flujo de fluidos a travÉs de un medio...

FLUJO DE UN FLUIDO

A TRAVÉS DE UN

MEDIO POROSOCURSO: MODELACIÓN MATEMÁTICA

COMPUTACIONAL DE SISTEMAS TERRESTRES I

POSGRADOS: CIENCIAS DE LA TIERRA Y

CIENCIA E INGENIERIA DE LA COMPUTACIÓN

AUTOR: GUILLERMO DE J. HERNÁNDEZ G. UNAM

1. SUPUESTOS BÁSICOS DEL MODELO DE FLUJO

1. SUPUESTOS BÁSICOS DEL MODELO DE FLUJO

Los supuestos generalmente adoptados para modelos de flujo de fluidos en un medio poroso son:

• El medio poroso es saturado por el fluido;

• La matriz sólida permanece en reposo durante el proceso de flujo de fluido;

• La matriz sólida es elástica;

• El fluido es compresible;

• Las velocidad de las partículas de fluido cumple con la ley de Darcy:

• La masa de fluido se conserva;

• El fluido no está sujeto a procesos de difusión, τ = 0.

2. EL MODELO BÁSICO PARA

EL FLUJO DE UN FLUIDO

A TRAVÉS DE UN MEDIO POROSO

2. EL MODELO BÁSICO PARA EL FLUJO DE UN FLUIDO A TRAVÉS DE UN MEDIO POROSO

.,, producto el es modelo este de

única extensiva propiedad lascon asociada intensiva

propiedad La fluido. del densidad la es , Donde

,,

fluido. del masa la

:extensiva propiedad una soloen basado es modelo El

txtx

tx

dxtxtxtMtB

f


0

a reduce se

modelo delecuación la 0, = g sistema, elen masa

genera se no que asumiendoy 0, = separadas, especies

hay no porquedifusión a sujeto está no fluido El

:es poroso medioun de travésa fluidoun de flujo el

para básico matemático modelo el tantoloPor

vt

gvt


UvvU

Uv

gvt

1;

por asrelacionadson que es, velocidad

dos estas entre distinción laen cuidadoponer necesario Es

. Darcy, de velocidadlay , ,partículas las de velocidadla

:definidasser pueden es velocidadde clases Dos

:0 g

caso cuyoen as,distribuid externas fuentes incorporan se

entefrecuentem pozospor inyección o extracción para

asubterráne agua de regional flujo de estudiosEn


incógnita. estado de variablesola una

tienefinalecuación la , velocidadla a aplicada estado de

variablemisma la de sen término en y en cambios los

describir paraaplican se vasconstituti relaciones otras Cuando

. ,hidráulica carga la presión, de estado de

variablela víarepresenta se velocidadla que laen ecuación

una a conduce modelo elen Darcy deley la den sustitució La

h

3. MODELADO DE LA

ELASTICIDAD Y LA

COMPRESIBILIDAD

3. MODELADO DE LA ELASTICIDAD Y LA COMPRESIBILIDAD

• Bajo los supuestos dados, el producto ερ de las ecuaciones anteriores es función de la presión, exclusivamente. Para la aplicación de esas ecuaciones es necesario hacer más explícita la dependencia del producto ερ de la presión del fluido. En particular, la meta del siguiente desarrollo es expresar la derivada respecto al tiempo ερ en términos de la derivada de la presión respecto al tiempo.

• Entonces procedemos a descomponer la derivada respecto al tiempo de ερ en dos contribuciones: una debida a la compresibilidad del fluido y la otra debida a la elasticidad de la matriz sólida.


Tal descomposición es inmediata a continuación cuando

la fórmula para la derivada de un producto es aplicada:

Aquí el término produce una contribución de la

compresibilidad del fl

t t t

t

uido, mientras que el término

produce una contribución de la elasticidad de la

matriz sólida en su conjunto (no únicamente los

granos individuales).

t


Compresibilidad del fluido

• Aquí se hará uso de del supuesto de que el fluido

satisface una ecuación de estado, que permite

expresar la densidad como función de la presión,

ρ(p), exclusivamente.

• Por otro lado, en el procedo de flujo de un fluido la

presión es función de la posición x, y el tiempo t. No

obstante, el fluido se asume homogéneo, es decir,

satisface la misma ecuación de estado en cada punto

del espacio y del tiempo.



1

por definido es cual el

fluido, del el representa Donde

11

:por definido es enteexplícitam másy ,

como conocido es cual el , parámetro el defineecuación Esta

:que implica cual Lo

,

por dada es tiempodely posición la defunción como densidad La

V

pecíficovolumen esV

dp

dV

Vdp

d

fluidolidad del compresibi

t

p

t

p

dp

d

t

txp



1

representa el del fluido, definido por

Lo cual, en palabras, es:

que el volumen específico es el volumen por unidad de masa.

