fibich fs laser tissue interaction

7/31/2019 Fibich Fs Laser Tissue Interaction

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F e m t o s e c o n d l a s e r - t i s s u e i n t e r a c t i o n s

G . F i b i c h

U n i v e r s i t y o f C a l i f o r n i a , L o s A n g e l e s , D e p a r t m e n t o f M a t h e m a t i c s

L o s - A n g e l e s , C A 9 0 0 9 5

A B S T R A C T

T i m e d i s p e r s i o n p l a y s a n i m p o r t a n t r o l e i n t h e p r o p a g a t i o n o f f e m t o s e c o n d p u l s e s t h r o u g h w a t e r . T h e c o m -

b i n e d e e c t s o f t i m e d i s p e r s i o n , r a d i a l d i r a c t i o n a n d t h e K e r r n o n l i n e a r i t y o n t h e p u l s e p r o p a g a t i o n a r e a n a l y z e d

a n d i t i s s h o w n t h a t n o r m a l t i m e d i s p e r s i o n l e a d s t o s i g n i c a n t t e m p o r a l b r o a d e n i n g o f u l t r a s h o r t p u l s e s a n d t h a t

i t i n c r e a s e s t h e t h r e s h o l d p o w e r f o r c a t a s t r o p h i c s e l f - f o c u s i n g .

K e y w o r d s : t i m e d i s p e r s i o n , u l t r a s h o r t p u l s e , s e l f f o c u s i n g , o p t i c a l b r e a k d o w n

1 I N T R O D U C T I O N

T h e i n t e r p r e t a t i o n o f h i g h i n t e n s i t y l a s e r e x p e r i m e n t s s u c h a s o p t i c a l b r e a k d o w n o r r e t i n a l d a m a g e r e q u i r e s

i n f o r m a t i o n o n t h e e l e c t r i c e l d a t t h e t a r g e t a r e a . I n m a n y c a s e s a d i r e c t m e a s u r e m e n t i s n o t p o s s i b l e a n d

t h e e l e c t r i c e l d v a l u e i s c a l c u l a t e d u s i n g l i n e a r d i r a c t i v e o p t i c s f o r m u l a s f o r t h e p u l s e p r o p a g a t i o n t h r o u g h t h e

m e d i a a n d t h e p u l s e c h a r a c t e r i s t i c s b e f o r e e n t e r i n g t h e m e d i a . T h e u s e o f a l i n e a r m o d e l m a y b e i n c o r r e c t i f

t h e p u l s e p o w e r i s c o m p a r a b l e t o t h e c r i t i c a l p o w e r f o r n o n l i n e a r s e l f - f o c u s i n g . I n t h i s w o r k w e s u g g e s t t h a t i n

p r o p a g a t i o n o f u l t r a s h o r t p u l s e s t i m e d i s p e r s i o n a l s o p l a y s a n i m p o r t a n t r o l e . T h e r e f o r e , t h e r e i s a n e e d f o r a

s i m p l e m o d e l t h a t p r e d i c t s h o w t h e c o m b i n a t i o n o f r a d i a l d i r a c t i o n , t i m e d i s p e r s i o n a n d t h e K e r r n o n l i n e a r i t y

e e c t t h e p r o p a g a t i o n o f u l t r a s h o r t l a s e r p u l s e s t h r o u g h a n a q u e o u s m e d i a .

T i m e d i s p e r s i o n c a n b e n o r m a l o r a n o m a l o u s a n d i t s e e c t i s d i e r e n t i n e a c h c a s e . T h e q u a l i t a t i v e p i c t u r e

i s c l e a r e r i n t h e c a s e o f a n o m a l o u s t i m e d i s p e r s i o n : B o t h t i m e d i s p e r s i o n a n d r a d i a l d i r a c t i o n a r e o f t h e s a m e

s i g n a n d t h e p r o p a g a t i o n d y n a m i c s a r e d e t e r m i n e d b y t h e b a l a n c e b e t w e e n t h e 3 D f o c u s i n g K e r r n o n l i n e a r i t y

a n d t h e 3 D d e f o c u s i n g L a p l a c i a n . W h i l e t h e m o d e l t h a t w e u s e i n t h i s w o r k c o v e r t h i s c a s e , f r o m n o w o n w e w i l l

c o n c e n t r a t e o n t h e m o r e c o m p l i c a t e d c a s e w h e n n o r m a l t i m e d i s p e r s i o n a n d r a d i a l d i r a c t i o n h a v e o p p o s i t e s i g n s .


