formulas decal culo jesus rub im 2013
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Differential and Integral Calculus Formulas (Pag 1 of 6) Thursday, October 24, 2013 http://sites.google.com/site/calculusjrm/ Jess Rub M.
Diffential and Integral Calculus Formulas Jess Rub Miranda http://sites.google.com/site/calculusjrm/ ( [email protected] , [email protected] ) Mobile. Mx. DF. 044 55 13 78 51 94 1. ABSOLUTE VALUE
1 1
1 1
si 0
si 0
y
0 y 0 0
n n
k k
k k
n n
k k
k k
a aa
a a
a a
a a a a
a a a
ab a b a a
a b a b a a
2. EXPONENTS
p q p q
pp q
q
qp pq
a a a
aa
a
a a
/
p p p
p p
p
qp q p
a b a b
a a
b b
a a
3. LOGARITHMS
10
log
log log log
log log log
log log
log lnlog
log ln
log log y log ln
x
a
a a a
a a a
r
a a
ba
b
e
N x a N
MN M N
MM N
N
N r N
N NN
a a
N N N N
4. PRODUCTS
2 2
2 2 2
2 2 2
2
2
3 3 2 2 3
3 3 2 2 3
2 2 2 2
2
2
3 3
3 3
2 2 2
a c d ac ad
a b a b a b
a b a b a b a ab b
a b a b a b a ab b
x b x d x b d x bd
ax b cx d acx ad bc x bd
a b c d ac ad bc bd
a b a a b ab b
a b a a b ab b
a b c a b c ab ac bc
2 2 3 3
3 2 2 3 4 4
4 3 2 2 3 4 5 5
1
1
n
n k k n n
k
a b a ab b a b
a b a a b ab b a b
a b a a b a b ab b a b
a b a b a b n
2 2 3 3
3 2 2 3 4 4
4 3 2 2 3 4 5 5
5 4 3 2 2 3 4 5 6 6
a b a ab b a b
a b a a b ab b a b
a b a a b a b ab b a b
a b a a b a b a b ab b a b
1 1
1
1 1
1
1 impar
1 par
nk n k k n n
k
nk n k k n n
k
a b a b a b n
a b a b a b n
5. SUMS AND PRODUCTS
1 2
1
1
1 1
n
n k
k
n
k
n n
k k
k k
a a a a
c nc
ca c a
1 1 1
1 0
1
n n n
k k k k
k k k
n
k k n
k
a b a b
a a a a
1
1
1
2
1
2 3 2
1
3 4 3 2
1
4 5 4 3
1
2
1
1 2 12
=2
1
1 1
1
2
1 2 112 3
6 6
12
4
16 15 10
30
1 3 5 2 1
!
n
k
nnk
k
n
k
n
k
n
k
n
k
n
k
na k d a n d
na l
r a rlar a
r r
k n n
n n nk n n n
k n n n
k n n n n
n n
n k
0
!,
! !
nn n k k
k
n nk n
k n k k
nx y x y
k
1 21 2 1 21 2
!
! ! !k
n nn n
k k
k
nx x x x x x
n n n
6. CONSTANTS
3.14159265359 2.71828182846e 7. TRIGONOMETRY
1sen csc
sen
1cos sec
cos
sen 1tg ctg
cos tg
CO
HIP
CA
HIP
CO
CA
radianes=180
CA
CO HIP
[WikiP]
sin cos tg ctg sec csc 0 0 1 0 1 30 1 2 3 2
1 3 3 2 3
2
45 1 2 1 2 1 1 2 2 60 3 2
1 2 3 1 3 2 2 3
90 1 0 0 1
sin ,2 2
cos 0,
tg ,2 2
1ctg tg 0,
1sec cos 0,
1csc sen ,
2 2
y x y
y x y
y x y
y x yx
y x yx
y x yx
Graph 1. The trigonometric functions: sin x , cos x , tg x :
-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
sen xcos xtg x