En las anteriores definiciones se ha usado la sigui

V volumen específico

V

1

ente relación

1 ln ln ln 1d d d d V dV

dp dp dp dp V dp


Compresibilidad de poro

• El siguiente análisis es para entender el proceso que produce y determina la compresibilidad de la matriz sólida.

• Sea ptot la presión total (fuerza por unidad de área) atribuible al sistema sólido fluido (asumiendo estado de estrés isotrópico).

• Parte del sistema es soportado por la matriz sólida y la otra por el fluido. La notación pef (presión efectiva) es usada para el soporte provisto por la matriz sólida.

• Entoncesppp eftot



• La magnitud de ptot depende de las condiciones del ambiente que rodea al sistema medio poroso -fluido. Por ejemplo, si tal sistema lo constituye el suelo en el cual un edificio es localizado, ptot va a cambiar si el edificio es removido.

• En el análisis que sigue se asume que las condiciones del ambiente que rodea el sistema poro-fluido no cambia, y la presión total no cambia durante el tiempo considerado en el análisis.

ppp eftot



• En problemas considerados en mecánica de

suelos e ingeniería de cimentaciones consiste

en estudiar las modificaciones en la distribución

de la presión del fluido producida por un

cambio en ptot debida a, por ejemplo, a la

construcción de obras civiles como edificios.

• Un análisis similar no incluido aquí, puede ser

aplicado a tal problema.

ppp eftot



Cuando el supuesto adoptado es que es independiente

del tiempo, cualquier cambio en la presión del fluido es

acompañado por un cambio en la presión efectiva.

Esta observación implica que:

tot

ef

p

p p 0

Aquí el símbolo es para indicar incremento o cambio:

cuando la presión de poro tiene un incremento, la

presión efectiva sufre decremento, y el poro se expande.

totp



-1

-1

tot

La siguiente notación será usada a continuación:

densidad del material sólido

volumen específico del sólido

densidad de la matriz sólida

volumen específico de la matríz sólida

S

S

tot

tot

V

V

Las compresibilidades de la matriz sólida y

compresibilidad de los gramos sólidos son dadas por:

1 1 y

Se observa que

11 y

1

tot

S

tot S Stot S S

tot ef S ef ef

tot S tot

S

dV dV d

V dp V dp dp

V



1

ecuaciónanterior la usando escribirse puedeecuación Esta

11

:por términosegundo el

dividiendoy ndomultiplicay relación esta Derivando

11

1

identidad siguiente lacon inicia se análisis El

totS

tot

S

totS

ef

ef

S

stot

S

ef

tot

tottot

S

ef

S

tot

S

S

S

V

V

dp

d

dp

dV

VV

V

dp

dV

VV

V

dp

d

V

V

V



sólida. matriz la forma que sólido material del volumen el

en cambio el quemayor mucho es poros devolumen

elen cambio el cuando cumple secondición Esta

1

:desprecia se entoncesy , Usualmente

1

entonces Y

1

anterior lo De

t

p

dt

d

t

p

t

p

dp

d

dt

d

dp

d

dp

d

tot

SStot

Stot

Stot

ef


Coeficiente de almacenamiento

ρq g

g

qgvgt

pS

ionaln gravitacaceleracióg

gS

S

t

p

dt

d

S

StotS

S

Stot

subtrránea hidrologíaen usual es que forma unapor

sustituida sido ha , masa, de externo suministro derazón la donde

ˆˆ

como ahora que planteada teinicialmen balance deecuación La

la es ˆ donde

1ˆ

como definido es , , específico entoalmacenami de ecoeficient El

1

así queda producto del derivada la ,anteriores resultados losCon

4. LEY DE DARCY

4. LEY DE DARCY

• Esta ley es una ecuación constitutiva que relaciona la velocidad del fluido y la distribución espacial de presión del fluido.

• Fue establecida en el siglo diecinueve por el ingeniero francés Henri Darcy para flujo saturado unidimensional a través de arena, y desde entonces ha sido generalizada para considerar regímenes de flujo más complicados;

• en forma generalizada, también es ahora usada para describir flujo multifásico en medios porosos anisotrópicos. Aquí consideramos el caso en que el fluido tiene solo una fase; el flujo multifásico se discute en temas avanzados.

4. LEY DE DARCY

• Generalmente, cuando la matriz sólida es anisotrópica, el

medio poroso tiene direcciones preferenciales para el flujo de

fluidos. En este caso general, la Ley de Darcy para un fluido

monofásico es dado por la ecuación

Darcy de velocidadla es

el es

fluido del cos la es

)(un vector gravedad la a debidan aceleració la es ˆ

donde

ˆ1

U

intrínsecadadpermeabilitensor de k

dinámicaidadvis

g

gpkvU

4. LEY DE DARCY

• El tensor de permeabilidad intrínseca, k es una matriz simétrica y positiva definida.