2/9

t

r

z

R 1

R 1

F i g u r e 1 : A c i g a r - l i k e p u l s e t o p a n d a d i s c - l i k e p u l s e b o t t o m

I n t h e a b s e n c e o f r a d i a l d i r a c t i o n t h e e q u a t i o n g o v e r n i n g t h e p u l s e p r o p a g a t i o n i s t h e s a m e a s t h e e q u a t i o n f o r

p u l s e p r o p a g a t i o n t h r o u g h o p t i c a l b e r s

3

a n d b o t h n o r m a l t i m e d i s p e r s i o n a n d t h e K e r r n o n l i n e a r i t y c o n t r i b u t e

t o t h e t e m p o r a l b r o a d e n i n g o f t h e p u l s e a s i t p r o p a g a t e s . A d i e r e n t d y n a m i c s i s o b s e r v e d i n t h e a b s e n c e o f t i m e

d i s p e r s i o n : T h e p u l s e r a d i u s i s d e t e r m i n e d b y t h e c o m p e t i t i o n b e t w e e n t h e s e l f - f o c u s i n g K e r r n o n l i n e a r i t y a n d

r a d i a l d i r a c t i o n . T h e m a g n i t u d e o f n o n l i n e a r s e l f - f o c u s i n g i s p r o p o r t i o n a l t o t h e p u l s e p o w e r a n d i s s t r o n g e r

t h a n r a d i a l d i r a c t i o n w h e n t h e p u l s e p o w e r i s a b o v e t h e c r i t i c a l p o w e r f o r s e l f - f o c u s i n g .

T h e m a i n q u e s t i o n t h a t w e a d d r e s s i n t h i s w o r k i s h o w t h e p u l s e p r o p a g a t e s w h e n a l l t h r e e m e c h a n i s m s a c t

t o g e t h e r . N o t e t h a t b e c a u s e o f t h e n o n l i n e a r i t y o n e c a n n o t s i m p l y s u p e r i m p o s e t h e e e c t o f e a c h m e c h a n i s m .

M o s t t h e o r e t i c a l s t u d i e s h a v e c o n c e n t r a t e d o n t h e c a s e o f s m a l l t i m e d i s p e r s i o n .

4 , 5

T h e s e s t u d i e s s h o w e d t h a t i f

t h e p u l s e i s s e l f - f o c u s i n g e v e n s m a l l n o r m a l t i m e d i s p e r s i o n c a n h a v e a n i m p o r t a n t e e c t b y d e l a y i n g t h e o n s e t

o f s e l f - f o c u s i n g a n d l e a d i n g t o t h e t e m p o r a l s p l i t t i n g o f t h e p u l s e i n t o t w o p u l s e s . T h e c a s e o f n o n - s m a l l n o r m a l

t i m e d i s p e r s i o n w a s s t u d i e d i n

2 , 6

a n d i t w a s s h o w n t h a t n o r m a l t i m e d i s p e r s i o n i n c r e a s e s t h e t h r e s h o l d p o w e r

f o r c a t a s t r o p h i c s e l f - f o c u s i n g . R e c e n t l y , B e r g e a n d R a s m u s s e n d e r i v e d a m a t h e m a t i c a l m o d e l f o r p r o p a g a t i o n

o f G a u s s i a n p u l s e s u n d e r t i m e d i s p e r s i o n , r a d i a l d i s p e r s i o n a n d K e r r n o n l i n e a r i t y .

1

I n t h i s w o r k w e u s e t h e i r

m o d e l t o a n a l y z e t h e i n t e r a c t i o n b e t w e e n t h e s e t h r e e m e c h a n i s m s a n d t o c a l c u l a t e t h e c h a n g e s i n t h e r a d i a l a n d

t e m p o r a l w i d t h o f t h e p u l s e a s i t p r o p a g a t e s .

2 T H E M O D E L

I n t h i s s e c t i o n w e p r e s e n t a s i m p l i e d m o d e l f o r u l t r a s h o r t l a s e r p u l s e p r o p a g a t i o n . F o r a d e r i v a t i o n o f t h e

m o d e l s e e a p p e n d i x 6 . 1 .

T h e p r o p a g a t i o n o f a f e m t o s e c o n d l a s e r p u l s e t h r o u g h a n a q u e o u s m e d i a i s d e s c r i b e d b y t h e n o n l i n e a r

S c h r o d i n g e r e q u a t i o n w i t h t i m e d i s p e r s i o n 6 . I n t h i s e q u a t i o n t h e r e l a t i v e m a g n i t u d e o f t i m e d i s p e r s i o n c a n b e

w r i t t e n a s

3

= R G ; R =

r

0

c T

0

2

; G = !

0

n

0

!

@

2

@ !

2

"

! n

0

!

!

0

: 1

T h e v a l u e o f R i s p r o p o r t i o n a l t o t h e r a t i o o f t h e p u l s e i n i t i a l r a d i u s r

0

t o i t s i n i t i a l t e m p o r a l p u l s e w i d t h c T

0

.

