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209
EXAMEN GENERAL PARA EL EGRESO DE LA LICENCIATURA EN INGENIERÍA ELECTRÓNICA Dirección General Adjunta de los EGEL JUNIO • 2014 formulario

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EXAMEN GENERAL PARA EL EGRESO DE LA LICENCIATURAEN INGENIERÍA ELECTRÓNICA

Dirección General Adjunta de los EGEL

JUNIO • 2014

formulario

Page 2: Formulariodel egel ielectro

EXAMEN GENERAL PARA EL EGRESO DE LA LICENCIATURAEN INGENIERÍA ELECTRÓNICA

Dirección General Adjunta de los EGEL

JUNIO • 2014

formulario

Page 3: Formulariodel egel ielectro

[EGEL-IINDU]

Este Formulario es un instrumento de apoyo para quienes sustentarán el Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO) y está vigente a partir de junio de 2014. El Formulario para el sustentante es un documento cuyo contenido está sujeto a revisiones periódicas. Las posibles modificaciones atienden a los aportes y críticas que hagan los miembros de las comunidades académicas de instituciones de educación superior de nuestro país, los usuarios y, fundamentalmente, las orientaciones del Consejo Técnico del examen. El Ceneval y el Consejo Técnico del EGEL-IELECTRO agradecerán todos los comentarios que puedan enriquecer este material. Sírvase dirigirlos a:

Dirección General Adjunta de los EGEL Dirección de Diseño, Ingenierías y Arquitectura

Centro Nacional de Evaluación para la Educación Superior, A. C. Av. Camino al Desierto de los Leones #37,

Col. San Ángel, Del. Álvaro Obregón, C.P. 01000, México, D.F.

Tel: 01 (55) 5322-9200, ext. 5103 http://www.ceneval.edu.mx

Email: [email protected]

D. R. 2014 Centro Nacional de Evaluación para la Educación Superior, A. C. (Ceneval) Quinta edición

Page 4: Formulariodel egel ielectro

Directorio

Dirección General Dr. en Quím. Rafael López Castañares

Dirección General Adjunta de los Exámenes

Generales para el Egreso de la Licenciatura (EGEL) Lic. Catalina Betancourt Correa

Dirección del Área de Diseño, Ingenierías y Arquitectura

Mtra. Luz María Solís Segura

Coordinación del Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO)

Ing. Eloín Alarcón Maldonado

Page 5: Formulariodel egel ielectro

Consejo Técnico

Representantes de instituciones educativas

M. en C. Rodolfo Fernando Porras Sánchez

Benemérita Universidad Autónoma de Puebla

Dr. Jorge de la Torre y Ramos

Universidad Autónoma de Zacatecas

M. en C. Arturo Javier Escoto Méndez

Centro de Enseñanza Técnica y Superior

Dr. José Antonio Ruz Hernández

Universidad Autónoma del Carmen

M. en I. Carlos Roberto González

Escarpeta Instituto Tecnológico de Veracruz

Dr. Omar Jacobo Santos Sánchez

Universidad Autónoma del Estado de Hidalgo

Dr. Edgar Omar López Caudana

Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey

M. en C. José Luis Álvarez Flores

Universidad de Colima

M. en C. Gabriel Domínguez Sánchez

Universidad Autónoma de Aguascalientes

M. en C. Juan Carlos Aldaz Rosas

Universidad de Guadalajara

M. en C. Marco Antonio Félix Lozano

Universidad Autónoma de Baja California

Ing. Perla Artemisa Escalante Crespo

Universidad de la Salle Bajío

M. en C. David García Chaparro

Universidad Autónoma de Ciudad Juárez

M. en C. Mauricio Alberto Ortega Ruiz

Universidad del Valle de México

Dr. José Luis Tecpanecatl Xihuitl

Universidad Autónoma de San Luis Potosí

M. en C. Víctor Enrique Gómez del Villar

Universidad Politécnica de Aguascalientes

Dr. Gerardo Romero Galván Universidad Autónoma de

Tamaulipas

Dr. Ricardo Oscar Magos Pérez Universidad Tecnológica de México

Dr. Miguel Ángel Carrasco Aguilar Universidad Autónoma de Tlaxcala

Representantes del Sector empleador

Ing. Juan Carlos Altamirano Cano Comisión Federal de Electricidad

Page 6: Formulariodel egel ielectro
Page 7: Formulariodel egel ielectro

Contenido

Administración de sistemas electrónicos ......................................................... 10

Operación y mantenimiento de sistemas electrónicos .................................... 10

Inversión inicial ............................................................................................................... 10

Tasa mínima aceptable de rendimiento .......................................................................... 10

Tasa mínima aceptable de rendimiento mixta ................................................................ 10

Valor presente neto (con TMAR) .................................................................................... 11

Valor presente neto (con anualidad e interés) ................................................................ 11

Tasa interna de retorno .................................................................................................. 11

Periodo de recuperación de la inversión ........................................................................ 12

Punto de equilibrio en ventas ......................................................................................... 12

Costo beneficio ............................................................................................................... 12

Ingeniería económica ..................................................................................................... 13

Interés simple ................................................................................................................. 13 Interés compuesto .................................................................................................................... 13 Valor futuro pago único............................................................................................................. 13 Valor presente pago único ........................................................................................................ 13 Cantidad compuesta serie uniforme ......................................................................................... 13

Ingeniería económica ..................................................................................................... 14

Interés simple ................................................................................................................. 14 Interés compuesto .................................................................................................................... 14 Valor futuro pago único............................................................................................................. 14 Valor presente pago único ........................................................................................................ 14 Cantidad compuesta serie uniforme ......................................................................................... 14 Fondo de amortización ............................................................................................................. 15 Recuperación del capital de una serie uniforme ...................................................................... 15 Valor presente de una serie uniforme ...................................................................................... 15 Series de gradiente ................................................................................................................... 15 Tasa efectiva de interés anual .................................................................................................. 15 Capitalización continua ............................................................................................................. 15 Definición de e .......................................................................................................................... 16 Pagos continuos ....................................................................................................................... 16 Tasa mixta ................................................................................................................................ 16 Métodos de análisis de inversiones .......................................................................................... 17

Diseño e integración de sistemas electrónicos ................................................ 18

Construcción e implementación de sistemas electrónicos ............................. 18

Comunicaciones ............................................................................................................. 18 Radiofrecuencia ........................................................................................................................ 18 Parámetros de dispersión ......................................................................................................... 21

Líneas de transmisión ..................................................................................................... 22 Impedancia característica ......................................................................................................... 22

Page 8: Formulariodel egel ielectro

Línea de transmisión de tipo microcinta ................................................................................... 23 Constante de propagación ....................................................................................................... 24 Velocidad de propagación ........................................................................................................ 24 Tiempo de retardo .................................................................................................................... 24 Coeficiente de reflexión ............................................................................................................ 25 Relación de onda estacionaria (SWR) y el coeficiente de reflexión ( ) ................................... 25 Impedancia de entrada ( inZ ) .................................................................................................... 25 Tabla de parámetros distribuidos ............................................................................................. 26

Conectores ..................................................................................................................... 30 RJ45 .......................................................................................................................................... 30 RJ11 .......................................................................................................................................... 31 VGA .......................................................................................................................................... 32 USB ........................................................................................................................................... 33 DB9 ........................................................................................................................................... 33 DB-25 ........................................................................................................................................ 34 IEEE.488 ................................................................................................................................... 35 RS-232 DB9 .............................................................................................................................. 36 RS – 422/485 DB – 9 ................................................................................................................ 37

Formulario general .............................................................................................. 38

Matemáticas ................................................................................................................... 38 Álgebra...................................................................................................................................... 38 Cálculo diferencial .................................................................................................................... 44 Cálculo integral ......................................................................................................................... 49 Geometría ................................................................................................................................. 58 Geometría analítica plana......................................................................................................... 59 Geometría analítica del espacio ............................................................................................... 61 Trigonometría ........................................................................................................................... 65 Números complejos .................................................................................................................. 70 Análisis vectorial ....................................................................................................................... 71 Función de fracciones racionales ............................................................................................. 76 Series de Fourier ...................................................................................................................... 77 Transformada de Fourier .......................................................................................................... 81 Transformada de Laplace ......................................................................................................... 84 Probabilidad y estadística ......................................................................................................... 89

Física .............................................................................................................................. 94 Mecánica .................................................................................................................................. 94 Electricidad y magnetismo ...................................................................................................... 103

Química ........................................................................................................................ 108

Análisis de circuitos eléctricos ...................................................................................... 110 Ley de Ohm ............................................................................................................................ 110 Voltaje y corriente en elementos reactivos ............................................................................. 110 Divisor de corriente ................................................................................................................. 110 Divisor de voltaje .................................................................................................................... 111 Leyes de Kirchhoff .................................................................................................................. 111 Potencia .................................................................................................................................. 112 Resonancia RLC serie ............................................................................................................ 112 Resonancia RLC paralelo ....................................................................................................... 113 Circuitos excitados con señales senoidales de diferentes frecuencias ................................. 113 Impedancia y admitancia de una red pasiva de dos terminales............................................. 114

Page 9: Formulariodel egel ielectro

Teoremas de redes ................................................................................................................. 114 Parámetros de dos puertos .................................................................................................... 116 Respuesta transitoria .............................................................................................................. 118 Función de transferencia ........................................................................................................ 121 Sistemas acoplados ................................................................................................................ 122 Sistemas trifásicos .................................................................................................................. 122 Potencia trifásica .................................................................................................................... 124

Electrónica Analógica ................................................................................................... 125 Diodo de propósito general .................................................................................................... 125 Diodo zener ............................................................................................................................ 125 Rectificadores de media onda y onda completa (fuentes de alimentación) ........................... 126 Transistor de unión bipolar (BJT) ........................................................................................... 128 Transistor de efecto de campo (FET) ..................................................................................... 137 Transistor MOSFET ................................................................................................................ 144 Amplificadores operacionales ................................................................................................. 145 Filtros ...................................................................................................................................... 148 Convertidores ......................................................................................................................... 149 Amplificadores de corriente .................................................................................................... 151

Electrónica digital .......................................................................................................... 155 Algebra Boole ......................................................................................................................... 155 Mapa de Karnaugh ................................................................................................................. 157 Conversión de decimal a BCD natural, BCD Aiken y BCD exceso 3 ..................................... 159 Conversión de Decimal a Binario, Hexadecimal .................................................................... 159 Circuitos digitales básicos ...................................................................................................... 160 Flip – flops .............................................................................................................................. 161

Electrónica de potencia ................................................................................................ 164 Fórmulas básicas .................................................................................................................... 164 Dispositivos ............................................................................................................................. 165

Teoría de control ........................................................................................................... 174 Terminología de la ingeniería de control ................................................................................ 174 Modelos de control ................................................................................................................. 174 Tipos de respuesta ................................................................................................................. 175 Regla de Mason ...................................................................................................................... 177 Controladores ......................................................................................................................... 178

Comunicaciones ........................................................................................................... 180 Osciladores ............................................................................................................................. 180 Modulación y demodulación AM-FM ...................................................................................... 185 Decibel .................................................................................................................................... 185 Oscilador de relajación UJT ................................................................................................... 187 Oscilador de relajación PUT ................................................................................................... 187

Instrumentación ............................................................................................................ 189 Valor promedio ....................................................................................................................... 189 El valor rms ............................................................................................................................. 189 Errores en medición ................................................................................................................ 189 Desviación estándar y varianza .............................................................................................. 190 Distribución gaussiana ............................................................................................................ 190 Puentes de Wheatstone ......................................................................................................... 191 Puente de Kelvin ..................................................................................................................... 191 Ruido térmico o ruido de Jhonson .......................................................................................... 192 Amplificador de instrumentación ............................................................................................ 192

Page 10: Formulariodel egel ielectro

Termopar ................................................................................................................................ 193 Termistor ................................................................................................................................. 193 Sensores ................................................................................................................................. 194 Transformada Z ...................................................................................................................... 199

Datos prácticos ............................................................................................................. 200

Page 11: Formulariodel egel ielectro
Page 12: Formulariodel egel ielectro

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Dirección de Diseño, Ingenierías y Arquitectura

10

Administración de sistemas electrónicos

Operación y mantenimiento de sistemas electrónicos Inversión inicial

donde: II: Inversión inicial CO: Costos de operación CP: Costos de producción CA: Costos de administración y ventas Tasa mínima aceptable de rendimiento

TMAR = (µ * i)n

donde: TMAR: Tasa mínima aceptable de rendimiento µ: Monto i: Tasa de interés n: Número de periodos a considerar Tasa mínima aceptable de rendimiento mixta

TMARmixta = [I1 + PR1 + %I1 + %PR1] + [I2 + PR2 + %I2 + %PR2] +…+ [In + PRn + %In + %PRn] donde: TMARmixta: Tasa mínima aceptable de rendimiento mixta In: Inflación PRn: Premio al riesgo %In: Inflación ÷ 100 %PRn: Premio al riesgo ÷ 100

I I CO CP CA= + +

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Dirección de Diseño, Ingenierías y Arquitectura

11

Valor presente neto (con TMAR)

== − +

+n

0 tt 1

S tV P N S

(1 i)

donde: VPN = Valor presente neto SO = Inversión Inicial St = flujo de efectivo neto del periodo t n = número de periodos de la vida del proyecto i = tasa de recuperación mínima atractiva Valor presente neto (con anualidad e interés)

( )( )

n

n

1 i 1V P N P A V S

i 1 i

+ − = − + + +

donde: VPN: Valor presente neto P: Inversión inicial A: Anualidad i: Tasa de interés VS: Valor de salvamento al final del periodo n n: Número de periodos Tasa interna de retorno

nnn n

1

F N E V ST I R

(1 i) (1 i)= +

+ +

donde: TIR: Tasa interna de retorno FNE: Flujo neto de efectivo del periodo n, o beneficio neto después de impuesto más depreciación VS: Valor de salvamento al final del periodo n i: Tasa de interés n: Número de periodos

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12

Periodo de recuperación de la inversión

UNR O I

I=

donde: ROI: Periodo de recuperación de la inversión UN: Utilidad neta I: Inversión Punto de equilibrio en ventas

CFPE

CV1

VT

=−

donde: PE: Punto de equilibrio CF: Costos fijos CV: Costos variables VT: Ventas totales Costo beneficio

B B D

C C

−=

donde: B: Beneficios asociados al proyecto C: Costo neto del proyecto D: Valor de las desventajas

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13

Ingeniería económica Glosario de términos para ingeniería económica I: Inversión n: Periodo i: Tasa de interés P: Valor presente F: Valor futuro A: Serie uniforme G: Gradiente Ief: Tasa efectiva R: Tasa de interés divisible m: Periodo de intervalo

A : Factor de pago continuo RC: Factor de recuperación de capital Vs: Valor de salvamento Θ: Tasa mixta Pr: Periodo de recuperación B: Beneficio C: Costo D: Desventaja e: Base de logaritmos neperianos

Interés simple

I = n i P Interés compuesto

nF

i 1I

= −

Valor futuro pago único

( )1n

F P i= +

Valor presente pago único

( )1

1nP F

i=

+

Cantidad compuesta serie uniforme

( ) + − =

n1 i 1

F Ai

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14

Ingeniería económica Glosario de términos para ingeniería económica I: Inversión n: Periodo i: Tasa de interés P: Valor presente F: Valor futuro A: Serie uniforme G: Gradiente Ief: Tasa efectiva R: Tasa de interés divisible m: Periodo de intervalo

A : Factor de pago continuo RC: Factor de recuperación de capital Vs: Valor de salvamento Θ: Tasa mixta Pr: Periodo de recuperación B: Beneficio C: Costo D: Desventaja e: Base de logaritmos neperianos

Interés simple

I = n i P Interés compuesto

nF

i 1I

= −

Valor futuro pago único

F = P(F/P,i,n) ( )nF P 1 I= +

Valor presente pago único

P = F(P/F,i,n) P = F(1+I)–n

Cantidad compuesta serie uniforme

F = A(F/A,i,n)

( )n1 i 1

Ai

FI

+ − =

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15

Fondo de amortización

( )n

iA F

1 i 1

= + −

Recuperación del capital de una serie uniforme

( )( )

n

n

i 1 iA P

1 i 1

+ = + −

Valor presente de una serie uniforme

( ) n1 1 I

P Ai

− − + =

Series de gradiente

( )n

1A G

i n

1 i 1

= − + −

Tasa efectiva de interés anual

m

e f

ri 1 1

m = + −

Capitalización continua

mr

m

ri l i m 1 1 e 1

m→∞

= + − = −

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16

Definición de e

m

m

1i l i m 1 e

m→∞

= + =

mFe

P=

mPe

F−=

( )( )

m

r

e 1F

A e 1

−=

( )( )

r

m

e 1A

F e 1

−=

( )( )

r

m

e 1A

P 1 e

−=

( )( )

m

r

1 eP

A e 1

−−=

m m

A 1 n

G 1 e e 1− = − − −

Pagos continuos

( )me 1Fˆ rA

−=

( )m

A r

F e 1=

( )m

m

e 1P

A re

−=

m

m

A re

P e 1=

Tasa mixta

θ = (i – λ)/(1 – λ)

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17

Métodos de análisis de inversiones Valor presente

n

j 0

V p F l u j o(P / F,i, j)=

=

Valor futuro

n

j 0

V p F l u j o(F / P,i, j)=

=

Costo anual uniforme equivalente (CAUE)

( )n

j 0

V p F l u j o(P / F,i, j) * A / P,i, j=

=

Serie uniforme equivalente

SAUE = - CAUE Recuperación de capital

CAUE = - SAUE = RC

(P – Vs)(A/P,i,n) + iVs Retiro y reemplazo

CAUE (j) = RC(j) + A(j) Tasa interna de retorno

n

j 1

V p F l u j o i n i c i a l F l u j o(P / F,i, j)=

= − +

Periodo de recuperación

A B S(f l u j o)P r

i n g r e s o p o r p e r i o d o=

Razón costo-beneficio

B DB

C C= −

Nota: El ROI no se maneja en este contexto ya que es un indicador financiero.

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18

Diseño e integración de sistemas electrónicos

Construcción e implementación de sistemas electrónicos Comunicaciones Radiofrecuencia Estabilidad

( )1 02 Rer t

r t

Y YC

g g Y Y=

− Sí C < 1 el transistor es incondicionalmente estable Si C > 1 el transistor es potencialmente inestable Factor de estabilidad de Stern

( )( )( )

1 02

Res L

r t r t

g G g GK

Y Y Y Y

+ +=

+

Ganancia máxima disponible en el transistor (MAG)

2

1 04rY

MAGg g

=

donde: Yr = La admitancia de transferencia inversa Yt = La admitancia de transferencia directa g1 = La conductancia de entrada g2 = La conductancia de salida Re = La parte real del número complejo Gs = La conductancia de la fuente GL = La conductancia de la carga Criterio de estabilidad incondicional en términos de los parámetros S

2 2 2

11 22

12 12

11

2

S SK

S S

− − + Δ= <

donde:

11 22 12 12S S S SΔ = −

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19

Teorema de Miller

( )( ) 1ent Miller bo vC C A= + Capacitancia de entrada Miller, donde C = Cbo

( )

1 vsal Miller bo

v

AC C

A

+=

Capacitancia de salida Miller, donde C = Cbo

donde: Cbo es la capacitancia entre la entrada y la salida amplificador. Respuesta en frecuencia de un amplificador

Modelo de señal pequeña del BJT

Modelo de señal pequeña del FET

Respuesta en altas frecuencias de un amplificador emisor común (BJT)

Modelo equivalente de señal pequeña del amplificador

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20

Los polos del circuito son:

( ) ( )1

1

2 1p

Lo m L L

o

fR

r C C g R C Crπ π μ μπ

π=

+ + + +

( )( )2

2L m o L L o m

pLL

C g C g g g C g gf

C CC C C Cπ μ π π

ππ μ μπ+ + + +

= ≅++ +

donde:

1

LL

Rg

=

1o

o

rgπ

π

=

Respuesta en altas frecuencia de un amplificador fuente común (FET)

Considere el caso anterior (Respuesta en altas frecuencias de un amplificador emisor común (BJT)) y en las expresiones según la figura. Respuesta en bajas frecuencias de un amplificador emisor común (BJT) Si : y es despreciable:

La función de transferencia está dada por:

iC Cπ>> Cμ

Page 23: Formulariodel egel ielectro

Formulario para el sustentante del Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO)

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21

( )

( ) ( )

2

1 1

om L

i L o

i i o o L

r rg R s

R r R rH s

s sC R r C r R

π

π

π

+ +=

+ + + +

Los polos del circuito están dadas por:

( )1

1

2pi i

fC R rππ

=+

( )2

1

2po o L

fC r Rπ

=+

Respuesta en bajas frecuencias de un amplificador fuente común (FET)

Si es despreciable:

La función de transferencia está dada por:

( )

( )

1

1 1

om L

i gs L o

i gs

i i gs o o L

rg R s

R C R rH s

C Cs s

R C C C r R

+= +

+ + +

y los polos del circuito son:

1

1

1

2p

i gs

i gs

fC C

RC C

π=

+

( )2

1

2po o L

fC r Rπ

=+

Parámetros de dispersión

Page 24: Formulariodel egel ielectro

Formulario para el sustentante del Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO)

Dirección de Diseño, Ingenierías y Arquitectura

22

1 11 12 1

2 21 22 2

b S S a

b S S a

=

2

111

1 0a

bS

a=

= Coeficiente de reflexión del puerto 1 (Entrada)

2

221

1 0a

bS

a=

= Coeficiente de transmisión del puerto 1 al 2 (Ganancia)

1

112

2 0a

bS

a=

= Coeficiente de transmisión del puerto 2 al 1 (Ganancia en inversa)

1

222

2 0a

bS

a=

= Coeficiente de reflexión del puerto 2 (Salida)

Líneas de transmisión Impedancia característica

0

2276 log

DZ

d=

donde: D = distancia entre conductores o diámetro exterior d = diámetro del conductor o diámetro interior Impedancia característica para cable coaxial:

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23

0

1ln 138 log

2r

r

D DZ

d d

μμπ ε ε

= ≈

donde: D = distancia entre conductores o diámetro exterior d = diámetro del conductor o diámetro interior

rμ y rε es la permeabilidad relativa y la permitividad relativa del material aislante, respectivamente.

