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.
lecci
o
nes
populares
de matemticas
1
Se pubiicaron los siguientes libros
de
r.atemticas de nuestro sello editorial: :
.1
1
.
1
1
E .
\ entsel
Elementos de la teora de los
juegos
L
G o lovin e
I .
Yaglorn
Induccin en la Geometra
:\ G
Krosch
Ecua
cwne
s algebraicas
rlP e r : > c C ' ~ : : ~ t : : ~ ; - o . 1 i 0 ; : ;
A l.
Markushvich
Sucesiones recurrentes
l. Natanson
, , uu i cmas elemen t ales d e mximo y mni mo
V. S h
erv tov
Funciones hiperbl icas
l.M
. Yaglom
Alglbra extraordinaria
i l
e
1
f t
.,:-'
...
w ~ = h , -
Editorial MIR Mosc
l
: 1
-
7/25/2019 Faltan 10,11, 26, 27
2/40
f
)
1
o
h
N
,
z
o
;
1
,
_
,
j
V
.
:
(
J
N
P
:
o
.
z
o
o
.
:
Q
w
.
E
-
1
e:
u1
t :
y
e:
1
lk:
.,;:;g1r.e
lLV
,
w
ra i .
O
l I,
;,
;
pu:
iUJut
r una
f
orrna
de
razn inversa.
Luego,
ACB) =
=
AG__ /: = - 1 =
- 1
,).
Para
calcular la siguiente razn s imple ,
CAE
), es sufi-
ciente apli
ca
una regla acerca
de
la permutacin
de
origen
y
fin
del segmento,
la que
acabamos de
enunciar
:
1
CAB ) = - t .
A
continuacin,
BCA)
= BA = BC CA
AC
AC
- CB - A C
AC
_
1
_ AC
=
CB
-
1 1
.
AC
/,
CB
-
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Si en
una
recta estn descubiertos dos puntos impropios,
es
indicio de que
la
recta
es
impropia.
El conjunto
de todos los puntos impropios en el espacio
se
denomina
plan.o impropio. No
lo examinemos
en este
folleto porque el
ltimo
est dedicado a
la
geometra en
un
plano.
Hemos extendido el
conjunto
de los
puntos en
el planb,
l introducir nuevos puntos.
Pero no podemos
considerar
~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~
FIG. 15
p1e los
n . n e v o ~
pnntoE ; n t r o d u . ~ i d o s (i:unrouics :'):: ?n to-:.0
eq
...
1vaientes
os
puntos
propios. Los
puntos
impropios
son equivalentes a los
propios
solamente en el sentido parcial.
Indiquemos con toda la precisin, en
qu
sentido los puntos
impropios
y
los
propios pueden considerarse
equivalentes.
Entre los puntos mencionados no hay ninguna diferencia,
cuando los consideramos desde el
punto
de vista de su posi
cin, es decir, en
cuanto
a la pertenencia mutua de puntos
y
rectas. En efecto,
todas
las propiedades
de
posicin (en el
plano) se
infieren
de dos axiomas:
1.
Dos distintos
pu tos
definen a una sola
reet
(se
en-
tiende una
recta que pasa por
los
puntos
indicados).
2. Dos distintas rectas definen a
u
solo punto pertene-
ciente a
ellas.
El primer axioma se
ilustra por la figura
16. Cada
punto
es definido
por
un
haz
respectivo.
Trazar
la recta por los
dos
puntos significa hallar una recta comn para
dos haces.
En la figura 16, a ambos puntos son propios. Es
un
caso
cviejo,
bien
conocido.
En
la
figura
16,
b
uno
de
los puntos
es
propio,
el otro es impropio. Es
evidente
que en este caso
ellos definen tambin una recta nica.
La
figura 16, e nos
muestra dos puntos impropios. Existe una ~ recta que
los contiene, es una recta impropia.
~ ?
\\\
\\\\\\
J
.
~
J
FIG 16
Para
comprobar
el
segundo
axioma
examinemos
tres
casos:
1. Las
dos
rectas
son
propias y
no
paralelas;
se intersecan
en un
punto
propio.
2.
Las
dos
rectas son propias y paralelas; tienen un
punto comn, que es
impropio.
3.
Una recta
es
propia, la otra impropia.
