FIZIKA II - FORMULE

Jadranko Batista

MostarCurrent address: MostarE-mail address: jadranko.batista@sve-mo.baURL: http://www.sve-mo.ba/fpmoz

Sadrµzaj

Poglavlje 1. TEMPERATURA 1

Poglavlje 2. TERMODINAMIKA 5

Poglavlje 3. MOLEKULARNO - KINETIµCKA TEORIJA TOPLINE 7

Poglavlje 4. ELEKTROSTATIKA 9

Poglavlje 5. ELEKTRIµCNA STRUJA 13

Poglavlje 6. MAGNETIZAM 17

Poglavlje 7. IZMJENIµCNA STRUJA 21

Poglavlje 8. ELEKTROMAGNETSKI VALOVI 23

Poglavlje 9. GEOMETRIJSKA OPTIKA 25

Poglavlje 10. FIZIKALNA OPTIKA 29

Poglavlje 11. ZAKONI ZRAµCENJA I µCESTIµCNA PRIRODA SVJETLOSTI 33

Poglavlje 12. VALNA PRIRODA MATERIJE I OSNOVE KVANTNEFIZIKE 35

Poglavlje 13. ATOM 37

Poglavlje 14. ATOMSKA JEZGRA 39

iii

POGLAVLJE 1

TEMPERATURA

Temperatura T je mjera za srednju kinetiµcku energiju toplinskog gibanja molekula.�to je kinetiµcka energija gibanja molekula veca, to je temperatura tijela vi�a. Vezaizme�u termodinamiµcke temperature T izraµzene kelvinom temperature t izraµzeneu stupnjevima Celzijusa jest

T (K) = 273:15 + t (�C)

µCvrsta tijela se zagrijavanjem �ire, a hla�enjem skupljaju. Ke�cijent linearnog�irenja � de�nira se kao

� =lT � l0l0�T

=1

l0

�l

�T(0.1)

gdje je l0 - duljina tijela (�tapa) pri 0�C, lT - duljina tijela pri temperaturi T . Iz(0.1) proizilazi

lT = l0 (1 + ��T )

Jedinica za koe�cijent linearnog �irenja jest�K�1

�. Volumno (prostorno) �irenje

µcvrstih tijela i tekucina raµcunamo pomocu relacije

VT = V0 (1 + �T )

gdje je V0 - volumen tijela pri temperaturi 0�C, a V - volumen tijela pri temperaturiT . Koe�cijent volumnog �irenja za µcvrsta tijela moµzemo aproksimativno povezatisa liearnim keo�cijentom �irenja preko izraza

=VT � V0V0�T

=1

V0

�V

�T= 3�

Jednadµzba stanja idealnog plina glasi

pV = nRT =m

MRT (0.2)

gdje je m - masa, n - koliµcina tvari, a M - molarna masa plina. Konstanta R jeplinska konstanta koja iznosi

R = 8:31451J

mol � KIzotermni proces je proces plina pri kojem je T = konst:, pa jednadµzba (0.2)

prelazi u Boyle-Mariotteov zakon

pV = konst: =) p1V1 = p2V2 = � � � = pnVn

Izobarni proces je proces plina u kojem je p = konst:, pa jednadµzba (0.2)prelazi u Gay-Lusacov zakon

V

T= konst: =) V1

T1=V2T2= � � � = Vn

Tngdje je V - volumen plina pri termodinamiµckoj temperaturi T , a Vn - volumen plinana termodinamiµckoj temperaturi Tn. Ako umjesto termodinamiµcke temperature Tnapi�emo Celzijusovu temperaturu t, relacija (0.2) prelazi u

Vt = V0 (1 + t)

1

2 1. TEMPERATURA

gdje je Vt - volumen plina na temperaturi t, V0 - volumen plina pri temperaturi0�C i = 1

273 K�1 - toplinski koe�cijent �irenja plina.

Izohorni proces je proces plina u kojem je V = konst:, pa jednadµzba (0.2)prelazi u Charlesov zakon

p

T= konst: =) p1

T1=p2T2= � � � = pn

Tn

Unutra�nja energija U je zbroj srednje kinetiµcke i potencijalne energijemolekula nekog tijela. Unutrta�nja energija sustava se moµze promijeniti na dvanaµcina: prijenosom topline i vanjskim radom. Unutra�nja energija u procesimaprijenosa topline promijeni se za koliµcinu topline Q. To je energija koja prelazi satoplijeg tijela na drugo hladnije tijelo zbog njihove temperaturne razlike. Jedinicaza toplinu je jednaka jedinici energije dµzul [ J]. Pri zagrijavanju primljena toplina,odnosno pri hla�enju predana toplina tijela jest

Q = c m �T

gdje je c - speci�µcni toplinski kapacitet, a m - masa tijela. �T je promjena tem-perature tijela koje je primilo, odnosno predalo toplinu.

Speci�µcni toplinski kapacitet c jest toplina potrebna da se nekoj tvari mase1 kg promijeni temperatura za 1K i izraµzava se u

hJ

kg�K

i.

Zagrjavanjem pri stalnom volumenu sva se dovedena koliµcina topline utro�i napovecanje unutra�nje energije tijela, pa je

Q = �U = m cv �T; V = konst:

gdje je

cv =1

m

�U

�T

speci�µcni maseni toplinski kapacitet pri stalnom volumenu. Dovo�enjem toplinepri stalnom tlaku tijelo se i grije i obavlja mehaniµcki rad, pa je dio topline utro�enna rad, pa je Q > �U . Speci�µcni toplinski kapacitet pri konstantnom tlaku cpde�nira se izrazom

cp =1

m

Q

�T; p = konst:

Oba speci�µcna toplinska kapaciteta (cv i cp) praktiµcno su jednaka za tekucine iµcvrsta tijela, a znatno se razlikuju za plinove.

Pri taljenju (oµcvr�civanju) temperatura tali�ta ostaje nepromijenjena sve dokse sva tvar ne rastali. Toplina taljenja (topljenja) je

Q = m Lt

gdje je m - masa tijela, a Lt - speci�µcna toplina taljenja. Jednaku toplinu predajei tekucina pri oµcvr�civanju.

Sliµcno je i toplina isparavanja, odnosno kondenzacije (ukapljivanja)

Q = m Li

gdje je Li - speci�µcna (latentna) toplina isparavanja tekucine. Pri izgaranju gorivaosloba�a se toplina izgaranja

Q = m Lg

gdje je Lg - speci�µcna toplina izgaranja. Speci�µcne topline taljenja, isparavanja i

izgaranja izraµzavaju se jedinicomhJkg

i.

Fourierov zakon za vo�enje topline glasi

Q = ��St �T�x

1. TEMPERATURA 3

gdje je Q - toplina koja u vremenu t pro�e sredstvom, � - koe�cijent toplinskevodljivosti materijala, �T = T2 � T1 - razlika temperatura izme�u dvasloja mater-ijala me�usobno udaljenih za �x, a S presjek vodiµca. Taj se zakon moµze napisatii pomocu toplinskog toka � = Q

t i gustoce toplinskog toka

q =�

S=Q

St= ���T

�x

Toplinski otpor R za vo�enje topline de�nira se izrazom

R = ��T�

=�x

�S

i izraµzava se u jedinicama�KW

�.

Prijenos topline konvekcijom raµcuna se pomocu Newtonova zakona hla�enja

q = hc (Tp � Tf )

gdje je Tp - temperatura µcvrste plohe uz koju �uid struji, Tf - temperatura �uidadovoljno udaljena od graniµcne plohe, a hc - koe�cijent konvekcije koji se izraµzavajedinicom

�Wm2 K

�.

Toplinsko zraµcenja (radijacija). Kada toplinsko zraµcenje pada na povr�inunekog tijela djelomiµcno se re�ektira, a djelomiµcno se apsorbira. Ak je tijelo za tozraµcenje prozirno, tada dio zraµcenja potpuno prolazi kroz tijelo. Omjer apsorbira-nog i upadnog toka zraµcenja nazivamo koe�cijentom apsorpcije

� =�a�u

a omjer re�ektiranog i upadnog toka zraµcenja koe�cijentom re�eksije

� =�r�u

Na isti naµcin se de�nira i koe�cijent transmisije

� =�t�u

Za ukupno zraµcenje koje pada na tijelo vrijedi

�+ �+ � = 1

Idealno crno tijelo je ono za koje vrijedi � = 1; � = � = 0.Energetska (radijacijska) egzitancija je gustoca toka energije emitirane s

povr�ine S nekog tijela

M =�eS

Spektralna egzitanciju crnog tijela na temperaturi T daje Planckova formula

M ct� =

2�hc2

�51

ehc�kT � 1

Kircho¤ov zakon zraµcenja glasi

�e = "�cte = ��cte

gdje je " - koe�cijent emisije de�niran kao omjer emitiranog toka nekog tijela i tokacrnog tijela iste povr�ine na istoj temperaturi.

Stefan-Boltzmannov zakon daje toplinski tok koji emitira povr�ina tijelazagrijana na temperaturu T

�e = " � S T 4

4 1. TEMPERATURA

gdje je � = 5:67051 � 10�8 Wm2 K4 - Stefan-Boltzmannova konstanta. Ako je tem-

peratura T1 temperatura tijela, a T2 temperatura okoline, tada je toplinski tokjednak

�e = "�S�T 41 � T 42

�Wienov zakon daje valnu duljinu kod koje je spektralna gustoca zraµcenjaM�

maksimalna

�mT = b = 2:897756 � 10�3mKToplinski tok prenesen zraµcenjem moµze se raµcunati pomocu izraza

�r = hrS (T1 � T2)gdje je hr - koe�cijent prijenosa topline zraµcenjem od jedne povr�ine temperatureT1 prema drugoj povr�ini temperature T2. Za dvije paralelne ravnine iznosi

hr =��T 21 + T

22

�(T1 + T2)

1"1+ 1

"2� 1

ukupni koe�cijent prijenosa topline (toplinskih gubitaka) k de�nira se kao

q = k�T

gdje je q - gustoca toplinskog toka, a �T - temperaturna razlika. Jedinica zakoe�cijent prijenosa topline je

�Wm2 K

�.

