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FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES(Outils Mathématiques 4)

Bernard Le StumUniversité de Rennes 1

Version du 13 mars 2009

Table des matières

1 Fonctions partielles, courbes de niveau 1

2 Limites et continuité 5

3 Différentiabilité 8

4 Fonctions implicites 19

5 Développements limités 21

1 Fonctions partielles, courbes de niveau

Exemple 1.1 i) Volume d’un cylindre.

[DESSIN]

Une fois fixées des unités (mètre et mètre cube par exemple), lorsque le rayonr et la longueur h d’un cylindre varient dans R>0, le volume V = πr2h ducylindre varie dans R>0. On dit V est fonction des deux variables r et h. Ondispose donc d’une fonction réelle

R2 // R(r, h) � // V (r, h) = πr2h

de deux variables réelles. Cette fonction est définie sur son domaine

D := {(r, h) ∈ R2, r, h > 0}

1

2 B04 – Version du March 13, 2009

et son image est R>0. Choisissons deux valeurs r0 et h0. Si on fixe le rayonr = r0, alors on peut considérer la fonction partielle

R // Rh

� // V (r0, h) = (πr20)× h

(qui est linéaire).

[DESSIN]

De même, si on fixe la longueur h = h0, on peut considérer l’autre fonctionpartielle

R // Rr � // V (r, h0) = (πh0)× r2

(qui est cette fois quadratique).

[DESSIN]

Lorsqu’on donne différentes valeurs Vi à V , on obtient ce qu’on appelle lescourbes de niveau d’équations πr2h = Vi :

[DESSIN]

Enfin, le graphe de V est la surface de R3 d’équation V = πr2h, c’est à direl’ensemble des points de la forme (r, h, πr2h) avec r, h > 0.

[DESSIN]

ii) Température en un point d’une pièce à un moment donné.

[DESSIN]

Dans une pièce de longueur L, largeur l et hauteur h, on peut mesurer pendantune période donnée (disons, une heure) la température en un point donné à unmoment donné. Si on fixe des unités (mètre et seconde par exemple), le coinen bas à gauche comme origine de la pièce et le moment de la première mesurecomme origine du temps, la température T est fonction des coordonnées x, y, zdu point et du moment t ou la température est prise. En d’autres termes, Test fonction de x, y, z, t. On a définit donc une fonction réelle

R4 T // R(x, y, z, t) � // T (x, y, z, t)

de quatre variables réelles. Quel est le domaine de définition de cette fonction ?

Définition 1.2 On rappelle que R2 désigne l’ensemble de tous les couples (x, y)avec x ∈ R et y ∈ R. Une partie de R2 est un ensemble de couples de réels.

Exemple 1.3 i) Le quadrant droit du plan.

[DESSIN]

B04 – Version du March 13, 2009 3

Il peut être décrit comme

Q = {(x, y) ∈ R2, x, y ≥ 0}

ou encore comme Q = R>0 ×R>0.ii) Le cercle unité.

[DESSIN]

Il peut être décrit comme

C = {(x, y) ∈ R2, x2 + y2 = 1}

(en compréhension : condition) mais aussi comme l’ensemble

C = {(cos θ, sin θ), θ ∈ R}

(en extension : paramétrisation).

Définition 1.4 Une fonction réelle de deux variables réelles est une méthode quiassocie à certains couples de réels (x, y), un autre réel f(x, y). On écrit

R2 f // R(x, y) � // f(x, y)

Son domaine de définition est la partie Df de R2 formée des couples (x, y) pourlesquels f(x, y) existe. L’ image (du domaine) de f est l’ensemble de toutes les valeursque f(x, y) peut prendre.

Exemple 1.5 La fonction f(x, y) = xy − 52√y − x2 est définie lorsque le point de coor-

données (x, y) est situé au dessus de la parabole y > x2.

[DESSIN]

On peut montrer que son image est R tout entier.

Définition 1.6 Étant donne une fonction f : R2 → R et un point (a, b) de R2, lesfonctions partielles sont les fonctions d’une variable réelle obtenue en fixant y = b,

R // Rx � // fx(x, b) = f(x, b)

ou en fixant x = a,R // Ry � // fy(a, y) = f(a, y).


Définition 1.7 (Généralisation) On désigne par Rn l’ensemble de tous les n-uples (x1, . . . , xn) avec x1, . . . , xn ∈ R. Alternativement, on verra les éléments deRn comme des vecteurs u = (x1, . . . , xn) ou des points P = (x1, . . . , xn). La cor-respondance étant donnée par u = −→OP . Une partie de Rn est tout simplement unensemble de n-uples de réels.Une fonction réelle de n variables réelles est une méthode qui associe à certainsn-uples (x1, . . . , xn), un autre réel f(x1, . . . , xn). On écrit

Rnf // R

(x1, . . . , xn) � // f(x1, . . . , xn)

Son domaine de définition est la partie Df de Rn formée des points P pour lesquelsf(P ) existe. L’ image (du domaine) de f est l’ensemble de toutes les valeurs quef(P ) peut prendre.Enfin, les fonctions partielles en un point (a1, . . . , an) sont les fonctions d’une va-riable réelle obtenue en faisant varier seulement xi :

Rnf // R

x � // fxi(a1, . . . , ai−1, x, ai+1, . . . an) = f(a1, . . . , ai−1, x, ai+1, . . . an)

Exemple 1.8 La fonction f(x, y) = xyez√x2 + y2 + z2 − 1

es définie lorsque le point

de coordonnées (x, y, z)est situé en dehors de la sphère unité x2 + y2 + z2 ≤ 1. Onpeut voir que son image est encore R tout entier.

