DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA QUÍMICA Y TECNOLOGÍA DEL MEDIO AMBIENTE

UNIVERSIDAD DE VALLADOLID

fenómenostransporte

fenómenos de

ímic

o. R

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el M

ato

)1

Ing

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urso

201

0/11

rte

Ingeniero QuímicoCurso 2010/11

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spo

Departamento de Ingeniería Química y Tecnología del Medio AmbienteUniversidad de Valladolid

Fen

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Tema 0 — p. 1

Universidad de Valladolid

Situación en el plan de estudios

BASICASFUNDAMENTOS

I.Q.APLICADAS

BALANCES DEMATERIA Y

I.Q.

OPERACIONES

MATEMATICAS

ENERGIA

TERMODINAMICA

OPERACIONESDE

SEPARACION

MATEMATICAS

FISICA

FLUJO DEFLUIDOS

REACTORESQUIMICOS

DISEÑO YFISICA

QUIMICA

FENOMENOSDE

TRANSPORTE

TRANSMISIONDE CALOR

OPERACIONDE PROCESOS

rte

QUIMICA

CINETICA

TRANSFERENCIADE MATERIA

PROYECTOS

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OTRAS:INSTRUMENT.CONTROLECONOMIA, ....

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Tema 0 — p. 2

OBJETIVO

Relacionar la cinética del proceso de transporte con lasvariables del proceso y las dimensiones del sistema.

PROCESO DE

SITUACION DENO EQUILIBRIO

EQUILIBRIORESISTENCIA

PROCESO DETRANSPORTE

rte

NO-EQUILIBRIOEQUILIBRIORESISTENCIA

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Tema 0 — p. 3

DESCRIPTOR

I t d ió l f ó fí i d ib lIntroducción a los fenómenos físicos que describen losprocesos de transporte de cantidad de movimiento,calor y materia en los procesos reales, con especiali id i l i t tili d i i íincidencia en los sistemas utilizados en ingenieríaquímica.

Al final del curso los estudiantes deberán

i) identificar y valorar la importancia de los diferentesprocesos de transporte que intervienen en unprocesoproceso,

ii) describirlos en términos matemáticos, y

iii) calcular y evaluar magnitudes relevantes para el

rte

iii) calcular y evaluar magnitudes relevantes para eldiseño y operación de los citados sistemas.

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Tema 0 — p. 4

COMPETENCIAS ESPECÍFICAS

Conocimientos y habilidades que el estudiante debe obtener en este curso:

• Comprender los fundamentos físicos de los procesos de transporte(cantidad de movimiento calor y materia).( y )

• Familiarizarse con sus propiedades físicas asociadas (viscosidad,conductividad, difusividad).

• Construir modelos ingenieriles de procesos reales e identificar las• Construir modelos ingenieriles de procesos reales e identificar lastécnicas de diseño adecuadas.

• Obtener resultados prácticos para el diseño de los procesos a partir delos modelos elaborados a fin de diseñar los equipos u operacioneslos modelos elaborados a fin de diseñar los equipos u operacionesnecesarias para alcanzar las especificaciones requeridas, a partir de lainformación disponible.

• Aplicar principios científicos e ingenieriles para realizar el análisis del• Aplicar principios científicos e ingenieriles para realizar el análisis delsistema.

• Examinar la operación de equipos y entender sus principios deoperación desde el punto de vista de los procesos de transporte

rte

operación desde el punto de vista de los procesos de transporte.

• Integrar los fenómenos de transporte con los conocimientos adquiridosen otras asignaturas para entender y modelizar problemas complejosen términos de principios científicos.

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spo en términos de principios científicos.

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Tema 0 — p. 5

Organización del temario

C.D.M. ENERGIA MATERIA

Leyes de transporte 1

Newton

3Fourier

5 Fick

Ecuaciones de variación 2 4 6Ecuaciones de variación 2 4 6

Flujo turbulento 7 EXAMEN 1,2 EXAMEN 3,4 EXAMEN 5,6

Transporte de interfase

Balances macroscópicos

8 9 10

Balances macroscópicos

EXAMEN 1 ► 10

rte

RIGUROSOTEÓRICO

APROXIMADOEMPÍRICO

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spo COMPLEJO

INFORMACIÓN COMPLETA"PREDICTIVO"

SIMPLEINFORMACIÓN PARCIAL

"CORRELACIÓN"

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Tema 0 — p. 6

Método y criterios de evaluación

Durante el desarrollo del curso se realizarán en horariode clase tres controles, que supondrán 2 puntos adicionales, q p pen la nota final. El examen de junio se calificará sobre 10puntos, a los que se sumarán los obtenidos en los controles.Para aprobar la asignatura deberá obtenerse una notamínima de 5.0, después de haber sumado los controles a lanota del examen.

En la convocatoria de septiembre se mantienen losEn la convocatoria de septiembre se mantienen losmismos criterios que en la de junio, conservándose la notade los controles realizados durante el curso.

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Tema 0 — p. 7

Método de trabajo

1. Preparación de las clases

• Notas de clase• Libro de texto• Actividades propuestas

2. Explicación de la teoría

Actividades propuestas

Tutorías

3. Ejercicios

• Colección de problemas

4. Seminarios

5 Evaluación

rte

5. Evaluación

• Tres exámenes parciales (+2 Puntos)• Examen final

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Tema 0 — p. 8

Material

Página Web: http://www.iq.uva.es/fentrans/Comprimido: http://www.iq.uva.es/fentrans/Web_FenTrans.zip

( f )Notas de clase (Reprografía, Web)

Colección de Problemas resueltos (Web)

Bibliografía:

Fenómenos de TransportepR.B. Bird, W.E. Stewart y E.N. LightfootEditorial Reverté

The Properties of Gases and Liquids, 5ª Ed., B.E.Poling, J.M.Prausnitz and J.P. O’Connell, McGraw-Hill (2001).

rte

INGENIERIA QUIMICA. 2. Fenómenos de TransporteE. Costa Novella et al.Alhambra Universidad, (1984).

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Perry´s Chemical Engineers’ Handbook, 7ª Ed.McGraw-Hill (1999).

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Tema 0 — p. 9

Fenó

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Tema 1 — p. 1

TEMA 1

Viscosidad y mecanismo del transporte de cantidad de movimiento

Ley de Newton de la viscosidadFluidos no-newtonianosViscosidad:

Determinación experimentalViscosidad de gasesInfluencia de la presión y la temperaturaMezclas de gasesViscosidad de líquidos

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Tema 1 — p. 2

t < 0x

yy = Y

y = 0

t > 0

V

( , )xv t y

V

t → ∞ ( )xv y

Ley de Newton de la viscosidad

F V

A Y= μ

xyx

dv

dyτ = −μ

EFECTO:TRANSPORTE DE C.D.M.

FUERZA IMPULSORA(GRADIENTE DE VELOCIDAD)

t = 0

V

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Tema 1 — p. 3

T(ºC) µ (cp) v (102cm2s-1) µ (cp) v (102cm2s-1)0 1.787 1.787 0.01716 13.27

20 1.0019 1.0037 0.01813 15.0540 0.6530 0.6581 0.01908 16.9260 0.4665 0.4744 0.01999 18.8680 0.3548 0.3651 0.02087 20.88

100 0.2821 0.2944 0.02173 22.98

VISCOSIDAD DEL AGUA Y EL AIRE A 1 ATM DE PRESIONAGUA AIRE

SUBSTANCIA T(ºC) µ (cp)(C2H5)2O 20 0.245

C6H6 20 0.647

Br2 26 0.946

C2H5OH 20 1.194Hg 20 1.547H2SO4 25 19.15 Glicerina 20 1069

VISCOSIDAD DE ALGUNOS LIQUIDOS A 1 ATM DE PRESION

VISCOSIDAD CINEMATICA:μ

ν =ρ

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Tema 1 — p. 4

Fluidos no-newtonianos

xyx

dv

dyτ = −η

xyτ

xdv

dy−

Newto

nian

o

Bingh

amShe

ar-th

inni

ng

(Pse

udop

lástic

o)

Dilata

nte

• Plásticos de Bingham• Plásticos de Ostwald

• Pseudoplásticos• Dilatantes

Fluidos no-newtonianos con viscosidad constante en el tiempo

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Tema 1 — p. 5

xyτ

xdv

dy−

Bingh

amPse

udop

lást

ico

Prand

tl-Eyr

ing

Newto

nian

o

Dilata

nte

Modelos de dos parámetros

MODELO ECUACION PARAMETROS

Bingham (Pastas y suspensiones finas)

Ostwald-de Waele(Suspensiones de combustibles nucleares)

Eyring

000 , τ>ττ±μ−=τ yxx

yx dy

dv

(Yield-stress)0

0

μ

τ

n

xyx dy

dvm ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=τ

nm,

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=τ

dydv

BarcsenhA x

yx1 BA,

Fenó

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Tema 1 — p. 6

xyτ

xdv

dy−

Ellis(α

>1)

Newto

nian

o

Reiner

-Phil

ippof

f

Ellis(α<1

)

Modelos de tres parámetros

MODELO ECUACION PARAMETROS

Ellis (CarboxiMetil-Celulosa en agua)

yxyxx

dydv

ττϕ+ϕ=−−α

)(1

10 αϕϕ ,, 10

Reiner-Philippoff (Azufre fundido, 30% de metanol en hexano,...)

yx

Syx

x

dydv

τ

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

ττ+μ−μ

+μ=−

∞∞ 2

0

)/(1

1

Sτμμ∞ ,, 0

n

xxy o

dvm

dy

⎛ ⎞τ = τ − ⎜ ⎟

⎝ ⎠

Modelo de Herschel–Bulkley

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Tema 1 — p. 7

• Tixotrópicos• Reopécticos• Viscoelásticos

Fluidos no-newtonianos con viscosidad no-constante en el tiempo

xyτ

xdv

dy−

Tixotrópicos

xyτ

xdv

dy−

Reopécticos

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Tema 1 — p. 8

Medida experimental de la viscosidad

Viscosímetro de Ostwald

Hagen-Poiseuille: 2

32 LuP

D

μΔ =

~ /P gh

Ku t t

Δ = ρ ⎫ μ⇒ =⎬

ρ⎭1

Viscosímetro de Höppler

( ) ( )

i P R F

B B B B

F F F F

v g v g r u

= ⇒ = +

ρ = ρ + π μ

∑ 0

6

( )B

Kt

μ=

ρ − ρ

FRFF

FP

1

2

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Tema 1 — p. 9

Viscosímetros de Engler, Ford y Saybolt

Viscosímetro de cilindros concéntricosViscosímetro de plato y cono

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Tema 1 — p. 10

Viscosidad de los gases

a

x y av

+

x yv

x y av

−

Modelización

Separación entre capas: a = λ2

3

Perfil de velocidad lineal: xx xy a y

xx xy a y

dvv v

dy

dvv v

dy

−

+

= − λ

= + λ

2

3

2

3

Balance de CDM: yx x xy a y aZ mv Z mv

− +τ = −

8KTu

m=

πZ nu=

1

4

d nλ =

π 2

1

2

● Gas Puro.● Esferas (m, d) sin interacciones.● n = moléculas / volumen pequeño.

Teoría cinética de los gases y

x

λ

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Tema 1 — p. 11

Substituyendo en el balance de CDM ...

τ = − λ xyx

dvmnu

dy

1

3

Comparando con la Ley de Newton ...

xyx

dv

dyτ = −μ ⇒ mKT

mnud

μ = λ =π3 2 2

1 2

3 3

Modificación de Chapman-Enskog

dF

dr

ϕ= −

Potencial de Lennard-Jones:

( )rr r

⎡ ⎤σ σ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ϕ = ε −⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦

12 6

4

r

-ε

mr

σ

.

/ . , , Å

MT

g cm s T K

−

μ

μ =σ Ω

μ = = σ =

522 6693 10

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Tema 1 — p. 12

. , / . , , ÅMTg cm s T K−

μ

μ = μ = = σ =σ Ω

52

2 6693 10

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Tema 1 — p. 13

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Tema 1 — p. 14

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Tema 1 — p. 15

Método de Chung et al. (1984, 1986)

/

/( ). , , / , , /c

cc

F MTP M g mol T K V cm mol

V μ

μ = μ = μ = = =Ω

1 23

2 340 785

* ** . . .

*

. . .

. , /

T T

r r c

T e e

T T T T T

μΩ = + +

= =

0 14874 0 77320 2 43787

1 16145 0 52487 2 16178

1 2593

Integral de colisión:

Factor Fc: . .c rF d= − ω + + Κ41 0 2756 0 059035

/.

, ,

rc c

c c

dd

V T

d db V cm mol T K

=

= = =

1 2

3

131 3Momento dipolar adimensional:

FACTOR DE ASOCIACIONCOMPUESTO K COMPUESTO K Metanol 0.215 n-Pentanol 0.122Etanol 0.175 n-Hexanol 0.114n-Propanol 0.143 n-Heptanol 0.109i-Propanol 0.143 Acido acético 0.0916n-Butanol 0.132 Agua 0.076i-Butanol 0.132

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Tema 1 — p. 16

Influencia de la presión y la temperatura

Childs & Hanley

TEMPERATURA REDUCIDA

1

0.5

02 3 4 5 6 870

GAS DENSO

GAS DILUIDO

1.0

ERROR < 1%

ERROR > 1%

Viscosidad crítica

/ / /.c c c

c

c

c

M P T

P

P atm

T K

−μ =

μ = μ

=

=

1 2 2 3 1 67 70

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Tema 1 — p. 17

Mezclas de gases

Ecuación de Wilke

/ / /

ni i

mezcla ni

j ijj

ji iij

j j i

x

x

MM

M M

=

=

−

μμ =

ϕ

⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞μ⎢ ⎥ϕ = + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟μ⎢ ⎥⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

∑∑1

1

21 2 1 2 1 41

1 18

Diagrama generalizado

Constantes pseudocríticas:'

'

'

n

c i cii

n

c i cii

n

c i cii

P x P

T x T

x

=

=

=

=

=

μ = μ

∑

∑

∑

1

1

1

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Tema 1 — p. 18

Viscosidad de líquidos

Modelo de Eyring

. /bT TAN he

Vμ = 3 8

Modelo de Orrik y Erbar

KTcmgcP

T

BA

M

LL

L

L

==ρ=μ

+=ρμ

,/,

ln

3

GRUPO A B Doble enlace Anillo de cinco miembros Anillo de seis miembros Anillo aromático Substitución en orto Substitución en meta Substitución en para Cloro Bromo Iodo —OH —COO— —O— >C=O —COOH

0.24 0.10 -0.45

0 -0.12 0.05 -0.01 -0.61 -1.25 -1.75 -3.00 -1.00 -0.38 -0.50 -0.90

-90 32

250 20

100 -34 -5

220 365 400 1600 420 140 350 770

GRUPO A B

Atomos de carbono1 - (6.95+0.21n) 275+99n

-0.15

35

-1.20

400

1 n = atomos de carbono no considerados en otros grupos.

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Tema 1 — p. 19

Influencia de la temperatura en los líquidos

ln µ

. cT

1

0 7cT

1

ln BA

Tμ = +

Ecuación de Andrade

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Tema 2 — p. 1

TEMA 2

Ecuaciones de variación para sistemas isotérmicos

Balances envolventes de cantidad de movimientoPelícula descendenteFlujo por el interior de un tubo circularFlujo reptante alrededor de una esfera sólida

NomenclaturaEcuación de continuidad

La ecuación de continuidad en los distintos sistemas coordenadosEcuación de movimiento

La ecuación de movimiento en los distintos sistemas coordenadosSoftware de modelado de procesosCondiciones límite

Ecuación de energía mecánicaForma adimensional de las ecuaciones de variaciónCapa límite y flujo potencial

Capa límite Flujo potencial

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Tema 2 — p. 2

Balances envolventes de cantidad de movimiento: condiciones límite

1. Película descendente

Balance de materia

z zz z LxW v xW v

= =Δ ρ = Δ ρ

0

v z(x) L

Δx

z

x

x = 0

x = δ

β

z zz z Lv v

= ==

0zv

z

∂⇒ =

∂0

• Régimen estacionario• Fluido incompresible

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Tema 2 — p. 3

Balance de c.d.m.

⎧ ⎫⎧ ⎫ ⎧ ⎫ ⎪ ⎪ ⎧ ⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬

⎩ ⎭⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩ ⎭ ⎩ ⎭ ⎪ ⎪⎩ ⎭

velocidad neta develocidad de velocidad neta de

entrada de c.d.m. fuerza deacumulación = entrada de c.d.m. + +

por transporte gravedadde c.d.m. por convección

viscoso

=0

Límite cuando Δx tiende a cero: cosxzdg

dx

τ= ρ β

Integrando: cosxz xzx gx= → τ = ⇒ τ = ρ β0 0

Ley de Newton:z

xz

dv

dxτ = −μ

Integrando:cos

z

g xv

⎡ ⎤ρ δ β ⎛ ⎞⇒ = −⎢ ⎥⎜ ⎟μ δ⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦

22

12zx v= δ → = 0

( )xz xzx x xLW

+ Δτ − τ + cosLW x gΔ ρ β( )z z z zz z L

xW v v v v= =

Δ ρ − ρ +0

Fen

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Tema 2 — p. 4

Magnitudes derivadas

Velocidad máxima:cos

z máx

gv

ρ δ β=

μ

2

2

Velocidad media:cos

W

zoz zW

o

v dx dyQ gv v dx

A dx dy

δ

δ

δ

ρ δ β= = = =

δ μ∫ ∫

∫∫ ∫

20

0

0

1

3

Flujo volumétrico:cosW

z zo

gWQ v dx dy W v

δ ρ δ β= = δ =

μ∫ ∫3

0 3

Fuerza sobre la superficie: cosL W

z xzoF dy dz g LW= τ = ρ δ β∫ ∫0

cosz

g xv

⎡ ⎤ρ δ β ⎛ ⎞= −⎢ ⎥⎜ ⎟μ δ⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦

22

12

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Tema 2 — p. 5

2. Flujo por el interior de un tubo circular

r

z

vz(r)

z zz z Lr r v r r v

= =π Δ ρ = π Δ ρ

02 2 zv

z

∂⇒ =

∂0

Balance de materia

Balance de c.d.m.

