fisika dasar, fakultas pertanian, praktikum

Praktikum Fisika Dasar

Fakultas Pertanian

September 2007

Fakultas Pertanian Universitas Trunojoyo

Oleh: Richard Blocher

Praktikum Fisika Dasar oleh Richard Blocher

I

Daftar Isi

Daftar Isi ......................................................................................... I

Peraturan Praktikum.................................................................. III

Perhitungan Ralat ..........................................................................1

1 Prinsip-Prinsip Dasar .............................................................1 1.1 Mengukur .......................................................................................... 1

1.1.1 Apakah Mengukur itu ?....................................................... 1 1.1.2 Hasil Pengukuran, Besaran yang Sebenarnya dan

Ralat .................................................................................... 2

2 Perkiraan Ralat yang Sederhana untuk satu Besaran yang Diukur .............................................................................5 2.1 Statistika ............................................................................................ 5

2.1.1 Sifat-sifat Ralat Statistis. ..................................................... 5 2.1.2 Perkiraan untuk Ralat dan Nilai yang Sebenarnya .............. 7 2.1.3 Bagaimana Kalau Mempunyai Hanya Satu Hasil

Ukur ?.................................................................................. 9 2.1.4 Ralat Maksimal ................................................................... 9

2.2 Cara menulis hasil ........................................................................... 10 2.3 Ralat Sistematis ............................................................................... 10

3 Perambatan Ralat ................................................................. 11 3.1 Prinsip ............................................................................................. 11 3.2 Perkalian dengan Pangkat ( ), , ,... ...a b cf x y z Ax y z= .............. 12 3.3 Kombinasi Linear: f(x, y, z,) = ax by cz ......................... 13 3.4 Jumlah: f(x, y, z,) = x y z ............................................... 13 3.5 Hubungan yang Lebih Kompleks.................................................... 13

II Daftar Isi


4 Grafik untuk Besaran yang Berhubungan .........................14 4.1 Grafik dan Rumus ........................................................................... 14

4.1.1 Titik dalam Grafik dan Persamaan .................................... 14 4.1.2 Grafik dari fungsi linear .................................................... 16 4.1.3 Transformasi dari Fungsi Non Linear Menjadi

Linear ................................................................................ 17 4.2 Metode Perkirakan dengan Melihat................................................. 19 4.3 Perkiraan Ralat ................................................................................ 20

Soal Latihan..................................................................................26

Petunjuk Praktikum ....................................................................29

1 Bandul Matematis .................................................................29

2 Elastisitas ...............................................................................34

3 Hukum Newton II .................................................................39

4 Bola Jatuh Bebas ...................................................................46

5 Koefisien Muai Panjang .......................................................50

6 Voltameter Tembaga .............................................................54

7 Lensa.......................................................................................59

8 Viskositas Zat Cair................................................................69


III

Peraturan Praktikum

1. Persiapan di rumah dan test awal: Supaya Mahasiswa dapat mengikuti praktikum dengan baik, setiap mahasiswa harus menyiapkan diri di rumah sebelum praktikum mulai. Untuk mengecek persiapan itu dan untuk membicarakan hal yang masih belum jelas, pada awal praktikum akan diadakan satu test awal oleh asisten. Bila pada test itu ternyata mahasiswa belum tahu bagaimana mengerjakan percobaan atau belum cukup tahu tentang teori, mahasiswa tidak boleh mengerjakan percobaan itu. Percobaan harus dilakukan (diulangi) sesuai jadwal Her (remedial). Penyelesaian test awal tersebut dicantumkan dalam Kartu Praktikum oleh Asisten.

2. Ketepatan waktu Praktikum mulai tepat pada waktu yang telah dijadwalkan. Bagi mahasiswa yang terlambat lebih dari 15 menit tidak boleh mengikuti praktikum pada hari itu dan harus mengulangi percobaan itu sesuai dengan jadwal remedial.

3. Laporan praktikum a. Laporan Praktikum harus diserahkan kepada asisten satu minggu setelah

percobaan dikerjakan. Dalam bentuk praktikum yang dipadatkan (setiap hari ada praktikum), laporan harus diserahkan dua hari setelah percobaan dilaksanakan. Kalau Laporan Praktikum masuk terlambat, tidak bisa diterima lagi dan percobaan harus diulangi.

b. Isi Laporan Praktikum adalah: 1. Di halaman depan harus tercantum: Nama praktikan, nama teman

kerja, nama asisten, tanggal praktikum, no. dan nama percobaan, hari dan kelompok praktikum.

2. Data-data ukuran asli, berarti catatan asli yang dibuat ketika mengerjakan percobaan. Data asli ini tidak boleh dicopy atau diubah. Data asli dilampirkan pada laporan dari salah satu laporan untuk setiap kelompok.

3. Tugas sesuai penjelasan pada masing-masing percobaan dalam pasal Laporan Praktikum.

4. Data ukur dan hasil ditulis dalam daftar / tabel yang jelas. 5. Grafik-grafik dari pengukuran di atas kertas mm (Millimeterblock) jika

dalam percobaan ada grafik yang dibutuhkan untuk analisa hasil. 6. Perhitungan percobaan 7. Kesimpulan mengenai hasil dari percobaan.

IV Peraturan Praktikum


Setiap mahasiswa harus membuat satu laporan praktikum. Hanya catatan asli data ukur pada prinsipnya ada hanya satu, berarti satu mahasiswa dari kelompok kerja mengikutkan catatan asli.

4. Laporkan kerusakan Kalau ada kerusakan alat dalam percobaan, kerusakan itu harus diberitahukan segera kepada asisten dan harus dicatat ke dalam daftar kerusakan yang ada di ruang praktikum supaya bisa diperbaiki dengan cepat. Kalau pada awal percobaan sudah ada alat yang rusak juga harus dilaporkan dan dicatat dalam daftar tersebut.

5. Tanggung jawab terhadap kerusakan Kalau alat menjadi rusak karena mahasiswa kurang hati-hati atau dengan sengaja merusakkan alat, maka kerusakan tersebut harus ditanggung oleh mahasiswa yang merusakkannya.

6. Pemakaian alat untuk setiap percobaan Jangan ambil alat dari percobaan lain. Semua alat yang diperlukan untuk satu percobaan, sudah tersedia di tempat percobaan. Kalau seandainya ada kekurangan, mintalah kepada asisten.

7. Rapikan tempat setelah percobaan Setelah percobaan selesai tempat kerja harus dibereskan dan asisten diminta supaya membuktikan kerapian tempat kerja dengan tanda tangannya di Kartu Praktikum. Bereskan tempat termasuk:

- Kalau dalam percobaan air dipakai, semua air harus dibuang setelah percobaan dikerjakan.

- Alat harus dicek supaya semuanya ada. -

8. Penilaian dan Her (remedial) Nilai test awal, kerapian tempat kerja setelah percobaan, ketepatan memasukkan laporan, nilainya dan ACC dicantumkan di lembar Kartu Praktikum. Kalau ada kekurangan dalam satu hal (Tanda tangan dari asisten tidak ada atau nilai di bawah C) atau laporan praktikum masuk terlambat, percobaan tidak diakui dan harus diulangi sesuai dengan jadwal remedial. Paling banyak dua percobaan bisa diulangi. Kalau lebih banyak percobaan perlu diulangi, seluruh praktikum harus diulangi.


1

Perhitungan Ralat

1 Prinsip-Prinsip Dasar

1.1 Mengukur

1.1.1 Apakah Mengukur itu ? Mengukur adalah menentukan suatu besaran fisik dari suatu benda

dengan cara membandingkan benda itu dengan besaran satuan. Untuk cara, bagaimana satuan dibandingkan dengan benda harus ada aturan yang jelas.

Jadi untuk mengukur kita perlu satuan standar dan suatu peraturan, bagaimana cara membandingkan standar tersebut dengan satuan standar. 1. Contoh untuk satuan:

Dulu panjang satu meter terdefinisi sebagai panjang dari meter asli di Paris.

Sekarang panjang satu meter terdefinisi sebagai 1.650.763,73 kali panjang gelombang dari Kr86.

Satu detik adalah 9.192.631.770 periode dari salah satu ayunan frekuensi tinggi Cs133.

2. Contoh untuk peraturan membandingkan: Mengukur panjang dilakukan dengan cara meletakkan panjang satuan

disebelah benda yang mau diukur. Panjang sama jika ujung awal dan ujung akhir pada posisi yang sama.

Untuk menyebut suatu besaran yang kecil atau besar, maka satuan bisa diberikan tambahan seperti: km, cm, mm, mikro-meter, nm. Suatu besaran fisik selalu terdiri atas satu bilangan dan satu satuan.

2 Perhitungan Ralat


1.1.2 Hasil Pengukuran, Besaran yang Sebenarnya dan Ralat

1.1.2.1 Besaran yang Sebenarnya Suatu besaran dari satu benda atau sistem fisik mempunyai nilai

tertentu. Misalnya satu benda memiliki tinggi tertentu. Nilai dari besaran itu (dalam contoh tinggi benda) merupakan sifat dari sistem fisik atau benda itu. Kita akan sebutkan nilai itu sebagai nilai (tinggi) yang sebenarnya.

1.1.2.2 Hasil Ukur Ketika kita mengukur suatu besaran fisik (contoh: tinggi benda), maka

kita akan mendapatkan suatu nilai untuk besaran fisik (tinggi benda) sebagai hasil pengukuran. Hasil pengukuran biasanya disebut secara singkat sebagai hasil ukur. Hasil ukur biasanya tidak persis sama dengan besaran fisik yang sebenarnya. Dalam setiap pengukuran terdapat berbagai kesalahan mengenai hasil ukur sehingga hasil ukur berbeda dengan nilai yang sebenarnya. Besar dari kesalahan tersebut tergantung berbagai faktor, misalnya: berapa baik alat yang dipakai, berapa teliti orang mengukur, suhu lingkungan, angin atau getaran yang mengganggu pengukuran dan lain sebagainya. Perbedaan antara hasil ukur dan besaran yang sebenarnya disebut sebagai ralat ukur. Untuk mendapatkan hasil pengukuran yang baik, kita harus berusaha supaya ralat ukur kecil sehingga hasil ukur pasti dekat dengan besaran yang sebenarnya.

1.1.2.3 Ralat Ralat adalah perbedaan antara hasil ukur dan nilai yang sebenarnya.

Karena kita tidak tahu nilai (besaran) yang sebenarnya, maka kita juga tidak tahu besar dari ralat ukur dengan pasti. Untuk mengetahui berapa besar ketidakpastian dari hasil ukur, maka kita harus memperkirakan besar ralat ukur. Ketidakpastian hasil ukur (ralat ukur) menunjukkan berapa besar perbedaan antara hasil ukur dan nilai yang sebenarnya bisa terjadi. Misalnya terdapat hasil ukur untuk panjang l sebesar l = 3,452967 m. Pertanyaan yang harus diajukan: Maksimal berapa jauh nilai yang sebenarnya dari hasil ukur ini ? Seandainya ralat ukur sebesar l = 0,000001 m, berarti nilai yang sebenarnya pasti paling banyak sejauh 0,000001 m dari hasil ukur. Seandainya ralat ukur sebesar l = 0,1 m, berarti nilai yang sebenarnya pasti paling banyak sejauh 0,1 m dari hasil ukur, berarti kita hanya tahu, panjang sebenarnya dari benda ini antara 3,35 m dan 3,55 m. Untuk menilai suatu hasil ukur, sangat penting ralatnya atau ketidak-pastiannya diketahui. Dengan kata lain, untuk setiap pengukuran selain hasil ukur juga ralat dari hasil ukur harus ditentukan. Menentukan ralat dari hasil ukur disebut membuat perkiraan ralat.

1. Prinsip-Prinsip Dasar 3


Hasil ukur tanpa perkiraan ralat tidak berguna !!!