Définition 1.9 Le graphe d’une fonction f : R2 → R est la « surface » G(f) ⊂ R3

formée de tous les triplets de la forme (x, y, f(x, y)) avec (x, y) ∈ Df .

Exemple 1.10 Par exemple, si f(x, y) = xy − 52√y − x2 , alors

G(f) = {(x, y, xy − 52√y − x2 ), y > x2}.

Définition 1.11 (Généralisation) Le graphe d’une fonction f : Rn → R est

G(f) = {(P, f(P )), P ∈ Df} ⊂ Rn+1.

Définition 1.12 Les courbes de niveau d’une fonction f : R2 → R sont les courbesplanes d’étquation f(x, y) = k avec k fixé.

Une courbe de niveau d’une fonction f est donc la même chose qu’une courbe deniveau de son graphe G(f).

Exemple 1.13 La fonction f(x, y) = y2 − x2.


[DESSIN]

Définition 1.14 Les courbes de niveau d’une surface S dans R3 sont les courbesobtenues en coupant S avec un plan d’équation z = k et en projetant sur le planxOy.

[DESSIN]

Proposition 1.15 Une courbe de niveau d’une fonction f est la même chose qu’unecourbe de niveau de son graphe G(f).

[Démonstration]

Définition 1.16 Si f est une pression, on dit courbe isobare. Si f est une tempé-rature, on dit courbe isotherme. Si f est un potentiel, on dit courbe equipotentielleSi f est une altitude, on dit courbe isoplèthe. etc.

2 Limites et continuité

Définition 2.1 Soit f : R2 → R une fonction réelle de deux variables réelles, (a, b)un point de R2 et l ∈ R. Alors, f(x, y) a pour limite l quand (x, y) tend vers (a, b)si pour tout intervalle ouvert I contenant l, il existe un disque ouvert D contenant(a, b) tel que l’image de D \ (a, b) par f est contenu dans I.

[DESSIN]

Autrement dit,

∀ε > 0, ∃η > 0,∀(x, y) 6= (a, b),√

(x− a)2 + (y − b)2 ≤ η ⇒ |f(x, y)− l| ≤ ε

On écrira

lim(a,b)

f(x, y) = l ou lim(x,y)→(a,b)

f = l.

Définition 2.2 Les coordonnées polaires de (x, y) en (a, b) sont données par{x = a+ ρ cos θy = b+ ρ sin θ

avec ρ =√

(x− a)2 + (y − b)2 et θ ∈ [0, 2π[.

Proposition 2.3 (Méthode des majorations) On a lim(a,b)

f(x, y) = l si et seule-ment si il existe F : R≥0 → R tel que |f(x, y)− l| ≤ F (ρ) et limρ→0F (ρ) = 0.


[Démonstration]

Exemple 2.4 On a lim(0,0)

x2y2

x2 + y2 = 0 : en effet,

x2y2

x2 + y2 = ρ2

4 sin2 2θ ≤ ρ2

4 → 0 quand ρ→ 0.

Proposition 2.5 (Méthode des chemins) S’il existe deux « chemins continus »α, β : R → R2 tels que α(0) = β(0) = (a, b) et lim0(f ◦α) 6= lim0(f ◦ β), alors f n’apas de limite en (a, b).

[Démonstration]

Exemple 2.6x2y2

x4 + y4 n’a pas de limite en (0, 0) : il suffit de choisir α(t) = (t, 0)

et β(t) = (t, t). On trouve d’un coté 0 et de l’autre 12 .

Définition 2.7 Une fonction f : R2 → R est continue en (a, b) ∈ R2 si f(a, b) =lim(a,b)

f(x, y). La fonction f est continue si f est continue en tout point de Df .

Exemple 2.8 i) La fonction

f(x, y) =

x2y2

x2 + y2 si (x, y) 6= (0, 0)0 sinon

est continue en (0, 0).ii) la fonction

f(x, y) =

x2y2

x4 + y4 si (x, y) 6= (0, 0)0 sinon

n’est pas continue en (0, 0).

Proposition 2.9 Soit f : R2 → R une fonction continue (sur son domaine) et(a, b) 6∈ Df . Alors l = lim

(a,b)f(x, y) existe si et seulement si f se prolonge par continuité

en (a, b) et on a alors f(a, b) = l.

[Démonstration]

Exemple 2.10 Soit f : R2 → R une fonction réelle de deux variables réelles.

i) f(x, y) = x2y2

x2 + y2 se prolonge par continuité sur R2 en posant f(0, 0) = 0.


ii) f(x, y) = x2y2

x4 + y4 ne peut pas se prolonger par continuité.

Proposition 2.11 Si f et g sont continues en (a, b), alors f + g, fg et fgaussi (si

g(a, b) 6= 0 dans le dernier cas).

[Démonstration]

Corollaire 2.12 Toute fonction rationnelle est continue (sur son domaine de défi-nition).

Exemple 2.13x2y2

x2 + y2 et x2y2

x2 + y4 sont bien continues sur leur domaine.

Proposition 2.14 i) Si α : R → R2 est continue en t et f est continue en(a, b) = α(t), alors f ◦ α est continue en t.

ii) Si f est continue en (a, b) et h : R → R est continue en f(a, b), alors h ◦ fest continue en (a, b).

