fam-lekcija 7

FINANSIJSKA I AKTUARSKA MATEMATIKA

Uvod u aktuarsku matematiku

Zi ki t 2009/2010Zimski semestar 2009/2010.

Predmetni nastavnik: Dr Milivoje Cvetinović

1

e-mail: [email protected]

Cilj predmetaC j p ed eta

Cilj predmeta je da se studenti upoznaju sa osnovnim pojmovima izCilj predmeta je da se studenti upoznaju sa osnovnim pojmovima izfinansijske i aktuarske matematike. Informacije koji bi studentitrebalo da usvoje iz finansijske matematike predstavljaju osnovu zarazumevanje niza problema, kao što su: izučavanje krajnje vrednostikapitala ako je data njena početna vrednost koja je uložena uzkapitala ako je data njena početna vrednost koja je uložena uzsložen interes i obrnuto, izračunavanje početne vrednosti kapitalauvećane za složeni interes, zatim amortizacija zajma, eskontovanjemenica, i dr.

Cilj modula aktuarske matematike je uvođenje, razvoj i primenatema iz aktuarske matematike fundamentalnih u oblasti osiguranjaimovine i lica. Predmet je povezan sa finansijskom matematikom,

b t i t ć i i č j i tposebno sa temama iz verovatnoće i izračunavanja interesa.

Nakon razumevanja i ovladavanja raznim obračunima budućidiplomirani studenti će moći da aktivno učestvuju u rešavanju sličnih

2

diplomirani studenti će moći da aktivno učestvuju u rešavanju sličnihproblema i zadataka u praksi: u bankama, preduzećima,osiguravajućim kompanijama i drugim institucijama.

Literaturate atu a

• Literatura:

– J. Rašeta, Finansijska i aktuarska matematika, Univerzitet Singidunum, 2008,

– J. Kočović, Finansijska matematika, Ekonomski fakultet u Beogradu, 2009,

– J. Kočović, Aktuarske osnove formiranja tarifa u osiguranju lica, Beograd 2006

– D.Vugdelija, O.Sedlak, Finansijska i akturska matematika, Subotica 20082008,

3

Raspored predavanja

DatumDatum LekcijeLekcije22.10.2009. Uvod u finansijsku matematiku;j

Prost interesni (kamatni) račun 29.10.2009. Primena prostog interesnog računa na finansijskom tržištu;

Tekući račun,Lombardni račun, Potrošački krediti05.11.2009. Eskont menica; Složen interesni (kamatni) račun12.11.2009. Složen interesni račun: Faktor dodajnih uloga, Faktor aktuelizacije19.11.2009. Efektivnost investicija26.11.2009. Amortizacija zajmova03.12.2009. Kolokvijum I

4

Raspored predavanja(nastavak)

DatumDatum LekcijeLekcije10.12.2009. Uvod u aktuarsku matematiku17.12.2009. Matematičke osnove osiguranja24.12.2009. Obračuna tarifa za osiguranja lica

Obračuna tarifa za osiguranja renteObračuna tarifa za osiguranja kapitala; Osiguranje na dva životaKolokvijum II

Ispitni rok ISPIT

5

Formiranje konačne oceneo a je o ač e oce e

Broj bodova

PRISUSTVO NASTAVI 10

SEMINARSKI RAD 10

Bodovi OCENA

51 – 60 6SEMINARSKI RAD 10

KOLOKVIJUM I 25

KOLOKVIJUM II 25

61 – 70 7

71 – 80 8

ISPIT 30

UKUPNO 100 bodova81 – 90 9

91 – 100 10

Prisustvo nastavi i vežbama je obaveznoSeminarski rad nije obavezan

6

Seminarski rad nije obavezan

Sadržaj za danasSad aj a da as

1. Uvod u aktuarsku matematiku– Pojmovi osiguranja i rizika– Aktuarska organizacija osiguranja– Uvod u matematičke osnove osiguranja

(3 časa)2. Vežbe (2 časa)

