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ヴァイオリンの物理学1 ロザール・クリーマー ジョン・S・ アレッリ翻訳(ドイツ語→英語) kazooou 翻訳(英語→日本語) 2008/11/10 I 弦へのボウイング 1. 乾燥した摩擦によっての自己 - 持続的振動 1.1 最も単純な可能な再現,一自由度 物理学者は,多くの自己の維持された発振システムに遭遇します:それは,周期的に不規則な源からそれらの 損失を補充するために必要なエネルギーを抽出するシステムです.弦楽器と管楽器はこのようなシステムの中で 最も古くて、そして未だ最もよく見受けられます.もしかしたら,たまたま偶然に弦を楽弓で弾くことが発見さ れました.それが引き離され、叩かれていたのです.明らかに,経験的な開発の長いプロセスが,その形,毛と 松脂が静的な摩擦を増やすのに楽弓が役立つという状態で,本質的に不規則なエネルギー源,をその現在の形式 にもたらすために必要でした. このような楽弓を使っている心地良い弦楽器の音の発生は,自動車ブレーキの非常に不快な金切り声であると 同じ物理的な原則の適用を受けているのです.これらのような変動は,お互いの向こう側に相対運動で固体のオ ブジェクトの間の乾燥した摩擦によって自分で維持され,それらが変動を取り替えているので,分析する事が難 しいです.繰り返して波を引き起こす摩擦力は静的な,そしてダイナミックな(くっつき-滑り)を交互に繰り 返します.単純な振動子さえ容易にはり付くことについての形態と滑り摩擦の交互によって周期的な動揺の中に 引き起こされることができます.我々の分析を得られた単純化モデルで始めるのに適切な再前が張られたストリ ング 1次元の連続体 を単純な振動子(Cremer 1974)で置き換えています.我々はストリング に大 量の1式当たりの長さがある、そして l がひもの長さである)の大量が弓との接触の時点で濃厚であると考えま す.(図 1.1 を参照せよ) l m' 1-1 最も単純なモデル,密集した弦にボウイングのポイントが大量に集中している. 1 Lothar Cremer, The Physics of the Violin, MIT Press, Cambridge (1982) 1

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ヴァイオリンの物理学1 ロザール・クリーマー

ジョン・S・ アレッリ翻訳(ドイツ語→英語) kazooou 翻訳(英語→日本語)

2008/11/10

I 弦へのボウイング

1. 乾燥した摩擦によっての自己 - 持続的振動

1.1 最も単純な可能な再現,一自由度

物理学者は,多くの自己の維持された発振システムに遭遇します:それは,周期的に不規則な源からそれらの

損失を補充するために必要なエネルギーを抽出するシステムです.弦楽器と管楽器はこのようなシステムの中で

も古くて、そして未だ もよく見受けられます.もしかしたら,たまたま偶然に弦を楽弓で弾くことが発見さ

れました.それが引き離され、叩かれていたのです.明らかに,経験的な開発の長いプロセスが,その形,毛と

松脂が静的な摩擦を増やすのに楽弓が役立つという状態で,本質的に不規則なエネルギー源,をその現在の形式

にもたらすために必要でした. このような楽弓を使っている心地良い弦楽器の音の発生は,自動車ブレーキの非常に不快な金切り声であると

同じ物理的な原則の適用を受けているのです.これらのような変動は,お互いの向こう側に相対運動で固体のオ

ブジェクトの間の乾燥した摩擦によって自分で維持され,それらが変動を取り替えているので,分析する事が難

しいです.繰り返して波を引き起こす摩擦力は静的な,そしてダイナミックな(くっつき-滑り)を交互に繰り

返します.単純な振動子さえ容易にはり付くことについての形態と滑り摩擦の交互によって周期的な動揺の中に

引き起こされることができます.我々の分析を得られた単純化モデルで始めるのに適切な再前が張られたストリ

ング - 1次元の連続体 - を単純な振動子(Cremer 1974)で置き換えています.我々はストリング に大

量の1式当たりの長さがある、そして l がひもの長さである)の大量が弓との接触の時点で濃厚であると考えま

す.(図 1.1 を参照せよ)

lm'

図 1-1 も単純なモデル,密集した弦にボウイングのポイントが大量に集中している.

1 Lothar Cremer, The Physics of the Violin, MIT Press, Cambridge (1982)

1

ストリングの残りがそれから堅さsの反応しているバネとしての機能を果たします.そして、滑り摩擦の体制

で、ひもnの転置はy方向で,自励振動の非同次方程式によって表されることができます.

gRsdt

dm =+ ηη2

22

(1.1)

滑っている(あるいは「滑空している」)摩擦 は弓とストリングの間に相対速度 の関数である実験

によって証明されました(図 1.2 参照).

gR

0

reiV

=reiv であるとき、それはその も高い値 を達成して,そ

して増加する相対速度で落ちます.我々が今まで放置したシステムの損害があまり大きくない限り,(回路分析の

「負抵抗である」と解釈されるかもしれない)この「落ちている特徴」は付着摩擦なしでさえ振動の発生を許し

ます.しかしながら,弦楽器, は、付着摩擦で摩擦代理を滑らせて,言い替えれば時折ゼロに達しなくては

なりません.付着摩擦が勝っている時,特徴は縦になる;言い換えれば,摩擦力が反力によって置き換えられま

す.そして従って運動学の状態

maxR

reiV

bvdtd

(1.2)

は、 が弓のスピードであるという状態が続きます. bv付着摩擦がまったくただ少しすでに記述された滑り摩擦の 大値からそうするかもしれないその 大値を下ま

わって違う - もしである限り、付着摩擦は量に弓のスピードを与えることができます. はり付くことについての交互と滑り摩擦は非常に乾燥した摩擦を使って引き起こされた自分で維持された変動

に欠くことができないので,細部に比較的特徴を考慮に入れるほとんど必要がありません.滑り摩擦 にとっ

て不変の価値を仮定することは,現在のモデルでさえ可能です.落ちている特徴は 大の付着摩擦と滑り摩擦の

間にそれからステップ

gR

gRRR −=Δ max (1.3)

に減らされます.

図 1-2 相対速度、滑り摩擦の体制の間の正弦波振動の広さ、に対する摩擦力の依存は同じく全部の動揺のピー

ク値です. この場合、しかしながら、滑り摩擦の体制での時間に対して描かれた変位は衰えていない平均値の正弦曲線

2

;s

Rg=η (1.4)

になるので,

変位に帰せられる反応している力が、惰性がもう役割を果たさないので,値

,)0( max

sR

sR Δ

+== ηη (1.5)

と到達するとき、この方程式は活動し始めます.