Línea de transmisión de tipo microcinta

Si t W<<

( )0

60 8ln

4

120

/ 1.393 0.667 ln / 1.444

e

e

b W

W bZ

W b W d

επ

ε

+ = + + +

donde:

1 1 1

2 2 1 12 /r r

ed W

ε εε + −= ++

En otro caso:

/ 1Si W b <

/ 1Si W b >

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24

0

87 5.98ln

0.81.41

bZ

W tε = ++

rε = constante dieléctrica

W = ancho de la pista t = espesor de la pista h = distancia entre la pista al plano a tierra Impedancia característica de líneas de microcinta paralelas

( )0

60 4ln

0.67 0.8 /

dZ

W t bε π

= +

Impedancia característica

0

R j LZ

G j C

ωω

+=+

Constante de propagación

( )( )R j L G j Cγ ω ω= + +

Velocidad de propagación

1pv

LC=

Tiempo de retardo

dt LC=

Ondas estacionarias

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25

Coeficiente de reflexión

r

i

V

VΓ =

0

0

L

L

Z Z

Z Z

−Γ =+

Si max 1V = + Γ y min 1V = − Γ , entonces,

max min

max min

V V

V V

−Γ =+

donde: Γ = Coeficiente de reflexión Vr = Voltaje reflejado Vi = Voltaje incidente Relación de onda estacionaria (SWR) y el coeficiente de reflexión ( )

1max

min 1

VSWR

V

+ Γ= =

− Γ

y 1

1

SWR

SWR

−Γ =+

Si LZ ∈ℜy 0LZ Z> , entonces:

0

LZSWR

Z=

Si LZ ∈ℜy 0LZ Z< , entonces:

0

L

ZSWR

Z=

Impedancia de entrada ( inZ )

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26

( )( )

00

0

tan

tanL

inL

Z jZ lZ Z

Z jZ l

ββ

+=

+

donde: β = es el número angular de onda

l = es la longitud de la línea Para una línea de transmisión de / 2λ

in LZ Z=

Para una línea de transmisión de / 4λ

20

inL

ZZ

Z=

Tabla de parámetros distribuidos

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27

Antenas Ganancia directiva

( ) [ ]antena de refecia

dBantena de prueba

PG dB

P=

Resistencia de radiación

[ ]2radiada

rentrada

PR

I= Ω

[ ]2

790r

lR

λ = Ω

Ancho de banda de la antena

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28

[ ]m L Hf f f Hz= ⋅ Longitud efectiva

[ ]292el m

f=

Área efectiva

ref

i

WA

P=

Densidad de potencia radiada

( ) ( ), ReP E Hθ φ ∗= ×

Impedancia característica del medio

E

Hη=

Potencia total radiada

( ),rW P dsθ φ= ⋅ Directividad

max

24r

PD

Wrπ

=

Lóbulo

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29

Ancho del haz principal

32.25n dBBW BW−≈

Intensidad del campo

30 t tD PE

d

⋅=

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30

Conectores RJ45

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31

RJ11

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32

VGA

Pines

Un conector DE15 hembra.

Pin 1 RED Canal rojo

Pin 2 GREEN Canal verde

Pin 3 BLUE Canal azul

Pin 4 N/C Sin contacto

Pin 5 GND Tierra (HSync)

Pin 6 RED_RTN Vuelta rojo

Pin 7 GREEN_RTN Vuelta verde

Pin 8 BLUE_RTN Vuelta azul

Pin 9 +5 V +5 V (Corriente continua)

Pin 10 GND tierra (Sincr. Vert, corriente continua)

Pin 11 N/C Sin contacto

Pin 12 SDA I²C datos

Pin 13 HSync Sincronización horizontal

Pin 14 VSync Sincronización vertical

Pin 15 SCL I2Velocidad reloj

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33

USB

Patillaje

The standard USB A plug (left) and B plug (right)

Pin 1 VCC (+5 V)

Pin 2 Data-

Pin 3 Data+

Pin 4 Ground

DB9

Se debe tener en cuenta que existen adaptadores DB9-DB25 para convertir fácilmente un enchufe DB9 en uno DB25 y viceversa.

Pines

Número de clavija Nombre

1 CD: Detector de transmisión

2 RXD: Recibir datos

3 TXD: Transmitir datos

4 DTR: Terminal de datos lista

5 GND: Señal de tierra

6 DSR: Ajuste de datos listo

7 RTS: Permiso para transmitir

8 CTS: Listo para enviar

9 RI: Indicador de llamada

Protección

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34

DB-25 Asignaciones de patas el conector D-25 para impresoras: Este conector trabaja para el puerto paralelo.

Pata Señal E/S Definición

1 STB# E/S Estrobo

2 PD0 E/S Bit 0 de datos de impresora

3 PD1 E/S Bit 1 de datos de impresora

4 PD2 E/S Bit 2 de datos de impresora

5 PD3 E/S Bit 3 de datos de impresora

6 PD4 E/S Bit 4 de datos de impresora

7 PD5 E/S Bit 5 de datos de impresora

8 PD6 E/S Bit 6 de datos de impresora

9 PD7 E/S Bit 7 de datos de impresora

10 ACK# E Reconocimiento

11 BUSY E Ocupado

12 PE E Fin del papel

13 SLCT E Seleccionar

14 AFD# S Avance automático

15 ERR# E Error

16 INIT# S Iniciar impresora

17 SLIN# S Seleccionar

18–25 GND N/D Tierra de señal

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35

IEEE.488

Terminales

Conector hembra IEEE-488

Pin 1 DIO1 Entrada de dato / bit de salida

Pin 2 DIO2 Entrada de dato / bit de salida.

Pin 3 DIO3 Entrada de dato / bit de salida

Pin 4 DIO4 Entrada de dato / bit de salida

Pin 5 EOI Final o identificación

Pin 6 DAV Validación de datos

Pin 7 NRFD No está listo para recibir dato

Pin 8 NDAC No se acepta el dato

Pin 9 IFC Interfaz limpia

Pin 10 SRQ Servicio

Pin 11 ATN Atención de datos

Pin 12 SHIELD

Pin 13 DIO5 Entrada de dato / bit de salida

Pin 14 DIO6 Entrada de dato / bit de salida

Pin 15 DIO7 Entrada de dato / bit de salida

Pin 16 DIO8 Entrada de dato / bit de salida

Pin 17 REN Remoto activado

Pin 18 GND (emparejado con DAV)

Pin 19 GND (emparejado con NRFD)

Pin 20 GND (emparejado con NDAC)

Pin 21 GND (emparejado con IFC)

Pin 22 GND (emparejado con SRQ)

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36

RS-232 DB9

PIN 1:PIN 2:PIN 3:PIN 4:PIN 5:PIN 6:PIN 7:PIN 8:PIN 9:

Detector de acarreo Recibe dato Transmite dato Terminal de dato lista Tierra Dato listo Requisita para mandarLimpia para enviar Indicador

Convertidor RS-232 a DB-25

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37

RS – 422/485 DB – 9

PIN 1:PIN 2:PIN 3:PIN 4:PIN 5:PIN 6:PIN 7:PIN 8:PIN 9:

Salida auxiliar + Dato de salida + Tierra Entrada de dato + Salida auxiliar + Salida auxiliar – Salida de dato – Entrada de dato – Entrada auxiliar –

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38

Formulario general Matemáticas

Álgebra

<<<><<<><

+<+<

zx zyy; xSi

yz xz 0zy; xSi

yz xz 0zy; xSi

zyzx y xSi

ℜ∈∀ zy,x,

( ) ( ) ( )1 1 2 2 1 2 1 2r r r r ∠θ ∠θ = ∠ θ + θ Nota: θ θ = cos i sen∠θ +

( )nnk 360

r r ;n

θ +∠θ = ∠

k entero

( ) ( )iln r e ln r 2 k iθ = + θ + π ; k entero

f(x) ; g(x) 0, ∀ ≠ existen q(x); r(x); f, g, q, r polinomios tales que: f(x) = g(x) q(x) + r(x), con gr(r) < gr(g)

o r(x) = 0

11 1 0( ) ...n n

n nf x a x a x a x a−−= + + + + ; 0na ≠ ; 0 0a ≠ las raíces racionales de f son de la forma

q

p

donde p es factor de a0 y q de an.

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39

Para matrices A y B

( )

( ) ( )

( )

( )

=

=

=+

= −−−

singular noA ;(A)det

1 )(Adet

I det(A) =A)A (Adj A AdjA

det(B) det(A)= (AB)det

)(Adet = (A)det

A B= AB

Atr a= aAtr

B tr +A tr B)tr(A

singulares no By A ;AB AB

1-

T

TTT

111

Si B = v1, , v , v2 n es base de un espacio V; x V∈

y x v v vn n= + + +α α α1 1 2 2 ; entonces, el vector de coordenadas de x respecto a B es:

( ) ( )xB

T= α α α1, , , 2 n

Si ( )u w, , v V C∈ espacio vectorial, entonces ( ) ( )f u v u v, |= es producto interno en V si:

1) ( ) ( )u v v| = |u

2) ( ) ( ) ( )u v w u u | v | w| + = +

3) ( ) ( )α α v | vu u| =

4) ( )u | u si u> ≠0 0

( )v v= | v1 2

norma de v

( ), v distancia de u a vd u v u= −

( )

v u

v cos

•= uθ coseno del ángulo entre u y v

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40

Si n21 g , ,g , gB = es base ortogonal de un espacio V; v V∈ y

( ) ( ) ( )( )vv

gBn

T= =α α α α1 2, , , ; entonces | g

g | i = 1, 2, , ni

i

i i

Si e1, , e , e2 m es base ortonormal de un subespacio W del espacio V y v V∈ ; entonces, la

proyección de ( )v ei sobre W es: v | e ii=1

m

Para la transformación lineal T:V→W( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

T V T v | v V recorrido de V

N T v V / T v O nucleo de T

d im V = d im T V + d im N T

= ∈

= ∈ =

Para T:V→W; A= v1, , v , v2 n base de V y B base de W la matriz asociada a T, ( )M TBA tiene por

columnas a:

( )[ ] ( )[ ] ( )[ ]T v v T vB B

nB

1 , , , T 2

para T:V→V, v V∈ es vector característico de T si:

( )T v v= ≠ ≠λ λ con 0 y v 0

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41

Fórmulas para potencia y raíces

( )⋅ ± ⋅ = ± ⋅n n np a q a p q a m n m na a a +⋅ =

mm n

n

aa

a−= ( ) ( )n mm n m na a a ⋅= =

1nn

aa

− = nn

n

a a

b b

=

( )n n np a q a p q a⋅ ± ⋅ = ± ⋅ n n na b a b⋅ = ⋅

1n n

nn

a a a

b bb

= =

n x nm x ma a⋅ ⋅ =

( ) mm

n m n na a a ∗= = a i a− = ⋅

( ) ( )22 No es válida en algunos casos; p. ej., 2 2, 2 2∗ − = + − = −

Nota: Los exponentes para potencias y raíces deben ser escalares Transformación de expresiones algebraicas usuales

( )2 2 22a b a ab b± = ± + ( )3 3 2 2 33 3a b a a b ab b± = ± + ±

( )2 2 2 22 2 2a b c a ab ac b bc c+ + = + + + + + ( )( )2 2a b a b a b− = + −

( )( )3 3 2 2a b a b a ab b+ = + − + ( )( )3 3 2 2a b a b a ab b− = − + +

22

1,2

40

2

− ± −+ + = = b b acax bx c x

a

22

1,20 2 4

p px px q x q+ + = = − ± − ( )2 2 2 22 2 2a b c a ab ac b bc c− + = − + + − +

( ) ( ) ( )( )1 2 2 3 31 1 2

1 1 2 1 2 3n n n n n nn n n n nn

a b a a b a b a b b− − −− − −+ = + + + + +

⋅ ⋅ ⋅

( )( )1 2 3 2 2 1n n n n n n na b a b a a b a b ab b− − − − −+ = − − + + +

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42

Logaritmos

( )log log logx y x y⋅ = + log log logx

x yy

= −

log lognx n x= 1

log logn x xn

=

log log=a n n a log 1=a a

log1 0= Binomio de Newton

( ) 1 2 2 3 3

0 1 2 3n n n n nn n n n

a b a a b a b a b− − − + = + ⋅ + ⋅ + ⋅ +

Donde n tiene que ser un número entero

( ) ( )1 2 1

1 2 3

n n n n n k

k k

− − − + = ⋅ ⋅

Teorema del binomio (de Newton)

( ) ( ) 2n n n 1 xn x

1 x 1 . . .1! 2!

−+ = + + +

Teorema binomial

( ) nn k n kk 0

nx a x a

k−

=

+ =

Permutaciones Número de permutaciones de n elementos

! 1 2 3nP n n= = × × × ×

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43

Combinaciones y ordenaciones

Número de combinaciones sin repetición

Número de combinaciones con repetición

( )!

! !nk

nnC

kk n k

= = −

( )

( )11 !

! 1 !

+ −+ − = = −

r nk

n kn kC

kk n

r con repetición

Número de ordenaciones sin repetición Número de ordenaciones con repetición

( )!

!!

n nk k k

n nO C P k

k n k

= ⋅ = ⋅ = −

r n kkO n=

donde: C: número de combinaciones posibles n: número de elementos dados k: número de elementos seleccionados de entre n elementos dados O: número de ordenaciones posibles Serie binómica o binomial

( ) ( ) ( ) 211 1 ...

2!

−= ± = ± + +f x x x x

α α αα

α es un número cualquiera, positivo o negativo, entero o fraccionario

( )( )( ) ( )1 2 3 1

!

− − − − + =

n

n n

α α α α α α

Serie de Taylor (serie de McLaurin)

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )' ''

2

1! 2!

f a f af x f a x a x a= + − + − +

Forma de McLaurin, cuando 0a =

( ) ( ) ( ) ( )' ''20 0

01! 2!

f ff x f x x= + + +

Expansión de Taylor

2 3x x x x

e 1 . . . , x1! 2! 3!

= + + + + − ∞ < < ∞

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44

Cálculo diferencial Relación de cambio: Derivada Pendiente en un punto. Relación (o intensidad) de cambio Pendiente de una curva En una curva y = f (x) , la pendiente m varía en cada punto. La pendiente de la curva en un punto P es también la pendiente de su tangente en dicho punto:

m = tanα =Δy '

Δx '

Relación media de cambio (cociente incremental)

La intensidad media de variación de la función y = f (x) es la relación de los incrementos Δy

Δx

correspondientes al segmento de curva PP1

Δy

Δx=

f (x + Δx) − f (x)

Δx

Derivada (cociente diferencial) Cuando Δx tiende a cero, el punto P1 tiende al punto P, y la secante PP1 , a la tangente a la curva en P. De manera que la relación de incrementos se convierte en la relación de diferenciales, que es la derivada (o Intensidad de cambio) de la función en P:

y ' = limΔx→0

Δy

Δx=

dy

dx= f '(x)

Interpretación geométrica de la derivada Curvas de derivadas sucesivas Si para cada x de una curva se lleva la pendiente (o derivada) correspondiente y' como ordenada, se obtendrá la curva de y ' = f '(x) , o de la primera derivada de la curva dada y = f (x) . Si se deriva la

curva y ' = f '(x) se obtendrá y '' = f ''(x) o la segunda derivada de la curva dada y = f (x) , etc. Radio de curvatura ρ en un punto dado x.

ρ =(1+ ′y 2 )3

′′y

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45

Coordenadas del centro de curvatura C correspondiente a un radio ρ

a = x −1 + ′y 2

′′y′y

b = y +1 + ′y 2

′′y

Determinación de los valores máximos, mínimos y puntos de inflexión Valores máximos y mínimos Hágase y ' = 0 y sea a el valor obtenido de x . Sustitúyase ahora x = a en y '' Si y ''(a) > 0 habrá un mínimo en x = a Si y ''(a) < 0 habrá un máximo en x = a Punto de inflexión Hágase y '' = 0 y sea a el valor obtenido de x . Sustitúyase ahora x = a en ''y Si y ''(a) ≠ 0 habrá un punto de inflexión en x = a Forma de la curva y = f (x)

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46

Crecimiento y decrecimiento y '(x) > 0 y(x) crece si aumenta x

y '(x) < 0 y(x) decrece si aumenta x

y '(x) = 0 y(x) tiene en x una tangente paralela al eje x

Curvatura y ''(x) > 0 y(x) será cóncava hacia arriba

y ''(x) < 0 y(x) será cóncava hacia abajo

y ''(x) = 0 con cambio de signo y(x) tendrá en x un punto de inflexión

sin cambio de signo y(x) tendrá en x un máximo o un mínimo

Otros casos Si para x = a

( 1)'( ) ''( ) '''( ) ( ) 0−= == = = ny a y y y aa a , pero yn ≠ 0 , pueden presentarse los cuatro casos siguientes:

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47

Tablas de derivadas

d

dxc( ) = 0 ( )d

dxcx c=

( )d

dxcx ncxn n= −1 ( )d

dxu v w

du

dx

dv

dx

dw

dx± ± ± = ± ±

( )d

dxcu c

du

dx= ( )d

dxuv u

dv

dxv

du

dx= +

( )d

dxuvw u v

dw

dxu w

dv

dxv w

du

dx= + +

( ) ( )d

dx

u

v

v dudx u dv

dxv

=

−2

( )d

dxu nu

du

dxn n= −1

du

dx dxdu

= 1

dF

dx

dF

du

du

dx= (Regla de la cadena)

Derivadas de las funciones exponenciales y logarítmicas

[ ]ln ln

-1

ln

ln

v v u v u

v v

d d du e e v u

dx dx dxdu dv

vu u udx dx

= = =

+

loglog 0, 1a

a

ed duu a a

dx u dx= > ≠

lnu ud dua a a

dx dx=

1ln loge

d d duu u

dx dx u dx= =

u ud due e

dx dx=

Derivadas de las funciones trigonométricas y de las trigonométricas inversas

d

dxu u

du

dxsen cos=

d

dxu u

du

dxcot csc= − 2

d

dxu u

du

dxcos sen= −

d

dxu u u

du

dxsec sec tan=

d

dxu u

du

dxtan sec= 2

d

dxu u u

du

dxcsc csc cot= −

1 1

2

1cos 0 cos

1

d duu u

dx dxuπ− −− = < < −

1 12 22

1sen sen

1

d duu u

dx dxuπ π− − = − < < −

1 12 22

1tan tan

1

d duu u

dx u dxπ π− − = − < < +

1 12

1cot 0 cot

1

d duu u

dx u dxπ− −− = < < +

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48

1

2 2

12

12

1 1sec ,

1 1

0 sec

sec

d du duu

dx dx dxu u u u

si u

si u

π

π π

±= =− −

+ < < − < <

1

2 2

12

12

1 1csc ,

1 1

0 csc

csc 0

d du duu

dx dx dxu u u u

si u

si u

π

π

−= =− −

− < < + − < <

Derivadas de las funciones hiperbólicas y de las hiperbólicas recíprocas

d

dxu u

du

dxsenh cosh=

d

dxu u

du

dxcoth csc= − h2

d

dxu u

du

dxcosh senh=

d

dxu u u

du

dxsec sec tanhh h= −

d

dxu u

du

dxtanh sec= h2

d

dxu u u

du

dxcsc csc cothh h= −

-1

2

1sen h

1

d duu

dx dxu=

+ [ ]1

2

1tanh , 1 1

1

d duu u

dx u dx− = − < <

[ ]

-1

2

1csc h ,

1

si 0, si 0

d duu

dx dxu u

u u

−=+

− > + <

-1

2

1

1

1cos h ,

1

si cosh 0, 1

si cosh 0, 1

d duu

dx dxu

u u

u u

±=−

+ > > − < <

-1

2

1

1

1sec h ,

1

si sec h 0,0 1

si sec h 0,0 1

d duu

dx dxu u

u u

u u

±=−

− > < < + < < <

[ ]

12

1coth ,

11 ó 1

d duu

dx u dxu u

− =−

> < −

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49

Cálculo integral Significado de la integración Por integración se entiende el encontrar una función ( )F x a partir de una función dada ( )y f x= de manera que la derivada ( )F x′ sea igual a la original ( )f x . Por lo tanto,

( )( ) ( )

dF xF x f x

dx′ = =

La integral indefinida

( ) ( )f x dx F x C= + C es una constante indeterminada que desaparece al derivar, ya que la derivada de una constante es igual a cero. Significado geométrico de la integral indefinida. Como muestra la figura, hay una infinidad de curvas ( )y F x= con pendiente o derivada ( )y F x′ = .

Todas las curvas ( )y f x= son iguales pero desplazadas paralelamente y en la dirección del eje y.

La constante C fija una curva determinada. Si la curva debe pasar por el punto 0 0,x y se tendrá:

0 0( )C y F x= −

La integral definida La integral definida tiene la forma:

( ) ( ) ( ) ( )b b

aaf x dx F x F b F a= = −

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50

En la integral resultante se sustituye primero el límite superior y luego el inferior, y se resta el segundo resultado del primero. Desaparece así la constante C.