1.1.2.4 Sumber Ralat Dalam setiap pengukuran terdapat bermacam-macam sumber kesalahan

yang mengakibatkan hasil pengukuran tidak sama dengan besaran fisik yang sebenarnya. Semua sumber ralat dikelompokkan menjadi dua jenis yakni ralat sistematis dan ralat statistis. 1. Ralat Sistematis (Systematic Error) Ralat sistematis terjadi pada setiap kali mengukur. Arah (hasil ukur terlalu

besar / terlalu kecil) dan besar dari ralat sistematis selalu sama. Ralat sistematis adalah suatu kesalahan yang terdapat dari cara (sistem) mengukur. Berarti dalam cara mengukur atau dalam alat sudah ada suatu kesalahan yang mempengaruhi hasil ukur sehingga setiap kali mengukur terdapat perbedaan yang sama antara nilai yang sebenarnya dan hasil ukur. Beberapa contoh untuk ralat sistematis: Posisi nol tidak berada pada posisi nol yang sebenarnya (pada alat ukur

listrik atau pada penggaris). Alat ukur tidak disesuaikan dengan standar asli (tidak ditera). Misalnya

meteran terlalu panjang atau terlalu pendek. Cara mengukur atau alat ukur mempengaruhi besaran asli yang

sebenarnya sehingga berubah ketika diukur. Hal ini bisa terjadi ketika mengukur voltase dan arus secara serentak.

Untuk menghindari ralat sistematis, kita harus menera alat ukur dengan baik dan harus memperhatikan semua pengaruh yang bisa mengubah hasil pengukuran. Misalnya besaran yang mau diukur tergantung suhu dan alat ukur akan mengubah suhu pada benda itu, maka hasil akan mengandung ralat sistematis. Sebab itu, hal seperti ketergantungan besaran dari suhu, medan magnet bumi, gesekan atau hal lain harus diperhatikan dengan baik.

2. Ralat Statistis / Ralat Rambang (Random Error) Ralat statistis berasal dari hal yang terjadi secara kebetulan dan dapat

berubah-ubah. Ralat statistis bisa mengakibatkan hasil ukur menjadi lebih besar atau lebih kecil dari nilai yang sebenarnya. Kalau pengukuran diulangi, ralat statistis akan berbeda dan baik besarnya maupun arahnya (besar/kecil) bersifat statistis, berarti berubah-ubah. Ralat statistis kadang-kadang membuat hasil ukur menjadi lebih besar dan kadang-kadang membuat hasil ukur menjadi lebih kecil. Beberapa contoh untuk ralat statistis: Tidak melihat skala alat ukur secara teliti.

4 Perhitungan Ralat


Stopwatch dijalankan terlambat atau lebih awal. Getaran mekanik mempengaruhi hasil ukur.

Supaya kemungkinan terjadi ralat statistis (ralat rambang) diperkecil, maka kita harus mengukur secara teliti. Untuk mendapatkan suatu informasi tentang besar ralat itu, kita bisa mengukur berulang kali. Jika suatu besaran sudah diukur beberapa kali, maka statistika dapat dipakai untuk memperkirakan besar dari ralat statistis. Kalau suatu besaran diukur berulang kali, maka ralat dari nilai rata-rata dari semua hasil ukur akan lebih kecil daripada ralat dari satu hasil ukur sendiri. Dalam pasal berikut kita akan membicarakan cara untuk memperkirakan ralat statistis.


5

2 Perkiraan Ralat yang Sederhana untuk satu Besaran yang Diukur

2.1 Statistika

2.1.1 Sifat-sifat Ralat Statistis. Kalau suatu besaran diukur beberapa kali, maka hasil pengukuran akan

berbeda-beda. Hasil pengukuran biasanya sekitar nilai yang sebenarnya. Setelah mengukur berulang kali (misalnya 1000 kali), kita bisa membuat satu grafik seperti gambar 2.1. Grafik ini menunjukkan, berapa sering satu nilai hasil ukur tertentu didapatkan. Jika alat ukur yang dipakai baik dan kita mengukur secara teliti, kesalahan (ralat) dari setiap pengukuran akan kecil dan semua nilai hasil ukur akan dekat dengan nilai yang sebenarnya. Jadi lebar dari grafik akan kecil. Lebar dari grafik ini bisa dinyatakan dengan deviasi standard . Jika alat ukur kurang baik atau pengukuran dilakukan secara kurang teliti, maka akan besar. Kalau besar, sebagian besar dari nilai-nilai hasil ukur akan jauh dari nilai yang sebenarnya. Kalau kecil, semua nilai hasil ukur akan dekat dengan nilai yang sebenarnya. Berarti, besar atau tebal distribusi hasil ukur menunjukkan sejauh berapa suatu nilai hasil ukur dapat dipercayai.

Setelah mengukur berulang kali, maka nilai rata-rata x dan deviasi standar x bisa dihitung. Setelah mengetahui besar x dan besar x dari pengukuran besaran tertentu, maka kita tahu mengenai setiap pengukuran sendiri bahwa hasil ukur hampir pasti (dengan kemungkinan besar) akan terdapat antara

Distribusi nilaipengukuran

Jumlah nilai x

2

x Nilai pengukuran x

Gambar 2.1.: Distribusi nilai peng-ukuran yang biasanya diperoleh dengan jumlah pengukuran besar.

6 Perhitungan Ralat


xx dan xx + seperti ditunjukkan dalam gambar 2.2. Dari penjelasan ini kita bisa juga mengambil kesimpulan terbalik: Kalau

suatu besaran telah diukur satu kali dan telah didapat nilai t1 sebagai hasil ukur, dan kalau juga besar deviasi standar dalam mengukur variabel t diketahui sebesar t, maka kemungkinan besar, nilai tb yang sebenarnya berada dalam interval antara 1 tt dan 1 tt + . Situasi seperti ini diperlihatkan dalam gambar 2.2. Contoh: Kita telah mengukur waktu

jatuh dari sebuah batu dan sebuah bulu ayam dari tinggi tertentu. Untuk bulu ayam terdapat selang waktu jatuh sebesar t1 = 1,5 det, untuk batu terdapat t2 = 1,7 det. Apakah dari hasil ukur ini dapat disimpulkan bahwa batu memang jatuh lebih pelan ? Atau harus disimpulkan bahwa perbedaan hasil ukur terdapat sebagai ralat dalam pengukuran ? Untuk menentukan jawaban dari pertanyaan-pertanyaan ini kita harus mengerti, berapa baik hasil ukur kita. Dengan kata lain kita harus tahu besar ralat dari hasil ukur yang telah kita dapatkan. Seandainya kita tahu ralat ukur t dari cara mengukur yang dipakai sebesar t = 0,3 det, maka dapat disimpulkan sbb.: kemungkinan besar nilai ta yang sebenarnya untuk selang waktu jatuh dari bulu ayam antara t1 - = 1,2 det dan t2 + = 1,8 det. Sedangkan nilai tb yang sebenarnya untuk batu antara t2 - = 1,4 det dan t2 + = 2,0 det. Biasanya ditulis sbb.: Hasil pengukuran untuk selang waktu jatuh bulu ayam sebesar t1 = 1,5 det 0,3 det dan waktu jatuh batu sebesar t2 = 1,7 det 0,3 det. Hasil ini diperlihatkan dalam gambar 2.3. Dari hasil ini dilihat bahwa terdapat kemungkinan besar, waktu jatuh sebenarnya sama untuk bulu ayam dan untuk batu, bahkan mungkin batu jatuh lebih cepat daripada bulu ayam. Maka teori yang menyatakan bahwa bulu ayam jatuh dengan kecepatan yang sama dengan batu tidak perlu diragukan karena hasil ukur ini. Tetapi hasil ukur ini juga tidak membuktikan bahwa teori tersebut benar. Dari hasil ukur ini masih ada kemungkinan, waktu jatuh berbeda.

nilai hasil ukur

t1- t1+ t1

Gambar 2.2.: Nilai hasil ukur dan interval di mana nilai yang sebenarnya dapat dianggap.

1,2 1,4 1,6 1,8 2,0 t/det

t2

t1

Gambar 2.3: Interval untuk nilai yang

sebenarnya dari contoh.

2. Perkiraan Ralat yang Sederhana untuk satu Besaran yang Diukur 7


Dari teori kebolehjadian terdapat persamaan berikut untuk menghitung besar deviasi standar dari hasil ukur x1 xn yang didapatkan dari n kali mengukur satu besaran x:

( )2 2 2i ii

x xn n = = = (2.1)

di mana: n : jumlah pengukuran xi : hasil ukur no i x : nilai rata-rata dari semua pengukuran i : deviasi hasil ukur no i dengan definisi i ix x =

Jadi deviasi standar merupakan akar dari rata-rata deviasi kuadrat dari semua hasil ukur.

Jika suatu besaran telah diukur dengan jumlah pengukuran n yang tak terhingga, maka nilai yang sebenarnya untuk besaran itu diketahui sebesar x . Ketelitian dari pengukuran juga diketahui sebesar deviasi standar . Tetapi kalau jumlah pengukuran terbatas maka kita tidak bisa tahu nilai yang sebenarnya dari besaran yang diukur dan kita juga tidak bisa tahu ralat ukur yang sebenarnya. Kita harus memperkirakan nilai yang sebenarnya dan ralat ukur.

2.1.2 Perkiraan untuk Ralat dan Nilai yang Sebenarnya Kalau jumlah pengukuran terbatas, nilai yang sebenarnya dan deviasi

standar dari besaran yang diukur tidak diketahui. Tetapi besar dari nilai yang sebenarnya dan dari deviasi standar bisa diperkirakan. Perkiraan paling baik untuk nilai yang sebenarnya adalah besar nilai rata-rata nx dari semua hasil ukur dengan definisi sbb.:

1 2 3

1

... 1 nnn n i

i

x x x xx x x

n n =+ + + += = (2.2)

Perkiraan yang paling baik untuk deviasi standar adalah deviasi standar yang disesuaikan sn dengan definisi sbb.:

( )21 1

ni n

ni

x xs

n== (2.3)

dengan: nx : perkiraan untuk nilai benar sn : perkiraan untuk besar deviasi standar

8 Perhitungan Ralat


Deviasi standard atau perkiraan yang paling baik untuk deviasi standar sn merupakan satu besaran yang menunjukkan ketelitian dari setiap pengukuran masing-masing. Tetapi jika suatu pengukuran sudah dilakukan beberapa kali sehingga terdapat nilai rata-rata nx dari sebanyak n hasil ukur sebagai perkiraan untuk nilai yang sebenarnya, maka nilai rata-rata nx tersebut lebih teliti daripada ketelitian atau sn yang terdapat untuk satu pengukuran sendiri. Hal ini dijelaskan lebih rinci dalam alinea berikut ini.

Kalau eksperimen dilakukan dengan mengukur nilai x sebanyak n kali, maka terdapat nilai hasil ukur x1, x2, , xn. Dari nilai-nilai ukur ini terdapat nilai rata-rata 1x . Juga terdapat perkiraan untuk deviasi standar sebesar sn1. Jika eksperimen yang sama diulangi, nilai-nilai hasil ukur x1, x2, ...,xn akan berbeda dari pengukuran pertama dan juga nilai rata-rata 2x dan perkiraan untuk deviasi standar sn2 akan berbeda. Jika mengukur lagi, hasil akan lain lagi, dst. Jadi nilai rata-rata nx juga akan bervariasi dan mempunyai ketidakpastian. Tetapi perbedaan-perbedaan (ketidakpastian) dari nilai rata-rata nx akan lebih kecil daripada ketidakpastian sn dari setiap pengukuran xi masing-masing. Perkiraan untuk ketidakpastian dari nilai rata-rata nx disebut sebagai ralat ukur disesuaikan Sn. Dari teori kebolehjadian terdapat persamaan untuk menghitung Sn sbb:

( )( )

2

1 1

ni nn

ni

x xsS

n nn == = (2.4)

Dari (2.4) dilihat ralat dari hasil ukur rata-rata akan semakin kecil jika suatu pengukuran diulangi lebih sering, berarti dengan semakin banyak pengukuran, maka hasil ukur akan semakin teliti.

Juga nilai sn dan Sn akan berubah jika pengukuran diulangi. Berarti dua nilai ini sendiri juga memiliki suatu ketidakpastian. Semakin sering suatu pengukuran diulangi, berarti semakin banyak nilai hasil ukur terdapat, maka semakin kecil ketidakpastian dari perkiraan ralat ini. Supaya ketidakpastian dari sn dan Sn tidak terlalu besar, berarti dua nilai ini bisa dipercayai cukup teliti, kita perlu minimal 10 pengukuran dari satu besaran. (Harus: n 10 untuk perkiraan ralat dengan statistika seperti ini !)