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

+⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

+

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

+⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

presión

de fuerza

gravedad

de fuerza

viscoso

transporte por

c.d.m. de entrada

de neta velocidad

convección por

c.d.m. de entrada

de neta velocidad

c.d.m. de

nacumulació

de velocidad

( ) ( )( )

z z rz rzr r r r rz z L

o L

r r v v L r r

r r L g r r P P

= = + Δ= == π Δ ρ − ρ + π τ − τ

+ π Δ ρ + π Δ −

2 2

00 2 2

2 2

,Lrzdrr P gh

dr L

℘ −℘τ ⎛ ⎞= ℘ = + ρ⎜ ⎟⎝ ⎠

0

Integrando: rzr = → τ = ⇒0 0L

rz rL

℘ −℘⎛ ⎞τ = ⎜ ⎟⎝ ⎠

0

2

0

zrz

z

dv

drr R v

⎫τ = −μ ⎪ ⇒⎬⎪= → = ⎭

( )Lz

R rv

L R

⎡ ⎤℘ −℘ ⎛ ⎞= −⎢ ⎥⎜ ⎟μ ⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦

220 1

4

En el límite (Δr→0):

P0

PL

• Régimen estacionario• Fluido incompresible

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Tema 2 — p. 6

Magnitudes derivadas

( )Lz

R rv

L R

⎡ ⎤℘ −℘ ⎛ ⎞= −⎢ ⎥⎜ ⎟μ ⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦

220 1

4

Velocidad máxima:

Velocidad media:

Flujo volumétrico:

Fuerza sobre la superficie:

( )Lz máx

Rr v

L

℘ −℘= → =

μ

200

4

( )R

zo Lz R

o

v r dr d RQv

A Lr dr d

π

π

θ ℘ −℘= = =

μθ

∫ ∫∫ ∫

22

0 02

0

8

( )RL

zo

RQ v r dr d

L

π π ℘ −℘= θ =

μ∫ ∫4

20

0 8

( )

( )

z rz Lr R

L

F RL R

R P P R L g=

= π τ = π ℘ −℘ =

= π − + π ρ

20

2 20

2

Fen

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Tema 2 — p. 7

v∞

3. Flujo reptante alrededor de una esfera sólida

θ

φ

z

x

y

(x,y,z)

( , , )r θ φ

Flujo reptante

Re .p

Dv∞ρ= <

μ0 1

Solución analítica

r

v Rsen

R r∞

θ

μ ⎛ ⎞τ = θ⎜ ⎟⎝ ⎠

43

2

coso

mv Rp p gz

R r∞ ⎛ ⎞= − ρ − θ⎜ ⎟

⎝ ⎠

23

2

cosr

R Rv v

r r∞

⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − + θ⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦

33 1

12 2

R Rv v sen

r rθ ∞

⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − − + θ⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦

33 1

14 4

Magnitudes derivadas

Fuerza normal: ( )cos sennz r RF p R d d R g Rv

π π

∞== − θ θ θ φ = π ρ + πμ∫ ∫

2 2 3

0 0

42

3

Fuerza tangencial: ( )sen sentz r r RF R d d Rv

π π

θ ∞== − τ θ θ θ φ = πμ∫ ∫

2 2

0 04

Fuerza total:(Ley de Stokes)

3 34 42 4 6

3 3(flotacion) (resistencia de forma) (fricción)

zF R g Rv Rv R g Rv∞ ∞ ∞= π ρ + πμ + πμ = π ρ + πμ

Ft

Fn

F

Fen

óm

eno

s d

e T

ran

spo

rte

Tema 2 — p. 8

Nomenclatura:

Magnitudes

Productos

Producto diádico:

x x x y x z

y x y y y z

z x z y z z

u w u w u w

uv u w u w u w

u w u w u w

⎛ ⎞⎜ ⎟

= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

Orden Magnitud Libro Notas de clase 0 1 2

escalar ( ) vector [ ] tensor { }

p

v τ

p

v τ

Producto Orden uv

u v× .u v :u v

ou+ov

ou+ov -1 ou+ov -2 ou+ov -4

Fen

óm

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rte

Tema 2 — p. 9

Rotacional de un campo vectorial: [ ]

x y z

x y z

vx y z

v v v

δ δ δ

∂ ∂ ∂∇ × =

∂ ∂ ∂

Laplaciana de un campo escalar: 2 2 2

22 2 2

( . )s s s

s sx y z

∂ ∂ ∂∇ = ∇ ∇ = + +

∂ ∂ ∂

Laplaciana de un campo vectorial: 2 2 2 2x x y y z zv v v v∇ = δ ∇ + δ ∇ + δ ∇

Operadores diferenciales

Operador nabla: x y zx y z

∂ ∂ ∂∇ = δ + δ + δ

∂ ∂ ∂

Gradiente de un campo escalar: x y zs s s

sx y z

∂ ∂ ∂∇ = δ + δ + δ

∂ ∂ ∂

Divergencia de un campo vectorial: ( . ) yx zvv v

vx y z

∂∂ ∂∇ = + +

∂ ∂ ∂

Fen

óm

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ran

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rte

Tema 2 — p. 10

Derivadas con respecto al tiempo

Derivada parcial: c

t

∂∂

Derivada total: dc c c dx c dy c dz

dt t x dt y dt z dt

∂ ∂ ∂ ∂= + + +

∂ ∂ ∂ ∂

Derivada substancial: x y z

Dc c c c cv v v

Dt t x y z

∂ ∂ ∂ ∂= + + +

∂ ∂ ∂ ∂

Fen

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ran

spo

rte

Tema 2 — p. 11

z

xy

x xv x x x

vΔ+

z zv

z z zv

Δ+y y

v

y y yv

Δ+

Ecuación de continuidad

velocidad de velocidad de velocidad de

acumulación = entrada salida

de materia de materia de materia

⎧ ⎫ ⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪−⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩ ⎭ ⎩ ⎭ ⎩ ⎭

CARA ENTRADA SALIDA

x x xv y zρ Δ Δ x x x

v y z+ Δρ Δ Δ

y y yv x zρ Δ Δ y y y

v x z+ Δ

ρ Δ Δ

z z zv x yρ Δ Δ z z z

v x y+ Δρ Δ Δ

( )

( )( )

x xx x x

y yy y y

z zz z z

x y z y z v vt

x z v v

x y v v

+ Δ

+ Δ

+ Δ

∂ρΔ Δ Δ = Δ Δ ρ − ρ

∂

+Δ Δ ρ − ρ

+Δ Δ ρ − ρ

yx zvv v

t x y z

∂ρ⎛ ⎞∂ρ ∂ρ∂ρ= − + +⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠

Fen

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ran

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rte

Tema 2 — p. 12

Forma vectorial:

( ). vt

∂ρ= − ∇ ρ

∂

Transformación:

( ) ( )

( )

. .

.

v vt

Dv

Dt t

∂ρ ⎫= −ρ ∇ − ∇ρ ⎪⎪∂ ⇒⎬ρ ∂ρ ⎪= + ∇ρ⎪∂ ⎭

( ).D

vDt

ρ= −ρ ∇

Fluidos incompresibles (ρ=constante):

( ). 0v∇ =

Fen

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ran

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rte

Tema 2 — p. 13

( ) ( ) ( ) 0x y zv v vt x y z

∂ρ ∂ ∂ ∂+ ρ + ρ + ρ =

∂ ∂ ∂ ∂

1 1( ) ( ) ( ) 0r zrv v v

t r r r zθ∂ρ ∂ ∂ ∂

+ ρ + ρ + ρ =∂ ∂ ∂θ ∂

22

1 1 1( ) ( ) ( ) 0rr v v sen v

t r r sen r senrθ φ

∂ρ ∂ ∂ ∂+ ρ + ρ θ + ρ =

∂ ∂ θ ∂θ θ ∂φ

Coordenadas rectangulares (x, y, z):

Coordenadas cilíndricas (r, θ, z):

Coordenadas esféricas (r, θ, Φ):

La ecuación de continuidad en los diferentes sistemas de coordenadasF

enó

men

os

de

Tra

nsp

ort

e

Tema 2 — p. 14

z

xy

xx xτ xx x xΔ

τ+

zx zτ

zx z zΔτ

+yx y

τ

yx y yΔτ

+

Ecuación de movimiento

Transporte convectivo: CARA ENTRADA SALIDA

x x x xv v y zρ Δ Δ x x x x

v v y z+ Δρ Δ Δ

y y x yv v x zρ Δ Δ y x y y

v v x z+ Δ

ρ Δ Δ

z z x zv v x yρ Δ Δ z x z z

v v x y+ Δρ Δ Δ

velocidad de velocidad de velocidad de suma de

acumulación = entrada + salida + fuerzas sobre

de c.d.m. de c.d.m. de c.d.m. el sistema

⎧ ⎫ ⎧ ⎫ ⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩ ⎭ ⎩ ⎭ ⎩ ⎭ ⎩ ⎭

Balance:

Transporte viscoso: CARA ENTRADA SALIDA

x xx xy zτ Δ Δ xx x x

y z+ Δτ Δ Δ

y yx yx zτ Δ Δ yx y y

x z+ Δ

τ Δ Δ

z zx zx yτ Δ Δ zx x z

x y+ Δτ Δ Δ

Balance a la componente x:

Fen

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rte

Tema 2 — p. 15

Balance de fuerzas: ( ) xx x xy z p p g x y z+ ΔΔ Δ − + ρ Δ Δ Δ

Término de acumulación: xvx y z

t

∂ρΔ Δ Δ

∂

Substituyendo en el balance:

y x yxx x x z x xx zxx

v vv v v v v pg

t x y z x y z x

∂ρ ∂τ⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ρ ∂ρ ∂ρ ∂τ ∂τ ∂= − + + − + + − + ρ⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠

. .v

vv p gt

∂ρ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= − ∇ ρ − ∇ τ − ∇ + ρ⎣ ⎦ ⎣ ⎦∂

.Dv

p gDt

⎡ ⎤ρ = − ∇ τ − ∇ + ρ⎣ ⎦

Haciendo uso de la ecuación de continuidad:

Fen

óm

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ran

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rte

Tema 2 — p. 16

Ley de Newton

( )

( )

( )

22 .

3

22 .

3

22 .

3

yx xxx yx xy

y yzyy yz zy

z z xzz xz zx

vv vv

x y x

v vvv

y y z

v v vv

z x z

∂⎛ ⎞∂ ∂τ = − μ + μ ∇ τ = τ = −μ +⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠

∂ ∂⎛ ⎞∂τ = − μ + μ ∇ τ = τ = −μ +⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠

∂ ∂ ∂⎛ ⎞τ = − μ + μ ∇ τ = τ = −μ +⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠

( )22 .

3yx x x z x

x

vDv v v v vpv g

Dt x x x y y x z x z

⎡ ∂ ⎤⎛ ⎞∂ ∂ ⎡ ∂ ∂ ⎤∂ ∂ ∂ ∂⎡ ⎤ ⎛ ⎞ρ = − + μ − μ ∇ + μ + + μ + + ρ⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎢ ⎥∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎣ ⎦ ⎝ ⎠⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎝ ⎠⎣ ⎦

( )22 .

3yz z x z z

z

vDv v v v vpv g

Dt z x x z y y z z z

⎡ ∂ ⎤⎛ ⎞⎡ ∂ ∂ ⎤ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂⎛ ⎞ ⎡ ⎤ρ = − + μ + + μ + + μ − μ ∇ + ρ⎢ ⎥⎜ ⎟⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎢ ⎥∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎣ ⎦⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎝ ⎠⎣ ⎦

( )22 .

3y y y yx z

y

Dv v v vv vpv g

Dt y x x y y y z y z

⎡ ∂ ⎤ ∂ ⎡ ∂ ⎤⎛ ⎞ ⎡ ⎤ ⎛ ⎞∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂ρ = − + μ + + μ − μ ∇ + μ + + ρ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎣ ⎦ ⎝ ⎠⎣ ⎦ ⎣ ⎦

La ecuación de movimiento, para un fluido newtoniano:

Fen

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Tema 2 — p. 17

Fluido de densidad y viscosidad constantes. (Ec. Navier-Stokes)

ρ = μ∇ − ∇ + ρ2Dvv p g

Dt

Sistemas de flujo sin efectos viscosos. (Ec. Euler)

Dvp g

Dtρ = −∇ + ρ

Fluido en reposo.

0 p g= −∇ + ρ

Formas simplificadas de la ecuación de movimiento

.Dv

p gDt

⎡ ⎤ρ = − ∇ τ − ∇ + ρ⎣ ⎦

Fen

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Tema 2 — p. 18

La ecuación de movimiento en coordenadas rectangulares(en función de τ)

yxx x x x xx zxx y z x

v v v v pv v v g

t x y z x x y z

∂τ⎛ ⎞⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂ ∂τ ∂τ∂ρ + + + = − − + + + ρ⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠

y y y y xy yy zyx y z y

v v v v pv v v g

t x y z y x y z

∂ ∂ ∂ ∂ ∂τ ∂τ ∂τ⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ρ + + + = − − + + + ρ⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠

yzz z z z xz zzx y z z

v v v v pv v v g

t x y z z x y z

∂τ⎛ ⎞⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂ ∂τ ∂τ∂ρ + + + = − − + + + ρ⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠

componente x:

componente y:

componente z:

Fen

óm

eno

s d

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ran

spo

rte

Tema 2 — p. 19

La ecuación de movimiento en coordenadas rectangulares(para fluidos newtonianos de ρ y μ constantes)

componente x:

componente y:

componente z:

2 2 2

2 2 2x x x x x x x

x y z xv v v v v v vp

v v v gt x y z x x y z

⎛ ⎞⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂∂ρ + + + = − + μ + + + ρ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠

2 2 2

2 2 2y y y y y y y

x y z y

v v v v v v vpv v v g

t x y z y x y z

⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎛ ⎞ ∂⎜ ⎟ρ + + + = − + μ + + + ρ⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠

2 2 2

2 2 2z z z z z z z

x y z zv v v v v v vp

v v v gt x y z z x y z

⎛ ⎞⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂∂ρ + + + = − + μ + + + ρ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Fen

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rte

Tema 2 — p. 20

La ecuación de movimiento en coordenadas cilíndricas(en función de τ)

componente r:

componente θ:

componente z:

2

1 1( )

r r r rr z

r rzrr r

v vv v v v pv v

t r r r z r

r gr r r r z

θ θ

θ θθ

⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂ ∂ρ + + − + = −⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂ ∂θ ∂ ∂⎝ ⎠

∂τ τ ∂τ∂⎛ ⎞− τ + − + + ρ⎜ ⎟∂ ∂θ ∂⎝ ⎠

22

1

1 1( )

rr z

zr

v v v v v v v pv v

t r r r z r

r gr r zr

θ θ θ θ θ θ

θθ θθ θ

⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂ ∂ρ + + + + = −⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂ ∂θ ∂ ∂θ⎝ ⎠

∂τ ∂τ∂⎛ ⎞− τ + + + ρ⎜ ⎟∂ ∂θ ∂⎝ ⎠

1 1( )

z z z zr z

z zzrz z

vv v v v pv v

t r r z z

r gr r r z

θ

θ

∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎛ ⎞ρ + + + = −⎜ ⎟∂ ∂ ∂θ ∂ ∂⎝ ⎠∂τ ∂τ∂⎛ ⎞− τ + + + ρ⎜ ⎟∂ ∂θ ∂⎝ ⎠

Fen

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Tema 2 — p. 21

La ecuación de movimiento en coordenadas cilíndricas(para fluidos newtonianos de ρ y μ constantes)

componente r:

componente θ:

componente z:

( )

2

2 2

2 2 2 2

1 1 2

r r r rr z

r rr r

v vv v v v pv v

t r r r z r

vv vrv g

r r r r r z

θ θ

θ

⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂ ∂ρ + + − + = −⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂ ∂θ ∂ ∂⎝ ⎠

⎡ ⎤∂∂ ∂∂ ∂⎛ ⎞+μ + − + + ρ⎢ ⎥⎜ ⎟∂ ∂ ∂θ∂θ ∂⎝ ⎠⎣ ⎦

( )2 2

2 2 2 2

1

1 1 2

rr z

r

v v v v v v v pv v

t r r r z r

v vvrv g

r r r r r z

θ θ θ θ θ θ

θ θθ θ

∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎛ ⎞ρ + + + + = −⎜ ⎟∂ ∂ ∂θ ∂ ∂θ⎝ ⎠⎡ ⎤∂ ∂∂∂ ∂⎛ ⎞+μ + + + + ρ⎢ ⎥⎜ ⎟∂ ∂ ∂θ∂θ ∂⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦

2 2

2 2 2

1 1

z z z zr z

z z zz

vv v v v pv v

t r r z z

v v vr g

r r r r z

θ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎛ ⎞ρ + + + = −⎜ ⎟∂ ∂ ∂θ ∂ ∂⎝ ⎠⎡ ⎤∂ ∂ ∂∂ ⎛ ⎞+μ + + + ρ⎢ ⎥⎜ ⎟∂ ∂ ∂θ ∂⎝ ⎠⎣ ⎦

Fen

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rte

Tema 2 — p. 22

La ecuación de movimiento en coordenadas esféricas(en función de τ)

componente r:

componente θ:

componente Φ:

( )

2 2

22

sen

1 1 1( ) sen

sen sen

r r r rr

rrr r r

v v vvv v v v pv

t r r r r r

r gr r r rr

φ θ φθ

φ θθ φφθ

⎛ ⎞+∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎜ ⎟ρ + + + − = −⎜ ⎟∂ ∂ ∂θ θ ∂φ ∂⎝ ⎠

∂τ τ + τ⎛ ⎞∂ ∂− τ + τ θ + − + ρ⎜ ⎟∂ θ ∂θ θ ∂φ⎝ ⎠

( )

2

22

cot 1

sen

1 1 1 cot( ) sen

sen sen

rr

rr

v vv v v v v v v pv

t r r r r r r

r gr r r r rr

φ φθ θ θ θ θ θ

θφ θθ θθ φφ θ

⎛ ⎞θ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎜ ⎟ρ + + + + − = −⎜ ⎟∂ ∂ ∂θ θ ∂φ ∂θ⎝ ⎠

∂τ⎛ ⎞τ∂ ∂ θ− τ + τ θ + + − τ + ρ⎜ ⎟∂ θ ∂θ θ ∂φ⎝ ⎠

22

1cot

sen sen

1 1 1 2cot( )

sen

rr

rr

v v v v v v v v vv pv

t r r r r r r

r gr r r r rr

φ φ φ φ φ φ θ φθ

θφ φφ φφ θφ φ

∂ ∂ ∂ ∂⎛ ⎞ ∂ρ + + + + + θ = −⎜ ⎟∂ ∂ ∂θ θ ∂φ θ ∂φ⎝ ⎠

∂τ ∂τ τ⎛ ⎞∂ θ− τ + + + + τ + ρ⎜ ⎟∂ ∂θ θ ∂φ⎝ ⎠

Fen

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rte

Tema 2 — p. 23

La ecuación de movimiento en coordenadas esféricas(para fluidos newtonianos de ρ y μ constantes)

componente r:

componente θ:

componente Φ:

2 2

22 2 2 2

sen

2 2 2 2cot

sen

r r r rr

r r r

v v vvv v v v pv

t r r r r r

vvv v v g

r r r r

φ θ φθ

φθθ

⎛ ⎞+∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎜ ⎟ρ + + + − = −⎜ ⎟∂ ∂ ∂θ θ ∂φ ∂⎝ ⎠

∂⎛ ⎞∂+μ ∇ − − − θ − + ρ⎜ ⎟∂θ ∂φθ⎝ ⎠

2

22 2 2 2 2

cot 1

sen

2 2cos

sen sen

rr

r

v vv v v v v v v pv

t r r r r r r

vvvv g

r r r

φ φθ θ θ θ θ θ

φθθ θ

⎛ ⎞θ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎜ ⎟ρ + + + + − = −⎜ ⎟∂ ∂ ∂θ θ ∂φ ∂θ⎝ ⎠