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Dirección de Diseño, Ingenierías y Arquitectura

51

Reglas de integración Formas fundamentales

u dv uv v du= − u ue du e C= +

u dun

u C nn n=+

+ ≠ −+ 1

111 a du

a

aCu

u

= +ln

lndu

u Cu

= +

Formas trigonométricas

sen cosu du u C= − + csc cot cscu u du u C= − +

+= Cuduu sencos += Cuduu seclntan

+= Cuduu tansec2 cot ln senu du u C= +

2csc cotu du u C= − + Cuuduu ++= tanseclnsec

+= Cuduuu sectansec csc ln csc cotu du u u C= − +

Formas cuadráticas

a u duu

a ua

u a u C2 2 2 22

2 2

2 2+ = + + + + + ln

du

a u

u

aC

2 2

1

−= +− sen

( )u a u duu

a u a ua

u a u C2 2 2 2 2 2 22

2 2

82

8+ = + + − + + + ln +=

+− C

a

u

aua

du 1

22tan

1

a u

udu a u a

a a u

uC

2 22 2

2 2+= + −

+ ++ ln

du

u u a a

u

aC

2 2

11

−= +− sec

du

u a u

a u

a uC

2 2 2

2 2

2+= −

++

du

a u a

u a

u aC2 2

1

2−=

+−

+ ln

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Dirección de Diseño, Ingenierías y Arquitectura

52

( )du

a u

u

a a uC

2 2 3 2 2 2 2+=

++ / du

u a a

u a

u aC2 2

1

2−=

−+

+ ln

a u

udu

a u

uu a u C

2 2

2

2 22 2+

= −+

+ + + + ln du

u a u a

a u a

uC

2 2

2 21

+= −

+ ++ ln

( )u a u duu

u a a ua u

aC2 2 2 2 2 2 2

41

82

8− = − − + +− sen a u du

ua u

a u

aC2 2 2 2

21

2 2− = − + +− sen

u du

a u

ua u

au a u C

2

2 2

2 22

2 2

2 2+= + − + + + ln

du

a uu a u C

2 2

2 2

+= + + + ln

u a duu

u aa

u u a C2 2 2 22

2 2

2 2− = − − + − + ln

u du

a u

ua u

a u

aC

2

2 2

2 22

1

2 2−= − − + +− sen

a u

udu a u a

a a u

uC

2 22 2

2 2−= − −

+ −+ ln

a u

udu

ua u

u

aC

2 2

22 2 11−

= − − − +− sen

du

u a u a

a a u

uC

2 2

2 21

−= −

+ −+ ln ( )u u a du

uu a u a

au u a2 2 2 2 2 2 2

42 2

82

8− = − − − + − + ln C

du

u a u a ua u C

2 2 2 22 21

−= − − + u a

udu u a a

a

uC

2 22 2 1−

= − − +− cos

( ) ( )a u duu

u a a ua u

aC2 2

32 2 2 2 2

41

82 5

3

8− = − − − + +− sen u a

udu

u a

uu u a C

2 2

2

2 22 2−

= −−

+ + − + ln

( )du

a u

u

a a uC

2 23

2 2 2 2−

=−

+ du

u au u a C

2 2

2 2

−= + − + ln

+−++−=−

Cauua

auu

au

duu 222

22

22

2

ln22

( )2

1ln

udua bu a a bu C

a bu b= + − + +

+

( )( )

( )du

u a bu

a bu

a n u

b n

a n

du

u a bun n n+= −

+−

−−− +− −

1

2 3

2 11 1

du

u u a

u a

a uC

2 2 2

2 2

2−=

−+

( ) ( )[ ]u du

a bu ba bu a a bu a a bu C

2

32 21

24 2

+= + − + + + + ln

( )3 2 2 22 2 2

du uC

a u au a= − +

−−

( )du

u a bu a

u

a buC

+=

++ 1

ln du

u a bu a

a bu a

a bu aC a

+=

+ −

+ ++ > 1

0ln , si

=−

+−

+ <−201

a

a bu

aC atan , si

( )du

u a bu au

b

a

a bu

uC2 2

1

+= − +

++ ln

a bu

udu a bu a

du

u a bu

+= + +

+ 2

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Formulario para el sustentante del Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO)

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53

( ) ( )udu

a bu

a

b a bu ba bu C

+=

++ + + 2 2

1ln a bu

udu

a bu

u

b du

u a bu

+= −

++

+ 2 2

( ) ( )du

u a bu a a bu a

a bu

uC

+=

+−

++ 2 2

1 1ln ( )udu

a bu bbu a a bu

+= − + 2

322

( ) +

+−

+−+=

+Cbuaa

bua

abua

bbua

duuln2

1 2

32

2

( ) ( )

u du

a bu

u a bu

b n

na

b n

u du

a bu

n n n

+=

++

−+ +

−2

2 1

2

2 1

1

( )( )u a budub

bu a a bu C+ = − + + 2

153 22

32

Otras formas trigonométricas

3 1 12 2csc csc cot ln csc cotu du u u u u C= − + − + 2 1 1

2 4sen sen 2u du u u C= − +

1 21 1sen sen cos senn n n

n

nu du u u u du

n− −−= − +

2 1 12 4cos sen 2u du u u C= + +

cos cos sen cosnn

n nu du u un

nu du= +

−− − 1 1 21

+−= Cuuduu tantan 2

−− −−

= duuun

duu nnn 21 tantan1

1tan +−−= Cuuduu cotcot 2

cot cot cotn n nu dun

u u du=−−

−− − 1

11 2 ( )3 21

3sen 2 sen cosu du u u C= − + +

sec sec secn n nu dun

tanu un

nu du=

−+

−−

− − 1

1

2

12 2 ( )3 21

3cos 2 cos senu du u u C= + +

csc cot csc cscn n nu dun

u un

nu du=

−+

−−

− − 1

1

2

12 2 ++= Cuuduu coslntantan 2

213

( )( )

( )( )

sen sensen sen

2 2

a b u a b uau bu du C

a b a b

− += − +

− +

3 212cot cot ln senu du u u C= − − +

( )( )

( )( )cos cos

sen senau bu du

a b u

a b

a b u

a bC=

−−

+++

+2 2

3 1 12 2sec sec tan ln sec tanu du u u u u C= + + +

1cos sen senn n nu u du u u n u u du−= −

( )( )

( )( )sen cos

cos cosau bu du

a b u

a b

a b u

a bC= −

−−

−++

+2 2

sen sen cosu u du u u u C= − +

sen cosn mu u du= −

++

−+

− +−sen cos

sen cosn m

n mu u

n m

n

n mu u du

1 121

= −+

+−

+

+ −−sen cos

sen cosn m

n mu u

n m

m

n mu u du

1 121

cos cos senu u du u u u C= + + 1sen cos cosn n nu u du u u n u u du−= +

u u duu

uu u

Ccos cos− −=−

−−

+ 12

122 1

4

1

4 +−+= −− C

uu

uduuu

2tan

2

1tan 1

21

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54

u u dun

u uu du

unn n

n

sen sen ,− + −+

=+

−−

≠ − 1 1 1

1

2

1

1 11

1 1 2sen sen 1u du u u u C− −= + − +

u u dun

u uu du

unn n

n

cos cos ,− + −+

=+

+−

≠ − 1 1 1

1

2

1

1 11

1 1 2cos cos 1u du u u u C− −= − − +

−≠

+−

+=

+−+− 1,

1tan

1

1tan

2

1111 n

u

duuuu

nduuu

nnn

( ) ++−= −− Cuuuduu 22111 1lntantan

Formas exponenciales y logarítmicas

( )ue dua

au e Cau au= − + 112 ln lnu du u u u C= − +

u e dua

u en

au e dun au n au n au= − − 1 1

( )( )[ ]u u du

u

nn u Cn

n

ln ln=+

+ − ++

1

211 1

( )e bu due

a ba bu b bu Cau

au

sen sen cos=+

− + 2 2 1

u udu u C

lnln ln= +

( )e bu due

a ba bu b bu Cau

au

cos cos sen=+

+ + 2 2

Formas hiperbólicas

senh coshu du u C= + += Cuduu 21tanlnsech

cosh senhu du u C= + += Cuduu tanhsech 2

+= Cuduu coshlntanh +−= Cuduu cothcsch 2

coth ln senhu du u C= + +−= Cuduuu sechtanhsech

+= − Cutanduu senhsech 1 +−= Cuduuu cschcothcsch

Otras formas cuadráticas

22

22

2 22

1au u duu a

au ua a u

aC− =

−− +

+− cos

du

a u u

a u

aC

2 2

1

−=

+− cos

u au u duu au a

au ua a u

aC2

2 3

62

22

22

31− =

− −− +

+− cos

udu

au ua u u a

a u

aC

22

2

2 1

−= − − +

+− cos

22

2

22 1

a u u

udu a u u a

a u

aC

−= − +

+− cos

du

u a u u

a u u

a uC

2

22

2

−= −

−+

( ) +

−+−+−=

−− C

a

uaauau

au

uau

duu 12

2

2

2

cos2

32

2

3

2

2 2 22

2

21

a u u

udu

a u u

u

a u

aC

−= −

−−

+− cos

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55

Regla de Simpson Para curvas hasta de tercer grado

( )0 1 243i

hA y y y= + +

Para curvas de grado mayor que el tercero

( ) ( )0 2 4 2 1 3 12 ... 4 ...3 n n n

hA y y y y y y y y− −

= + + + + + + + + +

Integrales múltiples

( )( )

2

1

( ),

b f x

x a y f xF x y dydx

= = ( )( ) 2

1

( ),

b f x

x a y f xF x y dy dx

= ==

Donde ( )y f x= 1 e ( )y f x= 2 son las ecuaciones de las curvas HPG y PGQ respectivamente, mientras que a y b son las abscisas de los puntos P y Q. Esta integral también se puede escribir así:

( )( )

2

1

( ),

d g y

y c x g yF x y dxdy

= = ( )( ) 2

1

( ),

d g y

y c x g yF x y dx dy

= ==

Dondex g y= 1( ) , x g y= 2 ( ) son las ecuaciones de las curvas HPG y PGQ, respectivamente, mientras que c y d son las ordenadas de H y G. Estas son las llamadas integrales dobles o integrales de área. Los anteriores conceptos se pueden ampliar para considerar integrales triples o de volumen así como integrales múltiples en más de tres dimensiones.

( ) ( )t

as s t r t dt′= =

Es la longitud de curva correspondiente al intervalo paramétrico a t, .

En parámetro arbitrario: En parámetro s:

Vector tangente unitario ( )

( )( )

r tt t

r t

′=

( ) ( )t s r s=

Vector normal principal ( ) ( ) ( )n t b t t t= ×

n sr s

r s( )

( )( )

=

Vector binormal ( )

( )( )

r r tb t

r r t

′ ′′×=′ ′′×

( ) ( )( )

( )

r s r sb s

r s

×=

Los vectores unitarios t n b, , forman una triada positiva ( )

b t n n b t t n b= = =x x x, ,

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56

Recta tangente en t0 Ecuación vectorial: Ecuación paramétrica

( ) ( ) ( ) r r t r tλ λ= + ′0 0

x x

x

y y

y

z z

x

−′

= −′

= −′

0

0

0

0

0

0

Plano oscilador( )

t n, en t0 Ecuación vectorial Ecuación paramétrica

( )( ) ( ) ( )( ) r r t r t xr t− • ′ ′′ =0 0 0 0

x x y y z z

x y z

x y z

− − −′ ′ ′′′ ′′ ′′

=0 0 0

0 0 0

0 0 0

0

Curvatura y torsión

32 2

´

1 ( )

y

y

κ = +

( )( ) ( )

( )( )

( ) ( ) ( )( )( ) ( )

κ τtr t r t

r tt

r t r t r t

r t r t=

′ ′′′

=′ ⋅ ′′ ′′′

′ ′′

x x

x3 2

( ) ( )s r sκ = d

T k Nds

=

d

N B kTds

τ= −

d

B Nds

τ= −

Plano normal Ecuación vectorial: Ecuación paramétrica:

( )( ) ( ) r r t r t− ⋅ ′ =0 0 0 ( ) ( ) ( )′ − + ′ − + ′ − =x x x y y y z z z0 0 0 0 0 0 0

Plano rectificante ( ) t b, en t0

Ecuación vectorial: Ecuación paramétrica:

( )( ) ( ) r r t n t− ⋅ =0 0 0

x x y y z z

x y z

y z y z z x z x x y x y

- - -0 0 0

0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0′ ′ ′′ ′′ − ′′ ′ ′ ′′ − ′′ ′ ′ ′′ − ′′ ′

=

Componentes tangencial y normal de la aceleración

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57

.T

aa Ta ν

ν

→ →→ →

→= =

N

x aa Na

ν

ν

→ →

→ →

→= =

Propiedades de la divergencia

( ) ( )

) div( ) div( ) div( )

) div( ) div( ) (grad )

) div( ) rot - rot

i F G F G

ii F F F

iii F G G F F G

φ φ φ+ = +

= + •

+ = • •

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58

Geometría

Áreas

Círculo =

Trapecio A=B b+

2 h

Triángulo A=ab bhsen α

2 2=

Volúmenes

Prismas V= SB h donde SB = área de la base

Pirámides V=S hB

3

donde SB = área de la base

Volumen = 43

3π r

Área de la superficie = 4 2π r

Volumen = πr h2

Área de la superficie lateral = 2π rh

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59

Volumen = 13

2πr h

Área de la superficie lateral = + =π πr r h r l2 2

Volumen ( )= + +13

2 2π h a a b b Área de la superficie lateral

( ) ( )( )

= + + −= +

ππ

a b h b a

a b l

2 2

Geometría analítica plana

Distancia entre dos puntos ( ) ( )x x y y2 1

2

2 1

2− + −

Pendiente de una recta 2 1

2 1

y ym

x x

−=

Ecuación de una recta 1 1m( ); 0y y x x Ax By C− = − + + =

Ángulo entre rectas 1 2

1 2

m mtan

1 m mθ −=

+

Circunferencia 2 2 2 2 2( ) ( ) ; 0x h y k r Ax Ay Dx Ey F− + − = + + + + = Parábola

Eje vertical 2 2( ) 4 ( ); 0x h p y k Ax Dx Ey F− = − + + + =

Eje horizontal 2 2( ) 4 ( ); 0

4 e 1

y k p x h By Dx Ey F

LR p

− = − + + + == =

Elipse

Eje focal horizontal ( ) ( )x h

a

y k

b

−+

−=

2

2

2

21 ; a> b

Eje focal vertical ( ) ( )x h

b

y k

a

−+

−=

2

2

2

21 ; a> b

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Dirección de Diseño, Ingenierías y Arquitectura

60

22 2 2

2 2

2; ; 1

0; 0

b ca b c LR e

a a

Ax Cy Dx Ey F AC

= + = = <

+ + + + = >

Hipérbola

Eje focal horizontal ( ) ( )x h

a

y k

b

−−

−=

2

2

2

21

Eje focal vertical ( ) ( )y k

a

x h

b

−−

−=

2

2

2

21

2

2 2 2

2 2

2; ; 1

0; 0

b cc a b LR e

a a

Ax Cy Dx Ey F AC

= + = = >

+ + + + = <

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Dirección de Diseño, Ingenierías y Arquitectura

61

Geometría analítica del espacio Considerando ( )P x y z1 1 1 1= , , y ( )P x y z2 2 2 2= , , Vector que une P1 y P2:

( ) ( ) ( ) ( )P P x x y y z z l m n1 2 2 1 2 1 2 1= − − − =, , , ,

Distancia entre dos puntos:

( ) ( ) ( )d x x y y z z l m n= − + − + − = + +2 1

2

2 1

2

2 1

2 2 2 2

Recta que pasa por dos puntos: Forma paramétrica:

x x l t= +1 y y mt= +1 z z nt= +1 Forma simétrica:

tx x

l= − 1 t

y y

m= − 1 t

z z

n= − 1

Cosenos directores:

cosα = − =x x

d

l

d2 1 cosβ = − =y y

d

m

d2 1 cos γ = − =z z

d

n

d2 1

donde α β γ, , denotan los ángulos que forman la línea que une los puntos P1 y P2 con la parte positiva de los ejes x, y, z, respectivamente. Ecuación del plano:

- Que pasa por un punto P1(x1, y1, z1) y tiene vector normal a a a a→

= 1 2 3, , :

( ) ( ) ( )a x x a y y a z z1 1 2 1 3 1 0− + − + − =

-Forma general:

Ax By Cz D+ + + = 0

cos cos cos2 2 2 1α β γ+ + = o l m n2 2 2 1+ + =

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62

Distancia del punto P0(x0, y0, z0) al plano 0Ax By Cz D+ + + =

dAx By Cz D

A B C=

±+ + +

+ +0 0 0

2 2 2

en la cual el signo debe escogerse de tal manera que la distancia no resulte negativa. Coordenadas cilíndricas:

x r

y r

z z

===

cos

sen

θθ ( )

==

+=−

zz

yxr

xy1

22

tanθ

Coordenadas esféricas:

===

φρθφρθφρ

cos

cos

z

senseny

senx

( )2 2 2

1

1

2 2 2

tan

cos

yx

x y z

z

x y z

ρ

θ

ϕ

= + + =

= + +

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63

Definiciones geométricas importantes

Ángulo entre dos rectas en el plano 1 2

1 2

tan1

m m

m mα −=

+

Producto escalar para a y b que pertenecen a R3 a b a b a b a b• = + +1 1 2 2 3 3

Producto vectorial a

i j k

a a a

b b b

x b = 1 2 3

1 2 3

Producto mixto [ ]a b c

a a a

b b b

c c c

=1 2 3

1 2 3

1 2 3

Ángulo entre dos vectores cosθ =a • b

a b ; senθ =

a x b

a b

Ecuación vectorial de la recta p p= o + tu

Ecuaciones paramétricas de la recta ( )x x at

y y bt

z z ct

u a b co

o

o

= += += +

= , ,

Ecuaciones cartesianas de la recta, en forma simétrica

x x

a

y y

b

z z

co o o−

=−

=−

u a= ( , b, c)

Distancia de un punto Q a una recta dP Qo

= x u

u

Distancia entre dos rectas ( )1 2 1 2

1 2

u x u

PP u x ud

•=

Ecuación vectorial de un plano p p ru svo= + +

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64

Ecuaciones paramétricas de un plano

x x ru sv

y y ru sv

z z ru sv

o x x

o y y

o z z

= + += + += + +

Ecuación cartesiana de un plano en forma general

0Ax By Cz D+ + + =

N A= ( , B, C)

Ecuación normal de un plano ( )PoP N 0 ; N A ,B, C• = =

Distancia de un punto Q a un plano dPoQ N

N=

Ángulo entre una recta y un plano N

senu N

uα •=

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65

Trigonometría Medida de ángulos planos Representación: La medida de un ángulo puede expresarse en unidades comunes (grados) o en unidades de arco (radianes). Se representa a veces, respectivamente, por α y α . Unidades comunes (sexagesimales): grado (°), minuto ('), segundo ("). 1° = 60'; 1' = 60"

Unidad de arco: 1 radián (rad) es el ángulo central de una circunferencia de radio unitario que intercepta un arco también unitario. Por lo tanto,

11 1(número adimensional)

1= =m

radm

Con frecuencia no se indica específicamente la unidad, como en la siguiente tabla.

α 0° 30° 45° 60° 75° 90° 180° 270° 360°

α 0 / 6π / 4π / 3π 5 / 12π / 2π π 3 / 2π 2π 0 0.52 0.78 1.05 1.31 1.57 3.14 4.71 6.28

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66

Equivalencias. Por definición:

180360 2 rad, 1 rad = 57.2967

1 rad = 0.017453 rad180

ˆ =180 57.2967

longitud de arcoˆ =

radio

°° = = °

° =

=

= arc

ππ

π

π αα α

α α

La longitud de un arco (b) es el producto del radio r y el ángulo central α (en radianes) de la circunferencia:

b = rα Funciones trigonométricas En un triángulo rectángulo:

cateto opuestosen

hipotenusa

cateto adyacentecos

hipotenusa

cateto opuestotan

cateto adyacente

a

c

b

c

a

b

α

α

α

= =

= =

= =

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67

Operaciones con funciones trigonométricas

sen cos2 2 1A A+ = sen cos2 12

12 2A A= −

sec tan2 2 1A A− = cos cos2 12

12 2A A= +

csc cot2 2 1A A− = sen sen cos2 2A A A=

tansen

cosA

A

A= cos cos sen2 2 2A A A= −

cotcos

senA

A

A= ( )sen sen cos cos senA B A B A B± = ±

sen cscA A=1 ( )cos cos cos sen senA B A B A B± =

cos secA A=1 ( )tan A BtanA tanB

tanAtanB± =

±1

tan cotA A=1 sencosA A

2

1

2= ± −

( )sen sen− = −A A cos

cosA A

2

1

2= ± +

( )cos cos− =A A ( ) ( )[ ]sen sen cos cosA B A B A B= − − +12

( ) AA tantan −=− ( ) ( )[ ]sen cos sen senA B A B A B= − + +12

( ) ( )[ ]cos cos cos cosA B A B A B= − + +12

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68

Las leyes siguientes son válidas para cualquier triángulo plano ABC de lados a, b, c y de ángulos A, B, C. Ley de los senos

a

A

b

B

c

Csen sen sen= =

Ley de los cosenos

c a b a b C2 2 2 2= + − cos

Los otros lados y ángulos están relacionados en forma similar Ley de las tangentes

( )( )

a b

a b

tan A B

tan A B

+−

=+−

1212

Los otros lados y ángulos están relacionados en forma similar Teorema de Pitágoras

2 2 2a b c+ = Valores de las funciones de ángulos importantes

θ sen θ cos θ tan θ cot θ sec θ csc θ

0° 0 1 0 ∞ 1 ∞

30° 2

1 2

3 3

3 3 3

32 2

45° 2

2 2

2 1 1 2 2

60° 2

3 2

1 3 3

3 2 3

32

90° 1 0 ∞ 0 ∞ 1

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69

Relaciones entre ángulo simple, ángulo doble y mitad de ángulo:

sinα = cosα = tanα = cotα = cos(90 )α° − ° − αs n(90 )e cot(90 )α° − tan(90 )α° −

21 cos α− − α21 s ne 1

cotα

1tanα

⋅2s n cos2 2

eα α

−2 2cos s n2 2

eα α

s ncose α

α

αα

coss ne

2

tan

1 tan

αα+

2

cot

1 cot

αα+

− 2

s n

1 s n

e

e

αα

2

cos

1 cos

αα−

2cos cos2α α− − 21 2 s n2

2

11

cos α− −

2

11

s ne α

2

1

1 cot α+

2

1

1 tan α+

2

2 tan2

1 tan2

α

α+

2

2

1 tan2

1 tan2

α

α

+

2

2 tan2

1 tan2

α

α−

2cot 12

2 cot2

α

α

=s n2e α cos2α = tan2α = cot2α =

⋅2 s n cose α α

−2 2cos s neα α 2

2 tan

1 tan

αα−

2cot 1

2cotα

α−

22 cos 1α − 2cot tanα α−

1 1

cot tan2 2

α α− − 21 2sen α

=s n2

cos2α = tan

2α = cot

2α =

1 cos2

α−

1 cos2

α+

+s n

1 cose α

α

−s n

1 cose α

α

−1 coss ne

αα

+1 coss ne

αα

1 cos1 cos

αα

−+

1 cos1 cos

αα

+−

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70

Números complejos Forma trigonométrica o polar de un número complejo

Se tiene que ( , )r z x y= = y que 1arg( ) tan

yz

x− θ = =

Luego:

sin sin

cos cos

yy r

rx

x rr

θ = = θ θ = = θ

Por lo tanto:

( , ) cos sin (cos sin )z x y x yi r i r r i= = + = θ + θ = θ + θ Forma exponencial de un número complejo Sea (cos sin )z r i= θ + θ un número complejo donde r es su módulo y θ su argumento. Entonces mediante el empleo de la fórmula de Euler se obtiene:

(cos sin ) iz r i r e θ= θ + θ = Teorema de De Moivre Siendo p un número real cualquiera, el teorema de De Moivre establece que

r cosθ + isenθ( )[ ]p= rp cos pθ + isenpθ( )

Sea n cualquier entero positivo y p n= 1 , entonces

r cosθ + isenθ( )[ ]1n = r

1n cosθ +2kπ

n + isenθ +2kπn[ ]

donde k es un entero positivo. De aquí se pueden obtener las n raíces n-ésimas distintas de un número complejo haciendo 1,,2,1,0 −= nk

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71

Análisis vectorial Magnitud, dirección y componentes de vectores. Vector: Representación de una cantidad física con magnitud y dirección.

