Föreläsning 3

Partikel dynamic I

Kraft och Massa

Newtons andra lag

Vikt

Newtons tredje lag

Skenbar Vikt

Tillämpningar av Newtons lagar

Förord

Hitills har vi behandlat ämnet kinematik dvs hur kroppar rör sig. Idag ska vi disskutera varför de rör sig.

Vid förra föreläsningstillfället hade vi ett exempel med en katapult som kastade en 75 kg sten mot en fästning vilket resulterade i träff. Vad skulle hända om vikten på stenen skulle ändras till 100 kg eller 50 kg? Varför fick stenen den starthastighet den hade?

Svar på dessa frågor får man när man tar hänsyn till kraft och massa. Sådana förklaringar behandlas inom dynamiken.

Kraft och Massa

Kraft F är en fysikalisk storhet och beskrivs som en vektor med magnituden F och riktningen

F = Fxi + Fyj = Fcosi +Fsinj

Man delar kraften två olika typer:

1. Kontakt kraft (friktion, tryck, drag m.m.)

2. Kraft med lång räckvid ( Solen och jorden, magnet och laddade partiklar m.m.)

Fcos

Fsin

x

y

Massa m är däremot en skalär och är ett mått på en kropps förmåga att motstå ändringen mot dess hastighet eller hastighetsriktning. Dvs en kropps massa är ett mått på dess tröghet. Hur mäter vi massan?

Låt oss placera två klossar med massorna m1 och m2 på en luftbädd. Om en tråd som håller ihop ett komprimerad fjäder placerad mellan klossarna, klips, kommer klossarna att få en hastighetsändring v1 och v2. Oberoende av vilken tidsinterval som hastighetsmätningen görs, fås ett konstant förhållande på kvoten mellan v1 och v2 och som i sin tur är identisk med kvoten mellan klossarnas massor m2 resp. m1.

v1/v2 = m2/m1 (i)

Väljer vi 1 kg som standardmassa på m1, kan vi med hjälp av relation (i) bestämma massan på vilken kropp som helst.

Newtons andra lag

Från Newtons första lag vet vi att om en kropp utsätts för en kraft så ändra den sin hastighet och/eller riktning, dvs den utsätts för en acceleration.

Om vi tar ett objekt med massan m och placerar den på ett friktionsfritt underlag. Objektet skjuts iväg med hjälp av ett ihopkomprimerad fjäder. Beroende på hur mycket fjädret komprimeras (olika krafter), får vi olika accelerationer för kulan. Accelerationen ökar när fjäderkraften ökar och omvänd. Det experimentet ger oss ett direkt proportionalitet mellan kraften och accelerationen:

F a (i)

m

m v

a1,2,3,...

F1,2,3,...

Om vi kör samma experiment med en konstant fjäderkraft, men med olika massor, fås en omvänd proportionalitet mellan accelerationen, a och massan, m:

a 1/m (ii)

Från sambanden (i) och (ii) fås sambandet:

a F/m F = kma; där k är proportionalitetkonstant

Väljer vi SI enheterna (International System units) N (Newton) för kraften F, och kg för massan, då blir accelerationen 1 m/s2 om kraften är 1 N och massan är 1 kg, dvs k=1. Kraften F blir då lika med massan m gånger accelerationen a: F = ma.

Om det är fler än en kraft som påverkar en kropp, måste vi ta vektorsumman F av alla inblandade kraftvektorer. Detta leder oss till Newtons andra lag:

v

a1,2,3,...

F

m1,2,3,...

m1,2,3,...

Den resulterande kraften F som verkar på en kropp är direkt proportionell mot kroppens massa m och mot kroppens acceleration a som pekar i kraftens riktning.

F = ma

Exempel

En bil accelererar från 0 till 100 km/h under 5 sekunder. Bilen har en massa m på 1500 kg. Bestäm bilens accelerationskraft F.

