finans piyasalarında volatilite hesaplama yöntemleri

T.C.MARMARA ÜNİVERSİTESİ

BANKACILIK VE SİGORTACILIK ENSTİTÜSÜSERMAYE PİYASASI ve BORSA ANABİLİM DALI

YÜKSEK LİSANS DÖNEM PROJESİ

FİNANSAL PİYASALARDAVOLATİLİTE HESAPLAMA YÖNTEMLERİ

Salim KASAP

903208002

İSTANBUL, 2009

T.C.MARMARA ÜNİVERSİTESİ

BANKACILIK VE SİGORTACILIK ENSTİTÜSÜSERMAYE PİYASASI ve BORSA ANABİLİM DALI

YÜKSEK LİSANS DÖNEM PROJESİ

FİNANSAL PİYASALARDAVOLATİLİTE HESAPLAMA YÖNTEMLERİ

Salim KASAP

903208002

Danışman:Yrd.Doç.Dr. İ. Özlem KOÇ

İSTANBUL, 2009

İçindekiler

1 Finansal Piyasalar ve Volatilite 1

1.1 Volatilite Özellikleri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2 Volatilite Tahmini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2 Volatilite Hesaplama Yöntemleri 13

2.1 Tarihsel Volatilite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.2 Üstel Ağırlıklı Volatilite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.3 Garch (1,1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.3.1 Garch(1,1) Değişkenlerin Tahmini . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.3.2 Modelin Geçerliliği . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.3.3 GARCH(1,1) Gelecekteki Volatilitenin Tahmini . . . . . . . . 25

3 Volatilite ve Opsiyonlar 29

3.1 Opsiyon Volatilite Vade Yapısı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

3.2 Öngörülen Volatilite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

Tablo Listesi

1 Volatilite Verisi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2 Ağırlıklı Ortalama Volatilite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

3 60 Gün Opsiyon Volatilitesi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

4 GARCH(1,1) Değişken Tahmini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

5 GARCH(1,1) 1999-2009 ve 2003-2009 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

6 GARCH(1,1) Otokorelasyon Testi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

7 İMKB30 Endeks Volatilite Vade Yapısı . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

8 Volatilite Vade Yapısı %1 Volatilite Değişimi Etkisi . . . . . . . . . . 30

9 8 Ekim 2008 USDTL Öngörülen Volatilite . . . . . . . . . . . . . . . 32

10 Uzun Zaman Yayılma Pozisyonu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

11 Uzun Zaman Yayılma Pozisyonu Greek Ölçümleri . . . . . . . . . . . 33

Şekil Listesi

1 USDTL 16.12.05 - 5.02.09 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

2 USDTL 10 Gün Volatilite 16.12.05 - 5.02.09 . . . . . . . . . . . . . . 2

3 USDTL Volatilite Konisi 16.12.05 - 5.02.09 . . . . . . . . . . . . . . 3

4 USDTL 10 Gün Volatilite Dağılım 16.12.05 - 5.02.09 . . . . . . . . . 4

5 USDTL Fiyat, 10 Gün Volatilite 16.12.05 - 5.02.09 . . . . . . . . . . . 4

6 EURUSD / 10 Gün Volatilite 19.12.05 - 6.02.09 . . . . . . . . . . . . 5

7 EURUSD Volatilite Konisi 19.12.05 - 6.02.09 . . . . . . . . . . . . . . 6

8 İMKB 30 Endeks/ 10 Gün Volatilite 2.11.05 - 5.02.09 . . . . . . . . . 7

9 İMKB 30 Endeks Volatilite Konisi 2.11.05 - 5.02.09 . . . . . . . . . . 7

10 USDTL 1 Ay Volatilite 23.11.06 - 25.08.08 . . . . . . . . . . . . . . . 11

11 İMKB 30 ÜAHO Volatilite λ = 0, 94 25.01.99 - 6.02.09 . . . . . . . . 16

12 İMKB 30 / ÜAHO Volatilite λ = 0, 94: 25.01.99 - 6.02.09 . . . . . . . 17

13 İMKB 30 / GARCH(1,1) Volatilite: 25.01.99 - 6.02.09 . . . . . . . . . 22

14 İMKB 30 / GARCH(1,1) Volatilite: 1.01.03 - 6.02.09 . . . . . . . . . 24

15 GARCH(1,1) Volatilite Tahmini 25.01.99 - 6.02.09 . . . . . . . . . . . 26



18 USDTL 1 Ay ÖV-TV 12.12.03 - 19.12.08 . . . . . . . . . . . . . . . . 31

19 USDTL Öngörülen Volatilite Konisi 13.10.06 - 8.10.08 . . . . . . . . . 33

20 USDTL Öngörülen Volatilite Ekim 2006 - Aralık 2008 . . . . . . . . . 34

21 USDTL Opsiyon Fiyatları: Spot ve Volatilite Etkisi . . . . . . . . . . 34

Kısaltmalar

EYOT: En Yüksek Olasılık Tahmini

EWMA: Exponential Weighted Moving Average

GARCH: Generalized Autoregressive Conditional Heteroscedasticity

İMKB: İstanbul Menkul Kıymetler Borsası

ML: Maximum Likelihood

ÖV: Öngörülen Volatilite

TV: Tarihsel Volatilite

U30: Ulusal 30

ÜAHO: Üstel Ağırlıklı Hareketli Ortalama

VOB: İzmir Vadeli İşlemler ve Opsiyon Borsası

Giris

Ülkemiz finans piyasalarında oldukça yeni olarak nitelenebilecek türev ve ileri tü-

rev ürünlerin fiyatlaması, risklerinin yönetilmesi, gelecekte oluşabilecek senaryolara

göre pozisyonların gözden geçirilmesi için kullanılan modellerde en önemli parametre

volatilitedir. Volatilite, opsiyon fiyat modellerinde modele dışarıdan girilen tek de-

ğişkendir ve teorik modellerin gerçek dünya ile bağlantısını sağlar. Volatilite opsiyon

fiyatlarının yorumlanması, ucuz ya da pahalı olduğunun anlaşılması için yoğun ola-

rak kullanılmaktadır. Tarihsel volatiliteden farklı olarak, öngörülen volatilite (impl-

ied volatility) piyasada gözlemlenen opsiyon fiyatlarından hesaplanır veya doğrudan

veri yayımcılarından temin edilebilir. Elde edilen bu değer ilerleyen kısımlarda değin-

ilecek olan volatilite konisi, persentil, zskor vs. yöntemleri ile analiz edilip opsiyonun

pahalı/ucuz volatilitenin yüksek/düşük olduğuna karar verilebilir.

Volatilite, dayanak varlık fiyatlarından farklı bir karakteristiğe sahiptir, volatili-

tenin özellikle ortalamaya dönüş eğilimi analizlerimizde önemli yer tutmaktadır.

Bu projede volatilite ve volatilitenin etkilerine değinilecektir. Proje üç bölümden

oluşmaktadır.

Birinci bölümde finansal piyasalar ve volatilite genel olarak ele alınmıştır. Kar-

maşık hesaplamalar kullanılmadan volatilite ve piyasa gözlemleri özellikle Türkiye

örnekleri çerçevesinde incelenmiştir. Bu bölümde karmaşık hesap yöntemlerine er-

işim imkanı bulunmayan veya çok kısa zamanda karar alınması gereken durumlar

için kullanılabilecek yöntemler açıklanmıştır.

İkinci bölümde volatilite hesaplama yöntemleri incelenmiştir. Bu yöntemler:

Tarihsel, Üstel Ağırlıklı Hareketli Ortalama ve GARCH(1,1) olarak sıralanmıştır.

Ayrıca GARCH(1,1) kullanılarak gelecekteki volatilitenin tahmini konusunda form-

üller yazılmıştır. Bölüm içerisinde çok sayıda Türkiye finans piyasalarından örnekler

verilerek konunun açıklanmasına çalışılmıştır.

Üçüncü bölümde ise volatilite ve opsiyonlar arasındaki ilişki irdelenmiştir.

GARCH(1,1) kullanılarak volatilite vade yapısı (volatility term structure) oluşturul-

ması üzerinde durulmuş, volatilite değişiminin opsiyon fiyatları üzerindeki etkileri

ele alınmıştır.

İzmir Vadeli İşlemler Borsası’nın, yakın bir zamanda opsiyon işlemlerine başla-

ması beklenmektedir. Volatilite ve opsiyonlar arasındaki ilişkinin doğru anlaşılması

bu işlemleri yapan kişiler için önemli ve gereklidir. Volatilite karakteristiklerini bil-

meden ve opsiyonlar ile ilişkisini kurmadan işlem yapanların riskleri tahminlerinden

fazla olabilir ve çalıştıkları kurumlara ya da kendi hesaplarına beklemedikleri kadar

büyük zararlar verebilirler.

Opsiyon işlemlerinin organize bir piyasada başlayacak olması, volatilite konusu-

nun önemini arttırmaktadır. Bölümde ayrıca öngörülen volatilite (implied volatility)

konusuna ve piyasadaki gözlemlere yönelik analizlere yer verilmiştir. Tüm projede

hesaplamalarda kullanılan Excel VBA kodları, sırası geldikçe gösterilmiştir.