Coordenadas del punto inicial del vector

Coordenadas del punto final del vector

Vectores unitarios sobre los ejes Componentes escalares

Componentes vectoriales

Magnitud de un vector: (o bien, )

( siempre )

Cosenos directores de un vector:

son los ángulos entre el vector y los ejes

, ,

Cálculo de las componentes. Si se conocen ,

A 1 1 1: , ,a x y z

B 2 2 2: , ,a x y z

, , : , ,OX OY OZ i j k

, , 0x y za a a ><

2 1

2 1

2 1

x

y

z

a x x

a y y

a z z

= −= −= −

x y z

x y z

a a a a

a a i a j a k

= + += − +

a

a

2 2 2| | x y za a a a= + +| |a

0≥

cos , cos , cosα β γ

, , α β γ a

, , .OX OY OZ ( ), , 0 180 .α β γ = ° °

cos| |xa

aα = cos

| |ya

aβ = cos

| |za

aγ =

| |, , , a α β γ

| | cos ;xa a α= | | cos ;ya a β=

| | cosza a γ=

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72

Observación: Operaciones vectoriales como la determinación de magnitudes, cosenos directores, sumas y productos se llevan a cabo con las componentes de los vectores a lo largo de los ejes

Adición y sustracción de vectores

Suma vectorial de dos vectores libres y

Diferencia vectorial de dos vectores libres y

Valores importantes

para 2

vectores

0°; 360° 90° 180° 270°

0

Suma vectorial de dos vectores libres y , , etc.:

, , .OX OY OZ

s

ab

2 2 2

, ,

| |

x y z

x x x y y y z z z

x y z

s a b s i s j s k

s a b s a b s a b

s s s s

= + = + += + = + = +

= + +

s

ab

2 2 2

( )

, ,

| |

x x x y y y z z z

x y z

s a b

s a b s a b s a b

s s s s

= + −= − = − = −

= + +

| |s

ϕ

| | | |a b≠

| | | |a b+ 2 2| | | |a b+

| | | |a b− 2 2| | | |a b+

| | | |a b= 2 | |a

| | 2a

| | 2a

s

abc−

2 2 2

, ,

| |

x y z

x x x x y y y y z z z z

x y z

s a b c s i s j s k

s a b c s a b c s a b c

s s s s

= + − + = + += + − + = + − + = + − +

= + +

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73

Producto de un escalar por un vector Escalar: Magnitud física sin dirección. El producto escalar con el vector da el vector

Si entonces por lo que

Si entonces por lo que

Productos de dos vectores libres

El producto escalar de dos vectores libres y da el escalar Símbolo del producto escalar: punto “ˑ”

Valores importantes

0°; 360° 90° 180° 270°

0 0

Ejemplo: Trabajo de una fuerza en el desplazamiento

Fuerza Desplazamiento

k a

c

; ; ; | |x x y y z z

c k a

c k a c k a c k a c k a

= ⋅= ⋅ = ⋅ = ⋅ = ⋅

0,k > ,c a↑↑

0,k < ,c a↑↓

ab

k

1

cos | | | | cos

cos| | | |

x x y y z z

x x y y z z

k a b b a a b a b

k a b a b a b

a b a b a b

a b

ϕ ϕ

ϕ −

= ⋅ = ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅= ⋅ + ⋅ + ⋅

⋅ + ⋅ + ⋅=

ϕ| | | | cosa b ϕ⋅

| || |a b+

| || |a b−

W Fs

W = × = F s⋅

cosW F s ϕ=

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74

El producto vectorial de dos vectores libres y da el vector Símbolo del producto vectorial: cruz “x”

, , forman una triada derecha

b

Φ

a

c<

(c = 0)>

Φ 180°<Φ<360°

0°<Φ<180°

a

b c

Valores importantes

0°; 360° 90° 180° 270°

0 0

A B• = ≤ ≤A B cosθ θ π0

donde θ es el ángulo formado por A y B

A B• = + +A B A B A B1 1 2 2 3 3 donde:

A i j k= + +A A A1 2 3

B i j k= + +∧ ∧ ∧

B B B1 2 3 Son resultados fundamentales:

Producto cruz: 1 2 3

1 2 3

i j k

A B A A A

B B B

∧ ∧ ∧

× =

( ) ( ) ( )kji ˆˆˆ122131132332 BABABABABABA −+−+−=

Magnitud del producto cruz sen θ× =A B A B

El operador nabla se define así:

ab

c

( )| | sin | || | sin

y

c a b b a

c ab a b

c a c b

ϕ ϕ= × = − ×

= =⊥ ⊥

abc

2 2 2| |

x y z z y

y z x x z

z x y y x

x y z

c a b a b

c a b a b

c a b a b

c c c c

= −= −= −

= + +

ϕ| | | | sina b ϕ⋅

| || |a b+

| || |a b−

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75

x y z

∂ ∂ ∂∇ = + +∂ ∂ ∂

i j k

En las fórmulas siguientes se asume que ( , , )U U x y z= y ( , , )A A x y z= tienen derivadas parciales.

Gradiente de U grad( )U U U

U U Ux y z x y z

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂= ∇ = + + = + + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ i j k i j k

Divergencia de A ( ) 31 21 2 3div( )

AA AA A A A A

x y z x y z

∂∂ ∂∂ ∂ ∂= ∇ • = + + • + + = + + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ i j k i j k

Rotacional de A ( )1 2 3

1 2 3

3 32 1 2 1

rotA A A A Ax y z x y z

A A A

A AA A A A

y z z x x y

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂= ∇ × = + + × + + = = ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂ − + − + − ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

i j k

i j k i j k

i j k

Laplaciano de U 2 2 2

22 2 2

( )U U U

U Ux y z

∂ ∂ ∂∇ = ∇ • ∇ = + +∂ ∂ ∂

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76

Función de fracciones racionales Descomposición

20 1 2

20 1 2

...( )( ) , donde y on enteros y

( ) ...

mm

nn

a a x a x a xP xy x n m s n m

Q x b b x b x b x

+ + + += = >+ + + +

Los coeficientes , pueden ser reales o complejos. Si son las raíces de , se obtiene la

forma factorizada:

1 21 2

( ) ( )( )

( ) ( ) ( ) ...( )k k kqq

P x P xy x

Q x x n x n x nα= =

− − −

En esta expresión pueden representarse raíces de multiplicidad 1 2, , ..., qk k k de ( )Q x , que pueden

ser reales o complejas; α es un factor constante. Descomposición de fracciones parciales Para lograr un manejo más sencillo de ( )y x es conveniente descomponerla en fracciones parciales:

1 111 122 1

1 1 1

2 221 222 2

2 2 2

1 2

2

( )( ) ...

( ) ( ) ( )

... ...( ) ( )

...( ) ( )

kk

kk

q q qkq

kqq q q

AA AP xy x

Q x x n x n x n

AA A

x n x n x n

A A A

x n x n x n

= = + + +− − −

+ + + +− − −

+ + +− − −

Si los coeficientes de ( )Q x son reales, aparecen raíces complejas por parejas (raíces complejas conjugadas). Para efectuar la descomposición se agrupan estas parejas en fracciones parciales

reales. Si en 2 1'1, b n n= (compleja conjugada de 1n ) y debido a su aparición por parejas 1 2 3k k k= = ,

entonces las fracciones parciales de ' 2b , con las constantes 11 2 2,..., kA A pueden agruparse en las

fracciones parciales:

1 111 11 12 122 2 2 2

...( ) ( )

k kk

B x CB x C B x C

x ax b x ax b x ax b

++ ++ + ++ + + + + +

aγ bμ nδ ( )Q x

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77

Series de Fourier

Toda función periódica f(x), que puede descomponerse en el intervalo de periodicidad xπ π− ≤ ≤ en un número finito de intervalos continuos, podrá descomponerse en ese intervalo en una serie convergente de la forma:

( ) ( ) ( )0

1

cos s n2

=

= + + n nn

af x a nx b e nx

Los coeficientes de cada término se forman como sigue:

( ) ( )1coska f x kx dx

π

ππ −

= ( ) ( )1s n

= π

ππkb f x e kx dx

Funciones pares: ( ) ( )f x f x= −

( ) ( )0

2coska f x kx dx

π

π= Para 0,1, 2, ,k =

0kb =

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78

Funciones impares: ( ) ( )f x f x= − −

0ka =

( ) ( )0

2s n=

π

πkb f x e kx dx Para

Tablas de desarrollo en series de Fourier

y a= para 0 x π< <

y a= − para π π< < 2x

= + + + 4 n(3 ) n(5 )

s n ...3 5

a se x se xy e x

π

y a= para xα π α< < −

y a= − para 2xπ α π α+ < < −

= ++ +

4 1cos s n cos(3 )s n(3 )

31

cos(5 )s n(5 ) ...5

ay e x e x

e x

α απ

α

y a= para 2xα π α< < −

( )2y f xπ= +

− − −= − +− − +

2 s n( ) s n2( )cos cos2

2 1 3

s n3( ) cos3 ...

3

a e ey x x

ex

π α π α π απ

π α

y

xo π 2π 3π

a

α

/y ax b= para 0 x b≤ ≤

y a= para b x bπ≤ ≤ −

( ) /y a x bπ= − para b xπ π− ≤ ≤

0,1, 2, ,k =

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79

= ++ +

2 2

2

4 1 1s n s n s n(3 )s n(3 )

1 31

s n(5 )s n(5 ) ...5

ay e b e x e b e x

b

e b e x

π

2ax

= para 0 2x π< <

( )2y f xπ= +

= − + + + s n s n2 s n 3

...2 1 2 3a a e x e x e x

2 /y ax π= para 0 / 2x π≤ ≤

( )2 /y a xπ π= − para / 2 xπ π≤ ≤

( )y f xπ= − +

= − + − 2 2 2

8 s n 3 s n 5s n ...

3 5e x e x

y a e xπ

/y ax π= para 0 x π≤ ≤

( )2 /y a xπ π= − para 2xπ π< <

( )2y f xπ= +

2 2 2 2

4 cos cos 3 cos 5...

2 1 3 5

a a x x xy

π

= − + + +

= s ny a e x para 0 x π≤ ≤

= − s ny a e x para 2xπ π≤ ≤

( )y f xπ= +

2 4 cos 2 cos 4 cos 6...

1 3 3 5 5 7a a x x x

yπ π

= − + + + ⋅ ⋅ ⋅

0y = para 0 / 2x π≤ ≤

= −s n( /2)y a e x π para / 2 3 / 2xπ π≤ ≤

( )2y f xπ= +

2 2 2

2 1 cos2 cos 4 cos 6cos . ...

2 4 2 1 4 17 6 1

a x x xy x

ππ

= − + − + − − − −

2y x= para xπ π≤ ≤ −

( ) ( )2y f x f xπ= − = +

2

2 2 2

cos cos 2 cos 34 ...

3 1 2 3

x x xy

π = − − + −

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80

axy

π= para 0 x π< <

( )2y f xπ= +

= − + + + + − + −

2 2 2 2

2 cos cos2 cos 3...

4 1 2 3s n s n2 s n 3

...1 2 3

a a x x xy

a e x e x e xπ

π

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81

Transformada de Fourier Definiciones:

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

jwt

1 jwt

F s t S w s t e dt; j 1

1F S w s t S w e dw; j 1

2

∞−

−∞∞

−∞

= = = −

= = = −π

Reglas de operación

Desplazamiento en tiempo ( ) ( ) jwtF s t S w e−− τ =

Convolución

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

( )

( ) ( ) ( ) ( )

1 2 1 2 2 1

1 2 1 2

1 2 1 2

s t s t s s t d s * s t d

F s t s t S w * S w

F s t S w

1 wF s at S , a 0

a a

F s t s t S w S w

∞ ∞

−∞ −∞⋅ = τ ⋅ − τ τ = τ − τ τ

⋅ =

=

= >

+ = +

Enseguida se indican las densidades espectrales calculadas para algunas importantes funciones del tiempo.

Función tiempo ( ) Densidad espectral ( ) Función rectángulo ∙ ( ) ( ) = 2 ( )/

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82

Función tiempo ( ) Densidad espectral ( ) Función rectángulo con cambio de signo

( ) = − 2 22

( ) = 4 (2 )

( ) = ( ) = ( ) = ( ) (Función rectángulo)

Función triángulo ( )

( ) = 22

Rectángulo modulado

∙ ( ) ( ) = =

( ) = ( + )+ + ( − )−

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83

Función tiempo ( ) Densidad espectral ( ) Impulso de Gauss

( ) = √ ∙

Impulso coseno ( ) =

( ) = 41 − 2

Impulso cos2 ( ) =

( ) = 4 44 11 − 4

Impulso exponencial

( ) = +

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84

Transformada de Laplace Definiciones:

Reglas de operación Linealidad

Teorema de traslación

Teorema de convolución

Cambio de variable

Diferenciación

Integración

0

-1

( ) ( ) ( ) ;

1 ( ) ( ) ( ) ; 1

2

st

st

L f t F s f t e dt

L F s f t F s e ds jjπ

∞−

+∞

−∞

= =

= = = −

1 2 1 2

1 1

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

L f t f t F s F s

L c f t cF s

+ = +⋅ =

( ) ( )asL f t a e F s−⋅ − =

1 2 1 2 2 10 0

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )t t

f t f t f f t d f f t dτ τ τ τ τ τ∗ = ⋅ − = ⋅ −

1 2 1 2 ( ) ( ) ( ) ( )L f t f t F s F s∗ = ∗1 ( ) ( )ta a

L f F a s= ⋅

2

1( ) ( ) 1

0

'( ) ( ) (0)

''( ) ( ) (0) '(0)

( ) ( ) (0)n

n n k n k

k

L f t sF s f

L f t s F s sf f

L f t s F s f s−

− −

=

= −

= − −

= − 1 ( ) ( )s

L f t dt F s⋅ =

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85

Tabla de transformadas de Laplace: f(t) L f(t)=F(s)

1. 1 1

s

2. =, 1, 2, 3,...nt n n

sn

!+1

3. −1/2t πs

4. ±ate 1

s a

5. senkt k

s k2 2+

6. coskt s

s k2 2+

7. senhkt k

s k2 2−

8. coshkt s

s k2 2−

9. ( )ate f t −( )F s a

10. μ − ≥( ), 0t a a e

s

as−

11. − − ≥( ) ( ), 0f t a U t a a − ( )ase F s

12. =( ), 1, 2, 3...nt f t n )()1( sFds

dn

nn−

13. =( ), 1, 2, 3...nf t n − −− − −1 ( 1)( ) (0) ... (0)n n ns F s s f f

14. ( ) ( ) τττ dtgf

t−

0 ( ) ( )F s G s

15. δ − ≥

0 0( ), 0t t t 0ste−

16. =, 1, 2, 3...n att e n n

s a n

!

( )− +1

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86

17. senate kt k

s a k( )− +2 2

18. cosate kt s a

s a k

−− +( )2 2

19. sent kt 22 2 2

ks

s k( )+

20. cost kt s k

s k

2 2

2 2 2

−+( )

21. −sen coskt kt kt 2 3

2 2 2

k

s k( )+

22. +sen coskt kt kt

( )222

22

ks

ks

+

23. −senh senkt kt 2 3

4 4

k

s k−

24. −cosh coskt kt 2 2

4 4

k s

s k−

25. −1 coskt

( )k

s s k

2

2 2+

26. − senkt kt ( )

k

s k

3

2 2 s2 +

27.

)bab(a

bsenatasenbt22 −

− ( )( )

12 2 2 2s a s b+ +

28.

22

coscos

ba

atbt

−−

( )( )s

s a s b2 2 2 2+ +

29. 1

30.

31.

( )tδ

1

( 1)!

nt

n

−1ns

exp( ) 1at −

( )a

s s a−

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87

32.

33.

34.

35.

36.

37.

38.

39.

40.

41.

42.

43.

44.

1 exp( / )T

t T− 11 Ts+

12

sin( )k

kt2 2 2( )

s

s k+

12

2

sin( )

cos( )kt

kt

kt

++

2

2 2 2( )

s

s k+

2

cos( )

sin( )k

kt

t kt

−−

3

2 2 2( )

s

s k+

,bt ate e

b ab a

− ≠−

1( )( )s a s b− −

1 sin( )atke kt− ⋅

2 2

1

( )s a k+ +

1

tπ1

s

2t

π1

s s

32

1

2 tπ−

⋅s

52

3

4 tπ ⋅s s

( )1 at bte et

− −− lns b

s a

++

1sin( )a tt

⋅1tan ( )a s−

2

4

2

at

ae

t tπ

; 0a se a− >

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88

45.

46. Función de Bessel

erfc2

a

t

1; 0a se a

s− ≥

( )oJ kt

2 2

1

s k+

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89

Probabilidad y estadística Parámetro Estimador Intervalo de confianza puntual (1-α) 100% Media μ

(varianza σ2 conocida)

Varianza σ2 (de una distribución normal)

Desviación estándar de distribución de medias

x n

σσ =

Valor promedio (media)

n

ii 1x

xn==

Media de medias

m

jj 1x

xn==

Intervalo o rango de valores

= −m ax m in

R V V

Media de rangos

m

jj 1R

Rm==

Xn

Xii

n=

=

1

1X z

nX z

n− ≤ ≤ +α α

σμ

σ

2 2

Sn

X Xn ii

n

−=

=−

−12 2

1

1

1( )

( ) ( )n S n Sn n−≤ ≤

−− −

1 112

2

2 12

12

χσ

χα α -1

2

, n-1

2

, n

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90

Hipótesis nula Estadístico de prueba

H0 : μ = μ0, σ2 conocida Z0 =

H0 : μ = μ0, σ2 desconocida t0

σ = σ2 20 0

H :

Regresión lineal

β ββ β

β

= =

=

=

=

= += −

= −

0 1

0 1

1 1

11 2

12

1

ˆ ˆˆ ˆˆ ˆˆ ˆ

ˆ

n n

i ini i

i ii

n

ini

ii

y x

y x

y x

y xn

x

xn

Coeficiente de correlación de la muestra =

= =

−=

− −

11/2

2 2

1 1

( )

( ) ( )

n

i ii

n n

i ii i

y x xr

x x y y

Permutaciones =−!

( )!n

r

nP

n r

Combinaciones ( )

= −

!

! !

n nr r n r

Permutaciones con objetos similares =1 2, ,...,

1 2

!! !... !k

n

n n n

k

nP

n n n

X

n

− μσ

0

=−

XS

nn

μ0

1

( )χ

σ02 1

21

0

2=

− −n Sn

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91

Probabilidad condicional ∩= ( )

( )( )

P A BP A B

P B

Teorema de Bayes

=

=

1

( ) ( )( )

( ) ( )

k k

k N

i ii

P B P A BP B A

P B P A B

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92

Tabla de distribución de probabilidad normal estándar

z 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0 0.5 0.504 0.508 0.512 0.516 0.5199 0.5239 0.5279 0.5319 0.5359

0.1 0.5398 0.5438 0.5478 0.5517 0.5557 0.5596 0.5636 0.5675 0.5714 0.5753 0.2 0.5793 0.5832 0.5871 0.591 0.5948 0.5987 0.6026 0.6064 0.6103 0.6141 0.3 0.6179 0.6217 0.6255 0.6293 0.6331 0.6368 0.6406 0.6443 0.648 0.6517 0.4 0.6554 0.6591 0.6628 0.6664 0.67 0.6736 0.6772 0.6808 0.6844 0.6879 0.5 0.6915 0.695 0.6985 0.7019 0.7054 0.7088 0.7123 0.7157 0.719 0.7224 0.6 0.7257 0.7291 0.7324 0.7357 0.7389 0.7422 0.7454 0.7486 0.7517 0.7549 0.7 0.758 0.7611 0.7642 0.7673 0.7704 0.7734 0.7764 0.7794 0.7823 0.7852 0.8 0.7881 0.791 0.7939 0.7967 0.7995 0.8023 0.8051 0.8078 0.8106 0.8133 0.9 0.8159 0.8186 0.8212 0.8238 0.8264 0.8289 0.8315 0.834 0.8365 0.8389 1 0.8413 0.8438 0.8461 0.8485 0.8508 0.8531 0.8554 0.8577 0.8599 0.8621

1.1 0.8643 0.8665 0.8686 0.8708 0.8729 0.8749 0.877 0.879 0.881 0.883 1.2 0.8849 0.8869 0.8888 0.8907 0.8925 0.8944 0.8962 0.898 0.8997 0.9015 1.3 0.9032 0.9049 0.9066 0.9082 0.9099 0.9115 0.9131 0.9147 0.9162 0.9177 1.4 0.9192 0.9207 0.9222 0.9236 0.9251 0.9265 0.9279 0.9292 0.9306 0.9319 1.5 0.9332 0.9345 0.9357 0.937 0.9382 0.9394 0.9406 0.9418 0.9429 0.9441 1.6 0.9452 0.9463 0.9474 0.9484 0.9495 0.9505 0.9515 0.9525 0.9535 0.9545 1.7 0.9554 0.9564 0.9573 0.9582 0.9591 0.9599 0.9608 0.9616 0.9625 0.9633 1.8 0.9641 0.9649 0.9656 0.9664 0.9671 0.9678 0.9686 0.9693 0.9699 0.9706 1.9 0.9713 0.9719 0.9726 0.9732 0.9738 0.9744 0.975 0.9756 0.9761 0.9767 2 0.9772 0.9778 0.9783 0.9788 0.9793 0.9798 0.9803 0.9808 0.9812 0.9817

2.1 0.9821 0.9826 0.983 0.9834 0.9838 0.9842 0.9846 0.985 0.9854 0.9857 2.2 0.9861 0.9864 0.9868 0.9871 0.9875 0.9878 0.9881 0.9884 0.9887 0.989 2.3 0.9893 0.9896 0.9898 0.9901 0.9904 0.9906 0.9909 0.9911 0.9913 0.9916 2.4 0.9918 0.992 0.9922 0.9925 0.9927 0.9929 0.9931 0.9932 0.9934 0.9936 2.5 0.9938 0.994 0.9941 0.9943 0.9945 0.9946 0.9948 0.9949 0.9951 0.9952 2.6 0.9953 0.9955 0.9956 0.9957 0.9959 0.996 0.9961 0.9962 0.9963 0.9964 2.7 0.9965 0.9966 0.9967 0.9968 0.9969 0.997 0.9971 0.9972 0.9973 0.9974 2.8 0.9974 0.9975 0.9976 0.9977 0.9977 0.9978 0.9979 0.9979 0.998 0.9981 2.9 0.9981 0.9982 0.9982 0.9983 0.9984 0.9984 0.9985 0.9985 0.9986 0.9986 3 0.9987 0.9987 0.9987 0.9988 0.9988 0.9989 0.9989 0.9989 0.999 0.999

3.1 0.999 0.9991 0.9991 0.9991 0.9992 0.9992 0.9992 0.9992 0.9993 0.9993 3.2 0.9993 0.9993 0.9994 0.9994 0.9994 0.9994 0.9994 0.9995 0.9995 0.9995 3.3 0.9995 0.9995 0.9995 0.9996 0.9996 0.9996 0.9996 0.9996 0.9996 0.9997 3.4 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9998 3.5 0.9998 0.9998 0.9998 0.9998 0.9998 0.9998 0.9998 0.9998 0.9998 0.9998 3.6 0.9998 0.9998 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 3.7 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 3.8 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 3.9 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

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93

Modelos probabilísticos comunes

Nombre Distribución Rango Media Varianza Función generatriz de momentos

Binomial n

x p qx n- x

x = 0,1, . . n np npq (q + p e )nθ

Geométrica

p qx-1 x = 1,2, . . .