• Es notable la similitud entre esta la ley de Darcy y las Leyes de Fourier(flujo de calor) y de Fick (flujo de masa de soluto). Sin embargo en la ley de Darcy, la fuerza de la gravedad juega un papel especial, algo que no sucede en las otras dos leyes.

• También debe notarse que en flujos en los que la ley de Darcy aplica, la presión del fluido es siempre continua. Esto es necesario porque de otra forma el gradiente de la presión sería de magnitud infinita, y también lo serían las velocidades del fluido.

4. LEY DE DARCY

• Según se estableció la ecuación aplica en el caso

general en que la matriz porosa puede ser

anisotrópica.

• En el caso particular en que la matriz sólida es

isotrópica no hay direcciones preferenciales de flujo

debidas a la matriz porosa, y el tensor de

permeabilidad intrínseca tiene la forma

Ikk

4. LEY DE DARCY

0. >k si soloy si definido positivo

es intrínseca dadpermeabili de tensor El

escalar.un esk intrínseca dadpermeabili la

forma la tieneintrínseca dadpermeabili

de tensor el ,isotrópica es sólida matriz la Si

Ikk

4. LEY DE DARCY

Dado un punto cualquiera del espacio físico,

entonces ( ) es la elevación con respecto

a un nivel de referencia dado.

La aceleración debida a la gravedad es

ˆ ˆ

ˆdonde es la magnitud de la ace

x

z x

g g z

g

leración

de la gravedad. Usando esta ecuacion obtenemos

1ˆU k p g z

4. LEY DE DARCY

Darcy de velocidadlaexpresar para petrolera industria la

en usadas comúnmenteson para ecuaciones anteriores Las

ˆ1

:isotrópica es sólida matriz la cuandoy

;3,2,1;ˆ

:indicialnotación usando

ˆ1

:esDarcy deley la paraecuación La

3

2

1

U

zgpkU

U

U

U

Uix

zg

x

pkU

zgpkU

jj

ij

i

5. NIVEL PIEZOMÉTRICO

5. NIVEL PIEZOMÉTRICOCuando se modela el flujo a través de medios porosos, especialmente

en el estudio de la hidrología del agua subterránea, el concepto de

es muy útil.

Para su int

carga piezométrica o nivel piezométrico

0

roducción, se puede iniciar con la definición de una función

auxiliar:

1,

ˆ

cuando el fluido es incompresible, ( ) es una constante independiente

de y entonces la ecuación queda como:

p

p

dH p z z

g

H p

0,ˆ

p pz z

g


xzg

ptxptxh

xzd

gtxh

xztxpHtxh

,t)xh(

xt

txp

p

ˆ

,,

bleincompresi es fluido el cuando

ˆ

1,

enteexplícitam más o

,,,

:como , co,piezométri nivel el definimos saturado,

poroso medioun de puntocualquier y tiempocualquier En

0

,

0


t

hg

t

p

ˆ

escribir podemosanterior ecuación laen baseCon

a.subterráne hidrologíaen usada eampliament esecuación última la

esto a Debido normales. scondicione bajo ecompresibl poco es agua El


hKU

kg

K

licadad hidráuconductivitensor de

hkg

U

hgzgp

comoescribir puede se previaecuación lay

ˆ

como definido es el donde

ˆ

como escritaser puedeDarcy deley La

ˆˆ

:es extensivo, usosu motiva vez

su a que co,piezométri nivel del importante propiedad Otra


Darcy. de velocidadlaexpresar para asubterráne hidrologíaen

usadas comúnmenteson para ecuaciones anteriores Las

:isotrópico caso al aaplicándoly

ˆ

como definida es lay

ˆ

,isotrópica es sólida matriz la Cuando

U

hKU

kg

K

ulicaidad hidrá conductiv

IKIkg

K

6. ECUACIÓN GENERAL

GOBERNANTE PARA EL FLUJO A

TRAVÉS DE UN MEDIO POROSO

6. ECUACIÓN GENERAL GOBERNANTE PARA EL FLUJO A TRAVÉS DE UN MEDIO POROSO

qUUt

hS

qUt

hS

t

hg

t

pqgvg

t

pS

S

S

S

ln

es que

:producen n,combinacióen que mismas

ˆ,ˆˆ

:ecuaciones siguientes las obtuvieron se previas secciones lasEn

1


Cuando el fluido es poco compresible y la velocidad de Darcy moderada

ln 1 y entonces

.

Este resultado es usado para derivar modelos de flujo de un fluido monofásico

en un medio poroso

S

U

hS U q

t

. Cuando la ley de Darcy se incorpora en la anterior ecuación

se obtiene

.

