TROISIEMES − Feuille Entrainement : généralités sur les fonctions

Cette feuille d’entrainement ne présente que les outils de mathématiques pures que vous devez maitriser pour savoir traiter les exercices,

souvent « en situation concrète » du brevet.

Exercice.1 [ 8 minutes ]

Soit � la fonction définie par : = −2( ) 4f x x , de courbe

représentative notée � � .

1. Calculer l’image de −3 par � et en déduire les

coordonnées d’un point de � � .

2. Calculer les antécédents de 0 par � . Que peut-on en

déduire pour � � ?

3. A l’aide de la calculatrice, compléter le tableau de

valeurs suivant puis tracer � � :

� −3 −2 −1 0 1 2 3� ( � )

Corrigé

1. Pour obtenir l’image de −3 par � , il faut calculer

� (−3) ; on a : − = − − = − =2( 3) ( 3) 4 9 4 5f .

L’image de −3 par � est 5 donc le point

� (−3 ; 5) appartient à � � .

2. Pour obtenir les antécédents éventuels de 0 par � , il

faut résoudre l’équation � (� ) = 0.

On a : � (� ) = 0 � ² − 4 = 0(� ) � − (2) � = 0

(� + 2)(� − 2) = 0.

On reconnaît une équation produit nul.

On utilise la règle : un produit de facteurs est nul si et

seulement si l'un au moins des facteurs est nul.

L'équation précédente est donc équivalente à :

� + 2 = 0 ou � − 2 = 0 � = −2 ou � = 2.

Le nombre 0 admet pour antécédents : −2 et 2 ;

on en déduit que � � coupe l’axe des abscisses en deux

points d’abscisses respectives : −2 et 2.

3.

� −3 −2 −1 0 1 2 3� (� ) 5 0 −3 −4 −3 0 5

Exercice.2 [ 8 minutes ]

Soit � la fonction définie par : = − +2 1( )

4f x x x .

On note � � sa courbe représentative.

1. Calculer l’image de3

2par � et en déduire les

coordonnées d’un point de � � .

2. Factoriser l’expression � (� ) puis résoudre l’équation

� (� ) = 0.

3. Calculer les antécédents de1

4par � .

Corrigé

1. − + = − + = − + = − + = = =

23 3 3 1 9 3 1 9 6 1 9 6 1 4

12 2 2 4 4 2 4 4 4 4 4 4

f

L’image de3

2par � est 1.

On en déduit que le point

3A ;1

2appartient à � � .

2. Factorisons :

( ) ( ) = − + = − + = −

2 222 1 1 1 1

( ) 24 2 2 2

f x x x x x x

En utilisant cette forme factorisée de � (� ), l’équation

� (� ) = 0 s’écrit :

− =

21

2  0x − =

10

2x =

1

2x

L’équation � (� ) = 0 admet pour solution :1

2.

3. Pour obtenir les antécédents éventuels de1

4par � , il

faut résoudre l’équation =1

( )4

f x . En utilisant la

forme développée de � (� ), cette équation s’écrit :

− + = ⇔ − = ⇔ − =2 1 1² 0 ( 1) 0

4 4x x x x x x .

On reconnaît une équation produit nul.

On utilise la règle : un produit de facteurs est nul si et

seulement si l'un au moins des facteurs est nul.

L'équation précédente est donc équivalente à :

� = 0 ou � − 1 = 0 � = 0 ou � = 1.

Les antécédents de1

4par � sont : 0 et 1.

Celaquelcour

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� � � � � � � � � ( � ) � é � � � � � � � ( � ) = �

permet de savoir enle valeur de (Oy) labe de f coupe cet axe .

Cela permet de savoir enquelles valeurs de (Ox) lacourbe de f coupe cet axe.

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Exercice.3 [ 5 minutes ]

On donne ci-dessous la courbe représentative d’une

fonction � dans un repère orthogonal.

Traiter les questions suivantes par lecture graphique.

1. Quelle est l’image de 2,5 par� ?

2. Donner les antécédents de 4 par � ( arrondir à 0,1

lorsque nécessaire ).

3. Que vaut � (0) ?

Corrigé

1. Quelle est l’image de 2,5 par f ?

On place le nombre 2,5 sur l’axe des abscisses,

on trace la droite d’équation � = 2,5 : elle coupe la

courbe de f en � ; par lecture graphique � � ≈ 5 donc

l’image de 2,5 par f est environ 5.

2. Donner les valeurs des antécédents de 4 par f .

On place le nombre 4 sur l’axe des ordonnées, puis

on trace la droite d’équation � = 4 : elle coupe la

courbe de � en trois points � , � et � .

Graphiquement : � � = 1,� � = 3 et � � ≈ 5,5 donc

par lecture graphique on en déduit que le nombre 4

admet pour antécédents : 1, 3 et environ 5,5 arrondi à

0,1.

3. Que vaut � (0) ?

La courbe de � coupe l’axe des ordonnées à la valeur

≈ −4,3 donc � (0) ≈ −4,3 .