POGLAVLJE 2

TERMODINAMIKA

Prvi zakon termodinamike (zakon odrµzanja energije) glasi

dU = dQ� dWgdje su dU - promjena unutra�nje energije, dQ - dovedena (odvedena) toplina idW = pdV - obavljeni rad sustava. Unutra�nja energija idealnog plina iznosi

U =i

2nRT

gdje je i - broj stupnjeva slobode gibanja molekule. Za jednoatomne plinove(µcije molekule posjeduju samo translacijske stupnjee slobode) imaju i = 3, dokza vi�eatomne plinove treba uzeti u obzir i rotaciju i vibraciju molekule.

Entalpija sustava de�nira se relacijom:

H = U + pV

Pri izobarnom procesu (p = konst:) vrijedi

dH = dU + pdV = dQ

pa se speci�µcni toplinski kapacitet pri stalnom tlaku moµze de�nirati kao

cp =1

m

dH

dT

a speci�µcna latentna toplina pri izobarnoj promjeni agregatnog stanja (ili faze)

Lt =1

mHt

Speci�µcni toplinski kapacitet pri stalnom volumenu de�nira se pomocu un-utra�nje energije

cv =1

m

dU

dT

Za idealni plin vrijedi

cp � cv =R

M

te adijabatska konstanta

� =cpcv

koja za jednoatomne plinove iznosi � = 1:66, a za dvoatomne � = 1:4.Rad plina pri promjeni volumena jednak je

W =

V2ZV1

pdV

i pri izobarnoj promjeni taj rad iznosi

W = p (V2 � V1)

5

6 2. TERMODINAMIKA

Za izotermni proces jednak je

W = Q = nRT lnV2V1= nRT ln

p1p2

Pri adijabatskom procesu (dQ = 0) tlak, volumen i temperatura idealnog plinapovezani su Poissonovim jednadµzbama (jednadµzbe adijabate):

p1p2=

�V2V1

��;T1T2=

�V2V1

���1;T1T2=

�p1p2

���1�

rad idealnog plina pri adijabatskom procesu odre�ujemo pomocu izraza

W =nR

�� 1 (T1 � T2) =p1V1�� 1

�1� T2

T1

�Najµce�ce se termodinamiµcki procesi prikazuju u p; V� dijagramu. U tom je

sluµcaju rad prikazan povr�inom ispod krivulje. Rad pri Carnotovu kruµznomprocesu jest

W = Q1 +Q2 = jQ1j � jQ2j = Q1

�1� T2

T1

�gdje je Q1� toplina dovedena radnom �uidu (idealnom plinu), a Q2� toplinapredana hladnijem spremniku, a T1� temperatura toplijeg i T2� tempeatura hlad-nijeg spremnika. Korisnost toplinskog stroja de�nira se omjerom iskori�tenog radai uloµzene energije

� =W

Q1=jQ1j � jQ2j

Q1

Za Carnotov kruµzni proces (koji od svih mogucih procesa ima najveci stupanjiskori�tenja) koe�cijent iskori�tenja je zadan izrazom

�c = 1�T2T1

Koe�cijent hla�enja rasladnog stroja de�nira se omjerom topline Q2 uzete iz pros-tora i uloµzenog rada W

" =Q2W

Promjena entropije pri reverzibilnoj promjeni stanja jest

S2 � S1 =2Z1

dS =

2Z1

dQ

T

Drugi zakon termodinamike kaµze da za sustav koji je termiµcki izoliran odokoline �S � 0, gdje znak jednakosti vrijedi za reverzibilne, a znak nejednakostiza ireverzibilne procese unutar zadanog sustava.

Unutra�nja energija, entalpija i entropija su funkcije stanja sustava doksu p; V; T promjenjive veliµcine stanja sustava.

POGLAVLJE 3

MOLEKULARNO - KINETIµCKA TEORIJATOPLINE

U kinetiµckoj teoriji, tlak plina na stijeke posude, obja�njava se elastiµcnim su-darima molekula plina i stijenke posude i zadan je izrazom

p =1

3

N

Vmmv2 =

1

3�v2eff

gdje je N� broj molekula plina u volumenu V , mm� masa molekule plina, v2�srednja vrijednost kvadrata brzine i �� gudtpca plina.

Srednja kvadratiµcna (efektivna) brzina molekula plina iznosi

veff =pv2 =

r3pV

mm=

r3p

�=

r3kT

mm=

r3RT

M

gdje su M� molarna masa plina, k� Boltzmannova konstanta i R� plinska kon-stanta. Jednadµzba stanja idealnog plina u mikroskoposkom obliku glasi

pV = NkT

Srednja kinetiµcka energija translacijskog gibanja molekula idealnog plina propor-cionalna je s apsolutnom temperaturom

Ek =mmv

2eff

2=3

2kT

Unutra�nja energija idealnog plina (zbroj kinetiµckih energija molekula) jed-naka je

U =i

2NkT =

i

2nRT

gdje je i� broj stupnjeva slobode gibanja molekula. Za jednoatomne plinove i = 3,za dvoatomne, ovisno o temperaturi (odnosno o tome jesu li aktivirani rotacijskistupnjevi slobode), moµze biti i = 5 ili i = 7, a za vi�eatomne plinove i = 6 ili i = 8.

Maxwellova raspodjela molekula po brzinama zadana je sa

Nv =dN

dv=4Np�

�mm

2kT

� 32 � v2 � e�

mm�v22kT

gdje su mm� masa molekule plina, Nv� broj molekula koje se gibaju brzinamaizme�u v i v + dv, N� ukupan broj molekula.

Najvjerojatnija brzina vm je ona za koju funkcija Nv ima maksimum i jed-naka je

vm =

r2kT

mm=

r2RT

M

Srednja brzina (aritmetiµcka sredina) jednaka je

v =

r8kT

�mm=

r8RT

�M

7

8 3. MOLEKULARNO - KINETI µCKA TEORIJA TOPLINE

uoµcimo da vrijedi

vm < v < veff

Maxwell-Boltzmannova raspodjela po energijama za translacijsko gibanjemolekula idealnog plina glasi

NE =dN

dE=

2Np�k3T 3

�pE � e� E

kT

Maksimum raspodjele je na energiji

Em =1

2kT

a srednja energija je

E =3

2kT

Molarni toplinski kapacitet prema molekularno-kinetiµckoj teoriji toplineglasi

CV =i

2R; Cp =

i+ 2

2R; � =

CpCV

=i+ 2

i

gdje je i� broj stupnjeva slobode gibanja molekula.Van der Waalsova jednadµzba za realne plinove glasi�

p+ n2a

V 2

�(V � nb) = nRT

gdje su a; b� konstante karakteristiµcne za odre�eni plin i mogu se odrediti iz kri-tiµcnih konstanti plina:

a =27

64

R2T 2cpc

; b =RTc8pc

Frekvencije sudara u plinu prema molekularno-kinetiµckoj teoriji iznosi

z =4�

3nd2v

gdje je n� koncentracija molekula i d� promjer molekule.

POGLAVLJE 4

ELEKTROSTATIKA

Elektriµcni naboj je jedno od osnovnih svojstava elementarnih µcestica. Je-dinica za elektriµcni naboj je kulon (Coulomb) ( C = A s). Svaki naboj moµze seizraziti kao cjelobrojni umnoµzak elementarnog naboja koji iznosi

e = 1:60217733 � 10�19 C

tako svaki naboj elektriµcno nabijenog tijela, koji moµze biti pozitivan i negativan,moµzemo izraziti kao Q = ne, gdje je n 2 Z. Elektriµcno neutralno tijelo ima jednakbroj pozitivnih i negativnih elementarnih naboja.

zakon elektrostatske sile - Coulombov zakon glasi: sila izme�u dvatoµckasta naboja Q1 i Q2, koji su me�usobno udaljeni za r, zadana je izrazom

�!F 12 = k

Q1Q2r2

�!r 0 =1

4�"

Q1Q2r2

�!r 0

gdje je �!r 0 - jediniµcni vektor na spojnici naboja usmjeren prema naboju na kojidjeluje sila, a " - elekriµcna permitivnost (dielektriµcnost) dielektrika u koje se nalazenaboji. Dielektriµcna permitivnost u vakuumu iznosi

"0 = 8:854187817 � 10�12F

m

a u dielektriku je

" = "0"r

gdje je "r - relativna permitivnost sredstva. Konstanta k u vakuumu, a pribliµzno iu zraku iznosi

k =1

4�"0= 8: 987 5 � 109 m

F� 9 � 109 Nm

2

C2

Jakost elektriµcnog polja u nekoj toµcki prostora se de�nira kao omjer sile nataj naboj i naboja u toj toµcki

�!E =

�!F

Q

Jedinica za jakost elektriµcnog polja je NC =

Vm . Jakost elektriµcnog polja toµckastog

naboja Q na udaljenosti r od naboja iznosi

�!E = k

Q

r2�!r 0 =

1

4�"

Q

r2�!r 0

Ako u prostoru koji razmatramo postoji vi�e naboja koji uzrokuju elektriµcno polje,rezultantno polje dobije se vektorskim zbrajanjem polja pojedinih naboja. Akoje prostor ispunjen izotropnim dielektrikom, tada de�niramo vektor elektriµcnogpomaka

�!D izrazom�!D = "

�!E = "0"r

�!E

9

10 4. ELEKTROSTATIKA

Elektriµcni tok kroz povr�inu S de�nira se plo�nim integralom

�D =

ZZS

�!D � d�!S

Gaussov zakon kaµze da je ukupni elektriµcni tok kroz zatvorenu plohu S jednakalgebarskom zbroju elektriµcnih naboja koji se nalaze unutar volumena kojeg taploha ome�ujeI

