Pokok Bahasan :Analisa Vektor

Sub Pokok Bahasan : •Operasi penjumlahan Vektor

•Operasi Perkalian skalar dan cross.

ANALISA VEKTOR

A

a

b

R

Perpindahan dari a ke b dinyatakan oleh vektor R

Sebuah besaran vektor dapat dinyatakan oleh huruf di cetak tebal (misalA) atau diberi tanda panah diatas huruf (misal ). Dalam buku besaranvektor dinyatakan oleh huruf yang dicetak tebal.

Besaran vektor adalah besaran yang terdiri dari dua variabel, yaitu besardan arah. Sebagai contoh dari besaran vektor adalah perpindahan.

Operasi Penjumlahan Vektor

Penjumlahan vektor R yang menyatakan perpindahan a ke b dan vektor Syang menyatakan perpindahan b ke c menghasilkan vektor T yangmenyatakan perpindahan a ke c.Cara menjumlahkan dua buah vektor dengan mempertemukan ujungvektor pertama, vektor R, dengan pangkal vektor kedua, vektor S. Makaresultan vektornya, vektor T, adalah menghubungkan pangkal vektorpertama dan ujung vektor kedua.

b

ca

RS

T

T = R + S

Vektor Resultan

Jika besar vektor R dinyatakan oleh R dan besar vektor S dinyatakanoleh S, maka besar vektor T sama dengan :

θcos2RSSRT 22

Sudut θ menyatakan sudut yang dibentuk antara vektor R dan vektor S

RS

T

T = R + S

θ

(1.1)

Pengurangan Vektor

Untuk pengurangan vektor, misal A – B dapat dinyatakan sebagaipenjumlahan dari A + (-B). Vektor -B atau negatif dari vektor B adalahsebuah vektor yang besarnya sama dengan vektor B tetapi arahnyaberlawanan.

AB

-B

DD = A – B

Contoh

Sebuah mobil bergerak ke Utara sejauh 20 km, kemudian bergerak keBarat sejauh 40 km dan bergerak ke Selatan sejauh 10 km. Tentukanjarak perpindahan mobil itu !

40 km

S

10 km

20 km

U

B

Jawab :40 km

10 km

20 km

10 km

40 km

A

B

C

Jika perpindahan pertama dinyatakan vektor A, perpindahan kedua dinyatakan vektor B, dan perpindahan ketiga dinyatakan vektor C, maka perpindahan total dinyatakan vektor D.Dari gambar di atas dapat diketahui panjang vektor D adalah :

m17101040 22

vektor satuan

Vektor satuan didefenisikan sebagai : RRr

Vektor satuan r tidak mempunyai dimensi dan besarnya adalah satusatuan. Dari persamaan di atas, sebuah besaran vektor dapatdinyatakan sebagai besar vektor tersebut dikali vektor satuan. Vektorsatuan r menyatakan arah dari vektor R.Terdapat vektor satuan standar dalam koordinat Kartesian di manaarah-arah dari masing-masing sumbu dinyatakan dalam vektor satuan.

•Vektor satuan i menyatakan arah sumbu X positif•Vektor satuan j menyatakan arah sumbu Y positif•Vektor satuan k menyatakan arah sumbu Z positif

Tinjauan vektor secara analitis

2z

2y

2x RRRR

Vektor R dinyatakan oleh : R = Rxi + Ryj + RzkBesar vektor R adalah :

R

Ry

Rz

Rx

Vektor dalam 2 Dimensi

Vektor satuan standar tersebut setiap vektor dapat dinyatakan dalam bentuk penjumlahan dari vektor komponen masing-masing sumbu koordinat.

CONTOH

Sebuah vektor perpindahan dari titik (2,2) ke titik (-2,5). Tentukan :a. Vektor perpindahan dinyatakan secara analitisb. Sudut yang dibentuk vektor tersebut dengan sumbu X c. Panjang vektor

Jawab :

(2,2)

(-2,5)

x

y

Vektor perpindahan :R = (xujung – xpangkal)i + (yujung – ypangkal)jR = (-2 – 2)i + (5 – 2)j = -4i + 3j

pangkal

ujung

Rx

Ry

a.

CONTOH

o1

x

y1 3743tan

RR

tan

(2,2)

(-2,5)

x

y

pangkal

ujung

Rx

Ry

b.