Esta es la ecuación diferencial básica que es usada extensivamente en aplicaciones,

particularmente de hidrolog

S

hS K h q

t

ía subterránea.


Cuando el medio poroso es isotrópico:

.

Si la matriz sólida es homogénea, sus propiedades son independientes de la posición:

S

S

hS K h q

t

hS

t

Formas especiales de la ecuación diferencial gobernante

2

2

.

O aplicando la notación :

.

Que a su vez puede ser escrita como:

.K

donde .

S

S

K h q

hS K h q

t

h qh

t

K S


La ecuación tiene interés desde la perspectiva del análisis dimensional

y de similaridad, si por un cambio de variable, en el que ,

puede ser transformada en la ecuación del calor, cuando 0:

αt t

q

h

t

0

Otro caso de interés especial es cuando el sistema fluido- poro es incompresible.

Entonces 0:

.

y .

y K.

Por otro lado, en problemas de estado estacionario, la derivada respe

S

h

S

K h q

K h q

h q

cto al tiempo

se anula y las anteriores ecuaciones también se aplican.

7. PROBLEMAS BIEN

PLANTEADOS

7. PROBLEMAS BIEN PLANTEADOSIntroducción

• La clase de problemas que son bien planteados para

los modelos es determinada por el tipo de ecuación

diferencial gobernante. En el caso de flujo a través de

medios porosos, dos tipos de ecuaciones diferenciales

serán encontradas: parabólicas y elípticas. Para el

caso dado por la ecuación

.qhKt

hSS


• La anterior es una ecuación diferencial parcial parabólica, siempre

que SS > 0, porque el tensor de conductividad hidráulica, K, es

siempre una matriz positiva definida.

• Sin embargo cuando SS = 0 y para modelos de estado estacionario, la

ecuación diferencial gobernante se reduce a una ecuación diferencial

parcial de tipo elíptico. Estos dos tipos de ecuación también ocurren

cuando se estudia el transporte de solutos por un fluido libre descrito

en el capítulo correspondiente y, consecuentemente, la discusión

siguiente es muy similar a la presentada allí.

• Sin embargo, a pesar de las similitudes entre los modelos

matemáticos gobernando estos dos tipos de sistemas hay diferencias

significativas entre la física que debe ser entendida.


• La ecuación gobernante para transporte de un soluto por un fluido libre es

de tipo parabólica; cuando es comparada con la de flujo exhibe diferencia

relevantes que reflejan los dientes principios físicos que intervienen.

• Una muy importante, que tiene implicaciones significantes en su

tratamiento numérico y en las propiedades de las soluciones numéricas

resultantes, es el hecho de que la ecuación de transporte tiene un término de

advección (o convección), cv, que está ausente en la ecuación de flujo.

• Debido a este hecho, el operador diferencial envolviendo las coordenadas

espaciales asociadas con la ecuación de flujo es un operador simétrico,

mientras que es no-simétrico para la ecuación de transporte.

• El coeficiente de la derivada de segundo orden es el escalar D, en la

ecuación de transporte, mientras que es una matriz K en la ecuación de

flujo.

7. PROBLEMAS BIEN PLANTEADOSModelos de estado estacionario

• Para empezar, se considerarán los problemas bien planteados

para modelos para estado estacionario, para los cuales las

ecuaciones diferenciales gobernantes son de tipo elíptico. En

este caso los problemas bien planteados son problemas de

valores a la frontera que buscan obtener una función h(x) que

satisfaga las ecuaciones gobernantes para flujo estacionario en

un dominio Ω en el espacio físico y que satisface condiciones

de frontera en su frontera ∂Ω.


frontera la de travésa dominio del fuera fluye que

área, de unidadpor co volumétriflujo el es

1

,

:forma siguiente lacon

; como conocida una

es frontera decondición de clase general más La

ecuación la Para

22

nxU

xxxhxnxU

a Robinde frontercondición

qhK


xxxhxn

hK

xxxhxxhKn

,

isotrópico es poroso medio el Cuando

,

:sustituye seDarcy deley la Si


xxnxU

xxhxh

,

esecuación su y

0)=( dogeneralizaNeumann problema al ecorrespond Robin, de

dageneraliza frontera decondición la de extremo caso otro El

,

esecuación su y 0)=(Dirichlet problema al ecorrespond Una

Robin. de

dageneraliza frontera decondición la de extremos casos dosHay

prescrito ovolumétric flujo con Problemas

prescrita capiezométri carga con Problemas

7. PROBLEMAS BIEN PLANTEADOS

Problemas dependientes del tiempo

• La ecuación diferencial gobernante para problemas

dependientes del tiempo cuando SS>0 es parabólica. Entonces

los problemas bien planteados problemas con valores iniciales

y de frontera, que buscan una función h(x,t) que satisfaga la

ecuación de transporte en el dominio Ω, junto con condiciones

de frontera definidas en un intervalo de tiempo especificado.