1 Finansal Piyasalar ve Volatilite

1.1 Volatilite Ozellikleri

Volatilite tahmini yapmadan önce volatilite özelliklerinin incelenmesi yerinde ola-

caktır. Şekil 1’de, 16 Aralık 2005 - 5 Şubat 2009 tarihleri arasındaki veriyi içeren

USDTL grafiği gösterilmiştir . Grafikte USDTL fiyatının serbest bir şekilde aşağı yu-

karı hareket etmiş olduğunu gözlemleyebiliyoruz: Fiyat 1,700 civarına üç defa gelmiş,

1,1500 seviyeleri de görülmüş. Grafik analiz edildiğinde UDSTL fiyatının herhangi

bir ortalama değere doğru yöneldiği kolayca söylenemez. Ekonomik gerçekleşmeler

ve piyasa arz talep koşullarının kur üzerinde etkili olduğu söylenebilir. Önümüzdeki

dönem kurun 2,00; 3,00 veya 1,00 olacağı grafiğe bakarak iddia edilemez. Şekil 2’de

1,10

1,20

1,30

1,40

1,50

1,60

1,70

1,80

16.1

2.05

16.0

2.06

16.0

4.06

16.0

6.06

16.0

8.06

16.1

0.06

16.1

2.06

16.0

2.07

16.0

4.07

16.0

6.07

16.0

8.07

16.1

0.07

16.1

2.07

16.0

2.08

16.0

4.08

16.0

6.08

16.0

8.08

16.1

0.08

16.1

2.08

Şekil 1: USDTL 16.12.05 - 5.02.09Kaynak: Bloomberg

USDTL 10 günlük volatilite grafiği gösterilmiştir. Volatilite hesaplamaları için lo-

garitmik getiri serisi kullanılmıştır1. Volatilite, USDTL fiyatına benzer şekilde aynı

dönemde zaman zaman yükselmiş, zaman zaman düşmüştür. En yüksek %65 civar-

ları görülmüş, en düşük ise %3 civarına inilmiştir. Volatilite grafiğinde dikkati çeken

1Volatilite ve logaritmik getiri konusunda detaylı bir analiz için bkz Espen Gaarder HAUG. TheComplete Guide to Option Pricing Formulas.McGraw-Hill, NY, second edition, 2007 s.445 vd.

1.1 Volatilite Özellikleri 2

0,00%

10,00%

20,00%

30,00%

40,00%

50,00%

60,00%

70,00%

05.09.05 24.03.06 10.10.06 28.04.07 14.11.07 01.06.08 18.12.08 06.07.09

Şekil 2: USDTL 10 Gün Volatilite 16.12.05 - 5.02.09Kaynak: Yazarın Hesaplamaları

en önemli nokta, volatilitenin yükseldiğinde/düştüğünde mutlaka ortalama bir de-

ğere doğru hareket etmiş olmasıdır. Kullanılan veri seti için bu değer %16 olarak

hesaplanmıştır. Volatilite zaman zaman trend yapmaktadır. 2006 yılı ikinci yarısın-

dan 2007 yılı ikinci yarısına kadar volatilite düşük seyretmiş ve iniş çıkışlardan ziyade

düşüş trendi içerisinde olmuştur. Bu ve benzeri dönemler düşük volatilite dönemi

olarak yorumlanabilir. 2008 Ağustos-Ekim arasında volatilite, piyasadaki çalkantıyı

gösterir şekilde yükseliş trendine girmiştir.

Volatilite özellikleri aşağıdaki gibi özetlenebilir:

1. Volatilitenin uzun dönemli bir ortalaması vardır,

2. Volatilite yükseldiğinde veya düştüğünde ortalama değerine dönme eğilimin-

dedir,

3. Volatilitenin ortalamasına belirli bir dönüş hızı vardır.

Volatilite ve ortalama ilişkisi, şekil 3’de gösterilmiş olan volatilite konisi yardımı ile

daha rahat analiz edebilir.

10 günlük opsiyonlar için volatilite:


0,00%

5,00%

10,00%

15,00%

20,00%

25,00%

30,00%

35,00%

10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180

Gün

Vol

atili

te

10% 25% 50% 75% 90%

Şekil 3: USDTL Volatilite Konisi 16.12.05 - 5.02.09Kaynak: Yazarın Hesaplamaları

• %20 ihtimalle %5.9’dan küçük veya

• %31’den yüksek olacak (10 ve 90 persentil),

• 10 günlük ortalama volatilite ise %12.35.

60 günlük opsiyonlar için volatilite:

• %50 olasılıkla %10’dan küçük veya

• %21’den büyük olacak (25 ve 75 persentil),

• Ortalaması ise %14.

Zaman ilerledikçe, ortalama ve volatilite değerleri daha stabil hale gelmektedir. Vola-

tilite konisi, opsiyon volatilitelerinin analizinde yaygın olarak kullanılan bir yöntem-

dir ve volatilite özellikleri hakkında önemli bilgiler edinilmesini sağlar2. Şekil 4’de

10 günlük volatilitenin frekans dağılımı gösterilmiştir: Dağılımın normal olmadığı

kolaylıkla görülebilir3. Volatilite çoğu zaman düşük seyretmesine rağmen yükselişler

bazen çok ciddi boyutlara ulaşmıştır.


0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

2,0%

5,1%

8,1%

11,2%

14,2%

17,3%

20,3%

23,4%

26,5%

29,5%

32,6%

35,6%

38,7%

41,7%

44,8%

47,8%

50,9%

54,0%

57,0%

60,1%

63,1%

Göz

lem

Şekil 4: USDTL 10 Gün Volatilite Dağılım 16.12.05 - 5.02.09Kaynak: Yazarın Hesaplamaları

0,00

0,20

0,40

0,60

0,80

1,00

1,20

1,40

1,60

1,80

2,00

05.09.05 24.03.06 10.10.06 28.04.07 14.11.07 01.06.08 18.12.08 06.07.09

USDTL 10 G Vol

Şekil 5: USDTL Fiyat, 10 Gün Volatilite 16.12.05 - 5.02.09Kaynak: Bloomberg, Yazarın Hesaplamaları

Şekil 5’de USDTL ve 10 gün volatilite değerleri aynı grafikte beraber olarak gös-

terilmiştir. USDTL volatilitesi ve dolar fiyatı arasında doğrusal bir ilişkinin varlığı

2Sheldon NATENBERG. Option Volatility & Pricing. McGraw-Hill, New York, 1994 s.2753Normal dağılım N(µ, σ2) ile ifade edilir ve simetriktir. Volatilite dağılımı sağa çarpık lognormal

dağılım şeklinde görünüyor.


tartışılabilir: Kur yükseldikçe volatilite artmış ya da volatilite arttıkça kur yükselm-

iştir. Bu ifade, volatilite ve TL arasında ters yönlü bir ilişki mevcuttur şeklinde de

yorumlanabilir: Volatilite yükseldikçe TL değer kaybeder ya da TL değer yitirdikçe

volatilite yükselir.

1,00

1,10

1,20

1,30

1,40

1,50

1,60

19.1

2.05

19.0

2.06

19.0

4.06

19.0

6.06

19.0

8.06

19.1

0.06

19.1

2.06

19.0

2.07

19.0

4.07

19.0

6.07

19.0

8.07

19.1

0.07

19.1

2.07

19.0

2.08

19.0

4.08

19.0

6.08

19.0

8.08

19.1

0.08

19.1

2.08

EURUSD 10 G. Vol

Şekil 6: EURUSD / 10 Gün Volatilite 19.12.05 - 6.02.09 Volatilite= 1 + 10G VolatiliteKaynak: Bloomberg, Yazarın Hesaplamaları

Şekil 6’da EURUSD paritesi ve 10 günlük volatilite aynı grafikte ele alınmıştır.

Volatilite verisinin daha iyi gözlemlenebilmesi için volatilite değerlerine ‘1’ ilave edil-

mişitir. EURO 2005-2008 yükseliş trendinde 10 günlük volatilite %3 ila %13 arasında

kalmıştır. USDTL’nin 2006 Temmuz- 2007 Temmuz düşüş trendindeki volatilite özel-

likleri, EURUSD yükseliş trendi özelliklerine oldukça benzer şekilde hareket etmiştir.

Ağustos 2008 den itibaren EURUSD volatilitesinin piyasa problemlerini yansıtır şe-

kilde yükseldiği gözlemlenmiştir. İlgili döneme ait EURUSD volatilite konisi şekil

7’de gösterilmiştir. EURUSD 10 gün vadeli opsiyonlarda volatilite:

• %20 olasılıkla %32’den yüksek veya

• %6’dan düşük olacak (10 ve 90 persentil)

• Medyan değeri ise %12,35.

180 gün vadede volatilite:


0,00%

5,00%

10,00%

15,00%

20,00%

25,00%

30,00%

35,00%

10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180

Gün

Vol

atili

te

10% 25% 50% 75% 90%

Şekil 7: EURUSD Volatilite Konisi 19.12.05 - 6.02.09Kaynak: Yazarın Hesaplamaları

• %50 olasılıkla %18 ve %11 arasında gerçekleşecek (25 ve 75 persentil).

• 180 gün ortalama volatilite ise %16,5.

Şekil 8’de İMKB ulusal 30 endeksi ve 10 günlük volatilite birlikte gösterilmiştir.

Grafikte endeks verileri 25.000 ile ölçeklenmiştir. Endeks yükselirken volatilite dar

bir bantta sakin kalmış, Endeks Ağustos 2006 ve Ocak 2008 arasında yukarı trend

yaparken volatilite ortalama %27 civarında seyretmiştir. 2008 başından itibaren ise

volatilite artışı ve fiyat düşüşü ciddi boyutlara ulaşmıştır. İMKB 30 Endeksi 10

günlük volatilite değerlerinin Ekim 2008 de %92 seviyesine yükseldikten sonra Ka-

sım 2008 de %80 seviyelerine gerilediğini gözlemlenmiştir. Bu değerlere en yakın en

yüksek seviye ise eldeki verilere dayanarak %50 olarak tespit edilmiştir. İMKB 30

endeksi 10 gün volatilitesinin 2008 Kasım ayından itibaren düşüş trendinde olduğu

söylenebilir.

