folha resolvida 2 (draft nº3)
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Universidade do Minho Escola de Engenharia Departamento de Engenharia Civil
E S T R U T U R A S D E B E T Ã O I
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
FOLHA 2 (DRAFT Nº3)
Miguel Azenha, Isabel Valente, Ana Paula Assis e Eduardo Pereira
Outubro de 2009
Folhas de Apoio às Aulas Práticas
Miguel Azenha, Isabel Valente, Ana Paula Assis, Eduardo Pereira 2
INDICE
Enunciado................................................................................................................................................ 4
1 Exercício 1........................................................................................................................................ 8
1.1 Pré-dimensionamento da secção transversal ......................................................................... 8
1.2 Acréscimo de esforço axial (valor de cálculo), ∆NEd = 600 kN................................................ 8
2 Exercício 2........................................................................................................................................ 9
2.1 Armadura mínima a dispor na secção transversal .................................................................. 9
2.2 Armadura longitudinal a dispor na secção transversal.......................................................... 10
2.2.1 Disposições construtivas ................................................................................................... 11
2.3 Valor do esforço axial de compressão quando εc = −0.25 × 10−3 (compressão) .................. 11
3 Exercício 3...................................................................................................................................... 12
3.1 Características dos materiais ................................................................................................ 12
3.2 Cálculo da altura útil .............................................................................................................. 13
3.3 Cálculo do momento flector resistente admitindo o diagrama parábola-rectângulo para a
distribuição de tensões no betão ....................................................................................................... 13
3.4 Cálculo do momento flector resistente admitindo o diagrama bi-linear para a distribuição de
tensões no betão ............................................................................................................................... 16
3.5 Cálculo do momento flector resistente admitindo o bloco rectangular para a distribuição de
tensões no betão ............................................................................................................................... 19
3.6 Dimensionamento das armaduras longitudinais recorrendo a tabelas de betão armado..... 21
3.7 Cálculo do momento de fendilhação ..................................................................................... 23
3.8 Valores das tensões que se instalam nas fibras extremas do betão e do aço, imediatamente
antes da fendilhação.......................................................................................................................... 24
3.9 Valores das tensões que se instalam nas fibras extremas do betão e do aço, imediatamente
após a fendilhação............................................................................................................................. 25
4 Exercício 4...................................................................................................................................... 26
4.1 Características dos materiais ................................................................................................ 26
4.2 Cálculo da altura útil .............................................................................................................. 26
4.3 Cálculo da armadura longitudinal necessária, admitindo o bloco rectangular para a
distribuição de tensões no betão ....................................................................................................... 27
5 Exercício 5...................................................................................................................................... 30
5.1 Características dos materiais ................................................................................................ 30
5.2 Cálculo da altura útil .............................................................................................................. 31
5.3 Estimativa das armaduras necessárias admitindo como simplificação que o braço do binário
resistente é z = 0.9d .......................................................................................................................... 31
5.4 Cálculo da armadura longitudinal necessária, admitindo o bloco rectangular para a
distribuição de tensões no betão ....................................................................................................... 31
5.4.1 Momento flector positivo – M+ ........................................................................................... 32
5.4.2 Momento flector negativo – M- .......................................................................................... 34
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5.5 Cálculo da armadura longitudinal, utilizando tabelas de dimensionamento de armaduras.. 36
6 Exercício 6...................................................................................................................................... 38
6.1 Características dos materiais ................................................................................................ 38
6.2 Cálculo do valor da extensão em cada nível de armadura ................................................... 38
6.3 Cálculo do valor das forças internas ..................................................................................... 39
6.4 Cálculo do valor do momento flector resistente .................................................................... 40
7 Exercício 7...................................................................................................................................... 41
7.1 Características dos materiais ................................................................................................ 41
7.2 Cálculo da altura útil .............................................................................................................. 41
7.3 Dimensionamento de armadura – utilização de tabela de flexão composta......................... 41
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ENUNCIADO
Exercício 1 Considere um pilar sujeito a três acções independentes, representado na Figura 1. Suponha que este
pilar tem altura reduzida, pelo que se pode considerar que os efeitos de encurvadura são
desprezáveis. Nos cálculos a efectuar, não considere os efeitos da fluência do betão.
Admita que os materiais utilizados são o betão da classe C25/30 e aço A400. Considere um
recobrimento nominal de 3.5 cm.
Considere que neste problema se está a analisar um Estado Limite Último de Compressão.
(Este pilar foi objecto de estudo no Exercício 1 da Folha 1. Deste modo, considere os esforços de
cálculo determinados na resolução desse exercício).
a) Pré-dimensione as dimensões da secção transversal deste pilar, supondo que se trata de
uma secção quadrada e não considerando a contribuição da armadura;
b) Supondo agora que o pilar está sujeito a um acréscimo de esforço axial (valor de cálculo),
∆NEd = 600 kN, calcule a quantidade de armadura necessária de forma a que o pilar verifique
os Estados Limites Últimos de Resistência.
Figura 1 – Esquema de cargas aplicadas ao pilar
Exercício 2 Considere a secção transversal de 0.30 m de diâmetro indicada na Figura 2, que se destina a um
elemento estrutural que irá receber apenas esforços de tracção ou de compressão, dependendo da
combinação de acções considerada.
Materiais: C16/20, A500.
a) Tendo em vista evitar a rotura frágil do elemento quando este funciona como tirante,
determine a armadura mínima a dispor na secção transversal;
b) Dimensione as armaduras longitudinais para este elemento estrutural, tendo em conta a
verificação da segurança em relação ao estado limite último de resistência e considerando
as seguintes acções (em valor característico):
permanente: NGk = +400 kN (tracção)
variável: NQk = −800 kN (compressão)
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c) Verificando-se que na combinação quase permanente a extensão instalada no betão é
εc = −0.25 × 10−3 (compressão), calcule o valor do esforço axial de compressão que terá de
estar aplicado no pilar, supondo que a secção está armada com os varões determinados na
alínea b).
Figura 2 – Secção transversal de um tirante (dimensões em m).
Exercício 3 Considere a secção transversal representada na Figura 3. Admita que os materiais utilizados são:
betão da classe C20/25, aço A400, e recobrimento nominal de 3 cm.
a) Determine a capacidade resistente de cálculo da secção. Para o efeito, recorra ao diagrama
de tensões de comportamento elástico-perfeitamente plástico para o aço, e aos três
diagramas de tensões previstos pelo EC2 para o betão;
b) Recorrendo a tabelas de betão armado, dimensione as armaduras longitudinais e compare
com o resultado obtido na alínea a).
c) Calcule o momento flector para o qual se inicia a fendilhação da secção de betão e compare
com o valor do momento flector resistente determinado na alínea a);
d) Calcule os valores das tensões que se instalam nas fibras extremas do betão e do aço,
imediatamente antes da fendilhação.
e) Calcule os valores das tensões que se instalam nas fibras extremas do betão e do aço,
imediatamente após a fendilhação.
4φ20
0.60
0.30
Figura 3 – Secção transversal rectangular
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Exercício 4 Utilizando o bloco rectangular de tensões para o betão e o diagrama de comportamento
elástico-perfeitamente plástico para o aço, dimensione as armaduras a colocar na secção
representada na Figura 4. Considere os esforços de cálculo e os materiais indicados e admita um
recobrimento nominal de 3.5 cm.
0.40
0.60
0.20
MEd = 240 kN.m C20/25 e A400NR
l
Figura 4 – Secção transversal de largura variável
Exercício 5 Uma viga contínua, com a secção transversal em U invertido representada na Figura 5, está
submetida em diferentes secções a um momento máximo positivo e a um momento máximo negativo
de valores iguais MEd = 180 kN.m.
Materiais: C25/30 e A500. Considere um recobrimento nominal de 3.5 cm.
