fasciculo 2
TRANSCRIPT
Computación Gráfica Semestre 7
Fascículo No. 2
Fascículo No. 2
Semestre 7
Computación gráfica
Fascículo No. 2
Computación gráfica
Computación gráfica
Semestre 7
Fascículo No. 2
Computación gráfica
Fascículo No. 2
Tabla de contenido Página
Objetos bidimensionales y tridimensionales 1
Objetos bidimensionales 1
Objetos tridimensionales 3
Representación gráfica de objetos 4
Representación gráfica bidimensional 5
Diagramas de dispersión o nubes de puntos 5
Tipos de dependencia a partir de la representación gráfica 5
Covarianza y su interpretación 6
Representación gráfica tridimensional 7
Factores que definen una representación 7
Formas de representación 7
Factores de éxito de la representación poligonal 8
Estrategias de modelamiento usando mallas de polígonos 8
Representación usando parches bicúbicos 9
Ventajas y desventajas 9
Modelamiento de objetos usando redes de parches 10
Representación usando gsc 10
Proyección de un objeto tridimensional en un plano 10
Resumen 11
Bibliografía recomendada 13
Párrafo nexo 13
Autoevaluación formativa 15
Fascículo No. 2
Semestre 7
Computación gráfica
Fascículo No. 2
Computación gráfica
Copyright©1999 FUNDACION UNIVERSITARIA SAN MARTIN
Sistema de Educación Abierta y a Distancia.
Santa Fe de Bogotá, D.C.
Prohibida la reproducción total o parcial sin autorización
por escrito del Presidente de la Fundación.
La redacción de este fascículo estuvo a cargo de
MARIO ANDRES AGATON MOSCOSO
Sede Santa Fe de Bogotá, D.C.
Diseño instruccional y orientación a cargo de
MARIANA BAQUERO DE PARRA
Diseño gráfico y diagramación a cargo de
SANTIAGO BECERRA SAENZ
ORLANDO DIAZ CARDENAS
Impreso en: GRAFICAS SAN MARTIN
Calle 61A No. 14-18 - Tels.: 2350298 - 2359825
Bogotá, D.C.
1
Computación gráfica
Fascículo No. 2
Computación gráfica
Semestre 7
Fascículo No. 2
Objetos bidimensionales y tridimensionales
Al terminar el estudio del presente fascículo, el estudiante:
Define, con sus propias palabras, objetos bidimensionales y objetos tridi-
mensionales.
Diferencia entre un objeto bidimensional y un objeto tridimensional.
Explica los procesos de representación gráfica de los objetos bi y tri di-
mensionales.
Explica cuáles son los pasos que intervienen en la representación gráfica
de objetos.
Objetos bidimensionales
Los objetos bidimensionales están descritos de tal forma que se pueden
representar en el plano xy al que normalmente llamamos el plano; por
eso nos referiremos a ellos como objetos bidimensionales u objetos en
el plano. También haremos referencia a todos los objetos, ya sean en el
plano o en tres dimensiones, como modelos ya que este curso se trata
de la representación gráfica de objetos.
Los objetos están formados básicamente por figuras geométricas como
son: círculos, cuadrados, rectángulos y triángulos, y la unión o fusión de
ellos. La visualización de modelos u objetos bidimensionales requiere
de:
Un sistema gráfico.
La creación de entidades geométricas (líneas, círculos, rectángulos,
etc.).
Transformaciones geométricas de las entidades creadas (rotación,
escalamiento, translación, etc.). Las transformaciones geométricas
2
Computación gráfica
Fascículo No. 2
Semestre 7
Computación gráfica
Fascículo No. 2
permiten la creación y vistas de modelos y son parte importante de
los CAD.
Representar un objeto bidimensional se puede realizar mediante una es-
pecificación numérica, dentro de un sistema de coordenadas permitien-
do, a su vez, aplicarle al objeto las transformaciones de rotación, trans-
lación, entre otras.