Graph 2. The trigonometric functions csc x , sec x , ctg x :
-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8-2.5
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
csc xsec xctg x
Graph 3. The inverse trigonometric functions arcsin x ,
arccosx , arctg x :
-3 -2 -1 0 1 2 3-2
-1
0
1
2
3
4
arc sen xarc cos xarc tg x
Graph 4. The inverse trigonometric functions arcctg x ,
arcsecx , arccscx :
-5 0 5-2
-1
0
1
2
3
4
arc ctg xarc sec xarc csc x
8. TRIGONOMETRY IDENTITIES
2 2
2 2
2 2
sin cos 1
1 ctg csc
tg 1 sec
sin sin
cos cos
tg tg
sin 2 sin
cos 2 cos
tg 2 tg
sin sin
cos cos
tg tg
sin 1 sin
cos 1 cos
tg tg
n
n
n
n
n
sin 0
cos 1
tg 0
2 1sin 1
2
2 1cos 0
2
2 1tg
2
n
n
n
n
n
n
n
n
sin cos2
cos sin2
2 2
2
2
2
2
sin sin cos cos sin
cos cos cos sin sin
tg tgtg
1 tg tg
sin 2 2sin cos
cos 2 cos sin
2 tgtg 2
1 tg
1sin 1 cos 2
2
1cos 1 cos 2
2
1 cos 2tg
1 cos 2
1 1sin sin 2sin cos
2 2
1 1sin sin 2sin cos
2 2
1 1cos cos 2cos cos
2 2
1 1cos cos 2sin sin
2 2
sintg tg
cos cos
1sin cos sin sin
2
1sin sin cos cos
2
1cos cos cos cos
2
tg tgtg tg
ctg ctg
-
Differential and Integral Calculus Formulas (Pag 2 of 6) Thursday, October 24, 2013 http://sites.google.com/site/calculusjrm/ Jess Rub M. 9. HYPERBOLIC FUNCTIONS
sinh sinh :2
cosh cosh : 1,2
sinhtgh tgh : 1,1
cosh
1ctgh ctgh : 0 , 1 1,
tgh
1 2sech sech : 0,1
cosh
1 2csch csch : 0 0
sinh
x x
x x
x x
x x
x x
x x
x x
x x
e ex
e ex
x e ex
x e e
e ex
x e e
xx e e
xx e e
Graph 5. The hyperbolic functions sinh x , cosh x , tgh x :
-5 0 5-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
senh xcosh xtgh x
10. INVERSE HYPERBOLIC FUNCTIONS
1 2
1 2
1
1
21
21
sinh ln 1 ,
cosh ln 1 , 1
1 1tgh ln , 1
2 1
1 1ctgh ln , 1
2 1
1 1sech ln , 0 1
1 1csch ln , 0
x x x x
x x x x
xx x
x
xx x
x
xx x
x
xx x
x x
11. HYPERBOLIC FUNCTIONS IDENTITIES
2 2
2 2
2 2
cosh sinh 1
1 tgh sech
ctgh 1 csch
sinh sinh
cosh cosh
tgh tgh
x x
x x
x x
x x
x x
x x
2 2
2
sinh sinh cosh cosh sinh
cosh cosh cosh sinh sinh
tgh tghtgh
1 tgh tgh
sinh 2 2sinh cosh
cosh 2 cosh sinh
2 tghtgh 2
1 tgh
x y x y x y
x y x y x y
x yx y
x y
x x x
x x x
xx
x
2
2
2
1sinh cosh 2 1
2
1cosh cosh 2 1
2
cosh 2 1tgh
cosh 2 1
x x
x x
xx
x
sinh 2tgh
cosh 2 1
xx
x
cosh sinh
cosh sinh
x
x
e x x
e x x
12. OTHERS
2
2
2
0
4
2
4 discriminante
exp cos sin si ,
ax bx c
b b acx
a
b ac
i e i
13. LIMITS
1
0
0
0
lim 1 2.71828...