S

�!D � d�!S =

Xi

Qi

Rad elektriµcne sile pri pomjeranju naboja Q iz toµcke A u toµcku B u elektriµcnompolju jakosti

�!E jednak je

WAB = Q

BZA

�!E � d�!s = Ep (

�!r A)� Ep (�!r B) = Q ('A � 'B) = Q � UAB

gdje je d�!s - pomak naboja, 'A � 'B = UAB - razlika potencijala (napon) izme�utih toµcaka. Potencijalna energija naboja Q u toµcki A elektriµcnog polja jakosti

�!E

jednaka je

Ep (�!r A) = �Q

AZAr

�!E � d�!s

a potencijal te toµcke

'A =Ep (

�!r A)Q

= �AZ

Ar

�!E � d�!s

gdje je Ar referentna toµcka u kojem je prema de�niciji potencijal jednak nuli. To jeobiµcno toµcka u beskonaµcnosti (za raspodjele naboja), toµcka na povr�ini Zemlje (uvecini primjena), ali moµze biti i neka druga proizvoljno odabrana toµcka1. Jedinicaza elektriµcni potencijal je volt

�V = J

C

�. Uzajamnapotencijalna energija dvaju

toµckastih naboja Q i Q�na udaljenosti r jest

Ep =1

4�"

Q �Q0r

Za veci broj nabijenih µcestica potencijalna energija jednaka je zbroju potencijalnihenergija svih parova µcestica, priµcemu treba obratiti paµznju da se potencijalna en-ergija svakog pojedinog para raµcuna samo jedanput. Potencijal toµckastog nabojaQ na udaljenosti r od naboja jest

' =1

4�"

Q

r

Kad polje ovisi samo o r (tj. polje je funkcija udaljenosti E = E (r)), jakostelektriµcnog polja i elektriµcni potencijal moµzemo povezati relacijom

E (r) = �d'dr

pa za toµckasti naboj jakost elektriµcnog polja iznosi

E =1

4�"

Q

r2

1Uporediti sa odabiranjem referantnog nultog nivoa potencijalne energije u gravitacijskimpoljima.

4. ELEKTROSTATIKA 11

Ako imamo homogeno elektriµcno polje jakost polja iznosi

E ='A � 'B

d=U

d

gdje je d - razmak ekvipotencijalnih ploha µciji su potencijali 'A i 'B .U opcem sluµcaju jakost elektriµcnog polja zadana je vektorom gradijenta poten-

cijala ' (x; y; z) :�!E = � grad' = �r'

gdje je vektor gradijenta de�niran kao

grad' = r' = @'

@x

�!i +

@'

@y

�!j +

@'

@z

�!k =

�@

@x

�!i +

@

@y

�!j +

@

@z

�!k

�| {z }

=grad

'

Elektriµcni dipol µcine dva naboja suprotna predznaka a jednaka iznosa, me�u-sobno udaljena za l. Vektor

�!p = Q � �!l

nazivamo dipolnim momentom, a ima smjer od negativnog ka pozitivnom naboju.Za vi�e naboja dipolni moment se de�nira kao

�!p =Xi

Qi � �!r i

gdje je �!r i - vektor poloµzaja i-tog naboja. Jedinica dipolnog momenta je ( Cm).Moment para sila na dipol u homogenom elektriµcnom polju je

�!M = �!p ��!E

a potenialna energija elektriµcnog dipola u elektriµcnom polju jakosti�!E iznosi

Ep = ��!p ��!E

Elektriµcni kapacitet vodiµca s nabojem Q i na potencijalu ' jednak je

C =Q

'

dok je kapacitet dvaju vodiµca koji µcine kondenzator

C =Q

U

gdje je Q - naboj na jednoj od ploµca, a U = '1 � '2 razlika potencijala izme�uploµca. Kapacitet ploµcastog kondenzatora iznosi

C = "0"rS

d

gdje je S povr�ina ploµca, d - razmak izme�u ploµca, a "r - relativna elektriµcnapermitivnost dielektrika kojim je ispunjen prostor izme�u ploµca kondenzatora.

Paralelni spoj niza od n kondenzatora, daje kondenzator kapaciteta

C =nXi=1

Ci

a za serijski spoj vrijedi

1

C=

nXi=1

1

Ci

12 4. ELEKTROSTATIKA

Energija uskladi�tena u elektriµcki nabijenom kondenzatoru kapaciteta C s nabojemQ i naponom U iznosi

W =CU2

2=Q2

2C=QU

2Gustoca energije elektrostatkog polja je

w =W

V=1

2"0"rE

2 =1

2"0"rD2 =

1

2ED

Vektor elektriµcnog pomaka moµze se de�nirati i kao�!D = "0

�!E +

�!P

gdje je�!P - vektor polarizacije dielektrika. Elektriµcna polarizacija

�!P ukupni je

dipolni moment jediniµcnog volumena dielektrika, a njezina normalna komponentaiznosom je jednaka plo�noj gustoci naboja na povr�ini dielektrika koji se nalaziu elektriµcnom polju:

�p =�!P � �!n

gdje je �!n - jediniµcni vektor normalan na plohu dielektrika.

POGLAVLJE 5

ELEKTRIµCNA STRUJA

Jakost struje (Ohmov zakon): Elektriµcna je struja usmjereno gibanje nositeljanaboja, s jednog mjesta na drugo, kroz odre�eni popreµcni presjek vodiµca. Nositeljinaboja u metalima su elektroni, a u tekucinama i plinovima to su pozitivni i nega-tivni ioni dok su u poluvodiµcima elektroni i elektronske �upljine. Jakost elektriµcnestruje de�nira se izrazom

I = lim�t!0

�Q

�t=dQ

dt[A =

C

s]

gdje je �Q naboj koji pro�e kroz popreµcni presjek vodiµca u vremenu �t. Gustocastruje

�!J u nekoj toµcki vodiµca de�nira se kao vektor u smjeru gibanja pozitivnoga

naboja pomocu

dI =�!J � d�!S

gdje je d�!S element povr�ine u smjeru normale na povr�ini popreµcnog presjeka. Ako

je tok kroz presjek na povr�inu konstantan, gustocu struje de�niramo kao

J =I

S

U metalnim vodiµcima jakost struje proporcionalna je naponu - Ohmov zakon

I =U

R

Otpor vodiµca R iskazuje se u ohmima� = V

A

�. Reciproµcna vrijednost otpora

je vodljivost G i iskazuje se u simensima�S = A

V =1

�.

Otpor homogenoga omskog vodiµca u obliku µzice duljine l, popreµcnoga presjekaS, izra�enoga od materijala otpornosti � jest

R = �l

S

Elektriµcna otpornost materijala � iskazuje se u ommetrima ( m). Reciproµcnavrijednost otpornosti materijala je elektriµcna provodnost materijala koja se iskazujeu simensima po metru

�Sm =

1m

�. Uoµcimo da otpor i vodljivost ovise o vrsti i

obliku materijala, dok elektriµcna otpornost i provodnost materijala ovise samo ovrsti materijala od kojeg je vodiµc izra�en.

Ovisnost otpornosti materijala o temperaturi aproksimativno je opisana izra-zom

� = �0[1 + � (t� t0)]

gdje je �0 otpornost na temperaturi t0 (obiµcno 0�C), � otpornost na temperaturi t,

a � temperaturni koe�cijent otpora materijala. Gustocu struje u metalima moµzemoizraziti kao

�!J = �ne�!v d

13

14 5. ELEKTRI µCNA STRUJA

gdje je �!v d drift-brzina elektrona, n koncentracija slobodnih elektrona (broj elek-trona po jedinici volumena vodiµca) i e elementarni naboj. Gustoca struje propor-cionalna je jakosti elektriµcnoga polja u svakoj toµcki vodiµca, pa pi�emo

�!J = �ne�e

�!E = �

�!E

�!E = �

�!J

gdje je �e pokretljivost elektrona, a � provodnost materijala. Ovo je Ohmov zakonu mikroskopskom obliku.

Kircho¤ova pravila. Ohmov zakon za zatvoreni strujni krug u kojemu senalazi izvor elektromotorne sile " i unutarnjega otpora Ru te vanjskog otpora Rjest

I ="

R+Rugdje je I jakost struje u tom krugu. Napon izvora prikljuµcenoga u strujni krugsmanji se zbog pada napona na unutarnjem otporu izvora i iznosi

U = "� IRuZa sloµzenije strujne krugove vrijede dva Kircho¤ova pravila:I. Kircho¤ovo pravilo - algebarski zbroj jakosti struja u nekom µcvori�tu

jednak je nulinXi=1

Ii = 0

pri µcemu struje koje ulaze u µcvori�te raµcunamo pozitivnima, a koje izlaze iz µcvori�tanegativnima.

II. Kircho¤ovo pravilo - u svakoj zatvorenoj petlji zbroj svih elektromo-tornih sila jednak je zbroju svih padova napona na otporima

nXi=1

IiRi =nXi=1

"i

Pri primjeni Kircho¤ovih pravila prvo proizvoljno odaberemo smjer struja ismjer obilaµzenja petlji, zatim elektromotornu silu uzimamo pozitivnom ako bi dalastruju u odabranome smjeru kada bi bila sama u tome strujnome krugu. Padnapona IR je pozitvan ako je smjer struje kroz taj otpor jednak smjeru obilaµzenjapetlje, inaµce je negativan. Ako u rezultatu dobijemo negativnu vrijednost za jakoststruje u nekom dijelu strujnoga kruga, potrebno je u poµcetku odabrani smjer za tustruju promjeniti.