• Estas condiciones de frontera pueden ser cualquiera de las

definidas para estado estacionario. Además la función h(x,t)

debe satisfacer adicionalmente las condiciones iniciales

xxhxh ,0, 0

8. MODELOS CON UN NÚMERO DE

DIMENSIONES ESPACIALES REDUCIDO

8. MODELOS CON UN NÚMERO DE DIMENSIONES ESPACIALES REDUCIDO

Introducción• En toda la discusión hasta aquí, el espacio físico ha sido

modelado como un espacio euclidiano tridimensional (3-D).

En algunos problemas de ingeniería y ciencia es útil aplicar

modelos bidimensionales y unidimensionales, esto se justifica

por razones que dependen del problema considerado.

• Por ejemplo en hidrología subterránea las dimensiones

horizontales de los acuíferos son frecuentemente mucho

mayores que su espesor y, cuando se estudian, las variaciones

de parámetros como carga piezométrica en la dirección vertical

son tan pequeñas que pueden ser despreciadas.

• Para el uso de los modelos simplificados en forma

confiable se necesita información sobre su rango de

aplicabilidad, que se adquieren por medios teóricos o

empíricos. Frecuentemente el análisis teórico de los

errores introducidos por modelos con un número de

dimensiones reducido es tan complicado que no es

práctico llevarlo a cabo, y entonces los únicos medios

para establecer los rangos de aplicabilidad son

empíricos.


Introducción

• Hay unos pocos modelos de dimensión

reducida que son basados en completos y poco

complicados fundamentos teóricos. A

continuación se describe un ejemplo cuyo

análisis es también útil para introducir e

ilustrar en forma natural algunas ideas y

conceptos que son básicos para esa clase de

modelos.


Introducción

• Considérese el acuífero

confinado de la figura, los

siguientes supuestos son

adoptados:

1. Su espesor es uniforme;

2. El acuífero es verticalmente

homogéneo (las propiedades del

material que constituyen la

matriz sólida no dependen de su

coordenada vertical;


Derivación teórica de un modelo bidimensional para un acuífero confinado

3. La dirección vertical es un eje de

simetría para el tensor de

conductividad hidráulica (es decir,

cualquier vector en la dirección

vertical es un vector propio de la

matriz de conductividad hidráulica); y

4. El estrato que constituye el acuífero es

limitado por dos estratos de baja

permeabilidad y sobreyaciendo y

subyaciendo (es decir, el acuífero es un

acuífero confinado)



b.z0 que el para

espacio delporción esa ocupa acuífero el que Asumimos

z

definimos,,por dado es espacio del punto cada

cual elen Cartesiano scoordenada de sistemaun Tomando

3

321

x

xxxx

qz

U

x

U

t

hS

bUUnxU

a

S

32

1

33

así escribe se flujo deecuación la Ahora

00 entonces ,0 si Entonces





dzqQybdzSS

da de áreado por unital extraivolumen to

enamientoe de almaccoeficient

dzqdzx

Udzh

tS

U

bzz

bb

S

bb

a

b

S

00

0

2

100

por dadosson

ely El

para sexpresione lascon y

, hasta 0 desdeecuación la Integrando



. la es donde

:es hidráulica dadconductivi

de tensor del simetría la asumiendo Darcy, deley La

1;

1

:por dadasson

promedio velocidadlay promedio capiezométri carga La

esdefinicion las Usando

2

1

ntaldad horizoconductiviK

x

hKU

dzUb

Uyhdzb

h

Qx

Ub

t

hS

H

H

b

o

b

o

a



H

aa

bKT

Tilidadtransmisib

Qx

hT

xt

hS

es,, la donde

en a transformse flujo deecuación laanterior loen baseCon

2

1



• La ecuación de flujo obtenida es una ecuación

exacta para la carga promedio y de allí que

cuando es sujeta a condiciones inicial y de

frontera apropiadas, hace posible en principio,

obtener los valores exactos de la carga promedio.

Cuando las variaciones de carga a través del

espesor del acuífero son pequeñas, su promedio

vertical constituye una buena aproximación de suvalor en cualquier punto a través del acuífero.

8. MODELOS CON UN NÚMERO DE DIMENSIONES

ESPACIALES REDUCIDO

Método para flujo de acuitardos filtrantes


ESPACIALES REDUCIDO


• En 1960 M. S. Hantush planteó la posibilidad de que el

material sobre la frontera superior de un acuífero pueda ser

permeable, y de permeabilidad baja (de un acuitardo). Bajo

estas circunstancias el agua puede entrar al acuífero a través

de filtración vertical.