Dalam praktikum jumlah pengukuran yang dipakai paling besar sekitar n 10. Dalam situasi ini nilai dari sn dan Sn sendiri memiliki ketidakpastian yang cukup tinggi, sehingga ralat selalu dibulatkan sampai angka pertama yang bernilai. Supaya perkiraan ralat tidak terlalu kecil, pembulatan selalu dilakukan ke nilai yang lebih tinggi. (Bulatkan selalu ke atas !)

2. Perkiraan Ralat yang Sederhana untuk satu Besaran yang Diukur 9


2.1.3 Bagaimana Kalau Mempunyai Hanya Satu Hasil Ukur ? Jika pengukuran dilakukan hanya satu kali saja, maka terdapat hanya

satu nilai hasil ukur dan ralat tidak bisa ditentukan dari statistika. Dalam situasi ini ralat harus diperkirakan dari ketelitian alat ukur atau cara mengukur. Misalnya ralat ditentukan dari ketelitian membaca nilai pada skala pengukuran (misalnya skala penggaris) dan dari memperkirakan ketelitian alat ukur yang dipakai. Sering pembuat alat ukur memberi spesifikasi (penetapan) mengenai ketelitian alat ukur. Spesifikasi ini bisa dipakai untuk menentukan ralat dari hasil ukur. Supaya perkiraan ralat kita aman, kita selalu ambil ralat yang maksimal yang bisa terjadi. Dalam cara ini ada ketidakpastian yang besar.

2.1.4 Ralat Maksimal Dalam praktikum waktu yang dipakai sering tidak cukup untuk

mengukur semua besaran lebih dari 10 kali. Satu kompromi adalah dengan cara seperti berikut ini: Mengukur beberapa kali. Menghitung nilai rata-rata sebagai perkiraan untuk nilai yang sebenarnya. Menentukan deviasi i ix x = dari semua hasil ukur. Memakai nilai

mutlak dari deviasi yang paling besar sebagai ralat. Cara ini disebut sebagai metode ralat maksimal. Contoh untuk metode ralat maksimal ini seperti dalam tabel 2.1. Dalam contoh ini waktu t diukur empat kali dengan hasil t1 sampai t4. Dari semua hasil ukur terdapat rata-rata waktu t . Untuk setiap hasil ukur ti deviasi ti dihitung. Harga mutlak ti yang paling besar dipakai sebagai perkiraan untuk ralat ukur t.

ti ( )it it t = 2,0 det - 0,05 det

2,3 det 0,25 det

1,9 det - 0,15 det

2,0 det - 0,05 det

Tabel 2.1: Contoh data untuk ralat maksimal.

t = 2,05 det Max (|ti|) = 0,25 det Ralat t = 0,25 det Hasil ukur dalam contoh ini sebesar: t = 2,1 det 0,3 det

10 Perhitungan Ralat


2.2 Cara menulis hasil Kalau memberitahukan hasil pengukuran kepada orang lain, ralat selalu

harus diikutkan. Misalnya terdapat hasil ukur waktu sebesar t = 2,1 det dan ralat dari pengukuran ini sebesar t = 0,3 det, maka ditulis:

Hasil ukur adalah waktu t = 2,1 det 0,3 det atau t = (2,1 0,3) det. Kalau hasil jarak s sebesar s dengan ralat sebesar Sn, maka ditulis: Hasil ukur adalah jarak ns s S= . Ralat sering ditandai dengan huruf Yunani Delta, (besar ralat),

misalnya S, t,... Ralat bisa disebut secara absolut atau secara relatif (sebagai ralat nisbi). Ralat absolut adalah ralat dengan angka dan satuan seperti hasil ukur yang dinyatakan dalam contoh di atas. Sedangkan yang dimaksud dengan ralat relatif adalah perbandingan antara ralat absolut dan nilai ukuran:

Ralat relatif xx

= Ralat relatif biasanya dinyatakan dalam persen (%). Dengan memakai

ralat relatif contoh pengukuran waktu di atas dapat ditulis sbb: t = 2.1det 14%, di mana 14% dari hasil ukur t = 2,1 det sebesar ralat 0,3 det di atas.

Seperti telah dijelaskan dalam pasal di atas, hasil perkiraan ralat selalu dibulatkan ke atas dan dengan membulatkan angka pertama yang mempunyai nilai. Misalnya terdapat hasil perkiraan ralat untuk besaran l sebesar l = 0,0425 m, maka ralat ini dibulatkan pada angka pertama yang mempunyai nilai, dalam contoh ini angka kedua di belakang koma, dan dibulatkan ke atas, berarti angka 4 tersebut menjadi 5 sehingga terdapat ralat sebesar l = 0,05 m. Hasil ukur pada angka yang lebih belakang dari ralat tidak mempunyai makna sehingga angka tersebut tidak usah ditulis. Misalnya hasil ukur panjang dalam contoh ini sebesar l = 2,462963 m, maka yang ditulis sebagai hasil: l = 2,46 m 0,05 m atau l = (2,46 0,05) m.

2.3 Ralat Sistematis Dalam perkiraan ralat secara statistika ralat sistematis belum diperhati-

kan. Untuk mengetahui ralat sistematis yang bisa terjadi, alat ukur dan proses pengukuran harus dipikirkan dan diteliti dengan baik. Misalnya ketidakpastian yang ada dalam pengaturan alat ukur sesuai dengan besaran standar merupakan satu ralat sistematis yang harus diperhatikan. Ralat sistematis lain bisa berupa pengaruh dari proses mengukur kepada besaran yang diukur, suatu kesalahan yang selalu dibuat dalam proses mengukur dan yang tidak bisa dihilangkan. Setiap proses pengukuran bisa memiliki ralat sistematis tersendiri yang pengaruhnya terhadap hasil ukur perlu diperkirakan.


11

3 Perambatan Ralat

3.1 Prinsip Sering beberapa besaran x, y, z, perlu diukur untuk menentukan suatu

besaran f yang lain. Misalnya untuk mendapatkan massa jenis , maka massa m dan volume V dari suatu benda diukur. Lalu massa jenis ditentukan dengan persamaan:

mV

= (3.1) Dalam mengukur massa m ada kesalahan (ralat) m dan dalam

mengukur volume V ada kesalahan (ralat) V. Pasti hasil perhitungan, , juga mempunyai ralat. Secara umum bisa dikatakan: satu besaran f yang dicari (dalam contoh f adalah ) adalah fungsi dari beberapa variabel x, y, z, ... yang diukur: f = f (x, y, z, ...) (dalam contoh x, y adalah m dan V). Besaran f pasti mempunyai ralat f jika variabel x, y, z,... mempunyai ralat x, y, z, . Teori yang meneliti hubungan antara besar ralat f dan besar x, y, z, disebut sebagai teori perambatan ralat. Dalam diktat ini hubungan-hubungan yang didapatkan untuk berbagai situasi tidak dibuktikan, hanya hasilnya dijelaskan dalam pasal ini. Silakan carilah bukti dalam buku-buku tentang teori perhitungan ralat. Hasil umum yang didapatkan untuk ralat f dari f adalah:

( ) ( )2 2, ,... , , ,...

...f x y f x y z

f x yx y

= + + (3.2)

Jika ralat relatif (ralat nisbi) xx

, yy

, kecil, maka f bisa dihitung dengan rumus pendekatan:

( ) ( ), , ,... , , ,... ...f x y z f x y zf x yx y

+ + (3.3)

Dalam pasal-pasal berikut persamaan (3.2) dan (3.3) diterapkan untuk beberapa situasi yang sering terdapat. Dari penerapan ini persamaan khusus untuk situasi tersebut ditentukan.



3.2 Perkalian dengan Pangkat ( ), , ,... ...a b cf x y z Ax y z= Dalam situasi ini, (3.3) menjadi:

1 1... ...a b c a b cf A ax y z x A x by z y = + + (3.4)

untuk ralat relatif ff

terdapat: 1 1... ...

( , , , ) ( , , , )

a b c a b cA ax y z A x by zf x yf f x y z f x y z

= + + (3.5) Karena:

1 ... ( , , )a b c aA ax y z f x y zx

= dan

1 ... ( , , )a b c bA x by z f x y zy

=

dst. maka (3.5) menjadi:

( )( )

( )( )

, , ,... , , ,......

, , ,... , , ,...

...

a f x y z b f x y zf x yf x f x y z y f x y zf x ya bf x y

= + + = + +

(3.6)

Dari (3.6) terdapat aturan untuk menentukan ralat dari hasil perhitungan dalam situasi perkalian dengan pangkat sbb.: ralat relatif dari hasil terdapat sebagai jumlah dari ralat relatif semua faktor, di mana ralat relatif dari masing-masing faktor harus dikalikan dengan harga mutlak dari pangkat faktor itu dulu. Contoh: Daya listrik P dihitung dari arus I dan voltase V: P V I= . Dalam

eksperimen telah terdapat hasil ukur:

V = 10V 0,1V, berarti terdapat ralat relatif 0,1V 0,01 1%10 V

VV

= = =

I = 2,5A 0,1A, berarti terdapat ralat relatif 0,1A 0,04 4%2,5A

II

= = = Maka terdapat daya sebesar 10V 2,5A 25WP V I= = = dan ralat relatif

untuk daya sebesar:

3. Perambatan Ralat 13


1 1 1% 4% 5%P V IP V I

= + = + = maka ralat absolut untuk daya sebesar:

P = P 5% = 25W 0,05 = 1,25W, sehingga hasil pengukuran menjadi: 25W 1,25WP = yang akhirnya akan

kita nyatakan sebagai hasil ukur 25W 2 WP = .

3.3 Kombinasi Linear: f(x, y, z,) = ax by cz Dengan (3.3) dalam situasi ini terdapat:

f a x b y c z = + + + (3.7)

3.4 Jumlah: f(x, y, z,) = x y z Ini situasi khusus dari 3.3. kombinasi linear dengan semua koefisien

sebesar satu: a = b = c = = 1. Ralat untuk f terdapat sebesar: ...f x y z = + + + (3.8)

Perhatikan dalam situasi ini dan pada 3.3. kombinasi linear bahwa ralat selalu bertambah dan tidak berkurang, walaupun dalam perhitungan nilai f ada pengurangan. Misalnya perbedaan massa 'm dihitung dari dua kali menimbang suatu benda dengan hasil timbang 1 1m m dan 2 2m m , berarti terdapat ralat dari masing-masing pengukuran sebesar 1m dan 2m . Ralat dari perbedaan massa 2 1'm m m = sebesar ( ) 1 2'm m m = + , bukan ( ) 1 2'm m m = .

3.5 Hubungan yang Lebih Kompleks Kalau hubungan antara hasil ukur dan variabel yang diukur masing-

masing lebih kompleks atau dalam persamaan terdapat fungsi lain, maka besar ralat bisa ditentukan dengan kombinasi dari cara 3.2 sampai 3.4 atau harus dihitung langsung dari persamaan (3.2) atau (3.3).


14

4 Grafik untuk Besaran yang Berhubungan

4.1 Grafik dan Rumus

4.1.1 Titik dalam Grafik dan Persamaan Dalam fisika sering terjadi bahwa yang penting untuk sifat fisik dari

suatu sistem bukan sekedar satu besaran, tetapi terdapat beberapa besaran fisik yang mempunyai hubungan satu sama yang lain. Misalnya suatu pegas diberikan gaya tarik F, maka pegas akan bertambah panjang sebanyak x. Dalam situasi ini jelas bahwa besar dari gaya yang bekerja pada pegas menentukan besar perpanjangan pegas. Maka dalam situasi ini hubungan antara besar gaya dan besar perpanjangan perlu diselidiki. Secara matematis bisa dikatakan hubungan antara besar dari variabel gaya dan besar dari variabel perpanjangan diselidiki. Dalam alinea ini soal semacam ini dibicarakan secara umum dengan memberikan nama x dan nama y kepada dua variabel yang diselidiki.

