1

Άσκηση 9

Μελέτη στροφικής κίνησης στερεού σώματος

Σύνοψη

Σκοπός της συγκεκριμένης άσκησης είναι:

ο πειραματικός υπολογισμός της ροπής αδράνειας ενός στερεού και η σύγκριση της πειραματι-

κής τιμής με τη θεωρητική,

η αναζήτηση των αιτιών που προκάλεσαν αποκλίσεις μεταξύ των δύο τιμών (πειραματικής και

θεωρητικής) σε περίπτωση που αυτό συμβεί -πράγμα πολύ πιθανόν,

η μελέτη της μετατροπής της βαρυτικής δυναμικής ενέργειας σε στροφική και μεταφορική κινη-

τική ενέργεια.

Στο πείραμα θα χρησιμοποιήσεις Η/Υ και μια συσκευή με πολλά εξαρτήματα η οποία παρουσιάζεται αναλυτικά

στην πειραματική διάταξη στης άσκησης (βλ. κεφ. 9.2.1).

Προαπαιτούμενη γνώση:

γωνιακή ταχύτητα,

γωνιακή επιτάχυνση,

σχέση μέτρου γωνιακής ταχύτητας και μέτρου γωνιακής επιτάχυνσης,

ροπή δύναμης ως προς άξονα,

ροπή αδράνειας στερεού σώματος ως προς ακλόνητο άξονα,

θεμελιώδης νόμος της στροφικής κίνησης,

κινητική ενέργεια σώματος λόγω περιστροφικής και μεταφορικής κίνησης,

βαρυτική δυναμική ενέργεια (Ε = m g h).

9.1 ΘΕΩΡΙΑ

Γνωρίζουμε ότι:

1 . Η σχέση του μέτρου γωνιακής ταχύτητας και του μέτρου της γωνιακής επιτάχυνσης (Young, 1994) είναι

(Εικόνα 9.1):

ω = ω0 + αγων t

Εικόνα 9.1 Γραφική παράσταση μέτρου γωνιακής ταχύτητας - χρόνου.

2 . Η σχέση μεταξύ μέτρου γραμμικής και γωνιακής επιτάχυνσης είναι:

αγρ= γωνR

ω(rad/s)

ω0

t (s) 0

2

Απόδειξη: v = ωR Rdt

dω

dt

dv αγρ = αγωνR

Η ροπή αδράνειας του στερεού (Young, 1994) που θα τοποθετήσουμε στη συσκευή του πειράματος

(Εικόνα 9.2) θα υπολογιστεί από το θεμελιώδη νόμο της στροφικής κίνησης:

Στ = Ιπ α1 (9.1)

όπου:

Στ: το αλγεβρικό άθροισμα των αριθμητικών τιμών των διανυσμάτων των ροπών που ασκούνται στο σύστη-

μα,

Ιπ: η πειραματική τιμή της ροπής αδράνειας του σώματος-συστήματος,

α1: η αριθμητική τιμή της γωνιακής επιτάχυνσης του στρεφόμενου σώματος-συστήματος, όταν ενεργούν όλες

οι ροπές.

Εικόνα 9.2 Σχηματική αναπαράσταση του πειράματος.

Αναλυτικά, ως προς τον άξονα περιστροφής στο σύστημα ασκούνται δύο ροπές:

1 . Η ροπή τ1 της δύναμης F1 που ασκεί το νήμα στην περιφέρεια του άξονα (Εικόνα 9.3) και έχει μέτρο:

τ1 = F1 r (9.2)

3

Εικόνα 9.3 Εγκάρσια τομή σχηματικής αναπαράστασης του πειράματος.

Για νήμα αμελητέου βάρους και σταθερού μήκους: F1=F2.