[Démonstration]

Exemple 2.15 On sait que la fonction

f(x, y) = x2y2

x2 + y2

se prolonge par continuité sur R2 en posant f(0, 0) = 0 et la fonction sin est continuesur R. Il suit que la fonction

g(x, y) = sin( x2y2

x2 + y2 )

« est » continue sur R2.

Définition 2.16 (Généralisation) Soit f : Rn → R une fonction de n variablesréelles, P0 ∈ Rn et l ∈ R. Alors, f(P ) a pour limite l quand P tend vers P0 si pourtout intervalle ouvert I contenant l, il existe une boule ouverte B contenant P0 telque l’image de B \ P0 par f est contenu dans I.On écrira

limP0f(P ) = l ou lim

P→P0f = l.

Si u = (x1, . . . , xn) ∈ Rn, la norme de u est ‖u‖ =√x2

1 + · · ·+ x2n. Si P =

(x1, . . . , xn) ∈ Rn et Q = (y1, . . . , yn) ∈ Rn, la distance de P à Q est

d(P,Q) = ‖−→PQ‖ =√

(y1 − x1)2 + · · ·+ (yn − xn)2.


On voit alors que limP→P0

f = l si et seulement si

∀ε > 0,∃η > 0,∀P 6= P0, d(P0, P ) ≤ η ⇒ |f(x, y)− l| < ε.

La fonction f est continue en P0 si f(P0) = l.

Proposition 2.17 Ces notions sont stables par somme, produit et quotient.

Définition 2.18 (Généralisation) Une fonction vectorielle f : Rm → Rn est uneméthode qui associe à certains vecteurs (ou points) de Rm, un vecteur (ou point)de Rn. Si on écrit f(P ) = (f1(P ), . . . , fn(P )), on dit que les fonctions vectoriellesf1, . . . , fn : Rm → R sont les composantes de f .

Exemple 2.19 L’application qui à un point du cercle associe son vecteur tangentorienté normalisé est une fonction vectorielle.

[DESSIN]

C’est tout simplement l’application (x, y) 7→ (−y, x) restreinte au cercle unité. Sescomposantes sont les fonctions (x, y) 7→ −y et (x, y) 7→ x.

Définition 2.20 Une fonction vectorielle est continue (en un point) si et seulementsi toutes ses composantes sont continues (en ce point).

Exemple 2.21 f(x, y) = (xy, (x2 + y2)exy, x sin(x+ y3)) est continue partout.

Proposition 2.22 f est continue en P0 si et seulement si

∀ε > 0, ∃η > 0,∀P ∈ Df , d(P0, P ) ≤ η ⇒ d(f(P0), f(P )) < ε.

[Démonstration]

Proposition 2.23 (Généralisation) La continuité est stable par composition.

3 Différentiabilité

Définition 3.1 Si f : R2 → R, les dérivées partielles de f en (a, b) ∈ R2 sont lesdérivées des fonctions partielles (si elles existent) :

∂f

∂x(a, b) := f ′x(a, b) = lim

h→0

f(a+ h, b)− f(a, b)h

et∂f

∂x(a, b) := f ′y(a, b) = lim

h→0

f(a, b+ h)− f(a, b)h

.

Le gradient de f en (a, b) est alors le vecteur

∇f(a, b) = (∂f∂x

(a, b), ∂f∂y

(a, b))


Exemple 3.2 Si

f(x, y) =

x2y2

x2 + y2 si (x, y) 6= (0, 0)0 sinon

on a fx(x, 0) = f(x, 0) = 0 et donc ∂f∂x

(0, 0) = f ′x(0, 0) = 0. Symétriquement,∂f∂y

(0, 0) = 0 et on a donc ∇f(0, 0) = (0, 0).

Calculons ∂f∂x

(1, 1). On a fx(x, 1) = f(x, 1) = x2

x2+1 et donc f ′x(x, 1) = 2x(x2+1)−2x(x2)(x2+1)2

si bien que ∂f∂x

(1, 1) = f ′x(1, 1) = 4−24 = 1

2 .

En général, on écrira aussi∂f

∂x(x, y) = lim

∆x→0

f(x+ ∆x, y)− f(x, y)∆x et ∂f

∂y(x, y) = lim

∆y→0

f(x, y + ∆y)− f(x, y)∆y .

si bien que ∇f = (∂f∂x,∂f

∂y).

Exemple 3.3 Calculons ∇f lorsquei)

f(x, y) =

x2y2

x2 + y2 si (x, y) 6= (0, 0)0 sinon

On a déjà vu que ∇f(0, 0) = (0, 0).Pour calculer ∂f

∂x, on considère y comme constant et on dérive par rapport à

x. Pour (x, y) 6= (0, 0), on a donc

∂f

∂x(x, y) = 2x(x2y2)− 2xy2(x2 + y2)

(x2 + y2)2 = −2xy4

(x2 + y2)2

et par symétrie, on aura donc

∇f(x, y) = ( −2xy4

(x2 + y2)2 ,−2x4y

(x2 + y2)2 ).

ii)

f(x, y) =

xy

x2 + y2 si (x, y) 6= (0, 0)0 sinon

On voit facilement que

∇f(x, y) ={

(y(x2−y2)(x2+y2)2 ,

x(y2−x2)(x2+y2)2 ) si (x, y) 6= (0, 0)

(0, 0) sinon

Pour le second cas, c’est clair et pour le premier cas, il suffit par symétrie decalculer

∂f

∂x(x, y) = 2x(xy)− y(x2 + y2)

(x2 + y2)2 = y(x2 − y2)(x2 + y2)2 .