Como
punto
(y el nico
punto)
comn para ellas sirve
el punto impropio
de
la primera recta.
En
las
cuestiones,
relacionadas
a
la
medicin
de
segmen-
tos
Y
ngulos,
los puntos
impropios
no son
equivalentes a los
5
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19/40
j
1
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20/40
pio U la recta de proyeccin es paralela a a), obtendremos
el punto U , situado dentro del
segme
nto
A B .
Resulta
pues, que el segmento
interior A B
es una proyeccin del
segmento
exterior
AB.
A
(J
Jf J.li.
l
Nuestros razonamientos, aunque
parecen
abstractos, para
Pl
: : i : : nn ; ; ; ; : : ~ ~ ; f i r
n ~ ~ r : ~
( f ~ ' ' 1 7 ~
Intro ciucido
el punto
irupropio ,
el
obstculo
C
ya
no
impide
que el lobo atrape a la oeja
en
el punto B
con
tal que
a
~
/
A
m
FIG. 2
el lobo siga
un
camino
que pasa
por el
punto
impropio.
Imaginemos que todos los .tres punts estn proyectados
desde
el
punto
S
(fig. 22).
La
.recta
a
gira alrededor
del
punto S en el sentido de
las
manecillas de un reloj. El lobo
..... .. .. _ __
~ - . . . - - - - a r ~ ~ ; :
a
J
Q
debe correr a
la
izquierda de
un
modo tal
que
a
cada
instante
dado pueda encontrarse
en el punto
en
q
-
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21/40
encontrar una condicin mnima,
es
decir,
la
condicin, que
siendo no satisfecha, las
rectas AL,
BM y CN no
tengan
el
punto comn. En este
-ltimo
caso el
teorema
adquirir
el
sentido
recproco,
esto es,
la condicin mencionada
ser
suficiente necesaria.
La
condicin mnima
fue
hallada
por
Giovanni Ceva
1648-1734),
matemtico
italiano. Antes de enunciarla
aqu, precisare
mos algunos
trminos.
Bajo el lado del
tringulo entendemos
no un segmento,
sino
toda
la
recta infinita
.
Sea
dado el
tringulo ABC .
Elijamos en cada lado un punto respectivo no
coincidente
con ningn
vrtice):
el punto N ,
en
el lado AB;
el
punto
L,
en
el
lado BC;
el
punto
M
en el lado
CA.
Para
determinar
razones
en
que
estos
puntos
dividen
los
lados del tringul
o,
es
necesario
ordenar sus vrtices
.
Convengamos
en
recorrer el tringulo
en
cualquiera de
las
il0;,
.li r
tvvium::;; A.EC,
u '.bien ACB.
En
el
pr
imer
caso
io:;
pares
de vrtices se ordenan de la
manera
siguiente:
AB
,
BC,
CA. En el
segundo caso
los vr
t
ices
se disponen como
sigue:
BA, AC, CB.
r ..
..
-:
~ . : - - .. ,..._ ....- ...
--
- ~ - . . t
_ . : - . : _
_ ____ - - . --
....
.
-- ... ~ ~ .
.._.
,, ....
j '-
OfentaCn
y
designemos
/,
=(BCL), }
1
=
(CAM),
\'
= (AB
N) .
El teorema
de
Ceva dice:
-gL
/ -
r
~
= ( L , I
:..e
(11.1)
Si las rectas
AL
,
BM y
CN pasan por un mismo
punto
entonces
A.
v
=
1 .
Observacin. Los puntos A, B, C
son
propios, los L, M,
N
y
O pueden ser cualesqu
i
era.
Demostracin. Al
prin
cipio
sup
ongamos que todos los
siete
puntos son propios
.
El punto
O
puede
encontrarsE
tanto
dentro del
tringulo
como
fuera de sus lmites
vans
e
las
figuras 24a,
b . Lo
que diremos abajo es
_
gualment
e
aplicable
en ambos
casos.
Tracemos
por
el punto C una recta e , paralel
a a
AB .
Los
puntos,
en
que
c
interseca
a
AL
y
BM,
los designemos
con
A
y B .
