filtro passa baixa

PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DE MINAS GERAIS Instituto Politécnico PUC Minas

Engenharia Eletrônica e de Telecomunicação

Ariane Paula da Rocha Juliana Mariana Macedo Araujo

ELETRÔNICA ANALÓGICA II Projeto Filtro Passa Baixa

Belo Horizonte,

Novembro de 2012

Ariane Paula da Rocha Juliana Mariana Macedo Araujo

ELETRÔNICA ANALÓGICA II Projeto Filtro Passa Baixa

Trabalho apresentado à disciplina Laboratório de Eletrônica Analógica II, do Instituto Politécnico da Pontifícia Universidade Católica de Minas Gerais.

Orientador: Paulo José da Costa Cunha

Belo Horizonte, Novembro de 2012

RESUMO

Este relatório consiste em descrever o projeto teórico e montagem de uma de

um filtro passa baixa de 4ª ordem do polinômio de Butterworth.

Baseado nos cálculos realizados especificou-se os valores dos componentes

necessários para montagem do projeto.

O projeto alcançou parcialmente seu objetivo, uma vez que os alguns

resultados condisseram com o esperado, e outros não.

Palavras-Chave: filtro passa baixa, 4ª ordem, polinômios de Butterworth.

ABSTRACT

This report describes the theory and design of an assembly of a lowpass filter

4th order using Butterworth polynomial.

The components were specified by the calculations made using Butterworth

polynomial.

The project achieved its goal partially, since some results were not like

expected.

Keywords: Lowpass filter, 4th order Butterworth polynomials.

LISTA DE FIGURAS

Figura 1 - Curvas aproximadas e real do módulo do ganho em função da frequência de um filtro passa-baixa, respectivamente

8

Figura 2 – Modulo de transmissão de um filtro real 10

Figura 3 - Filtros passa-baixas Butterworth de ordens 1 a 5 12

Figura 4 – Circuito filtro passa baixa 13

Figura 5 - Circuito normalizado do filtro 15

Figura 6 - Circuito final simulado 17

Figura 7 - Módulo do ganho em função da frequência do filtro simulado 17

Figura 8 – Defasagem do sinal de saída em função da freqüência do filtro simulado

18

Figura 9 - Gráfico da resposta em frequência |Av|(dB) x f(HZ) 20

Figura 10 - Gráfico da defasagem do sinal θ x f(HZ) 21

Figura 11 - Medição do circuito para freqüência de 20Hz 21

Figura 12 - Medição do circuito para freqüência de 2.82kHz 22

Figura 13 - Medição do circuito para freqüência de 50kHz 22

Figura 14 - Medição do circuito com a entrada quadrada com freqüência de 240Hz

23

Figura 15 - Medição do circuito com a entrada quadrada com freqüência de 2.82kHz

24

LISTA DE TABELAS

Tabela 1 – Polinômios de Butterworth para ordens de 1 a 5 12

Tabela 2 – Valores obtidos nos testes do filtro 19

Tabela 3 – Valores obtidos nos testes do filtro 20

SUMÁRIO 1. INTRODUÇÃO........................................................................................................ 8

2. FILTRO PASSA BAIXA ........................................................................................ 10

2.1. Filtro de Butterworth...............................................................................................11

3. MEMÓRIAS DE PROJETO .................................................................................. 13

3.1. Requisitos Iniciais do Projeto ................................................................................13

3.2. Memória de Cálculo ...............................................................................................13

4. SIMULAÇÃO ........................................................................................................ 17

5. CUSTO E MATERIAIS UTILIZADOS ................................................................... 19

6. TESTES................................................................................................................ 20

7. CONSIDERAÇÕES FINAIS.................................................................................. 25

Anexos...................................................................................................................... 28

8

1. INTRODUÇÃO

Filtros são circuitos eletrônicos que permitem ou não a passagem de um sinal.

Os filtros podem ser classificados em passivos e ativos.

Os filtros passivos são constituídos somente por elementos passivos como

resistores, capacitores e indutores. Os filtros ativos são aqueles construídos com

elementos ativos como amplificadores operacionais, válvulas, transistores e alguns

elementos passivos.

Os filtros podem ainda ser classificados como passa alta, passa baixa, passa

faixa ou rejeita faixa. Este trabalho visa aprimorar os conhecimentos de filtros ativos

passa baixa através do projeto e testes em software e protoboard.

Os filtros passa baixa permitem a passagem de freqüências superiores à

freqüência de corte, e atenuam freqüências superiores a esta. A figura 1 mostra as

curvas aproximadas e real do módulo do ganho em função da freqüência de um filtro

passa-baixa.

