fizyka w mechatronice - mech.pg.edu.pl · równi o kącie nachylenia , jeżeli jej prędkość zma...

67
Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego FIZYKA W MECHATRONICE Opracował: Grzegorz Banaszek GDAŃSK 2009/2010

Upload: buinga

Post on 28-Feb-2019

223 views

Category:

Documents


0 download

TRANSCRIPT

Page 1: FIZYKA W MECHATRONICE - mech.pg.edu.pl · równi o kącie nachylenia , jeżeli jej prędkość zma leje o połowę a toczenie odbywa się bez poślizgu? Jaka będzie maksymalna wysokość

Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej

w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

FIZYKA W MECHATRONICE

Opracował: Grzegorz Banaszek

GDAŃSK 2009/2010

Page 2: FIZYKA W MECHATRONICE - mech.pg.edu.pl · równi o kącie nachylenia , jeżeli jej prędkość zma leje o połowę a toczenie odbywa się bez poślizgu? Jaka będzie maksymalna wysokość

Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej

w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

2

SPIS TREŚCI

I. MECHANIKA 3

II. WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW 16

III. DRGANIA 26

IV. MECHANIKA PŁYNÓW 32

V. TERMODYNAMIKA 39

VI. ELEKTROTECHNIKA I ELEKTRONIKA 44

VII. UKŁADY LOGICZNE 56

VIII. MODELOWANIE W MECHATRONICE 61

IX. BIBLIOGRAFIA 67

Page 3: FIZYKA W MECHATRONICE - mech.pg.edu.pl · równi o kącie nachylenia , jeżeli jej prędkość zma leje o połowę a toczenie odbywa się bez poślizgu? Jaka będzie maksymalna wysokość

Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej

w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

3

I. MECHANIKA

STATYKA

1) Stopnie swobody:

W mechanice mamy dwa rodzaje stopni swobody:

translacyjne: x, y, z,

rotacyjne: υx, υy, υz.

Dowolna bryła sztywna w przestrzeni trójwymiarowej posiada 6 stopni swobody.

2) Obciążenia skupione:

siła P [N]

moment siły (para sił) M [Nm]

3) Obciążenia rozłożone:

siła rozłożona liniowo q [N/m]

siła rozłożona powierzchniowo p [N/m2]

siła rozłożona objętościowo γ [N/m3]

para sił rozłożona liniowo m [Nm/m]

4) Zapis wektorowy obciążeń w układzie xyz

siła

x y zP P i P j P k

moment siły (para sił)

x y zM M i M j M k ,

gdzie:

i , i , i wersory osi,

y

z

x υy

υz

υx

Page 4: FIZYKA W MECHATRONICE - mech.pg.edu.pl · równi o kącie nachylenia , jeżeli jej prędkość zma leje o połowę a toczenie odbywa się bez poślizgu? Jaka będzie maksymalna wysokość

Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej

w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

4

Px, Py, Pz składowe wektora siły,

Mx, My, Mz składowe wektora momentu siły.

5) Redukcja dowolnego układu sił do siły głównej (wypadkowej) i głównego

momentu (wypadkowego) -pary sił

Dowolny układ sił można zastąpić układem równoważnym złożonym z jednej siły głównej,

przyłożonej w dowolnym punkcie A, AW , i jednej pary sił (głównego momentu), AM :

A x y zW W i W j W k

A x y zM M i M j M k ,

gdzie:

n

x xi

i 1

n

y yi

i 1

n

z zi

i 1

W P

W P

W P

n

x xi

i 1

n

y yi

i 1

n

z zi

i 1

M M

M M

M M

.

6) Warunki równowagi układów sił:

Równowaga jest stanem układu, w którym nie zmienia on swojego położenia względem

otoczenia. Warunki równowagi wynikają z I prawa Newtona. Liczba równań równowagi

odpowiada ilości stopni swobody, jakie posiada układ, na który działają siły.

Podstawowe warunki równowagi dla poszczególnych przypadków stanu obciążeń:

Page 5: FIZYKA W MECHATRONICE - mech.pg.edu.pl · równi o kącie nachylenia , jeżeli jej prędkość zma leje o połowę a toczenie odbywa się bez poślizgu? Jaka będzie maksymalna wysokość

Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej

w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

5

przestrzenny dowolny układ sił

n

xi

i 1

n

yi

i 1

n

zi

i 1

n

xi

i 1

n

yi

i 1

n

zi

i 1

P 0

P 0

P 0

M 0

M 0

M 0

przestrzenny zbieżny układ sił

n

xi

i 1

n

yi

i 1

n

zi

i 1

P 0

P 0

P 0

przestrzenny układ sił równoległych (do osi z)

n

zi

i 1

n

xi

i 1

n

yi

i 1

P 0

M 0

M 0

układ płaski dowolny sił

n

xi

i 1

n

yi

i 1

n

Ai

i 1

P 0

P 0

M 0

Page 6: FIZYKA W MECHATRONICE - mech.pg.edu.pl · równi o kącie nachylenia , jeżeli jej prędkość zma leje o połowę a toczenie odbywa się bez poślizgu? Jaka będzie maksymalna wysokość

Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej

w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

6

układ płaski zbieżny sił

n

xi

i 1

n

yi

i 1

P 0

P 0

układ płaski sił równoległych (do osi y)

n

yi

i 1

n

Ai

i 1

P 0

M 0

układ jednowymiarowy sił -równoległy do osi x

n

xi

i 1

P 0 .

7) Więzy i ich reakcje

Więzy są to ograniczenia ruchu nakładane na ciała, które odbierają tym ciałom stopnie

swobody. Fizycznie są to podparcia, zamocowania, utwierdzenia, przeguby, łożyskowanie,

cięgna krępujące ruch, inne ciała.

podpora przegubowa stała

podpora przegubowa ruchoma

idealnie sztywne podparcie (utwierdzenie)

przegub kulisty

elementy prętowe

cięgna wiotkie (mogą pracować tylko na rozciąganie)

podparcie kierunkowe – gładka płaszczyzna, ostra krawędź.

8) Zasada oswobodzenia ciała od więzów

Każde ciało nieswobodne można przedstawić jako bryłę swobodną, odrzucając więzy i

zastępując ich działanie na ciało odpowiednio przyłożonymi siłami reakcj.

Page 7: FIZYKA W MECHATRONICE - mech.pg.edu.pl · równi o kącie nachylenia , jeżeli jej prędkość zma leje o połowę a toczenie odbywa się bez poślizgu? Jaka będzie maksymalna wysokość

Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej

w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

7

KINEMATYKA I DYNAMIKA

Porównanie wielkości fizycznych dla ruchu postępowego i obrotowego

Wielkość

fizyczna

Rodzaj ruchu

postępowy

obrotowy

Czas t[s] t[s]

Położenie(droga) r , s [m] , [rad]

Prędkość drv

dt (kątowa)

d

dt

Przyspieszenie dva

dt (kątowe)

d

dt

Masa m[kg] (masowy moment bezwładności)

J[kg·m2]

Siła P [N] moment siły (para sił) M [N·m]

Pęd p m v [kg·m/s] (kręt) K J [kg·m2/s]

Popęd (impuls)

2

1

t

t

Fdt [N·s]

F t , gdy F=const.

(pokręt) 2

1

t

t

Mdt [Nm·s]

M t , gdy M=const.

II zasada

dynamiki

Newtona

m a P

0 0J M

Siła

bezwładności

(d'Alemberta)

A m a

AM J

Energia

kinetyczna

2

k

m vE

2 [J]

2

k

JE

2 [J]

Praca stałej siły W F s [J] W M [J]

Moc stałej siły dWN F v

dt [W]

dWN M

dt [W]

Zależności wiążące

M r P

K r p r m v

a r

v r

Page 8: FIZYKA W MECHATRONICE - mech.pg.edu.pl · równi o kącie nachylenia , jeżeli jej prędkość zma leje o połowę a toczenie odbywa się bez poślizgu? Jaka będzie maksymalna wysokość

Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej

w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

8

Kinematyka ruchu jednostajnie zmiennego

Droga

2

0 0

a ts s v t

2

2

0 0

tt

2

Prędkość

0v v a t

0 t

Przyspieszenie

a=const.

ε=const.

