filsafat matematika dan aliran-aliran filsafat matematika
TRANSCRIPT
FILSAFAT MATEMATIKA
TUJUAN
11
/29
/2014
2
Fils
afa
t Ma
tem
atik
a d
an
Alira
n-a
liran
Ma
tem
atik
a
FILSAFAT MATEMATIKA MENGAJUKAN
PERTANYAN- PERTANYAAN SEPERTI:
Apa dasar dari pengetahuan
matematika?
Apa hakekat kebenaran matematika?
Apa yang mencirikan matematika?
Apa pembenaran kebenaran
matematika?
Mengapa kebenaran matematika
dianggap sebagai kebenaran yang
mendasar?
11
/29
/2014
3
Fils
afa
t Ma
tem
atik
a d
an
Alira
n-a
liran
Ma
tem
atik
a
11
/29
/2014
4
Fils
afa
t Ma
tem
atik
a d
an
Alira
n-a
liran
Ma
tem
atik
a
FILSAFAT MATEMATIKA SEBAGAI PONDASI
PENGETAHUAN MATEMATIKA
Artinya:
Filsafat menyediakan sistem di mana
pengetahuan matematika dapat secara
sistematis untuk membangun
kebenarannya. Hal ini tergantung pada
asumsi, yang diadopsi secara luas,
secara implisit atau secara eksplisit.
11
/29
/2014
5
Fils
afa
t Ma
tem
atik
a d
an
Alira
n-a
liran
Ma
tem
atik
a
Asumsi matematika merupakan dasar
pengetahuan matematika. Pondasi
matematika terikat dengan pandangan
absolut, yang bertugas untuk
membenarkan pandangan pengetahuan
matematika.
11
/29
/2014
6
Fils
afa
t Ma
tem
atik
a d
an
Alira
n-a
liran
Ma
tem
atik
a
PERANAN FILSAFAT
MATEMATIKA
Memberikan landasan yang
sistematis dan mutlak untuk
pengetahuan matematika berupa
kebenaran matematika.
11
/29
/2014
7
Fils
afa
t Ma
tem
atik
a d
an
Alira
n-a
liran
Ma
tem
atik
a
MATEMATIKA SEBAGAI PARADIGMA
PENGETAHUAN TERTENTU
Eucluid: struktur logis merupakan elemen
matematika, sebagai paragdima untuk mendirikan
kebenaran dan kepastian.
Newton: penjelasan kebenaran secara sistematis
merupakan element matematika
11
/29
/2014
8
Fils
afa
t Ma
tem
atik
a d
an
Alira
n-a
liran
Ma
tem
atik
aHAKIKAT MATEMATIKA
PENGETAHUAN
Kepercayaan yang dibenarkan dengan alasan-alasan
yang logis untuk menegaskan kebenaran pernyataan
itu.
11
/29
/2014
9
Fils
afa
t Ma
tem
atik
a d
an
Alira
n-a
liran
Ma
tem
atik
a
A priori pengetahuan terdiri
dari proposisi yang
menegaskan atas dasar alasan
saja, tanpa bantuan
pengamatan dunia. Dengan
menggunakan logika deduktif
yang berasal dari istilah dan
defenisi
posteriori terdiri dari
proposisi menegaskan
pada berdasarkan
pengalaman, yaitu,
berdasarkan pengamatan
dari dunia.
Dengan demikian dasar pengetahuan
matematika merupakan alasan untuk
menyatakan kebenaran proposisi matematika,
yang terdiri dari bukti deduktif.