Otros elementos importantes en la representación de un objeto bidimen-
sional son las variables estadísticas. Son variables que surgen cuando
se estudian dos características asociadas a la observación de un fenó-
meno. Por ejemplo al estudiar la talla, medida en cm. y el peso, medido
en Kg. de un grupo de 10 personas, se obtienen los siguientes valores:
TALLA (cm) 160 165 168 170 171 175 175 180 180 182
PESO (Kg) 55 58 58 61 67 62 66 74 79 83
Podemos llamar X a la talla e Y al peso con lo que se obtendría la varia-
ble bidimensional (X, Y) que toma 10 valores, que son las 10 parejas de
valores de la tabla anterior: (160,55), (165,58), etc.
Cuando el número de valores de la variable bidimensional no es muy
grande, los mismos se expresan en una tabla semejante a la anterior,
pero en algunos casos el número de "parejas" de valores (x,y) es grande
y además muchos de ellos aparecen repetidos; en este caso se utiliza
una "Tabla de doble entrada" como la que se muestra a continuación.
En la primera fila se colocan los valores de una de las características o
variable que componen la variable bidimensional y en la primera colum-
na los de la otra. Se representa por X el número de hijos de 100 familias
y por Y el número de hijas:
3
Computación gráfica
Fascículo No. 2
Computación gráfica
Semestre 7
Fascículo No. 2
nº hijas (Y) 0 1 2 3
nº hijos (X) ----------- -- -- -- --
0 ----------- 10 15 15 3
1 ---------- 10 12 7 2
2 ---------- 8 4 3 1
3 ---------- 3 2 1 0
4 ---------- 2 1 1 0
La lectura de esta tabla es sencilla. Por ejemplo: habría 7 familias que
tendrían 1 hijo y 2 hijas y ninguna familia tendría 3 hijos y 3 hijas.
En realidad la tabla de doble entrada anterior se convertiría en
una tabla simple si escribiéramos los 100 pares de valores
iguales o repetidos en una tabla simple.
Objetos tridimensionales
Los objetos tridimensionales son los objetos en el mundo real, tal como
existen realmente, por lo que nos referiremos a ellos como objetos tridi-
mensionales o del mundo real, indistintamente en el futuro.
Independientemente de la representación de la tercera dimensión, se
debe realizar un mapeo a segunda dimensión, por medio de un sistema
de coordenadas. Para las transformaciones en tercera dimensión, se tie-
ne en cuenta que éstas siempre son equivalentes a las transformaciones
en segunda dimensión, pues la metodología es la misma en ambos ca-
sos.
4
Computación gráfica
Fascículo No. 2
Semestre 7
Computación gráfica
Fascículo No. 2
CAD: computer aided
design. Diseño asistido
por computador.
La posibilidad de incursionar en el terreno de las representaciones tridi-
mensionales produce a priori la impresión de una excesiva dificultad; sin
embargo, las bases de estas técnicas son sencillas, y se pueden obte-
ner resultados sorprendentes muchas veces con poco esfuerzo.
Para la visualización de un objeto tridimensional se requieren 3 pasos:
En primer lugar se necesita una base de datos con las coordenadas
(x,y,z) de los vértices y además los polígonos que forman el objeto.
En segundo lugar, el objeto se rota y luego se traslada hasta la locali-
zación adecuada, con lo que se obtienen unas nuevas coordenadas
(x,y,z) para los vértices.
Finalmente, se eliminan los polígonos que no son visibles por el ob-
servador, se aplica la perspectiva y se dibuja el objeto en la pantalla.
Representación gráfica de objetos
La representación de los objetos es uno de los principales objetivos de
los sistemas de visión por computador, resultando ser una de las etapas
fundamentales para poder comprender la estructura del entorno. La re-
presentación de los objetos, o modelado, se centra en la creación de
descripciones de entidades que forman parte de la escena percibida. En
ocasiones, el modelado es un objetivo en sí mismo, como en la ingenie-
ría inversa, donde los datos capturados a partir de objetos reales se utili-
zan como entrada a un sistema CAD. En otros casos, la representación
de un objeto es una etapa intermedia dentro del sistema de visión, pro-
porcionando resultados que son utilizados por otros procesos que eje-
cutan operaciones más abstractas sobre los datos capturados a partir
de los objetos de la escena.
