UNIVERSITAT POLlTECNICA CATALUNYABiblioteca

1111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111400480638

Prlogo

Este libro ha sido concebido con el principal propsito de complementar los textos ordinarios (de mecnica de los fluidos e hidrulica. Se basa en la conviccin del autor de que el esclarecimiento y comprensin de los principios fundamentales de cualquier rama de la mecnica se obtienen mejor mediante numerosos ejercicios ilustrativos.

La anterior edicin de este libro ha sido acogida muy favorablemente. En esta segunda edicin, muchos de los captulos han sido revisados y adicionados con objeto de poner al da determinados temas de acuerdo con los ms recientes conceptos, mtodos y terminologa. Se ha dedicado especial atencin al anlisis dimensional recogiendo los nuevos materiales en el Captulo 5. La revisin ms extensa se ha llevado a cabo en los captulos que tratan los fundamentos del flujo de fluidos, flujo de fluidos en tuberas y flujo en canales abiertos.

La materia se divide en captulos que abarcan reas bien definidas de teora y estudio. Cada captulo se inicia con el establecimiento de las definiciones pertinentes, principios y teoremas, junto con el material ilustrativo y descriptivo al que sigue una serie de problemas resueltos y problemas propuestos. Los problemas resueltos ilustran y amplan la teora, presentan mtodos de anlisis, proporcionan ejemplos prcticos e iluminan con aguda perspectiva aquellos aspectos de detalle que capacitan al estudiante para aplicar los principios fundamentales con correccin y seguridad. El anlisis del cuerpo libre, los diagramas vectoriales, los principios de trabajo y energa de la cantidad de movimiento y las leyes de Newton se utilizan a lo largo de todo el libro. No se ha regateado esfuerzo para presentar problemas originales desarrollados por el autor en los largos aos dedicados a la enseanza de .esta materia. Entre los problemas resueltos se incluyen numerosas demostraciones de teoremas y deducciones de frmulas. El elevado nmero de problemas propuestos asegura un repaso completo del material de cada captulo.

Los alumnos de las Escuelas de Ingeniera reconocern la utilidad de este libro al estudiar la me-cnica de los fluidos y, adicionalmente, aprovecharn la ventaja de su posterior empleo como libro de referencia en su prctica profesional. Encontrarn soluciones muy detalladas de numerosos problemas prcticos y, cuando lo necesiten, podrn recurrir siempre al resumen de la teora. Asimismo, el libro puede servir al ingeniero profesional que ha de recordar esta materia cuando es miembro de un tribunal examinador o por cualesquiera otras razones.

Deseo expresar mi agradecimiento a mi colega Robert C. Stiefel, que ha comprobado cuidado-samente la solucin de muchos de los nuevos problemas. Tambin he de expresar mi gratitud a la redaccin de la Schaum Publishing Company y, muy particularmente, a Henry Hayden y Nicola Miracapillo, por sus inestimables sugerencias e inapreciable cooperacin.

RANALD V. GILES

Tabla de materias

Captulo 1 PROPIEDADES DE LOS FLUIDOS La mecnica de los fluidos y la hidrulica. Definicin de fluido. Sistema tcnico de unidades. Peso especfico. Densidad de un cuerpo. Densidad relativa de un cuerpo. Viscosidad de un fluido. Presin de vapor. Tensin superficial. Capilaridad. Presin de un fluido. La presin. Diferencia de presiones. Variaciones de la presin en un fluido compresible. Altura o carga de presin h. Mdulo volumtrico de elasticidad (E). Compresin de los gases. Para condiciones isotrmicas. Para condiciones adiabticas o isoentrpicas. Perturbaciones en la presin.

Captulo 2 FUERZAS HIDROSTTICAS SOBRE LAS SUPERFICIES. . . . . . . . 22

Introduccin. Fuerza ejercida por un lquido sobre un rea plana. Tensin circunferencial o tangencial. Tensin longitudinal en cilindros de pared delgada.

Captulo 3 EMPUJE Y FLOTACIN. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

Principio de Arqumedes. Estabilidad de cuerpos sumergidos y flotantes.

Captulo 4 TRASLACIN Y ROTACIN DE MASAS LIQUIDAS. . . . . . . . . . . 42

Introduccin. Movimiento horizontal. Movimiento vertical. Rotacin de masas fluidas. Recipientes abiertos. Rotacin de masas fluidas. Recipientes cerrados.

Captulo 5 ANLISIS DIMENSIONAL Y SEMEJANZA HIDRULICA . . . . . . . 50

Introduccin. Anlisis dimensional. Modelos hidrulicos. Semejanza geomtrica. Semejanza cinemtica. Semejanza dinmica. La relacin entre las fuerzas de inercia. Relacin de las fuerzas de inercia a las de presin. Relacin de las fuerzas de inercia a las viscosas. Relacin de las fuerzas de inercia a las gravitatorias. Relacin de las fuerzas de inercia a las elsticas. Relacin de las fuerzas de inercia a la de tensin superficial. Relacin de tiempos.

Captulo 6 FUNDAMENTOS DEL FLUJO DE FLUIDOS. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 Introduccin. Flujo de fluidos. Flujo permanente. Flujo uniforme. Lneas de corriente. Tubos de corriente. Ecuacin de continuidad. Red de corriente. Ecuacin de la energa. Altura de velocidad. Aplicacin del teorema de Bernoul-li. Lnea de energas o de alturas totales. Lnea de alturas piezomtricas. Potencia.

Pginas

1

Captulo 7 FLUJO DE FLUIDOS EN TUBERAS.

Introduccin. Flujo laminar. Velocidad crtica. Nmero de Reynolds. Flujo turbulento. Tensin cortante en la pared de una tubera. Distribucin de velocidades. Prdida de carga en flujo laminar. Frmula de Darcy-Weisbach. Coeficiente de friccin. Otras prdidas de carga.

Captulo 8 SISTEMAS DE TUBERAS EQUIVALENTES, COMPUESTAS, EN PARALELO Y RAMIFICADAS. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

Sistemas de tubejas. Sistemas de tuberas equivalentes. Sistemas de tuberas compuestas o en serie, en paralelo y ramificadas. Mtodos de resolucin. Frmula de Hazen-Williams.

Captulo 9 MEDIDAS EN FLUJO DE FLUIDOS. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

Introduccin. Tubo de Pitot. Coeficiente de descarga. Coeficiente de velocidad. Coeficiente de contraccin. Prdida de carga. Vertederos de aforo. Frmula terica de un vertedero. Frmula de Francis. Frmula de Banzin. Frmula de Fteley y Stearns. Frmula del vertedero triangular. La frmula del vertedero trapezoidal. Para presas empleadas como vertederos. E! tiempo de

vaciado de depsitos. El tiempo para establecer el flujo. \

Captulo 10 FLUJO EN CANALES ABIERTOS. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160

Canal abierto. Flujo uniforme y permanente. Flujo no uniforme. Flujo laminar. La frmula de Chezy. El coeficiente C. El caudal Q. La prdida de carga. Distribucin vertical de la velocidad. Energa especfica. Profundidad crtica. Caudal unitario mximo. En canales no rectangulares y para un flujo critico. Flujo no uniforme. Los vertederos de aforo de pared gruesa. Resalto hi-drulico.

Captulo // FUERZAS DESARROLLADAS POR LOS FLUIDOS EN MOVIMIENTO. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Introduccin. El principio de impulso-canidad de movimiento. El coeficiente de correccin de la cantidad de movimiento. Resistencia. Sustentacin. Resistencia total. Coeficientes de resistencia. Coeficientes de sustentacin. Nmero de Mach. Teora de la capa lmite. Placas planas. Golpe de ariete. Velocidades supersnicas.

Captulo 12 MAQUINARIA HIDRULICA. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225

Maquinaria hidrulica. En el caso de rodetes. Ruedas hidrulicas, bombas y soplantes. Velocidad especfica. Rendimiento. Cavitacin. Propulsin por hlices. Los coeficientes de la hlice.

TABLA DE MATERIAS

Pginas

96

192

TABLA DE MATERIAS

Tabla 1. Propiedades aproximadas de algunos gases.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246 2. Densidad relativa y viscosidad cinemtica de algunos lquidos. . . . . . . 247 3. Coeficiente de friccin / para agua solamente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248 4. Prdidas de carga en accesorios.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249 5. Valores de K*. Contracciones y ensanchamientos.. . . . . . . . . . . . . . . . . . 250 6. Algunos valores del coeficiente Cl de Hazen-Williams. . . . . . . . . . . . . . 250 7. Coeficientes de desage para orificios circulares de arista viva.. . . . . . 251 8. Algunos factores de expansin Y para flujo.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252 9. Algunos valores medios de n empleados en las frmulas de Kutter y de

Manning y de m en la frmula de Bazin. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252

10. Valores de C de la frmula de Kutter. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253 11. Valores del factor de descarga K para canales trapezoidales. . . . . . . . . 254 12. Valores del factor de descarga K' para canales trapezoidales. . . . . . . . 255 13. reas, de crculos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .256 14. Pesos y dimensiones de tuberas de fundicin. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256

Diagrama de Moody para coeficientes de friccin f. . . . . . . . . . 257 Diagrama de Moody modificado para coeficientes de friccin /

(solucin directa para el flujo Q). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258 Nomograma de caudales, frmula de Hazen-Williams (C\ = 100). 259 Coeficiente para orificios medidores. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260 Coeficientes para boquillas de aforo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261 Coeficientes para venturmetros. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262 Coeficiente de resistencia en funcin de RE. . . . . . . . . . . . . . . . . . 263 Coeficientes de resistencia para placas planas y lisas.. . . . . . . . . 264 Coeficientes de resistencia a velocidades supersnicas. . . . . . . . . 265

NDICE. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267

APNDICES Pginas

DIAGRAMAS

Diagramas A-l. A-2.

B. C. 1 D.

E. F. G. H.

Captulo 1

Propiedades de los fluidos

LA MECANICA DE LOS FLUIDOS Y LA HIDRAULICALa rama de la mecnica aplicada que estudia el comportamiento de los fluidos ya sea en reposo

o en movimiento constituye la mecnica de los fluidos y la hidrulica. En el desarrollo de los principiosde la mecnica de los fluidos algunas de las propiedades de los fluidos juegan un papel preponderante,mientras que otras o influyen muy poco o nada. En la esttica de los fluidos, el peso especfico es la pro-piedad importante, mientras que en el flujo de fluidos la densidad y la viscosidad son las que predo-minan. Cuando tiene lugar una compresibilidad apreciable es necesario considerar los principios dela termodinmica. Al intervenir presiones manomtricas negativas la tensin de vapor pasa a ser im-portante y la tensin superficial afecta a la esttica o cinemtica de los fluidos cuando las secciones depaso son pequeas.

DEFINICION DE FLUIDO

Los fluidos son sustancias capaces de fluir y que se adaptan a la forma de los recipientes que loscontienen. Cuando estn en equilibrio, los fluidos no pueden soportar fuerzas tangenciales o cortantes.Todos los fluidos son compresibles en cierto grado y ofrecen poca resistencia a los cambios de forma.

Los fluidos pueden dividirse en lquidos y gases. Las diferencias esenciales entr lquidos y gasesson (a) los lquidos son prcticamente incompresibles y los gases son compresibles, por lo que en muchasocasiones hay que tratarlos como tales y (b) los lquidos ocupan un volumen definido y tienen super-ficies libres mientras que un:.l masa dada de gas se expansiona hasta ocupar todas las partes del recipienteque lo contenga.

SISTEMA TECNICO DE UNIDADES

Las magnitudes fundamentales seleccionadas son la longitud, fuerza y tiempo. Las tres unidadesfundamentales correspondientes son el metro para la longitud, el kilogramo fuerza (o kilogramo peso)yel segundo. Las otras unidades pueden deducirse a partir de stas. As, la unidad de volumen es el m3 ,la unidad de la aceleracin el m/seg2 , la de trabajo el kgm y la unidad de presin el kg/m2 Algunos datospueden venir dados en otras unidades y deben convertirse al sistema metro-kilogramo fuerza-segundoantes de aplicarlos a la solucin de los problemas.

La unidad de masa en este sistema, la UTM (unidad tcnica de masa), se establece a partir de lasunidades de fuerza y de aceleracin. Para un cuerpo que cae en el vaco la aceleracin a que est some-tido es la de la gravedad (g = 9;81 m/seg2 al nivel del mar) y la nica fuerza que acta es su peso.A partir del segundo principio de Newton,

fuerza en kg = masa en UTM x aceleracin en m/seg2

De aqu

o

peso en kg = masa en UTM x g(9,81 m/seg2 )UTM __ peso W en kgmasa M en g(9,81 m/seg2 ) (1)

2PESO ESPECIFICO

PROPIEDADES DE LOS FLUIDOS [CAP. I

El peso especfico w de una sustancia es el peso de la unidad de volumen de dicha sustancia. Enlos lquidos, w puede considerarse constante para las variaciones ordinarias de presin. El peso espe-cfico del agua para las temperaturas ms comunes es de 1000 kg/m3 . Vase el Apndice, Tablas l(C)y 2, para valores adicionales. '

Los pesos especficos de los gases pueden calcularse mediante la ecuacin de estado de los gases o

o R.(1eyes de Charles y Boyle) (2)

donde p es la presin absoluta en kg/mz, Vs el volumen especfico o volumen ocupado por la unidad depeso en m3/kg, T la temperatura absoluta en grados Kelvin (OK = oC + 273) Y R la constante del gasen mOK. Como w = l/vs ' la ecuacin anterior puede escribirse

PRT (8)

DENSIDAD DE UN CUERPO p (ro) = masa por unidad de volumen = w/g.