11
/29
/2014
10
Fils
afa
tM
ate
ma
tika
da
nA
liran
-alira
n
Ma
tem
atik
a
Logika Deduktif Defenisi
Alasan Yang
Logis
Aksioma /
Postulat
CIRI UTAMA MATEMATIKA
11
/29
/2014
11
Fils
afa
t Ma
tem
atik
a d
an
Alira
n-a
liran
Ma
tem
atik
a
11
/29
/2014
12
Fils
afa
t Ma
tem
atik
a d
an
Alira
n-a
liran
Ma
tem
atik
a
AksiomaSuatu Pernyataan yang bisa
dilihat kebenarannya tanpa
perlu adanya bukti
DEFENISI
Suatu Pernyataan yang
implisit yang perlu adanya
bukti yang diperoleh dari
aksioma-aksioma
TEOREMA Suatu Pernyataan yang
berhubungan dengan defenisi-
defensi
PEMBUKTIAN 1 + 1 = 211
/29
/2014
13
Fils
afa
t Ma
tem
atik
a d
an
Alira
n-a
liran
Ma
tem
atik
a
Dasar Berfikir, dari Aritmatika Peano
S0=1
S1=2
x + 0 = x
x +sy = s (x + y)
P(r) ; r = t => P(t)
P(v) => P(c)
Defenisi
Aksioma
Reason
r, t, v, c merupakan variable dan konstanta
ASUMSI YANG DIGUNAKAN
Asumsi matematika yang digunakan
adalah definisi (D1 dan D2) dan aksioma
(A1 dan A2).
Asumsi logis adalah aturan kesimpulan
yang digunakan (R1 dan R2), yang
merupakan bagian yang mendasari bukti
dari teori, dan kalimat yang mendasari
bahasa formal.
11
/29
/2014
14
Fils
afa
t Ma
tem
atik
a d
an
Alira
n-a
liran
Ma
tem
atik
a
AKAN DIBUKTIKAN 1+1=2; MAKA11
/29
/2014
15
Fils
afa
t Ma
tem
atik
a d
an
Alira
n-a
liran
Ma
tem
atik
a
S1 x+sy = s(x+y) A2
S2 1+sy = s(1+y) R2; v= x c=1
S4 x+0 = x A1
S3 1+s0 = s(1+0) R2; v= y c=0
S5 1 + 0 = 1 R2; v= x c=1
S6 1+s0 = s1 R1 dari S3 & S5;
r=1+0 t=1
11
/29
/2014
Fils
afa
t Ma
tem
atik
a d
an
Alira
n-a
liran
Ma
tem
atik
a
16
S9 s1=2 D2
S10 1 + 1 = 2 R1 dari S8 & S9;
r=s1 t=2
S7 s0=1 D1
S8 1 + 1 = s1 R1 dari S6 & S7;
r=s0 t=1
S6 1+s0 = s1 R1 dari S3 & S5;
r=1+0 t=1
Terbukti bahwa 1+1=2, yang berasal dari bukti deduktif
dengan menetapkan jaminan logis untuk menegaskan
suatu pernyataan yang kemudian ditegaskan berdasarkan
penalaran
MANFAAT ILMU MATEMATIKA
Menjadikan pola pikir manusia
yang mempelajarinya menjadi pola
pikir matematis yang sistematis,
logis, kritis, dengan penuh
kecermatan.
11
/29
/2014
17
Fils
afa
t Ma
tem
atik
a d
an
Alira
n-a
liran
Ma
tem
atik
a
PANDANGAN ABSOLUTIS
MATEMATIKA
Menurut pandangan ini, pengetahuanmatematika terdiri kebenaran mutlak,
dan merupakan wilayah yang unik daripengetahuan tertentu, selain logika dan
pernyataan yang benar berdasarkanmakna istilah
11
/29
/2014
18
Fils
afa
t Ma
tem
atik
a d
an
Alira
n-a
liran
Ma
tem
atik
a
Contoh:“Semua Bujangan Belum Menikah”
11
/29
/2014
19
Fils
afa
t Ma
tem
atik
a d
an
Alira
n-a
liran
Ma
tem
atik
a
Jadi menurut Hempel pandanganabsolut matematika adalah validitasmatematika berasal dari ketentuanyang menentukan arti dari konsep-konsep matematika, dan bahwaproposisi matematika pada dasarnya'benar menurut definisi'
PEMIKIRAN ABSOLUT, MENYATAKAN:
Matematika adalah suatu kemungkinan dan
kenyataan yang tak terbantahkan dan
merupakan ilmu pengetahuan yang objektif
Matematika adalah kebenaran Matematika
dapat dibenarkan dan tidak pernah bisa
ditentang, diperbaiki maupun dikoreksi.