Grafik merupakan satu sarana praktis untuk memperlihatkan sifat dari hubungan antara dua variabel. Kalau menggambarkan grafik dari dua variabel, maka akan digambarkan dalam bidang mendatar (kertas gambar). Satu variabel digambarkan sebagai satu skala ke satu arah (misalnya mendatar), variabel kedua digambarkan ke dalam skala dengan arah yang tegak lurus terhadap arah pertama (misalnya tegak lurus ke atas). Skala yang digambarkan ke arah mendatar atau ke arah tegak lurus disebut sebagai sumbu grafik. Biasanya variabel x digambarkan ke arah mendatar, variabel y ke arah atas. Kalau menunjukkan nilai x sebesar x = 2, maka nilai itu bisa digambarkan pada posisi skala 2 ke kanan dari nol. Posisi x = 2 tidak hanya berlaku untuk satu titik pada posisi skala 2 ke arah x, tetapi seluruh garis yang tegak lurus ke atas dan yang melewati skala x pada posisi 2 ditafsir sebagai tempat x = 2. Lihat garis c dalam gambar 4.1. Untuk variabel y yang dihitung dalam skala ke atas terdapat prinsip yang sama. Misalnya nilai y = 1ditunjukkan oleh satu garis mendatar pada posisi y = 1 seperti garis d dalam gambar 4.1. Kalau

-1 1 2 3

y

1

2

-1

x

c

y = 1d xe

Gambar 4.1: Grafik dipakai untuk menunjukkan nilai dari

variabel x dan y.

4. Grafik untuk Besaran yang Berhubungan 15


dalam suatu rumus atau dalam suatu hasil ukur terdapat hubungan antara dua besaran x dan y sehingga nilai dari y sebesar y = 1 jika nilai dari x sebesar x = 2, maka dikatakan terdapat pasangan nilai (x, y) = (2, 1). Pasangan nilai ini bisa digambarkan ke dalam grafik pada tempat x = 2 dan y = 1, yaitu titik pertemuan antara dua garis yang menunjukkan dua nilai masing-masing. Contoh ini diperlihatkan dalam gambar 4.1 pada titik e.

Berarti satu pasangan nilai digambarkan sebagai satu titik dalam grafik. Dengan menggambarkan berbagai titik, maka untuk berbagai nilai dari variabel x diberikan hubungan dengan nilai dari variabel y, berarti dengan berbagai titik atau suatu garis dalam grafik hubungan antara dua variabel digambarkan.

Satu cara lain untuk memberikan informasi mengenai hubungan antara dua variabel terdapat dengan fungsi-fungsi matematis. Misalnya fungsi (persamaan) 122y x= + menentukan pasangan-pasangan nilai variabel x dan variabel y, berarti persamaan ini menunjukkan suatu hubungan antara variabel x dan variabel y. Untuk setiap nilai x terdapat satu nilai y yang memenuhi persamaan ini. Beberapa dari pasangan nilai (x, y) yang memenuhi contoh fungsi ini dicatat dalam tabel 4.1. Semua pasangan nilai dari tabel 4.1 digambarkan ke dalam satu grafik gambar 4.2 dengan tanda silang (x). Tetapi pasangan nilai yang memenuhi fungsi 122y x= + bukan hanya pasangan nilai tersebut, tetapi untuk setiap nilai x terdapat satu nilai y, berarti terdapat satu garis yang tidak putus dari kiri ke kanan. Garis tersebut terdiri dari semua pasangan nilai yang memenuhi fungsi tersebut. Karena fungsi dalam contoh ini fungsi linear (pasal berikut), maka terdapat garis lurus yang telah digambarkan dalam gambar 4.2.

x1 = -2 y1 = 1

x2 = 0 y2 = 2

x3 = 1 y3 = 2,5

x4 = 2 y4 = 3

x5 = 4 y5 = 4

x6 = 6 y6 = 5

2

4

-2 0 2 4 6

x

y

Tabel 4.1: Contoh untuk pa-sangan nilai yang memenuhi

fungsi 122y x= +

Gambar 4.2: Pasangan nilai dari tabel 4.1 dan pasangan lain dari fungsi 122y x= +

yang merupakan garis lurus.



4.1.2 Grafik dari fungsi linear Gambar grafik dari fungsi linear

dengan bentuk y = ax + b adalah garis lurus, di mana konstanta a menunjukkan kemiringan dari garis pada grafik dan konstanta b adalah bagian sumbu y.

Hubungan antara letak garis lurus dan besar konstanta a dan b dalam fungsi f: y = ax + b dapat dilihat dari gambar 4.3 dan penjelasan berikut. Dalam contoh yang digambar dalam gambar 4.3 konstanta a = 2 dan konstanta b = 0,5.

Jika x = 0,maka y terdapat sebesar b dari rumus tersebut. Jarak antara posisi y = 0 dan tempat di mana garis lurus fungsi f memotong sumbu y disebut sebagai bagian sumbu y. Berarti bagian sumbu y adalah nilai dari y ketika x = 0. Dengan kata lain, bagian sumbu y sebesar ( )0f x = = b.

Dua pasangan nilai (x2, y2) dan (x1, y1) yang memenuhi fungsi f akan menjadi bagian dari grafik fungsi f. Dua pasangan nilai memenuhi fungsi f berarti hubungan antara y1 dan x1 sesuai dengan fungsi f dan terdapat hubungan antara dua pasangan nilai tersebut sesuai f: y1 = ax1 + b dan y2 = ax2 + b. Perbedaan antara dua nilai y biasa disebut sebagai y (baca: delta y) dengan persamaan: 2 1y y y = . Untuk perbedaan antara dua nilai dari variabel x dengan cara menulis yang sama terdapat: 2 1x x x = . Perbedaan y antara dua nilai y ditunjukkan dalam grafik dengan jarak tegak lurus ke atas dan bisa digam-barkan dengan satu garis tegak lurus ke atas sepanjang y. Perbedaan x antara dua nilai variabel x ditunjukkan dengan garis mendatar sepanjang x. Dalam gambar 4.3 x dan y telah digambar pada sumbu grafik dan pada grafik fungsi. Dengan menggambarkan besar x dan besar y ke dalam grafik pada dua titik pasangan nilai (x1,y1) dan (x2,y2), maka terdapat segitiga yang dibentuk oleh garis x, y dan sebagian grafik fungsi. Sudut kemiringan dari grafik bisa dilihat sebagai sudut dalam segitiga tersebut sebesar arctan y

x = . Pecahan

yx

disebut sebagai kemiringan grafik. Mengenai pecahan ini, berarti mengenai kemiringan grafik terdapat:

( ) ( ) ( )2 1 2 12 12 1 2 1 2 1

ax b ax b a x xy yy ax x x x x x x

+ + = = = = (4.1)

-2 2 4 6

y

2

4

-2

x

6 f x( )

8x1 x2

y1

y2 y y

x

x

( , )x y2 2x( , )x y1 1x

b

Gambar 4.3: Grafik dari fungsi

linear adalah garis lurus.



Jadi kemiringan dari garis lurus yang menggambarkan fungsi linear y = ax + b sebesar konstanta a dalam fungsi. Dari (4.1) dilihat kemiringan dari grafik fungsi linear sama besar pada setiap posisi grafik, berarti sudut dari segitiga pada grafik fungsi sama besar pada setiap tempat. Grafik dengan sudut konstan adalah garis lurus.

4.1.3 Transformasi dari Fungsi Non Linear Menjadi Linear Sering terdapat hubungan linear antara dua variabel seperti hubungan

antara gaya pada pegas dan perpanjangannya. Dalam situasi linear seperti ini eksperimen mengenai hubungan antara dua variabel tersebut menjadi sederhana dan bisa dilakukan secara grafik seperti dijelaskan dalam pasal berikut ini.

Tetapi sering juga terdapat situasi dengan variabel yang mempunyai hubungan non linear. Dalam situasi ini analisa data bisa dilakukan dengan sederhana dengan mentransformasikan hubungan non linear tersebut menjadi hubungan linear. Misalnya dalam suatu eksperimen terdapat hubungan antara dua variabel sesuai dengan fungsi y = kx2. Fungsi ini bisa diubah atau ditransformasikan menjadi suatu fungsi linear dalam bentuk v = au + b dengan dua variabel v dan u yang mempunyai hubungan linear. Melakukan transformasi seperti ini disebut, fungsi dilinearisasi atau dilinearkan. Setelah suatu fungsi dilinearkan, maka grafiknya menjadi garis lurus dan bisa diteliti dengan mudah. Salah satu hal yang mudah dilihat dengan grafik linear adalah kecocokan hasil

0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

0 50 100 150

l / cm

T /

det

0

1

2

3

4

5

6

7

0 50 100 150

l / cm

T2 /

det

2

Gambar 4.4: Ternyata hubungan antara waktu dan panjang bandul

matematis tidak linear.

Gambar 4.5: Hasil ukur digambarkan sebagai grafik T2 terhadap l. Ternyata

terdapat hubungan linear.



ukur dengan teori, apakah hasil ukur memang benar linear atau ada penyimpangan dari teori yang menyatakan hubungan sebagai fungsi linear. Juga mudah untuk menentukan konstanta kemiringan a dan bagian sumbu y, b. Dalam praktikum rumus non linear selalu dilinearkan untuk membuat grafik.

Suatu grafik dilinearkan dengan meneliti persamaan teori yang menyatakan hubungan antara dua variabel, lalu mendefinisikan variabel baru dari persamaan tersebut sedemikian rupa sehingga variabel baru memiliki hubungan linear. Dalam contoh di atas di mana terdapat fungsi y = kx2 untuk hubungan antara variabel x dan variabel y transformasi bisa dilakukan dengan mendefinisikan dua variabel baru: v = y dan u = x2. Dengan dua variabel ini terdapat hubungan linear v = ku.

Dalam contoh percobaan bandul matematis terdapat hubungan antara

waktu ayunan T dan panjang bandul l dalam bentuk 2

2 4T lg= . Pasangan nilai

yang diukur adalah waktu ayunan T dan panjang bandul l, sedangkan besaran yang dicari adalah gravitasi g. Jika T terhadap l diukur dan pasangan-pasangan ukuran dimasukkan ke dalam grafik terdapat grafik fungsi akar atau fungsi kuadratis. Besar g sulit ditentukan dari fungsi seperti itu. Maka fungsi asli perlu dilinearkan dengan menggantikan (mensubstitusikan) variabel atau bagian dari fungsi asli. Dengan kata lain kita akan mendefinisikan variabel baru sehingga terdapat fungsi linear. Dalam contoh tersebut T2 bisa diganti (disubstitusi) dengan v. Dengan kata lain variabel v didefinisikan v = T2. Panjang l diganti dengan u atau variabel u didefinisi u = l. Maka dari teori asli terdapat persamaan

24gv u= . Persamaan baru ini merupakan fungsi linear. Kemiringan grafik dari

fungsi ini sebesar 24

ga= . Kemiringan ini bisa ditentukan dari grafik yang

digambar dengan data ukur untuk v = T2 dan l. Dalam gambar 4.4 contoh hasil ukur waktu ayunan T digambar terhadap panjang bandul l. Ternyata titik-titik yang terdapat dari pengukuran tidak bisa disambungkan dengan garis lurus, berarti ternyata tidak terdapat hubungan linear antara waktu ayunan T dan panjang bandul l. Dalam gambar 4.5 kuadrat dari waktu T, T2 atau v digambar terhadap panjang bandul. Ternyata di sini terdapat hubungan linear dan titik-titik dari pasangan nilai hasil ukur bisa disambungkan dengan garis lurus. Garis lurus dalam contoh ini memiliki kemiringan

2detcm0,0404a = . Karena

24ga= , maka

dari hasil eksperimen ini percepatan bumi bisa ditentukan dengan mudah sebesar

22

2 2cm

detdetcm

4 4 977,20,0404

ga = = = .



Untuk percobaan dengan persamaan dan teori yang lain, substitusi / penggantian variabel untuk mendapatkan fungsi linear berbeda juga.