0,15 0,20 0,15
0,40
0,10
Figura 5 – Secção transversal em U Figura
a) Faça uma estimativa das armaduras necessárias admitindo como simplificação que o braço
do binário resistente é z = 0.9d;
b) Usando o bloco rectangular de tensões determine a armadura necessária nos dois casos.
Compare com os resultados obtidos na alínea anterior.
c) Recorrendo a tabelas de betão armado, dimensione as armaduras longitudinais e compare
com o resultado obtido nas alíneas a) e b).
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Exercício 6 Considere a secção transversal em I, representada na Figura 6. Considere que se trata de uma
secção de betão armado, que servirá para realizar um pilar, estando sujeita a momento flector
positivo e esforço axial.
a) Supondo que o eixo neutro está posicionado a 0.27 m da fibra superior da secção, calcule o
valor do esforço axial aplicado à secção;
b) Na mesma situação, calcule o momento flector positivo resistente.
6φ16
4φ16
0,70
0,20
0,35
0,20
0,25 0,20 0,25
0,33
0,43
0,12 0,
220,
18
0,03e.n.
Figura 6 – Secção transversal em I
Betão C20/25
S500-B
Diagrama elástico-perfeitamente plástico
para o aço
Distância das armaduras à face exterior
da secção: 5 cm
Armaduras – 4 níveis com 6φ16 + 2
níveis com 2φ16
Exercício 7 Recorrendo a tabelas de betão armado, calcule a armadura necessária para uma secção de
0.20 × 0.70 m2 resistir a um momento flector de cálculo de 350 kN.m e a um esforço axial de cálculo
de 100 kN (compressão), considerando que A = A’. Os materiais utilizados são o betão C25/30 e o
aço A400. Admita um recobrimento nominal de 4 cm.
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1 EXERCÍCIO 1 1.1 Pré-dimensionamento da secção transversal Num elemento de betão armado unicamente sujeito a esforços de compressão, o esforço axial
resistente resulta da contribuição da secção de betão e da contribuição das armaduras:
ydscdcRd fAfAN ×+×=
Se a quantidade de armadura for reduzida, a sua contribuição para a capacidade resistente da
secção pode não ser muito significativa. Em fase de pré-dimensionamento pode ser desprezada essa
contribuição, pois a quantidade de armadura longitudinal ainda não é conhecida:
cdcRd fAN ×=
Tendo em conta que para a combinação de acções mais desfavorável, o valor do esforço axial
actuante corresponde a NEd = 2337 kN, que a condição limite para verificação de segurança é
RdEd NN ≤ , e que se trata de uma secção quadrada, podemos considerar que
cdcEd fAN ×≤
5.110252337
32 ×
×≤ b
374.0≥b m
Escolhendo uma dimensão “corrente”, podemos então optar por uma secção transversal com
0.40m x 0.40m.
1.2 Acréscimo de esforço axial (valor de cálculo), ∆NEd = 600 kN
Nesta situação, supõe-se que há um acréscimo de esforço axial de 600 kN, logo este valor deve ser
somado ao valor de esforço axial que já estava instalado no pilar.
EdEdEd NNN ∆+='
'EdN = 2337 + 600 = 2937 kN
Como a secção transversal existente é aquela que foi definida na alínea anterior, 0.40m x 0.40m, o
acréscimo de esforço axial em parte será resistido com a contribuição das armaduras.
ydscdcEd fAfAN ×+×≤'
15.110400
5.1102540.02937
332 ×
×+×
×≤ sA
77.7≥sA cm2
Uma solução possível é a de colocar 8 varões com 12mm de diâmetro: As = 9.05 cm2.
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8φ12
0,400,
40
0,05
φ6//0.25
Figura 7 – Representação das armaduras na secção transversal do elemento de betão armado
2 EXERCÍCIO 2 2.1 Armadura mínima a dispor na secção transversal
Um tirante é um elemento que se encontra unicamente sujeito a esforços de tracção.
No caso de um tirante em betão armado, isso significa que toda a secção está traccionada, logo
verifica-se a ocorrência de uma rotura brusca se não houver qualquer armadura na secção
transversal ou quando a armadura existente fica submetida à tensão de cedência assim que abre a 1ª
fenda. Em qualquer um dos casos, o elemento sofre rotura porque não é capaz de resistir ao esforço
de tracção que é lhe aplicado.
Em consequência, quando ocorre a abertura da 1ª fenda, a quantidade de armadura existente na
secção transversal deve ser tal que a tensão nela instalada seja inferior à tensão de cedência.
Deste modo, é necessário calcular qual a carga que provoca a fendilhação da secção e dimensionar
a armadura que é capaz de resistir a esse esforço.
hom,c
crctm A
Nf = ( ) scc AAA ⋅−+= 1hom, α
Define-se então o coeficiente de homogeneização, dividindo o módulo de elasticidade do aço pelo
módulo de elasticidade do betão C20/25:
67.630200
===c
sEE
α
( )[ ] ydsctmsccr fAfAAN ⋅=⋅⋅−+= min,min,1α
C16/20 → fctm = 1.9 MPa (NP EN1992-1-1 – Quadro 3.1)
( )15.110500167.6
43.0109.1
3
min,min,
23 ×
×=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛×−+
××× ss AAπ
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As,min = 3.167 cm2
Nota: No caso presente, seria mais conservativo considerar o valor de fctk0.95 do que o valor de fctm..
2.2 Armadura longitudinal a dispor na secção transversal Como o elemento está sujeito a carregamentos de tracção e a carregamentos de compressão, é
necessário estabelecer as combinações de acções que provocam os valores de esforço axial mais
elevados:
Combinação 1: NEd = 1.35 × 400 = 540 kN (tracção)
Combinação 2: NEd = 1.0 × 400 – 1.5 × 800 = –800 kN (compressão)
Quando o elemento está sujeito a esforços de tracção, apenas a armadura contribui para a sua
capacidade resistente:
NRd = As . fyd
540 = As × 500 x 103 / 1.15
As = 12.42 cm2
Quando o elemento está sujeito a esforços de compressão, podemos considerar a contribuição da
secção de betão e da secção de aço:
ydscdcRd fAfAN ⋅+⋅=
O artigo 6.1 (5), impõe que, em secções sujeitas a esforços aproximadamente centrados, a extensão
média de compressão nessa parte da secção deve ser limitada a εc2 (ou εc3 se se utilizar a relação
bilinear para o diagrama de tensões de compressão no betão). No caso do betão da classe C20/25,
temos:
εc2 = 2.0‰
Garantindo a compatibilidade de deformação, εc2 = 2.0‰ = εs
Até ser atingida a tensão de cedência, as armaduras apresentam um comportamento elástico:
sss E εσ ⋅=
σs = 200 × 106 × 2 × 10-3 = 400 MPa
Deste modo, a máxima tensão que pode estar instalada nas armaduras é igual a 400 MPa. Como
este valor é inferior a ydf , limitamos a tensão nas armaduras a 400 MPa.
800 = π × 0.32 / 4 × 16 × 103 / 1.5 + As × 400 × 103
As = 1.15 cm2
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Deste modo, é necessário colocar 12.42 cm2 de armadura na secção transversal em análise. Uma
solução adequada corresponde a 4 varões com 12mm de diâmetro + 4 varões com 16mm de
diâmetro (ver Figura 8).
4φ16 + 4φ12
0,3
φ6//0.15
Figura 8 – Representação das armaduras na secção transversal do tirante
Neste caso, As = π × 1.62 / 4 × 4 + π × 1.22 / 4 × 4 = 12.56 cm2
2.2.1 Disposições construtivas
- Verificação de armadura longitudinal mínima:
yd
Eds f
NA
1.0min, =
4.2
5.1105008001.0
3min, =×
×=sA cm2 < 12.56 cm2 → Ok!
- Diâmetro mínimo: =minφ 10 mm → Ok!
- Verificação de armadura longitudinal máxima:
cs AA 04.0max, =
27.284
3.004.02
max, =×
×=π
sA cm2 > 12.56 cm2 → Ok!
