Föreläsning 11

Oscillation

Kapitel 15.1-4

Oscillation

harmonisk oscillation

Kloss-fjädersystem

Energi (harmonisk rörelse)

Pendel

Oscillation

Translation och rotation är två rörelseformer som vi har gått genom. Den tredje rörelseformen är oscillation. Om en partikel upprepar sitt rörelsemönster så kallas dess rörelse för periodisk. Om rörelsen innebär en fram och tillbaka gång längs en given bana med två vändpositioner så är den oscillerande. Pendel och en kloss hängande på en fjäder är två typiska oscillerande rörelser.

Oscillation är en periodisk fluktuation av en fysikaliska storhet kring ett centrum- eller jämviktsläge. Exempel på fysikaliska

storheter är avstånd (pendel) och elektrisk spänning.

En partikel i en cirkulär bana med konstant har en periodisk rörelse.

En pendel har en periodisk oscillerande rörelse

Enkel harmonisk oscillator

En vikt hängande på en fjäder är ett idealiskt system för att studera oscillation. Anta att vi har en kloss som hänger i en fjäder. Om klossen sätts i svängning (vertikalt) så kan vi illustrera dess rörlese kring jämviktläget enligt figuren nedan:

x

t

A

-A

Klossens possition x relativt jämviktsläget ges av relationen:

x(t) = Asint (i)

Där A är amplituden (vändpositionen) och är vinkelhastigheten

Relationen, x(t) = Asint, utgår från att rörelsen startar från position x = 0 vid tiden t = 0, vilket inte alltid är fallet. En mer allmän definition av en harmonisk oscillator är:

x(t) = Asin(t +)

Argumentet (t +) kallas för fasen medan kallas för faskonstanten.

x(t) = Asin(t +)

x(t) = Asint

x

t

Egenskaperna hos harmonisk oscillator

1. Amplituden är konstant (oscillationen är enkel)

2. Frekvensen och perioden är oberoende av amplituden. Stora oscillationer har samma period som små ocillationer (isokronisk)

3. Storhetens tidsberoende fluktuation kan beskrivas av en sin funktion med en enda frekvens (oscillationen är harmonisk)

Vi ska nu jämföra hur positionen hos en oscillator förhåller sig till hastighet resp acceleration.

Hastigheten ges av positionens tidsderivata:

dx/dt = Acos(t + )

Och accelerationen ges av hastighetens tidsderivata:

d2x/dt2 = -2Asin(t + )

Jämför vi accelerationen med x = Asin(t +) får vi:

d2x/dt2 = -2x (i)

eller d2x/dt2 + 2x = 0 (ii)

Denna differentialekvation kan appliceras på alla exempel inom harmonisk oscillation och har lösningen:

x = Asin(t +)

För att harmonisk oscillation ska uppstå är det tre villkor som måste uppfyllas:

•Det måste finnas ett stabilt jämviktsläge

•Ingen upplösning av energin, dvs ingen friktion.

•Från relation (i); accelerationen måste vara proportionell mot förflyttningen och ha motsatt riktning, dvs a = -2x

x

v

a

t

t

t

Kloss-fjäder systemet

Vi börjar med att titta på ett system med en fjäder vars ena ände är fäst mot en väg medan den andra änden är fäst mot en kloss (klossen kan antingen vila på ett friktionsfritt underlag eller hänga vertikalt).

Kraften som fjädern verkar på klossen med, ges av:

Fsp = -kx (i)

Från kraft ekvationen F = ma, kan vi skriva (i) som

a = -(k/m)x

Vi har nu alla villkor uppfyllda för en harmonisk oscillator. Från relationen a = –2x, fås:

= (k/m)½

Detta ger periodtiden T för den harmoniska oscillationen:

T = 2/ = 2(m/k)½ (ii)

m

AA

Exempel

En partikels position ges av x = 0.12sin(2t + /3) m. Bestäm (a) den maximala hastigheten och tidpunkten den inträffar för första gången(b) hastigheten då x = 8 cm.

Exempel

En kloss massan m = 0.5 kg är kopplad till en horisontal fjäder med fjäderkonstanten k = 50 N/m. Vid tiden t = 0.1 s är förflyttningen x = -0.2 m och hastigheten är v = +0.5 m/s. Anta att x(t) = Asin(t + ). (a) bestäm amplituden och faskonstanten. (b) Bestäm när villkoren x = 0.2 m och v = -0.5 m/s fås för första gången..

Exempel

En kloss med massan 30 g som hänger vertikalt på en fjäder, drar ner fjädern 0.16 m. Klossen dras ner ytterligare 0.08 m för att sedan släppas. (a) Uttryck ekvationen för positionen runt jämviktsläget (b) Bestäm farten och accelerationen när utdragningen är 0.1 m.

Exempel

En tyngd med massan m är kopplad med två lika långa gummiband mellan två väggar. Avståndet mellan väggarna är 2L. Visa att om tyngden ges en liten vertikalt förflyttning så kommer den att genomföra en oscillerande rörelse med vinkelhastigheten:

= (2T/mL)½, där T är dragkraften i gummibanden.

2L

Gör det själv

Förflyttningsläget av en partikel runt jämviktsläget ges av x = Acos(t – /3).

