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UNIVERSIDAD TECNICA DEL NORTE FACULTAD CIENCIAS APLICADAS INGENIERIA ELECTRONICA Y REDES DE COMUNICACIÓN TRATAMIENTO DIGITAL DE SEÑALES TEMA: FILTROS DIGITALES IIR INTEGRANTES FERNANDO VALLEJOS CRISTIAN NARVAEZ

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Tratamiento Digital de Senales

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Page 1: Filtros IIR

UNIVERSIDAD TECNICA DEL NORTE

FACULTAD CIENCIAS APLICADAS

INGENIERIA ELECTRONICA Y REDES DE COMUNICACIÓN

TRATAMIENTO DIGITAL DE SEÑALES

TEMA: FILTROS DIGITALES IIR

INTEGRANTES

FERNANDO VALLEJOS

CRISTIAN NARVAEZ

Page 2: Filtros IIR

OBJETIVO

Diseñar en Labview un filtro pasa altas que reciba como parámetros a la enterada dos señales de audio y de salida recibir las señales sumadas y filtradas.

OBJETIVOS GENETALES

Estudiar los métodos matemáticos para la identificación y análisis de señales de audio.

Investigar sobre sus características de las señales de audio. Realizar la simulación de entradas de audio y con un amplificador

operacional (sumador) receptar señal. Implementar la salida de audio sumada a un filtro pasa alta.

FILTROS PASA ALTOS

Un filtro paso alto (HPF) es un tipo de filtro electrónico en cuya respuesta en frecuencia se atenúan las componentes de baja frecuencia pero no las de alta frecuencia

Figura. Figura de Filtro pasa Altos

Todo filtro pasa altas tiene una frecuencia de corte superior, debido a que ningún dispositivo realizable físicamente puede tener un ancho de banda infinita. Por esto se considera a un filtro pasa altas a un dispositivo que deja pasar un rango de frecuencias para la aplicación específica (No se confunda con el filtro pasa banda)

De manera similar al filtro pasa bajas, la forma en que podemos simular la operación del filtro es obteniendo su función de transferencia y obtener sus características de operación mediante algún simulador.

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Filtros Digital

El termino de filtro digital lo entenderemos como cualquier procesamiento realizado en una señal de entrada digital, el cual es la implantación en hardware o software de una ecuación o diferencia. Las ventajas de estos filtros digitales son las siguientes:

Alta inmunidad al ruido. Alta precisión (Limitada por errores de redondeo en la aritmética

empleada). Fácil Modificaciones de las características del filtro. Muy bajo costo.

Por estas razones, los filtros digitales están remplazando a rápidamente a los filtros analógicos.

Filtros IIR

En los filtros IIR el orden del filtro depende del ancho de la banda de transición respecto a la frecuencia de corte. Al venir los requerimientos del filtro expresados en dB/octava, la proporción entre el tamaño de la banda de transición y la frecuencia de corte se mantiene constante. Por tanto el orden del filtro es constante e independiente de la frecuencia de corte, al contrario que en el caso de los filtros FIR. Así, para una atenuación de 24 dB/octava se necesita un filtro IIR de orden 4, mucho menor que el de un filtro FIR equivalente.

Figura. Respuesta en frecuencia de filtros paso bajo IIR de distinto orden (N).

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Figura. Respuesta en frecuencia en escala logarítmica de filtros paso bajo IIR de distinto orden (N).

¿Que son filtros IIR?

Son sistemas cuya salida depende además de salidas anteriores y que estando en estados anteriores y que, estando en reposo, de ahí el calificativo de filtros de respuesta impulsiva infinita (IIR) o también conocidos como Sistemas Auto- Regresivos (Auto- Regresive (AR)) y su filtrado se realiza por medio de la evaluación de la ecuación de diferencias que regulan el sistema.

La ecuación en diferencias general es de la forma:

De donde el orden máximo de M y N

La función de transferencia en Z del filtro es:

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Page 5: Filtros IIR

Un filtro IIR requiere un orden mucho menor para cumplir especificaciones del diseño, lo cuales no se puede diseñar para fase lineal, pero existen técnicas de compensación de fase mediante la utilización de filtros pasa todo, sin embargo esto aumenta la longitud total del filtro.

