forecaforecasting by smoothing methodssting by smoothing methods

Economics 20 - Prof. Anderson 1

Dự báo sử dụng mô hình chuỗi thờigian(Time Series Models for Forecasting)

Dự báo bằng phương pháp làm trơn số liệu

Nguyễn Ngọc AnhTrung tâm Nghiên cứu Chính sách và Phát triển

Nguyễn Việt CườngĐại học Kinh tế Quốc dân


Nội dung

Một số khái niệm và một vài mô hình giản đơnLàm trơn bằng phương pháp trung bình

Trung bình trượt giản đơn (simple moving averages - SMA)Phương pháp trung bình trượt kép (Double moving average) Ứng dụng của phương pháp trung bình trượt trên thị trường chứngkhoánTrung bình trượt có trọng số

Làm trơn số liệu theo qui luật số mũLàm trơn theo qui luật số mũ giản đơn (Simple Exponential

Smoothing)


Trong chương này chúng ta sẽ xem xét cácphương pháp làm trơn số liệu (smoothing). Mặc dù các phương pháp này là nhữngphương pháp giản đơn, và đã phát triểntương đối sớm, nhưng giá trị sử dụng thựctiễn của các phương pháp này vẫn còn.


Một số khái niệm và một vài mô hình giản đơn

Mô hình giản đơn (Naive model):

Mô hình này dự báo rằng giá trị của ngày hôm sau, hoặc một ngày t+i trong tương lai sẽ bằng giá trị củangày hôm nay. Mô hình này rất có ích và sẽ dự báo tương đối tốt khidãy số liệu là quá ngắn và không có một xu hướng cụthể nào (no systematic pattern), hoặc xu hướng này thayđổi rất chậm.

tit YF =+


Naive Forecasting

Simplest of thenaive forecasting

models

Simplest of thenaive forecasting

models

t t

t

t

F XF

Xwhere t

t

=

=

=

−

−

1

1 1

: the forecast for time period

the value for time period -

We sold 532 pairs of shoes lastweek, I predict we’ll

sell 532 pairs this week.

We sold 532 pairs of shoes lastweek, I predict we’ll

sell 532 pairs this week.


Một số khái niệm và một vài mô hình giảnđơn

Mô hình dự báo trung bình (Mean Forecast model)

Mô hình này dự báo giá trị của tương lai bằng vớitrung bình của dãy số. Mô hình dự báo trung bình này sẽ dự báo tốt khisố liệu của dãy số biến động xung quanh một hằngsố hoặc một giá trị ổn định (fluctuated around a constant or stationary value).

YF it =+


Simple Average Model

tt t t t nF X X X X

n=

+ + + +− − − −1 2 3 L

The monthly average last12 months was 56.45, so I predict

56.45 for September.

The monthly average last12 months was 56.45, so I predict

56.45 for September.

Month Year

Cents per

Gallon Month Year

Cents per

GallonJanuary 2 61.3 January 3 58.2February 63.3 February 58.3March 62.1 March 57.7April 59.8 April 56.7May 58.4 May 56.8June 57.6 June 55.5July 55.7 July 53.8August 55.1 August 52.8September 55.7 SeptemberOctober 56.7 OctoberNovember 57.2 NovemberDecember 58.0 December


Trung bình trượt giản đơn (simple moving averages - SMA)

Ý tưởng chính của sử dụng trung bình trượtlà tìm ra xu hướng của dãy số. Giả thiết cơbản của trung bình trượt là giá trị của dãy sốtrung tương lai sẽ bằng giá trị trung bìnhcủa số liệu trong quá khứ. Công thức nhưsau

nYYYYnSMAF tttnt

tt)...()( 123 −−−− ++++

==


Trung bình trượt

Cập nhật (tính toán lại) với mỗi kỳ mớiCó thể gặp khó khăn khi chọn số thời kỳ tối ưuCó thể không điều chỉnh được cho xu hướng, vàtính mùa vụ

tt t t t nF X X X X

n=

+ + + +− − − −1 2 3 L

Tính lại cho mỗi kỳ.