1lim 1
senlim 1
1 coslim 0
x
x
x
x
x
x
x e
ex
x
x
x
x
0
1
1lim 1
1lim 1
ln
x
x
x
e
x
x
x
14. DERIVATIVES
0 0
1
lim lim
0
xx x
n n
f x x f xdf yD f x
dx x x
dc
dx
dcx c
dx
dcx ncx
dx
d du dv dwu v w
dx dx dx dx
d ducu c
dx dx
2
1n n
d dv duuv u v
dx dx dx
d dw dv duuvw uv uw vw
dx dx dx dx
v du dx u dv dxd u
dx v v
d duu nu
dx dx
12
1 2
(chain rule)
1
donde
dF dF du
dx du dx
du
dx dx du
dF dF du
dx dx du
x f tf tdy dy dt
dx dx dt f t y f t
15. LOG & EXP FUNCTIONS DERIVATIVES
1
ln
ln
1ln
loglog
loglog 0, 1
u u
u u
v v v
a
a
d due e
dx dx
d dua a a
dx dx
d du dvu vu u u
dx dx dx
du dxd duu
dx u u dx
d e duu
dx u dx
ed duu a a
dx u dx
16. TRIG FUNCS DERIVATIVES
2
2
sin cos
cos sin
tg sec
ctg csc
sec sec tg
csc csc ctg
vers sen
d duu u
dx dx
d duu u
dx dx
d duu u
dx dx
d duu u
dx dx
d duu u u
dx dx
d duu u u
dx dx
d duu u
dx dx
17. INVERSE TRIG FUNC DERIVATIVES
2
2
2
2
2
2
2
1sin
1
1cos
1
1tg
1
1ctg
1
si 11sec
si 11
si 11csc
si 11
1vers
2
d duu
dx dxu
d duu
dx dxu
d duu
dx dxu
d duu
dx dxu
ud duu
udx dxu u
ud duu
udx dxu u
d duu
dx dxu u
18. HYPERBOLIC FUNCS DERIVATIVES
2
2
sinh cosh
cosh sinh
tgh sech
ctgh csch
sech sech tgh
csch csch ctgh
d duu u
dx dx
d duu u
dx dx
d duu u
dx dx
d duu u
dx dx
d duu u u
dx dx
d duu u u
dx dx
19. INV HYP FUNCS DERIVATIVES
1
2
-1
1
-12
1
2
1
2
1
1
12
1senh
1
si cosh 01cosh , 1
si cosh 01
1tgh , 1
1
1ctgh , 1
1
si sech 0, 0,11sech
si sech 0, 0,11
d duu
dx dxu
ud duu u
dx dx uu
d duu u
dx dxu
d duu u
dx dxu
u ud duu
dx dx u uu u
1
2
1csch , 0
1
d duu u
dx dxu u
20. DEFINITE INTEGRALS, PROPERTIES Note. For all the integration formulas we will need to add an
arbitrary constant c (constant of integration).
0
, , ,
,
si
b b b
a a a
b b
a a
b c b
a a c
b a
a b
a
a
b
a
b b
a a
b b
a a
f x g x dx f x dx g x dx
cf x dx c f x dx c
f x dx f x dx f x dx
f x dx f x dx
f x dx
m b a f x dx M b a
m f x M x a b m M
f x dx g x dx
f x g x x a b
f x dx f x dx a b
21. INTEGRALS
1
Integracin por partes
11
ln
nn
adx ax
af x dx a f x dx
u v w dx udx vdx wdx
udv uv vdu
uu du n
n
duu
u
22. LOG & EXP FUNCS INTEGRALS
2
2
0
1ln
1
ln ln
1
ln ln ln 1
1log ln ln 1
ln ln
log 2log 14
ln 2ln 14
u u
uu
uu
u u
a
a a
e du e
aaa du
aa
aua du u
a a
ue du e u
udu u u u u u
uudu u u u u
a a
uu udu u
uu udu u
23. TRIG FUNCS INTEGRALS
2
2
sin cos
cos sin
sec tg
csc ctg
sec tg sec
csc ctg csc
udu u
udu u
udu u
udu u
u udu u
u udu u
tg ln cos ln sec
ctg ln sin
sec ln sec tg
csc ln csc ctg
udu u u
udu u
udu u u
udu u u
-
Differential and Integral Calculus Formulas (Pag 3 of 6) Thursday, October 24, 2013 http://sites.google.com/site/calculusjrm/ Jess Rub M.
