Flexión mecánica

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<p>Flexin mecnica</p> <p>Ejemplo de flexin mecnica: arriba un elemento tal como una barra se encuentra en estado de reposo, en la figura de abajo dicho elemento es sometido a una fuerza, el elemento en consecuencia se dobla hacia la misma direccin de donde proviene la fuerza.</p> <p>En ingeniera se denomina flexin al tipo de deformacin que presenta un elemento estructural alargado en una direccin perpendicular a su eje longitudinal. El trmino "alargado" se aplica cuando una dimensin es dominante frente a las otras. Un caso tpico son las vigas, las que estn diseadas para trabajar, principalmente, por flexin. Igualmente, el concepto de flexin se extiende a elementos estructurales superficiales como placas o lminas. El rasgo ms destacado es que un objeto sometido a flexin presenta una superficie de puntos llamada fibra neutra tal que la distancia a lo largo de cualquier curva contenida en ella no vara con respecto al valor antes de la deformacin. El esfuerzo que provoca la flexin se denomina momento flector.Contenido[ocultar]</p> <p>1 Flexin en vigas y arcos</p> <p>o o </p> <p>1.1 Teora de Euler-Bernoulli 1.2 Teora de Timoshenko</p> <p>2 Flexin en placas y lminas</p> <p>o o </p> <p>2.1 Teora de Love-Kirchhoff 2.2 Teora de Reissner-Mindlin</p> <p>3 Referencias</p> <p>o </p> <p>3.1 Bibliografa</p> <p>4 Vase tambin</p> <p>[editar]Flexin</p> <p>en vigas y arcos</p> <p>Las vigas o arcos son elementos estructurales pensados para trabajar predominantemente en flexin. Geomtricamente son prismas mecnicos cuya rigidez depende, entre otras cosas, del momento de inercia de la seccin transversal de las vigas. Existen dos hiptesis cinemticas comunes para representar la flexin de vigas y arcos:</p> <p>La hiptesis de Navier-Bernouilli. La hiptesis de Timoshenko.</p> <p>[editar]Teora</p> <p>de Euler-Bernoulli</p> <p>Viga en voladizo de seccin cuadrada sometida a flexin recta simple, mediante una carga en el extremo libre. La animacin muestra una simulacin mediante el mtodo de los elementos finitos, donde se observan tensiones crecientes cerca de la seccin empotrada a medida que se incrementa la carga.</p> <p>La teora de Euler-Bernoulli para el clculo de vigas es la que se deriva de la hiptesis cinemtica de Euler-Bernouilli, y puede emplearse para calcular tensiones y desplazamientos sobre una viga o arco de longitud de eje grande comparada con el canto mximo o altura de la seccin transversal. Para escribir las frmulas de la teora de Euler-Bernouilli conviene tomar un sistema de coordenadas adecuado para describir la geometra, una viga es de hecho un prisma mecnico sobre el que se pueden considerar las coordenadas (s, y, z) con s la distancia a lo largo del eje de la viga e (y, z) las coordenadas sobre la seccin transversal. Para el caso de arcos este sistema de coordenas escurvilneo, aunque para vigas de eje recto puede tomarse como cartesiano (y en ese caso s se nombra como x). Para una viga de seccin recta la tensin el caso de flexin compuesta esviada la tensin viene dada por la frmula de Navier:</p> <p>Donde:</p> <p>son los segundos momentos de rea (momentos de inercia) segn los ejes Y y Z. es el momento de rea mixto o producto de inercia segn los ejes Z e Y. son los momentos flectores segn las direcciones Y y Z, que en general vararn segn la coordenada x. es el esfuerzo axial a lo largo del eje. Si la direccin de los ejes de coordenadas (y, z) se toman coincidentes con las direcciones principales de inercia entonces los productos de inercia se anulan y la ecuacin anterior se simplifica notablemente. Adems si se considera el caso de flexin simple no-desviada las tensiones segn el eje son simplemente:</p> <p>Por otro lado, en este mismo caso de flexin simple no esviada, el campo de desplazamientos, en la hiptesis de Bernoulli, viene dada por la ecuacin de la curva elstica:</p> <p>Donde: representa la flecha, o desplazamiento vertical, respecto de la posicin inicial sin cargas. representa el momento flector a lo largo de la ordenada x. el segundo momento de inercia de la seccin transversal. el mdulo de elasticidad del material. representa las cargas a lo largo del eje de la viga.