∂⎛ ⎞∂ θ+μ ∇ + − − + ρ⎜ ⎟∂θ ∂φθ θ⎝ ⎠

22 2 2 2 2

cotsen

1 2 2cos

sen sen sen sen

rr

r

v v v v v v v v vvv

t r r r r r

v vvpv g

r r r r

φ φ φ φ φ φ θ φθ

φ θφ φ

∂ ∂ ∂ ∂⎛ ⎞ρ + + + + + θ =⎜ ⎟∂ ∂ ∂θ θ ∂φ⎝ ⎠

⎛ ⎞∂∂∂ θ− + μ ∇ − + + + ρ⎜ ⎟θ ∂φ ∂φ ∂φθ θ θ⎝ ⎠

En estas ecuaciones:2

2 22 2 2 2 2

1 1 1sen

sen senr

r rr r r

⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎛ ⎞ ⎛ ⎞∇ = + θ + ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂θ ∂θθ θ ∂φ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Fen

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rte

Tema 2 — p. 24

Componentes del tensor esfuerzo cortante en coordenadas rectangulares

22 ( . )

3

22 ( . )

3

22 ( . )

3

xxx

yyy

zzz

vv

x

vv

y

vv

z

∂⎡ ⎤τ = −μ − ∇⎢ ⎥∂⎣ ⎦∂⎡ ⎤

τ = −μ − ∇⎢ ⎥∂⎣ ⎦∂⎡ ⎤τ = −μ − ∇⎢ ⎥∂⎣ ⎦

yxxy yx

y zyz zy

z xzx xz

vv

y x

v v

z y

v v

x z

∂⎡ ⎤∂τ = τ = −μ +⎢ ⎥∂ ∂⎣ ⎦

∂⎡ ⎤∂τ = τ = −μ +⎢ ⎥∂ ∂⎣ ⎦

∂ ∂⎡ ⎤τ = τ = −μ +⎢ ⎥∂ ∂⎣ ⎦

( ). yx zvv v

vx y z

∂∂ ∂∇ = + +

∂ ∂ ∂

Fen

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rte

Tema 2 — p. 25

Componentes del tensor esfuerzo cortante en coordenadas cilíndricas

22 ( . )

3

1 22 ( . )

3

22 ( . )

3

rrr

r

zzz

vv

r

v vv

r r

vv

z

θθθ

∂⎡ ⎤τ = −μ − ∇⎢ ⎥∂⎣ ⎦⎡ ∂ ⎤⎛ ⎞τ = −μ + − ∇⎜ ⎟⎢ ⎥∂θ⎝ ⎠⎣ ⎦

∂⎡ ⎤τ = −μ − ∇⎢ ⎥∂⎣ ⎦

1

1

rr r

zz z

z rzr rz

v vr

r r r

v v

z r

v v

r z

θθ θ

θθ θ

⎡ ⎤∂∂ ⎛ ⎞τ = τ = −μ +⎜ ⎟⎢ ⎥∂ ∂θ⎝ ⎠⎣ ⎦∂ ∂⎡ ⎤τ = τ = −μ +⎢ ⎥∂ ∂θ⎣ ⎦∂ ∂⎡ ⎤τ = τ = −μ +⎢ ⎥∂ ∂⎣ ⎦

( ) ( )1 1. z

rv v

v rvr r r z

θ∂ ∂∂∇ = + +

∂ ∂θ ∂

Fen

óm

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rte

Tema 2 — p. 26

Componentes del tensor esfuerzo cortante en coordenadas esféricas

22 ( . )

3

1 22 ( . )

3

cot1 22 ( . )

sen 3

rrr

r

r

vv

r

v vv

r r

v vvv

r r r

θθθ

φ θφφ

∂⎡ ⎤τ = −μ − ∇⎢ ⎥∂⎣ ⎦⎡ ∂ ⎤⎛ ⎞τ = −μ + − ∇⎜ ⎟⎢ ⎥∂θ⎝ ⎠⎣ ⎦⎡ ∂ ⎤⎛ ⎞θ

τ = −μ + + − ∇⎢ ⎥⎜ ⎟θ ∂φ⎝ ⎠⎣ ⎦

1

sen 1

sen sen

1

sen

rr r

rr r

v vr

r r r

v v

r r

vvr

r r r

θθ θ

φ θθφ φθ

φφ φ

⎡ ⎤∂∂ ⎛ ⎞τ = τ = −μ +⎜ ⎟⎢ ⎥∂ ∂θ⎝ ⎠⎣ ⎦⎡ ⎤⎛ ⎞ ∂θ ∂

τ = τ = −μ +⎢ ⎥⎜ ⎟∂θ θ θ ∂φ⎝ ⎠⎣ ⎦⎡ ⎤⎛ ⎞∂ ∂

τ = τ = −μ +⎢ ⎥⎜ ⎟θ ∂φ ∂ ⎝ ⎠⎣ ⎦

( ) ( ) ( )22

1 1 1. sen

sen senr

vv r v v

r r rr

φθ

∂∂ ∂∇ = + θ +

∂ θ ∂θ θ ∂φ

Fen

óm

eno

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ran

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rte

Tema 2 — p. 27

Software de modelado de procesos

Profiled contours of axial velocity

Pressure Driven Flow in a Jet Pump

Pump Efficiency

http://www.fluent.com

Fen

óm

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s d

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ran

spo

rte

Tema 2 — p. 28

The transient behavior of the tracerdispersion through the multistage reactor is captured.

Residence Time Distribution in CSTR’s

Product plume forming as a result ofreactant injection through the dip tube.

Liquid-phase Reaction

Fen

óm

eno

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ran

spo

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Tema 2 — p. 29

Blending Time Prediction

Concentration of the tracer can be monitored at a number of locations in the vessel andplotted as uniformity of concentration, U, as a function of time.

Fen

óm

eno

s d

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ran

spo

rte

Tema 2 — p. 30

Pressure contours on an aneurysm created from a Spiral CT scan

Cerebral Aneurysm RiskAssessment

Pathlines around the OpelAstra, Courtesy of Opel AG

Automotive industry: Aerodynamics

Fen

óm

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s d

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ran

spo

rte

Tema 2 — p. 31

Condiciones límite (interfase)

VELOCIDAD:

int intI IIv v=

TRANSPORTE DE C.D.M.:

FASE II FASE I

SÓLIDO LÍQUIDO GAS int 0τ ≠ int 0τ =

LIQUIDO int 0τ ≠ int intI IIτ = τ

Fen

óm

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ran

spo

rte

Tema 2 — p. 32

Ecuación de energía mecánica

Ecuación de movimiento:

.Dv

p gDt

⎡ ⎤ρ = −∇ − ∇ τ + ρ⎣ ⎦

( ) ( ) ( ) ( )212

. . . .D

v v p v v gDt

⎡ ⎤ρ = − ∇ − ∇ τ + ρ⎣ ⎦

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 21 12 2

. . . . . : .v v v pv p v v v v gt

∂ρ = − ∇ ρ − ∇ − −∇ − ∇ τ − −τ ∇ + ρ⎡ ⎤⎣ ⎦∂

, multiplicándola escalarmente por :v

Fen

óm

eno

s d

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ran

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rte

Tema 2 — p. 33

SISTEMA

Compresión/Expansión

( ).p v− −∇

Disipación viscosa

( ): v− τ ∇

EnergíaInterna

Uρ

EnergíaMecánica

212

vρ

ALREDEDORES

TrabajoCalor

(conducción) ( ) ( )( ). .

. .

v g pv

v

ρ − ∇

− ∇ τ⎡ ⎤⎣ ⎦( ).q− ∇E. Interna

( ). vU− ∇ ρE. Mecánica

( )( )212

. v v− ∇ ρ

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 21 12 2

. . . . . : .v v v pv p v v v v gt

∂ρ = − ∇ ρ − ∇ − −∇ − ∇ τ − −τ ∇ + ρ⎡ ⎤⎣ ⎦∂

Fen

óm

eno

s d

e T

ran

spo

rte

Tema 2 — p. 34

Forma adimensional de las ecuaciones de variación

Propiedades físicas constantes: ρ, μ

Magnitudes características: L, V, p0

* * * * * *02

** * *

2 2 2*2 2 2

*2 *2 *2

*

, , , , ,

x y z

p pv tV x y zv p t x y z

V L L L LV

Lx y z

Lx y z

D L D

V DtDt

−= = = = = =

ρ

⎛ ⎞∂ ∂ ∂∇ = ∇ = δ + δ + δ⎜ ⎟

∂ ∂ ∂⎝ ⎠⎛ ⎞∂ ∂ ∂

∇ = ∇ = + +⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

Ecuación de continuidad: ( )* *. 0v∇ =

Ecuación de movimiento:*

* * *2 ** 2

Dv gL gp v

LV gDt V

⎛ ⎞μ ⎛ ⎞= −∇ + ∇ +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ρ ⎝ ⎠⎝ ⎠

Grupos adimensionales característicos: Número de Reynolds: ReLVρ

=μ

Número de Froude:2V

FrgL

=

Fen

óm

eno

s d

e T

ran

spo

rte

Tema 2 — p. 35

Capa límite y flujo potencial

Flujo potencial

Fluido ideal: constante0 ,μ = ρ =

Velocidad originada por un campo potencial (Φ):

x yv vx y

∂Φ ∂Φ= =

∂ ∂

Ecuación de continuidad (ρ = constante):

0yxvv

x y

∂∂+ = ⇒

∂ ∂

Ec. Laplace

2 2

2 20

x y

∂ Φ ∂ Φ+ =

∂ ∂

Carácter irrotacional:

2

20

x

yx

y

vvy x y v

y xv

x x y

⎫∂ ∂ Φ= ⎪ ∂∂ ∂ ∂ ∂⎪ ⇒ − = ⇒⎬

∂ ∂∂ ∂ Φ ⎪= ⎪∂ ∂ ∂ ⎭

0v∇ × =

Fen

óm

eno

s d

e T

ran

spo

rte

Tema 2 — p. 36

Función de corriente (Ψ):

x

y

vy

vx

∂Ψ=

∂∂Ψ

=∂

2 2

0 02 2

v vp gz p gz

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ρ ρ∇ + ∇ + ∇ρ = ⇒ ∇ + + ρ = ⇒⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

constante2

2

v Pz

g g+ + =

ρ

Fen

óm

eno

s d

e T

ran

spo

rte

Tema 2 — p. 37

Capa límite

Fen

óm

eno

s d

e T

ran

spo

rte

Tema 2 — p. 38

“Despegue” de la capa límite

Fenó

men

os d

e Tr

ansp

orte

Tema 3 — p. 1

TEMA 3

Conductividad calorífica y mecanismo del transporte de energía

Ley de FourierDeterminación experimentalConductividad de gasesConductividad de líquidosConductividad de sólidos

Fenó

men

os d

e Tr

ansp

orte

Tema 3 — p. 2

Ley de Fourier

t < 0x

yy = Y

y = 0T0

t = 0

T0 T1

t > 0( , )T t y

T0 T1

t → ∞ ( )T y

T0 T1

1 0yQ T Tk

A Y

−=

y

dTq k

dy= −

Medio isótropo:

x

y

z

dTq k

dxdT

q k q k Tdy

dTq k

dz

⎫= − ⎪

⎪⎪= − ⇒ = − ∇⎬⎪⎪

= − ⎪⎭

Fenó

men

os d

e Tr

ansp

orte

Tema 3 — p. 3

DIFUSIVIDAD TÉRMICA: p

k

Cα =

ρ

k cal/cm.s.K

H2(g) a 300 K y 1 atm H2(g) a 100 K y 1 atm Agua(g) a 25ºC y 1 atm Aire a 25ºC y 1 atm Agua(l) a 25ºC Agua(l) a 100ºC Benceno a 25ºC Al(l) a 700ºC Al(s) a 100ºC Vidrio a 200ºC

0.0004227 0.0001625 0.0000455 0.0000621 0.00145 0.00160 0.00342 0.247 0.2055 0.0017

Fenó

men

os d

e Tr

ansp

orte

Tema 3 — p. 4

Determinación experimental

1 2

1 2

T Tq x VIk k

A x T T A

− Δ= ⇒ =

Δ −

Sólidos (régimen estacionario)

0

2

( )

s

s

T Fo

T TT

T T

tFo

R

+

+

= Ψ−

=−

α=

Sólidos (régimen no-estacionario)

Fenó

men

os d

e Tr

ansp

orte

Tema 3 — p. 5

( )0 0 0 0 0

~ s Gs G

s G

T Tq IV kk T T

A I V k T T

−− ⇒ =

−

Fluidos

Fenó

men

os d

e Tr

ansp

orte

Tema 3 — p. 6

Conductividad de gases

a

ayT

+

yT

ayT

−

y

x

λ

Energía cinética:

Calor específico:

Balance de energía:

( )

2 21 12 2

32

yy a y a

y a y a

q Z mu Z mu

KZ T T

− +

− +

= −

= −

Perfil plano de T:

2323

y a y

y a y

dTT T

dy

dTT T

dy

−

+

= − λ

= + λ

2 312 2mu KT=

( )2 312 2v A

dC N mu R

dT= =

Fenó

men

os d

e Tr

ansp

orte

Tema 3 — p. 7

12y

dTq nKu

dy= − λ

3

2 31 1 12 3 v

K Tk nKu C u

d m= λ = ρ λ =

π

vk C= μ

Modelo de Chapman-Enskog:

Å

421.9891 10 , / . .

k

T Mk k cal cm s K−= =

σ Ω

σ =

15 54 2 v

Rk C

M= μ = μ

Modelo de Euken (poliatómicas):

54p

Rk C

M⎛ ⎞= + μ⎜ ⎟⎝ ⎠

Fenó

men

os d

e Tr

ansp

orte

Tema 3 — p. 8

Diagrama generalizado:

Fenó

men

os d

e Tr

ansp

orte

Tema 3 — p. 9

2

3.75 ,/

8.314

v v

v

kMk W m K

C C R

M kg mol

N s m

C J mol K

R J mol K

Ψ= − =

μ

=

μ =

=

=

(experimental para polares)

Recomendación: gases no-polares

2

2

0.215 0.28288 1.061 0.2666510.6366 1.061

32

2.0 10.5

0.7862 0.7109 1.3168

v

r

Z

Z

C

R

Z T

+ α − β +Ψ = + α

+ β + αβ

α = −

= +

β = − ω + ω

Método de Chung et al. (1986)Fe

nóm

enos

de

Tran

spor

te

Tema 3 — p. 10

Método de Roy & Thodos

rλλ =Γ

1/ 63

4210 c

c

T M

P

⎛ ⎞Γ = ⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠( ) ( )

( )( ) ( )

int0.0464 0.2412

int

8.757 r r

r tr

T Ttr

r

e e

C f T

−

λ = λΓ + λΓ

⎡ ⎤λΓ = −⎣ ⎦λΓ =

Fenó

men

os d

e Tr

ansp

orte

Tema 3 — p. 11

Método de Wilke (mezclas gaseosas)

1

1

ni i

mezcla ni

j ijj

x kk

x=

=

=

φ∑∑

1 1 12 2 4

2

1 1 18

ji iij

j j i

MM

M M

− ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞μ⎢ ⎥φ = − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥μ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

Fenó

men

os d

e Tr

ansp

orte

Tema 3 — p. 12

Conductividad de líquidos

Modelo de Bridgman

23

2.80 As

Nk Kv

V⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

Velocidad del sonido a baja frecuencia:

ps

v T

C pv

C

⎛ ⎞∂= ⎜ ⎟∂ρ⎝ ⎠

Método de Latini et al.

( )16

0.381 r

r

A Tk

T

−=

*bvc

A TA

M T

α

β=

Fenó

men

os d

e Tr

ansp

orte

Tema 3 — p. 13

Método del punto de ebullición

( ) 12

1.11 ,bk T k w m KM

= =

Ecuación de Riedel:

( )233 20 1 rk B T⎡ ⎤= + −

⎣ ⎦

( )

( )

23

12

23

1.11 3 20 1

3 20 1

r

br

TMk

T

⎡ ⎤+ −⎣ ⎦

=+ −

Fen

óm

eno

s d

e T

ran

spo

rte

Tema 4 — p. 1

TEMA 4

Ecuaciones de variación para sistemas no isotérmicos

Distribución de temperatura en sólidos y en flujo laminar.Conducción de calor con un manantial calorífico de origen eléctricoConvección Libre y ForzadaConvección forzada: flujo en un tubo refrigerado por la paredConvección natural: paredes planas verticales

Ecuación de energíaLa ecuación de energía en función de la temperaturaCasos particularesLa ecuación de energía en los distintos sistemas coordenadosEcuaciones adaptadas para procesos de convección naturalResumen de ecuacionesFlujo tangencial con generación de calor de origen viscosoEnfriamiento por transpiración

Análisis dimensionalTransmisión de calor por convección forzada en un tanque agitadoEcuaciones adimensionales: Convección libre o naturalTemperatura de la superficie de una espiral de calentamiento eléctricoInterpretación de los números adimensionales

Fen

óm

eno

s d

e T

ran

spo

rte

Tema 4 — p. 2

Ley deNewton

Perfil develocidad

IntegraciónBalancede C.D.M.

Volumen de control

Integración

Densidad de flujo de

C.D.M.

Estudio del transporte de C.D.M.

Ley deFourier

Perfil detemperatura

IntegraciónBalancede Energía

Volumen de control

Integración

Densidad de flujo de

Calor

Estudio del transporte de Calor

Fen

óm

eno

s d

e T

ran

spo

rte

Tema 4 — p. 3

Balances de energía

Restricciones: • Régimen estacionario.• No se considera energía cinética, potencial o trabajo.

Mecanismos de transporte: • Conducción de calor (Ley de Fourier).• Transporte convectivo.