Şekil 9’da İMKB 30 endeks volatilite konisi gösterilmiştir. Endeks uzun dönemli

volatilite ortalaması %32 civarında hesaplanmıştır. 60 günlük U30 endeks opsiyonu

için volatilite %50 ihtimalle %26 seviyesinden düşük veya %39 seviyesinden yüksek

olabilir.


0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

3,5

17.02.05

05.09.05

24.03.06

10.10.06

28.04.07

14.11.07

01.06.08

18.12.08

06.07.09

IMKB 30 10 G Vol

Şekil 8: İMKB 30 Endeks/ 10 Gün Volatilite 2.11.05 - 5.02.09: Endeks 1/25000Kaynak: Bloomberg, Yazarın Hesaplamaları

0,00%

10,00%

20,00%

30,00%

40,00%

50,00%

60,00%

10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180

Gün

Vol

atili

te

10% 25% 50% 75% 90%

Şekil 9: İMKB 30 Endeks Volatilite Konisi 2.11.05 - 5.02.09Kaynak: Yazarın Hesaplamaları

1.2 Volatilite Tahmini 8

1.2 Volatilite Tahmini

Opsiyon işlemlerinde volatilite tahmininin öneminden daha önce bahsedilmişti. Vo-

latilite tahminleri çoğu zaman gerçeği yansıtmayabilir ve hatta kimi durumlarda

gerçekleşen volatilite tahminlerden çok farklı olabilir.

Opsiyon fiyatları ve volatilite tahminine ilişkin opsiyon trader’ı Sheldon Naten-

berg şöyle demektedir:

Bir opsiyonun değeri teorik olarak opsiyonun vadesi süresince konu fi-

nansal varlıkta oluşacak volatiliteye bağlıdır. Bu volatilite, trader için

önceden bilinemeyecek bir değişkendir. Trader, teorik fiyatlama modelle-

rinden birini kullanacaksa, dayanak varlığın gelecekte oluşabilecek vola-

tilitesine dair bir tahmin yürütmek zorundadır. Volatilite tahminindeki

tüm zorluklara rağmen, opsiyon alım satımı yapan profesyonel makul

volatilite tahmini yapabilmelidir4.

Tablo 1’de gösterilmiş olan hayali volatilite verisi kullanılarak belirli dönemler veya

cari dönem için volatilite tahmininde nasıl bir yöntem izlenebilir? Bir yöntem

Tablo 1: Volatilite Verisi

Gün 10 30 60 90 100 110 120

Volatilite 16,59% 17,78% 24,01% 33,68% 32,91% 31,90% 30,81%

Tablo 2: Ağırlıklı Ortalama Volatilite

Gün 10 30 60 90 100 110 120

Volatilite 16,59% 17,78% 24,01% 33,68% 32,91% 31,90% 30,81%× × × × × × ×

Ağırlık 30,00% 25,00% 15,00% 10,00% 10,00% 5,00% 5,00%

tüm volatilite verisinin ortalamasını almak olabilir: %26.81. Tüm veriye aynı ağırlık

4NATENBERG (1994) s.273


Tablo 3: 60 Gün Opsiyon Volatilitesi

Gün 10 30 60 90 100 110 120

Volatilite 16,59% 17,78% 24,01% 33,68% 32,91% 31,90% 30,81%× × × × × × ×

Ağırlık 10,00% 15,00% 40,00% 15,00% 10,00% 5,00% 5,00%

uygulanmak istenmiyorsa ve kısa dönemli volatilite tahmini analizi gerçekleştiren

için daha önemli ise ağırlıklandırma yapılabilir: Tablo: 2. Ağırlıklandırma için belirli

bir kural yoktur, ağırlıklar volatilite tahminini gerçekleştiren kişinin piyasa tecrü-

besi ile şekillenir. Ağırlıklandırma yapıldığı durumda hesaplanan volatilite: %22,82.

Ağırlıklandırma vadelere göre yapılsa idi volatilite %30 hesaplanacaktı. 60 günlük op-

siyonları değerlemek için volatilite tahmini yapılıyorsa, 60 günlük veriye daha fazla

ağırlık vererek hesaplamalar gerçekleştirebilir: Tablo 3. 60 günlük volatiliteye daha

çok ağırlık verilen durumda volatilite tahmini %25,41 olarak hesaplanmıştır. Volatil-

ite tahminlerinde öngörülen volatilite de hesaba katılabilir. Bazı piyasa katılımcıları,

etkin piyasa teorimlerine inanarak öngörülen volatilitenin tüm gerçeği yansıttığını

düşünüp hesaplamalarında sadece öngörülen volatiliteyi kullanabilmektedirler. Bazı

piyasa oyuncuları ise öngörülen volatiliteye %20 ve %80 aralığında ağırlık vermeyi

uygun bulmaktadırlar. Trader kendi tahminine güveniyorsa öngörülen volatilite de-

ğerine %20 ağırlık verebilir, kendine güvenmediği durumlarda %80 ağırlığa kadar

çıkabilir. 60 Gün USDTL opsiyonları öngörülen volatilitesinin %32 olduğunu varsa-

yılsın. Trader tahminine güveniyorsa öngörülen volatilite ile birlikte yeni tahmini

%20 × %32 + %80 × %25, 41 = %26, 72

olabilir. Volatilite tahmini %50 ağırlıklandırma ile %28,7; öngörülen volatiliteye %80

ağırlık verildiğinde ise %30,68 olarak gerçekleşmiştir.

Trader, doğru volatiliteyi tahmin etmeye çalışmaktansa, volatilite koşullarına

uygun stratejiyi seçmeye odaklanmalıdır. Opsiyon stratejisini kararlaştırmak için

trader çeşitli faktörleri gözönüne alabilir:

1. Uzun dönemli volatilite ortalaması hangi seviyede?


2. Kısa dönemli volatilite ortalama volatiliteye nazaran ne durumda?

3. Tarihsel volatilitenin trendi nasıl, yükseliyor mu düşüyor mu, stabil mi?

4. Öngörülen volatilite seviyesi nedir ve trendi nasıl?

5. Kısa mı yoksa uzun vadeli opsiyonlar ile işlem yapıyoruz?

6. Volatilite stabil mi?

Opsiyon Uygulaması

USDTL bir ay vadeli opsiyonlarda işlem yapmak istendiği varsayılsın. Analiz için bir

ay vadeli tarihsel ve öngörülen volatilite, ayrıca ikisinin uzun dönem volatilite olan il-

işkileri kullanabilir. Pozisyon açılması düşünülen güne dair yapılan analiz şekil 10’da

gösterilmiştir. Volatilite dört aydır düşen bir trend içerisinde ve trend stabil hale

gelmiştir. Hem öngörülen hem tarihsel volatilite birbirine çok yakın ve uzun dönem

ortalamanın altında fiyatlanmıştır. Daha önceki dönemler incelendiğinde volatilite

düşüş trendlerinin yaklaşık dört ay sürdüğü tespit edilmiştir. Tarihsel volatilitenin

ortalamanın altında kaldığı dönemlerde, tarihsel volatilitede herhangi bir hareket

olmamasına rağmen öngörülen volatilite zaman zaman uzun dönemli ortalamaya

doğru hareket etmiştir. Özetle söylenecek olursak volatilite artışı beklediği için açı-

lacak pozisyon uzun vega uzun gama5 olmalıdır. Volatilite oldukça düşük olduğu

ve uzunca bir süredir düşük seyrettiği için opsiyon satarak riskli bir pozisyon alın-

ması uygun görülmemiştir6. Volatilite görece düşük olduğu için uzun strangle7 veya

straddle8 pozisyonları geçmişe nazaran daha az maliyetli olacaktır. Bu stratejilere

geçmişe nazaran daha az prim ödenip daha fazla kar elde etme olasılığı ortaya çıkmış-

tır. USDTL volatilite konisi şekil 3’de gösterilmişti. 30 günlük volatilite %10 ihtimal

ile %7.5 altında olabilir, halihazırda %11. Volatilitenin daha fazla düşmesi beklenme-

mektedir. Pozisyon uzun vega kısa gama olarak da açılabilirdi: Bu durumda uzun

5Vega, opsiyon fiyatının volatilite değişimine olan hassaslığıdır. Gama ise dayanak varlık fiyat-ındaki değişimlerin opsiyon Delta’sına etkisini ölçer.

6Opsiyon riskleri ile ilgili olarak bkz. Sebastien BOSSU and Philippe HENROT. Finance andDerivaties Theory and Practice. John Wiley and Sons Ltd., West Sussex, England, 2006 s.125-136

7Strangle, eşit büyüklükte ve farklı kullanım fiyatlı alım ve satım opsiyonlarının aynı anda biraraya getirilmesi ile oluşturulur.

8Straddle, eşit büyüklükte ve aynı kullanım fiyatlı alım ve satım opsiyonlarının aynı anda biraraya getirilmesi ile oluşturulur.


0,00%

5,00%

10,00%

15,00%

20,00%

25,00%

30,00%

35,00%

10.10.2006

18.01.2007

28.04.2007

06.08.2007

14.11.2007

22.02.2008

01.06.2008

09.09.2008

18.12.2008

Öngörülen Volatilite Tarihsel Volatilite

Vade

Uzun Dönem Volatilite Ortalaması

Şekil 10: USDTL 1 Ay Volatilite 23.11.06 - 25.08.08Kaynak: Bloomberg

vadeli opsiyon alıp kısa vadeli opsiyon satılması gerekecekti. Uzun zaman yayılma

stratejisi, volatilite artışından olumlu etkilenir9.