ESPACIALES REDUCIDO


• En la figura se ilustra el sistema cuyo análisis se toma de

Pinder y Celia, 2006. En el sistema el acuífero es limitado por

arriba por una capa de baja permeabilidad (capa A). Esta capa

es capaz de proveer agua al acuífero vía filtración vertical. La

base del acuífero limitada también por una capa de baja

permeabilidad (capa B).


ESPACIALES REDUCIDO


• Bajo este acuitardo hay una capa casi impermeable. Se asume

que el agua en as capas de baja permeabilidad se mueve solo

verticalmente. Sobre la capa A hay un acuífero sin bombeo que

mantiene una carga constante durante la prueba de bombeo. Se

asume que el acuífero es de espesor constante, de extensión

infinita y homogéneo.


ESPACIALES REDUCIDO


mente.respectiva

B,y A capas las de shidráulica dadesconductivi lasson y donde

0,,1

,

:obtenida la varianteuna es sistema el describe que flujo deecuación La

2

2

KK

z

h

T

K

z

h

T

Ktrh

tT

Strh

rrtrh

r

BA

mente.respectiva

B,y A capas las de entoalmacenami de escoeficient losson y donde

0,,

0,,

:acuitardo elen carga de oriaón transitdistribuci ladescribir

para usa se osubterráne flujo deecuación la de onalunidimensi forma La

SS

tzhzz

tzhtbK

S

tzhzz

tzhtbK

S

BB

AA


ESPACIALES REDUCIDO


• La solución de este conjunto de ecuaciones

requiere condiciones iniciales y de frontera

paracada una de las variables de estado h, hA y

hB. Se define al abatimiento s=H-h y sn=Hn-hn,

donde n=A, B; y H, y Hn son los valores de

carga inicial del sistema. Las condiciones de

frontera y las condiciones iniciales se pueden

establecer a continuación:


ESPACIALES REDUCIDO


figura. laen definen se ,,,, donde

,,,

es base laen y

0,,

es frontera decondición lasuperior acitardo el Sobre

00,,

es inicialcondicion lasuperior acuitardo el Para

4321

3

4

zzzz

trstzrs

tzrs

zrs

A

A

A

T

Q

r

sr

trs

r

r

r

2lim

es pozo deln perforació pequeña nteinfinitame elen frontera decondición La

0,lim

es en frontera decondición lay

0r,0s

es inicialcondición la acuífero el Para


ESPACIALES REDUCIDO


• El significado físico de esta relación se ve por la

multiplicación cruzada de r y T. ahora se puede ver que el flujo

al pozo es balanceado por el flujo a través del perímetro del

pozo, con una circunferencia de 2πr.

0

,,s

es base laen y

,,,

es )( frontera decondición lainferior acuitardo del topeelEn

.00,,

es inicialcondición la inferior, acuitardo el Para

1B

1

2

2

z

tzr

zz

trstzrs

zz

zrs

B

B


ESPACIALES REDUCIDO


• Una solución para tiempos cortos a este sistemas de ecuaciones fue

sugerido por Hantush y es discutido por Batu, 1998.

2

1

2

12

4;

4

erfc,

,4

essolución la de forma La

1010

son rtos tiemposcoparasolución la de aplicación la para necesarias scondicione Las

2

1

2

1

TSb

SK

TSb

SKr

Tt

Sru

dyuyy

u

y

euH

donde

uHT

Qr,tS

rK

Sbyr

K

Sb

u

y


ESPACIALES REDUCIDO

Aproximación de ecuaciones integrodiferenciales

• La aplicabilidad de de las soluciones de Hantush es restringida a periodos cortos de tiempo. Esta clase de solución analítica es útil en hidrología subterránea cuando el análisis de un solo pozo se lleva a cabo, tal como en interpretación de pruebas de bombeo, en las cuales la restricción de tiempos cortos es frecuentemente satisfecha. Neuman y Witherspoon(1969) desarrollaron una solución que no está sujeta a tales restricciones. Por otro lado, los cálculos de filtraje transitorio son necesarios en el análisis de sistemas acuíferos regionales en el cual el flujo del agua subterránea en unidades confinantes es una componente significativa del total del balance de agua.


ESPACIALES REDUCIDO


• En tales casos hay que apoyarse con códigos computacionales basados en modelos numéricos (Leake, S. A., P. Leahy, A. S. Navoy, 1994). Un minucioso y profundo estudio basado en ecuaciones integrodiferenciales, que ha sido una base para la construcción de modelos numéricos regionalesdesistemas acuíferos semiconfinados fue introducido y desarrollado por Herrera y colaboradores:Herrera, I. y V. Figueroa,1969; Herrera, I, 1970; Herrera, I and L. Rodarte , 1973; Herrera, I, 1974; Herrera, I and R. Yates,1977; Herrera, I, J.P. Hennart and R. Yates, 1980.