On voit donc que ∇f existe tout le temps mais pourtant, f n’est pas continueen 0 !


Définition 3.4 Étant donné une fonction f : R2 → R, un point P := (a, b) et unvecteur v = (α, β), la dérivée de direction v en P de f est la dérivée en P de lafonction directionnelle t 7→ f(a+ tα, b+ tβ) :

f ′(α,β)(a, b) = limt→0

f(a+ tα, b+ tβ)− f(a, b)t

.

On a en particulier f ′x = f(1,0) et f ′y = f ′(0,1).

Exemple 3.5 La fonction de direction (1, 1) en (0, 0) associée à

f(x, y) =

x2y2

x2 + y2 si (x, y) 6= (0, 0)0 sinon

est t 7→ t2

2 et sa dérivée est donc la fonction identique t 7→ t. On voit donc quef ′(1,1)(0, 0) = 0.

Définition 3.6 Le produit scalaire de deux vecteurs de (α, β) et (h, k) de R2 est

(α, β) · (h, k) = αh+ βk.

Définition 3.7 Une fonction f := R2 → R est différentiable en (a, b) si elle admetdes dérivées partielles en (a, b) et qu’en plus,

lim(x,y)→(a,b)

f(x, y)− f(a, b)− ∂f∂x

(a, b)(x− a)− ∂f∂y

(a, b)(y − b)√h2 + k2

= 0.

La fonction f est différentiable si f est différentiable en tout point de Df .

Exemple 3.8 La fonction

f(x, y) =

x2y2

x2 + y2 si (x, y) 6= (0, 0)0 sinon

est différentiable en (0, 0) :En effet, on a

ε(x, y) = f(x, y)− f(0, 0)−∇f(0, 0) · (x, y)√x2 + y2

= x2y2

(x2 + y2)√x2 + y2 ≤

x2y2

y2√x2 + y2 = x2

√x2 + y2 ≤

x2

|x|= |x|

et bien sûr, |x| → 0 quand ρ→ 0 (car |x| < ρ).


Rappelons que le produit scalaire de deux vecteurs de (α, β) et (h, k) de R2 est

(α, β) · (h, k) = αh+ βk.

Si on pose ∆P = (x − a, y − b) et ∆f(P ) = f(x, y) − f(a, b), la condition dedifférentiabilité en (x, y) se réécrit :

∆f(P ) = ∇f(P0) ·∆P + o(∆P ).

Théorème 3.9 Si f : R2 → R est différentiable en (a, b), alors f est continue en(a, b).

[Démonstration]

Définition 3.10 Une fonction f : R2 → R est de classe C1 si ses dérivées partiellesexistent et sont continues (sur son domaine de définition).

Exemple 3.11 Avec

f(x, y) =

x2y2

x2 + y2 si (x, y) 6= (0, 0)0 sinon

on calcule pour (x, y) 6= (0, 0),

| ∂∂x

(x, y)− ∂

∂x(0, 0)| = | 2xy4

(x2 + y2)2 − 0| ≤ |2xy4

y4 | = 2|x| → 0.

On voit dont que ∂∂x

est continue et il en va de même de ∂∂y

par symétrie. Notrefonction est donc de classe C1.

Théorème 3.12 Si f est de classe C1, alors f est différentiable.

[Démonstration]

Exemple 3.13 i) La fonction f(x, y) = x3y

x4 + y2 prolongée par 0 à l’origine estcontinue, possède des dérivées partielles mais n’est pas différentiable (et doncpas de classe C1). On vérifiera ça plus tard.

ii) La fonction f(x, y) = xy3

x4 + y2 prolongée par 0 à l’origine est de classe C1

(exercice). Elle est donc différenciable et en particulier continue.

Proposition 3.14 Si f : R2 → R et g : R2 → R sont différentiables en(a, b), alors

f + g est différentiable en (a, b) et on a∂(f+g)∂x

(a, b) = ∂f∂x

(a, b) + ∂g∂x

(a, b)

∂(f+g)∂y

(a, b) = ∂f∂y

(a, b) + ∂g∂y

(a, b)


Figure 1 – Surface pincée z = x3yx4+y2

Figure 2 – Surface lisse z = xy3

x4+y2


i)ii) fg est différentiable en (a, b) et∂(fg)∂x

(a, b) = g(a, b)∂f∂x

(a, b) + f(a, b) ∂g∂x

(a, b)

∂(fg)∂y

(a, b) = g(a, b)∂f∂y

(a, b) + f(a, b)∂g∂y

(a, b)

iii) Si g(a, b) 6= 0, alors fgest différentiable en (a, b) et

∂( fg

)∂x

(a, b) = 1g(a,b)2 [g(a, b)∂f

∂x(a, b)− f(a, b) ∂g

∂x(a, b)]

∂( fg

)∂y

(a, b) = 1g(a,b)2 [g(a, b)∂f

∂y(a, b)− f(a, b)∂g

∂y(a, b)]

[Démonstration]

Corollaire 3.15 Si f et g sont de classe C1 alors f + g, fg et fgaussi.

Corollaire 3.16 Une fonction rationnelle est de classe C1.