すなわち、付着摩擦の体制で大量は絶え間がないスピード で楽弓と共に動きます.滑り摩擦の体制はこの同

じスピード

Bv

.)0( Bvdtd

(1.6)

で大量の移動から始まります.滑り摩擦が始まったあとの変位の関数はその時

),sincos( 00

0 tvtsR

sR bg ω

ωωη +

Δ+= (1.7)

によって与えられます.そしてそこで振動子の角振動数は

.0 ms

=ω (1.8)

によって表されます.滑り摩擦の形態の間の正弦波振動の振幅は同じく全部の動揺のピーク値です. これは,次式によって与えられます.

.)()(ˆ 2

0

2

ωη Bv

sR

= (1.9)

この値は弓 のスピードと共に増加します.そして同じく楽弓の力で量に対して、 は Bv 2F RΔ からこの力

に比例しています.我々は音楽家がするようなそれを弓圧と呼びます. 滑り摩擦の状態で,楽弓はいつも量にそれ自身のスピードを引き起こし,次に付着摩擦を使って前方へそれを

運ぼうとします.次の原理が明記されるかもしれません:これが付着摩擦の 大値、 より大きくない摩

擦力の処理を通して可能であるとき,弓は今のところ質量を持って来ることに成功します.我々が今調べている

単純な振動子で,摩擦力は直接彼が:それで、速めたそうするはずである有限の量上で作業するどのようにかが、

maxR

.Bvdtd

(1.10)

であるとき、その質量の指示で2番目の変更の前にではなく質量にその速力を提供することに成功する.たと

え量のスピードがただ少し弓のそれとは違うとしても、非常に高い加速と非常に高い摩擦力が2スピードを平等

にするために必要とされることを指摘することによって,これを理解することは容易です.(1:10)で述べら

3

れた状態は,しかしながら,滑り摩擦の体制でのその平均の値についての運動の対称性に導く.同じことがηが

まっすぐに増加する付着摩擦の形態で,確かに同じく本当です. 図1.3a は2つの形態のそれぞれで部分で構成されている時間に対して転置の周期的な関数を見せます.

図1.3bは,変位関数を区別することによって得られ,発振量の速度関数を示します.我々が,楽弓の弦楽器の

研究に進歩するにつれて,もっと多くの興味の,そして変位関数より測ることがより容易であるであろうから,

我々はここで速度関数を示します.楽弓の弦楽器の自励振動において,付着摩擦の形態 ./ bvdtd =η がこの

例よりずっと長いです.けれども我々の現在の例さえ,転位の中心線が移行することができないから,中心線の

上と下の領域が等しいに違いないことを示します.同じく,滑ることについての形態と付着摩擦がかど(斜面非

連続性)から始まって,そして終わることができることは典型的です. 滑り摩擦の体制の持続時間は滑っている(離された)の、そして固着(とらえる)の,次の通りの初発のため

の条件から得られるかもしれません:

).arctan2(1

00 Rsvt b

g Δ+=

ωπ

ω (1.11)

図 1-3 自分で維持した単純な振動子での摩擦での転移(a)、速度(b)と力(c)

付着摩擦の形態で隣接した時間部分で、ηが sR /2Δ によってまっすぐに増加します.この時間部分の持続時

間は

,2

bh sv

Rt Δ=

(1.12)

です.そして自励振動の1周期の結果として生じている持続時間は

4

.2)arctan2(1

00 b

b

svR

RsvT Δ

+=ω

πω (1.13)

全ての三つの持続はボウイングの圧力とボウイングのスピードによります.

図 1-4 変位の制限のケース:a,切換振動;b,ほとんど自由な振動.

1.2 ほとんど自由な強制振動と切換動揺

2つの制限する事例が特に面白いです.2つの制限するケースが特に興味を起こさせます.1つでは滑り摩擦(図

1.4の下図)でそして他で,付着摩擦(図1.4,上図)がほとんどサイクルの全部の持続時間にわたって起こり

ます. 初の事例が

0ωbv

sR<<

Δ

(1.14a)

;smvR b<<Δ (1.14b)

の時に発生します. 言い換えれば,摩擦の力が小さい時,力と慣性の力をばねと比較しました.この制限する事例のためのバルク

ハウゼンの洞察に富んだ用語は「ほとんど自由振動」(Barkhausen 2007)訳されるかもしれません.この場合,期

間Tはほとんど振動が摩擦を通して

(1.15)

,0TT =

引き起こされていないときと同じです:と転置の広さは弾いているスピード

,ˆ0ω

η bv=

(1.16) と一緒に増加します. 我々は,楽弓の弦楽器のふるまいの表現に 初の近似として再びこれらの関係の両方ともに遭遇するでしょう.

5

これらの力の間の相違が自分で維持された変動の産出にとって重要であるけれども、摩擦力 と はこ

れらの関係で役割を演じないのです.

maxR gR

他の制限する事例,

,0ωbv

sR>>

Δ

(1.17)

振動、がほとんどのこぎりの歯の形をします;それは非常にほとんど下方へのステップによって切り離された一

連の直線的で出来ています.摩擦とばね定数はピークの転置

.ˆsRΔ

=η (1.18)

を決定します.同じ要因は、楽弓のスピードとともに、周期、

.ˆsRΔ

=η を決定します.

従って,この制限するケースは弛緩振動という範ちゅうに入れられることができます.それが交換プロセスに

依存しますから,我々は同じくそれを切換振動と呼ぶかもしれません.大部分はこの制限するケースで方程式で

現われません.それにもかかわらず,他の場合で RΔ であるように,量はこの場合自励振動の産出に同じぐら

い重要です.量の惰性なしで,転置ηは )0(η から η まで増加して、そしてこの値に残っているでしょう;

ただ惰性のためにだけ量は均衡のこの要点を越えて,弓によって後方に運ばれようとします.DIN 1311,シ

ート2(ドイツの規格研究所の出版)における仕事の間に,著者は行動がどう両方の制限する事例によって記述

されるかを実演して説明することができた自己を維持された振動子の も単純な可能なモデルを発展させること

に興味を持ちました.弦と異なり,図1.5で例証された振動子がそうである図1.1に示された模型は実現可能で

す.振り子が肩書きを持った,回転している回転板との摩擦の接触で横たわります.回転板のアングルを変える

ことによって, RΔ を変えることは容易です.同じく動きはゆっくりこのモデルと一緒にはり付いて,そして目

で滑ることについての交互の後に続くことを可能にするのに十分です.