Ağustos 2007’de tarihsel volatilite ve öngörülen volatilite arasındaki fark iyice

açılmış ve tarihsel volatilite oldukça yüksek seyretmiştir. Bu durumda volatilite sat-

mak uygun bir taktik olarak değerlendirilebilirdi. Kullanılabilecek stratejilerden bir

tanesi kısa zaman yayılma olabilirdi. USDTL volatilite ilişkisi daha önce tartışılm-

ıştı: Volatilite düştükçe TL değer kazanıyor, aksi halde değer yitiriyor. TL-Volatilite

ilişkisi bu şekilde tespit edildikten sonra volatilite düşüşü bekleniyorsa 1x2 satım

geri yayılma10 pozisyonu açılabilir, volatilite yükselişi beklentisinde ise 1X2 alım

geri yayılma stratejisi uygulanabilir.

9Opsiyon stratejileri için www.optiontradingtips.com sitesi incelenebilir.101X2 geri yayılma stratejileri satılan opsiyonlardan fazla opsiyon alınması ile oluşturulur

www.optiontradingtips.com

2 Volatilite Hesaplama Yöntemleri 12

2 Volatilite Hesaplama Yontemleri

2.1 Tarihsel Volatilite

Önceki kısımlarda tarihsel volatilite, pratik tahmin yöntemleri, volatilite konisi, ön-

görülen volatilite konuları ele alınmıştı. Bu kısımda, tarihsel volatilite tahmini için

matematiksel altyapıyı açıklamaya çalışacağız. Tarihsel volatiliteyi tahmin etmek

için kullanılacak varsayımlar:

1. Objektif P ölçütünde (objective P measure) Standart Black Scholes geometrik

brown hareketi varsayımı11:

dS(t) = S(t)µdt + σS(t)dW

2. Hisse fiyatı S, n+1 sayıda birbirine eşit uzaklıkta gözlemden oluşur. ∆t gözlem

aralığının uzunluğudur ve ti − ti−1 ifadesine eşittir.

3. S lognormal dağılım kurallarına uygun hareket eder.

ξ1, . . . , ξn getiri serisi tanımlansın:

ξi = ln

(

S(ti)

S(ti−1)

)

ξ1, . . . , ξn, bağımsız normal olarak dağılan rassal değişkenlerdir 1. ve 2. momentleri:

E[ξi] = (µ − 1

2σ2)∆t

V ar[ξi] = σ2∆t

İstatistik teorisine göre volatilite (σ) tahmini gözlem volatilitesi (Sξ) kullanılarak

yapılabilir:12

σ∗ =Sξ

∆t

11Salih N. NEFTÇİ. An Introduction to the Mathematics of Financial Derivatives. AcademicPress, California, USA, second edition, 2000 s.272

12Thomas BJÖRK. Arbitrage Theory in Continuous Time. Oxford University Press, Oxford,Newyork, second edition, 2004 s.105

2.2 Üstel Ağırlıklı Volatilite 13

Gözlem varyansı:

S2

ξ =1

n − 1

n∑

i=1

(

ξi − ξ)2

, (1)

ξ =1

n

n∑

i=1

ξi

Volatilite tahmini standart sapmasının (D) yaklaşık ifadesi:

D(σ∗) ≈ σ∗

√2n

Gözlem sayısı arttıkça gözlem varyansı asıl varyansa; volatilite tahmini standart

sapması ise sıfıra yaklaşmaktadır. Denklem 1 genelde basitleştirmeye tabi tutularak

değiştirilir:

1. ξ sıfır kabul edilir.

2. n−1 n ile değiştirilir. Bu bizi tarafsız varyans tahmini konumundan en yüksek

logaritmik olasılık varyans tahminine konumuna taşır.

Basitleştirmelerden sonra varyans:

S2

ξ =1

n

n∑

i=1

ξ2

i (2)

2.2 Ustel Agırlıklı Volatilite

Tarihsel volatiliteyi tahmin etmeye çalışırken denklem 1 ve denklem 2’de geçmiş ve-

riler eşit ağırlıklı olarak kullanılmıştır. Geçmiş tarihli verilere üstel olarak daha az

ağırlık verip, volatilite tahminimizin yakın verileri ağırlıklı olarak kullanması sağla-

nabilir. Bu yönteme ‘Üstel Ağırlıklı Hareketli Ortalama’ ismi verilir13. λ üstel ağır-

lıklandırma katsayısı olmak üzere volatilite tahmini için oldukça basit olan ÜAHO

formülü:

σ2

n = λσ2

n−1 + (1 − λ)ξ2

n−1 (3)

13Philippe JORION. Value At Risk. McGraw-Hill, New York, third edition, 2007 s. 230


Bugünkü volatilite bir gün önceki volatilite ve bir gün önceki fiyat değişiminin karesi

kullanılarak tahmin edilmiştir. Fonksiyonun üstel olarak nasıl değiştiğini anlamak

için 3 numaralı denkleme σ2n−1 formülasyonunu eklensin:

σ2

n = λ[λσ2

n−2 + (−λ)ξ2

n−2] + (1 − λ)ξ2

n−1

σ2

n = (1 − λ)(ξ2

n−1 + ξ2

n−2) + λ2σ2

n−2

Üçüncü, dördüncü . . . varyansları denkleme ekledikçe denklem aşağıdaki genel hale

ulaşır:

σ2

n = (1 − λ)m

∑

i=1

λi−1ξ2

n−i + λmσ2

n−m (4)

m büyüdükçe λmσ2n−m terimi gözardı edilebilecek kadar küçülür ve ξi, günlük

getirilere verilen ağırlıklar zamanda geriye gittikçe üstel olarak λ nisbetinde azalır.

λ küçüldükçe ,ξi, getirilere verilen ağırlık artar, büyüdükçe azalır. λ düşük ve göz-

lemlenen volatilite yüksek ise, tahmin edilen volatilite de yüksek olacaktır. Yüksek

λ değerleri ise volatilite tahminlerinin yeni bilgiye daha yavaş adapte olmasına yol

açar14.

JP Morgan bankası tarafından geliştirilen RiskMetrics veritabanında λ 0,94 ola-

rak kullanılmaktadır. JP Morgan bankasına göre bu değer gerçekleşen volatiliteye

en yakın tahminlerin hesaplanmasını sağlamaktadır. Excel VBA kullanarak lambda

değerini kullanıcının girdiği ve logaritmik getiri serisini kullanarak üstel ağırlıklı

hareketli ortalama volatilite hesaplayan kod:

Function UAHOvol( g e t i r i , lambda As Double , Islemgunu ) As Double

Dim n As Integer , i As In t eg e r

Dim sum As Double

sum = 0

n = Appl i ca t ion . Count ( g e t i r i )

For i = 1 To n

sum = sum + (1 − lambda ) ∗ ( lambda ^ ( i − 1) ) ∗ (

g e t i r i (n − i + 1) ^ 2)

14John C. HULL. Options, Futures and Other Derivatives. Prentice Hall, Saddle River, NewJersey, USA, fifth edition, 2003 s. 375


Next i

UAHOvol = sum ^ 0 .5 ∗ Islemgunu ^ 0 .5

I f lambda >= 1 Then UAHOvol = −1

End Function

Fonksiyon, hesaplanan volatiliteyi bir yıldaki işlem günü sayısını kullanarak yıllığa

çevirir. İMKB 30 endeksi ÜAHO volatilitesi şekil 11’de gösterilmiştir.

0,00%

20,00%

40,00%

60,00%

80,00%

100,00%

120,00%

140,00%

24.07.98

06.12.99

19.04.01

01.09.02

14.01.04

28.05.05

10.10.06

22.02.08

06.07.09

18.11.10

Şekil 11: İMKB 30 ÜAHO Volatilite λ = 0, 94 25.01.99 - 6.02.09Kaynak: Yazarın Hesaplamaları

Şekil 12’de İMKB 30 endeksi fiyatları ve volatiliteyi aynı grafikte farklı eksen-

lerde gösterilmiştir. İMKB 30 endeksi için uzun dönemli ÜAHO volatilite %42 olarak

hesaplanmış (tüm volatilitelerin ortalaması) ve grafikte yatay düz çizgi ile gösterilm-

iştir. Volatilite ve fiyatlar arasındaki ters yönlü ilişki grafikte açıkça görülmektedir:

Fiyatlar düştükçe volatilite yükselmiş, fiyatlar yükseliş trendine girdiğinde ise vola-

tilite düşmüş ve uzun süre stabil olarak kalmıştır.