5
Computación gráfica
Fascículo No. 2
Computación gráfica
Semestre 7
Fascículo No. 2
2.1
Mencione 3 objetos bidimensionales y 3 objetos tridimensionales.
Explique qué los hace bidimensionales o tridimensionales.
Representación gráfica bidimensional
Diagramas de dispersión o nubes de puntos
La representación gráfica de este tipo de variables es semejante a la re-
presentación de puntos en el plano, usando unos ejes de coordenadas.
Cada pareja de valores da lugar a un punto en el plano y el conjunto de
puntos que se obtiene se denomina "diagrama de dispersión o nube de
puntos".
Tipos de dependencia a partir de la representación gráfica
Uno de los objetivos de este tema es estudiar el tipo de dependencia
que hay entre las dos características o variables estudiadas para el fenó-
meno en cuestión. Por ejemplo:
"¿A mayor talla de una persona le corresponde mayor peso? "
"¿ Cuanto mayor es el número de hijos varones de una familia mayor es
el número de hijas? "
A estas cuestiones parece que se responde rápidamente que sí. Pero
¿Cómo se observa en la nube de puntos este hecho? Se dice, en este
caso, que existe entre las dos variables una dependencia directa. En
caso de que la tendencia sea "descendente" se diría que estaríamos an-
te una dependencia inversa.
6
Computación gráfica
Fascículo No. 2
Semestre 7
Computación gráfica
Fascículo No. 2
Existen 2 tipos de de-
pendencia: dependen-
cia directa, cuando la
tendencia es ascenden-
te y dependencia inver-
sa cuando la tendencia
es descendente.
Naturalmente en caso en que no se pueda observar una tendencia clara
estaríamos ante una dependencia muy débil que no se puede observar
mediante la nube de puntos.
Covarianza y su interpretación
Una medida específica de las variables bidimensionales es la covarian-
za. Para variables expresadas mediante una tabla simple (sin pares de
valores repetidos), la covarianza se calcula mediante la fórmula:
Donde xi e y
i representan los pares de valores de la variable y el produc-
to corresponde al producto de las medias aritméticas de las variables x
e y respectivamente.
Calculemos la covarianza para el ejemplo correspondiente a la variable
talla - peso:
La suma de todos los productos de los valores de x (talla) por los de y
(peso) sería:
160 · 55 + 165 · 58 + 168 · 58 + 170 · 61 + 171 · 67 + 175 · 62 + 175 ·
66 + 180 · 74 + 180 · 79 + 182 · 83 = 114987
que, dividido por el número de valores, (10) será: 11498,7
A este valor debemos restarle el producto de las medias de ambas
variables que naturalmente debes saber calcular:
Media de x (talla): 172,6
Media de y (peso): 66,3
Con lo que la covarianza Sxy
= 11498,7 - 172,6 · 66,3 = 55,32
7
Computación gráfica
Fascículo No. 2
Computación gráfica
Semestre 7
Fascículo No. 2
2.2
Dado el siguiente conjunto de valores definidos por las variables v1 y
v2, calcule la covarianza y verifique la respuesta.
V1 210 220 225 225 235 245 250 260 263 264
V2 105 107 112 109 112 115 117 117 120 125
Representación gráfica tridimensional
Existe más de un método para representar objetos en 3 dimen-
siones. La posibilidad de incursionar en el terreno de las repre-
sentaciones tridi-mensionales produce a priori la impresión de
una excesiva dificultad; sin embargo, las bases de estas técni-
cas son sencillas, y se pueden obtener resultados sorprenden-
tes muchas veces con poco esfuerzo.
Factores que definen una representación
Las estructuras de datos.
Algoritmos de procesamiento y de diseño de los objetos y escenas.
El costo de procesamiento.
La apariencia del objeto - aproximada o exacta.
La facilidad para editar los objetos.
Formas de representación
Mallas de polígonos.
Parches paramétricos bicúbicos.
Geometría sólida constructiva (GSC).
Técnica de subdivisión del espacio.