7

Pojmovi osiguranja i rizikaoj o os gu a ja a

“Subjekt se mora osigurati, jer se takoneće izložiti velikoj opasnosti. Niko nijepropao od plaćanja osiguranja, dok su,naprotiv, mnogi propali jer su mnogo

ki li”reskirali”

8


Pojam osiguranja• Osiguranje je vekovna težnja pojedinca da se zaštiti od

ti k j ž j ži t i št topasnosti koje mu ugrožavaju život i nanose štete naimovini (rušilačka snaga prirode poplave, potresi,vulkani, orkanski vjetrovi i razorne oluje)

• Čovek je shvatio da se udruživanjem u zajednicu, nanačelima solidarnosti i uzajamnosti, može lakše zaštiti ispasiti.spasiti.

• Od samopomoći i “zvanja u upomoć” došlo je doorganizovanog prikupljanja sredstava unapred , čiji jenapredni oblik doveo do uspostavljanja pojma i svrhenapredni oblik doveo do uspostavljanja pojma i svrheosiguranja 9


Pojam osiguranja

O i j k k l k i t k kt iš d b l žjOsiguranje, kao kompleksan sistem, karakterišu dva obeležja:

Prenos rizika od pojedinca na skup – zajednicu rizika

Podela gubitaka na ujednačenoj osnovi na sve članove skupa

10


Definicija osiguranja

T šk d ti d fi i ij j j i j ltidi i liTeško dati definiciju jer je osiguranje multidisciplinarna nauka (ekonomska, pravna i tehnička)

Osiguranje predstavlja udruživanje svih onih koji su izloženi istim opasnostima a sa ciljem da zajednički podnesu štetu koja će zadesiti samo neke od njih

Dakle, osiguranje počiva na načelu uzajamnosti i solidarnosti

11


Definicija osiguranja - nastavak

Osiguranje je institucija koja nadoknadjuje štete nastale u društvu, u privredi ili kod ljudi usled rušilačkih prirodnih sila i nesrećnih sl čaje asila i nesrećnih slučajeva.

Osiguranje je ekonomska institucija kojom se štiti pojedinac, poslovni subjekt i privredni razvoj od ekonomski štetnih posledica prirodnih sila i nesrećnog slučaja

12


Funkcije osiguranja:

S kt i t j di č bj ktSa aspekta interesa pojedinačnog subjektaNeposredna zaštita (preventiva: industrija, saobraćaj, i dr.)Posredna zaštita (isplata za nastalu štetu ili osigurani iznos)

Sa aspekta interesa zajedniceDruštva za osiguranje prikupljaju viškove suficitarnih jedinica nudeći tržištu razne oblike osiguranja imovine i osobatržištu razne oblike osiguranja imovine i osobaPodstiču individualnu štednju i brigu pojedinca za budućnostU ulozi institucionalnih investitora plasiraju u deficitarne sektore privredeDoprinose razvoju finansijskih tržišta putem integracija s drugim institucijama

13


Istorijski koreni:

K d V il 2 100 b (H bij k ik)Kod Vavilonaca 2.100 bc (Hamurabijev zakonik)Kina 3.000 bcEngleska prva polisau 16. veku

14


Rizik i neizvesnost

Št j i ikŠta je rizikRizik predstavlja mogućnost (verovatnoću) odstupanja od očekivanihishoda i mogućnost nastanka šteta i gubitaka

Koje su opasnostiOpasnost je potencijalni uzrok nastanka štete i gubitaka.Npr: gubitak imovine ili nastanak šteta: požari, poplave, zemljitres, udari groma, provale itd.

15


Rizik i neizvesnost

Št j i tŠta je neizvesnostNeizvesnost je dilema, neznanje osobe da proceni koji će se mogući ishodi dogoditi

Nedostatak znanja direktno povećava stepen neizvesnosti i subjektivnostiu proceni. Suprotno tome, informacije i znanje smanjuju neizvesnost povećavajući objektivnost stavova i kvalitet odlučivanjap j j j

16


Klasifikacija rizika

Ri i i kl ifik ti iš čiRizici se mogu klasifikovati na više načina: - finansijski i nefinansijski rizici- dinamički i statički rizici- osnovni i posebni rizici- čisti i špekulativni rizici