2.3 Garch (1,1) 16

0,00%

20,00%

40,00%

60,00%

80,00%

100,00%

120,00%

140,00%

24.07.98

06.12.99

19.04.01

01.09.02

14.01.04

28.05.05

10.10.06

22.02.08

06.07.09

18.11.10

Vo

lati

lite

0,00

10.000,00

20.000,00

30.000,00

40.000,00

50.000,00

60.000,00

70.000,00

80.000,00

U03

0

UZUN DÖNEMLİ ORTALAMA

Şekil 12: İMKB 30 / ÜAHO Volatilite λ = 0, 94: 25.01.99 - 6.02.09Kaynak: Bloomberg, Yazarın Hesaplamaları

2.3 Garch (1,1)

Önceki kısımlarda volatilitenin uzun dönemli ortalamasından ve volatilitenin orta-

lama değere doğru yönelmesinden bahsedilmişti. 2 numaralı denklemde volatilite eşit

ağırlıklı olarak hesaplanmıştı. Tüm veri ağırlıklı olarak hesaplamalara dahil edilmek

istenmeyebilir. Hesaplama yapılacak tarihten 1, 2,3. . . yıl önceki verilerin bugüne

olan etkisinin az olması çoğu zaman daha mantıklı olabilir. Geçmiş veri setine daha

az önem verip yakın veri setini hesaplamalara daha etkin olarak dahil edebilmek için

ağırlıklandırma yapılması gerekir. Bunu yapabilecek bir model:

σ2

n =m

∑

i=1

αiξ2

n−1 (5)

2.3 Garch (1,1) 17

Ağırlık katsayısı α, pozitiftir. Katsayıyı i > j iken αi < αj olarak seçilirse, geçmiş

veriye daha az önem verilmiş olur. Ağırlıklar toplamı 1 olmalıdır:

m∑

i=1

αi = 1

Volatilite ile ilgili olarak sürekli uzun dönemli ortalamasından ve volatilitenin uzun

dönemli ortalamaya doğru hareket etmesinden bahsedildi. Denklem 5 uzun dönemli

ortalamayı içerecek şekilde genişletilebilir:

σ2

n = γVL +m

∑

i=1

αiξ2

n−1 (6)

VL, uzun dönemli varyans ve γ uzun dönemli varyansa atanan ağırlık olarak kullan-

ılmıştır. Ağırlıklar toplamı 1’e eşit olmalıdır:

γ +m

∑

i=1

αi = 1 (7)

Bahsedilen model ARCH(m) modeli olarak bilinir ve Engle tarafından finans dünyas-

ına tanıtılmıştır15. Varyans tahmini, uzun dönemli ortalama ve m sayıda gözleme da-

yanarak hesaplanır. Geçmişteki verilere daha az önem verilir. Denklem 6 γVL = ω

olarak tanımlanıp yeniden düzenlenebilir:

σ2

n = ω +m

∑

i=1

αiξ2

n−1 (8)

ARCH(m) modelinin finans dünyasında önemli ölçüde kabul görmesinden sonra daha

genel bir model oluşturulabilmesi için çalışmalar yapılmaya başlanmıştır. GARCH(1,1)

modeli Bollerslev tarafından 1986 yılında finans dünyasına tanıtılmıştır16. Modelde

varyans, uzun dönemli varyans, önceki dönem varyans tahminleri ve önceki dönem

15Model hakkında detaylı bilgi için bkz. R. ENGLE. Autoregressive Conditional Heteroscedasti-city with Estimates of the Variance of UK Inflation. Econometrica, 50:987-1008, 1982

16Model hakkında detaylı bilgi için bkz. T. BOLLERSLEV Generalized Autoregressive Conditi-onal Heteroscedasticity. Journal Of Econometrics, 31:307-327, 1986

2.3 Garch (1,1) 18

getirilerinin kareleri kullanılarak hesaplanmaktadır. GARCH(1,1) denklemi:

σ2

n = γVL + αξ2

n−1 + βσ2

n−1

Ağırlıklar toplamı 1 olmalı:

γ + α + β = 1

Daha önce yapıldığı gibi γVL = ω olarak tanımlanıp denklem yeniden yazılırsa:

σ2

n = ω + αξ2

n−1 + βσ2

n−1 (9)

Modeldeki (1,1) ifadesi en yakın varyans ve getiri karesinin kullanıldığını anlatır.

Daha genel GARCH(p,q) modeli, p dönemi getiri karelerini ve q dönemi varyansını

kullanarak hesap yapar. ÜAHO volatilite, GARCH(1,1) modelinin özel bir halidir:

γ = 0, α = 1 − λ, β = λ

Modelde β azalma oranı olarak adlandırılır: β = 0, 8 ise, bir önceki dönemin önemi

%80,iki önceki dönemin önemi %64 . . . GARCH modelinin stabil olması için α+β < 1

olmalıdır, aksi takdirde uzun dönemli ortalamaya negatif ağırlık verilir ve model

ortalamaya yöneleceği yerde ortalamadan uzaklaşır17.

2.3.1 Garch(1,1) Degiskenlerin Tahmini

Ortalaması sıfır, normal dağılıma tabi bir veri setinde, m sayıda gözlem kullanarak X

değişkeninin varyansı nasıl tahmin edilebilir? Gözlemler ξ1, ξ2, ξ3 . . . ξm iken varyans

ise v olarak tanımlansın. ξi gerçekleşme olasılığı, X = ξi olduğunda X değişkeninin

olasılık yoğunluk fonksiyonudur:

1√2πv

exp

(

−ξ2i

2v

)

17HULL (2003) s. 380

2.3 Garch (1,1) 19

m gözlemin gözlemlendiği sırada gerçekleşme olasılığı:

m∏

i=1

[

1√2πv

exp

(

−ξ2i

2v

)]

(10)

En yüksek gerçekleşebilir olasılık (maximum likelihood estimation) yönteminde en

iyi v tahmini 10 numaralı denklemi en yüksek değere ulaştıracak sayıdır18. Bir ifade-

nin en yüksek değerini bulmak ile ifadenin logaritmasının en yüksek değerini bulmak

aynı şeydir. 10 numaralı denklemin logaritması alınsın:

m∑

i=1

(

−1

2ln(2πv) − ξ2

i

2v

)

Denklemdeki sabitlerin maksimizasyon ile ilgisi yok, sabitlerden arındırılırsa:

m∑

i=1

(

−ln(v) − ξ2i

v

)

(11)

Garch(1,1) değişkenlerini bulmak için en yüksek gerçekleşebilir olasılık yöntemi kul-

lanılacaktır. vi, i gününde gözlemlenen varyans değeridir. Ayrıca, ξi değişkeninin

varyansa bağlı olarak normal dağılıma uygun olduğunu varsayılacaktır. Değişken

tahmini fonksiyonu 10 numaralı denklem ile hemen hemen aynı, sadece v vi ile de-

ğiştirilmiştir:

m∏

i=1

[

1√2πvi

exp

(

−ξ2i

2vi

)]

Logaritma aldığımızda

m∑

i=1

(

−ln(vi) −ξ2i

vi

)

(12)

12 numaralı denklem, iteratif yöntemler kullanarak çözülebilir. Tablo 4’de İMKB 30

endeksi 25 Ocak 1999 -6 Şubat 2009 tarihleri arasındaki kapanış fiyatlarını kullana-

18HULL (2003) s. 378-379

2.3 Garch (1,1) 20

Tablo 4: GARCH(1,1) Değişken Tahmini

Tarih XU030 ξi ξ2i vi = σ2 −ln(vi) − ξ2

i /vi

25.01.99 2903,5226.01.99 2941,54 0,01301 0,00017 0,00081 6,9072727.01.99 3091,55 0,04974 0,00247 0,00075 3,9107728.01.99 3044,62 -0,0153 0,00023 0,00092 6,737829.01.99 3109,17 0,02098 0,00044 0,00086 6,54901.02.99 3237,69 0,0405 0,00164 0,00082 5,1045202.02.99 3196,23 -0,01289 0,00017 0,0009 6,829803.02.99 3256,2 0,01859 0,00035 0,00083 6,67659

......

......

......

27.01.09 33186,78 -0,01009 0,0001 0,00077 7,0368628.01.09 34518,77 0,03935 0,00155 0,00071 5,0697429.01.09 33777,56 -0,02171 0,00047 0,00079 6,5458330.01.09 33503,02 -0,00816 0,00007 0,00077 7,0885302.02.09 32607,74 -0,02709 0,00073 0,0007 6,2165403.02.09 33189,63 0,01769 0,00031 0,00071 6,8102804.02.09 33867,34 0,02021 0,00041 0,00068 6,6951405.02.09 33344,3 -0,01556 0,00024 0,00065 6,9615506.02.09 34559,52 0,0358 0,00128 0,00062 5,31898

*En Yüksek Olasılık Tahmini 15854,902

rak GARCH(1,1) değişkenlerini modellenmiştir. Modelde, EYOT en yüksek değerin

bulunmasını sağlayacak vi değeri Excel çözücü (solver) eklentisi kullanılarak hesap-

lanmıştır19. Hesaplanan diğer değişkenler ω = 0, 00001065, α = 0, 0937, β = 0, 8963

Uzun dönemli varyans:

VL =ω

1 − α − β=

0, 00001065

1 − 0, 0937 − 0, 8963= 0, 0326388

Uzun dönemli varyans için bulunan değerin karekökü√

252 ile çarpılarak yıllık vo-

latilite ifade edilebilir. Piyasada volatilite genellikle yıllık ve yüzde cinsinden ifade

edilir. Örnekte yıllık uzun dönemli volatilite %51,81 olarak hesaplanmıştır. ÜAHO

19Excel, çözücü eklentisi en yüksek olasılık tahmin yönteminde global en yüksek olasılıktan ziyadelokal en yüksek olasılık hesaplar.

2.3 Garch (1,1) 21

volatilitenin GARCH(1,1) modelinin özel bir hali olduğu daha önce söylenmişti:

ω = 0, α = 1 − λ, β = λ

En yüksek gerçekleşebilir olasılık yöntemlerini kullanarak λ katsayını hesaplanabi-

lir. Örnekte λ katsayını 0,9367 olarak hesaplanmıştır. RiskMetrics ölçütüne oldukça

yakın. Şekil 13’de İMKB 30 endeksi ve GARCH(1,1) volatilite yıllığa çevrilmiş ola-

rak ve ayrı eksenlerde gösterilmiştir. Volatilite ve fiyatlar arasındaki ters yönlü ilişki

açıkça görülmektedir: Özellikle endeksin 2003 yılından itibaren yukarı yönlü trend-

ine başlaması ile birlikte, volatilite uzun dönemli ortalamasının çoğu zaman altında

ve oldukça stabil olarak gerçekleşmiştir.