4.2 Metode Perkirakan dengan Melihat Kalau terdapat suatu eksperimen dengan dua variabel, x dan y. Antara

dua variabel tersebut terdapat hubungan linear dalam bentuk a by x= + . Jika beberapa pasangan nilai dari dua besaran ini telah diukur, maka semua pasangan nilai ( ),i ix y yang didapatkan sebagai hasil ukur seharusnya memenuhi persamaan linear tersebut. Ketika pasangan nilai tersebut digambarkan sebagai titik dalam grafik, maka semua titik seharusnya berada di atas satu garis lurus. Tetapi dalam pengukuran biasanya terjadi ralat, maka pasangan nilai tidak semua akan memenuhi persamaan linear dengan konstanta a dan b yang sebenarnya dan titik hasil ukur yang digambarkan dalam grafik tidak akan berada di atas satu garis lurus. Sebagai contoh kita menyelidiki suatu hasil dari mengukur waktu dan posisi suatu benda beberapa kali. Benda tersebut bergerak dengan kecepatan konstan, berarti antara posisi s dan waktu t terdapat hubungan linear

0s s v t= + . Dalam tabel 4.2 telah dicatat hasil pengukuran 5 pasangan nilai si dan ti. Posisi si diukur pada waktu ti, berarti s1 diukur pada waktu t1, s2 diukur pada waktu t2 dsb. Pasangan nilai tersebut telah digambarkan ke dalam grafik gambar 4.6.

t (det) s (m)

t1 = 1,0 s1 = 2,6

t2 = 1,9 s2 = 5,3

t3 = 2,1 s3 = 4,5

t4 = 3,0 s4 = 6,5

s=6m

t=2,7det

s0=0,37m

10 2 3 40

10

123456789

s / m

t / det

t5 = 3,8 s5 = 9,2

Gambar 4.6: Grafik dari data Tabel 4.2. Tabel 4.2: Data dari contoh pasal 4.2



Ternyata titik yang menggambarkan pasangan nilai tidak berada persis di atas satu garis lurus, berarti pasangan nilai hasil ukur tidak memenuhi persamaan linear. Walaupun persamaan linear tetap benar untuk proses fisik ini, pergeseran titik dari garis lurus bisa diakibatkan oleh ralat ukur. Kalau satu nilai tempat ataupun waktu diukur terlalu besar atau terlalu kecil, maka titik dari hasil ukur akan bergeser dari garis lurus. Titik-titik ukur tidak berada di atas garis lurus menunjukkan adanya ralat dalam pengukuran dan kemiringan a, dalam hal ini kecepatan v, yang sebenarnya tidak diketahui. Juga bagian sumbu y, b atau v0, yang sebenarnya tidak diketahui. Untuk mendapatkan satu perkiraan untuk besar dari kemiringan garis lurus a yang sebenarnya atau besar kecepatan benda v yang sebenarnya dan juga bagian sumbu y, yaitu konstanta b atau posisi awal s0 yang sebenarnya, maka pasangan nilai hasil ukur digambarkan ke dalam satu grafik. Sebagai pendekatan, kita memperkirakan, garis lurus mana yang paling dekat dengan hasil ukur. Dalam hal ini paling dekat dengan hasil ukur, berarti satu garis lurus dengan sifat, jarak rata-rata antara garis lurus itu dan titik-titik ukuran paling kecil. Garis dengan sifat tersebut dikirakan, kemudian digambarkan ke dalam grafik. Sebagai pendekatan posisi garis yang paling cocok dikirakan dengan melihat grafik saja. Baru dalam pasal mengenai prinsip kuadrat terkecil suatu cara untuk menghitung posisi garis yang paling cocok secara objektif akan dijelaskan. Besar bagian sumbu y (dalam contoh s0) dan kemiringan dari garis tersebut (dalam contoh v) dibaca dari grafik sebagai perkiraan untuk nilai yang sebenarnya.

Dalam grafik gambar 4.6 garis lurus yang paling cocok telah digambarkan. Dari grafik itu didapatkan besar kecepatan:

6m m2,222,7det det

svt

= = = (4.2) dan besar dari bagian sumbu y: s0 = 0,37 m. (4.3)

4.3 Perkiraan Ralat Dengan cara menentukan garis lurus yang paling cocok dengan

pasangan nilai hasil ukur, maka dari garis lurus tersebut terdapat perkiraan untuk kemiringan a yang sebenarnya dan untuk bagian sumbu y, b. Hasil dari perkiraan untuk dua nilai tersebut pasti terpengaruh oleh ralat ukur. Maka kemiringan a dan bagian sumbu y, b, memiliki ketidakpastian atau ralat. Ralat untuk kemiringan a disebut sebagai a dan ralat untuk b disebut sebagai b. Dalam pasal ini satu cara untuk memperkirakan besar dari ralat tersebut dibicarakan.



Untuk mendapatkan ralat dari kemiringan dan dari bagian sumbu y, ralat dari nilai-nilai hasil ukur perlu ditentukan lebih dulu. Ketika mengukur pasangan nilai biasanya terdapat ralat dalam dua-duanya variabel x dan y. Jika ralat tidak terlalu besar, menganggap hanya salah satu variabel mempunyai ralat merupakan pendekatan yang cukup baik. Berarti dianggap satu variabel telah diukur dengan tepat dan hasil ukurnya merupakan nilai yang sebenarnya. Seluruh ralat ukur dimasukkan ke dalam ralat dari variabel kedua.

Untuk mendapatkan perkiraan mengenai besar ralat statistis dari variabel kedua tersebut, deviasi (perbedaan) dari setiap hasil pengukuran dengan perkiraan untuk nilai yang sebenarnya ditentukan. Perkiraan untuk nilai yang sebenarnya terdapat di atas garis lurus yang telah ditentukan sebagai garis lurus yang paling cocok dengan nilai-nilai hasil ukur. Dalam praktikum biasanya dipilih untuk memasukkan seluruh ralat ke dalam variabel y yang digambar ke arah atas. Kalau cara ini diterapkan dalam contoh di atas, ralat dimasukkan ke dalam pengukuran tempat. Maka pada setiap pasangan nilai hasil pengukuran terdapat deviasi si antara tempat si yang diukur dan perkiraan untuk tempat yang sebenarnya pada waktu ti. Perkiraan untuk tempat yang sebenarnya pada waktu ti akan kita sebutkan sebagai si*. Dengan contoh hasil ukur dari tabel 4.2 dan grafik dalam gambar 4.6 yang digambar lagi dalam gambar 4.7 terdapat deviasi sbb.:

Untuk titik pasangan nilai kedua (i = 2) terdapat dari grafik gambar 4.7 dan dari data hasil ukur dalam tabel 4.2: waktu pada titik ukur kedua ini sebesar t2 = 1,9 det, tempat yang diukur pada waktu t2 sebesar s2 = 5,3 m, dari garis lurus yang paling cocok terdapat perkiraan untuk tempat yang sebenarnya pada t2 sebesar s2* = 4,6 m, berarti terdapat deviasi (antara tempat yang diukur dan

s2s3

s4

s5

s2s2*

t2

10 2 3 40

10

123456789

s / m

t / det

Gambar 4.7: Ralat dari masing-masing nilai ukuran tempat si.



perkiraan untuk tempat yang sebenarnya) pada waktu t2 sebesar

2 2 2 2* 4,6 m 5,3m 0,7 ms s s s = = = . Dalam tabel 4.3 perkiraan untuk tempat yang sebenarnya pada setiap

waktu pengukuran serta deviasi tempat dicatat. Ralat ukur s untuk pengukuran tempat ditentukan dari deviasi tempat

si pada semua hasil ukur. Dalam situasi umum dengan variabel x dan y cara yang sama dipakai untuk menentukan deviasi yi dari setiap nilai hasil ukur variabel y. Ralat y untuk pengukuran variabel y ditentukan dari semua nilai deviasi yi. Dua cara berikut bisa dipakai untuk menentukan ralat y atau ralat s dalam contoh. 1. Jika jumlah pasangan nilai ukuran minimal sepuluh, perkiraan untuk

deviasi standar bisa dihitung dengan menyesuaikan persamaan (2.3). Perkiraan untuk nilai yang sebenarnya x dalam (2.3) diganti dengan perkiraan untuk nilai yang sebenarnya dalam situasi ini, yaitu yi* atau si* dalam contoh. Maka terdapat besar perkiraan sn untuk deviasi standar n:

( )2 21 1

*1 1

n ni i i

sni i

s s ss

n n= = = = (4.4)

Untuk situasi umum s diganti dengan y dan t diganti dengan x. Berarti (4.4) menjadi:

( )2 21 1

*1 1

n ni i i

yni i

y y ys

n n= = = = (4.5)

2. Jika jumlah pasangan nilai yang diukur tidak lebih dari sepuluh, ralat variabel y (atau tempat s dalam contoh) ditentukan dengan metode ralat maksimal seperti dijelaskan dalam pasal 2.1.4, halaman 9. Dalam metode ralat maksimal ini harga mutlak deviasi yang paling besar dianggap sebagai ralat dari variabel y (tempat s dalam contoh). Jika memakai ralat maksimal, ralat dari variabel y sering bisa dibaca langsung dari grafik dengan mencari titik hasil ukur yang paling jauh dari garis lurus yang paling cocok, lalu menentukan jarak antara garis lurus yang paling cocok dan titik hasil ukur tersebut dalam skala ke arah y.

Dalam tabel 4.3 semua deviasi dan hasil untuk ralat s untuk tempat dengan memakai statistika dan dengan memakai metode ralat maksimal dicantumkan. Dalam contoh ini metode ralat maksimal lebih cocok karena terdapat hanya 5 pasangan nilai (si, ti).



Setelah ralat y dari pengukuran nilai y ditentukan, maka besar y bisa dipakai untuk menentukan ralat a dari kemiringan garis lurus dan ralat b dari bagian sumbu y.

Selanjutnya kita memakai ralat / ketidakpastian y dari pengu-kuran nilai-nilai y untuk mencari ketidakpastian a dari kemiringan a dengan cara yang sederhana. Cara yang lebih pasti secara matematis akan dibicarakan dalam pasal mengenai prinsip kuadrat terkecil. Dianggap bahwa x1 adalah nilai hasil ukur skala x yang paling kecil dan xn adalah nilai hasil ukur skala x yang paling besar. Garis yang paling cocok memiliki kemiringan a dan bagian sumbu b sehingga terdapat garis yang memenuhi persamaan * a by x= + . Garis ini dalam gambar 4.8 ditandai sebagai garis kemiringan a. Semua titik di atas garis ini merupakan perkiraan untuk pasangan nilai yang sebenarnya. Karena hasil ukur variabel y mempunyai ketidakpastian, maka terdapat ketidakpastian dalam kemiringan garis lurus. Nilai y mempunyai ralat, berarti pada satu posisi x ada kemungkinan nilai y sebenarnya lebih tinggi atau lebih rendah daripada perkiraan untuk nilai yang sebenarnya. Seandainya nilai y sebelah kanan lebih tinggi dan / atau sebelah kiri lebih rendah, maka kemiringan akan menjadi lebih besar. Kemiringan paling besar terdapat dengan nilai y lebih besar di sebelah kanan dan nilai y lebih kecil di sebelah kiri. Dalam gambar 4.8 digambar garis kemiringan a+ dengan kemiringan yang lebih besar daripada perkiraan garis yang paling cocok.

Garis kemiringan a+ adalah garis dengan kemiringan paling besar yang bisa didapatkan dengan ketidakpastian y untuk nilai y. Garis ini terdapat sbb.:

- Nilai yn* ditambah ketidakpastian y. Di atas yn* telah ditentukan sebagai perkiraan untuk nilai y yang sebenarnya pada nilai hasil ukur xn, berarti pada nilai x yang paling besar. Berarti * a bn ny x= + . Dengan tambahan y tersebut terdapat a bn ny x y+ = + + .

i ti (det) si (m) si* (m) si (m) 1 1 2,6 2,6 0 2 1,9 5,3 4,6 0,7 3 2,1 4,5 5,0 - 0,5 4 3 6,5 7,0 - 0,5 5 3,8 9,2 8,8 0,4 Metode ralat maksimal: y = 0,7

Cara statistik: 2

1i

ns

sn

= = 0,536

Tabel 4.3: Hasil ukur dari tabel 4.2 dengan nilai perkiraan untuk tempat

yang sebenarnya dari grafik gambar 4.7 dan deviasi dari hasil ukur tempat

masing-masing.



- Nilai y1* dikurangi ketidakpastian y. Dengan y1* sebagai perkiraan untuk nilai y yang sebenarnya pada nilai hasil ukur x1, berarti pada nilai x yang paling kecil. Berarti 1 1* a by x= + . Dengan pengurangan y tersebut terdapat 1 1a by x y

+ = + . - Garis kemiringan a+ adalah garis yang melewati dua titik pasangan

nilai tersebut (pasangan (x1, y1+) dan pasangan (xn, yn

+)). Untuk garis tersebut terdapat kemiringan a+ sebesar:

( ) ( )( )

11

1 1

1

1 1

a b a b

a 2 2a

nn

n n

n

n n

x y x yy ya

x x x x

x x y yx x x x

+ ++ + + + = = + = = +

(4.6)

- Ralat a untuk kemiringan terdapat sebagai perbedaan antara kemiringan a+ dan kemiringan a:

1 1

2 2a a a a an n

y yx x x x

+ = = + = (4.7)

- Untuk bagian sumbu y, nilai b dari garis kemiringan a dan nilai b dari garis kemiringan a+ terdapat:

* *1 1b a

2 2n ny y x x+ += ;

* *1 1b a

2 2n ny y x x ++ += (4.8)

yn*yn*+y

yn*-y

y1*+yy1*

y1*-y

x1 xn

kemiringan a+

kemiringan a

kemiringan a-yy

b-

b+

b

y

y

y

x

xnx1

Gambar 4.8: Perkiraan ralat a dari kemiringan a dan ralat b dari bagian sumbu y, b.