Generación de calor: eléctrica, viscosa, nuclear, reacción, ...

velocidad de velocidad de velocidad de

entrada de energía - salida de energía + producción de energía =0

calorífica calorífica calorífica

⎧ ⎫ ⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩ ⎭ ⎩ ⎭ ⎩ ⎭

Balance:

Condiciones límite mas frecuentes:• Temperatura conocida en la superficie: T = To• Densidad de flujo de calor conocida en la superficie: q = qo• Condiciones de transporte en la interfase sólido-fluido ("Ley de

enfriamiento de Newton"): ( )fluidoq h T T= −

Fen

óm

eno

s d

e T

ran

spo

rte

Tema 4 — p. 4

r

Distribución de temperatura en sólidos y en flujo laminar

Conducción de calor con un manantial calorífico de origen eléctrico

Balance de energía:

Velocidad de entrada Velocidad de salida Generación de

de calor por de calor por calor por= -

conducción por la conducción por la disipación

superficie interior superficie exterior elé

⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩ ⎭ ⎩ ⎭ ctrica

⎧ ⎫⎪ ⎪⎪ ⎪⎨ ⎬⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎭

Evaluación de los términos:

( )2

2 2 2 ,r r e er r re

IrLq r r Lq r r LS S

k+Δπ = π + Δ − π Δ =

Integrando (r=0 → qr=0):2e

rS r

q =

L

R

( )r ed

rq S rdr

=Por unidad de volumen (volumen → 0):

Fen

óm

eno

s d

e T

ran

spo

rte

Tema 4 — p. 5

Ley de Fourier:2e

rS rdT dT

q k kdr dr

= − → − =

Condición límite: exr R T T= → =

Integrando: 22

14e

exS R r

T Tk R

⎡ ⎤⎛ ⎞− = −⎢ ⎥⎜ ⎟⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦

Magnitudes derivadas

(a) ΔT máximo:2

4e

máx exS R

T Tk

− =

(b) Flujo de calor en la superficie:

22 eR RQ RLq R LS= π = π

Fen

óm

eno

s d

e T

ran

spo

rte

Tema 4 — p. 6

Convección Libre y Forzada

Fen

óm

eno

s d

e T

ran

spo

rte

Tema 4 — p. 7

Δz

Δr

Convección forzada: flujo en un tubo refrigerado por la pared

•Régimen estacionario.•Propiedades físicas constantes.•Régimen laminar.•Densidad de flujo de calor en la pared (q1) constante.

Perfil de velocidad:2

, 1z z máxr

v vR

⎡ ⎤⎛ ⎞= −⎢ ⎥⎜ ⎟⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦

20

,( )

,4

Lz máx

Rv

L

℘ −℘=

μ

Balance de energía:

Conducción en r:

q1

z

r

T0

Conducción en z:

Convección en z:

( )Entrada:

Salida:

2

2

r r

r r r

q r z

q r r z+Δ

π Δ

π + Δ Δ

Entrada:

Salida:

2

2

z z

z z z

q r r

q r r+Δ

π Δ

π Δ

( )( )

z

z

Entrada:

Salida:

0

0

2

2

p z

p z z

v r r C T T

v r r C T T+Δ

ρ π Δ −

ρ π Δ −

Fen

óm

eno

s d

e T

ran

spo

rte

Tema 4 — p. 8

Dividiendo por 2πr Δr Δz y tomando el límite Δr → 0, Δz → 0:

1ˆ r zp z

rq qTC v

z r r z

∂ ∂∂ρ = − −

∂ ∂ ∂

Con el perfil de velocidad y la ley de Fourier:2 2

, 2

1ˆ 1p z máxr T T T

C v k rR z r r r z

⎡ ⎤ ⎡ ⎤∂ ∂ ∂ ∂⎛ ⎞ ⎛ ⎞ρ − = +⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎣ ⎦

Conducción axial despreciable:2

,1ˆ 1p z máx

r T TC v k r

R z r r r

⎡ ⎤ ∂ ∂ ∂⎛ ⎞ ⎛ ⎞ρ − =⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦

Condiciones límite:

r = 0 → T es finito

r = R → (constante)1T

k qr

∂− =

∂z = 0 → T = T0

Integrando numéricamente ⇒ T(z,r)

Fen

óm

eno

s d

e T

ran

spo

rte

Tema 4 — p. 9

Convección natural: paredes planas verticales

•Régimen estacionario.•Propiedades físicas constantes.•Régimen laminar.•Temperatura de las paredes constante (T1 y T2).•Paredes muy largas (en z): T(y)

Balance de energía:

y yy y yq q

+Δ=

Integrando:

1

2my

T T Tb

⎛ ⎞= − Δ ⎜ ⎟⎝ ⎠

2 1

1 2

2m

T T T

T TT

Δ = −+

=

vz(y)

y

z

b

Lám

ina

calie

nte

Lám

ina

fría

T2

T1

T(y)

0ydq

dy⇒ =

2

20

d Tk

dy⇒ =

Fen

óm

eno

s d

e T

ran

spo

rte

Tema 4 — p. 10

Balance de c.d.m.:2

2zd v dp

gdzdy

μ = + ρ

Desarrollo en serie de Taylor (2 términos):

( ) ( )TT

T T T TT

∂ρρ = ρ + − = ρ + ρβ −

∂

Admitiendo ( )2

2zd vdp

g g T Tdz dy

= −ρ ⇒ μ = −ρβ −

Integrando: ( )2

3 ,12zgb T y

vb

ρβ Δ= η − η η =

μ

En forma adimensional: ( )31

12Grϕ = η − η velocidad adimensional

distancia adimensional

Número de Grashof2 3

2

zbv

y

b

gb TGr

ρϕ = =

μ

η = =

ρ β Δ= =

μ

Fen

óm

eno

s d

e T

ran

spo

rte

Tema 4 — p. 11

z

xy

x xv x x x

vΔ+

z zv

z z zv

Δ+y y

v

y y yv

Δ+

Ecuación de energía

Velocidad de Velocidad de Velocidad de

acumulación entrada de energía salida de energía= -

de energía cinética e interna cinética e interna

cinética e interna por convección por convec

⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩ ⎭ ⎩ ⎭ ción

Velocidad neta Velocidad neta

de adición de de trabajo comunicado + -

calor por por el sistema

conducción a los alrededores

⎧ ⎫⎪ ⎪⎪ ⎪⎨ ⎬⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎭

⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩ ⎭ ⎩ ⎭

Balance de energía:

Fen

óm

eno

s d

e T

ran

spo

rte

Tema 4 — p. 12

Velocidad de acumulación de energía cinética e interna:

21ˆ2

x y z U vt

∂ ⎛ ⎞Δ Δ Δ ρ + ρ⎜ ⎟∂ ⎝ ⎠

Velocidad neta de entrada de energía cinética e interna por convección:

2 2

2 2

2 2

1 1ˆ ˆ2 2

1 1ˆ ˆ2 2

1 1ˆ ˆ2 2

x xx x x

y yy y y

z zz z z

y z v U v v U v

x z v U v v U v

x y v U v v U v

+Δ

+Δ

+Δ

⎧ ⎫⎪ ⎪⎛ ⎞ ⎛ ⎞Δ Δ ρ + ρ − ρ + ρ +⎨ ⎬⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎪ ⎪⎩ ⎭

⎧ ⎫⎪ ⎪⎛ ⎞ ⎛ ⎞Δ Δ ρ + ρ − ρ + ρ +⎨ ⎬⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎪ ⎪⎩ ⎭

⎧ ⎫⎪ ⎪⎛ ⎞ ⎛ ⎞Δ Δ ρ + ρ − ρ + ρ⎨ ⎬⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎪ ⎪⎩ ⎭

Velocidad neta de adición de calor por conducción:

{ } { } { }x x y y z zx x x z z zy y yy z q q y z q q x y q q+Δ +Δ+Δ

Δ Δ − + Δ Δ − + Δ Δ −

Fen

óm

eno

s d

e T

ran

spo

rte

Tema 4 — p. 13

Velocidad neta de trabajo comunicado por el sistema a los alrededores:

a. Fuerzas gravitacionales:

b. Fuerzas de presión:

c. Fuerzas viscosas:

( )x x y y z zx y z v g v g v g−ρΔ Δ Δ + +

( ) ( ){ }( ) ( ){ }( ) ( ){ }

x xx x x

y yy y y

z zz z z

y z pv pv

x z pv pv

x y pv pv

+Δ

+Δ

+Δ

Δ Δ −

+Δ Δ −

+Δ Δ −

( ) ( ){ }( ) ( ){ }( ) ( ){ }

xx x xy y xz z xx x xy y xz zx x x

yx x yy y yz z yx x yy y yz zy y y

zx x zy y zz z zx x zy y zz zz z z

y z v v v v v v

x z v v v v v v

x y v v v v v v

+Δ

+Δ

+Δ

Δ Δ τ + τ + τ − τ + τ + τ

+Δ Δ τ + τ + τ − τ + τ + τ

+Δ Δ τ + τ + τ − τ + τ + τ

Fen

óm

eno

s d

e T

ran

spo

rte

Tema 4 — p. 14

SISTEMA

Compresión/Expansión

( ).p v− −∇

Disipación viscosa

( ): v− τ ∇

EnergíaInterna

Uρ

EnergíaMecánica

212

vρ

ALREDEDORES

TrabajoCalor

(conducción) ( ) ( )( ). .

. .

v g pv

v

ρ − ∇

− ∇ τ⎡ ⎤⎣ ⎦( ).q− ∇E. Interna

( ). vU− ∇ ρE. Mecánica

( )( )212

. v v− ∇ ρ

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [1] [2] [3] [4] [5] [6]

2 21 12 2

ˆ ˆ. . . . . .U v v U v q v g pv vt

∂ρ + = − ∇ ρ + − ∇ + ρ − ∇ − ∇ τ⎡ ⎤⎣ ⎦∂

1. Velocidad deganancia de energía por unidad de volumen,

2. entrada de energía por convección,

3. entrada de energía por conducción,

4. velocidad de trabajo comunicado al fluido por unidad de volumen debido a las fuerzas de gravitación,

5. fuerzas de presión,

6. fuerzas viscosas.

Fen

óm

eno

s d

e T

ran

spo

rte

Tema 4 — p. 15

Transformación a un sistema de coordenadas móvil:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )212

ˆ . . . . .D

U v q v g pv vDt

ρ + = − ∇ + ρ − ∇ − ∇ τ⎡ ⎤⎣ ⎦

Restando la ecuación de energía mecánica se obtiene la Ecuación de energía calorífica:

1. Velocidad de ganancia de energía interna por unidad de volumen,2. entrada de energía interna por conducción,3. aumento reversible de energía interna debido a la compresión4. aumento irreversible de energía interna debido a la disipación viscosa.

( ) ( ) ( ) [1] [2] [3] [4]

ˆ. . :

DUq p v v

Dtρ = − ∇ − ∇ − τ ∇

Fen

óm

eno

s d

e T

ran

spo

rte

Tema 4 — p. 16

Simplificando para el caso de fluido newtoniano y conductividad calorífica constante:

ˆˆ

ˆ ˆˆˆ ˆ ˆ

ˆ VVT V

U U pdU dV dT p T dV C dT

T TV

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎡ ⎤∂ ∂ ∂⎛ ⎞= + = − + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎢ ⎥⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂∂ ⎝ ⎠⎣ ⎦⎝ ⎠ ⎝ ⎠

( ) ( ) ( )ˆ

ˆ . . :VV

DT pC q T v v

Dt T

∂⎛ ⎞ρ = − ∇ − ∇ − τ ∇⎜ ⎟∂⎝ ⎠

( )2ˆ .V vDT p

C k T T vDt T ρ

∂⎛ ⎞ρ = ∇ − ∇ + μϕ⎜ ⎟∂⎝ ⎠

La ecuación de energía en función de la temperatura

Generación

de energía

⎧ ⎫+ ⎨ ⎬⎩ ⎭

Casos particulares

(a) Gas ideal.

( )2

ˆ

ˆ .VV

p p DTC k T p v

T T Dt

∂⎛ ⎞ = ⇒ ρ = ∇ − ∇⎜ ⎟∂⎝ ⎠

(b) Proceso a presión constante.

2ˆtan pDT

p cons te C k TDt

= ⇒ ρ = ∇Dt

(c) Fluido incompresible.

DT 2ˆtan . 0 pDT

cons te v C k TDt

ρ = ⇒ ∇ = ⇒ ρ = ∇

(d) Sólido.

rte

( )2ˆ0 . 0 p

Tv v C k T

t

∂= ⇒ ∇ = ⇒ ρ = ∇

∂

s d

e T

ran

spo

Fen

óm

eno

s

Tema 4 — p. 17

La ecuación de energía en coordenadas rectangulares(en función de las densidades de flujo)(en función de las densidades de flujo)

ˆ yx zv x y z

qq qT T T TC v v v

t x y z x y z

∂⎡ ⎤⎛ ⎞ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂ρ + + + = − + +⎢ ⎥⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎣ ⎦

y yx z x zxx yy zz

y y

v vv v v vpT

T x y z x y zρ

⎝ ⎠ ⎣ ⎦∂ ∂⎛ ⎞ ⎧ ⎫∂ ∂ ∂ ∂∂⎛ ⎞− + + − τ + τ + τ⎨ ⎬⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎩ ⎭

y yx x z zxy xz yz

v vv v v v

y x z x z y

⎧ ∂ ∂ ⎫⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂⎪ ⎪⎛ ⎞− τ + + τ + + τ +⎨ ⎬⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠⎪ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎩ ⎪⎭

La ecuación de energía en coordenadas cilíndricas(en función de las densidades de flujo)

1 1ˆ ( ) zv r z r

v q qT T T TC v v rq

t r r z r r r zθ θ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎛ ⎞ ⎡ ⎤ρ + + + = − + +⎜ ⎟ ⎢ ⎥∂ ∂ ∂θ ∂ ∂ ∂θ ∂⎝ ⎠ ⎣ ⎦

rte

1 1 1( ) z r z

r rr r zzv vv v vp

T rv vT r r r z r r z

θ θθθ

ρ

⎝ ⎠ ⎣ ⎦∂ ⎧ ∂ ⎫∂ ∂ ∂∂ ∂⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞− + + − τ + τ + + τ⎨ ⎬⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂θ ∂ ∂ ∂θ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎩ ⎭

s d

e T

ran

spo

1 r z rr rz

v v v vr

r r r rθ

θ⎡ ⎤∂ ∂ ∂∂ ⎛ ⎞− τ + + τ +⎜ ⎟⎢ ⎥∂ ∂θ ∂ ∂⎝ ⎠⎣ ⎦

1 zz

vv

z r zθ

θ⎧ ⎫∂∂⎛ ⎞⎛ ⎞ + τ +⎨ ⎬⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂θ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎩ ⎭

Fen

óm

eno

s

Tema 4 — p. 18

Fen

óm

eno

s d

e T

ran

spo

rte

Tema 4 — p. 19

La ecuación de energía en coordenadas esféricas(en función de las densidades de flujo)

( )

( )

22

22

ˆsen

1 1 1( ) sen

sen sen

1 1 1( ) sen

sen sen

1 1

sen

v r

r

r

r r rrr

vvT T T TC v

t r r r

qr q q

r r rr

vpT r v v

T r r rr

vv vv v v

r r r r r

φθ

φθ

φθ

ρ

φθ θθθ φφ

⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂ρ + + + =⎜ ⎟∂ ∂ ∂θ θ ∂φ⎝ ⎠

∂⎡ ⎤∂ ∂− + θ +⎢ ⎥∂ θ ∂θ θ ∂φ⎣ ⎦

∂⎛ ⎞∂ ∂ ∂⎛ ⎞− + θ +⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂ θ ∂θ θ ∂φ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

∂∂∂ ⎛ ⎞− τ + τ + + τ + +⎜ ⎟∂ ∂θ θ ∂φ⎝ ⎠

cot

1 1

sen

1 1 cot

sen

r rr r

r

v vv vv v

r r r r r r

v vv

r r r

φ φθ θθ φ

φ θθφ φ

⎧ ⎫⎛ ⎞θ⎪ ⎪⎨ ⎬⎜ ⎟⎪ ⎪⎝ ⎠⎩ ⎭⎧ ∂⎛ ⎞∂ ∂ ∂⎛ ⎞⎪− τ + − + τ + −⎨ ⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂θ ∂ θ ∂φ⎝ ⎠⎪ ⎝ ⎠⎩

∂ ⎫⎛ ⎞∂ θ ⎪+τ + − ⎬⎜ ⎟∂θ θ ∂φ ⎪⎝ ⎠⎭

Fen

óm

eno

s d

e T

ran

spo

rte

Tema 4 — p. 20

La ecuación de energía en coordenadas rectangulares(en función de las propiedades de transporte, para ρ, μ y k constantes)

La ecuación de energía en coordenadas cilíndricas(en función de las propiedades de transporte, para ρ, μ y k constantes)

2 2 2

2 2 2

2 22 2

22

ˆ

2

v x y z

y yx z x

yx z z

T T T T T T TC v v v k

t x y z x y z

v vv v v

x y z y x

vv v v

z x z y

⎡ ⎤⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ρ + + + = + +⎢ ⎥⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎣ ⎦

⎧ ⎫ ⎧∂ ∂⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂⎪ ⎪ ⎪⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ μ + + + μ +⎨ ⎬ ⎨⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎪ ⎪ ⎪⎩ ⎭ ⎩⎫∂⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ⎪⎛ ⎞+ + + + ⎬⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎪⎭

2 2

2 2 2

2 22 2

2

1 1ˆ

1 12

1

v r z

r z zr

z r r

vT T T T T T TC v v k r

t r r z r r r r z

v vv v vv

r r z z r

vv v vr

r z r r

θ

θ θ

θ

⎡ ⎤∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎛ ⎞ ⎛ ⎞ρ + + + = + +⎢ ⎥⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂ ∂θ ∂ ∂ ∂ ∂θ ∂⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎣ ⎦⎧⎧ ⎫⎡ ∂ ⎤ ∂∂ ∂ ∂⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎪ ⎪ ⎪⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ μ + + + + μ +⎨ ⎬ ⎨⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥∂ ∂θ ∂ ∂ ∂θ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦⎪ ⎪ ⎪⎩ ⎭ ⎩

∂ ∂ ∂ ∂⎛ ⎞+ + + +⎜ ⎟∂ ∂ ∂θ ∂⎝ ⎠

2

r

⎫⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎪⎬⎜ ⎟⎢ ⎥

⎝ ⎠⎣ ⎦ ⎪⎭

Fen

óm

eno

s d

e T

ran

spo

rte

Tema 4 — p. 21

La ecuación de energía en coordenadas esféricas(en función de las propiedades de transporte, para ρ, μ y k constantes)

22

22

2 2 2 2

22

1ˆsen

1 1sen 2

sen sen

cot1 1

sen

1

v r

r

r r

vvT T T T TC v k r

t r r r r rr

vT T

rr r

vv vv v

r r r r r

vr

r r r

φθ

φθ θ

θ

⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂ ⎡ ∂ ∂⎛ ⎞ρ + + + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢∂ ∂ ∂θ θ ∂φ ∂ ∂⎝ ⎠⎣⎝ ⎠⎧⎤ ∂∂ ∂ ∂ ⎪⎛ ⎞⎛ ⎞+ θ + + μ ⎨⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂θ ∂θ ∂θ θ ∂φ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎪⎦ ⎩⎫∂⎛ ⎞∂ θ⎛ ⎞ ⎪+ + + + + ⎬⎜ ⎟⎜ ⎟∂θ θ ∂φ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎪⎭

∂ ⎛ ⎞+μ +⎜ ⎟∂ ⎝ ⎠

22

2

1

sen

sen 1

sen sen

r rvv v

rr r r

v v

r r

φ

φ θ

⎧ ⎡ ⎤⎛ ⎞⎡ ⎤∂ ∂ ∂⎪ + +⎨ ⎢ ⎥⎜ ⎟⎢ ⎥∂θ θ ∂φ ∂⎣ ⎦ ⎝ ⎠⎣ ⎦⎪⎩⎫⎡ ⎤⎛ ⎞ ∂θ ∂ ⎪+ + ⎬⎢ ⎥⎜ ⎟∂θ θ θ ∂φ⎝ ⎠⎣ ⎦ ⎪⎭

Fen

óm

eno

s d

e T

ran

spo

rte

Tema 4 — p. 22

1r z

T T Tq k q k q k

r r zθ∂ ∂ ∂

= − = − = −∂ ∂θ ∂

Componentes de la densidad de flujo de energía q (Ley de Fourier)

Coordenadas rectangulares:

Coordenadas cilíndricas:

Coordenadas esféricas:

x y zT T T

q k q k q kx y z

∂ ∂ ∂= − = − = −

∂ ∂ ∂

1 1

senr zT T T

q k q k q kr r rθ

∂ ∂ ∂= − = − = −

∂ ∂θ θ ∂φ

Fen

óm

eno

s d

e T

ran

spo

rte

Tema 4 — p. 23

Limitaciones a la transformación de la ecuación de movimiento:• Bajas velocidades de fluido• Pequeñas variaciones de temperatura.