Ví dụ: Trung bình trượt bậc 4 đượctính bằng công thức

4)( 1234 −−−− +++

== tttttt

YYYYSMAF

4)( 2345

11−−−−

−−+++

== tttttt

YYYYSMAF

4)( 3456

22−−−−

−−+++

== tttttt

YYYYSMAF

4)( 4567

33−−−−

−−+++

== tttttt

YYYYSMAF

4)( 1234 −−−−−−−−

−−+++

== ktktktktktkt

YYYYSMAF


Minh họa:Four-Month Moving Average

00.67

00.1294136100.1294

41259119113811345

75.15

25.1243125925.1243

41191138113451056

=

−=

=

+++=

=

−=

=

+++=

Error

F

Error

F

June

June

May

MayMonths Shipments

4-Mo Moving Average

Forecast Error

January 1056February 1345March 1381April 1191May 1259 1243.25 15.75June 1361 1294.00 67.00July 1110 1298.00 -188.00August 1334 1230.25 103.75September 1416 1266.00 150.00October 1282 1305.25 -23.25November 1341 1285.50 55.50December 1382 1343.25 38.75


Minh họa:Four-Month Moving Average

1000

1100

1200

1300

1400

1500

0 2 4 6 8 10 12

Time

Ship

men

ts

Shipments 4-Mo Moving Average


Phương pháp trung bình trượt kép (Double moving average):

Chuỗi số thời gian qua biến đổi trung bìnhtrượt kép (trung bình trượt hai lần) được kýhiệu là MA(pxq), là một trung bình trượtbậc p (sử dụng p thời kỳ/quan sát) của mộtchuỗi đã được biến đổi trung bình trượt ởbậc q. q là bậc (q quan sát) của lần trungbình trượt thứ nhất, và p la trung bình trượtở lần thứ hai.


Ví dụ: Giả sử ta thực hiện phép trung bình trượt bậc 4 lần thứnhất với một chuỗi thời gian Y ta sẽ có:

4)( 1234 −−−− +++

= ttttt

YYYYSMA

4)( 2345

1−−−−

−

+++= tttt

tYYYYSMA

4)( 3456

2−−−−

−+++

= ttttt

YYYYSMA

4)( 4567

3−−−−

−

+++= tttt

tYYYYSMA


Ta tiếp tục thực hiện phép biến đổi trung bình trượt bậc 3 vớichuỗi số này, ta sẽ có chuỗi trung bình trượt kép (3-perioddouble moving average):

3)( 123 −−− ++

== ttttt

SMASMASMADMAF

nSMASMASMASMADMAF tttnt

tt)...( 123 −−−− ++++

==


Ưu điểm: bằng phương pháp này có thể loại bỏđược những biến thiên ngẫu nhiên quá lớn, vàphương pháp này ít bị tác động của các quan sátngoại biên (outlier), đặc biệt là so vớ phương phápsai phân bậc nhấtNhược điểm: Phương pháp này không xử lý đượcvấn đề mùa vụ (seasonality) của chuỗi thời gian, và việc xác định số bậc tối ưu (the optimal number of period) cũng gặp khó khăn.


Ứng dụng của phương pháp trung bình trượt trên thịtrường chứng khoán

HSPI

MA

Thời gian

Giá

Mua

Bán


Trung bình trượt có trọng sốFt = WMA4 = [0.4Yt-1 + 0.3Yt-2 + 0.2Yt-3 + 0.1Yt-4]Ưu điểm: Trọng số đối với các quan sát trong quá khứ cóthể khác nhau. Tuy nhiên việc xác định được trọng số tốiưu lại có thể rất khó khăn. Loại mô hình này rất có ích khisố liệu có đặc điểm là những thay đổi theo từng thời kỳ cókich thước gần như nhau. (This type of model is most useful when the historical data are characterized by period-to-period changes that are approximately the same size.)Hạn chế của mô hình WMA: Mô hình này không xử lýđược vấn đề xu hướng và mùa vụ. Rất khó xác định đượcbậc để thực hiện trung bình trượt bởi vì RSE không có giátrị, đồng thời việc xác định trọng số cũng rất khó khăn, nênphương pháp này thường không được sử dụng.


Trung bình trượt có trọng số

tt t t t t t t n t n

ii t

t nF W X W X W X W XW

=+ + + +− − − − − − − −

= −

−

∑1 1 2 2 3 3

1

L


Ví dụ: Trung bình trượt trọng số 4 tháng

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

May

May

June

June

F

Error

F

Error

=+ + +

=

= −

=

=+ + +

=

= −

=

4 1191 2 1381 1 1345 1 10568

1240 88

1259 1240 88

18 134 1259 2 1191 1 1381 1 1345

81268 00

1361 1268 0093 00

.

