TEOREMA DE PITÁGORAS

SEGÚN HORARIO DE CLASE: 15/04/2020 Revisar la materia y pasar en el cuaderno

Referencia: Pag. 164 libro Ministerio de Educación.

Referencia: https://youtu.be/XfVWlO3sRw0

Referencia: https://youtu.be/2UbdPiqAiHY?list=PLeySRPnY35dEhLLuHkysDw31hjMgjnISQ

Este teorema se aplica solo en triángulos rectángulos.

Un triángulo rectángulo es aquel que tiene un ángulo recto, es decir de 90 grados.

La hipotenusa es el lado mas largo del triangulo y está opuesto al ángulo de 90°

El teorema de Pitágoras establece que en todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la longitud de la

hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de las respectivas longitudes de los catetos.

Formula general h2 = c2 + c2

Si se necesita hallar el valor de la hipotenusa aplicamos la fórmula:

ℎ = √𝑐2 + 𝑐2

Si se necesita el valor de uno de los catetos, aplicamos la formula.

𝑐 = √ℎ2 − 𝑐2

*Los catetos y la hipotenusa siempre deben estar en la misma unidad de medida.

*La suma de los ángulos internos del triángulo será 180° grados.

A + B + C = 180 grados.

B + C = 90 grados.

Cateto ( c )

Cate

to ( c )

A

B C

Ejercicio:

Determinar la longitud de la hipotenusa dado que los catetos del triángulo miden 3m y 4m

respectivamente.

Solución:

Datos:

Cateto = 3m

Cateto = 4m

Dibujamos un triángulo rectángulo y colocamos los datos.

Colocamos las medidas a los catetos. (la base puede ser 3m y altura 4m o la base 4m y altura 3m

como usted quiera ya que el ejercicio no dice cual es la base y cual la altura).

Hallamos la hipotenusa, para lo cual aplico la fórmula

ℎ = √𝑐2 + 𝑐2

ℎ = √(4𝑚)2 + (3𝑚)2 = √16𝑚2 + 9𝑚2 = √25𝑚2 = 5𝑚 //

Ejercicio:

Si la Hipotenusa de un triangulo rectángulo mide 5m y un cateto 3m. ¿Cuánto mide el otro cateto

Solución:

Hipotenusa = 5m

Cateto = 3m

Dibujamos el triangulo rectángulo y colocamos los datos.

3m

4m 5m

3m

4m

Para hallar el otro cateto, aplicamos la fórmula

𝑐 = √ℎ2 − 𝑐2

𝑐 = √ℎ2 − 𝑐2 = √(5𝑚)2 − (3𝑚)2 = √25𝑚2 − 9𝑚2 = √16𝑚2 = 4𝑚 //

Ejercicio:

Una escalera de 10m de longitud está apoyada sobre la pared. El pie de la escalera está separada

6m de la pared. ¿A que altura esta la escalera sobre la pared?

Solución:

Datos:

Escalera= 10m

Distancia en suelo = 6m

Debemos dibujar lo que dice el problema.

Se ha formado un triangulo rectángulo y necesito hallar el valor de “x” que es un cateto, aplicamos

la formula:

𝑐 = √ℎ2 − 𝑐2

𝑐 = √ℎ2 − 𝑐2 = √(10 𝑚)2 − (6 𝑚)2 = √100𝑚2 − 36𝑚2 = √64𝑚2 = 8𝑚 //

¿

3m 5m

4m

3m 5m

Pared

Escalera

Suelo

6 m

c

Ejercicio:

Los catetos de un triángulo rectángulo isósceles miden 3 unidades de longitud cada uno ¿Cuánto mide su hipotenusa? Solución: Datos: Catetos = 3 Dibujamos lo que nos dice el problema:

Aplicamos la formula para hallar hipotenusa:

ℎ = √𝑐2 + 𝑐2

ℎ = √𝑐2 + 𝑏2 ℎ = √32 + 32 ℎ = √32 + 32 ℎ = √9 + 9 ℎ = √18 ℎ = 4,24 //

¿Cuál es el perímetro de u triangulo rectángulo cuyos catetos miden 6cm y 8cm respectivamente?

