fizika - ktu.edu ir gamtos... · - mechanika, termodinamika ir elektromagnetizmas – 4 kr....

Fizika doc. dr. Vytautas Stankus Fizikos katedra Matematikos ir gamtos mokslų fakultetas Kauno Technologijos Universitetas Studentų 50 – 258 kab. Darbo tel.: 861033946 [email protected]

Bendrosios fizikos kursas – 2 dalys – 8 kreditai. Fizika 1 - Mechanika, Termodinamika ir Elektromagnetizmas – 4 kr. (studijuojama 2 semestrą). Fizika 2 – Optika ir atomo fizika – 4 kr. (studijuojama 3 semestrą).

Fizika 1 Mechanika, Termodinamika ir Elektromagnetizmas – 4 kr. Fizikos kursas studijuojamas trimis mokymo būdais: 1. Teorinės paskaitos – 32 val. 2. Pratybos – 16 val. 3. Laboratoriniai darbai 32 val.

Mechanika, Termodinamika ir Elektromagnetizmas. Paskaitų ciklo temų sąrašas (kiekviena tema turi skyrius): 1.1 Slenkamojo ir sukamojo judėjimo kinematika 1.2 Slenkamojo ir sukamojo judėjimo dinamika 1.3 Mechaninė energija. Potencialinių jėgų laukai. 1.4 Svyravimai. 1.5 Bangos. 1.6 Skysčių mechanika 2. Molekulinė fizika ir termodinamika 3.1 Elektrostatinis laukas vakuume 3.2 Elektrostatinis laukas dielektrike 3.3 Laidininkai elektrostatiniame lauke ir elektros srovė metaluose 3.4 Elektros srovė dujose 3.5 Magnetinis laukas vakuume 3.6 Elektromagnetinė indukcija 3.7 Magnetinis laukas medžiagoje

1 dalis

2 dalis

Mechanika, Termodinamika ir Elektromagnetizmas. Atsiskaitymo planas: Semestro darbas: Koliokviumas – rašomas 8 savaitę Pratybos – kontroliniai. Laboratoriniai – 8 darbai. Egzaminą galima laikyti, tik atsiskaičius už visus semestro darbus teigiamais balais. Koliokviumą ir pratybas semestro metu galima perrašyti tik vieną kartą. Antras perrašymas vyksta sesijos metu su skolos lapeliais. Sesija. Egzaminas – 2 dalis, sesijos metu. Pakartotinai fizikos egzaminas laikomas po sesijos su skolos lapeliais.

Mechanika, Termodinamika ir Elektromagnetizmas. Galutinio pažymio įvertinimas: B = 0,15BL+ 0,15BP + 0,30BK + 0,4BE, Čia BL – laboratorinių darbų gynimo bendras balas, BP - pratybų bendras balas,

BK - koliokviumo balas, BE - egzamino balas.

Balai rašomi dešimtbalėje sistemoje ir dauginami iš katedros patvirtintų svorio

koeficientų. Koliokviumas – 30 % Egzaminas - 40 % Laboratoriniai darbai - 15%, Pratybos - 15 %,

Fizika 1 Informacija ir mokomosios-metodinės priemonės KTU Fizikos Katedros interneto svetainėje: http://www.fizika.ktu.lt ST 0/4, SP 0/1 ir SP 0/2 grupių fizikos modulio informacijos tinklalapis: http://www.fizika.ktu.lt/fizika

Kas yra fizika?

Kas yra fizika? Gr. Physice, – kilęs iš physis – “gamta”. FIZIKA - mokslas apie gamtą, tiriantis paprasčiausias ir tuo pačiu bendriausias materialaus pasaulio savybes. FIZIKA – mokslas apie fundamentalius materijos, erdvės ir laiko reiškinius ir dėsnius.

Ką tyrinėja fizika? Fizikos tyrimo objektas - gamtoje egzistuojantys fizikiniai objektai ir gamtoje vykstantys fizikiniai reiškiniai.

Fizikinis objektas – struktūrinis visatos elementas, pasižymintis tik jam būdingomis fizikinėmis savybėmis.

Pavyzdžiui: kietas kūnas, medžiagos,

dujos, skysčiai, laidininkas, dielektrikas, 4 tipų fizikiniai laukai,

atomas, elektronas, planetos, žvaigždės, studentas... ir kt. Fizikinis reiškinys arba procesas – vyksmas gamtoje, pasižymintis fizikiniais dėsningumais. Pavyzdžiui: judėjimas,

elektros srovė, svyravimas, darbas, skysčių tekėjimas,

išlydis dujose, termoelektroninė emisija, bangų sklidimas, degimas... ir kt

Fizikinis objektas – struktūrinis visatos elementas, pasižymintis tik jam būdingomis fizikinėmis savybėmis.

Pavyzdžiui: kietas kūnas, medžiagos, dujos, skysčiai, laidininkas, dielektrikas, 4 tipų fizikiniai laukai, atomas, elektronas, planetos, žvaigždės ir kt. Visi fizikiniai objektai turi savo skiriamąsias savybes. Jos įvardijamos ir įvertinamos fizikiniais parametrais arba dydžiais. Fizikinis parametras arba dydis – materijos ar objekto atitinkamos skiriamosios fizikinės savybės kiekybinis matas. Pavyzdžiui: objekto tūris, aukštis, masė, kryptis, elektrinio lauko stipris, kūno temperatūra, laidininko varža, inercijos momentas, krūvis ir kt.

Fizikinis reiškinys arba procesas – vyksmas gamtoje, pasižymintis fizikiniais dėsningumais. Visi fizikiniai reiškiniai turi savo skiriamąsias savybes. Jos įvardijamos ir įvertinamos fizikinėmis charakteristikomis arba savybėmis. Fizikinė charakteristika arba savybė – reiškinio ar proceso atitinkamos skiriamosios savybės kiekybinis matas. Pavyzdžiui: judėjimo greitis, besisukančio kūno svyravimų dažnis, svyruoklės svyravimo periodas, elektros srovės stipris, termoelektrinės emisijos srovė, bangos ilgis, amplitudė, dažnis, elektros srovės sukurto magnetinio lauko indukcija ir kt.

Kiekvienas fizikinis reiškinys gamtoje pasižymi fizikiniais dėsniais. Fizikinis dėsnis – objektyviai egzistuojantis kokybinis ir kiekybinis priežastinis sąryšis tarp vykstančio fizikinio reiškinio parametrų ir charakteristikų arba dydžių ir savybių. Kokybinis (Žodinis) sąryšis – atsako į klausimą: koks ir kaip konkretus dydis priklauso nuo kitų dydžių? Kiekybinis (Matematinis) sąryšis - atsako į klausimą: kiek pasikeis konkretus dydis, pasikeitus kitam dydžiui ar dydžiams?

Gamtoje vykstantys procesai ir reiškiniai dažniausiai turi priežasties-pasekmės arba kitaip vadinamą deterministinį ryšį. Dydžiai, vaidinantys fizikiniuose reiškiniuose priežasties arba įtakos vaidmenį, dažniausiai vadinami parametrais. Kiekybiniai sąryšiai – dėsniai, apibūdinantys fizikinį reiškinį, matematiškai aprašomi taip, kad dydžiai, esantys matematinės lygties dešinėje pusėje, laikomi priežastimis, lemiančiomis charakteristiką, esančią kairėje lygties (ar lygybės ženklo) pusėje. Fizikiniuose grafikuose, vaizduojančiuose atitinkamos charakteristikos priklausomybę nuo atitinkamo parametro, yra priimta vaizduoti priežastį-įtaką abscisių (x) ašyje, o pasekmę arba sistemos charakteristikos reakciją ordinačių (y) ašyje. Fizikinės lygtys, formulės arba grafikai, neatitinkantys šios taisyklės, vadinamos išvestinėmis lygtimis ir taikomos, norint paskaičiuoti atitinkamą dydį, kai kiti dydžiai nekinta. Tai nėra dėsniai.

Fizikiniai gamtos objektų ir reiškinių aprašymo būdai: Fizikiniai objektai ir reiškiniai dažniausiai aprašomi tokiais etapais: 1. Fizikinių objektų ir jų fizikinių dydžių: 1.1 Objekto įvardinimas. 1.2 Objekto vizualizacija. 1.3 Objekto parametrų įvardinimas. 1.4 Objekto parametrų kiekybinis įvertinimas fizikiniais vienetais. 2. Fizikinių reiškinių ir jų savybių arba charakteristikų. 2.1 Reiškinio įvardinimas. 2.2 Reiškinio vizualizacija. 2.3 Reiškinio charakteristikų įvardinimas. 3. Kokybinis (žodinis) dėsningumo formulavimas. Fizikinio reiškinio

charakteristikų priklausomybių nuo parametrų kokybinis aprašymas. 4. Kiekybinis (matematinis) fizikinio dėsnio formulavimas. Fizikinio

reiškinio charakteristikų priklausomybių nuo parametrų griežtas kiekybinis- matematinis aprašymas.

Fizikiniai gamtos tyrimo ir pažinimo metodai. 1. Stebėjimo ir analizės metodas: 1.1 Seniausiai naudojamas tyrimo būdas yra gamtoje vykstančių reiškinių ir

objektų stebėjimas. Arba tam tikro reiškinio gavimas – eksperimentas. 1.2 Kiekvienas stebimas reiškinys ar objektas yra bandomas paaiškinti. Jis analizuojamas (skaldomas į sudedamąsias dalis, lyginamas, ieškomos pirminės priežastys, fundamentalūs dėsniai, objektai ir dėsniai, sudarantys reiškinį ar objektą). 2. Loginio išprotavimo ir sintezės metodas: 1. Pasinaudojant pirminiais postulatais, aksiomomis, loginiais išprotavimais, ir matematiniu aprašymu, formuluojamos išvados. Gautos išvados taikomos sudėtingesniam-platesniam atvejui ir vėlgi tuo pačiu loginiu-matematiniu būdu formuluojamos sekančios išvados. 2. Taip prieinama iki galutinės išraiškos – dėsnio, matematiškai aprašančio nuspėjančio reiškinį. Jeigu gauto reiškinio dėsningumą patvirtina eksperimentas,

tokia loginė-matematinė struktūra vadinama teorija. Fizikos mokslas lygiagrečiai naudoja abu šiuos pažinimo metodus.

Fizika. Fizikos studijavimo motyvacija. 1. Tenkinant žingeidumą ir keliant bendrojo išsilavinimo lygį. 2. Tikslingai įgyti fundamentinių žinių bagažą, siekiant:

2.1 Palengvinti sau specialybinių-technologinių dalykų studijų procesą. Pvz.: Teorinė mechanika Medžiagų atsparumas Skysčių mechanika Elektrotechnikos pagrindai Inžinerinė medžiagų mechanika Statybinė fizika ir medžiagotyra Termodinamika ir šilumos generavimas Šildymo, vėdinimo ir oro kondicionavimo sistemos Dujų tiekimo sistemos Statybinė mechanika 2.2 Turėti fizikinę nuovoką, susiduriant su fizikinėmis – technologinėmis

problemomis darbe. Kūrybiškai spręsti technologines problemas, iškilusias darbe, panaudojant kitokiais fizikiniais efektais pagrįstus prietaisus – įrenginius.

Pagrindinės fizikos įsisavinimo problemos studijuojant 1. Pagrindinių sąvokų ar fizikinių terminų nežinojimas ar klaidingas jų supratimas. 2. Tikslaus fizikinio reiškinio vaizdinio neįsivaizdavimas arba klaidingas vaizdinys. 3. Kokybinių (žodinių) sąryšių nežinojimas dėsniuose. 4. Nesugebėjimas išreikšti ar suprasti kiekybinius (matematinius) sąryšius dėsniuose. 5. Nuoseklumo nepaisymas. 6. Vieno informacijos šaltinio naudojimas.

Fizika 1. Literatūra: 1. Tamašauskas A. Fizika, 1 t: Vadovėlis respublikos inžinerinių specialybių studentams. - V.: Mokslas, 1987. - 224 p. 2. Tamašauskas A., Vosylius J. Fizika, 2 t.: Vadovėlis respublikos inžinierinių specialybių studentams. - V.: Mokslas, 1989. - 193 p. 3. Javorskis B., Detlafas A., Mikolskaja L., Sergejevas G. Fizikos kursas 1-2 t. 4. Matvejevas V. Mechanika ir reliatyvumo teorija: Mokymo knyga universiteto fizikos specialybės studentams. - V.: Mokslas, 1982. - 334 p. 5. Saveljev I.V. Kurs obščej fiziki, T. 1. Mokymo knyga techniškųjų mokyklų studentams. M.: Nauka,1989. – 350 p. 6. Saveljev I.V. Kurs obščej fiziki, T. 2. Mokymo knyga techniškųjų mokyklų studentams. M.: Nauka, 1982. – 496 p. 7. Jasiulionis B., Ambrasas V. Mechanika, termodinamika ir elektromagnetizmas, 2007, Kaunas. Visa kita literatūra bendrosios fizikos klausimais.

Studijų ypatumai

1. Paskaitų metu teorinė medžiaga dėstoma naudojant skaidres.

2. Skaidrės yra talpinamos tinklalapyje http://www.fizika.ktu.lt/fizika

3. Rekomendacijos studijuojantiems:

a. Prieš paskaitą:

būtinai susipažinti su dėstoma tema keliuose šaltiniuose ir skaidrėse, pasižymėti neaiškius ar nesuprastus aspektus

b. Paskaitos metu: ieškoti atsakymų į nesuprastus aspektus, konspektuoti tik svarbiausius akcentus, žymėtis konspektuose nežinomus terminus,

c. Po paskaitos: surasti – pasiaiškinti nesuprastų terminų reikšmes, būtinai pasikartoti išdėstytos temos medžiagą (15 min bent).

Kinematika – Mechanikos šaka. Mechanika – fizikos šaka, tirianti materialiųjų kūnų mechaninį judėjimą ir jų tarpusavio sąveiką. Mechanika skirstoma į Kinematiką ir Dinamiką. Kinematika nagrinėja judėjimą be jį sukėlusių priežasčių. Dinamika tiria kūno judėjimo pobūdį priklausomai nuo jį sukėlusių priežasčių ir, atvirkščiai, pagal judėjimo pobūdį nustato tas priežastis.

Slenkamojo ir sukamojo judėjimo kinematika Kinematika – [gr. Kinematos – judėjimas] - fizikos šaka, nagrinėjanti įvairaus pobūdžio mechaninį judėjimą, neįvertindama jį sukeliančių priežasčių. Judėjimas – kūnų ar jų dalių tarpusavio padėties kitimas erdvėje ir laike. Judėjimo tipai: – 1. Pagal judėjimo kitimą laike. 1.1 Tolygus, 1.2 Tolygiai kintantis, 1.3 Netolygiai kintantis. 2. Pagal krypties kitimą erdvėje. 2.1 Slenkamasis, 2.2 Sukamasis, 2.3 Kreivaeigis.

Atskaitos sistema Judėjimas visada turi kryptį (juda kažkurio kito kūno atžvilgiu). Kūnas, kurio atžvilgiu nagrinėjamas kito kūno judėjimo, vadinamas atskaitos kūnu. Koordinačių sistema, susieta su atskaitos kūnu, vadinama atskaitos sistema. Paprasčiausias objektas, kurio judėjimą nagrinėja klasikinė mechanika yra materialusis taškas. Materialiuoju tašku vadinamas m masės makroskopinis kūnas, į kurio matmenis ir formą konkrečiomis sąlygomis galima nekreipti dėmesio.

Padėties vektorius konkrečiu laiko momentu: Vektoriaus projekcijos: Vektoriaus modulis:

Padėtis Padėties charakteristika erdvėje nusakoma padėties vektoriumi Dydžiai, kurie nusakomi moduliu ir kryptimi erdvėje, vadinami vektoriais. Dydžiai, kuriuos apibūdina tik jų skaitinė vertė, vadinami skaliarais. Materialiojo taško padėtį erdvėje galima nusakyti padėties vektoriumi stačiakampėje Dekarto koordinačių sistemoje.

;)()()()( ktzjtyitxtr

++=

;222 zyxr ++=

αcosrx = βcosry = γcosrz =

Trajektorija ir Poslinkis Materialiojo taško padėties kitimas erdvėje (judėjimas) nusakomas šiomis charakteristikomis: 1. Trajektorija – tai linija, kurią brėžia vektoriaus galas. Pagal trajektorijos formą judėjimas yra tiesiaeigis arba kreivaeigis. Kelias S lygus trajektorijos ilgiui. 2. Poslinkis – tai kryptinė atkarpa jungianti pradinę padėtį su momentine padėtimi: Jo modulis:

Padėties kitimo sparta – Greitis – Tolygus judėjimas Tolygaus judėjimo atveju materialiojo taško padėties kitimo sparta, arba greitis išreiškiamas poslinkio vektoriaus ir laiko pokyčio santykiu.

consttxv =∆∆

=

t

v

t

x

t∆

x∆

Greičio kitimo sparta–Pagreitis–Tolygiai kintamas judėjimas Tolygiai kintamo judėjimo atveju materialiojo taško greitis, bėgant laikui kinta tolygiai, o greičio kitimo sparta, arba pagreitis išreiškiamas greičio pokyčio per atitinkamą laiko intervalą ir to laiko intervalo santykiu.

t

a

consttva =∆∆

=

t

v

v∆

t∆

Netolygiai kintamas judėjimas - Greitis Netolygiai kintamo judėjimo atveju materialiojo taško greitis, bėgant laikui kinta netolygiai, todėl jis išreiškiamas per poslinkio išvestinę laiko atžvilgiu. Todėl, greitis apibūdinamas kaip objekto padėties erdvėje kitimo sparta. Pvz.: išskaidymas į projekcijas: modulis:

t

v

t∆ t∆

v∆

v∆

Netolygiai kintamas judėjimas - Pagreitis Netolygiai kintamo judėjimo atveju materialiojo taško pagreitis, bėgant laikui gali kisti tolygiai arba netolygiai, todėl jis išreiškiamas per greičio išvestinę laiko atžvilgiu: Todėl, pagreitis apibūdinamas kaip objekto judėjimo greičio kitimo sparta.

)(tfa =

t

a

t

a

t∆

Netolygiai kintamas judėjimas – kinematinės lygtys Netolygiai kintamo judėjimo kinematinės lygtys yra bendrines trijų tipų slenkamajam judėjimui:

).(

,

,2

2

tfrdtrdv

dtrd

dtvda

=

=

==

Tolygiai kintamas judėjimas – lygtys Kinematines lygtis galima pritaikyti tolygiai kintamo ir tolygaus judėjimo charakteristikoms gauti. Tolygiai kintamam judėjimui:

Kadangi: ir , tai greičio vektorių gausime integruojant: , t.y.: , o kadangi: ir , tai padėties vektorių gausime integruojant: , t.y.: ,

).(

,

,2

2

tfrdtrdv

dtrd

dtvda

=

=

==

consta =

dtvda

= dtavd

=

( ) 00

vtaCtadtatvt

+=+== ∫ ( ) 0vtatv

+=

dtrdv

= dtvrd

=

( ) ( ) 00

2

00 2

rtvtadtvtatrt

++=+= ∫ ( ) 00

2

2rtvtatr

++=

Tolygiai kintamas judėjimas – lygtys Tolygiai kintamo judėjimo kinematinės lygtys užrašomos: Diferencialine forma: Funkcine forma:

consta =

2

2

dtrd

dtvda

==

( ) 0vtatv

+=dtrdv

=

( )tfr =

( ) 00

2

2rtvtatr

++=

Tolygiai kintamas tiesiaeigis judėjimas – lygtys ir grafikai Tolygiai kintamajam slenkamajam judėjimui poslinkio vektoriaus modulis sutampa su kelio reikšme, todėl vektorines lygtis galime išreikšti skaliarine forma:

consta = ( ) 0vtatv

+= ( ) 00

2

2rtvtatr

++=

( ) 0vattv += ( ) tvatts 0

2

2+=

Tolygus tiesiaeigis judėjimas – lygtys ir grafikai Tolygiam slenkamajam judėjimui poslinkio vektoriaus modulis sutampa su kelio reikšme, todėl vektorines lygtis galime išreikšti skaliarine forma:

0=a ( ) constvtv == 0

( ) 00 rtvtr

+=

( ) constvtv == 0 ( ) 00 xtvtx +=

Judėjimo nepriklausomumo dėsnis Judėjimo nepriklausomumo dėsnis teigia: jeigu taškas vienu metu dalyvauja keliuose judėjimuose, tai to taško atstojamasis judėjimas yra lygus vektorinei sumai visų poslinkių, kuriuos taškas atlieka per tą patį laiką, dalyvaudamas kiekviename judėjime atskirai.

;)()()()( ktzjtyitxtr

++=

Judėjimo nepriklausomumo dėsnis Judėjimo nepriklausomumo dėsnis teigia: jeigu taškas vienu metu dalyvauja keliuose judėjimuose, tai to taško atstojamasis judėjimas yra lygus vektorinei sumai visų poslinkių, kuriuos taškas atlieka per tą patį laiką, dalyvaudamas kiekviename judėjime atskirai. Todėl padėties, greičio ir pagreičio projekcijos nepriklauso viena nuo kitos. Jas galima aprašinėti atskirai viena nuo kitos ir ieškoti sprendinio nepriklausomai viena nuo kitos.

)()()( tztytx ∉∉

)()()( tvtvtv zyx ∉∉

)()()( tatata zyx ∉∉

Kreivaeigis judėjimas ir jo pagreitis Kreivaeigis judėjimas yra dvimatis. Jo metu visada yra įcentrinis (normalinis) pagreitis , šis pagreitis apibūdina linijinio greičio krypties kitimo spartą: Tangentinis (liestinis) pagreitis apibūdina linijinio greičio modulio kitimo spartą: Taško pilnas pagreitis: O jo modulis:

Sukamasis judėjimas ir jo kinematinės lygtys

Judėjimas apskritimu apibūdinamas: spinduliu spindulio posūkio kampu kampiniu greičiu kampiniu pagreičiu Kampinio greičio modulis lygus padėties vektoriaus apskritimo spindulio posūkio kampo pirmajai išvestinei laiko atžvilgiu: Kampinis pagreitis apibūdina kampinio greičio kitimo spartą ir lygus jo pirmajai išvestinei laiko atžvilgiu:

ϕ∆

Sukamasis judėjimas

Normalinio ir tangentinio pagreičio ryšys su linijiniu greičiu:

Kinematinės charakteristikos:

εω

ω

τ RRdtd

dtdva

RRvan

===

==

)(

22

Slenkamojo judėjimo dinamika

Dinamika – [gr. Dynamis – jėga] - fizikos šaka, kuri nagrinėja kūnų judėjimą ir jį sukėlusiais ar keičiančias priežastis.

© doc. dr. Vytautas Stankus, Fizikos katedra, KTU

Slenkamojo judėjimo dinamika Judėjimą apibūdina padėtis, kryptis ir greitis. Judėjimo kitimą apibūdina pagreitis. Judėjimo kitimą lemiantys faktoriai (priežastys) yra du: 1. Pagrindinė priežastis, dėl kurios atsiranda ar kinta kūnų judėjimas yra

jėga.

1. Pagrindinė priežastis, dėl kurios judėjimas nekinta ar priešinasi

pokyčiui yra masė.

,

;)()()()(

dtrdv

ktzjtyitxtr

=

++=

F

m

,2

2

dtrd

dtvda

==


Slenkamojo judėjimo dinamika – atskaitos sistemos Judėjimas visada aprašomas kokioje nors atskaitos sistemoje. Kad galima būtų įvertinti judėjimo pokyčių dėsningumą, atskaitos sistema turi tenkinti vieną reikalavimą – būti inercine atskaitos sistema. Inercinės atskaitos sistemos - tai sistemos, kurios yra reliatyvioje rimtyje arba juda viena kitos atžvilgiu tolygiai ir tiesiaeigiai, t.y. be pagreičio. Neinercinės atskaitos sistemos – juda netolygiai ir su pagreičiu inercinės sistemos atžvilgiu. Šių sistemų (neinercinių) atžvilgiu mes negalime aprašyti dinaminių parametrų ir charakteristikų.


Slenkamojo judėjimo dinamika – atskaitos sistemos Inercinėse atskaitos sistemose galioja Galilėjaus reliatyvumo principas: visi mechaniniai reiškiniai vienodomis sąlygomis bet kurioje inercinėje sistemoje vyksta vienodai.


Slenkamojo judėjimo dinamika – Inercinė atskaitos sistema Kad atskaitos sistema būtų Inercinė (a=0), turi būti išpildytos kelios taisyklės. 1. Materialaus taško padėtis priklauso, pagal kurią inercinę atskaitos sistemą ši padėtis yra aprašoma. Pereinant iš vienos I.S. į kitą I.S., naudojamos Galilėjaus transformacijos. Padėties transformacija. Turim tašką B, kurio padėtį S’ sistemoje aprašo vektorius S ir S’ atskaitos sistemos, kur S’ juda pastoviu greičiu S atžvilgiu x ašies kryptimi. S sistemoje taško B padėtį apibūdina vektorius: O jo projekcijos: Ir atvirkščiai - taško B padėtis S’ atskaitos sistemoje:

r ′


Slenkamojo judėjimo dinamika – Inercinė atskaitos sistema Greičio transformacija. 2. Materialiojo taško greitis nejudančios sistemos atžvilgiu lygus jo greičio judančios sistemos atžvilgiu ir pačios šios sistemos greičio sumai – Greičių sudėties teorema. Taško B greitis nejudančios sistemos atžvilgiu: Greičio projekcijos yra:


Slenkamojo judėjimo dinamika – Inercinė atskaitos sistema Pagreičio transformacija. 2. Materialiojo taško pagreitis nejudančios sistemos atžvilgiu yra lygus jo pagreičiui bet kokios kitos judančios sistemos atžvilgiu. Taško B pagreitis nejudančios sistemos atžvilgiu:

,0)()( 00

2

2

2

2aa

dtconstvd

dtvd

dtvd

dtrd

dtrda ′=+′=

=+′

=+′

==

aa ′=

pagreičiai abiejose inercinėse sistemose yra vienodi.

Sakome, kad pagreitis yra invariantinis Galilėjaus transformacijų atžvilgiu.

Vadinasi, ir dinamikos dėsniai, pereinant iš vienos inercinės sistemos į kitą nekinta.


Apibendrinant – klasikinės mechanikos dėsniai gali būti įvertinti tik aprašant juos inercinių atskaitos sistemų atžvilgiu. Ar sistema yra inercinė parodo jos parametrai, kurie turi tenkinti sąlygas: Pereinant iš vienos inercinės atskaitos sistemos į kitą galima naudoti vadinamas Galilėjaus transformacijas: Iš kitos pusės – jei, aprašant judėjimą ir jo kitimo dėsnius, naudojant Galilėjaus transformacijas, yra tenkinamos trys sąlygos – atskaitos sistema, kurios atžvilgiu aprašome judėjimo dėsnius, yra inercinė. Svarbiausia yra trečioji. Jei abi sistemos yra inercinės, tai pereinant iš vienos į kitą:

Slenkamojo judėjimo dinamika – Inercinė atskaitos sistema

aa ′=

aa ′=


Slenkamojo judėjimo dinamika – dėsniai Judėjimo dėsniai siejantys kūnų judėjimo charakteristikas su parametrais yra vadinami Dinamikos dėsniais. Pagrindiniai dinamikos dėsniai yra trys Niutono dėsniai.


Slenkamojo judėjimo dinamika – dėsniai Pirmasis Niutono dėsnis - inercijos dėsnis, teigia, kad kiekvienas kūnas išlaiko rimties arba tolyginio tiesiaeigio judėjimo būseną tol, kol pašalinis poveikis nepriverčia šią būseną pakeisti. T.y., jei kūną neveikia jokie pašaliniai poveikiai jis judės tolygiai ir tiesiaeigiai amžinai. Ši kūno savybė vadinama inercija.


Slenkamojo judėjimo dinamika – dėsniai Įveskime paprasčiausią dydį, kuris galėtų nusakytį bet kokio kūno mechaninę būseną. Kadangi, aprašant m masės judantį greičiu v kūną, paprasčiausiai toks dydis bus: Impulsas arba judesio kiekis. Kiekvienas realus kūnas pasižymi tik jam būdinga savybe, vadinama mase. Masės m kūnas, judantis pastoviu greičiu v pasižymi mechanine būsena, kuri vadinama impulsu. Ši sąvoka postuluojama ir yra pirminė mechanikoje. Impulsu arba judesio kiekiu vadiname kūno masės ir greičio sandauga. Impulsas yra vektorinis dydis, kurio kryptis sutampa su kūno judėjimo kryptimi. Sudėtinio kūno impulsas yra lygus sumai visų tą kūną sudarančių elementariųjų materialių taškų impulsų sumai: Matematiškai Pirmąjį Niutono dėsnį galime užrašyti:

,vmp =

,1∑=

=N

iiivmp

;;0,0 constpFkaidtvdm

dtpd

====

,vmp =


Slenkamojo judėjimo dinamika – dėsniai Antrasis Niutono dėsnis – materialiojo taško impulso kitimo sparta tiesiogiai proporcinga jį veikiančiai jėgai. Inercinėje atskaitos sistemoje materialiojo taško greitį, o kartu ir impulsą pakeičia jį veikiančios jėgos. Antrojo Niutono dėsnio matematinė (kiekybinė) išraiška formuluojama taip: arba Taigi, kūno įgytas pagreitis tiesiog proporcingas jį veikiančiai jėgai ir atvirkščiai proporcingas masei. Jeigu kūną veikia kelios jėgos, jų poveikį galima pakeisti atstojamuoju poveikiu.

,Fdtvdm

dtpd

==

,Famdtvdm

== ,mFa

=

,1

mF

m

Fa ats

N

ii

==

∑=

F m a


Slenkamojo judėjimo dinamika – dėsniai Trečiasis Niutono dėsnis – teigia, kad kūnų sąveikos jėgos lygios, bet priešingų krypčių:

,2112 FF

−= 21F

212F

1


Slenkamojo judėjimo dinamika – dinaminiai parametrai Iš Pirmojo ir Antrojo Niutono dėsnių fizikinės prasmės galima įvertinti jėgos dydžio kiekybinę prasmę. Jėga – mechaninio poveikio matas, charakteristika, skaitine verte lygi kūno impulso kitimo spartai. Pagrindinė jėgos savybė – keisti kūno judėjimo greitį arba jį deformuoti. Jėga pilnai nusakoma, jei yra žinoma: jos modulis, kryptis ir poveikio taškas. Ji yra vektorinis dydis. Jėgos poveikio linija - tiesė, išilgai kurios kryptimi yra nukreipta jėga. Jėgos tipai: 1. Lauko - 4 fundamentalius visatos sąveikos tipus: 1.1 Gravitacinė, 1.2 Elektromagnetinė, 1.3 Stiprioji, 1.4 Silpnoji. 2. Kontaktinis 2.1 Tamprumo jėga (Elektromagnetinės prigimties), 2.2 Trinties jėga (Elektromagnetinės prigimties),


Slenkamojo judėjimo dinamika – dinaminiai parametrai Tamprumo jėga (Elektromagnetinės prigimties), nusakoma iš Huko dėsnio: k – tamprumo modulis (koeficientas) Trinties jėga (Elektromagnetinės prigimties), k – trinties koeficientas.

21, xxxkxF −=−=

mgNkNFtr == ,


Slenkamojo judėjimo dinamika – dinaminiai parametrai Iš Pirmojo Iš Pirmojo ir Antrojo Niutono dėsnių fizikinės prasmės galima įvertinti ir nusakyti masės dydžio fizikinę prasmę. Kaip minėjome: Inercija – materialaus kūno savybė išlaikyti pastovų greitį, neveikiant jį išoriniais poveikiais. Tačiau: Inertiškumas – yra kūno savybė priešintis jo greičio pakeitimui. To priešinimosi dydis yra vadinamas inertiškumo matu ir skaitine verte lygus kūną veikiančio jėgos ir tos jėgos sukelto pagreičio santykiui, kitaip tariant masei. Todėl: Masė – kūno inertiškumo matas. Esant greičiams žymiai mažesniems nei šviesos greitis, kūno masė nepriklauso nei nuo jį veikiančių jėgų, greičio, pagreičio ir kitų faktorių.


Slenkamojo judėjimo dinamika – Impulso tvermės dėsnis Trijų kūnų sąveika apsirašo trim II Niutono dėsniais (čia F1, F2, F3- išorinės jėgos, o fij – kūnų sąveikos jėgos)

Pirmasis indeksas reiškia kūną, kuris veikia jėga, o antrasis nurodo, kurį

kūną veikia.

Susumuojame ir sugrupuojame pagal indeksus:

Kadangi pagal III Niutono dėsni , tai

Kai sistema nėra uždara, tuomet sistemos impulso kitimo greitis lygus išorinių jėgų sumai:

Uždaros sistemos yra lygi nuliui, todėl: arba:

Impulso tvermės dėsnis, kuris teigia, kad uždaros sistemos impulsas nekinta, kai jos viduje vyksta bet kokie procesai.


Slenkamojo judėjimo dinamika – Sistemos masių centras

Kiekvienas realus kūnas sudarytas iš daugybės materialiųjų mi masės taškų. Šie taškai ar sistemos kūnai gali būti išsidėstę įvairiai. Tačiau bet kokį sudėtingą kūną ar kūnų sistemą galima nagrinėti kaip materialų tašką, turinį masę m ir padėtį erdvėje. Tokios masių sistemos dinaminis aprašymas vykdomas pasinaudojant masių centro dydžiu, Masių centras randamas: kai masė sistemoje pasiskirsčiusi diskretiškai: Kai masė pasiskirsčiusi tolygiai, centro koordinatės nustatomos integruojant:

arba koordinatėmis:

Masės centrui taip pat galioja greičio ir pagreičio kinematinės lygtys: ,

dtrdv c

c

=

dtvda c

c

=


SUKAMOJO judėjimo dinamika

Sukamojo judėjimo tipai – pagal tai, ko atžvilgiu sukasi: 1. Sukimasis apie ašį, 2. Sukimasis apie tašką. pagal judėjimo kitimą laike: ...



ϕ∆

R - Materialaus taško judėjimo spindulys ašies arba taško atžvilgiu.