図 1-5 摩擦によって自分で維持された単純な振動子。

このモデルを使って、2つの制限するケースの間に状態の範囲を証明することは特に容易です.振動子が共鳴

回路とプラグ間隙両方を持っている場合に限り,この範囲は電気の振動子で存在します.バルクハウゼン(1907)とワグナー(1910)はこのタイプの振動子の重要な早い調査者でした.弦の問題に関連して,図1.3に示された力

関数にもう1つの一見を与えましょう.これはただ、付着摩擦の形態だけの間に、 RΔ− から RΔ+ へと上昇

6

している直線として現われる力

,gRRR −=δ (1.20)

における相違だけを与えます.ただ RΔ+ に達せられた後だけ,解放が起こる事ができることは明確です.我々

が1人が一定の平均値を示すという状態で,滑り摩擦の特徴に取って代わったとき,類似の現象が取り込みにお

いて起こりません.実際の特徴では,しかし,捕らえのすぐ前に dtd /η が に接近するときBv RΔ で恒常的

増加が起こります.もし我々がこれを考慮に入れるなら,η の関数はいくぶん変化します.まだ、我々は,捕ら

えの直前に, Rδ が RΔ+ を得なくてはならないのを見ることができます.ただ捕らえの後にだけ Rδ が RΔ−となることができます.(図 1.3C の破線を見よ.)

1.3 他の自立システムとの比較.

もう1つの関心で同様に,特有な単調な進行が に向かって,いっそう正確な物理的性質をもたらします.

もしただ滑り摩擦だけがあるなら,正弦波振動(1.7)は全部の期間に当てはまります.弦スピードの 大値が

弓使いのスピードより低いときの場合です.これは単調の下降特性のケースでは無かったら,同じぐらい以前に,

我々はシステムの追加の損失を無視する事ができます.もし我々が下降特性を直線に取り替えるなら,この事実

を理解することは も容易です:

MAXR

).(dtdvrRR bMAXη

−−= (1.21)

この直線の部分は,ゼロ以下となる部分は無い.言い換えれば, dtd /η の も負の数でなければならない.

もし(1.1)が特徴を与えるために得られるなら,線型微分方程式

BMAX rvRsdtdr

dtdm −=+− ηηη )(2

2

(1.22)

は結果として生じます.

),sincos( tte sct ωηωηηη σ ++= (1.23)

によって以下のように記述される

mr

2=σ (1.24a)

.220 σωω −= (1.24b)

で記述されるように,その解決は価値が急激に増加する振動で重ねた残りの移行で構成されています.この場

合,取り込みのための条件は確かに到達されるでしょう.もし dtrd /η のサインが否定的ではなかったなら,

方程式はよく知られた沈ませられた正弦波振動を記述するでしょう.サインがしばしば変化するポイントは振動

子が安定している範囲の入り口の輪郭を描きます.電子振動子がフィードバックを使うことについては特に本当

です.発振器では,閾値は故意に超えられます;システムとコントロール系統を増幅することにおいて,それは

避けられます.もし(1.23)が正確に現状を描いたなら,それらが害をするまで変動が増加するでしょう.一般に,

7

しかしながら,振幅が増加するとき,特有のラインは落ちる状態から上昇します.ほとんどすべてのケースで,

移行は正弦曲線に関して変動を分析することがまだ実り多いほど十分次第に起こります.この観測は同じくオル

ガンパイプのような,幾つかの管楽器に当てはまります.弦楽器で,また一方では,基本的な単独は決して考慮

に入れないです.たとえ,近似としてでさえでもです.これは滑り摩擦の非線形特性からだけではなく,さらに

いっそう捕らえと解放が素晴らしい力から反力まで摩擦力を変えます,そして逆もまた同様である方法から結果

として生じます.これらのステップ関数 が,時間範囲のだけの状態の到達に述べることができる事に依存

しますから,周波数領域の全部の周期システムの行動を記述することは不可能です.問題にどちらのために類似

周波数領域での解決が可能性がもっともらしくある特定の現象を説明することができる,しかし記述を定量的に

導くことができないということである.自分で維持されたシステムの も単純な可能なケースがいろいろな意味

で楽弓の弦楽器のいっそう難しい問題と非常に異なっているけれども,我々はこの事実を明確にするためにこれ

らの導入の段落をとりました.

MAXR

参考文献 Barkhauscn, H., 1907. Dissertation. University of Gottingen Cremer, L., 1974. Acustica 30. 119. Wagner. K. W.. 1919. Arch. Elekrrorech. 8. 61.

8

2. はじかれた弦

2.1 波動方程式

我々が楽弓の弦楽器の研究に方向転換する前に,我々は 初に張られた弦と弓に接触していないとき外に運ぶ

自由振動の弦,すなわち,それらの自励振動の特徴を調べるべきです.指を引き離すことがもうそれに接触して

いない途端に,自由振動の例はハンマーが去ったあとのピアノ弦の,あるいははじかれたヴァイオリン弦のそれ

です.弦は軸方向の張力 を受けさせられたx方向のそして大量の1式当たりの長さ の1次元の連続体で

あるとして描かれるかもしれません.従って,その運動は,単純な振動子と同じようにm時間のだけの関数では

ありません:それらは空間と時間両方の関数です.

xF 'm

);,( txη のための自励振動(1.1)の等式は量のすべてが、

変位を含めて,波動範囲を記述するのに有効なものによって置き換えられなくてはなりません;これは偏微分方

程式

,2

2

2

22

txc

∂∂

=∂∂ ηη

(2.1)

,1次元の波方程式です.我々はその安静位からの弦の転置とこう配が小さいと想定します.結果として生じて

いる力はほとんど弦の方向に引きます,それで,角が小さいですから,垂直な力が

,x

FFF xxy ∂∂

==ηα

(2.2)

を結果として生じます.

早速,その長さが,図 2.1 で例証されるように, である弦の要素を調べましょう.我々は力が要素の左の

終わりを安静位の方に引き寄せて,そして差異を足した同じ量によって正しい終わりを安静位から遠ざけるのを

見ます.ニュートンの法則を質量の要素に適用して, が方程式

dx

m'dx

2

2

2

2

')(tndxmdx

xFa

xaF xx ∂

∂=

∂∂

=−∂∂

+ηα

(2.3)

に導きます.もし我々がその方程式で紹介された不変のcのために代用をするなら,これはしかしながら,正

確に波方程式(2.1)です:

.'/ mFc x= (2.4)

図 2-1 転置,傾斜角と弦の要素に関する力.

9

2.2 ダランベール解

波動方程式に対するダランベールの解で,私たちは がどのように波のスピードを表すか見ることができ

ます: c

).()(),( ctxnctxtx ++−= −+ηη

(2.5)

それは選ばれた波形を表す-関数 +η の議論は,もし x がct と同じ比率において増加するなら,一定のままで

います.従って, 初の期間は変化を経験しないで x+ 方向に伝播する波を表します.同じように,2番目の期

間 −η は x− 方向に伝播する波を表します.式(2.5)が完全な解決を表すことは物理的に2つの独立した機能 +η

と −η が2つの独立した関数のために,どんな所定の初期条件でも表すかもしれないという事実から明確になり

ます:転置 )0,(xη と速度∂ )0,(xv/ t =∂η .もし我々が、それから一方では、(彼・それ)らの変数との一

致でこれらの2つの関数の微分を +′η と −′η と定めるなら,

,−+ ′+′=∂∂ ηηη

x (2.6)

そして他方,

,1−+ ′+′=

∂∂ ηηη

xc (2.7)

図 2-2 ダランベール解に関して見られたはじかれた弦の振動.

