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  • Fixed Income Analysis:

    Securities, Pricing, and Risk Management

    Claus Munk

    This version: January 25, 2005

    Department of Accounting and Finance, University of Southern Denmark, Campusvej 55, DK-5230 Odense M,

    Denmark. Phone: ++45 6550 3257. Fax: ++45 6593 0726. E-mail: cmu@sam.sdu.dk. Internet homepage:

    http://www.sam.sdu.dk/ cmu

  • Contents

    Preface ix

    1 Introduction and overview 1

    1.1 What is fixed income analysis? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

    1.2 Basic bond market terminology . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

    1.2.1 Bond types . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

    1.2.2 Bond yields and zero-coupon rates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

    1.2.3 Forward rates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

    1.2.4 The term structure of interest rates in different disguises . . . . . . . . . . . 8

    1.2.5 Floating rate bonds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

    1.3 Bond markets and money markets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

    1.4 Fixed income derivatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

    1.5 An overview of the book . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

    1.6 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

    2 Extracting yield curves from bond prices 21

    2.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

    2.2 Bootstrapping . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

    2.3 Cubic splines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

    2.4 The Nelson-Siegel parameterization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

    2.5 Additional remarks on yield curve estimation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

    2.6 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

    3 Stochastic processes and stochastic calculus 33

    3.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

    3.2 What is a stochastic process? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

    3.2.1 Probability spaces and information filtrations . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

    3.2.2 Random variables and stochastic processes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

    3.2.3 Important concepts and terminology . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

    3.2.4 Different types of stochastic processes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

    3.2.5 How to write up stochastic processes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

    3.3 Brownian motions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

    3.4 Diffusion processes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

    3.5 Ito processes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

    i

  • ii Contents

    3.6 Stochastic integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

    3.6.1 Definition and properties of stochastic integrals . . . . . . . . . . . . . . . . 46

    3.6.2 The martingale representation theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

    3.6.3 Leibnitz rule for stochastic integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

    3.7 Itos Lemma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

    3.8 Important diffusion processes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

    3.8.1 Geometric Brownian motions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

    3.8.2 Ornstein-Uhlenbeck processes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

    3.8.3 Square root processes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

    3.9 Multi-dimensional processes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

    3.10 Change of probability measure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

    3.11 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

    4 A review of general asset pricing theory 67

    4.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

    4.2 Assets, trading strategies, and arbitrage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

    4.2.1 Assets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

    4.2.2 Trading strategies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

    4.2.3 Redundant assets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

    4.2.4 Arbitrage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

    4.3 State-price deflators, risk-neutral probabilities, and market prices of risk . . . . . . 72

    4.3.1 State-price deflators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

    4.3.2 Risk-neutral probability measures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

    4.3.3 Market prices of risk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

    4.4 Other useful probability measures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

    4.4.1 General martingale measures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

    4.4.2 First example: the forward martingale measures . . . . . . . . . . . . . . . 81

    4.5 Complete vs. incomplete markets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

    4.6 Equilibrium and representative agents in complete markets . . . . . . . . . . . . . 83

    4.7 Extension to intermediate dividends . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

    4.8 Diffusion models and the fundamental partial differential equation . . . . . . . . . 86

    4.8.1 One-factor diffusion models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

    4.8.2 Multi-factor diffusion models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

    4.9 Concluding remarks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

    4.10 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

    5 The economics of the term structure of interest rates 95

    5.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

    5.2 Real interest rates and aggregate consumption . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

    5.3 Real interest rates and aggregate production . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

    5.4 Equilibrium term structure models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

    5.4.1 Production-based models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

    5.4.2 Consumption-based models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

    5.5 Real and nominal interest rates and term structures . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

  • Contents iii

    5.5.1 Real and nominal asset pricing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

    5.5.2 No real effects of inflation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

    5.5.3 A model with real effects of money . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

    5.6 The expectation hypothesis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

    5.6.1 Versions of the pure expectation hypothesis . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

    5.6.2 The pure expectation hypothesis and equilibrium . . . . . . . . . . . . . . . 115

    5.6.3 The weak expectation hypothesis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

    5.7 Liquidity preference, market segmentation, and preferred habitats . . . . . . . . . 117

    5.8 Concluding remarks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

    5.9 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

    6 Interest rate derivatives 121

    6.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

    6.2 Forwards and futures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

    6.2.1 General results on forward prices and futures prices . . . . . . . . . . . . . 121

    6.2.2 Forwards on bonds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

    6.2.3 Interest rate forwards forward rate agreements . . . . . . . . . . . . . . . 125

    6.2.4 Futures on bonds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

    6.2.5 Interest rate futures Eurodollar futures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

    6.3 Options . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

    6.3.1 General pricing results for European options . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

    6.3.2 Options on bonds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

    6.3.3 Blacks formula for bond options . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

    6.4 Caps, floors, and collars . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

    6.4.1 Caps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

    6.4.2 Floors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134

    6.4.3 Blacks formula for caps and floors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

    6.4.4 Collars . . . . . . . . .