2
2
2
2
1sin sin 2
2 4
1cos sin 2
2 4
tg tg
ctg ctg
uudu u
uudu u
udu u u
udu u u
sin sin cos
cos cos sin
u udu u u u
u udu u u u
24. INV TRIG FUNCS INTEGRALS
2
2
2
2
2
2
sin sin 1
cos cos 1
tg tg ln 1
ctg ctg ln 1
sec sec ln 1
sec cosh
csc csc ln 1
csc cosh
udu u u u
udu u u u
udu u u u
udu u u u
udu u u u u
u u u
udu u u u u
u u u
25. HYP FUNCS INTEGRALS
2
2
sinh cosh
cosh sinh
sech tgh
csch ctgh
sech tgh sech
csch ctgh csch
udu u
udu u
udu u
udu u
u udu u
u udu u
1
tgh ln cosh
ctgh ln sinh
sech tg sinh
csch ctgh cosh
1 ln tgh
2
udu u
udu u
udu u
udu u
u
26. FRACTIONS INTEGRALS
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
1tg
1 ctg
1ln
2
1ln
2
du u
u a a a
u
a a
du u au a
u a a u a
du a uu a
a u a a u
27. SQUARE ROOT INTEGRALS
2 2
2 2
2 2
2 2 2 2
2 2
22 2 2 2
22 2 2 2 2 2
sin
cos
ln
1ln
1cos
1 sec
sen2 2
ln2 2
du u
aa u
u
a
duu u a
u a
du u
au a u a a u
du a
a uu u a
u
a a
u a ua u du a u
a
u au a du u a u u a
28. MORE INTEGRALS
2 2
2 2
3
sin cossin
cos sincos
1 1sec sec tg ln sec tg
2 2
au
au
au
au
e a bu b bue bu du
a b
e a bu b bue bu du
a b
u du u u u u
Formula de Wallis
2 2
0 0sin cos
1 3 5 1, par,0
2 4 6 2
2 4 6 1, impar,1
3 5 7
n nd d
nn n
n
nn n
n
De manera que
2 2 22 4 6
0 0 0
3 5cos cos cos
4 16 32d d d
29. SERIES
2
0 0
0 0 0
0 0
2
2 3
3 5 7 2 11
'''
2!
:!
'' 00 ' 0
2!
0
//Maclauri
: !
12! 3! !
sin 13! 5! 7! 2 1
n
//Mac
Taylor
Macla
lau!
urin
nn
n n
nx
nn
f x x xf x f x f x x x
f x x x
n
f xf x f f x
f x
n
x x xe x
n
x x x xx x
n
2 4 6 2 21
2 3 41
3 5 7 2 11
cos 1 12! 4! 6! 2 2 !
rin
//Maclaur
ln 1 12 3 4
tg 13 5 2 1
n
7
in
n
nn
nn
x x x xx
n
x x x xx x
n
x x x xx x
n
30. AREAS AND VOLUMES Some are:
Circle
2
LengCircle Circunf 2
CircunfArea
r
r
CircularSector 2AreaSecCir 1 2
AnguloCentralDelSectorEnRadianes
r
Circular Straight Cylinder
2Vol
AreaLateral 2
AreaTotal 2
r h
r h
r r h
Sphere
3
2
Vol 4 3
Area 4
r
r
CircularStraightBarrelCone
2 2Vol 1 3AreaLateral=
h r Rr R
Hexaedro or cube 3VolCube Lado
Cono Circular Recto de Radio r y altura h
2
2 2
1Vol
3
AreaSuperficieLateral
r h
r r h rl
h l
r
Prism
Vol A h
Pyramid
Vol 1 3 A h A
h
Torus
ArcLeng Pappus's1stT
2
Area 2 2
4
r R
Rr
2Pappus's2ndTArea
2 2
Vol 2
2
r R
Rr
ParametricEq
, cos cos
, cos sin
, sin
, 0,2
radio from the center
of Torus
ratio of the tube
x u v R r v u
y u v R r v u
z u v r v
u v
R
r
Ellipsoid
4
3Vol abc
Semiaxis , ,a b c
a
b c
Notation
R or r : radio
a h : height
A B : Area of the base
s : side or inclined height
31. GREEK ALPHABET
Upper case
Lower case
Name Roman Equiv
Upper case
Lower case
Name Roman Equiv
1 Alpha A 13 Nu N
2 Beta B 14 Xi X
3 Gamma G 15 Omicro
n O
4 Delta D 16 Pi P
5 Epsilon E 17 Rho R
6 Zeta Z 18 Sigma S
7 Eta H 19 Tau T
8
Theta Q 20 Upsilon U
9 Iota I 21 Phi F
10 Kappa K 22 Chi C
11 Lambda L 23 Psi Y
12 Mu M 24 Omega W
32. NOTATION
sin Sinus, cos Cosinus, tg Tangent, sec Secant,
csc Cosecant, ctg Cotangent, vers Verso sinus,
arcsin sin Arc sinus of an angle
u f x
sinh Hyperbolic sinus, cosh Hyperbolic Cosinus, tgh
Hyperbolic Tangent, ctgh Hyperbolic Cotangent, sech
Hyperbolic Secant, csch Hyperbolic Cosecant
, ,u v w Functions of x , u u x , v v x .
Natural
Integers 0 ZeroRational
Real Negative intgrsComplex
Fractions
Irrational
Imaginarios
Set of Complex Numbers
Set of Real Numbers
Set of Rational Numbers
c Set of Irrational Numbers
, 2, 1,0,1,2, Set of Integer Numbers
1,2,3, Set of Natural Numbers
* 0 Non-negative Integer
Def. Equivalent. If A B and B A
( A B B A ), then A and B are supposed to be
equivalent, a relation which is written symbolically in this
work as A B .