),1(21

tcx ∂∂

−∂∂

=′+ηηη

(2.8)

).1(21

tcx ∂∂

−∂∂

=′−ηηη

(2.9)

もし、はじかれた弦の場合では、波動プロセスが残りから転置によって始められるなら、初動なしで,

,0)0,( ==

∂∂ xv

(2.10)

10

,それで

.−+ ′=′ ηη (2.11)

自由振動が安静位の移行なしで伝えてただ波だけを含んでいますから,積分定数がないように、我々は

.−+ ′=′ ηη (2.12)

を得る.図2.2の上部で厚い途切れがないラインは明快さのために大いに誇張された 初の転置の三角形の

パターンを示します.そのピークは, .4/1 lx =にあります.

グラフでアランバートの解を表すために,ただ転置の広さを2つの半分に分けることだけをして,そして,すべ

てのポイントで結果として生じている振幅を加えて,2つの結果として生じている半分の高さの三角形を権利と

左に移すことは必要です.ストリングの支持ポイント, 0=x と lx = において、生成が反射を裏返しました;

これらは介入点を越えて続けられた破線によって表されます.記述はさらにさえ単純化され得ます.三角形の

足はまっすぐであって,そして静止の状態にあります.それらの初期位置から離れてを動かす傾向がある力があ

りません.ただ三角形のピークにおいての角だけが不安定です;そして,状態の場面図1.1で,加速するべきこ

の時点に質量がないことに注意を払ってください. +η と −η が等しいですから,それらの2番目の導関数は同

じく等しいです.角は の理想的な力積を構成します.これは右に伝える2つの等しい部分に分かれ

ます,そして左にそれらは間に不変のレート(図2.2での破線、下)において動く直線を生成します.

22 / x∂∂ η

同様に反射を説明することは容易です. 初に 0=x で、それから lx = において角は介入点(駒とナッツ

あるいは指)に達します,そしてそれを我々が、周辺条件

,0),0(),0(),0(:0 =+== −+ tttx ηηη (2.13)

.0),(),(),(: =+== −− tltltllx ηηη (2.14)

を示して今のところ理想を描いています.境界線の後ろに源を発していると見なされるかもしれない反射波は、

それから、反対の両極性のものであることに違いありません:

),,0(),0( tt −+ −= ηη (2.15)

),,(),( tltl −+ −= ηη (2.16)

とそれが反映されたあとのコーナーもそうしなくてはなりません.半分の周期の後に,反対の両極性の三角形

が生じます;そのピークは で横たわります,あるいは で図2.2の下部です.周期の後

半に,裏返された工程繰り返しと線はその初期の位置に戻ります.

12 xlx −= .)4/3( l

周期の持続時間は角がスピードC:

clT 2

1 = (2.17a)

11

で距離 の上に移動するのに要する時間までに与えられます.これの逆ははじかれた弦の基本( 初の部分

的、それ故下付き文字1)の頻度です:

l2

.21 lcf =

(2.17b)

2.3 純粋な五度の必要性

周波数は逆に弦の長さに比例しています;左手の指の配置によっての高さの調節はこの原則に基づいています.

けれども同じく,弦の長さの比率がより単純であると,それだけ結果として生じている音程はいっそう調和がと

れていると考えられます.この事実は異なった弦の長さに対応している基本周波数が測る事が出来なかった古代

に相当な驚きをもたらしたに違いありません.この驚きが単純な数の比率と審美感の間の関係について哲学的な

憶測に導いたことは理解できます.純粋な,そして複雑な音色の調和の認識の心理的な基礎は 初に科学的にヘ

ルムホルツ(1862)によって論じられました,そしてまだ全く解決されていない問題です.今日の心理上の音響効

果の科学が明らかにされた例外を持っていると述べられるべきです:単純でない振動数比に関連して認知される

調和.心理学から物理学まで方向を変え,単純な振動数比が常に単純な幾何学上の比率に関連して起こると述べ

ることは正しくありません.システムの周波数決定部分が理想的な境界条件を持っている1次元の同種の伝達線

であるときだけ,単純な周波数比率と単純な幾何学上の比率は一緒に起こります.空気の円柱(円筒状のもので

さえも)楽器において、このケースに当てはまりません.アパーチュア矯正は,空気の円柱の終わりの近辺での

空気の発振の大量のためにされなくてはなりません.弦楽器で同様に,もし実際の境界線条件が計量勘定に取り

入れられるなら,頻度と弦の長さの間の単純な関係は厳密に持ちこたえません. そして,さらにより大きい程度に、弦の構成でそしてその直径における見えない相違が単純な関係を乱しま

す.波動方程式(2.1)c が一定であるという条件として持っています.けれども(2.4)によれば、波動の

スピードc は大量の1式当たりの長さ に依存します.もしm′ m′が一定なら,cが弦の上に1ポイントからも

う1つまで変動します.我々は が,もしm)(xc ′がナットの近くでそして駒の近くでいくぶん異なっているな

ら,(2.17b)がもう持ちこたえることができないと結論するために波動方程式を得る必要がありません.音符が

次々に演奏されるとき,音程の結果として生じている変化は音符が同時に演奏されるときほど明白ではありませ

ん.特に,問題となるのは五度です.なぜなら,2つの音符が5分の1離れて同時に隣接する弦楽器で演奏され

るとき,同じ指が両方ともを抑えつけなくてはならないからです.従って,そのm′が不変の弦が「五度を持っ

ている」と言われます. における変化は製造問題であり得ます.それらは同じく楽器を弾くことから生じま

す.J・メイヤー(1978,ページ 71)によれば,「手の湿気はスチール弦のそして金属の傷の弦の表面を攻撃し,そ

してそれらを腐食させます.特に,弦がいくぶんより細くて,そしてもっと軽くなり,より低いハンド・ポジシ

ョンのパートで演じられる場合です.状況は,ガット弦の場合異なります.理由はボウが(ブリッジの近くで),

そして,見たところでは弦をすり減らすということです,同じく弦の部分が左手によって接触したことは,(上駒

(ナット)の近くで)発振量を増やして,ある量の湿気を吸収します.これらの小さい変更さえ間隔の調律に対

する耳の異常な敏感さのために,弦を使用できなくしてしまいます.隣接する弦楽器がなるべく5番目の間隔に

セットされるのは同じく調律することへの敏感さの理由です.

m′

2.4 駒上への力の入力

導入で,我々は我々が において駒を含めた胴体、あるいは、その自励振動の方向の,ストリングに横0=x

12

切った橋の上の力のインプットを意味しているストリングの振動の「アウトプット」に興味を持つであろうこと

を指摘しました.(2.2)によれば,この力は一定の経度の力 そして可変的な角xF α に比例しています.図2.2,

下部から,我々は容易に,自励振動の1周期に,、角度が2つの極端な値

11 / xMAXηα = (2.18a)