Ukupni (ekvivalentni) otpor serijski spojenih vodiµca jednak je

R = R1 +R2 + � � �+Rn =nXi=1

Ri

a za paralelni spoj vodiµca vrijedi

1

R=

1

R1+1

R2+ � � �+ 1

Rn=

nXi=1

1

Ri

Rad i snaga elektriµcne struje. Rad elektriµcne struje za vrijeme t u dijelustrujnoga kruga odre�en je izrazom

W = U I t

gdje je U napon izme�u krajeva promatranoga dijela strujnoga kruga, a I jakoststruje. Snaga elektriµcne struje je

P = U I

5. ELEKTRI µCNA STRUJA 15

�to moµzemo izraziti i kao

W = I2Rt =U2

Rt

P = I2R =U2

R

U izraµzavanju rada elektriµcne struje upotrebljava se jo�i jedinica ( kWh = 3:6MJ).Elektriµcna struja u tekucinama i plinovima. Kad se u elektrolit stave

pozitivna elektroda (anoda) i negativna elektroda (katoda), poteµce struja, a ioni setaloµze na pripadnoj elektrodi. Masa m izluµcene tvari na svakoj elektrodi je

m = k Q = k I t

gdje je Q preneseni elektriµcni naboj, I jakost struje, a t vrijeme, dok je k elek-trokemijski ekvivalent tvari zadan relacijom

k =1

F

M

z

gdje je z cijeli broj koji oznaµcava omjer naboja ina i elementarnoga naboja (valen-cija), M molarna masa tvari, a F Faradayeva konstanta jednaka umno�ku elemen-tarnoga naboja i Avogadrove konstante

F = eNA = 1:60217733� 10�19 C � 6:0221367� 1023mol�1

= 96485A s

mol(0.3)

Plinovi vode elektriµcnu struju ako u njima postoji dovoljan broj iona i do-voljno jako elektriµcno polje. Ioni u plinu nastaju primarnom i sekundarnom ion-izacijom. Primarnu ionizaciju izazivaju vanjski uzroci (elekrtomagnetsko zraµcenjei dr.). Sekundarnu ionizaciju izazivaju sudari iona s atomima i molekulama plina,te ona omogucava samostalno vo�enje struje.

Energija ionizacije je energija koju je potrebno dovesti atomu ili molekuliplina da bi se od nje otrgnuo elektron. Elektriµcna struja moµze prolaziti i krozvakuum i vrlo razrije�ene plinove ako se negativnoj elektrodi (katodi) zagrijavanjemdovede dovoljna koliµcina energije. Ta se pojava naziva termionskom emisijom, aenergija koju je potrebno dovesti elektronu da bi napustio metal naziva se radomizlaza.

POGLAVLJE 6

MAGNETIZAM

Magnetska sila�!F na naboj Q koji se giba brzinom �!v u magnetskom polju

indukcije (gustoce magnetskog toka)�!B , jest

�!F = Q�!v ��!BF =

����!F ��� = QvB sin�^�!v ;�!B

�= DvB sin�

Jedinica za magnetsku indukciju je tesla�T = kg

A� s2

�. Na element duljine vodiµca

d�!s , kojim teµce struja jakosti I, magnetsko polje indukcije�!B djeluje silom

d�!F = I d�!s ��!B

Ako je polje homogeno, tada je sila na ravni vodiµc duljine l�!F = I � �!l ��!BF = BIl sin�

gdje je � - kut izme�u smjera kojim teµce struja kroz vodiµc i smjera vektora mag-netske indukcije

�!B . Sila kojom dva ravna paralelna vodiµca djeluju jedan na drugi

iznosi

F = �0�rI1I22�r

l

gdje su I1; I2 - jakosti struja u vodiµcima, l - duljina vodiµca, r - njihova me�usobnaudaljenost, a �r - relativna permeabilnost sredstva. Konstanta

�0 = 1:2566370614 � 10�6N

A2= 4� � 10�7 Tm

A

je apsolutna permeabilnost vakuuma. Ako struje u vodiµcima imaju isti smjer tadaje sila privlaµcna, ako je smjer suprotan sila je odbojna.

Magnetsko poljeZa opisivanje magnetskog polja koristimo tri �zikalne veliµcine i to: vektor mag-

netske indukcije (gustoca magnetskog toka)�!B , vektor jakosti magnetskog polja

�!H

i vektor magnetizacije�!M . Magnetsku indukciju B i jakost magnetskog polja H

povezujemo relacijom

B = �0�rH = �H

Veza izme�u vektora�!B;�!H i

�!M jest

�!B = �0

��!H +

�!M�

Jedinica za jakost magnetskog polja, kao i magnetizaciju je�Am

�. Najµce�ce je mag-

netizacija�!M srazmjerna jakosti magnetskog polja�!M = �m

�!H

gdje je �m - magnetska susceptibilnost materijala

�m = �r � 1

17

18 6. MAGNETIZAM

Magnetski tok je plo�ni integral vektora magnetske indukcije

�B =

ZS

�!B � d�!S

jedinica za magnetski tok je veber [Wb]. Ako je polje homogeno, u odnosu naneku ravnu povr�inu (

�!B je konstanta koju moµzemo izvuci ispred integrala), pa je

magnetski tok

�B =�!B � �!S = BS cos

�^�!B;�!S

�= BS cos�

Biot-Savartov zakon: Magnetska indukcija, koju proizvodi diferencijalni el-ement struje I � d�!s iznosi

d�!B =

�

4�

I � d�!s ��!r 0r2

gdje je �!r - radijus-vektor od elementa vodiµca do poloµzaja toµcke u kojoj raµcunamomagnetsku indukciju

�!B , a �!r 0 =

�!rr - jediniµcni vektor, I jakost struje i d

�!s - vektorduljine diferencijalnog elementa vodiµca. Magnetska indukcija na udaljenosti a odravnog vodiµca kojim teµce struja jakosti I iznosi

B =�I

2�a

Struja jakosti I koja teµce kruµznim zavojem polumjera R, uzrokuje u sredi�tu zavojamagnetsku indukciju

B =�I

2R

a unutar zavojnice duljine l, sa N zavoja

B = N�I

l

gdje ovaj izraz vrijedi toµcno za prstenastu zavojnicu (toroid), a priblµzno za valjkastuzavojnicu (solenoid), to bolje �to je polumjer zavojnice manji u odnosu na duljinuzavojnice l.

Ampèreov zakon glasi: Cirkulacija (linijski integral po zatvorenoj krivulji)vektora jakosti magnetskog polja jednaka je zbroju jakosti struja obuhvacenih tomkrivuljomI

K

�!H � d�!s =

nXi=1

Ii

Induktivitet - Faradayev zakon indukcije: Inducirana elektromotorna silau zavoju jednaka je negativnoj brzini promjene magnetskog toka kroz zavoj

"i = �d�

dt

Giba li se vodiµc duljine l brzinom v u homogenome magnetskom polju indukcije B,inducirana elektromotorna sila je

"i = Blv sin�^�!v ;�!B

�= Blv sin�

Magnetski tok kroz povr�inu ome�enu nekim zavojem proporcionalan je jakostistruje I kroz taj zavoj

� = L I

6. MAGNETIZAM 19

gdje je L - koe�cijent samoindukcije (induktivitet). Jedinica za induktivitet je�H = Wb

A = V sA

�. Za zavojnicu duljine l, popreµcnog presjeka S koja ima N zavoja,

induktivitet je

L = �0�rN2S

lElektromotorna sila samoindukcije uzrokovana je promjenom jakosti struje I

"L = �d�

dt= �LdI

dtAko su dvije zavojnice induktivno povezane, tada ce promjena jakosti struje I1

u primarnoj zavojnici inducirati elektromotornu silu u sekundarnoj

"2 = L12dI1dt

gdje je L12 - koe�cijent uzajamne indukcije.Energija magnetskog polja zavojnice induktiviteta L, kroz koju teµce struje

jakosti I, jest

W =1

2LI2

a gustoca energije magnetskog polja je

w =1

2�0�rH

2 =1

2�0�rB2 =

1

2BH

POGLAVLJE 7

IZMJENIµCNA STRUJA

Ako se tanka zavojnica (okvir) od N zavoja povr�ine S jednoliko vrti kutnombrzinom ! = 2�f = 2�

T u homogenome magnetskom polju indukcije B, inducira sesinusoidalna izmjeniµcna elektromotorna sila:

" = �N d�

dt= NBS! sin!t = "m sin!t

Ovisnost izmjeniµcnoga napona i struje o vremenu opisuje se izrazom

u = Um sin (!t+ ')

i = Im sin!t

gdje su Um; Im maksimalne vrijednosti (amplitude) napona i struje, a ' je faznikut izme�u napona i struje.

Efektivna vrijednost I de�nira se kao jakost koju bi morala imati istosmjernastruja konstantne jakosti I, koja bi u jednakom vremenskom intervalu proizvela istitoplinski uµcinak na nakom omskom otporu kao i promatrana izmjeniµcna struja.

I =Imp2

Analogno de�niramo i efektivnu vrijednost napona

U =Ump2

Ohmov zakon za izmjeniµcnu struju glasi:

I =U

Z

gdje je Z ukupni otpor (impedancija) u krugu izmjeniµcne struje i de�nirana jeizrazom

Z =

qR2 + (XL �XC)

2

gdje je R - radni otpor, XL = L! - induktivni otpor, aXC =1C! - kapacitivni otpor.

µCesto se struja, napon i impedancija simboliµcki prikazuju kompleksnim brojevimaradi lak�eg raµcunanja

i = Imej!t

u = Umej(!t+')

Z = R+ j (XL �XC)

gdje je j =p�1 - imaginarna jedinica (matematiµcki i ali zbog oznake jakosti struje

po dogovoru koristimo oznaku j).Pri paralelnome spajanju otpora praktiµcnije je raµcunati s vodljivostima. Ukupna

vodljivost Y = 1Z jednaka je

Y =

qG2 + (BL �BC)2

gdje jeG - omska vodljivost, BL - induktivna vodljivost iBC - kapacitivna vodljivost.

21

22 7. IZMJENI µCNA STRUJA

Ako trenutnu vrijednost jakosti struje u krugu oznaµcimo sa i = Im sin!t, tadace trenutna vrijednost napona biti u = Um sin (!t+ '), gdje je fazni pomak 'napona u odnosu prema struji izraµzen sa

tan' =XL �XC

R=L! � 1

C!