II Zasada dynamiki Newtona

Ruch postępowy

Ruch obrotowy

Ruch płaski

n

C xi

i 1

n

C yi

i 1

m x P

m y P

n

0 0i

i 1

I M

0 – nieruchoma oś obrotu

n

C xi

i 1

n

C yi

i 1

n

C Ci

i 1

m x P

m y P

I M

C – środek masy ciała

Energia kinetyczna

Ruch postępowy

Ruch obrotowy

Ruch płaski

2

k

m vE

2

2

0k

JE

2

2 2

C Ck

m v JE

2 2

Page 9: FIZYKA W MECHATRONICE - mech.pg.edu.pl · równi o kącie nachylenia , jeżeli jej prędkość zma leje o połowę a toczenie odbywa się bez poślizgu? Jaka będzie maksymalna wysokość

Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej

w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

9

ZADANIA

ZAD. 1)

Z jakiej wysokości h z równi powinien zsuwać się bez tarcia klocek o masie m, aby w

najwyższym punkcie toru kołowego o promieniu R nie oderwał się od tego toru? Wszelkie

opory pominąć. Wyznaczyć reakcję toru na klocek w funkcji położenia kątowego .

ZAD. 2)

Klocek o masie m zsuwa się bez tarcia wewnątrz toru zakrzywionego o promieniu R.

Następnie porusza się na odcinku poziomym o współczynniku tarcia µ, uginając sprężynę o

sztywności k. Oblicz maksymalne ugięcie sprężyny.

ZAD. 3)

Wyznacz przyspieszenie klocków układu przedstawionego na rysunku. Określ prędkość

uderzenia klocka m1 o podłoże oraz czas w chwili uderzenia. Ruch odbywa się ze stanu

spoczynku. Tarcza jest nieważka. Współczynnik tarcia ślizgowego klocka o podłoże wynosi

µ.

Page 10: FIZYKA W MECHATRONICE - mech.pg.edu.pl · równi o kącie nachylenia , jeżeli jej prędkość zma leje o połowę a toczenie odbywa się bez poślizgu? Jaka będzie maksymalna wysokość

Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej

w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

10

ZADANIE 4

Z równi nachylonej do poziomu pod kątem α z wysokości H stacza się bez poślizgu kula bez

prędkości początkowej. Wyznaczyć maksymalną wysokość hmax, na jaką wzniesie się kula po

opuszczeniu toru zakrzywionego. Opory toczenia pominąć.

hmax=?

H

Page 11: FIZYKA W MECHATRONICE - mech.pg.edu.pl · równi o kącie nachylenia , jeżeli jej prędkość zma leje o połowę a toczenie odbywa się bez poślizgu? Jaka będzie maksymalna wysokość

Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej

w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

11

ZAD. 5)

Na nieruchomej scenie teatralnej o masie M i promieniu R stoi człowiek o masie m. W

pewnej chwili człowiek rozpoczyna spacer wzdłuż obwodu sceny ze stałą prędkością V

(względem podłoża). Traktując scenę jak tarczę a człowieka jak masę skupioną, wyznacz

prędkość kątową sceny.

ZAD. 6)

Belkę o długości L zamocowano przegubowo na końcu i odchylono do pionu. Wyznaczyć

prędkość kątową belki w położeniach I i II.

ZAD. 7)

Tarczę o promieniu r rozpędzono do prędkości V0. Na jaką wysokość h wzniesie się tarcza na

równi o kącie nachylenia υ, jeżeli jej prędkość zmaleje o połowę a toczenie odbywa się bez

poślizgu? Jaka będzie maksymalna wysokość h, na którą wtoczy się tarcza. Podobne

doświadczenie wykonano z kulą posiadającą ten sam promień r. Który z obiektów wzniesie

się wyżej?

I

II

M

m

R

Page 12: FIZYKA W MECHATRONICE - mech.pg.edu.pl · równi o kącie nachylenia , jeżeli jej prędkość zma leje o połowę a toczenie odbywa się bez poślizgu? Jaka będzie maksymalna wysokość

Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej

w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

12

ZAD. 8)

Do układu dwóch ciał (rys.) przyłożono siłę F. Jakie będzie przyspieszenie liniowe tego

układu? Opory toczenia pominąć, tarcza toczy się bez poślizgu, a współczynnik tarcia

ślizgowego klocka o podłożę wynosi µ. Masa każdego ciała wynosi m, promień tarczy równy

jest r.

ZAD. 9)

Do układu dwóch sprężyn o sztywnościach k1 i k2, przyłożono siłę F. Jakie będzie ugięcie

sprężyn?

ZAD. 10)

Łańcuch o długości 1/2 obwodu koła o promieniu R znajduje się w spoczynku na gładkiej

czaszy kulistej. W pewnej chwili łańcuch rozpoczyna zsuwanie po czaszy. Wyznaczyć

prędkość łańcucha w chwili gdy jego ostatnie ogniwo opuści czaszę.

k1 k2

F

F

Page 13: FIZYKA W MECHATRONICE - mech.pg.edu.pl · równi o kącie nachylenia , jeżeli jej prędkość zma leje o połowę a toczenie odbywa się bez poślizgu? Jaka będzie maksymalna wysokość

Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej

w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

13

ZAD. 11)

Oswobodzić układ z więzów, narysować niewiadome wielkości reakcyjne zgodne z

nałożonymi więzami oraz określić statyczną wyznaczalność układu.

ZAD. 13)

Dla układów przedstawionych na rysunkach wyznaczyć reakcje w podporach i siły w

przegubach.

a)

M

3L

2L

2L

F

q

L

Page 14: FIZYKA W MECHATRONICE - mech.pg.edu.pl · równi o kącie nachylenia , jeżeli jej prędkość zma leje o połowę a toczenie odbywa się bez poślizgu? Jaka będzie maksymalna wysokość

Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej

w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

14

b)

c)

q

2L

3L

F

L 2L

α

M

a

a

a

a

a

a

a

P

2P

3P

Page 15: FIZYKA W MECHATRONICE - mech.pg.edu.pl · równi o kącie nachylenia , jeżeli jej prędkość zma leje o połowę a toczenie odbywa się bez poślizgu? Jaka będzie maksymalna wysokość

Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej

w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

15

d)

e)

3L

M

F

L

α q

L L L

2P M=PL

Page 16: FIZYKA W MECHATRONICE - mech.pg.edu.pl · równi o kącie nachylenia , jeżeli jej prędkość zma leje o połowę a toczenie odbywa się bez poślizgu? Jaka będzie maksymalna wysokość

Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej

w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

16

II. WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW

1) Prawo Hooke'a

Do granicy sprężystości materiału naprężenia są wprost proporcjonalne do odkształceń. Dla

jednoosiowego stanu rozciągania/ściskania można zapisać:

E

gdzie:

E [N/m2] moduł Younga sprężystości wzdłużnej materiału,

ε [-] odkształcenie względne,

L

L,

L [m] przyrost długości,

L [m] długość początkowa .

Korzystając z definicji naprężeń dla jednoosiowego stanu rozciągania i ściskania otrzymamy:

N LE

A L

N LL

E A

.

2) Pojęcie naprężenia

sila

naprężeniepowierzchnia

normalna

styczna

dP elementarna siła

dA - elementarna

powierzchnia

dN

dT

Page 17: FIZYKA W MECHATRONICE - mech.pg.edu.pl · równi o kącie nachylenia , jeżeli jej prędkość zma leje o połowę a toczenie odbywa się bez poślizgu? Jaka będzie maksymalna wysokość

Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej

w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

17

naprężenie normalne

dN

dA

naprężenie styczne

dT

dA

3) Siły wewnątrzmateriałowe

siła normalna N

siła poprzeczna (tnąca) T

moment gnący Mg

moment skręcający Ms

N

T

Ms

Mg

Page 18: FIZYKA W MECHATRONICE - mech.pg.edu.pl · równi o kącie nachylenia , jeżeli jej prędkość zma leje o połowę a toczenie odbywa się bez poślizgu? Jaka będzie maksymalna wysokość

Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej

w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

18

4) Podstawowe stany wytrzymałościowe

NAPRĘŻENIA

NORMALNE σ [MPa]

STYCZNE τ [MPa]

Rozciąganie/Ściskanie Zginanie

Ścinanie(czyste

technologicznie)

Skręcanie

r / c

N

A

A[m2]-pole przekroju

poprzecznego

g

g

x

My

I

gmax

g

x

M

W

Ix[m4]-moment

bezwładności osiowy

Wx[m3]-wskaźnik przekroju

na zginanie

t

T

A

A[m2]-pole przekroju

poprzecznego

ss

0

M

I

max ss

0

M

W

I0[m4]-moment

bezwładności biegunowy

W0[m

3]-wskaźnik przekroju

na skręcanie

5) Naprężenia dopuszczalne

niebdop k

n

gdzie:

nieb[Pa] naprężenie niebezpieczne, najczęściej jest to granica plastyczności materiału,

Re

n [-] współczynnik bezpieczeństwa (pewności), zawsze n > 1.