Ecuaciones adaptadas para procesos de convección natural

Fluido en reposo (ley de la hidrostática):

p ρg∇ =

( )Desarrollo en serie de la densidad:

g T Tρ = ρ − ρβ −

Ec. de movimiento:

.Dv

p gDt

⎡ ⎤ρ = − ∇ τ − ∇ + ρ⎣ ⎦

( ).Dv

g T TDt

⎫⎪⎪⎪⎪⎪ ⎡ ⎤⇒ ρ = − − ∇ τ − ρβ −⎬ ⎣ ⎦⎪⎪⎪⎪⎪⎭

Fen

óm

eno

s d

e T

ran

spo

rte

Tema 4 — p. 24

Fen

óm

eno

s d

e T

ran

spo

rte

Tema 4 — p. 25

Fen

óm

eno

s d

e T

ran

spo

rte

Tema 4 — p. 26

Fen

óm

eno

s d

e T

ran

spo

rte

Tema 4 — p. 27

κRR

r

ΩoEl perfil de velocidad se obtiene integrando la ecuación de movimiento:

1

0

o

r z

r R

R rv R

v v

θ

κ⎛ ⎞−⎜ ⎟κ⎝ ⎠= Ω⎛ ⎞− κ⎜ ⎟κ⎝ ⎠

= =

Ecuación de energía:2

10

vd dT dr r

r dr dr dr rθ⎡ ⎤⎛ ⎞⎛ ⎞= κ + μ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

Substituyendo el perfil de velocidad...

( )2 4 4

2 42

41 10

1

o Rd dTr

r dr dr r

μΩ κ⎛ ⎞= κ +⎜ ⎟⎝ ⎠ − κ

Flujo tangencial en tubos concéntricos con generación de calor de origen viscoso

T1

Tκ

T(r)

vθ(r)

Fen

óm

eno

s d

e T

ran

spo

rte

Tema 4 — p. 28

En coordenadas adimensionales:

4

1 14

d dN

d d

⎛ ⎞Θξ = −⎜ ⎟ξ ξ ξ ξ⎝ ⎠

( )

( )Brinkman

1

4

22

2 2

1

,

1

o

T Tr

R T T

N Br

RBr

T T

κ

κ

κ

−ξ = Θ =

−

κ=

− κ

μΩ= =κ −

Integrando: 1 22

1lnN C CΘ = − + ξ +

ξ

Condiciones límite: 0

1 1

ξ = κ Θ =ξ = Θ =

( ) ( )2 2

ln1 1

ln

N NN N

⎛ ⎞ ξ⎛ ⎞Θ = + − − + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ κξ κ⎝ ⎠⎝ ⎠

0.00

0.25

0.50

0.75

1.00

1.25

ξ

Θ

1000

100

N

N

==

3000

2000

N

N

==

κ 1

0.98κ =

Fen

óm

eno

s d

e T

ran

spo

rte

Tema 4 — p. 29

Enfriamiento por transpiración

Ecuación de continuidad:

( )22

10r

dr v

drrρ =

Ecuación de energía:

22

1ˆp r

dT d dTC v k r

dr dr drr

⎛ ⎞ρ = ⎜ ⎟⎝ ⎠

Condiciones límite:

1

r R T T

r R T Tκ= κ =

= =

Tκ

T1

T(r)

CONDUCCIONkR R

CONVECCION

/ /1

/ /1

ˆ,

4

o o

o o

R r R Rr p

oR R R R

w CT T e eR

T T ke e

− −

− κ −κ

− −= =

− π−

Integrando:

κR

R

constante2

4r

rw

r v⇒ ρ = =π

Fen

óm

eno

s d

e T

ran

spo

rte

Tema 4 — p. 30

Cálculo de la refrigeración mediante un balance macroscópico de energía:

( )1ˆ

r p refigerante conducción r Rw C T T Q Qκ =

− + =(a) A la corteza exterior:

(b) A la corteza interior:

( )( )( )

0 1/ 1

ˆ4,

41o

r prefigerante oR R

w CkR T TQ R

ke

κκ −κ

π −= =

π−

10 4

1

T TQ k R κ−

= π κ− κ

Para un flujo de aire igual a cero:

( )0

11

1

o

o

Q Q

Q e

R

R

φ− φ

ε = = −−

− κφ =

κ

Eficacia de transpiración:

2 24refigerante conducción r Rr R

dTQ Q k R

dr=κ=κ

= = π κ

Fen

óm

eno

s d

e T

ran

spo

rte

Tema 4 — p. 31

Restricción: Propiedades físicas constantes (ρ, μ, k).

Ecuaciones con dimensiones

Ec. Continuidad: ( ). 0v∇ =

Ec. Movimiento:( )o

(convección forzada)

- g T-T (convección libre)2 p gDvv

Dt

⎧−∇ + ρ⎪ρ = μ∇ + ⎨ρβ⎪⎩

Ec. Energía: 2ˆp

DTC k T

Dt νρ = ∇ + μφ

Variables características: 1 0, , , ,oV D P T T

* * * * * * *2

1

, , , , , ,o o

o

p p T Tv tV x y zv p t T x y z

V D T T D D DV

− −= = = = = = =

−ρ

Ec. Continuidad: ( )* *. 0v∇ =

Ec. Movimiento:*

*2 * * **

1 1Dv gv p

Re Fr gDt= ∇ − ∇ +

Ec. Energía:*

*2 * **

1

RePr RePr

DT BrT

Dtν= ∇ + φ

( )2 2

1

ˆRe , , Pr ,p

o

CDV V VFr Br

gD k k T T

μρ μ= = = =

μ −

Análisis dimensional de las ecuaciones de variación

Ecuaciones adimensionales: Convección forzada

Fen

óm

eno

s d

e T

ran

spo

rte

Tema 4 — p. 32

Cambio de escala: Influencia del tamaño (D) sobre el calor retirado por el refrigerante (Q)

Calor retirado en el refrigerante:0nA

TQ k dA

n =

∂= −

∂∫

Variables adimensionales: * * *2

1

, , o

o

T TA nA n T

D T TD

−= = =

−

Transmisión de calor por convección forzada en un tanque agitado

Se mantiene:T1 (Disolución)T0 (Superficie refrigerante)ReSemejanza geométrica

Q cte D

⎫⎪⎪ ⇒ =⎬⎪⎪⎭

( )**

**

1 *0

o

nA

TQ k T T D dA

n =

∂= − −

∂∫

*

*

*0

(Re,Pr, )n

Tf condiciones límite

n =

∂=

∂

Fen

óm

eno

s d

e T

ran

spo

rte

Tema 4 — p. 33

Ecuaciones adimensionales: Convección libre o natural

Variables características: 1, , oD T T

** ** *2

1

* * *

, ,

, ,

o

o

T TvD tv t T

T TD

x y zx y z

D D D

−ρ μ= = =

μ −ρ

= = =

Ec. Continuidad: ( )* **. 0v∇ =

Ec. Movimiento:**

*2 ** ***

Dv gv T Gr

gDt= ∇ −

Ec. Energía:*

*2 ***

1

Pr

DTT

Dt= ∇

( )Grashof

2 31

2

ˆPr ,

p oC g T T DGr

k

μ ρ β −= = =

μ

Fen

óm

eno

s d

e T

ran

spo

rte

Tema 4 — p. 34

Calor cedido por la resistencia:r RA

TQ k dA

r =

∂= −

∂∫

Variables adimensionales: * * *2

1

, , o

o

T TA rA r T

D T TD

−= = =

−

( ) * **

**

*1 o r RA

Q TdA

k T T D r =

∂= −

− ∂∫

Multiplicando ambos miembros por:( )2 3

12

oT T gDGr

ρ β −=

μ

2 2

2( ) (Gr)

Q gDGr Gr

k

ρ β= Ψ = Φ ⇒

μ( )

2 2 21

1 2 3 2oQ gD

T TgD k

− ⎛ ⎞μ ρ β− = Φ ⎜ ⎟⎜ ⎟ρ β μ⎝ ⎠

La función Φ se obtiene experimentando con el modelo.

Si además se utiliza el mismo fluido:

( ) ( )2 2

modelo prototipoQD QD= ⇒ ( ) ( )3 3

1 1modo oelo prototipoT T D T T D⎡ ⎤ ⎡ ⎤− = −⎣ ⎦ ⎣ ⎦

Temperatura de la superficie de una espiral de calentamiento eléctrico

* *

*

*(Pr, , )

r R

Tf Gr condiciones límite

r =

∂=

∂( )1

( )o

QGr

k T T D

⎫⎪⎪ ⇒ = Ψ⎬

−⎪⎪⎭

Fen

óm

eno

s d

e T

ran

spo

rte

Tema 4 — p. 35

( )

( )( )

fuerzas de inercia

fuerzas viscosas

fuerzas de inercia

fuerzas de gravedad

fuerzas de flotación

fuerzas de inercia

transporte de calor

2

2

2

12 2

12

1

/Re

/

/

Re /

ˆ /PrRe

/

o

p o

o

V D

V D

V DFr

g

g T TGr

V D

C V T T D

k T T D

ρ= =μ

ρ= =

ρ

ρβ −= =

ρ

ρ −= =

−

( )( )

por convección

transporte de calor por conducción

producción de calor por disipación viscosa

transporte de calor por conducción

2

21

/

/o

V DBr

k T T D

μ= =

−

Interpretación de los números adimensionales

Fenó

men

os d

e Tr

ansp

orte

Tema 5 — p. 1

TEMA 5

Difusividad y mecanismos del transporte de materia

Definiciones de concentraciones, velocidades y densidades de flujo de materia

Ley de Fick de la difusiónDeterminación experimental de la difusividadEcuaciones de predicción y correlación para los estados

líquido y gaseosoAnalogía entre los distintos transportes

Fenó

men

os d

e Tr

ansp

orte

Tema 5 — p. 2

Definiciones de concentraciones, velocidades y densidades de flujo de materia

imasa componente i

Concentración en masa:volumen de mezcla

moles de iConcentración molar:

volumen de mezcla

masa de iFracción másica:

masa de mezcla

moles de iFracción molar:

moles de

ii

i

ii

ii

cM

w

cx

c

ρ =

ρ= =

ρ= =ρ

= = mezcla

Concentración

Relaciones

2

1

// /

A B

A A B B

A AA

A A B B

AA

A BA B

A B

x x

x M x M M

w Mx

w M w M

dwdx

w wM M

M M

+ =+ =

=+

=⎛ ⎞

+⎜ ⎟⎝ ⎠

( )2

1/ / 1/

A B

A A B B

A AA

A A B B

A B AA

A A B B

w w

w M w M M

x Mw

x M x M

M M dxdw

x M x M

+ =+ =

=+

=+

Masa Moles

Fenó

men

os d

e Tr

ansp

orte

Tema 5 — p. 3

A

A

A

C

B

B

vB

vA

vA

vA

vC

vB

Velocidad media:

N N

i ii 1 i 1

N N

i ii 1 i 1

Masa Moles

*i iv cv

v v

c

= =

= =

ρ

= =

ρ

∑ ∑

∑ ∑

Velocidad de difusión:

Masa:

Moles: *

i

i

v v

v v

−

−

Velocidad de mezclas en procesos de transferencia de materiaFe

nóm

enos

de

Tran

spor

te

Tema 5 — p. 4

( )

( )

( ) ( )( ) ( )

*

* * *

*

1

1

A A B B A A B B

A A B B A A B B

A A B B

A A B B

v v v w v w v

v c v c v x v x vc

v v w v v w v v

v v x v v x v v

= ρ + ρ = +ρ

= + = +

− = − + −

− = − + −

Relaciones entre velocidades

Sistema de coordenadas Base Estacionario Masa Moles

Masa i i in v= ρ ( )i i ij v v= ρ − ( )* *i i ij v v= ρ −

Moles i i iN c v= ( )i i iJ c v v= − ( )* *i i iJ c v v= −

( )( )

*

*

* * * * *

0

0

A B A B

A B A B

A B A B

n n v N N cv

j j J J c v v

j j v v J J

+ = ρ + =

+ = + = −

+ = ρ − + =

Densidades de flujo

Fenó

men

os d

e Tr

ansp

orte

Tema 5 — p. 5

* *

A A A

A A A

A A A

n M N

n j v

N J c v

=

= + ρ

= +

Sistema de coordenadas estacionario:

( )

*

A A A A B

BA A A A B

A

AA

A

BA A

j n w n n

MJ N w N N

M

jJ

M

MJ J

M

= − +

⎛ ⎞= − +⎜ ⎟

⎝ ⎠

=

=

Sistema de coordenadas móvil (masa):

( )

*

*

*

* *

AA A A A B

B

A A A A B

A AB

A A A

Mj n x n n

M

J N x N N

Mj j

M

j J M

⎛ ⎞= − +⎜ ⎟

⎝ ⎠

= − +

=

=

Sistema de coordenadas móvil (moles):

Relaciones entre densidades de flujoFe

nóm

enos

de

Tran

spor

te

Tema 5 — p. 6

* AAy AB

dxJ cD

dy= −

Forma vectorial: *A AB AJ cD x= − ∇

Ley de Fick de la difusión

xA1

xA2

*AJ

Sistema T (K) xA DAB (cm2/s CO2 + N2O (g) Ar + O2 H2 + CH4 Etanol + Agua (l) Al + Cu (s)

273.2 293.2 298.2 298.2 293.2

0.05 0.50 0.95

0.096 0.20 0.726 1.13 10-5 0.90 10-5 2.20 10-5 1.3 10-30

Fenó

men

os d

e Tr

ansp

orte

Tema 5 — p. 7

( )( )

( ) ( )

* *

2

2* *

A A A A B AB A

A A A A B AB A

A A AB A

A A AB A

A A A B AB A

A A AB AA B

ABA B A B A

A B

n n w n n D w

N N x N N cD x

j j D w

J J cD x

cj j M M D x

J J D wcM M

cDc v v c v v x

x x

= + − ρ ∇

= + − ∇

= −ρ ∇

= − ∇

= − ∇ρ

ρ= − ∇

− − = − ∇

TransporteDensidad Transporte

= global de +de flujo difusional

la fase

⎧ ⎫⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎪ ⎪⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎩ ⎭ ⎩ ⎭⎪ ⎪⎩ ⎭

Otras formas de la Ley de FickFe

nóm

enos

de

Tran

spor

te

Tema 5 — p. 8

Determinación experimental de la difusividad

Difusividad de vapores en gases (celda de Stephan)

,0 ,A A ZAAz AB AB

y ydc pN D D

dz RT Z

−= − =

,0

,

0

0

oA

A

A Z

pz y

p

z Z y

= ⇒ =

= ⇒ =

LAz

A

A zN A t

M

Δ ρΔ = ⇒ L

AB oA A

RT zD Z

tM p

ρ Δ=

Δ

B

A

Z

Difusividad en disoluciones líquidas

1 2A A AAz AB Ab

dc c cN D D

dz Z

−= − =

2Az AN A t V cΔ = Δ ⇒ 2

1 2

1AAB

A A

cZVD

A c c t

Δ=

− Δ

cA1 cA2Z

V

Fenó

men

os d

e Tr

ansp

orte

Tema 5 — p. 9

Ecuaciones de predicción y correlación para los estados líquido y gaseoso

Teoría cinética (simplificación adicional: autodifusión):

Balance de materia:

( )* 1 1 1 14 4Ay A A A Ay a y ay a y a

J Z x Z x nx u nx uN N − +− +

⎛ ⎞= − = −⎜ ⎟⎝ ⎠

Gradiente lineal de concentración:

2323

AA Ay a y

AA Ay a y

dxx x

dy

dxx x

dy

−

+

= − λ

= + λ

Difusividad de gases (autodifusión)

a

y

x

λ

y ax +

yx

y ax −

( )x y

Operando: * 13

AAy

dxJ cu

dy= − λ

Comparando con la ley de Fick:

*

1/ 23 3 / 2

3 21 23 3AA

A A

K TD u

m pd

⎛ ⎞= λ = ⎜ ⎟⎜ ⎟π⎝ ⎠

** AAy AA

dxJ cD

dy= − ⇒

Fenó

men

os d

e Tr

ansp

orte

Tema 5 — p. 10

Difusividad de gases (sistemas binarios)

1/ 23 / 2 3 / 2

22 1 13 2 2

2

ABA B A B

K TD

m m d dp

⎛ ⎞⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎜ ⎟π⎝ ⎠ +⎝ ⎠ ⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

3

2

1 1

0.0018583AB

A BAB

AB D

TM M

Dp

⎛ ⎞+⎜ ⎟

⎝ ⎠=σ Ω

( )12AB A B

AB A B

σ = σ + σ

ε = ε ε

Estimación de parámetros:

Teoría de Chapman-Enskog

Fenó

men

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e Tr

ansp

orte

Tema 5 — p. 11

Ecuación predictiva

Basada en la ley de los estados correspondientes:

( ) ( )1/ 2

1/ 3 5 /12 1 1

b

AB

cA cBcA cB cA cB

A B

pD Ta

T Tp p T T

M M

⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎛ ⎞ ⎝ ⎠+⎜ ⎟

⎝ ⎠

a b

Mezclas binarias de gases no polares Mezclas H2O + gas no-polar

2,745 10-4 3,640 10-4

1,823 2,334

Difusividad de líquidos

Ecuación de Wilke:

( )1/ 28 2 3

0.67.410 , / , , , /B BAB AB A

A

M TD D cm s T K cP V cm mol

V− ψ

= = = μ = =μ

ψB = parámetro de asociación del disolvente (B). Valores recomendados: 2,6 para el agua, 1,9 para el metanol, 1,5 para el etanol y 1,0 para disolventes no asociados (benceno, éter, heptano,...).

