتربرنامه (مطلب : موضوع سري فوريه : موضوع

سنجي تبديل فوريه طيف : موضوع

پور مقدم، عاطفه حبيب : شناسه افزوده QA 404/م5ت2 1392 : بندي كنگره رده

2433/515 : بندي ديويي رده 3143463 : شناسي ملي شماره كتاب

MATLABاربردهاي آن با استفاده از كتبديلات فوريه، مفاهيم و

پور مقدم عاطفه حبيب–حميدرضا مشايخي دكتر :تأليف اول: نوبت چاپ 1392 :سال چاپ نسخه1000 :شمارگان

تومان9500 :قيمت فرنگاررنگ:چاپ و صحافي

978-600-308-059-1 :شابك 66400144 - 66400220: تلفكس- 142 شماره ، نبش وحيد نظري،)ارديبهشت(جاويد تهران، انقلاب، خيابان منيري

يا كپي pdf است، تهيه و عرضه فايل 1348اين اثر مشمول قانون حمايت از حقوق مؤلفان، مصنفان و هنرمندان مصوب . قانون فوق به مجازات شش ماه تا سه سال حبس محكوم خواهد شد23صفحات آن طبق ماده

:فرهيخته گراميتضييع آشكار حقـوق مـادي و معنـوي از تمام و يا قسمتي از كتاب pdfهاي كپي كردن و يا تهيه فايل

خواهشمند .برد هاي جديد را در كشور از بين مي مه و نشر كتاب ناشر و مولف است و انگيزه تاليف، ترج .در زمان خريد كتاب، از اصل بودن آن اطمينان حاصل نماييداست

3فهرست

.تقديم به همسر و فرزند عزيزم

حميد رضا مشايخي

.تقديم به حسين نازنينم

عاطفه حبيب پورمقدم

5فهرست

فهرست مطالب 9....................................................................................................................................................ني مولفي مقدمه

11...............................................................................................................سري فوريه 1 فصل 11................................................................................................................................................. مقدمه1-1 12......................................................................................................................................... سري فوريه1-2 13....................................................................................................................................... شرايط تعامد1-3 14.............................................................................................................................ها ي هماهنگ دامنه1-4 15.................................................................................................................................ه مدار سري فوري1-5 16..............................................................................................................هايي از بسط سري فوريه مثال1-6

27...........................................................................................................................................................مسائل

31............................................................................................هاي سري فوريه ويژگي 22 فصل 31................................................................................................................................................. مقدمه2-1 31...................................................................................................................گيري از سري فوريه مشتق2-2 32................................................................................................................گيري از سري فوريه انتگرال2-3 34.................................................................................................. تساوي پارسوال براي يك تابع تناوبي2-4 35.....................................................................................................................اي فاز سري فوريه با زواي2-5

36...........................................................................................................................................................مسائل

39.....................................................................................................سري نمايي فوريه 33 فصل 39................................................................................................................................................. مقدمه3-1 39...................................................................................................................... شكل سري نمايي فوريه3-2 42................................................................................................... تعبير ضرايب بسط سري نمايي فوريه3-3 nC...................................................................................................................43 طيف خطي ضرايب 3-4 43....................................................يفرانسيل معمولي كاربرد شكل نمايي سري فوريه در حل معادلات د3-5

46...........................................................................................................................................................مسائل

53...................................................................................................سري گسسته فوريه 44 فصل 53................................................................................................................................................. مقدمه4-1 54................................................................................................................ بسط معادلات سري گسسته4-2 55...........................................................................................................................بندي ماتريسي فرمول4-3 58............................................................................................................................................ اليازينگ4-4 59..................................................................................................................هاي مثبت و منفي فركانس4-5

61...........................................................................................................................................................مسائل


65...........................................................................................................تبديلات فوريه 55 فصل 65................................................................................................................................................. مقدمه5-1 65....................................................................................................................................... تبديل فوريه5-2T سري فوريه در حالت حدي 5-3 0............................................................................................66 69................................................................................................................................ متغيرهاي مزدوج5-4 69........................................................................................................................... وجود انتگرال فوريه5-5 71................................................................................................................. شرط تعامد در تبديل فوريه5-6 72................................................................................................................................ مدار تبديل فوريه5-7 72.....................................................................................................................هاي تبديل فوريه ويژگي5-8

73.............................................................................................................................. تاخير زماني 5-6-1 74......................................................................................................... وارون زماني توابع حقيقي5-6-2 74.................................................................................................... تبديل فوريه توابع زوج و فرد5-6-3 74......................................................................................................... طيف توابع حقيقي محض5-6-4) تبديل فوريه 5-6-5 )dF t

dt.................................................................................................................75

75............................................................................................................................... مدولاسيون5-6-6 76.............................................................................................................. فاكتور مقياس گذاري5-6-7

76..................................................................................................................................اي واحد تابع پله5-9 77............................................................................................................................هاي كاربردي مثال5-10

78...........................................................................................................................................................مسائل

83...........................................................................هاي كاربردي تبديلات فوريه مثال 66 فصل 83................................................................................................................................................. مقدمه6-1 83.......................................................................................................................................... تابع مربعي6-2 87............................................................................................................................... تابع دلتاي ديراك6-3 88........................................................................................................................................ تابع گاوسي6-4 92........................................................................................................................................ توابع تناوبي6-5 93............................................................................................................ يك قطار نامتناهي از توابع دلتا6-6 98................................................................................................................................... تابع افت نمايي6-7

100............................................... مختلطي ي تبديل وارون تابع افت نمايي در صفحه محاسبه6-7-1 103.......................................................................................................................... منحني سينوسي ميرا6-8

104.........................................................................................................................................................مسائل

107.............................................................................................كانولوشن و همبستگي 77 فصل 107............................................................................................................................................... مقدمه7-1 107......................................................................................................................................... كانولوشن7-2

7فهرست

108.............................................................................................................................يف كانولوشن تعر7-3 109.............................................................................................................................. تئوري كانولوشن7-4 110............................................................................................................... تئوري كانولوشن فركانسي7-5 111.............................................................................................................ي انتگرال كانولوشن محاسبه7-6 113......................................................................................................................هايي از كانولوشن مثال7-7 118.......................................................................................................... شكل ديگر انتگرال كانولوشن7-8 120......................................................................................................................................... همبستگي7-9 123...........................................ي يك تابع متناوب ي تبديل فوريه كاربرد تئوري كانولوشن در محاسبه7-10 125..............................................................................................................ي توابع واقعي تبديل فوريه7-11 127................................................................................وي-ي انتگرال كانولوشن به روش توو محاسبه7-12 132.............................................................................ي گرما كاربرد روش تبديل فوريه در حل معادله7-13

134.........................................................................................................................................................مسائل

141.................................................................................كانولوشن و همبستگي گسسته 88 فصل 141............................................................................................................................................... مقدمه8-1 141.....................................................................................................................................برداري نمونه 8-2 142............................................................................................................................. كانولوشن گسسته8-3 143...................................................................................................... تعبير گرافيكي كانولوشن گسسته8-4 145................................................................................................................ مثالي از كانولوشن گسسته8-5 147.............................................................................................. ارتباط بين كانولوشن گسسته و پيوسته8-6

147.....................................................................ي توابع موج با استمرار متناهي كانولوشن گسسته8-6-1 149........................ با استمرار متناهي با تابع ديگري با استمرار نامتناهي كانولوشن گسسته يك تابع8-6-2

152....................................................................................................... تعبير گرافيكي همبستگي گسسته8-7 153.........................................................................................................................................................مسائل

157...............................................................................................برداري تئوري نمونه 99 فصل 157............................................................................................................................................... مقدمه9-1 157............................................................................................................گذر ساده عملكرد فيلتر پايين9-2 159..........................................................................................................................برداري تئوري نمونه9-3 162.............................................................برداري براي يك طيف فركانسي نامتقارن تئوري نمونه شرح 9-4

163.........................................................................................................................................................مسائل

165.................................................................................تحليل فوريه در دو بعد و ابعاد بالاتر 1010 فصل 165............................................................................................................................................................ مقدمه10-1 165............................................................................................................................... تبديلات فوريه در دو بعد10-2 167....................................................................................................ي دو بعدي تعبير يك بعدي تبديلات فوريه10-3


167............................................................................................................از تبديلات فوريه در دو بعدهايي مثال10-4 170...................................................................................................... تعميم تئوري تبديلات فوريه به ابعاد بالاتر10-5

171.......................................................................................................................... تابع دلتا در ابعاد بالاتر10-5-1 172............................................................................................................ تبديلات فوريه در مراتب بالاتر10-5-2

172............................................................................... كاربرد تبديلات فوريه در حل معادلات لاپلاس و پواسان10-6 174...................................................................................................ي موج وريه در حل معادله كاربرد تبديلات ف10-7

175.........................................................................................................................................................................مسائل

179.............................................................................تحليل گسسته فوريه در دو بعد 1111 فصل 179............................................................................................................................................ مقدمه11-1 179..................................................................................................ي دو بعدي تبديلات گسسته فوريه11-2 180.......................................................................................................................... توصيف گرافيكي11-3

183.......................................................ي دو بعدي تعداد محاسبات مورد نياز براي تبديل گسسته فوريه4-11 183......................................................................ي دو بعدي سازي ماتريس تبديل گسسته فوريه مرتب11-5 184...................................................................................ي دو بعدي هايي از تبديل گسسته فوريه مثال11-6 187.............................................................................................................................. تناوب دو بعدي11-7 187............................................................................................ي دو بعدي تبديل گسسته وارون فوريه11-8

188.........................................................................................................................................................مسائل

189.......................................................................................................................فهرست منابع

ي مولفين مقدمه در تحقيقـات خـود بـر 1دان فرانسوي بـه نـام فوريـه دان و فيزيك در اوايل قرن نوزدهم دانشمند رياضي

روي مسايل انتقال حرارت و ارتعاشات موفق به كشف ارتباط بين يك سري از توابع مثلثاتي شد كه امروزه هاي فوريه و توابع متعامد عميم آنها به انتگرال هاي فوريه و ت از آن زمان به بعد، سري . به نام او معروف است

ي هدف ايـن كتـاب ارائـه . دانان شد دانان، مهندسين، و رياضي يك زيربناي كاربردي و نظري براي فيزيك مفاهيم بنيادين و كاربردهاي سري فوريه، انتگرال فوريه، سري گسسته فوريه، و مفاهيم وابسته به آن از قبيل

با توجه به اينكه درك مفاهيم از طريق مـشاهده داراي تـاثير . پيوسته و گسسته است كانولوشن و همبستگي بيشتري نسبت به توصيف كيفي است، در اين كتاب سعي شده است تا با آوردن نمودارهاي متعدد، مفـاهيم

جـام علاوه بـر ايـن، كـدهاي متلـب بـراي رسـم نمودارهـا و ان . از طريق تصوير بهتر به خواننده منتقل گردد .طور آسانتر و بهتر درك نمايد اند تا خواننده مفاهيم را به محاسبات به اين كتاب ضميمه شده

عنـوان يـك كتـاب درسـي مـورد اسـتفاده دانـشجويان در اي نوشته شده است تـا بـه اين كتاب به گونه يـك مرجـع بـراي عنـوان تواند بـه اين كتاب همچنين مي . هاي مهندسي، علوم، و يا رياضي قرار بگيرد رشته

وكار دارنـد، سـر ... ه، و تبـديل گسـسته فوريـه و ها و مفاهيم سري فوريه، انتگرال فوري محققيني كه با شيوه .مورد استفاده قرار بگيرد

شـود و در فصل اول اين كتاب به تعريف سري فوريه از طريق توابع سينوسي و كسينوسي پرداختـه مـي اگرچه فهم سري فوريـه . شوند ها بيان مي ي از طريق نمودارها و مثال ها و مفاهيم آن به شكل ملموس ويژگي

از طريق توابع سينوسي و كسينوسي به ذهن نزديكتر است ليكن محاسبات و كار با اين توابع قدري طـولاني لذا با استفاده از تايع اولر، شكل كاربردي سري فوريـه، يعنـي سـري نمـايي فوريـه در . و شايد پيچيده باشد

در اينجا مشاهده خواهد شد كه چگونه استفاده از سري نمايي فوريـه محاسـبات . گردد دوم مطرح مي فصل -هـاي مختلـف هاي فركانسي زماني پديـده هاي مهندسي علاقمنديم كه مولفه در كاربرد . كند تر مي را ساده

در اين حالت با تعديل شكل نمايي فوريه . بيابيم-توان با يك تابع رياضي توصيف كرد صدا را كه نمي مثلاًي سـري نمـايي هـايي را بـه سـوي چگـونگي محاسـبه اين بحث راه . رسيم به سري متناهي گسسته فوريه مي

.گشايد ا استفاده از كامپيوتر ميفوريه بهـاي موجـود در يـك همانگونه كه بعدا مشاهده خواهد شد، سري فوريه ابزاري براي يافتن هارمونيك

هاي متناظر با يك تـابع بـا هاي فركانسي و دامنه براي يافتن مولفه . ي تناوب محدود است تناوبي با دوره تابع اي جز تعديل سري نمايي فوريه نداريم، كه بـه ايـن ترتيـب بـه تبـديلات فوريـه دوره تناوب نامتناهي چاره

1- Jean Baptiste Joseph Fourier

MATLAB كاربردهاي آن با استفاده از مفاهيم وتبديلات فوريه، 10

هاي مهـم و كـاربردي آن پرداختـه در اين كتاب پس از ارايه تعريف تبديلات فوريه، به بيان مثال . رسيم ميهـاي مهـم تبـديلات فوريـه، از ويژگـي . ي گرما را نام برد ي معادله توان محاسبه شود كه از آن جمله مي مي

در . شـود طور گسترده در حل معادلات ديفرانسيل و طراحي فيلترها استفاده مي كانولوشن است كه از آن به پس از بيان مفاهيم و كاربردهاي . دهد ه را در فضا يا زمان نشان مي واقع كانولوشن اثر ضرب دو تبديل فوري

در پايـان، بـا . تبديلات فوريه، به بحث كانولوشن و همبستگي گسسته با ذكر جزييات پرداختـه شـده اسـت .پردازيم ها، به اين بحث مي توجه به اهميت تبديلات فوريه در دو بعد و ابعاد بالاتر و تبديلات گسسته آن

هـاي بعـدي يـاري دواريم كه ما را با انتقادها و پيشنهادهاي خود در بهبود كيفيت كتاب در ويـرايش امي .1رسانيد

مقدم پور عاطفه حبيب-دكتر حميدرضا مشايخي

1 - [email protected]

سري فوريه فصلفصل11

مقدمه 1-1 علـم يهـا از شـاخه يادي ـار ز يتعـداد بـس . به ارتعاشات و امواج مـرتبط اسـت يكزيقسمت اعظم علم ف

س تـا يك ـس و امـواج ا يترومغنـاط ك ال ي، تئـور يـك الات، اپت ي س ـ يكانك، م ي تا مهندس يكوستك از آ يكزيف مثـال، عنـوان بـه . دارنـد يكـي ونـد نزد ي آن پ 2في و ط 1گناليسي دهي اطلاعات با ا ي و تئور يكانكوانتوم م ك

فـرض . دي ـنكدان را در ذهن تجـسم يقي موس يكولن توسط يا و ي ترامپت و يك با يقي نت موس يكنواختن نمودار ولتـاژ 3وپكلوسي اس يكند و ك مي دي را متناسب با فشار هوا تول يروفن ولتاژ يك م يكد همزمان ينك)حسب زمان، بر )F t ين نـت دارا ي ـد اينك فرض طور همين. ندك مي است، رسم ي تناوب ي منحن يكه ك، را در . ننـده خواهـد بـود كخسته ر شكل موج سينوسي نباشد، موسيقي اگمسلماً. هرتز باشد 256 مثلا يانسكفر

انس ك ـفر. ر مختلف دامنه و فاز هـستند ي مقاد يه دارا كل شده است كي تش ييها يكن موج از هارمون يواقع، ا همواره. دارد يبستگ به تن صداي نت موسيقي، نوع ساز هك است، يانس اصل ك از فر ي مضرب يكهر هارمون

حـسب سينوسـي تـشكيل دهنـده مـوج را تهيـه و نمـودار دامنـه بر يهـا انسكو فر ها از دامنه يستيتوان ل مي)انس كفر )A ودش مين حالت گفتهي در ا.ردك را رسم:

( )A 4هيل فوري تبد ( )F t است. ي منحن ـ 1-1ل كدر ش ـ . نـد ك يل م يانس تبد كحوزه فر ان به كا م ي را از حوزه زمان و تابع يكه، يل فور يتبد .آن نشان داده شده استهاي هماهنگيستا به همراه منحني نت ايك

ستن را در نظـر ك ـا ش ي ـغ، طبـل و ي ج ي مانند صدا ير تناوب ي غ ي صدا يك نت خالص، يك يحال به جا از اي وسـته يف پي ـمتنـاظر شـان، بـا ط هـاي بـا دامنـه هـا از هماهنـگ اي مجموعـه يبه جاها ن صدا يا. ديريبگستن ك ـ شي صـدا 2-1ل كدر ش. را دارا است ي دامنه جزئ يكانس كه هر فر كشوند مي فيتوصها انسكفر

. آن نشان داده شده است5يسانكف فريبه همراه طشناسـي، اپتيـك، شناسـي، زمـين هاي زيادي درمهندسـي، مخـابرات، كيهـان تبديل فوريه داراي كاربرد

توان بـسياري اكوستيك، كوانتوم مكانيك، تحليل ارتعاشات، و غيره است و با استفاده از آن به سادگي مي

1- Signal 2- Spectrum 3- Osilloscope 4- Fourier Transform 5- Frequecy Spectrum

MATLABفاده از تتبديلات فوريه، مفاهيم و كاربردهاي آن با اس 12

هماهنگ اصـلي و ديگـر ): شكل پاييني(طيف فركانسي آن ، و )شكل بالايي ( شكل موج يك نت ايستا 1-1شكل

.هاي تشكيل دهنده طيف فركانسي هماهنگ

)).ب(ل كش( آن يانسكف فريو ط)) الف(ل كش(ستن ك شيصدا 2-1شكل

ن اسـت ي ـ روش حـل معـادلات ا يك مثال عنوان به. ا محاسبه نمودي و ك را دري و مهندس يكيزياز مسائل ف رد و در ي ـن فـضا انجـام گ ي ـ آن در ا ي برده شـود و محاسـبات بـر رو يانسك فر يبه فضا ه معادله مورد نظر ك .برگردانده شوند) يانك ميا فضاي و ي زمانيفضا(ه ي اوليها به فضا ت جوابينها

هي فوريسر 1-2 از جمـلات سـاده يا مجموعـه صـورت بـه هر تابع متناوب دلخـواه 1يه ي فور ي بسط سر يلكدر حالت

ان ي ـ بيم بـرا يردك ـستا مـشاهده ي ـ نت ايكف يه در توصكهمانگونه . شود مي في تعر ينوسيسك و ينوسيسهـا ر هماهنـگ يساي و دامنه يانس اصل ك، دامنه فر يانس اصل ك تابع متناوب دلخواه به فر يكي هي فور يسر)ه تابع ي فوري سريلكدر حالت . مياز دارين )F t شود ميفير تعري زصورت به: )1-1 (

( ) cos sin cos sin ...F t a a t b t a t b t 0 1 0 1 0 2 0 2 02 2 4 4

) تابع يانس اصل ك فر 0ه در آن ك )F t توابـع ينوسيسك ـه، بجز توابع ي فور يدر بسط سر . باشد مي ا نت ي ،تـر ل مرسـوم كش ـ. باشـند هم فـاز ن يتوانند با هماهنگ اصل ها مي را هماهنگ ياز هستند ز يز مورد ن ي ن ينوسيس

1- Fourier Series

13 سري فوريه: 1فصل

ر استي زصورت بهه ي فوريسر

)1-2 ( ( ) cos( ) sin( )n

n nn

F t a n t b n t

0 02 2

.ت انجام شده استينها يت تا مثبت بينها ي بي از منفيبند جمعياضيمنظور حفظ تقارن ر بهر مختلف ي مقاديه داراكگر يديكبا ها گر هماهنگي و ديل موج با افزودن هماهنگ اصلكند ساختن شيفرآ

.شود ميدهيه ناميامنه هستند، بسط فوردــاي راه ــرايگــريده ــ بي ب ــسط فوري ــان ب ــدي ــ يياز آنجــا. ه وجــود دارن )cos()cos(ه ك xx و

)sin()sin( xx ،ر هم نوشت،ي زصورت بهسط فوق را بتوان مي

)1-3 ( ( ) / cos( ) sin( )n

n nn

F t A A n t B n t

0 0 01

2 2 2

nnnه در آن ك aaA و nnn bbB يبرا. باشد ميA0ب ي ضر2

اسـت در نظـر گرفتـه شـده 1شـود مـي محاسبهاي با استفاده از همان رابطه A0. شود يريصفرم جلوگ ي ب جمله يتا از دو بار شمارش ضر

صـورت بهدانان رابطه فوق را يكزي از فيدانان و تعدادياضير. آورددست بهتوان مي را nAب يه تمام ضرا ك ،سندينو ميزير نيز

)1-4 ( ( ) / cos( ) sin( )n

n n n nn

F t A A t B t

01

2.

انس ك ـام بـا فر nدر واقـع هماهنـگ . ه بعدا بحث خواهد شـد ك است ياربردك دلائل ين فرم نوشتن دارا ياn n 02 يعيانس طب كفر (يانس اصل ك فر يه مضرب عدد كند ك ي نوسان م ( 0 مقدار . است 02

T 0 يق دوره تنـاوب ي ـا از طر ي ـشود و ين م يي معرف آن است، تع يه سر ك يا يق تناوب تابع ياز طر ا ي 01 .ميده مي قراريرار سرك تيه ما براك

ط تعامديشرا 1-3 دسـت بـه انـد، معـروف 1ط تعامديه به شراك را يد مجموعه معادلاتي، باnB و nAب ي محاسبه ضرا يبرا گريديك ـا در ي ـدر خودشـان و ينوسيسك و ينوسي توابع سضرب حاصلن معادلات شامل انتگرال يا. ميآور .باشند مي

T دوره تنـاوب يـك يرا بـر رو ينوسيسك ـ و ينوس ـي تابع سيكابتدا مقدار انتگرال 0 محاسـبه 01nرصفر ي هر عدد غيبرا. مينك مي ،هك، واضح است 0

)1-5 ( sin ( ) cos ( )t T t T

n nt t

dt t dt t

0 0 0 0

0 00.

nدر حالت ، انتگرال دوم برابر است باي برابر صفر است ولي، انتگرال اول0

1- Orthogonality Condition


)1-6 ( cos( )t T

tdt T

0 0

000.

،يبا استفاده از رابطه مثلثات. نوس استيسكنوس و ي سضرب حاصلن شرط تعامد شامل انتگرال ياول

)1-7 ( sin( ) sin( )sin( )cos( )

2

مي، دار)5-1(و با توجه به رابطه

)1-8 ( sin ( )cos( )t T

n mt

dt t t

0 0

00.

.همواره برابر صفر است) 8-1(، انتگرال m و n هر مقدار يبه ازا ،مينك مير استفادهي زيگر، از روابط مثلثاتيتعامد دهاي محاسبه شرطيبرا

)1-9 ( cos( ) cos( )sin( )sin( )

2

)1-10 ( cos( ) cos( )cos( )cos( )

2.

nح ير صح ي مقاد ي، به ازا )6-1(و ) 5-1( فوق و روابط يبا استفاده از روابط مثلثات m و 0 دسـت بـه 0 ،ميآور مي

)1-11 ( sin ( )sin ( )t T

n m nmt

Tdt t t

0 0

0

02

)1-12 ( cos( )cos( )t T

n m nmt

Tdt t t

0 0

0

02.

ر ير مقـاد ي سـا يازا مقدار واحد و بـه ي دارا n=m يه به ازا كشود مي دهير نام يكرونك ي، تابع دلتا nmتابع ب ي محاسـبه ضـرا يدر ادامـه بـرا .شوند مي دهيط تعامد نام يشرا) 12-1(و ) 11-1(، )8-1(روابط .صفر است

nA و nBميريگ ميط تعامد بهرهي از شرا.

ها گهماهني دامنه 1-4ه ك ـشـود مـي دهي ـ نام 1هي ـل فور ي ـگنال، تحل يشان از س ـ ي ـها مختلف و دامنه هاي انسكند استخراج فر يفرآ

ابنـد و ي ي مـي تجرب ـ صـورت بـه را tF)( ي منحن ـ غالبـاً . دارد يـك زي ف ي عمل ياربردهاك در يت فراوان ياهماز هـا دامنـه ي بزرگ ـ افتني يبرا. هستند n تعداد لازم ي به ازا nB و nAهاي دامنه ين بزرگ ييمند به تع علاقه

و nAب يدهد تـا ضـرا يط تعامد به ما اجازه م يشرا. مينك مي استفادهها نوسيسكو ها نوسي تعامد س يژگيوnB مينكه محاسبه ي فوري مجزا و با استفاده از سرصورت به را.

، )5-1(و ) 4-1(ده از روابـط ، و بـا اسـتفا T0 دوره تنـاوب يـك ي بر رو tF)( از تابع گيري انتگرالبا ،ميآور ميدست به A0ب ي محاسبه ضريبرااي رابطه

1- Fourier Analysis


( ) cos( ) sin( )t T t T

n n n nt t

n

A Adt F t dt A t B t T

0 0 0 0

0 0

0 00

12 2

)1-13 ( ( )t T

tA dt F t

T

0 0

00

0

2.

)sin(را در ) 4-1(ن رابطه ي، طرف nBب يضري محاسبه يبرا tm دوره يـك يرده و بـر رو ك ضرب ،مينك ميگيري انتگرال ،T0 ،تناوب

( )sin( )

sin( ) cos( ) sin( ) sin( )

t T

mt

t T t T

m n n n n mt t

n

nm m

dt F t t

Adt t dt A t B t t

TB

0 0

0

0 0 0 0

0 0

0

1

0

2

2

)1-14 ( ( )sin( )t T

n nt

B dt F t tT

0 0

00

2.

nA يرابطـه متنـاظر بـرا . را انجـام داد گيري انتگرالتوان مي مشخص باشد، غالبا tF)( يلياگر رابطه تحل ،ر استي زصورت به

)1-15 ( ( )cos( )t T

n nt

A dt F t tT

0 0

00

2.

m حالت يبرا) 15-1(و ) 14-1(ه معادلات كم يته باشتوجه داش .ز برقرار هستندي ن0

هي فوريمدار سر 1-5در . گرفته شده است يكترونكالي ه از حوزه ي فور ي تصور مفهوم جمع جملات سر ي روش جالب برا يك

را بـا يگناليهر مولد س ـ . ردك سازي مدلال گني مولد س يكه را با ي فور يتوان هر جمله از سر مي ن روش، يا نـشان داده 4-1ل كن مـدار در ش ـ ي ـا. نـد ك مـي دي از جملات بسط تول يكيانس متناسب با كدامنه ولتاژ و فر

.شده استA0يم بــا بزرگــيان مــستقيــ جريــك A0، جملــه 4-1ل كدر شــ ان يــ جريــك B1جملــه . باشــد مــي2

ها گنالين سيردن همه ا ك با متصل يزن عمل جمع . آمپر است B1گنالي و دامنه س 1انسكننده با فر ك نوسان عنـوان بـه ن از آ يكترونكن ال يه مهندس ك است يزين اساس آن چ يا. شود مي از مدار انجام ي خروج يكبه رده ك كيكه آن تفي فوري مختلف سريها گنال را به مولفه ي س يكآنها . برند يگنال نام م ي س يانسكف فر يط

ي جهي آوردن نت دست به ي مدار را برا يت اجزا يدر نها . نندك ي م ي منفرد بررس صورت بهو رفتار هر مولفه را .نندك ي به هم وصل ميينها


فوريههايي از بسط سري مثال1-6 .كنيم در اينجا چند مثال ساده و كاربردي از بسط سري فوريه را مطرح مي

)د ينكفرض 1-1مثال )F t تناوبي با دوره 1ي تابع موج مربع يك T0 مقـدار . باشـد 3-1، مشابه شـكلي ن تابع در بازهيا ,t b b 2 ) برابر با 2 )F t hه نقاط دوره تناوب صفر استي و در بق.

.ينوسيسك-ينوسي سي هي فوريمدار سر 3-1شكل

و A0 است ضرائب يافكن ي صفر هستند و بنابرا nBب ي تابع زوج متقارن است ضرا يك tF)(چون تابع nAم،يها، دار از پالسيكيز كبا فرض قرار داشتن مبدا در مر. ميابي ب را

1- Square wave


.b و پهناي پالس T0ي تناوب يك تابع موج مربعي با دوره4-1شكل

( )T b

T bh

A dtF t dt hT b

0

02 20

0 22

2 2 2.

،nAب ي ضرايو برا

( )cos( ) cos( )T b

n n nT bh

A dtF t t dt tT b

0

02 2

0 22

2 2

م،يآور ميدست بهر دادن حدود و قراگيري انتگرالبا انجام

sin( ) sin( )

sin( ) sin( )

n nn

n

n nn

n

b bhA

b

bh bh b

b

22 2

4 2 2 22

ر نوشت،ي زصورت بهتوان مي راtF)(ن تابع يبنابرا

( ) sin( ) cos( )nn n

n

bF t h h b t

1

2 2 2.

sin)( تابع )xx)sinتابع xcدر 1 مقدار واحد، يه داراكشود ميدهي نام ،x . است0)()sin( تابع مثال ساده، بسط يك عنوان به 2-1مثال ttF واضـح طـور بهتابع ن يا. ديري را در نظر بگ

Tبا دوره تناوب 0 ،ميدار) 4-1(با استفاده از رابطه . باشد مي متناوب2

sin( ) cos( ) sin( )n nn n

At A n t B n t

0

1 12

بـا nB محاسـبه ضـرائب يبرا. صفر هستندnA تابع فرد است تمام ضرائب يك tF)(ه تابع ك يياز آنجا ،ميدار) 14-1(رابطه ه از استفاد

sin( )sin( )nB dt t nt

20

22

،شود با مي، مقدار انتگرال فوق برابر)11-1(با استفاده از شرط تعامد


n nB 1. B صفر است و مقدار B1 به جز nBن تمام ضرائب يبنابرا 1 .باشد مي1

ف يـــط. نـــديگو مـــيtF)(ف تـــابع يـــ، طtF)(ه يـــب در بـــسط فوريضـــراي بـــه مجموعـــهغالبــاً )sin()( ttF ف تـابع ير صفر در ط يغي نقطه يكن مورد تنها يدر ا . ر نشان داده شده است يل ز ك در ش

.وجود دارد

)()sin(ف تابع يط 5-1شكل ttF .

ي همـان دوره يز داراي ـن تـابع ن ي ـه ا ك ـد ي ـنكتوجه . باشد ي موج مثلث يك tF)(د ينكفرض 3-1مثال t ي ن موج را در بازهيا. تناوب تابع مثال قبل است

32 ،ردكان ير بي زصورت بهتوان مي2

( )

tt

F tt

t

22 2

2 32 2 2

.يل موج مثلثك ش6-1شكل

T تابع يتناوب اصل ي ه دوره ك يياز آنجا 0 nnباشد، مي 2 ه ك ـن ي ـبـا توجـه بـه ا . است)(tF بـا . مين ـك را محاسـبه nBبي است ضرا يافكن تنها يبنابرا. صفر هستند nAبي تابع فرد است تمام ضرا يك

،ميدار) 14-1(استفاده از رابطه

( )sin( )

sin( ) sin( )

nB F t nt dt

t tnt dt nt dt

32

23

2 2

2 2

22

1 2 22


دهد، ميجهينت

sin( )nn

Bn

2 2

82.

.ر نشان داده شده استيل زك ش دريف تابع موج مثلثيط

.يف تابع موج مثلثيط F(t) 7-1شكل

واحـد و ي دامنـه ين تـابع دارا ي ـا. مين ـك را محاسـبه يه تـابع مـوج مربع ـ ي فور يم سر يخواه مي 4-1مثال Tتناوب ي دوره 0 ،شود ميانير بي است و با رابطه ز2

( )t

F tt

1 01 2.

.ي تابع موج مربعيمنحن 8-1شكل

محاسبه شوند،nBبيتنها ضرا استيافكن تابع فرد است، يه اك ييز آنجاا

( )sin( ) sin( ) ( )sin ( )nn

B dt F t t dt nt dt nt

2 2

0 02 2 1 1 12 2

, , , ,...

, , , ,...n

nB n

n

4 1 3 5 7

0 2 4 6 8.

.ر نشان داده شده استيل زك در شيف موج مربعيط


.يف موج مربعيط 9-1شكل

ي و بعد به مربع ـي به مثلثينوسيه موج از فرم سك يم وقتيابي ي درم9-1 و 7-1، 5-1هاي لكش سهيبا مقا .ابدي يش مي بالاتر افزايانسكفرهاي مولفهي دامنهي نسبطور بهدهد، يل مكر شييتغ

.ر نشان داده شده استيل زك در شي موج مربعيك يه براي فوري سرييهمگرا

.يج مربع مويك يه براي فوري سريهمگرائ 10-1شكل

جـه جمـع جمـلات يل نت كن ش يدوم. نشان داده شده است ي اول سر ي ل سمت چپ تنها جمله كن ش يدر اول n n و 1 nل، سمت راست جمع جملات كن ش يدر آخر . است 3 1 ،n n و 3 نـشان داده 5

. شده استف ي ـاش تعر يوستگيف در نقاط ناپ ي خوش تعر صورت به يه موج مربع كن ي با وجود ا ديتوجه داشته باش ه برابر بـا مقـدار متوسـط ك همگرا شده است ي به مقداريوستگيه آن در نقاط ناپ يل فور ينشده است، اما تبد

م يبس اسـت و در ادامـه بـه آن خـواه ي ـ جالـب بـه نـام اثـر گ يمگرائ ـ اثر ه يكن يا. ن نقاط است يگام در ا . پرداخت

،ديرير را در نظر بگيتابع ز 5-1مثال

( )t

F tt t

0 00.


Tتنـاوب ي با دورهtF)(ه تابع ي فور يم سر يخواه يم 0 هـاي بـا اسـتفاده از رابطـه . مين ـك را محاسـبه 2 ،ميابي ميري زصورت بهضرائب بسط را ) 15-1(و ) 1-14(، )1-13(

( )

( )cos( ) cos( )

sin( ) cos( ) cos( )

, , ,...( )

, , ,...

( )sin( ) sin(

n

n

n

n

tA dt t dt

A

A nt dt t nt dt

t nt nt n

n n n

n

Ann

n

B nt dt t

200 0

0

0

00

2 20

22

0

1 1 10 2

21 10

1 1

0 2 4 61 1 2 1 3 5

1 10 )

cos( ) sin( ) cos( )

( )n

n

nt dt

t nt nt n

n nn

Bn

0

20

1

1

1 )س يبا انتخاب اند )n 2 را وارد بـسط nAر صـفر ي ـب فـرد و غ ي، تنها ضرا ينوسيسك در بسط nي به جا 1

،مينك ميهيفور

( )( ) cos(( ) ) sin( )

( )

n

n n

F t n t ntnn

1

21 1

2 12 14 2 1.

)ه تابعي فوري جزئيسر )F tي به ازا n n تا 1 . نشان داده شده است11-1ل ك در ش6

)ه در نقاط كم ينك مي توجه )t n 2 , ي برا 1 , ,...n 1 2 ن ي در ا . گذار دارد ، تابع از صفر به 3ن يانگي ـ بـه م ي، سـر )لـه كري د يتئور(بس يشود؟ با توجه به اثر گ مي همگرا يه به چه مقدار ي فور ينقاط سر

) يعني يوستگيناپي ر تابع درست قبل و بعد از نقطه يمقاد )

02 ر نقـاط، بـه يشود و در سا مي همگرا 2


( )F tشود مي همگرا.

.افزار متلب توليد كرد را با استفاده از نرم11-1توان شكلبا استفاده از كد زير، ميclear; t = (-4:0.1:4); % 1/0ي زماني گسسته با گام تعريف يك بازه

for k = 1:length(t) % يف تابعتعر if t(k) < 0; F(k) = 0; else F(k) = t(k); end; if t(k) < -pi; F(k) = t(k) + 2*pi; end; if t(k) > pi; F(k) = 0; end; end

Fs = (pi/4) * ones(size(t)); % ي ثابت سري فوريه توليد جمله

clf for n = 1:6 Fsبا ،n هارمونيك% رسم تابع سري گسسته فوريه،

Fs = Fs - (2/pi) * cos((2*n-1)*t)/(2*n-1)^2; Fs = Fs + (-1)^(n+1) * sin (n*t) / n;

subplot(3, 2, n), plot(t, Fs, t, F,'--')

if n==1

n جمله% 1 به ازاي Fs گذاشتن عنوان بر روي نمودار شامل F(t) و

legend('mean plus 1 term','F(t)'); legend legend boxoff else

n جمله% به ازاي Fs گذاشتن عنوان بر روي نمودار شامل F(t) و

legend(['mean plus', num2str(n),'terms'], 'F(t)') legend boxoff if n >= 5; xlabel('t'); end; end end


.tF)(ي جزئي فوريه تابع سر 11-1شكل

)(||ه تابع ي فوريم سريخواه مي 6-1مثال ttF در بازه را t ،ميابيب.

،ميه داريب فوريف ضرايبا استفاده از تعر

A tdt t dt

00 0

1 1

t tA

02 20

0

1 12 2 2 2

A 0 cos( ) sin( )nA t nt dt t nt dt

00

1 1


sin( ) cos( ) sin( ) cos( )nt nt nt nt nt nt

n n

0

2 20

, , , ,...

( ), , , ,...

nn

nA

nnn

22

0 2 4 6 82 1 1 4 1 3 5 7

sin( ) sin( )nB t nt dt t nt

00

1 1

cos( ) sin( ) cos( ) sin( )nt nt nt nt nt nt

n n

0

2 20

0

م به يديه د كطور همان. صفر باشند nBب يه ضرا كم ي تابع زوج است انتظار داشت يك tF)(ه ك يياز آنجا )ر ي مقاد يااز )n 2 )(||ه ي فور يب، سر ين ترت يبه ا . شوند مي ر صفر ي غ nAب ي ضرا 1 ttF صـورت بـه ،ديآ ميدست به

cos ( )( ) | |

( )n

n tF t t

n

21

2 142 2 1

) ه تابعي فوري جزئيسر )F tي به ازا n n تا 1 .ر نشان داده شده استيل زكدر ش 6

ttFه تابع ي فوري جزئيسر 12-1شكل )(.


ه در نظر گرفتـه ي از جملات بسط فور يمكه تعداد ك ي هنگام يشود، حت مي ل مشاهده كه در ش ك طور همانت تـابع ي ـه ماهي ـ فوريع سـر ي سـر يـي علـت همگرا . شـود مـي تابع فرد همگرايك به ي به خوب يشود سر مي)(tFاستيوستگي تابع فاقد نقاط ناپنيرا اي است ز .

بـا هـم هـا پـالس يپهنا .ديري را در نظر بگ 13-1ل كشابه ش ، م يليمستطهاي قطار از پالس يك 7-1مثال 1برابر و برابر با

هـا هماهنـگ ... ن و يم ـن، دوازده ين، هشتم يه چهارم كد ينشان ده . باشد مي تناوبي دوره 4 . شوند ميحذف

.ستفاده از نرم افزار متلب توليد كرد را با ا12-1توان شكلبا استفاده از كد زير، ميclear; t = (-4:0.1:4); % 1/0ي زماني گسسته با گام تعريف يك بازه

for k = 1:length(t) %F تعريف تابع if t(k) < 0; F(k) = -t(k); else F(k) = t(k); end; if t(k) < -pi; F(k) = t(k) + 2*pi; end; if t(k) > pi; F(k) = -t(k) + 2*pi; end; end

Fs = (pi/2) * ones(size(t)); % ي ثابت سري فوريه توليد جمله

clf for n = 1:6 Fsبا ،n هارمونيك% رسم تابع سري گسسته فوريه،

Fs = Fs - (4/pi) * cos((2*n-1)*t)/(2*n-1)^2;

subplot(3, 2, n), plot(t, Fs, t, F,'--')

if n==1

n جمله% 1 به ازاي Fs گذاشتن عنوان بر روي نمودار شامل F(t) و

legend('mean plus 1 term','F(t)'); legend legend boxoff else

n جمله% به ازاي Fs گذاشتن عنوان بر روي نمودار شامل F(t) و

legend(['mean plus', num2str(n),'terms'], 'F(t)') legend boxoff

if n >= 5; xlabel('t'); end; end end


1 پالسي با پهنايلي قطار پالس مستطيك 13-1شكل

.تناوبي برابر دوره4

بهتـر تقـارن ي مـشاهده يبـرا . ر صفر هستند ي غ ينوسيسهاي ك تنها دامنه ن تابع متقارن است يه ا ك يياز آنجا ب ثابـت يضري محاسبه يبرا. ميقرار ده ها از پالس يكيز كر مر صات را د مبدا مخت ه ك است يافكتابع تنها

A0م، يدار) 15-1(و ) 13-1(هاي ب با استفاده از رابطهي بترتينوسيسهاي ك و دامنه

T

Th

A hdxT

0

080

0 8

22

و

cos( )T

n Tn x

A h dxT T

0

08

0 08

2 2

( )sin( ) sin ( )Th n h n

cn T

0

0

22 8 2 4

, ين به ازايبنابرا , , ...n 4 8 .شوند مي صفرnAب ي ضرا12 .ديابيب را 14-1ل كدر شاي دندان اره موج ينوسيسي دامنه 8-1مثال

.ه حول مبدا نامتقارن استكاي ارهدندان موج يك 14-1شكل

هـاي ن دامنـه ي مـشخص نـا متقـارن اسـت، بنـابرا طـور بـه ، تـابع ندنـدا يـك يپهنـا ي مهيبا انتخاب مبدا در ن م،ينك را محاسبه ينوسيسهاي ه دامنهك است يافك پس . وجود ندارندينوسيسك

sin( )T

n Txh n x

B dxT T T

0

02

0 0 02

2 2


( ) cos( ) sin( ) ( )cos( )

T

T

T Th n x n x hx n

n T T nT n

0

0

2 20 02 2 20 00

2

2 2 24 2 4

)sin هكم يردكت استفاده ين واقعياز ا )n ،هكم يريگ مي جهي نتنيبنابرا. 0 B 0 0

( ) ( ),nn

hB n

n

1 21 0.