- Diâmetro da armadura transversal:
Não deve ser inferior a 6 mm ou a ¼ do diâmetro máximo dos varões longitudinais
φtr,min = Max { 6 ; 16 / 4 } = 6 mm
- Espaçamento da armadura transversal:
scl,max = min { 15 × φmin ; a menor dimensão do pilar ; 300 mm}
scl,max = min { 15 × 12 ; 300 ; 300 } = 180 mm
2.3 Valor do esforço axial de compressão quando εc = −0.25 × 10−3 (compressão) Por compatibilidade, sabemos que as extensões nas armaduras e no betão devem ser iguais.
εc = −0.25 × 10−3= εs (em compressão)
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s
ydyd E
f=ε → 3
6
3
10174.210200
15.110500
−×=×
×=ydε
εs < εyd ⇒ σs = Es × εs
Fs = Es × εs × As
Fs = 200 × 106 × 0.25 × 10-3 × 12.42 × 10-4 = 62.1 kN
Como a extensão do betão é baixa, pode admitir-se que
σc = Ec × εc
σc = 29 × 103 × 0.25 × 10-3 = 7.25 MPa ( < 0.4 fcm = 9.6 MPa) – ver Figura 3.2 da NP EN1992-1-1
Fc = σc × Ac
Fc = 7.25 × 103 × (π × 0.32 / 4 - 12.56 ×10-4) = 503.37 kN
FTotal = Fc + Fs
FTotal = 503.37 + 62.1 = 565.47 kN
3 EXERCÍCIO 3 3.1 Características dos materiais
Betão C20/25
fck = 20 MPa → 33.135.1
200.1 =×=⋅=c
ckcccd
ff
γα MPa
fctm = 2.2 MPa
Ecm = 30 GPa
Aço para varões A400
fyk = 400 MPa → 83.34715.1
400===
s
ykyd
ff
γ MPa
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3.2 Cálculo da altura útil
d - a
ltura
útil
0,60
0,30
0.030 (recobrimento)6-8 mm (estribo)φ / 2
a
Figura 9 – Recobrimento e posição das armaduras na secção transversal de uma viga
a = rec + φestribo + φ / 2
a = 0.03 + 0.006 (ou 0.008) + 0.02 / 2 = 0.046 m
Altura útil - d
d = 0.6 – 0.046 = 0.554 m
No cálculo do momento flector resistente, interessa que o valor da altura útil seja o maior possível, de
forma a que o binário resistente seja máximo. Deste modo, é seguro arredondar o valor da altura útil
para um limite inferior, sempre que isso se justifique. Neste caso, vamos trabalhar com uma altura útil
d = 0.55 m.
3.3 Cálculo do momento flector resistente admitindo o diagrama parábola-rectângulo para a distribuição de tensões no betão Na resolução que se segue adoptaram-se os 3 diagramas propostos pela NP EN1992-1-1 para a
distribuição de tensões de compressão no betão. Chama-se a atenção que este regulamento prevê a
opção alternativa por qualquer um dos diagramas apresentados, sendo essa decisão uma
responsabilidade do projectista.
Hipóteses admitidas para o comportamento dos materiais:
Betão – Diagrama parábola-rectângulo → εc2 = 2‰ ; εcu2 = 3.5‰
Aço – Diagrama elástico-perfeitamente plástico → εs = “∞”
Condições iniciais:
Rotura pelo betão → εc = εcu2
Aço plastificado → 74.110200
15.14003
=×
=>s
yds E
fε ‰
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Todas as hipóteses assumidas podem ser traduzidas na Figura 10:
0,300,
60
x
η.fcd
Fc1
Fc2
Fs
d - a
ltura
útil
Fc = Fc1 + Fc2
z
εcu2
εc2
εs
y
Figura 10
Equações de equilíbrio:
⇔⎪⎩
⎪⎨⎧
=
=
∑∑
0
0
F
M⇔
⎩⎨⎧
−=
×=×=
scRd
scRdFFN
zFzFM
Quando se trata de um problema de flexão simples, NRd = 0, logo, a 2ª equação do sistema anterior
fica sccsc FFFFF =+⇔= 21 .
Definimos então cada uma das forças envolvidas:
( ) byxfF cdc ⋅−⋅=1 (área do rectângulo que multiplica pela largura da secção)
byfF cdc ⋅⋅=32
2 (área de uma parábola que multiplica pela largura da secção)
ydss fAF ⋅=
Precisamos de conhecer o valor de y para poder calcular o valor das forças de compressão. O valor
de y pode ser determinado a partir do diagrama de extensões:
xycuc 22 εε
= de onde resulta que xxycu
c5.3
2
2
2 ==εε
yx
εc2
εcu2 η.fcd
Obtemos assim uma relação entre as grandezas x e y que podemos substituir nas equações das
forças e na equação de equilíbrio:
( ) bxfbxxfbyxfF cdcdcdc ⋅⋅=⋅⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −⋅=⋅−⋅= 429.05.3
21
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bxfbxfF cdcdc ⋅⋅=⋅⋅= 381.05.3
232
2
Somando então as duas forças de compressão:
bfxFFF cdccc ⋅⋅=+= 81.021
4 varões com 20mm de diâmetro correspondem a As = 12.57 cm2
Como por hipótese, a armadura trabalha em regime plástico, então a força instalada nas armaduras é
ydss fAF ⋅=
34 1083.3471057.12 ×××= −sF = 437.09 kN
Uma vez que todas as forças já estão definidas, então podemos resolver a equação de equilíbrio:
⇔⋅=⋅⋅⇔= ydscdsc fAbxfFF 81.0
⇔=⋅×⋅ 09.4373.01033.1381.0 3x
x = 0.1349m
É necessário agora verificar se todas as condições iniciais admitidas são verdadeiras. Admitiu-se que
a armadura estava plastificada, o que só é verdade quando 74.1=>s
yds E
fε ‰:
77.101349.055.01349.0
5.32 =⇔−
=⇔−
= ssscu
xdxε
εεε‰ > 1.74‰ confirma-se que as
armaduras de tracção trabalham em regime plástico. O cálculo efectuado para determinação da
posição do eixo neutro é válido.
Voltando às equações de equilíbrio, podemos considerar agora a 1ª equação onde se estabelece o
equilíbrio de momentos:
zFzFM scRd ×=×=
Neste caso, iremos fazer equilíbrio de momentos em relação à posição da armadura, pelo que
teremos de trabalhar com as duas forças de compressão definidas, Fc1 e Fc2.
=⋅⋅= bxfF cdc 429.01 231.49 kN
=⋅⋅= bxfF cdc 381.02 205.59 kN
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Área1 = (x-y) . fcd
A2 = 23 . y . fcd
c1
38 . y
c2
y
x
fcd
Eixo de Referência
Figura 11
Ou em alternativa, calcular a resultante das duas forças, Fc1 e Fc2, e determinar a sua linha de acção.