.

.

.

..

Months Shipments

4-Mo WeightedMoving Average

Forecast Error

January 1056February 1345March 1381April 1191May 1259 1240.88 18.13June 1361 1268.00 93.00July 1110 1316.75 -206.75August 1334 1201.50 132.50September 1416 1272.00 144.00October 1282 1350.38 -68.38November 1341 1300.50 40.50December 1382 1334.75 47.25


Làm trơn theo qui luật số mũ giảnđơn (Simple Exponential Smoothing)

Trung bình trượt giản đơn sử dụng trọng số bằng nhau chotất cả các quan sát, nhưng trên thực tế các quan sát nằm ởđầu và cuối dãy số có trọng số thấp hơn các quan sát khác(tức là được sử dụng ít hơn trong việc tính trung bình)

Trong phương pháp trung bình trượt kép thì vấn đề trọngsố lại trở nên nghiêm trọng hơn. Trung bình trượt kép thậmchí dành cho những quan sát nằm giữa dãy số trọng số caohơn cả những quan sát gần kỳ dự báo hơn (những quan sátgần đây hơn) – bởi vì các quan sát nằm giữa dãy số đượcsử dụng nhiều hơn trong việc tính toán con số trung bình.



Do đó phương pháp trung bình trượt có trọng sốđã được phát triển để sử dụng. Trung bình trượt cótrọng số giới thiệu ở trên, trọng số giảm dần từ Yt-1 đến Yt-4 một cách đều đặn (0.4 0.1).

Tuy nhiên tác động của các quan sát trong quá khứlại có thể không giảm đều đặn như vậy, mà lạigiảm một cách phi tuyến hơn. Để xử lý vấn đềnày, người ta đã phát triển các phương pháp trungbình trượt có trọng số thay đổi theo số mũ



Nhìn nhận ở một góc độ khác, trong phương pháptrung bình trượt giản đơn ở trên, giả sử có bậctrượt là k, thì chỉ có k quan sát gần nhất được sửdụng, còn tất cả các quan sát trước đó đều khôngđược sử dụng. Đây có thể được coi là một nhược điểm. Do đóngười ta tìm cách xây dựng phương pháp làm trơnsao cho các dữ liệu trong quá khứ vẫn được sửdụng và có trọng số giảm dần thay vì bị loại bỏnhư phương pháp trung bình trượt.



Ft = Ft-1 + α(Yt-1 – Ft-1)

Ft = 1*Yt-1 + (1-1) Ft-1 Ft= Yt-1 (Naive model)

11 )1( −− −+= ttt FYF αα



Công thức này cho thấy con số dự báo là trungtrình có trọng số giữa giá trị thực tế gần đây nhất(Yt-1) và giá trị dự báo gần đây nhất (Ft-1). So sánh với mô hình adaptive expectation ở bàitrước!!!Ở đây α luôn nằm giữa khoảng 0 và 1 (0.1 và 0.9). Giá trị tối ưu của α sẽ là giá trị sao cho sai số dựbáo SSE, hoặc RSE là nhỏ nhất.


Chứng minh rằng cho ta các trọngsố có dạng mũ

Từ công thức trên ta có viết như sauFt = αYt-1 + (1-α) Ft-1; Dự báo cho giai đoạn tFt-1 = αYt-2 + (1-α) Ft-2 Dự báo cho giai đoạn t-1Ft-2 = αYt-3 + (1-α) Ft-3; Dự báo cho giai đoạn t-2Ft-3 = αYt-4 + (1-α) Ft-4 Dự báo cho giaiđoạn t-3Từ công thức trên ta có viết như sauFt = αYt-1 + (1-α) Ft-1; Dự báo cho giai đoạn tFt-1 = αYt-2 + (1-α) Ft-2 Dự báo cho giai đoạn t-1Ft-2 = αYt-3 + (1-α) Ft-3; Dự báo cho giai đoạn t-2Ft-3 = αYt-4 + (1-α) Ft-4 Dự báo cho giaiđoạn t-3

∑∞

=−−−=

01)1(

sst

st YF αα


Nguyên tắc lựa chọn α :