Proposition 3.17 Supposons que f : R2 → R est différentiable en (a, b) ∈ R2.i) Si h : R → R est dérivable en f(a, b), alors h ◦ f est dérivable en (a, b) et

∇(h ◦ f) = h′(f(a, b))∇f(a, b),

c’est à dire∂(h ◦ f)∂x

(a, b) = h′(f(a, b))∂f∂x

(a, b) et ∂(h ◦ f)∂y

(a, b) = h′(f(a, b))∂f∂y

(a, b)

ii) Si γ : R → R2 est dérivable en t0 (ses composantes γ1 et γ2 sont dérivables)et γ(t0) = (a, b), alors f ◦ γ est dérivable en t0 et

(f ◦ γ)′(t0) = ∇f(a, b) · (γ′1(t0), γ′2(t0)),

c’est à dire,

(f ◦ γ)′(t0) = ∂f

∂x(a, b)γ′1(t0) + ∂f

∂y(a, b)γ′2(t0))

[Démonstration]

Exemple 3.18 i) On sait que la fonction

f(x, y) = x2y2

x2 + y2

se prolonge en une fonction C1 sur R2 et que son gradient est nul en 0. Il suitque la fonction

g(x, y) = sin( x2y2

x2 + y2 )

« est » est C1 sur R2 et que son gradient aussi est nul en 0.


ii) La fonction f(x, y) = x3y

x4 + y2 prolongée par 0 à l’origine n’est pas différen-

tiable : en effet, si on pose α(t) = (t, t2), on a

(f ◦ α)(t) = t3t2

t4 + t4= t

2

qui est aussi valide pour t = 0 si bien que (f ◦ α)′(t) = 12 . Or on a

∇f(0, 0) · (α′1(0), α′2(0)) = (0, 0) · (0, 0) = 0.

Proposition 3.19 Si f : R2 → R est différentiable en (a, b), alors toutes les déri-vées directionnelles existent en (a, b) et on

f ′(α,β)(a, b) = ∇f(a, b) · (α, β)

On résume en f ′v = ∇f · v. Il suit que f ′v est maximal dans la direction de ∇f (pour‖v‖ fixé).

[Démonstration]

Exemple 3.20 Avec

f(x, y) =

x2y2

x2 + y2 si (x, y) 6= (0, 0)0 sinon

comme d’habitude, on retrouve bien f ′(1,1)(0, 0) = (0, 0) · (1, 1) = 0.

Définition 3.21 (Généralisation) Soit f : Rn → R une fonction réelle de nvariables réelles.

i) Les dérivées partielles de f en P0 := (a1, . . . , an) ∈ Rn sont les dérivées desfonctions partielles (si elles existent) :

∂f

∂xi(P0) := f ′xi(P0)

Le gradient de f en P est alors le vecteur

∇f(P ) = ( ∂f∂x1

(P0), . . . , ∂f∂xn

(P0)) ∈ Rn

ii) Étant donné un vecteur v ∈ Rn, la dérivée de de direction v en P de f est ladérivée en P de la fonction directionnelle t 7→ f(P + tv)

iii) La fonction f est différentiable en P si elle admet des dérivées partielles enP et qu’en plus,

∆f(P ) = ∇f(P0) ·∆P + o(∆P ).


iv) La fonction f : R2 → R est de classe C1 si ses dérivées partielles existent etsont continues.

Théorème 3.22 (Généralisation) Si f : Rn → R est de classe C1, alors f estdifférentiable. Et si f est différentiable, alors f est continue.

Théorème 3.23 (Généralisation) Si f : Rn → R et g : Rn → R sont différen-tiables en P0, alors

i) f + g est différentiable en P0 et

∇(f + g)(P0) = ∇f(P0) +∇g(P0),

ii) fg est différentiable en P0 et

∇(fg)(P0) = g(P0)∇f(P0) + f(P0)∇g(P0) et

iii) Si g(P0) 6= 0, alors fgest différentiable en (P0) et

∇(fg

)(P0) = 1g(P0)2 (g(P0)∇f(P0)− f(P0)∇g(P0))

[Démonstration]

Définition 3.24 (Généralisation) Une fonction vectorielle de plusieurs variablesréelles f : Rm → Rn est différentiable (en un point P de Rm) ou de classe C1 sitoutes ses composantes f1, . . . , fn les sont. La jacobienne de f en P est la matrice

Jf (P ) =

∇f1(P )

...∇fn(P )

=

∂f1/∂x1(P ) . . . ∂f1/∂xm(P )

... ...∂fn/∂x1(P ) . . . ∂fn/∂xm(P )

.

Exemple 3.25 i) Si f(x, y) = (x2 + y2, x2 − y2, xy) et P = (2,−1), alors

Jf =

2x 2y2x −2yy x

et Jf (P ) =

4 −24 2−1 2

.ii) La fonction (r, θ) 7→ (x, y) avec x = r cos θ et y = r sin θ a pour jacobienne[

cos θ sin θr sin θ −r cos θ

].

Théorème 3.26 (Généralisation) Si f : Rm → Rn est différentiable en P ∈ Rm

et g : Rn → Rp est différentiable en f(P ), alors g ◦ f est différentiable en P et on a

Jg◦f (P ) = Jg(f(P )) · Jf (P ).

Et de même pour C1.


Corollaire 3.27 Si f : Rm → Rn et g : Rn → Rp sont C1, alors g ◦ f aussi.

Exemple 3.28 (Changement de variable) i) Si u et v dépendent de x et y,on peut voir une fonction f de u et v comme fonction de x et y et (sous réserved’existence), on aura

∂f

∂x= ∂f

∂u

∂u

∂x+ ∂f

∂v

∂v

∂x

∂f

∂y= ∂f

∂u

∂u

∂y+ ∂f

∂v

∂v

∂y

.