1

p

q

p2

p e

1 - q e

θ

θ

De Pascal (Binomial negativa) qp

1r

1x rxr −

−−

x = r, r + 1, .r

p

rq

p2 pe

qe

θ1 −

De Poisson ( t ) e

x

x - tλ λ

! x = 0,1,2, . . λt λt λ θt(e -1)e

Uniforme 1

b - a a x b≤ ≤

a + b

2

(b - a )

12

2

b ae - e(b - a)

θ θ

θ

Exponencial

λ λ- xe x 0≥ 1

λ

12λ

λ

λ θ -

Normal

1

2 e

-1

2

2x-

πσ

μσ

- < x <∞ ∞ μ 2σ μ θ σ θ+

1

22 2

e

Ji-cuadrada x > 0 ν 2ν (1 - 2 )

vθ −

2

t de Student - < x <∞ ∞ 0

νν

ν- 2

, > 2

F (de Fisher)

0 < x < ∞

2

2

2

- 2 ,

> 2

νν

ν

21 22

21 2 2

2

2 ( + - 2)

( - 2 ( - 4))

> 4

ν ν νν ν ν

ν

Erlang λ λ λ( t ) e

(r - 1)!

r -1 - t

t > 0 r

λ

r2λ

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94

Física Mecánica Centroides Arco de circunferencia

( )( )( )

180απ α

= =

r sen rsy

b

Triángulo

1

3=y h

Sector de círculo

( )( )( )

2 180 2

33

απ α

= =

r sen rsy

b Trapecio

2

3

+= ⋅+

h a by

a b Segmento de corona circular

3 3

2 2

2

3

αα

−= ⋅ ⋅−

R r seny

R r

3 3

2 2

2

3

−= ⋅ ⋅−

R r sy

R r b

Segmento de círculo

3

12= s

yA

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95

Estática Fuerza aplicada paralelamente al plano de deslizamiento Fricción estática

φ

φ φ

= − == −< <

1 1 1

1 0

tan

(variable)

fF F G

N G

C

Valor límite

φ

μ φ μφ φ

= − == −= >= >

0 0 0

0 0

0

tan

tan

constante

fF F G

N G

Fricción dinámica

φ

μ φ μφ φ

= − == −= >= >

0

0

tan

tan

constante

fF F G

N G

Fuerza aplicada oblicuamente respecto al plano de deslizamiento

( )F = Gsen -

Gsen

sen -0

0

0

0

μα μ α

φ

α φcos=

Rozamiento en un plano inclinado

α φ μ= =tan tan Fricción de chumaceras De carga radial

μ=1 rM rF

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96

De carga axial

μ+

= 1 2

2f a

r rM F

Fricción rodante Rodamiento de un cilindro macizo

F = f

rN

f

rG≅

Condición de rodamiento

μ<0f

F N

Movimiento de una placa sobre rodillos

( )F =

f f G nf G

2r1 2 1 2 2+ +

Si = =1 2f f f y <

2 1nG G

F = f

rG1

Fricción en cables Fuerza de tracción para subir la carga G

μ μ= = −1

, ( 1)a a

fF e G F e G

Fuerza de tracción para bajar la carga G

μ μ− −= = −2

, (1 )a a

fF e G F e G

Transmisión de banda o correa

= = y ip p

MF F F

r

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97

En movimiento

FF

e0

p

a=−μ 1

F1 =−

Fe

ep

a

a

μ

μ 1

F Fe

ea p

a

a=+−

μ

μ

1

1 En reposo

( )( )F F

F e

e

aa

a0 1

1

2 1= =

+

μ

μ

F Fe

ea p

a

a=+−

μ

μ

1

1

Cinemática

θ

θ

ρθ

θ θ θ

= + + = =

= + =

= += − + +

2

2

ˆ ˆ

ˆ ˆ( ) ( 2 )

t n t

r

r

dr dvF xi yj zk v a

dt dtdv v

a u u v vudt

v ru r u

a r r u r r u

Movimiento en una dimensión

( )

( )

== +

= +

= +

= + +

= + +

= + −

0

0

0

0 0

20 0

2 20 0

12

12

12

2 ( )

x vt

x x vt

v v v

v v at

x x v v t

x x v t at

v v a x x

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98

Dinámica

W: peso

Características cinemáticas de puntos y segmentos rectilíneos Conceptos lineales y angulares1 Se tiene que son conceptos lineales:

r = posición, v= velocidad, a = aceleración, t = tiempo Se tiene que son conceptos angulares:

θ = posición, ω= velocidad,α= aceleración, t = tiempo Expresión que relaciona ambos conceptos:

v= ωx r Conceptos correspondientes a puntos y partículas en movimiento

Concepto Símbolo(s) más

común(es) Relación con otra(s)

función(es) Vector de posición (lineal)

Velocidad (lineal) , =

Aceleración (lineal) , = =

1 Por simplicidad se omite la dependencia del tiempo en las funciones. Por ejemplo: v(t) ≡ V.

ag

WamF

==

F Gm M

r= 2

F m dV dt= /

ABA

B XXX −=

ABA

B VVV −=

ABA

B aaa −=

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99

Conceptos correspondientes a segmentos rectilíneos que modifican su dirección durante el movimiento, y de cuerpos rígidos que contengan ese tipo de segmentos

Concepto Símbolo(s) más

común(es) Relación con otra(s)

función(es) Vector de posición (angular) θ

Velocidad (angular) , =

Aceleración (angular) , = =

Componentes cartesianas de los vectores de posición, velocidad y aceleración lineales para movimientos en el espacio, en un plano y rectilíneos.

= = + + = = + + = = + + ( ) , , r r t xi yj zk v r xi yj zk a r xi yj zk Entonces, si P se mueve en el plano xy tenemos:

= = + = + = + , , r r xi yj v xi yj a xi yj Si P realiza un movimiento rectilíneo cualquiera en el eje x se tienen:

= = = , , r xi v xi a xi Relaciones entre conceptos lineales y angulares.

ω ω α= × × + ×( )a r r Cinemática del cuerpo rígido = + = + + ( ) Ecuaciones aplicables a cualquier tipo de movimiento del cuerpo rígido. Centro y eje instantáneo de rotación.

ω= × Γv donde Γ es un vector perpendicular al eje instantáneo de rotación. Primeros momentos de la masa de un sistema de partículas. Con respecto a los planos xy, xz, yz tenemos:

= = =

= = = 1 1 1

, , n n n

xy i i xz i i yz i ii i i

M m z M m y M m x

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100

Primeros momentos de la masa de un cuerpo rígido.

= = = , , xy xz yz

V V V

M zdM M ydM M xdM

Ecuaciones escalares de centro de masa.

= = =

= = = 1 1 1

, , n n n

Xc i i Yc i i Zc i ii i i

M m x M m y M m z

Para cuerpos rígidos tenemos:

= = = , , Xc Yc Zc

V V V

M xdM M ydM M zdM

Momentos de inercia de la masa de un cuerpo rígido.

= + = + = + xx xz xy yy yz xy zz yz xzI MM MM I MM MM I MM MM

Dinámica de la partícula Ecuaciones de movimiento

=F ma

= Fam

Trabajo y energía

= •dT p dr Energía cinética y su relación con el trabajo realizado por la fuerza resultante que actúa sobre una partícula

= 212

EC mv

Impulso y cantidad de movimiento lineales

= −1

2 12

( ) ( )dt mv mvF

Ecuación del impulso y la cantidad de movimiento lineales Ecuación diferencial de movimiento para sistemas de partículas

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101

=

= 11

n

ii

m aF

Ecuación fundamental para el estudio de la dinámica del cuerpo rígido.

=c

F Ma

= =

= −

2

1 11 2 1

n n

i i i ii i

dt m v m vF

Ecuación de impulso y cantidad de movimiento lineales para sistemas de partículas Principio de la conservación de la cantidad de movimiento lineal para sistemas de partículas.

01121

=

==

n

iiii

n

ii mm νν

Ecuación para obtener la cantidad de movimiento angular de un cuerpo rígido.

ω=CC CCH I

Ecuación para obtener la suma de los momentos de los elementos mecánicos que actúan sobre un cuerpo rígido.

α=CC CCM I

Momento de un sistema de fuerzas y/o pares que actúan sobre un cuerpo, con respecto el eje CC.

ρ=

= 1

( * )n

CC i ii

M F

Primera forma de la ecuación del trabajo y la energía para un cuerpo rígido que realiza un movimiento plano general.

2CC

2

1

2

11

2

1

1

2I

2

1

2

1FrF V ωθρ +=+•+•

==c

Mdddn

jji

n

iiC jQ

Ecuación del impulso y la cantidad de movimiento angulares.

( ) −2

1 12 = M ωωCCCC Idt

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102

Modelo matemático correspondiente a las vibraciones libres con un grado de libertad. + = 0 con = Modelo matemático correspondiente a las vibraciones forzadas con un grado de libertad. + = con =

Trabajo, energía y conservación de la energía = . = . = = . = . P: potencia = η: eficiencia = Δ = − = K: energía cinética W = −Δν = ν − ν V: energía potencial ( ) = = 12

Impulso e ímpetu

: ímpetu

: impulsof i

I Fdt

I p

p mv p

p p p Fdt p

=

= Δ=

Δ = − = Δ

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103

Electricidad y magnetismo

1 2 1 21 22 2

0

= : flujo eléctrico

: potencial ele

E E

q q q qrF k F k r r r

r r r

FE

q

qE dA

qV k V

r

ε

= = = −

=

Φ ⋅ = Φ

=

1

1 1 0

ctróstatico

: energía potencial electrostática4

bb a ab

b a

a

m ii j

i j ij

U U WV V E dl

q q

q qU U

rπε

= =

−− = = − = − ⋅

=

Capacitancia

0

0

0

: capacitancia

Capacitor de placas paralelas

= : constante dieléctrica

2

ln( / )

q CV C

AC k

dA

C k kd

lC k

b a

ε

ε ε ε

πε

=

=

=

=

22

20

Capacitor cilíndrico

1 1 U: energía almacenada en un capacitor

2 2 21

: densidad de energía2

qU CV qV

C

u k E uε

= = =

=

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104

Corriente, resistencia y fuerza electromagnética

: corriente eléctrica

: densidad de corriente, : área

: resistividad

:

i i ii

qi i

ti nqvA

ij n q v j A

A

E

j

V lR R

i A

ρ ρ

ρ

=

=

= =

=

= =

0

22

resistencia

(1 ) Variación de R con la temperatura

Elevaciones de potencial Caídas de potencial 0

: potencia eléctric

ab

ent sal

i

R R t

V IR

i i

v

VP Vi Ri P

R

αε

= + Δ

= −

=

= =

= = =

a

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105

Magnetismo

0

0

: velocidad, : campo magnético

: elemento de longitud

= sen

2

F qv B v B

F il B l

NiAB

B dl i

B dA

iB

r

τ θ

μ

μπ

= ×

= ×

⋅ =

Φ = ⋅

=

0

0

0

01 2

: distancia

2

N: número de vueltas2

sen : radio4

(cos -cos )4

- B

r

IB

aNi

BrI

dB d ra

IB

ad

dt

μ

μπμ θ θπ

μ θ θπ

ε

=

=

=

=

Φ= : fuerza electromagnética

-vBl

d

dt

ε

ε

ε

=Φ=

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106

Equivalencias Longitud

m in ft mi 1 m 1 39.37 3.281 6.214x10-4

1 in 2.54x10-2 1 8.333x10-2 1.578x10-5

1 ft 0.3048 12 1 1.894x10-4

1 mi 1 609 6.336x104 5 280 1 Masa

Kg uma lb 1 kg 1 6.022x1026 2.205 1 uma 1.661x10-27 1 3.662x10-27

1 lb 0.4536 2.732x1026 1 Fuerza

dina N lbf kgf 1 dina 1 10-5 2.248x10-6 1.020x10-6

1 N 105 1 0.2248 0.1020 1 lbf 4.448x105 4.448 1 0.4536 1 kgf 9.807x105 9.807 2.205 1

Presión

atm mm Hg Pa bar 1 atm 1 760 1.013x105 1.013 1 mm Hg 1.316x10-3 1 133.3 1.333x10-3

1 Pa 9.869x10-6 7.501x10-3 1 10-5

1 bar 0.987 750.062 105 1 Energía, trabajo, calor

Btu HP·h J cal kWh eV 1 Btu 1 3.929x10-4 1 055 252 2.930x10-4 6.585x1021

1 HP·h 2 545 1 2.385x106 6.413x105 0.7457 1.676x1025

1 J 9.481x10-4 3.725x10-7 1 0.2389 2.778x10-7 6.242x1018

1 cal 3.969x10-3 1.560x10-6 4.186 1 1.163x10-6 2.613x1019

1 kWh 3 413 1.341 3.600x106 8.600x105 1 2.247x1025

1 eV 1.519x10-22 5.967x10-26 1.602x10-19 3.827x10-20 4.450x10-26 1 Campo magnético

gauss T 1 gauss 1 10-4

1 tesla 104 1

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107

Flujo magnético maxwell Wb 1 maxwell 1 10-8

1 weber 108 1

1 rpm = 6.283 rad/min

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108

Química Constantes Carga del electrón = -1.6021 x 10-19 C Carga del protón = 1.6021 x 10-19 C Masa electrón = 9.1094 x 10-31 kg Masa protón = 1.673 x 10-27 kg Constante de Boltzmann = 1.3805 x 10-23 J/K Constante de Planck = 6.6261 x 10-34 J s Constante gravitacional G = 6.67384 x 10-11 Nm2/kg2 Constante dieléctrica εo = 8.8542 x 10-12 F/m Constante de permeabilidad = 4π x 10-7 H/m = 1.2566 x 10-6 H/m Electrón-volt (eV) = 1.6021 x 10-19 J Radio medio de la Tierra = 6.378 x 106 m Distancia de la Tierra a la Luna = 3.844 x 108 m Masa de la Tierra = 5.972 x 1024 kg Masa de la Luna = 7.349 x 1022 kg Aceleración en la superficie de la:

Luna 1.62 m/s2 Tierra g = 9.81 m/s2

ρCu = 1.71 x 10-8 Ω.m ρAl = 2.82 x 10-8 Ω.m ρAg = 1.62 x 10-8 Ω.m ρFe = 9.71 x 10-8 Ω.m δCu = 8.96 x 103 kg/m3 δAl = 2.7 x 103 kg/m3 δmadera = 0.6 - 0.9 x 103 kg/m3

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109

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110

Análisis de circuitos eléctricos Ley de Ohm

VI

Z=

donde: I = Corriente [A] V= Voltaje [V] Z = Impedancia [Ω] Voltaje y corriente en elementos reactivos Capacitor

1cV Idt

C= c

dVI C

dt=

Inductor libre de acoplamientos magnéticos

1LI Vdt

L= L

dIV L

dt=

Inductor con acoplamientos magnéticos

1

1N

L ll kl

I V dtL=

= 1,2,3...,k N= 1

Nl

L ll

dIV L

dt=

= 1,2,3...,k N=

donde: Lkl = Inductancia mutua entre el inductor k y el inductor l. N = número total de inductores que se encuentren acoplados Divisor de corriente Si el circuito está integrado sólo por dos elementos:

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111

AB f

A B

RI I

R R=

+ A

B fA B

ZI I

Z Z=

+

Si el circuito se encuentra formado por más de una resistencia por rama:

rama contrariaRx f

T

RI I

R=

rama contrariaZx f

T

ZI I

Z=

donde

rama contrariaR es la resistencia de toda la rama y TR es la suma de las resistencias

de cada una de las ramas. Divisor de voltaje

BRB f

A B

RV V

R R=

+ A

RA fA B

RV V

R R=

+

Leyes de Kirchhoff

Ley de Kirchhoff de voltaje Ley de Kirchhoff de corriente

1

0eN

kk

V=

= 1

0iN

kk

I=

=

donde:

eN = Número de caidas o elevaciones de tensión en una malla cerrada

iN = Número de corrientes que entran o salen a un nodo

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112

Potencia Potencia activa

( ) [ ]

( ) [ ]

( ) [ ]

2

2

cos

cos

cos

P VI W

VP W

Z

P I Z W

θ

θ

θ

=

=

=

Potencia reactiva

( ) [ ]

( ) [ ]

( ) [ ]

2

2

sin

sin

sin

Q VI VAR

VQ VAR

Z

Q I Z VAR

θ

θ

θ

=

=

=

Potencia compleja

[ ]*S VI VA=

Factor de potencia

( )cospf θ=

Resonancia RLC serie

1s

LCω =

1

2sf

LCπ=

1

s

LQ

R C=

3 2 1dBBW f f− = −

2

1

1 1 4

2 2 2

R Rf

L L LCπ

= − + +

2

2

1 1 4

2 2 2

R Rf

L L LCπ

= + +

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113

Resonancia RLC paralelo

211

2l

p

R Cf

LLCπ= −

||s p

pL

R RQ

X=

1

2pf

LCπ=

2||TP s lZ R Q R=

TP

pp

ZQ

Lω=

Circuitos excitados con señales senoidales de diferentes frecuencias

Sea ( )V t una función de la forma:

( ) ( ) ( ) ( )1 1 1 2 2 2 ...o n n nV t V V sen t V sen t V sen tω α ω α ω α= + + + + + + +

Entonces, el voltaje eficaz (RMS) en una red excitada con una tensión ( )V t es:

2 2

1

1

2

n

rms o kk

V V V=

= + donde 1,2,3,...,k n=

Sea ( )I t una función de la forma:

( ) ( ) ( ) ( )1 1 1 2 2 2 ...o n n nI t I I sen t I sen t I sen tω β ω β ω β= + + + + + + +

La corriente eficaz (RMS) en una red en la que circula una corriente ( )I t es:

2 2

1

1

2

n

rms o kk

I I I=

= + donde 1,2,3,...,k n=

La potencia media es:

( )1

1cos

2

n

o o k k k kk

P V I V I α β=

= + − donde 1,2,3,...,k n=

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114

Impedancia y admitancia de una red pasiva de dos terminales Impedancia

kk

klT Zcof

ZZ

Δ=

Admitancia

kk

klT Ycof

YY

Δ=

Teoremas de redes Teorema de Thevenin Pasos para obtener el circuito equivalente de Thevenin

• Identificar los nodos A y B dentro del circuito donde se desea encontrar el circuito equivalente de Thevenin.

• Desconectar del circuito original el circuito del que se desea obtener su equivalente. Entre los nodos A y B debe considerarse un circuito abierto.

• Calcular el voltaje en los puntos A y B ( thV ).

• Poner en cortocircuito los nodos A y B y calcular la corriente de corto circuito (

ccI ).

• Calcular la impedancia de Thevenin como:

thth

cc

VZ

I=

• Construir el circuito equivalente de Thevenin. • El teorema de Thevenin se puede aplicar para redes que cuenten con

acoplamientos magnéticos, siempre y cuando, éste no se encuentre dentro por completo dentro del circuito al que se desea encontrar el equivalente.

Teorema de Norton Pasos para obtener el circuito equivalente de Norton

• Identificar los nodos A y B dentro del circuito donde se desea encontrar el circuito equivalente de Norton.

• Desconectar del circuito original el circuito del que se desea obtener su equivalente. Entre los nodos A y B debe considerarse un corto circuito.

• Calcular la corriente de Norton que circula entre los nodos A y B ( NI ).

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115

• Considerar entre los nodos A y B u circuito abierto y calcular el voltaje de

circuito abierto ( caV ).

• Calcular la impedancia de Norton como:

caN

N

VZ

I=

• Construir el circuito equivalente de Norton. • El teorema de Norton se puede aplicar para redes que cuenten con

acoplamientos magnéticos, siempre y cuando, éste no se encuentre dentro por completo dentro del circuito al que se desea encontrar el equivalente.

Teorema de reciprocidad Si se tiene un circuito formado sólo por elementos pasivos, entonces, es posible aplicar el teorema de reciprocidad. Si este circuito tiene una fuente de corriente o voltaje a la entrada, entonces, los pasos para aplicar el teorema de intercambio de fuentes son:

• Identificar los nodos A y B donde se va a aplicar el teorema de reciprocidad. • Calcular el voltaje o corriente entre A y B. • Desconectar la fuente de entrada y conectarla entre A y B. • Si la fuente es de voltaje, la entrada se cortocircuita. Si la fuente es de

corriente, la entrada se pone en circuito abierto. • La corriente o el voltaje, según sea el caso, a la entrada del circuito es la

misma que en el caso original. Teorema de superposición Si el circuito es lineal es posible aplicar este teorema. Los pasos necesarios son:

• Identificar el número de fuentes que se encuentran en el circuito. • Seleccionar una de ellas y con el resto de las fuentes debe considerarse lo

siguiente: si es una fuente de voltaje, ésta debe substituirse por un corto circuito y si es una fuente de corriente, ésta debe substituirse por un circuito abierto.

