filtros opamp

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Análisis y Síntesis de Circuitos © F.V. Fernández, S. Espejo, R. Carmona, Área de Electrónica, Dpto. de Electrónica y Electromagnetismo, ESI 2-1 Labels E: 2 TEMA 2 CONCEPTOS FUNDAMENTALES EN EL DISEÑO DE FILTROS 2.1 Filtros: concepto y especificaciones C_P.1 Un filtro eléctrico es un sistema (circuito) cuya función es modificar, deformar o manipular en general, el espectro en frecuencia de una señal de entrada (excitación) de acuerdo con unos determinados requerimientos (especificaciones) . Los filtros se emplean para atenuar o amplificar componentes de la entrada con frecuencias dentro de un determinado rango, o para rechazar o aislar componentes en frecuencias específicas. Puesto que un filtro puede considerarse un sistema de transmisión de señales con la habilidad de dejar pasar ciertas frecuencias y de rechazar ciertas otras, podemos definir las a) Banda (o bandas) pasante o banda de paso (passband ó PB) : Conjunto de frecuencias o rangos de frecuencias para las cuales el filtro deja pasar la entrada hasta la salida. Cualquier componente de la entrada cuya frecuencia pertenezca a dicho conjunto va a ser transmitida hacia la salida del filtro (no sin cierta modificación de la amplitud y de la fase). b) Banda (o bandas) de rechazo o banda rechazada (stopband ó SB): Conjunto de frecuencias o rangos de frecuencias que el filtro no deja pasar. Cualquier componente de la entrada cuya frecuencia pertenezca

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Page 1: Filtros OPAMP

Análisis y Síntesis de Circuitos

© F.V. Fernández, S. Espejo, R. Carmona, Área de Electrónica, Dpto. de Electrónica y Electromagnetismo, ESI 2-1

Labels E: 2Labels F: 2Labels L: 2Labels T: 2TEMA 2

CONCEPTOS FUNDAMENTALES EN EL DISEÑO DE FILTROS

2.1 Filtros: concepto y especificacionesC_P.1

Un filtro eléctrico es un sistema (circuito) cuya función es modificar,deformar o manipular en general, el espectro en frecuencia de una señal deentrada (excitación) de acuerdo con unos determinados requerimientos(especificaciones). Los filtros se emplean para atenuar o amplificarcomponentes de la entrada con frecuencias dentro de un determinado rango,o para rechazar o aislar componentes en frecuencias específicas. Puesto queun filtro puede considerarse un sistema de transmisión de señales con lahabilidad de dejar pasar ciertas frecuencias y de rechazar ciertas otras,podemos definir las

a) Banda (o bandas) pasante o banda de paso (passband ó PB):Conjunto de frecuencias o rangos de frecuencias para las cuales el filtrodeja pasar la entrada hasta la salida. Cualquier componente de laentrada cuya frecuencia pertenezca a dicho conjunto va a sertransmitida hacia la salida del filtro (no sin cierta modificación de laamplitud y de la fase).

b) Banda (o bandas) de rechazo o banda rechazada (stopband ó SB):Conjunto de frecuencias o rangos de frecuencias que el filtro no dejapasar. Cualquier componente de la entrada cuya frecuencia pertenezca

Page 2: Filtros OPAMP

ASC 2.2 Normalización de parámetros

© Área de Electrónica, Dpto. de Electrónica y Electromagnetismo, ESI 2-2

a dicho conjunto va a ser rechazada.c) Banda (o bandas) de transición: Conjunto de frecuencias entre labanda de paso y la banda de rechazo.

Las especificaciones del filtro consistirán entonces en:a) Bordes de las bandas de paso y de rechazo: frecuencias en las queteóricamente comienza o termina cada una de las bandas.

b) Atenuaciones en cada una de las bandas. Tendremos una atenuaciónmáxima permitida en la banda de paso y una atenuación mínimaexigida en la banda de rechazo.

c) Otras características que pueden estar relacionadas con la forma de lafunción de transferencia, su magnitud, fase, el retraso de grupo, etc.

2.2 Normalización de parámetros

Cuando se trabaja con circuitos eléctricos es usual normalizar lafrecuencia y el nivel de impedancia. La normalización no causa ningunapérdida de generalidad y se efectúa únicamente por conveniencia en elcálculo numérico, especialmente en el cálculo a mano, para evitar la tediosamanipulación de grandes potencias de 10. También minimiza el efecto delos errores de redondeo.