En effet, dire que u et v dépendent de x et y signifie qu’il existe une fonctionvectorielle

ϕ : R2 // R2

(x, y) � // (u, v)

Et dire qu’on voit f comme fonction de x et y signifie qu’on regarde la fonctioncomposée f ◦ ϕ. On a alors Jf◦φ(x, y) = Jf (u, v) · Jφ(x, y). On réécrit ça en

[∂f∂x

∂f∂y

]=[∂f∂u

∂f∂v

] [ ∂u∂x

∂u∂y

∂v∂x

∂v∂y

]

ii) Comme cas particulier, on peut regarder les coordonnées polaires{x = a+ r cos θy = b+ r sin θ

∂f

∂r= ∂f

∂xcos θ + ∂f

∂ysin θ

∂f

∂θ= r

∂f

∂xsin θ − r∂f

∂ycos θ

.

iii) Comme application, on peut voir que f ′v = ∂f∂r. Plus précisément, si v est le

vecteur de norme 1 et d’angle θ, on a

f ′v(a, b) = ∇f(a, b) · (cos θ, sin θ) = ∂f

∂x(a, b) cos θ + ∂f

∂y(a, b) sin θ = ∂f

∂r(a, b).

Définition 3.29 Une courbe C dans Rn est l’image d’un chemin α : R → Rn. Siα est dérivable en t et α(t) = P , la droite dirigée par α′(t) est dite tangente à C enP .

Exemple 3.30 Le cercle est l’image du chemin α : t→ (cos t, sin t). Sa dérivée estα′ : t → (sin t,− cos t). On a α(π2 ) = (0, 1) et α′(π2 ) = (−1, 0). Il y a donc unetangente horizontale en (0, 1).

[DESSIN]


Définition 3.31 Le plan tangent à une surface S ⊂ R3 en un point P ∈ S estl’ensemble de toutes les tangentes aux courbes tracées sur S passant par P .

Attention : ce n’est pas toujours un plan (considérer l’origine d’un cône par exemple).

Proposition 3.32 Soit F : R3 → R différentiable et

S := {(x, y, z) ∈ R3, F (x, y, z) = 0}.

Soit P := (a, b, c) ∈ S avec ∇F (P ) 6= 0. Alors, le plan tangent à S en P a pouréquation

∂F

∂x(P )(x− a) + ∂F

∂y(P )(y − b) + ∂F

∂z(P )(z − c) = 0.

[Démonstration]

Exemple 3.33 i) Le plan tangent un point, par exemple P = (1, 0, 0) de lasphère unité x2 + y2 + z2 = 1. On a donc F (x, y, z) = x2 + y2 + z2 − 1 si bienque

∂F

∂x= 2x, ∂F

∂y= 2y et ∂F

∂z= 2z

et alors∂F

∂x(P ) = 2, ∂F

∂y(P ) = 0 et ∂F

∂z(P ) = 0.

Le plan tangent à donc pour équation 2(x−1)+0y+0z = 0, c’est à dire x = 1.[DESSIN]

ii) Il n’y a pas de plan tangent à l’origine P = (0, 0, 0) du cône d’équation x2+y2 =z2 car ∇F (0, 0, 0) = (0, 0, 0).

[DESSIN]

Corollaire 3.34 Soit S le graphe d’une fonction différentiable f : R2 → R etP = (a, b) ∈ R2. Le plan tangent à (a, b, f(a, b)) a pour équation

z = f(a, b) + ∂f

∂x(P )(x− a) + ∂f

∂y(P )(y − b).

Exemple 3.35 Pour f(x, y) = x2 + y2 et P = (0, 0), le graphe est un bol posé surle plan tangent qui n’est autre que le plan xOy.

Définition 3.36 Une fonction f : R2 → R est de classe C2 si les dérivées partielles(existent et) sont de classe C1. En général, on note

f ′xx = ∂2f

∂x2 := ∂

∂x(∂f∂x

), f ′yx = ∂2f

∂y∂x:= ∂

∂y(∂f∂x

)

f ′xy = ∂2f

∂x∂y:= ∂

∂x(∂f∂y

) et f ′yy = ∂2f

∂y2 := ∂

∂y(∂f∂y

).


Exemple 3.37

f(x, y) =

xy3

x2 + y2 si (x, y) 6= (0, 0)0 sinon

On a∂f

∂x(x, y) = y3(x2 + y2)− 2x2y3

(x2 + y2)2 = y3(y2 − x2)(x2 + y2)2

et ∂f∂x

(x, y) = 0. On voit donc que

∂f

∂x(0, y) = y5

(y2)2 = y

et il suit donc que∂2f

∂y∂x(0, 0) = 1.

D’autre part, on a

∂f

∂y(x, y) = 3xy2(x2 + y2)− 2xy4

(x2 + y2)2 = xy2(3x2 + y2)(x2 + y2)2

et bien sûr ∂f∂y

(x, y) = 0. On voit donc que

∂f

∂y(0, x) = 0

et il suit donc que∂2f

∂x∂y(0, 0) = 0 6= ∂2f

∂y∂x(0, 0).

Théorème 3.38 (de Schwartz) Si f : R2 → R est C2, alors

∂2f

∂x∂y= ∂2f

∂y∂x.

[Démonstration]

Exemple 3.39 La fonction

f(x, y) =

xy3

x2 + y2 si (x, y) 6= (0, 0)0 sinon

n’est pas de classe C2.