ESPACIALES REDUCIDO


• Aquí se explicará la aproximación por ecuaciones

integrodiferenciales para el sistema de dos acuíferos

separados por un acuitardo mostrado en la figura. Por

simplicidad se discutirán solo las ecuaciones que

gobiernan el acuífero 1, y similares ecuaciones aplican

al acuífero 2.


ESPACIALES REDUCIDO


0

2

2

2

21

que implica flujo deecuación la acuíferoprimer el para

, o,abatimient del sen término que implica flujo deecuación La

z

L

L

z

s

T

KQcon

Qy

s

x

s

t

s

s

tyxstbyxstyxstyxs

zyxs

bztt

s

z

s

tzyxs

,,,,,,,,,0,,

,00,,, donde

0,0,1

scondicione las satisface ,,,

2

2

2


ESPACIALES REDUCIDO


bzzvzu

ttvtbu

tvtu

tzvytzudonde

dtzvtyxt

sdtzutyx

t

stzyxs

tyxstyxs

tt

0,00,,00,

0,1,0,0,

0,0,1,0

a sujetasy anterior

ecuación lacon cumple que auxiliares funcionesson ,,

,,,,,,,,,

:1973) Rodarte,y Herrera(ver

Duhamel de integrales las de mediopor expresadaser puedesolución su

planteado;bien está definido problema el dados,son ,,y ,, Cuando

2. acuífero al refiere se 2 subíndice ely

acuitardo, del spropiedade distinguir para usadasson primas las siguiente loEn

0

2

0

2


ESPACIALES REDUCIDO


,0,0

,,,,,,

1973 I., Herrera, véaseecuación anterior la mediante

s evaluandoy para dada definición la Aplicando

(1973), Rodartey Herreraen dada es

frontera dey iniciales valoresde problemas estos desolución La

22

0

22

0

2

0

z

vbbtgy

z

ubbtf

donde

dbthtyxt

s

bT

Kdbtftyx

t

s

bT

KtyxQ

zQ

tt

L

zL


ESPACIALES REDUCIDO


2. acuífero el parasimilar ecuación unacon acoplada esecuación última esta general,En

,,,,

1

así queda gobernante flujo deecuación La

0

22

0

2

2

2

2

2

tt

dbthtyxt

s

bT

Kdbtftyx

t

s

bT

K

y

s

x

s

t

s

.apropiadas frontera dey inicial scondicionepor

adacomplement es cuando nteseparadame resueltaser puede Y

,,1

a reduce se flujo deecuación la 0)2( tiempodel travésa

doimperturba permanece 2 acuífero del capiezométri carga la cuando embargoSin

0

2

2

2

2

2

t

dbtftyxt

s

bT

K

y

s

x

s

t

s

s


ESPACIALES REDUCIDO


12

2

1

2

22

21

222

211

21

:esequivalent

sexpresione dos tienefunción la homogéneo acuífero sistemaun Para

n

ttbn

n

btn

ebt

btf

ebtf

f

. f deón aproximaci éstacon erencialintegrodifecuación la de

exactasolución la es cortos tiemposparaHantush desolución La

1

:corto mentesificiente es tiempoel Cuando

21

2

2

btbtf

t


ESPACIALES REDUCIDO


1

222 222

21

es relevante es que expresar de manera Otra

n

btnebtgdondebtgbtf

f

1960). S., M. (Hantush, largos emposHantush ti

por dadasolución la esecuación esta de exactasolución La

,,1

siguiente forma la tomaflujo deecuación la resultado esteen baseCon

0

2

2

2

2

2

t

dbtgtyxt

ss

bT

K

y

s

x

s

t

s


ESPACIALES REDUCIDO


1

2 222

121

por dada es función La .00,,

es 1 acuífero del oabatimient el para

inicialcondicion la que asume se sigue que loEn

n

btnnebth

hyxs


ESPACIALES REDUCIDO


Dirac de delta3

por dado es largos tiemposparaHantush por provistasolución laEn

1994). al,et A., S. Leake, 1977; Yates,(Herreray

dosdesarrolla sidohan n integració de espaciales tosprocedimen algunos

erencialesintegrodif ecuaciones las de eficiente numérico uso el Para

22 bbg

g

.31

:porque es Esto ocurre. oabatimient el cuando amenteinstantáne

liberado es acuitardo del completo entoalmacenami el que significaón aproximaci Esta

0

22

dbgb


ESPACIALES REDUCIDO

Otros modelos bidimensionales para acuíferos

• Cuando se están desarrollando modelos aproximados, se deben distinguir dos etapas:

1. La formulación del modelo; y

2. La evaluación del error.

• Por definición, un modelo aproximado debe predecir el comportamiento del

sistema excepto para pequeños errores, dentro de un rango apropiado de

aplicaciones. En muchos procedimientos para derivar modelos

aproximados las dos etapas están cercanamente relacionadas, de modo que

es difícil separarlas. Sin embargo hay casos en los que la formulación es

bastante independiente de la evaluación del error. Este es el caso cuando el

modelo aproximado propuesto es sugerido no tanto por el análisis matemático como por la experiencia práctica.