• Obtener los voltajes y corrientes en el circuito. • Repetir el proceso según el número de fuentes que haya en el circuito

seleccionando en cada iteración una fuente diferente. • Sumar los voltajes y corrientes obtenidos para cada una de las fuentes dadas

en el circuito.

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116

Parámetros de dos puertos Parámetros de impedancias(Z)

1 11 1 12 2

2 21 1 22 2

V Z I Z I

V Z I Z I

= += +

Los parámetros de impedancias están dados por:

2

111

1 0I

VZ

I=

= Impedancia de entrada

2

221

1 0I

VZ

I=

= Impedancia de transferencia directa

1

112

2 0I

VZ

I=

= Impedancia de transferencia inversa

1

222

2 0I

VZ

I=

= Impedancia de salida

Parámetros de admitancias (Y)

1 11 1 12 2

2 21 1 22 2

I Y V Y V

I Y V Y V

= += +

2

111

1 0V

IY

V=

= Admitancia de entrada

2

221

1 0V

IY

V=

= Admitancia de transferencia directa

1

112

2 0V

IY

V=

= Admitancia de transferencia inversa

1

222

2 0I

IY

V=

= Admitancia de salida

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117

Parámetros híbridos directos

1 11 1 12 2

2 21 1 22 2

V h I h V

I h I h V

= += +

2

111

1 0V

Vh

I=

= Impedancia de entrada con terminales de salida en corto

2

221

1 0V

Ih

I=

= Ganancia en corriente

1

112

2 0I

Vh

V=

= Inverso de la ganancia de voltaje

1

222

2 0I

Ih

V=

= Admitancia de salida con terminales de entrada abiertas

Parámetros híbridos inversos

1 11 1 12 2

2 21 1 22 2

I g V g I

V g V g I

= += +

2

111

1 0I

Ig

V=

= Admitancia de entrada con terminales de salida abiertas

2

221

1 0I

Vg

I=

= Ganancia en voltaje

1

112

2 0V

Ig

I=

= Inverso de la ganancia corriente

1

222

2 0V

Vg

I=

= Impedancia de salida con terminales de entrada en corto circuito

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118

Respuesta transitoria Condiciones iniciales y finales de los elementos

Elemento Circuito equivalente inicial para t < 0 Circuito equivalente pata t>>0 Cargado Descargado

R Resistencia L iL(0

-) = iL(0+)

Fuente ideal de corrienteiL(0

+) = 0 Circuito abierto

Cortocircuito

C vC(0-) = vC(0+) Fuente ideal de Voltaje

VC(0+) = 0 Cortocircuito

Circuito abierto

Respuesta libre en circuitos RC

Para la corriente

( ) ( )( ) [ ]0t

RCcE V e

i t AR

−=

Para el capacitor

( ) ( )( ) [ ]0t

RCC CV t E V E e V

= + −

Para la resistencia

( ) ( ) ( )( ) [ ]0t

RCR cV t Ri t E V e V

= = −

Constante de tiempo

[ ]RC sτ =

donde ( )0cV es el voltaje inicial en el capacitor.

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119

Respuesta en circuitos RL

La corriente para

( ) ( ) [ ]1 0Rt Rt

L LE

i t e i e AR

− − = − +

Para el resistor

( ) ( ) ( ) [ ]1 0Rt Rt

L LRV t Ri t E e Ri e V

− − = = − +

Para el inductor

( ) ( ) ( ) [ ]0Rt Rt

L LL

di tV t L Ee Ri e V

dt

− −

= = −

La constante de tiempo es:

[ ]Ls

Rτ =

Respuesta forzada en un circuito RC

( ) 1t

RCq t EC e−

= −

( )t

RCEi t e

R

−=

t

RCRv Ri Ee

−= =

−==−=

− tRC

RC eEvEv1

1

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120

Respuesta forzada en un circuito RL

Respuesta libre de un circuito RLC

Caso I: Respuesta bajo amortiguada (raíces complejas conjugadas)

( ) ( ) ( )1 2

j t j ti t k e k eα β α β− + − −= +

1 2k k= −

( )0

2cv

kLβ

=

( ) ( ) ( )0c t

vi t e sen t

Lα β

β

−−=

Caso II: Respuesta críticamente amortiguada (raíces reales y repetidas)

( ) 1 2t ti t k e k eα α− −= +

1 0k =

( )2

0cvk

L

=

−=

− tL

R

eR

Eti 1)(

−=

− tL

R

R eEv 1

tL

R

L eEv−

=

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121

( ) ( )0c tv

i t eL

α−

−=

Caso III: Respuesta sobre amortiguada (raíces reales y diferentes)

( ) ( ) ( )1 2

j t j ti t k e k eα β α β− + − += +

1 2k k= −

( )1

0

2cv

kLβ

=

( )2

0

2cv

kLβ

= −

( ) ( ) ( )0c t

vi t e senh t

Lα β

β

−−=

Función de transferencia

( ) ( )( )

o

i

V sH s

V s= Relación de voltajes

( ) ( )( )

o

i

V sH s

I s= Impedancia de transferencia

( ) ( )( )

o

i

I sH s

I s= Relación de corrientes

( ) ( )( )

o

i

I sH s

V s= Admitancia de transferencia

donde ( )oI s y ( )oV s son la corriente y el voltaje en la salida, respectivamente. ( )iI s y

( )iV s son la corriente y el voltaje en la entrada, respectivamente.

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122

Sistemas acoplados Factor de acoplamiento

lkkl

kk ll

LK

L L=

Inductancia mutua

kl kl kk llL K L L= ⋅ donde: Kkl = factor de acoplamiento entre los inductores k y l Lkl = inductancia mutua entre los inductores k y l Lll = inductancia propia del inductor l Lkk = inductancia propia del inductor k Sistemas trifásicos Resistencia y reactancia en serie La impedancia Z de una carga reactiva que está formada por una resistencia R y una reactancia en serie es:

Z R jX= + Convirtiéndola a su admitancia equivalente Y:

2

R jXY

Z

−=

donde 2 2Z R X= +

Según la ley de Ohm:

V ZI= y

I YV= Entonces:

2

VR jVXI

Z

−=

2 2

VR VXI j

Z Z= −

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123

P QI I jI= −

donde PI e QI son las corrientes activa y reactiva, respectivamente.

La corriente activa IP y la corriente reactiva IQ son:

( )2 cosP

VRI I

Zθ= =

( )2 sinQ

VXI I

Zθ= =

donde θ está dada por:

tan cos sinQ P Q

a a aP S S

θ = = =

Si se aplica una tensión V, a una carga reactiva Z y la corriente I que circula en el circuito, entonces, la potencia compleja S, potencia activa P y potencia reactiva Q están dadas por:

22*

2

ZVS VI I Z

Z= = =

2

2

2

2

P

Q

V RP VI

Z

V XQ VI

Z

= =

= =

El factor de potencia ( fp ) y el factor reactivo ( fr ) son:

( )cosR

fpZ

θ= =

( ) Xfr sen

Zθ= =

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124

Potencia trifásica

Para una carga balanceada conectada en estrella con una tensión de línea lineaV y una

corriente de línea líneaI :

3linea

estrella

VV =

estrella líneaI I=

3estrella linea

estrellaestrella estrella

V VZ

I I= =

223 3 3linea

estrella estrella estrella linea línea línea estrellaestrella

VS V I V I I Z

Z= = = =

Para una carga balanceada conectada en delta con una tensión de línea lineaV y una

corriente de línea líneaI :

delta líneaV V=

3línea

delta

II =

3delta líneadelta

delta línea

V VZ

I I= =

223

3 líneadelta delta delta línea delta

delta

VS V I I Z

Z= = =

Note que la equivalencia entre cargas balanceadas conectadas en estrella y delta es:

3delta estrellaZ Z=

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125

Electrónica Analógica Diodo de propósito general Ecuación de Shockley del diodo

1Dq V

n k TD SI I e

⋅⋅ ⋅

= −

donde: ID = Corriente a través del diodo [A] Is = Corriente de saturación (10-12 A) VD = Voltaje de polarización directo [V] q = Carga del electrón (1.6022E-19) n = Constante para Ge = 1 y para Si = 1.1 y 1.8 k = Constante de Boltzman 1.3806E-23 [J/K] T = Temperatura absoluta [K] Diodo zener

Regulación de línea = z

z s

R

R R+

( )Regulación de carga z sR R= −

Regulación zener s

z s

R

R R=

+

( )zo z z zV V R I= − ⋅

Para RL = 0

( )( )

s zoz

z s

V VI

R R

−=

+

El voltaje de salida está dado por:

( )o zo z zV V R I= + ⋅

s zo z zs

z L

V V R IR

I I

− − ⋅=+

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126

En caso de conocer los rangos de VS e IL

(max) (max)

(max) (min)

s zo z zs

z L

V V R IR

I I

− − ⋅=

+

(min) (min)

(min) (max)

s zo z zs

z L

V V R IR

I I

− − ⋅=

+

z z zP V I= ⋅

Rectificadores de media onda y onda completa (fuentes de alimentación) Rectificador de media

onda Rectificador de onda

completa Voltaje de rizo pico-pico

( )m

r ppL

VV

f R C=

⋅ ⋅

( ) 2

mr pp

L

VV

f R C=

⋅ ⋅

Voltaje de salida VO ( )( )

2 1

2m L

O cdL

V f R CV

f R C

⋅ −=

⋅ ⋅

( )( )

4 1

4m L

O cdL

V f R CV

f R C

⋅ −=

⋅ ⋅

Voltaje rizo rms ( )

2 2m

r rms

L

VV

f R C=

⋅ ⋅ ⋅ ⋅

( )

4 2m

r rms

L

VV

f R C=

⋅ ⋅ ⋅ ⋅

Factor de rizo

( )1

2 2 1L

FRf R C

=⋅ ⋅ −

( )1

2 4 1L

FRf R C

=⋅ ⋅ −

Cálculo del capacitor 1 11

2 2L

Cf R RF

= + ⋅ ⋅

1 11

4 2L

Cf R RF

= + ⋅ ⋅

Relación Vrms y VL 1

0.0024420

rms

L

V

V≈ ≈

Regulación de voltaje

100%sal

ent

VR. línea

V

Δ= ⋅ Δ

. NL FL

FL

V VR carga

V

−=

Regulación de carga 100sal

FL

R

R

= ⋅

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127

donde:

VNL = Voltaje sin carga

VFL = Voltaje a plena carga Regulador básico en serie con OA

2

3

1o

RV Vref

R

= +

Reguladores en paralelo lineales básico

( )maxin

LL

VI

R=

Reguladores de conmutación básicos

ono in

tV V

T =

donde:

T = tin + toff Reguladores de voltaje en circuito integrado

22

1

1SAL REF ADJ

RV V I R

R

= + +

1

(max)1

SALL G

VI I

R= +

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128

Transistor de unión bipolar (BJT) Parámetros de corriente directa

ccd

B

I

Iβ =

ccd

E

I

Iα =

donde: βcd = Ganancia en corriente en CD αcd = Factor de amplificación de corriente en polarización directa IC = Corriente de colector IB = Corriente de base IE = Corriente de emisor Corrientes en un transistor

E C BI I I= +

Voltaje entre la base y el emisor

0.7BEV V≅ Corriente en la base

CC BEB

B

V VI

R

−=

donde: VBB = Voltaje de polarización en la base VBE = Voltaje base – emisor RB = Resistencia de base Voltaje en el colector con respecto al emisor

CE CC C CV V I R= −

donde: VCC = Voltaje de polarización en el colector

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129

VCE = Voltaje colector – emisor RC = Resistencia de colector Voltaje en el colector con respecto a la base

CB CE BEV V V= −

donde: VCB = Voltaje colector – base VCE = Voltaje colector – emisor RC = Resistencia de colector Condición de corte

( ) CCCE corteV V=

Corriente de saturación en el colector

( )( )CC CE SAT

C SATC

V VI

R

−=

Corriente de base mínima para saturación

( )( )

min

C SAT

Bcd

II

β=

Polarización Polarización con realimentación del emisor

B E E BEV I R V= +

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130

C CC C CV V I R= −

E B BEV V V= −

( )/CC BE

EE B cd

V VI

R R β−=

+

C EI I≅

Polarización con realimentación del colector

C CC C CV V I R= −

B BEV V= 0EV V=

CC BEC

C

V VI

R

−≅

CC BEC

BC

cd

V VI

RR

β

−=+

CE CC C CV V I R= −

E CI I≅

C BEB

B

V VI

R

−=

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131

Polarización de base

B BEV V=

C CC C CV V I R= −

0EV V=

CC BEC cd

B

V VI

−=

E CI I≅

C BEB

B

V VI

R

−=

CE CC C CV V I R= −

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132

Polarización del emisor

B E BEV V V= +

C CC C CV V I R= −

E EE E EV V I R= +

EE BEE

E

V VI

R

− −≅

EE BEE

BE

cd

V VI

RR

β

− −=+

E CI I≅

BB

B

VI

R= B

BB

VI

R=

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133

Polarización con divisor de voltaje

2

1 2B CC

RV V

R R

= +

C CC C CV V I R= −

E B BEV V V= −

EE

E

VI

R=

E CI I≅

TH BEE

THE

cd

V VI

RR

β

−=+

BB

cd E

VI

Rβ=

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134

Parámetros de corriente alterna (amplificador) Amplificador emisor común

Ecuaciones considerando el modelo T en señal pequeña de primer orden

25

'eE

mVr

I=

( )1 2 'in ca inR R R rβ= ⊕⋅

out C LR R R≈

'C L

Ve

R RA

r=

CI

in

IA

I=

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135

Amplificador con compensación para variación de temperatura

1

C LV

E

R RA

R≅

out C LR R R=

( ) ( )1 2 11 'in ca e ER R R r Rβ= + ⋅ +

Amplificador colector común

Ecuaciones considerando el modelo T en señal pequeña de primer orden

25

'eE

mVr

I=

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136

( ) ( )1 2 1 'in ca e E LR R R r R Rβ= + +

( ) ( )1 2' 1out E L e out caR R R r R R r β= + ÷ +

e

e

R1

' RVe

Ar

= ≈+

ei

in

IA

I=

Amplificador en base común

Ecuaciones considerando el modelo T en señal pequeña de primer orden

25'e

E

mVr

I=

ENT(emisor)R 'er=

SAL CR R≅

'C

Ve

RA

r≅

1iA ≅

donde: r’e = Resistencia interna de CA en el emisor Rent = Resistencia de entrada Rsal = Resistencia de salida Av = Ganancia en voltaje Ai = Ganancia en corriente

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137

Transistor de efecto de campo (FET)

Parámetros de corriente directa Características de transferencia de un JFET

2

(corte)

1 GSD DSS

GS

VI I

V

= −

Transconductancia

( )

2

0 1 GS

DS corte

Vgm gm

V

= −

Transconductancia con VGS = 0

(corte)

20 DSS

GS

Igm

V=

Característica de transferencia de E – MOSFET

( )2(umbral)D GS GSI K V V= −

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138

Polarización Polarización fija

GS GGV V= −

DD DSDS

D

V VI

R

−=

DD DS DSV I V= +

Autopolarización

GSDS

S

VI

R= −

( )OFFGS

SDSS

VR

I=

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139

( )

2

1OFF

GSDS DSS

GS

VI I

V

= −

1DS DSSI K I=

0.382

Q offGS GSV V=

DD DSDS

D S

V VI

R R

−=+

( )DD DS D S DSV I R R V= + +

Polarización por divisor de voltaje

GG GSDS

S

V VI

R

−=

1 2GR R R=

1

1 2GG DD

RV V

R R=

+

DD DSDS

S D

V VI

R R

−=+

382.01 =K

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140

Amplificador fuente común

1 2G

L C L

R R R

R R R

==

i G

o ds D

Z R

Z r R

==

( ) GLV ds D L

S G S

RVA gm r R R

V R r= = −

+

DS DL

i m GS DS D L

r RVA g R

V r R R= = − ⋅

+

( )

2

1CORTE

D SD DSS

GS

I RI I

V

= −

V dA gmR=

entR GSG

GSS

VR

I

=

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141

Parámetros de corriente alterna (amplificador) Amplificador drenaje común

Característica Drenaje común

1ds

s

rR

μ +

1L

Vin

VA

V=

11

S L

dsS L

R Rr

R R

μμ

μ

⋅+ +

+

1L

Iin

IA

I= 1

inV

L

ZA

R=

2

( )

1 D SD DSS

GS corte

I RI I

V

= −

1S

VS

gmRA

gmR=

+

entR GSG

GSS

VR

I

=

iZ GR

oZ

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142

Amplificador en compuerta común

Característica Compuerta común

1ds D L

S

r R RR

μ + +

( )( )1D ds S aR r R rμ+ +

1L

Vin

VA

V=

( )1

1m ds D L

ds

D L

g r R Rr

R R

μ + ≈+

1L

Iin

IA

I= 1

inV

L

ZA

R⋅

2

( )

1 D SD DSS

GS corte

I RI I

V

= −

V DA gmR=

ent

1R SR

gm

=

donde: ID = Corriente a través de un FET autopolarizado Av = Ganancia en voltaje Rent = Resistencia de entrada IDSS = Corriente en drenaje VGS = Voltaje en la compuerta RS = Resistencia en la fuente IGSS = Corriente de fuga en inversa

iZ

oZ

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143

Capacitancia Compuerta común Drenaje común

( )( )

1

2 L a inF r Zπ +

( )1

210

La in

Fr Zπ +

( )1

210

LL out

fr Zπ +

( )

1

2 L of Zπ +

iC

oC

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144

Transistor MOSFET Curva característica

=

Para un MOSFET de canal inducido tipo n en su región lineal:

( )2

( ) 2DS

D Act GS T DS

VI K V V V= − −

donde: = en la que b es el ancho del canal, μn la movilidad de los electrones, ε es la

permitividad eléctrica de la capa de óxido, L la longitud del canal y W el espesor de capa de óxido. Cuando el transistor opera en la región de saturación, la fórmula pasa a ser la siguiente:

( )2

( )0

1D sat GS T

KI V V

K

+= −

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145

Amplificadores operacionales Características Razón de rechazo de modo común

V

mc

ACMRR

A=

20log V

mc

ACMRR

A

=

Rapidez de variación de voltaje (slew-rate)

salVSR

t

Δ=Δ

Corriente de polarización de entrada

1 2polarización 2

I II

+=

Desequilibrio de corriente de entrada

1 2OSI I I= −

Voltaje de error de salida

( ) v os entsal errorV A I R=

Frecuencia máxima de operación

max si AB2 p

SRf AB

Vπ= ≤

max si AB >2 2p p

SR SRf

V Vπ π=

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146

Configuraciones de amplificadores Amplificador no inversor

1 fv

i

RA

R= +

Seguidor de voltaje

1VA =

Amplificador inversor

fV

i

RA

R= −

ent iZ R≅

Amplificador sumador de n entradas

( )1 2sal ent ent entnV V V V= − + +⋅⋅⋅+

Amplificador sumador con ganancia de n entradas

1 2

1 2

ent ent entnsal f

n

V V VV R

R R R

= − + + ⋅⋅⋅+

Amplificador restador

2 4 22 1

1 3 4 1 2

1sal

R R RV V V

R R R R R

= + − + +

Amplificador derivador

entsal

dVV RC

dt= −

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147

Amplificador integrador

( ) ( )10sal ent cV V t dt V

RC= − +

Amplificador de disparo alto

( )2 max

1 2disparo alto sal

RV V

R R= +

+ Amplificador de disparo bajo

( )2 max

1 2disparo bajo sal

RV V

R R= −

+ Amplificador de histéresis

H disparo alto disparo bajoV V V= −

Amplificador de instrumentación

21cl

G

RA

R= +

2

1Gcl

RR

A=

− Amplificador de aislamiento

11

1

1fv

i

RA

R= +

2

21

1fv

i

RA

R= +

Amplificador logarítmico

( )1

0.025 ln entsal

EBO

VV

I R

= −

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148

Amplificador anti logarítmico

ln25

entsal f EBO

VV R I anti

mV = −

Convertidor de voltaje a corriente

sal i fV I R=

Convertidor de corriente a voltaje

1

entL

VI

R=

Disparador Schmitt

1sat

Fth

VR R

V=

1X FR R R= Filtros Ancho de banda de un filtro pasa bajas

cAB f=

Ancho de banda de un filtro pasa banda

cs ciAB f f= −

Frecuencia central de un filtro pasa banda

0 cs cif f f= ⋅

Filtros Butterworth La magnitud de la función de transferencia al cuadrado es:

( ) 2

2

1

1 nH jω

ω=

+

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149

La función de transferencia para un filtro Butterworth se expresa como:

( ) ( )1

n

H sB s

=

Los polinomios normalizados para los filtros Butterworth son:

( )1 1B s s= +

( ) 22 1.4142 1B s s s= + +

( ) 3 23 2 1B s s s s= + + +

Convertidores Convertidores de voltaje a frecuencia

10

ref ent ref

vf

V R C=

donde: V1 = voltaje de entrada Vref = voltaje de refencia Cref = capacitancia de referencia Convertidores de frecuencia a voltaje

0 ref int ref entV V R C f=

donde:

=entf frecuencia de entrada en Hz

=|| refV voltaje de referencia en V

=intR resistencia del integrador interno

=refC capacitancia de referencia

Convertidores digital analógico

0 31 2

0 1 2 3s ref

B BB BI V

R R R R

= + + +

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150

0 31 20

0 1 2 3F F F ref

B BB BV R I R V

R R R R

= − = − + + +

donde:

0 02

RR R= =

1 12 2

R RR = =

2 22 4

R RR = =

3 32 8

R RR = =

Convertidor digital analógico con red de escalera R – 2R

00 43 2

ref FV R BV

R = −

para LSB = 1 único

30 13 2

ref FV R BV

R = −

para MSB = 1 único

0 31 20 4 3 2 13 2 2 2 2

ref FV R B BB BV

R = − + + +

cuando el sistema está completamente activado

Convertidor analógico digital de aproximaciones sucesivas

( ) 1 sgn

0 a b

conv a ba b

para V VV V V

para V V

>= − = <

Proceso de aproximaciones sucesivas

Paso Vb B3 B2 B1 B0 Comparaciones Respuesta 1 8 V 1 0 0 0 ¿Es Va > 8 V? Sí 2 12 V 1 1 0 0 ¿Es Va > 12 V? No 3 10 V 1 0 1 0 ¿Es Va > 10 V? Sí 4 11 V 1 0 1 1 ¿Es Va > 11 V? No 10 V 1 0 1 0 Leer salida