Podemos agora determinar a posição da resultante das forças Fc1 e Fc2, fazendo equilíbrio de
momentos em relação à fibra superior:
cFcFcF ccc ⋅=⋅+⋅ 2211
cFyyxFyxF ccc ⋅=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +−⋅+
−⋅
83
2 21
( ) ( ) ( ) cbxfxxxbxfxx
bxf cdcdcd ×⋅⋅=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ ⋅+−×⋅⋅+−
⋅⋅⋅ 81.05.3
283
5.32381.0
25.3
2
429.0
cxxxxx ⋅=⋅+⋅ 81.0149381.0
143429.0
cx =416.0
c = 0.416 × 0.1349 = 0.0561 m
Deste modo, o braço do binário resistente é dado por
z = d – c = 0.55 – 0.0561 = 0.4939m
Podemos então calcular o valor do momento resistente:
zFM cRd ×= = 437.09 x 0.4939 = 215.88 kNm
3.4 Cálculo do momento flector resistente admitindo o diagrama bi-linear para a distribuição de tensões no betão
Hipóteses admitidas para o comportamento dos materiais:
Betão – Diagrama bi-linear de distribuição de tensões → εc3 = 1.75‰ ; εcu3 = 3.5‰
Aço – Diagrama elástico-perfeitamente plástico → εs = “∞”
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Condições iniciais:
Rotura pelo betão → εc = εcu3
Aço plastificado → 74.11020015.1400
3=
×=>
s
yds E
fε ‰
Todas as hipóteses assumidas podem ser traduzidas na Figura 12:
yεs
εc3
εcu3
z
Fc = Fc1 + Fc2
d - a
ltura
útil
Fs
Fc2
Fc1
η.fcd
x
0,60
0,30
Figura 12
Equações de equilíbrio:
⇔⎪⎩
⎪⎨⎧
=
=
∑∑
0
0
F
M⇔
⎩⎨⎧
−=
×=×=
scRd
scRdFFN
zFzFM
Quando se trata de um problema de flexão simples, NRd = 0, logo, a 2ª equação do sistema anterior
fica sccsc FFFFF =+⇔= 21 .
Definimos então cada uma das forças envolvidas:
( ) byxfF cdc ⋅−⋅=1 (área do rectângulo que multiplica pela largura da secção)
byfF cdc ⋅⋅=21
2 (área de um triângulo que multiplica pela largura da secção)
ydss fAF ⋅=
Precisamos de conhecer o valor de y para poder calcular o valor das forças de compressão. O valor
de y pode ser determinado a partir do diagrama de extensões:
xycuc 33 εε
= de onde resulta que xxxycu
c21
5.375.1
3
3 ===εε
Obtemos assim uma relação entre as grandezas x e y que podemos substituir nas equações das
forças e na equação de equilíbrio:
Folhas de Apoio às Aulas Práticas
Miguel Azenha, Isabel Valente, Ana Paula Assis, Eduardo Pereira 18
( ) bxfbxxfbyxfF cdcdcdc ⋅⋅=⋅⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −⋅=⋅−⋅= 5.021
1
bxfbxfF cdcdc ⋅⋅=⋅⋅= 25.021
21
2
Somando então as duas forças de compressão:
bfxFFF cdccc ⋅⋅=+= 75.021
De acordo com o cálculo anteriormente efectuado
Fs = 437.09 kN
Uma vez que todas as forças já estão definidas, então podemos resolver a equação de equilíbrio:
⇔⋅=⋅⋅⇔= ydscdsc fAbxfFF 75.0
⇔=⋅×⋅ 09.4373.01033.1375.0 3x
x = 0.1457m
É necessário agora verificar se todas as condições iniciais admitidas são verdadeiras. Admitiu-se que
a armadura estava plastificada, o que só é verdade quando 74.1=>s
yds E
fε ‰:
71.91457.055.01457.0
5.33 =⇔−
=⇔−
= ssscu
xdxε
εεε‰ > 1.74‰ confirma-se que as
armaduras de tracção trabalham em regime plástico. O cálculo efectuado para determinação da
posição do eixo neutro é válido.
Voltando às equações de equilíbrio, podemos considerar agora a 1ª equação onde se estabelece o
equilíbrio de momentos:
zFzFM scRd ×=×=
Neste caso, iremos fazer equilíbrio de momentos em relação à posição da armadura, pelo que
teremos de trabalhar com as duas forças de compressão definidas, Fc1 e Fc2.
=⋅⋅= bxfF cdc 5.01 291.4 kN
=⋅⋅= bxfF cdc 25.02 145.7 kN
Podemos agora determinar onde passa a resultante das forças Fc1 e Fc2, fazendo equilíbrio de
momentos em relação à fibra superior:
cFcFcF ccc ×=×+× 2211
cFyyxFyxF ccc ×=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +−×+−
×31
2 21
Folhas de Apoio às Aulas Práticas
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c×=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ ××−×+×−
× 09.4371457.021
321457.07.145
21457.05.01457.04.291
c = 0.0567 m
Deste modo, o braço do binário resistente é dado por
z = d – c = 0.55 – 0.0567 = 0.4933m
Podemos então calcular o valor do momento resistente:
zFM cRd ×= = 437.09 x 0.4933 = 215.63 kNm
3.5 Cálculo do momento flector resistente admitindo o bloco rectangular para a distribuição de tensões no betão
Hipóteses admitidas para o comportamento dos materiais:
Betão – Bloco rectangular de tensões → εcu3 = 3.5‰ ; λ = 0.8 ; η = 1.0
Aço – Diagrama elástico-perfeitamente plástico εs = “∞”
Condições iniciais:
Rotura pelo betão → εc = εcu3
Aço plastificado → 74.110200
15.14003
=×
=>s
yds E
fε ‰
Todas as hipóteses assumidas podem ser traduzidas na Figura 13: 0,30
0,60
x
η.fcd
Fc
Fs
d - a
ltura
útil
z
εcu3
εs
λx
Figura 13
Equações de equilíbrio:
⇔⎪⎩
⎪⎨⎧
=
=
∑∑
0
0
F
M⇔
⎩⎨⎧
−=
×=×=
scRd
scRdFFN
zFzFM
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Quando se trata de um problema de flexão simples, NRd = 0, logo, a 2ª equação do sistema anterior
fica sc FF = .
Definimos então cada uma das forças envolvidas:
bxfF cdc ⋅⋅= 8.0 (área do rectângulo que multiplica pela largura da secção)
ydss fAF ⋅=
Calculando a força de compressão no betão
bfxF cdc ⋅⋅= 8.0 = 3200 x
De acordo com o cálculo anteriormente efectuado
=sF = 437.09 kN
Uma vez que todas as forças já estão definidas, então podemos resolver a equação de equilíbrio:
⇔⋅=⋅⋅⇔= ydscdsc fAbxfFF 8.0
⇔=⋅×⋅ 09.4373.01033.138.0 3x x = 0.1366m
É necessário agora verificar se todas as condições iniciais admitidas são verdadeiras. Admitiu-se que
a armadura estava plastificada, o que só é verdade quando 74.1=>s
yds E
fε ‰:
59.101366.055.01366.0
5.33 =⇔−
=⇔−
= ssscu
xdxε
εεε‰ > 1.74‰ confirma-se que as
armaduras de tracção trabalham em regime plástico. O cálculo efectuado para determinação da
posição do eixo neutro é válido.
Voltando às equações de equilíbrio, podemos considerar agora a 1ª equação onde se estabelece o
equilíbrio de momentos:
zFzFM scRd ×=×=
Deste modo, o braço do binário resistente é dado por
z = d – 0.8x / 2 = 0.55 – 0.8 × 0.1366/2 = 0.4954m
Podemos então calcular o valor do momento resistente:
zFM cRd ×= = 437.09 × 0.4954 = 216.52 kNm
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Miguel Azenha, Isabel Valente, Ana Paula Assis, Eduardo Pereira 21
3.6 Dimensionamento das armaduras longitudinais recorrendo a tabelas de betão armado Em geral, as tabelas de dimensionamento de armaduras são construídas tendo por base as
equações de equilíbrio de força e momento flector ao nível da secção transversal, tal como se
mostrou na resolução da alínea a).
Nas resoluções da presente folha, são utilizadas as tabelas de dimensionamento de armaduras para
betão armado, propostas no relatório Relatório 07-DEC/E-27 da Universidade do Minho, onde as
equações de equilíbrio são formuladas para secções tranversais rectangulares, admitindo um
diagrama parábola-rectângulo para as tensões de compressão no betão e um comportamento
elástico com endurecimento para o aço. Ambas as opções referidas estão comtempladas na
NP EN1992-1-1.