Jadi ralat b dari b terdapat dari perbedaan antara b dan b- sebesar:

( )* * * *1 1 1 1

1

b b b a a2 2 2 2

b a a2

n n n n

n

y y x x y y x x

x x

+

+

+ + + = = + =

(4.9)

1 1

1

22 2

n n

n

x x x x yb ax x

+ + = = (4.10)

Garis kemiringan a+ terdapat sebagai garis dengan kemiringan paling besar yang bisa terjadi dengan ketidakpastian y. Dalam gambar 4.8 garis kemiringan a- juga digambarkan. Garis ini terdapat dengan anggapan nilai y sebenarnya lebih kecil di sebelah kanan dan lebih besar sebelah kiri. Garis ini merupakan garis dengan kemiringan paling kecil yang bisa didapatkan dengan ketidakpastian y. Kalau ralat kemiringan a dan bagian sumbu y dihitung dengan memakai garis kemiringan a- terdapat hasil ralat yang sama dengan perhitungan di atas dengan garis kemiringan a+. Untuk menghitung kemiringan dari garis kemiringan a- , nilai yn* dikurangi y dan nilai y1* ditambahi y. Selain itu cara untuk menentukan kemiringan, bagian sumbu y dan ralat sama dengan yang dipakai di atas untuk garis kemiringan a+. Hasil yang didapatkan sama juga sehingga bisa disimpulkan dengan a dan b dari (4.7) dan (4.10) terdapat hasil untuk kemiringan a dan untuk bagian sumbu y sbb.: kemiringan a sebesar a a, bagian sumbu y sebesar b b.


26

Soal Latihan

1 Dasar Ralat

1.1. Dalam kuliah, waktu yang dibutuhkan batu untuk jatuh setinggi 2m telah diukur. Pakai data hasil ukur dari semua kelompok untuk tugas berikut: a. Buat grafik jumlah hasil ukur waktu tertentu terhadap hasil ukur waktu.

Pakai interval waktu sebesar 0,1 det. Berarti tentukan jumlah terdapatnya hasil ukur antara 0 det dan 0,09 det, jumlah hasil ukur antara 0,1 det dan 0,19 det, jumlah hasil ukur antara 0,2 det dan 0,29 det, dst. dan buat grafik jumlah terhadap besar waktu.

b. Tentukan satu perkiraan untuk waktu yang sebenarnya. c. Tentukan satu perkiraan untuk ralat dari pengukuran ini. d. Tentukan satu perkiraan untuk ketelitian dari nilai rata-rata dari semua

hasil ukur.

2 Ralat Satu Besaran 2.1. Waktu ayunan suatu bandul diukur 15 kali. Dari masing-masing

pengukuran terdapat waktu dalam satuan detik sbb.: 1,53; 1,42; 1,62; 1,57; 1,59; 1,70; 1,40; 1,48; 1,46; 1,57; 1,53; 1,54; 1,56; 1,61; 1,48; Tentukan hasil ukur dan ralatnya.

2.2. Suatu proses elektrolisa yang sama dilakukan 5 kali. Pada masing-masing eksperimen terdapat perubahan massa sbb.: m = 0,63g; 0,71g; 0,65g; 0,62g; 0,70g Tentukan hasil ukur untuk perubahan massa dan ralatnya.

2.3. Waktu jatuh dari sebuah bola besi diukur 12 kali. Hasil ukur masing-masing sbb.: 0,143 det; 0,148 det; 0,139 det; 0,145 det; 0,146 det; 0,146 det; 0,144 det; 0,145 det; 0,142 det; 0,143 det; 0,141 det; 0,147 det; Tentukan hasil ukur dan ralatnya.

Soal Pengantar Praktikum 3. Teori Perambatan Ralat 27


3 Teori Perambatan Ralat

3.1. Besaran N dihitung dengan persamaan a I tNm= . Besaran I, t dan m

diukur dengan hasil ukur sbb.: I = (1,52 0,04) A; t = 2400 det 5 det; m = (0,8634 0,0008) g Besaran a dalam persamaan ini adalah suatu konstanta sebesar

a = 410-14 g Adet . Tentukan N dan ralatnya.

3.2. Besaran mk dihitung dari m1 dan m2 dengan persamaan: 1 2km m m= . Hasil ukur sbb.: 1 92,52 g 0,04 gm = ; 2 24,07 g 0,1gm = . Tentukan mk dan ralatnya.

3.3. Dalam suatu percobaan terdapat hubungan antara besaran waktu T, panjang

l dan percepatan gravitasi g sbb.: 2 lTg

= . Dalam eksperimen waktu T dan panjang l telah diukur dengan hasil sbb.: T = 2,47 det 0,05 det; l = (151,4 0,3) cm. Tentukan hasil ukur untuk besar g dan ralatnya.

3.4. Dalam sebuah eksperimen terdapat hubungan antara besaran waktu t, jarak s dan percepatan gravitasi g sbb.: 212 gs t= . Dalam eksperimen waktu t dan jarak s telah diukur dengan hasil sbb.: t = 0,397 det 0,002 det; s = (76,3 0,2) cm. Tentukan hasil ukur untuk besar percepatan gravitasi g dan ralatnya.

3.5. Besaran f ditentukan dari dua besaran s1 dan s2 dengan persamaan

1 2

1 1 1f s s

= + . Terdapat hasil ukur untuk s1 dan s2 sbb.: s1 = 5,3 cm 0,1 cm; s2 = 45 cm 0,2 cm. Tentukan besar f dan ralatnya.

28 Soal Pengantar Praktikum 4. Grafik


4 Grafik 4.1. Dalam suatu eksperimen terdapat hubungan antara

tinggi h, waktu jatuh t dan percepatan gravitasi g dari suatu benda sbb.: 212 gh t= . Terdapat data hasil ukur seperti dalam tabel 4.1. a. Buat grafik h terhadap t2. b. Tentukan kemiringan a dan ralat kemirinigan

dari grafik. c. Tentukan g dan ralatnya dari kemiringan dan

ralat kemiringan. 4.2. Antara gaya f pada pegas dan panjangnya l terdapat

hubungan linear 0*l k F l= + . Panjang pegas l telah diukur pada beberapa gaya yang berbeda dengan hasil seperti dalam tabel tabel 4.2. a. Buat grafik l terhadap F. b. Tentukan konstanta k* dan panjang awal l0 dari

grafik. c. Tentukan ralat dari konstanta k dan ralat dari

panjang awal l0.

F/N 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5 l/cm 27 32 34 45 50 54 65 72 82 83

Tabel 4.2.: Data dari soal 4.2. 4.3. Terdapat persamaan untuk hubungan antara variabel yang diukur seperti

dalam tabel berikut. Tentukan transformasi untuk melinearkan persamaan-persamaan ini sehingga terdapat fungsi linear dalam bentuk: a by x= +

Variabel Persamaan y = x = a = b =

s, t 212 as t=

T, l 24g

T l=

u, v 2 2d ln 4 Ru v= +

h / cm t / det 85,2 0,4231 77 0,4025

69,7 0,3830 64 0,3663

58,8 0,3516 54,7 0,3389 49 0,3216

44,2 0,3051 36,3 0,2754 26,1 0,2330 15,3 0,1759 6,7 0,1084

Tabel 4.1.: Data dari soal 4.1.


29

Petunjuk Praktikum

1 Bandul Matematis

1.1 Literatur Halliday Resnick; Fisika I; Bab 15-1 Osilasi; Bab 15-3 Gerak Harmonik

Sederhana; Bab 15-5 Penerapan Gerak Harmonik Sederhana; Bab 16-3 Konstanta Gravitasi Universal, ;

Sears, Zemansky; Fisika (Mekanika-Panas-Bumi);

1.2 Daftar Alat Tiang bandul 1 set Bandul matematis dengan benang dan gantungan 1 buah Stopwatch 1 buah

1.3 Teori

1.3.1 Prinsip Ayunan Jika sebuah benda yang digantungkan pada seutas tali, diberikan sim-

pangan, lalu dilepaskan, maka benda itu akan berayun ke kanan dan ke kiri. Berarti, ketika benda berada di sebelah kiri akan dipercepat ke kanan dan ketika benda sudah di sebelah kanan akan diperlambat dan berhenti, lalu dipercepat ke kiri dan seterusnya. Dari gerakan ini dilihat bahwa benda mengalami percepatan selama gerakannya. Menurut Hukum Newton ( )F m a= G G percepatan hanya timbul ketika ada gaya. Arah percepatan dan arah gaya selalu sama. Berarti dalam eksperimen ini ternyata ada gaya ke arah gerakan benda, yaitu gerakan yang membentuk lingkaran.

30 Petunjuk Praktikum


Gaya yang bekerja dalam bandul ini seperti digambarkan dalam gambar 1.1. Semua gaya ini berasal dari gravitasi bumi dan gaya pada tali. Arah gaya gravitasi gravF

G tegak lurus

ke bawah. Arah gaya tali taliFG

ke arah tali.

Sedangkan gaya tFG

yang mempercepat benda, bekerja ke arah gerakan, berarti ke arah lingkaran yang tegak lurus dengan arah tali atau ke arah tangen lingkaran. Sebab itu gaya ini juga disebut gaya tangensial tF

G. Besar Ft yang mempercepat

benda terdapat dengan membagi gaya gravitasi

gravFG

ke dalam dua bagian, yaitu tFG

ke arah

gerakan dan gaya normal nFG

. Gaya normal nFG

berlawanan arah dengan gaya tali taliFG

sehingga dua gaya ini saling menghapus.

Karena gravFG

dibagi menjadi nFG

dan

tFG

, maka:

grav n tF F F= +G G G

(1.1)

Karena arah gerakan tegak lurus dengan arah tali, maka n tF FG G

. Dari gambar dapat dilihat hubungan antara besar gaya tangensial, besar gaya gravitasi dan sudut simpangan :

sint gravF F= G G

(1.2)

Arah dari tFG

berlawanan dengan arah simpangan , maka dalam persamaan terdapat tanda negatif:

sint gravF F= (1.3) Tanda negatif dalam (1.3) menunjukkan gaya Ft bekerja untuk

mengembalikan bandul kepada posisi yang seimbang dengan simpangan = 0. Karena benda tidak bisa bergerak ke arah tali, maka gaya ke arah tali harus seimbang atau jumlahnya nol, berarti: 0tali nF F+ =

G G. Berarti gaya tali selalu

sama besar dengan gaya normal: tali nF F=G G

.

FnG

GFtali

FtG

GFgrav

Gambar 1.1: Gaya-gaya

yang bekerja pada bandul matematis.

1. Bandul Matematis 31


Dengan memahami gaya tersebut yang bekerja pada bandul, maka gerakan osilasi (gerakan ayunan) dapat dimengerti dengan mudah. Ketika bandul sedang diam di sebelah kiri, maka gaya tangensial mempercepat bandul ke arah kanan sehingga kecepatan ke arah kanan bertambah. Selama bandul bergerak ke arah kanan, sudut simpangan menjadi semakin kecil dan gaya tangensial ( )sint gravF F= ikut semakin kecil. Maka percepatan akan semakin kecil. Tetapi perhatikanlah bahwa percepatan semakin kecil (tetapi belum nol) berarti kecepatan masih bertambah terus. Ketika simpangan bandul nol, berarti posisi bandul di tengah, gaya tangensial nol, maka percepatan nol dan bandul bergerak terus dengan kecepatan konstan ke kanan. Ketika simpangan bandul ke arah kanan bertambah besar, maka gaya tangensial juga bertambah, tetapi ke arah kiri. Gaya tangensial ke kiri ini melawan arah gerakan bandul yang masih ke kanan. Maka terdapat percepatan ke kiri sehingga kecepatan bandul masih ke arah kanan akan berkurang terus sampai bandul berhenti (kecepatan menjadi nol). Ketika bandul berhenti posisinya sudah memiliki sudut simpangan ke sebelah kanan. Dalam posisi ini terdapat gaya tangensial ke arah kiri yang akan mempercepat bandul ke kiri. Proses dalam gerakan ke kiri berjalan dengan cara yang sama persis dengan proses bergerak ke kanan. Maka bandul akan terus berayun ke kiri dan ke kanan.