)/( 12 xlMAX −=ηα (2.18b)

の間に前後にジャンプするのを見ることができます.駒の上の力の関数は,その時長方形です.駒においての

角α の 初の値が弦がそのオリジナルのポジションから外れた後合間

cxt /2/ 11 = (2.19a)

のために,そしてそれがこのポジションに戻るすぐ前に同じ長さの間維持されることは同じく見られることが

できます.それの間に角が 1α である期間毎の完全な時間は、それから、 ct /1x2= です.それの間に角が

xである周期の残りが

cxl

cxTt )(22 11

12−

=−= (2.19b)

です.図2.3に示された進んでいる関数のt-軸の上と下のエリアが等しい.その時,いかなる釣り合い力の物

理的な必要がありません.我々はこれほどさらにいっそう明らかに我々が速度から横切った力を得るかどうか見

ることができます.このために,我々はおのおのの 2.5 の項を分けて考えます.これらの1つが確かなx方向、

他,で否定的にx指示を伝えている波を伝える波です.もし我々が時間に関して +η を区別するなら、我々はこ

の波に対応している速度成分を得ます:

.+++ ′−=

∂∂

= ηη ct

v (2.20a)

我々はポジションに関して同じく +η を区別して、そしてそれに縦力 をかけるかもしれません.もし我々が

我々が1つの与えられる点の左の弦の部分が右にそれに加える力に興味を持っていると思うなら,我々は

xF

++

+ ′−=∂∂

−= ηηxx F

tFF

(2.20b)

の結果を得ます.従って我々は力と速度が独立変数に対する同じ依存を持っています )( ctx − という重要な結

論を引き出すことができます.力と速度の比率は従って一定です.この比率は弦の特有の抵抗力と呼ばれ,記号

Zによって表されます:

.mFcmcFZ x

x ′=′== (2.21)

記号が反対であること以外,まったく同じ結果は伝える波を使って負のx方向で獲得されるかもしれません.駒

において力を得るこの一般的な公式を利用するために,我々は一番上の図2.2のようにダランベールの解に戻ら

なくてはなりません.ダランベールは 初の転位をピーク値 2/MAXη の2つの三角形の構成要素に分けまし

13

た。

図 弾かれた弦の力関数

これらの構成要素の1つを区別することはただ十分に(ここで として現われている)来ている波動の速度

が 初の長さ の間に値

2-3

1 1max

−v

cx / 2/ xcη

それで速度が駒に

を引き受ける長 関数に導きます.しばらくは,我々は同じ

ぐらい堅い駒 ます. おいてゼロ .従って,来ている波は逆位相 射さ

方形の

に行きますを理想化し で反

れます,そして(2.22)における速度の相違は来ている波の横切った速度の倍増に, 1MAX 2/ xcη に導き

ます.この値に(2.21)の特有の抵抗を掛けて,我々は角α の我々のより単純な考察から前に我々がそうし

たとまったく同じ値を得ます.周期の残りにわたっての関数は正確に同じく図2.3のようです.後に,弦が弾か

れるとき,我々は駒の上に力を比較するでしょう.この比較のために準備するために,我々は図2.4,中間の対

応するラインスペクトルに今手短かに時間領域から図2.3の時間機能からの周波数領域に変わるでしょう.長方

形の時間関数のスペクトルの外囲器が関数

,/

)/sin()(

ˆ4

2cos)]([2ˆ

11

1max

11max

/

/

1

1

lnxlnx

xlF

dtTnt

xll

xlF

TF

x

x

cx

cxn

ππη

πη

−=

−+= ∫

+

− (2.23)

定義された比率に依存することはよく知られています.この理由で,図24が図2.3で例に対応する中央の,

に導く,そしてスペクトルのラインの間のそのポジションがそれが引き抜かれる弦に沿ってポジションによって

.

1 を持っているスペクトルだけではなく 14// llx = 2// llx = (上部) 1 8// llx = (底)のためのスペ

クトルも示します.これらのスペクトルのための参考広さは等しい 大の転位ではなく、平等な雑音を引き離し

ている力,

)( 11 xlxlFF MAXxSTAT −

= η (2.24)

です.これはヴァイオリンを弾くテクニックに関して も良い意味をなします.2//1 llx =のケースが特に

興味深い.我々は に対応している部分的の広さが の値でさえゼロに行く そのゼロが の

にさえ対応する 点でだけ, - こで役割を果た

n/1

という

n

包絡線はこ

のを見ます.ただ

します.

n

)/(sin nn値

14

図 2-4 種々の引っぱることのための駒においての力のラインスペクトルがポイントします.

2.5 考慮に入れるべき減衰 長い間に音色の変化に伴うことによって,図2.4に示された音色における相違を確認するどんな試みでもさら

にもっと音 - そしての減衰によって難しくされます.図 2.5 が Reinicke (1973)によって測られたはじかれた弦の

15

減衰時間zの周波数依存性が電気のフィルターを部分的をお互いから分離するために使っているのを示していま

す.上方のカーブは弦のために堅い駒(一弦器)の間に弦が張られています.全ての制動が弦自身にあります.

低いカーブは実際のヴァイオリンの上に、駒においての追加の損失でそして多分ナットにおいて1弦が開かれて

います.指によって止められた弦は,確かにずっと素晴らしい損失を得るでしょう.示されたケースの両方とも

は上級の部分的がより短い衰退時間がτ するようにする,そしてより低い部分的より大きい減衰定数が

τ

δ 1=

(2.25)

することを明確にします. 図 2.4 に示された相違はただ振動の 初の少数の周期に有効です.その衰退の間に,音色は絶えず輝きを失い

ます.つまり,図 2.2 で目に見えるコーナーが絶えずいっそう丸くなること.実際の弦のために,実際の弦が,

たとえただ小さいものだけであるとしても,常に屈曲剛さを持っていますから,コーナーが実際存在することが

できません.

図 2-5 はじかれた弦の測られた減衰時間より低い部分的よりセクション 5.4で記述されるように,道具(Reinicke の後に)の上の,剛性支保のための,上級のカーブ;より低いカーブが右上端に駒のモデルによれば計算された

ラインを打ち砕きました.

2.6 ベルヌーイ解 弾かれた弦を沈ませることが周波数に依存しますから、連鎖が沈ませられた正弦曲線を使って合成によって自

励振動を衰えることについての数学的記述を組み立てることは適切です.合成は波動方程式とその境界線条件の

ためにベルヌーイの解に基づいています.この解は,どんな段階でも時間依存と空間の依存が因数分解されるこ

とができます;減衰なしで,時間依存がその時正弦波振動によって表されるかもしれないと想定します.もしは

じかれた弦がわきに初めに引かれて,しかし加速を与えられないなら,その時間関数のすべてがコサイン関数で

あるとして描かれることができます.それにもかかわらず,我々は位相拘束なしで我々の分析を初期条件の一般

的な問題に基礎づけて,そして本当の軸に回転ベクトルを使っている表示とそれらの予測を選択します.我々は

16

次のように決めます.