محاسـبه هـا دنـدان از يكي ك را با قرار دادن مبدا در نو sinهاي توان دامنه مي جالبي مسئله يك عنوان به گـر، يجالب دي مسئلهيك عنوان به. ردكهده را مشا ها ر انتخاب مبدا بر دامنه يتوان تاث مي بين ترت يبه ا . ردك .ردك مثبت حل ي به جايمنفهاي بي شتوان مثال فوق را با فرض مي

مسائل .ديابير را بيتوابع زي هي فوريسر) الف( -1-1 .دينكه را رسم يف فوريبا استفاده از متلب، ط) ب( .دييسه نماي مقايرا با تابع اصلها د و آنينك را رسم يمختلف جزئهاي با استفاده از متلب، جمع) ج(

( )t

F tt

1 00 0. 1

( )t t

F tt

00 0. 2

( )t

F tt t

00. 3

( )t t

F tt t

1 1 021 0 12

. 4

( )

t

F t t t

t t

0 0

0 2

2

. 5


( ) sin( )

t

F t t t

t

0 22 2 2

0 2

. 6

( ) ,atF t e L t L .7

( ) ,F t t t L t L 2. 8

( )sin( )

tF t

t t

0 00. 9

( )t t

F tt t

1 12 2

1 31 2 2

. 10

( )a t

F tt t a

0 02 0. 11

( )t

F tt t

20 0

0. 12

( ) ,t

F t t

0 22. 13

( ) cos( ),t

F t t L t LL

. 14

( ) sinh ( ) ,F t a t t 2. 15

( )

( )x L x t L

F tx Lx L L t L

2 22 0 26 8 2 4

. 16

)ه اگر كد ينشان ده -1-2 )F t تناوب ي با دوره ي تابع تناوب يكT0 ،گـاه آن باشد ( ) ( )F t F t T 03 .) يه برا ي فور ي سر يكتوان ي مي عني )F t استفاده از باn

n

T

0

2 ين سـر يه ا كد ينشان ده . ل داد كي تش 3

nه با استفاده از كاي هي فوريبا سرn

T

0

.سان استيكشود، ميل دادهكي تش2 .دينكن يير را تعي زي معرف تابع تناوبينوسيسك/ينوسيسي هي فوريسر) الف( -1-3 .ديابين تابع را بياي هيفور يي نمايب سريضرا) ب(


.3-1 ي ل مسئلهكش

ر را ي ز ير تناوب يتوابع غ از يك هر ينوسيسك/ينوسيسي هي فور يب سر يتناوب و ضرا ي دوره) الف( -1-4 از توابـع يـك هـر ي را برايتناوبي هي فوري و سريتابع اصل) ب. (دينكن ييمشخص شده، تعي بازه يبر رو . دينكرسم

( ) ,F t t t 3 0. 1 ( ) ,tF t e t 0 2. 2

)توابع ي هي فور يب سر يضرا -1-5 )X t ،( )Y t و ( )Z t ن يـي ، تعانـد شـده ر نشان داده يل ز كه در ش ك را . دينك

.4-1ي ل مسئلهكش

هاي سري فوريه ويژگي فصلفصل22

مقدمه 2-1 يب سـر يتـوان ضـرا يه چگونـه م ـ ك ـم ي ـم و نشان داد يردك يه را معرف ي گسسته فور يدر فصل قبل سر

.ميپرداز ي مين سريامهم هاي يژگي از خواص و وين فصل به بعضيدر ا. آورددست بهه را يفور

هي فوري از سرگيري مشتق 2-2ا ي ـه تـابع مـشتق و ي فور يتوان سر يم، tF)(ه تابع ي فور يسربا داشتن ا يه آ ك مينك يبررسم يخواه يم دسـت به tF)(ه ي فوري سراز جملات گيري انتگرالا ي و يريگ ق مشتقيصرفاً از طر را tF)( انتگرالتابع ــشتق .آورد ــابع م ــدا ت ــي، tF)( ابت )' يعن )F tــر ــي را در نظ ــگ م ــرض . ميري ــنكف ــري ــ فوريد س ــي ابع ه ت

dt

tdFtF

)()(' ر باشدي زصورت به،

' ' ''( ) cos( ) sin( )n n n nn

F t A A t B t

01

2.

) بودن تابع يتناوببا فرض )F t ،يعني ( ) ( )F t F t T م،ي دار،0

' '( ) ( ) ( )t T

tA F t dt F t T F t

T T

0 0

00 0

0 0

2 2 0

)2-1 ( 'A 0 0. 'ب ي محاسبه ضرايبرا

nAمي جزء انجام ده جزء بهيريگ د انتگرالي با،

' '( )cos( )

( )cos( ) ( ) sin( )

( )sin( )

t T

n nt

t Tt Tn n nt t

t T

n n n nt

A dtF t tT

F t t F t t dtT T

F t t dt BT

0 0

0

0 00 00 0

0 0

0

0

0 0

0

2

2 2

2

)2-2 ( 'n n nA B .

' بيضراnBمي داروشوند مي مشابه محاسبه روش به،

MATLAB كاربردهاي آن با استفاده از تبديلات فوريه، مفاهيم و 32

)2-3 ( 'n n nB A .

)'ه تابع ي فورين سريبنابرا )F tشود ميريل زك به ش،

)2-4 ( '( ) cos( ) sin( )n

n n n n nn

F t B t A t

1

.

،ه تابعي فوريسر 1-2مثال

( ) , ( ) ( )

t

F t t t F t F t

t t

0 0

0 00 2 2

2

باشد، ميري زصورت به

( )( ) cos(( ) ) sin(( ) )

( ) ( )

n

n

F t n t n tn n

2 21

1 1 2 12 1 2 18 2 1 2 1

)ه تابع مشتق ي فور يم سر ي خواه يم )F t يعن ـي '( )F t و بـا ) 4-2(اده از رابطـه بـا اسـتف . مين ـك را محاسـبه)ه كن يتوجه به ا )n n 2 م،يآور دست مي به 1

( )'( ) cos(( ) ) sin (( ) )

( ) ( )

n

n n

F t n t n tn n

1 1

2 1 1 12 1 2 12 1 2 1.

،ر استيه تابع زي فورفوق در واقع بسطي رابطه

'( )

t

F t t

t

0 01 0 21 2

.

هي فوري از سرگيري انتگرال 2-3)توان انتگرال مي ايه آ ك مينك يبررسم يخواه مي نجايدر ا )F t از جمـلات يري ـگ ق انتگـرال ي را از طر

)ل ضد مشتق كن منظور، شي ايبرا. مينكآن محاسبه ه ي فوريسر )F tميريگ مي را در نظر،

)2-5 ( ( ) ( )t A

f t d F 0

0 2. )تابع ) 5-2(ي با استفاده از رابطه )f t T با،شود مي برابر0

( ) ( ) ( )

( ) ( )

t t T

t

T

T

A Af t T d F d F

Af t d F

0

0

0

0 00 0

02

2

2 2

2

)2-6( ( ) ( ) ( )T

TA

f t d F T f t

0

002 0

22

33 هاي سري فوريه ويژگي: 2فصل

)ن يبنابرا )f t تناوب ي دوره ي داراT0 توان مي ب،ين ترت يابه . است( )f t ه بـسط ي فور ي سر صورت به را ،داد

)2-7 ( ( ) cos sinn n n nn n

af t a t b t

0

1 12

n در آن هكn

T

0

)ه تـابع ي بسط فوربيضران يبي رابطهم يخواه مي نونكا. است 2 )F t ،يعن ـي nA و nB ، ضد مشتق ه تابع يفوربسط بيضراو ( )f t ،يعن ـيna و nb ب يابتـدا ضـرا . ميابي ـب، راna را در نظـر م،يريگ مي

( )cos

( )sin( ) sin

t T

n nt

t Tt T

nn

tn nt

a f t t dtT

f t t AF t t dt

T T

0 0

0

0 00 0

00

0

00 0

2

2 22

)2-8( n

n

B

د،يآ دست مي به nbب ي ضراي مشابه براطور به

)2-9 ( nn

n

Ab

.

د،يآ دست مي به) 7-2(ي در رابطهnb و naب ي ضراي آمده برادست به روابط يگذاريت با جايدر نها

)2-10 ( sin cos( ) n n n n

nn

a A t B tf t

12

) يگذاريو با جا )f tم،يرفوق داي در معادله) 5-2(ي از رابطه

)2-11 ( sin cos( )

tn n n n

nn

A t a A t B td F

00 12 2

.

)توان انتگرال ميه هموارهكدهد ميفوق نشاني رابطه )F t يسـر جملـه بـه جملـه از گيـري انتگـرال را با .ردكاش محاسبه هيفور

) ه تابعي فوريسر 2-2مثال )F t t در بازهt ر استي زصورت به،

( )( ) sin ( )

n

n

F t ntn

1

12

)تابع ي هي فوريافتن سري يبرا )f t t ،ميريگفوق انتگرال بي ن رابطهياز طرف هك است يافك ،2

( ) ( )( ) cos( )

t n nt

n n

F d ntn n

22 20 1 10

1 12 22


) در آن هك )n

n n

22

1

1ن يردن طـرف ك ـفـوق و ضـرب ي در رابطـه ن مقـدار ي ا يگذاري با جا است، 12

،ميآور دست مي به، 2مقدار رابطه در

( )cos( )

n

n

t ntn

222

1

143.

ي تابع تناوبيك ي پارسوال برايتساو 2-4 يا تئوري و يلي را ي تئور يتساون ي اوقات ا يگاه. شود مي دهيمختلف د هاي لك در ش 1 پارسوال يتساو

)اگـر . اسـت ي و مهندس ـيـك زي در فياساسهاي ي ازتئورييكه ك شود ميدهينامز ين توان )F t تـابع يـك ، باشد، توان آن برابر است باT0تناوب ي ، و دوره)4-1(ي با رابطهيتناوب

* *( ) ( ) ( )cos( )t T t T t T

n nt t t

n

AF t dt F t dt A F t t dt

T T T

0 0 0 0 0 0

0 0 0

20

0 0 0 1

2 2

*( )sin( ) ( )t T

n n n nt

n n

AB F t t dt A B

T

0 0

0

22 20

0 1 1

22

)2-12 ( ( ) ( )t T

n nt

n

AF t dt A B

T

0 0

0

22 2 200 1

22

يتـوان، بـه جـا ي محاسـبه يه بـرا ك ـنـد ك مـي اني ب ين تساو يا. نشانه مزدوج مختلط است "*"در آن ه ك

) انتگرال يليا تحلي يعددي محاسبه )t T

tF t dt

0

2 . ردكه را با هم جمع يب فوريور ضراتوان مجذ مي،

)ي هي فوريسر 3-2مثال )F t t ي بازهي بر رو2 , بر ابر است با ،

( )cos( )

n

n

t ntn

222

1

143.

،ميآور دست مي به پارسواليبا استفاده از تساو

( )

n

n

n

tt dt

n

n

n

5 444

10

44

14

41

1 2 4 1165 18

2 4 1165 18

190

1 -Paseval's Equality


مقدار ي محاسبهي برايتوان راه ميبين ترتيبه اn n

4

1

. فراهم آورد1

فازيايه با زواي فوري سر2-5 يـك برحـسب ه ي فور يان سر ين راه ها ب ي از ا يكي. ه وجود دارد ي فور يسر نوشتن ي برا يگريدهاي هراوه يه برحـسب دامنـه و فـاز ش ـ ي ـ فور يان سـر ي ـدر واقع ب . ه فاز است ي زاو يكبا ينوسيسكا ي و ينوسيتابع س .آورد مي، فراهمت داردي آنها اهم دريانكا مي و ي زمانا تاخريه تقدم و ك يي هاتيمكان ي بي را برايراحت

)تـابع بـسط ي م رابطـه يخـواه مي دينكفرض )F t، ينوس ـي توابـع س برحـسب ، را تنهـا )4-1(ي رابطـه ، ،مينكان ي ب،ري زصورت به

)2-13 ( ( ) sin( )n n nn

AF t D t

0

12

،ميد داشته باشيه باكم يريگ ميجهينت) 13-2( و )4-1(بطه سه رايبا مقا sin( ) cos( ) sin( )n n n n n n nD t A t B t

م،يم، داري فوق را بسط دهياگر سمت چپ تساو sin( )cos( ) cos( )sin( ) cos( ) sin( )n n n n n n n n n nD t D t A t B t

ــا مقا ــبـ ــوق نت يـ ــه فـ ــت معادلـ ــپ و راسـ ــرف چـ ــهيسه طـ ــيجـ ــگ مـ ــم يريـ )sinه كـ )n n nA D و cos( )n n nB D ن،ي بنابرا.باشند مي

)2-14 ( n n nD A B 2 2

)2-15 ( ( )nn

n

Atg

B 1

بـا ينوس ـيتـوان بـسط س مـي بي ـن ترت يبه ا . ام هستند n ب دامنه و فاز هماهنگ ي به ترت n و nD .شود يمن هـر يـي تع يبـرا نـون كا. ردك ـ) 4-1(ي بـا رابطـه ينوسيسك ـ-ينوس ـين بـسط س يگزيرا جا ) 13-2(ي رابطه

nDي ن دامنـه ي ـ در عمـل ا .از هستندي مورد نn و nDت يمك دو nB و nAب ي ضرا يهماهنگ به جا يعن ـينوسـان ي ام متناسب بـا مجـذور دامنـه n )هماهنگ ( نوسانگر يرا انرژ ي ز ت است يه حائز اهم كاست

nDnDدر واقع . باشد مي 2

ده ي ـ ايـك ز ي ـ فـاز ن ياز طرف ـ . موج اسـت امnنگ از توان هماه ي برآورد 2 سان بهـم يك ـي طـه نق يـك شان در ي ـها ه قله كشوند مي دهي دو موج هم فاز نام يدر صورت . ساده و مهم است

.شوند ميدهي فاز نامر همي دو موج غن صورتير ايدر غ. برسند برابر دامنه مـوج 7/0 ييموج بالا ي دامنه. وج وجود دارند ل دو رشته م كن ش يدر ا . دينك توجه 1-2ل كبه ش . اسـت زمان برحسبل ك ش يمحور افق . ر دارد ي تاخ درجه 70ي به اندازه ينيي موج پا است و نسبت به ينييپا

ن يمسئله مهم اخـتلاف فـاز ب ـ . ندك ميرييه با زمان تغك ،ثابت استي نقطهيك دامنه در برحسبمحور قائم .باشد مي درجه70ه برابر با كوج است ن دو رشته ميا


ي دامنـه ي داراييمـوج بـالا . مختلـف ي تناوب يكسان اما با دامنه و فاز رهبا دو مفروض موج دو 1-2شكل

. استينيي نسبت به موج پا درجه70 و اختلاف فاز ينيي برابر دامنه موج پا7/0

)ه تابع ي فوريسر 4-2مثال ) tF t eي در بازهL t L ر استي زصورت به،

sinh( ) ( )( ) sinh( ) cos( )

( )sinh( ) sin( )

n

n

n

n

aL aL n tF t aL

aL La L n

n n taL

La L n

2 2 2 21

2 2 2 21

12

12

حـسب د بريه جدي فوريه سركنيستقل از ام. مينك يسيفاز، باز نوي هي زاوبرحسب فوق را يم سر ي خواه يمcos( )n

n t

L

برحسبا ي sin( )n

n t

L

سان و برابـر بـا يك ـ بسط بياضران شود، ي بnD خواهنـد

،مينك ميفاز را محاسبهي هيد و زاوي بسط جدبيضرا) 15-2(و ) 14-2(هاي با استفاده از رابطه. بود

sinh( )n n n

aLD A B

a L n

2 22 2 2 2

2

( ) ( )nn

n

A aLtg tg

B n

1 1.

م،يآور دست مي به) 13-2(ن طبق رابطه يبنابرا

sin( )sinh( )( ) sinh( ) n

n

nt LaLF t aL

aL a L n

2 2 2 21

2.

.رديگ مي زوج باشد در ربع دوم قرارn در ربع چهارم و اگر n فرد باشد nاگر

مسائل ،ديرير را در نظر بگيتابع ز -2-1

cos ( ),

( )n

n xxx

n

2

20

2 12 08 2 1

د،ي جمله به جمله نشان دهگيري انتگرالبا


sin ( ),

( )n

n xx xx

n

2 2

30

2 1 08 2 1.

.ديح دهيد؟ توضياول رسي دوم به معادلهي از معادلهگيري مشتقتوان با ميايآ ،ديرير را در نظر بگيتابع ز -2-2

cos( )( ) ,n

n

x nxx

n

2 2 12

1

3 112

د،يآ يدست م بهر يعبارت ز جمله به جمله گيري انتگرالبا ه كد ينشان ده

sin( )( ) ,n

n

x x nxx

n

2 3 13

1112.

.ديح دهيد؟ توضياول رسي به معادلهفوقي از رابطهگيري مشتقتوان با ميايآ ر،يز تابع فرديه براي فوريد سرينشان ده) الف( -2-3

( )t t t

F tt t t

2

22 2 02 0 2

،برابر است با

( )( ) sin

( )n

n tF t

n

3 31

32 1 2 122 1

.

،دي پارسوال نشان دهيبا استفاده از تساو) ب(

( )n n

6

61

1960 2 1

.

6 به سرعت به ين سريا

يسري محاسبهي روش آسان برايكشود و مي همگرا960( )n n

61

12 1

. است .ديسي بنوينوسيسك و ينوسيفاز سي هيل زاوكر را در هر دو شيه زيفورهاي يسر -2-4

sin ( )

( )( )

n

n tF t

n

1

2 11 22 2 1. 1

( ) ( )( ) cos

( )

n

n

n tF t

n

1

3 2 1 2 12 2 1 2. 2

( )( ) sin( )

n

n

F t ntn

1

12. 3

cos ( )

( )( )n

n tF t

n

21

2 142 2 1

. 4

فوريهسري نمايي فصلفصل33

مقدمه3-1 توابـع راي ـ اسـت ز ي توابـع مثلثـات يه جا مختلط ب يينماحسب توابع ه بر ين روش نوشتن بسط فور يمرسوم تر

هي ـل از بسط فور كن ش يان ا ين فصل به ب يدر ا . هستند ي در محاسبات دست يتر سادهجبر يدارا مختلط يينما .ميپرداز مي

هيور فيي نمايسرل ك ش3-2)cos، لرياوي با استفاده از رابطه ) sin( )ixe x i x ، در بـسط ينوسيسك ـ و ينوس ـيتوان جمـلات س ي م

ر ي اســــت مقــــاديافكــــن منظــــور يــــ ايبــــرا. ش دادي نمــــايينمــــا صــــورت بــــهه را يــــ فوريســــرcos( ) ( )n ni t i t

nt e e 1)sin و 2 ) ( )n ni t i t

nt e ei

1

ــه2 ــري را در رابط ــسته يس گس ،مي قرار ده،)4-1(ي ه، رابطهيفور

)1-4 ( ( ) cos( ) sin( )n n n nn

F t A A t B t

01

2

n ni t i tn n n n

n

A A B A Be e

i i

0

12 2 2 2 2

)3-1 ( n ni t i tn n n n

n

A A B i A B ie e

0

12 2 2 2 2

)، )1-3(اگر در رابطه )n n nC A i B 1 ،ديآ مير دري زلكن رابطه به شيا گاه آنم، ينكف ي تعر2

)3-2 ( ( ) n ni t i tn n

n

AF t C e C e

0

12.

ب ياضـر يبـرا ي تـوان رابطـه مي ،)14-1(و ) 15-1(روابط ، nB و nAب يف ضرا ينون با توجه به تعر كاnC ر بدست آورد،ي زصورت به

( ) ( ( ) cos( ) sin( ) )t T

n n n n nt

C A iB dtF t t i t dtT

0 0

00

1 1 22 2


)3-3 ( ( ) nt T i t

nt

C dtF t eT

0 0

00

1.

)ب يضرا يطور مشابه برا هب )n n nC A i B 1 ،مي دار2

)3-4 ( ( ) ( ) nt T i t

n n nt

C A iB dtF t eT

0 0

00

1 12.

،هك دينكم، توجه ينكرا ساده تر ) 2-3( رابطه كه اين يبرا

)3-5 ( ( )( )n n

n n

T T

0 0

2 2

شوند، مير محاسبهي زصورت به nCب ين رابطه، ضرايو با استفاده از ا

( ) ( )n nt T t Ti t i t

n nt t

C dtF t e dtF t e CT T

0 0 0 0

0 00 0

1 1

)3-6 ( n nC C .

ر نوشت،يل زكتوان به ش ميرا) 2-3(ن رابطه يبنابرا

)3-7 ( ( ) n ni t i tn n

n

AF t C e C e

0

12.

n، )5-3(ي با توجه به رابطه n ديآ مير دري زصورت به) 7-3(ي ، رابطه،

)3-8 ( ( ) n ni t i tn n

n n

AF t C e C e

1

0

12.

،مي دارياز طرف

( ) ( )t T t T i t

t t

AdtF t dtF t e C

T T

0 0 0 0 0

0 0

00

0 0

1 12

)3-9 ( AC0

02. شود، مير خلاصهي زصورت به) 8-3(ي ن رابطهيبنابرا

)3-10 ( ( ) ni tn

n

F t C e

.

شوند، مير محاسبهيزي رابطه باnCب يفوق ضراي در رابطه

)3-11 ( ( )t T

tC dtF t

T

0 0

00

0

1

)3-12 ( ( )

, ,...

nt T i t

nt

C dtF t eT

n

0 0

00

1

1 2.

41 فوريهسري نمايي : 3فصل

.ميابيبر را يه تابع زي فور)مختلط (يينما يم سريخواه مي 1-3مثال

( )t

F tt

1 01 0

ــه ا ــا توجــه ب ــب ــ ني ــه اك ــابع ي ــاوب يداران ت Tدوره تن 0 ــ اســت، فر2 ــا nانس هماهنــگ ك ــر ب ام براب

nn

nT

0

،مينك مير محاسبهي زصورت به را nCب ي ضرا.شود مي2

int int( ) ( ) ( )ni tnC f t e dt e dt e dt

T T T

0

00 0 0

1 1 11 1

int int

,inn

e eC e n

in in in

0

0

1 1 1 1 02 2

)cosه مقدار ك يياز آنجا ) sin( )ine n i n برابر با ( )n1ري است، مقاد nCشوند با، مي برابر

( )nnC

in

1 1 1

, ,...

, ,...n

nC i

nn

0 2 42 1 3

.

شود، مير محاسبهي زصورت بهز ين C0ب يمقدار ضر

( ) ( ) ( )C f t dt dt dtT

0

0 00

1 1 11 1 02 2 .

ر زوج يبا در نظـر گـرفتن تنهـا مقـاد . مخالف صفر هستند nCب ي ضرا nر زوج ي مقاد ين تنها به ازا يبنابراn m 2 , ي به ازا 1 , ,...m 0 1 )ه تابع ي فوري و سرnCب ي، ضرا2 )F tر ي ـ زصـورت بـه ب ي ـترته ب

،نديآ ميدر

( )m

iC

m

2

2 1

( )

( )( )

i m t

m

i eF t

m

2 122 1.


هي فوريي نمايب بسط سرير ضرايتعب 3-3

،شود ميفير تعري زصورت به C0ب يه ضركن يبا توجه به ا

)3-11 ( ( )t T

tC dtF t

T

0 0

00

0

1

)مقدار متوسط تابع عنوان بهتوان مي راب يضرن يا )F tه غالبـا ك ـرد، ك ـر ي ـتناوب تعبي دورهيك ي بر رو ،شود مي نوشتهزي نري زصورت به)3-13 ( ( )C F t0.

.باشد مي محضيقي مقدار حقيك همواره C0بي ضرنيبنابرا) را به يقي حق تيمك يك) 10-3(ي هستند، اما رابطه مختلط nCب يضرااگرچه )F t دهد مي نسبت.

)ه ك يياز آنجا )n n nC A i B 1) تابع است، اگر 2 )F t ،ب يا ضر گاه آنزوج باشدnB صفر بـوده و

nA برابر با nCب ين صورت ضرا يدر ا

)اگر تابع . شوند مي محض يقي حق ري برابر با مقاد يعني، 2 )F t فرد

)طيف دامنه و طيف فركانسي تابعتواند زير، ميبا استفاده از ك )F t، بـا ، را 1-3در مثـال .استفاده از نرم افزار متلب توليد كرد

max = 31; % فرض شدههاي ل هماهنگك تعداد

mid = (max+1)/2; % _C 0 ، محل يانيمقدار م for m = 1:max; n = m - mid; ها هماهنگي شمارهي محاسبه%

% _ ( , )C n Cnr Cni مختلط،ي هيب فوريضراي محاسبه if mod(n,2) == 0; cnr(m)= 0; cni(m) = 0; else; cnr(m) = 0; cni(m) = - 2/(pi*n); end; end nn=(1-mid):(max-mid); % x هاي د مختصهيتول

amplitude = sqrt (cnr.*cnr+cni.*cni) % ها هماهنگي دامنهي محاسبهphase = atan2 (cni,cnr); % ها فاز هماهنگي محاسبه

subplot(2,1,1); stem (nn,amplitude,'filled')% _C n هاي رسم دامنه

text(6,0.75,'amplitude','FontSize',20) %ها دامنهينحن ميعنوان گذار

subplot(2,1,2); stem (nn,phase,'filled') % _C n ي رسم فازها

text (7,1,'phase','FontSize',20) فازهاي منحنيعنوان گذار %

xlabel('n','Fontsize',20) % x محوريعنوان گذار


محـض ير موهـوم ي برابـر بـا مقـاد nCب يضـرا ني صـفر بـوده و بنـابرا nAب يان صـورت ضـر ياشد در ا ب تابع nCب يا بودن ضر يا موهوم ي يقي، حق مختلط مستقل از دير گرد كه ذ كتر شيطور پ اما همان . شوند مي( )F t باشد مييقيحقهمواره.

nCب ي ضرايف خطيط 3-4)توان مي هكهمانگونه )F t حسب را برt توان مي رد،ك رسمnC حـسب ز بر ي را نn ن ي ـبـه ا . د رسـم نمـو

از دو قـسمت nCميت مختلط است، ترسيمك يك nCهك يياز آنجا. شود مي گفتهيانسكف فريم ط يترسهـاي حـسب قـسمت را برnCتـوان مـي نيهمچن ـ. شـود ميلكيتش nانس كف فري و طnC دامنه فيطبـه هـايي طـول بـا ي از خطوط عمـود ،n و nC برحسب nCمي ترسيبرا. ردك رسم ي و موهوم يقيحق

.شود ميگفته يف خطيطم ين ترسيبه ا. شود مياستفادهمتناظر يهاnدر nC يبزرگ

.يف خطي طيكنمونه 1-3شكل

يل معموليفرانسيه در حل معادلات دي فوري سرييل نماكاربرد شك 3-5م ياگر بخواه. استيل معموليفرانسيت داربرد آن در حل معادلا كه، ي فور ي سر يينمال ك ش ياي از مزا يكامـا . شـود ميده تر يچيم غالبا حل مسئله پ ينكل استفاده يفرانسي حل معادلات د يها برا نوسيسكنوس و ياز س

.دينما مي حل مسئله را ساده تريينمااستفاده از فرم ،ديري در نظر بگيلكر را در حالت يرهمگن زيل غيفرانسيمعادله د

)3-14 ( ( ) ( )d d

A B C F t g tdtdt

22

ن ي ـهـدف از حـل ا . باشـند tبرحـسب يا توابع ي ثابت بيضراتوانند مي C و ،A ،B بيه در آن ضرا ك) تابع ردنكدا يمعادله پ )F t اگر. است ( )g t ،تـوان آن را بـه مـي ن صـورت ي ـ تابع متناوب باشد در ا يك

،ه بسط داديفور يينما ي سرلكش

)3-15 ( ( ) ni tn

n

g t D e

،ه در آنك


)3-16 ( . ( ) nt T i t

nt

D dtg t eT

0 0

00

1

)ه تابع يدر بسط فوره كد يتوجه داشته باش )g t،nDو n هستنديات معلوميمك . )تابع مجهول )F tر بسط دادي زصورت بهتوان مي را،

)3-17 ( ( ) ni tn

n

F t f e

.

)ر در بسط تابع يت نظ يمك را برابر با n مجهول است اما nf،)17-3(در رابطه )g t ميري ـگ مـي در نظـر . ،يخط ري غليفرانسي معادلات د در مورد . برقرار است يل خط يفرانسي معادلات د ين روش حل همواره برا يا

) بسط )F tه در بسط كد باشهايي انسكتواند شامل فر ي م( )g tوجود ندارند . )ه توابع ي بسط فور يگذاريبا جا )F t و ( )g t 14-3( در معادله )15-3(و ) 17-3(ب معادلات ي، بترت( ،

،ميرس ميري زيبه معادله جبر ( )n n n nA i B C f D 2

)3-18 ( ( )

nn

n n

Df

A i B C

2.

)ه تـابع ي ـبسط فور ي ر معلوم است در معادله ي مقاد برحسبه كرا nf ي آمده برا بدستي حال رابطه )F t ،ميده ميقرار

)3-19 ( ( ) ( ) ni tn

n nn

DF t e

A i B C

2

)ل حل و تابع يفرانسيب معادله دين ترتيبه ا )F tشود مينيي تع. .ميابير را بيل زيفرانسي معادله دي عمومم جوابيخواه مي 2-3مثال

)3-20 ( " ( )y y g t 9 )ي وادارندهيرويندر آن ه ك )g t، تناوب ي تابع متناوب با دورهيك2 ر استي زورتص به، )3-21 ( ( ) ,g t t t .

)هك ـ يياز آنجا )g t در واقـع معادلـه . ه دادي ـتـوان آن را بـسط فور مـي ني تـابع متنـاوب اسـت، بنـابرا يـكه ل تابع دندان اركنده به ش واداريروي نيكر ي تحت تاث هكدهد مي نوسانگر را نشان يك )20-3(ل يفرانسيد . قرار دارديا

)تابع ي هي، بسط فور )20-3(ي حل معادله يبرا )g t ان ي ـ ب تي مز .ميده مي ن معادله قرار يرا در ا( )g t ي بـازه ي معادلـه بـر رو جوابي گر، محاسبه يروش د . است tه، صحت آن در هر زمان ي فور ي سر برحسب) دلخواه )n t n 1 مـرز ن جواب در يا. استt n تـابع ي هي ـ فور ييبـسط نمـا . وسـته اسـت ي پ

( )g t ر استي زصورت به،


)3-22 ( ( )

( )( )

i n t

n

eg t

n

2 1

22

2 2 1.

،)همگني جواب معادله(مل كشامل جواب ممعادله يه جواب عمومكد ينكتوجه )3-23 ( ( ) it it

Hy t Ae Be 3 3 ) يجواب خصوصي به اضافه )Py t ندك ميل صدقيفرانسيه در معادله دك است،

)3-24 ( ( )

"

( )

i n t

P Pn

ey y

n

2 1

229 2 2 1

.

،ميزن مير حدسي زصورت بهفوق را ي ن نشده، جواب معادلهيي تعبيضرابا استفاده از روش

)3-25 ( ( )( ) i n tP n

n

y t C C e

2 10

ن،يبنابرا

)3-26 ( " ( )( ) i n tP n

n

y n C e

2 2 12 1

،دهد مي)24-3(ي در معادله) 26-3(و ) 25-3( معادلات يگذاريجا

)3-27 ( ( )

( )( )( )

i n ti n t

nn n

eC n C e

n

2 12 2 1

0 229 9 2 1 2 2 1

باشد،يقي حقt هر مقدار يد به ازايبا) 27-3(ي چون رابطه

)3-28 ( ,( ) ( )

nC Cn n

0 2 2

218 2 1 2 1 9

ن،يابنابر

)3-29 ( ( )( )( ) ( )

i n tP

n

y t en n

2 1

2 22

18 2 1 2 1 9

nن، در يكول 1 و n حير تـصح ي ـ ز صـورت بـه را ) 28-3(ي ن معادلـه يبنـابرا . ل وجـود دارد ك مـش 2 ،مينك مي

)3-30 ( ( )( )( ) ( )

it it i n tP

n

y t C te C te en n

3 3 2 1

1 2 2 22

18 2 1 2 1 9

م،يدار يساده سازسپس ، و )24-3(ي در معادله) 30-3(ي معادلهيگذاريجابا

)3-31 ( ,C Ci i

1 21 1

27 27


، باشود ميل برابريفرانسي معادله دي عمومن جوابيبنابرا

( ) it it it itF t Ae Be te tei i

3 3 3 31 1

18 27 27

)3-32 ( ( )( )( ) ( )

i n t

n

en n

2 1

2 22 1

2 1 2 1 9

مسائل .دينك با استفاده از متلب رسم رايكف هر يط) ب. (ديابير را بيتوابع زي هي فوريي نمايسر) الف( -3-1

( ) ,F t t t . 1

( ) ,tF t e t 0 2. 2

( ) ,F t t t 0 2. 3

( ) ,F t t t 2. 4

( )t

F tt

0 021 0 2

. 5

( ) ,F t t t 1 1. 6

)اگر -3-2 )g t تناوب ي تابع متناوب با دورهيكT 0 ،ر باشدي زصورت به 2

( )t

g tt

1 00 2

.دينكر را حل ي زيل معموليفرانسيمعادلات د " ( )y y g t

" ( )y y g t . 1

" ' ( )y y y g t 3 2. 2

)اگر -3-3 )g t تناوب ي تابع متناوب با دورهيكT 0 ر باشدي زصورت به 2 ( ) ,g t t t ،

.دينكر را حل ي زيل معموليفرانسيمعادلات د " ( )y y g t . 1

" ( )y y g t 4. 2 ) يدما تابان با جسميك -3-4 )y tر استيزي معادلهي، دارا،


cos( ) sin( )n nn

dyay a a n t b n t

dt

0 0 01

.

اگـر . نـد ك مـي في جـو را توص ـ ي هوا ي دما يرات زمان ييه تغ ي فور يب اتلاف گرما است و سر ي ضر aثابت ( )y T ) باشد، 00 )y tديابي را ب.

، برابر است باRLC يكيترك خازن در مدار اليك ي بر روqم بر بار كحاي دلهمعا -3-5 " 'q q q E 2 22

R در آنهك

L 2،

LC 2 1،R ،مقاومـت Cت، ي ـ ظرفL و ييالقـا خودب ي ضـر Eي هك ـ محريروي ـ ن

، برابر باEاگر . است يكيتركال

in tn

n

E e

0

) باشد، )q tديابي را ب. ) يتابع دوقطبي هي فوريسر -3-6 )F t ديابيل نشان داده شده است، بكه در شك را.


.دينكن يير را تعي زي معرف تابع تناوبينوسيسك/ينوسيسي هي فوريسر) الف( -3-7

.7-3 ي ل مسئلهكش

.ديابين تابع را بياي هي فوريي نمايب سريضرا) ب(ر را ي ز ير تناوب ي از توابع غ يك هر ينوسيسك/ينوسيسي هي فور يب سر يتناوب و ضرا ي دوره) الف( -3-8

از توابـع يـك هـر ي را برايتناوبي هي فوري و سريتابع اصل) ب. (دينكن ييمشخص شده، تعي بازه يبر رو .دينكرسم

( ) ,F t t t 3 0. 1


( ) ,tF t e t 0 2. 2

)تابع ي هي فوريسر -3-9 )F x ديرير در نظر بگي زصورت به را،

( ) ni xn

n

F x C e

.دير پاسخ دهيه به سوالات زيب فورين ضراييبدون تع)اگر ) الف( ) sin ( )F x x 2 ،nدارد؟يري چه مقاد )اگر ) ب( ) sin ( )F x x 2 ،C0 ر صفر است؟يا غي صفر )اگر ) پ( ) sin ( )F x x ا مختلط هستند؟ي محض ي محض، موهوميقي حقnCب ي، ضرا2) اگر )ت( ) sin ( )F x x

2

ا مختلط هستند؟ي محض ي محض، موهوميقي حقnCب ي، ضرا2

)اگر ) ث( ) sin ( )F x x

2 ا مختلط هستند؟ي محض ي محض، موهوميقي حقnCب ي، ضرا4

) يه را بر ا ي فور يي نما يب سر ي تمام ضرا ،يرينون بدون انجام هر نوع انتگرال گ كا) ج( ) sin ( )F x x 2 . دينكن ييتع)ي هي فور يدو سر -3-10 )S x1 و ( )S x2 يسر. ديري را در نظر بگ ( )S x1 تابع ( )Y x x 2

ي را بر رو 1x ي بازه 0 ) يدهد و سر مي نشان 1 )S x2 ي معرف تابع تناوب ( )Y x2 تناوب ي با دورهT 0 اسـت، 1 ،هك يطور هب

( ) ,Y x x x 2 0 1. )نمودار )الف( )S x1ر ي تمام مقاديه ازا را بx دينك رسم. ،ديقرار ده )ب(

( ) , ( )n nik x ik xn n

n n

S x a e S x b e

1 2.

nkن يبي ب رابطهيضراي د، و بدون محاسبهينكن يي را تعna و nbديابي را ب . . دينك را محاسبه nb و naب يون ضرانكا )ج(



) يتابع تناوب -3-11 ) ( )F t F t T ف شده است،ير تعري زصورت به هكد يري را در نظر بگ0

( ) cos

Tt

F t t t

Tt

0

0

0 2

02

.

،ردكان يبر يز صورت به هي فوريي نماي سربرحسبتوان مين تابع رايا

( ) ni tn

n

F t C e

.

)نمودار ) الف( )F t برحسب را t دينك رسم. .ديابي را بnر يمقاد) ب( .دينكن يي را تعC0، )الف(از پاسخ به قسمت ) پ( ا مختلط هستند؟ي محض ي محض، موهوميقي حقnCب يضرا) ت( .دينكن يي را تعnCب يضرا) ث( .دينكر را محاسبه يانتگرال ز -3-12

cos( ) mT i t

ndt t e 0

0.

هك

nn

T

0

.ح هستندير صحيمقاد هر دو m و nو ، 2

)اگــر بتــوان تــابع -3-13 )F t صــورت بــهه يــ فوريي نمــاي ســربرحــسب را ( ) ni tn

n

F t C e

و ، ،ردكان ير بي زصورت بهه ي فوري سربرحسباش را مشتق

( )' ni tn

n

dF tC e

dt

وجـود n و nر ين مقاد ي ب يچه ارتباط ) ب( وجود دارد؟ nC' و nCب ين ضرا ي ب يچه ارتباط ) الف( دارد؟

)د ينكفرض -3-14 )G t تناوب ي تابع متناوب با دوره يكT0 ب يه بـا ضـرا ي ـ فوري سـر يـك با باشد، وna و nbه معرف تابع كه ي فوريب سريضرا) الف. ( نشان داده شود( )F tديابير هستند را بي زي با رابطه.

( ) ( )( )

dg t d g tF t

dt dt

22

)ه ك يطين مسئله را در شرايا) ب( )G t دينكشود، حل ميه نشان دادهي فوريي نماي سريك با. .ديرير را در نظر بگي زيليفرانسيدي معادله -3-15


( )( ) ( )

dX tX t F t

dt

( )F t تناوب ي با دورهي تابع تناوبيكT0ي بازهي بر روt T ،ي ، با رابطه00

( )

Tt

F tT

t T

0

00

1 0 21 2

)نمودار ) الف. (است )F t برحسب را t دينك رسم. )ي هي فوريي نمايسر) ب( )F tدينكن يي را تع. )اگر ) ج( )X t ديابيب بسط را بيرد، ضراكان يه بي فوريي نماي سريك برحسب را بتوان. )دهد؟ مي را نشانيليفرانسيدي ن معادلهيرد اك عمليكيتركچه مدار ال )د( )F t و ( )X tهـاي گنالي چه س دهند؟ مي را نشانيكيتركال .ديرير را در نظر بگيل زكناوب نشان داده شده در ش متيتابع موج مثلث -3-16


.ديابين تابع را بي اينوسيسك/ينوسيسي هي فوريسر) الف( .ديابين تابع را بياي هي فوريي نمايسر) ب()د ينكفرض ) ج( )F t خ نوسانگر با تـابع اگر پاس. را باشدي نوسانگر هماهنگ م يكي تابع وادارنده( )X t ،هك يطور هان شود، بيب

( ) ( )( ) ( )

d X t dX tm kX t F t

dtdt

22

. ( ) nT i t

nC dtF t eT

0

00

1

)پاسخ ي هي فور يسر )X tيو سـر رده كاستفاده ) الف(ه از پاسخ خود به قسمت كساده تر است . ديابي را ب ) ي را برا ينوسيسك/ينوسيس )X t را يي نمـا ي و سـر ردهك ـ استفاده) ب(ا از پاسخ خود به قسمت يد و يابي ب ) يبر ا )X tديابي ب.

mاگر ) د(T

k 0 ) ي باشد، برا2 )X tدهد؟ مي چه رخ

،ر باشدي زصورت بهه ي فوري جزئي سرNSاگر -3-17


n

Ni t

N nn N

S C e

) و تابع ين جمع جزئين اين بيانگي مجذور ميخطا )F t شود ميفير تعري زصورت به،

( ) ( )T

N Ndt F t S tT

0

22

00

1

N از ي تـابع صـورت بهتوان مي ن خطا را يا 2 )ه ك ـن ي ـبـا فـرض ا . ردك ـ ملاحظـه nCب ي ضـر 1 )NS t

N خطا را با قرار دادن ) الف( محض باشد، يقيحق

nC

2ن عمل منجر يا. دينكنه يمك nCنسبت به ، 0

Nد يبه تول 2 اسـتاندارد ي ن معـادلات بـه رابطـه ي ـه اك ـد ي ـنـشان ده ) ب. (شود ميnC برحسب معادله 1 .انجامند ميريزي جهي نتيعنيه ي فوريب سريضرا

ر است،ي زصورت به هي فوريينما يشرط تعامد وابسته به سره كد ينكثابت -3-18

)3-33 ( ( )n mt T i t

nmt

dt e T

0 0

00

nه در آن كn

T

0

.ح استيد صح عديك n و 2

فوريهگسسته سري فصلفصل44

مقدمه4-1ل كينـد تـش يآ دست مـي بهه از نمودار ك يريا مقاد ي يتجربهاي از داده ه ي فور ياربردها، سر ك از ياريدر بس ه ي ـ فور يجـه سـر يننـد و در نت ك مـي فرض نهايت بيه تعداد نقاط را ك يليط تحل يبرخلاف شرا . شود مي دادها توابـع ي ـو ينوسيسك ـ و ينوسي از توابع س ينيشامل تعداد مع تنها ه ي فور ينجا سر ي، در ا جمله دارد نهايت بي گسـسته يسـر ل كن حالـت بـا ش ـ ي ـدر ا . باشـد مـي موجودهاي با تعداد داده برابرن تعداد يا هك است يينما .مي روبرو هست1هيفور

ه را ي ـفور گسـسته يسـر بيضرا ي عدد گيري انتگرالتوان با مي ه چگونه كم يده مي ن فصل نشان يدر ا ل كن مـش ي ـ اجتنـاب از ا يبـرا . همـراه باشـند ي جداسـاز ين اسـت بـا خطـا ك ـج مم ينتـا ن ي ـا. ردك ـمحاسبه

گـرد يج با صـرف نظـر از خطاهـا يب نتا ين ترت يبه ا . رنديگ مي كار به ل گسسته كتعامد را به ش هاي يژگيو .باشند ميحيردن همواره صحك

انس ك ـف فر ي ـ ط ي، همگ ـ ييل نمـا ك چه در ش ـ و ينوسيسك-ينوسيل س ك در ش ه چه ي فور يب سر يضرااش يانـس كف فري ـبـه ط را يكيتركگنال الي سيك، ي عملياربردهاكاغلب در . نندك يمف يگنال را توص يس

يف ـيمـت ط ي گرانقيزورهـا يق آنالي ـاز طرف ين طيا، مدرن ويتاليجيدي قبل از ظهور دوره. نندك مي هيتجز يلترهـا يف- يـك بار يه از نوارهـا ي ـ آرا يـك ا از زوره ـينـوع آنال ن ي ـ ا ان ساده يبه ب . آمد ي م دست به 2آنالوگ. ننـد ك مـي هي ـ مختلـف تجز يانـس كفر ينوارهـا را بـه يورودهـاي گناليه س ـ ك ـشوند مي لكي تش -آنالوگ

و ننـد، ك مـي ثبـت گسـسته يزمـان هاي در بازه يتاليجيد طور بهرا يگنال ورود يد س يجد يفي ط يزورهايآنال) 3عيه سريل فوريتبد يوتريامپكتم يبا استفاده از الگورسپس )FFT نندك ميديف را توليط.