NB:osigurljivi rizici su čisti i tu bi spadali (lični, imovinski, odgovornost) dok su neosigurljivi ustvari špekulativniodgovornost), dok su neosigurljivi ustvari špekulativni, politički i tehnološki

17


Lični rizici:prevremena smrt

i t l d t tizavisnost usled starostibolest ili nesposobnostnezaposlenost

Imovinski rizici:gubitak imovine i gubitak prihoda zbog nemogućnostigubitak imovine i gubitak prihoda zbog nemogućnosti upotrebe imovinerizici odgovornostii i i b š k d ihrizici zbog grešaka drugih

18


Rizični dogadjaji u osiguranju

Z i j j ž d i j i d ž j d dZa osiguranje je važno da se i pojmovno i sadržajno odredeoni rizični dogadjaji koji kad se dogode donose:a) gubitke ili oštećenja imovineb) finansijske gubitke, telesne povrede, invalidnost, smrt, i dr.

Takve posledice rizičnih dogadjaja moguće je osiguratig j j g j g

19

Pojmovi osiguranja i rizika

Ut rdji anje eličine ri ika

oj o os gu a ja a

Utvrdjivanje veličine rizikaSvota osiguranja – vrednost osiguranog predmeta, odgovornosti ili života (po pravilu najviši iznos do kogaosiguravač pokriva rizik)

Učestalost (frekvencija) – broj ponavljanja ostvarivanjarizika (jednak je % broja oštećenih objekata prema ukupnom broju osiguranih objekata)

I t it t ( liči ) št t % št ć j d tIntenzitet (veličine) štete - % oštećenja predmeta

Najveća moguća šteta (MPL = Maximum Possible Loss)

Trajanje osiguranja (rizik je rastuća funkcija vremena ili dužine trajanja osiguranja)

20


21

Aktuarska organizacijai josiguranja

Pojam aktuarstva

Akt t j t tik k j č b dj j iAktuarstvo je grana matematike koja proučava, obradjuje i odredjuje temeljne elemente u osiguranju i srodnim granama (penzijsko osiguranje, demografija)

Primenom matematičkih metoda, teorije verovatnoće i rizika, finansijske matematike i stohastičkih modela, aktuarska matematika utvrdjuje cene osiguranjaaktuarska matematika utvrdjuje cene osiguranja, reosiguranja, i dr.

22


Pojam aktuarstva - nastavak

Akt k t tik j bl t t tik k jAktuarska matematika je oblast matematike kojom se rešavaju računski (matematicko-statisticki) problemi osiguranja (pre svega problemi obračuna premija).

Aktuarska matematika uvažava iste principe koje uvažava i finansijska matematika (pre svega princip ekvivalencije svih isplata i svih uplata svedenih na isti vremenski rok)isplata i svih uplata svedenih na isti vremenski rok).

23


Zadaci organizacije:

P ti j t ž i j ć f dPostizanje ravnoteže osiguravajućeg fondaUnapred prikupljena sredstva na bazi premija formiraju osiguravajući fond(ravnoteža: zbir uplaćenih premija = zbiru isplaćenih šteta)

Grupisanje rizika po vrstama opasnostiGrupisanje rizika po vrstama opasnostiNa bazi verovatnoća nastajanja štetnih dogadjaja.Za svaku kategoriju se odredjuje premija (premija direktno srazmerna

riziku))

Obračun premijske rezerveBruto premija uključuje: Neto premiju i režijski dodatakNeto (tehnička) premija uključuje: Riziko premiju i štetnu premijuNeto (tehnička) premija uključuje: Riziko premiju i štetnu premiju

24


Zadaci organizacije - nastavak:

Ob č ij kObračun premijske rezerve

Riziko premija odgovara riziku za tekuću poslovnu godinu.Štetna premija služi za nadoknadu budućih šteta u godinama koje sledeŠtetna premija služi za nadoknadu budućih šteta u godinama koje slede Štetna premija se sastoji iz matematičke premije i premije sigurnostiMatematička premija se kapitališe i obrazuje premijsku (matematičku) rezervu