(1) Với các chuỗi thời gian biến động ngẫu nhiên, khôngcó pattern cụ thể, biến động nhiễu loạn, nên chọn α có giátrị lớn. (2) Với các dãy số có dạng bước ngẫu nhiên (randomly and smoothly walks up and down without any repeating patterns), nên chọn α có giá trị nhỏ.(3) Khi cần có độ trơn trượt nhiều, nên sử dụng các trungbình trượt dài, sử dụng α có giá trị nhỏ trong trungbình trượt số mũ. Khi chỉ cần làm trơn ít, sử dụng trung bình trượt ngắn, Sử dụng α giá trị lớn.(4) Sử dụng α có giá trị khác nhau trong việc thực hiệntrung bình trượt số mũ, sau đó lựa chọn dựa trên RSE đểchọn α tối ưu.


Exponential Smoothing, w=.2

0

50

1001 3 5 7 9 11 13 15

Valu

e

Exponential Smoothing , w=.7

0

50

100

1 3 5 7 9 11 13 15

Valu

e

α nhỏ smoothing nhiều

α lớn smoothing ít


Ví dụ: α = 0.2 (xem file excel)

Business Statistics, 4e, by Ken Black. © 2003 John Wiley & Sons. 16-24

53803.2MSE

183.1MAD

807048.22746.9

45012.6212.2212.21453.83816661999

41596.4204.0204.01413.04816171998

5804.976.276.21397.8114741997

9798.599.099.01378.01214771996

900.930.0-30.01384.01613541995

8323.091.291.21365.76914571994

9450.197.2-97.21385.21212881993

53599.0231.5-231.51431.51512001992

272372.6521.9-521.91535.89310141991

183712.2428.6-428.61621.61711931990

94261.8307.0-307.01683.02113761989

59426.7243.8-243.81731.77614881988

19521.7139.7-139.71759.7216201987

3203.656.656.61748.418051986

64.08.0-8.01750.017421985

--------17501984

e2|e|eFHousing Units

(1,000)Year

0.2α =


Làm trơn số liệu mùa vụ theo qui luật số mũ giảnđơn (Seasonal Simple Exponential Smoothing)

Phương pháp làm trơn số liệu theo quy luậtsố mũ giản đơn có thể được sử dụng với sốliệu có tính mùa vụ (với điều kiện là số liệunày không có tính xu hướng (applied to seasonal data that does not possess a trend)


Làm trơn số liệu mùa vụ theo qui luật số mũ giảnđơn (Seasonal Simple Exponential Smoothing)

Ft = αYt-s + (1-α) Ft-s t-s = t-4 với số liệu quít-s = t-12 với số liệu thángt-s = t-7 Với số liệu tuần


Làm trơn số liệu mũ kép của BrownĐôi khi chúng ta muốn làm trơn thật nhiềumột chuỗi số nhưng lại không muốn dành quánhiều trọng số cho các quan sát trong quákhứ. Trong trường hợp như vậy việc sử dụng α cógiá trị nhỏ (trơn trượt nhiều) lại không phùhợp (vì dành nhiều trọng số cho dữ liệu quákhứ). Khi đó, ta có thể sử dụng phương pháplàm trơn mũ kép.


Làm trơn số liệu mũ kép của Brown

Bằng phương pháp này, thì khi hệ số trơn αdù có lớn (tức là dành ít trọng số cho số liệutrong quá khứ) thì dãy số vẫn được làm rấttrơn.Tương tự như trung bình trượt kép và nhưtên gọi của phương pháp này cho thấy, phương pháp làm trơn này là làm trơn thêmmột lần nữa một dãy số đã được làm trơn.


Làm trơn số liệu mũ kép của Brown

Gọi S’ là giá trị được làm trơn 1 lần, và S”là giá trị được làm trơn 2 lần, ta có

'1

' )1( −−+= ttt SYS αα

''1

''' )1( −−+= ttt SSS αα


DỰ BÁO VỚI PHƯƠNG PHÁP PHÂN RÃ CHUỖI SỐ THỜI GIAN

Xem lại đặc điểm của dãy số thời gianPhương pháp phân rã truyền thống


Một số đặc điểm thường gặp trongsố liệu chuỗi thời gian

Ngẫu nhiên (random pattern)