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Lire graphiquement l’image Lire graphiquement les

d’un nombre connu �

Etape.1

On place la valeur � sur l’axedes abscisses (� � )Etape.2On trace la droite « verticale »

d’équation � = � : elle coupe lacourbe de � en un point dont

l’ordonnée est l’image de �cherchée.

antécédents éventuels d’un

nombre connu �

Etape 1

On marque la valeur � surl’axe des ordonnées (Oy)Etape.2On trace la droite« horizontale » d’équation

� = � : elle coupe la courbede � en � , � ,.. dont lesabscisses sont les

antécédents de � cherchés.

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roits réservés

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Exercice.4 [ 15 minutes ]

On donne l’expression littérale de la fonction � dont la

courbe représentative a été donnée à l’exercice 3 :

= − − − +( ) 0,5( 3)( 1)( 5,5) 4f x x x x .

Traiter les questions suivantes par une méthode

algébrique, puis comparer avec les réponses données par

lecture graphique dans l’exercice précédent.

1. Calculer la valeur exacte de l’image de5

2par f .

2. Calculer les antécédents de 4 par � .

3. Calculer l’image de 0 par � . Que peut-on en déduire

pour la courbe représentative de � ?

Solution

1.

= − − − +

5 1 5 5 5 113 1 4

2 2 2 2 2 2f

= − − − +

5 1 5 6 5 2 5 114

2 2 2 2 2 2 2 2f

− − −

= +

5 1 5 6 5 2 5 114

2 2 2 2 2f

− −

= +

5 1 1 3 64

2 2 2 2 2f

× × ×

= +

5 1 1 3 2

2f

×3

2+

× × ×4

2 2 2

× = +

5 9 4 8

2 8 8f

+

=

5 9 32

2 8f

=

5 41

2 8f . L’image de

5

2par

� est41

8. Remarquons que

41

8= 5,125 ce qui est en

accord avec la lecture graphique effectuée précédemment.

2. Pour obtenir les antécédents de 4 par � , il faut

résoudre l’équation =( ) 4f x .

− − − + =0,5( 3)( 1)( 5,5) 4 4x x x

− − − + − =0,5( 3)( 1)( 5,5) 4 4 0x x x

− − − =0,5( 3)( 1)( 5,5) 0x x x

On reconnait une équation « produit nul », et comme

0,5 ≠ 0, l’équation précédente est équivalente à :

− =3 0x= 3x

ou − =1 0x ou − =5,5 0x

= 5,5x=1x

Le nombre 4 admet trois antécédents : 1, 3 et 5,5.

Remarquons que nous retrouvons les nombres obtenues par

la lecture graphique mais cette lecture graphique indiquait

« 5,5 arrondi à 0,1 » alors que le calcul algébrique démontre

que 5,5 est la valeur exacte.

3. Pour calculer l’image de 0 par � il faut calculer � (0).

On a : = − − − +( ) 0,5( 3)( 1)( 5,5) 4f x x x x

donc : = − − − +(0) 0,5(0 3)(0 1)(0 5,5) 4f

= − − − +(0) 0,5( 3)( 1)( 5,5) 4f

= − +(0) 8,25 4f

= −(0) 4,25f

L’image de 0 par � est −4,25.

Remarque : la lecture graphique donnait � (0) ≈ −4,, ce

qui là encore assez proche de la valeur exacte obtenue

algébriquement.

Exercice.5 Q.C.M. [ 5 minutes ]

On sait que le point � (7; 8) appartient à la représentation

graphique d’une fonction � . Pour chaque affirmation,

indiquer si elle est vraie ( V ), ou fausse (F), ou s’il est

impossible de savoir (NPPS) par manque d’information.

8 7f

VFNPPS

7 8f

VFNPPS

L’image de 8 par � est 7VFNPPS

Un antécédent de 8 par � est 7VFNPPS

7 est une solution de l’équation � ( � ) = 8VFNPPS

Réponse : NPPS-V-NPPS-V-V

Exercice.6 [ 8 minutes ]

Soit � la fonction définie par � (� ) = (� + 6) � − 5.

1. Calculer l’image de − +6 3 7 par � .

2. Calculer les antécédents de 58 par � .

Résultats ( non rédigé )

1. ( )( )− + = − + −+2

( 6 3 7 ) 6 3 7 6 5f

( )− + = −2

( 6 3 7 ) 3 7 5f

− + = × −( 6 3 7 ) 9 7 5f − + =( 6 3 7 ) 58f .

2. Il s’agit de résoudre l’équation : ( ) = 58f x

( ) −+ =2

6 5 58x + − =2( 6) 63 0x

+ − × =2( 6) 9 7 0x ( ) ( )+ − × =22

6 3 7 0x

+ + + − =( 6 3 7)( 6 3 7) 0x x

+ + =6 3 7 0x ou + − =6 3 7 0x

= − −6 3 7x ou = − +6 3 7x .

Le nombre 58 admet deux antécédents par � :

− −6 3 7 et − +6 3 7 .

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