6) Warunki wytrzymałościowe

rozciąganie

r /c r /c

Nk

A

ścinanie

t t

Tk

A

Page 19: FIZYKA W MECHATRONICE - mech.pg.edu.pl · równi o kącie nachylenia , jeżeli jej prędkość zma leje o połowę a toczenie odbywa się bez poślizgu? Jaka będzie maksymalna wysokość

Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej

w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

19

zginanie

g

g g

x

Mk

W

skręcanie

ss s

0

Mk

W

7) Wskaźniki przekrojów podstawowych figur płaskich

kołowy pełny

3

x

3

0

dW

32

dW

16

kołowy drążony

4 4

x

4 4

0

(D d )W

32 D

(D d )W

16 D

prostokątny b×h

2

x

b hW

6.

Page 20: FIZYKA W MECHATRONICE - mech.pg.edu.pl · równi o kącie nachylenia , jeżeli jej prędkość zma leje o połowę a toczenie odbywa się bez poślizgu? Jaka będzie maksymalna wysokość

Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej

w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

20

ZADANIA

ZAD. 1)

a) Jaką siłę należy przyłożyć do stempla wycinającego kształty z blach o grubości g

pokazanych na rysunku? Dane: Ret=220MPa, g=1.5 mm, a=3cm, b=4cm, r=5cm-

promień wyciętego fragmentu koła.

Page 21: FIZYKA W MECHATRONICE - mech.pg.edu.pl · równi o kącie nachylenia , jeżeli jej prędkość zma leje o połowę a toczenie odbywa się bez poślizgu? Jaka będzie maksymalna wysokość

Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej

w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

21

b) Jaką średnicę d powinny mieć sworznie, aby nie uległy ścięciu, jeżeli współczynnik

bezpieczeństwa przyjęto n=3. Ret=180MPa, P=10kN

c) Jaką średnicę d powinien mieć sworzeń mocujący krążek linowy, aby nie uległ

ścięciu. Przyjąć współczynnik bezpieczeństwa n=3.5. Ret=250MPa, P=3.45kN.

d

sworzeń

P

P

d d

P

P

P P

Page 22: FIZYKA W MECHATRONICE - mech.pg.edu.pl · równi o kącie nachylenia , jeżeli jej prędkość zma leje o połowę a toczenie odbywa się bez poślizgu? Jaka będzie maksymalna wysokość

Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej

w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

22

ZAD. 2)

Dla układów przedstawionych na poniższych rysunkach wyznaczyć siły normalne w prętach

oraz naprężenia. Kształty i wymiary przekrojów podano na rysunkach. Określić odkształcenia

prętów.

A

q

a

2a

b

h

L

A

q

a

2L

b

α

a

2b

M

Page 23: FIZYKA W MECHATRONICE - mech.pg.edu.pl · równi o kącie nachylenia , jeżeli jej prędkość zma leje o połowę a toczenie odbywa się bez poślizgu? Jaka będzie maksymalna wysokość

Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej

w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

23

a a

2b

b

d

1 2

L

Q

α

2b

b

a a

q

Page 24: FIZYKA W MECHATRONICE - mech.pg.edu.pl · równi o kącie nachylenia , jeżeli jej prędkość zma leje o połowę a toczenie odbywa się bez poślizgu? Jaka będzie maksymalna wysokość

Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej

w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

24

ZAD. 3)

Dla belek przedstawionych na rysunkach wyznaczyć:

a) reakcje podpór,

b) momenty gnące w charakterystycznych punktach belki,

c) siły tnące w tych punktach,

d) maksymalne naprężenia gnące dla przedstawionego przekroju poprzecznego belki,

2P

L L 2L

M=PL

X

d

α

β

L

1 2

Q

a

a

d

Page 25: FIZYKA W MECHATRONICE - mech.pg.edu.pl · równi o kącie nachylenia , jeżeli jej prędkość zma leje o połowę a toczenie odbywa się bez poślizgu? Jaka będzie maksymalna wysokość

Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej

w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

25

a

a

2P

L 2

L A

M= PL

B

α= 30°

q

A B

3L L

F = qL M=2qL

2

L L

M=2PL 3P

A

d

Page 26: FIZYKA W MECHATRONICE - mech.pg.edu.pl · równi o kącie nachylenia , jeżeli jej prędkość zma leje o połowę a toczenie odbywa się bez poślizgu? Jaka będzie maksymalna wysokość

Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej

w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

26

III. DRGANIA

1) Ruch harmoniczny (nietłumiony)

Równanie ruchu

x(t) A sin( t )

Prędkość

dx(t)v(t) A cos( t )

dt

Maksymalna prędkość

maxv A

Przyspieszenie

2

2

2

d x(t)a(t) A sin( t )

dt

Maksymalne przyspieszenie 2

maxa A

Energia kinetyczna

2 2 2 2

k

1 1E (t) m v (t) m A cos ( t )

2 2

Energia potencjalna

2 2 2

p

1 1E (t) k x (t) A sin ( t )

2 2

Zasada zachowania energii mechanicznej-drgania nietłumione

2 2 2 2 2

mech k p

1 1 1 1E (t) E (t) E (t) m v (t) k x (t) m A k A const.

2 2 2 2

2) Tłumienie wiskotyczne

W modelu tłumienia wiskotycznego, siła oporu (dyssypacji energii) jest proporcjonalna do

prędkości względnej końców tłumika

tl 2 1 2 1F b (v v ) b (x x ) ,

natomiast energię rozpraszaną (funkcję dyssypacji energii) obliczamy ze wzoru

2 2

2 1 2 1

1 1D b (v v ) b (x x )

2 2.

Page 27: FIZYKA W MECHATRONICE - mech.pg.edu.pl · równi o kącie nachylenia , jeżeli jej prędkość zma leje o połowę a toczenie odbywa się bez poślizgu? Jaka będzie maksymalna wysokość

Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej

w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

27

3) Elementy sprężyste i tłumiące:

liniowe – siły w sprężynie i tłumiku:

spr 2 1

tl 2 1

F k (x x )

F b (x x ),

gdzie:

k[N/m], b[N/(m/s)], xi[m], x [m/s]

obrotowe (rotacyjne) – momenty sił w sprężynie i tłumiku:

spr 0 2 1

tl 0 2 1

M k ( )

M b ( )

gdzie:

k0[N·m/rad], b0[N·m/(rad/s)], υi[rad], [rad/s]

4) Łączenie elementów sprężystych i tłumiących

szeregowe

n

zast i 1 i

n

zast i 1 i

1 1

k k

1 1

b b

równoległe

n

zast i

i 1

n

zast i

i 1

k k

b b

5) Różniczkowe równanie drgań swobodnych tłumionych:

Dla drgań układu o 1 stopniu swobody z tłumieniem wiskotycznym równanie ruchu

przyjmuje postać

zast zast zast

2

0

m x b x k x 0

x 2 h x x 0,

gdzie:

mzast,bzast,kzast zastępcze (zredukowane) współczynniki bezwładności, tłumienia i sztywności,

zast0

zast

k

m częstość drgań własnych nietłumionych (rezonansowa),

Page 28: FIZYKA W MECHATRONICE - mech.pg.edu.pl · równi o kącie nachylenia , jeżeli jej prędkość zma leje o połowę a toczenie odbywa się bez poślizgu? Jaka będzie maksymalna wysokość

Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej

w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

28

0

0

2T okres drgań własnych nietłumionych,

zast

zast

bh

2 m współczynnik tłumienia.

Dla małego tłumienia, tzn. gdy ω0>h, częstość i okres tłumionych drgań własnych obliczamy

z zależności:

2 2

tl 0

tl

tl

h

2T

.

6) Logarytmiczny dekrement tłumienia

W przypadku tłumienia wiskotycznego stosunek dwóch wychyleń odległych od siebie o Ttl

jest wielkością stałą, a jego logarytm naturalny jest bezwymiarową miarą tłumienia układu i

nosi nazwę logarytmicznego dekrementu tłumienia

tl

tl

x(t)ln h T

x(t T ).

7) Energia drgań tłumionych

2 h t

0E(t) E e ,

gdzie:

E0[J] energia początkowa (dla t=0),

t[s] czas.

Page 29: FIZYKA W MECHATRONICE - mech.pg.edu.pl · równi o kącie nachylenia , jeżeli jej prędkość zma leje o połowę a toczenie odbywa się bez poślizgu? Jaka będzie maksymalna wysokość

Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej

w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

29

ZADANIA

Dla układów przedstawionych na rysunkach określić:

a) różniczkowe równanie ruchu drgań swobodnych,

b) zastępcze (zredukowane) współczynniki bezwładności, tłumienia, sztywności,

c) częstość i okres drgań swobodnych tłumionych i nietłumionych (dla tłumienia małego,

tzn. ω0>h),

d) logarytmiczny dekrement tłumienia.