}.)(Re{),( tjextx ωηη )= (2.26)

我々は今この公式を得ている波動方程式(2.1)の中に同種のストリング, Rg = 0と一緒の強制振動(1.1)の方

程式と同じ構造の普通の2番目の順序微分方程式:の空間の依存の代わりに用います.

.0)( 22

2

=+ ηωηcdx

d (2.27)

この方程式の一般解はコシヌソイダルコンポーネントと正弦波のコンポーネントで構成されています:

(2.28)

この方程式で、我々は

(2.29)

が係数を設定するようにします。パラメータ

(2.30) kは波数と呼ばれます;波長は共通因子で現われる.張られた弦の自然の振動性の様式(Eigenformen)のために

正しい空間の形に到着するために,我々は同じく空間の境界条件を考慮しなくてはなりません. まずはじめに

(2.31)

自励振動は、従って、正弦波の形態のであって,そして弦の1つの終わりに始まります. しかしながら、2番目の境界条件のために(彼・それ)らは弦:

(2.33)

(2.32)

のオーダーの終わりに同じくゼロに行かなくてはならない. 1. この表記に通じていない読者が適切な文献、 eq. 、クリーマーとマラー(1982、 Vol. 2、 see.1.7)に

差し向けられます。それが(2.33)それから

(2.34)

の後に続くから、弦の長さは半減期、フルのピリオド、あるいは半減期のどんなより大きい合理的な複数でも、

をカバーすることができます.(2.30)の中に(2.34)を代用することによって、対応する真空振動数は得られ,

(2.35) です。 (2.17b)で見せられるように,我々はすでにダランベール解に関して,どの n=1 について、ケースを取り扱い

ました.我々のより以前の論議でさえ,我々は進行中の周期的な関数が独断的に周期的な部分に分けられること

.sincos kxkx scη η += η

.kcTc

==22

=ω π π

λ

fccT /==λ

.0,0:0 == cx η η =

,0: == ηlc

.0sin =kl

.2

;2 λπλπ nlnlkl ===

.2lcnfn =

17

ができると述べることが可能でした.いずれにしても,我々は基本の周波数的に見ます.これは決してすべての

サウンドジェネレータのケースではありません:実際,我々が非理想的な境界条件のために離調を無視する場合

に限り、それは張られた弦のためだけに真です.理想的な境界条件という条件のもとで,はじかれた弦のための

ベルヌーイの解決は公式

18

nη)

.21 l=λ

∫=l

n dxlxn

l2

0sin)0(1 .πηη)

nη)

(2.36) }.sin{Re),( 1

1

tjnn

ne

lxntx ωπηη ∑

=

=

をとります.これは前の公式のように完全な解です.パラメータ は独立した変数のままです,それぞれの固有振動とそのゼロ位相角について,空間の,そして時間的

な 大の値を表すことはどんな可能な 初の条件でも満たされることを可能にします.これは我々に 初の転置

のそして 初の速度分布のフーリエ分析に進むことを許します.このフーリエ解析の基本的な空間のひと区切り

であることに注意を払ってください.もし 初の速度分布がないなら、固有振動のすべてが同じ,あるいは反

対の段階です,そして

は本物です。

(2.37a)

図 2.6 ダランベール再現ベルヌーイと一緒の(a)の 初そして2番目の部分的を説明すること(b)の比較.そして

第3に同様に t=0,t/8,そして T/4. はじかれた弦のための の計算は,それが増大して,そして直線部分になることでもし(2.33)で見せられる

ように,空間の微分が長方形の関数をもたらすことは指摘されるなら,単純化され得ます.我々は同じく,統合

の後に,その代わりにn;シリーズの分母でのn2の要因が急速に一点に集まるのを見ることができます.xのど

nη)

んな所定の値ででも我々は

.sin)(

2 1

11

2

22max

lnx

xlxl

lnnπ

πη

η−

=) (2.37b)

を持っています.この特別のケースのために,それより前に,一歩一歩の合成がベルヌーイの解決を使うこと

に対して,図 2.6 が論じられてアランベール解の比較を与えます.t=0, t=T/8 と t=T/4 が図 2.2 の下部,で以前に表

した時点は並んでここで再び表されます.数字に示されたパターンはこの4分の1期間の後にそれ自身を繰り返

します.これの下に n=1 のみ(破線)のためそして n=1 と 2 のための解決(連続したライン)は示されます.カ

ーブにたたきつけたように、t=0 と t=T1/8 構成要素の組み合わせは再び3回目の列で見せられます,そして n=3構成要素は途切れの無いカーブで加えられます.また一方では,t=T1/4 であるとき変更なしで期待はずれです.

2

sin4

sin 11 πω nTn=

の価値がnのすべての奇妙な値がゼロに行くので全くありません.けれども同じく,どんな時点の間も n=4 を加

えることによって,何も変えられません.この真空振動数とその倍数のすべては引き起こされ,我々が知ってい

るスペクトル(図 2.4)のようになる.その状況が示され,寄与をするための次の部分は n=6 に対応します.

2.7 張力を受けている弦のための線形の波動方程式の妥当性の範囲 我々が後に調べるであろう,ねじれ波;弦の縦波;そして同種の伝達線での電磁波さえこの方程式に基づいて波

動方程式(2.1)によってそして分析的な方法のすべてによって記述されます.それが弦張力を受けての横波に当て

はまるとき,波動方程式は実際一番目によって得られていました.まだ,正当性のその範囲はこの場合非常に限

定されていて,ちょうど与えられた他の例のという程度を越えています.張力 Fxは高いに違いありません、そし

て転置 ηは小さいに違いありません.転位が小さく,そして緊張が高いときでさえ,これらの他の例と比較して,

弦の物理的な行動に同じく1つの非常に重要な相違があります.自励振動が 大限で両方ともが、1ポイントか

らもう1つまで,シフトする上の運動のそして可能性があるエネルギーをリストした当然,もう1つの他のタイ

プで、他の 小限で;けれども弦張力を受けての横波のために、ただ運動エネルギーだけが、伸長と緊張のわず

かな増加のかたちで,1ポイントからもう1つの位置エネルギーに動いて,常に弦の全部の長さにまき散らされ

ます.変形の結果として予想されるかもしれないすべての相違はEが弾性率である、そしてSが断面積であるス

ピード

,

mEScL ′

= (2.39)

で縦波として,伝えます.縦波が弦での横波よりずっと速く移動します;弦全体にそれら自身を均等化する伸長

度と張力に必要な時間は一般に無視されることができます.弦の全部の長さの上に張力に等しい増加があるのは

当然のこととして, 初にキルヒホフ(1897 年,第 29 回目講義,セクション7)によって記述されるように,

非線形の効果が発生します.帳力 Fxの弦の増加の変位,それは我々が前に一定であると見なした.その残りから

値,変位を達成するために必要な伸張の平均の増加への比例している帳力の増加、が

llΔ

=ε (2.39)