La normalización en frecuencia consiste simplemente en un cambio enla escala de frecuencia mediante la división de la variable de frecuencia poruna frecuencia de normalización Ωo escogida adecuadamente. Por tanto lafrecuencia normalizada es,

(2.1)

De forma análoga la normalización del nivel de impedancias se efectúadividiendo todas las impedancias del circuito por una resistencia de

snsΩo-------=

Page 3: Filtros OPAMP

CONCEPTOS FUNDAMENTALES EN EL DISEÑO DE FILTROS ASC

2-3 © Área de Electrónica, Dpto. de Electrónica y Electromagnetismo, ESI

normalización Ro. Las resistencias, inductores y condensadores setransforman como sigue,

(2.2)

y por tanto, los valores normalizados son:

(2.3)

C_P.3

2.3 Clasificación de filtros

Filtros paso de baja La función básica de un filtro paso de baja (LP) es pasar las frecuencias

bajas con muy pocas pérdidas y atenuar las altas frecuencias. La Fig. 2.1muestra un esquema típico de especificaciones de un filtro paso de baja. Elfiltro LP debe pasar las señales entre DC y la frecuencia de corte ωp, con unaatenuación máxima de Amax dB. La banda de frecuencias entre DC y ωp seconoce como banda de paso. Las frecuencias por encima de ωs deben teneral menos Amin dB de atenuación. La banda de frecuencias entre ωs y infinitose denomina banda de rechazo y ωs se denomina frecuencia límite de labanda de rechazo. La banda de frecuencias entre ωp y ωs se denomina bandade transición. Los parámetros ωp, ωs, Amin, y Amax describen completamentelas especificaciones del filtro LP.

Una función de transferencia de segundo orden que implementa unacaracterística paso de baja es:

RnRRo------= snLn

sΩo-------⎝ ⎠⎛ ⎞ΩoL

Ro------------------------= 1

snCn------------ 1

sΩo-------------- 1

ΩoCRo------------------=

RnRRo------= Ln L

ΩoRo-------= Cn CΩoRo=

Page 4: Filtros OPAMP

ASC 2.3 Clasificación de filtros

© Área de Electrónica, Dpto. de Electrónica y Electromagnetismo, ESI 2-4

(2.4)

Como se muestra en la Fig. 2.2 la atenuación a bajas frecuencias se aproximaa la unidad (0 dB) mientras que a altas frecuencias aumenta como s2, es decir40 dB/década. La función de transferencia tiene dos polos, como se muestraen la Fig. 2.2(b). La localización de los polos determina el aspecto de larespuesta del filtro en la banda de paso. Para polos de alta Q, el pico de labanda de paso ocurre a la frecuencia del polo ωp. A medida que aumenta laQ del polo, el pico será más alto y más estrecho.

Una aplicación bastante común de filtros LP es el control del tono deamplificadores de alta fidelidad.

Filtros paso de alta Un filtro paso de alta (HP) pasa las frecuencias por encima de una

frecuencia dada denominada frecuencia de corte. Tal como se muestra en laFig. 2.3 la banda de paso se extiende desde ωp a ∞ y la banda de rechazo

Figura 2.1: Especificaciones de filtro paso de baja.

Fig.3.1 Daryanani

GananciaVoVi------ b

s2 as b+ +--------------------------

ωp2

s2 ωpQp-------s ωp

2+ +----------------------------------= = =

Page 5: Filtros OPAMP

CONCEPTOS FUNDAMENTALES EN EL DISEÑO DE FILTROS ASC

2-5 © Área de Electrónica, Dpto. de Electrónica y Electromagnetismo, ESI

desde 0 hasta ωs. Los parámetros ωs, ωp, Amin y Amax caracterizancompletamente las especificaciones del filtro HP.

Una función de transferencia de segundo orden con característica pasode alta es

(2.5)

Figura 2.2: Función LP de segundo orden: (a) Atenuación; (b)Diagrama polo/cero.

Fig.3.3 Daryanani

Figura 2.3: Especificaciones de filtro paso de alta.

Fig. 3.4 Daryanani

VoVi------ s2

s2 as b+ +-------------------------- s2

s2 ωpQp-------s ωp

2+ +----------------------------------= =

Page 6: Filtros OPAMP

ASC 2.3 Clasificación de filtros

© Área de Electrónica, Dpto. de Electrónica y Electromagnetismo, ESI 2-6

La ganancia tiene un par de polos complejos y un cero doble en el origencomo se muestra en la Fig. 2.4(a). La atenuación a alta frecuencia seaproxima a la unidad mientras que a baja frecuencia aumenta a 40 dB/década, como aparece en la Fig. 2.4(b).

Filtros paso de banda Un filtro paso de banda (BP) pasa las señales en una banda de

frecuencias con atenuación muy baja mientras que rechaza las frecuencias aambos lados de esta banda, como se muestra en la Fig. 2.5. La banda de pasode ω1 a ω2 tiene una atenuación máxima de Amax dB y las dos bandas derechazo, de DC a ω3 y de ω4 a ∞, tienen una atenuación mínima de Amin dB.

Una función de transferencia de segundo orden con característica pasode banda es

(2.6)

Esta función tiene un par de polos complejos en el semiplano izquierdo del

Figura 2.4: Filtro HP de 2o orden: (a) Diagrama polo-cero (b)Atenuación.

Fig. 3.5 Daryanani

VoVi------

ωpQp-------s

s2 ωpQp-------s ωp

2+ +----------------------------------=

Page 7: Filtros OPAMP

CONCEPTOS FUNDAMENTALES EN EL DISEÑO DE FILTROS ASC

2-7 © Área de Electrónica, Dpto. de Electrónica y Electromagnetismo, ESI

plano s y un cero en el origen (Fig. 2.6(a)). A bajas frecuencias y a altasfrecuencias la atenuación aumenta como s, es decir, 20 dB/década. A lafrecuencia de polo ωp la atenuación es la unidad (Fig. 2.6(b)).