ZAD. 1)

ZAD. 2)

k0

k

b

2L

L

m

k

2k

m

m r kula

O

b

x

Page 30: FIZYKA W MECHATRONICE - mech.pg.edu.pl · równi o kącie nachylenia , jeżeli jej prędkość zma leje o połowę a toczenie odbywa się bez poślizgu? Jaka będzie maksymalna wysokość

Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej

w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

30

ZAD. 3)

ZAD. 4)

a

b

ρc

m g

k

m

r m

b

µ= 0

Kula, m, r

Page 31: FIZYKA W MECHATRONICE - mech.pg.edu.pl · równi o kącie nachylenia , jeżeli jej prędkość zma leje o połowę a toczenie odbywa się bez poślizgu? Jaka będzie maksymalna wysokość

Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej

w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

31

ZAD. 5)

ZAD. 6)

b k L L

A

JA

k

x

h

k 2k

μ = 0

m

Page 32: FIZYKA W MECHATRONICE - mech.pg.edu.pl · równi o kącie nachylenia , jeżeli jej prędkość zma leje o połowę a toczenie odbywa się bez poślizgu? Jaka będzie maksymalna wysokość

Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej

w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

32

IV. MECHANIKA PŁYNÓW

1) Ciśnienie hydrostatyczne

hydrostp g h ,

gdzie:

ρ[kg/m2] gęstość cieczy,

g=9.81 m/s2 przyspieszenie grawitacyjne,

h[m] wysokość słupa cieczy.

2) Ciśnienie całkowite

0 hydrost 0p p p p g h

p0 ciśnienie zewnętrzne na poziomie uznawanym za h=0, a dla zbiorników

otwartych ciśnienie atmosferyczne na powierzchni cieczy (w warunkach

normalnych jest to 1013 hPa)

3) Objętościowe natężenie przepływu

q A v ,

gdzie:

A[m2] powierzchnia przekroju poprzecznego rurociągu,

v[m/s] prędkość płynu.

4) Masowe natężenie przepływu

m q A v .

5) Prawo ciągłości przepływu (strugi)

1 1 2 2A v A v const .

6) Równanie Bernoulliego, zasada zachowania energii

W przypadku cieczy nieściśliwej, nielepkiej, gdy przepływ jest stacjonarny, energię jednostki

masy płynu obliczamy z zależności

2 2

1 1 2 21 2

v p v pg h g h const

2 2

gdzie:

Page 33: FIZYKA W MECHATRONICE - mech.pg.edu.pl · równi o kącie nachylenia , jeżeli jej prędkość zma leje o połowę a toczenie odbywa się bez poślizgu? Jaka będzie maksymalna wysokość

Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej

w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

33

h[m] wysokość w układzie odniesienia, w którym liczona jest energia potencjalna.

Poszczególne człony równania to energia kinetyczna, energia potencjalna, energia ciśnienia.

Page 34: FIZYKA W MECHATRONICE - mech.pg.edu.pl · równi o kącie nachylenia , jeżeli jej prędkość zma leje o połowę a toczenie odbywa się bez poślizgu? Jaka będzie maksymalna wysokość

Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej

w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

34

ZADANIA

ZAD. 1)

Wyznaczyć maksymalną wysokość H napełnienia zbiornika, przy której będzie jeszcze

zagwarantowana szczelność klapy o długości L. Określić wartość i miejsce przyłożenia

wypadkowej naporu na obie części klapy, jeżeli jej szerokość wynosiła b.

ZAD. 2)

Z zaworu hydrantu umieszczonego na wysokości h nad ziemią wypływa woda. Wyznaczyć

prędkość wypływu wody, zasięg strumienia oraz czas, po upływie którego woda opadnie na

ziemię. Ciśnienie na wysokości zaworu wynosi p1, a zewnętrzne patm.

L

P0

P1

h

L H

Page 35: FIZYKA W MECHATRONICE - mech.pg.edu.pl · równi o kącie nachylenia , jeżeli jej prędkość zma leje o połowę a toczenie odbywa się bez poślizgu? Jaka będzie maksymalna wysokość

Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej

w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

35

ZAD. 3)

Wyznaczyć prędkości V1 i V2 wypływu cieczy z otwartego zbiornika systemem dwóch rur o

jednakowych średnicach d umieszczonych jak przedstawiono na rysunku w odległości h od

środka otworu wylotowego. Dla jakiej wysokości H, natężenie przepływu w górnej rurce

będzie 2 razy mniejsze od natężenia przepływu w dolnej?

Patm

H

d

d V1

V2

h

h

Page 36: FIZYKA W MECHATRONICE - mech.pg.edu.pl · równi o kącie nachylenia , jeżeli jej prędkość zma leje o połowę a toczenie odbywa się bez poślizgu? Jaka będzie maksymalna wysokość

Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej

w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

36

ZAD. 4)

A dyszy o powierzchni przekroju poprzecznego A wypływa strumień cieczy o gęstości ρ z

prędkością V w kierunku poziomym. Następnie strumień uderza o pionową płytę opierającą

się o dwie sprężyny o sztywności k każda. Wyznaczyć siłę naporu N strumienia na płytę oraz

ugięcie x płyty.

X

X

V

k

k

A

Page 37: FIZYKA W MECHATRONICE - mech.pg.edu.pl · równi o kącie nachylenia , jeżeli jej prędkość zma leje o połowę a toczenie odbywa się bez poślizgu? Jaka będzie maksymalna wysokość

Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej

w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

37

ZAD.5)

Określić wysokość h na jaką wystrzeli strumień wody z dyszy. Różnica poziomów lustra

cieczy w zbiorniku i końcówki dyszy wynosi H, ciśnienie wewnątrz zbiornika p1, natomiast

ciśnienie zewnętrzne p0.Powierzchnie zbiornika i dyszy są odpowiednio A1, A2.

H

h

Page 38: FIZYKA W MECHATRONICE - mech.pg.edu.pl · równi o kącie nachylenia , jeżeli jej prędkość zma leje o połowę a toczenie odbywa się bez poślizgu? Jaka będzie maksymalna wysokość

Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej

w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

38

ZAD. 6)

Wyznaczyć masę M przeciwwagi zastosowanej do zabezpieczenia klapy przed otwarciem,

jeżeli wiadomo, że słup cieczy o wysokości H powoduje jej otwarcie. Szerokość klapy

wynosi b. Określić wielkość siły naporu na klapę i punkt jej przyłożenia.

Q

L

H

Page 39: FIZYKA W MECHATRONICE - mech.pg.edu.pl · równi o kącie nachylenia , jeżeli jej prędkość zma leje o połowę a toczenie odbywa się bez poślizgu? Jaka będzie maksymalna wysokość

Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej

w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

39

V. TERMODYNAMIKA

1) Podstawowy wzór kinetycznej teorii gazów

kin,sr

2 Np E

3 V,

gdzie:

p [N/m2] ciśnienie

N [-] liczba cząstek

V [m3] objętość

kin,srE [J] energia kinetyczna średnia

kin,sr

3E k T

2,

T [K] temperatura bezwzględna,

23

A

R Jk 1.38 10

N K stała Boltzmanna

2) Równanie Clapeyrona stanu gazu doskonałego

mp V R T ,

gdzie:

m [kg] masa gazu,

[kg/kmol] masa molowa,

kJR 8.314

kmol K uniwersalna stała gazowa,

3) Liczba Avogadra

Jeden mol substancji jest to taka masa, która zawiera ilość cząstek równą liczbie Avogadra

23

AN 6.022 10 cząstek.

4) Mieszaniny gazów (doskonałych)

1 2 ip V (n n ... n ...) R T ,

gdzie:

ni liczba moli i-tego składnika

p. V, T parametry całej mieszaniny.

5) Prawo Daltona o wypadkowym ciśnieniu

1 2 ip p p ... p ...

Page 40: FIZYKA W MECHATRONICE - mech.pg.edu.pl · równi o kącie nachylenia , jeżeli jej prędkość zma leje o połowę a toczenie odbywa się bez poślizgu? Jaka będzie maksymalna wysokość

Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej

w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

40

pi [N/m2] ciśnienie i-tego składnika.

6) Przemiany gazowe

a) izotermiczna ( T=const ), prawo Boyle'a-Mariotte'a

1 1 2 2

p V const

p V p V

b) izobaryczna ( p=const ), prawo Gay-Lussaca

1

1

1 2

1 2

Vconst

T

V V

T T

c) izochoryczna ( V=const ), prawo Charlesa

1 2

1 2

pconst

T

p p

T T

d) adiabatyczna ( Q=0 ), równanie Poissona

1 1 2 2

p V const

p V p V

gdzie:

p

v

C

C wykładnik adiabaty.

e) politropowa ( ogólna przemiana gazów doskonałych )

m

m m

1 1 2 2

p V const

p V p V

gdzie:

Page 41: FIZYKA W MECHATRONICE - mech.pg.edu.pl · równi o kącie nachylenia , jeżeli jej prędkość zma leje o połowę a toczenie odbywa się bez poślizgu? Jaka będzie maksymalna wysokość

Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej

w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

41

p

v

C Cm

C C

jest wykładnikiem politropy.