Def. Necessary. A condition which must hold for a result to
be true, but which does not guarantee it to be true. If a
condition is both necessary and sufficient, then the result is
said to be true iif the condition holds.
Def. Sufficient. A condition which, if true, guarantees that a
result is also true. (However, the result may also be true if
the condition is not met). If a condition is both necessary and
sufficient, then the result is said to be true iif the condition
holds.
Ex. For example, the condition that a decimal number end in
the digit 2 is a sufficient but not necessary condition that be
even.
Def. Iff. If and only if (i.e. necessary and sufficient). The
terms just if or exactly when are sometimes used
instead. iifA B is written symbolically as A B ,
A B , A B . iifA B is also equivalent to A B
together with B A .
-
Differential and Integral Calculus Formulas (Pag 4 of 6) Thursday, October 24, 2013 http://sites.google.com/site/calculusjrm/ Jess Rub M. Def. NonNegativeInteger. * 0
Def. NonNegative. A quantity which is Esther 0 or positive.
i.e. 0 .
Def. NonPositive. A quantity which is Esther 0 or negative.
i.e. 0 .
-
Integration Methods (Pag 5 of 6) Thursday, October 24, 2013 http://sites.google.com/site/calculusjrm/ Jess Rub M.
Integration Methods Jess Rub Miranda
http://sites.google.com/site/calculusjrm/ ( [email protected] , [email protected] ) Mobile. Mx. DF. 044 55 13 78 51 94 33. INTEGRACIN DE DIFERENCIALES TRIGONOMTRICAS
1.1 Integrales de la forma sen cosm nu udu
Cuando imparm n , no importa lo que es el otro, pues
tendramos una integral de la forma
1
1
nn uu du
n
v. g., si m es impar, tenemos
1sen sen senm mu u u
y 1m es par, el primer trmino del segundo miembro ser
potencia se 2sen u y podemos expresarlo en potencias de
2cos u sustituyendo
2 2sen 1 cosu u
Entonces la integral queda
suma de trminos que contienen cos senu udu
Sabemos que sen cosudu d u , cada trmino que se
debe integrar tiene la forma nu du con cosu u .
Del mismo modo, si n es el que es impar, tenemos
1cos cos cosn nu u u
y empleamos la sustitucin 2 2cos 1 senu u . Entonces la
integral queda
suma de trminos que contienen sen cosu udu
1.2 Integrales de la forma tgn u du o ctgn udu
Cuando n , hacemos
2 2 2 2tg tg tg tg sec 1n n nu u u u o
2 2 2 2ctg ctg ctg ctg csc 1n n nu u u u u
1.3 Integrales de la forma secn udu o cscn udu
Cuando parn , hacemos
2
2 2 2 22sec sec sec tg 1 secn
n nu u u u u
o
2
2 2 2 22csc csc csc ctg 1 cscn
n nu u u u u
1.4 Integrales de la forma tg secm nu udu o ctg cscm nu udu
Cuando parn , procedemos como en el caso anterior.
1.5 Clculo de integrales de la forma sen cosm nu udu por medio de ngulos mltiplos
Cuando imparm n , aplicamos el caso 1. Cuando
ambos parm n , la expresin diferencial se expresa
en trminos de senos y cosenos de ngulos mltiplos. Las
frmulas usadas son:
2
2
1sen cos sen 2
2
1sen 1 cos 2
2
1cos 1 cos 2
2
u u u
u u
u u
1.6 Integrales de la forma
sen cos
sen sen
cos cos cuando
mu nu du
mu nu du
mu nu du m n
Utilizando identidades trigonomtricas, tenemos:
1sen cos sen sen
2
cos cos
2 2
mu nu du m n u m n u du
m n u m n u
m n m n
1sen sen cos cos
2
sen sen
2 2
mu nu du m n u m n u du
m n u m n u
m n m n
1cos cos cos cos
2
sen sen
2 2
mu nu du m n u m n u du
m n u m n u
m n m n
34. INTEGRACIN POR SUSTITUCIN TRIGONOMTRICA, DE EXPRESIONES QUE
CONTIENEN 2 2a u
O 2 2u a
Cuando se presentan estos casos, aplicamos un cambio de
variable as, para:
2 2
2 2
2 2
hgase sen
hgase tg
hgase sec
a u u a z
u a u a z
u a u a z
en efecto
2 2 2 2
2 2 2 2
2 2 2 2
sen 1 sen cos
tg tg 1 sec
sec sec 1 tg
a a z a z a z
a z a a z a z
a z a a z a z
35. INTEGRACIN POR FRACCIONES Def. Un polinomio en x es una funcin de la forma
1
0 1 1
n n
n na x a x a x a
donde a es una constante,
con 0 0a y n , que se llama grado del polinomio, un
entero no negativo.