Figura 1 - Curvas aproximadas e real do módulo do ganho em função da freqüência de um filtro

passa-baixa, respectivamente

Fonte: SILVA, 2007

Para o dimensionamento dos componentes do filtro foi utilizado a dedução da

função de transferência do filtro passa baixa. Feito isto o denominador da função de

transferência foi igualado ao polinômio do filtro de Butterworth.

O filtro projetado é um filtro passa-baixa de 4ª ordem. A ordem do filtro é

definida pela quantidade de capacitores utilizados. Para baixas frequências os

capacitores se comportam como chaves abertas, fazendo com que o circuito

funcione como um amplificador. Em altas frequências os capacitores se comportam

9

como um curto fazendo com que a tensão de entrada no amplificador seja muito

pequena, o que impede a passagem de altas frequências.

Para simulação e validação do funcionamento do circuito foi utilizado o

software Proteus e o circuito foi montado em protoboard.

Todo o detalhamento e memória de cálculo estão detalhados neste trabalho.

10

2. FILTRO PASSA BAIXA

Filtro passa baixa é um circuito eletrônico que permite a passagem de

freqüências baixas sofrendo o mínimo de atenuação.

Nesse filtro a freqüência abaixo da freqüência de corte, ou também chamada

de freqüência de passagem, a saída sofrerá a minima atenuação, ou seja, será

praticamente igual à entrada. Na faixa de transição a atenuação apresentará uma

atenuação variável. E para freqüências acima da freqüência de corte, conhecida

como faixa de rejeição, a freqüência sofrerá grandes atenuações.

Figura 2 – Modulo de transmissão de um filtro real

Fonte: UFPR. Filtros ativos

O modulo de transmissão de um filtro real é definida por:

• AMAX: a máxima variação do ganho na faixa de passagem.

• AMIN: a atenuação mínima na faixa de passagem

• fP: freqüência do pólo

• fS: freqüência do zero

11

2.1. Filtro de Butterworth

Várias famílias de filtros podem ser utilizadas no projeto de filtros. Exemplos

de família de filtros são: Butterworth, Chebyshev, Bessel-Thomson, Chebyshev

inverso e Cauer elíptico. "A diferença entre as famílias mais utilizadas dá-se no valor

numérico dos coeficientes dos polinômios em s que definem as suas Funções de

Transferência” (AUGUSTO, 2011). Os coeficientes determinam as características de

cada família.

As funções de aproximação destas famílias tentam se ajustar ao máximo do

filtro ideal, o que na prática é impossível. Nos filtros práticos há uma banda de

transição. Esta banda fica entre a banda de passagem e a banda de rejeição e

quanto maior o seu declive maior é a ordem do filtro, que é determinado pelo

número de pólos do circuito.

Para este projeto utilizou-se o filtro de Butterworth e este será discutido nesta

seção. A resposta em freqüência desta família de filtro é plana, assim não possui

ripple na banda de passagem e se aproxima do zero na banda rejeitada. Além disso

este é o único filtro que mantém o mesmo formato para ordens mais elevadas.

“Para um filtro Butterworth de segunda ordem, a resposta em frequência varia

em −12 dB por oitava, em um filtro de terceira ordem a variação é de −18 dB, e

assim por diante. Os filtros Butterworth possuem uma queda na sua magnitude

como uma função linear com ω”. (Wikipedia, 2012)

A Figura 1 mostra o módulo do ganho em função da frequência para filtros

passa-baixas Butterworth e os polinômios de Butterworth de ordens 1 a 5:

12

Figura 3 - Filtros passa-baixas Butterworth de ordens 1 a 5

Fonte: Wikipedia, 2012

Tabela 1 – Polinômios de Butterworth para ordens de 1 a 5

n Polinômios de Butterworth

1 (S+1)

2 (S2+1,414S+1)

3 (S+1)(S2+S+1)

4 (S2+0,765S+1)(S2+1,848S+1)

5 (S+1)(S2+0,618S+1)(S2+1,618S+1)

Fonte: Dados da pesquisa

13

3. MEMÓRIAS DE PROJETO

A seguir será apresentado o dimensionamento dos componentes do circuito,

bem como sua simulação.

3.1. Requisitos Iniciais do Projeto

• Filtro passa baixa de Butterworth de 4ª ordem;

• Freqüência de corte de 2KHz;

• Ganho de 4;

• Capacitores do filtro com valores iguais.

3.2. Memória de Cálculo

O circuito do filtro passa baixa está mostrado na figura 4.