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151

Amplificadores de corriente Fuentes de corriente con BJT

1 2 1 0.7BE BE CEV V V V= = =

La corriente en el colector

1 2 21

RC C

F

II I

β

= =+

11

CC BE

R

V VR

I

−=

Fuente de corriente con Widlar

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152

La suma de las tensiones en la base de los transistores

1 2 2 0BE BE EV V IC R− − =

Para el análisis de esta fuente de corriente es preciso utilizar la ecuación de Ebers-Moll simplificada de un transistor en la región lineal que relaciona la IC con la tensión VBE:

1ln CT S E

S

IV I R

I=

donde: 1

1

CC BEC

V VI

R

−=

La resistencia de salida de esta fuente es:

12

2

1 F EO oe

ie E

RZ h

h R

β− = + +

Fuente de corriente de Wilson

( )2 21E F BI Iβ= + Si los transistores son idénticos

12 3 3 1

11 C

E C B BF F

II I I I

β β

= + + = + +

OUT1

2CC BEV VI

R

−=

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153

Resistencia de salida

1

2fe oe

out

h hZ

=

Fuente de corriente Cascode

1

2CC BEout

V VI

R

−=

1

out fe oeZ h h−= ⋅

Fuentes de corriente controlada con voltaje

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154

Si R2 = R4

2

1

eS

S

R VI

R R=

Para que el operacional esté en equilibrio se debe de cumplir que:

4 1 2

e S SV V R IV

R R R

++ −= +

Para la polarización del transistor

2 S SV V R I+= −

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155

Electrónica digital Algebra Boole Propiedades: a) Ambas operaciones son conmutativas, es decir si a y b son elementos del álgebra, se verifica:

a b b a+ = + a b b a⋅ = ⋅

b) Dentro del álgebra existen dos elementos neutros, el 0 y el 1, que cumplen la propiedad de identidad con respecto a cada una de dichas operaciones:

0 a a+ = 1 a a⋅ =

c) Cada operación es distributiva con respecto a la otra:

( )a b c a b a c⋅ + = ⋅ + ⋅

( ) ( ) ( )a b c a b a c+ ⋅ = + ⋅ +

d) Para cada elemento a del álgebra existe un elemento denominado a tal que:

1a a+ =

0a a⋅ = Leyes del algebra de Boole

0A A+ = 0 0A ⋅ = 1 1A+ = 1A A⋅ =

A A A+ = A A A⋅ =1A A+ = 0A A⋅ =

Principio de dualidad

0 1A A A A+ = ⋅ =

0 1A A A A⋅ = + =

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156

Operaciones binarias Suma binaria

0 0 0+ =0 1 1+ = 1 0 1+ = 1 1 0+ =

Resta binaria

0 0 0− =0 1 1− = 1 0 1− = 1 1 0− =

Operaciones lógicas Suma lógica

0 0 0+ =0 1 1+ = 1 0 1+ = 1 1 1+ =

Producto lógico

0 0 0⋅ =0 1 0⋅ = 1 0 0⋅ = 1 1 1⋅ =

Complementación

0 1 1 0

Propiedades Propiedad conmutativa

A B C D D C B A⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ A B C D C D A B+ + + = + + +

D C B A D C A B C D C A C B D A C B⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ = ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅

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157

Propiedad asociativa

( ) ( )A B C D A B C D+ + + = + + +

( ) ( )D C B A D C B A⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅

Propiedad distributiva

( )A B C A B A C⋅ + = ⋅ + ⋅

( ) ( ) ( )A B C A B A C+ ⋅ = + ⋅ +

Teorema de Shanon Indica que cualquier expresión booleana negada es equivalente a la misma expresión en la que todas las variables son negadas y se sustituyen las operaciones (+) por (·) y viceversa.

( ) ( )f A B C A B C= + ⋅ = ⋅ +

Teorema de De Morgan Primer teorema de De Morgan El complemento de un producto de variables es igual a la suma de los complementos de las variables. Fórmula para expresar el teorema para dos variables:

A B A B⋅ = + Segundo teorema de De Morgan El complemento de una suma de variables es igual al producto de los complementos de las variables. Fórmula para expresar el teorema para dos variables:

A B A B+ = ⋅ Mapa de Karnaugh Reglas para simplificar una función mediante el mapa Karnaugh

• Determinar el número de varias involucradas Ejemplo: A y B

• Realizar un mapa que cumpla con la relación 2N. Donde N representa el número de variables y 2N el número de combinaciones posibles Ejemplo: Si N es igual a 2 entonces 22 = 4 combinaciones posibles

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158

• Debe de existir un cuadro para cada combinación de entrada

• Introducir el valor lógico de cada minitérmino en su cuadro correspondiente.

Ejemplo: F(A,B)= ∑m( 0,1 )

• Buscar encerrar 2N cuadros adyacentes. Hacer encierros de 1,2,4,8, etc.

Determinar la función de salida correspondiente: Ejemplo: Salida = /B

• Aspectos a considerar a) Tratar de hacer el máximo encierro posible b) Buscar que no exista redundancia en los encierros seleccionados

A B SALIDA

0 0

0 1

1 0

1 1

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159

Conversión de decimal a BCD natural, BCD Aiken y BCD exceso 3

Decimal BCD natural BCD Aiken BCD exceso 3 8 4 2 1 2 4 2 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 2 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 1 3 0 0 1 1 0 0 1 1 0 1 1 0 4 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 1 5 0 1 0 1 1 0 1 1 1 0 0 0 6 0 1 1 0 1 1 0 0 1 0 0 1 7 0 1 1 1 1 1 0 1 1 0 1 0 8 1 0 0 0 1 1 1 0 1 0 1 1 9 1 0 0 1 1 1 1 1 1 1 0 0

Conversión de Decimal a Binario, Hexadecimal

Decimal Binario Hexadecimal0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 1 2 0 0 1 0 2 3 0 0 1 1 3 4 0 1 0 0 4 5 0 1 0 1 5 6 0 1 1 0 6 7 0 1 1 1 7 8 1 0 0 0 8 9 1 0 0 1 9 10 1 0 1 0 A 11 1 0 1 1 B 12 1 1 0 0 C 13 1 1 0 1 D 14 1 1 1 0 E 15 1 1 1 1 F

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160

Circuitos digitales básicos

Compuerta Función Tabla de verdad

OR

B A f 0 0 00 1 11 0 11 1 1

AND

B A f 0 0 00 1 01 0 01 1 1

NOT

A f 0 11 0

NOR

B A f 0 0 10 1 01 0 01 1 0

NAND

B A f 0 0 10 1 11 0 11 1 0

XOR

B A f 0 0 00 1 11 0 11 1 0

XNOR

B A f 0 0 10 1 01 0 01 1 1

BAf +=

BAf ⋅=

Af =

BAf +=

BAf ⋅=

BAf ⊕=

BAf ⊗=

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161

Flip – flops Flip – flop SR básico con compuerta NAND

S R Q(t+1) Ǭ(t+1)

0 0 invalido invalido0 1 1 0 1 0 0 1 1 1 Q(t) Ǭ(t)

Flip – flop básico con compuerta NOR

S R Q(t) Ǭ(t)

0 0 Q(t) Ǭ(t)0 1 0 1 1 0 1 0 1 1 invalido

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162

Flip – flop RS Temporizado

Q S R Q(t+1) 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 1 0 1 1 indeterminado1 0 0 1 1 0 1 0 1 1 0 1 1 1 1 indeterminado

Flip – flop D

Q D Q (t+1)0 0 0 0 1 1 1 0 0 1 1 1

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163

Flip – flop JK

Q J K Q (t+1)0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 1 0 1 1 1 1 0 0 1 1 0 1 0 1 1 0 1 1 1 1 0

Flip – flop T

Q T Q (t+1)0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 0

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164

Electrónica de potencia Fórmulas básicas Eficiencia

CD

CA

P

Pη =

Valor efectivo CA

2 2CA rms CDV V V= −

El factor de utilización del transformador

CD

s s

PTUF

V I=

donde: VS = Voltaje rms en el secundario del transformador [V] IS = Corriente rms en el secundario del transformador [A] Distorsión armónica total THD

1

1

12 2 2

2

−=

S S

S

I ITHD

I

Rectificador monofásico de onda completa

2

0

22 Tm

CD m

VV V sen tdt

π= =

donde: Vm = Voltaje máximo inverso [V] Corriente promedio de carga es

CDCD

VI

R=

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165

Corriente rms de salida

= rmsrms

VI

R Voltaje rms salida

1

22 22

0

2

2

Tm

rms m

VV V sen tdt

= =

Rectificador trifásico en puente

6

0

2 3 33

2 / 6CD m mV V cos t dt Vπ

ωπ π

= =

donde: Vm = Voltaje máximo [V] El voltaje rms de salida es:

1122

2 26

0

2 3 9 33

2 / 6 2 4

π

ωπ π

= = +

cd m mV V cos t dt V

Dispositivos Ecuación del Diodo Schockley

1

= −

D

T

V

nVD SI I e

donde: ID = Corriente a través del diodo [A] VD = Voltaje de polarización directo [V] IS = Corriente de fuga [A] n = Constante para Ge = 1 y para Si = 1.1 y 1.8

25.8= ≈T

kTV mV

q donde:

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166

VT = Voltaje térmico Q = Carga del electrón (1.6022 x 10-19) [C] T = Temperatura absoluta [K] K = Constante de Boltzman 1.3806 x 10-23 [J/K] Tiempo total de recuperación inversa (trr)

= +rr a bt t t

donde: ta = Tiempo de almacenamiento de carga en la región de agotamiento [s] tb = Tiempo de almacenamiento de carga en el cuerpo del semiconductor [s] Corriente inversa pico (IRR)

2α= =i iRR RR

t t

d dI t Q

d d donde: QRR = carga de recuperación inversa [C] Rectificadores monofásicos de media onda Potencia de salida en CD

CD CD CDP V I=

Potencia de salida en CA

CA rms rmsP V I=

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167

UJT

El disparo ocurre entre el emisor y la base1 y el voltaje al que ocurre este disparo está dado por la fórmula:

2 10.7= + B BVp nV

donde: n = intrinsic stand off radio (dato del fabricante) VB2B1 = Voltaje entre las dos bases

Condición para encendido y apagado

1BB VBB P

P V

V VV VR

I I

−− > >

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168

PUT Este transistor se polariza de la siguiente manera:

Cuando IG = 0

2

1 2

= +

BG BB

B B

RV V

R R

G BBV nV=

donde: n = RB2 / (RB1+RB2) El periodo de oscilación T está dado en forma aproximada por:

2

1

11

RVsT RC ln RC ln

f Vs Vp R

= = = + −

Circuito de disparo para un PUT

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169

DIAC

Si (+V) o (- V) es menor que la tensión de disparo, el DIAC se comporta como un circuito abierto Si (+V) o (- V) es mayor que la tensión de disparo, el DIAC se comporta como un cortocircuito

Circuito equivalente del DIAC

SCR Cuando el SCR está polarizado en inversa se comporta como un diodo común (ver la corriente de fuga Is. En la región de polarización en directo el SCR se comporta también como un diodo común, siempre que el SCR ya haya sido activado (On). Ver los puntos D y E. Para valores altos de corriente de compuerta (IG) (ver punto C), el voltaje de ánodo a cátodo es menor (VC).

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170

Si la IG disminuye, el voltaje ánodo-cátodo aumenta. (ver el punto B y A, y el voltaje ánodo-cátodo VB y VA).

Circuito equivalente del SCR

TRIAC

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171

Circuito equivalente al TRIAC

IGBT

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172

GTO Característica estática

Al cebarlo por corriente entrante de puerta, tenemos exactamente el mismo proceso que en el SCR normal. Para bloquearlo, será necesario sacar los transistores de saturación aplicando una corriente de puerta negativa:

luego β

− > AG

off

II

donde es la ganancia de corriente en el momento del corte y vendrá expresada por:

2

1 2 1

αβα α

=+ −off

Para conseguir cortar el GTO, con una corriente soportable por la puerta, debe ser βoff lo mayor posible, para ello debe ser: α2 ≈1 (lo mayor posible) y α1 ≈0 (lo menor posible).

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173

SIT Curva característica

Nota: A=D y K=S

1

ββ

− = ++G A CBOI I I

1

− =+

AG

G

II

gmR

( )

( )1

1 11

ββ

+=

+ ++

CBO GA

G

I gmRI

gmR

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174

Teoría de control Terminología de la ingeniería de control

donde: r = señal de referencia o set point e = señal de error (e = r – y) u = acción de control (variable manipulada) y= señal de salida (variable controlada) C = controlador P= Proceso Modelos de control Los modelos clásicos de control clásico comprenden ecuaciones diferenciales de orden n.

( ) ( ) ( ) ( ) ( )1

0 1 2 11...

− −−+ + + + + =n n

n n nn n

d y t d y t dy ta a a a y t a k u t

dt dt dt

Modelo diferencial de primer orden

( ) ( ) ( )1

τ τ= − +

dy t ky t u t

dt

donde: u(t) = variable de entrada y(t) = variable de salida = Constante de tiempo

k= ganancia del sistema Modelo diferencial de segundo orden Frecuencia amortiguada

21d nω ω ζ= −

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175

Tipos de respuesta Respuesta escalón La respuesta escalón es la variación, respecto al tiempo, de la variable de salida de un elemento de transferencia, cuando la variable de entrada es una función escalón

( ) , cte.= =r t c c

Respuesta al escalón de sistemas de primer orden

( ) 1 τ−

= −t

y t e

Respuesta al escalón de sistemas de segundo orden Forma estándar del sistema de segundo orden:

2

2 2

( )

( ) 2

ωζω ω

=+ +

n

n n

C s

R s s s

donde: ζ es el factor de amortiguamiento

ω es la frecuencia angular

1. Subamortiguado 0 1< <ζ , raíces complejas conjugadas.

( ) ( ) ( )2

1 cos1

ζω ζω ωζ

− = − + −

ntn ny t e t sen t

2. Críticamente amortiguado ζ = 1 , raíces reales e iguales.

( ) 1 ω ωω− −= − −n nt tny t e te

3. Sobreamortiguado ζ > 1 , raíces reales y diferentes.

( )21

21 2

12 1

ω ωζ

−− = + −

s ts tn n tee

y ts s

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176

donde ( )( )

21

22

1

1

ζ ζ

ζ ζ

= + −

= − −

s

s

4. No amortiguado ζ = 0 , raíces imaginarias puras.

( ) ( )1 cos ω= − ny t t

Parámetros de la respuesta transitoria

Tiempo de retardo (Td) Es el tiempo que tarda la respuesta del sistema en alcanzar por primera vez la mitad del valor final. Tiempo de crecimiento (Tr) Es el tiempo requerido para que la respuesta crezca del 0 al 100% de su valor final o del 10 al 90%.

1tan

π βω

ωβζω

−=

=

d

d

n

Tr

Tiempo pico (Tp) Es el tiempo en el cual la respuesta del sistema alcanza el primer pico del sobreimpulso.

πω

=pd

T

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177

Máximo sobreimpulso (Mp) Es el valor pico máximo de la respuesta medido desde la unidad.

2 1

ζ πζ

− − =pM e

Tiempo de establecimiento (Ts) Es el tiempo requerido por la curva de respuesta para alcanzar y mantenerse dentro de determinado rango alrededor del valor final especificado en porcentaje absoluto del valor final. Se usa generalmente el 5% o 2%

Para un criterio de 2%, 4

ζω=s

n

T

Para un criterio de 5%, 3

ζω=s

n

T

Regla de Mason La función de transferencia entre una entrada U(s) y una salida Y(s) está dada por:

( ) ( )( )

1= = ΔΔ i i

Y sG s G

U s

donde:

= ganancia de la trayectoria directa i-ésima entre yentrada y ysalida

= determinante del sistema = 1 - (ganancia de todos los lazos individuales) + (productos de las ganancias de todas las combinaciones posibles de dos lazos que no se

tocan) - (productos de las ganancias de todas las combinaciones posibles de tres lazos que no se tocan) +...

= el valor de para aquella parte del diagrama de bloques que no toca la k-ésima trayectoria directa Tabla 1. Fórmulas para sintonización por el método de ganancia última

Tipo de controlador Ganancia

proporcional Tiempo integral

Tiempo derivativo

Proporcional P Ku/2 -- -- Proporcional-Integral PI Ku/2.2 Tu/1.2 -- Proporcional-Integral-Derivativo PID

Ku/1.7 Tu/2 TU/8

Kc

iG

Δ

iΔ Δ

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178

Controladores Raíces en el plano complejo

Controlador Ganancia

P ( ) =cG s Kc

PI ( ) 11

τ

= +

ci

G s Kcs

PD ( ) ( )1 τ= +c dG s Kc s

PID ( ) 11 τ

τ

= + +

c di

G s Kc ss

Controladores PID Estructura ideal

( ) ( )( )

11c d

i

U sG s Kc s

E s sτ

τ

= = + +

donde: E(s)=R(s) - Y(s) R(s) es la transformada de Laplace de la referencia Y(s) es la transformada de Laplace de la variable de proceso controlada U(s) es la transformada de Laplace de la variable de manipulación Sintonización por criterios integrales para cambios en perturbación para un PID ideal Proporcional-Integral ISE IAE ITAE = 1.305 .

= 0.984 .

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179

= 0.859 . = 0.492 .

= 0.608 . = 0.674 .

Proporcional-Integral-Derivativo ISE IAE ITAE = 1.495 .

= 1.435 . = 1.357 . = 01.101 . = 0.878 . = 0.842 . = 0.560 . = 0.482 . = 0.381 .

donde: K = la ganancia del proceso de primer orden τ = constante de tiempo to = tiempo muerto Sintonización por criterios integrales para cambios en referencia para un PID ideal Proporcional-Integral IAE ITAE Proporcional-Integral-Derivativo IAE ITAE

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180

Comunicaciones Osciladores Oscilidor controlado por voltaje Modo de carga Tiempo de carga en el capacitor

( )1 11f C H L

Q Q

C Cv V V

I IΔ = Δ = −

Modo de descarga

( ) ( )1 1 12f C L H H L

Q Q Q

C C Cv V V V V

I I IΔ = − Δ = − − = −

( )11 2

2 H Lf f

Q

C V VT

I

−= Δ + Δ =

La frecuencia de oscilación es:

( )01

1

2Q

H L

If

T C V V= =

( )Q m CN COI G v v= +

donde: Gm = Transconductancia de la fuente de corriete, en A/V VCN = voltaje de control aplicado, en V VCO = voltaje constante

( )0

12m

vFCN H L

df GK

dv C V V= =

− Oscilador de corrimiento de fase La función de transferencia del oscilador es:

( ) ( )( )

3 3 3

3 3 3 2 2 26 5 1F

o

V s R C ss

V s R C s R C s RCsβ = =

+ + +

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181

La ganancia de voltaje de lazo cerrado es:

( ) ( )( ) 1

o F

F

V s RA s

V s R= = −

La frecuencia de oscilación es:

0

1

2 6f

RCπ=

La resistencia de retroalimentación es:

1 2 2 2

51FR R

R C ω = −

Osciladores de cuadratura La función de transferencia es:

( ) ( )( )

11

1 1f

o

V s CssRV s RCsCs

β = = =+ +

La frecuencia de oscilación es:

0

1

2f

RCπ=

La ganancia en lazo cerrado es:

12fA

β= =

El voltaje en la salida es:

1

1o

o

RVV

RCs=

+

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182

Osciladores de Puente Wien La función de transferencia es:

( ) ( )( ) 2 2 2 3 1

F

o

V s RCss

V s R C s RCsβ = =

+ +

La ganancia en voltaje de lazo cerrado es:

( )1

1 FRA s

R= +

La frecuencia de oscilación es:

0

1

2f

RCπ=

La condición para la oscilación es:

1

2FR

R=

Oscilador Colpitts La ganancia de lazo cerrado es:

1 0Aβ− = La frecuencia de oscilación es:

1

21 2

01 2

1

2

C Cf

C C Lπ +=

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183

Oscilador de Harley La frecuencia de oscilación es:

( )

1

2

01 2

1 1

2f

C L Lπ

= +

Osciladores de cristal La impedancia del cristal esta dada por:

( )2 2

2 2

1 s

p p

sZ s

sC s

ωω

+=+

La frecuencia de oscilación es:

0

1

2 s

fLCπ

=

555/556 (Multivibrador astable)

donde:

( )0.693 a bTA R R C= +

0.693 bTB R C=

La frecuencia con que la señal de salida oscila está dada por la fórmula:

( )0

1.44

2a b

fR R C

=+

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184

y el período es simplemente: 01/T f=

555/556 (monoestable)

El tiempo o periodo es igual a:

1.1 aT R C=

La especificación mínima de muestras por segundo de una tarjeta DAQ

frecuencia mínima de muestreo = 2*fmax

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185

Modulación y demodulación AM-FM Modulación en amplitud Señal moduladora

( ) ( )coss s sy t A tω=

Señal portadora

( ) ( )cosp p py t A tω=

Señal modulada

( ) ( ) ( )1 cosp p n py t A mA x t tω = + donde: y(t) = señal modulada xn(t) = señal moduladora normalizada con respecto a su amplitud = ys(t) / As m = índice de modulación (suele ser menor que la unidad)=As / Ap La expresión matemática de la señal modulada en frecuencia está dada por:

( ) ( )2 cos 2p p mm

fv t V sen f t f t

fπ π

Δ= +

El índice de modulación es:

m

fm

f

Δ=

donde: mf = índice de modulación ∆f = variación de la frecuencia de la portadora Fm = frecuencia de la portadora Decibel

110

0

dB 10logP

P

=

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186

El decibel referenciado a 1 mW

( ) 11010 log

1

PP dBm

mW

=

Densidad de flujo (W/m2)

( )21

10 2/10 log

1 /W m

PS dB

W m

=

Decibel referenciado a µV

( ) 11020log

1V

UU dB

Vμ μ

=

Acoplamiento de impedancias Decibel en antenas dBi = Ganancia de una antena referenciada a una antena isotrópica dBd = Ganancia de una antena referenciada a una antena dipolo dBq = Ganancia de una antena referenciada a una antena de un cuarto longitud de onda Decibel en acústica dB(SPL) = Nivel de presión del sonido relativo a 20 µPa dB(PA) = dB relativo a un pascal dB SIL = intensidad de nivel de sonido referenciado a 10 E - 12 W/m2 dB SWL = Nivel de potencia del sonido referenciado a 10 E – 12 W

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187

Oscilador de relajación UJT

donde:

p d a d bbV V V V nV= + = +

( )1 1 2 1/ / bbn R R R R R= + =

( )ln 1 / 1e eT R C n= −

( )max /e bb p pR V V I= −

( )minbb e vV R Iv V= +

Oscilador de relajación PUT

donde:

( )1 1 2/g bb b b b bbV V R R R nV= + =

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188

0.7ak p d g bbV V V V nV= = + = +

( )1 2ln 1 /b bT RC R R= +

( )max /bb p pR V V I= −

( )min bb vR V V Iv= −

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189

Instrumentación Valor promedio

prom

área bajo la curva

longitud del periodoA =

Siendo promA el valor promedio de la onda

( )0

1 T

promA f t dtT

=

El valor rms

( ) ( )2 2

0

1 T

rmsA f t f t dtT

= =

Señal senoidal Rectificador de media onda

0PROMA =

00.7071rmsA A=

0

0

0.31

0.5PROM

rms

A A

A A

==

Rectificador de onda completa Señal triangular

0

0

0.636

0.7071PROM

rms

A A

A A

==

30

0

3

PROM

rms

A

AA

=

=

Señal cuadrada Señal senoidal desplazada con CD

0

0

2

2

PROM

rms

AA

AA

=

=

( )

1

221 0 1

1

2

PROM

rms

A A

A A A A

=

= + −

Errores en medición

Error absoluto = Resultado - Valor verdadero

Error absoluto Error relativo =

Valor verdadero

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190

Valor promedio

1 2 ... nprom

a a aa

n

+ + +=

donde: aprom = valor promedio an = valor de cada lectura n = número de lecturas Desviación estándar y varianza

2 2 21 2 ...