Solución:

Datos:

Cateto= 6cm

Cateto = 8cm

Dibujamos el triangulo

Pared Escalera

Suelo

6 m

C = 8m

b=3

A

B C

b=3

A

B C h=4,24

Sabemos que el perímetro es la suma de sus lados, pero me falta un lado que es la hipotenusa, por lo tanto hallamos su valor con la fórmula: A la hipotenusa también puedo ponerle otro nombre, en este caso “a”

𝑎 = √𝑏2 + 𝑐2 𝑎 = √82 + 62 𝑎 = √64 + 36 𝑎 = √100 𝑎 = 10 𝑐𝑚 Perímetro = a + b + c = 10 cm + 8 cm + 6 cm = 24 cm //

A B

C

c=6 cm

b=8

cm

A B

C

c=6 cm

b=8

cm

COLEGIO GONZALO CORDERO CRESPO

CIENCIAS EXACTAS “MATEMÁTICAS”

PROBLEMAS RESUELTOS

TEMA: TEOREMA DE PITÁGORAS

ESTOS PROBLEMAS SON DE AUTOESTUDIO, SE RECOMIENDA QUE DEJE UN ESPACIO PRUDENTE EN

CUADERNO PARA CUANDO TENGA OPORTUNIDAD IMPRIMA Y PEGUE EN EL CUADERNO O SI TIENE TIEMPO

PUEDE PASAR A MANO. (NO ES OBLIGATORIO PERO ESENCIAL PARA AFIANZAR CONOCIMIENTOS).

NO SE OLVIDE QUE LA FAMILIA ES RESPONSABLE DE LA AUTOEDUCACIÓN DEL ESTUDIANTE FUERA DEL

AULA DE CLASE.

EJERCICIO:

El teorema de Pitágoras sirve para resolver las medidas de:

Triángulos rectángulos.

Triángulos equiláteros.

Triángulos acutángulos.

Triángulos obtusángulos.

EJERCICIO:

¿Cuál es el perímetro de un triángulo rectángulo cuyos catetos miden 6cm y 8cm respectivamente?

EJERCICIO:

¿Cuál es el perímetro de un triángulo rectángulo cuyos catetos miden 12cm y 5cm respectivamente?

EJERCICIO:

¿Cuánto mide la hipotenusa de un triángulo rectángulo cuyos catetos miden 3 y 5 unidad de longitud respectivamente?

A B

C

c=6 cm

b=8

cm Perímetro = a + b + c

Perímetro = a + 8 cm + 6 cm

ℎ = √𝑐2 + 𝑐2 ℎ = √64 + 36 ℎ = √100 ℎ = 10 𝑐𝑚 Perímetro = 10 cm + 8 cm + 6 cm Perímetro = 24 cm

A B

C

c=12 cm

b=5

cm Perímetro = a + b + c

Perímetro = a + 5 cm + 12 cm

ℎ = √𝑐2 + 𝑐2 𝑐 = √25 + 144 𝑐 = √169 𝑐 = 13 𝑐𝑚 Perímetro = 13 cm + 5 cm + 12 cm Perímetro = 30 cm

A B

C

c=3

b=5

ℎ = √𝑐2 + 𝑐2 ℎ = √25 + 9 ℎ = √34 ℎ = 5,83

EJERCICIO:

¿Cuánto mide el otro cateto de un triángulo rectángulo si la hipotenusa mide 10 y su otro cateto mide 5 unidades de longitud?

EJERCICIO:

Calcula el lado desconocido en cada uno de los siguientes triángulos rectángulos:

a) b) c)

Solución:

Triangulo a):

Debemos encontrar la hipotenusa:

Triangulo b)

Debemos encontrar un cateto.

Triangulo c)

Debemos encontrar un cateto.