Given: Starthastighet v0 = 0, sluthastighet v = 100 km/h = 100/3.6 m/s, tidsintervallet för hastihetsändingen t = 5 s samt bilens massa.

Okänd: Kraften F och accelerationen a

Från rörelseekvationen v = v0 + at fås a:

a = (v-v0)/ t = (100/3.6 – 0)/5 = 5.6 m/s2.

Kraften F = ma = 1500(5.6) = 8.3 kN

Fråga

Om du sparkar på en sten som har en massa på 6 kg, kommer det troligen att göra väldigt ont i foten. Om du nu skulle placera stenen på månens yta och gör en identisk spark, skulle det göra lika eller mindre ont? Om du måste veta så väger stenen ca 1 kg vid månens yta.

Vikt

Till skillnad från massan är vikten W en vektor, vars riktning och magnitud bestäms av den resulterande gravitationskraften. Newton påstod att två kroppar attraherar varandra ömsesidigt med en kraft F som är direkt proportionell mot deras massor m och M och omvänt proportionell mot kvadraten på avståndet r mellan dem (mellan centrum). Den Universella Gravitationslagen.

G är gravitaionskonstanten = 6.67x10-11 Nm2/kg2

Med hjälp av gravitationslagen kan vi bestämma vikten W av en kropp med massan m och som är placerad vid jordens yta. Avståndet r vid jordens yta motsvarar jordradien R j. Med jordens massa Mj fås vikten W:

W = GmMj/Rj2 = mg ; g = GMj/Rj

2 är gravitationkraften per massenhet (N/kg) på en kropp placerad vid jordens yta, och kallas för gravitationsfältstyrkan:

W = mg (kgN/kg = N)

Likheten med F = ma, ersätter enheten (N/kg) för gravitationsfältstyrkan med (m/s2).

Graviationfältstyrkan kallas därför också för tyngdacceleration och är lika med 9.82 m/s2

F= GmM/r2

En kropps massa är en skalär och är ett mått på kroppens tröghet medan en kropps vikt är en vektor och är ett mått på dess påverkan av gravitationskraften med samma riktning som kraften. SI enheterna för Massan och vikt ges i kg resp. N.

Newtons tredje lag”Every action has a reaction”, är ett vanligt förekommande uttryck som har sitt ursprung i Newtons tredje lag:

När en kropp A verkar med en kraft på en kropp B, verkar B med en lika stor kraft på A, men i motsatt riktning.

FAB = -FBA

Om ett objekt placeras på ett bord så verkar objektet med en kraft Fbo mot bordet. Bordet i sin tur verkar med en reaktionskraft Fob mot objektet som har samma magnitud som Fbo dock i motsatt riktning. Denna kraft kallas även för normalkraft N.

Fbo

Fob

Skenbar viktFrån förra föreläsningen konstaterade vi att ett idealt tröghetssystem inte existerade. Av samma anledning kan vi inte mäta vikten exakt. En våg som väger en kropps vikt förutsätter att kroppen är i ett tröghetsystem, men på grund av jordens rotation, är gravitationsfältkonstanten inte riktigt lika med tyngdaccelerationen. Den vikt som vågen anger kallas därför för skenbar vikt (eng. apparent mass). Hur som helst i den första approximationen utgår vi från att effekten av jordens rotation på gravitaionsfältkonstanten är försumbar och kan därför antas vara lika med tyngdaccelerationen.Men hur blir det i fallet när kroppen befinner sig i ett icke försumbar icke tröghetsystem, typ en accelererande hiss. Ingen acceleration Accelerar uppåt Accelerar neråt

W = mg W = mg W = mg

a aN = mg

N = mg + ma N = mg - ma

Gör det själv

En basketspelare sänker sin kropp 0.15 meter och gör ett hopp på 0.45 m ovan marken. Räkna ut kraften som verkar på kroppen. Basketspelaren väger 50 kg (räkna med g = 10 m/s2)

Tips: Rörelse ekvationen v2 = v02 + 2a(y-y0) kan vara bra och kunna

Tillämpningar av Newtons lagar

Vi börjar med ett enkelt exempel där vi har en vikt som hänger enligt figuren nedan. Bestäm spänningskraften i varje tråden.