Filtros rechazo de banda Los filtros rechazo de banda (BR) se usan para rechazar una banda de

frecuencias de una señal, como se muestra en la Fig. 2.7. La banda defrecuencias a rechazar es la banda de rechazo entre ω3 y ω4. La banda depaso se extiende por debajo de ω1 y por encima de ω2.

Una función de segundo orden con característica rechazo de banda es

Figura 2.5: Especificaciones típicas de filtro paso de banda.

Fig.3.6 Daryanani

Figura 2.6: Filtro BP de segundo orden: (a) Diagrama polo-cero;(b) Atenuación.

Fig.3.7 Daryanani

Page 8: Filtros OPAMP

ASC 2.3 Clasificación de filtros

© Área de Electrónica, Dpto. de Electrónica y Electromagnetismo, ESI 2-8

(2.7)

Esta función tiene polos complejos en el semiplano izquierdo del plano s yceros complejos en el eje jω. Si ωz=ωp la frecuencia de los polos es igual quela frecuencia de los ceros (Fig. 2.8(a)). La atenuación a bajas frecuencias yaltas frecuencias se aproxima a la unidad mientras que la atenuación a lafrecuencia de cero s=jωz es infinito (Fig. 2.8(b)). Este caso se denomina"symmetrical notch".

Figura 2.7: Especificaciones de filtro rechazo de banda.

Fig.3.12 Daryanani

VoVi------

s2 ωz2+

s2 ωpQp-------s ωp

2+ +----------------------------------=

Figura 2.8: Filtro BR de segundo orden: (a) Diagrama polo-cero(b) Atenuación.

Fig.3.13 Daryanani

Page 9: Filtros OPAMP

CONCEPTOS FUNDAMENTALES EN EL DISEÑO DE FILTROS ASC

2-9 © Área de Electrónica, Dpto. de Electrónica y Electromagnetismo, ESI

Si ωz»ωp, (2.7) representa una función paso de baja con un cero en labanda de rechazo, como se muestra en la Fig. 2.9(a). En este caso laatenuación a altas frecuencias es mayor que a bajas frecuencias. Estacaracterística de filtro se denomina corte de paso de baja ("low-pass-notch").Si ωz«ωp la función obtenida se denomina corte de paso de alta ("high-pass-notch").

Ecualizadores de retrasoHasta ahora se han discutido características de ganancia de los filtros

pero no se ha prestado atención a las características de fase. Para realizar lasespecificaciones de magnitud más eficientemente (función de sistema H(s)con el menor orden posible) normalmente se ponen todos los ceros detransmisión (raíces de N(s)) en el eje jω. La función de sistema resultantetiene fase mínima. Se puede demostrar que en esta función de fase mínima,magnitud y fase no son independientes.C_P.2

Figura 2.9: (a) Low-Pass-notch; (b) High-pass notch.

Fig.3.14 Daryanani

Page 10: Filtros OPAMP

ASC 2.3 Clasificación de filtros

© Área de Electrónica, Dpto. de Electrónica y Electromagnetismo, ESI 2-10

Si el retraso ha de ser corregido se introduce un ecualizador de retrasodetrás del filtro. Los ecualizadores de retraso se usan para compensar lasdistorsiones de retraso introducidas por otros filtros u otras partes delsistema de transmisión. El propósito del ecualizador de retraso es introducirla modificación de retraso necesaria para hacer el retraso total(filtro+ecualizador) tan plano como sea posible. Además, el ecualizador defase no debe perturbar la característica de atenuación del filtro.

En situaciones en las que se especifican la magnitud y la fase, la funciónde sistema no puede ser de fase mínima, es decir, H(s) debe tener ceros enel semiplano derecho. Esta función se separa en dos componentes:

(2.8)

donde el subíndice NMP significa "non-minimum phase", MP "minimumphase" y AP "all-pass".

Esta separación se consigue añadiendo un polo y un cero a HNMP(s) enel semiplano izquierdo en las posiciones especulares de los ceros delsemiplano derecho. HAP(s) se forma incluyendo en NAP(s) los ceros delsemiplano derecho y en DAP(s) los polos que son imágenes especulares.HMP(s) (fase mínima) incluye los restantes polos y ceros.

Ejemplo1.- Expresar la siguiente función, que no es de fase mínima, como

producto de una función de fase mínima y una función pasa todo :

Solución detalladaHNMP(s) tiene tres ceros en el semiplano derecho, uno en s1=3 y

s2,3=2±j2. Aumentamos HNMP(s) con tres polos y tres ceros que sonimágenes especulares de s1, s2, y s3:

HNMP s( ) HMP s( )HAP s( )=

HNMP s( ) s2 2s 6+ +( ) s2 4s– 8+( ) s 3–( )

s2 s 4+ +( ) s2 3s 7+ +( ) s 1+( )-------------------------------------------------------------------------------=

Page 11: Filtros OPAMP

CONCEPTOS FUNDAMENTALES EN EL DISEÑO DE FILTROS ASC

2-11 © Área de Electrónica, Dpto. de Electrónica y Electromagnetismo, ESI

(2.9)

Se separa en:

(2.10)

y HNMP(s)=HMP(s)HAP(s). El precio pagado es un aumento del orden de lafunción de sistema en el número de ceros en el semiplano derecho.

