föreläsning 1 elastisk deformation
DESCRIPTION
Föreläsning 1 Elastisk deformation. Stefan Jonsson 2000-10-30. Töjning. Töjning. Töjning. Elastisk Töjningsenergi. Skjuvning. y. x. g yx. h 0. x. y. x. Elastisk skjuvningsenergi. y. x. g yx. h 0. x. z. z. y. y. x. x. Elastisk energi vid godtyckligt spänningstillstånd. - PowerPoint PPT PresentationTRANSCRIPT
![Page 1: Föreläsning 1 Elastisk deformation](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081503/56812eab550346895d944c0c/html5/thumbnails/1.jpg)
Föreläsning 1 Elastisk deformation
Stefan Jonsson
2000-10-30
![Page 2: Föreläsning 1 Elastisk deformation](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081503/56812eab550346895d944c0c/html5/thumbnails/2.jpg)
Töjning
![Page 3: Föreläsning 1 Elastisk deformation](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081503/56812eab550346895d944c0c/html5/thumbnails/3.jpg)
Töjning
![Page 4: Föreläsning 1 Elastisk deformation](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081503/56812eab550346895d944c0c/html5/thumbnails/4.jpg)
Töjning
![Page 5: Föreläsning 1 Elastisk deformation](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081503/56812eab550346895d944c0c/html5/thumbnails/5.jpg)
Elastisk Töjningsenergi
![Page 6: Föreläsning 1 Elastisk deformation](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081503/56812eab550346895d944c0c/html5/thumbnails/6.jpg)
Skjuvningx
h0
yx
x
x
y
y
![Page 7: Föreläsning 1 Elastisk deformation](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081503/56812eab550346895d944c0c/html5/thumbnails/7.jpg)
Elastisk skjuvningsenergi
x
h0
yx
y
x
![Page 8: Föreläsning 1 Elastisk deformation](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081503/56812eab550346895d944c0c/html5/thumbnails/8.jpg)
Elastisk energi vid godtyckligt spänningstillstånd
dW=xxdxx + yydyy + zzdzz + xydxy+yzdyz+zxdzx
y
z
x
y
z
x
![Page 9: Föreläsning 1 Elastisk deformation](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081503/56812eab550346895d944c0c/html5/thumbnails/9.jpg)
h0
x
00
)arctan(hx
hx
Enkel skjuvning
![Page 10: Föreläsning 1 Elastisk deformation](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081503/56812eab550346895d944c0c/html5/thumbnails/10.jpg)
xy=yx och xy=yx
x
h0
yx
y
x
y
x
Stel
![Page 11: Föreläsning 1 Elastisk deformation](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081503/56812eab550346895d944c0c/html5/thumbnails/11.jpg)
x
y
x
y
x
yexy=eyx exy=-eyx exy=
eyx=0
Ren skjuvning Ren rotation Enkel skjuvning
![Page 12: Föreläsning 1 Elastisk deformation](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081503/56812eab550346895d944c0c/html5/thumbnails/12.jpg)
Hooks generaliserade lag för isotropa material
xzzxxzzx
zyyzzyyz
yxxyyxxy
yxzz
xzyy
zyxx
GG
GG
GG
TE
TE
TE
11
11
11
)(1
)(1
)(1
T ger ingen skjuvning i isotropa material
![Page 13: Föreläsning 1 Elastisk deformation](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081503/56812eab550346895d944c0c/html5/thumbnails/13.jpg)
y
z
x
)(21
0zyxzyx EV
V
L0z
Lz )1(0
0
0
zzz
z
zzz
LL
LLL
Elastiska volymsförändringar
![Page 14: Föreläsning 1 Elastisk deformation](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081503/56812eab550346895d944c0c/html5/thumbnails/14.jpg)
Hydrostatiskt tryck
p
Bp
pE
EVV
zyx
)()21(3
)(21
0
)(31
0zyxBV
V
pzyx )(31
Första spänningsinvarianten
![Page 15: Föreläsning 1 Elastisk deformation](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081503/56812eab550346895d944c0c/html5/thumbnails/15.jpg)
Poissons konstant)(
)21(3
0
pEV
V
=0.5V=0
>0.5V>0 , orimligt!
