FILSAFAT MATEMATIKA

TUJUAN

11

/29

/2014

2

Fils

afa

t Ma

tem

atik

a d

an

Alira

n-a

liran

Ma

tem

atik

a

FILSAFAT MATEMATIKA MENGAJUKAN

PERTANYAN- PERTANYAAN SEPERTI:

Apa dasar dari pengetahuan

matematika?

Apa hakekat kebenaran matematika?

Apa yang mencirikan matematika?

Apa pembenaran kebenaran

matematika?

Mengapa kebenaran matematika

dianggap sebagai kebenaran yang

mendasar?

11

/29

/2014

3

Fils

afa

t Ma

tem

atik

a d

an

Alira

n-a

liran

Ma

tem

atik

a

11

/29

/2014

4

Fils

afa

t Ma

tem

atik

a d

an

Alira

n-a

liran

Ma

tem

atik

a

FILSAFAT MATEMATIKA SEBAGAI PONDASI

PENGETAHUAN MATEMATIKA

Artinya:

Filsafat menyediakan sistem di mana

pengetahuan matematika dapat secara

sistematis untuk membangun

kebenarannya. Hal ini tergantung pada

asumsi, yang diadopsi secara luas,

secara implisit atau secara eksplisit.

11

/29

/2014

5

Fils

afa

t Ma

tem

atik

a d

an

Alira

n-a

liran

Ma

tem

atik

a

Asumsi matematika merupakan dasar

pengetahuan matematika. Pondasi

matematika terikat dengan pandangan

absolut, yang bertugas untuk

membenarkan pandangan pengetahuan

matematika.

11

/29

/2014

6

Fils

afa

t Ma

tem

atik

a d

an

Alira

n-a

liran

Ma

tem

atik

a

PERANAN FILSAFAT

MATEMATIKA

Memberikan landasan yang

sistematis dan mutlak untuk

pengetahuan matematika berupa

kebenaran matematika.

11

/29

/2014

7

Fils

afa

t Ma

tem

atik

a d

an

Alira

n-a

liran

Ma

tem

atik

a

MATEMATIKA SEBAGAI PARADIGMA

PENGETAHUAN TERTENTU

Eucluid: struktur logis merupakan elemen

matematika, sebagai paragdima untuk mendirikan

kebenaran dan kepastian.

Newton: penjelasan kebenaran secara sistematis

merupakan element matematika

11

/29

/2014

8

Fils

afa

t Ma

tem

atik

a d

an

Alira

n-a

liran

Ma

tem

atik

aHAKIKAT MATEMATIKA

PENGETAHUAN

Kepercayaan yang dibenarkan dengan alasan-alasan

yang logis untuk menegaskan kebenaran pernyataan

itu.

11

/29

/2014

9

Fils

afa

t Ma

tem

atik

a d

an

Alira

n-a

liran

Ma

tem

atik

a

A priori pengetahuan terdiri

dari proposisi yang

menegaskan atas dasar alasan

saja, tanpa bantuan

pengamatan dunia. Dengan

menggunakan logika deduktif

yang berasal dari istilah dan

defenisi

posteriori terdiri dari

proposisi menegaskan

pada berdasarkan

pengalaman, yaitu,

berdasarkan pengamatan

dari dunia.

Dengan demikian dasar pengetahuan

matematika merupakan alasan untuk

menyatakan kebenaran proposisi matematika,

yang terdiri dari bukti deduktif.

11

/29

/2014

10

Fils

afa

tM

ate

ma

tika

da

nA

liran

-alira

n

Ma

tem

atik

a

Logika Deduktif Defenisi

Alasan Yang

Logis

Aksioma /

Postulat

CIRI UTAMA MATEMATIKA

11

/29

/2014

11

Fils

afa

t Ma

tem

atik

a d

an

Alira

n-a

liran

Ma

tem

atik

a

11

/29

/2014

12

Fils

afa

t Ma

tem

atik

a d

an

Alira

n-a

liran

Ma

tem

atik

a

AksiomaSuatu Pernyataan yang bisa

dilihat kebenarannya tanpa

perlu adanya bukti

DEFENISI

Suatu Pernyataan yang

implisit yang perlu adanya

bukti yang diperoleh dari

aksioma-aksioma

TEOREMA Suatu Pernyataan yang

berhubungan dengan defenisi-

defensi

PEMBUKTIAN 1 + 1 = 211

/29

/2014

13

Fils

afa

t Ma

tem

atik

a d

an

Alira

n-a

liran

Ma

tem

atik

a

Dasar Berfikir, dari Aritmatika Peano

S0=1

S1=2

x + 0 = x

x +sy = s (x + y)