Liang Gie menyatakan Filsafat Matematika
merupakan sudut pandang yang menyusun
dan mempersatukan berbagai bagian dan
kepingan Matematika berdasarkan beberapa
asas dasar.
11
/29
/2014
20
Fils
afa
t Ma
tem
atik
a d
an
Alira
n-a
liran
Ma
tem
atik
a
KLAIM AJAYER
Generalisasi ilmiah mudah mengaku
menjadi keliru, sehingga kebenaran
matematika dan logika merupakan
suatu kepastian dan dibutuhkan semua
orang.
Kebenaran logika dan matematika
adalah proposisi analitik atau
TAUTOLOGIES
11
/29
/2014
21
Fils
afa
t Ma
tem
atik
a d
an
Alira
n-a
liran
Ma
tem
atik
a
Sebuah Tautologis adalah jika di analisis benar sesuai
dengan pemaknaan simbolnya maka dari itu tidak
dapat dikonfirmasi atau disangkal oleh fakta
pengalaman.
Penegasan pengetahuan matematika berdasarkan
kebenaran tertentu. Hal ini dibuktikan dari:
Aksioma matematika diasumsikan benar, untuk
tujuan pengembangan sistem yang sedang
dipertimbangkan
Aturan Logika Penarikan Penyimpulan adalah
kebenaran yang memungkinkan mereka mengambil
kesimpulan dari sebuah kebenaran.
Dengan dua keaturan ini diperoleh kesimpulan yang
benar.
11
/29
/2014
22
Fils
afa
tM
ate
ma
tika
da
nA
liran
-alira
n
Ma
tem
atik
a
PANDANGAN ABSOLUTIS
MATEMATIKA
Dua Jenis asumsi AbsolutisMatematika:
Menurut pakar matematika: Matematika ini berkaitan denganasumsi aksioma dan definisi
Menurut pakar logika: matematikayang berkaitan dengan asumsiaksioma, aturan menarik kesimpulandan bahasa formal dan sintak.
11
/29
/2014
23
Fils
afa
t Ma
tem
atik
a d
an
Alira
n-a
liran
Ma
tem
atik
a
RUNTUHNYA PANDANGAN ABSOLUTIS
Menurut Wilder (dalam Ernest, 1991 p: 8),
pandangan absolutis menemui masalah pada
permulaan permulaan abad 20, ketika
sejumlah antinomis dan kontradiksi yang
diturunkan dalam matematika. Kontradiksi
lainnya muncul adalah teori himpunan dan
teori fungsi. Penemuan ini berakibat
terkuburnya pandangan absolutis tentang
matematika. Jika matematika itu pasti dan
semua teoremanya pasti, bagaimana dapat
terjadi kontradiksi di antara teorema-teorema
itu?
11
/29
/2014
24
Fils
afa
t Ma
tem
atik
a d
an
Alira
n-a
liran
Ma
tem
atik
a
ALIRAN FILSAFAT MATEMATIKA11
/29
/2014
25
Fils
afa
t Ma
tem
atik
a d
an
Alira
n-a
liran
Ma
tem
atik
a
Logikalisme
Kontruktivisme
Formalisme
Intuisionisme
LOGIKALISME
semua konsep matematika
secara mutlak dapat
disederhanakan pada konsep
logika
semua kebenaran matematika
dapat dibuktikan dari aksioma
dan aturan melalui penarikan
kesimpulan secara logika
semata.
11
/29
/2014
26
Fils
afa
t Ma
tem
atik
a d
an
Alira
n-a
liran
Ma
tem
atik
a
LEIBNIZ
KLAIM LOGIKA
MENURUT BERTRAND RUSSEL
Jika semua matematika dapat dinyatakan
dalam istilah murni logis dan terbukti dari
prinsip-prinsip logis saja, kepastian
pengetahuan matematika dapat tereduksi
menjadi logika tersebut.
Melalui program logistis akan memberikan
dasar logis untuk pengetahuan matematika,
mendirikan kembali kepastian yang mutlak
dalam matematika.