Fenó

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os d

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ansp

orte

Tema 5 — p. 12

Influencia de las variables de operación

Presión Temperatura Concentración

Gases ~ p-1 ~T1.5-2.0 —

Líquidos — ~T1.0 ~ xA1

Analogía entre los distintos transportes

( ) ( ) *px Ayx y Ay AB

d C Td u dcq J D

dy dy dy

ρρτ = −ν = −α = −

( / )P d P V

At dy= −ϕ

P P/At P/V ϕ C.D.M. τyx ρux υ Calor qy ρCpT α Materia (mol) J*Ay cA DAB

Fenó

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orte

Tema 6 — p. 1

TEMA 6

Ecuaciones de variación para sistemas de varios componentes

Balances de materia aplicados a una envoltura: condiciones límite:Difusión a través de una película gaseosa estancadaDifusión con reacción química heterogéneaDifusión con reacción química homogéneaTransferencia de materia por convección forzada

Ecuación de continuidad para una mezcla binaria: La ecuación de continuidad en diversos sistemas coordenados

Ecuación de continuidad para sistemas de varios componentes en función de las densidades de flujo

Ecuación de continuidad para sistemas de varios componentes en función de las propiedades de transporte

Ejemplo: Transferencia simultánea de calor y materia

Fenó

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orte

Tema 6 — p. 2

Ley deNewton

Perfil develocidad

IntegraciónBalancede C.D.M.

Volumen de control

Integración

Densidad de flujo de

C.D.M.

Estudio del transporte de C.D.M.

Ley deFick

Perfil deConcentración

IntegraciónBalancede Materia

Volumen de control

Integración

Densidad de flujo de

Materia

Estudio de la transferencia de materia

Fenó

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orte

Tema 6 — p. 3

Balances de materia aplicados a una envoltura: condiciones límite

velocidad de velocidad de velocidad de

entrada de salida de producción de

materia de A materia de A materia de A

0⎧ ⎫ ⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪− + =⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩ ⎭ ⎩ ⎭ ⎩ ⎭

Balance de materia en régimen estacionario

( )AAz AB A Az Bz

xN cD x N N

z

∂= − + +

∂

Ley de Fick

• Concentración conocida: xA= xAo• Densidad de flujo conocida: NA= NAo• Transporte de interfase sólido-fluido: NAz= kc(cA-cAo)

Condiciones límite habituales

Fenó

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Tema 6 — p. 4

Difusión a través de una película gaseosa estancada

Ley de Fick:

01

AB ABz Az

A

cD xN N

x z

∂= ⇒ = −

− ∂

Balance de materia:

0Az Azz z zS N S N +Δ− = ⇒ 0AzdN

dz=

Condiciones límite:

1 1

2 2

oA

A AT

A A

Pz z x x

P

z z x x

= ⇒ = =

= ⇒ =

Perfil de concentración:1

2 12

1 1

1 11 1

z z

z zA A

A A

x x

x x

⎛ ⎞−⎜ ⎟−⎝ ⎠⎛ ⎞ ⎛ ⎞− −

=⎜ ⎟ ⎜ ⎟− −⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Densidad de flujo:2

2 1 1lnAB B

AzB

cD xN

z z x=

−

Fenó

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Tema 6 — p. 5

Difusión con reacción química heterogénea

Reacción catalítica

instantánea

22A A→

Ley de Fick: 2

2

12 1

2

AA AA z Az Az

A

cD dxN N N

x dz= − ⇒ = −

−

Balance de materia: 0 0AzAz Azz z z

dNS N S N

dz+Δ− = ⇒ =

Fenó

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Tema 6 — p. 6

Condiciones límite:

00

A Ao

A

z x x

z x

= ⇒ =

= δ ⇒ =

Perfil de concentración:

1

1 12 2

z

AoA xx−δ⎛ ⎞⎛ ⎞− = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Densidad de flujo:

22 1ln

12

AAAz

Ao

cDN

x=

δ −

Fenó

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Tema 6 — p. 7

Difusión con reacción química homogénea

Reacción homogénea, con cinética de primer orden:

1, A AA B AB r k c+ → = −

Balance de materia: 1 10 0AzAz Az A Az z z

dNS N S N k c S z k c

dz+Δ− − Δ = ⇒ + =

Ley de Fick para componente A diluido (xA 0): AAz AB

dcN D

dz= −

Fenó

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Tema 6 — p. 8

Condiciones límite:

0

0

A Ao

A

z c c

dcz L

dz

= ⇒ =

= ⇒ =

Perfil de concentración:

211

11

cosh 1,

coshA

Ao AB

zb

c k LLb

c b D

⎡ ⎤−⎢ ⎥⎣ ⎦= =

Densidad de flujo en la superficie de nivel:

1 10 tanhAo ABAz z

c DN b b

L= =

Fenó

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Tema 6 — p. 9

Transferencia de materia por convección forzada

Integrando las ecuaciones de continuidad y movimiento:

2

,( ) 1z z máxx

v x v⎡ ⎤⎛ ⎞= −⎢ ⎥⎜ ⎟δ⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦

Balance de materia:

0Az Az Axz z z x

Ax x x

W x N W x N W z N

W z N+Δ

+Δ

Δ − Δ + Δ

− Δ =

En el límite:

0Az AxN N

z x

∂ ∂+ =

∂ ∂

Fenó

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Tema 6 — p. 10

Ley de Fick:

( ) ( ) ( )

( )

AAz AB A Az Bz A Az Bz A z

A AAx AB A Ax Bx AB

dcN D x N N x N N c v x

dzdc dc

N D x N N Ddx dx

= − + + ≈ + ≈

= − + + ≈ −

Substituyendo:2 2

, 21 A Az máx AB

c cxv D

z x

⎡ ⎤ ∂ ∂⎛ ⎞− =⎢ ⎥⎜ ⎟δ ∂ ∂⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦

Condiciones límite:

0 00

0

A

A Ao

A

z c

x c c

cx

x

= ⇒ == ⇒ =

∂= δ ⇒ =

∂

La solución:

,

4A

Ao AB

z máx

c xerfc

c D z

v

=

Fenó

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Tema 6 — p. 11

Ecuación de continuidad para una mezcla binaria

z

xy

Ax xn Ax x x

n+Δ

Az zn

Az z zn

+ΔAy y

n

Ay y yn

+Δ

velocidad de velocidad de velocidad de velocidad de

acumulación de entrada de salida de producción de

masa de A masa de A masa de A masa de A

⎧ ⎫ ⎧ ⎫ ⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪= − +⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩ ⎭ ⎩ ⎭ ⎩ ⎭ ⎩ ⎭

Ax x

Ax x x

x y zt

n y z

n y z+Δ

∂ρΔ Δ Δ

∂Δ Δ

+ Δ Δ Δ

AVelocidad de acumulación:

Velocidad de entrada (cara x):

Velocidad de salida (cara x x):

AyA Ax AzA

nn nr

t x y z

∂⎛ ⎞∂ρ ∂ ∂+ + + =⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠

Notación vectorial: AA An r

t

∂ρ+ ∇ =

∂

Fenó

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Tema 6 — p. 12

Análogamente para el componente B: BB Bn r

t

∂ρ+ ∇ =

∂

Sumando las dos ecuaciones:

0

A B

A B

A B

n n n v

r r

ρ + ρ = ρ ⎫⎪+ = = ρ ⇒⎬⎪+ = ⎭

. 0vt

∂ρ+ ∇ ρ =

∂

... que es la ecuación de continuidad para un fluido puro.

Si el fluido es incompresible: constante . 0vρ = ⇒ ∇ =

Para la densidad de flujo molar (desarrollo análogo): .AA A

cN R

t

∂+ ∇ =

∂

Sumando las ecuaciones para los dos componentes:

*A B

A B

c c c

N N N cv

+ = ⎫⎪ ⇒⎬+ = = ⎪⎭

( )*. A Bc

cv R Rt

∂+ ∇ = +

∂

Para concentración global constante: constante *. A BR Rc v

c

+= ⇒ ∇ =

Fenó

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Tema 6 — p. 13

Para el cálculo de perfiles de concentración hay que introducir la ley de Fick:

Simplificaciones habituales

(a) Densidad y difusividad constantes (disoluciones diluidas,T constante).

constante .v 0

2.AA A AB A Av v D r

t

∂ρ ⎫+ ρ ∇ + ∇ρ = ∇ ρ + ⎪∂ ⇒⎬⎪ρ = ⇒ ∇ = ⎭

*

. .

. .

AA AB A A

AA AB A A

v D w rt

cc v cD x R

t

∂ρ+ ∇ ρ = ∇ ρ ∇ +

∂∂

+ ∇ = ∇ ∇ +∂

2.AA AB A A

cv c D c R

t

∂⇒ + ∇ = ∇ +

∂, dividiendo por la masa molecular de A ...

Fenó

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Tema 6 — p. 14

(c) ..si además la velocidad molar media es nula y no hay reacción, (sólidos o líquidos estacionarios, y gases con interdifusión equimolar)

"Segunda ley de Fick"2AAB A

cD c

t

∂= ∇

∂

constante

* * 2

*

.

.

AA A AB A A

A B

cc v v c D c R

tR R

c vc

∂ ⎫+ ∇ + ∇ = ∇ + ⎪⎪∂ ⇒⎬+ ⎪= ⇒ ∇ =⎪⎭

(b) Concentración total y difusividad constantes (gases a baja densidad, T y P ctes.)

( )* 2.A AA AB A A A B

c cv c D c R R R

t c

∂⇒ + ∇ = ∇ + − +

∂

Fenó

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Tema 6 — p. 15

Rectangulares: AyA Ax AzA

Nc N NR

t x y z

∂⎛ ⎞∂ ∂ ∂+ + + =⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠

Cilíndricas: ( )1 1 AA AzAr A

Nc NrN R

t r r r zθ∂∂ ∂∂⎛ ⎞+ + + =⎜ ⎟∂ ∂ ∂θ ∂⎝ ⎠

Esféricas: ( ) ( )221 1 1 AA

Ar A A

Ncr N N sen R

t r r sen r senr

φθ

∂⎛ ⎞∂ ∂ ∂+ + θ + =⎜ ⎟∂ ∂ θ ∂θ θ ∂φ⎝ ⎠

Rectangulares:2 2 2

2 2 2A A A A A A A

x y z AB Ac c c c c c c

v v v D Rt x y z x y z

⎛ ⎞⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂+ + + = + + +⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Cilíndricas: 1A A A Ar z

c c c cv v v

t r r zθ∂ ∂ ∂ ∂⎛ ⎞+ + + =⎜ ⎟∂ ∂ ∂θ ∂⎝ ⎠

2 2

2 2 21 1A A A

AB Ac c c

D r Rr r r r z

⎛ ⎞∂ ∂ ∂∂ ⎛ ⎞= + + +⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂ ∂θ ∂⎝ ⎠⎝ ⎠

Esféricas: 1 1A A A Ar

c c c cv v v

t r r r senθ φ⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂

+ + + =⎜ ⎟∂ ∂ ∂θ θ ∂φ⎝ ⎠2

22 2 2 2 21 1 1A A A

AB Ac c c

D r sen Rr rr r sen r sen

⎛ ⎞∂ ∂ ∂∂ ∂⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + θ + +⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂ ∂θ ∂θθ θ ∂φ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

La ecuación de continuidad en diversos sistemas coordenados

La ecuación de continuidad de A para ρ y DAB constantes

Fenó

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Tema 6 — p. 16

Ecuación de continuidad: ( ) ( ). . 1,2,...,ii i i

Dv j r i n

Dt

ρ= −ρ ∇ − ∇ + =

Sumando para todos los componentes: ( ). 0vt

∂ρ+ ∇ ρ =

∂

Ecuación de movimiento:

Ecuación de energía:

1.

n

i ii

Dvg P

Dt =

⎡ ⎤ρ = − ∇ π + ρ π = τ + δ⎣ ⎦ ∑

( ) [ ]( ) ( )2

1

1ˆ . . . .2

n

i ii

DU v q v n g

Dt =

⎧ ⎫ρ + = − ∇ − ∇ π +⎨ ⎬⎩ ⎭ ∑

Otras ecuaciones necesarias para describir el sistema:

• Ecuación de estado: p = p(ρ,T,xi)• Ecuación térmica de estado: Û =Û(ρ,T,xi)• Expresiones para las densidades de flujo: ji, π, q• Propiedades de transporte: µ, k, DAB = f(P,T,xi)• Cinéticas de las reacciones: ri• Campos de fuerzas: gi

Ecuación de continuidad para sistemas de varios componentes en función de las densidades de flujo

Fenó

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Tema 6 — p. 17

Densidades de flujo en un sistema de coordenadas estacionario(Transporte convectivo + molecular)

i

c.d.m.: vv

Energía:

Materia: n

21ˆ .2

1,2,...,i i

e U v v q v

w v j i n

φ = ρ + π

⎧ ⎫= ρ + + + π⎡ ⎤⎨ ⎬ ⎣ ⎦⎩ ⎭

= ρ + =

Las ecuaciones de variación correspondientes ...

( ) ( )

( )

Movimiento:

Energía:t

Continuidad:

1

2

1

.

1ˆ . .2

. 1,2,...,

n

i ii

n

i ii

i i i

v gt

U v e n g

n r i nt

=

=

∂ ⎡ ⎤ρ = − ∇ φ + ρ⎣ ⎦∂

∂ ⎧ ⎫ρ + = − ∇ +⎨ ⎬∂ ⎩ ⎭

∂ρ = − ∇ + =

∂

∑

∑

Fenó

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Tema 6 — p. 18

ACOPLAMIENTO

Diferencia de órdenes:0,2

DENSIDAD DE FLUJO

FUERZA IMPLUSORA

i

q

j

τ

{ }

, ,i i

v

T

x P g

∇

⎡ ⎤∇⎣ ⎦⎡ ⎤ ⎡ ⎤∇ ∇ ≠⎣ ⎦ ⎣ ⎦

Ecuación de continuidad para sistemas de varios componentes en función de las propiedades de transporte

Fenó

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orte

Tema 6 — p. 19

Densidades de flujo

c.d.m. (newtonianos):

( ) ( ) ( )23 .

tv v v⎛ ⎞τ = −μ ∇ + ∇ + μ − κ ∇ δ⎜ ⎟

⎝ ⎠

Energía: ( ) ( ) ( ) ( )

1

nc d x x

i ii

q q q q k T H J q=

= + + = − ∇ + +∑En un sistema de coordenadas estacionario:

{ }( ) ( ) ( ) 212

ˆ.c d xe q q q v U v v= + + + π + ρ +⎡ ⎤⎣ ⎦

{ }Despreciando ( ) 212, . :xq v v vτ + ρ⎡ ⎤⎣ ⎦

1

n

i ii

e k T N H=

= − ∇ +∑

Fenó

men

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orte

Tema 6 — p. 20

Materia:

( )( ) ( ) ( )

2( )

, ,1 1,

2( )

1

2( )

1

1

s

gx P Ti i i i i

n njx

i j ij j kik T p xj k

s j kk j

njP

i j ij j jijj

ng k

i j ij j j j kik

j j j j j

Gcj M M D x x

RT x

Vcj M M D x M P

RT M

cj M M D x M g g

RT

= =≠≠

=

=

= + + +

⎡ ⎤⎛ ⎞∂⎢ ⎥

= ∇⎜ ⎟⎢ ⎥⎜ ⎟ρ ∂⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦⎡ ⎤⎛ ⎞

= − ∇⎢ ⎥⎜ ⎟⎜ ⎟ρ ρ⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

⎛ ρ= − −⎜

ρ ρ⎝

∑ ∑

∑

∑1

( ) ln

n

j

T Tiij D T

=

⎡ ⎤⎞⎢ ⎥⎟⎜ ⎟⎢ ⎥⎠⎣ ⎦

= − ∇

∑

Fenó

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Tema 6 — p. 21

En un sistema binario ...

22

,

AA B A B AB A A

A A T P

Gcj j M M D x x

RT x M

⎡⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂⎢= − = − ∇ −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ρ ∂⎢⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎣

( ) 1 lnTB AA B A

A

Vg g P D T

M

⎤⎛ ⎞ρ− − + − ∇ − ∇⎥⎜ ⎟ρ ρ⎝ ⎠ ⎦

( ) 2,ln ,

TA

A A TT PABA B

DdG RT d a k

Dc M M

ρ= =

2

,

lnln

AA B A B AB A

A T P

acj j M M D x

x

⎡⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂⎢= − = − ∇ −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ρ ∂⎢⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎣

( ) 1 lnA B A A A AA B T

A

M x M x Vg g P k T

RT RT M

⎤⎛ ⎞ρ− − + − ∇ − ∇⎥⎜ ⎟ρ ρ⎝ ⎠ ⎦

Fenó

men

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Tema 6 — p. 22

Ejemplo: Transferencia simultánea de calor y materia

Ecuación de continuidad:

0AzdN

dz=

Perfil de concentración (Ley de Fick):

1AB A

AzA

cD dxN

x dz= − ⇒

−

Densidad de flujo:

1ln1

AABAz

Ao

xcDN

xδ⎛ ⎞−

= ⎜ ⎟δ −⎝ ⎠

/11

1 1

zAA

Ao Ao

xx

x x

δδ⎛ ⎞ ⎛ ⎞−−

⇒ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟− −⎝ ⎠ ⎝ ⎠

VAPOR A+

INERTE

SUPE

RFI

CIE

FR

IA

CO

ND

ENSA

DO

Tδ

zT

0T

Ax δAzx

0Ax

0z = z = δz

Fenó

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Tema 6 — p. 23

Ecuación de energía: 0zde

dz=

Densidad de flujo de energía:

( ) ( )0z A Az B Bz Az pAdT dT

e k H N H N k N C T Tdz dz

= − + + = − + −

Integrando:

0

0

1 exp

1 exp

Az pA

Az pA

N Cz

kT T

T T N C

k

δ

⎡ ⎤− ⎢ ⎥

⎢ ⎥− ⎣ ⎦=− ⎡ ⎤

− δ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

El perfil de concentración en función de la densidad de flujo:

1 exp

1 exp

Az

ABA Ao

A Ao Az

AB

Nz

cDx x

x x N

cDδ

⎡ ⎤− ⎢ ⎥− ⎣ ⎦=

− ⎡ ⎤− δ⎢ ⎥

⎣ ⎦

Fenó

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orte

Tema 7 — p. 1

TEMA 7

Transporte en flujo turbulento

Flujo turbulento.Transporte turbulento de c.d.m.Ecuaciones de variación de tiempo ajustado.Distribución de velocidad en flujo turbulento.Transporte turbulento de energía.Transporte turbulento de materia.