ESPACIALES REDUCIDO


• Un procedimiento que produce una más amplia clase de modelos de acuíferos que

los presentados para acuíferos semiconfinados, es basado en la aplicación del

método axiomático, en el espacio bidimensional, para derivar modelos de sistemas

continuos. Usándolo es posible obtener modelos bidimensionales que pueden ser

aplicados no solo a acuíferos semiconfinados, sino también a los no- confinados. Ellos se basan en los siguientes supuestos.

1. El acuífero es verticalmente homogéneo;

2. La dirección vertical es un eje de simetría para el tensor de conductividad hidráulica;

3. El acuífero es confinado en su base por una capa impermeable, y puede ser confinado o no-confinado en su superficie superior;

4. Cada sección vertical del acuífero está en equilibrio hidrostático, es decir, la carga piezométrica, h, es independiente de la elevación z; y

5. El fluido es incompresible.


ESPACIALES REDUCIDO


nales.bidimensio

cuerposán considerar se sdimensione dosen axiomático método elaplicar Para

. de ntesindependie e eshorizontaln son tambié fluido de partículas las de es velocidadLas

,,

:por dada esy , de nteindependie ,horizontal esDarcy de velocidadla Además

modelo. del derivación la durante )21(escribir puede sey y

scoordenada dos las defunción es solo capiezométri carga la dados, supuestos los Bajo

21

z

txhKtxUv

z

, xxx xx

H


ESPACIALES REDUCIDO


.,0con junto que tales puntos

sus unode cada decondición lapor adocaracteriz es cilindro El . tienpoelen y en

cilindro del altura la especifica quefunción una es , Aquí ., es alturasu y es base cuya

cilindroun es ional tridimenscuerpo Este figura).(ver asociado es ional tridimenscuerpoun

nalbidimensio cuerpo cadaCon . fluido de partícula de velocidadlacon mueve se

que nalbidimensio plano del dominioun tiempocualquier en ocupa así cuerpoCualquier

nales.bidimensio cuerposán considerar se sdimensione dosen axiomático método elaplicar Para

txbztBxtB,zx

tBttBx

txbtxbtB

tB

tBv

tB


ESPACIALES REDUCIDO


especies. las deión concentrac la de ni ra temperatula de ni

función es noy bleincompresi es fluido el que ya constante es fluido, del densidad la

, que yde acuífero del verticaladhomogeneid la de supuesto el uso hecho ha se donde

,,,

por dada es cilindro eseen contenido fluido de masa La

0

tBtB

b

f dxtxtxbdxdztxM

extensiva. propiedad única la como masa asumiendo axiomático método elpor

derivará se deseado nalbidimensio modelo ely , sobre áres de integral una como

dada definición lapor dada masa la asocia se nalbidimensio cuerpo cadaCon

tB

tB


ESPACIALES REDUCIDO


tzxtxb,tx ,,,

:decir es

,definición la de integrando ientecorrespond el es asociada intensiva propiedad La

tiempo.de unidadáreapor de unidadpor totalextracción de volumen el es

,,,

,,,

es global masa de balance deecuación La

txqtxbtxQ

donde

dxtxQdxtxqtxbtdt

Md

tBtB

f


ESPACIALES REDUCIDO


QUbt

bε

t

εbvb

t

bε

es local masa de balance del ldiferenciaecuación La

QhbKt

hS

t

bε

o

Qx

hbK

xt

hS

t

bε

HS

HS

2

1

en convierte seecuación La


ESPACIALES REDUCIDO


ón.aproximaci diferente una usando flujo deecuación la recuperado ha se Donde

a reduce seecuación lay Entonces tiempo.del nteindependie es

acuífero, delespesor el , donde ;confinados acuiferos a es primera La

es.aplicacion doshacen se resultado este De

QhTt

hS

t

b

b


ESPACIALES REDUCIDO


libre superficie de acuíferos de to tratamienel para

regionales estudiosen aplicada entefrecuentem esecuación Esta

:en convierte se olinealizadser puede

tiempo,del nteindependie , fijoun valor a cercana es capiezométri carga la Cuando

dad.aplicabili de orestringid rangoun tienelineal-no suformaen y

;literatura laen conocidabien lineal-noecuación una es Esta

es.ecuación la , donde libre; acuiferoes el cuando esón aproximaci otra La

QhTt

hS

xb

QhhKt

hS

hb

H

flujo de fluidos a travÉs de un medio...

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