بـا هـا د انتگـرال ي ـشـود، با مـي دهگنال اسـتفا يس ـ يـك هي ـفور لي ـ انجام تحل يوتر برا يامپكه از ك يهنگامرا ي ـ زدنشـو از جمـلات انجـام ي تعداد متنـاه يها بر رو يبند و تمام جمع ،ن شوند يگزيگسسته جا هاي جمع

روش يبعـد هـاي ن فـصل و فـصل ي ـدر ا . ستي ـ ن ينامتنـاه هاي يسروسته و يل توابع پ يوتر قادر به تحل يامپكFFTوتر استيامپكه توسط يل فوري انجام تحليمناسب براي وهي شيكه كم يده مي را شرح.

1- Discrete Fourier Series 2- Analog Spectrum Analyzers 3- Fast Fourier Transform


گسستهي بسط معادلات سر4-2)ه تابع يته فور گسس ي سر بسط ن گام در ياول )F t ن يي تعT0 ،در مرحلـه . گنال اسـت ي دوره تنـاوب س ـ يعني

) از N2بعد به تعداد )F t نواخـت در طـول بـازه يك طـور بـه ه ك ـشود مي گرفته نمونهT0 انـد شـده ع ي ـ توز. شده برابر با، برداري نمونهر يمقادن، يبرابنا

) از تابع يريگ نمونه 1-4شكل )F t به تعداد N 2 .مرتبه 8

)4-1 ( ( ), , , , , ,...,( )k k kT k

F F t t k NN

0 0 1 2 3 2 12 t در F0ن نمونه ي اول شود، مي مشاهده 1-4 لكه در ش كگونه همان. هستند 0 NFن نمونه ي و آخر 0 2 در 1

( )N

T Nt

N

02 1

2 1 .شود مي گرفته2

اني ـر بي ـبـا جفـت معـادلات ز ه ي ـ اسـتاندارد فور يينمـا يسـر م، ي آورد دست به 3ه در فصل كطور همان ،دشو مي

)3-10 ( ( ) ni tn

n

F t C e

)3-11 ( ( ) , , , ,...nt T i t

nt

C dtF t e nT

0 0

00

1 0 1 2

nدر آن ه ك n T گسـسته توسـط هـاي ار با داده ك يبرا) 11-3(و ) 10-3(د معادلات يبا. باشد مي 02 دي ـ شـده تول يبردار ر نمونهي مقادي بر رويق جمع متناهيمعادلات اصلاح شده از طر .وتر اصلاح شوند يامپك ،كه طوري بهشوند، مي

)4-2 ( max

( ) n n k

ni t i t

n k nn n

F t C e F C e

0

.

n صورت به يعني قبل مشابهn ،)2-4(در معادله n T ح ي عدد صحيك nر يمتغ .شود ميفي تعر02ي ر گسـسته يمتغ با tوسته ير پ يتغمنجا، يدر ا . ندك مي ريي تغ maxn يه از صفر شروع شده و تا حد بالا كاست

kt-ن شده استيگزي جا- شدهبرداري نمونههاي زماني مجموعه. از ين) 33-3(ي رابطه شرط تعامد مشابه با يكبه ،)2-4(ي در معادله nCب ي آوردن ضرا دست به يبرا

ريمقـاد يرا با جمـع بـر رو ) 33-3(ي در رابطه tي وستهير پ ي مقاد يرال بر رو انتگن منظور، يا يبرا. ميدار

55 فوريهگسسته سري : 4فصل

،مينك مينيگزي جاktي گسسته

)4-3 ( ?n m n k m k

NT i t i t i t i tnm

k

dt e e T e e

0

2 100 0

.

يحـد بـالا يـك يدارا k يس زمـان ي انـد ي جمع بر رو ،n يانسكس فر يه بر خلاف اند كد يتوجه داشته باش محاسـبات يبـا انجـام مقـدار . باشـد مـي شـده بـرداري نمونـه ا نقاط يها ه برابر با تعداد داده كمشخص است

م،يرس ميط گسستهي شرط تعامد در شراير برايزي به رابطهياضير

)4-4 ( n k m k

Ni t i t

nmk

e e N

2 1

02.

mرا در ) 2-4(ي دو طـرف رابطـه ،nCه يب گسسته فور يضراي محاسبه ينون برا كا ki te ضـرب م،يبند مي جمعk يرده و بر روك

m k m k n k m k n k

N N N N Ni t i t i t i t i t

k n nk k n n k

e F e C e C e e

2 1 2 1 2 1 2 1 2 1

0 0 0 0 0

م،ي، دار)4-4(ي ، رابطهبا استفاده از شرط تعامد

)4-5 ( (2 )m k

N Ni t

k n nmk n

e F C N

2 1 2 1

0 0

م،يرس ميnCب ي ضراير برايزي ه رابطهب بين ترتيبه ا

)4-6 ( n k

Ni t

n kk

C F eN

2 1

0

12.

،نديآ مير دري زصورت بهط گسسته يه در شراي فورين جفت معادلات سريبنابرا

)4-7 ( ( ) n n k

Ni t i t

n k nn n

F t C e F C e

2 1

0

)4-8 ( ( ) n n k

NT i t i tn n k

k

C dtF t e C F eT N

0

2 1

00 0

1 12.

.، هستندFFTع، يسري هيل فوريتم تبدي، جفت معادلات مورد استفاده در الگور)8-4(و ) 7-4(معادلات

يسي ماتربندي فرمول 4-3 كار بهوتر يامپك توسط يه به راحت ك نوشت يسيل ماتر كرا به ش ) 8-4(و ) 7-4(توان معادلات ي مي به سادگ nاگـر بـا اسـتفاده از روابـط . شوند مي گرفته n T kT و 02 Nt k0 يسي ـ عناصـر ماتر ،2 M را

،مينكف ير تعري زصورت به

)4-9 ( n ki nki t N

nkM e e


،ردك يسير بازنوي زصورت به را )8-4( و )7-4 (وابطتوان ر ميگاه آن)4-10 ( k n nkF C M

)4-11 ( n nk kC M FN

1

2. شود، مير سادهيل زكبه شز ي، ن)4-4(شرط تعامد با رابطه

)4-12 ( *nk nmmkM M N 2 .

N تا 0ن روابط از ياي ها در همه سيه اندكد يخاطر داشته باش به 2 .نندك ميريي تغ1 سيه ماتر كد ينكتوجه M شـده بـرداري نمونـه و تنهـا بـه تعـداد نقـاط سان است يك همه توابع ي برا

) شـده از تـابع برداري نمونهر ي با قرار دادن مقاد ه را ي گسسته فور يب سر يوتر ضرا يامپك. دارد يبستگ )F t، . دنك ميمحاسبهات جمع يو انجام عمل) 11-4(ي در معادله

،ديرير را در نظر بگيزگنال ي س1-4مثال ( ) cos( )F t t

ي را در بـازه ن تـابع ي ـا هي ـفور يينمـا يابتـدا فـرم اسـتاندارد سـر . اسـت ينوسيسي ك ـ مـوج سـاده يـك ه كt 0 ،مي دار)33-3(و ) 11-3(هاي با استفاده از رابطه. مينك ي مي بررس2

int

int, ,

, ,

cos( ) cos( )

( )

. ( )

ni tn

it it

n n

n n n

C e t dt e t dtT

e ee dt

C

2 20 002

1 10

1 1

1 12

1 22 2 412

cر صفر يغي تنها دو مولفهيانسكف فر ين ط يبنابرا c 1 1 1 در ب ي ـبترت ر صـفر ي غيها ن مولفهيا. دارد2هاي انسكفر و 1 1-تـوان بـا ي را م ـ هي ـ گسسته فور يسر. دهد مي رخ -گنالي س يعيانس طب كفر

T تناوبي دوره ي از تابع بر رو برداري نمونهچهار 0 شـده در بـرداري نمونـه ر يبه مقـاد . آورددست به 2 .دهد ميرا نشان شده برداري نمونهر يمقاد وبرداري نمونه دفعات 1-4جدول . دينكتوجه ) 2-4 (لكش

)cos. شده ازبرداري نمونه ريقاد و مبرداري نمونهدفعات 1-4جدول )t kF kt k

1 0 0 0 2 1 1- 2

0 3 2 3


) از تابع برداري نمونهچهار 2-4شكل ) cos( )F t t تناوب ي دورهيك در طول2.

N ي شود دارا برداري نمونه دوره تناوب يكه چهار مرتبه در ك يگناليهر س 2 س ي ماتر يك، و 4 M ،شود ميفير تعري زصورت بهه كاست

i nk

nkM e

2. باشد، ميري زصورت به M يسيش ماتريآرا

M M M M

M M M M i iM

M M M M

M M M M i i

00 01 02 0310 11 12 1320 21 22 2330 31 32 33

1 1 1 11 11 1 1 11 1

شوند، مير محاسبهي بصورت زnCب ي، ضرا1-4و جدول ) 11-4(ي با استفاده از رابطه

*n knkC M F

N

12

C

C i i

C

C i i

0123

1 1 1 1 11 1 011 1 1 1 141 1 0

،دهد ميجهيه نتك

C

C

C

C

0123

01 20

1 2

.

nب برحسب ين ضرا ي از ا يفي ط ي منحن يك n ن ي ـ از ايقـسمت . نـشان داده شـده اسـت 3-4ل ك در ش ـصـفر ر ي ـ غ C1 صـفر هـستند، و C2 و C0ب،يبا توجه بـه ضـرا . ر نامعقول است گيف معقول و قسمت د يط

يانسكفري اما مولفه . دارد ه مطابقت ي استاندارد فور يف سر يبا ط ن امر ي ا هكاست 3 يچ مفهـوم ي ه ـ 3 يانسكفري چ مولفه ي ه ارا،كآشرا يندارد، ز )cos در 3 )t كوك مـش ين مولفـه اضـاف يا. وجود ندارد


.ميپرداز ميه در بخش بعد به آنك شود ميدهي نام1نگيزايليا

)cosه ي گسسته فوريف سريط 3-4شكل )tبرداري نمونه چهار ي به ازا.

شـده از بـرداري نمونـه ر ي مقـاد آمده، دست بهب ي ضرا با استفاده از چگونه هكم ينك يم بررس يخواه مي حالnه ك ـن ي ـو با توجه به ا ) 7-4(ي رابطه يريگكار بهبا . آورد دست بهتوان مي تابع را n و kt k 2

،مياست، دار

n k

N i nki tk n n

n n

F C e C e

2 1 3

20 0

.

،شوند مي محاسبهkFر يفوق مقادي در رابطهnCب ير دادن ضرابا قرا

( ) k kit itk kF F t t e e 31 1

2 2 )cos يسمت راست معادله فوق مقدار واقع )t ي شـده بـرداري نمونه را در نقاطt 0 ، 2 ، و 3 2

ktر ير مقاد يدر سا ن يكول. دهد مي t طرف راست معادله با ،( )F t ي ه رابطـه كن ي ا يبرا. شود نمي برابر) از تابع يمعرف خوب ) 4-7( )F t ن ي و معيافك را به تعداد گنالي از سبرداري نمونهد تعداد دفعات ي باشد، با

.م پرداختين بحث خواهيشتر به اي در ادامه ب .ردكانتخاب

نگيازي ال4-4) تـابع يرا بـرا ه ي ـ گسـسته فور يسر يكنكدر قسمت قبل، ت ) cos( )F t t آن چهـار م و از ي بـرد كـار بـه

در درسـت ي مولفه يك ي نشان داد ه شده است، دارا 3-4ل كه در ش كف حاصل يط. ميردك يبردار نمونه نادرست در ي مولفه يك و 1 انس كبه مولفه فر . است 3 منـشأ . شـود مـي نگ گفته يازي ال 3

رد؟كتوان اعتماد ميفيدام قسمت از طكجاست؟ و به ك نگيازيال)cos از تابع يوقت )t تا 0ي در بازه 2 ل ي ـن دلي ـنـگ بـه ا يازيانس الك ـفر شـود ميبرداري نمونه چهار)cosتابع هكشود مي ظاهر )t3 بـا تـابع يسانيك ـقا ير دقي مقاد ي داراcos( )t و0 (بـرداري نمونـه در نقـاط 3 و و 2 ،تنـاوب ي دورهيـك در بـرداري نمونـه يشتري ـا انجـام تعـداد ب م بيتوان يم. است) 2 و2

در نگيازيال )cosاگر از كه طوري به. مينك را حذف 3 )t يـك چهار مرتبه، هشت مرتبـه در ي به جا يانـس كفري مولفـه . خواهد شـد 4-4ل كد مشابه ش يف جد ي شود ط برداري نمونهدوره تناوب بـدون 1

1- Aliasing


يانسكفري مانده است، مولفه ير باق ييتغ در نـگ يازيال يـك نون صفر اسـت، امـا ك ا 3 وجـود 7)cos هك ـل رخ داده اسـت ي ـن دل ي ـبـه ا نـگ يازيالد ين است حدس زده باش ـ كه مم ك طور همان. دارد )t7 و

cos( )t و 0( شـده بـرداري نمونـه در هشت نقطـه يسانيكر ي مقاد ي دارا 4 ، 2 ،3 4 ، ،5 4 ،3 2 ،7 .هستند) 2 و4

)cosه ي گسسته فوريف سريط 4-4شكل )tبرداري نمونه هشت ي به ازا.

طور بهگنال ي س يكف يه ط كن ي ا يابرم، يپرداز مي به آن فصل نهم ه در ك برداري نمونه يتئورمطابق با ، از گناليانس موجود در س ـ كن فر يد حداقل دو برابر بزرگتر يباد، ي آ دست به برداري نمونهند يفرآ ح با يصح بـرداري نمونهانس كحاصل تا نصف فر يانسكفرف يطه همواره كد يتوجه داشته باش . ردك برداري نمونهآن

3-4ل كف نشان داده شده در ش ـ ين ط يبنابرا). وجود نخواهد داشت ينگيازيال چيه (نان است يشده قابل اطم nnتا nn تـا 4-4ل كف ش يه ط ك ي معتبر است در حال 2 يبـه عنـوان مثـال . معتبـر اسـت 4) گناليسگر يد ) cos( ) cos( )F t t t T دوره تنـاوب يال دارا گنين س ـ ي ـا .دي ـري، را در نظر بگ 3 0 2

از آن شـش د حـداقل ي ـ مشاهده نـشود با ينگيازيچگونه ال يگنال ه ي س يانسكف فر ي در ط كه اين يبرا. استnدو برابر -مرتبه تـا حاصـل في ـن صـورت ط ي ـ در ا .ردك ـ بـرداري نمونـه تنـاوب ي دوره يـك در -3

n . نان استي قابل اطم3

يمثبت و منفهاي انسك فر4-5. ف شـود ي ـ تعر ي مقـدار متـوال N2يبـر رو جمـع ه ك ـ اسـت لازم ، تنهـا )4-4(ي بـا رابطـه شرط تعامـد در تا n0 ياريتح اخ ي عدد صح يكاز ها ف تمام جمع ي تعر با توان مي ه را ي فور گسسته يل سر ي تحل كه طوري به

)مقدار )N n 02 ي دوره يـك شـده در بـرداري نمونـه هنوز هم تعـداد نقـاط ب ين ترت يبه ا . م داد ي تعم 1 ،ر نوشتي زصورت بهتوان مين رابطه رايا. ديريدر نظر بگرا ) 7-4(ي رابطه. استN2تناوب

)4-13 ( n k

N ni t

k nn n

F C e

0

0

2 1.

يـك امـا و ،kر ي از مقـاد يساني يك ـ بـا مجموعـه [M]س يعناصر مـاتر فوق، ي رابطه يسيش ماتر ي نما يبرا ،شوند ميدي تولn افته ازيانتقال ي وعهمجم

)4-14 ( ,in k N

nkn n N n

M ek N

0 02 1

0 2 1.


.ماند ي مير باقييون تغبد يسيو روابط ماتره يفورگسسته ي سربسط حات،ين تصحيبجز ا بتوان يبردار نمونه ي تئور يريگكار بهند تا با ك ك مي مك n0ي هي عمل در انتخاب مقدار اول ين آزاد يا

بـر هـا بنـد ، جمـع ميري بگ N برابر را n0اگر . ردك محاسبه يق تر ي دق طور بهرا ه ي گسسته فور يف سر يطــازهيرو ــا Nي ب ) ت )N 1ــ تعر ــيفي ــوند و ط م ــش ــاي انسكــف حاصــل در فري Nه T ــا 02 ت

( )N T 02 انس ك ـن فر ير بـالاتر حـداقل دو براب ـ يگنال بـا نرخ ـ ين اگر س يعلاوه بر ا . شود مي گسترده 1ه وجـود نخواهـد ي گسسته فور يل سر ي از تحل ي ناش ينگيازيالچگونه يف ه ي شود، در ط برداري نمونهموجود ل كش ـ صورت به 4-4 و 3-4هاي لكف نشان داده شده در ش ي، دو ط n ي برا ين بازه ا يبا انتخاب چن . داشت

ل كد، و بـه ش ـ ي ـگنال تول ي س ـ يف واقع ـ ي ـا ط ار مشابه ب يگسسته بس يف سر يب ط ين ترت يبه ا . نديآ مي در 4-5 انسك ـفربـا هـم يشامل جملات يواقعه يفورف يرا طيز. شود ي ميواقعي هيف فوري طشگري نما يح تر يصح

اوقـات يگـاه . انس موجود است كن فر ين بزرگتر ييار مهم تع ي گام بس يكنجا يدر ا . است ي هم منف مثبت و دهنـد و مـي نـد، عبـور ك مـي انس را مـشخص كن فر يه بزرگتر ك يلتريگنال را از ف ين مقدار، س ين ا يي تع يبرا

.نندك ميبرداري نمونهگنال يتر، از س عيا سرين مقدار ي معادل با دو برابر ايسپس با نرخ يف ـيمولفـه ط . آورد مـي نـگ را فـراهم يازيالاز يگـر ير ديان تعبكامه، ي گسسته فوريسر انيروش ب ن يا

n nح ي از مولفه صـح ينگيازيالتواند به عنوان ي م 3-4ل ك ش 3 1 در )الـف (-5-4ل كف ش ـي ـط در n يفيمولفه ط . نظر گرفته شود nح ي از مولفه صح ينگيازيز ال ين 4-4ل ك در ش 7 1 ل كف ش ـ ي ـدر ط

س يه در ماتر ك يانتقالي به واسطه يفيطهاي ن مولفه يا. تاس) ب(-4-5 M ر يي با تغn0 ي مطـابق رابطـه .اند شده جا جابهه است، رخ داد) 4-14(

)الف(

)ب(

) يه براي گسسته فوريف سريط 5-4شكل )N n N 1.

، ديآ مير دريبصورت ز) 7-4(ي ، رابطهn يبا متقارن برايتقر ي با انتخاب بازهن يبنابرا


)4-15 ( n k

Ni t

k nn N

F C e

1

.

نـشان داده 5-4ل كآن در ش ـف ي ـطه ك ـcostه ي ـفور گسـسته يش سرينما) 15-4(ي رابطهيريگكار بهبا ر است،ي زصورت بهشده است،

cos( )k k

n k

N it iti t

k n kn N

e eF C e t

1

2 2.

ktي شده برداري نمونهر يمقاد يبه ازا فوق نه تنها ي سمت راست رابطه t برابر باcost ه ك ـ، بل شـود مي . است costبرابر با tر يمقادتمام يبه ازا

مسائل .ديابيه را بي فوري جزئير سريزهاي دادهيبرا -4-1

( ) , ( ) , ( ) , ( ) ,F F F F N 0 0 1 1 2 2 3 3 2 4 ( ) , ( ) , ( ) , ( ) ,F F F F N 0 1 1 1 2 1 3 1 2 4

.دي آوردست بهر را يزهاي دنبالهي هيل گسسته فوريتبد -4-2 , , ,1 2 3 4. 1

, , , , , , ,1 2 3 4 0 0 0 0. 2

،ديري را در نظر بگTتناوب ي با دورهيبعتابع موج مر -4-3

( )t T

F tT t

1 01 0،

،ن تابع برابر است باياي هي فوريسر

( )

( )( )

i m t T

m

i eF t

T m

2 2 122 1.

از است؟ي چند جمله مورد نين جمع نامتناهيب خوب از اي تقريك داشتن يبرا) الف(Tبا فرض ) ب( را tبه عنـوان نمونـه، . ديسيه بنو ي فور ي جمله از سر n محاسبه و رسم يمه برا برنا يك، 1

1/از 1/ تا 1 0/ با گام 1 .ديري در نظر بگ01) ي، نمودارهاn يني تعداد معيبه ازا) ج( )F t بر حسب t دينك نمودار رسم يك را در. ي دهي ـه بـه پد ك ـدهـد مـي از خـود نـشان يب ـي عج يه رفتار نوسان ي فور ي، سر يوستگي ناپ هر مرز يبر رو ) د( .دينك ي مختلف بررسيزمانهاي و گامها n يده را به ازاين پديا. بس معروف استيگ)تابع -4-4 ) ( ) xF x x x e 2ي را به ازا ,x 0 . ديري در نظر بگ2, ي را به ازاkFر يمقاد) الف( , ,...,k 0 1 2 .دينك محاسبه 9 .دينكن تابع را محاسبه ياي هيل گسسته فوريتبد) ب(


آمـده در قـسمت سـت د بهج يرده و با نتا كه تابع را با استفاده از برنامه متلب محاسبه يل گسسته فور يتبد) ج( .دينكسه يمقا) ب( تابع، -4-5

( ) ( ) xI x x x e 2 ) از تابع برداري نمونهبا .ديريرا در نظر بگ )I x ي عـدد صورت بهآن را ي هيب بسط فور ي در سه نقطه، ضرا

ن يـي ، تع يواقع ـي جـه يج خـود بـا نت ينتا ي سهيبا مقا . دينكرار ك پنج و هفت نقطه ت يل را برا يتحل. دينكن ييتع .از استيح باشد به چند نقطه نيصحاملا ك يه جواب عددكن ي ايد براينك)اگر -4-6 )F xي هيب فوري مجموعه از ضرايك ي داراkA و kB ،باشد ( )F x

)ب ي اسـت؟ اگـر ضـرا يبي چه ضرا يدارا )F x ل مخـتلط ك بـه ش ـkC ان شـوند، ي ـ ب( )F x چـه ي دارا است؟يبيضرا

هك ـبرقـرار اسـت يط تعامـد تـا زمـان يه شرا كد ي و نشان ده دينكمراجعه ه ي گسسته فور يبه بحث سر -4-7) برابر با nي بازه )n n N n 0 02 هـر عـدد n0 شـده و بـرداري نمونـه هـاي تعداد داده N2. باشد 1 .باشد ميح دلخواهيصح

)تابع متناوب -4-8 )F tديرير را در نظر بگيل زك نشان داده شده در ش،


.دينك رسم n را بر حسب nCف يد و طينكن يين تابع تعي ايه را براي فوريي نمايسر) الف()تابع ) ب( )dF t

dt .دينكف آن را رسم ين و طييآن را تعي هي فوريسر. ديي را رسم نما

)تابع ي هي گسسته فور يسر) ج( )F t دسـت بـه تناوبش ي دوره ي از آن در ط برداري نمونه را با شش مرتبه .دييبحث نمانگ يازيال اثر يد و بر روينكف گسسته را رسم يط. ديآور

)اگر -4-9 )F t ر باشدي نشان داده شده در زصورت به متناوب ي تابع موج مثلثيك،

.9-4ي لهل مسئكش


)تـابع ي هي ـ گسسته فور يسر) الف( )F t تنـاوبش ي دوره ي از آن در ط ـ بـرداري نمونـه را بـا چهـار مرتبـه .دي آوردست به مـشابه، بـرداري نمونهتناوب و تعداد ي با دوره ينوسيسكتابع ي هي گسسته فور ي حاصل را با سر يسر) ب(

.دينكسه يمقا)اگر -4-10 )F t t باشد،tر ي تمام مقادي به ازا2)ه ي فوريي نمايسر) الف( )S t ،ي بازهين تابع را بر رويه اكt 0 .ديابيدهد، ب مي نشان1)تابع متناوب ي هي گسسته فور يسر) ب( )S t د، بـا چهـار مرتبـه ي ـ آورد دسـت بـه ) الـف (ش ه در بخ ـ ك را

يب سـر يه را با ضـرا ي گسسته فور يب سر يضرا. دينكتناوبش، محاسبه ي از آن در طول دوره برداري نمونه .دينكسه يد، مقاي آورددست به) الف(ه در بخش ك يواقعي هيفور

)نون شش مرتبه از تابع كا) ج( )S t رار ك ـرا ت ) ب(د و مراحل قـسمت يريتناوبش نمونه بگ ي دوره ي بر رو .دينك .دينكن مسئله بحث يدر انگ يازيال اثر يبر رو) د()تابع متناوب -4-11 )F tتناوب ي ، با دورهT 0 tي بازهي، بر رو4 1 ،ديري را در نظر بگ3

( )t t

F tt t t

2

2

1 1 121 2 1 1 32

)) الف( )F t دينك را رسم.

)تـابع ي هي ـ فور يسر) ب( )F t اگـر . دي ـابي را ب( )d F

G tdt

2

)ه ك ـ، 2 )G t ي تـابع آشـنا اسـت، سـر يـك )ي هيفور )F t ي هي فوريردن آن به سركبا مرتبط را( )G tديابي، ب.

)تابع ي هي گسسته فور يسر) ج( )F t دسـت بـه تناوبش ي دوره ي از آن در ط برداري نمونه را با چهار مرتبه .دينكسه يمقاد، ي آورددست به) ب(ه در بخش ك يبي گسسته را با ضراين سريب ايضرا. ديآور

)تابع ي هي گسسته فور ينون سر كا) د( )F t تنـاوبش ي دوره ي از آن در ط ـ بـرداري نمونـه را با شش مرتبـه .دي آوردست به

فوريهتبديلات فصلفصل55

مقدمه5-1 ي نامتنـاه ي سريك را با ي تابع تناوب يكتوان مي د، همواره يردكن مشاهده يشيپهاي ه در فصل ك طور همان

بـا ي عمل ـياربردهـا كه در ك ـ ي از تـوابع يارياما بـس . ردكف ي توص ييا نما ي ينوسيسك-ينوسياز جملات س ه را بـه ي ـ فور يتوان سـر مي ه چگونه كم يده مي ن فصل نشان ي در ا . هستند ير تناوب يشود غ مي برخوردها آن ه رهنمـون ي ـل فور ي تبـد يعن ـيه ي ـ از بـسط فور يتـر ان جامع ين بحث ما را به ب يا. م داد ين دسته از توابع تعم يا

.سازد مي

هيل فوري تبد5-2)توان هر تابع مفروض مي همواره )F t آن نقـش دارنـد، ل كيه در تـش ك ـ ييانس هـا ك ـتمـام فر برحسب را). ردكف يتوص )F t اگر . باشد يتناوبريا غ ي ي تناوب تابع يكتواند مي ( )F t آن باشـد يتناوبري تابع غيك ،

لي ـمنهايـت بـي تناوب آن به سـمت ي ه دوره ك رنديگ مي در نظر ي تابع تناوب يك ي حالت حد صورت بهرا يانــسكفري در فاصــلههــا تنــاوب نوســان بزرگتــر فــرض شــود هماهنــگي ه دورهكــهــر انــدازه . نــدك مــي لكيرا تـش هـا وسـته از هماهنـگ يرشـته پ يـك در حـد كـه طوري به ،رنديگ مي گر قرار يديك از يتر يكنزد) يار جزئ ي مساحت بس يك ي هر هماهنگ دارا يدر حالت حد . دهند مي )A d ن حالـت ي ـدر ا . اسـت

،شود ميليه به علامت انتگرال تبدي فوري در بسط سرمايكزعلامت

)5-1 ( ( ) ( )cos( ) ( )sin( )F t d A t d B t

،گريان ديا به بي

)5-2 ( ( ) ( )sin( ( ))F t d D t

،توان نوشت مينيهمچن

)5-3 ( ( ) ( ) i tF t d e

. ) تابعي هيل فور يتبد يهمگ) 3-5(و ) 2-5(، )1-5(روابط )F t اگـر . شـوند مـي دهينام( )F t تـابع يـك

)ن صورت ي باشد، در ا يقيحق )A ،( )B و( )D اما هستند، يقيحقهاي تيمكز ين ( ) تواند مي . مختلط باشديتيمك


) تابع توان مي ه وارون يل فور يبا تبد ) از تابع را ( )F t ل ي اسـاس تبـد ،ن مـسئله ي ـا. آورد دسـت بـه)ه تنها كد يتوجه داشته باش .ه است يفور ) ه تابع يفورل ي تبد( )F t ه كست، بل ي ن( )F t ه يل فور يز تبد ي ن

)تابع ) شوند ميدهي نام"هيجفت فور"ن دو با هم يا. است . بـه سـمت T0 ه دوره تنـاوب ك ـ ي هنگـام ،هي ـ فور ي سـر يه چگونه حالت حد كم يده يدر ادامه نشان م

.شود ميليتبده يل فوريتبدي رابطه شود، به ميل دادهيمنهايت بي

T يه در حالت حدي فوري سر5-3 0 )د ينكفرض )F t تـوان بـا جفـت مـي ن تابع را يه ا ي فور يسر . باشد 1-5ل كش صورت به تابع متناوب يك

رد،كان ير بيمعادلات ز

)3-10 ( ( ) ni tn

n

F t C e

م،ي رابطه داريكدر ) 12-3(و ) 11-3(هاي ردن رابطهكو با خلاصه

( ) n

Ti t

n TC dt F t eT

0

02

0 2

1.

n در روابط فوق n T ا گسـسته ي ـمجـزا هـاي انسك ـ از فر ي مختلط ـ يها دامنه nCب يضرا. است 02)ه كهستند )F tدهد يل مكي را تش.

.T0تناوب ي با دورهي تابع تناوبيكنمونه 1-5شكل

ن حالـت ي ـدر اه ك ـن تفـاوت ي ـ اسـت، بـا ا ييهـا في ـطشامل ه هنوز هم ي فوري بزرگ شود سر T0اگر )ش تابع ي نما 2-5ل كش. اند شدهتر مجزا به هم فشرده يها انسكفر )F t ن تفـاوت ي با ا است 1-5ل ك در ش . نسبت داده شده استتري بزرگ مقدارT0ه به ك

67 فوريه تبديلات :5فصل

)تابع 2-5شكل )F t در حالت T T 0.

)شـود، مـي مـشاهده 3-5ل كه در ش كهمانگونه ن صورت يدر ا ند، كل ي م نهايت بي به سمت T0اگر )F t .گردد ميير تناوبي تابع غيكل به يتبد

)تابع 3-5شكل )F t در حالت T 0.

ب يضـر نهايـت بـي در حـد را ي ز تابع باشد، يانسكف فر يتواند معرف ط نمي nCي ن حالت رابطه يدر ا T01ندك ميلي به سمت صفر م.

بـه رد و روابـط مربـوط ك ـل ي ـه تحلي ـل فوريق تبـد يتوان از طر ميرا) 3-5(ل ك مانند شير تناوب يتوابع غ Tدر محدوده . آورد دست بهرا ها آن 0 گسسته يها انسك فر n وسته ي پ يانسكل به پارامتر فر ي تبدشوند مي.


T برابـر بـا يانس متوال كن هر دو فر ي ب يانسكه فاصله فر ي فور يسرگسسته فيدر ط . اسـت 02 .دگرد مينيگزي جاd با شود، ميوستهيف پي طيكل به يتبدف گسسته ين طي ايهنگام

T يدر حالت حد 0 روابـط بـه فـرم باًه غال كه ي گسسته فور يارز با سر ن معادلات هم افتي ي، برا ي را در رابطـه ) 12-3(و ) 11-3(روابط ي خلاصه شدهي شوند، رابطه ميانيب) 12-3(و ) 11-3(و ) 3-10( م،يب دارين ترتيبا ا. دهند ميقرار) 3-10(

)5-4 ( ( ) ( ) n n

Ti i t

TF t d F e eT

0

02

0 2

1.

T01ت ي ـمك) 4-5(در رابطـه . مينك يري جلوگ t ريبا متغ م تا از اشتباه يا برده كار بهرا ر يدر رابطه فوق متغ را با 2 م،ين داريم، بنابراينك مينيگزيجا

)5-5 ( ( ) ( )n n

Ti t i

Tn

F t e d F e

0

02

22.

Tه ك يهنگام 0 آنگاه n و d .ر ي مقـاد يبند رو جمعن يهمچنnز بـه انتگـرال ي ـ ن شود، ميلير تبديبه رابطه ز) 5-5( رابطه ب،ين ترتيبه ا. شود ميلي تبدي وستهير پيمقاد يرو

)5-6 ( ( ) ( )i t iF t d e d F e

1 12 2

.

1ب يضر ت ك ـجمله داخل برا. ايم كردهم يتقس يمساو دلخواه به دو قسمت طور بهرا ) 6-5(ي هدر رابط 2)ه تابع يل فور يتبد )F t ر يوسته از متغ ي تابع پ يكه كده شود ي نام و با است ( ) شود مي ش داده ي نما .

)تابع ) ًكيـك ر تف يتوان به دو معادله ز مي را) 6-5(ب معادله ين ترت يبه ا . تابع مختلط است يك معمولا ،ردك

)5-7 ( ( ) ( ) i tdt F t e

12

)5-8 ( ( ) ( )i tF t d e

12

.

ـلات فور يمعادلات فوق جفت تبد ـه نام ي وسـته ي پ لكش ـع در واق ـ ) 8-5(و ) 7-5(معـادلات .شـوند مـي دهي ،نوشتتوان ميني نمادصورت به. هستنديتناوبري توابع غيبرا) 10-3( و )12-3(-)11-3(معادلات

)5-9 ( ( ) [ ( )]F t F )5-10 ( ( ) [ ( )] F t F -1

نماد .شوند ميهديه وارون ناميل فوريتبدي ، رابطه)10-5(ي و رابطهي هيل فور يتبدي ، رابطه )9-5(ي رابطهFه و نماديل فوريانگر تبدي ب1Fباشد ميواروني هيل فوريانگر تبدي ب.

. شوند مينيگزي جاp وxي انتزاعيرهاي، متغانس ك و فرt زمانيكيزيفهاي ري متغ يمعمولا به جا


،نديآ مير دري زصورت بهه يل فوريب جفت معادلات تبدين ترتيبه ا)5-11 ( ( ) ( ) i pxp dx F x e

212

)5-12 ( ( ) ( )ip xF x dp e p

212

.

توان نوشت، ميني نمادصورت به)5-13 ( ( ) [ ( )] p F xF )5-14 ( .( ) [ ( )]F x p 1F

مزدوجيرهاي متغ5-4هـاي نـه يدر زم . رنـد يگ مـي مـورد اسـتفاده قـرار p و xيرهايمتغجفت يلات انتزاع ي در تبد مرسوم طور به

مزدوج يرهايمتغها، ن جفت يا. رنديگ مي ه قرار مورد استفاد يمختلفهاي ، جفت ي و مهندس يكزيمختلف ف و مـورد ي ـ، ارتباطـات راه دور و راد يكوسـت كدر ا انس ك ـ و فر t زمـان يرهايجفت متغ .شوند مي دهينام

pكم بـر ثابـت پلان ـ يمنتـوم تقـس و م xانك ـمهـاي ري ـجفـت متغ . رنديگ مي استفاده قرار ، وانتـوم ك درsinpبر طول موج م يپراش تقس ي هي و زاو x روزنه يرهاي و جفت متغ يكانكم ، پـراش يدر تئـور

.شوند مياستفاده نـسبت يكـي زي و به آنها مفهوم ف نندك مي استفاده يانتزاعهاي موجود عنوان به p و x از يلكدر حالت

حاصلـضرب . س هم باشـند ك بعد ع يانس، دارا ك مانند زمان و فر p و xهكد توجه داشت ياما با . دهند ميxpبعد استي عدد بيك يينما در تابع يگري مانند هر توان د .

ي و مهندس يكزين مفهوم در ف يا. شود مي دهي نام "1ف توان يط "ه كز وجود ي ن يگريد ياربردكف يتعرا از ي ـ) ا نـور ي ـ يوئي ـامـواج راد (يسي ـترومغناطكاگر توان با تـابش ال . برخوردار است اي ژهيت و يبرق از اهم

)ه بـا ك ـ نـد ك مـي ريي ـ نقطه با زمان تغ يك ن صورت ولتاژ در يابد در ا يانتقال ها ا موجبر يا ه ميق س يطر )V t ). شود مي ش داده ينما ) ه تابع يل فور ي تبد( )V t افتـه يتوان انتقال . مختلط باشد تابع يكن است ك، مم) متناسب با يانسكفري د بازه واح در ) ( ) ي بستگيثابت تناسب به امپدانس مقاومت خارج. است

)تابع . دارد ) ( ) ( ) ( )S ) تابع (SPD) 2 توان يفي ط يا چگال ي ف توان يط 2 )F t دهي ـ نام .ندك ميگيري اندازه يكيترومتر اپتكال اسپ مثعنوان بهه ك است يتيمكن همان يا. شود مي

هي وجود انتگرال فور5-5) 8-5(و ) 7-5 (يه معادلات انتگرال ـ كم يردكدر واقع فرض . ميه سخن نگفت ينجا از اعتبار معادلات فور يتا ا يعلم ـهاي ليتحله در ك ي از توابع ياديار ز ي تعداد بس يلكدر حالت . ف هستند ي تمام توابع خوش تعر يبرا

1- Power Spectrum 2- Spectral Power Density


ه را ارائـه ي ـفورهاي وجود انتگرال يق تئور ينجا بحث عم يدر ا . ف هستند ي خوش تعر اربرد دارند، ك يو عمل . مينك ميانيط وجود آن را بيم اما شرايده نمي

) اگر :اولشرط )F t برقرار باشد هموارهريه شرط زك ين معني باشد به اپذير انتگرالبع تايك ،

)5-15 ( ( )dt F t

)ه تـابع يل فور ين صورت تبد يدر ا )F t يعن ـي ( ) يعن ـيه وارون ي ـل فور ي و در رابطـه تبـد وجـود دارد .ندك ميصدق) 8-5(رابطه

)ه ي ـل فوري وجود تبدي است و برايافكشرط ، 1ه شرط كد يتوجه داشته باش ) ستي ـ شـرط لازم ن .ه در ك وجود دارند يتوابع. شوند ميدهين نامي معپذير انتگرالنند، ك مي صدق) 15-5(ي ه در رابطه ك يتوابع

بـا ن دسـته از توابـع ي ـنـد ا ك مـي صدق)8-5(ه در معادله ك هستند يلي تبد ينند اما دارا ك نمي صدق 1شرط .شوند مي پوشش داده2شرط

) اگــر تــابع :دومشــرط )F t بفــرم ( ) ( )sin( )F t t t ه كــ( باشــدω و αياريــاختهــاي ثابــت )اگر و ، )هستند ) ( )t k t ي به ازا و t )، تابع 0 ( ) )F t t باشـد پـذير انتگـرال واضح طور به

)ن صورت تابع يند، در ا كصدق ) 15-5(ي ه در رابطه كن معنا يه ا ب ) ل ي و در معادلـه تبـد وجـود دارد .ندك مي صدق)8-5( رابطه يعنيه وارون يفور

)sin)توان تابع مي مثال عنوان به ) )at at ينـد ول ـ ك نمـي صدق1 يريپذ ه در شرط انتگرالك را نام برد .ه استيل فوري تابع تبديدارا

)توابع : مشرط سو )F t و ( ) باشندته وسي پ. تــوان مــيني بنــابرارد،كــ كيــكمجــزا تفهــاي تــوان بــه بخــش مــيرادلخــواه تــابع ه هــر كــ يياز آنجــا

در مفهـوم هـا يوسـتگ ين ناپي ـن ايد ب ـي ـتابع باه، يل فوري داشتن تبديبرا اما .ردكتابع را مجزا هاي يوستگيناپ .وسته باشدي پياضير

) اگر : چهارم شرط )F t ه آني ـل فورين صورت تبـد ي باشد در اا دلتاي تابع متناوب يك، ( ) ، وجـود .ردكن ييتعآن را توان ميدارد و

يرهـا يننـد متغ ك مـي در سـه شـرط اول صـدق ه ك ـ ي اما تمام تـوابع ،ان نشد ي ب حي صر طور بهه كهر چند ي تابع دارا يمنحن، ي متناه يزماني در هر بازه هكن معنا يدار به ا رانك. شوند مي مقدار فرض كدار و ت رانك

وسـيله بـه .ستندي ـنه ي ـل فور يتبـد يدارا 5-5 و 4-5ل ك مانند ش ـ يابعو مثال ت عنوان به. باشد مي يارتفاع متناه .شود ميبسط داده) ا ضربهين كيتتوابع ( دلتابه توابعه ي وجود انتگرال فوري، تئورشرط چهارم

.باشد نميهيل فوري تبديدارا تابعني مانند ايتابع سه مقدار يك 4-5شكل


) تابع ي منحن5-5شكل ) ( )F x x a ل يجه بدون تبدي تابع بدون مرز و در نتيكن يا. xحسب بر21

.ه استيفور

هيل فوري شرط تعامد در تبد5-6ه ي ـ فوريينمـا يم شـرط تعامـد وابـسته بـه سـر ي ـ آورددسـت بـه يكه در فصل كط تعامد يبا استفاده از شرا

،ديآ ميدست بهر ي زصورت به

)3-33 ( ( )n mt T i t

nmt

dt e T

0 0

00

nه در آن ك n T ب بـسط را در يتوان ضـرا مي ن شرط يبا استفاده از ا . ح است ي صح عدد يك n و 02ه ي ـل فور ي تبـد يبـرا ) 33-3(ي بـا رابطـه عبارت تعامـد مـشابه يكتوان مي .ردكه محاسبه ي فور يينما يسر ،مينك ميشروع) 6-5(ي ن شرط از رابطهي آوردن ادست به يبرا. آورددست به

)5-6 ( ( ) ( )i t iF t d e d F e

1 12 2

،ردك يسير بازنويل زكوان به شت مي رابطه رانيا

)5-16 ( ( )( ) ( ) i tF t d F d e

1

2

،مي داركراي ديف تابع دلتايبا استفاده از تعر ياز طرف

)5-17 ( ( ) ( ) ( )F t d F t

يلتـا د برابـر بـا تـابع د ي ـت با ك ـه عبارت داخـل برا كم يريگ مي جهينت) 17-5(و ) 16-5(هاي سه رابطه يبا مقا )افته، ي انتقال كرايد )t ،يعني. باشد،


( ) ( )i td e t

1

2 توان نوشت، ميتر ياربردك صورت بهو

)5-18 ( ( ) ( )i td e t

2. ،ر استي زصورت به) 18-5(ي ابطه رل هم ارزكش

)5-19 ( ( ') ( ')i tdt e

2. iشود، تابع مي يريگ انتگرال tر ي تمام مقاد يه رو ك يهنگامند ك مي انيب) 19-5(ي رابطه te بر تمام توابع

'i te متعامد است، مگر در حالت ' . ـل فور يط تعامـد در تبـد يشـرا ) 19-5(و ) 18-5(معادلات ه ي .دشون ميدهينام

هيل فوري مدار تبد5-7)رابطــه )F t برحــسب ( ) ، ه كــ نــدك مــي اظهــارحــايتلو، )8-5(رابطــه( )F tتــوان از مجمــوع ي را مــ

،ميريگ ميهرهمان بيف انتگرال ري از تعرن ادعاياي مشاهدهيبرا. از نوسانگرها ساختيا وستهيپ

)5-20 ( ( ) lim ( ( ) )x

n

dx g x g n x x

0.