- Spindulio posūkio kampas

- MT judėjimo kampinis greitis

- MT judėjimo kampinis pagreitis

MT judėjimo kampinio greičio ir pagreičio vektorių kryptys yra nukreiptos išilgai sukimosi ašies taip, kad žiūrint vektoriaus kryptimi taškas sukasi pagal laikrodžio rodyklę




Normalinio ir tangentinio pagreičio ryšys su linijiniu greičiu:


εω

ω

τ RRdtd

dtdva

RRvan

===

==

)(

22


Dinaminiai parametrai (būdingi besisukančiam objektui) • Inercijos momentas - I, • Judesio kiekio arba impulso momentas - L,

Dinaminės charakteristikos (apibūdinančios sukimosi procesą)

• Posūkio kampas, spindulys, ašis, • Kampinis ir linijinis greitis, • Kampinis pagreitis, • Tangentinis ir normalinis pagreičiai, • Jėgos momentas – M.

Pagrindiniai dėsniai • Sukamojo judėjimo pagrindinis dinamikos dėsnis, • Judesio kiekio momento (impulso) tvermės dėsnis.



Sukamajame judėjime mechaninio poveikio matas, sukantis materialųjį tašką apie kokią nors ašį yra jėgos momentas. Jėgos momento fizikinė prasmė yra jėgos gebėjimas sukti. Jėgos momentas yra vektorinis dydis M, lygus materialaus taško spindulio vektoriaus r ir jėgos vektoriaus F, veikiančio tą tašką vektorinei sandaugai. Jėgos momento vektoriaus kryptis yra statmena vektorių r ir F plokštumai.

Jėga F tašką P gali veikti ne statmenai spinduliui vektoriui, o kampu ϕ. Tada jėgos momento modulis yra lygus:

Jėgos momentas taško atžvilgiu

,FrM

×=

,sin),sin( dFrFFrrFM === ϕ

ϕsinrd = - vadinamas jėgos petimi O atžvilgiu


Materialus taškas P, ašis Oz ir jėga Fi

Materialus taškas gali judėti tik aplink ašį Oz. Jėgą Fi išskaidome į tris komponentes stačiakampėje Dekarto koordinačių sistemoje. Tašką P suks tik komponentė , kuri yra statmena vektoriui

Jėgos momentas ašies atžvilgiu

P

iRizii FFFF τ

++=

iFτ

BOrR i

−=

R - modulis, lygus atstumui iki sukimosi ašies - jėgos veikimo petys. iFτ

Todėl jėgos gebėjimą sukti tašką apie ašį Oz apibūdina ne vektorius , o šio vektoriaus projekcija Oz ašyje, kuris yra skaliarinis dydis:

,FrM

×=

,)( iizzi FRFrM τ=×=

Jeigu materialųjį tašką veikia ne viena jėga, o kelios, atstojamasis jėgos Momentas yra lygus visų jėgų momentų algebrinei sumai:

Kokia kiekvienos komponentės įtaka sukimui?

∑= ziz MM Vadinamas Sukimo momentu


Materialusis, m masės taškas, veikiamas jėgos F juda spinduliu apie ašį. Jo tangentinis pagreitis aprašomas pagal II Niutono dėsnį: , o kadangi: Tai: arba: Čia dydis: yra jėgos momentas, o dydis, vadinamas materialaus taško inercijos momentu. Inercijos momentas yra materialaus taško ar kūno inertiškumo matas sukamajame judėjime. Nuo ko jis priklauso? Atitinkamai pažymėję dydžius gauname vadinamą pagrindinę materialiojo taško sukamojo judėjimo dinamikos lygtį.

Materialiojo taško Inercijos momentas

,mFR =ε

z

z

IM

=ε

2mRIz =

εωτ RRdtd

dtdva === )(,

mFa =τ

,2mRFR

mRF

==ε

,zMFR =


Kietam kūnui, besisukančiam apie kokią nors ašį inercijos momentas yra lygus visų elementarių masių, sudarančių kietąjį kūną inercijos momentų sumai:

Kietojo kūno Inercijos momentas

2233

222

211 ... NNz RmRmRmRmI ++++=

dVRdmRdI z22 ρ==

Kiekvieno nykstamai mažo tūrio, turinčio masę inercijos momentas:

suintegravus, t.y. susumavus nykstamai mažo tūrio kūno inercijos momentus to pačio tankio kūnui gausime pilną inercijos momentą:

dVRdVRIVV

z ∫∫ == 22 ρρ


Kietojo kūno Inercijos momentas įvairūs kūnai:


Kietam kūnui inercijos momentas visada nusakomas konkrečios ašies atžvilgiu. Tarkime turim kūną, kurio sukimosi ašis O’Z’ eina per masės centrą, o kita jai lygiagreti OZ l atstumu nuo jos. Koks bus Inercijos momentas OZ ašies atžvilgiu? bet kurio kūno taško mi padėtį ašies OZ atžvilgiu galime išreikšti vektorių suma:

Heigenso ir Šteinerio teorema

ii RlR′+=

Nagrinėjamo taško atstumo iki O’Z’ kvadratas yra , o iki ašies OZ: 2

iR′2222 2)( iiii RRllRlR ′+′+=′+=

Tada inercijos momentas OZ atžvilgiu bus lygus:

2

111

22

12 i

N

iii

N

ii

N

iii

N

iiz RmRmlmlRmI ′+′+== ∑∑∑∑

====

Tada: - matematinė Heigenso ir Šteinerio teoremos išraiška 2mlII cz +=Teorema – žinodami kūno IM ašies, einančios per masių centrą, atžvilgiu galime surasti IM bet kurios jai lygiagrečios ašies atžvilgiu.


Pagrindinę materialiojo taško sukamojo judėjimo dinamikos lygtį užrašysime diferencialine forma. Kai inercijos momentas laikui bėgant nekinta:

Judesio kiekio momentas nejudančio taško atžvilgiu

z

z

IM

=ε - dydis, vadinamas materialiojo taško judesio kiekio (impulso) momentu. zz

zz

MIdtd

MI

=

=

)(ω

εzz IL ω=

Kadangi: , o tada: Rv

=ω 2mRIz = vmRmRRvLz == 2

Bendrąją vektorine forma materialiojo taško P judesio kiekio vektorius apibrėžiamas kaip statmenas spindulio vektoriaus r ir impulso p plokštumai vektorius, lygus jų vektorinei sandaugai:

prvmrL ×=×=


Masės mi materialiojo taško judesio kiekio momento vektoriaus Li projekcija Oz ašyje vadinama šio taško judesio kiekio momentu ašies atžvilgiu. Kietam kūnui sudėję visų jo materialių taškų judesio kiekio momentus gausime kūno judesio kiekio momentą ašies atžvilgiu: Projekcinė vertė yra lygi: Visam kūnui:

Judesio kiekio momentas nejudančios ašies atžvilgiu

zzzi prvmrL )()( ×=×=

∑= ziz LL

ziiiiizi IRmvL ω==

∑=

==N

izziz IIL

1ωω


Kaip keisis kūno judesio kiekio momentas laike, veikiant kūną jėga? Kad atsakyti į šį klausimą, reikia diferencijuoti judesio kiekio momento išraišką: Visam kietam kūnui reikia susumuoti i-uosius judesio kiekio momentus ir jėgos momentus: tada:

Sukamojo judėjimo dinamikos pagrindinis dėsnis

iiiiii prvmrL ×=×=

ii

ii

iii

iii

iii

iiiiii

iiiiii

iiii

MLdtd

Fr

amr

vmdtdr

vmdtdr

vmdtdrvmv

vmdtdrvm

dtrd

vmrdtdL

dtd

=

×=

=×=

=×=

=×+=

=×+×=

=×+×=

=×=

)(

)(0

)(

)(

)(

∑= iMM∑= iLL

MLdtd

= - vadinamas sukamojo judėjimo dinamikos pagrindiniu dėsniu.

Dėsnis teigia, kad kūno judesio kiekio momento nejudančio taško atžvilgiu kitimo sparta yra lygi jį veikiančių išorinių jėgų atstojamajam momentui to paties taško atžvilgiu.


Kaip elgsis besisukanti sistema, kurios neveikia išorinė jėga?

Iš pagrindinio sukamojo judėjimo dinamikos dėsnio:

Judesio kiekio momento tvermės dėsnis

MLdtd

= ,kur , jeigu , tada ir: ,FrM

×= ,0=F

,0=M

0=Ldtd

ir .constL =

Gavome judesio kiekio momento tvermės dėsnį: Kai kūną veikiančių išorinių jėgų atstojamasis momentas sukimosi taško atžvilgiu lygus nuliui, kūno judesio kiekio momentas to taško atžvilgiu, laikui bėgant nekinta.

Kūnui besisukant apie nejudamą ašį: , o: ,0=zM

0)( == ωzz IdtdL

dtd

arba .constIL zz == ω

Gavome judesio kiekio momento tvermės dėsnį ašies atžvilgiu: Kai kūną veikiančių išorinių jėgų atstojamasis momentas sukimosi ašies atžvilgiu lygus nuliui, kūno judesio kiekio momentas tos ašies atžvilgiu, laikui bėgant nekinta.


Energija – tai bendras kiekybinis materijos judėjimo ir sąveikos matas. Kiekybinis materijos judėjimo matas yra apibūdinamas Kinetine energija. Kiekybinis materijos sąveikos matas yra apibūdinamas Potencine energija.

Darbas – Energija – Jėgų laukas


Kūnams veikiant vienas kitą jėgomis, tarp jų vyksta energijos mainai. Kad apibūdinti energijos perdavimą kiekybiškai įvedama darbo sąvoka. Mechaninis darbas – apibūdina veikiant jėgai vykstantį energijos perdavimo procesą. Skaitine verte darbas lygus veikiančios jėgos ir kieto kūno poslinkio vektoriaus sandaugai:

Mechaninis Darbas

Jeigu kūną veikia kelios jėgos, tai suminis darbas lygus visų atskirų jėgų atliekamų darbų algebrinei sumai:

.11 1

rFFrrFAAN

ii

N

i

N

iii

∆=∆=∆== ∑∑ ∑

== =

.rFA ∆=

Mechaninis darbas yra skaliarinis dydis.

Pagal jėgos pobūdį mechaninis darbas yra skiriamas: 1. Pastovios jėgos darbas, 2. Kintamos jėgos darbas.


Nekintant laike ir erdvėje jėgai atliekamas darbas yra vadinamas pastovios jėgos darbu. Jėgos kryptis nebūtinai turi sutapti su trajektorijos kryptimi.

Pastovios jėgos darbas

.coscos 1212121

SFrFrFrFA ii

N

ii αα =∆=∆=∆= ∑

=

Šiuo atveju darbas yra lygus jėgos projekcijai trajektorijos ašyje ir nueito kelio sandaugai.


Jėga, atliekanti darbą gali kisti laike ir erdvėje. Šiuo atveju jėga patampa koordinatės ir laiko funkcija: Kintamos jėgos darbui apskaičiuoti nueitą kelią padalijame į elementariuosius kelius ds, kurie atitinka elementarų poslinkio vektoriaus dr dydį. Jo ribose jėga, o taip pat ir darbas nekinta. Elementarusis darbas kelyje ds yra:

Kintamos jėgos darbas

( ) .,cos dsFrdFrdFrdFdA τ===

Elementarusis poslinkis erdvėje išsiskaido į komponentes, todėl:

),,( trFF =

dzFdyFdxFrdFdA zyx ++==

Kad surasti pilną darbą, reikia visus elementarius darbus integruoti išilgai erdvinės kreivės kreiviniu integralu:

.∫∫ ==ss

dsFrdFA τ

Kintamos jėgos darbas baigtiniame kelyje skaitine verte lygus kūną veikiančios jėgos projekcijos poslinkio vektoriaus kryptyje kreiviniam integralui.


Materialusis taškas juda erdvėje veikiamas atstojamosios jėgos: Taško poslinkis per nykstamai trumpą laiką dt yra: Tuomet atliekamas elementarus darbas:

Kinetinė energija

dtvdmF

=

dtvrd =

),cos( vdvvdmvvdvmdtvdtvdmdA

===

dvvdvvd =),cos( Elementariam pokyčiui: todėl: mvdvdA =

Kinetinė energija yra kūno mechaninio judėjimo būsenos funkcija, ir yra lygi darbui, kurį reikia atlikti, kad šį kūną sustabdyti.

22

21

22

2

1

mvmvmvdvA −== ∫ Atstojamosios jėgos darbas yra lygus tam tikro fizikinio dydžio, susijusio su kūno mase ir greičiu, pokyčiui.

Jeigu tas pokytis teigiamas, darbas buvo atliktas padidinant kūno greitį. O jeigu v1 buvo lygus nuliui, darbas buvo atliktas perduodant m masės kūnui, energijos kiekį, kad jis įgytų greitį v2 arba v. Ši kūnui suteikta energija vadinama Kinetine energija ir žymima:

2

2mvWk =


Naudojant kinetinės energijos išraišką materialiam taškui:

Besisukančio kūno kinetinė energija

,2

2ii

kivmW = ,jei , tada: ,ωii Rv = ,

22

222 ωω ziiiki

IRmW ==

Apie nejudamą ašį besisukančio kietojo kūno kinetinė energija lygi visų jį sudarančių materialiųjų taškų kinetinių energijų sumai:

,22

2

1

2

1

ωω zN

izi

N

ikik

IIWW === ∑∑==

Apie nejudamą ašį besisukančio kietojo kūno kinetinė energija tiesiogiai proporcinga kūno inercijos momento ir kampinio greičio kvadratui.


Kūnai gali sąveikauti (veikti vienas kitą jėga) dviem būdais: 1. Kontaktiniu būdu, 2. Jėgos lauku. Toliveikos ir artiveikos sąveikos? Kūnai neesantys kontakte, bet perduodantys vienas kitam sąveiką, ją perduoda Baigtiniu greičiu per tarpininką, vadinamą Jėgų lauku. Jėgų laukas – materijos forma, pasižyminti savybe veikti kūną jėga. Jėgų laukų tipai (priklausomai nuo fundamentalių 4 sąveikos tipų): 1. Gravitacijos, 2. Elektrinis ir magnetinis, 3. Stiprusis, 4. Silpnasis. Jėgos, kuriomis jėgų laukas veikia kūną, vadinamos potencialinėmis jėgomis. Potencialinės jėgos gali neatlikti darbo, o jų atliktas darbas nepriklauso nuo trajektorijos.

Jėgų laukas

potF


Potencialinės jėgos kūną, esantį jėgų lauke, perkeldamos iš taško 1 į tašką 2 erdvėje, atlieka darbą. Jėgų laukas atlikdamas darbą pakeičia kūno energetinę būseną.

Kūno padėties erdvėje funkcija, apibūdinanti jo energetinę būseną ir turinti energijos dimensiją, vadinama kūno potencine energija. Potencialinių jėgų atliktas darbas yra lygus potencinės energijos pokyčiui:

Potencinė energija

ppppotpot WWWrdFA ∆−=−== ∫ 21

2

1

),,()( zyxWrW pp =

Potencinės energijos tikroji vertė lygi potencialių jėgų atliktam darbui perkeliant kūną į tą erdvės padėtį, kur potencialinių jėgų poveikis lygus nuliui.

Šis dydis vadinamas potencialu.

Paprastai įvertinant kūno potencinę energiją, nulinis lygmuo pasirenkamas laisvai. Pavyzdžiui, sunkio jėgos P veikiamo kūno, nedideliame aukštyje h nuo Žemės paviršiaus potencinė energija išreiškiama:

( )12)( ppp WWmghPhrW −−===


Potencinę energiją turi ne tik kūnai esantys jėgų lauke, bet ir tarpusavyje sąveikaujančių tarpatominėmis jėgomis dalelių sistema – tamprusis kūnas. Tamprųjį kūną deformuojant, atsiranda tamprumo jėga, veikianti kūną sudarančių dalelių poslinkiams priešinga kryptimi. Mažoms deformacijoms tamprumo jėgai nusakyti tinka Huko dėsnis: tamprumo jėga F tiesiogiai proporcinga deformacijos didumui:

Tampriai deformuoto kūno potencinė energija

22

22

21

21

1

2

kxkxkxdxWWX

Xpp −==− ∫

21, xxxkxF −=−=

Nedeformuoto kūno potencinė energija yra lygi nuliui: tada deformuoto kūno potencinė energija yra lygi: ppp WWtadaW == 21 ,0

2

2kxWp =


Tarkime i-oji dalelė, veikiama potencialinių jėgų atstojamosios ir nepotencialinių jėgų atstojamosios, pasislenka iš taško 1 į tašką 2. Šios jėgos atlieka darbą:

Energijos tvermės dėsnis

inepotpipikiki AWWWW ,2112 +−=−

Skliaustuose esantys dydžiai yra dalelės pilnutinė energija esanti 1 ir 2 padėtyse.

12

2

1

2

1.. kikinepotpotinepotipot WWrdFrdFAA −=+=+ ∫∫

21 pipipot WWA −=kadangi:

inepotpikipiki AWWWW ,1122 )()( =+−+

)()( 222111 pikiipikii WWWirWWW +=+=

todėl: inepotiii AWWW ,12 =∆=−Dalelės pilnutinės mechaninės energijos pokytis yra lygus ją veikiančių nepotencialinių jėgų atliktam darbui.

jeigu: , tai: ir 0, =inepotA 012 =− ii WW constWWW iii === 12

Tai reiškia, kad uždaros sistemos pilnutinė energija nekinta, tik vienos rūšies gali virsti kita.

Pavyzdžiui, kūnui krintant iš aukščio h:


Tarkime dalelė, veikiama potencialinės jėgos:

pasislenka: Potencialinės jėgos atliktas elementarus darbas:

Potencialinės jėgos ir potencinės energijos ryšys

yra lygus potencialinės energijos pokyčiui, kurį galima išskaidyti į komponentes:

tada:

zpotypotxpotpot FkFjFiF ...

++=

dzkdyjdxird

++=

dzFdyFdxFrdFdA zpotypotxpotpotpot ... ++==

dzdz

dWdy

dydW

dxdx

dWdWdA ppp

ppot −−−=−=

dzdz

dWdy

dydW

dxdx

dWdzFdyFdxF ppp

zpotypotxpot −−−=++ ...

dzdW

Fdy

dWF

dxdW

F pzpot

pypot

pxpot −=−=−= ... ,,

Matome, kad kiekvieną potencialinės jėgos narį atitinka neigiama potencinės energijos kitimo sparta erdvėje (išvestinė):


įstatę į

Potencialinės jėgos ir potencinės energijos ryšys

++−=++=

dzdW

kdy

dWj

dxdW

iFkFjFiF pppzpotypotxpotpot

...

dzdW

Fdy

dWF

dxdW

F pzpot

pypot

pxpot −=−=−= ... ,,

Ši lygtis parodo kiekybinį potencialių jėgų ir potencinės energijos sąryšį erdvėje. Bet kokios skaliarinės funkcijos gradientas yra vektorius, apibūdinantis to šios funkcijos kitimo spartą erdvėje. Teigiamas gradientas nukreiptas šios funkcijos didėjimo kryptimi. Šioje lygtyje gavome neigiamą gradientą, o tai reiškia, kad potencialinė jėga yra lygi potencinės energijos gradientui ir nukreipta didžiausia jos mažėjimo kryptimi.

gauname: zpotypotxpotpot FkFjFiF ...

++=

o tai yra:

ppot WgradF −=

arba: ppot WF −∇=


Centrinių jėgų laukas

Jeigu jėgų laukas: 1) Bet kokiame lauko taške esančius masės mi (i=1,2,3,…) materialiuosius taškus laukas veikia atitinkamomis jėgomis Fi, kurių tąsos kertasi viename taške, 2) Lauko jėgos modulis proporcingas atstumo iki šio taško kvadratui.

Tokį lauką vadiname centrinių jėgų lauku. Gravitacijos laukas yra centrinių jėgų laukas. Per gravitacijos lauką persiduoda dviejų kūnų turinčių mases m ir m1 sąveika. Šios sąveikos jėgos modulis pagal visuotinį traukos dėsnį yra lygus:

22112

21 10*6720.6, −−== kgNmGkurrmmGF

Visuotinis traukos dėsnis: du taškiniai kūnai traukia vienas kitą jėga, proporcinga jų masių sandaugai ir atvirkščiai proporcinga atstumui tarp jų centrų kvadratu,


Gravitacijos laukas – jo stipris

Visuotinės traukos dėsnio vektorinė išraiška: Antro kūno masę nukėlę į kitą pusę gausime dydį, nepriklausantį nuo jo masės:

,321 r

rmmGF

−=

Kurio modulis: rrmG

mFE

31

2

−== 2rmGE =

Gravitacijos lauko stipris – pagrindinė lauko charakteristika, savo moduliu ir kryptimi lygi jėgai, kuria tas laukas veikia tame taške vienetinės masės kūną. Jeigu erdvėje yra daug kūnų, jų suminis laukas apsirašo pagal laukų superpozicijos principą, t.y. lygus atskirų laukų stiprių sumai. ∑

=

=N

iiEE

1

Masės m kūno gravitacinio lauko stipris tiesiogiai proporcingas nuo kūno masei ir atvirkščiai proporcingas atstumo iki jo centro kvadratui. Lauką vadiname vienalyčiu, jeigu lauko stiprumo vektorius vienodas bet kokiame to lauko taške. Lauką vadiname stacionariu, jeigu lauko stiprumo vektorius nekinta laike.


Gravitacijos laukas – jo potencialas

Gravitacijos laukas, perkeldamas m masės kūną iš padėties R į padėtį R+h, lygus:

,2

−

+=−

+=−= ∫

+

RGM

hRGMm

RGMm

hRGMmdr

rMmGA

hR

R

Kadangi potencialinių jėgų darbas lygus sistemos potencinės energijos sumažėjimui, gauname:

)( 211221 ϕϕ −=∆−∆=∆−=→ mWWWA ppp

rmG

mA

−== →∞ 1ϕ dydis, vadinamas lauko potencialu.

Lauko potencialas – energinė lauko charakteristika, apibūdinanti darbą perkeliant vienetinės masės kūną iš nagrinėjamo lauko taško į begalybę. Lauko potencialas su lauko stipriu susijęs tokia pat priklausomybe, kaip ir potencialinė jėga su potencine energija

ϕgradE −=

Ekvipotencialinis paviršius?


Svyravimai ir bangos

Svyravimai

Svyravimas – judėjimas ar procesas, pasižymintis pasikartojimu laike.

Mechaninis svyravimas – periodiškai pasikartojantis materialiojo taško ar kūno judėjimas erdvėje.



Svyravimo pradžios sąlygos.

1. Materialus kūnas turi įgyti daugiau energijos, negu turi stabilios pusiausvyros padėtyje.

2. Jį turi veikti grąžinančioji jėga.

3. Papildoma energija, gauta, jį nukreipus nuo stabilios pusiausvyros padėties,

neturi būti visa išeikvota pasipriešinimui nugalėti, grįžtant į tą padėtį.



Svyravimų tipai:

Savieji svyravimai – taškas svyruoja veikiamas vien tik grąžinančios jėgos.

Laisvieji svyravimai – taškas svyruoja veikiamas grąžinančios jėgos ir aplinkos pasipriešinimo jėgos.

Neslopstantieji svyravimai – taško svyravimai pastovia amplitude kintant laikui.

Slopstantieji svyravimai – taško svyravimai mažėjančia amplitude.

Priverstiniai svyravimai – pastovios svyravimų amplitudės palaikymas, papildant kiekvieną svyravimą energija.

Auto svyravimai – tokie svyravimai, kurie atsiranda veikiant sistemą pastovia jėga ar suteikiant pastovų energijos kiekį.



Harmoniniai svyravimai

Spyruoklinė svyruoklė – vadinamas kietas kūnas, pakabintas ant įtvirtintos spyruoklės.

Šioje svyruojančioje sistemoje kūnas juda viename išmatavime, t.y. tiesėje. Pagal II Niutono dėsnį kūną veikiančių jėgų atstojamoji yra lygi impulso kitimo spartai:

Veikiančios jėgos čia yra spyruoklės tamprumo jėga (Huko dėsnis): ,kxF −=Dinamikos lygtis bus: ,2

2

dtxdm

dtdvm

dtdmv

dtdpkx ====−

T.y. II eilės diferencialinė lygtis ,02

2

=+ kxdt

xdm arba: ,02

2

=+ xmk

dtxd

Pažymėjus: , gauname: mk

=0ω ,0202

2

=+ xdt

xd ω



Harmoniniai svyravimai

Šios lygties sprendinys yra vadinamo harmoninio svyravimo lygtis:

- svyravimo fazė.

,0202

2

=+ xdt

xd ω

)sin( 00 ϕω += tAx )( 00 ϕω +t

πνω 20 = - svyravimo kampinis dažnis.

T1

=ν - svyravimo dažnis.

A - svyravimo amplitudė.

x - svyravimo nuokrypis nuo pusiausvyros padėties.

t, s

A

x



Harmoniniai svyravimai – vaizdavimas amplitudės vektoriumi

)sin(sin 0ϕωϕ +== tAAxba

=ϕsin



Harmoniniai svyravimai – pagrindinės charakteristikos

T, s

t, s

A

T, s

Svyravimo fazė ϕ – dydis, apibūdinantis svyruojančio taško padėtį ir judėjimo kryptį konkrečiu laiko momentu.

ϕ A




Svyravimo fazių skirtumas ∆ϕ – dydis, apibūdinantis svyruojančio taško padėtį ir judėjimo kryptį kito svyravimo atžvilgiu.

t, s

A

t, s

A

t, s

A

t, s

A

∆ϕ=? ∆ϕ=?




Svyravimo periodas T – laikas, per kurį įvyksta pilnas vienetinis svyravimas.

Harmoniniam svyravimui turi galioti sąlyga:

T, s

t, s

A

T, s

mnkainTtAtAx ,...,3,2,1),)(sin()sin( 0000 =++=+= ϕωϕω


Svyravimo dažnis ν – svyravimų skaičius per laiko vienetą (SI sistemoje - 1 s),

matuojamas Hercais – Hz. (1 Hz – 1 svyravimas per 1 s).



mg

T, s

S, m

l

A, m

T, s

t, s

A

T, s

T1

=ν




mg

T, s

S, m

l

A, m

T, s

t, s

A

T, s

Svyravimo amplitudė A – didžiausias nuokrypis nuo pusiausvyros padėties.




Bendrai:



Harmoningai svyruojančio kūno greitis ir pagreitis

)sin()sin(

)cos()cos()sin(

0000020

000000

00

ϕωϕωω

ϕωϕωωϕω

+−=+−=

+=+=+=

tatAatvtAv

tAx

2

2

)(

dtxd

dtdva

dtdxv

tfx

==

=

=

- Poslinkio priklausomybė nuo laiko - Greičio priklausomybė nuo laiko - Pagreičio priklausomybė nuo laiko



Harmoningai svyruojančio kūno energija

( )002

220

2

cos22

ϕωω+== tAmmvWk ( )00

222

sin22

ϕω +== tkAkxWp

Spyruoklinės svyruoklės svyruojančio kūno energijas gausime įstatę poslinkį į kinetinės ir potencinės energijos išraiškas.

Kadangi: , tai 0ω=

mk ( )00

222

0 sin2

ϕωω+= tAmWp

Pilna svyruojančios sistemos energija yra lygi sumai: pk WWW +=

Kadangi: Pilna svyruojančios sistemos energija:

( ) ( ) 1sincos 002

002 =+++ ϕωϕω tt

2

220 AmWWW pk

ω=+=



Pagal II Niutono dėsnį sukamajam judėjimui:

Fizinė svyruoklė – absoliučiai kietas kūnas, kuris veikiamas savojo svorio, svyruoja aplink ašį, neeinančią per jo svorio centrą.

MLdtd

=

MlgmlPdtdI

dtdIIL

dtd

====== 2

2ϕωε

Suprojektavus:

ϕϕ sin2

2

mgldtdI −= Kai kampai maži: , tada: ϕϕ ≈sin

ϕϕ mgldtdI −=2

2

02

2

=+ ϕϕI

mgldtd 02

02

2

=+ ϕωϕdtd

kur: I

mgl=2

0ω

Iš čia fizinės svyruoklės periodas: mgl

IT πωπ 22

0

==



Iš fizinės svyruoklės periodo išraiškos:

mglIT π

ωπ 22

0

==

Matematinė svyruoklė – materialus taškas, pakabintas ant nesvaraus ir netąsaus siūlo.

1. Esant mažam mosto kampui, matematinės svyruoklės svyravimo periodas nepriklauso nei nuo amplitudės, nei nuo svyruoklės masės. 2. Matematinės svyruoklės svyravimo periodas yra tiesiog proporcingas kvadratinei šakniai iš jos ilgio ir atvirkščiai proporcingas kvadratinei šakniai iš jos laisvojo kritimo pagreičio g (Žemės paviršiuje g=9.8 m/s2).

glT π2=

2mRI =Materialiam taškui: , tada:



Spyruokline svyruokle – vadinamas kietas kūnas, pakabintas ant įtvirtintos spyruoklės.

Spyruoklinės svyruoklės periodas priklauso nuo spyruoklės tamprumo koeficiento ir kūno masės, tačiau nepriklauso nuo traukos jėgos arba laisvo kritimo pagreičio.

mk

=0ωkmT π2=

0

2ωπ

=T


čia: - sąsūkos koeficientas.


DIT π

ωπ 22

0

==

Sukamoji svyruoklė - horizontalioje plokštumoje svyruojantis kūnas, pritvirtintas prie vertikalios spyruoklės ar strypo. Grąžinantysis sukimo momentas atsiranda susukant spyruoklę ar strypelį.

Tada pagal II Niutono dėsnį sukamajam judėjimui:

ϕϕ DdtdI −=2

2

arba: 02

2

=+ ϕϕID

dtdI

0202

2

=+ ϕωϕdtdI kur:

ID

=20ω

Tada periodas:

D



Vienos krypties ir skirtingo dažnio svyravimų sudėtis.

Pritaikius Furjė analizę, bet kokį sudėtinį neharmoninį svyravimą galima išskaidyti į harmoninių svyravimų visumą, vadinamą spektru. Spektras – visuma harmoningų svyravimų, kuriuos sukelia koks nors šaltinis. Dažnuminis spektras – sudėtingo svyravimo funkcijos išklotinė pagal dažnį.

t, s

A

ν, Hz

A

s(t) s(t)

Svyravimas Spektras



Vienos krypties ir skirtingo dažnio svyravimų sudėtis.

ν, Hz

y

ν, Hz

y

Svyravimas Spektras

Svyravimas Spektras



Muša Sudėjus artimų dažnių vienos krypties harmoninius svyravimus gaunamas efektas, vadinamas mušimais. Paimkime du artimų dažnių ir vienodų amplitudžių svyravimus, aprašomus lygtimis: Jų suminis svyravimas bus: tss m 11 cosω= tss m 22 cosω=

ttsttssss mm 2cos

2cos2)cos(cos 1212

2121ωωωωωω +−

=+=+=

Pirmasis narys kinta mažu dažniu lyginant su atskirais svyravimų dažniais, o antras reiškia svyravimą vykstantį vidutiniu dažniu:

221 ωωω +

=

Todėl suminė amplitudė kinta pagal:

2cos2 12 ωω −

= mss

Mušimų dažnis ir periodas yra lygūs: 12 ωωω −=m12

2ωω

π−

=mT


Tarkime spyruoklinė svyruoklė svyruoja klampioje terpėje. Svyruojantį kūną, be gražinančios jėgos veikia ir klampos jėga. Jos dydis proporcingas judėjimo greičiui ir veikia jam priešinga kryptimi. Jos projekcija judėjimo ašyje: Tada judėjimo lygtis pagal II Niutono dėsnį užrašoma:

Svyravimai ir bangos Slopinamieji svyravimai

δ

dtdsvF ss ββ −=−=2

dtds

ms

mk

mFF

dtsd ss β

−−=+

= 212

2

pažymėję ir gauname mk

=20ω

mβδ =2

02 202

2

=++ sdtds

dtsd ωδ

Slopinamųjų svyravimų diferencialinę lygtį

- klampos koeficientas β - slopinimo koeficientas


Diferencialinės lygties sprendinys yra:

Svyravimai ir bangos Slopinamieji svyravimai

)sin( 00 ϕωδ += − teAs t

02 202

2

=++ sdtds

dtsd ωδ

teAtA δ−= 0)( - slopinamųjų svyravimų amplitudės mažėjimas eksponentiniu dėsniu.

220 δωω −= - slopinamųjų svyravimų cikliniu dažniu.

Slopinamieji svyravimai yra neharmoniniai ir neperiodiniai. Slopinamųjų svyravimų periodą vadiname laiko tarpą, per kurį pasikartoja didžiausias nuokrypis.

220

22δω

πωπ

−==sT


Dviejų artimiausių slopstančio svyravimo amplitudžių santykis yra:

Svyravimai ir bangos Slopinamieji svyravimai – slopinimo dekrementas

s

s

TTt

t

km

km eeAeA

ss δ

δ

δ

== +−

−

+1

1

0

0

1,

,

Šis santykis vadinamas slopinimo dekrementu, o jo natūrinis logaritmas:

- logaritminiu slopinimo dekrementu. Λ===+

sT

km

km Tess

s δδlnln1,

,

Logaritminis slopinimo dekrementas – svarbiausia svyravimo slopimo charakteristika, kurio skaitinė vertė atvirkščia periodų skaičiui, per kuriuos amplitudė sumažėja e kartų.


