formelsammlung mathematik
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Formelsammlung für den Modullehrgang
1
Eintrittsprüfung 1) Zahlenbereiche
Natürliche Zahlen = positive Zahlen 1,2, 3,=ℕ …
Ganze Zahlen =
Positive und negative Zahlen, sowie Null 0, 1, 2, 3,= ± ± ±ℤ …
Rationale Zahlen =
Bruchzahlen p
p,q und q 0q
= ∈ ≠
ℚ ℤ
Reelle Zahlen =
Bruchzahlen und Zahlen, die sich nicht
durch Brüche darstellen lassen (irrationale
Zahlen)
"vollständige" Zahlengerade=ℝ
2) Griechisches Alphabet
3) Logische Symbole
FxtfoExausFvonTeilmengekeineistEFE
FxtfoExausFvonTeilmengeeineistEFE
ElementegleicheenthaltenDundCDgleichCDC
AvonElementkeinistA
AvonElementistA
vereinigtngeschnitte
oderund
ungefähr
größergleichgrößer
kleinergleichkleiner
∈∈⊄
∈∈⊆
=
∉
∈
∪∩
∨∧
≈
>≥
<≤
lg;
lg;
,
77
55
Formelsammlung für den Modullehrgang
2
4) Potenz- und Wurzelgesetze Definitionen
n
n Faktoren
a a a a mit n−
= ⋅ ⋅ ⋅ ∈… ℕ 010 ≠= amita aa =1
Rechengesetze
(1) nmnmaaa
+=⋅ Multiplikation bei gleicher Basis
(2) nnn baba )( ⋅=⋅ Multiplikation bei gleichem Exponenten
(3) 0≠= −amita
a
a nm
n
m
Division bei gleicher Basis
(4) 0≠
= bmit
b
a
b
an
n
n
Division bei gleichem Exponenten
(5) ( ) nmnm aa ⋅= Potenzieren
(6) 011
≠
==− amit
aaa
n
n
n Potenzen mit negativem Exponenten
(7) 011
≠==
−
−
amitaaa
n
n
n
Potenzen mit negativem Exponenten
(8) 0, ≠
=
−
bamita
b
b
ann
Potenzen mit negativem Exponenten
Wurzeln (a, b ≥ 0)
(1) m
mn na a mit a 0,m ,n= ≥ ∈ ∈ℤ ℕ (4) n n na b a b mit n⋅ = ⋅ ∈ℕ
(2) 1
n
n
1a mit a 0, n
a
−
= ≠ ∈ℕ (5) ( )q
m mqn na a mit n,q , m= ∈ ∈ℕ ℤ
(3) n
nn
a amit b 0, n
bb= ≠ ∈ℕ (6)
p npn m ma a mit n, p ,m= ∈ ∈ℕ ℤ
5) Satz von Pythagoras
222cba =+
Formelsammlung für den Modullehrgang
3
6) Binomische Formeln
( ) ( )
( )
( ) 32233
222
22
33
2
babbaaba
bababa
bababa
±+±=±
+±=±
−=−⋅+
7) Quadratische Gleichung
( ) ( )21
2
2121
2
2,1
2
:
2
40
xxxxacbxax
a
cxx
a
bxxVieta
a
acbbxcbxax
−⋅−⋅=++
=⋅−=+
−±−=⇒=++
8) Funktionen a.) Lineare Funktionen
Steigungx
ym
qmxy
…∆
∆=
+=
b.) Quadratische Funktionen
cbxaxy ++= 2
Scheitelpunktformel:
2 2 22 b b b 4ac b
y ax bx c a x c S |2a 4a 2a 4a
− = + + = ⋅ + + − −
Formelsammlung für den Modullehrgang
4
9) Ebene Figuren A…Flächeninhalt u… Umfang a.) Dreieck
b.) Viereck
Formelsammlung für den Modullehrgang
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c.) Kreis
10) Körper
Formelsammlung für den Modullehrgang
6
Formelsammlung für den Modullehrgang
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Algebra und Arithmetik
Folgen und Reihen
Allgemein gilt:
(1) n ∈ℕ
(2) 1a …1. Folgenglied na …n-tes Folgenglied
Teilsummenfolge n
n 1 2 3 n k
k 1
s a a a a a=
= + + + + =∑…
Arithmetische Folge
Graph
Konstante Differenz n 1 nd a a+= −
Explizite Darstellung ( )n 1a a n 1 d= + − ⋅
Rekursive Darstellung n 1 na a d+ = +
Summenformel ( )( )
n 1 n 1
n n 1 dns a a a n
2 2
⋅ − ⋅= ⋅ + = ⋅ +
Geometrische Folge
Allgemein: q 1,q 0≠ ≠
Graph
Konstanter Quotient n 1
n
aq
a
+=
Explizite Darstellung n 1
n 1a a q −= ⋅