) ير منحن يدر واقع مساحت ز )g x يبه پهنا هاي لي به مستط x ف فـوق يبا اعمال تعر . م شده است ي تقس م،يدار) 8-5(بر انتگرال رابطه

)5-21 ( ( )( )( ) lim ( )i n t

n

nF t e

0 2.

)ي بـا دامنـه يـك ه هـر ك ـ است يينوسانگرها هبطه فوق معرف مجموع را )n 2 صـورت بـه ( )i n te مـشابه بـا مـدار . ردك استفاده يكيتركتوان از مدار ال مي انين ب ياي مشاهده يبرا. نندك ي نوسان م

.ش دادير نماي زصورت بهتوان ميه رايل فوريه، مدار تبدي فوريسر)شود ميل مشاهدهكه از شك طور همان )F tباشد ها مي نوسانگري ان همهي مجموع جر.

هيل فوريتبدهاي يژگي و5-8)دي ـنكن منظور فرض ي ا يبرا. مينك مي انيه را ب يفورل ي تبد ياضيرهاي يژگي از و ين بخش برخ يدر ا )F t )و )G t كه طوري بهوجود دارد ها آنه ي فورتلايتبده كدو تابع دلخواه هستند ،

( ) ( )F t F ( ) ( )G t F

مهـم و يژگ ـين ويان چنـد ي ـبه بها آني هيلات فورين دو تابع و تبديدر ادامه با فرض ا. همواره برقرار باشند


.ميپرداز ميهيل فوري تبدياربردك

)ه تابع يل فوري تبديكيتركمدار ال 6-5شكل )F t.

ير زماني تاخ5-8-1)د تابع ينكفرض )F t ي به اندازهt0 فرم هن صورت آن را ب ير دارد در ا ي تاخ( )F t t .ميده ـ مـي شي نما 0

)تابع ي هيل فوريم تبديخواه مي )F t t ،ميدار) 9-5(با استفاده از رابطه . مينك ي را بررس0

( ) ( ) ( )i tF t t dt e F t t

0 0 0

12

F

tر ير متغييبا تغ t 0 م،يآور ميدست به

( ) ( )i td e F

012


( ) ( )

i t i tie d e F e F tF0 012

)5-22 ( ( ) [ ( )] i tF t t e F tF F00. i ب فـاز ي ضـر يكه آن در يل فور يند، تبد ك مي داير پ ي تأخ t0 تابع به اندازه يكه ك ين هنگام يبنابرا te 0

.شود يضرب م

يقي توابع حقيوارون زمان 5-8-2)اگر )F t ه يل فور ي باشد، تبد يقي تابع حق يك( )F t ه ي ـل فور ي برابر با مزدوج مختلط تبد( )F t ،يعن ـي

)*برابر با ) ه تابع يل فوري از تبدهين قضي اثبات اي برا. است( )F tمينك مي شروع،

( ) ( )i tF t dt e F t

12

F

tر ير متغييبا تغ م داشتي خواه،

( ) ( )i id e F d e F

1 12 2

*

*( ) ( )id e F

12

)5-23 ( *( ) ( )F t F.

.ميريگ مي زوج و فرد بهرهتوابعي هيل فوريتبدي محاسبهي فوق برايژگيدر ادامه از و

ه توابع زوج و فرديل فوريتبد 5-8-3)اگر )F t و زوج باشد، آنگـاه يقي تابع حق يك ( ) ( )F t F t اگـر . اسـت( ) ه تـابع ي ـل فور ي تبـد( )F tميد داشته باشيه باكم يريگ ميجهينت) 23-5(ي رابطه با استفاده از، باشد،

)5-24 ( ( ) ( ) . . استيقي تابع حقيك و زوج همواره يقي تابع حقيكه يل فوريتبده ك دهد ميرابطه فوق نشان

)اگر )F t و فرد باشد، آنگاه يقي تابع حق يك ( ) ( )F t F t اگر . است( ) ه تـابع يل فوري تبد( )F tميد داشته باشيه باكم يريگ ميجهينت) 23-5(ي با استفاده از رابطه، باشد

)5-25 ( ( ) ( ) . محض استي تابع موهوميكواره و فرد هميقي تابع حقيكه يل فوريتبد هكدهد ميفوق نشاني رابطه

محضيقيف توابع حقيط 5-8-4ن تقـارن ي ـاي مـشاهده يبرا. برخوردار است مهم تقارن يژگي و يك محض از يقيتوابع حق ي هيل فور يتبد م،يار دهقر را ت يمك ،ت يمك يبه جا) 7-5(ي در رابطهه ك است يافك


( ) ( )i tdt e F t

12

)ه كن يمشروط بر ا )F t ميريگ ميجهي محض باشد، نتيقي تابع حقيك، )5-26 ( *( ) ( ) . دسـت بـه مثبـت يانـس كف فر يق ط يتوان از طر مي را ي منف يانسكف فر يطه كن معناست يفوق به ا ي جهينت

.ستي برخوردار نيديجدهاي يژگياز و ي منفيانسكف فريواقع طدر . آورد

)ه يل فوريتبد 5-8-5 )dF t

dt

)ه مشتق تابع يل فور يتبد توان يم )F t ه تابع يل فور يحسب تبد بر را( )F t ل ي از تبد اثبات، يبرا. ردكان ي ب) تقه مشيفور )F t مينك مي شروع)9-5( با استفاده از رابطه،

( ) ( )i tdF t dF tdt e

dt dt

12

F

ن يبنـابرا . مين ـك مـي جـزء بـه جـزء اسـتفاده گيري انتگرالي وهي حل انتگرال موجود در رابطه فوق از ش يبرا ،ميدار

( ( ) ( ) ( ))i t i te F t dt i e F t

12

)اگر تابع )F t ي در حالت حـد t اول در رابطـه فـوق صـفر ي نـد، جملـه كل ي ـ بـه سـمت صـفر م ،م داشتيشود و خواه مي

( ) ( )i tidt e F t i

2

)5-27 ( ( ) ( )dF ti

dt

F.

ونيمدولاس 5-8-6نـد ين فرآي ـادر . اسـت (AM) 1ون دامنـه يمدولاس ـج انتقـال اطلاعـات در ارتباطـات، ي ـراهاي از روش يكي)ي گنال با رابطه يس ) i tF t e 0 ه ك ،شود مي انتقال داده0 انس موج حامل و ك فر( )F t ياري تابع اخت يك

)ي ف دامنه يطي نهيشيغالبا ب . زمان است برحسب )F t سه با ي در مقا0 ل يم تبـد يخـواه مي . است كوچك)ي هيفور ) i tF t e 0 م،يدار) 9-5(ي با شروع از رابطه. مينك را محاسبه

( ) ( )i t i t i tF t e dt F t e e

0 01

2F

( )( ) ( )i tdt F t e

0 012

1- Amplitude Modulation


)5-28 ( ( ) ( )i tF t e 0 0F.

)هك ) ي هيل فور يتبد( )F t تـابع يانـس ك فرفي ـن اگـر ط ي بنابرا . است ( )F t م، آنگـاه ي را داشـته باش ـ)ي ف تابع مدوله شده يط ) i tF t e 0 ف تابع ي با ط برابر( )F t ف بـه ي ـنـون ط كه ا كن تفاوت ي تنها با ا ،است . ز شده استك متمر0انس كانس صفر در فرك فريجا

ياس گذاريتور مقكفا 5-8-7)اگـــر )F t ي هيـــل فوري تـــابع بـــا تبـــديـــك( ) و ،k د، ر صـــفر باشـــيـــ و غيقـــي ثابـــت حقيـــكFآنگاه ( ) ( )F kt

k k

. شود ميدهي ناميگذار اسيتور مقك غالبا فاkب ي ضر. 1 ،مي دارهيل فوريف تبديبا استفاده از تعر اثبات يبرا

( ) ( ) i tF kt dt F kt e

12

F

( ) ( )i x kdx F x ek k k

1 1 1

2

)5-29 ( ( ) ( )F ktk k

1F.

واحداي تابع پله 5-9 ،شود ميفير تعري زصورت بهه كاست، اي هكتي وستهي تابع پيكواحد اي ابع پلهت

)5-30 ( ( )t a

H t at a

10.

a فوق،ي در رابطه يعن ـيهـستند اي چنـد ضـابطه ه ك ـ ي توابع في تعر يتوان برا مي ن تابع ياز ا . دباش مي 0 را در نظـر ي مثـال تـابع پـالس مربع ـ يبـرا . ردك ـ دارند، اسـتفاده tمختلف ي ها بازه ي بر رو يف متفاوت يتعر ،ديريبگ

)5-31 ( ( )t a

F t a t a

a t

010

) صورت بهتوان مي ن تابع را يا ) ( ) ( )F t H t a H t a ن ي ـ ا يدرسـت ي مـشاهده يبرا. ردك في تعرt مثال اگـر يبرا. مينك ميي را بررسtمختلف هاي ، بازه فيتعر a ، و صـفر هـستند اي هـر دو تـابع پلـه

( )F t tگـر، اگـر ياز طرف د . شود مي 0 a ه و دوبـاره شـد يـك باشـد، هـر دو تـابع برابـر( )F t 0 a يت برا يدر نها . شود مي t a ن حالـت ي ـ، در ا صـفر اسـت ي و دوم ـيـك برابـر اي ن تـابع پلـه ي، اول ـ

( )F t )ن يبنابرا. شود مي1 ) ( ) ( )F t H t a H t a در توافق است) 31-5(ي با رابطه . تـابع برحـسب ابع ت ـ يسي ـم، بازنو ين ـكا با استفاده از نرم افزار متلب محاسـبه ه ر يل فور يم تبد ياگر بخواه


واحـد بـا نـام اي تـابع پلـه . نـد ك مـي كمك يسينو ابد و به ساده شدن برنامه ي مياي ژهيت و يواحد اهم اي پله“Heaviside”ف شده استي در متلب تعر.

ياربردكهاي مثال 5-10 شود، ميفير تعري زصورت بهتابع علامت .تابع علامتي هيل فوريتبد 1-5مثال

)5-32 ( sgn( )t

t t

t

1 00 01 0

.

)sgnتابع ن آن را با يبنابرا. ستي ن پذير انتگرالن ي مع طور به ن تابع يا )te t در آن هك ـم، يزن مي ني تخم ،مي است و دارپذير انتگرال ني معطور به ينين تابع تخميا. استكوچكار ي مقدار مثبت بسيك

F sgn( ) lim t i t t i tt e e dt e e dt

0

0012

limi i

0

1 1 12

اگر ه برابر با يل فوري باشد، مقدار تبد0i

1 22

و اگر شود، مي م،ين صورت داري در اباشد 0

sgn( ) limt

01 1 1 02

F.

وان نوشت،ت مي خلاصهطور بهن يبنابرا

)5-33 ( sgn( )t i

2 1 0

0 0F.

اي از توابـع مهـم تـابع پلـه يكـي ان شـد ي ـه ب ك ـ طـور همـان .يا تابع پله ي هيل فور يتبد 2-5مثال شود، ميانير بيزي ه با رابطهكباشد مي

( )t

H tt

1 00 0

د،ركان ير بي زصورت به تابع علامت برحسب توان مين تابع رايا

( ) sgn( )H t t 1 12 2.

ه ك ـ يياز آنجـا . ميري ـگ مـي هي ـل فور يفـوق تبـد ي ن رابطه ياز طرف اي تابع پله ي هيل فور يتبدي محاسبه يبرا

)sgn و 1ي هيل فوريتبد )tب برابر با ي به ترت( ) 2 و i

2 ،ميدار است، 1


)5-34 ( ( ) ( )H ti

2 1 12 2

F.

از به دقتيل وجود تابع دلتا نيدل آن به اما استفاده از. رديگ مي قراراستفاده غالبا مورد يل در مهندس ين تبد يا .اد دارديز

مسائل ،تابعي هيل فوريه تبدكد ينشان ده) الف( -5-1

( ) ,a tF t e a 0 ،برابر است با

( ) a

a

2 21 22

.

.دينكل را رسم ين تبديف دامنه و فاز ايمتلب، طي با استفاده از برنامه) ب()متلب ي هيبا استفاده از دستور فور) ج( ) ديابي را ب. ،تابعي هيل فوريه تبدكد ينشان ده) الف( -5-2

( ) ,a tF t te a 0 ،ت بابرابر اس

( )( )

a i

a

2 2 21 42

.


( ) ,atF t e a 2 0


( ) exp( )aa

2142

.


( )t

t

e tF t

e t

2 00



( )( )( )i i

1 32 12

.

.دينكل را رسم ين تبديف دامنه و فاز ايمتلب، طي با استفاده از برنامه) ب()تابع ) ج( )F tمتلب ي هينوشته و با استفاده از دستور فوراي را برحسب تابع پله( ) ديابيب را. ،تابعي هيل فوريه تبدكد ينشان ده) الف( -5-5

( )

( )( )

i t

i t

e tF t

e t

1

100


( )( )( )

i

21 2 12 1 1

.

.دينكل را رسم ين تبديف دامنه و فاز ايمتلب، طي با استفاده از برنامه) ب()تابع ) ج( )F tمتلب ي هيوشته و با استفاده از دستور فورناي را برحسب تابع پله( ) ديابي را ب. ،تابعي هيل فوريه تبدكد ينشان ده) الف( -5-6

cos( )( )

at tF t

t

10 1


sin( ) sin( )( ) a a

a a

12

.

.دينكا رسم ل رين تبديف دامنه و فاز ايمتلب، طي با استفاده از برنامه) ب()تابع ) ج( )F tمتلب ي هينوشته و با استفاده از دستور فوراي را برحسب تابع پله( ) ديابي را ب. ،تابعي هيل فوريه تبدكد ينشان ده) الف( -5-7

sin( )

,t t

F tt t

0 10 0 1


cos( ) cos( ) sin( ) sin( )( ) i 1 1 1 1 1 1 1

1 1 1 12 2 2 2.

.دينكل را رسم ين تبديف دامنه و فاز ايمتلب، طي با استفاده از برنامه) ب()تابع ) ج( )F tمتلب ي هينوشته و با استفاده از دستور فوراي را برحسب تابع پله( ) ديابي را ب. ،تابعي هيل فوريه تبدكد ينشان ده) الف( -5-8

( )t a t a

F tt a

0



cos( ) sin( )( ) a ai

a

22.


( )( )

t a t aF t

t a

2

0


cos( ) sin( ) sin( )( ) a a a

a a

2 3 21 4 4 22

.


( ),

t tF t

t t

1 0 20 0 2


sin( )( ) cos( )ie

i

2.

.دينكل را رسم ين تبديف دامنه و فاز اي، طمتلبي با استفاده از برنامه) ب()تابع ) ج( )F tمتلب ي هينوشته و با استفاده از دستور فوراي را برحسب تابع پله( ) ديابي را ب. ،تابعي هيل فوريه تبدكد ينشان ده) الف( -5-11

( )( )

t a t aF t

t a

210

،بر است بابرا

sin( ) cos( )( ) a a a

a

3 21 4 42

.

.دينكل را رسم ين تبديف دامنه و فاز ايمتلب، طي با استفاده از برنامه) ب()تابع ) ج( )F tمتلب ي هينوشته و با استفاده از دستور فوراي را برحسب تابع پله( ) ديابي را ب. )بسل ي ح شدهي تابع تصحيش انتگرالينما -5-12 )K a ر استي زصورت به،


( )( ) cos( )( )

( )( )

a tK a dt

t a

2 2 1 20

1 2212

و بع گاما، تاه در آن ك a و 0 ،دين رابطه نشان دهيبا استفاده از ا. است0

( ) ( )

( ) ( )( )

K a

t a aF 2 2 1 2

11 2 2

1 22

) برابر است با kثابت ي هيل فوريد تبدينشان ده -5-13 )k 2. ،دينشان ده -5-14

( ) ( ) ( )b

at d t H t a H t b .

.دينك جزء به جزء استفاده گيري انتگرالاز : ركتذــابع حق -5-15 ــيتـ ) يقـ )F tــا تبـــد )ي هيـــل فوري بـ ) ــري را در نظـــر بگ ــنكثابـــت . ديـ ) الـــف: (ديـ

( ) ( ) ) .فاز ) ب( ) برحسب تابع فرد يك است . .دينكق ير را تحقي روابط زيدرست -5-16

sin( ) ( ) ( ) ( )it H t

00 0 02 2

0 2F

cos( ) ( ) ( ) ( )it H t

0 0 02 2

0 2F

،دينشان دهاي تابع پلهي هيل فوريه و تبديل فوريتبدي با استفاده از رابطه -5-17

( )i te dti

01 1

2 2

اي

( )i te dti

01 1

2 2.

،دي نشان ده3-5ب مثال يدر تعق -5-18

sgn( )sin( )t t

00 2 2

0

2F

sgn( )cos( ) it t

0 2 2

0

2F.

از جفت توابع يكتوان هر مي هكد ي، نشان ده )20-5(و ) 19-5(ط تعامد، روابط يبا استفاده از شرا -5-19 . آورددست به يگريرا از د) 8-5(و ) 7-5(ه با روابط يل فوريتبد

فوريهتبديلات هاي كاربردي مثال فصلفصل66

مقدمه6-1ن توابـع ي ـا. شود مي بحثياربردكو ابع متداول و تيتعدادهاي يژگيه و ويل فوري تبدين فصل بر رو يدر ا

ن توابـع يااز . ت است يحائز اهم ها آنهاي يژگيشوند و دانستن و مي مشاهده ي و مهندس يكزيفور در ف وبه ن ي ـ از ايـك شده است تا در بحث هـر يدر ادامه سع . شود مي ده استفاده يچير حل مسائل پ د گسترده طور به

.شوده گنجانده يل فوري مهم و مرتبط با تبديكنك تيكتوابع،

ي تابع مربع6-2 شود، ميفير تعري زصورت به يمربعپالس تابع

)6-1 ( ( )

Tt

T TF t t

Tt

0 21 2 20 2

.

.يپالس مربع 1-6شكل

،يروشنبه

)6-2 ( ( )dt F t T

بـا اسـتفاده از . معتبر باشد ي هيل فور ي تبد يك يست دارا يبا مي است و پذير انتگرال ني مع طور بهن تابع يبنابرا


شود، مير محاسبهي زصورت به يپالس مربعي هيل فوري تبد،)7-5(ي با رابطه هيل فوريف تبديتعر

( )T

i tT dt e

2

2

12

)ن يبنابرا. ن انتگرال سر راست استيحل ا ) شود با، ميبرابر

)6-3 ( sin( )( )( )

Ti t

T

e T T

i T

2

2

1 222 2

.

)ه در داخل پوش ك نشان داده شده است 2-6ل كف در ش ين ط يا )22 يهنگـام . قـرار گرفتـه اسـت ه ك ) تابع ،0 ) ي حد متناه يراا د T 2 بـه يسانيكرا صورت و مخرج با سرعت ي، ز شود مي

)ن صفر ياول. نندك ميليصفر م ) ه ك ـ اسـت ي هنگامsin( )T 2 Tا در ي ـ ، وشـود مـي 0 2 nر يدر مقاد هستند و يگر تناوب ي د يصفرها. دهد مي رخ T 2 ،ازاي به n رخ، يـك بزرگتـر از هـاي sin يلك صورت بهه كن تابع يل ا كش. دهند مي x

xنام گرفته كنيتابع سه ك متداول است يبه قدر باشد، مي

است،

)6-4 ( sin sinxcx

x.

.يف پالس مربعيط 2-6شكل

85 فوريهتبديلات هاي كاربردي مثال :6فصل

)ف يطر هر يسطح ز توان ي مي به سادگ ) 8-5(ي رابطـه وارون بـا ي هيل فور يدتبي را با محاسبه( ،t ازاي به 0، ورد آدست به،

)6-5 ( ( ) ( )d F

2 0.

برابر است با،ي پالس مربعريسطح زن يبنابرا

)6-6 ( ( )d

2

. استT و مستقل از يمتناهن مقدار يه اكTف در حد ي ط ي برا يجالبي جهينت ش يد، با افـزا ينك توجه 2-6ل كبه ش . وجود داردT مقـدار

. مانـد ي مـي ف ثابـت بـاق ي ـر ط يه سطح ز ك استاي به گونه ن ياابد، اما ي مي شي افزا 0 اطراف ف در يطTن در حد يبنابرا كراي د يتابع دلتا هاي يژگيف تمام و ي، ط توان مي راته كنن يا. ندك مي دايرا پ) يبرا) 7-5(ي ب رابطهكيبا تر ) ردكد ييتأز ين) 19-5(ي با شرط تعامد، رابطه،

)6-7 ( ( ) lim ( )T

i t i tTT

dt e dt e

2

2

1 1 22 2

.

،ه انتگرالك يياز آنجا

)6-8 ( ( ) i tdt e

)تـابع ي هيل فوريقت تبد يست، در حق يهمگرا ن )F t امـا در . ف نـشده اسـت ي ـ تعر،نهايـت بـي ، در حـد 1ل يتبـد ي ه در داخـل رابطـه ك يرا هنگامي دارد، زياملكمفهوم ) 7-6(ي در رابطه ، تابع ير جد يمفهوم غ

)شود تابع ميوارون گذاشتهي هيفور )F t .دهد مي را1

توان دسـتور زيـر را در ، مي)1-6(يي تابع پالس مربعي، رابطهي تبديل فوريهبراي محاسبه .متلب اجرا كرد

Syms t omega;syms T positive; fourier('Heaviside(t+T/2)-Heaviside(t-T/2)',t,omega) simplify(ans)


ازاي را بـه ،)3-6(يتوان طيف فركانسي و فاز تابع سينك، با رابطهبا استفاده از كد زير، ميT . دست آورد ، با استفاده از نرم افزار متلب به1

clear;

omegan=[-20:0.01:-0.01]; % يمنفهاي انسكف فريتعر

omegap=[0.01:0.01:20];% مثبتهاي انسكف فريتعر

يمنفهاي انسك فريه برايل فوريتبدي محاسبه % f_omegap=(2*pi)^-.5.*sin(omegap/2)./(omegap/2); مثبتهاي انسك فريه برايل فوريتبدي محاسبه % f_omegan=(2*pi)^-.5.*sin(omegan/2)./(omegan/2); omega=[omegan,0,omegap]; % كلفركانسي ي بازهف يتعر تبديل فوريه در حالت كليف تابع يتعر % f_omega=[ f_omegan,(2*pi)^-.5, f_omegap];

amplitude=abs(f_omega); % دامنهي محاسبه

phase=atan2(0, f_omega);% فازي محاسبه clf; Subplot(2,1,1); plot(omega,amplitude) % يانسكف فريرسم ط

ylabel('|\Phi(\omega)|','fontsize',15) % عنوان گذاري منحني طيف فركانسي

Subplot(2,1,2); plot(omega,phase) % ازف فيرسم ط

ylabel('phase','fontsize',15) % عنوان گذاري منحني طيف فاز xlabel('\omega','fontsize',15) % label x-axes


كراي دي تابع دلتا6-3

ر است،يزهاي يژگي وي داراكراي ديتابع دلتا

)6-9 ( ( ) ,x x 0 0

)6-10 ( ( ) 0

)6-11 ( ( )x dx

1.

xن تابع در يه اك يياز آنجا 0ندك ي نميرويله پكريط دي از شرايكياز ن ي است بنابراي نامتناه . )تابع ي هيل فور يه تبد كمثال قبل بجا است ي وهيبه ش )t طـور بـه كراي ـ ديتابع دلتـا . مينك ي را بررس

،راي ز استپذير انتگرالن يمع

)6-12 ( ( ) ( )dt F t dt t

1

،ل آن ساده استي تبدو

)6-13 ( ( ) ( ) i tt e dt

1 12 2

،ر استي زصورت بهن تابع يل وارون ايتبد

)6-14 ( ( )i te

F t

12 2

)به تابع ، )18-5(ي با توجه به رابطهتوان آن را ميهك )tردكر ي تعب. )اگـر . آورددسـت بـه را ي پالس مربعيكل يتوان تبد ي، مه تابع يل فوريبا استفاده از تبد )F t يـك

است ، آنگاه مشتق آن مجموع دو تابع باشد1-6ل ك ش مشابهيپالس مربع

)يف فركانـسي،در نهايت، با اجراي كد در متلب، منحني ط ) صـورت زيـر ، و فـاز بـه .آيند دست مي به


)6-15 ( ( ) ( ) ( )dF t T Tt t

dt 2 2

ر در ي ـ ز صـورت بـه ) 22-5(ي ، بـا اسـتفاده از رابطـه افتـه ي انتقـال يابع دلتـا ن دو ت يوع ا مجمي هيل فور يتبد ،ديآ مي

( ) ( ) ( ) ( )T T

i iT Tt t e t e t

2 2

2 2F F F

)6-16 ( T T

i ie e

2 21 1

2 2

بـا اسـتفاده از يف پـالس مربع ـ ي ـ اسـت، ط يمشتق پالس مربع ي هيل فور يتبد) 16-6(ي ه رابطه ك يياز آنجا ،ديآ دست مي بهر يز صورت به، )27-5(ي رابطه

( ) sin( )Ti

i

1 1 2 22

)6-17 ( sin( )T

2 2

.در توافق است) 3-6(ي فوق با رابطهي رابطه

ي تابع گاوس6-4 ،ر استي زيلكل ك شيهنجار شده داراب ي تابع گاوسيك

)6-18 ( ( ) tF t e

2 2

ي از معادلـه ي منحن ـ يك. رده است ك تابع را بهنجار ب ثابت يرد، ضر كم ياه خو امه نشان ه در اد ك طور هماننـا و پهي هـر دو مشخـصه αه چگونـه پـارامتر ك ـد ينكتوجه . نشان داده شده است ) 3-6(ل كدر ش ) 6-18(

.دهد مير قراريارتفاع پالس را تحت تاث

.يپالس گاوس 3-6شكل


،شود ير محاسبه مي زصورت بهر پالس يسطح ز

)6-19 ( tA dt e

2 2.

xابتدا . مينك ياستاندارد استفاده مي وهي ش يكاز ن انتگرال ي ا محاسبهيبرا t مينك مينيگزي را جا،

)6-20 ( xA dx e

21

م،يريگ مي را در نظرمربع سطحي معادلهسپس

( ) x yA dx e dy e

2 22 1

)6-21 ( ( )x ydx dy e

2 21 ر يي ـبـا تغ . اسـت يارتك ـ د x-yي تمام صفحه ي بر رو ي، انتگرال )21-6(ي معادلهه انتگرال آخر كتوجه شود

x يگذاري و جا يل قطب كبه ش ها ريمتغ y 2 2 dxdy و 2 d d ر ي زصورت به) 21-6(ي ، معادله ،ديآ ميرد

)6-22 ( ( )( )A d d e

222

0 01

dانتگرال تور ك فا ي به سادگ2 دهد و حل انتگرال مي راd م يرس ـ مـي تيدر نها . ز سر راست است ي ن به،

)6-23 ( ( )A 2 1 ن،يبنابرا

)6-24 ( tdt e

2 2 1

. است، و برابر با مقدار واحدα بهنجار شده مستقل از مقدار يگاوس ير منحنين سطح زيبنابرا م،ينك ميار شده را محاسبه بهنجيه تابع گاوسيل فوريتبدنون كا

( ) t i te e dt

21

2

)6-25 ( ( )t i te dt

2 2

2

را بـه آرگومـان تـابع ت ي ـمكن منظور ي ا يبرا. ردكامل محاسبه كمربع ي وهيتوان به ش مي ل را ن انتگرا يا م،ينك ميمكم و ييافزا يي مينما

)6-26 ( ( )t i t 2 2 ل كآن را بـه ش ـ د بتـوان ي ـ، با امـل دهـد كل مربـع كيتـش ) 26-6(ي ه عبارت داخل پرانتـز رابطـه كن ي ا يبرا


( )t نوشت،2 ( ) ( )t i t t 2 2 2

)6-27 ( t t 2 2 22 ،شود مينيير تعي زصورت به مقدار ،)27-6(ي از معادله

t i t 2 ،نيبنابرا

)6-28 ( i

2 و

)6-29 (

2224

. ردك يسير بازنوي زصورت بهتوان ميرا) 25-6(ي ن معادلهيبنابرا

( )i

te e dt

22

2 242

i با انتخاب را گيري انتگرالن يتوان ا ي ميبه سادگx t

2 و dx dt ،انجام داد

( ) x dxe e

2

2242

)6-30 ( e

2241

2

، استيگري ديوسا، تابع گيوساتابع گي هيل فورين تبديبنابرا

)6-31 ( te e

22 2 241

2F.

شي افـزا يف گاوس ـ ي ـ ط يه پهنـا ك ـاسـت ي در حـال نيا. ابدي مي اهشك يوسا پالس گ ي پهنا ،α شيبا افزا ) تـابع يپهنـا :ه اسـت ي ـت فور لاي و مهم تبد يلك يژگي و يكن يا. دينك توجه 4-6ل كشبه .ابدي مي )F t )ل ي تبديشه با پهنايهم ) ي، پهنايگاوسدر مورد تابع . س داردكنسبت ع ( )F tبا برابر است باي تقر،

)6-32 ( t 1

) يه پهناك يدر حال ) با برابر است باي تقر، )6-33 ( 2


، ثابت استين دو مقداري اضرب حاصلن يبنابرا)6-34 ( t 2.

.ه آنيل فوري و تبديگاوسپالس 4-6شكل

.آن در حد ي هيل فوري و تبديگاوسپالس 5-6شكل

tي رابطههي هر جفت فوري برايلكدر حالت C ه ك ، برقرار استC ه بـه ك ـ ثابت است يكي هي ـن پا ي، ا يكانكم م وانتوك ي موج يدر تئور . دارد يتابع بستگ هر يق پهنا يف دق يل هر دو تابع و تعر كش . زنبرگ استيت هاي اصل عدم قطعياضير

در . ردك ـاسـتفاده ، كراي ـ د يتـابع دلتـا ي هيل فور ي آوردن تبد دست به يتوان برا ي مي از تابع گاوس ) بـه يس ـگاوشـود، تـابع مـي مـشاهده 5-6ل كه در ش ـ ك ـ طور همان، يحالت حد )t ل ي و تبـد

1اش به مقدار هيفور . ندك ميلي م2

تـوان دسـتور زيـر را در ، مـي)18-6(يي تابع گاوسـي، رابطـهي تبديل فوريهبراي محاسبه .متلب اجرا كرد

Syms pi t omega; Syms alpha positive fourier('(alpha/(pi)^.5)*exp(-alpha^2*t^2)',t,omega) simplify(ans)

ب يتنهـا تفـاوت در ضـر . در توافـق اسـت ) 31-6(ي د بـا رابطـه ي ـآ دست مـي بهه اي ك جهينت

12

) صورت بهه يل فور يف تبد يل تعر يه به دل كت، اس ) ( ) i tF t e dt

در .باشدمتلب مي


ي توابع تناوب6-5 را )7-5(ي رابطـه گيـري انتگـرال را ي ـ، ز ردك ـرا محاسـبه يبع تنـاوب تواه يل فور يتبدتوان نمي مي مستق طور به

ن ي ـ ظاهر شود، ا ي انتگرال ي خارج از عملگرها كراي د يه تابع دلتا كم ياگر اجازه ده اما . انجام داد توان نمي .رود ين ميت از بيمحدود) مثال تابع عنوان به ) sin( )F t tر استي زصورت بهه آن يل فوريتبد. ديري را در نظر بگ،

( ) ( )

( ) sin ( )i t

it iti t

it it

dt e t

e edt e

i

dt e e dti

1 1

121

221

2 2

)6-35 ( ( ) ( )i

1 12 ، 6-6ل كش ـ. صورت گرفته است ) 19-5(ي رابطه در با استفاده از شرط تعامد ييانتگرال تابع نما ي محاسبه

.دهد ميه را نشانيفورل يتبدن جفت يا

)sinتابع ي هيل فوريتبد 6-6شكل )t.

.ه باشـد ي ـ فور يان سـر ي ـ ب ي بـرا يراه ـتواند مي ،)35-6(ي مانند رابطه ه شامل توابع يل فور ي تبد يك ـ فور يه را به سر ي، انتگرال فور اساسا تابع تـابع واروني هي ـل فوريتبـد مثـال، يبـرا . نـد ك مـي ليه تبـد ي

،ر استي زصورت به ينوسيس

( ) ( ) ( )i t

it it

F t d e i

e ei

1 1 122

12

)6-36( ni tn

n

C e


C بـه جـز nCب ين تـابع تمـام ضـرا ي ا يه برا ك i1 1 C و 2 i 1 1 ين تـابع دارا ي ـا. صـفر هـستند 2Tتناوب ي دوره 0 nهاي انسك فر نيو بنابرا ، 2 n ه ي ـ فور ي سـر يبه سادگ ) 36-6(ي رابطه. است .باشد ي مينوسيتابع س

در .ردك ـ محاسـبه كراي دي توابع دلتايريارگك ه را با بيتوابع تناوبي هيل فور يتوان تبد مي جهيدر نت ي سـر ر دادن آن در داخـل انتگـرال وارون ه بـا قـرا ك ـ اسـت، از توابـع يسر يكل ين تبد ي ا يلكحالت ل يرا تبـد ي ـ، ز مياز نـدار ي ـه ن ي ـ فور ي سر ي برا ي مجزائ يبند فرمول به رين تعب يبا ا . دهد مي رامتداول ي هيفور .ه استي فوريسرهاي يژگيتمام وه شامل يفور

از توابع دلتاي قطار نامتناهيك 6-6 F(t)ن قطـار را بـا تـابع ي ـا. باشـد مـي از توابـع ي قطـار نامتنـاه كيه يفور لي تبد ،لات جالب ي از تبد يكي م،ينك ميفير توصي زصورت به

)6-37 ( ( ) ( )n

F t t nT

0.

بـا ي تقر لي تبـد يـك ن ي ـا. اسـت توابـع از مجمـوع يكه آن يل فور ي است، تبد يبع تناوب تا يكن يچون ا . شودرحله محاسبهد مرحله به ميسخت است و با

)د ينكفرض . مينك مي از توابع دلتا را محاسبه يتناهقطار م ي يك هيل فور يتبدابتدا )mF t0 ، قطـار يـك ر باشد،ي زصورت به تابع دلتا m0 از يمتناه

)6-38 ( ( ) ( )m

mn m

F t t nT

0

00

0.

مـشروع ي هي ـل فوري تبـد ين داراي است، بنابرا پذير انتگرال) 15-5(ي در مفهوم معادله ن تابع ين، ا يقي طور به م،ي، دار)7-5(ي ه، رابطهيل فوريتبدي با استفاده از رابطه .باشد مي

( ) ( )

( )

mi t

mn m

mi t

n m

dt e t nT

dt e t nT

0

00

0

0

0

0

12

12

)6-39 ( m

i nT

n m

e

01

2

)ه ك يياز آنجا )mF t0 برحسب تابع زوج يكو ، يقي حق t ر ي تمام مقـاد ازاي بهه آن يل فور ي است، تبد .باشد مي محضيقيحق

) يانسك فر يوابستگ )m 0 از اي ل مجموعـه يتبـد ن ي ـا. ردك ـر ي تفـس يكـي گراف صورت به توان مي راnTي هي ـ زاو يـك مقدار واحد بـوده و در ي دارا يكه هر كزورهاست، يف مخـتلط قـرار ي در صـفحه 0


نـشان داده شـده 8-6ل كه در ش ك طور همان. نشان داده شده است 7-6ل ك در ش يزورين ف ي چن يك. دارند ازاي بهاست، تمـام حاصل جمع ن حالت، يدر ا. رنديگ ميان قراريصفر رادي هيزاوزورها در يام ف تم ،0

شود با، ميورها برابرزيف

)6-40 ( ( )mm

02 102

.

. از توابع يقطار متناه ي يك هيل فوري تبديزورهاي از فيكي 7-6شكل

ازاي به از توابع يقطار متناه ي هيل فوريتبد 8-6شكل 0.

nزور بـا ي ـف. ننـد ك مي شروع به خم شدن ،9-6ل ك، مطابق ش 8-6ل كزورها در ش ي ف ش يبا افزا 0 ،nT ياي ـب در زوا ي ـ بترت n و nگـر ي د يزورهـا يف. ان قـرار دارد يهمواره در صفر راد nT و 0 0

ك ت ـ يـك شـود، حاصـل هنـوز هـم مـي مشاهده 9-6ل كه در ش ك طور همان ،ل تقارن يبه دل . شوند مي واقعTه ك ـ يهنگـام .افته اسـت ياهش ك اش يست، اما بزرگ ان ا يزور با فاز صفر راد يف ي اسـت، تمـام 02) ميو دار شوند مي ان هم راستا يزورها دوباره در صفر راد يف ) ( )m mT 0 002 هـر گـاه لذا. 0Tه ك .نه را خواهد داشتيشين مقدار بياه يل فوريبد باشد، ت2 از يحيمضرب صح 0


مقدار يك ازاي به، از توابع ي قطار متناهي يك هيل فوريتبد 9-6شكل 0.

.زورهايمجموع ف 10-6شكل

) يته برا بس ي منحن يك، يارير اخت ي مقاد يبرا )m 0 مجمـوع از اي ل سـاده كش ـ. ديآ دست مي به د،يريزورها را در نظر بگيف

)6-41 ( n m

inx

n m

e

0

0

mمجموع ) 41-6(ي معادله 02 xي هي ـ زاو يـك و در بوده مقدار واحد ي دارا يكه هر ك زور است ي ف 1 ي براي روش هندسيك 10-6ل كش. مختلط قرار گرفته استي خود در صفحه يزور قبل يان نسبت به ف يراد

واقع بر نمودار ي ه از هر نقطه كانتخاب شده است اي به گونه Pي نقطه. دهد مي ن جمع را نشان ياي محاسبه APBي هي ـ واحـد اسـت و زاو ABي قطعهرا طول ين فاصله ساده است ز ين ا ييتع. دارد يساني يك فاصلهن يبنابرا. است xبرابر sin( )AP x 1 2 )ي هي ـه زاو ك ـ يياز آنجـا . باشـد مي 2 )APJ m x 02 1

،ديآ دست مي بهر يزي با رابطهAJاست، طول بخش


)6-42 ( sin ( )

sin ( )

minx

n m

xm

AJ ex

0

0

02 1 2

2

ن طــول حاصــل يــادر واقــع n m

inx

n m

e

0

0

ل ي، تبــد)39-6(ي در رابطــه) 42-6(رابطــه بــا قــرار دادن . اســت ،ديآ دست مي به از توابع دلتا ي قطار متناهي يك هيفور

)6-43 ( sin ( )( )

sin( )m

T mT

00 0

0

2 1 212

2.

m ازاي بهن تابع را يا از ي منحنيك 11-6ل كش 0 .دهد مي نشان3

m ازاي به از توابع ي متناه قطاري يك هيل فوريتبد 11-6شكل 0 3.

m از توابع دلتا را با گـرفتن حـد يمتناهنا قطار ي يك هيل فور ي توان تبد يم 0، 6(ي از معادلـه- يابد، در حالي ميشي افزا11-6ل كنه در شيشي، ارتفاع هر ب m0ش يه با افزا ك شودتوجه . آورد دست به )43 ريي ـبـدون تغ هـا نهيشي ـن ب يب ـي امـا فاصـله . ابدي مي اهشكن صفر مجاور ينه و اول يشين مقدار ب يبي فاصله ،هكرشـان در يه تاث اي ك ـ گونـه ابـد بـه ي مي شيت افزا يانس نوسانات بدون محدود ك فر ،ها نهيشين ب ين ا يب. ماند مي

.شود مي حذفيداخل هر انتگرالد يي ـ تأ يبـرا . مي ـ دار را كراي ـ د ي از توابـع دلتـا ي قطار نامتنـاه هاي يك يژگيه تمام و كرسد يبه نظر م

،ميدارها نهيشين بي از ايكيانتگرال سطح ي از به محاسبهين، ن ادعاي ايدرست

)6-44 ( sin ( )lim

sin( )T

mT

T mA d

T

0

00

0 0

0

2 1 22 2

.