Επιπλέον, θα υποθέσουμε, αρχικά, ότι: F2=mg, οπότε, αν ζυγίσεις τη μάζα m του σώματος που πέφτει, θα

βρεις το μέτρο της ροπής:

τ1=F1r τ1=m*g*r

(9.3)

2 . Η ροπή τ2 που ασκείται στο σύστημα και προέρχεται από τις διάφορες τριβές και αντιστάσεις.

Το μέτρο αυτής της ροπής υπολογίζεται χάρις σε μια έξυπνη κίνηση του κατασκευαστή της άσκησης.

Καθώς η μάζα πέφτει, το νήμα ξετυλίγεται γύρω από τον άξονα και το σύστημα επιταχύνεται υπό την επί-

δραση όλων των ροπών. Η γωνιακή επιτάχυνση α1 καταγράφεται από τον Η/Υ. (Μπορείς, αντί της α1, να

ζητήσεις να καταγράψεις τη γωνιακή ταχύτητα ω.)

Κάποια στιγμή το νήμα ξετυλίγεται πλήρως και φεύγει από τον άξονα. Το σύστημα εξακολουθεί να

περιστρέφεται, αλλά τώρα κάνει επιβραδυνόμενη στροφική κίνηση υπό την επίδραση των ροπών των τριβών.

Ο Η/Υ καταγράφει τη γωνιακή επιβράδυνση α2 (ή κάποιο άλλο συναφές μέγεθος, π.χ. τη γωνιακή ταχύτητα

ω). Επομένως,

τ2=Ια2 (9.4)

Εφαρμόζουμε το θεμελιώδη νόμο της στροφικής κίνησης:

Στ=Ι α1 τ1-τ2=Ιπ α1

τ1-Ιπα2=Ιπα1 τ1=Ιπ (α1+α2)

τ1

F1

F2

mg

νήμα

r

r: η ακτίνα του άξονα περιστροφής

r=4,00 10-3 m

r΄: η ακτίνα της κλωστής (αν χρειαστεί)

r: η ακτίνα του άξονα περιστροφής

r=4,00 10-3

m

Παρατήρηση για ώριμους:

Κανονικά mg-F2=mαγρ,

όπου αγρ: το μέτρο της γραμμικής επιτάχυνσης με την οποία πέφτει το σώμα, και αγρ=αγων (r+r΄).

4

(9.5)

όπου Ιπ: η πειραματική τιμή της ροπής αδράνειας του στρεφόμενου συστήματος.

9.2 ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟ ΜΕΡΟΣ

9.2.1 Πειραματική διάταξη

Στο πείραμα χρησιμοποιείς μια συσκευή με πολλά εξαρτήματα τα οποία παρουσιάζονται αναλυτικά στην Ει-

κόνα 9.4. Γενικότερα, στο πείραμα θα χρησιμοποιήσεις:

Εικόνα 9.4 Εξαρτήματα της συσκευής του πειράματος.

μία ξύλινη, μπλε βάση υποστήριξης του άξονα περιστροφής και αποθήκευσης των εξαρτημά-

των (a),

δύο ειδικές βίδες στήριξης του άξονα (b),

τον άξονα (c),

δύο μικρά κυλινδράκια στήριξης (d),

μία σημαία διακοπής δέσμης (e),

6 σώματα διαφόρων σχημάτων προς μελέτη (f, h, ị, j),

δίσκους υποστήριξης περιστρεφόμενων σωμάτων (g),

5 μικρές μάζες σε σχήμα ροδέλας, σώμα που πέφτει (k),

κουβαρίστρα, κλωστή (l),

“το τέρας” (Η/Υ),

τη συσκευή που καταγράφει τις μετρήσεις και τις μεταφέρει στον Η/Υ. Το όνομά της είναι

Science Workshop.

Σε συνεργασία με τους διδάσκοντες του εργαστηρίου ετοιμάζεις και τοποθετείς το σώμα, τις κλωστές

και τα υπόλοιπα αντικείμενα του πειράματος.