Rekursive Darstellung n 1 na a q+ = ⋅
Summenformel
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endlich
unendlich
n n
n 1 1
1 q q 1s a a
1 q q 1
− −= ⋅ = ⋅
− −
1
1s a q 1
1 q∞ = ⋅ <
−
Fibonacci-Folge
n 2 n n 1 1 2a a a mit a 1,a 1+ += + = =
Exponential- und Logarithmusfunktionen
Allgemeine Exponentialfunktion xy a a 1, x= > ∈ℝ
Natürliche Exponentialfunktion xy e e Eulersche Zahl, x= ∈… ℝ
Logarithmusfunktion ( )ay log x x 0, a 1= > >
Logarithmus
Basen
(1) Allgemeiner Logarithmus ( ) x
ax log b a b= ⇔ =
(2) Dekadischer Logarithmus ( ) ( ) x
10x log b lg b 10 b= = ⇔ =
(3) Natürlicher Logarithmus ( ) ( ) x
ex log b ln b e b= = ⇔ =
(4) Binärer Logarithmus ( ) ( ) x
2x log c lb c 2 c= = ⇔ =
Basiswechsel ( )( )( )b
lg xlog x
lg b=
Logarithmengesetze
p,q 0>
( ) ( ) ( )a a alog pq log p log q= +
( ) ( )a a a
plog log p log q
q
= −
( ) ( )n
a alog p n log p= ⋅
( ) ( )na a
1log p log p
n= ⋅
Formelsammlung für den Modullehrgang
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Geometrie
1. Allgemeine Bezeichnungen
ABC∠ … Winkel mit dem Scheitel B ____
AB Strecke von A nach B…
Winkelbeschriftung mit griechischen Buchstaben (siehe Formelsammlung Eintrittsprüfung)
2. Winkel
Formelsammlung für den Modullehrgang
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3. Winkelmaße
Grad: 1 60 (Minuten) 3600 (Sekunden)′ ′′° = = bzw.
180 b
b Bogenmass⋅
α =π
…
180π = °
Radiant: b180
π⋅α=
°
4. Einheitskreis und Winkelfunktionen
( )
( )
( )( )( )
Gsin x
H
Acos x
H
sin x Gtan x
cos x A
G Gegenkathete
A Ankathete
H Hypotenuse
=
=
= =
…
…
…
5. Trigonometrische Grundbeziehungen
„Trigonometrischer Pythagoras“ 2cos ²( ) sin ( ) 1α + α =
Komplementär- und Supplemetärwinkelsätze ( )
( )
( )
( )
sin(90 ) sin 90 cos( )
cos(180 ) cos 180 cos( )
cos(90 ) sin(180 ) sin
cos(90 ) sin(180 ) sin
° − ϕ = ° + ϕ = ϕ
° + ϕ = ° − ϕ = − ϕ
° − ϕ = ° − ϕ = ϕ
° + ϕ = ° + ϕ = − ϕ
Formelsammlung für den Modullehrgang
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6. Spezielle Winkel: Höhen- und Tiefenwinkel
Horizontalebene
7. Rechtwinkliges Dreieck
Bezeichnungen im rechtwinkligen
Dreieck
Satz von Pythagoras 2 2 2c a b= +
8. Allgemeines Dreieck
Winkelsumme 180°
Sinus-Satz
( ) ( ) ( )a b c
2Rsin sin sin
R Umkreisradius
= = =α β γ
…
Cosinus-Satz ( )
( )
( )
2 2 2
2 2 2
2 2 2
a b c 2 b c cos
b a c 2 a c cos
c a b 2 a b cos
= + − ⋅ ⋅ ⋅ α
= + − ⋅ ⋅ ⋅ β
= + − ⋅ ⋅ ⋅ γ
Flächenberechnung
Allgemein
Formel von Heron
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )2
a b sin b c sin a c sinA
2 2 2
a b c2 R sin sin sin
4 R
R Umkreisradius
⋅ ⋅ γ ⋅ ⋅ α ⋅ ⋅ β= = = =
⋅ ⋅= ⋅ ⋅ α ⋅ β ⋅ γ =
⋅
…
( ) ( ) ( )a b c
A s s a s b s c wobei s2
+ += ⋅ − ⋅ − ⋅ − =
Formelsammlung für den Modullehrgang
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Inkreisradius
( ) ( ) ( )
Ar
s
s a s b s c a b cr mit s
s 2
=
− ⋅ − ⋅ − + += =
Kongruenz und Ähnlichkeit
Kongruenzsätze SSS - Stimmen zwei Dreiecke im Verhältnis der drei Seitenlängen
überein, dann sind sie ähnlich zueinander.