Para utilizar as tabelas de dimensionamento de armaduras, temos de verificar o valor de alguns
parâmetros de entrada nessas tabelas, de forma a escolher qual é a tabela mais adequada ao caso
que estamos a estudar:
1º parâmetro: classe do aço
2º parâmetro: relação entre a distância da fibra mais traccionada à posição da armadura – a/h
3º parâmetro: momento flector reduzido: cd
Rd
fhb
M
⋅⋅=
2µ
4º parâmetro: relação entre a armadura de compressão (A’) e a armadura de tracção (A): AA'
=γ
No caso em estudo, a armadura longitudinal já é dada e queremos conhecer o valor do momento
flector resistente, pelo que a utilização da tabela requer a quantificação de um outro parâmetro, a
precentagem mecânica de armadura:cd
ydsff
hbA
⋅⋅
=ω
Então, no caso presente temos:
− Classe do aço S400-B
− 0833.06.0
05.0==
ha
− 0'=
AA
− cd
ydsff
hbA
⋅⋅
=ω = 12.57 × 10-4 / (0.3 × 0.6) × (347.83 × 103) / (13.33 × 103) = 0.1821
É necessário agora escolher qual a tabela mais adequada. Uma vez que o parâmetro a/h apresenta
um valor que é intermédio em relação aos valores que as tabelas propõem (a/h=0.05 e a/h=0.10),
considera-se a situação mais desfavorável para o dimensionamento, que é o braço do binário
resistente ser menor, obtido com a/h=0.10.
Verifica-se que a tabela mais adequada é a Tabela 2, tal como consta do Relatório 07-DEC/E-27.
Folhas de Apoio às Aulas Práticas
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Interpolando o valor de ω=0.182 nos valores na Tabela 2, ω=0.177 e ω=0.184, chega-se à conclusão
que o valor do momento reduzido está entre 0.145 e 0.150, sendo portantanto igual a µ=0.148.
A partir do valor do momento reduzido, podemos calcular o valor do momento resistente:
cdRd fhbM ⋅⋅⋅= 2µ
MRd = 0.148 × 0.3 × 0.62 × 13333 = 213.12 kNm
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Verifica-se que o valor do momento resistente obtido é um pouco inferior ao que tinha sido
determinado quando se utilizaram as equações de equilíbrio.
Relembra-se que este resultado foi obtido utilizando uma tabela em que a/h=0.10, ou seja, com um
braço de binário resistente inferior àquele que na realidade se verifica.
No Quadro 1 comparam-se os valores de momento resistente e da posição do eixo neutro que foram
anteriormente determinados. Quadro 1 – Comparação entre o valores do momento resistente para os vários modos de cálculo
x (m) MRd (kNm) Diagrama parábola-rectângulo 0.1349 215.88 Diagrama bilinear 0.1457 215.63 Bloco rectangular de tensões 0.1366 216.53 Tabela de dimensionamento 0.1365 213.12
3.7 Cálculo do momento de fendilhação Em condições de serviço, podemos admitir que o aço tem um comportamento elástico até atingir o
patamar de cedência, que o betão traccionado apresenta um comportamento elástico até a tensão
atingir o valor de fctm e que o betão comprimido apresenta um comportamento elástico até a tensão
atingir o valor de fcm
Como a secção é constituída por dois materiais de diferentes características, é necessário começar
por “homogeneizar” a secção, ou seja, definir uma nova secção constituída apenas por um dos
materiais usados.
Define-se então o coeficiente de homogeneização, dividindo o módulo de elasticidade do aço pelo
módulo de elasticidade do betão C20/25:
67.630200
===c
sEE
α
Calcula-se a área homogeneizada (em betão) da secção transversal:
( ) scc AAA ⋅−+= 1hom, α
=hom,cA 0.3 × 0.6 + (6.67 – 1) × 12.57 × 10-4 = 0.18713 m2
Calcula-se o centro de massa da secção homogeneizada (em betão):
( ) ( ) 2905.018713.0
05.01057.12167.630.018.012 4
hom,=
×××−+×=
××−+×=
−
c
scG A
aAhAy
αm
(yG é medido a partir da fibra inferior da secção)
Calcula-se também o momento de inércia da secção homogeneizada (em betão). Considera-se que o
eixo x é horizontal e baricêntrico.
( ) ( )2,
2
, 12
ayAIyhAII GsxsGcxcx −⋅⋅−++⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −⋅+= α
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( ) ( )
43
2423
108285.5
05.02905.01057.12167.602905.026.06.03.0
126.03.0
m
I x
−
−
×=
−×××−++⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −××+×
=
(admite-se que a inércia dos varões em torno do seu eixo baricêntrico é muito pequena e pouco
relevante quando comparada com as restantes inércias, pelo que se considera que o seu valor é igual
a zero).
Calacula-se agora qual o valor do momento flector que provoca a fendilhação da secção. Isto
acontece quando a tensão instalada na fibra mais traccionada da secção é igual a fctm.
Gx
fendctm y
IM
f ⋅=
2905.0108285.5
102.23
3 ⋅×
=×−
fendM
Mfend = 44.14 kNm
Comparando agora o valor do momento em que se inicia a fendilhação da viga com o valor do
momento flector resistente, temos:
MRd / Mfend = 215.88 / 44.14 = 4.89
O que mostra que na fase inicial de formação de fendas, uma viga de betão armado se encontra
muito longe de atingir a rotura.
3.8 Valores das tensões que se instalam nas fibras extremas do betão e do aço, imediatamente antes da fendilhação
( ) ( ) 34.22905.06.0108285.5
14.443
=−××
=−⋅=−G
x
fendc yh
IM
σ MPa
( ) ( ) 15.1205.02905.0108285.5
14.4467.63
=−××
×=−⋅⋅=−
ayI
MG
x
fends ασ MPa
Zona traccionada
Zona comprimida da secção
0,29
05
2.34 MPa
12.15 MPa
Figura 14
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3.9 Valores das tensões que se instalam nas fibras extremas do betão e do aço, imediatamente após a fendilhação Após o início da fendilhação, a zona onde o betão se encontra traccionado deixa de contribuir para o
funcionamento da secção, embora ambos os materiais, aço e betão, se mantenham a funcionar em
regime elástico (aço em tracção e betão em compressão).
Deste modo, é necessário calcular um novo centro de massa e um novo momento de inércia, onde
não seja contabilizada a parte da secção transversal de betão que está traccionada.
Numa secção onde ambos os materiais trabalham em regime elástico, a posição do eixo neutro é
calculada, igualando o momento estático da secção de betão comprimida e o momento estático da
secção de aço tracionada, em relação à posição desse eixo.
( )xdAxxbSS ssc −⋅⋅=⋅⋅⇔= α2
( )xxx −⋅×⋅=⋅⋅ − 55.01057.1267.62
3.0 4
x = 0.1496 m
(x é medido a partir da fibra superior da secção)
De seguida, calcula-se o momento de inércia da secção com as características acima definidas.
( )23
, 3xdAxbI sfendx −⋅⋅⋅+
⋅= α
( )243
, 1496.055.01057.1267.631496.03.0
−×××⋅+×
= −fendxI
3, 10679.1 −×=fendxI m4
Com o valor do momento de inércia em secção fendilhada que acabamos de calcular, podemos
calcular o valor da tensão nas fibras extremas de betão e de aço:
93.31496.0106790.1
14.443,
=××
=⋅=−
xIM
fendx
fendcσ MPa
( ) ( ) 21.701496.055.0106790.1
14.4467.63,
=−××
×=−⋅⋅=−
xdIM
fendx
fends ασ MPa
Betão traccionado inactivo
Zona comprimida da secção
0,14
960,
4504
3.93 MPa
70.21 MPa
Figura 15
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Chama-se particular atenção para o valor da tensão instalada na armadura logo após o início da
fendilhação, σs, cujo valor é inferior a fyk, o que mostra que a armadura mínima de flexão está
garantida.
De salientar ainda, o aumento do valor de σs, que devido à fendilhação da secção passa de
12.15 MPa para 70.21 MPa. Aqui se mostra a transferência de tensão que se verifica entre a secção
de aço e a secção de betão, quando ocorre a fendilhação da secção.