5

9.2.2 Βήματα

1 . Για να εμφανιστεί το κατάλληλο πρόγραμμα στην οθόνη του Η/Υ, ανοίγεις από την επιφάνεια εργασίας

το φάκελο MAGOS.

2 . Επιλέγεις το πρόγραμμα MAGOS που έχει τον ίδιο αριθμό με την άσκηση που θα κάνεις.

3 . Αποφασίζεις τίνος σώματος θα υπολογίσεις πειραματικά τη ροπή αδράνειας (π.χ. κύλινδρος, σφαίρα, κό-

λουρος κώνος κτλ).

4 . Τοποθετείς (με βοήθεια) το σώμα στη συσκευή. Προσοχή στη σημαία! Πρέπει να είναι σε τέτοια θέση,

ώστε κατά την περιστροφή του σώματος να διακόπτει την ακτίνα της φωτοδιόδου.

5 . Τοποθετείς το νήμα στην εγκοπή του δισκίου και το τυλίγεις (σφιχτά) γύρω από τον άξονα περιστροφής.

6 . Τώρα είσαι έτοιμος να αρχίσεις το πείραμα!

7 . Αφήνεις το σώμα m να πέσει και πατάς το κουμπί Start στην οθόνη του υπολογιστή σου.

8 . Λίγο μετά την επαφή του σώματος με το έδαφος, πατάς Stop.

9 . Στην οθόνη του υπολογιστή σου πρέπει να έχει διαμορφωθεί μια γραφική παράσταση, όπως αυτή στην

Εικόνα 9.5.

Εικόνα 9.5 Γραφική παράσταση στην οθόνη του υπολογιστή.

Επειδή οι άξονες είναι χρόνος – μέτρο γωνιακής ταχύτητας, η κλίση της ευθείας θα δίνει το μέτρο της

γωνιακής επιτάχυνσης.

Το πείραμα υπολογισμού της ροπής αδράνειας σώματος Βίντεο

Το βίντεο δείχνει τη διάταξη του πειράματος και πώς παίρνονται οι μετρήσεις που χρειάζονται για τον υπολογισμό της

ροπής αδράνειας.

http://repfiles.kallipos.gr/file/16363

Βίντεο 9.1 Πείραμα της άσκησης 9.

6

9.3 ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ

Θα γράψεις τα παρακάτω στο τετράδιο του εργαστηρίου πριν το πείραμα:

Τίτλος άσκησης:

Όνομα:

Ημερομηνία:

Σκοπός:

1 . Γράφεις τίνος σώματος θα υπολογίσεις πειραματικά τη ροπή αδράνειας (π.χ. κύλινδρος, σφαίρα, κόλου-

ρος κώνος κτλ).

Σώμα: ………………………

2 . Ζυγίζεις το σώμα που πέφτει (g=9,81 m/s2).

M=………. 10-3

kg

3 . Εκτυπώνεις την Εικόνα 9.5 και υπολογίζεις τις γωνιακές επιταχύνσεις α1 και α2 από την κλίση των δύο

ευθειών.

4 . Γράφεις τις απαντήσεις σου στον Πίνακα 9.1.

5 . Γράφεις στον ίδιο πίνακα τις τιμές α΄1 και α΄2 από τον υπολογιστή.

Από τη γραφική πα-

ράσταση με χάρακα α1 =………… rad/s

2 α2 =…………. rad/s

2

Από τον Η/Υ α΄1 =………….. rad/s2 α΄2 =…………rad/s

2

Πίνακας 9.1 Τιμές μέτρων γωνιακής επιτάχυνσης.

6 . Από τον τύπο (9.5)

, βρίσκεις την πειραματική ροπή αδράνειας.

Ιπ=………… kg m2

Η ακτίνα r του άξονα περιστροφής είναι: r = 4*10-3

m.

7 . Από το Παράρτημα A΄ της άσκησης βρίσκεις την ΤΒ.