Matematika membutuhkan aksioma non-
logis seperti aksioma tak terhingga dan
aksioma pilihan
11
/29
/2014
27
Fils
afa
t Ma
tem
atik
a d
an
Alira
n-a
liran
Ma
tem
atik
a
11
/29
/2014
28
Fils
afa
t Ma
tem
atik
a d
an
Alira
n-a
liran
Ma
tem
atik
a
KEBERATAN TERHADAP LOGISISME
MENURUT ERNEST
Bahwa pernyataan matematika sebagaiimpilikasi pernyataan sebelumnya, dengandemikian kebenaran-kebenaran aksiomasebelumnya memerlukan eksplorasi tanpamenyatakan benar atau salah. Hal inimengarah pada kekeliruan karena tidaksemua kebenaran matematika dapatdinyatakan sebagai pernyataan implikasi.
11
/29
/2014
29
Fils
afa
t Ma
tem
atik
a d
an
Alira
n-a
liran
Ma
tem
atik
a
A
KEBERATAN TERHADAP LOGISISME
MENURUT ERNEST
Teorema Ketidak sempurnaan Godel
menyatakan bahwa bukti deduktif tidak
cukup untuk mendemonstrasikan semua
kebenaran matematika. Oleh karena itu
reduksi yang sukses mengenai aksioma
matematika melalui logika belum cukup
untuk menurunkan semua kebenaran
matematika.
11
/29
/2014
30
Fils
afa
t Ma
tem
atik
a d
an
Alira
n-a
liran
Ma
tem
atik
a
B
KEBERATAN TERHADAP LOGISISME
MENURUT ERNEST
Kepastian dan keajegan logika bergantung
kepada asumsi-asumsi yang tidak teruji
dan tidak dijustifikasi. Program logisis
mengurangi kepastian pengetahuan
matematika dan merupakan kegagalan
prinsip dari logisisme. Logika tidak
menyediakan suatu dasar tertentu untuk
pengetahuan matematika.
11
/29
/2014
31
Fils
afa
t Ma
tem
atik
a d
an
Alira
n-a
liran
Ma
tem
atik
a
C
FORMALISME
Aliran formalisme menganggap sifat
alami dari matematika ialah sebagai
sistem lambang yang formal,
matematika bersangkut paut dengan
sifat–sifat struktural dari simbol –
simbol dan proses pengolahan
terhadap lambang – lambang itu.
Simbol – simbol dianggap mewakili
berbagai sasaran yang menjadi obyek
matematika.
11
/29
/2014
32
Fils
afa
t Ma
tem
atik
a d
an
Alira
n-a
liran
Ma
tem
atik
a
HILBERT
TESIS FORMALIS
MENURUT ERNEST
Matematika dapat dinyatakansebagai sistem formal yang tidakdapat ditafsirkan sebarangan,kebenaran matematika disajikanmelalui teorema-teorema formal.
Keamanan dari sistem formal inidapat didemostrasikan denganterbebasnya dari ketidakkonsistenan.
11
/29
/2014
33
Fils
afa
t Ma
tem
atik
a d
an
Alira
n-a
liran
Ma
tem
atik
a
KETIDAKLENGKAPAN TEOREMA KURT
GODEL
Teorema pertama menunjukkan bahwa
tidak semua kebenaran aritmatika dapat
diturunkan dari Peano Aksioma
Teorema kedua menunjukkan bahwa
dalam membuktikan kasus konsistensi
memerlukan meta-matematika lebih kuat
daripada sistem yang akan dilindungi,
yang dengan demikian tidak ada
perlindungan sama sekali
11
/29
/2014
34
Fils
afa
t Ma
tem
atik
a d
an
Alira
n-a
liran
Ma
tem
atik
a
Dapat kedua tuntutan formalisme
telah disangkal. Tidak semua
kebenaran matematika dapat
dipresentasikan sebagai teorema
dalam sistem formal, dan selanjtunya
sistem itu sendiri tidak dapat dijamin
kebenarannya.
11
/29
/2014
35
Fils
afa
t Ma
tem
atik
a d
an
Alira
n-a
liran
Ma
tem
atik
a
11
/29
/2014
36
Fils
afa
t Ma
tem
atik
a d
an
Alira
n-a
liran
Ma
tem
atik
a
INTUISIONISME
Intuisionisme seperti L.E.J. Brouwer(1882-1966), berpendapat bahwamatematika suatu kreasi akal budimanusia. Bilangan, seperti ceritabohong adalah hanya entitas mental,tidak akan ada apabila tidak ada akalbudi manusia memikirkannya.