En lo
sucesivo haremos uso de proporciones
i
t
que
se
de d
ucen de la
sem
ejan
za de tring
ulos ,
razn
p
or
la cual consideramos segmentos y relaciones entre ellos como
magn
i
tude
s p o
siti
vas .
e )
b)
F IG. 2
- - - - - -
------- -- --
- - - - - - - -
De
'
la
se
mejanz
a
de los tringulos OA C
y
OAN
t
en
emos:
AN ON
( , I J
:
De la
semejanza
de los
t
ringulos OB C y
O
BN obtene-
mos:
N B
ON
CB = OC
Igu
a
la mos los miembr
os
primeros
:
AN N B
CA = CB .
o ,
permuta
ndo los t
rminos
de la pro po
rc
i
n:
AN
CA
N B = CB .
(a)
D e la sem e
janza
de
los
tringulos ABL
y
A
C
L
te nem
os :
BL
==
AB
(b)
LC CA
- -- ---
- ~ - - - - ~ - = - - .- ~
1
~ . . . . . i
I
_t- j
-
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22/40
De la semejanza de los tringulos ABM y CB
l f obtene-
mos:
CM B C
MA
= AB
e)
Multiplicando a), b) y e), obtenemos:
Al\
BL
CM
i
NB
LC
J\fA
= .
d)
Nos
queda por
aclarar
qu suc:ider, si en el primer miem
bro de la ltima ecuacin introducimos las
relaciones
(11.1)
con sus
signos.
En
el
caso, expuesto en la
figura
24, a el
y
4 5
/
FJG.
25
punto
O se encuentra dentro del tringulo), cada
uno
de los
puntos
L, lvf
y
K se dispone entre dos vrtices del tringulo,
por lo cual todas las relaciones (11.1) son positivas. Por
consiguiente,
en
lugar
de
la igualdad
d) se
puede escribir
AN BL
CM
NB. LC. MA
=1
1i
2
)
Si el punto O se encuentra fuera del
tringulo
y no en
los lados de ste, debe haber
bien
dentro e}
ngulo
del
tringulo dominios 1, 2, 3 en la fig. 25) o bien
dentro
del
ngulo vertical dominios 4 5 6 en la fig. 25). Supongamos,
por ejemplo, que el
punto
O se halla dentro del ngulo A
o dentro de un ngulo, vertical a ste. En este caso la
recta
AO
cortar
el
lado
BC
en
.el
punto
L,
que
se
encuentra
entre B y C; las rectas BO y CO cortarn los lados C y AB
fuera de los segmentos CA y
AB.
De
este modo,
si el
punto
O
se halla fuera del
tringulo
ABC, entonces entre
las relacio
nes 11.1) las dos sern negativas, y una positiva. Quiere
decir, en cualquier circunstancia
el producto /..ves siempre
positivo, quedando as demostrada la relacin 11.2).
Supongamos ahora, que uno
de
los
puntos divisorios,
L,
por ejemplo,
es
impropio, es decir AL BC fig. 2 ~ . De la
~
~
r / / / / / / / / / / / /A
FIG.
26
FIG.
27
semejanza
de
los
tringulos
AON
y
BCN
se deduce
que
AN -OA
NB =
BC .
Por otr parte,
la
semejanza de los tringulos
OMA
Y B.\1C
nos
da:
.MA
OA
C M =
BC
Igualamos los
primeros
miembros:
AN MA
XB = C M
e)
Como el
punto
O
debe disponerse
en la recta AL, paralela
a BC, se halla, por consiguiente, en el dominio rayado
fig. 27). Es fcil
ver, en este
caso,
que
bien
el
punto N se
encuentra
entre
A
y B, mientras
que
el punto . tf est fuera
del
segmento
AC,
o
bien,
.
todo
va
viceversa-,
es
decir,
las
rela .
AN MA . .
t p l
c10nes NR y CM tienen signos
opues
os.
or
esto, a
4G
-
l I
-
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23/40
igualdad
e)
se
puede
escribir
en
la
forma:
o bien,
es
decir,
AN
MA
NB = -
CM
AN
NB=-CM
M A
1
V= .
Por
lo
tanto,
v = -1 . El punto es
impropio,
es decir-
} . = -1 . As pues:
/.v
=
1.
Examinemos,
ahora,
un caso
en
que dos puntos
divi,
sorios, y M por ejemplo, son
impropios.
La figura ACBO
-
M
FIG.