Svyravimai ir bangos - Priverstiniai svyravimai

Priverstiniai svyravimai – atsiranda veikiant sistemą išorine periodine jėga, priverčiant sistemą svyruoti. Tarkime turime svyruojančią sistemą, patalpintą į klampų skystį. Kaip žinome tokia sistema apsirašo dif. lygtimi:

tFF m Ω= cos302 2

02

2

=++ sdtds

dtsd ωδ

Jei šią sistemą veiksime pastovia periodine jėga:

Dinamikos lygti judančiam kūnui bus:

tmF

dtds

ms

mk

mFFF

dtsd msss Ω+−−=

++= cos321

2

2 βarba:

tFsdtds

dtsd

Ω=++ cos2 0202

2

ωδ kur: priverstinės jėgos redukuotoji amplitudė. m

FF m=0

Vykstant priverstiniams svyravimams, nusistovėjus pusiausvyrai dažnis ir amplitudė nekinta. Svyravimai tampa stacionarūs. Todėl dif. lygties dalinis sprendinys yra harmoninis svyravimas:

)cos( 0ϕ−Ω= tss m



Norėdami surasti amplitudę ir fazių skirtumą statome harmoninių svyravimų lygtį ir jos pirmą ir antras išvestines į priverstinių svyravimų dif. lygtį:

Pakeiskime trigonometrines išraiškas teigiamais kosinusais, o dydžius prie kosinusų atitinkamomis amplitudėmis. Tada mūsų lygtis atrodys:

)cos( 0ϕ−Ω= tss m

gauname:

tFsdtds

dtsd

Ω=++ cos2 0202

2

ωδ)sin( 0ϕ−ΩΩ−= tsdtds

m

)cos( 02

2

2

ϕ−ΩΩ−= tsdt

sdm

tFtststs mmm

Ω==−Ω+−ΩΩ−−ΩΩ−

cos)cos()sin(2)cos(

0

02000

2 ϕωϕδϕ

tAtAtAtA Ω=−Ω++−Ω++−Ω cos)cos()2

cos()cos( 4030201 ϕπϕπϕ



Matome, kad turime trijų svyravimų, kurie skiriasi ir amplitudėmis ir fazėmis sumą, kuri yra lygi atstojamajam svyravimui, esančiam dešinėje lygties pusėje. Trijų svyravimų fazės skiriasi per: Pagal harmoninių svyravimų sudėties taisykles, atstojamosios amplitudės vektoriaus dydis yra lygus atskirų svyravimų amplitudžių vektorių vektorinei sumai:

Kadangi trys vektoriai yra statmeni vienas kitam, jų moduliams galime taikyti Pitagoro teoremą:

tAtAtAtA Ω=−Ω++−Ω++−Ω cos)cos()2

cos()cos( 4030201 ϕπϕπϕ

2ππ ir

3214 AAAA

++=

22

213

24 )( AAAA +−= Įstačius amplitudžių

reikšmes: 2

02222222

0 4)( Fss mm =Ω+Ω− δω

Iš čia gauname atstojamojo priverstinio svyravimo amplitudę ir fazę: 22222

0

0

4)( Ω+Ω−=

δωFsm 22

00

2Ω−

Ω=

ωδϕtg



Gavome priverstinių svyravimų lygtį, jos amplitudę ir jėgos ir nuokrypio fazių skirtumą:

Nekintant priverstinės jėgos amplitudei ir sistemos parametrams, stacionarinio svyravimo amplitudė yra pastovi. Priverstinis nusistovėjęs svyravimas yra svyruoklę veikiančios jėgos dėsniu vykstantis harmoninis svyravimas. Priverstinių svyravimų amplitudė priklauso nuo: 1. svyruoklę veikiančios jėgos, 2. tos jėgos poveikio dažnio, 3. svyruoklės savojo svyravimų dažnio ir 4. slopinimo koeficiento.

222220

0

4)( Ω+Ω−=

δωFsm 22

00

2Ω−

Ω=

ωδϕtg)cos( 0ϕ−Ω= tss m


Svyravimai ir bangos - Rezonansas

Priverstinių svyravimų amplitudė priklauso nuo jėgos poveikio dažnio: Ši priklausomybė vaizduojama amplitudės rezonansine kreive. Esant tam tikram dažniui amplitudė pasidaro didžiausia. Priverstiniai svyravimai didžiausia amplitude vadinami rezonansiniais, o svyravimų “įsisiūbavimo” iki maksimalios amplitudės reiškinys – rezonansu. Rezonansinį dažnį rasime pošaknio reiškinio išvestinę prilyginę nuliui:

Ši lygtis turi tris sprendinius, iš kurių vienas yra nulinis, o kitas neigiamas. Todėl rezonansinis dažnis: ir amplitudė: 22

0 2δω −=Ωrez

222220

0

4)( Ω+Ω−=

δωFsm

08)(4 22220 =Ω+Ω−Ω− δω

220

0,

2 δωδ −=

Fs rezm


Svyravimai ir bangos – Bangų samprata

Fizikoje bangomis vadinami bet kokie erdve sklindantys medžiagos būsenos ar lauko trikdymai. Sklindant bangai medžiagos ar lauko elementarūs tūriai atlieka svyruojamąjį judėjimą. Šių svyruojamųjų judėjimų sklidimas aplinka ir yra banga.

Banga – svyravimų sklidimas aplinka. Kad susidarytų banga, turi būti išpildyta sąlyga – turi vykti lygiavertūs mainai tarp kinetinės ir potencinės energijos. Tampriosioms bangoms ši sąlyga formuluojama taip, kad tamprioji banga susidaro tamprioje aplinkoje, kuriai buvo suteiktas kinetinės energijos kiekis. Bangomis gali būti pernešama arba nepernešama energija, tačiau sklindant bangoms nepernešama medžiaga.

Svyravimai ir bangos – Bangų tipai

Bangos pagal tipus gali būti klasifikuojamos į: 1. Skersines, 2. Išilgines, 3. Elementarios, 4. Vienmatės, 5. Paviršinės, 5. Erdvinės, 6. Sferines, 7. Plokščiąsias, 8. Harmonines (Sinusines), 9. Sudėtines (Susidedančias iš daugelio harmoninių dažnių), 10. Pagal tai, kas svyruoja (Vandens paviršius, elektromagnetinis laukas, medžiagos tankis, t.t.)

Svyravimai ir bangos – Bangų charakteristikos

1. Svyravimo periodas T – laikas, per kurį įvyksta pilnas vienetinis svyravimas.

2. Svyravimo dažnis ν – svyravimų skaičius per laiko vienetą (SI sistemoje - 1 s), matuojamas Hercais – Hz. (1 Hz – 1 svyravimas per 1 s).

3. Svyravimo amplitudė A – didžiausias nuokrypis nuo pusiausvyros padėties.

4. Svyravimo fazė ϕ – dydis, apibūdinantis svyruojančio taško padėtį ir kryptį konkrečiu judėjimo kryptį konkrečiu laiko momentu.

5. Bangos ilgis λ – bangos fronto nueitas kelias per periodą.

6. Bangos sklidimo greitis v – bangos fronto nueitas kelias per laiko vienetą. 7. Ciklinis bangos skaičius k - bangos ilgių skaičius, telpantis 2π ilgio

atkarpoje

Svyravimai ir bangos – Bangos ilgis

Bangos ilgis - bangos fronto nueitas kelias per periodą. Bangos ilgis aplinkoje priklauso nuo bangos dažnio ir bangos sklidimo greičio. Kadangi greitis priklauso nuo aplinkos, toje pačioje aplinkoje bangos ilgis priklauso tik nuo dažnio

λ, m

A

λ, m

νλ VVT ==

Didesnį dažnį atitinka mažesnis bangos ilgis, Didesnį greitį atitinka didesnis bangos ilgis.

Pereidama iš vienos aplinkos į kitą, banga pakeičia sklidimo greitį ir bangos ilgį.

s, m

A

λ, m

I aplinka II aplinka

Svyravimai ir bangos – Skersinės Bangos

Bangos, kuriose aplinkos dalelės svyruoja statmenai pačios bangos sklidimo krypčiai, vadinamos skersinėmis. Tokiose bangose bangos lygtimi aprašoma kiekvieno bangos taško nukrypimas nuo pusiausvyros padėties bet kuriuo laiko momentu, bet kuriame taške skersai bangos sklidimo krypčiai.

Svyravimai ir bangos – Išilginės Bangos

Bangos, kuriose dalelės svyruoja išilgai tos krypties, kuria sklinda pati banga, vadinamos išilginėmis.

Tipinis pavyzdys – spyruoklės išilginiai svyravimai.

Išilginėje bangoje dalelės pasislenka viena kitos atžvilgiu išilgai jų centrus jungiančios linijos.

X, m

Svyravimai ir bangos – Erdvinės Bangos

Erdvinės bangos – bangos, kurios sudarytos iš begalybės elementarių bangų, išsidėsčiusių erdvėje ir svyruojančių vienoda faze, taško ar plokštumos atžvilgiu. Šioms bangoms įvedamos naujos charakteristikos: Bangos paviršius – ištisinė geometrinė vieta taškų, svyruojančių vienodomis fazėmis. Bangos frontas – priešakinis bangos paviršius, labiausiai nutolęs nuo bangų šaltinio. Bangos spindulys – linija, išilgai kurios sklinda bangos frontas. Erdvinės bangos gali būti dviejų tipų: 1. Plokščiosios 2. Sferinės

Svyravimai ir bangos – Plokščiosios Bangos

Plokščiosiomis bangomis vadiname tokias bangas, kurių visų svyravimų, sudarančių erdvinę bangą, spindulių kryptys yra lygiagrečios. Plokščiosios bangos visų taškų fazės svyruoja vienodai plokštumos, statmenos bangos sklidimo krypčiai, atžvilgiu.

Plokščiosios bangos aprašomos ta pačia lygtimi, kaip ir elementarios, įskaitant elementarių bangų išsidėstymą, statmenoje bangos sklidimo krypčiai, y-z plokštumoje.

Svyravimai ir bangos – Sferinės Bangos

Bangos, kurių fazės vienodos kokio nors taško atžvilgiu, vadinamos sferinėmis bangomis. Tokių bangų fazinis greitis yra vienodas centrinio taško atžvilgiu. Ši banga sklinda visomis kryptimis, besiplečiant bangos fronto sferai.

Svyravimai ir bangos – Elementarios bangos lygtis

Įtemptos virvutės sužadinimą galima aprašyti kaip atskirų tos virvutės taškų svyruojamuosius judėjimus. Pjūvyje 1 – taško judėjimą galima aprašyti:

)cos()( 01 ϕω += tAts

Taško judėjimas pjūvyje 2 atsiliks nuo 1 per laiką τ.

))(cos( 02 ϕτω +−= tAsvx

=τ

))(cos(),( 02 ϕω +−=VxtAxts

Ši lygtis aprašo elementarios bangos, sklindančios x kryptimi, visų taškų svyravimo padėtis, bet kurio laiko momentu bet kurioje x koordinatėje.

Turime elementarios bangos lygtį: Atlikę vieno nario transformaciją: , gauname:

Svyravimai ir bangos – Bangos skaičius – Bangos vektorius

))cos())(cos(),( 00 ϕωωϕω +−=+−=VxtA

VxtAxts

xkxVx

Vx

===λππνω 22

)cos(),( 0ϕω +−= xktAxts

k - ciklinis bangos skaičius - bangos ilgių skaičius, telpantis 2π ilgio atkarpoje. Vektorių , kurio modulis lygus bangos skaičiui, vadiname bangos vektoriumi. k

Svyravimai ir bangos – Banginė lygtis

Bendruoju atveju visos banginės lygtys yra diferencialinės banginės lygties daliniai sprendiniai. Mechanikoje diferencialinė banginė lygtis yra išreiškiama:

2

2

2

2

2

2

2

2

2

1zs

ys

xs

ts

v ∂∂

+∂∂

+∂∂

=∂∂

Vienmatei ar plokščiai bangai gauname: Šios lygties sprendinys yra analogiškas prieš tai analitiniu būdu išvęstai vienmatės bangos lygčiai:

2

2

2

2

2

1xs

ts

v ∂∂

=∂∂

))(cos(),( 02 ϕω +−=VxtAxts

Svyravimai ir bangos – Stovinčios bangos

Stovinčios bangos susidaro interferuojant krentančiai ir atsispindėjusiai bangai. Šiuo atveju interferuojančių bangų kryptys priešingos. Paprasčiausias pavyzdys – styga, įtvirtinta abiejuose galuose. Stovinčiose bangose nėra fazės poslinkio ir jos neperneša energijos. Stovinčios bangos stygoje susidaro tik tada kai į stygos ilgį telpa sveikas pusbangių skaičius. Bangos ilgis gi stygoje priklauso nuo greičio ir dažnio. Greitis priklauso nuo stygos įtempimo. Dažniai kuriais svyruoja styga, vadinami stygos savaisiais dažniais. Žemiausias dažnis vadinamas pagrindiniu. Aukštesnis dažniai (n=2,3,4,..) yra pagrindinio dažnio kartotiniai ir vadinami aukštesnėmis harmonikomis

νλ V

=

nl

n2

=λ

πρF

dVt

2=

πρλν F

dlnV

n

tt ==

Svyravimai ir bangos – Bangos energija

)sin(222 0

2222ϕωωρ

+−=

== kxtAdV

dtdsdmdmvdWk

Aplinkos dalelės virpėdamos poslinkiu turi kinetinės energijos, kuri išreiškiama:

Pilna mechaninė energija išreiškiama per kinetinės ir potencinės energijos sumą. Tačiau, kadangi dalelėms svyruojant šios energijos yra lygios:

)sin(2 022 ϕωωρ +−==+= kxtAdVdWdWdWdW kpk

Padaliję abi puses iš tūrio dV, gauname tūrio vieneto energiją, kurią vadiname bangos energijos tūriniu tankiu.

)sin( 022 ϕωρω +−== kxtA

dVdWw

22

21 Aw ρω=

Šio dydžio vidurkis laiko atžvilgiu yra vidutinis energijos tūrinis tankis:

)cos(),( 0ϕω +−= xktAxts

Svyravimai ir bangos – Bangos intensyvumas ir galingumas

Garso stiprumu fizikiniu požiūriu vadiname garso bangos intensyvumu. Garso bangos intensyvumu I vadiname dydį, kuris yra lygus energijos kiekiui, kurį banga perneša, per ploto vienetą (SI sistemoje 1 m2), per laiko vienetą (SI sistemoje – 1 s).

vAvwI 22

21 ρω==

Garso bangos galingumu vadiname dydį, kuris yra lygus energijos kiekiui, kurį banga perneša, per visą plotą S, per laiko vienetą.

vASISP 22

21 ρω==

Svyravimai ir bangos – Garso bangos

Garsas – mechaninės bangos, sklindančios tampria aplinka ir sukeliančios žmogui garso pojūtį.

Girdimu garsu vadinamos mechaninės bangos, kurių dažnis telpa intervale 20-20000 Hz.

20 20000 Hz

Dažnis ν, Hz Girdimas garsas

Infragarsas [lot. Infra – žemiau] - garsas, kurio dažnis yra žemiau 20 Hz. Ultragarsas [lot. Ultra – aukščiau] – garsas, kurio dažnis yra intervale 20000 Hz – 109 Hz Hypergarsas [lot. Hyper – virš] – garsas, kurio dažnis yra intervale 109 Hz - 1013 Hz

0 20 20000 109 1013

Tampriųjų mechaninių bangų diapazonas Dažnis ν, Hz


Garso bangų egzistavimo sąlygos: 1. Materialaus garso šaltinio egzistavimas, 2. Šaltinis turi atlikinėti svyruojamuosius judesius, 3. Svyruojamojo judesio energija turi viršyti tamprių bangų susidarymo energiją, 4. Kad sklistų garsas, reikalinga tampri aplinka – vakuume garsas nesklinda.


Garsas yra išilginės – sferinės bangos

Garsas atsiranda kūno paviršiui periodiškai perduodant energiją aplinkos dalelėms, kurių periodinis sutankėjimas ir praretėjimas sukelia bėgančią bangą. Dalelės svyruoja išilgai bėgančios bangos krypties. Todėl garsas yra išilginės bangos. Kadangi dažniausiai garsą stebime izotropinėje aplinkoje (kurios savybės vienodos visomis kryptimis), o šaltinio matmenys yra maži, palyginus su aplinkos tūriu, nuo šaltinio garsas sklinda vienodai visomis kryptimis. Todėl garsas yra sferinės bangos.

Svyravimai ir bangos – Garso bangos greitis

Garso greitis priklauso tik nuo aplinkos savybių ir nepriklauso nuo dažnio, bangos ilgio ir amplitudės.

ρKv =

- dydis vadinamas tūrio tamprumo moduliu. pK γ=

RTp

Vm µρ == - aplinkos masės tankis.

Įstačius vietoj K ir ρ:

µγ

ργ

ρRTpKv === Garso greitis toje pačioje aplinkoje tiesiogiai priklauso

nuo tos aplinkos temperatūros ir slėgio.

p - aplinkos slėgis.

µ - aplinkos molinė masė.

- universali dujų konstanta. R

m - masė.

V - tūris.

- temperatūra. Tγ - molinių šilumų santykis.

Svyravimai ir bangos – Garso bangos greitis dujose

Dujos T, oC V, m/s

Oras 0 330.8

Azotas 0 334

Amoniakas 0 415

Benzolas 97 202

Vandenilis 0 1284

Vandens garai 134 494

Helis 0 965

Deguonis 0 316

Neonas 0 435

Svyravimai ir bangos – Garso bangos greitis dujose

T, oC V, m/s

0 330.8

1 331.4

2 332.0

3 332.6

4 333.2

5 333.8

6 334.4

7 335.0

8 335.6

9 336.2

10 336.8

11 337.4

12 338.0

13 338.6

14 339.8

15 340.4

16 341.0

V, m/s

T,K

Garso greičio ore priklausomybė nuo temperatūros.

Svyravimai ir bangos – Garso bangos greitis skysčiuose

Skystis T, oC V, m/s

Acetonas 20 1192

Benzolas 20 1326

Vanduo 25 1497

Glicerinas 20 1923

Gyvsidabris 20 1451

Spiritas 20 1180

Alyvuogių aliejus 32.5 1381

Žibalas 34 1295

Transformatorinė alyva 32.5 1425

Svyravimai ir bangos – Garso greitis kietuose kūnuose

Medžiaga V, m/s

Aliuminis 6260

Gipsas 4970

Geležis 5850

Ledas 3980

Varis 4700

Plienas 6100

Marmuras 6150

Stiklas 5660

Šiferis 5870

Svyravimai ir bangos – Garso bangos ilgis ore

Garso bango ilgis aplinkoje priklauso nuo bangos dažnio ir bangos sklidimo greičio. Kadangi greitis priklauso nuo aplinkos, toje pačioje aplinkoje bangos ilgis priklauso tik nuo dažnio. Garso bangos ilgis ore yra (esant garso greičiui V=336 m/s, kai T=20oC):

λ, m

s, m

A

λ, m

mHz

smvV 8.16

20/336

===λ

cmmHz

smvV 68.18.016.0

20000/336

====λ

Svyravimai ir bangos – Doplerio efektas

Doplerio efekto Principas: a. Garso šaltinis generuoja vieno dažnio ν garso bangas. b. Jei imtuvas nejuda šaltinio atžvilgiu, jis fiksuos tą patį dažnį ν .

c. Jei garso šaltinis ir (ar) imtuvas judės aplinkos (ar vienas kito) atžvilgiu, imtuvas registruos kitokį dažnį, kuris išreiškiamas:

, kur V – garso greitis aplinkoje d. Esant judėjimui kampu vienas kito atžvilgiu:

Š

I

VVVV

−+

= 0νν

Šaltinis Imtuvas

VŠ VI

Aplinka

2

10 cos

cosθθνν

Š

I

VVVV

−+

=Šaltinis

Imtuvas θ1

θ2 VŠ

VI Aplinka

http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/9/90/Dopplerfrequenz.gif

Svyravimai ir bangos – Doplerio efektas - taikymas

Greičio matavimo principai naudojant Doplerio efektą: a. Matuojant dažnio pokytį iš judančio kūno, b. Matuojant atsispindėjusio dažnio pokytį nuo judančio objekto


Matuojant dažnio pokytį iš judančio kūno, a. Jei imtuvas nejuda – juda tik šaltinis spinduliuodamas ν0 dažnio UG bangas. b. Imtuvas fiksuos dažnį:

+ ar – priklauso nuo judėjimo krypties + link imtuvo, - nuo imtuvo.

c. Matavimo metu registruojamas tik dažnio pokytis ∆ν:

- tikslinga ir patogu registruoti bangų mūšos dažnį.

d. Iš kurio išskaičiuojamas objekto, spinduliuojančio ν0 dažnio bangas, greitis:

VVVV

VŠŠ ±

=±

=1

100 ννν

Š

Š

VVV±

=∆ 0νν

10 ν

ν∆

=VVŠ


Matuojant atspindėjusio garso nuo judančio kūno dažnio pokytį, naudojant Doplerio efektą. a. Siųstuvas siunčia ν0 dažnio UG bangas. b. UG bangos atsispindi nuo judančio objekto, jei objektas juda, atspindėjusių bangų dažnis pasikeičia priklausomai nuo jo judėjimo greičio. c. Dažnio pokytis, kuris yra registruojamas, yra išreiškiamas:

d. Išskaičiuojamas greitis:

e. Kai echolokatorius sukonstruotas taip, kad siųstuvo ir imtuvo padėtys sutaptų, t.y.: α=0, tai: Registruojamo objekto greitis tampa tiesiogiai proporcingas dažnio ∆ν pokyčiui.

VVŠ α

ννcos2

0=∆

ανν

cos2 0

∆=

VVŠ

02νν∆

=VVŠ

Molekulinė fizika ir termodinamika

Molekulinė fizika – fizikos šaka, tirianti dujų, skysčių ir kietųjų kūnų makroskopinių savybių ryšį su jų mikrodalelių savybėmis. Termodinamika – fizikos šaka, nagrinėjanti vienos rūšies energijos virsmus kitomis energijos rūšimis.

Molekulinė fizika

Molekulinė fizika pagrysta keliais eksperimentais ir stebėjimais pagrįstais teiginiais: 1. Kūnai susideda iš atomų. Atomai chemiškai jungdamiesi sudaro molekules. 2. Visų kūnų molekulės ir atomai dalyvauja šiluminiame judėjime. Pagrindinė šio judėjimo

ypatybė yra jo chaotiškumas 3. Tarp molekulių veikia traukos ir stūmos jėgos. Molekulinė fizika tirinėdama mikroskopinių dalelių savybes neaprašinėja kiekvienos dalelės atskirai, nes: 1. Nėra žinomos kiekvieną dalelę veikiančios jėgos, pradinės padėties ir greičio, todėl

negalime parašyti jos judėjimo lygties. 2. Net ir žinant šiuos dydžius, būtų neįmanoma to padaryti, nes yra daugybė dalelių. (pvz.: 1 cm3 vandens yra apie 3,3 *1022 molekulių. Tačiau makroskopiniam dydžiui nustatyti, nereikia žinoti atskirų molekulių greičio ar energijos. Pakanka žinoti jų vidutines vertes, kurios nustatomos statistiniais metodais. Todėl pagrindinis molekulinės fizikos tyrimo metodas yra statistinis, nors ji naudojasi ir termodinaminiu, bei kitais metodais.

Molekulinė fizika – Statistiniai dėsningumai

Statistiniai dydžiai – dydžiai, būdingi tik iš daugelio dalelių susidedančioms sistemoms. Pvz.: temperatūra, slėgis, šiluminis laidumas,...Šie dydžiai neturi prasmės, naudojant jas atskiram atomui ar molekulei. Fizikoje skiriamos dvi dėsningumų rūšys – dinaminiai ir statistiniai dėsningumai. Dinaminis dėsningumas – tokia priežastinio ryšio forma, kai duotoji sistemos būsena lemia visas vėlesnes jos būsenas vienareikšmiškai. Statistinis dėsningumas – tokia priežastinio ryšio forma, kai duotoji sistemos būsena lemia visas vėlesnes jos būsenas nevienareikšmiškai, bet tikimybiškai. Dinaminių ir statistinių dėsningumų skirtumą lemia atsitiktinumas, t.y. tai kas atitinkamomis sąlygomis gali įvykti, o gali ir neįvykti. Statistiniai dėsningumai pasireiškia sistemose, susidedančiose iš labai daug elementų, kurių bendra tarpusavio sąveika suvienodina atskirus molekulių dydžius. Tokiose sistemose tarp sąveikaujančių dalelių dydžių išryškėja tam tikra tendencija. Ši tendencija aprašoma statistiniais skirstiniais ir vidurkiais.

Molekulinė fizika – Idealiosios dujos

Molekulinė fizika operuoja modeliais, t.y. realių fizikinių reiškinių, procesų ar objektų atematiniais-fizikiniais artiniais. Kai kuriuos iš jų, esant atitinkamoms sąlygoms, galima naudoti kaip supaprastintą reiškinio matematinį-fizikinį aprašymą. Vienas iš jų yra idealiųjų dujų modelis, taikomas kai kuriems procesams ir dujoms. Idealiosios dujos – tokios dujos, kuriose nepaisoma atskirų molekulių struktūra ir sąveika tarp jų. Prie šių yra sąlygų idealiosioms dujoms yra įvedamos tokios charakteristikos, kaip laisvojo judėjimo trukmė, susidūrimo trukmė ir laisvojo kelio ilgis. Jos reiškia: Laisvojo judėjimo trukmė – dalelės vidutinis laikas tarp susidūrimų. Laisvojo kelio ilgis – vidutinis atstumas tarp susidūrimų. Susidūrimo trukmė – dviejų dalelių sąveikos vidutinis laikas. Idealiosioms dujoms taip pat turi galioti sąlyga:

τ

τ ′

ττ <<′

Termodinamika

Termodinamika – fizikos šaka, nagrinėjanti vienos rūšies energijos virsmus kitomis energijos rūšimis. (kilusi nuo gr. Thermos – šiltas ir Dinamikos – jėga)

Termodinamikos tyrimo objektas – makroskopinių termodinaminų sistemų šilumines savybės. Termodinamika skirtingai nei molekulinė fizika visiškai nesigilina į makroskopinėse sistemose vykstančių reiškinių mikroskopinę prigimtį. Termodinamikoje pateikiami ir nagrinėjami tik makroskopinių dydžių sąryšiai (pvz.: tūris, slėgis, temperatūra, masė ir kt). Termodinamikos pagrindą sudaro trys empiriniai dėsniai. Termodinamikos dėsniai galioja termodinaminei sistemai. Skirtingai nuo kūnų sistemos, ši sistema susideda iš daugelio objektų Termodinaminė sistema gali būti vienalytė, nevienalytė, izoliuota ir neizoliuota. Vienalytė – vienos medžiagos agregatinės būsenos sistema. Izoliuota – nesąveikaujanti su išoriniais kūnais sistema.

Termodinamika – sistema ir būsena.

Svarbiausia termodinaminio metodo sąvoka – termodinaminės sistemos būsena.

Tai sistemos, kuriai tinka termodinaminiai dėsniai, būsena, apibūdinama termodinaminiais parametrais.

Termodinaminiai parametrai – makroskopiniai dydžiai nusakantys termodinaminės sistemos būseną ir jos ryšį su aplinka.

Svarbiausi termodinaminiai parametrai yra:

medžiagos tankis ρ (arba specifinis tūris v), slėgis p ir temperatūra T.

Šiuos būsenos parametrus siejanti lygtis yra vadinama būsenos lygtymi.

Termodinaminė būsena vadinama stacionari, kai visų jos parametrų vertės laikui bėgant nekinta.

Kai visų stacionarios būsenos sistemos dalių parametrų vertės vienodos, tai tokia būsena vadinama pusiausvyrąja.

Jei dėl kokių nors priežasčių ši būsena sutrinka, sistema savaime grįžta į pusiausvyrąją būseną. Šis procesas vadinamas relaksacija. Per relaksacijos trukmę τ termodinaminio parametro nuokryptis nuo pusiausvyros vertės sumažėja e = 2,72 kartų.

Termodinamika – būsenos lygtis.

Termodinaminės būsenos lygtis bendąja forma užrašoma:

0),,( =Tvpf arba: 0),,( =Tp ρϕ

Idealiosioms dujoms būsenos lygtis yra Klapeirono lygtis:

RTMmpV =

Realiosioms dujoms Klapeirono lygtis yra :

( ) RTbVVap ννν =−

+ 2

2

kur: - universalioji dujų konstanta. )*/(314,8 KmolJR =

M - Molio masė

a ir b – konstantos, priklausančios nuo dujų prigimties.

Mm

=νkur: - molių skaičius

Termodinamika – procesas.

Termodinaminė būsena vadinama stacionari, kai visų jos parametrų vertės laikui bėgant nekinta. Kai visų stacionarios būsenos sistemos dalių parametrų vertės vienodos, tai tokia būsena vadinama pusiausvyrąja. Pusiausvyroji būsena p ir V, p ir T ar V ir T būsenos diagramoje vaizduojamos tašku. Kai sistema iš vienos pusiausvyrosios būsenos pereina į sekančias, sakoma, kad sistemoje vyksta pusiausvyrasis termodinaminis procesas.

Molekulinės kinetinės teorijos pagrindinė lygtis

Išveskime lygtį siejančią idealiųjų dujų būsenos slėgį su jų tūriu ir molekulių šiluminio judėjimo vidutine kinetine energija. Kai indo sienelės paviršiaus plotą veikia tolygiai paskirstyta jėga, slėgis yra lygus:

tSK

SFp

∆∆∆

=∆

=tK

dtdKF

∆∆

== K - Impulsas

Viena dalelė, atsitrenkusi į sienelę, perduoda jai impulsą: Todėl, molekulių bombarduojama indo sienelė yra veikiama dujų slėgio jėgos, ir dujų slėgis yra dujų molekulių chaotiškojo judėjimo makroskopinė išraiška. Tarkime, kad molekulės judančios į sienelę ir pasiekusios sienelę per laiką ∆t yra tūryje: Tada molekulių, kurių koncentracija yra n, perduotas sienelei impulsas:

xxx mvmvmvk 2−=−−=∆

tSvV x∆∆=∆

tSnmvmvtSvnmvVnK xxxx ∆∆=∆∆=∆=∆ 2222

Molekulinės kinetinės teorijos pagrindinė lygtis

Kadangi molekulės juda ne viena kryptymi į sienelę, o chaotiškai į visas puses mums reikia išsireikšti sąryšį vidutinio molekulių greičio v su greičiu, nukreiptu į sienelę vx. Tam užrašome molekulės judėjimo greičio modulio kvadratą:

tSvnmtSnmvK x ∆∆=∆∆=∆ 22

312

2222zyx vvvv ++= ir jo vidutinę vertę: 2222

zyx vvvv ++=

Kadangi molekulės juda chaotiškai, visos vidutinių greičių projekcijų vertės yra lygios:

222zyx vvv == tada: arba: 22 3 xvv = 22

31 vvx =

Kadangi x ašies atžvilgiu molekulės gali judėti dviem kryptim, sienelę bombarduos tik tos molekulės, kurios juda link jos, t.y. pusė arba dvigubai mažiau, todėl įstačius į impulso išraišką:

o šią lygtį į: gauname: tS

KS

Fp∆∆

∆=

∆=

kwnvnmp32

31 2 == - Vadinama molekulinės kinetinės teorijos pagrindine lygtimi

arba Klauzijaus lygtimi.

Temperatūra

Idealiųjų dujų būsenos lygtį galima užrašyti keliomis formomis:

RTMmpV = arba: knTT

VNkRT

VRT

Mp

m

A

m

====1ρ

kur: ` - Avogadro skaičius - Bolcmano konstanta

-123 mol 10 6,022045×=AN -1-23 k J 10 1,380662 ××=k

kwnvnmp32

31 2 ==Sulyginę su Klauzijaus lygtimi gauname: knTwn k =

32

arba: - Bolcmano lygtis.

Bolcmano lygtis rodo, kad absoliutinė dujų temperatūra yra tiesiogiai proporcinga molekulės chaotiškojo slenkamojo judėjimo vidutinei kinetinei energijai;

Todėl galima apibūdinti temperatūrą, kaip molekulių vidutinės kinetinės energijos matą.

Molekulėms visiškai nejudant, temperatūra virsta absoliučiu nuliu T = 0 K = - 273,15 oC. Tačiau jokiais būdais absoliučios 0 K temperatūros pasiekti neįmanoma. Šiuo metu pasiekta žemiausia “rekordinė” temperatūra 0.10 nK (2000).

kTwk 23

=

Molekulių pasiskirstymas pagal greičius – Maksvelio skirstinys

Iki šiol nagrinėjome vidutinį molekulių greitį. Ar molekulių greičiai vienodi? Molekulių greičiai idealiose dujose pasiskirstę pagal atitinkamą funkciją vadinama Maksvelio skirstiniu:

kTmv

evkT

mndvdnvf 222

3 2

24)(

−

==

ππ

Maksvelio skirstinys arba molekulių greičių pasiskirstymo funkcija f(v) parodo santykinį molekulių skaičių dn/n vienetiniame greičių intervale dv.

Brūkšniuoto ploto skaitinė vertė lygi tikimybei, kad molekulės greičio vertė yra intervale nuo v iki v+dv.

Šildant dujas, skirstinio funkcijos maksimumas slenka didesnių greičių link.

Norint rasti tikimiausią greitį, reikia skirstinio diferencialą prilyginti nuliui. Iš to gauname:

0)(=

dvvdf

MRT

mNRT

mkTv

At

222===

Molekulių koncentracijos pasiskirstymas pagal aukštį - Barometrinė formulė

Dujų molekulės ne tik nuolat ir netvarkingai juda, bet jas veikia ir Žemės traukos jėgos. Gravitaciniame potencialinių jėgų lauke kylant molekulių koncentracija ir dujų slėgis mažėja. Koks yra to mažėjimo pobūdis? Kaip žinome hidrostatinis slėgis yra: Pakilus aukščiui dh, slėgis sumažėja dp dydžiu: Kadangi tankis iš Klapeirono lygties: , todėl: Atskyrę kintamuosius suintegruojame šią lygtį:

ghp ρ=

gdhdp ρ−=

RTMp

=ρ gdhRTM

pdp

−=

∫∫ −= dhRTMg

pdp

CRTMgp +−=ln

Kadangi aukštyje h=0, slėgis p=p0 ir lnp0=C. Todėl:

hRTMgpp −=− 0lnln

hRTMg

epp−

= 0

Molekulių koncentracijos pasiskirstymas pagal aukštį - Barometrinė formulė

- vadinama Barometrinė formulė, pagal ją apskaičiuojamas atmosferos slėgis p aukštyje h arba atvirkščiai.