7) Równanie Mayera

p vC C R ,

gdzie:

Cp, Cv [J/(mol·K)] ciepła właściwe przy stałym ciśnieniu i stałej objętości.

8) I zasada termodynamiki

W dowolnej przemianie termodynamicznej układu zamkniętego zmiana U energii

wewnętrznej jest równa ciepłu Q dostarczonemu do układu i pracy W wykonanej nad

układem

U Q W ,

gdzie

2 1Q m c (t t ) .

9) II zasada termodynamiki, obieg porównawczy Carnota

Silnik cieplny pracujący cyklicznie, pobiera ciepło Q1 ze źródła ciepła o temperaturze T1 i

następnie w wyniku procesu cyklicznego (kołowego) oddaje ciepło Q2 do chłodnicy o

temperaturze T2 oraz wykonuje pewną pracę W (oddaje pracę W>0).

Sprawnością silnika nazywa się stosunek uzyskanej pracy W w całym cyklu do ciepła

pobranego Q1, czyli

1 2

1 1

Q QW

Q Q.

Z wszystkich maszyn cieplnych najwyższą sprawność posiada tzw. Maszyna Carnota, której

cykl składa się z dwóch przemian adiabatycznych i dwóch izotermicznych. Wówczas

1 2 2

1 1

T T T1

T T.

Page 42: FIZYKA W MECHATRONICE - mech.pg.edu.pl · równi o kącie nachylenia , jeżeli jej prędkość zma leje o połowę a toczenie odbywa się bez poślizgu? Jaka będzie maksymalna wysokość

Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej

w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

42

ZADANIA

ZAD. 1)

W pojemniku kulistym o promieniu R=1 m znajduje się m=300 g tlenu. Oblicz koncentrację

molekuł tlenu w kuli.

ZAD. 2)

Do argonu o masie m=0.3 kg dostarczono podczas procesu przemiany izobarycznej Q=4.5 kJ

ciepła. Jak i o ile zmieni się średnia energia kinetyczna każdej molekuły? Masa molowa

argonu µ=39.9 g/mol.

ZAD. 3)

Obliczyć ciśnienie mieszaniny składającej się z tlenu (n1=1014

molekuł), azotu (n2=3.8·1015

molekuł) oraz m=8.9·10-11

kg argonu. Temperatura mieszaniny wynosi t=130 ºC, a objętość

V=3.2·10-3

m3.

ZAD. 4)

Wyznaczyć ilość odprowadzonego ciepła oraz pracę jaką wykonano podczas izobarycznego

sprężania tlenu o masie m=12 kg jeżeli jego objętość zmalała n=2 razy. Początkowa

temperatura wynosiła t=110 ºC.

ZAD. 5)

Walcowe naczynie o długości L1=0.6 m zawiera zamknięte tłokiem powietrze o temperaturze

t1=25 ºC pod ciśnieniem p1=2.3·105Pa. Tłok przesunięto o ΔL=0.3 m sprężając adiabatycznie

zawarte w nim powietrze. Oblicz ciśnienie i temperaturę końcową jeżeli wykładnik adiabaty

dla powietrza wynosi κ=1.4.

ZAD. 6)

Tlen o masie m=200 g ogrzano od temperatury t1=40 ºC do t2=70ºC. Zakładając, że gaz jest

idealny oblicz ilość pobranego ciepła oraz zmianę energii wewnętrznej tlenu w przypadku,

gdy ogrzewanie zachodziło: a) izochorycznie, b)izobarycznie.

ZAD. 7)

Obliczyć sprawność obiegu termodynamicznego składającego się z dwóch izoterm i dwóch

izobar, jeżeli czynnikiem roboczym jest gaz doskonały. Temperatury gazu w procesach

izotermicznych są T1 i T2, a ciśnienia p1 i p2.

ZAD. 8)

Podczas izobarycznego sprężania azotu wykonana została praca równa L=14 kJ. Obliczyć

ilość straconego ciepła oraz zmianę energii wewnętrznej gazu.

ZAD. 9)

Jaka ilość ciepła potrzebna jest do ogrzania V=5 m3 tlenku węgla od temperatury t1=0 ºC do

temperatury t2=210 ºC? Gaz znajduje się w cylindrycznym naczyniu przykrytym od góry

poruszającym się bez tarcia lekkim tłokiem. Ciśnienie atmosferyczne p0=9,40·104 Pa.

ZAD. 10)

Przy izotermicznym sprężaniu m=3.1 kg tlenku węgla objętość jego zmniejszyła się cztery

razy. Obliczyć pracę wykonaną podczas sprężania, jeżeli temperatura gazu wynosiła 12 ºC.

Page 43: FIZYKA W MECHATRONICE - mech.pg.edu.pl · równi o kącie nachylenia , jeżeli jej prędkość zma leje o połowę a toczenie odbywa się bez poślizgu? Jaka będzie maksymalna wysokość

Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej

w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

43

ZAD. 11)

Azot (N2) o masie m=6 kg rozpręża się politropowo. Ciśnienie gazu maleje od wartości

p1=15·105 Pa do p2=1.5·10

5 Pa. Obliczyć ilość ciepła jaka wymieniona zostaje podczas tego

procesu, jeżeli końcowa temperatura wynosiła t2=40 ºC. Wykładnik politropy m=1.75, ciepło

właściwe gazu cp=1047 kJ/(kg·K).

Page 44: FIZYKA W MECHATRONICE - mech.pg.edu.pl · równi o kącie nachylenia , jeżeli jej prędkość zma leje o połowę a toczenie odbywa się bez poślizgu? Jaka będzie maksymalna wysokość

Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej

w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

44

VI. ELEKTROTECHNIKA I ELEKTRONIKA

PRĄD STAŁY

1) Natężenia prądu

dq

Idt

I e n v S

I E S

gdzie:

q, e [C] ładunek elektryczny,

t [s] czas,

v [m/s] średnia prędkość uporządkowanego ruchu elektronów,

S [m2] powierzchnia przekroju poprzecznego przewodu,

E [N/C=V/m] natężenie pola,

n koncentracja nośników prądu,

An N

[kg/m3] gęstość materiału przewodzącego,

NA liczba Avogadra,

[kg/kmol] masa molowa.,

[1/( m)] elektryczne przewodnictwo właściwe

e

1,

e [ m] elektryczny opór właściwy materiału.

2) Prawo Ohma

U

IR

,

gdzie:

U [V] napięcie,

R [ ] opór elektryczny

e

LR

S,

L [m] długość przewodnika,

S [m2] pole powierzchni przekroju poprzecznego,

e 0e (1 t)

Page 45: FIZYKA W MECHATRONICE - mech.pg.edu.pl · równi o kącie nachylenia , jeżeli jej prędkość zma leje o połowę a toczenie odbywa się bez poślizgu? Jaka będzie maksymalna wysokość

Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej

w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

45

t [ºC] temperatura

0e opór właściwy w temperaturze 0ºC.

3) Prawa Kirchhoffa

I prawo

Suma algebraiczna natężeń prądów wpływających do węzła i wypływających z węzła równa

jest zeru:

1 2 3I I I ... 0 ,

II prawo

Suma algebraiczna spadków napięć na elementach obwodu zamkniętego jest równa zeru:

1 2 3U U U ... 0 .

Spadki napięcia na elementach obwodu elektrycznego, tzn.: opornikach, kondensatorach,

cewkach i ogniwach wynoszą odpowiednio:

RU I R

t

C

0

1 QU Idt

C C

L

dIU L

dt

U I r ,

r [Ω] opór wewnętrzny ogniwa.

4) Prawo Ohma dla obwodu

i

i i

IR r

,

gdzie:

i [V] suma sił elektromotorycznych.

5) Łączenie oporników, kondensatorów i ogniw – wielkości zastępcze:

łączenie szeregowe

zast iR R

zast i

1 1

C C

zast i

Page 46: FIZYKA W MECHATRONICE - mech.pg.edu.pl · równi o kącie nachylenia , jeżeli jej prędkość zma leje o połowę a toczenie odbywa się bez poślizgu? Jaka będzie maksymalna wysokość

Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej

w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

46

zast ir r

łączenie równoległe

zast i

1 1

R R

zast iC C

zast 1 2 i

izast

rr

n.