28
FIG. 29
ser un paralelogramo fig. 28) y el
punto
N el centro del
lado
AB.
En este caso A
=
-1
= -1
v =
1,
y, por
consiguiente, A v = 1.
Todos los tres
puntos,
L M
y N no
pueden ser impro-
pios si se da de antemano que las
rectas AL, BM
y CN
tienen
un punto comn). Es posible, adems, que el
punto O
sea impropio, es
decir,
las rectas AL, BM
y
CN
son parale-
las (fig. 29). Es fcil convencerse de
que
una relacin en
este
caso es positiva y las otras dos , negativas. En
la
figu-
ra 29
tenemos:
A
-
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24/40
-
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25/40
53
-
7/25/2019 Faltan 10,11, 26, 27
26/40
y
/,v
=
1 .
El
primer
teorema
est completamente
demostrado.
Demostremos el segundo
teorema.
Se conoce
que
/.v
=
=
-1 .
Supongamos que
los
puntos L
lvf
y
N
no pertenecen
a una misma
recta.
Tomemos la recta Llvf por una lnea
F G.
32
~ n ~ , P
r ' Z ~ l n ~ ~ i g ~ e } . ~ ~ p8 ' } / p ~ ~ . de fli
tCIS 3CCD
de LiU con
AB,
y por
v' la razn
simple
ABN ).
Entonces
tenemos:
A v = 1 (segn la condic.
in),
A ~ 1 s P . : ; r t ~ :::- t . ~ ~ p m ; : : ; ln fwo .1:- \
De
aqu
se
deduce
que
v
=
v',
lo
que
contradice
a
la
supo-
sicin de que N
y
N
son
puntos diferentes. El teorema
queda demostrado.
CAPITULO
JI
RAZN
COMPLEJA
13. NOCION DE RAZON COMPLEJA
Elijamos en la recta
un
segmento AB y dos
pun
tos
divisorios,
C
y
D
que
deben
ser ordenados (por
ejemplo,
se
toma
C por el primer punto
y
D , por el segundo). Apare
cen dos razones simples:
el punto C divide el segment o AB en la raz6n l.
=
ABC) ;
el
punto
D
divide
el segmento
AB
en l a razn
=
=
(ABD
).
La
relacin
de
estas
dos
razones recibe
el no
mbre
de
razn
compleja de cuatro puntos
y
se designa con el smbolo
(ABCD):
, n . ... , )
.
_ C)
, : _
u1
. i
J
=
-
ABD )
( i 3 . )
Descifrando
el sentido de
una razn simple,
se puede
obtener
una definicin inmediata de la razn compleja:
W
ABCD)
=
AC
.
AD_
ACDB
C
. DB -
, - ,n n ,
o sea, designando los puntos con cifras:
1234)
E _ . ~ =
134
2
32 . 42 3214
(13.2)
13.3)
(es evidente
que
la combinacin de cifras 13)) signi
fica un
segmento
dirigido
desde
el
punto 1
has
ta el 3 , ~ i e n d o elegida
la
_
direccin
de
la
recta
).
Subrayamos que en el smbolo ABCD
)
cada
pu
nto
desempea un papel especial:
{
A -
origen del segmento,
B -
fin del segmento,
{
e - primer punto .divisorio,
D - segundo
punto
divisorio.
Es
conveniente reunirlos
por
pares
como
se
seala
arriba
con corchetes. En el prrafo 15 veremos que
estos
pares son
- - ~ ~ : ~
, ;:,
-
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27/40
equivalentes,
esto es, se puede
considerar,
tanto
C
como D,
corno el origen y el fin del segmento; A y B pueden ser
el punto divisorio primero y segundo.
Supondremos
(casi siempre) que
todos
los cuatro
puntos
son distintos. Con relacin al segmento AB los puntos divi
sorios se
pueden
disponer segn uno de los
siguientes
rdenes
(fig. 33):
a)
ambos
puntos estn
en
el interior del
segmento;
b) ambos puntos
estn
fuera del
segmento;
A C D B
O
C A B D
--o-- - - - o - - d)
FlO, >O; w >O,
b
> O,
-
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30/40
-
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31/40
i: q
f). i
-
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32/40
punto A corresponde el punto C. Efectivamente,
al
permutar
elementos
en
un
par, la
razn compleja
w
=
-1
se susti
tuir
por
su
recproca, es
decir,
no variar.