En el sistema tcnico de unidades, la densidad del agua es 1000/9,80665 = 101,972 (~ 102) UTM/m3o kg segZ/m4 En el sistema cgs la densidad del agua es 1 g/cm3 a 4 C. Vase Apndice, Tabla l(C).

DENSIDAD RELATIVA DE UN CUERPO

La densidad relativa de un cuerpo es un nmero adimensional que viene dado por la relacin delpeso del cuerpo al peso de un volumen igual de una sustancia que se toma como referencia. Los slidosy lquidos se refieren al agua a 4 C, mientras que los gases se refieren al aire libre de COz e hidrge-no a 0 C y Atm de presin, como condiciones normales. Por ejemplo,

.. . peso de la sustanciadensIdad relatIva de una sustancIa = . d' lidpeso e gua va umen e agua

peso especfico de la sustanciapeso especfico del agua

(4)

As, si la densidad relativa de un aceite es 0,750 su peso especfico ser 0,750(1000 kg/m3 ) = 750 kg/m3 La densidad relativa del agua es 1,00 y la del mercurio 13,57. La densidad relativa de una sustancia

viene dada por el mismo nmero en cualquier sistema de unidades. Vase Apndice, Tabla 2.

VISCOSIDAD DE UN FLUIDO

La viscosidad de un fluido es aquella propiedadque determina la cantidad de resistencia opuesta a lasfuerzas cortantes. La viscosidad se debe primordialmen-te a las interacciones entre las molculas del fluido.

Con referencia a la Fig. 1-1, se consideran dos pla-cas planas y paralelas de grandes dimensiones, separadasuna pequea distancia y, y con el espacio entre ellaslleno de un fluido. Se supone que la placa superior semueve a una velocidad constante U al actuar sobre ela Fig.l-l

~AP. 1] PROPIEDADES DE LOS FLUIDOS 3

una fuerza F, tambin constante. El fluido en contacto con la placa mvil se adhiere a ella movindo-~e a la misma velocidad U, mientras que el fluido en contacto con la placa fija permanecer en reposo.,:Si la separacin y y la velocidad U no son muy grandes, la variacin de las velocidades (gradiente) vendrdada por una lnea recta. La experiencia ha demostrado que la fuerza F vara con el rea de la placa,

~on la velocidad U e inversamente con la separacin y. Como por tringulos semejantes, U/y = dV/dy,~. .tenemos

FAV

ex: ydVA-dy o

FA T

dVex:

dy

;donde ; = F/A = tensin o esfuerzo cortante. Al introducir la constante de proporcionalidad /l (mi),llamada viscosidad absoluta o dinmica,

dVfJ-dy o

T

dV/dy(.5)

. kg seg kg/m2 kg segLas umdades de /l son --2-' ya que (/ )/ = --2-' Los fluidos que siguen la relacin (5) se

m m seg m m .llaman fluidos newtonianos (vase Problema 9).

Otro coeficiente de viscosidad, lIamado viscosidad cinemtica, viene definido por

( .) viscosidad absoluta /lviscosidad cinemtica v m = -----:c-~,----;--densidad

,) v !:: fJ fJg (6)p w/g w

m2 (kg seg/m2 )(m/seg2 ) m2Las unidades de v son -, ya que kg/m3seg segLas viscosidades en los manuales vienen dadas normalmente en poises y stokes (unidades del sis-

tema cgs) y en ocasiones en grados o segundos Saybolt, a partir de medidas en viscosmetros. AlgunasGonversiones de un sistema a otro de unidades se dan en los Problemas 6-8. En las Tablas 1 y 2 delApndice se dan algunos valores de viscosidades.

En los lquidos la viscosidad disminuye al aumentar la temperatura, pero no se ve.afectada apre-ciablemente por las variaciones de presin. La viscosidad absoluta de los gass aumenta al aumentarla temperatura, pero casi no vara con la presin. Como el peso especfico de los gases vara con la presin(a temperatura constante), la viscosidad cinemtica es inversamente proporcional a la presin. Sin em-pargo, de la ecuacin anterior, /lg = wv.

PRESION DE VAPOR

Cuando tiene lugar el fenmeno de la evaporacin dentro de un espacio cerrado, la presin parcial~. que dan lugar las molculas de vapor se lIama presin de vapor. Las presiones de vapor dependende la temperatura, aumentando con ella. En la Tabla l(C) se dan valores para el agua.

fENSION SUPERFICIAL

Una molcula en el interior de un lquido est sometida a la accin de fuerzas atractivas en todaslas direcciones, siendo la resultante nula. Pero si la molcula est en la superficie del lquido, sufre la~ccin de un conjunto de fuerzas de cohesin, cuya resultante es perpendicular a la superficie. De aqu~ue sea necesario consumir cierto trabajo para mover las molculas hacia la superficie venciendo la

j~sistencia de estas fuerzas, por lo que las molculas superficiales tienen ms energa que las interiores.La tensin superficial de un lquido es el trabajo que debe realizarse para llevar molculas en n-

mero suficiente desde el interior del lquido hasta la superficie para crear una nueva unidad de super-

4 PROPIEDADES DE LOS FLUIDOS [CAP. I

ficie (kgm/m 2 ). Este trabajo es numricamente igual a la fuerza tangencial de contraccin que actuarasobre una lnea hipottica de longitud unidad situada en la superficie (kg/m).

En la mayora de los problemas presentados en las mecnicas de fluidos elementales la tensinsuperficial no es de particular importancia. En la Tabla 1(C) se dan valores de la tensin superficial (J (sig-ma) para el agua en contacto con el aire.

CAPILARIDADLa elevacin o descenso de un lquido en un tubo capilar (o en situaciones fisicas anl.ogas, tales

como en medios porosos) vienen producidos por la tensin superficial, dependiendo de las magnitu-des relativas de la cohesin del lquido y de la adhesin del lquido a las paredes del tubo. Los lquidosascienden en tubos que mojan (adhesin> cohesin) y descienden en tubos a los que no mojan (cohe-sin > adhesin). La capilaridad tiene importancia en tubos de dimetros aproximadamente meno-res de 10 mm. .

PRESION DE UN FLUIDO

La presin de un fluido se transmite con igual intensidad en todas las direcciones y acta normal-mente a cualquIer superficie plana. En el mismo plano horizontal, el valor de la presin en un lquidoes igual en cualquier punto. Las medidas de presin se realizan con los manmetros, que pueden serde diversas formas. De no advertir lo contrario, a travs de todo el libro las presiones sern las presio-nes relativas o manomtricas. La presin manomtrica representa el valor de la presin con relacina la presin atmosfrica.

ILA PRESION vien~ expresada por una fuerza dividida por una superficie. En general,

2 dP (kg)p (kg/m ) = dA (m2 )

Cuando la fuerza P acta uniformemente distribuida sobre una superficie, tenemos

2 P (kg)p (kg/m ) = A (m2 )

DIFERENCIA DE PRESIONES

y

La diferencia de presiones entre dos puntos a distintos niveles en un lquido viene dada pt>.

en kg/m2 (7)

donde w = peso especfico de lquido (kg/m 3 ) y h2 - h = diferencia en elevacin (m).Si el punto 1 est en la superficie libre del lquido y h es positiva hacia abajo, la ecuacin anterior

se transforma en

p = wh

Para obtener la presin en kg/cm2 ,

[en kg/m 2 (man)] (8)

[en kg/cm2 (man)] (9)

Estas ecuaciones son aplicables en tanto que w se mantenga constante (o vara tan ligeramentecon h, que no introduzca un error significativo en el resultado).

CAP. 1J PROPIEDADES DE LOS FLUIDOS 5

VARIACIONES DE LA PRESION EN UN FLUIDO COMPRESIBLELas variaciones de presin en un fluido compresible son, por lo general, muy pequeas ya que los

pesos especficos son pequeos, como tambin lo son las diferencias en elevacin consideradas en lamayora de los clculos en la hidrulica. Cuando se han de tener en cuenta para pequeas diferenciasen elevacin dh, la ley de variacin de la presin puede escribirse en la forma

dp = -w dh (10)

El signo negativo indica que la presin disminuye al aumentar la altitud, con h positiva hacia arriba.En los Problemas 29-31 se dan aplicaciones de esta frmula.

ALTURA O CARGA DE PRESION hLa altura de presin h representa la altura de una columna de fluido homogneo que d la presin

dada. As

'. p (kg/m2 )h (m de flUIdo) = w (kg/m3 )

MODULO VOLUMETRICO DE ELASTICIDAD (E)

(11)

El mdulo volumtrico de elasticidad expresa la compresibilidad de un fluido. Es la relacin dela variacin de presin a la variacin de volumen por unidad de volumen.

(12)

COMPRESION DE LOS GASES

La compresin de los gases puede tener lugar de acuerdo con diversas leyes de termodinmica.Para la misma masa de gas sujeta a dos estados diferentes,

WR y = R (13)

donde p = presin absoluta en kg/m2 , v = volumen en m3 , W = peso en kg,w = peso especfico en kg/m3 , R = constante del gas en mOK,T = temperatura absoluta en grados Kelvin (OC + 273).

PARA CONDICIONES ISOTERMICAS (temperatura constante) la expresin anterior (13) se trans-forma en

y WWz

constante (14)

Tambin Mdulo volumtrico E = P (en kg/m2 ) (15 )

PARA CONDICIONES ADIABATICAS O ISOENTROPICAS (sin intercambio de calor) las ex-:'presiones anteriores se convierten' en

y constante (16)

6Tambin

y

PROPIEDADES DE LOS FLUIDOS

Mdulo volumtrico E = kp (en kg/m2 )

[CAP. 1

(17)

(18)

donde k es la relacin de calores especficos a presin constante y a volumen constante. Se le llama tam-bin exponente adiabtico.

La Tabla l(A) del Apndice da algunos valores tpicos de R y k. Para muchos gases, el productode R por el p~so molecular es aproximadamente 848.

PERTURBACIONES EN LA PRESIONCualquier perturbacin en la presin de un fluido se propaga en forma de ondas. Estas ondas de

presin se mueven a una velocidad igual a la de propagacin del sonido a travs del fluido. La veloci-dad de propagacin o celeridad, en m/seg, viene dada por

e = VE/p

donde E viene medido en kg/m2 Para los gases, la velocidad de sonido es

Problemas resueltos

(19)

(20)

1. Calcularel peso especfico w, el volumen especfico D. y la densidad p del metano a 38 C y 8,50 kg/cm2de presin absoluta.Solucin:

De la Tabla I(A) del Apndice, R = 53.p 8,5 X 104

Peso especfico w = RT = 53(273 + 38) = 5,16 kg/m3

. l lVolumen especIfico Vs = - = - = 0,194 m3/kgw 5,16

. w 5,16Densidad p = - = - = 0,527 UTM/m3

g 9,81

2. Si 6 m3 de un aceite pesan 5080 kg, calcular su peso especfico w, densidad p y densidad relativa.Solucin:

5080 kgPeso especfico w = --3- = 848 kg/m36m

w 848 kg/m3Densidad p = - = 2 = 86;5 UTM/m3

g 9,81 m/seg

D 'd di' Wac 848ensl a re atlva = - = ~ = 0,848wag 1 00

CAP. 1] PROPIEDADES DE LOS FLUIDOS 7

3. A 32 C y 2,10 kgjcm2 , el volumen especfico Vs de cierto gas es 0,71 m3/kg. Determinar la constan-te del gas R y su densidad p.

Solucin:

Como w =~, R= L = pvs = ~~?_J(O.~ = 688RT wT T 273 + 32 ' .

D 'd d w I/vs 1 1enSI a p = - = - = - = --.---- = 0,1436 UTM/m 3g g vs g 0,71 x 9,81

4. (a) Determinar la variacin de volumen de 1 m3 de agua a 27 C al aumentar la presin en 21 kg/cm2 (b) A partir de los siguientes datos experimentales determinar el mdulo de elasticidad volum-trico del agua: a 35 kg/cm2 el volumen era de 30 dm3 y a 250 kg/cm2 de 29,70 dm3.Solucin:(a) De la Tabla tiC) del Apndice, E a 2r C es de 22,90 x 103 kg/cm 2 . Mediante la frmula (12),

v dp' 1 x 21 X 104dv = --- = = -915 x 10- 4 m 3

E 22,9 x 107 '

(b) La definicin asociada con la frmul (12) indica que las variaciones correspondientes en la presin y volumenson las que deben considerarse en la frmula. De aqu, un aumento en la presin se corresponde con unadisminucin de volumen. .