Dari penjelasan di atas dilihat dua hal yang menjadi syarat untuk mendapatkan osilasi atau ayunan:

1. Gaya yang selalu melawan arah simpangan dari suatu posisi seimbang. Dalam hal ini gaya yang melawan simpangan adalah gaya tangensial.

2. Kelembaman yang membuat benda tidak berhenti ketika berada dalam situasi seimbang (tanpa gaya). Dalam contoh ini massa yang berayun tidak berhenti pada posisi bawah (posisi tengah, gaya nol), tetapi bergerak terus karena kelembaman massanya.

1.3.2 Waktu Ayunan Pada percobaan bandul matematis ini, kita memakai sebuah bandul

dengan massa m yang digantungkan pada seutas tali. Supaya perhitungan lebih mudah, dianggap bahwa tali tidak molor1 dan tidak mempunyai massa. Di atas telah diselidiki mengenai gaya tangensial Ft yang membuat bandul berayun. Besar gaya tangensial Ft sesuai (1.3). Besar percepatan a yang terdapat dari gaya tangensial sesuai dengan Hukum Newton: tF m a= , maka: 1 Tidak molor, berarti tali tidak elastis sehingga panjangnya tidak berubah ketika gaya ke arah tali

berubah. Gaya kepada tali memang akan berubah selama ayunan karena kecepatan berubah dan sebab itu juga gaya sentrifugal akan berubah. Juga gaya normal yang berasal dari gaya gravitasi berubah karena sudut simpangan berubah.



sint gravF F m a= = (1.4) Percepatan a dari benda yang bergerak di atas garis lingkaran sebesar:

2 2

2 2d dd d

sa lt t

= = (1.5) Persamaan (1.5) dimasukkan ke dalam (1.4), maka dengan besar gaya

gravitasi gravF m g= terdapat: 2 2

2 2

2

2

d dsin sind d

d sin 0d

gravF m l mg m lt t

m l mgt

= = + =

(1.6)

Untuk simpangan kecil, berarti sudut kecil sin dan (1.6) menjadi lebih sederhana:

2 2

2 2d d0 0d d

gm l m glt t

+ = + = (1.7) Hasil (1.7) merupakan satu persamaan diferensial. Untuk menyelesaikan

persamaan diferensial ini, kita bisa memakai suatu pemasukan atau pemisalan (statement) sebagai perkiraan untuk hasil. Pemasukan / pemisalan (statement) itu dimasukkan ke dalam persamaan asli, lalu dihitung, apakah persamaan bisa diselesaikan dengan pemasukan itu. Dengan pemasukan:

0 cos t = (1.8) terdapat seperti dihitung dengan lebih rinci dalam petunjuk mengenai

Elastisitas bahwa masukan ini memang menyelesaikan persamaan diferensial dan kecepatan sudut osilasi sebesar:

2 gl

= (1.9)

Karena 2T = , maka waktu ayunan T dalam percobaan bandul

matematis sebesar: 2

2 2 22

4 4 2l lT T Tg g

= = = (1.10) Hubungan antara besar waktu ayunan T dan panjang bandul l ini bisa

dipakai untuk mencari besar dari konstanta gravitasi g dari hubungan antara T dan l. Berarti untuk mencari besar g, kita mengukur hubungan antara T dan l, lalu membuat grafik T2 terhadap l dan mencari kemiringan garis lurus yang paling cocok dengan titik-titik ukuran.

1. Bandul Matematis 33


1.4 Tata Laksana Aturlah panjang tali pada 8 panjang tali yang berbeda, mulai dari panjang

tali terbesar yang bisa diukur sampai panjang tali sebesar l = 15 cm. Pada setiap panjang tali waktu ayunan diukur 10 kali. Pada setiap pengukuran sepuluh periode ayunan (10T) diukur.

Buatlah grafik T2 terhadap l. Cari garis lurus yang paling cocok dengan titik-titik hasil ukur dan tentukanlah kemiringan a dari garis tersebut. Tentukan konstanta gravitasi g dari kemiringan a dengan memakai hubungan (1.10). 1

Buatlah kesimpulan dari hasil yang anda peroleh dari percobaan ini.

1.5 Perhitungan Ralat Tentukanlah ralat kemiringan a dan perpotongan sumbu y dengan

metode grafik. Ralat g dapat dihitung dari ralat kemiringan a dengan menggunakan teori perambatan ralat.

Di mana dalam percobaan ini terdapat ralat sistematis ?

1.6 Laporan Praktikum Dalam laporan praktikum harus ada:

Tabel hasil ukur Grafik hasil ukur dengan perkiraan terbaik untuk garis lurus yang cocok

dengan data ukur Analisa data ukur / Perhitungan besar percepatan gravitasi di bumi dengan

perkiraan ralat Jawaban pertanyaan ulang

1.7 Pertanyaan Ulang 1. Jelaskanlah, mengapa sebuah bandul berayun ? 12. Mengapa bandul tidak berhenti di posisi tengah di mana gaya tangensial

nol ? 13. Mengapa massa dari bandul tidak mempengaruhi waktu ayunan ? 14. Mengapa simpangan dalam melakukan percobaan harus kecil ? 5. Pakailah grafik T2 terhadap l yang telah dibuat untuk bandul matematis

untuk menentukan posisi pusat massa dari benda yang berayun. (Apakah pusat massa memang benar seperti posisi yang dipakai dalam pengukuran atau dilihat dari grafik di posisi yang lain ?)

Selamat Berayun-ayun


34

2 Elastisitas

2.1 Literatur Frederick J. Bueche, Seri buku Schaum, Teori dan soal Fisika, Bab 12,

Elastisitas, Hukum Hook. Sears, Francis Weston; Zemansky, Mark W; Fisika untuk Universitas jilid 1;

Binacipta;, Mekanika. Panas. Bunyi; Bab 10-3 Elastisitas dan plastisitas.

2.2 Daftar Alat Tiang dengan gantungan pegas 1 buah Pegas 1 buah Gantungan beban untuk menggantungkan beban pada

pegas 1 buah Beban bulat 50 g 9 buah Meteran 1 buah Stopwatch 1 buah

2.3 Teori

2.3.1 Hukum Hook Jika suatu benda terkena gaya F, maka

bentuk benda itu akan berubah. Besar perubahan bentuk (misalnya panjang atau lebar) sebesar x. Dalam banyak situasi x berbanding lurus dengan besar gaya F yang diberikan:

kF x= (2.1) Dalam (2.1) k merupakan suatu

konstanta yang menunjukkan sifat benda itu. Konstanta k ini disebut sebagai konstanta Hook. Persamaan (2.1) disebut sebagai hukum Hook.

Dalam percobaan ini kita memakai pegas sebagai contoh benda. Ketika belum diberi gaya, pegas sepanjang x0. Kita memberi gaya kepada pegas dengan menggantungkan

x

GFgFg = mg

F xpegas = -k

Gambar 2.1: Perpanjangan pegas kalau diberikan beban

m dengan gaya gravitasi gravF m g= .

2. Elastisitas 35


beban dengan massa m pada pegas. Beban tersebut mengalami gaya gravitasi Fg sebesar gF m g= . Gaya gravitasi ini menarik pegas ke bawah sehingga panjang pegas bertambah sejauh x. Maka panjang pegas menjadi sebesar x1. Berarti dengan (2.1) terdapat hubungan antara panjang pegas x dan besar gaya Fg sbb.:

( )0 01g gF k x k x x x F xk= = = + (2.2)

2.3.2 Ayunan pegas Menurut hukum Newton II terdapat hubungan antara gaya F kepada

suatu benda dan percepatan a dari benda tersebut sebagai berikut: F = m a (2.3) Jadi gaya berbanding lurus dengan massa m dan percepatan a. Gaya

yang bekerja pada benda dalam percobaan ini adalah gaya pegas yang besarnya sesuai dengan Hukum Hook (2.1) dan gaya gravitasi kepada beban. Pada posisi seimbang ketika beban tergantung pada pegas dengan diam gaya pegas dan gaya gravitasi sama besar, berarti jumlah dari dua gaya ini nol. Karena gaya gravitasi konstan, maka cukup menghitung perubahan gaya pegas ketika panjang pegas berubah dari situasi seimbang. Dalam persamaan (2.1) dan persamaan (2.3) gaya F sama sehingga terdapat persamaan gerak untuk benda ini:

k x m a = (2.4) Karena

2

2

dd

xat=

maka terdapat:

2

2

d k 0d

xm xt + = (2.5) 2

2

d k 0d

x xmt

+ = (2.6) Persamaan ini adalah persamaan ayunan selaras. Persamaan semacam

ini biasanya diselesaikan dengan memakai pemasukan / permisalan (statement) untuk x. Dalam hal ini pemasukan yang cocok sbb.:

0 sinx x t = (2.7) Dengan pemasukan ini terdapat:

0 cosd x x tdt = (2.8)



2

02 sind x x tdt

2 = (2.9)

Dengan x dari (2.7) dan 2

2

d xdt

dari (2.9) dalam (2.6) terdapat: 2

0 0sin sin 0kx t x tm

+ = (2.10)

2 0k km m

+ = = (2.11) Jadi terdapat frekuensi ayunan yang tergantung massa beban dan

konstanta pegas. Frekuensi ayunan tidak tergantung amplitude ayunan x0. Dari (2.11) diperoleh waktu untuk ayunan selama satu periode sebesar:

2 2kmT = = (2.12)

2.4 Tata laksana 1. Ukurlah perpanjangan pegas x terhadap besar massa beban yang

digantungkan. Untuk itu ukurlah jarak dari satu tempat permanen di atas pegas sampai ke ujung bawah pegas atau sampai ke ujung kait yang dipakai untuk menggantungkan beban. Jarak tersebut diukur tanpa beban dan kemudian dengan beban mulai sebesar 50g sampai 450g, pada setiap 50g.

2. Buatlah grafik panjang pegas terhadap gaya gravitasi dari hasil 1. 3. Ukurlah panjang karet dengan beban mulai dari 0 sampai 450g pada setiap

50g. Kemudian ukur langsung secara terbalik, berarti beban mulai dari 450g tadi dikurangi 50g demi 50g dan pada setiap pengurangan beban, panjang karet diukur.

4. Gambarlah panjang karet terhadap gaya gravitasi dari hasil ukur 3 ke dalam grafik dari 2. Bandingkanlah dua grafik ini.

5. Pakai grafik dari 2 untuk menentukan konstanta pegas k. Gunakan (2.1) atau (2.2).

6. Gantungkan beban sebesar 250g pada pegas, ayunkan pegas dan ukur waktu ayunan. Pada satu pengukuran ukurlah sekaligus 10 periode ayunan. Pengukuran ini dilakukan 5 kali. Tentukan konstanta pegas k dengan (2.12). Perhatikan bahwa massa m dalam persamaan ini merupakan seluruh massa yang berayun, berarti kait yang dipakai untuk menggantungkan beban harus dihitung juga. Apakah pegas sendiri ikut berayun dan harus dihitung ? (Perhatikan bagian pegas bawah, tengah dan atas ketika pegas berayun.)

2. Elastisitas 37


2.5 Informasi Alat Massa dari setiap beban bulat yang disediakan: mbeban = 50,6 g 0,5 g. Massa dari gantungan beban sebesar: mgantungan = 11,3 g 0,1 g. Massa dari pegas sebesar: mpegas = 16,3 g 0,2 g.

2.6 Perhitungan Ralat Untuk perkiraan ralat dari hasil konstanta pegas k yang diperoleh dari

grafik panjang pegas terhadap gaya gravitasi, pakai perkiraan ralat untuk grafik linear seperti dijelaskan dalam pengantar praktikum.

Perkiraan ralat untuk k yang ditentukan dengan mengukur waktu ayunan, terdapat dari ralat untuk waktu ayunan T dan dari ralat untuk massa m dengan memakai teori perambatan ralat dalam persamaan (2.12).

Di mana dalam percobaan ini terdapat ralat sistematis ?