Por
ejemplo
(vase la fig. 36):
el
punto
C
divide
el
segmento
BA
en
la
razn
.
8
= ,
el punto D divide
el
segmento
BA
en
la rain
3
= - .
La
cuaterna
armnica se compone
de
dos pares . divididos.
Yi.nguno de los pares es ordenado.
Los pares
son etUivalentes.
Los
puntos
de
un par
se
denominan armnicamente
conjugados
on
respecto
al
otro
par.
2. Obsrvese: si el
punto
interior
C
es
muy prximo
a
A ,
el punto exterior D es tambin prximo a A. Si el punto C
-
D A
e--
B
0 o o
FIG.
37
se
desplaza
hacia la
derecha,
el D desplaza al principio
: ..:..
~ 1 _ : _
;:;;
~ i
Ul'u.lJdl
l
H i
pu:m.aon
meda,
el
punto
D
se hace impropio /e
=
1, = -1).
Requiere
una
atencin
especial la afirmacin: con el centro del seg-
mento est .armnicamente conjugado
un punto impropio.
Cuando
el
punto C se
encuentre
a
la derecha
del centro
por la parte derecha
aparecer
D y empezar a moverse
hacia
C.
Los puntos
C
y
D
se aproximarn a
B
desde direc-
ciones
opuestas.
Sealemos
las cuaternas armnicas de
rectas. Para obtener
una
cuaterna
armnica de rectas hace
falta proyectar
una
cuaterna
armnica de
puntos
desde
algn punto
S.
Tomemos un tringulo
AES
(fig. 38) y en
su
base AB indi
quemos una cuaterna
armnica:
1) los >rtices
A
y
B,
2) el centro e y UD punto impropio
D.
Proyectando
esta
cuaterna desde el vrtice S, llegamos a
la
deduccin de que
en cada vrtice
de un tringulo
existe la
sigui
.ente cuaterna
armnica: 1 dos lados del
tringulo, 2 la
median.a y
una
recta
paralela
a la base.
Esta
deduccin
nos permite
dibujar
con facilidad
una
cuaterna
armnica de rectas. Haciendo cortarla
por
distin-
l
tas
rectas,
se puede
obtener una
diversidad de cuaternas
armnicas
de
puntos:
vase, por
ejemplo, la cuaterna
A B C D en la figura 38.
J. IG.
38
indiquemos
un mtodo
ms, bastante simple, para la
obtencin de las cuaternas
armnicas de
rectas:
FIG. 39
Dos
rectas que se intersecan
y
las bisecrices de stas
forman
una
cuaterna armnica (fig. 39).
17. CONSTRUCCION DEL CUARTO PUNTO SEGN LA RAZON
COMPLEJA
En el prrafo
4 se
ha resuelto
el
problema: dados
dos
puntos (A y B) y una razn
simple
A
=
(ABC), encontrar
el tercer
punto
C Es natural plantear el
problema
anlogo
para
una razn compleja: dados tres puntos de
la cuaterna
-
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Ejercicio. Haciendo uso del teorema sobre el cuadrivr
- .J
/ .
J
Dejemos
al lector componerla
a
su propia
cuenta.
Es pro
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tice completo, demostrar
que la recta
que une el punto de
interseccin de los lados laterales
del
trapecio
y el de
nter-
FIG.
7
seccin de
diagonales, divide
los lados
paralelos
del
trapecio
' itgd.
C c ~ p : . i : ~
~ G n
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O
A
l I
UESTROS LECTORES
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40/40
Mir ec.lita libros soviticos traducidos al espaol ingls fran
cs
rabe
y otros
idiomas
extranjeros. Entre
ellos figuran las mejores
obras de
las
distintas
ramas
de
la
ciencia
y
la
tcnica: manuales
para
los centros de enseanza superior y escuelas tecnolgicas; literatura
sobre ciencias naturales y
mdicas.
Tambin se incluyen monografas
libros de divulgac in cientfica y ciencia ficcin. Dirijan sus opiniones r
a la
Editorial
Mir 1 Rizh.ski
per.
2 129820 Mosc I-HO GSP
URSS.
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