RSrednja vrijednost snage izmjeniµcne struje iskazuje se izrazom

P = UI cos'

Produkt

Pp = UI

naziva se prividnom snagom i izraµzava se u voltamperima (VA). Reaktivna (jalova)snaga je

Pr = Pp sin'

Jedinica za reaktivnu (jalovu) snagu izmjeniµcne struje jest var (VA = var = W).Prividna snaga jednaka je korijenu zbroja kvadrata radne i reaktivne snage

Pp =pP 2 + P 2r

Za idealni transformator (bez gubitaka) vrijedi

U1U2

=I2I1=N1N2

gdje su U1; I1; N1 i U2; I2; N2 napon, jakost struje i broj zavoja primarne odnosnosekundarne zavojnice.

Naponi pojedinih faza trofaznog sustava jesu

uR = Um sin!t

us = Um sin

�!t� 2�

3

�ur = Um sin

�!t� 4�

3

�dok je napon nul-voda jednak nuli jer je taj vod uzemljen.

POGLAVLJE 8

ELEKTROMAGNETSKI VALOVI

Vlastita frekvencija titrajnoga kruga s kapacitetom C i induktivitetom L tezanemarivim omskim otporom opisuje se Thomsonovom formulom:

f =1

2�pLC

U sluµcaju postojanja omskog otpora

f =1

2�pLC

r1� R2C

L

Zakoni elektromagnetizma mogu se napisati u µcetiri Maxwellove jednadµzbe kojeu integralnom obliku glase:

(1)IS

�!D � d�!S = Q

(2)IS

�!B � d�!S = 0

(3)IK

�!E � d�!s = � d

dt

ZZS

�!B � d�!S

(4)IK

�!H � d�!s = I + d

dt

ZZS

�!D � d�!S

Iz Maxwellovoh jednadµzbi moµze se kombiniranjem dobiti valna jednadµzba za�irenje elektromagnetskih valova. Na primjer, ako se val �iri u proizvoljno odabra-nom smjeru, recimo osi z, jednadµzbe su:

@2Ex@z2

� 1

v2@2Ex@t2

= 0

@2By@z2

� 1

v2@2By@t2

= 0

gdje je v = ("�)�12 - brzina �irenja elektromagnetskog vala. U vakuumu ta brzina

iznosi

v = c = 2:99792458 � 108 ms� 3 � 108 m

s

Rje�enje valnih jednadµzbi inaju oblik

�!E = [E0 � f (z � vt)]

�!i

�!B = [B0 � f (z � vt)]

�!j

gdje je f - proizvoljna funkcija. Vektori elektriµcnoga i magnetskoga polja u elek-tromagnetskom valu uvijek su me�usobno okomiti, a okomiti su i na smjer �irenja

23

24 8. ELEKTROMAGNETSKI VALOVI

vala. Najjednostavniji oblik valnog gibanja je harmoniµcki ravni val kji opisujemojednadµzbama:

Ex = E0 sinh!�t� z

v

�i= E0 sin (!t� kz)

By = B0 sinh!�t� z

v

�i= B0 sin (!t� kz)

gdje je k = 2�� = !

v - valni broj, a ! = 2�f - kruµzna frekvencija vala. Kao i zamehaniµcke valove i ovdje vrijedi

v = �f =!

kU elektromagnetskom valu veza izme�u elektriµcnog i magnetskog polja jest

B =E

vGustoca toka energije elektromagnetskog vala iskazuje se Poyntingovim vektorom

�!S =

�!E ��!H =

1

�

�!E ��!B

i predstavlja energiju koju elektromagnetski val prenese u jedinici vremena krozjediniµcnu povr�inu. Za monokromatski sinusoidalni val srednja vrijednost iznosaPoyntingova vektora iznosi

S =1

2E0H0

POGLAVLJE 9

GEOMETRIJSKA OPTIKA

Geometrijska optika se bavi �irenjem svjetlosti, ali istraµzuje samo one pojave ukojima nije bitno izraµzena valna priroda svjetlosti. Pritom se smatra da se svjet-lost u homogenome sredstvu �iri pravocrtno i da se njegovo �irenje moµze prikazatizrakama. Pojave koje promatra geometrijska optika, obiµcno se ograniµcavaju navidljivi dio elektromagnetskog zraµcenja, odnosno za spektar u granicama valnihduljina izme�u

380 nm � � � 780 nmNajvaµzniji zakoni geometrijske optike su zakon re�eksije i zakon loma sv-

jetlosti. Prema zakonu re�eksije, pri upadu na graniµcnu ravninu izme�u dvaoptiµcka sredstva upadna zraka ce se re�ektirati, a re�ektirana zraka ce leµzati uonoj ravnini koju de�niraju upadna zraka i okomica na ravninu. Kut re�eksiranezrake je pri tome jednak kutu upadne zrake u odnosu na okomicu ravnine. Plohakoja re�ektira cjelokupno upadno zraµcenje naziva se zrcalom. Zakon re�eksije vri-jedi i u sluµcaju da je ploha zrcala zakrivljena, tada se pod graniµcnom ravninompodrazumjeva ona ravnina koja je toµcki upada tangencijalna na plohu zrcala.

Ravno zrcalo daje sliku koja je jednake veliµcine kao i predmet, a zrcalno mu jesimetriµcna. Ta je slika virtualna, �to znaµci da slika nastaje tako da se ne presijecajustvarne zrake (kao pri nastajanju stvarne slike) vec njihova produljenja.

Sferno zrcalo ima re�ektirajucu ravninu kao dio povr�ine kugline plohe. Primalome otvoru zrcala, tj. za paraaksijalne zrake (zrake koje upadaju pod malimkutom u odnosu na optiµcku os) vrijedi jednadµzba konugacije za sferno zrcalo

1

a+1

b=1

f=2

R

gdje su a - udaljenost predmeta od zrcala, b - udaljenost slike od zrcala, a f -µzari�na daljina zrcala koja je jednaka polovini polumjera zakrivljenosti zrcala R.Za konkavno zrcalo µzarina je daljina pozitivna, a za konveksno je negativna. Akoje b negativan slika je virtualna, a ako pozitivan slika je realna. Uvecanje zrcala jede�nirano kao

m =y0

y= � b

a

gdje je y0 - veliµcina slike, a y - veliµcina predmeta.Prilikom konstrukcije slike kod sfernog zrcala posluµziti cemo se trima karakter-

istiµcnim zrakama:

(1) Zraka koja pada na zrcalo paralelno s optiµckom osi, a re�ektira se krozµzari�te (fokus),

(2) Zraka (ili njezino produljenje) koja prolazi kroz fokus, a re�ektira separalelno s optiµckom osi i

(3) Zraka koja pada u tjeme zrcala i re�ektira se pod istim kutem pod kojimje upala.

Prema zakonu loma svjetlosti, zraka koja upada iz jednog optiµcki prozirnogsredstva na drugo optiµcki prozirno sredstvo mijenja svoj smjer. Kut upada �mjeren

25

26 9. GEOMETRIJSKA OPTIKA

prema okomici i kut loma �, tako�er mjeren prema okomici pvezani su relacijomkoju nazivamo Snellov zakon loma svjetlosti

sin�

sin�=n2n1= n21

gdje su n1; n2 indeksi loma sredstva, a omjer n21 = n2n1naziva se relativnim indeksom

loma. Indeks loma sredstva su vrijednosti konstante koje su karakteristiµcne zasvaki pojedini materijal. Indeks loma nekog optiµckog sredstva povezan je s brzinomv �irenja svjetlosti u tm sredstvu relacijom

n =c

v

Ako zraka koja dolazi iz optiµcki gu�ceg sredstva (n2 > n1) i pada na granicusredstva (n1) pod kutom vecim od graniµcnog kuta �g, doci ce do totalne re�eksije.Graniµcni kut odre�en je izrazom

sin�g =n1n2

Optiµcka prizma sastoji se od dvaju ravnih dioptara (ploha koja dijeli dvaoptiµcka sredstva) pod nekim kutom A. Pri upadu na prizmu zraka se otklanja zakut devijacije

� = �+ �0 �Apri µcemu su � - kut upada na prizmu gledano prema okomici upadne strane, a �0 -kut pod kojim, gledano prema okomici izlazne strane, zraka izlazi iz prizme. Kutdevijacije je minimalan kada je � = �0, a tada je

n =sin �min+A2

sin A2

Za mali kut prizme devijacija iznosi �min ' (n� 1)A. Pri lomu svjetlosti nasfernom dioptru vrijedi jednadµzba:

n1a+n2b=n2 � n1R

gdje su a; b - udaljenost predmeta, odnosno slike od sredi�ta kugle, a n2; n1 - indeksiloma prvog odnosno drugog sredstva.

Tanka leca dobiva se izrezivanjem dijela optiµckog sredstva pomocu dvaju sfer-nih dioptara.µZari�na duljina f tako dobivene lece povezana je sa indeksom lomamaterijala od kojeg je leca izra�ena i s polumjerima kruµznih ploha, pri µcemu tre-bamo imati na umu predznak koji je negativan za konkavnu, a pozitivan zakonveksnu plohu. Tada vrijedi izraz

1

f= (n� 1)

�1

R1� 1

R2

�dodatni predznak (�) dolazi zbog toga �to druga zraka upada iz optiµcki gu�cegsredstva. Za tanku lecu vrijedi jednadµzba konjugacije

1

a+1

b=1

f

te jednadµzba uvecanja lece

m = � ba=y0

y

Slika koju daje leca moµze biti virtualna, a tada je udaljenost b negativna, irealna, kada je b pozitivan. µZari�na daljina f je pozitivna za konvergentnu lecu, anegativna za divergentnu lecu. Pri konstrukciji slike za tanke lece pojavljuju se trikarakteristiµcne zrake i to: prva pada paralelno s optiµckom osi a lomi se kroz µzari�te;

9. GEOMETRIJSKA OPTIKA 27

druga pada na lecu kroz µzari�te (ili je usmjerena prema njemu) a lomi se paralelnos optiµckom osi; treca zraka prolazi sredi�tem lece i ne mijenja smjer.