A Figura 16 resume, de uma forma genérica, as posições do eixo neutro e as configurações de
tensão para as situações de secção não fendilhada e secção fendilhada em secções rectangulares.
Secção não fendilhada
Zona comprimida da secção
σc,tracção
σs,tracção
σc,compressão σc,compressão
σs,tracção
Secção fendilhada
Zona traccionada
yG
xh-
xBetão traccionado inactivo
Zona comprimida da secção
Figura 16
4 EXERCÍCIO 4
4.1 Características dos materiais Betão C20/25
fck = 20 MPa → 33.135.1
200.1 =×=⋅=c
ckcccd
ff
γα MPa
fctm = 2.2 MPa
Ecm = 30 GPa
Aço para varões A400
fyk = 400 MPa → 83.34715.1
400===
s
ykyd
ff
γ MPa
4.2 Cálculo da altura útil Neste caso, uma vez que ainda não sabemos qual é a armadura longitudinal que vamos colocar na
secção, admitimos um varão com um diâmetro “razoável”.
a = rec + φestribo + φ / 2
a = 0.035 + 0.006 (ou 0.008) + 0.02 / 2 = 0.051 m
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Altura útil - d
d = 0.6 – 0.051 = 0.549 m
arredondando, consideramos d=0.54m
4.3 Cálculo da armadura longitudinal necessária, admitindo o bloco rectangular para a distribuição de tensões no betão
Hipóteses admitidas para o comportamento dos materiais:
Betão – Bloco rectangular de tensões → εcu3 = 3.5‰ ; λ = 0.8 ; η = 1.0
( consideramos η = 1.0 porque a secção “alarga” à medida que nos aproximamos das fibras mais
comprimidas – ver EC2 – artigo 3.1.7(3) )
Aço – Diagrama elástico-perfeitamente plástico εs = “∞”
Condições iniciais:
Rotura pelo betão → εc = εcu3
Aço plastificado → 74.11020015.1400
3=
×=>
s
yds E
fε ‰
Todas as hipóteses assumidas podem ser traduzidas na Figura 17:
λx
εs
εcu3
z
Fs
Fc
η.fcd
x
0,40
0,20
d - a
ltura
útil
0,60
As = ?
Figura 17
A secção definida está sujeita a um momento flector positivo MEd = 240 kNm
Equações de equilíbrio:
⇔⎪⎩
⎪⎨⎧
=
=
∑∑
0
0
F
M⇔
⎩⎨⎧
−=
×=×=
scRd
scRdFFN
zFzFM
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Quando se trata de um problema de flexão simples, NRd = 0, logo, a 2ª equação do sistema anterior
fica sc FF = .
A força de compressão no betão depende da área de secção comprimida. Essa área pode ser
calculada com base na Figura 18:
0,40
0,20
k
Área comprimida - Acomp
v
b(k)
Figura 18
kkbAcomp ⋅+
=2
)(4.0
( ) ( )3
4.06.0
22.04.024.0 kkkb −=⋅−
⋅−=
Podemos agora substituir b(k) na equação que define Acomp:
64.0
23
4.04.0 2kkk
k
Acomp −=⋅⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −+=
Podemos ainda calcular o centro de massa deste trapézio, definido a partir da distância v da figura
anterior. A expressão que define o centro de massa de um trapézio pode ser encontrada nas
“Tabelas Técnicas” ou em qualquer bibliografia sobre “Geometria de Massa”.
( )[ ]( )[ ]
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −
⋅⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −=
+⋅+⋅
=
38.03
322.1
4.034.02
k
kk
kbkkbv
Quando se utiliza o bloco rectangular de tensões, a altura do trapézio é igual a 0.8x, logo,
( ) ( ) 22
1067.032.068.08.04.0 xxxxAcomp −=−=
( ) ( )( ) x
xxx
xxv8.04.2
4267.096.0267.08.03
8.0533.02.1 2
−−
=−
⋅−=
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compcdc AfF ⋅=
( ) 22 27.142267.42661067.032.013333 xxxxFc −=−⋅=
ydss fAF ⋅=
ss AF ⋅×= 31083.347
A equação de equilíbrio de forças não pode ser ainda resolvida porque temos duas incógnitas: x e As.
Deste modo, começamos por resolver a equação de equilíbrio de momento:
EdscRd MzFzFM =×=×=
Neste caso, o braço do binário resistente é dado por
z = d – v = 0.54 –x
xx8.04.2
4267.096.0 2
−−
EdscRd MzFzFM =×=×=
( )⋅−= 227.142267.4266240 xx ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
−−
−x
xx8.04.2
4267.096.054.02
Resolvendo a equação em ordem a x, temos
x = 0.1188 m
Conhecendo o valor de x, podemos agora calcular Fc:
Fc = =×−× 21188.027.14221188.067.4266 486.81 kN
Resolvendo agora a 1ª equação de equilíbrio, temos,
sc FF =
Como admitimos que a armadura está plastificada,
ydss fAF ⋅=
Então,
ydssc fAFF ⋅==
31083.34781.486 ×⋅= sA
As = 13.996 cm2
Podemos colocar 2 varões com 32 mm de diâmetro.
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NOTA: é necessário verificar se o valor de altura útili admitido em 4.2, é respeitado:
a = rec + φestribo + φ / 2
a = 0.035 + 0.006 (ou 0.008) + 0.032 / 2 = 0.057 m
Altura útil - d
d = 0.6 – 0.057 = 0.543 m
como atrás considerámos d=0.54m → Ok!
É necessário agora verificar se todas as condições iniciais admitidas são verdadeiras. Admitiu-se que
a armadura estava plastificada, o que só é verdade quando 74.1=>s
yds E
fε ‰:
70.121188.055.01188.0
5.33 =⇔−
=⇔−
= ssscu
xdxε
εεε‰ > 1.74‰ confirma-se que as
armaduras de tracção trabalham em regime plástico. O cálculo efectuado para determinação da
posição do eixo neutro é válido.
Desenho da secção transversal (Figura 19)
2φ320,20
0,40
0,60
Estribo
Armadura construtiva
Figura 19
5 EXERCÍCIO 5 5.1 Características dos materiais
Betão C25/30
fck = 25 MPa → 67.165.1
250.1 =×=⋅=c
ckcccd
ff
γα MPa
Aço para varões A500
fyk = 500 MPa → 78.43415.1
500===
s
ykyd
ff
γ MPa
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5.2 Cálculo da altura útil Neste caso, uma vez que ainda não sabemos qual é a armadura longitudinal que vamos colocar na
secção, admitimos um varão com um diâmetro “razoável”.
a = rec + φestribo + φ / 2
a = 0.035 + 0.006 (ou 0.008) + 0.02 / 2 = 0.051 m
Altura útil - d
d = 0.5 – 0.051 = 0.449 m
arredondando, consideramos d = 0.44m
5.3 Estimativa das armaduras necessárias admitindo como simplificação que o braço do binário resistente é z = 0.9d Neste caso, supõe-se que o braço do binário resistente é dado por
z = 0.9d = 0.9 × 0.44 = 0.396m
Deste modo, o braço do binário resistente é independente da área comprimida da secção, o que faz
com que o resultado seja o mesmo para momento flector positivo e momento flector negativo.