8
Computación gráfica
Fascículo No. 2
Semestre 7
Computación gráfica
Fascículo No. 2
Figura 2.1 Los objetos son representados por una malla de facetas poligonales planas adaptadas a la superficie del objeto.
Figura 2.2. Jerarquía de Polígonos.
Figura 2.3 Manejo de los Arcos Compartidos.
Factores de éxito de la representación poligonal
Es fácil modelar objetos.
Han surgido estrategias de modelado.
No hay restricción respecto de la complejidad en la forma del objeto.
Estrategias de modelamiento usando mallas de polígonos
Usar un digitalizador tridimensional o algún dispositivo manual.
Usar un dispositivo automático como por ejemplo un láser. (Ver figu-
ra 2.4)
Generar un objeto a partir de una descripción matemática.
Generar un objeto por barrido.
9
Computación gráfica
Fascículo No. 2
Computación gráfica
Semestre 7
Fascículo No. 2
Figura 2.4 Figura generada a partir de un dispositivo automático.
Representación usando parches bicúbicos
Los objetos son representados por una malla de facetas poligonales
curvas de 4 lados, llamadas parches, y que se sobreponen a la
superficie del objeto. Cada parche está definido por una función
polinómica de tercer grado Q(u, v), y para determinarla se utilizan 16
puntos de control en el espacio. (Ver figura 2.5)
Figura 2.5 Puntos de control en el espacio de una función polinómica.
Ventajas y desventajas
Se necesitan puntos de control para cada parche que conforma la fi-
gura (problema para objetos complejos).
Se debe mantener integridad de la representación, esto significa res-
tricciones de continuidad en los límites de los parches.
10
Computación gráfica
Fascículo No. 2
Semestre 7
Computación gráfica
Fascículo No. 2
Operador booleano: sig-
no convencional que
identifica el tipo de ope-
ración entre conjuntos
que se requiere para
una finalidad específica.
Los operadores boolea-
nos permiten definir las
ecuaciones de búsque-
da en la recuperación
de información.
Su representación es “fluida” y se puede ajustar fácilmente la forma
de un objeto manejando los puntos de control.
Por ser una representación exacta se pueden obtener propiedades
de masa (útil en CAD).
La representación de un objeto puede demandar grandes cantida-
des de memoria y, por consiguiente, gran tiempo de procesamiento.
Modelamiento de objetos usando redes de parches
Figura 2.6. Modelamiento de objetos mediante redes de parches
Representación usando gsc
Los objetos se forman a partir de objetos elementales.
Los objetos elementales o primitivas geométricas son típicamente la
esfera, el cono, el cilindro, la caja, entre otros.
Las primitivas geométricas se combinan usando operadores boo-
leanos sobre conjuntos o aplicándoles transformaciones lineales.
Proyección de un objeto tridimensional en un plano
Todos los sistemas de representación, tienen como objetivo representar
sobre una superficie bidimensional, como es una hoja de papel, los ob-
jetos que son tridimensionales en el espacio. Con este objetivo se han
ideado, a lo largo de la historia, diferentes sistemas de representación.
Pero todos ellos cumplen una condición fundamental, la reversibilidad,
11
Computación gráfica
Fascículo No. 2
Computación gráfica
Semestre 7
Fascículo No. 2
es decir, que si bien a partir de un objeto tridimensional, los diferentes
sistemas permiten una representación bidimensional de dicho objeto,
de igual forma, dada la representación bidimensional, el sistema debe
permitir obtener la posición en el espacio de cada uno de los elementos
de dicho objeto.
Todos los sistemas, se basan en la proyección de los objetos sobre un
plano, que se denomina plano del cuadro o de proyección, mediante
los denominados rayos proyectantes. El número de planos de proyec-
ción utilizados, la situación relativa de estos respecto al objeto, así como
la dirección de los rayos proyectantes, son las características que dife-
rencian a los distintos sistemas de representación.