A B

C

c=

b=5

𝑐 = √ℎ2 − 𝑐2 𝑐 = √100 − 25 𝑐 = √75 𝑐 = 8,66

ℎ = √𝑐2 + 𝑐2 ℎ = √62 + 4,52 ℎ = √36 + 20,25 ℎ = √56,25 ℎ = 7,5 𝑐𝑚

𝑐 = √ℎ2 − 𝑐2 𝑐 = √172 − 82 𝑐 = √289 − 64 𝑐 = √225 𝑐 = 15 𝑚

𝑐 = √ℎ2 − 𝑐2 𝑐 = √292 − 202 𝑐 = √841 − 400 𝑐 = √441 𝑐 = 21 𝑘𝑚

Ejercicio:

Calcular el lado desconocido de los siguientes triángulos.

a) b)

Solución:

Triangulo a):

Debemos encontrar un cateto.

Triangulo b)

Debemos encontrar la hipotenusa:

Ejercicio:

Averigua cuáles de los siguientes triángulos son rectángulos, sabiendo que a, b, c son los lados

de un triángulo.

I: a=22m b=17m c=10m

II: a=37cm b=35cm c=12cm

III: a=61m b=60m c=11m

Solución:

Para verificar que un triángulo es rectángulo debe cumplir la ley general de Pitágoras:

h2 = c2 + c2

Si obtenemos una igualdad ese será el triángulo rectángulo. No olvidar que el lado grande siempre es la

hipotenusa.

I: a=22m b=17m c=10m

En este triangulo “a” es la hipotenusa, “b” y “c” son los catetos. Aplicamos la formula general.

222 = 172 + 102

484 = 289 + 100

ℎ = √𝑐2 + 𝑐2 ℎ = √372 + 202 ℎ = √1369 + 400 ℎ = √1769 ℎ = 42,05 𝑐𝑚

𝑐 = √ℎ2 − 𝑐2 𝑐 = √432 − 382 𝑐 = √1849 − 1444 𝑐 = √405 𝑐 = 20,12 𝑚

484 = 389 Como el lado izquierdo es diferente que el lado derecho, por lo tanto este triangulo

no es rectángulo.

II: a=37cm b=35cm c=12cm

En este triangulo “a” es la hipotenusa, “b” y “c” son los catetos. Aplicamos la formula general.

372 = 352 + 122

1369 = 1225 + 144

1369 = 1369 Como el lado izquierdo es igual que el lado derecho, por lo tanto este triangulo

es rectángulo.

III: a=61m b=60m c=11m

En este triangulo “a” es la hipotenusa, “b” y “c” son los catetos. Aplicamos la formula general.

612 = 602 + 112

3721 = 3600 + 121

3721 = 3721 Como el lado izquierdo es igual que el lado derecho, por lo tanto este triangulo

es rectángulo.

Ejercicio:

Un globo está sujeto al suelo con una cuerda. Ayer que no había viento, el globo estaba a 50 m de altura.

Hoy hace viento, y la vertical del globo se ha alejado 30 m del punto de amarre.

¿A qué altura está hoy el globo?

Se ha formado un triángulo rectángulo y se tiene que encontrar

la altura que sería el cateto.

Ejercicio:

Una mosca está en el vértice de un cono de cartulina. El radio de la base mide 15 cm y la altura es de 40 cm.

¿Cuál es la distancia que debe caminar la mosca para bajarse del cono?

50 m

𝑐 = √ℎ2 − 𝑐2 𝑐 = √502 − 302 𝑐 = √2500 − 900 𝑐 = √1600 𝑐 = 40 𝑚

Se ha formado un triángulo rectángulo.

Tenemos los datos de los catetos tengo que hallar el valor de la hipotenusa por donde bajara la mosca.

Ejercicio

Al atardecer, un árbol proyecta una sombra de 2,5 metros de longitud. Si la distancia desde la parte

más alta del árbol al extremo más alejado de la sombra es de 4 metros, ¿cuál es la altura del árbol?

SOLUCIÓN:

Imaginamos un triángulo rectángulo de modo que

su base, c , es la sombra del árbol,

su altura, c , es la altura del árbol y

su hipotenusa, h, es la distancia desde el árbol al extremo de la sombra.