SWS – Stimmen zwei Dreiecke im Verhältnis der Längen zweier
Seiten und dem von ihnen eingeschlossene Winkel überein, dann sind
sie ähnlich.
Ssw – Stimmen zwei Dreiecke im Verhältnis zweier Seitenlängen und
in dem der grösseren Seite gegenüberliegenden Winkel überein, dann
sind sie ähnlich.
WSW – Stimmen zwei Dreiecke in zwei Winkeln überein, dann sind
sie ähnlich zueinander.
Strahlensätze
Formelsammlung für den Modullehrgang
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Wahrscheinlichkeit
Kombinatorik n , k , k n∈ ∈ ≤ℕ ℕ
Fakultät n! 1 2 3 n 0! 1 1! 1= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = =…
Binomialkoeffizient
( )( ) ( )n n n 1 n k 1n!
k k! n k ! 1 2 k
⋅ − ⋅ ⋅ − + = =
⋅ − ⋅ ⋅ ⋅
…
…
Anzahl der geordneten Stichprobe mit Zurücklegen (Variation mit Wiederholung): kn
Anzahl der geordneten Stichprobe ohne Zurücklegen (Variation ohne Wiederholung):
( )( ) ( )
n!n n 1 n k 1
n k != ⋅ − ⋅ ⋅ − +
−…
Anzahl der ungeordneten Stichproben ohne Zurücklegen (Kombination ohne Wiederholung):
n
k
Anzahl der möglichen Anordnungen von n verschiedenen Elementen (Permutation ohne
Wiederholung)
n!
Wahrscheinlichkeitsrechnung
w
w
Ereignisraum
,E Ereignis
E Gegenereignis
n Anzahl der Versuche
f Absolute Häufigkeit
h Re lative Häufigkeit
Ω
ω
…
…
…
…
…
…
( )
A B A oder B
A B A und B
P E Wahrscheinlichkeit von E
∪
∩
…
…
…
Relative Häufigkeit w
w
fh
n=
Gleichwahrscheinlichkeit ( )
g Anzahl der günstigen FälleP E
m Anzahl der möglichen Fälle= =
Gegenwahrscheinlichkeit ( ) ( )P E 1 P E= −
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Additionssätze ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
P E F P E P F P E F vereinbare Ereignisse
P E F P E P F unvereinbare Ereignisse
∪ = + − ∩
∪ = +
und → Multiplikation
oder → Addition
Bernoulli – Experiment
Ziehen mit Zurücklegen
( ) ( ) k n k
n
n Gesamtumfang der Stichprobe
k Anzahl der Erfo lg e
p Wahrscheinlichkeit für Erfo lg
q 1 p Wahrscheinlichkeit für Misserfo lg
nP k P "Genau k Erfo lg e in n Versuchen" p q
k
−
= −
= = ⋅ ⋅
…
…
…
…
Hypergeometrische
Verteilung
Ziehen ohne Zurücklegen
( )
1
2
1 2
1
1 2
n
N Gesamtumfang der Stichprobe
n Kleine Stichprobe aus dem Gesamtumfang
T 1.Teilmenge
T 2.Teilmenge
T T N
k Anzahl der Erfo lg e aus T
T T
k n kP k
N
n
+ =
⋅
− =
…
…
…
…
…