P(r) ; r = t => P(t)

P(v) => P(c)

Defenisi

Aksioma

Reason

r, t, v, c merupakan variable dan konstanta

ASUMSI YANG DIGUNAKAN

Asumsi matematika yang digunakan

adalah definisi (D1 dan D2) dan aksioma

(A1 dan A2).

Asumsi logis adalah aturan kesimpulan

yang digunakan (R1 dan R2), yang

merupakan bagian yang mendasari bukti

dari teori, dan kalimat yang mendasari

bahasa formal.

11

/29

/2014

14

Fils

afa

t Ma

tem

atik

a d

an

Alira

n-a

liran

Ma

tem

atik

a

AKAN DIBUKTIKAN 1+1=2; MAKA11

/29

/2014

15

Fils

afa

t Ma

tem

atik

a d

an

Alira

n-a

liran

Ma

tem

atik

a

S1 x+sy = s(x+y) A2

S2 1+sy = s(1+y) R2; v= x c=1

S4 x+0 = x A1

S3 1+s0 = s(1+0) R2; v= y c=0

S5 1 + 0 = 1 R2; v= x c=1

S6 1+s0 = s1 R1 dari S3 & S5;

r=1+0 t=1

11

/29

/2014

Fils

afa

t Ma

tem

atik

a d

an

Alira

n-a

liran

Ma

tem

atik

a

16

S9 s1=2 D2

S10 1 + 1 = 2 R1 dari S8 & S9;

r=s1 t=2

S7 s0=1 D1

S8 1 + 1 = s1 R1 dari S6 & S7;

r=s0 t=1

S6 1+s0 = s1 R1 dari S3 & S5;

r=1+0 t=1

Terbukti bahwa 1+1=2, yang berasal dari bukti deduktif

dengan menetapkan jaminan logis untuk menegaskan

suatu pernyataan yang kemudian ditegaskan berdasarkan

penalaran

MANFAAT ILMU MATEMATIKA

Menjadikan pola pikir manusia

yang mempelajarinya menjadi pola

pikir matematis yang sistematis,

logis, kritis, dengan penuh

kecermatan.

11

/29

/2014

17

Fils

afa

t Ma

tem

atik

a d

an

Alira

n-a

liran

Ma

tem

atik

a

PANDANGAN ABSOLUTIS

MATEMATIKA

Menurut pandangan ini, pengetahuanmatematika terdiri kebenaran mutlak,

dan merupakan wilayah yang unik daripengetahuan tertentu, selain logika dan

pernyataan yang benar berdasarkanmakna istilah

11

/29

/2014

18

Fils

afa

t Ma

tem

atik

a d

an

Alira

n-a

liran

Ma

tem

atik

a

Contoh:“Semua Bujangan Belum Menikah”

11

/29

/2014

19

Fils

afa

t Ma

tem

atik

a d

an

Alira

n-a

liran

Ma

tem

atik

a

Jadi menurut Hempel pandanganabsolut matematika adalah validitasmatematika berasal dari ketentuanyang menentukan arti dari konsep-konsep matematika, dan bahwaproposisi matematika pada dasarnya'benar menurut definisi'

PEMIKIRAN ABSOLUT, MENYATAKAN:

Matematika adalah suatu kemungkinan dan

kenyataan yang tak terbantahkan dan

merupakan ilmu pengetahuan yang objektif

Matematika adalah kebenaran Matematika

dapat dibenarkan dan tidak pernah bisa

ditentang, diperbaiki maupun dikoreksi.

Liang Gie menyatakan Filsafat Matematika

merupakan sudut pandang yang menyusun

dan mempersatukan berbagai bagian dan

kepingan Matematika berdasarkan beberapa

asas dasar.