T h e r e f o r e , R i s s m a l l f o r p u l s e s t h a t a r e ` c i g a r - l i k e ' l o n g a n d n a r r o w b u t i s l a r g e f o r ` d i s c - l i k e ' s h o r t a n d

w i d e p u l s e s . N o t e t h a t f e m t o s e c o n d p u l s e s a r e u s u a l l y ` d i s c - l i k e ' : R = 1 0 0 f o r a 1 0 0 f e m t o s e c o n d p u l s e w i t h

0 : 3 m m r a d i u s . G i s t h e n o n d i m e n s i o n a l g r o u p v e l o c i t y d i s p e r s i o n o f t h e m e d i a a t t h e p u l s e f r e q u e n c y a n d i t s

s i g n d e t e r m i n e s w h e t h e r t i m e d i s p e r s i o n i s n o r m a l 0 o r a n o m a l o u s 0 . I n t h e v i s i b l e r e g i m e j G j 1

s i n c e t h e v a l u e o f n

0

f o r w a t e r i s a l m o s t c o n s t a n t a n d t i m e d i s p e r s i o n m a g n i t u d e c a n b e c o m e c o m p a r a b l e t o

r a d i a l d i s p e r s i o n o n l y f o r d i s c - l i k e p u l s e s .


3/9

D i r e c t a n a l y s i s a n d s i m u l a t i o n s o f t h e n o n l i n e a r S c h r o d i n g e r e q u a t i o n w i t h n o r m a l t i m e d i s p e r s i o n a r e d i c u l t .

H o w e v e r , t h e m a t h e m a t i c a l m o d e l c a n b e c o n s i d e r a b l y s i m p l i e d i f w e c o n s i d e r p u l s e s w i t h a n i n i t i a l G a u s s i a n

p r o l e a n d a s s u m e t h a t t h e y m a i n t a i n a G a u s s i a n p r o l e d u r i n g t h e i r p r o p a g a t i o n . I n t h i s c a s e t h e p r o p a g a t i o n

d y n a m i c s c a n b e a p p r o x i m a t e d b y

1

:

l

z z

=

1

l

3

z

1 ,

P

0

P

c

1

L z

2

L

z z

=

1

L

3

z

2

+ D

P

0

P

c

L z

l

2

z

; D

=

8 : 2 7 : 3

H e r e L z a n d l z a r e t h e t e m p o r a l a n d r a d i a l b r o a d e n i n g f a c t o r s , r e s p e c t i v e l y , z i s g i v e n i n u n i t s o f t h e d i r a c t i o n

l e n g t h l

d i f f

= k

0

r

2

0

, P

0

i s t h e i n i t i a l p e a k p o w e r a n d P

c

= 1 : 2 2

2

2

0

= 3 2 n

0

n

2

i s t h e c r i t i c a l p o w e r f o r s e l f - f o c u s i n g

i n t h e a b s e n c e o f t i m e d i s p e r s i o n . T h e i n i t i a l c o n d i t i o n s a r e g i v e n a t t h e m e d i a i n t e r f a c e a t z = 0 :

l 0 = 1 ; L 0 = 1 ; l

z

0 =

l

d i f f

R

l e n s

; L

z

0 = C : 4

a n d t h e y i n c l u d e t h e p o s s i b i l i t y o f a n i n i t i a l f r e q u e n c y c h i r p C a n d a l e n s w i t h f o c a l l e n g t h R

l e n s

l o c a t e d a t z = 0 .

3 T H E P R O P A G A T I O N D Y N A M I C S

W e b e g i n b y c o n s i d e r i n g t h e c a s e o f a n u n c h i r p e d c o l l i m a t e d b e a m i . e . l

z

0 = L

z

0 = 0 . E q u a t i o n 2 s h o w s

t h a t t h e p u l s e f o c u s e s r a d i a l l y w h e n i t s p e a k p o w e r P

0

= L z i s l a r g e r t h a n t h e c r i t i c a l p o w e r f o r s e l f - f o c u s i n g P

c

a n d d e f o c u s e s o t h e r w i s e . E q u a t i o n 3 s h o w s t h a t b o t h n o r m a l t i m e d i s p e r s i o n a n d t h e n o n l i n e a r i t y c o n t r i b u t e

t o t e m p o r a l b r o a d e n i n g o f t h e p u l s e . B y s o l v i n g

L

z z

2

L

3

; L 0 = 1 ; L

z

0 = 0

w e c a n g e t a l o w e r b o u n d e s t i m a t e f o r t e m p o r a l b r o a d e n i n g :

L

2

z

2

z

2

+ 1 :

T h e r e f o r e , t h e p u l s e d u r a t i o n w i l l m o r e t h a n d o u b l e a f t e r i t t r a v e l s a d i s t a n c e o f 2 l

d i f f

= .