Définition 3.40 (Généralisation) i) Une fonction f : R2 → R est de classeCk si toutes les dérivées partielles jusqu’à l’ordre k existent et sont continues.Grâce au théorème de Schwartz, il suffit de considérer les

∂i+jf

∂xi∂yj, i+ j ≤ k.


ii) Une fonction f : Rn → R est de classe Ck si toutes les dérivées partielles

∂i1+···+inf

∂xi11 · · · ∂xinn, i1 + · · · in ≤ k.

existent et sont continues.iii) Une fonction vectorielle f : Rm → Rn est de classe Ck si toutes ses compo-

santes le sont.

Théorème 3.41 (Généralisation) Être de classe Ck est stable par somme, pro-duit, quotient et composition.

[Démonstration]

4 Fonctions implicites

Définition 4.1 i) Un voisinage d’un réel a est une partie V de R qui contientun intervale (ouvert) I contenant x.

ii) Un voisinage V de (a, b) ∈ R2 est une partie V ⊂ R2 qui contient un disque(ouvert) contenant P .

iii) Un voisinage V d’un point P de Rn est une partie qui contient une boule(ouverte) contenant P .

[DESSIN]

Exemple 4.2 i) ]− 1, 1[ est un voisinage de 0 dans R. Mais pas [0, 1].

[DESSIN]

ii) V := {(x, y), 0 ≤ x, y ≤ 1} est un voisinage de (1/2, 1/2) dans R2.

[DESSIN]

iii) R \ {(x, 0), x > 0} n’est pas un voisinage de (0, 0) dans R2.

[DESSIN]

Définition 4.3 Soit F : R2 → R et (a, b) ∈ R2 tel que F (a, b) = 0. On dit quel’équation F (x, y) = 0 définit y comme fonction implicite de x au voisinage de (a, b)s’il existe ϕ : R → R telle que ϕ(a) = b et

y = ϕ(x)⇔ F (x, y) = 0

au voisinage de (a, b). On verra alors y comme fonction de x au voisinage de a avecy(a) = b (c’est à dire qu’on écrira y au lieu de ϕ).


Exemple 4.4 i) L’équation x = y2 définit y comme fonction implicite de x auvoisinage de (1, 1) : prendre y =

√x. Mais ça définit aussi y comme fonction

implicite de x au voisinage de (1,−1) : prendre y = −√x.

[DESSIN]ii) xy = 0 ne définit pas y comme fonction implicite de x au voisinage de (0, 0).

Théorème 4.5 Si F : R2 → R est C1 au voisinage de (a, b) et (∂F/∂y)(a, b) 6= 0,alors F (x, y) = 0 définit y comme fonction implicite de x au voisinage de (a, b) eton a

y′(a) = −(∂F/∂x)(a, b)(∂F/∂y)(a, b) .

[Démonstration]

Exemple 4.6 Si F (x, y) = x − y2, on a (∂F/∂x) = 1 et (∂F/∂y) = −2y si bienque (∂F/∂y)(1, 1) = −2 6= 0. On voit donc que y est fonction implicite de x avecy(1) = 1. De plus, comme (∂F/∂x)(1, 1) = 1 et on aura y′(1) = − 1

−2 = 12 . Ici,

comme on sait que y =√x, on peut le vérifier en remarquant que y′ = 1

2√x.

Définition 4.7 (Généralisation) Soit F : R3 → R et P0 = (a, b, c) ∈ R3 tel queF (P0) = 0. On dit que l’équation F (x, y, z) = 0 définit z comme fonction implicitede x et de y au voisinage de P0 s’il existe ϕ : R2 → R telle que ϕ(a, b) = c et

z = ϕ(x, y)⇔ F (x, y, z) = 0

au voisinage de P0. On verra alors z comme fonction de (x, y) au voisinage de (a, b)avec z(a, b) = c.

Exemple 4.8 L’équation x2 + y2 + z2 = 1 définit z comme fonction implicite dex, y au voisinage de (0, 0, 1) : on a en fait z =

√1− x2 − y2.

Théorème 4.9 (Généralisation) Si F : R3 → R est C1 au voisinage de P0 :=(a, b, c) et (∂F/∂z)(P0) 6= 0, alors F (x, y, z) = 0 définit z comme fonction implicitede x et y au voisinage de P0 et on a

∂z

∂x(a, b) = −(∂F/∂x)(P0)

(∂F/∂z)(P0) et ∂z

∂y(a, b) = −(∂F/∂y)(P0)

(∂F/∂z)(P0) .

Exemple 4.10 L’équation

z3 + 2z + ez−x−y2 = cos(x− y + z)

définit z comme fonction implicite de x, y à l’origine. On pose

F (x, y, z) = z3 + 2z + ez−x−y2 − cos(x− y + z)


et on vérifie que F (0, 0, 0) = 0. Puis on calcule

∂F/∂x = −ez−x−y2 + sin(x− y + z), , ∂F/∂y = −2yez−x−y2 − sin(x− y + z)

et ∂F/∂z = z2 + 2 + ez−x−y2 + sin(x− y + z).

On en déduit que

(∂F/∂x)(0, 0, 0) = −1, (∂F/∂y)(0, 0, 0) = 0 et (∂F/∂z)(0, 0, 0) = 3

et on voit en particulier que (∂F/∂z)(0, 0, 0) 6= 0 et on aura

∂z

∂x(0, 0) = 1

3 et ∂z

∂y(0, 0) = 0.