7 kg

40°60°

W

T2T1Här har vi ett system i statisk jämvikt. För ett system i jämvikt gäller att summan av alla krafter är lika med noll, dvs:

T2 + T1 + W = 0 (i)

Vi börjar med att dela T1, T2 och W i sina respektive kraft komposanter.

T1 = T1cos(60°)i + T1sin(60°)j

T2 = -T2cos(40°)i + T2sin(40°)j

W = 0i – Wj(i) Blir således:

T1cos(60°)i + T1sin(60°)j - T2cos(40°)i + T2sin(40°)j – Wj = (T1cos(60°) - T2cos(40°))i + (T1sin(60°) + T2sin(40°) – W)j = 0i +0j. Vi har nu två ekvationsystem med två obekanta:

T1cos(60°) - T2cos(40°) = 0

T1sin(60°) + T2sin(40°) – W = 0 (W = mg)

Löser vi de får vi T1 = 53 N och T2 = 35 N

x

y

Exempel

Två klossar med massorna m1 = 3 kg och m2 = 5 kg är sammankopplade med en tråd, enligt figuren nedan. Underlaget som m1 vilar på antas vara friktionsfritt. Bestäm (a) accelerationen a , och (b) och dragkraften T i tråden.

m2

m1a

x

yVi börjar med att rita ut alla krafter som verkar på massorna. I fallet m1 så har vi normalkraften N, dragkraften i tråden T samt m1 vikt W1. För m2 har vi vikten på m2, W2 samt dragkraften i tråden T. Från Newtons andra lag: F = ma;

Fx = T = m1ax (i) Fx = 0

Fy = N – W1 = 0 Fy = T – W2 = -m2ay (ii)

Fz = 0 Fz =0

I vår exempel är ay = ax =a. Ersätter vi T i (ii) med m1a från (i), fås:

m1a – W2 = -m2a a = W2/(m1+ m2)

För W2 = m2g blir a:

a

a = m2g/(m1+m2) = 6.1 m/s2 och från (i) fås T = m1a = 18.3 N

W2 W1

TT

N

Exempel

Två klossar med massorna m1 = 3 kg och m2 = 5 kg är ihopkopplade med en tråd. m2

hänger vertikalt under m1. Bestäm kraften Fo och spänningskraften i tråden under forutsättningen att klossarna accelererar neråt med accelerationen a = 3 m/s2.

m2

m1

a

Fox

y

Vi börjar med att isolera klossarna för att kunna rita kraftvektorena. Här kommer jag använda mg direkt istället för W:

m2m1

Fo

Tm1g m2g

T

Från Newtons 2:a lag fås:

T + m1g – Fo = m1a (i)

m2g – T = m2a (ii)

Summerar vi (i) och (ii) får vi: Fo = (m1 + m2)/(g-a) = 56 N

T kan fås antigen från (i) eller (ii): T = 25 N

Gör det själv

Två klossar A och B med massorna mA = 2 kg och mB = 3 kg är placerade intill varandra på ett friktionsfritt underlag. En kraft på 20 N verkar på B enligt figuren nedan. Bestäm (a) accelerationen (b) kraften som A verkar på B (c) nettokraften som verkar på B (d) Kraften som A verkar på B om vi skulle byta plats på klossarna.

B A20 N

Problemlösningsguide

”Man ser inte lösningen för alla pilar”. Men det finns några knep som man kan använda sig av för att inte drunkna i all förmånga vektorer. Börja med att:

1. Identifiera alla krafter som verkar på varje kropp separat och rita ut de.

2. Visa accelerationsriktningen med dubbelstreckade pilar (). Välj lämpliga koordinatsystem för varje kropp, accelerationen skall peka antingen längs x eller y koordinaten.