I f t h e p u l s e p o w e r i s b e l o w c r i t i c a l t h e p r o p a g a t i o n d y n a m i c s i s d e t e r m i n e d b y t i m e d i s p e r s i o n a n d t h e

n o n l i n e a r i t y . H o w e v e r , w h e n P

0

P

c

t h e p i c t u r e i s m o r e c o m p l e x . L e t u s d e n o t e b y z

T D

t h e p o i n t w h e r e i n t h e

a b s e n c e o f r a d i a l d i r a c t i o n t h e p e a k p u l s e p o w e r b e c o m e s e q u a l t o P

c

i . e . L z

T D

= P

0

= P

c

a n d l e t z

S F

b e t h e

b l o w u p p o i n t i n t h e a b s e n c e o f t i m e d i s p e r s i o n w h e r e l z

S F

= 0 . T h e r e a r e t w o p o s s i b l e c a s e s i n 2 3 w h e n

P

0

P

c

:

z

T D

z

S F

I n t h i s c a s e t h e p o w e r g o e s b e l o w c r i t i c a l b e f o r e l r e a c h e s z e r o . T h e r e f o r e , t h e p u l s e i s u n d e r g o i n g a

c o n t i n u o u s t e m p o r a l b r o a d e n i n g w h i l e i t f o c u s e s r a d i a l l y f o r z z

T D

a n d d e f o c u s e s r a d i a l l y a f t e r w a r d s .

z

S F

z

T D

I n t h i s c a s e t e m p o r a l b r o a d e n i n g i s n o t f a s t e n o u g h t o a r r e s t c a t a s t r o p h i c s e l f - f o c u s i n g w h i c h w i l l o c c u r a t

z

S F

.


4/9

0 0.5 1 1.5 2

100

10 1

z

l , L

0 0.5 1 1.5 210

1

100

10 1

102

z

l , L

0 0.5 1 1.5 210

8

106

104

102

10 0

102

z

l , L

A B

C

F i g u r e 2 : T e m p o r a l b r o a d e n i n g f a c t o r L d a s h e d l i n e a n d r a d i a l b r o a d e n i n g f a c t o r l s o l i d l i n e a s a f u n c t i o n

o f t h e d i s t a n c e o f p r o p a g a t i o n z i n d i r a c t i o n l e n g t h u n i t s f o r = 1 a n d a p u l s e p o w e r o f A : P

0

= 2 P

c

, B :

P

0

= 6 P

c

a n d C : P

0

= 8 P

c

.

F i g u r e 2 s h o w s t h e e v o l u t i o n o f l z a n d L z f o r a n u n c h i r p e d c o l l i m a t e d p u l s e w h e n = 1 . T i m e d i s p e r s i o n

c l e a r l y d o m i n a t e s i n g u r e 2 A a n d a l t h o u g h t h e i n i t i a l p u l s e p o w e r i s t w i c e t h e c r i t i c a l o n e f o r s e l f - f o c u s i n g P

c

v e r y

l i t t l e r a d i a l f o c u s i n g t a k e s p l a c e . E v e n w h e n t h e i n p u t p o w e r i s r a i s e d t o 6 P

c

g u r e 2 B t i m e d i s p e r s i o n a r r e s t s

s e l f - f o c u s i n g a f t e r f o c u s i n g b y a f a c t o r o f t e n . H o w e v e r , w h e n t h e p u l s e p o w e r i s 8 P

c

g u r e 2 C n o n l i n e a r i t y

d o m i n a t e s a n d c a t a s t r o p h i c s e l f - f o c u s i n g o c c u r s . I n t h i s c a s e m o s t r a d i a l f o c u s i n g o c c u r s v e r y c l o s e t o t h e b l o w u p

p o i n t .

T h e s e p a r a t i o n l i n e b e t w e e n t h e t w o c a s e s i s

z

T D

= z

S F

:

T h i s e q u a t i o n c a n b e s o l v e d f o r t h e t h r e s h o l d p o w e r f o r s e l f - f o c u s i n g P

T H

a s a f u n c t i o n o f a n d t h e i n i t i a l

c o n d i t i o n s a p p e n d i x 6 . 2 . C a t a s t r o p h i c s e l f - f o c u s i n g w i l l o c c u r i f P

0

P

T H

w h i l e t e m p o r a l b r o a d e n i n g w i l l

a r r e s t r a d i a l f o c u s i n g w h e n P

0

P

T H

.


5/9

W e a r e n o w i n a p o s i t i o n t o a n a l y z e t h e e e c t s o f v a r i o u s p a r a m e t e r s o n t h e p r o p a g a t i o n :

E e c t o f p u l s e d u r a t i o n :

I f t h e p u l s e i s s h o r t e r , i n c r e a s e s , t e m p o r a l b r o a d e n i n g i s f a s t e r , z

T D

i s s m a l l e r a n d P

T H

i n c r e a s e s .