Biến động bất thường, làm ta không nhận ra các xu hướng khác trong dãy số

time

Y



Có xu hướng (Trend patterns )

Xu hướng là dài hạn, thường dài hơn 1 năm

Y Y

Time Time



Ít hơn một năm mùa vụ

Q1 Q1 Q1Q3 Q3 Q3

Y

Time



Tính chu kỳ (Cyclical Patterns )

Dài hơn 1 năm

Y

Time


Cấu phần cua chuỗi thời gian

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

Year

Mùa vụ

Chu kỳ

Xu hướng

Ngẫu nhiên


Phương pháp phân rã truyền thống


Phương pháp phân rã truyền thống

Y = f (trend, cyclical, seasonal, error)= f (T, C, S, e )

(1) Mô hình cộng (Additive):Y = T + C + S + e

(2) Mô hình nhân (Multiplicative):Y = T · C · S · e


Xem đồ thị để biết cộng hay nhân

Y

time

Y

time

Additive seasonality

Multiplicative seasonality


Phân rã bằng phương pháp hồi qui (Decomposition using regression analysis)

ttttt eQQQTrendY +++++= 432 4321 ββββα

Yt = Dãy số thực tếTrend = giá trị thời gian (ta tự tạo) Q2, Q3, Q4 = Biến giả (tự tạo)


Các dạng hàm cho xu hướng

• Đường thằng tuyến tính :Y = a + bX

• Đường Geometric Curve Y = aebX

• Đường Parabol : Y = a + bX + cX2

•


Số giờ lao động trung bình/tuần củaCN

Period Hours Period Hours Period Hours Period Hours1 37.2 11 36.9 21 35.6 31 35.72 37.0 12 36.7 22 35.2 32 35.53 37.4 13 36.7 23 34.8 33 35.64 37.5 14 36.5 24 35.3 34 36.35 37.7 15 36.3 25 35.6 35 36.56 37.7 16 35.9 26 35.67 37.4 17 35.8 27 35.68 37.2 18 35.9 28 35.99 37.3 19 36.0 29 36.0

10 37.2 20 35.7 30 35.7


Mô hình tuyến tính - Linear TrendRegression Statistics

Multiple R 0.782R Square 0.611Adjusted R Square 0.5600Standard Error 0.509Observations 35

ANOVAdf SS MS F Significance F

Regression 1 13.4467 13.4467 51.91 .00000003Residual 33 8.5487 0.2591Total 34 21.9954

Coefficients Standard Error t Stat P-valueIntercept 37.4161 0.17582 212.81 .0000000Period -0.0614 0.00852 -7.20 .00000003

X

XY

t

itii

Y

where

0614.0416.37ˆperiod time

i periodfor valuedata :

XY

i

i

10

−=

=

=

++= εββ


Số liệu và đường xu hướng tuyếntính

34.535.035.536.036.537.037.538.0

0 5 10 15 20 25 30 35

Time Period

Wor

k W

eek


Mô hình bậc hai - Quadratic Trend

Regression StatisticsMultiple R 0.8723R Square 0.761Adjusted R Square 0.747Standard Error 0.405Observations 35

ANOVAdf SS MS F Significance F

Regression 2 16.7483 8.3741 51.07 1.10021E-10Residual 32 5.2472 0.1640Total 34 21.9954

Coefficients Standard Error t Stat P-valueIntercept 38.16442 0.21766 175.34 2.61E-49Period -0.18272 0.02788 -6.55 2.21E-07Period2 0.00337 0.00075 4.49 8.76E-05

i ti ti i

ti

t t

Y X X

XX X

where

Y

= + + +

=

=

=

= − +

0 1 2

2

2

238164 0183 0 003

β β β ε:

$ . . .

data value for period i

time period

the square of the i period

i

i

th

YX


Số liệu và đường xu hướng bậc 2

34.535.035.536.036.537.037.538.0

0 5 10 15 20 25 30 35

Period

Wor

k W

eek


Mô hình nhân (Multiplicative)

Biến đổi logarit

Yt = Dãy số thực tếTrend = giá trị thời gian (ta tự tạo) Q2, Q3, Q4 = Biến giả (tự tạo)

''4

'3

'2

'1

' 432)ln( ttttt eQQQTrendY +++++= ββββα

forecaforecasting by smoothing methodssting by smoothing methods

Documents