E=dp'dv/v

(250 - 35) x 104 ~21 50 x 107 kg/m2(29,70 - 30) x 103/30; 103 = ,

S. Un cilindro contiene 356 dm3 de aire a 49 C y una presin absoluta de 2,80 kg/cm.l. Se comprimeel aire hasta 70 dm3. (a) Suponiendo condiciones isotrmicas, cules la presin en el nuevo volu-men y cul el mdulo de elasticidad volumtrico? (b) Al suponer condiciones adiabticas, cules la presin final, la temperatura final y el mdulo de elasticidad volumtrico?Solucin:(a) Para condiciones isotrmicas,

De aqu, 2,80 x 104 X 0,356 = p; x 104 x 0,070El mdulo volumtrico E = p' = 14,20 kg/cm 2

y p = 14,20 kg/cm 2 (ab)

(b) Para condiciones adiabticas, PiV~ = P2V~ y la Tabla I(A) del Apndice da k = 1,40. De aqu,

y p = 27,22 kg/cm 2 (ab).La temperatura final se obtiene a partir de la ecuacin (17):

T2 = (PI )(k-1l1k --'!2._ = (27,22 ),40/ 1,40 T2

= 616" K = 3430 CTI P2 ' 273 + 49 2,80 '

El mdulo volumtrico E = kp' = 1,40 x 27,22 = 38,10 kg/cm 2

6. De las International Critical Tables, la viscosidad del agua: a 20 0 C es 0,01008 poises. Calcular (a) laviscosidad absoluta en kg segjm2 (b) Si la densidad relativa a 200 C es 0,998, calcular el valor de laviscosidad cinemtica en m2/seg.Solucin:El poise est medido en dinas seg/cm2 . Como 1 kg = 9,81 X 105 dinas y 1 m = 100. cm, obtenemos

kg seg 9,81 x 105 dinas seg .1 --2- = 4 2 = 98,1 pOlses

m 10 cm

8 PROPIEDADES DE LOS FLUIDOS [CAP. 1

(a) JI en kg seg/m2 = 0,01008/98,1 = 10,28 x 10- s2 JI JI Jlg 10,28 x lO-s x 9,81

(b) v en m /seg = p= w/g = -; =7 0,998 'x 1000 = 1,01 x lO-s

7. Hallar la viscosidad cinemtica de un lquido cuya viscosidad absoluta es de 15,14 poises y su den-sidad relat..tva 0,964 dando el resultado en m2jseg.Solucin:

Procediendo como en el Problema 6,'.'

15,14 x 9,81v=-----

98,1 x 9641,57 X 10- 3 m2/seg.

8. Convertir una viscosidad de 510 segundos Saybolt a 15,5 C en viscosidad cinemtica ven m2jseg.Solucin:

Cuando para la determinacin se ha utilizado un viscosmetro universal Saybolt, para la conversin se utili-za uno de los dos grupos de frmulas siguientes:

(a) para t ~ 100, JI en poises = (0,00226t - 1,95/t) x densidad relativapara t> 100, JI en poises = (0,00220t - 1,35/t) x densidad relativa

(b) para t ~ 100, v en stokes = (0,00226t - 1,95/t)para t> 100, v en stokes = (0,00220t - 1,35/t)

Mediante el segundo grupo (b) de frmulas, ya que t >

donde t mide los segundos Saybolt. Para convertir stokes (cm2/seg) en m2/seg solo es necesario dividir por 104 1,35

100, v = (0,00220 x 510 - -) x510

= 1,1194 x 10- 4 m2/seg.

Fig.I-2

SOLIDO RIGIDO IDEALSOLIDO REALt~

~';:

1 jdV/dy

5 FLUIDO NEWTONIANO! ~~~::=======~~FL~U~12DO;I~D~EA~LGradiente de velocidades dV ~

d(b) En un fluido ideal la resistencia a la deforma-cin cortante o tangencial es nula, de aqu que sugrfica coincida con el eje de abscisas. Aunque losfluidos ideales no existen, en ciertos anlisis estjustificada y es til la hiptesis de fluido ideal.

(e) Para un slido rgido ideal no hay deformacin bajo ningn estado de carga, y la grfica coincide con eleje y de ordenadas. Los slidos reales sufren siempre alguna deformacin y, dentro del lmite de proporcio-nalidad (ley de Hooke), la grfica es una lnea recta casi vertical.

Estudiar las caractersticas de velocidad de de-formacin bajo esfuerzo cortante, que se repre-sentan para diversos tipos de fluidos en la Figu-ra 12.Solu~in:(a) Los fluidos newtonianos se comportan de acuerdo

con la ley, = JI(dV/dy), o bien que la tensin cor-tante es proporcional al gradiente de velocidadeso velocidad de deformacin tangencial. Por tanto,para estos fluidos, la grfica de la tensin cortanteen funcin del gradiente de velocidades es una lnearecta que pasa por el origen. La pendiente de estarecta determina la viscosidad.

9.

(d) Los fluidos no newtonianos se deforman de manera que la tensin cortante no es proporcional a la veloci-dad de deformacin tangencial, excepto quiz a tensiones cortantes muy pequeas. La deformacin de estosfluidos pudiera clasificarse como plstica.

(e) Los materiales plsticos' ideales pueden soportar cierta cantidad de esfuerzo cortante sin deformarse, y ,a partir de un cierto valor de aqul se deforman con una velocidad proporcional a la tensin cortante.

CAP. 1] PROPIEDADES DE LOS FLUIDOS 9

10. Con referencia a la Fig. 1-3, el fluido tiene unaviscosidad absoluta de 4,88 x 10 - 3 kg seg/m 2y una densidad relativa de 0,913. Calcular elgradiente de velocidades y el mdulo de latensin cortante en el contorno y en los pun-tos situados a 25 mm, 50 mm y 75 mm delcontorno, suponiendo (a) una distribucinde velocidades lineal y (b) una distribucin develocidades parablica. La parbola en el di-bujo tiene su vrtice en A. El origen est en B.Solucin:(a) Para la hiptesis de distribucin lineal, la re-

lacin entre la velocidad y la distancia y esV = 15y. De aqu dV = 15 dy, Y el gradientede velocidades es dV/dy = 15.

Para y = 0, V = 0, dV/dy = 15 seg- I y

t = ..(dV/dy) = 4,88 x 10- 3 x

1,125 m/seg--:i

Fig.I-3

15 = 7,32 x 10- 2 kg/m 2

Anlogamente, para los otros valores de y, tambin se obtiene t = 7,32 X 10- 2 kg/m2 .

(b) La ecuacin de la parbola debe satisfacer la condicin de que la velocidad sea cero en el contorno B. Laecuacin de la parbola es V = 1,125 - 200(0,075 - y)2. Luego dV/dy = 400(0,075 - y) y la tabulacinde los resultados conduce a lo siguiente:

y X 103 V dV/dy t -4,88 x 10- 3(dV/dy)

30 0,1464 kg/m 2

25 0,625 20 0,0976 kg/m 250 1,000 10 0,0488 kg/m 275 1,125

Se observar que en los puntos en que el gradiente de velocidades es nulo (cosa que ocurre en el ejede las tuberas en conduccin forzada, como se ver ms adelante) la tensin cortante es cero.

Las unidades del gradiente de velocidades son seg- 1 y el producto ..(dV/dy) = (kg seg/m2 )(seg- 1 ) =kg/m2 , dimensiones correctas de la tensin cortante t.

11. Un cilindro de 12 cm de radio gira concqtricamente en el interior de un cilindro fijo de 12,6 cmde radio. Ambos cilindros tienen una longitud de 30 cm. Determinar la viscosidad del lquido quellena el espacio entre los cilindros, si se necesita un par de 9,0 cm kg para mantener una velocidadangular de 60 revoluciones por minuto.Solucin:(a) El par se transmite al cilindro exterior a travs de la capa de fluido. Como el espaciado entre los cilindros

es pequeo, los clculos pueden realizarse sin integracin.Velocidad tangencial del cilindro interior = rw ~ (0,12 m)(2n rad/seg) = 0,755 m/seg.En el pequeo espacio entre los cilindros puede suponerse lineal el gradiente de velocidades y utilizar

el radio medio. As, dV/dy = 0,755/(0,120 - 0,126) = 125,8 (m/seg)/m o seg- 1

Par aplicado = par resistente0,09 = t(rea)(brazo) = t(2n x 0,123 x 0,30)(0,123) y r = 3,15 kg/m 2 .

De aqu, .. = t/(dV/dy) = 3,15/125,7 = 0,02500 kg seg/m 2

10 PROPIEDADES DE LOS FLUIDOS [CAP. 1

(b) En un mtodo matemtico ms exacto se utiliza el clculo como sigue:Como antes, 0,09 = r(2rrr x 0,30)r, de donde r = 0,0476/r2.

dV r 0,0476 . .Ahora bien, - = - = ~-2-' donde las vanables son la velocidad V y el radio r. La velocidad esdy J.l W

cero en el radio mayor e igual a 0,755 m/seg en el radio menor.

Ordenando la expresin anterior y sustituyendo -dr por dy (el signo menos indica que r disminuyecuando y aumenta), se obtiene

Vin 0,0476fo.120 -drdV= -- --Vex J.l 1,126 r1 y _ _ 0,0476 [~JO'120Vin Vex - J.l r 0,126Por tanto,

0,0476 1 1(O 755 - O) =~~(-- - --) de donde J.l = 0,02500 kg seg/m2 ., J.l 0,120 0,126'

12. Demostrar que la presin en un punto es la misma entodas las direcciones.Solucin:

Considrese un pequeo prisma triangular de liquido enreposo, bajo la accin del fluido que lo rodea. Los valores me-dios de la presin sobre las tres superficies son PI' P2 YP3' Enla direccin z, las fuerzas son iguales y opuestas y se anulan en-tre ellas.Sumando las fuerzas en las direcciones x e y se obtiene

LX = 0, P2 - P3 sen O = o P2(dy dz) - P3(ds dz) sen e =

LY = 0, PI - P3 COS 0- dW =

o PI (dx dz) - P3(ds dz) cos (J - w(! dx dy dz) = Fig.1-4

y

Como dy = ds sen O y d-r = d~ cos (J, las ecuaciones se reducen a las siguientes:

P2 dy dz - P3 dy dz = o P2 = P3

PI dx dz - P3 dx dz - w(! dx dy dz) = o PI - P3 - w(! dy) = (1)(2)

Cuando el prisma tiende a contraerse sobre un punto, dy tiende a cero en el limite, y la presin media se .vuelve uniforme en la superficie que tiende a cero y queda definida la presin en un punto. Por tanto, al ponerdy = en la ecuacin (2) se obtiene PI = P3 Y de aqu PI = P2 = P3' .

13. Deducir la expresin (P2 - p) = w(h2 - h}.Solucin:

Considrese una porcin de liquido AB (Fig. 1-5) como uncuerpo libre de seccin recta transversal dA que se mantiene enequilibrio bajo la accin de su propio peso y la accin de lasotras partculas de liquido sobre el cuerpo AB.

En A la fuerza que acta es PI dA (la presin en kg/m1 porel rea en m2 ); en B es P2 dA. El peso del cuerpo libre AB esW = wv = wL dA. Las otras fuerzas que actan sobre el cuerpolibre AB son normales a sus lados, de las que se muestran solounas pocas en la figura. Al establecer LX = 0, dichas fuerzasnormales no es necesario considerarlas en la ecuacin. Por con-siguiente,

P1 dA - PI dA - w L dA sen 0=

Fig.1-5

Como L sen 0= h2 - h l , la ecuacin anterior se reduce a (P2 - p) = w(h2 - hj.