را 12-6ل ك نشان داده شده در ش ـ يمثلثي هيه ناح كن است يافوق انتگرال ي محاسبه يبرا روش ساده يك


Tبرابر با ن سطح ي مقدار ا .ميريدر نظر بگ از سطح يب بهتر ي، سطح مثلث تقر omش يبا افزا . است 02 .شوند مين دو با هم برابريحد اه در ك طوري بهشود، ميانتگرال

.m0 يتابع دلتار يز سطح ي برايحل مثلث 12-6شكل

t فاصله ه با ك با سطح واحد از توابع دلتاي قطار نامتناهي يك هيل فورين تبديبنابرا T از هم جـدا 0T از توابع دلتا با سطح يگري د ي، قطار نامتناه اند شده T فاصلهه باك ، است02 از هـم جـدا 02 ،اند شده

)6-45 ( ( ) ( )n n

nt nT

T T

0

0 0

2 2F.

. از توابع ي قطار نامتناهي يك هيل فوريبدت 13-6شكل

بهـم tه توابـع دلتـا در ك ـ يد در صـورت ينكتوجه . نشان داده شده است 13-6ل كدر ش ) 45-6(ي رابطه .شوند ميف از هم دورتري طي شوند، توابع دلتاتر يكنزد

)نامنـد و بـا نمـاد مـي زي ـ ن كراي از توابع دلتا را تابع شانه د ي قطار نامتناه يك )t دهنـد مـي شي نمـا .ه بـا نمـاد ك ـ T0تنـاوب ي بـا دوره كراي ـدي تـابع شـانه ي يـك هيل فور يم تبد يردكه مشاهده ك طور همان( )T t مـشابه بـا طور بهه ك است T01تناوب ي دوره بايگري دكرايدي شود، تابع شانه مي داده شي نما 0

)نماد )T t .شود مي دادهشي نما01


ييتابع افت نما 6-7xبخش مثبت تابع را ييتابع افت نما يلك طور بهغالبا ae ع تـاب يك ني ا هك يياز آنجا . رنديگ مي در نظر

م،يدار) 7-5(ي با استفاده از رابطه. باشد مي مختلطيتيمكآن ي هيل فوريتبدنامتقارن است،

( ) x a i xe e dx

012

)6-46 ( ( )

( )( )

i a xe

i a i a

1

0

1 1 11 12 2

x ييتابع افت نما 14-6شكل ae )ازاي به x 0 (ن آن ف توايو ط( ) 2.

)، يينماتابع ف توان يغالبا ط ) ه مقدار آن برابر است با، ك. ، مورد توجه است2

)6-47 ( ( ) a

a

222 2

12 1

. ل اسـت ك ش ـي ناقوسي منحنيك است، نشان داده شده 14-6ل كه در ش ك طور همانف توان ي ط يمنحن

نـصف ي پهنـا ي داراين منحن ـي ـا. لورنتز معروف اسـت ي دارد و به منحن يوسا گ يه به منحن ي شب يره ظاه ك . استa2ي نهيشيب


-6(ي ي افت نمايي، رابطـه توان طيف دامنه و فاز تابع تبديل فوريهبا استفاده از كد زير، ميaازاي ، را به)46 . ، با استفاده از نرم افزار متلب توليد كرد1

clear;

omega=[-10:0.01:10];% يانسكفري ف بازهيتعر

a ازاي بهه يل فوري تابع تبديقيقسمت حق 1 % fr_omega=(2*pi)^-.5*1./(1+omega.*omega);

a ازاي بهه يل فوري تابع تبدقسمت موهومي 1 % fi_omega=-(2*pi)^-.5*omega./(1+omega.*omega);

هيل فوري تابع تبدي دامنه محاسبه % ampl=sqrt(fr_omega.* fr_omega+ fi_omega.* fi_omega);

هيل فوري تابع تبدي فاز محاسبه % phase=atan2(fi_omega, fr_omega);

clf; Subplot(2,1,1),plot(omega,ampl,'- ') % رسم منحني دامنه

Ylabel('\Phi(\omega)','fontsize',15) % عنوان گذاري منحني دامنه

Subplot(2,1,2),plot(omega,phase,'- ') % رسم منحني فاز

Ylabel('Phase','fontsize',15) % عنوان گذاري منحني فاز

xlabel('\omega','fontsize',15)% x عنوان گذاري محور

)ي فركانسي،در نهايت، با اجراي كد در متلب، منحني طيف دامنه ) صـورت ، و فاز به .آيند دست مي زير به


بـا سهي ـ در مقا لين ذرات نـور گـس يتمـال برخـورد ب ـ ه اح ك ـن يي پا يدر فشارها ف توان ي ط يل منحن كشانس ك ـ از فري تـابع صـورت به يل خطياگر پروفا. شود مي مشاهده يفيدر خطوط ط م است، كاحتمال گذار

( )I آن ي نهيشي ـ نـصف ب ي در نظر گرفته شـود، پهنـا ، اني ـ ب "ختـه يمـه عمـر تـراز برانگ ين" برحـسب ن مثـال بـه ي ـدر ا . ذار شده اسـت ه دستخوش گ ك است يوس احتمال گذار در اتم ك مع ن پارامتر، يا. شود مي نوسـانگر هماهنـگ يك مانند لينور گس ي ، ذره يكيلاسك ينگاهبا . بعد زمان هستند ي دارا x و aح، وضو زي ـ نيـك انكوانتـوم م ك اخـتلال يتئـور بـا . ندك ميلي گسيي آهنگ افت نما ه توان را با كند ك مي را رفتار يم

. دي رسيساني يك جهيبه نت توان مي

مختلطي در صفحهييل وارون تابع افت نمايتبدي محاسبه 6-7-1 د، ينك، توجه )8-5(ي ، با استفاده از رابطهيي تابع افت نمال وارونيتبدي به رابطهنون كا

( ) ( )i xF x d ei ai

1 1 12 2

)6-48 ( i xe

di i a

1

2

م بـه ي بـا تعم ـ يتـوان بـه سـادگ مـي ن انتگـرال را يا. محض است يقير حق ي متغ يك) 48-6(ي در معادلهي ن روش محاسـبه ي ـ از توابـع، ا يدر واقع در مورد برخ . ردك محاسبه مختلط و سپس بستن پربند صفحه

،انتگرال مختلط برابر است با. ارآمد استكوارون ي هيل فوريتبد

)6-49 ( ( )i x

F

eF x d

i i a

1

2.

شود، مي واقع يقي در امتداد محور حق ،F ،هيفورپربند نشان داده شده است، 15-6ل كه در ش ك طور همانi در ي يك قطب منفرد از مرتبهيك و a وجود دارد .

. مختلط در صفحهييل نمايوارون تبد 15-6شكل

ازاي بـه يي بـالا صفحه م ي ني بر روC پربند بسته نشان داده شده است، 16-6ل كه در ش ك طور همانx x ازاي به ينيي پاه صفحم ي ني و بر رو0 .شود مي، بسته0


.واروني هيانتگرال فوري ر بستهيمس 16-6شكل

پربنـد . ردك ـن يـي رنـد، تع يگ مـي ه در بـر ك ـهـايي توان با افزودن مانده قطب مي انتگرال را پربند هر يبراx 0 پربند ندارد، و ينگكيچ ت ي ه x 0 ي با مانده ينگكي ت يك تنهاx ae يينهاي جهين نت يبنابرا. دارد


)6-50 ( ( )x a

xF x

e x

0 00

. استيه همان تابع اصلك 17-6ل كه در ش ـ ك طور همان. دهد ي مي ند، چه رو كل ي به صفر م a1ه اگر ك مينك ي مي نون، بررس كا

)ه كشود مي ن امر باعث يد، ا شو مي مشاهده )F x ازاي بـه . ده شـود يداي تابع پله يكه به يشتر شب يشتر و ب ي ب aاما اگر . ديآ دست مي بهعتبر مي هيل فور ي تبد يك بزرگتر از صفر، a1هر مقدار 1 0

تـوان نمـي باشـد،

،را انتگراليزرد كه را محاسبه يل فوريتبد

)6-51 ( ( ) i xe dx

012

.وجود ندارد

در حد ييتابع نما 17-6شكل

a

1 0.


aن تابع در حد ي وارون ا پربنداوش در ك 1 تـا . رسـاند مـي دگاه با ارزش هـم ارز ي د يك، ما را به 0ي در معادله انتگرالده باشد، قطب كوچكاندازه چه يست حت يگتر از صفر است، مهم ن بزر a1 هك يزمان

امـا . مانـد ي مـي بـاق يق ـي حق - محـور ي بر رو Fپربند و رد يگ مي قرار يي بالا صفحه م يدر ن ) 6-49(aه ك يهنگام 1 را انجـام گيـري انتگـرال تـوان نمـي شود و مي واقع Fپربند يقا بر رو ي، قطب دق است 0 .داد

ل دهـد، كر ش ـ يي ـ، تغ 18-6ل ك، مطـابق ش ـ F'ز از قطـب بـه ي با گر Fپربند رحال اگر ه د به ينكتوجه ،انتگرال وارون

)6-52( '

( )i x

F

eF x d

i

1

2

،دهد ميواحد رااي تابع پله

)6-53 ( ( )x

F xx

0 01 0.

در حد ييتابع نمااي ح شده بريتصحي هيفور پربند 18-6شكل

a

1 0.

تور زيـر توان دس ، مي)48-6(يي وارون تابع افت نمايي، رابطهي تبديل فوريهبراي محاسبه .را در متلب اجرا كرد

Syms t omega; Syms a positive; ifourier('(1/(2*pi)^.5)*(1/(i*omega+1/a))',omega,t)

ب يضـر يـك تنها تفاوت در . در توافق است ) 50-6(ي د با رابطه يآ دست مي بهه اي ك جهينت

12

ــت، ــ اسـ ــه دلكـ ــه بـ ــل تعريـ ــهف يـ ــدتي رابطـ ــل فوريبـ ــه وارونهيـ ــورت بـ صـ

( ) ( ) i tF t e dt

1

.باشد در متلب مي2


راي مينوسي سيمنحن 6-8 ،ديريرا را در نظر بگي مينوسي سين مثال، منحني آخرعنوان به

)6-54 ( ( )sin( )t

tF t

e t t

0 0

0 00

ن تـابع ي ـه ايل فوريتبد. دهد مين تابع را نشاني ا19-6ل كش. ر مثبت هستندي هر دو مقاد 0 و 0در آن ه ك ،شود مي محاسبهيبه سادگ

( )i t i t

t i t e ee e dt

i

0 0

00

122

)6-55 ( ( )( )

01 2

2

iه ك 1 0 i و 0 2 0 )ه كد يتوجه داشته باش . است 0 ) را ي ـ تابع مختلط است، ز يك( )F tباشد مي متقارني نه فرد است و نه حت.

.راي مينوسيتابع س 19-6شكل

،برابر است با) 55-6(ي ل وارون معادلهيتبد

)6-56 ( ( )( )( )

i tF t d e

01 2

212

.

مخـتلط ين انتگرال، بسط آن به فضا ياي محاسبه ين راه برا ي در بخش قبل، بهتر ييمورد تابع افت نما مانند ،ر استي زصورت بهمختلط انتگرال وارون ي نسخه. مختلط استپربند و بستن

)6-57 ( ( )( )( )

i t

F

F t d e

01 2

212

.


. اسـت يق ـي حق در امتـداد محـور Fه ي ـفورپربنـد نشان داده شده اسـت، 20-6ل كه در ش ك طور همانt ازاي به، ييم مشابه با مثال افت نما ين مجبور يهمچن 0 ازاي بـه و ييبـالا ي م صـفحه يرا در ن ـ پربند t 0 iي ر جمله ين به سبب تاث يا. مي ببند ينييم صفحه پا يرا در ن پربند te تـوان نـشان مي .سر است ك در صورت

) همواره تابع )57-6(ي معادلهه كداد )F t9-6ن يتمر(دهد، مي را)54-6(ي با رابطه.(

.ي را در صفحهي مينوسيل وارون تابع سيتبد 20-6شكل

مسائل .ديابير را بيتابع زي هيل فوريتبد -6-1

( )t te e t

F tt

2 00 0

αو مثبت استيقي حقي مقدار . .ديابير را بيتابع زي هيل فوريتبد -6-2

sin( )

( ),

t tF t

t t

2 20 2 2

ل وجود دارد؟يانتگرال تبدي ه بدون محاسبهيل فوريتبدي محاسبهي برايراها يآل، يم انتگـرال تبـد يمـستق ي با محاسـبه ) الف(ر را، يل ز كگنال نشان داده شده در ش يسي هيل فور يتبد -6-3 .ديابيم، بي آورددست بهن فصل يه در اك يلاتي تبدبرحسبل يگنال و نوشتن تبدي از سگيري مشتقبا ) ب(



يمـشتق تـابع دلتـا ي هيل فور يتبد. ميردكن يي را تع كراي د يتابع دلتا ي هيل فور ين فصل تبد يدر ا -6-4 ،كرايد

( )( ) d tF t

dt

. دينكسه يل را با هم مقاين دو تبديا. ديابيرا بتابع ي هيل فور يتبد -6-5 ( ) ( ) ( )F t t t t t 0 )ل تـابع كد و ش يابي را ب 0 )F t و ( ) را رسـم . دينك ر را،يتابع زي هيل فوريتبد -6-6

( ),

t tF t

t t

3 0 10 0 1

گيـري مـشتق با سه مرتبه ) ب( جزء به جزء، گيري انتگرالل با روش يم انتگرال تبد يمستقي با محاسبه ) الف( .ديابيبتر، ل سادهي مجموع دو تبدبرحسبل يگنال و نوشتن تبدياز س

)تابع ي هيل فوريتبد -6-7 )F tبرابر است با ،

( ) i

i

2 22

)تابع ) الف( )F tير مثبت و منفي مقادبرحسبد و نمودار آن را يابي را ب t دينك رسم. )اي ، بر0در حد ) ب( ) و ( )F tدهد؟ ي مي چه رو .ديابير را بيتابع زي هيل فوريتبد -6-8

( ) sin ( )( )te t t

F tt

0

0

ي بـر رو يحات جزئ ـ ياز به تـصح يه ن يل فور يه وارون تبد كد ين فصل بحث شد، نشان ده يه در ا ك طور همانtبسته هاي رهيم داين 0 و t 0دارد .

،يه يارون فورتابع و -6-9


( )ikxe

F x dkk i

. محض هستنديقي حقيرهاي متغk و x. ديريرا در نظر بگ

x ازاي به مختلط kن انتگرال در صفحه ينه ا ه چگو ك دينشان ده ) الف( 0، و ،شـود مي محصور ( )F x .ديابيرا ب

x ازاي به مختلط kي صفحهن انتگرال در يه چگونه ا كد ينشان ده ) ب( 0، و ،شود مي محصور ( )F x .ديابيرا ب

.دهد ميرا) 54-6(ي معادله)57-6(وارون ي ه معادلهكد ينكثابت -6-10) يتابع تناوبي هيل فوريتبد -6-11 )F tدينكن و رسم يي را تع.

sin( )

( )( ) ,

te t t

F t t

F t t t

0 0 60 6 60

60 0 60


د، يرير را در نظر بگيابع زت -6-12

( )

23 1

) ه اگر انتگرال كد ينشان ده ) الف( )d

، صفحه به ان ك بسته ام ابد، بستن پربند ي مختلط بسط

.ستير نيپذ ،ل وارونيه تبدكد ينشان ده) ب(

( ) ( )i xF t d e

12

. مختلط محاسبه شود صفحه ر بسته در ي مسي تواند بر رويم .ديابيم بي مستقگيري انتگرالر را با يوارون تابع زي هيل فوريتبد -6-13

( ) ie

2

.دينك يمتلب بررسدستور پاسخ خود را با استفاده از يدرست

كانولوشن و همبستگي فصلفصل77

مقدمه7-1ار يبـس هـاي يژگ ـياز جملـه و . ميردكآن صحبت هاي يژگيه و ويلات فورين در مورد تبد يشيدر دو فصل پ

ن فصل يدر ا . شوند مي دهي نام يانولوشن و خودهمبستگ كهاي يه تئور ك است يه، روابط يلات فور يمهم تبد .ردكم يصحبت خواهها آنهاي يژگيوو ها ين تئوري مفصل در مورد اطور به

انولوشنك 7-2انولوشن را با كي دهي ا يتوان به سادگ مي . است ي عمل يكزيژه در ف ي، به و مهمار يبس مفهوم يك 1انولوشنك

.ح دادي مثال توضيك يـك ي طـول مـوج را بـرا برحـسب نـور شـدت يه منحن ـ ك ـد يري را در نظر بگ آل ايدهترومتر ك اسپ يكبـا برابـر چـشمه تـوان يف ـي ط ياگـر چگـال . نـد ك مـي رسـم 0 و طـول مـوج Sم بـا شـدت فاكتي چشمه

( )S 0 ،صورت به را يترومتر منحن ك اسپ باشد ( )kSI 0 تور كفـا . نـد ك مـي رسـمk ،بـه بـازده ) . دارد يترومتر بستگ كارساز اسپ كت آش يهندسه و حساس )I و ،شـود مـي دهي ـنام 2گيري اندازهله يتابع وس

) همواره )I d

.استبرقرار 1

)الف(

)ب(

ـاحت ز مـس . ترومترك از اسپ يخروج) ب (يورود) الف(فام ك موج ت يكف يط 1-7شكل ـ ي ـبا) ب (ير منحن د ي حفـظ "گيـري انـدازه له يتابع وس "ي دهيب ا ين ترت يبه ا . مقدار واحد باشد يعنير تابع دلتا، يبرابر با مساحت ز

.شود مي

1- Convolutions 2- Instrument Function


در . ندك مي رسم يورودي وستهيف پ ي ط يك را در پاسخ به زي چه چ سنج طيفه كن است يحال سوال ا )ول موج از ط ي تابع صورت بهط شدت چشمه ين شرا يا )S ار يبـس ي هـر بـازه شود و بـه مي در نظر گرفتهبـه 1فـام بـا طـول مـوج كخـط ت ن يبنابرا. شود مي ، نسبت داده 1 طول موج، مثلا يكف ي از ط كوچك)ل تابع كش )kI 1 شدت ي، و دارا شود مي رسم( )S d 1 ترومتر در ك اسـپ ين خروج ـ يبنابرا. است 1

ر است،ي زصورت به 1طول موج مفروض )7-1 ( ( ) ( ) ( )dO kS d I 1 1 1 1. رد،ك گيري ها انتگرال وج تمام طول ميبر رود ي با1ل در طول موج كتوان ي محاسبهيبرا

)7-2 ( ( ) ( ) ( )O k S I d

1 1 1

) ي خروجيمنحن )O ،ف يانولوشن طك( )S گيري ي اندازه لهي و تابع وس( )I شود ميدهي نام. )، گيري زهانداله يتابع وسي دهينجا مهم است ايه در ا ك يزيچ )I يف ـيوط ط خط ـغالبا بـه تمـام . است ) يورود )I هاي نامو شود، مي گستردهگيري اندازهل يساده به تمام وين ايا. شود مينسبت داده يسانيكتـابع " و "2ينـدگ كپرا-هتابع نقط "، "1پاسخ ضربه "مانند ، ي و مهندس يكزيمختلف ف هاي شاخه در يمتفاوت يـك اگـر "ه ك ـسـش ن پر ي ـده بـه ا ي ـن ا ي ا ،يكيترك مدار ال يك مثال در يبرا. گرفته است به خود "3نيگر

، گيـري انـدازه ل يشتر وسا يبدر . دهد مي پاسخ "شود؟ مي ز خارج يچه چ پالس با شدت قابل توجه وارد شود ر مـثلا بـا طـول مـوج د با پارامتر متناظر، تابع ات رييتغ ، اما غالباً ستيو مشخص ن ثابت مقدار يكله يتابع وس محاسـبات يبراده را يرد و ا ك پوشي چشمرات آن ييتوان از تغ مي هكز است ي ناچ يقدر به ترومتر،ك اسپ يك . بردكار به يعمل

انولوشنكف ي تعر7-3 نند،ك ميفير تعريز صورت به مشخص صورت به را h و xانولوشن دو تابع ك

)7-3 ( ( ) ( ) ( )y t x h t d

.

هك ـ اسـت ير مجـاز ي ـ متغ يـك هـستند، گيـري انتگـرال يه حـدها ك ـ ييد از آنجا يتوجه داشته باش ل كن بـه ش ـ ي نمـاد صـورت بهف ين تعر يا. ن شود يگزيست جا يه مورد استفاده ن ك يگريتواند با هر نماد د مي ،شود ميشتهر نويز)7-4 ( ( ) ( ) ( )y t x t h t .

تـوان مـي را انولوشـن كن، ين قـوان ي ـبـا اسـتفاده از ا . دنك مي يروين مختلف حساب پ يز قوان اانولوشن ك يتوان بـرا ميها ه از آنكوجود دارد ها انولوشنك از ياملكقت، جبر يدر حق .ردك محاسبه ي دست صورت به

:ن عبارتند ازين قوانياترين مهم.ردكده استفاده يچيع پ از توابي تعدادسازي ساده

1- Impulse Response 2- Point-Spread Function 3- Green’s Function

109 كانولوشن و همبستگي :7فصل

:ييجا جابهقانون . 1)7-5 ( ( ) ( ) ( ) ( ) ( )y t x t h t h t x t .شود مي اثباتانولوشنك در انتگرال ض سادهي تعويكه با ك

:يريپذ عيقانون توز. 2)7-6 ( ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )y t x t h t g t x t h t x t g t .

ابـع و ت از يشتري ـا تعـداد ب ي و توان به سه مي انولوشن را كي دهيان قانون، يطبق ا : يريپذ تكقانون شر . 3 نمونه،عنوان به. ندارديتياهمها انولوشنكب انجام يهمواره ترت. گسترش داد

)7-7 ( ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )y t x t h t g t x t h t g t . گـرال انت يل ـكدر حالـت . سندي ـنو مـي تك ـع را بـدون برا تابا چند يانولوشن سه ك ن قاعده معمولا يل ا يبه دل شود، مير محاسبهي زصورت بهانولوشن سه تابع ك

( ) ( ) ( ) ( )y t x t h t g t )7-8 ( ( ) ( ) ( )x t h g d d

) يمنحن. انولوشن وجود دارد ك ي تصور ذهن ي برا يراه )x t اغذ شفاف، كه ك ت يك يبر رو . دينك را رسم) يمنحن )h t اي نهير آ يتصو. دي محور قائم بچرخان يك شفاف را حول يمنحن. دينك را رسمh ي را بـر رو

x ه دو محور ك يهنگام. دي قرار دهy ي با فاصلهt دو تـابع انتگـرال ضـرب حاصـل شوند، از مي جا جابه ) ي منحني نقطه بر رويكحاصل . ديريبگ )y tخواهد بود .

انولوشنك ي تئور7-4د ي ـنكفـرض . ه است ي فور يجه در تئور ين نت يتر نندهكريانولوشن متح ك يه، تئور ي وارون فور يتئورعلاوه بر

( )X و ( )H ، توابــع ي هي ـفورهــاي جفـت ترتيــب بـه( )x t و ( )h t ين صـورت تئــور يــ در ا. باشـند :شود ميانير بي زصورت بهانولوشن ك

)اگر )y t انولوشن دو تابع ك( )x t و ( )h t ،آن، ي هي ـ جفـت فور گـاه آن باشد( )Y ،2 برابـر ) ضرب حاصل )X در ( )H توان نوشت، مينينماد صورت به . است

)7-9 ( ( ) ( ) ( ). ( )x t h t X Y 2F. تابع ي هيل فور يتبدي اثبات رابطه يبرا. اثبات آن ساده است دارد و ي متعدد و فراوان يدهااربرك ين تئور يا د،يريانولوشن را در نظر بگك

( ) ( ) i tY y t e dt

12

) ياگر به جا )y tم،يدر معادله فوق قرار داده شود، دار) 3-7(ي رابطه


)7-10 ( ( ) ( ) i tx h t e d dt

12

tد ير جد يمتغ ر ي ـ متغ يبـر رو گيـري انتگرالدر . مينك مي في را تعرt ، شـود مـي ثابـت فـرض dن يبنابرا dt ،

)7-11 ( ( )( ) ( ) ( ) iY x h e d d

12

،ردك كيكتوان تف مي ن انتگرال رايا

( ) ( ( ) )( ( ) )i iY x e d h e d

1 122 2

)7-12 ( ( ). ( )X H 2 .گردد ميانولوشن اثباتك يب تئورين ترتيبه ا

يانسكانولوشن فرك ي تئور7-5 ي دامنـه انولوشن با كاز توان مي يانسكانولوشن فر ك يفاده از تئور با است انولوشن،ك ي با تئور هم ارز طور به)د ي ـنكفرض . دي رس يزماني با دامنه ضرب حاصلي هيل فور يتبد به يانسكفر )X و ( )H ، ترتيـب بـه

)توابع ي هيفورهاي جفت )x t و ( )h t ر ي ـ ز صـورت بـه يانسكانولوشن فر ك ين صورت تئور ي در ا . باشند : شود ميانيب

ــابع ضــرب حاصــله يــل فوريتبــد ) دو ت )x t و ( )h t، ( ). ( )x t h t F ، ــا ب

12

ــر انولوشــن كبراب

) يعني ه آن دو تابعيلات فوريتبد ) ( )X H

12

توان نوشت، مينينماد صورت به. است برابر

)7-13 ( ( ). ( ) ( ) ( )x t h t X Y

12

F.

) دو تابع ضرب حاصله يل فوريتبد، ين تئوري اثبات ايبرا )x t در ( )h tد،يري را در نظر بگ

)7-14 ( ( ). ( ) ( ). ( )i tx t h t dt e x t h t

12

F

)سب ل برح ين تبد يان ا ي ب يبرا )X و ( )H ل وارون ي، تبـد( )x t و ( )h t قـرار ) 14-7(ي در معادلـهتقل از هـم مـس هـا تـا انتگـرال شـود مـي متفاوت انجام ي انتگرال يرهايار را با انتخاب متغ كن يا. شود مي داده انند،بم

'( ). ( ) ' ( ')i t i tx t h t dt e d e X

1 12 2

F

)7-15 ( "" ( ")i td e H

12

توان نوشت، ميتر سادهطور به


)7-16 ( ( ' " )( ) ' " ( ') ( ")i tdt d d e X H

31

2

ر ي ـبـا انتگـرال ز شود، گيري انتگرال tاگر ابتدا نسبت به . دلخواه است گيري انتگرالب يترتدر انتگرال فوق م،يشو ميمواجه

)7-17 ( ( ' " ) ( ' " )i tdt e

2 ،ميدار) 16-7(ي در رابطه)17-7(ي رابطهيگذاريجابا . ه استيل فوريه همان شرط تعامد در تبدك

)7-18 ( ' " ( ' " ) ( ') ( ")d d X H

12

،d" يروبر گيري انتگرالبا انجام

)7-19 ( ( ). ( ) ' ( ') ( ')x t h t d X H

12

F

)ي هي ـلات فور يانولوشن تبـد كدر واقع ) 19-7(ي شود، سمت راست معادله مي ه مشاهده ك طور همان )x t )و )h t برابر با يعني ( ) ( )X H ن ي نمـاد طور بهه ك است ينساكانولوشن فرك ين رابطه تئوريا. است .شود مينايب) 13-7(ي رابطه با

انولوشنكانتگرال ي محاسبه7-6)د ينكفرض )x t و ( )h t نـشان ) ب(و ) الـف (-2-7ل كب در ش ـ يه به ترت ك زمان هستند برحسب دو تابع

)، توابع )3-7(ي رابطهي محاسبه يبرا. اند شدهداده )x و ( )h t از هستند؛ ي مورد ن( )x و ( )h به ) همان توابع يسادگ )x t و ( )h t ر يه متغ ك ، هستندt ر ي با متغ ن شـده اسـت يگزي جـا .( )h ر ي تـصو( )h حول محور قائم و ( )h t همان تابع ي به سادگ ( )h ي ه به اندازه ك استt افته استي انتقال .)هاي تابع )x ،( )h و ( )h t ي انتگـرال رابطـه ي محاسـبه يبـرا . اند شده نشان داده 3-7ل ك در ش

)هـاي ، تـابع تـا از t هر مقدار ي، لازم است برا )7-3( )x ) و )) الـف (-3-7ل كش ـ( )h t و ) الـف (-4-7ل كه در ش ـ ك ـ طور همان. شود گيري انتگرالدر هم ضرب شده و حاصل )) ج(-3-7ل كش(t ن ضرب با انتخاب مقدار يه است، ا نشان داده شد ) ح( t ه مقـدار ك ين ضرب تا زمان يا. شود مي صفر 1

t د، ضـرب ي ـنك ميمشاهده) ح(و ) ج(-4-7ل كه در شك طور همان. شود مي تر از صفر است، صفر كوچك( )x و ( )h t 1 دار هي سـطح سـا يگن تابع به سـاد يانتگرال ا . ه مشخص شده است يه با سا ك است ي تابع حاصـل وانـد شـده ه در هم ضرب كهايي ن تابعيبي رابطه) ح(و ) ه(، )د(-4-7هاي لكش. است ير منحن يز

tر ي مقاد يرا به ازا ها گيري انتگرال t t و 12 t t يبرا. دهند مي نشان به وضوح 13 t رب دوبـاره ض 14 هـاي لكش ـ (مانـد مـي صـفر t14بزرگتـر از هاي t تمام يبرا، و ))ح(و ) و(-4-7هاي لكش(شود مي صفر

)انولوشن كر باشد، يوستار از مقاد ي پ يك tاگر )). ح(و ) ز(-7-4 )x t و ( )h t خواهـد ي تـابع مثلث ـ يـك .نشان داده شده است) ح(-4-7ل كه در شكبود

. انولوشـن اسـت كهـاي انتگـرال ي محاسـبه ي مناسب برا يكي روش گراف يكه شرح داده شد ك يروش


: استري خلاصه به شرح زصورت بهمراحل آن )اي نهير آيتصو. ردنكر يتصو -1 )h دي آوردست به را حول محور قائم. ). انتقال دادن -2 )h را به مقدار tدي انتقال ده. )ي افتهيتابع انتقال . ردنكضرب -3 )h t را در ( )x دينك ضرب. )از ضرب . گيري گرالانت -4 )h t در ( )x ي انولوشن در لحظه كمقدار . ديري انتگرال بگt برابـر

) ضرب حاصلتابع ر يبا سطح ز )h t در ( )x است .

.انولوشنك ينمونه براهاي ع موجتاب 2-7شكل

.ردن و انتقال دادنكر ي تصويردهاك عمليكيشرح گراف 3-7شكل

t: انولوشنك از يكيمثال گراف 4-7شكل 1

12.


انولوشنكاز هايي مثال7-7داده شـده نـشان هـاي تـابع انولوشن،ك انتگرال يكيگرافي محاسبهي شتر قاعدهيح بي توض يبرا 1-7مثال

)ابتدا . ديريرا در نظر بگ ) ب(و ) الف(-5-7ل كدر ش )h نـشان داده ) ج(-5-7ل كه در ش ـك طور همان را)م تا ينك مي ريشده است، تصو )h سپس . دي آدست به( )h را به مقدار t7ل كش ـ(م يده مي انتقال-

)نــون كا)). د(-5 )h t را در ( )x گيــري انتگــرالت يــ، و در نها))ه(-5-7ل كشــ(م ينــك مــي ضــرب ) و(-5-7ل كه در ش ـ ك ـاي جـه ي نت )).و(-5-7ل كش ـ(د ي آ دست به t'انولوشن در زمان كم تا حاصل ينك مي

آورد،دست به) 3-7(ي ما با استفاده از معادلهيتوان مستق مينشان داده شده است را

( ) ( ) ( )y t x h t d

)7-20 ( ( ) ( ) ( )tt t t t t te d e e e e e 0 0

1 1 1 ن مثـال از ي ـه در ا ك ـ اسـت تـا انولوشـن عـام از ك گيري ي انتگرال ه محدوده كد يتوجه داشته باش

. شدن ييتع tتا صفر ، 1-7در مثـال . از هـست ي ـح ن ي صـح گيـري ي انتگـرال هافتن محدود ي يم برا ي روش مستق يكبه همواره

) تابع ير صفر برا ي مقدار غ ترين كوچك )( ) th t e ، ر صـفر ي ـ مقـدار غ تـرين كوچك و) يبرا )x ، ن ييا حـد پ ـ عنـوان بـه ن دو مقـدار ي ـن ا ي ب ـ ني، بزرگتـر گيـري انتگـرال هنگـام . باشـد مـي 0

) ير صفر برا ين مقدار غ يبزرگتر. شود مي انتخاب گيري انتگرال )h t ،t ر ي ـن مقـدار غ ي و بزرگتـر) يصفر برا )x ، ،نتخاب ا گيري انتگرال ي حد بالا عنوان بهن دو مقدار ين ا يب ترين كوچك است

:ردكان ير بي زصورت بهان تو مي راگيري ي انتگرال حدودهن ميي تعي برايلكي قاعده .شود ميU و U1ر صـفر ي ـر غين مقـاد ي و بـالاتر L2 و L1ر صفر ير غ يمقادترين نييدو تابع با پا انـد، مفـروض 2

گيري انتگرالحد ترين نييپا max ,L L1 برابر بـا گيري انتگرالن حد ي، و بالاتر 2 min ,U U1 انتخـاب 2 .شود مي

) تابع ثابت ي برا ينيي و پا ر بالا يده مقا كد توجه شود يبا )x تابع ينيير بالا و پا يند؛ اما مقاد ك ير نم ييتغ ) كمتحر )h t ريي تغ باt را گيـري انتگـرال مختلـف هـاي ن است محـدوده كن مم يبنابرا. ندك مي ريي، تغ ح يصحي تخاب محدوده در ان 5-7ل ك مشابه ش يكيم گراف ي ترس يك. مي داشته باش tمختلفهاي بازه يبرا

.ندك مييادي زكمك گيري انتگرال

)ي كانولوشن توابعبراي محاسبه )x tو ( )h tتـوان از دسـتور زيـر در ، مـي1-7 در مثـال . متلب استفاده كرد

syms t tau; x_t=heaviside(t); h_t=heaviside(t)*exp(-t); y=(heaviside(tau))*(heaviside(t-tau)*exp(tau-t)); y1=int(y,tau,-inf,0) y2=int(y,tau,0,t)


.گيري انتگرال) و(ردن و كضرب ) ه( انتقال دادن، )د (ردن،كر يتصو) ج(: انولوشنكروش 5-7شكل


)ه كد ينكفرض 2-7مثال )x t و ،ي پالس مربع يك ( )h t باشـد 6-7ل ك ش ـ ماننـد ي پالس مثلث ـ يك .)مقدار )y t زمان مشخص يك در t باشد مي)3-7(ي برابر با مساحت انتگرال رابطه.

.انولوشنك ينمونه براهاي تابع 6-7شكل

)توابع )x و ( )h t برحسب تـابع . انـد شـده م يرست 7-7ل ك، در ش( )h t برحـسب ه ك ـ )وس تابع كرسم شده است، مع )h ي ه به اندازهك استt انولوشـن شـامل كانتگـرال . اسـت افتـه ي انتقـال

. استضرب حاصلن يار يانولوشن مساحت زكن دو تابع است و مقدار ي اضرب حاصل

.اند شده رسم برحسبه كانولوشن كتوابع 7-7شكل

) محاسبه يبرا )y t ن كر مم يد تمام مقاد ي، باt ن مثـال، از ي ـ ا يبـرا . در نظر گرفتـه شـوندt 0 شـروع tر ي مقاد يبه ازا . مينك يم 0، ب از كي نمودار تر يك( )x و ( )h t نـشان داده شـده 8-7ل ك در ش

ضـرب حاصـل ن ينـابرا ب. ن دو تابع وجود نـدارد ين اي بيچ گونه همپوشانيدهد ه يه به وضوح نشان مكاست ) دو تابع صفر است، و )y t 0 ر ي تمـام مقـاد يه بـرا ك ـل مشخص اسـت كاز ش ن يهمچن. شود ميt و 1

t ) مقـدار 7 )y t 0 ي ن دو تـابع تنهـا در بـازه يــانولوشـن ا كقـت يدر حق. اسـتt 1 ر صــفري ـ غ7t: د فـرض شـود ي ـ با tه از ي ـر ناح ي ـن بـازه سـه ز ي ـن ا يب ـ . دارد يشتري ـل ب ي ـبه تحل از يه ن كباشد مي 1 ؛ 2

t 2 t؛ 6 6 . متفاوت است دو تابع در هر بازهيت همپوشانيماه. 7

t يانولوشن براكتوابع 8-7شكل 0.


t يانولوشن براكر يتصو 9-7شكل 1 2.

tي در بـازه ، نشان داده شـده اسـت 9-7ل كه در ش ك طور همان 1 تنهـا در 8-7ل كش ـهـاي تـابع 2tي بازه 1ي برانيبنابرا. دارندي همپوشان t 1 2،

)7-21 ( ( ) ( ) ( ) ( ) ( )t

y t x t h t d x h t 1 ) مفروض،گيري ي انتگرال بازهن يا يبر رو )x ) و2 )h t برابر است با ،

)7-22 ( ( ) ( )

( )( ) , ( )

t th t

t t

2 0 550 0 5

ن،يبنابرا

( ) ( ) ( ) ( )( )t

y t x t h t d t 145

)7-23 ( ,t t t 22 4 2 1 25 5 5 )نجا يتا ا )y t هاي در بازه راt t و 2 1 12-7ل ك در ش ـ نمـودار آن هك ـ م،ي ـ آورد دست به 2

.نشان داده شده است



t يشود، برا مي مشاهده 11-7ل كه در ش ك طور همان 2 شتر به سمت راست انتقـال ي بي، تابع مثلث6ن ي ـانولوشـن در ا كانتگـرال . ردي ـگ مي در بر امل ك طور به را يپالس مربع يپهنا كه طوري بهرده است كدا يپ

،ه برابر است بايناح

)7-24 ( ( ) ( ) ( ),y t d x h t t 2

12 6

)مانند قبل )x ) و 2 ) ( )h t t 2 ،شود با ميبرابر) 24-7(ن مقدار انتگرال يباشد، بنابرا مي5

)7-25 ( ( ) ,y t t t 4 6 2 65 5

tي انولوشن در بازهكنمودار تابع 2 .است نشان داده شده 12-7ل ك در ش6tه، ين ناح ي آخر يبرا 6 ي تنهـا لبـه كه طوري بهرده است كت ك به سمت راست حري، پالس مثلث7

ن بازه ي ا يانولوشن برا كانتگرال . دينك توجه 11-7ل كبه ش . رديگ مي قرار ي آن در داخل پالس مربع يينتهاا برابر است با

)7-26 ( ( ) ( ) ( ),t

y t d x h t t

2

56 7.

)مجددا )x ) و 2 ) ( )h t t 2 باشد، مي5

)7-27 ( ( ) ,y t t t t 22 8 42 6 75 5 5.

) ين بخش از منحنيا )y tم شده استي ترس12-7ل كز در شي ن.



t يانولوشن براكج ينتا 12-7شكل .

از ي ـ توجـه ن ياديانولوشن، به مقدار ز كح انتگرال يد، انجام صح يردكن مثال مشاهده يه در ا ك طور همان .دارد

انولوشنكگر انتگرال يل دك ش7-8 فصل اشاره شد ي ابتدا در. ميردكف ي توص 6. 7 در بخش يكي گراف طور بهرا ) 3-7(ي حل معادله يچگونگ

ر نوشت، ي زصورت به معادل طور بهن معادله را يتوان ا ميييجا جابهه با استفاده از قانون ك

)7-28 ( ( ) ( ) ( )y t h x t d

.

) از دو تـابع يـك هـر ه كدهد مينشان) 3-7(ي فوق با رابطهي رابطه يتساو )h اي ـ و ( )x تـوان مـي رار شود و انتقـال داده ي از دو تابع مفروض تصو يكدام كه كند ك ي نم ين فرق يبنابرا. رد و انتقال داد كر يتصو

.سان خواهد بوديكشه يجه هميشود، نت .معـادل هـستند ) 28-7(و ) 3-7(هـاي معادلـه ه ك ـم ينشان ده ـ يكي گراف طور به مثال، يكم با يخواه يم

رونـد حـل 13-7ل ك ش ـ در سمت چپ ينمودارهاي مجموعه. ديري را در نظر بگ )الف(-13-7ل كتوابع ش -7(ي معادلـه سمت راست روند حـل ينمودارهاي مجموعه كه حاليدهند، در مي را نشان ) 3-7(ي معادله

-4ردن، و ك ـضـرب -3انتقـال دادن، -2ردن، ك ـر يتـصو -1ي ف شـده ي ـتعرهاي گام. دهند مي را نشان ) 28ه در ك ـ طـور همـان . انـد شـده نـشان داده ) ه(و ) د(، )ج(، )ب(-13-7هاي لكب در ش ي، به ترت گيري تگرالانردن و انتقـال دادن انتخـاب كر ي تصو يدام تابع برا ك كه اين، صرفه نظر از شود مي مشاهده) ه(-13-7ل كش

)انولوشن كشده باشد، )x و ( )h سان استيكهمواره.


.)28-7(و ) 3-7(ي انولوشن با معادلهك يكيمثال گراف 13-7شكل


ي همبستگ7-9 1ي برخوردار است، انتگرال همبـستگ ياديت ز ي از اهم ي و عمل ي تئور ياربردهاكه در كگر ي د يانتگرالي معادله)ن ي ب2ي عرضيهمبستگي ، رابطهيلكدر حالت . است )x t و ( )h t شود، ميفير تعري زصورت به

)7-29 ( ( ) ( ) ( )z t d x h t

.