La même chose en pratique, on vérifie d’abord que l’origine satisfait bien l’équation :0 + 0 + 1 = cos 0. Puis on fait x = y = 0 et on dérive les deux membres par rapportà z pour trouver 3z2 + 2 + ez et − sin(z) puis on fait z = 0, ce qui donne 3 6= 0.Pour calculer la valeur de la dérivée partielle de z par rapport à x, on fait y = 0 eton dérive par rapport à x, ce qui donne en (x, 0),

3z2 ∂z

∂x+ 2∂z

∂x+ (∂z

∂x− 1)ez−x = −(1 + ∂z

∂x) sin(x+ z)

puis on fait x = z = 0, ce qui donne 2 ∂z∂x

(0, 0)+( ∂z∂x

(0, 0)−1) = 0 et donc ∂z∂x

(0, 0) = 13 .

On fait ensuite la même chose pour la dérivée partielle de z par rapport à Y . Onfait x = 0 et on dérive par rapport à y, ce qui donne en (0, y),

3z2∂z

∂y+ 2∂z

∂y+ (∂z

∂y− 2y)ez−y2 = −(1− ∂z

∂y) sin(x+ z)

puis on fait y = z = 0, ce qui donne 2∂z∂y

(0, 0) + ∂z∂y

(0, 0) = 0 et donc ∂z∂y

(0, 0) = 0.

5 Développements limités

Remarque 5.1 Si g : R → R est continue sur [0, 1] et dérivable sur ]0, 1[, il existeθ ∈]0, 1[ telle que g(1) = g(0) + g′(θ).

[DESSIN]

Théorème 5.2 (des accroissements finis) Si f : R2 → R est différentiable surle segment [P0, P ], et ∆P := −−→P0P comme d’habitude, il existe P1 ∈]P0, P [ tel que

f(P ) = f(P0) +∇f(P1) ·∆P.

En d’autres termes, si P0 = (a, b) et P = (x, y), on a

f(x, y) = f(a, b)+∂f∂x

(a+θ(x−a), b+θ(y−b))·(x−a)+∂f∂y

(a+θ(x−a), b+θ(y−b))·(y−b)

avec θ ∈]0, 1[.


[Démonstration]

Définition 5.3 Si f : R2 → R est de classe C2, le Hessien de f en P = (a, b) estla matrice

Hf (P ) := ∂2f

∂x2 (a, b) ∂2f∂x∂y

(a, b)∂2f∂x∂y

(a, b) ∂2f∂y2 (a, b)

.On le verra comme une application de R2 dans R en associant à un vecteur v =(α, β) ∈ R2, le réel

v ·Hf (P ) · v := ∂2f

∂x2 (a, b)α2 + 2 ∂2f

∂x∂y(P )αβ + ∂2f

∂y2 (P )β2.

Exemple 5.4 Si f(x, y) = (x2 + y2)ex−y, on peut calculer ∇f et Hf partout. On a

∇f =((2x+ x2 + y2)ex−y, (2y − x2 − y2)ex−y

)si bien que

Hf :=

(2 + 4x+ x2 + y2)ex−y (2y − 2x− x2 − y2)ex−y

(2y − 2x− x2 − y2)ex−y (2− 4y + x2 + y2)ex−y

.En particulier

∇f(0, 0) = (0, 0) et Hf (0, 0) =[

2 00 2

]

correspond à la forme quadratique correspondante est (x, y) 7→ 2x2 + 2y2.

Proposition 5.5 (de Taylor-Lagrange) Si f : R2 → R est de classe C2 il existeP1 ∈]P0, P [ tel que

f(P ) = f(P0) +∇f(P ) ·∆P + 12(∆P ·Hf (P1) ·∆P ).

En d’autres termes, si P0 = (a, b) et P = (x, y), on a

f(x, y) = f(a, b) + ∂f

∂x(a, b)(x− a)) + ∂f

∂y(a, b)(x− b))

+∂2f

∂x2 (P1)(x− a)2 + 2 ∂2f

∂x∂y(P1)(x− a)(y − b) + ∂2f

∂y2 (P1)(x− b)2

avec P1 = (a+ θ(x− a), b+ θ(x− b)) et θ ∈]0, 1[.

[Démonstration]


Remarque 5.6 On retrouve en particulier la définition de la différentiabilité en P :

f(P ) = f(P0) +∇f(P ) ·∆P + ‖∆P‖ε(P ).

avec ε(P ) → 0 quand P → P0. En effet, si on pose M = ‖Hf (P1)‖ en prenant lesup des normes des entrées de la matrice, on a

‖12(∆P ·Hf (P1) ·∆P )

‖∆P‖ ‖ ≤M‖∆P‖ → 0.

Théorème 5.7 (Généralisation) Si f : R2 → R est de classe Ck avec k ≥ 3,alors

f(P ) = f(P0) +∇f(P ) ·∆P + 12(∆P ·Hf (P ) ·∆P ) + · · ·

Corollaire 5.8 Si f : R2 → R est de classe C3 avec k ≥ 3, alors

f(P ) = f(P0) +∇f(P ) ·∆P + 12(∆P ·Hf (P ) ·∆P ) + ‖∆P‖2ε(P )

avec ε(P )→ 0 quand P → P0.

Exemple 5.9 Avec Si f(x, y) = (x2 + y2)ex−y, on trouve donc

f(x, y) = 0 + 0x+ 0y + 12(2x2 + y2) + (x2 + y2)ε(x, y)

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