ΙΤΒ = ………… kg m2

8 . Υπολογίζεις την επί τοις % διαφορά ως προς την ΤΒ.

Παρατήρηση:

Εκτός από το τελικό αποτέλεσμα, θα πρέπει να φαίνονται και οι αντικαταστάσεις με τις μονάδες τους.

Σημείωση:

Αυτό το κάνεις για να συγκρίνεις την επιτάχυνση που βρίσκεις από πράξεις με το χέρι, με αυτήν που βρίσκεις με

τον Η/Υ.

7

9 . Αν το Χ δεν είναι ίσο με μηδέν (!), τότε αρχίζεις τις ώριμες σκέψεις. Γιατί Χ 0;

Στο Παράρτημα B΄ της άσκησης θα βρεις πολλές πληροφορίες που ίσως βοηθήσουν.

Ώριμες σκέψεις:

1 . Τίνος σώματος είναι η ροπή αδράνειας που βρήκες;

2 . Είναι μόνο του σώματος που τοποθέτησες ή και όλων των άλλων σωμάτων που γυρίζουν μαζί (π.χ. του

άξονα, της σημαίας κτλ);

3 . Πήγαινε στο Παράρτημα B΄ της άσκησης και κάνε τις απαραίτητες αφαιρέσεις.

4 . Βρίσκεις, έτσι, τη νέα διορθωμένη πειραματική τιμή Ι΄π.

Ι΄π = …………. kg m2

5 . Βρίσκεις τη νέα εκατοστιαία διαφορά.

.........%%100'

'22

I

6 . Αν και η άσκηση τελειώνει εδώ, ίσως έχεις ακόμα απορίες:

π.χ. Το πάχος της κλωστής επηρεάζει τη ροπή τ1=m*g*r;

Απάντηση: Το πάχος της κλωστής έχει επίδραση, μόνο αν είναι συγκρίσιμο με τη διάμετρο της ράβδου.

Στην Εικόνα 9.3 υποθέτουμε ότι το πάχος δεν είναι αμελητέο.

7 . Με τη διάταξη που διαθέτεις, μπορείς -αν θέλεις- να αποδείξεις πειραματικά τη διατήρηση της ενέργειας.

Μετράς την αρχική απόσταση της μάζας που πέφτει από το έδαφος και, όταν αυτή φτάσει στο έδαφος,

μετράς τη γωνιακή και γραμμική ταχύτητα.

Η άσκηση του πειραματικού υπολογισμού της ροπής αδράνειας σώματος Βίντεο

Το βίντεο δείχνει όλη την άσκηση για τον πειραματικό υπολογισμό της ροπής αδράνειας σώματος (θεωρία, πείραμα,

μετρήσεις, υπολογισμούς).

http://repfiles.kallipos.gr/file/16364

Βίντεο 9.2 Παρουσίαση της άσκησης 9.

Βιβλιογραφία

Young, H. D. (1994). Πανεπιστημιακή Φυσική τόμ.Ι. (παράγραφοι 9.1-9.4, 10.1-10.2, σ. 234-241, 258-260).

Αθήνα: Παπαζήση.

8

Παράρτημα Α΄

Τιμές βιβλιογραφίας ροπής αδράνειας (για τα σώματα που θα μελετήσουμε)

Πίνακας 9.2 Τιμές βιβλιογραφίας ροπής αδράνειας.

Παράρτημα Β΄

Ροπές αδράνειας βοηθητικών εξαρτημάτων

Αντικείμενο Ι (kg m2)

Δύο πλαστικοί δίσκοι στήριξης

για το μεγάλο κυλινδρικό κέλυφος 1,72 10

-5

Δύο πλαστικοί δίσκοι στήριξης

για το μεσαίο κυλινδρικό κέλυφος 4,34 10

-6

Δύο πλαστικοί δίσκοι στήριξης

για το μικρό κυλινδρικό κέλυφος 1,62 10

-6

Δισκία στήριξης του σώματος με τον άξονα 3,72 10-9

Σημαία 8,7 10-7

Πίνακας 9.3 Ροπές αδράνειας βοηθητικών εξαρτημάτων.