Panaudoję Klapeirono lygtį , gauname kitokį jos pavidalą: Dėl Saulės šiluminės apšvitos atmosfera nėra stacionari, todėl Barometrinės formulės tinka tik apytiksliai.

hRTMg

epp−

= 0

knTp =

hRTMg

enn−

= 0- nusakančią dujų koncentracijos pasiskirstymą pagal aukštį.

Molekulių koncentracijos pasiskirstymas pagal potencines energijas – Bolcmano skirstinys

Pertvarkome laipsnio rodiklyje esantį dydį: gauname: RT

Mgh

enn−

= 0 km

RmN

RM A ==

kTmgh

enn−

= 0

Kadangi skaitiklyje esantis dydis yra potencinė energija, lygtį užrašome: kT

wp

enn−

= 0

S. Bolcmanas įrodė, kad ši išraiška tinka chaotiškai judančioms, nesąveikaujančioms dalelėms, kai temperatūra vienoda ir veikia stacionarinis jėgų laukas. Jeigu išskirsime kažkokį tūrį dV, tame tūryje esančių dalelių vidutinis skaičius apskaičiuojamas:

dxdydzenndVdN kTzyxwp ),,(

0

−==

Padaliję dydį dN iš sistemą sudarančių dalelių skaičiaus N, gauname tikimybę aptikti dalelę tūryje dV:

dxdydzeAN

dN kTzyxwp ),,(

1

−= dydis:

NnA 0

1 =

Molekulių koncentracijos pasiskirstymas pagal potencines energijas – Bolcmano skirstinys

Dalelių erdvinio pasiskirstymo priklausomybės nuo jų potencinės energijos dėsnį aprašo funkcija:

- vadinamą Bolcmano skirstiniu, išreiškiančiu santykinį molekulių skaičių erdvės tūrio vienete.

Bendruoju atveju dalelių makroskopinė sistema susideda iš chaotiškai judančių dalelių, esančių stacionariniame išorinių poteialinių jėgų lauke. Todėl bendra dalelių enerija yra:

kTzyxw

p

p

eANdxdydz

dNwf),,(

1)(−

==

pk www +=

Statistinėje fizikoje abu skirstiniai, t.y. Maksvelio ir Bolcmano yra apjungiami į vieną, išreiškiamą tokia dalelės pilnutinės energijos funkciją, dar vadinamą Maksvelio ir Bolcmano skirstiniu:

kTw

Aewf−

=)(

Molekulinės laisvės laipsnių skaičius

Išvedinėdami Bolcmano lygtį dujų atomus ar molekules laikėme materialiais taškais, neturinčiais kiek apibrėžtos formos, todėl vidutinę kinetinę energiją išreiškėme pagal molekulių tris greičių projekcijų komponentes, laikydami jas lygiavertėmis, t.y.:

2222zyx vvvv ++= 222

zyx vvv ==kadangi: , tai ir 22 3 xvv = 22

31 vvx =

Iš to : t.y. molekulė perduoda impulsą sienelei tik trečdalį savo kinetinės energijos. kwnvnmp

32

31 2 ==

kTwk 23

=

Tačiau mechanikoje nagrinėjami trys judėjimo tipai – slenkamasis, sukamasis ir svyruojamasis. Sudėtingesnėms molekulėms, sudarytoms iš kelių susijungusių atomų, kurių negalime laikyti materialiais taškais, reikia įvertinti ir kitus du judėjimo tipus. Kūno pilna kinetinė energija gali būti sudaryta iš šių trijų judėjimų. T.y. sudėtingesnė molekulė gali slinkti, suktis ir virpėti.

Molekulinės laisvės laipsnių skaičius

Mechanikoje kūno jūdėjimo pobūdį galima apibūdinti pagal nepriklausomų judėjimo krypčių skaičių, vadinamu laisvės laipsnių skaičiumi. Laisvės laipsnių skaičius apibūda nepriklausomų koordinačių skaičių, kuriomis galima aprašyti kūno padėtį ir judėjimą erdvėje. Pagal kiekvieno atskiro judėjimo tipą koordinatės yra: 1. Slenkamąjam judėjimui – trys padėties koordinatės x, y, z. 2. Sukamąjam judėjimui – trys sukimosi ašys ir posūkio kampai. 3. Svyruojamąjam arba virpamąjam – trys virpėjimo kryptys.

Laisvai judančiam materialiąjam taškui jo judėjimą apibūdina trys slenkamojo judėjimo koordinatės, t.y. trys laisvės laipsniai. Todėl idealiom vienatomėm dujoms kinetinė energija:

kTwk 23

= Vadinasi vienam laisvės laipsniui tenka trečdalis visos kinetinės energijos:

kT21

Statistinė fizika įrodo, kad bet kokio pobūdžio ar krypties judėjimas nėra išskirtinis kitų atžvilgiu. Todėl termodinaminės pusiausvyros būsenoje slenkamojo, sukamojo ir virpamojo judėjimo vienam laisvės laipsniui tenka vidutinis lygiavertis kinetinės energijos kiekis, lygus:

Kinetinės energijos pasiskirstymo pagal laisvės laipsnius statistinis dėsnis arba Bolcmano dėsnis.

kT21

Vienatomei molekulei:

Kietai surištai dviatomei molekulei: Daugiaatomei molekulei: Bendruoju atveju:

Molekulinės laisvės laipsnių skaičius – kietai surišta molekulė

Kietai ar tvirtai surištai molekulei, kuri negali virpėti, vidutinė kinetinė energija išreiškiama pagal laisvės laipsnių skaičių:

kTwi23,3 ==

kTwi25,5 ==

kTkTwi 326,6 ===

kTikTiiw suksl 221)( =+=

Molekulinės laisvės laipsnių skaičius – tampriai surišta molekulė

Realių molekulių ryšiai yra tamprūs, todėl reikia iskaityti virpamojo judėjimo energiją. Kaip žinia, svyruojanti sistema, be kinetinės, turi ir potencinės energijos. Be to kiekvienai laisvai harmoningai svyruojančiai svyruoklei šios energijos lygios. Makrosistemoje, sudarytoje iš labai didelio molekulių skaičiaus, molekulės virpa nesuderintai. Tuomet vienu laiko momentu statistiškai pusė visos sistemos energijos yra kinetinė, o kita – potencinė. Todėl vienam laisvės laipsniui tenkanti virpėjimo energija yra: Apjungus slenkamąjo, sukamojo ir virpamojo judėjimo laisvės laipsnių energijas, gauname pilną bendrą molekulės vidutinės energijos išraišką:

kTkTwv ==212

kTikTiiiw vsuksl 221)2( =++=

Pvz.: dviatomei, tampriais ryšiais surištai, molekulei:

arba: kTiw2

=

kTkTw27

21)223( =++= Kai: molekulių ryšys yra kietasis. 0=vi

Idealiųjų dujų energija

Idealiųjų dujų molekulės nesąveikauja, todėl jų vieno molio energija lygi jame esančių molekulių energijų sumai:

RTikTiNwNU AAm 22=== Vadinama idealiųjų dujų vieno molio vidine energija.

Idealiųjų dujų vieno molio vidine energija priklauso nuo laisvės laipsnių skaičiaus ir absoliučios temperatūros. Bet kokios masės m idealiųjų dujų vidinė energija yra: Idealiųjų dujų vidinė energija nepriklauso nuo jų užimamo tūrio.

RTMmiUU m 2

==νMm

=νčia: - molių skaičius.

Molekulių vidutinis laisvasis lėkis ir susidūrimų dažnis

Molekulių, turinčių kinetinės energijos, judėjimas yra chaotinis. Tokio judėjimo metu molekulės patiria pastovius susidūrimus, keisdamos kryptį, impulsą ir energiją. Tarp susidūrimų kiekviena molekulė nulekia skirtingus kelius. Tačiau galima apibrėžti molekulės vidutinį nueitą kelią. Panagrinėkime molekulių susidūrimą, nekreipdami dėmesio į jų formą ir laikydami jas tampriais rutuliukais. Dydis d - vadinamas molekulės efektiniu skersmeniu yra mažiausias atstumas iki kurio suartėja dviejų molekulių centrai. Dydis σ=πd2 – susidūrimo efektiniu skerspjūviu. Patekus į šį plotą, bet kurios judančios jam statmenai, molekulės centrui, molekulės susiduria. Jeigu priimsime, kad visos molekulės nejuda, užbrūkšniuota molekulė juda greičiu v ir po susidūrimo nekeičia krypties, tai per 1 s ji patirs z susidūrimų. Molekulei nuėjus kelią s, per 1 sekundę vidutinis atstumas tarp susidūrimų, bus: Šis dydis vadinamas vadinamas molekulės vidutiniu laisvuoju lėkiu.

zv

zsl ==

Molekulių vidutinis laisvasis lėkis ir susidūrimų dažnis

Tiesiai judėdama molekulė susidurs su visomis molekulėmis, kurių centrai bus d spindulio, V tūrio cilindre. Jeigu tame cilindre yra n molekulių centrų, tai susidūrimų skaičius per sekundę bus: - susidūrimų dažnis. nvdsndnVz C

22 ππ ===

Iš tikrūjų realioje makrosistemoje juda visos molekulės ir galimybė molekulėms susidurti priklauso nuo jų abiejų greičių, t.y. nuo reliatyvaus greičio. Statistinė fizika įrodo, kad dėl to susidūrimų dažnis padidėja karto ir yra išreiškiamas: 2

nvnvdz σπ 22 2 ==Taigi vienos molekulės susidūrimų dažnis proporcingas molekulės efektiniam skersmeniui, jos vidutiniam greičiui ir molekulių koncentracijai.

Tada laisvojo lėkio išraiška tampa:

nnvv

nvdv

zsl

σσπ 21

22 2====

Molekulių vidutinis laisvasis lėkis ir vakuumas.

Molekulių vidutinis laisvasis lėkis priklauso nuo molekulės efektinio skerspjūvio ir koncentracijos. Arba slėgio.

nl

σ21

=

p, Pa 1,013⋅105 133 1,33 1,33⋅10-2 1,33⋅10-4 l, m 6,5⋅10-8 5⋅10-5 0,5⋅10-2 0,5 50

Molekulės efektinis skerspjūvis šiek tiek priklauso nuo temperatūros, t.y. nuo molekulių kinetinės energijos. Didėjant temperatūrai jis mažėja, todėl laisvasis lėkis šiek tiek padidėja. Dujas retinant, laisvasis lėkis gali patapti didesniu už indo matmenis. Molekulės inde nulekia nesusidurdamos viena su kita nuo vienos indo sienelės iki kitos. Tokią dujų būseną vadiname vakuumu. Skiriamos trys vakuumo rūšys – aukštas, vidutinis ir žemas.

Dl >

Aukštas vakuumas: , vidutinis: ir žemas: 1>>Dl 1≅

Dl 1<<

Dl

Dujų plėtimosi darbas

Tarkime cilindre su nesvariu ir judriu ploto S stumokliu yra dujos. Jeigu mes suteiksim dūjoms šilumos, jos pradės plėstis. Besiplečiančių dujų atliekamas elementarus darbas yra dujų slėgio jėgos F=pS ir stūmoklio elementaraus poslinkio ds sandauga: Suintegravus nuo taško 1 iki 2 gauname baigtinio plėtimosi darbą:

pdVpSdsFdsA ===δ

∫∫ ==2

1

2

1

pdVAA δ

Pirmasis termodinamikos dėsnis – energijos perdavimo būdai.

Kiekvieno kūno pilnutinę energiją sudaro jo mechaninės ir vidinė energijos suma: Kūno mechaninę energiją sudaro kūno kinetinė ir potencinė energija. Kūno vidinę energiją sudaro: 1. Jo dalelių netvarkingo judėjimo (slenkamojo ir sukamojo) kinetinė energija; 2. Jo dalelių sąveikos potencinė energija; 3. Jo dalelių atomų virpamojo judėjimo kinetinės ir potencinės energijos; 4. Elektroninių sluoksnių ir branduolio energijos. Mechanikoje kūno pilnos mechaninės energijos pokytį charakterizuoja darbas. Kad pakeisti kūno energiją, reikia atlikti energijos perdavimo procesą, vadinamą darbu. Tačiau darbas nėra vienintelis būdas energijai perduoti. Kitas energijos perdavimo būdas – šiluminės energijos perdavimas. Vieno kūno energijos perdavimas kitam kūnui, neatliekant makroskopinio mechaninio darbo, vadinamas šiluminiu energijos perdavimo būdu.

UWWUWW PKM ++=+=

Pirmasis termodinamikos dėsnis.

Remiantis dviem energijos perdavimo būdais energijos tvermės dėsnis gali būti formuluojamas: Termodinaminės sistemos pilnutinės energijos ∆W pokytis yra lygus jos atžvilgiu atlikto darbo A’ ir jai suteikto šilumos kiekio Q sumai. Jeigu vykstant energijos perdavimo procesams, sistemos mechaninė energija nekinta, tai sistemoje pasikeičia tik vidinė energija: Todėl termodinaminėm sistemom, kuriose nevyksta mechaninės energijos pokyčiai, formuluojamas energijos tvermės dėsnis, vadinamas pirmu termodinamikos dėsniu: Termodinaminės sistemos vidinės energijos pokytis yra lygus jos atžvilgiu atlikto darbo ir jai perduoto šilumos kiekio sumai.

Termodinaminė sistema, gavusi šilumos kiekį, pati atlieka darbą ir tuo pačiu keičia savo vidinę energiją: Todėl kita pirmo termodinamikos dėsnio formuluotė yra: termodinaminės sistemos gautas šilumos kiekis yra lygus sistemos vidinės energijos pokyčio ir sistemos atlikto darbo, išorinių kūnų atžvilgiu sumai.

QAW +=∆ '

QAU +=∆ '

UAQ ∆+=

Pirmasis termodinamikos dėsnis.

Kai sistemai suteikiamas elementarus šilumos kiekis δQ, pirmas termodinamikos dėsnis jai užrašomas: Kai sistema atlieka tik plėtimosi darbą δA=pdV, tuomet: Vienam moliui medžiagos:

AdUQ δδ +=

pdVdUQ +=δ

mm pdVdUQ +=δ

Dujų savitoji ir molinė savitoji šiluma

Suteikiant m masės kūnui šilumos δQ kiekį, jo temperatūra pakyla dT laipsnių. Šilumine talpa vadiname dydį, kurio skaitinė vertė lygi šilumos kiekiui, kurį kūnui gavus arba kurio netekus, temperatūra pakinta vienu laipsniu.

dTQCk

δ=

Šilumine talpa priklauso nuo: 1. Kūno masės, 2. Cheminės sudėties, 3. Termodinaminės būsenos, 4. Šilumos suteikimo proceso pobūdžio.

Kad atskirti šiluminės talpos vertę nuo medžiagos kiekio, įvedamos tokios dvi šiluminės talpos charakteristikos:

Molinė šiluma – šilumos kiekis, reikalingas vieno molio medžiagos temperatūrą pakeisti 1 laipsniu

dTQC

νδ

=Mm

=νčia: - molių skaičius. Matuojama:

Savitoji šiluma – šilumos kiekis, reikalingas vieno kilogramo medžiagos masės temperatūrą pakeisti 1 laipsniu.

mdTQc δ

=

KmolJ ⋅/

Matuojama: KkgJ ⋅/

Šilumos suteikimo procesai.

Termodinamikoje skiriami trys šilumos suteikimo ar perdavimo procesai, priklausomai kuris termodinaminis parametras išlieka pastovus. Tai: 1. Izoterminis procesas – vykstantis nekintant temperatūrai dT=0, 2. Izochorinis procesas – vykstantis nekintant tūriui dV=0, 3. Izobarinis procesas – vykstantis nekintant slėgiui dp=0. Ir atskiras – adiabatinis procesas, kuris vyksta termodinaminei sistemai neatliekant šilumos mainų su aplinka δQ=0.

Šilumos suteikimo procesai – izoterminis procesas.

Vykstant izoterminiam procesui, temperatūra sistemoje nekinta, t.y. dT=0. Todėl kūno izoterminė šiluminė talpa yra begalinė.

., constTkaidTQC

TT =

=νδ

Šilumos suteikimo procesai – izochorinis procesas.

Vykstant izochoriniam procesui, t.y. nekintant tūriui, mechaninis darbas neatliekamas, todėl, pritaikę pirmą termodinamikos dėsnį, kai δΑ=0.

., constVkaidTQC

VV =

=νδ

mdUAQ += δδ mdUQ =δ

Tada:

V

m

VV dT

UdTQC

=

=

νδ

νδ

Vykstant izochoriniam procesui, sistemai suteiktas šilumos kiekis lygus jos vidinės energijos padidėjimui.

Įstatę vieno molio idealių dujų vidinės energijos išraišką gauname: RTiUm 2=

RiRTidTd

dTQC

VV 22

=

=

=νδ

Šilumos suteikimo procesai – izochorinis procesas.

Pasinaudoję idealiųjų dujų vidinės energijos išraiška, galime perrašyt:

RiCV 2=

RTiUm 2=

TCU Vm = o pokyčiui: dTCdU Vm =

Tada pirmas termodinamikos dėsnis išreiškiamas:

mV pdVdTCQ +=δ

mm pdVdUQ +=δ

Šilumos suteikimo procesai – izobarinis procesas.

Įstatę į šią išraišką mūsų gautą pirmo termodinamikos dėsnį: Gauname:

., constpkaidTQC

pp =

=νδ

Pritaikę idealiūjų dujų būsenos lygtį vienam moliui:

mV pdVdTCQ +=δ

p

mV

pp dT

VpCdTQC

+=

=

δνδ RTpV =

Ir laikydami slėgį pastoviu, gauname:

RdTVp

p

m =

δ

Įstatę šią išraišką, gauname: arba: RCC Vp += RCC Vp =−

RCC Vp =− vadinama Majerio lygtimi.

Šilumos suteikimo procesai – izobarinis procesas.

Remiantis ir gauname: Idealiųjų dujų izobarinė molinė šiluma yra didesnė už izochorinę molinę šilumą konstantos R dydžiu. Iš to yra nusakoma universaliosios dujų konstantos fizikinė prasmė: izobariškai pakėlus idealiųjų dujų temperatūrą vienu laipsniu, šilumos kiekis yra sunaudojamas vidinei sistemos energijai padidinti dydžiu CV ir atlikti dujų plėtimosi darbą, skaitine verte lygų dydžiui R. Idealiųjų dujų molinių šilumų santykis yra išreiškiamas: Matosi, kad dujų molinės šilumos priklauso tik nuo molekulių laisvės laipsnių skaičiaus, kas apibūdina jų sudėtingumą ir nepriklauso nuo temperatūros.

RiRRiCp 22

2+

=+=RCC Vp =−RiCV 2=

ii

CC

V

p 2+==γ

Pirmojo termodinamikos dėsnio taikymas izoprocesams.

Izobarinis procesas. Kad gauti izobarinio proceso termodinaminės funkcijos lygtį, pasinaudosime pirmojo termodinamikos dėsnio išraiška: Suintegravę šią išraišką gauname pilnos šilumos poveikį sistemai: Kuri yra lygi vidinei energijai didinti ir plėtimosi darbui atlikti. Užbrūkšniuotas plota yra lygus sistemos atliktam darbui.

mV pdVdTCQ +=δ

)()( 1212 mmV VVpTTCQ −+−=


Izochorinis procesas. Izochorinio proceso metu darbas neatliekamas, todėl suintegravę pirmojo termodinamikos dėsnio išraišką: kai: Tada baigtinio energijos pokyčio išraiška: Taigi vykstant izochoriniam procesui, vidinės energijos pokytis lygus suteiktam šilumos kiekiui

mV pdVdTCQ +=δ

)( 1212 TTCUUQ Vmm −=−=

0=mdV dTCdUQ Vm ==δ


Izoterminis procesas. Izoterminio proceso metu termodinaminės sistemos vidinė energija nekinta, todėl pirmasis termodinamikos dėsnis užrašomas taip: Pasinaudoję idealiųjų dujų būsenos lygtimi vienam moliui: gauname:

mpdVAQ == δδ

RTpV =

m

mm V

dVRTpdVAQ === δδ Šios išraiškos integralas nuo būsenos 1 iki 2 yra:

2

1

1

22

1

lnlnppRT

VVRT

VdVRTAQ

m

m

m

m ==== ∫

Pirmas termodinamikos dėsnis izoterminiam procesui teigia, kad visas idealiosioms dujoms suteikiamas šilumos kiekis suvartojamos jų plėtimosi darbui.

Iš šios lygties matome, kad idealiosios dujos adiabatiškai besiplėsdamos (dVm>0) atšąla (dT<0), o adiabatiškai slegiamos (dVm<0), įšyla (dT<0). Įrašę Majerio lygtį į idealiųjų dujų busenos lygtį vienam moliui: Gauname: šią lygtį įstatę į I t.d. Adiabatiniam procesui ir padalinę iš sandaugos CVT. Gauname adiabatinio proceso diferencialinę lygtį:

Adiabatinis procesas

Adiabatinio proceso metu termodinaminėje sistemoje vyksta procesai be šilumos mainų su aplinka. Todėl: tada pirmas termodinamikos dėsnis užrašomas: 0=Qδ

RTpVm =

0=+ mV pdVdTC

RCC Vp =−

m

Vp

VCCT

p)( −

=

0)1( =−+m

m

VdV

TdT γ čia dydis: suintegravę, gauname:

V

p

CC

=γ

.1 constTVm =−γ Vadinamą adiabatės arba Puasono lygtį.

Adiabatinis procesas

Pritaikę idealiųjų dujų būsenos lygtį galime gauti kito pavidalo Puasono lygtis: RTpVm =

.1 constTVm =−γ - Puasono lygtis.

.constpVm =γ ir

.1 constTp =−γ

Adiabatės kreivė statesnė dėl to, kad slegiant dujas izotermiškai, jų slėgis didėja dėl to, kad didėja jų tankis. Adiabatinio suslėgimo metu, slėgiui didėjant, didėja ne tik dujų tankis, bet ir temperatūra. Adiabatiškai plečiantis dujoms, dėl to, kad sumažėja temperatūra, slėgis nukrinta daugiau negu joms plečiantis izotermiškai.

Cikliniai procesai. Šiluminė mašina

Cikliniu procesu (ciklu) vadinamas procesas ar procesų visuma, po kurios sistema grįžta į pradinę padėtį. Termodinaminiu ciklu vadiname procesą, kuriam įvykus, termodinaminė sistema grįžta į pradinę būseną, apibūdinamą termodinaminiais parametrais (p,V,T). Termodinaminio ciklo principu veikia šiluminės ir šaldymo mašinos. Termodinamini ciklą sudaro bent du termodinaminiai procesai, kurių vienas susietas su dujų plėtimusi, kitas – su jų suspaudimu arba susispaudimu.


Šilumine mašina vadiname periodiškai veikiančią mašiną, atliekančią darbą, suteikiant jai šilumą iš išorės. Šiluminė mašina susideda iš darbinės medžiagos, šildytuvo ir šaldytuvo, kuris gali būti ir aplinka.


Darbinė medžiaga, gavusi iš šildytuvo šilumos kiekį Q1, plėsis. Didėjant tūriui ir slėgiui, ji atliks darbą A1, lygų plotui 1a2V2V11. Pagal I termodinamikos dėsnį gauname: Tam, kad galima grąžinti darbinę medžiagą į pradinę būseną, ji turi atiduoti šilumos kiekį Q2 šaldytuvui ir buti suslegiama. Susispausdama ji atliks neigiamą darbą A2, lygų plotui 2b1V1V22. Pagal I termodinamikos dėsnį gauname: Sudėję plėtimosi ir traukimosi procesams termodinamikos lygtis gausime viso proceso lygtį:

1121 AUUQ +−=

2212 AUUQ +−=−

AAAQQ =−=− 2121

V1 V2


Gautos ir atiduotos šilumų skirtumas yra lygus atliktam naudingam darbui: Todėl, kuo didesnį šilumos kiekį mašina pavers darbu, tuo naudingesne bus mašina. Šiluminės mašinos efektyvumą nusako ciklo naudingumo koeficientas, kuris parodo, kuri gauto šilumos kiekio dalis virto naudingu darbu: Toks ciklas, vykstantis pV diagramoje pagal laikrodžio rodyklę, kai atliekamas teigiamas darbas, vadinamas tiesioginiu.

AAAQQ =−=− 2121

V1 V2

11

21

1

<−

==Q

QQQAη

Cikliniai procesai. Šaldymo mašina

Šaldymo mašinoje darbo medžiaga ima šilumą iš šaldytuvo, plečiasi ir atlieka darbą A1. Išorės jėgoms suslegiant darbinę medžiagą, ji atlieka neigiamą darbą A2 ir perduoda šilumos kiekį šildytuvui. Šaldymo mašinoje ciklas vyksta prieš laikrodžio rodyklę, o atliktas darbas yra neigiamas A < 0. Toks ciklas vadinamas atvirkštiniu. Šaldymo mašina apibudinama šaldymo koeficientu ε, parodančiu, kiek kartų paimtas šilumos kiekis Q2 didesnis už išorės jėgų atliktą darbą A=A1-A2:

ηηε −

==12

AQ

Karno ciklas ir jo naudingumo koeficientas

Konstruojant šiluminius variklius visada dedamos pastangos, kad jų naudingumo Koeficientas būtų kuo didesnis. Prancūzų inžinierius S. Karno 1824 metais įrodė, kad idealios (kurioje nėra trinties) šiluminės mašinos naudingumo koeficientas bus didžiausias, jei ji dirbs atitinkama tvarka, t.y. etapais, kurių seka sudaro vadinamą Karno ciklą. Karno ciklą sudaro du izoterminiai ir du adiabatiniai procesai.


Karno ciklą sudaro du izoterminiai ir du adiabatiniai procesai. Duju izoterminio plėtimosi (T1 = const) metu sistema gauna šilumos kieįi Q1 ir besiplėsdama atlieka darbą: Atjungus šildytuvą, dujos plečiasi adiabatiškai ir atlieka darbą: Šio proceso baigimosi temperatūra T2 lygi temperaturai aušintuvo, prie kurio ir prijungiamas cilindras su dujomis. Del sukamo veleno inertiškumo, dujos izotermiškai suslegiamos iki 4-os būsenos. Tam reikalingas darbas: lygus aušintuvui atiduotam šilumos kiekiui. Ciklas baigiamas adiabatiniu dujų suslėgimu, atjungus aušintuvą, iki pradinės busenos. Šio proceso darbas: Per ciklą atliktas darbas lygus procesų metu atliktų darbų sumai: Geometriškai jis lygus kilpos plotui.

2141342312 QQAAAAA −=−−+=


Ciklo naudingumo koeficientas: Pritaikę Puasono lygtį adiabatėms 2-3 ir 4-1 gauname: Todėl: Išvada: idealiuoju Karno ciklu veikiančio šiluminio variklio naudingumo koeficientas priklauso tik nuo šildytuvo ir aušintuvo temperatūrų T1 ir T2. Norint didinti naudingumo koeficientą, reikia didinti temperatūrų skirtumą, tačiau realiojo šiluminio variklio η riboja aplinkos temperatūra ir paties variklio medžiagų lydymosi temperatūra.

1

21

4

32

1

21

1

21

ln

lnln

m

m

m

m

m

m

VVRT

VVRT

VVRT

QQQ

−=

−=η

.1 constTVm =−γ

4

3

1

2

m

m

m

m

VV

VV

=

1

2

1

21 1TT

TTT

−=−

=η


Atvirkštiniu Karno ciklu veikiančios šaldymo mašinos šaldymo koeficientas: taip pat priklauso tik nuo šalto ir šilto kūnų temperatūrų, tačiau yra atvirkščiai proporcingas jų skirtumui:


S. Karno suformulavo jo vardu vadinamas teoremas. Pirmoji teorema teigia, kad idealiosios grižtamojo Karno ciklo šiluminės mašinos naudingumo koeficientas priklauso tik nuo kaitintuvo ir aušintuvo temperatūrų ir nepriklauso nuo jos konstrukcijos bei darbo medžiagos prigimties. Antroji teorema teigia, kad bet kokios grižtamojo ciklo šiluminės mašinos naudingumo koeficientas η’ visada mažesnis už tokiomis pat sąlygomis veikiančios Karno ciklo šiluminės mašinos naudingumo koeficientą η.

ηη ′>


Realioje šiluminėje mašinoje neišvengiama trinties, šilumos laidumo, spinduliavimo ir kitų reiškinių, dėl kurių termodinaminiai procesai pasidaro negrįžtamieji. Jiems sunaudojama iš šildytuvo gauta energija. Todėl realios šiluminės mašinos, dirbančios tame pačiame temperatūrų intervale, kaip ir idealioji Karno mašina, terminis naudingumo koeficientas ηr yra mažesnis, nei pastarosios. Todėl:

1

21

1

21

TTT

QQQ

r−

<−

=η

Grižtamieji ir negrižtamieji procesai. Entropija

Termodinaminis ciklas vadinamas grįžtamuoju, jeigu įvykus tiesioginiam, o po to tokiam pat atvirštiniam ciklui, į pradinę buseną grįžta ir sistema, ir išoriniai kūnai, su kuriais sistema sąveikavo. Bet kuris pusiausvyrasis procesas yra grįžtamasis. Visi realūs procesai pasižymi didesniais ar mažesniais energijos nuostoliais (dėl trinties, šiluminio laidumo ar kt.). Todel jie yra negrįžtamieji. Šilumos apykaitos procesai, esant baigtiniam temperatūrų skirtumui, taip pat yra negrįžtamieji.


Remdamiesi nelygybe: ir ją pertvarkę: Gauto šilumos kiekio ir šilumos šaltinio temperatūros santykis vadinamas redukuotuoju šilumos kiekiu Q*. Grįžtamojo Karno ciklo redukuotų šilumos kiekių suma lygi nuliui: o bet kurio realiojo, negrįžtamojo, ciklo – mažesnė už nulį, neigiama. R. Klauzijus 19 amž. įrodė, kad grįžtamojo ciklinio termodinaminio proceso, sudaryto iš elementariųjų procesų, redukuotų šilumos kiekių suma lygi nuliui: Kai procesas negrįžtamas, ta suma neigiama: Būsenos funkcija, kurios diferencialas yra , vadinamas sistemos entropija S. O jos elementarusis pokytis lygus elementariąjam redukuotąjam šilumos kiekiui. Entropijos pokytis, sistemai grįžtamai perėjus iš 1 busenos i 2, lygus:

1

21

1

21

TTT

QQQ

r−

≤−

=η 02

2

1

1 ≤−TQ

TQ

02

2

1

1 =−TQ

TQ


Entropijos pokyčio ženklas sutampa su gauto šilumos kiekio ženklu: Kai termodinaminė sistema gauna šilumos kiekį (dQ>0), jos entropija didėja (dS>O), o kai atiduoda (dQ<0), - mažėja. Todėl iš entropijos pokyčio galima spręsti, kuria kryptimi vyksta šilumos mainai. Kai sistema izoliuota, t.y. kai nėra energijos mainų su aplinka (dQ=0), tai joje vykstantys procesai yra adiabatiniai. Todėl entropijos pokytis: T.y. grįžtamojo proceso izoliuotoje sistemoje entropija nekinta, o negrįžtamojo proceso izoliuotoje sistemoje entropija didėja. Entropijos pokytis yra izoliuotoje sistemoje vykstančių procesų negrįžtamumo kiekybinė charakteristika. Entropiją galima apibudinti dar ir taip: entropija yra sistemos netvarkos matas.

Entropija. II ir III termodinamikos dėsniai

Apjungus šias išvadas izoliuotai sistemai, gaunama matematinė II termodinamikos dėsnio išraiška: Izoliuotose sistemose vyksta savaiminiai, t.y. negrįžtamieji procesai. Todėl šių sistemų entropija didėja, didėja iki savo maksimalios vertės, kuri būdinga sistemos pusiausvyrajai būsenai. II t.d. – izoliuotų sistemų entropija nemažėja. II t.d. gali būti formuluojamas ir kitaip: negalimas toks procesas, kurio vienintelis rezultatas – energijos perdavimas šilumos pavidalu iš šaltesniojo kūno šiltesniąjam. Ši izoliuotų sistemų savybė parodo, kad termodinaminiai procesai, vykstantys gamtoje turi kryptį, kuri sutampa su entropijos didėjimo kryptimi. Entropija gali ir nedidėti, bet tam reikalingas nesavaiminis procesas, reikalaujantis papildomo darbo. Gyvybė šiuo požiūriu – entropiją mažinanti termodinaminė sistema. Entropija gali būti lygi nuliui, bet tik ties 0 K temperatūra – tai III termodinamikos dėsnis.

Pernešimo reiškiniai

Pernešimo reiškiniais vadiname nepusiausvyrose sistemose vykstančius atitinkamo fizikinio dydžio pernešimu iš vieno erdvės taško į kitą. Pernešami fizikiniai dydžiai gali būti įvairūs: masė, medžiagos kiekis, energija, judesio kiekis ar kt.

Visi pernešimo reiškiniai yra nepusiausvyrieji, vadinasi negrįžtamieji. Todėl vykstant pernešimo reiškiniams sistema pereidinėja į didesnės pusiausvyros būseną, t.y. jos entropija S siekia padidėti iki maksimumo. Aprašant pernešimo reiškinius naudojami suvidurkinti makroskopiniai dydžiai – medžiagos tankis, temperatūra, komponenčių koncentracija ir t.t. Nors juos galima aprašyti ir mikroskopiškai. Bendruoju atveju šiuose reiškiniuose nagrinėjamas atitinkamo dydžio pasiskirstymas erdvėje ir to dydžio kitimas erdvėje ir laike.

Tokių makroskopinių dydžių pasiskirstymą erdvėje apibūdiname jų gradientais, kuris nusako to dydžio netolygumą erdvėje.