Bestäm vilka av följande uttryck är ekvivalenta:

(a) x = Acos(t + /3)

(b) x = Acos(t + 5/3)

(c) x = Asin(t + /6)

(d) x = Asin(t – 5/6)

Energi hos harmonisk oscillator

Kraften i fjädern är konservativ, det betyder att energin (om ingen riktion finns) i systemet är bevarad. Från energiprincipen kan vi undersöka klossens rörelse genom att beskriva den potentiella energin i term av harmoniska positions läget x = Asin(t +):

U = ½kx2 = ½kA2sin2(t +)

Och den kinetiska energin kan på motsvarande sätt uttryckas i termer av oscillationshastigheten v = Acos(t + )

K = ½mv2 = ½mA2cos2(t + )

Den totala energin E blir:

E = K + U = ½mA2cos2(t + ) + ½kA2sin2(t +) = [2 = k/m] = ½kA2

Den totala energin hos en harmonisk oscillator är alltså konstant och är proportionell mot kvadraten av amplituden.

Exempel

En kloss med massan 0.2 kg är kopplad till en fjäder (k = 15 N/m). Klossen hålls kvar 25 cm från fjäderns jämviktsläge. Om fjädern släpps, bestäm (a) oscillationens periodstid (b) energin (c) uttrycket för positionen, x(t).

Exempel

En kloss med massan 1.25 kg oscillerar i ena änden av en fjäder med k = 180 N/m. Vid tiden t = /20 s är positionen x = 0.15 m och hastigheten v = -2.4 m/s. (a) skriv x i fom av x(t) = Asin(t + ). (b) Bestäm den totala energin. (c) Var och när är den kinetiska energin för första gången hälften så stor som den potentiella energin.

Exempel

En 50 g tyngd är kopplad på en vertikal fjäder med k = 4 N/m. Tyngden släpps vid fjädern i sin jämviktsläge. (a) Bestäm den maximala utdragningen av fjädern. (b) Hur lång tid tar det för tyngden att nå sin lägsta läge?

Exempel

En liten låda med massan m är kopplad på en horisontal fjäder som är fäst i andra änden. Klossen oscillerar med amplituden A. När x = A så släpps en boll vertikalt ner i lådan Bollen har hälften så stor massa som lådan. Bestäm (a) amplituden (b) den totala energin (c) perioden (d) faskonstanten

Gör det själv

Visa att för varje position x i ett block-fjäder system så kan man uttrycka hastigheten:

v = ±(A2-x2)½, där är vinkelhastigheten och A är amplituden.

Pendel

Det finns tre typer av pendel, den matematiska pendeln, den fysikaliska pendeln samt torsionspendel. Vi börjar med att beskriva den harmoniska oscillationsrörelsen för den matematiska pendeln. Den matematiska pendeln består av en punktformig vikt som hänger på en tråd. Newtons kraftekvation för vikten kan skrivas som:

-mgsin = m d2s/dt2(i)

Förflyttningssträckan s kan skrivas som s = lså relationen (i) blir:

-gsin = l d2/dt2

Differnitialekvationen få då följande form:

d2/dt2 – gsinl = 0 ; för små vinklar så är sin denna approximation leder till differntialekvationen:

d2/dt2 – (gl) = 0, som ger :

= (g/l)½ och perioden T

:T = 2(l/g)½

Lösningen till differentialekvationen ges av:

0sint

0 är vinkelamplitudenmg

mgsin

s

l

Fysikalisk pendel

Om en utbredd kropp roterar fritt kring en axel som ej går genom dess masscentrum så kallas formationen för fysikalisk pendel.

Newtons kraftekvation (rotationsrörelse) för ett sådant system blir:

-mgdsin = = IIddt

Differentialekvationen (sin för små ) blir:

ddtmgd/I) = 0,

där = mgd/I)½

Och periodtiden T:

T = 2I/mgd)½

mg

d

Torsionspendel

Om ett kropp som hänger på en tråd vrids med vinkel , så kommer tråden att utsättas för en vridmoment som ges av:

= - där k är skjuvningskonstanten.

När kroppen släpps så kommer den utföra en roterande oscillationsrörelse. Ett sådant system kallas för torsionspendel. Kraftekvationen för torsionspendel ges av:

= - Id2dt2

Och differentialekvationen blir:

d2dt2 + (I)0

Med :

= (I)½

Och periodtiden T:

T = 2(I/)½

Exempel

En matematisk pendel har längden 1.2 m och en tyngd på 50 g. Pendelns vinkelamplitud är 0.34 rad. Bestäm (a) tiden det tar att pendla mellan -0.2 rad till 0.2 rad (b) energin (c) maximala hastigheten hos tyngden.

Exempel

En likformig stav med längden 60 cm roterar fritt kring en axel 10 cm från mittpunkten. Bestäm periodtiden för oscillationen. I för staven är ML2/12.

Exempel

En torsionspendel består av en stav som är kopplad vid mittpunkten. Staven gör en hel period på 0.9 s. Hur lång skulle perioden bli om man ersatte staven med en annan stav som har dubbel så stor massa och hälften så stor längd. I för stav ät ML2/12.

Gör det själv

En matematisk pendel som har längden 10/(2)2 släpps från en vinkel på /10 rad mot vertikalen. Bestäm (a) periodstiden (b) hastigheten vid lägsta punkten (c) den totala energin om massan på tyngden är 40 g. Räkna med g =10 m/s2.