Σώμα

ΙΤΒ

(kg m2)

(με τα πλαϊνά δισκία)

Ι΄ΤΒ

(kg m2)

(χωρίς τα πλαϊνά δισκία)

Μεγάλο κυλινδρικό κέλυφος 1,93 10-4

1,76 10-4

Μεσαίο κυλινδρικό κέλυφος 8,45 10-5

8,02 10-5

Μικρό κυλινδρικό κέλυφος 4,72 10-5

4,60 10-5

Συμπαγής κύλινδρος 4,71 10-5

4,71 10-5

Συμπαγής κόλουρος κώνος 1,82 10-5

1,82 10-5

Συμπαγής σφαίρα 5,43 10-5

5,43 10-5

9

Κριτήρια αξιολόγησης

Κριτήριο αξιολόγησης 1

1. Με τη βοήθεια της Εικόνας 9.6 να βρεις:

a) τη γωνιακή επιτάχυνση,

b) τη γωνιακή επιβράδυνση.

Εικόνα 9.6 Γραφική παράσταση – Ερώτηση Κριτηρίου Αξιολόγησης 1 άσκησης 9.

2. Να βρεθεί η ροπή αδράνειας στο SI, αν η συνολική ροπή είναι 0,0002 Nm και η γωνιακή επιτάχυνση

32 rad/s2.

3. Να βρεθεί η ροπή σε Nm, αν η δύναμη είναι 2,3 Ν και η απόσταση από τον άξονα περιστροφής

4 mm.

4. Να βρεθεί η ροπή αδράνειας σώματος που έχει τοποθετηθεί στη διάταξη του πειράματος, αν η μάζα

που κρεμώ είναι 30,5 g, η ακτίνα του άξονα περιστροφής 4 mm, η γωνιακή επιτάχυνση 12,6 rad/s2

και η γωνιακή επιβράδυνση -1,2 rad/s2. Δίνεται g=9,81 m/s

2.

5. Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι σωστές και ποιες λάθος;

a) Η κλίση της γραφικής παράστασης της γωνιακής ταχύτητας σε σχέση με το χρόνο μού δίνει τη

γωνιακή επιτάχυνση.

b) Η γραμμική επιτάχυνση είναι ανάλογη της γωνιακής επιτάχυνσης.

c) Το kgm είναι μονάδα μέτρησης της ροπής αδράνειας στο SI.

Απαντήσεις

1. Σύμφωνα με τη γραφική παράσταση στην Εικόνα 9.7:

10

Εικόνα 9.7 Γραφική παράσταση – Απάντηση Κριτηρίου Αξιολόγησης 1 άσκησης 9.

a) Η γωνιακή επιτάχυνση είναι ίση με την κλίση (slope) του ανοδικού μέρους της γραφικής παράστα-

σης. Όπως φαίνεται στην Εικόνα 9.7, η κλίση m (slope) είναι 14,5 rad/s2, αφού η γωνιακή ταχύτητα

στον κατακόρυφο άξονα είναι σε rad/s και ο χρόνος στον οριζόντιο άξονα σε s.

b) Η γωνιακή επιβράδυνση είναι ίση με την κλίση (slope) του καθοδικού μέρους της γραφικής παρά-

στασης. Όπως φαίνεται στην Εικόνα 9.7, η κλίση m (slope) είναι -1,90 rad/s2, αφού η γωνιακή ταχύ-

τητα στον κατακόρυφο άξονα είναι σε rad/s και ο χρόνος στον οριζόντιο άξονα σε s.

2.

3.

.

4.

5.

a) Σωστό

b) Σωστό

c) Λάθος. Είναι το kg*m2.