Un ecualizador de retraso de segundo orden viene dado por la función

(2.11)

Los polos y ceros complejos de esta función son simétricos respecto al ejejω, tal como se muestra en la Fig. 2.10.

Para explicar la denominación "all-pass" o pasa todo consideremos queHAP(s) tiene en NAP(s) raíces en el semiplano derecho que son imágenesespeculares de las raíces de DAP(s) en el semiplano izquierdo. Por tanto,

HNMP s( ) s2 2s 6+ +( ) s2 4s– 8+( ) s 3–( ) s 3+( ) s2 4s 8+ +( )

s2 s 4+ +( ) s2 3s 7+ +( ) s 1+( ) s 3+( ) s2 4s 8+ +( )-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------=

HAP s( )NAP s( )DAP s( )------------------ s 3–( ) s2 4s– 8+( )

s 3+( ) s2 4s 8+ +( )------------------------------------------------= =

HMP s( )NMP s( )DMP s( )------------------- s 3+( ) s2 4s 8+ +( ) s2 2s 6+ +( )

s 1+( ) s2 s 4+ +( ) s2 3s 7+ +( )-------------------------------------------------------------------------------= =

VoVi------ s2 as– b+

s2 as b+ +--------------------------=

Figura 2.10: Diagrama polo-cero de un ecualizador de retraso desegundo orden.

Fig.3.18 Daryanani

Page 12: Filtros OPAMP

ASC 2.3 Clasificación de filtros

© Área de Electrónica, Dpto. de Electrónica y Electromagnetismo, ESI 2-12

(2.12)

por lo que

(2.13)

La magnitud |HAP(jω)|=1 para cualquier frecuencia ω, es decir, lasseñales pasan perfectamente bien a cualquier frecuencia. Por tanto,

(2.14)

donde

(2.15)

Una función de sistema pasa todo puede realizar una función arbitrariade la fase. Esta característica nos permite encontrar una función detransferencia H(s) eficiente, apropiada para las especificaciones demagnitud e implementar el filtro correspondiente. Si la fase o retrasoresultante no es satisfactorio se busca una función pasa todo HAP(s) quemultiplique a H(s) de forma que la fase total φ(t) o retraso total τT sea elrequerido. Los dos circuitos se conectan en cascada y las fases o retrasosindividuales se suman,

(2.16)

El filtro pasa todo en cascada únicamente puede aumentar la fase y el retrasode H(s) pero esto no es problema puesto que normalmente sólo es importantela linealidad de la fase o constancia del retraso.

NAP s( ) DAP s–( )±=

HAP s( )DAP s–( )

DAP s( )---------------------±=

HAP ejφAP ω( )

=

φAP ω( ) 2DApi ω( )DAPr ω( )----------------------atan–=

φT ω( ) φ ω( ) φAP ω( )+=

τT ω( ) τ ω( ) τAP ω( )+=

Page 13: Filtros OPAMP

CONCEPTOS FUNDAMENTALES EN EL DISEÑO DE FILTROS ASC

2-13 © Área de Electrónica, Dpto. de Electrónica y Electromagnetismo, ESI

2.4 Sensibilidad

En el proceso de síntesis, el diseñador debe seleccionar la mejor de lasdistintas configuraciones disponibles, para ello debe tener en cuenta que enla práctica los componentes reales se desvían respecto a sus valoresnominales. Las desviaciones se deben a: a) tolerancias en los procesos de fabricación

b) variaciones debidas a factores ambientalesc) cambios químicos debidos al envejecimiento.

d) falta de precisión en el modelado de los dispositivos Ya que todos los coeficientes, y por tanto los polos y ceros, de una

función de sistema H(s) dependen de los elementos del circuito, es deesperar que el comportamiento del filtro se desvíe de su comportamientoideal. La magnitud del error dependerá de las tolerancias de los elementos yde la sensibilidad del comportamiento del circuito a estas tolerancias.

El concepto de sensibilidad es uno de los criterios más importantes paracomparar configuraciones de circuitos y para establecer su utilidad prácticapara satisfacer unas determinadas especificacionesya que permite:

a) seleccionar la mejor topología entre todas las disponiblesb) saber si el circuito satisface y seguirá satisfaciendo lasespecificaciones en el futuro .