0%

25%

50%

75%

100%

125%

150%

24.07.1998

06.12.1999

19.04.2001

01.09.2002

14.01.2004

28.05.2005

10.10.2006

22.02.2008

06.07.2009

Vo

lati

lite

0

15.000

30.000

45.000

60.000

75.000

90.000

İMK

B 3

0

GARCH_V XU030

Şekil 13: İMKB 30 / GARCH(1,1) Volatilite: 25.01.99 - 6.02.09Kaynak: Bloomberg, Yazarın Hesaplamaları

GARCH(p,q) modelleri, kullanılan veri setine göre oldukça değişik sonuçlar ürete-

bilir. 1 Ocak 2003 - 6 Şubat 2009 kapanışlarını kullanarak gerçekleştirilen hesaplama-

lar ve 1999-2009 yılları verileri kullanılarak oluşturulan model değişkenleri farkları

tablo 5’de verilmiştir. 2003 Ocak ayından itibaren hesaplanan değişkenlerle oluştu-

rulan grafik ise şekil 14’de gösterilmiştir. 1999 başlangıç ve 2003 başlangıç tarihli

veri ile yapılan modelleme sonuçlarının oldukça farklı olduğu söylenebilir. Hesapla-

2.3 Garch (1,1) 22

malarda kullanılacak veri setini ne kadar geriye götürmek gerektiği konusunda her-

hangi bir kural bulunmamaktadır. Piyasada genel olarak volatilite trendlerine göre

karar verilmesi eğilimi vardır. Örneğe geri dönecek olursak, İMKB 30 için trend 2003

öncesi ve sonrasında değişiktir. Bazı profesyoneller tüm veri setini hesaba katarken

bazı profesyoneller trendlere dikkat ederler. Hangi yöntemin doğru olduğu ise piyasa

koşullarında ortaya çıkar. Genel olarak konulmuş bir kural olmasa da GARCH(1,1)

modellemesinde en azından dört yıllık veri kullanılması daha sağlıklı sonuçların elde

edilmesine yardımcı olur. Modeli kullanırken buna özellikle dikkat etmek gerekir.

Tablo 5: GARCH(1,1) 1999-2009 ve 2003-2009: Değişkenlerin Karşılaştırılması

1999-09 2003-09

Uzun DönemVaryans 0,001065288 0,000532640

Volatilite 0,5181 0,3663

GARCH Değişkenleri

ω 0,00001065 0,00001350α 0,09368 0,0863981β 0,89632 0,88826

α + β 0,990006 0,97465872925EYOT 15854,90 10298,56

2.3.2 Modelin Gecerliligi

GARCH modelinin temelinde, volatilitenin zamanla değişeceği varsayımı bulunur.

Grafiklerde de gösterildiği gibi, volatilite bazı dönemlerde yüksek, bazı dönemlerde

düşük olarak gerçekleşmiştir. Volatilitenin yukarı ya da aşağı trend yaptığı dönem-

ler mevcuttur. ξ2i değerleri, kendinden önce gelen değerlerden etkilenir ve kendinden

sonra oluşan değerleri de etkiler. Bu olguyu incelemek için ξ2i otokorelasyon değer-

lerinin gözönüne alınması gerekir. Otokorelasyon herhangi bir seri ,xi, için k gün

olarak kabul edilirse xi ve xi+k arasındaki korelasyondur20. Tablo 6 ikinci sütunda

20Thomas MIKOSCH. Elementary Stochastic Calculus with Finance in View. World ScientificPublishing Co. Pte. Ltd., Singapore, seventh edition, 2008 s. 22

2.3 Garch (1,1) 23

0%

25%

50%

75%

100%

01.09.2002

14.01.2004

28.05.2005

10.10.2006

22.02.2008

06.07.2009

Vo

lati

lite

0

15.000

30.000

45.000

60.000

75.000

90.000

İMK

B 3

0

GARCH_V XU030

i

Şekil 14: İMKB 30 / GARCH(1,1) Volatilite: 1.01.03 - 6.02.09Kaynak: Bloomberg, Yazarın Hesaplamaları

ξ2i otokorelasyon değerleri hesaplanmıştır. Üçüncü sütunda Ljung-Box istatistiği he-

saplanmıştır. Ljung-Box istatistiği21:

m

K∑

k=1

wkη2

η, k gün için otokorelasyon değeridir ve

wk =m − 2

m − k

Ljung-Box istatistiği, otokorelasyonu tespit etmek amacı ile istenen anlam seviyesi

ile hesaplanan ve k serbestlik derecesindeki ki-kare kritik P değeri ile karşılaştırılır22.

Tablo 6 beşinci sütunda kritik P değeri hesaplanmıştır. ‘H0 :Otokorelasyon yok-

tur’ hipotezini kabul etmek için Ljung-Box istatistiğinin kritik P değerinden küçük

21Ljung Box istatistiği, bir grup zaman serisi otokorelasyonlarının sıfırdan farklılığını test eder.Ljung-Box herbir gecikme aralığı (lag) için rassallığı araştırmak yerine verilen gecikme aralığı içingenel rassallığı ölçer ve bu yüzden portmanto testi olarak da sınıflandırılır.

22İstatistiksel sınama testleri için bkz. John E. FREUND. Matematiksel İstatistik. 6. BaskıLiteratür Yayıncılık, İstanbul, 2001 s. 421-453

2.3 Garch (1,1) 24

olması gerekir. Tablonun birinci bölümünde ξ2i değerleri için, %1 anlam seviyesinde

otokorelasyon olduğu tespit edilmiştir. GARCH modelinin otokorelasyonu giderip

gidermediğinin anlaşılması için tablonun ikinci bölümünde aynı analizler ξ2i /vi serisi

kullanılarak gerçekleştirilmiştir. GARCH(1,1), örnek veri setini açıklamakta başarı-

lıdır: Otokorelasyon yoktur hipotezi %1 anlam seviyesinde red edilmiştir.

Tablo 6: GARCH(1,1) Otokorelasyon Testi

H0:Otokorelasyon yok, anlam seviyesi:%1

Gün Otokorelasyon LjungBox Ki-Kare P Kritik P H0

ξ2

1 0,2725 185,772 0,00% 6,635 Red2 0,2646 360,920 0,00% 9,210 Red3 0,1498 417,076 0,00% 11,345 Red

5 0,1173 475,537 0,00% 15,086 Red10 0,1175 576,497 0,00% 23,209 Red15 0,0655 652,923 0,00% 30,578 Red30 0,0408 788,057 0,00% 50,892 Red

ξ2/v1 0,0190 0,899 34,30% 6,635 Kabul2 0,0314 3,370 18,55% 9,210 Kabul3 0,0053 3,440 32,87% 11,345 Kabul

5 0,0155 4,209 51,97% 15,086 Kabul10 0,0262 9,968 44,33% 23,209 Kabul15 -0,0288 12,574 63,52% 30,578 Kabul30 -0,0269 22,609 83,10% 50,892 Kabul

2.3.3 GARCH(1,1) Gelecekteki Volatilitenin Tahmini

n − 1 gününde n günü varyansını tahmin etmek için 9 numaralı denklemden yarar-

lanılmıştı. Denklem γ = 1 − α − β eşitliği kullanılarak yeniden yazılabilir:

σ2

n = (1 − α − β)VL + αξ2

n−1 + βσ2

n−1

σ2

n − VL = α(ξ2

n−1 − VL) + β(σ2

n−1 − VL)

2.3 Garch (1,1) 25

Beklenen değer operatörü ile yeniden ifade edilsin:

E(σ2

n − VL) = E(α(ξ2

n−1 − VL)) + E(β(σ2

n−1 − VL))

Uzun dönemde (n+k) E(ξ2n+k) = σ2

n ve E(σ2n+k−1

) = σ2n olacağı bilinmektedir. Denk-

36,00%

38,00%

40,00%

42,00%

44,00%

46,00%

48,00%

50,00%

52,00%

54,00%

0 50 100

150

200

250

300

350

Takvim Günü

Volat

ilite

Tahm

ini

Garch(1,1) UzunDönem Volatilite

Şekil 15: GARCH(1,1) Volatilite Tahmini 25.01.99 - 6.02.09:σ2 = 0, 00062529, ω = 0, 00001016, α = 0, 0895, β = 0, 9008Kaynak: Yazarın Hesaplamaları

lemin sağ tarafı beklenti operatöründen arındırılıp n + k için yeniden yazılsın:

E(σ2

n+k − VL) = (α + β)(σ2

n − VL)

E(σ2

n+k) = VL + (α + β)(σ2

n − VL)

n günü varyansı tahmin edildikten sonra gelecek günler varyansları tahmin edilsin:

n + 1,

E(σ2

n+1) = VL + (α + β)(σ2

n − VL)

n + 2,

E(σ2

n+2) = VL + (α + β)(σ2

n+1 − VL)

n + 3,

E(σ2

n+3) = VL + (α + β)(σ2

n+2 − VL)

2.3 Garch (1,1) 26

n+1 için bulunan ifade n+2 tahminine, n+2 tahmini n+3 tahminine . . . yerleştirilip

k kadar tekrar edilirse genel bir formüle ulaşılabilir:

E(σ2

n+k) = VL + (α + β)k(σ2

n − VL) (13)

GARCH modelinin stabil olabilmesi için α + β < 1 olması gerekir. Tahmin

yaparken kullanılan (α + β)k ifadesi, model stabil olduğunda yapılan tahminleri

uzun dönemli ortalamaya yaklaştırır. 13 numaralı denklemde üstel ifade 1’den küçük

olduğu için, ikinci parçanın değeri, zaman ilerledikçe (k arttıkça) azalır. Model stabil

değilse tahminler uzun dönemli ortalama varyanstan uzaklaşır23.