6) Praca prądu

W U I t

7) Moc prądu

N U I

8) Prawo Joule'a-Lentza

2

2

Q U I t

UQ t

R

Q I R t

PRĄD PRZEMIENNY

1) Prawo Ampera

dF I dL B

gdzie:

dF [N] siła działająca na elementarny odcinek przewodu,

dL [m] elementarny odcinek przewodu,

I [A] natężenie prądu,

B [T] indukcja magnetyczna.

2) Prawo Biota – Savarta – Laplace'a

0

3

I dL rdB

4 r

gdzie:

µ0[(Vs)/(Am)] przenikalność magnetyczna próżni,

µ[(Vs)/(Am)] względna przenikalność magnetyczna ośrodka,

r [m] wektor wodzący poprowadzony z elementu I dL

Page 47: FIZYKA W MECHATRONICE - mech.pg.edu.pl · równi o kącie nachylenia , jeżeli jej prędkość zma leje o połowę a toczenie odbywa się bez poślizgu? Jaka będzie maksymalna wysokość

Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej

w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

47

3) Zależność indukcji i natężenia pola magnetycznego

0B H

4) Pole magnetyczne poruszającego się ładunku

0

3

q v rB

4 r,

gdzie

v[m/s] prędkość ładunku.

5) Pole magnetyczne wokół przewodnika liniowego

01 2

0

IB (cos cos )

4 r,

gdzie:

r0[m] odległość od przewodnika do rozpatrywanego punktu,

υ1, υ2 kąty jakie tworzą proste poprowadzone z rozpatrywanego punktu do końców

przewodnika z tym przewodnikiem.

W szczególności dla nieskończonego przewodnika prostoliniowego

0

0

2 IB

4 r

6) Moment magnetyczny zamkniętego obwodu

mp I S,

gdzie

S[m2] pole powierzchni ramki zamkniętej obwodem.

7) Pole magnetyczne na osi okrągłego zwoju w dowolnym punkcie osi

0 m

2 2 3/ 2

2 pB

4 (R h ),

gdzie:

R [m] promień zwoju,

h [m] odległość od środka zwoju do rozpatrywanego punktu.

8) Pole magnetyczne wewnątrz toroidu

0

N IB

2 r,

gdzie

N całkowita liczba zwoi.

9) Pole magnetyczne solenoidu

Page 48: FIZYKA W MECHATRONICE - mech.pg.edu.pl · równi o kącie nachylenia , jeżeli jej prędkość zma leje o połowę a toczenie odbywa się bez poślizgu? Jaka będzie maksymalna wysokość

Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej

w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

48

01 2B n I (cos cos )

2,

gdzie:

n liczba zwojów na jednostkę długości,

α1, α2 kąty jakie tworzą proste poprowadzone z rozpatrywanego punktu leżącego na

osi solenoidu z końcami solenoidu.

Dla nieskończenie długiego solenoidu

0B n I .

10) Siła wzajemnego oddziaływania dwóch przewodników z prądem

0 2 2 1 1 122 3

12

I dL [I dL r ]F

4 r

0 1 1 2 2 211 3

21

I dL [I dL r ]F

4 r

Dla dwóch równoległych przewodów odległych o r i o długościach L każdy siła wzajemnego

oddziaływania wynosi:

0 1 21 2

I I LF F

2 r.

11) Mechaniczny moment sił działających na ramkę z prądem w jednorodnym polu

magnetycznym

mM p B

12) Siła Lorentza oddziaływania pola elektrycznego i magnetycznego na ładunek

LF q E q v B

gdzie

v[m/s] prędkość ładunku.

13) Strumień magnetyczny

BdS ,

gdzie

dS [m2] elementarna powierzchnia zorientowana wektorem jednostkowym

prostopadłym do niej .

Page 49: FIZYKA W MECHATRONICE - mech.pg.edu.pl · równi o kącie nachylenia , jeżeli jej prędkość zma leje o połowę a toczenie odbywa się bez poślizgu? Jaka będzie maksymalna wysokość

Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej

w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

49

14) Siła elektromotoryczna indukcji (Prawo Faradaya)

ind

d

dt

15) Natężenie indukowanego prądu

ind1 dI

R dt R

16) Siła elektromotoryczna samoindukcji

samoind

d dIL

dt dt

gdzie

L [H] indukcyjność obwodu.

17) Energia pola magnetycznego prądu elektrycznego

2

m

1W L I

2

18) Prąd przemienny

0 m 0

m 0

m 0

m 0

B S cos( t ) cos( t )

cos( t )

I I cos( t )

U U cos( t )

,

gdzie:

Φm, εm, Im, Um wartości maksymalne (amplitudy),

υ0 kąt przesunięcia fazowego,

ω[rad/s] częstość kołowa wirowania pola magnetycznego (ramki obwodu).

19) Wartości skuteczne prądu i napięcia

msk

msk

II

2

UU

2

Page 50: FIZYKA W MECHATRONICE - mech.pg.edu.pl · równi o kącie nachylenia , jeżeli jej prędkość zma leje o połowę a toczenie odbywa się bez poślizgu? Jaka będzie maksymalna wysokość

Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej

w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

50

20) Odbiorniki w układach elektrycznych

Spadki napięcia na odbiornikach

Opór czynny

R

Opór bierny indukcyjny

XL

(Reaktancja indukcyjna)

Opór bierny pojemnościowy

XC

(Reaktancja

pojemnościowa)

RU I R

L LU I X I 2 f L

C C

IU I X

2 f C

Zastępczy opór szeregowego obwodu R-L-C

opór pozorny - ZAWADA (IMPEDANCJA) oraz kąt przesunięcia fazowego

2 21Z R ( L )

C

1L

Ctg( )R

21) Prawo Ohma dla obwodu R-L-C

2 2

sk R L C

sksk

U U (U U )

UI

Z

.

22) Transformatory

Transformatory to urządzenia służące do przekształcania napięcia i natężenia prądu

przemiennego.

przełożenie (przekładnia) transformatora

2 2

1 1

U n

U n,

gdzie

n1, n2 liczba zwojów uzwojenia pierwotnego i wtórnego

Page 51: FIZYKA W MECHATRONICE - mech.pg.edu.pl · równi o kącie nachylenia , jeżeli jej prędkość zma leje o połowę a toczenie odbywa się bez poślizgu? Jaka będzie maksymalna wysokość

Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej

w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

51

zależność napięcia i natężenia – transformator idealny (100% sprawności)

1 2

2 1

U I 1

U I.

sprawność rzeczywistego transformatora

2

1

P

P,

gdzie

P1, P2 moce dla uzwojeń pierwotnego i wtórnego.

23) Drgania i fale elektromagnetyczne

okres drgań w obwodzie drgającym R-L-C

2

2T

1 R( )

L C 2 L

rezonans dla obwodu idealnego (bez strat) L-C, gdy XL=XC

12 f L

2 f C

T 2 L C

.

Page 52: FIZYKA W MECHATRONICE - mech.pg.edu.pl · równi o kącie nachylenia , jeżeli jej prędkość zma leje o połowę a toczenie odbywa się bez poślizgu? Jaka będzie maksymalna wysokość

Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej

w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

52

ZADANIA

ZAD. 1)

Do sieci prądu sinusoidalnego podłączono szeregowo odbiorniki R-L-C o wartościach:

R=25Ω, L=0.23H oraz C=27 µF. Napięcie sieci wynosi U=120 V, częstotliwość f=50 Hz.

Obliczyć:

impedancję,

prąd w obwodzie,

kąt przesunięcia fazowego napięcia względem prądu,

spadki napięcia na poszczególnych odbiornikach,

sporządzić wykresy wektorowe napięć i oporów.

G U

C L R I

UR UL UC

Page 53: FIZYKA W MECHATRONICE - mech.pg.edu.pl · równi o kącie nachylenia , jeżeli jej prędkość zma leje o połowę a toczenie odbywa się bez poślizgu? Jaka będzie maksymalna wysokość

Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej

w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

53

ZAD. 2)

Obwód rozgałęziony składający się z cewki o rezystencji R1=15 Ω i indukcyjności L=0.05 H

oraz opornika o rezystencji R2=22 Ω i znikomo małej indukcji przyłączono do sieci prądu

przemiennego o napięciu U=230V i częstotliwości f=50 Hz. Obliczyć prądy w

poszczególnych gałęziach obwodu. Wyznaczyć impedancję układu i sporządzić wykresy

wektorowe napięć, prądów i oporów.