زان ي ـ م گيـري انـدازه توان مي آن ياربردهاكترين از مهم . دارد ي متعدد ي عمل ياربردهاك يهمبستگند يفرآ .ز را نام بردي نويايگنال مشخص از دري سيكردن ك گنال و مجزايابه دو ستش

)تابع ي عرضيهمبستگ )x t شود ميفير تعري زصورت بهبا خودش ،

)7-30 ( ( ) ( ) ( )xxR t d x x t

پالس ي پهنا گيري اندازهتوان مي ي مهم خود همبستگ ياربردهاكاز . شود مي دهي نام 3يخود همبستگ و غالبا .ع را نام برديسرهاي نالگيس

ه كن تفاوت يف شد با ايه در بخش قبل توص كانولوشن است كات يعملاملا مشابه ك يات همبستگ يملع)اگر . شود يتابع دوم وارون نم )x t و ( )h tر ي باشند، متغ6-7ل كف شده در شي توابع تعرt تـابع ( )h را

) نسبت به يا گونه به )x ظـاهر 14-7ل ك ش ـصـورت بـه يه توابع انتگرالده عمل همبـستگ كدهد ي انتقال م .داز داري نياديانولوشن به توجه زكمانند يعمل همبستگانتگرال ي محاسبه يلكدر حالت . شوند مي

.ي عرضيعمل همبستگ 14-7شكل

، نـشان )3-7(ي انولوشـن، معادلـه ك و انتگـرال ،)29-7(ي ، رابطـه ي عرض ـ يهمبستگي رابطهي سهيمقا ي، بـه خـوب 15-7ل ك ش ـيكـي ر گرافين ارتباط با تصاويت ايماه. بهم مرتبط هستندباًين دو تقريه ا كدهد مي

ر سـمت چـپ، يتـصاو . دهـد مـي ه را نـشان ي ـمفـروض اول توابـع ) الـف (-15-7ل كش. شده است نشان داده طـور بـه ر سـمت راسـت يدهنـد؛ تـصاو مـي شيانولوشـن را نمـا كنـد يه قبلا شرح داده شد، فرآ ك طور همانمـشهود اسـت، ) ب(-15-7ل كه در ش ـك ـ طور همان. دهند ميشي را نماي عرضيند همبستگ ي فرآ يكيگرافگـر يدهـاي ردن، قاعـده ك ـر يبـه جـز تـصو . وجود ندارد يند همبستگ ي از دو تابع در فرآ يكيردن كر يتصو انجـام يانولوشـن و همبـستگ كنـد يسان در هـر دو فرآ يك ـ طور به گيري انتگرالردن و كل دادن، ضرب انتقا) از دو تـابع يكـي ه ك ـ يدر حالـت خاص ـ . شود مي )x t اي ـ ( )h t انولوشـن و كنـد يفرآج ينتـا د، زوج باش ـ

ردن راك ـر ين، تـصو يرش برابـر اسـت، بنـابرا يع زوج بـا تـصو تـاب يـك را يسان هستند؛ ز يك املاك يهمبستگ 1- Correlation 2-Cross-correlaton 3- Autocorrelation


.ردكانولوشن حذف كي توان از مراحل محاسبه مي

.يانولوشن و همبستگك يكيگرافي سهيمقا 15-7شكل


.ديريرا در نظر بگ) الف(-16-7ل كنشان داده شده در شهاي تابع موج 3-7مثال )، تـابع يهمبـستگ هـاي بق با قاعده مطان دو تابع، ي ا يهمبستگي محاسبه يبرا )h م، در يده ـ مـي را انتقـال

( )x م، و حاصل ينك مي ضرب( ) ( )x h t ب در ي ـترت ه بـه ك ـ طـور همـان م، ين ـك مـي گيري انتگرال را .نشان داده شده است) د(و ) ج(، )ب(-16-7هاي لكش

) د(ردن و كضرب ) ج(انتقال دادن، ) ب(ه، يتوابع مفروض اول) الف(: يروش همبستگ 16-7ل شك

.گيري انتگرال


t حالت، در)29-7(ي با استفاده از رابطه a 0، ميآور ميدست به،

( ) ( ) ( ) ( )a

t

Qz t d x h t d

a

1

)7-31 ( )()( 22

2

221 taa

Q

a

Q

a

Qd

a

t

a

t

0در حالت taمي دار،

( ) ( )t a Q

z t da

0 1

)7-32 ( 2

0

2

0 221 )()( ata

Q

a

Q

a

Qd

atat

هـاي سـمت راسـت محـور ي هي ـ در ناحt يات همبـستگ ي ـه در عمل ك ـت اسـت ي ـته حـائز اهم كن ن يتوجه به ا

. مثبت استيتيمك مختصات يسمت چپ محورهاي هي و در ناحي منفيتيمكمختصات

تابع متناوبيكي هيل فوريتبدي انولوشن در محاسبهك ياربرد تئورك 7-10 و از توابـع ي قطـار نامتنـاه يـك ي هي ـفورل يتبدتوان با استفاده از مي گنال متناوب را ير س ه ه يل فور يتبد)د تابع ينكفرض . ردكانولوشن محاسبه كند يفرآ )y t ه در ك ـ ، است ي مربع يها قطار متناوب از پالس يكهـر ن يب ـي و فاصـله بـوده، 1 و 0t برابر با بيبه ترتپهنا و ارتفاع هر پالس . نشان داده شده است 17-7ل كش

) چون. است 0T يدو پالس متوال )y t بحـث شـد، 6.6ه در بخـش ك ـ طـور همـان اسـت، ي تابع تنـاوب يك )آن، ي هيل فور يتبدن يبنابرا )Y ، از توابع اي مجموعه ياز طرف . است ( )y t صـورت بـه تـوان مـي را )شن تابع انولوك )x t ،0 ي و پهنا 1 با ارتفاع ي پالس مربع ك ت يكه كt 0در ه كt و ، واقـع شـده اسـت

)تابع )h t ،از توابع ي قطار نامتناه يك هك 0ي با مساحت واحد و به فاصلهT گر است، در نظـر يديك از) توابع .گرفت )x t و ( )h tاند شده نشان داده 18-7ل ك در ش.

) تابع 17-7شكل )y t، يمربعهاي قطار متناوب از پالسيك.


) توابع 18-7شكل )x t و ( )h t ،انولوشن آنها تابع كه ك( )y tدهد مي را.

)اگر )X و ( )H توابـع ي هيل فور ي تبد ترتيب به( )x t و( )h t انولوشـن، ك ي باشـند، طبـق تئـور)ي هيل فور يتبد )y t برابر با ( ). ( )X H 2 و ي پـالس مربع ـ يـك ي هيل فوريدر فصل قبل تبد. است م،يدار) 45-6(ي و رابطه) 3-6(ي م، طبق رابطهيردك از توابع دلتا را محاسبه ي قطار نامتناهيك

)7-21 ( sin( )( )

( )

t tX

t

0 00

222

)7-22 ( ( ) ( )n

nH

T T

0 0

2 2

)تابع ي هيل فوري تبدجهيدر نتو )y tبرابر است با ،

)7-23 ( sin( )( ) ( )

( )n

t tnY

T T t

0 00 0 0

2 222.

02ت ي ـ در موقعيكه هر ك از توابع دلتا است ي قطار نامتناه يكمعرف ) 44-7(ي رابطه Tn قـرار ه ك ـاگـر فـرض شـود . شـود مـي نيـي تع 1كنيتابع س در نظر گرفتن مساحت دام با ك و مساحت هر اند گرفتهtيعني، استكوچكتناوب ي سه با دورهي مقا پالس در يپهنا T0 019-7ل ك ش ـصـورت بـه ف ي ـن طي ـ، ا

.خواهد شدمشاهده

.يمربعهاي از پالسيف قطاريط 19-7شكل

1-Sinc Function


يتوابع واقعي هيل فوريتبد 7-11 زمـان يـك از شهي ـ هم ،ده شـوند ي ـ د متناوب ي طولان يزماني بازه يك يو اگر بر ر يحت ي واقع يها گناليسه ك ـ وجود نـدارد يتناوبمگنال يسچ يدر واقع، عملا ه . ابندي مي گر خاتمه يشوند و در زمان د مي ن شروع يمع .دهد مي را نشاني واقعينوسيسك تابع يك 20-7ل ك ش.داشته باشدشه دوام ي هميبرا

)تناوب ظهور تابع م 20-7شكل ) cos( )y t t 0.

نمونـه، تـابع عنوان به. ردكمحاسبه انولوشن كتوان با استفاده از روش مي ها را گنالي س ن دسته از يف ا يط ،ديري را در نظر بگي واقعينوسيسك

)7-24 ( cos( )( )

,

t t tty t

t t t t

0 000 00.

، محاسـبه )7-5(ي ه، رابطهيفاده از انتگرال فورگنال را با است ين س يه ا يل فور ي تبد م،ي مستق طور بهتوان يم)ه كد ينك، توجه ياز طرف . ردك )y t ي پـالس مربع ـ تابع يك ضرب حاصل صورت بهتوان مي را ( )x t، بـا

)، ينوسيسك تابع متناوب يكواحد، در ي و دامنه 02t يپهنا ) cos( )h t t 0 ن بـا يبنـابرا . ردك ـف ي ـ، تعر)توابع ي هيل فوريدانستن تبد )x t و ( )h tتـوان ميي، به سادگيانسكانولوشن فرك ي، و با استفاده از تئور

)تابع ي هيل فور يتبد )y t ي با دوره ي پالس مربع يكي هي فور لي، تبد )3-6(ي طبق رابطه . را محاسبه نمود شود با، مي برابرt02تناوب

)7-25 ( sin( )( )

tX

02

)ي هيل فوريه تبدكتوان نشان داد ميي به سادگيو از طرف ) cos( )h t t 0برابر است با ،

)7-26 ( ( ) ( ) ( )H

0 02.

)تابع ي هيل فور ي، تبد )13-7(ي ، رابطه يانسكانولوشن فر ك ين طبق تئور يبنابرا )y t ،يعن ـي ( )Y برابـر ، ،شود با مي

)7-13 ( ( ). ( ) ( ) ' ( ') ( ')x t h t Y d X H

12

F

) نمــودار توابــع 21-7ل كشــدر ')X و( ')H هكــ يياز آنجــا. م شــده اســتي ترســ( ')H


در H و X توابـع يگـذار يبـا جا . شود مي ساده نسبتاًانولوشن كانتگرال ي است، محاسبه دو تابع مجموع م،يدار) 13-7(ي معادله

sin( ' )' ( ') ( ')

'

td

0

0 012

')'(

'

)'sin(')'(

'

)'sin(

d

td

t

0

00

021

21

)7-27 (

)(

)(sin

)(

)(sin

0

00

0

00

21

tt

.ي واقعينوسيسك تابع يراانولوشن بك توابع ريتصو 21-7شكل

) ، تابع تابع از دو يك ه چگونه هر كدهد مي نشان 22-7ل كش )X دو تابع حاصل . دهند مي را انتقال) و شوند مي با هم جمع )Y 0اگر . شود مي دي تول 02ار بزرگتر از ي بس t باشد، دو تـابع ( )X 0

)و )X 0 0 اگر اما،. ز هستندي مجزا و قابل تما 02ي از مرتبـه t ،ين دو تـابع هـم پوشـان ي ـا باشـد .نندك مي

.ي واقعينوسيسك گناليسي هيفور جفت 22-7شكل

) حد تابع يبررس )y t ه اش، يل فور ي و تبد( )Y از يكي. ت خاص جالب توجه است ي، در چند وضع گنال ي س ـيـك ه بـه يشـب ي واقع ـينوسيسك ـگنال ين حالت، س ـيدر ا. 0tه ك است ي هنگام ،ن حدود يا)ه، يل فور يشود، و تابع تبد مي ال دهيا ينوسيسك )Y 23-7ل كش ـ. شود مي لي، به مجموع دو تابع دلتا تبد


) ،ن حديدر ا. 0 هك است ي هنگامن حد جالب،يدوم. دهد ميشيرا نما ن حد ياج ينتا )y t يـك به 10را ي ز ،شود يل م ي تبد يپالس مربع )cos( t .ه، يل فور ين، تابع تبد يهمچن( )Y تـابع ك ت يك، به

.اده شده است نشان د24-7ل كت در شين وضعيا .شود ميلي تبد،0، واقع در كنيس

.0t در حد ي واقعينوسيسكگنال يه سيجفت فور 23-7شكل

.0 در حدي واقعينوسيسكگنال يه سيجفت فور 24-7شكل

يو-انولوشن به روش تووكانتگرال ي محاسبه 7-12 بـه گـر ي د يارك روش ساده و ابت يك ه شرح داده شد، ك ي علاوه بر روش انولوشن دو تابع، كي محاسبه يبرا

توابـع دي ـنكفرض . ميپرداز مين روشي مثال به شرح ايكر كدر ادامه با ذ. وجود دارد 1يو-نام روش توو( )x t و ( )h t ر باشند،ي زصورت به

( )

t

tx t

t

t

0 11 1 22 2 30 3

)7-49 ( ( )

t

h t t t

t

0 00 1

0 1

ي معادلـه . مين ـكمحاسبه يو-به روش توو، )3-7(ي ن دو تابع را با استفاده از رابطه ي ا انولوشنكم يخواه يم( )x و ،( )h t ي به ازا tv، ر هستند،يز صورت به

1- Tau-Vee Method


( )x

0 11 1 22 2 30 3

)7-50 ( ( )h

0 00 1

0 1.

)وابعف تيتعرها ه در آن ك ينقاط )x و ( )h نقـاط انفـصال .شـوند ميدهيند، نقاط انفصال نامك ميرييتغ شامل 321 ,, و 10,v ن نقـاط ي ـ نشان داده شـده اسـت، ا 25-7ل كه در ش كطور همان. هستند

.نندك ميميتقسمشخص ر دامنه ي زي را به تعدادvي انفصال صفحه

vي تقـسيم صـفحه 25-7شكل ــابع )توســط نقــاط انفــصال دو ت )x و

( )h . vtنند، در نقاط ك مي ه از نقاط انفصال عبور ك يخطوط ل كن نقـاط در ش ـ يا. نندك مي برخورد

.اند شدهتوپر مشخص اي رهي با دا7-27

خطــوطي كــه از نقــاط 26-7شــكل ــصال ت ــع انف )واب )x و ( )h ــور عب

ــوپر مــي ــاط ت ــد در نق vtكنن .نمايند تلاقي مي


vtمقدار م، ين ـك بهـم وصـل 27-7ل كن نقاط را مطابق ش ـ يسان است اگر ا يك يني در نقاط مع ميتقـس ، 28-7ل كمـورب، مطـابق بـا ش ـ ي هي ـر ناح ي ـسط شش خط مـورب بـه شـش ز تو vي صفحه

: استt يزماني بازهيكه متناسب با ير ناحيهر ز. شود مي ؛-1متر از كهاي t: اولي هير ناحيز ؛0 و -1ن يبهاي t: دومي هير ناحيز ؛2 و 0ن ي هاب بt: سومي هير ناحيز ؛3 و 2ن يبهاي t: چهارمي هير ناحيز ؛4 و 3ن يبهاي t: پنجمي هير ناحيز ؛ 4بزرگتر ي ها t: ششمي هير ناحيز

vtسان يك مقدار يه داراك يخطوط گذرنده از نقاط 27-7شكل باشند مي.

vt، توسط خطوط مورب vي م صفحهيحاصل از تقسهاي هير ناحيز 28-7شكل .


ر يدر ز . ميپرداز مي )3-7(ي انولوشن دو تابع با استفاده از رابطه كي ه، به محاسبه ير ناح ينون، در هر ز كا)را مقدار هر دو تابع يانولوشن صفر است، ز ك، مقدار 1tاول ي هيناح )x و ( )h ه ير ناح ين ز ي در ا01دوم، ي هير ناح يدر ز . باشد مي صفر t شود مي برابر29-7ل كانولوشن با توجه به ش ك، مقدار تابع با،

( ) ( ) ( )y t x t h t

)7-51 ( ( ) ( )t t t

d t d t d t

20 01 1 1

11 2 2

01ي ر بازهي در زگيري ي انتگرال بازه 29-7شكل t 1 از 0 تاvباشد مي.

20سوم ي هير ناحيدر ز t برابر است با،30-7ل كانولوشن با توجه به شك، مقدار تابع

)7-52 ( ( ) ( ) ( )t t

t ty t d t d t d

0 01 1 1

11 2.

20 ي ر بازهي در زگيري ي انتگرال بازه 30-7شكل t 1 ازv 0 تاvباشد مي.


32چهارم ي هير ناح يو در ز t ر محاسـبه ي ـ ز صـورت به 31-7ل كانولوشن با توجه به ش ك، مقدار تابع شود، مي

( ) ( ) ( )t

ty t d d t d t d

2 0 2 01 2 1 2

1 2 2

)7-53 ( ( ) ( )t

t

tt d t d t

221 2

52 22 2

32ي ر بازهي در زگيري ي انتگرال بازه 31-7شكل t 1، ازv 2 تا 2، و از 0تاv

.اشدب مي

43پنجم ي هير ناحيو در ز t برابر است با،32-7ل كانولوشن با توجه به شك، مقدار تابع

)7-54 ( ( ) ( ) ( )t t

y t d t d t d t t

3 3 3 21 1 1

2 2 2 6 8.

43ي ر بازهي در زگيري ي انتگرال بازه 32-7شكل t، 1 ازv 3 تاباشد مي.


)ل صفر بودن مقدار هر دو تابعي، به دل t4ششم ي هير ناح يو در ز )x و ( )h ، انولوشـن كمقدار تـابع .شود ميصفر يريگكـار بـه ه بـا ك ـ يجي با نتـا يو- آمده در هر مرحله به روش توو دست بهج يه نتا كتوان نشان داد يم

.سان استيكاملا كند، يآ ميدست به 6. 7روش شرح داده شده در بخش

گرماي ه در حل معادلهيل فورياربرد روش تبدك 7-13حـل . ردك ـه استفاده يل فوريتوان از روش تبد ميرهاي متغ يگرما علاوه بر روش جداساز ي حل معادله يبرا. اسـت تـر رهـا سـاده ي متغ يبـه روش جداسـاز مراتـب از حـل هه ب ـ يل فور ين دسته از معادلات به روش تبد يا

ر،ي زصورت بهت ي نهايبي در بازهگرماي معادله

)7-55 ( ( , ) ( , ),

u x t u x tK x

t x

22

،ي هيبا شرط اول)7-56 ( ( , ) ( )u x f x0

بـه . ميري ـگ مـي هي ـل فوري تبـد ن آنيه، ابتدا از طرفيل فورين معادله به روش تبديحل ا ي برا.شود مي فيتعر ،شود مييانكمشتق مي جملهي هيل فوري برابر تبدK ،يمشتق زماني جملهي هيل فوريب، تبدين ترتيا

)7-57 ( ( , )u x t

x

22F.

( , )u x tK

t

F

) ي و زمان يانكمهاي مشتقي هي فور تلايد تبد يباب ين ترت يبه ا , )u x t ل يف تبـد ي ـاز تعر . مين ـك را محاسبه)تابع ي هيفور , )u x t ف ي ـ، و بـا تعر )11-5(ي با توجه به رابطه . مينك مي ان شروع ك م ي در فضاk p 2 م،يدار

( , ) ( , ) ikxu x t dx u x t e

12

F

ي هي ـل فور ي تبـد يكفوق ي ؛ رابطه ز هست ين زمان برحسب يان، تابع ك علاوه بر م uه كد يتوجه داشته باش است يافكان، ك م يه در فضا يل فور يتبدي محاسبه يبرا. است tزمان پارامتر با فرض ثابت بودن يمعمول

ikxeرا در مورد نظر تابع ه ك ييافـض ي هيل فور يتبدي محاسبه. نمود گيري انتگرال سپس و رده،كضرب ) تابع ياست، برااي هار سادك يمشتقات زمان , )u x t م،يدار

( , ) ( , ) ikxu x t u x te dx

t t

12

F

)7-58 ( ( , ) ( , )ikxu x t e dx k tt t

12

.هيل فوري تبدي برابر است با مشتق زمانيمشتق زماني هيل فورين تبديبنابرا ،ديآ ميدست به يانكمشتقات مي هيل فوريتبدي محاسبهازتر ج جالبينتا


( , ) ( , ) ikxu x t u x te dx

x x

12

F

ه،كم ينك مين منظور فرضي اي برا.مينك مي روش جزء به جزء استفاده از حل انتگرال فوقيبرا

,

,

ikx

ikx

udf dx g e

x

f u dg ike dx

ن،يبنابرا

)7-59 ( ( , )( ) ( , )

ikxikxu x t e ik

u x t e dx

2 2

x اگر در تابع ،u شـود مـي صـفر فـوق ي اول در رابطـه ي جملـه نـد، سـهم كل ي به سمت صفر م . ،مين داريبنابرا

)7-60 ( ( , )( ) [ ( , )] ( ) ( , )

u x t

ik u x t ik k tx

F F

،ردكتوان محاسبه ميبالاتر راي از مرتبهيانكمشتقات مي هيل فوريبا روش مشابه، تبد

)7-61 ( ( , ) ( , )[ ] ( ) ( , )

2 22

u x t u x tik ik k t

xxF F

)، برابر با x تابع نسبت به يكام nمشتق ي هيورل ف ي، تبد يلكدر حالت )nik تـابع ي هي ـل فوري برابر تبـد xدر هك برقرار است ين در صورت يا. باشد مي تابع ،( , )u x tبـه يات مرتبه بالاترش همگ ـ و مشتق

تـابع هك ـ معتبر اسـت يتنها در صورت ي هر انتگرال جزئهكد توجه داشت يبه علاوه با. نندكل يسمت صفر م . وسته باشديمختص آن پ

هـاي يژگ ـيبـا اسـتفاده از و . آمـد دسـت بـه ) 57-7(ي ، معادله )55-7(ي ه به معادله يل فور يبا اعمال تبد ،شود ميلير تبديزي به معادله) 57-7(ي عادلهمشتقات، مي هيل فوريتبد

)7-62 ( ( , ) ( ) ( , ) ( , )k t K ik k t Kk k tt

2 2.

ل يد، عملگـر تبـد شـو مي ليه تبد يل فور ي تبد يرب جبر به مض يانكمشتقات م ي هيل فور ي تبد هك يياز آنجا ليبـد ت يل معمـول يفرانـس ي معادلـه د يـك ثابـت را بـه بيضـرا بـا ي خط يل جزئ يفرانسي معادله د يكه يفور .ندك مي

ن معادلـه ي ـ ا ي حـل عمـوم .ب ثابت اسـت ي با ضرا يكي ل مرتبه يفرانسي معادله د يك، )62-7(ي معادله ،صورت به)7-63 ( ( , ) Kk tk t ce

2 t عملگر .است ،ه ك است ي مشتق معمول يكk ن اگـر ينـابرا دارد، ب مي را ثابت نگهk فـرض ثابـت


برحـسب ياري ـ تـابع اخت يك cقت يدر حق . دارد k به ي بستگ c. مقدار ثابت دارد يكز ي ن cشده باشد، kمينك يسير بازنوي زصورت بهرا ) 63-7(ي د رابطهين بايبنابرا. است،

)7-64 ( ( , ) ( ) Kk tk t c k e 2.

)قت يدر حق )c k ي ه در لحظه يل فور ي برابر با تابع تبدt 0 ،برابر با يعني ( ) ( ) ikxc k f x e dx

12

.باشد مي)تابع ي محاسبه ينون برا كا , )u x t توجـه .ميري ـگ مـي انولوشـن بهـره ك يتئـور ، از )64-7(ي رابطه از ) هكد ينك )c k يعن ـي، هي اول يع دما ي توز تابعي هي فور ليتبدتابع ( )f x، و Kk te

تـابع ي هي ـ فور لي تبـد 2x يگاوس Kte Kt 2 4 ي انولوشـن، رابطـه ك يتئـور ن بـا اسـتفاده از يبنـابرا . باشـد مـي انك م ي در فضا 2

)، تابع )3-7(ي انولوشن، رابطهكي ، و با توجه به رابطه)7-9( , )u x tبا،شود مي برابر

)7-65 ( ( ')( , ) ( ') 'x x Ktu x t f x e dxKt

2 41 12 2

.

املا ك ـد، ي ـآ مـي دسـت بـه گرمـا ي حل معادله يگر برا يدهاي بردن روش كار بهه از كاي جهيجه با نت ين نت يا ر است،يه شد، به شرح ز بردكار بهه ك ي خلاصه روشطور به. سان استيك

.ه شده گرفتيل فوريتبدمفروض ل يفرانسيدي معادلهن يطرفاز -1

.ديه محاسبه گرديت فورلاياعمال و تبده يط اوليشرا -2

.شدانولوشن استفاده ك ياز تئور -3

.گردد مي سادهيتي حائز اهمقدر بهوارون ي هيل فوريتبدي محاسبهانولوشن ك يه از تئوربا استفاد

مسائل .ر استيزهاي يژگي ويانولوشن داراكد ينكثابت -7-1

است،ييجا جابهت ي خاصيانولوشن داراك )الف( ( ) ( ) ( ) ( )x t h t h t x t .

است،يريپذ تكت شري خاصيلوشن داراانوك) ب( ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )g t x t h t g t x t h t .

جمع است،ي بر رويريپذ عيت توزيخاص يانولوشن داراك) ج( ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )g t x t h t g t x t g t h t .

)توابع -7-2 )x t و ( )h t ديري، در نظر بگاند شدهر نشان داده يزل كه در شك را.


.2-7ل مسئله كش

) يمنحن) الف( ) ( )x t h t دينك را رسم. ) يمنحن) ب( ) ( )h t h t دينك را رسم. ) ي خود همبستگيمنحن) ج( )h t دينك را رسم.

)ر، ي جفت توابع زيبرا -7-3 ) ( )x t h tدينكن يي را تع.

( )

( )

at

bt

e tx t

t

e th t

t

00 0

00 0

. 1

( )

( )

t

t

te tx t

t

e th t

t

00 0

00 0

. 2

( )

( )

t

t

te tx t

t

e th t

t

00 0

10 1

. 3

( )

( )

t

t

e tx t

t

e th t

t

32 10 1

2 00 0

. 4


sin( )( )

;

( )

;

t tx t

t t

th t

t t

12 0 210 0 2

11 0 810 0 8

. 5

( )

;

( ) ( )

t tx t

t t

h t x t

1 0 10 0 1. 6

( )( )

;

( ) ( )

a t a t ax t

t a t a

h t x t

3

0. 7

( )

( );

ate tx t

t

t th t

t t

00 0

1 0 10 0 1

. 8

،ديرير را در نظر بگيتوابع ز -7-4

( );

tx t

t t

1 1 120 1 1

( ) th t te 2.

)نمودار ) الف( )x t و ( )h t را برحسب t دينك رسم. )ي رابطه)ب( ) ( ) ( )y t x t h t ديابيرا ب. )نمودار ) ج( )y t دينك را رسم.

،ديرير را در نظر بگيتوابع ز -7-5

( );

t tx t

t t

2 1 10 1 1

( );

th t

t t

1 0 10 0 1

)انولوشن ك يمنحن )x t و ( )h t دينك را رسم.


)انولوشن جفت توابعك يمنحن -7-6 )x t و ( )h t دينك، رسم اند شدهل نشان داده كه در شك را.


)اگر -7-7 )x t باشدريزي با رابطهي پالس مربعيك ،

( )

;

T Tt

x tT T

t t

0 0

0 0

1 2 20 2 2

)و )h tيري از مجموع تابع تاخ ( )x t ل شده باشدكيتشر ي زصورت به ينوسي تابع سيك و، ( ) ( ) sin( )h t x t T t 0 010

هك0

020T

ي عرضي همبستگي، منحن( )x t و ( )h t دينك را رسم. .انولوشن متقارن استكه انتگرال كد ينشان ده -7-8

( ) ( ) ( ) ( )d x h t d h x t

ــشان ده -7-9 ــن ــد ي ــه ازا ك ــر ب )، 0t يه اگ )x t و ( )h t ،ــند ــفر باش ــر دو ص ــابع كه ــن دو ت انولوش( ) ( ) ( )y t x t h t 0 يز به ازاي نtشود مي، صفر.


) دو تابع انولوشنك يمنحن) الف( -7-10 )x t و ( )h t ب. (دينك، رسم اند شدهل نشان داده كه در ش ك را ( . تابع زوج استيكانولوشن دو تابع فرد كه كد ينشان ده


) ي عرضيهمبستگي هيل فوريتبد -7-11 )x t و ( )h t ديابين دو تابع بياي هيلات فوري تبدبرحسب را. يكـي گراف طـور بـه ل را كتوابع نشان داده شـده در ش ـ ي هيل فور يانولوشن، تبد ك يبا استفاده از تئور -7-12 .دينكن ييتع


استيگري ديگاوسع تابيگاوس تابع يكي هيل فوريه تبدكت ين واقعيبا استفاده از ا -7-13

F

22te

= )( 22 4

21

e

.دينكر را محاسبه يانتگرال ز

( )( ) ty t d e e

2 212

) نمودار يك يبر رو )y tو 2te دينك را رسم.


)تابع -7-14 )x t تناوب ي با دورهيگاوسهاي قطار متناوب از پالسيكT ،انير بي زصورت بهه ك است .شود مي

( )( ) t nT

n

x t e

2 2

.14-7ل مسئله كش

در كراي ـ د ي قطار از توابع دلتـا يك با يگاوس پالس منفرد يكانولوشن ك صورت بهتواند مي ن تابع يا)ي هيل فوريته تبدكن نيبا استفاده از ا. نظر گرفته شود )x tديابي را ب.

)تابع متناوب ي هيل فوريتبد) الف( -7-15 )x t ديابير نشان داده شده است، بيل زكه در شك را.


)) ب( )x t ديريانولوشن دو تابع در نظر بگك صورت بهرا . t يلي تحلطور به -7-16 te e

2 .)دينكانولوشن استفاده ك ياز تئور: ركذت. (دينكن يي را تع2) جفت توابع يهمبستگ -7-17 )x t و ( )h t طـور بـه ، انـد شـده نـشان داده 6-7ي ل مـسئله كه در ش ـ ك ـ را

.دينكن يي تعيكيگراف .ديابير را بيتوابع زي هيل فوري تبديكي گرافطور به -7-18

( ) cos ( )x t A t 202. 1

( ) sin ( )x t A t 202. 2

( ) cos ( ) sin ( )x t A t A t 2 20 02 2. 3

.ديابير را بيوارون توابع زي هيل فوري تبديكي گرافطور به -7-19


2

)sin(

. 1

21

1)( i. 2

e. 3

e1. 4

) ديــنكفــرض -7-20 )x tي بــازه ير صــفر بــر رويــ غيزمــاني تــابع محــدود شــدهيــكT ،صــورت بــه

2200 T

tT

،ــنـــشان ده. اســـت ) ،ديـ ) ( )x t x tــابع غيـــك ــ تـ ــازهير صـــفر بـــر رويـ ي بـ

00 TtT دو برابري پهناياست، و دارا ( )x tاست . )د اگر ينشان ده -7-21 ) ( ) ( )y t x t h t ر همواره برقرار استيزي رابطهگاه آن.

( ) ( ) ( )( ) ( )

dy t dx t dh th t x t

dt dt dt

) جفت توابـع ضرب حاصلي هيل فوري، تبديانسكانولوشن فرك يبا استفاده از تئور -7-22 )x t و ( )h t .دينكن يي، تعاند شدهل نشان داده كه در شكرا


گسستهكانولوشن و همبستگي فصلفصل88

مقدمه8-1عمـلا، . تعلـق دارد يانولوشن و همبستگ كه به يل گسسته فور يتبدي ن مشخصه يمهمتره كرد كتوان ادعا يم

ن ي ـدر ا. گسـسته اسـت يانولوشن و همبستگكي آن در محاسبهيياراك، FFT ه،يگسسته فور ل يت تبد ياهمن، يهمچن ـ. مين ـك مـي ي گسـسته را بررس ـ يانولوشن و همبستگ ك، معادلات يكي و گراف يلي تحل طور بهفصل، .ميده مي قراريوسته را مورد بررسيانولوشن گسسته و پكن يارتباط ب

برداري نمونه 8-2. ردي ـگ مي واحد از زمان از آن نمونه T هر بعد از لهي وس يك ووسته است ي تابع پ يك tx)(ه كد ينكفرض *)( شـده را بـا بـرداري نمونهن تابع يا. ونه از آن گرفته شود نم N2ل كد تعداد ينكفرض kTx مـشخص كوچ ـك يه مقـدار ك ـم يري ـگ بـرداري مـي نمونـه يك را طول زمان . دينك توجه 1-8ل كبه ش . مينك مي

باشـد، Tن اگر يبنابرا. ب زد ي تقر يليمستطهاي را با پالس يك بار يبا پهنا هاي توان پالس مي .است)(* kTx ود باش مي برابرباًيتقر،

)8-1 (

12

0 221 N

n

nTtHnTtHnTxkTx )]()()[()(*

.

ل مفهوم ين دليبه ا. ندك مي پارامتر به مسئله اضافهيكرا ي ز استساز مشكل) 1-8(ي در رابطه يبه روشن شـود مـي فـرض كوچ ـك نهايـت بـي بـرداري نمونهه در آن زمان كم ينك مي ي را معرف آل ايده برداري نمونه ،نيبنابرا

12

0022N

n

nTtHnTtHnTxkTx

)()()(lim)(

)8-2 (

12

0

N

n

nTtnTx )()(

)(kTx باشد آل مي ايده برداري نمونه تابع.


*)( صورت به يك باري نمونه بردار پهنايك با tx)(وسته ي تابع پيكه چگونه كني از ايكيشمات 1-8شكل kTx

.شود برداري مي نمونه، kTx)( صورت به آل ايده نمونه بردار يكو

،ميه داريل فوري تبديت خطياز خاص. ميابي شده را ببرداري نمونهتابع ي هيل فوريم تبديخواه مينونكا

12

0

N

n

TnknTx )()( ( ) [ ( )]X x kT F F

)8-3 (

12

0

N

n

nTx )( F Tnk )(

F هك يياز آنجا nTi neN

Tnk 21

،شود مير سادهيزي به رابطه) 3-8(ي باشد، رابطه مي)(

)8-4 ( ( ) ( ) n

Ni nT

n

X x nT eN

2 1

0

12.

انولوشن گسستهك 8-3 ،شود ميفير تعري زصورت به گمايانولوشن گسسته با استفاده از علامت زك

)8-5 (

12

0

N

i

TikhiTxkTy )()()(

باشند، ميN2 تناوبي با دورهيوابع تناوب، هر دو تkTh)( و kTx)(ه توابع ك

)8-6 ( ,...,,))(()(

,...,,))(()(

21022102

rTNrkhkTh

rTNrkxkTx

،شود مير نوشتهيل زك به شي قراردادصورت بهانولوشن گسسته ك)8-7 ( ( ) ( ) ( )y kT x kT h kT .

143 گسسته كانولوشن و همبستگي:8فصل

ــرا ــري را در نظــر بگ2-8ل ك شــيانولوشــن، نمودارهــاكي معادلــهي بررســيب ــابع . دي و kTx)(هــر دو ت)(kThــا دوره ــاوب ي ، ب 42تن Nــاوب ــستندي تن ــه . ه ــه معادل ــا توجــه ب ــع )5-8(ي ب و iTx)(، تواب

Tikh )( (نشان داده شده اسـت، تـابع ) الف(-3-8ل ك در ش طوركه همان. از هستند ي مورد ن( iTh تابع . حول محور قائم است iTh)(ر يتصو Tikh )( تابع يبه سادگ )( iTh ه بـه مقـدار ك ـ اسـتkT تابع ) ب(-2-8ل كش. افته است ي انتقال Tikh )( انتقال ي را به ازا T2 ي معادلـه . دهـد مـي نشان

. شود مياز محاسبهيمورد نهاي و ضربها ، با انجام جمعkT هر انتقال يبه ازا) 8-5(

.انولوشن گسستهك ي بررسي برايثالمي شدهبرداري هاي نمونه تابع موج 2-8شكل

.انولوشن گسستهك عمل انتقال يكيشرح گراف 3-8شكل

انولوشن گسستهك يكير گرافي تعب8-4 بـرداري نمونـه ر يمقـاد . نـشان داده شـده اسـت 4-8ل ك در ش ـ يكي گراف صورت بهنولوشن گسسته اكند يفرآمـورد ي محاسبه) الف(-4-8ل كش. اند شده با نقطه و ستاره مشخص ترتيب به، kTh)( و kTx)(ي شده

شـود و حاصـل در مـي رش ضـرب ي ـنظي مقدار هر نقطه در مقدار سـتاره . دهد مي را نشان 0k ياز برا ين42ي بازهي ر مشخص گسسته ي مقاد يبر رو ها ن حاصلضرب يرد؛ ا يگ مي سان قرار يك يمقدار افق N بـا ،نـشان ) ب(-4-8ل ك در ش ـيكـي گرافصورت به، 1k يبرا) 5-8(ي معادلهي محاسبه. شوند مي هم جمع

و ) پ(-4-8هـاي لكش. رديگ مي صورتNي نقاط مشخص شده يداده شده است؛ ضرب و جمع بر رو 4k يه بـرا ك ـد ي ـنكتوجه . دهند مي نشان3k و 2k يانولوشن را براكي سبه محا ترتيب به) ج(ن امـر ي ـا. سان اسـت يك ـ) الـف (-4-8ل كشوند با مورد ش ـ ميه ضرب و جمع ك ي، جملات ))د(-4-8ل كش(

ن،يبنابرا. جمله، متناوب هستند4تناوب ي هر دو با دورهkTh)( و kTx)(را يمورد انتظار است ز


)8-8 ( ,..,,))(()( 2102 rTNrkykTy.

.انولوشن گسستهك يكيفشرح گرا 4-8شكل


ه ك ـن تفـاوت ي ـوسته است، تنها با ايانولوشن پكانولوشن گسسته مشابه با كي محاسبه يكيگرافهاي گام: عبارتنـد از هـا ن گـام ي ـانولوشـن گسـسته ا ك يبـرا . ن شده اسـت يگزي جا بندي جمع با گيري انتگرالند يفرآ

وسـته، يانولوشن توابع پ كمانند . ردنكجمع ) د(ردن و كضرب ) ج(انتقال دادن، ) ب(ردن، كر يتصو) الف(-8(ي ن معادلـه يبنـابرا . ردك انتقال دادن انتخاب يتوان برا مي را kTh)( و kTx)(هاي از دنباله يكهر

،شود مير نوشته ي زصورت به معادل طور به) 5

)8-9 (

12

0

N

i

TikxiThkTy )()()(.

انولوشن گسستهك از ي مثال8-5kTtkي شده در لحظهبرداري نمونهپالس د،يريگ را در نظر ب

)8-5 (

12

0

N

n

TnknTFkTx )()()( ،

ل ي اسـت، تبـد kTy)(ه ك ـ يگـر ي به پـالس د kTh)( يل خط ي تحت تبد kTx)(ه پالس كد ينكفرض مثـال پـالس عنـوان بـه . اسـت يستم بـه پـالس ورود ي ـ پاسـخ س kTh)( ستم، و ي ـ س يورود kTx)(. شود .ديريرا در نظر بگ 5-8ل كش، در kTh)( ،)انتقال(ل يو تابع تبد، kTx)( ،يورود

.kTh)(ل ي با تابع تبديستم خطي سيك به kTx)( ي از پالس وروديمثال 5-8شكل

32 بـرداري نمونـه واحـد از زمـان و تعـداد 1T برابر با kTx)( از برداري نمونههر ي فاصله N ،شود يه مي تجزمجزاهاي از پالسير به تعدادي زصورت به kTx)(ب، پالس ين ترتيبه ا. فرض شده است

)8-10 ( )()()()()()()( 221100 kxkxkxkx


)8-11 ( ,...,,,,)()()()( 4210211203 kkkkkx . ،دينك توجه 6-8ل كبه ش

.kTx)( يلس ورودپاي هيتجز 6-8شكل

،شود مير محاسبهي زصورت به) 5-8(ي ، طبق رابطهkTh)( و kTx)(انولوشن دو تابع ك

)8-12 (

2

0i

ikhixky )()()(

،مين داريبنابرا

6230000 )()()( hxy 722131110101 )()()()()( hxhxy

132112332221210202 )()()()()()()( hxhxhxy )()()()()()()()()( 3332321310303 hxhxhxhxy

720113203 )()()()()()()()()()()( 4443432421410404 hxhxhxhxhxy

32010310203 )()()()()()()()()()()()()( 5554543532521510505 hxhxhxhxhxhxy

3 0 2 0 1 0 0 3 0 1 0 2 0 )8-13 ( )](,,,,,[ 0371376 Oy .

و kTx)(انولوشـن گسـسته دو دنبالـه كتلـب، م conv() توان بـا اسـتفاده از دسـتوريم)(kTh ردكر محاسبه ي زصورت به، در مثال فوق را.

x=[3 2 1]; h=[2 1 3]; y=conv(x,h)


وستهيانولوشن گسسته و پكن ي ارتباط ب8-6 انولوشـن گسـسته ك، ردك ـ، مشخص سانيك در فواصل ،يتوابع پالس با توان مي را يه توابع تناوب كنيبا فرض ا

خـوش ي توابـع پالـس يوسـته بـرا يانولوشـن پ كرا ي ـز. شود مي نا مرتبط يوسته اش ع ي با معادل پ يهر تابع تناوب .ف استيتعر

شـده بـرداري نمونـه متنـاوب توابـع ي وستهيانولوشن پ كب يتقرتنها انولوشن گسسته كاربرد كن يمهمترن يب ـي رابطـه يدر ادامه به بررس . باشد ميز ي ن يمعمولهاي تابع موج ي وستهيانولوشن پ كب يه تقر كلست، ب ين .ميپرداز ميوستهينولوشن گسسته و پاك

يتوابع موج با استمرار متناهي انولوشن گسستهك 8-6-1م يخـواه مـي .دي ـري، در نظـر بگ انـد شـده نـشان داده ) الـف (-7-8ل كه در ش ـ ك ـ را th)( و tx)(هاي تابعانولوشـن ك. مين ـكسه يج را با هم مقا يم و نتا ينكوسته محاسبه ي گسسته و پ صورت بهن دو تابع را يانولوشن ا كانولوشـن كي محاسـبه يبـرا . نشان داده شده اسـت ) الف(-7-8ل كن در ش ي، همچن ty)(دو تابع ي وستهيپ

ه هـر دو تـابع ك ـد ي ـنكض فـر . ميري ـگ مي نمونهT يزمانهاي با بازهth)( و tx)(گسسته، از هر دو تابع 92تنـاوب ي ، دوره )ب(-7-8ل كدر ش ـ . متنـاوب هـستند N2 شـده بـا دوره تنـاوب برداري نمونه N

622 با kTh)( و kTx)(انتخاب شده است و هر دو تابع QP ي هي ـ؛ بق انـد شـده نمونـه مـشخصانولوشـن ك، )ب(-7-8ل كش ـ. انـد شـده تنـاوب صـفر قـرار داده ي دوره يـك ي ننـده كمشخص هاي نمونه

92تناوب ي دوره ي را برا kTy)(گسسته N ن انتخـاب ي ـ ا يدهـد؛ بـه ازا مي نشانN2 ،انولوشـن ك ي خروج ـي منجـر بـه همپوشـان يت تنـاوب يرا محـدود ي ـوسته است زي از حالت پ يفيار ضع يب بس يگسسته تقر

انولوشن كي جهيم، نت ينك بزرگ انتخاب ن يافكي تناوب را به اندازه ي ن اگر دوره يبنابرا. متناوب شده است ن ي ـ ا يار اسـت بـرا كآش. ندك مي يتناوب مجاور هم پوشان هاي انولوشن دوره كج يتناوب با نتا ي وره د يكچ يه ه ـك ـانتخاب شـود اي د به گونهيتناوب باي وسته باشد، دوره يانولوشن پ كب يانولوشن گسسته تقر كه ك

،مينك مير انتخابيزي تناوب را مطابق با رابطهي دوره. رخ ندهديهم پوشان)8-14 ( 1222 )()( QPN.