Hydrostatiskt tryck:
x
y
P
P
P
=0y=-x =0
<0y=-x >0
0<<0.5y=-x <0
![Page 16: Föreläsning 1 Elastisk deformation](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081503/56812eab550346895d944c0c/html5/thumbnails/16.jpg)
Spänningstillstånd
y
x
h
tanh
cosh
yy
xx
xy
xy
2cos2sin2
cossin2sincos 22
xyxxyy
xyyyxx
![Page 17: Föreläsning 1 Elastisk deformation](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081503/56812eab550346895d944c0c/html5/thumbnails/17.jpg)
Härledning allmänt Spänningstillstånd
![Page 18: Föreläsning 1 Elastisk deformation](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081503/56812eab550346895d944c0c/html5/thumbnails/18.jpg)
Härledning allmänt Spänningstillstånd
![Page 19: Föreläsning 1 Elastisk deformation](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081503/56812eab550346895d944c0c/html5/thumbnails/19.jpg)
Mohrs spänningscirkel
(1 ,0)(2 ,0)
(x ,xy)
(y ,-xy)
R ( ,)
22
R
R
yx
yx
)(21
)(21
2
1
2
2
2
22cos
2sin
xyyx
yx
xy
R
R
R
![Page 20: Föreläsning 1 Elastisk deformation](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081503/56812eab550346895d944c0c/html5/thumbnails/20.jpg)
Treaxligt spänningstillstånd
123
)(21
31max
3<2<1
1
2
3
![Page 21: Föreläsning 1 Elastisk deformation](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081503/56812eab550346895d944c0c/html5/thumbnails/21.jpg)
Sfäriskt spänningstillstånd
3=2=1
![Page 22: Föreläsning 1 Elastisk deformation](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081503/56812eab550346895d944c0c/html5/thumbnails/22.jpg)
Cylindriskt spänningstillstånd
13=2
![Page 23: Föreläsning 1 Elastisk deformation](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081503/56812eab550346895d944c0c/html5/thumbnails/23.jpg)
Plant spänningstillstånd
12=
13= 2
3
23
1=
Fri ytteryta
Membran
![Page 24: Föreläsning 1 Elastisk deformation](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081503/56812eab550346895d944c0c/html5/thumbnails/24.jpg)
Plant töjningstillstånd
y
x
z=0 z=(x+y)
![Page 25: Föreläsning 1 Elastisk deformation](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081503/56812eab550346895d944c0c/html5/thumbnails/25.jpg)
Inre energi
ji
ijrUU,
)(21
r
drrRrArU )()()(
![Page 26: Föreläsning 1 Elastisk deformation](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081503/56812eab550346895d944c0c/html5/thumbnails/26.jpg)
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
r/r0
Interaktion mellan 2 atomer
![Page 27: Föreläsning 1 Elastisk deformation](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081503/56812eab550346895d944c0c/html5/thumbnails/27.jpg)
Periodisk interaktion
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
r/r0
![Page 28: Föreläsning 1 Elastisk deformation](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081503/56812eab550346895d944c0c/html5/thumbnails/28.jpg)
Elastisk anisotropi
<100>
<110>
![Page 29: Föreläsning 1 Elastisk deformation](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081503/56812eab550346895d944c0c/html5/thumbnails/29.jpg)
Inre energi och E-modulen
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
r/r0
![Page 30: Föreläsning 1 Elastisk deformation](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081503/56812eab550346895d944c0c/html5/thumbnails/30.jpg)
![Page 31: Föreläsning 1 Elastisk deformation](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081503/56812eab550346895d944c0c/html5/thumbnails/31.jpg)
![Page 32: Föreläsning 1 Elastisk deformation](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081503/56812eab550346895d944c0c/html5/thumbnails/32.jpg)
L0
d0
L=L0(1+x)
d=d0(1+y)=d0(1-x)
Enkristall
Textur
Oordning
x=Ex
![Page 33: Föreläsning 1 Elastisk deformation](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081503/56812eab550346895d944c0c/html5/thumbnails/33.jpg)
Elastiska konstanter, 2 oberoende
)21)(1(
)21(3
)(2
)1(2
23
E
EB
EG
E Elasticitetsmodul
Skjuvmodul
Poissons tal (Lamés konstant)
Bulkmodul, Kompressionsmodul
Lamés konstant