Pernešimo reiškiniai

Pernešimo reiškinį kiekybiškai apibūdiname pernešamojo dydžio kinetiniu srautu. Fizikinio dydžio kinetiniu srautu, praeinančiu pro bet kokį įsivaizduojamą paviršių, vadiname dydį, skaitine verte lygų pro tą paviršių perneštam per laiko vienetą fizikinio dydžio vienetui. Fizikinis dydis visuomet pernešamas priešinga jo gradientui kryptimi, todėl kinetinį srautą laikome neigiamu. Taigi visiems pernešimo reiškiniams būdinga tai, kad termodinaminėje sistemoje yra vieno ar kito fizikinio dydžio gradientas, dėl kurio susidaro tam tikro dydžio kinetinis srautas. Kinetinis srautas gali susidaryti dėl fizikinio dydžio netolygaus pasiskirstymo erdvėje (molekulių koncentracijos, temperatūros gradiento) arba dėl išorinių jėgų poveikio.

Pernešimo reiškiniai - difuzija

Medžiagos sklidimas dėl jos dalelių chaotiškojo judėjimo vadinamas difuzija. Kai molekulės difunduoja skirtingas medžiagas, vyksta koncentracinė molekulinė difuzija.


Paimkime dvikomponentį dujų ar skysčių mišinį, kuris yra tik susilietes ir kuriame vienos komponentės koncentracija n yra labai maža, lyginant su antrosios komponentės koncentracija. Pirmąją komponentę pavadinkime priedine, o antrąją – pagrindine. Tarkime priedinės komponentės koncentracija n, o kartu ir jos dalinis tankis r, didėja išilgai x ašies. Išvestinės , kurios apibūdina jų erdvinio kitimo spartą, yra šių dydžių gradientai. Tokia būsena yra nepusiausvyroji, todėl susidaro priedinės komponentės molekulių srautas, nukreiptas dalinio tankio mažėjimo kryptimi. Jis vadinamas difuziniu srautu.

dxd

dxdn ρ,


Per laiko tarpą dt pro įsivaizduojamo paviršiaus plotą dS ašies Ox neigiama kryptimi perneštą šios komponentės masę pažymėkime dm. Tuomet masės difuzinį srautą nusako empirinis Fiko dėsnis: masės difuzinis srautas, praeinantis pro įsivaizduojamo paviršiaus plotą dS, tiesiogiai proporcingas šio ploto ir dalinio tankio gradiento sandaugai: jei plotas 1 m2 ir srautas jame tolygus tai : Joje esantis proporcingumo koeficientas D vadinamas difuzijos koeficientu, kuris priklauso nuo medžiagos tipo, temperatūros ir agregatinės būsenos.

Minuso ženklas įrašytas todėl, kad priedinės komponentės masė pernešama vektoriui grad ρ priešinga kryptimi.

Difuzija vyksta iki tol, kol egzistuoja priedinės komponentės molekulių koncentracijos gradientas.

dtdmd m =Φ

dSdxdDd m

ρ−=Φ

dxdnDm −=


Sparčiausiai difuzija vyksta dujose, lėčiausiai – kietuosiuose kūnuose. Ji vyksta ir gyvojoje gamtoje. Augalui reikalingos medžiagos šaknimis kyla aukštyn, o nereikalingų ar žalingų medžiagų koncentracijos šaknies paviršiuje ir jos išorėje beveik vienodos ir todėl jų difuzijos srautas per šaknies sienelę artimas nuliui. Analogiškai ištirpusios maisto medžiagos per žarnų sieneles difunduoja į kraują. Difuzijos būdu atskiriami skirtingų medžiagų atomai. Šio proceso metu sudaromas temperatūros gradientas, kurio metu sunkesni atomai difunduoja mažesnės temperatūros link – vadinama termodifuzija. Difuziniais procesais gerinamos metalų ir jų lydinių mechaninės ir cheminės savybės.

Difuzijos gali ne tik neutralios medžiagos dalelės, bet ir krūvininkai. Pavyzdžiui, priemaišiniu puslaidininkių pn sandūros skirtingose pusėse yra skirtinga, laisvųjų elektronų difuzinis srautas link p tipo puslaidininkio, o skylių – priešinga kryptimi.

Pernešimo reiškiniai – dujų klampa

Kūnai, judėdami erdvėje, kurioje yra dujos, panašiai, kaip ir skysčiai, patiria vidinę trintį arba klampą. Ši klampa atsiranda dėl gretimų sluoksnių skirtingų greičių vidinės trinties jėgos F. Ši, lygiagrečiai sluoksniams veikianti jėga, greitesnįjį sluoksnį stabdo, o lėtesnį greitina. Kaip ir skysčiams, ji išreiškiama: Dydis – yra dujų dinaminės klampos koeficientas, priklausantis nuo: 1. Esant slėgiams artimiems atmosferiniam nuo temperatūros T~<v>, 2. Esant slėgiams artimiems vakuumui – nuo slėgio p~r<l>. - dujų sluoksnių tekėjimo greičio modulis.

dSdxudFd

η=

dxud

vlρη31

=

Pernešimo reiškiniai – dujų klampa

Nežiūrint to, kad skysčiams ir dujoms klampos jėgos dėsnis yra vienodas, jo prigimtis skirtinga. Kadangi molekulės dujose juda chaotiškai ir tarkim laisvai, tai jose sąveikauja ne sluoksniai, kaip skysčiuose, bet pačių molekulių perėjimas iš vieno sluoksnio į kitą. Kadangi molekulės iš vieno sluoksnio į kitą pereina, turėdamos didesnį ar mažesnį judesio kiekį nei sluoksnis, tai vyksta vadinama judesio kiekio pernaša arba judesio kiekio srautas, kuris yra statmenas sluoksnių judėjimo krypčiai. Kūnas judėdamas dujose suteikia molekulėms, su kuriomis jis liečiasi judesio kiekį, kurio vektorius turi dvi komponentes – išilginę ir statmeną kūno judėjimo greičio vektoriui. Dėl to molekulės pereidinėja iš su didesniu greičiu judančių sluoksnių į mažesniu greičiu judančius sluoksnius ir juos greitina ir atvirkščiai.

Pernešimo reiškiniai – šilumos laidumas

Savaiminis ir negrįžtamasis šilumos kiekio pernešimas iš vieno kūno į kitą arba tame pačiame kūne iš vienos vietyos į kitą vadinamas šilumos mainais. Yra trys šilumos mainų būdai: konvekcinis, spinduliavimo ir laidumo. Šiluminio laidumo reiškinio esmė – nuolat susidurdamos dujų molekulės perduoda savo kinetinę energiją ir todėl “karštos” lėtėja, o šaltos “greitėja”. Tokiam šilumos pernešimui šilumos pavidalu galioja J. Furjė šilumos laidumo dėsnis: Per laiko vienetą pro temperatūros gradiento krypčiai statmeno įsivaizduojamo paviršiaus plotą dS pernešama šiluminio judėjimo energija (energijos srautas) yra tiesiogiai proporcinga temperatūros gradiento ir ploto sandaugai. trumpiau: šilumos srauto tankis proporcingas temperatūros gradientui, t.y. jei plotas 1 m2 ir srautas jame tolygus tai :

dSdxdTd Q λ−=Φ

dxdTQ λ−=

Pernešimo reiškiniai – šilumos laidumas

Molekulinė kinetinė dujų teorija įrodo, kad šiluminio judėjimo energijos srautas yra lygus: palyginę jį su: gauname šilumos laidumo koeficiento reikšmę: Kuri priklauso: 1. Esant slėgiams artimiems atmosferiniam tik nuo temperatūros T~<v>, 2. Esant mažiems slėgiams (vakuumo būsenai) nuo slėgio arba ρ<l> sandaugos, 3. Taip pat nuo dujų tipo cv. Taikant antrą priklausomybę šiluminio laidumo valdymas naudojamas stiklo paketuose, termosuose, Diuaro induose ir kt. Šių indų sienelės yra dvigubos. Tarp jų oras yra labai išretintas, todėl tokio indo šilumos laidumas yra labai mažas.

dSdxdTd Q λ−=ΦdS

dxdTvlcd vQ ρ

31

−=Φ

vlcvρλ31

=

Realiosios dujos

Nagrinėdami dujų elgseną molekulinės kinetinės teorijos požiūriu, dujas laikėme idealiosiomis, t.y. nepaisėme sąveikos tarp jų. Iš tikro toks aprašymas yra supaprastinto ar priartėjimo požiūrio darinys. Realios dujos be prieš tai aprašytų jų molekulių dinaminių-chaotiškų savybių, pasižymi ir sąveika tarpusavyje. Šios sąveikos dėka kinta dujų molekulių potencinė energija ir energijos apsikeitimų mechanizmai, dėl ko atsiranda nukrypimai nuo idealiųjų dujų dėsnių, tiriant realias dujas. Šios sąveikos rūšys yra elektromagnetinės ir kvantinės prigimties.

Realiosios dujos

Molekulių sąveikos sferos spindulys, t.y. atstumas kuriame pasireiškia sąveika yra

eilės dydis. Sąveikos jėgos yra traukos, kai molekulių tarpusavio atstumas: ir stūmos, kai tas atstumas: Abi jėgos yra vienalaikės, todėl jų atstojamoji: Kai atstumas yra , atstojamosios jėgos modulis . Ši pusiausviroji būsena yra trumpalaikė, nes molekulių šiluminis judėjimas ją suardo.

0rr >

0rr <

mr 910~ −

0rr =

Realiosios dujos

Molekulių sąveikos traukos jėgos vadinamos van der Valso jėgomis. Jos yra elektromagnetinės prigimties ir skirstomos į tris tipus. 1. Orientacinės, 2. Indukcinės, 3. Dispersinės.

Realiosios dujos – orientacinės jėgos

Orientacinės jėgos būdingos polinėms molekulėms, kurių teigiamų ir neigiamų krūvių centrai nesutampa. Tokios molekulės yra elektriniai dipoliai – arti vienas kito esančių vienodo didumo, bet priešingo ženklo krūvių sistemos. Suartėdamos jos taip pasisuka, kad greta būtų priešingo ženklo krūviai. Šioje padėtyje molekulių atstojamoji traukos jėga didesnė už jų atstojamąją stūmos jėgą. Šios traukos jėgos modulis: čia: – dipolio elektrinio momento modulis, r – atstumas tarp molekulių centrų, T – būsenos temperatūra.

Realiosios dujos – indukcinės jėgos

Indukcinės jėgos atsiranda, kai nepolinę molekulę veikia elektrinio dipolio sukurtas elektrinis laukas. Dėl to molekulių „+“ ir „– “ krūvių „centrai“ pasislenka, molekulė tampa dipoliu ir atsiranda dipolinis momentas. Abiejų dipolių indukcinės traukos jėgos modulis: čia α – molekulės poliarizuojamumas.

Realiosios dujos – indukcinės jėgos

Dispersinės traukos jėgos būdingos visoms molekulėms, kaip „momentiniams“ elektriniams dipoliams, atsirandantiems dėl elektronų svyravimų molekulėse. Gretimų molekulių elektronų svyravimų fazės sutampa. Dėl to molekulės orientuojasi priešingų ženklų krūviais ir traukia viena kitą. Dispersinės jėgos modulis:

Skysčių mechanika – hidrostatikos ir hidrodinamikos elementai

Skysčio judėjimo ir mechaninio poveikio charakteristikos: 1) Skysčio tūris, masė ir tankis. 2) Skysčio mechaninio poveikio matas – slėgis. 3) Skysčio tekėjimą nusako greičio vektorių laukas. 4) Skysčio pernešimas – masės srautas. 5) Skysčio energija - kinetinė ir potencinė. 6) Skysčio klampa – dinaminis klampos koeficientas. 7) Skysčio paviršiaus įtempimas.

Skysčių mechanika arba hidromechanika nagrinėja skysčių judėjimo dėsningumus. Skysčio, kaip mechaninio objekto, savybės: 1) Skysčiai turi tik apibrėžtą tūrį, tačiau neturi apibrėžtos formos. 2) Skysčiai kaip ir kietieji kūnai turi masę. 3) Skysčiai veikiami išorinio poveikio pasižymi slėgiu. 3) Skystis teka. 4) Realūs skysčiai pasižymi vidine trintimi, vadinama klampa. 5) Skysčiams būdingas laisvasis paviršius. 6) Skysčių judėjimas ir mechaninis poveikis pasižymi statiniais ir dinaminiais dėsningumais.

Skysčių mechanika

Viena iš svarbiausių skysčio savybių – slėgti sienelės paviršių. Jėga, veikdama skystį, dėl jo takumo persiskirsto per visą skysčio paviršiaus veikiamą plotą. Šio poveikio kiekybinė charakteristika vadinama slėgiu. Slėgis – jėga veikianti paviršiaus ploto vienetą statmena kryptimi. daleiskim: , iš čia , o jeigu jėga per visą plotą pasiskirsto tolygiai, tai: iš čia slėgio matavimo vienetas: Slėgis yra skaliarinis dydis. Kai skysčiai slegiami išorine jėga, tai ji į visus skysčio taškus perduodama vienodai. Slėgio nepriklausomumas nuo veikiančios jėgos krypties išreiškiamas Paskalio dėsniu, kuris teigia, kad nejudančio skysčio kiekviename jo taške slėgis visomis kryptimis yra vienodas.

Skysčio dinaminis parametras - slėgis

,dSdFp = ,pdSdF = ,∫=

S

pdSF

,pSpdSFS

== ∫ ,SFp =

222

1111

mskgm

mNPa ==

Skysčių mechanika

Skysčio paviršiaus įtempis.

Skysčio viduje esančias molekules veikia jėgos iš visų pusių, todėl jos kompensuoja viena kitą. Skysčio paviršiuje esančias molekules veikia nekompensuotos sąveikos jėgos. Jos yra nukreiptos į skysčio vidų ir paviršiaus liestinės kryptimi siekdamos sumažinti paviršiaus plotą. Šios jėgos vadinamos paviršinės įtempties jėgomis. Dėl nekompensuotų jėgų (potencialinių jėgų) veikimo paviršinės molekulės turi padidintą potencinės energijos kiekį.

Skysčių mechanika

Menisko susidarymas

Priklausomai su kokiu kitu paviršiumi liečiasi skystis, galimi to susilietimo skirtingi variantai. Dėl vidinių tarpmolekulinių sąveikos jėgų skirtingų paviršių sąveikos energija gali būti teigiama, neigiama arba lygi nuliui. Tai lemia reiškinį, vadinamą drėkinimu. Jis vyksta, kai sąveikos energija yra teigiama. Priklausomai nuo energijos ženklo skiriamos hidrofilinė ir hidrofobinė sąveika. Abiem atvejais paviršius susilietimo riboje yra iškreivinamas – šis iškreivinimas vadinamas menisku.

Skysčių mechanika

Kapiliariniai reiškiniai

Paviršiaus laisvoji energija visada siekia minimizuotis. T.y. sumažinti iki minimumo plotą. Paviršiaus iškreivinimas sukelia papildomą slėgį, kurio ženklas priklauso nuo drėkinimo ar nedrėkinimo. Paviršinis papildomas slėgis išreiškiamas Laplaso lygtimi:

+=∆

21

11RR

p α

Jeigu skystis kapiliare pakyla iki aukščio h, o nusileidžia. Kadangi kylant skysčiui susidaro hidrostatinis slėgis, nukreiptas priešinga kryptimi. Jis sustos, kai nusistovės pusiausvyra:

0>∆p 0<∆p

Rgh αρ 2

= tada pakilimo aukštis bus lygus: gR

hρ

α2=

Temos: 1. Elektrostatinis laukas vakuume 2. Elektrostatinis laukas dielektrike 3. Laidininkai elektrostatiniame lauke 4. Nuolatinė elektros srovė 5. Magnetinis laukas vakuume 6. Elektromagnetinė indukcija 7. Magnetinis laukas medžiagoje

Elektromagnetizmo teorija

Elektringosios dalelės (protonai ir elektronai) pasižymi savybe veikti viena kitą jėga, žymiai stipresne nei gravitacijos jėga. Ši jėga vadinama elektrine jėga. Norint išreikšti šios sąveikos jėgos dydį kiekybiškai, dalelei priskiriamas tam tikras dydis, vadinamas elektros krūviu. Elektros krūvis yra dalelių ar kūnų abipusės elektromagnetinės sąveikos intensyvumo matas. Elektros krūvis nėra materijos rūšis, o jos savybė. Kai kurios dalelės krūvio neturi. Elektros krūviai gali būti teigiami arba neigiami. Vienodo ženklo krūviai stumia vienas kitą, skirtingų traukia. Elektros krūviams galioja adityvumo principas: kūno elektros krūvis yra lygus jį sudarančių elektringų dalelių krūvių algebrinei sumai. Krūvis SI sistemoje matuojamas kulonais (C).

Elektrostatinis laukas vakuume – elektros krūvis

391027.2/ ⋅=gFF

1913 m. R. Milikanas ir A. Jofė įrodė, kad: Kiekvieno makroskopinio kūno elektros krūvis yra tam tikro krūvio kartotinis. Mažiausias (nedalomas) krūvis, vadinamas elementariuoju krūviu. Jo modulis yra: Nustatyta, kad elektros krūvių yra dviejų rūšių – teigiami ir neigiami. Pagal susitarimą elektrono krūvis yra neigiamas, protono teigiamas. Jų moduliai yra lygus. Bet kokio įelektrinto kūno krūvis yra lygus: N – elektronų perteklius arba stygius kūne (sveikas skaičius).

Elektrostatinis laukas vakuume – krūvio kvantavimas

Ce 19106,1 −⋅=

Neq =

Elementariųjų elektringųjų dalelių krūvis yra neatskiriama ir nekintama jų savybė. 1747 m. B. Franklinas atrado fundamentalų gamtos dėsnį: Elektros krūvio tvermės dėsnį – kad ir kokie procesai vyktų elektriškai izoliuotoje sistemoje, jos krūvių algebrinė suma, laikui bėgant nekinta. Vykstant elementariųjų dalelių virsmams, atomų ar molekulių jonizacijai, gali kisti dalelių skaičius arba jų padėtis. Tačiau bendras elektros krūvis nekinta. Elektros krūvio dydis ir ženklas nepriklauso nuo atskaitos sistemos judėjimo, iš kurios jis yra fiksuojamas. T.y. krūvio invariantiškumo savybė.

Elektrostatinis laukas vakuume – krūvio tvermės dėsnis

Elektros krūvis gali būti pasiskirstęs linijoje (siūle, ploname laidininke), kūno paviršiuje ar tūryje. Tolydinis krūvio pasiskirstymas apibūdinamas krūvio tankiu. Krūvio ilginis tankis: Kai krūvis tolygiai pasiskirstęs ploname ℓ ilgio tiesiame laide, jo ilginis tankis: Krūvio paviršinis tankis: Kūno tūrinis tankis:

Krūvio tankis: ilginis, paviršinis, tūrinis

Norint apibūdinti krūvių sąveikos dėsningumą, neatsižvelgiant į kūnų formą ir matmenis, įvedama taškinio krūvio sąvoka. Taškinis krūvis – įelektrintas kūnas, kurio matmenys labai maži, lyginant su atstumu iki kitų įelektrintų kūnų. Taškiniai krūviai veikia vienas kitą elektromagnetinėmis jėgomis. Jeigu taškiniai krūviai nejuda vienas kito atžvilgiu, jų sąveikos jėgą vadiname elektrostatine jėga. Dviejų taškinių krūvių elektrostatinės sąveikos jėga yra tiesiogiai proporcinga tų krūvių q1 ir q2 sandaugai ir atvirkščiai proporcinga atstumo tarp jų kvadratui. (Kulono dėsnis – 1785 m.)

Elektrostatinis laukas vakuume – krūvių sąveika

221

rqqkF =

041πε

=kProporcingumo konstanta k priklauso nuo aplinkos ir nuo matavimo vienetų sistemos. Vakuume:

22120 /1085,8 NmC−⋅=ε - elektrinė konstanta.

Dviejų taškinių krūvių elektrostatinės sąveikos jėga yra tiesiogiai proporcinga tų krūvių q1 ir q2 sandaugai ir atvirkščiai proporcinga atstumo tarp jų kvadratui. (Kulono dėsnis – 1785 m.)

Elektrostatinis laukas vakuume – Kulono dėsnis

221

rqqkF =

Kadangi jėga yra vektorinis dydis, aprašykime jos kryptį. Tam nubrėžkime spindulį vektorių iš 1 ar 2 taškinio krūvio į kitą. Tada Kulono dėsnis:

12321

1 rrqqkF

= spinduliai vektoriai yra priešingų ir krypčių: 213

212 r

rqqkF

=2121 rr

−=

Jeigu sąveikos jėga yra lygiagreti spinduliui vektoriui ir krūviai stumia vienas kitą. (Vienodų ženklų krūvių sąveika)

021 >qq

Jeigu sąveikos jėga yra lygiagreti spinduliui vektoriui ir krūviai traukia vienas kitą. (Skirtingų ženklų krūvių sąveika)

021 <qq

Kūnai neesantys kontakte, bet perduodantys vienas kitam sąveiką, ją perduoda baigtiniu greičiu per tarpininką, vadinamą Jėgų lauku. Jėgų laukas – materijos forma, pasižyminti savybe veikti kūną jėga. Jėgų laukų tipai (priklausomai nuo fundamentalių 4 sąveikos tipų): • Gravitacijos, • Elektrinis ir magnetinis, • Stiprusis, • Silpnasis. Jėgos, kuriomis jėgų laukas veikia kūną, vadinamos potencialinėmis jėgomis. Potencialinės jėgos gali neatlikti darbo, o jų atliktas darbas nepriklauso nuo trajektorijos.

Jėgų laukas

Vieno įelektrinto kūno poveikis kitam yra perduodamas tarpininku, vadinamu elektrostatiniu lauku. Elektrostatinis laukas sukuriamas nejudančių elektros krūvių. Jį apibūdinantys dydžiai nekinta laike – elektrostatinis laukas – stacionarusis laukas.

Elektrostatinis laukas - stipris

Svarbiausia visų fizikinių laukų savybė – veikti kūnus jėga. Svarbiausia elektrostatinio lauko savybė – veikti visus jame esančius krūviu jėga. Norint apibrėžti poveikio jėgos dydį, įvedama elektrinio lauko stiprio sąvoka. Patalpinus į elektrostatinį lauką krūvį, tą krūvį veiks jėga. Šios jėgos dydis yra tiesiogiai proporcingas krūvio didumui. Todėl tos jėgos santykis su krūviu nepriklauso nuo krūvio dydžio ir yra tik lauko charakteristika, vadinama elektrinio lauko stipriu. Elektrinio lauko stipris skaitine verte lygus jėgai, kuria laukas veikia patalpintą į jį 1 C krūvį. Bet kokio dydžio krūvį veikianti jėga išreiškiama:

EqF

=

EqF

=

Elektrinio lauko stiprumo erdvinis pasiskirstymas grafiškai vaizduojamas jėgų linijomis.

Pagal susitarimą jėgų linijos vaizduojamos taip:

• Jėgų linijos prasideda teigiamuose krūviuose arba begalybėje, 2. Jėgų linijų liestinės sutampa su E vektoriaus kryptimi, 3. Jėgų linijų erdvinis tankis lygus E skaitinei vertei.

Elektrostatinis laukas - vaizdavimas

Vienodo linijų tankio atvaizduotas elektrinis laukas vadinamas vienalyčiu elektriniu lauku – E=const. Kryptis ir modulis visuose erdvės taškuose nekinta. Nekintantis laike elektrinis laukas vadinamas stacionariu.

Norint apibūdinti elektrostatinį lauką, kurį sukuria nejudantis taškinis elektros krūvis, Kulono dėsnyje į vieno krūvio dydį įrašome 1 C. Tai bus jėga, sukurta q krūvio ir veikianti 1 C krūvį, kuri skaitine verte lygi elektrinio lauko stipriui: , o modulis: Nuo krūvio begalo nutolusiuose taškuose elektrinio lauko nėra.

Didėjant atstumui elektrinis laukas silpsta ir dideliuose atstumuose patampa nykstamai mažas: Vaizdavimas:

Elektrostatinis laukas - taškinio krūvio elektrinis laukas

rrqE

304

1πε

=0, =∞→ Er

204

1rqE

πε=

Kai elektrostatinį lauką kuria ne vienas taškinis krūvis, o daug, jų bendrai sukurtam laukui taikome superpozicijos principą: Kiekvieną krūviu q įelektrintą materialųjį tašką veikiančių jėgų atstojamoji F yra lygi jį veikiančių atskirų jėgų geometrinei sumai. Pritaikę elektrostatinio lauko jėgos išraišką: gauname, kad: Visų krūvių qi (i=1,2,3,...,N) sukurto atstojamojo elektrinio lauko stiprumas yra lygus kiekvieno krūvio atskirai sukurtų tame taške laukų stiprumų geometrinei sumai:

Elektrostatinis laukas – superpozicijos principas

),...,3,2,1(,1

NiFFN

ii == ∑

=

EqF

=

∑=

=N

iiEE

1

Elektrinis dipolis – dviejų vienodo didumo, bet priešingų ženklų taškinių krūvių +q ir –q, atstumas l tarp kurių yra mažas, sistema. Elektrinis dipolis apibūdinamas tokiais parametrais: 1. Dipolio ašis – tiesė, nubrėžta per abu krūvius, 2. Dipolio petys – vektorius l, ,kurio kryptis yra dipolio išilgai ašies nuo neigiamo iki teigiamo krūvio, o modulis lygus atstumui tarp krūvių l. 3. Elektrinis dipolio momentas – dipolio teigiamo elektros krūvio ir jo peties sandauga.

Elektrostatinis laukas – elektrinis dipolis

lqp

=

l

Elektrinio dipolio sukurto elektrinio lauko stiprumas randamas panaudojant superpozicijos principą. Kiekviename erdvės taške, dipolio sukurtas elektrinio lauko stipris yra lygus atskirų lauko stiprių geometrinei sumai.

Atvaizduojame vektorių ir kryptis. Atstojamojo vektoriaus E modulis bus lygus:

Elektrinio dipolio lauko stiprio skaičiavimas

Be elektrinio lauko stiprio apibūdinti elektrinį lauką įvedama dar viena charakteristika. Tai elektrinio lauko stiprio vektoriaus srautas. Kad apibūdinti šį dydį, įvedama elektrinio lauko stiprio vektoriaus elementaraus srauto sąvoka. Kas yra elektrinio lauko stiprumo ir elementaraus plotelio, kurį tas laukas kerta, sandauga, kuri išreiškiama: Suintegravę per visą plota gausime elektrinio lauko stiprio srauto dydį. Jis yra skaliarinis dydis: Elektrinio lauko stiprio vektoriaus E srautas per ploto S paviršių skaitine verte yra lygus šį paviršių veriančių jėgų linijų skaičiui.

Elektrinio lauko stiprio vektoriaus srautas

( ) ⊥====Φ EdSnEEdSSdEdSnEd e ,cos

∫∫ ==ΦS

nS

e dSESdE

Įstatykime į elektrinio lauko stiprio vektoriaus srauto išraišką, elektrinio stiprio taškiniam krūviui išraišką. Suintegruojame pagal sferos plotą. Gauname: Iš to seka: 1. Taškinio krūvio sukurtas elektrinio lauko vektoriaus srautas pro uždarą paviršių priklauso nuo krūvio didumo. 2. Nepriklauso nuo ploto. 3. Srauto ženklas sutampa su krūvio ženklu.

Gauso dėsnis

∫∫ ==ΦS

nS

e dSESdE

204

1rqE

πε=

02

02

0 41

41

επεπεqdS

rqdS

rq

SSe ∫∫ ===Φ

Integruojant elektrinio vektoriaus srautą per bet kokios formos paviršių gaunama ta pati išraiška. Jeigu elektrostatinį lauką kuria taškinių krūvių sistema. Šio lauko vektoriaus srautas užrašomas. Tai matematinė Gauso dėsnio išraiška, teigianti, kad: elektrostatinio lauko stiprumo vektoriaus srautas pro bet kokį uždarą paviršių yra tiesiogiai proporcingas to paviršiaus gaubiamų elektros krūvių algebrinei sumai.

Gauso dėsnis

0εq

e =Φ

0ε

∑∫∫ ===Φ i

i

SSe

qSdEdSnE

Atsižvelgdami, ka visos E linijos yra statmenos paviršiui. Vektoriaus srautas per cilindro paviršių yra lygus srautui pro abu jo pagrindus. Begaliniame paviršiuje krūvio tankis vienodas. Todėl krūvį išreiškiame: Pagal Gauso dėsnį srautą dar galime išreikšti: Sulyginę abi srauto išraiškas gauname: Todėl, begalinė tolygiai įelektrinta plokštuma kuria vienalytį elektrostatinį lauką, kurio stiprumas nepriklauso nuo atstumo iki plokštumos.

Begalinės tolygiai įelektrintos plokštumos elektrostatinio lauko stiprio skaičiavimas taikant Gauso dėsnį

00 εσ

εS

qi

i

e∆

==Φ∑

Sq ∆= σSEe ∆=Φ 2

02εσ

=E

Elektrinio lauko nagrinėjimas ir savybės energijos požiūriu.

Aprašant potencialinių laukų energetines savybes ir potencines energijas erdvės taškuose, nagrinėjamas tų laukų atliktas ar atliekamas darbas perkeliant objektą erdvėje. Nes: Potencinė energija – objekto energetinės būsenos padėties funkcija. Kad pakeisti ar panaikinti potencinę energiją, potencialinės jėgos turi atlikti darbą. Kaip aprašomas elektrostatinių jėgų atliekamas darbas?

Elektrostatinių jėgų atliekamas darbas perkeliant krūvį

Elektrinis laukas veikdamas taškinį krūvį q’, tą krūvį veikia jėga: Pastumdama elementariu poslinkiu dl, ši jėga atlieka darbą:

Suintegravę pagal visą kelią, gausime visą atliktą darbą:


EqF

′=

),cos( ldEEdlqldEqldFdA

′=′==

∫∫∫ ′=′=′=lll

EdrqldEEdlqldEqA ),cos(

Tarkime, krūvis elektrostatiniame lauke pasislenka iš taško 1 į tašką 2. Tada darbas bus integruojant pagal r dydžio kitimo ribas:

∫′=2

1

r

r

EdrqA

Įstatome į gautą išraišką taškinio krūvio, kuris kūrė nagrinėjamą elektrinį lauką, stiprio išraišką:


∫=2

1

r

r

EdrqA204

1rqE

πε= ∫

′=

2

1

204

r

r rdrqqA

πε

′−

′=

′= ∫

2102

0 41

4

2

1rqq

rqq

rdrqqA

r

r πεπε

Kaip matome, elektrostatinio lauko jėgų atliekamas darbas nepriklauso nuo jų veikiamo krūvio judėjimo trajektorijos, o priklauso tik nuo poslinkio. Šia savybe pasižyminčios jėgos vadinamos potencialinėmis, o tų jėgų laukai – potencialiniais laukais.

Kaip buvo minėta – norint pakeisti potencinę energiją, reikia atlikti darbą. Potencialinių jėgų atliktas darbas yra lygus kūno neigiamam potencinės energijos pokyčiui:

Krūvio elektrostatiniame lauke potencinė energija

)( 12 pp WWA −−=

′−

′=

21041

rqq

rqqA

πεKadangi: , tai Wp yra:

rqqWp

′=

041πε

tai bendrumo dėlei nerašydami indekso gauname Wp išraišką:

Iš šios lygties išplaukia, kad krūvių elektrostatinės stūmos (qq’>0) potencinė energija yra teigiama, o traukos (qq’<0) – neigiama. Potencinė energija priklauso nuo krūvių didumo ir nuo atstumo tarp jų. Atstumui be galo didėjant, potencinė energija virsta į nulį.

Dydį ϕ – t.y. potencinės energijos elektriniame lauke, kurią turi krūvis ir to krūvio santykį vadiname elektrostatinio lauko potencialu. Elektrostatinio lauko taško potencialas – fizikinė lauko charakteristika, kurios skaitinė vertė yra lygi patalpinto į tą lauko tašką vienetinio krūvio potencinei energijai. Kitaip: Elektrostatinio lauko taško potencialas yra lauko taško energinė charakteristika, skaitine verte lygi darbui, kurį turi atlikti laukas, perkeldamas vienetinį taškinį krūvį ten, kur jo potencinė energija yra lygi nuliui.

Dviejų krūvių potencinės energijos išraiškoje nukelkime vieną krūvį į kitą formulės pusę.

Elektrostatinio lauko taško potencialas

ϕπε

==′ r

qq

Wp

041

rq

041πε

ϕ =

Dydį (ϕ1− ϕ2) vadiname potencialų skirtumu, o ∆ϕ – potencialo pokyčiu. Potencialo ir potencialų skirtumo vienetas yra voltas (V). 1V=1 J/C

Darbą, kurį atlieka laukas perkeldamas iš taško 1 į tašką 2 galime išreikšti įstatę:

Potencialų skirtumas

′−

′=

21041

rqq

rqqA

πεrqqWp

′=

041πε į: ir iškėlę lauko veikiamą krūvį:

ϕϕϕ ∆′−=−′= qqA )( 21gauname:

Taškinio krūvio sukurto elektrostatinio lauko ekvipotencialiniai paviršiai yra koncentrinės sferos. Kiekviename sferos taške, taškinio krūvio potencialo dydis yra lygus: Lauko jėgų linijos kiekviename taške statmenos ekvipotencialiniam paviršiui. Kai krūvis pasiskirstęs tolygiai ilgyje, paviršiuje ar tūryje, suminis potencialas nustatomas skaidymo ir integravimo būdu:

Elektrostatinio lauko paviršius, kurio visų taškų potencialai vienodi vadinamas ekvipotencialiniu paviršiumi.

Ekvipotencialinis paviršius

.),,( constzyx =ϕ

rq

041πε

ϕ =

∫=rdq

041πε

ϕ

Tada: , darbas yra lygus ir:

Elektrostatinio lauko potencialinių jėgų atliekamą elementarųjį darbą galime išreikšti iš gautos potencialo pokyčio išraiškos:

Elektrostatinio lauko stiprio ir potencialo ryšys

ϕ∆′−= qA ϕdqdWdA p ′−=−= ldEqdA

′=

Iš to: arba: Jeigu atidėtume šios vektorinės lygties projekcijas Dekarto koordinačių sistemoje:

ldEd

−=ϕ

dzdE

dydE

dxdE zyx

ϕϕϕ−=−=−= ,,

lddE

ϕ−=

Kadangi vektorius:

zyx EkEjEiE

++= tai:

++−=

dzdk

dydj

dxdiE ϕϕϕ

O tai yra: ϕgradE −=

arba: ϕ−∇=E

Taigi elektrostatinio lauko stiprumas yra lygus potencialo neigiamam gradientui.