Aktuarska služba svake godine računa premijsku rezervu, odnosno ustanovljuje mogućnost pokrića budućih obaveza osiguravajuće kompanije, i na taj način da se raspoloživa sredstva premiske rezerve p j , j p pmogu plasirati na tržištu

25


Elementi aktuarske organizacije osiguranja:

1 F i j j d i i ik1.Formiranje zajednice rizika

2.Primena matematičko statističkih metoda

3.Izravnavanje rizika

26



1 F i j j d i i ik1. Formiranje zajednice rizika

Disperzija rizika

Homogenost rizika

Učestalost rizikaUčestalost rizika

27



2 P i t tičk t ti tičkih t d2. Primena matematičko statističkih metoda

Zakon velikih brojeva

Primena teorije verovatnoće

28



3 I j i ik3. Izravnavanje rizika

Unutrašnje izravnanje rizika

Spoljašnje izravnanje rizika:Horizontalno – saosiguranjeVertikalno - reosiguranjeVertikalno reosiguranje

29

Matematičke osnove osiguranjaate at č e os o e os gu a ja

U čemu je razlika finansijske i aktuarske matematike?

Računi finansijske matematike bezlični, tj. ne zavise od starosti lica

Računi aktuarske matematike životnog osiguranja vezani su za starost lica koje se osigurava

30

Matematičke osnove osiguranjaZ k likih b j

O zakonu velikih brojeva

Zakon velikih brojeva

O zakonu velikih brojeva

Zakon velikih brojeva se zasniva na pretpostavci da u velikom broju slučajnih pojava njihova srednja vrednostvelikom broju slučajnih pojava njihova srednja vrednost prestaje da bude slučajna veličina i da se može predvideti sa velikom pouzdanošću.

Naime, karakteristika delovanja zakona velikih brojeva je u posmatranju nastupanja dogadaja u velikom broju slucajeva jer se samo u masi ispoljavaju pravilnosti islucajeva, jer se samo u masi ispoljavaju pravilnosti i zakonitosti.

Nast panje dogadaja pojedinačno i malom brojNastupanje dogadaja pojedinačno i u malom broju predstavlja slučaj, a nastupanje istog dogadaja u masi se ispoljava kao zakonitost. 31

Matematičke osnove osiguranjaZ k likih b jZakon velikih brojeva

Primer:

Ak t j di i d k k t lj di d 10Ako u posmatranoj godini od konkretne grupe ljudi od 10 lica iste starosti umre petoro (50%), da li treba izvući zakljucak da je verovatnoća smrti za ljude posmatrane starosti 50%starosti 50%.

Odgovor je NE, medutim posmatranje grupe od npr. 100 000 ljudi iste starosti može formirati verovatnoće smrti100.000 ljudi iste starosti može formirati verovatnoće smrti lica posmatrane starosti.

32


Primer:

V š i k i ti b j či i ć jVršeni su eksperimenti bacanja novčica i praćena pojava grba na gornjoj strani, pri svakom bacanju. Rezultati eksperimenata su dati u tabeli:

Eksperiment obavio

Broj bacanja Pojava grba (dogadjaj A)

Relativna učestalost A

E1 5 000 2 541 50 8200%E1 5.000 2.541 50,8200%E2 10.000 5.054 50,5400%E3 12.000 6.032 50,2667%

33

E4 20.000 10.015 50,0750%


Primer:

Št i ć j ?Šta primećujemo?

Broj pojavljivanja grba teži ka ½ = 50%Broj pojavljivanja grba teži ka ½ 50%

34


Značaj u osiguranju

Zakon velikih brojeva ima veliki značaj u osiguranjuZakon velikih brojeva ima veliki značaj u osiguranju.Zahvaljujući njemu za osiguravača ne postoji neizvesnostza ukupan broj pokrivenih rizika nego pravilnost izakonitost.zakonitost.