11

/29

/2014

20

Fils

afa

t Ma

tem

atik

a d

an

Alira

n-a

liran

Ma

tem

atik

a

KLAIM AJAYER

Generalisasi ilmiah mudah mengaku

menjadi keliru, sehingga kebenaran

matematika dan logika merupakan

suatu kepastian dan dibutuhkan semua

orang.

Kebenaran logika dan matematika

adalah proposisi analitik atau

TAUTOLOGIES

11

/29

/2014

21

Fils

afa

t Ma

tem

atik

a d

an

Alira

n-a

liran

Ma

tem

atik

a

Sebuah Tautologis adalah jika di analisis benar sesuai

dengan pemaknaan simbolnya maka dari itu tidak

dapat dikonfirmasi atau disangkal oleh fakta

pengalaman.

Penegasan pengetahuan matematika berdasarkan

kebenaran tertentu. Hal ini dibuktikan dari:

Aksioma matematika diasumsikan benar, untuk

tujuan pengembangan sistem yang sedang

dipertimbangkan

Aturan Logika Penarikan Penyimpulan adalah

kebenaran yang memungkinkan mereka mengambil

kesimpulan dari sebuah kebenaran.

Dengan dua keaturan ini diperoleh kesimpulan yang

benar.

11

/29

/2014

22

Fils

afa

tM

ate

ma

tika

da

nA

liran

-alira

n

Ma

tem

atik

a

PANDANGAN ABSOLUTIS

MATEMATIKA

Dua Jenis asumsi AbsolutisMatematika:

Menurut pakar matematika: Matematika ini berkaitan denganasumsi aksioma dan definisi

Menurut pakar logika: matematikayang berkaitan dengan asumsiaksioma, aturan menarik kesimpulandan bahasa formal dan sintak.

11

/29

/2014

23

Fils

afa

t Ma

tem

atik

a d

an

Alira

n-a

liran

Ma

tem

atik

a

RUNTUHNYA PANDANGAN ABSOLUTIS

Menurut Wilder (dalam Ernest, 1991 p: 8),

pandangan absolutis menemui masalah pada

permulaan permulaan abad 20, ketika

sejumlah antinomis dan kontradiksi yang

diturunkan dalam matematika. Kontradiksi

lainnya muncul adalah teori himpunan dan

teori fungsi. Penemuan ini berakibat

terkuburnya pandangan absolutis tentang

matematika. Jika matematika itu pasti dan

semua teoremanya pasti, bagaimana dapat

terjadi kontradiksi di antara teorema-teorema

itu?

11

/29

/2014

24

Fils

afa

t Ma

tem

atik

a d

an

Alira

n-a

liran

Ma

tem

atik

a

ALIRAN FILSAFAT MATEMATIKA11

/29

/2014

25

Fils

afa

t Ma

tem

atik

a d

an

Alira

n-a

liran

Ma

tem

atik

a

Logikalisme

Kontruktivisme

Formalisme

Intuisionisme

LOGIKALISME

semua konsep matematika

secara mutlak dapat

disederhanakan pada konsep

logika

semua kebenaran matematika

dapat dibuktikan dari aksioma

dan aturan melalui penarikan

kesimpulan secara logika

semata.

11

/29

/2014

26

Fils

afa

t Ma

tem

atik

a d

an

Alira

n-a

liran

Ma

tem

atik

a

LEIBNIZ

KLAIM LOGIKA

MENURUT BERTRAND RUSSEL

Jika semua matematika dapat dinyatakan

dalam istilah murni logis dan terbukti dari

prinsip-prinsip logis saja, kepastian

pengetahuan matematika dapat tereduksi

menjadi logika tersebut.

Melalui program logistis akan memberikan

dasar logis untuk pengetahuan matematika,

mendirikan kembali kepastian yang mutlak

dalam matematika.