:AP. 1] PROPIEDADES DE LOS FLUIDOS 11

14. Determinar la presin en kgjcm2 sobre una superficie sumergida a 6 m de profundidad en unamasa de agua.

Solucin:Utilizando el valor medio de 1000 kgjm3 para w,

wh 1000 x 6p' = - = = 060 kgjcm2 (man)104 104 '

15. Determinar la presin en kgjcm2 a una profundidad de 9 m en un aceite de densidad relativade 0,750.

Solucin:

, = wh = (0,750 x 1000)9 = 0675 kg/cm2 (man)p 104 104 '

16. Encontrar la presin absoluta en kgjcm2 en el Problema 14 si la lectura baromtrica es de 75,6 cmde mercurio (densidad relativa 13,57).Solucin:

Presin absoluta = presin atmosfrica + presin debida a los 6 m de agua

(13,57 x 1000)(0,756) 1000 x 6= 104 + 104 = 1,628 kg/cm

2 (ab)

17. A qu prof~.mdidad de un aceite, de densidad relativa 0,750, se producir una presin de2,80 kgjcm2 ? A cul si el lquido es agua?Solucin:

p 2,80 X 104hac = W

ac= 0,750 x 1000 = 37,30 m,

p 2,80 X .104hag = W

ag= 1000 = 28,00 m

18. (a) Convertir una altura de presin de 5 m de agua en altura de aceite, de densidad relativa 0,750.(b) Convertir una altura de presin de 60 cm de mercurio en altura de aceite, de densidad rela-tiva 0,750.Solucin:

hag 5(a) h = = -- = 633 mac den. rel. aceite 0,750 '

(b) h = hagac den. rel. aceite

13,57 x 0,600,750 = 10,85 m

2)06 roan

, P. almos. normal = 1.1)33

A

(PRESIONES EN kgcm2~ T1I 2.817 man

).85 ab

e

..., \.. P. atms. reinante~ 1.014

1.0)) abcero abs

I / - 1.0)) man ot -1.014 man

-

Fig. }-6

-

- 0.544 man - 0.563 man

---.L.-+-B 0.47 ab

+eao absoluto .J

ivaci IOlal)

r 1

19. Preparar un grfico de forma quepuedan compararse fcilmente las pre-siones manomtricas (man) y absolutas(ab) con las limitaciones que se harnnotar.Solucin:

Sea A un punto, Fig. 1-6, a una presinabsoluta de 3,85 kgjcm2 La presin mano-mtrica depender de la presin atmosfricareinante. Si tal presin es la atmosfrica nor-mal al nivel del mar (1,033 kgjcm2 ), la' pre-sin manomtrica en A ser 3,850 - 1,033= 2,817 kgjcm1 . La lectura baromtrica mscorriente equivale a una presin de 1,014kgjcm2 , con lo que la presin manomtricaobtenida sera 3,850 - 1,014 = 2,836 kgjcm2(man).

12 PROPIEDADES DE LOS FLUIDOS [CAP.

Sea B un punto a una presin absoluta de 0,47 kgJcm2 Este valor viene representado grficamente por d(bajo de la presin atmosfrica normal 1,033 kg/cm2 y la presin manomtrica para B ser 0,470 - 1,033 =- 0,563 kg/cm2 (man). Si la presin atmosfrica reinante es de 1,014 kgJcm2, la presin manomtrica para estvalor ser 0,470 - 1,014 = -0,544 kgJcm 2 (man).

Sea e un punto a una presin absoluta igual a cero. Esta condicin es equivalente a una presin manomtrica normal negativa de -1,033 kg/cm2 ya una presin manomtrica, representativa del valor ms corripnte, de -1,014 kgJcm2

Las conclusiones que se pueden sacar son importantes. Las presiones manomtricas negativas no puederexceder de un lmite terico de la presin manomtrica reinante o del valor normal de -1,033 kgJcm2 Las presiones absolutas no pueden tomar valores negativos.

20. Con referencia a la Fig. 1-7, las reas del pistn Ay del cilindro B son, respectivamente, de 40 y4000 cm2 y B pesa 4000 kg. Los depsitos y lasconducciones de conexin estn llenos de aceitede densidad relativa 0,750. Cul es la fuerza Pnecesaria para mantener el equilibrio si se des-precia el peso de A?Solucin:

Se determina primero la presin que acta so-bre A.Lomo XL y X R estn al mismo nivel en la mis-ma masa de lquido, se tiene Fig.l.7

presin en XL en kgJcm2 = presin en XR en kgJcm 2

o .. b' A . . d b'd I 5 d . peso de BpreSlOn aJo + preslOn e I a a os m e aceIte = =-,~~-area de B

Sustituyendo, wh 4000 kgPA + 104 = 4000 cm2

750 x 5P~ +~ kg/cm 2 = 1,0 kgJcm2 y P~ = 0,625 kg/cm2

Euerza P = presin uniforme x rea = 0,625 kgJcm2 x 40 cm2 = 25,0 kg.

D _3,80m

e 3,00 mB

21. Determinar la presin manomtrica en A en kg/cm2 debidaa la columna de mercurio (den. rel. 13,57) en el manmetroen U mostrado en la Figura 1-8.Solucin:

B y e estn al mismo nivel y en el mismo lquido, el mercurio;por tanto, podemos igualar las presiones en B.y e en kg/m2 (man).

Presin en B = presin en ePA + wh (para el agua) = PD + wh (para el mercurio)PA + 1000(3,60 - 3,00) = O + (13,57 x 1000)(3,80 - 3,00)

Al despejar,PA = 10.256 kg/m2 y p~ = 10.256/104 = 1,0256 kgJcm2(man).

Otro procedimiento de resolucin consiste en emplear las al-turas de presin en metros de agua, lo que conduce por lo general amenos operaciones aritmticas, como se ve a continuacin:

Altura de presin en B = altura de presin en e Fig.l.8PA/W + 0,60 m de agua = 0,80 x 13,57 m de agua

Al despejar PA/W = 10,256 m de agua y p~ = (1000 X 10,256)/104 = 1,0256 kgJcm2 (man), como antes.

:AP 1] PROPIEDADES DE LOS FLUIDOS 13

t2. Aceite de densidad relativa 0,750 est fluyendo a travs de la boquilla mostrada en la Fig. 1-9 y "desequilibra la columna de mercurio del manmetro en U. Determinar el valor de h si la presinen A ~s de 1,40. kgjcm2 . .Solucin:

Presin en B = presin en e

, wh. who, al utilizar como unidad kgjcm2 , PA + 104 (aceite) = Po + 104 (mercurio)

140 (0,750 x 1000)(0,825 + h) = (13,57 x 1000)h, + i04 104

Otro mtodo:

Al utilizar ahora como unidad la altura de presin en m de agua,

y h = 1,14 m

Altura de presin en B = altura de presin en e

1 40 X 104, 1000 - (0,825 - h)O,750 = 13,57h y h = 1,14 m, como antes

0,825 m

Aire 3,38 m

;---0::01I-- Dht B

Fig.t-9

e

Fig.II0

3,00 m

Liquido B

Dr 1,60

13. Para una presin manomtrica en A de - O, 11 kg/cm2 , encontrar la densidad relativa (Dr) dellquido manomtrico B de la Figura 1-10.

Solucin:

o, en kgjm2 ,Presin en e = presin en D

PA - wh = PD-0,11 X 104 + (1,60 x 1000)0,45 = PD = -380 kgjm2

Ahora bien, PG = PD = - 380 kg/m2 , ya que el peso de los 0,68 m de aire pueden despreciarse sin errorapreciable. Adems PE = PF = O en kgjm2 (man).

oPor tanto, presin en G = presin en E - presin de (3,38 - 3,00) m del lquido manomtrico

PG = PE - (Dr x 1000)(3,38 - 3,00)-380 = 0- (Dr x 1000)0,38 y Dr = 1,00

14 PROPIEDADES DE LOS FLUIDOS [CAP. I

y h = 2,57 m.

Para la columna E:

De aqu, la elevacin de L ser 15,00 - 2,57= 12,43 m.

E F G

Aire

Fig.l-ll

El. 20 In _ ~ A

-LD h. El. 4 In

Te

PK = PL

PH + wh = O

-0,18 X 104 + (0,700 x 1000)h = Oo bien

en kg/m 2 (man)Por tanto,

24. Para una lectura manomtrica en A de -0,18kg/cm2 , determinar (a) la elevacin en las ramasabiertas de los piezmetros E, F YG Y (b) la lec-tura del manmetro en U de mercurio de la Fi-gura 1-11.Solucin:(a) Como el peso especfico del aire (aproximada-

mente 1,28 kgjm3 ) es muy pequeo comparadocon el de los lquidos, la presin en la elevacinde 15 m puede considerarse igual a -0,18 kgjcm 2sin introducir error apreciable en los clculos.

Supuesta la elevacin de L, como la mos-trada, se tiene

Para la columna F:Presin en El. 12 m = presin en El. 15 m + presin del lquido de Dr 0,700

8 (0,700 x 1000)(15 - 12) OO k 2= -O 1 + -- = 3 g/cm, 104 "

d b . . P d' . 0,03 X 104

30 dque e e ser gual a la preslOn en M. or tanto, la altura e preslOn en M ser --- = O, m e1000

agua, y la columna F ascender 0,30 m por encima de M o bien la elevacin en N es igual a 12,30 m.

Para la columna G:

Presin en El. 8 m = presin en El. 12 m + presin de 4 m de agua

o bien, 1000 x 4 2Po = 0,03 + 104 = 0,43 kgjcm

d b . l l . . R P lid' . . 0,43 x 104

69 d lque e e ser gua a a preslOn en . or tanto, a a tura e preslOn en R sera - = 2, m e1,600 x 1000

lquido y la columna G ascender 2,69 m sobre R o hasta una elevacin de 10,69 m en Q.

(b) Para el manmetro de tubo en D, al utilizar como unidades metros de agua,altura de presin en D = altura de presin en C.

13,57h = altura de presin en El. de 12 m + altura de presin de 8 m de agua13,57h = 0,30 + 8,00

de donde h = 0,61 m.

AP. 1] PROPIEDADES DE LOS FLUIDOS 15

25. Un manmetro diferencial est unido a dos secciones rectas A y B de una tubera horizontal porla que circula agua. La lectura en el manmetro de mercurio es de 0,60 m, siendo el nivel ms cer-cano a A el ms bajo. Calcular la diferencia de presiones entre A y B en kg/cm2 Vase la Figura 1-12.Solucin:

Nota: Un croquis o dibujo ayuda a esclarecer el anlisis de todos los problemas y a reducir las equivoca-ciones. Aun un simple diagrama de una lnea puede servir.

Altura de pre,sin en e = altura de presin en D

o, al utilizar como unidad el m de 'agua, PA/W - Z = [PB/W - (z + 0,60)] + 13,57(0,60)De aqu,y

PA/W - PB/W = difrencia en alturas de presin = 0,6003,57 - 1) = 7,54 m de aguap~ - P~ = (7,54 X 1000)/104 = 0,754 kg/cm2 .

Si (p~ - p~) fuera negativa, la interpretacin correcta del signo sera que la presin en B era 0,754 kg/cm2mayor que la presin en A.

Los manmetros diferenciales deben ser purgados del aire de todos los tubos antes de tomar lecturas.

Agua

A

E

e

Fig.1-12

D

B

0,60 m

T

D 4,50 m

3,60 m

3,00 m

Fig.l-13

26. Se quiere medir la prdida de carga a travs del dispositivo X mediante un manmetro diferencialcuyo lquido manomtrico tiene una densidad relativa de 0,750. El lquido que circula tiene unadensidad relativa de 1,50. Hallar la cada en altura de presin entre A y B a part,r de la lectura ma-nomtrica en el aceite, mostrada en la Figura 1-13.Solucin:

Presin en e en kg/m2 = presin en D en kg/m2PB - (1,50 x 1000)0,60 - (0,750 x 1000)0,90 = PA - (1,50 x 1000)3,30

.. .. 3375 3375De aqu, PA - PB = 3375 kgjm 2 y la diferenCIa en alturas de preSlOn = --- = = 2,25 m de lquido.

W 1,50 x 1000

Otro mtodo:

Al utilizar COffi0 unidad el m de lquido (Dr = 1,50),

altura de presin en e = altura de presin en D

PB 0,750 x 0,90 PA--- - 0,60 - - = - - 3,30W 1,50 W

De aqu, PA/W .. PB/W = diferencia en alturas de presin = 2,25 m de lquido, como antes.

16 PROPIEDADES DE LOS FLUIDOS [CAP. I

27. Los recipientes A y D contienen agua a las presiones respectivas de 2,80 y 1,40 kg/cm2 Cul esla lectura en el manmetro diferencial de mercurio, mostrado en la Figura 1-14?Solucin:

Altura de presin en e = altura de presin en D

2,80 X 104

+ + h = 1,40 X 104

_ + 1357h (en m de agua)1000 x 1000 y ,

Ordenando, (104/1000)(2,80 - 1,40) + x + y = (13,57 - l)h. Al sustituir x + y = 2,00 m y despejar se ob-tiene h = 1,27 m.

El lector habr observado que empleando como unidades el kgjm2 o el kgjcm2 se hacen ms operacionesaritmticas, pero como la probabilidad de cometer errores de concepto es menor se recomienda el uso de talesunidades en lugar de las alturas de presin.

Agua

L Eh-p--

T_S,OOm 90m

1xT 1y_ 3,00 m

h

L DeFig.l-14 Fig.1-15

28. La altura de presin al nivel A-A es de 0,09 m de agua y los pesos especficos del gas y delaire son, respectivamente, 0,560 y 1,260 kg/m 3 . Determinar la lectura en el manmetro de aguade t.ubo en D, que mide la presin del gas al nivel D, segn se muestra en la Figura 1-15. .