11
/29
/2014
37
Fils
afa
t Ma
tem
atik
a d
an
Alira
n-a
liran
Ma
tem
atik
a
Selanjutnya intuisionis menyatakan bahwa
obyek segala sesuatu termasuk matematika,
keberadaannya hanya terdapat pada pikiran
kita, sedangkan secara eksternal dianggap
tidak ada. Kebenaran pernyataan p tidak
diperoleh melalui kaitan dengan obyek
realitas, oleh karena itu intusionisme tidak
menerima kebenaran logika bahwa yang
benar itu p atau bukan p
11
/29
/2014
38
Fils
afa
t Ma
tem
atik
a d
an
Alira
n-a
liran
Ma
tem
atik
a
Intuisionisme mengaku memberikan suatu
dasar untuk kebenaran matematika menurut
versinya, dengan menurunkannya (secara
mental) dari aksioma-aksioma intuitif
tertentu, penggunaan intuitif merupakan
metode yang aman dalam pembuktian.
Pandangan ini berdasarkan pengetahuan
yang eksklusif pada keyakinan yang
subyektif
11
/29
/2014
39
Fils
afa
t Ma
tem
atik
a d
an
Alira
n-a
liran
Ma
tem
atik
a
ADA BERBAGAI MACAM KEBERATAN TERHADAP
INTUSIONISME
(1) intusionisme tidak dapat mempertanggung
jawabkan bahwa obyek matematika bebas,
jika tidak ada manusia apakah 2 + 2 masih
tetap 4;
(2) matematisi intusionisme adalah manusia
timpang yang buruk dengan menolak
hukum logika p atau bukan p dan
mengingkari ketakhinggaan, bahwa mereka
hanya memiliki sedikit pecahan pada
matematika masa kini.
11
/29
/2014
40
Fils
afa
t Ma
tem
atik
a d
an
Alira
n-a
liran
Ma
tem
atik
a
JAWABAN INTUISONISME
Tidak ada dapat diperbuat untuk manusia
untuk mencoba membayangkansuatu dunia
tanpa manusia;
Lebih baik memiliki sejumlah sejumlah kecil
matematika yang kokoh dan ajeg dari pada
memiliki sejumlah besar matematika yang
kebanyakan omong kosong
11
/29
/2014
41
Fils
afa
t Ma
tem
atik
a d
an
Alira
n-a
liran
Ma
tem
atik
a
KONSTRUKTIVISME
Kontrutivisme dalam filsafat matematikadapat ditelusuri dari tokoh Kant danKronecker. Menurut pahamkonstruktivisme, pengetahuan diperolehmelalui proses aktif individumengkonstruksi arti dari suatu teks,pengalaman fisik, dialog, dan lain-lainmelalui asimilasi pengalaman baru denganpengertian yang telah dimiliki seseorang.Tujuan pendidikannya menghasilkanindividu yang memiliki kemampuan berpikiruntuk menyelesaikan persoalan hidupnya.
11
/29
/2014
42
Fils
afa
t Ma
tem
atik
a d
an
Alira
n-a
liran
Ma
tem
atik
a
Pengetahuan bukan tiruan dari realitas, bukan juga
gambaran dari dunia kenyataan yang ada.
11
/29
/2014
43
Fils
afa
t Ma
tem
atik
a d
an
Alira
n-a
liran
Ma
tem
atik
a
Konstruktivisme adalah salah satu filsafat
pengetahuan yang menekankan bahwa
pengetahuan adalah bentukan (konstruksi) kita
sendiri.
Pengetahuan merupakan hasil dari konstruksi
kognitif melalui kegiatan seseorang dengan
membuat struktur, kategori, konsep, dan skema
yang diperlukan untuk membentuk pengetahuan
tersebut.
TERIMA KASIH
11
/29
/2014
44
Fils
afa
t Ma
tem
atik
a d
an
Alira
n-a
liran
Ma
tem
atik
a