flavio waldner - dipt.di fisica - udine - italy 1 i sistemi di riferimento

Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy 1

I sistemi di riferimento


Il moto ed i sistemi di riferimento

• Consideriamo il moto di un punto materiale riferito ad un sistema cartesiano S...

• che chiameremo “fisso” o “assoluto”

• …e ad un sistema S’• che chiameremo “mobile” o “relativo”

• Il sistema S’ si può muovere• perché si muove la sua origine

• perché i suoi versori fondamentali cambiano di direzione



• Esempio: un aeroplanino che fa le acrobazie, ed una mosca che si muove dentro la sua carlinga:– Sistema S: la torre di controllo– Sistema S’: la carlinga– Il moto della mosca può essere descritto

• Dalla torre di controllo

• Dal pilota nella carlinga



• Usiamo il FORMALISMO VETTORIALE…

• …sfruttando la sua INDIPENDENZA DAL SISTEMA DI RIFERIMENTO...

• …ma facendo l’ipotesi che la geometria su cui si basa (euclidea) valga nel nostro Universo

– siamo sicuri che la cosa funzioni?



• Con la descrizione vettoriale del vettore posizione del punto otteniamo

• Abbiamo già fatto implicitamente l’ipotesi che nei due sistemi valga la geometria euclidea

• In particolare con le stesse unità di misura– Cosa non ovvia: nella relatività speciale questa ipotesi viene a questa ipotesi viene a

caderecadere

OP OO' O'P



• Esplicitamente

Attenzione alle funzioni del tempo

ed alle costanti!

' ' '

ˆ ˆ ˆ

ˆ ˆ ˆ

ˆ ˆ ˆ' ' ' ' ' 'O O O

x y z

x y z

x y z

x y z

x z

x

y

y z


La composizione delle velocità


Il moto ed i sistemi di riferimentoil teorema di composizione delle velocità

• DERIVIAMO!

' ' '

ˆ ˆ ˆ' ' ' ' ' '

ˆ ˆ ˆ' ' ' '

ˆ ˆ ˆ

ˆ ˆ

' '

ˆO O O

x y z

x y z

x y z

x y z

x y z

x y

x y z

x

z

y z



– È la velocità nel sistema “fisso”• Velocità “assoluta”

– È la velocità nel sistema“mobile”• Velocità “relativa”

ˆ ˆ ˆax y z x y z V

ˆ ˆ ˆ' ' ' ' ' ' rx y z x y z V



• Se la velocità relativa è nulla, la velocità assoluta è uguale a

– È la velocità di trascinamento

' ' 'ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ' ' ' ' ' 'O O O tx y z x y z x y z x y z V



• Otteniamo così il

TEOREMA DI

COMPOSIZIONE DELLE VELOCITÀ

a r t V V V



• In realtà, al crescere delle velocità, questo teorema va sempre più in crisi

• occorre la relatività speciale!

• Sostanzialmente il teorema è falso

• Quindi– O non si può applicare allo spazio la geometria euclidea (somma dei

vettori con unità di misure uguali nei due sistemi)

– O non si può trattare il tempo come un parametro indipendente



• Velocità di trascinamento– Si dimostra che (formule di Poisson)

– Il vettore è il vettore velocità angolare• Il modulo è pari al valore della velocità angolare

• La direzione è ortogonale al piano di rotazione

• Il verso è tale da vedere la rotazione avvenire in senso antiorario

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ' ' ' ' ' ' x x y y z z



• Dimostrate le formule di Poisson!• Tenete presente che la derivata di un versore dev’essere a

questo perpendicolare– Quindi potete esprimerle come prodotti esterni...

• La somma dei versori fondamentali più i loro incrementi infinitesimi dev’essere ancora una terna ortogonale

– Quindi i loro prodotti scalari debbono essere nulli a coppie



• Con questo

• Il moto di trascinamento è una sovrapposizione– Di una traslazione– Di una rotazione

• Quindi è un moto ELICOIDALE

't O V V O'P


La composizione delle accelerazioni


Il moto ed i sistemi di riferimento la composizione delle accelerazioni

• Deriviamo di nuovo!