Fenó

men

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ansp

orte

Tema 7 — p. 2

Flujo turbulento

Velocidad instantánea:

( ), , ,z zv v t x y z=

Velocidad de tiempo ajustado:

( )0

1 , , ,o

z z

t t

zt

v v dt v t x y zt

+= =∫

Componente fluctuante:

' zz zv v v= −

0' ' 0

t t

z zt

v v dt+

= =∫

VE

LOC

IDA

D

t

zv

zv

'zv

'zv

Fenó

men

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ansp

orte

Tema 7 — p. 3

Intensidad de la turbulencia

( )2 2 213 ' ' 'x y zv v v

Iv

+ +=

Turbulencia isotrópica:2

2 2 2 '' ' ' xx y z

vv v v I

v= = ⇒ =

( )' '

1 2'2 '2

1 2

x x

x x

v vR y

v v=

R(y)

1

0y

Tamaño de los remolinos

Escala de turbulencia:0

( )yL R y dy∞

= ∫

Fenó

men

os d

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ansp

orte

Tema 7 — p. 4

z

y )(yv x

xv

yv '

x

A

( ) '

'x

y x y xtyx

x x

m v v Av

A A

v v v

ρ ⎫τ = = ⎪ ⇒⎬

⎪= + ⎭

Ajustando en el tiempo:

( )

( )' ' '

' ' '

x

x

tyx y y x

y y x

v v v v

v v v v

⎛ ⎞τ = ρ +⎜ ⎟⎝ ⎠

= ρ +

( )' '

tyx y xv vτ = ρ

Turbulencia isotrópica:( )

0t

yxτ =

Transporte turbulento de c.d.m.

( )( ) ' ' 'x

tyx y y xv v v v⇒ τ = ρ +

Balance de c.d.m. en el plano A:

Fenó

men

os d

e Tr

ansp

orte

Tema 7 — p. 5

Restringidas al flujo de fluidos incompresibles.

Proceso de transformación a partir de las ecuaciones de variación:

2. Ajustar la ecuación en el tiempo.

' 'x x xv v v P P P= + = +

Ecuación de continuidad: 0yx zvv v

x y z

∂∂ ∂+ + =

∂ ∂ ∂

Ecuación de movimiento:

' '' ' ' '

x yx x x x z

y yx x z z

yxxx zxx

v vv v v v vP

t x x y z

v vv v v v

x y z

gx y z

⎛ ⎞∂ρ∂ρ ∂ρ ∂ρ∂= − − + + −⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠

⎛ ⎞∂ρ∂ρ ∂ρ⎜ ⎟− + + −⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠

∂τ⎛ ⎞∂τ ∂τ− + + + ρ⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠

Ecuaciones de variación de tiempo ajustado

1.Sustituir valores instantáneos por promedio mas fluctuante:

Fenó

men

os d

e Tr

ansp

orte

Tema 7 — p. 6

( )Modelos bibliográficos para el cálculo de

tyxτ

Teoría de la difusividad turbulenta de Boussinesq:

( ) ( )t xtyx

dv

dyτ = −μ

Teoría de la longitud de mezcla de Prandtl:

( ) 2 x xt

yxdv dv

ldy dy

τ = −ρ

Fórmula empírica de Deissler:

2( ) 2 1 exp x x

x

tyx

n v y dvn v y

dy

⎛ ⎞⎡ ⎤ρτ = −ρ − −⎜ ⎟⎢ ⎥⎜ ⎟μ⎣ ⎦⎝ ⎠

Fenó

men

os d

e Tr

ansp

orte

Tema 7 — p. 7

Distribución de velocidad en flujo turbulento

Lejos de la pared

001

rzL d

L r dr

τ℘ −℘= −

( )00

0

12

rz

rz

rL

o

R r s

L R Rs R r

=⎫τ =⎪ ℘ −℘⎪ ⎛ ⎞⇒ τ = = τ −⎬ ⎜ ⎟

⎝ ⎠⎪= − ⎪⎭

Integrando:

rz oτ = τAproximación (?):

( ) ( )( )rz

t tlrz rzrzτ = τ + τ ≈ τLejos de la pared:

( ) 2 21

rztrz

dvK s

ds

⎛ ⎞τ = ρ ⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠Modelo de Prandtl (l=K1s):

* *1

1 1 ,z odvv v

ds K s

τ= =

ρReorganizando:

Ecuación de movimiento:

1 * 11 1

1 ln ,z z

sv v v s s

K s− = ≥Integrando entre s1 y s:

Fenó

men

os d

e Tr

ansp

orte

Tema 7 — p. 8

*

*

/

/

zv v v

s sv

+

+

⎫=⎪

⇒⎬⎪= ρ μ⎭

En forma adimensional:

11 1

1 ln sv v

K s

++ +

+= +

Valores experimentales (Re>20.000):13.8 ln

0.36v s+ += +

Cerca de la pared

Fórmula de Deissler:2( ) 2 1 exp x x

x

tyx

n v y dvn v y

dy

⎛ ⎞⎡ ⎤ρτ = −ρ − −⎜ ⎟⎢ ⎥⎜ ⎟μ⎣ ⎦⎝ ⎠

Aproximación: 1 1ss R

R⎛ ⎞<< ⇒ − ≈⎜ ⎟⎝ ⎠

Perfil adimensional:{ }( )2 20

, 0 261 1 exp

s dsv s

n v s n v s

++ +

+ + + += ≤ ≤

+ − −∫

Simplificación (s+ 0): , 0 5v s s+ + += ≤ ≤

Fenó

men

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ansp

orte

Tema 7 — p. 9

LAMINAR TURBULENTO

2

, 1z z máxr

v vR

⎛ ⎞⎛ ⎞= −⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

1/ 7

, 1z z máxr

v vR

⎛ ⎞= −⎜ ⎟⎝ ⎠

,12z z máxv v=

,45

z z máxv v=

( )0 ~L Q℘ −℘

( ) 7 / 40 ~L Q℘ −℘

LAMINAR

TURBULENTO

Fenó

men

os d

e Tr

ansp

orte

Tema 7 — p. 10

Transporte turbulento de energía

Temperatura ajustada en el tiempo:

ot t

t

o

TdtT

t

+

=∫

Componente fluctuante de la temperatura: TTT −='

Temperatura instantánea: T

Definiciones

ˆEcuación de energía ajustada en el tiempo( , , , constantes)pC kρ μ

Fenó

men

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orte

Tema 7 — p. 11

Forma vectorial:

( ) ( ) ( )( ) ( )ˆ . .t tl l

vp vDT

C q qDt

⎛ ⎞ρ = − ∇ − ∇ + μΦ + μΦ⎜ ⎟⎝ ⎠

Nuevos términos:

1) Densidad de flujo turbulento de energía

( )

( )

( )

ˆ ' '

ˆ ' '

ˆ ' '

tp xx

tp yx

tp zx

q C v T

q C v T

q C v T

= ρ

= ρ

= ρ

2) Función de disipación turbulenta de energía

3 3( )

1 1

'' ' 't ji i iv

j j j ij j

vv v v

x x x x= =

⎛ ⎞∂∂ ∂ ∂⎜ ⎟Φ = +⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠

∑∑

Fenó

men

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e Tr

ansp

orte

Tema 7 — p. 12

( )Modelos bibliográficos para el cálculo de

t

yq

Conductividad calorífica de remolino:

( ) ( )t ty

dTq k

dy= −

Teoría de la longitud de mezcla de Prandtl:

( ) 2ˆ xt

py

dv dTq C l

dy dy= −ρ

Fórmula empírica de Deissler:

2( ) 2ˆ 1 exp x

x

tpy

n v y dTq C n v y

dy

⎛ ⎞⎡ ⎤ρ= −ρ − −⎜ ⎟⎢ ⎥⎜ ⎟μ⎣ ⎦⎝ ⎠

Fenó

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Tema 7 — p. 13

Transporte turbulento de materia

Definiciones

Concentración ajustada en el tiempo:

o

A

t t

At

o

c dtc

t

+

=∫

Fluctuación de concentración : 'AA Ac c c= −

Concentración instantánea: Ac

Ecuación de continuidad para una reacción con cinética de orden n

2 2 2

2 2 2A

x A y A z A

nA A AAB n A

c c c cv c v c v c D k c

t x y z x y z

∂ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂= − + + + + + −⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Ajustando en el tiempo:

' ' ' ' ' 'A

x y zA A A x A y A z A

cv c v c v c v c v c v c

t x y z x y z

∂ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂= − + + − − + + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠

( )2 2 2 1

22 2 2 22

( 1)

' ( 2)

AA A A

ABA A

k c nc c cD

x y z k c c n

⎧ =⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ⎪+ + + −⎜ ⎟ ⎨⎜ ⎟∂ ∂ ∂ + =⎪⎝ ⎠ ⎩

Fenó

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Tema 7 — p. 14

Nuevos términos:

1) Densidad de flujo turbulento de materia:

( )

( )

( )

' '

' '

' '

tx x A

ty y A

tz z A

J v c

J v c

J v c

=

=

=

2) Término de reacción (n≠1)

Forma vectorial:

( )( ) ( ) 1

2 22

( 1). .

' ( 2)

AA

A

l t

A A

A

k c nDcJ J

Dt k c c n

⎧ =⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎪− ∇ − ∇ − ⎨⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ + =⎪

⎩

Fenó

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Tema 7 — p. 15

( )Modelos bibliográficos para el cálculo de

tAyJ

Difusividad de remolino:

( ) ( ) At t

Ay ABdc

J Ddy

= −

Teoría de la longitud de mezcla de Prandtl y Taylor:

( ) 2 x At

Aydcdv

J ldy dy

= −

Fórmula empírica de Deissler (próximo a la pared):

2( ) 2 1 exp x A

x

tAy

dcn v yJ n v y

dy

⎛ ⎞⎡ ⎤ρ= − − −⎜ ⎟⎢ ⎥⎜ ⎟μ⎣ ⎦⎝ ⎠

Fenó

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Tema 8 — p. 1

TEMA 8

Factor de fricción y balance macroscópico de cantidad de movimiento

Balance macroscópico de materia. Balance macroscópico de cantidad de movimiento. Transporte de c.d.m.: Factor de fricción. Transporte de c.d.m.: Flujo en conducciones. Transporte de c.d.m.: Flujo alrededor de cuerpos sumergidos. Balance macroscópico de energía mecánica: Ecuación de Bernouilli.

Fenó

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Tema 8 — p. 2

Balance macroscópico de materia

Métodos de calculo alternativos para la obtención de los balances macroscópicos:

• Integración de la ecuación de variación (balance microscópico).• Planteamiento en un volumen de control macroscópico.

Balance de materia al sistema: 1 2 1 1 1 2 2 2totdm

w w v S v Sdt

= − = ρ − ρ

En estado estacionario: 1 2w w=

Fenó

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Tema 8 — p. 3

Balance macroscópico de cantidad de movimiento

( ) ( ) [1] [2] [3] [4] [5]

2 21 1 1 2 2 2 1 1 2 2

TOTtot

dCDMv S v S P S P S F m g

dt= ρ − ρ + − − +

[1] La cdm total: V

CDM vdV= ρ∫

[2] Flujo neto de entrada de cdm por los planos S1 y S2 (despreciando τ). [3] Fuerza de presión. [4] Fuerza ejercida por el fluido sobre las paredes del sistema (presión + fricción). [5] Fuerza de gravedad.

2TOT

tot

vdCDMw PS F m g

dt v

⎛ ⎞⎜ ⎟= −Δ + − +⎜ ⎟⎝ ⎠

En función de los flujos másicos:

Laminar: Turbulento:2 2

43

v vv v

v v= =

El cálculo del factor <v2>/<v> se realiza a partir del perfil de velocidad:

2

tot

vF w PS m g

v

⎛ ⎞⎜ ⎟= −Δ + +⎜ ⎟⎝ ⎠

En régimen estacionario:

Fenó

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Tema 8 — p. 4

Ejemplo: Aumento de presión en un ensanchamiento brusco

Problema:• Fluido incompresible• Flujo turbulento.• Régimen estacionario.

1 2 1 1 1 2 2 2

2 1

1 2

1w w v S v S

v S

v S

= ⇒ ρ = ρ

⇒ = =β

Balance de materia:

Balance de c.d.m.:2

tot

vF w PS m g

v

⎛ ⎞⎜ ⎟= −Δ + +⎜ ⎟⎝ ⎠

Fuerza ejercida por el fluido sobre las paredes: F = -P1(S2 – S1)• Despreciando la contribución de fricción superficial (sólo presión).• Presión en el ensanchamiento igual a la de entrada (vena contracta).

Operando: 22 1 2

1 1P P v⎛ ⎞

− = ρ −⎜ ⎟β⎝ ⎠

1 1 2 2 1 1 2 2F w v w v P S P S= − + −

Fenó

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Tema 8 — p. 5

Transporte de c.d.m.: Factor de fricción

Ecuaciones de variación:• Mucha información• Mucha complejidad

Método Alternativo: Transporte De Interfase

“En la mayor parte de los procesos de interés en ingeniería química la resistencia a los procesos de transporte se encuentra en una delgada capa junto a la interfase sólido—fluido”

Problemas característicos en el flujo de fluidos:

1. Flujo en conducciones: PQ Δ~ 2. Flujo alrededor de cuerpos sumergidos: ∞uFR ~

Características: • Menos complejo • Menos información • Mas experimentación

Fenó

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Tema 8 — p. 6

Factor de fricción

kF fAK=

Fk: Fuerza de rozamiento f: factor de fricción,A: superficie,K: energía cinética / volumen.

1) Flujo en conducciones

FK

FPRESIONFPESO

( ) ( )2122kF f RL v= π ρ

Balance de fuerzas:

( ) ( ) ( )2 20 0k L o L LF P P g h h R R⎡ ⎤= − + ρ − π = ℘ −℘ π⎣ ⎦

Resolviendo...:

021

2

14

LDf

L v

℘ −℘=

ρ

“Factor de fricción de Fanning”

Fenó

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Tema 8 — p. 7

FPESO

FkFFLOTACION

2) Flujo alrededor de cuerpos sumergidos

( ) ( )2 212kF f R u∞= π ρ

Balance de fuerzas:

( )343k esfF R g= π ρ − ρ

Resolviendo...

243

esfgDf

u∞

ρ − ρ=

ρ

Coeficiente de resistencia (cD).

Correlación de valores experimentales de coeficientes de fricción:

Análisis dimensional

Fenó

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Tema 8 — p. 8

Transporte de c.d.m.: Flujo en conducciones

( ) ( )2 2120 0

2L

k rzr R

F Rd dz f RL vπ

== τ θ = π ρ∫ ∫

( ) ( )

2

0 0

2122

Lz

r R

vRd dz

rf

RL v

π

=

∂−μ θ

∂=

π ρ

∫ ∫

Variables adimensionales:

( )*

**/ 22* *

0 *0 01/ 2

/1 1/

ReRe /

L Dz

r

r r DvD

P P P v f d dzL r

D v

π

=

⎫=⎪ ∂⎪= − ρ ⇒ = − θ⎬

π ∂⎪= ρ μ ⎪⎭

∫ ∫

Problema• Tubería lisa horizontal• Flujo estacionario• Propiedades constantes (ρ, µ)

Fuerza de rozamiento sobre la pared

Fenó

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Tema 8 — p. 9

Resolución del gradiente de velocidad en la pared:

( )* * * *, ,Reconocidav v r z=

• Ecuación adimensional de movimiento:

( )* *

* * * *

* *

1/ 2 0

0 ,

0 0

conocida

r v

z v v r

z P

= =

= = θ

= =

• Condiciones límite:

Substituyendo: ( )Re, /f f L D=

( )* *zv v L≠ ⇒En perfiles desarrollados: ( )Ref f=

Fenó

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Tema 8 — p. 10

Transporte de c.d.m.: Flujo alrededor de cuerpos sumergidos

FLUJO

θ

Ftz Fnz

tF

nFsF

Fsz( )forma superficie, ,K K K nz sz tzF F F F F F= + = − +

{ }2 20 0

cos sennz r RF P R d d

π π

== − θ θ θ φ∫ ∫

( ){ }2 200 0

cos sensz r RF P gz R d d

π π

== − − ρ θ θ θ φ∫ ∫

{ }2 20 0

sen sentz r r RF R d d

π π

θ == − τ θ θ θ φ∫ ∫

2 20 0

1 sen senr

r R

v vr R d d

r r r

π πθ

=

⎧ ⎫⎡ ⎤∂∂ ⎛ ⎞⎪ ⎪= −μ + θ θ θ φ⎨ ⎬⎜ ⎟⎢ ⎥∂ ∂θ⎝ ⎠⎣ ⎦⎪ ⎪⎩ ⎭∫ ∫

Fuerza de rozamiento sobre la superficie

Componentes:

Fenó

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Tema 8 — p. 11

Procedimiento:

1. Expresar en función de variables adimensionales:

* ** *02

rr

P P gz v v rv v r

v v Rvθ

θ∞ ∞∞

− + ρ℘ = = = =

ρ

2. Ecuación adimensional de movimiento.

3. Condiciones límite:

* * *

* *

* *

1 0

1

0

r

z

r v v

r v

r

θ= = =

= ∞ =

= ∞ ℘ =

Substituyendo: ( )Ref f=

Fenó

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Tema 8 — p. 12

Balance macroscópico de energía mecánica: Ecuación de Bernouilli

( )

[1] [2] [3] [4]

31 ˆˆ2tot tot tot v

vdK A G w W E

dt v

⎡ ⎤⎛ ⎞⎢ ⎥⎜ ⎟+ Φ + = −Δ + Φ + − −⎢ ⎥⎜ ⎟⎝ ⎠⎣ ⎦

[1] Energía mecánica total (cinética + potencial + energía libre de Helmholtz). [2] Flujo neto de entrada de energía mecánica por los planos S1 y S2 (G : energía libre

de Gibbs específica). [3] Velocidad de trabajo mecánico SISTEMA → ALREDEDORES. [4] Pérdida de energía por fricción.

• Régimen estacionario.

• Proceso isotérmico: 2

1

ˆ P

P

dPGΔ =

ρ∫

2

1

31 ˆ ˆˆ 02

P

vP

v dPW E

vΔ + ΔΦ + + + =

ρ∫ “Ecuación de Bernouilli”

Simplificaciones

Fenó

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Tema 8 — p. 13

• Factor alfa:Turbulento: 1

Laminar: 1/2

3 32

3

v vv

v v

α =⎧= α ⇒ α = ⎨ α =⎩

• Gravedad constante: g hΔΦ = Δ

• Fluidos incompresibles:2

1

P

P

dP PΔ=

ρ ρ∫

21 ˆ ˆ 02 v

Pv gh W E

⎛ ⎞Δ α + + − + =⎜ ⎟ρ⎝ ⎠

Para gases ideales:dP

Isotérmico:

dPAdiabático:

2

1

2

1

1

21

1 2

1 1

ln

11

P

P

P

P

PRT

M P

P P

P

γ−γ

=ρ

⎡ ⎤⎛ ⎞γ ⎢ ⎥= −⎜ ⎟⎢ ⎥ρ ρ γ − ⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦

∫

∫

Modificaciones habitualesFe

nóm

enos

de

Tran

spor

te

Tema 8 — p. 14

Balance de energía mecánica: ( ) ( )2 22 1 2 1

1 1 ˆ 02 vv v P P E− + − + =

ρ2

22

1 1ˆ 12vE v

⎛ ⎞= −⎜ ⎟β⎝ ⎠

Operando:

ˆTérmino problemático: Evaluación de vE

Ejemplo: Perdidas por fricción en un ensanchamiento brusco

Fenó

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Tema 8 — p. 15

ˆPérdidas de energía por fricción ( )v E

1. Sistemas sencillos. por integración de la ecuación de movimiento

( )ˆ :v

V

E v dV= − τ ∇∫

2. Fricción de superficie• Transporte de interfase: coeficientes de rozamiento.

• Tubos (vertical descendente):

( ) ( )

v

v

Balance de cdm:

E

Balance de energía: E

1 2

2 2

1 2

1 1ˆ22 2

ˆ

F P P S SL g

Lf RL v v f

RP P

gL

⎫⎪= − + ρ⎪⎪= π ⇒ =⎬⎪

− ⎪= + ⎪ρ ⎭

Fenó

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orte

Tema 8 — p. 16

3. Fricción de forma

• Factor de pérdidas por fricción (análisis dimensional): 21ˆ2v vE v e=

• Longitud equivalente.