Solucin:Se supone que tanto el peso especfico del aire como el del gas permanecen constantes en los 90 m de dife-

rencia en elevacin. Como los pesos especficos del gas y del aire sqn del mismo orden de magnitud, debe tener-se en cuenta el cambio en la presin atmosfrica, con la altitud. Se utilizarn presiones absolutas.

(absoluta) Pe = (absoluta) PD (kg/m2 )(atmosfrica) PE + 1000h = (absoluta) PA. - 0,560 x 90 (A)

Se calcula ahora la presin absoluta en A en funcin de la presin atmosfrica en E, obteniendo primerola presin atmosfrica en F y luego PA.-

(absoluta) PA. = [(atmos.) PE + 1,260(h + 90 - 0,09)J + 0,09 x 1000 (kg/m2 )

Sustituyendo este valor en (A), eliminando PE y despreciando los trminos muy pequeos, se obtiene

1000h = 90(1,260 - 0,560) + 0,09(1000) y h = 0,153 m de agua

~P. 1] PROPIEDADES DE LOS FLUIDOS 17

29. Cul es la presin en el ocano a una profundidad de 1500 m, suponiendo (a) que el agua saladaes incompresible y (b) el agua del mar es compresible y tiene un peso especfico en la superficie de1025 kgjm3 ? E = 21:000 kgjcm2 (constante).Solucin:(a) Presin P = wh = 1025 x 1500 = 15,375 x 105 kg/m 2 (man).(b) Como la masa no vara al comprimirla ni su peso, dW = O; de aqu

dW = d(wv) = w dv + v dw = O o -dv/v = -dw/w (A)De las ecuaciones (JO) y (l2), dp = -w dh y dv/v = -dp/E. Sustituyendo en (A),

dp/E = dw/w (B)Integrando, p = E lo&, w + c. En la superficie, p = Po' w = Wo: de aqu, C = Po - E lo&, Wo Y

IP = E lo&, w + Po - E lo&, Wo o (p - Po) = E log. (w/wo) (C)

-wdh dw EdwPoniendo dp = -w dh en (B), -E- = -w o dh = o Integrando,

w2

h = E/w + C IEn la superficie, h = O, w = Wo; entonces, C I = -E/wo, h = (E/w - E/wo) y, por tanto,

= woE = (1025)(21.000 x 104 ) = 10326 kg/m3w w"h + E (1025)( -1500) + (21.000 x 104 ) ,

recordando que h es positiva hacia arriba y dando E en kg/m2

p = (21.000 X 104 ) lo&, (1032,6/1025) = 15,476 x 105 kg/m2 (man)

(D)

30. Calcular la presin baromtrica en kgfcm2 a una altitud de 1200 m si la presin al nivel del mares de 1,033 kgjcm2 Supnganse condiciones isotrmicas a 21 0 C.Solucin:

El peso especfico del aire a 21 0 C es w = 29,3(2~ + 21)' Por tanto, de la ecuacin (JO),Pdp=-wdh=- dh

29,3(294) odp = -0,000116 dhp

(A)

Integrando (A), lo&, p = -0,000116h + C, donde C es la constante de integracin.Para calcular C: cuando h = O, p = 1,033 X 104 kg/m2 (ab). De aqu, C = lo&, (1,033 X 104 ) y

,

lo&, p = -0,0001l6h + lo&, (1,033 x 104 ) o 0,0001l6h = log. (1,033 x 104/p) (B)Pasando (B) a logaritmos decimales

2,3026 log (1,033 x 104/p) = 0,0001/6(1200),log (1,033 X. 104 /p) = 0,06045, 1,033 x 104 /p = antilog 0,06045 = 1,149351,033 x 104 O 3 2 2

de la cual p = 1,14935 = 9, x 10 kg/m = 0,90 kg/cm .

31 Deducir la expresin general que da la relacin entre la presin y la elevacin, cuando las condi-ciones son isotrmicas, mediante dp = - w dh.Solucin:

.p d' . ... l . . P Po o P Po Para con IClones Isotermlcas, a ecuaClOn - = -- se translorma en - = - o w = Wo -'

wT woTo w Wo PoPor tanto. dh = - dp. = _ po x dp Integrando, (h dh = _~ (P dp Y

W lAJa P Jh o W o Jvo p

h - ho = -1!:'.-(lOg, p - log, po) = + 1!:'.-(log, po - log, p) = ~ log, poW o W o W o p

En realidad, la temperatura de la atmsfera disminuye con la altitud. De aqu, que una solucin exacta re-quiera el conocmiento de la~ variaciones de la temperatura con la altitud para utilizar la ley de los gasesp/wT = constante.

18 PROPIEDADES DE LOS FLUIDOS [CAP. I

32. Desarrollar una expresin que rela-cione la presin manomtrica p quereina en el interior de una gota de lqui-do y la tensin superficial (J.Solucin:

La tensin superficial que acta sobrela superficie de una gota de lquido da lugara que la presin en el interior de la gota seasuperior a la presin exterior.

La Fig. 1-16 muestra las fuerzas queproducen el equilibrio en la direccin X demedia gota de dimetro d. Las fuerzas a dLse deben a la tensin superficial que actasobre el permetro y las fuerzas dPx son lascomponentes en la direccin X de las fuer-zas p dA (vase Captulo 2). Por tanto, de

~X = O,

1yd }-x

=;:.dL 1 z---udL'

Fig.1-16

suma de fuerzas hacia la derecha = suma de fuerzas hacia la izquierdaa SdL = SdPx

tensin superficial x permetro = presin x proyeccin del reaa(nd) = p(nd2/4)

o p = 4a/d en kg/m 2 (man). Las unidades de la tensin superficial son kgJm.Se observa que cuanto menor es la gota, mayor es la presin.

33. Una pequea gota de agua a 27 C est en contacto con el aire y tiene un dimetro de 0,50 mm.Si la presin en el interior de la gota es 5,80 x 10- 3 kg/cm2 mayor que la atmosfrica, cul esel valor de la tensin superficial?

Solucin:a = ipd = i (58) kgJm2 x (0,5 x 10- 3 ) m = 0,029 kgJm

34. Calcular la altura aproximada a la que ascender un lquido que moja el vidrio en un tubo capilaren contacto con la atmsfera.Solucin:

La elevacin en un tubo de dimetro pequeo puede calcularse aproximadamente considerando como cuer-po libre la masa de lquido ABCD que se muestra en la Figura 1-17.

Como ~Y debe ser igual a cero, se obtienecomponentes verticales de las fuerzas debidas a la tensin superficial - peso del volumen ABCD hacia abajo

+ fuerza de la presin sobre AB hacia arriba - fuerza de la presin sobre CD hacia abajo = O.o + (a SdL) sen a - w(nd2/4 x h) + p(rea AB) - p(rea CD) = O

Se ve que las presiones en los niveles AB yCD son iguales ambas a la atmosfrica. Por tan-to, los dos ltimos trminos del primer miem-bro se anulan entre s y, como a SdL = a(nd),se obtiene

4a sen ah = en metros

wdPara un mojado total, como ocurre con el

agua en contacto con vidrio muy limpio, el n-gulo a es prcticamente 90. No puede garanti-zarse una mayor aproximacin.

En los trabajos experimentales, para evitarerrores de consideracin debidos a la capilari-dad deben utilizarse tubos de dimetro de apro-ximadamente 10 mm o mayores.

:AP. 1] PROPIEDADES DE LOS FLUIDOS 19

35. Calcular la altura a la que ascender en un tubo capilar, de 3,00 mm de dimetro, agua a 21 0 C.

Solucin: De la Tabla l(e), (J = 0,00740 kg/m. Suponiendo un ngulo C( = 90, supuesto el tubo limpio,4(J 4 x 0,00740 kg/m

h = - = = 0,0099 m = 9,90 mm.wd 1000 kg/m3 x 3 x 10 3 m i

Problemas propuestos36. Si la densidad de un lquido es de 85 UTM/m 3 , determinar su peso especfico y su densidad relativa.

Sol. 834 kg/m3 , 0,834

37. Comprobar los valores de la densidad y del peso especfico del aire a 30 C dados en la Tabla 1(B).38. Comprobar los valores de los pesos especficos del anhidrido carbnico y del nitrgeno dados en la Tabla I(A).39. A qu presin tendr el aire un peso especfico de 1,910 kg/m3 si la temperatura es de 50 C?

Sol. 1,80 kg/cm 2 (ab)40. Dos metros cbicos de aire, inicialmente a la presin atmosfrica, se comprimen hasta ocupar 0,500 m3 Para

una compresin isotrmica, cul es la presin final? Sol. 4,132 kg/cm2 (ab)41. En el problema precedente, cul ser la presin final si no hay prdidas de calor durante la compresin?

Sol. 7,20 kg/cm2 (ab)42. Determinar la viscosidad absoluta del mercurio en kg seg/m2 si en poises es igual a 0,0158.

Sol. 1,61 x 10- 4 kg seg/m2

43. Si la viscosidad absoluta de un aceite es de 510 poises, cul es la viscosidad en el sistema kg-m-seg?Sol. 5,210 kg seg/m2

4

20 PROPIEDADES DE LOS FLUIDOS [CAP. I

B

Fig.I-2050. Los recipientes A y B, que contienen aceite

y glicerina de densidades relativas '0,780 y1,250, respectivamente, estn conectados me-diante un manmetro diferencial. El mercu-rio del manmetro est a una elevacin de50 cm en el lado de A y a una elevacin de35 cm en el lado de B. Si la cota de la super-ficie libre de la glicerina en el depsito B esde 6,40. m, a qu cota est la superficie libredel aceite en el recipiente A?Sol. Cota 7,60 m

51. Un depsito A, a una elevacin de 2,50 m, contiene agua a una presin de 1,05 kgjcm2 . Otro depsito B, anaelevacin de 3,70 m, contiene un lquido a una presin de 0,70 kgjcm2 . Si la lectura de un manmetro diferenciales de 30 cm de mercurio, estando la parte ms baja en el lado de A y a una cota de 30 cm, determinar ladensidad relativa del lquido contenido en B. Sol. 0,525!

49. Con referencia a la Fig. 1-20 Ydespreciando el rozamiento entre el pistn A y el cilindroque contiene el gas, determinar la presinmanomtrica en B en cm de agua. Supnga-se que el gas y el aire tienen pesos especficosconstantes e iguales, respectivamente, a 0,560y 1,200 kgjm3 Sol. 60,60 cm de agua.

52. El aire del recipiente de la izquierda de la Fig. 1-21 est a unapresin de - 23 cm de mercurio. Determinar la cota del lquidomanomtrico en la parte derecha, en A.Sol. Elevacin 26,30 m '

53. Los compartimientos B y e de la Fig. 1-22 estn cerrados y He-nos de aire. La lectura baromtrica es 1,020 kgjcm2 Cuando losmanmetros A y D marcan las lecturas indicadas, qu valor ten-dr x en el manmetro E de mercurio?Sol. 1,80 m

54. El cilindro y el tubo mostrados en la Fig. 1-23 contienen aceitede densidad relativa 0,902. Para una lectura manomtrica de 2,20kgjcm2 , cul es el peso total del pistn y la placa W?Sol. 60.100 kg

I Man-metro0= e 1- 1,30 m2,1 kg/cm2= 1-

--lB :J: 2S cm~T ~ T

Aire Aire

Fig-.1;22 Fig.I-23

CAP. 1] PROPIEDADES DE LOS FLUIDOS 21

SS. Con referencia a la Fig. 1-24, qu presin manomtrica de Ahar que la glicerina suba hasta el nivel B? Los pesos especficosdel aceite y glicerina son 832 y 1250 kg/m3 , respectivamente.Sol. i 0,35 kg/cm2

56. Para levantar una plataforma de 10 toneladas se utiliza un gatohidrulico. Si en el pistn acta una presin de 12 kg/cm2 y estransmitida por un aceite de densidad relativa 0,810, qu di-metro se requiere? Sol. 32,60 cm

57. Si el peso especfico de la glicerina es 1260 kg/m3 , qu presinde succin se requerir para elevar la glicerina 22 cm en un tubode 12,50 mm de dimetro?Sol. - 277 kg/m2

58. Cul es el valor de la presin interior en una gota de lluvia de1,50 mm de dimetro si la temperatura es de 21 C?Sol. 19,70 kg/m2 (man)

Fig.l-24

B

Captulo 2

Fuerzas hidrostticas sobre las superficies

INTRODUCCIONEl ingeniero debe calcular las fuerzas ejercidas por los fluidos con el fin de poder disear satis

toriamente las estructuras que los contienen. En este captulo se evaluarn las tres caractersticas defuerzas hidrostticas, a saber: mdulo, direccin y sentido. Adems se determinar tambin la lo.q, donde cada t>.q viene dado por v(t>.An

).De la Fig. 6-4(b), A'B' = t>.A n = t>.y cos rx. De donde q = L v(t>.y cos rx) = L l'xt>.y por unidad de anchura.