A equação de equilíbrio de momentos é dada por:
EdscRd MzFzFM =×=×=
396.0180 ×= sF
54.454=sF kN
Sabendo que ydss fAF ⋅= ,
então, 31078.43454.454 ×⋅= sA
As = 10.455 cm2
5.4 Cálculo da armadura longitudinal necessária, admitindo o bloco rectangular para a distribuição de tensões no betão Hipóteses admitidas para o comportamento dos materiais:
Betão – Diagrama parábola-rectângulo → εcu3 = 3.5‰ ; λ = 0.8 ; η = 1.0
Aço – Diagrama elástico-perfeitamente plástico εs = “∞”
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5.4.1 Momento flector positivo – M+
Condições iniciais:
Rotura pelo betão → εc = εcu3
Aço plastificado → 17.21020015.1500
3=
×=>
s
yds E
fε ‰
Eixo neutro posicionado no banzo superior
Todas as hipóteses assumidas podem ser traduzidas na Figura 20:
λx
εs
εcu3
d - a
ltura
útil
Fs
Fc
η.fcd
x
0,50
0,10
0,40
0,150,200,15
z
Figura 20
Equações de equilíbrio:
⇔⎪⎩
⎪⎨⎧
=
=
∑∑
0
0
F
M⇔
⎩⎨⎧
−=
×=×=
scRd
scRdFFN
zFzFM
Quando se trata de um problema de flexão simples, NRd = 0, logo, a 2ª equação do sistema anterior
fica sc FF = .
Definimos então cada uma das forças envolvidas:
bxfF cdc ⋅⋅= 8.0 (b é a largura do banzo superior)
ydss fAF ⋅=
Calculando a força de compressão no betão
bfxF cdc ⋅⋅= 8.0 = 6666.67 x
ss AF ⋅×= 31078.434
A equação de equilíbrio de forças não pode ser ainda resolvida porque temos duas incógnitas: x e As.
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Deste modo, começamos por resolver a equação de equilíbrio de momento:
EdscRd MzFzFM =×=×=
Neste caso, o braço do binário resistente é dado por
z = d – 0.8x = 0.44 – 0.4x
EdscRd MzFzFM =×=×=
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −⋅=28.044.067.6666180 xx
Resolvendo a equação em ordem a x, temos
x = 0.0652 m < 0.1m
logo, a hipótese assumida de que o eixo neutro está posicionado no banzo, é confirmada. Se o valor
de x fosse superior a 0.10m, seria necessário redefinir a equação da força de compressão, Fc, tendo
em conta que uma parte das almas estaria comprimida.
Conhecendo o valor de x, podemos agora calcular Fc:
Fc = =× 0652.067.6666 434.88 kN
Resolvendo agora a 1ª equação de equilíbrio, temos,
sc FF =
Como admitimos que a armadura está plastificada,
ydss fAF ⋅=
Então,
ydssc fAFF ⋅==
31078.43488.434 ×⋅= sA
As = 10.00 cm2
Ao definir a disposição de varões, é necessário ter em conta que estes ficarão colocados na zona
inferior da secção, ou seja, nas almas. Cada alma tem 0.15 m de largura, pelo que é aconselhável
colocar apenas 2 ou 3 varões em cada uma delas. Deste modo, uma solução possível é colocar 2
varões com 16mm de diâmetro + 1 varão com 12mm de diâmetro, em cada alma.
É necessário ainda verificar se todas as condições iniciais admitidas são verdadeiras. Admitiu-se que
a armadura estava plastificada, o que só é verdade quando 17.2=>s
yds E
fε ‰ :
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12.200652.044.00652.0
5.33 =⇔−
=⇔−
= ssscu
xdxε
εεε‰ > 2.17‰ confirma-se que as
armaduras de tracção trabalham em regime plástico. O cálculo efectuado para determinação da
posição do eixo neutro é válido.
5.4.2 Momento flector negativo – M-
Condições iniciais:
Rotura pelo betão → εc = εcu3
Aço plastificado → 17.21020015.1500
3=
×=>
s
yds E
fε ‰
Eixo neutro posicionado nas almas
Todas as hipóteses assumidas podem ser traduzidas na Figura 21:
0,15 0,20 0,15
0,40
0,10
0,50
η.fcd
Fc
Fs
d - a
ltura
útil
z
εs
εcu3
x
λx
Figura 21
Equações de equilíbrio:
⇔⎪⎩
⎪⎨⎧
=
=
∑∑
0
0
F
M⇔
⎩⎨⎧
−=
×=×=
scRd
scRdFFN
zFzFM
Quando se trata de um problema de flexão simples, NRd = 0, logo, a 2ª equação do sistema anterior
fica sc FF = .
Definimos então cada uma das forças envolvidas:
bxfF cdc ⋅⋅⋅= 8.02 (b é a largura de uma alma)
ydss fAF ⋅=
Calculando a força de compressão no betão
=⋅⋅×= bfxF cdc 8.02 4000 x
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ss AF ⋅×= 31078.434
A equação de equilíbrio de forças não pode ser ainda resolvida porque temos duas incógnitas: x e As.
Deste modo, começamos por resolver a equação de equilíbrio de momento:
EdscRd MzFzFM =×=×=
Neste caso, o braço do binário resistente é dado por
z = d – 0.8x = 0.44 – 0.4x
EdscRd MzFzFM =×=×=
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −⋅=28.044.04000180 xx
Resolvendo a equação em ordem a x, temos
x = 0.1141 m < 0.4m
logo, a hipótese assumida de que o eixo neutro está posicionado nas almas, é confirmada. Se o valor
de x fosse superior a 0.40m, seria necessário redefinir a equação da força de compressão, Fc, tendo
em conta que uma parte do banzo estaria comprimida.
Conhecendo o valor de x, podemos agora calcular Fc:
Fc = =× 1141.04000 456.54 kN
Resolvendo agora a 1ª equação de equilíbrio, temos,
sc FF =
Como admitimos que a armadura está plastificada,
ydss fAF ⋅=
Então,
ydssc fAFF ⋅==
31078.43454.456 ×⋅= sA
As = 10.498 cm2
Neste caso, a armadura fica distribuída ao longo do banzo superior (largura de 0.50m).
Deste modo, uma solução possível é colocar 6 varões com 16mm de diâmetro.
É necessário ainda verificar se todas as condições iniciais admitidas são verdadeiras. Admitiu-se que
a armadura estava plastificada, o que só é verdade quando 17.2=>s
yds E
fε ‰ :
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997.91141.044.01141.0
5.33 =⇔−
=⇔−
= ssscu
xdxε
εεε‰ > 2.17‰ confirma-se que as
armaduras de tracção trabalham em regime plástico. O cálculo efectuado para determinação da
posição do eixo neutro é válido.
Nas 3 situações analisadas, verifica-se que a quantidade de armadura longitudinal calculada não
difere muito entre si. No entanto, em outras situações, tal poderá não acontecer. É preciso ter em
conta que:
− considerar z=0.9d é apenas uma estimativa, pelo que o resultado real pode ser diferente;
− a quantidade de armadura depende muito da área de betão comprimida;
5.5 Cálculo da armadura longitudinal, utilizando tabelas de dimensionamento de armaduras Definição dos parâmetros para entrada nas tabelas:
1º parâmetro: classe do aço → S500-B
2º parâmetro: relação entre a distância da fibra mais traccionada à posição da armadura –
102.05.0
051.0==
ha → podemos considerar que a/h = 0.15m
3º parâmetro: momento reduzido: 0864.01067.165.05.0
180322
=×××
=⋅⋅
=+
+
cd
Rd
fhb
Mµ
144.01067.165.03.0
180322
=×××
=⋅⋅
=−
−
cd
Rd
fhb
Mµ
4º parâmetro: relação entre a armadura de compressão (A’) e a armadura de tracção (A): AA'
=γ
No caso em estudo, queremos determinar a armadura longitudinal, pelo que a utilização da tabela
requer a quantificação de um outro parâmetro, a percentagem mecânica de armadura:cd
ydsff
hbA
⋅⋅
=ω
Verifica-se que a tabela mais adequada é a Tabela 9, tal como consta do Relatório 07-DEC/E-27.
De seguida, mostra-se a Tabela 9 onde se assinalam os pontos necessários ao dimensionamento.
Então,
M+ = 180 kNm → µ = 0.0864 → ω = 0.106 → As = 10.16 cm2
M- = 180 kNm → µ = 0.144 → ω = 0.189 → As = 10.87 cm2
Verificação da posição dos eixos neutros:
M+ = 180 kNm → µ = 0.0864 → ξ = 0.134 → x = 0.067 m (<0.1m)
Confirma-se que que o eixo neutro está posicionado no banzo superior da secção.