</p> <p>[editar]Teora</p> <p>de Timoshenko</p> <p>Esquema de deformacin de una viga que ilustra la diferencia entre la teora de Timoshenko y la teora de Euler-Bernouilli: en la primera i y dw/dxi no tienen necesariamente que coincidir, mientras que en la segunda son iguales.</p> <p>La diferencia fundamental entre la teora de Euler-Bernouilli y la teora de Timoshenko es que en la primera el giro relativo de la seccin se aproxima mediante la derivada del desplazamiento vertical, esto constituye una aproximacin vlida slo para piezas largas en relacin a las dimensiones de la seccin transversal, y entonces sucede que las deformaciones debidas alesfuerzo cortante son despreciables frente a las deformaciones ocasionadas por el momento flector. En la teora de Timoshenko, donde no se desprecian las deformaciones debidas al cortante y por tanto es vlida tambin para vigas cortas, la ecuacin de la curva elstica viene dada por el sistema de ecuaciones ms complejo:</p> <p>Derivando la primera de las dos ecuaciones anteriores y substituyendo en ella la segunda llegamos a la ecuacin de la curva elstica incluyendo el efecto del esfuerzo cortante:</p> <p>[editar]Flexin</p> <p>en placas y lminas</p> <p>Una placa es un elemento estructural que puede presentar flexin en dos direcciones perpendiculares. Existen dos hiptesis cinemticas comunes para representar la flexin de placas y lminas:</p> <p>La hiptesis de Love-Kirchhoff</p> <p>La hiptesis de Reissner-Mindlin.</p> <p>Siendo la primera el anlogo para placas de la hiptesis de Navier-Bernouilli y el segundo el anlogo de la hiptesis de Timoshenko.</p> <p>[editar]Teora</p> <p>de Love-Kirchhoff</p> <p>La teora de placas de Love-Kirchhoff es la que se deriva de la hiptesis cinemtica de Love-Kirchhoff para las mismas y es anloga a la hiptesis de Navier-Bernouilli para vigas y por tanto tiene limitaciones similares, y es adecuada slo cuando el espesor de la placa es suficientemente pequeo en relacin a su largo y ancho. Para un placa de espesor constante h emplearemos un sistema de coordenadas cartesianas con (x, y) segn el plano que contiene a la placa, y el eje z se tomar segn la direccin perpendicular a la placa (tomando z = 0 en el plano medio). Con esos ejes de coordenadas las tensiones segn las dos direcciones perpendiculares de la placa son:</p> <p>Donde: , es el segundo momento de rea por unidad de ancho. es el espesor de la placa. , son los momentos flectores por unidad de ancho, que pueden relacionarse con el campo de desplazamientos verticales w(x,y) mediante las siguientes ecuaciones:</p> <p>Para encontrar la flecha que aparece en la ecuacin anterior es necesario resolver una ecuacin en derivadas parciales que es el anlogo bidimensional a la ecuacin de la curva elstica:</p> <p>El factor:</p> <p>se llama rigidez flexional de placas donde: son las constantes elsticas del material: mdulo de Young y coeficiente de Poisson. es el espesor de la placa.</p> <p>[editar]Teora</p> <p>de Reissner-</p> <p>MindlinLa teora de Reissner-Mindlin es el anlogo para placas de la teora de Timoshenko para vigas. As en esta teora, a diferencia de la teora ms aproximada de Love-Kirchhoff, el vector normal al plano medio de la placa una vez deformada la placa no tiene por qu coincidir con el vector normal a la superficie media deformada.</p> <p>[editar]Referencias [editar]Bibliografa Timoshenko, Stephen; Godier J.N.. McGraw-Hill. ed. Theory of elasticity.</p> <p>Ortiz Berrocal, Luis. McGraw-Hill. ed. Resistencia de Materiales. Aravaca (Madrid). ISBN 84-7651-512-3.