U geometrijskoj optici susrecu se pojave pri µcemu ne moµzemo zanemariti valnuprirodu svjetlosti. Naime, ustanovljeno je da indeks loma ovisi o valnoj duljinisvjetlosti. Tako se pri prolazu kroz prizmu zraka bijele svjetlosti razlaµze na nizobojenih zraka - spektar vidljive svjetlosti. Pribliµzna veza valne duljine i indeksaloma moµze se izraziti Cauchyjevom formulom:

n2 = A+B

�2+ � � �

Ovu pojavu nazivamo disperzija svjetlosti.

POGLAVLJE 10

FIZIKALNA OPTIKA

Ako se elektromagnetski val �iri sredstvom tada je njegova brzina

v =c

n=

cp"r�r

gdje je n =p"r�r - indeks loma sredstva. Brzina svjetlosti c, valna duljina � i

frekvencija � povezani su relacijom c = ��. Pri prijelazu iz vakuuma u sredstvo,kada se mijenja brzina �irenja elektromagnetskog vala, mijenja se tako�er i valnaduljina, dok frekvencija vala ostaje nepromijenjena. Indek sloma za zrak vrlo jedobro aproksimiran vrijednosti n = 1, koja vrijedi i za vakuum.

Fizikalna optika prouµcava �iroko podruµcje elektromagnetskih valova. �irenjeelektromagnetskog vala amplitude A u smjeru x opisujemo izrazom

s = A sin 2���t� x

�

�= A sin (!t� kx)

Interferencija svjetlosti nastaje kad postoje dva ili vi�e koherentnih izvora sv-jetlosti. Intezitet rezultantne svjetlosti odre�uje optiµcka razlika hoda dvaju valova,koja je za sredstvo indeksa loma n jednaka

� = n� = n (r1 � r2)

odakle vidimo da je za vakuum (pribliµzno i za zrak) optiµcka razlika hoda jednakageometrijskoj razlici (n = 1). Pripadnarazlika u fazi izme�u dvaju valova jednakaje

�' = 2��

�

Ako se svjetlost re�ektira na optiµcki gu�cem sredstvu, nastaje skok u fazi za �,dakle razlici faza treba dodati �. Interferencija dvaju zraka je konstruktivna kadje optiµcka razlika hoda jednaka

� = m�; m 2 Z

a destruktivna

� =

�m+

1

2

��; m 2 Z

Dva koherentna izvora svjetlosti, me�usobno udaljena za d daju na zastoru,udaljenom za D od izvora, ekvidistantne paralelne pruge interferencije. Ako vrijediD � d intezitet svjetlosti I na zastoru ovise o kutu #, odnosno o udaljenosti y odsredi�ta zastora

I = I0 cos2

�d� sin#

�

�� I0 cos

2

�d�y

D�

�gdje je I0 - intezitet za kut # = 0�, uz pribliµznu jednakost sin# � tan#. Svjetlepruge pojavljuju se kad je

y = mD�

d; m 2 Z

29

30 10. FIZIKALNA OPTIKA

Razmak izme�u dvije susjedne pruge jednak je

�y =D�

d

Za intezitet od N koherentnih toµckastih izvora svjetlosti, udaljenih me�usobnoza d, intezitet rezultantne svjetlosti je

I = I0

"sin�N�d� sin#

�sin��d� sin#

� #2�to daje izrazite maksimume za

d sin#m = m�; m 2 ZIzme�u njih nalazi se jo�po N � 2 maksimuma i N � 1 minimuma inteziteta. KadN postane vrlo velik, intezitet je znatan samo za kutove # koji zadovoljavaju ovurelaciju, a pribliµzno je nula za sve ostale kutove.

Newtonovi klobari nastaju interferencijom svjetlosti re�ektirane na plohamaplankonveksne lece i planparalelne ploµce. Optiµcka razlika hoda pri tome iznosi

� = 2an+�

2=r2

Rn+

�

2

gdje je R - polumjer lece, a a - udaljenost tih ploha, kojaje jednaka

a =r2

2R

Polumjer m-tog tamnog kolobara je

r =pm

rR�

n

a polumjer m-tog svjetlog kolobara je

r =

rm� 1

2

rR�

n

Pruge interferencije mogu nastati i pomocu klina. Ako je kut klina �, a izme�uploha klina sredstvo indeksa loma n i debljia klina na mjestu gdje pada zrakasvjetlosti d, tamne se pruge dobivaju za

y =d

�=

m�

2n�; m 2 Z

dok je razmak izme�u susjednih pruga

�y =�

2n�

Ogib (difrakcija) svjetlosti opaµza se kada val nailazi na prepreku (ili otvor)dimenzija uporedivih s njegovom valnom duljinom. Kod Fraunhoferove se difrakcijepretpostavlja da su upadne zrake paralelne, te da se ogibna slika promatra navelikojudaljenosti od prepreke. Kod Fresnelove difrakcije upadne zrake dolaze iz toµckastogizvora ili se otklonjena svjetlost promatra u jednoj toµcki.

Fraunhoferova difrakcija na uskoj pukotini �irine a daje na zastoru karakteris-tiµcne ogibne pruge. Intezitet otklonjene svjetlosti pod kutom promatranja #, iznosi

I = I0

"sin��a� sin#

��a� sin#

#2= I0

�sin y

y

�2gdje je

y =�a

�sin#

10. FIZIKALNA OPTIKA 31

Tamne pruge (minimumi inteziteta) dobivaju se za

a sin# = m�; m 2 Z=f0gSvjetle pruge dobivaju se za

a sin# =

�jmj+ 1

2

��; m 2 Z

Intezite svijetlih pruga drastiµcno opada sa m.Moc razluµcivanja pukotine jednaka je najmanjem kutu za koji se ogibne

slike mogu razlikovati. Za pukotinu �irine a to je

# =�

a

Za ogib na tankoj niti debljine d vrijede isti rezultati kao za interferenciju dvajukoherentnih izvora na udaljenosti d. Fraunhoferova difrekcija na dvije pukotineudaljene za d, od koji svaka ima �irinu a, daje raspodjelu inteziteta

I = I0

"sin��a� sin#

��a� sin#

#2� cos2

��d

�sin#

��to predstavlja interferentnu sliku dvaju izvora, moduliranu ogibnom slikom svakepukotine.

Ogibna re�etka je niz od N paralelnih jednako udaljenih pukotina �irina a.Uzajamna udaljenost pukotina d naziva se konstantom re�etke. Intezitet svjet-losti iskazuje se izrazom

I = I0

"sin��a� sin#

��a� sin#

#2�"sin�N�d� sin#

�sin��d� sin#

� #2Za vrlo veliki broj N maksimumi inteziteta pojavljuju se za kutove # za koje vrijedi

d sin#m = m�

gdje je m 2 Z - i zove se red ogibne slike. �to je veca valna duljina veci je otklonza zadani red spektra.

Disperzija ogibne re�etke de�nira se kao

D =d#

d�=

m

d cos#

Ogibna re�etka koristi se za spektralnu analizu ne samo vidljivog dijela spektra nego�irokog podruµcja elektromagnetskog zraµcenja.

Kristali predstavljaju prostorne re�etke za rendgenske (röntgen) zrake. Smjerotklona rendgenskih zraka pokazuje Braggova jednadµzba:

2d sin � = m�; m 2 Zgdje je d razmak dviju mreµznih ravnina kristala, � - polovina kuta otklona, a � -valna duljina rendgenskih zraka.

Polarizacija svjetlosti odre�ena je ravninom titranja elektriµcnog polja u elek-tromagnetskom valu. Pri linearnoj (totalnoj) polarizaciji ravnina titranja jekonstantna. Pri cirkularnoj plarizaciji ravnina titranja jednoliko kruµzi oko smjera�irenja vala. Nepolarizirana svjetlost je ona pri kojoj se smjer titranja elektriµcnogpolja neprestano mijenja, te ravnina titranja poprima sve moguce poloµzaje. Zrakusvjetlosti moguce je polarizirati re�eksijom. Ako su lomljena i re�ektirana zrakame�usobno okomite, re�ektirana zraka je totalno polarizirana. Upadni kut �Bdobije se pomocu Brewsterova zakona:

tan�B = n21 =n2n1

32 10. FIZIKALNA OPTIKA

Optiµcka aktivnost je pojava zakretanja ravnine plarizacije karakteristiµcna zaneke tvari, a posljedica je kristalne ili molekularne strukture tvari. U otopini kutzakretanja � ravnine polarizacije proporcionalan je koncentraciji � optiµcki aktivnetvari u otopini i duljini puta l;

� = �m�l

�to daje mogucnosti ekperimentalnog odre�ivanja koncentracije.

POGLAVLJE 11

ZAKONI ZRAµCENJA I µCESTIµCNA PRIRODASVJETLOSTI

Elektromagnetsko zraµcenje istoremeno posjeduje valna i µcestiµcna svojstva. Uµcestiµcnoj slici (Einstein) snop svjetlosti sastoji se od nedjeljivih µcestica fotona -kvanata elektromagnetskog zraµcenja - kojima je masa jednaka nuli, a gibaju sebrzinom svjetlosti. Kao svaka µcestica, tako i foton ima µcestiµcna svojstva: energijui koliµcinu gibanja. Poznajemo li valnu duljinu �, odnosno frekvenciju � zraµcenja,energiju i koliµcinu gibanja odre�ujemo pomocu relacija

E = h� =hc

�

p =h

�=hc

�

gdje je h = 6:6260755 � 10�34 J s - Planckova konstanta. Sva tijela ugrijana naneku temperaturu zraµce kontinuirani (neprekidni) niz valnih duljina koji nazivamotoplinskim zraµcenjem.