Todo polinomio de coeficientes reales se puede expresar (al
menos tericamente) como producto de factores lineales del
tipo ax b y factores reales cuadrticos irreducibles del
tipo 2ax bx c . (Un polinomio de grado 1 o mayor se
dice irreducible si no puede ser factorizado en polinomios de
grados ms bajos.) La frmula cuadrtica 2ax bx c es
irreducible si y slo si 2 4 0b ac , en este caso, las races
de 2ax bx c no son reales.
Def. Una fraccin racional es aquella cuyo numerador y
denominador son polinomios en x .
Def. Una fraccin racional es propia cuando el grado del
numerador es menor que el del denominador. En caso
contrario, es una fraccin racional impropia.
Una fraccin racional impropia puede expresarse como la
suma de un polinomio y una fraccin racional propia.
3.1 Factores Lineales Distintos
A cada factor lineal ax b no repetido en el denominador
de una fraccin racional propia le corresponde una sola
fraccin simple de la forma
A
ax b
donde A y habr que determinarlo.
3.2 Factores Lineales Repetidos
A cada factor lineal ax b que aparezca n veces en el
denominador de una fraccin racional propia le corresponde
una suma de n fracciones simples de la forma
1 2
2
n
n
AA A
ax b ax b ax b
donde A y habr que determinarlo.
3.3 Factores cuadrticos distintos
A cada factor cuadrtico irreducible 2ax bx c no
repetido en el denominador de una fraccin racional propia
le corresponde una sola fraccin simple de la forma
2
Ax B
ax bx c
donde ,A B y habr que determinarlos.
3.4 Factores cuadrticos repetidos
A cada factor cuadrtico irreducible 2ax bx c que
aparezca n veces en el denominador de una fraccin
racional propia le corresponde una suma de n fracciones
simples de la forma
1 1 2 2
2 22 2
n n
n
A x BA x B A x B
ax bx c ax bx c ax bx c
donde ,A B y habr que determinarlos.
36. INTEGRACIN POR SUSTITUCIN DE UNA NUEVA VARIABLE
4.1 Diferencias que contienen slo potencias fraccionarias de x
Una expresin que contienen solamente potencias
fraccionarias de x puede transformarse en forma racional
mediante la sustitucin nx z
siendo n el mnimo comn denominador de los exponentes
fraccionarios de x .
4.2 Diferencias que contienen slo potencias fraccionarias
de ax b
Una expresin que contiene solamente potencias
fraccionarias de ax b puede transformarse en forma
racional mediante la sustitucin nax b z
siendo n el mnimo comn denominador de los exponentes
fraccionarios de la expresin ax b .
37. TRANSFORMACIN DE DIFERENCIALES TRIGONOMTRICAS
Una diferencial trigonomtrica que contiene slo funciones
racionales de senu y cos u puede transformarse en otra
expresin diferencial, racional en z , mediante la sustitucin
tg2
uz
o (lo que es lo mismo) por las sustituciones
2
2 2 2
2 1 2sen , cos ,
1 1 1
z z dzu u du
z z z
A modo de ayuda este tringulo:
u
1-z2
1+z2
2z
38. DIFERENCIALES BINOMIAS Def. Una diferencial de la forma
p
m nx a bx dx
siendo ,a b y los exponentes , ,m n p , se llama una
diferencial binomia.
Hagamos 1; entoncesx z dx z dz
y
1p p
m n m nx a bx dx z a bz dz
Si se elige un nmero entero de manera que m y n
sean nmero enteros, vemos que la diferencial dada es
equivalente a otra de la misma forma, donde m y n se han
reemplazado por nmeros enteros. Adems, la sustitucin
p p
m n m np nx a bx dx x ax b dx
transforma la diferencial dada en otra de la misma forma,
donde n reemplaza el exponente n de x . Por tanto,
cualquiera que sea el signo algebraico de n , el exponente
de x dentro del parntesis ser positivo en una de las dos
diferenciales.