Dado un cierto componente x cualquier característica P del circuitodependerá de x. Si P es una función de transferencia dependerá también dela frecuencia, P=P(s,x). Una técnica ampliamente conocida para determinarla desviación de P debida a un error dx=x−xo del elemento x se obtienerealizando un desarrollo en serie de Taylor de P(s,x) alrededor de :

(2.17)

Si suponemos que (dx/xo)<<1 y que la curvatura de P(s,x) alrededor de xo no

xo

P s x,( ) P s xo,( )x∂∂ P s x,( )

xo

xd 12---

x2

2

∂ P s x,( ) xoxd( )2 …+ + +=

Page 14: Filtros OPAMP

ASC 2.4 Sensibilidad

© Área de Electrónica, Dpto. de Electrónica y Electromagnetismo, ESI 2-14

es muy grande pueden despreciarse las derivadas de orden mayor o igual a 2:

(2.18)

Normalmente se está más interesado en cambios relativos que encambios absolutos por lo que es habitual normalizar esta ecuación:

(2.19)

y la cantidad,

(2.20)

es la sensibilidad en pequeña señal del parámetro x.También es usual utilizar la sensibilidad semirelativa:

(2.21)

que puede ser útil en algunas circunstancias. Por ejemplo, si SxP se evalúa

cerca de un punto donde P=0, entonces SxP→∞, que no sirve para nada. Sin

embargo, los resutlados de QxP(x) sí pueden ser interpretados. También en

algunas situaciones es más interesante la variación absoluta que la variaciónrelativa, como en posiciones de polos y ceros.

El cambio relativo, también llamado variabilidad, de una ciertacaracterística P,

(2.22)

es SxP veces el cambio relativo del parámetro x respecto del cual depende P.Un buen circuito debería tener sensibilidades pequeñas. En ese caso,

para una variabilidad ΔP/P aceptable se pueden utilizar elementos contolerancias dx/x mayores y por tanto son más económicos. Además, si los

ΔP s xo,( ) P s xo dx+,( ) P s xo,( )x∂∂ P s x,( )

xo

xd≅–=

ΔP s xo,( )P s xo,( )

-----------------------xo

P s xo,( )-------------------

x∂∂ P s x,( )

xo

xdxo-----≅

SxP xo

P s xo,( )-------------------

x∂∂ P s x,( )

xo

P P⁄∂x x⁄∂

--------------xo

lnP( )dlnx( )d

----------------xo

= = =

QxP x( ) x

xddP=

ΔPP

------- SxP xd

x-----≅

Page 15: Filtros OPAMP

CONCEPTOS FUNDAMENTALES EN EL DISEÑO DE FILTROS ASC

2-15 © Área de Electrónica, Dpto. de Electrónica y Electromagnetismo, ESI

componentes varían durante la operación del circuito es más improbable quesalgan de la región de aceptabilidad.

De la discusión realizada resaltamos los siguientes puntos:a) El hecho de truncar el desarrollo en serie de Taylor en el segundotérmino implica sustituir la función P(s,x) por su pendiente en x=xo. Engeneral, esto significa que la sensibilidad sólo proporcionainformación útil para dx/x pequeños.

b) Si la característica P depende de la frecuencia, la sensibilidad también es función de la frecuencia por lo que ha de tenerse en cuentael rango de interés. Por ejemplo, la sensibilidad de una función detransferencia a la ganancia de un amplificador en dc puede ser inútilpara conocer la operación del filtro a 10KHz.

c) La característica P dependerá normalmente de más de un parámetro,probablemente de todos los elementos del circuito. Se calcula con elvalor nominal de esos elementos por lo que si éste se altera es necesarioreevaluar la sensibilidad. Por otra parte, si hay parámetros libres sepueden utilizar para reducir las sensibilidades.

d) En último extremo es variabilidad y no sensibilidad el parámetroimportante. Una sensibilidad grande a parámetros muy estables puedeser aceptable mientras que una sensibilidad moderada a elementos degran tolerancia puede hacer inútil un diseño.

Ejemplo2.- El circuito de la Fig. 2.11 implementa una función de transferencia de

segundo orden paso de banda con una frecuencia central fo=3KHz y unfactor de calidad Q=20. Hallar los valores correspondientes de loselementos y calcular las sensibilidades Sx

ωo y SKQ , donde x representa

cualquier elemento pasivo. K es la ganancia, positiva, de unamplificador de tensión. Ignorar su ancho de banda.

SxP

SxP

Page 16: Filtros OPAMP

ASC 2.4 Sensibilidad

© Área de Electrónica, Dpto. de Electrónica y Electromagnetismo, ESI 2-16

Solución detalladaSuponemos C1=C2=C.Escribiendo las ecuaciones nodales del circuito se obtiene:

(2.23)

Comparando esta ecuación con la expresión convencional de una función detransferencia de segundo orden se obtiene para la frecuencia central y elfactor de calidad:

(2.24)

donde

(2.25)

Puede observarse que ωo es independiente de la ganancia delamplificador K por lo que,

(2.26)

lo que es muy conveniente.Por otra parte:

Fig.3.1 Schauman

Figura 2.11: Filtro paso de banda de segundo orden.

H s( )V2V1------ K

K 1–-------------

s R1C⁄

s2 s 2R2C---------- 1

R1C---------- 1

K 1–-------------–⎝ ⎠

⎛ ⎞ 1

R1R2C2--------------------+ +

---------------------------------------------------------------------------------------–= =

ωo1

C2R1R2

------------------------= Q r

2 r2 K 1–( )⁄–-----------------------------------=

rR2R1------=

SKωo 0=

Page 17: Filtros OPAMP

CONCEPTOS FUNDAMENTALES EN EL DISEÑO DE FILTROS ASC

2-17 © Área de Electrónica, Dpto. de Electrónica y Electromagnetismo, ESI

(2.27)

Esta última es −1 porque se ha supuesto C1=C2=C. Si C1≠C2 entonces

(2.28)

y (2.29)

Es interesante hacer notar que haciendo un análisis dimensional, ωotiene dimensiones de s−1 por lo que debe ser inversamente proporcional a laraíz cuadrada del producto de dos constantes de tiempo. Luego 0.5 es elvalor mínimo que puede tener la sensibilidad de ωo respecto a cualquierelemento pasivo de un filtro activo puede tener. Por tanto, este debe ser unobjetivo, además de hacerlo independiente de los parámetros activos.