Besar vektor R = 543RR 222y

2x c. satuan

Sudut yang dibentuk :

Penjumlahan Vektor secara Analitis

Jika diketahui sebuah vektor A = xAi + yAj dan vektor B = xBi + yBj, maka penjumlahan vektor A + B = (xA + xB)i + (yA + yB)j. Atau secara umum jika menjumlahkan n buah vektor berlaku :R = (x0 + …+xi + …+xn)i + (y0 + …+yi + …+yn)j

xAxB

yA

yB

A

B

xA + xB

A

B

yA + yB

(1.3)

CONTOH

Diketahui dua buah vektor. A = 3i + 2jB = 2i 4j Tentukan :

a. A + B dan A + Bb. A B dan A B

Jawab :a. A + B = 3i + 2j + 2i 4j

= 5i 2jA + B =

29)2(5 22

b. A B = 3i + 2j (2i 4j) = i + 6j A B = 3761 22

AB

-BA B

Operasi Perkalian Vektor

Perkalian skalar atau juga sering disebut perkalian titik dari dua buah vektor menghasilkan besaran skalar di mana berlaku :

A . B = AB cos (1.4)Jika diketahui A = ax i + ay j + az k dan B = bx i + by j + bz k, maka :

A . B = axbx + ayby + azbz (1.5)Sebagai hasil perkalian skalar adalah usaha, tenaga potensial, fluks magnet, dan lain-lain.

A

B

Perkalian Skalar

Perlu diperhatikan dan diingat dalam perkalian titik adalah :i . i = j . j = k . k = 1 i . j = j . k = k . i = 0

Perhatikan animasi di samping ini !

CONTOH

ABcos B.A

Diketahui dua buah vektor, A = 3i + 4j dan B = 4i 2j. Tentukan sudut antara vektor A dan B !Jawab :

A

B

Untuk menentukan sudut antara vektor A dan B dapat menggunakan persamaan (1.4).

A . B = (3i + 4j) . (4i 2j) = 3.4 + 4.(-2) = 4

Besar vektor A = 543 22 Besar vektor B = 20)2(4 22

1252

ABcos

B.ADengan demikian = 79,7o

AB

Perkalian Vektor

Perkalian vektor atau perkalian silang dari dua buah vektor menghasilkan besaran vektor lain di mana berlaku :

A B = C (1.6)Besar vektor C adalah :

C = AB sin (1.7)Arah vektor C selalu tegak lurus dengan bidang yang dibentuk oleh vektor A dan vektor B. Untuk menentukan arah vektor C dapat diperhatikan gambar di bawah ini. Diketahui bahwa hasil A B tidak sama dengan B A. Walaupun besar vektor hasil perkalian silang itu sama, tetapi arahnya saling berlawanan.

B

B

A

A

C = A B

C’ = B A

C = -C’

Perlu diperhatikan dan diingat dalam perkalian titik adalah : i i = j j = k k = 0i j = k ; j k = i; k i = jj i = -k ; k j = -i; i k = -j

Perhatikan animasi disamping ini !

Untuk menentukan arah dari hasil perkalian silang dari dua buah vektor dapat menggunakan aturan tangan kanan. Jika urutan perkalian dari dua vektor (misal A B), maka empat jari menyatakan arah putaran sudut terkecil dari vektor A ke vektor B. Ibu jari menyatakan arah dari hasil kali kedua vektor tersebut.Untuk memahami aturan ini perhatikan animasi di bawah ini :

CONTOH

Diketahui dua buah vektor. A = 3i + 4j B = 4i 2j + kTentukan : a. A B

b. Buktikan A B = -B AJawab :

A B = (3i + 4j) (4i 2j + k) = 3.4(ii) + 3.(-2)(ij) + 3.1(ik) + 4.4(ji) + 4.(-2)(jj) + 4.1(jk) = 12.0 – 6k + 3(-j) + 16(-k) – 8.0 + 4i = 4i – 3j – 22k

a.

B A = (4i 2j + k) (3i + 4j) = 4.3(ii) + 4.4(ij) +(-2).3(ji) + (-2).4(jj) + 1.3(ki) + 1.3(kj) = 12.0 + 16k – 6(-k) – 8.0 + 3j + 4(-i) = -4i + 3j + 22k = - A B terbukti

b.