111222ه ك يدر حالت )()( QPN توجـه . نـشان داده شـده اسـت ) ج(-7-8ل ك، در ش ـ اسـتبـر ) 18-8(ي معادلـه . انولوشن حاصل وجود ندارد ك در يچ همپوشان ي، ه N2ن انتخاب ي ا يه به ازا كد ينك

ه ك ـ اسـت ي نمونه، تـابع Q2 با يگري نمونه با تابع د P2 تابع با يكانولوشن كه كت است ين واقع ي ا يمبنا122با )()( QPشود ميفيه توص نمون .

1222 در انتخاب ينفعچ يه )()( QPN نـشان ) د(-7-8ل ك در ش ـ طوركه همان وجود ندارد؛152 يداده شده است، به ازا N سان يك ـ) ج(-7-8ل كانولوشن گسسته بـا مـورد ش ـ كر صفر ير غ ي، مقاد

ي تـابع تنـاوب يكانولوشن گسسته كانتخاب شود، حاصل ) 14-8(ي مطابق با رابطه N2ه ك يتا زمان . است .وسته استيانولوشن پكي جهي از نتيبيه هر تناوب آن تقركاست


.يبا استمرار متناههاي تابع موج: وستهيانولوشن گسسته و پكن يارتباط ب 7-8شكل

انولوشـن ك از ياس متفـاوت يانولوشن گسسته مق كج يه نتا كدهد مي ت را نشان ين واقع يا) ج(-7-8ل كش ،ميدار) 5-8(ي انولوشن گسسته رابطهكي ح معادلهيت؛ با تصح اسTياس گذاريثابت مق. وسته دارنديپ


)8-15 (

12

0

N

i

TikhiTxTkTy )()()(.

ه بـا ك ـ اسـت يت زمـان ي توابـع بـا محـدود يوسته برايانولوشن پك همان انتگرال يبه سادگ ) 19-8(ي معادلهانولوشـن گسـسته بـا ك، ي بـا طـول متنـاه ي توابع زمـان ين برا يبنابرا. شود مي محاسبه يلي مستط گيري انتگرال

طوركـه همـان . وسته اسـت يانولوشن پ ك از يبيشود، تقر مي وارد يلي مستط گيري انتگرالق يه از طر ك يياخط شـود، كوچ ـك يافك ـي بـه انـدازه T بـرداري ي نمونـه ده شده است، اگر بـازه نشان دا ) ه(-7-8ل كدر ش . شود مييقابل چشم پوش) 19-8(ي انولوشن گسسته معادلهك وارد شده توسط يخطا

ي با استمرار نامتناهيگري با تابع دي تابع با استمرار متناهيكانولوشن گسسته ك 8-6-2

. داشـتند ي استمرار متنـاه kTh)( و kTx)(ه در آن هر دو تابع كم يردك ي را بررسي مورد يدر مثال قبل انولوشـن ك ي بررس ـ يبـرا . هـستند ي متنـاه ي از دو تـابع زمـان يكـي ه تنها ك است يگر هنگام يمورد جالب د

) الف(-8-8ل ك در ش طوركه همان. ديري را در نظر بگ 8-8ل ك ش ين مورد، نمودارها يوسته در ا ي و پ گسسته فـرض ي تـابع بـا اسـتمرار نامتنـاه يـك tx)( و ي تابع بـا اسـتمرار متنـاه يك th)(نشان داده شده است،

ي به محاس ـ يه بـرا ك ـ يياز آنجـا . نشان داده شده اسـت ) ب(-8-8ل كن دو تابع در ش يانولوشن ا ك؛ اند شدهل ك ش ـي متناوب باشند، نمودارهاkTh)( و kTx)( شده برداري نمونهد هر دو تابع يانولوشن گسسته با ك)). ج(و ) الـف (-8-8هـاي لكش ـ(م ين ـك مـي انتخـاب N2تنـاوب را ي دوره ده و آور بدسترا ) ج(-8-8

.شود مي"1 امتدادر يتاث"ي دهي منجر به پدkTx)( ياعمال دوره تناوب به تابع نامتناهــا هــم مقا) د(-8-8ل كانولوشــن گســسته شــكو ) ب(-8-8ل كوســته شــي پانولوشــنك ــرا ب ــنكسه ي . دي12ي ن بازه ياولهاي جه به جز نمونه يد، دو نت ينك مي مشاهده طوركه همان Q انولوشن گسسته، در توافق ك

از تنـاوب يـك تنها . ديري را در نظر بگ 9-8ل ك ش يت، نمودارها ين واقع يتر ا ان شفاف ي ب يبرا. گرنديديكبا )(iTx و ))(( Tih 9 در )19-8(ي انولوشن گسـسته، معادلـه كي محاسبه يبرا. نشان داده شده است ،))(( و iTx)(هاي ن انتقال، نمونه يا Tih 9 در ))الـف (-9-8ل كش(دهند مي زمان رخ يكه در ك را ،

. اسـت iTx)( از يتنـاوب تـابع ي دوره يانولوشن در دو انتهـا كحاصل . مينك مي رده و جمع كهم ضرب هـر ي بـرا يج مـشابه ينتـا . وسـته نـدارد يانولوشن پ ك برحسب ير با معن يچ تعب يت ه يعن موق يه ا كواضح است 12متر از كمقدار انتقال Q ،12 تا انتقال ر امتداديتاث .ديآ ميبدست Qkوجود دارد ،.

تـابع دهد؛ يرخ نم N2ي شده برداري نمونهر ي سمت راست مقاد ير امتداد در انتها يه تاث كد ينكتوجه )( iTh 12 انتقال ي برا Qk و تابع )(iTx 9-8ل ك در ش-)ر يضرب مقـاد . اند شدهنشان داده ) ب)(iTx ر ي ـر نظ ي در مقاد])[( TiQh 12 انولوشـن كر حاصـل، مقـدار ي مقـاد ي و سـپس جمـع بـر رو

.دهد ميح رايصح، ر امتـداد يتـاث نـار گذاشـتن ك انتخـاب شـود، بـا كوچ ـك يافك ـي به انـدازه T برداري ي نمونه اگر بازه

.وسته استيانولوشن پك از يقين دقين مثال تخمي طبقه توابع ايسته براانولوشن گسك

1- End Effect


.ي و نامتناهيبا استمرار متناههاي تابع موج: وستهيانولوشن گسسته و پكن يبي رابطه 8-8شكل


.ر امتداديتاثشرح 9-8شكل


گسستهي همبستگيكير گرافيتعب 8-7 ،شود ميفير تعري زصورت به گسسته يهمبستگ

)8-16 (

12

0

N

i

TikhiTxTkTz )()()(

هستند،يتوابع تناوب kTz)( و kTh)(، kTx)(ه ك

)8-17 ( ,...,,))(()(

,...,,))(()(

,...,,))(()(

210221022102

rTNrkzkTz

rTNrkhkTh

rTNrkxkTx

ردن ك ـر يند تصو يه فرآ كن تفاوت است ي ا ي دارا گسسته انولوشنك گسسته با يوسته، همبستگ يمانند مورد پ .شود ميانولوشن گسسته انجامكقا مانند مورد ي انتقال، ضرب و جمع دقشاملر قواعد ين، سايبنابرا. را ندارد را در نظـر 10-8ل كشـود، ش ـ مـي دهي هم نام يپرچمهاي ضرب يه گاه ك يند همبستگ ي فرآ شرح يبرا

مطـابق بـا قواعـد . انـد شـده نشان داده ) الف(-10-8ل كد همبسته شوند در ش يه با كاي توابع گسسته . ديريبگه نـشان داد ) د(و ) ج(، )ب(-10-8هـاي لك در ش ـ ترتيـب بـه انتقال، ضـرب و جمـع هاي ندي، فرآ يهمبستگ

.اند شده


گسستهي همبستگيكيشرح گراف 10-8شكل

مسائل ،دينكفرض -8-1

,...,,

,...,,

,,,

)(

)(

21054

32100

r

Nk

k

TrNkx

e

kTx

kT


,...,,

,...,,

,,

)(

)(

21043

21001

r

Nk

k

TrNkh

kTh

)، =1Tبا فرض ) ( )x kT h kT مقـدار . دي ـنكن يـي تع يل ـي و تحل يكـي گراف طور به راN متـر، برابـر و ك را

.دينكانتخاب ) 14-8(ي بزرگتر از رابطه .دينكر استنتاج يرد ز موايانولوشن گسسته را براك يتئور -8-2

-)الف(

12

0

N

i

TikxiTh )()(

-)ب(

12

0

N

i

TikhiTh )()( ز هـر دو ا. دي ـري، در نظـر بگ انـد شدهل نشان داده كه در ش ك را th)( و tx)(ي وستهيجفت توابع پ -8-3

40TT برداري ي نمونه تابع با بازه ،تنـاوب ي ه هر دو تابع با دوره كد ينكد و فرض ينك برداري نمونهN . دينكانتخاب ) 14-8(ي را مطابق با رابطهNمقدار . هستنديتناوب

)) الف( ) ( )x kT h kT دينكن يي تعيلي و تحليكي گر افطور بهرا . . دينك ي را بررسN انتخاب نادرست از يكج ينتا) ب( .دينكسه يوسته مقايانولوشن پكج يج را با نتاينتا) ج(


ر در ي ـ ز صـورت بـه را th)(تابع . است) الف(-8-8ل ك تابع نشان داده شده در ش tx)(د ينكفرض -8-4


،ديرينظر بگ )()( tth . 1

)()()( 23

ttth . 2

23231121210

0

01010

t

t

t

t

t

th )(. 3

.دينكن ييانولوشن گسسته را در هر مورد تعك، 8-8ل ك از شيرويبا پ) الف( .دينكسه يوسته را در هر مورد با هم مقايانولوشن گسسته و پكج ينتا) ب( .دينك ي را در هر مورد بررسر امتداديتاثي دهيپد) ج(

.ديري، در نظر بگاند شدهف ي تعر1-8ي ه در مسئلهك را kTh)( و kTx)(توابع -8-5 .دينكن يي تعيلي و تحليكي گرافطور به گسسته دو تابع را يهمبستگ) الف( . وجود داردN ي بر رويتيچه محدود) ب(

.دينكرار ك گسسته تيهمبستگاي را بر3-8ي مسئله -8-6 .دينكرار ك گسسته تي همبستگي را برا4-8ي مسئله -8-7

برداري تئوري نمونه فصلفصل99

مقدمه 9-1ن يـي تع ين تئـور ي ـا. اسـت بـرداري نمونـه يه، تئـور يل فور ي تبد ي تئور ياربردهاك و جين نتا ي از مهمتر يكي

د آن، بـه ي ـ جهـت بـاز تول يافك تا اطلاعات ردك برداري نمونهگنال يس يكاز د ي با يه با چه آهنگ كند ك يمگنال يت س ـ يفكيشود، برداري نمونهن ييار پا يگنال با آهنگ بس ي س يك از اگر. باشد اري، در اخت ل مناسب كش

ن توجـه بـه آهنـگ ي بنابرا . است نه بر يهزز يار بالا ن ي با آهنگ بس برداري نمونه. ابدي مي اهشكد شده يباز تول .يي برخوردار استسزا هت بي آن از اهمي مقدار مناسب برايك و انتخاب برداري نمونه

.يمپرداز ميات آني و جزئبرداري نمونه يان تئوريبن فصل به يدر ا

سادهگذر پايينلتر يرد فكعمل 9-2 يـك 1-9ل كش ـ. شـود ميلكيتش) RC(مقاومت - مدار خازنيك از يگذر ساده، به سادگ نييلتر پا ي ف يك

از ن مـدار ي ـ، ا tvout)( ،يو ولتـاژ خروج ـ ، tvin)( ،يولتـاژ ورود . دهـد مـي گذر ساده را نشان نييلتر پا يف شوند، مير بهم مرتبطيل زيفرانسيله دق معاديطر

)9-1 ( )()(

)( tvdt

tvRCtv out

outin .

ي هي ـلات فور يه تبـد كد، يآ دست مي به ي معادله جبر يك دو طرف معادله فوق، يه رو يل فور يبا اعمال تبد ،ندك ي را به هم مربوط مي و خروجيورودهاي موج

)9-2 ( )()1()( outin Rci

)9-3 ( )1(

1

)(

)(

Rciin

out

.

. سادهگذر پايينلتر يف 1-9شكل


)()( تيمك inout ZZنـشان داده شـده 2-9ل كن تابع در شي ايبزرگ. شود يده ميقال نامتابع انت RC1تر ازكوچك ـار ي بـس يها انسك فريبرا. است بـا هـم ي و ولتـاژ ورود ياساسـا ولتـاژ خروج ـ ، انس عبـور، ك ـن فر ي ـا. صـفر اسـت ي، خروج ـ RC1ار بزرگتـر از ي بـس ييهـا انسك ـ فر يبرا. برابرند

چندان انس قطع ك، عبور از فر1-9ل كش، مانند RCساده لتر ي فيك يبرا. شود يده مي نام coانس قطع كفر از ا اسـتفاده ي ـ ، قطعـات از يتـر دهي ـچيب پ كي ـبـا تر را ي بهتـر يلترهايتوان ف مي ن وجود، يبا ا . ستينف يظر

تـابع يـك يآل دارا دهي ـگـذر ا نييلتر پا ي ف يكدر واقع، . ساخت يتاليجيننده د كپردازش ي دهيچيقطعات پ . است3-9ل كانتقال مانند ش

. ساده RC گذر پايينلتر ي فيك يتابع انتقال برا 2-9شكل

.آل ايده گذر پايينلتر يف 3-9شكل

max با ،آل دهي ا گذر پايينلتر ي ف يكاز شده برداري نمونهگنال ياگر س co، آنگاه عبور داده شود ،رون يلتر ب يه از ف ك يگناليجه س يدر نت . شود مي )(قا برابر با ي دق f)(لتر ي ف يخروجي هيل فور يتبد يهـا لتـر مولفـه يف. است ،tF)(، يگنال اصل يه به س يقا شب يه دق كند ك يد م ي را تول يي، صدا tFf)(د، يآ يم نـشان داده 4-9ل كند در ش ـين فرآي ا.ندك مي وارد شده اند، حذف برداري نمونهه با ك نادرست را يانسكفر

ينـد را در فـضا ي فرآ ينيير پـا يتـصو ، و ينـس اك فر ير فضا ردن را د كلتر يند ف ي فرآ يير بالا يتصو. شده است .دهد يمش ي نمايزمان

159برداري تئوري نمونه :9فصل

.ي و زمانيانسك فريردن در فضاكلتر يند فير فرآيتصاو 4-9شكل

برداري نمونه يتئور 9-3 2رك ـتيتوسـط و ن بـار ينخـست ه ك ـشـود ميدهيز نامي ن1يقطب ان دوي تابع مي اساسي، تئوربرداري نمونه يتئور گيـري انـدازه گنال را ي س ـ يـك توان مي چگونهه كرو بود هن پرسش روب ير با ا كتيدر واقع و . شد يگذار هيپاد ين پاسخ رس ي شوند؟ و به ا يارسازك آش موجود در آن هاي انسك تمام فر كه طوري به، ردك) برداري نمونه( .انس موجود باشدكن فريس دو برابر بالاترك عبرداري نمونهي د بازهي باهك

كسي ـ د يـك ي ثبـت بـر رو ي برا يگنال صوت ي س يك از برداري نمونه، برداري نمونه ي شرح تئور يبران يهمچن ـ. باشـد 5-9ل ك، ماننـد ش ـ tF)( ه،ي ـ اول يگنال صـوت يه س ـ كد ينكفرض . ديريفشرده را در نظر بگ

ف ي ـن طي ـا. باشـد 6-9 لك ش ـ مانند،)( ،هيل فوري تبديك يگنال آنالوگ داراين سياه كد ينكفرض . دارد يروفن بـستگ يك ـ م يـك انكانس قطـع بـه م كفر. ، صفر شده است max ،انس قطع كرن ف ييدر بالا و پا

لازم بـرداري نمونـه ه ي نظر ي درست ين فرض برا يا. است يقيت حق يمك يك هي فور ليه تبد ك ايم كردهفرض .تر شود ه سادهيل فوريتابع تبدم يترسه ك ايم كرده را ين فرضيل چنين دليتنها به ا. ستين

.ي اصليگنال آنالوگ صوتيس 5-9شكل

1- Interpolary Function 2 - J. M. Whittaker, Interpolary Function Theory Cambridge University Press, Cambridge, 1935.


.يگنال اصليسي هيل فوريتبد 6-9شكل

را ،tFs)(، شدهبرداري نمونهگنال يه سكن است يا برداري نمونهند ي فرآ ي مدل ساز يا معمول بر روش ، در نظـر ،كراي ـ د ي از توابـع دلتـا يتنـاوب ي مجموعـه يـك ضـرب در ،tF)(، يگنال اصـل يبرابر با س

شود، ميفير توصيزي شده با رابطهبرداري نمونهگنال ين سيبنابرا. رنديگ مي

)9-4 (

n

s nTttFtF )()()( 0.

بـرداري نمونـه گنال ي س ـ 7-9ل ك ش ـ .باشـد ميها برداري نمونه يزمانفاصله برابر با ن توابع دلتا ي ب يزماني بازه .دهد ي مشيشده را نما

. شدهبرداري نمونهگنال يس 7-9شكل

برابر با ، s)( آن، فيط، يانسكانولوشن فر ك يطبق تئور ابع است، ضرب دو ت حاصل tFs)(چون م،ين داريبنابرا. است ه قطار توابع دلتايل فوري با تبد)(انولوشن ك

)9-5 (

n

s T

n

T)()()(

00

2221

.

max20ه ك ـ ي وقت ـ يعن ـيار بـالا اسـت، ي بـس يبردار ه نرخ نمونه ك يهنگام T ،اسـت )(s بـه يادي ـ تعـداد ز يرا دارا ي ـ ز ،ستي ـ ن tF)(ف ي ـه ط ي شـب tFs)(ف ي ـط. شود مي مشاهده 8-9ل كصورت ش

ت ي ـستم بلنـدگو و تقو ي س يكق ي از طر tFs)( اگر كه طوري به. بالاتر است ي از مرتبه يانسكفرهاي مولفه، max تا max در بازه tFs)(ف ياما ط . را نخواهد داشت tF)( مشابه يد شود، صدا يننده باز تول ك


گذر عبـور دهنـد، نييلتر پاي ف يكگنال را از ي س ت،ين اگر قبل از تقو يبنابرا. است tF)(ف يقا برابر با ط يدق .ندك ميدي را باز تولtF)(ه ك شود يي ميجه مشابه صداينت

. شدهبرداري نمونهگنال يف سيط 8-9شكل

ي سـر يـك از s)(ف ي ـطن حالـت، يدر ا شود، برداري نمونهبا نرخ بالا ه يگنال اول يسن اگر يبنابرا02 ه در هــركــ )(ف يــط Tn هكـ ـ يتــا زمــان . شــود مــيلكيشــود، تــش مــيراركــت

max 0T 0امـا اگـر . نـدارد يهمپوشانها فين ط ياست، اT هك ـ بـزرگ انتخـاب شـود ي بـه انـدازه ا max 0T و ،نندك ي ميگر همپوشانيديكمجزا با هاي فيباشد، ط )(s ل كه در ش ـك مانند آنچه

بــا گــذر پــايينلتــر ي فيــك يف خروجــيــط، طين شــرايــدر ا. شــود مــيدهيــ نــشان داده شــده اســت، د9-9max co گنال يه سيد شبيآ يرون ميلتر بيه از فك يگنالي سجه،يدر نت. شود مي مشاهده10-9ل كانند ش م .ستي نياصل

. شدهبرداري نمونهر حد تراز يگنال زي سيكف يط 9-9شكل

. شدهبرداري نمونهر حد تراز يگنال زي سيكي لتر شدهيف فيط 10-9شكل

ه كــرد كــ بــرداري نمونــه يا د از آن بــه گونــهيــگنال، باي ســيــكن بــه منظــور حفــظ اطلاعــات يبنــابرا


max 0T 00، برداري نمونهانس ك فر يعني باشد؛ 2 T انس ك ـن فر يد دو برابر بالاتر ي، حداقل باگنال ي س ـ يك از برداري نمونهه در ك است ين همان اصل مهم يا. شده باشد برداري نمونهگنال يموجود در س

.شه در نظر داشتيد هميبا يـك ي ثبـت بـر رو يگنال بـرا ي از س ـبـرداري نمونـه نـد ي در بحث انجام شده، فرآ هكر است كلازم به ذ

را يي ها يدگيچيه پ ك يعملهاي جنبه يبرخنجا به يدر ا . شده بود يساز ساده يادي ز اريت به مقدار بس كسيد ثبـت شـده يگنال صـوت ي، س ـ ي واقع ـ بـرداري نمونـه ه در ك ـن ي ـول ا ا. مين ـك مـي نند، اشاره ك مي ندي فرآ واردننـده ك لي تبـد يـك از بـه اسـتفاده از ي ـنـد ن ين فرآ ي ـا. ردي ـبگر گسسته يتواند مقاد ي تنها م شود و ي مي تاليجيد

تـال بـه آنـالوگ يجيل دي تبـد ،وسك ـند معيه با فرآيگنال اوليد سيباز تول. دارد) ADC(تال يجيآنالوگ به د

)DAC (ي، حد عمليگنال صوتي سيك يه براكن ي دوم ا.شود ميانجام max ود در حـد KHz22 اسـت بنـا KHz44 برداري نمونهاستاندارد بر يقينعت موسص. گوش انسان استييحد شنواهمان ن مقدار، يه اك

از .دن آن استيانسان قادر به شن ه ك است يانسكن فر ي درست دو برابر بالاتر ن مقدار يه ا كنهاده شده است، KHz22 بـالاتر از يانـس كفرهـاي مولفـه يدارا بـرداري نمونهقبل از ه يال اول گنين است س كممه ك ييآن جا بـه يـك انس قطـع نزد ك ـگذر بـا فر نييلتر پا ي ف يك ،s)(ف ي در ط ي از همپوشان يري جلوگ ي برا باشد،KHz22 ، ه ك ـتوان گفـت مي تيدر نها . دهند مي قرار يكيترونك ال برداري نمونه يها از دستگاه شيدرست پ

لتـر يهـر چـه ف مـسلما . باشد 3-9ل ك مانند ش ي مشخصه ي دارا هكآل وجود ندارد دهيلتر ا ي ف يك بنام يزيچ .د صدا بهتر خواهد بوديبهتر باشد، باز تول

نامتقارنيانسكف فري طيك ي برابرداري نمونه يشرح تئور 9-4ن يبـالاتر . دي ـري را در نظـر بگ 11-9ل ك نامتقـارن، ش ـ يانـس كف فر ي ـ ط يـك برداري نمونه يتئور شرح يبرا دادهشي نمـا fو بـا شـود مـي دهي ـ نام1ستي ـويكانس ناك ـ غالبـا فر ،يانـس كف فر ي ـر ط موجود د انسكفر .شود مي

. نامتقارنيانسكف فري طيك ي برابرداري نمونه يتئور 11-9شكل

1- Nyquist Frequency


حـول مبـدا )( انسك ـف فر ي ـاگـر ط . ه باشـند ي جفت فور يك )( و tF)(ه كد ينكض فرن يانولوشن اك. گسترده شده باشدf تا f از كه طوري بهنند، ك مي متقارن نباشد، آن را متقارن فرض

ي شانه از توابع دلتا، تابع ي قطار نامتناه يك. دهد مي تابع متناوب يك از توابع دلتا ي قطار نامتناه يكتابع با tT0)(، كرايد

، تـابع شـانه يـك ب حاصلـضر حاصـل، تـابع متنـاوب ي هيل فور يتبد. شود مي دهيز نام ين )()(ي هيل فوري تبد.، استtF)(، يگنال اصليدر سگر يد كرايد ttF T0

ر استي به صورت ز،

( ) ( ) ( ) ( ) i tT TF t t F t t e dt

0 0F

n

titi

n

dtenTttFdtenTttF )()()()( 00

)9-6 ( )(')(

n

naienTF 0

')(تـابع ه ك ـم يريگ ميجهينته است، ي فور ي سر يك فوقي ه سمت چپ رابطه ك يياز آنجا متنـاوب ')(، )13-7 (، رابطـه يانـس كن فر انولوش ـك يتئـور با توجـه بـه . باشد مي انولوشـن تـابع كقـت ي در حق)( 01تناوب ي با دوره كرايدي تابع شانه يك با T ه ك ـن اسـت ي ـت ا يدومحد. است)( تنهـا 021ي د بازه يبا T 021 تا T 01گر يند؛ به عبارت د ك را اشغال T د ي ـبا بـرداري نمونـه ي، در توافق با تئور

. باشدtF)(در تابع موجود انس كن فريدو برابر بالاتر

مسائل د،يرير را در نظر بگيتوابع ز -9-1

xsin, x2sin, x3sin, x4sin, x5sin, x6sin, x7sin, x8sin, x9sin ),(ي ن توابع در بازه يه از ا كنيبا فرض ا 20 142، به تعداد N ب يضـرا ) الف( شود، برداري نمونه داده

انس ك ـه چگونـه فر ك ـد ي ـح ده يج خـود توض ـ يبـر اسـاس نتـا ) ب. (ديابين توابع ب ي از ا يك هر يه را برا يفور .شود ميست مرتبطيويكانس ناكو فر) برداري نمونه ينطبق با تئورم(ح يانس صحكنگ به فريازيال

د،يرير را در نظر بگيتوابع ز -9-2 xcos, x2cos, x3cos, x4cos, x5cos, x6cos, x7cos, x8cos, x9cos

),(ي ن توابع در بازه يه از ا كنيبا فرض ا 22 162، بـه تعـداد N الـف ( شـود، بـرداري نمونـه داده (ف هـر تـابع ي وجود، در طنگ را، در صورتيازيانس الكفر) ب. (ديابين توابع بي از ايك هر يانسكف فر يط

نگ را، در صـورت وجـود، از يازيانس ال كتوان فر مي چگونه) ج. (ديي آن بحث نما يد و بر رو ينكمشخص رد؟ كف تابع حذف يط

د،يرير را در نظر بگيتابع ز -9-3

xxxF 73 cossin)( ),(ي در بازه ن تابع ياز ا ه كنيبا فرض ا 20 102، به تعداد N ب يضـرا ) الـف ( شـود، برداري نمونه داده

ح يانس صـح ك ـنـگ بـه فر يازيانس ال ك ـه چگونه فر كد يح ده يج خود توض يبر اساس نتا ) ب. (ديابيبه را يورف .شود ميست مرتبطيويكانس ناكو فر) برداري نمونه يمنطبق با تئور(

تحليل فوريه در دو بعد و ابعاد بالاتر فصلفصل1010

مقدمه10-1بـه . ميردك ـ اسـتفاده ي بعـد هـاي يـك ل و پردازش تابع موج ي تحل يه برا يلات فور يقبل از تبد هاي در فصل گنال دو ي سيك. بسط داددو بعد و ابعاد بالاتريم را به و مفاه ها ها، روش يكنك از ت ياريتوان بس ي مي سادگ) ،يبعد , )F x y، ر ي از دو متغ يتابعx و y قابـل يت محاسـبات ي ـ از اهم يدو بعـد ي هي ـلات فور يتبـد . است

هـاي ، دادهيكيزيژئـوف هـاي هي ـهـا، آرا سك ـ ماننـد ع يدو بعد هاي تابع موج يتاليجيل د يدر تحل اي ملاحظهاسـت اي ياصول اساس ي ، توسعه ن فصل ي ا در رد ما يكرو. ل آنتن برخوردارند يو تحل ، ي و گرانش يسيمغناط

.ه هستنديل فوريتبدهاي اربردكن ي ايه مبناكلات وارون يه و تبد يلات فور ي بردن تبد كار بههاي يكنكم و ت ي مفاه يم بر رو ي مستق طور بهن فصل يدر ا

.ردكم ي و ابعاد بالاتر بحث خواهه در دو بعديفور

ه در دو بعديلات فوري تبد10-2) يدو بعدتابع , )F x y،يه دو بعديل فوري تبدي دارا ( , )u v شود ميانير بيزي ه با رابطهك است،

)10-1( ( )( , ) ( , ) i ux vyu v F x y e dxdy

21

2. ) ي تابع دو بعـد بسط ،)11-5(ي رابطه، بعديكه در يل فوريفوق در توافق با انتگرال تبدي رابطه , )F x y

)cos)((هاي مولفهبرحسبرا vyux 2 و ))(sin( vyux 2دهد مي نشان. ،شود ميانير بيزي با رابطهيدو بعدوارون ي هيل فوريتبد

)10-2( dudvevuyxF vyuxi

)(),(),(

2

21.

هـا، انسك ـد امـواج بـا فر ي ـه با ك ـ ندك مي اني، ب ي بعد يكوارون ي هيورل ف يتبدي رابطهمشابه با ن معادله، يا ي تـا تـابع مـوج دو بعـد ،)ننـد ك يبرهم نه (جمع شوند گر يديكبا ناسب مهاي ها، فازها و دامنه گيري جهت ي بعـد يـك از مـورد تر لك مشيمك يوارون دو بعدي هيل فور ي تبد ردنك ن، تصور يكلو. د شود ي تول ياصل .است

يـك تابع نشان داده شده . نشان داده شده است ) الف(-1-10ل ك در ش ي تابع موج دو بعد يك از يمثال داده شـود، y-Fي برش در مـوج در صـفحه يكاگر . دهد مي شي را نما ينوسيسكدار وج م يسطح دو بعد


هاي انسكز دادن فر ي تما يبرا. ندك مي نوسان) هيمشابه با دور بر ثان (y دور بر واحد 0vانس كتابع برش با فر . انـد گرفتهاده قرار مورد استف ي و زمان ييفضاهاي ب عبارت يان، به ترت كمهاي زمان و تابع هاي مرتبط با تابع

جفـت يـك شـود، مـي نييتع) 1-10(ي ه با رابطه كطور همان، )الف(-1-10ل ك ش يدو بعد ي هيل فور يتبد .نشان داده شده است) ب(-1-10ل كه در شكتابع ضربه است

بـرش يـك ن مثـال، يدر ا . شتر نشان داده شده است يب) الف(-2-10ل ك در ش يمفهوم تابع موج دو بعد نوسـان x دور بـر واحـد sin(0(انس ك ـتابع موج برش بـا فر . داده شده است x-Fي صفحهدر موج در

y دور بـر واحـد cos(0(انس ك ـ بـا فر y-Fي جاد شده در موج در صفحهي مشابه، برش ا طور به. ندك مي چرخانده شـده ي هيه با زاوكاست ) الف(-1-10ل كقت شيدر حق) الف(-2-10ل ك ش .ندك مينوسان .است

ه ك ـ طـور همـان . ده شده اسـت يشكر يبه تصو ) ب(-2-10ل كدر ش ) الف(-2-10ل كشي هيل فور يتبدند در برش عمود بر خطوط فاز صفر برابر ك مي ه در آن موج نوسان ك ييانس فضا كنشان داده شده است فر

cos با ( ) sin ( )

122 2

0 0 واقـع ي بـر محـور يانسكه توابع ضربه فر كد يتوجه داشته باش . است 0-10ل كسه از ش ي مقا يك. چرخانده شده است ي هيبا زاو ) ب(-1-10ل كج ش يه نسبت به نتا ك شوند مي

),(ه اگر تابع كدهد مي نشان 2-10 و 1 yxF ي هي ـ با زاو دو ي هي ـل فور ي چرخانـده شـود، آنگـاه تبـد .دي خواهد چرخي هي آن با زاويبعد

.ينوسيسكدار سطح موجيدو بعدي هيل فوريتبد 1-10شكل

.ده استي درجه چرخي ه به اندازهك 1-10ل كدار ش سطح موجيدو بعدي هيل فوريتبد 2-10شكل

167 تحليل فوريه در دو بعد و ابعاد بالاتر :10فصل

يدو بعدي هيلات فوري تبدي بعديكر ي تعب10-3),( ،يدو بعد ي هيل فور يتبد vu، يبـرا . در نظر گرفت يمتوال ي بعد يكل ي دو تبد عنوان بهتوان مي را

،مينك ي ميسير بازنوي زصورت بهرا ) 1-10(ي دگاه، ابتدا معادلهين دي ايبررس

)10-3 ( dydxeyxFevu iuxivy

22

21

),(),(

),( ي بعد ي يك هيل فور يقت تبد يت در حق كه عبارت داخل برا كد ينكتوجه yxF نسبت به x ،ه ك است)غالبا آن را تابع , )Z u yنامند مي،

)10-4( dxeyxFyuZ iux

2),(),( ،ردك يسير بازنوي زصورت بهتوان ميرا) 3-10(ي ن معادلهيبنابرا

)10-5( dyyuZevu ivy

),(),(

2

21

),(ه در آن ك yuZ نـشان ) 5-10(ي معادلـه يبررس ـ. شده است يگذاريت جا كداخل برا عبارت يبه جا ),(ه كدهد مي vu ي بعديكل ي تبد ),( yuZ نسبت بـه y يدو بعـد ي هي ـل فورين تبـد يبنـابرا . اسـت ),( vu 5-10(و ) 4-10(ه بـا معـادلات ك ـرد كر ي تعبي متوالي بعديكل ي دو تبد صورت بهتوان مي را (ي هي ـت فور لايتبـد حـل هاي روش باتوان مي قايدقرا ) 5-10(و ) 4-10( معادلات از يك هر .شوند مي انيب

و اصـول بـسط ها را با استفاده از روش يدو بعد ي هي فور تلايتوان تبد مي نيبنابرا. ردك محاسبه ي بعد يك ي بعـد يـك ري ـتعب، دي ـم د ينـده خـواه يه در فـصل آ ك طور همان. نمود محاسبه يقبلهاي داده شده در بحث

ز ي ـ ن يدو بعـد ه ي ـت گسـسته فور لايتبـد محاسبات در اي ت قابل ملاحظه ي از اهم يدو بعد ي هيلات فور يتبد .برخوردار است

ه در دو بعديلات فوري از تبدييها مثال10-4 نشان داده يتابع موج دو بعد ي هيل فور يم تبد يخواه مي .ي دو بعد ي مربع پالستابع ي هيل فور يتبد

م،ي دار3-10ل كبا توجه به ش. ميابيرا ب) الف(-3-10ل كشده در ش

11111 yxyxF ;),( ),(0 رگي ديجاها )10-6( yxF م،يده ميقرار) 1-10(ي در معادلهرا ) 6-10(ي معادلهه، يل فوريتبدي محاسبهيبرا

dyedxevu ivyiux

1

1

1

122

21

),(

)10-7( dyvxivxdxuxiux

1

1

1

122222

1)sin()cos()sin()cos(


به ) 7-10( ي معادلهشود، مي گيري انتگرال به صفر ،)-1و1(ي بازه ي بر رو )sin(ي ه جمله ك يياز آنجا انجامد، ميريزي رابطه

)10-8( uv

vu

v

v

u

uvu 32

222

222

2221

)sin()sin()sin()sin(

),( . )ه، يل فوريتابع تبد) ب(-3-10ل كش , )u v ،دهد ميرا نشان.

)الف(

)ب(

.ي دو بعديپالس مربعي هيل فوريتبد 3-10شكل


ر را ي تابع ز يدو بعد ي هيل فور يم تبد يخواه مي .ريپذ كيك توابع تف يدو بعد ي هيل فور يتبد 1-10مثال

م،يابيب)10-9( )cos()cos(),( yvxuyxF 00 22 .

،مي دار)1-10(ي معادلهفوق دري معادلهيگذاريبا جا

dyeyvdxexuvu ivyiux

20

20 222

1)cos()cos(),(

dyeeedxeee ivyyivyiviuxxiuxiu

222222 0000

21

21

21

dyeedxee yvviyvvixuuixuui

)()()()( 0000 2222

21

21

21

)10-10 ( ( ( , ) ( , ))( ( , ) ( , ))u u y u u y x v v x v v

0 0 0 01 1

2 4 آن را يدو بعـد ي هي ـل فور يتبـد ن ي، بنـابرا است پذير تفكيك تابع يك) 9-10(ي ه تابع رابطه كد ينكتوجه تـابع ين براين روش محاسبه، همچنيا. ده محاسبه نموري متغك دو انتگرال ت ضرب حاصل صورت بهتوان مي

.پذير است تفكيك تابع يكن تابع هم يرا ايبرقرار است، زز ين) 6-10(ي داده شده با معادله يدو بعد ي هيفورل يتبددر واقع فصل، ي، در ابتدا 2-10ل ك ش .ي متوال ي بعد يكلات يتبد 2-10مثال دهد، مير را نشانيتابع ز

)10-11 ( ( , ) cos( cos( ) sin( ) )F x y v y v x 0 02.

،ميده ميقرار) 1-10(ي را در معادله) 11-10(ي ل، معادلهي تبديليتحلي محاسبهيبرا

)10-12 ( ( )( , ) cos( cos( ) sin( ) ) i ux vyu v v y v x e dxdy

2

0 01 22

كت ـي هي ـل فور يبـد دو ت صورت بهرا ) 12-10(ي ، معادله )5-10(و ) 4-10(معادلات يريگكار به با نونكا ،مينك ي ميسينو باز ي متواليبعد

( , ) cos( cos( ) sin( ) )ivy iuxu v e v y v x e dx dy

2 20 0

1 22

) 6-10(ي تابع پالس مربعي دو بعدي، با رابطـه فوريهتوان تبديلبا استفاده از دستور زير مي .را با استفاده از نرم افزار متلب محاسبه نمود

syms pi u v x y fx=heaviside(x+1)-heaviside(x-1); fy=heaviside(y+1)-heaviside(y-1); F_xy=fx*fy; int_x=int((1/(2*pi))*F_xy*exp(-2*pi*1i*(u*x+v*y)),x,-1,1); int_y=int(int_x,y,-1,1); Phi_uv=int_y; simplify(Phi_uv)


cos( ) sin( ) cos( ) sin( )i v y v x i v y v xivy iux iuxe e e dx e e dx dy

0 0 0 02 22 2 214

cos( ) ( sin( )) cos( ) ( sin( ))i v y u v x i v y u v xivye e dx e dx dy

0 0 0 02 2214

cos( ) ( sin( )) cos( ) ( sin( ))iv y i u v x iv y i u v xivye e e dx e e dx dy

0 0 0 02 2 2 2214

cos( ) cos( )sin( ), sin( ),iv y iv yivye e u v y e u v y dy

0 02 22

0 01

4

( cos( )) ( cos( ))sin( ), sin( ),i v v y i v v ye u v y dy e u v y dy

0 02 2

0 01 1

4 4

sin( ), cos( ) sin( ), cos( )u v v v u v v v 0 0 0 01 1

4 4 .نشان داده شده است) ب(-2-10ل كدر ش) 13-10(ي معادلهي دو بعديانسكتابع فر يوارون دو بعـد ي هي ـل فوريتبـد م يخـواه مـي .يوارون دو بعدي هيل فور يتبدي محاسبه 3-10مثال م،يابير را بي زيانسكتابع فر

bvbauavu ;),( 0 گري ديجاها ) 10-13( ),( vu.

) يگذاريبا جا , )u vمي دار)2-10(ي معادله در،

dudveyxF

b

b

a

a

vyuxi

)(),(

2

21

b

b

a

a

iuxivy duedve

22

21

b

b

a

aduuxdvvy )cos()cos(

222

1

)10-14 (

u

ua

v

vb

)sin()sin( 22

21

),( ،يانـس كتـابع فر يـك ه اگـر بتـوان ك ـدهـد مـي را نـشان يژگ ـين و ي ـان مثـال، يدر واقع ا vu، را بـه ),(رد، سـپس تـابع ك ـ كيـك تف vر ي ـ تـابع بـا متغ يـك و uر ي ـ تـابع بـا متغ يك ضرب حاصل yxF بـه ز ي ـن . شود كيك مي تفyر ي تابع با متغيك و xر ي تابع با متغيك ضرب حاصل

ه به ابعاد بالاتريلات فوري تبديم تئوري تعم10-5تـوان مـي ه به ابعاد بـالاتر، يلات فور ياز بسط تبد . توان به مراتب بالاتر بسط داد مي ه را يلات فور ي تبد يتئور .تموج بهره گرفي لاپلاس و معادلهي مانند معادلهيل جزئيفرانسياز معادلات داي حل پارهدر


مـسطح و يستم مختـصات قطب ـ ي ـ، در س يروك ـستم مختـصات ي ـه را علاوه بـر س يلات فور يتوان تبد يم را در كراي ـ ديد تابع دلتا ين منظور، ابتدا با ي ا يبرا. ردكمختصات مطرح هاي ستميگر س ي و د يروك-يقطببرد و سـاده ارك ـزان ي ـستم مختـصات، بـه م ي ـانتخاب نوع س . ن نمود يي تع يستم مختصات مفروض به درست يس

. داردي آن در حل مسئله بستگيساز

تابع دلتا در ابعاد بالاتر10-5-1),,...,( اگر nxxxX 21 ي بردار در فضايك n ي بعـد nR ، X)(ن فـضا، ي ـ باشـد، تـابع دلتـا در ا ،شود ميفير تعري زصورت به)10-15 ( )()()( 0FXdXFX

nR

n . ixي ف در هـر مختـصه ي ـ تابع خوش تعر يك F، و nR تمام ي انتگرال چندگانه بر رو يكفوق ي رابطه .استــ دي، تـــابع دلتـــايارتكـــدر مختـــصات د: يارتكـــستم مختـــصات ديـــس صـــورت بـــه كرايـ

)()...()()( nxxxX 21، ه آن را در طـرف چـپ ك ـ اسـت يافك ـ اثبـات يبـرا . شـود مـي فيتعر م، يقرار ده) 16-10(ي معادله

XdXFXnR

n )()(

XddxxxxFxxxx n

R R nnnnnn

1111211

),,...,()()()...()(

)10-16 ( ),,...,(),,...,()()...()( 000011

11121 FXdxxFxxxnR

nnn

)د يردكه مشاهده ك طور همان )Xندك ميصدق) 16-10(ي در رابطه. د برحـسب ي ـ با X)( مـسطح، تـابع يستم مختـصات قطب ـ ي ـدر س : مسطح يستم مختصات قطب يس),(استاندارد هاي مختصه r د ي ـباگـر يبـه عبـارت د . باشـد ) سان از هر سـو يك خواص يدارا( همسانگرد

)()()( صـورت بـه ن آن را يبنابرا. شود ي معرف r)( از ي و مضرب ،مستقل از rraX في ـتعر rdrdXdه كن يابا توجه به . مينك مي 2،

)10-17 (

0

2

0 02 2 rdrrraXdX )()()(

،ميتقارن داري به واسطهياز طرف

)10-18 ( 21

0

drr)(

جهي است، نت1برابر ) 18-10(ه مقدار انتگرال كن يو با توجه به ا ) 19-10(و ) 18-10(هاي رابطهي سهيبا مقا ستم مختـصات ي ـتابع دلتا در سن يبنابرا. در نظر گرفت r1 صورت به را ra)(توان تابع مي هكم يريگ مي شود، ميفير تعريزي با رابطه يقطب


)10-19 ( )(

1)( r

rX

. drr24 صـورت بـه تـوان مـي ، المـان حجـم همـسانگرد را 3Rدر : يروك ـ يستم مختصات قطب يس

نجـا يدر ا . اسـت Xز، ك، فاصله از مر rنون كا. است ك ناز يروي ك پوسته يكه در واقع حجم ك. نوشت توان نشان داد، ميبا استدلال مشابه. باشدr)( از يد مضربي، باX)(ز تابع دلتا ين

)10-20 ( )()( rr

X

221

.