Što je veći broj osiguranih predmeta, u masi je veća mogućnost tačnijeg odredjivanja budućih osiguranihmogućnost tačnijeg odredjivanja budućih osiguranih slučajeva a time i budućih obaveza, na osnovu čega se odredjuju sredstva za njihovo pokriće (izravnavanje rizika)

35

Matematičke osnove osiguranjaMatematičke osnove osiguranjaTeorija verovatnoće

Teorija verovatnoće je matematička disciplina koja izučavazakonitosti slučajnih pojava

Zahvaljujući njenoj primeni u osiguranju, na nesrećneslučajeve se ne gleda kao na nepredvidive dogadjaje, već kao

j k j b d dj ih il tina pojave koje se mogu zbog odredjenih pravilnostipredvidjati.

Matematičke osnove osiguranjaMatematičke osnove osiguranjaTeorija verovatnoće

Izložićemo osnovne pojmove teorije verovatnoće:

Slučajni događaj je onaj događaj čija se realizacijane može pouzdano predvideti.

Skup svih elementarnih događaja se nazivai i d đ jsigurni događaj.

Ω= ω ω ω ω Ω= ω1, ω2, ω3, ...., ωn

Klasična verovatnoćaKlasična verovatnoća

•Klasična definicija verovatnoće koristi pojam•Klasična definicija verovatnoće koristi pojam verovatnoće jednakoverovatnih (jednakomogućih) dogadaja, koji se smatra osnovnim pojmom

( )nmAp =

dogadaja, koji se smatra osnovnim pojmom

nA – slučajni događaj kao skup povoljnih elementarnih događaja D1, D2,..., Dn,nm – broj povoljnih ishoda (realizacija) događaja A,n – broj eksperimenata.

( ) ( )Suprotna verovatnoća( ) ( )ApAq −=1p

Osobine klasične verovatnoće

•Klasična verovatnoća je uvek nenegativna vrednost: p(A)≥0

•Ako je m=0, događaj je nemoguć: p(A)=0

•Ako je m=n, onda je događaj A pouzdan: p(A)=1

•Vrednost klasične verovatnoće je u granicama: 0≤p(A)≤1

V ć d d đ j A li j j ( ) m•Verovatnoća da se događaj A ne realizuje je suprotna verovatnoća:

( )nmAq −=1

Operacije sa događajima

BA∩PRESEK događaja A i B u oznacije događaj koji se realizuje kada serealizuje i događaj A i događaj B.

A:Pašće neparan broj; B: Pašće broj manji od 2; [1]

BA∩ = ØDogađaji A i B su disjunktni ako je

A:Pašće neparan broj; B: Pašće broj manji od 2; [1]

BA∩ = Ø.Događaji A i B su disjunktni ako je

A: Pašće broj manji od 2; B: Pašće broj veći od 3; [Ø]

O ij d đ ji

BA∪

Operacije sa događajima

BA∪UNIJA događaja A i B u oznacije događaj koji se realizuje ako se realizuje događaj A ili događaj B.

A:Pašće paran broj; B: Pašće broj manji od 2; [1 2 4 6]

BA∪ BA∩=Ω iAko je = Ø

A:Pašće paran broj; B: Pašće broj manji od 2; [1,2,4,6]

BA∪ BA∩=Ω i tada su događaji A i B jedan drugom suprotni, odnosno komplementarni.

Ako je = Ø

Razlika događaja A i B, u oznaci A\B, je događaj koji se realizuje ako se reali je događaj A a ne reali je događaj B

A:Pašće paran broj; B: Pašće neparan broj; [1,2,3,4,5,6]

realizuje događaj A, a ne realizuje događaj B.

Verovatnoće više događajaVerovatnoće više događaja

Događaji mogu da budu međusobno zavisni ili nezavisni Moguće je i da seDogađaji mogu da budu međusobno zavisni ili nezavisni. Moguće je i da semeđusobno isključuju, dešavaju istovremeno ili jedan posle drugog.

Od više različitih događaja pravi se jedan događaj pa se izračunava njegovaverovatnoća.

•Zbirna verovatnoća,•Verovatnoća proizvoda,p•Uslovna verovatnoća,•Totalna verovatnoća,B t ć•Bayes-ova verovatnoća.