Intezitet roplinskog zraµcenja za neku temperaturu iskazuje se izrazom

I =

1Z0

�dI

d�

�d� =

1Z0

I� d�

gdje je dId� = I� dio inteziteta koji pripada na zraµcenje izme�u valnih duljina � i

�+ d�. Funkciju

f (�; T ) =

�dI

d�

�c:t:

za crno tijelo nazivamo spektralnom gustocom zraµcenja. Ova funkcija imamaksimum za vrijednost valne duljine �m koja je povezana s temperaturom pomocuWienova zakona:

�m � T = b = 2:897756 � 10�3mK

gdje je b - Wienova konstanta.Opci izraz za spektralnu gustocu zraµcenja u ovisnosti o valnoj duljini i temper-

aturi poznat je kao Planckov zakon zraµcenja koji glasi

f (�; T ) =2�hc2

�51

ehc�kT � 1

gdje je k = 1:3806568 � 10�23 JK - Boltzmannova konstanta. Spektralna gustoca

zraµcenja moµze se izraziti i pomocu frekvencije zraµcenja:

f (�; T ) =2�h

c2�3

eh�kT � 1

Najbolji naµcin da se dobije idealno crno tijelo, tj. tijelo koje apsorbira svoupadno zraµcenje, i to za sve valne duljine jeste da se naµcini mali otvor na stijenki

33

34 11. ZAKONI ZRA µCENJA I µCESTI µCNA PRIRODA SVJETLOSTI

izotermne povr�ine u kojoj vlada toplinska ravnoteµza. Tada je gustoca energije u�upljini povezana sa spektralnom gustocom zracenja iz otvora relacijom

! (�; T ) =4

cf (�; T )

Ukupna snaga koju zraµci crno tijelo povr�ine S i temperature T iznosi

P = �ST 4

gdje je � = 5:67051 � 10�8 Wm2 K4 - Stefan-Boltzmannova konstanta.

Foton moµze predati ili primiti energiju u me�udjelovanju s elektronom i drugimµcesticama.

Fotoelektriµcni efekt je pojava koja nastaje kada metalnu katodu osvijetlimoelektromagnetskim zraµcenjem, te tada iz nje izlaze elektroni. Energija fotona h�se pri tome raspodijeli na kinetiµcku energiju elektrona Ek, a dio se utro�i na radizlaza Wi, tj. energiju potrebnu da elektron iza�e iz metala. Vrijedi relacija

h� = Ekmax +Wi

pri µcemu je najmanja energija koju moraju imati fotoni da bi izbili elektron izmetala jednaka radu izlaza Wi (to je najmanja energija pri kojoj moµzemo opazitiovaj efekt), tako postoji i najniµza frekvencija �g - prag fotoelektriµcnog efekta, zakoju je pojava moguca.

Wi = h�g

i vrijedi

Ekmax = h (� � �g)Ak je frekvencija veca od frekvencije praga, a µzelimo zaustaviti snop elektrona

koji izlazi iz katode, primjenjujemo napon zaustavljanja, koj je odre�en konetiµckomenergijom fotoelektrona.

U =Ekmaxe

=h

e(� � �g)

Comptonov efekt je pojava pri kojoj foton nalijece na mirni elektron i pritome mu predaje dio svoje energije. U tom procesu vrijede zakoni oµcuvanja koliµcinegibanja i energije. Nakon sudara fotona valne duljine � s elektronom, elektrondobije koliµcinu gibanja pod nekim kutom � prema smjeru upadnog zraµcenja, afoton smanjenje energije, sada vece valne duljine �0, otklanja se pod kutom # premapoµcetnom smjeru. U eksperimentu se, uz zraµcenje prvobitne valne duljine �, opaµza izraµcenje nove valne duljine �0, a promjena valne duljine ovisi o kutu otklona premazakonu

�� = �0 � � = h

mec(1� cos#)

Veliµcinu �C = hmec

= 2:427 � 10�12m nazivamo Comptonovom valnom duljinom zaelektron. Ako snop elektrona ubrzamo visokim naponom i usmjerimo ga na jezgreili atome teµzih elemenata, elektron se u sudaru moµze zaustaviti i svu svoju energijuili jedan njezin dio predaje te�koj µcestici, pri µcemu nastaje foton velike energije. Toje proces zakoµcnog zraµcenja tipiµcan za nastajanje röntgenskih zraka (ili zrakajo�krace valne duljine).

POGLAVLJE 12

VALNA PRIRODA MATERIJE I OSNOVEKVANTNE FIZIKE

Materija, kao i svjetlost posjeduje istodobno i valnu i µcestiµcnu prirodu. µCesticimase m, koja se giba po pravcu brzinom v i ima ukupnu energiju E; odgovara ravnival kojemu su valna duljina � i frekvencija � dane de Broglievim ralacijama

� =h

p

� =E

h

pri µcemu su p i E relativistiµcki izrazi

p =mvq1�

�vc

�2E =

mc2q1�

�vc

�2 =q(mc2)

2+ (cp)

2

Heisenberg je 1927. godine izrekao da je nemoguce toµcno i istovremeno odred-iti oba µclana odgovarajucih parova �zikalno promjenjivih koji opisuju pona�anjesustava. Heisenbergove relacije glase

�x ��p � ~�' ��JZ � ~�t ��E � ~

pri µcemu je h = 6:6260755 � 10�34 J s Planckova konstanta.µCestica ome�ena u prostoru prikazana je valnim paketom koji se giba grupnom

brzinom:

vg =dE

dp= v

Vjerojatnost nalaµzenja µcestice u intervalu od x do x+dx iznosi P (x) dxmgdjeje

P (x) = j(x)j2

gustoca vjerojatnosti odre�ena valnom funkcijom (x). Za µcesticu koja je opisanavalnom funkcijom, valna funkcija mora zadovoljavati uvjet normiranosti

+1Z�1

j(x)j2 dx = 1

35

36 12. VALNA PRIRODA MATERIJE I OSNOVE KVANTNE FIZIKE

Vjerojatnost da se µcestica na�e u nekom intervalu na pravcu x izme�u toµcaka x = ai x = b odre�uje se integralom

P (a < x < b) =

bZa

j(x)j2 dx

Valne funkcije n (x) nekog �ziµckog sistema dobivaju se kao rje�enja Schrödingerovejednadµzbe

Hn (x) = Enn (x)

gdje je H - operator energije (hamiltonijan)

H = � ~2

2m

d2

dx2+ Ep (x)

gdje smo pretpostavili da je v � c. Prvi µclan dobije se zamjenom

p! �i~ ddx

u klasiµcnom izrazu za kinetiµcku energiju

Ek =p2

2ma drugi µclan je potencijalna energija sistema i za konzervativne sisteme ovisi samoo poloµzaju µcestice x. Ovdje su En - energija stacionarnog stanja opisanog valnomfunkcijom n (x). Sliµcne jednadµzbe svojstvenih vrijednosti mogu se napisati i zaneke druge �ziµcke veliµcine

A(x) = A(x)

gdje je A - operator koji pripada nekoj �ziµckoj veliµcini, a A - vrijednost te �ziµckeveliµcine u stacionarnom stanju opisanom valnom funkcijom (x). Za jednodimen-zionalni harmoniµcki oscilator mase m, kojemu je konstanta harmoniµcke sile jednakak = m!2, a potencijalna energija

Ep =1

2kx2

energije stacionarnih stanja su

En =

�n+

1

2

�~!; n = N0

Za razliku od klasiµcne µcestice, u kvantnoj �zici µcestica kinetiµcke energije E moµzeproci kroz potencijalnu barijeru (prepreku) visine E0 i debljine L µcak i ako jojje energija manja od barijere (E < E0). Raµcunajuci valnu funkciju za taj sluµcaj,vjerojatnost prijelaza s jedne na drugu stranu prepreke jednaka je tzv. koe�cijentuproboja, µcija vrijednost pribliµzno iznosi

T = e�2�L

gdje je

� =

p2m (E0 � E)

~

POGLAVLJE 13

ATOM

Atom je kvantnomehaniµcki sistem u kojem jezgra, koja je pozitivni elektriµckinabijena nabojem +Ze i Z elektrona uzajamno djeluju elektrostatskim silama.Ovakav sistem je elektriµcki neutralan. Ostane li u elektronskom oblaku samo jedanelektron, govorimo o jednoelektronskom atomu. Neka svojstva jednoelektronskogatoma (kao �to su atom vodika H ili ioni helija He+, te litija Li++), mogu se objas-niti poluklasiµcnim Bohrovim modelom atoma. U Bohrovu modelu atoma elektronse giba oko jezgre po kruµznici polumjera r brzinom v. Pri tome je centripetalna silagibanja elektrona jednaka elektrostatskoj privlaµcnoj sili izme�u jezgre i elektrona:

mev2

r= k

Ze2

r2

Ukupna energija elektrona je zbroj kinetiµcke i potencijalne energije

E =mev

2

2� kZe

2

rgdje su moguce samo one kruµznice koje zadovoljavaju Bohrov kvantni uvjet zamoment koliµcine gibanja L:

L = merv = n~; n 2 NPolumjer kruµzne staze odre�en je kvantnim brojem n :

rn =a0Z� n2

a brzina elektrona u toj stazi

vn =~Zmea0

� 1n

gdje smo sa a0 oznaµcili polumjer prve staze u vodikovu atomu, koji se nazivaBohrov radijus

a0 = 0:529177249 � 10�10mEnergije stacionarnih stanja (�kruµznih staza�) tako�er su kvantizirane i opisane

su izrazom

EZn = E1 �Z2

n2

gdje je energija osnovnog stanja atoma vodika jednaka

E1 = �mee

4

8"20h2= �2:18 � 10�18 J = �13:6 eV

Prijelazom iz stanja vi�e energije u stanje niµze energije atoma emitira se fotonenergije