E e c t o f i n i t i a l p u l s e r a d i u s :

A w i d e r p u l s e c o r r e s p o n d s t o a l a r g e r v a l u e o f a n d h a s t h e s a m e e e c t i n t h e m o d e l e q u a t i o n s a s t h a t

o f a s h o r t e r p u l s e d u r a t i o n . H o w e v e r , t h e d y n a m i c s w i l l o c c u r o v e r a l a r g e r p h y s i c a l d i s t a n c e s i n c e t h e

d i r a c t i o n l e n g t h i s l o n g e r .

E e c t o f a f o c u s i n g l e n s :

A f o c u s i n g l e n s i s r e p r e s e n t e d i n t h e m o d e l b y l

z

0 0 . T h e r e f o r e , r a d i a l f o c u s i n g i s f a s t e r , z

S F

i s s m a l l e r

a n d P

T H

d e c r e a s e s .

E e c t o f a f r e q u e n c y c h i r p :

A p o s i t i v e f r e q u e n c y c h i r p C 0 c o r r e s p o n d s t o L

z

0 0 . T h e r e f o r e t e m p o r a l b r o a d e n i n g i s f a s t e r , z

T D

i s s m a l l e r a n d P

T H

i n c r e a s e s . T h e o p p o s i t e i s t r u e f o r C 0 .

E e c t o f w a v e l e n g t h :

T h e c h o i c e o f w a v e l e n g t h e e c t s t h e p u l s e p r o p a g a t i o n i n m a n y w a y s . M o s t i m p o r t a n t l y , i t d e t e r m i n e s

w h e t h e r t i m e d i s p e r s i o n i s n o r m a l o r a n o m a l o u s . I t a l s o e e c t s t h e s i z e o f a n d t h e l e n g t h s c a l e l

d i f f

f o r

c h a n g e s i n z .

4 D I S C U S S I O N

T h e m o d e l p r o v i d e s q u a l i t a t i v e i n f o r m a t i o n o n t h e i n t e r a c t i o n b e t w e e n t i m e d i s p e r s i o n , r a d i a l d i r a c t i o n a n d

t h e K e r r n o n l i n e a r i t y t h a t w a s n o t a v a i l a b l e b e f o r e . I n a d d i t i o n , i t a l l o w s e x p e r i m e n t a l i s t s t o e s t i m a t e t h e p u l s e

w i d t h , d u r a t i o n a n d p o w e r a t t h e r e t i n a , n e a r t h e l o c a t i o n o f o p t i c a l b r e a k d o w n e t c . H o w e v e r , t h e q u a n t i t a t i v e

p r e d i c t i o n s o f t h e m o d e l a r e o n l y c o r r e c t t o w i t h i n a n o r d e r o f m a g n i t u d e b e c a u s e o f t h e e r r o r i n t r o d u c e d b y t h e

a s s u m p t i o n t h a t t h e p u l s e m a i n t a i n s a G a u s s i a n p r o l e . F o r e x a m p l e , t h e r e s u l t s o b t a i n e d f o r P

T H

u s i n g t h e

m o d e l a p p e n d i x 6 . 2 a r e h i g h e r b y a f a c t o r o f t w o c o m p a r e d w i t h t h e f o r m u l a o b t a i n e d b y L u t h e r e t a l

6

f o r t h e

c a s e o f a n u n c h i r p e d c o l l i m a t e d b e a m :

=

1

p

n

3 : 3 8 + 5 : 5 p

2

, 1

1 = 2

, 1 : 8 4

o

p

1 = 2

, 0 : 8 5 2

2

, 0 : 0 2 1 9 ; p =

P

T H

P

c

T h e v a l i d i t y o f t h e m o d e l b r e a k s d o w n w h e n t i m e d i s p e r s i o n i s s m a l l a n d t h e p u l s e p o w e r i s a b o v e c r i t i c a l s i n c e

t h e G a u s s i a n a p p r o a c h f a i l s t o c a p t u r e t h e d e l i c a t e b a l a n c e b e t w e e n r a d i a l d i r a c t i o n a n d t h e n o n l i n e a r i t y . E v e n

i f i s n o t s m a l l , i f t h e p u l s e p o w e r i s g r e a t e r t h a n P

T H

r a d i a l f o c u s i n g w i l l d o m i n a t e o v e r t e m p o r a l b r o a d e n i n g

a n d t h e r e l a t i v e m a g n i t u d e o f t i m e d i s p e r s i o n l = L

2

w i l l b e c o m e s m a l l n e a r t h e b l o w u p p o i n t . T h e r e f o r e , w h i l e

t h e m o d e l p r e d i c t s c a t a s t r o p h i c s e l f - f o c u s i n g l = 0 w h e n P

0

P

T H

, i t s v a l i d i t y b r e a k s d o w n o n c e l L

, 1 = 2

.