Como el triángulo es rectángulo, aplicamos el teorema de Pitágoras para calcular su altura, que es

uno de los catetos:

𝑐 = √ℎ2 − 𝑐2 𝑐 = √42 − (2,5)2 𝑐 = √16 − 6,25 𝑐 = √9,75 𝑐 = 3,12 𝑚

h= 4m c= ¿

c= 2,5 m

40 cm

15 cm

ℎ = √𝑐2 + 𝑐2 ℎ = √402 + 152 ℎ = √1600 + 225 ℎ = √1825 ℎ = 42,72 𝑐𝑚

EJERCICIO:

Si nos situamos a 120 metros de distancia de un cohete, la visual al extremo superior del mismo recorre un

total de 130 metros. ¿Cuál es la altura total del cohete?

ℎ = √1302 − 1202 = √16900 − 14400 = √2500 = 50 𝑚

EJERCICIO:

Si nos situamos a 150 metros de distancia de un rascacielos, la visual al extremo superior del mismo recorre

un total de 250 metros. ¿Cuál es la altura total del rascacielos?

𝑎 = √2502 − 1502 = √62500 − 22500 = √40000 = 200 𝑚

EJERCICIO:

Un coche que se desplaza desde el punto A hasta el punto B recorre una distancia horizontal de 35 metros,

mientras se eleva una altura de 12 metros. ¿Cuál es la distancia en metros que separa a los puntos A y B?

ℎ = √352 + 122 = √1225 + 144 = √1369 = 37 𝑚

EJERCICIO:

La altura de una portería de futbol reglamentaria es de 2,4 metros y la distancia desde el punto de penalti

hasta la raya de gol es de 10,8 metros. ¿Qué distancia recorre un balón que se lanza desde el punto de

penalti y se estrella en el punto central del larguero?

ℎ = √10.82 + 2.42 = √116.64 + 5.76 = √122.4 = 11.063 𝑚

EJERCICIO:

*Una cometa está atada al suelo con un cordel de 200 metros de longitud. Cuando la cuerda está

totalmente tensa, la vertical de la cometa al suelo está a 160 metros del punto donde se ató la cometa. ¿A

qué altura está volando la cometa?.

𝑥 = √2002 − 1602 = √40000 − 25600 = √14400 = 120 𝑚

EJERCICIO:

*La Torre de Pisa está inclinado de modo que su pared lateral forma un triángulo rectángulo de catetos 5

metros y 60 metros. ¿Cuánto mide la pared lateral?

ℎ = √602 + 52 = √3600 + 25 = √3625 = 60,20 𝑚

COLEGIO GONZALO CORDERO CRESPO

CIENCIAS EXACTAS “MATEMÁTICAS”

TAREA

TEMA: TEOREMA DE PITÁGORAS

Fecha envio: 15/04/2020 fecha revisión: Desde 16/04/2020 hasta: 20/04/2020

DESPUES DE REVISAR LA MATERIA, REVISAR EJERCICIOS RESUELTOS, VIDEOS DE INTERNET

REALIZAR LOS PROBLEMAS 2, 3, 4, 5, 8 DE LA PAG. 165 del LIBRO DEL MINISTERIO DE EDUCACION EN EL

CUADERNO DE MATERIA.

UNA VEZ QUE HAYA ACABADO DE RESOLVER LOS PROBLEMAS INGRESE AL SIGUIENTE LINK

https://forms.gle/P89RabY4f7SVw3wt6 y conteste las preguntas.

Este link estará disponible desde 16/04/2020, favor no ingresar antes.

NOTA:

LOS SEÑORES Y SEÑORITAS: SORIA TIGSE DAMARIS GISSEL, ALCIVAR MÉNDES JESSICA BRIGHYT,

QUIÑONEZ LARA YANDRI ALEJANDRO

RESOLVER EL PRIMERO Y SEGUNDO PROBLEMA EN EL CUADERNO, ESCANEE O TOME FOTO Y ENVIE

AL CORREO gononate@yahoo.com

No tienen que acceder al link de TAREA Y EVALUACION a menos que por voluntad propia así lo quieran.