Fenó

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Tema 9 — p. 1

TEMA 9

Coeficiente de transmisión de calor y balance macroscópico de energía

Balance macroscópico de energía. Transporte de energía: Coeficiente de transmisión de calor.Correlación de valores experimentales.Ordenes de magnitud.Ecuaciones de correlación.Coeficiente global de transmisión de calor.

Fenó

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orte

Tema 9 — p. 2

Balance macroscópico de energía

velocidad de velocidad neta de velocidad neta de

acumulación de entrada de adición de calor al

energía interna, energía interna, sistema d

cinética y potencial cinética y potencial

⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪= +⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩ ⎭ ⎩ ⎭

velocidad neta de

trabajo producido por

esde los el sistema sobre los

alrededores alrededores

⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪−⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩ ⎭ ⎩ ⎭

( ) 1 1 1 1 2 2 2 2

3 31 11 1 1 2 2 22 2

1 1 1 1 2 2 2 2

1 1 1 2 2 2

ˆ ˆ

ˆ ˆ

tot tot totd

U K v U S v U Sdt

v S v S

v S v S

Q W

P v S P v S

+ + Φ = ρ − ρ

+ ρ − ρ

+ρ Φ − ρ Φ

+ −

+ −

De forma más compacta:( )tot tot tot totE U K= + + Φ

31ˆ ˆ ˆ2

totvdE

U PV w Q Wdt v

⎡ ⎤⎛ ⎞⎢ ⎥⎜ ⎟= −Δ + + + Φ + −⎢ ⎥⎜ ⎟⎝ ⎠⎣ ⎦

Fenó

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Tema 9 — p. 3

En régimen estacionario (w1 = w2):3

1 ˆˆ ˆ ˆˆ2

vU PV Q W

v

⎛ ⎞⎜ ⎟Δ + + + Φ = −⎜ ⎟⎝ ⎠

Simplificaciones habituales en procesos con transmisión de calor/trabajo:

• Efectos de energía cinética, potencial y trabajo despreciables.

• VPUH ˆˆˆ +=

ˆH QΔ =

Para evaluar el término de entalpía:

( )

Gases ideales:

Fluidos incompresibles:

2 2

1 1

2

12 1

ˆˆ1

1ˆˆ

T T

pT T

T

pT

RΔH C dT dT

M

ΔH C dT P P

γ= =

γ −

= + −ρ

∫ ∫

∫

Fenó

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Tema 9 — p. 4

• Régimen turbulento.• Estado estacionario.

Balance de materia: 3 1 2w w w= +

Balance de cdm:

3 3 3 3 1 1 1 1 2 2 2 2w v P S w v P S w v P S+ = + + +

Balance de energía:3

1 ˆˆ ˆ ˆˆ2

vU PV Q W

v

⎛ ⎞⎜ ⎟Δ + + + Φ = −⎜ ⎟⎝ ⎠

Ecuación de estado: 3 3 3P M RT= ρ

Ejemplo: Mezcla de dos corrientes de gases ideales

2

TOT

vF w PS m g

v

⎛ ⎞⎜ ⎟= −Δ + +⎜ ⎟⎝ ⎠

( ) ( ) ( )2 2 21 1 13 3 3 1 1 1 2 2 22 2 2

ˆ ˆ ˆo o op p pw C T T v w C T T v w C T T v⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤− + = − + + − +⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

Fenó

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Tema 9 — p. 5

Transporte de energía: Coeficiente de transmisión de calor

FLUJO

To1 To2

Tb1 Tb2

Posibles definiciones del coeficiente:

( ) ( )1 1 1o bQ h DL T T= π − ( ) ( ) ( )1 1 2 2

2o b o b

a

T T T TQ h DL

⎛ ⎞− + −= π ⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠

( ) ( ) ( )1 1 2 2ln

1 1

2 2ln

o b o b

o b

o b

T T T TQ h DL

T TT T

⎛ ⎞⎜ ⎟− − −⎜ ⎟= π

−⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠

( ) ( )loc o bdQ h Ddz T T= π −

Q hA T= Δ Q = Flujo de calor en la interfase,h = coeficiente de transmisión de calor,A = superficie,ΔT = diferencia característica de temperatura.

Definición

1) Flujo en conducciones

Fenó

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orte

Tema 9 — p. 6

oT

T∞

( ) ( )24m oQ h R T T∞= π −

( ) ( )loc odQ h dA T T∞= −

2) Flujo alrededor de cuerpos sumergidos

Correlación de valores experimentales de coeficientes de transmisión de calor: análisis dimensional.

PROBLEMA: Convección forzada en tubos.• Flujo estacionario.• Perfil de velocidad a la entrada conocido: v1(r, θ).• Temperatura en la pared constante: To (> Tb1).• Propiedades físicas constantes: ρ , µ, Cp, k.

Flujo de calor en la pared: ( ) ( )2

1 10 0

L

o br R

TQ k Rd dz h DL T T

r

π

=

∂= θ = π −

∂∫ ∫

( ) ( )2

1 0 01

1 L

o b r R

Th k R d dz

DL T T r

π

=

∂⇒ = θ

π − ∂∫ ∫

Fenó

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Tema 9 — p. 7

Variables adimensionales:

( ) ( ) * 12

**/ 2* *

1 *0 0*

1

/1/

2 //

L D

ro b o

r r DT

z z D Nu d dzL D r

T T T T T

π

=

⎫=⎪ ∂⎪= ⇒ = − θ⎬

π ∂⎪= − − ⎪⎭

∫ ∫

Número de Nusselt: 1h DNu

k=

Cálculo del perfil de temperatura:

• Ecs. adimensionales de continuidad, movimiento y energía:

( )*

* * *2 * * **

**2 * *

*

1 1. 0Re

1Re Pr Re Pr v

Dv gv v P

Fr gDt

DT BrT

Dt

∇ = = ∇ − ∇ +

= ∇ + Φ

• Condiciones límite:* * * * * *

1* * * *

* * *

0 ( , ) , 0 1

1/ 2 0 , 1/ 2 00, 0 0

z v v r z T

r v r T

r z P

= = θ = =

= = = =

= = =

Resolviendo e integrando: ( )1 1 Re,Pr, /Nu Nu L D=

Para perfiles de velocidad desarrollados: ( )1 1 Re,PrNu Nu=

Fenó

men

os d

e Tr

ansp

orte

Tema 9 — p. 8

h (kcal/m2hºC) Convección Libre Gases Líquidos Ebullición de agua Convección forzada Gases Fluidos viscosos Agua Condensación de vapores

3 — 20

100 — 600 1000 — 20.000

10 — 100 20 — 500

500 — 10.000

1000 — 100.000

Ordenes de magnitud de los coeficientes de transmisión de calor

Fenó

men

os d

e Tr

ansp

orte

Tema 9 — p. 9

Convección natural ( ) ( )geometría,Pr , ,PrmNu a Gr a m f Gr= =

Convección Forzada

Tubos circulares (interior) Calentamiento:

Enfriamiento:

0.8 0.4

0.8 0.3

0.023Re Pr0.023Re Pr

Nu

Nu

=

=

Tubos (exterior) (Propiedades a 0.6 0.30.26Re Pr )pNu T=

Esferas Aire:

Agua:

0.5 0.332.0 Re Pr 0.690.79

Nu = + β β =β =

Tanque encamisado 2 / 3 1/ 30.54Re Pr

o

Nuμ

=μ

Algunas ecuaciones de correlaciónFe

nóm

enos

de

Tran

spor

te

Tema 9 — p. 10

Coeficiente global de transmisión de calor

Flu

ido

Cal

ient

e

TCF

luid

o F

río

Par

ed

T1 T2

TF

δ

Coeficiente global (definición sobre la superficie fría):

( )F F C FQ U A T T= −

Etapas individuales en serie:

( )

( )

1

1 2

2

C C C

pared

F F F

Q h A T T

T TQ k A

Q h A T T

= −

−=

δ

= −

Reordenando:1

1FF F

paredF C C

UA A

h k h AA

=δ

+ +

Fen

óm

eno

s d

e T

ran

spo

rte

Tema 10 — p. 1

TEMA 10

Coeficiente de transferencia y balance macroscópico de materia

Balances macroscópicos en sistemas multicomponentes.Transporte de materia: Coeficiente de transferencia de materia.Correlación de valores experimentales. Analogía calor-materia. Coeficientes globales.

Fen

óm

eno

s d

e T

ran

spo

rte

Tema 10 — p. 2

Balances macroscópicos en sistemas multicomponentes

•Diferentes especies químicas.•Flujo de materia a través de la superficie limitante del sistema:•Reacción química: ri,tot

( )miw

( ), , 1 2m

i tot i i totid

m w w r i , ,...,ndt

= −Δ + + =

Sumando las ecuaciones para todas las especies:

( )( )

1 ( )

,1

0

nmm

ii m

totn

i toti

w wd

m w wdt

r

=

=

⎫= ⎪

⎪⇒ = −Δ +⎬

⎪= ⎪⎭

∑

∑

Los mismos balances expresados en moles:

( ), , 1 2m

i tot i i totid

M W W R i , ,...,ndt

= −Δ + + =

( ),

1

nm

tot i toti

dM W W R

dt =

= −Δ + +∑

Balance de materia

Fen

óm

eno

s d

e T

ran

spo

rte

Tema 10 — p. 3

Balance de cdm

2( )m

tot

vdCDM w PS F F m g

dt v

⎛ ⎞⎜ ⎟= −Δ + + − +⎜ ⎟⎝ ⎠

Balance de energía

3( )1ˆ ˆ ˆ

2mtot

vdEU PV w Q Q W

dt v

⎡ ⎤⎛ ⎞⎢ ⎥⎜ ⎟= −Δ + + + Φ + + −⎢ ⎥⎜ ⎟⎝ ⎠⎣ ⎦

Balance de energía mecánica (ρ constante)

( )3

( )1 ˆ2

mtot tot v

vd PK w B W E

dt v

⎡ ⎤⎛ ⎞⎢ ⎥⎜ ⎟+ Φ = −Δ + Φ + + − −⎢ ⎥⎜ ⎟ρ⎝ ⎠⎣ ⎦

Fen

óm

eno

s d

e T

ran

spo

rte

Tema 10 — p. 4

Transporte de materia: Coeficiente de transferencia de materia

Catalizador

2A → B

NA NB

A+B

Caso A

Catalizador

A → 2B

NA NB

A+B

Caso B

Densidad de flujo de componente (NA, NB):

• Dos contribuciones: Transporte Global: independiente del gradiente de concentración.Difusional: determinado por el gradiente de concentración.

• Valor variable: NA(z) Diseño: valor en la interfase (NA0).

Fen

óm

eno

s d

e T

ran

spo

rte

Tema 10 — p. 5

*,0Ay x loc Ay

J k x•=

= Δ

En coordenadas estacionarias:

( )( )

,

,

Ao Ao Ao Bo x loc A

Bo Bo Ao Bo x loc B

N x N N k x

N x N N k x

•

•

− + = Δ

− + = Δ

Otras definiciones frecuentes en la bibliografía:

Ao G A

Ao L A

N k P

N k c

= Δ

= Δ

Flujo de materia:

( )Ao Ao Ao Bo x AW x W W k A x− + = Δ

Definición del coeficiente de transferencia de materiaF

enó

men

os

de

Tra

nsp

ort

e

Tema 10 — p. 6

Se aprovecha la analogía entre los procesos de transporte de calor y transferencia de materia.

PROBLEMA: Flujo por el interior de una conducción de sección circular.

CALOR: transferencia de calor debida a la diferencia de temperaturas entre la pared del tubo y el fluido.

• Temperatura de la pared constante: To

MATERIA: reacción catalítica heterogénea sobre la pared del tubo. • Reacción instantánea A B. En el equilibrio: xAo

zrFLUJO

T1, xA1

L

DR

1 2

Correlación de valores experimentales de coeficientes de transferencia de materia: análisis dimensional

⎯⎯→←⎯

Fen

óm

eno

s d

e T

ran

spo

rte

Tema 10 — p. 7

Flujo en la interfase, calculado a partir de los perfiles:

Calor:2

0 0

L

r R

TQ k Rd dz

r

π

=

∂= θ

∂∫ ∫Materia: ( ) 2

( ) ( ) ( )

0 0

Lm m m A

Ao ABA A Br R

xW x W W cD Rd dz

r

π

=

∂− + = θ

∂∫ ∫

Flujo en la interfase, a partir de los coeficientes individuales de transferencia:

Calor: ( ) ( )1 1 oQ h DL T T= π −

Materia: ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )1

m m mAo x A AoA A BW x W W k DL x x− + = π −

Comparando ambas expresiones:

Calor: ( )2

10 01

1 L

o r R

Th k Rd dz

DL T T r

π

=

∂= θπ − ∂∫ ∫

Materia:( )

2

0 01

1 LA

x ABA Ao r R

xk cD Rd dz

DL x x r

π

=

∂= θπ − ∂∫ ∫

Grupos adimensionales:* * * *

1 1

, , ,o A AoA

o A Ao

T T x xr zr z T x

D D T T x x

− −= = = =

− −

Fen

óm

eno

s d

e T

ran

spo

rte

Tema 10 — p. 8

Calor:* 1

2

*2 /*

*0 0

1

2 /

L D

r

hD TNu d dz

k D L r

π

=

∂= = − θ

π ∂∫ ∫

Materia:* 1

2

*2 /*

*0 0

1

2 /

L Dx A

ABAB r

k D xNu d dz

cD D L r

π

=

∂= = − θ

π ∂∫ ∫

Ecuaciones de energía y continuidad de A, y condiciones límite:

* * 12

* * 12

**2 * * * *

* 0

**2 * * *

* 0

11, 0

Re Pr Re Pr

11, 0

Re

v z r

AA A Az r

DT BrT T T

Dt

Dxx x x

ScDt

= =

= =

= ∇ + Φ = =

= ∇ = =

Integrando los perfiles:

Calor: ( )* * *ˆ

, , ,Re,Pr PrpC

T F r zk

μ= θ =

Materia: ( )* * *, , ,Re,AAB

x F r z Sc ScD

μ= θ =

ρ

misma función: F !!

En forma de correlaciones adimensionales: ( )Re,Pr, /Nu L D= ϕCalor:

Materia: ( )Re, , /ABNu Sc L D= ϕ

Fen

óm

eno

s d

e T

ran

spo

rte

Tema 10 — p. 9

Fen

óm

eno

s d

e T

ran

spo

rte

Tema 10 — p. 10

(Aire: 0.69,Agua: 0.79)

0.5 0.332.0 Re PrNu = + ββ = β =

Calor:

• Propiedades físicas constantes.• Bajas velocidades de transferencia de materia.• Sin reacción en el volumen de control.• No hay disipación viscosa importante.• No hay energía radiante.

Limitaciones a la analogía

Ejemplo: Flujo alrededor de una esfera

Transformación: Nu → NuAB , Pr → Sc

Materia: 0.5 0.332.0 ReABNu Sc= + β

Fen

óm

eno

s d

e T

ran

spo

rte

Tema 10 — p. 11

Problema: absorción selectiva de A en el líquido C.

GAS

A+B

xAb

xAo

yAo

yAb

NA

LIQUIDO

A+C

Características:• Resistencia nula en la

interfase• Discontinuidad en la

interfase (equilibrio)

Flujo a ambos lados de la interfase:

( ) ( )( ) ( )

( ) ( )

G G GA A B

GB

Gas:

Líquido:

0 1

1

Ao y Ab Ao

GAo A y Ab Ao

LAo A x Ao Ab

dW y dW dW k y y dA

dW y dW k y y dA

x dW k x x dA

− + = −

= ⇒ − = −

− = −

Coeficientes globales de transferencia de materiaF

enó

men

os

de

Tra

nsp

ort

e

Tema 10 — p. 12

Balance de materia en la interfase:

L GA AdW dW= ⇒

( )( )1

1x AoAb Ao

Ab Ao y Ao

k yy y

x x k x

−−= −

− −

Balance de materia en la interfase:

Cálculo de la transferencia de materia en la interfase:

1. Calcular las composiciones en la interfase:

( )

Composiciones globales:

Coeficientes:

Equilibrio

,

, ,Ab Ab

x y Ao Ao

Ao Ao

x y

k k x y

y f x

⎫⎪⎪ ⇒⎬⎪

= ⎪⎭

2. Calcular las densidades de flujo en la interfase:

L G

Ao AodW dW=

DETERMINACIÓN EXPERIMENTAL DECOEFICIENTES INDIVIDUALES

Problema: COMPOSICIONES EN LA INTERFASE.

Fen

óm

eno

s d

e T

ran

spo

rte

Tema 10 — p. 13

Coeficientes Globales: - Toda la resistencia se asocia a una de las fases.- Se mantiene el equilibrio en la interfase.

GASA+B

xAb

xAo

yAo

yAb

LIQUIDOA+C

yAe xAoxAb

yAe

yAo

Diagrama de equilibrio

( ) ( )1 Ae A y Ab Aey dW K y y dA− = −

Substituyendo:

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

Ab Ae Ao Ae Ab Ao

Ao AeAo Ab Ab Ao

Ao Ab

y Ao Ab Ab Ao

y y y y y y

y yx x y y

x x

m x x y y

− = − + −

−= − + −

−

= − + −

Operando:1 1 1

,Ae Ao Ao Ao Aey y

y x y Ao Ab

y x y y ym m

K k k x x

− − − −= + =

−

Fen

óm

eno

s d

e T

ran

spo

rte

Tema 10 — p. 14

Coeficiente global de transferencia de materia basado en el líquido:

( ) ( )1

1 1 1,

Ae A x Ae Ab

Ae Ao Ao Ab Aox

x x x y Ae Ao

x dW K x x dA

x x y y ym

K k m k x x

− = −

− − − −= + =

−

Si la pendiente de la línea de equilibrio es esencialmente constante en el intervalo a considerar:

1 1Ae Aex y

y x

y xm m m m

K K

− −≈ ≈ ⇒ =

xAoxAb

yAe

yAo

Diagrama de equilibrio

tg α = my

tg α = mx

xAe

yAb