N o t e t h a t t h i s o n l y o c c u r s n e a r t h e b l o w u p p o i n t w h e r e m o s t o f r a d i a l f o c u s i n g t a k e s p l a c e s e e g u r e 2 C . I n t h i s

r e g i o n m o d u l a t i o n t h e o r y f o r s m a l l t i m e d i s p e r s i o n b e c o m e s v a l i d

4

a n d t h e p u l s e w i l l s p l i t t e m p o r a l l y i n t o t w o

p u l s e s . A d d i t i o n a l m e c h a n i s m s c a n a l s o b e c o m e i m p o r t a n t i n t h i s r e g i o n s u c h a s o p t i c a l b r e a k d o w n a n d b e a m

n o n p a r a x i a l i t y .


6/9

5 A C K N O W L E D G M E N T S

T h e a u t h o r w o u l d l i k e t o t h a n k G . C . P a p a n i c o l a o u f o r m a n y u s e f u l d i s c u s s i o n s . T h i s s t u d y h a s b e e n s u p p o r t e d

b y t h e A R P A u n d e r U R I g r a n t n u m b e r N 0 0 0 1 4 0 9 2 - J - 1 8 9 0 .

6 A P P E N D I X

6 . 1 D e r i v a t i o n o f t h e m o d e l

T h e p r o p a g a t i o n o f a l a s e r p u l s e t h r o u g h a n a q u e o u s m e d i a i s d e s c r i b e d b y t h e n o n l i n e a r S c h r o d i n g e r e q u a t i o n :

2 i k

@

@ z

+

1

v

g

@

@ t

+

@

2

@ r

2

+

1

r

@

@ r

, k

@

2

k

@ !

2

@

2

@ t

2

+ 2 k

2

n

2

n

0

j j

2

= 0 ;

w h e r e z ; r ; t i s t h e e n v e l o p e o f t h e e l e c t r i c e l d , r =

p

x

2

+ y

2

i s t h e r a d i a l c o o r d i n a t e , z i s t h e a x i a l c o o r d i n a t e

i n t h e d i r e c t i o n o f p r o p a g a t i o n , n

0

i s t h e l i n e a r i n d e x o f r e f r a c t i o n o f w a t e r , n

2

i s t h e K e r r c o e c i e n t a n d

v

g

= @ ! = @ k i s t h e g r o u p v e l o c i t y . T o b r i n g t h i s e q u a t i o n i n t o a c a n o n i c a l f o r m , w e c h a n g e i n t o a r e t a r d e d t i m e

f r a m e = t , z = v

g

a n d n o n - d i m e n s i o n a l i z e t h e v a r i a b l e s :

~ r =

r

r

0

; ~ z =

z

l

d i f f

; ~ =

T

0

5

w h e r e r

0

i s t h e p u l s e i n i t i a l r a d i u s a n d l

d i f f

= k

0

r

2

0

i s t h e d i r a c t i o n l e n g t h . T h e r e s u l t i n g e q u a t i o n i s

i

@

@ ~ z

+

@

2

@ ~ r

2

+

1

~ r

@

@ ~ r

| z

r a d i a l d i r a c t i o n

,

@

2

@ ~

2

| z

t i m e d i s p e r s i o n

+ j j

2

| z

K e r r n o n l i n e a r i t y

= 0 : 6

T h e r e l a t i v e m a g n i t u d e o f t h e n o n l i n e a r i t y i s j j

2

, w h e r e

= 2 r

2

0

k

2

0

n

2

n

0

a n d t h a t o f t i m e d i s p e r s i o n i s

=

r

0

T

0

2

k

@

2

k

@ !

2

!

0

:

w h i c h c a n b e a l s o w r i t t e n i n t h e f o r m 1 .

W e s t u d y t h e p r o p a g a t i o n o f a p u l s e w h i c h e n t e r s t h e m e d i a a t z = 0 w i t h a n i n i t i a l G a u s s i a n p r o l e a n d

a l l o w f o r t h e p o s s i b i l i t y t h a t i t h a s a n i n i t i a l f r e q u e n c y c h i r p C a n d t h a t i t i s f o c u s e d b y a l e n s w i t h f o c a l d i s t a n c e

R

l e n s

:

0

r ; t = E

0

e x p

,

r

2

2 r

2

0

e x p

,

t

2

2 T

2

0

e x p

i k

0

r

2

2 R

l e n s

e x p

,

, i C t

2

2 T

2

0

o r i n d i m e n s i o n l e s s f o r m :

0

~ r ; ~ = E

0

e x p

,

~ r

2

2

e x p

,

~

2

2

e x p

i l

d i f f

~ r

2

2 R

l e n s

e x p

,

i C ~

2

2

:


7/9

W e d r o p t h e t i l d e s i g n s a n d l o o k f o r s o l u t i o n s o f 6 t h a t m a i n t a i n a G a u s s i a n p r o l e :

=

E

0

l z L

1 = 2

z

e x p

,

1

2

r

l z

2

!