13. (a) Explicar brevemente el procedimiento para dibujar la red de corriente en el caso de un flujobidimensional permanente de un fluido ideal entre los contornos dados en la Figura 6-5.

(b) Si la velocidad uniforme en la seccin 2 es igual a 9,0 m/seg y los valores de ~n2 son igualesa 3 cm, determinar el caudal q y la velocidad uniforme en la seccin 1, donde los An 1 soniguales a 9 cm.

CAP. 6] FUNDAMENTOS DEL FLUJO DE FLUIDOS 79

Fig.65

l. En una seccin entre contornos parale-los se divide el flujo en un cierto nme-ro de bandas de igual anchura /);n (su-puesto que se ha tomado del flujo unacapa, de espesor unidad, perpendicu-lar al dibujo). Cada banda representaun tubo de corriente limitado por l-neas de corriente o bien por lneas decorriente y uno de los contornos. As,el flujo total queda dividido en flujos parciales iguales'por cada una de las bandas y /);q ~ t:{/);n) ~ cons-tante, donde /);n se mide normalmente a la velocidad local. Como /);q ~ l'/);n ~ l'z/);n z, se deducevlvz ~ /);nzl/);n ~ /);5zl/);5. Cuanto menores son los valores de /);n y /);5 ms exactas son las rela-ciones anteriores. Se escogen el nmero suficiente de lneas de corriente para que la exactitud sea acep-table, sin entrar en innecesarios refinamientos y detalles en el dibujo.

2. Para determinar las direcciones de las lneas de corriente se dibujan las lneas normales a aqullas o l-neas equipotenciales. Estas lneas estn espaciadas de forma que /);5 = /);n. Las lneas equipotencialesson ortogonales a las lneas de corriente en cada punto de interseccin y a los contornos ya que stosson lneas de corriente. De esta forma el diagrama obtenido se asemeja a un grupo de cuadrados (apro-ximadamente) a travs de toda la red de corriente.

3. En las zonas prximas y all donde los contornos cambian de forma na se pueden mantener los cua-drados, variando la configuracin de la red de corriente, y para obtenerla de la manera ms correctasera necesario comprobarla dibujando las diagonales a travs de todos los cuadrados (curvilneos).Las dos familias de diagonales formarn tambin una red aproximadamente cuadrada.

4. Muchas veces los mismos contornos son lneas de corriente verdaderas. Si no sucede as, la red de co-rriente no representa la configuracin real del flujo. Por ejemplo, cuando el flujo se separa del con-torno, en esta regin no puede utilizarse el contorno como una lnea de corriente. En general, cuandolas lneas de corriente son divergentes se dan las condiciones para que se pueda producir el fenmenode la separacin.

La solucin matemtica de los flujos irrotacionales est basada en la definicin de lajuncin de co-rriente, cuya definicin incluye el principio de continuidad y las propiedades de una lnea de corriente. Elcaudal ijJ entre dos lneas de corriente cualesquiera es constante (ya que el flujo no puede atravesar las l-neas de corriente), y si ijJ puede expresarse en funcin de x e y pueden dibujarse las lneas de corriente. An-logamente, las lneas equipotenciales pueden definirse por 4>(x, y) = constante. A partir de estas expre-siones es factible deducir que

Solucin:(a) El procedimiento para dibujar la red de

corriente en este caso puede aplicarse a ca-sos ms complejos. Para un fluido ideal seprocede como sigue:

y

u = 3ijJI3y Y v = -3ijJ13xu = -34>!3x y v = -34>13y

para las lneas de corriente

para las lneas equipotenciales

Estas ecuaciones han d satisfacer a la ecuacin de Laplace, es decir,

cJ'f + cJ'f_cJx' cJy' o o o

oy la ecuacin de continuidad

~ + avcJx ay

En general, se determinan y dibujan las funciones equipotenciales. A continuacin se trazan las lneas decorriente, ortogonales a las anteriores, obteniendo la red de corriente.

Este tipo de soluciones exactas pueden verse en textos de Mecnica de Fluidos Superiores, en Hidro-dinmicas o en los de Teora de Funciones de Variable Compleja.

(b) Caudal/unidad de anchura = q = I: /);q = qa + qb + qc + qd + qe = 5(t:z)(An,)Para 1 unidad de anchura, A

n, = 1(/);nz) y q = 5(9,0)(1 x 0,03) = 1,35 m 3/seg por unidad de anchura.

Por tanto, para fuI = 0,09 m, 5 v(0,09 x 1) = 1,35, de donde V = 3,0 m/seg.VI puede determinarse tambin a partir de: vjvz ~ /);nzlful, vj9,0 ~ 0,03/0,09, v = 3,0 m/seg.

80 FUNDAMENTOS DEL FLUJO DE FLUIDOS [CAP.

14. Dibujar las lneas de corriente y equipotenciales para las condiciones de contorno dadas enFig. 6-6. (Las reas que estn sin terminar de dibujar se dejan para que las utilice el lectOr.)Solucin:

Fig. 6-6

l. En las zonas donae el flujo tiene lugar entre contornos paralelos se divide la anchura total en 4 partes igual,o tubos de corriente (en AA y en BB). Hay que tratar de dibujar la trayectoria de una partcula a lo largo (una de estas lneas de corriente, dibujando, por ejemplo, la lnea 1-1 (vase el problema precedente). Se pncede en igual forma con el resto de las lneas de corriente.

2. Las lneas equipotenciales han de ser ortogonales, tanto a las lneas de corriente como a los contornos, etodos los puntos. Se han de esquematizar de manera que formen aproximadamente cuadrados. Partiendde la seccin centraL se dibujan estas lneas ortogonales en cada direccin. Antes de obtener una red de C(rnente de manera satisfactoria ser necesario utilizar con frecuencia la goma de borrar.

3. Se dibujan las diagonales (a trazos en la figura) para comprobar la bondad de la red de corriente. Estas di;:gonales deben formar tambin una red cuadrada.

4. En la figura la zona e se ha dividido en 8 tubos de corriente. Se observa que los cuadrilteros curvilneoms pequeos se aproximan en su forma a cuadrados ms que los de mayor tamao. Cuanto mayor sea (nmero de tubos de corriente, la red de corriente ser ms cuadrada.

15. En la Fig. 6-7 se representa una lnea de co-rriente correspondiente a un flujo bidimensio-nal y las lneas equipotenciales, ortogonales alas primeras, y representadas por los segmentosnumerados del 1 al 10. La separacin entre laslneas equipotenciales se da en la segund~ co-lumna de la tabla que figura ms adelante. Sila velocidad media entre 1 y 2 es 0,500 m/seg,calcular (a) las velocidades medias entre cadados lneas equipotenciales y (b) el tiempo quetardar una partcula fluida en recorrer el es-pacio entre 1 y 10 a lo largo de la lnea de co-rriente.Solucin:(a) Utilizando las relaciones entre la velocidad y f1n del Problema 13,

Fig.6-7

1

Adems

Por tanto, V2 - 3 ~ Vl-2(~Sl-2/~S2-3) = 0,500(0,500/0,400) = 0,625 m/seg. Anlogamente, V3 - 4 =0,500(0,500;0,300) = 0,833 m/seg, etc. Los valores as obtenidos para las velocidades medias se dan en \;siguiente tabla.

CAP. 6] FUNDAMENTOS DEL FLUJO DE FLUIDOS

v = 0,500(O.500!~S) I = (~S)!VPosicin ~S(m) ~Sl-2!~S m!seg seg

1-2 0,500 1,000 0,500 1.0002-3 0,400 1,250 0,625 0,6403-4 0,300 1,667 0,833 0.3604-5 0,200 2,500 1,250 0,1605-6 0,100 5,000 2,500 0,0406-7 0,0700 7,143 3,571 0,0207-8 0,0450 11,11 5,56 0,0088-9 0,0300 16,67 8,33 0,0049-10 0,0208 24,00 12,00 0,002

L = 2,234 seg

81

(b) El tiempo que tarda una partcula en recorrer de 1 a 2 es igual a la distancia entre 1 y 2 dividida porla velocidad media entre 1 y 2 o bien /1-2 = (0,500/0,500) = 1,000 seg. Anlogamente, /2 -3 = (0,400/0,625)= 0,640 seg, El tiempo total que tarda en recorrer la distancia entre l y 10 es igual a la suma de los tr-minos de la ltima columna, es decir, 2,234 seg.

16. Deducir la expresin del coeficiente rx de correccin de la energa cintica para un flujo perma-nente e incompresible,Solucin:

La energa cintica de una partcula es t dM v2 , y la energa total de un flujo fluido ser!z ((dM) v2 = -Zl ( ~(dQ)V2 = W f (v dA)v2JA J" g Zg A

Para calcular esta expresin debe extenderse la integral a toda el rea A.La energa fintica calculada mediante la velocidad media en una seccin transversal es t(wQ/g)V';' =

t(wA/g)V;v' Aplicando a esta expresin un coeficiente de correccin ex e igualando el resultado a la energa ci-ntica verdadera, se obtiene

a (wA)(V;v) = Zw f(VdA)V 2Zg g A

o 1 S va = -- ( --)" dAA A Vav17. Un lquido est fluyendo a travs de una tubera circular, Para una distribucin de velocidades

dada por la ecuacin v = vmax(r~ - r2 )/r~, calcular el coeficiente de correccin de la energa ci-ntica rx,

(a)Fig. 68

dA-rF;)?r

~(b)

Solucin:Es necesario calcular la velocidad media para aplicar la frmula obtenida en el Problema 16, A partir de

la ecuacin de continuidad,

v" = .!l = f v dA, A ;r1'~

f (vm,,/r~)(1'~ - 12)(Z".1' d1') 2V maxf'O 2 ' 1 V max= -- (1' 1'-1")(1' = ---r: r: o o 2

Este valor podra haberse obtenido tambin al considerar que la ecuacin dada representa una parbola y queel volumen del paraboloide generado por dicha distribucin es igual a la mitad del volumen del cilindro circuns-crito, Por tanto,

_ volumen/segrea de la base

~(r.1'~)vmax1Tr~

V max

2

82 FUNDAMENTOS DEL FLUJO DE FLUIDOS

Utilizando el valor de la velocidad media en la ecuacin que da IX,

[CAP. 6

= ~S(-~)3dAa A A V av

(Vase Flujo laminar en el Capitulo 7.)

_1__ S'O(1'max(r~ - r2)1r~)3 2- d2 I .. r r

;ro o :2 V max2,00

18. A travs de una tubera de 15 cm de dimetro est fluyendo aceite de densidad relativa 0,750 auna presin de 1,05 kg/cm 2 Si la energa total respecto de un plano de referencia situado 2,40 mpor debajo del eje de la tubera es de 17,6 kgm/kg, determinar el caudal de aceite en m 3/seg.Solucin:

Energa por kg de aceite = energa de energa cintica (altura energapresin + de velocidad) + potencial

1,05 X 104 V~517 6 = ------ + -- + 240

, 0,750 x 1000 2g ,

de donde VI5 = 4,85 m/seg. Por tanto, Q = A I5 V I5 = !n(0,15Z x 4,85 = 86 x 10- 3 m3/seg.

19. Una turbina produce 600 CV cuando el caudal de agua a travs de la misma es de 0,60 m 3/seg.Suponiendo un rendimiento del 87 %, qu altura acta sobre la turbina?Solucin:

Potencia de salida (CV) = potencia consumida (CV) x rendimiento = (wQHT /75) x rendimiento600 = (1000 x 0,60 x Hrl75)(0,87) y H T = 86,3 m.

20. Deducir las ecuacIOnes del movimiento para un flujo permanente y un fluido cualquiera.Solucin:

Se considera como cuerpo libre la masa elemental de fluido dM mostrada en la Fig. 6-9(a) y (b). El movi-miento tiene lugar en el plano del papel y se escoge el eje x paralelo a la direccin del movimiento. No se hanrepresentado las fuerzas que actan sobre el cuerpo libre dM en direccin normal al movimiento. Las fuerzasque actan en la direccin x se deben a (1) las presiones que actan sobre las caras de los extremos, .(2) la com-ponente del peso y (3) las fuerzas cortantes (dFs en kilogramos) ejercidas por las partculas fluidas adyacentes.