Cuando p es un nmero positivo, se puede desarrollar la
potencia del binomio segn la frmula de Newton e integrar
la diferencial trmino a trmino. En lo que sigue, p se
supone una fraccin; por tanto, la reemplazamos por r
s,
siendo ,r s .
Por consiguiente el siguiente enunciado:
Proposicin. Toda diferencial binomia puede reducirse a la
forma
r
m n sx a bx dx
siendo , ,m r s y n .
Ahora veremos como quitar los radicales:
Caso I. Cuando 1m
n
. En este caso se efectuar la
sustitucin n sa bx z .
Caso II. Cuando 1m r
n s
. En este caso se efecta la
sustitucin n s na bx z x .
-
More Calculus (Pag 6 of 6) Thursday, October 24, 2013 http://sites.google.com/site/calculusjrm/ Jess Rub M.
Geometra Analtica Jess Rub Miranda
http://sites.google.com/site/calculusjrm/ ( [email protected] , [email protected] ) Mobile. Mx. DF. 044 55 13 78 51 94 39. COORDENADAS RECTANGULARES(CARTESIANAS)
El sistema de coordenadas rectangulares est dividido en
cuatro cuadrantes:
II I
III IV
Y
X
Son ejemplo de coordenadas ortogonales y usadas en
espacios euclidianos.
Las X y las Y son las abcisas y ordenadas.
40. DISTANCIAS
La distancia entre dos puntos 1x y 2x es:
2 1d x x
La distancia entre dos puntos 1 1 1,P x y y 2 2 2,P x y es:
2 2
2 1 2 1d x x y y
41. LA RECTA
La pendiente de la recta que une dos puntos 1 1 1,P x y y
2 2 2,P x y es:
2 1
2 1
tgy y
mx x
Se tiene:
1 2m m (Cond. )
1 2 1m m (Cond. )
La pendiente entre dos rectas es
2 1
2 1
tg1
m m
m m
//PorComprobar
m2
m1
La ecuacin de la recta que une dos puntos 1 1 1,P x y y
2 2 2,P x y es:
1 2 1 1 11 2 1
oy y y y
m y y m x xx x x x
de lo anterior:
y mx b
donde 2 1 1 21 12 1
x y x yb y mx
x x
es la interseccin con el
eje y .
La forma de la recta cuya interseccin con el eje x es
0a y con el eje y es 0b :
1x y
a b
bm
a
x
y
(a,0)
(0,b)
De la anterior ecuacin despejando y se tiene:
bx aby mx b
a
La ecuacin general de la recta es:
0Ax By C
con A
mB
y C
bB
.
La distancia del punto 1 1,x y a la recta 0Ax By C
es:
1 1
2 2
Ax By Cd
A B
42. LA CIRCUNFERENCIA La forma reducida ordinaria de la ecuacin de la
circunferencia de centro 0 0,x y y radio R es:
2 2 2
0 0x x y y R
0 0,x y
x
R
0
y
La forma general de la ec de la circunferencia se puede
expresar por: 2 2 0x y Dx Ey F
con centro 0 0, ,2 2
D Ex y
y radio
2 21 42
R D E F .
Se tiene:
2 2
2 2
2 2
4 0 Circunferencia Real
4 0 Circunferencia de 0
4 0 Circunferencia Imaginaria
D E F
D E F R
D E F
En forma paramtrica sus ecuaciones son:
0
0
cos
sin
x x r t
y y r t
Adems Una ecuacin cannica se usa con frecuencia en
matemticas para indicar que esa ecuacin es natural, como
debe ser e independiente de elecciones arbitrarias, que es
absoluto y no relativo a un observador, que es intrnseco y no
depende de un sistema de referencia o de un sistema de
coordenadas, que pertenece a la estructura propia de lo que
estudiamos.
Una ecuacin general es toda igualdad entre dos
expresiones matemticas sin importar el valor que tomen las
variables implicadas en cada expresin (denominados
miembros de la ecuacin, el primer miembro es el que
aparece antes del signo de igualdad, y el segundo miembro
es el que aparece en segundo lugar, aunque es perfectamente
vlido permutarlos).