.0 εEFF xx += (2.40)

19

変位η(x)の所定の分配のために,しかしながら,平均の伸張は積分

.)(21 2

1

0dx

xn

l ∫ ∂∂

=ε (2.41a)

によって記述されます.この積分はすべての倍音を説明します.純粋な重ね合わせ、しかしながら、それは(今

まで)ベルヌーイの重要な特徴でした,そして我々が,このときまで論じたダランベール解決がこの積分から抽

出されることができません.我々は今ただ1つの一般的な陳述だけをすることができます:もし変位がどんな1

つの時点でもにおいて完全に - あるいは一方に寄っている本来さえであるなら, )(xη の増加の関数のピーク

値、根本的な xF ,cとすべての真空振動数が上昇します.強くはじかれた弦が,その時, 初その基本的な

周波数の高さを示すかもしれません.弦が故意に緊張の下で置かれたから,この効果はそれが乱していないほど

十分一般に小規模です.この効果を聞こえさせることは,しかしながら,可能です:例えば,オクターブによっ

てそのピッチを下げるためにE弦の緊張を減らすことです.(ベックメッサーハープの特有な音はおそらく部分的

にこの効果に帰せられます.) はじかれた弦で,この非線形性は同じくもう1つの方法において明らかにされます.弦が自由に振動している,

それが変位のそのオリジナルの平面で残っていないとき,垂直な飛行機の中のわずかに小さい衝動がしばらくの

後弦をその平面で振動させるでしょう.短調の不均一性が弦の材料で,この振る舞いを起こすことができます.

しかしながら、y-と z-方向,ηとζ での転置が弦の緊張に対する結合型の影響を持ちます:両方の指示に変位

があるとき,疑うまでもなく,

.])()[(21 21

0

2 dxxx

nl ∂

∂+

∂∂

= ∫ζε (2.41b)

(2.41a)を拡張することは可能です.今我々が金属の弦を弦と垂直に交わる磁界に置く,そして,しばしばこの

本で記述されるであろうように,弦で誘発された電気の電圧を増幅することによって,我々が弦の動作を感知す

ると考えてください.この方法であるいは他の方法で,我々はそれがはじかれる平面でだけ弦の動作を記録する

かもしれません.この場合,自由の2度のそしてそれらの部分的に線形の,部分的に非線形のカップリングの存

在は打つこととして表現されます.図 2.7 が剛性支保ではじかれた弦のフィルタリングによって孤立した基本の

例を与えます.顕著なオシロスコープ跡と非線形の共役の理論的な処理が Gough (1983)によって発表されました. 弦の行動が順序正しいときでさえ,ヴァイオリンの駒の上に張られた弦が刺激(y)の方角の間の,そしてそ

れ(z)と垂直に交わる動きの共役を示すかもしれないことはここで言及されるべきです.現象は Hancock (1975)によって,electrodynamically な興奮した弦と一緒に,顕微鏡を使っているのに観察されました.Gough (1981)はも

っと後に詳細にこれを論じました.共役の理由は駒の脚部が本体の上に置かれます;弦を支える駒の刻み目が従

って(同じくセクション 5.6 とチャプター9 を参照せよ)両方ともでyとz方向を動かすことを強いられるところ

で異なって動くということです.この場合,不安定性を持っている「張出し共振曲線」が起こります,そして低

調波が生成されるかもしれません(Cremer 1941, Anand 1966, Raghunanden と Anand 1978). 弦楽器を弾くことで,

しかしながら,このような強制振動が決して起こりません.

20

図 2.7 はじかれたストリング(ηの基本でフィルターされた)の転移の記録

参考文献 Anand, C. V.. 1966. J. Acoust. Soc. Amer. 40, 1517. Cremer. L., 1941. Forsch, Ing.-Wes. 12, 226. Cremer, L., and H. A. Muller. 1982. Principles and Applications of Room Acoustics. Tr. by T. J. Schultz. London: Applied Science. Gough, C. F., 1981. Acustica 49, 124. Gough. C. E., 1983. J. Acoust. Soc. Amer. (forthcoming). Hancock, M., 1975. Catgut Acoust. Soc. Newsletter no. 23 (May). Helmholtz, H. v., 1862. Lehre von den Tonempfindutzgen the Sensations of Tone]. Braunschweig. Vieweg. Kirchhoff, C., 1897. Vorlesungen iiber Mechanik on Mechanics] . Leipzig: Teubtier. Meyer, J., 1978. Physikalisehe Aspekte des Geigenspiels of Violin playing]. Siegburg: Verlag der Zeitsehrift Instrumetttenbau. Raghunandats, C. R.. and G. V. Anand, 1978. J. Acoust. Soc. Amer. 64. 1093. Reinicke, W., 1973. DissertatiOn, Institute for Technical Acoustics, Technical University of Berlin.

21

3. 自由振動であると考えられた弦楽器

3.1 ヘルムホルツの実験的考察

我々の次の仕事は我々が前の章で調査した知識の2つの領域を結合することです.チャプター2 は弦張力を受

けての可能な運動に供されました,そしてチャプター1 で我々は摩擦を使って自分で維持された加振のメカニズ

ムを調べました. 我々がシステムの異なった部分に与えるであろうラヴェルは図 3.1 で見せられます.前と同じように適正なこ

の体系にはり付くことについての形態と滑り摩擦がお互いの後に続くであろうことに疑いがありません.ここで,

前と同じように,交換することが1つの形態から他まで摩擦力の重要性の変化と体系の性格の変化に導くでしょ

う. 滑り摩擦の形態の間に,楽弓のポイントにおいての力は弦-の外からこの力が楽弓と弦の相対的な速度に頼る

けれどもインプット用語として作用します.この力が行動を起こす体系はその固有振動数で同じぐらいその全長

lによって決定される全部の弦です.

付着摩擦の体制で,しかしながら, においての速度は前もって決定されます.従って弦はその長さが で

ある 2 つの独立した部分の中に分かれます,そして - とそれぞれ はそれ自身の固有振動数を持っていま

す.もしシステムが周期的であるなら,転位と速度の分配は取り込みのそしてリリースの瞬間に同じであるに違

いありません.この複雑な制約条件は純粋に理論に基づいた解決の可能性を減らします.いくらよく見ても,理

論的な解釈が動きの実験的に得られる理解から推論によって得られるかもしれません.

Bx Bx

l Bx

図 3.1 弦楽器の研究のための選択シンボル.