Atskiru atveju, kai laukas yra vienalytis tarp dviejų skirtingai įelektrintų plokštumų:

lU

xdxdEx −=

∆∆

−=−=ϕϕ

Elektrostatinis laukas dielektrike

Elektringosios dalelės, sąlygojančios elektrinį laidumą medžiagose vadinamos krūvininkais. Krūvininkai skirstomi į surištuosius ir laisvuosius pagal gebėjimą judėti medžiagoje, veikiant elektriniam laukui. Surištaisiais laikomi tie krūvininkai, kurie priklauso konkrečiam atomui ar molekulei, taip pat kietojo kristalinio kūno jonai ir kurie nesudaro elektros srovės. Laisvaisiais laikomi visi kiti krūvininkai medžiagoje, sudarantys elektros srovę. dažniausiai tai laisvieji elektronai, skylės ar jonai. Visos medžiagos pagal laisvųjų krūvininkų koncentraciją yra skirstomos į tris klases: 1. Laidininkus, 2. Puslaidininkius, 3. Dielektrikus.

Elektrostatinis laukas dielektrike – laisvieji ir surištieji krūvininkai

Dielektriku vadinama medžiaga, kurioje laisvųjų krūvininkų koncentracija yra labai maža. Dėl to dielektrikai blogai praleidžia elektros srovę.

Dielektrikai skirstomi į du tipus – polinius ir nepolinius.

Šis skirstymas pagristas teigiamų ir neigiamų elektros krūvių centrų tarpusavio padėtimi dielektriko molekulėse.

Krūvių centras – krūvių visumos taškas erdvėje, kurio poveikį iš tolimesnio atstumo galime nagrinėti kaip taškinį krūvį. Galimi teigiami ir neigiami krūvių centrai.

Jeigu molekulėje šių centrų padėtys sutampa, ji vadinama nepoline molekule. Pvz.: H2, O2, CO2, CH4 ir kt Jeigu molekulėje elektringosios daleles pasiskirsčiusios nesimetriškai, krūvių centrai yra nutolę vienas nuo kito tam tikru atstumu. Tai polinė molekulė. Pvz.: H2O, NH3, HCl, SO2, …

Elektrostatinis laukas dielektrike – dielektrikai

Polines molekules nagrinėjamos kaip elektriniai dipoliai, turintys dipolinį momentą. Iš polinių molekulių sudarytas dielektrikas vadinamas poliniu dielektriku. Iš nepolinių molekulių sudarytas dielektrikas vadinamas nepoliniu dielektriku. Nepoliniuose dielektrikuose krūvių centrų padėtys, gali keisti dėl išorinių poveikių.

Elektrostatinis laukas dielektrike – dielektrikai

lqp

=

− +q ql

Paimkime vienalyčio dielektriko makroskopinį tūrį ∆V, kuriame molekulių skaičius N>>1. Šios medžiagos tūrio dalies dipolinis momentas yra lygus visų jos molekulių dipolinių momentų geometrinei sumai: Šį suminį dipolinį momentą padalinus iš išskirto tūrio, gausime tūrio vieneto dipolinį momentą, vadinamą poliarizacijos vektoriumi. Poliarizacijos vektorius arba poliarizuotumas – kiekybinis poliarizacijos matas, nusakantis suminį elementarių dipolinių momentų skaičių tūrio vienete ir medžiagos poliarizacijos kryptį. Jeigu , dielektrikas vadinamas poliarizuotu. Poliarizuotumo vienetas SI sistemoje yra C/m2

Dielektrikų poliarizacija elektriniame lauke.

∑i

ip

V

pP i

i

∆=

∑

0≠P

Paimkime nepolinio dielektriko plokštelę ir patalpinkime tarp dviejų metalinių elektrodų Sukūrus įtampą tarp plokštelių elektrodų, erdvėje tarp plokštelių atsiras elektrinis laukas. Elektrinio lauko veikiami visame dielektriko tūryje dalelių teigiamų ir neigiamų krūvių centrai pasislenka arba pasisuka vienas kito atžvilgiu išilgai lauko jėgų linijų, todėl bendras dielektriko poliarizuotumas tampa nelygus nuliui. Šis reiškinys vadinamas dielektriko poliarizacija. Didinant elektrinio lauko stiprį, indukuotų dipolių momentų dydis auga, todėl didėja ir poliarizuotumas.


+σ −σ

−−−−−−−−

+++++

+++

SE

0E

+Sσ +

Sσ+σ −σ

−−−−−−−−

+++++

+++

SE

0E

+Sσ +

Sσ

Poliarizuojant dielektriką, skirtingose jo pusėse atsiranda pertekliniai surištieji krūviai. Šių krūvių ženklas priklauso nuo elektrinio lauko stiprio E krypties. Prie to paviršiaus, į kurį įeina lauko jėgų linijos, susidaro neigiamo krūvio perteklius, o prie priešingo – teigiamas. Susidariusių paviršinių krūvių pasiskirstymas apibūdinamas krūvių paviršiniu tankiu, kuris, kaip įrodyta yra lygus poliarizuotumo normalinei projekcijai. Jei dielektriko paviršius statmenas E, tai: Jei kampu α: , kadangi: tai: ir didžiausias, kai paviršius statmenas elektrinio lauko krypčiai:

Surištųjų krūvių paviršinis tankis

nPP ==′σ

nPP ==′ ασ cos EP

χε 0=

nEχεσ 0=′

Eχεσ 0=′

Dielektrikas, patalpintas tarp dviejų įelektrintų plokštelių, poliarizuosis jų sukurtame elektriniame lauke, dėka ko jo paviršiuje atsiras perteklinis surištasis krūvis, kuris kurs dielektriko viduje priešingos krypties elektrinį lauką stiprumu E’. Pagal laukų superpozicijos principą, dielektriko viduje suminis elektrinio lauko stipris:

, o jo modulis kadangi:

Įstatę ir pertvarkę gauname dielektriko viduje elektrinio lauko stiprį: Santykinė dielektrinė skvarba parodo kiek kartų poliarizuotame dielektrike elektrostatinio lauko stiprumas mažesnis negu vakuume.


SEEE

+= 00

00 εσ ′

−=−= EEEE S Eχεσ 0=′

εχ00

1EEE =

+=

χε +=1 - nedimensinis ir tik nuo dielektriko savybių priklausantis dydis vadinasi santykine dielektrine skvarba.

ε0EE =

Taškinio krūvio elektrostatinio lauko stiprumas dielektrike išreiškiamas: O potencialas:


rq

επεϕ

041

=

204

1rqE

επε=

Dielektrikų poliarizacijos mechanizmai gali būti kelių tipų: 1. Tamprioji (nerelaksacinė) – poliarizacijos trukmė yra labai trumpa (t=10-17-10-13s). Jos metu neišsiskiria šiluma, t.y. nėra energetinių nuostolių, o santykinė dielektrinė skvarba nepriklauso nuo kintamo elektrinio lauko dažnio (iki ~1012 Hz). Tampriajai priskiriamos: 1.1 Elektroninė, 1.2 Joninė. 2. Netamprioji (relaksacinė) – trunkanti tam tikrą laiką (nuo mikrosekundžių dalių iki

kelių valandų), ir tolygiai stiprėjanti poliarizacija. Jos metu išsiskiria šiluma, patiriami energetiniai nuostoliai. Santykinė dielektrinė skvarba ženkliai priklauso nuo kintamo elektrinio lauko dažnio. Netampriajai poliarizacijai priskiriamos:

2.1 Orientacinė, 2.2 Migracinė, 2.3 Liktinė. Koks poliarizacijos procesas vyks, priklauso tik nuo dielektriko vidinės sandaros ir nuo elektrinio lauko kitimo spartos (dažnio).


Veikiama stiprumo E išorinio elektrinio lauko, nepolinės molekulės elektronų krūvių centras pasislenka jėgos veikimo kryptimi. Deformuotos molekulės teigiamų ir neigiamų krūvių centrai jau nesutampa. Joje susidaro dipolinis momentas, vadinamas indukuotuoju.

Elektroninė poliarizacija

Nelabai stipriame elektriniame lauke atsiradęs nuotolis tarp molekulės krūvių centrų yra tiesiogiai proporcingas lauko stiprumui E. Tuomet indukuotasis elektrinis dipolinis momentas: - kur ε0α – proporcingumo koeficientas. - tik nuo molekulės (atomo) savybių priklausantis dydis, vadinamas molekuliniu (atominiu) poliarizuojamumu.

Jei medžiaga vienalytė, tai dielektriko tūrio vieneto, kuriame yra n molekulių, poliarizuotumas: Šio tipo poliarizacija, kai elektronai pasislenka molekulėje, vadinama deformacine arba elektronine poliarizacija.

Elektroninė poliarizacija

Ep αε 0=

lqp

=

α

αε 0

EEnpnP

χεαε 00 ===

αχ n= - dydis vadinamas medžiagos dielektriniu jautriu.

Joninė poliarizacija būdinga joninėms kristalinėms gardelėms, kurias sudaro įstatytos viena į kitą teigiamų ir neigiamų jonų subgardelės. Pvz.: NaCl, KCl ir kt. Elektriniame lauke šios subgardelės pasislenka į priešingas puses, o atsiradęs kristalo poliarizuotumas proporcingas elektrinio lauko stipriui.

Joninė poliarizacija dielektrike

Orientacinė poliarizacija - šiuo atveju poliarizacija vyksta ne indukuojant dipolius, bet pasukant ar orientuojant jau esančius dielektrike molekulių dipolius išilgai išorinio elektrinio lauko.

Orientacinė poliarizacija – polinė molekulė elektriniame lauke

Elektrinį dipolį (polinę molekulę) elektrinis laukas veikia lygių modulių ir priešingų krypčių jėgomis F1 ir F2 ir Taigi, vienalytis elektrinis laukas polinę molekulę suks.

Šio sukimo jėgos momentas yra lygus Kaip matome iš schemos skaliarinė išraiška: Elektrinis laukas, pasukdamas polinę elementariu kampu molekulę, atlieka elementarų darbą: Tokiu pat dydžiu pakinta polinės molekulės ir elektrinio lauko sąveikos potencinė energija: - suintegravę šią išraišką, gauname dipolio (polinės

molekulės) priklausomybės nuo kampo išraišką

Orientacinė poliarizacija – polinė molekulė elektriniame lauke

EqF

=1 EqF

−=2

EpM

×=

ϑϑ sinsin1 pEqlEFdM ==⋅=

ϑϑϑ dpEMddA sin==

ϑϑdpEdWp sin=

ϑcospEWp −=

Jeigu polinę molekulę veikia labai nevienalytis Laukas, tuomet jėgų moduliai: ir nėra lygūs, nes: Šiuo atveju, be jėgų momento, kuris suka dipolį dar veikia šių jėgų atstojamoji, kuri stumia arba traukia dipolį. Elektrinio lauko stiprumo pokytis per dipolio peties ilgį: Todėl dipolį veikiančios atstojamosios jėgos modulis: Šios jėgos veikiamas dipolis slinks į ten, kur laukas yra stipriausias. Kaip tik dėl to įelektrinti kūnai pritraukia dulkeles ar popieriaus skiauteles.

Polinė molekulė nevienalyčiame elektriniame lauke

EqF

=1 EqF

−=2

21 EE

≠

EqEEqFFF

∆=−=+= )( 2121

llEE

δδ

=∆

lEp

lEqlF

δδ

δδ

==

Daleiskim, turime dielektriką, sudarytą iš daugelio polinių molekulių. Dėl molekulių šiluminio judėjimo, jų elektriniai dipoliai orientuoti chaotiškai, todėl bendras dielektriko poliarizuotumas yra lygus nuliui – dielektrikas nepoliarizuotas. Paveikus tokį dielektriką elektriniu lauku, molekulės įgyja potencinę energiją: Jeigu molekulės chaotiškai nejudėtu, jos orientuotųsi lygiagrečiai elektriniam laukui. Tačiau dėl šiluminio judėjimo dalelės pagal potencinės energijos vertes pasiskirsto pagal Bolcmano dėsnį:

Orientacinė poliarizacija dielektrike

ϑcospEWp −=

kTW

p

p

AeWn−

=)(Įstatę potencinės energijos išraišką, gauname elektrinių dipolių pasiskirstymą pagal kampus:

kTpE

Aenϑ

ϑcos

)(−

=

Iš šio pasiskirstymo matosi, kad kuo didesnį kampą sudaro vektorius p su E, tuo mažesnė orientuotų molekulių koncentracija. Nekintant lauko stiprumui ir temperatūrai, dielektrikas tampa poliarizuotas:

Dielektriko poliarizaciją, kuri atsiranda laukui orientuojant polinių molekulių dipolius vadinama orientacine poliarizacija. Norint rasti poliarizuotumo priklausomybę nuo elektrinio lauko stiprio, reikia integruoti pagal kampą:

Orientacinė poliarizacija dielektrike

Silpnų elektrinių laukų srityje ši priklausomybė yra tiesinė, todėl galima taikyti prieš tai gautą išraišką: nagrinėjamu atveju:

kTpE

Aenϑ

ϑcos

)(−

=0≠P

∫==ϑ

ϑϑϑ dpnpnEP cos)()(

EP

χε 0=

kTnp

0

2

3εχ =

Kietuose dielektrikuose, veikiant išoriniam elektriniam laukui, kristalo gardelės mazguose esantys jonai dėl šiluminio judėjimo gali peršokti iš vieno mazgo į kitą. Polikristalinėse medžiagose šis šokinėjimas dažniausiai vyksta kristalitų ribose. Tokiu būdu vyksta krūvio erdvinis persiskirstymas vienoje sritelėje, kuri tampa dipoliu. Šių dipolių tvarkingas erdvinis išsidėstymas sukelia viso kristalo poliarizaciją

Migracinė poliarizacija dielektrike

Segnetoelektrikai – pavadinimas kilęs nuo segneto druskos NaKC4H4O64H2O. Tarptautinis pavadinimas – Feroelektrikai. Segnetoelektrikai - atskira dielektrikų klasė pasižyminti ypatingomis savybėmis: Tipinės feroelektrinės keramikos BaTiO3, KNbO3, Cd2Nb2O7, PbNb2O6, PbTa2O6 1. Dielektrinė skvarba paprastai yra didelė – gali siekti keliasdešimt tūkstančių. 2. Dielektrinė skvarba priklauso nuo elektrinio lauko stiprio.

3. Dielektrinė skvarba labai priklauso nuo temperatūros ir tam tikroje turi maksimumą. 4. Būdingas dielektrinės histerezės reiškinys.

Segnetoelektrikai (arba Feroelektrikai)

Dielektrinės histerezės reiškinys – vyksta feroelektrikuose, jų viduje poliarizuojantis Turinčioms dipolinį momentą sritelėms, vadinamoms domenais.


Kreivė P=f(E) – vadinama histerezės kilpa, o tokia poliarizuotumo priklausomybė – dielektrinė histerezė. P0 – liktinis poliarizuotumas, EK – koercinio lauko stipris, Feroelektrinės histerezės reiškinys pasižymi dvejomis išskirtinėmis savybėmis – 1. Feroelektrikas nepraranda poliarizacijos, panaikinus išorinį elektrinį lauką, 2. Feroelektrikas gali būti poliarizuotas dviem kryptimis.

a) E=0 b) E>0 c) E=max d) E=0

Pjezoelektrikai (gr. Pjezo – slėgis, slėgti) – medžiagos, kuriose poliarizuotumas atsiranda jas mechaniškai deformuojant. Tai kvarcas, turmalinas, segneto druska, cukrus, sudėtingų oksidų keramikos – PbTiO3, BaTiO3, Cd2Nb2O7 , KTaO3 ir kiti. Tiesioginis pjezoefektas – savaiminio poliarizuotumo kitimas ir paviršinių krūvių atsiradimas deformuojant pjezoelektriką mechaniškai. Pjezoelektrikai yra kristalinės medžiagos, neturinčios simetrijos centro, dėl to jų teigiamų ir neigiamų krūvių centrai nesutampa. Neesant išoriniam poveikiui, poliarizaciniai krūviai kristalo viduje kompensuoja vienas kitą, taip pat kompensuojami laisvųjų krūvininkų persiskirstymu ir paviršinio krūvio neaptinkame. Paveikus mechaniškai pjezokristalą joninės skirtingų krūvių subgardelės deformuojasi skirtingai, dėl to skirtingose kristalo pusėse atsiranda paviršinis skirtingų ženklų krūvis.

Pjezoelektrikai

Kiekvienas pjezokristalas turi vieną ar kelias polines ašis. mechaniškai deformuojant kristalą paviršiniai krūviai atsiranda statmenuose polinei ašiai paviršiuose. Galimas išilginis ir skersinis pjezoefektas. Polinių ašių skaičius ir paviršinio krūvio didumas priklauso nuo pjezokristalo tipo. Galima atvirkščias reiškinys: Atvirkštinis pjezoefektas – pjezokristalo deformacija veikiant jį išoriniu elektriniu lauku. Jei elektrinis laukas kintamas – pjezokristalas virpės kintamo lauko dažniu.

Pjezoelektrikai

Keičiant kristalo temperatūrą, savaime poliarizuotas kristalas deformuojasi dėl šiluminio plėtimosi. Dėl to pakinta jo savaiminis poliarizuotumas ir paviršiuose susidaro paviršiniai priešingo ženklo krūviai. Poliarizuotumo kitimas, veikiant kristalą šiluma, vadinamas piroelektriniu reiškiniu, o medžiagos, pasižyminčios šia savybe – piroelektrikais.

Piroelektrikai

W(t)

1 2 3

Visi segnetoelektrikai pasižymi pjezoelektrinėmis ir piroelektrinėmis savybėmis. Tačiau ne visi piroelektrikai ir tuo labiau pjezoelektrikai pasižymi segnetoelektrinėmis savybėmis.


Elektrinėpoliarizacija

Elektriniolauko

indukuota

Ne elektriniopoveikio

Neveikiantišoriškai

Tampri

Šiluminė

Tūrinioįsikrovimo

Pjezopoliarizacija

Piropoliarizacija

Fotopoliarizacija

Savaiminė

Liekamoji

1 pav. poliarizacijos mechanizmai .

Kieti dielektrikai

PjezoelektrikaiNepasižymintys

pjezoefektudielektrikai

PiroelektrikaiNepasižymintys

pjezoefektupjezoelektrikai

SegnetoelekrikaiNepasižymintys

segnetoefektupiroelektrikai

2. pav. Kietų dielektrikų klasifikacija [3] .1 pav. Poliarizacijos mechanizmai .[1]. 2 pav. Kietų dielektrikų klasifikacija [3].

Segnetoelektrikai naudojami: 1. Mažų gabaritų super-didelės talpos kondensatoriai, 2. Netiesiniai kondensatoriai – varikondai, 3. Operatyvinė-pastovi greitaveikė atmintis. Pjezoelektrikai naudojami: 1. Pjezoelektriniuose davikliuose, 2. Tenzometriniuose prietaisuose, 3. Svarstyklėse, 4. Vibracijos ir deformacijų matuokliuose, 5. Pjezoelektriniuose mikrofonuose ir garsiakalbiuose, 6. Pjezoelektriniuose varikliuose, 7. rezonansiniai slėgio ir drėgmės davikliai. Piroelektrinis reiškinys naudojamas: 1. Šiluminio spinduliavimo indikatoriuose ir davikliuose, 2. Naktinio matymo prietaisuose – pirovidikonuose.

Segnetoelektrikų, pjezoelektrikų ir piroelektrikų taikymai

Panagrinėkime, poliarizuoto dielektriko poliarizuotumo vektoriaus srautą pro uždarą paviršių. kadangi poliarizuotumo vektorius yra lygus surištųjų krūvių

paviršiniam tankiui: , tai: kur q’ – visas paviršinis krūvis Poliarizuotame dielektrike, veikiant elektriniam laukui visi surištieji krūvininkai yra perskirstomi erdvėje, tačiau bendra jų algebrinė suma turi būti lygi nuliui: čia qS – erdvinis surištasis krūvis dielektrike. Tada: Įstatę į pirmą srauto lygtį gauname:

Gauso dėsnis dielektrikui

∫∫ ==ΦS

nS

P dSPSdP

nP=′σ

qdSdSPSS

nP ′=′==Φ ∫∫ σ

0=′+ qqS qqS ′−=

∫−=S

S SdPq

Pritaikykime Gauso dėsnį elektrinio lauko srautui pro uždarą paviršių. Šiuo atveju lauką kuria ne tik laisvieji q, bet ir surištieji qS krūvininkai.: Todėl: , kadangi: , įstatę į srauto išraišką: ir pertvarkę: pažymėkime dydį: - vadinamas elektrinės slinkties vektoriumi arba elektrine slinktimi. Gauso dėsnis dielektrikui: teigia, kad elektrinės slinkties srautas pro uždarą paviršių yra lygus to paviršiaus Gaubiamų laisvųjų krūvių algebrinei sumai.

Gauso dėsnis dielektrikui

0εS

S

qqSdE +=∫

∫−=S

S SdPq

0ε

∫∫

−= S

S

SdPqSdE

( ) qSdPES

=+∫

0ε

PED

+= 0ε

qSdDS

=∫

Elektrinės slinkties dydį galima perrašyti ir kitaip. , kadangi: , tai: ir galutinai: Taškinio krūvio elektrinė slinktis: Kaip matome – elektrinė slinktis nepriklauso nuo aplinkos savybių (skirtingai nei elektrinio lauko stipris). Iš to išplaukia elektrinės slinkties dydžio fizikinė prasmė: elektrinė slinktis apibūdina elektrinį lauką, kurį medžiagoje sukuria tik laisvieji krūvininkai. Grafiškai elektrinė slinktis vaizduojama taip pat, kaip ir elektrinio lauko stipris.

Elektrinė slinktis

PED

+= 0ε EEP

)1(00 −== εεχε

EEEPED

εεεεεε 0000 )1( =−+=+= ED

εε 0=

rr

qED 30 4π

εε ==

ED

εε 0=

Laidininkas elektrostatiniame lauke ir elektros srovė metaluose

Laidininkais vadinamos medžiagos, kurių laisvųjų krūvininkų koncentracija, lyginant su dielektrikais yra labai didelė. Normaliomis sąlygomis laidininko teigiami ir neigiami krūviai kompensuoja vienas kitą, todėl jis yra elektriškai neutralus. Suteikus laidininkui papildomą perteklinį arba nekompensuotą krūvį, jis greitai pasiskirsto taip, kad laidininke nusistovėtų perteklinių krūvininkų makroskopinė pusiausvyra. Pusiausvyra galima tik tuo atveju, kai elektrostatinio lauko stipris lygus nuliui. Iš elektrostatinio lauko stiprio ir potencialo sąryšio, gauname: arba: Išvada: laidininke visų taškų potencialas tampa vienodas, t.y. visas jo tūris yra ekvipotencialinis. Perteklinis statinis elektros krūvis laidininko viduje elektrinio lauko nesukuria.

Elektrostatinis laukas laidininke

0=−=ld

dE ϕ .const=ϕ

0=VE

Pritaikę Gauso dėsnį uždaram paviršiui laidininko viduje, gauname: , tai reiškia, kad laidininko viduje perteklinio krūvio nėra. Jis pasiskirsto tik išoriniame laidininko paviršiuje. Koks gi elektrostatinis laukas ties laidininko paviršiumi?

Elektrostatinis laukas laidininke – krūvio pasiskirstymas

0==Φ= ∫S

nD dSDq

Panagrinėkime laidininko paviršių. Išskirkime elementaraus plotelio elementą dS laidininko paviršiuje. Kadangi paviršius įelektrintas paviršiniu tankiu, šis paviršius yra ekvipotencialinis, todėl vektoriai E ir (ar) D jam statmeni. Vektoriaus D srautas pro šoninį paviršių yra lygus nuliui, kadangi statiniu krūviu įelektrintame laidininke elektrinio lauko nėra, tai dydžio D srautas pro apatinį cilindro pagrindą taip pat lygus nuliui. Vadinasi visas slinkties srautas yra lygus: Pagal Gauso dėsnį šis srautas yra lygus gaubiamam krūviui: Tada: arba: Tai reiškia, kad: elektrostatinio lauko stipris ties įelektrinto laidininko paviršiumi yra tiesiog proporcingas krūvio paviršiniam tankiui.

Elektrostatinis laukas laidininke – ties paviršiumi

DdSd D =Φ

dSd D σ=Φ

σεε == ED 0

0εεσ

=E

Patalpinkime metalinį rutulį į elektrinį lauką E0. Elektrinio lauko jėgos perskirsto krūvininkus taip, kad atsiradusių indukuotųjų krūvininkų sukurto elektrinio lauko stipris E’ atsvers išorinio lauko stiprį ir todėl lauko stipris laidininke taps lygus nuliui. Toks krūvių perskirstymas, juos paslenkant, vadinamas elektrine indukcija. Tiek rutulio, tiek cilindro viduje elektrinio lauko nėra. Laidus apvalkalas ekranuoja vidų nuo išorinio elektrinio lauko ir todėl vadinamas ekranu. Elektrinį lauką, nors ir silpniau ekranuoja ir metalinis tinklelis.

Elektrostatinis laukas laidininke – viduje

00 =′+= EEEvid

Pritaikius laisvųjų krūvininkų pasiskirstymą pagal potencines energijas, galima įrodyti, kad laidininko vidiniame paviršiaus sluoksnyje elektrinio lauko potencialas ir elektrinio lauko stipris kinta pagal eksponentinį dėsnį: kur: - dydis, vadinamas Debajaus ekranavimo nuotoliu. Debajaus ekranavimo nuotolis – atstumas nuo paviršiaus arba gylis, kuriame elektrinio lauko stipris sumažėja e (~2,7) karto.

Elektrostatinis laukas laidininke – viduje

DLx

ex−

= 0)( ϕϕ

DLx

eExE−

= 0)(

00

0

2 nqkTLD

ε=

Suteikus laidininkui krūvį q, jo viduje pasikeičia potencialas ϕ. Skirtingiems laidininkams suteikus vienodą krūvį, jų potencialas pakinta skirtingai. Todėl įvedamas naujas santykinis dydis, apibūdinantis laidininką: Šis dydis, nepriklausantis nuo krūvio didumo vadinamas laidininko elektrine talpa. Laidininko elektrinė talpa – dydis, skaitine verte lygus tokiam krūviui, kurį suteikus laidininko potencialas pakinta vienetu. Talpos SI vienetas yra Faradas (1F=1C/1V) Rutulio elektrinė talpa randama iš rutulio potencialo išraiškos: Tada rutulio formos laidininko talpa: Matome, kad rutulio talpa tiesiogiai proporcinga jo spinduliui ir nepriklauso nuo rutulio medžiagos savybių. Elektrinė talpa priklauso tik nuo laidininko matmenų, formos ir aplinkos, kuriame yra laidininkas ir jo sukurtas elektrinis laukas, t.y. nuo aplinkos ε – dielektrinės skvarbos.

Įelektrinto laidininko elektrinė talpa

Cq=

ϕ

Rq

επεϕ

041

=

RC επε04=

Kondensatorius – prietaisas, sudarytas iš dviejų laidininkų (elektrodų), tarp kurių yra plonas dielektriko sluoksnis. Turi savybę kaupti elektros energiją. Elektrodų forma parenkama tokia, kad įkrauto kondensatoriaus elektrinis laukas būtų tik tarp jo elektrodų. Šias sąlygas tenkina trijų tipų kondensatoriai: 1) Plokščiasis kondensatorius – dvi lygiagrečios plokštelės, atstumas tarp kurių yra labai mažas, lyginant su jų matmenimis. 2) Cilindrinis kondensatorius - du vienas kitame bendraašiai cilindrai (koaksialiniai), atskirti plonu dielektriko sluoksniu. 3) Sferinis kondensatorius – dvi to pačio centro (koncentrinės) sferos, atskirtos plonu dielektriko sluoksniu.

Kondensatoriaus krūviu vadinamas jo vieno elektrodo krūvio modulis q. Kondensatoriaus talpa vadinamas kondensatoriaus krūvio ir elektrodų potencialų skirtumo modulis.

Kondensatoriai

Kondensatoriaus talpa - vadinamas kondensatoriaus krūvio ir elektrodų potencialų skirtumo modulio santykis: Pritaikykime šią išraišką plokščiojo kondensatoriaus talpai

gauti. Kaip žinome, tarp dviejų plokščių elektrodų elektrinis laukas yra vienalytis, tada elektrinio lauko stiprio ir potencialo sąryšį galime užrašyti: , įstatę į kondensatoriaus talpos išraišką: , čia: , kadangi kondensatoriaus krūvis: Sustatę visas išraiškas, gauname plokščiojo kondensatoriaus talpą: Plokščiojo kondensatoriaus talpa priklauso nuo dielektriko sluoksnio storio, jo dielektrinės skvarbos ir elektrodų matmenų.

Plokščiojo kondensatoriaus elektrinė talpa

21 ϕϕ −=

qC

dxxxdxdEx

12

12

12 ϕϕϕϕϕϕ −−=

−−

−=∆∆

−=−=

εεσϕϕ

012

dEd ==−0εε

σ=E Sq σ=

dSC εε 0=

Dviejų taškinių krūvių sąveikos energija aprašoma: Arba: , tada n taškinių krūvių: Kadangi laidininko paviršius ekvipotencialinis: , o: , tai: - ši energija vadinama savitoji laidininko įelektrinimo energija,

Plokščiąjąm kondensatoriui, kurio potencialų skirtumas yra: o talpa: , gauname: Įelektrinto kondensatoriaus energija yra jo sukurtame elektriniame lauke ir todėl ji yra to lauko energija. Ji proporcinga lauko tūriui. Plokščiąjam kondensatoriui Sd=V

Įelektrinto kondensatoriaus energija

2211 ϕϕ qqWP ==

dSC εε 0=

)(21

2211 ϕϕ qqWP += ∑=i

iiP qW ϕ21

ϕqWP 21

= Cq=

ϕ

2

2ϕCWP =

Ed=∆=− ϕϕϕ 21

SdECCWP 222

20

22 εεϕϕ=

∆==

Elektrinio lauko energijos erdvinį pasiskirstymą apibūdina lauko energijos tūrinis tankis: plokščiajam kondensatoriui, kurio energija: tūrinis tankis: kadangi: tai: , kadangi: , tai tankis:

Taigi, kondensatoriuje energijos tankis persiskirsto į dvi dedamąsias:

Pirmasis dėmuo nuo dielektriko nepriklauso, jis nusako lauko energijos tūrinį tankį ir apibūdina energiją, suvartojamą elektriniam laukui sukurti. Antrasis dėmuo lygus darbui, kuris atliekamas poliarizuojant vienetinio tūrio dielektriką Iki poliarizuotumo P.

Elektrinio lauko energijos tankis

dVdWw P

e = SdEWP 2

20εε

=

202

1 Ewe εε= ED εε 0=

DEEDEwe

21

21

21 2

0 === εε PED

+= 0ε

pe wwPEEEDEw +=+== 00 21

21

21

ε

Elektros srove – vadiname kryptingą elektrinių dalelių judėjimą. Elektros srovės tipai: 1. Laidumo srovė – elektringųjų dalelių kryptingas judėjimas, sukeltas elektrinio lauko poveikio. 2. Konvekcinė srovė – dėl kitų priežasčių atsiradęs kryptingas dalelių judėjimas. Laidumo srovę sudaro: 1. Metaluose – laisvai judantys elektronai, 2. Puslaidininkiuose – laisvai judantys elektronai ir skylės, 3. Elektrolituose ir dujose – judantys jonai. Laidumo srovės atsiradimo sąlygos: 1. Erdvės dalyje turi būti laisvųjų krūvininkų, 2. Juos turi veikti elektrinis laukas.

Nuolatinė elektros srovė

Kiekybiškai apibūdinti elektringų dalelių judėjimą įvedama elektros srovės stiprio charakteristika. Laisvųjų krūvininkų dydžiui dq pratekėjus erdvėje pro skerspjūvio plotą, per laiką dt santykis yra vadinamas srovės stipriu. Kitaip galima išsireikšti, kad elektros srovės stipris yra skaliarinis dydis, kurio skaitinė vertė yra lygi per laiko vienetą, per laidininko skerspjūvį perneštam elektros krūviui. Elektros srovė, kurios kryptis nesikeičia, vadinama nuolatine elektros srove. Nuolatinę srovę, kurios stipris nesikeičia, vadiname pastoviąją nuolatine elektros srove. Tokiai srovei galioja srovės stiprio išraiška: Elektros stiprio dydžio matas yra amperas (A). 1 A yra lygus 1C krūvio dydžiui, perneštam per skerspjūvio plotą, per laiko vienetą (1 s).