1nd d d

nσ + + +=

− donde: σ = desviación estándar di = desviación de la lectura i-ésima con respecto al valor promedio L a varianza V es el valor de la desviación estándar σ elevado al cuadro Distribución gaussiana

2V σ=

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191

Puentes de Wheatstone

2

3 1

xR R

R R=

Puente ligeramente desbalanceado

( ) ( )1 2 3TH xR R R R R= +

30 2 2

3 32THx x

R RV V

R R R R

Δ=+ +

Si las cuatro resistencias son iguales el puente esta en equilibrio por lo cual:

THR R=

0 4TH

RV V

R

Δ=

Puente de Kelvin

5 1

6 2

R R

R R=

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192

Ruido térmico o ruido de Jhonson

( )4n H LE KTR f f= − donde: K = constante de Boltzman = 1.38E-23 J/K T = temperatura (K) R = Valor de la resistencia (Ω) fH = frecuencia máxima de operación (Hz) fL = frecuencia mínima de operación (Hz) Amplificador de instrumentación

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193

( )2 1

1g

g

I V VR

= −

( ) 1intermedio 2 1

21

g

RV V V

R

= − +

( ) 312 1

2

21out

g

RRV V V

R R

= − +

( ) 12 1

21out

g

RV V V

R

= − +

El rechazo de modo común es máximo cuando:

kR

R

R

R==

6

7

4

5

Termopar La relación de temperatura voltaje es:

20V AT BT= +

Termistor El cambio de resistencia de los termistores en respuesta a cambios en la temperatura

( )31ln lnA B R C R

T= + +

donde: T = temperatura (K) R = resistencia del termistor (Ω) A,B,C = constantes del ajuste de curva La proximación de la resistencia se obtiene con:

0

1 1

0T TR R e

β

− =

donde: R = resistencia a la temperatura T (K) R0 = resistencia a T0 (K)

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194

β = constante del ajuste de curva Sensores Sensores resistivos Potenciómetros

( ) ( )1R l l xA A

ρ ρα= − = −

donde: x = distancia recorrida desde un punto fijo α = fracción de longitud correspondiente en un punto fijo ρ = coeficiente de resistividad del material l = longitud del material A = sección transversal del material Galgas extensométricas Las galgas extensométricas se basan en la variación de la resistencia de un conductor o un semiconductor cuando es sometido a un esfuerzo mecánico.

lR

Aρ=

Si se somete a un esfuerzo en la dirección longitudinal R cambia.

dR d dl dA

R l A

ρρ

= + −

El cambio de longitud que resulta se determina a través de la ley de Hooke

F dlE E

A lσ ε= = =

donde: E = módulo de Young σ = tensión mecánica ε = deformación unitaria

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195

Fotorresistencia Energía de la radiación óptica

E hf= donde: E = energía h = constante de Planck 6.62 x 10-34 Ws2 f = frecuencia Para la longitud de onda de radiación

hc

Eλ =

donde: c = velocidad de la luz h = constante de Plack E = 1.602E-19 J Sensores capacitivos Condensadores variables

( )0 1r

AC n

dε ε≈ −

donde: A = área de las placas d = distancia entre pares de placas εr = constante dieléctrica relativa ε0 = 8.85 pF/m Los sensores capacitivos no son lineales, su linealidad depende del parámetro que varía y del tipo de medición. En un condensador plano, si varía A o εr por lo cual:

( )1

AC

α=

+

donde:

d

xα =

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196

Condensador diferencial

11

AC

d x

ε=+

22

AC

d x

ε=−

1

1 1 2i i

ii

i i

d x d xV V V

dd x d x

− −= =+

+ −

Por lo cual, para el caso en que d1 y d2, se tiene:

1 2

xV V V

d− =

Sensores inductivos La inductancia se expresa como:

dL N

di

φ=

donde: N = número de vuelas del circuito I = corriente Φ = flujo magnético El flujo magnético se obtiene con:

M

RΦ =

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197

donde: M = fuerza electromotriz R = reluctancia Para una bobina de sección A y de longitud l, la reluctancia es:

0

1 1

r

RAμ μ

=

Sensores electromagnéticos. Sensor basados en la ley de Faraday

de N

dt

Φ= −

Tacogeneradores La tensión inducida por el generador es:

e NBA sen tdtω ω= Si ω es constante

cose NBA tω ω= − Sensores de velocidad lineal

e Blv= donde: L = longitud del conductor v = velocidad lineal

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198

Sensores de efecto Hall

HH

V tA

IB=

Aportación de magnitud y fase para cada término de la función de transferencia Término Magnitud

logarítmica Ángulo de fase Magnitud logarítmica Ángulo de

fase K 20 log K 0φ = ° 20log K φ = 0°

jω 20logω 90φ = ° Línea diagonal con

pendiente 20 dB/dec que cruza el punto (w=1,db=0)

φ = 90°

1

jω 20logω− 90φ = − °

Línea diagonal con pendiente –20 dB/dec que cruza el punto (w=1,db=0)

φ = -90°

1jωτ + 20logωτ 1tanφ ωτ−=

0 db, hasta la frecuencia de corte.

(ω=1/τ Pendiente 20 dB/dec

a partir de ω>1/τ

φ de 0° a 90°

en (ω=1/τ) = 45°

1

1jωτ + 20logωτ− 1tanφ ωτ−= −

0 db, hasta la frecuencia de corte

(ω=1/τ

Pendiente - 20 dB/dec a partir de ω>1/τ

φ de 0° a – 90°

en (ω=1/τ) = −45°

2

21

n n

jω ωω ω

− + + 40logn

ωω

12

2

tan

1

n

n

ωςωφωω

= −

Línea horizontal 0 db hasta ω=ωn

Pendiente 40 dB/dec para

ω>ωn

φ de 0° a 180°

en (ω=ων ) = 90°

2

2

1

1n n

jω ωω ω

− + + 40log

n

ωω

12

2

tan

1

n

n

ωςωφωω

= − −

Línea horizontal 0 db hasta ω=ωn

Pendiente -40 dB/dec

para ω>ωn

φ de 0° a -180°

en: (ω=ων ) = −90°

0j te ω− 0 057.3 tφ ω= − 0 φ = -57.3 ωto

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199

Transformada Z La TZ bilateral de una señal definida en el dominio del tiempo discreto x[n] es una función X (z) que se define:

( ) [ ] [ ] n

n

X z Z x n x n z∞

=−∞

= =

donde: n = un entero z = un número complejo

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200

Datos prácticos Sistema de unidades eléctricas. Fórmulas fundamentales en CD

Magnitud Sistema Fórmulas más utilizadas para su

cálculo MKSI CGSEM

Unidad Símbolo Unidad Símbolo Desplazamiento o inducción

I, i

Ampere A I=V/R

Cantidad de electricidad

Q Coulomb Q Q=I·t

d.d.p. o tensión U Volt V V=R·I Resistencia R Ohm Ω R=V/I Capacidad C Farad F C=Q/V Campo eléctrico y gradiente de potencia

E V/m -- E=F/Q

Desplazamiento o inducción electrostática

D Q/m2 -- D=ϵ·E

Inducción magnética

B Tesla W/m2 Gauss Gs β=1,25 · N · I · μ/L (Gs)

Campo magnético H A/m -- Oersted Oe H=1,25 · N · I/L (Oe)

Permeabilidad μ -- -- μ=β/H Flujo magnético Φ Weber Wb Maxwell Mx Φ=1,25·N·I·μ·S/L

(mx) Fuerza magnetomotriz

Ampere At, A Gisbert Gb ϵ=1,25 · N · I

Inductancia L Henry H L=N·φ/108·I Reluctancia R At/Wb R=I/S·μ Intensidad luminosa I Candela Cd I=φ/ω Flujo luminoso Φ Lumen lm Φ=Q/t Cantidad de luz Q lm/s -- -- Iluminación E Lux lx E=φ/S Brillo Stilb sb Sb=1 cd/1 cm2

1 nit= 1 cd/1 m2

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201

Resistividad y conductividad de conductores (a 20 °C)

Material

Material

Acero dulce 0.13 7.7 Latón Ms 63 0.071 14 Aluminio 0.0278 36 Magnesio 0.0435 23 Antimonio 0.417 2.4 Manganina 0.423 2.37 Cadmio 0.076 13.1 Mercurio 0.941 1.063 Carbón 40 0.025 Níquel 0.087 11.5 Cobre (eléc.) 0.0175 57 Niquelina 0.5 2.0 Constantán 0.48 2.08 Oro 0.0222 45 Cromo-Ni-Fe 0.10 10 Plata 0.016 62.5 Estaño 0.12 8.3 Plata alemana 0.369 2.71 Hierro fundido 1 1 Platino 0.111 9 Hierro (puro) 0.10 10 Plomo 0.208 4.8 Grafito 8.00 0.125 Tungsteno 0.059 17 Latón Ms 58 0.059 17 Zinc 0.061 16.5

Resistividad de aislantes Material Material Aceite de parafina 1018 Mica 1017 Agua de mar 106 Parafina (pura) 1018 Agua destilada 107 Plexiglás 1015 Ámbar comprimido 1018 Poliestireno 1018 Baquelita 1014 Porcelana 1014 Caucho (hule) duro 1018 Tierra húmeda 108 Mármol 1010 Vidrio 1015

Coeficiente térmico de resistencia (a 20 °C)

Material Material

Acero dulce + 0.00660 Manganina +/- 0.00001 Aluminio + 0.00390 Mercurio + 0.00090 Carbón - 0.00030 Níquel + 0.00400 Cobre + 0.00380 Niquelina + 0.00023 Constantán - 0.00003 Plata + 0.00377 Estaño + 0.00420 Plata alemana + 0.00070 Grafito - 0.00020 Platino + 0.00390 Latón + 0.00150 Zinc + 0.00370

ρ γ

ρ2 /mm mΩ ⋅

1γρ

2 /mm mΩ ⋅1γρ

=

ρ

cmΩ ⋅ cmΩ ⋅

20α

1 1,oC K− − 1 1,oC K− −

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202

Constante dieléctrica

Material aislante Material aislante Material aislante

Aceite de oliva 3 Caucho (hule) duro 4 Papel Kraft 4.5 Aceite de parafina 2.2 Caucho (hule) suave 2.5 Papel pescado 4 Aceite de ricino 4.7 Compuesto

(compound) 2.5 Parafina 2.2

Aceite mineral para transformadores

2.2 Cuarzo 4.5 Petróleo 2.2

Aceite vegetal para transformadores

2.5 Ebonita 2.5 Pizarra 4

Agua 80 Esteatita 6 Plexiglás 3.2 Aire 1 Fibra vulcanizada 2.5 Poliamida 5 Aislamiento para cable alta tensión

4.2 Gutapercha 4 Polistireno 3

Aislamiento para cable telefónico

1.5 Laca (Shellac) 3.5 Porcelana 4.4

Araldita 3.6 Mármol 8 Resina fenólica 8 Baquelita 3.6 Mica 6 Teflón 2 Cartón comprimido 4 Micanita 5 Tela 4 Papel 2.3 Trementina

(aguarrás) 2.2

Papel impregnado 5 Vidrio 5 Serie de potenciales electroquímicos Diferencia de potencial referida a electrodo de hidrógeno Material Volts Material Volts Material Volts Aluminio -1.66 Hidrógeno 0.00 Platino +1.20 Berilio -1.85 Hierro -0.41 Plomo -0.13 Cadmio -0.40 Magnesio -2.37 Potasio -2.93 Calcio -2.87 Manganeso -1.19 Sodio -2.71 Cobalto -0.28 Mercurio +0.85 Tungsteno -0.58 Cobre +0.34 Níquel -0.23 Zinc -0.76 Cromo -0.74 Oro +1.50 Estaño -0.14 Plata +0.80

Números estandarizados mediante una razón progresiva

Serie E 6 ( )6 10≈ Serie E 12 ( )12 10≈ Serie E 24 ( )24 10≈

1.0 2.2 4.7 1.0 2.2 4.7 1.0 2.2 4.7 1.1 2.4 5.1 1.2 2.7 5.6 1.2 2.7 5.6 1.3 3.0 6.2 1.5 3.3 6.8 1.5 3.3 6.8 1.5 3.3 6.8

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203

1.6 3.6 7.5 1.8 3.9 8.2 1.8 3.9 8.2 2.0 4.3 9.1 10 22 47 10 22 47 10 22 47

etc. etc. etc.

Intensidad de campo h y permeabilidad relativa en función de la inducción

magnética b deseada

Inducción o densidad de flujo

Hierro fundido Acero fundido y lámina tipo “dynamo”

Lámina de acero aleado

B H H H

Tesla (T=Vs/m2)

Gauss(Gs) A/m A/m A/m

0.1 1 000 440 181 30 2 650 8.5 9 390 0.2 2 000 740 215 60 2 650 25 6 350 0.3 3 000 980 243 80 2 980 40 5 970 0.4 4 000 1 250 254 100 4 180 65 4 900 0.5 5 000 1 650 241 120 3 310 90 4 420 0.6 6 000 2 100 227 140 3 410 125 3 810 0.7 7 000 3 600 154 170 3 280 170 3 280 0.8 8 000 5 300 120 190 3 350 220 2 900 0.9 9 000 7 400 97 230 3 110 280 2 550 1.0 10 000 10 300 77 295 2 690 355 2 240 1.1 11 000 14 000 63 370 2 360 460 1 900 1.2 12 000 19 500 49 520 1 830 660 1 445 1.3 13 000 29 000 36 750 1 380 820 1260 1.4 14 000 42 000 26 1 250 890 2 250 495 1.6 16 000 3 500 363 8 500 150 1.7 17 000 7 900 171 13 100 103 1.8 18 000 12 000 119 21 500 67 1.9 19 000 19 100 79 39 000 39 2.0 20 000 30 500 52 115 000 14 2.1 21 000 50 700 33 2.2 22 000 130 000 13 2.3 23 000 218 000 4

10 3.6 /Fe

W Kgρ =10 1.3 /

FeW Kgρ =

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Formulario para el sustentante del Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO)

Dirección de Diseño, Ingenierías y Arquitectura

204

Valores para lámina tipo “dynamo” (de la norma din 46 400)

Clase Lámina normal

Lámina de aleación Baja Mediana Alta

Tipo I 3.6 II 3.0 III 2.3 IV 1.5 IV 1.3 Tamaño

mm x mm 1 000 x 2 000 750 x 1 500

Espesor, mm 0.5 0.35 Densidad, kg/dm3 7.8 7.75 7.65 7.6

Valor máximo de las pérdidas,

W/kg

3.6 3.0 2.3 1.5 1.3

8.6 7.2 5.6 3.7 3.3

Valor mínimo de la

inducción

B25 Tesla Gauss

1.53 15 300

1.50 15 300

1.47 14 700

1.43 14 300

B50 Tesla Gauss

1.63 16 300

1.60 16 000

1.57 15 700

1.55 15 500

B100 Tesla Gauss

1.73 17 300

1.71 17 100

1.69 16 900

1.65 16 500

B300 Tesla Gauss

1.98 19 800

1.95 19 500

1.93 19 300

1.85 18 500

Explicaciones: B25 = 1.53 tesla significa que una inducción o densidad de flujo mínima de 1.53 T se alcanzará con una intensidad de campo de 25 A/cm. Para una línea de flujo de, p. ej., 5 cm, se necesitarán: 5 x 25 = 125 A.

Pérdidas magnéticas por unidad de masa con las inducciones de:

10 000 Gs = 1.0 tesla

15 000 Gs = 1.5 tesla

Los valores corresponden a las siguientes condiciones: Densidad a t=15 °C Temperaturas (o puntos) de fusión y de ebullición para = 1.0132 bar = 760 Torr Los valores entre paréntesis indican sublimación, o sea, cambio directo del estado sólido al gaseoso. Conductividad térmica a 20 °C Capacidad térmica específica (o calor específico) para el intervalo de temperaturas 0 < t < 100 °C

Puntos de

Sustancia Densidad

Fusión (soldf.)

Ebullición Conductividad

térmica k

Calor específico

c kg/dm3 ° C ° C W/(mK)(1) kJ/(kgK)(2)

Aceite de colza 0.91(3) -3.5 300 0.17 1.97 Aceite de linaza 0.94(3) -20 316 0.15

10Feρ

10Feρ

10Feρ

15Feρ

ρ

ρ

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Formulario para el sustentante del Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO)

Dirección de Diseño, Ingenierías y Arquitectura

205

Aceite para calefacción

0.92(3) -5 175-350 0.12

Aceite para máquinas 0.91 -5 380-400 0.126 1.67 Aceite para

transformadores 0.87 -5 170 0.15 1.84

Acero 7.85 ~1 350 2 500 47-58 0.46 Acero colado 7.8 ~1 350 52.3 0.502 Acero dulce 7.85 ~1 400 2 500 46.5 0.461

Acero de alta velocidad

8.4-9.0 ~1 650 2 600 25.6 0.498

Acetona 0.79(3) 56.1 Ácido acético 1.08 16.8 118

Ácido cianhídrico 0.7 -15 27 Ácido clorhídrico 10% 1.05 -14 102 0.50 3.14 Ácido clorhídrico 40% 1.20

Ácido fluorhídrico 0.99 -92.5 19.5 Ácido nítrico 1.56(4) -1.3 86 0.53 2.72

Ácido sulfúrico 1.49(5) -73 -10 1.34 Ácido sulfúrico 50% 1.40

Ácido sulfúrico concentrado

1.84 10-0 338 0.5 1.38

Ágata ~2.6 ~1 600 ~2 600 11.20 0.80 Agua 1.0(6) 0 100 0.58 4.183

Alcohol 0.79 -130 78.4 0.17-0.23 2.42 Alcohol etílico 95% 0.82(3) -90 78 0.16

Alcohol metílico 0.8 -98 66 2.51

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Ceneval, A.C. Camino al Desierto de los Leones (Altavista) 19,

Col. San Ángel, Del. Álvaro Obregón, C.P. 01000, México, D.F. www.ceneval.edu.mx

El Centro Nacional de Evaluación para la Educación Superior es una asociación civil sin fines de lucro que quedó formalmente constituida el 28 de abril de 1994, como consta en la escritura pública número 87036 pasada ante la fe del notario 49 del Distrito Federal. Sus órganos de gobierno son la Asamblea General, el Consejo Directivo y la Dirección General. Su máxima autoridad es la Asamblea General, cuya integración se presenta a continuación, según el sector al que pertenecen los asociados, así como los porcentajes que les corresponden en la toma de decisiones: Asociaciones e instituciones educativas (40%): Asociación Nacional de Universidades e Instituciones de Educación Superior, A.C. (ANUIES); Federación de Instituciones Mexicanas Particulares de Educación Superior, A.C. (FIMPES); Instituto Politécnico Nacional (IPN); Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey (ITESM); Universidad Autónoma del Estado de México (UAEM); Universidad Autónoma de San Luis Potosí (UASLP); Universidad Autónoma de Yucatán (UADY); Universidad Nacional Autónoma de México (UNAM); Universidad Popular Autónoma del Estado de Puebla (UPAEP); Universidad Tecnológica de México (UNITEC). Asociaciones y colegios de profesionales (20%): Barra Mexicana Colegio de Abogados, A.C.; Colegio Nacional de Actuarios, A.C.; Colegio Nacional de Psicólogos, A.C.; Federación de Colegios y Asociaciones de Médicos Veterinarios y Zootecnistas de México, A.C.; Instituto Mexicano de Contadores Públicos, A.C. Organizaciones productivas y sociales (20%): Academia de Ingeniería, A.C.; Academia Mexicana de Ciencias, A.C.; Academia Nacional de Medicina, A.C.; Fundación ICA, A.C. Autoridades educativas gubernamentales (20%): Secretaría de Educación Pública. • Ceneval, A.C.®, EXANI-I®, EXANI-II® son marcas registradas ante la Secretaría de

Comercio y Fomento Industrial con el número 478968 del 29 de julio de 1994. EGEL®, con el número 628837 del 1 de julio de 1999, y EXANI-III®, con el número 628839 del 1 de julio de 1999.

• Inscrito en el Registro Nacional de Instituciones Científicas y Tecnológicas del Consejo Nacional de Ciencia y Tecnología con el número 506 desde el 10 de marzo de 1995.

• Organismo Certificador acreditado por el Consejo de Normalización y Certificación de Competencia Laboral (CONOCER) (1998).

• Miembro de la International Association for Educational Assessment. • Miembro de la European Association of Institutional Research. • Miembro del Consortium for North American Higher Education Collaboration. • Miembro del Institutional Management for Higher Education de la OCDE.

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Dirección General Adjunta de los EGEL

JUNIO • 2014