図 3.2 弦楽器のリサージュの図形がヘルムホルツによって観察されました. このようにして,実験を通して,Helmholtz (1862)が問題に取り組みました.彼が適切な実験的な機構を作るこ

22

とは 初に必要でした,そしてそれを彼が振動顕微鏡と呼びました.これは音叉に取り付けられた接眼レンズで

できていました;これは,入れ替わる電流を使って磁気の電場誘起によって運転されて,弦に平行していて 正弦

波のように振動しました.接眼レンズは弦に貼られて明るい色をした 1 粒ののりに焦点を合わせられました.ヘ

ルムホルツが弦にリボンを付けたとき,彼はいわゆるリサージュの図形を見ました;ひもの転置は正弦波のよう

なさまざまな横座標(そうではありません,時間に比例している固有値の実部の機能として,いっそういつもで

あるように)の機能として展示されました.数字が,音叉の頻度がひもの頻度の不可欠な分数であったとき,じ

っと立っていて,そして柱面に時間の関数の予測と比較されることができて,かなりの遠方から観察しました:

あるいは,もっと良くさえ,もしひもと分岐点の周波数が少し異なっていたなら,柱面はゆっくりと回転するよ

うに思われました.もしひもの頻度が音叉のそれのおよそ4倍であったなら,例のように図 3.2 で,パターンの

中央においての時間関数は,ヘルムホルツに手で関数 )(tη をスケッチすることを許して,多かれ少なかれゆが

められていないように見えました. 観察された転位は問題の理論的な困難を考えると,(図 3.3 参照)驚くほど単純でした.ヘルムホルツが弦を観

察したどんなポイントにでも,その転位は三角形のパターンの後に続きました:速度は,換言すれば、長さ と

一定の負価値 において長さの間 の間に不変の正値 において留まりました.両方の長さ,

+t

+v −t −v η̂t ,の転位

のピーク値の2倍はその時

.ˆ2 −−++ −== tvtvη (3.1)

です.それから (3.2

の比例が存在します.

) .:)(: +−−+ −= vvtt

図 3.3 ヘルムホルツの発言によれば,転置と速度が弦に沿ってどんなポジションにおいてでも作用します.今日,

電磁気に(ヘルムホルツ時間として知られている)金属の弦を感知すること,十分に惰性なしのオシログラフ,

そしてとりわけ,電子アンプは同様に電子の集積化,変位の後に弦の速度を観察することを大変より容易にしま

す.一番上の図 3.4 で電気力学的な射弾判定の原則は例証されます2; 下部で弦に沿って観察の異なったポイン

トに対応して,Müller (1962)によって記録された )(tη の2つの関数を見せられます.

2 著者は近代的な計測装置を使ってこの方法がいつ 初に使われたかについて確かであるはずがありません. それは Bladier (1961)で見いだされるはずです,そして独立して同じく Müller (1962)によって使われました. 磁界を使うほかに,Bladier は彼が使用に,しかしながらこれを発されないでした静電界を使って同じく方法を開発しました.

23

図 3-4 上:電気力学的な射弾判定の原理.下:変位超過勤務時間(Müller の後)の例.

弦の中央で, と は等しいです;観察のポイントが弦について終わりまでより近いと,それだけもっと異

なるそして

+t −t

η̂ はより小さくなります.間隔 と は弦の中央に関してお互いの鏡像です.もし時間軸が反転

されるなら,ボウイングのそれの反対に時点で観察された関数はボウイングの時点で,その時,正確にそれに対

応します.正確にボウイングの時点で,付着摩擦が活動し始めるところである

+t −t

,Bυυ =+

である場合は,三角関数は直感的に理解することが容易です.それはトップで図 1.4 に示された付着摩擦の長い

間隔で我々に転換自励振動を思い出させます.これらの空間の依存関係は同じくヘルムホルツによって観察され

ました.

24

3.2 ヘルムホルツの理論的な推論 ヘルムホルツは次に弦の全部の長さの上に三角形の関数の存在の理論的な基礎に到達しようと試みました.そ

うすることにおいて,滑ることについてのそして付着摩擦の形態を区別しないで,彼は弦の動議を自由振動であ

ると考えました;彼は詳細でこのような単純化された処置によって提出される困難を探究しませんでした.弾い

ている間そして同じくはじかれた後の弦のピッチにおいて簡略化は確かに正当でした.もしその状況が違ってい

たなら,作曲家は(col arco)弓で弾く,はじく(pizzicato)に異なったシンボルを記録したでしょう. 図 1.4 で示される 初の章,特にそれで分析の延長のそばに,それは理論的な推論を衰えていない固有振動の

モデルに基礎づけるために確かに正当化されます.このモデルは基本的な周波数が一定であるという利点を持っ

ています.弓は,しかしながら,付着摩擦の も長い可能な間隔の傾向があります.図 1.4 に示された転換自励

振動のタイプに関連した弦の可能な運動は弓がこれを達成することを可能にします.従ってヘルムホルツは同じ

ぐらい分割されていない弦に応用のベルヌーイの解決を利用しました[(2.36)を参照]:

)

(3.7

}.sinˆRe{),( /2

1

Tntjn

elxntx ππηη ∑

=

この解決で,どんな1つのポイントでも x 弦においての関数が我々に時間を決定することを許す時間はすべ

ての他のポイントで作用します:

∑∞

=1

/211 }.ˆRe{),( Tntj

netx πηη (3.8)

(3.7)と(3.8)を比較すると,一部分の振幅:

.)/sin(

ˆˆ

1

1

lxnn

n πη

η = (3.9)

を得る.

この公式を使って,分母がゼロではありません:我々が選択しなくてはならないことは の値が1x thη 部分的

のノードではないことを確認しなくてはなりません.セクション 2.6 で,我々はすでに再び図 3.3 に示された三角

形の空間の関数を分析しました:我々のより以前の分析の文脈ははじかれた弦の 初の空間の関数でした.より

以前の分析を再適用するために,我々はただゼロ交差の1つの上に t=0 の無制限の価値を置くことが必要である

だけです.慎重さで,我々は肯定的なゼロ交差を選択します.今, ,4/2/ Tt <− 同じく と同じぐらい長い

間ここでどちらかについてのより以前の価値に対応することは橋からの距離に対応して, より少しです.自

励振動は,換言すれば,ベクトル

1

1

x

x

n1η が肯定的な仮想の値で(3.8)で導入した書式 ),T/sin(2 ntπ− 構成要素

についてその時増強されます.(2.37b)の類似性で,我々は

,sinˆ2ˆ

2

221 Tnt

ttT

nj

n−

−+

πηη (3.10)

従って

.)/sin()/sin(ˆ2ˆ

1

2

22 lxnTnt

ttT

nj

n ππ

πηη −

−+

= (3.11b)

25

を得ます.変位n

η̂ は全部の弦に当てはまります、それでそれは に依存しているはずがありません;もし特

定の正弦曲線の関数の第1四半期期間に限定された と であるなら,

1x

−t 1x

−+

=tt

Tn

jn

2

22

ˆ2ˆπηη

の状況下であるケースで

.1

lx

Tt

=−

26