Figura 4 – Circuito filtro passa baixa

Fonte: Criado pelo autor

14

Para um filtro de passa baixa, sua equação de ganho é definida, por:

1]).1.().(.[

1*

112122121

2+−+++

=RAvoCRRCsRRCCs

AA VOV

Que é da forma:

12

1*

2

2

++

=

wo

sS

wo

sAA VOV

Considerando wo=1, temos que:

1...2

12

++=

sSsAV

Fazendo as quatro considerações abaixo:

1. ZSF: Fator de escalonamento da impedância

2. FSF: Fator de escalonamento de freqüência (2πf)

3. O valor real dos componentes é calculado através de:

ZSFRR *=

FSFZSF

CC

*=

4. Considerando o filtro a ser projetado é de 4º ordem, temos que para p

polinômio de Butterworth de 4ª ordem, os valores da primeira etapa do filtro 2S=

0,765, e da segunda parte é de 2S= 1,848.

Considerando os capacitores C1= C2= 1F, para calcular os cálculos temos

que:

SR *22 = 1ª etapa R2= 0,765

2ª etapa R4= 1,848

15

2

1

1

RR = 1ª etapa R1= 1,307

2ª etapa R3= 0,541

Os valores acima são os valores do circuito normalizado.

Figura 5 - Circuito normalizado do filtro

Fonte: Criado pelo Autor

Para o calculo dos componentes do filtro escalado é necessário calcular

primeiramente o FSF.

fFSF **2 π=

KFSF 2**2 π=

37.12566=FSF

Como o projeto deve conter capacitores iguais, foi fixado um valor comercial

de capacitor de 22nF, e com isso calculado o valor de ZSF, como mostrado abaixo:

FSFZSF

CC

*=

37.12566*

122

ZSFn =

158.3617=ZSF

16

Com esse valor de ZSF é possível calcular os valores dos resistores a serem

utilizados.

ZSFRR *=

158.3617*765,01 =R

126.27671 =R

508.66842 =R

626.47273 =R

882.19564 =R

Como os valores calculados não são comerciais, foram escolhidos resistores

de valores próximos, sendo que os valores utilizados foram:

721 kR =

862 kR =

743 kR =

kR 24 =

O ganho do filtro proposto é 4, para obter tal ganho foi feito com que cada

amplificador tivesse um ganho de 2, fazendo com que a saída do circuito fosse de

ganho 4. Como o circuito é um amplificador não inversor o ganho será:

)1(6

5

R

RAv +=

Para que o ganho fosse 2, foram utilizados resistores iguais de 10k.

21 =VA

4=VA

17

4. SIMULAÇÃO

O filtro passa baixa de 4ª ordem foi simulado no Proteus com os valores

comerciais adquiridos. A simulação do circuito trouxe os resultados esperados para

o filtro.

Figura 6 - Circuito final simulado


Figura 7 - Módulo do ganho em função da frequência do filtro simulado


18

Figura 8 – Defasagem do sinal de saída em função da freqüência do filtro simulado


Pode ser verificado que em uma década (entre 2kHz e 20kHz), a queda no

ganho de tensão foi aproximadamente 80dB e 360º, o que corresponde a 4 pólos,

isso quer dizer que na simulação o circuito funcionou como esperado.

19

5. CUSTO E MATERIAIS UTILIZADOS

Como amplificador operacional do circuito foi selecionado o LM741 pelo fato

de que ele preenche os requisitos para o projeto, principalmente nos requisitos que

se dirigem a freqüência. Alem de que esse amplificador é encontrado com certa

facilidade, e já foi utilizado anteriormente.

Tabela 2 – Custo dos componentes do projeto

Componente Nome no circuito Quantidade

Valor

unitário

Valor

total

Amplificador operacional 741 U1 e U2 2 R$ 0,75 R$ 1,50

Capacitor cerâmico 22nF C1, C2, C3, C4 4 R$ 0,10 R$ 0,40

Resistor 2k ¼ W R4 1 R$ 0,10 R$ 0,10

Resistor 2k7 ¼W R1 1 R$ 0,10 R$ 0,10

Resistor 6k8 ¼W R2 1 R$ 0,10 R$ 0,10

Resistor 4k7 ¼W R3 1 R$ 0,10 R$ 0,10

Resistor 10k ¼W R5, R6, R7, R8 4 R$ 0,10 R$ 0,40

Total R$ 2,70


Além dos componentes citados assim também foram utilizados protoboard,

fios para ligação, multímetro, gerador de sinais e osciloscópio.

20

6. TESTES

O circuito foi montado no protoboard. Foi aplicado na entrada do circuito um

sinal senoidal com amplitude de 2Vpp, foram feitas medições em 9 diferentes

valores de freqüência. Para cada valor de freqüência foi medido o ganho e o

defasamento. A tabela 2 mostra os valores medidos e os seus resultados, a figura 9

mostra o gráfico do modulo do ganho em resposta em freqüência e a figura 10,

mostra a defasagem do sinal de saída.