Tenemos 2 parámetros, r y K para obtener Q=20. Pueden elegirsearbitrariamente siempre que K>0.5r2+1 ya que Q ha de ser positivo. Sielegimos por conveniencia r=1 (resistencias iguales) se obtiene:

(2.30)

y para que sea Q=20 debe ser K=Ko=1.5128. Esto proporciona lasensibilidad de Q respecto a K:

(2.31)

de manera que un cambio en la ganancia del amplificador de tan solo un0.25% produce un cambio de un 28% en Q. Ya que una precisión de un0.25% en dispositivos activos raramente se consigue esta circuito es inútil.Está claro que es debido a la fuerte pendiente de Q en las proximidades delpolo en K=1.5. Obsérvese que una disminución de la ganancia Ko en sólo un

SRi

ωo Riωo------

Ri∂

∂ωo 12---–= = SC

ωo Cωo------

C∂∂ωo 1–= =

ωo1

C1C2R1R2-------------------------------=

SCi

ωo 12---–=

Q K 1–2K 3–----------------=

SKQ K

Q----

K∂∂Q K–

K 1–( ) 2K 3–( )---------------------------------------

Ko

115–= = =

Page 18: Filtros OPAMP

ASC 2.4 Sensibilidad

© Área de Electrónica, Dpto. de Electrónica y Electromagnetismo, ESI 2-18

0.85% produce oscilaciones ya que Q es negativo para K<1.5.Recordando lo dicho en el punto (a) puede observarse que un cambio de

un 0.5% no es pequeño en este caso, ya que (2.31) predice una variación de±57% en el valor de Q mientras que la aplicación de (2.30) muestra unoserrores reales de −36% y +140%.

Antes de calificar inútil este circuito recordemos el punto (c) en el quese decía que la sensibilidad es función de todos los elementos y cambia sicambian los valores nominales. Dejando r como parámetro libre vamos arecalcular la sensibilidad de Q:

(2.32)

Despejando 1/(K−1) de (2.24) y sustituyendo en (2.32) se obtiene:

(2.33)

La Fig. 2.12 muestra la representación de dicha sensibilidad (en valorabsoluto) en función de r. Vemos que r=1 fue una elección desafortunada yaque la sensibilidad decrece cuando aumenta r. Una elección más acertada esun valor mayor, por ejemplo, r=6 que conduce a SK

Q=−5.9; una gran mejorade la sensibilidad al precio de un mayor rango de valores de las resistencias.

La sensibilidad de Q respecto a r también decrece cuando aumenta r:

(2.34)

Luego el circuito de la Fig. 2.11 es bueno si se eligen adecuadamentelos elementos. Considerando r=6 y eligiendo C=5nF se obtiene:

(2.35)

SKQ rQ K

K 1–( )2--------------------–=

SKQ 1 4

r2----- 1

rQ-------– 2Q

r------- 1 2

r2-----+⎝ ⎠

⎛ ⎞–+=

SrQ 4Q

r------- 1–=

R11

12πfoC------------------ 1,768KΩ= =

R2 r2R1 63,66KΩ= = K 22,18=

Page 19: Filtros OPAMP

CONCEPTOS FUNDAMENTALES EN EL DISEÑO DE FILTROS ASC

2-19 © Área de Electrónica, Dpto. de Electrónica y Electromagnetismo, ESI

La ganancia del amplificador ha aumentado pero es fácilmente realizable.

Producto ganancia-sensibilidadEl dispositivo activo más usado en el diseño de filtros activos es el

amplificador operacional, representado genéricamente en la Fig. 2.13(a).Son amplificadores de alta ganancia, definida por la relación:

(2.36)

Figura 2.12: Sensibilidad en función de r.

SKQ r( )

r0

50

100

150

200

250

300

350

400

0 1 2 3 4 5 6 7

Vo A V+ V––( )=

Fig. 3.2 Schauman

Figura 2.13: (a) Símbolo de opamp; (b) amplificador realimentado enconfiguración no inversora; (c) amplificador realimentado enconfiguración inversora.