e x p

,

1

2

L z

2

!

e x p

i

z ,

a z r

2

4

+

A z

2

4

7

H e r e l z a n d L z a r e t h e r e l a t i v e r a d i a l a n d t e m p o r a l b r o a d e n i n g , r e s p e c t i v e l y . I f w e p l u g 7 i n t o e q u a t i o n 6 ,

t h e i m a g i n a r y p a r t o f t h e e q u a t i o n i s s a t i s e d e x a c t l y i f

a = ,

2 l

z

l

; A = ,

2 L

z

L

:

F r o m t h e i n i t i a l c o n d i t i o n a n d t h e l a s t r e l a t i o n w e g e t t h e i n i t i a l c o n d i t i o n 4 . T h e O 1 t e r m s i n t h e r e a l p a r t

o f t h e e q u a t i o n d e t e r m i n e s z :

z

= ,

1

l

2

+

2 L

2

+

E

2

0

2 L l

2

:

T h e O r

2

a n d O t

2

e q u a t i o n s a r e :

l

z z

=

1

l

3

1 ,

E

2

0

L

8

L

z z

=

1

L

3

2

+

E

2

0

L

l

2

: 9

E q u a t i o n s 8 , 9 w e r e r s t d e r i v e d b y B e r g e a n d R a s m u s s e n .

1

F r o m t h e d e r i v a t i o n w e s e e t h a t w h e n w e u s e t h e a s s u m p t i o n t h a t t h e p u l s e m a i n t a i n s a G a u s s i a n p r o l e 7

w e n e g l e c t s o m e O

4

; r

4

t e r m s . T h e r e f o r e , t h i s a s s u m p t i o n l e a d s t o r e s u l t s w h i c h a r e q u a l i t a t i v e l y c o r r e c t b u t

t h a t d o n o t g i v e t h e c o r r e c t q u a n t i t a t i v e a n s w e r s . H o w e v e r , s o m e i m p r o v e m e n t c a n b e a c h i e v e d b y a d j u s t i n g t h e

c o n s t a n t s i n 8 , 9 . F o r e x a m p l e , c o n s i d e r t h e c a s e w h e n t h e r e i s n o t i m e d i s p e r s i o n = 0 . I n t h i s c a s e L 1

a n d

l

z z

=

1

l

3

1 , 2 N

0

1 0

w h e r e N

0

i s t h e i n i t i a l n o n d i m e n s i o n a l p e a k p o w e r :

N

0

=

Z

j

0

r ; 0 j

2

r d r =

1

2

E

2

0

:

S i n c e w e w o u l d l i k e e q u a t i o n 1 0 t o p r e d i c t c a t a s t r o p h i c s e l f - f o c u s i n g i . e . l g o i n g t o z e r o w h e n t h e p e a k

d i m e n s i o n a l p o w e r P

0

i s g r e a t e r t h a n t h e c r i t i c a l o n e f o r s e l f - f o c u s i n g P

c

, w e r e p l a c e i t b y

l

z z

=

1

l

3

1 ,

P

0

P

c

: 1 1

S i m i l a r l y , i n t h e a b s e n c e o f r a d i a l d i r a c t i o n l 1 a n d

L

z z

=

1

L

3

2

+ 2 N

0

L

1 2

W e w o u l d l i k e t h i s e q u a t i o n t o a g r e e w i t h t h e f o r m u l a o f P o t a s e k e t a l

7

f o r t e m p o r a l b r o a d e n i n g i n t h e a b s e n c e

o f r a d i a l d i r a c t i o n :

L

2

z = 1 + 2

, 1 = 2

E

2

0

z

2

+

2

z

2

1 +

1

3

p

3

2

2

E

4

0

z

2

: 1 3

F r o m e q u a t i o n 1 3 w h i c h w a s w a s d e r i v e d f o r t h e c a s e L

z

0 = 0 :

L

z z

0 =

2

+

p

2 N

0

:


8/9

S i n c e

P

0

P

c

=

N

0

N

c

; N

c

=

1 : 8 6 ;

w e r e p l a c e e q u a t i o n 1 2 w i t h

L

z z

=

1

L

3

2

+ D

P

0

P

c

L

; D =

p

2 N

c

: 1 4

C o m p a r i s o n o f e q u a t i o n s 8 9 w i t h 1 1 1 4 l e a d s t o t h e m o d e l e q u a t i o n s 2 3 .