U

I

L

Page 54: FIZYKA W MECHATRONICE - mech.pg.edu.pl · równi o kącie nachylenia , jeżeli jej prędkość zma leje o połowę a toczenie odbywa się bez poślizgu? Jaka będzie maksymalna wysokość

Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej

w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

54

ZAD. 3)

W jednej linii obwodu rozgałęzionego umieszczono cewkę o indukcyjności L=0.067 H oraz

opór czynny rezystencji R1=30 Ω. W drugiej gałęzi znalazł się kondensator o pojemności

C=123 µF. Układ podłączono następnie do źródła prądu przemiennego o napięciu U=230V i

częstotliwości f=50 Hz. Obliczyć prądy w poszczególnych gałęziach obwodu. Wyznaczyć

impedancję układu i sporządzić wykresy wektorowe napięć, prądów i oporów.

ZAD. 4)

Obliczyć natężenie pola elektrycznego E wewnątrz kwadratu o boku L, jeżeli w narożnikach

znajdują się kolejno ułożone ładunki Q, 2Q, 3Q, 4Q.

ZAD. 5)

Kondensator odłączono od źródła napięcia U i następnie usunięto dielektryk o względnej

przenikalności elektrycznej εr rozdzielający okładki. Jak zmieni się napięcie, natężenie i

ładunek na okładkach tego kondensatora?

ZAD. 6)

Przewodnik jest naładowany gęstością powierzchniową σ=3 C/m2. Obliczyć gęstość energii

ρen w pobliżu tej powierzchni, jeżeli jest ona zanurzona w dielektryku o względnej

przenikalności εr=3.5.

I

U

L

R C

Page 55: FIZYKA W MECHATRONICE - mech.pg.edu.pl · równi o kącie nachylenia , jeżeli jej prędkość zma leje o połowę a toczenie odbywa się bez poślizgu? Jaka będzie maksymalna wysokość

Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej

w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

55

ZAD.7)

Przez miedziany przewodnik o oporze właściwym ρe=1.83·10-8

Ωm i przekroju S=2.1 mm2

płynie prąd o natężeniu I=0.9 A. Oblicz natężenie pola elektrycznego w tym przewodniku.

ZAD. 8)

Ramkę umieszczono w jednorodnym polu indukcji B=0.67 T. Amplituda wzbudzonego

prądu wyniosła Im=12 A. Wiedząc, że pole powierzchni ramki S=230 cm2, liczba zwojów w

ramce N=18 oraz łączny opór zwojów R=12 Ω, wyznaczyć liczbę obrotów ramki w jednostce

czasu.

ZAD. 9)

W układzie szeregowo połączonych odbiorników R-L-C dołączono dodatkowy taki sam opór

R. Wyznaczyć kąty fazowe υ1, υ2 przesunięcia między natężeniem prądu w obwodzie a

napięciem zasilającym przed i po dołączeniu opornika, jeżeli wiadomo, że moc wydzielana w

obwodzie nie uległa zmianie.

Page 56: FIZYKA W MECHATRONICE - mech.pg.edu.pl · równi o kącie nachylenia , jeżeli jej prędkość zma leje o połowę a toczenie odbywa się bez poślizgu? Jaka będzie maksymalna wysokość

Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej

w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

56

VII. UKŁADY LOGICZNE

1) Funkcje logiczne

Funkcję y=f(x1,x2,..,xn) nazywamy logiczną jeżeli zarówno wartości tej funkcji, jak i jej

argumenty przyjmują tylko dwie wartości - przykładowo 0 lub 1 ( PRAWDA (TRUE) lub

FAŁSZ (FALSE)).

Funkcja y, mająca n zmiennych, jest określona dla 2n zestawów wartości zmiennych.

2) Bramki logiczne

Bramką nazywamy prosty obwód elektroniczny (elektryczny, pneumatyczny, inny)

realizujący funkcję logiczną.

Najbardziej rozpowszechnione funkcje logiczne, mające swoją reprezentację w postaci

bramek logicznych to:

NOT

OR

AND

NOR

NAND

XOR

XNOR

Własności tych funkcji i ich reprezentację graficzną przedstawiono w tabeli poniżej.

3) Prawa logiki matematycznej – algebra Boole’a

Podstawowe prawa logiki matematycznej:

prawo przemienności

1 2 2 1x x x x

1 2 2 1x x x x

prawa łączności

1 2 3 1 2 3(x x ) x x (x x )

1 2 3 1 2 3(x x ) x x (x x )

prawa rozdzielności

1 2 3 1 3 2 3(x x ) x x x x x

1 2 3 1 3 2 3x x x (x x ) (x x )

prawa dopełnienia (de Morgana)

Page 57: FIZYKA W MECHATRONICE - mech.pg.edu.pl · równi o kącie nachylenia , jeżeli jej prędkość zma leje o połowę a toczenie odbywa się bez poślizgu? Jaka będzie maksymalna wysokość

Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej

w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

57

1 2 1 2x x x x

1 2 1 2x x x x

prawa powtórzenia

x x x ... x x

x x x ... x x

Ponadto, przy przekształcaniu funkcji logicznych, stosowane są następujące własności:

1 1 2 1

1 1 2 1 2

1 1 2 1

1 1 2 1 2

1 2 1 2 1

1 2 1 2 1

x 0 0

x 1 x

x x 0

x (x x ) x

x (x x ) x x

x 0 x

x 1 1

x x 1

x x x x

x x x x x

x x

x x x x x

(x x ) (x x ) x

W praktyce stosowane jest często twierdzenie algebry Boole'a, wg którego każdą funkcję

logiczną można przedstawić za pomocą sumy iloczynów lub iloczynu sum wszystkich jej

zmiennych. Takie przedstawienie funkcji nazywane jest odpowiednio dysjunkcyjną i

koniunkcyjną postacią kanoniczną.

System funktorów, za pomocą którego można zbudować dowolną funkcję logiczną nazywa

się systemem funkcjonalnie pełnym.

Systemy takie są utworzone m.in. przez następujące funktory:

negacji i koniunkcji,

negacji i alternatywy,

negacji koniunkcji,

negacji alternatywy.

4) Układy logiczne

Układy fizyczne, które realizują określone funkcje logiczne nazywane są układami

(elementami) logicznymi. Najczęściej stosowane są układy logiczne wykorzystujące elementy

elektroniczne, pneumatyczne oraz hydrauliczne.

Page 58: FIZYKA W MECHATRONICE - mech.pg.edu.pl · równi o kącie nachylenia , jeżeli jej prędkość zma leje o połowę a toczenie odbywa się bez poślizgu? Jaka będzie maksymalna wysokość

Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej

w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

58

TABELA FUNKCJI LOGICZNYCH

Funkcja

Nazwa

(ang.)

Tabela funkcji

Symbol graficzny

bramki

Negacja

y x

NOT

x y x

0 1

1 0

Alternatywa

1 2y x x

OR

1x 2x

1 2y x x

0 0 0

0 1 1

1 0 1

1 1 1

Koniunkcja

1 2y x x

AND

1x 2x

1 2y x x

0 0 0

0 1 0

1 0 0

1 1 1

Negacja alternatywy

1 2y x x

NOR

1x 2x

1 2y x x

0 0 1

0 1 0

1 0 0

1 1 0

Negacja koniunkcji

1 2y x x

NAND

1x 2x

1 2y x x

0 0 1

0 1 1

1 0 1

1 1 0

Page 59: FIZYKA W MECHATRONICE - mech.pg.edu.pl · równi o kącie nachylenia , jeżeli jej prędkość zma leje o połowę a toczenie odbywa się bez poślizgu? Jaka będzie maksymalna wysokość

Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej

w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

59

ZADANIA

Dla układu logicznego danego w postaci tabeli napisać za pomocą dysjunkcyjnej i

koniunkcyjnej postaci kanonicznej funkcję logiczną realizującą ten układ. Następnie

zminimalizować (optymalizacja) funkcję oraz wykorzystując bramki NAND lub NOR,

narysować schemat połączeń takiego układu.

a)

x1

x2

x3

f(x1, x2, x3)

0 0 0 1

0 0 1 1

0 1 0 0

1 0 0 1

0 1 1 0

1 0 1 0

1 1 0 0

1 1 1 1

b)

x1

x2

x3

f(x1, x2, x3)

0 0 0 0

0 0 1 0

0 1 0 1

1 0 0 0

0 1 1 1

1 0 1 1

1 1 0 1

1 1 1 0

c)

x1

x2

x3

f(x1, x2, x3)

0 0 0 0

0 0 1 0

0 1 0 0

1 0 0 1

0 1 1 1

1 0 1 0

1 1 0 1

1 1 1 1

Page 60: FIZYKA W MECHATRONICE - mech.pg.edu.pl · równi o kącie nachylenia , jeżeli jej prędkość zma leje o połowę a toczenie odbywa się bez poślizgu? Jaka będzie maksymalna wysokość

Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej

w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

60

d)

x1

x2

x3

f(x1, x2, x3)

0 0 0 0

0 0 1 0

0 1 0 0

1 0 0 0

0 1 1 1

1 0 1 1

1 1 0 1

1 1 1 1

Page 61: FIZYKA W MECHATRONICE - mech.pg.edu.pl · równi o kącie nachylenia , jeżeli jej prędkość zma leje o połowę a toczenie odbywa się bez poślizgu? Jaka będzie maksymalna wysokość

Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej

w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

61

VIII. MODELOWANIE W MECHATRONICE

1) Modelowanie fizyczne i matematyczne

model fizyczny – jest uproszczeniem obiektu rzeczywistego, które polega na

pozostawieniu tych cech fizycznych (np.: mechanicznych (własności

bezwładnościowe, wymiary geometryczne, sztywność, itp.), elektrycznych

(oporność, indukcyjność, itp.), hydraulicznych, termodynamicznych, i innych,

które mają istotny wpływ na zjawiska i procesy zachodzące z obiektem, a

pominięciu takich cech, które nie mają żadnego lub pomijalnie mały wpływ na

te zjawiska (np.: dla układów mechanicznych drgających są to kolor i zapach),

model matematyczny – stanowi opis analityczny za pomocą równań (lub

czasami nierówności) matematycznych zachowania się modelu fizycznego i

jest tworzony na podstawie zależności fizycznych opisujących zjawiska

zachodzące w analizowanym obiekcie. W układach mechanicznych są to np.:

prawa dynamiki Newtona, zasady zachowania, itp..

2) Schemat blokowy analizy obiektów

sygnał wejściowy – dowolna wielkość fizyczna, poprzez którą oddziałujemy

na badany układ, wywołując zmianę w jego zachowaniu,

sygnał wyjściowy – dowolna wielkość fizyczna charakteryzująca badany

obiekt, której zmienność w czasie nas interesuje.

3) Transmitancja operatorowa układu

Jest to podstawowa wielkość definiowana w automatyce i sterowaniu, która wiąże ze sobą

sygnał wejściowy, sygnał wyjściowy oraz wielkości fizyczne charakteryzujące analizowany

obiekt.

ANALIZOWANY OBIEKT

(opisany np. TRANSMITANCJĄ

OPRERATOROWĄ H(s) )

SYGNAŁ

WYJŚCIOWY

SYGNAŁ

WEJŚCIOWY

ZAKŁÓCENIA

x(t) y(t)

Page 62: FIZYKA W MECHATRONICE - mech.pg.edu.pl · równi o kącie nachylenia , jeżeli jej prędkość zma leje o połowę a toczenie odbywa się bez poślizgu? Jaka będzie maksymalna wysokość

Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej

w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

62

Z definicji, transmitancja operatorowa układu jest to stosunek transformaty Laplace'a

sygnału wyjściowego do transformaty Laplace'a sygnału wejściowego, przy zerowych

warunkach początkowych.

przyzerowychwarunkachpoczątkowych

Y(s)H(s)

X(s),

gdzie:

s zmienna zespolona przekształcenia Laplace'a,

s j w przypadku transmitancji widmowej układu, 2j 1 jednostka urojona.

4) Przykład modelowania i analizy układu mechanicznego

model fizyczny układu

Sygnałem wejściowym jest wymuszenie kinematyczne x(t) - przemieszczenie swobodnego

końca sprężynki o sztywności k1. Sygnał wyjściowy to przemieszczenie y(t) klocka o masie

m.

Page 63: FIZYKA W MECHATRONICE - mech.pg.edu.pl · równi o kącie nachylenia , jeżeli jej prędkość zma leje o połowę a toczenie odbywa się bez poślizgu? Jaka będzie maksymalna wysokość

Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej

w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

63

model matematyczny

1 0

k x r r J Fr''( - ) = + -równanie ruchu dla tarczy,

ykbymyF 2

''' -równanie ruchu dla klocka,

ry -związek kinematyczny przemieszczeń.

transmitancja operatorowa układu

1

20

2 1 2

kY s L sH s

JX s M sm s b s k k

r

( ) ( )( ) = = =

( ) ( )( + ) + ( ) + ( + )

.

symulacja komputerowa działania układu – realizacja w programie

MATLAB

% plik w Matlabie

% DANE LICZBOWE

Jo=2.5;

m=5;

r=0.3;

k1=10000;

k2=7000;

b=67;

L=[k1]; % LICZNIK

M=[(Jo/r^2+m) b (k1+k2)]; % MIANOWNIK

printsys(L,M) % WYSWIETLENIE TRANSM. OPERAT. UKL.

subplot(2,2,1)

bode(L,M) % WYKRESY BODE'A

grid

subplot(2,2,2)

nyquist(L,M) % WYKRES NYQUIST

subplot(2,2,3)

step(L,M) % ODPOWIEDZ SKOKOWA

grid

subplot(2,2,4)

impulse(L,M) % ODPOWIEDZ IMPULSOWA

grid

Page 64: FIZYKA W MECHATRONICE - mech.pg.edu.pl · równi o kącie nachylenia , jeżeli jej prędkość zma leje o połowę a toczenie odbywa się bez poślizgu? Jaka będzie maksymalna wysokość

Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej

w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

64

graficzna reprezentacja wyników w programie Matlab

realizacja układu w systemie SIMULINK

Na podstawie równań modelu matematycznego można wyznaczyć różniczkowe równanie

ruchu klocka w postaci

1 1 20

2

1( ) [ ( ) ]y k x by k k y

Jm

r

,

dla której realizacja w programie SIMULINK przedstawia się następująco:

Page 65: FIZYKA W MECHATRONICE - mech.pg.edu.pl · równi o kącie nachylenia , jeżeli jej prędkość zma leje o połowę a toczenie odbywa się bez poślizgu? Jaka będzie maksymalna wysokość

Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej

w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

65

wyniki uzyskane na drodze symulacji

Page 66: FIZYKA W MECHATRONICE - mech.pg.edu.pl · równi o kącie nachylenia , jeżeli jej prędkość zma leje o połowę a toczenie odbywa się bez poślizgu? Jaka będzie maksymalna wysokość

Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej

w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

66

Page 67: FIZYKA W MECHATRONICE - mech.pg.edu.pl · równi o kącie nachylenia , jeżeli jej prędkość zma leje o połowę a toczenie odbywa się bez poślizgu? Jaka będzie maksymalna wysokość

Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej

w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

67

IX. BIBLIOGRAFIA

1. Wittbrodt E., Sawiak S., Mechanika ogólna. Teoria i zadania. Wydawnictwo

Politechniki Gdańskiej, Gdańsk 2005

2. Kucenko A. N., Rublew J. W., Zbiór zadań z fizyki dla wyższych uczelni

technicznych, PWN, Warszawa 1980

3. Osiński Z., red., Zbiór zadań z teorii drgań, PWN, Warszawa 1989

4. Jakubowicz A., Orłoś Z., Wytrzymałość materiałów, WNT, Warszawa 1984

5. Heimann B., Gerth W., Popp K., Mechatronika. PWN, Warszawa 2001

6. Jędrzejewski J., Kruczek W., Kujawski A., Zbiór zadań z fizyki, t.1+t.2, WNT,

Warszawa 2000

7. Heimann B., Gerth W., Popp K., Mechatronika. PWN, Warszawa 2001

8. Kucenko A. N., Rublew J. W., Zbiór zadań z fizyki dla wyższych uczelni

technicznych, PWN, Warszawa 1980

9. Brański W., Herman M.A., Widomski L., Zbiór zadań z fizyki. Elektryczność i

magnetyzm, PWN, Warszawa 1981

10. Pudlik W. (red), Termodynamika. Zadania i przykłady obliczeniowe,

Wydawnictwo Politechniki Gdańskiej, Gdańsk 2000

11. Tesch K., Mechanika płynów, Wydawnictwo Politechniki Gdańskiej, Gdańsk 2008

12. Zawalich E., Zawalich J., Elektrotechnika dla mechaników-zadania. Wydawnictwo

Politechniki Gdańskiej, Gdańsk 2003

13. Findeisen W. (red), Automatyka. Poradnik inżyniera, WNT, Warszawa 1969

14. Próchnicki W., Dzida M., Zbiór zadań z podstaw automatyki, Wydawnictwo

Politechniki Gdańskiej, Gdańsk 1993

15. Majewski W., Układy logiczne, WNT, Warszawa 1999

16. Banaszek G., Matlab i Simulink. Materiały pomocnicze do ćwiczeń

laboratoryjnych z Podstaw Automatyki. Opracowanie wewnętrzne, Gdańsk 2008.