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FERNANDO MESA
Licenciado en Matemáticas, graduado de la Universidad Tecnológica de Pereira, UTP, con honores. Tiene estudios de posgrado en Matemáticas, Instrumentación Física y Docencia Universitaria. Con experiencia de más de 20 años, profesor titular del Departamento de Matemáticas de la UTP en donde se ha destacado como directivo e investigador. E-mail: [email protected]
JULIÁN GUZMÁN BAENA
Docente Titular de la Universidad Tecnológica de Pereira. Magíster en Scientiae - Especialidad en Matematicas y Especialización en Computación para la docencia.
Con más de treinta años de experiencia, principalmente en los cursos de Topología general de la Licenciatura en Matemáticas y Física de la Universidad Tecnológica de Pereira y otras áreas de desempeño como la Historia de las matemáticas.
GERMÁN CORREA VÉLEZ
Licenciado en Matemáticas y Física, 1998. Magíster en la Enseñanza de las Matemáticas, Universidad Tecnológica de Pereira, 2006 .
Profesor de planta de la Universidad Tecnológica de Pereira en la Categoría Asociado, con doce años de experiencia como docente universitario.
Conexidad, convexidad y
arco-conexidad en espacios topológicos
Julián Guzmán Baena
Docente Departamento de Matemáticas
Universidad Tecnológica de Pereira
Fernando Mesa
Docente Departamento de matemáticas
Universidad Tecnológica de Pereira
German Correa Vélez
Docente Departamento de matemáticas
Universidad Tecnológica de Pereira
Indice general
1. Espacios Conexos 1
1.1. Nocion intuitiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2. Definiciones y ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2.1. Definicion de espacios conexos . . . . . . . . . . . . 7
1.3. Conjuntos conexos y ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.3.1. Conjuntos conexos en (R, Tcf) . . . . . . . . . . . . 21
1.3.2. Conjuntos conexos en (R, Tcd) . . . . . . . . . . . . 22
1.3.3. Conjuntos conexos en (R, Tu) . . . . . . . . . . . . 24
2. Espacios Arco-Conexos 31
2.1. Conjuntos Convexos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.2. Union y Clausura de conjuntos conexos . . . . . . . . . . . 43
2.3. Componentes conexas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3. Algunas aplicaciones de los conjuntos conexos 57
3.1. Teorema del valor intermedio para funciones continuas . . 58
iii
iv INDICE GENERAL
3.2. Teorema Bolzano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
3.3. Brower: El intuicionismo y su teorema del punto fijo . . . . 61
3.4. Teorema del punto fijo de Brouwer en In . . . . . . . . . . 75
3.5. Solucion de ecuaciones diferenciales . . . . . . . . . . . . . 82
3.5.1. Definicion de contraccion . . . . . . . . . . . . . . . 84
3.6. Teorema de Picard . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
3.7. Teorema de Borsuk-Ulam. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
3.7.1. El problema del “Sandwich de Jamon”. . . . . . . . 109
3.7.2. Arco-conexidad y algo mas . . . . . . . . . . . . . . 127
3.7.3. S2 es arco-conexo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
Taller 147
Bibliografıa 151
iv
Presentacion
Cuando hablamos de topologıa conjuntista nos referimos a esa rama de las
matematicas que estudia las propiedades que se conservan ( invariantes)
cuando los objetos cambian continuamente; trata de responder una pre-
gunta sumamente valioso en el conocimiento dialectico de nuestro univer-
so: ¿Que es lo que se conserva cuando los cuerpos cambian continuamente?.
Tales invariantes permiten la clasificacion e igualdad de los objetos . El es-
tudio de esos invariantes se realiza por funciones denominadas Homeomor-
fismos. La topologıa se concentra en espacios homeomorfos y sus propiedades,
esto es, en espacios que tienen la misma forma topologica y en cualidades
que no se alteran por cambios continuos: “Para un topologo es lo mismo
una circunferencia que una elipse; dos intervalos semiabiertos son identicos;
dos intervalos cerrados y acotados siempre son los mismos”
Dos de esas propiedades topologicas son precisamente la conexidad y la
arcoconexidad. Un espacio conexo intuitivamente es aquel que consta de
v
vi INDICE GENERAL
una sola pieza; no tiene partes separadas cuya unidad sea todo el espacio
; desde nuestra educacion basica nos hemos relacionado con estos: un in-
tervalo, un cuadrado, un pentagono, etc. El uso de estos en matematicas
es innegable. Los conjuntos arcoconexos, por su parte, son conjuntos que
tienen la propiedad de comunicar dos de sus puntos cualesquiera por medio
de una curva; intuitivamente no pueden constar de dos o mas piezas sepa-
radas, y en efecto se verifica que todo arcoconexo es conexo.