[http://espanol.answers.yahoo.com/question/index?qid=20071009211017AAZRAVB]
43. LA PARBOLA
Las ecuaciones de la parbola con vrtice 0 0,x y son:
2
0 0
2
0 0
2
0 0
2
0 0
1. 4
2. 4
3. 4
4. 4
y y a x x
y y a x x
x x a y y
x x a y y
44. LA ELIPSE
Las ecuaciones cartesianas de la elipse con centro 0 0,x y
son:
2 2
0 0
2 2
2 2
0 0
2 2
1. 1
2
//EjeMayorEn
//EjeMayorE. 1 n
x x y y
a b
x x y y
b
X
Ya
//Las anteriores son llamadas ecs cannicas
La forma gral. de la ec. de la elipse es: 2 2 0Ax Cy Dx Ey F
a determina el eje mayor de la elipse.
Ex. Sea la elipse 2 29 4 36x y la expresamos como
2
2
/
2
2
/
12 3
a
x y
El eje mayor lo tiene paralelo al eje Y
En coordenadas polares sustituimos por
cos
sin
x
y
Y obtenemos 2 24 5cos 36r . Despejando r :
2
36
4 5cosr
Y la grfica polar es la misma.
Las coordenadas paramtricas son:
cos
sin
x a
y b
El rea y permetro son:
22 2 2 2
0
2 2
Area
Perimetro 4 1 sin / /
12
2
ab
a k d k a b a
a b
{Checar bien frmula de permetro.}
45. LA HIPRBOLA Las ecuaciones cartesianas de la hiprbola con centro
0 0,x y son:
2 2
0 0
2 2
2 2
0 0
2 2
1. 1
2. 1
x x y y
a b
y y x x
a b
La forma gral. de la ec. de la hiprbola es:
2 2 0Ax Cy Dx Ey F
donde A y C son del mismo signo.
46. EC. GRAL DE LAS CNICAS La ec. gral. de las cnicas es:
2 2 0Ax Bxy Cy Dx Ey F
donde:
2
2
2
4 0 Hiprbola
4 0 Parbola
4 0 Elipse
B AC
B AC
B AC
47. TRASLACIN DEL ORIGEN A P(h,k) Las ecuaciones para traslaciones son:
x x h
x y k
(h,k)
y
x
y
x
48. OTROS Punto Medio
1 2 1 2
2 2
x x y yx y
Baricentro de un tringulo
1 2 3 1 2 3
3 3
x x x y y yx y
49. GRAFICAS
Rosa de tres hojas
sin3a
Rosa de tres hojas
cos3a
Rosa de cuatro hojas
sin2a
Rosa de cuatro hojas
cos2a
1. ABSOLUTE VALUE2. EXPONENTS3. LOGARITHMS4. PRODUCTS5. SUMS AND PRODUCTS6. CONSTANTS7. TRIGONOMETRY8. TRIGONOMETRY IDENTITIES9. HYPERBOLIC FUNCTIONS10. INVERSE HYPERBOLIC FUNCTIONS11. HYPERBOLIC FUNCTIONS IDENTITIES12. OTHERS13. LIMITS14. DERIVATIVES15. LOG & EXP FUNCTIONS DERIVATIVES16. TRIG FUNCS DERIVATIVES17. INVERSE TRIG FUNC DERIVATIVES18. HYPERBOLIC FUNCS DERIVATIVES19. INV HYP FUNCS DERIVATIVES20. DEFINITE INTEGRALS, PROPERTIES21. INTEGRALS22. LOG & EXP FUNCS INTEGRALS23. TRIG FUNCS INTEGRALS24. INV TRIG FUNCS INTEGRALS25. HYP FUNCS INTEGRALS26. FRACTIONS INTEGRALS27. SQUARE ROOT INTEGRALS28. MORE INTEGRALS29. SERIES30. AREAS AND VOLUMES31. GREEK ALPHABET32. NOTATION33. INTEGRACIN DE DIFERENCIALES TRIGONOMTRICAS34. INTEGRACIN POR SUSTITUCIN TRIGONOMTRICA, DE EXPRESIONES QUE CONTIENEN O35. INTEGRACIN POR FRACCIONES36. INTEGRACIN POR SUSTITUCIN DE UNA NUEVA VARIABLE37. TRANSFORMACIN DE DIFERENCIALES TRIGONOMTRICAS38. DIFERENCIALES BINOMIAS39. COORDENADAS RECTANGULARES(CARTESIANAS)40. DISTANCIAS41. LA RECTA42. LA CIRCUNFERENCIA43. LA PARBOLA44. LA ELIPSE45. LA HIPRBOLA46. EC. GRAL DE LAS CNICAS47. TRASLACIN DEL ORIGEN A P(h,k)48. OTROS49. GRAFICAS