No es necesario que el sistema sea causal (no funcionara en tiempo real) los cuales se puede conseguir fase lineal mediante filtros IIR realizando un filtrado BIDIRECCIONAL es te consiste en filtrar la señal, invertir el orden de las muestras obtenidas y volver al filtra de nuevo.

Existen dos filosofías de diseño de filtros IIR

INDIRECTA

Se basa en aplicar a filtros analógicos diseñados previamente, transformaciones que los conviertan en digitales con las mismas características. Hay tres métodos fundamentales:

Diseño por impulso invariante Diseño por analogía o aproximación de derivadas Diseño por transformación bilineal

DIRECTA

Se propone el diseño de filtros digitales imponiendo una serie de condiciones a la respuesta para determinar los coeficientes. Nos centraremos en dos métodos simples como son:

Diseño por la aproximación de Padé Diseño por aproximación de mínimos cuadrados.

Localización de ceros y polos en filtros IIR

Los filtros IIR sin de tipo ARMA (Auto regresivo y Media en Movimiento) contienen ceros y polos. Si los coeficientes del filtro son reales, sin son ceros o polos complejos siempre aparecen en pares conjugados.

La condición de estabilidad, para sistemas causales implica que los POLOS se encuentran en el interior de la circunferencia unidad.Los ceros no tienen efecto sobre la estabilidad del sistema y pueden encontrarse en el interior o en el exterior de dicha circunferencia.

Cuando los ceros y polos de un sistema se encuentran en el interior de la circunferencia unidad se dice que el sistema es de FASE MÍNIMA.

Cuando todos los ceros y polos están en el exterior de la circunferencia unidad se dice que el sistema es de FASE MÁXIMA.

En general, cuando tenemos ceros y polos en el exterior y en el interior se dice que el sistema es de FASE MIXTA.

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Es sencillo verificar que si un sistema tiene un cero en el exterior de la circunferencia unidad:

y este constituye al reciproco conjugado

Sistema tiene la misma repuesta de frecuencia en modulo multiplicado por un factor constante igual al módulo de cero.

Un sistema de FASE MINIMA también se define como aquel que experimenta un cambio de fase neto nulo es decir:

Métodos de Diseños de filtros IIR a partir de prototipos analógicos

Aproximación del impulso invariante

Se diseña un filtro digital IIR cuya respuesta impulsional, h(n), sea la versión muestrea de la respuesta impulsional del filtro analógico equivalente: hd(n)=ha(nT), con n=0,1,2,...

Veamos el caso de partir de un filtro analógico con N polos simples.

Su respuesta impulsional ha(t) es:

Por tanto, el procedimiento es claro, se detectan los polos del filtro analógico s k, se descomponeH(s) como suma de monomios y se obtiene H(z). Comparando H(s) y H (z) observamos que por cada polo en

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Veamos qué efecto tiene esta transformación sobre la posición de los polos al pasar de dominio de Laplace al Z.

Figura. Aproximación del Impulso Invariante.

Características

Se mantiene la respuesta impulsiva de ambos filtros. La estabilidad se mantiene (Filtros analógicos estables dan lugar a filtros digitales estables).La relación entre frecuencia es lineal ya que.

Dado que este método produce un “mapeo muchos a uno” se va producir aliasing. Esto es sencillo de ver si tenemos en cuenta que estamos muestreando la respuesta impulsiva del filtro analógico. El contenido frecuencia de h(n) es la respuesta en frecuencia del filtro analógico. Sabemos que los filtro ideales su respuesta no puede ser cero en una banda independiente del valor T. siempre habrá una contribución de H(Ω) que no verifica el muestreo. Si la diferencia es Ωs=2πFs, de todas las frecuencias

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analógicas por encima de Ωs/2 producirá un aliasing. Para que el método funcione adecuadamente el filtro analógico debe verificar:

Por esta razón este método no es adecuado para el diseño de filtros pasa alta ni elimina –banda tenemos en cuenta prototipos analógicos considerados, los filtros de Tchebyshev II y los elípticos presentaran peor comportamiento debido al rizado en la banda no pasante.