Matematika membutuhkan aksioma non-

logis seperti aksioma tak terhingga dan

aksioma pilihan

11

/29

/2014

27

Fils

afa

t Ma

tem

atik

a d

an

Alira

n-a

liran

Ma

tem

atik

a

11

/29

/2014

28

Fils

afa

t Ma

tem

atik

a d

an

Alira

n-a

liran

Ma

tem

atik

a

KEBERATAN TERHADAP LOGISISME

MENURUT ERNEST

Bahwa pernyataan matematika sebagaiimpilikasi pernyataan sebelumnya, dengandemikian kebenaran-kebenaran aksiomasebelumnya memerlukan eksplorasi tanpamenyatakan benar atau salah. Hal inimengarah pada kekeliruan karena tidaksemua kebenaran matematika dapatdinyatakan sebagai pernyataan implikasi.

11

/29

/2014

29

Fils

afa

t Ma

tem

atik

a d

an

Alira

n-a

liran

Ma

tem

atik

a

A

KEBERATAN TERHADAP LOGISISME

MENURUT ERNEST

Teorema Ketidak sempurnaan Godel

menyatakan bahwa bukti deduktif tidak

cukup untuk mendemonstrasikan semua

kebenaran matematika. Oleh karena itu

reduksi yang sukses mengenai aksioma

matematika melalui logika belum cukup

untuk menurunkan semua kebenaran

matematika.

11

/29

/2014

30

Fils

afa

t Ma

tem

atik

a d

an

Alira

n-a

liran

Ma

tem

atik

a

B

KEBERATAN TERHADAP LOGISISME

MENURUT ERNEST

Kepastian dan keajegan logika bergantung

kepada asumsi-asumsi yang tidak teruji

dan tidak dijustifikasi. Program logisis

mengurangi kepastian pengetahuan

matematika dan merupakan kegagalan

prinsip dari logisisme. Logika tidak

menyediakan suatu dasar tertentu untuk

pengetahuan matematika.

11

/29

/2014

31

Fils

afa

t Ma

tem

atik

a d

an

Alira

n-a

liran

Ma

tem

atik

a

C

FORMALISME

Aliran formalisme menganggap sifat

alami dari matematika ialah sebagai

sistem lambang yang formal,

matematika bersangkut paut dengan

sifat–sifat struktural dari simbol –

simbol dan proses pengolahan

terhadap lambang – lambang itu.

Simbol – simbol dianggap mewakili

berbagai sasaran yang menjadi obyek

matematika.

11

/29

/2014

32

Fils

afa

t Ma

tem

atik

a d

an

Alira

n-a

liran

Ma

tem

atik

a

HILBERT

TESIS FORMALIS

MENURUT ERNEST

Matematika dapat dinyatakansebagai sistem formal yang tidakdapat ditafsirkan sebarangan,kebenaran matematika disajikanmelalui teorema-teorema formal.

Keamanan dari sistem formal inidapat didemostrasikan denganterbebasnya dari ketidakkonsistenan.

11

/29

/2014

33

Fils

afa

t Ma

tem

atik

a d

an

Alira

n-a

liran

Ma

tem

atik

a

KETIDAKLENGKAPAN TEOREMA KURT

GODEL

Teorema pertama menunjukkan bahwa

tidak semua kebenaran aritmatika dapat

diturunkan dari Peano Aksioma

Teorema kedua menunjukkan bahwa

dalam membuktikan kasus konsistensi

memerlukan meta-matematika lebih kuat

daripada sistem yang akan dilindungi,

yang dengan demikian tidak ada

perlindungan sama sekali

11

/29

/2014

34

Fils

afa

t Ma

tem

atik

a d

an

Alira

n-a

liran

Ma

tem

atik

a

Dapat kedua tuntutan formalisme

telah disangkal. Tidak semua

kebenaran matematika dapat

dipresentasikan sebagai teorema

dalam sistem formal, dan selanjtunya

sistem itu sendiri tidak dapat dijamin

kebenarannya.

11

/29

/2014

35

Fils

afa

t Ma

tem

atik

a d

an

Alira

n-a

liran

Ma

tem

atik

a

11

/29

/2014

36

Fils

afa

t Ma

tem

atik

a d

an

Alira

n-a

liran

Ma

tem

atik

a

INTUISIONISME

Intuisionisme seperti L.E.J. Brouwer(1882-1966), berpendapat bahwamatematika suatu kreasi akal budimanusia. Bilangan, seperti ceritabohong adalah hanya entitas mental,tidak akan ada apabila tidak ada akalbudi manusia memikirkannya.