6 . 2 T h e t h r e s h o l d p o w e r f o r s e l f - f o c u s i n g P

T H

L e t u s d e n e z

S F

t o b e t h e b l o w u p p o i n t i . e . l z

S F

= 0 i n t h e a b s e n c e o f t i m e d i s p e r s i o n . I n t h a t c a s e l i s

c h a n g i n g a c c o r d i n g t o 1 1 w i t h t h e i n i t i a l c o n d i t i o n :

l 0 = 1 ; l

0

0 = l

0

0

: 1 5

T h e s o l u t i o n o f t h i s e q u a t i o n i s

l

2

z = c

1

z +

l

0

0

c

1

2

+

K

c

1

; K = 1 ,

P

0

P

c

; c

1

= l

0

0

2

+ K

H e n c e

z

S F

=

, l

0

0

p

P

0

= P

c

, 1

l

0

0

2

+ 1 , P

0

= P

c

1 6

a n d i f l

0

0

= 0 c o l l i m a t e d b e a m

z

S F

=

1

p

P

0

= P

c

, 1

:

S i m i l a r l y , d e n e z

T D

a s t h e p o i n t w h e r e t h e m a x i m u m p o w e r g o e s b e l o w c r i t i c a l i n t h e a b s e n c e o f r a d i a l d i r a c t i o n .

F r o m 2 , t h i s w i l l o c c u r w h e n L z

T D

= P

0

= P

c

. T o n d z

T D

, w e s o l v e e q u a t i o n 1 4 w i t h

L 0 = 0 ; L

0

0 = L

0

0

:

M u l t i p l y i n g 1 4 b y 2 L

z

a n d i n t e g r a t i n g , w e h a v e

L

2

z

= ,

2

L

2

,

2 D P

0

= P

c

L

+ c ; c =

2

+ 2 D P

0

= P

c

+ L

0

2

0

T h e r e f o r e ,

d z

d L

=

L

p

c L

2

, 2 D P

0

= P

c

L ,

2

T h e s o l u t i o n o f t h i s e q u a t i o n s u b j e c t t o L 0 = 1 i s

z = F L , F 1

w h e r e

F L =

1

c

p

c L

2

, 2 D P

0

= P

c

L ,

2

+

D P

0

= P

c

c

3 = 2

l n

2

p

c

p

c L

2

, 2 D P

0

= P

c

L ,

2

+ 2 c L , 2 D P

0

= P

c

!

1 7

T h e r e f o r e

z

T D

= F

P

0

P

c

, F 1 : 1 8


9/9

T h e e q u a t i o n

z

T D

= z

S F

c a n n o w b e s o l v e d u s i n g 1 6 1 8 f o r P

T H

a s a f u n c t i o n o f a n d t h e i n i t i a l c o n d i t i o n s .

7 R E F E R E N C E S

1 L . B e r g e a n d J . J . R a s m u s s e n . P u l s e s p l i t t i n g o f s e l f - f o c u s i n g b e a m s i n n o r m a l l y d i s p e r s i v e m e d i a . p r e p r i n t ,

1 9 9 5 .

2 P . C h e r n e v a n d V . P e t r o v . S e l f - f o c u s i n g o f l i g h t p u l s e s i n t h e p r e s e n c e o f n o r m a l g r o u p - v e l o c i t y d i s p e r s i o n .

O p t . L e t t . , 1 7 3 : 1 7 2 1 7 4 , F e b 1 9 9 2 .

3 G . F i b i c h . T i m e - d i s p e r s i v e e e c t s i n u l t r a s h o r t l a s e r - t i s s u e i n t e r a c t i o n s . I n A d v a n c e s i n H e a t a n d M a s s

T r a n s f e r i n B i o t e c h n o l o g y , v o l u m e H T D 3 2 2 a n d B T D 3 2 . A S M E , 1 9 9 5 .

4 G . F i b i c h , V . M . M a l k i n , a n d G . C . P a p a n i c o l a o u . B e a m s e l f - f o c u s i n g i n t h e p r e s e n c e o f s m a l l n o r m a l t i m e

d i s p e r s i o n . P h y s . R e v . A , 5 2 5 : 4 2 1 8 4 2 2 8 , 1 9 9 5 .

5 G . G . L u t h e r , A . C . N e w e l l , a n d J . V . M o l o n e y . T h e e e c t s o f n o r m a l d i s p e r s i o n o n c o l l a p s e e v e n t s . P h y s i c a D ,

7 4 : 5 9 , 1 9 9 4 .

6 G . G . L u t h e r , A . C . N e w e l l , J . V . M o l o n e y , a n d E . M . W r i g h t . S e l f - f o c u s i n g t h r e s h o l d i n n o r m a l l y d i s p e r s i v e

m e d i a . O p t i c s L e t t e r s , 1 9 : 8 6 2 8 6 4 , 1 9 9 4 .

7 M . J . P o t a s e k , G . P . A g r a w a l , a n d S . C . P i n a u l t . A n a l y t i c a n d n u m e r i c a l s t u d y o f p u l s e b r o a d e n i n g i n n o n l i n e a r

d i s p e r s i v e o p t i c a l b e r s . J . O p t . S o c . A m . B , 3 2 : 2 0 5 2 1 1 , 1 9 8 6 .

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