fourier-faltungs formalismus berechnung der gestreuten amplitude mit hilfe der...
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Fourier-Faltungs Formalismus
Berechnung der gestreuten Amplitude mit Hilfe der Fourier-Transformation
Inhalt
• Gitterfunktion• Strukturfaktor• Formfaktor
Quelle: pkibm16 D:\Unterricht_Krist\Skripten_Krist_II_Web_Versionen\VK2_Mathematik.doc, VK2_Beugung_per.doc
Fourier Transformierte der Dichte im Kristall
Funktion Fourier-Transformierte
Die Streuamplitude eines Kristalls ist das Produkt der Fourier-Tranformierten des Zellinhalts und der Gitterfunktion
)()( xxf Zelle
dxehF ihxZelleZelle
2)(
5
0
)()(v
avxxg
5
0
25
0
2)()(v
avih
v
ihx edxeavxhG
gy ZelleKristall )( )()()( hGhFhF ZelleKristall
„Leeres“ Gitter Zellinhalt Kristallgitter
Aufbau der Dichteverteilung im Kristall (R3)
Links: „Leeres“ Gitter mit einem „δ - Punkt“ in jeder Zelle
Zellinhalt
Gitterfunktion
Vollständiges Gitter
Faltung der Gitterfunktion mit dem Zellinhalt
)()( xxf Zelle
5
0
)()(v
avxxg
gy ZelleKristall )(
Cl-1 Cs+1 Dichte in einer Elementarzelle
r=1,81 Å r=1,67 Å
Dichte in der Elementarzelle
Dichte in der Elementarzelle als Faltung
Dichte des Atoms Nr. μ
Zeiger zum Atom Nr. μ
in der Zelle
Dichte eine Atoms am Ort xμ in einer Elementarzelle: Faltung des Zeigers mit der Dichte
Dichte in einer Elementarzelle: Summation über alle m Atome in der Zelle
)(( xxx)
)(x
)( xx
m
Zelle1
)()(
xxx
Fourier-Transformierte der Dichteverteilung eines Atoms: Der Formfaktor
Funktion Fourier-Transformierte
xh hxdef i 2)(
)(x
Bezieht sich der Formfaktor auf Atome, dann wird er „Atomformfaktor“ genannt, bei den der Berechnung und bezieht sich auf kugelsymmetrische Atome
Der Formfaktor ist allgemeiner definiert, er kann für beliebige geformte Moleküle oder Dichteverteilungen berechnet werden
Quellen zum Atom Formfaktor
eU Atomformfaktor
1/m Betrag des Streuvektors
)/(sin f
Der „Atom formfaktor“ für kugelsymmetrische Atome ist für alle Atome, in Abhängigkeit von der Wellenlänge und des Ionisationszustands, in Form von Tabellen oder Koeffizienten eines Polynoms zugänglich
Korrekturen für anomale Dispersion: http://physics.nist.gov/PhysRefData/FFast/Text/cover.html
Koeffizienten der „X-ray Scattering Factors“ http://www.isis.rl.ac.uk/ISISPublic/reference/Xray_scatfac.htm
/sin2h
Fourier-Transformierte der Dichteverteilung einer Elementarzelle: Der Strukturfaktor
Funktion Fourier-Transformierte
)()()(0
xxxx
m
Zelle
m
lzkyhxieflkhF0
)(2)/(sin),,(
m
iiZelle edeF
0
22)(
hxhx xh
Der Strukturfaktor
1 eU Strukturfaktor
1 eU Atomformfaktor
1 Koordinaten des Atom Nr. μ
1 Reziproke Koordinaten
m
lzkyhxieflkhF0
)(2/sin),,(
/sinf
zyx ,,
lkh ,,
Die Koordinaten xμ ,yμ ,zμ mit Dimension „1“ beziehen sich auf die Basisvektoren des Gitters
Das dazu reziproke Gitter ist die Basis der h,k,l Koordinaten
Der reziproke Vektor h mit den reziproken Koordinaten h,k,l ist der Streuvektor im Experiment, die Braggsche Gleichung verbindet h mit dem Streuwinkel 2θ
h
sin2
Fourier Transformierte der Dichte im Kristall
Funktion Fourier-Transformierte
Die Gitterfunktion G(h) verstärkt die Amplitude bei ganzzahligen h,k,l um den Faktor N1· N2 ·N3
)()()( xxx gZelleKristall )()()( hhh GFFKristall
Die Gitterfunktion wird in ungestörten Gittern nicht explizit genannt, sondern implizit berücksichtigt mit der Regel „Intensität nur bei ganzzahligen hkl“
Intensität im ungestörten Kristallgitter
• Die Gitterfunktion G(h) verstärkt die Amplitude bei ganzzahligen h,k,l um den Faktor N1, N2 , N3
– An allen anderen Punkten des reziproken Raums ist die Intensität verschwindend gering
• Bei „ganzzahligen Indizes“ beobachtet man Intensität proportional zum Betragsquadrat des Strukturfaktors
• Deshalb ist der Strukturfaktor die zentrale Größe bei der Strukturbestimmung
Zusammenfassung• Die Dichte im Kristall ist die Faltung aus der Dichte
des– leeren Gitters mit der einer Elementarzelle
• Aus der Fourier-Transformation des leeren Gitters folgt:– Ungeheure Verstärkung bei ganzzahligen h,k,l,
sonst Intensität praktisch null• Die Fourier-Transformation des Zellinhalts ergibt den
„Strukturfaktor“– Der Strukturfaktor enthält die Information über die
Lage der Teilchen– Der Atomformfaktor ist die Fourier-Transformierte
der Dichteverteilung eines Atoms
Zellinhalt
Gitterfunktion
Vollständiges Gitter
finis
)()( xxf Zelle
5
0
)()(v
avxxg
gy ZelleKristall )(