36,00%

41,00%

46,00%

51,00%

56,00%

61,00%

66,00%

71,00%

76,00%

0 50 100

150

200

250

300

350

Takvim Günü

Volat

ilite

Tahm

ini



Şekil 15’de, 25.01.99 - 6.02.09 İMKB 30 Endeks kapanışları ile elde edilen de-

ğişkenleri kullanarak gerçekleştirilen tahminler gösterilmiştir. Model, önümüzdeki

günlerde (6 Şubat 2009 sonrası) volatilitenin artacağını tahmin etmiştir. Şekil 17’de

tahminde kullanılan veri seti 2003 yılından başlamaktadır. 25 Kasım 2008 tarihinde

2003 yılını başlangıç alarak yapılan tahminin sonuçları şekil 16’da gösterilmiştir: Mo-

del volatilitenin düşeceğini tahmin etmiştir. 6 Şubat 2009 tarihinde 2003 başlangıç

tarihli veride GARCH volatilite %37,3 seviyesine gerilemiştir.

23HULL (2003) s. 383

2.3 Garch (1,1) 27

36,00%

36,20%

36,40%

36,60%

36,80%

37,00%

37,20%

37,40%

37,60%

0 50 100

150

200

250

300

350

Takvim Günü

Volat

ilite

Tahm

ini



1999 ve 2003 yılını başlangıç alan ve Şubat 2009 son tarihli verilerin kullanıldığı

tahminlerin sonuçları bir hayli farklı: 1999 başlangıçlı veri volatilite artışı tahmin

etmiş, 2003 yılını baz alan veri ile volatilitenin düşeceği tahmin edilmiştir.

3 Volatilite ve Opsiyonlar 28

3 Volatilite ve Opsiyonlar

3.1 Opsiyon Volatilite Vade Yapısı

n dönemindeki volatilite, ω, α, β değişkenlerinin kullanıldığı 13 numaralı denklemde

k dönem için genel volatilite tahmin fonksiyonu tartışılmıştı. Volatilite, zaman içinde

değişir, herhangi bir vadedeki opsiyonu fiyatlarken kullanılabiliecek volatilite GARCH(1,1)

modelinden faydalanarak hesaplanabilir. Bunun için vadeye kadar tüm günlerin vo-

latilitesinin tahmin edilip ortalamasını alınması yeterli olacaktır. N gün için opsiyon

volatilitesi formüle edilebilir:

1

N

N−1∑

k=0

E(σ2

n+k) (14)

Tablo 7: 2 Ocak 2003-25 Kasım 2008, İMKB30 Endeks Volatilite Vade Yapısı

ω 0,00001343α 0,08640113β 0,88834474

σ2n 0,002191

VL 0,000532

Gün 14 30 60 90 120 180 240 300VolatiliteOrtalama 69,35% 64,98% 58,74% 54,35% 51,21% 47,20% 44,84% 43,33%

Tahmin 65,29% 57,28% 47,34% 41,93% 39,17% 37,17% 36,73% 36,63%

Tablo 7’de 14-300 gün vadeli opsiyonlar için volatilite tahminleri gerçekleştiril-

miştir. VBA kodu kullanarak hesaplanan ortalama opsiyon volatilitesi ile 13 numa-

ralı denklemi kullanarak yapılan tahminler arasında önemli farklar ortaya çıkmıştır.

Opsiyon fiyatlarken, ortalama volatilitenin kullanılması kesinlikle daha doğrudur.

Opsiyonun vadesi uzadıkça, tahmin edilen oran uzun dönem ortalama varyansa VL

yaklaşır. Ortalama opsiyon volatilitesini hesaplamak için Excel VBA kodu:

Function OpsVol (OpsGun , VL, Alpha , Beta , Vol_n , IslemGunu ,

Optional VolArt i s As Variant )

Dim i As Integer , sum As Double , YeniVol As Double

sum = 0

3.1 Opsiyon Volatilite Vade Yapısı 29

I f I sMi s s ing ( VolArt i s ) Then

For i = 0 To OpsGun − 1

sum = sum + VL + (Alpha + Beta )^ i ∗ (Vol_n − VL)

Next i

OpsVol = ( ( sum / OpsGun) ∗ IslemGunu ) ^ 0 .5

Else

YeniVol = ( (Vol_n ∗ IslemGunu )^ 0 .5 + VolArt i s ) ^ 2 /

IslemGunu

For i = 1 To OpsGun

sum = sum + VL + (Alpha + Beta )^ i ∗ ( YeniVol − VL)

Next i

OpsVol = ( ( sum / OpsGun) ∗ IslemGunu ) ^ 0 .5

End I f

End Function

GARCH(1,1) kullanarak yapılan tahminlerin mutlaka piyasa fiyatında olacağı ga-

ranti edilemez. Piyasada, arz talep veya diğer oluşabilecek koşullara bağlı olarak

volatilite kotasyonları modelin tahmin ettiğinden farklı olarak gerçekleşebilir. Mo-

del genel olarak yönü gösterir.

Tablo 7’de ele alınan örnek için piyasada olabilecek volatilite artışlarının opsiyon

volatilitesine olan etkisi hesaplanabilir. Tablo 8’de %1 volatilite değişiminin opsi-

yon volatilitesine olan etkisi gösterilmiştir. Vade uzadıkça volatilite şoklarının etkisi

azalmıştır.

Tablo 8: 2 Ocak 2003-25 Kasım 2008, İMKB30 Endeks Volatilite Vade Yapısı %1Volatilite Değişimi Etkisi

Volatilite Yükselişi 1%

Gün 14 30 60 90 120 180 240 300Volatilite

Opsiyon Volatilitesi 69,35% 64,98% 58,74% 54,35% 51,21% 47,20% 44,84% 43,33%Artış Sonrası

Opsiyon Volatilitesi 69,61% 65,20% 58,92% 54,50% 51,34% 47,29% 44,92% 43,39%Artış Etkisi 0,25% 0,23% 0,18% 0,15% 0,13% 0,10% 0,08% 0,06%

3.2 Öngörülen Volatilite 30

3.2 Ongorulen Volatilite

Öngörülen volatilite piyasada işlem yapanların gelecekte oluşabilecek volatiliteye

dair uzlaşması olarak nitelenebilir. Öngörülen volatilite, tarihsel volatilite ile zaman

zaman farklılıklar gösterebilir. Şekil 18’de USDTL bir ay vadeli başabaş (atm)24 öng-

0

10

20

30

40

50

60

01.09.2002 14.01.2004 28.05.2005 10.10.2006 22.02.2008 06.07.2009

1 Aylık Tarihsel 1 Aylık Öngörülen

Şekil 18: USDTL 1 Ay ÖV-TV 12.12.03 - 19.12.08Kaynak: Bloomberg

örülen opsiyon volatilitesi ve tarihsel volatilite gösterilmiştir. Öngörülen volatiliteye

dair gözlemler:

1. Öngörülen Volatilite, tarihsel volatiliteye göre daha sakin hareket ediyor.

2. Öngörülen Volatilite ile tarihsel volatilite ayrı yönlerde hareket edebilir.

3. Volatilite, yükselişini tamamladığı anda düşüş trendine başlıyor, yükselişlerde

yassı hareket çok fazla yok.

4. Volatilite düşüş trendleri, yükseliş trendlerine göre daha uzun sürüyor.

24ATM = At the money, başabaş


5. Tarihsel volatilite yüksek iken opsiyon kotasyonu veren kurumlar, yüksek vo-

latilite ile opsiyon almak istemiyor olabilirler, bu yüzden öngörülen volatilite

kotasyonları tarihsel volatiliteye göre düşük fiyatlanabilir.

8 Ekim 2008 tarihinde USDTL atm opsiyon volatiliteleri Tablo 9’da gösterilmiştir.

Tablo 9: 8 Ekim 2008 USDTL Öngörülen Volatilite

1 Hafta 2 Hafta 1 Ay 2 Ay 3 Ay 4 Ay 6 Ay

40% 35% 28% 26% 24% 23% 22%

Opsiyon Uygulaması

Önümüzdeki günlerde volatilitenin yükseleceği ve volatilite yükselişinden opsiyon

kullanarak yararlanılabilecek bir strateji oluşturmak istendiği varsayılsın. Volatilite

artışından kâr edilebilecek opsiyon stratejilerinden biri uzun zaman yayılma 25

olabilir. Şekil 19 USDTL öngörülen volatilite konisi ve tablo 9 karşılaştırıldığında,

bir ay ve altı ay volatilitenin %90 persentil civarında olduğu görülmüştür. Tablo

10’da gösterilmiş olan pozisyonun açıldığını varsayalım. Pozisyonun başlangıç greek

Tablo 10: Uzun Zaman Yayılma Pozisyonu

Kullanım Opsiyonİşlem Tarihi A/S Tipi Vade Fiyatı Fiyatı Nominal VKG

08 Ekim 08 S C 07 Kasım 08 1,4462 0,04051 10.000 3008 Ekim 08 A C 08 Nisan 09 1,5381 0,08090 10.000 182

ölçümleri tablo 11’de gösterilmiştir. Pozisyon negatif gama, pozitif vega olarak özet-

lenebilir. Volatilite artışının pozisyonu olumlu etkilemesi beklenmektedir. Piyasada

volatilite ile USDTL kuru arasında gözlemlenmiş bir olgu var: Kur yükseliş trendine

girdiğinde genelde volatilite de yükselmektedir.