Verovatnoće više događaja

Zbirna verovatnoća: P(A+B) = P(A) + P(B) - (A*B)

U l i ti d đ j P(A*B) P(A) * P(B)Uslov nezavisnosti događaja: P(A*B) = P(A) * P(B)

Uslovna verovatnoća: P (A/ B) = P (A*B)/P(B)

Totalna verovatnoća: P(A)=P (H1)*P(A/H1)... P(Hn)*P (A/Hn)

Bajesova formula: P(Hk/A)=P(Hk) * P(A/Hk )/P(A)

Centralna granična teorema

Centralna granična teorema je skupg j puslova pri kojima se empirijski rasporedipribližavaju normalnom zakonup jrasporeda verovatnoća.

P i O t d tPrimer:Ocene studenata

77=x

P i O t d tfi

Primer:Ocene studenata

Pojam slučajne promenljivePojam slučajne promenljive

Sl č j ili t h tičk lji X j t k lji k j ž i ti•Slučajna, ili stohastička promenljiva X je takva promenljiva koja može primatirazličite brojčane vrednosti sa određenom verovatnoćom.

•Slučajna promenljiva X je u potpunosti definisana ako se pored saznanja otome koje vrednosti ona može uzimati, dođe do saznanja i sa kojimverovatnoćama ona može te vrednosti uzimati.

•Skup vrednosti koje slučajna promenljiva može uzeti na slučajan način može bitikonačan (prebrojiv) i beskonačan (neprebrojiv)konačan (prebrojiv) i beskonačan (neprebrojiv).

Razlikuju se:•diskretna (prekidna diskontinualna) promenljiva•diskretna (prekidna, diskontinualna) promenljiva,•neprekidna (kontinualna) promenljiva.

Funkcija raspodele slučajne

)()( XPXF

j p jpromenljive

)()( xXPXF <=

∫x

∫∞

= dxxfXF )()(

Parametri raspodele: verovatnoća:∞−

•očekivana vrednost: E(X)•Varijansa: V(X)•standardna devijacija: σ

Parametri raspodeleParametri raspodeleverovatnoća

Grafici funkcije gustineGrafici funkcije gustinei funkcije raspodele

f (x) = F'(x)

Tablice smrtnostiab ce s t ost

• Poznavanje računa verovatnoće je omogućilo daPoznavanje računa verovatnoće je omogućilo da se formiraju tzv. Tablice smrtnosti koje služe kao tehnicka osnova za formiranje tarifa u osiguranju života.

• Osnovni (polazni) pokazatelj tablice smrtnosti su tzv. izravnate verovatnoće smrtnosti. Iz ovih

k lj d lj f i j l bi ij kpokazatelja se dalje formiraju ostale biometrijske funkcije, medu kojima su: verovatnoćadoživljenja i kretanja broja živih i umrlih lica udoživljenja i kretanja broja živih i umrlih lica uposmatranom skupu. 51


• Navedeni podaci, uz upotrebu odredene kamatne stope, omogućuju da se izračunaju komutativni brojevi koji se koriste zakomutativni brojevi koji se koriste zaizračunavanje neto premija životnog osiguranja

• Tablice smrtnosti se formiraju direktnom ili indirektnom metodomindirektnom metodom.

52


Primer za indirektnu metodu:

Neka je l oznaka za broj živih lica starih x godinaNeka je lx oznaka za broj živih lica starih x godinaNeka se dalje posmatraju, u istoj godini, sledeće grupe:

1. grupa od 100.000 lica starih 10 godina2 grupa od 100 000 lica starih 11 godina2. grupa od 100.000 lica starih 11 godina3. grupa od 100.000 lica starih 12 godina....90. grupa od 100.000 lica starih 99 godina91. grupa od 100.000 lica starih 100 godina92. grupa od 100.000 lica starih 101 godina,itd. sve do najstarije grupe lica.

53


Primer za indirektnu metodu - nastavak:

U toku jedne (iste) godine je konstatovano da je umrlo:U toku jedne (iste) godine je konstatovano da je umrlo:6,76‰ lica iz 1. grupe6,786‰ lica iz 2. grupe6,812 ‰ lica iz 3. grupe, g p6,848 ‰ lica iz 4. grupe....75 % lica iz 89. grupe100% lica iz 90. grupe

91, 92 i ostale grupe nisu ni formirane.