</p> <p>Monlen Cremades, S., Anlisis de vigas, arcos, placas y lminas, Ed. UPV, 1999, ISBN 84-7721-769-6.</p> <p>TraccinPara otros usos de este trmino, vase Traccin (desambiguacin). En el clculo de estructuras e ingeniera se denomina traccin al esfuerzo interno a que est sometido un cuerpo por la aplicacin de dos fuerzas que actan en sentido opuesto, y tienden a estirarlo. Lgicamente, se considera que las tensiones que tiene cualquier seccin perpendicular a dichas fuerzas son normales a esa seccin, y poseen sentidos opuestos a las fuerzas que intentan alargar el cuerpo.Contenido[ocultar]</p> <p>1 Deformaciones 2 Resistencia en traccin 3 Comportamiento de los materiales 4 Vase tambin</p> <p>[editar]DeformacionesUn cuerpo sometido a un esfuerzo de traccin sufre deformaciones positivas (estiramientos) en ciertas direcciones por efecto de la traccin. Sin embargo el estiramiento en ciertas direcciones generalmente va acompaado de acortamientos en las direcciones transversales; as si en un prisma mecnico la traccin produce un alargamiento sobre el eje "X" que produce a su vez un encogimiento sobre los ejes "Y" y "Z". Este encogimiento es proporcional al coeficiente de Poisson ():</p> <p>Cuando se trata de cuerpos slidos, las deformaciones pueden ser permanentes: en este caso, el cuerpo ha superado su punto de fluencia y se comporta de forma plstica, de modo que tras cesar el esfuerzo de traccin se mantiene el alargamiento; si las deformaciones no son permanentes se dice que el cuerpo es elstico, de manera que, cuando desaparece el esfuerzo de traccin, aqul recupera su longitud primitiva. La relacin entre la traccin que acta sobre un cuerpo y las deformaciones que produce se suele representar grficamente mediante un diagrama de ejes cartesianos que ilustra el proceso y ofrece informacin sobre el comportamiento del cuerpo de que se trate.</p> <p>[editar]Resistencia</p> <p>en traccin</p> <p>Artculo principal: Ensayo de traccin.</p> <p>Como valor comparativo de la resistencia caracterstica de muchos materiales, como el acero o la madera, se utiliza el valor de la tensin de fallo, o agotamiento por traccin, esto es, el cociente entre la carga mxima que ha provocado el fallo elstico del material por traccin y la superficie de la seccin transversal inicial del mismo.</p> <p>[editar]Comportamiento</p> <p>de los materiales</p> <p>Son muchos los materiales que se ven sometidos a traccin en los diversos procesos mecnicos. Especial inters tienen los que se utilizan en obras de arquitectura o de ingeniera, tales como las rocas, la madera, el hormign, el acero, varios metales, etc. Cada material posee cualidades propias que definen su comportamiento ante la traccin. Algunas de ellas son:</p> <p>elasticidad (mdulo de elasticidad) plasticidad ductilidad fragilidad</p> <p>Catalogados los materiales conforme a tales cualidades, puede decirse que los de caractersticas ptreas, bien sean naturales, o artificiales como el hormign, se comportan mal frente a esfuerzos de traccin, hasta el punto que la resistencia que poseen no se suele considerar en el clculo de estructuras. Por el contrario, las barras de acero soportan bien grandes esfuerzos a traccin y se considera uno de los materiales idneos para ello. El acero en barras corrugadas se emplean en conjuncin con el hormign para evitar su fisuracin, aportando resistencia a traccin, dando lugar al hormign armado.</p> <p>Resistencia de materiales3. Traccin3.1. TensinEn fsica e ingeniera, se denomina tensin mecnica al valor de la distribucin de fuerzas por unidad de rea en el entorno de un punto material dentro de un cuerpo material o medio continuo.</p> <p>Un caso particular es el de tensin uniaxial, que se define en una situacin en que se aplica fuerza F uniformemente distribuida sobre un rea A. En ese caso la tensin mecnica uniaxial se representa por un escalar designado con la letra griega (sigma) y viene dada por:</p> <p>=F/A Siendo las unidades [Pa] (pascal = [N/m]), [MPa] = 106 [Pa] y tambin [kp/cm].