Pozisyon açıldığı andaki kâr zarar beklentisi şekil 21a’da gösterilmiştir. Bu grafiğe

bakıldığında pozisyon almak konusunda tereddüt yaşanabilir, neredeyse hiçbir spot

25Uzun vadeli opsiyon alım + Kısa vadeli opsiyon satım. Zaman yayılma stratejileri detaylı analiziçin bkz. NATENBERG (1994) s. 148-154


0

5

10

15

20

25

30


10,00% 25,00% 50,00% 75,00% 90,00%

Şekil 19: USDTL Öngörülen Volatilite Konisi 13.10.06 - 8.10.08Kaynak: Yazarın Hesaplamaları

Tablo 11: Uzun Zaman Yayılma Pozisyonu Greek Ölçümleri

Try Rate Fx Rate Vol Delta Gamma Vega Theta

15,00% 2,00% 26,00% 49,97% 3,7444 0,0016 - 0,000915,00% 2,00% 22,00% 49,99% 1,7816 0,0040 - 0,0005

Toplam 2 -19.628 23,50 5

seviyesinde portföyün kar etmesi olanaklı değilmiş gibi görünüyor. Şekil 21b’de ise

spot artış azalışları volatilite ile beraber modellenmiştir:

Kur düştükçe volatilite düşürülmüş, kur yükseldikçe volatilite yükseltilmiştir.

Kur 1,00 ve 2,00 aralığında, volatilite %10 ve %80 aralığında modellenmiştir. Graf-

ikte görüldüğü üzere kur ve volatilite birlikte artarsa pozisyon kara geçebilir. Pozis-

yon açıldıktan sonra piyasada kote edilen öngörülen volatilite verilerini içeren grafik

Şekil 20’de gösterilmiştir. Grafikte gri olarak işşaretlenen bölge USDTL için gele-

neksel volatilite kanalı olarak nitelenebilir. Finansal piyasalardaki bozulma Lehman

Brothers firmasının 2008 Ekim ayında batmasından hemen sonra başlamıştı. Bu

olayın sonrasında USDTL kuru ile birlikte volatilite çok sert ve çok hızlı yükselmiş-

tir. Opsiyon portföyü 403.900 TL prim ödeyerek açılmıştı. 24 Ekim 2008 tarihinde

pozisyonun kapatılmasına karar verilmiştir. 24 Ekim 2008 tarihinde spot: 1,6895,


4,00

9,00

14,00

19,00

24,00

29,00

34,00

39,00

44,00

49,00

54,00

59,00

64,0013

.10.

06

13.1

1.06

13.1

2.06

13.1

.07

13.2

.07

13.3

.07

13.4

.07

13.5

.07

13.6

.07

13.7

.07

13.8

.07

13.9

.07

13.1

0.07

13.1

1.07

13.1

2.07

13.1

.08

13.2

.08

13.3

.08

13.4

.08

13.5

.08

13.6

.08

13.7

.08

13.8

.08

13.9

.08

13.1

0.08

13.1

1.08

13.1

2.08

ÖV


Şekil 20: USDTL Öngörülen Volatilite Ekim 2006 - Aralık 2008Kaynak: Bloomberg

-750

-500

-250

0

1,00

1,12

1,24

1,36

1,48

1,61

1,73

1,85

1,97

Spot

(a) Spot Hareketi ve Kar Zarar

-500

-250

0

250

500

750

1000

10%

18%

27%

35%

44%

52%

61%

69%

78%

Volatilite

(b) Spot/Volatilite↓↑ ve Kar Zarar

Şekil 21: USDTL Opsiyon Fiyatları: Spot ve Volatilite Etkisi

kısa ve uzun opsiyon volatiliteleri ise %40 olarak gerçekleşmiştir. Pozisyon yaklaşık

199.000 TL kar etmiştir. 7 Kasım 2008 vadeli opsiyonu itfa tarihinde spot 1,5440,

uzun opsiyon volatilitesi ise %24 olarak gerçekleşmiştir. Pozisyon kısa opsiyonunun


itfa tarihinde kapatılmış olsaydı yaklaşık 30.000 TL kar oluşacaktı.


Sonuc

Bu projede finansal piyasalar ve volatilite konusu ele alınmıştır. Volatilite konusu,

hesaplanması, uygulamaları Türkiye finansal piyasalarında çok iyi bilinmemektedir.

Özellikle volatilite hakkındaki kaynakların dağılımının fazla ve anlatım dillerinin

karmaşık olması konunun iyi anlaşılmasını engellemektedir. Bu projede anlatım dili

sadeleştirilip, piyasa örnekleri kullanılarak volatilite anlatılmaya çalışılmıştır. Ayrıca

kullanılan Excel VBA çözümleri yeri geldikçe projenin içinde gösterilmiştir.

Volatilite hesaplaması, risk yönetimi, alım satım, opsiyonlar, gelecekte oluşabi-

lecek fiyat hareketlerinin modellenmesi, Monte Carlo simülasyonları vs. gibi pekçok

alanda kullanılmaktadır. Böylesine geniş kullanım alanı olan bir kavramın Türkiye fi-

nansal piyasalarında öneminin artmasını beklememiz hayal olmaz. Özellikle VOB’da

opsiyon kontratlarının devreye girmesi ile konuyla ilgilenecek olanların ve halihazırda

kaynaklara erişim sıkıntısı çekenlerin projemizden yararlanabileceğini düşünüyoruz.


BENNINGA (2008) BJÖRK (2004) BOSSU and HENROT (2006)

JACKSON and STAUNTON (2001)

JORION (2007) JORION (2003)

NATENBERG (1994) CRACK (2007) STULZ (2003) HAUG (2007)

WILMOTT (2007) MIKOSCH (2008) NEFTÇİ (2000) ROSS (1996) HULL (2003)

FREUND (2001) BOLLERSLEV (1986) ENGLE (1982)

Kaynaklar

BENNINGA, S.: 2008, Financial Modelling, third edn, MIT Press, Cambridge, Mas-

sachusetts.

BJÖRK, T.: 2004, Arbitrage Theory in Continuous Time, second edn, Oxford Uni-

versity Press, Oxford, Newyork.

BOLLERSLEV, T.: 1986, Generalized autoregressive conditional heteroscedasticity,

Journal Of Econometrics 31, 307–327.

BOSSU, S. and HENROT, P.: 2006, Finance and Derivaties Theory and Practice,

John Wiley and Sons Ltd., West Sussex, England.

CRACK, T. F.: 2007, Heard On The Street: Quantitative Questions from Wall Street

Job Interviews, tenth edn, Lightning Source UK Ltd., United Kingdom.

ENGLE, R.: 1982, Autoregressive conditional heteroscedasticity with estimates of

the variance of uk inflation, Econometrica 50, 987–1008.

FREUND, J. E.: 2001, Matematiksel İstatistik, Literatür Yayıncılık, İstanbul.

HAUG, E. G.: 2007, The Complete Guide to Option Pricing Formulas, second edn,

McGraw-Hill, New York.

HULL, J. C.: 2003, Options, Futures and Other Derivatives, fifth edn, Prentice Hall,

Saddle River, New Jersey, USA.

JACKSON, M. and STAUNTON, M.: 2001, Advance Modelling in Finance using

Excel and VBA, John Wiley and Sons Ltd., West Sussex, England.

JORION, P.: 2003, Financial Risk Manager Handbook, second edn, John Wiley and

Sons Inc., West Sussex, England.

JORION, P.: 2007, Value At Risk, third edn, McGraw-Hill, New York.

MIKOSCH, T.: 2008, Elementary Stochastic Calculus with Finance in View, seventh

edn, Worl Scientific Publishing Co. Pte. Ltd., 5 Toh Tuck Link, Singapore.

KAYNAKLAR 37

NATENBERG, S.: 1994, Option Volatility & Pricing, McGraw-Hill, New York.

NEFTÇİ, S. N.: 2000, An Introduction to the Mathematics of Financial Derivatives,

second edn, Academic Press, San Diego, California, USA.

ROSS, S. M.: 1996, Stochastic Processes, second edn, John Wiley and Sons Inc.,

West Sussex, England.

STULZ, R. M.: 2003, Risk Management & Derivatives, Thomson South-Western,

United States of America.

WILMOTT, P.: 2007, Paul Wilmott Introduces Quantitative Finance, second edn,

John Wiley and Sons Ltd., West Sussex, England.

Dizin

ARCH Modeli, 18

EWMA, 14

Excel

Solver, 21

Gama, 32

GARCH(1,1), 18, 22

GARCH(1,1) Persistency, 19

GARCH(1,1) Volatilite Tahmini, 25

GARCH(p,q), 19, 22

Geometrik Brown Hareketi, 13

Implied Volatility, 9, 11, 31

Ljung-Box, 24

Maximum Likelihood Estimation, 20

N Gün Opsiyon Volatilitesi, 29

Opsiyon Stratejileri

Straddle, 10

Strangle, 10

RiskMetrics, 15

Tarihsel Volatilite, 13

Uzun Dönemli Varyans, 18

Vega, 32

Volatilite Konisi, 3, 6

finans piyasalarında volatilite hesaplama yöntemleri

Documents