Nuolatinė elektros srovė – srovės stipris

dtdqI =

tqI =

Elektros srovė gali keistis laike ir erdvėje. T.y. jos stiprio dydis gali būti pasiskirstęs netolygiai laidininke, keistis laike ir keisti kryptį. Kad įvertinti šiuos pokyčius, įvedamas vektorinis dydis – srovės stiprio tankis. Pastoviai nuolatinei elektros srovėi tolygiai pasiskirsčius laidininke, jos tankio modulis gali būti išreikštas: Todėl – srovės stiprio tankis skaitine verte yra lygus srovės stipriui, pratekėjusiam per laiko vienetą, per statmeno srovės tekėjimo krypčiai ploto vienetą. Srovės stiprio tankio vektoriaus kryptis yra nukreipta teigiamų krūvininkų judėjimo kryptimi. Matavimo vienetas – amperas kvadratiniam metrui A/m2. Elektros srovei netolygiai pasiskirsčius laidininke, stiprio tankis išreiškiamas:

Nuolatinė elektros srovė – srovės stiprio tankis

⊥

=SIj

⊥

=dSdIj

Čia dI – elementarus srovės dydis, pratekėjęs per elementarų, statmeną jam, plotą dS. Jis yra lygus: , t.y.: Tada srovės stiprio tankio vektorius yra: Taigi, elektros srovės tankis rodo srovės tekėjimo kryptį ir jos pasiskirstymą laidininko skerspjuvyje. Norint sužinoti tokios srovės stiprį, srovės tankis integruojamas per visą plotą, pro kurį prateka srovė:

Nuolatinė elektros srovė – srovės stiprio tankis

⊥

=dSdIj

SdjnjjdSjdSdI

=== ⊥ ),cos( SdjdI

=

SddIj

=

∫=S

SdjI

Krūvininkų q0 koncentracija yra lygi jų skaičiui tūrio vienete – n. Judant šiems krūvininkams kryptingu greičiu u, per laiką dt, jų nueitas atstumas yra dl=udt. Visas elementarus krūvis, perneštas per elementarų plotą dS, tada bus lygus: Kadangi srovės tankis: O elementarios srovės dydis: , tai: arba vektoriškai: Kadangi kryptingo krūvininkų judėjimo (dreifo) greitis yra nevienodas, reikia imti greičio vidurkį:

Srovės stiprio tankio ir krūvininkų koncentracijos ryšys.

udtdSnqdldSnqdVnqdq ⊥⊥ === 000

dtdqdI =

⊥

=dSdIj

unqdtdS

udtdSnqdtdS

dqdSdIj 0

0 ====⊥

⊥

⊥⊥

unqj 0=

><= unqj 0

Krūvininkų vidutinis greitis priklauso nuo elektrinio lauko stiprio: Čia µ – proporcingumo koeficientas, vadinamas krūvininkų dreifiniu judrumu. Šis dydis, skaitine verte lygus <u>, kai E=1V/m, priklauso nuo krūvininko masės, rūšies, laidininko medžiagos ir temperatūros. Srovės tankio išraišką galima išreikšti ir per krūvininkų dreifinį judrumą: Jeigu medžiagoje elektros srovę perneša kelių tipų krūvininkai, bendras srovės tankis yra lygus, atskirų rūšių krūvininkų sukeliamų srovių tankiui sumai:

Srovės stiprio tankio ir krūvininkų koncentracijos ryšys.

Enqj µ0=

><= unqj 0

Eu µ>=<

∑∑ =><=i

iiii

iii Eqnuqnj

µ

Imkime laidininką, kuriame srovę perneša tik vieno tipo krūvininkai. Vektorinė elektros srovės stiprio tankio išraiška tada bus: Šiame sąryšyje tarp srovės stiprio tankio ir elektrinio lauko proporcingumo koeficientas: - vadinamas laidininko savituoju laidumu. Tada: Dydis, atvirkščias savitajam laidumui, vadinamas laidininko savitąja varža: - sąryšis vadinamas Omo dėsnio diferencialine išraiška. Iš jos, kaip atskiras atvejis, vienalyčiam vienodo skerspjūvio ploto laidininkui, tekant jame nuolatinei pastoviai srovei, suintegravus gaunama Omo dėsnio išraiška vienalyčiam laidininkui pastoviai nuolatinei srovei:

Laidininko savitasis laidumas

Enqj

µ0=

µγ 0nq=

Ej

γ=γ

ρ 1=

RUI =

Imkime metalinį laidą (1-2), išilgai kurio kinta potencialas ϕ (ϕ1>ϕ2), dėl potencialų skirtumo jame yra elektrinis laukas: Šio lauko veikiami elektronai greitai persiskirsto taip, kad potencialas taptų lygus nuliui. Grandinės dalis, kurioje krūvius veikia tik elektrostatinis laukas vadinama vienalyte. Kad laidininku pastoviai tekėtų elektros srovė, reikia sudaryti uždarą grandinę ir laido galuose pastoviai palaikyti potencialų skirtumą.

T.y. palaikyti išorinį elektrinio lauko stiprį - Grandinės dalis, kurioje veikia ir pašalinės-išorinės jėgos, vadinama nevienalyte. Šiuo atveju uždaroje grandinėje veikia dvi elektrinio lauko jėgos: elektrostatinė E ir pašalinė E*. Uždarai grandinei, kurios savitasis laidumas γ, diferencialinė Omo dėsnio išraiška užrašoma: Ši lygtis yra vadinama Omo dėsnio bendriausia išraiška.

Elektrovaros jėga

dtdE ϕ

=

*E

)( *EEj

+= γ

Omo dėsnio bendriausią išraišką: galime išreikšti: Jeigu padauginsime abi puses iš: , gausime: Suintegravus grandinės daliai 1-2, gausime: - dydis, vadinamas grandinės dalies varža. - dydis, vadinamas grandinės dalyje veikianti elektrovara. Ji lygi pašalinių jėgų darbui, atliekamam perkeliant teigiamą vienetinį krūvį.

Omo dėsnis nevienalytei grandinės daliai

γρ dldl =

)( *EEj

+= γ

)( *Edld

SI

+=ϕγ

dlEdSdlI *+= ϕρ

∫∫ +∆=2

1

*12

2

1

dlEdlS

I ϕρ

RdlS

=∫2

1

ρ

Ε=∫2

1

*dlE

Įstačius pažymėtus dydžius į: , gauname: Omo dėsnio nevienalytei grandinės daliai integralinę išraišką. - dydis, vadinamas grandinės dalies įtampa (V). Grandinės dalies įtampa yra lygi darbui, kurį atlieka elektrostatinės ir pašalinės jėgos, perkeldamos toje grandinės dalyje vienetinį teigiamą krūvį. Jeigu pašalinių elektrovaros jėgų nėra Ε=0, įtampa sutampa su potencialų skirtumu. Jeigu grandinės dalyje potencialų skirtumas ∆ϕ=0 (trumpas jungimas), tai: Jeigu elektrovaros šaltinių yra daugiau nei vienas:

Omo dėsnis nevienalytei grandinės daliai

Ε+∆= 12ϕIR

UIR =

∫∫ +∆=2

1

*12

2

1

dlEdlS

I ϕρ

Ε=IR

12ϕ∆== UIR

∑Ε=i

iIR

Lygtyje: , dydis: yra visos uždaros grandinės varža, kuri sudaryta iš apkrovos varžos Ra ir elektrovaros šaltinių vidinių varžų ri. Iš čia gauname Omo dėsnio išraišką uždarai grandinei:

Omo dėsnis uždarai grandinei

∑Ε=i

iIRia rRR +=

ia

ii

rRI

+

Ε=

∑

Elektrine varža vadiname laidininko savybe priešintis elektros srovei. Elektrinės varžos matavimo vienetas – omas (Ω). Grandinės dalies varža lygi 1 Ω, jeigu tekant 1 A srovei, įtampa tarp tos dalies galų lygi 1 V. Pritaikykime prieš tai gautą varžos išraišką: vienalyčiam (ρ=0), vienodo skerspjūvio, ploto S laidininkui. Gauname: - tokio laidininko varža priklauso nuo: 1. laidininko ilgio, 2. laidininko skerspjūvio ploto, 3. laidininko savitosios varžos dydžio. Išsireiškus savitosios varžos dydį, gauname: iš čia matome, kad: Laidininko savitoji varža skaitine verte yra lygi medžiagos kubo, kurio kraštinė 1 m varžai. Savitosios varžos matavimo vienetas ommetras (Ωm).

Elektrinė varža

∫=l

dlS

R ρ

SlR ρ=

lSR=ρ

Laidininko savitoji varža: , nepriklauso nuo laidininko matmenų. Tai savybė, priklausanti nuo laidininko medžiagos tipo ir temperatūros. Nustatyta, kad laidininko savitoji varža nuo temperatūros priklauso tiesiškai: - savitoji varža, esant t=00 C temperatūrai. - temperatūrinis varžos koeficientas - temperatūra.

Savitoji varža

lSR=ρ

)1(0 tαρρ +=

0ρ

α

t

Tekant elektros srovei, krūvininkai juda kryptingai. Vadinasi, elektrinio lauko jėgos perneša juos grandine iš vieno jos taško į kitą, t.y. atlieka darbą. Elementarusis elektros srovės darbas, kai laidas nejuda, lygus: čia U – įtampa laido galuose, dq – per laiką dt perneštas elektros krūvis. Šis darbas lygus laide išsiskyrusiai energijai: Pastovios nuolatinės srovės atveju I = const. Todėl visa laide išsiskyrusi energija: Tai energija, kurią elektros srovė iš šaltinio perkelia į laidą. Dėl to jis įšyla iki temperatūros, atitinkančios dinaminę pusiausvyrą: kiek šilumos išsiskiria, tiek jos ir išspinduliuojama per tą patį laiką. Ši išraiška yra integralinė Džaulio ir Lenco dėsnio išraiška: laide išsiskyręs šilumos kiekis proporcingas srovės stipriui, jos tekėjimo laikui ir įtampai jo galuose. Galia yra išsiskyrusios energijos kiekis per laiko vienetą, iš Džaulio ir Lenco dėsnio:

Srovės darbas ir galia

UdqdA =

UIdtUdqdW ==

QUItW ==

UIt

WN ==

Klasikinė elektroninio metalų laidumo teorija, kurią sukūrė 1900 m. P. Drudė, remiasi elektroninių dujų metaluose egzistavimo prielaida. Kadangi metaluose didžioji dauguma elektronų yra silpnai surišti su atomais, jie gali laisvai judėti kristaline gardele. Tokiu atveju laikoma, kad elektronai metaluose yra bendri.Tokia elektroninė “terpė” buvo pavadinta elektroninėmis dujomis. Šias elektronines dujas galima laikyti idealiosiomis dujomis ir atitinkamai taikyti idealiųjų dujų dėsnius. Kaip žinome idealiųjų dujų dalelių vidutinė chaotiškojo judėjimo kinetinė energija yra: Iš čia elektronų vidutinis chaotiškasis greitis: kuris, 00 C temperatūroje yra <v>~ 110 km/s Pritaikius krūvininkų dreifo greičio išraišką , galime paskaičiuoti elektronų vidutinį dreifo greitį, kuris esant srovės tankiui j~11*106 A/m2 yra lygus <u>~8*10-4 m/s

Klasikinės elektroninės metalų laidumo teorijos pagrindai

kTvm23

2

2

=><

kTm

ve

3>=<

><= unej

Elektrinio lauko veikiami elektronai juda su pagreičiu, kol nesusiduria su kristalo jonu, atiduodami jam visą savo kinetinę energiją. Todėl vidutinis dreifo greitis yra lygus: Iš kinematikos, tolygiai kintantis greitis yra: Iš antro Niutono dėsnio ir lauko stiprio: , tada: O vidutinis: Dydis <τ> vadinamas vidutine laisvojo lėkio trukme, t.y. laikas tarp susidūrimų, kuris yra: Kadangi <u> žymiai mažesnis už <v>, tai: Įstatome į dreifinio greičio išraišką:


20 maxuu +

>=< ><= τaumax

ee meE

mFa == ><= τ

emeEumax

><>=< τem

eEu2

><+><><

>=<vu

lτ

><><

>=<vlτ E

vmleu

e ><><

>=<2

Dreifinio greičio išraišką: įstačius į: gauname: Matome, kad tai yra diferencialinė Omo dėsnio išraiška: kur proporcingumo koeficientas yra savitasis laidumas: tada savitoji varža: Matome, kad laidininko savitoji varža priklauso nuo laisvųjų krūvininkų koncentracijos, laisvojo kelio ilgio <l> (kristalinės gardelės tipo) ir vidutinio chaotiškojo judėjimo greičio <v>, kuris priklauso nuo temperatūros.


Evm

leue ><

><>=<

2><= unej

Evmlnej

e ><><

=2

2

><><

=vmlne

e2

2

γ

><><

=lnevme

2

2ρ

Ej

γ=

Elektros srovė dujose ir vakuume

Esant kambario T ir atmosferos slėgiui – dujos yra dielektrikai. Taip yra todėl, kad jos susideda iš elektriškai neutralių atomų. Kiekvienai dujų molekulei, suteikus pakankamą energijos kiekį, iš jos galima atplėšti vieną ar kelis elektronus, susidaro laisvieji krūvininkai. Šis procesas vadinamas jonizacija. O energijos kiekis, reikalingas jai atlikti vadinamas jonizacijos darbu - Aj. Matuojama kJ/mol arba eV/atomui. Dažnai vietoj jonizacijos energijos matuojamas jonizacijos potencialas. Jis rodo potencialų skirtumą, išreikštą voltais, kuriam esant elektronas įgyja reikiamą jonizacijos energiją. Šios energijos, išreikštos elektrovoltais, skaitinė reikšmė lygi jonizacijos potencialui, išreikštam voltais. Jonizuoti dujų atomus galima juos veikiant liepsna, ultravioletiniais ar rentgeno spinduliais, bombarduojant pakankamai didelių energijų dalelėmis: elektronais, protonais, α dalelėmis, fotonais ir kitomis. Išorinė priežastis, sukelianti jonizaciją, vadinama jonizatoriumi. Lengviausia atplėšti yra išorinius elektronus. Vidiniams reikia daugiau energijos. Pvz.: Jonizuoti N atomą iki N+ reikia atlikti Aj=14,5 eV jonizacijos darbą, o iš N+ paversti N++, reikia atlikti Aj=24,9 eV.

Elektros srovė dujose. Dujų jonizacija ir krūvininkų rekombinacija

Jei jonizacijos metu jonai gauna nedaug energijos, tai dažniausiai atplėšiamas tik vienas elektronas, vadinami vienakrūviai teigiami jonai. Jų koncentracija – n+. Atplėštieji elektronai greitai prisijungia prie neutralių atomų ir susidaro neigiami jonai. Jų koncentracija – n-. Tokiomis sąlygomis: dydį n pavadinkime jonų porų koncentracija. Jei dujos yra jonizuojamos veikiant jonizatoriumi, šio proceso spartą apibūdina dydis, vadinamas jonizacijos stiprumu. Jis yra lygus tūrio vienete sukuriamų per vieną sekundę jonų porų skaičiui. Matematiškai tai išreiškiama per koncentracijos n išvestnę:


jdtdng

=

nnn ≈≈ −+

(1)

Atvirkštinis jonizacijai ir nuolat vykstantis procesas dujose – rekombinacija: teigiamų ir neigiamų jonų, teigiamų jonų ir elektronų jungimasis į atomus ir molekules. Rekombinacijos sparta apibūdinama išnykstančių tūrio vienete per vieną sekundę jonų porų skaičiumi arba matematiškai – išvestine: Rekombinacijos tikimybė priklauso nuo esančių jonizuotų jonų porų koncentracijos, todėl rekombinacijos sparta tiesiogiai proporcinga n+ ir n- sandaugai. O kadangi , rekombinacijos spartą galime užrašyti: Minuso ženklas rodo, kad dėl rekombinacijos jonų porų koncentracija mažėja. Dydis r – vadinamas rekombinacijos koeficientu. Vykstant rekombinacijai, išsiskiria krūvininkams susidaryti suvartota energija šviesos pavidalu. Šis švytėjimas vadinamas rekombinaciniu švytėjimu.


2rndtdn

r

−=

nnn ≈≈ −+

rdtdn

(2)

Elektros srovės tekėjimas dujose vadinamas elektros išlydžiu. Išlydį, kuris vyksta jonizatoriaus jonizuotose dujose, vadiname nesavaiminiu išlydžiu. Nustojus veikti jonizatoriui, toks išlydis nutrūksta. Paimkime erdvę, kurioje yra jonizuojamos dujos. Erdvė yra apribota dviejų lygiagrečių elektrodų, kurių plotas S, o atstumas tarp jų – l. Tokioje erdvėje jonų porų skaičius bus: Į elektrodus paduodamas potencialų skirtumas U. E lauko veikiami teigiami ir neigiami jonai, pasiekę elektrodus atiduoda ir pasiima neigiamus krūvius. Per 1 s elektrodus pasiekiančių porų skaičių pažymėkime: Tada per dujas yra pernešamas elektros srovės stipris:

Nesavaiminis išlydis dujose.

nSlnVN ==

II dtdneSl

dtdNeI

−=

=

IdtdN

S

l+

-

Padalinam iš S, tada: - iš 1 m3 per 1s elektroduose neutralizuoti kruviai. - srovės tankis.


elj

dtdn

I

−=

II dtdneSl

dtdNeI

−=

=

Idtdn

SIj =

S

l

(3)

Įvertinus šiuos tris procesus, tūrio vienete pilna jonų porų kitimo sparta: , įstačius gautas išraiškas: Nusistovėjus pusiausvyrai, bendra jonų porų koncentracija nekinta - , todėl: Kai dominuoja vienakrūviai teigiamų ir neigiamų jonų krūviai, srovės tankio modulis užrašomas (iš 1.3.3 temos): Iš (4) lygties išreiškę n ir įstatę į srovės tankio išraišką, gautume srovės tankio jonizuotose dujose išraišką – voltamperinę ch-ką: Ji gaunasi labai sudėtinga, todėl apsiribosime dviem atvejais – silpnuose ir stipriuose elektriniuose laukuose.


Eenj )( −+ += µµ

S

l

Irj dtdn

dtdn

dtdn

dtdn

+

+

=

eljrng

dtdn

−−= 2

0=dtdn

02 =−−eljrng (4)

)(Efj =

Reali voltamperinė išlydžio ch-ka yra:

Nesavaiminis išlydis dujose. S

l

Silpname E lauke, srovės tankis labai mažas, todėl lygtyje: trečio nario galime nepaisyti. Tada gauname: . Įstatę į: , Gauname: Koeficientas nepriklauso nuo E, todėl srovės tankis didėja tiesiškai. Vadinasi, esant silpniems laukams iki U<U1, išlydžiui galioja Omo dėsnis.

Nesavaiminis išlydis dujose

Eenj )( −+ += µµ

02 =−−eljrng

rgn =

Ergej )( −+ += µµ

)( −+ + µµrge

Stipriame E lauke, rekombinacijos galime nepaisyti, nes beveik visi jonai pasiekia elektrodus ir neutralizuojasi todėl lygtyje: galime nepaisyti antro nario. Tada gauname: . Šiuo atveju gauname, kad srovės tankis nepriklauso nuo E, kas ir matosi voltamperinėje ch-koje – intervalas didelėse įtampose U2<U<U3

Nesavaiminis išlydis dujose

gelj =

02 =−−eljrng

Išlydis, vykstantis be išorinio jonizatoriaus stipriame E lauke, vadinamas savaiminiu. 1. Pakankamai stipriame E lauke, elektronai, atsiradę dėl jonizacijos yra greitinami ir įgyja pakankamai kinetinės energijos, kad atsitrenkę į kitą atomą, galėtų jį jonizuoti. Tai vadinama smūginė jonizacija. Išmušti elektronai toliau vėl yra greitinami ir jonizuoja kitus atomus. 2. Rekombinacijos proceso metu išlekia fotonai, kurie taip pat jonizuoja atomus. 3. E lauke greitinami ir jonai, kurie susidurdami su atomais, juos jonizuoja. 4. Teigiami jonai pasiekę katodą, iš jo išmuša elektronus. Esant šioms 4 sąlygoms, prasideda griūtinė jonizacija arba elektriniu dujų pramušimu. Įtampa, prie kurios prasideda griūtinė jonizacija, vadinama pramušimo įtampa Up. Šio proceso metu srovės tankis sparčiai didėja U>U3.

Savaiminis išlydis dujose – reikalingos sąlygos

Savaiminio išlydžio reiškinys yra kelių tipų: 1. Žėrintis (rusenantysis) išlydis – vykstantis praretintose dujose.

2. Vainikinis išlydis – vykstantis atmosferos slėgio dujose, esant stipriam nevienalyčiam elektriniam laukui.

3. Kibirkštinis išlydis - atmosferos slėgyje susidarantis išlydis, kai E yra pakankamai stiprus, t.y. E~3*104V/cm 4. Lankinis išlydis – vykstantis esant dideliai termoemisijai, suglaudus akimirkai du anglinius elektrodus, o paskui atitraukiant nedideliu atstumu vieną nuo kito.

Savaiminis išlydis dujose - tipai

Žėrintis (rusenantysis) išlydis – vykstantis praretintose dujose. Jam sukelti pakanka kelių šimtų voltų įtampos tarp elektrodų. Kai slėgis sumažinamas iki 660 Pa, švytintis ruožas tampa stabilus, susidedantis iš kelių šviesių sričių: 1 – katodinė plėvelė, 2 ir 3 – rusenančiojo švytėjimo sritys, 4 – švytintis teigiamas stulpas.


Žėrintis (rusenantysis) išlydis taikomas reklamų vamzdeliuose. Raudonai ima švytėti neono pripildyti vamzdeliai. Rusenantysis išlydis taikomas dienos lempose. Ją sudaro stiklinis vamzdelis, iš kurio išsiurbtas oras ir pripildytas gyvsidabrio garų. Vamzdelio vidus padengtas fluorescuojančia medžiaga – liuminoforu, kuri, veikiama ultravioletinių spindulių, skleidžia matomą šviesą. Šios šviesos atspalvis priklauso nuo liuminoforo sudėties.


Vainikinis išlydis susidaro esant atmosferos slėgiui, prie didelį elektros krūvį turinčio laidininko smaigalių vyksta dujinis išlydis, kurio švytinti dalis primena vainiką. Šį išlydį, vadinamą vainikiniu, sukelia labai stiprus prie įelektrinto smaigalio esantis nevienavytis elektrinis laukas. Vainikinio išlydžio pavojų gali sukelti kurių nors daiktų smaigaliai arba labai ploni laidai. Taip susidaro elektros energijos nuostoliai. Juo didesnė aukštosios įtampos linijos įtampa, juo storesni turi būti laidai. Veikiant atmosferos elektriniam laukui šviesus vainikas, liepsnelės matomos ant laivų stiebų, medžių viršūnių, bažnyčių bokštų, kryžių.


Kibirkštinis išlydis – atmosferos slėgyje susidarantis išlydis, kai E yra pakankamai stiprus, t.y. E~3*104V/cm. Tai reiškia, kad 1 mm storio “oras” yra pramušamas kibirkštinio išlydžio, esant 3000 V. Milžiniško kibirkštinio išlydžio pavyzdys – žaibas. Žaibas susidaro tarp dviejų debesų arba tarp Žemės ir debesies. Žaibo srovės stiprumas pasiekia 500 000 A, o potencialų skirtumas tarp debesies ir Žemės – milijardą voltų. Kibirkštis uždega benzino garus vidaus degimo variklyje.


Lankinis išlydis vyksta dujose tarp priešpriešais ar lygiagrečiai orientuotų elektrodų. Jis užsidega veikiant neaukštai įtampai (40-50V), tačiau srovės stiprumas turi būti didelis – dešimtys ir šimtai amperų. Tai aiškinama termoelektronine emisija iš karšto katodo (įkaista dėl jonų smūgių) ir smūgine šilumine jonizacija. Tarp elektrodų yra plazma, kurią sudaro elektronai, jonai, dujų ir elektrodų medžiagos normalieji bei sužadintieji atomai. Norint gauti elektros lanką, reikia įtampą prijungti prie dviejų anglinių elektrodų, jų galus akimirkai suglausti, o paskui atitraukti nedideliu atstumu vieną nuo kito. Elektrodai kontakto vietoje staiga įkaista, aukšta temperatūra jonizuoja orą, ir tarp jų galų sušvinta akinanti šviesa – elektros lankas. Elektros lanko temperatūra siekia 4000 oC. Elektros lankas naudojamas metalams lydyti, pjaustyti ir suvirinti. Tai galingiausias šviesos šaltinis prožektoriams ir kino aparatams.


Plazma – tai kvazineutrali atomų ir didelės koncentracijos įvairiaženklių krūvininkų sistema, kurios savybes sąlygoja toliasiekės elektrostatinės jėgos. Ji apibūdinama jonizacijos laipsniu α. Jis parodo, kuri tūrio vienete esančių atomų (molekulių) dalis yra jonizuota. Būdingiausias plazmos pavyzdys – jonizuotos dujos, kuriose todėl gausu elektronų ir teigiamų jonų. Šių krūvininkų kinetinė energija tokia didelė, kad jie nerekombinuoja. Gamtinė plazma sudaro apie 99,9% Visatos masės. Iš plazmos susideda Žemės jonosfera, Saulė, žvaigždės, jos yra tarpžvaigždinėje erdvėje. Plazma, kurios temperatūra T < 105 K, vadinama žemosios temperatūros plazma, o kurios T > 105 K, – aukštosios temperatūros plazma.

Dujų plazmos samprata. Svarbiausios plazmos savybės.

Būdingos plazmos savybės yra šios: 1. Plazmos krūvininkai sąveikauja toliasiekėmis Kulono jėgomis, t.y. į bet kokį išorinį poveikį plazma reaguoja kolektyviškai. Todėl joje sužadinami virpesiai ir bangos. 2. Plazma yra laidininkas. Dėl elektrinio lauko ekranavimo kiekvienas plazmos krūvininkas sąveikauja tik su tais, kurie yra Debajaus ekranavimo spindulio sferoje. T.y. Plazma elgiasi panašiai kaip ir laidininkas – ekranuoja išorinį E lauką. 3. Kai plazmos neveikia išoriniai elektriniai laukai, dėl Kuloninių jėgų ir inertiškumo (masės) jos krūvininkai virpa. 4. Plazmos temperatūra neapibrėžiama vienareikšmiškai vienu skaitiniu dydžiu.

Gali būti pusiausviroji arba izoterminė (visų ją sudarančių dalelių netvarkingojo judėjimo vidutinė kinetinė energija yra vienoda) ir nepusiausviroji arba neizoterminė (elektronų temperatūra Te >> už jonų temperatūrą Tj ir atomų temperatūrą Ta). Pvz. Ne išlydyje elektronų temperatūra Te~ 25000K, o jonų temperatūra Tj ~ 400K.

Dujų plazmos samprata. Svarbiausios plazmos savybės.

Termoelektronine emisija vadinamas elektronų išspinduliavimo iš karštų kietų ar skystų kūnų reiškinys. Pastebima termoelektroninė emisija iš grynųjų metalų prasideda, kai jų temperatūra viršija 2000°C.

Termoelektroninė emisija.

Paimkime metalo paviršių. Klasikinės (ne kvantinės) fizikos požiūriu metalas yra apibūdinamas kaip atomų branduolių gardelė, panardinta į elektronų dujas. Jei mes metalą įkaitinsim iki atitinkamos temperatūros, didžiausią energiją turintys elektronai išlėks iš paviršiaus. Paviršius, netekęs dalies elektronų įgys teigiamą potencialą, išlėkusių elektronų atžvilgiu, kurių potencialas yra neigiamas. Susidaręs elektrinis laukas trauks elektroną atgal. Todėl elektronui išlėkti iš paviršiaus reikia tam tikros energijos kiekio. Ši energija vadinama elektronų išlaisvinimo darbu A. Ir yra lygi elektrono krūvio ir potencialų skirtumo sandaugai: Dydis A priklauso tik nuo metalo paviršiaus cheminės sudėties ir paviršiaus būsenos (šiurkštumo).

Termoelektroninė emisija. Elektrono išlaisvinimo darbas.

ϕ∆= eA

Termoelektroninės emisijos dėsningumai ir ypatumai: Įkaitusiame metale esant konkrečiai temperatūrai, elektronų kinetinė energija yra nevienoda, o pasiskirsčiusi pagal Maksvelio skirstinį, kaip ir idealiose dujose Todėl iš kūno išlekia tik tie elektronai, kurių šiluminio judėjimo (kinetinė) energija ne mažesnė už jų išlaisvinimo darbą. Elektronų spinduliuojama tuo daugiau, kuo karštesnis kūnas, nes didėja tokių elektronų skaičius. Imant skirtingų metalų paviršius, kuo mažesnis elektronų išlaisvinimo darbas, tuo daugiau esant tai pačiai temperatūrai išlėks elektronų. Kai metalo paviršius padengiamas kito, mažesnio išlaisvinimo darbo, metalo ar kai kurių metalų oksidų plėvele, spinduliuojama daug kartų daugiau elektronų.


Paprasčiausiai stebėti TE yra dviejų elektrodų - katodo (neigiamo) ir anodo (teigiamo) vakuuminėje lempoje – vakuuminiame diode. Katodu paleidžiama stipri elektros srovė, kuri tekėdama 1 grandine, įkaitina jį iki 1000-2000oC temperatūros. Dėl TE, elektronai išlekia iš katodo, sudarydami aplink jį elektronų debesėlį, kadangi katodas, dėl jų trūkumo įgyja teigiamą potencialą. Elektronai iš katodo išlekia pastoviai, bet tiek pat jų sugryžta. Jei mes papildomai pajungsime įtampą tarp katodo ir anodo (teigiamą) ir sudarysime uždarą grandinę 2, kurioje prijungtas ampermetras, tai iš elektroninio debeselio anodo link pradės judėti elektronai ir mes ampermetru fiksuosime elektros srovę, kurios stipris priklausys nuo kelių parametrų. Srovės stipris priklauso nuo: 1. Katodo savybių – ploto ir paviršiaus sudėties ir būsenos, 2. Tarpelektrodinės erdvės geometrinių matmenų, 3. Įtampos, 4. Temperatūros.


1

2 -

+

Esant tam pačiam vakuuminiam diodui, stipris priklauso tik nuo 1. Įtampos, 2. Temperatūros.

Esant tai pačiai katodo temperatūrai jis priklauso tik nuo įtampos. Padidinus įtampą tarp katodo ir anodo, iš elektronų debeselio elektronai pradeda lėkti link anodo ir pasiekia jį. Stipris aprašomas vadinamu trijų antrųjų dėsniu: Kuo didesnė įtampa, tuo didesnė dalis elektronų iš debesėlio pasiekia anodą. Pasiekus atitinkamo dydžio įtampą, visi išlėkę iš katodo elektronai pasiekia anodą, t.y. kiek išlekia, tiek pasiekia, o debesėlio nebelieka.Todėl tolesnis įtampos didinimas srovės nekeičia – nes išlėkusių elektronų skaičius priklauso nuo katodo temperatūros, kuri yra mūsų atveju pastovi. Srovės stipris pasiekia soties vertę. Soties vertė pasikeistų, jei mes padidintume katodo temperatūrą. Šiuo atveju voltamperinės ch-kos forma būtų tokia pati, tik horizontali sritis būtų aukščiau, o jei temp mažesnė – žemiau. Tai reiškia, kad išlekusių elektronų skaičių o ir soties srovę lemia tik katodo temperatūra.


1

2 -

+

23

BUj =

Soties srovę ir išlekusių elektronų skaičių lemia tik katodo temperatūra. Kitaip tariant – elektronų kinetinė energija. Jei metalo paviršių gali palikti tik tie elektronai, kurių energija yra didesnė, nei elektrono išlaisvinimo darbas, tai soties srovės reikšmę konkrečiam katodui lems tokių elektronų skaičius arba koncentracija. Tokių elektronų koncentracija apibūdinama kaip minėjome Maksvelio skirstiniu. O. V. Ričardas 1914 m., išlėkusių elektronų skaičių per 1 s, per 1 m2 gavo pritaikęs Maksvelio skirstinį ir jį suintegravęs pagal energijos vertes nuo A iki begalybės. S. Dašmanas, remdamasis kvantine teorija jį patikslino ir gavo: Tai vadinama Ričardsono ir Dašmano formulė, aprašanti soties srovės priklausomybę nuo katodo temperatūros, esant konkrečiam katodui (A). čia: - konstantė.

Termoelektroninė emisija. Ričardsono ir Dašmeno formulė.

∫∞

=A

sot dWWfCj )(

kTA

sot eCTj−

= 2

ehkmC e

3

22π=

Magnetinis laukas vakuume

Magnetinis laukas vakuume – svarbiausios charakteristikos

Pirmą kartą istorijoje minimas 4000 m. pr.m.e Kinijoje. Tik 1820 m. H. Erstedas atrado elektrinių ir magnetinių reiškinių sąryšį. 1845 m. M. Faradėjus pirmasis pavartojo magnetinio lauko sąvoką. Magnetinis laukas – atskira elektromagnetinio lauko apraiška, pasižyminti jam charakteringomis savybėmis. Pagrindinė magnetinio lauko, kaip ir visų laukų, savybė – veikti kūną jėga. Charakteringosios magnetinio lauko savybės: 1. Magnetinį lauką kuria tik judantys krūviai. 2. Magnetinis laukas veikia jėga tik judančius krūvius. 3. Magnetinis laukas nėra potencialinis - jėgų linijos yra visada uždaros. 4. Magnetinio lauko jėga veikia statmenai krūvio judėjimo krypčiai ir lauko stipriui. Pagrindinė magnetinio lauko savybė – veikti judantį krūvį jėga.

Magnetinis laukas vakuume – svarbiausios charakteristikos

Pagrindinės magnetinio lauko charakteristikos: 1. Magnetinė indukcija - B, 2. Magnetinio lauko stipris – H, 3. Magnetinio lauko srautas – Φ,

Magnetinis laukas vakuume – magnetinė indukcija

Svarbiausia magnetinio lauko poveikio charakteristika yra magnetinė indukcija. Magnetinė indukcija B – magnetinio lauko jėginė charakteristika, apibūdinanti magnetinio lauko mechaninį poveikį judantiems krūviams. Apibūdinama dviem būdais: 1. Srovės rėmelio sukimo gebėjimu.

2. Srovės vienetinio ilgio veikimu jėga.

Srovės rėmelio sukimo gebėjimas. Srovės rėmelis, kurio teka elektros srovė, patalpintas statmenai magnetinio lauko linijoms, yra sukamas. Gebėjimas sukti apibūdinamas jėgos momentu: Jei rėmelis bus vienetinis, t.y. jo plotas bus lygus 1 m2 ir juo tekės 1 A srovė, jėgos momentas bus lygus magnetinei indukcijai. Todėl: Magnetinė indukcija skaitine verte lygi jėgos momentui, veikiančiam vienetinio ploto, kuriuo teka 1 A elektros srovė srovės rėmelį patalpintą statmenai į magnetinį lauką.

B

Magnetinė indukcija

ISMB

=

BISnM

×=

)1( == ISkaiMB

M

Srovės vienetinio ilgio veikimu jėga. Magnetinę indukciją galima apibūdinti ir kitaip – per jėgą veikiančią laidininką, kuriuo teka srovė ir kuris patalpintas statmenai išoriniam magnetiniam laukui. Magnetinė indukcija yra lygi jėgai, veikiančiai 1 m ilgio laidininką, kuriuo teka 1 A elektros srovė, patalpintą statmenai išoriniam magnetiniam laukui. Nepriklausomai nuo apibūdinimo, magnetinės indukcijos matavimo vienetas: Tesla (T), kas yra 1 T=1 N/Am.

Magnetinis laukas vakuume – magnetinė indukcija

)1( === IlkaiFIlFB

B

I

F

BlIF

×=

)1( === IlkaiBIlBF

Magnetinis laukas vakuume – magnetinės indukcijos linijos

Magnetinį lauką grafiškai vaizduojame magnetinės indukcijos linijomis, kurių liestinės kiekviename taške sutampa su vektoriaus B kryptimi. Magnetinės indukcijos linijų kryptis nusakoma dešininio sraigto taisykle: Jei sukamas dešininis sraigtas slenka srovės kryptimi, tai sukimo kryptis rodo magnetinės indukcijos kryptį. Kitaip: magnetinės indukcijos linijų sukimosi kryptis sutampa su laikrodžio rodyklės kryptimi, jei žiūrėtume į laidą iš galo, o srovė tekėtų nuo mūsų. Linijų tankis yra proporcingas vektoriaus B moduliui. Nuolatinio magneto lauko linijos išeina iš šiaurinio ir sueina į pietinį polių.

Srovės elemento sukurtas magnetinis laukas

Magnetinį lauką kuria tik judantys krūviai, o elektros srovė yra kryptingas krūvių judėjimas. Todėl: Laidininku tekanti srovė visada kuria sūkurinį magnetinį lauką. Šio lauko magnetinės indukcijos dydis bet kuriame erdvės taške nusakomas Bio ir Savaro dėsniu. Čia Idl – nykstamai mažas srovės elementas, kuriantis aplink save sūkurinį lauką, apibūdinamą elementarios magnetinės indukcijos dydžiu dB.

Matome, kad elektros srovės magnetinės indukcijos dydis priklauso nuo:

1. Elektros srovės stiprio I, 2. Atstumo nuo laidininko r, 3. Kampo α,

30

4 rrlIdBd

×=

πµ α

πµ sin4 2

0

rIdldB =

Judančio elektrono sukurtas magnetinis laukas

Paimkime srovės elementą: Kadangi elektros srovė yra kryptingas krūvininkų judėjimas, o jos stipris išreiškiamas: tai pritaikę srovės elementui: Jei istatysime vietoj nykstamai mažo krūvio - elektrono krūvį , ir pritaikysim Bio ir Savaro dėsnį, gausime judančio greičiu v elektrono kuriamo lauko magnetinės indukcijos dydį bet kuriame erdvės taške:

30

4 rrlIdBd

×=

πµ

lId

dtdqI = dqv

dtdldqdl

dtdqIdl ===

dq e

30

4 rrveB ×

=π

µ

Laisvo judančio elektrono sukurtas magnetinis laukas

30

4 rrveB ×

=π

µ

Tiesiu laidu tekančios srovės magnetinis laukas

Nustatyta, kad magnetiniams laukams galioja superpozicijos principas: kelių šaltinių sukurto magnetinio lauko magnetinė indukcija B yra lygi kiekvieno jų atskirai sukurto lauko indukcijų geometrinei sumai. Norint suskaičiuoti bet kokio laidininko sukurtą magnetinį lauką kuriame nors taške, reikia integruoti (sumuoti) visų srovės elementų sukurtus magnetinius laukus: arba skaliariškai: Be galo ilgo laidininko magnetinė indukcija taške C:

∫∫×

==ll r

rlIdBdB 30

4

πµ

dlr

IdBB ∫∫ ==2

12

02

1

sin4

απ

µ

∑=i

iBB

aIB 2

40

πµ

=

Apskritiminės srovės magnetinis laukas

Apskritimo formos laido centre magnetinis laukas skaičiuojamas taip pat taikant superpozicijos principą. Kadangi visų apskritimo srovės elementų sukurtas magnetinis laukas centre yra tos pačios krypties, jų laukai sumuojasi (arba integruojasi pagal apskritimo ilgį: Galima įrodyti, kad ašies taškuose nutolusiuose nuo centro atstumu h, magnetinė indukcija lygi:

RI

RIdl

RIdBB

ll 22

4400

20 µπ

πµ

πµ

==== ∫∫

2/322

20

)(2 hRIRB

+=

µ

Visuminės srovės dėsnis

Elektrinio lauko vektoriaus cirkuliacija yra lygi nuliui – tai yra jo potencialumo savybė: Skirtingai nuo elektrinio lauko, magnetinės indukcijos linijos yra sūkurinės: , kadangi aplinkui tiesų laidą, per kurį teka elektros srovė, sukurtas

magnetinės indukcijos dydis, bet kuriame apskritiminio kontūro taške, spinduliu R nuo centro yra: įstatę ir suintegravę gauname: Kai kontūras juosia keletą nuolatinių elektros srovių, jų sukurto suminio magnetinio lauko indukcija šiuo kontūru proporcinga juosiamų srovės stiprių algebrinei sumai:

0=∫l

ldE

RIB 2

40

πµ

=

∫∫ =ll

BdlldB

IldBl

0µ=∫

∑∫ =i

il

IldB 0µ

Visuminės srovės dėsnio taikymas solenoidui Solenoidu vadinama cilindrinė ritė, susidedanti iš daugelio plonos vielos vijų, sudarančių sraigtinę liniją. Paskaičiuokime vektoriaus B cirkuliaciją kontūru 12341. Laikykime, kad 4-1 yra toli, tai B=0 2-1 ir 3-4 – taip pat B=0. Todėl B nelygi nuliui tik 2-3 atkarpoje gauname: Pagal visuminės srovės dėsnį vektoriaus cirkuliacija išilgai kontūro 12341: sulyginę ir išreiškę B gauname solenoido viduje kuriamą magnetinės indukcijos dydį:

∫∫∫∫∫ +++=1

4

4

3

3

2

2

1

ldBldBldBldBldBl

BlldBl

=∫

NIIldBi

il

00 µµ == ∑∫

nIIlNB 00 µµ ==

Magnetinis srautas

Magnetiniu srautu, veriančiu plotelį dS, vadinamas fizikinis dydis dΦ, lygus magnetinės indukcijos B ir to plotelio skaliarinei sandaugai: Magnetinės indukcijos pilnas vektoriaus B srautas (magnetinis srautas) pro bet kokio ploto S paviršių išreiškiamas: , jeigu magnetinis laukas vienalytis, tai: Magnetinio srauto vienetas – vėberis (Wb). 1 Wb = 1T*1m2 lygus magnetiniam srautui, kurį sukuria 1T indukcijos magnetinis laukas, praeinantis pro 1 m2 ploto paviršių, statmeną magnetinio lauko krypčiai.

∫=ΦS

SdB

BS=Φ

BdSd =Φ

Gauso dėsnis magnetiniam laukui

Gauso dėsnis magnetiniam laukui aprašo jo sūkuriškumo (uždarumo) sąlygą. Magnetinio lauko linijos įėjusios į uždarą paviršių, būtinai iš jo išeina. Vadinasi, kiekvieno magnetinio lauko indukcijos vektoriaus srautas pro bet kokį ploto S uždarąjį paviršių visuomet lygus nuliui: Diferencialinė Gauso dėsnio išraiška yra: Remiantis šiuo dėsniu teigiama, kad magnetinių krūvių nėra.

0==Φ ∫S

SdB

0==∇ BdivB

Magnetinio lauko ir elektros srovės sąveika – Ampero jėga

Patalpinus laidininką į magnetinį lauką, jį pradeda veikti jėga. A. Amperas nustatė, kad elementarioji jėga, kuria indukcijos B magnetinis laukas veikia srovės elementą Idl, yra lygi: - ši jėga vadinama Ampero jėga. Ji didžiausia, kai vektoriai dl ir B statmeni. Ilgio l laidininkui: Skaliariškai: Ampero jėgos kryptis nustatoma vektorinės sandaugos arba kairiosios rankos taisyklėmis. Kuri formuluojama taip: linijos statmenai veria delną, keturi ištiesti pirštai rodo srovės kryptį, o delno plokštumoje 90º kampu atlenktas nykštys rodo Ampero jėgos kryptį.

BlIdFd

×=

∫ ×=l

BlIdF

αsinIdlBF =

Magnetinio lauko ir elektros srovės sąveika – Ampero dėsnis

Kiekvienas laidininkas, kuriuo teka elektros srovė, kuria aplink save sūkurinį magnetinį lauką. Jeigu tokie laidininkai yra netoli vienas kito ir yra lygiagretūs vienas kitam, jie veikia vienas kitą jėga. Ši jėga, priklausomai nuo srovės krypčių viena kitos atžvilgiu, gali būti stūmos arba traukos. Šios lygtys išreiškia Ampero dėsnį: dviejų plonų be galo ilgų lygiagrečių laidų, kuriais teka srovės, magnetinės sąveikos jėga proporcinga srovių stiprių sandaugai, laido ilgiui ir atvirkščiai proporcinga atstumui tarp jų.

dlIIlBIF

πµ

221

01212 ==

1221

02121 2F

dlIIlBIF ===

πµ

Krūvininkų judėjimas elektromagnetiniame lauke. Lorenco jėga.

Kiekvieną nejudančią, turinčią krūvį q dalelę, esančią elektriniame lauke, veikia jėga: Magnetinis laukas dalelę, turinčią krūvį, veikia ypatingai. Charakteringosios magnetinio lauko poveikio dalelei, turinčiai krūvį, savybės: 1. Magnetinio lauko veikimo jėga priklauso nuo: 1.1 Magnetinio lauko indukcijos, 1.2 Dalelės krūvio, 1.3 Dalelės judėjimo greičio, 1.4 Kampo tarp dalelės judėjimo krypties ir B vektoriaus krypties. 2. Magnetinio lauko jėga veikia statmenai dalelės judėjimo krypčiai ir B vektoriui. 3. Magnetinis laukas veikdamas dalelę jėga keičia tik jos kryptį, bet nekeičia jos

energijos.

EqFe

=

Krūvininkų judėjimas elektromagnetiniame lauke. Lorenco jėga.

Magnetinio lauko jėgos poveikį pirmasis ištyrė H. Lorencas. Šios jėgos dydis, kuris yra vadinamas magnetine Lorenco jėgos komponente yra lygus: arba skaliariškai: Bendrai Lorenco jėga vadinama elektromagnetinio poveikio jėga:

BvqFm

×= αsinqvBqvBFm ==

BvqEqFFF meL

×+=+=

Holo reiškinys

Holo reiškinys – reiškinys, pagrįstas Lorenco jėgos veikimu. Holo reiškinys – skersinio potencialų skirtumo atsiradimas plokščiame laidininke, veikiant statmenai magnetiniam laukui.

Magnetinis laukas medžiagoje. Medžiagos įmagnetėjimas

Kiekvienas judantis krūvis kuria aplink save sūkurinį magnetinį lauką, kurio stiprumas priklauso nuo judėjimo greičio ir krūvio dydžio: Elektrono, judančio apskritimine atomo orbita, būseną patogu nusakyti orbitiniu impulso momentu: Tokios sistemos, turinčios krūvį ir impulso momentą, magnetinės savybės aprašomos dydžiu, vadinamu elektrono orbitiniu magnetiniu momentu: Jis yra vektorius, nukreiptas priešinga Ll kryptimi. Kiekvienam elektronui, be orbitinio impulso momento Ll būdingas ir savasis judesio kiekio momentas arba spinas - Ls, su kuriuo susijęs savasis magnetinis momentas

vmrLl

×=

lm Lmep

2−=

sms Lmep

−=

30

4 rrvqB ×

=πµ


Atomo atstojamasis magnetinis momentas yra lygus visų jo elektronų orbitinių ir savųjų momentų geometrinei sumai: Priklausomai nuo orbitinių momentų išsidėstymo, atomo magnetinis momentas gali būti lygus arba nelygus nuliui. Makroskopinio kūno magnetinis momentas yra lygus visų jį sudarančių atomų magnetinių momentų geometrinei sumai: Šio kūno tūrio vieneto magnetinis momentas yra vadinamas medžiagos įmagnetėjimu. Magnetinis laukas veikia medžiagoje esančius magnetinius momentus atitinkamai juos orientuodamas, todėl pakeičia jos įmagnetėjimą ir magnetinio lauko indukcijos viduje dydį. Įmagnetėjimas priklauso nuo išorinio magnetinio lauko stiprio H ir medžiagos tipo:

∑∑ +=i

msii

mia ppp

∑=i

am pP

V

p

VP

M ia

m∑

==

HM

χ=


Koeficientas - vadinamas magnetine juta, laikomas kiekybiniu struktūrinių pokyčių, sukeltų išorinio magnetinio lauko, medžiagoje matu. Jis išreiškiamas: Koeficientas - vadinamas santykine magnetine skvarba ir yra lygus vidinės ir išorinės magnetinės indukcijos medžiagoje santykiui: Jis priklauso nuo medžiagos, išorinio magnetinio lauko stiprio, temperatūros ir dažnio. Išreiškę , gauname magnetinės indukcijos medžiagoje priklausomybę nuo išorinio magnetinio lauko stiprio, kurios dydis, kryptis ir kitimo pobūdis priklauso nuo įmagnetėjimo mechanizmų vykstančių įvairiose medžiagose.

χHM

χ=

1−= µχ

µ

00 BB

HB

==µ

µ

HB 0µµ=


Įmagnetėjimo dydį ir kitimo pobūdį lemia medžiagos struktūriniai ypatumai, t.y. Atomų rūšis, jų magnetinių momentų išsidėstymas kristalinėje gardelėje ir mikrostruktūrinių, tokia pat tvarka išsidėsčiusių, elementų. Reiškiniai, vykstantys medžiagose, veikiant jas išoriniu magnetiniu lauku, skirstomi į: 1. Paramagnetinius, 2. Diamagnetinius, 3. Feromagnetinius, 4. Antiferomagnetinius ir 5. Ferimagnetinius. Magnetinės indukcijos dydis medžiagoje priklausys nuo jos savybių, priklausomai nuo to, kokie įmagnetėjimo reiškiniai vyks. Kadangi įmagnetėjimo reiškinių kiekybinį pasireiškimą parodo santykinė magnetinės skvarbos dydis, tai magnetinio lauko priklausomumo dėsniai yra papildomi šiuo dydžiu. Pvz.: Bio ir Savaro dėsnis medžiagoje yra:

30

4 rrlIdBd

×=

πµµ

Atomų, kurių išoriniai orbitiniai elektronų momentai yra nekompensuoti, magnetinis momentas, . Tačiau dėl šiluminio judėjimo medžiagoje, neesant išorinio magnetinio lauko, jos bendras įmagnetėjimas ir magnetinio lauko indukcija yra lygus nuliui.

Paveikus tokią medžiagą magnetiniu lauku, atomų magnetinių momentų išsidėstyme pradeda dominuoti viena kryptis. Magnetinio lauko indukcija ir įmagnetėjimas padidėja. Įmagnetėjimo dydis išreiškiamas: čia - atomų koncentracija.

Medžiagos, sudarytos iš magnetinius momentus turinčių atomų, tačiau nedaug įsimagnetinančios išoriniame lauke, vadinamos paramagnetikais. Jų magnetinis jautrio ženklas yra teigiamas, o dydis =10-5-10-2 mažas. Jis nepriklauso nuo išorinio magnetinio lauko stiprio, tačiau priklauso nuo temperatūros. Paramagnetikai yra dujos, skysčiai, visi magnetiniame lauke silpnai įsimagnetinantys metalai Pt, Al, Ti, Cu, Co, Ni, Mn, V, Cr.

Paramagnetizmas

0≠ap

↑B

0=H

0≠H

HHkT

pnM a

χµ==

3

200 0n

χ

Iš elektromagnetizmo teorijos žinoma, kad bet koks išorinio magnetinio lauko, veriančio kontūrą, pokytis indukuoja kontūre srovę, kurios magnetinis laukas priešinasi išorinio lauko pokyčiams (E. Lenco taisyklė). Įnešus medžiagą į magnetinį lauką, atomo elektronų judėjime pasireiškia precesijos aplink magnetinio lauko linijas efektas. Šis papildomas judėjimas indukuoja priešingos laukui krypties magnetinį momentą arba įmagnetėjimą: - atomo elektronų skaičius. - elektrono orbitos plokštumoje, statmenoje magnetiniam laukui, projekcija

Tokiu būdu, įvyksta išorinio magnetinio lauko išstūmimas iš medžiagos arba lauko ekranavimas. Diamagnetizmo reiškinys vyksta visose medžiagose, tačiau jo dydis yra skirtingas. Stipriausiai jis pasireiškia medžiagose, sudarytose iš atomų, kurių išoriniai elektronų sluoksniai yra visiškai užpildyti. Tokių atomų . Diamagnetikų magnetinis jautris yra neigiamas, jo vertė nedidelė. Medžiagos, kuriose pasireiškia tik diamagnetizmo reiškinys vadinamos diamagnetikais. Tai Sb, C, Te, Au, Ag, Hg, Zn, Bi, daugelis mineralų, organinės medžiagos, vanduo.

Diamagnetizmas 0=H

0≠H

0→B

HHm

SZenM

χπ

µ=−=

40

200

0SZ

0=ap

Feromagnetikais vadinamos medžiagos, pasižyminčios savaiminiu įmagnetėjimu. T.y., panaikinus išorinį magnetinį lauką, medžiagos įmagnetėjimas nėra lygus nuliui. Feromagnetizmo reiškiniu pasižyminčios medžiagos turi dar kelias savybes: 1. Didelė santykinė magnetinė skvarba; 2. Magnetinės skvarbos priklausomybė nuo išorinio magnetinio lauko; 3. Feromagnetinės histerezės reiškinys; 4. Magnetinės skvarbos priklausomybė nuo temperatūros. Feromagnetizmo reiškinio ir feromagnetikų savybių ypatumai aiškinami savaime įsimagnetinusių sritelių, vadinamų feromagnetiniais domenais, susidarymu. Domenų susidarymo teoriją sukūrė Landau ir Livšicas dar 1935 metais. Ši teorija pagrįsta kelių tipų energijų konkuravimo procesu, kurio metu vyksta kristalo domeninis susiskaldymas Feromagnetikais gali būti tik tokios medžiagos, kurių paskutiniai sluoksniai yra nepilnai užpildyti elektronais, t.y. jų . Tokiems atomams, turintiems magnetinį momentą, atitinkamoje kristalinėje gardelėje energetiškai yra palankiau išsidėstyti tvarkingai.

Feromagnetizmas

0≠ap

Norint pakreipti visus masyvaus, bet ribotų matmenų, kristalo atomų magnetinius momentus lygiagrečiai, reikia suteikti papildomos energijos. Ši energija yra lygi tokio kristalo kuriamai magnetinio lauko energijai. Todėl tokiam kristalui energetiškai palankiau susiskaldyti į antilygiagrečias sritis. Tai atitinka mažesnę energiją. Susiskaldymui į domenus, t.y. domeninių sienelių sukūrimui, taip pat reikia energijos. Dauguma feromagnetikų, priklausomai nuo kristalinės gardelės tipo ir cheminės sudėties, pasižymi magnetine anizotropija, todėl viena kryptimi susiskaldymo energija gali būti mažesnė, nei kitomis. Šių trijų tipų energijų konkurencija, bei anizotropija lemia atitinkamos formos ir matmenų domeninės struktūros susidarymą. Procesas baigiasi, nusistovėjus energetinei pusiausvyrai, kuri atitinka mažiausią vidinę kristalo energiją.

Feromagnetizmas – domenai

Feromagnetiką patalpinus į išorinį magnetinį lauką, domenai pradeda orientuotis lygiagrečiai, todėl bendras įmagnetėjimas didėja. Didėjant magnetinio lauko stipriui, pasiekiama vertė, kai visi domenai išsirikiuoja lygiagrečiai. Šiame taške kristalo įmagnetėjimas yra maksimalus, todėl tolesnis magnetinio lauko didinimas jo nekeičia. Magnetinio lauko stiprį mažinant, dėl domenų sienelių trinties, įmagnetėjimas mažėja ne pagal pradinio didėjimo priklausomybę. Magnetiniam laukui pasiekus nulinę vertę, dalis domenų lieka orientuoti, todėl medžiagos viduje magnetinė indukcija nelygi nuliui. Kristalas yra įmagnetintoj būsenoj. Ši įmagnetėjimo vertė vadinama liktiniu įmagnetėjimu. Magnetinį lauką didinant priešinga kryptimi, domenų tvarkinga orientacija ardoma. Pasiekus išmagnetinimo vertę, vadinamą koerciniu lauko stipriu, feromagnetiko įmagnetėjimas yra panaikinamas. Tolesnis lauko didinimas sukelia analogišką pradiniam procesą, tik priešinga kryptimi. Vyksta įmagnetėjimas iki soties vertės, o mažinant lauką gaunamas priešingos krypties liktinis įmagnetėjimas. Tokia medžiagos įmagnetėjimo priklausomybė nuo išorinio magnetinio lauko vadinama magnetinė histerezė.

Feromagnetizmas - histerezė

Magnetinė histerezė apibūdinama tokiais taškais: Bmax – maksimali magnetinės indukcijos vertė, įsotinus feromagnetiką, Br – liktinės magnetinės indukcijos vertė (įsotinus bandinį). Hmax – feromagnetiko įsotinimo magnetinio lauko stipris. Hc – koercinis magnetinio lauko stipris. Magnetinės histerezės „aukštis“ iki įsotinimo taško priklauso nuo išorinio lauko stiprio. Atitinkamai parinkus maksimalias magnetinio lauko stiprio vertes, galima gauti visą histerezinių kilpų šeimą. Visų histerezės viršūnių taškai sudaro pagrindinę medžiagos įmagnetėjimo charakteristiką. Įsotintos magnetinės histerezės plotis, aukštis ir plotas priklauso nuo konkretaus feromagnetiko.

Feromagnetizmas - histerezė

H

B

Magnetinė skvarba taip pat priklauso nuo temperatūros ir yra didžiausia ties Kiuri tašku, virš kurio feromagnetiniai domenai dėl intensyvaus šiluminio judėjimo yra suardomi. Kiuri temperatūroje įvyksta fazinis virsmas.

Feromagnetizmas – Kiuri taškas

Feritais vadinami sudėtingi oksidai, kurių bendra formulė yra MOFe2O3. MO simboliais žymimas dažniausiai dvivalentis (nors gali būti ir kitokio valentingumo) metalo oksidas. Tai gali būti Fe+2, Co+2, Ni+2, Zn+2, Cd+2 ir kiti. Metalo elementas apibūdina feritą, kurio pavadinimas parenkamas pagal metalo joną. Pvz.: NiFe2O4 – nikelio feritas, CoFe2O4 – kobalto feritas. Kristalinė feritų struktūra yra analogiška gamtinio mineralo - špinelio MgAl2O4 struktūrai. Feritai pasižymi visa eile unikalių magnetinių savybių. Tai: 1. Didelė santykinė magnetinė skvarba, 2. Aukštos įmagnetėjimo ir liktinės indukcijos vertės.

Feromagnetizmas - feritai

Pagal histerezės formą, kuri lemia medžiagos taikymo sritį, feritai skirstomi į minkštamagnečius ir kietamagnečius. Kietamagnečių medžiagų histerezės plotis ir plotas yra santykinai didelis, atitinkamai didelė ir koercinio lauko vertė. Minkštamagnetėm medžiagom atvirkščiai. Minkštamagnečiai feritai plačiai naudojami radiotechnikoje kaip aukšto dažnio įrenginių induktyvinių ričių šerdys, jie naudojami magnetinėse galvutėse, transformatoriuose, magnetinėse antenose ir kt. Kietamagnečiai feritai taikomi stipria liktine indukcija pasižyminčių pastovių magnetų gamyboje. Feritiniai magnetai plačiai naudojami pastovios srovės elektromotoruose, garsiakalbiuose ir kituose įrenginiuose reikalaujančiuose pastovių, didelio įmagnetėjimo magnetų. Šios medžiagos naudojamos atminties elementuose, magnetofonų ir videomagnetofonų juostose ar diskuose.

Feromagnetizmas - feritai

Elektromagnetinė indukcija - reiškinys

Kaip žinome 1820 m. Erstedas atrado elektros srovės kuriamą magnetinį lauką. Šis efektas yra tiesioginis įrodymas, kad elektriniai ir magnetiniai reiškiniai tarpusavyje susiję. Nuo to laiko buvo ieškoma atvirkštinio reiškinio – elektros srovės atsiradimo ir priklausomybės nuo magnetinio lauko. 1837 m. M. Faradėjus atrado šią priklausomybę, vadinamą: Elektromagnetinės indukcijos reiškiniu - kai kinta laidų kontūrą veriantis magnetinis srautas, jame atsiranda elektrovaros jėga. Magnetinį srautą galima keisti įvairiais būdais – tolinant-artinant, judinant magneto lauką skersai laido, stiprinant-silpninant lauką arba sukant rėmelį magnetiniame lauke.

Elektromagnetinė indukcija - dėsnis

Magnetinį srautą galima keisti įvairiais būdais: - tolinant-artinant, - judinant magneto lauką skersai laido, - stiprinant-silpinant lauką, - sukant rėmelį magnetiniame lauke. Svarbiausia magnetinio lauko poveikio charakteristika laidininkui yra apibūdinama: Faradėjaus elektromagnetinės indukcijos dėsniu: indukcinė elektrovaros jėga Εi (atsiradusi kertant magnetinio lauko linijoms laidininką) nepriklauso nuo magnetinio srauto kitimo priežasties, o priklauso tik nuo jo kitimo spartos. Matematiškai tai užrašoma:

dtd

iΦ

−=Ε

Elektromagnetinė indukcija – elektrovaros jėgos kryptis

Minuso ženklas prieš srauto kitimo spartą išreiškia elektrovaros jėgos, atsiradusios, dėl magnetinio lauko poveikio, veikimo kryptį. Tai nusakoma E. Lenco taisykle: Indukuotoji srovė teka tokia kryptimi, kad jos pačios kuriamas magnetinis laukas priešinasi tam magnetinio lauko kitimui, dėl kurio atsiranda srovė. Stiprėjant magnetinės indukcijos srautui, indukcinės srovės magnetinio lauko jėgų linijos nukreiptos priešinga išoriniam magnetiniam laukui kryptimi. Silpnėjant - atvirkščiai, nukreiptos išorinio lauko kryptimi.

dtd

iΦ

−=ε

Elektromagnetinė indukcija - indukcinės evj kilmė

Indukcinės elektrovaros jėgos kilmė aiškinama skiriant du atvejus: 1. Judančiame laidininke,

2. Nejudančiame laidininke

Indukcinės evj kilmė judančiame laidininke

Tarkime turime ilgio l laidininką, judantį pastoviu greičiu statmenai magnetinio lauko linijoms kryptimi Ox. Laidininke esančius elektronus šiuo atveju pradės veikti Lorenco jėgos magnetinė komponentė: Ši jėga perskirstys krūvininkus taip, kad gale C atsiras jų perteklius.

Dėl to tarp laido galų atsiras potencialų skirtumas ϕ1−ϕ2, o laidininke – E stiprumo elektrostatinis laukas: , kurio kryptis yra priešinga FLm. Nusistovėjus pusiausvyrai: Todėl: . Iš kitos pusės elektrostatinio lauko ir potencialų skirtumo ryšys:

Išreiškę potencialų skirtumą: Atvirai grandinei, elektrovaros arba: jėga lygi potencialų skirtumui:

BvqFLm

×=

EqFe

= qvBqE =

dtdxBvBE ==

lE 21 ϕϕ −

=

dtd

dtdSB

dtdxlBlE Φ

====− 21 ϕϕ

dtdΦ

=−=− εϕϕ 21 dtdΦ

−=ε

Indukcinės evj kilmė judančiame laidininke

Kadangi potencialų skirtumas yra lygus elektrovaros jėgai, iš prieš tai gautos išraiškos: arba: Todėl indukcinės elektrovaros jėgos dydis priklauso nuo laido judėjimo greičio v, ilgio l ir magnetinės indukcijos stiprio B. Šiuo efektu yra pagrįstas elektros srovės generatoriaus veikimas. Magnetiniame lauke atitinkamu kampiniu dažniu yra sukamas rėmelis. Rėmelio, besisukančio pastoviame magnetiniame lauke indukcinė evj yra lygi:

dtdΦ

−=ε

lBv=εlBvdtdxlBlE ===− 21 ϕϕ

tBSdtd ωωε sin−=

Φ−=

Indukcinės evj kilmė nejudančiame laidininke

Kaip matėme iš Faradėjaus elektromagnetinės indukcijos dėsnio, elektrovaros jėga atsiranda ir nejudančiame laidininke, jeigu jį kerta kintamas magnetinis laukas. Šį reiškinį paaiškino Dž. Maksvelio sukurta elektromagnetizmo teorija, kurioje įrodoma, kad kiekvienas kintamas magnetinis laukas aplink save kuria sūkurinį elektrinį lauką. Šio elektrinio sūkurinio lauko sukimosi kryptį lemia magnetinio lauko kitimo pobūdis. T.y. priklauso ar magnetinis laukas yra stiprėjantis ar silpnėjantis.

dtdΦ

−=ε

Indukcinės evj kilmė nejudančiame laidininke

Elektrovara lygi pašalinių jėgų darbui perkeliant teigiamą vienetinį krūvį uždara grandine: o pagal Faradėjaus elektromagnetinės indukcijos dėsnį elektrovara: Vadinasi, sūkurinio elektrinio lauko stiprio cirkuliacija kontūru l lygi indukcinei elektrovarai:

∫=l

ldE

ε

dtdΦ

−=ε

dtdldE

l

Φ−== ∫

ε

Saviindukcijos reiškinys - induktyvumas

Elektros srovė, tekėdama bet kokios formos ir dydžio uždaru kontūru, kuria magnetinį lauką. Šio lauko indukciją bet kuriame erdvės taške, kaip žinome, galime paskaičiuoti naudodami Bio ir Savaro dėsnį: , lauko srautas: , tada: , dydis, priklausantis tik nuo kontūro geometrinių matmenų ir erdvę užpildančios medžiagos savybių, vadinamas kontūro induktyvumu L: , jei kontūro matmenys nekinta ir aplinka neferomagnetinė: Induktyvumo vienetas – henris (1H=1Wb/1A), tai induktyvumas tokio kontūro, kurį veria 1 Wb magnetinis srautas, kai juo teka 1 A nuolatinė elektros srovė. Induktyvumas yra kontūro charakteristika.

∫×

=l r

rlIdB 30

4

πµµ

∫=ΦS

SdB

∫ ∫×

=ΦS l

Sdr

rldI

30

4πµµ

∫ ∫×

=S l

Sdr

rldL

30

4πµµ

IL=Φ

Saviindukcijos reiškinys

Saviindukcijos reiškinys – indukuotos elektrovaros jėgos atsiradimas kontūre, kintant surištajam magnetiniam srautui, kuris kerta tą kontūrą. Pagal Faradėjaus dėsnį, saviindukcijos elektrovaros jėga: Kai L=const. Tai:

Ši išraiška parodo saviindukcijos kryptį: 1. Kontūre stiprėjant elektros srovės stipriui - saviindukcijos evj: , t.y.: saviindukcijos srovė teka priešinga išorinio šaltinio kuriamai srovei kryptimi ir priešinasi jos kitimui. 2. Kontūre silpnėjant elektros srovės stipriui - saviindukcijos evj: , t.y.: saviindukcijos srovė teka išorinio šaltinio kuriamai srovei kryptimi ir taip pat priešinasi jos kitimui. Išvada: saviindukcijos srovė priešinasi srovės stiprio kitimui kontūre ir todėl lėtina kitimo spartą. Todėl, kontūro induktyvumas yra jo elektrinio inertiškumo matas.

dtdIL

dtdLILI

dtd

dtd

−−=−=Φ

−= )(εdtdIL−=ε

0>dtdI

0<ε

0<dtdI

0>ε

Abipusės indukcijos reiškinys

Abipusės indukcijos reiškinys - indukcinės elektrovaros atsiradimas laidžiame kontūre, esančiame greta kito kontūro, kuriuo tekančios kintamosios srovės sukurtas magnetinis laukas veria tą kontūrą. Kadangi kontūrai yra greta vienas kito, antrą kontūrą veriantis magnetinis srautas: Jei srautas kinta, antrame kontūre indukuojasi evj: Jei kontūrai nejuda: Jei paleistume antruoju kontūru elektros srovę, gautume atvirkštinį efektą. Elektrovaros išraiškos analogiškos. Proporcingumo koeficientai vadinami abipusius induktyvumu. Abipusės indukcijos reiškiniu pagrįstas transformatoriaus veikimas.

dtdLI

dtdILIL

dtd

dtd 21

11

211212

2 )( −−=−=Φ

−=ε

1212 IL=Φ

dtdIL 1

212 −=ε

1221 LarL

Magnetinio lauko energija

Uždaroje pastovaus induktyvumo L ir ominės varžos R grandinėje, į kurią įjungtas nuolatinės elektrovaros jėgos šaltinis, įjungus elektros srovę, grandinėje atsiras saviindukcijos evj. Omo dėsnis visai grandinei užrašomas: Per laiką dt srovės šaltinis atlieka darbą: Į šia išraišką įstatome iš Omo dėsnio išreikštą elektrovaros dydį: Pirmas dėmuo reiškia Džaulio šilumą – šilumą atiduotą laidininkui. Antras dėmuo reiškia darbą, sukuriant magnetinį lauką, jis lygus energijos pokyčiui: suintegravus pagal srovės pokytį: Gauname kontūro magnetinės energijos išraišką. Taigi, sukuriant magnetinį lauką, tam tikras energijos kiekis W perkeliamas iš srovės šaltinio į elektros grandinę supančią erdvę.

LIdIdW =

dtdILs −=ε

RdtdIL

RI s

−=

+=

εεε

IdtdA ε=

LIdIRdtIdA += 2

2

2

0

LILIdIWI

== ∫

fizika - ktu.edu ir gamtos... · - mechanika, termodinamika ir elektromagnetizmas – 4 kr....

Documents