(b) (c)

Page 20: Filtros OPAMP

ASC 2.4 Sensibilidad

© Área de Electrónica, Dpto. de Electrónica y Electromagnetismo, ESI 2-20

La ganancia en lazo abierto A es muy grande y tiene una variabilidad alta, por lo que los A.O. se utilizan siempre en configuracionesrealimentadas, con una ganancia en lazo cerrado reducida y variabilidadmenor , tales como las configuraciones inversoras y no-inversoras quese muestran en la Fig. 2.13(b) y Fig. 2.13(c). Como ejemplo del cálculo dela ganancia en lazo cerrado consideremos la Fig. 2.13(b):

(2.37)

de tal manera que:

(2.38)

De forma similar para la Fig. 2.13(c) se obtiene:

(2.39)

Las sensibilidades de las ganancias en lazo cerrado respecto a la ganancia enlazo abierto resultan:

(2.40)

La sensibilidad de μi respecto a A aumenta con la ganancia en lazo cerradoμi. Puede observarse también que la variabilidad de μi es mucho másreducida que la de A:

(2.41)

ya que en la práctica μi<<A.

dA A⁄

μdμ μ⁄

V2 A V1R1

R1 K 1–( )R1+-------------------------------------V2–

⎝ ⎠⎜ ⎟⎛ ⎞

A V11K----V2–⎝ ⎠

⎛ ⎞= =

μ1V2V1------ K

1 K A⁄+---------------------

K A«K≅= =

μ2V2V1------ K 1–

1 K A⁄+---------------------

K A«– K 1–( )–≅= =

SAμ1 K A⁄

1 K A⁄+---------------------

μ1A------= =

SAμ2 K A⁄

1 K A⁄+---------------------

μ2A------–≅= si K 1»

μidμi

-------- SAμidA

A-------

μiA-----dA

A-------≅=

Page 21: Filtros OPAMP

CONCEPTOS FUNDAMENTALES EN EL DISEÑO DE FILTROS ASC

2-21 © Área de Electrónica, Dpto. de Electrónica y Electromagnetismo, ESI

Supongamos una cierta característica de un filtro P que depende de laganancia en lazo cerrado de un A.O. Según las ecuaciones anteriores:

(2.42)

y la variabilidad será:

(2.43)

dP/P es proporcional al producto de ganancia y sensibilidad ΓμP y al términodA/A2 que depende exclusivamente del amplificador usado. Por tanto, lavariabilidad de una cierta característica depende no sólo de la sensibilidadsino del producto de ganancia y sensibilidad; la variabilidad no sólo dependede cómo de sensible es P a μ, sino de la magnitud de ganancia en lazocerrado μ necesaria en la implementación. Este producto ganancia-sensibilidad es una medida más representativa para comparar distintosdiseños.

Por ejemplo, consideremos un A.O. con A=104 y dA/A=60%. Para undiseño la sensibilidad de una cierta característica P es SμP1=6 y tiene μ=95;para otro diseño la sensibilidad es SμP2=38 y necesita μ=4. Lasvariabilidades son:

(2.44)

por lo que el segundo diseño es mejor a pesar de tener una sensibilidadmucho más alta.

Como notas finales digamos que el producto ganancia-sensibilidad esigual para la ganancia en lazo cerrado y en lazo abierto:1

(2.45)

SAP Sμ

PSAμ μ

A---Sμ

P= =

dPP

------- μSμP( )dA

A2------- Γμ

PdA

A2-------= =

dP1P1

--------- 95 6 0,6 10 4–⋅ ⋅ ⋅ 3,4%= =

dP2P2

--------- 4 38 0,6 10 4–⋅ ⋅ ⋅ 0,91%= =

ΓAP Γμ

P=

Page 22: Filtros OPAMP

ASC 2.4 Sensibilidad

© Área de Electrónica, Dpto. de Electrónica y Electromagnetismo, ESI 2-22

y de la ecuación (2.43) se deduce que el diseñador de filtros debe escogerA.O. con ganancias A, en el rango de frecuencias de interés, tan altas comosea posible, a fin de reducir el término dA/A2.

Ejemplo3.- Considerar el mismo circuito del ejercicio 2 donde el amplificador se

ha implementado con la estructura no inversora de la Fig. 2.14.Supongamos que se utiliza en el diseño un A.O. con A=104 yvariabilidad dA/A=40%. Calcular la variabilidad ΔQ/Q para ambosvalores de r, 1 y 6.

Solución detalladaDe la Fig. 2.14 se obtiene la ganancia en lazo cerrado:

(2.46)

y la sensibilidad resulta:

(2.47)

Utilizando las ecuaciones (2.32) y (2.24) se obtiene:

1. Nota: Para obtener esta igualdad basta observar que:

ASAP ASμ

PSAμ μSμ

P= =

Fig.3.3 Schauman

Figura 2.14: Amplificador no inversor de ganancia finita.

μV2V–-------- K

1 K A⁄–--------------------

K A«K≅= =

SAμ K A⁄

1 K A⁄–--------------------– μ

A---– K

A----–≅= =

Page 23: Filtros OPAMP

CONCEPTOS FUNDAMENTALES EN EL DISEÑO DE FILTROS ASC

2-23 © Área de Electrónica, Dpto. de Electrónica y Electromagnetismo, ESI

(2.48)

Para los valores del problema se obtiene:

(2.49)

A pesar de la gran reducción de SKQ de −115 a −5.9 ΔQ/Q no ha mejorado

mucho debido al aumento de la ganancia en lazo cerrado necesaria. r=6 esde todas maneras conveniente debido a la reducción de sensibilidadesrespecto a r y K.