Fig. 6-9(a)

De la ecuacin del movimiento l:.Fx = Max ' se obtiene

[-~ p dA - (p + dp)dA - 1!' dA di sen eL - dFs]

Dividiendo (1) por w dA y sustituyendo dl/dt por la velocidad V,

[ E._E.._dP-dlsene - dFsJ =10 10 10 I 10dA

Fig. 6-9(b)

10 dA dl(~~)g dt

VdVg

(1)

(2)

CAP. 6] FUNDAMENTOS DEL FLUJO DE FLUIDOS 83

dFEl trmino __s_ representa la resistencia que se opone al movimiento en la longitud dI. Las fuerzas cor-

wdAtantes dFs pueden sustituirse por el producto de la tensin cortante rpor el rea sobre la que acta (perimetro xlongitud), es decir, dFs = T dP dI.

dFs T dP dI T dIAs, -- = --- = ._, donde R se conoce con el nombre de radio hidrulico y se define como el co-w dA w dA wR

ciente del rea de la seccin recta por el perimetro mojado o.. en este caso, dA/dP. La suma del trabajo realizadopor todas las fuerzas cortantes mide la prdida de energia debida al flujo, y, medida en kgm/kg, ser

T dI kg/m 2 x mprdida de carga dhL = - = = m

wR kg/m3 x m2/m

Para futuras referencias, T (dhL)wR dI (3)

Volviendo sobre la expresin (2), como dI sen Ox = dz, adopta finalmente la forma

(4)odp VdV- + -- + dz + dh LW g

Esta expresin se conoce con el nombre de ecuacin de Euler cuando se aplica a un fluido ideal (prdidade carga = O). Al integrar la ecuacin anterior, para fluidos de densidad constante, se obtiene la lImada ecua-cin de Bernoulli. La ecuacin diferencial (4), para flujos permanentes, es una de las ecuaciones fundamentalesdel flujo de fluidos.

CASO I. Flujo de fluidos incompresiblesPara fluidos incompresibles la integracin es como sigue:

J'1'2 dp J''"2 V dV J"2 52- + -- + dz + I dh LPi W VI g zl o (A)Los mtodos de clculo del ltimo trmino se discutirn en los captulos sguientes. El trmino de la pr-

dida de carga total se representa por H v Al integrar y sustituir lmites,

(E!.. _ E!.) + (V; _ V;) + (Z2 - Zl) + HL OW W 2g 2g

( P2 + V; + Z2)W 2g

que es la forma ms conocida del teorema de Bernoulli, aplicable al flujo de fluidos incompresibles (sin adicinde energa exterior).

CASO 2. Flujo de fluidos compresibles.

5"2 dPara fluidos compresibles el trmino .-E no puede integrarse hasta no conocer la expresin de w enPI Wfuncin de la variable p. La relacin entre w y p depende de las condiciones termodinmicas implicadas.

(a) Para condiciones isotrmicas (temperatura constante) la ecuacin general de los gases puede expresarseen la forma

pdw = p/w = 'constante o w = (wdh)Pdonde wdp es una constante y p viene en kg/m 2 , siendo presin absoluta. Sustituyendo en la ecuacin (A),

J'''2 dp J'''2 V dV J'~2 J'2-.,------'-.-;-- + -- + dz + dh LPI (WI/P)P VI g '1 IIntegrando y sustituyendo lmites, ~ In E3.. + (V; _ Vi) +

en la forma ms conocida, WI Pi 2g 2g

O

O o bien puesta

V 2!!.!- In PI + ---'- + 2, - H,11)1 2g (B)

84 FUNDAMENTOS DEL FLUJO DE FLUIDOS [CAP. 6

(e)[ !2 In p, + V; + z,Jw, 2g

Al combinar esta ecuacin con la de continuidad y 1

CAP. 6] FUNDAMENTOS DEL FLUJO DE FLUIDOS 85

Por la ecuacin de continuidad A 30 V30 = A 15 V15 ' de dondeV30 = (~)2VI5 = ;JYI5, Y vio = n,Vi5' Por la lectura manomtrica,

altura de presin en L = altura de presin en R (m de agua)PA/W + z + 0,358 "= Pa/w + 0,75 + z + (0,358)(13,6)

de la cual (pA/W - PB/W) = 5,26 m de agua. Sustituyendo en (1), se ob-tiene V15 = 9,7 m/seg y Q = !n(0,15)2 x 9,7 = 0,172 m3/seg.

22. En el venturmetro mostrado en la Fig. 6-11 la lectura del ma-nmetro diferencial de mercurio es 35,8 cm. Determinar elcaudal de agua a travs del venturmetro si se desprecian lasprdidas entre A y B.Solucin:

Aplicando la ecuacin de BernouIli entre - A Y R, tomando comoplano de referencia el horizontal que pasa por A,

V2 V2(E,-t + --.2() + O) - = (PB + --'-~ + 0,75)W 2g W 2g

yv2 V;(PA _ PB) = (~_ ~ + 0,75)

W W 2g 2g(1)

L -

Fig. 6-11

75.0 cm

-+z-t-

35.8 cm

--lR

23. Una tubera, que transporta aceite de densidad relativa 0,877, pasa de 15 cm de dimetro, en laseccin E, a 45 cm en la seccin R. La seccin E est 3,6 m por debajo de R y las presiones sonrespectivamente 0,930 kgjcm2 y 0,615 kgjcm2 Si el caudal es de 146 ljseg, determinar la prdidade carga en la direccin del flujo.Solucin:

Velocidad media en una seccin = Q/A. Por tanto,0,146 0,146

V15 = 1 2 = 8,26 m/seg Y V45 = 1 \2 = 0,92 m/seg4n(0,15) 4n(0,45Utilizando, como plano de referencia, el horizontal que pasa por la seccin ms baja E, la energa en cada

seccin ser:

en E, P Vr 5 0,930 x 104 (8,26)2 (- +~ + z) = + -- +

W 2g 0,877 x 1000 2g 13,75 kgm/kg

V 2 O615 X 104 (O 92)2en R, (f +~ + z) = ' + -'- + 3,60 = 10,65 kgm/kg

W 2g 0,877 x 1000 2gEl flujo tiene lugar de E a R, ya que la energa de E es mayor que la de R. La prdida de carga se

determina haciendo el balance de energa entre E y R, tomando como plano de referencia el horizontal que pasapor E: 13,75 - prdida de carga = 10,65 o bien prdida de carga = 3,10 m, de E a R.

24. Considerar que a travs del venturmetro del Problema 22 fluye aire a 27 C y que la presin ma-nomtrica en A es igual a 2,65 kgjcm2 . La lectura del manmetro es de 35,8 cm de agua. Suponien-do que el peso especfico del aire no vara entre A y B Y que la prdida de energa es despreciable,determinar el caudal en peso, kgjseg, de aire que est circulando.Solucin:

Aplicando la eCuacin de l energa entre A y R, tomando como plano de referencia el que pasa por A, comoPA PB 15 Vr5

en el Problema 22, se obtiene (- - -) = -~ ~ + 0,75. (1)W w 16 2g

Para obtener la altura de presin del fluido que circula es necesario calcular el peso especfico del aire.

P (2,65 + 1,030)104 3W = RT = 29,3(27 + 273) = 4,20 !'g/m

86 FUNDAMENTOS DEL FLUJO DE FLUIDOS [CAP.

En el manmetro diferenciaL PL = PR (en kg/m 2 , manomtrica)o bien PA + 4,20(:: + 0,358) = PB + 4,20(0,75 + ::) + 1000(0,358)y (PA - PB) = 359,6 kg/m 2 Sustituyendo en (1), se obtiene VI5 = 42,2 m/seg y

W = uQ = 4,20[n(0,15)2 x 42,2] = 3,12 kg/seg de aire

25. Un conducto por el que circula aire reduce su seccin recta de 7,0 x 10- 2 m 2 a 2,0 x 10- 2 m;Suponiendo que no existen prdidas, cul es la variacin de presin que tiene lugar si estn fltyendo 0,70 kg/seg de aire? (Utilizar w = 3,200 kg/m 3 para la presin y temperatura implicadasSolucin:

0,70 kg/seg 3 Q 0,218 Q 0,218Q = ------.- = O218 m /seg VI = - = -- = 312 m/seg V2 = - = --- = 10 9 m/seg.3,2 kg/m 3 ' " Al 0,07 ' " A 2 0,02 '

Al aplicar la ecuacin de Bernoulli entre las secciones 1 y 2 se obtiene

(3 12)2 (lO 9)2(PI + _'_ + O) _ O = (P2 + -'- + O)w 2g w 2g

o bien PI P2 .(- - -) = 5,60 m de airew w

y PI' - P2' = (5,60 X 3,200)/104 = 1,8 x 10- 3 kg/cm2, como variacin de presin. Esta pequea variaciIen la presin justifica la hiptesis de densidad constante del fluido.

26. Una tubera de 15 cm de dimetro y 180 m de longitud transporta agua desde A, a una elevacirde 24,0 m, hasta B, a una elevacin de 36,0 m. La tensin debida a la friccin entre el lquido y la:paredes de la tubera es igual a 3,05 kg/m2 . Determinar la variacin de presin en la tubera y l~prdida de carga.Solucin:(a) Las fuerzas que actan sobre la masa de agua son las mismas que aparecen en la Figura (b) del Problema 20.

Mediante PI = PI A l5 , P 2 = P2AI5 se obtiene, aplicando 'LF" = O,

P I AI5 - P2AI5 - W sen ex - r(nd)L = O

Ahora bien, W = w(volumen) = 1000[!n(O,15)2 x 180] y sen Ox = (36,0 - 24,0)/180. Por tanto,PI[!n(O,IW] - Pz[!n(O,IW] - 1000[!n(O,IW x 180] x 12/180 - 3,05(n x 0,15 x 180) = O

de donde PI - P2 = 26.640 kg/m2 = 2,664 kg/cm2.

(b) Mediante la ecuacin de la energa, tomando como plano de referencia el horizontal que pasa por A,energa en A - prdida de carga = energa en B

PA V~ . . PB V~(- + - + O) - perdida de carga = (- + - + 12)w ~ w ~

o prdida de carga = (PA/W - PB/W) - 12 = 26.640/1000 - 12 = 14,64 m.

Otro mtodo:

M d ' 1 d 1 P bl 2 . d'd d rL 3,05(180)e ante a (3) e ro ema O, per I a e carga = wR = 1000(0,15/4l = 14,64 m.

27. El agua, a 32 C, contenida en un pozo debe ser extrada a una velocidad de 2,0 m/seg a travs dela tubera de succin de una bomba. Calcular la altura terica mxima a que puede colocarse lalbomba bajo las siguientes condiciones: presin atmosfrica = 1,00 kg/cm2 (ab), presin de vapor = i0,05 kg/cm 2 (ab) [vase Tabla 1(el] y prdida de carga en la tubera de succin = 3 veces la al,tura de velocidad. I

I

CAP. 6] FuNDAMENTOS DEL FLUJO DE FLUIDOS 87

Solucin:El peso especfico del agua a 32 C es, segn la Tabla 1(C), 995 kg/m 3 La presin mnima a la entrada

de la bomba no puede exceder a la presin del vapor del liquido. Se aplca ahora la ecuacin de la energaentre la superficie lbre del agua fuera de la tubera de succin y la seccin de entrada en la bomba, utilizandoalturas de presin absolutas.

Energa en la superficie del agua ~ prdida de carga = energa en la entrada de la bomba

1,00 x lO'; 3(2.0)2 0,05 x lO'; (2,0)2(--- ---- + O t- O) ~ - = ( ._.- -- -- + -.~ + z)995 2g 995 2;;

de donde z = 8,74 m sobre la superficie libre del agua.

En estas condciones es probable que tengan lugar serios deterioros debidos a la cavitacin. Vase Cap-tulo 12.

28. En el sistema mostrado en la Fig. 6-12 labomba Be debe producir un caudal de160 ljseg de aceite, Dr = 0,762, hacia elrecipiente D. Suponiendo que la prdida deenerga entre A y B es de 2,50 kgm/kg yentre e y D es de 6,50 kgm/kg, (a) qu po-tencia en CV debe suministrar la bomba ala corriente? (b) Dibujar la lnea de alturastotales.Solucin:(a) La velocidad de las partculas en A y D es tan

pequea que pueden despreciarse las alturasde velocidad.

La ecuacin de la energa entre A y D,con plano de referencia el que pasa por BC(tambin podra tomarse el que pasa por A),

El. 15 m

Fig. 6-12

j)A -L- V; V'( - -, -2 .- z.\) + Hbomba ~ H d = (P!) -r 2-g0 + zJ))1{ g ;>er Ul(O + desprec. + 12) + Hbomha - (2.50 + 6.50) = (O + desprec. + 57)

y Hbomba = 54,0 m (o kgm/kg).Potencia (CV) = WQHbomba75 = (0,762 x 1000)(0,16)(54 )!75 = 88 CV suministrada al sistema.Obsrvese que la bomba ha de suministrar una carga suficiente para subir el lquido 45,0 m y vencer

las cargas debidas a las prdidas en las tuberas. Por tanto, comunica al sistema una carga de 54,0 m.

(b) La lnea de alturas totales en A tiene una elevacn de 15,0 m sobre el plano de referenca de cota cero.De A a B la prdda de energa es de 2,5 m y la lnea de alturas totales caer esta misma altura, lo que daen B una elevacn de 12,5 m. La bomba comunica una energa por unidad de peso de 54,0 m y la eleva-cin en e ser de 66,5 m. Fnalmente, la prdida de energa entre e y D es de 6,5 m y la elevacnen D = 66,5 - 6,5 = 60,0 m. Estos resultados se reflejan en la Figura 6-12.