3. Rita ut koordinatsytemet, utan kroppen och rita kraftvektorerna. För vektorer som är riktade längs koordinat axlarna välj obruten linje. För de vektorer som inte är riktade längs koordinat axlarna välj streckade linjer men rita ut dess komposanter med obrutna linjer.

4. Märk varje komposantvektor med dess magnitud.

a x

y

mg

N N

-mgcosmgsin

Exempel

En kloss med massan m = 2 kg är placerad på en friktionsfri backe med = 20° lutning. En kraft F = 6 N verkar på klossen med en vinkeln = 40° mot backen. Bestäm (a) accelerationen (b) normalkraften N som verkar på klossen.

a

mg

N

F

-mgsin

-mgcos

-Fsin

Fcosx

yN

Efter att ha ritat ut alla krafterna kan vi nu uttrycka Newtons 2:a lag i komposant form:

Fx = Fcos – mgsin= ma (i)

Fy = N – mgcos– Fsin= 0 (ii)

Från (ii) fås N = 22 N och accelerationen fås från (i) a = -1.1 m/s2

Observera att accelerationen är riktad i motsatt till den valda riktningen.

Exempel

Figuren nedan visar en kloss med massan m1 = 3.6 kg som är kopplad via en tråd med en vikt med massan m2 = 2.4 kg. Bestäm accelerationen om = 30°.

m 1

m2

m1gm2g

N

T

T

a

ax

y

x

y

-m1gcos

-m1gsinm2g

TTN

(m1) Fx = T – m1gsin= m1a (i)

(m1) Fy = N – m1gcos = 0 (ii)

(m2) Fy = m2g – T = m2a (iii)

Adderar vi (i) och (iii) får vi:

m2g - m1gsin = a(m2 + m1) a = (m2g - m1gsin)/(m2 + m1) = 0.98 m/s2

Dimensionsanalys och extremvärden

Utför alltid en dimensionsanalys på de samband som du härleder för att vara säker på att du inte har gjort något fel under räkningens gång. Testa ditt samband med extremvärden där du med säkerhet vet vad svaret skulle bli. Som test kan vi ta det föregående exemplet och utför en dimensionsanalys på.

Vi vet att accelerationen a har dimensionen LT-2 och Massan har dimensionen M. Då blir vår exempel:

a = (m2g - m1gsin)/(m2 + m1)

LT-2 = (M LT-2)/M = LT-2 ; Dimensionen stämmer alltså.

Tar vi ett extremt värde på m2 och sätter den lika med 0, så bör klossen m1 åka ner för lutningen och vi bör få ett negativt värde på accelerationen, vilket vi också får i det här fallet. Vad händer om vi sätter ett extremt hög värde på m2.

m 1

m2

a

Exempel

En målare har en lyftanordning som han kan dra sig upp med. Lyftanordningen består av en bur kopplad till ett rep som via en trissa åter vänder tillbaka till buren (se figur). Målaren väger 75 kg och burens massa är 15 kg. Bestäm dragspänningskraften i repet (a) när målaren är stilla (b) han accelererar uppåt med accelerationen a = 0.4 m/s2 (c) om han fäster repets fria ände mot en vägg.

Mg

T T

Målaren drar ner i repet som i sin tur drar upp målaren och buren med en dragspänningskraft T. Repet burända drar också upp målaren och buren med samma dragspänningskraft T. M är summan av målarens och burens massor, dvs M = 90 kg.

Newton 2:a lag ger för (a)

T + T – Mg = 0; T = Mg/2 = T = 440 N

För (b)

T + T – Mg = Ma; T = M(a-g) = 460 N

När repet fäst vid väggen så kommer systemet att ha endast en dragspäningskraft som verkar på burens topp. Dragspänningskraften blir således:

T – Mg = 0; alltså T = Mg = 880 N

Gör det själv

Ett raket har en acceleration a på 2.4 m/s2 och är riktad 60° mot marken. Bestäm den skenbara vikten på en astronaut vars massa m = 80 kg.

60°