54


Primer za indirektnu metodu - nastavak:

Ovi pokazatelji umrlih lica po grupama primenjeni npr na 1 grupuOvi pokazatelji umrlih lica po grupama, primenjeni npr. na 1. grupu kao model, tj. kao fiktivnu grupu, daju podatke slične onima koji bi se dobili pracenjem ove grupe tokom 90 godina.

Dobijeni podaci čine moguću tablicu iz koje se dalje izvode drugi podaci potrebni za izračunavanje tarifa u osiguranju života.

55


Primer za indirektnu metodu - nastavak:- l10 = 100.000 (broj živih krajem 10. odnosno pocetkom 11. godine)- u toku 11 god umre 6 76‰ = 676 lica- u toku 11. god. umre 6,76‰ = 676 lica- l11 = 99324 (broj živih krajem 11. odnosno pocetkom 12. godine)- u toku 12. godine umre 6,786 ‰ = 674 lica

( )- l12 = 98650 (broj živih krajem 12. odnosno pocetkom 13. godine)- u toku 13. godine umre 6,812‰ = 672 lica....

- l55 = 63.469 (broj živih krajem 55. odnosno pocetkom 56. godine)- u toku 56. godine umre 2,166% = 1375 lica- l56 = 6209456

Itd.56

Tablice smrtnostiV t ć ži t i ti j d liVerovatnoća života i smrti za jedno lice

Neka su lx , lx+1 , lx+2 ,..., lx+n oznake za broj živih lica starih x, x+1, x+2, ..., x+n godinaNormalno je a to se vidi i u Tablicama smrtnosti daNormalno je, a to se vidi i u Tablicama smrtnosti, da važi:lx > lx+1 > lx+2 > ... > lx+n

Neka je dx oznaka za broj lica koja umru u toku (x+1) -ve godine, tj: izmedu punih x i x+1 godina.godine, tj: izmedu punih x i x 1 godina.Lako se uočava da je:dx = lx - lx+1 => lx+1 = lx - dx

57


Uvedimo verovatnoće:

xx l

lp 1+= 21

++ = x

x llp

(Verovatnoća da će lice staro x godina doživeti (x+1)-nu godinu iVerovatnoća da će lice staro x+1 godinu doživeti (x+2)-nu godinu)

xx l

p1+xl

Verovatnoća da će lice staro x+1 godinu doživeti (x+2) nu godinu)

Množenjem se dobija:

x

xx l

lp 22

+=

Verovatnoća da će lice staro x godina doživeti (x+2)-nu godinu58

x


Proizvod px * px+1 * px+2 ... px+k-1 daje:

kxlp +=

što predstavlja verovatnoću da će lice staro x godina

xxk l

p =

što predstavlja verovatnoću da će lice staro x godina doživeti x+k godine.

Verovatnoća da će lice staro x godina doživeti (x+2)-nu godinu59


Neka je qx oznaka za verovatnocu da lice staro x godina neće doživeti x+1 godinu, tj. da će umreti u toku (x+1)-ve godineg

xx

xx

x

xx p

lll

ldq −=

−== + 11

Verovatnoća da lice staro x godina nece doživeti x + k godina je:

xx

godina, je:

xkkxxx

xk plll

ldq −=

−== + 1

60xx

k ll


Primer:Za lice staro 35 godina izračunati verovatnoću:

a) da će doživeti 36. godinub) da neće doživeti 36 godinu tj da ce umreti u toku 36b) da neće doživeti 36. godinu, tj. da ce umreti u toku 36.

godine životac) da će doživeti 50 godina životad) da neće doživeti 50 godina života, tj. da će umreti pre

nego što navrši 50 godina života.

61


Rešenja:a)

990708258136 ===lp 9907,0

818143535 ===

lp

b) 0093,01 3535 =−= pq

c) 8496,081814695171535

3515 === +

llp

62

8181435l


Rešenja:d)

1504,01 35153515 =−= pq

63

PITANJAJ

??

64

fam-lekcija 7

Documents