Si se calcula el producto ganancia-sensibilidad resulta:

(2.50)

que tiene el mínimo aproximadamente para r2=6.

Problemas propuestos4.- a) Calcular la sensibilidad de la función de transferencia

del circuito de la Figura 1 respecto a cada unode los elementos de circuito.

b)Obtener la sensibilidades de ωo y Q respecto a R, L y C.c) Obtener la variabilidad de ωo si

i) C cambia +5%. ii) R cambia +5%.

ΔQQ

-------- SμQSA

μdAA

------- rQ KK 1–-------------⎝ ⎠⎛ ⎞ 2dA

A2------- rQ 1 2

r2----- 1

rQ-------–+⎝ ⎠

⎛ ⎞ 2dA

A2-------= = =

ΔQQ

-------- 0,7% r 1=0,5% r 6=⎩

⎨⎧

ΓμQ rQ 1 2

r2----- 1

rQ-------–+⎝ ⎠

⎛ ⎞ 2=

H s( ) Vo s( ) Vi s( )⁄=

RL C

+

Vo

+

Vi

Figura 1

Page 24: Filtros OPAMP

ASC Apéndice 1: Sensibilidad de la función de transferencia

© Área de Electrónica, Dpto. de Electrónica y Electromagnetismo, ESI 2-24

Apéndice 1: Sensibilidad de la función detransferencia

La función de transferencia de un filtro puede expresarse como:

(2.51)

Si los coeficientes dependen del elemento x, la sensibilidad de Hrespecto de x es:

(2.52)

En función de los coeficientes puede expresarse como:

(2.53)

Es interesante calcular la sensibilidad cuando se expresa la función detransferencia en función de magnitud y fase:

(2.54)

Por lo que la sensibilidad es:

(2.55)

La parte real de la sensibilidad de la función de transferencia (comofunción de ) es la sensibilidad de la magnitud y la parte imaginaria es lasensibilidad semirelativa de la fase.

La variación de los coeficientes dará lugar a desplazamientos de lospolos y ceros. Es interesante estudiar el efecto de estos desplazamientos en

H s( ) N s( )D s( )-----------

ajsj

j∑

bisi

i∑--------------= =

SxH Sx

N SxD– x 1

N----

x∂∂N 1

D----

x∂∂D–⎝ ⎠

⎛ ⎞= =

SxH x

N----

x∂∂ajsj

j∑

xD----

x∂∂bisi

i∑–=

H jω x,( ) H jω x,( ) ejφ ω x,( )=

SxH jω( ) Sx

H jω( ) jQxφ ω( )+=

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CONCEPTOS FUNDAMENTALES EN EL DISEÑO DE FILTROS ASC

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H(s). Tomando logaritmos en la expresión convencional de la función detransferencia en función de polos y ceros:

(2.56)

donde K=am/bn. Tomando derivadas y multiplicando por x se obtiene:

(2.57)

Tal como era de esperar puede observarse que los desplazamientos depolos y ceros afectan más en las proximidades de ese polo o cero (eldenominador es pequeño). La sensibilidad de la función de transferenciatendrá magnitud grande para frecuencias cercanas a los polos y ceros. Enparticular, para frecuencias s=jω, la sensibilidad tenderá a ∞ en los ceros detransmisión en el eje jω. También ocurrirá así para pares de polos con factorde calidad Q grande.

Reduciendo a denominador común se observa que SxH tiene polos en

todos los polos y ceros de H(s) (también se observa en (2.52)). La ecuaciónes la expansión parcial en fracciones de Sx

H por lo que las sensibilidadessemirelativas de los polos y ceros Qx

pi y −Qxzi son los residuos de los polos

pi y ceros zi de SxH.

Hln Kln s zi–( )ln s pi–( )lni 1=

n

∑–i 1=

m

∑+=

SxH Sx

K Qxzi

s zi–------------

i 1=

m

∑–Qx

pi

s pi–------------

i 1=

n

∑+=

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Comentarios Profesor

C_P.1. Las definiciones que aparecen aquí van a ser comentadas másadelante en la decripción del filtro paso de baja, de manera que estose puede pasar deprisa porque luego vamos a redundar en losconceptos que aquí se exponen.

C_P.2.En muchas aplicaciones esto es justificable porque el oído humano esinsensible a los cambios de fase. En la transmisión de voz no esnecesario tener en cuenta las características de fase de los filtros. Sinembargo, en los sistemas de transmisión digital, donde la informaciónse transmite como pulsos cuadrados en el dominio del tiempo, lasdistorsiones de fase introducidas por el filtro causan un retrasovariable que no puede ignorarse.

C_P.3.Es conveniente hacer las siguientes puntualizaciones sobre lanormalización:1) Un efecto de la normalización es eliminar las dimensiones delcircuito (sn, Rn, Ln y Cn son magnitudes adimensionales). Esto facilitarecordar las relaciones para la desnormalización.2) Funciones de sistema adimensionales tales como cocientes deintensidades o la función de transferencia en tensión H(s)=Vout/Vinson independientes del nivel de impedancia. Por tanto, la resistenciade normalización Ro es un parámetro libre que el diseñador puedeescoger para obtener valores convenientes de los elementos.

C_P.4.