</p> <p>3.2. Alargamiento unitarioAlargamiento unitario () es la cantidad que alarga un cuerpo () por unidad de longitud (L).</p> <p> = /L ( no tiene unidades)</p> <p>3.3. Ley de HookeExisten materiales en los que la relaccin entre tensin () y alargamiento () es constante. Se dice que estos materiales cumplen la ley de Hooke.</p> <p>1/1 = 2/2 = 3/3 = / = cte = E</p> <p>La relacin entre ambas magnitudes (/) se llama Mdulo de elasticidad (E) o Mdulo de Young. E = /</p> <p>3.4. Diagramas N, y A partir de la barra de forma de la figura, el diagrama de esfuerzos normales tendr la forma siguiente:</p> <p>3.5. Alargamiento total para una pieza sometida a una fuerza externaPara los alargamientos totales debido a la deformacin producida por una fuerza externa (despreciando su propio peso), la frmula a utilizar es:</p> <p> = PL/AE</p> <p>(siendo , el alargamiento total; P, la fuerza que actua; L, la longitud; A, la seccin y E, el mdulo de elasticidad.)</p> <p>3.6. Tensin de un elemento suspendido y sometido a su propio pesoCuando partimos de una barra y queremos hallar la tensin debida a su propio peso, tenemos que fijar primeramente que el peso equivale al volmen de la barra por el peso especfico del material que la compone. Como el volmen lo podemos descomponer en la multiplicacin del rea por la longitud, tenemos que:</p> <p>W = A L Pe</p> <p>Dado que la tensin es = P/A y que la fuerza actuante, para este caso es W, podemos poner que = W/A. sustituyendo el peso en esta frmula tenemos que = A L Pe/A. Quedando que la tensin mxima sera</p> <p> = L Pe</p> <p>3.7. Alargamiento de una estructura debido a su propio pesoEn el caso del estudio de alargamiento de una estructura debido a su propio peso, la frmula a utilizar es:</p> <p> = W L / 2AE</p> <p>3.8. Elemento suspendido y sometido a su propio peso ms una carga adicionalEn el caso de que contemplemos el elemento sometido a su propio peso al que se aplica una carga adicional, tanto la tensin como el alargamiento ser suma de las correspondientes por separado, es decir, contemplando el elemento con una carga adicional y sin peso, sumado al elemento sin carga adicional y con peso, esto es:</p> <p>Tensin (peso + carga): = L Pe</p> <p>Alargamiento (peso + carga): = (W/2 + P) L/AE</p> <p>3.9. Tensin admisible o tensin de trabajoLa tensin admisible es aquella que asegura las no deformaciones permanentes en los materiales y que por tanto debe ser inferior a la tensin producida por las fuerzas exteriores.</p> <p>Para que una estructura est siempre en condiciones elsticas seguras se acostrumbra a escoger la tensin admisible bastante inferior al lmite de proporcionalidad.</p> <p>Dado que es dificil determinar este punto, se toman los puntos de fluencia o de rotura como base para determinar la tensin admisible.</p> <p>adm = Fl/n1 y adm = R/n2</p> <p>Donde n1 y n2 son coeficientes de seguridad.</p> <p>3.10. Tensines de origen trmicoCuando a un sistema se le aplica un incremento de temperatura que hace que se dilate, y hay alguna causa que impide el alargamiento (debido a la dilatacin) aparecen unas tensiones denominadas de origen trmico.</p> <p>El alargamiento para un cuerpo suponindole sin rozamiento con el suelo, al que se le aplica un aumento de temperatura, se produce un alargamiento determinado por:</p> <p> = L T</p> <p>(siendo T = incremento de temperatura, = Coeficiente de dilatacin yL = Longitud)</p> <p>La tensin, en cambio, vendr determinada por la siguiente frmula:</p> <p> = E T</p> <p>3.11. Deformaciones en el estado simple, doble y triple de tensiones.</p> <p>Consideremos el caso de un slido en equilibrio bajo la accin de cargas exteriores y aislemos del interior del cuerpo un cubo elementa...</p>