29. A travs de la turbina de la Fig. 6-13 circulan 0.22 m3/seg de aguay las presiones en A y B son iguales, respectivamente, a 1,50 kg!cm 2y -0,35 kg/cm 2 . Determinar la potencia en CV comunicada por lacorriente de agua a la bomba.Solucin:Medante la ecuacin de la energa entre A y B (plano de referencia por B), con

V30 = 0,22/04 30 = 3,12 Y V60 = 3,12;/4 = 0,78 m;seg, Fig. 6-13

88 FUNDAMENTOS DEL FLUJO DE FLUIDOS [CA

1,5 X 104 3,122 -0,35 X 104 0,782(~1~ + 2i- + 1,00) - H T = (------oO-+~ + O) y H T ~ 20,0

Potencia (CV) = wQHT/75 = 1000(0,22)(20,0)/75 = 59,0 CV comunicados a la turbina.

y

(a)

(b)

JO. En la turbina del Problema 29, si la potencia extrada de la corriente es de 68,0 CV y las pre:nes manomtricas en A y B son 1,45 kg/cm 2 y -0,34 kg/cm2 , respectivamente, cul es el caude agua que est fluyendo?Solucin:

Aplicando la ecuacin de la energa entre A y B (plano de referencia el que pasa por B),

1,45 x 104 V~o -0,34 X 104 V~o ( 1000 + 2i + 1,0) - H T = ( 1000 + 2g + )

_ 1,79 X 104 V~o _ v~O)H T - (-1000 + 1,0 + 2g 2g

vio 1 4 V~o 1 V~oA 30 V30 = A 60 V60 o 2i = (2) 2i = 16 2i

(e) 72,2H T =--V30Mediante las ecuaciones (a) y (e) (sustituyendo la altura de velocidad), 72,2/V30 = 18,9 + (l5/16)(V~o/2g) o bi,

18,9 V30 + 0,048 vjo = 72,2Resolviendo esta ecuacin por tanteos:

Tanteo 1.0 V30 = 3,5 m/seg, 66,2 + 2,10 i= 72,2 (debe aumentarse V)Tanteo 2. V30 = 4,0 m/seg, 75,6 + 3,07 i= 72,2 (solucin entre ambas)Tanteo 3. V30 = 3,7 m/seg, 70,0 + 2,43 = 72,2 (solucin)

El caudal Q = A 30 V30 = tn(0,3f x 3,7 = 0,262 mJ/seg.

31. Un aceite, de densidad relativa 0,761, estfluyendo desde el depsito A al E, segnse muestra en la Fig. 6-14. Las distintasprdidas de carga puede suponerse vienendadas como sigue:

de A a B = 0,60 ~~ de CaD = 0,40 ~~5de B a C = 9 v~o de D a E = 9 vi 5

, 2g , 2g

Determinar (a) el caudal Q en m 3/seg,(b) la presin en C en kg/cm2 y(e) la potencia en C, en CV, to-

mando como plano de re-ferencia el que pasa por E.

JO cm D

Fig. 6}4

1

Solucin:(a) Aplicando la ecuacin de la energia entre A y E,

en A de A a B de B a eplano de referencia el que pasa por E,

de e a D de D a E en E

V~O V~o vfs vfs(O + despr. + 40,0) - [(0,60 - + 9,0 -) + (0,40 - + 9,0 ~-)J = (O + despr. + O)2g 2g 2g 2g

-- ---

CAP. 6] FUNDAMENTOS DEL FLUJO DE FLUIDOS 89

o bien 12,0 = 9,6(V~o/2g) + 9,4(Vi7/2g). Adems, V~o = (!j4vis = ftvis. Sustituyendo y despejando,Vis/2g = 1,2 m, VIS = 4,85 m/seg y Q = !n(O,ISf x 4,85 = 0,086 m3/seg

plano de referencia el que pasa por A,V2 1 V 2 1

Y ~ = - ~ = - (1 2) = 00752g 16 2g 16' , mx 1000)(-1,395)/104 = -0.106 kg/cm 2 (man).

(b) Aplicando la ecuacin de la energa entre A y C,V~o Pe V~o(O + despr. + O) - (0,60 + 9,0) - = (- + _. + 0,60)2g W 2g

Por tanto, Pe/w = -1,395 m de aceite (man) y Pe = (0,761Los mismos resultados podran haberse obtenido tambin aplicando la ecuacin de Bernoulli entre

C y E. Las dos ecuaciones obtenidas por los dos caminos no constituiran, naturalmente, un sistema de ecua-ciones independientes.

. wQHe (0,761 x(e) PotencIa en C = --- = ----75

cia el que pasa por E.

1000)(0,086)( -1,395 + 0,075 + 12,6) = 985 CV plano de referen-75 ' ,

32. La carga extrada por la turbina CR de la Fig. 6-15 es de 60 m y la presin en T es de 5,10 kgjcm2 Para unas prdidas entre W y R de 2,0( Vo/2g) y de 3,0(Vjo/2g) entre C y T, determinar (a) el caudal de agua que circula y (b) la altura de presin en R. Dibujar la lnea de alturas totales.

EL 135.9 m

~~...-

... ~

--.....

----...

El 7s m.-~-~

EL 45 m

e R

Fig. 6-15Solucin:

, , 5,10 X 104 v~oComo la elevacion de la Imea de alturas totales en T es igual a (75 + + -) muy por encima1000 2g

de la elevacin en W, el agua circular hacia el recipiente W.

(a) Aplicando la ecuacin de la energa entre T y W, tomando como plano de referencia el de cota cero,en T deTaC deRa W H T en W

5 10 X 104 V 2 V 2 V 2( , +~ + 75) - [3,0~ + 2,O~J - 60 = (O -+ despr. + 45)1000 2g 2g 2g

Sustituyendo vio = ftV~o y operando, V~o/2g = 9,88 m, de donde V30 = 13,9 m/seg. Por tanto,Q = !n(O,Jz x 13,9 = 0,98 m3/seg

(b) Aplicando la ecuacin de la energa entre R y W, con plano de referencia el que pasa por R,(PR/W + ft x 9,88 + O) - 2(ft x 9,88) = (O + despr. + 15) y PR/W = 15,62 m. El lector puede compro-bar esta altura de presin aplicando la ecuacin de Bernoulli entre T y R.

Para dibujar la lnea de alturas totales se calcula la altura total en las secciones indicadas.Altura total en T = 51,0 + 9,9 + 75,0 = 135,9 m

en C = 135,9 - 3 x 9,9 = 106,2 men R = 106,2 - 60,0 46,2 men W = 46,2 - 2 x ft x 9,9 = 45,0 m

90 FUNDAMENTOS DEL FLUJO DE FLUIDOS [CAP

En los siguientes capitulos se demostrar que la lnea de alturas totales es una lnea recta en el casoflujo permanente en una tubera de dimetro constante. La lnea de alturas piezomtricas ser paralel"la lnea de alturas totales y situada por debajo de ella a una distancia igual a V 2/2g, altura de velocidad (la figura dibujada a trazos).

33. (a) Cul es la presin en la ojiva de un torpedo que se mueve en agua salada a 30 m/seg y a Ulprofundidad de 9,0 m? (b) Si la presin en un punto lateral e del torpedo, ya la misma profundid,que la ojiva, es de 0,70 kg/cm2 (man), cul es la velocidad relativa en ese punto?Solucin:(a) En este caso se obtiene una mayor claridad, en la aplicacin de la ecuacin de Bernoulli, al considerar

torpedo en reposo y sumergido en una corriente de agua a la misma velocidad relativa que en el caso re:La velocidad en la punta anterior del torpedo ser ahora cero. Suponiendo que no hay prdida de caren un tubo de corriente que vaya desde un punto A, delante del torpedo y a suficiente distancia para q'el flujo no est perturbado, y un punto B, situado en la punta de la ojiva del torpedo, la ecuacin de Benoulli toma la forma

PA V~ PB V~(- + - + ZA) - O = (- + - + ZB) o bienW 2g W 2g

(30)2 PB(9,0 + ~--- 1- O) = (- + O + O)2g W

Por tanto, PB/W = 55 m de agua de mar, y P~ = wh/l04 = 1025(55)/104 = 5,65 kg/cm2 (man).Esta presin se llama presin de estancamiento (tambin presin de parada o de remanso) y puec

expresarse en la forma Ps = Po + !p V8, en kg/m2 . Para un estudio ms detallado, vase Captulos 9 y 1(b) Se puede aplicar la ecuacin de Bernoulli entre los puntos A y e o bien entre B y C. Escogiendo A y (

PA V~ Pe vi:(-+-+zA)-O=(--+-+zcl o bienW 2g W 2g

de la cual Ve = 30,7 m/seg.

(30? 0,70 x 104 vi:(9,0 + -2-- + O) = (--1025-- + "2 + O)g g

34. Una esfera est colocada en una corriente de aire, donde reina la presin atmosfrica, y que se mueVa una velocidad de 30,0 m/seg. Suponiendo que no hay variacin en la densidad del aire y que staes igual a 0,125 UTM/m3 , (a) calcular la presin de estancamiento y (b) calcular la presin sobreun punto de la superficie de la esfera, punto R, a 75 del punto de estancamiento, si la velocidaden dicho punto es de 66,0 m/seg.Solucin:(a) Aplicando la frmula dada en el problema anterior se obtiene

Ps = Po + tP V8 = 1,033(W) + t(0,125)(30,W = 10.330 + 56,25 = 10.386 kg/m 2

(b) Peso especfico del aire = pg = 0,125(9,8) = 1,225 kg/m 3Aplicando la ecuacin de Bernolllli entre el punto de estancamiento y el S, se obtiene

Ps vf PB V~(- + -- + O) - O = (- + - + O)W 2g W 2g o bien

10.386 PB (66,0)2(-- + O + O) = (- +--- + O)1,225 W 2g

de donde PB/W = 8238 m de aire, y P~ = wh/104 = 1,225(8238)/104 = 1,010 kg/cm 2

35. Un gran depsito cerrado est llenD de amoniaco a una presin manomtrica de 0,37 kgjcm2 ya una temperatura de 18 C. El amoniaco descarga en la atmsfera a travs de un pequeo orificiopracticado en uno de los lados del depsito. Despreciando las prdidas por friccin, calcular lavelocidad con que el amoniaco abandona el depsito (a) suponiendo su densidad constante y (b) su-poniendo que el flujo tiene lugar en condiciones adiabticas.

CAP. 6] FUNDAMENTOS DEL FLUJO DE FLUIDOS 91

Solucin:(a) Aplicando la ecuacin de Bernoulli entre el depsito y la atmsfera,

(0,37 X 104 V2

WI

++ O) = (O + 2g + O) donde U'IPI (0,37 + 1,030)104

= - = -----~--- = 97 kg/m3RT 49,6(273 + 18) ,

Sustituyendo y despejando, V = 273 m/seg.Para un peso especfico W constante puede utilizarse indistintamente la presin manomtrica o la ab-

soluta. Sin embargo, cuando w no es constante debe emplearse la carga de presin absoluta.

(b) Para VI = Y 2 1 = 2 2 , la ecuacin (D), para procesos adiabticos, del Problema 20 puede escribirse

(_k)~ [1 - (~)(k-1)/kJ ==k-1 w PIPara el amoniaco, de la Tabla I del Apndice, k = 1,32 y

1,32 1,40 x 104 [ 1,03 X 104 o 242J vi 4- x I - ( ) , = -- = 172,0,32 0,97 1,40 x 104 2g

vi2g

de donde V2 = 285 m/seg

Al utilizar la hiptesis de densidad constante, el error en la velocidad es del 4,2 %, aproximadamente.El peso especfico del amoniaco en el chorro se calcula mediante la expresin

o1,40 0,97 132-=(--)'1,03 W2

y U'2 = 0,774 kg/m3

A pesar de esta variacin de un 20,3 % en la densidad, el error en la velocidad fue solo de un 4,2 %'

36. Comparar las velocidades en los casos (a) y (h) del Problema 35 para una presin en el depsitode 1,08 kg/cm2 (man).Solucin:

PI 2,11 x 104 3(a) WI = RT = 49,6 x 291 = 1,460 kg/m y, a partir del problema anterior,

1,08 X 104 V2-----

1,46 2gy V = 380 m/seg

(b) Mediante la expresin dada en el problema anterior para procesos adiabticos,

V2 1,32 2,11 x 104 1,03 X 104 o 242J- = -- x ------[1 - (----)' = 9410,2g 0,32 1,46 2,11 x 104

de donde V = 430 m/seg

El error cometido, al suponer la densidad constante, en la velocidad es del 11,6 %aproximadamente.La variacin de densidad es del 41 % aproximadamente.

Las limitaciones impuestas en el mdulo de la velocidad se discutirn en el Captulo 11. Se ver quela velocidad lmite, para la temperatura considerada,