2.7 Pertanyaan Ulang Mengapa dalam persamaan (2.1) terdapat tanda minus di sebelah kanan ?

Apa arti tanda minus ini ? Apakah persamaan menjadi salah, seandainya tanda minus ini tidak ditulis ?

Apa artinya jika suatu benda mempunyai sifat elastis dan apa artinya jika suatu benda mempunyai sifat plastis ?

Jelaskanlah dengan kata, mengapa benda pada pegas bisa berayun. Apakah hasil konstanta pegas yang didapatkan dengan dua cara yang

berbeda (mengukur perpanjangan langsung dan mengukur waktu ayunan) sama besar atau berbeda dalam batas ralat ? Kalau tidak, dari mana kira-kira terjadi perbedaan? Apakah anda sudah memperhatikan pengaruh dari massa kait dan massa pegas sendiri dalam persamaan ayunan ?

Apakah hukum Hook berlaku untuk pegas dan untuk karet ? Bandingkanlah bentuk grafik karet ketika beban ditambahi dengan bentuk ketika beban dikurangi. Apa kesimpulannya ?

Sifat karet bagaimana ? Di mana dalam percobaan ini ada kemungkinan terdapat ralat sistematis ? Apakah menurut penilaian anda percobaan ini baik (teliti) atau sebaiknya

diperbaiki ? Bagaimana percobaan bisa divariasikan supaya menjadi lebih teliti ?



2.8 Laporan Praktikum Dalam laporan praktikum harus ada:

Grafik panjang pegas terhadap gaya dan grafik panjang karet terhadap gaya ketika gaya sedang bertambah dan ketika gaya sedang berkurang. Perhatikan bahwa dalam grafik yang komplit perlu tercantum informasi mengenai besaran dan satuan pada setiap sumbu.

Hasil dan ralatnya untuk besar konstanta pegas yang didapatkan dari masing-masing metode.

Jawaban dari pertanyaan ulang.

Selamat Bekerja !


39

3 Hukum Newton II

3.1 Literatur Haliday, David; Resnick, Robert; Fisika jilid 1; Erlangga; 5.4 Hukum

Newton kedua, Gaya Gesekan; 5.8 Berat dan Massa; Sears, Francis Weston; Zemansky, Mark W; Fisika untuk Universitas 1;

Binacipta; 2-7 Gesekan; 5-2 Hukum kedua Newton, Massa; 5-5 Massa dan Berat;

Sutrisno; Fisika Dasar; Institut Teknologi Bandung; Hukum II Newton hal 33-38, Gaya Gesekan hal 47-51

Alonso, Marcelo; Finn, Edward J.; Dasar-dasar Fisika Universitas 1; Erlangga; 5-15-3 (Kinematika), 7-6 Hukum Newton kedua dan ketiga;

3.2 Daftar Alat Dua rel presisi yang disambungkan dengan

penyambung rel dan dengan kaki rel pada setiap ujung 1 set Balok tangga 1 buah Alas kayu untuk mengangkat ujung rel 1 buah Kereta dinamika untuk rel presisi 1 buah Rangkaian pewaktu elektronik dengan stopwatch 1 set penjepit rel 1 buah

3.3 Teori

3.3.1 Hukum Newton Menurut Hukum Newton I percepatan suatu benda nol apabila jumlah

gaya terhadap benda itu sama dengan nol. Kalau jumlah gaya terhadap suatu benda tidak nol, maka benda tersebut akan dipercepat. Percepatan benda tergan-tung dari massa lembamnya dan jumlah gaya yang mengenai benda itu. Hubungan antara percepatan a, massa lembam m, dan jumlah gaya F kepada benda bisa dirumuskan sebagai Hukum Newton II:

dd

vF m a mt

= = (3.1)



3.3.2 Gesekan Benda yang meluncur di atas permukaan bidang akan dipengaruhi oleh

gaya gesekan. Gaya gesekan berlawanan arah dengan arah gerakan benda. Besar dari gaya gesekan tergantung dari sifat dua permukaan yang saling bersinggung-an, tetapi tidak tergantung dari luas persinggungan. Gaya gesekan Fges seban-ding dengan gaya normal FN (gaya impit) yang bekerja tegak lurus terhadap per-mukaan yang bersinggungan, dan biasanya tidak tergantung dari kecepatan satu benda terhadap benda yang lain. Terdapat rumus sbb.:

Fges = FN (3.2) Konstanta dalam (3.2) adalah koefisien gesekan yang tergantung sifat

dari dua permukaan yang saling (bersinggungan) menyinggung. Gaya gesekan antara dua permukaan yang diam satu terhadap yang lain disebut gaya gesekan statik. Sedangkan gaya gesekan yang bekerja antara dua permukaan yang bergerak satu terhadap yang lain disebut gaya gesekan kinetik. Gaya gesekan statik lebih besar daripada gaya gesekan kinetik. Oleh sebab itu terdapat dua koefisien gesekan, koefisien gesekan statik s dan koefisien gesekan kinetik k.

3.3.3 Bidang Miring Dalam percobaan ini benda ditaruh di atas suatu rel yang dimiringkan.

Dengan kata lain, terdapat suatu bidang miring (dibentuk oleh rel kereta) dengan sudut terhadap horizontal. Dalam situasi ini (gambar 3.1) gaya gravitasi Fg di-bagi menjadi gaya normal Fn yang tegak lurus bidang miring dan gaya tangensial Ft yang searah dengan bidang miring.

Besar gaya-gaya yang diperlihatkan dalam gambar 3.1 dapat diuraikan sebagai berikut:

cos cosn gF F mg= = (3.3) sin sint gF F mg= = (3.4)

Di mana m adalah massa benda.

3.3.4 Persamaan Gerakan di Atas Bidang Miring

Gaya kepada benda yang mempengaruhi gerakannya di atas bidang miring adalah gaya yang searah dengan arah gerakan, yaitu gaya tangensial Ft dari gravitasi dan gaya gesekan Fges. Jadi jumlah gaya kepada benda ke arah gerakan sebesar:

FG

FN

Ft

h l

Fges

Gambar 3.1: Gaya-gaya pada

bidang miring.

3. Hukum Newton II 41


t gesF F F= (3.5) Gaya gesekan Fges dihitung negatif karena dalam situasi percobaan ini

benda meluncur ke bawah sehingga gaya gesekan Fges melawan Ft.

Dari (3.1), (3.2) dan (3.5) terdapat persamaan gerak benda:

t gesF F m a = (3.6) sin

sint ges ges gesF F mg F F

a a gm m m

= = = (3.7) Dengan situasi seperti dalam gambar 3.1, di mana:

h : tinggi satu ujung bidang miring / rel terhadap ujung yang lain l : panjang bidang miring / rel : sudut antara bidang miring / rel dengan horizontal, berarti:

sin hl

= (3.8) Maka (3.7) menjadi:

gesFga hl m

= (3.9)

3.3.5 Gerakan dengan percepatan yang konstan Definisi dari kecepatan v adalah perubahan jarak terhadap perubahan

waktu, berarti: dd

svt

= (3.10) Definisi dari percepatan a adalah perubahan kecepatan terhadap

perubahan waktu, berarti: dd

vat

= (3.11) Maka dari (3.10) dan (3.11), terdapat hubungan antara tempat dan

percepatan a: 2

2dd

sat

= (3.12) Karena dalam percobaan ini percepatan a konstan, maka (3.11) bisa

diintegrasikan dengan mudah untuk mendapatkan besar kecepatan v(t) yang dimiliki benda setelah selang waktu t:



( ) 0' 0 ' 0

d d d d dd

t t

t t

va v a t v t v a t at vt = =

= = = = = + (3.13) Di mana v0 kecepatan awal yang dimiliki benda ketika pengukuran

waktu dimulai. Jarak / posisi s(t) yang ditempuh oleh benda dalam waktu t terdapat dengan mengintegrasikan (3.10) dan memakai kecepatan dari (3.13) untuk situasi dengan percepatan konstan:

( ) ( ) ( )' 0 ' 0

d ' d ' d ' d 't t

t ts v t t s t s v t t

= == = = (3.14)

( ) ( ) ( ) 20 0 0' 0 ' 0

1' d ' ' d '2

t t

t ts t v t t at v t at v t s

= = = = + = + + (3.15) Di mana s0 posisi awal yang dimiliki benda ketika pengukuran waktu

dimulai. Dalam percobaan ini kecepatan awal v0 akan nol, karena kita mulai mengukur waktu ketika benda masih diam dan baru mulai bergerak. Posisi awal s0 akan nol juga karena kita menghitung jarak dari tempat awal gerakan sebagai jarak nol. Maka persamaan gerak untuk percobaan ini terdapat dari (3.15) dengan v0 = 0 dan s0 = 0:

( ) 212

s t at= (3.16)

3.4 Tata Laksana Percobaan Dalam percobaan ini satu rel presisi dipakai sebagai jalur untuk sebuah

kereta. Satu ujung dari rel diangkat setinggi h sehingga rel menjadi miring. Untuk mengangkat rel pada satu sisi, disediakan sebuah balok bertangga dan sebuah alas kayu. Benda yang dipercepat adalah kereta yang bisa bergerak dengan gesekan kecil di atas rel presisi. Pengaturan percobaan seperti diperlihatkan dalam gambar 3.2. Empat sudut kemiringan yang berbeda dipakai, yaitu sudut yang didapatkan dengan tinggi h sbb.: h = 2,5 cm, 3,5 cm, 4,5 cm dan 5,7 cm. Pada setiap sudut kemiringan, percepatan kereta ditentukan dengan mengukur jarak jalan kereta s dan waktu t yang ditempuh kereta saat meluncur. Dari data-data yang diperoleh, percepatan a ditentukan sesuai dengan (3.16). Waktu tempuh diukur dengan memakai rangkaian elektronik yang tersambung dengan stopwatch. Kereta pada awal percobaan tertahan pada tempatnya dengan sepotong almunium foil yang dijepitkan pada kereta dan pada penjepit kontak. Ketika penjepit kontak dibukakan, maka stopwatch mulai jalan dan kereta mulai bergerak. Stopwatch dihentikan oleh gerbang optik yang dipasang pada posisi

3. Hukum Newton II 43


tertentu pada rel. Pada kereta terpasang sekrup yang menonjol ke bawah. Ketika sekrup tersebut masuk ke dalam gerbang optik, stopwatch akan berhenti. Maka waktu tempuh terdapat dari waktu yang ditunjukkan pada stopwatch, sedangkan jarak tempuh kereta adalah jarak gerak dari posisi awal sampai ke posisi di mana sekrup tersebut masuk ke dalam gerbang optik. Masuknya sekrup ke dalam gerbang optik dilihat pada LED rangkaian gerbang optik yang mati ketika sekrup di dalam gerbang optik.

Pakai dua cara untuk menentukan percepatan a: 1. Pada tinggi h = 4,5 cm ukur waktu yang ditempuh dengan 6 jarak tempuh

yang berbeda, mulai dari jarak sebesar s 35 cm sampai ke jarak yang terpendek sebesar s 5 cm. Waktu luncur diukur sebanyak 3 kali untuk setiap jarak tempuh. Pakai nilai rata-rata dari tiga hasil ukur ini. Buat satu grafik jarak s terhadap waktu kuadrat t2. Pakai metode grafik untuk menentukan percepatan a sesuai dengan (3.16). Perhatikan bahwa kemiringan a* dari garis miring yang didapatkan tidak sama dengan percepatan a.

2. Cara kedua untuk menentukan percepatan a dipakai pada ketinggian h = 2,5 cm, h = 3,5 cm dan h = 5,7 cm.

Pada ketinggian tersebut cukup mengukur waktu luncur pada satu jarak tempuh saja. Pakai jarak tempuh sebesar s = 35 cm. Ukurlah waktu tempuhnya sebanyak 5 kali. Tentukan percepatan a memakai (3.16) dari nilai rata-rata waktu tempuh dan panjang jarak.

Kereta

Jepetan yang memegang kereta(tekan supaya kereta dan stopwatch jalan)

Gerbang optik yangmenghentikan stopwatch

Balok bertangga(mengatur kemiringan rel)

Stopwatch elektronik

Gambar 3.2: Alat yang dipakai.



Pada masing-masing ketinggian akan diperoleh besar percepatan a sebagai hasil ukur yang dimiliki

fisika dasar, fakultas pertanian, praktikum

Documents