Aproximación de derivadas (Analogía)

Se basa en establecer una analogía entre el operador diferencial en el dominio de Laplace y en Z.

En sistemas analógicos, el diferencial es: H(s)= s.

En sistemas discretos podemos realizar una primera aproximación de la derivada que es la llamada “backward difference” y se define como:

Con lo que la transformada Z es:

Con lo que identificando términos:

Veamos qué efecto tiene esta transformación sobre la posición de los polos al pasar del dominio de Laplace al Z. Si se hace cambios:

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Figura. Aproximaciones de Derivadas

Como se observa, la limitación es evidente puesto que, partiendo de filtros analógicos estables, no pueden diseñarse filtros pasa alta, al no poder ubicar polos fuera del círculo sombreado.

Otra posibilidad sería plantea alguna aproximación al operador diferencial como por ejemplo el cálculo de la derivada a partir de la “forward difference”

Que genera una relación de la forma:

Observando el efecto que esta transformación tiene sobre la posición de los polos al pasar del dominio de Laplace al Z.

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Page 10: Filtros IIR

No da lugar a un método de interés puesto que los filtros analógicos estables no siempre da lugar a filtros digitales estables.

Transformación Bilineal

Ninguno de los métodos anteriores parece resolver de forma adecuada de la transformación del dominio analógico al digital. Veamos qué condiciones debería cumplir una transformación para ser optima:

Dada una función real y racional en S, la función resultante en Z, será también racional y coeficientes reales.

Dado que un filtro analógico estable, el filtro digital resultante también será (el semiplano izquierdo del dominio de Laplace debe transformarse en un círculo de radio unidad del dominio Z).

En particular, interesa una función de reactancia que haga corresponder al eje imaginario del plano de Laplace, la circunferencia de radio de la unidad.

Dado un orden de un filtro analógico, el filtro digital resultante será el mismo orden. Existe una relación que cumple todas las condiciones, la llamada transformación lineal bilineal.

Así como en la transformación del impulso invariante el filtro analógico y digital tienen laMisma respuesta impulsional, la transformación bilineal asegura que ambos filtros tienen una respuesta aproximadamente idéntica ante cualquier excitación.Uno de los procedimientos para justificar esta expresión es obtener el equivalente digital de un integrador analógico.

La salida ante la excitación cualquiera viene dado por y (t)=x (t)*h (t)

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Tomando transformadas Z

Comparando con la expresión del integrador analógico obtenemos que cada relación entre las variables s y z viene dada por:

Transformada Z adaptada (Matched Z transformation)

Este procedimiento lo podemos considerar como una variación del impulso invariante.

Dada una función de transferencia en el dominio de Laplace, factorizada

Realizamos la transformación a digital de acuerdo al método utilizado por el impulso invariante para transformar cada uno de los polos. Da lugar a una expresión del tipo:

Esta transformación da lugar a filtros digitales estables pero produce Aliasing como ocurre con el método del impulso invariante.

Mapeado de polos y ceros (Pole/Zero mapping)

La transformación bilineal, si hacemos los cálculos manualmente es tediosa de aplicar, por lo que se suele recurrir a una aproximación más sencilla. Dada H(s)

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Como la relación entre s y z para la transformación bilineal viene dada por

Podemos determinar las posiciones correspondientes de los ceros y los polos en el plano z.

Y obtener la función de la transferencia en Z como:

SIMULACION

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Fig. 1 Diseñamos gráficamente nuestra simulación

Fig2. Realizamos los cambios en cada señal de entrada

BIBLOGRAFIA

Roads, C. "The Computer Music Tutorial", MIT Press, 1996. pp. 396-440.

Smith, J. O. Ïntroduction to digital filters with audio applications", http://ccrma-www.stanford.edu/˜ jos/filters/

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Page 14: Filtros IIR

http://www.dtic.upf.edu/~egomez/teaching/sintesi/SPS1/Tema7-FiltrosDigitales.pdf

http://www.rodrigocadiz.com/imc/html/Filtros_digitales.html http://es.wikipedia.org/wiki/LabVIEW

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