La visualización de modelos u objetos bidimensionales requiere de: un
sistema gráfico, la creación de entidades geométricas, transformaciones
geométricas de las entidades creadas (rotación, escalamiento, transla-
ción, etc.). Para representarlos se hace mediante una especificación un-
mérica, dentro de un sistema de coordenadas. Otros elementos impor-
tantes en la representación de un objeto bidimensional son las variables
estadísticas que surgen cuando se estudian dos características asocia-
das a la observación de un fenómeno.
Para la representación de objetos tridimensionales se debe realizar un
mapeo a segunda dimensión, por medio de un sistema de coordena-
das. Para las transformaciones en tercera dimensión, se tiene en cuenta
que siempre son equivalentes a las transformaciones en segunda di-
mensión.
12
Computación gráfica
Fascículo No. 2
Semestre 7
Computación gráfica
Fascículo No. 2
La representación de los objetos se centra en la creación de descrip-
ciones de entidades que forman parte de la escena percibida. En oca-
siones, el modelado es un objetivo en sí mismo, como en la ingeniería
inversa, donde los datos capturados a partir de objetos reales se utilizan
como entrada a un sistema CAD. En otros casos, la representación de
un objeto es una etapa intermedia dentro del sistema de visión, propor-
cionando resultados que son utilizados por otros procesos que ejecutan
operaciones más abstractas sobre los datos capturados a partir de los
objetos de la escena.
En la representación gráfica bidimensional se utilizan los diagramas de
dispersión o nubes de puntos. La representación gráfica de este tipo de
variables es semejante a la representación de puntos en el plano, usan-
do unos ejes de coordenadas.
Las formas de representación pueden ser mallas de polígonos, parches
paramétricos bicúbicos, geometría sólida constructiva (GSC), técnica de
subdivisión del espacio.
Para la representación usando parches bicúbicos los objetos son repre-
sentados por una malla de facetas poligonales curvas de 4 lados, llama-
das parches, y que se sobreponen a la superficie del objeto. Cada par-
che está definido por una función polinómica de tercer grado Q(u, v), y
para determinarla se utilizan 16 puntos de control en el espacio.
Para la representación usando GSC, los objetos se forman a partir de
objetos elementales, los objetos elementales o primitivas geométricas,
las primitivas geométricas se combinan usando operadores booleanos
sobre conjuntos o aplicándoles transformaciones lineales.
13
Computación gráfica
Fascículo No. 2
Computación gráfica
Semestre 7
Fascículo No. 2
Todos los sistemas, se basan en la proyección de los objetos sobre un
plano, que se denomina plano del cuadro o de proyección, mediante
los denominados rayos proyectantes. El número de planos de proyec-
ción utilizados, la situación relativa de estos respecto al objeto, así como
la dirección de los rayos proyectantes, son las características que dife-
rencian a los distintos sistemas de representación.
D. Hearn, P. Baker. Gráficos por computadora. Prentice Hall Hispanoa-
mérica, S.A México, segunda edición. 1994.
Stanley I. Grosssman. Algebra lineal con aplicaciones. McGraw-Hill In-
teramericana de México S.A., cuarta edición (tercera edición en espa-
ñol), 1992.
En el siguiente fascículo se pondrán en práctica los conocimientos ad-
quiridos en este fascículo y se complementará el tema de las represen-
taciones de objetos bidimensionales y tridimensionales.
14
Computación gráfica
Fascículo No. 2
Semestre 7
Computación gráfica
Fascículo No. 2
15
Computación gráfica
Fascículo No. 2
Computación gráfica
Semestre 7
Fascículo No. 2
Autoevaluación formativaAutoevaluación formativaAutoevaluación formativa
Computación gráfica - Fascículo No. 2
Nombre_____________________________________________________________________
Apellidos ________________________________________ Fecha ____________________
Ciudad _________________________________________ Semestre _________________
1. ¿Qué diferencia a los objetos bidimensionales de los objetos tridimensionales?
2. ¿Qué metodologías existen para la representación gráfica de objetos bidimensio-
nales?
3. Mencione las diferencias en la representación de objetos bidimensionales y la re-
presentación de objetos tridimensionales.
4. A partir de la representación tridimensional de un objeto se puede llegar a la repre-
sentación bidimensional del mismo. Justifique su respuesta.