ه در مراتب بالاتريلات فوري تبد10-5-2)(),...,,( اگــر nn xxxFXF 11 و ),,...,( nn kkkK 11 ،ــد ــل فوريتب ــه Fي هي ــ زصــورت ب ر ي ،شود ميفيتعر

)10-21 ( nR

nXiKn XdeXFK .)()()(2

1.

،3R در مثاليبرا

)10-22 ( 3213213

321332211

1 2 321

dxdxdxexxxFkkk xkxkxki

x x x

)(),,()(),,(

.

،شود ميفير تعري زصورت به ي بعدn يوارون در فضاي هيل فوريتبد

)10-23 ( nK

nXiKn KdeKXF .)()()(2

1.

. استي بعديكون در ابعاد بالاتر نسبتا دشوارتر از مورد واري هيل فوريتبدي محاسبه

ه در حل معادلات لاپلاس و پواسانيلات فورياربرد تبدك 10-6 شود، ميفير تعريزي لاپلاس با رابطهي معادله

)10-24 ( )(XG 2. Rن معادله را در يم ا يخواه يم شـود، و در شـرط مـي دهي ـنامن يگـر آزاد ي تـابع فـضا ،Gتابع . مينك حل 30Gه ك ي هنگامXي هيل فوريتبد. ندك مي همواره صدقGبرابر است با ،

)10-25 ( F 3213213 332211

1 2 321

dxdxdxexxxGG xkxkxki

x x x

)(),,()(

ن،يبنابرا


F 3211

3213

1

332211

1 2 321

dxdxdxex

xxxG

x

G xkxkxki

x x x

)(),,()(

3211

3 332211332211

21

dxdxdxeikGGe xkxkxkixkxkxki

)()( )()(

شـود، مـي ت صـفر ي ـ نهاي در ب ـGه ك ـ يياز آنجـا . ميرده اك جزء به جزء استفاده گيري انتگراله از روش ك ،هكم يريگ ميجهينت

)10-26 ( [ ]GF)()()( )(13211

3

1 1 2 3

332211

21

ikdxdxdxGeikx

Gx x x

xkxkxki

F

.مي آورددست به بعد يكه قبلا در كاست اي جهيجه، مشابه با نتين نتيا ،ميدار) 25-10(ي ه از معادلهيل فوريبا گرفتن تبد

)10-27 ( 232

22

1 )()()( ikikik F[G]333

21

21

3 )()()( .

R

XiK XdeX

F نيبنــابرا )()(23 121 KG ي وارون، رابطــهي هيــل فوريتبــدي در رابطــهيگــذاري، بــا جا

،ميرآو ميدست به، )10-24(

)10-28 (

33

231

81

K

XiK KdeK

XG .)(

.

),,(، يانـس ك فر ي در فـضا يروك ـ يقطب ـهـاي مختـصه ياز به معرف ـ ين انتگرال، ن ياي محاسبه يبرا k ،ــدار ــرار دارد،x در جهــت 0خــط . مي ــابرا ق ن ي بن coscos. krXKXK .ــه ي معادل

،شود مير محاسبهي زصورت به) 10-29(

0 0

2

02

2381

k

ikr

ddkdkk

eXG

sin)(cos

)10-29 ( r

dkkr

krdk

ikr

ekk

ikr

41

21

41

0200

2

sincos

20استاندارد ي جهيه از نتك

kdz

z

zsin ميردكاستفاده. ،مينك را حل پواسانناهمگني م معادلهيتوان ميم،يدان مين رايره تابع گكنون كا

)10-30 ( )()( XQX 2 ،ميفوق داري ن رابطهيه از طرفيل فوريبا گرفتن تبد. Xه ك ي هنگام0ه ك

)10-31 ( )(XQF 21

KX

)(F


F ن برابـر بـا يتـابع گـر ي هي ـل فور يه تبد كن يبا توجه به ا )()(23 121 KG ي اسـت، رابطـه

،ر نوشتيل زكتوان به ش ميرا) 10-32()10-32 ( F 32 )()( X F )(XQ F )(XG

،ميآور ميدست به انولوشن به سه بعدك يه و تئوربطم رايبا تعم

)10-33 ( 3RdXXXGXQX ')'()'()(

هك يياز آنجاXr

XG 4

14

1

)(،

)10-34 (

341

RdX

XX

XQX '

'

)'()(

.

يكـي تركل اليپتانـس ، و ،ع بـار ي ـ توزيچگـال ، Qه ك ـ اسـت، ياديس بن يترومغناطك ال يجه در تئور ين نت يا . ظر استمتنا

موجي ه در حل معادلهيلات فورياربرد تبدك 10-7 د،يري را در نظر بگيموج سه بعدي معادله

)10-35 ( 32

2

22 01

RXtt

tXu

CtXu

,),(

),( ر فرض شده است،ي زصورت بهي هيط اوليشرا

)10-36 ( ),,(),,,(

,),,,( zyxft

zyxuzyxu

000.

،ميريگ ميهيل فوريتبد) 36-10(ي ن رابطهياز طرفن معادله، ابتدا ي حل ايبرا

)10-37 ( F [u] 22KC F[u] t

22

2 و uي هيل فوري تبدF[u]ه ك3

22

21

2 kkkK دهد ميهيط اوليه از شرايل فوريتبدگرفتن . است،

)10-38 ( ),,( zyxfF ),,,( 0zyxuFt ,),,,( 00 zyxuF

،برابر است با) 38-10(ي معادلهيجواب عموم)10-39 ( iCKtiCKt eKBeKAu )()(F

ب ي ـن ترت ي ـبـه ا . مين ـك مـي را محاسـبه B(K) و A(K)ب ي، ضـرا )40-10(ي ه بر معادلـه يط اول يبا اعمال شرا ،شود با ميبرابر يجواب عموم

)10-40 ( F[u]= iCKtiCKt eeiCK

21

F ),,( zyxf


،ميابي مي راu(X,t)، تابع )2-10(ي وارون، رابطهي هيل فوريتبدي سپس با استفاده از رابطه

)10-40 (

3 21

21 3

K

XiKiCKtXiKiCKt eeiCK

tXu ..)(),(

F ),,( zyxf Kd3.

XiKiCKte، عبارت K هر مقدار يه ازا ب . ن ي ـا. دهـد مـي را نـشان يمـوج سـه بعـد ي معادلـه هـاي جـوابCKtXK صفحات يمسطح بر رو هاي موج . ن صـفحات در جهـت ي ـماننـد، و عمـود بـر ا مي ثابتK با سرعت Cشوند مي منتشر .

مسائل .دينك اثبات يدو بعدي هيلات فوري تبديبرا، مي مستقطور بهر را يزهاي يژگي از ويكهر -10-1

:جمعت يخاص

F ),(),(),(),( vuvuyxFyxF 2121 :انتقالت يخاص

F ),(),( )( vuebyaxF bvaui 2 :ونيمدولاست يخاص

F ),(),()cos(),( vfuvfuxfyxF 000 21

212

:يگذار اسيمقت يخاص

),(),(b

v

a

u

abbyaxF

1F

F ),(),( )( bvaueyxF byaxi 2 :انولوشنكت يخاص

( , ) ( , ) ( , ) ( , )F x y F x y u v u v 1 2 1 22F ),(ه اگر كد ي نشان ده -10-2 yxF كـه طـوري بـه ، باشد پذير تفكيك)()(),( yFxFyxF 21 آنگـاه ،

ــد ــل فوريتب ــدي هي ),( يدو بع yxF ،ــي ),( يعن vuــ ن ــكز ي ــابع ي ــك ت ــذير تفكي ــت، پ ــي اس يعن)()(),( vuvu 21 .

.ديابير را بي توابع زيدو بعدي هيل فوريتبد -10-3 ( , ) cos( )F x y u x 02. 1 ( , ) sin( )F x y v y 02. 2

( , ) cos cos sinF x y x y 2. 3 ( , ) sin( )sin( )F x y u x v y 0 02 2. 4


( , ) cos( )sin( )F x y u x v y 0 02 2. 5

sin( ) sin( )( , )

u x v yF x y

u x v y

0 0

0 0

2 22 2. 6

( , ) ( )F x y y . 7 ( , ) ( )cos( )F x y x v y 02. 8

21

22

21

22

01

)(

)(),(

yx

yxyxF. 9

،ر استي زصورت به ي بعديك توابع ي پارسوال برايتئور 10-4

ddttF

22)()(

.دينك استنتاج ي توابع دو بعدير را براينظي رابطهcosrx ياگر مختصات قطب -10-5 ،sinry ،coswu و sinwu ي را معرف ـ ),(وابــع م، آنگــاه تينــك yxF و ),( vuب بــه يــ بــه ترت),( rFp و ),( wpشــود مــيلي تبــد . ،كه طوري به

)10-43 ( F ),(),( 0201

a

w

aarF pp.

),(ه اگر تابع كند ك مي انيب) 43-10(ي معادله yxF 0ي به انـدازه ل ي چرخانـده شـود، آنگـاه تـابع تبـد),( vu0ي ز به اندازهي ندينكرا اثبات ) 43-10(ي معادله. شود مي چرخانده. :ركتذ

F ),(),( DvCuBvAucdad

dycxbyaxF

1

،هك

1

dc

ba

DC

BA.

يبـرا . ردك ـر رسـم ي ـل ز ك ش ـ صـورت بهطوط فاز صفر، خ برحسبتوان مي را) الف(-2-10ل كش -10-6 .دي آوردست به يليتحلهاي ر عبارتيموارد ز

bmxyل ك تابع به ش يك) الف( ه ك خطوط فاز صفر، ي براm ب، ي شb عرض از مبـدا محـور y و ، ح استي عدد صحيك.

.0v و 0u يي فضايانسك جملات فربرحسب ي برايعبارت) ب( . استن خطوط فازيبي فاصلهه در واقع ك، L، ييتناوب فضاي دورهي براي عبارت)ج(



،ي ه جواب معادلهكد يدهه نشان يلات فوريبا استفاده از تبد -10-7

02

2

txux

uk

t

u,,

),()( يط مرز يبا شرا xfxu 0 و ،u 0 در حدx ، ر است ي ز صورت به .k و هـاي ابت ث . هستنديقيحق

dyyf

kt

yx

kt

etxu

t

)()(

exp),(.

442

،ر استي زصورت بهموج واداشته ي معادله -10-8

),( txQ

tCx

2

2

20

2

2 1 .

Qه ك ي وادارنده است و هنگاميروي تابع نx 0، در شرطQ ندك ميصدق . tiexqQه اگر كد ينشان ده ) الف( صـورت بـه پـذير تفكيـك حـل يـك ، آنگـاه فرض شـود )(

tiexfQ ")( و )( xqfkf 2 .وجود دارد 0

0

00 C

k

.است")(ي دلـه معا ن، جواب يتابع گر ) ب( xGkG 2

xه ك ـ ين تـابع هنگـام ي ـا. دي ـابي را ب 0xikeمانند 0ست؟ي چيط مرزين شراي ايكيزيفي مشخصهند،ك مي رفتار ،دينشان ده) ج(

( ) ( )( ) ( )i t x ik x y ik x yi t

x

ee G q q y e dy q y e dy

ik

0 0

02.


،xه ك يد، هنگامينشان ده) د(

dyeyqik

e yikxkti

00

02 )()(

.

ست؟يجه چين نتي ايكيزير فيتعب ،ر استي زصورت بهمهولتز در سه بعد هلي ح شدهيتصحي ن در معادلهي آزاد گريتابع فضا -10-9

),,()( 32122 xxxGm

،ديه نشان دهيلات فوريبا استفاده از تبد. Xه ك ي هنگام0Gه ك

33

22381

K

XiK

KdmK

eXG

.

)(

.

،ردكر ساده يزي توان به رابطه مين رابطه رايه اكد ي نشان دهر بستهي مسي روگيري انتگرالبا

mre

rrG

41

)(

Xrه ك .ندك ميتز صدقهلمهولي معادلهن تابع دريه اكد ينكم، ثابت ي مستقيگذاريبا جا.

فوريه در دو بعدگسسته تحليل فصلفصل1111

مقدمه11-1مهـم هـاي يژگ ـياربردهـا و و ك يه در دو بعد و ابعاد بـالاتر، و برخ ـ يلات فوريدر فصل گذشته در مورد تبد

ا ابعـاد ي ـ نسبت به سه بعـد ي بالاتر ياربردكت يه در دو بعد از اهم يلات فور ي تبد غالباً. ميردكصحبت ها آنيه را به ابعاد توان معادلات فور ي مي ه در فصل گذشته بحث شد، به سادگ طورك هماناما . دگر برخوردارن يد

.بالاتر بسط داد ه چگونـه ك ـم ي ـدر فـصل قبـل نـشان داد . ميپـرداز مي ه در دو بعد يلات گسسته فور ين فصل به تبد يدر ا

ي سـادگ بـه نوشـت، ي متـوال يبعـد كت ـي هي ـل فور يد دو تب ـ صـورت بـه را يدو بعد ي هيل فور يتبدتوان ميلات يو فهـم تبـد ي ر محاسـبه ي ـن تعب يا. نسبت داد يدو بعد ي هي گسسته فور تلايتبدرا به ر ين تعب يتوان ا مي

.كند تر مي را سادهيه دو بعديگسسته فور

يدو بعدي هيلات گسسته فوري تبد11-2) يتابع دو بعد د ينكفرض , )F x y در بعد x ي زهبا باxT و در بعد y ي با بـازهyT شـود بـرداري نمونـه .),( صــورت بــه شــده بــرداري نمونــهتــابع yx qTpTF ــ ,,...,)( هكــشــود، ي مــيمعرف 1210 Np و

)(,...,, 1210 Mq تابع يدو بعد ي هيل گسسته فور يتبد. است ),( yx qTpTF ، يكمشابه با حالت ،شود ميفير تعري زصورت به، يبعد

)11-1(

)(,...,,)(,...,,

)(,...,,)(,...,,

),(),()( )(

1210121012101210

21

21 12 12

MmMq

NnNp

eeqTpTFNM

mn qmpn tiM

q

tiy

N

px

ه كــx

n T

n 2 ،

ym T

m 2 ،

N

pTt x

p 2 و M

qTt yq 2تــوان مــيرا) 1-11(ي رابطــه .باشــند مــي

،ردك يسير بازنوي زصورت به


)11-2(

)(,...,,)(,...,,

)(,...,,)(,...,,

),(),()( )(

1210121012101210

21

21 22

1222

12

MmMq

NnNp

eeqTpTFNM

mn MimqM

q

Ninpy

N

px

س ي از مـاتر ي بعـد ي يـك هي ـل گسـسته فور ي تبـد يـك قـت يت در حق ك ـه عبـارت داخـل برا كد ينكتوجه برابـر M2د ي ـت، با ك ـعبـارت داخـل برا ي محاسـبه يبـرا . شـوند مـي في تعر pه با پارامتر كاست هايي داده يك q هر يبه ازا : شوند، محاسبه شوند مي فيعر ت pه با پارامتر هايي ك س داده ي از ماتر ي بعد يكلات يتبد,,...,)(ه كشود، مي ل محاسبه يتبد 1210 Mq لات گسـسته يج تبـد ين نتـا ي ـ از ايـك اگر هر .باشد مي),(ه را يفور yqTnZر نوشت،ي زصورت بهتوان ميرا) 2-11(ي م، معادلهي بنام

)11-3( MimqM

qy eqTnZ

NMmn 22

12

21

21

)(

),(),(

.

في ـتعر qه بـا پـارامتر هايي ك ـ س داده ي از ماتر ي بعد ي يك هيلات گسسته فور ي تبد N2با ) 3-11(ي معادلهي ما بـا محاسـبه يتـوان مـستق مـي را يدو بعـد ي هي ـل گسـسته فور ي تبـد نيبنـابرا . شـود مي شوند، محاسبه مي

ــد ــسته فوريتبـ ــلات گسـ ــك هيـ ــدي يـ ــام دادي بعـ ــر رو : انجـ ــدا بـ ــابع يابتـ ),( تـ yx qTpTF ،ــ ه كـ)(,...,, 1210 Np هر ي به ازا q تـابع يرو بـر ي بعـد يكل ين تبد يسپس دوم ؛ و ),( yqTnZ ،ه ك ـ)(,...,, 1210 Mqهري به ازا )(,...,, 1210 Nnباشد مي.

يكيف گرافي توص11-3. دي ـريرا در نظـر بگ ) الـف (-1-11ل ك، ش يدو بعد ي هيل فور ي تبد ي بعد ي يك شتر محاسبه يح ب ي توض يبراتـوان بـا مـي راها ن داده يا. دهد مي را نشان ي تابع موج دو بعد يك شده از برداري هاي نمونه ل داده كن ش يا

82 با يسيماتر M ،ه ك ـ سطر)(,...,, 1210 Mq 82 و N ،ه ك ـ سـتون, ,...,( )p N 0 1 2 1 جمـع زده شـده p پـارامتر يبر رو ) 2-11(ي ت در معادله كه عبارت داخل برا ك يياز آنجا . است، نشان داد

. سـت اها هر سطر از دادهي براي بعدي يك هيل گسسته فوريتبدي جمع معادل با محاسبه ن يان ياست، بنابرا ,,...,)( هر يدر واقع، به ازا 1210 Mq شود ميهل محاسبي تبديك.

,,...,)( هر ي، به ازا 0qه از سطر يلات گسسته فور يتبد 1210 Nn ،اسـت يانـس ك تـابع فر يك شوند، مي مشخص 0qه با سطر ك شده از تابع برداري نمونهر يرا مقاد يباشد ز مي ر آن صفر يه تمام مقاد ك

نـشان داده 0qدر سـطر ) ب(-1-11ل كه در ش ـ ي ـلات گسسته فور ين تبد ياي جهينت. صفر هستند يهمگ صـفر يشـوند، همگ ـ مـي مـشخص 1qه با سـطر ك شده از تابع برداري نمونهر ين مقاد يهمچن. تشده اس . مقـدار صـفر اسـت بـا تـابع يـك ز ي ـن سـطر ن ي ا يمحاسبه شده برا ي هيلات گسسته فور ين تبد ي بنابرا هستند . نشان داده شده است1q سطر يبرا) ب(-1-11ل كه در شك طور همانا ي ـ پـالس هـا يـك ن داده ي ـا. ديري را در نظر بگ 2qسطر ) الف(-1-11ل كر نمونه در ش ينون مقاد كا

ل ي تبديه داراكنند ك مي را مشخص يليتابع موج مستط ff )sin(ي هيل گسسته فوريمقدار تبد. است

181 تحليل گسسته فوريه در دو بعد :11فصل

توجـه داشـته . نشان داده شده است 2qسطر ) ب(-1-11ل كه در ش ك است يانسك تابع فر 2qسطر نير اول ـ ي مقاد يعنيم، يده مي شي نما ي بعد يكلب استاندارد ه را در قا يلات گسسته فور يج تبد يه نتا كد يباش22 )( N را نـشان يمنف ـهـاي انسكج فر ي مانده نتا ير باق يدهد و مقاد مي مثبت را نشان هاي انسكج فر ي نتا دهنـد و مـي را نـشان يلين تابع مـوج مـستط يهمچن) الف(-1-11ل ك ش 5 تا 3ر نمونه در سطر يمقاد. دهد مين سطرها تابع ي از ا يكهر ي هي گسسته فور لين، مقدار تبد يبنابرا ff )sin( 1-11ل كه در شك است-

ر صفر هستند؛ ي مقاد يدارا) الف(-1-11 تابع 7 و 6 يسطرها. نشان داده شده است 5 تا 3 يدر سطرها ) ب( .ر صفر خواهند بودي مقاديدارا) ب(-1-11ل ك ش7 و 6 ين سطرهايبنابرا

هـر سـطر از يرا بـرا ) الـف (-1-11ل كشي شده برداري ونهنمس يماتري هيل گسسته فور ينجا، تبد يتا ا مطابق با ) ب(-1-11ل كمختلط با تابع مقدار نشان داده شده در ش هاي س داده يماتر. ميردكمحاسبه ها داده

بـه . ، نـشان داده شـده اسـت q هـر مقـدار يبـه ازا ) 3-11(ي ت در معادلـه كداخل براهاي عبارتي محاسبهq بيـ ـترت ي شـــدهبـــرداري نمونـــهر ي مقـــاديه را بـــر رويـ ـل گســـسته فوريم و تبـــديدهـــ مـــي قـــرار0

, ,...,( )p N 0 1 2 qم؛ ينك مي محاسبه 1 ر ي مقـاد يه را بـر رو ي ـل گسـسته فور يم و تبـد يده ـ مـي قرار 1,ي شده برداري نمونه ,...,( )p N 0 1 2 ي محاسـبه يپس از آن بـرا . بين ترت يم؛ و به هم ينك مي اسبه مح 1

ر ي اسـت، مقـاد q ين جمـع بـر رو ي ـه ا ك ـد يتوجه داشته باش ـ . مينك مي اقدام) 3-11(ي معادله يجمع خارج n هر يبه ازا ) ب(-1-11ل ك ش يستونهاي داده , ,..., ( )N 0 1 2 ر يمقادي هيل گسسته فور ين تبد يبنابرا. 1 .مينك ميس را محاسبهيون از ماترمختلط هر ستي شدهداريبر نمونه

يليپالس مـستط ي هيل فور يتبد. دهند مي را نشان يلي پالس مستط يك) ب(-1-11ل كش 0 ر ستون يمقادتابع ff )sin( ،1-11ل ك در ش يه از نظر مقدار ك است-)مانند قبل . نشان داده شده است 0ستون ) ج) نير اول ـ يه مقـاد كم، يده مي شي نما ي بعد يكاستاندارد ي هيل گسسته فور يج را در قالب تبد ينتا )M2 2 .دهند مي را نشانيمنفهاي انسكج فري مانده نتاير باقي و مقاد،مثبتهاي انسكج فرينتا

يسانيك ـل ك ش ـ يدارا) ب(-1-11ل كر صفر در ش ـ يه توابع مشخص شده با هر ستون غ كد ينكمشاهده ي جـه ي نت يـك ه در هـر مـورد ي ـل گسـسته فور يحاصل تبد . مختلفهاي با دامنه يليلس مستط پا يكهستند،

ر ي ـهـر سـتون غ ي هي ـل گسسته فور ين تبد يبنابرا. نشان داده شده است ) ج(-1-11ل كه در ش كمختلط است صفر تابع ff )sin( 1-11ل كش ـ. نـد ك مـي هر ستون تنها از نظر دامنه تفاوت يج برا ي است و نتا-)ج ( .دهد مينشان) ب(-2-11ل ك هر ستون از شيه را برايل گسسته فوريمقدار تبد

ل ي تبـد يورودهـا س داده يه هـر دو مـاتر ك ـم ين ـكد فـرض ي، با ي بعد ي يك هيل گسسته فور يمانند تبد دو ي تنـاوب ي از تـوال تنـاوب يـك يدو بعـد ي هي ـل گسسته فور يج تبد ي نتا .دهند مي لكيه را تش يگسسته فور

),( تناوبي با دوره يبعد MN را ) ج(تـا ) الـف (1-11هـاي لكر ش ـ يد تصاو يل، با ين دل يبه هم . باشد ميد ين ق يا. مينكر ي است، تعب ي تناوب ي و ستون يسطرهاي سيه در هر دو اند ك تناوب از تابع موج يك عنوان به

.رديگ مي قراريشتر مورد بررسي بي در بخش بعديتناوبدو ي هي ـلات گسسته فور يج تبد ي در نتا يينس فضا اك فر يپذير تفكيك، دقت ي بعد يكمشابه با حالت

، برابر است بايبعد


)الف(

)ب(

)ج(

.ي بعديكلات ي از تبدي تواليك صورت به يدو بعدي هيلات گسسته فوري تبديكيشرح گراف 1-11شكل


)11-4( ( )

( )

x

y

uNT

vMT

1

1

.باشد ها مي y در امتداد محور برداري ي نمونه بازهyTو ها x در امتداد محور برداري ي نمونه بازهxTه ك

يدو بعدي هيل گسسته فوري تبدياز براي تعداد محاسبات مورد ن4-11 ي متـوال ي بعد كلات ت ين تبد يي با تع يه دو بعد يل گسسته فور يتبدي مفهوم محاسبه ي به سادگ 1-11ل كش

ل، ي تبـد Mد يجه با يدر نت . مينك مي را محاسبه ها ز داده هر سطر ا ي هيل گسسته فور يابتدا تبد . دهد مي را نشان ل گسسته يم و سپس تبدينك ميمرتب) ب(-1-11ل كج را مانند ش ين نتا يا. نمونه محاسبه شود N از يكهر . شـود نمونـه محاسـبه M از يكل، هر ي تبدNد يجه بايدر نت. مينك ميرا محاسبهها هر ستون از دادهي هيفورMNس داده با ابعاد يتر ما يكن يبنابرا ي به محاسبهMN تعـداد . از داردي ـه ني ـل گسسته فوري تبدlogل محاسبات برابر با ك ( )NM NM2باشد مي.

يدو بعدي هيل گسسته فوريس تبدي ماترسازي مرتب 11-5 مجـدد سـازي رتـب مم، يش ده ـ يمان متداول صورت بهرا ي هيل گسسته فور يج تبد ي نتا سي ماتر مياگر بخواه

رار شده كت) الف(-2-11ل كرا در ش ل كن ش يا. ديريرا در نظر بگ ) ج(-1-11ل كش. لازم است يمر ا جينتا سـازي شـفاف منظـور بـه . شـود مـي ديتول) ب(-2-11ل ك ش ،)الف(-2-11ل ك ش نقاط سازي مرتببا . است

نـشان ) د(و ) ج(-2-11ل كدر ش ـ هـا س داده ي مـاتر سـازي مرتب يها، چگونگ داده سازي مرتبشتر روش يب . داده شده است


. متداولي داشتن نماي برايدو بعدي هيل گسسته فوري تبدسازي مرتب يكيش گرافينما 2-11شكل

انتقـال يـك سازي مرتبم، روش ينكفرض ها رهيرا بر حسب ربع دا ها س داده يه اگر ماتر كد ينكتوجه تـه را نـشان كن ن ي ـا) د(و ) ج(-2-11هـاي لك ش ـ يبررس ـ. د بـود خواه ـ بعـدتر راستگرد به دو ربـع اي رهيدادر هـر ربـع . اسـت )(اول ، از ربع بعدتر ساعتگرد به دو ربع اي رهي انتقال دا يك )(سوم ربع . دهد مي)4,( و n),4(ست، ي ـويكناي ژهي ـوهاي انسك شده در فر برداري نمونهر يمقاد mشـود مـي رارك ـ، ت . يـك )VI( چهـارم و ربـع )(اول اس مثبت از ربـع ك انع يك )(سوم ، ربع يقيس حق ي ماتر يك يبرا ربـع از ياس منف ـ ك ـ انع يك )(سوم ، ربع يس موهوم ي ماتر يبرا. است )( دوم اس مثبت از ربع كانع . است)(ربع دوم از ياس منفك انعيك )VI( چهارم و ربع)( اول

يدو بعدي هيل گسسته فورياز تبدهايي مثال11-6 يسـطح دو بعـد ،يدو بعـد ي هي ـل گسـسته فور يتبـد ي محاسـبه يشتر چگونگ يح ب ي توض يبرا 1-11مثال

.ديريرا در نظر بگ) الف(-3-11ل ك نشان داده شده در شينوسيسكموجدار


. شدهبرداري نمونهموج ): الف(

.ها هر سطر از دادهي هيل گسسته فوريتبد): ب(

).ج( بخش سازي مرتب): د( .)ب(هر ستون از بخش ي هيل گسسته فوريتبد): ج(

.ي دو بعدي يك سطح موجدار كسينوسي هيل گسسته فوريتبدي محاسبه 3-11شكل

دسـت بـه هـا ستون از داده 16 سطر و 4 كه طوري بهم، يريگ مي نمونه yT و xTهاي ابتدا از سطح با بازه في ـ تعرينوسيسك ـار تناوب سـطح موجـد ي قا در مضرب دورهي دقيسطرهاي ه داده كد ينكتوجه . ديآ مي شـده را محاسـبه بـرداري هـاي نمونـه هـر سـطر از داده ي بعـد ي يـك هي ـل گسسته فور يسپس تبد . شوند ميل گسـسته ين تبـد يبنـابرا . اسـت ينوسيسك ـ تابع مـوج يك 0، سطر )الف(-3-11ل كبا توجه به ش . مينك مينـشان داده شـده ) ب(-3-11ل كش ـ) 14 و 2هـاي سـتون (0ه در سـطر ك ـضربه است هاي آن، تابع ي هيفور تـا 9هـاي را ستون ي است، ز يانس منف كجه فر ي نت يك 14ه تابع ضربه در ستون كد يبه خاطر داشته باش . است

شـده تـابع مـوج بـرداري هـاي نمونـه ه هر سطر از داده ك يياز آنجا . دهند مي را نشان يمنفهاي انسك فر 15. سان اسـت هـا يك ـ هـر سـطر از داده يه بـرا يگسسته فور ل يج تبد ينند، نتا ك مي في را تعر يسانيك ينوسيسك

ل ي تبـد ين سـر ي دوم ـ يبـرا هـا س داده ين مـاتر ي ـا. نشان داده شده است ) ب(-3-11ل كه در ش ك طور همانهـر سـتون از ي هي ـفورل گسـسته يسـپس تبـد . اسـت )هي ـاول (يورودس يمـاتر ،ي بعـد ي يك هيگسسته فور

بـا تـابع هـا يـك ، هر سـتون از داده 14 و 2هاي به جز ستون. مينك مي محاسبهرا ) ب(-3-11ل كشهاي دادهتوابـع ها آني هيل گسسته فوريه تبدك هر دو توابع با مقدار ثابت هستند 14 و 2هاي ستون. صفر است مقدار

)(( صفر است ييانس فضا كضربه در فر xMTm 0 هكm= .(3-11ل كج در ش ـ ين نتـا يا-)نـشان داده ) ج .شده است

لات يه بـا انجـام دادن تبـد ك ـ ،دهـد مي را نشان يدو بعد ي هيل گسسته فور يج تبد ينتا) ج(-3-11ل كشج مطـابق بـا روش ين نتـا ي ـه ا ك ـامـا لازم اسـت . آمـده اسـت دسـت بـه ي متـوال ي بعـد ي يك هيگسسته فور


ي هي ـل گسسته فور ين تبد ياي مرتب شده ي جهينت. ، مرتب شوند 2-11ل ك نشان داده شده در ش سازي مرتبفت ي ش ـ يـك سـازي مرتـب ه روش كد يتوجه داشته باش . نشان داده شده است ) د(-3-11ل كر ش د يدو بعد

ييانس فــضاك ـفري ر دادهيمقــادد، ي ـنك مـي ه ملاحظــهطورك ـ همــان. اسـت مسـاعتگرد بــه ربـع دو اي رهي ـدا . رار شده استكست در هر ربع تيويكنا

ل يابتـدا تبـد در مثـال قبـل، .يدو بعد ي هيل گسسته فور يتبدي ن محاسبه يگزيروش جا 2-11مثال س ين از مـاتر هر سـتو ي هيل گسسته فوري و سپس تبد ،يورودهاي س داده يهر سطر از ماتر ي هيگسسته فور

ل گسـسته ي و سپس تبد ،ها س داده يهر ستون از ماتر ي هيل گسسته فور ياگر ابتدا تبد . ديحاصل محاسبه گرد در واقـع، . دي ـآ مـي دسـت بـه بـا روش اول يسانيك ـج يتاس حاصل محاسبه شود، ن يهر سطر از ماتر ي هيفور

ي جمـع بـه معن ـ نيا. جمع بسته شود qر ي مقاد يه ابتدا بر رو ك نوشت صورتي بهتوان مي را) 1-11(ي معادله .استها هر ستون از دادهيه برايورل گسسته فيتبدي محاسبهسه بـا ي ـدر مقا . دهـد مي را نشان يدو بعد ي هيل گسسته فور يتبدي ن محاسبه يگزي روش جا 4-11ل كش

قـا در ي دقيسـطر هـاي ه دادهكد ينكتوجه . است ينوسي سطح موجدار س يك ي، تابع موج دو بعد يمثال قبل هـاي ه هـر سـتون از داده ك ـ يياز آنجـا . شـوند مـي في ـ تعر ينوس ـيتناوب سطح موجـدار س ي مضرب دوره

يـك هـا، هـر سـتون از داده ي هي ـل گسسته فوري تبد ني تابع با مقدار ثابت است، بنابرا يك شده برداري نمونه شـده در هـر برداري نمونهمقدار ثابت ي هر ضربه برابر با دامنه ي دامنه. صفر است ييانس فضا كضربه در فر . نشان داده شده است) ب(-4-11ل كدر شها هر ستون از دادهي هيل گسسته فوريج تبدينتا. ستون است

.يستونهاي دادهي هيل گسسته فوريتبد): ب( . شدهبرداري نمونهتابع موج ): الف(

).ب(ي هرسطرازبخش سته فوريهل گسيتبد): ج(

).ج( بخش سازي مرتب): د(

.يدو بعدي هيل گسسته فوريتبدي از روش معادل محاسبهيمثال 4-11شكل


سطر . مينك مي را محاسبه ) ب(-4-11ل كشهاي س داده يهر سطر از ماتر ي هيل گسسته فور يتبداكنون، مجموعـه از توابـع ضـربه يـك آن ي هي ـل فور يه تبـد كند، ك مي في را تعر ينوسي تابع موج س ها يك داده 0

اسـت، يانـس ك فر ي مقدار منف يك 14تابع ضربه ستون . نشان داده شده است ) ج(-4-11ل كه در ش كاست .خص شده استمش) د(-4-11ل ك شيج مرتب شده دو بعدي در نتاكه طوري به

ي تناوب دو بعد11-7 يدو بعــدي شــدهبــرداري نمونــهتــابع . شــود مــيفيــ تعريتنــاوب توابــع يا بــراه تنهــيــل گســسته فوريتبــد

( , )x yF pT qT ، با تناوب، در سطر يتنها در صورت N2، با تنـاوب ،و در ستون M2 ه ك ـ اسـت ي، تنـاوب ند،كر صدق يدر شرط ز

)11-5( ( , ) ( ) , ( )x y x yF pT qT F p N c T q M d T 2 2. c و d هستند ياريح اختياعداد صح .

4س يماترعناصر . دهد مي را نشان ) 5-11(ي مفهوم معادله 5-11ل كش ل خـط ي مـستط يكه در ك 4ر ي تنها در مقاده از تابع مفروضكد ينكتوجه . شده استبرداري نمونهنطبق بر سطح م، اند شدهن محصور يچ

ن تابع موج يز ا چهار تناوب ا 5-11ل كش، )5-11(ي معادلهتوجه به با . شده است برداري نمونه y و xمثبت سـطر، (هـاي سيتنـاوب بـا انـد ي در هـر دوره ) سطر، ستون (ها سين اند يتوجه به ارتباط ب . دهد مي را نشان

. ت استي، حائز اهملي مستطر درينظ) ونست

4س ي ماتريك از تناوب ي مثال 5-11شكل ـا. شدهبرداري هاي نمونه از داده 4 ن يس بـا خـط چ ـ ين مـاتر ي

.مشخص شده است

يدو بعدي هيل گسسته وارون فوري تبد11-8 ،دشو ميفير تعري زصورت به دو بعد ه دريفورل گسسته وارون يتبد


)11-6(

( ) ( )

( , )) ( , )

, ,..., ( ) , ,..., ( )

, ,..., ( ) , ,...,( )

M Ninp N imq M

x yq p

F pT qT n m e e

p N n N

q M m M

2 1 2 1

2 2 2 2

0 1 2 1 0 1 2 10 1 2 1 0 1 2 1

.

و ،ميري ـگ مـي ل وارون يتبـد ) ا ستون ي(م، ابتدا از هر سطر يل مستق يل وارون، مانند مورد تبد ي انجام تبد يبرال گسـسته يتبـد ي روش محاسـبه . مينك مي س حاصل را محاسبه ياز ماتر ) ا سطر ي(ل وارون هر ستون يسپس تبد

.باشد ي مي بعديكل گسسته وارون يتبدي املا مشابه با روش محاسبهكرحله ن دو مي از ايكوارون در هر ، ييانس فـضا ك ـ فر س تـابع ي عناصـر مـاتر دماني ـچد بـه ي ـه، با يفورل گسسته وارون يتبدي محاسبه يبرا

( , )n m ل يتبـد يخروج ـشـود، مي مشاهده) د(-1-11ل كش مثال در عنوان بهه ك طور همان. ردك، توجهد مطمـئن ي ـبا) 6-11(ي معادلـه ي محاسبه يبرا. ستيانداز مرسوم ن در قالب چشم يدو بعد ي هيگسسته فور

ل وارون شـوند در قالـب يد تبـد ي ـه با هـايي ك ـ اگـر داده . انـد نـشده سـازي مرتـب يانسكفرهاي ه داده كبود وس روش شـرح ك ـبـا روش مع هـا آندي، ابتدا با)6-11(ي معادلهي مرسوم باشند، قبل از محاسبه انداز چشم

ل كش ـ و 5. 11در بخـش روش شرح داده شـده . ه در آورد يش اول ي آرا صورت به 5. 11داده شده در بخش . ردكس كتوان ع ي مي را به سادگ11-2

مسائل),( شده برداري نمونهتابع اگر -11-1 yx qTpTF صورت به ( ) ( )x yF pT F qT1 باشـد، پـذير تفكيك 2, هك ,...,p N 0 1 2 , و 1 ,...,q M 0 1 2 ي هي ـل گسـسته فور ين حالـت تبـد ي ـه در اك ـد ي ـنـشان ده ،1),( mnHيكتواند با مي FFT ياN يكو اي نقطه FFTي اM محاسبه شوداي نقطه.

بـر ي بعـد ي يـك هي ـلات فور ياز تبد اي مجموعه صورت به را يدو بعد ي هيل فور ي تبد 1-11ل كش -11-2هـاي سـتون ي بـر رو ي بعـد ي يـك هي ـلات فورياز تبـد اي ها، و سپس مجموعه س داده ي ماتر يسطرها يرو بـا ابتـدا يسانيك ـج يه نتـا ك ـد ي ـ نـشان ده 1-11ل كم مانند ش ـ يترسي لهيوس به. دهد مي س حاصل نشان يماتر

س يمـاتر يل سـطرها يتبـد ي و سـپس محاسـبه هـا س دادهيماترهاي ه از ستون يل گسسته فور يتبدي محاسبه

.ديآ دست مي بهحاصل ر را در يل ز ك شده در ش برداري نمونهتابع موج -11-33

دو ي هي ـل گسـسته فور ي تبـد يل ـي تحل طور به. ديرينظر بگ .دينك محاسبه ي بعديكلات ي را با استفاده از تبديبعدلات دو ي تبــديوارون معــادل بــراي رابطــه يـك -11-4 FFTسر راست از ي ان استفاده كه ام كد ي بسط ده يبعد

. را فراهم آورديدو بعد) الـف (-4-11ل ك ش ي تابع ته فوريه ل گسس يتبد -11-5

.را محاسبه كنيد


هـر . دي ـنكرا محاسـبه ) الـف (-2-9ل ك تابع نشان داده شـده در ش ـ يدو بعد ي هيل گسسته فور يتبد -11-6 .ديح دهيا توضر) ب(-2-11ل كوسته، شيل پيج تبدي با نتاياختلاف

فهرست منابع[1] Atefeh Habibpoor, H. R. Mashayekhi, “Numerical Modeling of the Transient Response

of Metal-Semiconductor-Metal Photodetector Using Discrete Fourier Transform

Method,” IOP Science Publishing, 2011.

[2] J. F. James, "A Student’s Guide to Fourier Transforms with Applications in Physics and

Engineering (second edition),” Cambridge University Press, 2002.

[3] Bracewell, R. N. “The Fourier Transform and its Applications (second edition),” New

York: McGraw-Hill, 1978.

[4] Dean G. Duffy, “Advanced Engineering Mathematics with Matlab (second edition),”

Chapman & Hall/CRC, 2003.

[5] Hamming, R. W. “Numerical Methods for Scientists and Engineers,” New York:

McGraw-Hill, 1962.

[6] E. G. steward, “Fourier Optics an Introduction,” Halsted Press, 1987.

[7] Hamming, R. W. “Introduction to Applied Numerical Analysis,” New York: McGraw-

Hill, 1971.

[8] Bruce R. Kusse and Erik A. Westwig, “Mathematical Physics (Applied Mathematics for

Scientists and Engineers),” 2nd Edition, WILEY-VCH Verlag GmbH & Co. KGaA,

2006.

[9] Hamming, R. W. “Digital Filters (second edition),” Englewood Cliffs, New Jersey:

Prentice-Hall, 1983.

[10] Ronald. N. Bracewell, “The Fourier Transform and its Application (third edition),”

The McGraw-Hill Companies, 2000.

[11] Weaver, H. J. “Applications of Discrete and Continuous Fourier Analysis,” New York:

John Wiley & Sons, 1983.

[12] Keigo Iizuka, “Engineering Optics (third edition),” Springer Science and Business

Media, LLC., 2008.

[13] R. Haberman, “Elementary Applied Partial Differential Equations with Fourier Series

and Boundary Value Problems (second edition),” Prentice-Hall Inc., 1987.

[14] E. O. Brigham, “The Fast Fourier Transform and its Applications,” Prentice-Hall, Inc.,

1988.

[15] A. Quarteroni, F. Saleri, “Scientific Computing with Matlab and Octave (second

edition),” Springer-Verlag Italian, 2006.


[16] H. B. Wilson, L. H. Turcotte, D. Halpern, “Advanced Mathematics and Mechanics

Applications Using Matlab (third edition),” Chapman & Hall/CRC, 2003.

[17] A.C. King, J. Billingham and S.R. Otto, “Differential Equations (Linear, Nonlinear,

Ordinary, Partial),” Cambridge University Press, 2003.

[18] T. W. Korner, “Fourier Analysis,” Cambridge University Press, 1988.

fourier transforms; concepts and its applications using matlab

Documents