11

/29

/2014

37

Fils

afa

t Ma

tem

atik

a d

an

Alira

n-a

liran

Ma

tem

atik

a

Selanjutnya intuisionis menyatakan bahwa

obyek segala sesuatu termasuk matematika,

keberadaannya hanya terdapat pada pikiran

kita, sedangkan secara eksternal dianggap

tidak ada. Kebenaran pernyataan p tidak

diperoleh melalui kaitan dengan obyek

realitas, oleh karena itu intusionisme tidak

menerima kebenaran logika bahwa yang

benar itu p atau bukan p

11

/29

/2014

38

Fils

afa

t Ma

tem

atik

a d

an

Alira

n-a

liran

Ma

tem

atik

a

Intuisionisme mengaku memberikan suatu

dasar untuk kebenaran matematika menurut

versinya, dengan menurunkannya (secara

mental) dari aksioma-aksioma intuitif

tertentu, penggunaan intuitif merupakan

metode yang aman dalam pembuktian.

Pandangan ini berdasarkan pengetahuan

yang eksklusif pada keyakinan yang

subyektif

11

/29

/2014

39

Fils

afa

t Ma

tem

atik

a d

an

Alira

n-a

liran

Ma

tem

atik

a

ADA BERBAGAI MACAM KEBERATAN TERHADAP

INTUSIONISME

(1) intusionisme tidak dapat mempertanggung

jawabkan bahwa obyek matematika bebas,

jika tidak ada manusia apakah 2 + 2 masih

tetap 4;

(2) matematisi intusionisme adalah manusia

timpang yang buruk dengan menolak

hukum logika p atau bukan p dan

mengingkari ketakhinggaan, bahwa mereka

hanya memiliki sedikit pecahan pada

matematika masa kini.

11

/29

/2014

40

Fils

afa

t Ma

tem

atik

a d

an

Alira

n-a

liran

Ma

tem

atik

a

JAWABAN INTUISONISME

Tidak ada dapat diperbuat untuk manusia

untuk mencoba membayangkansuatu dunia

tanpa manusia;

Lebih baik memiliki sejumlah sejumlah kecil

matematika yang kokoh dan ajeg dari pada

memiliki sejumlah besar matematika yang

kebanyakan omong kosong

11

/29

/2014

41

Fils

afa

t Ma

tem

atik

a d

an

Alira

n-a

liran

Ma

tem

atik

a

KONSTRUKTIVISME

Kontrutivisme dalam filsafat matematikadapat ditelusuri dari tokoh Kant danKronecker. Menurut pahamkonstruktivisme, pengetahuan diperolehmelalui proses aktif individumengkonstruksi arti dari suatu teks,pengalaman fisik, dialog, dan lain-lainmelalui asimilasi pengalaman baru denganpengertian yang telah dimiliki seseorang.Tujuan pendidikannya menghasilkanindividu yang memiliki kemampuan berpikiruntuk menyelesaikan persoalan hidupnya.

11

/29

/2014

42

Fils

afa

t Ma

tem

atik

a d

an

Alira

n-a

liran

Ma

tem

atik

a

Pengetahuan bukan tiruan dari realitas, bukan juga

gambaran dari dunia kenyataan yang ada.

11

/29

/2014

43

Fils

afa

t Ma

tem

atik

a d

an

Alira

n-a

liran

Ma

tem

atik

a

Konstruktivisme adalah salah satu filsafat

pengetahuan yang menekankan bahwa

pengetahuan adalah bentukan (konstruksi) kita

sendiri.

Pengetahuan merupakan hasil dari konstruksi

kognitif melalui kegiatan seseorang dengan

membuat struktur, kategori, konsep, dan skema

yang diperlukan untuk membentuk pengetahuan

tersebut.

TERIMA KASIH

11

/29

/2014

44

Fils

afa

t Ma

tem

atik

a d

an

Alira

n-a

liran

Ma

tem

atik

a