M- = 180 kNm → µ = 0.144 → ξ = 0.237 → x = 0.119 m (<0.4m)
Confirma-se que que o eixo neutro está posicionado nas almas da secção.
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6 EXERCÍCIO 6 6.1 Características dos materiais Betão C20/25
fck = 20 MPa → 33.135.1
200.1 =×=⋅=c
ckcccd
ff
γα MPa
Aço para varões A500
fyk = 500 MPa → 78.43415.1
500===
s
ykyd
ff
γ MPa
6.2 Cálculo do valor da extensão em cada nível de armadura Hipóteses admitidas para o comportamento dos materiais:
Betão – Bloco rectangular de tensões → εcu3 = 3.5‰ ; λ = 0.8 ; η = 1.0
Aço – Diagrama elástico-perfeitamente plástico εs = “∞”
Condições iniciais:
Rotura pelo betão → εc = εcu3
Aço plastificado → 17.21020015.1500
3=
×==∧>
s
ydsysys E
fεεε ‰
Aço não plastificado → sys εε <
De acordo com a Figura 6, o eixo neutro da secção transversal em I está posicionado a 0.27m da
fibra superior da secção. Deste modo, o bloco rectangular de tensões engloba o banzo superior da
secção e uma parte da alma, tal como se representa na Figura 22.
εs5
εs1
εs2
εs6
εs4
εs3
Fs1
Fs2
Fs3
Fs4
Fs5
Fs6
η.fcd
Fc
NEd
0.21
6
0,27
εcu3
Figura 22 – Diagrama de extensões na secção transversal em I
Tendo em consideração as condições definidas, calcula-se o valor da extensão ao nível de cada fibra
da secção transversal que corresponde à posição de armadura:
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85.205.027.027.0
105.305.0
13
13 =⇔−
=×
⇔−
=−
ssscu
xxε
εεε‰ > 2.17‰
as armaduras de compressão trabalham em regime plástico
56.115.027.027.0
105.315.0
23
23 =⇔−
=×
⇔−
=−
ssscu
xxε
εεε‰ < 2.17‰
as armaduras de compressão trabalham em regime elástico
39.003.027.0
105.303.0
33
33 =⇔=×
⇔=−
ssscu
xε
εεε‰ < 2.17‰
as armaduras de tracção trabalham em regime elástico
33.218.027.0
105.318.0
43
43 =⇔=×
⇔=−
ssscu
xε
εεε‰ > 2.17‰
as armaduras de tracção trabalham em regime plástico
28.433.027.0
105.333.0
53
53 =⇔=×
⇔=−
ssscu
xε
εεε‰ > 2.17‰
as armaduras de tracção trabalham em regime plástico
57.543.027.0
105.343.0
63
63 =⇔=×
⇔=−
ssscu
xε
εεε‰ > 2.17‰
as armaduras de tracção trabalham em regime plástico
6.3 Cálculo do valor das forças internas Com o valor das extensões calculadas é possível calcular o valor da força em cada nível de
armadura.
51.52415.1105001006.12
34
111 =×
××=⋅=⇒> −ydsssys fAFεε kN
98.3731056.1102001006.12 3642222 =×××××=⋅⋅=⇒< −−
sssssys EAF εεε kN
37.311039.0102001002.4 3643333 =×××××=⋅⋅=⇒< −−
sssssys EAF εεε kN
84.17415.1105001002.4
34
444 =×
××=⋅=⇒> −ydsssys fAFεε kN
51.52415.1105001006.12
34
555 =×
××=⋅=⇒> −ydsssys fAFεε kN
51.52415.1105001006.12
34
666 =×
××=⋅=⇒> −ydsssys fAFεε kN
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Falta ainda calcular a força de compressão no betão. A área de betão comprimida está assinalada na
Figura 22, onde é necessário considerar todo o banzo superior e uma parte da alma.
67.18661033.1314.01033.1320.070.0 331 =××=×××=cF kN
67.421033.130032.01033.13)2.0216.0(20.0 332 =××=××−×=cF kN
33.190921 =+= ccc FFF kN
Conhecendo todas as forças que actuam ao nível da secção transversal, é possível resolver a 1ª
equação de equilíbrio. Neste equação, iguala-se o somatório das forças que actuam internamente na
secção com o somatório das forças externamente aplicadas:
⇔=−−−−++ Edssssssc NFFFFFFF 654321
⇔=−−−−++ EdN51.52451.52484.17437.3198.37851.52433.1909
59.1557=EdN kN
6.4 Cálculo do valor do momento flector resistente Uma vez que são conhecidas todas as forças que actuam na secção transversal, já é possível
resolver a 2ª equação de equilíbrio, calculando o valor do momento resistente. Neste caso, o
equilíbrio vai ser estabelecido em relação à posição do centro de massa da secção transversal,
anulando a parcela correspondente ao esforço axial NEd,
⇔⋅+⋅+⋅+⋅−⋅+⋅+⋅+⋅= 6655443322112211 ssssssssssssccccRd zFzFzFzFzFzFzFzFM
sendo,
zc1 = 0.275 m
zc2 = 0.167 m
zs1 = 0.325 m
zs2 = 0.225 m
zs3 = 0.075 m
zs4 = 0.075 m
zs5 = 0.225 m
zs6 = 0.325 m
⇔×+×+×
+×−×+×+×+×=
325.051.524225.051.524075.084.174075.037.31225.098.378325.051.524167.067.42275.067.1866RdM
44.1075=RdM kNm
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7 EXERCÍCIO 7 7.1 Características dos materiais Betão C25/30
fck = 25 MPa → 67.165.1
250.1 =×=⋅=c
ckcccd
ff
γα MPa
Aço para varões A400
fyk = 400 MPa → 83.34715.1
400===
s
ykyd
ff
γ MPa
7.2 Cálculo da altura útil Neste caso, uma vez que ainda não sabemos qual é a armadura longitudinal que vamos colocar na
secção, admitimos um varão com um diâmetro “razoável”.
a = rec + φestribo + φ / 2
a = 0.04 + 0.006 (ou 0.008) + 0.02 / 2 = 0.056 m
Altura útil - d
d = 0.7 – 0.056 = 0.644 m
arredondando, consideramos d = 0.64m
7.3 Dimensionamento de armadura – utilização de tabela de flexão composta Definição dos parâmetros para entrada nas tabelas:
1º parâmetro: classe do aço → S400-B
2º parâmetro: relação entre a distância da fibra mais traccionada à posição da armadura –
08.07.0
056.0==
ha → podemos considerar que a/h = 0.10m
3º parâmetro: momento reduzido: 2143.01067.167.02.0
350322
=×××
=⋅⋅
=cd
Rd
fhb
Mµ
4º parâmetro: esf. axial reduzido: 0429.01067.167.02.0
1003
=×××
=⋅⋅
=cd
Edfhb
Nυ
5º parâmetro: relação entre a armadura de compressão (A’) e a armadura de tracção (A): A’ = A
No caso em estudo, queremos determinar a armadura longitudinal, pelo que a utilização da tabela
requer a quantificação de um outro parâmetro, a percentagem mecânica de armadura:cd
ydsff
hbA
⋅⋅
=ω
Verifica-se que a tabela mais adequada é a Tabela 13.p.
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De seguida, mostra-se a Tabela 13.p, onde se assinalam os pontos necessários ao
dimensionamento.
Então,
M = 350 kNm ; N = 100 kN → µ = 0.2143 ; υ = 0.0429
Interpolando,
Quando µ = 0.210 → ω = 0.459
Quando µ = 0.215 → ω = 0.471
Então, quando µ = 0.2143 → ω = 0.469 → A’ + A = 31.46 cm2
Uma solução possível é colocar 5 varões com 20mm de diâmetro em cada face.
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