' ' '

ˆ ˆ ˆ' ' ' ' ' '

ˆ ˆ ˆ' ' ' ' ' '

ˆ ˆ ˆ' ' ' ' ' '

ˆ ˆ ˆ

ˆ ˆ ˆ

ˆ ˆ ˆ' ' ' ' ' '

O O O

x y z

x y z

x y z

x y z

x y z

x y z

x y z

x y z

x y z

x

x y z

x

z

y

y

z



• Anche qui abbiamo– Accelerazione assoluta

– Accelerazione relativa

– Accelerazione di trascinamento• ciò che resta se il punto è fermo nel sistema S’

ˆ ˆ ˆax y z x y az

ˆ ˆ ˆ' ' ' ' ' ' rx y z x y z a

' ' 'ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ' ' ' ' ' 'O O tOx y z x y z x y z x y z a



• Ed a questo punto avanza un pezzo!

– È l’accelerazione complementare o di Coriolis– Ed alla fine otteniamo il...

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' '

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ2 ' ' ' ' ' ' 2 ' ' ' ' ' '

2 r c

x y z x y z

x y z x y z

x y z x y z

x y z x z

V a

y



TEOREMA DI COMPOSIZIONE DELLE ACCELERAZIONI

2a r t

r

c

c

a a a a

a V


Le forze apparenti

Dette anche “forze fittizie”


Il moto ed i sistemi di riferimentole forze apparenti

• Dalla relazione

otteniamo

SE NEL SISTEMA FISSO VALE LA II LEGGE DELLA DINAMICA...

a r t c a a a a

a r t cM M M M a a a a

ra t cMM M M aF a aa



• … e quindi nel sistema mobile vale la relazione...

... IN GENERALE IN QUESTO SISTEMA LA II LEGGE DELLA DINAMICA!

NON VALE

r t cM M M a F a a



…a meno che non si introducano ad hoc, per far tornare i conti,

delle “forze fittizie”

t cM M a a



• Attenzione: queste NON hanno la controparte di reazione!

• Tutto però nel sistema S’ avviene come se esistessero davvero– Sono in realtà una manifestazione del principio

d’inerzia

app t cM M F a a



In generale, se vogliamo usare le leggi della dinamica dovremo

aggiungere alle forze reali anche le forze apparenti



• Un sistema nel quale valga la II legge della dinamica si dice un

SISTEMA INERZIALE• Se un sistema è inerziale, anche uno che si muova

con velocità angolare nulla e moto rettilineo uniforme rispetto ad esso è inerziale

0t c a a



• Si verifica che un sistema legato alle stelle è inerziale• Quindi ogni sistema con e velocità uniforme

rispetto a questo è inerziale• Quindi in tutti questi sistemi funziona la dinamica• Quindi nessuno di questi sistemi può essere privilegiato

È LA RELATIVITÀ GALILEIANA

0ω



• Si possono misurare le forze apparenti (nelle 3 componenti)...

• ...e quindi riportare il nostro moto ad un sistema inerziale


Forze apparenti notevoli



• Ecco le forze apparenti in accelerata o frenata

• Sistema S inerziale fisso

Sistema S’ non inerziale

mobile



• Ecco la situazione per la caduta di un grave in un vagone in moto non uniforme

• Le interpretazioni dei due osservatori sono diverse

• Nel sistema mobile occorre introdurre delle forze apparenti



• Ecco la situazione della forza centrifuga apparente



• Ma esiste una forza centrifuga reale?

– Certo, ma è applicata all’asse, non al corpo...



• Proprietà della forza di Coriolis– È nulla se è

_– Il moto di trascinamento è solo traslatorio

_ – Il punto è fermo nel sistema mobile

_– La velocità relativa è parallela all’asse di rotazione

0

0rV

rV



• Esempi sulla Terra di forze apparenti: – forza centrifuga

• si somma vettorialmente alla forza peso

– deviazione dei gravi verso E• deriva dalla forza di Coriolis

– cicloni ed anticicloni• deriva dalla forza di Coriolis



• Ecco le interpretazioni diverse di un moto rettilineo uniforme su una piattaforma rotante con velocità angolare uniforme

• L’osservatore mobile deve introdurre una forza perpendicolare alla velocità



• Ecco la forza di Coriolis applicata a zone di bassa pressione nell’atmosfera terrestre– L’aria si trova a passare su zone della Terra con

velocità periferiche diverse– Noi vediamo apparire una forza perpendicolare al

vettore velocità



• Ed ecco un ciclone reale, visto da un satellite

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