Las aplicaciones de estos espacios en el Analisis son innegables; en particu-
lar son fundamentales en Ecuaciones Diferenciales Ordinarias, al tratar de
modo formal sus soluciones, tal como quedan registrados en los Teorema
de Picard y de Borzuk-Ulam.
La presente obra se concentra en el estudio intuitivo y formal de las propie-
dades topologicas conexidad y arcoconexidad ; sus caracterizaciones en al-
gunos espacios topologicos de frecuente uso.
La obra esta orientada para los licenciados en matematicas y matematicos
que cursan Topologıa general. Por ello se brindan suficientes ejemplos y
se dan las explicaciones del caso para que los distintos temas aca tratados
queden en poder de ellos. El taller al final de los capıtulos indicara si se ha
logrado o no el objetivo de adquirir un buen conocimiento de los distintos
vi
INDICE GENERAL vii
topicos tratados en el libro.
Deseamos que esta publicacion sea del agrado del lector y logre dar respues-
tas sobre las inquietudes acerca de la explendorosa rama de la topologıa y
sus propiedades invariantes.
Los autores.
vii
Capıtulo 1
Espacios conexos
1.1. Nocion intuitiva
En terminos generales, podemos plantear que un conjunto es conexo si
intuitivamente el conjunto no esta fragmentado en partes topologicamente
separadas. En sı un conjunto conexo es “un todo”, donde sus diferentes
piezas estan coherentemente unidas. Entendiendo esto, se acepta de un
modo inmediato que de los conjuntos dados en la figura 1.1, claramente
X1 = A1 ∪ A2 ∪ A3 y X5 = E1 ∪ E2 ∪ E3 no son conexos, mientras que los
restantes X2, X3 y X4 sı lo son, donde X2 = B1∪B2∪B3 y X3 = C1∪C2∪C3
y X4 = D1∪D2∪D3. En esta figura se observa que X1 consta de tres partes
separadas (A1, A2, A3) y X5 se compone de dos partes separadas (E1 ∪E2,
E3), en cambio en los otros conjuntos sus partes estan “coherentemente
unidas”. Esto nos hace pensar, a nivel infantil, que cuando un nino arma un
rompecabezas esta relacionando los conceptos de conexidad y no conexidad;
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Otros títulos de interés:
∙ Continuidad en espacios topológicos,Fernando Mesa, Julián Guzmán Baena yGermán Correa Vélez.
∙ Compacidad en espacios topológicos,Fernando Mesa, Julián Guzmán Baena yGermán Correa Vélez.
∙ Formación de profesores dematemática,Fernando Mesa, Oscar FernándezSánchez y Mónica Angulo Cruz.
∙ Cálculo integral en una variable,José Rodrigo González, Juan EduardoBravo y Fernando Mesa.
∙ Elementos de cálculo numérico,José Rodrigo González, Juan EduardoBravo y Fernando Mesa.
∙Introducción al álgebra lineal,Fernando Mesa, Oscar FernándezSánchez y Edgar Valencia Angulo.
∙ Ecuaciones diferenciales ordinarias,Alejandro Martínez, José RodrigoGonzález y Fernando Mesa.
∙ Matemáticas para informáticaIsmael Gutiérrez García.
Conexidady arco-conexidaden espaciostopológicos
La presente obra se concentra en el estudio intuitivo y formal de dos importantes propiedades topológicas que son conexidad y arco-conexidad y sus caracterizaciones en algunos espacios topológicos de frecuente uso.
Las aplicaciones de estos espacios en el análisis son innegables; en particular, son fundamentales en Ecuaciones Diferenciales Ordinarias, al tratar de modo formal sus soluciones, tal como quedan registrados en los Teorema de Picard y de Borzuk-Ulam.
La obra está orientada para los licenciados en física y matemáticas, y matemáticos que requieren conocimientos de topología general. Por ello, se brindan suficientes ejemplos y se dan las explicaciones del caso para que los distintos temas acá tratados queden en poder de ellos.
Deseamos que esta publicación sea del agrado del lector y logre dar respuesta a inquietudes sobre la esplendorosa rama de la topología.
Área: Ciencias ExactasColección: Matemáticas
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