Tabela 3 – Valores obtidos nos testes do filtro

Frequência Vin Vout 20 2,04 8,16 100 2,04 8,16 200 2,04 8,16 500 2,04 8

1000 2,04 7,5 2000 2,04 7,6

2,82E+03 2,04 5,84 20000 2,04 0,278

5,00E+04 2,04 0,08 Fonte: Criado pelo Autor

Figura 9 - Gráfico da resposta em frequência |Av|(dB) x f(HZ)


21

Figura 10 - Gráfico da defasagem do sinal θ x f(HZ)


Foram feitas obtidas três formas de onda com diferentes valores de

freqüência, a primeira para uma freqüência de 20Hz, a segunda na freqüência de

corte 2.82kHz e a terceira de 50kHz, sendo que o CH1 é a saída do filtro e o CH2 é

entrada.

Figura 11 - Medição do circuito para freqüência de 20Hz

Fonte: Criado pelo Autor utilizando Osciloscópio

Para a freqüência de 20Hz, foi observado o ganho de 4, proposto para o

trabalho, valor esse já esperado, nos cálculos e simulações.

22

Figura 12 - Medição do circuito para freqüência de 2.82kHz


A freqüência de corte do circuito é de 2.82kHz, o que pode ser oservado pelo

fato de que a freqüência de corte se da no ponto em que o ganho é igual ao ganho

na faixa de passagem dividido por raiz de 2, como mostrado abaixo.

VVA

A VOCORTEV 83,2

2

4

2===

Figura 13 - Medição do circuito para freqüência de 50kHz


Para a freqüência de 50kHz o sinal de saída é praticamente zero, pois para

essa freqüência o circuito já tem praticamente atenuação máxima.

23

Ao aplicar uma onda quadrada na entrada do filtro foi observado que em uma

freqüência muito menor que a freqüência de corte, o sinal o sinal do mesmo modo

como entrou, apenas com o ganho de 4. Conforme a freqüência foi sendo

aumentada a sai começou a ter uma inclinação do sinal, até que na freqüência de

corte é medido na saída uma senoide, isso ocorre, pois na freqüência de corte o

circuito filtra todos os harmônicas de freqüência maior que 2.82kHz do sinal de

entrada, restando apenas a harmônica principal.

Na figura 14 pode ser visto a saída com um sinal de 240Hz, saída essa em

que o sinal de entrada é praticamente igual ao sinal de entrada.

Figura 14 - Medição do circuito com a entrada quadrada com freqüência de 240Hz


24

Na figura 15 como o sinal de entrada esta na freqüência de corte o que se vê

na saída é uma senoide.

Figura 15 - Medição do circuito com a entrada quadrada com freqüência de 2.82kHz


25

7. CONSIDERAÇÕES FINAIS

O circuito funcionou parcialmente como esperado, pois o filtro foi capaz de

atenuar corretamente as freqüências mais altas que a freqüência de corte, o ganho

também funcionou corretamente. Contudo a freqüência de corte do circuito não foi

igual ao esperado, já que a freqüência de corte encontra de foi de 2.82kHz, e o

desejado era de 2kHz. Essa divergência se deve principalmente aos capacitores

utilizados, pois esses que uma vez eram cerâmicos possuíam uma tolerância

grande, que alterou os parâmetros do circuito.

26

8. CONCLUSÃO

Através da análise dos resultados obtidos verificou-se certa divergência entre o resultado esperado e o resultado obtido. Estas diferenças podem ser explicadas devido à tolerância de componentes, neste caso principalmente dos capacitores, e a aproximação feita para valores comerciais.

Assim a proposta da montagem do filtro foi parcialmente atendido pois houve atenuação para freqüências mais altas que a freqüência de corte e o ganho foi 4 conforme o desejado. A divergência ocorreu na frequência de corte. O filtro projetado “cortou” em 2,82kHz.

Este projeto contribuiu para aprimorar o conhecimento sobre filtros ativos, assim como especificação, projeto e desenvolvimento prático do que foi aprendido em sala de aula.

27

9. BIBLIOGRAFIA

SILVA Clodoaldo. Amplificadores Operacionais como Filtros. Disponível em:

http://www.clubedaeletronica.com.br/Eletronica/PDF/AMPOP/Amp-OP%20IV%20-

%20filtros.pdf. Acesso em 19 nov. 2012

UFPR. Filtros ativos. Disponível em:

http://www.eletrica.ufpr.br/marlio/te054/capitulo5.pdf. Acesso em: 16 nov. 2012

AUGUSTO, José A. Soares. Introdução ao Projeto de Filtros e a Funções de

Aproximação, Lisboa, p. 1, jun 2011.

Filtro Butterworth. Disponível em: http://pt.wikipedia.org/wiki/Filtro_Butterworth.

Acesso em 19 nov. 2012

28

Anexos

Anexo A – Data Sheet LM741

filtro passa baixa

Documents