�E = h� = EZn2 � EZn1 = �E1

�1

n21� 1

n12

�Z2

Frekvencija � tog zraµcenja jednaka je

� =�E

h

37

38 13. ATOM

a valna duljina pomocu relacije

1

�=�

c=�E1hc

�1

n21� 1

n12

�Z2 = R1

�1

n21� 1

n12

�Z2

gdje je R1 = 1: 097 4 � 107m�1 - Rydbergova konstanta.U kvantnoj mehanici problem jednoelektronskog atoma rje�ava se raµcunanjem

valnih funkcija poocu Schrödingerove jednadµzbe s efektivnom potencijalnom energi-jom. Ona ovisi o udaljenosti r elektrona od jezgre prema zakonu

Eeffp (r) = �kZe2

r+

L2

2mer2

Drugi µclan, koji sadrµzi moment koliµcine gibanja L, dolazi zbog centrifugalne sile kojuosjeca elektron pri vrtnji oko jezgre. Valne funkcije vodikova atoma karakterizirajukvantni brojevi n; l;m a ovise o udaljenosti r te o polarnim koordinatama �; '.Valna funkcija za elektron u stanju opisanome kvantnim brojevima n; l;m ima oblik

l;n;m (r; �; ') = Rn;l (r)Yml (�; ')

Pri µcemu su radijalne valne funkcije za n = 1; 2; 3

n l Rn;l (r) ;�� = 2Zr

na0

�1 0 R10 (r) = 2

�Za0

� 32 � e� �

2

2 0 R20 (r) =1

2p2

�Za0

� 32 � (2� �) e� �

2

2 1 R21 (r) =1

2p6

�Za0

� 32 � �e� �

2

3 0 R30 (r) =1

9p3

�Za0

� 32 ��6� 6�+ �2

�e�

�2

3 1 R31 (r) =1

9p6

�Za0

� 32 ��4�� �2

�e�

�2

3 2 R32 (r) =1

9p30

�Za0

� 32 � �2e� �

2

Energija atoma ovisi samo o glavnome kvantnom broju n i ima iste vrijednostikakve predvi�a Bohrov model.

Kutna ovisnost izraµzena je kuglinim funkcijama Y ml (�; ') koje imaju eijednostiza l = 0; 1; 2

l jmj Kutna ovisnost atomske orbitale

0 0 s =q

14�

1 0 pz =q

34� cos �

1 1px=p

34� sin � cos'

py=p

34� sin � sin'

2 0 d3z2�r2 =q

516�

�3 cos2 � � 1

�2 1

dxz=p

154� sin � cos � cos'

dyz=p

154� sin � cos � sin'

2 2dx2�y2=

p154� sin

2 � cos 2'

dxy=p

154� sin

2 � sin 2'

gdje je m cijeli brij u intervalu

�l � m � l

POGLAVLJE 14

ATOMSKA JEZGRA

Jezgra atoma sastoji se od nukleona koji se dijele na protone i neutrone. Uku-pan broj nukleona u jezgri oznaµcavamo sa A (A - atomski maseni broj), dok brojprotona oznaµcavamo sa Z (Z - redni broj atoma u periodnom sustavu elemenata),a neutrona sa N. Dakle vrijedi

A = Z +N

U oznaci nuklida uz naziv kemijskog elementa, A stoji kao gornji lijevi indeks, Zstoji kao donji lijevi indeks, a ukoliko je potrebno kao donji desni indeks ubacujemoi broj neutrona N. Kemijski element tada oznaµcavamo na sljedeci naµcin: A

ZK iliAZKN . Razliµciti nuklidi s istim brijem Z protona nazivaju se izotopima, nuklidi sistim brojem N neutrona nazivamo izotonima, a nuklidi s istim ukupnim brojemA nukleona su izobari.

Vecina jezgri ima pribliµzno sferiµcan oblik, pa se uz tu pretpostavku polumjerjezgre R moµze raµcunati relacijom

R = r0A13

gdje je vrijednost r0 = 1:4 � 10�15m. Masa atoma uvijek je manja od zbroja masaprotona i neutrona od kojih je ta jezgra saµcinjena. Razlika mase

�m = Z �mH +N �mN �mA =EBc2

nazivamo defektom mase, gdje je mH - masa atoma vodika, mN - masa neutrona,a mA - masa atoma za µciju jezgru raµcunamo defekt mase. Treba naglasiti da ovjeraµcunamo sa masama atoma, a ne masama jezgara. U periodnom sustavu elemenataje uobiµcajeno navedena i masa atoma izraµzena u atomskim jedinicama. Atomskajedinica mase jednaka je masi od

1u = 1:6605402 � 10�27 kg

Energija vezanja jezgre

EB = (�m) � c2

je energija koja bi se oslobodila kada bismo poedinaµcne nukleone spojili u jezgru,odnosno, za neke jezgre energija koju bismo trebali utro�iti da jezgru rastavimo napojedinaµcne nukleone. Masi od jedne atomske jedinice odgovara ekvivalent energije

1u � c2 = 1:6605402 � 10�27 kg ��2:99792458 � 108 m

s

�2= 1: 492 4 � 10�10 J = 931:49432MeV

Neki su nuklidi radioaktivni. Oni se spontano raspadaju (zbog svoje nestabil-nosti) emitirajuci pritom �-µcestice (jezgre 4He), ��-µcestice (elektrone, odnosnopozitrone) ili -kvante, tj. kvante elektromagnetskog zraµcenja velikih energija(E = h� ' 1MeV). Nakon � i � raspada mijenja se tip nuklida, a broj nukleona

39

40 14. ATOMSKA JEZGRA

i elektriµcni naboj ostaju pri tome saµcuvani. Raspade moµzemo pisati u obliku

AZX �!A�4

Z�2 Y +42 He �� raspad

AZX �!A

Z�1 Y + e� + f �e

�e(� � raspad)

AZX

� �!AZ X + ( � raspad)

Koliµcina poµcetnog broja nuklida (broj jezgara) u radioaktivnom uzorku ekspo-nencijalno se smanjuje prema zakonu

N = N0e��t

gdje je N0 - broj radioaktivnih jezgara u trenutku t = 0, a N njihov broj u trenutkut, a � - je konstanta raspada. Ona je povezana s vremenom poluraspada (poluµziv-otom nuklida) izrazom

T 12=ln 2

�

Vrijeme poluraspada T 12je vrijeme koje je potrebno da se koliµcina jezgara

radioaktivnog nuklida u nekom uzorku smanji na polovicu. Aktivnost radioaktivnetvari de�nira se izrazom

A = �dNdt

= (�N0) e��t = A0e

��t = A0e� t�ln 2

T 12

gdje je A0 - poµcetna aktivnost i daje brzinu kojom se nuklid raspada. Jedinica zaaktivnost radioaktivne tvari je bekerel

�Bq = s�1

�.

U nuklearnim reakcijama dvije (ili vi�e) jezgara me�udjeluju. Rezultat me�ud-jelovanja su dvije nove jezgre (ili vi�e njih). Nuklearne reakcije su procesi ukojima vrijede mnogi zakoni oµcuvanja; posebice oµcuvanje energije (koja ukljuµcuje ienergiju mirovanja), koliµcine gibanja, elektroµcnog naboja i broja nukleona. Najµce�citip reakcije moµzemo prikazati kao

a+X �! Y + b ili a (X;Y ) b

gdje je a - upadna µcestica (projektil) kojom se bombardira metaX, pri µcemu nastajejezgra Y i µcestica b. Energija koja se osloba�a ili utro�i u nuklearnoj reakciji nazivase Q�vrijedno�cu reakcije i ona iznosi

Q =

Xi

mi1 �

Xi

mi2

!� c2

gdje jeXi

mi1 - zbroj masa µcestica (jezgara) prije reakcije, a

Xi

mi2 - njihov zbroj

poslije reakcije. Q-vrijednost moµze biti pozitivna i negativna, jer da bi se neke reak-cije uopce i dogodile treba dovesti energiju, dok se neke interakcije mogu dogoditispontano, gdje se energija osloba�a.

Osim ovih µcestica koje smo upoznali (elektron, proton i neutron) u prirodipostoji mno�tvo drugih µcestica. Jedna od njih je i foton. Foton je kvant elektro-magnetskog zraµcenja, µcija je masa mirovanja jednaka nuli, ali ima koliµcinu gibanja ienergiju. Svaka µcestica ima svoju antiµcesticu, ako µcestica posjeduje elektriµcni naboj,antiµcestica ima suprotan naboj jednakog iznosa. Npr. antiµcestica elektrona nazivase pozitron i ima naboj +e, dok joj je masa jednaka masi elektrona. U procesimame�udjelovanja izme�u µcestica zakoni oµcuvanja su od izrazite vaµznosti. U takvimprocesima neke µcestice mogu nestati i pri tome natati nove µcestice. Npr. elektron ipozitron se mogu uzajamno poni�titi pri µcemu bi nastala dva �kvanta:

e� + e+ �! 2

14. ATOMSKA JEZGRA 41

Da bi se mogla dogoditi tvorba jednog para antiµcestica npr. elektron-pozitron,upadni foton mora imati minimalnu energiju jednaku ekvivalentu tih µcestica

E = 2mec2 = 2 � 9:1093897 � 10�31 kg �

�2:99792458 � 108 m

s

�2= 1: 637 4 � 10�13 J = 1: 022 MeV

a proces se mora doga�ati blizu jezgre koja preuzima razliku energije i razlikukoliµcine gibanja.

Nuklid T 12

Nuklid T 12

10n 10:5 min 90

38Sr 28:8 god:31H 12:3 god: 131

53 I 8:04 d146 C 5730 god: 143

56 Ba 15 s158 O 122 s 147

61 Pm 2:6 god:4319K 22:3 h 266

88 Ra 1590 god:4321Sc 3:89 h 235

92 U 7:1 � 108 god:4322Ti 0:2 s 238

92 U 4:5 � 109 god:9036Kr 32:3 h 239

94 Pu 2:4 � 104 god: