fizica generala

Upload: nemitanu-roxana

Post on 13-Oct-2015

147 views

Category:

Documents


16 download

TRANSCRIPT

Fizica Generala

TIMUR CHI

Curs de Fizica generala

PrefataPrezenta lucrare este destinat studenilor din anul II Navigaie de la Universitatea Andrei Saguna Constanta, pentru disciplina de Fizic. Ea conine teme legate de programa de fizic i este dezvoltat n toate compartimentele: terotetic, aplicaii de calcul, aplicaii practice de laborator.

Un curs de Fizica ar trebui s cuprind capitolele legate de mecanic, fizica molecular i termodinamic, electricitate i magnetism, optic, fizica atomic i nuclear, fizica cuantic i fizica solidului. Dintre aceste capitole, n acest curs universitar ne vom rezuma la studiul pe scurt al legilor mecanicii, incluznd studiul oscilaiilor i undelor elastice. Vom aborda de asemeni i fenomenele electromagnetice. Aceste capitole ale fizicii clasice sunt urmate apoi de scurte introduceri n fizica cuantic i n fizica solidului, deoarece acestea din urma constituie capitole ale fizicii moderne, cu aplicaii n tehnica naval.

Notiele de curs au fost elaborate dupa ce acest material a fost parcurs, n ultimii ani universitari, mpreun cu studenii de la Univrsitatea Petrol-Gaze Ploieti i cu cei de la Facultatea de Navigatie, Transport Maritim i Fluvial, din cadrul Universitii "Andrei aguna" din Constana. Considerm, de aceea, c temele alese cuprind noiunile elementare de fizic necesare viitorilor navigatori.

De asemeni cursul a fost recenzat i de lectori de la Universitti care instruiesc studeni n Navigaie costier i marin, deoarece materia trebuie sa respecte STCW Cod:A-III/1 i A-III/2 pentru STCW Functions:Marine engineering at the management level.Primul capitol cuprinde o introducere n Fizica, avnd scopul de a pregati studentii cu limbajul, marimile fizice fundamentale si unitatile lor de masura, precum si cu unele operatii vectoriale.

Capitolul al doilea se refera la teme specifice ale mecanicii clasice, prezentnd principiile fundamentale si teoremele generale din dinamica punctului material.

n capitolul trei se prezinta diverse tipuri de oscilatii armonice, diferitele metode de compunere ale oscilatiilor, urmate apoi de o introducere n teoria undelor elastice.

Capitolul al patrulea este dedicat electromagnetismului, prezentnd ntr-o forma concentrata si cteva teme principiale din teoria macroscopica a undelor electromagnetice (lumina).

n capitolul cinci se realizeaza o trecere n revista a bazelor fizice ale mecanicii cuantice, adica a acelor experiente ce au condus la formularea mecanicii cuantelor de energie.

Capitolul sase prezinta teme din fizica solidului, incluznd cateva elemente ale teoriei benzilor de energie din semiconductori.

CUPRINS1.Introducere in Fizica 1.1.Notiuni fundamentale ale Fizicii 1.2. Operatii vectoriale 2. Mecanica clasica 2.1. Notiumi generale 2.2. Principiile fundamentale ale dinamicii 2.3. Teoreme generale n dinamica punctului material 3. Oscilatii si unde 3.1. Notiuni generale 3.2. Micarea oscilatorie armonica ideala

3.3. Compunerea micarilor oscilatorii armonice

3.3.1. Compunerea oscilatiilor armonice paralele de aceeiasi pulsatie

3.3.2. Compunerea oscilatiilor armonice paralele de frecventa diferita

3.3.3. Compunerea oscilatiilor perpendiculare 3.4.Miscarea oscilatorie amortizata

3.5. Analogie ntre oscilatiile mecanice si cele electromagnetice 3.6. Oscilatii fortate. Rezonanta

3.6.1. Rezonanta

3.6.2.Consideratii energetice ale oscilatiilor fortate

3.7. Unde elastice 3.7.1. Unde armonice unidimensionale

3.7.2. Consideratii energetice asupra propagarii undei

3.7.3. Reflexia si refractia undelor elastice

3.7.4. Unde stationare

3.7.5. Interferenta undelor

3.7.6. Difractia undelor

3.7.7. Polarizarea undelor elastice transversale 4. Introducere n electromagnetism 4.1. Cmpul electromagnetic

4.1.1. Actiunea cmpului electromagnetic asupra sarcinilor electrice

4.1.2. Legea conservarii sarcinii electrice 4.2. Electrostatica

4.2.1. Cmpul electric

4.2.2. Fluxul electric

4.2.3. Legea Gauss pentru cmpul electric

4.2.4. Forma locala diferentiala a legii lui Gauss. Prima ecuatie Maxwell

4.2.5. Caracterul potential al cmpului electric. Potentialul electric 4.3. Magnetostatica

4.3.1. Cmpul magnetic

4.3.2. Actiunea cmpului magnetic asupra sarcinilor electrice n miscare

4.3.3. Actiunea cmpului magnetic asupra unui conductor parcurs de curent electric

4.3.4. Cmpul magnetic creat de curenti electrici

4.3.5. Legea lui Gauss pentru magnetism

4.3.6. Interactiunea dintre doi curentii paraleli

4.3.7. Legea circuitului magnetic

4.3.8.Inductia electromagnetica.Legea Faraday

4.3.9.Energia cmpului magnetic 4.3.10. Curenti de conductie si curenti de deplasare 4.4. Unde electromagnetice 4.4.1. Unde armnonice progresive 4.4.2. Energia undelor electromagnetice 4.4.3. Unde sferice 4.4.4. Teoria electromagnetica macroscopica a luminii 5. Bazele fizice ale mecanicii cuantice 5.1. Efectul fotoelectric 5.2. Efectul Compton 5.3. Radiatia termica 5.3.1. Marimi radiante 5.3.2. Legile radiatiei termice 5.4. Experienta Franck-Hertz 5.5. Relatiile de nedeterminare ale lui Heisenberg 5.6. Ipoteza lui Louis de Broglie 6.Elemente de fizica starii solide 6.1. Generalitati

6.2. Semiconductori 6.3. Dispozitive cu semiconductori Bibliografie Cuvnt de multumireMa simt onorat pentru posibilitatea de a le multumi studentilor din anul II Facultatea de navigatie si Transport Maritim si Fluvial pentru vizualizarea si intelegerea acestui curs.

Le multumesc tuturor acestor studenti, pentru rabdarea cu care au ascultat acest curs de Fizica generala si pentru ajutorul acordat ntru cizelarea notitelor de curs, pna la forma lor actuala. n fapt, putem conchide ca un curs universitar ideal nu exista. Din fericire, ar zice stramosii, dar si urmasii, nostri.Recunostinta mea sincera se adreseaza, de asemenea, doameni profesoare Barvinski precum si domnului Conf.Univ. Mosescu Nicolae, sub a carui supervizare apare acest curs universitar de Fizica generala n format electronic. Este o premiera pentru Catedra de navigatie a Universitatii Andrei Saguna din Constanta, desi ea va fi urmata de multi alti colegi.

Acest curs reprezinta in primul rand o analiza a naturii din punct de vedere fizic desi in scrierea acestuia am uitat sa specific intotdeauna sursa bibliografica a unor figuri si formule. Dar nu este prea grav, deoarece venim la Universitate ca sa nvatam. Mii de scuze autorilor acestor figuri minunate, care nu sunt nsa citati.

1. Introducere in FizicaFizica, fiind una din stiintele fundamentale ale naturii, care studiaza cele mai simple dar, n acelasi timp, si cele mai generale forme de micare sau de transformare ale materiei. n acest sens, fizica studiaza toate procesele mecanice, termice, electromagnetice, etc. Scopul fizicii este acela de a descoperi si aplica legile care guverneaza interactiunile dintre corpurile materiale sau dintre corpurile materiale si diferite cmpuri de forte.

Observatia, ratiunea si experienta formeaza metoda stiintifica de studiere a naturii, scopul acestui demers stiintific fiind ntelegerea fenomenelor ce se desfasoara n universul cunsocut de om pna n prezent. Cea mai importanta misiune a fizicii este stabilirea legilor generale care pot explica modul n care se defasoara fenomenele fizice observate n natura. ntelegerea legilor fizice ale universului nostru a devenit din ce n ce mai profunda de-a lungul veacurilor, de aceea multe legi ale fizicii au suferit modificari, completari sau generalizari, pe masura ce oamenii de stiinta au realizat descrieri tot mai complexe ale naturii.

n mod traditional, fizica se mparte n mai multe domenii: mecanica, termodinamica, electromagnetismul, optica, fizica solidului, fizica nucleara. n secolul trecut au fost introduse noi capitole ale fizicii, cum ar fi: fizica plasmei, fizica semiconductorilor, fizica supraconductorilor, biofizica, fizica particulelor elementare, etc. Din acest punct de vedere, putem vorbi de caracterul pluridisciplinar al stiintei n general, deoarece multe din fenomenele studiate se situeaza deseori la granita dintre mai multe domenii stintifice.

1.1. Notiuni fundamentale ale FiziciiFenomen fizic. Fenomenul fizic (procesul sau transformarea) reprezinta o succesiune de modificari ale unui anumit corp, sau sistem de corpuri, care evolueaza n timp, dupa o anumita lege. Toate schimbarile de acest fel formeaza obiectul de studiu al fizicii si sunt evaluate calitativ si cantitativ prin observatii.

Marime fizica si masurare. Marimile fizice definesc proprietati ale corpurilor sau caracterizeaza procese n care schimbarile ce survin pot fi descrise cantitativ. Exemple de marimi fizice sunt: masa, temperatura, viteza, sarcina electrica. Fizica a fost numita mult timp stiinta masurarii, deoarece studiul fenomenelor fizice implica masurarea marimilor ce le caracterizeaza. Masurarea este un proces prin care se compara marimea fizica respectiva cu o marime bine definita, de aceeai natura, ce a fost aleasa ca unitate de masura. Aceasta comparare (sau masurare) se realizeaza cu ajutorul unui instrument de masura. Iata cteva exemple de unitati de masura: 1metru pentru lungimi, 1 secunda pentru durate, 1 kg pentru mase.

Unele marimi fizice sunt marimi fundamentale, ele fiind definite numai prin descrierea procedeului de masurare. De exemplu, distanta se determina prin masurare cu o rigla, iar timpul prin masurare cu un ceas. Alte marimi fizice sunt marimi derivate, ele fiind definite prin formule de calcul ce utilizeaza marimile fundamentale. De exemplu, viteza reprezinta raportul dintre distanta parcursa si durata deplasarii corpului.

De-a lungul timpului s-au utilizat diferite sisteme de unitati de masura, adica seturi de marimi fizice fundamentale si de unitati de masura corespunzatoare acestora. n zilele noastre se utilizeaza cel mai frecvent Sistemul International de Masura, cunoscut sub sigla SI, care utilizeaza urmatoarele marimi si unitati fundamentale:

MrimeUniti de msur fundamentale

DenumireSimbol

Lungimemetrulm

Masakilogramkg

Timpsecundas

Intensitatea curentului electricamperA

Temperatura termodinamickelvinK

Cantitatea de substanmolmol

Intensitatea luminoascandelacd

Doua unitati suplimentare se adauga celor de mai sus, si anume pentru unghiul plan, radianul (rad) si pentru unghiul solid, steradianul (sterad). Toate celelalte marimi fizice si unitatile lor se exprima cu ajutorul marimilor fizice si al unitatilor lor fundamentale. n ceea ce privete multiplii si submultiplii unitatilor de masura, pentru a le exprima, se utilizeaza urmatoarele prefixe:

Pentru multipli: 101 deca-; 102 hecto-; 103 kilo-; 106 mega-; 109 giga-; 1012 tera-.

Pentru submultipli: 10-1 deci-; 10-2 centi-; 10-3 mili-; 10-6 micro-; 10-9 nano-; 10-12 pico- .

Alte Sisteme de Unitati. Dintotdeauna, oamenii au avut libertate n alegerea marimilor fizice si a unitatilor lor de masura. De aici a rezultat un anumit grad de arbitrar n exprimarea marimilor fizice. De exemplu, n locul masei se poate alege ca marime fundamentala forta. Cele mai frecvente sisteme de unitati ntlnite n practica, n afara de SI, sunt: CGS (centimetru-gram-secunda) si MKfS (metru- kilogram-forta-secunda). O parte a literaturii de fizica este scrisa n sistemul CGS, deoarece era sistemul cel mai raspndit n secolele XVIII si XIX. Dar legile fizicii, care exprima relatii ntre marimi fizice masurabile, sunt aceleai indiferentr de sistemul de unitati utilizat pentru a le exprima.

Marimile fizice pot fi marimi scalare sau marimi vectoriale. Marimile fizice scalare sunt determinate numai prin valoarea lor numerica. Un exemplu de marime scalara este masa unui corp, m =2 kg. Marimile vectoriale sunt determinate prin valoarea lor numerica (numita marimea vectorului sau modulul vectorului), prin directia si sensul vectorului. Cmp fizic. Se numeste cmp fizic regiunea din spatiu unde se manifesta o anumita marime fizica si unde, n fiecare punct din regiune, marimea fizica are o anumita valoare. Cmpurile fizice pot fi cmpuri scalare sau cmpuri vectoriale, n functie de marimea fizica ce le caracterizeaza. Exemple de cmpuri fizice sunt: (i) temperatura dintr-o camera, care formeaza un cmp scalar; (ii)vectorii cmp electric dintr-un nor de ploaie, care genereaza un cmp vectorial.

Lege fizica. Anumite fenomene sau procese fizice pot avea legaturi cauzale bine definite. Prin observatii sau prin determinari experimentale, oamenii descopera aceste legaturi si stabilesc relatiile cauzale ntre schimbarile diferitelor marimi fizice ce caracterizeaza fenomenele respective. Legile generale care guverneaza fenomenele fizice se numesc legi fizice. Pe baza legilor fizice se poate analiza un anumit fenomen care este observat n natura sau n laborator. De asemenea, aplicnd legi fizice specifice, se poate prevedea starea viitoare a unui sistem fizic.

Experiment fizic. Observatiile dirijate efectuate n laborator, n scopul ntelegerii unor fenomene fizice, se numesc experimente. Pentru a fi considerate valabile, experimentele trebuie sa ndeplineasca unele conditii. Trebuie sa existe o concordanta ntre: (i) rezultatele analizei stiintifice a unui anumit fenomen (exprimate printr-o lege), (ii) observatiile dirijate din laborator (experiment) si (iii) observarea fenomenului n natura.

Timp. Timpul reprezinta o masura a duratei proceselor fizice, el fiind masurat prin durata unui anumit proces. Masurarea timpului se poate face cu ajutorul unor miscari periodice (oscilatii mecanice, vibratii atomice sau moleculare). Unitatile si etaloanele de timp au evoluat de-a lungul timpului, ele stabilindu-se n functie de durata unui anumit fenomen fizic periodic uniform. n prezent, unitatea de timp este secunda. Secunda este definita pe baza perioadei, TCs, a radiatiilor emise de atomii izotopilor de Cesiu-133, n urma unor anumite tranzitii ntre doua stari energetice.

Spatiul si lungimea. Corpurile fizice ocupa un anumit loc n spatiu, avnd anumite dimensiuni (lungime, latime, grosime, volum, arie, etc.). De asemenea, locul lor n spatiu se modifica n functie de miscarea pe care o efectueaza. Dimensiunea unui corp se stabilete prin compararea sa cu un alt corp, considerat etalon de lungime. Etalonul de lungime actual este metrul, care reprezinta 1650763,73 lungimi de unda ale radiatiei portocalii a atomului de Kripton-86 la tranzitia 2p105d5 n vid. n mod formal, standardul pentru unitatea de masura a lungimii este distanta dintre doua linii paralele trasate pe o bara de platina-iridiu, pastrata n conditii de presiune si temperatura constante, la Svres (lnga Paris). Toate celelalte lungimi se exprima prin compararea cu acest metru-standard.

Spatiul constituie o notiune filozofica, el fiind "locul" n care se desfasoara fenomenele fizice. Spatiul fizic conventional este spatiul euclidian, care este tridimensional. n spatiul tridimensional sunt suficiente trei numere care sa descrie pozitia unui corp n spatiu. Aceste numere sunt determinate prin alegerea Sistemului de referinta fata de care se raporteaza corpul. Sistemul de referinta este format dintr- un sistem de trei axe perpendiculare ntre ele n spatiul tridimensinal si un ceasornic, n aa fel nct sa se poata determina distante si durate de timp. Axele sistemului de referinta au cte un vector unitate, numit versor, de modul unitate, si a carui directie da sensul pozitiv al axei respective. n fig.1.1 se prezinta un sistem de referinta, n care axele de coordonate sunt Ox, Oy si Oz. Versorii axelor sunt vectorii

.Modul n care se exprima pozitia corpului n spatiu depinde de sistemul de coordonate. De regula, cele trei numere care descriu pozitia corpului sunt proiectiile, pe cele trei axe ale sistemului de referinta, ale punctului care constituie centrul de masa al corpului. Acestea se numesc coordonatele carteziene ale corpului. Alte sisteme de coordonate utilizeaza o distanta si doua unghiuri (coordonate sferice), sau doua distante si un unghi (coordonate cilindrice).

Punct material. Un corp fizic cu dimensiuni neglijabile si avnd masa concentrata ntr-un punct, numit centru de masa, se numeste punct material. Aproximatia de punct material constituie cel mai simplu model fizic. Pe durata deplasarii sale, punctul material se numeste mobil. Pozitia mobilului P din fig.1.1 este data de vectorul de pozitie, exprimat n functie de coordonatele carteziene sub forma :

Numerele x, y, si z se numesc coordonatele carteziene ale punctului M.Modulul vectorului de pozitie este dat de relatia:

(1.2)

Relatia a fost introdusa si n geometria analitica, pentru a exprima distanta dintre doua puncte n spatiu.

1.2. Operatii vectorialentr-un sistem cartezian de coordonate n care versorii definesc sistemul ortogonal drept, un vector se scrie

, unde sunt componentele vectorului pe axele de coordonate. Modulul vectorului:

.

Exemplu: ; .Produsul scalar a doi vectori: , sau folosind componentele vectorilor pe axele de coordonate:

.

Observaie: Dac doi vectori sunt perpendiculari

EMBED Equation.3 ; (exemplu , , );Dac doi vectori sunt paraleli ; (exemplu , , ).Exemplu: - lucrul mecanic elementar.

Produsul vectorial a doi vectori este vectorul normal la planul determinat de i , al crui sens se determin cu regula burghiului drept. Modulul su este: . Folosind componentele vectorilor produsul vectorial este:

.

Observaie: Dac doi vectori sunt paraleli

EMBED Equation.3 ; (exemplu , , );

Dac doi vectori sunt perpendiculari ; (exemplu i ).

Exemplu: - momentul cinetic.

2. Mecanica clasicaMecanica clasica se bazeaza pe legi ale naturii ce au fost formulate de Isaac Newton n anul 1686 n lucrarea sa, devenita celebra, "Principiile fundamentale ale stiintelor naturii". Mai precis, mecanica este acea parte a fizicii care studiaza miscarea mecanica a corpurilor si conditiile de echilibru ale acestora. Problema mecanicii este stabilirea ecuatiilor de miscare ale corpurilor.

Ecuatiile de miscare dau forma traiectoriei micarii corpului. Traiectoria indica pozitiile succesive n spatiu pe care le va ocupa corpul de-a lungul miscarii sale.

2.1. Notiumi generaleCunoaterea miscarii unui corp presupune stabilirea localizarii lui n spatiu si n timp. Fie un punct material M, aflat n micare pe o traiectorie n spatiu, ca n fig.2.1.

Fig. 2.1. Traiectoria punctului material ntr-un sistem de referinta cartezian.

Poziia unei particule la orice moment de timp t este specificat de vectorul de poziie a crui expresie reprezint legea de micare:

.

Prin eliminarea timpului din ecuaiile parametrice ale traiectoriei x=x(t), y=y(t), z=z(t) se obin ecuaiile traiectoriei.

Vectorul vitez momentan este derivata vectorului de poziie n raport cu timpul, iar prin derivarea legii de micare se obine legea vitezei:

, .

Vectorul acceleraie momentan este derivata nti a vectorului vitez n raport cu timpul, sau derivata a doua a vectorului de poziie n raport cu timpul:

, .

Impulsul este: .

Principiul fundamental al mecanicii: ;

Pentru mas constant, principiul fundamental al mecanicii se scrie: .

Legea de micare, legea vitezei, acceleraia ca funcii de timp, ecuaiile traiectoriei descriu, ceea ce se numete, micarea unui mobil. Aceste relaii nu sunt independente. Cunoscndu-se condiiile iniiale (poziia i viteza la momentul iniial), prin calcule matematice se obine una din aceste legi din alta, adic se cunoate micarea mobilului.

Cunoscnd legea de micare a unui corp , prin operaia de derivare se afl legea vitezei , iar apoi derivnd legea vitezei se afl acceleraia ca funcie de timp , respectiv fora ce acioneaz asupra corpului dac acesta are mas con. Vectorul viteza momentana este tangent la traiectorie, aa cum se vede n fig.2.2.

Fig. 2.2. Vectorul viteza momentana.

Din legea de micare eliminnd timpul se pot scrie ecuaiile explicite ale traiectoriei.

1. Aflai viteza i acceleraia punctelor materiale descrise de urmtorii vectori de poziie:

a) (m);

b) (m);

c)

(m);

d) (m).

2. Ecuaiile micrii unui mobil sunt urmtoarele: x = r cos t (m), y = r sin t (m), z = t (m), unde r, , sunt constante pozitive. S se afle:

a) vectorul vitez, modulul vitezei;

b) vectorul acceleraie, modulul acceleraiei.

R: a) m/s; b) m/s2.3. O particul de mas m se mic dup legea:

x = cos t (m), y = sin t (m), unde , , sunt constante pozitive.

a) Precizai unitile de msur ale constantelor , i ;

b) Determinai fora care acioneaz asupra particulei n funcie de poziia particulei.

R:

4. Micarea unui punct material n planul xOy este descris de legea:

x = sin t (m), y = (1 - cos t) (m), unde i sunt constante pozitive. Determinai unghiul dintre vectorul vitez i vectorul acceleraie al punctului material.

R: /2.

Din legea de micare eliminnd timpul se pot scrie ecuaiile explicite ale traiectoriei.

5. Vectorul de poziie al unui punct material A variaz dup legea:

(m), unde , sunt constante pozitive. Determinai:

a) ecuaia traiectoriei punctului; reprezentai grafic;

b) vectorii vitez i acceleraie i modulele acestora;

c) unghiul ntre vectorii acceleraie i vitez n funcie de timp.

Rezolvare:

a) - ecuaia traiectoriei;

Traiectoria este o parabol cu vrful V(0,0), iar punctul A se mic pe jumtate din aceast parabol ( x0).

b) , vectorul vitez este tangent la traiectorie n fiecare punct al acesteia;

, n acest caz vectorul acceleraie este paralel cu direcia axei Oy i n sens opus acesteia n fiecare punct al traiectoriei;

c) Unghiul pe care vectorul vitez l face cu axa Oy este ( ),

sau dac se calculeaz cu ajutorul produsului scalar dintre vectorii i :

.

6. Micarea unei particule n plan este descris de legea:

x = t (m), y = t (1- t) (m), unde , sunt constante pozitive. Determinai:

a) ecuaia traiectoriei particulei; reprezentai grafic;

b) vectorii vitez i acceleraie i modulele acestora;

c) momentul t0 la care vectorul vitez face un unghi de /4 cu vectorul acceleraie.

R: a) ; c).

7. S se scrie ecuaia traiectoriei, preciznd forma acesteia pentru particula care se mic dup legea:

a) problemei 5;

b) problemei 6.

8. Dou particule se deplaseaz cu vitezele m/s, respectiv m/s. La momentul t0=0 particulele se gsesc n poziiile m, respectiv m. S se determine momentul la care distana dintre particule este minim.

R: t = 0,6 s.

9. Dou particule se deplaseaz cu vitezele m/s, respectiv m/s. La momentul t0 =0 particulele se gsesc n poziiile m, respectiv m. S se determine momentul la care distana dintre particule este minim.

Rezolvare:

,

, ,

,

;

i ;

t=1 s.

Operaia invers derivrii fiind integrarea, din legea vitezei se obine prin integrare legea de micare . Cunoscndu-se acceleraia (sau fora) ca funcie de vitez (de obicei forele rezistente depind de vitez), prin integrare se poate afla legea vitezei i, mai departe, printr-o nou integrare, se poate descrie micarea prin legea de micare .

10. Un corp de mas m pornete la momentul t0 = 0 de la x0 = 0 cu viteza v0 ntr-un mediu vscos de-a lungul axei Ox. Corpul ntmpin din partea mediului o for de rezisten proporional cu viteza (F = - v). S se determine:

a) legea vitezei;

b) legea de micare;

c) dup ct timp viteza iniial a corpului, v0, se micoreaz de n ori.

Rezolvare:

a)

;

b) ;

c) Se nlocuiete v cu n legea vitezei i se obine: .

11. Un corp de mas m ntmpin, din partea mediului n care se mic de-a lungul axei Ox, o for de rezisten proporional cu ptratul vitezei; constanta de proporionalitate este (F = - v2). Presupunnd c la momentul t0 = 0 corpul se gsete la x0 = 0 i are viteza v0 s se determine:

a) legea vitezei;

b) legea de micare;

c) dup ct timp viteza iniial a corpului, v0, se micoreaz de n ori.

R: a) ; b) ; c) .

12. Un corp de mas m, care se mic n lungul axei Ox, ntmpin din partea mediului n care se mic o for de rezisten proporional cu cubul vitezei (F = - v3). Presupunnd c la momentul t0 = 0 corpul pleac de la x0=0 i are viteza v0 i neglijnd restul interaciunilor, s se determine:

a) legea vitezei;

b) legea de micare;

c) dup ct timp viteza iniial a corpului, v0, se micoreaz de n ori.

R: a); b); c) .

.

13. O particul se mic ncetinit n sensul pozitiv al axei Ox cu acceleraia , unde constant pozitiv. tiind c la momentul t0 = 0, x0 = 0, iar viteza este v0, determinai:

a) legea vitezei;

b) legea de micare;

c) drumul parcurs pn la oprire i intervalul de timp corespunztor.

R: a) ; b) ;

c) , .

Cunoscndu-se viteza ca funcie de poziie , prin integrare se poate afla legea de micare i, mai departe, se poate descrie micarea prin legea dorit, folosind operaiile matematice amintite mai sus.

14. O particul se deplaseaz n planul xOy cu viteza , unde , sunt constante. La momentul iniial t0 = 0 particula se gsete n punctul x0 = y0 = 0. Determinai:

a) legea de micare;

b) legea vitezei;

c) ecuaia traiectoriei;

d) acceleraia.

R: a) .

15. O particul de mas m se deplaseaz n sensul pozitiv al axei Ox cu o vitez , unde constant pozitiv. tiind c la momentul t0 = 0 particula se gsete n punctul x0 = 0 determinai:

a) legea de micare;

b) legea vitezei;

c) acceleraia;

d) lucrul mecanic al tuturor forelor ce acioneaz asupra particulei n primele t secunde ale micrii.

R: a) ; d) .

16. Aceeai problem pentru .

R: a) ; d).

Atunci cnd se cunosc ecuaiile traiectoriei, prin derivri succesive ale acestora, i folosind condiiile iniiale se poate deduce acceleraia ca funcie de poziie .

17. O particul de mas m se mic pe traiectoria cu o

acceleraie paralel cu axa Oy. La t0 = 0 particula se gsete n punctul de coordonate x0 = 0, y0 = ( i are viteza v0. Determinai fora care acioneaz asupra particulei n fiecare punct al traiectoriei.

Rezolvare:

- ecuaia traiectoriei;

Derivnd ecuaia traiectoriei n raport cu timpul se obine:

sau

Condiiile iniiale:

t0 = 0, x0 = 0, y0 = (, v0 ,

ay , ax = 0 vx = const.

se nlocuiesc n (1) i

v0y = 0 i deci v0x = v0 vx = const = v0Derivnd (1) nc o dat n raport cu timpul i utiliznd, din nou, condiiile iniiale, se obine:

nlocuind vy din (1) i folosind ecuaia traiectoriei se obine:

ay = ay =

AstfelFy = , iar .

18. O particul se deplaseaz pe o traiectorie plan cu viteza constant n modul (v). Determinai acceleraia particulei n punctul x0 = 0 pentru o traiectorie descris de ecuaia:

a) ;

b) .

Rezolvare:

a) vy = 2 x vx (1) Dar vx2+ vy2 = v2 = const. vx2 ( 1+4 2x2 ) = v2 (2)

;

ay = 2 vx2+2 x ax ;

Pentru x0 = 0 y0 =0

;

b) R: .

19. Un corp de mas m se afl n repaus pe un plan orizontal. La momentul t0 = 0 asupra lui ncepe s acioneze o for dat de legea F = t, unde este o constant. Fora face un unghi cu orizontala. Neglijnd frecarea s se determine:

a) legea vitezei, pn la prsirea planului orizontal;

b) viteza v1 a corpului n momentul n care acesta prsete planul;

c) legea de micare, pn la prsirea planului;

d) drumul parcurs de corp din momentul iniial pn la prsirea planului.

Rezolvare:

a) Pn la prsirea planului orizontal acceleraia corpului este:

F cos = m a ,

;

b) n momentul desprinderii componenta vertical a forei este egal cu greutatea, astfel nct:

F sin =G t1 sin = mg ,

;

c) R: ; d) R: .

20. Un corp de mas m se afl n repaus pe un plan orizontal. La momentul t0 = 0 asupra lui ncepe s acioneze o for dat de legea F = , unde este o constant. Fora face un unghi cu orizontala. Neglijnd frecarea, s se determine:

a) viteza v1 a corpului n momentul n care acesta prsete planul;

b) drumul parcurs de corp din momentul iniial pn la prsirea planului.

R: a) ; b) .2.2. Principiile fundamentale ale dinamiciiRezolvarea problemelor de mecanica clasica se bazeaza pe cteva principii fundamentale, obtinute prin generalizarea observatiilor experimentale. Cele trei principii, ce au fost formulate de Galilei si de Newton, sunt suficiente pentru a explica toate miscarile mecanice clasice, adica miscarile ce se desfasoara cu viteze mult mai mici dect viteza luminii n vid, c = 3 108 m/s. Daca vitezele punctelor materiale se apropie de viteza luminii n vid, atunci micarile lor se supun principiilor relativitatii restrnse ale lui Einstein.

Principiul inertieiPrincipiul inertiei a fost formulat prima data de Galilei si este cunoscut sub forma urmatoare:

"Un corp i pastreaza starea de repaus sau de micare rectilinie si uniforma atta timp ct asuprea lui nu se exercita nici o forta, sau daca rezultanta tuturor fortelor este zero".

Principiul inertiei introduce notiunea de forta. Forta este o marime vectoriala, avnd ca unitate de masura n SI 1 newton, [F]SI = 1 N. Prin intermediul fortelor, corpurile actioneaza unele asupra altora, transmitnd micarea mecanica. Cmpurile de forte sunt si ele raspunzatoare de transmiterea interactiunilor mecanice.

Conform acestui principiu, rezultanta egala cu zero a unui numar oarecare de forte este echivalenta cu inexistenta fortei. Miscarea unui corp asupra caruia actioneaza mai multe forte a caror rezultanta este nula sau asupra caruia nu actioneaza nici o forta se numeste micare inertiala.

Asa cum stim, micarea este caracterizata n raport cu un sistem de referinta ales arbitrar, de aceea micarea are caracter relativ. n acest sens, Galilei a formulat principiul relativitatii miscarii mecanice. Sa consideram un calator aezat ntr-un vagon de tren, ce se deplaseaza rectiliniu si uniform. Calatorul se poate gasi ntr-una din starile mecanice urmatoare: (i) este n repaus, n raport cu sistemul de referinta legat de tren, (ii) este n miscare rectilinie uniforma cu o viteza egala cu viteza trenului fata de un sistem de referinta legat de Pamnt, (iii) este n miscare accelerata, n raport cu un sistem de referinta legat de Soare, deoarece Pamntul este n micare accelerata fata de Soare. Toate sistemele de referinta ce se misca rectiliniu si uniform se numesc sisteme de referinta inertiale. In aceste sisteme de referinta este valabil principiul inertiei.

Principiul fortei sau a doua lege a dinamicii.

Newton a descoperit faptul ca o forta care actioneaza asupra unui corp i imprima acestuia o acceleratie, proportionala cu forta si invers proportionala cu masa corpului. Derivata impulsului al unui punct material in raport cu timpul , reprezint rezultanta F a forelor care acioneaz asupra punctului vectorial ca urmare a interaciunilor cu alte corpuri. Fora este direct proporional cu produsul dintre masa i acceleraia corpului.

sau

constanta de integrare

aria suprafetei masurate este egala cu variatia componentei impulsului pe axa Ox t= t- t0Masa este o masura a cantitatii de materie continuta n corp. Cantitatea de micare sau impulsul unui corp se definete ca produsul dintre masa si vectorul viteza al corpului:

Unitatea de masura pentru impulsul mecanic este [p]SI =1 kg m s-1.

Principiul actiunii si reactiunii.

" Oricarei actiuni i se opune ntotdeauna o reactiune egala n modul si de sens contrar." Cele doua forte, actiunea si reactiunea, sunt aplicate simultan si la corpuri diferite, de-a lungul dreptei care unete cele doua corpuri. n acest caz este vorba de interactiunea mutuala simultana si nu de o cauza si un efect.

Principiul independentei actiunii fortelorExperimental, se constata ca fiecare dintre fortele la care este supus un corp actioneaza independent de celelalte forte aplicate corpului. Din acest principiu rezulta posibilitatea nlocuirii unui ansamblu de forte, F1 , F2 , ..., Fn , prin rezultanta lor, egala cu suma vectoriala a acestora.Principiul relativitatii din mecanica clasica.

Micarea mecanica este raportata la sisteme de referinta. Din acest punct de vedere, micarea este relativa. Sistemele de referinta pot fi n repaus, n micare rectilinie si uniforma (sisteme de referinta inertiale), sau n micare accelerata (sisteme de referinta neinertiale). n anul 1632 Galilei enunta principiul relativitatii n mecanica clasica, afirmnd ca toate legile mecanicii ramn neschimbate fata de orice sistem de referinta inertial. Din punct de vedere mecanic, toate sistemele de referinta inertiale sunt absolut echivalente. Nici un sistem de referinta inertial nu poate fi considerat absolut, toate fiind egal ndreptatite. Prin urmare, nici o experienta mecanica efectuata n interiorul unui sistem de referinta inertial nu ne permite sa determinam miscarea rectilinie si uniforma sau starea de repaus a sistemului de referinta fata de stelele fixe (adica fata de alte sisteme de referinta inertiale). Din interiorul vagonului de tren din exemplul anterior nu ne putem da seama daca acesta merge uniform si rectiliniu sau sta pe loc, deoarece orice experienta mecanica da acelai rezultat n ambele cazuri.Lucrurile se schimba radical atunci cnd avem de-a face cu sisteme de referinta neinertiale, adica aflate n micare accelerata. n acest caz legile lui Newton nu mai sunt valabile si cu ajutorul experientelor mecanice efectuate n interiorul sistemului putem determina acceleratia acestuia. n sistemele de referinta neinertiale se excercita fortele de inertie. Cel mai simplu exemplu de forta de inertie este forta centrifuga din micarea circulara.

2.3. Teoreme generale n dinamica punctului materialCa o consecinta a principiilor fundamentale ale dinamicii, se obtin legile ce guverneaza unele marimi fizice ale punctului material (impuls mecanic, energie, moment cinetic). Aceste legi se mai numesc si teoremele generale n dinamica punctului material.

Energia

Lucrul mecanic elementar, respectiv lucrul mecanic total la trecerea din starea 1 n starea 2 sunt:

, .

Observaie: L reprezint lucrul mecanic elementar i nu difereniala lucrului mecanic.

Dac fora este constant pe tot parcursul deplasrii: .

- puterea mecanic; .

L = dEc - teorema variaiei energiei cinetice;

Lucrul mecanic al forelor care deriv din potenial este: L= - dU, iar forele cmpului potenial se exprim:

= - grad U,

unde U = U( x, y, z ) potenialul sau energia potenial este funcie de poziie;

- operatorul nabla.

E = Ec + U energia total.

21. Forele constante (N) i (N) acioneaz simultan asupra unei particule n timpul deplasrii acesteia din punctul A(4, 7, 5) (m) n punctul B(9, 0, 8) (m). Care este lucrul mecanic efectuat asupra particulei?

R: 30 J22. O particul se deplaseaz pe o traiectorie n planul xOy din punctul de vector de poziie m, n punctul de vector de poziie m. Ea se deplaseaz sub aciunea unei fore N. Calculai lucrul mecanic efectuat de fora .

R: - 40 J.

23. Un corp de mas m = 4 kg se mic dup legea m. S se calculeze lucrul mecanic efectuat asupra corpului n intervalul de timp t0 = 0, t1 = 2 s.

Rezolvare:

,

, ;

;

J.

24. Un corp de mas m = 1 kg se mic dup legea m. S se calculeze lucrul mecanic efectuat asupra corpului n intervalul de timp t0 = 0, t1 = 1 s.

R: L = 20 J.

25. Asupra unui corp de mas m aflat pe un plan orizontal acioneaz o for constant n modul F = mg/2. Pe parcursul deplasrii fora face cu orizontala un unghi care variaz dup legea = x, unde este o constant, iar x este drumul parcurs (x0 = 0). S se calculeze viteza v1 a corpului n momentul n care unghiul = /2.

Rezolvare:F sin < G , pentru orice x pe tot parcursul deplasrii corpul rmne pe planul orizontal;

Lucrul mecanic, al forelor care acioneaz asupra corpului, se reduce la lucrul mecanic al componentei forei de-a lungul planului orizontal :

;

Folosind teorema variaiei energiei cinetice:

L = Ec .Dac se cunoate fora, sau acceleraia, ca funcii de poziie, legea vitezei

se poate obine folosind teorema variaiei energiei cinetice i definiia lucrului mecanic, iar legea de micare rezult prin integrarea legii vitezei. O alt modalitate de a obine legea de micare este rezolvarea ecuaiei difereniale la care conduce principiul fundamental al mecanicii.

26. Un corp de mas m se mic n lungul axei Ox sub aciunea unei fore care variaz dup legea F = x, unde este o constant pozitiv. tiind c, la momentul t0 = 0, corpul se gsete n x0 i are viteza v0 = 0, s se determine:

a) legea de micare;

b) legea vitezei.

R: a) ; b) .

27. Un corp de mas m se mic n lungul axei Ox sub aciunea unei fore care variaz dup legea F = x, unde este o constant pozitiv. tiind c, la momentul t0 = 0, corpul se gsete n x0 = 0 i are viteza v0 , s se determine:

a) legea de micare;

b) legea vitezei.

Rezolvare:a) Folosind teorema variaiei energiei cinetice: L = Ec i definiia lucrului mecanic: ,

se obine lucrul mecanic i deci ;

Prin integrare se obine legea de micare implicit:

,

care, prin cteva artificii matematice duce la legea de micare explicit.

Dac se abordeaz problema rezolvnd ecuaia diferenial ce rezult n urma aplicrii principiului fundamental al mecanicii:

,

atunci legea de micare rezult n mod explicit i este:

;

b) R: .

28. Un corp de mas m este ridicat de la suprafaa Pmntului cu ajutorul unei fore care depinde de altitudinea y dup legea , unde este o constant pozitiv. Calculai lucrul mecanic al acestei fore i variaia energiei poteniale a corpului pe poriunea y = 0, y = 1/2.R: ; .

29. Un resort special are legea forei F = - x3. Care este energia potenial n punctul x, presupunnd Ep = 0 la x0 = 0.

R: Ep = x4 / 4.

30. tiind c potenialul forei este dat de expresia , unde este o constant pozitiv, s se determine expresia forei ce deriv din acesta.

Rezolvare:

;Pentru a lucra n coordonate carteziene se folosete expresia potenialului scris cu aceste coordonate:

,

,

,

.

31. Potenialul unui cmp are expresia , unde i sunt constante pozitive, iar r este distana fa de centrul cmpului. S se determine:

a) expresia forei ce deriv din acest potenial;

b) valoarea maxim a forei de atracie pe care acest cmp o exercit asupra unei particule.

R: a) ; b) .

Momentul forei i momentul cinetic

- momentul forei;

- momentul cinetic;

- teorema mometului cinetic;

Pentru fore centrale momentul forei este nul n raport cu centrul cmpului i momentul cinetic se conserv.

32. O planet de mas m evolueaz n jurul Soarelui, de mas M, pe o elips. Distana minim (periheliu) i maxim (afeliu) fa de Soare este r1, respectiv r2. Calculai momentul cinetic al acestei planete n raport cu centrul Soarelui.

Rezolvare:

Fora de interaciune gravitaional ntre planet i Soare este:

,

iar energia potenial a planetei n cmpul gravitaional al Soarelui este:

;

Micarea planetei fiind n cmp central, energia total i momentul cinetic se conserv. n punctele n care distana planetei fa de Soare este minim, respectiv maxim, aceste legi de conservare se scriu:

,

.

Rezolvnd sistemul format din aceste dou ecuaii care au necunoscutele v1 i v2 se obine:

.

33. S se exprime, n funcie de momentul cinetic J, energia cinetic, energia potenial i energia total a unui satelit de mas m pe o orbit circular.

R: ; ; .

O deplasare infinit mica a punctului material pe traiectorie.

Traiectorii ale punctului material ntre doua puncte n spatiu.3. Oscilatii si unde3.1. Notiuni generaleSe numeste oscilatie fenomenul fizic n decursul caruia o anumita marime fizica a procesului prezinta o variatie periodica sau pseudo-periodica. Un sistem fizic izolat, care este pus n oscilatie printr- un impuls, efectueaza oscilatii libere sau proprii, cu o frecventa numita frecventa proprie a sistemului oscilant. Oscilatiile pot fi clasificate n functie de mai multe criterii.Din punct de vedere al formei de energie dezvoltata n timpul oscilatiei, putem ntlni: (i) oscilatii elastice, mecanice (au loc prin transformarea reciproca a energiei cinetice n energie potentiala); (ii) oscilatii electromagnetice (au loc prin transformarea reciproca a energiei electrice n energie magnetica);(iii) oscilatii electromecanice (au loc prin transformarea reciproca a energiei mecanice n energie electromagnetica).Din punct de vedere al conservarii energiei sistemului oscilant, putem clasifica oscilatiile n: (i) oscilatii nedisipative, ideale sau neamortizate (energia totala se conserva); (ii) oscilatii disipative sau amortizate (energia se consuma n timp); (iii) oscilatii fortate sau ntretinute (se furnizeaza energie din afara sistemului, pentru compensarea pierderilor).Marimi caracteristice oscilatiilor periodice.Sa notam cu S(t) marimea fizica ce caracterizeaza o oscilatie. Atunci, daca T este perioada oscilatiei, marimea S are aceai valoare la momentul t si la un moment ulterior, t + T: S(t) = S(t+T )Oscilatiile armonice reprezinta acel tip de oscilatii n care marimile caracteristice se pot exprima prin functii trigonometrice (sinus, cosinus ) sau prin functii exponentiale de argument complex. Acele oscilatii care nu sunt armonice, se pot descompune n serii Fourier de functii. Reamintim, de asemenea, formulele lui Euler, care vor fi utile n calculele urmatoare:Miscarea oscilatorie armonica apare foarte des n situatiile practice. Un exemplu foarte la ndemna l constituie bataile inimii. Se spune ca Galilei folosea bataile inimii sale pentru a cronometra miscarile pe care le studia.3.2. Micarea oscilatorie armonica idealan absenta unor forte de frecare sau de disipare a energiei, miscarea oscilatorie este o miscare ideala, deoarece energia totala a oscilatorului ramne constanta n timp. Micarea este reversibila, astfel ca dupa o perioada oscilatorul revine n pozitia initiala si procesul se reia. Forta care determina revenirea oscilatorului n pozitia initiala si care permite continuarea oscilatiei se numete forta de revenire. Aceasta forta de revenire poate fi forta elastica dint-o lama metalica, presiunea dintr-un tub si, n general, orice forta care produce o deformare elastica.Sa consideram un oscilator mecanic format dintr-un resort elastic si un corp punctiform, de masa m, legat la capatul liber al resortului, ca n fig.3.1.a. Daca se pune corpul n miscare prin intermediul unei forte si daca nu exista frecari, sistemul va efectua o micare periodica n jurul pozitiei de echilibru, numita oscilatie ideala.Forta elastica din resort, eF , este singura forta din sistemul mecanic, aa ca putem scrie formula fudamentala a dinamicii sub forma:ma = - k y unde k este constanta elastica a resortului, iar y este alungirea acestuia (y se numete elongatia miscarii) . Ecuatia de micare a corpului devine: m a + k y = 0

Fig. 3.1. Oscilator mecanic ideal: a) momentul initial; b) alungirea y produce forta de revenire eF ;c) amplitudinea micarii oscilatorii.Acceleratia corpului reprezinta derivata de ordinul doi la timp a vectorului deplasare, de aceea ecuatia de micare devine:Reprezentarea marimilor vectoriale periodice se poate realiza si prin intermediul fazorilor. Fazorul este un vector rotitor n sens trigonometric pozitiv ntr-un plan Oxy, care are vitexa unghiulara0 . Lungimea fazorului este egala cu modulul vectorului pe care l reprezinta, adica fazorul este egal cu amplitudimea micarii oscilatorii. Faza vectorului reprezentat este egala cu unghiul format de fazor cu axa orizontala, Ox. Vectorul reprezentat este egal cu proiectia fazorului pe axa verticala Oy. Fazorul din fig. 3.2 reprezinta elongatia oscilatorului ideal, n diferite momente de timp.

Fig. 3.2. Reprezentarea fazoriala a oscilatiei.Marimile fizice caracteristice ale oscilatorului ideal pot fi reprezentate grafic n functie de timp. Daca faza initiala este nula, se obtin graficele functiilor y = f(t), v = f(t) si a = f(t) din fig.3.3.

Fig. 3.3. Elongatia, viteza si acceleratia oscilatorului ideal n functie de timp.Energia mecanica a oscilatorului ideal este constanta, ceea ce constitue legea conservarii energiei mecanice a oscilatorului ideal.

n decursul oscilatiei ideale, energiile cinetica si potentiala elastica ale oscilatorului ideal sunt variabile n timp, transformndu-se una n alta, n aa fel nct suma lor sa ramna constanta. n fig.3.4 sunt reprezentate energiile cinetica, potentiala si totala n functie de elongatia y. Se poate observa ca desi energia potentiala este variabila, fiind reprezentata de parabola din figura, totusi energia mecanica a oscilatorului ideal este constanta.

Fig.3.4. Energiile cinetica, potentiala si totala n functie de elongatia oscilatorului ideal.

Conservarea energiei mecanice a oscilatorului constituie efectul direct al faptului ca fortele elastice sunt forte conservative. Caracterul oscilant al miscarii se poate constata si din transformarea periodica a energiei cinetice n energie potentiala si reciproc.

3.3. Compunerea miscarilor oscilatorii armonice Pe baza legilor micarii oscilatorii armonice ideale se pot studia miscari oscilatorii mai complexe, care rezulta din compunerea a doua sau mai multe oscilatii armonice, care se desfasoara pe directii paralele sau pe directii perpendiculare.

3.3.1. Compunerea oscilatiilor armonice paralele de aceeasi pulsatie Sa presupunem ca un punct material de masa m este legat de doua resorturi elastice, aa cum se vede n fig.3.5, fiind supus simultan la doua forte elastice pe aceeai directie dar n sensuri diferite. Cele doua resorturi elastice sunt identice, adica au aceeai constanta elastica, k 1 = k 2 = k.

Fig.3.5. Oscilatie armonica sub actiunea a doua forte elastice paralele.

Fig. 3.6. Reprezentarea fazoriala a compunerii oscilatiilor paralele.

3.3.2. Compunerea oscilatiilor armonice paralele de frecventa diferita Consideram doua oscilatii armonice individuale ale punctului material de masa m. Una dintre oscilatii are pulsatia proprie 1 iar cealalta are pulsatia proprie 2. Diferenta dintre cele doua frecvente de oscilatie nu este nsa prea mare. Elongatiile celor doua oscilatii armonice independente sunt de forma:

Punctul material este supus simultan ambelor oscilatii, asa cum se poate vedea n fig. 3.7, si ne propunem sa determinam ecuatia oscilatiei rezultante.

Fig. 3.7. Compunerea a doua oscilatii paralele de frecvente diferite.

Tb mai este numita si perioada batailor.

Fig. 3.8. Fenomenul de batai.

Faza oscilatiei are perioada T, mult mai mica dect Tb:

Oscilatia rezultanta este reprezentata, n fig.3.7, cu linie continua.

Perioada batailor este intervalul de timp ntre doua treceri succesive ale amplitudinii rezultante prin valoarea minima sau maxima.

3.3.3. Compunerea oscilatiilor perpendiculareConsideram un punct material de masa m, care care este solicitat simultan sa oscileze armonic sub actiunea a doua resorturi elastice identice legate pe doua directii perpendiculare, ca n fig. 3.9.

Fig. 3.9. Compunerea oscilatiilor perpendiculare

Cele doua miscari oscilatorii armonice sunt perpendiculare, avnd ecuatiile elongatiilor pe cele doua directii de forma:

Fig. 3.10. Traiectorie eliptica rotita fata de axe.

Fig. 3.11. Traiectorie particulara n cazul compunerii oscilatiilor perpendiculare n faza,

Elipsa care descrie traiectoria particulei nu mai este rotita fata de axele de coordonate (vezi fig.3.12).

Fig.3.12. Traiectoria rezultata din compunerea a doua oscilatii perpendiculare n cuadratura de faza,

Micarea punctului material se defasoara pe elipsa, ntr-un sens sau n altul.

3.4. Miscarea oscilatorie amortizataSistemele oscilante reale sunt supuse unor forte de frnare, sau de disipare a energiei pe care-o au la nceputul miscarii. Acea parte a energiei ce se pierde prin frecare se transforma n caldura. Ampltudinea micarii oscilatorii amortizate este scazatoare n timp. Un caz interesant de forte de frnare l constituie fortele proportionale cu viteza de oscilatie. Micarea este neperiodica, aa cum se vede n fig. 3.13. Elongatia tinde la zero cnd timpul tinde la infinit, fara ca punctul material sa oscileze.

Fig. 3.13. Elongatia micarii cu forta de amortizare mare, 0 .

Fig. 3.14. Elongatia si amplitudinea oscilatorului armonic amortizat n functie de timp.

Observam ca oscilatia amortizata este modulata n amplitudine. Elongatia tinde la zero cnd timpul tinde la infinit, punctul material oscilnd n jurul pozitiei de echilibru cu o amplitudine din ce n ce mai mica.

Descreterea amplitudinii micarii oscilatorii amortizate este caracterizata de marimea numita decrement logaritmic. Decrementul logaritmic este egal cu logaritmul natural al raportului dintre doua amplitudini succesive:

Fig.3.15. Dependenta de timp a energiei mecanice si a amplitudinii oscilatorului amortizat.

3.5. Analogie ntre oscilatiile mecanice si cele electromagneticeExaminnd oscilatiile elastice (ale unui sistem format dintr-un resort elastic si un corp punctiform) si oscilatiile electromagnetice (dintr-un circuit serie RLC de curent alternativ), constatam o serie de asemanari (similitudini). Aceste asemanari au condus la stabilirea unor corespondente ntre marimile electrice si cele mecanice, adica la stabilirea unor analogii ntre aceste marimi. Cunoaterea analogiilor dintre marimile electrictromagnetice si cele mecanice permite transpunerea rezultatelor obtinute pentru oscilatiile elastice armonice (ideale sau amortizate) la cazul oscilatiilor electrice. Consideram un circuit serie RLC, format dintr-un rezistor cu rezistenta electrica R, o bobina ideala cu inductanta L, si un condensator de capacitate electrica C (vezi fig. 3.16).

Fig. 3.16. Circuit RLC parcurs de un curent electric variabil n timp.

Consideram ca bobina constituie secundarul unui transformator. n bobina se induce o tensiune electromotoare, uL, prin inductie electromagnetica ntre primarul si secundarul transformatorului. Similitudinile dintre cele doua tipuri de oscilatii sunt prezentate n Tabelul 3.1. Astfel, putem observa ca toate marimile fizice corespunzatoare oscilatiei electromagnetice au un corespondent n marimi corespunzatoare oscilatiei elastice. Folosind analogia dintre oscilatiile amortizate ale resortului elastic si oscilatiile electromagnetice amortizate din circuitul RLC, se poate scrie intensitatea instantanee a curentului electric din circuit, care este data de relatia:

n fig. 3.17 se prezinta intensitatea instantanee a curentului electric din circuit si amplitudinea oscilatiilor sale n functie de timp.

Fig. 3.17. Intensitatea instantanee a curentului electric din circuitul oscilant amortizat.

3.6. Oscilatii fortate. RezonantaSa consideram un oscilator mecanic format dintr-un resort elastic si un corp de dimensiuni neglijabile. Datorita fortei de frecare, energia mecanica a oscilatorului se consuma n timp, astfel nct oscilatia este amortizata, aa cum am vazut n paragraful 3.4. Pentru a ntretine miscarea oscilatorie,trebuie sa se aplice forte exterioare (numite forte de fortare), care sa compenseze pierderile de energie din sistem. n acest caz, punctul material va efectua o miscare oscilatorie fortata. Dintre tipurile de forte de fortare (sau perturbatoare) ce se pot aplica sistemului oscilant, un caz interesant pentru aplicatiilepractice este cel n care fortele perturbatoare sunt periodice. Experienta arata ca o miscare periodica ntretinuta prezinta un regim tranzitoriu, dupa trecerea caruia se instaleaza regimul permanent. Regimul tranzitoriu este de scurta durata, iar regimul permanent se manifesta prin oscilatii ntretinute.

3.6.1. RezonantaAa cum am vazut n paragraful anterior, dupa stabilirea regimului permanent al oscilatiei ntretinute, frecventa de oscilatie este egala cu frecventa fortei perturbatoare. Sistemul oscilant adopta pulsatia fortei perturbatoare, care este diferita de pulsatia sa proprie de oscilatie ca sistem Rezonanta este fenomenul fizic de aparitie a maximului amplitudinii oscilatiei ntretinute. Sistemul fizic aflat la rezonanta oscileaza cu amplitudine maxima. Deci,din punct de vedere fizic, este ideal sa amplificam la maxim o oscilatie armonica, totusi n practica trebuie evitate situatiile n care frecventa fortei de ntretinere coincide cu frecventa proprie a oscilatorului,deoarece n acest caz amplitudinea tinde la infinit. Rezonanta mecanica are multiple aplicatii n tehnica.

Fig. 3.18. Curbe de rezonanta pentru diferite valori ale coeficientului de amortizare: Astfel, n acest paragraf am constatat ca n cazul oscilatiilor ntretinute, sau fortate, forta exterioara produce un lucru mecanic ce compenseaza pierderile de energie din sistemul oscilant. n paragraful urmator vom vedea cum se caracterizeaza din punct de vedere energetic oscilatiile ntretinute.

Fig. 3.19. Variatia modulului fazei intiale a oscilatiei permanente n

3.6.2. Consideratii energetice ale oscilatiilor fortaten continuare vom defini cteva marimi fizice care caracterizeaza transferul energiei mecanice n sistemul ce efectueaza oscilatii fortate, sau ntretinute.

1. Puterea instantanee absorbita de sistemul oscilant ntretinut reprezinta derivata la timp a lucrului mecanic efectuat de forta de fortare.

2. Puterea medie absorbita n decursul unei perioade reprezinta integrala pe o perioada a puterii instantanee absorbite Pa (t).3. Puterea instantanee disipata sub forma de caldura de catre forta de frecare reprezinta derivata la timp a lucrului mecanic efectuat de forta de frecare.

4.Puterea medie disipata ntr-o perioada reprezinta integrala pe o perioda a puterii instantanee disipate.

Fig. 3.20. Puterile medii absorbita si disipata

Oscilaii mecanice ,aplicatiiOscilaii armonice:

Un corp efectueaz oscilaii armonice atunci cnd asupra lui acioneaz o for de tip elastic:

F = - k x,

k constanta elastic; x elongaie; m masa;

, 0 pulsaie proprie; , T0 perioad proprie;x(t) = A sin (0 t + );

Oscilaii amortizate:

Oscilaiile unui corp sunt amortizate atunci cnd asupra lui acioneaz, pe lng fora de tip elastic (- k x) i o for rezistent proporional cu viteza ( v):

F = - k x v, coeficient de rezisten;

, , pulsaia oscilaiei amortizate;

factor de amortizare;

Observaie: Avem de-a face cu micare de oscilaie numai dac .

x(t) = A e - t sin ( t + );

- decrement logaritmic;

T perioada micrii oscilatorii amortizate.Oscilaii forate:

Fora care ntreine oscilaia este sinusoidal de amplitudine F0 i pulsaie 1:

F = - k x v + F0 sin (1 t);x(t) = A1 sin (1 t - 1 ) ,

, ;

A1 (1) = maxim 1= rez =.

34. O particul efectueaz oscilaii sinusoidale de-a lungul axei Ox n jurul poziiei de echilibru. Pulsaia oscilaiilor este = 5 rad/s. La momentul t0=0 particula se gsete n poziia x0 = 12 cm i are viteza =0,6 m/s. Determinai legea de micare i legea vitezei.

R: cm; m/s.35. Determinai pulsaia i amplitudinea oscilaiilor sinusoidale efectuate de o particul dac la distanele x1 i x2 de la poziia de echilibru viteza particulei are valorile v1 i v2.

R: , .

36. Un corp de mas m = 0,05 kg fixat de captul unui resort de constant elastic k = 20 N/m execut o micare oscilatorie armonic de-a lungul axei Ox. tiind c la momentul t0 = 0 corpul are doar energie cinetic, iar energia cinetic maxim a corpului este de 910 -3 J, s se determine:

a) legea de micare;

b) energia total a corpului.

R: a) x(t) = 0,03 sin(20 t) m; b) Et = 910 -3 J.

37. Un corp de mas m = 0,05 kg fixat de captul unui resort execut o micare oscilatorie armonic de-a lungul axei Ox dup legea:

m. S se determine:

a) constanta elastic a resortului i perioada oscilaiilor;

b) energia total a corpului;

c) momentele de timp la care energia cinetic este egal cu energia potenial.

R: a) k = 5 N/m, s; b) Et = 6.2510 -3 J; c) s, unde n=numr natural.

38. Un punct material efectueaz o micare oscilatorie amortizat de-a lungul axei Ox. Perioada micrii este T=3 s, iar decrementul logaritmic =0,6. S se scrie legea de micare, tiind c la momentul iniial t0 = 0, x0 = 0, v0 = 0,5 m/s.

R: .39. S se scrie expresia vitezei oscilaiilor amortizate.

Rezolvare:

x(t) = A0 e - t sin ( t + ),

,

;

,

.

40. Un punct material execut oscilaii amortizate cu pulsaia . S se determine coeficientul de amortizare dac la momentul t0 = 0 viteza punctului material este nul, iar elongaia este de n ori mai mic dect amplitudinea.

R: .

41. Un corp oscileaz ntr-un mediu cu decrementul logaritmic 1. Care este decrementul logaritmic 2 dac coeficientul de rezisten al mediului crete de n ori?

Rezolvare:

;

, ,

;

,

.

42. Un corp oscileaz ntr-un mediu cu decrementul logaritmic 1. De cte ori trebuie s creasc rezistena mediului pentru ca oscilaia amortizat s devin micare amortizat aperiodic (2 = 0).R: .

43. Un corp de mas m=250 g execut o micare de oscilaie amortizat cu factorul de amortizare = /4 s 1, perioada oscilaiilor proprii fiind s. Oscilaiile corpului devin forate n urma aciunii unei fore exterioare periodice N. S se scrie elongaia oscilaiilor forate.

R: m.44. Amplitudinea oscilaiilor forate este aceeai pentru dou frecvene 1 i 2. S se afle frecvena de rezonan a oscilaiilor.

R: .

45. Asupra unui corp, care efectueaz o micare oscilatorie amortizat cu perioada oscilaiilor proprii T0, acioneaz o for exterioar sinusoidal de amplitudine F0. La rezonana vitezelor, amplitudinea oscilaiilor este A0. S se afle coeficientul de rezisten.Rezolvare:

x(t)=A1 sin (1 t - 1 ) - legea de oscilaie n cazul oscilaiilor forate;

,

v(t)=A1 1 cos (1 t - 1 )

Rezonana vitezelor se realizeaz atunci cnd :

1 A1= maxim

1 = 0

; Dar , iar .

46. Un corp care efectueaz o micare oscilatorie forat are amplitudinea vitezei egal cu 1/3 din amplitudinea vitezei la rezonana vitezelor, pentru dou pulsaii 1 i 2. S se afle:

a) pulsaia proprie a oscilatorului 0;

b) factorul de amortizare .

R: a) ; b) .Compunerea oscilaiilor armonice paralele

a) Oscilaii cu aceeai pulsaie

x1 (t) = A1 sin ( t + 1),

x2 (t) = A2 sin ( t + 2);

Rezultatul compunerii a dou oscilaii armonice paralele de aceeai pulsaie este tot o oscilaie armonic de aceeai pulsaie pe aceeai direcie.

x (t) = x1 (t) + x2 (t) x (t) = A sin ( t + )

, .

b) Oscilaii cu pulsaii puin diferiteRezultatul compunerii a dou oscilaii armonice paralele de pulsaii diferite nu mai este o oscilaie armonic.

x1 (t) = A sin (1 t + 1),

x2 (t) = A sin (2 t + 2),

x (t) = x1 (t) + x2 (t) ;

Dac pulsaiile sunt foarte apropiate ntre ele, iar amplitudinile oscilaiilor care se compun sunt egale, oscilaia rezultant este aproape sinusoidal:

.

n cazul frecvenelor acustice sunetul de pulsaie se aude succesiv, ntrindu-se i slbindu-se cu pulsaia i perioada btilor: .

Compunerea oscilaiilor armonice perpendiculare

a) Oscilaii cu aceeai pulsaie

x (t) = A1 sin ( t + 1),

y (t) = A2 sin ( t + 2);

Traiectoria unui punct material supus simultan la dou oscilaii armonice perpendiculare de aceeai pulsaie este o elips a crei form depinde de :

.

b) Oscilaii cu pulsaii diferiteUn punct material supus simultan la dou oscilaii armonice perpendiculare de pulsaii diferite are o traiectorie complicat. Dac raportul pulsaiilor este un numr raional traiectoria este una din figurile Lissajous, forma traiectoriei depinznd i de diferena de faz .

47. Un punct material este supus simultan la dou micri oscilatorii armonice descrise de legile: x1 (t) = 1,2 sin m, respectiv x2 (t) = 1,6 sin m.S se scrie legea de micare rezultant.

R: x (t) = 2 sin ( t + 0,37 ) m.

48. Un punct material este supus simultan la dou micri oscilatorii armonice descrise de legile:

a) m, m;

b) m, m;

c) m, m.

S se determine ecuaia traiectoriei punctului material, precizndu-se forma acesteia.

R: a) , traiectoria este o dreapt; b) , traiectoria este o elips avnd drept axe chiar axele de coordonate; c) , traiectoria este un cerc.

49. S se determine ecuaia traiectoriei unui punct material supus simultan la dou micri oscilatorii:

a) x (t) = A sin ( t), y (t) = A sin (2 t);

b) x (t) = A sin ( t), y (t) = A cos (2 t).

Rezolvare:

a) x = A sin ( t) ;y = Asin(2t) y = 2A sin ( t) cos ( t),

- traiectoria este una din figurile Lissajous:

b) Cele dou oscilaii care se compun au acelai raport al pulsaiilor ca i la punctul a), dar defazajul este altul i deci forma traiectoriei este alta.

.

3.7. Unde elasticeMediile continue, cum sunt solidele, lichidele si gazele, sunt medii formate din particule (atomi, molecule sau ioni) care interactioneaza ntre ele. De aceea, daca una dintre particule oscileaza (vibreaza), atunci vor oscila (vor vibra) si particulele vecine; n felul acesta oscilatiile (perturbatiile) se propaga prin mediu de la o particula la alta. Prin propagarea oscilatiilor se genereaza undele.

Unda reprezinta fenomenul de extindere si propagare din aproape n aproape a unei perturbatii periodice produse ntr-un anumit punct din mediul de propagare. Propagarea undei se face cu o viteza finita, numita viteza undei. Unda nu reprezinta transport de materie, ci numai transport de energie.

Dupa tipul de energie pe care-l transporta unda, putem deosebi: (i) unde elastice (se transporta energie mecanica, undele fiind generate de perturbatiile mecanice ale mediilor elastice), (ii) unde electromagnetice (se transporta energie electromagnetica) (ii) unde magneto-hidrodinamice (sunt generate prin perturbatii electromagnetice si elastice ale mediului de propagare).

Dupa natura perturbatiei si modul de propagare al acesteia, putem clasifica undele n: (1) unde

longitudinale (directia de propagare a undei coincide cu directia de oscilatie); (2) unde transversale(directia de propagare a undei este perpendiculara pe directia de oscilatie).

O marime deosebit de importanta pentru descrierea undei este functia de unda, pe care o putem nota n mod generic cu (x,y,z,t). Functia de unda reprezina functia matematica ce descrie marimea perturbata.

Suprafata de unda reprezinta multimea punctelor din spatiu ce oscileaza avnd la un moment dat aceeai valoare a functiei de unda, (x,y,z,t) = constant = a. Dupa forma suprafetelor de unda, putem ntlni unde plane, unde sferice, unde cilindrice, etc.

Frontul de unda reprezinta suprafata de unda cea mai avansata la un moment dat.

3.7.1. Unde armonice unidimensionale

Fig. 3.21. Oscilatia generata n originea axei Ox se propaga pna n punctul M.

Constam ca ecuatia elongatiei yM(x, t) a oscilatiei dintr-un punct oarecare M, aflat pe directia de propagare a undei, are o ntrziere de faza, dependenta de pozitia sa fata de sursa undei. Cu ct punctul M se afla mai departe de originea undei, cu att mai trziu va intra n oscilatie; oscilatia din punctul considerat va avea o ntrziere de faza mai mare, daca punctul este mai departe de sursa undei.

Vectorul de unda este marimea fizica vectoriala orientata n sensul propagarii undei. Vectorul de unda materializeaza directia n care se propaga energia undei. Utiliznd vectorul de unda, putem scrie ecuatia elongatiei oscilatiei din punctul M sub forma:

3.7.2. Consideratii energetice asupra propagarii undeiPropagarea unei unde elastice ntr-un anumit mediu genereaza o serie de miscari de oscilatie ale particulelor mediului; punctele materiale i ncep micarea oscilatorie, n jurul pozitiiilor lor de echilibru, pe masura ce energia undei ajunge pna la ele.

Fig. 3.22. Densitatea volumica de energie ntr-un punct al mediului de propagare si densitatea volumica medie de energie.Alte marimi ce sunt utilizate pentru a descrie energia transportata de unda sunt urmatoarele:

a). Fluxul de energie. Fluxul de energie reprezinta cantitatea de energie transmisa printr-o suprafata n unitatea de timp, fiind dat de derivata energiei la timp.b). Densitatea flluxului de energie reprezinta fluxul de energie transportat prin unitatea de suprafata, n directie perpendiculara pe aceasta suprafata.3.7.3. Reflexia si refractia undelor elasticeCnd o unda ntlnete suprafata de separare dintre doua medii diferite se produc simultan reflexia (ntoarcerea undei n mediul din care a venit) si refractia (transmisia undei n mediul al doilea). Se constata de asemenea ca prin reflexie si refractie se schimba directia de propagare a undei.

Consideram o unda elastica longitudinala plana ce se propaga prin mediul (1), care are densitatea d1 si unde viteza undei este u1 (vezi fig.3.23). La ntlnirea suprafetei de separare, dintre mediul (1) si mediul (2) unda se va mparti ntr-o unda reflectata ce se propaga n mediul (1) si o unda transmisa ce se propaga n mediul (2).

Definim impedanta mediului de propagare prin produsul dintre densitatea mediului si viteza undei. Impedanta exprima viteza cu care se propaga energia undei prin mediul repectiv.

Fig. 3.23. Reflexia si refractia unei unde plane.

Observam ca amplitudinea undei transmise, At are acelai semn cu amplitudinea undei incidente, Ai, indiferent de impedantele celor doua medii. De aceea unda transmisa este totdeauna n faza cu unda incidenta.

n ceea ce privete amplitudinea undei reflectate se pot ntlni doua cazuri:

a). Mediul (1) mai dens dect mediul (2), Z1>Z2. n acest caz amplitudinea undei reflectate, Ar, are acelai semn cu amplitudinea undei incidente, Ai. Cele doua unde sunt n faza, de asemenea.

b). Mediul (1) mai putin dens dect mediul (2), Z1